Guia Matematica.ubaxxi

UBA XXI

Modalidad virtual Matemática

PRACTICO 0. P RACTICO DE REVISION

1. Resolvé los cálculos cálculos a. 5 - (-2) (-2) + (- 8) 8) : (-4) (-4) –5 –5 b. 7 – (-3) (-3) –(–(- 8) 8) : (- 8) 8) + (-3) (-3) : (-1) c. 6: (-2) (-2) + (-7) (-7) – (-15) (-15) : (-3) (-3)

Podés consultar cualquier texto de la escuela secundaria

d. 42 : 2 – 1 - 82 :2 – 1 2

e.

2

2 – 4 : 8 + 2

5

(1,2  1,8 )2 6 1,5 (1,5 - 0,3) 2  0,24

f .

2 3   1   g.   1    4   3    

2

 2   1   1    1  : 4   :  3  2   3 

h.

5  6

2. Sust Sustit ituí uí cada cada líne línea a por por un núme número ro de modo modo tal tal de conv conver erti tirr en verd verdad ader eras as las las sigu siguie ient ntes es expresiones.

a.

3  ___  0 4

e. -

4 4  ___  3 3

3. Dadas las fracciones

b. -

5 - ___  0 6

f. ___ 

2 1 9

c. - 1,6  ___  - 1,6

d. 5  (-5)  ___

g. - 5  ___  0

h. 1 ___ : -

3 2

1 1 y , escribí, escribí, si es posible, posible, entre ellas: ellas: 7 5

a. Dos fraccio fracciones. nes. b. Una fracción fracción con denominador denominador 20. c. Todas las fraccione fracciones s con denominador denominador 70.

4. a. ¿Es posible hallar un número racional con denominador 4 que se encuentre entre -

6 1 y - ? 5 2

¿Es único? b. Encontrá Encontrá una fracción equivale equivalente nte a

5 con denominador igual a una potencia de 10. ¿Cuántas 8

pueden escribirse? escribirse? ¿Por qué? c.

Escrib Escribíí si es posibl posible e dos número números s entre entre

2 3 y . 7 7

5. a. ¿Cuántos ¿Cuántos números con dos cifras decimales decimales hay entre 3,5 y 3,6? b. ¿Y con más de dos cifras decimales?

Practico 0 – Revisión

1

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c. Encontrá Encontrá si es posible, posible, un número decimal decimal a de manera que el número a + 0,0001 esté entre 3,5 y 3,6.

6. a. Buscá tres tres pares de números racionales racionales a y b tal que su producto sea b. Encontrá una multiplicación que tenga como uno de sus factores a

3 . 10

3 y que dé como resultado 5. 7

7. De dos números p y q se sabe que: 

p está entre 13 y 14



q está entre 8 y 9

¿Entre qué valores se encuentran los siguientes resultados?: a. p + q b. p  q c. p : q

d. ( p + q): ( p - q)

8. Completá con “>”, “=” ó “<” según corresponda. corresponda. a. 0,33___ c.

1 3

1 ___ 0,142 7

b. 0,6 ___

6

10  2 d. 0,13 ___ 15

1 1 1  0 entonces - 2  ___ 0  4 4 4 5 7 5 7   (  1) ___  ( 1) y - 1  0 entonces 2 3 2 3

e. Como - 2  0 y f . Como

9. a. Escribí Escribí en forma decimal y fraccionaria: fraccionaria: 5 déci décimos mos = ___ ___

123 123 centé centési simos mos = ___

5 centé centésim simos os = ___

82 milé milési simos mos= = ___

b. ¿De qué número número es 200 la quinta quinta parte? parte? c. ¿De qué número número es es 850 850 el 52%? 52%?

10. Hallá el valor valor de las siguien siguientes tes expresiones expresiones;; sabiendo sabiendo que m = - 2 y n = 5.

a.

( 3m ) 2  n 2

b.

( 3m  n ) 2

c.

m

1 n

d.

m 1 n

e.

m n m

11. 11. Para ara cada cada una una de las las oper operac acio ione nes s de la COLU COLUMN MNA A 1, coloc colocá á en el casi casillller ero o la letra letra que que corresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2. Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez, más de una vez o ninguna vez.


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c. Encontrá Encontrá si es posible, posible, un número decimal decimal a de manera que el número a + 0,0001 esté entre 3,5 y 3,6.

6. a. Buscá tres tres pares de números racionales racionales a y b tal que su producto sea b. Encontrá una multiplicación que tenga como uno de sus factores a

3 . 10

3 y que dé como resultado 5. 7

7. De dos números p y q se sabe que: 

p está entre 13 y 14



q está entre 8 y 9

¿Entre qué valores se encuentran los siguientes resultados?: a. p + q b. p  q c. p : q

d. ( p + q): ( p - q)

8. Completá con “>”, “=” ó “<” según corresponda. corresponda. a. 0,33___ c.

1 3

1 ___ 0,142 7

b. 0,6 ___

6

10  2 d. 0,13 ___ 15

1 1 1  0 entonces - 2  ___ 0  4 4 4 5 7 5 7   (  1) ___  ( 1) y - 1  0 entonces 2 3 2 3

e. Como - 2  0 y f . Como

9. a. Escribí Escribí en forma decimal y fraccionaria: fraccionaria: 5 déci décimos mos = ___ ___

123 123 centé centési simos mos = ___

5 centé centésim simos os = ___

82 milé milési simos mos= = ___

b. ¿De qué número número es 200 la quinta quinta parte? parte? c. ¿De qué número número es es 850 850 el 52%? 52%?

10. Hallá el valor valor de las siguien siguientes tes expresiones expresiones;; sabiendo sabiendo que m = - 2 y n = 5.

a.

( 3m ) 2  n 2

b.

( 3m  n ) 2

c.

m

1 n

d.

m 1 n

e.

m n m

11. 11. Para ara cada cada una una de las las oper operac acio ione nes s de la COLU COLUMN MNA A 1, coloc colocá á en el casi casillller ero o la letra letra que que corresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2. Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez, más de una vez o ninguna vez.


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COLUMNA 1

COLUMNA 2

3 1  5 4 3 1 2   5 4 3

13 30 25 b. 9 a.

2

 2  1    3  25 9 1 1 1  2 2

c. 1

2

 5   4        3   3 

d.

7 30

e.

7 20

2

f. Un número número distinto distinto de los anteriores

30 23 30  23

1

g. No tiene tiene resultado resultado

12. Resolvé explicitando explicitando las propiedades propiedades utilizadas utilizadas (con x 2

a. - x · x 5

3

2

e. (-x) · x

-1

-3

f. x : x

c. (x – 3y) (x + 3y)

g . (x+2)

d. [(3x [(3x)) ]

h.

3

4

b. x : x

2 -2

≠ 0).

2

x 3  x 2  x 5 x 4  x 3

13. Calculá las siguientes potencias.

 2  a.     5 

3

25

f. - 1


 1  b.    5  g. (-1)

0

25

c. 2 -2 h. 10

5

d. (-3) 2

 3  i.    2 

e. (-3) -2

3

j. (0,1)- 2

3

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14. Resolvé los cálculos.

-5 7  -2  4

a.

b.

1 d.   16 : 4 2

3

27 : 3 - 8

1

2

 5  1   3  h.  1 5  2 4

100  25  25

2 2 1  1   2  f.  -       (5 )   5  4   5  

16 2 3 1  3 4 81

e.

 2  2 -2  8 3 1     3  g.    2   2   3    1      4  

c.

4 15  5 2  3  1     2 

2 3  5 2 5 4 i. 9 8 15 4 2

15. a. Resolvé aplicando propiedades: (2x – m) (2x + m)=

2

2

(2x + m) =

(2x - m) =

b. Escribí como producto de dos factores: 2

2

m – 16 =

3

m + 6m + 9=

m + m=

16. Dadas las ecuaciones: a. 9 = 5y – 3

b.

2  2x  5 x 1

2

c. 6y +5 = 2y + 7

d. 3x -6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones: -0,5;

-3; 2,4;

1 ; 2

0;

averiguá a cuál ecuación corresponde cada solución.

17. Resolvé las siguientes ecuaciones. a.

2 5

x

1 10

2

 3 4  t c. 3( t  10 )  15   5 15  e. 3 + x – (5 – 3x) = 4 2

2

g. (x – 1) – (x – 1) = 2(1 – x) i.

3 x  1 x 1 x 1


b.

5 3

x 1

2 9

d. (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y – 1) f. (4 + z ) (2 + z) = (4 – z) (2 – z) + 8 4 1 h.  x 5 j. x 2 

1 3 x  3  x2  5 2

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18. Decidí la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificá adecuadamente. a. x – 2(1 – 3x) = 6 + 3 (4 – x) tiene solución x = 2 3x  2 8  x b. S = {4} es el conjunto solución de  5 2 2x  1 x c. tiene como solución x = 5  ( x  1)  4 2 d. La ecuación 2(x – 1) – 3(x - 2) + 4(x – 3) = 0 no tiene solución en el conjunto de los números naturales. 19. Traducí al lenguaje matemático con una o más ecuaciones y escribí el conjunto de soluciones. a. La suma de dos números es 15 y su diferencia es 25. ¿Cuál es su producto? b. En un juego Pedro triplicó su dinero y después gastó $10. En un segundo juego duplicó lo que le quedaba y gasta $ 22. Si le quedan $108 ¿Cuánto dinero tenía Pedro antes de los juegos? c. La suma de dos números enteros consecutivos es igual al doble del primero más dos. ¿Cuáles son estos números?

20. “ Si de un número entero se resta su mitad más ocho se obtiene el cuádruplo de la diferencia entre su octava parte y dos ” La expresión que simboliza el enunciado anterior es:

 x   x  a. x -   8   4  - 2   2   8  x  x  c. x -  8  4  - 2  2  8 

x  x  b. x -   8   4 - 2 8  2  x x d. x -  8  4 - 2 2 8

e. Ninguna de las anteriores

21. ¿Cuál de los siguientes enunciados corresponde a la expresión

1 3 x  2(x  1) 10 ? 2

a. La mitad del cubo de un número más el consecutivo de dicho número es igual a 10. b. El cubo de la mitad de un número más el doble del consecutivo de dicho número es igual a 10. c.

La mitad del cubo de un número más el doble del consecutivo de dicho número es igual a 10.

d. El cubo de la mitad de un número más el siguiente del doble de dicho número es igual a 10. e. Ninguna de las anteriores. 22. Considerá la desigualdad

2 < 5. Indicá qué pasa con ella en los siguientes casos:

a. Si le sumo miembro a miembro 4. b. Si le sumo miembro a miembro -4. c. Si se la multiplica miembro a miembro por 3. d. Si se la multiplica miembro a miembro por -3. e. Si se la multiplica miembro a miembro por 1. f. Si se la multiplica miembro a miembro por 0. 

Compará las respuestas que obtuviste y escribí tus conclusiones


5

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23. Sean m y n dos números enteros. Decidí si son correctas las siguientes afirmaciones; en caso contrario, da un contraejemplo. a. Si m > n y n > 0 entonces m > 0. b. Si m < n y m < 0 entonces n < 0. c. Si m < n y n < 0 entonces m < 0.

24. En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administración y B la cantidad de libros de Biología. Expresar en lenguaje coloquial: a. A + B = 45 d. 5A = 3B – 6

b. A > B e. A – 10 > 30

c. A < B + 5 f. B  2A + 10

25. Encontrá en forma analítica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadas. Representá gráficamente el conjunto de soluciones. a. 3x + 2 > 5x –4

b. x – 4  - 2x + 5

c. –5x + 2  8

d. x - 2  x + 3

26. Resolvé los siguientes problemas. a. Una persona compró cierto número de objetos con $ 300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró? b. Hallar dos números positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro más 5 y que el producto de ambos es igual a 68. c.

Todas las personas que asistieron a una reunión estrecharon sus manos para saludarse. Si los saludos fueron 91 ¿Cuántas personas hay en la reunión?

d. El número de varones de una comisión especial debe ser por lo menos, tres veces mayor que el número de mujeres. Los varones son 12. ¿Cuántas pueden ser las mujeres? e. Después de vender dos docenas de cajas de CD, quedan en stock menos de 45 cajas de CD. ¿Cuántas cajas de CD había, como máximo, antes de hacer la venta? f.

En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros. No pueden retirarse más de dos libros de historia ni más de 3 libros de aventuras. Indicar en un cuadro todas las posibilidades, si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoría. Expresar las inecuaciones que condicionan el problema.


6

Matemática

PRÁCTICO DE REVISIÓN ACTICIDADES COMPLEMENTARIAS

Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo que estuviste trabajando. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1

Si en la formación de un negocio, Alejandra y María aportan

3 4

y

1 5

respectivamente

del capital inicial y José el resto, ¿cuál es el porcentaje que representa la fracción que aportó José?

2

Todos los alumnos de un curso se reparten los gastos de un paseo en partes iguales. Si cada uno pone $ 250 faltan $ 2.400 para cancelar los gastos y si cada uno pone $400 sobran $ 1.200. Si todos los alumnos pagan su cuota, ¿cuánto es el gasto total?

Material de uso exclusivamente educativo


Unidad 1 R Y R2 Temas de la unidad Representación de los números reales en una recta. Intervalos de R. Distancia en la recta real. Representación de los pares de números reales (R 2 ) en el plano. Distancia entre dos puntos del plano.

 Bibliografía

obligatoria

AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,

1995; Capítulo I. R y R2.

 Práctico 1: Números reales y coordenadas cartesianas

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P RACTICO 1. NÚMEROS REALES Y COORDENADAS CARTESIANAS

1.Ordená en forma creciente y representá en la recta numérica los siguientes números reales:   3 ; - 2,5; 3, 4 ; 3,45 ; 2

3

- 27 ; 1,4157;

 CAPITULO I

NUMEROS REALES Y COORDENADAS CARTESIANAS

5 ; 2,326; 1

2.Representá en la recta numérica: a.

2

b. 1  2 c.

5

d. - 2 5 e.

1 5 2

3. Si -1 < a < 0, ordená de menor a mayor los siguientes números y hacé un gráfico que muestre la situación: 1 1 ; a 2 ; - a; a a 4. En cada uno de los siguientes casos dá, si es posible, un número real m que satisfaga: a. 2m <

1 < -m m

b. m < 2m < m -1 c. m < - m -1 < -3m

5. Indicá para qué valores de x, las expresiones siguientes corresponden a números reales: a.

3

x

b.

x3

c.

(  x) 2

d.

x

2

6. Representá en la recta numérica: a. Todos los números reales cuyo cuadrado es 4. b. Los números reales que verifican x 2 – 2 = 0 c. M = {x / x(x-1) = 0} d. Las soluciones de la ecuación x(x - 3) (x+5) = 0

Practico 1 - Números reales y coordenadas cartesianas.

2

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7. Indicá con una cruz si los números de la fila superior pertenecen a los conjuntos de la primera columna. 1 2

Condición

1,4142

3

1 3 2

2

 1   23     

32 5

{x / x < 3} {x / x  2} {x / -2 < x < {x / x  3]

2}

{x / 2 < x < 5} 1 {x /  x  3} 2

8. Expresá simbólicamente las afirmaciones siguientes: a. x está a menos de 5 unidades de 3. b. y está a lo sumo 4 unidades de 7. c. x está al menos a 4 unidades de – 5. d. m es menor que 4 y mayor que – 4.

9. Expresá como intervalo y representá en la recta numérica todos los números reales: a. Menores que –1. b. Menores o iguales que 5. c. Que cumplen simultáneamente ser mayores o iguales que –3 y menores que 3. 3  d. Que pertenecen al conjunto A  x  / x   . 5  e. Que pertenecen al conjunto B = {x / -5  x < 0}.

10. Para cada una de las siguientes afirmaciones decidí si es verdadera o falsa y, considerando los intervalos dados, representá las situaciones en la recta real. a.

 7     0;   2 

b.

 4 3   0,8  - ;   5 2 

c.

2  5   1;  3  3 

11  5 11. Dado el intervalo  5 ;  , mostrá sobre la recta numérica cómo quedan ubicados respecto al 2  3 mismo, los números: 2 2;

1 3 ; ( 3 ) 1; ; 3; 2,5; 3 5


3

11;

5 3

3

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12. Expresá coloquialmente la condición que cumplen los conjuntos numéricos representados y escribílos como intervalo o como unión de intervalos.

5

2

3

-1



Gráfico b

2 Gráfico e

1 2

0 Gráfico c



16 3

2 Gráfico g

13. Representá en la recta numérica los conjuntos: 1   a. 2; 5  b.  - ;  2   d. 0;  

e. - ;   

1   4   g.  - ;   - 2;  2   3  

h. (-3; - 1)  (0; 5 ]

2

0 Gráfico h

4   c. - 2;  3    1  f. - ; 2   1;   4  i. (-3; 5]  (5;   )

14. Representá cada conjunto en la recta numérica y escribilo como intervalos o unión de intervalos. a. {x / (x-3)(x+4) > 0} b. {x / x(x2 -1)  0} c. {x / -2  1-x < 3} d. {x / x3 – 4  23}

15. Si A = {x / -5x +10 > 17} , decidí cuál o cuáles de los siguientes intervalos están contenidos en A. a. (-1; 1)

b. (-1; 0)

c. (-2; -1)

d. ( -6; 5)

16. Representá cada conjunto en la recta numérica y escribilo como intervalos o unión de intervalos. 1   3 x  3   c.  x  /  0 x2    

a. x   /

 

e.  x  /

x3   4  4 x2 

 

b.  x  /

3

  2  2 x1 

x    0 x3       x f.  x  /  0 1   x    2 d.  x  /


4

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17. Resolvé las siguientes inecuaciones y representá el conjunto solución en la recta real: a. c. e. g.

2x - 3  4 - 2x

b.

 1  2   x    3x  2  5x - 5 3 x  12  4 x 5x 1  - 4 4 3 2

d. f. h.

1 5  3x  4 - x 2 a  2 a -1  4 3 x x x  5 3 2 6 x - 2 0

1 1 ;- ; 2 2 b. Establecer la distancia de cada uno de ellos al cero.

18. a. Representá en la recta real los números: 5; - 5;

2; - 2

19. Calculá el valor absoluto o módulo de: a.

–7

b.

6–4

c.

-(-3)

d.

3–5

e.

-3– 5

f.

-3+ 5

g.

2. (-3)

h.

2. 3

i.

(-2)(-3)

j.

(8 -10)2

k.

(- 5)3

l.

(-2):(-3)

20. Decidí si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones a. |-1+ 3| = |-1| + |3|

b. |-1-3| = |1 + 3|

c. |(-3)2| = |(-3)|2

d. |10 +(-14)| = |10| + |14|

e. |-3+ 8| = |-(3 – 8)|

f. |2- | = | -2|

g. |x| es equivalente a decir que x = 0. h. |x| = |y| significa que x = y ó x = -y.

