PROBLEMAS PARA PLANTEAR 1.1) Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por
$40.0 $40.000 00 para para invert invertir ir.. Sus miembro miembross pueden pueden produci producirr un total total de 3.500 3.500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno mediado de Sep. ! mediados de mayo" y 4.000 horas-hombre durante el verano. #n caso de ue no se necesite una parte de estas horas-hombre% los &'venes de la famili familia a las emplear emplear(n (n para traba&a traba&arr en un campo campo vecino vecino por $5 la hora durante los meses de invierno y ) $*h en el verano. +ueden obtener el in,reso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de ,ran&a vacas lecheras y ,allinas ponedoras. +ara las cos ose echas chas no se nec necesit sita inver nversi si'n 'n%% per pero cada ada vac aca a reui euie ere un desembolso de $1.200 y cada ,allina costar( $. /ada vaca necesita 1%5 acres% 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas en el verano. /ada una producir( un in,reso anual neto $1.000 para la familia. as cifras correspondientes para cada ,allina son nada de terreno% 0%) horas-hombre en el invierno% 0%3 horas-hombre en el verano y un in,reso anual neto de $5. /aben 3.000 ,allinas en el ,allinero y el corral limita el ,anado a un m(imo de 32 vacas. as estimaciones de las horas-hombre y el in,reso por acre plantado con cada tipo de cosecha son las si,uientes. horas-hombre en invierno horas-hombre en verano %n&reso ne'o an(a *+)
Soya 2 " "
Maíz !" #" #"
Avena 1 $ !"
ormule ormule el modelo de pro,ramaci'n lineal para maimiar los in,resos netos. enir las variables de decisi'n% la funci'n ob&etivo indicando las unidades de sus coecientes coecientes%% y las restricc restricci'n i'n indicando indicando tambi6n tambi6n las unidades unidades de las tasa f7sicas y de los recursos" comercialia dos tipos de 1.2) a empresa ,oor orora'ion .A., comercialia pinturas S!89:!! ; U#=9<9#:8?S #
S!89:!!
/antidad m7nima de solvente Bunidad*,al'nC E0 50
/antidad m(ima de aufre Bunidad*,al'nC 15 2E
+recio de venta BDs.*,al'nC 3.100 2.000
Pag.
2
Se utilian 3 tipos de pinturas base para fabricar las pinturas satinada y mate. /!=!/8#=FS89/!S # !S +9:8U=!S D!S# +intura /antidad /antidad isponibilidad /osto base de de aufre <(ima BDs.*,al'nC solvente Bu*,alC ,alones Bu*,alC bimestral 8ipo 1 E3 10 )0.000 2.500 8ipo 2 )0 20 50.000 1.E00 8ipo 3 4G 14 E0.000 1.500 a /olor /orporation /.!. Se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 25.000 ,alones de pintura mate uincenalmente. +lantear este problema como un modelo de +ro,ramaci'n lineal cuyo ob&etivo es meclar las pinturas base de manera ue las utilidades por ventas mensuales de las pinturas satinada y mate sean m/0imas. 1.!) Un distribuidor de cauchos puede enviar mercanc7a a los detallistas
desde 3 sitios distintos /aracas%
/uman( 100 200 50
Halencia 50 150 150
<6rida 100 G0 200
emana
1"
2"
2"
oer'a 2 ! 2
+lantear este problema como un modelo de +ro,ramaci'n lineal cuyo ob&etivo sea minimiar el costo total. 1.$) Una compaJ7a fabricante de aparatos de televisi'n tiene ue decidir entre el nKmero en'ero" de televisores con control y sin control ue debe
producir. Una investi,aci'n del mercado indica ue por mes se pueden vender a lo m(s 1.000 unidades con control y 4.000 unidades sin control. #l nKmero m(imo de horas-hombre disponibles es de 40.000 por mes. Un televisor con control reuiere 20 horas-hombre y uno sin control reuiere 15 horas-hombre. a ,anancia por unidad de los televisores con control y sin control es de Ds. G.200 y Ds. 3.)00 respectivamente.
