Facul t ad de Ingenier ía UCV UC V Lima Nort e
Mat emát ica II 2013-2
SECCIONES CÓNICAS Las cónicas de Apolonio de Pér gamo(262–190 gamo(262–190 a.c), constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de cono a las que denominó cónicas. Apolonio descubrió que se obtendrían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones. Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas o parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de la época, su importancia ha quedado plenamente justificada con el paso del tiempo. Hay varias formas de estudiar las cónicas: a) Una forma empírica como hicieron los griegos, se aprecia en las figuras siguientes, en términos de intersecciones del cono con planos.
b)
Sin embargo en este nivel de estudios, como introducción a las funciones de varias variables, es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica. geométrica.
LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de l os P( x, y ) que equidistan de un punto fijo C llamado centro una cantidad constante llamada radio.
y
P
2
2
x 2
y 2
la forma r 2 , que es conocida como la forma
d e la circunferencia. canónica de canónica de la ecuación de
EJERCICIOS DE APLICACION Trace las gráficas de las circunferencias, indicando centro y radio 1. x 2 2.
y2
9
x 32
y2
3. x 2
y
2
4. x 2
y
2
5. x 2
8 x y 2
6. x 2
y
2
7. x 2
y
2
4
10 x 18 0
2 x 6 y 6 0
10 y 8 0
8 x 10 y 37 0
4 x 6 y 36 0
8. 2 x 2
2 y 2
12 x 4 y 15 0
9. 9 x 2
9 y 2
12 x 4 y 15 0
10. 6 x 2
6 y 2
32 x 25 y 34 0
En cada caso, halla la ecuación de la circunferencia que cumple con las siguientes condiciones: co ndiciones: 11. Centro C (2, 3), radio 5 12. Centro C (4,6) , que pase por P(1,2) 13. Centro C (3,6) , que sea tangente el eje Y. 14. Centro C (4, 1), que pasa tangente al eje X 15. Tangentes a los dos ejes, centro en el segundo cuadrante, y que tenga radio 4 16. Que los extremos extremos de un diámetro diámetro estén en A(4, 3) y B (2, 7) 17. Es concéntrica a la l a circunferencia
18. Tiene centro C 2,4 y pasa por la intersección de las rectas L1 : 4 x 7 y 10 0 y
x
O
L2 : 3 x 2 y
Sea P( x, y ) un punto cualquiera de la circunferencia de radio " r " y centro C ( h, k ) . Como d ( P, C ) r , de la fórmula de distancia entre dos
( x h) 2
2
( x h) ( y k ) r Para el caso particular en que el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la fo rma
x 2 y 2 4 x 6 y 15 0 y que pasa por el punto (1,1) .
C
puntos se tiene:
elevando al cuadrado se obtiene la ecuación ordinaria de ordinaria de la circunferencia
Guía de l a sema na 1 3v a
( y k ) 2
r y
7 0.
19. Pasa por los tres puntos: P4,1 , Q0, 7 y R 2, 3 20. Tiene centro sobre el eje X, y pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6) .
-1-
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LA ELIPSE
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de los P( x, y) Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas d eterminando además los vértices y los focos:
cuya suma de distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es constante, que llamaremos 2 a . d ( P, F ) d ( P, F ' ) 2a
B1
1.
a
b V1
c
F1
V2
F2
b P
5. 7.
B2
a
a
que pasa por el centro. Eje menor: Segmento B1 B2
ECUACIONES ORDINARIAS DE LA ELIPSE Si la elipse tiene centro C (h, k ) y longitud del eje menor 2b , entonces: 1. Si el eje focal sea paralelo al eje X , la ecuación es: a2
2
( y k )
2
b2
1
2. Si el eje focal sea paralelo al eje Y , la ecuación ( x h )
2
( y k )
2
1 b2 a2 En cualquiera de los casos se cumple que:
es:
2
2
a b c , donde " c" es la distancia del centro a los focos.
y a
b k
k
a
b
x h
Guía d e l a sema na 1 r a
4
( x 3) 2 16 25
9. x 2
10. 25 x 2
1
2.
16
4. y 2
( x 2) 2
( y 4) 2 9 ( y 3) 2
9 y 2
2 y 2
x 2
4
4 y 2
1
1
25
6. 4 x 2
y 2
16
1
9x2
9
y 2
2 y
32 x 36 y 64 0
2 x 20 y 43 0
250 x 16 y 541 0
Encuentre una ecuación de la elipse qu e cumpla las condiciones indicadas. Dibuje la elipse. 11. Vértices en (-5/2,0) y (5/2,0) y un foco en (3/2,0). 12. Vértices en (± 5, 0); c = 2. 13. Centro en (4,-2), un vértice en (9,-2), y un foco en (0,-2). 14. Un foco en (2,-3), un vértice en (2 ,4) y el centro sobre el eje de las x. 15. Focos en (2,3) y (2,-7) y la longitud del semieje menor es dos tercios de la longitud del semieje mayor. 16. Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. 17. Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son (± 2,0). 18. Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).
Aplicaciones.
