Formación General 2016 II
Regla de Tres Simple y Compuesta
Asignatur a:
PENSAMIENTO LÓGICO
7ma Sesión
Regla de Tres Competencia Apl i ca cont eni dos concept ual es y pr ocedi ment al es de l a Lógi ca Mat emát i ca par a sol uci onar pr obl emasdel ar eal i dad,demaner a acer t ada,r esponsabl eypr oact i va.
Indicadores Rel aci ona coher ent ement e magni t udes en si t uaci onespr obl emát i cascont ext ual i zadas Resuel ve pr obl emas cont ext ual es r ef eri dos a pr opor ci onal i dad Expl i ca l a r espuest a de una si t uaci ón pr obl emát i cacont ext ual i zada
HI STORI A DELAREGLADETRES Lar egl adet r esesunadel asher r ami ent asbási casdel a ar i t mét i cael ement al . Est ar egl aseconoci óenocci dent ea t r avésdel osár abes. Var i os aut or es ár abes – ent r e el l os,al Jwar i zmien su ál gebr a – dan ej empl os que r esuel ven con es t e pr ocedi mi ent o,per o es Al Bi r uniqui en dedi ca una obr a compl et aaest et ema. Al Bi r uni ( 9731050) es uno de l os ci ent í ficos más not abl esdesu época.Escr i bi óungr annúmer odeobr as, se es t i ma que más de 130,sobr e muchos campos de conoci mi ent o: mat emát i cas, ast r onomí a, ast r ol ogí a, fil osof í a,car t ogr af í ayl aI ndi a.Susvi aj esaest epaí sysu conoci mi ent o delsánscri t ol e permi t i er on escri bi racer ca de su r el i gi ón,su cul t ur a,su geogr af í a,su hi st ori a,su l i t er at ur ayal gunascuest i onesmat emát i cas.
Recuperado de https://planetapi314.files.wordpress.com/201 4/07/biruni_iranian.jp
Una desus obr as est á dedi cada a l ar egl a det r esen l a I ndi a.En est a obr a señal a queen l aI ndi a sehabí a gener al i zadoest epr ocedi mi ent ot i empo
at r ásyqueel l osconocí anl ar egl adet r essi mpl e,di r ect a,i nversayt ambi én l ar egl adet r es compuest a. Enl aI ndi aunodel osdocument osant i guosmási nt er esant esquecont i enenest ar egl a esel Manuscr i t oBakhshal i .Elnombr ehacer ef er enci aal aci udad,si t uadaenl apar t enor oest ede l aI ndi a,en cuyosal r ededor essedescubri óest et ext oen 1881.Noseconoceelaut orde l a obr a nit ampocol af echa der edacc i ón delor i gi nal ,sobr el a quehan exi st i dohi pót esi smuy di ver sas.En l a act ual i dad exi st e un ci er t o consenso sobr e que podr í a seruna obr a de pr i nci pi osdenuest r aer a. Elmanuscr i t o,que en l a act ual i dad se encuent r a en Oxf or d,es un manualde r egl as y ej empl os con sus sol uci ones.Cont i ene pri nci pal ment er egl as y ej er ci ci os de ar i t mét i ca y ál gebr a. Sabemosqueen l aI ndi ahabí ansi st emat i zadol ar egl adet r esper o,segúnal gunosaut or es, qui zás f ueseChi na elpri merl ugardondese r esol vi óest et i po depr obl emasempl eandol a pr opor ci onal i dad. En elant i guo Egi pt ot ambi én se pl at eaban pr obl emas de r egl a de t r es.Una pr ueba de pr obl ema númer o72 delpapi r odeAhmesopapi r oRhi nd.Elenunci adodelpr obl ema esel siguiente: Sit enemosquei nt er cambi ar100 panesdepesu10 porun det er mi nadonúmer odepanesde pesu45,¿cuálesest enúmer odet er mi nado? En t odas l as ar i t mét i cas mer cant i l es eur opeasmedi eval es y r enacent i st as hay un capí t ul o dedi cado,t ot alopar ci al ment e,a l ar egl a det r es,queer a conoci da comol a“ r egl a deor o”. ( Veguí n,2010)
Enl aact ual i dadl ar egl adet r esesunmét odoquet i eneapl i caci onesendi versoscont ext os.