9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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Se desea encontrar el nKmero de unidades de cada tipo de televisor ue la compaJ7a debe producir para maimiar su ,anancia. +lantear el problema. 1.") Una compaJ7a manufacturera fabrica tres productos P1% P2 y P!. #l proceso de producci'n utilia dos materias primas% R1 y R2% ue se procesan en dos instalaciones% 31 y 32. a disponibilidad diaria m(ima de R14 R24 31 y 32% y los usos por unidad de P1% P2 y P! se citan en la tabla ue si,ue
Utiliaci'n por unidad de
isponibilidad diaria =ecurso Unidades m(ima P1 P2 P! ------------------------ ------------------------ -------------------------------------------------------31 minutos 1 2 1 430 32 minutos 3 0 2 4)0 R1 libras 1 4 0 420 libras 1 1 1 300 R2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------a demanda diaria m7nima del producto P2 es de G0 unidades% en tanto ue la de P! no puede ser mayor de 240 unidades. Se estima ue las contribuciones a la ,anancia por unidad de P1% P2 y P! son $3% $2 y $5 respectivamente. +lantear es problema como un modelo de +.. enir claramente las variables de decisi'n% la funci'n ob&etivo y las restricciones" Una cooperativa a,r7cola ,rande opera tres ,ran&as. a producci'n de cada ,ran&a est( limitada por la cantidad de a,ua disponible para irri,aci'n y por el nKmero de acres disponibles para cultivo. os datos de la tabla :L 1 describen las ,ran&as. :ormalmente% la cooperativa cultiva tres tipos de productos% aunue cada una de las ,ran&as no necesariamente cultiva todos ellos. ebido a la limitaci'n en la disponibilidad de euipo para cosechar% eisten restricciones sobre el nKmero de acres de cada producto ue se cultivan en cada ,ran&a. os datos de la tabla :L 2 reMe&an el m(imo de acres de cada cultivo ue pueden producirse en cada ,ran&a. #l a,ua ue se reuiere epresada en miles de m3 por acre" para los respectivos cultivos son )% 5 y 4. as utilidades ue se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500% $350 y $200 respectivamente. +ara mantener una car,a de traba&o euilibrada entre las 3 ,ran&as% la cooperativa ha adoptado la pol7tica de hacer ue en cada ,ran&a se cultive un porcenta&e i,ual de terreno disponible. +lantee un modelo de + para el problema% ue permita a la cooperativa determinar la cantidad acres" de cada cultivo ue deben plantarse en cada ,ran&a para ue se ma0imi6en las utilidades totales esperadas para la cooperativa. 1.5)
9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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TABLA N7 1
@ran& a 1 2 3
isponibilidad de a,ua m3 " 4E0.000 3G0.000 E0.000
isponibilidad de tierra acres" 450 350 500
TABLA N7 2
/ultivo ! D /
@ran&a @ran&a 2 @ran&a 3 1 200 100 250 150 150 100 200 200 300
Una compaJ7a fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compaJ7as de servicios electr'nicos aisladores de aplicaci'n ,eneral% de aplicaci'n especial y de alto volta&e. /ada producto pasa a trav6s de tres operaciones de producci'n horneado% lavado y laminado y por Kltimo pulimento. S'lo eiste disponible una m(uina en cada una de las respectivas operaciones. a tasa de producci'n en unidades por hora" para cada tipo de aislador% y en cada operaci'n% se muestra en la tabla :L 1. os costos de las materias primas asociados con la fabricaci'n de los aisladores son de $5 aplicaci'n ,eneral"% $) aplicaci'n especial" y $10 alto volta&e". os costos por hora de las respectivas operaciones de producci'n son $250 horneado"% $200 lavado y laminado" y $100 pulimento". os precios unitarios de venta son $25% $3.G5 y $)G.50 para los tres productos respectivamente. ! la compaJ7a le ,ustar7a asi,nar el tiempo utiliado en las diferentes operaciones de manera ue se maimicen las utilidades por hora. +lantear el problema como un modelo de +. 1.#)
TABLA N7 1
8ipo de aislador 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
Norneado
avado y laminado
+ulimento
Pag.
