C u r s o : Matemática Material N° MC-20 UNIDAD: DATOS Y AZAR
ESTADÍSTICA V DISTRIBUCIÓN NORMAL Para variables aleatorias continuas X, la función de probabilidad es denominada Función de densidad de probabilidad, es una función continua y la probabilidad está dada por el área bajo la curva de la función. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X con distribución normal está dada por la expresión:
f(x)
1 2
2
x
e
2
2
Se dice en este este caso caso que la variable variable aleatoria aleatoria X tiene distribución distribución normal con media y desviación estándar , la cual se denota denota como X ~ N( , ). También se puede denotar como X~N( , 2), donde 2 es la varianza. El gráfico de esta función tiene la forma de una campana. f x 1
2
x
CARACTERÍSTICAS: 1.
El dominio de la función es lR.
2.
El recorrido de la función es 0,
3. 4.
El área área bajo la curva es igual a la unidad. Es simétrica con respecto a x = , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda izquierda y otra de 0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media y un 50% de observar un dato menor a la media. Es asintótica al al eje de las abscisas, abscisas, es decir, decir, la curva se acerca lo más posible al eje de las X sin llegar a tocarlo. La media, moda y mediana coinciden. La probabilidad probabilidad equivale equivale al área encerrada bajo la curva. A mayor mayor desviación desviación estándar, estándar, la gráfica es más baja y más ancha. ancha.
5. 6. 7. 8.
. 2 1
9.
La probabilidad probabilidad de que la variable variable aleatoria tome un valor entre x 1 y x2 está dada por el área bajo la curva que se muestra en la l a figura adjunta.
A x1
x2 P(x1 < x < x 2) = A
EJEMPLOS 1.
En el Colegio Universo, Universo, el peso de los 40 alumnos alumnos del 3º medio, tienen una distribución normal con con media de 72 kg y desviación estándar estándar de 3 kg. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar pese menos de 72 kg? A) B) C) D) E)
2.
0,02 0,025 0,05 0,25 0,5
Sea X es una variable aleatoria aleatoria de distribución distribución normal normal entonces ¿cuál(es) de de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) II) III)
A) B) C) D) E)
Si la media es igual i gual a cero, entonces todos los valores son iguales. Si la desviación estándar igual a 1, entonces todos los valores de X son positivos. Si la desviación estándar igual a 1 y la media igual a 0, entonces la mediana es igual a 1.
Solo I Solo II Solo I y III I, II y III Ninguna de ellas.
2
INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Si una población tiene media y desviación estándar , se tiene que En el intervalo , el área encerrada es 0,6826 es decir, 68,26% del total.
-
+
En el intervalo 2, 2 el área encerrada es 0,9544 es decir, 95,45% del total.
-2
+2
En el intervalo 3, 3 el área encerrada es 0,9973 es decir, 99,73% del total.
-3
+3
95,45%
EJEMPLOS 1.
Sea X una variable aleatoria con distribución N ~ (18,3). ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
La probabilidad de que la variable tome valores mayores que 18 es el 50%. P(X 21) = 0,6587 P(X > 24) = 0,0228
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
3
2.
Los pacientes afectados por una bacteria y su tiempo de recuperación, en días, tiene una distribución N ~ (6; 1,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente se recupere en un tiempo mayor a 9,9 horas? A) B) C) D) E)
3.
0,99865 0,49865 0,5 0,0228 0,00135
El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuye en forma normal con media aritmética igual a 1.020 horas y desviación estándar 51 horas. ¿Cuál es la probabilidad en porcentaje de que du re más de 1.122 horas? A) 47,720% B) 45,440% C) 22,800% D) 2,280% E) 1,587%
4.
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de probabilidad normal con la misma media y diferentes desviaciones estándar?
