Guia Del Profesor Matematica 6

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La Guía didáctica de Matemáticas 6, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.

Texto de la Guía didáctica: José A. Almodóvar, José J. García, M.ª del Mar de la Mata y Magdalena Rodríguez. Edición: José A. Almodóvar y M.ª José Rey

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Introducción La Casa del Saber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Educación Primaria. Finalidad y objetivos . . . . . . . . . . . VI Las competencias básicas en el currículo . . . . . . . . . . VII Recursos para el quinto curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Recursos para el sexto curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Contenidos de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII Las competencias básicas en el área de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV Programa de Estudio Eficaz

......................

XVIII

El libro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX La guía didáctica

...............................

XXVIII

Guía didáctica PRIMER TRIMESTRE Unidad 1. Números naturales. Operaciones . . . . . . . . . . 6 Unidad 2. Potencias y raíz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Unidad 3. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Unidad 4. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

14 13 12 11 0 21 22

Unidad 5. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

SEGUNDO TRIMESTRE Unidad 6. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Unidad 7. Operaciones con fracciones

.............

92

Unidad 8. Números decimales. Operaciones . . . . . . 106 Unidad 9. División de números decimales . . . . . . . . . 120 Unidad 10. Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

TERCER TRIMESTRE Unidad 11. Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . 152 Unidad 12. Longitud, capacidad, masa y superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Unidad 13. Área de figuras planas

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196

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Unidad 14. Cuerpos geométricos. Volumen Unidad 15. Estadística

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Un proyecto bien fundamentado

Una casa para todos

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La Casa del Saber persigue una educación de calidad que facilite el éxito escolar de los alumnos. Es fruto de un largo proceso de investigación y debate. En su diseño han participado profesores, pedagogos, psicólogos, editores, diseñadores, ilustradores y muchos otros profesionales que han aportado su buen hacer y sus conocimientos. Su trabajo y la larga experiencia de Santillana fundamentan la solidez de este proyecto.

La Casa del Saber persigue la equidad en la educación, de manera que todos los alumnos encuentren una respuesta apropiada a su ritmo de aprendizaje y a sus condiciones personales.

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Los profesores, los alumnos y los padres pueden depositar su confianza en La Casa del Saber.

Para lograr la equidad, el proyecto plantea una auténtica educación en valores, con especial atención a la convivencia, el cuidado del medio ambiente y otros valores que promueven la construcción de un mundo mejor para todos. Este proyecto pretende también que los alumnos reconozcan y valoren la diversidad cultural de la sociedad en la que vivimos. La Casa del Saber es un espacio en el que cabemos todos: alumnos, profesores, padres…

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La Casa del Saber, el nuevo proyecto de Santillana, es un espacio educativo en el que los alumnos pueden adquirir las capacidades que necesitan para su desarrollo personal y social.

Los pilares del proyecto

• Contribuir al desarrollo de las competencias básicas que deben adquirir los alumnos. Todas las áreas favorecen el desarrollo de las competencias que los alumnos necesitan para desenvolverse en la sociedad actual: Competencia en comunicación lingüística Competencia matemática

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La Casa del Saber se apoya en tres principios: • Promover un aprendizaje eficaz que permita al alumno desarrollar satisfactoriamente las habilidades que ha de adquirir en el tercer ciclo de la Educación Primaria. Para lograrlo, además de una elaboración rigurosa de los libros del alumno, apoyamos el proceso de enseñanza con múltiples recursos para explicar, repasar, reforzar, complementar y evaluar los contenidos fundamentales. • Aplicar el conocimiento a la vida cotidiana, de modo que los niños y niñas puedan actuar satisfactoriamente en su vida diaria. Así, pretendemos que los alumnos se desenvuelvan en las situaciones comunicativas en las que se ven inmersos, utilicen sus conocimientos matemáticos para resolver problemas de su vida diaria y se valgan de los contenidos aprendidos para comprender y tomar decisiones sobre su entorno natural y social.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico Tratamiento de la información y competencia digital Competencia social y ciudadana Competencia cultural y artística Competencia para aprender a aprender Autonomía e iniciativa personal Adelante, este es vuestro proyecto. Es vuestra casa. Es la casa de todos.

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Educación Primaria

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FINALIDAD Y OBJETIVOS

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Según la Ley Orgánica de Educación, la finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que permita afianzar su desarrollo personal y su propio bienestar, adquirir las habilidades culturales básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad.

f) Adquirir en, al menos, una lengua extranjera la competencia comunicativa básica que les permita expresar y comprender mensajes sencillos y desenvolverse en situaciones cotidianas.

En el apartado en que se enumeran los objetivos de la etapa, la ley expone lo siguiente:

g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

«La Educación Primaria contribuirá a desarrollar en los niños y niñas las capacidades que les permitan:

h) Conocer y valorar su entorno natural, social y cultural, así como las posibilidades de acción y cuidado del mismo.

a) Conocer y apreciar los valores y las normas de convivencia, aprender a obrar de acuerdo con ellas, prepararse para el ejercicio activo de la ciudadanía y respetar los derechos humanos, así como el pluralismo propio de una sociedad democrática.

i) Iniciarse en la utilización, para el aprendizaje, de las tecnologías de la información y la comunicación desarrollando un espíritu crítico ante los mensajes que reciben y elaboran.

b) Desarrollar hábitos de trabajo individual y de equipo, de esfuerzo y responsabilidad en el estudio, así como actitudes de confianza en sí mismo, sentido crítico, iniciativa personal, curiosidad, interés y creatividad en el aprendizaje. c) Adquirir habilidades para la prevención y para la resolución pacífica de conflictos, que les permitan desenvolverse con autonomía en el ámbito familiar y doméstico, así como en los grupos sociales con los que se relacionan. d) Conocer, comprender y respetar las diferentes culturas y las diferencias entre las personas, la igualdad de derechos y oportunidades de hombres y mujeres y la no discriminación de personas con discapacidad. e) Conocer y utilizar de manera apropiada la lengua castellana y, si la hubiere, la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma y desarrollar hábitos de lectura.

j) Utilizar diferentes representaciones y expresiones artísticas e iniciarse en la construcción de propuestas visuales. k) Valorar la higiene y la salud, aceptar el propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias y utilizar la educación física y el deporte como medios para favorecer el desarrollo personal y social. l) Conocer y valorar los animales más próximos al ser humano y adoptar modos de comportamiento que favorezcan su cuidado. m) Desarrollar sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como una actitud contraria a la violencia, a los prejuicios de cualquier tipo y a los estereotipos sexistas. n) Fomentar la educación vial y actitudes de respeto que incidan en la prevención de los accidentes de tráfico.»

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Las competencias básicas EN EL CURRÍCULO

La Ley Orgánica de Educación presenta una importante novedad: la incorporación de las competencias básicas al currículo. Así, en el texto legal se afirma que «con las áreas y materias del currículo se pretende que los alumnos y las alumnas alcancen los objetivos educativos y, consecuentemente, también que adquieran las competencias básicas. Sin embargo, no existe una relación unívoca entre la enseñanza de determinadas áreas o materias y el desarrollo de ciertas competencias. Cada una de las áreas contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada una de las competencias básicas se alcanzará como consecuencia del trabajo en varias áreas o materias». Y, sobre el mismo asunto, la ley añade lo siguiente: «El currículo se estructura en torno a áreas de conocimiento, es en ellas en las que han de buscarse los referentes que permitirán el desarrollo de las competencias en esta etapa. Así pues, en cada área se incluyen referencias explícitas acerca de su contribución a aquellas competencias básicas a las que se orienta en mayor medida. Por otro lado, tanto los objetivos como la propia selección de los contenidos buscan asegurar el desarrollo de todas ellas».

Qué se entiende por competencia básica Se entiende por competencia la capacidad de poner en práctica de una forma integrada, en contextos y situaciones diferentes, los conocimientos, las habilidades y las actitudes personales adquiridas. El concepto de competencia incluye tanto los conocimientos teóricos como las habilidades o conocimientos prácticos y las actitudes. Va más allá del saber y del saber hacer o aplicar, porque incluye también el saber ser o estar.

Las competencias básicas o clave tienen las siguientes características: • Promueven el desarrollo de capacidades más que la asimilación de contenidos, aunque estos siempre están presentes a la hora de concretarse los aprendizajes. • Tienen en cuenta el carácter aplicativo de los aprendizajes, ya que se entiende que una persona «competente» es aquella capaz de resolver los problemas propios de su ámbito de actuación. • Se fundamentan en su carácter dinámico, ya que se desarrollan de manera progresiva y pueden ser adquiridas en situaciones e instituciones formativas diferentes. • Tienen un carácter interdisciplinar y transversal, ya que integran aprendizajes procedentes de diversas disciplinas académicas. • Son un punto de encuentro entre la calidad y la equidad. Por una parte, con ellas se intenta garantizar una educación que dé respuesta a las necesidades reales de la época en la que vivimos (calidad). Por otra parte, se pretende que sean asumidas por todo el alumnado, de manera que sirvan de base común a todos los ciudadanos y ciudadanas (equidad). Las competencias clave o básicas son, pues, aquellos conocimientos, destrezas y actitudes que todos los individuos necesitan para su realización y desarrollo personal, para su inclusión en la sociedad y para su incorporación al mundo del empleo. Las competencias deberían haberse adquirido al final de la enseñanza obligatoria, y tendrían que constituir la base de un continuo aprendizaje a lo largo de toda la vida.

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Recursos para el quinto curso RECURSOS PARA LOS ALUMNOS

RECURSOS PARA EL PROFESOR

Libros

Guías didácticas

• Lengua castellana 5

• Guía didáctica Lengua castellana 5 – Incluye CD para el programa de Comunicación oral

•

• Conocimiento del medio 5

• Guía didáctica Matemáticas 5

•

• Educación para la ciudadanía

• Guía didáctica Conocimiento del medio 5

•

• Música 5

• Guía didáctica Educación para la ciudadanía

•

• Educación plástica 5

• Guía didáctica Música 5 – Incluye CD con canciones, ejercicios y audiciones

• Matemáticas 5

• Religión católica 5

•

• New Science 5 • Drawing and painting 5 • Lecturas 5 • Diccionario escolar

Recursos para el aula

R

Mapas mudos interactivos

•

• Mapas murales de España, de Europa y del mundo, con nombres de quitar y poner

•

Material manipulable para Matemáticas

•

Cuadernos

• Cuerpos geométricos: conos, prismas, cilindros, esfera, cubo, pirámides...

• Lengua 5 Primer trimestre

• Desarrollos de los cuerpos geométricos

• Lengua 5 Segundo trimestre

• Panel para trabajar fracciones

• Lengua 5 Tercer trimestre

• Figuras planas

•

• Matemáticas 5 Primer trimestre

• Instrumentos para la pizarra: regla, compás, transportador, escuadra y cartabón

• Matemáticas 5 Segundo trimestre

• Billetes y monedas

•

• Matemáticas 5 Tercer trimestre

Láminas de Matemáticas

• Ortografía

• Clases de cuadriláteros, clases de triángulos, cuerpos geométricos, polígonos, círculo y circunferencia, ángulos

• Números y operaciones

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Láminas de Conocimiento del medio

• Actividades con mapas

• Láminas para trabajar el cuerpo humano, mapas de la Comunidad Autónoma, de España, de Europa…

• Cálculo mental

Láminas de Lengua • Modelos de las conjugaciones verbales

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•

•

• Problemas de Matemáticas • Tareas de Ciencias Naturales

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•

•

Recursos digitales

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• Guía didáctica Educación plástica 5

• CD Recursos didácticos

• Guía didáctica Religión católica 5

• CD Documentos curriculares

• Teacher’s Book New Science 5 • Teacher’s Book Drawing and Painting 5

Programa de Estudio Eficaz

• Guía del diccionario escolar

• Manual para profesores

Recursos para evaluar • Recursos para la evaluación. Lengua castellana 5 • Recursos para la evaluación. Matemáticas 5 ,

• Recursos para la evaluación. Conocimiento del medio 5

Recursos para atender a la diversidad • Fichas de refuerzo y ampliación. Lengua castellana 5 • Fichas de refuerzo y ampliación. Matemáticas 5 • Fichas de refuerzo y ampliación. Conocimiento del medio 5 • Más Recursos. Lengua castellana 5 • Más recursos. Matemáticas 5 • Más recursos. Conocimiento del medio 5 • Trabajar con mapas

Recursos para trabajar las competencias • 100 propuestas para mejorar la competencia en comunicación lingüística • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática • 100 propuestas para mejorar la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

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Recursos para el sexto curso RECURSOS PARA LOS ALUMNOS

RECURSOS PARA EL PROFESOR

Libros

Guías didácticas

• Lengua castellana 6

• Guía didáctica Lengua castellana 6 – Incluye CD para el programa de Comunicación oral

•

• Conocimiento del medio 6

• Guía didáctica Matemáticas 6

•

• Educación para la ciudadanía

• Guía didáctica Conocimiento del medio 6

•

• Música 6

• Guía didáctica Educación para la ciudadanía

•

• Educación plástica 6

• Guía didáctica Música 6 – Incluye CD con canciones, ejercicios y audiciones

• Matemáticas 6

• Religión católica 6

•

• New Sciences 6 • Drawing and Painting 6 • Lecturas 6 • Diccionario escolar

Recursos para el aula

R

Mapas mudos interactivos

•

• Mapas murales de España, de Europa y del mundo, con nombres de quitar y poner

•

Material manipulable para Matemáticas

•

Cuadernos

• Cuerpos geométricos: conos, prismas, cilindros, esfera, cubo, pirámides...

• Lengua 6 Primer trimestre

• Desarrollos de los cuerpos geométricos

• Lengua 6 Segundo trimestre

• Panel para trabajar fracciones

• Lengua 6 Tercer trimestre

• Figuras planas

•

• Matemáticas 6 Primer trimestre

• Instrumentos para la pizarra: regla, compás, transportador, escuadra y cartabón

• Matemáticas 6 Segundo trimestre

• Billetes y monedas

•

• Matemáticas 6 Tercer trimestre

Láminas de Matemáticas

• Ortografía

• Clases de cuadriláteros, clases de triángulos, cuerpos geométricos, polígonos, círculo y circunferencia, ángulos

• Números y operaciones • Problemas de Matemáticas • Actividades con mapas • Tareas de Ciencias Naturales • Cálculo mental

R a

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•

Láminas de Conocimiento del medio • Láminas para trabajar el cuerpo humano, mapas de la Comunidad Autónoma, de España, de Europa… Láminas de Lengua • Modelos de las conjugaciones verbales

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Recursos digitales

D

• Guía didáctica Educación plástica 6

• CD Recursos didácticos

• Guía didáctica Religión católica 6

• CD Documentos curriculares

• Teacher’s Book New Science 6 • Teacher’s Book Drawing and Painting 6

Programa de Estudio Eficaz

• Guía del diccionario escolar

• Manual para profesores • Esquemas de Lengua castellana, Matemáticas y Conocimiento del medio

Recursos para evaluar • Recursos para la evaluación. Lengua castellana 6 • Recursos para la evaluación. Matemáticas 6 ,

• Recursos para la evaluación. Conocimiento del medio 6

Recursos para atender a la diversidad • Fichas de refuerzo y ampliación. Lengua castellana 6 • Fichas de refuerzo y ampliación. Matemáticas 6 • Fichas de refuerzo y ampliación. Conocimiento del medio 6 • Más Recursos. Lengua castellana 6 • Más recursos. Matemáticas 6 • Más recursos. Conocimiento del medio 6 • Trabajar con mapas

Recursos para trabajar las competencias • 100 propuestas para mejorar la competencia en comunicación lingüística • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática • 100 propuestas para mejorar la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

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Contenidos NÚMEROS Y OPERACIONES

UNIDAD

QUINTO CURSO GEOMETRÍA Y MEDIDA

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y GRÁFICOS

1

Números de siete cifras Números de más de siete cifras Números romanos

Pasos para resolver un problema

2

Multiplicación por números de dos o más cifras Propiedad distributiva de la multiplicación Operaciones combinadas Estimaciones

Buscar datos en un texto y un gráfico

Divisiones con divisor de dos o de tres cifras Cambios en los términos de la división Problemas de dos o más operaciones

Buscar datos en una tabla y un gráfico Gráficos de barras de tres características

Fracciones Fracción de un número Fracción como reparto Comparación de fracciones Comparación de fracciones con la unidad

Ensayo y error

Suma y resta de fracciones de igual denominador Fracciones equivalentes a un número natural Fracciones equivalentes

Representar gráficamente la situación

Unidades decimales Números decimales Comparación de números decimales

Empezar por el final

Fracciones decimales Porcentajes Problemas de porcentajes

Representar los datos gráficamente

Suma y resta de decimales Multiplicación de decimal por natural División por la unidad seguida de ceros

Buscar una regla Gráficos lineales de dos características

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Medida y trazado de ángulos Ángulos consecutivos y adyacentes Ángulos y giros de 90º Mediatriz y bisectriz

Hacer un dibujo

Polígonos. El círculo Clasificación de triángulos, cuadriláteros y paralelogramos Simetría y traslación Introducción a la semejanza

Imaginar el problema resuelto

Múltiplos del metro Submúltiplos del metro Unidades de longitud. Relaciones


Unidades de capacidad. Relaciones Unidades de masa. Relaciones Problemas con unidades de medida

Hacer una tabla

Unidades de superficie Área del cuadrado y el rectángulo Área de figuras compuestas

Reducir el problema a otro conocido Pictogramas

El reloj Horas, minutos y segundos Problemas con dinero

Anticipar una solución aproximada

Más probable y menos probable Probabilidad Media

Hacer un diagrama de árbol

XII 124603 _ 0001-0039.indd 12

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SEXTO CURSO NÚMEROS Y OPERACIONES

UNIDAD

GEOMETRÍA, MEDIDA Y ESTADÍSTICA

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y GRÁFICOS

Números de hasta nueve cifras Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones


Potencias. Cuadrado y cubo Potencias de base 10 Expresión polinómica Raíz cuadrada

Buscar datos en varios gráficos

3

Números enteros Problemas con números enteros La recta entera. Comparación de enteros Coordenadas cartesianas

Buscar datos en varios textos o gráficos Gráficos lineales de tres características Hacer una tabla

4

Múltiplos de un número. El m.c.m. Divisores de un número Criterios de divisibilidad Cálculo de divisores. Números primos y compuestos El m.c.d.

1 2

Unidades de medida de ángulos Suma y resta de ángulos Ángulos complementarios y suplementarios Ángulos de más de 180°

5 6 7 8 9

Fracciones y números mixtos Fracciones equivalentes Reducción a común denominador Comparación de fracciones

Ensayo y error

Suma, resta, multiplicación y división de fracciones

Representar la situación

Suma, resta y multiplicación de decimales Aproximaciones Estimaciones

Anticipar una solución aproximada Histogramas

División de decimales Obtención de cifras decimales en el cociente Problemas con decimales

Representar datos con dibujos Base y altura Suma de los ángulos El número p y la longitud de la circunferencia Figuras circulares. Posiciones de rectas y circunferencias

10 11

Hacer un dibujo

Proporcionalidad Problemas con porcentajes Escalas: planos y mapas

12 13 14 15


Empezar por el final

Unidades Unidades Unidades Unidades Unidades

de longitud. Relaciones de capacidad. Relaciones de masa. Relaciones de superficie. Relaciones agrarias


Área de figuras planas Área de figuras compuestas

Reducir el problema a otro conocido Gráficos de sectores

Poliedros. Poliedros regulares Volumen con cubo unidad Volumen y capacidad Unidades de volumen

Empezar con problemas más sencillos

Variables estadísticas. Frecuencias Media, moda, mediana y rango


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Las competencias básicas en el área de Matemáticas

S l y r p y

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA Para lograr la adquisición de esta competencia, el alumno debe:

Ser capaz de conocer y valorar la presencia de las informaciones numéricas en la vida cotidiana, manejar los números en sus diferentes contextos y emplearlos con distintas finalidades.

En el tercer ciclo el alumno aprenderá los números naturales de hasta 9 cifras, las fracciones, los números decimales y los números enteros, así como los múltiples usos de todos ellos. Trabajará con las distintas situaciones cotidianas donde aparecen, y manejará las diferentes formas en las que se pueden presentar. También realizará su representación de diferentes maneras y trabajará su lectura, escritura y descomposición a partir de los distintos órdenes de unidades, así como la comparación.

Ser capaz de realizar cálculos y estimaciones con números, identificando situaciones donde sean necesarios y expresando el proceso seguido.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división constituyen una parte sustancial de los contenidos del tercer ciclo. También se trabajarán los porcentajes y la proporcionalidad, y las aproximaciones y estimaciones. Durante todo el ciclo asociará las operaciones con situaciones reales en las que las aplicará. El cálculo mental lo trabajará también de forma sistemática.

Ser capaz de utilizar distintas unidades de medida, estimar medidas de magnitudes y expresar los resultados en la unidad adecuada.

El alumno, a lo largo de este ciclo, trabajará con todas las unidades de medida de las magnitudes más importantes (longitud, capacidad, masa y superficie) y las utilizará en contextos reales variados, expresando los resultados en la unidad adecuada. También se dedicará especial atención a la estimación de magnitudes y al trabajo con tiempo y dinero.

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S e p e u o

S e q l f m

S y e l y e

Ser capaz de reconocer la presencia de líneas, formas y cuerpos geométricos en la realidad, aplicar sus características para describir situaciones y utilizarlas con distintos fines.

En lo referente al plano, el alumno trabajará los distintos tipos de figuras planas (polígonos y círculos), sus elementos, clasificación y trazado; los ángulos, sus elementos y clasificación, medida y trazado. También aprenderá a calcular el perímetro y el área de un polígono y un círculo. El trabajo con el espacio se concretará en el estudio de los cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas) y sus elementos y se trabajará el cálculo del volumen de ortoedros y cubos.

Ser capaz de utilizar y elaborar estrategias de resolución de problemas, elegir la más adecuada en cada caso y aplicarla siguiendo un proceso de resolución ordenado.

Durante todo el ciclo, el alumno reconocerá y resolverá diferentes tipos de problemas, todos ellos con dos o más operaciones y enfocados a situaciones cotidianas. Los alumnos aprenderán a seguir un proceso ordenado de resolución y conocerán y utilizarán diferentes estrategias para resolver los problemas, teniendo también la oportunidad de inventar problemas propios.

. -

Ser capaz de recoger datos e informaciones del entorno que le rodea, representar la información en distintas formas, interpretarla y producir mensajes con ella.

Durante el tercer ciclo los alumnos aprenderán a interpretar y representar gráficos de barras, gráficos lineales, pictogramas, histogramas y gráficos de sectores. A partir de ellos, extraerán información que les permitirá contestar preguntas y resolver problemas. También trabajarán la probabilidad y el cálculo de medidas estadísticas (media, mediana, moda y rango).

s rs s y

Ser capaz de reconocer la presencia y el papel de las Matemáticas en nuestro mundo, valorar la importancia de la creatividad y el rigor al utilizarlas y confiar en sus propias habilidades.

Los alumnos llegarán a reconocer y apreciar la utilidad de las Matemáticas en su vida cotidiana, al realizar actividades de distintos tipos centradas siempre en contextos reales. El trabajo sistemático y organizado les permitirá tomar conciencia de la importancia de ser ordenados y cuidadosos.

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CONTRIBUCIÓN DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS AL DESARROLLO DE OTRAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística

Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

C y

Para desarrollar esta competencia, al trabajar las Matemáticas los alumnos deben poner especial atención en la incorporación de los términos matemáticos al lenguaje usual y su uso correcto, en la descripción verbal de los procesos y en la comprensión de los textos que se les ofrecen (en especial, los problemas). Es necesario que los alumnos hablen, escriban, escuchen y expliquen el proceso seguido en su trabajo matemático.

El área de Matemáticas permite a los alumnos comprender, describir e interactuar con el entorno físico que les rodea. El trabajo con las posiciones en el espacio, las figuras y cuerpos geométricos, la simetría… les capacitará para ser competentes en el empleo de planos, mapas, rutas… De la misma manera, los contenidos de números, operaciones y medida les ayudan a comprender la realidad, y a interactuar con ella. Con el estudio de los gráficos entienden y producen informaciones sobre el entorno.

Tratamiento de la información y competencia digital

Esta área contribuye a la adquisición de esta competencia de varias formas. Por un lado, aporta destrezas como la comparación de números, la aproximación, las distintas formas de expresar y de usar los números…; y por otro, trabaja la recogida y tabulación de datos, y la interpretación y representación de tablas de doble entrada y de los tipos de gráficos más comunes.

Competencia social y ciudadana

Valores como el rigor, el cuidado, la perseverancia están asociados al trabajo matemático. De la misma manera, el trabajo en equipo y la consideración y reflexión sobre las opiniones y puntos de vista de los otros (por ejemplo, al resolver problemas) contribuyen al desarrollo de esta competencia.

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C a

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s o s a n a y .

a a y n e

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Competencia cultural y artística

El saber matemático es parte fundamental del conocimiento de la humanidad, y contenidos como los tratados en Geometría permiten al alumno comprender, de manera más efectiva, las manifestaciones artísticas, y ser capaz de utilizarlos para crear obras propias.

Competencia para aprender a aprender

El desarrollo de nociones matemáticas firmes y el manejo diestro de la información son instrumentos que facilitan posteriores aprendizajes. De igual manera, actitudes como la autonomía y el esfuerzo se potencian al abordar situaciones complejas de manera sistemática. La verbalización de los procesos seguidos ayuda también a la reflexión sobre lo aprendido y la consecución de un aprendizaje efectivo.

Autonomía e iniciativa personal

Las Matemáticas contribuyen a la consecución de esta competencia desde los contenidos asociados a la resolución de problemas, que es uno de los ejes fundamentales del área. La contribución a esta competencia se realiza desde tres vertientes principales: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. La resolución de situaciones abiertas fomenta la confianza en las propias capacidades.

UNIDADES

COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS 6

1

2

3

4

5

6

7

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11

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15

Competencia lingüística

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Interacción con el mundo físico

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Tratamiento de la información

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Competencia social y ciudadana

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Competencia cultural y artística

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Aprender a aprender

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Autonomía e iniciativa personal

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Programa de Estudio Eficaz El proyecto La Casa del Saber pretende, en tercer ciclo de Primaria, preparar a los alumnos para que afronten con éxito la ESO. El programa de Estudio Eficaz es una herramienta para lograrlo. Con este programa se puede entrenar a los alumnos en el uso de técnicas y habilidades que serán de gran utilidad en su vida académica.

Recursos para el profesorado

PRIMARIA

PROGRAMA DE ESTUDIO EFICAZ

Manual para profesores Reflexiones, estrategias y actividades para trabajar las técnicas de estudio, la preparación de evaluaciones y la presentación de trabajos

Este programa tiene cuatro componentes:

1. Manual para profesores

Santillana

Contiene reflexiones, estrategias, sugerencias didácticas y fichas fotocopiables. Comprende tres grandes apartados: técnicas de estudio, preparación de evaluaciones escolares y presentación de trabajos. 173835_C.indd 1

Técnicas de estudio



Subrayar Subrayar desarrolla: La atención. La concentración. La capacidad de análisis.

Este apartado incluye las siguientes habilidades, que permiten a los alumnos consolidar el aprendizaje de los contenidos, a medida que van estudiando un tema:

1. En qué consiste subrayar Subrayar implica detectar aquello que resulta importante dentro de un texto. ¿Pero nos importa siempre lo mismo? Dependiendo de qué objetivos persigamos, podemos realizar distintos tipos de subrayado. Es posible que solo pretendamos localizar unos datos; tal vez busquemos la idea esencial y las ideas secundarias; o puede ser que queramos examinar el texto de manera pormenorizada. Según el objetivo que nos planteemos, resultará pertinente subrayar más o menos cantidad de texto.

2. Para qué subrayamos Subrayamos palabras clave para generar marcadores mentales. Este tipo de subrayado resulta de especial utilidad para aprender conceptos y para explicar después su significado.

En la digestión participan varias partes del aparato digestivo: En la boca, los alimentos se desmenuzan con los dientes y se mezclan con la saliva, producida por las glándulas salivales. Así se forma el bolo alimenticio.

boca Digestión

Preparación de evaluaciones escolares

Aproveche este tipo de subrayado para elaborar esquemas.

dientes glándulas salivales

bolo alimenticio

… …

Preparación de evaluaciones

Subrayamos partes del texto para identificar las ideas principales.

Repasar procedimientos

Este tipo de subrayado resulta útil para estudiar un tema y luego desarrollarlo. En la digestión participan varias partes del aparato digestivo: En la boca, los alimentos se desmenuzan con los dientes y se mezclan con la saliva, producida por las glándulas salivales. Así se forma el bolo alimenticio.

El material necesario Un libro en el que no importe marcar (o una fotocopia). Un lápiz y un borrador, para poder rectificar.

1. En qué consiste repasar procedimientos Repasar Aproveche este tipo de procedimientos subrayado para redactarEl alto contenido procedimental del área de Matemáticas justifica que se dedique un garantiza: apartado específico para reflexionar sobre las estrategias y las técnicas que son resúmenes. Comprender lo que se está haciendo. Establecer rutinas de autocontrol. Verbalizar procesos mentales. Tomar conciencia de los procesos de aprendizaje.

Los alumnos con pocas habilidades estratégicas no repasan un procedimiento de manera espontánea. Es importante tomar conciencia de este hecho para planificar 7 iniciativas didácticas que se emprendan. las Si un procedimiento tiene éxito, el niño no va a plantearse si lo ha hecho bien o mal. Le basta con el resultado. Si un procedimiento fracasa, el niño lo repetirá mecánicamente; y si sigue fracasando, tal vez desista, tal vez pruebe otro procedimiento y..., vuelta a empezar.

2. Para qué repasamos procedimientos El objetivo último de repasar procedimientos es tener la certeza de que una tarea está bien hecha. En el terreno práctico, esto se traduce en una doble seguridad: Presentación de trabajos Estar seguros de que no se han cometido errores. Estar seguros de que se ha empleado el mejor procedimiento posible.

Para qué repasamos los procedimientos

No da por terminada una división hasta que hace la prueba (cociente 3 divisor 1 resto).

detectar errores Buscar información es una tarea planificada que Para va encaminada a un fin.

En clase, durante la corrección de una serie de porcentajes, ve que tiene mal un cálculo. En lugar de limitarse a copiar el resultado correcto, lo recalcula sobre la marcha y lo anota bien.

Para detectar errores en el proceso

A su compañera le sale otro resultado distinto en el problema y compara los pasos que han seguido uno y otra.

¿Qué busco? Para mejorar procedimientos

Para calcular 2/3 de 150 antes realizaba todas las operaciones (150 : 3 y 50 3 2). Cuando ha automatizado el procedimiento, lo calcula mentalmente y anota el resultado.

2.º Sopesar cuál es la fuente más idónea.

¿Dónde lo buscaré?

3.º Aplicar la estrategia más eficaz.

¿Cómo lo buscaré?

2. Para qué buscamos información 53

Los alumnos buscan informaciones puntuales para: Resolver actividades concretas que les han encargado. Resolver dudas y adquirir conocimientos por los que se preguntan, ya sea de forma espontánea o por encargo.

Preparar y elaborar un trabajo escrito. Preparar y presentar una exposición oral.

3. Estrategias: Elegir buenas fuentes de información Los alumnos de Primaria aún no disponen de capacidad plena para distinguir entre información y opinión. Tampoco pueden discernir de manera autónoma las informaciones veraces y contrastadas de las que no lo son. Para elegir correctamente las fuentes de información, es necesario tener en cuenta tres variables:

Imprecisión, intención tendenciosa o recreación subjetiva Ficción

En un libro de texto encontramos la información bien diferenciada de todo lo que no lo es.

En un documental televisivo, sobre todo si está avalado por una firma de prestigio, solemos encontrar veracidad.

Repasar procedimientos Reflexionar sobre el propio aprendizaje

Presentación de trabajos

Buscar la información

Opinión e interpretación

Veracidad Realidad

El segundo apartado del programa está dedicado a trabajar las siguientes habilidades, que los alumnos necesitan para preparar sus evaluaciones:

En este apartado se incluyen las siguientes habilidades, necesarias para planificar y elaborar de forma organizada trabajos escritos y exposiciones orales:

Además, en el tercer ciclo de Primaria, los alumnos se inician en la búsqueda de información sobre un tema monográfico para:

Información

Preparación de evaluaciones escolares

Ejemplos de situaciones matemáticas en las que el alumno repasa procedimientos

Para comprobar resultados 1. En qué consiste buscar información

1.º Saber bien lo que se busca.

Técnicas para sintetizar la información • Resumir. • Organizar gráficamente la información: esquemas y tablas.

Repasar contenidos

Buscar información

en el resultado

Técnicas para seleccionar la información • Subrayar. • Inferir las ideas principales. • Detectar ideas antes de leer.

propias de esta área. No obstante, algunas de las sugerencias que se incluyen son igualmente válidas en otras áreas de aprendizaje.

Por lo tanto, la acción docente debe dirigirse a inculcar en los alumnos hábitos de reflexión y actitudes de interés por el trabajo bien hecho, para que tomen conciencia de los procesos de aprendizaje de los que son protagonistas.

Antes de comenzar a buscar información, hace falta:

5/2/09 08:23:28

Elaborar trabajos escritos En una novela encontramos ficción, aunque puede ser una ficción verosímil.

73

Presentación de trabajos

Presentar exposiciones orales

XVIII 124603 _ 0001-0039.indd 18

6/7/09 16:39:28

3 g

E e n p a s

4 C y

E p f

1. Descompón cada número y escribe cómo se lee.

5.

9. Resuelve cada problema de dos formas

ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

esquema.

●

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete.

2.º … 3.º …

Sin paréntesis Con paréntesis

Tres millones quinientos catorce mil ochenta.

●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil.

●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●

Trescientos millones dos mil cien.

●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●

Setenta y nueve millones trescientos mil cuatrocientos noventa y uno.

●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

●

53826

●

20 : 4 3 3 1 8

Moscú (Rusia)

11.300.000 hab.

▶

Sin paréntesis

▶ ▶

●

Loreto tenía guardadas en su ordenador 13.062 fotografías. Hoy ha borrado 297 y ha metido 451 nuevas. Después ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ¿Cuántos CD ha necesitado? ¿Cuántas fotos ha copiado en el CD incompleto?

●

Román y Pilar se han ido este verano de viaje. El avión de ida y vuelta les ha costado 145 a cada uno y la estancia en el hotel en habitación doble, 87 al día. En total han tenido que pagar 1.073 . ¿Cuántos días han estado de viaje?

… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto?

Con paréntesis

Un camión puede cargar un máximo de 19.000 kg. Se han cargado en él 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ¿Cuántos kilos más pueden cargarse aún en el camión?

… …

Saber cuándo es rentable un abono

ERES CAPAZ DE… a.

2

1

d.

2(

1

)

b.

3

1

e.

3(

1

)

c.

:

f.

:(

2

2

En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada día una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones más baratas como sacar bonos de 10 días, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual.

)

●

A 15 le resto la suma de 6 y 4. ▶ d. 15 2 (6 1 4) 5 …

●

A 7 le resto 2 y luego le sumo 5.

●

Multiplico 10 por la suma de 5 y 2.

●

Divido 12 entre la diferencia de 7 y 4.

●

Al doble de 8 le sumo 3.

●

A la mitad de 14 le resto 5.

●

Precios: – Entrada diaria ▶ 3 . – Bono de 10 días ▶ 25 . – Abono mensual ▶ 37 . – Abono anual ▶ 185 .

Observa los precios de cada opción y calcula: – ¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias? – ¿Y para que resulte más barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte más barato sacar un abono anual?

8. Escribe los números en su lugar para que las Buenos Aires (Argentina)

Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab. 2

●

●

3 5

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada? ¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

●

dos expresiones sean ciertas.

1

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2 3

Explica qué opción aconsejarías a cada persona:

)52

– Raquel va a ir a la piscina 8 días.

55

– Fran quiere ir 15 días este mes.

1

Operaciones combinadas

– Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

) 5 15

Objetivos

5 12

14

3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

●

9243

●

86:27

●

10 2 4 3 1

●

3 5 6 48

●

9746

●

5 7 3 8 28

Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:

r Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.

1.º Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

r Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4. Calcula cada operación combinada y relaciónala con su frase correspondiente.

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

56 : 3

8 (5 2)

36 : 4 3 2 8 9 3 2 8

52

9 6 8

7

3 8

Sugerencias didácticas

●

¿Qué operación realizo primero?

●

¿Qué le resto a 8: un número o el resultado de una operación?

8 5 2 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 (5 2) 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2.

11

Para empezar r Recuerde a los alumnos la jerarquía de las operaciones: paréntesis, multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas. Señale la importancia de seguir un proceso ordenado.

Piensa:

852

15

5 6 : (7 4)

●

852

●

A 8 le resto la suma de 5 y 2.

●

8 (5 2)

●

A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2.

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5 6 : (7 4) 5 6 : 3 5 2 7 36 : 4 3 2 8 9 3 2 8 9 6 8 3 8 11

●

852

●

A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2.

●

(8 5) 2

●

A 8 le sumo el producto de 5 y 2.

●

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.

●

852

●

Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2.

8 (5 2)

●

Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2.

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión

Para explicar

todas las operaciones que hayas hecho.

r Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operación en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuál hay que hacer primero. Muestre la relación entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cómo la prioridad de las operaciones se refleja también en esas frases.

3. Sugerencias en las guías para el profesor Estas sugerencias son el puente natural entre el Manual para profesores y los libros del alumno. En ellas se hacen propuestas concretas para utilizar el Manual a lo largo del libro del alumno. Se encuentran en las columnas de sugerencias didácticas de cada unidad.

Para reforzar r Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la página 58.

1. Subraya la operación que tienes que hacer primero. Después, calcula. ●

●

963………

●

785…

●

20 12 : 4 …

●

29:3…

●

…… …… ……

15 (7 2) … (9 4) 6 …

1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas.

8 12 : 4

●

Andrés compró un pantalón por 18 y una sudadera por 14 . Pagó con un billete de 50 . ¿Cuánto dinero le devolvieron?

●

Rocío tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate. Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ¿Cuántos pasteles pondrá en cada plato?

……

10 : (2 3) …

……

(18 4) : 2 …

……

10 4 2

5 (8 2) : 2

(10 4) 2

582:2

35 : (5 2)

9246

35 : 5 2

(9 2) 4 6

24 2 (7 3)

Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión?

……

● ●

2. Calcula. RECUERDA

●

6.

(10 4) 18 : 6

9 8 : 4 (1 3)

12 : 3 5 8

(4 2) 5 (8 6)

Calculas el doble de un número y después le sumas otro número. ●

Calculas el doble de la suma de esos dos números.

Pon un ejemplo que explique tu respuesta.

10

11

Otras actividades

Otras actividades

r Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos números. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo:

Competencias básicas

25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede venir expresada en forma numérica (operación combinada) o con palabras (expresión escrita). Señale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.

3. r 9 – (2 1 4) 5 3 r (3 1 5) 3 6 5 48 r (8 1 6) : 2 5 7 r 9 – (7 – 4) 5 6 r (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 r 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

65427

10 : 5 3 2 (6 9)

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

r Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operación combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numérica en su cuaderno:

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1

– Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5. – Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10.

Insista una vez más en que es imprescindible aplicar correctamente el orden establecido en la realización de las operaciones para obtener el resultado correcto. Pídales que planteen ejemplos similares por sí mismos.

– Divido entre 5 la suma de 25 y 20. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, señale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numéricas para despejar las dudas que existan.

1

Soluciones 1. r 9 – 6 1 3 5 3 1 3 5 6 r 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 r 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 r 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 r 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 r (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 r 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 r (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

HAZLO ASÍ

3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

09 08:23:28

e s

En los libros del alumno se proponen actividades –identificadas con la etiqueta ESTUDIO EFICAZ– en las que se trabajan estrategias para estudiar y repasar los contenidos básicos. Además, en las guías para el profesor, al inicio de cada unidad se ofrece la relación de estas actividades y de las estrategias a las que hacen referencia.

numéricamente cada frase y calcula.

ciudades y contesta.

Bombay (India)

●

▶

●

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa

4. Observa el número de habitantes de estas

12.600.000 hab.

En una panadería han cocido por la mañana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender?

6. Calcula.

●

cada número de la actividad 2.

●

1.º Calcular los…

●

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en

10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresión.

ORDEN EN LAS OPERACIONES COMBINADAS

2. Escribe con cifras estos números. ●

2. Actividades en los libros del alumno

1

Actividades

4. r 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. r 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. r 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. r (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. r 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. r 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. r 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. r 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 . r (35 1 61) : 8 5 12 Pondrá 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. r R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

11

10

y


PRIMARIA


Estos materiales recogen los contenidos imprescindibles de la Primaria presentados en forma de esquemas.

a Prueb orial editara p en exam

Esquemas de Matemáticas Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 28 esquemas

La versión definitiva de este material didáctico se entregará gratuitamente en CD



ar-


174067_C.indd 1


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PRIMARIA


Santillana

Esquemas de Conocimiento del medio


PRIMARIA

ae-

4. Esquemas de Lengua, Conocimiento del medio y Matemáticas

Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 30 esquemas



Santillana

5/2/09 08:48:57

174019_C.indd 1

Esquemas de Lengua castellana Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 19 esquemas

Santillana

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XIX 124603 _ 0001-0039.indd 19

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El libro del alumno

A

CÓMO ESTÁ ORGANIZADO EL LIBRO El libro de Matemáticas cuenta con quince unidades, organizadas en tres trimestres de cinco unidades. Al final de cada uno aparecen cuatro páginas de repaso trimestral. Cada unidad tiene las siguientes partes:

Páginas iniciales 1

Números naturales. Operaciones

Cada unidad comienza con una doble página de introducción a los contenidos y repaso.

RECUERDA LO QUE SABES Operaciones con números naturales Suma 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Resta

Multiplicación 2 3 7 .1 4 7 4 1 4 8 1

4 6 3 2 5

5 7 0 3 7 1 0 7 1

minuendo sustraendo diferencia

9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2

sumando sumando suma o total

En la página izquierda se ofrecen a los alumnos una fotografía, con una situación real y próxima a ellos, y se les plantean una serie de preguntas. De esta forma, relacionan la imagen con sus experiencias vitales y con los contenidos necesarios para la unidad.

División

factor factor

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 resto 0 1

producto

Estimación de operaciones ●

●

Estimación de sumas ▼

●

Estimación de restas

4.297 1 1.835

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

Estimación de productos 5.761 3 2

▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

S

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. ● ●

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km. La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

●

8.329 1 4.516 1 738

4.261 2 569

●

20.347 2 865

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

●

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

Escribe con cifras los kilómetros que recorre la Tierra al dar una vuelta alrededor del Sol. ¿Cuántas cifras tiene el número? ¿Cuántas de ellas son ceros?

●

¿Qué es 1 UA? ¿Cuántos kilómetros son? La distancia media entre el Sol y Marte es casi doscientos veintiocho millones de kilómetros. ¿Qué planeta está más lejos del Sol, la Tierra o Marte?

62.734 1

●

5 68.251

584 3

● ●

29.035 2

●

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

A leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta 9 cifras.

●

A calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis y expresarlas con una frase.

●

A resolver problemas de varias operaciones.

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones.

¿Cuántos kilómetros recorre la Tierra en una hora? ¿Y en un día?

●

2 5.397 5 8.406

●

1 49.018 5 73.542

●

●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

En la página derecha, se ofrecen un resumen y actividades de trabajo sobre contenidos previos necesarios para abordar con éxito la unidad. También se explica al alumno qué va a aprender durante la unidad.

VAS A APRENDER

2. Calcula el término que falta en cada operación.

●

●

759 1 3.824

●

6

7

Páginas de contenidos El trabajo con los contenidos de la unidad se realiza, en general, mediante dobles páginas. Comienzan con una explicación clara y concisa del contenido presentada mediante una situación real. La explicación se cierra con un resumen que enmarca las ideas clave.

1

Números de hasta nueve cifras ●

4. Escribe el número anterior y el posterior. ●

...

◀

1.000.000 ▶ ...

●

...

◀

30.000.000 ▶ ...

●

...

◀

599.999.999

▶ ...

●

...

◀

9.386.999 ▶ ...

●

...

◀

99.999.999 ▶ ...

●

...

◀

900.000.000

▶ ...

Observa los nueve primeros órdenes de unidades.

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

●

●

U D 5 10 U C 5 10 D 5 100 U UM 5 10 C 5 1.000 U DM 5 10 UM 5 10.000 U CM 5 10 DM 5 100.000 U U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U

De 10

●

502.382.142

250.226.000

2.496.551

2.473.890

9.720.346

10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.396.522

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460

en 10

7. Escribe con cifras los números y ordénalos de mayor a menor. Después, contesta.

¿Cuándo vivieron?

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030.

Triceratops ▶ Hace 70 millones de años.

502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30

Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, 10 unidades forman 1 decena y 10 centenas de millar 1 millón.

1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

●

¿Qué dinosaurio vivió hace más tiempo: el Stegosaurus o el Iguanodón?

●

¿Qué dinosaurios vivieron hace menos de 100.000.000 de años?

●

¿Cuántos años vivió el Pteranodonte antes que el Triceratops?

8. Escribe dos números que cumplan cada condición.

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1. 3. Escribe los siguientes números.

●

Mayores que 259.700.000 y menores que doscientos sesenta millones.

●

Sus cifras 5 valen 50.000.000, 500.000, 5.000 y 50 unidades.

CÁLCULO MENTAL ●

PRESTA ATENCIÓN

Seiscientos cuarenta mil noventa y cinco.

● ●

1

Calcula sumas y restas sin paréntesis 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas. 51623 10 1 70 2 20 300 1 600 2 200 ● 9 2 2 1 4 5 3 ● 8 1 6 : 2 5 7 ● 10 2 2 2 4 1 3 5 1 41719 90 2 30 2 40 700 2 500 2 100 6 2 2 1 1 5 4●1 ● 9 2 7 2 4 5 6 ● 5 3 7 2 3 1 8 5 28 31 15 55 3 6 5 48 82126 40 1 50 1 60 900 2 200 2 600

Operaciones combinadas Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

Setenta y tres millones quinientos diez mil.

●

Ochocientos nueve millones cien mil seis. Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:



8

●

728.301.299

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

●

109.245.720

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

Piensa:

82522

Por ejemplo: 5 1 6 : (7 2 4)

Sin paréntesis.

Con paréntesis.

516 : 3

8 2 (5 2 2)

36 : 4 2 3 3 2 1 8 9 2 3 32 18

512

9 2 6 18

7

318

●


●


8 2 5 2 2 5 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 2 (5 2 2) 5 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2.

11 5 1 6 : (7 2 4) 5 5 1 6 : 3 5 5 1 2 5 7 36 : 4 2 3 3 2 1 8 5 9 2 3 3 2 1 8 5 9 2 6 1 8 5 3 1 8 5 11


●

82512

●


●

8 2 (5 1 2)

●


●

81532

●


●

(8 1 5) 3 2

●


●

83522

●


●

8 3 (5 2 2)

●


G

A continuación, se ofrecen al alumno una serie de actividades graduadas por nivel de dificultad para trabajar de forma intensiva el contenido visto. Se comienza con una actividad encaminada a comprobar la comprensión del contenido visto y se finaliza con una actividad de aplicación real. Se ofrecen al alumno numerosos ejemplos de respuesta para facilitar su trabajo autónomo y su comprensión eficaz, y se incluyen también numerosos programas de apoyo al aprendizaje como Recuerda, Presta atención y Hazlo así.

9

HAZLO ASÍ

3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

A

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión todas las operaciones que hayas hecho.

1. Subraya la operación que tienes que hacer primero. Después, calcula. ● ●

926135…1…5… 718355…

●

20 2 12 : 4 5 …

●

239:35…

●

…5…

15 2 (7 1 2) 5 …

…5…

10 : (2 1 3) 5 …

…5…

●

(18 2 4) : 2 5 …

…5…

2. Calcula. RECUERDA 1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas.

10 2 4 3 2

●


●


5 1 (8 2 2) : 2

(10 2 4) 3 2

51822:2

35 : (5 1 2)

9223416

35 : 5 1 2

(9 2 2) 3 4 1 6

8 1 12 : 4

24 2 2 3 (7 1 3)

625143227

10 : 5 3 3

(10 2 4) 1 18 : 6

9 1 8 : 4 2 (1 1 3)

2 3 (6 1 9)

12 : 3 1 5 3 8

(4 1 2) 3 5 1 (8 2 6)

10


…5…

(9 2 4) 3 6 5 …

●

●

…5… …5…

●

6.

La doble página termina siempre con actividades de Cálculo mental (dos por unidad) o Razonamiento (una por unidad). Con ellas se trata de que el alumno potencie su capacidad de manejo de las operaciones y trabaje la lógica matemática.

RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

Calculas el doble de un número y después le sumas otro número. ●



11

XX 124603 _ 0001-0039.indd 20

6/7/09 16:39:29

S d p g y

Actividades 1

Actividades 1. Descompón cada número y escribe

5.

cómo se lee.


ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

esquema.

●

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050


●

1.º Calcular los… 2.º …

2. Escribe con cifras estos números.


3.º …

●


●


●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

●


●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●


●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●


●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

Sin paréntesis

▶ ▶

Con paréntesis

6. Calcula.

●

10. Resuelve.


53826

●

Sin paréntesis

20 : 4 3 3 1 8

●

Con paréntesis


▶


●


●


… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto? ▶

●

… …

En la página derecha aparece el programa Eres capaz de… Con él, los alumnos se enfrentan a situaciones de la vida diaria que deben resolver con los conocimientos adquiridos en la unidad, y aprecian la utilidad de las Matemáticas.





ERES CAPAZ DE…


2

a.


Bombay (India)

Moscú (Rusia)

12.600.000 hab.

11.300.000 hab.

b.

3

c.

:

1

d.

1

e.

3(

f.

:(

2

2(

1

)

1 2


) )

●


●


●

●


●


●


●


En esta doble página se trabajan todos los contenidos tratados en la unidad, mediante actividades variadas y graduadas, con el objetivo de llevar a cabo una práctica intensiva.



8. Escribe los números en su lugar para que las Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab. 2

3 5

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada?

●

●

dos expresiones sean ciertas.

Buenos Aires (Argentina)

●

1

¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2

– Raquel va a ir a la piscina 8 días. – Fran quiere ir 15 días este mes. – Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

) 5 15

3


)52 55

5 12

14

15

c-

sms ,

e a oy

EJERCICIOS

Resuelve siempre los problemas siguiendo estos pasos.

PROBLEMAS

1. Descompón estos números. Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron? ●

▶

Pregunta Datos ●

●

39.126.545

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600

plazas de clase turista y 4 vagones iguales de primera clase. ¿Cuántas plazas tiene cada vagón de primera clase?

2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

actividad anterior.

¿Cuánto le devolvieron?

3. Escribe con cifras. ●

Cuatrocientos mil novecientos setenta y ocho.

1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

●

Dos millones ciento seis mil cuatro.

●

Cinco millones setenta y seis.

●

Veintinueve millones cuatrocientos treinta y dos mil.

●

Ochenta millones diez mil trece.

CALCULA.

●

Quinientos seis millones doscientos seis mil noventa y ocho.

●

Seiscientos millones cien mil dos.

PIENSA.

1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21 Solución: Le devolvieron 21 . ●

●

1.700.902

9. Marcos compró 150 kg de manzanas a

La lavadora costaba 579 . Pagó con 2 billetes de 200 , 1 de 100 y 5 de 20 .

▶

540.123

●

2. Escribe cómo se lee cada número de la

COMPRENDE.

●

▶

10. Luisa ha conseguido en un videojuego 3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

El precio de la lavadora más las vueltas da el dinero entregado.

1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar

276.091 – 9.876

un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

5. Multiplica.

19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

2. Una empresa llevó a comer a sus 12 empleados en un minibús. En alquilar el minibús gastó 300 y en la comida gastó 420 más que en el transporte. ¿Cuánto pagó la empresa por cada empleado en total?

13. Félix fue al banco a cambiar dinero. Entregó 4 billetes de 50 y 2 de 20 y le dieron 40 monedas de 1 y el resto en monedas de 2 . ¿Cuántas monedas de 2 le dieron?

6. Divide.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de

●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

7.

de refresco de naranja y 780 ¬ de limón en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas llenan en 8 horas de trabajo?

ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que

has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

siguiendo los cuatro pasos.

En la página derecha se presentan ejercicios y problemas de unidades o cursos anteriores, para que el alumno tenga siempre presentes, y trabaje sistemáticamente, los contenidos más importantes del curso.

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬

años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva

180 puntos

agencia de viajes. Pagó 603 en total por los billetes y por la gestión. Cada billete costaba 150 . ¿Cuánto pagó Elena por la gestión?

25.089 1 23.658

●

●

415 puntos

150 puntos

En la página izquierda se recuerda el proceso razonado de resolución y se trabajan, a lo largo del curso, las estrategias de resolución más comunes. También se dedica espacio a la invención de problemas.

¿Quién ha conseguido más puntos? ¿Cuántos más?

11. Elena compró 4 billetes de avión en una

4. Calcula.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600

La unidad termina con una doble página titulada Solución de problemas y Repasa.

8. En un tren caben 305 pasajeros. Hay 225

●

16

17

Además, en el libro se ofrecen:

Gráficos

Repasos trimestrales


Repaso trimestral

3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico.

Gráficos lineales de tres características

1. Descompón cada número.

ENERO ▶ 70 flanes, 80 yogures y 90 piezas de fruta.

En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta.

Están representadas en el siguiente gráfico lineal.

MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. Sardina

Boquerón

Merluza

●

¿Qué día se vendieron los mismos kilos de boquerón que de merluza? ¿Cuántos kilos fueron?

●

¿Aumentó o disminuyó la venta de sardina de lunes a jueves?

25

15 10

ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta.

La venta aumentó.

Flan

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo 0

M

X

J

V

9.805.071

●

304.080.150

●

786.000.903

●

40.062.500

●

460.128.007

●

936.410.020

Abril

Día

Mayo Junio

En un gráfico lineal se utilizan puntos y una línea que los une.

Con letras Yogur

Fruta

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

27.560.000

●

Doscientos nueve millones cincuenta mil seiscientos treinta y uno.

●

168.051.200

●

Cuatrocientos ochenta y siete millones ciento noventa y seis.

●

594.307.085

●

Seiscientos millones quinientos quince mil trescientos setenta.

●

903.062.040

●

Novecientos veinticuatro millones sesenta y ocho mil dos.

¿Qué pescado se vendió más el jueves? ¿Cuál se vendió menos el miércoles?

●

¿En qué días disminuyó la venta de merluza respecto al día anterior?

F

M

A

M

J

2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta.

28.109.200

179.536.048

179.507.960

●

De menor a mayor: 341.287.000

348.095.068

341.576.048

39.100.289

Luis Ana

40

Lunes

0

2ª

3ª

4ª

Tirada

●

¿Cuántos puntos obtuvo cada uno en la tercera tirada?

●

¿En qué tiradas disminuyó el número de puntos de Luis respecto a la tirada anterior? ¿En qué tirada aumentó?

●

¿Qué tirador mejoró sus resultados con las sucesivas tiradas?

44

¿Es 18 un número primo?

1 57.693 5 130.263 280.714 2

5 7.958

2 9.825 5 94.367

●

2.418 3 305 5

●

154.253 : 379 5

●

96 3

●

121.626 :

●

5 61.728

3 524 5 109.516

●

5 58

: 860 5 492

53535

●

737

●

6363636363636

●

3333333

●

939393939

●

83838383838

●

2 3 (6 1 9)

●

30 2 10 : 5

LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes.

●

85.473

●

4.007.952

●

280.560.370

MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes.

●

320.609

●

76.803.041

●

906.047.158

35

73

16

27

92

●

(3 1 4) 3 2 2 5

●

8:21337

●

45 : 9 2 (7 2 6)

●

20 2 5 3 (12 : 4)

43

105

83

Ï9

Ï1

Ï64

●

(4 1 5) 3 (8 2 2)

●

9 1 16 : 2 2 3 3 5

54

62

Ï4

Ï16

Ï81

Ï25 Ï100

Ï49 Ï36

4. Escribe. 6. Dibuja una recta entera y representa estos números. Después, completa. 13 24 0 12 21 15

●

Los seis primeros múltiplos de 8.

●

A la izquierda de 0 se encuentran los números...

●

Cinco múltiplos de 9 mayores que 70 y menores que 130.

●

A la derecha de 0 se encuentran los números...

●

Cuatro divisores de 20 y cinco de 30.

●

Todos los divisores de 15 y de 24.

7. Expresa con números enteros. Azules

1ª


¿Es 5 divisor de 84?

●

●

SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

20 10


¿Es 153 múltiplo de 9?

3. Calcula.

Sergio

30


OPERACIONES

2. Calcula.

VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes.

70

21)

279.250.800

5. Escribe la expresión polinómica de cada número.

JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes.

80

▶ (13,

1. Calcula el término que falta.

MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes.

50

H ▶ (24, 12)

●

De mayor a menor: 29.650.792

Mes

Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada.

60

G

F ▶ (12, 11)

▶ (11,

Representa un punto J sobre el eje vertical y otro punto K sobre el eje horizontal. Escribe las coordenadas de ambos puntos.

●

●

4. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

¿Cuántos kilos de boquerón vendieron el miércoles menos que el lunes?

●

E ▶ (23, 24)

22)

Con cifras

●

3. Ordena cada grupo de números como se indica.

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto.

●

C ▶ (14, 11) D

●

10. Contesta y explica por qué.

2. Escribe.

E

1. Observa el gráfico de arriba y contesta.

A ▶ (21, 13) B ▶ (22, 22)

MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta.

Flan

5

L

●

JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.

Fue el martes. Se vendieron 10 kg de cada tipo de pescado.

20

9. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos.

NÚMEROS

María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

Número de postres

r n n e


Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

Verdes

Azules Número de bolígrafos

n a a a

1

Repasa

Solución de problemas

Número de puntos

as l

Solución de problemas / Repasa

Número de kios

a e , n

Rojos

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

●

La cuarta planta de un edificio y el segundo sótano subterráneo.

●

El nivel del mar y una profundidad de 200 metros.

●

Una temperatura de 30 ºC y otra de 5 ºC bajo cero.

5. Calcula.

8. Compara y escribe el signo > o <. L

M

X

J

V

S

Día

45

Se incluyen tres dobles páginas dedicadas a los tipos de gráficos más comunes. Se trabaja primero la interpretación y después la representación de cada tipo de gráfico. El trabajo se realiza de forma guiada primero, y de manera autónoma después.

74

●

El mínimo común múltiplo:

●

El máximo común divisor:

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3 y 7)

m.c.m. (12 y 20)

m.c.m. (6, 9 y 12)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

m.c.d. (15 y 25)

m.c.d. (9, 12 y 15)

●

14

17

●

0

22

●

21

11

●

13

25

m.c.d. (5 y 9)

●

23

26

●

0

11

●

18

28

●

24

12

m.c.d. (4 y 16)

m.c.m. (3, 4 y 8)

75

Después de cada trimestre se incluyen cuatro páginas de repaso de todos los contenidos trabajados. Aparecen agrupados por bloques temáticos y se incluyen también Cálculo mental y Problemas.

XXI 124603 _ 0001-0039.indd 21

6/7/09 16:39:30

CÓMO SE DESARROLLA UNA UNIDAD Doble página inicial

P Contenidos previos necesarios

Número y título de la unidad

1


RECUERDA LO QUE SABES Operaciones con números naturales Suma 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Resta

Multiplicación 2 4 3 6 7 3 .1 4 7 4 2 1 4 8 1 5

5 0 7 0 7

7 3 1


9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2


P d

División

factor factor

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 0 1

resto

1

producto


Imagen

●

Estimación de sumas


4.297 1 1.835 ▼

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

●


▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. 759 1 3.824

●

8.329 1 4.516 1 738

●

4.261 2 569

●

20.347 2 865

●

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

●

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

●

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km.

Texto y preguntas de explotación didáctica

La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

2. Calcula el término que falta en cada operación.

●


●


●


6

● ● ● ●

62.734 1

5 68.251

1 49.018 5 73.542 584 3

●

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

●


●


●


2 5.397 5 8.406

●

29.035 2

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones. ●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

Actividades de práctica

VAS A APRENDER

Presentación de los contenidos de la unidad

• Desarrollar la lectura de imágenes. • Explorar los conocimientos previos de los alumnos. • Presentar los contenidos de la unidad.

Ideas para la clase 1. Anuncie a los alumnos que comienzan a estudiar una nueva unidad y pídales que lean el título. Pregúnteles de qué piensan que puede tratar. 2. Pídales que observen y describan la fotografía que aparece. Establezca una puesta en común para responder a las preguntas propuestas para ella. Aproveche para detectar los conocimientos previos de los alumnos sobre los contenidos de la unidad que se va a trabajar y, si existen, corrija las posibles ideas erróneas. Puede plantear también otras preguntas para explotar didácticamente aún más la fotografía.

P los con otros contenidos ya vistos y con hechos o experiencias reales, a fin de propiciar un aprendizaje significativo. 4. Valore la conveniencia de realizar en común algunas de las actividades (si el contenido es complicado) o bien pida a los alumnos que realicen todas por sí mismos, para potenciar su autonomía. Luego corríjalas en común en la pizarra. Es importante que los alumnos que tengan respuestas incorrectas sepan en qué se han equivocado, ya que los contenidos de esta sección son importantes para una comprensión correcta de la unidad. En caso de apreciar especiales dificultades por parte de los alumnos, puede plantear más actividades similares antes de comenzar la unidad. 5. Puede hacer uso también de las sugerencias y recursos que aportamos en esta guía si desea comenzar la unidad de otras formas.

3. Exponga a la clase cada uno de los contenidos de Recuerda lo que sabes, recordándoles los conceptos o procedimientos que se trabajan en él. Relacióne-

XXII 124603 _ 0001-0039.indd 22

A a

7

Propósitos • Presentar las Matemáticas en contextos reales relacionados con la unidad.

Id

6/7/09 16:39:31

•

•

•

I

1

2

s a

n s s d

o e

s o í as n e n e -

rr

Páginas de contenidos Título del contenido 1

Números de hasta nueve cifras ●


...

1.000.000 ▶ ...

●

... ◀ 30.000.000

▶ ...

●

...

◀

599.999.999 ▶ ...

●

... ◀ 9.386.999 ▶ ...

◀

●

... ◀ 99.999.999

▶ ...

●

...

◀

900.000.000 ▶ ...


Actividades de práctica

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

1U 1 D 5 10 U 1 C 5 10 D 5 100 U 1 UM 5 10 C 5 1.000 U 1 DM 5 10 UM 5 10.000 U 1 CM 5 10 DM 5 100.000 U 1 U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U 1 D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U 1 C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U ●

De

502.382.142

●

250.226.000

2.496.551

2.473.890 10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460

10 en 10


¿Cuándo vivieron? Triceratops ▶ Hace 70 millones de años. Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.


Ideas clave 1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1. 3. Escribe los siguientes números. PRESTA ATENCIÓN

●

9.720.346

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030.

En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

728.301.299

18.396.522

502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30

Apoyos al aprendizaje

●

109.245.720

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

Presentación del contenido

●

●


●


●


8. Escribe dos números que cumplan cada condición. ●


●


CÁLCULO MENTAL ●


●

Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

●


●

Ochocientos nueve millones cien mil seis.

8

Calcula sumas y restas sin paréntesis

62211541155

51623

10 1 70 2 20

300 1 600 2 200

41719

90 2 30 2 40

700 2 500 2 100

82126

40 1 50 1 60

900 2 200 2 600

Cálculo mental o Razonamiento

9

Propósitos • Exponer contenidos fundamentales a partir de una situación real y trabajarlos con distintas actividades, ofreciendo al alumno elementos de apoyo al aprendizaje.

3. Las ideas clave aparecen resaltadas en color. Puede pedir a los alumnos que las lean en voz alta y las copien en sus cuadernos, para favorecer su retención.

• Trabajar de forma eficaz mediante la graduación de las actividades.

4. Es conveniente realizar en común la primera actividad para comprobar que se ha comprendido bien el contenido expuesto. Es una actividad especialmente diseñada para analizar el nivel de comprensión de los alumnos. Puede realizarla de forma oral o escrita y si lo estima más pertinente, puede pedir a los alumnos que la hagan de manera individual. Los apoyos al aprendizaje (Ejemplos, Hazlo así, Recuerda, Presta atención) permiten a los alumnos un trabajo autónomo. Dígales que los tengan siempre en cuenta a la hora de realizar las actividades. Si lo estima oportuno, puede trabajar en común la actividad resuelta en los apartados Hazlo así antes de que los alumnos realicen por sí solos las otras actividades propuestas.

• Realizar actividades de Cálculo mental o de Razonamiento.

Ideas para la clase 1. Anuncie a los alumnos que van a estudiar un nuevo contenido y pídales que lean el título. Déjeles que comenten libremente de qué piensan que puede tratar. 2. Realice la exposición del contenido. Ayúdese, si lo estima pertinente y adecuado a lo tratado, del material de aula. Relacione el contenido con otros contenidos similares tratados en unidades o cursos anteriores, y haga preguntas a los alumnos para comprobar que siguen el razonamiento empleado. Es interesante, al finalizar la exposición, pedir a algunos alumnos que verbalicen con sus propias palabras lo que han aprendido. De esta forma, es sencillo detectar y corregir posibles errores de comprensión.

5. Al final de cada doble página, siguiendo una programación global, se ofrecen actividades de Cálculo mental o de Razonamiento. Con ellas se pretende desarrollar, por un lado, las habilidades de cálculo y por otro, la aplicación de la lógica a los contenidos aprendidos por parte de los alumnos.

XXIII 124603 _ 0001-0039.indd 23

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Actividades de la unidad

S Actividad de ESTUDIO EFICAZ

1

Actividades 1. Descompón cada número y escribe cómo se lee.

5. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050

2.º …

●


●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

●


●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●


●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●


●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

●

53826

●

20 : 4 3 3 1 8

Moscú (Rusia)

11.300.000 hab.

Con paréntesis ●

▶ ▶

Sin paréntesis

▶ ▶


●


●


… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto?

Con paréntesis

●

… …

Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab.

ERES CAPAZ DE… a.

2

1

d.

2(

1

)

b.

3

1

e.

3(

1

)

c.

:

f.

:(

2

2



)

●


●


●


●


●


●


●


Eres capaz de… Aplicación de los contenidos a situaciones reales


●

3 5

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada? ¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

●

dos expresiones sean ciertas. 2

●

E r



E o t



Bombay (India)

Sin paréntesis

6. Calcula.


12.600.000 hab.


3.º …



●

1.º Calcular los…

●


10. Resuelve.



2. Escribe con cifras estos números.

Actividades de trabajo de los contenidos


esquema.

●

1

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2 3


)52

– Raquel va a ir a la piscina 8 días.

55

– Fran quiere ir 15 días este mes.

) 5 15

A p

– Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

5 12

14

15

Propósitos • Trabajar los contenidos fundamentales de la unidad. • Utilizar las Matemáticas para resolver situaciones reales y desarrollar la autonomía y las capacidades de los alumnos.

Ideas para la clase 1. Antes de trabajar con esta doble página, puede pedir a los alumnos que verbalicen, con su ayuda, los conocimientos más importantes que se han trabajado en la unidad. Permítales que se expresen libremente y aproveche para fomentar la reflexión de los alumnos sobre su propio aprendizaje. Hágales ver cómo van progresando y aprendiendo más cosas, y relaciónelas si es posible con lo que aprendieron en otras unidades o cursos anteriores. 2. A la hora de trabajar las actividades, puede optar porque los alumnos realicen un trabajo autónomo desde el comienzo, agruparlos en pequeños grupos o parejas, o bien realizar algunas actividades, las más complejas, en común. Es importante, en el caso de que las realicen ellos mismos, proceder de manera sistemática a una comprobación común para despe-

P jar posibles ideas erróneas y permitir que los alumnos evalúen su propio desempeño. 3. El trabajo con la actividad de ESTUDIO EFICAZ puede abordarlo de distintas maneras, bien realizando un comentario en común para que los alumnos la realicen después por sí solos, o dejando que ellos la resuelvan y comentándola después. Siempre es interesante, ya sea en uno u otro momento, una reflexión de toda la clase para asentar bien los conocimientos que se trabajan en ella. 4. Si estima necesaria una mayor práctica con alguno de los contenidos, puede proponer a los alumnos la realización de otras actividades, o también trabajar con los Cuadernos de práctica trimestrales o los materiales de Santillana Cuadernos. 5. El programa Eres capaz de… se presta especialmente al trabajo en grupo. También resulta de gran interés un debate común de la clase sobre él, para consolidar los aprendizajes y comentar la aplicación de lo trabajado en situaciones reales. Haga ver a los alumnos cómo van aumentando sus capacidades y anímeles a trabajar con ilusión y esfuerzo.

XXIV 124603 _ 0001-0039.indd 24

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•

•

I

1

Solución de problemas / Repasa Repaso de ejercicios 1

Repasa

Solución de problemas Pasos para resolver un problema

Estrategia o técnica trabajada


Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron?

Datos ●

●

▶

▶

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600




1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

●


●


●


●


CALCULA.

●


PIENSA.

Solución: Le devolvieron 21 .

●

▶


1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas 19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

25.089 1 23.658

●

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876

Actividades propuestas

●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

6. Divide. ●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva siguiendo los cuatro pasos.

16

3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

150 puntos

415 puntos

Repaso de problemas

180 puntos







7.

10. Luisa ha conseguido en un videojuego


5. Multiplica.




●



4. Calcula.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600


9. Marcos compró 150 kg de manzanas a actividad anterior.


1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21

●


●

2. Escribe cómo se lee cada número de la

COMPRENDE. Pregunta

… e s s s

PROBLEMAS

1. Descompón estos números.

●

Ejemplo resuelto

EJERCICIOS

ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que



17

Actividad de ESTUDIO EFICAZ

Propósitos -

e n een s

o a r a-

a n s y

• Resolver problemas, trabajar las estrategias más importantes e inventar algunos que se resuelvan con cada estrategia trabajada. • Repasar los contenidos clave trabajados en unidades anteriores.

Ideas para la clase 1. En Solución de problemas, en la primera unidad, se recuerda a los alumnos los pasos que deben seguir en la resolución de todo problema. Pídales que los lleven a cabo siempre como guía efectiva para una resolución eficaz. En el resto de unidades se trabajan las estrategias de resolución de problemas más comunes (búsqueda de información, ensayo y error, resolver problemas más sencillos, representar la situación, hacer una tabla o un diagrama de árbol…) ofreciendo a los alumnos un ejemplo resuelto de cada estrategia y distintas actividades propuestas para practicarla. Trabaje en común el ejemplo resuelto, dejando clara la forma de aplicar la estrategia y mostrando la utilidad de esta. En cada unidad hemos ofrecido una

estrategia útil para los contenidos trabajados en ella, aunque su aplicación es múltiple en muchas otras situaciones . Proponga a los alumnos el resto de problemas y pídales que los resuelvan utilizando la estrategia trabajada. Coméntelos en común, despejando las posibles dudas en la aplicación de la estrategia y corrigiendo los errores, si los hay, en la resolución. 2. El apartado Inventa resulta de gran interés para comprobar si los alumnos han interiorizado bien la estrategia trabajada. Una vez que hayan planteado por sí mismos, o en pequeños grupos, distintos problemas, realice una puesta en común para comentar y resolver algunos de ellos. La creación de problemas suele ser motivadora para los alumnos. 3. En Repasa se busca materializar el aprendizaje cíclico de las Matemáticas. Se plantean al alumno actividades de práctica de los contenidos clave de unidades anteriores para que tenga siempre presentes los saberes más importantes. Estas actividades se presentan tanto en forma de ejercicios como en forma de problemas.

XXV 124603 _ 0001-0039.indd 25

6/7/09 16:39:32

OTRAS PÁGINAS

O

Tratamiento de la información (Gráficos)

R


3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico.


Tipo de gráfico trabajado

María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

B t t


En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta.

Están representadas en el siguiente gráfico lineal.

MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. Boquerón

●

Merluza

Número de kios

15

●

10

ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta. MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta. JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.


20

Presentación e interpretación del gráfico


Flan


La venta aumentó. 5

Flan

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo 0

L

M

X

J

V

Abril

Día

Mayo Junio


Número de postres

Sardina 25

F

M

A

M

J

A

Mes

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto.

1. Observa el gráfico de arriba y contesta. ●


●


●


Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada. LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes. MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes.

2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta.

MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes.

80

JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes.

70

VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes.

60

Luis

50

Ana

40

SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

Sergio

30 20

Azules

10

Lunes

0

1ª

2ª

3ª

4ª

Tirada

●


●


●


44

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

Verdes


Número de puntos

Fruta

Representación guiada E

Trabajo con la interpretación

Yogur

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Rojos

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

L

M

X

J

V

S

Día

Trabajo con la representación

45

Propósitos • Trabajar la interpretación y representación de los tipos de gráficos más comunes.

Ideas para la clase 1. El tratamiento de la información es de gran importancia en la sociedad actual. Con estas páginas se realiza un trabajo intensivo de interpretación y representación de los tipos de gráficos más comunes. Comience exponiendo en primer lugar a toda la clase el tipo de gráfico trabajado, mostrando los contextos en los que se aplica, sus características y cómo se interpreta. Explique los ejemplos de interpretación propuestos y haga otras preguntas similares para verificar que los alumnos saben cómo extraer la información de dicho gráfico. Pida después a los alumnos que realicen por sí mismos la actividad siguiente en la que tienen que interpretar un gráfico por sí mismos, de manera autónoma, y corrija los resultados en común.

queña guía para la representación) o bien realizar, de manera colectiva, la representación de la tercera actividad, realizando preguntas a los alumnos y dejando claro el proceso que se debe seguir. Una vez realizada esta actividad, es interesante volver a realizar preguntas sobre el gráfico obtenido para volver a trabajar la interpretación.

•

I

1

3. La última actividad de representación es conveniente que la realicen de manera autónoma, para comprobar que han comprendido la técnica de representación. Corríjala en común y realice preguntas (o pida a los alumnos que lo hagan) sobre el gráfico obtenido para trabajar, una vez más, la interpretación.

2

2. A la hora de trabajar la representación del gráfico puede dejar que los alumnos trabajen de manera autónoma (los gráficos se dan iniciados como una pe-

XXVI 124603 _ 0001-0039.indd 26

P

6/7/09 16:39:33

OTRAS PÁGINAS Repasos trimestrales

Repaso trimestral

Bloque temático trabajado

1. Descompón cada número. 9.805.071

●

304.080.150

●

786.000.903

●

40.062.500

●

460.128.007

●

936.410.020

A ▶ (21, 13)

C ▶ (14, 11)

E ▶ (23, 24)

G

B ▶ (22, 22)

D

22)

F ▶ (12, 11)

H ▶ (24, 12)

●

Con cifras

●

27.560.000

●


▶ (13,

21)

●

168.051.200

●


●

594.307.085

●


●

903.062.040

●








OPERACIONES

3. Ordena cada grupo de números como se indica.

●

●


28.109.200

179.536.048

179.507.960

●


348.095.068

341.576.048

39.100.289

Actividades

1. Calcula el término que falta. ●

Actividades

▶ (11,


10. Contesta y explica por qué.

Con letras

●

1 57.693 5 130.263 280.714 2

5 7.958

2 9.825 5 94.367

●

2.418 3 305 5

●

154.253 : 379 5

●

96 3

●

121.626 :

●

5 61.728

3 524 5 109.516

5 58

●

: 860 5 492

279.250.800

2. Calcula. 4. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee. ●

53535

●

737

●

6363636363636

●

3333333

●

939393939

●

83838383838

●

2 3 (6 1 9)

●

(3 1 4) 3 2 2 5

●

8:21337

●

(4 1 5) 3 (8 2 2)

●

30 2 10 : 5

●

45 : 9 2 (7 2 6)

●

20 2 5 3 (12 : 4)

●

9 1 16 : 2 2 3 3 5

3. Calcula. 5. Escribe la expresión polinómica de cada número. ● ●

85.473

●

320.609

●

4.007.952

●

280.560.370

76.803.041

●

906.047.158

35

73

92

105

83

16

27

43

54

62

Ï9 Ï4

Ï1 Ï16

Ï64 Ï81

Ï25 Ï100

Ï49 Ï36

4. Escribe. 6. Dibuja una recta entera y representa estos números. Después, completa. 13 24 0 12 21 15

●


●


●


●


●


●


7. Expresa con números enteros. ●


●


●


5. Calcula.

8. Compara y escribe el signo > o <.

a n

e oa o

●

2. Escribe.

n a

e car a-

9. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos.

NÚMEROS

●

El mínimo común múltiplo:

●

El máximo común divisor:

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3 y 7)

m.c.m. (12 y 20)

m.c.m. (3, 4 y 8) m.c.m. (6, 9 y 12)

●

14

17

●

0

22

●

21

11

●

13

25

m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

●

23

26

●

0

11

●

18

28

●

24

12

m.c.d. (4 y 16)

m.c.d. (15 y 25)

m.c.d. (9, 12 y 15)

74

75

Propósitos • Repasar los contenidos más importantes trabajados en cada trimestre.

Ideas para la clase

Las actividades recogen lo esencial del trimestre, aunque si aprecia necesario un trabajo más intensivo en algún contenido puede utilizar nuestros cuadernos. Anime a sus alumnos a seguir progresando y valore sus logros.

1. En estas páginas se presentan, agrupadas según los grandes bloques de las Matemáticas (Números, Operaciones, Geometría, Medida, Estadística), numerosas actividades de práctica de los contenidos más importantes vistos durante el trimestre. Se recuerdan también las estrategias de Cálculo mental y se dedica una página completa, por su gran importancia, al trabajo con problemas. Puede utilizar también estas páginas como banco de actividades extra al trabajar cada una de las unidades (si estima necesaria una mayor práctica), o como mecanismo de comprobación y repaso de lo aprendido. 2. La realización de las actividades puede llevarse a cabo de forma individual, en parejas o bien a nivel de toda la clase, según el nivel alcanzado por los alumnos o las necesidades específicas que usted aprecie para el grupo.

XXVII 124603 _ 0001-0039.indd 27

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La guía didáctica La guía está organizada en quince guiones didácticos, correspondientes a las quince unidades del libro. Cada uno consta de una doble página introductoria, y a continuación, la reproducción de las páginas del libro con las soluciones y las sugerencias para su explotación didáctica.

Programación, esquema, recursos y temporalización

1


Esq

Programación Objetivos

Objetivos

r Leer, escribir y descomponer números de hasta nueve cifras.

Se presentan los objetivos de aprendizaje que se persiguen en esta unidad.

r Identificar el valor posicional de cada una de las cifras en números de hasta nueve cifras. r Comparar y ordenar números de hasta nueve cifras. r Conocer la jerarquía de las operaciones y calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis. r Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y calcular su valor. r Resolver problemas de varias operaciones. r Resolver problemas siguiendo unos pasos ordenados.

Aparecen los criterios para efectuar la evaluación de lo aprendido por el alumno.

r Lectura, escritura y descomposición de números de hasta nueve cifras.

Recur

r Identificación del valor posicional de las cifras.

r r r r

r Comparación y ordenación de números de hasta nueve cifras. r Cálculo de operaciones combinadas con y sin paréntesis.

Criterios de evaluación


Contenidos

Estra

r Elabo

r Lee, escribe, descompone, compara y ordena números de hasta nueve cifras.

r Reconocimiento y cálculo de la expresión numérica asociada a una frase.

r Conoce la jerarquía de las operaciones y calcula operaciones combinadas con y sin paréntesis.

r Resolución de problemas de varias operaciones.

P

r Reconoce y escribe la expresión numérica correspondiente a una frase y calcula su valor.

r Aplicación de los pasos precisos para resolver un problema.

A p

r Resuelve problemas de varias operaciones.

r Repa

r

r Identifica y aplica los pasos a seguir para resolver un problema.



Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia lingüística, Aprender a aprender, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Competencia social y ciudadana y Autonomía e iniciativa personal.

Se indica, por orden de aparición en la unidad, las competencias básicas trabajadas (aparte de la competencia matemática).

r Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en la vida cotidiana.

r

r Interés por la resolución clara y ordenada de los problemas y actividades.

r

Durante Recurso

6A

Contenidos Se muestran todos los contenidos trabajados en la unidad.

XXVIII 124603 _ 0001-0039.indd 28

Lámi Mate Cuad Manu

6/7/09 16:39:33

s.

Esquema de la unidad UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES

Esquema de la unidad Números de hasta nueve cifras


Se presenta un esquema que puede ofrecer a los alumnos para que lo copien y sepan qué van a aprender.

Problemas de varias operaciones

Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Recursos r r r r

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

r 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. r Refuerzo y ampliación. r Recursos para la evaluación.

Recursos Se ofrece un listado de todos los recursos disponibles para trabajar la unidad.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ r Elaborar esquemas: actividad 5, pág. 14.

Estudio eficaz

r Repasar procedimientos: actividad 7, pág. 17.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos: r La lectura, escritura y comparación de números con ceros intermedios, especialmente a partir de seis cifras. Trabaje con los alumnos las actividades necesarias, tanto escritas como orales, para asegurar su comprensión. r La aplicación de la jerarquía de las operaciones para resolver operaciones combinadas con y sin paréntesis. Insista en la necesidad de realizar las operaciones en el orden correcto, trabajando de forma razonada para evitar errores. r La resolución de problemas con varias operaciones. Resalte la importancia de seguir los pasos que ya conocen.

Aparecen las estrategias del manual de ESTUDIO EFICAZ trabajadas en la unidad.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero

Temporalización

Marzo

Le proporcionamos una propuesta temporal (referida al calendario escolar) para tratar esta unidad.

Abril Mayo Junio

Durante las dos primeras semanas del curso escolar puede utilizar la evaluación inicial incluida en el cuaderno Recursos para la evaluación.

6B

Previsión de dificultades Se comentan las dificultades más comunes que los alumnos suelen encontrar y se ofrecen consejos para subsanarlas.

XXIX 124603 _ 0001-0039.indd 29

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Páginas de contenidos y actividades

Operaciones combinadas Objetivos Se presentan los objetivos que se persiguen con la doble página.

Objetivos

3. Coloca l ●

92

●

35


r Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.


r Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4. Calcula

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

8 5 6 : (7 4)

56 : 3

36 : 4 3 2 8 9 3 2 8

52

9 6 8

7

3 8


11

Para empezar r Recuerde a los alumnos la jerarquía de las operaciones: paréntesis, multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas. Señale la importancia de seguir un proceso ordenado.

●

85

●

8 (5

●

85

●

(8 5

●

85

●

8 (5

5 6 : (7 4) 5 6 : 3 5 2 7 36 : 4 3 2 8 9 3 2 8 9 6 8 3 8 11


5. Resuelve

Sugerencias didácticas Se proporcionan una serie de sugerencias y/o actividades para las distintas fases del trabajo en clase: Para empezar, Para explicar, Para reforzar. Entre ellas se incluyen sugerencias de aplicación del manual de ESTUDIO EFICAZ en distintas actividades y momentos.

Para explicar r Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operación en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuál hay que hacer primero. Muestre la relación entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cómo la prioridad de las operaciones se refleja también en esas frases. Para reforzar r Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la página 58.

Competencias básicas Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede venir expresada en forma numérica (operación combinada) o con palabras (expresión escrita). Señale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.

todas la


963………

●

15 (7 2) …

●

785…

●

(9 4) 6 …

……

●

10 : (2 3) …

……

●

(18 4) : 2 …

……

●

20 12 : 4 …

●

29:3…

…… …… ……


10 4 2

5 (8 2) : 2

(10 4) 2

582:2

35 : (5 2)

9246

35 : 5 2

(9 2) 4 6

8 12 : 4

24 2 (7 3)

65427

10 : 5 3

(10 4) 18 : 6

9 8 : 4 (1 3)

2 (6 9)

12 : 3 5 8

(4 2) 5 (8 6)

Un ca En un de fru lleva a

●

André y una de 50

●

Rocío de cre en pa paste

6. RAZONA

C y ●

Pon u

10

Otras actividades

Otr

r Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos números. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo:

r P cr pa

25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1


10

Competencias Se indican las competencias trabajadas de manera especial en la doble página, se muestra cómo se realiza ese trabajo, y/o se sugieren actividades para potenciar su adquisición.

XXX 124603 _ 0001-0039.indd 30

●

……

6/7/09 16:39:34

– – – – –

Ve ne nu

1 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

●

9243

●

86:27

●

10 2 4 3 1

●

3 5 6 48

●

9746

●

5 7 3 8 28


Piensa:

8 (5 2)

8

8

●


●


8 5 2 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 (5 2) 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2. ●

852

●


●

8 (5 2)

●


●

852

●


●

(8 5) 2

●


●

852

●


●

8 (5 2)

●


2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión todas las operaciones que hayas hecho. ●


●


●


……

……

……

……

2) : 2

2:2

46 46

Calculas el doble de un número y después le sumas otro número.


3)

8 6)

que alcu-

●


11

Otras actividades r Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operación combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numérica en su cuaderno:

1 1) 1

– Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5.

menpara simi-

– Divido entre 5 la suma de 25 y 20.

al o,

– Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, señale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numéricas para despejar las dudas que existan.

Soluciones Se ofrecen las soluciones de todas las actividades planteadas a los alumnos.

3. r 9 – (2 1 4) 5 3 r (3 1 5) 3 6 5 48 r (8 1 6) : 2 5 7 r 9 – (7 – 4) 5 6 r (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 r 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

6. RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

7

Soluciones 1. r 9 –613531356 r 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 r 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 r 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 r 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 r (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 r 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 r (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

HAZLO ASÍ 852

1

4. r 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. r 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. r 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. r (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. r 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. r 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. r 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. r 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 . r (35 1 61) : 8 5 12 Pondrá 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. r R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

11

Otras actividades Aparecen diferentes actividades para trabajar los contenidos expuestos en la doble página. Son muy variadas: de refuerzo, de profundización, individuales, en equipo, con material, sin material...

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Páginas de Solución de problemas y Repasa

Solución de problemas Pasos para resolver un problema

Objetivos Se presentan los objetivos que se persiguen con la página.

Objetivos r Resolver problemas matemáticos siguiendo unos pasos.


Sugerencias didácticas Se proporcionan una serie de sugerencias y/o actividades para trabajar la Solución de problemas.

Se indican las competencias trabajadas y se sugieren actividades para potenciar su adquisición.

Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron? ●

Pregunta

●

r Comente el ejemplo resuelto y explíquelo paso a paso en la pizarra asegurándose de la comprensión de cada paso. Señale la importancia de pensar cuidadosamente antes de ponerse a hacer operaciones.

Aprender a aprender Motive a sus alumnos para que pongan en práctica todos aquellos conocimientos de los que ya disponen para resolver los problemas matemáticos. Señale que su capacidad se ha ido desarrollando a base de práctica y que ya tienen capacidad suficiente para resolver problemas muy complejos.

▶

▶

1.70

●

8.05

3. Escribe ●

Cuatr y och

●

Dos m

●

Cinco

●

Veint treint

PIENSA.

●

Oche

CALCULA.

●

1.º 2 200 1 100 5 20 400 100 100 600 2.º 600 579 21

Quini mil n

●

Seisc

Solución: Le devolvieron 21 . ●

540.

●

activida



1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora. ●

●

2. Escribe

COMPRENDE.

Datos

Para explicar



1. Descom

Para empezar r Entable una conversación con sus alumnos y hágales ver la necesidad de seguir un método organizado a la hora de resolver problemas.

EJERCICIO


4. Calcula

COMPRUEBA. 579 21 = 600

●

▶



25.0

●

176.

●

47.9

●

276.

5. Multipli


●

375

●

286


6. Divide.


●

9.76

●

3.42


7. 4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva

ESTUD

has hec resultad


16

Soluciones 1. (26.500 – 2.150) 3 2 5 48.700 19.750 2 2.150 5 17.600 48.700 1 17.600 5 66.300 Obtuvieron 66.300 . 2. (300 1 300 1 420) : 12 5 85 Pagó 85 por cada empleado. 3. (24 1 5) 3 2 5 58 Su abuelo tiene 58 años. 4. R. M. Laura recorre para ir al trabajo 38 km los lunes y miércoles. El resto de días recorre 5 km más. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?

Otras actividades

Rep

r Plantee a sus alumnos problemas como los que se proponen a continuación para afianzar la resolución de problemas paso a paso:

r Di pa lin re ca op go gr ca

– En una biblioteca hay registrados 679 libros infantiles; de literatura juvenil hay 315 más que infantiles, y de historia 123 menos que juveniles. ¿Cuántos libros hay en total? – En un concierto se gastaron 6.200 en iluminación y sonido. Por la venta de entradas se recaudaron 6.500 y se vendieron 80 camisetas a 13 cada una. ¿Cuánto se obtuvo de beneficio?

16

Otras actividades Aparecen diferentes actividades para trabajar de manera más intensiva la Solución de problemas. Ofrecen la posibilidad de una mayor práctica en caso de dificultades, o sirven para profundizar.

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cono:

eranos

ido. eron nefi-

1

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS



●

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600


9. Marcos compró 150 kg de manzanas a 2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.



●


●


●


●


●


●


150 puntos

180 puntos


4. Calcula. ●

25.089 23.658

●

176.765 29.106 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876


12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

5. Multiplica. ●

375 189

●

1.689 470

●

286 305

●

2.741 900


6. Divide.

7.

415 puntos



●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬ ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que


1


17

1. r 5 CM 1 4 DM 1 1 C 1 12D13U r 1 U. de millón 1 7 CM 1 19C12U r 8 U. de millón 1 5 DM 1 1 7 UM 1 2 D 1 1 U r 3 D. de millón 1 9 U. de millón 1 1 CM 1 2 DM 1 1 6 UM 1 5 C 1 4 D 1 15U r 1 C. de millón 1 6 D. de millón 1 3 CM 1 2 UM 1 19D r 8 C. de millón 1 2 U. de millón 1 4 UM 1 6 C

Soluciones Se ofrecen las soluciones de todas las actividades planteadas a los alumnos.

2. Quinientos cuarenta mil ciento veintitrés. Un millón setecientos mil novecientos dos. Ocho millones cincuenta y siete mil veintiuno. Treinta y nueve millones ciento veintiséis mil quinientos cuarenta y cinco. Ciento sesenta millones trescientos dos mil noventa. Ochocientos dos millones cuatro mil seiscientos. 3. 400.978, 2.106.004, 5.000.076, 29.432.000, 80.010.013, 506.206.098, 600.100.002 4. r 48.747 r 214.265

r 40.947 r 266.215

5. r 70.875 r 87.230

r 793.830 r 2.466.900

6. r c 5 271; r 5 4 r c 5 15; r 5 1 r c 5 90 r c 5 304 7. R. L.

Repaso en común r Divida la clase en varios grupos y anime a cada uno de los grupos para que ideen un juego de mesa que dibujarán sobre una cartulina grande. Pídales que escriban las reglas del juego y tracen un recorrido con casillas donde se tendrán que superar pruebas como calcular operaciones con números naturales, hallar el valor de una operación combinada, resolver un problema correctamente … Luego podrán jugar con su propio juego o intercambiarlo con los otros grupos. También se puede fijar un límite temporal para realizar cada una de las pruebas de las casillas.

8. (305 – 225) : 4 5 20 Cada vagón tiene 20 plazas. 9. (150 2 17) 3 10 – 300 5 5 1.030 ganó en la venta. 10. José; 225 puntos más. 11. 603 – 150 3 4 5 3 pagó. 12. 14 : 5 ▶ c 5 2; r 5 4 7 1 3 5 10 barcas. 13. 50 3 4 1 2 3 20 – 40 5 200; 200 : 2 5 100. Le dieron 100 monedas. 14. (520 1 780) : 2 5 650 650 3 8 5 5.200 Llenan 5.200 botellas.

17

Repaso en común Se ofrecen sugerencias para repasar los contenidos de otras formas. Generalmente son actividades de trabajo en equipo y muy participativas, buscando la toma de conciencia del propio aprendizaje por parte de los alumnos.

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Matemáticas 6 PRIMARIA

Santillana 124603 _ 0001-0039.indd 35

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El libro Matemáticas 6, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.

Texto: José A. Almodóvar y Magdalena Rodríguez. Ilustración: Esther Gómez y José M.ª Valera. Edición: José A. Almodóvar y Magdalena Rodríguez.

Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.

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Presentación Este libro forma parte del proyecto LA CASA DEL SABER, que es un espacio educativo en el que los alumnos pueden adquirir las capacidades necesarias para su desarrollo personal y social. Para lograrlo, los libros de Matemáticas pretenden que los alumnos alcancen los siguientes objetivos: r Prepararse para el paso a la Educación Secundaria. Para ello, desarrollamos un Programa de Estudio Eficaz que ayuda a consolidar los conocimientos fundamentales y que promueve la autonomía de los alumnos respecto a su trabajo escolar. r Aplicar lo que se aprende a la vida cotidiana. La aplicación de las Matemáticas en situaciones reales es el hilo conductor de este libro. Las numerosas actividades planteadas, el programa de Solución de problemas y el programa Eres capaz de... permiten que los alumnos utilicen los conocimientos adquiridos en situaciones reales. r Trabajar las Matemáticas eficazmente y de forma global. Los libros ofrecen numerosos ejemplos de respuesta para que los alumnos tengan claro qué deben hacer y cómo responder, facilitando así una práctica eficaz. Los programas Razonamiento, Gráficos, Cálculo mental y Taller de Geometría contribuyen a una práctica global de todos los aspectos de las Matemáticas. r Consolidar los aprendizajes fundamentales. Para garantizar el aprendizaje, en cada unidad se recogen los contenidos de los cursos o unidades anteriores que están relacionados con lo que se va a aprender. Además, se plantean actividades de repaso acumulativo en cada unidad, y en cada trimestre. LA CASA DEL SABER es un proyecto en el que cabemos todos. Pretende que los alumnos reconozcan y valoren la diversidad cultural de la sociedad en la que viven y contribuye de forma eficaz a la educación en valores.

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UNIDAD

1 2

INFORMACIÓN Y ACTIVIDADES ●


● ●

6 ●

Potencias y raíz cuadrada

● ●

18

●

3

●

Números enteros

4

●

●

30 ●

Múltiplos y divisores

● ●

46

● ●

5

●

Ángulos

●

60

Números de hasta nueve cifras Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones Potencias. Cuadrado y cubo Potencias de base 10 Expresión polinómica de un número Raíz cuadrada Los números enteros Problemas con números enteros La recta entera. Comparación de números enteros

●

Coordenadas cartesianas

Múltiplos de un número Mínimo común múltiplo Divisores de un número Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5

●

Cálculo de todos los divisores de un número Números primos y compuestos Máximo común divisor

Unidades de medida de ángulos Suma de ángulos Resta de ángulos

● ●

Ángulos complementarios y suplementarios Ángulos de más de 180º

Fracciones y números mixtos Fracciones equivalentes Obtención de fracciones equivalentes Reducción a común denominador

●

Comparación de fracciones

División de un decimal entre un natural División de un natural entre un decimal División de un decimal entre un decimal

●

Obtención de cifras decimales en el cociente Problemas con decimales

Base y altura de triángulos y paralelogramos Suma de los ángulos de triángulos y cuadriláteros La circunferencia. Elementos

●

● ●

REPASO TRIMESTRAL ●

6

●

Fracciones

7 8 9

●

78

● ●

Operaciones con fracciones

● ●

92

● ●

Números decimales Operaciones

● ●

106

● ●

División de números decimales

● ●

122 ●

10

●

Figuras planas

134

●

Suma de fracciones Resta de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales Aproximación de números decimales Estimaciones

●

● ●

El número π y la longitud de la circunferencia Figuras circulares Posiciones de rectas y circunferencias

REPASO TRIMESTRAL

11 12 13 14

●

Proporcionalidad y porcentajes Longitud, capacidad, masa y superficie

● ●

152 ● ● ●

164

● ●

Área de figuras planas Cuerpos geométricos. Volumen

● ●

180

● ● ● ●

196

● ●

15

●

Estadística

208

●

Proporcionalidad. Problemas. Problemas con porcentajes Escalas: planos y mapas Unidades de longitud. Relaciones Unidades de capacidad. Relaciones Unidades de masa. Relaciones Unidades de superficie

●

Área del cuadrado y del rectángulo Área del rombo Área del romboide Área del triángulo

●

●

● ●

Relaciones entre unidades de superficie Unidades agrarias

Área de polígonos regulares Área del círculo Área de figuras planas

Poliedros. Poliedros regulares Volumen con un cubo unidad Volumen y capacidad Unidades de volumen Variables estadísticas Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Media y moda

● ●

Mediana Rango

REPASO TRIMESTRAL

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CÁLCULO MENTAL ● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

● ●

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Calcular sumas y restas sin paréntesis Calcular sumas y restas con paréntesis


Calcular operaciones combinadas sin paréntesis Calcular operaciones combinadas con paréntesis

Buscar datos en varios gráficos

Sumar 1.001, 2.001, 3.001… a números de 3 cifras Sumar 999, 1.999, 2.999.. a números de 3 cifras

Buscar datos en varios textos o gráficos

Restar 1.001, 2.001, 3.001… a números de 3 cifras Restar 999, 1.999, 2.999.. a números de 3 cifras

Hacer una tabla

Dividir un número natural entre decenas y centenas Calcular la fracción de un número

Hacer un dibujo

Sumar por compensación: sumar y restar el mismo número Sumar por compensación: restar y sumar el mismo número

Ensayo y error

Restar por compensación: sumar el mismo número Restar por compensación: restar el mismo número

Representar la situación

Multiplicar un número natural por 2 Multiplicar un número natural por 5

Anticipar una solución aproximada


Representar datos con dibujos



Estimar sumas y restas de decimales aproximando a las unidades

Resolver un problema empezando por el final

Sumar un número natural y un decimal Restar un número natural a un decimal


GRÁFICOS

REPASA ● ●

● ● ●


● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

Estimar productos de un número decimal por un natural Multiplicar un número decimal por decenas y centenas

Reducir el problema a otro problema conocido

Calcular el 10% de un número Calcular el 50% de un número

Empezar con problemas más sencillos

Calcular el 20 % de un número Calcular el 25 % de un número


● ● ●

●

Histogramas

● ●

● ●

● ●

● ● ● ● ● ●

Gráficos de sectores

● ● ●

● ● ●

● ● ●

Números naturales Operaciones Números naturales Operaciones Operaciones combinadas Operaciones Operaciones combinadas Potencias y raíz cuadrada Operaciones combinadas Potencias y raíz cuadrada Números enteros Números naturales Potencias y raíz cuadrada Números enteros Divisibilidad

Números enteros Divisibilidad Ángulos Operaciones Operaciones combinadas Fracciones Divisibilidad Fracciones Suma y resta de fracciones Números naturales Operaciones con fracciones y decimales Fracciones y decimales Operaciones con fracciones y decimales

Decimales Operaciones con decimales Figuras planas Números enteros Operaciones con fracciones y decimales Proporcionalidad Números naturales Proporcionalidad Longitud, capacidad y masa Operaciones Área de figuras planas Superficie Números naturales Fracciones y decimales Volumen

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1

E


Programación Objetivos • Leer, escribir y descomponer números de hasta nueve cifras. • Identificar el valor posicional de cada una de las cifras en números de hasta nueve cifras. • Comparar y ordenar números de hasta nueve cifras. • Conocer la jerarquía de las operaciones y calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis. • Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y calcular su valor. • Resolver problemas de varias operaciones. • Resolver problemas siguiendo unos pasos ordenados.

Contenidos • Lectura, escritura y descomposición de números de hasta nueve cifras.

R

• Identificación del valor posicional de las cifras.

• • • •

• Comparación y ordenación de números de hasta nueve cifras. • Cálculo de operaciones combinadas con y sin paréntesis.

E

• Lee, escribe, descompone, compara y ordena números de hasta nueve cifras.

• Reconocimiento y cálculo de la expresión numérica asociada a una frase.

•

• Conoce la jerarquía de las operaciones y calcula operaciones combinadas con y sin paréntesis.

• Resolución de problemas de varias operaciones.

• Reconoce y escribe la expresión numérica correspondiente a una frase y calcula su valor.

• Aplicación de los pasos precisos para resolver un problema.


• Resuelve problemas de varias operaciones.

•

• Identifica y aplica los pasos a seguir para resolver un problema.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia lingüística, Aprender a aprender, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Competencia social y ciudadana y Autonomía e iniciativa personal.

• Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en la vida cotidiana. • Interés por la resolución clara y ordenada de los problemas y actividades.

D R

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Esquema de la unidad UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES

Números de hasta nueve cifras



Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Recursos • • • •


• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 5, pág. 14. • Repasar procedimientos: actividad 7, pág. 17.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos: • La lectura, escritura y comparación de números con ceros intermedios, especialmente a partir de seis cifras. Trabaje con los alumnos las actividades necesarias, tanto escritas como orales, para asegurar su comprensión. • La aplicación de la jerarquía de las operaciones para resolver operaciones combinadas con y sin paréntesis. Insista en la necesidad de realizar las operaciones en el orden correcto, trabajando de forma razonada para evitar errores. • La resolución de problemas con varias operaciones. Resalte la importancia de seguir los pasos que ya conocen.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Durante las dos primeras semanas del curso escolar puede utilizar la evaluación inicial incluida en el cuaderno Recursos para la evaluación.

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1 Objetivos


RE

O

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad. • Reconocer situaciones reales donde aparecen números de hasta nueve cifras.

Sugerencias didácticas • Dialogue con sus alumnos sobre la gran cantidad de ocasiones de la vida real en las que aparecen los números y sobre lo necesarios que son para resolver las situaciones que se nos presentan cotidianamente. Pídales que comenten la fotografía y lo que ven en ella y resuelva las preguntas en común. • En Recuerda lo que sabes aproveche para comprobar si los alumnos realizan correctamente operaciones con números naturales y repase con ellos la prueba de la resta y de la división. Trabaje también las aproximaciones y estimaciones, recordando la necesidad de aproximar primero para poder estimar.

Competencias básicas Competencia lingüística Al recordar el vocabulario asociado a las operaciones (sumando, minuendo, factor, dividendo…) haga hincapié en la necesidad de utilizarlo de manera adecuada. Aprender a aprender Dialogue con sus alumnos sobre la importancia que tienen los conocimientos ya aprendidos para poder avanzar. Muestre la necesidad de fundamentar bien lo que aprendemos. Interacción con el mundo físico Señale la importancia de los números como instrumento para comprender la realidad y de esa manera poder desenvolverse en ella más adecuadamente.

E

●

1.

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km. La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

2.

●


●


●

3.


6

Otras formas de empezar • Inicie una conversación con sus alumnos sobre las operaciones que conocen y qué signos utilizan para expresar cada una de ellas. Escriba en la pizarra las operaciones que vayan nombrando y pídales que digan todo lo relacionado con ellas (nombres de los términos, características de los signos utilizados para expresarlas, propiedades, pruebas…). Anímeles a que entre todos obtengan conclusiones sobre en qué momentos las operaciones con números naturales nos resultan de gran utilidad para poder resolver situaciones que se nos presentan.

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e

a

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

Operaciones con números naturales

1

Soluciones

Suma

Resta

Página inicial 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Multiplicación 2 3 7 .1 4 7 4 1 4 8 1

4 6 3 2 5

5 0 7 0 7


9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2


• 930.000.000 km. Tiene nueve cifras. Siete de ellas son ceros. • Una unidad astronómica. Son 149.675.000 km. Marte está más lejos del Sol que la Tierra. • La Tierra recorre en una hora 106.000 km. En un día recorre 2.544.000 km.

División

7 3 1

factor factor

1

producto

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 resto 0 1

Recuerda lo que sabes


●

Estimación de sumas


4.297 1 1.835 ▼

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

●

1. • • • • • •


▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. ●

759 1 3.824

●

8.329 1 4.516 1 738

●

4.261 2 569

●

20.347 2 865

●

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

●

2. Calcula el término que falta en cada operación. ● ● ● ●

62.734 1

5 68.251

●

1 49.018 5 73.542

●

584 3

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

• •

VAS A APRENDER ●


●


●


2 5.397 5 8.406 29.035 2

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones. ●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

• •

7

Vocabulario de la unidad • Unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de millar, centena de millar, unidad de millón, decena de millón, centena de millón

2. • • • • • • • • 3. • • • • • •

4.583 3.692; 3.692 1 569 5 4.261 86.268 c 5 156; 156 3 38 5 5.928 13.583 19.482; 19.482 1 865 5 5 20.347 351.900 c 5 408; r 5 15 408 3 56 1 15 5 22.863 631.060 c 5 360; r 5 16 360 3 179 1 16 5 64.456 5 5.517 5 24.524 5 307 5 397 5 3.009 5 24.848 5 81.796 5 208 5.000 1 6.000 5 11.000 8.400 1 800 5 9.200 9.000 – 3.000 5 6.000 7.240 – 90 5 7.150 600 3 5 5 3.000 4.000 3 8 5 32.000

• Paréntesis • Operaciones combinadas • Expresión numérica

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Números de hasta nueve cifras Objetivos

●

4.


5.

• Conocer los distintos órdenes de unidades hasta la centena de millón y sus equivalencias.

Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

6.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

• Leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta nueve cifras.

1U 1 D 5 10 U 1 C 5 10 D 5 100 U 1 UM 5 10 C 5 1.000 U 1 DM 5 10 UM 5 10.000 U 1 CM 5 10 DM 5 100.000 U 1 U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U 1 D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U 1 C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U

Sugerencias didácticas Para reforzar • Pida a los alumnos que planteen a sus compañeros actividades como las trabajadas en esta página. Corrija después alguna de ellas en común.

●

De 10

en 10

7.

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030. 502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30 502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Solicite a los alumnos que hagan una representación gráfica propia de los nueve órdenes de unidades y sus equivalencias.


1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

8.

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1.

Soluciones 1. • 3 U. de millón 1 9 CM 1 1 7 DM 1 2 C 1 5 U • 8 U. de millón 1 1 DM 1 1 6 UM 1 4 D 1 3 U • 2 D. de millón 1 4 U. de millón 1 5 CM 1 8 UM 1 9 C 1 16D • 7 D. de millón 1 4 CM 1 1 3 DM 1 5 UM 1 9 U • 3 C. de millón 1 2 U. de millón 1 7 CM 1 5 DM 1 6 C 1 18D11U • 8 C. de millón 1 9 D. de millón 1 7 U. de millón 1 1 6 DM 1 1 C • 5 C. de millón 1 4 D. de millón 1 3 CM 1 9 UM 1 12D17U • 9 C. de millón 1 2 CM 1 1 8 DM 1 6 UM 1 4 C 1 11D15U 2. • Tres millones novecientos setenta mil doscientos cinco. • Ocho millones dieciséis mil cuarenta y tres.

3. Escribe los siguientes números. PRESTA ATENCIÓN En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

CÁ ●


●

Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

●


●

Ochocientos nueve millones cien mil seis.

Cal

8

Otras actividades • Proponga a sus alumnos distintas actividades para que practiquen la lectura y escritura de números de hasta 9 cifras. Por ejemplo: – Escriba números parecidos variando la cantidad de ceros intermedios, y haga que los alumnos los lean y descompongan para que aprecien la diferencia entre unos y otros. 344.000.123

344.120.300

123.044.000

– Haga un dictado de números. – Proponga a los alumnos que escriban (y después lean) números que cumplan unas condiciones determinadas. Por ejemplo: un número de 9 cifras con 5 ceros; un número de 8 cifras en el que la cifra de las decenas de millón sea mayor que la de las unidades de millar; un número de 6 cifras con 3 ceros intermedios…

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27

15

1 4. Escribe el número anterior y el posterior.

UNIDAD

●

...

◀

1.000.000 ▶ ...

●

... ◀ 30.000.000 ▶ ...

●

...

◀

599.999.999 ▶ ...

●

...

◀

9.386.999 ▶ ...

●

... ◀ 99.999.999 ▶ ...

●

...

◀

900.000.000 ▶ ...

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. ●

●

109.245.720

728.301.299

●

502.382.142

●

250.226.000

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente. 2.496.551

2.473.890

9.720.346

10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.396.522

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460


¿Cuándo vivieron? Triceratops ▶ Hace 70 millones de años. Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.

●


●


●


●


●


640.095 4.023.701 73.510.000 809.100.006

4. • • • • •

999.999 y 1.000.001 9.386.998 y 9.387.000 29.999.999 y 30.000.001 99.999.998 y 100.000.000 599.999.998 y 600.000.000 • 899.999.999 y 900.000.001

8. Escribe dos números que cumplan cada condición.

CÁLCULO MENTAL Calcula sumas y restas sin paréntesis

62211541155

• Veinticuatro millones quinientos ocho mil novecientos sesenta. • Setenta millones cuatrocientos treinta y cinco mil nueve. • Trescientos dos millones setecientos cincuenta mil seiscientos ochenta y uno. • Ochocientos noventa y siete millones sesenta mil cien. • Quinientos cuarenta millones trescientos nueve mil veintisiete. • Novecientos millones doscientos ochenta y seis mil cuatrocientos quince. 3. • • • •

Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

1

51623

10 1 70 2 20

300 1 600 2 200

41719

90 2 30 2 40

700 2 500 2 100

82126

40 1 50 1 60

900 2 200 2 600

9

Otras actividades • Lleve a clase o pida a sus alumnos que traigan periódicos o revistas donde hayan encontrado artículos o noticias en los que aparezcan números de hasta nueve cifras. Pida a cada uno que lea en voz alta el número que haya encontrado y para qué lo han utilizado en el artículo. Luego proponga a sus alumnos que escriban en su cuaderno cómo se lee ese número y también su descomposición (tanto en sus órdenes de unidades como en forma de suma). Finalmente escriba algunos de ellos en la pizarra y pídales que los ordenen de mayor a menor, que escriban el número anterior y posterior, etc.