!plicaci'n ,eneral !plicaci'n especial !lto volta&e
50 40 25
40 20 10
5
25 20 10
1.8) Un ,ran&ero desea determinar cu(l es la me&or selecci'n de animales
para su ,ran&a con el ob&eto de maimiar sus utilidades por la venta de los animales al nal del verano. +uede ele,ir entre comprar borre,os% reses o cabras. /ada borre,o reuiere un acre de pastura y $15 de alimentaci'n y tratamiento. Un borre,o cuesta $25 y puede venderse en $)0. +ara las reses esos valores son 4 acres% $30% $40 y $100O y para las cabras los valores son 1*2 acre% $5% $10 y $20. a ,ran&a tiene 300 acres y el ,ran&ero dispone de $2.500 para invertirlos en la compra y mantenimiento del rebaJo. +or Kltimo% el ,ran&ero no desea ue m(s del 40I de sus animales sean cabras% o ue los borre,os sean menos del 30I. +lantee este problema en forma de +.. para maimiar las utilidades al nal del periodo. !lfredo tiene $2.200 para invertir durante los si,uientes 5 aJos. !l principio de cada aJo puede invertir su dinero en dep'sitos a plao &o del 1 ' 2 aJos. #l banco pa,a el EI de inter6s en dep'sitos a plao &o de un aJo y el 1GI total" en dep'sitos a plao &o de 2 aJos. !dem(s% al principio del se,undo aJo de inversi'n% el banco ofrecer( certicados a tres aJos. #stos certicados tendr(n una ,anancia del 2GI total". Si !lfredo reinvierte su dinero disponible cada aJo. +lantee este problema en forma de +.. para maimiar sus ,anancias totales al nal del uinto aJo. 1.9)
1.1)Una actor7a elabora dos productos ue se pueden fabricar en dos
l7neas de producci'n. !mbos art7culos lo,ran sus menores costos cuando se fabrican en la l7nea de producci'n ue es m(s moderna. Sin embar,o% tal l7nea moderna no tiene capacidad para mane&ar el total de la producci'n. /omo resultado% al,una parte de la producci'n tiene ue mane&arse a trav6s de la l7nea de producci'n anti,ua. #nse,uida se muestran los datos sobre los reuerimientos totales de producci'n% las capacidades de las l7neas de producci'n y los costos os'o (ni'ario ro(66i:n
Pro(6'o 1 Pro(6'o 2 a. ro(66i:n
7nea moderna anti,ua 3$ 2%5$ e 00
9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
e Pro(66i:n mínima
7nea
=euerimiento
s 5$ 4%5$ 500
)00 unidades G00 unidades
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ormule un modelo de pro,ramaci'n lineal ue puede utiliarse para tomar decisiones acerca de la producci'n ue minimia el costo total. /ierta compaJ7a tiene dos plantas ue pueden fabricar un determinado producto. #l producto puede hacerse en tres tamaJos% ,rande% mediano y peueJo% ue dar(n una ,anancia neta de Ds. G5% Ds. )) y Ds. 55 respectivamente. as plantas 1 y 2 tienen capacidad de mano de obra y euipo para producir G50 y 00 unidades diarias cada una% sin importar el tamaJo ' la combinaci'n de tamaJo ue se pida. Sin embar,o% la cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone una limitaci'n en las tasas de producci'n. Se cuenta con 1.200 m2 y 1.000 m2 de espacio en las plantas% para los materiales en proceso de la producci'n diaria de este producto. /ada unidad ,rande% mediana y peueJa ue se produce reuiere 2% 1.5 y 1 m2% respectivamente. os pron'sticos de mercado indican ue se pueden vender 00% 1.000 y G00 unidades diarias correspondientes a los tamaJos ,rande% mediano y peueJo. /on el n de mantener una car,a de traba&o uniforme entre las plantas% la ,erencia ha decidido ue la producci'n ue se les asi,ne emplee el mismo porcenta&e de la capacidad con ue cuentan. #l @erente uiere saber P/u(ntas unidades de cada tamaJo debe producir en cada planta para
ormule este modelo como un problema de +ro,ramaci'n ineal. 1.12)Una /ompaJ7a fabrica fertiliantes especiales para clientes del
mercado de c7tricos. a compaJ7a acaba de recibir un pedido de 1.000 toneladas 8n." de un fertiliante ue debe satisfacer las si,uientes especicaciones a" /uando menos 20I de nitr',eno b" /uando menos 30I de potasio c" /uando menos EI de fosfato. a compaJ7a ha aduirido cuatro meclas de fertiliantes a partir de los cuales puede fabricar sus fertiliantes especiales. os porcenta&es de potasio% nitr',eno y fosfato ue contienen los fertiliantes b(sicos son ertiliante D(sico 1 2 3 4
:itr',eno 40 30 20 5
9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
+orcenta&e de +otasio 20 10 40 5
osfato 10 5 5 30
/osto por 8n. de los er. b(sico $1) $12 $15 $E
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#l porcenta&e restante de cada fertiliante b(sico consta de in,redientes inertes. Si utiliamos 1% 2% 3 y 4 para representar las toneladas de cada uno de los fertiliantes b(sicos ue deben incluirse en la mecla para minimiar el costo de las 1.000 toneladas del fertiliante ue debe fabricarse. +lantee el modelo como un problema de +ro,ramaci'n ineal. Una empresa produce aceite mono,rado y aceite multi,rado% meclando aceite comKn con dos aditivos. +or cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son 1.1!)