21. a. Representá en la recta real y establecer la distancia entre los siguientes pares de números: 5y8

–5 y 8

–8 y 5

–5 y -8

b. Interpretá utilizando valor absoluto lo hecho en el ejercicio anterior. c. ¿Qué significado tiene la expresión | x - 2| = 3? ¿Y | x + 2| = 3?

22. Resolvé: a. |x| = 1

b. |x| + 2 = 5

c. 5 –2 = |x|

d. |x| - 2 = 2

e. |4x| + 4|-x| = 0

f. | x - 4| = 2

g. | -1+ x| = 1

h. | x + 2| =

1 2


i.

3 5 x

5

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23. Hallá gráficamente los números reales que verifican: 5 a. Distan 2 de . 3 b. Cuya distancia a 2 sea menor o igual que 1. 24. Expresá en lenguaje coloquial: a. |x| > 1

b. |x|  5

c. |x|  -3

d. |x – 3|  7

e. |x – 3| < 5

f.

3  |x|  5

25. Representá en la recta real las desigualdades anteriores y, en cada caso, escribí como intervalo o unión de intervalos el conjunto solución. 26. Representá en la recta numérica e interpretar como intervalos o como unión de intervalos. a. x   / | x |  2

b. x   / | x  1 |  0

c. x   / x 2  9  0

d. x   / x 

 

1   2  3 

27. Se sabe de un número real que cumple las siguientes condiciones:  

La distancia entre 3x y -2 es mayor que 1 3   Pertenece al conjunto  - ;   2;   4  

a. Expresá simbólicamente cada una de las condiciones anteriores. b. Si M es el conjunto de todos los valores de x que cumplen simultáneamente ambas condiciones, representá M en la recta numérica. 28. Escribí una inecuación cuya solución sea: a. (-2; 5) b. (-; 0] U [2; + ) 29. Hallá los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y representá los subconjuntos de números reales correspondientes: a.

0
c. x  [-4; +)  x < -2

b. x > -1  x (2; 5) ; 3)  x   (-3; +) d. x  (- 

30. Resolvé las siguientes situaciones: a. ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su doble en más de 20? b. ¿Cuál es el mayor número entero múltiplo de 4, que satisface la inecuación x + 2 < 3 x + 1 ? c. El lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p? d. Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500. Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?


6

UBA XXI


31. Representá en el plano los puntos. a. (1; 3)

b. (3; 1)

c.

(-1; 2)

d. (-1; -5)

e. (0;1)

f.

(0; 2 )

g. (23; -1)

h. (32; 0)

i.

(-1; -1)

32. a. Indicá (sin graficar) a qué cuadrante pertenecen los puntos: a. A = (-1; -2)

b.

B = (2; -3)

c. C = (5; 4)

d.

D = (-2; 2)

f.

F = (5; 5)

e. E = (2; 

1 ) 3

b. Graficá y verificá lo contestado en el ítem anterior.

33. a. Dibujá el triángulo cuyos vértices son los puntos: P = (-1; 2); Q = (-3; 4) y T = (0;4) b. Nombrá tres puntos que pertenezcan a los lados del triángulo.

34. Representá en un sistema de coordenadas cartesianas: a. Tres puntos de abscisa –1 b. Dos puntos que tengan ordenada 4 c. Todos los puntos que tienen abscisa –1 d. Todos los puntos que tienen ordenada 4. 35. Representá en el plano los siguientes conjuntos: a. A = {(x; y)2/ x + y < 0} b. B = {(x; y)2/ 2x + 3 > 0} 2

c. C = {(x; y)  / x – 1  2; y + 2 > 0} d. D = {(x; y)2/ x= 6; y < 5} e. E = {(x; y)2/ |x| >3; |y| < 1} f. F = {(x; y)2/|x| = |y|} g. G = {(x; y)2/-1

7

UBA XXI


36. En cada caso, describí algebraicamente la condición satisfecha por la gráfica a.

b.

c.

d.

e.

.

37. Hallá la distancia entre cada par de puntos. a. (-3, 2) y (1, 5) b. (1, 1) y (-4, -11)  2  c.  ; 3  y (-1; 0)  3 

38. a. ¿Para qué valores reales de a el punto A = (4; a) se encuentre a distancia 5 del punto B= (1; 6)? b. ¿Para qué valores reales de k el segmento que une los puntos M=(5;1) y P=( k ;1) mide 3 unidades de longitud?


8

UBA XXI


39. Determiná las distancias entre los siguientes pares de puntos. a. (a + b, a – b) y (b – a, b + a) b. (0, 0) y (a + b, a – b) 40. Encontrá el punto del eje x que es equidistante de (0, -2) y (6, 4).  a  c b  d  ;  equidista de los puntos (a; b) y (c; d). 2   2

41. Mostrá que el punto 

42. Dados los puntos de la figura, hallá las coordenadas de A para que d(AB) = d(AC)

43. El segmento que une los puntos P=(1;1) y Q=(3;1) es un lado del triángulo equilátero PQR. Hallá las coordenadas de R y decidí si la respuesta es única. 44. En un sistema de ejes coordenados, representá el cuadrilátero de vértices Q=(2;3); R=(1;1), S=(0;2) y T= (2;4) y calculá su perímetro.


9

Matemática

PRÁCTICO 1. NÚMEROS REALES Y COORDENADAS ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Números reales


1. Representa en la recta real todos los números que verifican

(2x – 3) (x 2 – 16) = 0 2. Considerá el intervalo de números reales [ -5; 1,8) e indicá si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. (Explicá tu respuesta) a) El número -5 pertenece al intervalo. b) El número 1,8 pertenece al intervalo. c) El número -0,5 y su opuesto son números que pertenecen al intervalo. d) Los números que cumplen la relación | x+ 2| 3. Hallá el número real c, de manera que {x


3 pertenecen al intervalo.

/ 5x– c 4} = [3: + )

Matemática

PRÁCTICO 1. NÚMEROS REALES Y COORDENADAS EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. a. Hallar los números reales cuya distancia a – 4 sea mayor o igual que la distancia de – 3 a 2. b. Representar el conjunto solución en la recta numérica.

2. Se sabe que un número real p cumple las siguientes condiciones: 

La distancia entre 2p y 4 es menor que 2.



Pertenece al conjunto (-; 2]

[8;

+)

A es el conjunto de todos los valores de p que cumplen simultáneamente ambas condiciones. Expresá simbólicamente el conjunto A.

3. a. Representá el conjunto A = {(x; y)

2

 

/ x+y  -1 y |y| <2}

b. ¿Es cierto que el punto M = (3; 2) pertenece al conjunto? ¿Por qué? c. Da un punto de abscisa -3 que pertenezca al conjunto A.



Unidad 2 FUNCIONES Las funciones lineal, cuadrática y polinómica

Temas de la unidad Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica. Definición y ejemplos. Dominio, codominio, imagen. Rectas en el plano. Gráfico de una función lineal. Intersección de rectas. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas. Paralelismo y perpendicularidad de rectas en el plano. Determinación de ceros, vértice y eje de una parábola. Intersección de curvas. Resolución de problemas prácticos que involucren ecuaciones de segundo grado. Polinomios: algoritmo de división. Teorema del resto. Factorización. Noción de continuidad. Localización de raíces.

 Bibliografía

obligatoria

AA. VV ., Matemática Teórica .

Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,

1995; Capítulo 2, FUNCIONES. AA. VV ., Matemática Teórica .


1995; Capítulo 3, FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS. AA. VV ., Matemática Teórica .


1995; Capítulo 3, FUNCIONES POLINOMICAS.

 Práctico 2: Funciones

UBA XXI


P RACTICO 2. FUNCIONES

1. En una ciudad se tomaron mediciones de la temperatura a lo largo de un día del mes de julio. La gráfica muestra los registros de las mismas.

CAPITULO II FUNCIONES

12 9

) C º (

6

a r 3 u t a r 0 e p m -3 e T

-6 -9 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 ora

a. De acuerdo a la información de la gráfica, completá la tabla: Hora del día

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatura (ºC)

b. Indicá las temperaturas máximas y mínimas del día. c. ¿Entre qué horas se mantiene constante? d. ¿Entre qué horas aumenta? ¿Y disminuye? e. ¿Puede saberse con certeza cuál fue la medición de la temperatura a las 17 horas? ¿Por qué? 2. Indicá cuáles de los gráficos dados a continuación representan una función f : IR IR a.

b.

e.

.

Practico 2. Funciones

c

.

d

.

h.

2

UBA XXI


3. Indicá cuál o cuáles de las siguientes gráficas puede representar una función con dominio en el conjunto {x / 2  x  6} y cuyo conjunto de imágenes es {y / -1  y  4}.

a.

b.

y

c.

y

x

d.

y

x

x

y

x

4. La gráfica representa la función f a. Decidí si es verdadero o falso que: a.1. f(0) = f(3) = 0 a.2. f(-1) = 0 a.3. f(– 2) + f(0) = f(– 3) b. Ubicá todos los puntos (x,(fx)), tales que f(x)=2. c.

Situá en el eje todos los valores de x para los que f(x) = 0

d. ¿En qué intervalos es f(x) > 0?

5. Sea f(x) 

x x 1

a. Da el dominio de f.

 1  b. Decidí si el punto A  1;  pertenece a la gráfica de f.  2  c. ¿Para qué valores de x es f(x) = -2? d. ¿Es cierto que -1 pertenece al dominio de f?

6. Para la función graficada se pide: a. Dominio e Imagen. b. C0; C + y C -. c. Intervalos de crecimiento. d. Intervalos de decrecimiento. e. Máximos y mínimos locales.


3

UBA XXI


7. Dibujá una función función g que verifique cada una de las siguientes condiciones: a. Su dominio son los números reales. b. Es constante constante para los x menores que que -1 y pasa por el punto punto (-3; -2). c. Decrece en el intervalo intervalo (-1; 2) y además pasa por los puntos puntos ( -1; -2) -2) y (2; - 3) d. Para los x mayores que 2, tiene raíces en 3 y 5; además g(4) = 1.

8. a. Graficá las siguientes siguientes funciones: funciones:  CAPITULO III

FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS Funciones Lineales

f 1(x) = x

f 2 x) = 2x

f 4(x) = - x

f 5(x) = -3x

f(x)7 = 2x

f 8(x ) = 2x + 1

f 3 ( x ) 

1 x 2

f 6 ( x )  

1 x 3

f9 (x) = 2x – 1

b. Compará las gráficas dibujadas. dibujadas. ¿Qué conclusiones conclusiones sacás?

9. En el conjunto de los números reales se define la relación f(x) = x + 2 a. b. c.

Hall Hallá á f(5) f(5);; f(0) f(0);; f(90 f(90)) Si f(a) f(a) = 5; 5; f(b) f(b) = 1 y f(c) f(c) = 201; 201; hal halla larr a, b y c. c. Gra Graficá ficá f.

10. Da la expresión de cada una de las funciones lineales lineales cuyas gráficas son:

Practico Practico 2. Funciones Funciones

4

UBA XXI


11. a. Encontrá en cada caso, una función lineal f que que satisfaga: a.1. a.1. f(2) f(2) = 3 y f(4) f(4) = 0 a.2. a.2. f(-1 f(-1)) = 3 y f(1) f(1) = 3 a.3. a.3. f(0) f(0) = -2 y f(2) f(2) = 0 b. Graficá las funciones encontradas. c. Hallá gráfica y analíticament analíticamente, e, la intersección intersección con los ejes.

12. Hallá las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones indicadas y graficálas: a. Pasa Pasa por por (2; (2; 4) 4) y (5; (5; 0) 0) b. Tiene Tiene pendie pendiente nte 

1 y ordenada ordenada al origen origen –1 3

c. Todos Todos sus puntos puntos tien tienen en absci abscisa sa –2 d. Todos sus puntos puntos tienen tienen ordenada ordenada -5

13. Representá Representá las siguientes siguientes rectas. En cada caso, da la pendiente y ordenada al origen. a. y = 5 x –3 b. y = -3 x + 2 c. x - 5 = - y d. y – 1 = x e. - y = -3 x –3 f.

y - x- 4= 0

14. Dada la función f tal que f (x) 

1 x  1se pide: 3

a. Repres Representál entála. a.


5

UBA XXI


b. Indicá Indicá cuál o cuáles de los siguiente siguientes s puntos pertenece pertenecen n a la gráfica gráfica de f. P = (0; 0)

 1 1  R =  - ;-   2 6 

Q = (3; 0)

 3  S =  ;2  2 

c. Hallá a tal que f(a)= -3.

15. Encontrá en cada caso, las rectas que satisfacen: a. Tiene pendiente pendiente -3 -3 y pasa por el punto (0; 3). b. Tiene pendiente

1 y ordenada al origen -3. 2

c. De pendiente pendiente m = -5 y pasa por el origen de coordenadas. coordenadas. d. Su pendiente es m = 0 y pasa por (3; -5). 16. Decidí, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

 a. Si f(x) = -3x + 2 entonces C    - ; 

2   3 

b. Exis Existe te una funci función ón lin linea eall g que que veri verifi fica ca g (4) (4) – g (1) (1) = 4

y

g (-2) (-2) =

1 2

c. Existe una función lineal cuya gráfica contiene todos los puntos de la forma (3; y), siendo y un número real.

17. Sean f y y g funciones lineales tales que: a. La gráfica gráfica de f es es la recta de pendiente 1 que pasa por P=(1; 0) b. La gráfica gráfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1). Determiná Determiná analíticament analíticamente e el conjunto conjunto A ={ x /f(x) = g(x)}

18. En cada uno de los siguientes casos, f y g son funciones lineales. Determiná Determiná analíticamente analíticamente el conjunto conjunto A ={ x /f(x)  g(x)}.

a. f(x) = -2x + 3

g(x) = x

1 x 5 2

g(x)   2 - 4x

c. f(x) = - x + 2

g(x) = -x – 1

b. f(x)

d. f ( x)  - 3x - 1


g(x) 

1 x-1 3

6

UBA XXI


19. La función que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, está dada por 1 f ( x)  x , donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en 14 el cuerpo, medido en litros. a.

Graficá la función.

b.

¿Cuántos litros de sangre tiene una persona cuyo peso es de 58 kilos? ¿Y de 46 kilos?

c.

Determiná el peso de las siguientes personas si se sabe que poseen: c.1. 3 litros de sangre. c.2. 36 dl c.3. 2.500cc


7

UBA XXI


20. Beber cerveza hace que el alcohol en la sangre aumente, lo cual puede resultar muy peligroso. A medida que transcurre el tiempo, el nivel de alcohol en la sangre va disminuyendo. La tabla muestra los valores obtenidos después de que una persona bebió cerveza.

Tiempo ( horas)

1

2

3

4

5

6

7

Alcohol en la sangre ( mg/ml)

90

75

60

45

30

15

0

a.

Graficá de acuerdo con la tabla. (Considerá el tiempo en horas con 0

b.

Escribí la fórmula de una función que describa la relación que muestra la tabla.

t

7)

21. Pablo trabaja durante 10 días repartiendo publicidad. Le pagan $12 diarios. a.

Elaborá una tabla que refleje el número de días trabajados, n, y el dinero ganado, g , en pesos.

b.

Hacé una representación gráfica con los valores de la tabla.

c.

Si en lugar de trabajar 10 días trabajara 20, ¿ganaría el doble?

d.

Buscá una expresión algebraica que relacione el número de días, n, con el dinero ganado, g.

22. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel de la tierra es de 20 ºC y a 1 km de altura es 10 ºC: a. Escribí la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una relación lineal. b. Dibujá el gráfico. c. Determiná la temperatura a 3 km de altura.

23 . El ingreso total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado por r(x) = 450x y sus costos mensuales totales están dados por c(x) = 380 x + 3500. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir para llegar al punto de equilibrio? (Punto de equilibrio quiere decir que los ingresos igualan a los costos).

24. Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto. Por otra parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad. a. ¿Cuántas unidades es necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total? b. ¿Cuál es ese valor?


8

UBA XXI


25. Graficá en el mismo sistema de ejes, las siguientes funciones: 1 2 2 2 2 a. f 1 (x) = x f 2 (x) = -x f 3(x) = 2x f 4(x) = x 2 b. g1(x) = x

2

2



FUNCIONES LINEALES

2

g 2 (x) = x + 1

g3 (x) = x – 1

c. h1 (x) = x

2

h2 (x) = (x –1)

2

d. k1 (x) = x

2

k2 (x) = (x – 2)

2

CAPITULO III

2

Y CUADRATICAS

2

Funciones cuadráticas

h 3(x) = (x +1)

k3 (x) = (x –2) + 3

26. Para cada uno de los siguientes gráficos de funciones cuadráticas, da dominio, imagen y la fórmula que la caracteriza.

a.

b.

c.

12

5 18 3

3

3

-1

1

27. La gráfica corresponde a una función cuadrática cuya ecuación es de la forma 2

f(x) = ax + bx + c, (a  0) Respecto a la función f, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Justificá las respuestas. a. a < 0 b. f(2) > 1 c. c = - 5 d. f(-5) = f(0) e. f(1) = 1 f.

f(-2) = f(1)

28. Decidí en cada caso si los puntos indicados pertenecen al gráfico de la función. 2

a. f(x) = x –1; b. g(x) =

1 2 x ; 2 2

c. h(x) = x –2x + 1;


A = (0; -1) A = (1;

1 ) 2

A = (0; 1)

y

B = (1; 0)

y

B = (0; 0)

y

B = (-2; 7)

9

UBA XXI


29. Determiná para las funciones que se indican: a.

C0 ; C + y C-

b.

Los valores máximos y mínimos relativos.

c.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 2

i. f(x) = -x -2x + 1

ii. g(x) = 2 x (x-3)

2

iii. h(x) = (x -1) + 3

30. Decidí, justificando, cuáles de los gráficos corresponden a las funciones: 1 2 2 2 2 a. f(x) = x b. g(x) = (x-1) c. m(x) = 3x – 1 d. p(x) = x - x 4

Gráfico 1

Gráfico 2

Gráfico 4

2

e. t(x) = –2x + 3

Gráfico 3

Gráfico 5

31. En cada caso, determiná la función cuadrática que verifica: a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; + ) b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4. c. Im f = [-5; +); C+ = (-; -2) U (8; + ) d. Toma su valor máximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Además C 0 = {-3; 1}

32. Hallá analítica y gráficamente las intersecciones de los gráficos de los siguientes pares de funciones: 2

a. f(x) = 2x + 4x + 10; g(x) = -2x +1 b. f(x) =3(x - 2)(x + 5); 2

c. f(x) = -x + 4x – 4;


g(x) = 3(x + 4) g(x) es la función lineal que verifica que g(1) = 7 y g(-1) = 5.