5. • • • •

200.000 U 20.000.000 U y 200 U 2.000.000 U, 2.000 U y 2 U 200.000.000 U, 200.000 U y 20.000 U

6. 2.496.551 . 2.473.890 9.720.346 , 10.302.615 18.396.522 , 18.397.282 56.076.328 , 58.029.460 347.000.500 . 346.993.600 621.950.384 . 73.692.184 7. 155.000.000 . 130.000.000 . . 85.000.000 . 70.000.000 • El Stegosaurus. • Triceratops y Pteranodonte. • Quince millones de años. 8. • R. M. 259.756.098, 259.879.032 • R. M. 58.575.350, 51.585.053

Cálculo mental • 8 20 1

60 20 150

700 100 100

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Operaciones combinadas Objetivos

3.


• Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.


• Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4.

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

5 1 6 : (7 2 4)

Sin paréntesis.

Con paréntesis.

516 : 3

36 : 4 2 3 3 2 1 8 9 2 3 32 18

512

9 2 6 18

7

318


11

Para empezar • Recuerde a los alumnos la jerarquía de las operaciones: paréntesis, multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas. Señale la importancia de seguir un proceso ordenado.

5 1 6 : (7 2 4) 5 5 1 6 : 3 5 5 1 2 5 7 36 : 4 2 3 3 2 1 8 5 9 2 3 3 2 1 8 5 9 2 6 1 8 5 3 1 8 5 11


5.

Para explicar • Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operación en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuál hay que hacer primero. Muestre la relación entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cómo la prioridad de las operaciones se refleja también en esas frases. Para reforzar • Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la página 58.

Competencias básicas Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede venir expresada en forma numérica (operación combinada) o con palabras (expresión escrita). Señale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.


926135…1…5…

●

15 2 (7 1 2) 5 …

●

718355…

●

(9 2 4) 3 6 5 …

…5…

●

20 2 12 : 4 5 …

●

10 : (2 1 3) 5 …

…5…

●

239:35…

●

(18 2 4) : 2 5 …

…5…

…5… …5… …5…

…5…


10 2 4 3 2

5 1 (8 2 2) : 2

(10 2 4) 3 2

51822:2

35 : (5 1 2)

9223416

35 : 5 1 2

(9 2 2) 3 4 1 6

8 1 12 : 4

24 2 2 3 (7 1 3)

625143227

10 : 5 3 3

(10 2 4) 1 18 : 6

9 1 8 : 4 2 (1 1 3)

2 3 (6 1 9)

12 : 3 1 5 3 8

(4 1 2) 3 5 1 (8 2 6)

6.

10

Otras actividades • Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos números. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo: 25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1


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1 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

●

9221453

●

816:257

●

10 2 2 2 4 1 3 5 1

●

3 1 5 3 6 5 48

●

9272456

●

5 3 7 2 3 1 8 5 28


Piensa:

82522 8 2 (5 2 2)

●


●


8 2 5 2 2 5 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 2 (5 2 2) 5 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2. ●

82512

●


●

8 2 (5 1 2)

●


●

81532

●


●

(8 1 5) 3 2

●


●

83522

●


●

8 3 (5 2 2)

●


todas las operaciones que hayas hecho. Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión?

●


●


3. • • • • • •

6. RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

6 Calculas el doble de un número y después le sumas otro número. ●



11

Otras actividades • Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operación combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numérica en su cuaderno: – Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5. – Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10. – Divido entre 5 la suma de 25 y 20. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, señale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numéricas para despejar las dudas que existan.

9–613531356 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión ●

Soluciones 1. • • • • • • • •

HAZLO ASÍ

1

9 – (2 1 4) 5 3 (3 1 5) 3 6 5 48 (8 1 6) : 2 5 7 9 – (7 – 4) 5 6 (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

4. • 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. • 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. • 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. • (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. • 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. • 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. • 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. • 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 €. • (35 1 61) : 8 5 12 Pondrá 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. • R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

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Problemas de varias operaciones Objetivos

Patricia va con su familia a un espectáculo de luz y sonido. Ha sacado 3 entradas infantiles a 12 cada una y 4 entradas de adulto. Ha entregado para pagar 150 y le han devuelto 22 . ¿Cuánto le ha costado cada entrada de adulto?

• Resolver problemas de dos o más operaciones.

Sugerencias didácticas Para empezar • Converse con sus alumnos sobre cómo los problemas matemáticos constituyen un ejemplo más de la utilidad y la necesidad de las operaciones con números naturales. Recuérdeles los pasos que se deben seguir al resolver problemas y la importancia de no pasar por alto ninguno de ellos. Para explicar • Haga que los alumnos lean despacio el problema propuesto en el ejemplo y, después, resuélvalo colectivamente. Destaque la importancia de seguir un proceso ordenado. Comente la necesidad de indicar por escrito la solución de los problemas, y no limitarse a dar un número por respuesta. Indique que en los problemas de varias operaciones es necesario determinar las «cuestiones intermedias» que debemos responder antes de poder contestar a la pregunta del problema. Para reforzar • Recomiende a los alumnos que reflexionen sobre las dificultades que tengan al resolver problemas. Aproveche la estrategia de detectar las propias dificultades de la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Al resolver el primer problema de la actividad 3, comente la importancia de adoptar comportamientos adecuados en sociedad. Pregúnteles sobre sus preferencias en las salidas en grupo del colegio (teatro, música…)

3.

Patricia averigua cuánto dinero le han costado las siguientes entradas: 1.º Todas las entradas en total.

▶

150 2 22 5 128

2.º Las 3 entradas infantiles.

▶

3 3 12 5 36

3.º Las 4 entradas de adulto.

▶

128 2 36 5 92

4.º Cada entrada de adulto.

▶

92 : 4 5 23

Cada entrada de adulto le ha costado 23 .

4.

1. Lee y explica qué pasos tienes que seguir para resolver el problema. María tiene 12 años. Su hermano Diego tiene 3 años más que ella; su padre tiene el triple de años que Diego y su madre tiene 5 años menos que su padre. ¿Cuántos años tiene la madre de María? ●

Escribe las operaciones calculadas en una sola expresión. (… 1 …) 3 … 2 … 5 …

2. Observa el gráfico y resuelve. En este pictograma se ha representado el número de helados que ha vendido un puesto desde el lunes hasta el viernes de una semana. ▶ 30 helados

▶ 15 helados

●

¿Cuántos helados vendió el puesto esa semana?

●

La mitad de los helados que vendieron el martes y un tercio de los que vendieron el miércoles eran de chocolate. ¿Cuántos helados de chocolate vendieron en total el martes y el miércoles?

Lunes ▶ Martes ▶ Miércoles ▶

Viernes ▶

Cal

●

Cada helado cuesta 2 . ¿Cuánto dinero recaudaron el viernes más que el jueves?

●

El sábado vendieron el doble que el lunes y el miércoles juntos. ¿Cuántos helados vendieron el sábado?

Jueves ▶

CÁ

12

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias expresiones numéricas y pida a los alumnos que elijan una de ellas e inventen el enunciado de un problema que se resuelva con esas operaciones. Por ejemplo: 100 – (25 1 18)

95 1 (6 3 3)

(30 1 19) : 7

Finalmente, realice una puesta en común con los distintos problemas que aporten los alumnos y compruebe si son correctos. También puede pedirles que intercambien los problemas entre ellos y los resuelvan.

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1 3. Resuelve.

UNIDAD

●

Una exposición de arte abre al público 290 días al año. Cada día, la visitan 15 grupos de 27 personas cada uno. ¿Cuántas personas visitan al año la exposición?

●

En una carrera se reparte un total de 2.130 en premios. El ganador del primer premio recibe la mitad de dicha cantidad, el del segundo gana un tercio del total y el del tercero se lleva el resto. ¿Cuánto dinero recibe el ganador del tercer premio?

●

En una granja tienen que envasar 5.934 huevos. Utilizan 280 cajas de 12 huevos cada una y el resto lo envasan en cajas de 24 huevos. ¿Cuántas cajas de 24 huevos llenan y cuántos huevos les sobran?

●

Nicolás trabaja en una obra colocando azulejos. Para las paredes de una cocina, tenía 21 cajas con 24 azulejos blancos cada una y 9 cajas con 6 azulejos de flores y 8 de hojas. Al final, le han sobrado 34. ¿Cuántos azulejos ha utilizado?

Soluciones 1. (12 1 3) 3 3 – 5 5 40 La madre de María tiene 40 años.

4. Busca los datos necesarios en la tabla y resuelve. En la tienda de Joaquín han recibido hoy un lote con material. Había en tienda

Han recibido

Han vendido

Precio de venta

Camisetas

87

432

53

12

Pantalones

53

207

29

30

Vestidos

26

180

13

45

●

¿Cuántas camisetas y pantalones quedan en total en la tienda al cerrar por la tarde?

●

¿Cuánto dinero ha obtenido hoy Joaquín por la venta de los vestidos? ¿Cuánto podría haber obtenido si hubiera vendido todos los vestidos que tenía?

●

El lote recibido consistía en cajas de 36 camisetas, cajas de 23 pantalones y cajas de 18 vestidos. ¿Cuántas cajas contenía en total el lote?

●

Un cliente compra 5 pantalones y varias camisetas. Ha pagado 390 . ¿Cuántas camisetas ha comprado?

CÁLCULO MENTAL Calcula sumas y restas con paréntesis

6 2 (2 1 1) 5 6 2 3 5 3

7 2 (8 2 3)

80 2 (50 1 10)

(700 2 300) 1 200

4 1 (7 1 2)

(90 2 40) 2 20

600 2 (200 2 100)

(9 2 1) 2 5

1

40 1 (50 1 60)

(800 1 400) 1 600

13

Otras actividades • Según el nivel de la clase, puede proponer a los alumnos problemas de mayor dificultad, tanto por el número de operaciones que haya que realizar para resolverlo como por el número de fuentes en las que tengan que buscar los datos (en unidades posteriores se trabaja esa búsqueda de información). Por ejemplo: Lara salió de compras y se gastó 37 euros en un pantalón vaquero, 15 euros en una camiseta y 22 euros en un bolso. Al pagar le hicieron un descuento de 12 euros en total. Si pagó con dos billetes de 50 euros, ¿cuánto dinero le devolvieron?

2. • 30 3 17 1 15 3 3 5 555 Vendieron 555 helados. • 120 : 2 1 75 : 3 5 85 Vendieron en total 85 helados de chocolate. • 165 3 2 – 90 3 2 5 150 El viernes recaudaron 150 € más que el jueves. • 105 1 75 3 2 5 360 Vendieron 360 helados. 3. • 15 3 27 3 290 5 117.450 Al año visitan la exposición 117.450 personas. • 2.130 : 2 5 1.065 2.130 : 3 5 710 2.130 – 1.065 – 710 5 355 El ganador del tercer premio recibe 355 €. • 5.934 – 280 3 12 5 2.574 2.574 : 24 ▶ c 5107; r 5 6 Llenan 107 cajas de 24 huevos y les sobran 6. • 21 3 24 1 9 3 (6 1 8) 5 630 630 – 34 5 596 Ha utilizado 596 azulejos. 4. • 87 1 432 2 53 5 466 53 1 207 2 29 5 231 4661 231 5 697 Había 697 camisetas y pantalones al cerrar. • 13 3 45 5 585 Joaquín ha obtenido hoy 585 € por la venta de los vestidos. 26 3 45 5 1.170 Habría obtenido 1.170 €. • 432 : 36 1 207 : 23 1 1 180 : 18 5 31 El lote contenía 31 cajas. • 390 – 30 3 5 5 240 240 : 12 5 20 El cliente ha comprado 20 camisetas.


20 30 150

600 500 1.800

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Actividades 1. Descompón cada número y escribe cómo se lee.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

5. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

●

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050


1.º Calcular los… 2.º …

2. Escribe con cifras estos números. ●



●


Autonomía e iniciativa personal Al trabajar el apartado Eres capaz de... comente a sus alumnos la importancia de confiar en sí mismos a la hora de resolver problemas. Anímeles a progresar y valore sus logros.

●

3.º …

6. Calcula. ●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)


●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●


●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●


●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

●

53826

●

20 : 4 3 3 1 8

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en cada número de la actividad 2.

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa numéricamente cada frase y calcula.

ER


Soluciones

2. 45.030.207, 3.514.080, 627.163.000, 300.002.100, 79.300.491

Bombay (India)

Moscú (Rusia)

12.600.000 hab.

11.300.000 hab.

2

a.


1. • 7 DM 1 4 C 1 2 D 1 1 U. Setenta mil cuatrocientos veintiuno. • 6 CM 1 8 DM 1 2 UM 1 9 D 1 3 U. Seiscientos ochenta y dos mil noventa y tres. • 2 U. de millón 1 4 CM 1 1 7 UM 1 5 C 1 1 D 1 6 U. Dos millones cuatrocientos siete mil quinientos dieciséis. • 3 D. de millón1 9 U. de millón 1 2 CM 1 1 DM 1 8 U. Treinta y nueve millones doscientos diez mil ocho. • 2 C. de millón 1 6 D. de millón 1 5 U. de millón 1 1 7 DM 1 4 UM 1 3 C. Doscientos sesenta y cinco millones setenta y cuatro mil trescientos. • 8 C. de millón 1 2 D. de millón 1 3 U. de millón 1 1 6 CM 1 9 UM 1 5 D. Ochocientos veintitrés millones seiscientos nueve mil cincuenta.

9.

esquema.

b.

3

c.

:

1

d.

1

e.

3(

f.

:(

2

2(

1

)

1 2

) )

●


●


●


●


●


●



Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab.

dos expresiones sean ciertas. 2

●

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada?

●

¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

3 5

1

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2 3

)52 55 ) 5 15 5 12

14

Otras actividades • Prepare tarjetas iguales numeradas del 0 al 9. Extraiga sucesivamente algunas o todas las tarjetas. Pida a los alumnos que anoten las cifras obtenidas y hallen la descomposición del número que se forma, y escriban cómo se lee. También pueden escribir el número anterior o posterior, comparar los números sucesivos que se obtengan… • Proponga actividades de comparación de dos números en las que estos estén expresados de forma diferente uno del otro (con letras, con cifras, descompuestos…)

3. 30.000 U; 3.000.000 U; 3.000 U; 300.000.000 U; 300.000 U

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3)

1 UNIDAD


10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresión. ●

En una panadería han cocido por la mañana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender? Sin paréntesis

▶ ▶

Con paréntesis ●

1)

7

6

▶

Con paréntesis

▶

●


●


… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto? Sin paréntesis

●

… …


a

ERES CAPAZ DE…


En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada día una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones más baratas como sacar bonos de 10 días, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual. ●

Precios: – Bono de 10 días ▶ 25 . – Abono mensual ▶ 37 . – Abono anual ▶ 185 .

Observa los precios de cada opción y calcula:

15

5. 1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas. 6. • 7, 36, 3, 12, 2, 34 • 15, 5, 45, 9, 6, 23 7. d. 15 – (6 1 4) 5 5 a. 7 – 2 1 5 5 10 e. 10 3 (5 1 2) 5 70 f. 12 : (7 – 4) 5 4 b. 2 3 8 1 3 5 19 c. 14 : 2 – 5 5 2 – (3 1 2) 5 2 –51455 3 (4 – 1) 5 15 1 2 3 3 5 12

9. • 268 – 195 1 120 – 87 5 106 (268 1 120) – (195 1 1 87) 5 106 Quedan sin vender 106 barras. • 186 – 64 1 59 2 39 1 1 78 5 220 186 1 (59 1 78) – (64 1 1 39) 5 220 Al final de trayecto hay 220 pasajeros.

– ¿Y para que resulte más barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte más barato sacar un abono anual?

s

2

4. • La ciudad más poblada es Shanghai (China). La menos poblada es Moscú (Rusia). • Bombay tiene 680.000 habitantes más que Buenos Aires.

8. • 7 6 • 5 6

– Entrada diaria ▶ 3 .

– ¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias?

●

1

Explica qué opción aconsejarías a cada persona: – Raquel va a ir a la piscina 8 días. – Fran quiere ir 15 días este mes. – Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

15

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, haga que sus alumnos reflexionen sobre lo que han aprendido. Complete con ellos o pídales que completen una tabla como esta: Unidad 1 Números naturales. Operaciones Lo que he aprendido

Lo que he aprendido a hacer

10. • 19.000 2 98 3 70 1 1 25 3 105 5 9.515 Aún pueden cargarse 9.515 kg más en el camión. • 13.062 – 297 1 451 5 5 13.216 13.216 : 275 ▶ c 5 48; r 5 16 Ha necesitado 49 CD y ha copiado 16 fotos en el CD incompleto. • 1.073 – 145 3 2 5783 783 : 875 9 Han estado de viaje 9 días.

Números de hasta nueve cifras

Eres capaz de...


• 9 días. 13 días. 62 días. • A Raquel: entradas diarias. A Fran: el bono mensual. A Juancho: el bono anual.


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Solución de problemas Pasos para resolver un problema Objetivos

EJE


1.

• Resolver problemas matemáticos siguiendo unos pasos.

Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron?


●

Para empezar

Pregunta

• Entable una conversación con sus alumnos y hágales ver la necesidad de seguir un método organizado a la hora de resolver problemas.

Datos ●

• Comente el ejemplo resuelto y explíquelo paso a paso en la pizarra asegurándose de la comprensión de cada paso. Señale la importancia de pensar cuidadosamente antes de ponerse a hacer operaciones.

Aprender a aprender Motive a sus alumnos para que pongan en práctica todos aquellos conocimientos de los que ya disponen para resolver los problemas matemáticos. Señale que su capacidad se ha ido desarrollando a base de práctica y que ya tienen capacidad suficiente para resolver problemas muy complejos.

▶

▶



3.

PIENSA. 1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

Para explicar


2.

COMPRENDE.

●

CALCULA. 1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21 Solución: Le devolvieron 21 .

●

4.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600

▶



5.



6.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

7. 4.

INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva


16

Soluciones 1. (26.500 – 2.150) 3 2 5 48.700 19.750 2 2.150 5 17.600 48.700 1 17.600 5 66.300 Obtuvieron 66.300 €. 2. (300 1 300 1 420) : 12 5 85 Pagó 85 € por cada empleado. 3. (24 1 5) 3 2 5 58 Su abuelo tiene 58 años. 4. R. M. Laura recorre para ir al trabajo 38 km los lunes y miércoles. El resto de días recorre 5 km más. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?

Otras actividades • Plantee a sus alumnos problemas como los que se proponen a continuación para afianzar la resolución de problemas paso a paso: – En una biblioteca hay registrados 679 libros infantiles; de literatura juvenil hay 315 más que infantiles, y de historia 123 menos que juveniles. ¿Cuántos libros hay en total? – En un concierto se gastaron 6.200 € en iluminación y sonido. Por la venta de entradas se recaudaron 6.500 € y se vendieron 80 camisetas a 13 € cada una. ¿Cuánto se obtuvo de beneficio?

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52

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1

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS



●

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600


9. Marcos compró 150 kg de manzanas a 2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.



●


●


●


●


●


●




150 puntos

415 puntos

180 puntos



4. Calcula. ●

25.089 1 23.658

●

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876



5. Multiplica. ●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

6. Divide. ●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

7. ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

1





17

1. • 5 CM 1 4 DM 1 1 C 1 12D13U • 1 U. de millón 1 7 CM 1 19C12U • 8 U. de millón 1 5 DM 1 1 7 UM 1 2 D 1 1 U • 3 D. de millón 1 9 U. de millón 1 1 CM 1 2 DM 1 1 6 UM 1 5 C 1 4 D 1 15U • 1 C. de millón 1 6 D. de millón 1 3 CM 1 2 UM 1 19D • 8 C. de millón 1 2 U. de millón 1 4 UM 1 6 C 2. Quinientos cuarenta mil ciento veintitrés. Un millón setecientos mil novecientos dos. Ocho millones cincuenta y siete mil veintiuno. Treinta y nueve millones ciento veintiséis mil quinientos cuarenta y cinco. Ciento sesenta millones trescientos dos mil noventa. Ochocientos dos millones cuatro mil seiscientos. 3. 400.978, 2.106.004, 5.000.076, 29.432.000, 80.010.013, 506.206.098, 600.100.002 4. • 48.747 • 214.265

• 40.947 • 266.215

5. • 70.875 • 87.230

• 793.830 • 2.466.900

6. • c 5 271; r 5 4 • c 5 15; r 5 1 • c 5 90 • c 5 304 7. R. L.

Repaso en común • Divida la clase en varios grupos y anime a cada uno de los grupos para que ideen un juego de mesa que dibujarán sobre una cartulina grande. Pídales que escriban las reglas del juego y tracen un recorrido con casillas donde se tendrán que superar pruebas como calcular operaciones con números naturales, hallar el valor de una operación combinada, resolver un problema correctamente … Luego podrán jugar con su propio juego o intercambiarlo con los otros grupos. También se puede fijar un límite temporal para realizar cada una de las pruebas de las casillas.

8. (305 – 225) : 4 5 20 Cada vagón tiene 20 plazas. 9. (150 2 17) 3 10 – 300 5 5 1.030 € ganó en la venta. 10. José; 225 puntos más. 11. 603 – 150 3 4 5 3 € pagó. 12. 14 : 5 ▶ c 5 2; r 5 4 7 1 3 5 10 barcas. 13. 50 3 4 1 2 3 20 – 40 5 200 200 : 2 5 100 Le dieron 100 monedas. 14. (520 1 780) : 2 5 650 650 3 8 5 5.200 Llenan 5.200 botellas.

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53

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2

E


Programación Objetivos • • • • • • • •

Escribir productos de factores iguales en forma de potencia. Reconocer la base y el exponente de una potencia. Leer, escribir y calcular potencias. Conocer y calcular el valor de las potencias de base 10. Desarrollar la expresión polinómica de un número. Escribir números a partir de su expresión polinómica. Calcular raíces cuadradas sencillas. Aplicar el cálculo de potencias y raíces cuadradas a la resolución de problemas. • Buscar datos en varios gráficos para resolver un problema.

Criterios de evaluación • Escribe productos de factores iguales en forma de potencia. • • • •

Reconoce la base y el exponente de una potencia. Lee, escribe y calcula potencias. Conoce y calcula el valor de las potencias de base 10. Desarrolla la expresión polinómica de un número y escribe números a partir de la misma. • Calcula raíces cuadradas. • Resuelve problemas aplicando el cálculo de potencias y raíces cuadradas. • Busca datos en varios gráficos para resolver problemas.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Aprender a aprender, Competencia lingüística, Autonomía e iniciativa personal, Tratamiento de la información, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística y Competencia social y ciudadana.

Contenidos • Escritura de productos de factores iguales en forma de potencia. • Reconocimiento de la base y el exponente de una potencia.

R

• Lectura, escritura y cálculo de potencias. • Desarrollo de la expresión polinómica de un número.

• • • •

• Escritura de números a partir de su expresión polinómica.

E

• Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

•

•

• Resolución de problemas aplicando potencias y raíces cuadradas. • Búsqueda de datos en varios gráficos para resolver problemas.

• Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en situaciones cotidianas. • Interés por resolver las actividades de forma clara y ordenada.

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Esquema de la unidad UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Potencias

Potencias de base 10

Expresión polinómica de un número

Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Raíz cuadrada




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reconocer lo que se ha aprendido: actividad 2, pág. 26. • Releer y explicar procedimientos: actividad 6, pág. 29.

Previsión de dificultades • A la hora de trabajar con potencias, los alumnos a veces cometen errores como multiplicar la base por el exponente o confundir el cuadrado y el cubo de un número con su doble o su triple. Para evitarlos insista en la relación entre productos de factores iguales y sus correspondientes potencias. • También puede resultar complejo el trabajo con la expresión polinómica de un número, sobre todo si no se han entendido bien las potencias de base 10 y su cálculo. Fundamente bien ese cálculo y recuerde la descomposición de un número. • Finalmente, la comprensión del concepto de raíz cuadrada también puede plantear dificultades. Insista en la relación entre el cuadrado de un número y la raíz cuadrada, trabajando ambos de manera simultánea.


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2


RE

P

Objetivos • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Silvia envía este mensaje a 3 personas en 1 minuto:

• Mostrar situaciones donde aparezcan productos de factores iguales.

C

Reunión en el parque del barrio para pedir un centro cultural. ¡Pásalo a 3 amigos!

¿

Sugerencias didácticas • Dialogue con sus alumnos sobre la situación real propuesta. Comente cómo van surgiendo productos con todos sus factores iguales. Pregúnteles qué producto expresaría el número de personas al cabo de 10 minutos.

Cada persona que recibe el mensaje lo reenvía a otras 3 personas distintas en 1 minuto. ¡Fíjate a cuántas personas llega el mensaje!

• En Recuerda lo que sabes compruebe que los alumnos conocen los términos de una multiplicación. Señale que sería muy interesante tener una forma de expresar los productos de factores iguales de manera abreviada.

Competencias básicas Aprender a aprender Recuerde a sus alumnos cómo una vez más, las destrezas y conocimientos adquiridos previamente (productos, factores…) nos van a permitir aprender en esta unidad operaciones que hasta el momento desconocíamos, pero que se basan en las ya estudiadas. Competencia lingüística Señale la impor tancia de una correcta expresión lingüística al construir y comunicar conocimientos, y la necesidad de usar los términos del lenguaje matemático con corrección. Autonomía e iniciativa personal Anime a sus alumnos a tener iniciativa y emplear su creatividad a la hora de resolver situaciones de la vida cotidiana como la que se muestra en la página.

2.

●

Calcula cuántas personas reciben el mensaje cada minuto. 1.er minuto ▼ 3

2.º minuto ▼ 3335…

3.er minuto ▼ 333335…

4.º minuto ▼ …

5.º minuto ▼ …

●

Calcula cuántas personas conocen el mensaje al cabo de 5 minutos.

●

Piensa y opina. ¿Te parece que Silvia consiguió trasmitir el mensaje a muchas personas en poco tiempo? ¿Se te ocurre otra forma de hacerlo?

18

Otras formas de empezar • Anime a sus alumnos a que piensen situaciones similares a la propuesta en la página inicial en las que sea necesaria la multiplicación de un factor por sí mismo varias veces. • Pida a los alumnos que aporten ideas para expresar de manera abreviada productos de factores iguales. Deberán también añadir las ventajas e inconvenientes del sistema de expresión que cada uno proponga.

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1.

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UNIDAD

Producto de factores iguales

Soluciones

factores producto

factores

8 3 8 5 64

producto

Página inicial

8 3 8 3 8 5 512 64

• 2.º minuto 5 9 personas. 3.er minuto 5 27 personas. 4.º minuto 5 3 3 3 3 3 3 3 5 5 81 personas. 5.º minuto 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 243 personas.

Cuadrados y cubos ¿Cuántos cuadrados hay?

¿Cuántos cubos hay?

33359 3

2

3 3 3 3 3 5 27

3

Hay 9 cuadrados.

3

• 1 1 3 1 9 1 27 1 81 1 243 5 5 364 Lo conocen 364 personas.

Hay 27 cubos.

3

• R. L.

3

as

Recuerda lo que sabes 1. Completa la tabla. Producto

1. Resultado

Factor que se repite

232 23232

Veces que se repite

●

A escribir productos de factores iguales en forma de potencia.

●

A leer, escribir y calcular el valor de una potencia.

636 10 3 10 3 10 10 3 10 3 10 3 10 ●

2. Calcula cuántos cuadrados o cubos hay. …3…5…

●

… cuadrados

●

…3…3…5… … cubos

Factor que se repite

Veces que se repite

4

2

2

8

2

3

16

2

4

36

6

2

216

6

3

1.000

10

3

10.000

10

4

VAS A APRENDER

2323232 63636

Resultado

A escribir e interpretar la expresión polinómica de un número. A calcular la raíz cuadrada del cuadrado de un número hasta el 10.

2. 5 7 4 5

A resolver problemas calculando una potencia o una raíz cuadrada exacta.

3 3 3 3

55 75 43 53

25 cuadrados. 49 cuadrados. 4 5 64 cubos. 5 5 125 cubos.

19

Vocabulario de la unidad • Potencia • Base y exponente • Cuadrado y cubo • Potencias de base 10 • Expresión polinómica • Raíz cuadrada

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Potencias Objetivos

Andrés está envasando los dulces. En cada bandeja pone 3 filas de 3 dulces cada una. En cada caja pone 3 bandejas y después hace paquetes de 3 cajas. ¿Cuántos dulces habrá en cada paquete?

• Escribir productos de factores iguales en forma de potencia. • Reconocer la base y el exponente de una potencia.

Número de dulces en cada bandeja Número de dulces en cada caja Número de dulces en cada paquete

• Leer, escribir y calcular potencias.

3 3 3 5 32

Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede ser expresada de dos formas diferentes (como producto de factores iguales y en forma de potencia). Señale la importancia de manejar ambas formas y de saber pasar de una a otra.

Exponente: número de veces que se repite el factor. Base: factor que se repite.

3 3 3 3 3 5 33

6.

3 3 3 3 3 3 3 5 34

Las potencias anteriores se leen así: 32 ▶ 3 al cuadrado o 3 elevado a 2.

33 ▶ 3 al cubo o 3 elevado a 3.

34

▶

3 a la cuarta o 3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales.

7.

El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

1. Escribe cada producto en forma de potencia y contesta. 636

43434

7373737

23232323232

939

83838

333333333

5353535353535

●

¿Cuál es la base de la potencia? ¿Y el exponente?

●

¿Cómo se lee la potencia?

CÁ

Cal

2. Escribe en forma de producto y calcula su valor. ▶ Ejemplo: 8 5 8 3 8 3 8 3 8 5 4.096 4

Para reforzar


5.

Potencia

• Muestre cómo para la situación planteada tenemos que hallar sucesivos productos de un mismo factor.

• Pida a dos alumnos que digan dos números del 1 al 10. Otro alumno saldrá y escribirá la potencia formada con esos dos números (el primero será la base) y su expresión como producto de factores iguales. Después, dirá como se lee.

▶

33359 3 3 3 3 3 5 27 3 3 3 3 3 3 3 5 81

Fíjate: los productos anteriores tienen todos los factores iguales. Estos productos se pueden escribir en forma de potencia. Las potencias están formadas por una base y un exponente.

Para explicar

• Trabaje la lectura y escritura de potencias haciendo hincapié en el caso especial de cuadrados y cubos. Muestre su relación con los términos geométricos del mismo nombre.

▶ ▶

4.

En cada paquete habrá 81 dulces.


• Caracterice las potencias como una forma de expresar productos de factores iguales. Muestre la importancia de no confundir la base y el exponente (a la hora de expresar los productos como potencias) y de calcular correctamente el valor de la potencia (no multiplicar base por exponente).

3.

●

42

●

2

7

●

53

●

3

9

●

64

●

36

●

5

●

17

2

20

Otras actividades • Prepare tarjetas numeradas del 1 al 10, dos tarjetas con cada número. Extraiga dos de ellas y levántelas, una en cada mano. Los alumnos deberán escribir la potencia correspondiente (tomando como base el número de la mano que usted indique), su expresión en forma de producto, su lectura y su valor numérico. • Escriba en la pizarra los cuadrados de los números 1, 11, 111 y 1.111 ▶ 12 5 1; 112 5 121; 1112 5 12.321; 1.1112 5 1.234.321. Posteriormente, pida a sus alumnos que intenten descubrir la regla que siguen los cuadrados de esta serie de números, y que a continuación, sin realizar ningún tipo de operación, escriban en sus cuadernos los cuadrados de los números 11.111, 111.111 y 1.111.111.

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2 3. Escribe la potencia con cifras y calcula su valor. ●

Ocho al cuadrado

●

Siete al cubo

▶

▶

82 5 …

…

UNIDAD ●

Cinco a la cuarta

▶

…

●

Diez elevado a 5

▶

…

Soluciones

4. Escribe en forma de potencia y calcula. ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura?

¿Cuántos cubos tiene cada figura?

5. Calcula el valor del cuadrado y el cubo de los números hasta el 10. Cuadrados

12

22

32

42

52

62

72

82

92

102

Cubos

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

En una juguetería hay 6 cajas. En cada caja hay 6 bolsas, con 6 marionetas en cada bolsa. ¿Cuántas marionetas hay en total en la juguetería?

●

En una pastelería hay 2 mostradores con 2 bandejas en cada mostrador. En cada bandeja hay 2 bizcochos, partidos en 2 trozos cada uno. Cada trozo de bizcocho tiene 2 fresas. ¿Cuántas fresas hay en total?

●

De un almacén han salido 4 furgonetas, con 4 percheros cada una. Cada perchero tiene 4 perchas y en cada percha hay 4 pantalones. ¿Cuántos pantalones han salido en total del almacén?

42 5 4 3 4 5 16 72 5 7 3 7 5 49 53 5 5 3 5 3 5 5 125 93 5 9 3 9 3 9 5 729 64 5 6 3 6 3 6 3 6 5 1.296 • 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 • 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 729 • 17 5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 313151

7. Piensa y contesta. ●

¿Es lo mismo 25 que 52?

●

¿Cuál es el valor de una potencia de base 1? ¿Y de una potencia de base 0?

●

¿Cuál es el valor de una potencia cuyo exponente es 1?

3. • • • •

51 ▶ el 5 una vez 51 5 5

35

Calcula operaciones combinadas sin paréntesis

1

7

2 1 3 3 5 5 2 1 15 5 17

92234

80 1 9 : 3

40 : 20 3 7

82125

4 3 20 2 30

70 2 3 3 20

334:6

70 2 30 2 5

80 1 10 2 50

21

Otras actividades • Escriba en la pizarra expresiones numéricas similares a las propuestas y pida a los alumnos que relacionen en su cuaderno los correspondientes términos de las diferentes columnas: 313

32

12

43434

433

64

5151515

534

625

41414

4

5353535

332

333

5 5 3 3

82 5 64 73 5 343 54 5 625 105 5 100.000

4. • 32 5 9; 62 5 36 • 23 5 8; 33 5 27

CÁLCULO MENTAL

36

1. 62, 92, 43, 83, 74, 35, 26, 57. • Bases: 6, 9, 4, 8, 7, 3, 2 y 5. • Exponentes: 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 y 7. • Lecturas: 6 al cuadrado, 9 al cuadrado, 4 al cubo, 8 al cubo, 7 a la cuarta, 3 a la quinta, 2 a la sexta y 5 a la séptima. 2. • • • • •

6. Escribe la operación en forma de potencia y resuelve. ●

2

5

3

4

6

5. Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 y 1.000. 6. • 63 5 216. Hay 216 marionetas en total. • 25 5 32. Hay 32 fresas en total. • 44 5 256. Han salido 256 pantalones en total. 7. • No es lo mismo, porque 25 es igual a 32 y 52 es igual a 25. • Toda potencia de base 1 es igual a 1. Toda potencia de base 0 es igual a 0. • El valor es el número de la base.

9 20

Compruebe posteriormente que ha quedado claro el concepto de potencia y su cálculo.


83 50 35

14 10 40

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Potencias de base 10 Objetivos

E

Paloma ha calculado varias potencias de base 10.

• Reconocer y calcular potencias de base 10.

101 5 10 102 5 10 3 10 = 100

• Hallar la expresión polinómica de un número.

103 5 10 3 10 3 10 5 1.000 104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

¡El exponente coincide con el número de ceros!

• Escribir números a partir de su expresión polinómica.

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Sugerencias didácticas Para explicar • Deje clara en las potencias de base 10 la relación entre exponente y número de ceros que siguen a la unidad. Señale sus aplicaciones para expresar grandes cantidades y para obtener la expresión polinómica de un número. Muestre la relación entre la descomposición como suma, que ya conocían, y la expresión polinómica. • Pida a los alumnos la elaboración de un esquema con lo aprendido sobre las potencias, siguiendo las pautas de la página 21 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

102

104

3. • 8 3 101; 6 3 102; 2 3 103; 9 3 104; 4 3 105; 3 3 106 • 64 3 101; 27 3 102; 91 3 103; 392 3 103; 458 3 104; 563 3 105 4. 10.814 3 10.000 5 5 10.814 3 104 1.495 3 100.000 5 5 1.495 3 105 2.279 3 100.000 5 5 2.279 3 105 7.783 3 100.000 5 5 7.783 3 105

101

¿Cuál es el exponente de la potencia?

●

¿Cuántos ceros tienes que escribir tras el 1?

103

106

2. Escribe cada número como una potencia de base 10.

2.

1.000

100.000

10

10.000.000

1.000.000

100

10.000

100.000.000

3. Escribe cada número utilizando una potencia de base 10. ▶ Ejemplo: 7.000 5 7 3 1.000 5 7 3 103

▶ Ejemplo: 5.300 5 53 3 100 5 53 3 102

80

90.000

640

392.000

600

400.000

2.700

4.580.000

2.000

3.000.000

91.000

56.300.000

3.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla escribiendo la distancia media de cada planeta al Sol utilizando potencias de base 10. Planeta

Soluciones pág. 22

2. 103 105 101 107 106 102 104 108

105

●

Mercurio

1. • Exponentes: 2, 4, 5, 1, 3 y 6. • Tantos ceros como indica el exponente. 100, 10.000, 100.000, 10, 1.000 y 1.000.000.

1.

1. Observa cada potencia y responde. Después, escribe su valor.

Distancia media al Sol en kilómetros 57.870.000

Venus

108.140.000

Tierra

149.500.000

Marte

227.900.000

Júpiter

778.300.000

Distancia utilizando potencias de base 10 5.787 3 10.000 5 5.787 3 104

22

Otras actividades • Explique a los alumnos que en ocasiones es muy útil expresar cantidades mediante potencias de base 10. Proporcióneles ejemplos como la masa de la luna (7 3 1022 kg), el número de estrellas de la Vía Láctea (2 3 1011), la edad del sol (5 3 109 años), la superficie aproximada de los océanos (4 3 1014 m2), los glóbulos rojos en 1 litro de sangre (5 3 1012)... Puede ser interesante pedirles que expresen algunos de ellos con todas sus cifras para que aprecien mejor la utilidad de las potencias en estos casos.

22 124603 _ 0054-0067.indd 60

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2

2

Expresión polinómica de un número

UNIDAD

Soluciones pág. 23

Miguel ha escrito el número 34.285 utilizando potencias de base 10.

Esta forma de escribirlo se llama expresión polinómica del número 34.285. 34.285 5

1

30.000

4.000

▼

1

▼

1

200 ▼

5 2 8 3 4 .

15

80 ▼

▼

34.285 5 3 3 10.000 1 4 3 1.000 1 2 3 100 1 8 3 10 1 5 ▼

▼

34.285 5 3 3 104

▼

▼

▼

1 4 3 103 1 2 3 102 1 8 3 10 1 5

1. Descompón cada número y escribe su expresión polinómica. ▶ Ejemplo: 7.406 5 7.000 1 400 1 6 5 7 3 103 1 4 3 102 1 6 ●

564

●

60.342

●

3.090.800

●

3.798

●

89.071

●

70.250.230

●

8.250

●

209.506

●

901.600.000

2. Escribe cada número. ●

6 3 105 1 2 3 104 1 9 3 102 1 3 3 10 1 7 ▼

▼

600.000 1

▼

1

…

●

5 3 103 1 7 3 102 1 8

●

▼

1

…

…

▼

1…5… ●

7 3 106 1 8 3 105 1 3 3 102 1 9

3 3 10 1 2 3 10 1 6 3 10

●

3 3 107 1 7 3 106 1 105 1 9 3 103

●

4 3 10 1 9 3 10 1 10

●

4 3 108 1 8 3 107 1 7 3 106 1 3 3 104

●

2 3 106 1 5 3 104 1 8 3 103 1 4

●

2 3 108 1 107 1 5 3 105 1 9 3 103

4

3

5

4

2

2

3. RAZONAMIENTO. Responde sin calcular: ¿cuál de los dos números de cada pareja es mayor? ¿Por qué? 6 3 104

4 3 106

3 3 105

●

9 3 103

2

15 3 103

103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 8

Ahora escribe los números, compáralos y comprueba tus respuestas.

23

Otras actividades • Prepare tarjetas numeradas del 0 al 9, y otras de distinto color en las que aparezcan las potencias 101, 102, 103... hasta 109. Extraiga varias tarjetas numeradas y anote en la pizarra los números en el orden en que han salido. Saque después la misma cantidad de tarjetas con las potencias de base 10 y pida a los alumnos que escriban la expresión polinómica correspondiente. Después indíqueles que escriban el número asociado. • También puede realizar la actividad inversa, es decir, sacar tarjetas numeradas y que los alumnos escriban la descomposición polinómica del número formado por las tarjetas.

1. • 564 5 500 1 60 1 4 5 5 5 3 102 1 6 3 101 1 4 • 3.798 5 3.000 1 700 1 1 90 1 8 5 3 3 103 1 1 7 3 102 1 9 3 101 1 8 • 8.250 5 8.000 1 200 1 1 50 5 8 3 103 1 1 2 3 102 1 5 3 101 • 60.342 5 60.000 1 300 1 1 40 1 2 5 6 3 104 1 1 3 3 102 1 4 3 101 1 2 • 89.071 5 80.000 1 9.000 1 1 70 1 1 5 8 3 104 1 1 9 3 103 1 7 3 101 1 1 • 209.506 5 200.000 1 1 9.000 1 500 1 6 5 1 2 3 105 1 9 3 103 1 1 5 3 102 1 6 • 3.090.800 5 3.000.000 1 1 90.000 1 800 5 5 3 3 106 1 9 3 104 1 1 8 3 102 • 70.250.230 5 70.000.000 1 1 200.000 1 50.000 1 1 200 1 30 5 7 3 107 1 1 2 3 105 1 5 3 104 1 1 2 3 102 1 3 3 101 • 901.600.000 5 5 900.000.000 1 1 1.000.000 1 600.000 5 5 9 3 108 1 1 3 106 1 1 6 3 105 2. • • • • • • • •

5.708 32.600 490.100 2.058.004 7.800.309 37.109.000 487.030.000 210.509.000

3. Será mayor el número que tenga mayor exponente en la potencia de base 10 y si tienen el mismo exponente el que tenga mayor el número que multiplica a la potencia. • 60.000 , 4.000.000 • 9.000 , 15.000 • 300.000 . 1.278

23 124603 _ 0054-0067.indd 61

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Raíz cuadrada Objetivos

Alberto y Raquel han hecho un tablero para jugar a tres en raya. Han dividido un cuadrado en 9 casillas iguales. ¿Cuántas casillas tiene cada lado?

• Relacionar cuadrado y raíz cuadrada de un número.

Como el cuadrado tiene el mismo número de casillas en cada lado, han buscado el número que multiplicado por sí mismo da 9, es decir, el número cuyo cuadrado es 9.

• Calcular raíces cuadradas sencillas.

Este número se llama raíz cuadrada de 9 y se escribe Ï9.

• Resolver problemas aplicando el cálculo de cuadrados o raíces cuadradas.

13151 51 2 3 2 5 22 5 4


Competencias básicas Interacción con el mundo físico Muestre a sus alumnos cómo, una vez más, los cálculos matemáticos nos permiten la comprensión de la realidad. Señale la importancia de contar con instrumentos que nos permitan resolver problemas del mundo real.

▶

Ï9 = 3

La raíz cuadrada de 9 es 3.

Para empezar • Recuerde el cálculo del cuadrado de un número y su expresión en forma de potencia. Comente que van a aprender una operación inversa a calcular el cuadrado de un número.

Para reforzar • Pida a varios alumnos que salgan a la pizarra y calculen el cuadrado de varios números. Después, obtenga en común la raíz de los cuadrados obtenidos dejando clara la relación entre la raíz y el cuadrado. Pídales que la verbalicen: «La raíz de … es … porque el cuadrado de … es …».

5.

2

3 3 3 5 32 5 9

Para explicar • Comente con sus alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cuadrada como la operación inversa a hallar el cuadrado y muestre que la raíz es siempre menor que el número, mientras que el cuadrado no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta, sólo aquellos que se obtienen al calcular el cuadrado de los números naturales.

4.

El cuadrado tiene 9 casillas. Cada lado tiene 3 casillas.

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

6.

1. Observa y completa para cada cuadrado. ●

Cada lado tiene … casillas. En total hay … casillas. ▼

●

El cuadrado de … es … La raíz cuadrada de … es … …2 5 …

▶

Ï… 5 …

2. Calcula los cuadrados y completa las raíces. 52 5 … 9 5… 2

▶

Ï25 5 …

72 5 …

▶

Ï… 5 …

10 5 … 2

▶ ▶

Ï… 5 …

82 5 …

Ï… 5 …

11 5 …

▶

2

▶

Ï… 5 … Ï… 5 …

Ca

3. Calcula y explica por qué. Ï16 5 … porque 42 es 16.

Ï36 5 … porque … es …





24

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Pídales que preparen 20 tarjetas iguales y que rotulen en ellas estos números (uno en cada tarjeta): 32, 25, 4, 3, √25, 7, 9, 64, 72, 16, 8, √16, 42,√9, 5, √64, 49, 82, 52 y √49. Tras mezclar las tarjetas y colocarlas en un montón, uno de los alumnos de la pareja sacará dos tarjetas al azar; si representan el mismo número se quedará con ellas, y si no, las mezclará otra vez en el montón, pasando el turno al otro jugador. La partida finalizará cuando ya no queden tarjetas.

24 124603 _ 0054-0067.indd 62

CÁ

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2 4. Resuelve.

UNIDAD

●

Ana está haciendo un mosaico cuadrado con 25 azulejos cuadrados iguales. ¿Cuántos azulejos pondrá en cada lado del mosaico?

●

Roberto tiene una caja con 16 bombones, colocados formando un cuadrado. ¿Cuántas filas de bombones hay? ¿Y cuántos bombones tiene cada fila?

●

Cristina y Sergio juegan a los barcos dibujando en una hoja cuadriculada un cuadrado de 49 casillas. ¿Cuántas casillas tiene cada lado del cuadrado?

●

Los tableros de ajedrez son cuadrados y tienen 64 casillas iguales. ¿Cuántas casillas hay en cada fila? ¿Y en cada columna?

Soluciones 1. • Cada lado tiene 2 casillas. En total hay 4 casillas. • El cuadrado de 2 es 4. La raíz cuadrada de 4 es 2. 22 5 4; √4 5 2 • Cada lado tiene 4 casillas. En total hay 16 casillas. • El cuadrado de 4 es 16. La raíz cuadrada de 16 es 4. 42 5 16; √16 5 4 • Cada lado tiene 6 casillas. En total hay 36 casillas. • El cuadrado de 6 es 36. La raíz cuadrada de 36 es 6. 62 5 36; √36 5 6

5. La raíz cuadrada de los siguientes números no es exacta. Calcula entre qué dos números consecutivos está.

HAZLO ASÍ

Ï30

▶

No hay ningún número que elevado al cuadrado sea 30. 52 5 25 ; 25 , 30 62 5 36 ; 36 . 30

52 , 30 , 62

La raíz cuadrada de 30 es mayor que 5 y menor que 6. 5 , Ï30 , 6

… , Ï10 , …

… , Ï24 , …

… , Ï45 , …

… , Ï50 , …

… , Ï75 , …

… , Ï90 , …

2. 52 5 25 ▶ √25 5 5 92 5 81 ▶ √81 5 9 72 5 49 ▶ √49 5 7 102 5 100 ▶ √100 5 10 82 5 64 ▶ √64 5 8 112 5 121 ▶ √121 5 11

6. Piensa si tienes que calcular el cuadrado o la raíz cuadrada y contesta. Paula y Antonio tienen que enlosar dos patios con baldosas cuadradas. Los dos patios son cuadrados. ●

Paula pone 9 baldosas en cada lado del patio. ¿Cuántas baldosas necesita para cubrir todo el suelo?

●

Antonio pone en total 36 baldosas. ¿Cuántas baldosas ha puesto en cada fila? ¿Cuántas filas ha hecho?

3.

CÁLCULO MENTAL Calcula operaciones combinadas con paréntesis

9 2 2 3 (3 1 1) 5 9 2 2 3 4 5 9 2 8 5 1

2

9 3 (2 1 5)

(30 1 50) : 10

7 2 (6 2 4)

2 3 (40 2 20)

(8 2 2) 3 9

70 : (60 2 50)

25

Otras actividades • Escriba en la pizarra los números del 1 al 10 y debajo sus cuadrados (12, 22, 32, …, 92, 102). Pida a un alumno que diga un número del 1 al 100. Uno de sus compañeros deberá decir si tiene raíz cuadrada exacta o no. Después, otro dirá el valor de la raíz cuadrada de ese número (si es exacta, qué número es, y si es entera, entre qué dos números está comprendida). Vaya escribiendo en la pizarra las distintas raíces y muestre cómo entre cada dos cuadrados podemos encontrar las raíces de varios números.

√16 5 4 porque 42 5 16 √1 5 1 porque 12 5 1 √64 5 8 porque 82 5 64 √36 5 6 porque 62 5 36 √49 5 7 porque 72 5 49 √100 5 10 porque 102 5 100

4. •

√25 5 5. Pondrá 5 azulejos

en cada lado. • √16 5 4. Hay 4 filas de bombones y 4 bombones en cada fila. • √49 5 7. Tiene 7 casillas cada lado del cuadrado. • √64 5 8. Hay 8 casillas en cada fila y en cada columna. 5. 3 , √10 , 4 7 , √50 , 8 4 , √24 , 5

8 , √75 , 91 6 , √45 , 71 9 , √90 , 10

6. • 92 5 81. Necesita 81 baldosas. • √36 5 6. Ha puesto 6 baldosas en cada una de las 6 filas.


8 40 7

25 124603 _ 0054-0067.indd

63

9/7/09

12:39:21

Actividades 1. Copia y relaciona.

Objetivos

23232 333

94; 9 elevado a 4. 36; 3 elevado a 6. 102; 10 al cuadrado. 65; 6 elevado a 5. 83; 8 al cubo. 47; 4 elevado a 7. 58; 5 elevado a 8.

4. 121, 729, 216, 1, 128, 10.000, 1.024, 100.000.000 5. • • • • • • •

92 5 81 83 5 512 26 5 64 35 5 243 54 5 625 18 5 1 107 5 10.000.000

6. • 103, 104, 107, 108 • 102, 103, 105, 106 • 7 3 102, 5 3 105, 4 3 106 68 3 103, 3.405 3 102, 912 3 104

8

2

1.000 10.000

10.000.000 100.000.000

●

Cien Mil

Cien mil Un millón

●

700 500.000 4.000.000

68.000 340.500 9.120.000

9

ESTUDIO EFICAZ. Contesta y pon un ●

¿Qué es una potencia?

●

¿Qué indica la base de una potencia? ¿Y el exponente?

●

7. Escribe la expresión polinómica de cada número.

¿Cómo se llaman las potencias cuyo exponente es 2? ¿Y las potencias cuyo exponente es 3?

13

●

4.385

●

3.051.400

●

72.930

●

60.209.000

290.601

●

854.007.003

●

8. Escribe el número.

3. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

Soluciones

3. • • • • • • •

233

●

ejemplo.


2. • Una potencia es un producto de factores iguales. • La base de una potencia indica el factor que se repite, y el exponente el número de veces que se repite. • Si el exponente es 2, se llaman cuadrados, y si es 3, cubos.

6

313

2.

1. 2 1 2 1 2 5 2 3 3 5 6 2 3 2 3 2 5 23 5 8 3 3 3 5 32 5 9 313523356

32

3

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

12

una potencia de base 10.

21212

• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Competencia cultural y artística A la hora de realizar representaciones gráficas de cuadrados y cubos, muestre la importancia de llevarlas a cabo correctamente.

6. Expresa cada número utilizando

●

5 3 104 1 2 3 103 1 7 3 102 1 10 1 6

●

9393939

●

3 3 105 1 9 3 104 1 8 3 102 1 5 3 10

●

33333333333

●

4 3 106 1 105 1 6 3 103 1 9 3 102

●

10 3 10

●

10 1 2 3 10 1 5 3 10 1 2 3 10

●

636363636

●

83838

●

4343434343434

●

535353535353535

8

7

6

5

9. Observa cada dibujo y completa.

4. Calcula. ●

112

●

6

3

●

63

●

9

● ●

1

27 4

10

●

45

●

108

5. Escribe la potencia y calcula. ●

Nueve al cuadrado

●

Ocho al cubo

●

Dos a la sexta

●

Tres a la quinta

●

Cinco elevado a 4

● ●

●

El cuadrado de … es …

●

La raíz cuadrada de … es …

10. Calcula y explica por qué. ● ●

Ï9 Ï49

● ●

Ï64 Ï81

● ●

Ï1 Ï4

● ●

Ï25 Ï100

11. Calcula entre qué dos números está la raíz cuadrada de cada número.

Uno elevado a 8

●

… , Ï12 , …

●

… , Ï56 , …

Diez elevado a 7

●

… , Ï30 , …

●

… , Ï70 , …

26

Otras actividades • Proponga actividades en las que se trabajen simultáneamente las potencias, las raíces y la comparación de números. Pueden ser similares a las siguientes. 93 ◯ 84 23 ◯

√36

105 ◯ 103 103 1 3 3 1021 8 3 10 ◯ 104

• Pida a los alumnos que completen los huecos en las siguientes desigualdades. 3□ , 23

42 . 4□

√□ , 2

26 124603 _ 0054-0067.indd 64

6/7/09 16:41:46

ER

2 UNIDAD

12. Escribe 4 términos más de cada serie.

14. Resuelve.

Después, escribe cada término en forma de potencia. ●

●

Ester se ha inventado una sopa de letras con 9 filas de 9 letras cada una. ¿Cuántas letras ha escrito en total Ester?

●

En el despacho de un cerrajero hay un armario que tiene 7 filas con 7 llaveros en cada fila. Cada llavero tiene 7 llaves. ¿Cuántas llaves hay en el armario?

●

Un edificio tiene 4 pisos. En cada piso hay 4 casas, con 4 ventanas a la calle en cada una. Cada ventana tiene 4 macetas con 4 flores cada una. ¿Cuántas flores hay en total en las ventanas del edificio?

●

Elsa ha hecho un rompecabezas de 36 piezas, formando un cuadrado. ¿Cuántas piezas ha colocado Elsa en cada lado del cuadrado?

Multiplica por 2 cada vez: 2, 4,

8, …, …, …

▼

▼

▼

▼

▼

▼

21, 22, …, …, …, … ●

Multiplica por 5 cada vez: 5, 25, …, …, …, … ▼

▼

▼

▼

▼

▼

51, 52, …, …, …, …

13. Piensa y contesta. Pablo tiene 8 dados iguales. Quiere formar con ellos un cuadrado o un cubo, de manera que no le sobren ni le falten dados. ¿Puede formar un cuadrado? ¿Y un cubo?

16

Elegir una caja

ERES CAPAZ DE…

Y yo, 25.

Cajas cuadradas para minerales Hay 3 tamaños: – Pequeña: 4 huecos en cada lado. – Mediana: 5 huecos en cada lado.

Alex

…

– Grande: 6 huecos en cada lado.

Santi

●

¿Quiénes pueden comprar una caja y llenarla sin que les sobre ningún mineral? ¿Qué caja comprará cada uno de ellos?

●

¿Qué caja comprará Inés? ¿Cuántos huecos vacíos le quedarán?

●

Si tú tuvieras 32 minerales, ¿qué caja comprarías? ¿Cuántos minerales más podrías guardar en ella?

0

z

Inés

• 4 3 103 1 3 3 102 1 1 8 3 101 1 5 • 7 3 104 1 2 3 103 1 1 9 3 102 1 3 3 101 • 2 3 105 1 9 3 104 1 1 6 3 102 1 1 • 3 3 106 1 5 3 104 1 1 1 3 103 1 4 3 102 • 6 3 107 1 2 3 105 1 1 9 3 103 • 8 3 108 1 5 3 107 1 1 4 3 106 1 7 3 103 1 3

9. • El cuadrado de 6 es 36. • La raíz cuadrada de 16 es 4. 10. • • • • • • • •

Alex, Inés y Santi coleccionan minerales. Quieren comprar una caja para guardarlos. ¿Qué tamaño de caja elegirá cada uno? Yo tengo 20.

7.

8. • 52.716 • 4.106.900 • 390.850 • 125.200.000

10

Tengo 16 minerales.

2

11. • •

√9 5 3 porque 32 5 9 √49 5 7 porque 72 5 49 √64 5 8 porque 82 5 64 √81 5 9 porque 92 5 81 √1 5 1 porque 12 5 1 √4 5 2 porque 22 5 4 √25 5 5 porque 52 5 25 √100 5 10 porque 102 5

5 100

√12 ▶ 3 y 4 √56 ▶ 7 y 8 √30 ▶ 5 y 6 √70 ▶ 8 y 9

12. • 2, 4, 8, 16, 32, 64 21, 22, 23, 24, 25, 26 • 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625 51, 52, 53, 54, 55, 56

…

27

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, haga que sus alumnos reflexionen sobre lo que han aprendido. Complete con ellos o pídales que completen una tabla como esta:

13. No puede formar un cuadrado. Puede formar un cubo. 14. • 92 5 81. Ha escrito 81 letras. • 73 5 343. Hay 343 llaves. • 45 5 1.024. Hay 1.024 flores. • √36 5 6. Ha colocado 6 piezas.

Unidad 2 Potencias y raíz cuadrada Lo que he aprendido Potencias Potencias de base 10 Expresión polinómica Raíz cuadrada


Eres capaz de... • Alex y Santi pueden comprar una caja y llenarla. Alex comprará la pequeña y Santi la mediana. • Inés comprará la mediana. Le quedarán 5 huecos vacíos. • R. M. Compraría la grande. Podría guardar 4 minerales más.

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6/7/09 16:41:47

Solución de problemas Buscar datos en varios gráficos Objetivos • Buscar datos en varios gráficos para resolver problemas.


EJE

Busca los datos necesarios en los gráficos y resuelve.

1. El agua es un recurso muy escaso que debemos aprovechar. En el gráfico lineal se presenta la cantidad de agua en litros que ha consumido Miguel en un año. En el gráfico de barras aparecen los litros consumidos en algunas actividades cotidianas.

Para empezar • Recuerde a los alumnos los diferentes tipos de gráficos que podemos encontrarnos y cómo todos ellos nos ofrecen información útil a la hora de resolver problemas.

2.

CONSUMO POR TRIMESTRE

Litros de agua

60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0

1.er trim. 2.º trim. 3.er trim. 4.º trim.

3.

Para explicar • Resuelva conjuntamente en la pizarra el primer ejercicio, indicando en qué gráfico debemos buscar la información. Insista en que cada uno de ellos facilita informaciones diferentes.

▶ Litros en el segundo semestre: ...

a

ra

ch Du

Ba

Solución: Gastó ...

La

va

do

la jil va

ño

Diferencia de litros: ...

va

Competencia social y ciudadana Plantee a sus alumnos la necesidad que tenemos de ahorrar agua. Indique que entre todos debemos hacer un esfuerzo para que no se agoten los recursos de los que disponemos.

4.

Litros en el primer semestre: ...

La


1. ¿Cuántos litros de agua gastó Miguel en el segundo semestre del año más que en el primer semestre?

s

Litros de agua

CONSUMO POR ACTIVIDAD 240 210 180 150 120 90 60 30 0

5.

2. ¿Cuánto gastó Miguel cada mes suponiendo que todos los meses gastó los mismos litros de agua?

3. Durante una semana Miguel se duchó 5 veces y se bañó 2 veces. La semana siguiente se duchó 4 veces y se bañó 3 veces. ¿Qué semana gastó más agua? ¿Cuántos litros más?

4. En el segundo trimestre del año Miguel puso el lavavajillas 60 veces y la lavadora

6.

65 veces. ¿Cuántos litros de agua gastó en el resto de actividades?

5.

INVENTA. Escribe y resuelve un problema en el que uses algunos

de los datos de los gráficos.

Soluciones 1. 50.000 1 30.000 5 80.000 30.000 1 40.000 5 70.000 80.000 – 70.000 5 10.000 Gastó 10.000 ℓ mas. 2. (30.000 1 40.000 1 50.000 1 1 30.000) : 12 5 12.500 Gastó 12.500 ℓ. 3. 5 3 60 1 2 3 210 5 720 4 3 60 1 3 3 210 5 870 870 2 720 5 150 La segunda semana. Gastó 150 ℓ más. 4. 60 3 30 1 65 3 90 5 7.650 40.000 2 7.650 5 32.350 Gastó 32.350 ℓ.

28

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen noticias en periódicos o revistas en las que aparezcan tipos diferentes de gráficos y las traigan a la clase para plantear en común distintos problemas con informaciones extraídas de ellos. • Puede pedirles también que inventen una situación en la que aparezcan dos gráficos y planteen preguntas similares a las de la unidad. Por ejemplo: un gráfico lineal que se refiera a los gastos de alimentación de una casa en un año, y un gráfico de barras con cuatro o cinco grupos de alimentos y el dinero gastado en cada uno de ellos.

5. R. L.

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2

Repasa

UNIDAD

Soluciones

7. Calcula.

EJERCICIOS

1. Escribe el valor posicional de

●

6322714

●

7 2 (6 2 2) 2 1

las cifras 5 de cada número.

●

9 2 (2 1 1) 3 3

●

3143529

●

5.005.306

●

3.500.508

●

7332832

●

15 2 7 2 (2 3 3)

●

32.154.675

●

50.090.352

●

529:314

●

8 : (7 2 3) 2 1

●

527.885.030

●

556.368.297

PROBLEMAS

2. Escribe. ●

El mayor número de siete cifras cuya cifra 7 valga 7.000.000 U.

●

El menor número de ocho cifras cuya cifra 9 valga 90.000.000 U.

●

El mayor número de nueve cifras cuya cifra 4 valga 40.000.000 U.

8. Una furgoneta transporta 30 cajas de naranjas. En 8 de las cajas lleva 20 kg en cada una y en el resto lleva 25 kg en cada una. ¿Cuántos kilos de naranjas transporta la furgoneta?

2.019.704, 2.108.800, 2.020.101, 1.999.989, 2.200.006

●

35.300.000, 35.125.348, 35.125.900, 34.989.586, 36.086.187

4. Escribe. ●

El mayor número par de siete cifras.

●

El menor número impar de ocho cifras.

●

Un número de nueve cifras mayor que novecientos noventa millones doscientos treinta mil.

Su hermano Lucas tiene 2 años más que ella y su padre el triple que su hermano. ¿Cuántos años le lleva su padre a Marta?

10. En un colegio han comprado para el equipo

●

607.839 1 198.704

●

675 3 340

de fútbol 15 pantalones por 180 . Cada camiseta ha costado 3 más que un pantalón. ¿Cuánto ha costado el equipo de cada jugador?

●

385.126 1 43.089

●

521 3 609

11. María ha entregado para pagar una factura

●

675.203 2 176.889

●

2.368 : 27

●

502.093 2 50.209

●

26.752 : 128

5. Calcula.

6. ESTUDIO EFICAZ. Explica en qué orden hay que hacer las operaciones de estas expresiones. ●

4123321

●

5 3 2 2 (4 2 1)

7 billetes de 50 y 4 de 20 . Le han devuelto 3 monedas de 2 . ¿Cuál era el precio de la factura? 82 eran mujeres y el resto hombres. De los hombres, un tercio eran mayores de 65 años. ¿Cuántos hombres menores de 65 años fueron a la charla?

En cada uno de los cuatro murales deberán aparecer con claridad los conceptos y procedimientos estudiados con ejemplos que los ilustren, y alguna actividad propuesta y resuelta para exponer al resto de los compañeros. Cada grupo explicará a la clase uno de los cuatro murales, el que usted estime más pertinente. Aproveche para resolver posibles dudas o dificultades que se presenten.

4. • 1.000.000 • 99.999.999 • R.M. 990.240.000 5. • • • •

806.543 428.215 498.314 451.884

• • • •

229.500 317.289 c 5 87; r 5 19 c 5 209

6. • Multiplicación y después suma y resta. • Paréntesis, después multiplicación y resta.

8. 30 – 8 5 22 8 3 20 1 22 3 25 5 710 Transporta 710 kg de naranjas. 29

• Divida a los alumnos de su clase en grupos. Cada uno de ellos realizará un mural sobre los diferentes aspectos trabajados en la unidad: potencias, potencias de base 10, expresión polinómica de un número y raíz cuadrada.

2. • 7.999.999 • 90.000.000 • 499.999.999

7. • 9, 0, 5, 6 • 2, 14, 2, 1

12. De los 130 asistentes a una charla,

Repaso en común

1. 5.000.000 U y 5.000 U; 50.000 U y 5 U; 500.0000 U y 5.000 U; 500.000 U y 500 U; 50.000.000 U y 50 U; 500.000.000 U y 50.000.000 U.

3. • 1.999.989 , 2.019.704 , , 2.020.101 , 2.108.800 , , 2.200.006 • 34.989.586 , 35.125.348 , , 35.125.900 , 35.300.000 , 36.086.187

9. Marta cumple hoy los años.

3. Ordena de menor a mayor cada grupo. ●

2

9. Lucas: 14 años. Padre: 14 3 3 5 42 años. 42 – 12 5 30 El padre le lleva 30 años. 10. 180 : 15 5 12 12 1 3 5 15 12 1 15 5 27 El equipo ha costado 27 €. 11. 7 3 50 1 4 3 20 5 430 430 – 6 5 424 El precio era 424 €. 12. 130 – 82 5 48 48 : 3 = 16 48 – 16 = 32 Eran menores de 65 años 32 hombres en la charla.

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3

E

Números enteros

Programación Objetivos • Reconocer y utilizar los números enteros en situaciones cotidianas. • Identificar números en la recta entera. • Representar números en la recta entera. • Comparar y ordenar números enteros. • Identificar las coordenadas cartesianas de puntos. • Representar un punto a partir de sus coordenadas. • Resolver problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

Criterios de evaluación • Reconoce y utiliza los números enteros en situaciones cotidianas. • Identifica números en la recta entera. • Representa números en la recta entera. • Compara y ordena números enteros. • Identifica las coordenadas cartesianas de puntos.

Contenidos • Utilización de los números enteros en situaciones de la vida cotidiana. • Resolución de problemas con números enteros.

R

• Representación de números en la recta entera.

• • • •

• Comparación y ordenación de números enteros. • Identificación de las coordenadas de puntos en ejes cartesianos.

E

• Representación de puntos a partir de sus coordenadas cartesianas.

•

•

• Resolución de problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

• Representa un punto a partir de sus coordenadas. • Resuelve problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Aprender a aprender, Competencia cultural y artística, Autonomía e iniciativa personal, Competencia lingüística, Competencia social y ciudadana, Tratamiento de la información e Interacción con el mundo físico.

• Valoración de la utilidad de los números enteros en situaciones de la vida diaria. • Disposición favorable a la interpretación de información presentada de forma gráfica.

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Esquema de la unidad UNIDAD 3. NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros

Problemas con números enteros

La recta entera. Comparación de números enteros

Coordenadas cartesianas

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 11, pág. 41. • Reconocer lo que se ha aprendido: actividad 3, pág. 43.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos:

Sugerencia de temporalización Septiembre

• Comprender el concepto de número negativo. Plantee situaciones a los alumnos en las que vean la necesidad de utilizar otros números diferentes a los positivos.

Octubre

• Comparar números negativos. Realice ejercicios variados apoyándose en el uso de la recta entera lo que sea necesario hasta que los alumnos interioricen la situación de los enteros.

Enero

• Representar puntos a partir de sus coordenadas. Trabaje casos diferentes, prestando especial atención a los puntos con coordenadas negativas que suelen suscitar mayor dificultad.

Abril

Noviembre Diciembre

Febrero Marzo

Mayo Junio

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3

Números enteros

RE

R

Objetivos

●

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad. • Reconocer situaciones reales donde aparecen los números enteros.

●


C

• Comente la situación propuesta y el dibujo que aparece. Muestre como hay altitudes (por encima del cero o nivel del mar) y profundidades (por debajo de ese nivel). Señale que en la unidad van a aprender los números negativos y comente que podríamos expresar las profundidades como «altitudes negativas». • En Recuerda lo que sabes aproveche para comprobar si los alumnos representan correctamente los números naturales y decimales en la recta numérica. Trabaje también el reconocimiento de las coordenadas de un punto así como su representación. Haga hincapié en la importancia del orden, primero la coordenada horizontal y luego la coordenada vertical.

S e c l

1. Leire está haciendo un trabajo sobre dos animales: el yak y el calamar gigante.

6.000 m 5.000 m 4.000 m 3.000 m 2.000 m 1.000 m 0m

Uno de los datos que ha encontrado sobre estos animales es el lugar donde viven: nivel del mar 1.000 m 2.000 m

2.

– El yak habita en las montañas del Tíbet, a unos 5.000 metros de altitud. – El calamar gigante vive en el mar, a más de 1.000 metros de profundidad.

3. ●

Observa el esquema. Un animal que vive a 2.000 m de altitud, ¿vive por encima o por debajo del nivel del mar? ¿Y un animal que vive a 200 m de profundidad?

●

Localiza en el esquema dónde vive cada animal y contesta. – ¿Qué animal vive más cerca del nivel del mar, el yak o el calamar gigante? – La vicuña vive en las mesetas de Sudamérica entre los 3.000 m y 4.500 m de altitud. ¿Vive la vicuña más cerca o más lejos del nivel del mar que el yak?

4.

– El pez espada vive en mares tropicales entre los 200 m y 800 m de profundidad. ¿Vive el pez espada más cerca o más lejos del nivel del mar que el calamar gigante?


30

Aprender a aprender Indique a los alumnos que van a aprender un nuevo tipo de números, y que algunas cosas que ya sabían (representación en la recta, representación de puntos por sus coordenadas) les van a ser útiles ahora.

Competencia cultural y artística Señale la importancia de llevar a cabo, de forma cuidadosa y correcta, las representaciones gráficas en Matemáticas. Indique la conveniencia de respetar los espacios entre marcas y de colocar correctamente los puntos.

Otras formas de empezar • Plantee a los alumnos preguntas sobre situaciones en las que solemos utilizar números negativos (sin explicarles aún que son números enteros negativos). Por ejemplo: – Cuando estamos en un centro comercial: ¿cómo expresamos las plantas de aparcamiento? ¿Cómo se indican estas plantas en los botones del ascensor? – Cuando en invierno hace mucho frío, o la temperatura baja de los cero grados: ¿cómo expresamos dicha temperatura? ¿Cómo se indica en el termómetro?

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UNIDAD

Representación de números en la recta ●

Soluciones

Representación de números naturales. 2 0

●

3

10

15

10

15

5

28 20

30

25

Página inicial

41 40

35

• Por encima del nivel del mar. Por debajo del nivel del mar.

50

45

• El calamar gigante. La vicuña vive más cerca del nivel del mar que el yak. El pez espada vive más cerca del nivel del mar que el calamar gigante.

Representación de números decimales. 0,6 0

1,3 1

0,5

2,4 2

1,5

3,9 3

2,5

4,7

4

3,5

5

4,5

Coordenadas de un punto 5 4 3 2 1

Se escriben, separadas por una coma y entre paréntesis, primero la coordenada correspondiente al eje horizontal y luego la correspondiente al eje vertical.

A C B D

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

▶

(2, 4)

B

▶

(4, 2)

C

▶

(6, 3)

D

▶

(8, 1)

Recuerda lo que sabes 1. Verde: 1. Azul: 2,5. Rojo: 3,7. Morado: 5,3. Amarillo: 7.

1. Escribe los números representados en esta recta.

2. 0

2 ▶

▶

…

3

4 ▶

…

5 ▶

…

6

VAS A APRENDER ▶

…

…

A reconocer los números enteros positivos y negativos y a utilizarlos en situaciones cotidianas.

●

A resolver problemas sencillos con números enteros.

los siguientes números. A

▶

2

E

▶

5

I

▶

0,5

▶

O

3. Escribe las coordenadas

5 4 3 2 1 0

de cada punto. A C

▶ ▶

(…, …) (…, …)

B D

▶ ▶

(…, …) (…, …)

4,2

▶

U

6,8

A B C

▶

(1, 3)

(3, 1)

▶

A representar y comparar números enteros.

●

A identificar coordenadas y representar puntos en ejes cartesianos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

los siguientes puntos. ▶

●

D

4. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa (5, 4)

▶

0

●

2. Copia la recta de la actividad 1 y representa en ella

I

A 1

2

O 3

4

E 5

U 6

7

3. A (3, 4) B (8, 3) C (1, 2) D (5, 1) 4.

5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(7, 2)

31

Vocabulario de la unidad • Números enteros • Números negativos • Coordenadas cartesianas • Ejes cartesianos • Cuadrante

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Los números enteros Objetivos

Lucía vive en el segundo piso. Sube a su casa en ascensor.

• Conocer los números enteros positivos y negativos.

Fíjate con qué número está indicado cada piso en el panel del ascensor: – La planta baja donde está el portal está indicada con el número 0.

• Utilizar los números enteros en situaciones cotidianas.

Para reforzar • Pida a los alumnos que planteen otras preguntas propias similares a las actividades trabajadas en esta doble página y corríjalas en común. • Aproveche la estrategia de detectar las propias dificultades de la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ y pida a los alumnos que expresen en qué tienen más dificultades.

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Potencie en sus alumnos una actitud positiva ante los nuevos contenidos para así conseguir que se involucren de forma activa y que su aprendizaje sea significativo y su rendimiento mayor.

22

4.

– Debajo de la planta baja hay 2 plantas sótano, indicadas con los números 21 y 22. Todos estos números se llaman números enteros.

Para empezar • Pida a los alumnos que digan cómo están expresados los pisos en los ascensores que ellos conocen y que comenten por qué creen que se expresan así.

●

5.

Los números 11, 12, 13 y 14 son números enteros positivos. A veces se presentan sin el signo 1 (1, 2, 3…).

●

Los números 21 y 22 son números enteros negativos.

●

El número 0 es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

Los números enteros pueden ser positivos (11, 12, 13, 14, 1 5…), negativos (21, 22, 23, 24, 25…) o cero.

Qué botón debes pulsar

A dónde vas

15

●

Para ir a una oficina del tercer piso.

●

Para ir a la segunda planta de garaje.

●

Para ir a la planta baja.

●

Si pulsas el botón 0.

●


0

●


21

2. Observa el esquema de la actividad 1 y contesta. ●

¿Qué número indica la planta baja?

●

Si estás en la planta baja y subes:

14 13 12

6. Oficinas

1. Observa el esquema de los botones de un ascensor y explica.

11

22 23

Garajes

• Deje clara la clasificación de los enteros en números enteros positivos (que se corresponden con los números naturales), números enteros negativos, y el cero.

14 13 12 11 0 21

– Encima de la planta baja hay 4 plantas de viviendas, indicadas con los números 11, 12, 13 y 14.


Para explicar • Indique los números que representan los pisos: el 0, los números con el signo 1 y los números con el signo 2. Explique que en este caso los signos representan «por encima» y «por debajo» de cero (en este caso, de la planta baja).

3.

CÁ Su

– ¿A qué zona del edificio irás? ¿A qué pisos puedes ir? – ¿Qué tipo de números indican las plantas superiores a la planta 0? ●

Si estás en la planta baja y bajas: – ¿A qué zona del edificio irás? ¿A qué pisos puedes ir? – ¿Qué tipo de números indican las plantas inferiores a la planta 0?

32

Otras actividades • Forme varios grupos de alumnos, y pida a cada grupo que haga uno de los siguientes esquemas sobre cartulina. Después, pueden utilizarse como apoyo gráfico para actividades colectivas. – Panel de botones del ascensor de un edificio con la planta baja marcada (tendrá 6 plantas por encima de la planta baja y 3 por debajo). Pídales que rotulen los botones adecuadamente. – Dibujo de un termómetro con la marca del cero más gruesa. Pídales que rotulen la escala de las temperaturas. – Dibujo de una mina donde se vean galerías por encima y por debajo de la entrada. Pídales que rotulen las altitudes de cada galería.

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72

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3 3. Observa el dibujo de los termómetros y completa.

UNIDAD

Los termómetros marcan la temperatura que hizo en una ciudad en dos momentos del día.

●

A las 11 de la mañana, el termómetro marcaba …º C. La temperatura era de … grados.

●

A las 11 de la noche, el termómetro marcaba …º C. La temperatura era de … grados bajo cero.

120

115

115

15

4. Observa los termómetros y responde. ●

¿Con qué tipo de números se indican las temperaturas por encima de 0 grados?

●

¿Y las temperaturas por debajo de 0 grados?

120 110

Soluciones 1. • • • • • •

110 Cº

15

0

0

25

25

210

210

Cº

1300 m

●

¿Con qué número se indica el nivel del mar?

●

¿A cuántos metros sobre el nivel del mar vuela la avioneta? ¿Con qué tipo de números se indica una altitud?

●

¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está el barco hundido? ¿Con qué tipo de números se indica una profundidad?

1200 m 1100 m 0m 2100 m 2200 m


Un ascensor estaba en el piso 21 y fue al piso 13. ¿Subió o bajó?

●

Hace tres horas, la temperatura era de 12 ºC y ahora es de 22 ºC. ¿Ha subido o ha bajado la temperatura?

●

Un submarino navegaba a 2200 m y una hora después estaba a 2100 m. ¿Qué hizo el submarino, ascender o descender?

5. • El 0. • A 300 m sobre el nivel del mar. Con números enteros positivos. • A 100 m bajo el nivel del mar. Con números enteros negativos.

Suma 1.001, 2.001, 3.001...

1.475

3.475

1 2.000

●

3.476 11

3. • 7º C. La temperatura era de 7 grados. • 25º C. La temperatura era de 5 grados bajo cero. 4. • Números enteros positivos. • Números enteros negativos.

CÁLCULO MENTAL

1 2.001

13 22 0 Planta baja. 1.ª planta del garaje. Oficina del 4.º piso.

2. • El 0 • A las oficinas. Al 1.º, 2.º, 3.º, 4.º o 5.º. Números enteros positivos. • A los garajes. Al 21, 22 ó 23. Números enteros negativos.

5. Observa el dibujo y contesta. 1400 m

3

1.264 1 1.001

4.382 1 4.001

8.463 1 2.001

2.845 1 3.001

3.913 1 5.001

7.529 1 6.001

6. • Subió cuatro pisos. • Ha bajado cuatro grados. • Ascendió 100 m.

¿Cómo sumarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Cómo sumarías 4.005? ¿Y 5.006?

Cálculo mental 33

Otras actividades • Proponga el juego de la oca de enteros. Forme grupos de cuatro alumnos y entregue a cada uno el tablero del juego (los números de una parte de la recta entera colocados de menor a mayor) y dos dados. Coloque en las caras de uno de los dados tres pegatinas con el signo 1 y otras tres con el signo 2. El juego consiste en llegar a la casilla 15 partiendo de la 28 (pueden ser más números). Cada jugador tira en su turno ambos dados y avanza o retrocede tantas casillas como indiquen los dados (2 y 5, retrocede 5 casillas). Si tiene que retroceder más atrás de la casilla 28, deja su ficha en esa casilla y espera al turno siguiente. 28 27 26 25 24 23 22 21

0

• 2.265 5.846

8.383 8.914

10.464 13.530

• Sumando 1.000 y después 2. Sumando 1.000 y después 3. Sumando 4.000 y después 5. Sumando 5.000 y después 6.

11 12 13 14 15

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73

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Problemas con números enteros Objetivos

3.

Sara, Rafa, Pedro y Eva han cogido el ascensor. ¿A qué piso llega cada uno?

• Resolver problemas sencillos utilizando números enteros.

13


12

Para empezar • Dibuje en la pizarra el esquema del panel del ascensor. Señale un botón primero y después otro (por ejemplo, el 22 y el 3). Pregúnteles si para ir del primero al segundo tienen que subir o bajar y cuántos “saltos” deben llevar a cabo para hacerlo.

0

Para explicar • Trabaje cada uno de los casos del ascensor mostrando la manera de expresar la variación o el paso del piso inicial al final. Muestre en cada caso si se sube (1) o se baja (2) y cuántos pisos se sube o se baja para ir de uno a otro. Hemos optado por trabajar los problemas de manera intuitiva, sin recurrir a operaciones matemáticas (suma y resta) con enteros que pensamos pertenecen a cursos superiores.


Inicio

Variación

11

11 Sara

Final

12

Inicio

13

23 Rafa

Llega al tercer piso.

Variación

14

Final

4.

11

Llega al primer piso.

21 22

Estaba en el segundo piso y baja 3 pisos.

23

Estaba en el primer sótano y baja 1 piso.

Inicio

Variación

Final

Inicio

12

23

21

21

Llega al primer sótano.

Pedro

Variación

21

Final

22

Llega al segundo sótano.

Eva

1. Observa el termómetro y completa en tu cuaderno. ●

El termómetro marcaba 110 ºC y la temperatura subió 2 grados.

●

El termómetro marcaba 24 ºC y la temperatura subió 8 grados.

120 Inicio

Variación

Final

Inicio

Variación

Final

…

…

115

110

1…

…

Ahora marca … ºC. ●

24

110

Ahora marca … ºC.

15

El termómetro marcaba 13 ºC y la temperatura bajó 10 grados.

Cº

●

0

El termómetro marcaba 21 ºC y la temperatura bajó 5 grados.

25 Inicio

Variación

Final

Inicio

Variación

Final

…

…

210

…

2…

…

…



5. 2. Piensa y contesta.

• Lleve a cabo en común la actividad 1 del termómetro mostrando las similitudes con el ejemplo del ascensor.

Para reforzar • Escriba en la pizarra dos números enteros (por ejemplo, 12 y 24). Los alumnos, fijándose en el panel del ascensor, deberán traducir esos números a una situación real, calculando el piso final al que llegan: «Estoy en el piso 12, bajo 4 pisos, llego a la planta 22».

Estaba en el tercer sótano y sube 4 pisos.

Estaba en el primer piso y sube 2 pisos.

14

Un barco echó el ancla por la borda. El ancla estaba a 1 m sobre el nivel del mar y al tirarla bajó 6 m. ¿A qué profundidad se paró?

Inicio

…

Variación

Final

…

…

34

Otras actividades • Pida a cada alumno que invente un problema similar a los trabajados en esta página: subir o bajar en un ascensor, aumentar o disminuir la temperatura de un lugar, subir o bajar niveles en una mina… Cada uno planteará su problema al resto de la clase, para que lo resuelvan mentalmente y, después, dirá la solución. Si lo cree conveniente, dibuje en la pizarra el esquema de un ascensor, un termómetro o una mina para corregir cada problema propuesto.

Competencia lingüística Muestre cómo las Matemáticas tienen un lenguaje propio. Señale la importancia de saber «traducir» las situaciones reales al lenguaje matemático.

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3 3. Resuelve. Después, escribe con qué número entero expresarías la solución. ●

Andrea vive en el quinto piso y baja 3 pisos para ir a casa de su amiga Lucía. ¿En qué piso vive Lucía?

●

A medianoche el termómetro marcaba 4 grados bajo cero y al mediodía siguiente había subido la temperatura 15 grados. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro al mediodía?

●

UNIDAD

Soluciones 1. • 110, 12, 112 Ahora marca 12º C. • 13, 210, 27 Ahora marca –7º C. • 24, 18, 14 Ahora marca 4º C. • 21, 25, 26 Ahora marca 26º C.

Un pez nadaba a 4 metros bajo el nivel del mar y subió 1 metro. ¿A cuántos metros por debajo del nivel del mar está ahora el pez?

4. Expresa con un número entero. Después, piensa y contesta. ●

Jorge deja el coche en la segunda planta de aparcamiento del edificio donde trabaja y sube a su oficina que está en la quinta planta. Planta donde deja el coche ▶ … Planta donde está su oficina ▶ … ¿Cuántos pisos sube Jorge?

●

2. • 11, 26, 25 A 5 m de profundidad.

María trabaja en la tercera planta de un edificio. Hoy ha tenido que recoger una caja del almacén que está en el primer sótano.

3. • Andrea vive en el 2.º piso. • Al mediodía el termómetro marcaba 11º C. • El pez está a 3 m por debajo del nivel del mar.

Planta donde trabaja ▶ … Planta donde está el almacén ▶ … ¿Cuántos pisos ha bajado María? ●

s.

A las 10 de la mañana, el termómetro marcaba 5 grados y a las 10 de la noche, 2 grados bajo cero.

4. • Planta –2. Planta 5. Jorge sube 7 pisos. • Planta 3. Planta – 1. María ha bajado 4 pisos.

Temperatura a las 10 : 00 ▶ … Temperatura a las 22 : 00 ▶ … ¿Cuántos grados bajó la temperatura? ●

• T.ª a las 10:00 ▶ 5º C T.ª a las 22:00 ▶ 22º C La temperatura bajó 7º C.

A las 3 de la madrugada, el termómetro marcaba 4 grados bajo cero y a las 9 de la mañana, 1 grado bajo cero.

• T.ª a las 03:00 ▶ 24º C T.ª a las 09:00 ▶ 21º C La temperatura subió 3º C.

Temperatura a las 03 : 00 ▶ … Temperatura a las 09 : 00 ▶ … ¿Cuántos grados subió la temperatura?

5. • El pez está más cerca. Hay 5 m entre ambos animales. • Sara está más cerca de la planta baja.

5. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Un pájaro vuela a 3 m sobre el mar y, debajo de él, un pez nada a 2 m bajo el nivel del mar. ¿Qué animal está más cerca de la superficie del agua? ¿Cuántos metros hay entre ambos animales?

3

Iván, Sara y Nacho han ido a unos grandes almacenes. Iván está en el segundo piso del edificio, Sara está en el primer sótano y Nacho está en el segundo sótano. ¿Quién está más cerca de la planta baja?

35

Otras actividades • Recorte de un periódico la tabla con las temperaturas máximas y mínimas del día anterior en distintas ciudades del mundo, y entregue una copia a cada alumno. Explique el significado de temperatura máxima y temperatura mínima y plantee problemas para calcular la variación de temperatura en una ciudad, encontrar la ciudad que tuvo más variación de temperatura, averiguar la diferencia entre las temperaturas máximas (o mínimas) de dos ciudades dadas, etc.

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La recta entera. Comparación de números enteros

4.

Objetivos • Identificar y representar números enteros en la recta entera.

Gonzalo ha anotado la temperatura mínima de ayer en dos localidades y ha representado los dos números en la recta entera.

• Comparar y ordenar números enteros.

5.

Fíjate en el número 0 de la recta: ● ●


6.

A la izquierda de 0 se representan los números enteros negativos. A la derecha de 0 se representan los números enteros positivos. Números enteros negativos

Para empezar • Dibuje una recta en la pizarra y represente en ella los números naturales hasta el 10. Haga observar a los alumnos que, dados varios números, es mayor el que se encuentra más a la derecha en la recta. Para explicar • Pida a los alumnos que observen la recta y comente cómo están situados los números enteros: desde cero, hacia la derecha, los positivos, y hacia la izquierda, los negativos. Señale que al igual que ocurría con los naturales, un número es mayor que otro si está más a la derecha que él en la recta numérica. Comente que en los números negativos hay que ser cuidadosos, ya que cuanto mayor es el número que sigue al signo 2, menor es dicho número entero (en este aspecto suelen cometer errores los alumnos).

Vallesol ▶ 22 ºC Tejar ▶ 14 ºC

Números enteros positivos

26 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 16 17 18

0

¿Qué localidad tuvo la menor temperatura mínima? ¿Y la mayor?

Para comparar las dos temperaturas, mira la posición de los puntos en la recta entera. ● ●

El número menor es el que está más a la izquierda: 22 El número mayor es el que está más a la derecha: 14

22 , 14

Vallesol tuvo la menor temperatura y Tejar la mayor.

7.

1. Observa la recta entera anterior y contesta. ●

¿Dónde está cada número, a la derecha o a la izquierda de 0? ¿Por qué? 13

●

21

17

24

23 ●

¿Qué número está más a la izquierda en la recta? ¿Cuál es menor? 1 1 o 23

24 o 0

12

22 o 25

15

25

¿Qué número está más a la derecha en la recta? ¿Cuál es mayor? 12 o 25

23 o 0

8.

21 o 24

2. Copia la recta entera y completa los números que faltan. 28 … 26 25 …

… 22

…

0

11 … 13

…

… 16 17 … 19

9.


...

◀

●

...

◀

11 ▶ ...

●

...

14 ▶ ...

●

...

23 ▶ ...

●

...

▶ ...

●

... ◀ 22 ▶ ...

●

... ◀ 13 ▶ ...

●

... ◀ 21 ▶ ...

0

◀

◀

◀

25 ▶ ...

36

Para reforzar • Pida a un alumno que diga un número entero en voz alta. Diga usted otro (o pida a otro compañero que lo haga). El primer alumno deberá decir si el número dicho por él es mayor o menor que el enunciado por la otra persona.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Indique que el error es una fuente de aprendizaje y potencie en los alumnos la colaboración y el respeto mutuos.

Otras actividades • Prepare tantas tarjetas como alumnos haya, y escriba en cada tarjeta un número entero (por ejemplo, si hay 25 niños, escriba desde 212 hasta 112). Entregue una tarjeta a cada alumno, al azar, y realice las siguientes actividades: – Pida a los alumnos que formen una fila, colocándose cada uno en el lugar correspondiente para formar una recta entera. – Pida a un alumno que enseñe su número, e indique que se levanten los niños que tengan el número anterior y posterior. – Diga un número y pida que se levanten los alumnos que tengan un número mayor o menor que él (o los que estén entre dos números dados).

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3 4. Busca los dos números en la recta y escribe el mayor.

UNIDAD 11 y 14

●

21 y 24

●

13 y 0

●

23 y 0

●

12 y 25

●

22 y 15

●

26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16

12

15

●

●

23

22

●

11

23

●

14

0

●

22

12

0

24

●

25

11

●

21

26

6. Ordena los siguientes números enteros. HAZLO ASÍ ●

Ordena de mayor a menor: 21, 12 y 23. Imagina los números en la recta entera y escríbelos tal como están colocados de derecha a izquierda: primero escribe 12, después 21 y al final 23.

2. –7, 24, 23, 21, 12, 14, 15, 18

12 . 21 . 23 ●

De mayor a menor

22, 14, 21

●

13, 0, 22, 11

●

25, 21, 0, 12

De menor a mayor

●

13, 22, 12

●

11, 23, 24, 0

●

12, 0, 21, 13

7. Piensa y escribe en cada caso tres números enteros. ●

Mayores que 22.

●

Menores que 21.

●

Mayores que 23, que no sean negativos.

●

Mayores que 25 y menores que 0.

●

Mayores que 24 y menores que 14.

●

Menores que 21 y mayores que 26.

8. Piensa y escribe el signo de cada número para que la desigualdad sea cierta. Si hay varias posibilidades, escríbelas todas. ●

1,

●

5,

●

3, 0

1

●

3.

2

●

1.

●

6.0

Soluciones 1. • Derecha, izquierda, derecha, izquierda, izquierda, derecha, derecha, izquierda. Porque los números negativos están situados a la izquierda del 0 y los positivos a la derecha. • 23, 24, 25 • 12, 0, 21

5. Piensa dónde está cada número en la recta y escribe el signo > o <. ●

3

3

●

2,

4

4

●

6.

3

●

1,

5

9. RAZONAMIENTO. Piensa y completa cada oración con mayor o menor para que sea cierta. ●

Cualquier número entero positivo es … que 0.

●

Cualquier número entero negativo es … que 0.

.

●

Cualquier número entero negativo es … que cualquier número entero positivo.

.

●

Cualquier número entero positivo es … que cualquier número entero negativo.

37

Otras actividades • Entregue a sus alumnos tarjetas de tamaño octavilla y propóngales que cada uno escriba en una cara de la tarjeta un número entero positivo o negativo y en el anverso de esa cara una letra de manera que al ordenar correctamente los números que hayan escrito de mayor a menor se forme una palabra con sentido. Por ejemplo: «Ordena de mayor a menor para formar el nombre de una ciudad europea». A

O

M

R

24

0

22

13

3. • • • •

0, 11, 12 21, 0, 11 13, 14, 15 23, 22, 21

• • • •

24, 23, 22 12, 13, 14 26, 25, 24 22, 21, 0

4. • 14 • 13 • 12

• 21 • 0 • 15

5. • • • •

12 , 15 23 , 22 11 . 23 0 . 24

• • • •

6. • • • • • •

14 . 21 . 22 13 . 11 . 0 . 22 12 . 0 . 21 . 25 22 , 12 , 13 24 , 23 , 0 , 11 21 , 0 , 12 , 13

7. • • • • • •

R. M. – 1, 0, 11 R. M. – 2, 23, 24 R. M. 0, 11, 12 R. M. 24, 23, 22 R. M. 22, 0, 12 R. M. 22, 23, 24

8. • • • • • • • • •

21 , 11 25 , 12 23 , 0 1 3 . 23 1 1 . 24; 21 . 24 16.0 22 , 1 4; 1 2 , 1 4 1 6 . 1 3; 1 6 . 23 21 , 1 5; 1 1 , 1 5

9. • • • •

Mayor. Menor. Menor. Mayor.

14 . 0 25 , 11 22 , 12 21 . 26

Una vez elaboradas estas tarjetas se puede jugar colectivamente o por equipos.

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Coordenadas cartesianas Objetivos

3.

Diego ha representado varios puntos en los ejes de coordenadas cartesianas.

• Identificar coordenadas de puntos representados en ejes cartesianos.

Observa los dos ejes:

• Representar puntos en ejes cartesianos.

Segundo cuadrante

●

Se numeran como la recta entera.

●

Son perpendiculares y se cortan en el 0.

●

Dividen la cuadrícula en cuatro partes llamadas cuadrantes.

13 12

Las coordenadas cartesianas de los puntos son:

Sugerencias didácticas Para empezar • Dibuje en la pizarra dos ejes de coordenadas y escriba en ellos el 0 y los números positivos. Comente con los alumnos que podemos prolongar los ejes hacia la izquierda y hacia abajo, añadiendo los números negativos a los que ya teníamos. Se trata de «extender» la representación de puntos que ya conocían colocando dos rectas enteras perpendiculares. Para explicar • Indique los cuatro cuadrantes o partes que se forman. Recuerde cómo determinar las coordenadas de un punto (trazando una línea imaginaria desde el punto hacia el eje horizontal y luego hacia el vertical) y señale que ahora pueden ser enteros negativos una de ellas o las dos. • Pregunte a los alumnos cuál será el signo de las coordenadas de un punto del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante. Déjeles razonar por sí mismos y comente después en común las conclusiones.

Para reforzar • Dibuje otros puntos para que los alumnos digan las coordenadas de cada uno. Después puede hacerlo a la inversa.

Competencias básicas Tratamiento de la información Señale la relación entre la información numérica de las coordenadas y la información gráfica de su representación.

Primer cuadrante 14

11 0 11 12 13 14

24 23 22 21

▶

(13, 12)

▶

(22, 13)

22

▶

(21, 23)

23

▶

(13, 22)

4.

21

24

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

5.

Fíjate en que las coordenadas de cada punto son positivas o negativas según el cuadrante en el que se encuentre.

1. Observa las coordenadas de los puntos anteriores y explica. ●

¿Cómo se busca la primera coordenada de cada punto?

●

¿Qué puntos tienen la primera coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Y cuáles la tienen negativa? ¿En qué cuadrantes están?

●

¿Cómo se busca la segunda coordenada de cada punto?

●

¿Qué puntos tienen la segunda coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Y cuáles la tienen negativa? ¿En qué cuadrantes están?

2. Escribe las coordenadas de cada punto en tu cuaderno.

6.

16

B

15

RECUERDA

14 13

Escribe primero el número entero del eje horizontal y después, el del eje vertical.

26 25 24 23 22 21

A

▶

(1…, 1…)

E

▶

(…, …)

B

▶

(2…, 1…)

F

▶

(…, …)

C

▶

(2…, 2…)

G

▶

(…, …)

D

▶

(1…, 2…)

H

▶

(…, …)

CÁ

E

12

F

A 11 0 11 12 13 14 15 16 21

Sum

22

C

23 G

H

24 25

D

26

38

Otras actividades • Dibuje en una cartulina una cuadrícula grande y trace los ejes cartesianos. Coloque la cartulina en el corcho para hacer, de forma colectiva, las siguientes actividades: – Ponga varias chinchetas en puntos de la cuadrícula para que los alumnos digan sus coordenadas y en qué cuadrante se encuentran. – Diga coordenadas de puntos y pida a los alumnos que claven una chincheta en su lugar. – Pida a los alumnos que coloquen chinchetas en puntos que cumplan una determinada condición. Por ejemplo: que tengan igual la primera coordenada, que la segunda sea 0, que sus dos coordenadas sean negativas…

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3 3. Escribe las coordenadas de cada punto.

UNIDAD

Después, contesta.

3

13 12

PRESTA ATENCIÓN Los cuatro puntos están en uno de los ejes: una de sus coordenadas es 0.

24 23 22 21

11 0 11 12 13 14 21 22 23

●

¿Qué puntos están sobre el eje vertical? ¿Cuál es su primera coordenada?

●

¿Qué puntos están sobre el eje horizontal? ¿Cuál es su segunda coordenada?

▶

(0, …)

Soluciones

▶

(…, 0)

▶

(…, …)

▶

(…, …)

1. • Fijándote si es positiva o negativa en el eje horizontal. • Azul y amarillo. Primer y cuarto cuadrante. Rojo y verde. Segundo y tercer cuadrante. • Fijándote si es positiva o negativa en el eje vertical. • Azul y rojo. Primer y segundo cuadrante. Verde y amarillo. Tercer y cuarto cuadrante.

4. Dibuja en una cuadrícula unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos. ▶

(14, 12)

▶

(22, 23)

▶

(13, 0)

▶

(23, 15)

▶

(11, 24)

▶

(0, 22)

5. Observa los puntos representados en la actividad 4 y escribe. Después, contesta. ●

Las coordenadas de dos puntos que se encuentren en la misma línea vertical que el punto azul. ▶

(14, 12)

A ▶ (…, …)

2. A (15, 11) B (24, 15) C (25, 22) D (12, 25)

B ▶ (…, …)

¿Qué coordenada coincide en los tres puntos? ●

Las coordenadas de dos puntos que se encuentren en la misma línea horizontal que el punto verde. ▶

(11, 24)

C ▶ (…, …)

3. Azul (0, 12) Verde (23, 0) Rojo (12, 0) Amarillo ( 0, 21) • El azul y el amarillo. Su primera coordenada es 0. • El rojo y el verde. Su segunda coordenada es 0.

D ▶ (…, …)

¿Qué coordenada coincide en los tres puntos?

6. Traza en una cuadrícula unos ejes de coordenadas y dibuja. ●

Un triángulo cuyos vértices son los puntos (12, 14); (23, 13) y (22, 0).

●

Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (13, 11); (23, 21); (0, 23) y (13, 23).

E (13, 13) F (23, 12) G (21, 24) H (14, 23)

4.

CÁLCULO MENTAL Suma 999, 1.999, 2.999... 1 1.999

5.986

1 2.000

●

7.986

21

7.985

1.264 1 999

6.142 1 3.999

5.821 1 5.999

3.756 1 2.999

4.475 1 4.999

8.720 1 6.999

¿Cómo sumarías 998? ¿Y 996? ¿Cómo sumarías 2.997? ¿Y 4.995?

39

Otras actividades • Dibuje en una hoja de papel esta figura y entregue una copia a cada alumno. Se trata de que averigüen cómo se puede dibujar la figura sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. Los alumnos deberán escribir por orden los coordenadas de los puntos por los que han ido pasando.

5. • A (14, 21), B (14, 15). Coincide en los tres la primera coordenada, 14. • C (13, 24), D (26, 24). Coincide en los tres la segunda coordenada, 24. 6.

Cálculo mental • 2.263 10.141 11.820 5.755 9.474 15.719 • Sumando 1.000 y restando 2. Sumando 1.000 y restando 4. Sumando 3.000 y restando 3. Sumando 5.000 y restando 5.

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Actividades 7. Piensa y escribe.

1. Escribe con qué tipo de número entero expresarías cada posición.



●

La tercera planta de un edificio.

●

Los números negativos mayores que 24.

●

Una temperatura de 3 ºC bajo cero.

●

●

El nivel del mar.

Los números mayores que 21 y menores que 13.

●

El segundo sótano.

●

●

La altura a la que vuela un avión.

Los números menores que 23 y mayores que 27.

●

La planta baja.

●

La planta 21 de un edificio.

●

Un puerto de montaña que está a 12.000 m.

●

Una temperatura de 28 ºC.

●

Un submarinista que bucea a 260 m.

●

Una temperatura de 110 ºC.

●

La planta 0 de un hotel.

¿Quién está más cerca de la planta baja? ●

Aurora está en el primer aparcamiento subterráneo y David está en el tercero.

●

Antonio está en la cuarta planta y Concha está en el segundo sótano.

¿Dónde hace más calor?

3. Representa en la recta entera los siguientes 0

14

21

12

23

24

11

¿Cómo son los números situados a la izquierda de 0? ¿Y a su derecha?

Soluciones 4.

Número positivo. 13. Número negativo. –3. El número 0. Número negativo. –2. Número positivo. El número 0.

●

En la ciudad A hay 0 ºC y en la ciudad B hay 6 grados bajo cero.

●

En la ciudad C hay 3 grados bajo cero y en la ciudad D hay 3 grados.

●

5. Escribe en cada caso el número mayor y el menor. ●

15, 13

●

●

0, 22

●

12, 22, 21, 11

●

14, 21, 11

●

24, 13, 23, 12, 0

●

23, 12, 24

●

15, 25, 22, 14, 26

23, 0, 14, 25

6. Ordena de menor a mayor los números de cada hoja. 15

13 21 26

22

24 12

14

23 22 0 25

ER

y

¿Quién está más cerca de la superficie del mar?

ESTUDIO EFICAZ. Explica cómo comparas

dos números enteros.

2. • Una planta menos que la planta baja. • Que está a 2.000 m por encima del nivel del mar. • Que hay una temperatura de 8º bajo cero. • Que el submarinista bucea a 60 m de profundidad. • Que hay una temperatura de 10º C. • Que es la planta baja.

11

8. Piensa y contesta.

números y contesta.

1. • • • • • •

Los números anterior y posterior a 0.

●

2. Expresa qué indica cada número entero.

Interacción con el mundo físico Al trabajar el apartado Eres capaz de.... haga ver a sus alumnos que a partir de los conocimientos matemáticos podemos comprender mejor la realidad y resolver problemas que se nos presenten en ella.

10

Sara está en lo alto de un acantilado a 5 m de altura y Luis está haciendo fotos submarinas a 8 m de profundidad.

9. Escribe las coordenadas de los tres puntos de cada recta y contesta. Recta roja

Recta verde

▼

▼

(…, …) (…, …)

(…, …) (…, …)

(…, …)

(…, …)

¿Cómo son las coordenadas de cada punto de la recta roja? ¿Y las de cada punto de la recta verde?

40

3. 24 23

21 0

11 12

14

Los números situados a la izquierda de 0 son números negativos y los situados a su derecha, positivos. 4. R. L. 5. • • • • • • • •

Mayor: 15, menor: 13 Mayor: 0, menor: 2 2 Mayor: 14, menor: 21 Mayor: 12, menor: 24 Mayor: 14, menor: 25 Mayor: 12, menor: 22 Mayor: 13, menor: 24 Mayor: 15, menor: 26

Otras actividades • Proponga a sus alumnos que sobre una hoja cuadriculada, inventen un dibujo sencillo (figura geométrica) sin levantar el lápiz del papel, teniendo todos sus vértices en puntos de la cuadrícula. Después, deben trazar dos ejes de coordenadas. Entregarán la figura a su compañero que averiguará como pintarla y escribirá por orden las coordenadas de los puntos por los que va pasando al trazarla. También puede pedirles después que ordenen de menor a mayor las primeras (o segundas) coordenadas de todos los puntos por los que hayan pasado.

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3 UNIDAD

10. Representa en unos ejes de coordenadas cartesianas los siguientes puntos. A

.

de

o

(13, 24)

D

▶

12. Resuelve. ●

Un submarino está a 250 m bajo el nivel del mar y desciende 100 m más. ¿A qué profundidad se encuentra ahora?

●

Miguel llega al portal de su casa y baja un piso para dejar la bici en el trastero. Después, sube 5 pisos para ir a su casa. ¿En qué piso vive Miguel?

(12, 14)

B

▶

(21, 23)

E

▶

(23, 0)

C

▶

(0, 12)

F

▶

(22, 14)

11. ESTUDIO EFICAZ. Completa las oraciones. ●

Los números enteros pueden ser positivos, … o …

●

En la recta entera, los números enteros negativos están todos situados …

●

De dos números enteros, el menor es el situado más a la … en la recta entera.

●

La segunda coordenada cartesiana de un punto del eje horizontal es siempre …

a

os

▶

●

●

• 26 , 22 , 15 • 24 , 21 , 12 , 13 • 25 , 23 , 22 , 0 , 14

6.

7. • • • •

21, 11 23, 22, 21 0, 11, 12 24, 25, 26

8. • • • • •

Aurora está más cerca. Concha está más cerca. En la ciudad A. En la ciudad D. Sara está más cerca.

Alberto y Jaime están jugando a las cartas. Alberto tenía 15 puntos y en la última baza ha sacado 27 puntos. ¿Cuántos puntos tiene ahora? Jaime tenía 22 puntos y ha sacado 110 puntos. ¿Cuántos tiene ahora? Emilio sacó del congelador un caldo que estaba a 2 grados bajo cero y lo puso a calentar. Quiere que el caldo llegue a 140 ºC. ¿Cuántos grados tiene que subir la temperatura del caldo?

9. Roja: (12, 12), (21, 21), (22,22). Verde: (21, 11), (11, 21), (12, 22).

Comprender un directorio

ERES CAPAZ DE…

• Las dos coordenadas son iguales.

En un gran almacén, las personas suben y bajan varios pisos para visitar las distintas plantas.

• El número de las coordenadas es el mismo pero los signos son contrarios.

En los directorios se indica la planta en la que se encuentra cada sección. Fíjate en que se ha suprimido el signo 1 de los números positivos. ●

3

10.

Averigua cuántos pisos tiene que subir o bajar cada una de las siguientes personas:

D

F C

– Ana está en la planta de señoras y quiere comprar una raqueta de tenis.

E

Directorio 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

– Pablo está en la planta de caballeros y quiere mirar los equipos de música. – Elsa está en la planta baja y quiere tomarse un refresco. – David ha dejado el coche en el aparcamiento y va a hacer la compra. – Luisa está en la planta de niños y va a mirar los mp3.

Cafetería Deportes Niños y jóvenes Caballeros Señoras Complementos Supermercado Imagen y sonido Aparcamiento

B A

11. • • • • 41

Positivos, negativos o cero. A la izquierda de cero. Izquierda. Cero.

12. • Se encuentra a 350 m de profundidad. • Miguel vive en el 4.º piso. • Alberto tiene 22 puntos. Jaime tiene 8 puntos.

Programa de ESTUDIO EFICAZ

• Tiene que subir 42 grados.

Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen una tabla como esta: Unidad 3 Números enteros Lo que he aprendido Números enteros Problemas con números enteros


Eres capaz de... • • • • •

Ana tiene que subir 3 plantas. Pablo tiene que bajar 4 plantas. Elsa tiene que subir 5 plantas. David tiene que subir 2 plantas. Luisa tiene que bajar 5 plantas.

La recta entera. Comparación de números enteros Coordenadas cartesianas

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Solución de problemas Buscar datos en varios textos o gráficos Objetivos

EJE

Busca los datos necesarios en los textos o el gráfico y resuelve.

1.

• Resolver problemas buscando los datos en textos o gráficos.

AVANZANDO AÑO TRAS AÑO El número de proyectos llevados a cabo por nuestra ONG Mundo común ha crecido mucho. En 2005 se realizaron 75 proyectos, en 2006 72 proyectos, y en 2007, 2008 y 2009 se hicieron 15 proyectos más que el año anterior.

Sugerencias didácticas Para empezar • Muestre a los alumnos por qué obtener información de textos y gráficos es útil a la hora de resolver problemas.

COOPERANTES POR AÑO

La contribución de nuestros socios es esencial. En el año 2005 contábamos con 800 socios que pagaban una cuota de 30 anuales. En cada uno de los años sucesivos, el número de socios aumentó en 25 personas y cada año la cuota fue 8 mayor que el año anterior.

N.º de cooperantes

QUEDA MUCHO POR HACER

Para explicar • Trabaje en común la búsqueda de datos en los textos y el gráfico del ejemplo propuesto. Insista en la necesidad de realizar la lectura y la observación de los mismos con atención. Para reforzar • Resuelva los problemas propuestos en común. Pida a algunos alumnos que indiquen cómo buscan los datos y qué operaciones van a realizar.

2.

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

3.

4. 05

06

07

08

09

Año

1. ¿Cuántos proyectos realizó en total la ONG entre 2007 y 2008? ▶ Proyectos realizados en 2008: … Proyectos realizados en total en 2007 y 2008: ...

F

Solución: Realizó …

5.

2. ¿Cuántos proyectos realizó la ONG en 2009?


6.

3. ¿Cuántos cooperantes tuvo en total los tres primeros años? ¿Tuvo más o menos que en los dos últimos?

Aprender a aprender Señale a los alumnos que el trabajo que han realizado con gráficos a lo largo de cursos anteriores les capacita para resolver problemas como los propuestos.