Ai'ivo %
Ai'ivo %%
3*20 1*4
1*4 G*20
A6ei'e mono&rao A6ei'e m('i&rao
a empresa dispone de 120 litros de ai'ivo %4 1G5 litros de ai'ivo %% y de una cantidad ilimitada de aceite comKn. os precios por litro de ai'ivo % y %% son respectivamente 200 Ds. y 1)0 Ds. y un litro de aceite comKn vale E0 Ds. #l aceite mono,rado se vende a 150 Ds. el litro y un litro de aceite multi,rado vale 1E0 Ds. a producci'n combinada de los dos aceites tiene ue ser superior ' i,ual a 400 unidades una unidad es i,ual a un litro de aceite" +lantear y resolver el problema en forma ,r(ca. 1.1$)Una f(brica produce tres art7culos A% B y % en las si,uientes tres
plantas ue posee. a primera y se,unda planta pueden fabricar los tres art7culos pero la tercera solo los art7culos A y . a demanda de los art7culos A% B y son )00% E00 y G00 unidades diarias respectivamente. a primera como la tercera planta su producci'n es de )00 unidades diarias y la se,unda planta es de 00 unidades diarias. #l costo de fabricaci'n $*unidad es Ar'í6(os Pan'a 1 2 !
A " 5 #
B 8 # -
5 " "
+lantee el problema como un modelo de +ro,ramaci'n ineal. 1.1")Una compaJ7a produce dos productos ue son semicuero y tela. #sta
compaJ7a tiene dicultades de capital% lo cual obli,a a un mane&o cuidadoso de este recurso escaso. a producci'n de cualuiera de los productos se 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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demora un mes% y la venta se produce un mes despu6s de su producci'n. #n el caso de las telas% el costo total de producci'n es de $200 por unidad% de los cuales $100 se deben pa,ar de inmediato% para comprar la materia prima% y los restantes $100 al nal del mes. #n el caso del semicuero se debe pa,ar $25 de inmediato y $100 al nal del mes. #l precio de venta del semicuero es de $10%43 por unidad y el de la tela es de $3)2%10 por unidad. a compaJ7a usa una tasa de retorno del 2I mensual. #n el momento s'lo dispone de $2.400% y dentro de un mes s'lo dispondr( de $4.000. !dem(s% el dinero ue no se ,aste de inmediato no podr( ,uardarse para dentro de un mes% porue el !uditor lo usara para pa,os pendientes de otros compromisos. +lantear y resolver en forma ,r(ca el problema como un modelo de +ro,ramaci'n ineal% con el ob&etivo de maimiar el valor presente neto total ;PN". 1.15)#l dueJo de una destiler7a clandestina acaba de producir 1.G00 litros de
licor base a un costo de E0 Ds.*lt. +or otra parte dispone de 2.300 lt. de alcohol ue le costaron 110 Ds.*lt. y de 2E0 lt. de colorantes cuyo costo es 150 Ds.*lt.:uestro empresario mecla estos in,redientes para fabricar el Rhisy tipo aJe&o y el Rhisy tipo superior% ue vende respectivamente a Ds. )00 y Ds. G50 el litro. #l Rhisy tipo aJe&o contiene al menos 30I y cuando m(s 45I de alcohol y por lo menos EI de colorantes mientras ue el Rhisy tipo superior contiene no m(s de 50I de alcohol y al menos 5I y no m(s de 10I de colorantes. #n el proceso de meclado se pierde el 5I del alcohol utiliado por evaporaci'n. - +lantear el problema como un modelo de +ro,ramaci'n ineal ue confronta el empresario. 1.1#)Una fabrica produce tres productos !% D y /" los cuales est(n
constituidos por tres materias primas ue son <1% <2 y <3. Se utilia 3 litros de <1% 2 litros de <2 y 1 litro de <3 para formar una unidad del producto !O 4 litros de <1% 1 litro de <2 y 3 litros de < 3 para formar una unidad del producto D y por ultimo 2 litros de < 1% 2 litros de <2 y 2 litros de < 3 para formar una unidad del producto /. Se disponen de 1E0 litros de la materia prima <1% 120 litros de <2 y 240 litros de < 3.. #l Denecio por una unidad del producto ! es de $2% $4 del producto D y $3 del producto /. +lantear el problema. 1.18) Un barco posee tres espacios de almacenamiento. os l7mites de
capacidades son
9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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+roa /entro +opa
2.000 8n. 3.500 8n. 1.500 8n.
