LA PARÁBOLA DEFINICIÓN Una parábola es el conjunto SHAP SHAPE \* MERGE MERGEFO RMA AT de puntos deEun plano que son FORM equidistantes de un punto fijo llamado FOCO y de una recta fija llamada D!"C#!
%$Por ejemplo en la siguiente figura los puntos A, B, C y D pertenecen a la parábola
&a que'
AA( ) AF BB( ) BF CC( ) CF DD( ) DF
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA Anteri Anteriorm orment entee menci menciona onamos mos dos dos ele elemen mentos tos muy import important antes es de la paráb parábola ola'' la directri* y el foco% +a siguiente figura nos muestra otros elementos'
Eje de simetría: es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directri*% Diide a la parábola en dos partes sim-tricas pasando por el -rtice%
Vértie' es el punto donde la parábola interseca a su eje de simetr.a%
C!erda: segmento de recta que une dos puntos de la parábola% /i la cuerda pasa por el foco se llama cuerda focal% Lad" ret": es una cuerda focal perpendicular al eje de la parábola% EC#ACIÓN DE LA PARÁBOLA CON V$RTICE EN EL ORI%EN /iempre que se trate de deducir la ecuaci0n de una cura es necesario obserar cuidadosamente las propiedades que cumplen sus puntos% Para deducir la ecuaci0n de la parábola tendremos en cuenta lo siguiente' Dado el foco y su directri*, elegimos un sistema de coordenadas de tal manera que la directri* sea 1ori*ontal, el eje de simetr.a coincida con uno de los ejes coordinados 2en este caso 1emos escogido el eje y3 y el origen est- a la mitad de la distancia entre el foco y la directri*% +lamamos p a la distancia entre el foco y el origen 2p 4 53, de modo que la distancia entre el origen y la directri* tambi-n es P%
+as coordenadas del foco son F25,p3 y la ecuaci0n de la directri* es y ) 6p% Por definici0n de la parábola si elegimos cualquier punto de -sta, P27, y3 la distancia de P27, y3 a su foco F25,p3 es igual a la distancia del punto P27, y3 al punto +27,6p3 2obs-rese que +27,6p3 es el punto que se utili*a para determinar la distancia perpendicular a la recta y )6p3% Utili*amos la f0rmula de distancia para obtener' D( P , F )
= D( P , L)
( x − 2) 2 + ( y − P ) 2 = ( x − x ) 2 + ( y − ( − p ) ) 2 ( x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = ( x − x ) 2 + ( y − p ) 2
"leando al cuadrado a ambos lados tenemos' ( x − 0) 2 − ( y − p ) 2 = ( x − x ) 2 + ( y + p ) 2
!eali*ando las operaciones obtenemos' + y 2 − 2 py + p 2 = 0 + y 2 + 2 py + p 2 x 2 = y 2 + 2 py + p 2 − y 2 + 2 py − p 2 x 2
De donde concluimos' x = 4 py 2
+a ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen, eje de simetr.a coincidente con el eje y, foco en el punto F25,p3 y directri* la recta y ) 6p es' 78)9py
+a parábola de ecuaci0n 7 8)9py abre 1acia arriba si p 4 5 y 1acia abajo si p : 5, como lo indica la figura%
p45
p:5
E&EMPLOS
;% Determinar el foco y la directri* de la parábola'
y
=−
1 3
x 2
Para una parábola dada de la forma 7 8)9py sabemos que la ecuaci0n de la directri* es y)6p y el foca es 25, p3, por lo que necesitamos identificar p%
Podemos escribir la ecuaci0n 1 y
=
3 y x
2
−
3
x
−
=
−
=−
1 3
x 2 en
la forma 78)9py despejando 7 8'
2
1 x
=
y
2
3 y
Comparamos esto con la ecuaci0n 78)9py para identificar p 78)9py 78)6
3 −
4
3
3
4
por lo tanto el foco es F 0,− 4 y la directri* es y) siguiente manera%
, la gráfica queda de la
8% "ncontrar la ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen, cuyo foco es el punto F2O,<3 y la directri* es paralela al eje 7% =rafiquemos la parábola% Como el foco está sobre el eje y 2F25,<33, y el -rtice está en el origen, entonces' +a parábola correspondiente tiene la forma de la ecuaci0n 78)9py con p)<, se tiene'
