UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y EDUCACIÓN DEPART DEPARTAMENTO AMENTO DE FÍSICA FÍSICA
LABORATORIOS DE FÍSICA “ MIGUEL ÁNGEL VARGAS .” VARGAS Z .” GUÍA DE LABORATORIO No. 2 MECÁNICA: Gráfi!" INTRODUCCI#N: La física en su intento de describir ordenadamente los hechos que acontecen en la natu natura rale lezza, utili tiliza za las las mate matemá máti tica cass como omo len lengua guaje y como omo herra rramien ienta. ta. Fundamentalmente la teoría de funciones es la que da un aporte más rico a las pretensiones de la física, puesto que que ella es la que contiene la idea de conexión, relación relación o dependencia entre elementos de distintos conjuntos. n esta práctica se utilizarán las gráficas y la teoría de funciones en general, para encontrar la relación entre las !ariables que inter!ienen en el experimento y, al mismo tiempo, obser!ar más fácilmente la !ariación de las mismas. "e esta forma, utilizar las gráficas como una herramienta para obtener información física de un conjunto de datos.
$. CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 1.1
Conf Confec ecci ción ón de un Gráf Gráfic ico o
Los Los gráf gráfic icos os se conf confec ecci cion onan an sobr sobree un pape papell espe especi cial al,, pued puedee ser ser mili milime metr trad ado, o, logarítmico o semilogarítmico. n general es con!eniente primero graficar los datos en papel milimetrado, donde las unidades de ambos ejes están espaciadas uniformemente. #i el gráfico resulta aproximadamente una línea recta, entonces la relación entre las !ariables $ x$ e $ y$ es lineal, o sea de la forma% % & &' ' (. #i la representación de los datos en papel milimetrado es una cur!a, es posible intentar cambiar a nue!as !ariables que est(n relacionadas linealmente. ste proceso se llama )rectificación de los datos* o más com+nmente conocido como )linealización*. )linealización*. ara el trazado de los gráficos se deben seguir las siguientes normas generales%
l gráfico debe lle!ar un título que indique el fenómeno que representa y sir!a de guía a qui(n haga uso de (l. #e elige un sistema de coordenadascoordenadas- muy a menudo usaremos el sistema de coordenadas ortogonal. #obre los ejes se indican las magnitudes físicas que en ellos se representan con sus correspondientes unidades y la escala adecuada. eneralmente la !ariable independiente se representa en el eje de la abscisa y la !ariable dependiente en el eje de la ordenada, aunque pueden intercambiarse. /uando se selecciona una escala en la representación gráfica 0con papel milimetrado o logarítmico1 de cualquier cur!a se recomienda%
a1 2ratar que los puntos experimentales no queden muy juntos. ara una mejor información los puntos deben estar separados- para lograr esto se amplían las escalas como se indica en la figura.
b1 3ay que e!itar que las escalas elegidas sean complicadas. c1 4o deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectosel gráfico tiene que construirse con una cur!a sua!e y continua que pase lo más cerca posible de los puntos obtenidos 0cur!a de aproximación1. d1 #i es necesario graficar con errores, generalmente el error de la !ariable independiente se desprecia y el error de la !ariable dependiente se puede representar por una )barra de error*. La cur!a que se dibuje debe pasar por el interior de las barras de errores. 05er figura1
$.2 A)á*i"i" +, -) Gráfio #e analizará a continuación como determinar la relación funcional entre !ariables experimentales. Los pasos son los siguientes% 61 7btener tabla de datos. 81 raficar los datos. La gráfica puede ser% a. 9na relación lineal 0línea recta1. b. 9na relación no lineal 0línea cur!a1. :1 ara el caso 0b1, se intenta modificar las !ariables hasta que su gráfico sea una línea recta. ;1 #e escribe la ecuación de la recta, determinando el !alor de las constantes. <1 =nterpretación física de la relación lineal obtenida. 9na !ez lograda la relación lineal entre las originales o nue!as !ariables se debe determinar las constantes o parámetros de la recta. La ley física entre las !ariables puede expresarse como% % f /'0&0(1 & &' ' ( donde% y% !ariable dependiente x% !ariable independiente f% función lineal m y b% constantes por determinar- m pendiente de la recta y b, ordenada del origen.