2
y
8. 4 x 2
ELEMENTOS Focos: Los puntos fijos F 1 y F 2 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos Vértices: V 1 y V 2 Eje mayor: Segmento V 1V 2 Centro: Punto C, que esta a la mitad entre F 1 y F 2 . Eje normal: Recta perpendicular el eje normal y
( x h)
9
y 2
3. 4 x 2 y 2
c
C
x 2
x h
19. El techo de un vestíbulo de 10m de ancho tiene la forma de una semielipse de 9m de altura en el centro y 6m de altura en las paredes laterales. Determine la altura del techo a 2m de cualquier pared. 20. La orbita de un planeta alrededor d el Sol tiene forma de elipse con el Sol en un foco y un semieje mayor de 150 millones de millas de longitud. Si la distancia al Sol desde el centro de la órbita elíptica es las tres quintas partes del semieje mayor, determine (a) que tanto se acerca dicho planeta al Sol y (b) la máxima distancia posible entre el planeta y el Sol. -2-
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LA PARÁBOLA
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Una parábola es el lugar geométrico de los P( x, y ) que equidistan de una recta fija L D (directriz) y de un punto fijo F (foco). d ( P , F ) d ( P, L D ) LD
En cada caso, dibujar las ecuaciones indicando el vértice, el foco, la ecuación de la directriz. 1. y 2
3. ( x 2) 2
LE
5. y x 2
ELEMENTOS Foco: Es el punto fijo F Eje Focal: Es la recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco ( L E ) Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con el eje focal ( V ) Lado Recto: Segmento perpendicular al eje focal, que pasa por el foco y que tiene sus extremos sobre la parábola ( LR 4 p , donde p d V , F )
Directriz: Es la recta fija
L D
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA 1. Si el Vértice es V (h, k ) , el eje focal es paralelo al eje X su ecuación es: ( y k ) 2
4 p ( x h)
2. x 2
12 x
8( y 1)
4x 2
7. 6 x 2
8. 5 y 2
4 x 40 y 56 0
9. 2 x 2
12 x y 13 0
10. y 2
4 y
4. ( y 2) 2 6. y 2
1 4
( x 3)
14 y 4 x
45
8 x 6 y 1 0
12 x 4 y 20 0
Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 11. Vértice (2, 1) y foco (2, -4) 12. Foco (4, -3) y directriz y = 1 13. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 14. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 15. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7). 16. Vértice en V(-3, 5) y cuyos extremos del lado recto son los puntos L(-5 ,9) y R(-5 ,1). 17. Directriz L : x 2 , eje L1 : y 1 , y pasa por el punto A(7,4). 18. Vértice en el origen, su eje es el Eje Y, y que pasa por el punto (8,-4)
Aplicaciones.
2. Si el vértice es V (h, k ) y el eje Focal es Paralelo al eje Y, su ecuación es: ( x h) 2
Guía d e l a sema na 1 r a
4 p ( y k )
19. Un arco de parabólico tiene una altura d e 20m y un ancho de 36m en la base. Si el vértice de la parábola se encuentra en la parte alta del arco, ¿A que altura sobre la base tiene un acho de 18m? 20. Un cañón dispara una bala cuya trayectoria es una parábola con vértice en el punto más alto de la trayectoria. Si la bala llega al suelo a 1600 pies del cañón, y si la altura máxima de su trayectoria es de 3200 pies sobre el piso, deducir una ecuación de la trayectoria.
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LA HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los P( x, y ) cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 , llamaos focos, es siempre constante. d ( P, F 1 ) d ( P, F 2 )
2a
ECUACIONES DE LAS ASINTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA Las ecuaciones de las asíntotas, en cualquiera de los dos casos, se pueden obtener igualando a cero el segundo miembro de la ecuación, y luego despejando y en términos de x.
ELEMENTOS Centro(C): Punto medio del segmento F 1F2 Vértices (V1 y V2 ): Intersección de la Hipérbola con el eje focal Focos: Puntos fijos F1 y F2 Eje Conjugado: Segmentos B1B2 Eje Transversal: Segmento V1V2 Asíntotas: Rectas L1 y L2
1. Si la hipérbola tiene eje focal paralelo al eje X y centro en C (h, k ) su ecuación es: ( x h )
a2
( y k )
2
b2
a
2
2
(x h ) b
2
2
1
En ambos casos se cumple que: a 2 b 2 c 2 , en donde c es la distancia desde el centro hacia los focos.
Recomendaciones para graficar una Hipérbola 1. 2. 3. 4.
Dibuje el rectángulo central. Trace las asíntotas. Ubique los vértices Bosqueje la hipérbola
Guía d e l a sema na 1 r a
x 2
16
3. y 2 5.
y 2
25 5x 2
( x 5)
8. 16 x 2
6 y 2
2.
1
2
4
7. 5 x 2
( y 1) 49
25 y 2
16
4. 9 x 2
20
x 2
2
1
6.
y 2
16
16 y 2
( y 4) 36
1
2
x
144 0
2
1
20 x 12 y 16 0
256 x 150 y 399 0
1
2. Si la hipérbola tiene eje focal paralelo al eje Y y centro en C (h, k ) , su ecuación es: ( y k )
En cada caso, graficar las hipérbolas, determinando la ecuación de las asíntotas, las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos 1.
ECUACIONES ORDINARIAS DE LA HIPÉRBOLA
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Encuentra la ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones dadas: 9. Focos (5±,0) y un vértice en (4,0). 10. Longitud del eje transversal 8 y focos (±6,0). 11. Longitud del eje conjugado 18 y focos (0,±8). 12. Centro en el origen, un foco en (8,0) y un vértice en (6,0). 13. Centro en el origen, eje tranversal sobre el eje de ordenadas, longitud del eje conjugado 36 y distancia entre los focos igual a 24. 14. Centro en el origen, un vértice en (5,0) y ecuación de una asíntota 4 x 5 y 0 . 15. Centro en (3,5) , un vértice (3,2) y pasa por (1,1) .
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