A)
B)
C)
D)
E)
4
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Una variable aleatoria continua X tiene distribución normal estándar o tipificada, si su media es igual a 0 (cero) y su desviación estándar es igual a 1. Se denota por X ~ N(0, 1). Los intervalos correspondientes a una distribución normal se representan en la siguiente figura: 0,9973 0,9545
0 6826 0,0013
0 0013
-3
-2
-1
1
0
2
3
Por ser la gráfica simétrica respecto = 0, entonces se cumple P(X -x1) = P(X x1). Gráficamente:
-x1
x1
EJEMPLOS 1.
Sea X una variable aleatoria con distribución N ~ (0,1). ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
2.
P(X -1) = 0,1587 P(X -2) = P(X 2) P(X 3) = 0,00135
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
En una distribución normal estándar, ¿cuál de las alternativas es la correcta? A) B) C) D) E)
P(X 3) = 0,49865 P(X = -3) = 0,0135 P(X 3) = 0,4973 P(X -3) = 0,00135 P(-3 X 3) = 0,865 5
OTROS CASOS Cuando el valor de la variable x i no se encuentra dentro de los intervalos dados, existe una tabla, llamada tabla normal tipificada, que permite determinar el valor de: F(X) = P(X xi) x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,50000
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
0,1
0,53983
0,54380
0,54776
0,55172
0,55567
0,55962
0,56356
0,56749
0,57142
0,57535
0,2
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,4
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,5
0,69146
0,69497
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0,7
0,75804
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0,8
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1,0
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
1,1
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1,2
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
1,3
0,90320
0,90490
0,90658
0,90824
0,90988
0,91149
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
1,4
0,91924
0,92073
0,92220
0,92364
0,92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
0,93189
1,5
0,93319
0,93448
0,93574
0,93699
0,93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,94408
1,6
0,94520
0,94630
0,94738
0,94845
0,94950
0,95053
0,95154
0,95254
0,95352
0,95449
1,7
0,95543
0,95637
0,95728
0,95818
0,95907
0,95994
0,96080
0,96164
0,96246
0,96327
1,8
0,96407
0,96485
0,96562
0,96638
0,96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97062
1,9
0,97128
0,97193
0,97257
0,97320
0,97381
0,97441
0,97500
0,97558
0,97615
0,97670
2,0
0,97725
0,97778
0,97831
0,97882
0,97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,98169
2,1
0,98214
0,98257
0,98300
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,98574
2,2
0,98610
0,98645
0,98679
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,98840
0,98870
0,98899
2,3
0,98928
0,98956
0,98983
0,99010
0,99036
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99158
2,4
0,99180
0,99202
0,99224
0,99245
0,99266
0,99286
0,99305
0,99324
0,99343
0,99361
2,5
0,99379
0,99396
0,99413
0,99430
0,99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
0,99520
2,6
0,99534
0,99547
0,99560
0,99573
0,99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99643
2,7
0,99653
0,99664
0,99674
0,99683
0,99693
0,99702
0,99711
0,99720
0,99728
0,99736
2,8
0,99744
0,99752
0,99760
0,99767
0,99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99807
2,9
0,99813
0,99819
0,99825
0,99831
0,99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99861
3,0
0,99865
0,99869
0,99874
0,99878
0,99882
0,99886
0,99889
0,99893
0,99896
0,99900
3,1
0,99903
0,99906
0,99910
0,99913
0,99916
0,99918
0,99921
0,99924
0,99926
0,99929
3,2
0,99931
0,99934
0,99936
0,99938
0,99940
0,99942
0,99944
0,99946
0,99948
0,99950
3,3
0,99952
0,99953
0,99955
0,99957
0,99958
0,99960
0,99961
0,99962
0,99964
0,99965
3,4
0,99966
0,99968
0,99969
0,99970
0,99971
0,99972
0,99973
0,99974
0,99975
0,99976
3,5
0,99977
0,99978
0,99978
0,99979
0,99980
0,99981
0,99981
0,99982
0,99983
0,99983
3,6
0,99984
0,99985
0,99985
0,99986
0,99986
0,99987
0,99987
0,99988
0,99988
0,99989
3,7
0,99989
0,99990
0,99990
0,99990
0,99991
0,99991
0,99992
0,99992
0,99992
0,99992
3,8
0,99993
0,99993
0,99993
0,99994
0,99994
0,99994
0,99994
0,99995
0,99995
0,99995
3,9
0,99995
0,99995
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99997
0,99997
4,0
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99998
0,99998
0,99998
0,99998
Modo de utilizar: En las columnas se ubica la unidad y décima de x i y en las filas la centésima de xi, y en la intersección de una columna y una fila se encuentra el valor de P(X ≤ xi).