4. ¿Cuántos socios tuvo la ONG en el año 2007? ¿Cuánto recaudó en total? 7. 5.

INVENTA. Escribe y resuelve: ●

Un problema en el que uses algunos de los datos de los textos.

●

Un problema en el que uses algunos de los datos del gráfico.

42

Soluciones 1. 72 1 15 1 72 1 15 1 15 5 189. Realizó 189 proyectos en total. 2. 72 1 3 3 15 5 117. Realizó 117 proyectos en 2009. 3. 140 1 160 1 140 5 440 Tuvo 440 cooperantes. 180 1 200 5 380 Tuvo más cooperantes en los tres primeros años. 4. 800 1 25 1 25 5 850 850 3 (30 1 8 1 8) 5 39.100 Tuvo 850 socios y recaudó 39.100 €.

Otras actividades • Pida a sus alumnos que a partir del ejemplo propuesto inventen un texto y un gráfico, y basándose en los datos que aporten, redacten preguntas similares a las de las actividades de la página y que posteriormente las resuelvan. Por ejemplo, en vez de hablar de una ONG puede sugerirles que sea una empresa, un estadio de fútbol, un colegio… Insista en la importancia de redactar el texto y de dibujar el gráfico de forma clara y bien presentada para que pueda ser fácilmente comprendido por otras personas. • También puede pedirles que busquen textos y gráficos en distintos medios de comunicación y planteen preguntas a partir de ellos.

5. R. L.

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3

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Calcula.

8. En un pueblo hay siete casas; cada casa

●

302.568 1 664.259

●

345 3 726

●

742.053 1 85.067

●

713 3 580

●

899.087 2 123.999

●

8.100 : 36

●

630.120 2 24.986

●

41.109 : 576

2. Calcula. ●

9 : (6 2 3) 2 2

●

3352918

●

8 2 (9 2 7) 3 4

●

20 2 (4 1 2) 3 3

●

1173628

●

5332433

●

728:411

●

9 2 (8 2 6) 2 5

3. ESTUDIO EFICAZ. Explica cuáles son los términos de una potencia y qué significa cada uno de ellos.

tiene siete gatos; cada gato persigue a siete ratones y cada ratón come siete granos de trigo. ¿Cuántos gatos, ratones y granos de trigo hay?

9. Marta compró para su restaurante 35 kg de filetes a 18 el kilo. Más tarde, vio que en otro almacén el kilo era 2 más caro. ¿Cuánto le habría costado la compra en ese almacén? ¿Cuánto se ahorró?

10. Hoy, un cuarto de los 300 visitantes de un museo han sido adultos y el resto niños. Los adultos han pagado 3 cada uno y los niños han entrado gratis. ¿Cuánto se ha recaudado hoy en el museo?

11. Juan tiene 18 canicas, Jorge 7 canicas 4. Expresa como una potencia y escribe cómo se lee. ●

838

●

73737

●

232323232

●

3333333

●

53535353535

y Magdalena 11. Las han juntado todas y las han colocado formando un cuadrado. ¿Cuántas canicas hay en cada lado del cuadrado?

12. El año pasado en un campamento hubo 8 turnos de 125 campistas cada uno. Este año harán 2 turnos más y todos los turnos tendrán 5 campistas más cada uno. ¿Cuántos campistas habrá este año?

5. Escribe y calcula. ● ●

Cinco al cuadrado.

●

Dos a la sexta.

Cuatro al cubo.

●

Tres a la quinta.

de base 10.

300

10.000

5.000

1.000

700.000

1.000.000 20.000.000

7. Escribe la expresión polinómica de cada número. ● ●

3.576

●

206.120

12.093

●

4.150.032

1. • • • • • • • •

966.827 827.120 775.088 605.134 250.470 413.540 c 5 225 c 5 71; r 5 213

2. • • • •

1 0 35 6

• • • •

14 2 3 2

3. Base: número que se repite. Exponente: número de veces que se repite la base. 4. • • • • •

82. Se lee ocho al cuadrado. 73. Se lee siete al cubo. 25. Se lee dos a la quinta. 34. Se lee tres a la cuarta. 56. Se lee cinco a la sexta.

5. • 52 5 25 • 43 5 64

• 26 5 64 • 35 5 125

6. 105, 104, 103, 107 3 3 102, 5 3 103, 7 3 105, 2 3 107

6. Expresa cada número usando una potencia 100.000

3

13. María compró 3 blusas iguales por 51 . Compró también 2 pantalones iguales que costaban cada uno 3 menos que una blusa. ¿Cuánto pagó en total?

43

Repaso en común • Pida a sus alumnos que inventen tres actividades que correspondan a contenidos trabajados en las tres primeras unidades. Si lo estima pertinente, puede darles una guía asignando contenidos a cada alumno o cada grupo. Una vez terminadas, se las entregarán para que usted pueda diseñar un cuadernillo de trabajo que se entregará a todos para reforzar los contenidos aprendidos. Incluya en cada una de las páginas del cuadernillo un pequeño registro de autoevaluación que los alumnos completarán una vez corregidas las actividades. Así serán más conscientes de sus aprendizajes y del nivel de su progreso.

7. • 3 3 103 1 5 3 102 1 1 7 3 10 1 6 • 1 3 104 1 2 3 103 1 1 9 3 10 1 3 • 2 3 105 1 6 3 103 1 1 1 3 102 1 2 3 10 • 4 3 106 1 1 3 105 1 1 5 3 104 1 3 3 10 1 2 8. Gatos: 725 49. Ratones: 73 5 343. Granos de trigo: 74 5 2.401. 9. 35 3 20 – 35 3 18 5 70 Marta se ahorró 70 €. 10. 300 : 4 3 3 5 225 Se han recaudado 225 €. 11. 18 1 7 1 11 5 36; √36 5 6 En cada lado hay 6 canicas. 12. (8 1 2) 3 (125 1 5) 5 1.300 Este año habrá 1.300 campistas. 13. 51 : 3 5 17; 17 – 3 5 14 51 1 2 3 14 5 79 María pagó 79 € en total.

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3. L

Gráficos lineales de tres características Objetivos • Interpretar y representar gráficos lineales de tres características.

En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza. Están representadas en el siguiente gráfico lineal. Sardina


• Trabaje con toda la clase (o pida a los alumnos que lo hagan de manera individual) la representación del gráfico de la actividad 3.

●

Merluza

25

Para empezar • Haga hincapié en la presencia de la información gráfica en nuestra sociedad. Señale algunas de las formas que puede adoptar y que los alumnos ya conocen (gráficos de barras, lineales, pictogramas…). Recuérdeles que ya trabajaron los gráficos lineales en el curso anterior.

Número de kios



20 15

●

10


La venta aumentó. 5 0

L

M

X

J

V

Día


4. C

1. Observa el gráfico de arriba y contesta. ●


●


●


2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta. 80

Número de puntos

Para explicar • Comente que este tipo de gráficos tiene especial utilidad para representar datos que varían con el tiempo y poder estudiar su tendencia (en qué período bajan, entre qué días suben, cuándo se mantienen constantes los valores…) Indique que cada punto es un valor de una característica y que al unirlos formamos el gráfico. Corrija en común las respuestas a las actividades 1 y 2. Plantee (o pida a los alumnos que lo hagan) otras preguntas para trabajar la interpretación.

Boquerón

70 60

Luis

50

Ana

40

Sergio

30 20 10 0

1ª

2ª

3ª

4ª

Tirada

●


●


●


44

• Realice de nuevo actividades de interpretación una vez obtenidos y corregidos los gráficos de las actividades 3 y 4.

Competencias básicas Tratamiento de la información Fomente en los alumnos la valoración de los gráficos como una forma de sintetizar y expresar mucho más claramente la información que con los simples datos numéricos.

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84

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3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico. María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

Soluciones


1. • Vendieron 10 kg menos. • Sardina. Boquerón. • Martes, jueves y viernes.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta. MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta. MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta.

2. • Luis: 70. Sergio: 50. Ana: 30. • Disminuyó en las tiradas segunda y cuarta. Aumentó en la tercera tirada. • Sergio.

JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo Abril Mayo Junio

Número de postres

Flan Flan

Yogur

Fruta

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

3.

E

F

M

A

M

J

Flan

Yogur

Fruta

E

70

80

90

F

80

40

90

M

60

50

90

Mes

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto. Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada. LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes.

A

50

60

70

M

70

60

90

J

80

70

80

100 80 60 40 20

MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes. MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes. JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes. VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes. SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

E

F

M

A

M

J

gio

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

4.

Verdes


Azules

Rojos

Azules

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

L

M

X

J

V

S

Día

Rojos

Verdes

L

12

10

8

M

10

6

4

X

8

6

10

J

12

8

6

V

10

8

8

S

12

10

10

45 12 8 4 L

M

X

J

V

S

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4

E


Programación Objetivos • Reconocer y obtener múltiplos de un número. • Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Reconocer si un número es divisor de otro.

Contenidos • Múltiplos de un número.

• Reconocer si un número es divisible por 2, 3 o 5.

• Cálculo del mínimo común múltiplo.

• Hallar todos los divisores de un número.

• Divisores de un número.

• Diferenciar números primos y compuestos.

• Criterios de divisibilidad por 2, 3 o 5.

• Calcular el máximo común divisor de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.m. y de m.c.d. • Hacer una tabla que recoja los números que cumplen ciertas condiciones, para resolver problemas.

Criterios de evaluación • Reconoce si un número es múltiplo de otro. • Calcula el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Reconoce si un número es divisor de otro. • Reconoce si un número es divisible por 2, 3 o 5. • Halla todos los divisores de un número.

R

• Cálculo de todos los divisores de un número.

• • • •

• Números primos y compuestos. • Cálculo del máximo común divisor.

E

• Resolución de problemas de m.c.m. y de m.c.d.

•

•

• Construcción de una tabla cuyos números cumplen ciertas condiciones, para resolver problemas.

• Determina si un número es primo o compuesto. • Calcula el máximo común divisor de dos o más números. • Resuelve problemas de m.c.m. y de m.c.d. • Construye una tabla para resolver problemas.


• Interés por conocer las relaciones entre los números. • Valoración de la utilidad de las Matemáticas para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.

Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Aprender a aprender, Tratamiento de la información, Competencia cultural y artística, Autonomía e iniciativa personal y Competencia lingüística.

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Esquema de la unidad UNIDAD 4. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Divisores de un número

Mínimo común múltiplo

Cálculo de todos los divisores de un número

Números primos y compuestos

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5

Máximo común divisor

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 1, pág. 56. • Elaborar esquemas: actividad 3, pág. 59.

Previsión de dificultades • El confundir los conceptos de múltiplo y divisor. Trabaje muchos ejemplos de la relación entre ellos.

Sugerencia de temporalización Septiembre

• Al hallar todos los divisores de un número, olvidar alguno. Insista en el orden al calcular las divisiones y en el reconocimiento de los divisores en los términos de las divisiones exactas.

Octubre

• El cálculo del m.c.m. y del m.c.d. Pida a los alumnos que expliquen los pasos seguidos, para favorecer la sistematización del proceso.

Enero

• La elección del cálculo del m.c.m. o del m.c.d. al resolver un problema. El explicar el enunciado con sus propias palabras puede ayudarles a comprender qué buscan.

Noviembre Diciembre

Febrero Marzo Abril Mayo Junio

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4


RE

Objetivos • Reconocer situaciones reales donde aparecen múltiplos y divisores de un número. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Sugerencias didácticas • Dialogue con los alumnos sobre la fotografía presentada, nombrando ejemplos de situaciones cotidianas donde calculamos multiplicaciones y divisiones para obtener el número de objetos que deseamos. • Lea y realice en común las actividades propuestas. Después, escriba en la pizarra otros ejemplos de productos que se adquieran en grupos de varias unidades y pida a los alumnos que inventen nuevas preguntas para contestar en común. • En Recuerda lo que sabes, repase con los alumnos los dos tipos de divisiones (exacta y entera) y las relaciones que se cumplen entre sus términos. Llame en especial la atención sobre la prueba de la resta y la relación entre la multiplicación y la división exacta.

1.

2.

3.

En los supermercados puedes encontrar dos tipos de productos: los que se venden por unidades y los que solo se venden en cajas, bolsas o paquetes de varias unidades juntas. Estos productos solo los puedes comprar de 2 en 2, de 3 en 3, de 10 en 10… ●

Di 5 productos que se suelan comprar por unidades sueltas y otros 5 productos que se vendan en cajas, bolsas, paquetes… de varias unidades.

●

Observa la fotografía y contesta.

4.

– Si compras 5 packs de zumos, ¿cuántos zumos tendrás? Y si compras 8 cajas de burritos, ¿cuántos burritos tendrás? – ¿Puedes comprar 20 burritos? ¿Cuántos paquetes de burritos son? ¿Puedes comprar 17 burritos? ¿Por qué? – Si necesitas 50 bombones para una fiesta, ¿cuántas cajas de bombones tendrás que comprar? ¿Cuántos te sobrarán?

46

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Aproveche el diálogo sobre la situación presentada en la fotografía para que los alumnos tomen conciencia de la necesidad de realizar cálculos matemáticos en muchas actividades cotidianas. Competencia social y ciudadana Comente con los alumnos la importancia de decidir qué necesitamos y queremos antes de comprarlo, fomentando el consumo responsable.

Otras formas de empezar • Muestre una bolsa o una caja y explique que tiene en ella una o varias monedas (o billetes) todos iguales. Plantee con esta situación las siguientes cuestiones, para resolver en común: – En la bolsa hay monedas de 2 €. ¿Cuánto dinero puede haber? – En la bolsa hay billetes de 5 €. En total hay más de 20 € y menos de 80 €. ¿Cuánto dinero puede haber? – En la bolsa hay 46 €. ¿Puede ser en monedas de 2 €? ¿Y en billetes de 10 €? – En la bolsa hay 30 €. ¿En qué monedas puede ser? ¿Y en qué billetes? Cambie después las cantidades de dinero, o el valor de las monedas y billetes, para realizar otros ejercicios similares.

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UNIDAD

División exacta y división entera ●

Soluciones

Una división es exacta si su resto es 0. En una división exacta se cumple que: D=d3c

●

Una división es entera si su resto es distinto de 0. En una división entera se cumple que: r,d

258 18 0

6 43

341 21 5

8 42

258 = 6 3 43

Página inicial

5,8 341 = 8 3 42 1 5

• R. M. Barra de pan, cuaderno, periódico, maceta y raqueta. Galletas, yogures, lápices de colores, pelotas de ping-pong y cromos.

D=d3c1r

• 5 3 3 5 15. Tendré 15 zumos. 8 3 2 5 16. Tendré 16 burritos. 20 : 2 5 10. Sí puedo. Son 10 paquetes. 17 : 2 es entera. No puedo. 50 : 14 ▶ c 5 3, r 5 8 14 3 4 5 56; 56 2 50 5 6 Tengo que comprar 4 cajas y sobrarán 6 bombones.

1. Calcula las siguientes divisiones y haz la prueba. Escribe debajo si es una división exacta o entera. ●

91 : 7

●

569 : 8

●

2.951 : 26

●

82 : 4

●

3.654 : 9

●

3.570 : 35

2. Escribe con los tres números de cada recuadro una multiplicación y dos divisiones. 35 5

9

8

7

20

15

80 4

72

6

90

VAS A APRENDER ●

3. Calcula en cada caso el número que falta. ●

63

5 42

●

3 5 5 90

●

30 3 60 5

●

63 :

59

●

: 4 5 32

●

400 : 25 5

37 36 35

31

A reconocer si un número es divisor de otro, y a obtener todos los divisores de un número.

●

A calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números.

32

10 34

33

●

A reconocer si un número es primo o compuesto.

: 30 :1

: 15 : 10

30

:6 :5

:2 :3

A reconocer si un número es múltiplo de otro, y a obtener múltiplos de un número.

●

4. Copia y completa.

30

4

Recuerda lo que sabes 1. c c c c c c

5 5 5 5 5 5

2. • 5 3 7 5 35 35 : 5 5 7 35 : 7 5 5 • 20 3 4 5 80 80 : 4 5 20 80 : 20 5 4 5 5 5 5 5 5

42 : 6 5 7 63 : 9 5 7 90 : 5 5 18 32 3 4 5 128 30 3 60 5 1.800 400 : 25 5 16

4. 10 10 10 10 10 10 10 10

3 3 3 3 3 3 3 3

05 15 25 35 45 55 65 75

Vocabulario de la unidad • Divisor • Ser divisible por • Mínimo común múltiplo (m.c.m.) • Máximo común divisor (m.c.d.) • Número primo y número compuesto

• 8 3 9 5 72 72 : 8 5 9 72 : 9 5 8 • 15 3 6 5 90 • 90 : 6 5 15 • 90 : 15 5 6

3. 47

• Múltiplo

13; r 5 0. Exacta. 20; r 5 2. Entera. 71; r 5 1. Entera. 406; r 5 0. Exacta. 113; r 5 13. Entera. 102; r 5 0. Exacta.

0 10 20 30 40 50 60 70

30 30 30 30 30 30 30 30

: : : : : : : :

30 5 1 1 5 30 2 5 15 3 5 10 556 655 10 5 3 15 5 2

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M

Múltiplos de un número Objetivos

Quique hace una colección de naves extraterrestres que venden en el kiosco. En cada bolsita hay 3 naves. ¿Puede comprar 12 naves? ¿Y 14 naves?

• Hallar múltiplos de un número. • Averiguar si un número es o no múltiplo de un número.

Según el número de bolsitas que compre, Quique puede tener estas naves: N.º de bolsitas N.º de naves


Aprender a aprender Haga observar a los alumnos que los múltiplos de 3 hallados coinciden con los primeros números de la tabla del 3. Anímeles así a relacionar los contenidos nuevos que van aprendiendo con conceptos ya conocidos.

2

3

4

5

332 6

333 9

334 12

335 15

Fíjate: ●

Quique puede no comprar ninguna nave o comprar 3, 6, 9, 12, 15… Los números 0, 3, 6, 9, 12, 15… son múltiplos de 3.

●

Quique no puede comprar 14 naves. El número 14 no es múltiplo de 3.

Para comprobar si un número es o no múltiplo de otro, hacemos una división. ¿Es 14 múltiplo de 3?

¿Es 12 múltiplo de 3? 12 0

3 4

14 2

La división es exacta. 12 5 3 3 4

3 4

La división es entera. 14 5 3 3 4 1 2 14 no es múltiplo de 3.

12 sí es múltiplo de 3.

●

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4…

●

Un número a es múltiplo de otro b si la división a : b es exacta.

●

Los seis primeros múltiplos de 2. ▶ 0, 2…

●

Los ocho primeros múltiplos de 6.

Los siete primeros múltiplos de 5.

●

Los diez primeros múltiplos de 9.

CÁ

2. Haz la división y contesta. Razona tu respuesta. ●


●


●


●


●


●


Natalia compra las latas de refresco en paquetes de 6. ¿Puede comprar 72 latas? ¿Y 82 latas?

48

Otras actividades

1. • • • •

• Escriba en la pizarra series cuyo criterio de formación sea sumar siempre el mismo número, para que los alumnos las calculen mentalmente y uno de ellos escriba los términos en la pizarra. Repita cada criterio en dos series, una comenzando por un múltiplo del número que se va a sumar y otra en la que no lo sea. Por ejemplo:

2. Sí. 42 : 7 es exacta. No. 60 : 8 es entera. No. 54 : 4 es entera. Sí. 135 : 5 es exacta. Sí. 156 : 12 es exacta. No. 378 : 16 es entera. 3. 72 : 6 es exacta. Sí puede. 82 : 6 es entera. No puede.

Res

3. Resuelve.

Soluciones 0, 2, 4, 6, 8 y 10 0, 5, 10, 15, 20, 25 y 30 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 y 81

1.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho. ●


1 331 3

Quique puede comprar 12 naves, pero no 14.

Para explicar • Comente con los alumnos cómo se halla cuántas naves puede comprar Quique. Explique, a partir de los productos obtenidos, el concepto de múltiplo y recuérdeles que el primer múltiplo siempre es 0. Luego, explique cómo podemos saber si un número es múltiplo o no de otro, según sea la división de ambos exacta o entera. Para reforzar • Relacione la situación planteada con la fotografía de la página inicial y ponga ejemplos de múltiplos con algunos productos nombrados.

0 330 0

– Suma 2 cada vez: 46, 48… – Suma 2 cada vez: 35, 37…

– Suma 5 cada vez: 60, 65… – Suma 5 cada vez: 72, 77…

En cada pareja de series, pregunte a los alumnos si el primer término es múltiplo o no del número que se suma y si creen que el resto de los términos serán o no múltiplos de él, y pídales que lo comprueben.

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4


UNIDAD

Objetivos

Ángela compra siempre los zumos en paquetes de 2 y los batidos en paquetes de 3. Hoy ha comprado el mismo número de zumos que de batidos y el menor número posible de ellos. ¿Cuántos zumos y cuántos batidos ha comprado hoy? ●

Compra paquetes de 2 zumos y de 3 batidos. 1.º Calcula los primeros múltiplos de cada número.

●

Compra tantos zumos como batidos. 2.º Busca los múltiplos comunes de ambos números.

●

Compra el menor número posible de zumos y de batidos. 3.º Busca el menor múltiplo común, distinto de cero.

▶ ▶

▶

• Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.m.

Múltiplos de 2 ▶ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12… Múltiplos de 3 ▶ 0, 3, 6, 9, 12, 15…


Múltiplos comunes ▶ 0, 6, 12…

Para explicar • Trabaje con los alumnos el problema frase a frase, razonando su significado y el cálculo matemático que deben realizar. Escriba en la pizarra los múltiplos de ambos números, rodee los comunes y pida a los alumnos que busquen el menor multiplo distinto de cero. Explique que este es el mínimo común múltiplo de 2 y 3 y escríbalo de forma abreviada.

El menor distinto de cero ▶ 6

Ángela ha comprado hoy 6 zumos y 6 batidos.

Este número se llama mínimo común múltiplo de 2 y 3, y se escribe m.c.m. (2 y 3). El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. ▶ m.c.m. (2 y 3) 5 6

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho.

2. Resuelve.

●

Los ocho primeros múltiplos de 4 y de 6. Los múltiplos comunes de 4 y 6. El mínimo común múltiplo de 4 y 6.

●

m.c.m. (2 y 5)

●

m.c.m. (8 y 10)

m.c.m. (3 y 9)

●

m.c.m. (9 y 12)

●

Fran y Raquel van a patinar a la misma pista. Fran va cada 4 días y Raquel, cada 5 días. Hoy han ido los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir por primera vez en la pista de patinaje?

CÁLCULO MENTAL Resta 1.001, 2.001, 3.001... 2 2.001

3.875

2 2.000

1.875

21

1.874

3.256 2 1.001

4.513 2 4.001

7.998 2 6.001

5.748 2 3.001

7.912 2 5.001

9.031 2 8.001

●

¿Cómo restarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Y 1.004?

●

¿Cómo restarías 4.002? ¿Y 5.003?

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de cálculo del m.c.m. de tres o más números. Señale que el proceso a seguir es el mismo que ya conocen para dos números: 1.º Escribir los primeros múltiplos de cada número. 2.º Seleccionar los múltiplos comunes a todos ellos. 3.º Elegir el menor múltiplo común distinto de cero.

m.c.m. (6, 10 y 12) m.c.m. (10, 20 y 50)

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre releer y explicar un procedimiento que aparece en la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y escriba en la pizarra el título del epígrafe de esta página para que los alumnos, señalando las palabras de derecha a izquierda, expliquen los tres pasos trabajados.

Soluciones 49

Por ejemplo: m.c.m. (2, 3 y 5) m.c.m. (4, 6 y 9)

4

1. • 4 ▶ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28 6 ▶ 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42 Comunes: 0, 12 y 24 m.c.m. (4 y 6) 5 12 • m.c.m. (2 y 5) 5 10 • m.c.m. (3 y 9) 5 9 • m.c.m. (8 y 10) 5 40 • m.c.m. (9 y 12) 5 36 2. m.c.m. (4 y 5) 5 20. Volverán a coincidir dentro de 20 días.

Cálculo mental • 2.255 512 1.997 2.747 2.911 1.030 • Primero resto 1.000 y después 2, 3 o 4, respectivamente. • Resto 4.000 y después 2. Resto 5.000 y después 3.

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C

Divisores de un número Objetivos

Marta va a pegar 21 fotografías en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Puede poner 3 fotos en cada hoja? ¿Y 4 fotos?

• Reconocer si un número es o no divisor de otro. • Reconocer y aplicar la relación múltiplo-divisor.

●

21 0


●

Para explicar • Resuelva en común el problema y, a partir de la solución, explique el concepto de divisor. • Muestre que, en una división exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores del dividendo y este es múltiplo de ambos. Verbalice siempre las dos relaciones: … es múltiplo de … y … es divisor de …


Si pone 3 fotos en cada hoja: 3 7

No le sobra ninguna foto. La división es exacta.

▶

Sí puede poner 3 fotos en cada hoja. El número 3 es divisor de 21.

▶

No puede poner 4 fotos en cada hoja. El número 4 no es divisor de 21.

Si pone 4 fotos en cada hoja: 21 1

4 5

Le sobra 1 foto. La división es entera.

Fíjate: 21 es múltiplo de 3. 3 es divisor de 21.

La división 21 : 3 es exacta.

●

Un número b es divisor de otro a si la división a : b es exacta.

●

Si b es divisor de a, a es múltiplo de b, y si a es múltiplo de b, b es divisor de a.

1. 1. Haz cada división y contesta. Razona tu respuesta. ●


●


●


●


●


●


2. Observa los términos de cada división exacta y completa.

Tratamiento de la información Insista en la relación múltiplo-divisor, comentando que la expresión de una relación entre dos números nos informa también de la relación inversa.

2.

30 : 5 5 6

56 : 8 5 7

28 : 7 5 4

45 : 9 5 5

30 es … de 5. 5 es … de 30.

56 es … de 8. 8 es … de 56.

… es múltiplo de … … es divisor de …

… es múltiplo de … … es divisor de …

54 : 6 5 9 y 54 : 9 5 6

▶

3.

… es múltiplo de … y de … … y … son divisores de …

3. Resuelve.

Soluciones 1. No. 46 : 6 es entera. Sí. 72 : 9 es exacta. Sí. 80 : 5 es exacta. No. 186 : 8 es entera. Sí. 544 : 17 es exacta. Sí. 456 : 24 es exacta. 2. • 30 es múltiplo de 5. 5 es divisor de 30. • 56 es múltiplo de 8. 8 es divisor de 56. • 28 es múltiplo de 7. 7 es divisor de 28. • 45 es múltiplo de 9. 9 es divisor de 45. • 54 es múltiplo de 6 y de 9. 6 y 9 son divisores de 54.

4.

Rafa ha hecho 40 croquetas. ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos sin que le sobre ninguna? ¿Y en 9 platos?

50

Otras actividades • Pida a los alumnos que completen las siguientes frases, para trabajar la relación múltiplo-divisor: – El número 20 (24, 30, 42…) es múltiplo de … – El número 3 (4, 5, 10…) es divisor de … Razone con ellos que para completar las frases del primer tipo, han hallado un divisor del número dado, y que para completar las frases del segundo tipo han calculado un múltiplo del número.

3. • 40 : 8 5 5. Sí puede repartirlas en 8 platos. • 40 : 9 es entera. No puede repartirlas en 9 platos.

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4

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5 Jorge quiere saber si los números 42 y 65 son divisibles por 2, 3 o 5, es decir, si 42 y 65 son múltiplos de 2, de 3 o de 5. Puede hacer la división pero, en estos casos, es más fácil aplicar estas reglas. ●

▶

sí es par

●

Para explicar • Comente que los criterios de divisibilidad solo son reglas que facilitan el cálculo. Explique los tres y ponga varios ejemplos para resolver colectivamente.

no es par

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 42 ▶ 42 sí es divisible por 3.

65 ▶ 65 no es divisible por 3.

4 1 2 5 6; 6 sí es múltiplo de 3

6 1 5 5 11; 11 no es múltiplo de 3

Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. 42 ▶ 42 no es divisible por 5.

65 ▶ 65 sí es divisible por 5.

no es 0 ni 5

sí es 5

• Lea el bocadillo de la ilustración y explique que las tres expresiones indican lo mismo. Trabájelas con distintos números.

1. Escribe y comprueba. 4? 6?

●

Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todos los números que obtienes?

●

Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifras de cada número. ¿Es siempre la suma un múltiplo de 3?

●

Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todos los números en 0 o en 5?

Para reforzar • Aproveche los ejemplos de inferencias que aparecen en la página 12 del manual de ESTUDIO EFICAZ y plantee la actividad 3 para que los alumnos descubran y verbalicen el criterio de divisibilidad por 10.

2. Observa los números del recuadro y contesta. Explica por qué. 45 70

81 125

… …

52 94 231

●

¿Qué números son múltiplos de 2?

●

¿Qué números son divisibles por 3?

●

¿De qué números es 5 un divisor?

3. Calcula y contesta.

Soluciones

Escribe los doce primeros múltiplos de 10 y subraya la última cifra de cada uno. ¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo de 10?

4. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Pon un ejemplo que explique cada respuesta. ●

¿Es 0 múltiplo de todos los números?

●

¿Es 1 divisor de todos los números?

●

¿Es cualquier número múltiplo de sí mismo?

●

¿Es cualquier número divisor de sí mismo?

51

Otras actividades • Plantee a los alumnos la siguiente pregunta para que razonen y expliquen la respuesta: El número 2 es un número primo. ¿Existe otro número par que sea primo? ¿Por qué? • Plantee a los alumnos las siguientes preguntas para que descubran el criterio de divisibilidad por 6. Después, pídales que escriban los números 42, 54, 60, 87, 96, 108… y lo comprueben. – El número 6 es divisible por 2 y también es divisible por 3. – ¿Serán todos los múltiplos de 6 divisibles por 2 y también por 3? – ¿Podemos afirmar que si un número es divisible por 2 y por 3, también es divisible por 6?

• Reconocer si un número es divisible por 2, por 3 o por 5.


65 ▶ 65 no es divisible por 2.

42 sí es divisible por 2.

4

Objetivos 6 es múltiplo de 2. 6 es divisible por 2. 2 es divisor de 6.

Un número es divisible por 2 si es un número par. 42

●

UNIDAD

1. • 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Sí, todos los números son pares. • 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Sí, la suma de las cifras es un múltiplo de 3. • 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Sí, todos los números terminan en 0 o en 5. 2. • Son múltiplos de 2: 52, 70 y 94, porque son pares. • Son divisibles por 3: 45, 81 y 231, porque la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. • 5 es un divisor de: 45, 70 y 125, porque terminan en 0 o en 5. 3. • 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110. Un número es múltiplo de 10 si su última cifra es 0. 4. • • • •

Sí. 0 5 a 3 0 Sí. a 5 a 3 1 Sí. a : 1 5 a Sí. a : a 5 1

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Cálculo de todos los divisores de un número Objetivos

N

Roberto tiene 8 f lores para colocar en jarrones. Quiere poner en cada jarrón el mismo número de f lores y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas f lores puede poner en cada jarrón?

• Calcular todos los divisores de un número.

Calcula todos los divisores de 8 de la siguiente manera:


1.º Divide 8 entre los números naturales: 1, 2, 3… De cada división exacta, obtienes dos divisores: el divisor y el cociente.

Para explicar • Lea el problema propuesto y resuélvalo en la pizarra como aplicación del concepto de divisor trabajado en la página 50. Haga especial hincapié en el orden para no olvidar ninguno y en la obtención de dos divisores de cada división exacta.

2.º Deja de dividir cuando el cociente sea igual o menor que el divisor.

8 0 Divisores:

1 8

8 0

2 4

8 2

3 2

▼

▼

▼

1y8

2y4

no

→ 2 , 3, deja de dividir.

Los divisores de 8 son: 1, 2, 4 y 8. Puede poner 1, 2, 4 u 8 f lores en cada jarrón.

1.

1. Calcula todos los divisores de cada número. Explica cómo lo haces.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Ponga ejemplos de ocasiones en las que la obtención de los divisores de un número es útil para presentar de forma ordenada y estética el resultado de nuestro trabajo.

● ●

De 6: 1, 2, 3 y 6. De 7: 1 y 7. De 9: 1, 3 y 9. De 10: 1, 2, 5 y 10. De 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. De 15: 1, 3, 5 y 15. De 17: 1 y 17. De 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. • De 35: 1, 5, 7 y 35. • De 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.

2. • Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. En cada bolsita puede poner 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 caramelos. • Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Cada grupo puede ser de 1, 2, 4, 5, 10 o 20 alumnos. • Divisores de 27: 1, 3, 9 y 27. En cada paquete pueden poner 1, 3, 9 o 27 libros.

●

De 7

●

De 9

●

De 10

●

De 12

●

De 15

●

De 17

●

De 35

De 24

●

De 42

2.

2. Resuelve. ●

Eva tiene 30 caramelos. Los quiere repartir en bolsitas, todas con el mismo número de caramelos, de forma que no le sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos puede poner en cada bolsita?

●

El profesor de Javier quiere hacer equipos con los 20 alumnos que hay en la clase, todos con el mismo número de niños y sin que quede ninguno solo. ¿De cuántos alumnos puede formar cada grupo?

●

En una biblioteca quieren hacer paquetes con 27 libros, de manera que haya el mismo número de libros en cada paquete y no sobre ningún libro. ¿Cuántos libros pueden poner en cada paquete?

Soluciones 1. • • • • • • • •

De 6

CÁ

Res


¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Y todos los divisores de un número?

●

¿Cuántos divisores tiene como mínimo un número? ¿Cuáles son?

52

Otras actividades • Comente a los alumnos que en la antigüedad los griegos fueron grandes aficionados a los números y que descubrieron muchas curiosidades sobre ellos. Por ejemplo, sumaban todos los divisores de un número menos él mismo. Si sumaban más que el número decían que ese número era «abundante»; si sumaban menos, decían que era «deficiente», y si sumaban igual, era «perfecto». Escriba en la pizarra los números 12, 10 y 6 y compruebe en común que son un número abundante, uno deficiente y uno perfecto, respectivamente. Después, anímelos a que busquen otros ejemplos de cada tipo de número.

3. • No. Sí. • Dos divisores: 1 y él mismo.

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o

4

Números primos y compuestos

UNIDAD

Objetivos

Marcos tiene 13 cartas y Rocío, 14. Cada uno quiere repartir sus cartas en montones, de forma que cada montón tenga el mismo número de cartas y no sobre ninguna. ¿Cuántas cartas puede poner Marcos en cada montón? ¿Y Rocío?

• Reconocer si un número es primo o compuesto.

Calcula los divisores de 13.

Calcula los divisores de 14.

Divisores de 13 ▶ 1 y 13

Divisores de 14 ▶ 1, 2, 7 y 14

Marcos solo puede hacer los montones de dos formas: poniendo 1 o 13 cartas en cada montón.

Rocío puede hacer los montones de cuatro formas distintas: poniendo 1, 2, 7 o 14 cartas en cada montón.

El número 13 solo tiene dos divisores. Por eso se llama número primo.

El número 14 tiene más de dos divisores. Por eso se llama número compuesto.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema propuesto y calcule en común los divisores de cada número. Indique, con los números 13 y 14, cuándo un número es primo o compuesto y ponga otros ejemplos para clasificar colectivamente.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

• Comente que todo número es primo o compuesto porque todo número tiene como mínimo los divisores 1 y él mismo.

1. Calcula todos los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. 8

10

12

17

21

23

24

25

29

2. Escribe los números del 2 al 30 y sigue estos pasos para hallar los que son primos.

2

3

4

5

6

1.º El 2 es primo, rodéalo. Desde 2, cuenta de 2 en 2 y tacha los múltiplos de 2.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

2.º El 3 es primo, rodéalo. Desde 3, cuenta de 3 en 3 y tacha los múltiplos de 3 que no estén ya tachados. 3.º El 5 es primo, rodéalo. Desde 5, cuenta de 5 en 5 y tacha los múltiplos de 5 que no estén ya tachados.

4

• En la actividad 2 se realiza la criba de Eratóstenes, para obtener los primeros números primos. Anime a los alumnos a fijarse en ellos pues les resultará muy práctico al trabajar contenidos posteriores.

4.º Los números no tachados son primos. Rodéalos.

CÁLCULO MENTAL

Soluciones

Resta 999, 1.999, 2.999... 2 1.999

3.875

2 2.000

1.875

11

1.876

2.417 2 999

6.268 2 3.999

8.145 2 6.999

5.832 2 2.999

8.613 2 4.999

9.279 2 7.999

●

¿Cómo restarías 998? ¿Y 997? ¿Y 996?

●

¿Cómo restarías 1.998? ¿Y 2.997?

53

Otras actividades • Explique los pasos para escribir un número en forma de producto de números primos; por ejemplo, el número 30: 1.º Divide el número entre un número primo, empezando por 2 hasta que la división sea exacta. 2.º Toma el cociente obtenido como dividendo y repite el 1.er paso, empezando con el mismo divisor que el de la última división. 3.º Repite el 2.º paso hasta que el cociente sea 1. 4.º Escribe el número como un producto en el que los factores son los divisores de las divisiones exactas. 30 : 2 5 15 ▶ 15 : 2 15 : 3 5 5 ▶ 5 : 3 5 : 5 5 1 ▶ 30 5 2 3 3 3 5

1. • 8 ▶ 1, 2, 4 y 8. Compuesto. • 10 ▶ 1, 2, 5 y 10. Compuesto. • 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Compuesto. • 17 ▶ 1 y 17. Primo. • 21 ▶ 1, 3, 7 y 21. Compuesto. • 23 ▶ 1 y 23. Primo. • 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Compuesto. • 25 ▶ 1, 5 y 25. Compuesto. • 29 ▶ 1 y 29. Primo. 2. • Los números primos del 2 al 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Cálculo mental • 1.418 2.269 1.146 2.833 3.614 1.280 • Resto 1.000 y después sumo 2, 3 o 4, respectivamente. • Resto 2.000 y sumo 2. Resto 3.000 y sumo 3.

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Máximo común divisor Objetivos

Para hacer un juego con tarjetas, Alex quiere cortar una cartulina de 16 cm de largo y 12 cm de ancho en cuadrados iguales, de forma que sean lo más grandes posible y que no le sobre ningún trozo de cartulina. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

• Calcular el máximo común divisor de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.d.

●


No quiere que le sobre ningún trozo de cartulina, ni de largo ni de ancho. 1.º Calcula los divisores de cada número.

Para empezar • Escriba en la pizarra «mínimo común múltiplo de dos números» y recuerde que es el menor de los múltiplos comunes de ambos números, sin contar el cero. A continuación, escriba debajo «máximo común divisor de dos números» y anime a los alumnos a definirlo de manera similar: es el mayor de los divisores comunes de ambos números. Para explicar • Explique y trabaje el máximo común divisor de forma similar a como se hizo con el mínimo común múltiplo. Comente colectivamente el enunciado, frase a frase, y escriba en la pizarra los divisores de ambos números, rodee aquellos divisores que son comunes y pida a los alumnos que busquen el divisor mayor.

4.

●

Quiere hacer cuadrados, por lo que el largo tiene que ser igual que el ancho. Quiere hacer cuadrados lo más grandes posible. 3.º Busca el mayor de los divisores comunes.

▶ ▶

1, 2, 4, 8 y 16 1, 2, 3, 4, 6 y 12

▶ Divisores comunes

2.º Busca los divisores comunes de ambos números. ●

Divisores de 16 ▶ Divisores de 12

▶

1, 2 y 4

▶ El mayor divisor común

▶

4

5.

El lado de cada cuadrado medirá 4 cm.

Este número se llama máximo común divisor de 16 y 12, y se escribe m.c.d. (16 y 12). El máximo común divisor de 16 y 12 es 4. ▶ m.c.d. (16 y 12) 5 4

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho. ●

Los divisores de 20 y de 30. Los divisores comunes de 20 y 30. El máximo común divisor de 20 y 30.

●

m.c.d. (4 y 12)

●

m.c.d. (18 y 27)

●

m.c.d. (9 y 14)

●

m.c.d. (24 y 32)

2. Resuelve. Laura tiene una cuerda roja de 6 m y otra azul de 8 m. Quiere cortarlas en trozos, todos de la misma longitud y lo más largos posible, de manera que no le sobre ningún trozo de cuerda. ¿Cuánto medirá cada trozo de cuerda?

6.

3. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja de números. RECUERDA

10 y 15

m.c.m. ▶ menor múltiplo común distinto de 0. m.c.d.

▶

mayor divisor común.

m.c.m. (10 y 15) 5 … m.c.d. (10 y 15) 5 … m.c.m. (12 y 20) 5 …

12 y 20

m.c.d. (12 y 20) 5 …

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Al trabajar los problemas propuestos fomente en los alumnos la lectura comprensiva y la iniciativa para elegir el cálculo del m.c.m. o el m.c.d., así como la autonomía en el procedimiento a seguir. Competencia lingüística Fomente en los alumnos la expresión oral, pidiéndoles que expliquen con sus palabras el enunciado de cada problema, justifiquen la elección del cálculo realizado y expliquen el procedimiento de resolución de forma ordenada y utilizando con rigor el vocabulario matemático correspondiente.

54

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de cálculo del m.c.d. de tres o más números. Señale que el proceso que deben seguir es el mismo que ya conocen para dos números: 1.º Determinar todos los divisores de cada número. 2.º Seleccionar los divisores comunes a todos ellos. 3.º Elegir el mayor divisor común. Por ejemplo: m.c.d. (4, 6 y 10) m.c.d. (12, 30 y 45)

m.c.d. (18, 30 y 50) m.c.d. (24, 30 y 42)

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4 4. Piensa si tienes que calcular el m.c.m. o el m.c.d. y resuelve. ●

Toma las medicinas cada 8 o 12 horas. ¿Calculo múltiplos o divisores?

●

UNIDAD

Luis está enfermo. El médico le ha mandado tomar un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas volverá a tomar por primera vez las dos medicinas juntas?

Soluciones 1. • De 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 De 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Comunes: 1, 2, 5 y 10 m.c.d. (20 y 30) 5 10 • m.c.d. (4 y 12) 5 4 • m.c.d. (9 y 14) 5 1 • m.c.d. (18 y 27) 5 9 • m.c.d. (24 y 32) 5 8

Preguntan por la primera vez que coinciden. ¿Calculo el máximo o el mínimo?

En una frutería tienen 20 kg de peras y 16 kg de manzanas. Preparan unas cajas con manzanas y otras con peras, todas del mismo peso, lo más grandes posible y sin que sobre fruta. ¿Cuánto pesa cada caja? – Cajas iguales sin que sobre fruta. ▶ ¿Calculo múltiplos o divisores? – Las cajas son lo más grandes posible. ▶ ¿Calculo el máximo o el mínimo?

2. • m.c.d. (6 y 8) 5 2 Cada trozo medirá 2 m.

5. Calcula el m.c.m. o el m.c.d. y contesta. ●

4

●

Óscar tiene un bidón con 10 litros de agua y otro con 8 litros de naranjada. Echa el líquido de cada bidón en varias botellas, todas iguales, y no le sobra nada de agua ni de naranjada en los bidones. ¿Qué capacidad tendrán, como máximo, las botellas?

En un juego de ordenador, Tomás dispara a los globos rojos, que valen 6 puntos, y Nieves a los globos azules, que valen 4 puntos. Los dos niños han obtenido al final la misma puntuación. ¿Cuál es el menor número de puntos que han podido sacar?

3. • m.c.m. (10 y 15) 5 30 m.c.d. (10 y 15) 5 5 • m.c.m. (12 y 20) 5 60 m.c.d. (12 y 20) 5 4 4. • m.c.m. (8 y 12) 5 24 Dentro de 24 horas. • m.c.d. (20 y 16) 5 4 Cada caja pesa 4 kg.

●

o

Maite ha regado hoy los geranios y los cactus de la terraza. Riega los geranios cada 3 días y los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienen que pasar como mínimo hasta que Maite vuelva a regar las dos plantas el mismo día?

6. RAZONAMIENTO. Calcula y completa. Después, contesta.

●

20 es … de 4

6 es … de 18

m.c.d. (20 y 4) 5 …

m.c.d. (6 y 18) 5 …

m.c.m. (20 y 4) 5 …

m.c.m. (6 y 18) 5 …

Si un número es múltiplo o divisor

otro, ¿cuál es el m.c.d. de ambos ▶ denúmeros? ¿Y el m.c.m.?

Pon tres ejemplos de un número múltiplo de otro y comprueba tu respuesta.

55

Otras actividades • Escriba en la pizarra los números 10 y 21 e indique a los alumnos que calculen los divisores de cada número y rodeen los comunes. Divisores de 10: 1 , 2, 5 y 10

Divisores de 21: 1 , 3, 7 y 21

Comente que el número 10 no es primo y el número 21 tampoco, pero solo tienen en común el divisor 1. Explique que a estos números se les llama primos entre sí (sean o no primos).

5. • m.c.d. (8 y 10) 5 2 Las botellas tendrán, como máximo, 2 litros de capacidad. • m.c.m. (6 y 4) 5 12 El menor número de puntos que han podido sacar es 12. • m.c.m. (3 y 9) 5 9 Como mínimo tienen que pasar 9 días. 6. • 20 es múltiplo de 4. m.c.d. (20 y 4) 5 4 m.c.m. (20 y 4) 5 20 • 6 es divisor de 18. m.c.d. (6 y 18) 5 6 m.c.m. (6 y 18) 5 18 Si un número es múltiplo o divisor de otro, el m.c.d. de ambos es el divisor y el m.c.m. es el múltiplo. • R.L. Compruebe en común algunos de los ejemplos aportados.

A continuación, escriba en la pizarra varias parejas de números, por ejemplo: 6 y 7, 9 y 15, 5 y 11, 8 y 25… Pídales que averigüen en cada caso si son o no primos entre sí y, después, calculen el m.c.d. y el m.c.m. de cada pareja. Hágales observar que el m.c.d. es siempre 1 y el m.c.m. es el producto de ambos.

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Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Explica qué son el m.c.m. y el m.c.d., y cómo se hallan.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Aprender a aprender La resolución de estas actividades favorece en el alumno la capacidad de autoevaluar sus progresos en el aprendizaje, potenciando la responsabilidad y el afán de superación.

●

2. Escribe los diez primeros múltiplos de cada 6

15

12 ●

m.c.m. (8 y 12)

m.c.d. (8, 12 y 16) 5 …

●

m.c.m. (6 y 10)

●

m.c.m. (12 y 15)

m.c.d. (15, 18 y 24) 5 …

8. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de cada pareja

3. Calcula y contesta. ●

¿Es 138 múltiplo de 6? ¿Y de 8?

●

¿Es 8 divisor de 132? ¿Y de 216?

3. • • • • •

Sí. No. No. Sí. Sí. Sí. No.

(6 y 8) 5 24 (6 y 10) 5 30 (8 y 12) 5 24 (12 y 15) 5 60

de números primos. Después, contesta. 2y3

¿Es 96 divisible por 2?

●


●


19

36

28

●

¿Cuáles de estos números son números primos? ¿Por qué?

●

¿Cuáles de estos números son números compuestos? ¿Por qué?

5. Halla todos los divisores y calcula. ● ●

m.c.d. (12 y 15)

●

m.c.d. (16 y 40)

m.c.d. (30 y 50)

●

m.c.d. (48 y 72)

8 es múltiplo de 2. ●

¿Son todos los múltiplos de 8 también múltiplos de 2?

●

¿Son todos los múltiplos de 2 también múltiplos de 8? 6 es divisor de 12.

●

¿Son todos los divisores de 6 también divisores de 12?

●

¿Son todos los divisores de 12 también divisores de 6?

10. Averigua y escribe. ●

Los números menores que 70 que son múltiplos de 3 y de 5.

●

Los divisores de 24 que no son divisores de 8.

●

Un número mayor que 20 y menor que 30. Dos de sus divisores son 2 y 3.

●

Un número mayor que 10 y menor que 40. Es múltiplo de 6. No es múltiplo de 4 ni de 9.

6. Completa. 3 y 18

3 y 11


4. Halla todos los divisores de cada número.

23

5y7

4 y 32

… es múltiplo de …

… es divisor de …

m.c.d. (3 y 18) 5 …

m.c.d. (4 y 32) 5 …

m.c.m. (3 y 18) 5 …

m.c.m. (4 y 32) 5 …

56

4. • 18 ▶ 1, 2, 3, 6, 9 y 18 19 ▶ 1 y 19 23 ▶ 1 y 23 28 ▶ 1, 2, 4, 7, 14 y 28 36 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 • Son primos los números 19 y 23, porque solo tienen dos divisores: el 1 y ellos mismos. • Son compuestos los números 18, 28 y 36, porque tienen más de dos divisores. 5. • • • •

m.c.d. m.c.d. m.c.d. m.c.d.

(12 (30 (16 (48

y y y y

15) 5 50) 5 40) 5 72) 5

3 10 8 24

Otras actividades • Indique a los alumnos que escriban en una hoja los diez primeros múltiplos de los números 3, 4, 6 y 8, y en otra hoja todos los divisores de los números 10, 12, 15 y 20. Después, pídales que, mirando la hoja correspondiente, digan cuál es el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja y de cada trío de números. El m.c.m. de: 3y4 3y6 3y8

4y6 4y8 6y8

3, 4 y 6 3, 4 y 8 3, 6 y 8 4, 6 y 8

El m.c.d. de: 10 y 12 10 y 15 10 y 20

12 y 15 12 y 20 15 y 20

10, 12 y 15 10, 12 y 20 10, 15 y 20 12, 15 y 20

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12

¿Cuál es el m.c.d. de dos números primos? ¿Y el m.c.m.?

●

Soluciones

m.c.m. m.c.m. m.c.m. m.c.m.

El máximo común divisor de tres números es …

m.c.m. (6 y 8)

18

2. • • • •

●

●

Después, contesta.

1. • El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números. • El m.c.d. de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números.

El mínimo común múltiplo de tres números es … m.c.m. (2, 4 y 5) 5 …

10

8

11

m.c.m. (3, 6 y 8) 5 …

número. Después, calcula.



7. Completa y calcula.

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ER

A

ja

4 UNIDAD

11. Observa cuántas unidades tiene cada paquete y contesta.

3 cromos

●

Luis quiere repartir 28 bolígrafos azules y 20 rojos en botes, de manera que en cada bote haya el mismo número de bolígrafos, todos del mismo color, y que no sobre ninguno. ¿Cuántos bolígrafos como máximo puede meter en cada bote?

●

De una estación salen dos líneas de autocares. Los autocares de la línea A salen cada 4 horas y los de la línea B cada 6 horas. A las 7 de la mañana sale un autocar de cada línea. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que vuelven a salir los dos a la misma hora? ¿A qué hora es?

24 tizas

●

¿Se pueden comprar 10 cromos? ¿Y 40 pilas? ¿Y 96 tizas?

●

¿Cuántos cromos, pilas y tizas se pueden comprar? Escribe dos posibles cantidades de cada producto.

Toni tiene que envasar 45 rosquillas en cajas iguales. ¿Qué caja puede utilizar para que no sobre ninguna rosquilla? 8

10

15

¿Puede meter otro número de rosquillas en cada caja? ¿Cuántas?

●

Carmen tiene una finca rectangular de 12 m de largo y 8 m de ancho. Quiere dividirla en parcelas cuadradas iguales lo más grandes posible. ¿Cuántos metros medirá el lado de cada parcela?

Hacer grupos iguales

ERES CAPAZ DE… Alba está organizando un fin de semana de juegos en el campo. ● Piensa hacer grupos de 3 personas para jugar a la carretilla, de 4 para las carreras de relevos y de 5 para un juego de pistas. Quiere llevar al menor número de personas de forma que al hacer los grupos nadie se quede sin jugar. ¿A cuántas personas llevará Alba?

n

40.

13. Resuelve.

12. Observa y resuelve.

s?

30.

8 pilas

●

57

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen esta tabla: Unidad 4. Múltiplos y divisores Lo que he aprendido

Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos Máximo común divisor

8. • m.c.d. (2 y 3) 5 1 m.c.m. (2 y 3) 5 6 • m.c.d. (5 y 7) 5 1 m.c.m. (5 y 7) 5 35 • m.c.d. (3 y 11) 5 1 m.c.m. (3 y 11) 5 33 El m.c.d. de dos números primos es 1 y el m.c.m. es el producto de ambos. • No. • No. • 24 • 30

11. • 10 cromos: no. 40 pilas: sí. 96 tizas: sí. • R. M. 6 y 9 cromos, 16 y 32 pilas, y 48 y 72 tizas.

– Si Alba decide llevar el menor número posible de tiendas, ¿cuántas tiendas llevará y cuántas personas dormirán en cada tienda?

Divisores de un número

7. • Es el menor múltiplo común, distinto de cero de dichos números. m.c.m. (3, 6 y 8) 5 24 m.c.m. (2, 4 y 5) 5 20 • Es el mayor divisor común de dichos números. m.c.d. (8, 12 y 16) 5 4 m.c.d. (15, 18 y 24) 5 3

10. • 0, 15, 30, 45 y 60 • 3, 6, 12 y 24

– ¿Cuántas personas pueden dormir en cada tienda, de manera que en todas las tiendas haya el mismo número de personas?


6. • 18 es múltiplo de 3. m.c.d. (3 y 18) 5 3 m.c.m. (3 y 18) 5 18 • 4 es divisor de 32. m.c.d. (4 y 32) 5 4 m.c.m. (4 y 32) 5 32

9. • Sí. • Sí.

Para dormir, va a llevar tiendas de campaña, todas iguales. Debe elegir entre varios tamaños de tienda: las hay de 4, 5, 6… hasta 10 personas.

Múltiplos de un número

4


12. • Las cajas de 15 rosquillas. También puede utilizar cajas de 1, 3, 5, 9 y 45 rosquillas. 13. • m.c.d. (28 y 20) 5 4 Puede meter 4 bolígrafos. • m.c.m. (4 y 6) 5 12 Pasan 12 horas. A las 7 de la tarde. • m.c.d. (12 y 8) 5 4 El lado medirá 4 m.

Eres capaz de… • m.c.m. (3, 4 y 5) 5 60 Alba llevará a 60 personas. • Divisores de 60 entre 4 y 10: 4, 5, 6 y 10. Pueden dormir 4, 5, 6 o 10 en cada tienda. 60 : 10 5 6. Llevará 6 tiendas y dormirán 10 personas en cada tienda.

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Solución de problemas Hacer una tabla Objetivos • Hacer una tabla que recoja los números que cumplen las condiciones del enunciado de un problema para resolverlo.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema resuelto y plantee posibles soluciones para que los alumnos razonen si son válidas o no. Aproveche para comentar las condiciones del problema, plantearlas matemáticamente y construir la tabla en la pizarra. Razone colectivamente la solución, a partir de los números de la tabla. Corrija en común las actividades propuestas.

EJE

En algunos problemas, es útil hacer una tabla que recoja los números que cumplen ciertas condiciones. Resuelve estos problemas de esa manera.

1.

Lourdes colecciona muñecas. Tiene menos de 40. Al agruparlas de 6 en 6 sobra 1 muñeca, y al agruparlas de 7 en 7 sobran 2 muñecas. ¿Cuántas muñecas tiene Lourdes?

▶ Vamos a hacer una tabla en la que pondremos los números que cumplen cada condición del enunciado del problema.

2.

Los números que cumplen la primera condición se forman al multiplicar 6 por 1, 2, 3… y sumar 1 al resultado. Los anotamos en la primera fila de la tabla.

3.

De la misma forma, los números que cumplen la segunda condición se forman al multiplicar 7 por 1, 2, 3… y sumar 2 al producto. Los anotamos en la segunda fila de la tabla. De 6 en 6 sobra 1

63111

63211

63311

63411

63511

7

13

19

25

31

63611 37

De 7 en 7 sobran 2

73112

73212

73312

73412

73512

73612

9

16

23

30

37

44

El número de muñecas que tiene Lourdes es el número que está en ambas filas, ya que cumple las dos condiciones del enunciado. Es el número 37.

4.

Solución: Lourdes tiene 37 muñecas.

Competencias básicas Tratamiento de la información La organización de datos o expresión numérica de condiciones en tablas fomenta en los alumnos el orden y la sistematización en la obtención y manejo de información.

1. Pedro tiene menos de 60 canciones en su mp3. Si las agrupa de 7 en 7, le sobran 3, y si las agrupa de 8 en 8, le quedan 4. ¿Cuántas canciones tiene Pedro en su mp3?

5. 2. En una cesta hay huevos. Son menos de 60. Al agruparlos en docenas sobran 7, mientras que al agruparlos de 5 en 5 no sobra ninguno. ¿Cuántos huevos hay en la cesta?

3. Un cuento tiene menos de 35 páginas. Al agruparlas de 2 en 2 no sobra ninguna, al agruparlas de 3 en 3 tampoco sobra ninguna y al agruparlas de 4 en 4 sobran 2. ¿Cuántas páginas tiene el cuento? ¿Hay más de una solución?

4. INVENTA. Escribe un problema que pueda resolverse con una tabla. Puedes hacerlo similar a los problemas de esta página.

Soluciones 1. De 7 en 7: 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59. De 8 en 8: 12, 20, 28, 36, 44, 52. Pedro tiene 52 canciones. 2. En docenas: 19, 31, 43, 55 De 5 en 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55. Hay 55 huevos. 3. De 2 en 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,30, 32, 34. De 3 en 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. De 4 en 4: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34. Puede tener 6, 18 o 30 páginas. Hay más de una solución.

58

Otras actividades • Proponga a los alumnos otros problemas similares. Por ejemplo: En la clase de Álvaro hay menos de 35 alumnos. Si colocan las mesas de 3 en 3 o de 4 en 4, no sobra ninguna, pero si las colocan de 5 en 5, el último grupo solo tiene 4. ¿Cuántos alumnos hay en la clase de Álvaro? Al final, relacione las condiciones del problema anterior con los conceptos de múltiplo y divisor trabajados en la unidad. Comente que la solución será un múltiplo de 3 y de 4, pero no de 5. Pida a los alumnos que lo comprueben.

4. R. L.

58 124603 _ 0086-0101.indd

100

9/7/09

12:43:25

4

Repasa

UNIDAD

igualdades sean ciertas.

1. Completa las oraciones. ●

La potencia 35 se lee ... Su base es ... y su ... es 5.

●

El cuadrado de 6 es … y la raíz cuadrada de … es 6.

●

La raíz cuadrada de 49 es … y el cuadrado de … es 49.

1

√25

●

√16

●

√100

2 4

2. Calcula. ●

Soluciones

6. Coloca los números para que las dos

EJERCICIOS

●

√64

3. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el esquema. NÚMEROS ENTEROS

3 5

6

●

3(

2

) 5 12

●

1

3

5 22

PROBLEMAS

7. Marta baja de su casa al segundo piso del garaje. Coge la caja de herramientas que está en el maletero de su coche y sube 7 pisos para ir al trastero. ¿En qué piso está el trastero de Marta?

cosiendo 64 piezas de tela cuadradas. ¿Cuántas piezas hay en cada lado de la alfombra?

…

4. Ordena de menor a mayor. 9. Petra anotó 12 puntos en el partido

●

211, 11, 28, 13, 21

●

14, 27, 18, 22, 0, 16

5. Escribe las coordenadas cartesianas de cada punto. +4 B C

+3 A

+2 +1

D –4 –3 –2 –1 E

F

H

0 +1 +2 +3 +4 –1 –2 –3

G

–4

de baloncesto, Laura el doble que ella y Manuel un cuarto de los puntos de Laura. ¿Cuántos puntos anotaron entre los tres?

10. En una tienda compraron 16 portátiles a 725 cada uno y, un mes después, otros 12 a 630 cada uno. Más tarde, vendieron todos los ordenadores a 700 cada uno. ¿Perdieron o ganaron dinero? ¿Cuántos euros fueron?

11. Luis compró 125 litros de aceite por 500 . Subió 1 el precio de cada litro y vendió 90 litros. ¿Cuánto dinero obtuvo por la venta?

59

Repaso en común • Divida a los alumnos en grupos y pida a cada grupo que prepare un cuadernillo donde se recojan los conceptos y procedimientos estudiados, cada uno en una página. Determine en común los títulos y contenidos de cada una. Por ejemplo: 1. Múltiplos y divisores: cuándo un número es múltiplo o divisor de otro y un ejemplo de cada caso. 2. Mínimo común múltiplo de dos números: qué es y ejemplo. 3. Máximo común divisor de dos números: qué es y ejemplo. 4. Números primos y compuestos: qué son y ejemplos. Al final, pida a cada grupo que exponga al resto de la clase una de las páginas de su cuadernillo.

• √16 5 4 • √64 5 8

3. • Enteros positivos: 11, 12, 13, 14, 15, … Situados en la recta entera a la derecha de 0. • Enteros negativos: 21, 22, 23, 24, 25, … Situados en la recta entera a la izquierda de 0. • Cero: 0.

Enteros negativos: … Situados en la recta …

16, 24, 0, 25

1. • La potencia 35 se lee 3 elevado a la quinta o 3 elevado a 5. Su base es 3 y su exponente es 5. • El cuadrado de 6 es 36 y la raíz cuadrada de 36 es 6. • La raíz cuadrada de 49 es 7 y el cuadrado de 7 es 49. 2. • √25 5 5 • √100 5 10

8. Elsa ha hecho una alfombra cuadrada

Enteros positivos: 11, 12… Situados en la recta entera a la …

●

4

4. • 25 , 24 , 0 , 16 • 211 , 28 , 21 , 11 , , 13 • 27 , 22 , 0 , 1 4 , ,16,18 5. A ▶ (12, 12) C ▶ (23, 12) E ▶ (23, 22) G ▶ (12, 23)

B ▶ (0, 13) D ▶ (22, 0) F ▶ (0, 22) H ▶ (11, 0)

6. 6 3 (3 2 1) 5 12 2 1 4 3 5 5 22 7. 22 1 7 5 1 5. El trastero está en el quinto piso. 8. √64 5 8. En cada lado de la alfombra hay 8 piezas. 9. 12 1 12 3 2 1 12 3 2 : 4 5 5 42 Anotaron 42 puntos. 10. 16 3 725 1 12 3 630 5 5 19.160 (16 1 12) 3 700 5 19.600 19.600 2 19.160 5 440 Ganaron 440 €. 11. 500 : 125 5 4 41155 90 3 5 5 450 Obtuvo 450 €.

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5

E

Ángulos

Programación Objetivos • Reconocer el grado, el minuto y el segundo como unidades de medida de ángulos. • Conocer y utilizar las equivalencias entre las unidades de un sistema sexagesimal. • Sumar y restar ángulos de forma gráfica y numérica. • Resolver problemas de suma o resta en el sistema sexagesimal. • Reconocer gráficamente y calcular numéricamente ángulos complementarios y suplementarios. • Medir y trazar ángulos de más de 180º. • Resolver problemas geométricos haciendo un dibujo que represente el enunciado.

Criterios de evaluación • Conoce las unidades de medida de ángulos y maneja las equivalencias entre unidades de un sistema sexagesimal. • Reconoce y traza el ángulo suma o diferencia de otros dos. • Calcula la medida del ángulo suma y diferencia de dos ángulos dados. • Resuelve problemas de suma o resta con unidades sexagesimales. • Reconoce ángulos complementarios y suplementarios. • Calcula la medida del ángulo complementario o suplementario de un ángulo dado. • Mide y traza ángulos de más de 180º. • Resuelve problemas geométricos haciendo un dibujo que represente el enunciado.

Contenidos • Equivalencias entre unidades de medida de ángulos: grado, minuto y segundo. • Suma y resta de ángulos, de forma gráfica y numérica.

R

• Resolución de problemas con unidades de un sistema sexagesimal.

• • • •

• Reconocimiento y cálculo de la medida de ángulos complementarios y suplementarios.

E

• Medida y trazado de ángulos de más de 180º.

• •

• Resolución de problemas haciendo un dibujo geométrico que represente el enunciado.

• Cuidado y precisión al utilizar los instrumentos de medida y de dibujo. • Valoración de la utilidad del sistema sexagesimal.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Tratamiento de la información, Competencia lingüística, Autonomía e iniciativa personal, Aprender a aprender y Competencia cultural y artística.

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Esquema de la unidad UNIDAD 5. ÁNGULOS

Unidades de medida de ángulos

Suma de ángulos

Ángulos complementarios y suplementarios

Resta de ángulos

Ángulos de más de 180º

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Memorizar: actividad 8, pág. 70. • Reelaborar la información fundamental: actividad 6, pág. 73.

Previsión de dificultades • Expresar en grados, minutos y segundos una medida dada en segundos. Realice muchos ejemplos en la pizarra y pida a los alumnos que identifiquen qué unidad indica cada término de las divisiones hechas. • Calcular restas en el sistema sexagesimal, cuando el número de segundos o de minutos del sustraendo es mayor que el del minuendo y, especialmente, cuando falta alguna unidad en el minuendo. Recuérdeles escribir 00 cuando falte una unidad y hacer los cambios de unidad necesarios antes de operar. • Medir ángulos con el trasportador, cuando no están orientados hacia la derecha o miden más de 180º. Pida a los alumnos que tracen ángulos libremente y después los midan con el transportador, para facilitar con la práctica su manejo.


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5

RE

Ángulos

T

Objetivos • Reconocer situaciones reales donde aparecen ángulos. • Recordar los conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Miguel

T


P

• Pida a los alumnos que observen la fotografía, lea el texto y explique en qué consiste el billar y cómo influye en este juego la capacidad de imaginar un camino formado por líneas rectas y ángulos determinados. Interprete en común las tres tiradas representadas y aproveche las preguntas para comprobar el nivel de los alumnos y repasar contenidos básicos sobre ángulos. • En Recuerda lo que sabes, repase los tipos de ángulos y el manejo del transportador para medir y trazar ángulos de hasta 180º.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Es importante que los alumnos descubran en la realidad los elementos geométricos que ven representados y que trazan al trabajar la unidad. Por ejemplo, los ángulos que describen objetos en movimiento, como las bolas de billar; el ángulo que forman dos varillas o planos fijos, como una escarpia o dos paredes; y en movimiento, como un abanico o una puerta al abrirse, etc. Competencia social y ciudadana Aproveche la situación de partida para mostrar la utilidad de las Matemáticas también en los juegos, a la vez que fomenta en los alumnos la sociabilidad, animándolos a participar en actividades lúdicas en grupo.

1

2

Sara

3

Pedro

1.

Miguel, Sara y Pedro están jugando una partida de billar. El juego consiste en conseguir el mayor número posible de carambolas, es decir, que la bola que se golpea con el taco dé a las otras dos. Antes de hacer una tirada, para colocar el taco correctamente, cada jugador piensa en el ángulo que debe seguir la bola a la que va a dar. Fíjate en las tres jugadas de la ilustración. La bola blanca ha seguido distintos ángulos y en los tres casos se ha hecho carambola.

●

¿Cuánto mide el ángulo que ha seguido la bola blanca en cada jugada? ¿Qué tipo de ángulo es: recto, agudo u obtuso?

●

Si Miguel hubiese dado con la bola blanca a la amarilla y luego a la roja, ¿qué tipo de ángulo habría seguido la bola blanca?

●

¿Y si Pedro hubiese dado con la bola blanca a la bola amarilla antes que a la roja?

2. 3.

60

Otras formas de empezar • Anime y oriente a los alumnos para que busquen en la clase, señalen y digan dónde pueden verse ángulos. Por ejemplo: en una esquina de la pared o de una mesa, en las letras de un rótulo, en las manecillas de un reloj, en una puerta o una caja que se abre… Comente en cada caso cuáles son los lados y el vértice y el tipo de ángulo que es (agudo, recto, obtuso, llano o completo).

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UNIDAD

Tipos de ángulos

Soluciones Página inicial

Agudo

Recto

Obtuso

Llano

Completo

Mide menos de 90º.

Mide 90º.

Mide más de 90º y menos de 180º.

Mide 180º.

Mide 360º.

• Miguel: 90º. Ángulo recto. Sara: 130º. Ángulo obtuso. Pedro: 45º. Ángulo agudo. • Un ángulo agudo. • Un ángulo recto.

Trazado de un ángulo Para trazar un ángulo de 70º, sigue estos pasos:


1.º Dibuja una semirrecta con origen el punto A.

1. Ángulo amarillo 5 145º. Obtuso. Ángulo verde 5 90º. Recto. Ángulo azul 5 180º. Llano. Ángulo rojo 5 35º. Agudo.

2.º Coloca el transportador de manera que su centro coincida con el punto A y la semirrecta pase por 0º, y dibuja una rayita en la medida 70º del transportador. 3.º Dibuja otra semirrecta con origen el punto A que pase por la rayita marcada. 1.º

2.º

3.º

▶

A

A

2. R. L.

▶

Â 5 70º

3.

A

Â 1. Mide estos ángulos y clasifícalos.

VAS A APRENDER B ˆ ●

ido

a a

5

2. Dibuja un ángulo de cada tipo: agudo, recto, obtuso, llano

●

Â 5 20º

●

Ĉ 5 45º

●

Ê 5 168º

●

B̂ 5 100º

●

D̂ 5 135º

●

F ̂ 5 180º

E ˆ

Fˆ

●

A dibujar y calcular la medida del ángulo suma o diferencia de dos ángulos dados.

●

A reconocer ángulos complementarios y suplementarios.

●

A medir y trazar ángulos de más de 180º.

y completo.

3. Traza estos ángulos.

A reconocer las unidades de medida de ángulos y sus equivalencias.

D ˆ

C ˆ

61

Vocabulario de la unidad • Grado, minuto, segundo • Sistema sexagesimal • Ángulo suma y ángulo diferencia • Ángulos complementario y suplementario • Ángulos consecutivos y adyacentes • Transportador, escuadra y cartabón • Bisectriz de un ángulo

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Unidades de medida de ángulos Objetivos

Para medir o dibujar ángulos, utilizamos el transportador y expresamos su medida en grados.

• Reconocer el grado, el minuto y el segundo como unidades de medida de ángulos.

A veces, necesitamos expresar una medida con mayor precisión; entonces, utilizamos dos unidades menores que el grado: el minuto y el segundo. 1 grado 5 60 minutos 1º 5 60’

• Conocer y utilizar las equivalencias entre las unidades de un sistema sexagesimal.

Para explicar • Presente el grado como la unidad principal de medida de ángulos y comente alguna situación (p.e., en astronomía) donde se necesitan usar unidades más pequeñas: el minuto y el segundo. Escriba en la pizarra cómo se representan las tres unidades. Comente que con el transportador solo podemos medir grados. • Explique que estas unidades forman un sistema sexagesimal, razone en común a partir del cuadro cómo se pasa de una unidad a otra y resuelva algunos ejemplos en la pizarra. Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre releer y explicar el procedimiento de la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que expliquen cómo pasamos de unas unidades de medida de ángulos a otras.

P̂

4.

1 minuto 5 60 segundos 1’ 5 60”

El ángulo P̂ mide 65 grados, 42 minutos y 18 segundos. El ángulo P̂ mide entre 65º y 66º.

P̂ 5 65º 42’ 18”

▶

3 60

El grado, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal: cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediata inferior.


3.

grado

3 60 minuto

: 60

segundo

: 60

Las unidades de medida de ángulos son: el grado (º), el minuto (’) y el segundo (”). Estas unidades forman un sistema sexagesimal. 1’ 5 60”

1º 5 60’ 5 3.600”

1. Lee la medida de cada ángulo e indica entre qué dos medidas en grados está. Â 5 42º 37’ 9”

El ángulo Â mide … grados, … minutos y … segundos. El ángulo Â mide entre … y … grados.

▶

B̂ 5 80º 23’ 50”

Ĉ 5 94º 7’ 36”

D̂ 5 128º 41’

5.

Ê 5 159º 27”

2. Calcula y expresa en la unidad indicada. En minutos

▶ Ejemplo:

18º 35’ 5 1.080’ 1 35’ 5 1.115’ 3 60

●

●

17º

42º

●

●

9º 26’

38º 54’

●

41º 7’

CÁ 3 3.600

En segundos

▶ Ejemplo:

Div

4º 31’ 52” 5 14.400” 1 1.860” 1 52” 5 16.312” 3 60

●

24’

●

39º

●

64’ 45”

●

5º 34’

●

7º 21’ 50”

●

70’

●

81º

●

18º 27”

●

80º 9’

●

42º 15’ 29”

62


Otras actividades

Tratamiento de la información Muestre que en Matemáticas, la información aparece muchas veces en forma de signos, como la representación de las unidades de medida de ángulos (º, ’, ’’).

• Dibuje en la pizarra varias parejas de ángulos de la misma amplitud, pero cuyos lados tengan distinta longitud. Por ejemplo:

Competencia lingüística Comente el doble significado de las palabras minuto y segundo, según se refieran a la medida de ángulos (’ y ’’) o de tiempo (min y s).

Pida a varios alumnos que señalen los ángulos que miden lo mismo y lo comprueben con un transportador. Razone en común que la medida de un ángulo no depende del tamaño de sus lados y, por eso, podemos prolongar los lados de un ángulo para medirlo más fácilmente.

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5 3. Calcula y completa.

UNIDAD

240” 5 240 : 60 5 …’

720’ 5 720 : 60 5 …º

18.000” 5 18.000 : 3.600 5 …º

1.380” 5 …’

2.220’ 5 …º

68.400” 5 …º

2.700” 5 …’

3.060’ 5 …º

122.400” 5 …º

Soluciones

4. Calcula y expresa en las unidades que se indican. HAZLO ASÍ ●

¿Cuántos minutos y segundos son 456”? segundos ▶ 456 segundos ▶ 36

●

¿Cuántos grados y minutos son 582’? minutos ▶ 582 minutos ▶ 42

60 7 ◀ minutos

456” 5 7’ 36” ●

60 9 ◀ grados

582’ 5 9º 42’

¿Cuántos grados, minutos y segundos son 19.791”? segundos ▶ 19791

179 591 segundos ▶ 51

60 329 ◀ minutos

minutos ▶ 329 minutos ▶ 29

60 5 ◀ grados

19.791” 5 329’ 51” 5 5º 29’ 51” 529” 5 …’ …”

866’ 5 …º …’

32.590” 5 …º …’ …”

74.096” 5 …º …’ …”

1.532” 5 …’ …”

2.228’ 5 …º …’

54.527” 5 …º …’ …”

112.345” 5 …º …’ …”

5. Resuelve. PRESTA ATENCIÓN Las unidades de tiempo: horas, minutos y segundos, también forman un sistema sexagesimal.

●

Un concierto duró 135 minutos. ¿Cuántas horas y minutos duró el concierto?

●

Lucas habló por teléfono durante 3 minutos y 7 segundos. ¿Cuántos segundos duró la llamada?

●

Un corredor de maratón tardó 12.603 segundos en llegar a la meta. ¿Cuántas horas, minutos y segundos estuvo corriendo?

CÁLCULO MENTAL Divide un número natural entre decenas y centenas : 40

800

80 : 10

20 :4

5

40 : 20

150 : 30

800 : 400

2.400 : 200

90 : 30

240 : 40

600 : 200

2.800 : 700

700 : 70

5.000 : 50

3.000 : 300

80.000 : 800

900 : 90

3.600 : 60

7.000 : 700

25.000 : 500

63

1. • El ángulo ˆ A mide 42 grados, 37 minutos y 9 segundos. Mide entre 42 y 43 grados. • El ángulo B ˆ mide 80 grados, 23 minutos y 50 segundos. Mide entre 80 y 81 grados. • El ángulo C ˆ mide 94 grados, 7 minutos y 36 segundos. Mide entre 94 y 95 grados. ˆ mide 128 gra• El ángulo D dos y 41 minutos. Mide entre 128 y 129 grados. • El ángulo E ˆ mide 159 grados y 27 segundos. Mide entre 159 y 160 grados. 2. • 17º 5 1.020’ 42º 5 2.520’ 9º 26’ 5 566’ 38º 54’ 5 2.334’ 41º 7’ 5 2.467’ • 24’ 5 1.440” 70’ 5 4.200” 39º 5 140.400” 81º 5 291.600” 64’ 45” 5 3.885” 18º 27” 5 64.827” 5º 34’ 5 20.040” 80º 9’ 5 288.540” 7º 21’ 50” 5 26.510” 42º 15’ 29” 5 152.129” 3. • 4’ 23’ 45’

• 12º 37º 51º

4. 8’ 49” 25’ 32” 9º 3’ 10” 15º 8’ 47”

Otras actividades • Entregue a cada alumno cuatro tarjetas de papel iguales y pida que escriban en dos de ellas la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos, y en las otras dos, las mismas medidas en segundos (indíqueles que hagan el cálculo en los dos sentidos para asegurarse de que es correcto). Forme grupos de cuatro o cinco alumnos y pídales que mezclen y coloquen sus tarjetas en dos montones, según el tipo de expresión. Después, repartirán las tarjetas de un montón y colocarán en el centro las del otro. Cada alumno realizará el cambio de unidad de sus dos tarjetas y buscará en el centro las que forman pareja. Repita el ejercicio repartiendo las tarjetas del otro montón, para que realicen el cambio de unidad inverso.

• 5º 19º 34º 14º 26’ 37º 8’ 20º 34’ 56” 31º 12’ 25”

5. • 135 : 60 ▶ c 5 2; r 5 15 Duró 2 horas y 15 minutos. • 3 3 60 1 7 5 187 Duró 187 segundos. • 12.603 : 60 ▶ c 5 210; r53 210 : 60 ▶ c 5 3; r 5 30 Estuvo corriendo 3 horas, 30 minutos y 3 segundos.

Cálculo mental • 2 3 10 10

5 6 100 60

2 3 10 10

12 4 100 50

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Suma de ángulos

3

Objetivos

Alba y Daniel suman los ángulos Â y B̂.

• Reconocer y trazar el ángulo suma de dos ángulos dados. • Calcular la medida del ángulo suma de dos ángulos dados. • Resolver problemas de suma en el sistema sexagesimal.

●

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre inventar otras prácticas similares de la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que escriban la medida de cuatro ángulos en los que falte una o dos de las unidades y que los sumen por parejas.

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Anime a los alumnos a poner en práctica el procedimiento de suma aprendido en el sistema sexagesimal para resolver problemas de suma de tiempos.

Alba dibuja el ángulo suma Â 1 B̂.

Ĉ

4

B̂

1.º Dibuja el ángulo Â.

Â

2.º Dibuja el ángulo B̂ como en el dibujo de la derecha. Fíjate en que Â y B̂ tienen el vértice y un lado común.

El ángulo suma Â 1 B̂ es el ángulo Ĉ. ●

• Al trabajar la suma gráficamente, haga hincapié en la colocación de los ángulos, marque con color el ángulo suma y muestre que su amplitud es la suma de las amplitudes. • Sume numéricamente los ángulos en la pizarra, explicando por qué son necesarios los pasos 2 y 3 y cómo se realizan.

Â 5 32º 41’ 56” B̂ 5 112º 35’ 27”

Sugerencias didácticas Para explicar • Antes de explicar la suma de ˆ y Bˆ del libro, los ángulos A plantee otros casos más sencillos para resolver: – Dos ángulos expresados en grados. Por ejemplo, 60º 1 1 45º. – Dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos, «sin llevar». Por ejemplo, 53º 24’ 36” 1 48º 31’ 9”.

B̂

Â

5

Daniel calcula la medida del ángulo suma Ĉ.

32º 41’ 56” 1 112º 35’ 27”

1.º Escribe la medida de los ángulos Â y B̂ de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden y suma cada columna por separado.

144º 76’ 83” 1 1’ 23”

2.º Como 83” . 60”, pasa 83” a minutos y segundos (83” 5 1’ 23”). Después, suma los minutos (76’ 1 1’ 5 77’).

77’ 1 1º 17’

3.º Como 77’ . 60’, pasa 77’ a grados y minutos (77’ 5 1º 17’). Después, suma los grados (144º 1 1º 5 145º).

145º

El ángulo Ĉ mide 145º 17’ 23”.

145º 17’ 23”

1. Calcula cuánto mide cada ángulo suma. Después, dibuja los ángulos con el transportador y comprueba. D̂ 5 38º Ê 5 62º F ̂ 5 75º

D̂ 1 Ê

D̂ 1 F ̂

Ê 1 F ̂

Ê 1 D̂

F ̂ 1 D̂

F ̂ 1 Ê

●

Si cambias el orden de los ángulos que sumas, ¿cambia la medida del ángulo suma?

6

2. Observa la figura y calcula cuánto miden los ángulos rojo, verde y azul. Â 5 53º

Ĉ

B̂ Â

B̂ 5 81º

Ĉ 5 28º

●

Ángulo rojo 5 Â 1 B̂ ▶ …º 1 …º 5 …º

●

Ángulo verde 5 … 1 … ▶ …º

●

Ángulo azul 5 … 1 … 1 … ▶ …º

64

Otras actividades • Plantee a los alumnos una suma de tres ángulos expresados en grados para calcular de forma gráfica y una suma de tres ángulos expresados en grados, minutos y segundos (puede faltar alguna unidad en uno o dos ángulos) para calcular numéricamente. Trabaje las dos sumas colectivamente en la pizarra, comentando que el procedimiento es similar a la suma de dos ángulos, y anime a los alumnos a indicar y explicar cada paso. En el caso de la resolución gráfica, conviene que el ángulo suma sea menor que el llano, para que los alumnos no tengan dificultad en medirlo y comprobar numéricamente la suma realizada. Por ejemplo: 63º 1 40º 1 35º 5 138º.

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5 3. Calcula las siguientes sumas de ángulos.

UNIDAD

48º 15’ 27” 1 95º 41’ 26”

36º 20’ 54” 1 102º 19’ 47”

73º 48’ 12” 1 124º 37’ 26”

80º 36’ 24” 1 137º 52’ 43”

95º 42’ 17” 1 158º 35’ 43”

120º 27’ 54” 1 117º 32’ 46”

Soluciones 1. D ˆ 1 Ê 5 Ê 1 Dˆ 5 100º D ˆ 1 ˆF 5 ˆF 1 Dˆ 5 113º Ê 1 ˆF 5 ˆF 1 Ê 5 137º

4. Calcula la medida del ángulo suma.

D ˆ 1 Eˆ

K̂ 5 107º 32’ 29” 1 58º 45”

PRESTA ATENCIÓN

M̂ 5 133º 47” 1 48º 52’ 36”

D ˆ 1 Fˆ

5. Resuelve. Las unidades de tiempo: hora, minuto y segundo, también forman un sistema sexagesimal.

●

●

●

●

En el intermedio de un programa de televisión han puesto dos anuncios que han durado 58 segundos y 2 minutos y 26 segundos, respectivamente. ¿Cuánto tiempo ha durado el intermedio?

María tardó 1 minuto y 45 segundos en hacer un largo en una piscina. Lidia tardó 35 segundos más que ella. ¿Cuánto tardó Lidia?

3. 143º 138º 198º 218º 254º 238º

6. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Después, escribe un ejemplo que demuestre cada respuesta. Si se suman dos ángulos agudos, el ángulo suma ¿puede ser agudo? ¿Y recto? ¿Y obtuso? ¿Y llano?

●

Si se suma un ángulo recto y un ángulo agudo, ¿de qué tipo es el ángulo suma?

●

Si se suman dos ángulos rectos, ¿de qué tipo es el ángulo suma?

• Señale que, en muchos deportes, se expresan los tiempos de las pruebas en horas, minutos y segundos, y se requiere la suma de tiempos para realizar las clasificaciones. Escriba en la pizarra una tabla con los tiempos realizados por cinco ciclistas en dos etapas consecutivas, por ejemplo, e indique a los alumnos que calculen el tiempo total que ha empleado cada ciclista. A continuación, pídales que ordenen dichos tiempos de menor a mayor, comparando primero las horas; en caso de igualdad, los minutos y, por último, los segundos. Después, pueden expresar todos los tiempos en segundos para comprobar la comparación.

56’ 53” 40’ 41” 25’ 38” 29’ 7” 18’ 40”

4. K ˆ 5 165º 33’ 14” ˆL 5 164º 2’ 18” M ˆ 5 181º 53’ 23”

65

Otras actividades

Fˆ 1 E ˆ

2. • Rojo 5 ˆ A 1B ˆ ▶ 134º • Verde 5 B ˆ 1 Cˆ ▶ 109º ˆ 1 Cˆ ▶ 162º • Azul 5 ˆ A 1B

En una carrera ciclista, el ganador consiguió pasar la meta en 3 horas, 49 minutos y 25 segundos. Su compañero de equipo tardó 14 minutos y 51 segundos más que él. ¿Cuánto tiempo tardó su compañero en llegar a la meta?

●

E ˆ 1 Fˆ

F ˆ 1 Dˆ

• No cambia la medida del ángulo suma.

Pablo ha jugado esta semana dos partidos de tenis. El primer partido duró 2 horas y 13 minutos y el segundo, 1 hora y 57 minutos. ¿Cuánto tiempo duraron en total los dos partidos?

agudo recto obtuso llano

E ˆ 1 Dˆ

L̂ 5 98º 25’ 1 65º 37’ 18”

Si falta alguna unidad, escribe 00 en su lugar y haz la operación.

RECUERDA

5

5. • El intermedio ha durado 3 minutos y 24 segundos. • Lidia tardó 2 minutos y 20 segundos. • Los dos partidos duraron en total 4 horas y 10 minutos. • Su compañero tardó 4 horas, 4 minutos y 16 segundos. 6. • Sí puede ser agudo. 45º 1 10º 5 55º Sí puede ser recto. 70º 1 20º 5 90º Sí puede ser obtuso. 80º 1 60º 5 140º No puede ser llano. 89º 1 89º 5 178º • El ángulo suma es obtuso. 90º 1 35º 5 125º • El ángulo suma es llano. 90º 1 90º 5 180º

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Resta de ángulos

3. C

●

Objetivos

●

Sergio y Natalia restan el ángulo Â al ángulo B̂.

●

4. C

Sergio dibuja el ángulo diferencia B̂ 2 Â.

B̂

1.º Dibuja el ángulo B̂.

D̂

2.º Dibuja el ángulo Â como se ve en el dibujo de la derecha. Fíjate en que Â y B̂ tienen el vértice y un lado común.

5. O

Â

El ángulo diferencia B̂ 2 Â es el ángulo D̂.


Para reforzar • Aproveche la estrategia de detectar errores en el procedimiento de la página 58 del manual de ESTUDIO EFICAZ y, una vez corregidas las actividades 3, 4 y 5, pida a los alumnos que hayan tenido algún fallo que repasen su ejercicio y expliquen dónde han cometido el error y por qué.

Â 5 32º 41’ 56” B̂ 5 112º 35’ 27”

●

Para explicar • Antes de explicar cómo se restan los ángulos ˆ A y B ˆ presentados en el libro, plantee otros casos más sencillos para resolver gráfica y numéricamente: – Dos ángulos expresados en grados. Por ejemplo, 75º 2 2 34º. – Dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos, «sin llevar». Por ejemplo, 68º 34’ 50” 2 47º 19’ 24”. • Al trabajar la resta gráficamente, haga hincapié en la colocación de los ángulos, marque con color el ángulo diferencia y comente las semejanzas y diferencias con la suma. • Plantee la resta de los ángulos Â y Bˆ del libro. Realice el cálculo numérico en la pizarra, explicando por qué son necesarios los cambios de unidad en los pasos 2 y 3 y cómo se realizan. • Explique el Hazlo así de la actividad 5 como caso particular de las restas de la actividad 4 (falta alguna unidad), pues es necesario realizar dos cambios de unidad antes de restar.

B̂

Â

• Reconocer y trazar el ángulo diferencia de dos ángulos dados. • Calcular la medida del ángulo diferencia de dos ángulos dados. • Resolver problemas de resta en el sistema sexagesimal.

Natalia calcula la medida del ángulo diferencia D̂. 1.º Escribe la medida de los ángulos B̂ y Â de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden. 2.º Resta los segundos. Como no puede, pasa 1 minuto del minuendo a segundos (35’ 27” 5 34’ 87”). Después, resta los segundos (87” 2 56” 5 31”). 3.º Resta los minutos. Como no puede, pasa 1 grado del minuendo a minutos (112º 34’ 5 111º 94’). Después, resta los minutos (94’ 2 41’ 5 53’). 4.º Resta los grados (111º 2 32º 5 79º).

1.º

●

2.º

112º 35’ 27” – 32º 41’ 56”

▶

3.º

34’ 87” 112º 35’ 27” 2 32º 41’ 56” 31”

▶

94’ 111º 34’ 87” 112º 35’ 27” 2 32º 41’ 56” 53’ 31”

94’ 111º 34’ 87” 112º 35’ 27” 2 32º 41’ 56”

4.º

▶

6. R

R s

79º 53’ 31”

●

El ángulo D̂ mide 79º 53’ 31”.

●

●

1. Calcula cuánto mide cada ángulo diferencia. 83º 2 27º ●

90º 2 48º

124º 2 65º

152º 2 113º

Dibuja los ángulos con el transportador y comprueba tus cálculos.

CÁL

2. Observa la figura y calcula cuánto miden los ángulos rojo, verde y azul. Ê 5 68º

F ̂ 5 107º

Ĝ 5 160º

●

Ángulo rojo 5 F ̂ 2 Ê

●

Ángulo verde 5 … 2 … ▶ …º

●

Ángulo azul 5 … 2 … ▶ …º

▶

…º 2 …º 5 …º

Ĝ

Calc F̂ Ê

66

Otras actividades • Como en la suma, proponga ejercicios para restar tiempos expresados en horas, minutos y segundos. Por ejemplo, escriba en la pizarra el tiempo que han tardado 5 atletas en correr un maratón popular. Hágales preguntas similares a estas: ¿Cuánto tiempo tardó Bruno en llegar a la meta más que Ángela? ¿Cuánto tiempo le sacó el primer corredor al segundo? ¿Y al último? Después, plantee otras preguntas en las que tengan que resolver una suma, para que elijan la operación que deben realizar y la calculen. Por ejemplo: ¿Quién llegó 26 minutos y 4 segundos después que Lucía?

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3º

5 3. Calcula estas restas de ángulos.

UNIDAD

●

94º 40’ 38” 2 75º 16’ 21”

●

137º 23’ 7” 2 15º 21’ 38”

●

126º 18’ 30” 2 87º 25’ 17”

●

172º 38’ 43” 2 125º 46’ 50”


4. Calcula las siguientes restas de ángulos. RECUERDA Si falta alguna unidad, escribe 00 en su lugar.

Aprender a aprender

P̂ 5 78º 45’ 20” 2 35º 17’

R̂ 5 118º 29’ 2 83º 5’ 42”

Q̂ 5 65º 28’ 34” 2 47º 53”

Ŝ 5 124º 52” 2 93º 13’ 26”

5. Observa el ejemplo y calcula. HAZLO ASÍ K̂ 5 129º 37” 2 58º 12’ 40”

–

●

▶

129º 00’ 37” 58º 12’ 40”

L̂ 5 142º 18” 2 65º 53’ 24”

128º 60’ 129º 00’ 37” 2 58º 12’ 40”

●

▶

59’ 128º 60’ 97” 129º 00’ 37” 2 58º 12’ 40”

La verbalización del proceso seguido al calcular restas en el sistema sexagesimal, favorece el aprendizaje significativo. En los casos más complicados, plantee a los alumnos preguntas que les ayuden a reflexionar sobre los pasos que deben seguir.

70º 47’ 57”

Soluciones

M̂ 5 173º 37” 2 108º 21’ 56”

1. • 56º • 42º • 59º • 39º

6. Resuelve.

●

Olga ha grabado una película que dura 1 hora y 43 minutos en una cinta de 3 horas. ¿Cuánto tiempo de cinta queda sin grabar?

●

En una carrera popular, Alba llegó a la meta en 2 horas, 43 minutos y 18 segundos, y Lucas, en 3 horas, 9 minutos y 58 segundos. ¿Cuánto tiempo tardó Lucas más que Alba?

●

El ordenador de Milagros hace cada 5 minutos una copia de lo que ella está escribiendo para que no se pierda. Hace 2 minutos y 19 segundos, el ordenador grabó una copia. ¿Cuánto tiempo falta para que grabe la siguiente?

59º

3. • 19º 24’ 17” • 122º 1’ 29” • 38º 53’ 13” • 46º 51’ 53”

Calcula la fracción de un número

32

60

:3

20

39º

2. • Rojo 5 Fˆ 2 E ˆ ▶ 39º • Verde 5 G ˆ 2 Fˆ ▶ 53º • Azul 5 G ˆ 2 Eˆ ▶ 92º

CÁLCULO MENTAL

30

42º

56º

Recuerda que las unidades de tiempo: horas, minutos y segundos, se suman y se restan igual que las unidades de medida de ángulos.

2 3 de 30

5

1 de 20 5

1 de 42 7

2 de 30 5

2 de 18 3

1 de 36 6

1 de 63 9

3 de 12 4

3 de 15 5

67

Otras actividades • Para practicar la resta, y como introducción al concepto de ángulos complementario y suplementario, plantee a los alumnos las siguientes preguntas, con varios ejemplos distintos: – ¿Cuánto le falta al ángulo ˆ A (expresado en grados o grados y minutos o grados, minutos y segundos) para ser un ángulo recto? – ¿Y para ser un ángulo llano? Después de realizar cada cálculo numérico, resuelva también la resta gráficamente en la pizarra.

4. ˆ P 5 43º 28’ 20” ˆ 5 18º 27’ 41” Q ˆR 5 35º 23’ 18” ˆS 5 30º 47’ 26” 5. • ˆ L 5 76º 6’ 54” • M ˆ 5 64º 38’ 41” 6. • Queda sin grabar 1 hora y 17 minutos. • Lucas tardó 26 minutos y 40 segundos más que Alba. • Faltan 2 minutos y 41 segundos para que grabe la siguiente copia.

Cálculo mental • 4 6

6 7

12 9

12 9

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Án

Ángulos complementarios y suplementarios Objetivos

Observa en cada caso cuánto mide el ángulo suma.

• Reconocer gráficamente ángulos complementarios y suplementarios. • Calcular la medida del ángulo complementario o suplementario de un ángulo dado.

Â 5 32º

P

Ê

D̂

Ê 5 105º

Â

Ĉ 5 Â 1 B̂ 5 32º 1 58º 5 90º

F ̂ 5 D̂ 1 Ê 5 75º 1 105º 5 180º

El ángulo suma Ĉ es un ángulo recto.

El ángulo suma F ̂ es un ángulo llano.

Â y B̂ son ángulos complementarios.

D̂ y Ê son ángulos suplementarios.

Sugerencias didácticas Para explicar • Pida a los alumnos que observen los ejemplos del libro y caracterice cada tipo de ángulo en función del valor de su suma. • Trabaje en la pizarra la actividad 1, razonando en común la forma de hallar el ángulo complementario o suplementario de un ángulo dado, restando dicho ángulo a 90º o 180º, respectivamente.

D̂ 5 75º

B̂

B̂ 5 58º

E

F̂

Ĉ

●

Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90º.

●

Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º.

1

2

1. Observa los ángulos y contesta. Ĥ

K̂

Ĝ 5 50º

J ̂ 5 130º

●

¿Cómo son los ángulos Ĝ y Ĥ : complementarios o suplementarios? ¿Por qué?

●

¿Cuánto mide el ángulo Ĥ? ¿Cómo lo has calculado?

●

¿Cómo son los ángulos J ̂ y K̂: complementarios o suplementarios? ¿Por qué?

●

¿Cuánto mide el ángulo K̂? ¿Cómo lo has calculado?

1. C

2. Calcula el ángulo que se indica. El ángulo complementario


TAL

●

27º

●

81º 34’

●

63º

●

40º 15’ 50”

El ángulo suplementario

●

27º

●

40º 15’ 50”

●

148º

●

126º 39”

Pa

1.

Competencia lingüística Fomente en los alumnos el uso correcto y riguroso del vocabulario matemático específico para definir y describir los tipos de ángulos.


2. ●

RECUERDA ●

●

– ¿Pueden ser complementarios? – ¿Son siempre complementarios? – ¿Pueden ser suplementarios?

Los ángulos consecutivos tienen el vértice y un lado común. Los ángulos adyacentes son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en la misma recta.

●

2. • Complementarios: 63º 8º 26’ 27º 49º 44’ 10” • Suplementarios: 153º 139º 44’ 10” 32º 53º 59’ 21” 3. • – Sí pueden serlo. – No siempre lo son. – Sí pueden serlo. • – No pueden serlo. – Sí, siempre lo son.

2

3

Dos ángulos adyacentes: – ¿Pueden ser complementarios? – ¿Son siempre suplementarios?

Soluciones 1. • G ˆ y Hˆ son complementarios porque su suma es un ángulo recto. • H ˆ 5 90º 2 50º 5 40º •ˆ J y K ˆ son suplementarios porque su suma es un ángulo llano. • K ˆ 5 180º 2 130º 5 50º

Dos ángulos consecutivos:

68

Otras actividades • Dibuje en la pizarra la siguiente figura y pida a los alumnos que, sin tomar medidas, calculen cuánto mide cada ángulo coloreado. Haga al final una puesta en común para que los alumnos digan la medida de cada ángulo y justifiquen en cada caso si han calculado el ángulo complementario o suplementario y de qué ángulo.

64º 30º 120º 26º

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5

Ángulos de más de 180º

UNIDAD

Objetivos

El ángulo Â mide más de 180º. Puedes medir el ángulo Â de dos formas distintas.

Â

• Medir y trazar ángulos de más de 180º.

Ĉ

B̂

Sugerencias didácticas Â

Â 1.º Prolonga uno de los lados del ángulo Â y mide con el transportador el ángulo B̂.

Para explicar • Dibuje en la pizarra un ángulo de más de 180º y explique cómo se puede medir a partir del ángulo llano y del ángulo completo. Muestre que son dos formas distintas de conseguir el mismo resultado. • Si dispone de un transportador de ángulos completo, explique que se utiliza de manera similar al transportador habitual, midiendo directamente el ángulo sin tener que hacer cálculos.

1.º Mide con el transportador el ángulo Ĉ.

Ĉ 5 135º

B̂ 5 45º

2.º Calcula la medida del ángulo Â.

2.º Calcula la medida del ángulo Â.

Â 5 180º 1B̂ 5 180º 1 45º 5 225º

Â 5 360º 2 Ĉ 5 360º 2 135º 5 225º

El ángulo Â mide 225º.

1. Calcula la medida de estos ángulos de más de 180º y explica cómo lo haces.

Trazado de ángulos de más de 180º

TALLER

50”

? ?

Para dibujar un ángulo de 210º: 1.º Dibuja un ángulo de 180º. 2.º Traza un ángulo de 30º (210º 2 180º) con el mismo vértice.

El ángulo rojo mide 210º.

2.º

Competencias básicas Competencia cultural y artística Pida a los alumnos que realicen dibujos libres formados por rectas y ángulos. Potencie y valore el gusto estético de los trabajos.

180º

1.º

▶

? s?

5

210º

30º

2. Traza un ángulo de 220º y otro de 235º. 3. Traza un ángulo de 60º y contesta. ●

¿Se te ocurre alguna forma rápida de obtener un ángulo de 300º?

Soluciones 69

Otras actividades • Dibuje en la pizarra la esfera de un reloj y marque en él una hora, por ejemplo las 2 y media. Haga observar a los alumnos que las dos manecillas son los lados de dos ángulos distintos, uno menor y otro mayor que 180º (o ambos de 180º), y que su suma es 360º. Pida a un alumno que mida con el transportador del material de aula el ángulo menor y averigüe la medida del mayor, explicando cómo lo ha hecho. • Para que practiquen el trazado del ángulo, puede dibujar una de las manecillas e indicar a un alumno que dibuje la otra, de manera que ambas formen un ángulo determinado, por ejemplo de 200º, y que diga qué hora marca el reloj. Razone con ellos que pueden dibujar dos posibles manecillas.

1. • Verde ▶ 180º 1 90º 5 270º 360º 2 90º 5 270º • Azul ▶ 180º 1 130º 5 310º 360º 2 50º 5 310º • Rojo ▶ 180º 1 45º 5 225º 360º 2 135º 5 225º 2.

220º 235º

3.

360º 2 60º 5 300º

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Actividades 1. Expresa en las unidades indicadas.


Competencias básicas Aprender a aprender Al corregir las actividades, pida a los alumnos que verbalicen los pasos seguidos para resolverlas. Esto ayudará a consolidar el aprendizaje de los procesos.

●

36º 5 …’ 5 …”

●

27º 45’ 5 …’ 5 …”

●

14º 51” 5 …”

●

8º 32’ 29” 5 …”

●

97.200” 5 …’ 5 …º

●

2.618’ 5 …º …’

●

3.365” 5 …’ …”

●

116.061” 5 …º …’ …”

1. • 36º 5 2.160’ 5 129.600” • 27º 45’ 5 1.665’ 5 5 99.900” • 14º 51” 5 50.451” • 8º 32’ 29” 5 30.749” • 97.200” 5 1.620’ 5 27º • 2.618’ 5 43º 38’ • 3.365” 5 56’ 5” • 116.061” 5 32º 14’ 21” 2.

B ˆ 2 Aˆ

B ˆ 1 Aˆ

C ˆ 2 Bˆ

M̂

L̂

J ̂ 5 90º

K̂

Ĵ

K̂ 5 54º 26’ 14”

L̂ 5 90º

12

7. Observa el dibujo de la actividad 6 y escribe dos ángulos complementarios y dos suplementarios.

2. Calca y dibuja los ángulos que se indican. Marca los ángulos suma o diferencia de color rojo.

B̂

13 8.

ESTUDIO EFICAZ. Completa las oraciones

y traza un ejemplo en cada caso. ●

Dos ángulos son complementarios …

●

Dos ángulos son suplementarios …

ER

Ĉ

9. Calcula.

●

B̂ 1 Â

●

Ĉ 1 B̂

●

Ĉ 1 Â

●

B̂ 2 Â

●

Ĉ 2 B̂

●

Ĉ 2 Â

3. Calcula y comprueba. Mide los ángulos A,̂ B̂ y Ĉ de la actividad 2, halla la medida de cada ángulo suma y ángulo diferencia, y comprueba tus dibujos.

El ángulo complementario


●

P̂ 5 50º

●

T ̂ 5 99º

●

Q̂ 5 67º 12’

●

Û 5 132º 36’

●

R̂ 5 37º 25’ 48”

●

V̂ 5 78º 5’ 23”

●

Ŝ 5 64º 39”

●

Ŵ 5 45º 50”

10. Piensa y contesta. 4. Calcula estas sumas de ángulos. ●

48º 35’ 52” 1 36º 10’ 27”

●

95º 28’ 16” 1 42º 53’ 34”

●

126º 43’ 25” 1 54º 21’ 49”

●

142º 37” 1 86º 45’ 38”

Dos ángulos agudos. Dos ángulos rectos. Dos ángulos obtusos. Un ángulo agudo y uno obtuso.

5. Calcula estas restas de ángulos. C ˆ 1 Bˆ

11

miden los ángulos M̂ y N̂ .

N̂

Â

Soluciones

6. Observa los ángulos dados y calcula cuánto

●

90º 18’ 56” 2 65º 57’ 32”

●

105º 23’ 34” 2 72º 40’ 58”

●

123º 47’ 2 108º 35’ 26”

●

141º 19” 2 94º 42’ 37”

●

¿Qué parejas de ángulos pueden ser ángulos complementarios?

●

¿Qué parejas de ángulos pueden ser ángulos suplementarios?

C ˆ 2 Aˆ

C ˆ 1 Aˆ

70

3. • B ˆ 1 Â 5 90º 1 45º 5 135º • B ˆ 2 Â 5 90º 2 45º 5 45º ˆ 5 125º 1 90º 5 • ˆ C1B 5 215º • ˆ C2B ˆ 5 125º – 90º 5 35º • ˆ C 1ˆ A 5 125º 1 45º 5 5 170º • ˆ C –ˆ A 5 125º 2 45º 5 80º 4. • • • •

84º 46’ 19” 138º 21’ 50” 181º 5’ 14” 228º 46’ 15”

5. • 24º 21’ 24” • 15º 11’ 34” • 32º 42’ 36” • 46º 17’ 42”

Otras actividades • Indique a cada alumno que dibuje en una hoja tres rectas que se corten y que al menos dos de ellas partan de una esquina de la hoja. A continuación, pídales que señalen de distinto color cada uno de los siguientes ángulos: – Un ángulo agudo, recto, obtuso, llano, de más de 180º y completo. – Dos ángulos complementarios y dos ángulos suplementarios. Pida a los alumnos que busquen en su hoja ángulos formados por la suma o resta de otros ángulos y que expliquen algunos a sus compañeros. Por ejemplo: El ángulo llano es la suma de un ángulo agudo y un ángulo obtuso que son suplementarios…

6. • M ˆ 5 ˆJ 1 Kˆ 5 144º 26’ 14” ˆ 5 ˆL 2 Kˆ 5 35º 33’ 46” • N

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114

6/7/09

16:43:22

to

s

3”

5 UNIDAD

11. Mide los siguientes ángulos.

14. Resuelve.

D̂ 5 210º

●

F ̂ 5 270º

●

Ĥ 5 340º

Una máquina tiene un contador que indica el tiempo de funcionamiento. Ahora marca 24.673 segundos. ¿Cuántas horas, minutos y segundos lleva funcionando?

●

Antonio hizo un viaje en tren que debía durar 4 horas y 48 minutos. Por una avería, ha llegado con 1 hora y 23 minutos de retraso. ¿Cuánto tiempo duró el viaje?

●

En una prueba de esquí, Paula tenía como mejor marca 7 minutos y 3 segundos. Hoy la ha rebajado en 5 segundos. ¿En cuánto tiempo ha hecho la prueba?

13. Dibuja un triángulo que tenga un ángulo recto y otro de 50º. ●

7. • Complementarios: N ˆ y Kˆ. • Suplementarios: M ˆ y Nˆ o ˆ J y ˆ L.

●

12. Dibuja estos ángulos. ●

¿Cuánto mide el tercer ángulo?

Trazar ángulos con escuadra y cartabón

ERES CAPAZ DE…

Recuerda cuánto miden los ángulos de una escuadra y de un cartabón.

90º 90º 45º

30º

45º

– Dibuja los siguientes ángulos, repasando dos lados de una escuadra o un cartabón. 30º ▶

●

30º

●

60º

45º

●

90º

8. • Son complementarios si su suma es igual a 90º. Ejemplo: 60º y 30º. • Son suplementarios si su suma es igual a 180º. Ejemplo: 80º y 100º. 9. Comp. • • Supl. • • • •

40º • 81º 22º 48’ • 47º 24’ 52º 34’ 12” 101º 54’ 37” 25º 59’ 21” 134º 59’ 10”

10. • Dos ángulos agudos. • Pueden ser suplementarios un ángulo agudo y uno obtuso, y son suplementarios dos ángulos rectos.

60º

●

5

11. • Ángulo rojo 5 270º • Ángulo verde 5 320º • Ángulo naranja 5 240º 12.

210º

270º

340º

– Dibuja estos ángulos utilizando una escuadra y un cartabón. Piensa qué dos ángulos debes sumar. 75º 5 45º 1 30º

●

75º 5 45º 1 …º

●

105º 5 60º 1 …º

●

120º 5 90º 1 …º

●

135º 5 …º 1 …º

●

150º 5 …º 1 …º

13.

50º

71

14. • Lleva funcionando 6 horas, 51 minutos y 13 segundos. • El viaje duró 6 horas y 11 minutos. • Ha hecho la prueba en 6 minutos y 58 segundos.

Eres capaz de…


60º

• Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 5 Ángulos Lo que he aprendido Unidades de medida de ángulos

El tercer ángulo mide 40º.


90º

45º

• • • • •

75º 5 45º 1 30º 105º 5 60º 1 45º 120º 5 90º 1 30º 135º 5 90º 1 45º 150º 5 90º 1 60º 105º

Suma de ángulos

120º

Resta de ángulos Ángulos complementarios y suplementarios

150º

Ángulos de más de 180º 135º

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Solución de problemas Hacer un dibujo Objetivos • Resolver problemas geométricos haciendo un dibujo que represente el enunciado.

Sugerencias didácticas Para empezar • Recuerde qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se traza.

1.

Montse ha dibujado un ángulo de 40º y su ángulo suplementario. Después, ha trazado las bisectrices de los dos ángulos. ¿Qué ángulo forman esas bisectrices?

2.

▶ Hacemos el dibujo siguiendo las condiciones del enunciado. Trazamos los dos ángulos y sus bisectrices y medimos el ángulo que forman. 1.º Dibujamos el ángulo de 40º.

Para explicar • Lea el enunciado y pregunte a los alumnos si comprenden todos los términos que aparecen. A continuación, vuelva a leer el enunciado, frase a frase, y dibuje en cada caso el elemento nombrado, mientras los alumnos lo repiten en una hoja. Al final, mida el ángulo y diga la solución.

2.º Dibujamos el ángulo suplementario alargando un lado.

▶

40º

140º

3.

40º

4. 4.º Medimos el ángulo que forman las dos bisectrices: es 90º.

3.º Trazamos las bisectrices de los dos ángulos.

70º 70º

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal La resolución de estos problemas potencia el desempeño de los alumnos y les capacita para enfrentarse a otras situaciones menos dirigidas.

EJE

En algunos problemas, sobre todo geométricos, es útil hacer un dibujo que represente el enunciado. Resuelve estos problemas de esa manera.

20º 20º

▶

5.

90º

Solución: El ángulo formado por las dos bisectrices mide 90º.

6. 1. Luisa ha dibujado un ángulo de 80º y su suplementario, y ha trazado sus bisectrices. ¿Qué ángulo forman las bisectrices de los dos ángulos?