$.2.$ Ajuste lineal: "e acuerdo a lo anterior, si las !ariables originales o las nue!as !ariables que seguiremos llamando x, y, muestran una relación aproximadamente lineal, la tarea de encontrar una recta que pase por todos los puntos es normalmente una tarea imposible, puesto que en general se tienen !arios puntos 0 x ,i y )i con i =1, 2, 3,.., n y una recta queda determinada por dos puntos. La tarea que podemos resol!er es la de encontrar la )mejor* recta que ajuste los datos. La ecuación general de una recta es% % & &' ' (. ara determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b para la recta que se aproxime a los datos, explicaremos dos m(todos% Método gráfico: #e utiliza para un conjunto de puntos de moderada precisión.
#implemente grafique sus puntos de datos, dibuje la mejor recta que usted estime se aproxima mejor a los puntos. l intercepto con el eje > nos da el !alor de )b* y la pendiente será% m
y x
Método de promedios: #e define el residuo como la diferencia entre el
!alor experimental y el !alor dado por la expresión mx ' b esto es ri & % ? /&' '(10 !alores que no son nulos porque los puntos no caen exactamente sobre la recta. #i los datos los di!idimos en dos grupos 0=1 y 0==1 de parecido tama@o, el m(todo se basa en que la suma de los residuos en ambos grupos es cero, en otras palabras% A y I m x I b 6 I
A
I
I
y I m x I b6 II
II
II
/on estas dos ecuaciones se determinan m y b . stas se pueden escribir en t(rminos de promedios sobre cada grupo en la forma% m x m x
I II
b
y
b
y
I II
$.2.$ Rectificación: Bepresentados los puntos en papel milimetrado, la cur!a obtenida podría ser una función polinomial, exponencial o logarítmica complicada y a+n así, presentar aproximadamente la misma apariencia a la !ista. /on frecuencia puede estimarse la relación funcional entre las !ariables si el experimentador tiene idea del tipo de función que representarán los datos, basándose en consideraciones teóricas y el resultado de experimentos pre!ios similares. ara determinar la relación funcional entre dos !ariables x e y, en algunos casos se rectifica la cur!a mediante una adecuada transformación de las !ariables, tanto de la !ariable independiente yCo de la !ariable dependiente.
Las transformaciones se intentan hasta obtener una relación lineal en las nue!as !ariables X e Y , a partir de las cuales se deben calcular los parámetros A y B de la relación lineal Y & AX ' B- luego desde esa +ltima relación se podrá obtener la relación funcional entre las !ariables originales y = f(x).
Los siguientes son algunos ejemplos de gráficos de funciones y del respecti!o cambio de !ariables que con!iene efectuar% Y y Po3,)i!: y ax X x 8 8
Y
aX
#in embargo, para lograr esta transformación es necesario adi!inar que la función es cuadrática en x. or ello es preferible, suponer que la función es de tipo potencia y hacer lo que sigue% otencia% y & ax b log% & log! ' (log ', de manera que al hacer el cambio de !ariables% > & log %, D & log ' se obtiene una relación lineal entre D e > ⇒
> & log! ' (D > los coeficientes pueden obtenerse de% b
log0 y 8 1
log0 y6 1
log0 x 8 1
log0 x6 1
y
a
y6 x6b
- de esta forma no es necesario adi!inar el exponente. 1.3 Interpolación !"trapolación
l n+mero limitado de puntos obtenidos en un experimento no permite dibujar una cur!a continua, sin embargo, tratamos de hacerlo como si lo fuera con lo cual suponemos que se trata de una función continua, sin !ariaciones bruscas, entre los puntos !ecinos. "ibujada la cur!a se puede obtener de ella el !alor de una ordenada correspondiente a una denominada abscisa que aunque no haya sido determinada por el experimento mismo se encuentra comprendida entre dos !alores experimentales, en tal caso el !alor de la ordenada se ha obtenido por ) i)3,r4o*!i5)*. /uando este !alor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor cur!a trazada entre los !alores experimentales, se dice que se ha hecho una ) ,'3r!4o*!i5)*. Embas operaciones suelen estar limitadas por las condiciones de la experiencia. Los puntos extrapolares en el caso de dependencia lineal, los obtendremos prolongando la recta que corresponde a la gráfica rectificada.