6
Modo de utilizar Para P(X 1,24) = 0,8925 a) Se busca en la columna el valor 1,2 b) Se busca en la fila, el valor de la centésima, 0,04. c) Donde intersectan ambos valores es P(X 1,24) = 0,8925.
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0, 0
0,50000
0, 50399
0, 50798
0, 51197
0, 51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
0, 1
0,53983
0, 54380
0, 54776
0, 55172
0, 55567
0,55962
0,56356
0,56749
0,57142
0,57535
0, 2
0,57926
0, 58317
0, 58706
0, 59095
0, 59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0, 3
0,61791
0, 62172
0, 62552
0, 62930
0, 63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0, 4
0,65542
0, 65910
0, 66276
0, 66640
0, 67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0, 5
0,69146
0, 69497
0, 69847
0, 70194
0, 70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0, 6
0,72575
0, 72907
0, 73237
0, 73565
0, 73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0, 7
0,75804
0, 76115
0, 76424
0, 76730
0, 77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0, 8
0,78814
0, 79103
0, 79389
0, 79673
0, 79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0, 9
0,81594
0, 81859
0, 82121
0, 82381
0, 82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1, 0
0,84134
0, 84375
0, 84614
0, 84849
0, 85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
1, 1
0,86433
0, 86650
0, 86864
0, 87076
0, 87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1, 2
0,88493
0, 88686
0, 88877
0, 89065
0, 89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
1, 3
0,90320
0, 90490
0, 90658
0, 90824
0, 90988
0,91149
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
1, 4
0,91924
0, 92073
0, 92220
0, 92364
0, 92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
0,93189
1, 5
0,93319
0, 93448
0, 93574
0, 93699
0, 93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,94408
1, 6
0,94520
0, 94630
0, 94738
0, 94845
0, 94950
0,95053
0,95154
0,95254
0,95352
0,95449
1, 7
0,95543
0, 95637
0, 95728
0, 95818
0, 95907
0,95994
0,96080
0,96164
0,96246
0,96327
1, 8
0,96407
0, 96485
0, 96562
0, 96638
0, 96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97062
1, 9
0,97128
0, 97193
0, 97257
0, 97320
0, 97381
0,97441
0,97500
0,97558
0,97615
0,97670
2, 0
0,97725
0, 97778
0, 97831
0, 97882
0, 97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,98169
2, 1
0,98214
0, 98257
0, 98300
0, 98341
0, 98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,98574
2, 2
0,98610
0, 98645
0, 98679
0, 98713
0, 98745
0,98778
0,98809
0,98840
0,98870
0,98899
2, 3
0,98928
0, 98956
0, 98983
0, 99010
0, 99036
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99158
2, 4
0,99180
0, 99202
0, 99224
0, 99245
0, 99266
0,99286
0,99305
0,99324
0,99343
0,99361
2, 5
0,99379
0, 99396
0, 99413
0, 99430
0, 99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
0,99520
2, 6
0,99534
0, 99547
0, 99560
0, 99573
0, 99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99643
2, 7
0,99653
0, 99664
0, 99674
0, 99683
0, 99693
0,99702
0,99711