>8)92<3 y >8);8y Para graficar esta parábola, primero marcamos el -rtice ?25,53 y luego colocamos otro par de puntos sobre está' /i y)<, entonces' >8);82<3 >8)<@ >)@ As. los puntos 2@,<3 y 26@,<3 están situados sobre la parábola%
A1ora analicemos la parábola con -rtice en el origen pero sim-trica con respecto al eje 7% "l foco F2p,53 y la directri* 7) 6p como emos en la siguiente figura%
Como en el caso de la parábola sim-trica con respecto al eje y, podemos deducir la ecuaci0n de la parábola sim-trica con respecto al eje 7 Utili*ando la f0rmula de la distancia% y 2
= 4 px
a ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen, eje de simetr.a coincide con el eje 7, foco en el punto F2p,53 y directri* la recta 7)6p es'
+a parábola de ecuaci0n y = 4 px abre 1acia la derec1a si p 4 5 y 1acia la i*quierda si p : 5, como lo muestra la figura% 2
p45
P:5
E&EMPLOS
;% allar el foco y la ecuaci0n de la directri* de la parábola' y 2
= 16 x
Para una parábola dada de la forma y 8)9p7 sabemos que la ecuaci0n de la directri* es 7)6p y el foca es 2p,53, por lo que necesitamos identificar p% Comparamos las ecuaciones' y8)9p7 y 2
= 16 x
Para identificar a p, emos que 9p);@ P)
16 4
P)9 Por lo tanto el foco es F29,53 y la directri* es 7)69, la gráfica queda de la siguiente manera%
8% Determinar la ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen, sim-trica con respecto al eje 7, si su foco es F2<,53%
Dado que la parábola tiene su -rtice en el origen y es sim-trica con respecto al eje 7, su ecuaci0n será de la forma y = 4 px % 2
Como tenemos que el foco es F2<,53, entonces p)<% Por lo tanto la ecuaci0n pedida es'
&8)92<37 &8);87 <% Una parábola tiene su -rtice en el origen, su eje focal es el eje 7 y pasa por el punto 26<,@3 1allemos su ecuaci0n y dibujemos su gráfica% Como el -rtice es 25,53 y el eje focal es el eje 7, entonces la ecuaci0n de la parábola es de la forma &8)9p7 donde desconocemos el alor de p% Puesto que la parábola pasa por el punto 26<,@3, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuaci0n, por lo tanto' @8)9p26<3 <@) 6;8p P)
36 −
12
P) 6< +uego, la ecuaci0n de la parábola es' &8) 6 ;8 7 Como p es negatio, entonces la parábola abre 1acia la i*quierda como lo muestra la figura%
EC#ACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VERTICE EN '() *+ Cuando trasladamos una parábola sim-trica con respecto al eje y y con -rtice ?25,53 de manera 1ori*ontal 1 unidades y de manera ertical unidades% Obtenemos una parábola con las siguientes propiedades' /u -rtice es 21,3, su eje de simetr.a es la recta 7)1, su foco es F21,p3 y su directri* es y ) 6p ) 6p
De la misma forma en que obtuimos la ecuaci0n de la parábola con centro en el origen, podemos deducir la ecuaci0n para esta parábola% /ea 27, y3 un punto de la parábola, entonces por la definici0n de -sta la distancia de P27, y3 a su foco F21, p3 es igual a la distancia del punto P27, y3 al punto +27, 6p3 es decir' D 2P, F3 ) D2P, +3 ( x − h ) 2 + ( y − ( k + p ) ) 2 = ( x − x ) 2 + ( y − ( k − p ) ) 2
( x − h ) 2 + ( y − k − p ) 2 = ( y − k + p ) 2
"leado al cuadrado a ambos lados tenemos' ( x − h ) 2 + ( y − k − p ) 2 = ( y − k + p ) 2
Por tanto' ( x − h ) 2 = ( y − k + p ) 2 − ( y − k − p ) 2
+a e7presi0n de la derec1a de la igualdad es una diferencia de cuadradosE si factori*amos tenemos' ( x − h ) 2 = ( y − k + p + ( y − k − p ) ) −
( y − k + p − ( y − k − p ) ) ( x − h ) 2 = ( y − k + p + y − k − p ) −
( y − k + p − y + k + p )
"ntonces' ( x − h ) 2 = ( 2 y − 2k ) ( 2 p )
Por tanto'
( x − h ) 2 = 4 p( y − k )