2. Dibuja dos ángulos suplementarios, los que quieras, y traza sus bisectrices. ¿Qué ángulo forman? ¿Ocurre igual en cualquier pareja de ángulos suplementarios?

7.

3. Marta dibuja un ángulo de 60º y su complementario. Después, traza

Soluciones

las bisectrices de los dos ángulos. ¿Qué ángulo forman esas bisectrices? ¿Ocurre igual en cualquier pareja de ángulos complementarios?

72

1. 9 0º

Forman un ángulo de 90º. 2. Dibujo: R. L. Forman un ángulo de 90º. Sí, las bisectrices de dos ángulos suplementarios siempre forman un ángulo de 90º. 3. 45º

Otras actividades • Antes de realizar los problemas presentados en esta página, proponga a los alumnos otros similares más sencillos, con un único ángulo. Por ejemplo, indíqueles que dibujen un ángulo determinado: agudo, recto, obtuso, llano o de más de 180º, y que tracen su bisectriz. Pregúnteles en cada caso qué tipo de ángulo forma la bisectriz con uno de los lados del ángulo. Anímelos a contestar por razonamiento y pídales que después dibujen un ejemplo y lo comprueben.

Forman un ángulo de 45º. Sí, las bisectrices de dos ángulos complementarios siempre forman un ángulo de 45º.

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5

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Escribe cómo se lee cada número. Después, halla su descomposición. ●

102.468

●

34.520.127

●

7.400.056

●

705.032.091

8. Maite va al dentista cada 4 meses y Luis, cada 9 meses. Hoy han coincidido. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a coincidir?

9. Manuela estaba en la primera planta del 2. Ordena de mayor a menor cada grupo de números. ●

235.120, 234.999, 240.000, 30.000, 235.200

●

6.045.098, 6.050.000, 700.000, 7.000.024, 6.045.100

3. Expresa cada producto como una potencia y escribe cómo se lee. ●

43434

●

3333333

●

939

●

83838383838

4. Completa. 72 5 … y √49 5 …

√36 5 … y … 5 36

52 5 … y √25 5 …

√81 5 … y … 5 81

garaje. Subió cuatro pisos en ascensor hasta su casa y luego bajó dos pisos hasta la casa de su amiga Petra. ¿En qué pisos viven Manuela y Petra?

10. Una urbanización tiene 4 bloques, cada bloque tiene 4 plantas, en cada planta hay 4 viviendas y cada vivienda tiene 4 habitaciones. ¿Cuántas habitaciones hay en los bloques de la urbanización?

11. El mes pasado entraron a unas cuevas 5 grupos de 78 personas y 2 grupos de 57 personas. Este mes se dejará entrar al mismo número total de personas, pero formando 6 grupos iguales. ¿Cuántos visitantes tendrá cada grupo?

5. Ordena cada grupo de menor a mayor. ●

27, 211, 14, 26

●

22, 23, 26, 28, 24

●

13, 19, 0, 22

●

0, 16, 27, 15, 29

12. Leonor vendió 36 pulseras en la feria de

6. ESTUDIO EFICAZ. Contesta. ●

¿Es 18 múltiplo de 6? ¿Por qué?

●

¿Es 6 divisor de 18? ¿Por qué?

●

¿Qué es el m.c.d. de dos números?

●

¿Qué es el m.c.m. de dos números?

artesanía. La mitad las vendió a 25 cada una, un tercio a 19 cada una y el resto las vendió a 18 cada una. ¿Cuánto obtuvo Leonor por la venta de las pulseras?

13. Carmen vio una enciclopedia de 15 tomos 7. Calcula. ● ●

Cuatro múltiplos de 7.

●

m.c.d (12 y 20)

Tres divisores de 24.

●

m.c.m (9 y 12)

5

iguales que costaba 390 . Al comprarla, por pagar al contado, el dueño de la librería le rebajó 45 . ¿Cuánto le costó cada tomo de la enciclopedia?

73

1. R. M. 102.468 ▶ Ciento dos mil cuatrocientos sesenta y ocho. 1 CM 1 2 UM 1 4 C 1 1 6 D 1 8 U. 2. • 240.000 . 235.200 . . 235.120 . 234.999 . . 30.000 • 7.000.024 . 6.050.000 . . 6.045.100 . . 6.045.098 . 700.000 3. • • • •

43 ▶ cuatro al cubo 92 ▶ nueve al cuadrado 34 ▶ tres a la cuarta 86 ▶ ocho a la sexta

4. • • • •

72 5 49 y √49 5 7 52 5 25 y √25 5 5 √36 5 6 y 62 5 36 √81 5 9 y 92 5 81

5. • • • •

211 , 27 , 26 , 14 28 , 26 , 24 , 23 , 22 22 , 0 , 13 , 19 29 , 27 , 0 , 15 , 16

6. • Sí, porque 18 : 6 es exacta. • Sí, porque 18 : 6 es exacta. • Es el mayor divisor común de ambos números. • Es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números. 7. • 0, 7, 14 y 21 • Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 • m.c.d. (12 y 20) 5 4 • m.c.m. (9 y 12) 5 36 8. m.c.m. (4 y 9) 5 36 Pasarán 36 meses.

Repaso en común • Forme en clase grupos de cuatro alumnos y entregue a cada grupo dos hojas, para que presenten en cada hoja un contenido: – Hoja 1: Tipos de ángulos. Dibujar cada ángulo y escribir su nombre y su medida. – Hoja 2: Ángulos complementarios y suplementarios. Dibujar cada pareja de ángulos y escribir su medida en forma de suma. – Hoja 3: Suma de ángulos. Escribir cuatro sumas de ángulos, sin llevar y llevando, con todas las unidades o faltando alguna. – Hoja 4: Resta de ángulos. Escribir cuatro restas de ángulos, sin llevar y llevando, con todas las unidades o faltando alguna.

9. Manuela vive en el tercer piso y Petra en el primero. 10. Hay 256 (44) habitaciones. 11. 5 3 78 1 2 3 57 5 504 504 : 6 5 84 Tendrá 84 visitantes. 12. 36 : 2 5 18; 18 3 25 5 450 36 : 3 5 12; 12 3 19 5 228 36 – (18 1 12) 5 6 6 3 18 5 108 450 1 228 1 108 5 786 Obtuvo 786 €. 13. 390 2 45 5 345 345 : 15 5 23 Cada tomo le costó 23 €.

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Repaso trimestral 9.

NÚMEROS

Repaso trimestral NÚMEROS 1. • 9 U. de millón 1 8 CM 1 1 5 UM 1 7 D 1 1 U 5 5 9.000.000 1 800.000 1 1 5.000 1 70 1 1 • 4 D. de millón 1 6 DM 1 1 2 UM 1 5 C 5 5 40.000.000 1 60.000 1 1 2.000 1 500 • 3 C. de millón 1 4 U. de millón 1 8 DM 1 1 C 1 1 5 D 5 300.000.000 1 1 4.000.000 1 1 80.0001 100 1 50 • 4 C. de millón 1 6 D. de millón 1 1 CM 1 2 DM 1 1 8 UM 1 7 U 5 5 400.000.000 1 1 60.000.000 1 100.000 1 1 20.000 1 8.000 1 7 • 7 C. de millón 1 8 D. de millón 1 6 U. de millón 1 19C13U5 5 700.000.000 1 1 80.000.000 1 1 6.000.000 1 900 1 3 • 9 C. de millón 1 3 D. de millón 1 6 U. de millón 1 1 4 CM 1 1 DM 1 2 D 5 5 900.000.000 1 1 30.000.000 1 1 6.000.000 1 1 400.000 1 10.000 1 20 2. Veintisiete millones quinientos sesenta mil. Ciento sesenta y ocho millones cincuenta y un mil doscientos. Quinientos noventa y cuatro millones trescientos siete mil ochenta y cinco. Novecientos tres millones sesenta y dos mil cuarenta. 209.050.631; 487.000.196; 600.515.370; 924.068.002

1. Descompón cada número. ●

9.805.071

●

304.080.150

●

786.000.903

●

40.062.500

●

460.128.007

●

936.410.020

2. Escribe.

10

Con letras ●

Con cifras

27.560.000

●


●

168.051.200

●


●

594.307.085

●


●

903.062.040

●


OP 1.

3. Ordena cada grupo de números como se indica. ●


28.109.200

179.536.048

179.507.960

●


348.095.068

341.576.048

39.100.289

279.250.800

2. 4. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee. ●

53535

●

737

●

6363636363636

●

3333333

●

939393939

●

83838383838

3. 5. Escribe la expresión polinómica de cada número. ●

85.473

●

4.007.952

●

280.560.370

●

320.609

●

76.803.041

●

906.047.158

4. 6. Dibuja una recta entera y representa estos números. Después, completa. 13 24 0 12 21 15

●


●


7. Expresa con números enteros. ●


●


●


5.

8. Compara y escribe el signo > o <. ●

14

17

●

0

22

●

21

11

●

13

25

●

23

26

●

0

11

●

18

28

●

24

12

74

3. • 179.536.048 . . 179.507.960 . . 29.650.792 . . 28.109.200 • 39.100.289 , , 279.250.800 , , 341.287.000 , , 341.576.048 , , 348.095.068

74 118 124603 _ 0102-0121.indd

118

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9. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos. A ▶ (21, 13)

C ▶ (14, 11)

E ▶ (23, 24)

G

B ▶ (22, 22)

D

22)

F ▶ (12, 11)

H ▶ (24, 12)

●

▶ (11,

▶ (13,

4. 53; 5 al cubo. 34; tres a la cuarta. 72: siete al cuadrado. 95; nueve a la quinta. 67; seis a la siete. 86; ocho a la sexta.

21)


10. Contesta y explica por qué. ¿Es 40 múltiplo de 6?






.

OPERACIONES 1. Calcula el término que falta. ● ● ●

1 57.693 5 130.263 280.714 2

5 7.958

2 9.825 5 94.367

●

2.418 3 305 5

●

154.253 : 379 5

●

96 3

●

121.626 :

●

5 61.728

3 524 5 109.516

●

5 58

: 860 5 492

00

36

2. Calcula. ●

2 3 (6 1 9)

●

(3 1 4) 3 2 2 5

●

8:21337

●

(4 1 5) 3 (8 2 2)

●

30 2 10 : 5

●

45 : 9 2 (7 2 6)

●

20 2 5 3 (12 : 4)

●

9 1 16 : 2 2 3 3 5

3. Calcula. 35

73

92

105

83

16

27

43

54

62

Ï9 Ï4

Ï1 Ï16

Ï64 Ï81

Ï25 Ï100

Ï49 Ï36

5. • 8 3 104 1 5 3 103 1 4 3 3 102 1 7 3 10 1 3 • 3 3 105 1 2 3 104 1 6 3 3 102 1 9 • 4 3 106 1 7 3 103 1 9 3 3 102 1 5 3 10 1 2 • 7 3 107 1 6 3 106 1 8 3 3 105 1 3 3 103 1 4 3 3 10 1 1 • 2 3 108 1 8 3 107 1 5 3 3 105 1 6 3 104 1 3 3 3 102 1 7 3 10 • 9 3 108 1 6 3 106 1 4 3 3 104 1 7 3 103 1 1 3 3 102 1 5 3 10 1 8 6. 24 23 22 21

0 11 12 13 14 15

A la izquierda: enteros negativos, a la derecha: positivos.

4. Escribe. ●


7. 14 y 22; 0 y 2200; 130 y 25

●


●


8. , .

●


9.

●

J

K (23, 0)

F

C

K

El mínimo común múltiplo: m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3, 4 y 8)

m.c.m. (3 y 7)

m.c.m. (12 y 20)

m.c.m. (6, 9 y 12)

. , J (0, 12)

A H

5. Calcula. ●

. , , .

G

B D E

El máximo común divisor: m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

m.c.d. (4 y 16)

m.c.d. (15 y 25)

m.c.d. (9, 12 y 15)

10. No. Sí. | Sí. No. | Sí. No.

OPERACIONES 75

1.

5 72.750 5 104.192 5 643 5 407 5 423.120

2. • 30 • 28 3. 243 1 3 2

• 9 • 4 343 128 1 4

81 64 8 9

5 272.756 5 737.490 5 209 5 2.097 • 25 • 5

• 54 • 2

100.000 625 5 10

512 36 7 6

4. 0, 8, 16, 24, 32, 40. R. M. 72, 81, 90, 99, 108 R. M. 1, 2, 4, 5, y 10. 1, 3, 5, 6, 10 y 15. 1, 3, 5 y 15. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

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Repaso trimestral 6. Calcula las siguientes sumas y restas de ángulos.

PR

OPERACIONES

●

34º 35’ 57” 1 48º 12’ 36”

●

87º 42’ 19” 2 35º 26’ 51”

5. • 20 15 24 21 60 36 • 1 4 2 4 5 3 6. • 82º 48’ 33’’ • 191º 29’ 37’’ • 278º 26’ 16’’ • 52º 15’ 28’’ • 66º 24’ 38’’ • 41º 43’ 49’’

●

120º 28’ 43” 1 71º 54”

●

143º 5’ 38” 2 76º 41’

●

135º 39’ 1 142º 47’ 16”

●

170º 34” 2 128º 16’ 45”

1.

7. Calcula y escribe para cada ángulo. El ángulo complementario

●

56º

●

37º 43’

●

20º 19’ 36”


●

72º

●

97º 25’

●

146º 7’ 58”

GEOMETRÍA 1. Observa la figura y completa.

7. • 34º 52º 17’ 69º 40’ 24’’ • 108º 82º 35’ 33º 52’2’’

●

Ángulo rosa 1 ángulo azul 5 ángulo …

●

Ángulo naranja 2 ángulo morado 5 ángulo …

●

Ángulo azul 1 ángulo rosa 1 ángulo morado 5 …

GEOMETRÍA

●

Ángulo rojo 5 ángulo azul 1 ángulo …

1. • • • • •

●

Ángulo verde 5 ángulo rojo 2 ángulo …

Verde. Rosa. Rojo. Naranja. Morado.

2. Observa las figuras y contesta.

3. Mide y contesta.

B̂

● ●

^

3. • E 5 310º. ^ • F 5 215º.

Ê D̂

Â

2. • Suplementarios. • Complementarios.

F̂

Ĉ

¿Cómo son los ángulos Â y B̂? ̂ ¿Y los ángulos Ĉ y D?

● ●

¿Cuánto mide el ángulo Ê? ̂ ¿Y el ángulo F ?

4. Traza los siguientes ángulos. ● ●

4. R. L. Compruebe los trazados realizados por los alumnos.

Â ▶ recto B̂ ▶ llano

● ●

Ĉ 5 35º D̂ 5 100º

● ●

Ê 5 162º F ̂ 5 200º

●

Ĝ y Ĥ ▶ complementarios y K̂ ▶ suplementarios

● Ĵ

CÁLCULO MENTAL

Cálculo mental • 30 16 12 5 180

5.458 12.397 5.344 7.705 11.191

2.381 2.407 1.137 2.876 5.528

3 5 60 8

70 2 8 3 5

3.457 1 2.001

6.382 2 4.001

60 : 20

14 : 2 1 9

8.394 1 4.003

7.409 2 5.002

1.500 : 300

5 1 (9 2 2)

2.345 1 2.999

5.136 2 3.999

4.200 : 70

30 : (10 2 4)

6.708 1 997

3.871 2 995

(4 1 5) 3 20

7.193 1 3.998

8.524 2 2.996

2 de 28 7

76

76 120 124603 _ 0102-0121.indd 120

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PROBLEMAS

●

En una exposición de artesanía se muestran 1.254 trabajos. De ellos, un tercio son de barro, de madera hay la mitad que de barro y el resto son de metal. ¿Cuántos trabajos de metal hay en la exposición?

●

En un armario hay 6 cajones. En cada cajón hay 6 camisas, con 6 botones cada una. ¿Cuántos botones tienen en total las camisas que hay en el armario?

●

Un mosaico cuadrado está formado por 49 azulejos iguales. ¿Cuántos azulejos hay en cada lado del mosaico?

00

0

●

Claudia está en la segunda planta de unos grandes almacenes. Sube una planta para hacer una compra y después baja 5 para coger el coche. ¿En qué planta tenía Claudia el coche?

●

Patricia compra una revista cada 15 días y una novela cada 20 días. Hoy ha comprado las dos cosas. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelva a comprarlas juntas por primera vez?

●

El tablero de un juego tiene forma cuadrada con 12 casillas iguales en cada lado. ¿Cuántas casillas tiene el tablero?

●

Dentro de una casa la temperatura es 118 ºC y en la calle es 23 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior?

●

Un tren tiene 5 vagones. En cada vagón transporta 5 contenedores, con 5 cajas en cada uno. Cada caja tiene 5 estuches con 5 figuras de porcelana cada uno. ¿Cuántas figuras de porcelana transporta el tren?

●

Ana quiere repartir en platos 48 empanadillas de atún y 36 de carne, de manera que en cada plato haya el mismo número de empanadillas, todas del mismo sabor, y que no sobre ninguna. ¿Cuántas empanadillas como máximo puede poner en cada plato?

●

Una furgoneta de reparto lleva cajas de tabletas de turrón. En 43 de las cajas hay 36 tabletas en cada una y en el resto hay 24 tabletas en cada una. Deja en una tienda 228 tabletas y aún le quedan por entregar 1.776 tabletas. ¿Cuántas cajas de 24 tabletas había al principio en la furgoneta?

rios

s

PROBLEMAS

1. Resuelve.

1. • 1.254 : 3 5 418 418 : 2 5 209 1.254 2 418 2 209 5 627 Hay 627 de metal. • 63 5 216 Tienen 216 botones. • √49 5 7 Hay 7 azulejos. • En el segundo sótano. • m.c.m. (15 y 20) 5 60 Pasarán 60 días. • 122 5 144 Tiene 144 casillas. • Es 21 grados mayor. • 55 5 3.125 Transporta 3.125 figuras. • m.c.d. (48 y 36) 5 12 Puede poner 12 empanadillas en cada plato. • 1.776 1 228 5 2.004 43 3 36 5 1.548 (2.004 2 1.548) : 24 5 19 Había 19 cajas.

77

77 121 124603 _ 0102-0121.indd 121

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6

E

Fracciones

Programación Objetivos • Expresar fracciones mayores que la unidad como número mixto, y viceversa.

Contenidos

• Identificar gráficamente fracciones equivalentes y comprobar si dos fracciones son equivalentes.

• Expresión de una fracción en forma de número mixto, y viceversa.

• Obtener fracciones equivalentes a una fracción dada por amplificación y por simplificación.

• Reconocimiento de fracciones equivalentes.

• Reducir fracciones a común denominador por los métodos de los productos cruzados y del mínimo común múltiplo.

• Cálculo de fracciones equivalentes a una fracción dada por amplificación y simplificación.

• Comparar fracciones de igual y distinto denominador y numerador. • Resolver problemas por ensayo y error.

Criterios de evaluación • Expresa una fracción mayor que la unidad como número mixto, y viceversa. • Reconoce si dos fracciones son equivalentes. • Obtiene fracciones equivalentes a una fracción dada por amplificación y por simplificación. • Reduce fracciones a común denominador por los métodos de los productos cruzados y del mínimo común múltiplo. • Compara fracciones de igual y distinto denominador. • Resuelve problemas por ensayo y error, haciendo pruebas sucesivas.

R

• • • •

• Reducción de fracciones a común denominador por los métodos de los productos cruzados y del mínimo común múltiplo.

E

•

• Comparación de fracciones.

•

• Resolución de problemas por ensayo y error.

• Valoración de la utilidad de las fracciones en la vida cotidiana.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia social y ciudadana, Interacción con el mundo físico, Tratamiento de la información, Competencia cultural y artística, Aprender a aprender, Autonomía e iniciativa personal y Competencia lingüística.

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Esquema de la unidad UNIDAD 6. FRACCIONES

Fracciones y números mixtos

Fracciones equivalentes

Reducción a común denominador: 2 Método de los productos cruzados 2 Método del mínimo común múltiplo

Obtención de fracciones equivalentes

Comparación de fracciones

Actividades

Eres capaz de...


Repasa


Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Segundo trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.


Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 8, pág. 88. • Reelaborar la información fundamental: actividad 4, pág. 91.

Previsión de dificultades • Al expresar una fracción en forma de número mixto o viceversa, los alumnos pueden confundir el orden de los términos al operar o escribir el resultado. Anímelos siempre a hacer un dibujo esquemático para comprobar sus cálculos. • Los alumnos deben dominar el cálculo del m.c.d. de dos números para hallar la fracción irreducible a una fracción dada y el cálculo del m.c.m. para reducir dos fracciones a común denominador. Además, pueden confundir el cálculo del m.c.d. y del m.c.m. al realizar las dos actividades anteriores. Razone con ellos el sentido de cada una para que la elección del cálculo sea lógica y no solo memorística.


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6

Fracciones

RE

F

Objetivos

P y

• Reconocer situaciones reales donde aparecen fracciones. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

F

S d e

Sugerencias didácticas • Lea la situación inicial, dibuje dos rectángulos iguales para representar las dos tartas y pida a dos alumnos que las dividan en 12 y 20 partes iguales. A continuación, lea las preguntas y contéstelas en común con el apoyo del dibujo de la pizarra. Plantee otras preguntas similares para practicar la lectura, escritura y comparación de fracciones. • En Recuerda lo que sabes, repase el cálculo de la fracción de un número y el número natural equivalente a una fracción. Después, recuerde cómo se calcula el m.c.m. y el m.c.d. de dos números, pues son procedimientos que utilizarán al trabajar la reducción de fracciones a común denominador y la obtención de la fracción irreducible de una dada, respectivamente.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Al presentar la situación inicial, dialogue sobre la importancia de los amigos y de celebrar y realizar actividades en familia y en grupo. Comente la necesidad de hacer cálculos para su organización. Interacción con el mundo físico La expresión y el cálculo de los trozos de tarta que han comido, que han sobrado… con fracciones, ayudan al alumno a relacionar el mundo que le rodea con las representaciones abstractas que maneja al realizar las actividades.

M

E m d

1

2

3

1.

Esteban acaba de cambiarse de casa y ha invitado a algunos amigos para celebrarlo. Ha hecho dos tartas del mismo tamaño y las ha cortado en trozos iguales: la de manzana en 12 raciones y la de yema en 20. ●

2.

María ha cogido un trozo de tarta de manzana y Julián, un trozo de la tarta de yema. – ¿Qué fracción de tarta ha cogido cada uno? Escribe cada fracción y cómo se lee.

3.

– ¿Quién ha cogido un trozo mayor de tarta? ●

3 2 de la tarta de manzana y de la tarta de yema. 12 20 ¿Qué fracción de cada tarta se han comido? ¿Cuántos trozos eran?

Al final han sobrado

78

Otras formas de empezar • Repase con actividades colectivas en la pizarra contenidos básicos sobre fracciones: 2 Escriba varias fracciones para que los alumnos indiquen cómo se llama cada término y qué indica, digan cómo se leen, expliquen si son mayores o menores que la unidad y las representen. 2 Dibuje varias representaciones de fracciones para que los alumnos escriban y lean las fracciones correspondientes. • Plantee en común situaciones cotidianas en las que utilizamos fracciones. Por ejemplo: partes de una unidad (porciones de pizza, tortilla…), capacidades o pesos (botellas de medio litro…), fracción de un número como parte de un grupo (un quinto de los peces…).

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UNIDAD

Fracción de un número

Soluciones

Para calcular la fracción de un número, multiplica el número por el numerador de la fracción y después divide dicho producto entre el denominador. 60 3 3 3 20 de 20 5 5 15 5 4 4 4

Página inicial 1 • María: ▶ Un doceavo. 12 1 ▶ Un veinteavo. Julián: 20 María ha cogido un trozo mayor. 10 • Se han comido de tarta 12 17 de manzana y de tarta de 20 yema. Eran 10 trozos de tarta de manzana y 17 trozos de yema.

Fracciones equivalentes a un número natural Si al dividir el numerador entre el denominador de una fracción la división es exacta, esa fracción es equivalente al cociente de la división.

10 5 10 : 5 5 2 5

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de varios números El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números. m.c.m. (4 y 6)

m.c.d. (16 y 20)

1.º Múltiplos de 4 ▶ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24… Múltiplos de 6 ▶ 0, 6, 12, 18, 24, 30… 2.º Múltiplos comunes ▶ 0, 12, 24…

2.º Divisores comunes ▶ 1, 2 y 4 3.º m.c.d. (16 y 20) 5 4

VAS A APRENDER

1. Calcula. ●

●

2 de 135 5

●

4 de 54 9

●

7 de 80 10

●

5 de 270 6

●

3 de 392 8

●

A expresar fracciones como números mixtos y viceversa.

●

A identificar y obtener fracciones equivalentes a una dada.

●

Cómo reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y del m.c.m.

2. Escribe el número natural equivalente a cada fracción. 20 5

Recuerda lo que sabes 5 1. de 63 5 45 7 4 de 54 5 24 9 7 de 80 5 56 10 2 de 135 5 54 5 5 de 270 5 225 6 3 de 392 5 147 8

1.º Divisores de 16 ▶ 1, 2, 4, 8 y 16 Divisores de 20 ▶ 1, 2, 4, 5, 10 y 20

3.º m.c.m. (4 y 6) 5 12

5 de 63 7

42 6

21 7

6

48 8

45 9

80 10

3. Calcula. ●

m.c.m. (3 y 9)

●

m.c.d. (8 y 12)

●

m.c.m. (8 y 10)

●

m.c.d. (18 y 24)

●

m.c.m. (5, 6 y 15)

●

m.c.d. (30 y 42)

●

A comparar fracciones.

79

Vocabulario de la unidad • Fracción y número mixto

2.

20 54 5 21 53 7 45 55 9

3. • • • • • •

42 57 6 48 56 8 80 58 10

m.c.m. (3 y 9) 5 9 m.c.m. (8 y 10) 5 40 m.c.m. (5, 6 y 15) 5 30 m.c.d. (8 y 12) 5 4 m.c.d. (18 y 24) 5 6 m.c.d. (30 y 42) 5 6

• Fracciones equivalentes • Amplificación y simplificación de fracciones • Fracción irreducible • Reducción de fracciones a común denominador

79 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:125

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Fracciones y números mixtos En la panadería de Isabel, venden bizcochos en porciones. Isabel parte cada bizcocho en 4 porciones iguales, es decir, en cuartos, y después los vende por separado. ¿Qué cantidad de bizcocho le queda por vender?

Objetivos • Expresar fracciones mayores que la unidad en forma de número mixto, y viceversa.

Le quedan por vender 11 cuartos.

Competencias básicas Tratamiento de la información Comprender y trabajar distintas expresiones de un mismo número (fracciones y números mixtos) y su representación, favorece en el alumno la autonomía para manejar y relacionar informaciones presentadas de formas variadas.

3 3 11 521 52 4 4 4 ¿Cómo se escribe una fracción en forma de número mixto?

La expresión 2

3 se llama número mixto. 4

¿Cómo se escribe un número mixto en forma de fracción?

5.

n.º natural numerador

11 4

11 3

4 2

▶

3 11 52 4 4

3 2 4

resto divisor

cociente

2 3 4 1 3 5 11

▶

2

11 3 5 4 4

denominador

Un número mixto está formado por un número natural y una fracción. Todas las fracciones mayores que la unidad que no son equivalentes a un número natural se pueden expresar en forma de número mixto.

6.

1. En cada caso, escribe la fracción y el número mixto que representa la parte coloreada.

5…

5…

5…

CÁ 2. Copia en una hoja cuadriculada y representa. Después, escribe cada fracción en forma

Su pa

de número mixto y cada número mixto como una fracción. 9 2

▶

10 4

▶

▶

…

3

1 3

▶

▶

…

1

5 6

▶

▶

▶

80

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias fracciones mayores que la unidad no equivalentes a un número natural y pregunte entre qué dos números naturales se encuentra cada una de ellas. Explique que, al dividir el numerador entre el denominador, el cociente indica las unidades completas y la fracción es ese cociente y «algo más» (porque hay un resto). Después, pida a los alumnos que expresen cada fracción como un número mixto, averiguando la fracción menor que 1 (el «algo más» anterior) a partir del resto de la división. Por ejemplo: 7 7 3 ▶ ▶ 3 1 2

2,

▶

Para explicar • Plantee la situación y explique cada expresión (fracción, suma y número mixto) a partir del dibujo. Comente que los números mixtos están formados por un número natural (unidades completas) y una fracción menor que la unidad (parte de otra). • Explique cómo se pasa de una expresión a otra y ponga varios ejemplos en la pizarra para resolver en común. • Al realizar la actividad 6, señale que toda fracción está comprendida entre dos números naturales.

4.

Fíjate: 11 cuartos son 2 bizcochos enteros y 3 cuartos de otro.

Sugerencias didácticas Para empezar • Escriba las siguientes fraccio3 4 6 nes en la pizarra: , , y 4 4 4 8 . Repase con estos ejemplos 4 las fracciones menores, iguales y mayores que la unidad. Dentro de estas últimas, repase también las que son iguales a un número natural. Represéntelas para comprobarlo y diga en cada caso la relación que hay entre el numerador y el denominador. Por último, pida a los alumnos que digan otros ejemplos.

3.

7 ,3 3

▶

7 1 52 3 3

80 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:126

6/7/09 16:47:28

6 3. Escribe cada fracción en forma de número mixto. Después, explica cómo lo haces. 20 3

20 26 7

31 5

20 5… 3

▶

3

59 8

34 6

UNIDAD

Divido el numerador entre … Después, escribo el número mixto: – El número natural es el … de la división. – El numerador es … de la división. – El denominador es … de la división.

43 9

Soluciones 1.

4. Escribe cada número mixto en forma de fracción. Después, explica cómo lo haces. 4

3 5

2

3 7

4351…5…

9

2 5

6

7 8

▶

4

4

3 5 5

5 9

10

1 6

Multiplico el número natural por … y sumo … Después, escribo la fracción: – El numerador es … – El denominador es …

▶ 4

1 2

•

▶ 2

2 4

•

▶

10 3

•

▶

11 6

▶ Ejemplo: Reparte 23 rosquillas entre 7 personas. ▶

A cada persona le corresponden 3 rosquillas enteras y ●

Reparte 7 naranjas entre 4 personas.

●

Reparte 12 chocolatinas entre 5 personas.

●

Reparte 35 pasteles entre 6 personas.

2 de otra. 7

3.

6. Piensa cómo se expresa cada fracción en forma de número mixto y escribe la fracción en el lugar adecuado.

13 5

14 3

1,

,2,

21 4

,3,

11 7

23 6

,4,

14 ,5, 3

2 14 54 3 3 2 4,4 ,5 3

4 1 17 2 51 ; 53 ; 3 3 5 5 44 4 55 8 8

2. •

5. Lee cada reparto y explica qué cantidad le corresponde a cada persona. 2 23 53 7 7

20 2 56 3 3 26 5 53 7 7 34 4 55 6 6

,6

CÁLCULO MENTAL Suma por compensación: suma y resta el mismo número a los dos sumandos para que el primero sea una decena

47 1 28 5 50 1 25 5 75 23

31 1 56 5 5 59 3 57 8 8 43 7 54 9 9

Entre el denominador. 2 Es el cociente de la división. 2 Es el resto de la división. 2 Es el divisor de la división. 3 23 5 5 5 2 47 5 9 5 5 5 41 4 5 9 9

4. 4

13

6

39 1 23

28 1 15

37 1 35

26 1 47

49 1 36

58 1 37

57 1 26

36 1 28

59 1 64

68 1 54

67 1 58

76 1 35

89 1 76

78 1 41

87 1 62

86 1 53

81

3 17 5 7 7 7 55 6 5 8 8 1 61 10 5 6 6

2

Por el denominador y sumo el numerador. 2 Es el resultado de la operación anterior. 2 Es el denominador de la fracción del número mixto. 7 3 ▶ 1 naranja y 51 4 4 3/4 de otra. 12 2 • 52 ▶ 2 chocola5 5 tinas y 2/5 de otra. 35 5 55 • ▶ 5 pasteles y 6 6 5/6 de otro.

5. •

Otras actividades • Entregue a cada niño cuatro tarjetas de papel iguales, para que escriban en dos de ellas dos fracciones distintas mayores que la unidad, y en las otras dos tarjetas, el número mixto correspondiente. Forme grupos de varios alumnos. En cada grupo, mezclarán las tarjetas de fracciones y las colocarán en un montón boca abajo, y mezclarán y repartirán las tarjetas de los números mixtos. Cada alumno, por orden, cogerá una tarjeta del montón; si es la pareja de alguna tarjeta de las que tiene en la mano, se la quedará, y si no, la dejará en la parte inferior del montón. Ganará el alumno que antes forme sus dos parejas. • Repita la actividad anterior dejando en el centro las tarjetas de números mixtos y repartiendo las tarjetas de fracciones.

6. 1 , 11/7 , 2 , 13/5 , 3 , , 23/6 , , 4 , 14/3 , 5 , , 21/4 , 6


43 95 122 119

72 83 125 149

73 64 111 139

81 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:127

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Fracciones equivalentes Objetivos

• Reconocer si dos fracciones son o no equivalentes.


2 4

1 2

Es de fresa ▶

• Al realizar la actividad 1, anime a los alumnos a reconocer las fracciones equivalentes por su representación y que después lo comprueben numéricamente.

Es de fresa la mitad del helado.

Manuel tiene cuatro helados iguales de fresa y vainilla. Corta cada helado en varias porciones iguales. ¿Qué fracción de cada helado es de fresa?

• Identificar gráficamente fracciones equivalentes.

Para explicar • Plantee la situación y comente que los cuatro helados tienen la misma parte de fresa, aunque estén partidos en distinto número de porciones. Razone a partir del dibujo el concepto de fracciones equivalentes. Después, explique cómo podemos saber si dos fracciones son equivalentes y compruébelo en común con otras fracciones del ejemplo.

O

3 6

4 8

Fíjate en que la cantidad de fresa es igual en los cuatro helados. Por eso, las fracciones

1, 2, 3 4 y son fracciones equivalentes 2 4 6 8

▶

1 2 3 4 5 5 5 2 4 6 8

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, multiplica sus términos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes. 1 3 y 2 6

▶

136523356

Como los productos son iguales, las fracciones son equivalentes.

▶

3 1 5 2 6

1.

Las fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad. Si dos fracciones son equivalentes, los productos de sus términos en cruz son iguales.

1. Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada figura.

2.

Después, busca las fracciones equivalentes y completa las igualdades.

●

1 5 4

5

●

2 5 3

5

Competencias básicas Competencia cultural y artística Pida a sus alumnos que representen gráficamente fracciones equivalentes a una fracción dada por usted. Valore su corrección y creatividad.

2. Averigua si las siguientes fracciones son equivalentes.

3. Completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes.

3.

5 1 y 8 40

3 9 y 4 16

2 16 y 7 56

2 5 5 15

3 6 5 7

9

5

10 45

20 5 y 24 6

40 4 y 90 9

42 6 y 66 11

6 5 48 8

8

2 6

80

5

7 10

5

82

Soluciones 1.

1 4

3 12 1 2 3 5 5 • 4 8 12 2 4 8 • 5 5 3 6 12

2. Sí. Sí.

2 3

No. Sí.

2 6 3. 5 5 15 2 10 5 9 45 6 1 5 48 8 56 7 5 80 10

2 8

4 6

Sí. No. 3 6 5 7 14

8 2 5 24 6

8 12

Otras actividades • Utilice el tablero de las fracciones del material del aula para que los alumnos comprueben manipulativamente algunas fracciones equivalentes. Muestre la barrita de 1/2 y hágales ver que tiene la misma longitud que dos de 1/4, es decir, es igual que 2/4. Comente que también tiene la misma longitud que tres de 1/6, cuatro de 1/8, cinco de 1/10 y seis de 1/12. Escriba: 1 2 3 4 5 6 5 5 5 5 5 2 4 6 8 10 12 Trabaje de forma similar las fracciones equivalentes a 1/3, 1/4, 1/5, etc.

82 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:128

6/7/09 16:47:29

6

Obtención de fracciones equivalentes Álvaro busca fracciones equivalentes a

Por simplificación

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. La nueva fracción es equivalente a la primera. ▶

Divide el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. La nueva fracción es equivalente a la primera.

12 6 5 9 18

Las fracciones

6

Objetivos

6 de dos formas distintas. 9

Por amplificación

6 12 632 5 5 9 18 932

UNIDAD

6:3 2 6 5 5 9 9:3 3

▶

2 6 5 9 3

6 , 12 2 y son equivalentes. 9 18 3

• Obtener fracciones equivalentes a una fracción dada por amplificación y por simplificación. • Obtener la fracción irreducible a una fracción dada.

Sugerencias didácticas Para explicar • Explique en la pizarra las dos formas de obtener fracciones equivalentes y haga otros ejemplos en común.

Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, se multiplican o dividen los dos términos de la fracción por un mismo número distinto de cero.

1. Escribe dos fracciones equivalentes a cada fracción dada. Por amplificación

1 3

2 5

3 4

7 8

5 6

4 9

Por simplificación

12 18

14 28

18 24

20 50

30 36

15 45

• Muestre que para simplificar una fracción dividimos los dos términos por el mismo número (por un divisor común). Razone entonces y explique en la pizarra el Aprende de la actividad 2.

2. Simplifica estas fracciones para encontrar la fracción irreducible. APRENDE Una fracción es irreducible cuando no puede simplificarse más. Para encontrar la fracción irreducible equivalente a una dada, divide el numerador y el denominador de la fracción entre el máximo común divisor de ambos números.

20 28

m.c.d. (20 y 28) 5 4 ▶

20 : 4 5 20 5 5 28 28 : 4 7

●

9 15

●

25 20

●

8 12

●

12 30

●

24 32

●

35 40

Soluciones

3. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Después, escribe en cada caso dos ejemplos y comprueba tu respuesta. ●

Si hallas dos fracciones equivalentes a una fracción dada, esas dos fracciones ¿son también equivalentes entre sí?

●

Si dos fracciones son equivalentes, ¿todas las fracciones equivalentes a una de ellas son también equivalentes a la otra?

83

Otras actividades • Una ver realizada y corregida la actividad 3 de la página anterior, escriba en la pizarra las parejas de fracciones equivalentes. Pida a los alumnos que expliquen en cada caso si la segunda fracción se ha podido obtener por amplificación o por simplificación de la primera y por qué número se han multiplicado o dividido los dos términos de la fracción.

1. • R. M. 1/3 5 2/6 5 6/18 2/5 5 6/15 5 10/25 3/4 5 9/12 5 21/28 7/8 5 28/32 5 63/72 5/6 5 15/18 5 40/48 4/9 5 24/54 5 40/90 • Respuestas posibles: 12/18 5 6/9 5 4/6 5 2/3 14/28 5 7/14 5 2/4 5 5 1/2 18/24 5 9/12 5 6/8 5 5 3/4 20/50 5 10/25 5 4/10 5 5 2/5 30/36 5 15/18 5 10/12 5 5 5/6 15/45 5 5/15 5 3/9 5 5 1/3 2. • • • • • •

9/15 5 3/5 8/12 5 2/3 24/32 5 3/4 25/20 5 5/4 12/30 5 2/5 35/40 5 7/8

3. • Sí, las fracciones son equivalentes entre sí. • Sí, también son equivalentes a la otra fracción.

83 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:129

6/7/09 16:47:29

Reducción a común denominador

R

Método de los productos cruzados

Mé

Objetivos

3 4 y a común denominador, 5 7 3 4 es decir, calcula una fracción equivalente a y otra equivalente a 5 7 de manera que las dos tengan el mismo denominador. Pablo reduce las fracciones

• Reducir dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados. • Resolver repartos reduciendo fracciones a común denominador.

1.º Halla la fracción equivalente a 3 . 5 Multiplica sus dos términos por 4 el denominador de , o sea, por 7. 7

Para explicar • Explique en la pizarra cómo se reducen dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados. Después, razone en común su utilidad en situaciones como la planteada en la actividad 2.

20 4 435 5 5 7 35 735 21 3 5 5 35 20 4 5 7 35

Fracciones iniciales

Fracciones reducidas a común denominador

Para reducir dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, multiplica los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción.

1. Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados. 5 2 y 8 7

3 4 y 9 10

7 2 y 6 5

9 8 y 20 3

4 5 y 11 9

2 7 y 5 30

1.

2. Observa cómo resuelven el reparto y contesta. Santiago quiere comer la mitad de un pastel y Alba quiere un tercio del mismo pastel. Para poder repartirlo bien, reducen las fracciones a común denominador: 1 1 y 2 3

▶

3 2 y 6 6

●

¿En cuántas partes iguales dividen el pastel?

●

¿Cuántas partes coge cada uno?

▶

Aprender a aprender Al corregir las actividades, pida a los alumnos que expliquen cómo las han realizado, para que sean conscientes del proceso seguido y, a partir de la sistematización, adquieran cada vez mayor automatismo.

4 . 7

Multiplica sus dos términos por 3 el denominador de , o sea, por 5. 5

21 3 337 5 5 5 35 537



2.º Halla la fracción equivalente a

2.

3. Explica cómo resolverías tú los siguientes repartos.

Soluciones 35 16 1. • y 56 56 35 12 • y 30 30 36 55 y • 99 99

30 36 • y 90 90 27 160 • y 60 60 60 35 • y 150 135

2. • Lo dividen en 6 partes iguales. • Santiago coge 3 par tes y Alba coge 2 partes. 3. •

2 1 8 5 y ▶ y 5 4 20 20 Dividen la tarta en 20 partes iguales, Paco coge 8 partes y Sara coge 5 partes.

•

2 1 10 3 y ▶ y 3 5 15 15 Dividen la pizza en 15 partes iguales, Aurora coge 10 partes y Juan coge 3 partes.

●

Paco quiere dos quintos de una tarta y Sara quiere un cuarto de la misma tarta.

●

Aurora quiere dos tercios de una pizza y Juan quiere un quinto de la misma pizza.

84

Otras actividades • Después de realizar las actividades 2 y 3, plantee a los alumnos otras situaciones similares para calcular en la pizarra, reduciendo las dos fracciones a común denominador y haciendo un dibujo que lo represente. En cada caso, razone en común si necesitan o no más de una unidad para realizar el reparto, según sea el total de porciones a entregar mayor o menor que el número de porciones de una unidad. Por ejemplo: 2 Elena quiere 2/3 de un bizcocho y Eva quiere 1/4. 2 Nacho quiere 2/3 de un pastel y Ramón quiere 3/4.

84 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:130

6/7/09 16:47:29

6

Reducción a común denominador

UNIDAD

6

Método del mínimo común múltiplo

Objetivos

5 2 y a común denominador 6 9 por el método del mínimo común múltiplo. Paula reduce las fracciones

2.º Halla el numerador de cada fracción.

1.º Halla el denominador común. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las dos fracciones. Este m.c.m. es el denominador común.

Para cada fracción, divide el denominador común entre el denominador de la fracción inicial y multiplica por el numerador.

5 2 y 6 9

5 6 2 9

▶

• Reducir dos o más fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo.

m.c.m. (6 y 9) 5 18 2 5 5 y 5 6 18 9 18

▶

18 : 6 3 5 5 15 ▶

▶

18 : 9 3 2 5 4

5 15 5 6 18 4 2 5 9 18

Fracciones iniciales

▶


15 5 5 6 18 4 2 5 9 18

Para explicar • Explique en la pizarra los dos pasos indicados en el libro. Después, razone con los alumnos por qué se elige el m.c.m. como denominador común: es el múltiplo común a ambos denominadores más pequeño.

Fracciones reducidas a común denominador

Para reducir dos o más fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo, escribe como denominador común el m.c.m. de los denominadores y como numerador de cada fracción el resultado de dividir el denominador común entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador correspondiente.

1. Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo. ●

5 3 y 10 8

●

7 5 y 6 12

●

PRESTA ATENCIÓN

8 4 y 9 15 ●

Para reducir a común denominador tres o más fracciones por el método del mínimo común múltiplo, sigue los mismos pasos que para reducir a común denominador solo dos.

●

5 11 y 12 18

8 4, 7 y 5 12 15

▶

●

2 9 y 14 21

●

7 5 y 16 24

m.c.m. (5, 12 y 15) 5 60 8 4 , 7 5 5 y 5 5 60 12 60 15 60

●

9 2, 3 y 5 4 10

●

8 5, 3 y 6 7 21

●

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre releer y explicar el procedimiento que aparece en la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que expliquen con un ejemplo cómo se reducen dos y tres fracciones a común denominador.

7 1, 5 y 6 8 12

Soluciones

2. RAZONAMIENTO. Reduce a común denominador estas fracciones aplicando en cada caso los dos métodos y contesta.

1. •

12 25 y 40 40

•

10 7 y 12 12

•

20 24 y 45 45

•

15 22 y 36 36

•

27 4 y 42 42

•

15 14 y 48 48

•

48 35 32 , y 60 60 60

Otras actividades

•

• Pida a los alumnos que reduzcan a común denominador varias parejas de fracciones usando los dos métodos, el de los productos cruzados y el del m.c.m. Por ejemplo:

8 15 18 , y 20 20 20

•

35 18 16 , y 42 42 42

•

4 15 14 , y 24 24 24

5 3 y 7 4

5 2 y 6 5

●

¿Has obtenido por los dos métodos el mismo resultado? ¿Por qué?

85

3 2 y 5 7

2 7 y 3 8

4 3 y 15 25

7 5 y 12 18

7 5 y 24 8

Plantee un debate sobre la mayor o menor facilidad de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones que haya que reducir (si son números bajos o no…). Comente y pídales que comprueben que, aunque los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos pues las fracciones encontradas son equivalentes.

2. •

5 3 20 21 y ▶ y 7 4 28 28

5 2 25 12 y ▶ y 6 5 30 30 Por los dos métodos se obtiene el mismo resultado, porque el m.c.m. de los dos números es el producto de ambos. •

85 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:131

6/7/09 16:47:30

Comparación de fracciones Objetivos

4. 7 8

Cristina quiere comparar varias parejas de fracciones. Primero mira si tienen igual denominador o numerador. ¿Qué fracción de cada pareja es mayor?

• Comparar fracciones con igual denominador o numerador.

Fracciones con igual denominador

• Comparar fracciones con distinto denominador y numerador. • Ordenar fracciones. • Resolver problemas comparando fracciones.

▶

5 6

5 9

3 4

6 10

5.

Fracciones con igual numerador

La fracción mayor es la fracción que tiene el numerador mayor. 7 4 y 8 8

4 8

La fracción mayor es la fracción que tiene el denominador menor.

4 7 . 8 8

5 5 y 9 6

▶

5 5 . 6 9

Fracciones con distinto numerador y denominador

Sugerencias didácticas Para explicar • Repase en la pizarra la comparación de fracciones de igual denominador o numerador. Pida a los alumnos que, con el apoyo de un dibujo, razonen cuál es la fracción mayor o menor. • Explique cómo se comparan dos fracciones con distinto denominador, comentando que, como no sabemos compararlas, buscamos otras equivalentes que sí sepamos comparar. • Trabaje en común el Hazlo así de la actividad 5, y pida a los alumnos que digan otras fracciones entre 3/7 y 5/9.

Para explicar • Aproveche la estrategia sobre inventar otras prácticas similares que aparece en la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que escriban dos fracciones, las comparen y después busquen una fracción comprendida entre ambas.

Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, reduce primero las fracciones a común denominador y después compáralas. 6 3 y 4 10

15 3 5 4 20

▶

6 12 5 10 20

y

12 15 . 20 20

▶

6. 6 3 . 4 10

1. Ordena las fracciones. De mayor a menor

●

2, 7 5 y 9 9 9

●

3 3, 3, 3 y 8 5 10 7

De menor a mayor

●

3, 5, 9 7 y 4 4 4 4

●

7 7 , 7, 7, 7 y 10 8 5 9 12

2. Completa las fracciones para que las comparaciones sean ciertas. ●

●

4 . 7 7 9

,

●

4 , 9 9

●

5 4

,

9 5

●

.

7 . 4 4

●

6 6 , 8 2

.

3 3 . 10

●

2 2 . 11

8

●

,

CÁ

8 8 , 5

Sum par

3. Compara cada pareja de fracciones y escribe el signo correspondiente. PRESTA ATENCIÓN Estas fracciones tienen distinto numerador y denominador. Piensa qué debes hacer antes de compararlas.

1 4 3 10

2 5 5 12

2 7 8 15

3 8 9 20

5 6

7 9

5 8

14 24

86


Otras actividades

Autonomía e iniciativa personal Para comparar fracciones con distinto denominador el alumno debe poner en práctica dos procedimientos ya aprendidos: la reducción a común denominador y la comparación de fracciones con igual denominador. Fomente en ellos la autonomía al realizar las actividades y el interés por aplicar con iniciativa dichos procedimientos para resolver problemas.

• Coloque a los alumnos en corro o establezca un orden de intervención y escriba una fracción en la pizarra, por ejemplo: 4/7. Indique al primer alumno que diga una fracción mayor que 4/7 que tenga el mismo numerador o denominador que ella. A continuación, el siguiente alumno dirá otra fracción mayor que la de su compañero, también con igual numerador o denominador, y así sucesivamente. Escriba cada fracción dicha en la pizarra, para facilitar la elección de la siguiente y la comprobación por parte de los compañeros. • Repita la actividad pidiendo a los alumnos que digan, en cada caso, una fracción menor que la anterior, también con igual numerador o denominador que ella.

86 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:132

6/7/09 16:47:30

0

7 9

14 24

6 4. Ordena las fracciones de mayor a menor. ●

2 3 y 7 9

6 4 y 6 10

●

UNIDAD ●

5 3, 4 y 8 8 12

●

5 2, 4 y 5 15 9

Soluciones

5. Escribe una fracción comprendida entre las dos fracciones dadas.

7 5 2 . . 9 9 9 3 3 3 3 . . . • 5 7 8 10 3 5 7 9 • , , , 4 4 4 4 7 7 7 7 7 • , , , , 12 10 9 8 5

1. •

HAZLO ASÍ 3 7

,

5

,

9

●

1 , 7

,

1 3

●

2 , 5

,

3 4

●

5 , 8

,

7 10

●

7 , 12

1.º Reduce las dos fracciones a común denominador. 3 7

5

27 63

5

y

9

5

35 63

▶

27 63

,

,

35 63

2.º El denominador de la fracción buscada es el denominador común, 63, y el numerador es cualquier número entre 27 y 35, por ejemplo, 32. 27 63

,

32 63

,

35 63

▶

3 7

,

32 63

,

5 9

,

11 15

4 3 1 9 . • , 7 7 5 5 6 6 3 3 • , • . 8 4 10 15 3 4 5 , , • 9 9 9 9 7 5 • . . 4 4 4 2 2 2 • . . 10 11 12 8 8 8 • , , 7 5 2

2. R. M. •

6. Resuelve. ●

●

●

●

6

Diego tiene un juego de imanes. Un sexto de las barritas son azules, dos sextos son verdes y tres sextos son rojas. ¿De qué color tiene menos barritas? ¿Y más? 1 Lola se ha comido de empanada y Miguel, 4 2 de la misma empanada. ¿Quién ha comido 7 más empanada? 1 3 de kilo de manzanas y de kilo 4 5 de uvas. ¿De qué fruta compra menos?

Merce compra

2 Luis ha hecho tres refrescos del mismo tamaño. El de naranja contiene de zumo de fruta, 3 3 el de limón contiene de zumo y la mitad del refresco de fresa es zumo. 5 ¿Qué refresco lleva más cantidad de zumo? ¿Y menos?

3.

CÁLCULO MENTAL Suma por compensación: resta y suma el mismo número a los dos sumandos para que el primero sea una decena 24

34 1 77 5 30 1 81 5 111 14

1 2 2 3 , , 4 5 7 8 3 5 8 , . 10 12 15 5 14 . 8 24

3 2 4 6 . • . 9 7 6 10 4 5 3 • . . 8 12 8 5 2 4 • . . 9 5 15

4. •

61 1 37

42 1 33

23 1 16

34 1 15

71 1 18

52 1 17

43 1 35

54 1 22

81 1 46

72 1 45

53 1 52

64 1 44

91 1 59

92 1 39

83 1 28

74 1 38

87

5. R. M. 6. •

Otras actividades • Comente otra forma de comparar dos fracciones con distinto denominador y numerador: multiplicar los términos en cruz y comparar los productos. Por ejemplo: 3 4 y 5 7

▶

3 3 7 5 21 4 3 5 5 20

21 . 20

▶

5 7 . 6 9 9 20

3 4 . 5 7

Si lo cree conveniente, razone con los alumnos que hacemos lo mismo que al reducir las dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, aunque como sabemos que el denominador común será el mismo, podemos comparar los numeradores sin necesidad de hallar dicho denominador.

5 11 27 39 , , y 21 20 40 60

1 2 3 , , . Menor can6 6 6 tidad: azules; mayor: rojas.

2 1 . . Miguel. 7 4 3 1 . . De uvas. • 4 5 2 3 1 • . . . Más zumo: 3 5 2 el de naranja; menos zumo: el de fresa. •


75 69 117 131

39 78 105 111

49 76 108 112

87 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:133

6/7/09 16:47:30

Actividades 1. ¿Qué fracciones puedes escribir en forma de

Objetivos

número mixto? Escríbelas y explica por qué con las otras no es posible.


9 2


7 8

15 4

10 5

4 9

7. Reduce a común denominador. ●

●

2. Escribe.

Interacción con el mundo físico La presentación en Eres capaz de… de la utilización de fracciones y números mixtos en situaciones reales cercanas al alumno, le motiva y le ayuda a integrar los conceptos y procedimientos aprendidos en su vida diaria.

39 6

21 4

28 9

37 8

6

3. • Sí. 4.

• No.

2 10 5 7 35 4 24 5 9 54 15 5 5 27 9

3 5

3

2 7

2

7 8

7

4 6

5

6 9

He multiplicado por 5, por 4 y por 6, y he dividido entre 2, entre 3 y entre 5, respectivamente. 9 18 3 5 5 6 12 2 24 2 5 5 36 3 20 1 5 5 120 6 20 1 5 5 80 4 63 3 5 5 42 2

5. R. M. 8 12 5 30 10 40 21 14

4, 9 8 y 5 10 15

13

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Con igual denominador ▶ Es mayor…

equivalentes o no. ●

5 1 y 4 20

Con igual … ●

5 15 y 8 32

●

24 8 y 9 3

2 10 5 7

3 5 8 32

4 24 5 9

4 5 10 5

15 5 5 27

15 5 35 7

●

ER

Con distinto …

9. Ordena de menor a mayor.

4. Completa las fracciones para que sean

9, 9 7 y 4 6 9

●

5 , 11 14 y 3 5 15

10. Escribe las fracciones de la pizarra que cumplen cada condición. 2 7

¿Por qué número has multiplicado o dividido cada término de la primera fracción para obtener la segunda?

3 10

5. Escribe dos fracciones equivalentes a cada

1 3 8 3 12 5

2 3

●

Mayores que

2 . 5

●

Menores que

3 . 7

●

Iguales que

4 . 6

fracción: una por amplificación y otra por simplificación. 9 6

8 12

5 30

10 40

21 14

11. Compara cada pareja de números. 9 4 8 8 9 25 ; , 4 4 4

▶ Ejemplo: 2 y

6. Calcula la fracción irreducible de cada una de estas fracciones. 8 6

• Sí.

3 12 5 8 32 4 2 5 10 5 15 3 5 35 7

4 7 y 15 30

tu cuaderno.

3. Averigua si las fracciones de cada pareja son

Soluciones

1 3 1 5 2 2. • 5 6 3 4 8 4 6 9 8 7 33 23 23 46 51 • 5 7 8 6 9

8 10 y 6 9

8. ESTUDIO EFICAZ. Completa el esquema en En forma de fracción

●

9 1 15 3 54 53 2 2 4 4 23 2 53 7 7 7 10 4 ,1 52 ,1 8 5 9

15 9 y 7 4

Por el método del m.c.m.

5 3, 7 y 8 12 6

58 7

equivalentes y contesta.

1.

3 7 y 10 9

7 9 y 4 8

En forma de número mixto


Por el método de los productos cruzados. 4 5 y 5 8

23 7

12

25 10

32 12

30 18

36 27

●

5y

10 3

●

6y

25 4

●

▶

2,

17 y3 6

9 4 ●

14 y2 5

88

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias parejas de fracciones mayores que la unidad para que los alumnos las comparen, reduciendo ambas fracciones a común denominador y comparando los numeradores. A continuación, plantéeles otra forma de hacerlo: expresar ambas fracciones como números mixtos y comparar los números naturales de ambos. Si son iguales, deberán comparar las dos fracciones, pero comente que en este caso las fracciones son más sencillas y el cálculo también. Por ejemplo: 13 16 23 22 17 21 y , y , y 2 3 8 7 4 5

88 124603 _ 0122-0137.indd Sec1:134

6/7/09 16:47:31

6 UNIDAD

12. Calcula y expresa el resultado en forma de

●

número mixto.

os.

●

●

Óscar reparte en partes iguales 16 mazapanes entre 5 niños. ¿Qué cantidad de mazapanes entrega a cada niño? Sole reparte en partes iguales 11 kg de castañas en 4 bolsas. ¿Cuánto pesan las castañas de cada bolsa?

●

13. Resuelve. ●

en

●

Edu y Laura tienen una empanada. Él quiere comer un sexto de la empanada y ella, tres cuartos. ¿En cuántos trozos iguales cortarán la empanada para poder repartirla? ¿Cuántos trozos cogerá cada uno? ¿Quién cogerá más empanada?

●

Alba ha decorado dos quintos de un bizcocho con mermelada y los tres quintos restantes con chocolate. ¿Con qué ha decorado Alba mayor cantidad de bizcocho? Ramón ha desayunado un cuarto de litro de leche y en la merienda ha tomado un tercio de litro de leche con cereales. ¿Cuándo ha tomado Ramón mayor cantidad de leche?

6. 4/3 7. •

Daniel prepara bocadillos y montaditos en su cafetería. Corta cada barra de pan en 3 trozos iguales para hacer los bocadillos y en 5 trozos iguales para hacer los montaditos. ●

.

El lunes pasado preparó dos encargos con las barras y trozos de barra siguientes: 1 – Bocadillos de jamón: 5 barras 3 1 – Montaditos de chorizo: 4 barras 5

24 27 16 , y 30 30 30

Hoy tiene que preparar cuatro encargos: – 34 montaditos – 46 montaditos

11. • 5 .

¿Cuántas barras y trozos de barra necesita para cada uno? Exprésalo con un número mixto. ●

8. • La de mayor numerador. • Igual numerador; la de menor denominador. • Distintos términos; se reducen y luego se comparan.

10. • 2/3, 8/12 y 3/5 • 2/7, 1/3 y 3/10 • 2/3 y 8/12

¿Cuántos montaditos hizo?

– 25 bocadillos

•

Con las barras que tenía, ayer preparó 27 bocadillos. ¿Cuántos montaditos podía haber preparado con esas barras?

y2

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen una tabla como esta: Unidad 6. Fracciones Lo que he aprendido

Fracciones equivalentes Reducción a común denominador Comparación de fracciones


10 3

17 ,3 6

• 6, •

25 4

14 .2 5

12. •

16 1 11 3 53 • 52 5 5 4 4

13. •

1 3 2 9 y ▶ y 6 4 12 12

89

Fracciones y números mixtos

14 9 24 20 y ; y ; 8 8 18 18

7 9 9 , , 9 6 4 14 5 11 , , • 15 3 5

. – 17 bocadillos

32 25 27 70 y ; y ; 40 40 90 90

9. •

¿Cuántos bocadillos hizo?

●

4/3

9 14 20 , y ; 24 24 24

…

Preparar encargos

5/3

8 7 y ; 30 30

Enrique está haciendo el Camino de Santiago en bicicleta. La primera semana ha recorrido tres séptimos del total y la segunda semana la mitad del trayecto. ¿Qué semana ha recorrido más kilómetros?

ERES CAPAZ DE…

8/3

60 63 y 28 28 •

Aurora ha comido cinco octavos de tortilla y Javier, tres novenos de la misma tortilla. ¿Quién ha comido más?

5/2

6

• • • •

La cortarán en 12 trozos. Edu cogerá 2 y Laura, 9. Laura cogerá más. 3/5 . 2/5. Con chocolate. 1/3 . 1/4. En la merienda. 5/8 . 3/9. Aurora. 1/2 . 3/7. La segunda.

Eres capaz de… • Hizo 16 bocadillos. Hizo 21 montaditos. 17 2 34 4 • 55 56 3 3 5 5 25 1 46 1 • 58 59 3 3 5 5 • 27 : 3 5 9; 9 3 5 5 45. Podía haber preparado 45 montaditos.

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Solución de problemas Ensayo y error Objetivos • Resolver problemas por ensayo y error, haciendo pruebas sucesivas hasta encontrar la solución.

Sugerencias didácticas Para explicar • Plantee el problema resuelto y razone con los alumnos el porqué de cada prueba hecha: qué condiciones del enunciado sabemos que cumplen, qué condición tenemos que comprobar y qué hemos tenido en cuenta de los resultados anteriores para plantearlo. • Resuelva en común el primer problema propuesto, pidiendo a cada alumno que diga una posible solución y que explique a sus compañeros por qué la ha elegido.

EJE

Resuelve los problemas haciendo pruebas sucesivas. Fíjate en el resultado de las pruebas anteriores antes de hacer las pruebas siguientes.

1.

Laura está jugando con sus amigos. Ha escrito en un papel tres fracciones menores que la unidad y con denominador 7. Sus numeradores son números consecutivos y su suma es 12. ¿Qué fracciones ha escrito Laura?

2.

1, 2 3 y 7 7 7 y calculamos la suma de los numeradores.

▶ Probamos con las fracciones 1121356

6 , 12

▶

Nos quedamos cortos. 4, 5 6 y . 7 7 7 Nos hemos pasado.

Probamos con fracciones mayores. Por ejemplo, 4 1 5 1 6 5 15

15 . 12

▶

3 4 5 Probamos con , y . 7 7 7 3 1 4 1 5 5 12

▶

La suma es la correcta.

Solución: Las fracciones son

3.

3, 4 5 y . 7 7 7

4. 1. Mirta compró un libro y 3 ejemplares de un cómic. Pagó 32 en total. El precio del libro y el de cada cómic era un número exacto de euros menor que 12. El libro era lo más caro. ¿Cuánto costaba cada cómic? ¿Y el libro?

2. En la clase de 6.º A hay tres alumnos que cumplen los años tres días consecutivos del mes de junio, antes del día 15. ¿Qué día cumple cada uno si el producto de los tres días es 990?

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Fomente en los alumnos la iniciativa para elegir las pruebas sucesivas, aplicando con autonomía el razonamiento lógico en los ensayos realizados hasta encontrar la solución.

5. 3 3. Pedro ha escrito una fracción equivalente a . La suma de sus dos términos es 48. 5 ¿Cuál es esa fracción?

6.

4. Leire, Ignacio y Fernando son hermanos. Leire es la menor de los tres, Ignacio tiene 4 años más que Leire y Fernando tiene 3 años más que Ignacio. La suma de las edades de los tres es 32 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

5. INVENTA. Escribe un problema que pueda resolverse usando ensayo y error. Puedes hacerlo similar a los problemas de esta página.

90

Competencia lingüística Fomente en los alumnos la expresión verbal pidiéndoles que expongan oralmente el proceso seguido al resolver los problemas.

Soluciones 1. Cada cómic costaba 7 € y el libro, 11 €. 2. Cumplen los años los días 9, 10 y 11. 3. La fracción es 18/30.

Otras actividades • Antes de resolver los problemas propuestos en esta página, plantee el siguiente juego: piense un número de dos cifras para que los alumnos lo averigüen. Cada alumno, por orden, dirá un número y usted indicará si la solución es mayor o menor que él, hasta que lo acierten. Comente que deben tener en cuenta los números dichos por los compañeros y decir un número que, si no es la solución, reduzca las soluciones posibles. Ponga al principio varios ejemplos de ensayos para que los alumnos expliquen en cada caso si son buenos o no y por qué.

4. Leire tiene 7 años, Ignacio tiene 11 años y Fernando, 14. 5. R. L.

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6

Repasa

UNIDAD

7. Luis tiene una caja con 12 kg de nueces

●

25 ,

●

23 , 22 ,

,0,

●

26 , 22 ,

, 11 ,

y otra con 8 kg de avellanas. Prepara bolsas del mismo peso, unas con nueces y otras con avellanas, lo más grandes posible y sin que sobre nada. ¿Cuánto pesará cada bolsa? ¿Cuántas bolsas obtendrá?

, 23 , 12 , 14

2. Escribe las coordenadas cartesianas de cada punto y contesta.

8. Un sistema antiincendios revisa el aire de

+3 C

un garaje cada 135 segundos. ¿Cuántos minutos y segundos pasan entre revisión y revisión?

A

+2 B

+1

D

H –4 –3 –2 –1 0 11121314 –1 E F –2 G –3

9. Aurora tenía en su cámara 27 fotos. Hizo 15 fotos a cada uno de sus 6 primos. En casa, al revisar todas, borró un tercio de ellas. ¿Cuántas fotos le quedaron?

¿Qué puntos tienen igual la primera coordenada? ¿Cuáles tienen igual la segunda?

10. Un colegio pagó 413 por una función

3. Calcula los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. ●

●

18

●

26

●

13

17

●

de títeres a la que asistieron 59 alumnos. Les descontaron 2 por persona. ¿Cuánto costarían las entradas de 30 personas sin descuento?

24

4. ESTUDIO EFICAZ. Completa el esquema sobre unidades de medida de ángulos. 3 60

1. • 25 , 24 , 23 • 23 , 22 , 21 , 0 , , 1 1 , 12 • R. M. 26 , 22 , 0 , 11 , , 1 3 , 14 2. A ▶ (13, 13) B ▶ (0, 11) C ▶ (22, 12) D ▶ (21, 0) E ▶ (23, 21) F ▶ (0, 22) G ▶ (12, 23) H ▶ (13, 0) • Tienen igual la primera coordenada A y H, y B y F. Igual la segunda, D y H. 3. • 18 ▶ 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Compuesto. • 26 ▶ 1, 2, 13 y 26. Compuesto • 13 ▶ 1 y 13. Primo. • 17 ▶ 1 y 17. Primo. • 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Compuesto. 4.

360

grado ▶

:60

5. Dados los ángulos Â 5 50º, B̂ 5 120º y

11. María se conectó a Internet la semana

Ĉ 5 90º, halla gráficamente: ●

Â 1 B̂

●

B̂ 1 Ĉ

●

Ĉ 2 Â

6. Calcula. ●

134º 17’ 48” 1 27º 51’ 39”

●

175º 19” 1 36º 59’ 48”

●

126º 44’ 18” 2 63º 50’ 49”

●

90º 2 35º 40’ 45”

●

minuto

B̂ 2 Ĉ

pasada 8 horas y 13 minutos. Pilar se conectó 45 minutos y 17 segundos menos que María. ¿Cuánto tiempo se conectó Pilar?

12. En una tienda tienen dos ofertas: una de 18 platos por 144 y otra de 12 platos por 108 . ¿En cuál de las dos ofertas es más barato el precio de un plato? ¿Cuánto más?

91

Repaso en común • Forme grupos de cuatro alumnos e indique que, en cada grupo, cada alumno deberá preparar y explicar a sus compañeros el contenido de una doble página distinta de la unidad: 2 Dirá qué se trabaja en dicha doble página: conceptos (qué es…) y procedimientos (cómo se…). Pueden utilizar como base la tabla propuesta en la actividad de Programa de Estudio Eficaz de la página 89 y las síntesis de los cuadros explicativos. 2 Pondrá un ejemplo y lo resolverá, explicando cada paso del procedimiento realizado. 2 Inventará un problema sencillo donde tenga que aplicar el contenido de dicha página.

segundo

▶

grado

360

▶

1. Completa los huecos.

●

Soluciones

PROBLEMAS

▶

EJERCICIOS

6

:60

5. Compruebe los trazados hechos por los alumnos. 6. • • • •

162º 9’ 27” 212º 7” 62º 53’ 29” 54º 19’ 15”

7. m.c.d. (12 y 8) 5 4 Cada bolsa pesará 4 kg. 12 : 4 5 3; 8 : 4 5 2 31255 Obtendrá 5 bolsas. 8. 135 : 60 ▶ c 5 2; r 5 15 Pasan 2 minutos y 15 segundos. 9. 15 3 6 5 90; 27 1 90 5 117 1/3 de 117 5 39 117 2 39 5 78 Le quedaron 78 fotos. 10. 413 : 59 5 7; 71 2 5 9 30 3 9 5 270 Costarían 270 €. 11. Pilar se conectó 7 horas, 27 minutos y 43 segundos. 12. 144 : 18 5 8; 108 : 12 5 9; 9 2 8 5 1. Es 1 € más barato en la oferta de 12.

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7

E


Programación Objetivos • Sumar fracciones con igual y con distinto denominador. • Restar fracciones con igual y con distinto denominador. • Multiplicar fracciones. • Dividir fracciones. • Resolver problemas realizando operaciones con fracciones. • Representar la situación de un problema para comprenderlo y resolverlo más fácilmente.

Contenidos • Suma de fracciones con igual y con distinto denominador. • Resta de fracciones con igual y con distinto denominador.

R

• Multiplicación de fracciones.

• • • •

• División de fracciones.

Criterios de evaluación • Suma fracciones con igual y con distinto denominador. • Resta fracciones con igual y con distinto denominador. • Multiplica fracciones.

• Resolución de problemas con fracciones. • Resolución de problemas representando la situación del enunciado.

E

• •

• Divide fracciones. • Resuelve problemas realizando operaciones con fracciones. • Representa la situación de un problema para comprenderlo y resolverlo más fácilmente.

• Valoración de la utilidad de las operaciones con fracciones para resolver situaciones cotidianas.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Aprender a aprender, Autonomía e iniciativa personal, Competencia cultural y artística, Competencia lingüística y Tratamiento de la información.

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Esquema de la unidad UNIDAD 7. OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma de fracciones

Resta de fracciones

Multiplicación de fracciones

División de fracciones

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 1, pág. 102. • Releer y explicar el procedimiento: actividad 3, pág. 105.

Previsión de dificultades • Al sumar o restar fracciones con distinto denominador, los alumnos pueden tener dificultad en reducirlas primero a común denominador. Recuerde y practique antes este procedimiento. • Realizar operaciones en las que aparezcan números naturales y fracciones. Conviene que los alumnos expresen el número natural como una fracción de denominador 1 y operen solo con fracciones. • El cálculo de operaciones combinadas con fracciones, pues requiere dominar dos contenidos: la jerarquía de las operaciones y el operar con fracciones. Ayude a los alumnos a analizar cuando se equivocan para reforzar más el aspecto en el que fallen.


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7


Objetivos

RE

• Reconocer situaciones reales donde aparezcan fracciones. • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

C e

Sugerencias didácticas • Comente la situación inicial y pida a los alumnos que aporten experiencias personales, para hacerles conscientes de que utilizan las fracciones y operan con ellas en muchas actividades diarias. • Plantee el pedido de cada mesa y responda a las preguntas de forma colectiva, pidiendo a los alumnos que realicen un cálculo mental intuitivo. Aunque el cálculo se realice con porciones (números naturales), hágales ver que en realidad son operaciones con fracciones de pizza, y comente que en esta unidad van a aprender a calcular dichas operaciones. • En Recuerda lo que sabes, repase con los alumnos la relación entre un número mixto y una fracción, y el procedimiento para reducir dos fracciones a común denominador.

2

La pizza es un plato italiano muy conocido. En la pizzería Il mare cortan las pizzas en 8 porciones iguales y sirven las porciones que piden los clientes.

1.

Observa los pedidos y contesta.

Mesa 1

▶

7 porciones de pizza de anchoas y 9 de jamón y queso.

– ¿Qué fracción de pizza piden en total? – ¿Cuántas pizzas completas son?

Mesa 3

▶

2 pizzas enteras de jamón y queso.

– ¿Cuántas porciones son? – ¿Qué fracción de pizza es?

Mesa 2

▶

6 porciones de pizza de atún y 5 de ahumados.

– ¿Qué fracción de pizza piden en total? – ¿Qué fracción de pizza han pedido de atún más que de ahumados?

Mesa 4

▶

2.

1 pizza de atún para repartir entre 4 personas.

3.

– ¿Cuántas porciones cogerá cada persona? ¿Qué fracción de pizza es?

92

Competencias básicas Interacción con el mundo físico A partir de la situación inicial, pida a los alumnos que nombren otras situaciones en las que utilicemos fracciones y operemos con ellas, aunque las nombremos como trozos, raciones, onzas… Competencia social y ciudadana Al presentar la situación inicial de la pizzería, comente la importancia de mantener un comportamiento correcto en los lugares públicos y, especialmente, mantener unas normas de educación al comer.

Otras formas de empezar • Trabaje de forma manipulativa los pedidos de pizza de la situación inicial de la unidad. Para ello forme grupos de alumnos, déles varios cuadrados de papel de cuatro colores distintos (que representan los cuatro sabores de pizza) y pídales que los corten en 8 trozos iguales (pueden doblarlo por la mitad en ambos sentidos y por las dos diagonales y, después, cortar por los dobleces). Represente en cada grupo los pedidos planteados en el libro y luego otros similares, planteados de forma colectiva.

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UNIDAD

Números mixtos

7

Soluciones

Un número mixto está formado por un número natural y una fracción.

Página inicial 7 9 16 1 5 52 • Mesa 1: 8 8 8 16 Piden en total de pizza. 8 Son 2 pizzas completas.

1 1 9 521 52 4 4 4 9 cuartos de tortilla son 2 tortillas enteras y un cuarto de otra. Cómo se escribe una fracción en forma de número mixto. 9 4

9 1

4 2

▶

Cómo se escribe un número mixto en forma de fracción.

1 9 52 4 4

2

1 4

2341159▶2

9 1 5 4 4

6 5 11 1 5 8 8 8 6 5 1 2 5 8 8 8 11 de pizza. Piden en total 8 1 Han pedido más de atún 8 que de ahumados.

• Mesa 2:

Reducción a común denominador Para reducir dos fracciones a común denominador, sigue estos pasos: 1.º Halla el denominador común: es el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. 2.º Halla el numerador de cada fracción: divide el denominador común entre el denominador de la fracción y multiplica por el numerador.

2 5 y 6 9

m.c.m. (6 y 9) 5 18

5 6

▶

18 : 6 3 5 5 15 ▶

2 9

▶

18 : 9 3 2 5 4 ▶

15 5 5 6 18

• Mesa 3: 2 3 8 5 16 Son 16 porciones de pizza. 16 Son de pizza. 8 6 • Mesa 4: 52 8 Cada persona cogerá 2 porcio2 de pizza. nes. Son 8

4 2 5 9 18

1. En cada caso, expresa la parte coloreada en forma de fracción y de número mixto.

VAS A APRENDER ●

2. Escribe cada fracción en forma de número mixto y cada número mixto en forma de fracción. 18 5

32 6

38 8

21 4

5 2 7

2 5 7

4 7 9

7 3 10

3. Reduce a común denominador.

? ●

3 2 y 4 5

●

5 3 y 6 8

●

8 7 y 10 15

●

A sumar y restar fracciones de distinto denominador.

●

A multiplicar dos fracciones.

●

A dividir dos fracciones.

●

A resolver problemas con fracciones.

7 4, 5 y 9 6 12

Recuerda lo que sabes 3 1 1. Rosa ▶ 51 2 2 8 2 Verde ▶ 52 3 3 22 4 Rojo ▶ 53 6 6 93

2. 3

3 5

5

19 7

Vocabulario de la unidad • Suma, resta, multiplicación y división de fracciones • Fracción inversa

2 6

37 7

4

6 8

67 9

5

37 10

3. •

3 2 15 8 ▶ y y 4 5 20 20

•

5 3 20 9 y ▶ y 6 8 24 24

•

7 8 21 16 y ▶ y 10 15 30 30

•

4 5 7 16 30 , y ▶ , 9 6 12 36 36 y

1 4

21 36

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Suma de fracciones Objetivos

3.

Marco tiene una huerta y un jardín. 2 de la huerta con tomates, 7 1 3 con pimientos y con zanahorias. 7 7 1 2 Después, ha plantado del jardín con flores y con césped. 4 5

• Sumar fracciones con igual y con distinto denominador.

Ha plantado

• Resolver problemas de suma de fracciones.

4.

¿Qué fracción de la huerta ha plantado en total? ¿Y del jardín?


De la huerta

Para explicar • Lea la situación planteada y comente la suma de fracciones que hay que calcular para resolver cada pregunta. Señale la importancia de comprobar, antes de operar, si las fracciones tienen o no igual denominador. • Recuerde cómo se suman dos fracciones con igual denominador y explique cómo, cuando los denominadores son distintos, es necesario primero reducir las fracciones a común denominador y aplicar después el procedimiento anterior. • Al hacer la actividad 3, comente que todo número natural se puede expresar como una fracción de denominador 1 y así operar solo con fracciones.

Suma

Ha plantado

7 ▶ 8

1.

8 ▶ 6 16 ▶ 9

Suma

1 2 y 4 5

5.

Las fracciones tienen distinto denominador: redúcelas a común denominador y después suma las fracciones de igual denominador.

2 3 1 6 21311 1 1 5 5 7 7 7 7 7

1 2 5 8 13 518 1 5 1 5 5 4 5 20 20 20 20

6 de la huerta. 7

Ha plantado

13 del jardín. 20

6. ●

Para sumar varias fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

●

Para sumar varias fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador y después se suman los numeradores y se deja el denominador común.

7. 1. Calcula y explica cómo lo haces. Después, representa y comprueba la suma. 5 2 1 8 8

▶

5 3 1 6 6

5 7 4 1 1 9 9 9

▶

▶

CÁ

Re sea

2. Suma estas fracciones de distinto denominador.

Antes de sumar, redúcelas a común denominador.


Soluciones

Del jardín

Las fracciones tienen igual denominador: suma los numeradores y deja el mismo denominador.

RECUERDA

Aprender a aprender Al repasar la reducción a común denominador para calcular sumas de fracciones, haga ver a los alumnos la importancia de consolidar bien los contenidos trabajados, pues suponen la base para aprendizajes posteriores.

2, 3 1 y 7 7 7

3 2 1 3 7

2 2 1 5 9

5 3 1 6 5

1 2 4 1 1 2 3 5

5 1 1 6 9

3 5 1 4 8

3 7 1 10 15

1 4 9 1 1 2 5 10

94

Otras actividades • Plantee situaciones similares a las siguientes para que los alumnos calculen mentalmente y contesten razonando su respuesta: Antonio ha sumado a la fracción 2/7 una fracción cuyo denominador es 7. Ha obtenido como resultado una fracción: – Igual a la unidad. ¿Qué dos fracciones ha sumado Antonio? – Menor que la unidad. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (buscar todas las soluciones posibles). – Mayor que la unidad. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (decir varios casos posibles). – Igual a un número natural. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (decir varios casos posibles).

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7 3. Calcula estas sumas de un número natural y una fracción. 25

2 1

UNIDAD

2 3 14 3 17 3 14 1 3 1 5 5 ▶ Ejemplo: 2 1 5 1 5 7 1 7 7 7 7 7 ●

11

2 9

31

7 8

41

5 7

●

2 15 7

4 12 5

3 16 10

4. Expresa las sumas de la actividad 3 en forma de número mixto y de fracción. ▶ Ejemplo: ●

4 4 14 4 23514 12521 52 5 5 5 5 5 5 5

¿Obtienes las mismas fracciones que en la actividad 3?

5. Calcula y resuelve. Después, contesta.

1

Teresa come la mitad de un helado y Ángel come dos quintos del mismo helado. ¿Qué fracción de helado comen en total?

2

5

5

2

de helado.

5

●

¿En cuántas partes iguales dividen el helado para comer cada uno su parte?

●

¿Cuántas de esas partes come cada uno? ¿Cuántas partes comen en total?

5

Emilio ha comprado filetes de ternera que pesan cinco sextos de kilo, y filetes de cerdo que pesan tres séptimos de kilo. ¿Qué fracción de kilo pesan en total los filetes? ¿Pesan más o menos de un kilo?

5.

Ignacio ha sumado dos fracciones menores que la unidad. ¿Puede ser la suma una fracción menor que la unidad? ¿Y mayor? ¿E igual a la unidad?

CÁLCULO MENTAL

12

0

31 2 19

73 2 18

34 2 27

95 2 36

43 2 29

51 2 28

52 2 37

54 2 46

65 2 39

46 2 38

61 2 47

82 2 56

72 2 49

89 2 58

78 2 67

99 2 66

95

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias sumas de fracciones cambiando el orden de los sumandos y pregunte a los alumnos si piensan que el resultado será el mismo. A continuación, calcúlelas en común y comente al final que la suma de fracciones también cumple las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo: 3 5 5 3 1 y 1 7 6 6 7

(

)

(

2 5 9 2 5 9 1 1 y 1 1 3 3 4 3 3 4

1 2 5 4 9 1 5 1 5 2 5 10 10 10 Comen 9/10 de helado. • Dividen el helado en 10 partes iguales. • Teresa come 5 partes y Ángel, 4. Comen 9 partes.

6. •

Resta por compensación: suma el mismo número a los dos términos para que el segundo sea una decena

74 2 28 5 76 2 30 5 46

)

• Después de trabajar la multiplicación de fracciones en las páginas 98 y 99, puede realizar una actividad similar a esta para comprobar que la multiplicación de fracciones también cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

33/7 63/10

2 11 7 31 5 ;3 5 ; 9 9 8 8 5 33 4 5 7 7 4 14 2 37 • 2 5 ;5 5 ; 5 5 7 7 3 63 6 5 10 10 Las fracciones son las mismas.

10

7. Piensa y contesta. Escribe un ejemplo que demuestre cada respuesta.

12

31/8 37/7

4. • 1

4

6. Resuelve. En un puesto, venden porciones de empanada. Cada porción es un noveno de empanada. Tres amigos piden 8, 6 y 5 porciones, respectivamente. ¿Qué fracción de empanada piden en total? ¿Cuántas empanadas enteras y porciones son?

2/3 1 3/7 5 23/21 1/6 1 5/9 5 13/18 2/5 1 2/9 5 28/45 3/4 1 5/8 5 11/8 5/6 1 3/5 5 43/30 3/10 1 7/15 5 23/30 1/2 1 2/3 1 4/5 5 59/30 1/2 1 4/5 1 9/10 5 11/5

3. • 11/9 • 14/5

10

1 2 1 5 1 5 10 10 2 5 En total comen

2. • • • • • • • •

7

8 6 5 19 1 1 5 9 9 9 9 Piden 19/9 de empanada. 19 1 52 9 9 Son 2 empanadas y 1 porción.

•

5 3 35 18 1 5 1 5 6 7 42 42 53 5 42 Pesan 53/42 de kilo. 53/42 . 1 Pesan más de 1 kg.

7. Sí, la suma puede ser menor, mayor e igual a la unidad. R. M. 3/5 1 1/5 5 4/5; 4/5 , 1 3/5 1 4/5 5 7/5; 7/5 . 1 3/5 1 2/5 5 5/5; 5/5 5 1

Cálculo mental • 12 55 14 23 26 8 23 31

7 15 14 11

59 8 26 33

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Resta de fracciones Objetivos

Silvia tenía en una jarra

• Restar fracciones con igual y con distinto denominador.

3.

7 de litro de zumo de piña 10

3 de litro de zumo de naranja. 4 3 Llena de zumo de piña un vaso de de litro, 10 1 y de naranja una taza de de litro. 5 y en otra jarra

• Resolver problemas de resta de fracciones.

4.

¿Qué fracción de litro de zumo queda en cada jarra?


Quedan

Soluciones 1.

5.

1 3 a 5 4

Las fracciones tienen distinto denominador: redúcelas a común denominador y después resta las fracciones de igual denominador. 3 1 15 4 11 15 2 4 2 5 2 5 5 4 5 20 20 20 20

4 de litro de zumo de piña. 10

Quedan

11 de litro de zumo de naranja. 20

●

Para restar dos fracciones de igual denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

●

Para restar dos fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador y después se restan los numeradores y se deja el denominador común.

6.

1. Calcula y explica cómo lo haces. Después, representa y comprueba la resta. 2 5 2 8 8

2 8 2 9 9

▶

7. 5 10 2 6 6

▶

▶

2. Resta estas fracciones de distinto denominador. RECUERDA Para poder restarlas, redúcelas primero a común denominador.

8.

2 6 2 7 5

3 2 2 4 3

7 4 2 10 7

8 4 2 9 5

3 5 2 6 8

4 5 2 9 12

3 1 2 5 10

8 9 2 15 20

96

Otras actividades • Proponga a los alumnos que completen los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada fila, columna y diagonal sea siempre el mismo número: 4/8

2/8

1

10/3 5/3

8/3

5/8

3 ▶ 8

Resta

Naranja

7 3 4 723 2 5 5 10 10 10 10

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Lea la situación inicial y anime a los alumnos a predecir el procedimiento para calcular la resta de fracciones con igual y con distinto denominador, tomando como modelo la suma de fracciones.

7 3 a 10 10

Las fracciones tienen igual denominador: resta los numeradores y deja el mismo denominador.

• Explique que el procedimiento de resta de fracciones es similar al de la suma y calcule en la pizarra las dos restas, animando a los alumnos a intervenir. • Antes de realizar la actividad 6, comente que la jerarquía de las operaciones con fracciones es la misma que con números naturales, y recuerde dicha jerarquía calculando en común algunas operaciones combinadas con números naturales.

Resta

Piña

Para explicar • Lea la situación planteada y comente la resta de fracciones que hay que calcular para saber cuánto zumo queda de cada sabor. Señale que, igual que en la suma, antes de operar, hay que comprobar si las fracciones tienen o no igual denominador.

6/8

3

Al corregirlos en la pizarra, pida a los alumnos que escriban la suma calculada para averiguar el total común y la suma y resta combinadas para hallar el número de cada casilla.

6 ▶ 9 5 ▶ 6

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7 3. Calcula estas restas de un número natural y una fracción.

UNIDAD

5 3 40 3 37 3 40 2 3 2 5 5 ▶ Ejemplo: 5 2 5 2 5 8 1 8 8 8 8 8 ●

2 5

12

32

1 7

42

3 4

62

7 9

●

9 22 4

3 21 2

11 23 3

23 24 5

4. Calcula. ▶ Ejemplo: ●

7 5 5 3 31725 1 2 5 5 4 4 4 4 4

3 2 4 1 2 5 5 5

●

1 7 5 2 1 6 6 6

●

4 2 9 2 2 7 7 7

2. • • • • • • • •

5. Resuelve. ●

●

●

Rogelio ha partido 2 flanes iguales en 8 partes iguales cada flan. Se han comido seis octavos de un flan. ¿Qué fracción de flan ha quedado? ¿Es más o menos de un flan?

3 5 1 • 2

4. •

Carlos leyó ayer dos novenos de un libro y hoy dos tercios del mismo libro. ¿Qué fracción de libro ha leído hoy más que ayer?

6. Calcula las siguientes operaciones combinadas. 1 3 2 1 2 3 6 4

6

2

5 1 2 2 1 6 2 5

3 5 4

1

(

)

3 4 3 2 2 5 4 10

7 2 9

5

2

7 1 3 2 1 9 8 4

2 5 5

(

)

5

7 12

1

31 3 5 5 35

4 2 9

5

5 18

●

1 1 5 5

15

47 9 3 5

5 41322 5 51 5 5 11 52117 5 6 6

•

3 92422 5 7 7 6 10 10 5 ; .1 8 8 8 Han quedado 10/8 de flan. Es más de un flan.

5

2

13 4 2 3

•

•

3 1 9 4 y ▶ y ; 4 3 12 12 3 1 . . Ha comprado más 4 3 de chocolate. 3 1 9 4 5 2 5 2 5 4 3 12 12 12 Ha comprado 5/12 de litro más.

•

2 2 6 2 4 2 5 2 5 3 9 9 9 9 Ha leído hoy 4/9 de libro más.

13 3 5 10 40

8. RAZONAMIENTO. Piensa y completa las fracciones. 15

20 7 1 4

5. • 2 2

7. Calcula y escribe las fracciones que faltan para que las igualdades sean ciertas. 1 1 4

6/7 2 2/5 5 16/35 5/6 2 3/8 5 11/24 3/4 2 2/3 5 1/12 4/9 2 5/12 5 1/36 7/10 2 4/7 5 9/70 3/5 2 1/10 5 5/10 5 1/2 8/9 2 4/5 5 4/45 8/15 2 9/20 5 5/60 5 5 1/12

3. •

Marta ha comprado un batido de chocolate de tres cuartos de litro y otro de vainilla de un tercio de litro. ¿De qué sabor ha comprado más batido? ¿Qué fracción de litro más?

7

7 2 6 6

Escribe dos sumas y dos restas de fracciones cuyo resultado sea 1.

97

6.

Otras actividades • Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón. Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los alumnos que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para escribirla como minuendo. A continuación, saque tres tarjetas del montón, léalas y pida que calculen la suma de las tres y una operación combinada formada por una suma y una resta, con o sin paréntesis. Comente que si, al calcular una de las expresiones, resulta una resta que no pueden resolver, deben cambiar de lugar las fracciones, las operaciones o los paréntesis.

5 6 2 6 7 9 4 5

3 1 5 4 12 2 22 11 1 5 5 5 30 15 5 11 2 5 8 72 9 7 2 5 20 20 2

7. •

4 1 5 12 3

•

10 2 5 35 7

•

3 1 5 18 6

•

25 5 5 40 8

8. 1 5

1 4 1 5 5

15

7 1 2 6 6

• R. L.

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Multiplicación de fracciones Objetivos

3 partes de una pared 5 y han colocado varios dibujos que ocupan la mitad del corcho. En clase han puesto un corcho que ocupa las

• Multiplicar fracciones.

¿Qué fracción de la pared ocupan los dibujos del corcho?

• Resolver problemas de multiplicación de fracciones.

Sugerencias didácticas Para explicar • Presente la situación inicial y muestre cómo se obtiene la solución de forma gráfica.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre inventar otras prácticas similares que aparece en la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ y pida a los alumnos que escriban dos fracciones y después las sumen, las resten (la mayor menos la menor) y las multipliquen.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Aproveche la situación presentada en el cuadro para comentar el valor educativo de las ilustraciones y trabajos expuestos en clase y el valor cultural y artístico de las exposiciones de arte, y la importancia de su disposición en el espacio.

El corcho

3 de la pared 5

Los dibujos del corcho

3 1 de los de la pared ▶ 2 5

Calcula

• Después, comente que 1/2 de 3/5 equivale a multiplicar ambas fracciones (1/2 3 3/5) y explique dicho algoritmo.

▶

5

◀

3 de la pared 10

1 3 1 3 de , es decir, multiplica por 2 5 2 5

●

El numerador es el producto de los numeradores.

●

El denominador es el producto de los denominadores. Los dibujos del corcho ocupan las

▶

3 3 1 133 3 5 5 2 5 10 235

3 partes de la pared. 10

5.

Para multiplicar varias fracciones, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

1. Calcula y explica cómo lo haces. 7 2 7 2 de 5 3 5 5 4 5 4 3 4 de 9 10

3 3

2 3 de 4 5

1 2 4 3 3 5 5 8 3

5

7 5 3 6 6

1 3 3 3 7

3 2 5 3 3 2 6 5

3 3

3 3

5

6.

3 3 2 3 3 4 9 5

1 4 2 3 3 4 7 3

2. Calcula estas multiplicaciones de números naturales y fracciones. ▶ Ejemplo: 2 3 ●

33

2 7

2 3 6 3 233 5 3 5 5 7 1 7 7 137 ●

53

7 10

●

2 32 9

CÁ ●

5 34 6

●

7 4 323 5 8

●

63

Re sea

5 34 9

3. Calcula la fracción de cada número. Después, multiplica la fracción por el número, calcula el número natural equivalente y comprueba que obtienes el mismo resultado. 2 de 24 3

4 de 45 9

5 de 84 6

3 de 161 7

5 de 232 8

98

Otras actividades • Escriba en la pizarra la expresión a 3 b 5 c. Comente que, al multiplicar dos números naturales (excepto 0 y 1), el producto es mayor que los factores, pero con las fracciones no siempre ocurre así. Escriba varios ejemplos y compruebe en común que:

Soluciones 1.

4.

14 7 5 20 10

12 2 5 90 15

6 3 5 20 10

35 36

8 1 5 120 15

30 1 5 60 2

18 1 5 180 10

8 2 5 84 21

3 1 5 21 7

– Si b es un número natural, c siempre es mayor que a. 3 6 6 3 Ejemplo: 325 , . 5 5 5 5 – Si b es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor que a. Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor que a. 7 28 28 5 3 15 15 5 Ejemplos: 4 3 5 , .4 3 5 , , 3 3 3 2 4 8 8 2

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7 4. Resuelve. ●

UNIDAD

Tres quintos de los pasteles de una bandeja son de chocolate. Cuatro séptimos de los pasteles de chocolate tienen, además, crema. ¿Qué fracción de los pasteles tienen chocolate y crema?

●

Una empanada pesa tres cuartos de kilo. Sara ha comprado la mitad. ¿Qué fracción de kilo pesa el trozo que ha comprado? ●

●

Laura ha comprado 3 bolsas de patatas fritas que pesaban tres octavos de kilo cada una. ¿Qué fracción de kilo pesan las 3 bolsas en total? ¿Pesan más o menos de un kilo? Antonio ha llenado de agua 4 tarros iguales de siete décimos de litro de capacidad. ¿Qué fracción de litro de agua hay en total en los tarros?

●

Dos tercios de los 57 animales que hay en una granja son gallinas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja?

●

Diego tiene pegadas en un álbum 162 fotos. Cuatro novenos de las fotos son del viaje que hizo en verano. ¿Cuántas fotos del viaje tiene en el álbum?

●

Para hallar la fracción inversa de una dada, cambia entre sí el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es siempre 1.

▶ ▶

●

•

120 40 5 9 3

3. • 16 • 20 • 70

4 5

5 fracción inversa 4

•

3 7 3 3 7

4 20 5 534 3 5 51 5 4 5 20 435

●

2 9

5…

4

3

3

15 5 8

2

●

4 11

●

6 5

74 2 23 5 71 2 20 5 51 23

4 3 12 3 5 7 5 35 Tienen chocolate y crema 12/35 de los pasteles. 1 3 3 3 5 2 4 8 Pesa 3/8 de kilo.

•

2 de 57 5 38 3 Hay 38 gallinas.

•

4 de 72 5 72 9 Tiene 72 fotos.

42 2 11

35 2 22

49 2 23

65 2 34

53 2 21

58 2 32

67 2 43

77 2 44

68 2 31

74 2 52

86 2 63

89 2 74

70 2 41

81 2 62

92 2 73

91 2 64

5. •

3 7 3 7 ; 3 51 ▶ 7 3 7 3

99

•

2 9 2 9 ▶ ; 3 51 9 2 9 2

•

4 11 4 11 ; 3 51 ▶ 11 4 11 4

•

6 5 6 5 ▶ ; 3 51 5 6 5 6

Otras actividades • Indique a los alumnos que, cuando se opera con fracciones, conviene simplificar la fracción obtenida como resultado siempre que sea posible. Escriba en la pizarra una columna con varias operaciones con fracciones y otra columna con sus resultados simplificados, para que los alumnos calculen y relacionen cada operación con su resultado. Por ejemplo:

• 69 • 145

7 28 14 5 5 10 10 5 En total hay 28/10 (14/5) de litro.

Resta por compensación: resta el mismo número a los dos términos para que el segundo sea una decena 23

56 7 5 40 5

• 43

CÁLCULO MENTAL 4

4 9

3 9 9 5 ; .1 8 8 8 Las 3 bolsas pesan 9/8 de kilo. Pesan más de 1 kg.

3 27 9 3 5 3 7 56 2

6 3 5 20 4

•

•

• 33

6. Completa el término que falta en cada fracción para que las igualdades sean ciertas. 2 3

35 7 5 10 2

20 10 5 6 3

4. •

APRENDE

•

•

5. Escribe la fracción inversa de cada fracción dada. Después, multiplica las dos.

●

6 7

2. •

7

4 1 1 3 6

6 5

9 3 2 4 2

3 2

8 3 3 5 4

2 3

4 3 3 9 2

3 4

6.

5 3 15 3 5 4 2 8 2 3 6 3 5 5 4 20 3 1 9 27 3 3 5 7 2 4 56


13 26 22 19

26 24 23 19

31 33 15 27

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División de fracciones Objetivos • Dividir fracciones. • Resolver problemas de división de fracciones.

Ester tiene 2 kg y medio de almendras. Las reparte en bolsas de un cuarto de kilo cada una. ¿Cuántas bolsas puede preparar?

1

• A continuación, razone cómo resolvemos este reparto con una división y explique cómo se calcula. Insista en la diferencia con la multiplicación, pues algunos alumnos tienden a dividir los numeradores y los denominadores.

1 kg ▶ 2

▶

5 kg 2

1 kg 5 4 bolsas ▶

▶

10 bolsas de

2

Almendras

Sugerencias didácticas Para explicar • Presente la situación y trabájela de forma similar a la multiplicación de la doble página anterior. Al presentar la solución gráfica, explique la representación del número mixto y su expresión en forma de fracción, y por qué se divide cada unidad (1 kg) en 4 partes iguales.

3.

Bolsas de

kg

4

Calcula cuántos

1 kg 4

1 5 5 1 hay en , es decir, divide entre 4 2 2 4

●

El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

●

El denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

▶

20 1 5 534 5 : 5 5 10 2 4 2 231

4.

Puede preparar 10 bolsas de un cuarto de kilo.

5.

Para dividir dos fracciones, se multiplican sus términos en cruz.

1. Calcula y explica cómo lo haces. 3 4 : 5 8 7

3 3

2 3 : 9 5

7 1 : 6 8

5 2 5 : 3 7

4 3 : 5 10

5:

5 3 3 5 : 5 8 1 8

2:

4 7

3:

3 3

7 8

5 5 :4 6

6.

4 :5 9

2. Convierte cada división en una multiplicación y calcula. HAZLO ASÍ

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre reconocer lo que se ha aprendido que aparece en la página 62 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y lea el título de cada doble página de la unidad y pida a varios alumnos que expliquen cómo se calcula cada operación. A continuación, escriba en la pizarra y resuelva en común un ejemplo de cada operación con fracciones, pregunte a los alumnos en cuáles han tenido dificultades y si ya las han superado, y proponga más actividades de práctica.

Competencias básicas Competencia lingüística Al corregir las divisiones planteadas en esta doble página, pida a los alumnos que expliquen cómo las han calculado, para que sean conscientes del proceso seguido y, a partir de la sistematización, adquieran cada vez mayor automatismo.

●

Otra forma de dividir fracciones es multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

▶

3 4 12 3 5 334 : 5 3 5 5 7 4 7 5 35 735

Si el segundo término es un número natural, se multiplica por la fracción inversa de ese número.

▶

2 1 2 2 231 :55 3 5 5 3 3 5 15 335

3 4 : 7 9

2 7 : 5 12

5 4 : 9 7

1 2 : 8 3

●

7 :6 9

3 :5 10

5 :4 8

7.

6 :3 11

100

Otras actividades • Plantee a los alumnos varios problemas de multiplicación o división de fracciones, para que tomen nota de los datos (si tienen dificultad, puede hacerlo un alumno en la pizarra de forma dirigida), elijan la operación correspondiente y los resuelvan. Por ejemplo: – Roberto empaqueta 6 kg de alitas de pollo en bandejas de 3/4 de kilo. ¿Cuántas bandejas puede hacer? – Julia vende en un trozo las tres quintas partes de un queso que pesa 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa el trozo de queso vendido? – Celia empaqueta 2 kg y 3/4 de kg de patatas fritas en bolsas de cuarto de kilo. ¿Cuántas bolsas prepara?

100 124603 _ 0138-0153.indd

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16:47:16

7 3. Resuelve. ●

UNIDAD

David tiene una botella con dos quintos de litro de leche. Cada vez que toma un café con leche, se echa en la taza un décimo de litro de leche. ¿Cuántos cafés con leche puede tomarse con la leche de la botella?

Soluciones

●

Natalia envasa 6 kg de mandarinas en mallas de tres cuartos de kilo. ¿Cuántas mallas puede hacer?

●

Tomás reparte 3 tortillas iguales entre varios amigos. Da a cada uno un quinto de tortilla y no sobra nada. ¿Entre cuántas personas ha repartido las tortillas?

●

Maite tiene que enviar 4 paquetes iguales, que pesan en total ocho novenos de kilo. ¿Qué fracción de kilo pesa cada paquete?

●

Ricardo ha hecho las tres cuartas partes de un trabajo en 3 días. Si todos los días ha hecho la misma cantidad de trabajo, ¿qué fracción de trabajo ha hecho cada día?

21 10 56 5 32 27 6 40 8 5 15 12 40 14 7 • 5 3 4 2 4 45

1. •

27 28 7 • 54

5

10 21

3

27 3 5 5 10

1 : 4

5

3 28

:

45 2 5 5 40

3. •

5. Calcula las siguientes operaciones combinadas. 1 3 1 1 3 4 2 5 1 1 4

8 2 5 2 : 9 3 6 8 2 9

5

(

)

(

5 2 7 2 3 2 6 9

9 3 3 : 1 5 8 4

3

:

5

5

)

•

5

•

6. Calcula y completa. 2 3

1

1 4

2

5 6

3

5 2

:

3 10

•

1 3 4

1563

15 :3

1 : 4

15

156:

7 3 4

•

15

14 15

24 5 7 24

3 16 6 2 5 33 11

2 1 20 : 5 54 5 10 5 Puede tomarse 4 cafés con leche. 3 24 6: 5 58 4 3 Puede hacer 8 mallas. 1 15 5 5 15 3: 5 1 Ha repartido las tortillas entre 15 personas. 8 8 2 :45 5 9 36 9 8 2 Cada paquete pesa 36 9 de kilo. 3 3 1 :35 5 4 12 4 3 1 Cada día ha hecho 12 4 de trabajo.

( )

7 : 4

4. 101

5.

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias parejas de fracciones (y de número natural y fracción). Pida a los alumnos que dividan la primera fracción entre la segunda. A continuación, indique que dividan la segunda fracción entre la primera. Corrija en la pizarra las dos divisiones de cada pareja y pida a los alumnos que expliquen qué relación hay entre ambos resultados: son fracciones inversas.

35 36 5 32

28 3

( )

7. RAZONAMIENTO. Piensa y escribe la fracción o el número natural que falta en cada igualdad. 15

24 35 3 50

2. •

4. Calcula y escribe las fracciones que faltan para que las igualdades sean ciertas. 2 3 7

7

6.

5 3

9 2

7 3

9 20

1 3 11 1 5 4 10 20 8 12 4 2 5 9 15 45 16 2 32 16 3 5 5 6 9 54 27 9 9 72 8 : 5 5 5 8 45 5 2 11 1 5 → → → → 3 12 12 24 50 25 → 5 72 36

7. • 4 •

1 4

•

1 6

• 6

4 7 7 • 4 •

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Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el esquema.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Aprender a aprender Muestre a los alumnos que, partiendo de lo que ya sabían sobre fracciones, han conseguido avanzar en su conocimiento.

Soluciones

Resta

▶

Multiplicación

2. 7/5 13/4

53/42 56/9

35/24 111/8

3. 4/7 11/6

7/18 5/3

11/8 4/5

4. 5/64 8/15 42/60 5 7/10 30/6 5 5 20/9 30/8 5 15/4

Se multiplican …

2

…

4

4 3 1 5 5

5 3 1 6 7

1 2 5 1 1 3 4 8

1 31 4

2 16 9

7 51 18 8

3. Resta. 2 6 2 7 7

5 4 2 6 9

7 3 2 4 8

1 22 6

10 52 3

14 22 5

33

10 6

5 2 : 2 7

4 2 3 3 5

3 7 2 3 3 5 4 3

5 34 9

53

7/9 5/3 5/8

20 9 65 • 48

•

9. • Suma: sí puede ser. R. M. 3/7 1 11/7 5 2 • Resta: sí puede ser. R. M. 19/3 2 1/3 5 6 • Multiplicación: sí puede ser. R. M. 3/4 3 8/3 5 2 • División: sí puede ser. R. M. 3/4 : 1/8 5 6

3

6

5 5

10 21

2 4 3 7

54 20

5 3 3 1 2 4 2 5

(

1 5 3 : 2 9 4 2

:

29 35

2 1 5 3 9 5

20 21

4 45 5 9 32

28 5 2 2 : 9 6 7

)

(

)

3 5 1 1 3 6 8 2

ER

9. Piensa y escribe si el resultado puede ser un número natural. Pon un ejemplo. Restas dos fracciones

Multiplicas dos fracciones Divides dos fracciones

de tableta es.

3:

4 5 : 9 6

2 5

Fíjate: Las dos tabletas son del mismo tamaño y están divididas en un número distinto de partes iguales.

15 :2 4

ha hecho en cada caso.

7. 3/8 1 7/8 5 10/8 15/35 5 3/7 5/6 2 2/6 5 3/6 2/7 3 5/3 5 10/21 9/4 : 5/6 5 54/20

:

3 2 5 6

5

8. Calcula.

3 32 8

6. Escribe el signo de la operación que se

3/4 3 2/5 3/4 2 2/5

3

2 1 5

10. Observa las tabletas y calcula qué fracción 3 3 : 5 8

7 8

2

Sumas dos fracciones

5. Divide.

5:

5. 35/4 24/15 5 8/5 24/45 5 8/15 40/7 15/2 15/8

53 20 7 • 36

▶

▶

2. Suma.

1 5 3 8 8

8. •

6

Primero …

4. Multiplica.

1. R. L.

6. 3/4 : 2/5 3/4 1 2/5

3 10 1 5 8 8

Suma ▶ Primero se reducen a …

División


igualdades sean ciertas.

OPERACIONES CON FRACCIONES


11

7. Completa las fracciones para que las

3 4

15 2 5 5 8

3 4

6 2 5 5 20

3 4

23 2 5 5 20

3 4

7 2 5 5 20

●

3 onzas de chocolate negro y 2 de blanco.

●

1 onza de chocolate blanco más que 1 de chocolate negro.

●

3 trozos de 2 onzas de chocolate negro.

●

La mitad de un trozo de 3 onzas de chocolate blanco.

102

Otras actividades • Pida a los alumnos que inventen y calculen una suma, una resta, una multiplicación y una división de dos fracciones y de una fracción y un número natural. A continuación, indique a cada alumno que copie en una hoja las ocho operaciones desordenadas, pero sin escribir el signo de la operación realizada, y se la entregue a un compañero. Este deberá averiguar qué operación se ha hecho en cada caso.

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n

7 UNIDAD

●

●

●

Iván colecciona piezas de ajedrez. Un séptimo de las piezas son de cristal, dos séptimos son de piedra y el resto son de madera. ¿Qué fracción de las piezas es de madera? Si tiene en total 448 piezas, ¿cuántas son de cada material? Karina ha bebido un tercio del agua de una cantimplora y Pablo, tres octavos. ¿Qué fracción del agua de la cantimplora han bebido en total? ¿Qué fracción del agua queda en la cantimplora? Pepe ha comprado 2 bandejas con un cuarto de kilo de bollos con crema y medio kilo de bollos sin crema cada una. ¿Qué fracción de kilo pesa cada bandeja? ¿Y en total las 2 bandejas?

En un jarrón hay rosas y claveles. Tres quintos de las flores son rosas y dos novenos de las rosas son blancas. ¿Qué fracción de las flores son claveles? ¿Y qué fracción de las flores son rosas blancas?

10. • • • •

●

Sergio vende tortillas partidas en sextos. Hoy tenía 30 sextos de tortilla y ha vendido 3 tortillas y un sexto. ¿Cuántos sextos de tortilla le quedan? ¿Cuántas tortillas enteras y sextos de tortilla son?

●

¿Cuántos vasos de un cuarto de litro se pueden llenar con el refresco de una botella de 1 litro y medio?

●

En una carretera de 3 km se quiere poner una farola cada tres décimos de kilómetro. ¿Cuántas farolas se colocarán, además de la primera del inicio del camino?

Utilizar fracciones en la cocina

ERES CAPAZ DE… Manuel es cocinero. Antes de empezar a cocinar, prepara los ingredientes necesarios para realizar cada plato. ●

Para hacer el salteado de verduras del primer plato, utiliza 1 kg y medio de patatas, 3 cuartos de kilo de calabacines y 1 cuarto de kilo de puerros. ¿Cuánto pesan en total las patatas y la verdura?

●

Para preparar el segundo plato, ha comprado 9 filetes que pesan un sexto de kilo cada uno. ¿Cuánto pesan en total todos los filetes?

●

De postre quiere preparar 2 litros y cuarto de zumo de naranja. Al exprimir cada naranja obtiene un octavo de litro. ¿Cuántas naranjas necesita para preparar todo el zumo?

●

Si reparte los 2 litros y cuarto de zumo en 9 vasos iguales, ¿qué fracción de litro de zumo echará en cada uno de los vasos?

el

es.

co.

o.