0,99720
0,99728
0,99736
2, 8
0,99744
0, 99752
0, 99760
0, 99767
0, 99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99807
2, 9
0,99813
0, 99819
0, 99825
0, 99831
0, 99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99861
3, 0
0,99865
0, 99869
0, 99874
0, 99878
0, 99882
0,99886
0,99889
0,99893
0,99896
0,99900
3, 1
0,99903
0, 99906
0, 99910
0, 99913
0, 99916
0,99918
0,99921
0,99924
0,99926
0,99929
3, 2
0,99931
0, 99934
0, 99936
0, 99938
0, 99940
0,99942
0,99944
0,99946
0,99948
0,99950
3, 3
0,99952
0, 99953
0, 99955
0, 99957
0, 99958
0,99960
0,99961
0,99962
0,99964
0,99965
3, 4
0,99966
0, 99968
0, 99969
0, 99970
0, 99971
0,99972
0,99973
0,99974
0,99975
0,99976
3, 5
0,99977
0, 99978
0, 99978
0, 99979
0, 99980
0,99981
0,99981
0,99982
0,99983
0,99983
3, 6
0,99984
0, 99985
0, 99985
0, 99986
0, 99986
0,99987
0,99987
0,99988
0,99988
0,99989
3, 7
0,99989
0, 99990
0, 99990
0, 99990
0, 99991
0,99991
0,99992
0,99992
0,99992
0,99992
3, 8
0,99993
0, 99993
0, 99993
0, 99994
0, 99994
0,99994
0,99994
0,99995
0,99995
0,99995
3, 9
0,99995
0, 99995
0, 99996
0, 99996
0, 99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99997
0,99997
4, 0
0,99997
0, 99997
0, 99997
0, 99997
0, 99997
0,99997
0,99998
0,99998
0,99998
0,99998
EJEMPLOS en otros casos: P(X 1,24) = 1 – P(X 1,24) = 1 – 0,8925 = 0,1075 P(X -1,24) = P(X 1,24) = 1 – P(X 1,24) = 1 – 0,8925 = 0,1075
7
ESTANDARIZACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Para encontrar la probabilidad P(X < x i) en una distribución normal, no estándar, donde xi no se encuentra en el rango de , 2 y 3, es necesario estandarizar la variable. Si X es una variable que tiene distribución normal con media y desviación estándar , es decir X ~ N( , ), se define una nueva variable aleatoria Z de la forma: Z
X
, que tiene
una distribución normal estándar, es decir, Z ~ N(0 , 1). Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z, de la siguiente manera.
P X x P Z
x
EJEMPLO Los notas de 40 alumnos que rindieron examen de admisión en un colegio para ocupar las vacantes en el 1º medio, tienen una distribución N(5,1; 1,2). ¿Cuál es la probabilidad de que sean aceptados con nota superior a 6?
Solución: P(X > 6) =
1 – P (X < 6)
= 1 – P Z <
6 5,1 1,2
= 1 – P( Z < 0,75) = 1 – 0,773 = 0,22
8
Z
P(Z ≤ z)
0,67 0,75 0,99 1,00 1,15 1,28 1,64 1,96 2,00 2,17 2,32 2,58
0,749 0,773 0,839 0,841 0,875 0,900 0,950 0,975 0,977 0,985 0,990 0,995
EJEMPLOS 1.
Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal con media a y desviación estándar b, la que se transforma en una variable aleatoria Z con distribución normal estándar. Entonces, Z se expresa A) Z B) X C) Z D) X E) Z
2.
X b a Za b Xa b Za b ab X
Sea X y Z variables aleatorias, X con distribución normal con media 100 y desviación estándar 16, y Z la tipificada de X con distribución normal estándar. Entonces, ¿cuál es la representación gráfica de la probabilidad de que X sea mayor que 124? A)
B)
100 101,5
C)
1,5
16
D)
0 1,5
0
1,5
E) Ninguna de las anteriores
3.