10

UBA XXI


33. Una empresa determina que en la fabricación de x unidades de un producto, el costo (en miles de 2 pesos) viene dado por C(x) = x + 2x + 5. Se desea saber el número máximo de unidades que deben fabricarse para que el costo no supere los 20 mil pesos.

34. La función de demanda para un producto es p(q) = 1000 - 2q, donde p es el precio (en pesos) por unidad cuando q unidades son demandas por los consumidores. Encontrá el nivel de producción que maximice el ingreso del productor y determinar ese ingreso. (Ingreso total = precio x cantidad)

35. Durante un choque la fuerza F (en Newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo de 2 acuerdo con la expresión F(t) = 87t – 21t , donde t está en segundos. Se desea saber: a.

¿En qué dominio es válida esta función?

b.

¿Para qué valor de t es máxima la fuerza? ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza?

36. Un grupo de biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteínas. Al variar el porcentaje de proteínas (p), el grupo de biólogos estimó que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata fue:

f ( p )  -

1 50

p 2  2p  20;

0  p  100

a.

Graficá la función.

b.

Calculá f(20) y f(45)

c.

Encontrá el peso máximo ganado y cuál fue ese peso.

37. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y la demanda de un determinado artículo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 2

La oferta quedó caracterizada por la función p(q) = 1/30 q + 24 en la que q representa las unidades del artículo y p el precio por unidad. La demanda tiene un comportamiento lineal, siendo la máxima demanda de 120 unidades, y por cada aumento en 10 unidades el precio disminuye en $6 Se pide: a.

Hallar la función que caracteriza la demanda.

b.

Representar gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema de ejes.

c.

Hallar analíticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el precio para el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).

d.

Hallar la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.

e.

Hallar el máximo ingreso.


11

UBA XXI


38. Miguel quiere alcanzar un colectivo en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el 2 tiempo en cada caso son Mv = 400 t y C v = 500 + 30 t donde M y C representan la velocidad de Miguel y el colectivo respectivamente, y t el tiempo medido en segundos. a. Representar ambas gráficas. b. ¿Puede Miguel alcanzar el colectivo? ¿En qué momento?

39. Un alambre de 10 cm de longitud se corta en dos trozos a una distancia x de uno de sus extremos. Con uno de los trozos se arma un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero. a.

Expresá el área total encerrada por ambas figuras como una función de x .

b.

¿Dentro de qué dominio queda definida esta función?

40. Graficá en un mismo sistema de coordenadas las funciones f, g y h indicadas, explicitando dominio y conjunto de imágenes: 2

4

CAPITULO IV

6

a. f(x) = x ; g(x) = x ; h(x) = x 3

3

FUNCIONES POLINOMICAS

3

b. f(x) = x + 3; g(x) = (x+3) ; h (x) = -2(x+3) -1 4

4

4

c. f(x) = x + 4 ; g(x) = (x+4) ; h(x) = 2(x+4) + 2

5

3

4

41. Dada f(x) = 6x -9 + 2x - 4x -3x -6x

2

 3  a. Calculá f(1) ; f(-1); f(0); f ( 2 ) y f    2  b. ¿En qué caso puede afirmarse que se encontró un cero de la función?

42. Indicá cuáles de los números 1, -1, 2, -2 son ceros de las siguientes funciones: 3

f(x) = x – 7x -6

3

2

4

g(x) = x - 6x -4x + 24

3

2

h(x) = x -2x -11x + 12x

43. Para cada una de las siguientes funciones, hallá C 0. Justificá que se han encontrado todos los ceros. 3

2

f 1(x) = x – 4x + 4x 4

2

f 3(x) = x -2x + 1 3

2

f 5(x) = x - 6x + x - 6


5

3

f2 (x) = x – 9x

2

2

f 4 (x) = -2 (x-3) (x -1) (x +1) f6 (x) = -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

12

UBA XXI

Modalidad virtual Matemática 4

3

2

44. a. La función f(x) = x + x -16x – 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen x1 = 3; x2 = - 2 y x3 = 2. Halla la cuarta raíz y escribí a f como producto. 4

3

2

b. Hallá a para que la función f(x) = x - 3x -2x +12x + a corte al eje x en x = 1. 5

4

3

2

c. Dada g(x) = 2x – 3x -11x + 6x , hallá todas sus raíces sabiendo que x= 3 es una de ellas. 4

3

2

d. Encontrá todas las raíces reales de h(x) = x + x -18x -16x + 32, sabiendo que el polinomio es 2 divisible por x -16. 3

2

e. Siendo f(x) = x – 2x + (3 – a) x + (a – 2); determiná a para que f(2) = f(1) = 0

45. Encontrá:

 1  a. Una función polinómica f de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y   ;0   3  ¿Es única?

 1  b. Una función polinómica g de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y   ;0  , que  3  además verifique g(1) = 8

46. En cada uno de los siguientes casos, encontrá los intervalos de positividad y de negatividad de f. a. C0 = {- 1; 1}, f(-2) = 1; f(0) = 3 y f(2) = -3

 3  1 b. f(1) = f(3) = f(-2) = 0; f(-5)= -10, f    , f(2) = -1 f(0) = -1 y f(5)= 100.  2  2

47. Para las siguientes funciones 2

f 1(x) = 3x – x

3

2

2

f 2 (x) = (x -1) (x +1)

2

f3(x) = -2(x -1) (x-3)(x - 4)

a. Encontrá todos los puntos donde la gráfica corta al eje x. b. Analizá intervalos de positividad y negatividad. c. Hacé un gráfico aproximado de f.

2

48. Si fx) = -2(x-1) (x+2)( x-4)(x+5) a. Determiná, justificando, el signo de f(x) en los siguientes intervalos: (-; -5); (-5; -2); (-2; 1);(1; 4) y (4; + ). b. Hacé un gráfico posible de f.

49. Usá el teorema de Bolzano y sus consecuencias para aproximar con error menor que

1 , un 100

cero de f en el intervalo indicado. 3

2

4

2

a. f(x) = x -3x +3, en el intervalo (0; b. f(x) = x -2x -5,


2 ).

en el intervalo (0; 2).

13

UBA XXI


50. Un meteorólogo encuentra que la temperatura G (en ºC) durante un día frío de invierno estuvo dada por G(t) = 0,05 t ( t – 12) (t-24) donde t es el tiempo ( en horas) y t = 0 corresponde a las 6 de la mañana. a. Graficá la curva b. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º C? ¿Entre qué horas la temperatura fue superior a los 0ºC? ¿Entre qué horas estuvo por debajo de 0º C?

3

2

51. Dos móviles se desplazan siguiendo las ecuaciones: e 1(t) = t -t +1 y e 2(t) = 6t -5, donde e es el espacio (en kilómetros) y t el tiempo (en horas). Luego de una hora de iniciado el recorrido, los dos móviles se encuentran por primera vez. ¿Se encontrarán en algún otro momento? En caso afirmativo, ¿a cuántos kilómetros de iniciado el recorrido?

52. Suponiendo que el costo (en pesos) de producir x unidades de un cierto producto está dado por la función 1 C( x)  x 3  2x  5 6 a. ¿Qué significado tiene para esta función el término independiente? b. ¿Cuál es el costo de producir 10 unidades? c.

¿Cuántas unidades fueron producidas cuando el costo fue de 53$?

53. La velocidad en pies sobre segundo (ft/seg) de un trasbordador espacial luego de t segundos de haber partido está dada por la función polinómica:

v (t )  t 3  20t 2  110t a.

¿Cuál es la velocidad del trasbordador luego de 10 segundos de haber partido?

b.

Graficá la velocidad en función del tiempo.


14

Matemática

PRÁCTICO 2. FUNCIONES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Introducción a funciones. Función lineal


1. a. Decidí si la siguiente relación es una función. Justifica tu respuesta. h:

  ;

h( x ) 

x x

b. Si no lo es, redefinila para que lo sea sin cambiar la fórmula. 2. Sea f la función lineal que verifica f(1) = 2 y f(-4) = - 2 y sea g la función lineal cuya gráfica es la recta de pendiente



1 y que pasa por P = (0; 1). 3

Hallá, analíticamente, el conjunto A = {x  /f(x)  g(x) }

3. Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar un auto y disponen de dos opciones: OPCIÖN A: 70 dólares por día OPCIÖN B: 30 dólares por día más 0.4 dólares por km recorrido. Determiná a partir de qué recorrido es más conveniente la opción A que la B para el caso en que se queden 8 días.


Matemática

PRÁCTICO 2. FUNCIONES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Función cuadrática- Funciones polinómicas


1. Laura y Martín venden artículos de informática. Por su venta Laura tiene un ingreso dado por f(x) = 5x (x+6) y Martín un ingreso dado por g(x) = 3x 2 + 66 x; siendo x el número de artículos vendidos. ¿Qué cantidad de artículos vende cada uno para obtener el mismo ingreso?

2. Sea f la función lineal cuyo gráfico corta a la parábola y = 2x²- 5x + 2 en los puntos de abscisas x = -1 y x = 3. Calcular la fórmula de f.


Matemática

PRÁCTICO 2. FUNCIONES EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. El gráfico de la función f(x) = 2x3 – 3x 2 – 32x – 15 corta al eje x en el punto (-3; 0) a. Encontrá todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje x. b. Hallá los intervalos de positividad y negatividad de f .

2. Hallar la expresión de la función cuadrática cuya gráfica corta al eje de ordenadas en 5, al eje de abscisas en -3 y su eje de simetría es x = 1.



Unidad 3 ESTUDIO ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCIONES. FUNCION FUNCION RACIONAL RACIONAL

Temas de la unidad Estudio de funciones. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Composición. Función inversa. Operaciones con funciones reales. Noción de límite. Asíntotas. Funciones racionales: dominio, ceros. Descomposición en fracciones simples.

 Bibliografía

obligatoria

AA.VV., Matemática Teórica .

Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo V. Introducción al estudio de funciones. .

 Práctico 3: Introducción al estudio de funciones.

UBA XXI


PRACTICO 3. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

x3 2 a. Encontrá la fórmula de g f y da su dominio.

1. Si f(x) = x + 5 y g(x) g(x) =

 APITULO



b. Calculá f g (2) (2) y f g (-3) (-3) 

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE FUNCIONES



2. Sean f:  dada por f(x) = 3(x-1) g:  dada dada por por g(x) g(x) = 3 x

Composición de funciones

a. Hallá Hallá la fórmul fórmula a y el dominio dominio de: a.1. g f 

a.2. f g 

b. Calc Calcul ulá: á: b.1. g f(2)

b.2. f g(-2)

b.3. g f( 3 )

b.4. f g( 3 )

b.5. f g(- 3 )

b.6. g f(- 3 )













3. Dadas las funciones: funciones: g 1(x) = x – 2

g 2(x) = x + 2 1 g 4 (x) = - x 2

g 3(x) = -2x

a. A partir del gráfico de f(x) = x 2, hacé los gráficos de: a.1. f g 1

a.2. f g 2

a.3. f g 3

a.5. g 1 f

a.6. g 2 f

a.7 g 3 f













a.4. f g 4 

a.8. g 4 f 

b. Hall Hallá á las las mism mismas as comp compos osic icio ione ness para para f ( x)  x c. Calculá el dominio de estas funciones. funciones.

4. Una piedra se arroja a un liquido y se forman círculos cuyo radio se incrementa en función 2 del tiempo t según según la fórmula r(t) = 4t . Sabiendo que el área de cada círculo círculo es A(r) =  r r : a. Hallar una función que exprese el área de cada círculo círculo conocido el tiempo. b. Calcular el área de un círculo transcurridos transcurridos 5 segundos de ser arrojada arrojada la piedra.

5. Un globo globo esfér esféric ico o se infla infla con con gas. gas. El radi radio o del globo globo aument aumenta a a razón razón de 1,5 m/seg m/seg.. Expresar el volumen del globo como una función del tiempo t (en segundos)

Practico 3. Introducción al estudio de funciones

2

UBA XXI


6. Se pone un recipiente recipiente con agua agua al fuego. La función que da la variación de la temperatura del agua (en ºC) con respecto respecto al tiempo t (en minutos) es: T(t) = 36 + 8t, para 0 t 10. a. Calculá para qué instante t la temperatura del agua es de 76ºC. b. Da la funci función ón que permite permite,, dada dada una tempe tempera ratu tura ra cualquiera, cualquiera, calcular calcular el tiempo transcurrido transcurrido desde que se pone a hervir el agua.



APITULO V INTRODUCCION AL ESTUDIO DE FUNCIONES Función inversa

7.Graficá 7.Graficá la función definida definida por la fórmula f órmula:: 2x  f ( x)  | 2x - 1 | 8 

si - 5  x  0 si 0  x  5 si | x |  5

a. Hallá Hallá el dominio dominio de f. b. Calculá Calculá f(-1), f(-1), f(10); f(10); f(3). f(3). c. Hallá Hallá x tal tal que f(x) = 1. 1. d. Decidí Decidí para qué valores valores de x es -3
8. Dibujá cada una de las siguientes funciones y hallá, gráfica y analíticamente, las soluciones de f(x) = b. a. f(x) = 3x + 2

b = -1

b. f(x) f(x) = x3

b = -8 2

c. f(x) f(x) = -(x-4 -(x-4))

b = -6

d. f(x) =

x

b=

e. f(x) 

1 x-1

b= 2

f. f ( x ) 

x1 x -1

b= 0

| x |  2 g. f(x)    x -1

x0 x0

1 4

b = -1

 x 2 x  -1 h. f ( x)    x x  -1

b= 1

9. Calculá la función inversa, graficá y da su dominio. a. f: 

f(x) = -x + 2

b. f: [0; +)  [0; + )

f(x) = x2

c. f:  -{1}  -{1}

f ( x ) 

x 1 x-1


3

UBA XXI


10. Decidí, cuál de las siguientes, es la función inversa de la función lineal f que satisface f(5) = 1 y f(-4) = -2. a. f -1(x) = 2x + 5 b. f 1( x ) 

x 2 3 3

c. f -1(x) = 2x - 5 d. f -1(x) = 3x + 2 11. Si f(x) = 3x + 2a , determiná a de modo que f(a 2) = f -1(a + 2)

12. Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento en las funciones graficadas a.

 CAPITULO V

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE FUNCIONES

b.

Funciones monótonas

13. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: 1 a. f(x)  2x  3 b. f(x)  - x  1 3 2 c. f(x)  x  4 d. f(x)  x 3 - 2 14. a. Dibujá una función que sea creciente en el intervalo [ -2; 10]. Para esa función, b ¿Cómo es 3f ? c. ¿Y – f ?

15. Se tiene la siguiente tabla donde figuran los precios de calzados deportivos y sus correspondientes demandas semanales en un comercio. Si la función de demanda es lineal:

Precio (en pesos) 100 200

Cantidad demandada 300 100

a. Hallar la ley de demanda. b. ¿Cuál sería la demanda si el precio fuera de $150? c. Hallar el precio para una demanda de 50 pares de calzado. d. Determinar si la demanda crece o decrece de acuerdo con el precio.


4

UBA XXI


16. a. Dibujá una función continua que verifique simultáneamente las siguientes condiciones: 

f(0) = 3



f(-1) = f(5) = f(8) = f(10) = 0



Alcanza máximos locales en x = 2 y en x = 9,5 y es f(2) = 5 y f(9,5) = 7



Alcanza un mínimo local en 6 y es f(6) = -4

b. Para la función dibujada, da: b.1. Intervalos de positividad y negatividad b.2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

17. En cada una de las siguientes gráficas indicá si existen lim f ( x) y lim f ( x) x 

x 

a.

b.

 CAPITULO V

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE FUNCIONES Asíntotas

c.

d.

e.

.


5

UBA XXI


18. Calcular los siguientes límites. 1 x  x

3 x  x 2

a. lim

c. lim  x - 

b. lim 10 x

1 x 5 e. lim 2 x - 1 x 3 x 2  3x  1 g. lim x  x3  3 x3  2 x  x 2  7

i. lim

x2 x  x  3

d. lim

 1 2 - x  f. lim    x   2 x 

h. lim

x

x -

2

x 1

x 1 x  x 2  4

j. lim

19. a. La gráfica de la función f ( x)  Indicá:

4 2

x 4

a.1. lím  f ( x)

a.2 . lím  f (x )

a.3 . lím f ( x )

a.4 . lím f ( x )

a.5. lím f ( x)

a.6. lím f ( x)

a.7 lím f ( x)

a.8. lím f ( x)

x  2

x 0

x 2

x 

es la siguiente:

x 2 x 0

x 2

x 

b. Para la siguiente gráfica indicá: b.1 lím f ( x)

b.2. lím f ( x )

b.3. lím f ( x)

b.4. lím f ( x )

b.5. lím f ( x)

b.6. lím f ( x)

x 2

x 0

x 

x 2

x 0

x 


6

UBA XXI


20. Para cada gráfico da los límites que se indican.

a.

b.

c. d.

f.

e.

a. b. c. d. e. f .

lim f ( x ); lim f ( x ); lim f ( x); lim f ( x)

x 

x 

x 2

lim f ( x); lim f ( x ); lim  f ( x);

x 

x 

x 2

x 2

lim f (x )

x 2

lim f ( x); lim f ( x)

x 

x 

lim f ( x); lim f ( x); lím f(x)

x 0 

x 0

x 0

lim f ( x ); lim  f ( x ); lim f ( x); lim f ( x)

x 1

x  1

x 0

x 0

lim f (x ); lim f ( x)

x 

x 


7

UBA XXI


21. Dibujá el gráfico de una función f que verifique: a. lím f ( x )    x 2 

b. lím f ( x )  - 

lím f ( x )  

x 2 

lím f ( x)   

x 0 

x 0 

lím f ( x )  - 2

lím f ( x)  - 2

x 

x  

lím f ( x )   1

lím f ( x)   

x 

x 

22. Calculá los siguientes límites 1 1 a. lím b. lím x 3 x  3 x 3 x  3 1 1 c. lím  d. lím  1 1 1 1 x  x  x x   2 2 2 2 1 1 e. lím f. lím 1 1 x 0 x 0 x2  x2  6 6 23. En cada caso, decidí si es posible que exista una función f que cumpla con las condiciones dadas. Si lo es dibujá una gráfica posible. a. lim f ( x )  2

lim f ( x) = 3

x 0 

x 0

f (0 )   1

b. lím f ( x)  lím f (x ) y - 3  Dom f y f(-3)  lím f ( x) x 3 

x  3 

x  3

c. lím f ( x)    lím f ( x)  3 y f(2)  5 x 2 

x 2 

24. Hallá, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones. 1 1 a. f ( x)  2 b. f ( x )  1 x 2 x 4 2x  1 5x 2  2 x c. f ( x)  d. f ( x )  3x  5 x 3 x 1 2 e. f ( x )  2 f. f ( x )  1 x 1 (x  2)2

25. a. Calculá el valor de a para que la recta x= 5 sea una asíntota de la función f(x) 

x 3 . x a

b. Decidí si la función tiene otras asíntotas. En caso afirmativo, hallarlas.