7. 1Magni t udesproporci onal es
7. 1. 1Magni tudesdi rect ament eproporci onal es “ Dosmagni t udesson di r ect ament epr opor ci onal es( DP)sialaument arodi smi nui rl osval or es de una de el l as l a ot r a aument a o di smi nuye en l a mi sma pr opor ci ón r espect i vament e” . ( Sal vador2009,p.351)
7. 1. 2Magni t udesi nver sament eproporci onal es Sal vador sost i ene“Dosmagni t udesson i nver sament epr opor ci onal es( I P)sialaument aro di smi nui rl osval or esdeuna deel l asl a ot r a di smi nuyeo aument a en l a mi sma pr opor ci ón r espect i vament e”.( 2009,p.352)
Rel aci ónent r emagni t udes
MAGNI TUD
RELACI Ó
MAGNI TUD
N Obr a
DP
Númer odehor asdi ar i as
Obr a
DP
Rendi mi ent o
Obr a
I P
Di ficul t ad
Númer odedí as
I P
Obr er o
Númer odedí as
I P
Númer odehor asdi ar i as
Númer odedí as
I P
Rendi mi ent o
Númer odeobr er os
I P
Númer odehor asdi ar i as
Númer odeobr er os
DP
Rendi mi ent o
Númer odeobr er os
DP
Di ficul t ad
Númer odehor asdi ar i as
I P
Rendi mi ent o
Númer odehor asdi ar i as
DP
Di ficul t ad
Gast os
DP
Númer odear t í cul os
Pr eci o
I P
Demanda
Remuner aci ón
DP
Númer o de dí as de t r abaj o
Ár eadeunt er r eno
DP
Pr eci o
Acci ones
DP
Ut i l i dades
7. 2Defini ci ón deregl adetres “ Es una apl i caci ón de l as magni t udes pr opor ci onal es que consi st e en cal cul arun val or desc onoci dodeuna magni t ud,compar andodosomás magni t udespr opor ci onal es” .Rubi ños ( 2011,p. 221) Cl ases Directa Regla de tres simple Inversa
Regl adet r esCompuest a
7. 2. 1Regl adetressi mpl e: Con l a expr esi ón “ r egl a de t r es si mpl e”se desi gna un pr ocedi mi ent o que se apl i ca a l a r esol uci óndepr obl emasdepr opor ci onal i dadenl oscual esseconocent r esdel oscuat r odat os quecomponenl aspr opor ci onesyser equi er ecal cul arelcuar t o.( Bat aner oyGodi no,2002,p. 425)
Regl adetressi mpl edi rect a
“ Cuandol asdosmagni t udessondi r ect ament epr opor ci onal es”.Sal vador( 2009,p.363) DP Magni t ud1
Magni t ud2
a c
b x
Apl i candomagni t udesdi r ect ament epr opor ci onal es: a b
=
c x
Podemosest abl ecerque:
Cuandoser el aci onandosmagni t udesdi r ect ament epr opor ci onal essemul t i pl i caen aspal os val or esdadospar ahal l arelcuar t oval or .
DP Magni t ud1 a c
Magni t ud2 b x Regla Práctica
Mul ti pl i candoen aspa,set i ene: a⋅ ! = c ⋅b
!=
b⋅c a
Ej empl o: Unaut oSuz ukiGr andNomade2010,r i nde90km co nsumi endo2gal onesdeg aso l i nade95 oct anos.¿Cuánt oskm podr ár ecor r ercon5gal onesdegasol i na?