Sea X variable aleatoria con distribución normal con media 100 y desviación estándar 16, utilizando la tabla, el valor de P(X > 124) es A) B) C) D) E)
1,5 0,93319 0,1359 0,06795 0,06681
9
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Dada una variable aleatoria discreta X tal que X~B(n, p), siendo n el número de pruebas o repeticiones del experimento y p probabilidad de éxito, con n > 10, se puede aproximar B(n, p) a una distribución normal de media μ = np y desviación estándar np(1 p) . Para que la aproximación anterior sea aceptable, debe cumplirse que np > 5 y n(1 – p) > 5.
B n,p N np, np 1 p
Con np > 5 y n(1 – p) > 5
EJEMPLOS 1.
2.
Si se desea aproximar una variable aleatoria de distribución binomial B(20; 0,6), a una distribución normal, los valores de promedio y desviación estándar, respectivamente son,
A) 12
y
B) 12
y
4,8
C) 8
y
1,2
D) 4,8
y
1,2
E)
y
4,8
0,6
4,8
Se define X variable aleatoria como la cantidad de veces que aparece el número 3 en el lanzamiento de un dado. Si se lanza un dado 126 veces, entonces la aproximación a la distribución normal estaría descrita por
1 6
A)
N128;
B)
N(105; 3,5)
C)
N(105; 17,5)
D) N(21; 21) E)
N(21; 17,5)
10
DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES Si consideramos la media de una muestra aleatoria x como una variable aleatoria, experimentalmente se puede observar que a medida que el tamaño de la muestra aumenta (n 30), la distribución de las medias muestrales se aproxi ma a la distribución normal.
X
N ,
n
n: : : : n
tamaño de la muestra (n ≥ 30). media de la población. desviación estándar de la población.
error estándar. Es la desviación estándar de la media de la muestra de tamaño n.
EJEMPLOS 1.
Los pesos de los alumnos de los cuartos medios de un colegio tienen una distribución normal de media 85 kg y desviación estándar 6 kg. ¿Cuál es la probabilidad aproximada que en una muestra de 100 alumnos, la media sea menor que 86 kg?
A) B) C) D) E)
2.
0,50 0,60 0,885 0,95154 0,96407
La cantidad de horas diarias de viaje para ir y volver de sus trabajos de las personas de cierta ciudad es una variable aleatoria con distribución normal, cuya desviación estándar es de 1,2 horas. Se toma una muestra al azar de 144 personas y se determina que la probabilidad de que la media de la muestra sea menor a 3 es de 0,84134. ¿Cuál es la media de la población?
A) B) C) D) E)
3,5 horas 3,2 horas 2,9 horas 2,7 horas No se puede determinar
11
INTERVALO DE CONFIANZA En ocasiones la media ( x ) de una muestra se considera como una estimación de la población (μ) a la cual pertenece la muestra. Para calcular intervalos donde se encuentra la media poblacional con un cierto nivel de confianza (probabilidad de acierto), debemos recordar que las medias de las muestras
extraídas de una población normal N( μ, σ) también tiene una distribución normal N x, Considerando lo anterior y dado Z
x
. n
, podemos deducir que el intervalo de confianza de
n
nivel (1 – α)∙100% con α ∈ ]0, 1[ para la media μ de una población que se modela con una σ2, distribución normal de varianza conocida a partir de una muestra
x1, x2, …, xn de tamaño n es: x Z
n
1 2
, x Z
1 2
. n
Observaciones:
El nivel de confianza (1 – α) corresponde a la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria, el promedio poblacional μ se encuentre dentro del intervalo de confianza.
P x z
1 2
n
x z
1 2
1 n
Los niveles de confianza (1 – )∙100% más usuales son: 90%, 95% y 99%, que corresponden a niveles de significación ( ) de 10%, 5% y 1%, respectivamente. se denomina error estándar y z1 es el margen de error.
n
n
2
La amplitud del intervalo es 2 z
A mayor valor de n se da una amplitud menor, lo cual implica un intervalo más preciso. A mayor desviación estándar se da una mayor amplitud del intervalo de confianza. Esto significa que a una mayor variabilidad y manteniendo el mismo nivel de confianza, se pierde precisión en la estimación de la media poblacional .