26. De una función f(x) sabemos que tiene una asíntota horizontal y dos verticales. ¿Cuál de las siguientes puede ser? Justificá la respuesta. 2x 2  3 a. 2 x 4


x1 b. 2 x 4

x2  1 c. x -3

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UBA XXI


27. Dibujá el gráfico de las siguientes funciones y analizá para cada una dominio, conjunto de imágenes, ceros e intervalos de positividad y negatividad. a. f(x) 

1 x

28. Dada f ( x ) 

b. g(x) 

1 x -1

c. h(x) 

1 -1 x

x se pide: x-1

a. Graficar f. b. Indicar dominio e imagen de f. c. Escribir ceros, asíntotas, intervalos de positividad y negatividad de f. 1 x-1  1  29. a. Encontrá g( x)  f   y h(x)  sabiendo que f ( x)  f(x) 3x  5  x  b. Graficá las funciones f, g y h. c. Indicá dominio de cada una de ellas. d. Analizá ceros, positividad y negatividad. e. Calculá: f(2), h(2), g(2) f. Hallá a, b y c que verifiquen f ( a) 

-1 -1 -1 ; g(b)  ; h(c)  2 2 2

2x - 1 decidí, justificando si 1 y 2 pertenecen a Im f. x4 1 b. Sea g: -{2}   tal que g(x )  ¿para qué valores del dominio es g(x) < 2? x -2 ¿Y mayor que 2?

30. a. Dada f:-{-4}   tal que f ( x ) 

31. Hallar dominio, imagen y asíntotas de la función h = f g si f(x)  

32. Dadas f ( x) 

4 x

y

g( x) 

1 y g(x) 2x - 3 . x -1

x2 , 3

a. Hallar las funciones g f y f g. 



b. Dar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de dichas funciones. 33. En un tanque con agua se vierte cloro y agua de manera que la concentración de cloro en el tanque en función del tiempo está dada por: 2t C(t )  5 t  300 a. ¿Qué ocurre con la concentración de cloro en el tanque cuando ha pasado mucho tiempo? b. Graficar aproximadamente la función C(t). c. ¿Qué porción de la gráfica tiene sentido en el contexto del problema?


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UBA XXI


34. Suponer que durante un programa nacional de vacunación contra la gripe el Ministerio de Salud Pública encontró que el costo de vacunar al x% de la población se puede aproximar por la función C (costo en millones de pesos) 150 x C( x)  200  x a. Graficar aproximadamente la función C(x) y especifica que porción de la grafica tiene sentido en el contexto del problema. b. ¿Cuánto cuesta vacunar al 50% de la población? c. ¿Qué porcentaje de la población se ha vacunado cuando se llevan gastados 100 millones de pesos?

35. Para estudiar la velocidad a la cual los animales aprenden, se desarrolló un experimento mediante el cual una rata fue enviada repetidamente a través de un laberinto de laboratorio. Suponiendo que el tiempo requerido por la rata para salir del laberinto en el intento número n está aproximada por la función 12 T(n )  3  n a. Indicá el dominio de T(n). b. ¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en salir del laberinto cuando n se hace muy grande? 36. En una reserva ecológica se introducen 50 ciervos. Se cree que el número de ciervos 10(5  3 t) crecerá siguiendo el modelo N( t)  donde t es el tiempo en años. 1  0,04 t a. Calculá el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años. b. ¿A qué valor tenderá la población cuando t tiende a infinito?


10

Matemática

PRÁCTICO 3. ESTUDIO DE FUNCIONES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Función inversa. Composición de funciones. Monotonía


1. ¿Cómo podrías expresar la función f ( x) 2. Considerá la función f ( x)





x



5 como composición de otras dos funciones?

1 . ¿Es cierto que ( f 1 2x  1



f ) (x )



x?

3. La velocidad que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros se puede representar por una función que da cuenta de la velocidad para cada espacio x recorrido por el atleta. La misma está dada por la expresión: V(x) = -0,00055x (x - 300) a. Dibujá el gráfico de la función cuadrática que representa la velocidad del atleta en función del tiempo recorrido. b. ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es esa velocidad? c. ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo? d. ¿A qué velocidad llega a la meta?


Matemática

PRÁCTICO 3. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

Sea f ( x )

1 

x 1



3 y g ( x )



a) Calculá h( x )



f



1 

x

g ( x )

b) Dá el dominio de h. c)

Analizá la existencia de asíntotas verticales y horizontales y dá las ecuaciones de las mismas.



Unidad 4

FUNCIONES ESPECIALES Temas de la unidad Funciones especiales. Función exponencial y logarítmica: gráfico, dominio e imagen, propiedades. La función logarítmica como inversa de la función exponencial. Derivadas. Estudio de ambas funciones a través de sus derivadas. Aplicación al estudio de crecimiento de poblaciones. Escalas logarítmicas. Funciones trigonométricas: definición, gráficos, propiedades. Periodicidad. Paridad. Funciones inversas. Resolución de problemas que involucren funciones trigonométricas. Uso de calculadoras.

 Bibliografía

obligatoria

AA.VV., Matemática Teórica . Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de

Copiado La Copia

S.R.L., 1995; Capítulo V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. AA.VV., Matemática Teórica .

Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo VI. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

 Práctico 4. Funciones especiales.

UBA XXI


PRACTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES

1. a. ¿Entre qué valores, medidos en radianes varía la amplitud de un ángulo contenido en el primer cuadrante? b. ¿Y en el segundo, tercero y cuarto cuadrante respectivamente?

 CAPITULO VI

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

2. En una circunferencia trigonométrica, determiná las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos.  11  a. P(3  ) b. P    2   7   5  c. P -   d. P    4   4 

3. Si t y t’ verifican que t’= t + 2k , hallá t’ para -1 k2, (k ) en los siguientes casos: a. t 

7  4

b. t 



c. t 

5

2 3

4. Resolvé el siguiente problema: Una autopista describe un arco de circunferencia de 200 metros de longitud. ¿Cuál es el radio de la circunferencia en cuestión, si el ángulo del centro mide 2 radianes? 5. Utilizando la circunferencia trigonométrica, calculá sen x y cos x para: a. x  0

b. x 



c. x  

2 3 d. x   2

e. x  2 

f. x  

g. x 

2 3

i. x  



6

h. x 



6



3

 2

 3

Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica.

2

UBA XXI


6. Encontrar los valores reales de x que verifican: a. sen x 

1 y x  0;2  2

b. sen x 

3 y x  - ;  2 2 e. cos x  y x  0;2  2 c. sen x 

3 2





y x  0;   2

d. cos x  - 1 y x  [- ; ] 3 f. cos x  0 y x  0;    2 

7. A partir de las gráficas de las funciones seno y coseno, encontrá: a. Los ceros de la función seno que pertenecen al intervalo [-2 ; 3 ]. b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2 ; 4 ] tales que sen x = sen



4

.

c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x. d.

3  x   ; 2  2 

y sen x 

1  y que   3

8. Si se sabe que el cos  =  



a. cos      2 

9. Sabiendo que cos  = a. sen 

1 2

 3      2 

b. sen

   0; 2 ; hallá:  

c. sen (  − )

3  3  y que    ; 2   determiná: 5  2  b. sen 2 

c. cos



2

10. Graficá las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas y en el intervalo [0; 2], e indicá en cada caso: dominio, imagen, raíces y periodicidad. a. f(x) = sen x y g(x) = 1 + 2sen x 

 

b. f(x) = cos x y g( x)cos  x    2 


3

UBA XXI


11. Relacioná cada una de las siguientes funciones con el gráfico que le corresponde. Justificá la decisión.  1  f 1(x)  sen x   2 

f 2 ( x )  2cos x

f 3 (x)  sen 2x

f 4 (x)  cos x - 1

Gráfico 2

Gráfico 1

Gráfico 4

Gráfico 3

12. Para las siguientes funciones, hallá C0; C + y C- en los intervalos indicados. a. f(x)  2sen x b. f(x)  1 - cos x c. f(x)  sen 2x - 1 d. f(x)  2sen 2 x - 1 1 e. f(x)  cos 2 x - cos x 2

 en 0;   2 en 0; 2  en [- ; ]

en 0; 3  en [-2; ]

13. a. Si f(x) = 2 sen 3x + 1, determiná todos los valores de x  [- ; ] tales que f(x) = 2. b. Hallá todos los valores de x  [0; 2 ] que verifican 1 + sen x = cos x.  x

   .  4 

c. Determiná x  [0; 5 ] tales que f ( x)  2 si f ( x )  2 sen


4

UBA XXI


14. Para cada una de las funciones determiná: a. Amplitud, período y conjunto de imágenes. b. Su valor máximo y mínimo y en qué puntos se alcanzan dichos valores.  

1 sen(3 x ) 3 1 f 3 ( x)  sen( 2 x)  1 2 f 5 (x)  cos x   2 f 1(x) 

f 2( x)  - 2 sen x f 4( x )  -

   2 

1 cos( x   ) 2

15. La función f(x) = 2 sen (x + ) + b, está definida en el intervalo [-2 ; 2  ]. a. Hallá el valor de b para que Im f = [0; 4] b. Para ese valor de b, encontrá: b.1. m y n tal que f(m) = 0 y f( n) = 4 b.2. Los intervalos de positividad y negatividad de f.

16. A partir del gráfico de f(x) = ex, a. Graficá las siguientes funciones:

 CAPITULO VII

f 1( x )  e x  2

f 2 ( x)  e x -1

f 3 ( x)  e x 1

f 4 ( x )  e - x

f 5 ( x)  e -x - 1

f 6 ( x )  e - x -1

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

b. En cada caso, hallá Im f y da las ecuaciones de las asíntotas de f .

17. A partir de la gráfica de f(x) = 3X graficá las siguientes funciones, hallá la imagen y la ecuación de la asíntota de cada una de ellas. f 1( x)  3 x 1

f 2 ( x)  3 x  1

f 3 ( x)  3 -x 2

f 4 ( x)  3 -x  2

18. Obtené los siguientes números sin usar calculadora ni tabla. a. ln e 2 d. log 3

1 9

g. log 3  log 3 3

3



b. e ln 6

c. 2e ln 1

e. log 10000

f . log 2

h. log

e

1

i. 9


3 log9 5

5

9 4

5

UBA XXI


19. Dada f(x) = 3x-4 – 7. a. Hallá los valores de x tal que f(x) = -4. b. Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes. c. Graficá la función. d. Hallá los intervalos de positividad y negatividad. 20. Escribí dominio, imagen y asíntotas horizontales y verticales, si existen, de f. Cuando existan dichas asíntotas, da sus ecuaciones.

a. f(x) 

1 2 e x

c. f(x)  4 - e

b. f(x)  e 

3 x



2 x 1

 1  x d. m(x)    - 2  e 

21. Hallá, en caso, el dominio, las ecuaciones de las asíntotas verticales, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f . a. f(x)  ln(-x  3)

c. f(x)  ln (x 2  4)  1  e. f(x)  ln   2 - x 

b. f(x)  ln(| x | - 3)

d. f(x)  ln(-1  cosx) en 0; 4 

22. Dadas las funciones: f 1( x)  e -x 2 f 2 ( x)  2  3 -x

f 3 ( x)  log 2 (| x |)

f 4 ( x)  3log2 ( x )

Decidí cuáles de los siguientes gráficos corresponde a cada una de ellas. Gráfico 1

Gráfico 3


Gráfico 2

Gráfico 4

6

UBA XXI


23. Para cada una de las siguientes funciones calculá lim f ( x ) y lim f ( x) y grafícalas. x 

x  

Decidí si existen las asíntotas horizontales. En caso afirmativo da su ecuación. a. f(x)  e

 1  b. f(x)     3 

- x4

d. f(x)  2 - x

2

1

e. f(x)  3

- 2x -1

4x

c. f(x)  e x - 2  3 1

24. Para cada función, hallá la fórmula, el dominio y la imagen de la función inversa f -1. a. f(x)  e -x 1 b. g(x)  e 2x 1 c. h(x)  3 e 2 -3x - 1 d. k(x)  ln(4 - 2x) e. m(x)  2  ln(-2x  3) 25. Encontrá las fórmulas de h y h-1, donde h = f o g para: a. f(x) = ln(x - 3), g(x) = 2(x -1) b. f(x) = ln(3 – 2x), g(x) = |x| 26. La función f verifica lim f ( x )    y 0 f(x) 1 para 0 x1. x 2

Indicá cuál de las siguientes funciones cumple estas condiciones. a. f(x)  1 - log 2 ( 2  x) b. f(x)  1  log 2 (2  x ) c. f(x)  1  log 2 (- 2  x)  x  d. f(x)  1  log 2 1    2  27. La desintegración de un cierto material radiactivo está dada por Q = Q0 10 -kt , donde Q está dado en gramos y t en años. Si Q0 = 500, encontrar k si Q = 450 cuando t = 1000. 28. Una población de insectos crece según la ley P(t) = 1 + 2et donde P es la cantidad (en miles) de insectos y t es el tiempo en meses desde el instante inicial. a. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población inicial? b. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población existente después del primer mes? 9 x  3 se corta con la gráfica de la función f ( x )  k.a x en 2 x  2 y en el eje y. Encontrá k y a.

29. La recta de ecuación y 


7

UBA XXI


30. Un cultivo de bacterias triplica su número cada media hora y originalmente había 2.500 de ellas. a.

¿Cuál es la expresión general del número de bacterias después de n horas?

b.

¿Cuántas bacterias habrá después de 45 minutos?

c.

¿Cuántas habrá al cabo de 10 horas?

d.

¿Cuándo habrá 25.000 bacterias?

31. Un compuesto químico A se reduce a

2 5

de la cantidad inicial cada 6 horas

transformando el resto en otro compuesto B. Originalmente se disponía de 16.000 gramos de compuesto A. a. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 4 días? b. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 40 días?

32. En ciertas regiones la cantidad de agua dulce comenzó a reducirse un 4% cada 5 años desde 1.990. a. Si llamamos x a la cantidad de agua dulce que había en 1.990, ¿cuál de las siguientes expresiones indica la cantidad de agua dulce en dichas regiones t años a partir de 1.990? C t  

t 5 0,96

C t   x  0,96 5t

C t  x  0,96 C t 

t

t 5 x  0,96

C t  

x t  0,96 5

C t   0,96 5t

b. Obtené la expresión de la cantidad de agua dulce en función de x para el año 2.040.


8

Matemática

PRÁCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS


1.

En el proceso de respiración se alternan períodos de inhalación y de exhalación que se ⎛ π ⎞ t⎟ ⎝ 2 ⎠

pueden describir mediante la fórmula f(t) = 0,6 sen ⎜

siendo t el tiempo medido en segundos y f(t) el caudal de aire en el tiempo t, medido en litros por segundo. a. Hallar el tiempo en que se completa un ciclo (una exhalación y una inhalación). b. Hacer el gráfico de la función para dos ciclos completos y hallar: i. Los lapsos en que el caudal de aire es positivo y los lapsos en que es negativo. ii. Los instantes en que el caudal de aire es nulo, máximo o mínimo. 2.

El valor de una máquina industrial disminuye de modo que después de t años está dado por la función Q(t) = Q0e - 0,04t . Sabiendo que después de 20 años tiene un valor de 8987$ ¿cuál fue su valor inicial?


Matemática

PRÁCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Dada f(x) = 52x-1 – 125 a. Hallá analíticamente la intersección del gráfico de f con los ejes. b. Escribí el conjunto de negatividad. 2. Dadas las funciones f(x) = cos3x y g(x) = 8 lnx a. Hallá la función compuesta g f . b. Dá su dominio o

3. Considerá la función

g: [- ; ]

tal que. g(x) = sen2x – 1.

a. Encontrá el conjunto de ceros de la función g b. ¿En qué puntos del intervalo [- π; π] la función alcanza sus valores mínimos? 4. La desintegración de un cierto material radiactivo está dada por Q = Q 0.10- kt donde Q está dado en gramos y t en años. a. Si Q0 t

=

=

500 gramos, encontrá el número real

1000 años.

b. ¿Cuánto vale Q para t = 1000años?


k, si

Q

=

450 gramos cuando


Unidad 5 DERIVADAS

Temas de la unidad Derivadas. Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Reglas de derivación. Problemas de aplicación. Estudio de funciones.

 Bibliografía

obligatoria

AA.VV ., Matemática Teórica.

Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia

S.R.L., 1995; Capítulo VIII. DERIVADAS.

 Práctico 5: Derivadas.

UBA XXI


PRACTICO 5. DERIVADAS

1. Al tirar una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/seg su altura d(t) expresada (en metros) después de t segundos está dada por la fórmula: d(t) = 40 t – 5 t

 CAPITULO VIII

2

DERIVADAS

a. Construí una tabla que dé la altura de la piedra a intervalos de un segundo. ¿Qué pasa después de 8 segundos? Dibujá la gráfica. b. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuánto tarda en alcanzarla? ¿Cuánto tarda la piedra en volver al suelo? c. Calculá la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y la velocidad media durante la bajada. ¿Cómo son estas velocidades? d. Calculá la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7 segundos. e. Escribí la expresión de la velocidad promedio (vm ) entre los instantes t1 y t2 . f.

Da la expresión de la velocidad instantánea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos

2. Calculá, usando la definición de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto dado en cada caso.

a. f ( x)  x  4

en P  ( 3; 7 )

3 x -1

en P  (-2; - 1)

c. f ( x) 

b. f ( x)  3 x 2  3x - 4 d. f ( x ) 

5 1 - 3x

en P  (-1; - 4) en P  (2; - 1)

3. Dibujá una función que tenga derivada nula en x = 0 y en x = 2, derivada positiva en el intervalo (0; 2) y negativa para cualquier otro valor de x.

4. Dadas las siguientes funciones de

f ( x )  x

 en 

definidas por: 1

0 ; x  0 g( x)    x; x  0

h( x) 

x3

a. Representalas gráficamente. b. Verificá que f, g y h no son derivables en

5.

x

0

0.

Determiná para qué valores de abscisa x, la pendiente de la recta tangente vale 13 si f ( x)  x 3  x .