2. OB6ETIVO: Bepresentar gráficamente los datos obtenidos experimentalmente, usar en forma adecuada el m(todo de rectificación de la cur!a para obtener la relación funcional entre las !ariables y saber aplicar los diferentes m(todos para la determinación de la pendiente de la recta y para la ordenada del origen. 7. MATERIALES:
6 cinta m(trica
6 resorte 6 porta pesas y masas de diferentes tama@os #oporte y una nuez 9na balanza 9na probeta 6A esferas de diferentes tama@os
8. PROCEDIMIENTO: 8.$ /on los materiales disponibles realiza el montaje indicado en la siguiente figura%
8.2 #uspenda una masa del resorte y mide el alargamiento X X f X i que (ste sufre, aumente progresi!amente la masa hasta completar 6A medidas con las cuales debe llenar la siguiente tabla%
Fuerza 0dinas1 8;
X 0cm.1
6.
asa 0gr.1 8<
8.
;HAAA
I
:.
J<
J:
68,I
;.
6AA
HIAAA
6J
<.
68<
688
86,J
G.
8AA
6HGAAA
:G
J.
88<
88A
;6
I.
8
8;
;<,:
H.
:AA
8H;AAA
<;,8
6A.
;HAAAA
H6,<
:,G
8.2.$ Bealice la gráfica de F ! s D y determine la relación entre las !ariables FKD encontrando la pendiente de su gráfico y una ecuación que las liga. F-,r9! $. 8;AAA :,G 8. ;HAAA I :. J:
8.2.2 n el gráfico anterior ubique un dato por interpolación y otro por extrapolación
$. $.
PUNTO DE INTERPOLACION F-,r9! 8JAAAA PUNTO DE ETRAPOLACION F-,r9!
8.7 Belación entre el !olumen y la masa de un líquido 8.7.$ Egregue un poco de agua en la probeta, busque la forma de medir la masa y el !olumen del agua 0sólo del agua1. Eumente progresi!amente la cantidad de agua que agrega en la probeta hasta completar 6A datos. /onstruya una tabla de datos que contenga% masa del agua 01, !olumen del agua 051. asa 5olumen 6. H,: H 8. 8A 8A :. 8H,J :A ;. ;A ;A <. ;H,J
6. 8.
PUNTOS DE INTERPOLACION asa 5olumen G;,IA< G< <;,I
8.7.7 ncuentre la relación entre las !ariables y 5. ara ello encuentre la pendiente del gráfico, utilizando los m(todos estudiados, y encuentre una ecuación para la cur!a. PENDIENTE
8.8 Belación entre el radio y el !olumen de una esfera 8.8.$ 2ome 6A esferas de diferentes tama@os y mida de forma directa su radio 0B1 y su !olumen 051. 9bique los datos obtenidos en una tabla. $. 8. :. ;. <.
R!+io A,JH A,I A,I8 A,H A,H:I<
Vo*-&,) 6,< 8 8,< : :,6
G. J. I. H. 6A.
A,H< A,HH: A,HH; 6,:H8 6,<
:,8 :,: :,H H,I 6:,I
8.8.2 /onstruya una gráfica de 5 ! s B
8.8.7 ncuentre la relación entre las !ariables 5 y B. ara ello encuentre la pendiente del gráfico, utilizando los m(todos estudiados, rectifique la cur!a si es necesario y determine una ecuación para la cur!a. PENDIENTE
ECUACI#N DE LA CURVA
$.
R!+io A,<6
Vo*-&,) 8,6;
8. :. ;. <. G. J. I. H.
A,
8,:< :,A< :,;G :,
;. ANÁLISIS DE RESULTADOS < CONCLUSIONES ;.$ n el gráfico del resorte, explique el tipo de relación que se obtu!o entre las dos !ariables y qu( parámetro físico representa la pendiente de su gráfico. ;.2 n el mismo gráfico, si obtiene alg+n t(rmino independiente explique el significado que tiene (ste. #i no lo obtu!o explique por qu(. ;.7 Bepita los numerales <.6 y <.8 para el gráfico del numeral ;.:.8. ;.8 n el gráfico de 5 ! s B explique el tipo de relación que obtu!o entre las dos !ariables y qu( parámetro físico representa la pendiente de dicho gráfico. /ompare el !alor de esta pendiente con
;
:
y determine el error relati!o.
;.; Enalice y responda las siguientes preguntas% ;.;.$ or qu( no es con!eniente graficar una función punto a punto, es decir uniendo todos los puntos 0con líneas rectas1 de una gráfica de laboratorioM ;.;.2 Nu( factores causan los errores en el desarrollo de esta prácticaM Onum(relosP 6
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3. .