1 2
La tabla muestra los valores de Z
1
n
.
según el nivel de confianza y probabilidad
2
Nivel de confianza (1 - )
50%
68%
75%
80%
90%
95%
99%
P(X ≤ x)
0,75
0,84
0,875
0,90
0,95
0,975
0,995
0,67
0,99
1,15
1,28
1,64
1,96
2,58
Z
1 2
12
EJEMPLOS 1.
Con respecto a la variación del intervalo de confianza, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
3.
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III
Para estudiar el promedio de notas de los alumnos de cuarto medio de un colegio, se ha elegido un curso de 35 alumnos cuyo promedio es de 5,3. Si el promedio de notas es una variable que sigue una distribución normal con una desviación estándar de 0,9, el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza de 90% es
5,3 B) 5,3 C) 5,3 D) 5,3 A)
E)
3.
A mayor nivel de confianza, mayor la amplitud del intervalo. A mayor desviación estándar de la población, mayor amplitud del intervalo. A mayor cantidad de elementos de la muestra, la amplitud es menor.
1,64
0,9
1,96
0,9
1,64
0,9 ; 35
0,9
35
;
5,3 + 1,64
;
5,3 + 1,96
35
0,9 35
;
0,9 ; 5,3 1,64 35
5,3 + 1,64 5,3 + 0,9
0,9
35 0,9
35 0,9 35
0,9
5,3 + 1,64
35 0,9
35
La estatura de la población es una variable aleatoria con distribución normal de desviación estándar igual a 0,4 m. Si la media de la estatura de un grupo de 100 personas es 1,68 m. El intervalo en el que se encuentra el promedio de la población con un 95% de confianza está dado por:
A) B) C) D) E)
[1,55; 1,81] [1,035; 3,225] [1,935; 3,225] [1,6016; 1,7584] [1,55; 1,7584]
13
EJERCICIOS
1.
La figura adjunta muestra tres curvas normales de igual desviación estándar igual a 1. El orden decreciente de x, y y z es
A) B) C) D) E)
x > z > z > x > y >
y > x > y > z > z >
z y x y x
μx
-2
2.
-1
μz
0
La figura adjunta muestra tres curvas normales de media igual a cero. El orden creciente de x, y y z es A) B) C) D) E)
3.
μy
x > z > z > x > y >
y > x > y > z > z >
z y x y x
La longitudes, en cm, de las varillas que fabrica una empresa, tiene una distribución N(10;0,3). ¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que una varilla mida menos de 9,1 cm? A) B) C) D) E)
100,0% 49,865% 34,13% 15,87% 0,135%
14
4.
La gráfica que representa a dos distribuciones de probabilidad normal N1(x1 , 1 ) y N2 (x2 , 2 ) , con x1 x2 y 1 2 , corresponde a
A)
B)
x1
x1
x2
x2
C)
D)
x2
x1
x2
x1
x1
x2
E)
5.
Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre de cuarto medio, tiene una distribución N(5,0; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8. Aproximadamente, el 2% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4. Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
15
6.
Sea una distribución normal N(24,3; 4,8), entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) B) C) D) E)
7.
En una distribución normal estándar si P(X -a) = t; entonces P(X a) = A) B) C) D) E)
8.
La desviación estándar es igual a 4,8. El promedio de la muestra es 24,3. P(X > 24,3) = 0,5. P(X < 4,8) = 0,5 P(19,5 X 29,1) 68%.
-t t t – 1 1 – t No se puede determinar.
Si X ~ N(0,1) , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
9.