Practica 5. Derivadas

2

UBA XXI


6. Usando las reglas de derivación, hallar las derivadas de las funciones indicadas en su dominio de definición. a.

 CAPITULO VIII

f ( x)  3 x 4  5 sen x

b. b. h( x ) 

tgx sen x  2x

c. g(x )  ln x  d. m( x) 



4 x

3

REGLAS DE DERIVACION

 x



x  3 x ln x  2e x



 5  e. t( x)   3  ln x 3 senx  2cosx  x 

f. p ( x) 

3

x  3e x

4 x 8  5cosx

g.

s( t)  t 3  2t 2  3e t

h. r (p )  tp 3  3 t 2 p  5lnt  3lnp

i.

l(t )  4 t 3  2 pt  4 x 3t 2  2p 2x

j. m( x )  10 x  2sen( x  t)  ln 

k.

w( )  sen(cos   1)( tg  2)

l. p(t) = t. ln t

7. El espacio e (en metros) recorrido por un móvil en un tiempo t (en segundos) está dado por 2 e(t) = t +3t. a. Calculá lo que indica el velocímetro cuando t = 3 seg. b. Calculá la velocidad cuando ha recorrido 10 metros.

8. a. Encontrá el valor de a para que la derivada de la función f sea 2 cuando x = 2, siendo

f ( x) 

x2  a x

b. Hallá k para que la tangente a f ( x) 

x 1

en x = 2 sea perpendicular a la recta y = kx. x2 c. Hallá la función cuadrática f que verifica f(1) = -1 y que la pendiente de la recta tangente en el punto (0; 3) es cero. 9. Calculá en los siguientes ejercicios f’(x), aplicando la regla de la cadena. a.

f ( x)  3 1  x 2

c. f ( x)  ln 7  x 3 e. f (x)  4 g.

x3 senx 2

m( x)   tg x  1

i. p (x ) 

cos3

x2

e sen(ln x )


3 b. f ( x)  sen 2 x  3 

d. f ( x)  4  e 5 x 2



f. h( x )  ln x 3 senx 2  2 e cosx h. g( x )  e

x 2  1

ln( x  2 )  3 cosx

 x 2 j. q( x)  ln  1- x 

   

3

UBA XXI


10. Hallá las ecuaciones de las rectas tangente a las gráficas de las siguientes funciones en los puntos que se indican. a. f ( x)  x 2  9

en

x0  4

b. g( x )  3 cos x  sen 2 x

en

x0 

c. h( x ) 

4x

2

x0  2

en

x2  1



11. En un cierto instante dos móviles cuyas trayectorias son: 3

2

s(t) = t - 45t +100 y e(t) = 3t +60 t – 439 están en el mismo lugar y con la misma velocidad. Hallá cuál es ese instante y los valores correspondientes de la velocidad y la aceleración de cada uno de ellos. 12. Calculá f ’; f ’’ y f’’’

a. f(x)  x 2 e 2x

b. f(x)  ln 3 x  1 3

2

13. Calculá los valores de a, b , c y d en f(x) = a x + b x + cx + d si se verifica que: f(0) = 2; f’(0) = -1; f’’(0) = -2 y f’’’(0) = 10. 14. Hallá si existen, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones. 1 a. f(x)  x 2 - 12x  5 b. f(x)  x 4 - x 2 - 2 2  CAPITULO VIII 2 x 1 c. f(x)  d. f(x)  x  2 DERIVADAS Y EL x 4-x ESTUDIO DE FUNCIONES

15. Indicá en qué subconjuntos del dominio, las siguientes funciones son crecientes o decrecientes, de acuerdo con el signo de su derivada primera. 3

2x  4 x 2

2

b. f ( x) 

2

2 d. h( t)  1  4  t

a. f ( x)  2 x  9 x  12 x 2 x x c. g( x)  3  e

16. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallá los extremos relativos, si existen, para las siguientes funciones. 3

a. f ( x)  x  1

2

c. m (x )  x  e

x 1


b. g( x) 

d. p (t ) 

x2  1 x2  2 3 4 t

 ( t  2)

4

UBA XXI


17. Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y ecuaciones de asíntotas, si las hay, de las siguientes funciones.

a. f ( x)  x 3  e x 1

3 b. g( x)  x 3  2

2 c. h ( x)  3 cos x

3 e. p( t)  t ln t

d. f ( x) 

1 2 x 2 5

18. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la 2 3 función V(t)= 40 + 15t - 9t + t , donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comenzó el estudio (t = 0). Indicá los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que ésta crece y decrece.

19. La cantidad de agua f recogida (en millones de litros) en cierto pantano, en un tiempo (en meses) viene dada a través de la expresión 10 f ( t)  ; 0  t  12 (t - 6)2  1 a. ¿En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b. ¿En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c. ¿Cuál fue esa cantidad máxima?

20. Representá gráficamente las siguientes funciones, determiná el dominio de definición, ceros, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos singulares, asíntotas, máximos y mínimos relativos. x2 a. f(x)  b. f(x)  1 - x 2 x -3

c. f(x)  ln (x - 3)

d. f(x) 

e 2x ex

2

2

21. La función f(x) = x + ax + b pasa por el punto P = (-2¸1) y alcanza un extremo relativo en x= 3 Hallá a y b.

22. En la gráfica está representada la función f’, derivada de la función f. a. Determiná los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b. ¿Cuáles son los extremos relativos de f?


5

UBA XXI


23. Sea f:[0; 4]  y derivable en (0; 4) tal que el gráfico de su derivada es el de la figura. a. ¿En qué intervalos es creciente f? ¿Y decreciente? b. Decidir, justificando, si en x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 y x= 4 son extremos relativos de f.

24. Dibujá, en cada caso, una función continua que satisfaga: a. f’(-5) = f’(5) = f’(0) = 0; f’(x) >0 si |x| > 5; f’(x) < 0 si 0 <|x|< 5 b. f(1) = 2; f(4) = 5; f’(1) = 0; f’(x)  0 para x<4; f tiene un máximo en x= 4. c. f(3) = 2; f’(3) = 0; f’’(x) > 0 para x< 3 y f’’(x) < 0 para x>3.

25. Calculá el costo marginal de las siguientes funciones de costo. (Se llama costo marginal a la derivada de la función de costo total) a. C( x)  300  5 x  40x c. C(x )  1000 

2

2

b. C( x )  1000  100x  0,05 x  0,01x

x 100 e

d. C( x )  400  0,02x 

3

400 x2

26. Calculá el ingreso marginal de las siguientes funciones de ingreso. (Se llama ingreso marginal a la derivada de la función de ingreso total) 2

a. I( x)  2 x  0,02 x

b. I( x )  20 

4 5 0,001x

2 3 c. I( x )  20x  0,2 x  0,01x

27. La concentración de una droga en la sangre, t horas después de haber sido inyectada es aproximada por: 0,14 t C( t)  t 2  4t  4 Determiná los extremos relativos para t> 0 y determinar cuando la droga está en su máxima concentración. 28. Dada la función de demanda p de una empresa x  80  4 p  0 y su función de costo promedio: C  x 2  21  x  100 

77,5 , determiná el nivel de producción (en miles de x

unidades) que: a. Maximiza el ingreso total. b. Minimiza el costo marginal. c. Maximiza el beneficio. 29. Una empresa de televisión por cable tiene actualmente 100.000 suscriptores que pagan una cuota mensual de $40. Una encuesta reveló que se tendrían 1000 suscritores más por cada $0,25 de disminución por cuota. ¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se tendrían entonces?


6

UBA XXI


30. Un fabricante encontró que para cierto producto el costo promedio (en dólares por unidad) 200 está dado por la expresión: f(x)  2x 2 - 36x  210 , donde 2 x 10. x a. ¿A qué nivel debe fijarse la producción para minimizar el costo total? En ese caso, ¿cuál es el costo total mínimo? b.

Si la producción tuviera que encontrarse en [5; 10] ¿qué valor de x minimizaría el costo total?

31. ¿En qué punto del primer cuadrante, la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 4 – x determina junto con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?

2

32. La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q( x ) en kg) depende de la temperatura ( x en C) según la expresión: Q ( x ) = ( x + 1) 2 (32 - x ) a. Calculá cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b. ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

33. Con listones de madera de 3 metros de largo se quiere fabricar marcos para cuadros. ¿Para qué valor de la base la superficie es máxima?

34. ¿Cuál de los puntos de la recta y = -2x + 5 está más cerca del origen?

35. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo  4t   donde t se mide en horas. con la ecuación P(t)  5001   50  t  Hallá a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos.

36. Durante una epidemia de gripe de cuatro semanas de duración, el número de personas P(t) infectadas t días después del comienzo de la epidemia, es aproximado por: 3

2

P(t) = t -60t + 900 t + 20 para 0< t < 28. ¿Cuándo comenzará a declinar el número de personas infectadas?

37. Un profesor comprueba que el grado de atención que le prestan sus alumnos (puntuado de 0 a 100) durante los 40 minutos de duración de su clase sigue la función: f(t) = t( -t); 0  t  40. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la máxima atención, es decir el grado de atención es 100; se pide: a. Determiná  y . b. Representá la función obtenida.


7

Matemática

PRÁCTICO 5. DERIVADAS Aplicaciones ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo que estuviste trabajando. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Un fabricante de tocadiscos ha determinado que la ganancia P(x) (en miles de dólares) se relaciona con la cantidad x de tocadiscos fabricados (en cientos) por mes por P( x) 

1 3 x 3



7 2 x 2



10x



2 , siempre que el número de unidades producidas sea menor

que 800 por mes. ¿En qué niveles de producción está creciendo la ganancia? ¿En qué niveles está decreciendo?

2. a) Indicá en la gráfica de la función, los puntos en los que la derivada es cero. b) En x = 2, la derivada ¿es positiva o negativa? c) ¿Y en el intervalo (1; 2)

3. La suma de dos números no negativos es 36. Hallá dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible. b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible.

4. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallá los extremos relativos, si existen, de la función f (x )



x2



e x 1


Matemática

PRÁCTICO 5. DERIVADAS Definición – Propiedades – Reglas de cálculo ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo que estuviste trabajando. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Calculá, usando la definición de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) 

3 x-1

en P  (-2; - 1)

2. Calculá, en la forma que creas conveniente, las derivadas de las siguientes funciones. 3

2

b) f ( x) 

a) f(x) = (3x – 2)

1  x2 x 3

(x



3)

c) f(x) = x . lnx

(x>0)

3. ¿En qué punto la tangente a la gráfica de f(x) = 2 + x – x2 es paralela al eje de abscisas? 4. Determiná las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) = x2 + 4x que pasan por el punto A = ( -1; -4)

5. Calculá el valor del número real k, de modo que la recta que une los puntos A = (0; 3) y B = (5; -2) sea tangente a la curva de la función en x = 1

f ( x) 

k x



1

; (x

 

1)

6. Determiná los números reales a, b, c y d en f(x) = ax3 + bx2 + cx + d para que se verifique que: f(-1) = 0; f ’(- 1) = 600 ; f ’’(-1) = 0 y f ’’’(-1) =360. (segundo parcial – primer cuatrimestre 09)


Matemática

PRÁCTICO 5. DERIVADAS EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Para cierta función, su derivada f’ está dada por f’(x) = (x + 2) (x + 5). Escribí en qué intervalos, la función f es creciente y decreciente.

2. Dentro del triángulo limitado por el eje de abscisas, el eje de ordenadas y la recta 2x+y = 8 , se inscribe un rectángulo de vértices (a; 0), (0; 0), (a; b) y (0; b) como se muestra en la figura. Utilizando derivadas, encontrá el punto de coordenadas (a, b) de modo que el rectángulo sea de área máxima.

1 x senx está definida en el intervalo (0; 2 ). 2 Usá derivadas para responder:

3. La función f ( x )

a) ¿Cuáles son las coordenadas de sus puntos máximos y mínimos? b) ¿En qué intervalo de su dominio la función es creciente? Escribilo .



Unidad 6

INTEGRACIÓN

Temas de la unidad Integración. Primitivas. Métodos de integración: sustitución, partes. Cálculo de integrales definidas. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.



Bibliografía obligatoria

AA.VV., Matemática Teórica .

Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia

S.R.L., 1995; Capítulo IX. INTEGRALES.

 Práctico 6: Integración.

UBA XXI


PRACTICO 6. INTEGRALES

1. Hallá, en cada caso, una función g(x) que verifique que su derivada es g’(x): 6

b. g' (x) 

a. g’(x) = x

1

c. g' ( x) 

3

2 x

3 2

3x  x e. g '( x )  x g. g' ( x)  e x  3 x 1

x

 2x 6 

f. g' ( x)  cos x  2 h. g' ( x)  cos x  senx  x

1 x

2. Verificá si F(x) es o no una primitiva de f(x). 3

b. F( x)  senx  cos x

Recordar que F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x).

2

x a. F( x)   x1 12

x f ( x)  1 4

f ( x)  cos x  senx 1  ex x

c. F( x)  ln x  e x

f ( x) 

d. F( x)  senx  x3

f ( x)  cos x  x 2

e. F( x)  e 5x  cos 2 t

f ( x)  5e 5 x

f. F( x)  ln 6  ln e

f ( x) 

g. F( x) 

x

3

e

x

IX INTEGRALES

d. g’(x) = 3x + x - 1

2x

i. g' ( x) 

1

 CAPITULO

f ( x) 

1 1  x e 2

3x  x e

3

x

3. Hallá g tal que: a. g’(x) = 3x -1 y g(0) = -2 b. g’(x) = cos x y g( ) = 1 -1

c. g’(x) = x

Practico 6. Integrales

y g(1) = 0

2

UBA XXI


4. Resolvé, usando propiedades, las siguientes integrales directas. a.



2   3 2 x  3 x 2   dx x  

b.



c.



1   x e  3 senx   dx 2 cos x  

d.



e.

 t

3



 6 t 4  1 : t6 dt

f.

3

5

bx dx



3



x x

xx

e 2x  e 6x  e x



e 2x

2

 dx

dx

5. La rapidez de cambio de la temperatura T (en ºC) de una solución química se expresa mediante r(t) 

1 t  10 , donde t es el tiempo en minutos. Suponiendo que T = 5ºC en t = 0, 4

encontrá una fórmula para la temperatura T en función del tiempo.

6.a. Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x , está dado por

C' ( x)  10  40x  12 x 2 , hallá las funciones de costo total, sabiendo que 100 es el costo fijo. (El costo marginal es la derivada de la función costo total) b. Si la función de ingreso marginal está dada por: I' (x )  200  30 x 2  4 x 3 determiná la función de ingreso total y la función de demanda. (La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso total. La función Ingreso total = precio . cantidad demandada)

7. Resolvé las integrales usando una sustitución. a.  x

c.



2

cos

i.

5 

x3

x

dx

b.

dx

d.

x

e.  e

g.

e

e

x2

 1 ex

4z z 2 2

2 y

1

2 y

2

dz

dy


x dx

f.

h.

j.



2

ln x dx x



INTEGRALES Método de sustitución

cos y dy

 3 seny  1  sent  

4

cos

3

ln(x  2) x 2 e 3t

e

3t

2

4



CAPITULO IX

t dt

dx

dt

3

UBA XXI


8. Resolvé por el método por partes las siguientes integrales. a.

 e2 x x dx

b.

 ln ( x  1) dx

c.

x

ln x dx

d.

 (z  1) cos z

e.

 x cos ec2 x dx

f.

 ex cos 2x dx

g.



h.

 (e 2 x  x 2 )2 dx

i.

4

z ln z dz

 ( x  cos x)

2



dz

CAPITULO IX INTEGRALES Integración por partes

dx

9. Resolvé las siguientes integrales utilizando el método de integración que sea conveniente. a.

10 - cos x



sen2 x

b.

dx

2

1- cos x

 3

dx

4

(2  cos x)

c.

ex

 e 2x  4 ex  5 dx

10. El ingreso marginal de una empresa está dado por la función I' 

x 3

x 2  1000

, se pide:

a. Hallá la función de ingreso, sabiendo que I(0) = 0. b. Hallá la función de demanda.

2

11. La aceleración (en m/seg ) de un objeto que se mueve se expresa por a( t)  sen 2 t cost . En t = 0 el punto se encuentra en el origen y su velocidad es 10 m/seg. Calculá su posición en función del tiempo.

12. Calcular las siguientes integrales definidas. 8

a.

x

2





 x  1 dx 3

/ 2 /4

1

 1 3   x  dx c.   3  1  x 27

1

d.

 sen

24 2

y dy

f.

/2

 ln ( t

ln x dx





CAPITULO IX

Teorema fundamental del cálculo. Integral definida. Regla de Barrow.

z  1  z dz

0

0

g.

x

4

e

2

e.

 cot g y dy

b.

5 2

 1) dt

1


h.

x

3

x

e dx

2

4

UBA XXI


13. Calculá el área de la región limitada por la gráfica de la función f y los ejes indicados: 2

a. f ( x)  2 x  4 x  6 b. f ( x)  4  x c. f ( x) 

eje x

2

eje x

x4

d. f ( x )  cos x  1 x

e. f ( x)  2  4 3

f. f ( x)  x -x

eje x

eje y

eje x

eje y , x  [0;  ]

eje x

eje y

eje x

x 2  4 g. f ( x )    x  2  6

x0 x0

eje x

14. Calculá el área de la región limitada por las siguientes curvas. a. y  x 2  1

y  x 1

eje y

b. y 

x

y  2 x

eje y

senx

y  os x

eje y

d. y  ln x

x  e

eje x

e. y  x  1

y2 x

c.

f. y  e

x

y  e

x 2  g. f ( x)   1  x

2

 1

x 1 y  2

e

h. y = sen x

y= 0

x = 0;

i. y = sen x cos x

y=0

x = 0;

x 1

2

x=

 2

x=

 2

2

j. y = x + 1; la recta tangente a esta curva en x = -1 y el eje y 2

k. y = -x + 15 y la recta y = -2x + 12


5

UBA XXI


15. Calculá mediante integrales el área de las regiones sombreadas

Región 1

Región 3

Región 2

Región 4

2

16. Sea la curva y = ax - x

a. Determiná el valor de a para que el área encerrada entre la curva y el eje de las abscisas sea 36. b. Representá la curva.

17. Encontrá k  , k>0, para que el área de la región encerrada entre x = 0; x = k, el gráfico 7 1 de f ( x )  x2 y el eje x sea igual a . 2 2

18. Calculá el área comprendida por la gráfica de f ( x ) 

1 1 x 2

, x = 0; x = 1 y su asíntota

horizontal.