Pl ant eami ent oydesar r ol l o I dent i ficamosl asmagni t udesquei nt er vi enen:
Gal onesdegasol i na y ki l omet r aj e #eterminamos la relaci$n entre las manitudes:
A más galones% mayor kilometraje recorrido por lo tanto&
gal ones DP "dentificamos los datos correspondientes a cada manitud:
ki l omet r aj e
2
90
5
x
'plicamos la rela de tres simple directa:
30⋅ x=6750⋅ 4000 x =
5x90 2
x=225 Respuest a:Podr ár ecor r er225ki l ómet r oscon5gal onesdegasol i na.
Regl adet ressi mpl ei nversa “ Cuandol asdosmagni t udessoni nver sament epr opor ci onal es”.Sal vador( 2009,p.363) .
I P Magni t ud1
Magni t ud2
a
b
c
x
Seest abl ecel asi gui ent er el aci ón:
Regla Práctica
a⋅b = c ⋅ !
!=
a⋅b c
Ej empl o: Si4est udi ant esel abor anunpr oyect oen12dí as.¿Cuánt osdí asdemor ar an 6est udi ant esen el abor arelmi smopr oyect o?
Pl ant eami ent oydesar r ol l o I dent i ficamosl asmagni t udesquei nt er vi enen: Númer odeest udi ant es y Ti empo( dí as)
A mayor n(mero de estudiantes% menor tiempo de duraci$n. )or lo tanto&
#eterminamos la relaci$n entre las manitudes:
IP Númer odeest udi ant es I P "dentificamos los datos correspondientes a cada manitud:
Ti empo( dí as)
4
12
6
x
'plicamos la rela de tres simple in*ersa:
N
4( 12)=6x
4(12) 6
=
x
8=x Respuest a:Demor ar án8dí asel abor arelpr oyect o.
7. 2. 2Regl adetrescompuest a Esunar egl adet r esdondei nt er vi enenmásdedosmagni t udespr opor ci onal es.Rubi ños( 2011, p. 223) .
DP
DP IP
Magni t udA
Magni t udB
Magni t udC
Magni t udD
a
b
c
d
a1
x
b1
d1
Lai ncógni t aenest ecasoseencuent r aenl amagni t ud“ C” ,est asecompar aconcadaunade l asot r aspar aversisonDPoI P.
↑ )elcoci Sialcompar arsonDP( ent esei nvi er t e. ↓ )elcoci Sialcompar arsonI P( ent esemant i ene. Lamagni t udqueest ásobr el ai ncógni t asecol ocar ádi r ect ament edespuésdeli gual . Luegodecompar arsepl ant eaasí :
EJEMPLO En una empr esa vi ní col a eli ngeni er oi ndust r i alsost i enequedi ezmáqui nasembot el l ador as envasan 3600 bot el l asdevi noen sei shor as.Eli ngeni er odesea saber ,¿cuánt asmáqui nas embot el l ador asmássenecesi t ar ánpar aenvasar5400bot el l asdevi noenci ncohor as?
Pl ant eami ent oydesar r ol l o
DP "dentificamos las manitudes + determinamos la relaci$n entre estas.
Nro de máquinas "# "# & '
IP
Nro de botellas $%## )##
Tiempo (oras! %
Resol*emos:
Respuest a:Senecesi t ar án8bot el l asmáspar aenvasar5400bot el l asdevi noen 5 horas.
MÉTODO PRÁCTI CO:MÉTODO DE LOS SI GNOS
Par ar esol verpr obl emasder egl a det r escompuest a podemosapl i carelmét odol l amado“La l eydel ossi gnos”,quenoesmásquel aconsecuenci apr áct i cademagni t udespr opor ci onal esy queconsi st eenl osi gui ent e: Secol ocanl osval or escor r espondi ent esaunami smamagni t udunadebaj odeot r o. Secompar an cada pardemagni t udespr opor ci onal escon elparquecont i enel ai ncógni t a; par asabersisondi r ect aoi nver sament epr opor ci onal esconl ai ncógni t ay:
Sisondi rect ament eproporci onal es 'rriba , 'bajo -
Sisoni nversament eproporci onal es
'rriba 'bajo ,
Elval ordel ai ncógni t avi enedadoporunaf r acc i óncuyonumer adoreselpr oduct odet odas l ascant i dadesaf ect adasdelsi gno(+)ycuyodenomi nadoreselpr oduct odel ascant i dades af ect adasdelsi gno(-) .Ent odosl ospr obl emassi nexcepci ón,elval ornumér i coqueesdel a mi smaespeci equel ai ncógni t a,l l evar ási gno(+) .