La probabilidad P(X < 0) es 50% P(X > 1,5) = 1 – P(X 1,5) P(X = 0,5) = 0
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
En una distribución normal N(90, 15), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
P(90 < x < 105) = 0,3413 P(60 < x < 90 ) = 0,4772 P(105 < x < 120) = 0,1359
Solo I Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
16
10. Sea X una variable aleatoria tal que X (0,1), entonces ¿cuál es la probabilidad aproximada de que su valor se encuentre en la zona achurada de la figura adjunta? y A) 98,5 % B) 93,0 % C) 89,3 % D) 9,3 % E) 9,2 % x 0 1,24 2,17
11. Para el experimento de lanzar 100 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara menos de 55 veces?
A) B) C) D) E)
0,996 0,841 0,839 0,773 0,749
12. Un tirador tiene probabilidad de acertar al blanco igual a 0,2. Realiza 49 disparos, ¿cuál es la probabilidad de que halla acertado al menos 15 disparos?
A) B) C) D) E)
0,03216 0,3216 0,621 0,99739 0,99379
13. Para el experimento aleatorio de lanzar 72 veces una moneda cargada, en que la probabilidad de sello es el doble de la probabilidad de cara, se define la variable aleatoria X como “el número de caras obtenidas” . ¿Cuál es la probabilidad X > 30? A) B) C) D) E)
0,93315 0,90320 0,70884 0,06681 0,65542
17
14. Con respecto a la expresión
n
, denominado error estándar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
Su valor disminuye si aumenta el valor de n. Al aumentar su valor aumenta la amplitud del intervalo de confianza. Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la amplitud del intervalo de confianza.
Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II, y III
15. La antigüedad de los automóviles de uso particular es una variable que tiene una distribución normal, con media de 6 años y desviación de 4 años. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 144 automóviles, la media sea menor de 7 años?
A) B) C) D) E)
0,84134 0,97725 0,99865 0,99744 0,99865
16. Sea X una variable aleatoria continua tal que
X
N , , donde se sabe que
P( 3 x 3) 0, 9973 , y P( 2 x 2) 0,9545 . ¿Cuál es el valor de P( 2 x 3)?
A) B) C) D) E)
0,9645 0,9673 0,9759 0,9886 0,9983
18
17. Si una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media igual a m y varianza igual a p, ¿cuál de las siguientes variables aleatoria tiene distribución normal estándar? X p
A) W =
m
B)
Y=
C) Z =
X p
X+m p
D) P =
X m p
E)
Q=
xm p
18. Sea X una variable aleatoria discreta, tal que X B(a,b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones debe(n) cumplirse siempre, si se desea aproximar la distribución binomial a una distribución normal? I) II) III)
A) B) C) D) E)
19. Si
Solo Solo Solo Solo Solo
I II III I y II I y III
la
media
a puede tomar cualquier valor positivo. La desviación estándar de la distribución normal sería a(1 – b) ≥ 5
de
una
población
Z , Z , 1 1 n n 2 2
se
entonces
encuentra ¿cuál(es)
en de
el las
intervalo siguientes
es (son) verdadera(s)?
A) B) C) D) E)
I) II) III)
corresponde corresponde
IV)
n representa a la cantidad de elementos de la población.
El término Z
a la media de la población. a la desviación estándar de la población. está asociado al nivel de confianza.
1 2
Solo I y II Solo II y III Solo III Solo III y IV I, II, III y IV 19
ab(1 b) .