19. Sea la función f ( x)  x senx y sea T la recta tangente a su gráfica en

  . Determiná:

a. La ecuación de T. b. El área encerrada entre T y los ejes coordenados


6

UBA XXI

Modalidad virtual Matemática t

20. Una partícula se mueve sobre una recta coordenada con aceleración a(t)  (con a en 2 cm/seg y t en seg). En t = 0 la partícula se encuentra en el origen y su velocidad es de 6m/seg. ¿Qué distancia recorre en el intervalo [0; 4]?

e2

21. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de 4000  t  e 0,5 t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. a. Exprese las ventas totales como una función de t b. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas? (Tasa = velocidad o rapidez de crecimiento)

22. En una pared de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las 2 2 funciones f(x) = –x + 3x + 4 y g(x) = 2x - 3x + 4 ambas definidas en metros. ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco?


7

Matemática

PRÁCTICO 6. INTEGRALES Definición – Propiedades – Reglas de cálculo ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS


1. Resolvé las siguientes integrales del modo que creas conveniente. a)



3x

 5x 3 3x

b)

dx



2

senx

cox dx

c)



xsenx dx

d)



3 x 2  5x  1 dx x 4

2. Encontrá, en cada caso, la función F(X) para la que: a) F’(x) = F' ( x) 

1 x

3

 x y que verifica que F(3) = 1

b) F’’’(x) = 2x y además F(0) = 0; F(1) = 

1 2 y F(2) = 4 3

   3. Determinen una función primitiva de h(x) = x cosx cuyo gráfico pase por el punto  ;    2  ¿Cuántas primitivas hay que cumplan la condición hay? 4. Una partícula se está moviendo sobre una recta con aceleración a(t) = t2- t en metros /seg2. Hallar las expresiones de la velocidad y el espacio para cualquier instante t, sabiendo que s(0) = 0 y s(6) = 12


Matemática

PRÁCTICO 6. INTEGRALES EJERCICIOS DE PARCIALES Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos. No tenés que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tenés dudas consúltalas en el foro del práctico. En unos días podrás acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Resolvé las siguientes integrales usando el método que creas necesario. a.



ln

3

x

2x

dx

b.

 e3 x x dx

2. Encontrá k  , k>0, para que el área de la región encerrada entre x = 0; x = k, el gráfico de f(x)= x + 4 y el eje x sea igual a 24. + 3. Usando integrales, encontrá k , para que el área de la región limitada por las rectas x = 0; x = k , y = 0 y las gráficas de f(x)= x + 4 y g(x) = –x +6 sea igual a 15.


UBA XXI


RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISION EJ.

1.a

4

1.b

12

1.c

RESPUESTA

EJ.

RESPUESTA

EJ.

10.a

61

17.a

10.b

1

17.b -7/15

-15

10.c

-9/5

17.c

-3

1.d

-22

10.d

-1/5

17.d

-1

1.e

34

10.e

-3/2

17.e

3/2

1.f

1

17.f

2/3

17.g



17.h

20

17.i

2

1.g -69/16

1.h 5/132

2.a -3/4

2.b -5/6 2.c

0

2.d

0

2.e 2.f

9/2

2.g

0

3.a

12.b

6

x

2

Hay infinitos, por ej.: 0,16

11/70, 12/70 y 13/70

4.a

-6/5 <-4/4< -3/4< -1/2

4.b

Infinitas, por ej.: 625/1000

4.c

Por ej.: 7/21 y 8/21

9 números

5.b Infinitos

2

x -9y

4

(1/3) .x

-4

x

12. f

x

-7 2

x +4x+4 x

-8/125

a.

13.e

1/9

21.

c.

13.f

-1

22.a

13.g

-1

22.b

13.i

8/27

22.d

13.j

100

22.e

14.a

2

22.f

Se obtiene la igualdad 0=0

7.d

Entre 3,5 y 5,75

8.a

<

14.h

27/28

8.b

=

14.i

-11/180

14.b

-3/2 25. 5

14.d

3/2

13/9

14.f

-15/16

8.f

15. b

16.a

16.b < 0,5= 5/10; 1,23 = 123/100; 9.a 16.c 0,05= 5/100 y 0,082 = 82/1000 9.b 1000 16.d

9.c 21250/13

23.a Correcta

23.b Incorrecta

14.e

14.g

22.c

14.c

15.a

23.c Correcta 24

25.a

654 /84

2

<

Conjunto Vacío

100000

Entre 1,4444… y 1,75

8.e

19.c

7.c

=

25

13.h

Entre 104 y 126

8.d

19.b

No altera el sentido de la desigualdad No altera el sentido de la desigualdad No altera el sentido de la desigualdad Se altera el sentido de la desigualdad Se obtiene la misma desigualdad

7.b

V

20.

Entre 21 y 23

>

18.d

9

7.a

8.c

F

13.d

Infinitas, por ej.: (3/7).(35/3)

18.c

1/4

6.b

V

13.c

Infinitos, por ej.: 3/10 y 1

18.b

19.a -100

6.a

V

1

Infinitos, por ej.: 3,54

18.a

13.b

5,c

5

19/4

17.j 45/2

5

12.e

13.a

5

12.h

3.c

5.a

-x

12.g

3.b 3/20

12.a

12.d

2.h -2/3

e; a; b; g; c; d

12.c

-1

11

RESPUESTA

2

2

2,4

-3 y -0,5

0 y -0,5

25.d



26.a

20 objetos

26.b

4 y 17

26.c

14

26.d

1; 2; 3 ó 4

26.e

68 cajas

2

4x -m ; 4x +4xm+m y 2 2 4x -4xm+m 2 (m+4).(m-4); (m+3) y 2 m(m +1)

½

25.c

x  ; x  3 x  ; x  6 / 5

25.b

Por ej.: b. Hay más libros de Administración que de Biología x  ; x  3

26.f

 A  H  4  1  H  2 1  A  3 

1 H y 3A ó 2H y 2A ó 1H y 2A ó 2H y 1A ó 1H y 1A

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 1 Ejercicio N°

Respuesta

1

3

3 ; 2

- 27 ; -2,5; 1; 1,4157;

5 ; 2,326; 3, 4ˆ ; 3,45ˆ

2

1

3

a

4 4a

5

5.a

 1  a  0  a 2  a  1  

  

2  2 

S    ;

x

4.b

5.b

1 a

 2   S  0;  2   

x0

 3  S    ;  3  

4.c

x

5.c

5.d

6a

A = {-2; 2}

6b

B   2; 2



6c

x=0



M = {0; 1}

6d

S = {-5; 0; 3}

7

1

Condición

2

{x/ x < 3}

x

1,4142 x

{x/ x  2} {x/ -2 < x <

3

1

2

23

x

x

 1     23     X

x

2}

{x/ x  3} {x/

2 < x < 5}

{x/

1  x  3} 2

x

x

x

x

x

32 5

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


x

1

UBA XXI


Ejercicio N° 8

8.a

Respuesta

|x – 3| < 5, es decir -2
8.b

|y – 7|  4

8.c

|x+5|  4

8.d

9a

A = {x/ x < -1} =   ;1

9b

B = {x/ x  5} =  ; 5

9c

C = {x/ -3  x <3} =  3; 3

9d

 

A x  / x 

|m| < 4

3  3  =  ;  5 5 

B = {x  / - 5  x < 0} =  5 ; 0

9e

10a Verdadero

10b Falso

10c Falso

11

12

13

12.a

2 ; 5

12.e

 2 ; 16   3  

12.b

 1; 3

12.c

 1    ;   2 

12.d

12.f

   ; 

12.g

  ; 2

12.h

13.a

13.b

13.c

13.d

13.e

13.f

13.g

13.h

13.i

0 ; 2 =   ;   

Conjunto vacío


2

UBA XXI


Ejercicio N° 14

15

Respuesta

14.a

14. b

14.c

14.d

Ninguno

16 16.a

 1  S    ; 0  3 

16.c

16.b

7  S   ;   ; 1 4 

16.d S = (-

; 2)

16.e

S = [0; 3)

16.f



1 



2 

S    ; 

S = [-3; 2)

  0; 

17 17.a

7   S   - ;  4  

17.c

17.b



17.d S = (-

; -1)

17.e



S   - ; -

2 7 

S = [10; +  )

17.f



43 



7

S    ;

S = (5; +

)



17.g

17. h 

S    ;



42  23 

S = ( 2 ; + )

18a

18b

5; 5; ½; ½;

2 ; 2


3

UBA XXI


Ejercicio N°

19

Respuesta 19.a

7

19.b

2

19.c

3

19.d

2

19.e

8

19.f

2

19.g

6

19.h

6

19.i

6

19.j

4

19.k

125

19.l

2 3

20

20.a Falso

20.b Verdadero 20.c Verdadero 20.d Falso

20.e Verdadero 20.f Verdadero 20.g Falso

20.h Verdadero

d(5; 8) = 3

21.a

d(-5; 8) = 13

d(5; -8) = 13

d(-5; -8) = 3

21.b

21c 22

d(5; 8) = 8 – 5 3 3

d(-5; 8) = 8 –(– 5) 8+ 513

d(-5; -8) = 5 – (– 8) 5+ 8 13

d(-5; -8) =  – 5 – (– 8)  –5+8   3  3

Los números cuya distancia al 2 es 3 // Los números cuya distancia al -2 es 3 22. a

S={-1;1}

22.b S={-3;3}

22.c S={-3;3}

22.d

S={-4;4}

22.e S={0}

22.f S={2;6}

22.g

23

22.h

S={0;2}

23.a

 5 3  22.i ;   2 2

S 

 3 3 ;   5 5

S  -

23.b

S = [1;3]

24 25

Por ej: ítem a. Los números reales cuya distancia a 0 es mayor que 1 25.b 25.a S=(-  ; -1)U(1; +∞) 25.c

S = [-5; 5] 25.d

S=(-  ; +

)


S=(-

; -4] [10; +

) 4

UBA XXI


Ejercicio N° 25

Respuesta

25.e

25.f

S=(-2; 8) 26.a

26

S=[-5;-3]U[3;5] 26.b S =  - {-1}

S=[-2;2] 26.c

26.d S = 

S = [-3;3] 27

28

29

27.a

28.a



x

2



x

2 1



x<

3

27.b

   ;  1   

 x>2



Más de una respuesta posible. 3 7 Por ejemplo: x   2 2

29.a

28.b

29.c

S = (2;5) 29.d

S = [-4;-2) 30.a x>20 30.c 31

Más de una respuesta posible. 1 1 Por ejemplo:

29.b S = [1;2]

30

1 3 ;    2 ;   3 4

p  28

S= (-3;3) 30.b

No existe

30.d

Debe vender más de 40 artículos

31.a

31.b

31.c

31.d


5

UBA XXI


Ejercicio N° 31

Respuesta 31.e

31.f

31.g

31.h

31.i

32

32.a

32.b

e r

a.1. 3 Cuadrante; a.2. 4 ° Cuadrante; e r a.3. 1 Cuadrante; A = (-1; -2)

a.4. 2 ° Cuadrante; a. 5. 4 ° Cuadrante; e r a. 6. 1 Cuadrante B = (2; -3)

C = (5; 4)

E = (2; 

1 ) 3


D = (-2; 2)

F = (5; 5)

6

UBA XXI


Ejercicio N° 33

Respuesta 33.a

33.b

Hay infinitos. Por ej. (-2; 4); (-1; 4) y (-2; 3)

34

35

34.a

34.b

34.c

34.d

35.a

35.b

35.c

35.d


7

UBA XXI


Ejercicio N° 35

36

Respuesta 35.e

35.f

35.g

35.h

36.a

2 A {( x;y)   / 0  y  d; 0  x  c}

36.c

2 A  x, y   / 2  x  3



36.f

38 39. 40 41





36.b

A  x, y    2 / x  y  3

36.d

A = {(x; y)  / |x|  a  |y|  a}

2

A = {(x; y)   2 /(x  0; y  0)  (x  0; y 0)}

36.e

 

A  x, y   2 / 

37. a

37



d(P;Q) = 5

38.a

a = 2 v a = 10

39.a

2 a b

2

2

3 2

x

3 2

 

; y  1 y  2

37.b

d(P;Q) = 13

38.b

k= 8 v k = 2

39.b

2(a  b )

37.c d(P;Q)=

2

106 3

2

A = (4;0) Sugerencia: usar la definición de distancia entre dos puntos.

 11  ; 3  4 

42

A  

43

R 1  ( 2; 1 

3 ) y R 2  (2; 1  3 )

44

P (SQRT )


=

5  1 3 2

8

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2 Ej. N° 1.

Respuesta Hora del día

2

Temperatura (ºC)

-8

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

-6

-3

6

9

9

3

0

-3

-3

-6

1.a

1.b

Máxima: 9ºC

1.c

A las 12 y a las 14 hs: 9ºC; a las 20 y a las 22hs.

Mínima : -8ºC

1.d Aumenta entre las 2 y las 12 hs, Disminuye a partir de las 14 hs hasta la media noche (24 hs). 1.e

No, la temperatura es una variable que no tiene un comportamiento previsible.

2.

Representan funciones de  : a; b y e

3.

Solo b. Observar que Domf= {x / 2  x  6} = [2; 6] e Imf = {y / -1  y  4} = [-1;4]. Entonces es f: [2; 6]

4.

4.a

4.b

F, V, F

A=(-2,8; 2)

No representan funciones de  : c, d , f, g y h.  [-1;4]

4.c

C0 = {-3; -1; 1; 3}

4.d

C + = (-3; -1)  (1; 3)

5.c

 2 S     3

5.d

No, pues Domf=  -{-1}

6.b

C0 = {-2; -1; 0; 1; 3}

B=(-1,2; 2) C=(2; 2) 5.

5.a Domf=  -{-1}

6.

6.a

5.b

Sí.

Domf = Imf = 

C+ = (-2; -1)  (0; 1)  (3; + ) C - = (- ; -2)  (-1; 0)  (1; 3) 6.c



3  2 



6.e

7.

 1 1  ;   2;   2 2 

Creciente:   ;    

 3 1 ;   2 2

Máximos en: 

6.d

 3 1   1  Decreciente:   ;    ;2   2 2   2   1  Mínimos en:  ;2  2 

Hay más de una. Por ejemplo

Practico 2 - Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica

1

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2 Ej. N° 8

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

f 6

f 7

f 8

f 9

9.a

9

10 10.a

11

Respuesta

a.1

b.1

 f(5) = 5 + 2 = 7

9.b

 f(0) = 0 + 2 = 2

b = -1

 f(90) = 90 + 2 = 92

c = 199

f(x) = x

f x   

10.b

3 x6 2

f ( x ) 

a.2

9.c

a =3

3 x3 5

10.c

f(x) = - 3x – 6 10.d

a.2. f(x) = 3

b-2


a.3

f x 

5 x5 4

f(x) = x – 2

b.3

2

UBA XXI



c.1

Respuesta

Intersección con:

Para cualquier valor de x, y es siempre 3.

c.2

Eje y : (0; 6) Eje x : (4; 0)

12

13

12.a

f x  

4 20 x 3 3

Nunca corta al eje x.

c.3

Intersección con: Eje y : (0; -2) Eje x : (2; 0)

12.b

12.d

y=-5

13.b

y = - 3 x + 2; m = - 3; b = 2

13.d

m = 1; b = 1

12.c

x=-2

13.a

y = 5 x –3; m = 5; b = - 3

13.c

y = - x + 5; m = -1; b = 5

y 


1 x 1 3

3

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2 Ej. N°

Respuesta

13 13.e

y = 3x + 3; m = 3; b = 3 13.f

14.a

14.b

14

15 15.a

15.b

y = -3x + 3

y

16 16.a Verdadero.

y = x + 4; m =1; b = 4

Sólo Q.

1 2

15.c

a = -6

15.d

y = -5x

x3

16.b Verdadero.

Sugerencia: Resolver la inecuación -3x + 2 > 0

14.c

La función es 4 19 g x  x  3 6

y=-5 16.c FALSO.

No cumple la condición de unicidad.

f(x) = x – 1; g(x) = -2x + 5;

17

A = { x/f(x) = g(x)} = {2} Aclaración: El punto de intersección es P =( 2; 1)

18.

18.a

A  {x  /x  1}  1;

18.b

2 2   A   x   / x   ó A   - ;  3 3  

18.c

A = 

18.d

A   0  0;  {x  /x  0}


4

UBA XXI



19.a

19.b

20

Respuesta

Una persona de 58 kilos tiene aproximadamente 4,14 litros de volumen de sangre. Y una de 46 kilos aproximadamente, 3,29 litros de volumen de sangre.

20.a

22. 22.b

42 kilos. 50,4 kilos. 35 kilos

20.b

21 21.a

21.b

19.c

f(t) = -15 t + 105

n (número de días trabajados)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

g (dinero ganado en pesos)

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

21.c

Sí ganaría el doble.

21.d

g(n) = 12 n

22.a

f(x) = -10x + 20

22.c

La temperatura a 3 km de altura es de -10ºC.


5

UBA XXI



Respuesta

Se necesitan inscribir 50 niños. En este caso el punto de equilibrio es P = (50; 22500). Significa que cuando ingresan 50 niños tanto el ingreso como el costo mensual, es de $22500.

23.

24 24.a

24.b

I(x) = 30x; C(x) = 22 x + 4800 Se deben vender 600 unidades.

25

26

25.a

25.b

25.c

25.d

26.a

  ; f(x) =

4 2 x 3 2

26.b

Dom f =  ; Im f =    ;18 ; f(x) = - 2(x – 3) + 18 = -2x(x-6)

26.c.

Dom f =  ; Im f =  3 ;    ; f(x) = 2x + 3

27 27.a 28 28.a 29

Dom f =  ; Imf =  0 ;

El punto de equilibrio es P = (600; 18000), por lo que cuando se venden 600 unidades el ingreso iguala a los costos en $18000.

i.

2

F

27.b

V 27.c

Ambos puntos pertenecen 28.b

V 27.d

F

27.e

Ambos puntos pertenecen 28.c

C0 (f )  { 1  2;  1  2 } ; C + (f) = (1 

F

27.f

F

Solo A pertenece

2 ; 1  2 ) ; C-(f)= (-; 1  2 )  (1  2 ;  )

Máximo en (– 1; 2). Mínimo no tiene. Crece en (–

; – 1); decrece en (– 1; +

)


6

UBA XXI



ii

Respuesta

C 0(g) ={0; 3}. C+(g) = (-; 0)  (3; +) =  - [0; 3] C-(g) = (0; 3) 3 9 Mínimo en  ;   . No tiene máximo. 2 2

3 3 Decreciente en    ;  ; creciente en  ;   2  2  iii

C0 (h) = . C+(h) =  = Dom(f) C -(h) =  Mínimo: (1; 3). No tiene máximo. Decreciente en (-; 1). Creciente en (1; + ) 1

30 30.a 31

31.a

30. b

2

2 f(x) = 2 (x – 2) – 2 = 2(x – 1)(x – 3) 31.b

31.c

f(x) =

32 32.a

S =

1 1 2 (x – 3) – 5 = (x+2)(x-8) 5 5

32.b

4

30.c

31.d

f(x) = f(x) =

2 3 3

(  1  15; 9  3 15 )

3

30.d

30.e

5

(x + 2)(x – 3) 2

3

32.c

S =

(x + 1) + 3=

(x+3)(x-1)

(  1  15 ; 9  3 15 ) 33

33

34

3

250 unidades.