●

11. Resuelve.

103

7

3/8 1 2/6 5 17/24 1/6 2 1/8 5 1/24 3 3 2/8 5 6/8 5 3/4 3/6 : 2 5 3/12 5 1/4

11. • De madera ▶ 1 2 1/7 2 2 2/7 5 4/7. De cristal ▶ ▶ 1/7 de 448 5 64. De piedra ▶ 2/7 de 448 5 5 128. De madera ▶ 4/7 de 448 5 256. • 1/3 1 3/8 5 17/24 Han bebido 17/24 del agua. 1 2 17/24 5 7/24 Quedan 7/24 del agua. • 1/4 1 1/2 5 3/4 Cada bandeja pesa 3/4 kg. 3 6 3 1 23 5 5 51 4 4 2 2 Las dos pesan 6/4 kg (1 kg y medio). • 1 2 3/5 5 2/5. Son claveles 2/5 de las flores. 2/9 3 3/5 5 6/45 5 2/15 Son rosas blancas 6/45 (2/15) de las flores. 30 1 11 5 23 5 51 • 6 6 6 6 Le quedan 11 sextos. Son 1 tortilla entera y 5 sextos. 1 3 • 1 5 2 2 3 1 12 : 5 56 2 4 2 Se pueden llenar 6 vasos. • 3 : 3/10 5 30/3 5 10 Se colocarán otras 10 farolas.

Eres capaz de… Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen una tabla como esta: Unidad 7 Operaciones con fracciones Lo que he aprendido Suma de fracciones Resta de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones

1 3 1 10 1 1 5 5 2 4 4 4 5 1 5 52 2 2 Pesan 10/4 kg (2 kg y medio). 1 9 3 1 • 93 5 5 51 6 6 2 2 Pesan 9/6 kg (1 kg y medio). 1 1 9 1 72 • 2 : 5 : 5 5 4 8 4 8 4 5 18 Necesita 18 naranjas. 1 9 9 1 • 2 :95 :95 5 4 4 36 4 Echará 1/4 litro en cada vaso. • 1


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Solución de problemas Representar la situación Objetivos • Resolver problemas representando el enunciado.


1.

Laura y Félix han abierto una caja de bombones y se han comido los dos quintos de todos los bombones que había en la caja. Todavía quedan en la caja 12 bombones. ¿Cuántos bombones había al principio en la caja?

2.

▶ Representamos la caja de bombones dividida en 5 partes iguales. Señalamos las partes que se han comido y las partes que quedan. 1.º Calculamos los bombones que hay en cada parte. En 3 partes hay 12 bombones.

}

2 5

}

3 (12 bombones) 5

▶

Para explicar • Comente la estrategia planteada y lea el problema resuelto por partes, haciendo y rotulando en cada caso un dibujo en la pizarra. Después, resuélvalo haciendo ver a los alumnos el apoyo que supone el dibujo.

EJ

Representa el enunciado de cada problema. Eso te ayudará a comprenderlo mejor. Después, resuélvelo.

3.

12 : 3 5 4 ▶ En cada parte hay 4 bombones. 2.º Calculamos los bombones que había en la caja. En 5 partes ▶ 5 3 4 5 20

Competencias básicas Tratamiento de la información Comente la importancia que tiene interpretar bien los datos y la ayuda que proporciona para la comprensión del problema su representación gráfica.

Solución: En la caja había 20 bombones.

1. Mariola ha cocinado las tres cuartas partes de los filetes que tenía en la nevera.

4.

Ha cocinado en total 15 filetes. ¿Cuántos filetes tenía Mariola en la nevera?

2. Los dos tercios de los participantes en un concurso de pintura son mujeres y el resto son hombres. Han participado 14 mujeres. ¿Cuántas personas han participado en el concurso?

5.

3. Penélope prestó a su hermano cinco sextos de los ahorros que tenía. Le prestó 55 . ¿Cuánto dinero tenía Penélope?

Soluciones

5. Paula envió ayer siete octavos de los correos electrónicos que debía mandar

15 ▶

Cocinado: 3/4

y le quedan aún por pagar 75 . ¿Cuánto costaba la impresora? ▶

1. Sin cocinar: 1/4

▶

15 : 3 5 5; 4 3 5 5 20 Tenía en la nevera 20 filetes. 2. Hombres: 1/3

14

durante toda la semana. Le quedaron sin enviar 4 correos. ¿Cuántos correos tenía que mandar en total?

7.

6. INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que se pueda resolver mejor representando la situación.

104

▶

Mujeres: 2/3

6.

4. Miguel compró una impresora a plazos. Ha pagado ya los tres octavos del precio

3. Sin prestar: 1/6

55 ▶

Prestado: 5/6

▶

14 : 2 5 7; 3 3 7 5 21 Han participado 21 personas.

75

▶

4. Sin pagar: 5/8

▶

55 : 5 5 11; 6 3 11 5 66 Penélope tenía 66 €. Pagado: 3/8

5. Sin enviar: 1/8

▶▶

75 : 5 5 15; 8 3 15 5 120 La impresora costaba 120 €. 4

Enviado: 7/8

Otras actividades • Plantee a los alumnos otros problemas similares a los presentados en esta página, para realizar en común en la pizarra. Por ejemplo: – Raquel tiene un montón de gusanos de seda. Regala a un amigo 5 gusanos, que son un sexto de los que tenía. ¿Cuántos gusanos de seda tenía Raquel? ¿Cuántos le quedan? – En un viaje, Andrés hace una parada después de recorrer las cinco octavas partes del trayecto. Desde ese punto, le faltan por recorrer 84 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido ya? ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al finalizar el viaje?

8 3 4 5 32 Tenía que mandar 32 correos. 6. R. L.

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7

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Calcula.

8. Un cuarto de los 300 pisos de un bloque son más grandes que el resto. Para arreglar el garaje, los pisos grandes pagaron 115 cada uno y el resto pagó 93 cada piso. ¿Cuánto costaba el arreglo del garaje?

●

147.906 1 34.127

●

617 3 945

●

898.026 1 40.816

●

243 3 620

●

345.697 2 281.904

●

9.423 : 27

●

512.776 2 16.999

●

81.192 : 398

2. Calcula. ●

73328:2

●

2131534

●

9223316

●

11 2 (1 1 3) 3 2

●

6 : (7 2 4) 2 1

●

6342827

●

5 2 (9 2 5) 1 7

●

9 2 2 3 (9 2 5)

9. Pilar y Pedro están leyendo la misma novela. Pilar ha leído ya tres octavos y Pedro ha leído dos novenos. ¿Cuál de los dos ha leído más?

10. Marta vendió en enero 25 trajes a 120 cada uno. En febrero vendió 3 trajes menos pero cada uno lo vendió 17 más caro. ¿Qué mes obtuvo más dinero? ¿Cuánto más?

3. ESTUDIO EFICAZ. Explica con tus palabras. 11. En una fábrica de golosinas envasaron

●

Cómo se sabe si dos fracciones son equivalentes.

●

Cómo se hallan fracciones equivalentes a una fracción dada por amplificación.

●

Cómo se hallan fracciones equivalentes a una dada por simplificación.

14.400 gominolas en bolsas de 12 gominolas cada una. Las bolsas las pusieron en cajas de 20 bolsas cada una. Cada caja la vendieron por 30 . ¿Cuánto dinero obtuvieron?

12. Luis y Mireia han coincidido hoy haciendo 4. Expresa en forma de número mixto. ●

18 4

●

39 5

●

70 8

●

83 9

●

6

una ruta de senderismo. Luis la recorre cada 8 semanas y Mireia, cada 10 semanas. ¿Dentro de cuántas semanas volverán a coincidir?

1. • • • •

182.033 938.842 63.793 495.777

2. • • • •

17 9 1 8

8

3 4

●

7

4 5

●

9

3 8

7 9

4. 4 5. 6.

7.

6. Completa para que las fracciones sean equivalentes. ●

7 5 4 12

●

18 6 5 15

●

5

5

40 64

7. Compara cada pareja de fracciones. ●

5 11 y 6 18

●

6 7 y 7 8

●

4 3 y 8 12

13. Marta tiene en su mp3 18 canciones sueltas de pop inglés, 35 de pop español y dos discos de un grupo de rock con el mismo número de canciones cada uno. En total tiene 77 canciones. ¿Cuántas canciones hay en cada disco de rock?

105

Repaso en común • Forme grupos de cuatro alumnos y pida a cada grupo que inventen un problema utilizando una o más operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división, y lo resuelvan. Recoja los problemas propuestos y plantee algunos de ellos, para que todos los alumnos los resuelvan en el cuaderno. Uno de los alumnos del grupo que lo inventó lo hará en la pizarra para corregirlo.

• • • •

• • • •

583.065 150.660 349 204

25 3 9 1

3. • Los productos de sus términos en cruz son iguales. • Se multiplican los dos términos por un mismo número. • Se dividen los términos entre un mismo número.

5. Expresa en forma de fracción. ●

7

2 4

35 4

7

4 5

39 5

6 8

8 75 8

9

2 9

61 9

7 21 5 4 12 5 40 5 8 64

18 6 5 15 5

5 11 . 6 18 3 4 . 8 12

6 7 , 7 8

8. 1/4 de 300 5 75 300 2 75 5 225 75 3 115 1 225 3 93 5 5 29.550 El arreglo costaba 29.550 €. 9.

3 2 . . Pilar ha leído más. 8 9

10. 25 3 120 5 3.000 (25 2 3) 3 (120 1 17) 5 5 3.014 3.014 2 3.000 5 14 Obtuvo más dinero en febrero: 14 € más. 11. 14.000 : 12 5 1.200 1.200 : 20 5 60 60 3 30 5 1.800 Obtuvieron 1.800 €. 12. m.c.m. (8 y 10) 5 40 Volverán a coincidir dentro de 40 semanas. 13. 77 2 (18 1 35) 5 24 24 : 2 5 12 En cada disco de rock hay 12 canciones.

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8

Números decimales. Operaciones

E

Programación Objetivos • Sumar y restar números decimales. • Multiplicar números decimales. • Resolver problemas de suma, resta y multiplicación con números decimales. • Aproximar números decimales. • Estimar sumas, restas y productos de números decimales. • Resolver problemas con decimales anticipando una solución aproximada.

Criterios de evaluación • Suma y resta números decimales. • Multiplica un número decimal por un natural, y dos números decimales.

Contenidos • Suma y resta de números decimales. • Multiplicación de números decimales.

R

• Aproximación de números decimales.

• • • •

• Estimación de sumas, restas y productos de números decimales. • Resolución de problemas con números decimales. • Anticipación de una solución aproximada en problemas con números decimales.

E

• •

• Resuelve problemas de suma, resta y multiplicación con números decimales. • Aproxima números decimales a las unidades, las décimas o las centésimas. • Estima sumas, restas y productos de números decimales. • Resuelve problemas con decimales anticipando una solución aproximada.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística, Competencia social y ciudadana, Autonomía e iniciativa personal, Tratamiento de la información, Competencia lingüística y Aprender a aprender.

• Valoración de la utilidad de los números decimales para operar con ellos en la vida diaria. • Valoración de la utilidad de la estimación de operaciones con decimales en situaciones que solo precisen un cálculo aproximado.

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.

Esquema de la unidad UNIDAD 8. NÚMEROS DECIMALES. OPERACIONES

Suma y resta de números decimales

Multiplicación de números decimales

Aproximación de números decimales

Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Estimaciones




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Releer y explicar procedimientos: actividad 7, pág. 114. • Detectar errores en el procedimiento: actividad 5, pág. 117.

Previsión de dificultades • Colocar correctamente los términos de la suma o la resta, sobre todo en la resta cuando el sustraendo tiene más cifras decimales que el minuendo. Recuerde a los alumnos que siempre deben coincidir en columna las cifras del mismo orden. Si lo considera necesario, pueden escribir la abreviatura del orden en la cabecera de cada columna. • La aproximación de números decimales a una determinada unidad, especialmente si la cifra que deben comparar con 5 no es la última cifra decimal del número. Realice muchos ejercicios colectivos para que los alumnos reconozcan sin dificultad las cifras en que deben fijarse.


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8

Números decimales. Operaciones

Objetivos

RE

L

E

• Reconocer situaciones reales donde aparecen números decimales.

S

●

●

• Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

C

Sugerencias didácticas • Lea el texto inicial y comente con los alumnos por qué se utilizan números decimales en las puntuaciones. Aproveche las preguntas planteadas para comprobar su nivel en el manejo de estos números: lectura, escritura, descomposición, comparación…

F

P

• En Recuerda lo que sabes, trabaje con los alumnos los contenidos que considere más necesarios, según la evaluación inicial anterior.

1.

2.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Tomando como ejemplo las puntuaciones de las gimnastas de la situación inicial, pida a los alumnos que nombren otras situaciones donde utilicemos números decimales. Por ejemplo: precios, tiempos, longitudes…

En la gimnasia deportiva se realizan ejercicios en aparatos (barra fija, anillas, potro...) o en el suelo. Cada gimnasta recibe de los jueces una puntuación por cada uno de los ejercicios realizados. Esa puntuación es un número menor o igual que 10, con una cifra decimal. A continuación, se descartan las notas mayor y menor y se hace la media de las restantes. Esta media, que será un número decimal con tres cifras decimales, es la nota del deportista.

3.

En la tabla están las puntuaciones de cinco gimnastas en un ejercicio. Gimnasta

Puntuación

Nuria

8,973

Rocío

9,156

Arantxa

9,028

Yaiza

8,964

Carmen

9,180

● ¿Qué

puntuación consiguió cada gimnasta?

4.

● ¿Cuál

es la parte entera de la puntuación de Nuria? ¿Y la parte decimal de la puntuación de Rocío?

● ¿Qué

gimnasta consiguió la puntuación más alta? ¿Y la más baja?

106

Competencia cultural y artística Al comentar la situación inicial explique que en las pruebas, además de la habilidad deportiva, se cuida y puntúa el aspecto estético del ejercicio. Con el diálogo, fomente en los alumnos el valor de cuidar la presentación de su trabajo. Competencia social y ciudadana Al dialogar sobre los deportistas, muestre como un ejemplo a imitar su esfuerzo personal, su vinculación al equipo, ciudad o nación que representan, y su aceptación de triunfos y derrotas.

Otras formas de empezar • Pida a los alumnos que digan lugares en los que se puedan ver números decimales o situaciones en las que solemos utilizarlos, por ejemplo al expresar medidas. Ponga varios ejemplos concretos y escriba los números decimales en la pizarra, para repasar de forma colectiva su lectura, descomposición y comparación. • Haga un dictado de números decimales y después pida a los alumnos que lean los números escritos. Hágales preguntas sobre los números escritos para repasar la descomposición y comparación. Por ejemplo: ¿Qué números tienen 4 décimas? ¿Qué números son mayores que 3 y menores que 3,8?

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UNIDAD

Lectura y descomposición de números decimales

Soluciones

El número 17,425 es un número decimal.

Parte entera

Su parte entera es 17 y su parte decimal es 425.

C

D

U

1

7

Parte decimal

,

●

17,425 se lee: 17 unidades y 425 milésimas o 17 coma 425.

●

17,425 5 1 decena 1 7 unidades 1 4 décimas 1 2 centésimas 1 5 milésimas 17,425 5 10 1 7 1 0,4 1 0,02 1 0,005

d

c

m

4

2

5

Página inicial • Nuria: 8 coma 973. Rocío: 9 coma 156. Arantxa: 9 coma 028. Yaiza: 8 coma 964. Carmen: 9 coma 180.

Comparación de números decimales 9 , 12

9,83 12,6

454y252 5.3

4,251

▼

• La parte entera de la puntuación de Nuria es 8. La parte decimal de la puntuación de Rocío es 156.

▼

4,236

9,83 , 12,6

4,251 . 4,236

Fracciones decimales y números decimales

• Carmen consiguió la puntuación más alta y Yaiza la más baja.

Podemos expresar las fracciones decimales como números decimales y viceversa. 56 5 0,056 1.000

398 5 3,98 100 2 ceros 2 cifras decimales

4,7 5

3 ceros 3 cifras decimales

47 10

0,23 5

1 cifra decimal 1 cero

23 100


2 cifras decimales 2 ceros

1. • 4,8 ▶ 4 coma 8 o 4 unidades y 8 décimas 4,8 5 4 1 0,8 • 9,52 ▶ 9 coma 52 o 9 unidades y 52 centésimas 9,52 5 9 1 0,5 1 0,02

1. Escribe cómo se lee y descompón cada número. 4,8

9,52

30,196

147,04

6,083

2. Escribe estos números decimales. ●

5 unidades y 3 décimas

●

71 coma 09

●

9 unidades y 26 milésimas

●

6 coma 148

3. Compara y escribe el signo adecuado. ●

58,37

●

32,6

58,4 27,9

●

2,69

●

14,036

Como número decimal 287 10

5 100

319 1.000

VAS A APRENDER ●

A sumar y restar números decimales.

●

A multiplicar dos números decimales.

●

A aproximar un número decimal a las unidades, décimas o centésimas.

2,652 14,038 ●

4. Expresa como se indica. Como fracción decimal 0,4

6,81

0,052

A estimar sumas o restas de números decimales y productos de un decimal por un natural.

107

• 30,196 ▶ 30 coma 196 o 30 unidades y 196 milésimas 30,196 5 30 1 0,1 1 1 0,09 1 0,006 • 147,04 ▶ 147 coma 04 o 147 unidades y 4 centésimas 147,04 5 100 1 40 1 7 1 1 0,04 • 6,083 ▶ 6 coma 083 o 6 unidades y 83 milésimas 6,083 5 6 1 0,08 1 1 0,003 2. • 5,3 • 9,026

Vocabulario de la unidad • Número decimal • Décima, centésima y milésima • Aproximación • Estimación

8

3. • • • •

• 71,09 • 6,148

58,37 , 58,4 32,6 . 27,9 2,69 . 2,652 14,036 , 14,038

4. • 28,7 4 • 10

0,05 681 100

0,319 52 1.000

107 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:157

6/7/09 16:50:08

Suma y resta de números decimales Objetivos • Sumar y restar números decimales. • Resolver problemas de suma y resta con números decimales.

Andrés compró una planta por 17,65 , un macetero por 21,43 y una regadera que costaba 8,50 . Para pagar entregó un billete de 50 . ¿Cuánto dinero le devolvieron? 1.º Suma los precios de los tres artículos para calcular el gasto total.

Para explicar

• Antes de hacer la actividad 4, comente que la jerarquía de las operaciones es la misma al operar con números decimales que con naturales o fracciones.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre detectar errores en el procedimiento que aparece en la página 58 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que, después de realizar las actividades 2 y 3, comprueben los resultados para detectar posibles errores, calculando la operación dada con el término hallado y aplicando a cada término de la serie la operación inversa para obtener el término anterior.

Resta 47,58 a 50

DU d c 1 7, 6 5 2 1, 4 3 1 8, 5 0 4 7, 5 8


5.

2.º Resta el gasto total al dinero entregado para calcular cuánto le devuelven.

Suma 17,65; 21,43 y 8,50

• Lea el problema inicial y plantee en común los pasos para resolverlo. Escriba las operaciones en la pizarra recordando cómo se colocan los términos y calcúlelas. Al realizar la resta, comente que añadimos ceros en la parte decimal del minuendo para facilitar el cálculo.

4.

DU dc 5 0, 0 0 2 4 7, 5 8 0 2, 4 2

Le devolvieron 2,42 .

6.

Para sumar o restar números decimales, se colocan de forma que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden. Después, se suman o se restan como si fueran números naturales y se pone la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

1. Coloca los números y calcula. RECUERDA Al restar, cuando sea necesario, añade ceros en el minuendo.

●

76,42 1 8,95

●

52,17 2 9,63

●

3,218 1 14,39

●

264,035 2 7,8

●

0,5 1 7,84 1 21,9

●

80,6 2 24,59

●

9,26 1 54,3 1 0,178

●

73,2 2 5,381

2. Calcula el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. 38,47 1

5 51,95

1 9,8 5 406,34 5,461 1

2 6,284 5 13,79 193,7 2

5 10,27

5 75,64

2 80,42 5 27,5

CÁ

3. Calcula. 8,45

13,7

Mu 1 6,73

1 27,5

2 8,9

2 4,176

– 5,28

1 24,6

2 3,751

1 9,38

108

Otras actividades Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Fomente en los alumnos esta competencia animándolos a resolver individualmente los problemas planteados, como aplicación práctica de los procedimientos de suma y resta de números decimales trabajados anteriormente. Corríjalos al final en común, pidiéndoles que expliquen cómo los han resuelto y por qué.

• Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba un número decimal de una, dos o tres cifras decimales. Recoja las tarjetas y forme con ellas un montón. Saque dos tarjetas al azar y lea los números para que los alumnos calculen su suma y su diferencia (hágales ver que deben averiguar cuál de los dos números es mayor, para escribirlo como minuendo). A continuación, saque tres tarjetas del montón, diga los números y pida a los alumnos que calculen la suma de los tres y una operación combinada formada por una suma y una resta, con o sin paréntesis. Comente que si, al calcular una de las expresiones, resulta una resta que no pueden resolver, deben cambiar de lugar los números, las operaciones o los paréntesis.

108 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:158

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8 4. Calcula. Recuerda el orden en que debes hacer las operaciones. ▶ Ejemplos:

26,83 2 12,119 5 14,711

●

4,26 1 9,513 2 12,8

●

43,5 2 (16,83 1 0,094)

●

25,4 2 (31,398 2 7,6)

●

21,7 2 6,34 1 3,591

●

27,316 1 (5,2 1 19,87)

●

30,28 2 16,572 1 4,9

●

36,28 2 5,7 2 14,629

●

19,258 2 (21,7 2 8,36)

●

57,9 2 (2,8 1 37,416)

5. Observa y calcula.

3,75 kg

●

¿Cuánto pesan en total los paquetes rojo y verde?

●

¿Cuánto pesan en total los paquetes azul, verde y amarillo?

●

¿Cuánto pesa el paquete azul menos que el amarillo?

●

¿Cuánto pesan los paquetes rojo y azul más que el paquete verde?

2,5 kg

4,256 kg 1,328 kg

●

Óscar quiere comprar un chándal y unas deportivas que cuestan 27,90 y 23,45 , respectivamente. ¿Tiene suficiente dinero con un billete de 50 ? ¿Cuánto dinero le falta o le sobra?

●

Un corredor de Fórmula 1 tardó en dar una vuelta a un circuito 1 minuto y 22,459 segundos. Su compañero de equipo tardó 1,07 segundos más que él. ¿Cuánto tiempo tardó su compañero en dar una vuelta al circuito?

●

Ana quiere comprar un retal de tela para hacer un disfraz. Necesita 1,08 m de tela para el pantalón, 0,86 m para el chaleco y 1,5 m para hacer la capa. En la tienda hay retales de 3 m y de 4 m. ¿Cuántos metros de tela necesita? ¿Qué tipo de retal comprará? ¿Qué cantidad de tela le sobrará?

Multiplica un número natural por 2 40 3 2 5 80 7 3 2 5 14 80 1 14 5 94

94

21 3 2

52 3 2

28 3 2

124 3 2

43 3 2

81 3 2

39 3 2

302 3 2

32 3 2

72 3 2

57 3 2

423 3 2

24 3 2

64 3 2

68 3 2

514 3 2

109

Otras actividades • Escriba en la pizarra tres números decimales y a otro lado, el resultado de sumarlos y restarlos por parejas. Por ejemplo: Números

Soluciones 1. • • • •

85,37 17,608 30,24 63,738

2.

5 51,95 2 38,47 5 13,48 5 406,34 2 9,8 5 396,54 5 10,27 2 5,461 5 4,809 5 13,79 1 6,284 5 20,074 5 193,7 2 75,64 5 118,06 5 27,5 1 80,42 5 107,92

4. 0,973 18,951 15,951

CÁLCULO MENTAL

47 3 2

8

• • • •

42,54 256,235 56,01 67,819

3. • 8,45 → 15,18 → 42,68 → → 33,78 → 29,604 • 13,7 → 8,42 → 33,02 → → 29,269 → 38,649

6. Resuelve.

3

1

UNIDAD

26,83 2 (4,5 1 7,619)

22,33 1 7,619 5 29,949

7,8

9

26,83 2 4,5 1 7,619

Sumas y diferencias

26,576 52,386 5,918

5. • 2,5 1 1,328 5 3,828 Pesan en total 3,828 kg. • 3,75 1 1,328 1 4,256 5 5 9,334 Pesan en total 9,334 kg. • 4,256 2 3,75 5 0,506 Pesa 0,506 kg menos. • 2,5 1 3,75 2 1,328 5 5 4,922 Pesan 4,922 kg más. 6. • 27,90 1 23,45 5 51,35 51,35 . 50 No tiene suficiente dinero. 51,35 2 50 5 1,35 Le faltan 1,35 €. • 22,459 1 1,07 5 23,529 Tardó 1 minuto y 23,529 segundos. • 1,08 1 0,86 1 1,5 5 3,44 4 2 3,44 5 0,56 Necesita 3,44 m. Comprará un retal de 4 m. Le sobrarán 0,56 m.

6,8

9,464

1,706

Cálculo mental

4,37

11,894

0,724

5,094

11,17

2,43

• 42 86 64 48

Anime a los alumnos a averiguar y escribir con los números dados las tres sumas de dos números y las tres restas con sus resultados.

1,602 18,608 17,684

104 162 144 128

56 78 114 136

248 604 846 1.028

109 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:159

6/7/09 16:50:09

Multiplicación de números decimales Objetivos • Multiplicar un número decimal por un natural, y dos números decimales. • Calcular operaciones combinadas con números decimales. • Resolver problemas de suma, resta y multiplicación con números decimales.

Natalia compra 2 kg de castañas a 3,49 el kilo y 1,4 kg de nueces a 4,95 el kilo. ¿Cuánto cuestan las castañas? ¿Y las nueces? Castañas

Multiplica 4,95 por 1,4

1.º Multiplica como si fueran números naturales.

1.º Multiplica como si fueran números naturales.

2.º En el producto, separa con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tenga el número decimal.

2.º En el producto, separa con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores.

3, 4 9 2 6, 9 8

▶ 2 cifras decimales

3 ◀ 2 cifras decimales

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema propuesto y plantee en la pizarra las dos multiplicaciones. Pregunte si los factores son números naturales o decimales y explique en cada caso cómo se calculan.

• Comente que, al contar las cifras decimales para escribir la coma en el producto (siempre desde la derecha), en algunos casos es necesario añadir ceros a la izquierda. Ponga algunos ejemplos. • Al trabajar la actividad 3, recuerde cómo se multiplica un número natural y uno decimal por la unidad seguida de ceros y proponga algunos ejemplos para calcular mentalmente.

5.

Nueces

Multiplica 3,49 por 2

3

Al expresar el coste de las nueces, razone por qué se quita el cero final y escriba varios números decimales para decir en común si es posible o no quitar la cifra cero en cada uno.

4.

Las castañas cuestan 6,98 .

▶ 2 cifras decimales

4, 9 5 1,4 1980 495 6,9 3 0

▶ 1 cifra decimal

6. ◀ 3 cifras decimales

Las nueces cuestan 6,93 .

Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números naturales y, en el producto, se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores.

1. Calcula cuántas cifras decimales tendrá el producto y escribe la coma del resultado. 7.

●

36,29 3 8 5 29032

●

95,7 3 3,6 5 34452

●

2,04 3 362 5 73848

●

17 3 5,864 5 99688

●

8,3 3 4,19 5 34777

●

5,928 3 0,7 5 41496

2. Calcula. 6,92 3 34

5,39 3 20,7

82,5 3 4,035

208 3 4,76

47 3 1,058

71,3 3 8,9

39,76 3 9,61

0,762 3 3,92

3. Multiplica estos números decimales por la unidad seguida de ceros. RECUERDA Desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si es necesario, añade ceros a la derecha.

8.

▶ Ejemplos:

6,42 3 10 5 64,2

4,519 3 10

2,834 3 100

3,92 3 1.000

37,2 3 10

56,1 3 100

74,5 3 1.000

81,56 3 10

73,05 3 100

1,683 3 1.000

0,093 3 10

0,9 3 100

0,097 3 1.000

8,9 3 100 5 890

110

Otras actividades Competencias básicas Tratamiento de la información Al trabajar los problemas de la actividad 6, haga observar a los alumnos que todos los precios tienen dos cifras decimales (los céntimos) y comente que, según la situación y los datos que utilicemos, los números decimales pueden tener o no un número de cifras decimales fijo.

• Recuerde a los alumnos que en la calculadora indicamos la coma de los números decimales con un punto. Pídales que escriban en la calculadora varios números decimales al dictado y pregunte después qué aparece en la pantalla. A continuación, plantee varias sumas, restas y multiplicaciones en la pizarra para resolver con la calculadora y corríjalas en común. • También puede pedirles que utilicen la calculadora para comprobar los resultados de algunas operaciones realizadas en la unidad.

110 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:160

6/7/09 16:50:09

0

0

00

00

8 4. Calcula.

UNIDAD

6,3

3 5,2

2 24,82

3 0,3

1 18,75

– 29,85

3 6,4

1 9,78

3 5,2

Soluciones

42,9

1. 290,32 99,688

5. Calcula. Recuerda el orden en que debes hacer las operaciones. ▶ Ejemplo: 34,7 1 (5,2 2 1,48) 3 6,9

●

3,5 3 2,7 2 1,86

●

2,8 3 3,6 2 4,3 3 1,79

34,7 1 3,72 3 6,9

●

19,7 2 6,3 3 2,75

●

10,52 2 3,2 3 2,3 1 6,5

34,7 1 25,668

●

(8,15 2 5,2) 3 1,86

●

3,915 1 5 3 (4,9 2 1,678)

●

37 2 (8,4 1 15,29)

●

(27 2 2,7) 3 3,94 2 2,5

60,368

6. Observa los precios y calcula. ●

Andrés compró 2 kg de plátanos. ¿Cuánto le costaron?

●

Lourdes compró 1,5 kg de uvas. ¿Cuánto tuvo que pagar?

●

Sara compró 1,8 kg de manzanas. Pagó con un billete de 5 . ¿Cuánto le devolvieron?

●

8

1,75 /kg

2,60 /kg

5. • 7,59 • 2,375 • 5,487 • 13,31

2,84 /kg

7. Resuelve. Sergio ha comprado 9 entradas para un concierto, a 23,45 cada una. ¿Cuánto le cuestan las entradas si le hacen una rebaja de 18,30 en el precio total? ¿Cuánto le cuestan si la rebaja es de 1,90 en cada entrada?

8. RAZONAMIENTO. Observa cada producto resuelto y escribe, sin hacer la operación, el resultado de las demás multiplicaciones.

27 3 3,46

2,7 3 346

0,27 3 3,46

0,027 3 34,6

5,29 3 8 5 42,32 5,29 3 80 5,29 3 0,8

3. 45,19 372 815,6 0,93

5,29 3 800 5,29 3 0,08

111

Otras actividades • Comente a los alumnos que, para viajar o en algunas transacciones comerciales, a veces deben realizarse cambios de moneda. Por ejemplo, de euros a dólares americanos, libras esterlinas (de Reino Unido), yenes japoneses… Escriba en la pizarra el tipo de cambio del euro y varias monedas aproximado con dos cifras decimales, por ejemplo: 1 € 5 1,36 dólares; 1 € 5 0,89 libras y 1 € 5 132,54 yenes Pida a los alumnos que calculen cuántos dólares, libras, yenes… nos darían al cambiar distintas cantidades de euros.

738,48 4,1496

111,573 634,57 990,08 2,98704 283,4 5.610 7.305 90

3.920 74.500 1.683 97

4. • 6,3 → 32,76 → 7,94 → → 2,382 → 21,132 • 42,9 → 13,05 → 83,52 → → 93,3 → 485,16

2,05 /kg

Luis compró 3,4 kg de peras y 2,15 kg de uvas. ¿Cuánto pagó en total? ¿Cuánto le costaron las peras más que las uvas?

2,7 3 3,46 5 9,342

2. 235,28 49,726 332,8875 382,0936

344,52 34,777

• • • •

2,383 9,66 20,025 93,242

6. • 2 3 2,84 5 5,68 Le costaron 5,68 €. • 1,5 3 2,60 5 3,9 Tuvo que pagar 3,90 €. • 1,8 3 1,75 5 3,15 5 2 3,15 5 1,85 Le devolvieron 1,85 €. • 3,4 3 2,05 5 6,97 2,15 3 2,60 5 5,59 6,97 1 5,59 5 12,56 6,97 2 5,59 5 1,38 En total pagó 12,56 €. Le costaron 1,38 € más. 7. 23,45 3 9 2 18,30 5 192,75 Si le rebajan en el precio total, le cuestan 192,75 €. (23,45 2 1,90) 3 9 5 193,95 Si le rebajan en cada entrada, le cuestan 193,95 €. 8. • 27 3 3,46 5 93,42 2,7 3 346 5 934,2 0,27 3 3,46 5 0,9342 0,027 3 34,6 5 0,9342 • 5,29 3 80 5 423,2 5,29 3 800 5 4.232 5,29 3 0,8 5 4,232 5,29 3 0,08 5 0,4232

111 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:161

6/7/09 16:50:09

E

Aproximación de números decimales Objetivos

Observa cómo se aproxima el número 2,635 a las unidades, a las décimas y a las centésimas.

• Aproximar números decimales a las unidades, a las décimas y a las centésimas.

●

Aproximación a las unidades 2,635 2

Sugerencias didácticas Para empezar • Escriba en la pizarra tres números de una, dos y tres cifras decimales, respectivamente, y pregunte entre qué dos números de una cifra decimal menos que cada uno de ellos se encuentran. Por ejemplo: 4,7 está comprendido entre 4 y 5; 3,25 está entre 3,2 y 3,3; y 9,176 está entre 9,17 y 9,18.

Después, aproxime en común otros números, de manera que se trabajen todos los casos: que la cifra siguiente sea mayor, igual o menor que 5. • Al corregir la actividad 2, pida a los alumnos que expliquen el razonamiento seguido.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre buscar las ideas principales que aparece en la página 15 del manual de ESTUDIO EFICAZ y pregunte a los alumnos en qué cifra deben fijarse al aproximar a una determinada unidad.

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3 ▶

2,635

3

– Si es mayor o igual que 5, aumenta en 1 la cifra de las unidades. 6 . 5, 2 1 1 5 3

– Si es menor que 5, deja igual la cifra de las unidades. ●

Aproximación a las décimas 2,635 2,6

2,61

2,62

2,63

2,64

2,65

2,66

2,67

2,68

2,69

2,7

Para aproximar a las décimas, mira la cifra de las centésimas.

▶

2,635

2,6

– Si es mayor o igual que 5, aumenta en 1 la cifra de las décimas. 3 , 5, 6 5 6

– Si es menor que 5, deja igual la cifra de las décimas. ●

Aproximación a las centésimas 2,635

Amplíe después el ejercicio a números con más cifras decimales, para que busquen la cifra correspondiente.

Para explicar • Explique con el ejemplo propuesto la aproximación a cada orden de unidad.

2,1

Para aproximar a las unidades, mira la cifra de las décimas.

2,63

2,631

2,632 2,633 2,634 2,635 2,636 2,637 2,638 2,639

1.

2,64

Para aproximar a las centésimas, mira la cifra de las milésimas.

2,635

▶

2,64

– Si es mayor o igual que 5, aumenta en 1 la cifra de las centésimas. 5 5 5, 3 1 1 5 4

– Si es menor que 5, deja igual la cifra de las centésimas.

2.

1. Aproxima como se indica. 6,2 A las unidades

3,58

4,17 A las décimas

7,941

8,346

3,729 A las centésimas

9,253

6,805 5,471

CÁ

2. Piensa y escribe qué valores puede tener la cifra tapada en cada número. 4,

7

Este número, aproximado a las unidades, es 4.

puede ser …, …, …, … o …

5,8

Mu

Este número, aproximado a las décimas, es 5,9.

puede ser …, …, …, … o …

112

Otras actividades • Comente a los alumnos que, en ocasiones, al multiplicar dos números decimales, el resultado tiene más cifras decimales de las que son necesarias en la situación, por lo que es necesario aproximar el resultado. Proponga algunos problemas similares a estos, razonando en común que hay que aproximar el producto a las centésimas:

Soluciones 1. • 6 4 8 2.

• 4,2 8,3 9,3

• 3,73 6,81 5,47

– Sonia compra 1,157 kg de naranjas a 1,40 €/kg. ¿Cuánto tiene que pagar? – En unos almacenes descuentan 0,16 € por cada euro de compra. ¿Cuánto descontarán en una compra de 158,65 €?

puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. puede ser 5, 6, 7, 8 o 9.

112 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:162

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8

Estimaciones

UNIDAD

Objetivos

Paula quiere hacer un avión de aeromodelismo. Necesita un listón de 57,8 cm y otro de 26,3 cm, y un cordón de 2,93 m. ●

• Estimar sumas, restas y multiplicaciones de números decimales.

¿Cuántos centímetros de listón necesita aproximadamente?

Estima la suma 57,8 1 26,3 1.º Aproxima los datos 57,8 cm y 26,3 cm a las unidades, ya que hay que obtener el resultado en centímetros.

57,8 1 26,3 58 1 26 5 84

2.º Suma las aproximaciones.


Necesita unos 84 centímetros de listón. ●

Para explicar • Haga ver a los alumnos que al estimar aproximamos los términos de la operación al orden más adecuado (o al indicado), por lo que el resultado que obtenemos es también un resultado aproximado, no exacto.

Si compra el cordón a 6 el metro, ¿cuánto le cuesta aproximadamente?

Estima el producto 2,93 3 6 2,93 3 6

1.º Aproxima el dato 2,93 m a las unidades, ya que el precio está en euros por metro.

3 3 6 5 18

2.º Multiplica las aproximaciones.

El cordón le cuesta unos 18 .

Para estimar sumas, restas o productos de números decimales, se aproximan los números a la unidad más conveniente y después se suman, restan o multiplican las aproximaciones.

• Razone en común la utilidad de la estimación para anticipar y comprobar de manera rápida y cualitativa el resultado de operaciones con decimales.

1. Estima las operaciones, aproximando a la unidad indicada. A las unidades

17,29 1 5,9

28,6 2 19,723

8,31 3 5

A las décimas

24,175 1 3,68

15,84 2 6,351

15,47 3 3

A las centésimas

9,635 1 8,726

20,483 2 4,027

6,279 3 20


2. Resuelve. En una pastelería las tartas grandes cuestan 18,70 y las pequeñas, 13,85 . ¿Cuántos euros cuesta, aproximadamente, una tarta grande más que una pequeña?

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número natural por 5: multiplica por 10 y divide entre 2

74

3 10

35

24 3 5

61 3 5

34 3 5

262 3 5

740

86 3 5

83 3 5

52 3 5

486 3 5

44 3 5

45 3 5

76 3 5

628 3 5

:2

370

8

Competencia lingüística Aproveche el problema inicial para que los alumnos comenten situaciones en las que es necesario un cálculo exacto y otras en las que es más práctico uno aproximado, y qué expresiones nos ayudan a diferenciarlas. Comente también que el texto del problema nos indica la unidad a la que debemos aproximar los números.

113

Soluciones

Otras actividades • Escriba en la pizarra una suma de dos números con tres cifras decimales y pida a los alumnos que la calculen. A continuación, estime la suma aproximando los dos sumandos a las unidades, después a las décimas y, por último, a las centésimas, y comente en común los resultados: – A qué orden de unidad está aproximada cada suma. – Cuál de las aproximaciones da como resultado el número decimal más próximo a la suma exacta. Después, puede realizar una actividad similar a partir de una resta y de una multiplicación de un número decimal por un natural, observando que las conclusiones son similares en las tres operaciones.

1. • 17 1 6 5 23 29 2 20 5 9 8 3 5 5 40 • 24,2 1 3,7 5 27,9 15,8 2 6,4 5 9,4 15,5 3 3 5 46,5 • 9,64 1 8,73 5 18,37 20,48 2 4,03 5 16,45 6,28 3 20 5 125,6 2. 18,70 2 13,85 ▶ 19 2 14 5 5 Cuesta unos 5 € más.

Cálculo mental • 120 305 170 430 415 260 220 225 380

1.310 2.430 3.140

113 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:163

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Actividades 1. Suma.


Competencias básicas Aprender a aprender Las actividades presentadas ayudan al alumno a evaluar su propio aprendizaje: qué ha aprendido y qué debe reforzar. Fomente en los alumnos una actitud positiva ante los posibles errores que cometan, haciéndoles ver que pueden aprender de ellos. Interacción con el mundo físico Con la actividad propuesta en Eres capaz de…, los alumnos comprueban el sentido práctico de los contenidos trabajados en esta unidad para comprender y resolver situaciones de la vida diaria. Esto les motivará y fomentará su confianza.

7.

ESTUDIO EFICAZ. Pon un ejemplo de cada

658,2 1 94,73

●

24,83 1 17,546

●

7,19 1 34,8 1 65

●

58,46 1 82,953 1 0,7

8. Piensa y escribe la coma que falta en cada número para que el resultado sea el indicado.

2. Resta.

●

83,692 2 7,94

●

53,2 2 9,371

7169 1 3528 5 75,218

●

●

164, 6 2 48,03

●

327 2 8,56

527 2 1983 5 32,87

●

●

681 3 39 5 265,59

●

972 3 058 5 56,376

3. Multiplica. ●

2,805 3 67

●

4,82 3 29,3

●

3,216 3 100

●

19,4 3 35,8

hacer las operaciones.

●

5,3 3 1.000

●

61,2 3 5,704

●

7,43 1 5,8 2 9,152

●

65,2 2 4,953 3 10

●

3,5 3 (6,43 1 2,816)

●

(24,7 2 16,39) 3 10,8

●

5,63 1 0,084 3 100 2 9,2

●

8,5 3 4,96 2 (32,87 1 1,054)

4. Escribe con cifras y calcula. ●

Veinticuatro unidades y ochenta y tres centésimas más doce unidades y noventa y siete milésimas.

●

Ciento cinco coma seis menos cuarenta y ocho coma doscientos setenta y uno.

●

Nueve unidades y quinientas sesenta y cuatro milésimas por cincuenta y ocho.

●

Cuarenta coma veintisiete por diecisiete coma treinta y nueve.

9. Calcula. Recuerda el orden en que debes

ER

10. Aproxima cada número decimal como se indica. A las unidades 3,7

8,4

9,27

5,691

5. Calcula el término que falta. ● ● ● ●

A las décimas

1 6,294 5 84,713 23,485 1

2,43

5 30,76

2 9,82 5 61,304 76,54 2

9,65

4,172

8,529

A las centésimas

5 3,297

5,978

3,041

7,354

6,905

6. Calcula. Después compara los resultados y escribe el signo correspondiente.


752,93 42,376 106,99 142,113 • 43,829 • 318,44

3. • 187,935 • 321,6 • 5.300

• 141,226 • 694,52 • 349,0848

24,83 1 12,097 5 36,927 105,6 2 48,271 5 57,329 9,564 3 58 5 554,712 40,27 3 17,39 5 700,2953

5. • • • •

5,297 1 18,43

●

6,79 3 3,2

●

82,4 2 17,591

●

3,175 3 6,4

25,36 2 1,498

14,346 1 7,382 1,36 3 47 27,5 2 6,89

11. Completa con dos números decimales cuya aproximación sea el número dado. ●

…, 8, …

●

… , 15 , …

●

… , 5,4 , …

●

… , 20,6 , …

●

… , 6,37 , …

●

… , 9,82 , …

114

2. • 75,752 • 116,57

4. • • • •

●

5 84,713 2 6,294 5 5 78,419 5 30,76 2 23,485 5 5 7,275 5 61,304 1 9,82 5 5 71,124 5 76,54 2 3,297 5 5 73,243

Otras actividades • Escriba en la pizarra estas operaciones. Haga ver a los alumnos que el primer término es siempre 5,74 y el segundo es un número mayor y otro menor que 1. Pregúnteles qué signo (. o ,) escribirían en cada círculo; después, pídales que calculen cada operación, comprueben su respuesta y escriban el signo correcto. 5,74 1 3,2 ◯ 5,74 5,74 2 3,2 ◯ 5,74 5,74 3 3,2 ◯ 5,74 5,74 1 0,8 ◯ 5,74 5,74 2 0,8 ◯ 5,74 5,74 3 0,8 ◯ 5,74 Por último, comente los resultados: – La suma siempre es mayor que el primer sumando. – La diferencia siempre es menor que el minuendo. – Si el segundo factor es mayor que 1, el producto es mayor que el primer factor, pero si es menor que 1, el producto es menor.

114 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:164

12

una de las operaciones con decimales que has aprendido y explica a un compañero cómo las calculas.

●

6/7/09 16:50:10

a e

8 UNIDAD

13. Resuelve.

12. Observa y contesta, haciendo un cálculo aproximado. ●

●

Paco recibió en su bar 53 botellas de 1,5 ¬ de refresco con gas y 38 botellas de 0,75 ¬ de refresco sin gas. ¿Cuántos litros de refresco recibió en total?

●

Maite tiene un rollo de cuerda de 5 m. Corta 3 trozos de 0,76 m cada uno y otro trozo de 1,4 m. ¿Cuántos metros de cuerda quedan en el rollo?

¿Cuántos metros miden, aproximadamente, las dos cuerdas?

a

…

3,259 m

4,86 m ●

¿Cuántos litros caben, aproximadamente, en el bidón más que en la cazuela?

●

3,126 kg

5,8 ¬

●

Ayer, Inés dio 3 vueltas a un circuito de 2,385 km y hoy ha dado 2 vueltas a otro de 4,6 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido hoy más que ayer?

●

Miguel ha comprado 2,5 kg de carne a 7,28 /kg y 3 barras de pan a 0,52 cada una. Para pagar, entrega 20 . ¿Cuánto dinero le devuelven?

1,25 ¬

¿Cuántos kilos pesan, aproximadamente, 4 sandías como esta?

Hacer cálculos con carburantes

ERES CAPAZ DE…

PRECIOS Gasolina: – Súper ▶ 1,011 /¬ – Extra súper ▶ 1,065 /¬

●

Ramón ha llenado el depósito de su coche, en el que caben 50 ¬. Ha echado 38,45 ¬. ¿Cuántos litros de gasolina había en el depósito?

Julián tiene un coche diésel y tiene que echarle gasóleo A. ¿Qué diferencia de precio por litro existe entre los dos tipos de gasóleo? Si Julián echa 30 litros del gasóleo más caro, ¿cuánto pagará más que si echa del barato?

…

115

Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen una tabla como esta: Unidad 8 Números decimales. Operaciones Lo que he aprendido

Multiplicación de decimales Aproximación de decimales Estimaciones

7. R. L. 8. • • • •

71,69 1 3,528 5 75,218 52,7 2 19,83 5 32,87 68,1 3 3,9 5 265,59 97,2 3 0,58 5 56,376

9. • • • • • •

4,078 15,67 32,361 89,748 4,83 8,236 8 9,7 3,04

9 4,2 7,35

6 8,5 6,91

12. • 4,86 1 3,259 ▶ 5 1 3 5 8 Miden unos 8 metros. • 5,8 2 1,25 ▶ 6 2 1 5 5 Caben unos 5 litros más. • 3,126 3 4 ▶ 3 3 4 5 12 Pesan unos 12 kilos.

Paloma echa 27,48 ¬ de gasolina extra súper. La pantalla del surtidor aproxima el importe a céntimos de euro (centésimas). ¿Cuánto pagará Paloma?

Suma y resta de decimales

23,727 , 23,862 21,728 5 21,728 64,809 . 63,92 20,32 , 20,61

11. R. M. • 7,8 , 8 , 8,34 • 14,962 , 15 , 15,2 • 5,38 , 5,4 , 5,408 • 20,574 , 20,6 , 20,64 • 6,366 , 6,37 , 6,371 • 9,817 , 9,82 , 9,823

Gasóleo A: – Diésel ▶ 0,956 /¬ – Extra diésel ▶ 1,071 /¬

●

6. • • • •

10. • 4 • 2,4 • 5,98

En una gasolinera tienen hoy estos precios:

●

8


13. • 53 3 1,5 1 38 3 0,75 5 108 Recibió 108 l de refresco. • 3 3 0,76 1 1,4 5 3,68 5 2 3,68 5 1,32 Quedan 1,32 m de cuerda. • 2 3 4,6 2 3 3 2,385 5 5 2,045 Ha recorrido 2,045 km más. • 2,5 3 7,28 1 3 3 0,52 5 5 19,76 20 2 19,76 5 0,24 Le devuelven 0,24 €.

Eres capaz de… • 50 2 38,45 5 11,55 En el deposito había 11,55 l. • 27,48 3 1,065 5 29,2662 → → 29,27 Paloma pagará 29,27 €. • 1,071 2 0,956 5 0,115. La diferencia por litro es 0,115 €. 30 3 0,115 5 3,45 Pagará 3,45 € más.

115 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:165

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Solución de problemas Anticipar una solución aproximada Objetivos • Resolver problemas con decimales anticipando una solución aproximada.

Sugerencias didácticas Para explicar • Comente con los alumnos las ventajas del cálculo aproximado y cuándo podemos llevarlo a cabo. Señale que es una aplicación real y práctica del contenido sobre estimaciones con números decimales trabajado en la página 113.

EJE

Halla una solución aproximada para cada problema. Después, resuélvelo y comprueba que la solución exacta se corresponde con la solución aproximada.

1.

Marcos ha comprado en la frutería: 4 kg de naranjas a 2,75 el kilo, 3 kg de manzanas a 1,39 el kilo y 2 kg de plátanos a 1,78 el kilo. ¿Cuánto ha pagado Marcos por su compra?

2.

3.

▶ En las situaciones de compra es muy útil hallar primero una solución aproximada. Eso nos dará una idea bastante fiable de cuál debe ser la solución exacta, que calcularemos después. Solución aproximada 1.º Aproxima los precios a las unidades. Naranjas: 2,75 ▶ 3 Manzanas: 1,39 ▶ 1

4. Plátanos: 1,78 ▶ 2

2.º Halla el precio aproximado. 4 3 3 1 3 3 1 1 2 3 2 5 19 Ha pagado aproximadamente 19 .

5.

Solución exacta 4 3 2,75 1 3 3 1,39 1 2 3 1,78 5 18,73

Competencias básicas Tratamiento de la información Al presentar la estrategia de trabajo, comente con los alumnos la conveniencia de tratar la información para ajustarla a nuestra situación y objetivos concretos.

Ha pagado 18,73 .

Las dos soluciones tienen valores muy similares.

1. Mónica ha comprado un traje por 87,35 , unos zapatos por 39,15 y un sombrero por 51,78 . ¿Cuánto ha pagado Mónica?

6.

2. Pedro tenía 29,32 y compró un libro por 13,85 y un disco por 12,19 . ¿Cuánto dinero le quedó?

3. Al comprar una cámara de fotos, Juan pagó 175,60 en el primer plazo y 3 plazos más de 42,75 cada uno. ¿Cuánto pagó Juan por la cámara?

Soluciones 1. • Solución aproximada (S. A.): 87 1 39 1 52 5 178 Ha pagado unos 178 €. • Solución exacta (S. E.): 87,35 1 39,15 1 51,78 5 5 178,28 Ha pagado 178,28 €. 2. • S. A.: 29 2 (14 1 12) 5 3 Le quedaron unos 3 €. • S. E.: 29,32 2 (13,85 1 1 12,19) 5 3,28 Le quedaron 3,28 €. 3. • S. A.: 176 1 3 3 43 5 305 Pagó unos 305 €. • S. E.: 175,60 1 3 3 42,75 5 5 303,85. Pagó 303,85 €. 4. • S. A.: 9 3 7 1 2 3 2 1 1 22 5 89 Le ha costado unos 89 €. • S. E.: 9 3 6,78 1 2 3 3 1,93 1 22,19 5 87,07 Le ha costado 87,07 €. 5. R. L.

7.

4. Cinthia ha comprado 9 cajas de tornillos a 6,78 cada una, 2 cajas de tuercas a 1,93 cada una y un destornillador eléctrico que costaba 22,19 . ¿Cuánto le ha costado su compra?

5. INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página y pide a tu compañero que calcule primero una solución aproximada.

116

Otras actividades • Comente que calcular una solución aproximada también puede ser muy útil para detectar de forma fácil y rápida que la solución exacta que se ha hallado es errónea (si ambas soluciones son muy diferentes). Señale, no obstante, que la similitud de ambas soluciones no asegura que el resultado sea correcto. Plantee un problema sencillo y escriba en la pizarra tres posibles soluciones (una de ellas correcta), para que los alumnos realicen mentalmente un cálculo aproximado y digan cuáles son claramente erróneas. Por ejemplo: Ignacio ha comprado 2 camisetas a 9,75 € cada una y 5 gorras a 3,15 € cada una. ¿Cuánto ha pagado en total? Soluciones: 25,35 € 35,25 € 32,95 €

116 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:166

6/7/09 16:50:11

8

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS ●

●

9

●

10

●

13

15

2. Halla todos los divisores de cada uno de estos números. ●

●

9

●

12

●

24

40

3. Averigua cuáles de estos números 15

18

20

21

30

son divisibles por: ●

Soluciones

PROBLEMAS

1. Escribe cuatro múltiplos de cada número.

●

2

●

3

5

4. Calcula. ●

m.c.d. (12, 24)

●

m.c.m. (3, 15)

●

m.c.d. (16, 40)

●

m.c.m. (4, 7)

5. ESTUDIO EFICAZ. Algunas de estas

8. Manuela mezcló tres cuartos de kilo de chocolate negro y dos quintos de kilo de chocolate blanco para recubrir una tarta. Utilizó solamente ocho décimos de kilo. ¿Qué fracción de kilo le sobró?

9. Magdalena y Carlos tienen que mandar por correo dos lotes iguales de regalos. Magdalena ha enviado ya cuatro séptimos de los regalos y Carlos tres octavos. ¿Quién ha enviado menos? Si cada lote tiene 56 regalos, ¿cuántos ha enviado ya cada uno?

10. En una empresa repartieron 4.000 paquetes de cereales en 80 lotes iguales. Los 25 primeros lotes los enviaron a un supermercado que vendió cada paquete de cereales a 2 . ¿Cuánto obtuvo el supermercado por la venta de los cereales?

11. En un crucero viajaron 175 personas y se

comparaciones están mal hechas. Escríbelas bien en tu cuaderno. 4 6 , 11 11

2 2 . 5 7

2 3 . 3 4

11 9 , 5 5

3 3 , 4 5

7 11 , 12 24

9 7 . 8 8

6 6 . 9 10

2 4 . 18 12

1. R. M. 9 ▶ 18, 45, 63 y 90 2. • 9 ▶ 1, 3 y 9 • 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 y 12 • 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 • 40 ▶ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 3. • Por 2 ▶ 18, 20 y 30 • Por 3 ▶ 15, 18, 21 y 30 • Por 5 ▶ 15, 20 y 30 4. • 12 •8 5.

recaudaron 59.500 . El mes siguiente subieron el precio por persona 50 y viajaron 30 personas más. ¿Cuánto recaudaron en el segundo crucero más que en el primero?

●

18 15

●

12 10

●

20 24

7. Calcula. 4 9 1 11 11

3 5 1 8 12

1 5 9 1 1 4 8 10

5 7 2 8 8

11 13 2 3 6

7 7 7 2 1 2 3 4

6 18 3 5 5 4 12 2

13 19 71 • • 11 24 40 2 1 9 3 35 • 5 • 5 • 8 4 6 2 12

7. •

a cada una de las siguientes, una por amplificación y otra por simplificación. 6 4

• 15 • 28

6 4 7 9 3 3 . , . 11 11 8 8 4 5 2 3 7 11 , . 3 4 12 24

6. R. M.

6. Escribe dos fracciones equivalentes

●

8

8. 3/4 1 2/5 5 23/20 23/20 2 8/10 5 7/20 Le sobraron 7/20 de kilo.

12. Juan hizo ayer dos tercios de las 90 llamadas telefónicas de su empresa. Tres quintos de sus llamadas fueron internacionales y de ellas en un cuarto no obtuvo respuesta. ¿Cuántas llamadas internacionales hizo Juan? ¿En cuántas llamadas internacionales obtuvo Juan respuesta?

117

Repaso en común • Pida a los alumnos que escriban las siguientes operaciones con números decimales y las calculen en su cuaderno: una suma de dos sumandos con distinto número de cifras decimales, una resta cuyo minuendo tenga menos cifras decimales que el sustraendo, una multiplicación de un número decimal por un natural y otra multiplicación de dos números decimales. A continuación, indíqueles que inventen tres problemas que se resuelvan con la suma, la resta y la primera multiplicación, respectivamente, y calculen una solución aproximada de cada uno. Al final, haga una puesta en común y pida a varios alumnos que expliquen en la pizarra el procedimiento para calcular cada operación y cada estimación.

9.

3 4 , . Carlos envió menos. 8 7 4 3 de 56 5 32; de 56 5 21 7 8 Magdalena ha enviado 32 regalos y Carlos, 21.

10. 4.000 : 80 5 50 25 3 50 3 2 5 2.500 Obtuvo 2.500 €. 11. 59.500 : 175 5 340 340 1 50 5 390 175 1 30 5 205 390 3 205 5 79.950 79.950 2 59.500 5 20.450 Recaudaron 20.450 € más. 12.

2 3 de 90 5 60; de 60 5 36; 3 5 1 de 36 5 9; 36 2 9 5 27 4 Hizo 36 llamadas internacionales. Obtuvo respuesta en 27 llamadas.

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3.

Histogramas Objetivos

Para empezar • Señale a los alumnos que ya conocen muchos tipos de gráficos diferentes (gráficos de barras, lineales, pictogramas…). Para explicar • Señale que los histogramas se utilizan cuando los datos están agrupados. Deje claro que no conocemos los datos concretos sino el número de datos que tiene cada grupo. Haga hincapié también en que cada grupo contiene a los datos menores o iguales que el valor inferior que define al grupo y menores que el valor superior (por ejemplo, el valor 3 no está en el grupo de 2 a 3 sino en el grupo de 3 a 4). Muestre las similitudes con los diagramas de barras a la hora de interpretar y representar. Trabaje en común las actividades 1 y 2, despejando las posibles dudas que existan. Proponga (o pida a los alumnos que lo hagan) otras preguntas de trabajo con la interpretación.

En el histograma se han representado los envíos que hay en cada clase.

Número de envíos


En una oficina de Correos han clasificado los envíos en varios grupos según su peso.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 De 0 a1

De 1 a2

De 2 a3

De 3 a4

De 4 a5

Peso (en kg) ●

¿Cuántos envíos pesan de 3 a 4 kg? Hay 7 envíos que pesan de 3 a 4 kg.

●

Un envío pesa 1 kg. ¿En qué grupo estará? Estará en el grupo de 1 a 2 kg.

4. En un histograma usamos rectángulos unidos para representar datos agrupados.

1. Observa el histograma de arriba y contesta. ●

¿Cuánto pueden pesar los envíos del grupo más numeroso?

●

¿Se puede saber cuántos envíos de 3,5 kg hay? ¿Por qué?

2. En el histograma están representados los alumnos de una academia de natación agrupados por edades. Obsérvalo y contesta.

Número de alumnos

• Interpretar y representar histogramas.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 De 0 a5

De 5 a 10

De 10 a 15

De 15 a 20

De 20 a 25

●

Juan tiene 4 años, Ana tiene 6 años y Pedro tiene 10 años. ¿En qué grupo de edad está cada uno?

●

Paula tiene 12 años. ¿Cuántos alumnos tiene en total el grupo de edad al que ella pertenece?

●

¿Qué edades pueden tener los alumnos del grupo menos numeroso?

●

¿Cuántos alumnos de la academia tienen 15 o más años?

Edad (en años)

118

• Trabaje con toda la clase (o pida a los alumnos que lo hagan de manera individual) la representación del gráfico de la actividad 3. • Realice actividades de interpretación una vez corregidos los gráficos de las actividades 3 y 4.

Competencias básicas Tratamiento de la información Muestre la presencia de la información gráfica en la sociedad y señale la importancia de saber extraer la información de los gráficos y expresarla de otras formas.

118 168 124603 _ 0154-0169.indd Sec1:168

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3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico. En un ambulatorio agruparon los análisis de azúcar en sangre de varias personas para un estudio. Miden los miligramos de azúcar que hay en 1 decilitro.

1. • De 2 a 3 kg. • No se puede saber, porque en el histograma no conocemos datos concretos.

Cuarenta personas tenían de 70 a 82 mg/dl, treinta y cinco personas tenían de 82 a 94 mg/dl, veinticinco tenían de 94 a 106 mg/dl, quince de 106 a 118 mg/dl y diez personas de 118 a 130 mg/dl.

N.º de personas

Número de personas

mg/dl de azúcar De 70 a 82 De 82 a 94 De 94 a 106 De 106 a 118 De 118 a 130

2. • Juan: de 0 a 5. Ana: de 5 a 10.

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 De 70 a 82

De 82 a 94

Pedro: de 10 a 15. • Tiene en total 40 alumnos. • De 20 a 25 años. • 30 1 10 5 40 Tienen 15 o más años 40 alumnos de la academia.

De 94 De 106 De 118 a 106 a 118 a 130

mg /dl

3.

4. Copia y completa el gráfico con los datos del texto. Después, contesta. En unas pruebas físicas para bombero han clasificado a los aspirantes según su altura en metros. GRUPO 1. De 1,60 m a 1,67 m ▶ 6 aspirantes GRUPO 2. De 1,67 m a 1,74 m ▶ 27 aspirantes GRUPO 3. De 1,74 m a 1,81 m ▶ 30 aspirantes

mg /dl

Nº de personas

De 70 a 82

40

De 82 a 94

35

De 94 a 106

25

De 106 a 118

15

De 118 a 130

10

GRUPO 4. De 1,81 m a 1,88 m ▶ 21 aspirantes

50

GRUPO 5. De 1,88 m a 1,95 m ▶ 18 aspirantes

40 30 20

Número de aspirantes

o

os

Soluciones

33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 1

2

3

4

5

●

Marta mide 1,69 m y Luis mide 1,74 m. ¿En qué grupo está cada uno de ellos?

●

¿Cuál es el grupo más numeroso? ¿Qué estaturas pueden tener?

●

Miguel mide 1,90 m. ¿Cuántos aspirantes hay en total en su grupo?

●

¿Cuántos aspirantes miden 1,74 m de altura o más?

10

Grupo

4.

70 a 82

82 94 106 118 a a a a 94 106 118 130

G1

G2

30 24 18 12

119

6 G3

G4

G5

• Marta está en el grupo 2 y Luis está en el grupo 3. • El grupo más numeroso es el grupo 3. Pueden medir de 1,74 a 1,81 m (este último valor no está incluido). • Hay 18 aspirantes (grupo 5). • 30 1 21 1 18 1 69 Hay 69 aspirantes.

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9

E


Programación Objetivos • Calcular divisiones con números decimales en el dividendo, en el divisor o en ambos.

Contenidos

• Resolver problemas de suma, resta, multiplicación y división con números decimales.

• División con números decimales en el dividendo, en el divisor o en ambos.

• Obtener cocientes con un número determinado de cifras decimales.

• Resolución de problemas con números decimales.

• Calcular la expresión decimal de una fracción.

• Aproximación de cocientes con números decimales.

• Resolver problemas representando el dato desconocido con un dibujo.

R

• • • •

• Resolución de problemas representando el dato desconocido con un dibujo.

Criterios de evaluación • Divide un número decimal entre un número natural. • Divide un número natural entre un número decimal. • Divide dos números decimales. • Resuelve problemas de suma, resta, multiplicación y división con números decimales.

E

• Valoración de la utilidad de la división con números decimales para resolver situaciones cotidianas.

• •

• Obtiene cocientes con un número determinado de cifras decimales. • Expresa una fracción en forma de número decimal. • Resuelve problemas representando el dato desconocido con un dibujo.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia lingüística, Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Aprender a aprender, Autonomía e iniciativa personal, Competencia cultural y artística y Tratamiento de la información.

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Esquema de la unidad

s

UNIDAD 9. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

División de un decimal entre un natural

División de un natural entre un decimal

Obtención de cifras decimales en el cociente

División de un decimal entre un decimal Problemas con decimales

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Releer y explicar procedimientos: actividad 1, pág. 130. • Reelaborar la información fundamental: actividad 4, pág. 133.

Previsión de dificultades • Al dividir un número decimal entre un natural, los alumnos pueden tener dificultad en colocar correctamente la coma en el cociente, especialmente cuando la parte entera del cociente es cero. Plantee varias divisiones en la pizarra (de un decimal entre un natural cuyo cociente tenga una sola cifra entera, siendo cero en algunos casos) para que los alumnos digan qué número deben comenzar a dividir. • Al dividir un número entre un decimal, multiplicar correctamente el dividendo (natural o decimal) por el mismo número que el divisor. Repase la multiplicación de números naturales y decimales por 10, 100 y 1.000.


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9


Objetivos

RE

M

P s t S

• Reconocer situaciones reales donde aparecen y operamos con números decimales. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

C

A e

Sugerencias didácticas • Pida a los alumnos que observen la fotografía, lea el texto y dialogue sobre los barcos, relacionándolo con el área de Conocimiento del Medio. Lea las preguntas presentadas y razone con los alumnos qué operación debemos realizar para contestarlas. • En Recuerda lo que sabes repase con los alumnos dos contenidos necesarios para transformar el divisor decimal de algunas divisiones en un número natural: cómo se multiplica un número por la unidad seguida de ceros y los cambios en los términos de una división al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.

Competencias básicas Competencia lingüística A partir del texto inicial, trabaje con los alumnos el vocabulario nuevo, haciendo especial hincapié en las unidades de medida que aparecen. Indique otras unidades conocidas de la misma magnitud y relacione unas con otras, nombrando situaciones en las que se utilicen y pidiendo a los alumnos que aporten ejemplos propios. Interacción con el mundo físico La situación inicial muestra a los alumnos la utilización en la vida real de las Matemáticas: números naturales y decimales, unidades de medida, la necesidad de las operaciones… Esto les motivará al dar un sentido a su esfuerzo por aprender.

1.

2.

La velocidad a la que navegan los barcos se expresa en nudos. Un nudo equivale a una milla náutica por hora, es decir, a 1,852 kilómetros por hora. Cada barco tiene una velocidad máxima que está determinada, entre otros factores, por su eslora o longitud: cuanto más largo sea un barco, más puede correr. Una vez alcanzada esa velocidad máxima, si añadimos más potencia, esta originará olas más grandes –creadas por el barco–, pero no más velocidad. Por ejemplo, un velero de 12 metros de longitud puede alcanzar una velocidad de 8,4 nudos y un yate a motor de 22 metros puede llegar a 30 nudos. ●

¿Cuántos metros recorrerá un barco en una hora a una velocidad de 10 nudos?

●

¿A cuántos kilómetros por hora irá el velero del ejemplo si va a su velocidad máxima? ¿Y el yate?

3.

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Otras formas de empezar • Plantee en común situaciones en las que es útil calcular una división y ponga un ejemplo concreto con números naturales y otro en el que el dividendo o el divisor sea un número decimal. Comente la necesidad de aprender a dividir con números decimales. Por ejemplo: 2 Luis compra 3 libros iguales por 18 €. ¿Cuánto cuesta cada libro? Rocío compra 3 libros iguales por 15,75 €. ¿Cuánto cuesta cada libro? 2 Claudia echa 12 l de agua de un bidón en botellas de 2 l cada una. ¿Cuántas botellas llena de agua? Tomás echa 12 l de agua de un bidón en botellas de 1,5 l cada una. ¿Cuántas botellas llena de agua?

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UNIDAD

Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros

Competencia social y ciudadana Al dialogar sobre los barcos y la tripulación, comente la importancia de trabajar en equipo en muchas situaciones cotidianas. Haga ver a los alumnos que la colaboración en el trabajo y el estudio facilita el logro de las metas que nos propongamos.

7,491 3 10 5 74,91

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si es necesario, se añaden ceros a la derecha.

3,58 3 100 5 358 2,6 3 1.000 5 2.600

Cambios en los términos de una división Al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor de una división entera por un mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

52 4 52 3 3 ▶ 156

24 6

12

◀

8 6

833

52 : 2 ▶ 26

2

433

4 6

◀

9

8:2

4:2

Soluciones Página inicial

1. Calcula. 4,519 3 10

81,56 3 100

3,92 3 1.000

37,2 3 10

0,093 3 100

1,683 3 1.000

2,83 3 10

73,05 3 100

74,5 3 1.000

56,1 3 10

0,9 3 100

0,097 3 1.000

●

A dividir un número decimal entre un natural.

• 1,852 3 10 5 18,52 18,52 3 1.000 5 18.520 Recorrerá 18.520 metros. • Velero: 8,4 3 1,852 5 15,5568 Irá a 15,5568 km por hora. Yate: 30 3 1,852 5 55,56 Irá a 55,56 km por hora.

●

A dividir un número natural entre un decimal.


VAS A APRENDER

2. Observa la división resuelta y completa la tabla. 546 066 18 Dividendo

Divisor

546 3 4

24 3 4

546 3 10

24 3 10

546 : 2

24 : 2

546 : 6

24 : 6

24 22

Cociente

●

4.640 : 20

8.400 : 400

A dividir un número decimal entre un decimal.

●

A calcular cocientes con un número dado de cifras decimales.

●

A resolver problemas con números decimales.

Resto

3. Suprime ceros y calcula. ●

●

●

1. 45,19 372 28,3 561

22.500 : 90

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Vocabulario de la unidad

2. Cociente 22 22 22 22

8.156 9,3 7.305 90

3.920 1.683 74.500 97

Resto

18 3 4 5 72 18 3 10 5 180 18 : 2 5 9 18 : 6 5 3

3. • 4.640 : 20 ▶ 464 : 2 5 232 • 8.400 : 400 ▶ 84 : 4 5 21 • 22.500 : 90 ▶ 2.250 : 9 5 5 250

• Dividendo, divisor, cociente y resto

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División de un decimal entre un natural Objetivos • Calcular divisiones en las que el dividendo es un número decimal y el divisor es un natural.

Lola ha hecho un queso con leche de vaca que pesa 2,856 kg y otro con leche de oveja que pesa 1,394 kg. Después, ha cortado cada queso en dos trozos iguales. ¿Cuánto pesa la mitad de cada queso?

Queso de vaca

Sugerencias didácticas Para empezar • Plantee varias divisiones con números naturales, tanto exactas como enteras, para repasar y comprobar que los alumnos manejan bien el algoritmo de la división, antes de operar con números decimales. Para explicar • Plantee el problema inicial y escriba las dos divisiones en la pizarra. Explique cómo se calcula la primera, llamando la atención de los alumnos al bajar el 8 del dividendo y escribir la coma en el cociente. Calcule a continuación la segunda división, explicando por qué escribimos cero y coma en el cociente.

Queso de oveja

Divide 2,856 entre 2

Divide 1,394 entre 2

Divide como si fueran números naturales y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, escribe la coma en el cociente.

Como la parte entera del dividendo es menor que el divisor (1 , 2), escribe 0 y coma en el cociente y sigue dividiendo 13 entre 2.

2,8 5 6 08 05 16 0

2 1,4 2 8

1,3 9 4 19 14 0

La mitad del queso de vaca pesa 1,428 kg.

2 0,6 9 7

La mitad del queso de oveja pesa 0,697 kg.

Para dividir un número decimal entre un número natural, se hace la división como si fueran números naturales y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, se pone la coma en el cociente.

1. 1. Calcula. ●

72,56 : 8

●

5,496 : 6

●

30,75 : 25

●

9,215 : 5

●

2,135 : 7

●

296,1 : 63

●

635,4 : 9

●

0,696 : 8

●

8,428 : 49

2.

2. Calcula el factor que falta en cada multiplicación. Explica cómo lo haces. 63

5 50,58

3 9 5 976,5

32 3

5 104,96

3 85 5 82,195

CÁ

3. Divide estos números decimales entre la unidad seguida de ceros. RECUERDA

Competencias básicas Aprender a aprender Comente con los alumnos la importancia de comprender y aprender bien cada procedimiento trabajado, porque es necesario para abordar sin dificultades los siguientes.

D

Desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si es necesario, añade ceros a la izquierda.

▶ Ejemplos: 52,3 : 10 5 5,23 128,4 : 10

40,8 : 100

7,6 : 100 5 0,076

Mu

425,2 : 1.000

9,3 : 10

329,5 : 100

81,4 : 1.000

5,79 : 10

7,16 : 100

30,7 : 1.000

0,36 : 10

24,37 : 100

6,9 : 1.000

122

Otras actividades Soluciones 1. • 9,07 • 0,916 • 1,843 • 0,305 • 70,6 • 0,087

5 50,58 : 6 5 8,43 5 976,5 : 9 5 108,5 5 104,96 : 32 5 3,28 5 82,195 : 85 5 0,967

2.

3. • • • •

• 1,23 • 4,7 • 0,172

12,84 0,93 0,579 0,036

• • • •

0,408 3,295 0,0716 0,2437

• • • •

0,4252 0,0814 0,0307 0,0069

• Comente con los alumnos que a veces, al realizar compras, para comparar el precio de un artículo con otro, tenemos que averiguar el precio de la unidad. Pídales que resuelvan problemas similares a estos: 2 Un paquete A de 6 flanes cuesta 1,62 € y otro paquete B de 8 flanes cuesta 2,08 €. ¿En cuál de los dos paquetes sale más barato el flan? 2 Una marca vende los paquetes de 4 yogures a 0,76 € y los de 12 yogures a 2,04 €. ¿Cuánto ahorras por cada yogur si decides comprar paquetes de 12 yogures?

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9

División de un natural entre un decimal

• Calcular divisiones en las que el dividendo es un número natural y el divisor es un decimal.

Divide 3.546 entre 1,5 1.º Convierte el divisor en un número natural. Para ello, multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

2.º Haz la división de números naturales que has obtenido.

35460 054 096 060 00

3.546 : 1,5 1,5 tiene 1 cifra decimal Multiplica por 10


15 2364

Para explicar • Lea el problema y escriba la división. Comente que no podemos calcularla así porque el divisor es un número decimal y explique cómo se transforma en otra división con divisor natural. Recuerde que, al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho número. Por ello, de momento solo se presentan divisiones exactas.

35.460 : 15 Se llenarán 2.364 botellas.

Para dividir un número natural entre un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división de números naturales obtenida.

1. En cada caso, escribe qué división de números naturales debes calcular y cómo la has hallado.

▶

85 : 0,34

Como el divisor tiene … cifras decimales, he multiplicado el dividendo y el divisor por …

…:…

30 : 1,2

59 : 0,125

288 : 2,25

1.273 : 0,5


2. Calcula. ●

21 : 3,5

●

493 : 3,4

●

592 : 9,25

●

61 : 0,008

●

44 : 2,75

●

91 : 0,104

●

2.015 : 0,62

●

42 : 0,025

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número natural por 11: multiplica por 10 y luego suma el número 3 11

0 24

3 10

9

Objetivos

En una fábrica se están embotellando 3.546 ¬ de zumo de un depósito en botellas de 1,5 ¬ de capacidad. ¿Cuántas botellas se llenarán?

00

0

UNIDAD

240

1 24

264

16 3 11

40 3 11

200 3 11

18 3 11

42 3 11

300 3 11

30 3 11

53 3 11

610 3 11

36 3 11

54 3 11

720 3 11

123

Otras actividades • Plantee a los alumnos problemas que se resuelvan calculando una división de un número decimal entre un natural, o de un natural entre un decimal. Por ejemplo: 2 Andrés ha comprado 5 macetas de flores iguales. Ha pagado por ellas 14,65 €. ¿Cuánto costaba cada maceta? 2 Sara tiene en el vivero una caja llena de paquetes de tierra. La caja pesa 54 kg y cada paquete pesa 4,5 kg. ¿Cuántos paquetes de tierra hay en la caja? Al final, corrija los problemas en la pizarra pidiendo a los alumnos que expliquen cómo han calculado cada división.

Competencia social y ciudadana Aproveche la situación planteada en el problema inicial para dialogar sobre la importancia de reciclar las botellas y, en general, cristal, plásticos, latas, papel…, tirando cada material en su contenedor.

Soluciones 1. • 8.500 : 34 5 250 2 cifras → por 100 • 300 : 12 5 25 1 cifra → por 10 • 59.000 : 125 5 472 3 cifras → por 1.000 • 28.800 : 225 5 128 2 cifras → por 100 • 12.730 : 5 5 2.546 1 cifra → por 10 2. 6 16

145 875

64 3.250

7.625 1.680


440 462 583 594

2.200 3.300 6.710 7.920

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División de un decimal entre un decimal Objetivos • Calcular divisiones en las que el dividendo y el divisor son números decimales. • Calcular operaciones combinadas con números decimales.

4.

Sara compra un lomo que pesa 2,4 kg por 44,88 . ¿Cuánto cuesta el kilogramo de lomo?

Divide 44,88 entre 2,4 1.º Convierte el divisor en un número natural. Para ello, multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

4 4 8,8 208 168 00

44,88 : 2,4

• Resolver problemas de división con números decimales.

5.

2.º Haz la división que has obtenido.

2,4 tiene 1 cifra decimal Multiplica por 10

24 1 8,7

6.

448,8 : 24

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema propuesto y escriba la división en la pizarra. Trabaje esta división como unión de los dos casos estudiados anteriormente. Pida a los alumnos que observen el divisor, comente que es un número decimal y pregunte qué debemos hacer y cómo. A continuación, pregunte cómo son el dividendo y el divisor de la nueva división, comente que ya saben calcularla y hágalo de forma colectiva, pidiendo a los alumnos que expliquen cada paso realizado. Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre detectar las propias dificultades que aparece desarrollada en la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ y, al trabajar la actividad 3, pida que piensen en el procedimiento seguido para calcular cada tipo de división y que comenten si han encontrado dificultad en alguna de ellas y por qué.

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Al hacer la actividad 4, anime a los alumnos a comprobar cada término calculado, aplicando al resultado la operación inversa a la realizada. Así, tendrán la satisfacción de saber que lo han hecho bien, o tendrán la oportunidad de corregir los fallos cometidos.

El kilogramo de lomo cuesta 18,70 .

Para dividir un número decimal entre un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división obtenida.

7. 1. En cada caso, escribe qué división debes calcular y contesta.

●

PRESTA ATENCIÓN

341,6 : 42,7

▶

3.416 : 427

El dividendo de la división obtenida puede ser un número natural o decimal. El divisor siempre es un número natural.

100,2 : 8,35

▶

…:…

9,728 : 6,4

▶

…:…

5,382 : 0,39

▶

…:…

¿Por qué número has multiplicado el dividendo y el divisor? ¿Por qué? ¿El dividendo obtenido es un número natural o decimal?

2. Escribe la división del recuadro que tiene igual cociente que cada división dada. Después, calcula dicho cociente. 364 : 7 3,64 : 7 3.640 : 7 36.400 : 7 36,4 : 7

●

0,364 : 0,7 5 … : … 5 …

●

0,364 : 0,07 5 … : … 5 …

●

3,64 : 0,07 5 … : … 5 …

●

3,64 : 0,007 5 … : … 5 …

●

36,4 : 0,007 5 … : … 5 …

8.

3. Calcula. 54,6 : 0,65

7,918 : 2,14

2,87 : 0,035

524,4 : 76

4,608 : 0,072

3,074 : 5,8

31 : 0,62

68,37 : 129

124

Otras actividades • Recuerde a los alumnos que, cuando el divisor es un número decimal, lo convertimos en natural multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación, explique que cuando el divisor es un número natural terminado en ceros, también podemos simplificar la división dividiendo el dividendo y el divisor entre la unidad seguida de tantos ceros como tenga el divisor. Plantee divisiones como las siguientes para trabajar en común: 98 : 0,4 ▶ 980 : 4 46,5 : 1,5 ▶ 465 : 15 7,82 : 2,3 ▶ 78,2 : 23

5.700 : 30 ▶ 570 : 3 480 : 500 ▶ 4,8 : 5 69,2 : 20 ▶ 6,92 : 2

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9 4. Calcula.

UNIDAD : 4,2

2 4,82

3 3,5

:6

3 5,6

:8

1 2,121

: 5,3

24,78

9

Soluciones 29,3

1. • 341,6 : 42,7 ▶ 3.416 : 427 Por 10. Es natural. • 100,2 : 8,35 ▶ 10.020 : 835 Por 100. Es natural. • 9,728 : 6,4 ▶ 97,28 : 64 Por 10. Es decimal. • 5,382 : 0,39 ▶ 538,2 : 39 Por 100. Es decimal.

5. Calcula. Recuerda el orden en que debes hacer las operaciones. ●

63,8 1 9,516 : 7,8

●

60,188 : (5,9 1 1,44) 3 3,07

●

42,18 : 5,7 2 3,629

●

9,657 1 7,614 : (3,1 2 2,92)

●

2,08 3 3,6 : 1,2

●

(0,82 1 0,76) : (13,2 2 12,805)

6. Resuelve. ●

En una tahona han hecho hoy 54,5 kg de pastas, para empaquetarlas en cajas de 0,25 kg cada una. ¿Cuántas cajas llenarán?

●

Diego tiene en su hucha 36 en monedas de 0,20 . ¿Cuántas monedas tiene?

7. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones enteras.

Halla el cociente y el resto de la división 67,9 : 2,3.

2.º Halla los términos de la división original a partir de los términos de la división calculada: – El cociente es el mismo. – El resto ha quedado multiplicado por 10 ▶ Divídelo entre 10.

●

37,4 : 5,8

●

679 219 12

23 29

981,5 : 0,64

▶ ●

679 : 23

67,9 : 2,3

Cociente 5 29 Resto 5 12 ●

46 : 0,37

Cociente 5 29 Resto 5 12 : 10 5 1,2

8,231 : 0,009

●

64,57 : 0,095

el dividendo y completa.

●

▶ ▶ ▶

7 : 0,1 5 7 3 … 8,2 : 0,1 5 8,2 3 … 3,95 : 0,1 5 3,95 3 …

▶

Dividir un número entre 0,1 es igual que multiplicarlo por …

Piensa y completa. Después, pon dos ejemplos y comprueba. – Dividir un número entre 0,01 es igual que multiplicarlo por … – Dividir un número entre 0,001 es igual que multiplicarlo por …

125

Otras actividades • Después de trabajar el cuadro Hazlo así de la actividad 7, proponga a los alumnos que comenten por parejas la siguiente situación. Al final, haga una puesta en común, ayudando a los alumnos a que obtengan una respuesta común razonada: 2 Para repartir 48 kg de miel en tarros de 2,5 kg, un granjero hace la división 48 : 2,5; es decir, divide 480 : 25 y obtiene como cociente 19 y como resto 5. Como el resto es 5, piensa que podrá meter esos 5 kg de miel en otros 2 tarros de 2,5 kg y así no le sobrará nada. ¿En qué se equivoca el granjero?

82 50

6,9 0,53

5. • 65,02 • 3,771 • 6,24

• 25,174 • 51,957 • 4

6. • 54,5 : 0,25 5 218 Llenarán 218 cajas. • 36 : 0,20 5 180 Tiene 180 monedas.

8. RAZONAMIENTO. Calcula cada división. Después, piensa por qué número has multiplicado 7 : 0,1 5 … : 1 5 … 8,2 : 0,1 5 … : 1 5 … 3,95 : 0,1 5 … : 1 5 …

3,7 0,53

4. • 24,78 → 5,9 → 1,08 → → 3,78 → 0,63 • 29,3 → 164,08 → → 20,51 → 22,631 → → 4,27

1.º Multiplica por 10 el dividendo y el divisor, y calcula la división obtenida.

▶

3,64 : 7 5 0,52 36,4 : 7 5 5,2 364 : 7 5 52 3.640 : 7 5 520 36.400 : 7 5 5.200

3. 84 64

HAZLO ASÍ

67,9 : 2,3

2. • • • • •

7. • 374 : 58 c 5 6; r 5 26 : 10 5 2,6 • 98.150 : 64 c 5 1.533; r 5 38 : 100 5 5 0,38 • 4.600 : 37 c 5 124; r 5 12 : 100 5 5 0,12 • 8,231 : 0,009 ▶ 8.231 : 9 c 5 914; r 5 5 : 1.000 5 5 0,005 • 64.570 : 95 c 5 679; r 5 65 : 1.000 5 5 0,065 8. • 7 : 0,1 5 7 3 10 8,2 : 0,1 5 8,2 3 10 3,95 : 0,1 5 3,95 3 10 Dividir entre 0,1 es igual que multiplicar por 10. • Dividir entre 0,01 es igual que multiplicar por 100. Dividir entre 0,001 es igual que multiplicar por 1.000.

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Obtención de cifras decimales en el cociente Objetivos • Obtener cocientes con un número dado de cifras decimales.

Alberto tiene una cinta de 9 metros y quiere cortarla en 7 trozos iguales. ¿Cuántos metros medirá cada trozo?

Divide 9 entre 7

• Calcular la expresión decimal de una fracción.

9 2

7 1

Cada trozo medirá 1 m y le sobrarán 2 m.


Alberto quiere saber con mayor precisión cuánto debe medir cada trozo, así le sobrará menos cuerda. Para ello, saca cifras decimales en el cociente.

Para explicar • Plantee el problema propuesto y calcule en común la primera solución. Después, comente la conveniencia de calcular el cociente con mayor precisión. Explique cómo se obtiene el cociente con una cifra decimal y haga especial hincapié en la interpretación del resto. Trabaje de forma similar el cálculo del cociente con dos cifras decimales, animando a los alumnos a intervenir y, después, puede calcular en común el cociente con tres cifras decimales.

●

• Explique el Hazlo así de la actividad 4 y calcule de forma colectiva la primera división de cada tipo. Comente que, a veces, el divisor tiene infinitas cifras decimales y no podemos conseguir que el resto sea cero.

Para reforzar • Aproveche los ejemplos de inferencias que aparecen en la página 12 del manual de ESTUDIO EFICAZ y anime a los alumnos a razonar y opinar cómo se pueden calcular las divisiones planteadas en los Hazlo así de la actividad 3. Después, explique y trabaje de forma colectiva dichos casos.


●

Cociente con una cifra decimal Escribe en el dividendo una cifra decimal: añade una coma y un cero. Después, divide.

Ud 9,0 7 2 0 1,2 6

Cociente con dos cifras decimales Escribe en el dividendo dos cifras decimales: añade una coma y dos ceros. Después, divide.

Udc 9,0 0 7 20 1,2 8 60 c 5 1,28 4 r 5 4 centésimas 5 0,04

c 5 1,2 r 5 6 décimas 5 0,6

Cada trozo medirá 1,2 m y le sobrarán 0,6 m (6 dm).

4.

Cada trozo medirá 1,28 m y le sobrarán 0,04 m (4 cm).

En una división entera, se puede obtener el cociente con el número de cifras decimales que se desee, escribiendo el dividendo con ese mismo número de cifras decimales.

1. Explica cómo obtienes los cocientes con el número de cifras decimales indicado. Después, calcula.

5.

Con 1 cifra decimal

Con 2 cifras decimales


Añado en el dividendo …



●

5:3

●

26 : 9

●

7:4

●

31 : 6

●

6:7

●

59 : 8

●

79 : 25

●

187 : 34

●

58 : 15

●

253 : 42

●

93 : 39

●

308 : 61

CÁ

Mu

2. Divide 26 entre 7 y escribe en cada caso el cociente y el resto. ●

Cociente sin cifras decimales.

●

Cociente con 2 cifras decimales.

●

Cociente con 1 cifra decimal.

●

Cociente con 3 cifras decimales.

¿Cuál es el cociente mayor? ¿Y el resto menor?

126

Otras actividades • Plantee las siguientes operaciones con fracciones y pida a los alumnos que expresen cada fracción en forma de número decimal. A continuación, indíqueles que calculen cada operación de fracciones y de números decimales y comprueben que los resultados expresan el mismo número. 4 3 1 5 2

11 5 2 4 2

Por ejemplo:

4 3 23 1 5 5 2 10 ▶

▶

Competencia cultural y artística Al plantear el problema inicial, comente que, en muchas ocasiones, al realizar trabajos manuales necesitamos calcular divisiones para repartir el material y ponga en común varios ejemplos.

3.

0,8 1 1,5 5 2,3

2 3 3 5 4

7 1 : 2 4

23 5 2,3 10

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e

9 3. Calcula el cociente con el número de cifras decimales indicado. HAZLO ASÍ

UNIDAD

Soluciones

Calcula 63,5 : 8 con 2 cifras decimales.

Calcula 7,4 : 0,32 con 1 cifra decimal.

1.º Escribe el dividendo con 2 cifras decimales: como 63,5 tiene 1 cifra decimal, añade un cero.

1.º Convierte el divisor en un número natural: multiplica el dividendo y el divisor por 100. 2.º Escribe el dividendo con 1 cifra decimal: añade la coma y un cero.

2.º Divide.

63,5 : 8

▶

6 3,5 0 75 30 6

3.º Divide.

8 7,9 3

7,4 : 0,32

▶

740 : 32

▶

7 4 0,0 3 2 100 2 3, 1 040 08

●

Con 1 cifra decimal

▶

8 : 3,4

7,5 : 4,6

●


▶

7,2 : 5

3,18 : 2,9

46 : 3,7

●


▶

12,5 : 6

9,42 : 0,89

28,05 : 6,8

23,1 : 0,95

4. Divide obteniendo cifras decimales en el cociente hasta que el resto sea cero. HAZLO ASÍ ●

Divide. Después, escribe la coma en el cociente (si no está ya escrita), añade un cero en el dividendo y sigue dividiendo las veces que sea necesario.

10 : 8

10 8 20 1,2 5 40 0

●

●

8:5

207 : 9,2

29 : 8

168 : 6,4

91 : 28

35 : 1,6 ●

37,8 : 4

48,9 : 1,5

95,4 : 12

27,51 : 3,5

76,2 : 25

51,03 : 8,4

Ejemplo:

3 5

3:5▶

3,0 0

5 0,6

▶

2 5

3 5 0,6 5

1 4

7 2

3 8

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número natural por 9: multiplica por 10 y luego resta el número 39

24

3 10

240

2 24

216

12 3 9

45 3 9

230 3 9

14 3 9

48 3 9

340 3 9

25 3 9

59 3 9

680 3 9

36 3 9

67 3 9

790 3 9

127

Otras actividades • Comente a los alumnos que al dividir dos números a veces obtenemos un cociente exacto con una, dos, tres… cifras decimales, pero que otras veces el cociente tiene infinitas cifras decimales. Ponga como ejemplo el cálculo del cociente de la división 11 : 9 con una, dos, tres y cuatro cifras decimales. 11 : 9 5 1,2

11 : 9 5 1,22

11 : 9 5 1,222

11 : 9 5 1,2222

Razone en común, sin realizar la operación, cuál es el cociente con cinco, seis… cifras decimales y comente que podemos expresar el cociente con el número de cifras decimales que deseemos, porque el 2 se repite indefinidamente. Si lo considera conveniente, comente que a estos números se les llama números periódicos.

1. • Añado en el dividendo una coma y un cero. 5,0 : 3 ▶ c 5 1,6 26,0 : 9 ▶ c 5 2,8 79,0 : 25 ▶ c 5 3,1 187,0 : 34 ▶ c 5 5,5 • Añado en el dividendo una coma y dos ceros. 7,00 : 4 ▶ c 5 1,75 31,00 : 6 ▶ c 5 5,16 58,00 : 15 ▶ c 5 3,86 253,00 : 42 ▶ c 5 6,02 • Añado en el dividendo una coma y tres ceros. 6,000 : 7 ▶ c 5 0,857 59,000 : 8 ▶ c 5 7,375 93,000 : 39 ▶ c 5 2,384 308,000 : 61 ▶ c 5 5,049 2. • 26 : 7 ▶ c 5 3; r 5 5 • 26,0 : 7 ▶ c 5 3,7 r 5 1 décima 5 0,1 • 26,00 : 7 ▶ c 5 3,71 r 5 3 centésimas 5 0,03 • 26,000 : 7 ▶ c 5 3,714 r 5 2 milésimas 5 0,002 El cociente mayor es 3,714 y el resto menor es 0,002.

5. Expresa cada fracción como un número decimal. ▶

9

HAZLO ASÍ

3. • 8 : 3,4 ▶ c 5 2,3 7,5 : 4,6 ▶ c 5 1,6 23,1 : 0,95 ▶ c 5 24,3 • 7,2 : 5 ▶ c 5 1,44 3,18 : 2,9 ▶ c 5 1,09 46 : 3,7 ▶ c 5 12,43 • 12,5 : 6 ▶ c 5 2,083 9,42 : 0,89 ▶ c 5 10,584 28,05 : 6,8 ▶ c 5 4,125 4. • 1,6 3,625 3,25 • 9,45 7,95 3,048

• 22,5 26,25 21,875 • 32,6 7,86 6,075

5. 2/5 5 0,4 7/2 5 3,5

1/4 5 0,25 3/8 5 0,375


405 432 531 603

2.070 3.060 6.120 7.110

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Problemas con decimales Objetivos • Resolver problemas de suma, resta, multiplicación y división con números decimales. • Resolver problemas donde aparezcan números decimales buscando los datos en cuadros, tablas y gráficos.

En un tonel había 49,65 ¬ de aceite. Con este aceite Iván ha llenado 15 botellas de 0,75 ¬ cada una y varios bidones de 3,2 ¬. ¿Cuántos bidones ha llenado? 1.º Calcula cuánto aceite echa en las botellas.

3

• Antes de pedir a los alumnos que resuelvan (por sí mismos o en pequeños grupos) los problemas propuestos en las actividades 2, 3 y 4, plantéeles varias preguntas de búsqueda de datos, hasta comprobar que no tienen dificultad en interpretar la información presentada.

Competencias básicas Tratamiento de la información Comente a los alumnos cómo en la vida cotidiana los datos aparecen de muchas formas distintas: textos, carteles, tablas, gráficos… y muestre que es necesario saber interpretar la información para poder resolver las situaciones problemáticas que nos surjan. Autonomía e iniciativa personal Al enfrentarse a los problemas propuestos, el alumno desarrolla la iniciativa para aplicar de forma práctica el sentido de las operaciones trabajadas en los dos temas de números decimales y la autonomía en el cálculo de la solución.

2.º Calcula cuánto aceite le queda para echar en los bidones.

3.º Calcula cuántos bidones llena.

3 8, 4 : 3,2

4 9, 6 5 2 1 1, 2 5 3 8, 4 0

0, 7 5 15 3 75 07 5 1 1, 2 5

En las botellas echa 11,25 ¬.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema propuesto y pregunte a los alumnos cómo lo resolverían. Una vez recogidas sus aportaciones, resuélvalo en común. Comente cada paso, escriba en la pizarra la operación correspondiente y pida a un alumno que la calcule y explique cómo lo hace.

3.

En los bidones echa 38,4 ¬.

▼

▼

384 064 00

32 12

Llena 12 bidones.

Iván ha llenado 12 bidones de aceite.

1. Lee y resuelve. ●

Javier ha comprado 3 refrescos a 0,68 cada uno y 2 bocadillos iguales. Para pagar ha entregado un billete de 5 y 4 monedas de 20 céntimos. ¿Cuánto le ha costado cada bocadillo?

●

Sole ha hecho un viaje de 370 km. Ha calculado que, cada 100 km, ha gastado 6,08 ¬ de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina ha gastado en total en el viaje?

4.

2. Observa y resuelve. La pinta, el cuarto y el galón son unidades de capacidad anglosajonas. Fíjate en cuál es su equivalencia en litros. 1 pinta 5 0,568 litros 1 cuarto 5 1,136 litros 1 galón 5 4,544 litros 1 pinta

1 cuarto

1 galón

●

¿Cuántas pintas son 1 cuarto? ¿Cuántos cuartos son 1 galón?

●

En una jarra hay 3 pintas de zumo. ¿Cuántos litros hay?

●

En un bidón hay 1 cuarto de gasolina. ¿Cuántos litros más de gasolina se pueden echar en el bidón si su capacidad es de 1 galón?

●

Leire ha echado en un cubo 2 galones y 1 cuarto de agua. ¿Cuántos litros de agua ha echado?

5.

128

Otras actividades • Forme tres grupos y pida a los alumnos de cada grupo que inventen otros problemas con los datos del cartel de la actividad 2, la tabla de la actividad 3 y el gráfico de la actividad 4, respectivamente. Al final, plantee algunos de ellos para resolver de forma colectiva en la pizarra.

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9 3. Busca los datos en la tabla y resuelve.

UNIDAD

9

Soluciones Diámetro (en mm)

25,75

23,25

24,25

22,25

19,75

21,25

18,75

16,25

Grosor (en mm)

2,2

2,33

2,38

2,14

1,93

1,67

1,67

1,67

Peso (en g)

8,5

7,5

7,8

5,74

4,1

3,92

3,06

2,3

●

¿Cuántos milímetros mide el grosor de la moneda de 2 más que la de 5 céntimos?

●

¿Cuántos gramos pesan 3 monedas de 20 céntimos y 2 de 50 céntimos?

●

¿Cuántos milímetros mide de largo una fila con estas monedas?

●

Loreto ha hecho una torre con 4 monedas iguales. La altura de la torre es 6,68 mm. ¿De qué valores pueden ser las monedas?

●

Eduardo ha pesado 6 monedas del mismo valor y 2 monedas de 50 céntimos. En total, las ocho monedas pesan 39,12 g. ¿Qué monedas ha pesado?

4. Observa el gráfico y calcula.

2. • 1,136 : 0,568 5 2 4,544 : 1,136 5 4 Un cuarto son 2 pintas. Un galón son 4 cuartos. • 3 3 0,568 5 1,704 Hay 1,704 litros. • 4,544 2 1,136 5 3,408 Se pueden echar en el bidón 3,408 litros más. • 2 3 4,544 1 1,136 5 5 10,224 Ha echado 10,224 litros.

Cada rayita del eje son 0,2 g.

COMPOSICIÓN NUTRICIONAL DE UN VASO DE LECHE

Leche entera

Proteínas

Leche semidesnatada

Grasas Hidratos de carbono 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Gramos

●

Lucas ha tomado hoy 3 vasos de leche entera. ¿Cuántos gramos de hidratos de carbono más que de proteínas ha tomado?

●

Inés ha tomado esta semana 50,4 g de grasas en los vasos de leche semidesnatada que ha bebido. Si ha tomado todos los días la misma cantidad, ¿cuántos gramos de grasas ha tomado en la leche de cada día? ¿Cuántos vasos ha bebido al día?

5. RAZONAMIENTO. Observa la división resuelta y averigua, sin hacerlas, cuáles de estas divisiones dan el mismo cociente y el mismo resto que ella. 1 3 2,6 12 06 0

2 6 6,3

1. • 3 3 0,68 5 2,04 5 1 4 3 0,2 5 5,8 5,8 2 2,04 5 3,76 3,76 : 2 5 1,88 Le ha costado 1,88 €. • 370 : 100 5 3,7 3,7 3 6,08 5 22,496 Ha gastado 22,496 litros.

●

132,6 : 20

●

13,26 : 0,2

●

1.326 : 20

●

1.326 : 0,2

●

13,26 : 0,02

●

1,326 : 0,002

●

1,326 : 0,02

●

0,1326 : 0,002

129

Otras actividades • Escriba en la pizarra una suma, una resta, una multiplicación y una división con números decimales. Indique a los alumnos que inventen dos problemas que se resuelvan calculando una de las operaciones anteriores, y otros dos que se resuelvan con dos operaciones, siendo una de ellas alguna de las operaciones escritas en la pizarra. Al final, calcule las operaciones en la pizarra y haga una puesta en común donde los alumnos lean los enunciados propuestos para cada operación y digan la solución.

3. • 2,2 2 1,67 5 0,53 Mide 0,53 mm más. • 3 3 5,74 1 2 3 7,8 5 5 32,82 Pesan 32,82 g. • 25,75 1 2 3 23,25 5 72,25 Mide 72,25 mm. • 6,68 : 4 5 1,67 Pueden ser de 1, 2 o 5 céntimos. • 39,12 2 2 3 7,8 5 23,52 23,52 : 6 5 3,92 Ha pesado 6 monedas de 5 céntimos y 2 monedas de 50 céntimos. 4. • 3 3 (9,2 2 6,4) 5 8,4 Ha tomado 8,4 g más. • 50,4 : 7 5 7,2 7,2 : 3,6 5 2 Cada día ha tomado 7,2 g. Ha bebido 2 vasos al día. 5. • • • •

1.326 : 13,26 : 1,326 : 0,1326

20 0,2 0,02 : 0,002

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181

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Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Explica cómo calculas

Objetivos

cada tipo de división con números decimales. Después, calcula.

• Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

●

●

Competencias básicas Aprender a aprender Al corregir las divisiones planteadas en esta doble página, pida a los alumnos que expliquen cómo las han calculado, para que sean conscientes del proceso seguido y, a partir de la sistematización, adquieran cada vez mayor automatismo.

●

5. Divide obteniendo cifras decimales en el

De un número decimal entre un natural. 45,6 : 3

39,78 : 17

123,18 : 6

37,506 : 42

48 : 9,6

24 : 0,75

910 : 2,8

636 : 0,125

●

629 : 68

●

52,7 : 34

●

29,04 : 9,6

●

213 : 7,5

6. Realiza estas operaciones combinadas.

De un número natural entre un decimal.

●

6,38 1 4,56 : 3,8

●

15,2 3 9,45 : 10

●

40,48 : (12,4 2 9,87)

●

(21 2 16,3) : (74,82 1 25,18)

De un número decimal entre un decimal. 19,6 : 4,9

23,8 : 0,85

32,64 : 3,4

814,2 : 2,76

7. Expresa las siguientes fracciones como números decimales. 4 5

2. Calcula. ●

84,164 : 7,94

●

53,9 : 0,275

●

261,8 : 9,35

●

273 : 18,2

●

134,42 : 26

●

74,26 : 0,94

5 4.277,8

6,37 3

2. • 10,6 • 28 • 5,17

0

3.

5 191,232 : 8 5 23,904 5 4.277,8 : 7,3 5 586 5 96,824 : 6,37 5 15,2 5 260,76 : 492 5 0,53 5 537,08 : 2,9 5 185,2 5 0,3145 : 0,085 5 3,7

4. • 1,09 29,71 • 0,793 5,813 5. • 9,25 • 3,025 6. • • • •

5,25 8,48 12,473 2,808 • 1,55 • 28,4

6,38 1 1,2 5 7,58 143,64 : 10 5 14,364 40,48 : 2,53 5 16 4,7 : 100 5 0,047

5 4

0,5

1

1,5

ER 2

8. Obtén el número decimal equivalente a cada fracción, compara y escribe el signo correspondiente.

5 96,824

3 2,9 5 537,08

• 196 • 15 • 79

1 8

Copia y representa las fracciones anteriores en la recta numérica.

3 492 5 260,76

Soluciones

2,34 0,893 32 5.088 28 295

11 5

5 191,232

7,3 3

• 15,2 20,53 • 5 325 • 4 9,6

7 4

3. Halla el factor que falta en cada caso. 83

1. Compruebe que los alumnos saben aplicar la técnica adecuada en cada caso.

11

cociente hasta que el resto sea cero.

3 0,085 5 0,3145

●

1

6 5

●

0,7

5 8

●

3,57

●

9 4

2

●

17 8

2,2

●

5 2

15 4 2,22

4. En cada división, calcula el cociente con el número de cifras decimales indicado.


Con 2 cifras decimales ●

83 : 76

●

51,2 : 9,74

●

104 : 3,5

●

237,6 : 28

●

El cociente de una división de dos números naturales, ¿puede ser decimal?

●

El cociente de una división de dos números decimales, ¿puede ser natural?

10. Sin hacer la operación completa,

Con 3 cifras decimales ●

69 : 87

●

94,8 : 7,6

escribe la coma del cociente de cada una de las divisiones.

●

25 : 4,3

●

109,52 : 39

●

9,75 : 3 5 325

●

3,12 : 0,6 5 52

130

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de cálculo del resto de divisiones de natural o decimal entre decimal, a partir de la prueba de la división (como alternativa a dividir ese resto entre el número por el que multiplicamos dividendo y divisor). De esta forma practican también la multiplicación y la resta de decimales. Por ejemplo: 7 : 1,2 ▶ 70 12 10 5

7 : 1,2

c55 r 5 D 2 d 3 c 5 7 2 1,2 3 5 5 1

6,5 : 3,24 ▶ 650 324 6,5 : 3,24 002 2

c52 r 5 6,5 2 3,24 3 2 5 0,02

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182

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12:46:07

9 UNIDAD

●

●

Ester necesita 20 m de cinta. La cinta se vende en rollos de 2,5 m cada uno. ¿Cuántos rollos necesita?

●

En una huerta han recogido 68 kg de limones y los han repartido en 8 cestas de manera que todas pesan lo mismo y no sobra ningún limón. ¿Cuánto pesa cada cesta?

●

●

Juanjo va a hacer una estantería. Corta un tablón de 2,8 m en baldas de 0,35 m. ¿Cuántas baldas obtiene?

ERES CAPAZ DE…

Un melón de 2,1 kg cuesta en una tienda 5,25 . ¿Cuánto costará otro melón que pesa 1,86 kg? Luisa ha comprado para el jardín una mesa que costaba 37,60 y 5 sillas iguales. Al pagar ha entregado 2 billetes de 50 y le han devuelto 8,15 . ¿Cuánto costaba cada silla? Pedro ha preparado un zumo con 0,86 ¬ de zumo de manzana, 0,45 ¬ de fresa y 0,3 ¬ de uva. Luego lo ha repartido en 7 vasos iguales. ¿Cuántos litros de zumo ha echado en cada vaso? Juan corre 4,26 km cada día de lunes a viernes y 7,8 km cada día del fin de semana. ¿Cuántos kilómetros corre a la semana?

TARIFAS TELEFÓNICAS: – Tarifa joven: 0,15 por llamada más 0,09 cada minuto. – Tarifa fija: 0,12 cada minuto. – Tarifa única: 0,53 cada llamada, sea cual sea su duración.

Paco tiene la tarifa fija. Las llamadas de la última semana le han costado en total 3 . ¿Cuántos minutos ha hablado esta semana?

●

Carmen ha hecho dos llamadas con la tarifa joven, una de 5 minutos y la otra de 6 minutos. ¿Cuánto ha pagado por las dos llamadas?

●

Marian ha hecho 3 llamadas y tiene la tarifa única. ¿Cuánto le han costado las 3 llamadas? Si hubiese tenido la tarifa joven, habría pagado 1,62 . ¿Cuántos minutos habló en total? ¿Le habría salido más barato con la tarifa fija?

6 5

• 3,57 ,

Calcular precios de llamadas telefónicas

●

7. 4/5 5 0,8 7/4 5 1,75 11/5 5 2,2 1/8 5 0,125 5/4 5 1,25. Rojo: 1/8 verde: 4/5, azul: 5/4 morado: 7/4, amarillo: 11/5. 8. • 1 ,

Varios amigos están estudiando las tarifas telefónicas de móvil que tienen contratadas para ver si les conviene hacer algún cambio.

al?

al?

Cuatro amigos han ido a merendar. La merienda cuesta en total 24,20 y la quieren pagar en partes iguales. ¿Cuánto paga cada uno?

●

●

15 4

2

●

11. Resuelve.

2

131

9

•

• 0,7 . 15 4

17 , 2,2 8

5 8

9 .2 4 5 • . 2,22 2

•

9. • Sí.

• Sí.

10. • 3,25

• 5,2

11. • 24,20 : 4 5 6,05 Cada uno paga 6,05 €. • 20 : 2,5 5 8 Necesita 8 rollos. • 68 : 8 5 8,5 Cada cesta pesa 8,5 kg. • 2,8 : 0,35 5 8 Obtiene 8 baldas. • 5,25 : 2,1 5 2,5 2,5 3 1,86 5 4,65 Costará 4,65 €. • 2 3 50 2 8,15 5 91,85 91,85 2 37,60 5 54,25 54,25 : 5 5 10,85 Cada silla cuesta 10,85 €. • 0,86 1 0,45 1 0,3 5 1,61 1,61 : 7 5 0,23 Ha echado 0,23 l. • 4,26 3 5 1 7,8 3 2 5 5 36,9 Corre 36,9 km.

Eres capaz de… Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 9 División de números decimales Lo que he aprendido Un decimal entre un natural Un natural entre un decimal Un decimal entre un decimal Obtención de cifras decimales en el cociente Problemas con decimales


• 3 : 0,12 5 25 Paco ha hablado 25 minutos. • 0,15 3 2 1 0,09 3 (5 1 6) 5 5 1,29 Carmen ha pagado 1,29 €. • 0,53 3 3 5 1,59 Le han costado 1,59 €. 0,15 3 3 5 0,45 1,62 2 0,45 5 1,17 1,17 : 0,09 5 13 Habló en total 13 minutos. 0,12 3 13 5 1,56 1,56 , 1,59 Sí, le habría salido más barato.

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Solución de problemas Representar datos con dibujos Objetivos • Resolver problemas representando con un dibujo un dato desconocido.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema resuelto y comente que no sabemos el número de kilos que recogieron en 6.º A, pero podemos representarlo con un dibujo y expresar también con ese dibujo los kilos que recogieron en 6.º B, y la relación entre ellos. Explique el proceso seguido para resolver el problema comentando que operamos con el dibujo como si fuera un número. • Antes de resolver cada problema propuesto trabaje en común la expresión de cada dato y la condición con el dibujo elegido.

Competencias básicas Tratamiento de la información La resolución de estos problemas ayuda al alumno a expresar de forma simbólica datos reales y relacionarlos mediante operaciones matemáticas, base para el estudio posterior del álgebra.

EJE

Resuelve los siguientes problemas representando el dato desconocido con un dibujo. Comprueba después que la solución es correcta.

1.

En las dos clases de 6.º recogieron alimentos para una campaña solidaria. En 6.º B recogieron 9 kg más que en 6.ºA y entre las dos clases recogieron 71 kg de alimentos. ¿Cuántos kilos recogieron en cada clase?

▶ No sabemos cuántos kilos se recogieron en 6.º A. Representamos ese dato con un dibujo ▶

2.