de
confianza
afirmaciones
20. Siendo la media de la muestra de tamaño n, con margen de error de Z
1 2
, la
amplitud del intervalo de confianza está dado por la expresión
A) 2 B) 2
n
C) 2 Z
D) Z E)
1 2
n
n
Z 1 2
n
21. La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una distribución normal con media 2,84 y varianza 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga más de 4 televisores? A) B) C) D) E)
0,99 0,95 0,50 0,35 0,01
22. La estatura de la población es una variable aleatoria con distribución normal de desviación estándar igual a 0,4 m. Si la media de la estatura de un grupo de 100 personas es 1,68 m. El intervalo en el que se encuentra el promedio de la población con un 95% de confianza es
A) 1,68 B) C) D) E)
1,69 0,4
1,69 0,4
100 100 1,96 0,4 1,96 0,4 , 1,68 + 1,68 100 100 1,96 0,4 1,96 0,4 , 1,68 + 1,68 100 100 2,58 0,4 2,58 0,4 , 1,68 + 1,68 100 100 1,96 10 1,96 10 1,68 , 1,68 + 0,4 0,4 , 1,68 +
20
23. La edad de vida de los chilenos corresponde a una variable aleatoria con distribución normal, con una desviación estándar igual a 12 años. Al tomar una muestra de 1.600 personas se obtuvo un promedio de 72 años, cuyo intervalo de confianza al 99% está representado por
2,58 12 2,58 12 , 72 + 72 1600 1600 1,96 12 1,96 12 , 72 + B) 72 1600 1600 2,58 12 2,58 12 C) 72 , 72 + 1600 1600 2,58 12 2,58 12 D) 1600 , 1600 + 72 72
A)
E) Ninguna de las opciones anteriores.
24. En un colegio, se realizó una investigación sobre la cantidad de horas que dedican al día a leer los alumnos de enseñanza media, para lo cual se tomó una muestra de 100 alumnos. La media de la muestra fue de 2,1 horas y la desviación estándar de la población fue de 1 hora. Entonces, el intervalo de confianza para la media de los alumnos, con un nivel de confianza del 75% es
A) B) C) D) E)
]1,985; 2,215[ [0,95; 3,25] [1,904; 2,296] [2,025; 2,175] [1,985; 2,215]
25. El número de horas diarias de actividad física que realizan los niños de una comunidad durante el fin de semana es una variable aleatoria con distribución normal, cuya desviación estándar es 1,25 horas. Para una muestra al azar de 16 niños se estima un margen de error de 24 minutos, entonces el nivel de confianza que se tendría es de aproximadamente
A) B) C) D) E)
95% 80% 76,8% 75% 50%
21
26.
Se estima que los resultados de la prueba de selección universitaria (PSU) tienen una distribución N(500,100). Si en el año 2013 rindieron la prueba 240.000 personas y para postular a las Universidades se exige un mínimo de 400 puntos. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
27.
38.088 alumnos tienen menos de 400 puntos. 324 alumnos tienen más de 800 puntos. 32.616 alumnos tienen entre 600 y 700 puntos.
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Sean X, W variables aleatorias con distribución N(80,4) y N(120,10), respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
P(W 130 ) > P(X 84) P(X 92 ) = P(W 90) P(W 120) > P(X 80)
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
28. Se sabe que las notas de un determinado examen tienen una distribución normal. Se puede conocer la media, si: (1) El 15,87% obtuvo nota superior a 6,2. (2) El 15,87% obtuvo nota inferior a 4,6. A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
29. Sea X una variable con distribución normal. Se puede conocer cuántos elementos están en el intervalo del promedio menos una desviación estándar y el promedio más una desviación estándar, si se conoce que: (1) Un 68,3% de la muestra se encuentra en ese intervalo. (2) La cantidad de elementos del conjunto. A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 22
30. Para una variable aleatoria X se conoce la media muestral. Se puede determinar el intervalo de confianza de la media para la población, si se conoce: (1) El nivel de confianza. (2) n
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
RESPUESTAS EJEMPLOS Ejemplos Págs.
1
2
2 3y4 5 9 10 11 13
E C E C B D E
D E D D E C A
3
4
D
A
E
D
RESPUESTAS EJERCICIOS Pág. 14 1. C
7. B
13. D
19. B
25. B
2. A
8. E
14. E
20. C
26. E
3. E
9. D
15. C
21. E
27. B
4. B
10. E
16. C
22. C
28. C
5. E
11. B
17. D
23. A
29. B
6. D
12. A
18. B
24. E
30. C
Revisa los módulos de la Unidad 21: Variable Aleatoria, en www.preupdvonline.cl DMDS-MC-20
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ 23