35

$125.000

 87  DomF= 0;   21  t=

36 36.a

36.b

f(20) = 52 f(45) = 69,5

37

37.a

6 q  72 10

D(q) =

36.c

87 ; F máx  90,11 42

Peso promedio máximo ganado es de 70 g.

Como la rata inicialmente tenía un peso de 20 g, el peso efectivo es de 50 g.

37.b

37.c P=(30;54) 2

37.d

I =-0,6q

37.e

Ingreso máximo: $ 2160 (cuando se comercializan 60 unidades)

+72q


7

UBA XXI



Respuesta

38.a

38

39

39.a

40

40.a

41 41.a.

ATotal 

(x - 10) 2 3 x 2  16 36

38.b

Sí, lo alcanza aproximadamente a los 1,4 segundos, después de haber recorrido 560 m.

39.b

Dom Atotal =(0;10)

40.b

40.c

Domf = 

Imf = [0; )

Domf = 

Imf = 

Domf = 

Imf = [4; )

Domg = 

Img = [0;  )

Domg = 

Img = 

Domg = 

Img = [0;  )

Domh = 

Imh = [0;  )

Domh = 

Imh = 

Domh = 

Imh = [2;  )

42.b

f(1) = -14; f(-1) = -22; f(0) = -9

En ninguno de los casos anteriores puede afirmarse que se encontró un cero de la función.

 3  f 2  6 2  33 ; f    27  2 

Se hubiese encontrado un cero si para alguno de los x del dominio dado, se verifica que f(x) = 0.

-1 y -2 son ceros de f(x); 2 y -2 son ceros de g(x); 1 es cero de h(x).

42

Sugerencia: reemplazar en cada función los números dados.

43

44

44.a

C 0 = {0; 2}

f 3

C 0 = {-1; 1}

Sugerencia: sustituir x 4 por t2

f 5

C0 = { 6 }

Sugerencia: f 5 (x) = x - 6x + x –6 = x (x – 6) + (x – 6) = (x – 6) (x – 1)

f 6

C 0 = {1; 2; 3; 4;5}

Sugerencia: no resolver el producto.

x 4 = -4;

f2

C0 = {-3; 0; 3}

f 1

3

44.b

2

a = -8

f(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 2)(x + 4)

44

44.d

x 1 = –2 ; x 2 = 1; x3 = 4 y x4 = –4

f 4

C 0 = {-1; 1; 3}

2

44.c

2

x1 = -2 ; y x2 =

1 ; x3 = 3 2

x 4 = 0 (raíz doble) 44.e

Para que f(1) = f(2) = 0 debe ser a = 4.

h(x) = (x – 4)(x + 4)(x +2)(x – 1)

45

45.a

f ( x )  a ( x  3 )( x 

1 )( x  2) ; con a    0  . 3

La función no es única pues a puede a ser cualquier número real distinto de cero


8

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2 Ej. N° 45.b

46

46.a

Respuesta

3 1   ( x  2 )( x  3) x   2 3  

g( x)  

Para poder hallar los intervalos debe ser f continua.

46.b

No podemos afirmar que hemos encontrado

todos los intervalos de positividad y de negatividad de f .

C   ( ;  1)  (  1; 1) C   (1; )

( ;  2) y ( 2; 1) son intervalos de negatividad ( 3;  ) es intervalo de positividad

2

f 1 (x) = 3x – x

47

3

x 1= 0 (raíz doble) y x 2 = 3

C   ;0  0;3 C   3; 

2

2

f 2(x) = (x – 1)(x +1)

x 1= 1 y x 2= -1.

C    ;  1  1;    C    1;1

2

f 3 (x) = -2(x– 1) (x– 3)(x – 4) x 1= 1; x 2 = 3; x 3 = -2 y x4 = 2

C    2; 1  (2; 3) C   ( ; - 2 )  (1; 2 )  3;

48.

48.a

C   (-; - 5)  (-2; - 1)  (1; 4)

48.b

C -  (-5;- 2)  ( 4;  )

49.

49.a

p = 1,34 (error menor que 1/100)

49.b

q = 1,85 (error menor que 1/100)


9

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2 Ej. N° 50.

50.a

51 5 2.

Respuesta 50.b



De 0ºC a las 6hs., a las 18 hs y a las 6 de la mañana del día siguiente.



Superior a 0ºC; entre las 6 y las 18 hs.



Inferior a 0ºC, entre las 18 hs y las 6 del día siguiente.

Se encuentran nuevamente a los 6 6  5 km (aproximadamente 9,7 km) 52 .a

El término independiente significa el costo cuando la producción es cero, aunque no produzca nada tengo que pagar ese precio.

5 2.b

C(10) = 191.67

5 2.c

E l costo es $ 53 cuando se producen 6 unidades . Sugerencia: Usar Bolzano

53

53.a

v(10) = 100

53.b


10

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 3 EJ. 1.a

g

RESPUESTA

EJ.

x 4 2

3.a.5

f ( x) 



RESPUESTA

EJ.

RESPUESTA

3.b.4

Dom = 

f

1.b



g( x) 

x

2 15 f g (2) 2 y f g (-3) 5



13 2 Dom(f g4 ) = ( ;0 ] 

=



Dom(g1 f) =  



2.a.1 2.a.2

g



f ( x)  3 3 ( x  1)

3.b.5 3.a.6

Dom = 

f g( x)  (3 3x  3) 

Dom = 

2.b.1

3 3

2.b.2

6 3 3

2.b.3

9 3 3

2.b.4

6

2,b.5

-12

2.b.6

 9 3 3

Dom(g1 f) = [0;+ 

Dom(g2 f) = 

)

3.b.6



3.a.7

3.a.1

Dom(g2 f) = [0;+  ) 

3.b.7

Dom(g3 f) =  

Dom(f g1 ) =  

3.a.8

3.a.2

Dom(g3 f) = [0;+

)

Dom(g4 f) = [0;+

)



Dom(g4 f) =  

Dom(f g2 ) = 

3.b.8

3.b.1



3.a.3 Dom(f g 1) = [2;+ 

)

3.b.2



Dom(f g3 ) =  

3.a.4

Dom(f g2 )= [-2;+ 

3.b.3

)

4.a

A r(t)=16 t

4.b

400

5.



r ( t) 1,5 t 

2

3 t 2

4 3 r 3 9 V r ( t)  t 3 2 V(r ) 

Dom(f g4 ) =  

Matemática - Respuestas Práctico 3

Dom(f g3 ) = ( ;0] 



1

UBA XXI


EJ.

RESPUESTA

6.a

t=5

6.b

1 9 F : [36; 116]   : FT  T  8 2

10

7.a

Domf = .

7.b

f(-1) = -2; f(10 ) = 8; f(3) = 5

7.c

x=0óx=1

7.d

11

8.a 8.b

x = -2

8.c

x  6  4 x   6  4

12.a

8.f 8.g

No tiene solución

13.a

8.h

x = -1

9. a.

1 ( x  2) 3 -1 f (x) = 3x +2 Por lo tanto, opción d 2 2 f(a ) = 3a + 2ª

9.b

12.b

lim f ( x ) no existe

x 

lim f ( x )  -

x 

17.d

2 9


lim f (x )  0

x  

lim f ( x )  0

x  

17.e

lim f (x )

x  

lim f (x )  - 6

17.f

lim f (x )  0

x  

lim f (x )  0

x  

0

Siempre decreciente

18.c

0

13.b

Crece en 0; 

18.d

1

13.c

 ;0

Siempre creciente

14.

Hay más de una.

1

18.e 18.f

2



1 2

15. a

f(x)  2x  500

18.g

0

15.b

200 pares de calzado

18.h

0

18.i



18.j

0

15.c $225

16.a

La demanda decrece con el precio pues es una función lineal y su pendiente es negativa.

Hay más de una. Un ejemplo:

0

x  

18.b

19.a.2

 

19.a.3

-1

19.a.4

-1

19.a.1



19.a.5

16.b

-1

lim f ( x )   

17.c

19.a.6



19.a.7

0

19.a.8

0

19.b.1

2

19.b.2

2

C     1;5  8;10 C   ;1  5;8  10;

19.b.3

0

Crece en -;2  6;9 .5 

19.b.5

2

Decrece en 2;6   9 . 5;  

19.b.6

0

9.c

Domf =  - {1}

lim f ( x )  x 

Crece en:   7 ; 1    5 ;       10 2   3  Decrece en   ;  7    1 ; 5      10   2 3   Creciente en (-; -1) U (0; + ) Nunca es decreciente.

13.d

x

x 

Siempre creciente

-1

x1 f x   x1

lim f (x )  0 y lim f (x )  0

x 

0

Domf = [0; +  )

1

RESPUESTA

18.a

15.d

f 1 x   x

17.b

x  2a 3

Decrece en

 f 1 x   x  2 -1 Domf = 

17.a

f(x) =

Rta: a 1   1 ó a 2 

16 3 x  2 x = -1

8.e

EJ.

2 a f 1(a  2)  3

1

x 

RESPUESTA

f 1 ( x) 

 3    ;2   2  x = -1

8.d

EJ.



19.b.4

2

UBA XXI


EJ.

RESPUESTA

20.a

-4; -4;

20.b

1; 1;

20.c

5; -5

20.f 21.a

;

RESPUESTA

23.c

EJ.

RESPUESTA

27.c



; ; 

20.d 20.e

; 

EJ.

1; -1; -1; 1

Domf=  -{0} Imf=  -{-1} C 0 = {1} ; C+ = (0; 1); C - =  - [0; 1] AH: y = -1; AV: x = 0

 ; 1 Más de una, por ejemplo

24.a

A . V : x 1 = 2 ; x 2 = - 2 A . H : y = 0

24.b

A. V x=2 A . H y = 1

24.c

A . V x = –5 / 3

28.a

A . H y = 2 / 3 24.d 21.b

Más de una, por ejemplo 24.e

24.f

   

22.a 22.b 22.c 22.d 22.e

6

22.f

6

A. V x= -3 A . H: no tiene

28.b

Domf = Imf=  -{1}

A . H y = 0

AV: x = 1; AH: y = 1 C 0 ={0}; C + = ( ;0 )  (1; ) ;

A. V x=2 A . H y = - 1

C - = (0; 1)  1  1 - x ; g(x )  f     x  3  5x

A. V x=-1

25.a

a=-5

25.b

No tiene otras asíntotas verticales. A.H: y = 1

26.a

Es a. AH: y = 2 AV: x 1= 2; x2 = -2

28.c

29.a

x 0 y x  -3/5 1 3x  5 ;  h(x)  f(x) x1 x 1 y x  -5/3 29.b

27.a

23.a

Domf= Imf=  -{0} C 0 =  ; C+ = >0; C - = <0 AH: y = 0; AV: x = 0 27.b

23.b

Domf=  -{ 1 } Imf=  -{0} C 0 =  ; C+ = > 1; C- =  <1 AH: y = 0; AV: x = 1


3

UBA XXI


EJ. 29.c

RESPUESTA

 5   3

Domf   

EJ. 32.a

 5  ;1  3 

29.d

g



32.b Para f

EJ.

Para g

5   C   ;   1; 3  

34.a





f :

34.b

50 millones de pesos.

2

34.c

80% de la población.

3

35.a

DomT= {1; 2; 3; …} = IN

35.b

Se acerca a 3.

36.a

N(5) = 166

AV: x =0; AH: y = 33.a



La concentración de cloro en

2 el largo plazo va a ser de 5

Para g: C0 = {1}

o del 40%.

 3  ;0   (0;1)  5 

(Responder al problema equivale a encontrar el límite de la función cuando t tiende a + )

C   

 

3    (1; ) 5 

33.b

5     (1;) 3    5  C    ; 1  3 

33.c

C     ; 

RESPUESTA

g: AV: x =2; AH: y = 0

Para f: C0 = {1}

 5  C    ;1  3 

12 x2 4  2x f ( x )  3x

f g( x )  

 3 Domg   0;   5 Domh    

RESPUESTA

N(10) = 250 36.b

A 750 cievos

Para h: C0     

C    ;

29.e

f ( 2)  g( 2) 

29.f

1 11 1

Tiene sentido la gráfica en el primer cuadrante, ya que ni el tiempo ni la cantidad de cloro toman valores negativos. En este caso la gráfica es:

13

h(2) = 11 3 a  ; 5 b 

c

5

;

3

9

30.a Imf= 

 2

34.a

Sólo 1 Imf 30.b

 5  g( x)  2  x  ( ;2 )   ;  2 

 5    2 

g( x)  2  x   2;

31

h( x) 

1 2( x  2 )

Domh = -{2}; Imh=-{0}; A.V: x = 2; A.H: y = 0


La gráfica tiene sentido en el intervalo [0; 100].

4

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 4 EJ.

RESPUESTA



1.a Cuadrante I : 0 1.b

2.a 2.b

2.c

2.d

Cuadrante II :

2



  

Cuadrante IV:

3 2

3.b



3.c



    2

1 7 15 23 ; ; ;  4 4 4 4

 11 21 9 ; ; ;  5 5 5 5 2 8 14 4 ;  ;  ;  3 3 3 3

sen0 = 0; cos0 = 1

5.b

 sen

2

5.d

  1 ; cos  0

 0 ; cos   1 3 3   1 ; cos 0 sen 2

sen2 

5.f

sen 

5.g

sen

5.i

S=

6.c

S

6.d

S    ; 

6.e

S

6.f

2

 0 ; cos 2 



1 2     ;  3 3 

1 7     ;  4 4  1 3  S    ;  2 2 



2 ;  ; 0; ;2 ;3 

7.a

S

7.b

S

7 5  3 9 11    ;   ; ;  ;  ;  4 4 4 4 4   4

7.c

S

  x   / x   k ; k  Z  4  



7.d

S=

8.a

cos

   2 2    3  2   3  1 sen       3  2 

8.c

sen    

9.a

sen 

9.b

9.c



sen2  cos

 2

4 5





2 2 3

24 25

2 5 5

10.a

1

     1 2  6  3    cos    2  6 

cos 5.h

6.b

2

sen

5.e

S

8.b

r = 100

5.a

5.c

3  2

 11     0;1 P  2   7   2 2  P      ;  4   2 2  2   5   2  P      ;   4 2 2     

   ; 5  6 6 

6.a

 1; 0

P(3  )

RESPUESTA

2

Cuadrante III :

3.a

4





EJ.

2 3 2 3

  -

3 2 1 2

3    sen  2    3  2    1 cos  2     3  2

   cos   

sen  



 1  3  6  2  3  3     6 2 


Domf =[0; 2] ; Imf = [-1; 1]

C 0 ( f )

 0; ; 2

No es periódica en [0; 2] Domg = [0; 2] ; Img = [-1; 3]  7 11  C 0   ;   6 6  No es periódica en [0; 2]

1

UBA XXI


EJ.

RESPUESTA

10.b

EJ. 14.a

RESPUESTA

Para f 2



Para f 3



1

|a| =

2

Domf = =[0; 2] ; Imf = [-1; 1]

 3    ;  2 2 

No es periódica en [0; 2] 1

|a| =

2

No es periódica en [0; 2] 11

12.a

 gráfico f 2 ( x )  gráfico f 3 (x)  gráfico f 4 (x)  gráfico f 1 (x)

2

12.d

1



   0 C    0;   2  C 

|a| = 1; T

14.b

π 3 5 7 9 11  C0   , π , π , π , π, π, 4 4 4 4 4 4   π 3   5 7   9 11  C   ; π   π; π  π; π  4 4   4 4   4 4   π   3 5   7 9   11  C  0;   π ; π   π ; π  π ;3π  4   4 4   4 4   4 



 11 7 5 13 17  π    π, π, , π, π, π , 18 18 18 18 18   18

13.b

S

 3π    0,   2

2

b

Para f 1

Máx en x



Mín en x







6

 2



2 k (k Z) 3 2 k (k Z) 3

   2k (k Z)

Mín en x

Para f 3

Máx en x Mín en x







4 3 4

 k (kZ)

  k

(k Z)



Para f 4 Máx en x  2k (k Z) Mín en x

(k Z)

2k

Para f 5: Máx en x 2k (k Z) Mín en x 1  2k (k Z) 

S  5 Para f 1: 1 2π |a| = ; T  3 b

2

Para f 2 Máx en x  2   2k (k Z)

 π π π π   , , ,   2 3 3 2  π π   π π  C     ;    ;   2 3   3 2  π    π π   π  C    2;    ;    ;π 2   3 3   2   S





C0

13.a

14.a

 2

 1; 3 

Im f 5

C0

13.c

2 b

Para f 5 :

C0



12.e



; T

3

 0;2π , C   0;2π , C   3 π 12.c C0   π ; , C    4 4 3   3 π   π   C   π; π    π;    ; π 4   4 4   4   12.b



b

 1 1   ;   2 2

Im f 4

4

2

Para f 4



C 0 ( f )  0; ; 2



; T

 1 3  ;   2 2

Im f 3

Domg = =[0; 2] ; Img = [-1; 1]

 2

b

 2;2

Im f 2

C0

2



|a| = 2 ; T



Im f 1



2π 3

 1 1   ;   3 3


15.a

b=2

15.b

m C

 π 3π    ;  2  2

 π 3  ;   2 2 

n  

π  3  π    2 π; 3 π      π;    ;2 π  C  2   2 2   2  

 2

UBA XXI


EJ. 16.a

RESPUESTA f 1 (x )

 ex  2

EJ. 16.b

RESPUESTA

Imf 1 =  2 ;

 ; AH: y = 2

Imf 2 = 0 ;

 ; AH: y = 0 Imf 3 = 0 ;  ; AH: y = 0 Imf 4 = 0 ;  ; AH: y = 0 Imf 5 =   1;   ; AH: y = -1 Imf 6 = 0 ; 17.

f 2 ( x )  e x -1

 ; AH: y = 0 Imf 1 =  0 ;   ; AH: y = 0

Imf 2 =  1;    ; AH: y = -1

 ; AH: y = 0 Imf 4 = 2;  ; AH: y = 2 Imf 3 = 0 ;

f 3 (x )  e x1

18.a

2

18.b

6

18.c

2

18.d

-2

18.e

4

18.f

5

f 4 (x )  e -x

18.g

1

18.h

0

18.i

5

19.a

x= 5

19.b

Intersec. Eje x: (4 + log 7; 0). Intersec. Eje y;:  0 ;  66  1  

19.c

f 5( x)  e

-x

-1

19.d

C +(f ) =  4  log3 7 ;

C-( f ) =

f 6 (x )  e-x -1 20.a

 

   ; 4  log3 7

Domf =

- {0}

1 Imf = ( 0;  )   AH: y = 1 AV: x = 0

20.b

Domf =

- {0}

1 Imf = ( 0;  )   AH: y = 1 AV: x = 0


3

UBA XXI


EJ. 20.c

RESPUESTA

 - {0} ( ;4 )  3

Domf = Imf =

EJ.