EJEMPLO: Eldi ar i o“act ual i dad”i mpri me 90000ej empl ar escon5i mpr esor asen 3hor as.¿Encuánt o t i empor eal i zar án l ai mpr esi ón de 120 000 ej empl ar escon 2 i mpr esor asqueson t r esveces másr ápi dasquel asant er i or es?
Pl ant eami ent oydesar r ol l o
DP
I dent i ficamos l as magni t udes, det er mi namos l a Nro de ejemplares r el aci ón ent r e est asde peri+dicos ,# ### y col ocamos l os si gnos. "-# ### +
IP
IP
Nro de impresoras
Tiempo(oras!
+
$
-
-
.
Rapide*
+
"
+
)
-
Resol*emos:
Respuest a:Lai mpr esi ónde120000ej empl ar esl ar eal i zar ánen2, 5hor as
EJEMPLO: En una visita de estudio realizada al Valle del Colca, viajaron 48 estudiantes universitarios llevando alimentos para 7 días. Al cabo de 2 días, se retiraron 8 estudiantes. ¿ara cu!ntos días m!s alcanzar! los alimentos"
Pl ant eami ent oydesar r ol l o I dent i ficamosl asmagni t udesquei nt er vi enen: Númer odeest udi ant es y Ti empo( dí as) #eterminamos la relaci$n entre las manitudes:
A menor n(mero de estudiantes% mayor tiempo de duraci$n de los alimentos. )or lo tanto&
IP Not a:Debemos not arl a vari aci ón delt i empo par a pl ant earcor r ect ament el a solución. Númer odeest udi ant es I P "dentificamos los datos correspondientes a cada manitud:
Ti empo( dí as)
48
7
48
5
40
x
'plicamos la rela de tres simple in*ersa en las 2 (ltimas lneas:
48( 5)=40x;
48(5) 40
=
x ;
x=6
Lacomi dadur ar a6dí as,per oyahabí anpasado2dí as,ent ot aldur ar á8dí as, i ni ci al ment edebí adur ar7dí as;porl ot ant o8–7=1dí amás Respuest a:l osal i ment osal canzar an1dí amás.
HOJA DE TRABAJO N°7
I nst rucci ones:Det ermi nel asol uci ón del ossi gui ent esprobl emasapl i candoregl adet res. udi ocont abl eHP.S. R. L.r eal i zaelbal anceanualaci ncoempr esasporl oquecobr aS/20 1. Unest 000.¿Cuánt ocobr ar áporr eal i zarelbal ancea12empr esas? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 2.Aunagr aduaci óndemaest r í aasi st i er on680per sonassisesabequeporcada10hombr es habí a24muj er es,¿cuánt oshombr esasi st i er onal ar euni ón? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
3.