9
3.000 m3 5.000 m3 2.500 m3
as ofertas de car,a son /ar,a ! D
/antidad 8n." 4.000 3.500
m3*8n. 2%4 1%E
Denecio Ds.*8n. 500 450
Se puede aceptar todo ' parte de un car,amento. =aones t6cnicas obli,an a ue la car,a sea distribuida proporcionalmente a las capacidades l7mites en volumen m3" ormule el problema como un modelo de pro,ramaci'n lineal. 1.19 Una /ompaJ7a puede fabricar dos productos en su f(brica. Se reuiere
s'lo un d7a para producir una unidad de cada producto% pero la producci'n esta limitada por el espacio en la f(brica y por la cantidad disponible de mano de obra los datos importantes se proporcionan en la tabla. +roductos Trea disp. m2*u
1 10 2 20 30
2 30 1 30 50
isponibilidad 00 m2 E0 traba&adores
a. +lantear el problema como un
de ! se lleva Ds. E0 en mano de obra y Ds. 40 en materia primaO la elaboraci'n de una unidad de D se lleva Ds. 40 en mano de obra y Ds. 120 en materia prima. #l des,aste de euipo se supone proporcional a la producci'n y es de Ds. 2 por cada unidad de ! y de Ds. 4 por unidad de D. Solamente se cuenta con Ds. 40.000 para mano de obra y con Ds. G2.000 para materia prima% y no se uiere ue el des,aste del euipo eceda de Ds. 3.000. #l in,reso por unidad de ! es de Ds. 154 y de Ds. 1E4 para D. 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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#l ob&etivo de la f(brica es
a demanda ue se ha pronosticado para los pr'imos tres meses son 2.200% 3.500 y 2.00% respectivamente. ebido a las variaciones en la demanda% la compaJ7a ha encontrado ue en al,unos meses eiste producci'n en eceso% lo cual ocasiona ,randes costos de almacenamientoO en tanto ue otros meses no est( en posibilidad de cubrir la demanda. a /ompaJ7a puede fabricar 2.300 art7culos por mes en su turno normal. Utiliando tiempo etra% es posible fabricar E00 art7culos mensuales adicionales. ebido a los mayores costos de mano de obra en tiempo etra% se produce un aumento de Ds. 35 por cualuier art7culo ue no se fabriue durante el turno normal. Se ha estimado ue se incurre en un costo de almacenamiento de Ds. 15 por cualuier art7culo ue se fabriue en un mes determinado y no se venda durante el mismo. ! la compaJ7a le ,ustar7a determinar un modelo 'ptimo de producci'n minimice los costos adicionales de producción y ue almacenamiento; con el ob&etivo de satisfacer todas las demandas de ventas. 1.22) Una /ompaJ7a fabrica un tipo especial de molde ue debe contener
cuando menos 20I de hierro y 5I de plomo. a compaJ7a tiene dos tipos de minerales a partir de los cuales puede fabricar los moldes. os contenidos de hierro y plomo epresados en porcenta&e por V,." de los dos minerales aparecen en la si,uiente tabla% as7 como los costos por tonelada de los minerales. Minera N7 1 Minera N7 2
Pomo*=) 1 !