1.º Escribimos los datos del problema. Kilos que recogieron en 6.º A: Kilos que recogieron en 6.º B:

19

3.

2.º Expresamos la condición del problema: la suma de las dos cantidades es 71 kg, y calculamos. 1 1 9 5 71 2 3 1 9 5 71 2 3 5 71 2 9 5 62 5 62 : 2 5 31 3.º Hallamos la solución. 6.º A ▶ 6.º B ▶

4.

4.º Comprobamos.

5 31 kg 1 9 5 31 1 9 5 40 kg

40 5 31 1 9 31 1 40 5 71

Solución: En 6.º A recogieron 31 kg de alimentos y en 6.º B recogieron 40 kg.

5. 1. Clara contesta a las 10 preguntas de un

3. Juan ha construido la maqueta de un dragón.

examen. Responde bien 8 preguntas más de las que responde mal. ¿Cuántas preguntas responde bien y cuántas mal? Mal: Total:

1

Bien: 1…5…

La cola mide 10 cm más que el cuerpo y la longitud total es 40 cm. ¿Cuánto mide la cola? ¿Y el cuerpo?

1…

Cuerpo: Longitud total: …

4. INVENTA. Escribe un problema

2. María ha comprado un disco y un libro.

similar a los que tienes en esta página que se pueda resolver expresando un dato con un dibujo. Comprueba que la solución es correcta.

El disco le ha costado 2,50 menos que el libro y por los dos ha pagado 27,50 . ¿Cuánto ha pagado por cada artículo? Libro: Total:

1

Disco: 2…5…

6.

Cola: …

2…

7.

132

Soluciones 1. Mal: Bien: 1 8 1 1 8 5 10 ▶ 51 Ha respondido 9 bien y 1 mal. 2. Libro: Disco: 2 2,50 1 2 2,50 5 27,50 ▶ 5 15 Por el libro ha pagado 15 € y por el disco, 12,50 €. 3. Cuerpo: Cola: 1 10 1 1 10 5 40 ▶ ▶ 5 15 La cola mide 25 cm y el cuerpo, 15 cm.

Otras actividades • Después de trabajar los problemas de esta página, proponga a los alumnos resolverlos representando con un dibujo el otro dato desconocido y comprobar que obtenemos el mismo resultado. Por ejemplo: – Problema resuelto: Kilos en 6.º B: – Problema 1: Bien:

; Mal:

; Kilos en 6.º A :

29

28

– Problema 2: Disco:

; Libro:

1 2,50

– Problema 3: Cola:

; Cuerpo:

2 10

4. R. L.

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184

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16:49:37

9

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS halla su descomposición. ●

Cinco millones doce mil ciento tres.

●

Trece millones cuatro mil veintinueve.

●

Doscientos tres millones ochenta mil uno.

2. Escribe. El número anterior a 300.000.000.

●

El número posterior a 175.099.899.

eran mujeres y el resto eran hombres. De las mujeres, tres cuartos tenían menos de 30 años. ¿Qué parte de los asistentes eran mujeres menores de 30 años? ¿Y mujeres mayores de 30 años? ¿Qué parte eran hombres?

●

El menor número par de ocho cifras.

15 kg por estar dañadas y embolsó el resto en cajas de 5 kg. Cada caja la vendió a 13,75 . ¿Cuánto dinero obtuvo por la venta de todas las cajas?

3. Calcula.

10. Rosa, Laura y Pablo tienen que hacer

●

9 2 (6 1 1)

●

(5 2 1) : 2 1 6

●

8:214

●

9 3 3 2 24 : 8

●

5 3 (8 2 1)

●

8223321

●

72233

●

7 3 4 2 (2 1 8) : 5

un trabajo sobre un mismo libro. Rosa ha hecho ya dos quintos del trabajo, Laura tres décimos y Pablo dos sextos. ¿Quién ha hecho más parte del trabajo? ¿Y menos?

11. En una tienda compraron 120 kilos de

4. ESTUDIO EFICAZ. Completa las frases. ●

Para sumar dos fracciones, primero …

●

Para restar dos fracciones …

●

Para multiplicar dos fracciones …

●

Para dividir dos fracciones …

5. Calcula. .

8. En una reunión, dos tercios de los asistentes

9. Juan recolectó 200 kg de cerezas. Desechó

●

2 5 1 3 6 4 13 7

Soluciones

PROBLEMAS

1. Escribe con cifras cada número. Después,

5 3 3 7 8 6 32 7

8 7 : 3 6 2 5: 9

dos tercios de ellas dijeron que comían dos piezas de fruta al día, dos novenos comían una pieza y el resto no comía fruta. ¿Cuántas personas de las encuestadas no comían fruta a diario?

6. Calcula. ●

4,9 1 12,675

●

12,75 3 4,9

●

8,72 2 3,989

●

0,691 3 1.000

A las unidades: 4,7 6,18 2,528

●

A las décimas: 8,32 3,46 7,651

●

A las centésimas: 1,926 2,635 5,194

• Proponga a los alumnos completar con la división el trabajo realizado en Repaso en común de la unidad 8 (pág. 117) sobre la suma, resta y multiplicación de números decimales. Pídales que escriban y calculen tres divisiones (no importa que sean enteras): – Un número decimal entre uno natural. – Un número natural entre uno decimal. – Un número decimal entre otro decimal. A continuación, indíqueles que inventen un problema que se resuelva con cada una de las divisiones anteriores, preguntando solo por el cociente y si hay o no resto. Resuelva algunos en común.

3. • 2 • 8

• 35 • 1

5.

9 3 5 6 2 48 16 5 21 7 25 38 7 5

7. • 5 • 8,3 • 1,93

133

Repaso en común

2. • 299.999.999 • 175.099.900 • 10.000.000

6. • 17,575 • 4,731

7. Aproxima como se indica. ●

1. • 5.012.103 5 5 U de millón 1 1 DM 1 2 UM 1 11C13U • 13.004.029 5 1 D de millón 1 3 U de millón 1 1 4 UM 1 1 2 D 1 9 U • 203.080.001 5 2 C de millón 1 3 U de millón 1 1 8 DM 1 1 U

• 8 • 24

• 1 • 26

4. R. M. Para sumar dos fracciones, se reducen a común denominador y, después, se suman los numeradores y se deja el denominador común.

manzanas a 1,50 el kilo y 80 kilos a 1,75 el kilo. Después, vendieron cada kilo de manzanas a 1,72 . ¿Qué beneficio obtuvieron? ¿Cuánto habría sido el beneficio si hubieran vendido el kilo 8 céntimos más caro?

12. En una encuesta hecha a 405 personas, 9 3 2 8 4 2 82 5

9

3 8

15 56

12 7

45 2

• 62,475 • 691 6 3,5 2,64

3 7,7 5,19

8. Menores de 30 años: 3/4 3 3 2/3 5 6/12 5 1/2 Mayores de 30 años: 2/3 2 2 6/12 5 2/12 5 1/6 Hombres: 1 2 2/3 5 1/3 9. (200 2 15) : 5 5 37 37 3 13,75 5 508,75 Obtuvo 508,75 €. 10. 2/5 . 2/6 . 3/10. Más parte: Rosa; menos: Laura. 11. 120 3 1,50 1 80 3 1,75 5 5 320 (120 1 80) 3 1,72 5 344 344 2 320 5 24 Obtuvieron 24 €. 24 1 200 3 0,08 5 40 Habría sido de 40 €. 12. 1 2 (2/3 1 2/9) 5 1/9 No comían: 45 (405 : 9).

133 124603 _ 0170-0185.indd

185

6/7/09

16:49:37

10

E

Figuras planas

Programación Objetivos • Identificar y trazar las bases de triángulos y paralelogramos y sus alturas correspondientes. • Reconocer cuál es la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero. • Identificar y trazar la circunferencia y sus elementos. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Reconocer y dibujar el círculo y las figuras circulares.

Contenidos • Base y altura de un triángulo y de un paralelogramo. • Suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero.

• Reconocer las posiciones relativas de rectas y circunferencias.

• La circunferencia y sus elementos.

• Imaginar y hacer un dibujo aproximado para averiguar cómo se construye una figura.

• El número π y la longitud de la circunferencia.

R

• • • •

• El círculo y las figuras circulares.

Criterios de evaluación • Identifica y traza una base y su altura en un triángulo y en un paralelogramo. • Halla la medida de un ángulo de un triángulo y un cuadrilátero, conociendo los demás ángulos.

E

• Posiciones relativas de rectas y circunferencias.

• •

• Imaginación del problema resuelto para averiguar la construcción de una figura.

• Identifica y traza los elementos de la circunferencia. • Calcula la longitud de una circunferencia. • Reconoce las figuras circulares y las posiciones relativas de rectas y circunferencias. • Imagina y traza un dibujo aproximado para averiguar cómo se construye una figura.

• Interés por la elaboración y presentación cuidadosa de los dibujos geométricos.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia social y ciudadana, Competencia cultural y artística, Autonomía e iniciativa personal, Tratamiento de la información, Interacción con el mundo físico, Competencia lingüística y Aprender a aprender.

N

134 A 124603 _ 0186-0205.indd 186

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Esquema de la unidad UNIDAD 10. FIGURAS PLANAS

Base y altura de triángulos y paralelogramos El número π y la longitud de la circunferencia

Suma de los ángulos de triángulos y cuadriláteros El círculo y las figuras circulares

La circunferencia. Elementos Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 7, pág. 144. • Detectar errores en el procedimiento: actividad 7, pág. 147.

Previsión de dificultades • Identificar como base cualquiera de los lados de un triángulo o paralelogramo (no solo el lado horizontal) y trazar la altura o alturas correspondientes, especialmente cuando hay que prolongar la base. El manejo manipulativo de figuras puede ayudarles, al tener la posibilidad de girarlas. • La utilización precisa de los instrumentos de dibujo para el trazado de las figuras: la escuadra o el cartabón para dibujar las alturas de triángulos y paralelogramos, el compás para dibujar circunferencias, círculos y figuras circulares, etc. Propóngales numerosas actividades de práctica.


Nota: La temporalización de esta unidad y de las siguientes varía en función de las fechas de Semana Santa.

134 B 124603 _ 0186-0205.indd 187

6/7/09 16:53:13

10

Figuras planas

RE

P

Objetivos

U

• Reconocer situaciones reales donde aparecen figuras planas. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad. l


C

• Pida a los alumnos que observen la fotografía del tablero del parchís y conteste de forma colectiva a las preguntas presentadas. Solicíteles que describan cada figura plana localizada, cuidando la expresión y precisión al utilizar los términos geométricos. • Puede pedir a los alumnos que lleven a clase otros tableros de juego formados por figuras planas y que los describan de forma colectiva. • En Recuerda lo que sabes, repase los elementos de los polígonos y pida a los alumnos que expliquen cómo se clasifican los triángulos, cuadriláteros y paralelogramos.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Aproveche la situación inicial del juego del parchís para dialogar con los alumnos sobre los juegos. Señale el valor social del juego en grupo y la importancia de saber cumplir las reglas, manteniendo la diversión y la amistad sin competitividad. Competencia cultural y artística Comente, a partir del juego del parchís, el origen de muchos juegos populares, como muestra de la cultura de un pueblo. Además, haga observar a los alumnos el dibujo del tablero de varios juegos de mesa y comente la presencia en ellos de figuras geométricas de distintos tipos.

1.

Las figuras planas están presentes en muchas situaciones de la vida diaria. En el tablero del parchís, un popular juego de mesa de origen hindú, encontramos varios tipos de polígonos y otras figuras planas. ●

¿En qué parte del tablero puedes ver cuadrados? ¿Y rectángulos?

●

¿Puedes ver algún trapecio? ¿Encuentras algún otro tipo de cuadrilátero? ¿Cuál?

●

¿Qué otros polígonos aparecen en el tablero? ¿Dónde están? ¿Cuántos lados, vértices y ángulos tienen?

●

¿Puedes ver otras figuras planas en el tablero? ¿Qué nombre tienen? ¿Son polígonos? ¿Por qué?

2.

134

Otras formas de empezar • Utilice las figuras planas del material de aula para repasar contenidos básicos de geometría aprendidos en cursos anteriores. Después, puede presentar el cuadro Recuerda lo que sabes como resumen de estos contenidos. Por ejemplo: – Clasificar y definir un polígono según el número de lados. – Señalar los elementos de un polígono o de un círculo. – Clasificar y definir triángulos según sus lados y sus ángulos. – Clasificar y definir cuadriláteros y paralelogramos, diciendo todas las características que conozcan de cada uno. – Reconocer los polígonos regulares y nombrar el triángulo y el cuadrilátero regular. – Definir y calcular el perímetro de un polígono.

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UNIDAD

Polígonos: elementos y clasificación

Soluciones

Un polígono es una figura plana formada por una línea poligonal cerrada y su interior.

ángulo

vértice

Página inicial

Los elementos de un polígono son: los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales. Los polígonos se pueden clasificar así:

diagonal

– Según el número de lados, en triángulos, cuadriláteros… – Según sean sus lados y sus ángulos iguales o distintos, en polígonos regulares o irregulares.

lado

Clasificación de triángulos y cuadriláteros Clasificación de triángulos

Clasificación de cuadriláteros

Según sus lados

Trapezoide Equilátero

Isósceles

Escaleno

Trapecio

Paralelogramo

Clasificación de paralelogramos

Según sus ángulos

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

Cuadrado

1. Clasifica cada polígono teniendo en cuenta sus lados y sus ángulos.


¿Cómo es el triángulo regular según sus lados y según sus ángulos?

●

¿Cómo se llama el cuadrilátero regular? ¿Cuántas diagonales tiene? ¿Cómo son?

Rectángulo Rombo

Romboide

VAS A APRENDER ●

A identificar una base y su o sus alturas en triángulos y paralelogramos.

●

A reconocer cuál es la suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero.

●

A calcular la longitud de una circunferencia.

●

A reconocer las figuras circulares y las posiciones relativas de rectas y circunferencias.

135

Vocabulario de la unidad • Base y altura • Triángulo, cuadrilátero y paralelogramo • Centro, radio, cuerda, diámetro, arco y semicircunferencia • Longitud de una circunferencia. El número π • Figuras circulares: sector circular, segmento circular, semicírculo y corona circular • Rectas exterior, tangente y secante a una circunferencia • Circunferencias exteriores, interiores, tangentes exteriores, tangentes interiores y secantes

10

• Hay cuadrados en las cuatro esquinas del tablero y, en el centro el cuadrado formado por los cuatro triángulos. Hay rectángulos en la mayoría de las casillas numeradas y en las de cada color que suben al centro. • Hay trapecios en las casillas con los números 8, 9, 25, 26, 42, 43, 59 y 60. Sí hay otro tipo de cuadrilátero: en el centro de los círculos de las esquinas (casa) encontramos varios rombos. • Hay cuatro triángulos que forman el cuadrado central. Los triángulos tienen 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos. • Sí hay otras figuras planas, los círculos: cuatro grandes en las esquinas del tablero y grises o de color dentro de algunas casillas. No son polígonos porque están formados por una línea curva, no poligonal.

Recuerda lo que sabes 1. • P . azul: triángulo equilátero acutángulo. • P . verde: triángulo escaleno rectángulo. • P . rosa: cuadrilátero, paralelogramo, rombo. • P . naranja: cuadrilátero, trapecio. • P . amarillo: triángulo isósceles obtusángulo. • P . morado: cuadrilátero, trapezoide. • P . rojo: cuadrilátero, paralelogramo, romboide. 2. • El triángulo regular es equilátero y acutángulo. • El cuadrilátero regular es el cuadrado. Tiene dos diagonales que son iguales y perpendiculares.

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Base y altura de triángulos y paralelogramos Objetivos

Patricia ha repasado de naranja una base de cada polígono y ha trazado de rojo una altura correspondiente a esa base.

• Identificar las bases y alturas en triángulos y paralelogramos. • Trazar la altura o alturas correspondientes a una base dada.

C

C

A

Sugerencias didácticas Para empezar • Dibuje en la pizarra varios triángulos y paralelogramos y pida a los alumnos que los clasifiquen. Llame su atención sobre los lados perpendiculares del triángulo rectángulo, cuadrado y rectángulo. • Recuerde cómo podemos dibujar una perpendicular a una recta utilizando una escuadra o un cartabón, y pídales que dibujen varias en una hoja. Para explicar • Explique la definición de base y de altura y la forma de trazar esta última. Señale que a veces es necesario prolongar la base para poder trazar la altura. Muestre que a cada base de un triángulo le corresponde una altura, pero que a cada base de un paralelogramo le corresponden dos alturas. • Explique el Taller en la pizarra y pida a los alumnos que lo hagan en su cuaderno. Después, indique que realicen la actividad 4 y corríjala en la pizarra, verbalizando cada paso seguido.

B

C

A

B

A

B

El lado AB es una base del triángulo. También lo son los lados BC y AC.

TA

El segmento rojo es la altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es el vértice C.

P D

C

D

C

D

C

D

C

1

2

3 A

B

A

B

A

B

A

4

B

El lado AB es una base del paralelogramo. También lo son los lados BC, CD y AD. El segmento rojo es una altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es uno de los vértices opuestos C o D.

A

●

Base de un triángulo o de un paralelogramo es uno cualquiera de sus lados.

●

Altura de un triángulo o de un paralelogramo es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el o un vértice opuesto.

4

1. ¿Cuántas bases tienen los triángulos? ¿Y los paralelogramos? Contesta. 2. Calca cada triángulo y traza, con una escuadra o un cartabón, la altura correspondiente a la base AB. C

●

C C

A

A

B

A

B

B

¿En qué triángulo coincide la altura con uno de sus lados? Clasifícalo según sus ángulos.

●

¿En qué triángulo has prolongado la base para trazar la altura? Clasifícalo según sus ángulos.

●

¿En qué triángulo has dibujado la altura en su interior? Clasifícalo según sus ángulos.

136

Otras actividades Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal En esta doble página, el alumno maneja muchos contenidos ya conocidos: clasificación de triángulos y paralelogramos, lados y vértices de un polígono, trazado de una perpendicular… Anime a los alumnos a trabajar con autonomía, relacionando los contenidos nuevos con contenidos previos ya aprendidos.

• Proponga a los alumnos marcar las alturas en triángulos y paralelogramos mediante plegado. Puede utilizar las figuras del material de aula como plantilla para dibujar cada figura en una hoja. Pídales que, en cada hoja, doblen por una base de la figura (y su prolongación). Después, harán un segundo doblez de manera que pase por el (o un) vértice opuesto y que el primer doblez coincida consigo mismo. En los paralelogramos pueden hacer otro doblez que pase por el otro vértice opuesto, para obtener las dos alturas correspondientes a la base. Por último, indíqueles que desdoblen la hoja y marquen la base de un color sobre el primer doblez y la altura (o las dos alturas) de otro color sobre el segundo (y tercer) doblez.

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3.

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CÁ

Mu

10 3. Calca cada paralelogramo y traza, con una escuadra o un cartabón, la altura correspondiente a la base AB desde el vértice D. D

A

D

C

B

D

C

A

B

D

C

UNIDAD

Soluciones A

A

B

●

¿En qué paralelogramos coincide la altura con uno de sus lados? ¿En cuál has prolongado la base para trazar la altura?

●

¿Desde qué otro vértice puedes trazar la altura a la base AB? Trázala.

1. Los triángulos tienen 3 bases y los paralelogramos tienen 4.

B

2.

• En el triángulo amarillo. Es un triángulo rectángulo. • En el triángulo naranja. Es un triángulo obtusángulo. • En el triángulo rosa. Es un triángulo acutángulo.

Trazado de un triángulo de lados conocidos

TALLER

10

C

Para trazar un triángulo ABC cuyos lados miden 6 cm, 5 cm y 4 cm, sigue estos pasos: 1.º Dibuja con la regla un segmento AB de 6 cm. 2.º Abre el compás 5 cm, pincha en el punto A y traza un arco. 3.º Abre el compás 4 cm, pincha en el punto B y traza un arco que corte al anterior en el punto C. 4.º Une los puntos A y B con C para formar los lados del triángulo. Después, colorea el interior.

3. 1.º

2.º

3.º

▶ A

6 cm

B

4.º

C

▶ A

6 cm

B

▶ A

6 cm

B

C

5 cm

A

6 cm

4 cm

• En el cuadrado y en el rectángulo. En el romboide. • Desde el vértice C.

B

4. Traza los siguientes triángulos y clasifícalos. Un triángulo ABC cuyos lados midan 4 cm, 3 cm y 5 cm. ¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base AB.

Un triángulo DEF cuyos lados midan 3 cm, 3 cm y 5 cm.

4.

¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base DE.

C

Las bases miden 4 cm, 3 cm y 5 cm. B

A F

Las bases miden 3 cm, 3 cm y 5 cm.

a

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número natural por 101: multiplica por 100 y luego suma el número 3 101

35

3 100

3.500

1 35

3.535

17 3 101

39 3 101

63 3 101

18 3 101

42 3 101

75 3 101

26 3 101

54 3 101

89 3 101

25 3 101

58 3 101

92 3 101

137

E

D

Cálculo mental • 1.717 1.818 2.626 2.525

3.939 4.242 5.454 5.858

6.363 7.575 8.989 9.292

Otras actividades • Dibuje en la pizarra un triángulo acutángulo, otro rectángulo y otro obtusángulo, y pida a varios alumnos que dibujen las tres alturas de cada uno. Hágales observar que las alturas se unen en un punto, situado según el tipo de triángulo: en el acutángulo está en el interior del triángulo, en el rectángulo está en el vértice del ángulo recto y en el obtusángulo está fuera del triángulo. Pida a los alumnos que dibujen en su cuaderno un triángulo de cada tipo, tracen las tres alturas y marquen de color el punto donde se cortan.

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Suma de los ángulos de triángulos y cuadriláteros Objetivos

¿Cuánto suman todos los ángulos de estos triángulos?

• Reconocer cuál es la suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero. • Calcular la amplitud de un ángulo a partir de la suma de los ángulos de un triángulo o un cuadrilátero.

C

• Trabaje de forma similar con los cuadriláteros, indicando que en todos ellos la suma de los ángulos es 360º. Dibuje otros cuadriláteros en la pizarra para que los alumnos lo comprueben. Recuerde que los ángulos opuestos en los paralelogramos son iguales.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre reconocer lo que se ha aprendido que aparece en la página 62 del manual de ESTUDIO EFICAZ y, al trabajar la actividad 4, pídales que definan cada tipo de triángulo, digan cuánto suman los ángulos de un triángulo y cómo estas informaciones nos permiten contestar a las preguntas que se nos plantean.

Competencias básicas Tratamiento de la información Al realizar las actividades indique a los alumnos que deben tener siempre en cuenta tanto la información dada en el ejercicio, como la información aprendida en cursos anteriores.

F

90º

●

Triángulo rectángulo: 50º 1 40º 1 90º 5 180º

●

Triángulo obtusángulo: 25º 1 120º 1 35º 5 180º

35º 40º

B

50º

120º

25º

D

E

A

TA

●

¿Cuánto suman todos los ángulos de estos cuadriláteros? D

Sugerencias didácticas Para explicar • Compruebe en común que la suma de los ángulos de cada triángulo dibujado es 180º y señale que es igual en todos los triángulos. Pida a un alumno que dibuje en la pizarra un triángulo, por ejemplo acutángulo, mida los tres ángulos y calcule la suma.

40º A

H

90º 130º 100º

115º

C

65º B

G

●

Trapezoide: 40º 1 100º 1 130º 1 90º 5 360º

●

Paralelogramo: 2 3 65º 1 2 3 115º 5 360º

65º 115º

E

F

●

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

●

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360º.

●

1. ¿Cuánto suman los ángulos de cada polígono? Contesta. Después, mídelos y comprueba tu respuesta.

5

6

2. Averigua en cada caso cuánto mide el ángulo coloreado de rojo.

40º

70º

120º

50º

110º

25º

7. 70º

50º

115º

125º

3. Lee y calcula. ●

Dos ángulos iguales de un triángulo miden cada uno 50º. ¿Cuánto mide el otro ángulo?

●

Dos ángulos opuestos de un paralelogramo miden cada uno 80º. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos?

8.

138

Otras actividades • Pida a cada alumno que dibuje en una hoja un triángulo y un cuadrilátero y que mida dos de los ángulos del triángulo y tres del cuadrilátero. Después, pasará la hoja a su compañero para que calcule la medida del ángulo desconocido en cada figura y, después, lo compruebe midiendo con el transportador.

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4.

6/7/09 16:53:14

os

10 4. Lee y calcula.

UNIDAD

PRESTA ATENCIÓN Los triángulos equiláteros tienen los 3 lados y los 3 ángulos iguales. Los triángulos isósceles tienen 2 lados y 2 ángulos iguales.

¿Cuánto mide cada ángulo de un triángulo equilátero?

●

El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 100º. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos?

Suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero

TALLER ●

●

Comprueba, sin utilizar el transportador, que los ángulos del triángulo ABC suman 180º. Calca el triángulo y sigue estos pasos: 1.º Marca los puntos M y N, puntos medios de los lados AC y CB, respectivamente.

2.º Traza el segmento MN y dobla el triángulo por dicho segmento.

C Ĉ

M

M

N

Â

●

M

N Ĉ

B̂

A

3.º Dobla de manera que los vértices A y B coincidan con C. Los tres ángulos Â, B̂ y Ĉ suman 180º.

A

B

C

Ĉ Â B̂ B

Calca el cuadrilátero y traza una diagonal, descomponiendo así el cuadrilátero en dos triángulos: ABC y ACD.

D A

Como los ángulos de cada triángulo suman 180º, los ángulos del cuadrilátero suman 180º 1 180º 5 360º.

B

5. Traza y recorta un triángulo. Comprueba que sus ángulos miden 180º.

7. Observa la figura y calcula cuánto mide cada ángulo coloreado.

▶

… …

▶

▶

105º

…

45º

4. • 180º : 3 5 60º. Mide 60º. • 180º 2 100º 5 80º 80º : 2 5 40º Cada uno mide 40º.

60º

90º

…

1. • Triángulo morado: 180º 65º 1 25º 1 90º 5 180º • Triángulo naranja: 180º 30º 1 130º 1 20º 5 180º • Cuadrilátero azul: 360º 140º 1 60º 1 110º 1 1 50º 5 360º • Cuadrilátero verde: 360º 2 3 40º 1 2 3 140º 5 360º

3. • 180º 2 2 3 50º 5 80º El otro ángulo mide 80º. • 360º 2 2 3 80º 5 200º 200º : 2 5 100º Cada uno mide 100º.

6. Traza y recorta un cuadrilátero. Comprueba que sus ángulos miden 360º.

▶

Soluciones

2. Triángulo rosa: 180º 2 (40º 1 70º) 5 70º Triángulo amarillo: 180º 2 (120º 1 25º) 5 35º Trapecio: 360º 2 (70º 1 50º 1 110º) 5 5 130º Trapezoide: 360º 2 (115º 1 125º 1 50º) 5 5 70º

N

Comprueba, sin utilizar el transportador, que los ángulos del cuadrilátero ABCD suman 360º. C

10

15º

120º

8. RAZONAMIENTO. Piensa y calcula. ●

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 55º. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos?

●

Un ángulo de un rombo mide 70º. ¿Cuánto mide cada uno de los otros tres ángulos?

6. R. L. 139

Otras actividades • Dibuje en la pizarra figuras formadas por triángulos y cuadriláteros, para que los alumnos deduzcan la amplitud de algunos ángulos utilizando y relacionando varios contenidos: – La suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero. – Los ángulos complementarios y suplementarios. – Cómo son los ángulos de un paralelogramo… Por ejemplo: Corrija la actividad pidiéndoles que expliquen el razonamiento seguido para calcular la medida de cada ángulo.

5. R. L.

7. Ángulo rojo: 180º 2 (90º 1 45º) 5 45º Ángulo azul: 180º 2 (120º 1 15º) 5 45º Ángulo verde: 180º 2 (90º 1 15º) 5 75º Ángulo amarillo: 360º 2 (75º 1 60º 1 105º) 5 5 120º 8. • 180º 2 (90º 1 55º) 5 35º Los otros dos ángulos miden 90º y 35º. • 360º 2 2 3 70º 5 220º 220º : 2 5 110º Los otros tres ángulos miden: un ángulo, 70º y los otros dos, 110º cada uno.

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La circunferencia. Elementos Objetivos • Identificar los elementos de una circunferencia. • Trazar circunferencias y dibujar o señalar sus elementos.

La circunferencia es una línea curva cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia del centro. Los elementos de la circunferencia son los siguientes: ●

Centro. Es el punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

●

Radio. Es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Una vez realizada la actividad 3, indique a los alumnos que coloreen la estrella libremente o utilizando determinados colores. Después, anímelos a realizar otras figuras libres utilizando el compás y la regla.

Semicircunferencia Radio Centro

Diám

etro

●

Cuerda. Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

●

Diámetro. Es una cuerda que pasa por el centro. Su longitud es el doble de la longitud de un radio.

●

Arco. Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

●

Semicircunferencia. Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

Sugerencias didácticas Para empezar • Recuerde qué es una circunferencia, haciendo especial hincapié en que es una línea y en que todos sus puntos equidistan del centro. Pida a los alumnos que lo comprueben con la regla. Después, defina cada elemento para que los alumnos los identifiquen en el dibujo. Insista en la importancia de la precisión en las definiciones.

E

Arco a

erd

Cu

1. Traza una circunferencia con centro en un punto O y de 3 cm de radio. ●

Marca en la circunferencia tres puntos A, B y C. ¿A qué distancia están estos puntos del centro O? Dibuja los radios y compruébalo.

●

Dibuja un diámetro. ¿Cuánto mide? Compruébalo.

2. Traza una circunferencia y dibuja. Un radio.

Un diámetro.

Un arco.

Una semicircunferencia.

Una cuerda.

1.

3. Dibuja una estrella como la de la derecha siguiendo estos pasos. Después, contesta. 1.º Dibuja una circunferencia de 2 cm de radio. R

2.º Traza un diámetro RS. 3.º Abre el compás los 2 cm que mide el radio, pincha en el punto R y traza un arco que corte a la circunferencia en los puntos M y N.

2.

M

N

P

Q

4.º Traza tres cuerdas: MN, MS y NS. 5.º Abre el compás los 2 cm que mide el radio, pincha en el punto S y traza un arco que corte a la circunferencia en los puntos P y Q. 6.º Traza tres cuerdas: PQ, RP y RQ. ●

¿Qué polígono forman las cuerdas trazadas en el punto 4.º? Clasifícalo según sus lados y según sus ángulos.

●

¿Cómo es el hexágono central: regular o irregular?

S

140

Soluciones 1. • Los tres puntos están a 3 cm del centro O. • 23356 El diámetro mide 6 cm. 2. R. M.

Otras actividades • Dibuje en la pizarra una circunferencia sin usar el compás, repasando un objeto circular. Después, explique cómo se puede hallar el centro de esa circunferencia siguiendo estos pasos: 1.º Se marcan tres puntos de la circunferencia: A, B y C. 2.º Se dibujan las cuerdas AB y BC. 3.º Se traza la mediatriz de cada cuerda. El punto de corte de las dos mediatrices es el centro de la circunferencia.

3. Dibujo: R. L. • Un triángulo equilátero acutángulo. • El hexágono central es regular.

Indique a los alumnos que dibujen una circunferencia en una hoja sin usar el compás y hallen su centro.

140 124603 _ 0186-0205.indd 194

3.

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4.

10

El número π y la longitud de la circunferencia

UNIDAD

10

Objetivos

Félix bordea con una cinta dos círculos de cartón, es decir, marca las circunferencias.

• Calcular la longitud de una circunferencia, dado su diámetro o su radio.

Al estirar las cintas, Félix observa que la longitud de cada circunferencia es un poco más de 3 veces el diámetro del círculo.

Sugerencias didácticas 12 mm

18 mm

Félix comprueba que: ●

Al dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro del círculo, el cociente es siempre el mismo número cuyo valor aproximado es 3,14. Ese número se llama π (pi).

●

La longitud de la circunferencia es, aproximadamente, el producto de 3,14 por el diámetro, es decir, 3,14 por 2 veces el radio.

▶ ▶

L 5 π 5 3,14 d L5π3d5π323r

Observa cómo calcula la longitud de las dos circunferencias. 12 mm

▶

L 5 3,14 3 12 mm 5 37,68 mm

9 mm

▶

L 5 3,14 3 2 3 9 mm 5 56,52 mm

Para explicar • Explique el texto y copie los dibujos en la pizarra para que los alumnos identifiquen la circunferencia, su diámetro y su longitud representada en una recta. Escriba en la pizarra cada relación, indicando el significado de cada letra: longitud de la circunferencia (L), diámetro (d) y radio (r), y del número pi (π).

La longitud de la circunferencia es igual al producto de 3,14 por su diámetro. L5π3d523π3r


1. Mide en milímetros el diámetro de cada circunferencia y calcula su longitud.

2. Traza una circunferencia de 3 cm de radio y calcula su longitud. 3. Resuelve. El radio de las ruedas de una bicicleta mide 25 cm. ¿Cuántos centímetros avanzará la rueda cada vez que dé una vuelta completa?

4. RAZONAMIENTO. Piensa y di si esta frase es verdadera. Después, calcula y comprueba. d 5 20 cm

Si el diámetro de una circunferencia es el doble que el diámetro de otra, su longitud también es el doble.

Interacción con el mundo físico Motive a los alumnos comentando que para medir longitudes grandes o curvas se emplea un instrumento que consiste en una rueda y un palo; la persona va pasando la rueda justo por la línea que quiere medir. Anime a los alumnos a explicar cómo se calcula con este instrumento la longitud deseada.

d 5 10 cm

141

Soluciones

Otras actividades • Recuerde la situación presentada en el cuadro y proponga a los alumnos comprobar, igual que Félix, que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es el número π. Entregue a los alumnos botes de distintos tamaños (o mejor las tapaderas), pídales que rodeen su base con una tira de papel estrecha y, después, estiren dicha tira y la midan con la regla. A continuación, indíqueles que dibujen el círculo de la base en un papel, lo recorten y lo doblen por la mitad, para marcar y después medir el diámetro. Por último, escriba en la pizarra las medidas y calcule sus cocientes, que serán aproximaciones del número π.

1. • Circunferencia naranja: L 5 3,14 3 16 mm 5 5 50,24 mm • Circunferencia morada: L 5 3,14 3 25 mm 5 5 78,5 mm 2. Dibujo: R. L. L 5 2 3 3,14 3 3 cm 5 5 18,84 cm 3. L 5 2 3 3,14 3 25 cm 5 5 157 cm La rueda avanzará 157 cm. 4. Sí es verdadera. L 5 3,14 3 10 cm 5 31,4 cm L 5 3,14 3 20 cm 5 62,8 cm 62,8 cm 5 2 3 31,4 cm

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El círculo y las figuras circulares Objetivos • Identificar y dibujar las figuras circulares.

El círculo es una figura plana formada por una circunferencia y su interior.

Las principales figuras circulares son las siguientes:

Sugerencias didácticas Para explicar • Dibuje en la pizarra cada figura circular, diga su nombre y lea la definición a la vez que señala cada elemento nombrado. • Los alumnos deben reconocer también el sector y el segmento circular de la actividad 1.

Competencias básicas Competencia lingüística Fomente en los alumnos el interés por definir las figuras circulares cada vez de forma más precisa, utilizando un vocabulario geométrico específico.

2. • Un segmento circular: 1.º Dibujo una circunferencia. 2.º Trazo una cuerda. 3.º Repaso un arco. 4.º Coloreo el interior. • Un semicírculo: 1.º Dibujo una circunferencia. 2.º Trazo un diámetro. 3.º Repaso una de sus semicircunferencias. 4.º Coloreo el interior. • Una corona circular: 1.º Dibujo dos circunferencias concéntricas. 2.º Coloreo la parte de círculo que hay entre ellas. 3. • • • •

Dos sectores circulares. Dos segmentos circulares. Dos semicírculos. Sí, porque el diámetro es igual a dos radios. • Sí, porque el diámetro es una cuerda.

Sector circular

Segmento circular

Es la parte del círculo limitada por dos radios y uno de sus arcos.

Es la parte del círculo limitada por una cuerda y uno de sus arcos.

Semicírculo

Corona circular

Es la mitad del círculo. Está limitado por un diámetro y una de sus semicircunferencias.

Es la parte del círculo limitada por dos circunferencias que tienen el mismo centro (concéntricas).

1. Escribe el nombre de cada figura circular.

1.

2. Dibuja cada figura circular y explica cómo lo has hecho. ▶ Ejemplo:

1.º 2.º 3.º 4.º

Soluciones 1. Semicírculo. Segmento circular. Sector circular.

P

Un sector circular

Un segmento circular

Dibujo una circunferencia. Trazo dos radios. Repaso uno de sus arcos. Coloreo el interior.

Un semicírculo

2. Una corona circular

CÁ


Si trazas dos radios, ¿cuántos sectores circulares puedes colorear?

●

Si trazas una cuerda, ¿cuántos segmentos circulares puedes colorear?

●

Si trazas un diámetro, ¿cuántos semicírculos puedes colorear?

●

El semicírculo, ¿es un sector circular? ¿Por qué?

●

El semicírculo, ¿es un segmento circular? ¿Por qué?

Mu

142

Otras actividades • Pida a los alumnos que dibujen y recorten cuatro círculos y marquen y recorten en ellos un diámetro, dos radios, una cuerda y una circunferencia concéntrica, respectivamente. Hágales ver que así han obtenido dos semicírculos, dos sectores circulares, dos segmentos circulares y una corona circular y otra circunferencia. • Nombre de forma colectiva ejemplos reales de figuras circulares: – Semicírculo: media tortilla, la rodaja de limón de un refresco… – Sector circular: un trozo de pizza, un quesito en porciones… – Segmento circular: el área de una portería de fútbol, la primera rebanada de una hogaza de pan… – Corona circular: una rosquilla, un CD…

142 124603 _ 0186-0205.indd 196

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10

Posiciones relativas de rectas y circunferencias ●

●

• Reconocer la posición de una recta respecto de una circunferencia.

Exterior

Tangente

Secante

No tienen ningún punto en común.

Tienen un punto en común.

Tienen dos puntos en común.

• Reconocer las posiciones relativas de dos circunferencias.

Dos circunferencias pueden tener las siguientes posiciones entre sí. Exteriores

Interiores

No tienen ningún punto en común.


Tangentes interiores

Secantes

Tienen un punto en común.

Tienen dos puntos en común.

1. Copia la figura y completa. ●

La recta naranja es … a la circunferencia azul y es … a la circunferencia roja.

●

La recta verde es … a la circunferencia … y es … a la circunferencia …

●

Las circunferencias … y … son …

2. Copia la figura de la actividad 1 y dibuja. ●

Una recta tangente a la circunferencia roja y secante a la circunferencia azul.

●

Una circunferencia interior a la circunferencia roja y exterior a la circunferencia azul.

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número natural por 99: multiplica por 100 y luego resta el número 3 99

27

3 100

2.700

2 27

2.673

10

Objetivos

Una recta puede tener las siguientes posiciones respecto de una circunferencia.

Tangentes exteriores

UNIDAD

11 3 99

45 3 99

72 3 99

12 3 99

56 3 99

76 3 99

23 3 99

57 3 99

88 3 99

34 3 99

63 3 99

99 3 99

143

Otras actividades • Lleve a clase dos aros de distinto tamaño (por ejemplo de los utilizados en gimnasia, o dibujados en cartón) y un palo de escoba. Pida a los alumnos que salgan por parejas y representen, con el palo y un aro, las posiciones de una recta respecto de una circunferencia que les indiquen varios compañeros. A continuación, colocarán el aro y el palo en la posición que deseen y será el resto de la clase la que diga cómo es la recta respecto de la circunferencia. Después, entregue los dos aros y repita la actividad, para trabajar las posiciones relativas de dos circunferencias.

Para explicar • Dibuje en la pizarra una circunferencia y razone en común las tres posibles posiciones de una recta respecto de esa circunferencia. • Presente después de forma similar las posiciones relativas de dos circunferencias, haciendo ver las similitudes.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre inventar otras prácticas similares de la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y proponga a los alumnos trabajar en parejas para reconocer las posiciones de circunferencias y rectas dibujadas por el compañero y dibujar las que él indique.

Soluciones 1. • Tangente a la circunferencia azul y exterior a la circunferencia roja. • Exterior a la circunferencia azul y secante a la circunferencia roja. • Las circunferencias azul y roja son secantes. 2.

Cálculo mental • 1.089 1.188 2.277 3.366

4.455 5.544 5.643 6.237

7.128 7.524 8.712 9.801

143 124603 _ 0186-0205.indd 197

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Actividades 1. Calca estos triángulos, repasa una base de

Objetivos

5. Observa y completa.

azul y traza de color rojo su altura.


2. Calca estos paralelogramos, repasa una base de azul y traza de color rojo sus dos alturas.

●

El punto O es …

●

El segmento AB es …

●

El segmento OC es …

●

El segmento AD es …

10

O D B

6. Copia la figura de la actividad 5 y colorea. Después, contesta.


Un arco AC.

Aprender a aprender Al corregir las actividades, pida a los alumnos que expliquen cómo las han resuelto. Esto les ayudará a ser más conscientes de su propio aprendizaje.

Un sector circular.

Soluciones

A

C

11


Un segmento circular.

3. Contesta. C

D

C

A

B

●

¿Cuál es la altura del triángulo correspondiente a la base AB? ¿Y la altura de la base CA?

●

1.

A

B

●

¿Podías haber repasado otro arco AC? ¿Y otra semicircunferencia?

●

¿Cuántos sectores circulares puedes colorear? ¿Qué radios y arcos lo limitan?

●

¿Cuántos segmentos circulares puedes colorear? ¿Qué cuerdas y arcos lo limitan?

7. ESTUDIO EFICAZ. Completa el esquema.

¿Cuál es la altura del rectángulo correspondiente a la base AB desde C? ¿Y a la base CB desde A?

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Centro

4. Averigua en cada caso cuánto mide cada ángulo coloreado.

2. 100º

30º

ER

Radio

▶

▶

Es el punto ... Es un segmento ...

8. Mide y calcula la longitud de cada circunferencia.

45º 110º 30º

3. • El lado CA. El lado AB. • El lado CB. El lado AB. 4. • Rosa: 180 º 2 2 3 30º 5 5 120º. • Naranja: 360º 2 (110º 1 1 100º 1 45º) 5 105º. • Rojo: 180 º 2 (90º 1 45º) 5 5 45º. Morado: 55º. Azul 5 Verde: 360 º 2 2 3 3 55º 5 250º; 250 º : 2 5 5 125º. 5. • El centro. • Un radio. • Un diámetro. • Una cuerda. 6. R. M. A

C

B

D

• Sí. Sí. • 6 sectores circulares: dos limitados por los radios OA y OC y sus dos arcos, otros dos por los radios OC y OB, y los otros dos por OA y OB (también son semicírculos).

9. Observa y escribe cómo es cada recta 45º

respecto a cada circunferencia. 90º

55º

144

124599 _ 0134-0147

Otras actividades • Pida a los alumnos que dibujen los siguientes polígonos en el cuaderno y, después, corríjalos en la pizarra pidiendo a varios alumnos que expliquen cómo lo han hecho. – Tres triángulos, uno rectángulo, otro acutángulo y otro obtusángulo, que tengan una base que mida 4 cm y la altura correspondiente a esa base, 3 cm. – Un rectángulo y un romboide que tengan una base que mida 4 cm y las alturas correspondientes a esa base, 3 cm. Puede ayudar a los alumnos que tengan dificultad aconsejándoles que recuerden, en cada polígono, si la altura coincide con un lado, está en el interior o en el exterior de la figura, para dibujarla y obtener así el vértice opuesto.

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10 UNIDAD

10. Copia la figura y escribe cómo son entre sí

12. Resuelve.

la circunferencia verde y cada una de las otras tres.

D

?

n?

●

El lado de un cuadrado mide 4 cm. ¿Cuánto mide cada base? ¿Cuánto mide la altura de una de esas bases?

●

Miguel quiere hacer con un alambre un aro de 5 cm de radio. ¿Cuántos centímetros medirá el alambre?

●

Eva quiere poner una valla alrededor de una piscina circular de 4 m de diámetro. Cada metro de valla cuesta 5 €. ¿Cuánto cuesta en total la valla?

11. Observa y escribe el color de dos circunferencias que sean:

ERES CAPAZ DE…

●

Interiores.

●

Secantes.

●

Tangentes interiores.

●

• 4 segmentos circulares: dos limitados por la cuerda AD y sus dos arcos, y los otros dos por AB (también son semicírculos). 7. R. L. 8. • L 5 π 3 d 5 3,14 3 3 14 5 43,96 mm • L523π3r523 3 3,14 3 1 5 6,28 cm

Una rueda de un triciclo mide 12,5 cm de radio. ¿Cuántos centímetros avanza la rueda cada vez que da una vuelta completa? ¿Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 471 cm?

Calcular la suma de los ángulos de un polígono

Ya sabes que los ángulos de un triángulo suman 180º. Con esta información, puedes averiguar cuántos grados suman los ángulos de todos los polígonos que conoces.

Un cuadrilátero

●

Número de triángulos: …

11. • Azul y verde. • Verde y roja. • Azul y roja.

Suma de los ángulos: 180º 1 180º 5 2 3 180º 5 … Un pentágono

● ●

Número de triángulos: … Suma de los ángulos: … 1 … 1 … 5 … 3 180º 5 …

Un hexágono

Un heptágono

Un octógono

Un eneágono

9. • La recta naranja es tangente a la circunferencia roja y secante a la azul. • La recta verde es secante a la circunferencia roja y exterior a la azul. 10. • Verde y roja: secantes. • Verde y azul: tangentes exteriores. • Verde y amarilla: exteriores.

Dibuja cada polígono y traza, desde uno de sus vértices, todas las diagonales. ¡Ya has dividido el polígono en triángulos! Después, calcula la suma de sus ángulos.

●

145 124599 _ 0134-0147.indd 145

31/3/09

12. • Cada base mide 4 cm. La altura mide 4 cm. • L523π3r523 3 3,14 3 5 5 31,4 Medirá 31,4 cm. • L 5 π 3 d 5 3,14 3 4 5 5 12,56 12,56 3 5 5 62,8 La valla cuesta 62,80 €. • L523π3r523 3 3,14 3 12,5 5 78,5 471 : 78,5 5 6 La rueda avanza 78,5 cm. 21:02:45 Tiene que dar 6 vueltas.


Eres capaz de...

• Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla:

• Cuadrilátero: 2 triángulos. Suma de ángulos: 360º. • Pentágono: 3 triángulos. Suma de ángulos: 540º. • Hexágono: 4 triángulos. Suma de ángulos: 720º. • Heptágono: 5 triángulos. Suma de ángulos: 900º. • Octógono: 6 triángulos. Suma de ángulos: 1.080º. • Eneágono: 7 triángulos. Suma de ángulos: 1.260º.

Unidad 10 Figuras planas Lo que he aprendido Base y altura de triángulos y … Suma de los ángulos de … La circunferencia. Elementos Longitud de la circunferencia El círculo y figuras circulares Posiciones relativas de rectas…

10


145 124603 _ 0186-0205.indd 199

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Solución de problemas Imaginar el problema resuelto Objetivos • Imaginar y hacer un dibujo aproximado de una figura para averiguar cómo se construye.

Sugerencias didácticas Para explicar • Trabaje en común los problemas animando a los alumnos a intervenir en el proceso. Diferencie dos momentos: el trazado aproximado de la figura y el razonamiento del proceso de construcción a partir del dibujo.

EJE

En algunos problemas geométricos, es útil trazar una figura aproximada a la que queremos dibujar para averiguar cómo podemos construirla. Resuelve estos problemas de esa manera.

1. C

Mireia ha dibujado tres puntos, A, B y C, en una hoja y quiere hallar un punto P que esté a la misma distancia de los tres puntos. ¿Cómo puede hacerlo?

A B

2.

P C

▶ Imaginamos el problema resuelto y hacemos un dibujo aproximado para deducir, a partir de él, qué tenemos que hacer para hallar ese punto P.

A

Ese punto P, por estar a la misma distancia de A y B, es un punto de la mediatriz del segmento AB. Igualmente, por estar a la misma distancia de A y C, está en la mediatriz del segmento AC.

B

3.

4.

Por tanto, el punto P buscado es el que cumple esa doble condición: estar en las mediatrices de los dos segmentos, AB y AC. P

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Anime a los alumnos a representar con un dibujo la figura que imaginan, haciendo si es necesario varios bocetos. La ayuda que les aporta los motivará para actuar con mayor iniciativa y autonomía ante situaciones nuevas.

C

Para hallar el punto P haremos lo siguiente: 1.º Trazar el segmento AB y el segmento AC. 2.º Hallar las mediatrices de esos dos segmentos.

A B

3.º El punto P será el punto de corte de esas dos mediatrices. Haz en tu cuaderno la construcción y comprueba que el método es correcto.

6. 1. Leire ha trazado un triángulo. Conocía uno de los lados y también los ángulos que formaban los otros dos lados con él. ¿Cómo lo ha hecho?

2. Antonio ha dibujado un cuadrado de vértices A, B, C y D. Quiere encontrar un punto que esté a la misma distancia de los cuatro vértices del cuadrado. ¿Cómo puede hacerlo? D

C

A

B

7.

Soluciones 1. 1.º Traza el lado conocido. 2.º Dibuja los dos ángulos conocidos, de manera que cada uno tenga como vértice uno de los extremos del segmento y uno de los lados sea dicho segmento. 3.º El tercer vértice del triángulo es el punto donde se cortan los otros dos lados de los ángulos trazados. 2. Puede hacerlo de dos formas: • 1.º Dibuja el cuadrado. 2.º Dibuja sus diagonales. 3.º El punto buscado es el corte de las diagonales. • 1.º Dibuja el cuadrado. 2.º Dibuja las mediatrices de dos lados contiguos. 3.º El punto buscado es el corte de las dos mediatrices.

146

Otras actividades • Una vez realizado el problema 2 planteado en esta página, puede plantear otros similares que tengan como base el dibujo de este cuadrado. Por ejemplo: – Olga ha dibujado un cuadrado de vértices A, B, C y D, y una circunferencia que pasa por los cuatro vértices del cuadrado. ¿Cómo lo ha hecho? – Roberto ha dibujado un cuadrado de vértices A, B, C y D. Después, ha dibujado otro cuadrado de manera que uno de los lados es la diagonal AC del cuadrado anterior. ¿Cómo lo ha hecho?

146 124603 _ 0186-0205.indd 200

5.

6/7/09 16:53:16

10

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

●

7 5

●

8,023

11 8

●

●

● ●

9,4

8. Eulalia tenía en su hucha 64 monedas

6 15

● ●

25,26

9 13

0,036

●

Cinco veinteavos.

●

Trece cuartos.

●

Siete unidades y ocho décimas.

●

Doce unidades y seis milésimas.

92 litros de zumo de naranja. Al verterlo en vasos de 0,33 ¬ se han perdido 0,26 ¬ de zumo. ¿Cuántos vasos de zumo se han obtenido?

10. Cuatro novenos de los 27 alumnos de 6.º A

3. Descompón cada número. ●

2,75

iguales, cuyo valor total era 12,80 . Ayer compró un libro entregando 15 de esas monedas y un billete de 10 . ¿Cuánto costaba el libro?

9. En un campamento han preparado

2. Expresa con cifras.

●

Soluciones

PROBLEMAS

1. Escribe cómo se lee cada número.

●

4,9

1,086

●

34,05

y cinco octavos de los 24 alumnos de 6.º B van al colegio andando. ¿En qué clase van más alumnos andando? ¿Cuántos alumnos de 6.º B no van andando?

4. Calcula. ●

6 7 3 1 2 5 5 15

●

1 2 4 3 2 3 6 12

(

)

●

(

●

2 3 8 2 : 9 9 2

)

5 3 5 2 : 2 3 7

5. Ordena cada grupo de menor a mayor. ●

9,69

10

9,71

9,8

9,705

●

2,135

2,14

2,143

2,2

2,139

6. Calcula. ●

3,8 1 9,637

●

2,48 : 8

●

17,52 2 8,145

●

864 : 6,75

●

4,9 3 3,85

●

18,24 : 7,6

●

2,25 3 1.000

●

31,9 : 1.000

7. ESTUDIO EFICAZ. Estas aproximaciones están mal hechas. Explica por qué y escríbelas bien. ●

A las unidades: 13,4 ▶ 14

●

A las décimas: 3,762 ▶ 3,76

●

A las centésimas: 5,187 ▶ 5,18

10

1. • Siete quintos. Once octavos. Seis quinceavos. Nueve treceavos. • Ocho unidades y veintitrés milésimas. Nueve unidades y cuatro décimas. Veinticinco unidades y veintiséis centésimas. Treinta y seis milésimas. 2. 5/20

13/4

7,8

3. • 2 U 1 7 d 1 5 c 5 2 1 1 0,7 1 0,05 • 4 U 1 9 d 5 4 1 0,9 • 1U18c16m511 1 0,08 1 0,006 • 3 D 1 4 U 1 5 c 5 30 1 1 4 1 0,05 4. • 20/15 5 4/3 • 14/36 5 7/18

11. Miguel ha comprado 6 bolsitas iguales

12,006

• 35/18 • 20/27

5. • 9,69 , 9,705 , 9,71 , , 9,8 , 10 • 2,135 , 2,139 , 2,14 , , 2,143 , 2,2

de magdalenas que pesan en total tres cuartos de kilo. El precio de un kilo de magdalenas es 16 . ¿Cuánto cuesta cada bolsita?

12. Ayer, cuatro entradas para una obra de teatro costaban 68 . Hoy, cada entrada cuesta 2 menos que ayer. Lidia va a ir a ver la obra con 5 amigos. ¿Cuánto costarán las entradas del grupo?

13. Una nevera costaba 725 . Sara pagó 120 de entrada y el resto lo tiene que pagar en 5 plazos iguales. Le quedan por pagar 2 plazos. ¿Cuánto dinero ha pagado ya?

147

6. • • • • 7. • • •

13,437 • 9,375 • 18,865 • 2.250 • 13,4 ▶ 13 3,762 ▶ 3,8 5,187 ▶ 5,19

0,31 128 2,4 0,0319

8. 12,80 : 64 5 0,20 15 3 0,20 1 10 5 13 El libro costaba 13 €. 9. 92 2 0,26 5 91,74 91,74 : 0,33 5 278 Se obtienen 278 vasos.

Repaso en común • Forme en la clase ocho grupos para que los alumnos de cada grupo preparen y expongan a sus compañeros uno de los contenidos de la unidad (separe en dos grupos cada uno de los dos primeros epígrafes de la unidad, según el tipo de polígono). Ayúdelos a preparar cada exposición, comentando algunos aspectos generales. Por ejemplo: – Deben definir los elementos o figuras nombradas. – Pueden utilizar figuras hechas en cartulina para mostrar las figuras, elementos o procedimientos realizados. – Pueden utilizar la pizarra para mostrar el procedimiento realizado sobre dibujos o los cálculos.

10. 4/9 de 27 5 12 5/8 de 24 5 15; 15 . 12 Van más en 6.º B. No van andando 9 (24 2 15). 11. 3/4 : 6 5 3/24 5 1/8 3/24 3 16 5 48/24 5 2 Cada bolsita cuesta 2 €. 12. 68 : 4 5 17; 17 2 2 5 15 15 3 6 5 90. Costarán 90 €. 13. 725 2 120 5 605 605 : 5 5 121 52253 3 3 121 1 120 5 483 Ha pagado ya 483 €.

147 124603 _ 0186-0205.indd 201

6/7/09 16:53:16

Repaso trimestral Repaso trimestral NÚMEROS 1 13 1. 3 5 4 4 1 6 3 8 4 6 8 31 23 7 9

1. Expresa.

1. C

La parte coloreada de la figura. – En forma de número mixto

▶

7 4

…

– En forma de fracción ▶ …

5 3 2 5 2 9 5 4 27 29 22 5 4 6

2 3 1 5 5 8 12 4 8 4 2 5 5 R. M. 20 10 5

3. R. M.

5 8 4. y 20 20 6 7 y 9 9 40 18 y 50 50 15 12 y 42 42 16 16 15 , y 24 24 24 ,

OPE

●

20 2 8 4 16 2. 5 5 5 5 30 3 12 6 24 18 3 6 15 30 5 5 5 5 30 5 10 25 50

5. ,

NÚMEROS

.

●

●

Cada fracción en forma de número mixto. 25 6

30 8

43 5

23 9

22 4

Cada número mixto en forma de fracción. 3 7

4

2

5 9

5

2 5

7

1 4

3

4 6

2. Escribe las fracciones del recuadro que cumplen cada condición.

2. R ●

Equivalentes a

2 . 3

●

Equivalentes a

3 . 5

8 12 30 50

6 10 4 6

20 30 10 18

9 20

15 25

16 24

14 35

7 1 18 30

3. C

0

3. Escribe dos fracciones equivalentes a cada fracción dada.

7

3 Por amplificación

Por simplificación

4. R 1 4

2 5

3 7

5 6

4 9

8 20

12 18

16 24

14 28

30 45

4. Reduce a común denominador. 1 2 y 4 5

●

,

6. Seis coma cuarenta y nueve. Seis coma siete. Diez coma doscientos cinco. Ocho coma tres. Diez coma sesenta y dos. Ocho coma doscientos diecisiete.

5 8

6 8

●

4 9

8 9 y 10 25

5 6 y 14 21

• 6,3 12,5 3,8

4 7

●

7 5

8 6

●

6. E 9 12

15 24

●

7 16

11 20

6. Escribe cómo se lee cada número. Después, ordénalos de mayor a menor. ●

●

6,49

6,7

●

●

10,205

8,3

●

●

10,62

8,217

Unidades

CÁL

29 1

7. Aproxima estos números decimales a la unidad indicada.

48 1

Décimas

57 1

Centésimas

31 1 5,3

7,82

9,461

6,27

12,52

3,798

2,516

8,372

0,459

148

• 2,52 8,37 0,46

148 202 124603 _ 0186-0205.indd 202

●

4, 5 8 y 6 8 12

10,62 . 10,205 . 8,3 . . 8,217 . 6,7 . 6,49 7. • 5 8 9

●

5. D

7 2 y 9 3

5. Compara las fracciones y escribe el signo correspondiente.

.

1 7 4 3 4

9/7/09 12:51:05

62 1

217

459

OPERACIONES

OPERACIONES

1. Calcula. 7 5 1 4 6 9 11 1 10 15 7 14 4 3 7 5 1 1 4 9 12

9 7 2 8 10 5 13 2 6 18 20 25 3 21 82 4

2 3 3 5 7 9 5 3 4 6 3 37 8 10 63 17

35 31 49 23 70 5 4 36 18 12 30 17 2 1 5 11 5 • 40 18 9 3 4 15 21 60 6 45 • 5 8 8 17 35 24 16 30 15 35 • 5 45 28 14 24 45 15 5 12 4

1. •

5 4 : 6 7 2 5 : 9 8 30 :4 7 12 9: 5

2. Recuerda el orden en que debes hacer las operaciones y calcula.

(

8 1 3 2 : 9 5 7

5 3 7 1 3 10 6 5

15 2 3 2 1 16 8 5

)

(

)

5 2 7 2 3 3 6 7

(

3 5 7 : 1 2 8 12

) 2.

3. Calcula. 0,359 1 8,671

9,524 2 3,576

3,68 3 9

25,9 : 7

7,286 1 19,45

20,3 2 8,57

4,53 3 7,2

675 : 5,4

3,14 1 2,6 1 5,973

5,6 2 1,924

2,805 3 5,6

9,052 : 8,3

4. Recuerda el orden en que debes hacer las operaciones y calcula. ●

65,14 1 9,282 : 2,6

●

58,548 : (4,3 1 2,67) 3 5,06

●

4,81 3 3,7 2 5,29

●

23,74 1 19,812 : (5,4 2 2,86)

5. Divide, obteniendo en el cociente tantas cifras decimales como se indica. 9 : 2,6

Una cifra decimal

Dos cifras decimales

72,2 : 7,6

23,4 : 15 18,32 : 4,5

Tres cifras decimales

25,1 : 9,3 1,498 : 0,427

7 2

4 5

13 4

3. • • • •

9,03 26,736 11,713 5,948 11,73 3,676 33,12 32,616 15,708 c 5 3,7 c 5 125 c 5 1,09; r 5 0,005

4. • 68,71 • 12,507

• 42,504 • 31,54

5. • c 5 3,4; c 5 9,5 • c 5 1,56; c 5 4,07 • c 5 2,698; c 5 3,508

6. Expresa cada fracción como un número decimal. 9 2

19 13 45 80 72 36 5 58 29

36 6 5 30 5 18 3 5 42 7

11 8

6. 4,5

CÁLCULO MENTAL 29 1 17

34 2 19

34 3 2

25 3 11

48 1 23

62 2 38

56 3 2

43 3 11

57 1 35

75 2 57

423 3 2

56 3 101

31 1 46

49 2 21

84 3 5

17 3 9

62 1 24

58 2 42

56 3 5

28 3 99

149

3,5

0,8

3,25

1,375

Cálculo mental • 46 71 92 77 86 • 68 112 846 420 280

• 15 24 18 28 16 • 275 473 5.656 153 2.772

203 149 124603 _ 0186-0205.indd 203

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Repaso trimestral GEOMETRÍA C

1.

C

GEOMETRÍA

PRO

1. Calca cada polígono y dibuja la altura correspondiente a la base AB, desde el vértice C.

1. R

Después, contesta.

●

C

C

A

B D

D

B

A

A

B

D

C

C A

A

C

B

A

C

D

B

• En el triángulo rectángulo y en el rectángulo. • En el triángulo obtusángulo y en el romboide.

A

B

B

A

●

¿En qué polígonos coincide la altura con uno de sus lados? Clasifícalos.

●

¿En qué polígonos has prolongado la base para trazar la altura? Clasifícalos.

B

2. Averigua en cada caso cuánto mide el ángulo coloreado. 40º 85º

2. De izquierda a derecha: 55º, 110º, 80º, 105º.

40º

110º

●

90º

125º

45º

30º

75º

90º

3. Traza dos circunferencias, una de 2 cm de radio y la otra de 8 cm de diámetro.

3. y 4. 4. En una de las circunferencias de la actividad 3, dibuja cada elemento del color indicado. Un radio.

Un diámetro.

Un arco.


Una cuerda.

5. Calcula.

5. • • • •

90º y 20º 110º L 5 31,4 cm L 5 28,26 cm

6. • De izquierda a derecha: sector circular, semicírculo, segmento circular y corona circular. Dos radios y un arco; un diámetro y una de sus semicircunferencias; una cuerda y uno de sus arcos; dos circunferencias concéntricas.

●

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 70º. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos?

●

¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia de 5 cm de radio?

●

Cada ángulo agudo de un rombo mide 70º. ¿Cuánto mide cada ángulo obtuso?

●

¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia de 9 cm de diámetro?

6. Copia cada figura circular y escribe debajo su nombre. ●

●

¿Qué limita en cada figura la parte de círculo coloreada?

●

7. Observa la figura y contesta. ●

¿Cómo son entre sí cada par de circunferencias? Las circunferencias … y … son …

●

¿Cómo es la recta respecto a cada circunferencia? La recta es … respecto a la circunferencia …

●

150

7. • Azul y roja: tangentes interiores. Azul y verde: exteriores. Roja y verde: secantes. • Exterior respecto a la circunferencia azul; secante respecto a la roja y tangente respecto a la verde.

150 204 124603 _ 0186-0205.indd 204

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PROBLEMAS

PROBLEMAS

1. Resuelve. ●

En un circo se han vendido 1.470 entradas. Dos tercios de las entradas eran infantiles, un quinto eran de adulto y el resto eran para la tercera edad. ¿Cuántas entradas se vendieron para la tercera edad? Cada entrada de adulto cuesta 18,60 , las infantiles cuestan la mitad que las de adulto y las entradas para la tercera edad 5,80 menos que las infantiles. ¿Cuánto recaudaron por las entradas?

●

Óscar y Marta están vendiendo un taco de papeletas para una rifa. Óscar ha vendido ya 3 séptimos del taco y Marta, 2 quintos. ¿Quién ha vendido más papeletas? ¿Qué fracción del taco de papeletas han vendido en total? ¿Qué fracción del taco les queda por vender? Si el taco tenía 140 papeletas, ¿cuántas papeletas ha vendido cada uno? ¿Cuántas les faltan por vender?

a.

o?

●

●

●

●

Javier ha comprado 1 kilo y tres cuartos de fruta. Las manzanas pesaban 5 sextos de kilo y el resto eran ciruelas. ¿Cuánto pesaban las ciruelas?

●

Cristina ha comprado 3 quesos que pesaban 4 quintos de kilo cada uno. ¿Qué fracción de kilo pesaban los tres quesos en total?

●

Álvaro ha comprado 5 octavos de kilo de carne de ternera y ha pedido que le piquen la cuarta parte. ¿Qué fracción de kilo pesa la carne picada?

●

Marisa ha comprado 1,215 kg de jamón, 0,760 kg de chorizo y 0,425 kg de mortadela. Ha hecho 12 bocadillos metiendo 0,15 kg de fiambre en cada uno. ¿Cuántos kilos de fiambre le han sobrado?

Carmen ha llenado de agua 3 peceras de 14,5 ¬ de capacidad y 2 peceras de 23,84 ¬. ¿Cuántos litros de agua ha echado en total en las peceras? Gonzalo ha comprado 1,4 kg de gominolas y las ha repartido en bolsitas de 0,35 kg cada una. ¿Cuántas bolsitas ha llenado?

1. • 2/3 de 1.470 5 980 1/5 de 1.470 5 294 1.470 2 980 2 294 5 196 Se vendieron 196 entradas para la tercera edad. 294 3 18,60 5 5.468,40 18,60 : 2 5 9,30 9,30 2 5,80 5 3,50 Entrada infantil: 9,30 €. Entrada 3.ª edad: 3,50 €. 980 3 9,30 5 9.114 196 3 3,50 5 686 5.468,40 1 9.114 1 1 686 5 15.268,40 La recaudación fue de 15.268,40 €. • 3/7 . 2/5 Ha vendido más Óscar. 3/7 1 2/5 5 29/35 1 2 29/35 5 6/35 Han vendido 29/35 del taco y les quedan por vender 6/35. 3/7 de 140 5 60 2/5 de 140 5 56 140 2 60 2 56 5 24 Óscar: 60 papeletas. Marta: 56 papeletas. Les quedan 24 papeletas. 3 5 11 2 5 4 6 12 Pesaban 11/12 kg. • 3 3 4/5 5 12/5 Pesaban 12/5 kg.

• 1

Alex ha comprado un tablero de 2 m de largo para hacer una estantería. Quiere cortarlo en baldas de 0,3 m cada una. ¿Cuántas baldas obtendrá? ¿Cuántos metros de tablón le sobrarán?

151

• 5/8 : 4 5 5/32 Pesa 5/32 kg. • 1,215 1 0,760 1 0,425 5 5 2,4; 12 3 0,15 5 1,8 2,4 2 1,8 5 0,6 Le han sobrado 0,6 kg. • 3 3 14,5 1 2 3 23,84 5 5 91,18 Ha echado 91,18 l. • 1,4 : 0,35 5 4 Ha llenado 4 bolsitas. • 2 : 0,3 ▶ c 5 6; r 5 0,2 Obtendrá 6 baldas y le sobrarán 0,2 m.

205 151 124603 _ 0186-0205.indd 205

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11

E

Proporcionalidad y porcentajes

Programación Objetivos • Identificar series de números proporcionales y completar tablas de proporcionalidad. • Resolver problemas de proporcionalidad. • Expresar porcentajes en forma de fracción y de número decimal, y calcularlos.

Contenidos • Series de números proporcionales y tablas de proporcionalidad.

• Resolver problemas de porcentajes.

• Resolución de problemas de proporcionalidad.

• Interpretar escalas numéricas y gráficas de planos y mapas.

• Cálculo de porcentajes.

• Calcular medidas reales partiendo de mapas y planos a escala.

• Resolución de problemas de porcentajes.

• Resolver problemas empezando por el final.

Criterios de evaluación • Identifica series de números proporcionales y completa tablas de proporcionalidad. • Resuelve problemas de proporcionalidad. • Expresa porcentajes en forma de fracción y de número decimal, y calcula el tanto por ciento de un número. • Resuelve problemas de porcentajes. • Calcula medidas reales a partir de mapas y planos a escala. • Resuelve problemas empezando por el final.

R

• Interpretación de escalas numéricas y gráficas.

• • • •

• Interpretación de planos y mapas a escala.

E

• •

• Valoración de la utilidad de la proporcionalidad y de los porcentajes en la vida diaria. • Interés por interpretar mapas y planos para su manejo en situaciones reales.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Autonomía e iniciativa personal, Aprender a aprender, Competencia cultural y artística, Competencia lingüística y Tratamiento de la información.

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206

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Esquema de la unidad UNIDAD 11. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Proporcionalidad. Problemas

Problemas de porcentajes

Escalas: planos y mapas

Actividades

Eres capaz de...


Repasa


Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Tercer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.


Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Releer y explicar el procedimiento: actividad 2, pág. 160. • Reelaborar la información fundamental: actividad 3, pág. 163.

Previsión de dificultades Pueden surgir dificultades en estos aspectos: • Elegir la operación adecuada al resolver problemas de proporcionalidad. Trabaje los problemas de manera razonada y pida a los alumnos que piensen siempre si la solución tiene sentido.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre

• Calcular el tanto por ciento de un número cuando el resultado es un número decimal. Muestre que el proceso que se debe seguir es el mismo que ya conocen para otros números.

Diciembre

• Aplicar correctamente una escala, averiguando la medida real a partir de un plano, sobre todo cuando existe un cambio de unidad. Recuerde las equivalencias entre unidades de longitud.

Marzo

Enero Febrero

Abril Mayo Junio

152 B 124603 _ 0206-0219.indd

207

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11 Objetivos

Proporcionalidad y porcentajes

RE

P

6

• Reconocer situaciones reales donde aparece la proporcionalidad.

S


C

S

Sugerencias didácticas • Comente con sus alumnos la situación planteada, haciéndoles ver que las Matemáticas son un elemento imprescindible en numerosas situaciones cotidianas, y que nos pueden resultar de gran utilidad en diversidad de ocasiones. Pídales que aporten sus experiencias con planos y mapas. • Aproveche el apartado Recuerda lo que sabes para establecer un análisis sobre el nivel de conocimientos previos de los alumnos acerca de los porcentajes y su significado, y los cálculos con ellos. Valore también su desempeño al manejar las diferentes equivalencias entre las principales medidas de longitud. Refuerce los aspectos con más dificultades.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Señale que la proporcionalidad es una herramienta fundamental para afrontar y resolver gran cantidad de situaciones que se nos presentan en la vida cotidiana (compras, porcentajes, análisis de planos y mapas…). Competencia social y ciudadana Anime a los alumnos a conocer y ejercer sus derechos y deberes como consumidores en situaciones de compra. Señale la importancia de llevar a cabo un consumo responsable, adaptado a nuestras necesidades y circunstancias.

M

●

●

●

1.

PLANTA BAJA

2. Marta trabaja en una inmobiliaria. Da información a los clientes sobre las viviendas que se están construyendo y les entrega los planos.

3.

PLANTA ALTA

Mira el plano y contesta: ●

¿Cuántas plantas tiene la vivienda?

●

¿Qué habitaciones hay en cada planta?

●

¿Qué forma tiene en el plano la cocina? ¿Y el salón? ¿Tendrán esa misma forma en la realidad?

●

¿Crees que con el plano pueden saber los clientes las dimensiones reales de cada habitación?

4.

Escala 1 : 140

152

Otras formas de empezar • Facilite a los alumnos (o pídales que los traigan ellos de casa) algunos folletos publicitarios de supermercados, agencias de viajes, venta de coches…, en los que aparezcan descuentos en forma de porcentaje. Solicíteles que expliquen los significados de las diferentes expresiones y cómo se debe llevar a cabo su cálculo. Después, pídales que las calculen y analicen cómo quedan los precios una vez aplicado el descuento correspondiente.

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208

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UNIDAD

Porcentaje 65 % es un porcentaje. Se lee 65 por ciento. Significa 65 de cada 100.

Soluciones

▶

65 65 % 5 5 0,65 100

Página inicial

Cálculo de porcentajes 65 65 3 75 4.875 de 75 5 5 48,75 5 100 100 100

●

65 % 5

65 100

▶

65 % de 75 5

●

65 % 5 0,65

▶

65 % de 75 5 0,65 3 75 5 48,75

65 % de 75

11

El 65 % de 75 es 48,75.

Metro, centímetro y kilómetro. Equivalencias 3 1.000

km

3 100

m

cm

: 1.000

: 100

●

4,5 km 5 4,5 3 1.000 5 4.500 m

●

85 m 5 85 : 1.000 5 0,085 km

●

7,69 m 5 7,69 3 100 5 769 cm

●

352 cm 5 352 : 100 5 3,52 m

●

0,3 km 5 0,3 3 100.000 5 30.000 cm

●

5.400 cm 5 5.400 : 100.000 5 0,054 km

El 25 % de los coches vendidos en marzo eran rojos.

●

El 50 % de los pasteles de la bandeja tienen crema.

●

El 75 % de los refrescos del bar son de cola.

VAS A APRENDER ●

2. Escribe cada porcentaje de la actividad anterior en forma de fracción y de número decimal.

3. Calcula. 8 % de 25

35 % de 40

72 % de 150

9 % de 63

48 % de 95

84 % de 265

6,2 km 5 … m

8.700 m 5 … km

15 m 5 … cm

900 cm 5 … m

0,04 km 5 … cm

35.000 cm 5 … km

A identificar series de números proporcionales y completar tablas de proporcionalidad.

25 5 0,25 100 50 • 50 % 5 5 0,50 100 75 • 75 % 5 5 0,75 100

2. • 25 % 5

●

A resolver problemas de proporcionalidad.

●

A calcular porcentajes y resolver problemas de porcentajes.

●

A interpretar mapas y planos a escala.

4. Expresa en la unidad indicada.

Recuerda lo que sabes 1. • De cada 100 coches vendidos en marzo, 25 eran rojos. • De cada 100 pasteles de la bandeja, 50 tienen crema. • De cada 100 refrescos del bar, 75 son de cola.

1. Explica qué significa cada frase. ●

• La vivienda tiene dos plantas. • En la planta baja hay un salón, una cocina y un cuarto de baño. En la planta alta hay tres dormitorios y dos cuartos de baño. • En el plano, la cocina es cuadrada y el salón es rectangular. En la realidad tendrán la misma forma. • Sí, pueden calcularlas a partir de las medidas en el plano y la escala.

3. 2 5,67 153

4. 6.200 m 1.500 cm 4.000 cm

14 45,6

108 222,6 8,7 km 9m 0,35 km

Vocabulario de la unidad • Porcentaje o tanto por ciento • Proporcionalidad • Series de números proporcionales • Tablas de proporcionalidad • Escalas • Unidades de longitud: km, m y cm

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16:52:34

Proporcionalidad. Problemas Objetivos

●

Sara y sus amigos van a jugar al minigolf. Cada partida cuesta 8 € por persona. ¿Puede calcular Sara cuánto cuesta jugar una partida a 2, 3, 4 o 5 personas?

• Diferenciar series de números proporcionales. • Elaborar tablas de proporcionalidad.

Sí, puede calcular cuánto cuesta la partida porque el precio total es proporcional al número de personas que jueguen.

• Resolver problemas de proporcionalidad.

38

• A la hora de resolver los problemas, señale que deben calcular, en primer lugar, el valor de la segunda magnitud asociado a una unidad de la primera.

●

1

Precio en euros

8

2

3

4

Fíjate en la tabla: puedes pasar de los números de una fila a los de la otra, multiplicando o dividiendo por 8.

5 :8

16

24

32

40

En el primer hoyo, Sara ha tenido que dar 4 veces a la pelota para meterla. ¿Puede saber cuántas veces dará a la pelota para meterla en 2, 3, 4 o 5 hoyos?

No, porque no siempre va a dar 4 veces a la pelota para meterla en el hoyo. El número de veces que da a la pelota no es proporcional al número de hoyos.

4.

No se puede construir una tabla de proporcionalidad.

1. Lee y contesta. ●

Andrés está comprando pelotas de tenis. En cada bote hay 3 pelotas. – ¿Puedes saber cuántas pelotas hay en 2 botes? ¿Y en 4 botes? – ¿Es proporcional el número de pelotas de tenis al número de botes? ¿Por qué? ●

Claudia tiene 1 año. Pesa 11 kg. – ¿Puedes saber cuánto pesará cuando tenga 2 años? ¿Y cuando tenga 5 años? – ¿Es proporcional el peso de una persona a su edad? ¿Por qué?

2. Copia y completa estas tablas de proporcionalidad. 1

Para reforzar • Pida a los alumnos que inventen actividades similares a las trabajadas, como se muestra en la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

N.º de personas

Por eso, las series 1, 2, 3, 4, 5 y 8, 16, 24, 32, 40 son series de números proporcionales, y la tabla se llama tabla de proporcionalidad.

Sugerencias didácticas Para explicar • Partiendo de la situación propuesta, caracterice las series de números proporcionales. Deje claro el proceso para pasar de una a otra, mostrando que en un sentido se multiplica por un mismo número, y en el otro se divide por ese mismo número. Haga hincapié en la importancia de analizar con cuidado qué operación se debe realizar y si el resultado tiene sentido.

3.

2

5

2

34

:4 24

1

2 20

36

3 60

90

CÁ

8 :5

40

11

7

35 20

1

50

5 30

8 42

Est

100

15 60

154

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Estimule en los alumnos su confianza y autoestima al afrontar los problemas.

Soluciones 1. • Sí, habrá 6 (2 3 3 5 6). Sí, habrá 12 (4 3 3 5 12). Sí es proporcional, porque todos los botes tienen el mismo número de pelotas.

Otras actividades • Comente con sus alumnos situaciones de la vida real en las que se den condiciones de proporcionalidad y de no proporcionalidad. Proponga algún ejemplo e indique que ellos digan otros: – ¿El número de goles marcados por un equipo de fútbol es proporcional al número de partidos jugados? – ¿El número de litros de leche vendidos en un supermercado es proporcional al dinero obtenido por su venta? – ¿La altura de una persona es proporcional a su edad?

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210

6/7/09

16:52:35

11 3. Copia y completa cada tabla de proporcionalidad. Después, resuelve.

• No puedo saber cuánto pesará con 2 años ni con 5 años. No es proporcional, porque el peso que aumentamos cada año es distinto.

N.º de entradas

1

3

5

8 :…

Precio total ()

21

70

Luis ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales.

2.

34

▶

– ¿Cuántos huevos necesita para hacer 5 tortillas? ¿Y 7 tortillas? – ¿Cuántas tortillas puede hacer con 40 huevos? ¿Y con 45 huevos? 1

▶

3 10

36

▶

Marisa corre 6 km en 30 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 50 minutos, si va siempre al mismo ritmo? ¿Cuántos recorrerá en 1 hora?

Un pastelero utiliza 3 litros de leche para hacer 18 tartas iguales. ¿Cuántas tartas puede hacer con 2 litros de leche? ¿Y con 4 litros?

3. •

Paloma compra 7 sobres de cromos de fútbol. En total ha comprado 28 cromos. ¿Cuántos cromos conseguirá comprando 4 sobres? ¿Y 10 sobres? ¿Cuántos sobres necesita comprar para conseguir 24 cromos? ¿Y para conseguir 72 cromos?

Óscar utiliza 25 bolsas iguales para envasar 75 kg de limones. ¿Cuántos kilos de limones envasará en 30 bolsas? ¿Cuántas bolsas necesita para envasar 120 kg de limones?

CÁLCULO MENTAL Estima sumas aproximando los números decimales a las unidades 3,8 ▶ 4 2,1 ▶ 2

41256

5,7 1 2

4,6 1 3,8

12,7 1 3,2

3 1 4,8

5,3 1 1,9

4,8 1 15,6

9,3 1 6

7,2 1 6,1

20,3 1 14,7

155

Otras actividades • Escriba en la pizarra estas tablas y pida a los alumnos que las completen (son series proporcionales con números decimales): 1

3,6

4,3

10,2

6 1

121,2 4

6

8

10 0,5 0,25

8

5

6

8 20 24 36 40

2

4

7

9 10

:4

8 10 20

:5

10 20 35 40 50 100

▶

20

4. Resuelve.

3,8 1 2,1

4

4 :…

N.º de huevos

2

1

2

3

6

9

11

: 10

10 20 30 60 90 110 1

5

7

8 10 15

:6

6 30 42 48 60 90

37

▶

1

3

5

8 10

:7

7 21 35 56 70

– Cuestan 35 €. Cuestan 56 €. – Podría comprar 10 entradas. ▶

3…

N.º de tortillas

35

¿Cuántos huevos utilizo en 1 tortilla?

1

▶

3…

▶

●

– ¿Cuántas entradas podría comprar con 70 ?

▶

– ¿Cuánto cuestan 5 entradas? ¿Y 8 entradas? Debes calcular primero el precio que tiene una entrada. Para pasar de la primera fila a la segunda hay que multiplicar por ese número, y para pasar de la segunda fila a la primera hay que dividir entre él.

▶

PRESTA ATENCIÓN

11

UNIDAD

Elsa ha pagado 21 por 3 entradas de cine.

▶

●

•

3 5▶

1

4

5

7

8

9

:5

5 20 25 35 40 45

– 25 huevos. 35 huevos. – 8 tortillas. 9 tortillas. 4. • 18 : 3 5 6; 2 3 6 5 12 4 3 6 5 24 Con 2 l puede hacer 12 tartas y con 4 l, 24 tartas. • 30 : 6 5 5; 50 : 5 5 10 1 h 5 60 min; 60 : 5 5 12 En 50 minutos recorrerá 10 km y en 1 hora, 12 km. • 75 : 25 5 3; 30 3 3 5 90 En 30 bolsas Óscar envasará 90 kg. 120 : 3 5 40. Para envasar 120 kg necesita 40 bolsas. • 28 : 7 5 4; 4 3 4 5 16 10 3 4 5 40. Con 4 sobres conseguirá 16 cromos y con 10 sobres, 40 cromos. 24 : 4 5 6; 72 : 4 5 18. Para conseguir 24 cromos, debe comprar 6 sobres, y para 72 cromos, 18 sobres.

37,5 15

Cálculo mental

18,6 50

• 8 8 15

9 7 13

16 21 35

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Problemas de porcentajes Objetivos • Resolver problemas de porcentajes.

En un museo hay 80 cuadros expuestos. El 45 % de los cuadros son paisajes, el 35 % son retratos y el resto son bodegones. ●

¿Cuántos cuadros hay expuestos de cada tipo?

Paisajes ▶ 45 % de 80 5 36

Sugerencias didácticas Para empezar • Proponga actividades de cálculo de porcentajes de un número. Recuerde también cómo se dividían naturales y decimales por la unidad seguida de ceros.

3.

Retratos

▶

4.

35 % de 80 5 28

Bodegones

▶

80 2 (36 1 28) 5 80 2 64 5 16

Hay 36 paisajes, 28 retratos y 16 bodegones. ●

¿Qué porcentaje de los cuadros son bodegones?

La suma de todos los porcentajes debe ser el 100 %. Porcentaje de bodegones: 100 % 2 (45 % 1 35 %) 5 100 % 2 80 % 5 20 % El 20 % de los cuadros son bodegones.

Para explicar • Comente paso a paso el problema resuelto, haciendo hincapié en el proceso de cálculo de porcentajes y en que la suma de todos es siempre 100. Trabaje en común la actividad 1 y el Hazlo así de la actividad 5, ya que tratan conceptos que suelen plantear dificultades a los alumnos. Para reforzar • Proponga a sus alumnos actividades mal resueltas y pídales que detecten los errores cometidos, como se indica en la página 58 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

1. Lee cada situación y contesta a la pregunta sin hacer operaciones. Después, calcula y comprueba tu respuesta.

5. ¿Quién pega más imanes en la nevera? ¿Por qué? Diego y Marina tienen 20 imanes cada uno. Diego pega en la nevera el 35 % de sus imanes y Marina el 20 % de los suyos.

●

Pedro tiene 16 imanes y Zaida tiene 12. Los dos pegan el 25 % de sus imanes en la nevera.

2. Calcula el precio rebajado de cada artículo y completa las tablas. Todos los artículos están rebajados un 25 %.

6. Precio sin rebaja

Competencias básicas Aprender a aprender Muestre a los alumnos todo lo que ya conocían de porcentajes les resulta útil para afrontar los problemas de esta página.

●

Precio rebajado

Precio sin rebaja

Cazadoras

56

Zapatos

46

Pantalones

36

Sandalias

35

Sudaderas

24

Deportivas

38

Precio rebajado

156

Otras actividades Soluciones 1. • Diego, porque pega un porcentaje mayor (35% . 20%). • Pedro, porque tiene más imanes (4 . 3). 2. 56 2 25 % 36 2 25 % 24 2 25 % 46 2 25 % 35 2 25 % 38 2 25 %

de de de de de de

56 5 36 5 24 5 46 5 35 5 38 5

42 27 18 34,5 26,25 28,5

• Mantenga una conversación con sus alumnos recordando qué son los impuestos, quién los establece (municipales, autonómicos, estatales...) y cuál es su utilidad. Plantee a continuación el cálculo de algunos precios aplicándoles el IVA correspondiente. Por ejemplo: – A los libros se les aplica un 4 % de IVA. Si un libro sin IVA cuesta 15 €, ¿cuál será su precio real de venta al público? – Al final de la carta de un restaurante pone «IVA no incluido». El precio que figura en uno de los platos es de 8 €. Si el IVA correspondiente es del 7 %, ¿cuánto costará realmente el plato? Proponga a los alumnos que planteen situaciones similares e investiguen en qué otros productos se añade el IVA.

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11 3. Calcula.

UNIDAD

●

Andrea ha comprado un ordenador que cuesta 835 más el 16 % de IVA. Paga con dos billetes de 500 . ¿Cuánto dinero le tienen que devolver?

●

En una bolsa hay 240 caramelos. El 45 % son de fresa y el resto son de menta. ¿Cuántos caramelos hay de cada sabor?

●

Un tren tiene 150 plazas. El 12 % de las plazas son en coche-cama y el resto en asiento. ¿Qué porcentaje de las plazas son en asiento? ¿Cuántas plazas hay de cada tipo?

Precios rebajados: Cazadoras: 42 € Pantalones: 27 € Sudaderas: 18 € Zapatos: 34,50 € Sandalias: 26,25 € Deportivas: 28,50 €

4. Resuelve. ●

Mario tiene 350 fotos de paisajes. El 24 % son de playas, el 36 % de montañas y el resto de bosques. ¿Cuántas fotos tiene de cada tipo? ●

●

En un concurso de disfraces, el ayuntamiento ha destinado 450 para premios. El primer premio es el 62 % del total, el segundo premio es el 28 %, y el tercer premio, el resto. ¿Cuánto dinero se destina a cada uno de los premios?

Carmen ha hecho un pedido de 250 refrescos para su bar. El 36 % de los refrescos eran de cola. Del resto, la mitad eran de naranja y la otra mitad de limón. ¿Qué porcentaje de los refrescos eran de naranja? ¿Cuántos refrescos pidió de cada sabor?

5. Calcula cuál es el porcentaje en cada caso. HAZLO ASÍ ●

●

En una clase de 24 alumnos, 6 van en ruta. ¿Qué porcentaje de los alumnos van en ruta? Construye una tabla de proporcionalidad y calcula. 6 3…

:… 24

100

▶

6

●

25

34

:4 24

100

De cada 100 alumnos, 25 van en ruta. Van en ruta el 25 % de los alumnos.

En una huerta de 38 árboles, 19 son manzanos. ¿Qué porcentaje de los árboles son manzanos? En una sala de un museo hay 85 insectos. De ellos 17 son mariposas. ¿Qué porcentaje de los insectos son mariposas?

6. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Explica tu respuesta. En una clase, el 25 % de los alumnos tienen un perro, el 12 % tienen una pecera con peces, el 3 % tienen una tortuga y el 65 % no tienen ninguna mascota. ¿Puedes asegurar que al menos uno de los alumnos de la clase tiene más de una mascota?

157

Otras actividades • Escriba en la pizarra (o pida a los alumnos que las completen) las siguientes equivalencias entre porcentajes y fracciones, habituales en situaciones cotidianas. 10 % 5

1 10

20 % 5

1 5

25 % 5

1 4

50 % 5

1 2

75 % 5

11

3 4

Razone con los alumnos que, para calcular el 10 %, 20 %, 25 % o 50 % de un número, basta con dividir dicho número entre 10, 5, 4 o 2, respectivamente. Para calcular el 75 % hay que multiplicar el número por 3 y dividirlo entre 4. Ponga algunos ejemplos para calcular mentalmente. Por ejemplo: 10 % de 80, 20 % de 45, 25 % de 32, 50 % de 60 y 75 % de 12.

3. • 835 1 16 % de 835 5 968,6 2 3 500 2 968,6 5 31,4 Le tienen que devolver 31,40 €. • 45 % de 240 5 108 240 2 108 5 132 Hay 108 caramelos de fresa y 132 de menta (el 55 %). • 100 2 12 5 88. El 88 % de las plazas son en asiento. 12 % de 150 5 18 88 % de 150 5 132 Hay 18 plazas en cochecama y 132 en asiento. 4. • 24 % de 350 5 84 36 % de 350 5 126 350 2 (84 1 126) 5 140 Tiene 84 fotos de playas, 126 de montañas y 140 de bosques. • 62 % de 450 5 279 28 % de 450 5 126 450 2 (279 1 126) 5 45 El primer premio es 279 €, el segundo es 126 € y el tercero es 45 €. • 100 2 36 5 64 64 : 2 5 32 Eran de naranja el 32 %. 36 % de 250 5 90 32 % de 250 5 80 Pidió 90 refrescos de cola, 80 de naranja y 80 de limón. 5. • 38 : 19 5 2; 100 : 2 5 El 50 % de los árboles manzanos. • 85 : 17 5 5; 100 : 5 5 El 20 % de los insectos mariposas.

50 son 20 son

6. 100 2 65 5 35 25 1 12 1 3 5 40 40 . 35 Sí, porque la suma de los porcentajes de los alumnos que tienen cada animal es mayor de 35 %, que son los alumnos que tienen alguna mascota.

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Escalas: planos y mapas Objetivos • Comprender el significado del término escala. • Calcular escalas numéricas en planos y mapas. • Aplicar las escalas en situaciones cotidianas.

Este es el plano del apartamento de Rocío. Está hecho a escala 1 : 150. ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio?

• Muestre la utilidad de la escala gráfica a la hora de obtener longitudes reales en planos o mapas. Indique que para obtener la escala numérica asociada hay que realizar un cálculo, como se muestra en la actividad 7.

Para reforzar • Pida a los alumnos que expliquen el procedimiento para obtener longitudes reales a partir de las del plano y de la escala (ver página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ).

Baño

Terraza

Cocina

Salón Dormitorio

La escala del plano es 1 : 150. Esto significa que 1 cm del plano representa 150 cm en la realidad. Para calcular las medidas reales del dormitorio, sigue estos pasos: 1.º Mide en centímetros, en el plano, el largo y el ancho del dormitorio.

2.º Calcula las medidas reales, sabiendo que está a escala 1 : 150.

Largo real ▶ 2,6 cm 3 150 5 390 cm 5 3,9 m Ancho real ▶ 1,4 cm 3 150 5 210 cm 5 2,1 m

Largo en el plano ▶ 2,6 cm Ancho en el plano ▶ 1,4 cm

Sugerencias didácticas Para explicar • Caracterice la escala como la relación numérica entre lo representado gráficamente y la medida real, y que esa relación se establece entre unidades de medida iguales. Deje claro el proceso de cálculo de longitudes reales a partir de longitudes en el plano o mapa.

5.

El dormitorio mide 3,9 m de largo y 2,1 m de ancho.

La escala de un plano o un mapa indica la relación que hay entre las medidas del plano o del mapa y las medidas reales.

6.

1. Mide con una regla en el plano de arriba y calcula las siguientes medidas reales. ●

El largo de la cocina.

●

El largo y el ancho de la terraza.

●

El ancho del baño.

●

El largo y el ancho del salón.

2. Explica qué significan estas escalas. Escala 1 : 50

Escala 1 : 90

Escala 1 : 100

7.

Escala 1 : 120

3. Escribe a qué escala está dibujado cada plano. ●

Plano A: 1 cm del plano representa 3 cm de la realidad.

●

Plano B: 1 cm del plano representa 30 cm de la realidad.

●

Plano C: 1 cm del plano representa 3 m de la realidad.

4. Observa la escala a la que está hecho el plano de cada jardín, mide y calcula

CÁ

el perímetro real.

Est

Escala 1 : 80

Escala 1 : 140

Escala 1 : 200

158

Competencias básicas Competencia cultural y artística Muestre que la proporcionalidad geométrica y las escalas son un recurso utilizado en distintas representaciones artísticas.

Otras actividades • Divida a la clase en grupos y entregue a cada uno una fotocopia de una parte de un mapa de carreteras (o un atlas) en la que aparezca la escala gráfica y distintas localidades. Pídales que calculen la escala numérica asociada y también que hallen: – Las distancias entre varias parejas de localidades.

Soluciones

– La longitud de un itinerario.

1. • 1,6 cm 3 150 5 240 cm 5 5 2,4 m Mide 2,4 m de largo. • 1 cm 3 150 5 150 cm 5 5 1,5 m Mide 1,5 m de ancho.

– Las localidades que están a menos de una distancia en kilómetros de una cierta localidad.

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11 5. Observa la escala a la que está hecho este mapa, mide y calcula la distancia real

UNIDAD

que recorre un avión en cada trayecto.

APRENDE

A Coruña

Mar Cantábrico

Bilbao

En el mapa la escala es gráfica. En ella, cada barrita mide 1 cm.

Zaragoza Barcelona

La escala de este mapa indica que 1 cm en el mapa representa 175 km en la realidad.

Madrid Valencia

OCÉANO

Badajoz

ATLÁNTICO

En este mapa se han marcado varios trayectos que recorre un avión en línea recta entre ciudades de España.

Mar Mediterráneo

Sevilla

Ceuta

OCÉANO ATLÁNTICO

▶ Ejemplo: De Madrid a Sevilla. Distancia en el plano: 2,2 cm Distancia real: 2,2 3 175 5 385 km

Melilla

0

ESCALA 350 175

525

Kilómetros

●

De Barcelona a Madrid.

●

De A Coruña a Zaragoza, pasando por Madrid.

●

De Bilbao a Valencia.

●

De Badajoz a Sevilla, ida y vuelta.

Mapa A 0

1

Mapa B

2

3

0

Kilómetros

4

8

Mapa C 12

0

Kilómetros

30

60

90

Kilómetros

●

¿Cuántos kilómetros en la realidad representa 1 cm en cada mapa?

●

¿Qué distancia real representan 5 cm en cada mapa?

¿Por qué crees que en los mapas se utiliza la escala gráfica en lugar de la escala numérica de los planos?

●

¿Cómo expresarías esta escala con números? 0

2

4

6

1 cm en el mapa son … 2 km 5 … cm

Kilómetros

▶

Escala 1 : …

CÁLCULO MENTAL Estima restas aproximando los números decimales a las unidades

5,2 2 2,7

5,2 ▶ 5 2,7 ▶ 3

52352

cm en el plano representa: 50 cm en la realidad. 90 cm en la realidad. 100 cm (1 m) en la realidad. 120 cm en la realidad.

3. • Plano A: escala 1 : 3 • Plano B: escala 1 : 30 • Plano C: escala 1 : 300 4. • (3 1 2 1 3,5) 3 80 5 680 680 cm 5 6,8 m • (2 1 3,7 1 1,5 1 2) 3 3 140 5 1.288 1.288 cm 5 12,88 m • (1,5 1 2,5 1 1,5 1 1,5 1 1 3) 3 200 5 2.000 2.000 cm 5 20 m


• 3,4 cm 3 150 5 510 cm 5 5 5,1 m; 0,8 cm 3 150 5 5 120 cm 5 1,2 m Mide 5,1 m de largo y 1,2 m de ancho. • 3,4 cm 3 150 5 510 cm 5 5 5,1 m; 2,2 cm 3 150 5 5 330 cm 5 3,3 m Mide 5,1 m de largo y 3,3 m de ancho. 2. 1 • • • •

6. Observa cada escala gráfica y contesta.

11

4,6 2 2

7,7 2 4,8

10,8 2 1,2

5 2 3,8

4,1 2 2,9

14,7 2 3,6

9,1 2 7

8,2 2 6,3

25,3 2 14,8

159

Otras actividades • Proponga a sus alumnos que hagan un plano de su dormitorio a escala 1 : 50, incluyendo la cama, el hueco de la puerta, el armario y la ventana. Para ello, pídales que tomen las medidas necesarias y completen la siguiente tabla: Habitación

Cama

Armario

Largo

Real → … m En plano → … cm



Ancho




5. • 2,9 3 175 5 507,5 Hay 507,5 km. • 2,7 3 175 5 472,5 Hay 472,5 km. • (2,9 1 1,6) 3 175 5 787,5 Hay 787,5 km. • 2 3 1 3 175 5 350. Hay 350 km. 6. • Mapa A ▶ 1 km Mapa B ▶ 4 km Mapa C ▶ 30 km • Mapa A ▶ 5 3 1 5 5 km Mapa B ▶ 5 3 4 5 20 km Mapa C ▶ 5 3 30 5 150 km 7. • R. M. Porque los mapas indican distancias grandes y el número de la escala tendría demasiadas cifras. • 1 cm en el mapa son 2 km. 2 km 5 200.000 cm Escala 1 : 200.000

Cálculo mental • 3 3 1 1 2 2

10 11 10

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Actividades 1. Completa y pon un ejemplo.

Objetivos

Félix ha hecho 3 fotocopias de un dibujo, cada una a un tamaño distinto:

Son proporcionales


●

El número de barras de pan que compro y…

●

El número de jugadores de un equipo de fútbol y …

Fotocopia A

▶

Al 60 % del original.

Fotocopia B

▶


Fotocopia C

▶


¿Cómo es cada fotocopia respecto del original: mayor, menor o igual?

No son proporcionales


●

El tiempo que dura un programa de televisión y …

Competencia lingüística Muestre la importancia de utilizar los términos matemáticos de la unidad con propiedad y de forma adecuada al contexto.

●

El número de goles que mete un equipo de fútbol en un partido y …

6. Mide con una regla y calcula cuánto mide cada barra en la realidad. Escala 1 : 300

2. ESTUDIO EFICAZ. Explica cómo calculas los números de cada fila de una tabla de proporcionalidad y completa. 1

3

4 32

Soluciones

9.


15 64

80

7. Calcula el largo y el ancho reales de los 160

ER

siguientes muebles, sabiendo que el plano está a escala 1 : 60.

3. Resuelve. Después, contesta.

1. R. M. • Número de barras de pan que compro y dinero que pago. • Número de jugadores y número de camisetas. • Tiempo que dura un programa y presentadores que tiene. • Número de goles y partidos ganados. 2. Los números de la segunda fila se calculan multiplicando por un número los de la primera, y los de la primera se calculan dividiendo los de la segunda entre ese mismo número. 1

3

4

8

10

8

24

32

64

80 120 160

15

20

En una tienda han vendido 80 yogures. El 20 % de los yogures eran de fresa. ¿Cuántos yogures de fresa han vendido? De los 80 yogures, 20 eran de chocolate. ¿Qué porcentaje de los yogures vendidos eran de chocolate? ●

¿Qué porcentaje de yogures vendidos es mayor: el de fresa o el de chocolate?

●

¿De qué sabor se han vendido más yogures: de fresa o de chocolate?

4. ¿Qué regalo prefieres en cada caso? Lee y resuelve. Al comprar pistachos te dan, además, uno de estos regalos: 2 10 g.

2 El 10 % de tu compra.

●

Compras 500 g de pistachos.

●

Compras 50 g de pistachos.

●

●

La cama.

●

La mesa.

El armario.

8. Observa la escala y calcula. Escala

A 0

8

16

24

Kilómetros

C B

Jorge va por la mañana de A a B. Por la tarde vuelve de B a A pasando por C. ¿Cuántos kilómetros recorre por la tarde más que por la mañana?

160

124599 _ 0152-0163

3. 20 % de 80 5 16. Han vendido 16 yogures de fresa. 80 : 20 5 4; 100 : 4 5 25 Eran de chocolate el 25 %. • Es mayor el de chocolate. • Se han vendido más yogures de chocolate. 4. • 500 1 10 5 510 500 1 10 % de 500 5 550 500 g ▶ Prefiero el 10 %. • 50 1 10 5 60 50 1 10 % de 50 5 55 50 g ▶ Prefiero 10 g. 5. La fotocopia A es menor, la fotocopia B es igual y la C es mayor.

Otras actividades • Agrupe a sus alumnos por parejas y pídales que realicen un trabajo utilizando el cálculo de porcentajes y proporcionalidades en un caso concreto. Por ejemplo: – La entrada a la piscina de adulto cuesta 5 € y la de niño 3 €. – Si los niños son menores de 6 años, tienen un 10 % de descuento. – Los jubilados tienen un descuento de 1 €. – Las familias numerosas tienen un descuento de un 20 % del total. Pídales que realicen un folleto informativo con los precios que pagará una familia con diferente número de miembros y edades, o proponga situaciones del tipo: ¿Cuánto pagará una familia con un jubilado, un matrimonio y cuatro hijos, dos de ellos menores de 6 años?, y que se las intercambien para resolverlas.

160 124603 _ 0206-0219.indd

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11 UNIDAD

10. Resuelve.

y contesta. ●

Irene ha hecho 6 pulseras iguales con 48 piedrecitas de colores. ¿Cuántas piedrecitas necesita Irene para hacer 10 pulseras iguales? ¿Y para hacer 15 pulseras? ¿Cuántas pulseras iguales puede hacer Irene con 72 piedrecitas? ¿Y con 128 piedrecitas?

●

Una máquina de una fábrica de conservas envasa 300 botes cada 20 minutos. ¿Cuántos botes envasará en 30 minutos? ¿Y en una hora? ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en envasar 135 botes? ¿Y en envasar 705 botes?

En un jardín se han plantado 250 flores. El 46 % de las flores son claveles chinos, el 28 % son petunias y el 26 % son pensamientos. ¿Cuántas flores se han plantado de cada tipo? Una semana después se habían estropeado el 10 % de las petunias. ¿Cuántas petunias se han estropeado?

●

Javier tiene un puesto de bocadillos. Hoy ha preparado 48 bocadillos y ya ha vendido 12. ¿Qué porcentaje de los bocadillos preparados ha vendido ya?

●

De los 60 músicos de una banda, 30 tocan el tambor y 12 la trompeta. ¿Qué porcentaje de los músicos tocan el tambor? ¿Y la trompeta?

7. • Cama: 180 cm de largo y 90 cm de ancho. • Mesa: 96 cm de largo y 60 cm de ancho. • Armario: 120 cm de largo y 48 cm de ancho.

Ajustar recetas para distinto número de personas

Ángela quiere hacer espaguetis con tomate para comer y mira en la receta las cantidades que necesita de cada ingrediente.

¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita Ángela si quiere preparar el plato solo para 2 personas? ¿Y si lo quiere hacer para 6 personas?

▶

de

9

16

:8

48 80 120 72 128

Para 6 personas

●

Espaguetis

●

Chorizo

●

Queso

●

INGREDIENTES PARA 5 PERSONAS Espaguetis ▶ 375 g Chorizo ▶ 150 g Queso ▶ 100 g Tomate ▶ 300 g

Tomate

161 124599 _ 0152-0163.indd 161

31/3/09

Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla:

20

30

60

9

47

: 15

300 450 900 135 705

450 botes. 900 botes. 9 minutos. 47 minutos.

Cantidad de cada ingrediente Para 2 personas

▶

3 15

24

Para 5 personas

6 10 15

38

80 piedrecitas. 120 piedrecitas. 9 pulseras. 16 pulseras.

Completa la tabla averiguando la cantidad de cada ingrediente que necesita según el número de personas que vayan a comer.

Ingrediente

8. A 2 B ▶ 3,5 3 8 5 28 km B 2 C 2 A ▶ (5 1 3) 3 8 5 5 64 km; 64 2 28 5 36 Recorre 36 km más. 9.

Se da cuenta de un problema: la receta está preparada para 5 personas.

rio.

6. • Naranja: 1,8 3 300 5 540 540 cm 5 5,4 m • Roja: 4,2 3 300 5 1.260 1.260 cm 5 12,6 m • Verde: 3,8 3 300 5 1.140 1.140 cm 5 11,4 m

▶

ERES CAPAZ DE…

●

▶

9. Construye una tabla de proporcionalidad

11

10. • 46 % de 250 5 115 28 % de 259 5 70 26 % de 250 5 65 Se han plantado 115 claveles chinos, 70 petunias y 65 pensamientos. 10 % de 70 5 7. Se han estropeado 7 petunias. • 48 : 12 5 4; 100 : 4 5 25 21:03:40 Ha vendido el 25 %. • 60 : 30 5 2; 100 : 2 5 50 60 : 12 5 5; 100 : 5 5 20 Tocan el tambor el 50 % y tocan la trompeta el 20 %.

Unidad 11 Proporcionalidad y porcentajes Lo que he aprendido


Eres capaz de… Cantidad

Proporcionalidad. Problemas Problemas de porcentajes Escalas: planos y mapas

Ingrediente

5 per.

Espaguetis

375 g 150 g 450 g

2 per.

6 per.

Chorizo

150 g

60 g 180 g

Queso

100 g

40 g 120 g

Tomate

300 g 120 g 360 g

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217

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Solución de problemas Resolver un problema empezando por el final Objetivos • Resolver un problema comenzando por el final.

Sugerencias didácticas Para explicar • Señale que con esta estrategia resolvemos el problema de «forma inversa» al proceso habitual. Muestre la importancia de realizar un esquema gráfico en el que primero anotaremos los datos numéricos y las operaciones realizadas en los pasos sucesivos, y después (partiendo del dato final) realizaremos las operaciones inversas a las llevadas a cabo en el otro sentido para resolver así el problema.

1.

María estuvo mirando el precio de un televisor en enero. Decidió no comprarlo y volvió a la tienda en febrero. Vio que habían rebajado el precio un 20 %. Cuando fue a comprarlo a mitad de marzo, el precio era 30 menor que en febrero. El televisor le costó 370 . ¿Cuánto costaba en enero?

2.

▶ Hacemos un esquema y escribimos en él los datos. En los recuadros irán los precios sucesivos.

3.

Date cuenta de que una rebaja del 20 % significa que el precio tras la primera rebaja era un 80 % del precio inicial. 3 0,8

Precio en enero

2 30

Precio en febrero

4.

370 Precio en marzo

5.

Avanzamos hacia atrás empezando por el final. Calculamos primero el precio en febrero (370 1 30 5 400 ), y después el precio en enero (400 : 0,8 5 500 ). 3 0,8

500 Precio en enero

Competencias básicas Tratamiento de la información Muestre a los alumnos como en el esquema gráfico que realizamos para resolver el problema aparece información que nos da el enunciado y otra que debemos deducir e incorporar nosotros.

EJE

En algunos problemas, para resolverlos, tenemos que comenzar utilizando los datos del final e ir avanzando hacia atrás. Resuelve así estos problemas.

: 0,8

2 30

400

1 30

Precio en febrero

370 Precio en marzo

6.

Solución: En enero, el televisor costaba 500 .

7.

1. Ana corrió el martes la mitad que el lunes, y el miércoles corrió 1,8 km menos que el martes. El miércoles corrió 5 km. ¿Cuántos kilómetros corrió el lunes?

2. Maite ha escrito un número. Le ha restado 90 y luego la diferencia la ha dividido entre 7. El resultado final ha sido 20. ¿Qué número ha escrito Maite?

3. El lunes se apuntaron a una excursión muchas personas. El miércoles se habían borrado 15 personas de las apuntadas el lunes, y el viernes, al cerrar la lista, quedaban apuntadas el 90 % de las personas que había apuntadas el miércoles. Fueron a la excursión 180 personas. ¿Cuántas personas se apuntaron el lunes?

8.

4. INVENTA. Escribe un problema que se pueda resolver empezando por el final.

Soluciones

162 2 1,8

:2

1. 13,6 L

▶

▶

32

6,8 M

▶

▶

1 1,8

5 X

Otras actividades

El lunes corrió 13,6 km. 2 90

2. 230

▶

▶

1 90

:7

140

▶

▶

37

20

Maite escribió el número 230. 2 15

3. 215 L

▶

▶

1 15

• Escriba en la pizarra algunos esquemas como el siguiente:

3 0,9

200

▶

▶

180

: 0,9

M

• Proponga a sus alumnos que planteen el enunciado de un problema que se resuelva con dos operaciones y que lo resuelvan. A continuación, pídales que reescriban el enunciado para obtener un problema que se resuelva comenzando por el final.

X

32

2 150

1 75

85

Se apuntaron 215 personas. Después, pida a los alumnos que calculen el número inicial del esquema e inventen el enunciado de un problema que se resuelva partiendo del dato final para averiguar el inicial.

4. R. L.

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218

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11

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS se lee. ●

●

8,93

●

6,7

●

2,304

19,035

2. Expresa con cifras. Siete unidades y tres décimas.

●

Once unidades y quince centésimas.

●

Tres unidades y cuarenta milésimas.