+a ecuaci0n de la parábola con -rtice en ?21, 3, foco F21, p3, eje de simetr.a 7)1 y directri* y ) 6p es'
/i p 4 5 la parábola 1abr- 1acia arriba% /i p : 5 la parábola abre 1acia abajo%
P45
P:5
E&EMPLOS
;% "ncontrar la ecuaci0n de la parábola con -rtice ?26@,6;3 y directri* y)8 "mpe*amos locali*ando el -rtice en ?26@,6;3 y la directri* y)8
Puesto que el -rtice está colocado < unidades por debajo de la directri* se deduce que p)6< y la forma de la ecuaci0n debe ser'
276138)9p2y63 /ustituyendo 1)6@, )6; y p)6< obtenemos' 7626@3G8 ) 926<3y626;3G Por lo tanto la ecuaci0n pedida es' 27@38)6;82y;3 +a grafica de esta ecuaci0n seria'
8% Determinar el -rtice, el foco, el eje de simetr.a y la directri* de la parábola ( x + 1) 2 = −25( y − 1)
Comparando -sta ecuaci0n con la ecuaci0n ( x − h ) 2 = 4 p( y − k )
Concluimos que el -rtice es 26;,;3%
Como 9P)68H entonces P) −
25 4
de donde se puede deducir que'
+a parábola abre 1acia abajo porque P) −
25 4
: 5 /abemos que el foco es F21, p3,
luego las coordenadas del foco es la pareja ordenada' 25 25 21 1 , 1 1 , − 1,1 + = − − = − − − 4 4 4
+a ecuaci0n de la directri* está dada por la e7presi0n y)6p, as. la directri* tiene como ecuaci0n y ) ; 6 −
25
25
4
4
= 1 +
=
29 4
"l eje de simetr.a es 7)6; +a grafica de esta parábola seria'
A1ora analicemos la parábola con -rtice en 21,3 y eje de simetr.a paralelo al eje 7 como se muestra en la figura
Como en el caso de la parábola sim-trica con respecto al eje 7)1, podemos deducir la ecuaci0n de la parábola sim-trica con respecto al eje y) y obtenemos' ( y − k ) 2 = 4 p( x − h )
La ecuaci0n de la parábola con -rtice en ?21,3, foco F21p,3, eje de simetr.a y) y directri* 7) 16p es'
/i p 4 5 la parábola se abre 1acia la derec1a% /i p : 5 la parábola se abre 1acia la i*quierda%
P45
P:5
E&EMPLO
"ncontrar la ecuaci0n de la parábola con -rtice ?2I,93, eje de simetr.a paralelo al eje 7 y foco F2;5,93% 1.
Como el eje de simetr.a de la parábola es 1ori*ontal, entonces la forma de la ecuaci0n debe ser' ( y − k ) 2 = 4 p( x − h )
con'
1)I, )9 Como el foco es F2;5,93, entonces' 1p);5 p);561 p);56I p)< !eempla*ando los alores obtenemos la ecuaci0n pedida% ( y − 4 ) 2 = 4( 3)( x − 7 ) ( y − 4 ) 2 = 12( x − 7 )
+a grafica de esta parábola seria la siguiente'
8% allar las coordenadas del -rtice, el foco, la ecuaci0n del eje de simetr.a y de la directri*E y la longitud del lado recto de la parábola' ( y − 3) 2 = 8( x − 5)
Como la ecuaci0n de la parábola tiene la forma )<%
( y − k ) 2 ) 4 p ( x − h ) ,
entonces 1)H y
Coordenadas del -rtice ? ( 5,3) % /e tiene que 9p)J, entonces p)8% & como la parábola abre 1acia la derec1a, el foco está a dos unidades a la derec1a del -rtice sobre el eje de simetr.a, por lo tanto sus coordenadas serán' F ( h + p, k ) F ( 5 + 2,3) F ( 7,3) % Como la parábola tiene eje de simetr.a paralelo al eje 7, el eje de simetr.a del eje focal es y), es decir, y)<% +a directri* está dos unidades a la i*quierda del -rtice, su ecuaci0n será'
7)16p
7)H68 7)<
+a ecuaci0n de la directri* es' 7)<
+ongitud de lado recto' 9p, esto es 9p)J A1ora tra*amos la gráfica' ubicamos el -rtice, el foco, la directri* y el eje de simetr.a% Busquemos dos puntos de la gráfica' /i 7)I, tenemos' ( y − 3) 2 = 8( 7 − 5)
&8 6@yK);@ &8 6@y6I)5 Factori*ando tenemos' ( y − 7 ) ( y + 1) = 0
y6I)5 y)I
0
y;)5 y)6;
por lo cual los puntos 2I,I3 y 2I,6;3 pertenecen a la parábola%
EC#ACION %ENERAL DE LA PARÁBOLA /i tomamos la ecuaci0n 2y638)9p27613 y la desarrollamos obtenemos'
y 2 y 2
− 2ky + k 2 = 4 px − 4 ph − 2ky − 4 px + k 2 + 4 ph = 0
Como − 2k ,−4 p y y 2
k 2
+ 4 ph son nLmeros reales, podemos escribir la ecuaci0n as.'