os'o*Bs.>Tn.) 2.5 8
a /ompaJ7a desea minimiar el costo total de los moldes. +lantear el modelo de +.. y lue,o resolverlo ,r(camente. 1.2!) Una /ompaJ7a fabrica tres clases de apatos para damas% /aballeros
y niJos. os tres tipos de apatos se fabrican en dos plantas diferentes. #n un d7a h(bil de E horas% la planta :L 1 fabrica 50 pares de apatos para damas% E0 para caballero y 100 para niJos. a planta :L 2 fabrica )0% )0 y 200 respectivamente. a /ompaJ7a ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de calados en 2.500% 3.000 y G.000 pares% respectivamente. #l costo diario de operaci'n de la planta :L 1 es de Ds. 250.000% mientras ue el costo para la planta :L 2 es de Ds. 350.000 diario. 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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! la compaJ7a le ,ustar7a determinar el nKmero 'ptimo de d7as de operaci'n por mes en las dos diferentes plantas con el ob&etivo de minimizar el costo total de producción, al mismo tiempo ue se satisface la demanda. +lantear el modelo de +.. y lue,o resolverlo ,r(camente. 1.2$) Una empresa elabora dos 2" productos. /ada producto debe pasar por
dos 2" centrales de m(uinas. #l producto ! reuiere de 4 horas por unidad en la central 9 y de E horas por unidad en la central 99. #l producto D reuiere de ) horas por unidad en la central 9 y de 4 horas por unidad en la central 99. as horas disponibles para procesar estos productos en los centrales de mauinas 9 y 99 en una semana son 120 horas y 1)0 horas respectivamente. #l mar,en de benecio de los productos ! y D se han estimado en Ds. 40 y Ds. )0 por unidad. ormule el problema como un modelo de pro,ramaci'n lineal. 1.2") Un fabricante dispone de tres 3" centrales de mauinas para elaborar
dos productos ! y DO de los cuales se reuieren como m7nimo la cantidad de 12 y 24 docenas diarias respectivamente. #n la central de mauinas 9 se pueden producir una docena de ! y una docena de D por hora de operaci'nO en la central de mauinas 99 se elaboran 2 docenas de ! y una docena de D y en la central de mauinas 999 se pueden elaborar solo 3 docenas de D. Si los costos de utiliaci'n de cada central de mauinas por hora de operaci'n son de Ds. 3% Ds. 1E y Ds. ) respectivamente. ormule el problema como un modelo de pro,ramaci'n lineal% con el ob&etivo de minimiar los costos y cumplir con la demanda diaria. 1.25)Una compaJ7a fabrica tres tipos de v(lvulas de pl(stico ue se utilia
en aviones. as v(lvulas se calientan a altas temperaturas y resisten elevadas presiones. #l proceso de manufactura ue se utilia para fabricar las v(lvulas ei,e ue 6stas pasen a trav6s de tres departamentos. a v(lvula :L 1 reuiere tres horas de tiempo de producci'n en el departamento 1% dos horas en el departamento 2 y una hora en el departamento 3. a v(lvula :L 2 reuiere cuatro horas de tiempo de producci'n en el departamento 1% una hora en el departamento 2 y tres horas en el departamento 3. a v(lvula :L 3 reuiere dos horas de tiempo de producci'n en el departamento 1% dos horas en el departamento 2 y dos horas en el departamento 3. as contribuciones en el benecio de las tres v(lvulas son $50% $E4 y $)0 por unidad% respectivamente. #isten disponibles )0 horas de tiempo en el departamento 1% en el departamento 2 de 3) horas y )2 horas en el departamento 3. #l ob&etivo es maimiar el benecio. Si se dene 0 ? como la cantidad de v(lvulas ? fabricadas por la compaJ7a. +lantear el
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1.2#)#mpresas
/aballito renado% tiene dos m(uinas distintas para procesar melaa y producir alcohol% aKcar y papel'n. a cantidad de tiempo reuerido en cada m(uina para producir cada unidad de producto resultante y las ,anancias netas se proporcionan en la si,uiente tabla
<(uina 1 <(uina 2 @anancia neta
!lcohol 0.3 min*,al'n 0.2 min*,al'n
!ucar
+apel'n 1.2 min*libra 1.5 min*libra
0.G min*libra 0.5 min*libra
0.G2$*,al'n
0.3E$*libra
0.22$*libra
Sup'n,ase ue se dispone de 15 horas en cada m(uina diariamente. /omo @erente formule un modelo de + para determinar un plan de producci'n diaria ue maimice las ,anancias y produca un m7nimo de 500 ,alones de alcohol% 300 libras de aKcar y 200 libras de papel'n. 1.28)