3. ESTUDIO EFICAZ. Explica con tus palabras cómo se comparan dos números decimales.

4. Ordena de mayor a menor cada grupo. 2,8

●

9,314

2,9 9

2,954 9,4

9,134

2,96 9,03

2,961 9,341

5. Calcula. 2,75 1 9,884

●

150,06 : 1,23

3,4 2 1,765

●

132 : 8,25

●

2,8 3 6,02

●

8,076 : 12

●

0,106 3 1.000

●

471,9 : 1.000

● ●

6. Calcula. ● ●

(

3 2 4 3 2 7 7 14 7,5 3 6 : 2,5

9. Luis tiene 12 años y es 5 años mayor que su hermano. Entre los dos tienen 20 años menos que su padre. ¿Cuántos años tienen entre los tres?

10. Pedro ha comprado 6 botes de tomate

●

●

Soluciones

PROBLEMAS

1. Descompón cada número y escribe cómo

)

● ●

y un kilo de macarrones que cuesta 2,10 . Ha pagado con 12 y le han devuelto 1,50 . ¿Cuánto le ha costado cada bote de tomate?

11. Jorge ha ido a un vivero a comprar pinos para repoblar. En el vivero hay 1.080 pinos y se venden a 4 la docena. Jorge quiere comprarlos todos y cuenta con 350 . ¿Le falta o le sobra dinero? ¿Cuánto?

1. • 8 U 1 9 d 1 3 c 5 8 1 1 0,9 1 0,03. 8 unidades y 93 centésimas. • 6 U 1 7 d 5 6 1 0,7 6 unidades y 7 décimas. • 2U13d14m521 1 0,3 1 0,004. 2 unidades y 304 milésimas. • 1D19U13c15m5 5 10 1 9 1 0,03 1 0,005 19 unidades y 35 milésimas. 2. • 7,3

12. Dos tercios de un grupo de 36 amigos tienen el pelo moreno, dos novenos lo tienen rubio y el resto son calvos. ¿Qué color de pelo es el más común? ¿Cuántos amigos del grupo son calvos?

13. María tiene 4 jarras con 1,5 litros de limonada en cada una. Llena 12 vasos de un tercio de litro cada uno. ¿Cuántos litros de limonada le quedan en las jarras?

4 6 5 3 2 2 3 4 8 3 (9 2 1,4 : 2)

¿Cuántas bases tiene un triángulo? ¿Y un paralelogramo?

●

Si eliges una base de un triángulo, ¿cuántas alturas tiene esa base? ¿Cuántas alturas tiene una base de un paralelogramo?

%

8. Halla la longitud de cada circunferencia. ●

Su radio mide 5 cm.

●

Su diámetro mide 20 cm.

14. En una fábrica han envasado 3.960 ¬ de

refresco en botes de 0,33 ¬ cada uno. Los han empaquetado en paquetes de 6 y los paquetes en palés de 50 paquetes cada uno. Venden cada palé a 42,50 . ¿Cuánto dinero vale todo el refresco envasado?

163

Repaso en común • Entregue a sus alumnos el plano de una vivienda a una escala determinada. Pida a sus alumnos que, a partir de él, realicen determinados cálculos como los siguientes: – Calcular las dimensiones reales de cada habitación. – Establecer una tabla de proporcionalidad entre superficie y precio del metro cuadrado construido, así como el cálculo total del precio del inmueble según los datos. – Calcular el precio que se debe pagar por cambiar el suelo de las habitaciones en función del precio por metro cuadrado del nuevo suelo y de la superficie de cada una de ellas. Pida a los alumnos que propongan otras actividades similares en las que apliquen aspectos aprendidos en esta unidad.

• 11,15

• 3,040

3. R. L. 4. • 2,961 . 2,96 . 2,954 . . 2,9 . 2,8 • 9,4 . 9,341 . 9,314 . . 9,134 . 9,03 . 9 5. • • • •

12,634 1,635 16,856 106

• • • •

10 5 5 98 49 • 18

•

6. •

7. Contesta. ●

11

122 16 0,673 0,4719

22 11 5 12 6 • 66,4

7. • 3 bases. 4 bases. • 1 altura. 2 alturas. 8. • L 5 2 3 p 3 r 5 2 3 3 3,14 3 5 cm 5 31,4 cm • L 5 d 3 p 5 20 cm 3 3 3,14 5 62,8 cm 9. 12 2 5 5 7 (12 1 7) 1 20 5 39 12 1 7 1 39 5 58 Entre los tres tienen 58 años. 10. 12 2 1,50 5 10,50 (10,50 2 2,10) : 6 5 1,40 Cada bote cuesta 1,40 €. 11. (1.080 : 12) 3 4 5 360 Le faltan 10 € (360 2 350). 12. 2/3 de 36 5 24 2/9 de 36 5 8 36 2 (24 1 8) 5 4 El más común es el moreno. Son calvos 4 amigos. 13. 4 3 1,5 5 6; 12 3 1/3 5 4 6 2 4 5 2. Quedan 2 litros. 14. 3.960 : 0,33 : 6 5 2.000 2.000 : 50 5 40 40 3 42,50 5 1.700 Vale 1.700 €.

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12

Longitud, capacidad, masa y superficie

E

Programación Objetivos • Conocer las unidades de longitud, capacidad, masa y superficie y sus equivalencias. • Realizar cambios de unas unidades a otras. • Estimar medidas y elegir la unidad más adecuada.

Contenidos • Las unidades de longitud y sus relaciones.

• Resolver problemas con unidades de medida.

• Las unidades de capacidad y sus relaciones.

• Conocer las unidades agrarias (ca, a y ha) y sus equivalencias con el m2, dam2 y hm2.

• Las unidades de masa y sus relaciones.

• Representar gráficamente la situación de un problema para entenderlo mejor y resolverlo.

• Las unidades de superficie y sus relaciones.

R

• • • •

• Las unidades agrarias.

Criterios de evaluación • Nombra las unidades de longitud, capacidad, masa y superficie y conoce sus abreviaturas. • Conoce y aplica las equivalencias entre unidades para realizar cambios de unidad. • Expresa en una sola unidad medidas dadas en varias unidades, y viceversa. • Indica en qué unidad expresaría una determinada medida y estima medidas sencillas. • Resuelve problemas con unidades de medida. • Nombra las unidades agrarias (ca, a y ha) y aplica sus equivalencias con el m2, dam2 y hm2. • Representa gráficamente la situación de un problema para entenderlo mejor y lo resuelve.

• Estimación de medidas. • Resolución de problemas con unidades de medida.

E

• Representación gráfica de la situación de un problema como ayuda para su resolución.

• •

• Valoración de la utilidad de la medida exacta y de su estimación en situaciones cotidianas. • Interés por expresar las medidas en la unidad más adecuada a la situación.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia lingüística, Autonomía e iniciativa personal, Aprender a aprender, Tratamiento de la información, Competencia social y ciudadana y Competencia cultural y artística.

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Esquema de la unidad UNIDAD 12. LONGITUD, CAPACIDAD, MASA Y SUPERFICIE

Unidades de longitud. Relaciones Unidades de superficie

Unidades de capacidad. Relaciones Relaciones entre unidades de superficie

Unidades de masa. Relaciones Unidades agrarias

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 1, pág. 176. • Detectar errores en el procedimiento: actividad 4, pág. 179.

Previsión de dificultades Pueden presentarse dificultades en estos aspectos: • Elegir la operación adecuada para realizar el paso de una unidad a otra. Trabaje repetidamente los esquemas de paso de unidades con sus equivalencias. • Pasar medidas expresadas en forma compleja a incompleja, y viceversa. Utilice el cuadro de unidades al principio. • Expresar la solución de los problemas en la unidad indicada. Insista en la necesidad de leer detenidamente el enunciado de los problemas para conocer exactamente qué es lo que nos pregunta. Pida a los alumnos que expresen todos los datos en la unidad pedida.


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12 Objetivos

Longitud, capacidad, masa y superficie

RE

L

• Reconocer situaciones reales donde aparecen unidades de medida. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Sugerencias didácticas • Comente la situación de partida y pida a los alumnos que indiquen qué unidades de medida aparecen en ella y qué magnitud mide cada una. Pregúnteles si son unidades principales de medida de su magnitud y si no lo son, que digan su equivalencia con la unidad principal. Resuelva en común las actividades. • El apartado Recuerda lo que sabes le ayudará a hacerse una idea exacta de los conocimientos previos sobre unidades de medida que tienen sus alumnos. Resuelva las posibles dudas dejando clara la relación de las unidades de cada magnitud con su unidad principal.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Observando la fotografía con la que se inicia la unidad, hable con sus alumnos sobre la necesidad de compatibilizar el desarrollo y el cuidado del medio ambiente, buscando siempre una interacción armónica. Competencia lingüística Recuerde a sus alumnos los nombres de las unidades de medida principales y los significados de los prefijos que anteponemos a cada una para formar los nombres de las demás unidades (kilo- , hecto-, deca-, deci-, centi-, mili-). Muestre que los mismos prefijos se repiten en longitud, capacidad y masa indicando una misma relación con la unidad principal.

Los ríos tienen una enorme importancia para el medio ambiente y para el ser humano. Su agua se utiliza en la agricultura, el consumo humano, la obtención de energía… Muchas ciudades y pueblos están a la orilla de un río. La cantidad de agua que lleva un río se llama caudal y varía mucho. En la tabla aparecen indicados el caudal medio y la longitud de algunos ríos de España. Caudal medio en kl por segundo

Longitud en km 310

Miño

340

Duero

675

895

Tajo

444

1.007

Guadiana

78

818

Guadalquivir

164

657

Ebro

426

910

Júcar

49

498

Segura

26

325

1.

●

¿Cuántos litros son 1 kilolitro (kl)? ¿Cuántos litros por segundo tiene el caudal medio del río Miño?

●

¿Cuántos metros son 1 kilómetro? ¿Cuál es la longitud en metros del río Júcar?

●

¿Qué ríos tienen un caudal medio mayor de 350.000 litros por segundo? ¿Cuál es la longitud en metros de cada uno de ellos?

164

Otras formas de empezar • Utilice la medida con pasos como técnica de motivación para iniciar la unidad. Proponga a cada alumno que, en el patio, moje la suela de sus zapatos para que quede la marca y camine varios pasos. Después, con una cinta métrica debe medir la distancia recorrida y calcular la longitud media de sus pasos en metros. Con este dato, los alumnos pueden calcular el largo del pasillo, el ancho de la clase, etc., multiplicando el número de pasos dados por la longitud media de cada paso. Explique que esta técnica se usaba antiguamente y que, aunque puede ser útil en ocasiones, no es exacta y por ello se hace necesario el uso de unas unidades de medida convencionales y precisas.

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UNIDAD

Longitud, capacidad y masa

Soluciones

LONGITUD ▶ El metro (m) es la unidad principal.

Múltiplos del metro

Página inicial • 1 kilolitro son 1.000 litros. 340 kl/s 5 340.000 l/s • 1 kilómetro son 1.000 metros. 498 km 5 498.000 m • Tienen un caudal medio mayor los ríos: Duero, Tajo y Ebro. Longitudes: Duero ▶ 895.000 m Tajo ▶ 1.007.000 m Ebro ▶ 910.000 m

Submúltiplos del metro

Decámetro (dam)

▶

1 dam 5 10 m

Decímetro (dm)

▶

Hectómetro (hm)

▶

1 hm 5 100 m

Centímetro (cm)

▶

1 m 5 100 cm

Kilómetro (km)

▶

1 km 5 1.000 m

Milímetro (mm)

▶

1 m 5 1.000 mm

1 m 5 10 dm

CAPACIDAD ▶ El litro (¬) es la unidad principal.

Múltiplos del litro Decalitro (dal)

▶

Hectolitro (hl)

▶

Kilolitro (kl)

▶

12

Submúltiplos del litro

1 dal 5 10 ¬

Decilitro (dl) Centilitro (cl)

1 kl 5 1.000 ¬

▶

Mililitro (ml)

▶

1 hl 5 100 ¬

▶

1 ¬ 5 10 dl

1 ¬ 5 100 cl

1 ¬ 5 1.000 ml

Recuerda lo que sabes MASA ▶ El kilogramo (kg) es la unidad principal.

1. • 3.000 m 260 m 25 dam 0,724 km 50 dm 720 cm 3,49 m 0,87 m

El gramo (g) es una unidad muy usada.

Múltiplos del gramo

Submúltiplos del gramo

Decagramo (dag)

▶

1 dag 5 10 g

Decigramo (dg)

▶

Hectogramo (hg)

▶

1 hg 5 100 g

Centigramo (cg)

▶

1 g 5 100 cg

Kilogramo (kg)

▶

1 kg 5 1.000 g

Miligramo (mg)

▶

1 g 5 1.000 mg

VAS A APRENDER

1. Completa.

¬

3 km 5 … m

7,8 hl 5 …

2,6 hm 5 … m

1,92 dal 5 … ¬

250 m 5 … dam

4.300 ¬ 5 … kl

4,2 dag 5 … g 0,75 kg 5 … g

92 ¬ 5 … dal

113 g 5 … kg

5 m 5 … dm

9 ¬ 5 … cl

2,8 g 5 … dg

349 cm 5 … m 870 mm 5 … m

6,4 ¬ 5 … ml

120 dl 5 … ¬

160 cl 5 … ¬

●

A conocer y utilizar las unidades de longitud, capacidad, masa y superficie.

●

A realizar estimaciones en distintos contextos.

●

A resolver problemas donde aparezcan unidades de medida.

974 g 5 … hg

724 m 5 … km

7,2 m 5 … cm

1 g 5 10 dg

64 g 5 … cg 375 mg 5 … g 46,9 dg 5 … g

165

Vocabulario de la unidad

• 780 l 19,2 l 4,3 kl 9,2 dal 900 cl 6.400 ml 12 l 1,6 l • 42 g 750 g 9,74 hg 0,113 kg 28 dg 6.400 cg 0,375 g 4,69 g

• Kilómetro, hectómetro, decámetro, metro, decímetro, centímetro y milímetro • Kilolitro, hectolitro, decalitro, litro, decilitro, centilitro y mililitro • Kilogramo, hectogramo, decagramo, gramo, decigramo, centigramo y miligramo, tonelada y quintal • Superficie, kilómetro cuadrado, hectómetro cuadrado, decámetro cuadrado, metro cuadrado, decímetro cuadrado, centímetro cuadrado y milímetro cuadrado • Unidad agraria, centiárea, área y hectárea

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Unidades de longitud. Relaciones Objetivos • Conocer las unidades de longitud y sus relaciones. • Realizar cambios de una unidad de medida a otra.

4.

La distancia entre dos ciudades se mide en kilómetros. La anchura de una hoja de papel se mide en centímetros.

Las unidades de longitud forman un sistema decimal. Observa las unidades de longitud y las relaciones entre ellas. Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica 3 10

• Ordenar medidas expresadas en distintas unidades.

km

3 10 hm

• Resolver problemas con unidades de longitud.

: 10

3 10

3 10

dam

m

: 10

: 10

3 10 dm

: 10

3 10 cm

: 10

mm

: 10

Para pasar de una unidad a otra mayor se divide

En estos ejemplos puedes ver cómo pasar de una unidad a otra.

Sugerencias didácticas Para empezar • Razone con los alumnos que en la realidad necesitamos unidades de longitud grandes y pequeñas. Pídales que aporten ejemplos de situaciones en las que se utilicen unidades de cada tipo.

5.

3 1.000 ●

●

De dam a cm ▶ dam De mm a dm ▶

dm

3 10

: 10

m

3 10

cm

: 10

dm

3 10

cm

6 dam 5 6 3 1.000 5 6.000 cm

6.

4 mm 5 4 : 100 5 0,04 dm

mm

7.

: 100

1. Completa el cuadro en tu cuaderno. 3 10

Para explicar • Deje claro el esquema de paso de unas unidades a otras y comente los ejemplos resueltos, señalando la potencia de 10 por la que multiplicamos o dividimos en cada uno. • Trabaje el paso de expresiones complejas a incomplejas y la ordenación, mostrando la necesidad, en el primer caso, de expresar todas las medidas en la unidad indicada, y en una misma unidad antes de ordenar en el segundo. Para reforzar • Pida a los alumnos que inventen actividades similares a las trabajadas siguiendo las pautas de la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Valore positivamente en sus alumnos la iniciativa a la hora de resolver por sí mismos las actividades planteadas, intentando no pedir ayuda salvo si es estrictamente necesario.

km

m

cm

: 10

2. Escribe qué operación hay que hacer para pasar de una unidad a otra. ▶ Ejemplos: De hm a cm ▶ Multiplicar por 10.000.

De dam a km ▶ Dividir entre 100.

●

De dm a km

●

De km a cm

●

De dam a mm

●

De hm a dm

●

De cm a dam

●

De mm a dm

CÁ

Sum

3. Completa. 0,035 km 5 ... cm

1,26 dm 5 ... mm

9.876 cm 5 ... hm

620 mm 5 ... dm

0,015 dam 5 ... mm

5,3 dam 5 ... cm

4,376 hm 5 ... cm

0,36 hm 5 ... km

21.034 dm 5 ... dam

166

Otras actividades • Escriba en la pizarra dos columnas: una con longitudes de objetos o distancias de la clase, y otra, con medidas expresadas en unidades inadecuadas. Por ejemplo: Longitud de un bolígrafo Altura de la puerta Altura de la clase Longitud de la clase

1.900 mm 0,230 dam 0,00015 km 90 dm

Proponga a los alumnos que realicen los cambios de unidad que consideren más oportunos, y que relacionen las dos columnas correctamente.

166 124603 _ 0220-0237.indd 224

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12 4. Expresa en la unidad indicada.

UNIDAD

12

▶ Ejemplo: 0,3 km y 250 mm en m ▶ 0,3 km y 250 mm 5 300 m 1 0,25 m 5 300,25 m

Soluciones

En dam

km : 10

En dm

En mm

1,2 dam y 4 mm

0,002 hm y 7 dm

4 hm, 3 m y 78 mm

4,5 dam, 23 dm y 5 mm

0,001 km, 25 cm y 690 mm

0,1 m, 8 dm y 26 cm

2. • • • • • •

5. Expresa todas las medidas en la misma unidad y ordénalas de menor a mayor. 49,95 dm

0,05 hm

5,01 m

4.975 mm

502 cm

0,51 dam

6. Escribe dos objetos o distancias cuya longitud expresarías con cada unidad indicada. ●

Metro

●

Centímetro

●

Kilómetro

●

Milímetro

7. Resuelve. ●

En un hormiguero hay 4 millones de hormigas. Cada una mide 3 mm de largo. Si se colocasen todas en fila, sin dejar ningún espacio entre ellas, ¿la longitud de la fila sería mayor o menor de 10 km?

●

Un herrero tiene 5 dam de cinta metálica en un rollo. La ha cortado en trozos de 25 cm. ¿Cuántos ha obtenido?

●

Un ciclista entrena en una pista cubierta de 4 hm de largo. Cada día recorre 15 km y 600 m. ¿Cuántas vueltas da a la pista?

●

Al dar un paso, Luis recorre 82 cm. De casa al colegio da 800 pasos. ¿Qué distancia en kilómetros recorre?

Suma un número decimal y un número natural

15,89

hm dam m dm cm mm : 1.000

4,9 1 8

9 1 6,75

11,5 1 7

5,6 1 7

5 1 8,62

44,86 1 3

14,2 1 3

7 1 13,98

19 1 6,7

167

Otras actividades • Comente que existen otras unidades de longitud que se utilizan en determinadas áreas científicas. Por ejemplo: – En Biología se usa la micra (μ), que es la milésima parte del milímetro. Por ejemplo, el diámetro de un glóbulo rojo mide 6 μ. – Para medir grandes distancias se utiliza la UA (unidad astronómica), que equivale a 150.000.000 km. – El año luz es la distancia que recorre en línea recta la luz en un año a una velocidad de 300.000 km/s. Pida a sus alumnos que busquen en revistas, enciclopedias o en Internet artículos científicos donde aparezcan estas y otras unidades de medida y que los lleven a clase. Realice una puesta en común con todo lo que aporten los alumnos.

: 100

Dividir entre 10.000. Multiplicar por 1.000. Multiplicar por 100.000. Dividir entre 1.000. Multiplicar por 10.000. Dividir entre 100.

3. 3.500 cm 6,2 dm 43.760 cm 126 mm 150 mm 0,036 km 0,9876 hm 5.300 cm 210,34 dam 4. • 300,04 m • 91,08 m 197,5 m • 120,04 dm • 4.030,78 dm 19,4 dm

CÁLCULO MENTAL

3,89 1 12

3 1.000 ▶

512 m, 96 cm y 520 mm

3 100 ▶

0,12 km, 7 dam y 75 dm

3 10

1.

▶

3 dam, 2 m y 16 cm

▶

2,5 hm y 975 dm

9 dam, 1 m y 8 cm

▶

3 hm y 40 mm

▶

En m

34,75 dam 3,216 dam 51,348 dam 900 mm 47.305 mm 1.160 mm

5. 4.975 mm , 49,95 dm , , 0,05 hm , 5,01 m , , 502 cm , 0,51 dam 6. R. M. • Largo de una habitación. • Ancho de una libreta. • Distancia recorrida en un viaje. • Grosor de una tabla. 7. • 12.000.000 mm 5 12 km Sería mayor de 10 km. • 5 dam 5 5.000 cm 5.000 : 25 5 200 Ha obtenido 200 trozos. • 15 km y 600 m 5 156 hm 156 : 4 5 39 Da 39 vueltas. • 82 3 800 5 65.600 65.600 cm 5 0,656 km Recorre 0,656 km.

Cálculo mental • 12,9 15,75 12,6 13,62 17,2 20,98

18,5 47,86 25,7

167 124603 _ 0220-0237.indd 225

6/7/09 16:55:48

Unidades de capacidad. Relaciones Objetivos • Conocer las unidades de capacidad y sus relaciones. • Realizar cambios de una unidad a otra.

4.

El tetrabrik tiene 1 litro de leche. En el vaso caben 20 centilitros de leche.

Las unidades de capacidad también forman un sistema decimal. Observa las unidades de capacidad y las relaciones entre ellas. Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica 3 10

• Ordenar capacidades expresadas en distintas unidades.

kl

3 10

3 10

hl

• Resolver problemas con unidades de capacidad.

: 10

3 10

¬

dal

: 10

5.

3 10 dl

: 10

: 10

3 10 cl

: 10

ml

: 10

6. Para pasar de una unidad a otra mayor se divide

En estos ejemplos puedes ver cómo pasar de una unidad a otra.

Sugerencias didácticas Para empezar • Muestre a los alumnos diferentes recipientes (vasos, jarras, garrafas…) y comente sus capacidades. Comente también la utilidad de unidades de capacidad grandes para medir la capacidad de depósitos, piscinas… Para explicar • Trabaje de forma similar a como se hizo en el caso de la longitud. Muestre las similitudes en el esquema de paso de unidades y en la forma de resolver las actividades planteadas. Para reforzar • Presente a los alumnos catálogos comerciales en los que haya tapado la capacidad de distintos recipientes. Pídales que la estimen y que digan en qué unidad estará expresada y cuál será. • Pida a los alumnos que reflexionen y detecten sus dificultades de aprendizaje a la hora de trabajar con las unidades de capacidad, siguiendo las pautas que se dan en la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Aprender a aprender Dialogue con sus alumnos y hágales ver cómo a partir del aprendizaje con las medidas de longitud, mucho de lo aprendido lo pueden aplicar al resto de magnitudes.

●

De cl a dal ▶ dal

¬

: 10

: 10

dl

: 10

cl

728 cl 5 728 : 1.000 5 0,728 dal

: 1.000 3 100 ●

De dal a dl ▶ dal

3 10

3 10

¬

0,6 dal 5 0,6 3 100 5 60 dl

dl

1. Escribe qué operación hay que hacer para pasar de una unidad a otra. ● ●

De hl a dl ▶ Multiplicar por …

●

De ml a dal ▶ Dividir entre …

●

De kl a cl

●

De dal a ml

De ml a hl

●

De dl a kl

2. Completa. 7.200 cl 5 … dl

0,8 dal 5 … ml

134 dl 5 … hl

0,09 dal 5 … cl

735 cl 5 … dal

0,95 dl 5 … cl

1.406 ml 5 … dl

0,092 kl 5 … dl

3.098 ml 5 … cl

3. Expresa en la unidad indicada.

¬

7. 2,6 hl y 4 dal

0,7 kl, 9 dal y 75 ml

12 dal, 26 cl y 540 ml

En ml

3 dal y 79 cl

5 ¬, 36 dl y 7 cl

0,001 kl, 0,07 hl y 4 ¬

En hl

0,4 kl y 28 dal

9 dal, 1 ¬ y 125 cl

1,4 ¬, 520 dl y 7.800 ml

En

168

Otras actividades • Proponga esta situación para que los alumnos, individualmente o en grupo, razonen y contesten de forma oral. Si solamente dispongo de tres recipientes, de 18 litros, 7 litros y 3 litros, respectivamente: – ¿Cómo puedo obtener exactamente 1 l? – ¿Cómo puedo obtener 4 l? – ¿Cómo puedo obtener 8 l? – ¿Cómo puedo dejar 5 l en el recipiente grande? Pida a sus alumnos que pongan ejemplos propios similares al anterior para realizarlos en común en la pizarra.

168 124603 _ 0220-0237.indd 226

6/7/09 16:55:49

12 4. Expresa todas las capacidades en la misma unidad y ordénalas de mayor a menor.

UNIDAD

12

Soluciones 0,5 dal

490 cl 52 dl

1,91 dal

0,019 kl

19,2 ¬

19.010 ml

5. Escribe dos recipientes cuya capacidad pueda ser la indicada. ● ●

Más de 1 cl y menos de 1 ¬.

Más de 1 ¬ y menos de 1 dal.

●

Más de 1 dal y menos de 1 kl.

●

Más de 1 kl.

Una cafetería consumió los tres primeros meses del año 31 kl y 9 hl de agua. ¿Cuántos litros gastó en marzo si en los dos primeros meses había gastado en total 21 kl y 3 hl?

●

María tiene que tomar 5 ml de jarabe cada día. El frasco de jarabe contiene 15 cl. ¿Para cuántos días tiene jarabe María? ¿Para cuántos días tendría jarabe si tomase 0,1 dl al día?

●

En una bodega tienen un tonel lleno de vino. Su capacidad es de 6 hl. ¿Cuántas botellas de 750 ml pueden llenar con el contenido del tonel? ¿Y botellas de 1,5 ¬? ●

●

Para hacer un batido, Carlos ha mezclado 2 tazas de zumo de naranja de 250 ml cada una y 1,5 litros de leche. Lo sirve después en vasos de 50 cl. ¿Cuántos vasos obtiene? Carlos tiene en su restaurante 3 garrafas de 5 litros de aceite. Ha llenado 2 botellas de 1 litro y medio cada una y el resto lo ha puesto en aceiteras de 300 ml cada una. ¿Cuántas aceiteras ha llenado?

7. RAZONAMIENTO. Completa. 5 dal 1 … ¬ 5 0,54 hl

170 cl 1 … ml 5 30 dl

0,005 kl 5 0,02 hl 1 … cl

Multiplicar por 1.000. Dividir entre 10.000. Multiplicar por 100.000. Dividir entre 100.000. Multiplicar por 10.000. Dividir entre 10.000.

2. 720 dl 90 cl 14,06 dl 8.000 ml 0,735 dal 920 dl 0,134 hl 9,5 cl 309,8 cl

6. Resuelve. ●

1. • • • • • •

0,9 hl 5 7,5 dal 1 … dl

169

Otras actividades • Plantee a los alumnos que averigüen el número de gotas que hay en un litro de agua. Necesitarán un dedal, un vaso pequeño y un recipiente de 1/4 de litro. Indíqueles que sigan estos pasos (puede hacerlo tras recoger primero sus ideas). 1.º Con la ayuda de un cuentagotas (o con el grifo abierto a modo de goteo), contar las gotas que caben en un dedal. 2.º Llenar el vaso con dedales, contando el número de dedales. 3.º Contar el número de vasos necesarios para llenar 1/4 de litro. 4.º Multiplicar: n.º de gotas en un dedal 3 n.º de dedales en un vaso 3 n.º de vasos 3 4. Posteriormente pueden ser los mismos alumnos los que propongan casos similares y que expliquen el proceso que han seguido.

3. • 300 l; 790,075 l; 120,8 l • 30.790 ml; 8.670 ml; 12.000 ml • 6,8 hl; 0,9225 hl; 0,612 hl 4. • 52 dl . 0,5 dal . 490 cl • 19,2 l . 1,91 dal . . 19.010 ml . 0,019 kl 5. R. M. • Una taza. • Una olla.

• Una bañera. • Una piscina.

6. • 31 kl y 9 hl 5 31.900 l 21 kl y 3 hl 5 21.300 l 31.900 2 21.300 5 10.600 Gastó 10.600 litros. • 15 cl 5 150 ml 150 : 5 5 30 Tiene jarabe para 30 días. 0,1 dl 5 1 cl; 15 : 1 5 15 Tendría para 15 días. • 6 hl 5 600.000 ml 600.000 : 750 5 800 6 hl 5 600 l 600 : 1,5 5 400 Se pueden llenar 800 botellas de 750 ml, y 400 de 1,5 l. • 2 3 250 ml 1 1,5 l 5 200 cl 200 : 50 5 4 Obtiene 4 vasos. • 3 3 5 l 2 2 3 1,5 l 5 12 l 12 l 5 12.000 ml 12.000 : 300 5 40 Ha llenado 40 aceiteras. 7. • • • •

5 dal 1 4 l 5 0,54 hl 170 cl 1 1.300 ml 5 30 dl 0,005 kl 5 0,02 hl 1 300 cl 0,9 hl 5 7,5 dal 1 150 dl

169 124603 _ 0220-0237.indd 227

6/7/09 16:55:49

Unidades de masa. Relaciones

4.

Objetivos

El paquete tiene 1 kilogramo de arroz y la cuchara tiene 10 gramos.

• Conocer las unidades de masa y sus relaciones.

Las unidades de masa también forman un sistema decimal. Observa las unidades de masa y las relaciones entre ellas. Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica

• Realizar cambios de una unidad a otra.

5. 3 10 kg

• Ordenar pesos expresados en distintas unidades de masa.

3 10

3 10

hg

: 10

3 10

dag

: 10

3 10

g

: 10

dg


1 tonelada 5 1.000 kg ▶ 1 t 5 1.000 kg 1 quintal 5 100 kg ▶ 1 q 5 100 kg 1 tonelada 5 10 q ▶ 1 t 5 10 q

• Muestre, para la tonelada y el quintal, sus abreviaturas y equivalencias con el kilo. Comente las similitudes a la hora de trabajar con lo que ya conocían en longitud y capacidad.

Para reforzar • Trabaje con los alumnos la memorización de las unidades y relaciones vistas, siguiendo las pautas de la página 51 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Competencia lingüística Insista con sus alumnos en la importancia de utilizar con precisión y corrección los términos referidos a las unidades de medida.

Soluciones 1. • • • • •

Multiplicar por 10.000. Dividir entre 100. Dividir entre 1.000. Dividir entre 1.000. Multiplicar por 1.000.

mg

: 10

Otras unidades comunes son la tonelada (t) y el quintal (q).

Para explicar • Señale que las unidades de masa forman también un sistema decimal e indique que la unidad principal de masa no es el gramo, sino el kilogramo.

cg

: 10

• Resolver problemas con unidades de masa.

Para empezar • Pida a los alumnos que digan ejemplos de situaciones en las que son necesarias unidades de masa pequeñas o grandes.

3 10

: 10


6. 3 10 t

3 100 q

: 10

kg

: 100

Fíjate en cómo pasamos de una unidad a otra en estos ejemplos. 3 100 ●

De dg a mg ▶

dg

3 10

hg

: 10

cg

3 10

dag

: 10

mg

0,5 dg 5 0,5 3 100 5 50 mg

7. ●

De dg a hg

▶

g

: 10

dg

4 dg 5 4 : 1.000 5 0,004 hg

: 1.000

1. Explica cómo pasar de una unidad a otra. De hg a cg

De dag a kg

De kg a t

De cg a dag

De q a hg

2. Completa. 2,8 hg 5 … cg

0,15 kg 5 … g

25.000 cg 5 … hg

0,9 dag 5 … dg

1.429 mg 5 … dg

80 kg 5 … q

124 cg 5 … kg

8.373 kg 5 … t

0,9 kg 5 … dag

CÁ

Res

3. Expresa en la unidad indicada en cada caso. ●

En decigramos: 2,5 hg y 137 mg

78 g, 4 dg y 95 cg

3 dag, 9 g y 680 mg

●

En kilogramos: 0,24 t y 9 q

9 hg, 2 dag y 75 g

2 hg, 36 dag y 570 dg

●

En gramos: 7 cg y 692 mg

0,5 hg, 4 g y 19 dg

0,001 t y 8 hg

170

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen, en folletos de supermercados o en sus casas, el peso de paquetes, latas de conserva, etc., y escriban, para cada uno de los siguientes casos, el nombre de dos productos que pesen: – Más de 1 hg y menos de 1/4 kg – Más de 1/4 kg y menos de 1/2 kg – Más de 1/2 kg y menos de 1 kg

2 1/4 kg 2 1/2 kg 2 1 kg

Al final, haga una puesta en común donde los alumnos expongan a sus compañeros los datos recogidos.

170 124603 _ 0220-0237.indd 228

6/7/09 16:55:49

12 4. Expresa en la misma unidad y ordena.

UNIDAD

De menor a mayor 34 dag

De mayor a menor

3.500 dg

0,33 kg

12,5 dg

3,45 hg

2. 28.000 cg 90 dg 0,00124 kg 150 g 14,29 dg 8,373 t

0,7 dag

8.200 mg

2,1 g

425 cg

5. Elige la unidad más adecuada en cada caso: gramo, kilogramo o tonelada. ●

El peso de un cohete espacial.

●

El peso de la pizarra.

●

El peso de un alumno de 6.º.

●

El peso de un edificio.

El peso de un yogur.

●

El peso de una goma de borrar.

●

3,06 g

●

¿Cuántos kilos pesan mil monedas de 1 céntimo?

●

¿Cuántos kilos pesan mil monedas de 5 céntimos más que mil monedas de 2 céntimos?

●

¿Cuántas monedas de 1 céntimo se pueden acuñar con 4,6 t de metal?

●

¿Cuántas monedas de 5 céntimos se pueden acuñar con 3 q y 92 kg de metal?

3,92 g

4. • 0,33 kg , 34 dag , , 3,45 hg , 3.500 dg • 8.200 mg . 0,7 dag . . 425 cg . 2,1 g . 12,5 dg 5. • Tonelada • Kilogramo • Gramo

7. Resuelve. ●

Un camión puede llevar una carga máxima de 5 t. Ha cargado en el bosque 7 troncos de 4 q y 85 kg cada uno. ¿Cuántos kilos pesan los troncos? ¿Cuántos quintales más podría transportar el camión?

●

Un yogur contiene 1,5 mg de vitamina E añadida. – Para producir 1.000 yogures, ¿cuántos gramos de vitamina E se necesitan? – Con 30 g de vitamina E, ¿cuántos yogures se pueden producir?

●

Mario ha preparado 20 panecillos iguales con 4,8 hg de harina. ¿Cuántos gramos de harina hay en cada panecillo?

CÁLCULO MENTAL Resta un número natural a un número decimal 6,9 2 4 7,39 2 2

5,39

9,75 2 3

32,5 2 9

9,8 2 7

8,91 2 4

26,03 2 4

19,2 2 6

24,98 2 2

50,14 2 3

171

Otras actividades • Proponga a los alumnos que calculen el peso del siguiente carro de la compra. – Bolsa de 4 kg de naranjas – Bolsa de 3,5 kg de patatas – 2 paquetes de 1 kg de azúcar – 2 kg y 350 g de plátanos – 2 paquetes de 350 g de cereales – Kilo y medio de tomates – 8 yogures de 125 g cada uno – 450 g de pescadilla Pida a sus alumnos que expresen el peso total del carro en kg, en hg, en dag, en g, en dg… A partir de esta actividad puede proponer a sus alumnos que cada uno escriba el contenido de un carro de la compra y luego se lo intercambie con el compañero para calcular el peso total de la compra en la unidad que se le indique.

2,5 hg 0,8 q 90 dag

3. • 2.501,37 dg; 793,5 dg; 396,8 dg • 1.140 kg; 0,995 kg; 0,617 kg • 0,762 g; 55,9 g; 1.800 g

6. Observa y resuelve.

2,30 g

12

• Kilogramo • Tonelada • Gramo

6. • 2,30 g 3 1.000 5 2.300 g 2.300 g 5 2,3 kg Pesan 2,3 kg. • 3,92 g 3 1.000 5 3.920 g 3,06 g 3 1.000 5 3.060 g 3.920 g 2 3.060 g 5 5 860 g 5 0,86 kg Pesan 0,86 kg más. • 4,6 t 5 4.600.000 g 4.600.000 : 2,3 5 5 2.000.000. Se pueden acuñar 2 millones. • 3 q y 92 kg 5 392.000 g 392.000 : 3,92 5 100.000 Se pueden acuñar cien mil. 7. • 4 q y 85 kg 5 485 kg 7 3 485 5 3.395. Pesan 3.395 kg. 5 t 5 50 q 3.395 kg 5 33,95 q 50 2 33,95 5 16,05 Podría transportar 16,05 q más. • 1,5 mg 3 1.000 5 1.500 mg 5 5 1,5 g. Se necesitan 1,5 g. 30 g 5 30.000 mg 30.000 : 1,5 5 20.000 Se pueden producir 20.000 yogures. • 4,8 hg 5 480 g; 480 : 20 5 5 24. Hay 24 g de harina.

Cálculo mental • 2,9 6,75 2,8 4,91 13,2 22,98

23,5 22,03 47,14

171 124603 _ 0220-0237.indd 229

6/7/09 16:55:50

Unidades de superficie • Comprender el concepto de superficie. • Identificar el metro cuadrado, sus múltiplos y submúltiplos.

1m

Con las unidades de superficie expresamos el área de una figura. La unidad principal de superficie es el metro cuadrado (m2). El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado.


MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

Para explicar • Señale que el área de una figura es la medida de su superficie, y que la unidad principal de superficie es el metro cuadrado. • Deje clara la definición de cada unidad y sus relaciones con el metro cuadrado. Comente los ejemplos resueltos, señalando la potencia de 10 que utilizamos en cada caso y si multiplicamos o dividimos.

Competencias básicas Tratamiento de la información Insista a los alumnos en la necesidad, a la hora de expresar medidas, de utilizar la abreviatura de la unidad, además del número. Indique también la importancia de no confundir unidades de distintas magnitudes (a veces dicen metro por metro cuadrado).

5.

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

2

Decímetro cuadrado ▶ dm2

Decámetro cuadrado ▶ dam Hectómetro cuadrado ▶ hm

2

6.

Centímetro cuadrado ▶ cm2

Kilómetro cuadrado ▶ km2

Milímetro cuadrado ▶ mm2

El dam2, el hm2 y el km2 son la superficie de un cuadrado cuyo lado mide 1 dam, 1 hm y 1 km, respectivamente.

El dm2, el cm2 y el mm2 son la superficie de un cuadrado cuyo lado mide 1 dm, 1 cm y 1 mm, respectivamente.

Fíjate en la relación de cada unidad con el metro cuadrado: 1 dam2 5 100 m2

Para empezar • Proponga divisiones de naturales y decimales por la unidad seguida de ceros. • Con la ayuda del material de aula, dibuje en la pizarra cuadrados de lado 1 m, 1 dm y 1 cm, respectivamente. Escriba junto a cada uno de ellos su unidad correspondiente y pida a los alumnos que digan superficies que expresarían con cada unidad.

1 m2

Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado usamos sus múltiplos y sus submúltiplos.

• Elegir la unidad más adecuada para expresar superficies distintas. • Resolver problemas con unidades de superficie.

1m

Objetivos

4.

1 m2 5 100 dm2

1 hm2 5 10.000 m2

1 m2 5 10.000 cm2

1 km 5 1.000.000 m 2

1 m2 5 1.000.000 mm2

2

7. 1. Escribe la frase que define cada unidad de superficie. ▶ Ejemplo: El decámetro cuadrado (dam2) es el área de un cuadrado de 1 dam de lado.

2. Copia y completa. dam2

3… :…

m2

…

m2

…

dm2

m2

hm2

dam2

m2

dm2

m2

m2

cm2

… … … …

m2

km2

hm2

m2

cm2

m2

m2

mm2

…

m2

… …

km2

mm2

…

m2

8.

3. Completa. ▶ Ejemplos: 3 dam2 5 3 3 100 5 300 m2 7 km 5 … m 2

52.000 m2 5 52.000 : 10.000 5 5,2 hm2

815 m 5 … dam2

2

3,26 hm2 5 … m2

2

0,9 hm2 5 … m2

35.700 m2 5 … hm2

12 dam 5 … m

9.325.000 m 5 … km

2

2

2

289.000 m2 5 … km2 7,5 dam2 5 … m2

2

172

Otras actividades • Escriba en la pizarra las siguientes medidas. Pida a los alumnos que busquen las parejas de medidas que expresan una misma superficie. 500 m2

5 dam2

50.000 m2

5 hm2

0,05 km2

50.000 m2

0,5 hm2

5.000 m2

5 m2

0,05 dm2

5.000 cm2

0,5 m2

0,005 m2

5.000 mm2

500.000 dm2

5.000 m2

172 124603 _ 0220-0237.indd 230

6/7/09 16:55:50

12 4. Completa.

UNIDAD

4 m2 5 … dm2

999 dm2 5 … m2

80.000 mm2 5 … m2

2,7 m2 5 … cm2

12.800 cm2 5 … m2

78 m2 5 … dm2

0,06 m2 5 … mm2

375.000 mm2 5 … m2

6.400 cm2 5 … m2

12

Soluciones 1. R. M. Ver el ejemplo del libro.

5. Piensa y elige la unidad más adecuada para expresar cada superficie. cm2

m

2

km2

●

Tu Comunidad Autónoma.

●

Una foto.

●

Un folio.

●

Tu provincia.

●

Tu clase.

●

El patio del recreo.

6. Resuelve. ●

Un ayuntamiento tiene una parcela de 0,5 hm2 para instalar fábricas. Van a ocupar 3.700 m2 y el resto lo dejarán libre por el momento. ¿Cuántos metros cuadrados quedan libres?

●

María ha puesto una alfombra de 375 dm2 en una habitación de 6 m2. ¿Cuántos metros cuadrados quedan sin alfombra?

●

Un bosque de 2 km2 está formado por hayas y pinos. Las hayas ocupan 380.000 m2. ¿Cuántos metros cuadrados ocupan los pinos?

3. • 7.000.000 m2 9.000 m2 1.200 m2 • 8,15 dam2 3,57 hm2 9,325 km2 • 32.600 m2 0,289 km2 750 m2

7. Calcula la densidad de población de cada ciudad. HAZLO ASÍ Para calcular la densidad de población de una ciudad se divide su número de habitantes entre su superficie expresada en km2. Villalba

Habitantes: 2.153.550 París

Habitantes: 4.340 Superficie: 124 km2

Densidad de población 5

4.340 hab. 124 km2

5 35 hab./km2

2. • 3 100 3 10.000 3 1.000.000 : 100 : 10.000 : 1.000.000 • 3 100 3 10.000 3 1.000.000 : 100 : 10.000 : 1.000.000

Lisboa

Superficie: 105 km2 Habitantes: 564.648 Superficie: 8.400 hm2

8. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Da tres respuestas posibles. Tres hermanos han recibido una herencia. A Luis le ha correspondido una parcela de 0,04 km2 y a Miguel, una parcela de 4,2 hm2. La parcela de Pedro tiene más superficie que la de Luis y menos que la de Miguel. ¿Qué superficie puede tener la parcela de Pedro?

5. • km2 • cm2 • m2 173

Otras actividades • Indique a los alumnos que busquen información sobre la superficie en km2 de algunos países. Haga al final una puesta en común con los datos recogidos y escriba el listado en la pizarra. Después, plantee preguntas sobre estos datos. Por ejemplo: ¿Cuál de los países tiene una extensión mayor? ¿Y menor? • Si lo cree conveniente, propóngales recoger información sobre la población de algunos de los países de la lista anterior, y calcule de forma colectiva la densidad de población de ellos. Por último, plantee preguntas sobre esos datos. Por ejemplo: ¿Cuál de los países está más poblado? ¿Y menos poblado?

4. • 400 dm2 27.000 cm2 60.000 mm2 • 9,99 m2 1,28 m2 0,375 m2 • 0,08 m2 7.800 dm2 0,64 m2 • cm2 • km2 • m2

6. • 0,5 hm2 5 5.000 m2 5.000 2 3.700 5 1.300 Quedan libres 1.300 m2. • 375 dm2 5 3,75 m2 6 2 3,75 5 2,25 Quedan 2,25 m2. • 2 km2 5 2.000.000 m2 2.000.000 2 380.000 5 5 1.620.000 Ocupan 1.620.000 m2. 2.153.550 hab 5 105 km2 5 20.510 hab./km2

7. • París ▶

564.648 hab 5 84 km2 2 5 6.722 hab./km

• Lisboa ▶

8. R. M. 4,1 hm2; 415 dam2 y 40.500 m2.

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Relaciones entre unidades de superficie Objetivos

U

En el cuadro están las unidades de superficie y las relaciones entre ellas.

• Aplicar las relaciones entre las unidades de superficie.

Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica 3 100

• Resolver problemas donde aparezcan unidades de superficie.

km

3 100

2

2

hm

: 100

3 100 2

dam

3 100 m

: 100

2

3 100 dm

: 100

2

3 100 2

mm2

cm

: 100

: 100

: 100


Sugerencias didácticas Para explicar • Es importante hacer hincapié en que cada unidad es 100 veces superior a la unidad inmediata inferior (hasta ahora la relación entre unidades era de 10 en 10). Comente los ejemplos resueltos y muestre la importancia de considerar si el resultado obtenido tiene sentido. Para reforzar • Pida a los alumnos que reflexionen y reconozcan lo que han aprendido en esta unidad, aprovechando las pautas que aparecen en la página 62 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Soluciones 1. • 0,5 dam2 1,36 km2 0,752 km2 9.300 dam2 • 84.000 mm2 0,125 dm2 195 mm2 0,0714 dm2 • 0,0974 dam2 1.060.000 cm2 0,0023 hm2 0,02813 dam2 2. • 407 hm2 0,195 hm2 1,15049 hm2 • 312 cm2 80.500 cm2 4.000.103,15 cm2 3. 0,5 dm2 5 50 cm2 50 2 28 5 22 Le han sobrado 22 cm2.

Fíjate en cómo pasamos de una unidad a otra en estos ejemplos. 3 10.000 ●

De dam2 a dm2 ▶ dam2

3 100

m2

3 100

dm2

0,6 dam2 5 0,6 3 10.000 5 6.000 dm2

1. ●

De cm2 a dam2 ▶ dam2

: 100

: 100

m2

: 100

dm2

cm2

: 1.000.000

3.800 cm2 5 3.800 : 1.000.000 5 0,0038 dam2

2. 1. Completa. 0,005 hm2 5 … dam2

8,4 dm2 5 … mm2

974 dm2 5 … dam2

136 hm 5 … km

12,5 cm 5 … dm

1,06 dam2 5 … cm2

7.520 dam2 5 … km2

1,95 cm2 5 … mm2

2.300 dm2 5 … hm2

0,93 km2 5 … dam2

714 mm2 5 … dm2

28.130 cm2 5 … dam2

2

2

2

2

3.

2. Expresa en la unidad indicada. En hm2

4 km2 y 7 hm2

2 dam2 y 1.750 m2

1 hm2, 15 dam2 y 49.000 cm2

En cm2

3 dm2 y 12 cm2

8 m2 y 5 dm2

4 dam2, 1 dm2 y 315 mm2

4.

3. Resuelve. ●

Paula tiene una tarjeta de cartulina de 0,5 dm2. Ha dibujado en ella un rectángulo rojo de 28 cm2 y lo ha recortado. ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartulina le han sobrado?

174

Otras actividades • Dibuje este cuadro en la pizarra y muestre que, en las medidas de superficie, hay que reservar dos cifras para cada unidad. Después, escriba varias medidas en la pizarra y pida a los alumnos que las coloquen en la tabla y las expresen en forma incompleja. Por ejemplo: km2

hm2 4

dam2

m2

35

25

dm2

cm2

mm2

83

3.525 m2 5 35 dam2 y 25 m2 483 dam2 5 4 hm2 y 83 dam2

174 124603 _ 0220-0237.indd 232

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m2

12

Unidades agrarias

UNIDAD

Objetivos

Las unidades agrarias se usan para expresar las superficies de fincas, parcelas, bosques… Son la centiárea (ca), el área (a) y la hectárea (ha).

• Conocer las unidades agrarias y utilizar sus equivalencias con el m2, dam2 y hm2.

Cada unidad agraria equivale a una unidad de superficie. 1 ca 5 1 m2

3 100

1 a 5 1 dam

2

ha

1 ha 5 1 hm2

3 100 a

• Resolver problemas con unidades agrarias y de superficie.

ca

: 100

12

: 100

Fíjate en cómo pasamos de una unidad a otra en los ejemplos. ●

De ha a m2 ▶ 0,25 ha 5 0,25 hm2 5 0,25 3 10.000 5 2.500 m2

●

De dam2 a ca ▶ 1,2 dam2 5 1,2 3 100 5 120 m2 5 120 ca

●

De ca a ha ▶ 35.000 ca 5 35.000 : 10.000 5 3,5 ha


1. Expresa en la unidad indicada. En m2 5 ha

3.400 ca

En dam2 27 a

51 ca

0,12 ha

En hm2 4a

9,3 ha

125 a

1.700 ca

Para explicar • Lea con los alumnos la explicación sobre unidades agrarias. Nombre y escriba en la pizarra sus abreviaturas, y también sus equivalencias con las unidades de superficie ya estudiadas. Muestre también las equivalencia entre ellas.

2. Completa. 1,3 m2 5 … ca

5 dam2 5 … a

2,6 hm2 5 … ha

34 dam 5 … ca

4,9 hm 5 … a

0,04 km2 5 … ha

0,7 hm2 5 … ca

2.000 m2 5 … a

15.000 m2 5 … ha

2

2


3. Resuelve. ●

Ana tiene una parcela de 12 ha. Ha sembrado solo un cuarto de la parcela. ¿Cuántos metros cuadrados ha sembrado? ¿Cuántas áreas ha dejado sin sembrar?

●

María tiene 5 ha y 80 a de cultivos de secano y 600 a de cultivos de regadío. ¿A qué tipo de cultivo dedica más extensión? ¿Cuántas centiáreas más?

Competencia social y ciudadana Comente con los alumnos la importancia de las labores del campo. Señale la importancia de compatibilizar el desarrollo humano con el medio ambiente.

4. RAZONAMIENTO. Observa las cuatro superficies y averigua a qué parque corresponde cada una. 1.811.800 a 54.252 hm2

389.600 dam2 40.856 ha

Soluciones

●

El parque de menor extensión de los cuatro es Garajonay.

●

Doñana tiene mayor extensión que Cabañeros.

●

Monfragüe tiene menor extensión que Cabañeros.

175

Otras actividades • Comente que los agricultores y ganaderos han utilizado unidades variadas a lo largo del tiempo para expresar la superficie de sus campos. Estas unidades variaban de unas zonas a otras de España. Por ejemplo: 1 fanega en Ávila era 3.930,3966 m2; en A Coruña se usaba el ferrado, que equivalía a 639,5841 m2; en Alicante, un jornal de tierra era 4.804,1533 m2, y en Palencia, una obrada era un terreno de 5.383,1876 m2. • Anime a los alumnos a que investiguen sobre unidades de superficie empleadas en su zona, su Comunidad Autónoma o en otras, y que inventen problemas utilizando estas unidades de superficie.

1. • 50.000 m2; 3.400 m2; 2.700 m2 • 0,51 dam2; 12 dam2; 4 dam2 • 9,3 hm2; 1,25 hm2; 0,17 hm2 2. 1,3 ca 3.400 ca 7.000 ca

5a 490 a 20 a

2,6 ha 4 ha 1,5 ha

3. • 1/4 de 12 5 3 3 ha 5 30.000 m2 Ha sembrado 30.000 m2. 12 2 3 5 9; 9 ha 5 900 a Hay sin sembrar 900 a. • 5 ha y 80 a 5 580 a 600 2 580 5 20; 20 a 5 5 2.000 ca. Dedica 2.000 ca más a cultivos de regadío. 4. Garajonay ▶ 389.600 dam2 Doñana ▶ 54.252 hm2 Cabañeros ▶ 40.856 ha Monfragüe ▶ 1.811.800 a

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Actividades 1. Completa.

Objetivos

●


●

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos. ●


5. ESTUDIO EFICAZ. Completa el cuadro en tu

0,03 km = ... cm 0,6 hm = ... dm 2.725 mm = ... m

714 cm = ... dm 3,26 dam = ... mm 45.000 dm = ... hm

1,9 ¬ = ... cl 75 dal = ... kl 6,8 cl = ... ml

1.275 ml = ... dl 0,283 hl = ... cl 7.916 dl = ... dal

6.287 g = ... hg 0,25 t = ... kg 3.574 kg = ... q

998 mg = ... dag 76 cg = ... dg 68.500 g = ... kg

km2

m2

6. Completa. 0,03 m2 5 ... cm2

0,007 km2 5 ... m2

6.498 dm2 5 ... dam2

3,5 hm2 5 ... cm2

90.000 mm 5 ... m

9.200 cm2 5 ... m2

2

Aprender a aprender Fomente en sus alumnos una actitud positiva ante el aprendizaje y sus estudios, animándolos en todo momento a tomar iniciativas.

10

cuaderno.

2

2. Expresa en la unidad que se indica. En m

9 dam y 5 m

8 dm y 15 cm

1,5 km y 7 hm

7 cm y 99 mm

6 hl y 56

En ¬ En g

¬

7 ¬ y 9 dl

0,7 kl y 9 dal

80 cl y 925 ml

9 kg y 1,5 hg

4,2 dag y 5 cg

0,06 t y 2 kg

8 dg y 625 mg

7. Expresa en metros cuadrados. ● ●

7 hm2 y 2 dam2 2

2

0,06 km y 9 m

●

345 dm2 y 4.500 cm2

●

6 m2 y 837.000 mm2

8. Observa y contesta.

Soluciones 3. Expresa en la misma unidad y ordena como

1. • 3.000 cm 600 dm 2,725 m • 190 cl 0,75 kl 68 ml • 62,87 hg 250 kg 35,74 q

71,4 dm 32.600 mm 45 hm 12,75 dl 2.830 cl 79,16 dal 0,0998 dag 7,6 dg 68,5 kg

2. • 95 m 2.200 m • 656 l 790 l • 9.150 g 62.000 g

0,95 m 0,169 m 7,9 l 1,725 l 42,05 g 1,425 g

3. • 4,9 hm , 0,5 km , , 51.000 cm , 5.200 dm • 2.600 dl . 25.100 cl . . 2,5 hl . 205 l . 0,025 kl • 0,18 t , 1.850 hg , , 190 kg , 19.300 dag , ,2q 4. • 1.200 m

• 70

l

• 2t

5. 3 100; 3 10.000; 3 1.000.000 : 10.000; : 1.000.000; : 100 6. 300 cm2 7.000 m2 2 0,6498 dam 350.000.000 cm2 0,09 m2 0,92 m2 7. • 70.200 m2 • 60.009 m2

• 3,9 m2 • 6,837 m2

8. • 1,2 dal 5 12 l; 12 : 1,5 5 8 Se pueden llenar 8 botellas. 600 cl 5 6 l; 6 : 1,5 5 4 Se pueden llenar 4 botellas.

se indica.

1,2 dal

De menor a mayor 51.000 cm 4,9 hm 5.200 dm 0,5 km De mayor a menor 205 ¬

2,5 hl 25.100 cl

0,025 kl 2.600 dl

1,5 ¬

ER

600 cl 250 ml

●

¿Cuántas botellas se pueden llenar con el agua del bidón? ¿Y con la del cubo?

●

¿Cuántas tazas se pueden llenar con el agua de la botella?

●

¿Cuántos cubos se necesitan para llenar el bidón?

9. Calcula. 1 q y 25 kg

De menor a mayor

7 kg

0,18 t 190 kg 2q 1.850 hg 19.300 dag 375 g

4. Completa. ●

5 km 1 … m 5 62 hm

●

… ¬ 1 0,03 kl 5 1 hl

●

3.980 kg 2 … t 5 19,8 q

●

¿Cuántas cajas completas se pueden llenar con las naranjas del saco? ¿Cuántos kilos sobran?

●

¿Cuántas bolsas se pueden llenar con esas naranjas que sobran?

176

Otras actividades • Plantee actividades que trabajen la comprensión del lenguaje y las equivalencias entre las distintas unidades de medida, similares a las siguientes: – Dos decímetros más la mitad de un metro, ¿cuántos milímetros son? – Tres veces un cuarto de litro, ¿cuántos mililitros son? – 5.000 miligramos, ¿cuántos cuartos de kilo son? – Un metro cuadrado y la décima parte de un hectómetro cuadrado, ¿cuántos decímetros cuadrados son? Proponga a los alumnos que inventen situaciones similares y se las intercambien para solucionarlas.

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12:49:05

12 UNIDAD

u

●

10. Resuelve. ●

●

m2

2

●

m2

m2 ●

m2

Carla va a poner el rodapié en una habitación rectangular que mide 6,25 m de largo y 3,5 m de ancho. La habitación tiene una puerta de 120 cm de ancho. ¿Cuántos metros de rodapié necesita? Laura ha hecho 6 litros de zumo y ha llenado 4 botellas de 75 cl cada una. El resto lo ha puesto en botellas de 500 ml cada una. ¿Cuántas botellas de 500 ml ha llenado? Sonia pesó al nacer 3 kg y 2 hg. En la primera semana adelgazó 135 g y en la segunda semana engordó 230 g. ¿Cuántos kilos pesaba Sonia al final de la segunda semana? Para hacer un bizcocho, Marina emplea 0,5 kg de harina, 4 huevos de 60 g cada uno y 10 dag de azúcar. Después, parte el bizcocho en 4 raciones iguales. ¿Cuántos gramos pesa cada ración?

ERES CAPAZ DE…

El paseo marítimo de una ciudad tiene una longitud de 4 km y 550 m. Desde la salida, cada 130 m hay una farola. ¿Cuántas farolas hay en todo el paseo?

●

Un frasco contiene 2 dl de jarabe. Penélope tiene que tomar 3 cucharadas diarias de 5 ml cada una. ¿Tiene suficiente jarabe para 15 días de tratamiento? ¿Cuántos centilitros le faltan o le sobran?

●

En 2007 se quemaron en España 82.027 ha en incendios forestales. En 2005 se quemaron 1.059 km2 más que en 2007. ¿Cuántas hectáreas se quemaron en 2005?

●

Cada uno de los 52 alumnos de 6.º ha pintado en un gran mural una zona de 800 cm2 de superficie. ¿Qué superficie en metros cuadrados han pintado en total?

●

Pilar ha comprado una parcela de 5 ha y 41 a. Le ha costado 12,35 el metro cuadrado. ¿Cuánto le ha costado en total la parcela?

Calcular superficies en un municipio

El ayuntamiento de Villagrande está pensando en hacer distintos cambios en el municipio los próximos años.

r

Las extensiones de las zonas que forman el pueblo son las siguientes: Casco urbano: 250.000 ca. Pinar: 40 ha. Encinar: 830 a. Pastos: 92 ha. ●

El ayuntamiento quiere añadir al casco urbano 50.000 m2 quitándolos de la zona de pastos. ¿Cuántas hectáreas tendrá cada una de las dos zonas tras el cambio?

●

Hace diez años se repoblaron 95.000 m2 de pastos y ahora son pinares. ¿Cuántas áreas de pinares había antes de la repoblación?

g

177


12

• 1,5 l 5 1.500 ml 1.500 : 250 5 6 Se pueden llenar 6 tazas. • 1,2 dal 5 1.200 cl 1.200 : 600 5 2 Se necesitan 2 cubos. 9. • 1 q y 25 kg 5 125 kg 125 : 7 ▶ c 5 17; r 5 6 Se pueden llenar 17 cajas y sobran 6 kg de naranjas. • 6 kg 5 6.000 g; 6.000 : : 375 5 16. Se pueden llenar 16 bolsas. 10. • 2 3 (6,25 1 3,5) 2 1,2 5 5 18,3. Necesita 18,3 m de rodapié. • 6.000 2 4 3 750 5 3.000 3.000 : 500 5 6 Llena 6 botellas de 500 ml. • 3,2 2 0,135 1 0,230 5 5 3,295 Sonia pesaba 3,295 kg. • (500 1 4 3 60 1 100) : : 4 5 210 Cada ración pesa 210 g. • 4.550 : 130 5 35 Hay 35 farolas. • 3 3 5 ml 3 15 5 225 ml 5 5 22,5 cl; 2 dl 5 20 cl 22,5 2 20 5 2,5 No tiene suficiente jarabe. Le faltan 2,5 cl. • 82.027 1 105.900 5 5 187.927 Se quemaron 187.927 ha. • 52 3 0,08 5 4,16 Han pintado 4,16 m2. • 54.100 3 12,35 5 5 668.135 Le ha costado 668.135 €.

• Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 12 Longitud, capacidad, masa y superficie Lo que he aprendido U. de longitud. Relaciones U. de capacidad. Relaciones U. de masa. Relaciones Unidades de superficie. Relaciones Unidades agrarias


Eres capaz de… • 50.000 m2 5 5 ha 250.000 ca 5 25 ha 25 1 5 5 30 92 2 5 5 87 El casco urbano tendrá 30 ha y la zona de pastos tendrá 87 ha. • 95.000 m2 5 950 a 40 ha 5 4.000 a 4.000 2 950 5 3.050 Había 3.050 a de pinares.

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Solución de problemas Representar gráficamente la situación Objetivos • Resolver problemas representando gráficamente la situación propuesta en el enunciado.

Sugerencias didácticas Para explicar • Señale la importancia de que la representación gráfica refleje fielmente la situación del problema y de incluir en ella todos los datos (en caso contrario, nos llevaría a error). Indique que existen múltiples representaciones posibles para un mismo problema.

EJE

En muchos problemas, representar el enunciado te ayudará a entenderlo mejor. Resuelve estos problemas haciendo un dibujo aproximado del enunciado.

1.

María es bióloga. Ha medido la cabeza, el tórax y el abdomen de una avispa. La longitud del tórax es el doble de la longitud de la cabeza y la longitud del abdomen es el triple de la longitud de la cabeza. La avispa mide 12 mm. ¿Cuánto mide cada parte de su cuerpo?

2.

▶ Representamos la situación con un dibujo. La cabeza la dibujamos con un segmento. Para el resto de partes repetimos ese segmento tantas veces como indica el enunciado. La avispa es la suma de las tres partes. Cabeza

Tórax

Abdomen

Avispa 12 mm

3.

En la avispa hay 6 partes de igual longitud, y en total mide 12 mm. Cada una de las partes mide 12 mm : 6 5 2 mm. Cabeza ▶ 1 parte, mide 1 3 2 mm 5 2 mm. Tórax ▶ 2 partes, mide 2 3 2 mm 5 4 mm. Abdomen ▶ 3 partes, mide 3 3 2 mm 5 6 mm.

Competencias básicas Competencia cultural y artística

4.

Solución: La cabeza mide 2 mm; el tórax, 4 mm; y el abdomen, 6 mm.

Anime a sus alumnos a utilizar y valorar el dibujo no solo como medio de expresión y disfrute, sino también como medio de resolución de problemas al permitirnos ver más claramente las situaciones.

5. 1. Marta tiene un vaso, una botella y una jarra. La capacidad de la botella es el triple de la capacidad del vaso y la de la jarra, el doble de la capacidad de la botella. La capacidad total de los tres recipientes es 250 cl. ¿Qué capacidad tiene cada uno?

6.

2. Mónica, Paula y Juan son primos. Paula mide el doble que Mónica y Juan mide el doble que Paula. La suma de sus alturas es 315 cm. ¿Cuánto mide cada uno?

3. Pedro compró una nevera en tres plazos. En el segundo plazo pagó el doble que en el primero y en el tercer plazo pagó el doble que en los dos anteriores juntos. La nevera costó 810 . ¿Cuánto pagó en cada plazo?

↔

↔↔

Soluciones

7.

4. INVENTA. Escribe un problema, similar a los de esta página, que se resuelva más fácilmente haciendo un dibujo de la situación.

↔

↔

↔

↔

1. Vaso: 1 Botella: 3 Jarra: 6 Capacidad total: 10 5 250 cl 5 250 cl : 10 5 25 cl Vaso: 25 cl. Botella: 3 3 25 cl 5 75 cl. Jarra: 6 3 25 cl 5 150 cl 5 5 1,5 l.

↔

↔↔

↔

↔↔

2. Mónica: 1 Paula: 2 Juan: 4 Suma: 7 5 315 cm 5 315 cm : 7 5 45 cm Mónica: 45 cm. Paula: 90 cm. Juan: 180 cm 5 1,8 m.

↔

↔

3. 1.er plazo: 1 2.º plazo: 2 3.er plazo: 6 Total: 9 5 810 € 5 810 € : 9 5 90 € er 1. plazo: 90 €. 2.º plazo: 180 €. 3.er plazo: 540 €.

178

Otras actividades • Plantee a sus alumnos la situación inversa a la trabajada en la página, es decir, a partir de un dibujo que sean ellos los que inventen el problema correspondiente. Pida a cada uno que piense un problema que se pueda resolver con esta estrategia, haga un dibujo asociado en un papel aparte, y lo entregue a su compañero. Este, a partir del dibujo, deberá generar un problema. Más tarde, ambos compararán sus problemas. Por último, realice una puesta en común valorando la conveniencia de los distintos problemas y dibujos planteados.

4. R. L.

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12

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Completa los huecos.

8. En un bar han vendido 60 bocadillos y

●

26 ,

, 24 ,

, 22

●

+1 .

. 21 .

. 23

●

23 , 22 ,

,

32 sándwiches. El 15 % de los bocadillos y el 25 % de los sándwiches eran de atún. ¿Ha vendido más sándwiches de atún o más bocadillos de atún? ¿Cuántos más?

, +1

9. Ramiro ha hecho una empanada para

2. Escribe las coordenadas cartesianas

4 personas. Ha usado 500 g de harina y 40 g de levadura. Mañana hará una empanada para 6 personas. ¿Cuántos gramos de harina y de levadura necesitará?

de cada punto. +4 B

+3 +2

A

10. Luis ha recolectado manzanas. Tiene

+1

C

40 cajas de 8,5 kg cada una y 6 sacos de 90 kg cada uno. Embolsa las manzanas en bolsas de 2,5 kg cada una. ¿Cuántas bolsas obtiene?

–4 –3 –2 –1

0 +1 +2 +3 +4 –1 E F –2

D

–3

12

1. • 26 , 25 , 24 , 23 , , 22 • 11 . 0 . 21 . 22 . . 23 • 23 , 22 , 21 , 0 , , 11 2. A ▶ (12, 11) B ▶ (21, 13) C ▶ (23, 0) D ▶ (22, 23) E ▶ (0, 22) F ▶ (13, 22) 3. • Sí

• No

• Sí

• Sí

4. R. L.

–4

5. 3. Averigua si las fracciones de cada pareja son equivalentes. ●

12 2 y 18 3

4 5 y 5 4

●

●

6 24 y 7 28

●

15 18 y 20 24

5. Completa esta tabla de proporcionalidad. 2

3

7

8

16

36

11. En la sesión de tarde de un cine se llenaron dos tercios de las 120 butacas. De los asistentes, un 60 % eran mujeres. ¿Cuántas mujeres fueron a la sesión de tarde? ¿Cuántos hombres?

40

12. Miguel tenía un cordón de 8,5 m y lo partió 6. Calcula. ●

9,76 2 2,4 1 2,5 3 1,8

●

(3,4 1 10,35) : 5 2 1,99

●

9,3 2 3,12 : (4 2 2,44)

en trozos de 0,5 m. Guardó cinco trozos y con el resto hizo un trabajo para el colegio. ¿Cuántos metros de cordón utilizó en el trabajo?

13. Jorge tiene un mapa hecho a escala

7. Halla el cociente de cada división con tres cifras decimales. ●

3:7

●

2:9

●

0,075 : 0,6

3

4

7

9

10

8

12

16

28

36

40

6. • 11,86 • 0,76 • 7,3

4. ESTUDIO EFICAZ. Escribe una suma, una resta, una multiplicación y una división de fracciones. Proponlas a un compañero y comprueba después si las ha hecho bien.

2

1 : 500.000. Ha medido la distancia entre dos pueblos y ha visto que es 4 cm. ¿Cuál es la distancia real en kilómetros entre ambos pueblos?

179

Otras actividades • Proponga a los alumnos que preparen ocho cuestiones relacionadas con los contenidos estudiados en esta unidad (dos sobre cada magnitud trabajada) y sus respuestas correspondientes. Cada alumno formulará las preguntas que ha preparado a un compañero, después le dirá si sus respuestas son correctas, y le explicará su resolución en caso de existir dificultades o si la contestación es errónea. Exponga algunas de ellas a la clase y aproveche para despejar las posibles dudas que existan.

7. • 3 : 7 ▶ c 5 0,428 • 2 : 9 ▶ c 5 0,222 • 0,075 : 0,6 ▶ c 5 0,125 8. 15 % de 60 5 9 25 % de 32 5 8 9 . 8. Ha vendido más bocadillos que sándwiches. 9 2 8 5 1. Ha vendido uno más. 9. Harina: 500 : 4 3 6 5 750 Levadura: 40 : 4 3 6 5 60 Necesitará 750 g de harina y 60 g de levadura. 10. 40 3 8,5 1 6 3 90 5 880 880 : 2,5 5 352 Obtiene 352 bolsas. 11. 2/3 de 120 5 80 60 % de 80 5 48 80 2 48 5 32 Fueron 48 mujeres y 32 hombres. 12. 8,5 : 0,5 5 17 17 2 5 5 12 12 3 0,5 5 6 Utilizó 6 m de cordón. 13. 4 3 500.000 5 2.000.000 2.000.000 cm 5 20 km La distancia real es 20 km.

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13

E

Área de figuras planas

Programación Objetivos • Calcular el área de rectángulos, cuadrados, rombos, romboides y triángulos. • Calcular el área de polígonos regulares. • Calcular el área de círculos. • Calcular el área de figuras planas, descomponiéndolas en figuras de áreas conocidas. • Resolver problemas reduciéndolos primero a otro conocido.

Criterios de evaluación • Calcula el área de paralelogramos y triángulos de medidas dadas. • Calcula el área de paralelogramos y triángulos realizando las medidas necesarias.

Contenidos • Área de paralelogramos: rectángulos, cuadrados, rombos y romboides. • Área de triángulos. • Área de polígonos regulares.

R

• Área de círculos.

• • • •

• Área de figuras planas por descomposición en figuras de área conocida. • Resolución de problemas reduciéndolos primero a otro conocido.

E

• •

• Calcula el área de polígonos regulares de medidas dadas. • Calcula el área de círculos, a partir de su diámetro o su radio. • Calcula el área de figuras planas, descomponiéndolas en figuras de áreas conocidas. • Resuelve problemas reduciéndolos primero a otro conocido.

• Valoración de la utilidad del cálculo de áreas de figuras en objetos cotidianos. • Cuidado y precisión en la utilización de instrumentos de medida.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Aprender a aprender, Autonomía e iniciativa personal y Competencia lingüística.

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Esquema de la unidad UNIDAD 13. ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Área del rectángulo y del cuadrado

Área del rombo

Área de polígonos regulares

Área del romboide Área del círculo

Área del triángulo Área de una figura plana

Actividades

Eres capaz de...


Repasa




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 1, pág. 190. • Releer y explicar el procedimiento: actividad 5, pág. 193.

Previsión de dificultades • Algunos alumnos pueden confundir área y perímetro, tanto en el cálculo como en la unidad de medida utilizada, especialmente en el caso del círculo. • El aprendizaje de las fórmulas exige un esfuerzo de atención y memorización. Al principio puede ayudar a los alumnos tener en un mural una tabla con las fórmulas, aunque posteriormente convenga que trabajen sin este apoyo gráfico. Al hacer las actividades, conviene que escriban siempre la fórmula que utilizan. • Algunos alumnos suelen tener dificultad en descomponer figuras en otras de áreas conocidas. La práctica, incluida la ayuda de los compañeros, favorecerá el desarrollo de la visión espacial.


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13

Área de figuras planas

RE

U

Objetivos

●

• Reconocer situaciones reales donde aparecen figuras planas con un área determinada.

●

●


B

Sugerencias didácticas • Indique a los alumnos que observen la fotografía pequeña del niño con el delfín. Pregunte qué tipo de polígono es y pida que señalen el perímetro, midan los lados y lo calculen, así como que marquen una base y su altura. A continuación, recuerde que el área de este rectángulo es la superficie de la foto y calcúlela en común en la pizarra, con las medidas tomadas anteriormente.

1.

• Lea el texto y resuelva en común las dos cuestiones, con estos nuevos datos. • En Recuerda lo que sabes, repase las equivalencias entre las unidades de superficie (m2, dm2 y cm2) y cuáles son las bases y alturas de un triángulo y un paralelogramo.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Al comentar la fotografía inicial de la unidad, fomente en los alumnos el respeto y cuidado de los animales, así como la valoración de lo que nos aportan: acompañamiento, entretenimiento, ayuda en el trabajo... Muestre la importancia de interactuar con el medio de manera armónica. Competencia social y ciudadana Aproveche también la fotografía inicial para comentar normas generales de comportamiento en lugares públicos y en actividades grupales.

2.

En un delfinario hacen fotos a todas las personas al entrar. Después del espectáculo, las personas que lo desean se quedan con una copia de la foto que mide 15 cm de largo y 10 cm de ancho. ●

¿Qué área de papel en centímetros cuadrados tiene cada fotografía?

●

En cada hoja de papel de la impresora caben 4 fotografías y sobran 90 cm2 de papel. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene cada hoja en total?

180

Otras formas de empezar • Dibuje en la pizarra varias figuras planas, indique a los alumnos que son representaciones de lugares y objetos, y ponga algunos ejemplos en común: fincas o campos de cultivo, planos de viviendas, zonas deportivas, fotografías o tarjetas, tableros de mesas, cristales de una ventana, etc. Hágales preguntas y comentarios para que comprendan la utilidad de hallar sus áreas y perímetros. Por ejemplo: – ¿Cómo podemos saber cuánto cuesta esta finca, si nos dan el precio del metro cuadrado de suelo? – ¿Cómo podemos saber cuántos metros de valla se necesitan para vallar esta finca?

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UNIDAD

13

Unidades de superficie ●

El centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado.

●

El decímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado.

●

3 10.000

m2 ●

Competencia cultural y artística Al leer el texto inicial, dialogue con los alumnos sobre la importancia de las fotografías como medio de información, material de recuerdo y forma de expresión artística de realidades culturales y de fenómenos naturales que nos rodean.

Para pasar de unas unidades a otras operamos como ves en el esquema:

El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado.

3 100

3 100

dm2

: 100

cm2

: 100 : 10.000

Base y altura de un triángulo y un paralelogramo D

C

altura

A

base

●

La base es uno cualquiera de sus lados. La base AB es el segmento morado.

●

La altura es el segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el vértice o uno de los vértices opuestos. La altura correspondiente a la base AB trazada desde el vértice C es el segmento rojo.

B

Soluciones Página inicial • 15 3 10 5 150 Cada fotografía tiene 150 cm2. • 4 3 150 1 90 5 690 Cada hoja tiene 690 cm2.

1. Completa. 8 m2 5 … dm2

600 dm2 5 … m2

0,36 m 5 … dm

23.000 dm2 5 … m2

4 dm2 5 … cm2

850 cm2 5 … dm2

2

2

3,5 dm 5 … cm

7.200 cm2 5 … dm2

9 m2 5 … cm2

54.000 cm2 5 … m2

0,07 m2 5 … cm2

9.000 cm2 5 … m2

2

2


VAS A APRENDER

2. Calca cada polígono y repasa en rojo todas las bases. Después, traza la altura correspondiente a la base AB desde el vértice C. C

A

D

B

C

A

C

A

B

●

D

C

A

●

B

A obtener el área de cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, triángulos, polígonos regulares y círculos. A obtener el área de figuras planas compuestas a partir de otras figuras de áreas conocidas.

1. 800 dm2 36 dm2 400 cm2 350 cm2 90.000 cm2 700 cm2 C

2. A

6 m2 230 m2 8,5 dm2 72 dm2 5,4 m2 0,9 m2 D

C

B A

B

C

D

C

B

A

A

B

181

Vocabulario de la unidad • Cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, triángulo, polígono regular, círculo y semicírculo • Área. Centímetro cuadrado (cm2), decímetro cuadrado (dm2) y metro cuadrado (m2) • Lado (l), base (b), altura (h), diagonal mayor (D), diagonal menor (d), perímetro (P), apotema (ap) y radio (r) • El número π

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Área del rectángulo y del cuadrado Objetivos

●

• Calcular el área de un rectángulo y un cuadrado conociendo o midiendo sus lados.

Sugerencias didácticas Para explicar • Dibuje en la pizarra un rectángulo y recuerde cómo se calcula su área multiplicando sus dimensiones. Comente entonces la relación del largo y el ancho con la base y la altura. Explique el caso especial del cuadrado, en el que la base y la altura coinciden con el lado.

Á

¿Cuál es el área de este rectángulo? h 5 2 cm

El largo del rectángulo es su base, b, y el ancho es su altura, h. Área del rectángulo 5 largo 3 ancho 5 base 3 altura

b 5 4 cm

Área 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm2 ●

¿Cuál es el área de este cuadrado? l 5 3 cm

El cuadrado es un tipo especial de rectángulo. Su base y su altura son iguales al lado, l. Área cuadrado 5 lado 3 lado 5 lado2 Área 5 l 3 l 5 l 2 5 3 cm 3 3 cm 5 9 cm2

●

El área del rectángulo es el producto de su base por su altura.

●

El área de un cuadrado es su lado elevado al cuadrado.

l 5 3 cm

▶ Área del rectángulo 5 b 3 h ▶ Área del cuadrado 5 l 2

1. Mide y calcula el área en centímetros cuadrados de cada figura.

• Escriba las fórmulas en la pizarra explicando qué significa cada letra, y pida a los alumnos que las memoricen.

Competencias básicas Tratamiento de la información La expresión de las fórmulas del área de una figura, utilizando letras asociadas a las longitudes que se toman como datos, ayuda al alumno a memorizarlas, a la vez que lo prepara para trabajar de forma más abstracta.

1.

2. Haz un croquis y calcula el área en cada caso. ●

Un rectángulo de 30 cm de base y 20 cm de altura.

●

Una parcela rectangular de 12 m de largo y de ancho, un tercio del largo.

●

Un cuadrado de 50 cm de lado.

●

Un marco de fotos cuadrado de 40 cm de perímetro.

CÁ

3. Halla el área de cada cuadrado. Después, contesta.

1 cm

Est

●

¿Es el lado del cuadrado mayor el doble del lado del cuadrado menor?

●

¿Es el área del cuadrado mayor el doble del área del cuadrado menor?

2 cm

182

Soluciones 1. 4 3 3 5 12. A 5 12 cm2 8 3 2 5 16. A 5 16 cm2 42 5 16. A 5 16 cm2

Otras actividades

2. • 30 3 20 5 600 A 5 600 cm2 • 502 5 2.500 A 5 2.500 cm2 • 12 : 3 5 4; 12 3 4 5 48 A 5 48 cm2 • 40 : 4 5 10; 102 5 100 A 5 100 cm2

• Copie en la pizarra la siguiente tabla, explique que en cada columna se indican los datos de un rectángulo o un cuadrado y pida a los alumnos que calculen en cada caso el dato que falta y digan qué forma tiene la figura. Base

8 cm

Altura

8 cm

Área

8 cm 5 cm

2,5 cm

25 cm2

10 cm2

3.600 m2

3. Rojo ▶ 1 5 1. A 5 1 cm Verde ▶ 22 5 4. A 5 4 cm2 • 1 3 2 5 2. Sí es el doble. • 1325 / 4. No es el doble, es 4 veces mayor. 2

2

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13

Área del rombo

UNIDAD

Objetivos

¿Cuál es el área de este rombo?

• Calcular el área de un rombo, conociendo o midiendo sus diagonales.

Fíjate en que si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices, se forma un rectángulo, cuya base es igual a la diagonal mayor del rombo, D, y cuya altura es igual a la diagonal menor, d.

▶

d 5 2 cm D 5 5 cm

d h 5 d 5 2 cm

D


b 5 D 5 5 cm

Para explicar • Dibuje un rombo en la pizarra y pida a los alumnos que calquen en una hoja el rombo de la ilustración. Lea el texto y dibuje las paralelas para formar el rectángulo, a la vez que los alumnos las trazan en su hoja. Hágales observar que la diagonal mayor del rombo es igual que la base del rectángulo y la diagonal menor es su altura. Pida que recorten el rectángulo y después el rombo, y que comprueben que los cuatro triángulos que completan el rectángulo forman el rombo. Razone en común que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

El área del rombo es la mitad del área de ese rectángulo. Área del rombo 5

Área del rectángulo diagonal mayor 3 diagonal menor 5 2 2 Área 5

13

D 3 d 5 cm 3 2 cm 5 5 5 cm2 2 2

El área del rombo es el producto de sus diagonales dividido entre 2.

1. Mide y calcula el área.

▶

Área del rombo 5

D3d 2

2. Calcula el área de cada rombo. ●

La diagonal mayor mide 12 cm y la diagonal menor 10 cm.

●

La diagonal menor mide 8 cm y la diagonal mayor 15 cm.

●

La diagonal mayor y la diagonal menor son iguales y las dos miden 30 cm.

●

La diagonal menor mide 6 cm y la diagonal mayor el doble que ella.

CÁLCULO MENTAL Estima productos aproximando el número decimal a las unidades

3,8 3 7

3,8 ▶ 4

4 3 7 = 28

6,2 3 5

8,1 3 20

2,3 3 300

Soluciones

7,8 3 4

4,3 3 70

6,1 3 400

1. Verde ▶

3,4 3 6

5,6 3 40

8,9 3 500

9,7 3 9

9,9 3 50

7,6 3 600

432 54 2 A 5 4 cm2

5 3 2,4 56 2 2 A 5 6 cm Rosa ▶

183

2. •

Otras actividades • Muestre un rombo de cartulina y trace sus diagonales. Corte por la diagonal mayor y forme un romboide con los dos triángulos. Señale a los alumnos que la base del romboide es la diagonal mayor del rombo, y la altura del romboide es la mitad de la diagonal menor. Después, razone en común la fórmula del área del rombo a partir de la del romboide. d D3d 5 Área 5 b 3 h 5 D 3 2 2

12 3 2,4 5 60 2 A 5 60 cm2

15 3 8 5 60. A 5 60 cm2 2 30 3 30 • 5 450 2 A 5 450 cm2 •

•

(6 3 2) 3 6 5 36 2 A 5 36 cm2

Cálculo mental • 30 160 32 280 18 240 90 500

600 2.400 4.500 4.800

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Á

Área del romboide Objetivos

¿Cuál es el área de este romboide?

• Calcular el área de un romboide, conociendo o midiendo su base y altura.

Fíjate en que un romboide se puede transformar en un rectángulo. Basta con cortar por la altura h y trasladar el triángulo obtenido al otro lado.

h 5 2 cm

Sugerencias didácticas Para explicar • Dibuje en la pizarra un romboide y muestre cómo se puede formar a partir de él un rectángulo de igual base y altura. Pida a los alumnos que calquen el romboide de la ilustración, lo recorten y trasladen el triángulo para construir el rectángulo. Razone entonces con ellos que el área del romboide es igual que el área del rectángulo.

▶

h 5 2 cm

h

b 5 3 cm

b 5 3 cm

El rectángulo obtenido tiene la misma base, b, y altura, h, que el romboide. Área del romboide 5 Área del rectángulo 5 base 3 altura Área 5 b 3 h 5 3 cm 3 2 cm 5 6 cm2

El área del romboide es el producto de su base por su altura.

▶

Área del romboide 5 b 3 h

1. Mide y calcula el área de cada romboide en centímetros cuadrados. Traza su altura cuando sea necesario.

1.

Competencias básicas Aprender a aprender Comente cómo los contenidos anteriores sirven de base para aprendizajes posteriores: por ejemplo, el conocimiento de la base, la altura y el área de un rectángulo nos ayuda a calcular el área de un romboide.

2. Calcula el área de cada romboide. Después, contesta.

●

2.

A. Su base mide 8 cm y su altura 6 cm.

C. Su base mide 10 cm y su altura 4,8 cm.

B. Su altura mide 4 cm y su base 9 cm.

D. Su altura mide 12,4 cm y su base 5 cm.

¿Qué romboides de los anteriores tienen la misma área? Dos romboides con distintas bases y alturas, ¿pueden tener la misma área?

3.

3. Piensa y contesta. Después, calcula y comprueba.

Soluciones 1. Verde ▶ 2 3 3 5 6. A 5 6 cm2 Azul ▶ 4 3 1,5 5 6. A 5 6 cm2 Rojo ▶ 3 3 2 5 6. A 5 6 cm2 Amarillo ▶ 2 3 2,5 5 5 A 5 5 cm2 2. A ▶ 8 3 6 5 48. A 5 48 cm2 B ▶ 9 3 4 5 36. A 5 36 cm2 C ▶ 10 3 4,8 5 48 A 5 48 cm2 D ▶ 5 3 12,4 5 62 A 5 62 cm2 • Los romboides A y C. Sí pueden tener la misma área. 3. Sí, el área del prado es el doble que la de la parcela. Parcela ▶ 100 3 60 5 5 6.000 m2 Prado ▶ 100 3 120 5 5 12.000 m2 12.000 5 6.000 3 2

Martín tiene una parcela con forma de romboide cuya base mide 100 m y cuya altura es 60 m. También tiene un prado romboidal de base 100 m y con el doble de altura que la parcela. El área del prado, ¿es el doble del área de la parcela?

184

Otras actividades • Dibuje en la pizarra los romboides ABCD y ABEF y comente que los puntos D, C, F y E están en la misma recta. D

C

A

F

E

B

Pida a dos alumnos que repasen la base AB y tracen una altura de cada romboide correspondiente a dicha base. Hágales ver que las dos alturas son iguales. Después, pregunte: ¿Tienen los dos romboides la misma área? ¿Por qué?

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13

Área del triángulo

UNIDAD

Objetivos

¿Cuál es el área de este triángulo?

• Calcular el área de un triángulo, conociendo o midiendo su base y altura.

Fíjate en que si trazamos paralelas a dos lados del triángulo se forma un romboide con la misma base, b, y altura, h, que el triángulo de partida.

▶

h 5 2 cm

h 5 2 cm

b 5 4 cm


b 5 4 cm

Para explicar • Trabaje de forma similar a las páginas anteriores, explicando en la pizarra la obtención de la fórmula del área del triángulo a partir del área del romboide.

El área del triángulo es la mitad del área de ese romboide. Área del triángulo 5

Área del romboide base 3 altura 5 2 2 Área 5

4 cm 3 2 cm b3h 5 4 cm2 5 2 2

El área del triángulo es el producto de su base por su altura dividido entre 2.

▶

Área del triángulo 5

b3h 2

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre inventar otras prácticas similares de la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y propónga a los alumnos realizar la misma comprobación dibujando y recortando otros tipos de triángulos (rectángulos y obtusángulos).

1. Mide y calcula el área de cada triángulo en cm2. Traza su altura cuando sea necesario.

2. Calcula el área en cada caso. ●

Un triángulo cuya base mide 15 cm y cuya altura mide 10 cm.

●

Un triángulo cuya base mide 4 cm y cuya altura mide 12 cm más que la base.

●

Una pieza de madera triangular cuya base mide 30 cm y cuya altura mide 15 cm.

●

Una parcela triangular cuya base mide 150 m y cuya altura mide 70 m.


¿Tienen los dos triángulos la misma base? ¿E igual altura?

●

¿Tienen los dos triángulos la misma área? ¿Por qué?

2 cm

3. RAZONAMIENTO. Observa y contesta. ●

13

2 cm

185

2. •

•

Otras actividades • Pida a los alumnos que dibujen y recorten un rectángulo, después tracen una de sus diagonales y recorten los dos triángulos formados. Indíqueles que comprueben que los dos triángulos son iguales y, por tanto, el área de cada triángulo es la mitad que la del rectángulo, siendo una base del triángulo y su correspondiente altura iguales que las del rectángulo.

•

•

(4 3 1,5) : 2 5 3. A 5 3 cm2 (2 3 2) : 2 5 2. A 5 2 cm2 (2 3 3) : 2 5 3. A 5 3 cm2 (4 3 2,5) : 2 5 5. A 5 5 cm2 15 3 10 5 75 2 A 5 75 cm2 4 3 (4 1 12) 5 32 2 A 5 32 cm2 30 3 15 5 225 2 A 5 225 cm2 150 3 70 5 5.250 2 A 5 5.250 m2

3. • Sí tienen la misma base e igual altura. • Sí tienen la misma área.

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Área de polígonos regulares Objetivos

Á

¿Cuál es el área de este polígono regular?

Para explicar • Dibuje un pentágono regular y pida a los alumnos que calquen el de la ilustración. Marque el centro, explique que este punto está a la misma distancia de todos los vértices del polígono y descompóngalo en cinco triángulos iguales. Comente que el área del polígono es cinco veces el área de un triángulo y señale uno. Muestre que el lado del pentágono es una base y trace en él la apotema y defínala, indicando que es la altura correspondiente a esa base. Razone en común que, como los triángulos forman la mitad de un romboide, el área del polígono regular será la mitad que la del romboide, y que la base y la altura del romboide son el perímetro y la apotema del pentágono. Escriba su fórmula, explique el significado de P y ap, y pida que la memoricen.

ap

1,4 cm

La base de cada triángulo es un lado del polígono y la altura es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado. Ese segmento se llama apotema, ap.

b 5 2 cm

El área del polígono es la suma de las áreas de todos los triángulos que se han formado. Fíjate en que, si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P, y cuya altura es la apotema, ap.

ap 5 1,4 cm 2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

perímetro P

Área del polígono regular 5

Área del romboide perímetro 3 apotema 5 2 2

Área 5

P 3 ap 10 cm 3 1,4 cm 5 5 7 cm2 2 2

El área de un polígono regular es el producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2.

1. Calcula el área de cada polígono regular,

▶

Área del polígono regular 5

1.

P 3 ap 2

2. Halla el área de cada polígono.

sabiendo que el área de cada triángulo marcado es 20 m2.

10 cm

17,3 cm


Cualquier polígono regular se puede descomponer en triángulos iguales, uniendo su centro con sus vértices.

6,9 cm

• Calcular el área de un polígono regular, conociendo o midiendo su lado y apotema.

CÁ

Mu

20 cm

●

Un octógono regular cuyo lado mide 18 cm y cuya apotema mide 21,7 cm.

●

Un decágono regular cuyo perímetro mide 150 cm y cuya apotema mide 23,1 cm.

186

Soluciones 1. 4 3 20 m2 5 80 m2 6 3 20 m2 5 120 m2 8 3 20 m2 5 160 m2 (5 3 10) 3 6,9 5 2. • A 5 2 2 5 172,5 cm (6 3 20) 3 17,3 5 2 5 1.038 cm2

• A5

(8 3 18) 3 21,7 5 2 5 1.562,4 cm2

• A5

150 3 23,1 5 2 5 1.732,5 cm2

• A5

Otras actividades • Dibuje en la pizarra un cuadrado de 4 dm de lado y pida a un alumno que trace sus dos diagonales. Muestre que el punto donde se cortan las diagonales es el centro del cuadrado, trace la apotema y razone en común que mide 2 dm. Pida a los alumnos que calculen su área de dos formas: por la fórmula del área del cuadrado y por la fórmula del área de un polígono regular, y que comprueben que se obtiene el mismo resultado. Área 5 42 dm2 5 16 dm2 4 3 4 dm 3 2 dm 5 16 dm2 Área 5 2

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13

Área del círculo

13

Objetivos

Fíjate en el dibujo. El círculo es similar a un polígono regular con muchísimos lados.

• Calcular el área de un círculo, conociendo o midiendo su radio o diámetro.

Su perímetro sería la longitud de la circunferencia y su apotema el radio. ¿Cuál es el área de este círculo?

Área de un polígono regular 5

1 cm


perímetro 3 apotema 2

▶

▶ Área del círculo 5

longitud de la circunferencia 3 radio 2 3 π 3 r 3 r 5 5 π 3 r2 2 2

Área 5 π 3 r 2 5 3,14 3 12 cm2 5 3,14 cm2

El área del círculo es el producto del número π por su radio al cuadrado.

▶

1. Calcula el área y contesta. cm ●

●

Área del círculo 5 π 3 r 2

2. Calcula el área.

3 12

cm

¿Cuál es el radio del círculo mayor? ¿Es el doble que el radio del menor? El área del círculo mayor, ¿es el doble que el área del menor?

●

De un círculo de 5 cm de radio.

●

De un círculo de 4 m de diámetro.

●

De una ventana circular de 30 cm de radio.

●

De una pizza de 14 cm de radio.

●

De una plaza de 200 m de diámetro.

●

De un cráter circular de 300 m de diámetro.

Para explicar • Haga observar a los alumnos en la ilustración que, cuando los polígonos tienen muchos lados, se asemejan a un círculo. Escriba en la pizarra y deduzca el área del círculo a partir del área del polígono regular, razonando en común que el perímetro es similar a la longitud de la circunferencia y la apotema es similar al radio. • Dibuje un círculo en la pizarra, indique la medida del radio y calcule su área de forma colectiva. Después, dibuje otro indicando la medida del diámetro y razone en común que primero debemos hallar el radio y después el área.

CÁLCULO MENTAL Multiplica un número decimal por decenas y centenas 3 400

cm

e

UNIDAD

0,3

3 100

30

34

120

0,4 3 60

2,4 3 20

0,4 3 600

1,3 3 200

0,7 3 80

4,1 3 30

0,5 3 700

2,1 3 500

0,8 3 40

5,2 3 40

0,06 3 300

5,02 3 300

0,9 3 30

7,1 3 50

0,08 3 900

4,12 3 400

187

Otras actividades • Pida a los alumnos que calculen la longitud de la circunferencia y el área de varios círculos, dándoles la medida del radio o del diámetro en centímetros exactos. Es importante que diferencien bien ambos cálculos: la fórmula que deben aplicar en cada caso (2 3 π 3 r o π 3 r2) y la unidad de medida del resultado (cm o cm2). • Después de calcular el área de un círculo, proponga a los alumnos calcular el área de un semicírculo y de un sector circular de un cuarto de círculo. A 5 π 3 r2 ▶ A 5

π 3 r2 π 3 r2 ▶ A5 2 4

Soluciones 1. Rojo ▶ A 5 3,14 3 32 5 5 28,26 cm2 Verde ▶ 12 : 2 5 6 A 5 3,14 3 62 5 113,04 cm2 • r 5 6 cm. Sí es el doble. • No, es 4 veces mayor. 2. • A 5 3,14 3 52 5 78,5 cm2 • 4 : 2 5 2; A 5 3,14 3 22 5 5 12,56 m2 • A 5 3,14 3 302 5 5 2.826 cm2 • A 5 3,14 3 142 5 5 615,44 cm2 • 200 : 2 5 100; A 5 3,14 3 3 1002 5 31.400 m2 • 300 : 2 5 150; A 5 3,14 3 3 1502 5 70.650 m2

Cálculo mental • 24 48 56 123 32 208 27 355

240 350 18 72

260 1.050 1.506 1.648

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Área de una figura plana Objetivos

2.

¿Cuál es el área de la figura verde?

Para hallar el área, dividimos la figura en otras figuras conocidas cuya área seamos capaces de calcular. En este caso podemos dividirla en un semicírculo, un rectángulo y un triángulo.

Sugerencias didácticas Para empezar • Utilice dos figuras de cartulina o del material de aula para mostrar a los alumnos una figura compuesta por ambas, o montadas una sobre otra, y razonar en común si el área de la figura formada es la suma o la diferencia de las dos iniciales. Para explicar • Copie la figura en la pizarra y razone con los alumnos que para calcular su área tenemos que determinar qué figuras la componen. Márquelas y comente que el área total es la suma del área de cada parte. Calcúlela de forma colectiva, razonando en común que el área del semicírculo es la mitad que la del círculo, y cómo hallamos cada medida.

50 m


100 m

3. 50 m

80 m

100 m

180 m

180 m

El área total de la figura es la suma de las áreas de las tres figuras en las que la hemos descompuesto: ●

El semicírculo es la mitad de un círculo de 100 m de diámetro.

●

El rectángulo tiene 50 m de altura y 100 m de base.

●

El triángulo tiene 80 m de base (180 m – 100 m) y 50 m de altura.

4.

Área del círculo π 3 r 2 3,14 3 502 m2 Área del semicírculo 5 5 5 5 3.925 m2 2 2 2 Área del rectángulo = b 3 h 5 100 m 3 50 m 5 5.000 m2 Área del triángulo 5

b 3 h 80 m 3 50 m 5 5 2.000 m2 2 2

Área de la figura verde 5 3.925 m2 1 5.000 m2 1 2.000 m2 5 10.925 m2

Para calcular el área de una figura plana, hay que descomponerla primero en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular y sumar después las áreas de esas figuras.

1. Completa y calcula el área de la zona roja. ●

El área de la zona roja es el área del … menos el área del …

●

El radio del círculo mide … m. Área del círculo 5 …

●

El lado del cuadrado mide … m. Área del cuadrado 5 …

●

Área de la zona roja 5 … 2 … 5 …

10 m

• Trabaje colectivamente la actividad 1, comentando que en este caso debemos calcular la diferencia.

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre memorizar que aparece en la página 51 del manual de ESTUDIO EFICAZ y, antes de calcular el área de las figuras compuestas, pida a los alumnos que repasen y escriban la fórmula del área de cada figura plana trabajada en la unidad.

▶

100 m

10 m

12 m

5.

188

Otras actividades • Dibuje en la pizarra la siguiente figura y pregunte a los alumnos cómo se llama la figura circular limitada por los dos círculos. Calcule en común el área de la corona circular, restando el área del círculo menor al área del círculo mayor.

3 cm

• Calcular el área de una figura plana descomponiéndola en figuras de área conocida.

5 cm

Autonomía e iniciativa personal Anime a los alumnos a reflexionar sobre las figuras cuya área conocen para que, al descomponer figuras compuestas, busquen de manera autónoma dichas figuras.

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13 2. Calcula el área de cada figura.

UNIDAD

13

20 m

Soluciones 20 m

1. • El área del círculo menos el área del cuadrado. • El radio mide 12 m. A 5 3,14 3 122 5 5 452,16 m2 • El lado del cuadrado mide 10 m. A 5 102 5 100 m2 • 452,16 2 100 5 352,16 m2

23 m

38 m

3. Mario ha dibujado estos logotipos para una empresa. Mide y calcula el área de cada uno.

2. • Rectángulo: 38 3 20 5 5 760 m2 38 3 20 Rombo: 5 2 5 380 m2 Área figura verde: 760 m2 2 380 m2 5 5 380 m2 • Semicírculo: r 5 20 : 2 5 10 3,14 3 100 5 157 m2 2 20 3 23 5 Triángulo: 2 2 5 230 m Área figura morada: 157 m2 1 230 m2 5 5 387 m2

4. Obtén el área de cada pieza metálica. Traza las líneas que creas necesarias, mide y opera.

5. RAZONAMIENTO. Dibuja y contesta. Traza una figura y descomponla en polígonos de área conocida de varias formas. ¿Puedes calcular el área de esa figura plana de varias maneras?

189

Otras actividades • Dibuje varios polígonos irregulares en la pizarra. Explique que si trazamos en cada polígono todas las diagonales desde un vértice, el polígono queda dividido en triángulos. Comente que así podemos calcular el área de cualquier polígono, midiendo la base y la altura de los triángulos que lo componen y sumando el área de todos ellos. D

3 cm

C

4 cm

Proponga a los alumnos calcular, por ejemplo, el área de este trapecio, trazando la diagonal desde el vértice A.

A

10 cm

B

3. • Cuadrado: 42 5 16 cm2 332 Triángulo: 5 3 cm2 2 Área naranja: 16 2 3 5 5 13 cm2 • Círculo: 3,14 3 22 5 5 12,56 cm2 Romboide: 2 3 1,5 5 3 cm2 Área rosa: 12,56 2 3 5 5 9,56 cm2 • Rectángulo: 4 3 2 5 8 cm2 Círculo: 3,14 3 12 5 5 3,14 cm2 Área roja: 8 1 3,14 5 5 11,14 cm2 1,5 3 3 5 4. • A 5 32 1 2 3 2 2 5 13,5 cm 334 2 • A 5 42 1 2 2 (3,14 3 22) 5 9,44 cm2 • A 5 42 1 22 1 3,14 3 1 5 21,57 cm2 1 2 433 • A54321 5 2 5 14 cm2 5. R. L. Sí.

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Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Haz una ficha en la que aparezca un dibujo de cada tipo de figura plana y la fórmula para hallar su área.


2. Halla el área de cada figura.


14 m

• 36 : 4 5 9 A 5 92 5 81 cm2 • 20 2 2 3 6 5 8; 8 : 2 5 4 A 5 6 3 4 5 24 cm2 5. • A 5 20 3 26,5 5 530 m2 12 3 12 A5 5 72 m2 2 8 3 26,5 A5 5 106 m2 2

24 cm

6,8 m

16 cm

1. R. L.

4. • A 5 15 3 30 5 450 cm2 12 3 8 • A5 5 48 cm2 2 60 3 8,7 5 261 cm2 • A5 2 • A 5 3,14 3 202 5 5 1.256 cm2

●

Un triángulo cuya base mide 12 cm y cuya altura es 8 cm.

●

Un hexágono regular cuyo perímetro mide 60 cm y cuya apotema mide 8,7 cm.

●

Un círculo de 40 cm de diámetro.

●

Un cuadrado cuyo perímetro mide 36 cm.

●

Un rectángulo cuyo perímetro mide 20 cm y el lado mayor mide 6 cm.

8m

Soluciones

6.

5. Obtén el área de cada jardín. Fíjate bien en qué figuras planas lo componen.

10 m

ER 17 cm

6 cm

40 cm

12 m

3. Halla el área de cada figura midiendo las longitudes que sean necesarias.

12 m

20 m

8m

138 m 69 m

80 m

56 m

16 m

3. Cuadrado ▶ 2,52 5 6,25 cm2 Rectángulo ▶ 3 3 1,5 5 5 4,5 cm2 Romboide ▶ 2 3 2,5 5 5 cm2 2,5 3 2 5 2,5 cm2 Rombo ▶ 2 2,5 3 2 Triángulo ▶ 5 2 5 2,5 cm2 (6 3 1,4) 3 1,2 Hexág. ▶ 5 2 2 5 5,04 cm Círculo ▶ 3,14 3 12 5 5 3,14 cm2

Un romboide cuya base mide 15 cm y cuya altura es 30 cm.

13 m

20 m

2. Rectángulo ▶ 20 3 13 5 5 260 m2 14 3 8 5 56 m2 Triángulo ▶ 2 Romboide ▶ 24 3 16 5 5 384 cm2 (5 3 10) 3 6,8 Pentág. ▶ 5 2 2 5 170 m 40 3 17 Rombo ▶ 5 340 cm2 2 Círculo ▶ 3,14 3 62 5 5 113,04 cm2

●

26,5 m

Objetivos

4. Haz un croquis y halla el área de cada figura.

190

Otras actividades • Razone con los alumnos que, para calcular el área de triángulos, rectángulos y romboides, normalmente tomamos como base el lado horizontal, pero que obtendríamos el mismo resultado si tomásemos otra base y su correspondiente altura. Proponga a los alumnos que lo comprueben con algunas figuras del material. • Indique a los alumnos que dibujen un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono y un hexágono regulares utilizando como plantilla las figuras del material. Después, explique que si trazamos las mediatrices de dos lados de un polígono regular, el punto donde se cortan es el centro del polígono. Pídales que hallen el centro de cada polígono, después tracen la apotema y calculen el área.

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a.

13 UNIDAD

6. Traza las líneas oportunas, mide y halla el

7. Resuelve.

área de cada azulejo.

●

3,14 3 102 5 2 5 157 m2 Área f. verde: 530 1 72 1 1 106 1 157 5 865 m2

¿Qué área de césped hay alrededor de la piscina?

A5

5m 5m

e

15 m

.

m

8m

●

¿Cuántos árboles se pueden plantar en una parcela romboidal de 100 m de largo y 40 m de altura si cada árbol necesita un área de 8 m2 para poder crecer?

Planear la reforma de una habitación

Milagros quiere pintar ella misma el salón de su casa. Ha ido a una tienda y ha elegido un color que le ha gustado. Le han dicho que con 1 kilo de esa pintura puede pintar una superficie de 8 m2. Milagros ha ido a casa y ha medido las paredes, el techo, las puertas y las ventanas del salón. Todas tienen forma rectangular y las dimensiones son las siguientes:

TECHO ● 6 m de largo y 4 m de ancho PUERTA ● 1 puerta de 2 m de alto y 1,5 m de ancho VENTANAS ● 2 ventanas de 1,5 m de alto y 1 m de ancho

Calcula cuántos metros cuadrados tiene que pintar Milagros y cuántos botes de pintura debe comprar.

191

Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 13 Área de figuras planas

Área de paralelogramos Área de triángulos Área de polígonos regulares Área del círculo Área de figuras planas

3,14 3 82 5 2 5 100,48 cm2 3,14 3 42 A5 5 2 5 25,12 cm2 Área f. naranja: 100,48 2 2 2 3 25,12 5 50,24 cm2

• A5

6. • A 5 1 3 4 5 4 cm2 431 5 2 cm2 A5 2 Área f. rosa: 4 1 2 3 2 5 5 8 cm2 • A 5 42 5 16 cm2 A 5 3,14 3 12 5 3,14 cm2 Área f. amarilla: 16 2 2 3,14 5 12,86 cm2 • A 5 3 3 1 5 3 cm2 432 A5 5 4 cm2 2 331 5 1,5 cm2 A5 2 Área f. marrón: 3 1 4 1 1 1,5 5 8,5 cm2

PAREDES ● 2 paredes de 6 m de largo y 3 m de alto ● 2 paredes de 4 m de largo y 3 m de alto

Lo que he aprendido

80 3 6 3 69 5 2 5 16.560 m2 A 5 56 3 138 5 7.728 m2 Área f. amarilla: 16.560 1 1 7.728 5 24.288 m2

• A5

25 m

ERES CAPAZ DE…

13

7. • 25 1 2 3 5 5 35 15 1 2 3 5 5 25 A 5 35 3 25 5 875 m2 A 5 25 3 15 5 375 m2 875 2 375 5 500 m2 Hay 500 m2 de césped. • A 5 100 3 40 5 4.000 m2 4.000 : 8 5 500. Se pueden plantar 500 árboles.


Eres capaz de… 2 3 6 3 3 1 2 3 4 3 3 5 60 m2 6 3 4 5 24 m2; 2 3 1,5 5 3 m2 2 3 1,5 3 1 5 3 m2 A 5 60 1 24 2 3 2 3 5 78 m2 Tiene que pintar 78 m2. 78 : 8 ▶ c 5 9; r 5 6 Comprará 10 botes de pintura.

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Solución de problemas Reducir el problema a otro problema conocido Objetivos

EJE

Resuelve los problemas reduciéndolos primero a un problema que sepas resolver.

1.

• Resolver problemas reduciéndolos primero a otro conocido.

Juan está diseñando un salvamanteles rectangular de corcho que tiene huecos circulares. ¿Qué área de corcho en cm2 tiene el salvamanteles que diseña Juan?

Sugerencias didácticas Para explicar • Plantee el problema resuelto, dibujando el salvamanteles en la pizarra. Comente con los alumnos que calcular el área de la zona naranja de la figura es muy difícil y anímelos a plantear formas de hacerlo más sencillo. Hágales ver que hay una figura más sencilla repetida y resuelva el problema de forma colectiva en la pizarra, siguiendo los pasos indicados en el libro. • Es posible que los alumnos planteen otra forma de solucionarlo: calcular el área total del rectángulo (de lados 4 3 6 cm y 7 3 6 cm) y restarle el área de los círculos (28 3 π 3 22 cm2 ). Pídales que comprueben que obtienen el mismo resultado.

▶

●

3.

El área de cada pieza es igual al área del cuadrado menos el área del hueco circular.

2 cm 6 cm

– Área del cuadrado 5 l 2 5 62 cm2 5 36 cm2 – Área del círculo 5 π 3 r 2 5 π 3 22 cm2 5 12,56 cm2 – Área de una pieza 5 36 cm2 2 12,56 cm2 5 23,44 cm2 ●

6 cm

El salvamanteles tiene 28 (7 3 4) piezas. El área del salvamanteles es igual a 28 veces el área de una pieza. – Área del salvamanteles 5 28 3 23,44 cm2 5 656,32 cm2

Solución: El salvamanteles que diseña Juan tiene 656,32 cm2 de corcho.

4.

1. Manuela ha hecho una alfombra

2. Pilar ha hecho un diseño uniendo

cosiendo triángulos de tela iguales. ¿Cuál es el área de la parte verde?

romboides iguales. ¿Cuál es el área de la zona morada?