+ Dy + Ex + F = 0 , donde D) − 2 k , ")
−
4p
y F) k + 4 ph % 2
De una manera similar, si desarrollamos la ecuaci0n 276138)9p2y63 obtenemos' x 2
+ Dx + Ey + F = 0
+a forma general de la ecuaci0n de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje 7 es '
, +a forma general de la ecuaci0n de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje y es'
OBSERVACIONES ;% Al anali*ar la ecuaci0n general de una parábola, podemos concluir que' "s de segundo grado en una ariable y de primer grado en la otra% +a parábola cuyo eje focal es paralelo al eje MyN es funci0nE en cambio, la otra no lo es% 8% si bien es cierto la ecuaci0n de una parábola tiene la forma' • •
y 2
+ Dy + Ex + F = 0
0 x 2
+ Dx + Ey + F = 0
"llo no implica que toda ecuaci0n de esta forma represente una parábola%
E&EMPLOS
;% probemos que la ecuaci0n 97 86857689yKI)5 representa una parábola, 1allemos las coordenadas del -rtice y del foco y la ecuaci0n de la directri*%
"n primer lugar, diidamos cada t-rmino de la ecuaci0n por 9' 4 x 2 4
−
20 x 4
−
24 y
+
4 97 x 2 − 5 x − 6 y + 4
97 4
=0
=0
"sta Lltima ecuaci0n tiene la forma de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje y% A continuaci0n, lleemos la ecuaci0n a la forma' 276138)9p2y63E as.' Agrupamos los t-rminos de M7N a un mismo lado de la ecuaci0n' x 2
− 5 x = 6 y − 97 4
Completamos al trinomio cuadrado perfecto el lado i*quierdo de la ecuaci0nE as.' 2
2
97 5 5 + x − 5 x + = 6 y − 4 2 2 2 x − 5 = 6 y − 97 + 25 4 4 2 2 x − 5 = 6 y − 72 4 2 2 x − 5 = 6 y − 18 2 2 x − 5 = 6( y − 3) 2 2
Por lo tanto, las coordenadas del -rtice son' 2 ,3 5
3
Como 9p)@, entonces p) 2 E luego, la parábola se abre 1acia arriba% +as coordenadas del foco son' 2 ,3 + 2 = 2 , 2 5
3
5 9
3
3
+a ecuaci0n de la directri* es' y = 3 − 2 = 2 +a grafica de esta parábola ser.a'
8% 1allemos las coordinas del -rtice y el focoE la ecuaci0n del eje de simetr.a y la directri*E y la longitud del lado recto de la parábola de ecuaci0n ' 9y86Jy<768)5% Para completar el trinomio cuadrado perfecto en t-rminos de y, el coeficiente de y 8 debe ser uno as. que olemos a escribir la ecuaci0n como' 4( y 2
− 2 y = −3 x + 2
"ntonces, completando el cuadrado tenemos' 4( y 2
− 2 y + 1) = −3 x + 2 + 4 4( y 2 − 2 y + 1) = −3 x + 6
Factori*ando y 1aciendo operaciones' 4( y
− 1) 2 = −3( x − 2)
Para obtener una de las formas generales de la parábola, diidimos a ambos lados por 9 y obtenemos'
3
( y − 1) 2 = − ( x − 2 ) 4
Como la ecuaci0n de la parábola tiene la forma ( y − k ) 2 = 4 p( x − h) , entonces' 1)8 y );%
+as coordinas del -rtice son' ?28,;3% 3 Comparando las ecuaciones ( y − 1) 2 = − 4 ( x − 2 ) con
9p)
se tiene que
3
3 −
( y − k ) 2 = 4 p( x − h )
entonces p)6 16 4
& como la parábola abre 1acia la i*quierda, el foco está
3 −
16
de unidades a la
i*quierda del -rtice sobre el eje de simetr.a por tanto, sus coordenadas serán F 3 29 ,1 F = 21p,3, es decir F 2 + − 16 ,1 16 Como la parábola tiene eje de simetr.a paralelo al eje 7, el eje de simetr.a es y), y);% +a directri* esta
3 −
16
unidades a la derec1a del -rtice la ecuaci0n será
7)16p x
3 = 2 − − 16
x
=
35 16
+ongitud del lado recto9p' 3
9p)6 4 +a gráfica de esta parábola ser.a'
APLICACIONES DE LA PARÁBOLA +a parábola tiene muc1as propiedades interesantes que la 1acen apropiada para ciertas aplicaciones% "l disea de espejos para telescopios y ciertos sistemas de alumbrado se basan en una propiedad de refle7i0n importante de las parábolas% Como se está ilustrando en la figura siguiente, un rayo de lu* de un punto frente locali*ado en el foco de una parábola será reflejado a lo largo de una recta paralela al eje de simetr.a% As., la forma de la superficie reflejante en la mayor.a de los reflectores, los faros delanteros del autom0il y las luces intermitentes se obtienen rotando una parábola alrededor de su eje de simetr.a%