RESPUESTA

23.b

AH: y = 3 AV: x = 0 20.d

21.a

Domf =  - {0} Imf = (-2; + )-{-1} AH: y = -1 AV: x = 0

 1  lim   x     3 

Domf = (–∞ ;3) AV: x = 3 C 0 = {2} C + = (  ; 2 )

 1  lim   x     3 

0 4x

 

A.H : y =0

C -=(2;3) 21.b

4x

Domf =    3; 3  AV: x = 3 ; x = -3 C 0 = {-4; 4} C + =   4; 4 

23.c

C -=(-4 ;4) – [ -3;3 ] 21.c

   2;

Domf =

2

AV: x = 2 ; x = -2

 5; 5

C 0 =

   5; 5

C + =



C -= 21.d

No

5; 5

existe

  [ 2;2]

una

21.e

 3  

lim

e x 2

3  3

   

A.H : y = 3

que cumpla con que ln(-1  cosx) pues debe ser -1 + cos x >0, con lo 23.d

Domf = ( ; 2 ) AV: x = 2 C 0 = {1} C + = (1; 2)

C - = ( ; 1) 22

e x2

x

función

que cos x > 1 es falso para todo x. (Recordar que -1
lim

x

f 1 gráfico 3 f 2 gráfico 4 f 3 gráfico 2 f 4  gráfico 1

23.a

x lim e

x

4



x 4

lim e

x 



0 0

A.H : y =0

lim

2 2  x 1

0

lim

2 2 x 1

0

x

x

 

A.H : y =0 23.e

lim 3 x  

 2x 1

 1  1

lim 3 x  

 2 x 1

 1  

AH : y = -1


4

UBA XXI


EJ. 24.a

RESPUESTA 1

f ( x) Dom

24.b

1 ln( x)  1 2 Dom g 1 = ( 0; ) g 1( x)





h (x) 

Im h

k

1

1

24.e

1

1

 1 x (4  e ) 2



( x)

Dom Im k

=

=



= ( ;2 )

m 1 ( x)



1 (3 2

Dom m 1 =

e

x 2

1

h ( x) 25.b

h( x )



1

28.b

t

 1   ln  2e   1  2 

2

x

k = -3 a



1 2 2n

30. a

f(n) = 2500. 3

30.b

Aproximadamente 12990 bacterias

30.c

2500. 3

30.d

1h 2min 53 seg

31.a

f ( n)16000  



(e

k = 46 10 -6

20

 2    5 

 2  f ( 4)16000     5 

3 ) 2 ln( 2x  5 )

h( x )

Ninguna

5  ln     2 

)

Im m 1 = ( ; 25.a

t

29

( 1; )

RESPUESTA

28.a

1 3  2) (ln 3 x 1

1

Dom 1 =

24.d

27.



=

Im g 1 = 24.c

26.

 1  ln(x ) 1 = (0;  )

1

Im

EJ.

 5)

 ln( 3  2 x )

No tiene inversa (no es inyectiva)


31.b

32.a 32.b

4n

(n = días)

16

 2  f ( 40)16000     5 

160

t

C t   x  0,96

5 408

C(2040)= x.0,96

5

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 5 EJ. 1.

RESPUESTA 1.a

EJ.

RESPUESTA

 1 1   1  m' (x)   x 2  3(lnx  2ex )  ( x  3x)  2ex  2  x   

1.b Alt. Máx = 80 metros.

6.d

T = 4 segundos 1.c. 1.d. |vm|=20 |vm|= 20 1.e.

6.e

f ' (x )   

6.f

 1    3e x   4x 8  5 cos x  3 x  3ex   32x  9  5senx   33 x2    px   4x 8  5cos x2

v m  40  5 t 2  t1

 15  1   3senx  2 cos x    5  ln x   3 cos x  2senx    3   x4 x   x 

v 0 t 0   40  10t 0 v 0 3  10 ; v 0 6   20 2.

2. a. 1

2.b. -3

3.

No es única

2.c. -

1 3

6.g

3 5

6.i

 3t 2  4t3  3 et

p' ( t)  3tp 2  3t 2 

6.h 2.d.

s’(t)

6.j

l’(t)= 12t

2

 2p  8 x 3t

m '(x )  5 x



1 2

 2 cos( x  t )

w ' ( )  cos (cos 

6.k

3 p

1)( tg  2) 

 sen [( sen ) ( tg   2)  (cos   1)sec 2 ]

4.a

f (x )  x

h( x ) 

1 x3

1

6.l

p’(t)= ln t

7

7.a.

9m/ s

8

8.a.

a = - 4 8.b. k = 2 8.c. f x  4x 2  3

9.a

3

0 ; x  0  x; x  0

7m / s

2x

f ' ( x ) 



3 1 x 2

g( x)  

7.b.

2

2

9.b

f’(x) = 6sen (2x-3)·cos(2x-3)

9.c.

f '( x )

9.d.

f ' ( x) 

3x 2 2(7  x 3 )

.e

f ' (x )4 x

9.f

3 senx

5  e 5 x 2 2 x  2 3 senx 2

2

ln 4  ( 3x 2  cos x )

 2x 2 cosx 2  2·senx. e cosx 2

x  senx 9.g. f y g no son derivables en x0 = 0 pues no existen los límites del cociente incremental.

4  x  tg x  x 9.h.

g ' ( x )  2 xe

9.i

p' (x) 

9.j

q' (x ) 

4.b h no es derivable en x0 = 0 pues en este caso la recta tangente se hace vertical 5.

x1 = 2 y x2 = -2

6.a

f' (x)

6.b

6.c

 3 .4x 3  5 co s x = 12 x3 + 5cosx 2

h' ( x ) 

sec x  ( senx  2x )  tgx(cos x  2)

g' (x ) 

2 ( senx  2x)

1

1 1  12x  4  x 2 x 2


  sec 2 x

m’(x) 

 x 2 1

ln  x  2  

2 e x  1 senx  3 x 2 3  cos 2 x

 3xcos2 x  2  sen x  2  2 x  2 cos3 x  2  cosln x   2  x  x  2  esenlnx

2 x x(1  x )

4 9 x 5 5

10.a

y 

10.b

y  x 

10.c

8 12   (x  2) y 5 25

 2

1

UBA XXI


EJ. 11

12.a

RESPUESTA

EJ.

2

v 1(t) = 3t – 45 v2(t) = 6t+60 a1 (t) = 6t a2(t) = 6 Para t = 7: v1 (t) = v2(t) = 102 a1(7) = 42 a2 (7) = 6

17.d

17.e

f ´´( x )  2e2 x  8xe2 x  4 x 2 e2 x

f ´´´(x )  12e

2x

 8x e

2

12.b

f ´( x)  f ´´( x) 

3 ln x x 6 ln x  3 ln2 x



a 

18

2



6 1  3 ln x  ln 2 x

f ´´´( x) 

13

x

x

3

1 33 Mín2 =   ;   2 16  Máx = (0; -2)

19 20.a

  1  Decreciente en  0; e 3  ; creciente en    

  1   e 3 ;     

No tiene asíntotas.

El momento de máxima virulencia se produce a la hora de haber comenzado el estudio y el momento de mínima virulencia ocurre a las cinco horas de haberse iniciado el estudio.

19.a. t  (0, 6)

19.b. t = 6

19.c. f(6) = 10.

Dominio: Dom(f ) =  - {3} Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = 1 Cero: x = – 2

14.d. Mín = (1; 2) Máx = (-1; -2)

14.c. Mín = (0; 0)



 crece en  0 ; 1   5 ; 6 y decrece en  1; 5 .

 1 33  14.b. Mín 1 =   ;   2 16  14.a. Mín = (6;– 31)

y creciente en 0; 

La virulencia:

5 ; b   1; c   1; d  2 3

14

;0

  1 1  Mín =  e 3 ;  e 1  .   3  

2 2x

 24 xe

f es decreciente en  

Tiene un mínimo en 0;2 . No tiene asíntotas.

f ´( x )  2 x.e2 x  2 x 2 .e2 x 2x

RESPUESTA

Inter. Decrecimiento: (-; -3) U (-3; +)

15.a

Creciente en (-; 1)y (2; + ); decreciente en (1; 2)

15.b

f es creciente en todo su dominio

15.c

g es creciente en (1; + ) y decreciente en (-  ; 1)

15.d

h es creciente en (0;2) y decreciente en (-2;0)

16.a

Siempre creciente. No tiene extremos relativos.

16.b

g es decreciente en (-; 0) y creciente en (0; + )  

Mín   0;

16.c

16.d

17. a 17.b 17.c

Inter. de Crecimiento: No hay. Puntos críticos: No hay. Máximos y mínimos relativos: No hay. 20.b

 1; 1

Asíntotas verticales: No hay. Asíntotas horizontales:

1   2 

No hay. Ceros: x = 1 y x = – 1.

m es creciente en (-  ; -2) y (0; + ) y decreciente en (-2; 0). 4   Mín = (0; 0) Máx    2;  e   p es decreciente en

Intervalo de crecimiento:   1; 0 Intervalo de decrecimiento:

 6   6   0;  y creciente en  ;  .  7   7 

3   6 8 4  6   Mín   ;     7 7  7     f es decreciente en (-; -3) y creciente en (-3; + ) Mín   3;  27 .e 2 . A.H y =0 (a izquierda) .



Dominio: Dom(f ) =



g es creciente en todo su dominio. No tiene asíntotas

     k ;   k   con k  Z  2     con k  Z Decreciente:  k ;  k   2  Creciente:

    k; ;0 ; Máx  (k; 3 ) con k  Z 2  

Mín en 

;1

Punto crítico: x = 0 Máximo relativo: En x = 0. Mínimos relativos: (-1; 0) y (1; 0) 20.c

Dom(f ) = 3 ;



Asíntota vertical: x = 3 Saint. horizontal: No hay. Cero: x = 4 Int. crecimiento:  3 ;



Int. decrecimiento: No hay. Puntos críticos: No hay. Máximos y mínimos relativos: No hay.

No tiene asíntotas. Matemática - Respuestas Práctico 5

2

UBA XXI


EJ. 20.d

RESPUESTA

EJ.

Dominio: Dom(f ) = 

26.a

I’(x) = 2 – 0,04x

Asín. vertical: No hay.

26.b

 1 x 5 I' ( x )   1250

26.c

I’(x) = 20 – 0,4x -0,03x2

Asín. horizontal: y = 0 Ceros: No hay. Int. Crecimiento:    1 Int. decrecimiento: 1;

27



Punto crítico: x = 1 Máximo relativo: En x = 1. Mínimos relativos: No hay. 21 22. a

a = -6; b = -15 f creciente

( 22.b

;

en (– 1; 1)

– 1)



(2 ;

 ) y decreciente en

(1; 2).

Extremos relativos en x = – 1, x = 1 y x = 2. La función alcanza mínimos en x = – 1 y x = 2. Y un máximo en x = 1.

23. a

Creciente en 0 ; 1

 1; 2   3 ; 4 

No tiene extremos relativos en x = 0; x = 1 y x = 4.

1

t =2

28.a

x = 40.000 unidades.

28.b

x = 7.000 unidades

28.c

x = 15500 unidades.

29 30.a

La cuota es de $32,5 si se anotan 130000 suscriptores. 7 unidades; 192 dólares

30.b Como  7 pertenece al intervalo 5;10  entonces el valor de x que minimiza el costo total es el mismo  7. 31

Decreciente en  2 ; 3  . 23.b

RESPUESTA

 2 8  P   ,  3  3 

32.a

21º C

32.b

5324 kilogramos

24.a

24.b

3 (la medida de la altura es igual a la de la 4 base, por lo que el marco es cuadrado)

33

y 

34

A = (2; 1)

35

P ' ( t) 

100000

;

(50  t)2 P' (2 )  37 (la velocidad de crecimiento es de 37 bacterias por hora) 36

A partir del día 10.

24.c 37.a

 =

1 1 y   40 y f(t) = t (40 - t) 4 4

37.b

25.a

C’(x) = 5 - 80x

25.b

C’(x) = 100 – 0,10 x + 0,03 x

25.c

C' ( x ) 

25.d

C' ( x )  0,02 

2

x

1  e100 100

800 x3


3

UBA XXI


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 6 EJ.

RESPUESTA

EJ.

En los ejercicios 1 a 3 tenemos en cuenta que: F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x).

6.a

1.b 1.c

x C 7 

1 2x 2

2 x

6.b

x2 2

xC

x3  2 x  C

1.f

senx  2 x  C 3 e x  x2  C 2

1.h 2

Integrales por sustitución 7.a

2.a

SI

2.e

SI

2.b

NO

2.f

NO

2.c

SI

2.g

SI

NO

3.b

3 2 g x  x x2 2 g x  senx  1

3.c

g x  ln x

------

------

3

e

x3

3

C

(hacer u = x )

7.b

ln x C 3

7.c

2  sen x  C

(u=

7d

3 3  seny  12  C 2

(u

 seny  1 )

(u

 e x  1)

7.e 7.f 7.g

7.h

1

(e

3

x2

 1) 3  C

1

C

2 cos2 t 5 2

(hacer u = lnx)



 5 z2  2



4

4  4 ln(x  2)

7.i

7.j

1 2

e

e 3t

2 y



2 15

1 4 3 x   2 ln x  C 2 x



x )

2

(u

 cos t ) 2

C

(u = z +2)

5

5

En los ejercicios 4, 5 y 6 usamos:  la tabla de integrales inmediatas, y  la propiedad de linealidad de la integral indefinida: 4.a

1

3

x2 senx  cos x  C 2

2.d 3. a



I(x )  I' ( x)dx

I(x) = x. Q(x), donde x es el precio y Q(x), la cantidad demandada. 2 3 Qx  200  10x  x

1.e

1.g

 4 x 3  100

C

C

x3 

2

IT(x)  200 x  10x 3  x 4

2 1.d



C( x)  C' ( x)dx C( x )  10 x  20 x

7

1.a

RESPUESTA

C

(u

y C

 ln( x  2 ) )

(u

 e2

y

)

5

C

(u

 e 3t  2 )

Integración por partes

8

4.b

33 b 3 x C 8

8.a

4.c

e x  3 cos x  tgx  C

4.d

6 6 3 x  x 11 10

11

4.e 4.f 5

3

2

T t 

8.c



1 8

t 2  10 t  5


8.d 8.e

2x

(u = x; v’= e )

x ln( x  1)  x  ln(x  1)  C (u = ln (x+ 1); v’= 1)

5

2 2 1  x  x4  C 5 4

6 1  5 C t 2t 5t 1 4x 1 x e  x C 4 e



1

10

8.b

1 2x  1  e x    C 2 2  

1 5  1  x  ln x    C 5 5   (z+1).sen z + cos z + C

(u = ln x; v’= x4) (u = z+1; v’= cos z)

x( cot gx )  ln(senx)  C ( u = x; v'  cosec 2 (x) 

1 sen 2 x

)

1

UBA XXI


EJ. 8.f

EJ.

RESPUESTA 1

x

12.e

x

(e cos 2x  2 e sen2x) C

5

(u = cos 2x; v’ = ex)

8.g

2 3

3 z2

4 9

 ln z 

3 z2

12.f

8.h

4

4 x

(Ver en notas

 sen x dx ) 2

(hacer la sustitución z+1 = u con lo que z = u -1)

(u = ln z; v’ =

e

3  4 17504 15

C 1

1

RESPUESTA

 x 2  e 2 x  x  e 2 x 

1 2

e

ln 2  2 

12.h

74e  2 e

z  z2 ) 2 x



1 5



12.g

5

5

2 2

x  C

Cálculo de áreas

Sugerencia: Resolver el cuadrado.

1

x3  2 x senx  2 cos x 

3 8.i

9.a

1 1

  sen2 x  x  C 2 2 

 10 cot g x  

1 3

1 C senx

3 (2  cos x)

9.c

- e (2x+3) + C

9.d

arctg ( e

9.e

e

senx

x

 2)  C

32 3

13.c

(R ) 

16 3

13.d 2

(R)  

3 2 ( x  1000) 3  75 I (x) = 4

10.b

p 

3 4x

e( t) 

2

(x

2

 1000) 3 

(R)  

x

Sugerencia: Distribuir x

30

 ln

3 ln 2

8

1  1 2   cos t  cos t   10 t   3  3 9 

4097

12.a

13.e

75

Integral definida. Regla de Barrow

13.f 2

(R) 

1 2

(R) 

100 3

2 2 13.g

-48

1   4 5 e    25   25 12.d

(R ) 

(senx – 1) + C

I(x) = x. p(x), donde x es el precio y p(x) la función de demanda.

12.c

13.b

-x



12.b

64 3

+ C

I( x )  I' (x )dx

11

(R ) 

Sugerencia: Resolver el cuadrado y usar la sustitución: cos 2x  1  cos 2 x 2

9.b

10.a

13.a

Sugerencia: Considerar b

a

a

b

 f (x) dx    f (x) dx ; si a  b Matemática - Respuestas Práctico 6

2

UBA XXI


EJ.

RESPUESTA

EJ.

RESPUESTA

14.a

1

(R) 

6

1

14.j

(R) 

14.k

( R) 

32 3

15.a

( R) 

20 3

15.b

( R) 

9 2

15.c

( R)  2 ln 3

3

14.b

5

(R) 

6

14.c

(R)  2  1

14.d

(R)  1

14.e

14.f

14.g

14.h

3

(R) 

2

( R)  2e 2  e  1

(R) 

5 3

( R) 

2  2e 

15.d

(R) 

16

a=6

4 3



17

4

k=

18 14.i

( R) 

4 15

1

3

21

(R) 

 4

2


3

UBA XXI


EJ. 19.a

RESPUESTA

T : y   x  

EJ. 21.b

2

Aproximadamente 16 juegos. 22

19.b

(R)  20

RESPUESTA

2

Hay que pintar 4m de blanco.

3

4e 2  12

2 41,56

En el intervalo [0; 4] recorre aproximadamente 41,56 cm. 21.a

V(t) = 8000 e 0,5 t ( t

2)


C

4

Guia Matematica.ubaxxi

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