un costo de $35 por barril% y petr'leo pesado a $1E por barril. /ada barril de petr'leo crudo% ya renado% produce tres productos ,asolina% aceite y ,rasa. a si,uiente tabla indica las cantidades en barriles de ,asolina% aceite y ,rasa producidos por barril de cada tipo de petr'leo crudo
/rudo li,ero /rudo pesado
@asolin !ceit a e 0.45 0.25 0.20
0.35
@ras a 0.1E 0.40
a compaJ7a se ha comprometido a entre,ar 1.5)0.000 barriles de ,asolina% 00.000 barriles de aceite y 300.000 barriles de ,rasa. /omo ,erente de producci'n% formule un modelo de + para determinar la cantidad de cada tipo de petr'leo crudo por comprar para minimiar el costo total al tiempo ue se satisfa,a la demanda apropiada. 1.29) 8uboven% tiene una m(uina capa de fabricar tubos de di(metros
,randes y peueJos para contratistas de plomer7a. os tubos ,randes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los peueJos a 300 pies por hora. /ada hora ue la m(uina es utiliada para producir tubos ,randes ,eneralmente ocasiona 1.5 atascamiento y cuando se producen tubos peueJos resultan 3 atascamiento por hora. /ada atascamiento reuiere 5 minutos de restablecimiento% durante los cuales la m(uina no puede 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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producir tubos. a ,erencia desea un nKmero i,ual de pies de ambos tamaJos de tubos y la mayor cantidad total de tubos posibles. ormule un modelo de + para determinar cu(nto tiempo de un d7a de E horas debe asi,narse a la producci'n de tubos ,randes y cu(nto a la de tubos peueJos. a asociaci'n de estudiantes de una instituci'n dispone de $100.000 y ha pensado invertirlos en dos ne,ocios. #l primero le reporta una utilidad de $25 mensuales% y el se,undo $40 mensuales por cada $100 invertidos. ebido a ciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios% se debe invertir al menos el 25I del capital en el primer ne,ocio y no m(s del 50I en el se,undo. !dem(s% la cantidad invertida en el se,undo ne,ocio no debe ser mayor a 1%5 veces la cantidad invertida en el primer ne,ocio. #l ob&etivo de la asociaci'n es obtener un rendimiento m(imo en las inversiones. ?bten,a e interprete econ'micamente las soluciones del modelo utiliando el <6todo @r(co. 1.!)
1.!1) Una compaJ7a fabrica dos productos ue reuieren recursos + y >. a
,erencia uiere determinar cu(ntas unidades de cada producto fabricar de manera ue se maimice la ,anancia. +ara cada unidad del producto 1 se reuieren 2 unidades del recurso + y 5 del >. +ara cada unidad del producto 2 se reuieren 4 unidades del recurso + y 2 del recurso >. a compaJ7a tiene 200 unidades del recurso + y 300 del >. !dem(s la producci'n con&unta de ambos productos tiene ue ser por lo menos de 20 unidades. /ada unidad del producto 1 da una ,anancia de $ 3 y cada unidad del producto 2 da una ,anancia de $ 2% pero por limitaciones del sistema de producci'n% no se pueden fabricar m(s de )0 unidades del producto 2. +lantee el modelo de pro,ramaci'n lineal% =esuelve ,r(camente el problema. %n'erre'e os res('aos y adem(s si la ,erencia ordena producir 4 unidades de 1 por cada unidad de 2. P/u(l es la soluci'n del problema al introducir esta restricci'nQ 1.!2) Un inversionista tiene la posibilidad de realiar las inversiones !% D y /
al principio de cada uno de los pr'imos cinco aJos. /ada d'lar invertido en ! al principio de un aJo ,enera una ,anancia de $ 0%40O dos aJos despu6s. /ada d'lar invertido en D al principio de un aJo ,enera $ 0%G0% tres aJos despu6s. /ada d'lar invertido en / al principio del aJo da una ,anancia de 0%30 al nal de ese aJo. !dem(s% la inversi'n estar( disponible una sola ve en el futuro. /ada d'lar invertido en al principio del aJo 2 da $ 0%0 de ,anancia al nal del aJo 5. #l inversionista dispone de $ )0.000 para iniciar y desea saber cu(l plan de 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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inversi'n maimia la cantidad de dinero acumulado al principio del aJo ) . Máquina
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Formule el modelo de programación lineal para este problema.