+a fuente de lu* se coloca en el foco% "ntonces, te0ricamente, el resultado de este diseo es un rayo de lu* paralelo al eje de simetr.a% Por supuesto, en realidad ocurrirá alguna dispersi0n de la lu*, puesto que no 1ay fuente de lu*% Por el contrario, si un rayo de lu* que entra en paralelo al eje de una parábola, será reflejado a lo largo de una recta que pasa a tra-s del foco% #elescopios refle7ios, platos de sat-lites y antenas de radar utili*an esta propiedad
colocando la lente del telescopio y el equipo receptor para la antena en el foco de un reflector parab0lico%
+as parábolas son tambi-n importantes en el diseo de los puentes colgantes son generalmente de la forma parab0lica, puesto que se puede demostrar que si el peso de un puente se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, un cable en forma de parábola sostendrá su carga equilibradamente% Además, la trayectoria de un proyectil será una parábola si el moimiento se considera en un plano y no se tiene en cuenta la resistencia del aire%
#aller "n los ejercicios ; a J encuentro las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y las coordenadas de sus e7tremos 2del lado recto3, para cada una de las parábolas dadas% "ncuentro además la ecuaci0n de la directri* de cada parábola% "sbo*o la cura correspondiente a cada ecuaci0n% ;3 y8 )97 83 y8 ) 6 ;@7 <3 78 ) 9y 93 78 ) 6 ;5y H3 y8 <7 ) 5 @3 78 6 Jy ) 5 I3 8y8 )I7 J3 78 Iy ) 5 K3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen y foco en 2IQ8, 53 ;53 "ncuentro las coordenadas del foco y la ecuaci0n de la directri* de la parábola 8y 8 ) I7 ;;3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen, su eje es el eje > y la ecuaci0n de su directri* es <7 ; ) 5 ;83 "ncuentro las coordenadas del foco y la ecuaci0n de la directri* de la parábola 7 8 8 y ) 5 ;<3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola con -rtice en el origen y directri* y H ) 5 ;93 "ncuentro la ecuaci0n general de la parábola con -rtice en el punto ?2;, 93 y su foco se ubica en el punto F2;, 83 ;H3 "ncuentro las coordenadas del -rtice, foco y la ecuaci0n de la directri* de la parábola cuya ecuaci0n es Hy8 857 85y @5 ) 5 ;@3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola si la longitud del lado recto es ;5 y la parábola se abre 1acia la derec1a% ;I3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola si la longitud del lado recto es J y la parábola se abre 1acia arriba% ;J3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola si su foco está sobre el eje 7 y la parábola pasa por el punto 2<,93% ;K3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola si se sabe que abre 1acia la i*quierda y pasa por el punto 26<, 93% 853 Una parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos 2;, ;3, 28, 83 y 26;, H3% "ncuentro su ecuaci0n% 8;3 "ncuentro la ecuaci0n de la parábola si tiene' ?-rtice en 2<,693, eje 1ori*ontalE pasa por 28,6H3% 883 +a figura se muestra un arma*0n arqueado de J5 metros de longitud con las alturas indicadas% +os RtirantesR erticales están a ;5 metros uno del otro% /i tanto la parte superior como la inferior del arco son arcos de parábola, redondeo 1asta el metro más cercano la suma de longitudes de los tirantes erticales e inclinados%
BIBLIOGRAFÍA
+UDST=, =ustao% nteligencia +0gico atemática ;5% U!B", Vulio% atemática, una propuesta curricular ;5W% "ditorial Bedout BO=O#X #O!!"/, arlady% /UP"!A# atemáticas ;5% "ditorial ?oluntad% Bogotá% 8555% CIBERGRAFÍA
docencia%i*t%uam%m7QstbsQgeometriaQmaterialYadicionalQbogus%ppt
1ttp'QQZZZ%scribd%comQdocQJ@JIJJHQ/ecciones6Conicas 1ttp'QQima%uc%clQlibrocalculoQTueoQ+as[85/ecciones[85Conicas%pdf 1ttp'QQZZZ%disfrutalasmatematicas%comQgeometriaQconicas6secciones%1tml 1ttp'QQZZZ%*Zeigmedia%comQundo!ealQtutorialsf;HeQframesIYH%1tml