Laconsul t or adeMar ket i ng“S. R. L”.pr est aser vi ci osalconsorc i oeducat i vopr i vadoel“BUEN SABER”.Sei sespeci al i st asr eal i zanelmat eri alpubl i ci t ar i oen15dí as.¿Cuánt osespeci al i st as mássenecesi t ar ánpar ahacerelmi smot r abaj oenl as3/5par t esdeeset i empo? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
4.Ungr upode45est udi ant esdet ur i smor eal i zan unvi aj edeest udi odecampoal asel va cent r al ,l l evandopr ovi si onespar a18dí as.Siali ni ci arelvi aj esei ncor por an9est udi ant es, ¿par acuánt osdí asmenosal canzar ánl aspr ovi si ones? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 5.Enunaguar der í al osi ngr esosmensual essonS/9600.Sienunaaul ade15ni ñosl os i ngr esossondeS/1800mensual es.¿Acuánt osni ñosat i endemensual ment el aguar der í a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
6.Si6cont ador es r eal i zanl aaudi t or í adeunaempr esaen12dí as,¿cuánt oscont ador es másset endr áquecont r at arsisequi er equel aaudi t or í aset er mi neen8dí as? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 7.Ungr upodepsi cól ogosseasoci anycr eansucent r odesal ud ment al .Enelpri mermes cobr an una t ar i f a úni ca porconsul t a;en ese mes at endi er on una cant i dad de paci ent es obt eni endo un i ngr esode S/ 5175,sihubi er an at endi do 10 paci ent es menos ent onces hubi esenr ecaudadoS/4925.¿Cuánt opaci ent esat endi er onycuánt ocost ól aconsul t a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 8.Unaempr esa t ur í st i cacont r at aunómni buspar ar eal i zarunvi aj ea Lunahuaná.Elvi aj e de i da dur ó6 hor as;alr egr esoelómni busaument ódevel oc i dad en 20km/h más quel a vel oci dadconl aquef ueporl oquesedemor ósol o4, 5hor as,¿conquével oci dadr et or nóel ómni bus? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
9.Un t ur i st a per uano vi aj a a Br asi ll l evando dól ar es amer i canos.All l egaralaer opuer t o r eal i za elcambi odeuna cant i dad dedól ar espor1022, 5 Real esBr asi l eños( R$) ,sihubi er a cambi ado80 dól ar esmáshubi er ar eci bi do1349, 7r eal esbr asi l eños( R$) .¿Cuánt osdól ar es cambi ó? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 10.Elmi ni st er i odesal uddesi gna32enf er mer aspar aelcent r odesal uddelasent ami ent o humano “ Nueva Vi da” ya que su pobl aci ón i nf ant i les de 12 800 ni ños,¿c uánt as enf er mer as desi gnar á par a el cent r o de sal ud del asent ami ent o humano “ Luz de Esper anza” sit i ene una pobl aci ón i nf ant i ldos vec es más que elasent ami ent o“ Nueva vi da”? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 11.Par al a el abor aci ón de una r evi st a que se publ i ca qui ncenal ment e,se cont r at a6 secr et ar i aspar a quedi gi t en t oda l ar evi st a en 8 dí as.Alcabode3 dí assecont r at an 4 secr et ar i asmás,¿concuánt osdí asdeant i ci paci ónt ermi nar ondedi gi t art odal ar evi st a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 12.Uni ngeni er oci vi lencar gadodel aconst r ucci óndeunedi fici ocont r at a15obr er ospar a r eal i zarelci mi ent oen20dí as.Sialcabode8dí asr enunci an6obr er os,¿concuánt osdí as der et r asoset er mi nar ál aobr a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 13.Car l os,José,Rober t oyMat hí assondi señador es,porl ocualel l ossecompr omet enen r eal i zarunt r abaj oen7semanas.Todosel l ossoni gual esdeefici ent es,per oalempezarel t r abaj osel esuneFernandoqui enes2vecesmásefici ent equeunodeel l os.¿Cuánt osdí as ant est er mi nar ánl aobr a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 14.Uni ngeni er oci vi lpar aar marelt echodeunavi vi endacont r at a8al bañi l espar aquel o t er mi nenen7dí as.Sidespuésde2dí ascont r at adosal bañi l esmás,¿concuánt osdí asde ant i ci paci ónset ermi nar ál aobr a? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 15.La Const r uct or aRobl esS. A.cuent aconelservi ci ode18obr er osasucargo,l oscual es const r uyen500depar t ament osen240dí as,t r abaj ando8hor asdi ar i as.¿Encuánt osdí as const r ui r án 1000 depar t ament os t r abaj ando l a mi sma cant i dad de hor as di ar i as,sil a empr esacont r at a12obr er osmás? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 16.Una i nst i t uci ón educat i va cont r at a 8 psi cól ogos par a que r eal i cen una eval uaci ón per sonal i zada a 40 est udi ant esen 5 dí as.Sicont r at ar an 2 psi cól ogosmás,¿en cuánt o t i empoeval uar í ana60est udi ant es? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 17.Enunacampaña devacunaci óncont r al agr i peA H1N1,par t i ci pan60 enf er mer as,de l ascual es35vacunan 120ni ñosen 8dí as.¿Cuánt osdí assedemor ar án envacunarl as demásenf er mer asa150ni ños,sisoneldobl edeefici ent esquel asant er i or es? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
18.Cuat r ocont ador espuedenr eal i zarl aaudi t or í adeunaempr esaen8dí ast r abaj ando 10hor asdi ar i as.¿Encuánt osdí as5cont ador espuedenr eal i zarl aaudi t or í adel ami sma empr esat r abaj ando8hor asdi ar i as? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
19.Una ci udad de25000habi t ant est i ener eser vadeagua par a70 dí asaun gast ode8 l i t r os di ar i os porper sona,cuáldeber í a serelgast o di ar i o porper sona par a que esa cant i dad deaguaabast ezc aa28000habi t ant esdur ant e100dí as? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 20.Un i ngeni er oi ndust r i alquel abor aenunaf ábr i cadecar t er asdecuer o,det er mi naque 4obr er osf abri can 30car t er asen 10hor as,¿cuánt ascar t er asf abri car án7obr er osen8 horas? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 21.Elcont ador de una empr esa dedi cada a l af abr i caci ón de vent anas de vi dri o, det er mi na quepor9vent anasdevi dr i ocuyasdi mensi onessonde1, 5m anc hoy3m de al t ur al aempr esaobt i eneunagananci adeS/540.¿Cuánt oobt endr ádegananci apor21 vent anasde3, 5m deanc hoy1, 8m deal t ur a?
Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
22.Enunconsor ci oj ur í di co,seobservaque15abogadoshanr esuel t o120casosci vi l esen cuat r omeses.Sedeseacal cul arl acant i daddecasosquer esol ver í analcabodeunaño,si sei ncr ement an5abogadosmásconeldobl edeefici enci aquel osant er i or es. Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a: 23.Uni ngeni er oambi ent alhar eal i zadoelanál i si sdel at al adeár bol esr el aci onándol ocon l apr oducc i óndeoxi genoqueest ospr oducenenelambi ent eyl apr oducc i óndepapel .Así det er mi nó que 15 ár bol es adul t os pr oducen una t onel ada de papelen pr omedi o,si n embar gocadaunodeel l osvi vospr oduceanual ment eoxi genosufici ent epar a4per sonas. Asícuandocor t as15ár bol esent eor í al esqui t asoxí genoa60per sonas.¿Sienunañose pr oduce200t onel adasdepapel ,acuánt asper sonasapr oxi madament esel eest áqui t ando eloxí geno? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
24.En una empr esa t ext i l36 máqui nas f abr i can 6000m de t el a en 24 dí as,¿c uánt as máqui nasi gual esa l asant er i or esser ánnecesar i aspar apr oduci r11000m det el aen33 dí ast r abaj andol ami smacant i daddehor asdi ar i as? Pl ant eami ent oydesar r ol l o
Respuest a:
Bibliografía Código de biblioteca
IBRO!" RE#I!TA!" ART$C%O!" TE!I!" P&'INA! (EB. Bata)ero" C. * 'odi)o J. +,--,. /ate0ática * didáctica ara 0ae2tro2. Colo0bia3 /i)i2terio de Cie)cia * tec)olog4a. R5bi6o2" . +,-11. ARIT/TICA ,-118A ENCICOPEDIA. Per93 Edicio)e2 R5bi6o2. !al:ador" T. +,--;. RaHi2toria de la2 0ate0ática2 e) la Pe)4)25la Ib?rica. De2de la re@i2toria al 2iglo =#.