resadora E 4 5 8orno 5 4 0 =ecticador 4 0 E Un fabricante 1.!!) a puede elaborar dos productos A y B. os reuerimientos de mano de obra son 5 horas hombre por unidad de A y 10 horas hombre por unidad de B% en total se disponen de E00 horas hombre al mes. #l departamento de mercadeo indica ue mensualmente se pueden vender a lo sumo E0 unidades de A y )0 de B. 8odos los meses se tiene ase,urada la venta de por lo menos 40 unidades de la producci'n% sin importar el producto. a utilidad por unidad en cada producto es de Ds. 4.000 para A y Ds. )000 para B. a. +lantee el modelo de pro,ramaci'n lineal. b. =esuelve ,r(camente el problema. 9nterprete los resultados.
Una compaJ7a manufacturera esta en capacidad de producir tres productosO ll(mense 1% 2 y 3. #l nKmero de horas-m(uina ue se reuieren para producir cada unidad de los productos respectivos es 1.!$)
oe@6ien'e e ro(6'ivia *en horas m/(inas or (nia)
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#n la si,uiente tabla aparece la capacidad disponible ue puede limitar la producci'n. Máquina
Tiempo disponible Horas-maquina por semana
resadora 8orno =ecticadora
500 350 150
#l departamento de ventas ha indicado ue las ventas m(imas del producto 3 son de 20 unidades por semana. as ,anancias unitarias son de $50% $30 y $20% respectivamente para los productos 1% 2 y 3. Se desea determinar el nivel de producci'n ue maimia la ,anancia. +lantee el modelo de pro,ramaci'n lineal. 1.!") Una empresa elabora tres 3" productos. /ada producto debe pasar por
dos 2" centros de producci'n. #l producto ! reuiere de 4 horas por unidad en el centro 9 y de E horas por unidad en el centro 99. #l producto D reuiere de ) horas por unidad en el centro 9 y de 4 horas por unidad en el centro 99. #l producto / reuiere de Ehoras por unidad en el centro 9 y de 4 horas por unidad en el centro 99. as horas disponibles para procesar estos productos en los centros de producci'n 9 y 99 en una semana son 1)E horas y 21) horas respectivamente. #l costo de producci'n en el centro 9 es de 5 $*hora y en el centro 99 es de G $*hora. #l in,reso de los productos !% D y / se han estimado en $)% $)E y $E3 por unidad. =esuelva e interprete la soluci'n 'ptima del modelo con el ob&etivo de maimiar la ,anancia. 1.!5"
Una entidad nanciera tiene trescientos millones de bol7vares disponibles para otor,ar pr6stamos puede prestar dinero a empresas% conceder hipotecas o conceder pr6stamos personales. as pol7ticas de la entidad limitan los pr6stamos personales a un m(imo de un 30 I de todos los pr6stamos% mientras ue la diferencia entre los pr6stamos a empresas y los prestamos hipotecarios no puede eceder a los )0 millones. 8ambi6n la entidad 9nvesti,aci'n de ?peraciones +rof. ernando Salaar Kltima revisi'n abril 2013"
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desea ue los pr6stamos a empresas sean por lo menos 20 I m(s ue los pr6stamos personales. os intereses ue deven,an en promedio cada inversi'n son 40 I los pr6stamos personales% 3E I los pr6stamos a empresas y 2) I los pr6stamos hipotecarios. os fondos ue no se presten% se invierten en valores a corto plao a inter6s del 20 I. a entidad desea un pro,rama para maimiar el rendimiento del capital invertido. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal.
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