5. 9 cm 16 cm 4 cm

Competencias básicas Competencia lingüística A la hora de resolver problemas, fomente en sus alumnos la expresión clara y precisa del razonamiento seguido.

2.

Para resolver el problema lo más adecuado es reducirlo primero a un problema que sabemos hacer: calcular el área de cada una de las piezas cuadradas que componen el salvamanteles.

6.

6 cm

3.

INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que pueda resolverse

reduciéndolo a otro conocido.

192

Otras actividades Soluciones 439 1. Un triángulo: A 5 5 2 2 5 18 cm A 5 30 3 18 cm2 5 540 cm2 El área verde es 540 cm2. 2. 6 : 2 5 3; 16 : 4 5 4 Un romboide: A 5 3 3 4 5 5 12 cm2 A 5 20 3 12 cm2 5 240 cm2 El área morada es 240 cm2.

• Pida a los alumnos que dibujen sobre una cuadrícula (por ejemplo, una hoja de cuaderno cuyos cuadraditos miden 4 mm de lado) una greca o un mosaico formado por la repetición de dos o tres figuras iguales: triángulos, cuadrados, rectángulos o romboides. Reproduzca en la pizarra algunos de los dibujos y calcule de forma colectiva el área total, multiplicando el área de cada figura por el número de figuras que hay y sumando los productos.

3. R. L.

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13

Repasa

UNIDAD

Soluciones

7. Completa.

EJERCICIOS


16 km 5 … dam

4.300 cm 5 … m

●

5.003.712

●

3.770.908

4,5 mm 5 … dm

0,56 hm 5 … m

●

81.104.670

●

70.067.103

1,36 ¬ 5 … ml

5.800 dl 5 … hl

●

197.051.030

●

702.160.007

2. Escribe el valor de posición de las cifras 7 en cada número. 7.501.713

70.070.815

701.207.084

6.134 cl 5 … ¬

4,75 dal 5 … dl

3,06 t 5 … kg

9,120 kg 5 … g

9,15 kg 5 … hg

0,095 hg 5 … cg

PROBLEMAS

8. La longitud de una maratón son 42 km,


Ochenta millones once mil treinta y dos.

●

Ciento seis millones doscientos tres mil ochocientos veinticuatro.

●

Siete cuartos.

●

Tres dieciseisavos.

●

Quince unidades y doce milésimas.

●

Siete unidades y cuatro centésimas.

●

Sesenta y tres coma doce.

1 hm y 95 m. La parte final de una maratón consistió en correr en un estadio 7 vueltas a una pista de 400 m de longitud. ¿Qué distancia se había corrido antes de llegar al estadio?

4. Escribe cómo se lee cada número. ●

8.103.026

●

6 9

●

13,25

40.020.037 17 8

15 23

0,025

130.800.470 9 5

8 40

8,9

4,103

5. ESTUDIO EFICAZ. Escribe una serie de números y otra serie proporcional a ella. Explica cómo lo has hecho y cómo obtener la primera a partir de la segunda.

●

23.675.014 23.680.987

●

2 5

●

28,09

30.205.126 24.013.568 9 6

8 10 29,1

28,86

9. De los 300 huéspedes de un hotel, dos quintos son franceses, un 15 % son alemanes y el resto son de otros países. ¿Cuántos huéspedes del hotel no son ni franceses ni alemanes?

10. En una fábrica se envasan 1.500 kg

23.700.016

11. Lola compra un pantalón por 50 . 14 15 27,99

30,3

Al ir a pagar en caja le dicen que le rebajan un 10 %. Después, al precio rebajado le añaden el 16 % de IVA. ¿Cuánto paga Lola por el pantalón?

193

Repaso en común • Forme varios grupos y pida a los alumnos de cada grupo que dibujen en cartulina cada una de las figuras planas que se han trabajado en la unidad, utilizando la regla, la escuadra o cartabón y el compás. (Aconséjeles que, como polígono regular, tracen un hexágono y recuérdeles cómo se dibuja a partir de una circunferencia, con la medida del radio). A continuación, escribirán por uno de los lados de cada figura la fórmula de su área y, después, medirán los datos necesarios y la calcularán. Al final, puede recoger todas las figuras hechas y utilizarlas a nivel individual o colectivo para reforzar y repasar, o bien para calcular el área de figuras compuestas, colocando dos juntas o montadas.

1. R. M. • 5 U de millón 1 1 3 UM 1 7 C 1 1 D 1 2 U 2. • 7.000.000 U y 700 U • 70.000.000 U y 70.000 U • 700.000.000 U y 7.000 U 3. • • • •

80.011.032 106.203.824 7/4 • 3/16 15,012 • 7,04 • 63,12

4. • Ocho millones ciento tres mil veintiséis; cuarenta millones veinte mil treinta y siete; ciento treinta millones ochocientos mil cuatrocientos setenta. • Seis novenos; quince veintitresavos; diecisiete octavos; nueve quintos; ocho cuarentaavos. • 13 coma 25; 0 coma 025; 8 coma 9; 4 coma 103. 5. R. L.

de aceitunas en 6 horas. ¿Cuánto tiempo se tardará en envasar 2.500 kg? ¿Cuántos kg se envasarán en 8 horas?

6. Ordena de menor a mayor cada grupo.

13

6. • 23.675.014 , , 23.680.987 , , 23.700.016 , , 24.013.568 , , 30.205.126 • 2/5 , 8/10 , 14/15 , , 9/6 • 27,99 , 28,09 , , 28,86 , 29,1 , 30,3 7. 1.600 dam 0,045 dm 1.360 ml 61,34 l 3.060 kg 91,5 hg

43 m 56 m 5,8 hl 475 dl 9.120 g 950 cg

8. 42.195 2 2.800 5 39.395 Se habían corrido 39.395 m. 9. 2/5 de 300 5 120 15 % de 300 5 45 300 2 (120 1 45) 5 135 No lo son 135 huéspedes. 10. 1.500 : 6 5 250 2.500 : 250 5 10 Se tardan 10 h. 8 3 250 5 2.000 Se envasarán 2.000 kg. 11. 50 2 10 % de 50 5 45 45 1 16 % de 45 5 52,2 Lola paga 52,20 €.

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2.

Gráficos de sectores Objetivos • Interpretar y representar gráficos de sectores.

Se ha hecho un estudio sobre las causas de 1.080 incendios forestales. Los datos se han representado en un diagrama de sectores.


Descuidos

Para empezar • Dibuje en la pizarra círculos divididos en sectores de colores diferentes. Pida a varios alumnos que salgan, los midan con el transportador del material de aula y después, los clasifiquen de mayor a menor.

Fenómenos naturales

Para explicar • Muestre a los alumnos que en los gráficos de sectores dividimos el círculo en sectores circulares cuyas amplitudes son proporcionales al número de datos de cada grupo. La interpretación cualitativa es sencilla, por mera comparación de amplitudes, siendo más compleja la interpretación cuantitativa. Comente el ejemplo resuelto y compruebe en común la solución de la actividad 1. • La representación de los gráficos de sectores tiene cierta complejidad. Lleve a cabo en común la actividad 3, mostrando los pasos que se deben seguir. Señale que la suma de todos los sectores circulares debe ser el círculo completo. Corrija en común las actividades 3 y 4.

Intencionados

●

¿Cuál fue la causa de incendio más común? Fueron los descuidos, ya que es el mayor sector circular en el gráfico.

●

¿Hubo más incendios intencionados o por fenómenos naturales? Hubo más por fenómenos naturales; su correspondiente sector circular es mayor que el de los intencionados.

●

¿Cuántos incendios forestales hubo por descuidos?

1º. Hallamos los incendios que representa cada grado del gráfico. Número de incendios 1.080 = =3 Grados del círculo 360

▶

Cada grado representa 3 incendios.

3.

2º. Medimos los grados del sector rosa, el de los descuidos, y calculamos el número de incendios multiplicando los grados por 3. El sector mide 180º ▶ Representa 180 3 3 5 540 incendios. Hubo 540 incendios forestales por descuidos. En un gráfico de sectores representamos los datos con sectores circulares.

4.

1. Observa el gráfico de sectores y contesta. A una sesión de un cine con 4 salas fueron 720 espectadores en total. Sala 1

●

¿En qué sala hubo más espectadores? ¿Y menos?

Sala 2

●

¿Hubo menos espectadores en la sala 2 o en la sala 3?

●

¿Cuántos espectadores hubo en cada una de las salas?

Sala 3 Sala 4

194

• Trabaje de nuevo la interpretación de estos gráficos una vez obtenidos y corregidos los gráficos de las actividades 3 y 4.

Competencias básicas Tratamiento de la información Señale que los gráficos de sectores nos ofrecen información cualitativa (comparando la amplitud de los sectores) y cuantitativa (midiendo cada sector y calculando el número de datos que representa).

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2. Lee la información y represéntala en un gráfico de sectores. Para decidir el color de un envase de un nuevo producto de perfumería se hizo una encuesta a 180 personas sobre el color que preferían y se obtuvieron estos resultados: Color

Azul

Rojo

Amarillo

Número de personas

80

60

40

Soluciones 1. • Más espectadores: sala 1. Menos: sala 4. • Hubo menos en la sala 3. • 1 grado = 2 espectadores. Sala 1: 260 espectadores. Sala 2: 200 espectadores. Sala 3: 160 espectadores. Sala 4: 100 espectadores.

1º. Suma todos los datos: 80 1 60 1 40 5 180 2º. Calcula los grados que corresponden a cada persona de la encuesta: Grados del círculo 360 = = 2 ▶ A cada persona le corresponden 2 grados. Número de personas 180 3º. Calcula los grados del sector circular correspondiente a cada color. Azul

80 3 2º 5 160º ▶ Un sector de 160º será de color azul.

Rojo

60 3 2º 5 …

Amarillo

▶

…3…5…

2. Sector rojo: 120º. Sector amarillo: 80º.

Un sector de … será … ▶

Azul

Un sector de …

4.º Traza una circunferencia y con un transportador y una regla, dibuja el sector circular correspondiente a cada color.

3. 1 asistente = 6 grados.

Rojo

Vampiro

Amarillo

Animal Superhéroe

3. Representa en un gráfico de sectores la información de la tabla.

Astronauta

En una fiesta de disfraces anotaron de qué se disfrazaron los 60 asistentes.

4. 1 persona = 3 grados.

Disfraz

Vampiro

Animal

Superhéroe

Astronauta

Número de personas

30

12

10

8

Europa África América Asia

4. Lee y representa la información en un gráfico de sectores. En un hotel hay alojadas 120 personas de países de cuatro continentes. Se distribuyen de la siguiente forma:

– 80 son de países de Europa. – 15 son de países de África. – 20 son de países de América. – 5 son de países de Asia.

195

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255

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14

Cuerpos geométricos. Volumen

E

Programación Objetivos • Identificar poliedros y sus elementos. • Reconocer prismas, pirámides, cuerpos redondos y sus elementos. • Identificar los poliedros regulares. • Hallar el volumen de un cuerpo con un cubo unidad. • Conocer y aplicar la relación entre volumen y capacidad (m3 y kl, dm3 y l). • Utilizar las relaciones entre m3, dm3 y cm3. • Calcular volúmenes de ortoedros y cubos. • Resolver problemas comenzando por otros problemas más sencillos.

Criterios de evaluación • Reconoce prismas, pirámides, cuerpos redondos y poliedros regulares, y también sus elementos. • Calcula el volumen de un cuerpo con un cubo unidad. • Conoce y aplica la relación entre volumen y capacidad (m3 y kl, dm3 y l). • Utiliza las relaciones entre m3, dm3 y cm3. • Calcula volúmenes de ortoedros y cubos. • Resuelve problemas comenzando por otros problemas más sencillos.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Aprender a aprender, Competencia social y ciudadana, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Competencia lingüística y Autonomía e iniciativa personal.

Contenidos • Identificación de los poliedros y de sus elementos. • Reconocimiento de prismas, pirámides, cuerpos redondos y sus elementos.

R

• Identificación de los poliedros regulares.

• • • •

• Cálculo del volumen de un cuerpo con un cubo unidad. • Aplicación de las relaciones entre volúmenes y capacidades.

E

• •

• Utilización de las equivalencias entre unidades de volumen. • Cálculo de volúmenes de ortoedros y cubos. • Resolución de problemas comenzando por otros más sencillos.

• Interés por el estudio de los cuerpos geométricos. • Valoración del cuidado y el orden al resolver problemas con cuerpos geométricos.

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Esquema de la unidad UNIDAD 14. CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLUMEN

Poliedros. Poliedros regulares

Volumen con un cubo unidad

Volumen y capacidad

Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Unidades de volumen




Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 4, pág. 204. • Elaborar esquemas: actividad 4, pág. 207.

Previsión de dificultades Los alumnos pueden presentar dificultades para: • Diferenciar los cuerpos geométricos, nombrar sus elementos y relacionarlos con sus desarrollos. Utilice el material de aula al comienzo como apoyo para toda la clase y manténgalo para aquellos alumnos con mayores dificultades. • Reconocer y aplicar las relaciones entre capacidad y volumen. Utilice distintos recipientes para trabajar la relación entre ambas magnitudes. Trabaje las relaciones entre volumen de un recipiente, capacidad de ese recipiente y cantidad de líquido que contiene en un cierto momento.


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14 Objetivos

Cuerpos geométricos. Volumen

RE

• Reconocer situaciones reales donde aparecen cuerpos geométricos.

s


Sugerencias didácticas • Pida a los alumnos que lean el texto y resuelva en común las actividades apoyándose en la fotografía del balón. Solicite a los alumnos que aporten ejemplos de otros objetos cotidianos que estén formados por la unión de diferentes polígonos (caja de zapatos, dado...).

C

• En Recuerda lo que sabes, repase con los alumnos los cuerpos geométricos que ya conocen y sus elementos. Verifique que tienen claros los conceptos antes de pasar a trabajar con el resto de la unidad.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Muestre que el conocimiento de los cuerpos geométricos nos permite interpretar mejor la realidad y poder interactuar con ella de manera más eficaz.

1.

Un balón es un cuerpo geométrico formado por polígonos de cuero unidos entre sí. Al inflarlo, se hincha y adopta una forma esférica. En el balón desinflado hay 12 pentágonos y 20 hexágonos unidos por sus lados, de forma que cada pentágono está rodeado por completo de hexágonos. ●

¿Cuántas caras tiene el balón de fútbol? ¿Son todos los polígonos iguales?

●

Cada pentágono, ¿con cuántos hexágonos comparte lados?

●

Cada lado de los polígonos que forman el balón, ¿a cuántos polígonos pertenece?

●

¿A cuántos polígonos pertenece cada vértice?

2.

196

Aprender a aprender Indique a los alumnos que ya conocían de otros cursos muchos conceptos sobre cuerpos geométricos. Recuérdeles que el aprendizaje es un proceso continuo y que es necesario fundamentar bien los conocimientos para poder avanzar con seguridad en aprendizajes posteriores.

Competencia social y ciudadana Al comentar la fotografía, haga ver la importancia de seguir las reglas en las competiciones deportivas y del deporte como medio de desarrollo personal y social.

Otras formas de empezar • Pida a sus alumnos que busquen y traigan a clase (o proporcióneselas usted) diferentes fotografías de esculturas o elementos arquitectónicos (edificios, puentes...) en las que aparezcan cuerpos geométricos en su estructura. Comente con ellos sus características, diferencias, funcionalidad... • Solicite a los alumnos que moldeen con plastilina distintos cuerpos geométricos (conocidos por ellos o no). Comente después las características y elementos de algunos.

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UNIDAD

Prismas y pirámides

Soluciones

Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de caras son triángulos. Prisma hexagonal

Página inicial • 12 1 20 5 32. Tiene 32 caras. No son todos los polígonos iguales, hay de dos tipos: pentágonos y hexágonos. • Cada pentágono comparte lados con cinco hexágonos. • Cada lado pertenece a dos polígonos. • Cada vértice pertenece a tres polígonos.

Pirámide hexagonal vértice o cúspide base

arista lateral

cara lateral cara lateral

arista lateral vértice

vértice

arista básica

base arista básica

Cuerpos redondos Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos que tienen superficies curvas. Cilindro

Cono

Esfera vértice

superficie curva

base superficie lateral curva radio

14

superficie lateral curva

radio

base radio

1. Clasifica cada cuerpo en prisma o pirámide y escribe

VAS A APRENDER

cuántas caras, vértices y aristas tiene.

2. ¿Qué oraciones son erróneas? Explica por qué. ●

Todos los cuerpos redondos tienen vértices.

●

Un cilindro tiene dos bases que son polígonos iguales.

●

La base de una esfera es un círculo.

●

Un cono tiene un único vértice.

●

A reconocer poliedros y sus elementos.

●

A utilizar la relación entre volumen y capacidad.

●

Cómo calcular el volumen de un cuerpo con un cubo unidad.

●

A conocer y utilizar las unidades de volumen y a pasar de unas a otras.

●

A hallar el volumen de ortoedros y cubos.

197

Recuerda lo que sabes 1. • Pirámide pentagonal. Tiene 6 caras, 6 vértices y 10 aristas. • Prisma hexagonal. Tiene 8 caras, 12 vértices y 18 aristas. • Prisma triangular. Tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. 2. Son erróneas: • Todos los cuerpos redondos tienen vértices. Porque solo tiene vértice el cono. • Un cilindro tiene dos bases que son polígonos iguales. Porque las dos bases iguales del cilindro son círculos, no polígonos. • La base de una esfera es un círculo. Porque la esfera no tiene base.

Vocabulario de la unidad • Prisma, pirámide, cuerpo redondo • Base, cara, arista, vértice, radio • Cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro • Cubo unidad • Metro cúbico (m3 ) • Decímetro cúbico (dm3) • Centímetro cúbico (cm3)

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Poliedros. Poliedros regulares Objetivos • Reconocer poliedros y sus elementos. • Identificar los cinco poliedros regulares y sus elementos.

3.

arista cara vértice

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos. Los elementos de un poliedro son caras, aristas y vértices. Ya conoces dos tipos de poliedros: los prismas y las pirámides, pero hay otros poliedros, como el cuerpo azul y el cuerpo amarillo.

Sugerencias didácticas Para empezar • Clasifique con los alumnos los cuerpos geométricos del material de aula. Indique que, además de ellos, hay otros tipos de cuerpos geométricos que van a estudiar ahora. Para explicar • Deje clara la definición de poliedro y sus elementos y muestre que todos los prismas y pirámides son poliedros (pero no a la inversa). • Al trabajar los poliedros regulares señale que solo existen los cinco que se indican. Haga hincapié en que deben cumplirse simultáneamente dos condiciones: que todas las caras sean polígonos regulares iguales y que se unan el mismo número de caras en cada uno de los vértices. Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre memorizar de la página 51 del manual de ESTUDIO EFICAZ y pida a sus alumnos que memoricen la definición de poliedro, sus elementos y los cinco poliedros regulares.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Pida a los alumnos que dibujen sobre cuadrícula composiciones artísticas libres en las que utilicen distintos tipos de poliedros. Comente algunas en común. Señale la presencia de los cuerpos geométricos en las representaciones artísticas a lo largo de la historia.

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice. Existen solo cinco poliedros regulares. Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

5. 4 caras que son triángulos regulares

8 caras que son triángulos regulares

20 caras que son triángulos regulares

6 caras que son cuadrados

12 caras que son pentágonos regulares

1. Escribe cuáles de estos cuerpos son poliedros. A

B

F

C

G

D

H

E

I

CÁ 2. Cuenta las caras, vértices y aristas de cada poliedro.

●

Cal

¿Qué poliedros de los anteriores son prismas? ¿Cuál es una pirámide?

198

Otras actividades • Formule en clase preguntas similares a las siguientes, pidiendo que las contesten en su cuaderno de un modo razonado: – ¿Puede – ¿Puede – ¿Puede – ¿Puede – ¿Puede

un prisma tener solamente dos caras laterales? tener un prisma dos desarrollos diferentes? tener una pirámide menos de cuatro vértices? un prisma tener un número impar de vértices? una pirámide tener un número impar de aristas?

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4.

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14 3. Escribe el nombre del prisma o pirámide al que pertenece cada desarrollo.

UNIDAD

14

Soluciones 1. Son poliedros: A, C, D, e I. 2. Verde ▶ 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. Azul ▶ 7 caras, 7 vértices y 12 aristas. Marrón ▶ 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Naranja ▶ 8 caras, 12 vértices y 18 aristas. Morado ▶ 11 caras, 13 vértices y 22 aristas. • Son prismas los poliedros marrón y naranja. Es una pirámide el poliedro azul.

4. Contesta. ¿Qué dos desarrollos de la actividad 3 pertenecen a poliedros regulares? ¿Cómo se llaman?

5. Halla el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro regular y completa la tabla. ▶ Ejemplo: tetraedro

Tiene 4 caras, con 3 lados cada una. Cada arista pertenece a 2 caras. Tiene 4 caras, con 3 vértices cada una. Cada vértice pertenece a 3 caras.

Poliedro regular

Número de caras

▶ ▶

Número de aristas

En total hay

433 5 6 aristas. 2

En total hay

433 5 4 vértices. 3

Número de vértices

Tetraedro Octaedro

4. Pertenecen a poliedros regulares el verde y el amarillo. Son tetraedro y cubo, respectivamente.

Icosaedro Cubo Dodecaedro

CÁLCULO MENTAL Calcula el 10 % o multiplica por 0,1: divide entre 10 10 % de 82 0,1 3 82

3. Verde ▶ Pirámide triangular. Naranja ▶ Prisma hexagonal. Amarillo ▶ Prisma cuadrangular. Morado ▶ Pirámide pentagonal. Azul ▶ Prisma triangular.

▶

82 : 10 = 8,2

10 % de 7

10 % de 30

10 % de 400

10 % de 6

10 % de 90

10 % de 356

0,1 3 9

0,1 3 75

0,1 3 6.000

0,1 3 8

0,1 3 49

0,1 3 8.700

199

Otras actividades • Muestre los cuerpos geométricos de plastilina creados por los alumnos en el apartado Otras formas de empezar de la página 196 (o los cuerpos del material de aula), y pídales que los clasifiquen e indiquen si son poliedros, cuerpos redondos, prismas, pirámides… Trabaje también el reconocimiento y conteo de sus elementos. • Enseñe a la clase un desarrollo del material de aula. Pida a los alumnos que razonen a qué cuerpo puede corresponder y que señalen algunos de sus elementos (bases, caras laterales…). Después, compruebe en común que ese desarrollo corresponde a dicho cuerpo.

5. • Tetraedro: 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. • Octaedro: 8 caras, 833 5 12 aristas 2 833 5 6 vértices. y 4 • Icosaedro: 20 caras, 20 3 3 5 30 aristas 2 20 3 3 5 12 vértices. y 5 • Cubo: 6 caras, 634 5 12 aristas 2 634 y 5 8 vértices. 3 • Dodecaedro: 12 caras, 12 3 5 5 30 aristas 2 12 3 5 y 5 20 vértices. 3

Cálculo mental • 0,7 3 0,6 9 0,9 7,5 0,8 4,9

40 35,6 600 870

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V

Volumen con un cubo unidad Objetivos • Conocer el concepto de volumen y de ortoedro. • Calcular el volumen de un cuerpo aplicando un cubo unidad.

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. En este curso se calculará el volumen de cubos y ortoedros (un ortoedro es un prisma cuyas caras son todas rectángulos). Para hallar el volumen de un ortoedro o un cubo, se toma como unidad de medida un cubito y se cuenta el número de cubitos de cada cuerpo. Cada capa de este ortoedro tiene 4 3 2 cubitos. El ortoedro tiene 3 capas de alto.

Sugerencias didácticas Para explicar • Deje clara la definición de volumen y cómo se puede calcular el volumen de un cuerpo (en concreto se trabaja con ortoedros por su facilidad) contando cubos unidad. Muestre la similitud con el cálculo de áreas con un cuadrado unidad. Haga hincapié en que el valor numérico del volumen depende de la unidad de medida considerada (aunque el volumen del cuerpo es siempre igual).

Ortoedro

▶

Hay 4 3 2 3 3 5 24 cubitos. Volumen 5 24

1. Cada capa de este cubo tiene 2 3 2 cubitos. El cubo tiene 2 capas de alto.

▶

Hay 2 3 2 3 2 5 23 5 8 cubitos. Volumen 5 8

1. Cuenta los cubitos y calcula el volumen. A

B

C

2. D

F E

Competencias básicas Tratamiento de la información Señale que al expresar el volumen de un cuerpo con un cubo unidad estamos usando dos informaciones: la numérica, dada por el número de cubos, y la gráfica, dada por el cubo unidad considerado.

2. Calcula el volumen del ortoedro usando cada cubo unidad. Unidad

▶

Unidad

▶

Volumen 5 …

3. Volumen 5 … ●

¿Por qué los valores numéricos que obtienes son distintos?

200

Soluciones 1. A B C D E F

▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶

124599 _ 0196-0207.indd 200

6 3 3 3 2 5 36 cubitos. 33 5 27 cubitos. 4 3 4 3 2 5 32 cubitos. 43 5 64 cubitos. 7 3 3 3 2 5 42 cubitos. 6 3 3 3 4 5 72 cubitos.

2. Unidad

▶ V 5 24

Unidad

▶ V53

• El resultado numérico no coincide porque se ha utilizado una unidad de medida distinta. Si lo cree conveniente comente que, como el ortoedro es el mismo, su volumen también es igual.

31/3/09 20:34:40

Otras actividades • Dibuje en la pizarra dos cuerpos formados por 3 3 2 3 4 cubitos y por 2 3 6 3 2 cubitos, por ejemplo. Solicite a los alumnos que realicen el cálculo del volumen de ambos cuerpos. Muestre que el volumen de ambos cuerpos es el mismo, pero que sus dimensiones son diferentes. Después, pídales que encuentren y, a ser posible también dibujen en sus cuadernos, otros cuerpos formados por cubitos cuyo volumen sea 24.

200 124603 _ 0256-0269.indd 262

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124599 _ 0196-0207

14

Volumen y capacidad

UNIDAD

Objetivos

La capacidad de un recipiente equivale a su volumen. La capacidad de un recipiente con forma de cubo de 1 dm de arista es 1 litro (1 ¬). 1¬

La capacidad de un depósito con forma de cubo de 1 m de arista es 1 kilolitro (1 kl), es decir, 1.000 litros.

1m

• Relacionar capacidad y volumen (decímetro cúbico con litro y metro cúbico con kilolitro).

1 kl


1 dm

Para explicar • Deje clara la equivalencia entre el volumen de un recipiente y su capacidad. Comente los casos de decímetro cúbico - litro y metro cúbico - kilolitro. Indique que en la realidad se habla indistintamente de uno u otro. Realice en común algún caso de la actividad 1 ya que los alumnos suelen tener problemas para contar los cubos que no ven. • Señale que la capacidad de un recipiente (o su volumen) solo coincide con la cantidad de líquido que tiene dentro cuando está lleno. Haga hincapié en ello tras realizar las actividades 2 y 3, ya que es un concepto que suele ser difícil.

1. Calcula el volumen de cada cuerpo. Después, halla su capacidad si la arista de cada cubo mide 1 dm.

Volumen 5 …

Capacidad 5 … ¬ ●

Volumen 5 … Capacidad 5 …

¬

Volumen 5 …

Capacidad 5 … ¬

¿Cuál sería la capacidad de cada cuerpo anterior si la arista de cada cubo midiera 1 m?

2. Resuelve. ●

Cada contenedor de la figura tiene una capacidad de 1 kl. Si se necesita almacenar 40 kl, ¿cuántos contenedores faltan por almacenar?

●

En un depósito cúbico de 1 m de arista se han vertido 800 ¬ de leche. ¿Qué tiene más volumen: la parte llena del depósito o la vacía?

●

De un recipiente cúbico de 1 dm de arista lleno de agua se han vertido 60 cl a una jarra. ¿Dónde hay ahora más agua: en el recipiente o en la jarra?

3. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta.

Soluciones

Matías ha vertido 500 ¬ de agua en un recipiente cúbico de 1 m de arista. ●

¿Cuál es la capacidad del recipiente?

●

¿Coincide la capacidad con la cantidad de líquido que tiene dentro el recipiente?

1. Azul

201 31/3/09 20:34:40

14

124599 _ 0196-0207.indd 201

Otras actividades • Proponga la siguiente actividad para trabajar la idea de que cuerpos distintos pueden tener la misma capacidad. Dibuje en la pizarra varios cuerpos distintos formados por cubos unidad y teniendo todos igual número de cubitos. Indique que la arista de cada cubito mide 1 dm (o 1 m) y pida a los alumnos que cuenten los cubitos y calculen el volumen y la capacidad de los cuerpos. Posteriormente puede proponerles que sean ellos mismos quienes realicen el dibujo de otros cuerpos que tengan la misma capacidad.

31/3/09 20:34:51

▶ Volumen 5 30

Capacidad 5 30 l Rojo ▶ Volumen 5 17 Capacidad 5 17 l Verde ▶ Volumen 5 42 Capacidad 5 42 l • Serían 30 kl, 17 kl y 42 kl, respectivamente.

2. • Hay 39 contenedores 5 39 kl 40 kl 2 39 kl 5 1 kl Falta 1 contenedor. • Capacidad 5 1 kl 5 1.000 l Llena: 800 l . Vacía: 200 l . Más volumen: parte llena. • Capacidad 5 1 l 5 100 cl Jarra: 60 cl. Recipiente: 40 cl. Hay más agua en la jarra. 3. • Capacidad 5 1 kl 5 1.000 l • 1.000 l 5 / 500 l. No coincide.

201 124603 _ 0256-0269.indd 263

9/7/09 12:54:06

Unidades de volumen Objetivos • Reconocer las principales unidades de volumen: metro, decímetro y centímetro cúbicos y sus abreviaturas (m3, dm3 y cm3). • Utilizar las equivalencias entre las unidades de volumen.

Sugerencias didácticas Para explicar • Comente el dibujo de la página y deje claras las definiciones de las unidades. Señale que al tratarse de tres dimensiones, cada unidad es 1.000 veces mayor que la inmediatamente inferior. Muestre las similitudes y diferencias existentes con las unidades de medida de longitud y las de superficie. • Incida otra vez en la relación entre capacidad y volumen al realizar la actividad 1. • Muestre la utilidad de la fórmula para calcular el volumen de cualquier ortoedro o cubo a partir de sus dimensiones. Señale su parecido con el cálculo realizado contando los cubitos unidad y deje claro que todas las longitudes deben estar expresadas en la misma unidad para poder aplicar la fórmula. Para reforzar • Pida a los alumnos que elaboren un esquema para pasar de unas unidades de volumen a otras siguiendo la estrategia de la página 21 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Competencia lingüística Haga hincapié en la necesidad de nombrar cada magnitud con su vocabulario correspondiente para que la comunicación con los demás sea fluida y correcta (en ocasiones los alumnos llegan a confundir decímetro con decímetro cuadrado o decímetro cúbico).

3.

Para medir volúmenes de objetos usamos las unidades de volumen: centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico. ●

Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 centímetro cúbico (1 cm3).

●

Un cubo de 1 dm de arista tiene un volumen de 1 decímetro cúbico (1 dm3).

●

Un cubo de 1 m de arista tiene un volumen de 1 metro cúbico (1 m3).

1 cm3

4. 1 cm

1 dm3

1 m3

1 dm

Las equivalencias entre las unidades de volumen son: 1 m3 5 1.000 dm3

5. 1m

1 dm3 5 1.000 cm3

3 cm

Para calcular el volumen de un ortoedro multiplicamos sus tres dimensiones. Volumen: 4 cm 3 2 cm 3 3 cm 5 24 cm3

2 cm 4 cm

●

Las unidades de volumen son: metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3) y centímetro cúbico (cm3). 1 m3 5 1.000 dm3

●

1 dm3 5 1.000 cm3

El volumen de un ortoedro es igual al producto de su largo por su ancho por su alto.


¿Cuál es el volumen de un cubo de 1 m de arista? ¿A qué unidad de capacidad equivale?

●

¿Cuál es el volumen de un cubo de 1 dm de arista? ¿A qué unidad de capacidad equivale?

CÁ

2. Completa.

Cal

4 m 5 … dm

8 dm 5 … cm

7.000 dm 5 … m

6.000 cm 5 … dm

12 m3 5 … dm3

7,6 dm3 5 … cm3

30.000 dm3 5 … m3

23.500 cm3 5 … dm3

680 dm3 5 … m3

786 cm3 5 … dm3

95 dm 5 … m

43 cm3 5 … dm3

3

3

3

3,8 m3 5 … dm3 0,27 m 5 … dm 3

3

3

4,29 dm3 5 … cm3 3

0,125 dm 5 … cm 3

3

3

3

3

3

3

202

Otras actividades • Pida a sus alumnos que calculen (tomando las medidas pertinentes) el volumen de los ortoedros y cubos del material de aula, de distintos tetrabriks, de una goma, de un libro de texto… • Entregue a cada alumno dos tarjetas iguales y pídales que escriban un mismo volumen expresado en dos unidades diferentes (una en cada tarjeta). Después, junte a los alumnos en grupos y pídales que mezclen las tarjetas de todos y las coloquen extendidas boca abajo. Por turno, deberán levantar dos tarjetas y determinar si expresan el mismo volumen. Si no es así, se volverán a colocar donde estaban.

202 124603 _ 0256-0269.indd 264

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14 3. Ordena de menor a mayor cada grupo. PRESTA ATENCIÓN

5m

No olvides expresar todas las medidas en una misma unidad antes de comparar.

3

3

7.000 dm

8,2 m

3.500 cm3

2,9 dm3

3,01 dm3

3.499 cm3

7,05 dm3

7.000 cm3

7,2 dm3

7.100 cm3

8.250 dm

Soluciones 1. • El volumen es 1 m3. Equivale a 1 kl. • El volumen es 1 dm3. Equivale a 1 l.

4m

3 dm 3 dm

4m

5,5 m

3 dm

4 cm 2 cm 6 cm

3m

4m 4m

5. Resuelve. ●

En Villabosque hay un depósito en forma de ortoedro. En él se almacena agua para combatir los incendios forestales. Sus dimensiones son 20 m de largo, 15 m de ancho y 12 m de alto. – ¿Cuál es su capacidad en kilolitros? ¿Y en litros? En el pueblo de Valverde tienen también un depósito contra incendios. Tiene forma cúbica y su arista mide 15 m.

– ¿Cuál es su capacidad en litros? – ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito de Valverde menos que en el depósito de Villabosque? ¿Cuántos kilolitros son?

CÁLCULO MENTAL Calcula el 50 % o multiplica por 0,5: divide entre 2

▶

70 : 2 5 35

8.000 cm3 7.600 cm3 4.290 cm3 125 cm3 6 dm3 23,5 dm3 0,786 dm3 0,043 dm3

4. • 6 3 2 3 4 5 48 ▶ ▶ V 5 48 cm3 • 33 5 27 ▶ V 5 27 dm3 • 3 3 4 3 5,5 5 66 ▶ ▶ V 5 66 m3 • 43 5 64 ▶ V 5 64 m3

– ¿Cuál es su volumen? ¿Es mayor o menor que el volumen del depósito de Villabosque?

50 % de 70 0,5 3 70

2. 4.000 dm3 12.000 dm3 3.800 dm3 270 dm3 7 m3 30 m3 0,68 m3 0,095 m3

3. • 5 m3 , 7.000 dm3 , , 8,2 m3 , 8.250 dm3 • 2,9 dm3 , 3,01 dm3 , , 3.499 cm3 , 3.500 cm3 • 7.000 cm3 , 7,05 dm3 , , 7.100 cm3 , 7,2 dm3

– ¿Cuál es el volumen del depósito?

●

14

3

4. Halla el volumen de cada cuerpo.

m3

m3

UNIDAD 3

50 % de 8

50 % de 40

50 % de 600

50 % de 4

50 % de 30

50 % de 480

0,5 3 2

0,5 3 28

0,5 3 2.000

0,5 3 6

0,5 3 36

0,5 3 4.600

203

Otras actividades • Muestre a los alumnos un recibo de agua, y anote en la pizarra el precio del metro cúbico de agua consumido. Plantee problemas y situaciones similares a los siguientes: – Al ducharse una persona consume 90 litros de agua. ¿Cuánto cuesta el agua de una ducha? – En fregar los platos, un lavavajillas consume 30 litros de agua. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se gastan al año si se pone el lavavajillas una vez al día? ¿Cuántos euros cuesta?

5. • 20 3 15 3 12 5 3.600 – Volumen 5 3.600 m3 – Capacidad 5 3.600 kl 5 5 3.600.000 l • 153 5 3.375 – Volumen5 3.375 m3 3.375 , 3.600. Es menor. – Capacidad 5 3.375.000 l – 3.600.000 l 2 2 3.375.000 l 5 5 225.000 l 5 225 kl Caben 225.000 l menos. Son 225 kl menos.


20 15 14 18

300 240 1.000 2.300

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Actividades 1. Clasifica estos cuerpos en poliedros y cuerpos redondos.

Objetivos

A

B


●

En qué se diferencian los poliedros y los cuerpos redondos.

●

En qué se parecen y se diferencian un prisma y una pirámide triangulares.

C


9

4. ESTUDIO EFICAZ. Explica.

5. Calcula el volumen de cada cuerpo usando D

E

F

el cubo unidad. B

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Anime a sus alumnos a afrontar con confianza situaciones reales y a usar en ellas todos sus conocimientos matemáticos.

A H

G

I

D

2. Contesta. ●

¿Qué poliedros de la actividad anterior son prismas? ¿Y pirámides?

●

¿Cuáles son poliedros regulares?

3. Relaciona cada cubo con los desarrollos que lo pueden formar.

Soluciones

A

3. A ▶ 2, 3, 5 y 6 B ▶ 1, 3, 4, 5 y 6

3

4. R. M. • Los poliedros están formados por caras todas poligonales, y los cuerpos redondos presentan alguna superficie curva y si tienen alguna cara plana es un círculo. • Se parecen en que ambos son poliedros y la base (o las bases) son triángulos. Se diferencian en el número de caras, vértices y aristas, y en que las caras laterales del prisma son paralelogramos y las de la pirámide son triángulos. 5. A ▶ Volumen 5 10 B ▶ Volumen 5 14 C ▶ Volumen 5 125 D ▶ Volumen 5 31 6. • A B C D

▶ ▶ ▶ ▶

10 kl 14 kl 125 kl 31 kl

• A B C D

1

▶ ▶ ▶ ▶

10 l 14 l 125 l 31 l

6. Halla la capacidad de cada cuerpo de la actividad 5 suponiendo que la arista de cada cubo mide. ●

●

1 m.

ER

1 dm.


B

1. Poliedros: B, C, D, G, H e I. Cuerpos redondos: A, E y F. 2. • Prismas: G y H. Pirámides: C e I. • Poliedros regulares: B, C y D.

10

C

2

4

●

Dos recipientes distintos, ¿pueden tener la misma capacidad? ¿Y el mismo volumen?

●

Dos recipientes con la misma capacidad, ¿tienen el mismo volumen?

●

Dos recipientes con una misma cantidad de líquido dentro, ¿pueden tener el mismo volumen? ¿Y distinto? ¿Pueden tener la misma capacidad? ¿Y distinta?

8. Completa. 5

3 m3 5 … dm3

6

5.000 dm3 5 … m3

1,5 m 5 … dm 3

172 dm3 5 … m3

3

24 dm3 5 … cm3

800 cm3 5 … dm3

0,16 dm 5 … cm 3

3

39 cm3 5 … dm3

204

124599 _ 0196-0207

Otras actividades • Escriba en la pizarra los siguientes rótulos y pida a los alumnos que ordenen los cuerpos de menor a mayor volumen: Cuerpo A

40 dm de largo, 25 dm de ancho, 30 dm de alto

Cuerpo B

2 m de largo, 1 m de ancho, 5 m de alto

Cuerpo C

12 dm de largo, 18 dm de ancho, 64 dm de alto

204 124603 _ 0256-0269.indd 266

6/7/09 16:58:49

14 UNIDAD

11. Resuelve.

3 cm

9. Calcula el volumen de estos cuerpos.

●

En una cubitera hay 20 cubitos de hielo. Cada uno de ellos tiene 2 cm de arista. ¿Cuál es el volumen de un cubito? ¿Y de todos los cubitos de la cubitera?

●

Para trasplantar un árbol, Mario ha hecho un agujero de 2 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad. El volumen que ocupan las raíces del árbol es 1 m3. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra debe añadir para rellenar el agujero?

3 cm

7. • Sí, dos recipientes distintos pueden tener la misma capacidad y también el mismo volumen. • Sí, dos recipientes con la misma capacidad tienen el mismo volumen. • Sí, dos recipientes con la misma cantidad de líquido pueden tener el mismo o distinto volumen. Igualmente, pueden tener la misma o distinta capacidad.

4m

9 dm

6 cm

2 dm 4 dm

4m 4m

10. Calcula el volumen de cada cuerpo. ●

Un ortoedro que mide 3 m de ancho, 6 m de largo y 5 m de alto.

●

Un ortoedro que mide 25 cm de largo, 20 cm de ancho y 5 cm de alto.

●

Un cubo cuya arista mide 10 dm.

ERES CAPAZ DE…

Hacer cálculos para el mantenimiento de una piscina

En una escuela de natación están preparando la piscina para esta temporada.

la

●

¿Cuántos metros cúbicos de agua tiene la piscina? ¿Cuántos kilolitros son?

●

¿Cuántos gramos de cloro deben poner en total en la piscina?

●

¿Cuántos botes de cloro tienen que comprar para prepararla? ¿Les sobrará algo de cloro?

3

m

3

m3

10. • 6 3 3 3 5 5 90 V 5 90 m3 • 25 3 20 3 5 5 2.500 V 5 2.500 cm3 5 2,5 dm3 • 103 5 1.000 V 5 1.000 dm3 5 1 m3

3

205 124599 _ 0196-0207.indd 205

31/3/09

Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volumen Lo que he aprendido Poliedros. Poliedros regulares Volumen con un cubo unidad Volumen y capacidad Unidades de volumen

5 m3 0,172 m3 0,8 dm3 0,039 dm3

• 43 5 64 V 5 64 m3 • 4 3 2 3 9 5 72 V 5 72 dm3

En la escuela saben que deben poner 4 g de cloro por cada metro cúbico de agua de la piscina. El cloro lo compran en botes de 5 kg cada uno.

d mo

8. 3.000 dm3 1.500 dm3 24.000 cm3 160 cm3

9. • 6 3 3 3 3 5 54 V 5 54 cm3

La han llenado de agua y tienen que añadir cloro al agua para dejarla a punto y poder empezar las clases. La piscina de la escuela tiene forma de ortoedro y mide 50 m de largo, 20 m de ancho y 2 m de profundidad.

,

14


11. • 23 5 8; 20 3 8 5 160 El volumen de un cubito es 8 cm3 y el volumen de todos los cubitos es 160 cm3. • 2 3 2 3 1,5 5 6; 6 2 1 5 5 21:04:17 Debe añadir 5 m3 de tierra para rellenarlo.

Eres capaz de… • 50 3 20 3 2 5 2.000 V 5 2.000 m3 ▶ C 5 2.000 kl Tiene 2.000 m3 de agua, que son 2.000 kl. • 4 3 2.000 5 8.000 Deben poner 8.000 g de cloro. • 8.000 g 5 8 kg 8 : 5 ▶ c 5 1; r 5 3 5322852 Tienen que comprar 2 botes de cloro y les sobrarán 2 kg.

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Solución de problemas Empezar con problemas más sencillos Objetivos • Resolver problemas comenzando por otros más sencillos.

Sugerencias didácticas Para empezar • Dialogue con sus alumnos sobre las estrategias que han aprendido. Señale que además de hacer un dibujo, una tabla…, podemos también resolver problemas más sencillos que nos den una pista para afrontar el que tenemos planteado.

EJE

En algunos problemas, es útil resolver otros más sencillos primero para obtener pistas. Resuelve estos problemas trabajando antes algunos más sencillos.

1.

Magdalena ha hecho con cubos una torre de 5 capas como la de la figura. Unos cubos se ven y otros no. ¿Cuántos cubos se ven? ¿Cuántos están ocultos?

2.

▶ Para resolver el problema, vamos a considerar primero torres de 1, 2, 3 y 4 capas.

Para explicar • Intente que todos los alumnos sean capaces de «ver» los cubos que están ocultos de la torre y que descubran por sí mismos la regla que sigue el número de cubos de cada tipo (muestre la relación entre el número de cubos de cada paso y del paso anterior).

1 capa

Cubos visibles: 1 Cubos ocultos: 0

2 capas

Cubos visibles: 1 1 3 5 4 Cubos ocultos: 1

3 capas

Cubos visibles: 1 1 3 1 5 5 9 Cubos ocultos: 1 1 3 5 4

3.

4.

5. Cubos visibles: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 Cubos ocultos: 1 1 3 1 5 5 9

4 capas

Para 5 capas, siguiendo la pauta

▶

Cubos visibles: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 Cubos ocultos: 1 1 3 1 5 1 7 5 16

6.

1. ¿Cuántos cubos visibles tendrá una torre

Soluciones 1. Cubos visibles de una torre de 7 capas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 1 13 5 49 Cubos visibles de una torre de 10 capas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 1 13 1 15 1 17 1 19 5 100 2. Cubos de una torre de 5 capas: – Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1 1 7 5 25 – Ocultos: 2 1 4 1 6 1 8 5 20 Cubos de una torre de 8 capas: – Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1 1 7 1 8 1 9 1 10 5 52 – Ocultos: 2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 12 1 14 5 56 Cubos de una torre de 10 capas: – Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 1 12 5 75 – Ocultos: 2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 5 5 90

como la de Magdalena que tenga 7 capas? ¿Y si tiene 10 capas?

7.

2. Javier ha hecho una torre de 5 capas como la de la figura de la derecha. ¿Cuántos cubos visibles tiene? ¿Y ocultos? ¿Cuántos cubos de cada tipo habrá en una torre de 8 capas? ¿Y de 10 capas?

206

Otras actividades • Plantee a los alumnos actividades similares a las trabajadas, como las siguientes: ¿Cuántos cubos tendrá una torre como estas que tenga 7 capas? ¿Y si tiene 9 capas?

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6/7/09 16:58:50

14

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Expresa como una potencia y escribe cómo se lee. ●

434343434

●

5353535

●

73737

●

838

8. Dos tercios de los asistentes a una función de teatro eran mujeres y de ellas un quinto eran mayores de 60 años. ¿Qué fracción de los asistentes eran mujeres mayores de 60 años?

2. Expresa usando una potencia de 10. 1.000

100.000

100.000.000

3. Calcula. ●

Ï16

●

Ï36

●

Ï64

●

Ï100

4. ESTUDIO EFICAZ. Completa el esquema. ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Rectángulo ▶ b 3 h Cuadrado

▶

9. Juan tiene 120 libros. Tres cuartos son novelas, el 20 % son cuentos y el resto son diccionarios. ¿Cuántos libros de cada tipo tiene Juan?

…

5. Calcula.

10. Una moneda de 1 céntimo de euro pesa

4 2 1 3 8

7 4 2 5 15

7,35 1 0,98

6 3 3 4 9

8 7 : 3 4

4,2 3 6,09

9 2 6,78 9,405 : 45

6. Calcula. ●

4 2 3 1 3 5 6 10

●

5 5 4 2 2 2 3 6

(

)

●

25 3 3,6 2 48 : 1,6

●

5,64 : (0,27 1 0,33)

7. Expresa en la unidad indicada. En cm2 ▶ 12 dm2 En m2

▶

890 mm2 0,7 m2

8,5 a 4,9 hm2

En hm2 ▶ 916 m2 28 km2 En ha

▶

82 a

325 dm2 147 dam2

2,3 hm2 734 ca

2,30 g. ¿Cuántas monedas habrá en una bolsa de monedas de 1 céntimo que pesa 35 kg y 190 g?

11. Luis tiene un cordón de 9 m. Lo divide en dos partes iguales. Con una de ellas hace trozos de 0,25 m y con la otra hace trozos de 0,15 m. ¿Cuántos trozos obtiene en total?

12. En una parcela cuadrada de 40 m de lado se ha instalado un estanque circular de 10 m de radio. ¿Cuántos metros cuadrados de parcela han quedado libres?

13. María tiene ahorrados 600 . Con un octavo de sus ahorros compra varios libros iguales para regalar. Cada libro cuesta 12,50 . ¿Cuántos libros ha comprado María?

207

Repaso en común • Divida a los alumnos en cuatro grupos y entregue a cada uno una cartulina grande de diferentes colores. Cada grupo deberá tratar en ella uno de estos apartados que usted le adjudique: 2 Grupo 2 Grupo 2 Grupo 2 Grupo

1: 2: 3: 4:

Poliedros y poliedros regulares. Volumen con un cubo unidad. Volumen y capacidad. Unidades de volumen.

Deberán incorporar las síntesis teóricas necesarias, realizar dibujos explicativos y/o incluir imágenes de objetos cotidianos, proponer actividades de práctica… Posteriormente, cada grupo explicará al resto de compañeros su labor.

14

1. 45 54 73 82

▶ ▶ ▶ ▶

4 5 7 8

a la quinta a la cuarta al cubo al cuadrado

2. 103

105

108

3. • 4

• 6

• 8

• 10

4. • Rectángulo ▶ b 3 h • Cuadrado ▶ l 2 D3d • Rombo ▶ 2 • Romboide ▶ b 3 h b3h • Triángulo ▶ 2 P 3 ap • Polígono regular ▶ 2 • Círculo ▶ π 3 r2 5. 28/24 5 7/6 17/15 18/36 5 1/2 32/21

8,33 2,22 25,578 0,209

6. • 44/60 5 11/15 • 12/6 5 2 7. 1.200 cm2 7.000 cm2 850 m2 3,25 m2 0,0916 hm2 1,47 hm2 0,82 ha 0,0734 ha

• 60 • 9,4

8,9 cm2 49.000 m2 2.800 hm2 2,3 ha

8. 1/5 3 2/3 5 2/15 Eran 2/15 de los asistentes. 9. 3/4 de 120 5 90 20 % de 120 5 24 120 2 (90 1 24) 5 6 Tiene 90 novelas, 24 cuentos y 6 diccionarios. 10. 35 kg y 190 g 5 35.190 g 35.190 : 2,3 5 15.300 Habrá 15.300 monedas. 11. 9 : 2 5 4,5; 4,5 : 0,25 5 18 4,5 : 0,15 5 30 18 1 30 5 48 En total obtiene 48 trozos. 12. 402 5 1.600 3,14 3 102 5 314 1.600 2 314 5 1.286 Quedan libres 1.286 m2. 13. 1/8 de 600 5 75 75 : 12,50 5 6 María ha comprado 6 libros.

207 124603 _ 0256-0269.indd 269

6/7/09 16:58:50

15

E

Estadística

Programación Objetivos • Reconocer y diferenciar variables estadísticas cuantitativas y cualitativas. • Obtener la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de unos datos y expresarlos en forma de tabla. • Calcular la media aritmética y la moda de un conjunto de datos. • Hallar la mediana de unos datos. • Calcular el rango de un conjunto de datos.

Contenidos • Reconocimiento del concepto de variable estadística. • Diferenciación entre variables estadísticas cuantitativas y cualitativas.

R

• Recuento de datos y obtención de tablas de frecuencias, calculando la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.

• • • •

• Reconoce y diferencia variables estadísticas cualitativas y cuantitativas.

• Cálculo de la media aritmética y la moda de un conjunto de datos.

E

• Obtiene las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas de unos datos y las expresa en una tabla.

• Cálculo de la mediana y el rango de unos datos.

• Calcula la media aritmética y la moda de unos datos.

• Resolución de problemas realizando un diagrama de árbol.

• Resolver problemas realizando un diagrama de árbol.


• Halla la mediana de unos datos. • Calcula el rango de una serie de datos.

• •

• Resuelve problemas realizando un diagrama de árbol.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia social y ciudadana, Autonomía e iniciativa personal, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Interacción con el mundo físico, Competencia lingüística y Aprender a aprender.

• Valoración de la importancia del orden en el recuento de datos. • Interés por presentar los datos y los resultados de una investigación de forma limpia y ordenada.

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Esquema de la unidad UNIDAD 15. ESTADÍSTICA

Variables estadísticas

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Media y moda

Mediana

Actividades

Eres capaz de...


Repasa

Rango

Recursos • Láminas de aula. • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Material de aula. • Refuerzo y ampliación. • Cuaderno de práctica. Tercer trimestre. • Recursos para la evaluación. • Manual de ESTUDIO EFICAZ.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 5, pág. 216. • Reelaborar la información fundamental: actividad 2, pág. 219.

Previsión de dificultades • En la diferenciación de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, señale que las primeras son un número natural mientras que las segundas son fracciones. Trabaje siempre el cálculo simultáneo de ambos tipos de frecuencias. • En el reconocimiento de las distintas medidas estadísticas y el proceso que se sigue para calcular cada una, deje claro el concepto de cada medida y con qué tipo de datos puede obtenerse. Trabaje primero el cálculo con conjuntos de datos sencillos y luego con datos más complejos (datos repetidos, datos decimales…). Tiene especial interés el trabajo con conjuntos de datos con varias modas (concepto difícil para los alumnos).


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15

Estadística

RE

A

Objetivos

C y q

• Reconocer situaciones reales donde se utilizan medidas estadísticas.

S


E

R

Sugerencias didácticas • Pida a los alumnos que comenten libremente qué conocen sobre la media y cómo se puede calcular. Comente la utilidad de la media en muchas situaciones diarias (temperaturas, notas…). Muestre que la media está siempre comprendida entre los datos. • En Recuerda lo que sabes, repase con los alumnos cómo se realiza la agrupación de datos en forma de tabla (agrupándolos primero y contándolos después) y el cálculo de la media a partir de esa tabla.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Comente la importancia de seguir las normas de tráfico por parte de todos. Establezca un debate sobre la relación entre el progreso científico y tecnológico y la necesidad de respetar el medio ambiente. Autonomía e iniciativa personal Anime a los alumnos a utilizar con confianza todos sus conocimientos, y en concreto el cálculo de la media, en distintas situaciones.

Competencia cultural y artística Pida a los alumnos que elaboren un sistema gráfico alternativo para registrar las respuestas al cuestionario y comente en común las ventajas e inconvenientes de algunos de esos sistemas.

M

L

1

2

L

1. Todos debemos ayudar a cuidar el medio ambiente. Las empresas automovilísticas diseñan vehículos con motores que cada vez consumen menos, tanto en las ciudades como en los viajes por carretera. A continuación tienes el consumo, en litros cada 100 km, de tres tipos de vehículos: En ciudad

En carretera

Turismo

7

5

Furgoneta

11

9

Todoterreno

10

8

2.

●

¿Cuál es el consumo medio en litros cada 100 km de cada tipo de vehículo?

●

El consumo en ciudad de cada vehículo, ¿es mayor o menor que el consumo medio?

●

El consumo en carretera de cada vehículo, ¿es mayor o menor que el consumo medio?

3.

208 124599 _ 0208-0219.indd 208

31/3/09 21:05:05

Otras formas de empezar • Pida a los alumnos que busquen en el diccionario la palabra «Estadística» y comente sus significados. Muestre que en la sociedad actual es una herramienta importante para conocer la opinión pública y para poder tomar decisiones de tipo comercial. Dígales que aporten ejemplos de informaciones que podrían determinarse mediante estudios estadísticos. • Solicite a los alumnos que busquen y recorten (en periódicos o revistas) noticias en las que aparezcan resultados estadísticos. Después, haga una puesta en común sobre qué se ha estudiado, los resultados que se han obtenido, qué significan…

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UNIDAD

Agrupación de datos en una tabla

Soluciones

Cuando tenemos muchos datos, es conveniente contar cuántas veces aparece cada uno y después agrupar los resultados en forma de tabla. Así, podemos saber fácilmente qué datos aparecen más y hacer cálculos de manera más rápida.

Página inicial • Turismo: (7 1 5) : 2 5 6 Consumo medio ▶ 6 l/100 km Furgoneta: (11 1 9) : 2 5 10 Consumo medio ▶ 10 l/100 km Todoterreno: (10 1 8) : 2 5 9 Consumo medio ▶ 9 l/100 km • Turismo: 7 . 6. Es mayor. Furgoneta: 11 . 10. Es mayor. Todoterreno: 10 . 9. Es mayor. • Turismo: 5 , 6. Es menor. Furgoneta: 9 , 10. Es menor. Todoterreno: 8 , 9. Es menor.

Se han anotado las edades de los niños que han ido a la consulta de un pediatra. Edades: 3, 3, 11, 5, 3, 8, 3, 5, 8, 3, 5 y 3 años Recuento: 3 ▶

6 veces

5▶

3 veces

8▶

2 veces

11 ▶

1 vez

▶

Edad (años)

3

5

8

11

Número de veces

6

3

2

1

15

Media aritmética La media aritmética o media de un grupo de datos se calcula así: 1.º Se multiplica cada dato por el número de veces que aparece y se suman todos los productos. 2.º Se divide la suma por el número total de datos.


La media de los datos de arriba se calcula así: Edad (años)

3

5

8

11

Número de veces

6

3

2

1

1.º 3 3 6 1 5 3 3 1 8 3 2 1 11 3 1 5 60 2.º 6 1 3 1 2 1 1 5 12; 60 : 12 5 5 La media es 5.

1. Agrupa cada conjunto de datos en una tabla. ●

Número de hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

●

Puntos en un examen: 8, 5, 6, 6, 5, 8, 5, 8, 4, 6, 5

●

Número de libros leídos: 3, 4, 4, 3, 6, 3, 2, 5, 4, 5, 3, 6

2. Calcula la media de cada conjunto de datos de la actividad anterior.

●

Tres números diferentes cuya media sea 6.

●

Cuatro números (alguno de ellos repetido) cuya media sea 8.

●

A reconocer las variables estadísticas.

●

A calcular frecuencias absolutas y relativas de unos datos.

●

Cómo obtener la media y la moda de unos datos.

●

Cómo hallar la mediana y el rango de unos datos.

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209

Vocabulario de la unidad • Recuento de datos • Frecuencias absolutas y relativas • Media aritmética • Moda • Mediana

1

2

3

4

Veces

4

3

2

1

Puntos

4

5

6

8

Veces

1

4

3

3

VAS A APRENDER

3. Piensa y escribe.

s

1. Hermanos

25/3/09

Libros

2

3

4

5

6

Veces

1

4

3

2

2

2. • 1 3 4 1 2 3 3 1 3 3 2 1 1 4 3 1 5 20 4 1 3 1 2 1 1 5 10 20 : 10 5 2 La media del número de hermanos es 2. • 4 3 1 1 5 3 4 1 6 3 3 1 1 8 3 3 5 66 1 1 4 1 3 1 3 5 11 66 : 11 5 6 19:09:14 La media de puntos es 6. • 2 3 1 1 3 3 4 1 4 3 3 1 1 5 3 2 1 6 3 2 5 48 1 1 4 1 3 1 2 1 2 5 12 48 : 12 5 4 La media de libros leídos es 4. 3. • R. M. 4, 5, 9 • R. M. 5, 7, 7, 13

• Rango • Diagrama de árbol

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Fr

Variables estadísticas Objetivos • Diferenciar entre variables estadísticas cuantitativas y variables cualitativas.

Una empresa ha contratado a Jorge para que haga unas encuestas. En ellas hace preguntas muy diferentes y obtiene distintos tipos de datos.

La Estadística se encarga de extraer información de los datos. El peso, la nacionalidad, la edad, el color de ojos… son variables estadísticas. ●

Jorge ha preguntado su peso en kilos a varias personas. Las respuestas han sido todas números: 52, 74, 68… El peso es una variable cuantitativa.

●

También les ha preguntado su nacionalidad. Las respuestas no han sido números: España, Perú, Rusia, China… La nacionalidad es una variable cualitativa.

Sugerencias didácticas Para explicar • Deje clara la caracterización de los tipos de variables que puede estudiar la Estadística: las variables cuantitativas tienen como respuesta valores numéricos, y las cualitativas, valores que no son numéricos, sino de otro tipo. Haga un listado en la pizarra con todas las variables trabajadas en la página.

La Estadística recoge datos para extraer información de ellos. Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (si tienen valores numéricos) o cualitativas (si tienen valores de otro tipo).

1. Copia y completa la tabla. Variable estadística

¿Qué pregunta se haría?

¿Las respuestas son numéricas?

¿Es cualitativa o cuantitativa?

Color favorito

¿Qué color le gusta más?

No

Cualitativa

1.

Altura Programa de TV preferido

Soluciones 1. • Altura ▶ ¿Cuánto mide? Sí. Cuantitativa. • Programa de TV preferido ▶ ¿Qué programa de TV le gusta más? No. Cualitativa. • Profesión ▶ ¿Cuál es su profesión? No. Cualitativa. • Longitud al nacer ▶ ¿Cuánto midió al nacer? Sí. Cuantitativa. • Nombre del padre ▶ ¿Cómo se llama su padre? No. Cualitativa. 2. R. L.

Profesión Longitud al nacer Nombre del padre

2. Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.

2.

3. Observa cada grupo de respuestas. Escribe cuál puede ser la variable estadística y señala si es cuantitativa o cualitativa.

CÁ

▶ Ejemplo: 10, 6, 9, 8, 7

Cal

– Variable estadística: nota en 5 controles de Matemáticas. – Tipo de variable: cuantitativa. ●

Naranja, sandía, plátano, pera

●

Flan, natillas, tarta, helado

●

13, 17, 15, 12, 21

●

Lectura, deporte, fotografía, bricolaje

●

156, 184, 203, 172, 179

●

2, 1, 0, 1, 2, 0, 1

210

3. R. M. 124599 _ 0208-0219.indd 210 • Variable: fruta tomada por 4 personas en la cena de ayer. Otras actividades Tipo: cualitativa. • Variable: edad de 5 primos. • Forme grupos de tres o cuatro alumnos y pídales que elaboren una Tipo: cuantitativa. batería de preguntas cuyas respuestas podrán ser de tipo cuantita• Variable: número de cromos tivo o cualitativo según una descripción dada por usted (por ejemque tienen 5 niños. plo, 3 variables cuantitativas y 4 cualitativas). Cada grupo entregaTipo: cuantitativa. rá sus preguntas a otro grupo para que las responda (analizando • Variable: postre preferido primero si el número de variables de cada tipo es el indicado por por 4 personas. usted). Tipo: cualitativa. • Una vez recopiladas las respuestas a las preguntas anteriores, • Variable: afición favorita de cada grupo de alumnos deberá realizar una tabla calculando las 4 personas. frecuencias absolutas y las frecuencias relativas correspondientes Tipo: cualitativa. a los datos obtenidos. • Variable: número de mascotas que tienen 7 personas. Tipo: cuantitativa.

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15

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

UNIDAD

Objetivos

José ha preguntado a 12 de sus compañeros cuántos hermanos tienen y ha anotado sus respuestas.

Número de hermanos 2

0

2

2

0

2

1

3

Observa el dato 2:

2

1

0

0

●

Aparece 5 veces. La frecuencia absoluta de 2 es 5.

●

Hay 12 datos en total. La frecuencia relativa de 2 es

• Diferenciar y calcular las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos.

5 . 12


José ha contado las veces que se repite cada dato y ha formado la tabla de frecuencias: Número de hermanos

0

1

2

3

Frecuencia absoluta

4

2

5

1

▶

Suma: 12 (número total de datos)

Frecuencia relativa

4 12

2 12

5 12

1 12

▶

Suma:

Para explicar • Señale que las frecuencias absolutas son números y las frecuencias relativas son fracciones. Muestre que la suma de las frecuencias absolutas es siempre igual al número total de datos, y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

12 51 12

●

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece.

●

La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre el número de veces que aparece el dato y el número total de datos.

1. Elabora la tabla de frecuencias. Después, contesta. Manuel ha anotado el color del pelo de los clientes que ha tenido en su peluquería: moreno pelirrojo moreno ●

rubio rubio pelirrojo

moreno moreno

rubio moreno

15


Color de pelo

moreno

Frecuencia absoluta

▶ Suma: …

Frecuencia relativa

▶ Suma: …

Tratamiento de la información Comente que las tablas son una forma muy usual de sintetizar información. Muestre la importancia de saber comprenderlas y construirlas.

¿Con qué coincide la suma de las frecuencias absolutas?

2. Tira una moneda 15 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados.


▶

35 : 5 = 7

20 % de 5

20 % de 500

20 % de 5.000

20 % de 10

20 % de 100

20 % de 1.000

0,2 3 15

0,2 3 250

0,2 3 3.500

0,2 3 40

0,2 3 300

0,2 3 4.000

Soluciones 1. Color

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211

Otras actividades • Pida a los alumnos que realicen cálculos de frecuencias absolutas y frecuencias relativas de datos obtenidos al azar o mediante experimentación. Por ejemplo: 2 Anotar el tercer dígito del número de teléfono de todos los alumnos de la clase y estudiar las frecuencias de las cifras. 2 Lanzar una moneda o un dado 10 veces y obtener las frecuencias de los posibles resultados. Si agrupa a los alumnos para que realicen el experimento, puede comentar luego las diferencias entre las frecuencias de los datos de cada grupo y las frecuencias de los datos globales de la clase (las frecuencias relativas de estos últimos toman valores muy similares a la probabilidad de cada resultado posible).

rubio

pelirrojo

5

3

2

Frec. absoluta Frec. relativa

211 25/3/09

moreno

25/3/09

19:09:15

5/10 3/10

2/10

Suma frec. absolutas: 10 Suma frec. relativas: 10/10 5 1 • La suma de las frecuencias absolutas coincide con el número total de datos.

2. R. L.


100 20 50 60

1.000 200 700 800

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Media y moda Objetivos •C alcular la media aritmética de varios datos numéricos. • Determinar la moda o modas de un conjunto de datos.

3.

Un grupo de amigos se han medido y han agrupado las alturas en la siguiente tabla.

●

Altura en cm

172

173

174

175

Frecuencia absoluta

6

4

4

1

¿Cuál es la altura media?

Para calcular la media de los datos:

Para empezar • Comente con los alumnos la importancia de conocer la media en contextos como calificaciones, diseño de muebles, datos sociales y económicos… Para explicar • Comente el proceso a seguir para hallar la media con datos agrupados. Muestre la importancia de analizar los datos antes de calcular para saber si es necesario agruparlos primero. Señale que la media se calcula solo con datos numéricos y que no tiene por qué coincidir con alguno de los datos. • Indique que la moda es el dato o los datos con mayor frecuencia absoluta. Deje claro que puede haber ninguna moda, una moda o más de una, dependiendo del conjunto de datos. Muestre que la moda puede calcularse sean los datos cuantitativos o cualitativos.

Para reforzar • Pida a los alumnos que inventen actividades similares a las trabajadas, como se indica en la página 56 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Caracterice a la Estadística como una herramienta útil a la hora de analizar y comprender el mundo que nos rodea. Señale su importancia en las ciencias naturales y las ciencias sociales: media de temperaturas, salarios medios…

▶ ▶

1.º Multiplica cada dato por su frecuencia absoluta y suma los productos.


2.º Divide la suma entre el número de datos.

172 3 6 1 173 3 4 1 174 3 4 1 175 3 1 5 5 1.032 1 692 1 696 1 175 5 2.595

4.

N.º de datos 5 6 1 4 1 4 1 1 5 15 2.595 : 15 5 173

5.

La altura media es 173 cm. ●

¿Cuál es la altura que más se repite en el grupo de amigos?

El dato que más veces se repite es 172, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (6). La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta. La moda de las alturas es 172 cm.

●

La media de un conjunto de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta entre el número total de datos.

●

La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.

1. Calcula la media y la moda de los datos. Después, contesta. En la tabla está el número de días a la semana que practicaban deporte varias personas a las que se encuestó. ●

Número de días

0

1

2

3

Frecuencia absoluta

4

13

2

1

6.

¿Cuántas personas hacían deporte un número de días mayor que la media? ¿Y un número de días menor?

2. Calcula la media de los siguientes grupos de números. PRESTA ATENCIÓN No olvides agrupar los datos cuando estén repetidos.

●

12, 19, 15, 11, 13, 14

●

4, 8, 8, 6, 2, 8, 9, 10, 8

●

2, 2, 1, 5, 1, 3, 5, 2, 5, 4

●

40, 45, 45, 36, 42, 45, 40, 43

7.

212 124599 _ 0208-0219.indd

212

25/3/09

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Otras actividades • Forme grupos de tres alumnos. Pida a cada grupo que pregunte a diez personas su peso (en kg) y su altura (en cm). Deberán anotar los resultados, tabularlos, calcular las frecuencias absolutas y relativas y, después, la media de los pesos y de las alturas. Realice una puesta en común para comentar los resultados y hágales observar que ambas medias dependen de las personas a las que hayan preguntado (si son niños, si son adultos…) y de los valores extremos del conjunto de datos.

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15 3. Observa la tabla de frecuencias y contesta.

UNIDAD

En la tabla tienes cuántos alumnos de una clase asisten a cada tipo de actividad extraescolar. Actividad extraescolar

Ajedrez

Inglés

Música

Tenis

3

7

7

2

Frecuencia absoluta

Soluciones

●

¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? ¿Qué datos la tienen? ¿Cuáles son las modas de los datos?

●

¿Puedes calcular la media de los datos? ¿Por qué?

1. 0 3 4 1 1 3 13 1 2 3 2 1 1 3 3 1 5 20; 4 1 13 1 2 1 1 1 5 20; 20 : 20 5 1 Media y moda: 1. • 2 1 1 5 3. Mayor que la media: 3 personas. Menor que la media: 4 personas.

4. Experimenta y contesta. ●

Lanza una moneda 10 veces y anota los resultados. ¿Cuál es su moda?

●

Lanza un dado 10 veces y anota los resultados. ¿Cuál es su moda? ¿Y su media?

2. • 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 1 19 5 84; 84 : 6 5 14 • 2 1 4 1 6 1 8 3 4 1 9 1 1 10 5 63; 63 : 9 5 7 • 1 3 2 1 2 3 3 1 3 1 4 1 1 5 3 3 5 30; 30 : 10 5 3 • 36 1 40 3 2 1 42 1 43 1 1 45 3 3 5 336 336 : 8 5 42

5. Resuelve. ●

Las notas de Matemáticas de Tomás a lo largo del curso han sido: 5 7 6 8 6 6 7 7 8 8 ¿Cuál ha sido la nota media de Tomás?

●

Las alturas de los jugadores de un equipo de fútbol sala son las siguientes: Portero

Defensas

▼

▼

▼

182 cm

178 cm y 174 cm

168 cm y 178 cm

Delanteros

3. • Mayor frecuencia: 7 (inglés y música). Las modas son inglés y música. • No se puede calcular la media porque la variable es cualitativa.

– ¿Cuál es la altura media del portero y los defensas? – ¿Cuál es la altura media de los delanteros? ¿Y la altura media del equipo? ●

Milagros ha medido unos escarabajos en un trabajo de investigación. Sus longitudes en centímetros son: 1,9

2

2,3

1,7

2,1

1,8

2,2

¿Cuál es la media de las longitudes?

4. • R. L.

6. Escribe. ●

Una lista de 4 números cuya media sea 9.

●

Una lista de 3 números con una moda.

●

Una lista de 5 números cuya media sea 7.

●

Una lista de 3 números con tres modas.

7. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Ana dice que ha escrito una lista de 5 números que tiene 3 modas. ●

¿Es eso posible? Intenta escribir tú una.

●

¿Cuál es el número mínimo y el número máximo de modas que puede tener una lista de 5 números? ¿Y si la lista tiene 7 números?

213 25/3/09

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213

Otras actividades • Pida a los alumnos que calculen la moda o las modas de los resultados de los experimentos realizados en el apartado Otras actividades de la página 211. • Proponga a los alumnos actividades que les permitan profundizar sobre el número máximo de modas que puede tener un conjunto de datos, en función de cuántos datos haya. Por ejemplo, tras realizar la actividad 7, pídales que intenten escribir un conjunto de 8 datos con 1 moda, 2 modas, 3 modas...

15

25/3/09

• R. L.

5. • 5 1 6 3 3 1 7 3 3 1 8 3 3 3 5 68; 68 : 10 5 6,8 La nota media es 6,8. • (174 1 178 1 182) : 3 5 5 178 La altura media del portero y los defensas es 178 cm. (168 1 178) : 2 5 173 La altura media de los delanteros es 173 cm. 168 1 174 1 178 3 2 1 19:09:15 1 182 5 880 880 : 5 5 176 La altura media del equipo es 176 cm. • 1,7 1 1,8 1 1,9 1 2,1 1 1 2 1 2,2 1 2,3 5 14 14 : 7 5 2 La media es 2 cm. 6. R. M. • 6, 9, 10, 11 • 4, 5, 6, 10, 10

• 5, 7, 7 • No hay.

7. • No es posible. • 5 números: mínimo cero modas y máximo, dos. 7 números: mínimo cero modas y máximo, tres.

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Mediana Objetivos •C alcular la mediana de un conjunto de datos.

Sugerencias didácticas Para explicar •S eñale la necesidad de ordenar los datos antes de calcular la mediana. Haga hincapié en que deben considerar todos los datos, aunque estén repetidos. Para reforzar • Escriba en la pizarra ejemplos (unos correctos y otros no) de cálculo de medianas. Pida a los alumnos que detecten los ejemplos que son erróneos aprovechando la estrategia que aparece en la página 58 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

R

Jon calza un 42, Ana un 37 y Berta un 40. ¿Cuál es la mediana de las tres tallas de calzado?

Luis calza un 39, Sara un 37, Mila un 42 y Teo un 37. ¿Cuál es la mediana de las cuatro tallas de calzado?

Para calcular la mediana:

Para calcular la mediana:

1.º Ordena los datos. 2.º Busca el dato que ocupa el lugar central.

1.º Ordena los datos. 2.º Calcula la media aritmética de los dos datos centrales.

37

40

42

37

Dato central

37

39

▶

42

Datos centrales

La mediana es 40.

37 1 39 = 38 2

La mediana es 38.

●

La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados, el dato que ocupa el lugar central.

●

La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

1. Calcula la mediana de cada conjunto de números. PRESTA ATENCIÓN Al ordenar los números, escríbelos todos aunque se repitan.

1.

●

1, 2, 3, 4, 5

●

8, 6, 9, 5, 2, 10

●

5, 7, 2, 1, 7

●

5, 4, 4, 3, 7, 4, 1, 9

●

2, 6, 4, 3, 7, 8, 1

●

6, 8, 10, 2, 4, 0, 12, 4

2. 2. Resuelve.

Competencias básicas lingüística Competencia

Fomente el diálogo entre sus alumnos para que expresen sus ideas y sus opiniones con claridad y respeto hacia el punto de vista de los demás.

Leonor ha jugado varios partidos de tenis con estas duraciones: 73 minutos, 170 minutos, 115 minutos, 85 minutos, 125 minutos y 80 minutos. ¿Cuál es la media y la mediana de las duraciones de los partidos?

3. Escribe. ●

Cinco números cuya mediana sea 9.

●

Seis números cuya mediana sea 9.

1. • Mediana: 3 • Mediana: 5 • Mediana: 4 • Mediana: 7 • Mediana: 4 • Mediana: 5 2. 73 1 80 1 85 1 115 1 1 125 1 170 5 648 648 : 6 5 108 La media es 108 minutos. La mediana es 100 minutos. 3. • R. M. 4, 7, 9, 12, 20 • R. M. 5, 6, 8, 10, 15, 16 4. No, porque los números de la lista no están ordenados. Si se ordenan, la mediana es 4.

Cal

4. Piensa y contesta. Miriam dice que la mediana de la lista de números que ha escrito es 5, porque es el dato que está en el centro de la lista. ¿Tiene razón Miriam? ¿Por qué?

Soluciones

CÁ

2

3

4

5

8

6

3

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214

25/3/09

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Otras actividades • Organice la clase en grupos de alumnos, de forma que en unos grupos el número de alumnos sea par y en otros impar. Indíqueles que cada miembro del grupo debe decir, por ejemplo, el número de días a la semana que realiza alguna actividad extraescolar. Deberán anotar los datos y calcular su mediana. • Enuncie en voz alta cuatro números. Pida a los alumnos que añadan un número a esos cuatro, el que ellos elijan, y calculen la mediana de los cinco números obtenidos. Comente en común distintos resultados, y muestre cómo el valor de la mediana varía en función de la relación del número que ellos han elegido con los que usted había enunciado (si es mayor que ellos, si es menor, si está comprendido entre ellos…).

214 124603 _ 0270-0288.indd 278

7/7/09 08:39:56

15

Rango

UNIDAD

Objetivos

Mónica y Raúl han anotado los minutos de espera en dos líneas de autobús para ver cuál de las dos funciona mejor. ●

Fíjate en los datos que tiene Mónica.

•H allar el rango de un conjunto de datos numéricos.

4 3 5 3 5

Todos están muy próximos a la media. La diferencia del dato mayor y el menor se llama rango.

Media:

20 54 5

Sugerencias didácticas Para explicar • Explique que el rango da idea de la proximidad de los datos a la media y que su cálculo se realiza restando el dato menor al mayor. Repase con sus alumnos los conceptos estudiados hasta ahora a lo largo de la unidad para que queden claras las diferencias entre ellos y el modo de calcularlos.

El dato mayor es 5 y el dato menor es 3. El rango es 5 2 3 5 2. ●

Fíjate en los datos de Raúl.

1 4 22 3 5

Hay datos muy lejos de la media. El dato mayor es 22 y el dato menor es 1. El rango es 22 2 1 5 21.

Media:

35 57 5

El rango da idea de la proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

1. Calcula el rango y la media de cada grupo de datos. ●

5, 5, 6, 6, 8

●

6, 5, 8, 20, 1, 2

●

50, 24, 25, 19, 37

●

1, 1, 2, 4, 7

●

9, 10, 10, 9, 9, 10

●

3, 11, 7, 15, 12, 0

Soluciones

2. Piensa y contesta. Estas son las temperaturas máximas (en ºC) previstas en dos ciudades para los días de la semana que viene.

Mantown ▶ 13 12 15 14 11 12 14 Greenville ▶ 7 7 13 19 19 13 13

●

¿Cuál será la temperatura media en cada ciudad?

●

¿En qué ciudad habrá un mayor rango en las temperaturas?


▶

28 : 4 5 7

25 % de 4

25 % de 800

25 % de 4.000

25 % de 8

25 % de 400

25 % de 3.600

0,25 3 12

0,25 3 240

0,25 3 0,024

0,25 3 20

0,25 3 320

0,25 3 0,048

215 25/3/09

124599 _ 0208-0219.indd 19:09:17

15

215

25/3/09

1. • 8 2 5 5 3. Rango: 3. (5 3 2 1 6 3 2 1 8) : 5 5 6 Media: 6. • 7 2 1 5 6. Rango: 6. (1 3 2 1 2 1 4 1 7) : 5 5 5 3. Media: 3. • 20 2 1 5 19. Rango: 19. (1 1 2 1 5 1 6 1 8 1 20) : : 6 5 7. Media: 7. • 10 2 9 5 1. Rango: 1. (9 3 3 1 10 3 3) : 6 5 9,5 Media: 9,5. • 50 2 19 5 31. Rango: 31. (19 1 24 1 25 1 37 1 50) : : 5 5 31. Media: 31. • 15 2 0 5 15. Rango: 15. (0 1 3 1 7 1 11 1 12 1 19:09:17 1 15) : 6 5 8. Media: 8.

2 El número de mascotas de los alumnos de la clase.

2. • (11 1 12 3 2 1 13 1 14 3 3 2 1 15) : 7 5 13 (7 3 2 1 13 3 3 1 19 3 2) : : 7 5 13 La temperatura media en ambas ciudades será 13º C. • 15 2 11 5 4; 19 2 7 5 12; 12 . 4 Habrá un rango mayor en Greenville.

2 El número de calzado de los alumnos de clase.

Cálculo mental

Puede variar la actividad y hacer que calculen también alguna de las otras medidas estadísticas vistas en la unidad.

• 1 2 3 5

Otras actividades • Proponga a sus alumnos averiguar el rango de los siguientes grupos de datos. Dígales que ellos deben planificar cómo obtener los datos y tabularlos, y después realizar los cálculos para mostrarlos a sus compañeros. 2 Las edades de distintos miembros de su familia: padres, hermanos, abuelos...

200 100 60 80

1.000 900 0,006 0,012

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Actividades 1. Clasifica cada variable estadística

5. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa

en cuantitativa o cualitativa.

Objetivos •R epasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.


9

el esquema.

●

Número de hermanos.

●

Sexo.

●

Número de clientes cada día de la semana en una tienda.

Media ▶ Se calcula …

●

Primer apellido.

Moda ▶ Es …

●

Ciudad de nacimiento.

●

Altura.

MEDIDAS ESTADÍSTICAS

Mediana ▶ … Rango ▶ …

2. Completa la tabla y contesta.

Aprender a aprender

Muestre a sus alumnos que en esta unidad han avanzado en sus conocimientos de Estadística. Señale que este aprendizaje les será útil en la vida cotidiana y en cursos posteriores.

Frecuencia absoluta

●

●

Soluciones 1. Cuantitativa, cualitativa, cuantitativa, cualitativa, cualitativa, cuantitativa. 2. Frecuencias relativas: 24/51, 10/51, 6/51, 8/51 y 3/51. • La suma es 51. En 6.º hay 51 alumnos. • La suma es 51/51 5 1.

10

En las clases de 6.º han hecho una encuesta sobre la comida favorita de los alumnos: Frecuencia relativa

●

11, 8, 9, 8, 9

●

6, 4, 6, 4, 4, 6

Pasta

24 10

●

14, 19, 10, 6, 10, 7

Pescado

6

●

8, 14, 5, 10, 15, 6, 5

Verdura

8

Otros

3

●

9, 8, 6, 6, 5, 6, 8, 8

¿Cuánto vale la suma de las frecuencias absolutas? ¿Cuántos alumnos hay en 6.º? ¿Cuánto vale la suma de las frecuencias relativas?

7. Halla la media, la mediana, la moda

ER

y el rango de los datos que obtuviste al realizar la actividad 4.

E S i t

8. Lee e indica quién tiene razón. En la tabla está el número de camisetas de cada talla vendidas en una tienda.

3. Construye la tabla de frecuencias. El número diario de asistentes a un cursillo de cerámica que duró 14 días fue: 24

25

24

26

25

25

24

25

24

27

26

25

24

26

4. Lanza un dado 10 veces y haz la tabla de frecuencias de los resultados. Después, contesta.

25

26

27

●

Frecuencia absoluta

¿Cuál ha sido el dato con mayor frecuencia absoluta? ¿Y relativa?

5

5

3

1

●

Frecuencia relativa

5 14

5 14

3 14

1 14

¿Coinciden tus resultados con los de tus compañeros?

5. • Media ▶ Se calcula dividiendo la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta, entre el número total de datos. • Moda ▶ Es el dato o los datos con mayor frecuencia absoluta. • Mediana ▶ Una vez ordenados los datos, es el que ocupa el lugar central o la media de los dos datos centrales. • Rango ▶ Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

y el rango de estos grupos de números.

Carne

3. Asistentes 24

4. R. L.

6. Calcula la media, la mediana, la moda

T a

Talla

8

10

12

14

16

Frecuencia absoluta

4

7

5

3

2

E l e

●

Verónica dice que la moda es 16 porque es el número de la talla mayor.

C M

●

Angie dice que la moda es 12 porque es el dato central.

●

●

Carlos dice que la moda es 10 porque es el dato que más se repite.

●

●

Minerva dice que la moda es 8 porque su frecuencia absoluta es la frecuencia que ocupa el lugar central.

●

216 124599 _ 0208-0219.indd

216

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19:09:18 124599 _ 0208-02

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de investigación con las que puedan trabajar las variaciones en los valores de las medidas estadísticas en función de las posibles variaciones que haya en los datos. Por ejemplo: 2 Escribid cuatro números y calculad su media. Sumad el número que queráis a cada uno de los cuatro números y calculad la media de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre la primera media y la segunda? 2 Escribid seis números y calculad su mediana. Multiplicad los números por 2 y calculad la mediana de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre las medianas? ¿Qué ocurre si en lugar de las medianas calculamos los rangos?

216 124603 _ 0270-0288.indd 280

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15 UNIDAD


11. Resuelve.

Al preguntar a 9 familias cuántos móviles tenían en total, dieron las respuestas que ves en la tabla. Número de móviles

0

1

2

3

Frecuencia absoluta

1

5

2

1

●

¿Cómo calcularías la mediana? ¿Cuál es?

●

¿Cómo hallarías el rango? ¿Cuál es?

●

10. Piensa y escribe. ● ●

Cuatro números cuya media y moda sean 5.

●

Cuatro números cuya media y mediana sean 4.

●

Cinco números cuya media, mediana y moda sean 6.

Se ha realizado una encuesta a un grupo de personas sobre el número de llamadas telefónicas hechas ayer. Estos son los resultados. N.º de llamadas

Frecuencia

0

16

1

15

2

8

3

1

4

2

Halla la media y la moda de los datos.

Tres números cuya mediana sea 7. ●

El precio en euros del menú del día en varios restaurantes es: 12 10

11 11

14 12

12 12

14 12

Halla la media, la moda, la mediana y el rango de los precios.

Aplicar la Estadística en el deporte

ERES CAPAZ DE… Emilio es entrenador de baloncesto. Su equipo está jugando un partido importante y en los últimos minutos tiene que hacer un cambio.

8. Carlos tiene razón. 9. • Escribiendo todos los datos ordenadamente para saber cuál es el dato central. Mediana 5 1. • 3 2 0 5 3. Rango 5 3.

En sus estadísticas, Emilio tiene los puntos anotados por cada jugador en los últimos seis partidos:

u

6 16 12 14

9 19 12 10

●

¿Cuál es la media de puntos anotados por cada jugador? ¿Y el rango?

●

¿A qué jugador sacarías tú a jugar? Explica por qué.

●

¿Coincide tu respuesta con la dada por tu compañero?

10. • R. M. • R. M. • R. M. • R. M.

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19:09:18 124599 _ 0208-0219.indd

217

25/3/09

Programa de ESTUDIO EFICAZ • Al terminar la unidad, haga que sus alumnos completen esta tabla: Unidad 15 Estadística Lo que he aprendido Variables estadísticas Frecuencias absolutas y relativas Media y moda Mediana y rango

6. • (8 3 2 1 9 3 2 1 11) : :559 Media 5 9. Mediana 5 9. Moda 5 8 y 9. Rango 5 3. • (4 3 3 1 6 3 3) : 6 5 5 Media 5 5. Mediana 5 5. Moda 5 4 y 6. Rango 5 2. • (6 1 7 1 10 3 2 1 14 1 1 19) : 6 5 11 Media 5 11. Mediana 5 10. Moda 5 10. Rango 5 13. • (5 3 2 1 6 1 8 1 10 1 1 14 1 15) : 7 5 9 Media 5 9. Mediana 5 8. Moda 5 5. Rango 5 10. • (5 1 6 3 3 1 8 3 3 1 9) : :857 Media 5 7. Mediana 5 7. Moda 5 6 y 8. Rango 5 4. 7. R. L.

Tiene dos jugadores en el banquillo a los que puede sacar a jugar.

Carpenter → 24 4 Mirovich → 13 11

15


5, 7, 10 4, 5, 5, 6 2, 3, 5, 6 3, 6, 6, 6, 9

11. • (0 3 16 1 1 3 15 1 2 3 3 8 1 3 3 1 1 4 3 2) : : 42 5 1. Media 5 1. Moda 5 0. 19:09:18 • (10 1 11 3 2 1 12 3 5 1 1 14 3 2) : 10 5 12 Media 5 12. Moda 5 12. Mediana 5 12. Rango 5 4.

Eres capaz de… • (4 1 6 1 9 1 16 1 19 1 24) : : 6 5 13 Carpenter: media 5 13, rango 5 20. Mirovich: media 5 12, rango 5 4. • R. L. • R. L.

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Objetivos •R esolver problemas comenzando por otros más sencillos.

Sugerencias didácticas Para empezar •M uestre la importancia de organizarse a la hora de buscar todas las posibles soluciones a un problema, para no olvidar ninguna.

EJE

Los diagramas de árbol son útiles para organizarse a la hora de resolver problemas. Resuelve los siguientes haciendo un diagrama de árbol.

1.

¿Cuántos caminos diferentes puede seguir el taxi para ir desde A hasta F sin pasar dos veces por el mismo sitio?

2. A

B

C

D

▶

Para explicar • Comente el ejemplo resuelto señalando cómo el diagrama de árbol va registrando todos los posibles caminos sin olvidar ninguno. Muestre la importancia de no equivocarse en los pasos intermedios, ya que afectarían al resto de la resolución. Trabaje las demás actividades una vez que los alumnos las hayan resuelto.

E

F

Vamos a realizar un diagrama de árbol que iremos completando poco a poco para no olvidar ningún camino posible. Ten en cuenta que no podemos pasar dos veces por el mismo sitio. 1.º Desde el punto A, puede ir a B o a D.

B

3.º Desde C y E, viniendo de B, tiene que ir a F.

A D

2.º Desde B, puede ir a C o a E. Desde D tiene que ir a E.

C B A D

E E

4.º Desde E, viniendo de D, puede ir a F o B. Desde B tiene que ir a C y luego a F.

C

F

E E

F

C

F

B A D

B A D

E

F

E

F B

3.

C

F

Solución: Los cuatro caminos son ABCF, ABEF, ADEF y ADEBCF.

4.

1. ¿Cuántos caminos diferentes puede seguir Juan para ir caminando desde A a E?

A

B E

C

D

2. En una agencia de viajes ofrecen para ir a una ciudad estas opciones:

Soluciones 1.

A

B C D

E D D E

5.

Puedes ir en avión o tren. Si vas en avión, puedes elegir entre un hotel de 3 estrellas y uno de 4 estrellas. Si vas en tren, solo hay hotel de 3 estrellas. En todos los casos puedes optar por habitación con desayuno o sin desayuno. ¿Cuántas opciones existen?

3. INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página en el que sea útil

E E B

hacer un diagrama de árbol.

E

218

124599 _ 0208-0219.indd 218 B E Puede seguir 6 caminos: ABE, ABDE, ACDE, ACDBE, ADE Otras actividades y ADBE. • Plantee a sus alumnos problemas como el siguiente para practicar 2. con desay. la estrategia de la página: 3 estr. 2 Lorena quiere planificar las actividades que realizará durante el sin desay. próximo curso por las tardes y tiene estas posibilidades: Avión con desay. Tiene libre la tarde de los lunes o la de los miércoles. Si esco 4 estr. ge el lunes puede ir a baile, baloncesto o ajedrez. Si escoge el sin desay. miércoles, puede elegir teatro o natación. El lunes puede ir de con desay. las 5 a las 6, o de las 6 a las 7, a cualquier actividad. El miérTren 3 estr. coles puede ir a teatro de las 6 a las 7, o de las 7 a las 8, y a sin desay. natación de 5 a 6, o de 7 a 8. ¿Cuántas opciones tiene Lorena? Existen 6 opciones posibles. ¿Cuáles son?

25/3/09

19:09:19 124599 _ 0208-02

3. R. L.

218 124603 _ 0270-0288.indd 282

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15

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Descompón cada número y escribe cómo

6. María compró dos kilos y tres cuartos de en en de

se lee. ●

3.165.601

●

626.024.319

●

61.600.124

●

160.386.067

2. ESTUDIO EFICAZ. Completa los cuadros

En enero rebajaron su precio un 10 % y en febrero lo subieron un 5 %. ¿Cuánto valía la nevera tras la subida?

3 10

km

8. Luisa tiene un estanque con forma de

m

dal

1. • 3 U de millón 1 1 CM 1 1 6 DM 1 5 UM 1 6 C 11U • 6 D de millón 1 1 U de millón 1 6 CM 1 1 C 1 2 D 1 14U • 6 C de millón 1 2 D de millón 1 6 U de millón 1 1 2 DM 1 4 UM 1 3 C 1 11D19U • 1 C de millón 1 6 D de millón 1 3 CM 1 8 DM 1 1 6 UM 1 6 D 1 7 U

tomates. Gastó dos quintos de kilo hacer una ensalada y siete octavos una salsa. ¿Le quedó más o menos 1 kg de tomates?

7. En diciembre una nevera valía 720 €.

y haz otros similares para las medidas de superficie y volumen.

ortoedro de 4 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad. Manuel tiene otro con 7 m de largo, 3 m de ancho y 1,5 m de profundidad. ¿Cuál de los dos estanques tiene mayor volumen?

dl

hg

2. Compruebe que los alumnos realizan bien los cuadros.

3. Completa. 7,2 m2 5 … dm2 2

2

3

3

1,28 dm 5 … cm

15 dm2 5 … cm2

6,3 m3 5 … dm3

2

2

1,7 dm3 5 … m3

0,2 hm 5 … m

4. Escribe con cifras. Quince novenos.

●

Cuatro quinceavos.

●

Doce centésimas.

●

Ocho unidades y ciento tres milésimas.

●

Dos unidades y tres centésimas.

5. Calcula.

(

)

34 : 1,7 1 12 3 2,5

3 2 11 2 3 6 6 4

●

48,3 : (0,42 2 0,12)

5. • 18/6 5 3 • 38/24 5 19/12

10. José ha comprado 3,5 m de cordón rojo

6. 2

Repaso en común • Divida a sus alumnos en grupos y pídales que realicen un trabajo de investigación. Señale que ellos mismos deberán establecer las preguntas (de tipo cualitativo y cuantitativo), anotar los resultados, tabularlos y calcular las medidas estadísticas pertinentes en cada caso, comentando después su significado. También puede crear el cuestionario en común y que los grupos lo pasen después. De esta manera, puede comparar los resultados de los distintos grupos e, incluso, unir todos los datos obtenidos y comparar las medidas estadísticas del conjunto total de datos y de los subconjuntos de los grupos.

)

7. 720 2 10 % de 720 5 648 648 1 5 % de 648 5 680,4 Al final valía 680,40 €.

usan 0,45 kg de patatas y 0,315 kg de carne. ¿Cuántos gramos de patatas hacen falta para un estofado para 5 personas? ¿Cuántos kilos de carne hacen falta para un estofado para 8 personas?

19:09:19 124599 _ 0208-0219.indd 219

(

• 50 • 161

3 2 7 59 5 2 1 4 5 8 40 Le quedó más de 1 kg.

a 1,60 € el metro y 7,6 m de cordón azul a 2,75 € el metro. Ha pagado con tres billetes de 10 €. ¿Cuánto le han devuelto?

219 25/3/09

• 4,5 dm • 1.280 cm • 6.300 dm • 0,0017 m

4. • 15/9 4/15 0,12 8,103 2,03

11. Para hacer estofado para 3 personas se ●

●

9. En una granja han envasado 600 huevos. Tres quintos los han puesto en hueveras de 12 huevos y el resto en hueveras de 6 huevos. ¿Cuántas hueveras han usado en total?

●

●

3. • 720 dm2 • 9 m2 • 1.500 cm2 • 2.000 m2

4.500 cm3 5 … dm3

900 dm 5 … m

7 7 5 2 2 2 3 6

15

8. 4 3 3 3 2 5 24 7 3 3 3 1,5 5 31,50 Tiene más volumen el estanque de Manuel.

31/3/09 15:02:01

9. 3/5 de 600 5 360 360 : 12 5 30 (600 2 360) : 6 5 40 30 1 40 5 70 Han usado 70 hueveras. 10. 3,5 3 1,6 5 5,6 7,6 3 2,75 5 20,9 30 2 (5,6 1 20,9) 5 3,5 Le han devuelto 3,50 €. 11. 0,45 kg : 3 3 5 5 0,75 kg 5 5 750 g 0,315 kg : 3 3 8 5 0,84 kg Hacen falta 750 g de patatas y 0,84 kg de carne.

219 124603 _ 0270-0288.indd 283

7/7/09 08:40:01

k

Repaso trimestral MEDIDA 1. • 250 cm 600 cm 5 km 20 km • 0,0125 km, 0,03 km, 25 km, 100 km 2. • km y mm • cl y kl • g y t • m2 y cm2 • cm3 y m3 3. • 70.000 cm; 0,25 m; 190 dm • 0,043 dal; 0,6185 kl; 20 ml • 2.800 cg; 530 dg; 17,6 cg • 620 m2; 7,91 km2; 850 mm2 • 5.000 dm3; 300.000 cm3; 4,718 dm3 • En dm: 2.084,3; 24,67 • En cl: 3.568; 478,33 • En kg: 0,662; 3.820 • En cm2: 20.580; 9.007,16

MEDIDA

GEO

1. Observa cada escala y contesta.

1. M

Plano A Escala 1 : 250

0

5

10

Mapa D 15

0

Kilómetros

●

¿Cuántos centímetros en la realidad representa 1 cm en cada plano? ¿Y cuántos kilómetros en la realidad representa 1 cm en cada mapa?

●

¿Qué distancia real representan 5 cm en cada plano y en cada mapa?

20

40

60

Kilómetros

2. Elige en cada caso la unidad más adecuada para expresar cada medida. ●

La longitud de un río y el grosor de un tornillo.

●

La capacidad de una taza y de una piscina olímpica.

●

El peso de un bolígrafo y la carga de un barco mercante.

●

La superficie de un piso y de la pantalla de un teléfono móvil.

●

El volumen de la caja de un jarabe y del remolque de un camión.

2. H

3. Escribe en la unidad indicada. ●

7 hm 5 … cm

●

43 cl 5 … dal

●

2,8 dag 5 … cg

●

250 mm 5 … m

●

618,5 ¬ 5 … kl

●

0,053 kg 5 … dg

●

1,9 dam 5 … dm

●

0,2 dl 5 … ml

●

176 mg 5 … cg

3. D ●

6,2 dam2 5 … m2

●

791 hm2 5 … km2

●

●

En dm

● ●

En cl

Cálculo mental • 13 • 16,41 8 4,8 2 2,95 28 186 150 1.080 • 0,7 • 1 24 60 9,3 8 13 30 200 6

Mapa C

Plano B Escala 1 : 600

●

2

2

0,085 dm 5 … mm

●

5 m3 5 …dm3

●

0,3 m3 5 … cm3

●

4.718 cm3 5 … dm3

2 hm, 8,4 m y 3 cm 0,19 dam, 56 cm y 7 mm

En kg

3 dal, 4 ¬ y 16,8 dl 4,5 ¬, 2,74 dl y 9,3 ml

En cm2

● ● ● ●

6 hg, 37 g y 250 dg 3 t y 8,2 q

4. O

2 m2 y 5,8 dm2 0,9 m2 y 716 mm2

CÁLCULO MENTAL En esta columna aproxima los decimales a las unidades para operar.

▶

5,2 1 7,6

9,41 1 7

10 % de 7

20 % de 5

9,7 2 2

7,8 2 3

10 % de 240

20 % de 300

8,4 2 6,3

10,95 2 8

0,1 3 93

0,2 3 40

6,9 3 4

6,2 3 30

50 % de 26

25 % de 120

3,1 3 50

5,4 3 200

0,5 3 400

0,25 3 24

d

220 124599 _ 0220-0224.indd 220

1/4/09 13:46:09

220 284 124603 _ 0270-0288.indd 284

5. H

7/7/09 08:40:01

124599 _ 0220-02

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA

1. Mide y calcula el área de cada figura.

1. • 2,5 3 2,5 5 5 6,25 cm2 • 5 3 1,5 5 7,5 cm2 • (3 3 2,5) : 2 5 5 3,75 cm2 • 4 3 2 5 8 cm2 • (4,5 3 2) : 2 5 5 4,5 cm2 • (6 3 1,5 3 1,3) : : 2 5 5,85 cm2 • p 3 1,52 5 7,065 cm2

60

2. Halla el área de las siguientes figuras planas. ● ● ● ● ● ● ●

Un Un Un Un Un Un Un

cuadrado de 6,5 cm de lado. rectángulo de 3,9 cm de base y 2,8 cm de altura. rombo cuyas diagonales miden 7 cm y 4 cm. romboide de 6 cm de base y 8,2 cm de altura. triángulo cuya base mide 10 cm y la altura 5,6 cm. pentágono regular de 2 cm de lado y cuya apotema mide 1,4 cm. círculo de 5 cm de radio.

2. • 6,5 3 6,5 5 5 42,25 cm2 • 3,9 3 2,8 5 5 10,92 cm2 • (7 3 4) : 2 5 5 14 cm2 • 6 3 8,2 5 49,2 cm2 • (10 3 5,6) : 2 5 5 28 cm2 • (5 3 2 3 1,4) : 2 5 5 7 cm2 • p 3 52 5 78,5 cm2

3. Descompón cada figura en otras de área conocida, mide y calcula el área total.

g

4. Observa estos poliedros regulares y escribe en cada caso.

5

300

0

●

Nombre.

●

Tipo de cuerpo geométrico.

●

Número y forma de las caras.

●

Número de vértices y de aristas.

3. • 3 3 1 1 3 3 2 1 1 (1,5 3 2) : 2 5 5 10,5 cm2 • (5 3 3) : 2 2 p 3 3 12 5 4,36 cm2 • 3 3 1,5 1 (5 3 3 1,5) : : 2 1 (1 3 1,5) : 2 5 9 cm2

5. Halla el volumen 2 cm

de cada ortoedro. 5 cm

3 cm

120 5 cm

24

5 cm

10 cm

221

4. • Tetraedro. Poliedro regular (y pirámide triángular). 4 caras, todas ellas triángulos equiláteros. 4 vértices y 6 aristas. • Cubo. Poliedro regular (y prisma cuadrangular). 6 caras, todas ellas cuadrados. 8 vértices y 12 aristas. 5. • 5 3 5 3 5 5 125 cm3 • 10 3 2 3 3 5 60 cm3

285 221 124603 _ 0270-0288.indd

285

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12:52:27

Repaso trimestral

2. O

ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA 1. Edades: 10 años, 11 años, 12 años, 13 años, 14 años. Frecuencias relativas: 2, 2, 4, 2, 2. Frecuencias absolutas: 2/12, 2/12, 4/12, 2/12, 2/12. • La suma es 12. Coincide con el número de datos. • La suma es 1. Vale siempre 1. 2. • Media 5 9, mediana 5 8, moda 5 8, rango 5 7 • Media 5 6, mediana 5 6, moda 5 7, rango 5 7 • Media 5 4, mediana 5 3, moda 5 2, rango 5 8 3. • Media 5 54 • Modas 5 53 y 54 • Mediana 5 54 • Rango 5 3

PROBLEMAS

m

1. Construye la tabla de frecuencias. Estas son las edades de los chicos y chicas que forman un grupo de teatro:

Edad (años) Frecuencia absoluta

10 años, 13 años, 12 años, 12 años, 14 años, 13 años, 12 años, 10 años, 11 años, 12 años, 14 años y 11 años

Frecuencia relativa

●

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Qué indica?

●

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas? ¿Es siempre este valor?

3. R

2. Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de estos grupos de números. 5 11

8

11

12

4

8

8

7 5

3 4

7

5

8

7

6 10

2

6

2 4

9

2

1

3. Observa la tabla y calcula. En la siguiente tabla se ha anotado el peso de los jinetes de una carrera hípica. Peso (kg) Frecuencia absoluta

53 4

54 4

55 2

56 1

●

La media.

●

La mediana.

●

La moda.

●

El rango.

PROBLEMAS

●

1. Resuelve. ●

Dos entradas a un castillo cuestan 5,60 €. ¿Cuánto cuestan 3 entradas? ¿Y 15 entradas?

●

Enrique ha utilizado 45 barquillos para hacer 3 postres iguales. ¿Cuántos barquillos necesita para hacer 10 postres? ¿Cuántos postres puede hacer con 105 barquillos?

1. • 5,60 : 2 5 2,8 2,8 3 3 5 8,4 2,8 3 15 5 42 ● Antonia ha comprado 4 bañadores iguales por 49,20 € y 5 toallas iguales por 47,50 €. 3 entradas: 8,40 €. ¿Cuánto cuestan 9 bañadores? ¿Y 3 toallas? 15 entradas: 42 €. ¿Qué es más caro, un bañador o una toalla? ¿Cuánto más? • 45 : 3 5 15 10 3 15 5 150 ● En una pastelería hay 60 tartas. El 25% 105 : 15 5 7 son de chocolate, el 35% son de nata y el resto son de fruta. ¿Cuántas tartas de fruta Necesita 150 barquillos hay en la pastelería? para hacer 10 postres. Con 105 barquillos puede 222 hacer 7 postres. • 49,20 : 4 5 12,3 124599 _ 0220-0224.indd 222 47,50 : 5 5 9,5 9 3 12,3 5 110,7 3 3 9,5 5 28,5 12,3 2 9,5 5 2,8 9 bañadores: 110,70 €. 3 toallas: 28,50 €. Es más caro un bañador. Cuesta 2,80 € más. • 100 % 2 25 % 2 35 % 5 40 % 40 % de 60 5 24 Hay 24 tartas de fruta. • 28 1 31,60 5 59,6 100 % 2 15 % 5 85 % 85 % de 59,6 5 50,66 Ha pagado 50,66 €.

●

●

●

●

Luisa ha comprado un jersey de 28 € y un pantalón de 31,60 € que estaban rebajados un 15%. ¿Cuánto ha pagado Luisa por su compra?

1/4/09 13:46:28

222 286 124603 _ 0270-0288.indd 286

7/7/09 08:40:03

124599 _ 0220-02

2. Observa el plano de un circuito para bicicletas, mide y resuelve. ●

¿Qué longitud tiene en total el circuito en el plano? ¿Y en la realidad?

●

Martín ha dado 3 vueltas y media al circuito. ¿Cuántos metros ha recorrido? ¿Cuántos kilómetros son?

Escala 1 : 15.000

3. Resuelve. ●

2

Alba tiene una cuerda de 5 m de largo. Ha cortado 5 trozos de 7,6 dm cada uno y el resto lo ha dividido en 8 partes iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada parte?

●

Jorge ha comprado una caja con 8 botellas de leche de 1,5 ¬ cada una. En total ha pagado por ellas 12,96 . ¿Cuál es el precio de un litro de leche?

●

Un montacargas admite un peso máximo de 7 quintales. Han cargado en él 3 paquetes de 86,5 kg cada uno y una caja con 300 latas de conserva de 400 g cada una. ¿Cuántos hectogramos más admite el montacargas?

●

En un cartel que mide 84 dm2 hay una fotografía de 3.250 cm2. ¿Qué superficie del cartel no tiene foto?

●

Leandro tiene un terreno de 9,5 a. Ha plantado 385 ca de tomates y el resto de patatas. ¿Cuántos metros cuadrados ha plantado de patatas?

●

Raúl ha hecho un abeto de cartulina para una obra de teatro. Ha utilizado un triángulo de 1 m de base y 1,4 m de altura y un cuadrado de 0,3 m de lado. ¿Cuántos metros cuadrados de cartulina mide en total el abeto?

●

Tamara ha cortado una luna de cristal rectangular de 75 cm de largo y 52 cm de ancho en 4 cristales iguales. ¿Cuál es la superficie de cada cristal?

●

Elsa hace gimnasia con un aro que mide 80 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud del aro? Guarda el aro en una funda circular de 42 cm de radio. ¿Cuál es la superficie de la funda?

●

Héctor tiene un depósito de agua con forma de ortoedro, de 2 m de largo, 1 m de ancho y 0,8 m de alto. ¿Cuál es su volumen en metros cúbicos? ¿Cuántos kilolitros de agua caben en él? ¿Cuántos litros son?

●

En una estación meteorológica se han registrado en un día estas temperaturas: 17,7 ºC; 19,2 ºC; 20,1 ºC; 25,3 ºC; 21,6 ºC; 19,8 ºC y 16,3 ºC. ¿Cuál es la temperatura media registrada ese día? ¿Cuál es la mediana de dichas temperaturas?

223

2. • 3 cm 1 1 cm 1 2,5 cm 1 1 1,2 cm 1 1 cm 5 8,7 cm 8,7 3 15.000 5 130.500 130.500 cm 5 1,305 km En la realidad son 1,305 km. • 3,5 3 1.305 5 4.567,5 Ha recorrido 4.567,5 m, que son 4,5675 km. 3. • (500 2 5 3 76) : 8 5 15 Cada parte mide 15 cm. • 12,96 : (8 3 1,5) 5 1,08 Cada litro cuesta 1,08 €. • 7.000 2 3 3 865 2 2 300 3 4 5 3.205 Admite 3.205 hg más. • 8.400 2 3.250 5 5.150 No hay foto en 5.150 cm2. • 950 2 385 5 565 Ha plantado 565 m2 de patatas. • (1 3 1,4) : 2 1 0,3 3 0,3 5 5 0,79 m2 Mide 0,79 m2. • (75 3 52) : 4 5 975 cm2 Cada cristal mide 975 cm2. • 2 3 p 3 40 5 251,2 p 3 422 5 5 5.538,96 cm2 La longitud es 251, 2 cm y la superficie es 5.538,96 cm2. • 2 3 1 3 0,8 5 1,6 m3 Su volumen es 1,6 m3. Caben 1,6 kl 5 1.600 l. • 140 : 7 5 20 La media es 20 ºC. La mediana es 19,8 ºC.

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico Portada: Carrió/Sánchez/Lacasta Interiores: Paco Sánchez y Avi Ilustración de portada: Max Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: José Luis García y Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Félix Rotella Confección y montaje: Jorge Borrego, Juan Carlos Villa y David Redondo Corrección: Marta Rubio y Gerardo Z. García

© 2009 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por ISBN: 978-84-294-8784-8 CP: 124603 Depósito legal:

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

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Guia Del Profesor Matematica 6

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