UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA VICERRECTORADO ACADÉMICO UNIDAD DE ADMISIÓN CURSO PROPEDÉUTICO
Auto Au to res re s : Prof. Luis A. Delgado R. MSc. Gladys Colmenares. Transcri Transcri ta por : T.S.U. Nancy Sayago. San Cristóbal, junio de 2012
Curso Propedéutico UNET
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA PARAMILLO- SAN CRISTÓBAL – TÁCHIRA Dr. JOSÉ VICENTE SÁNCHEZ FRANK RECTOR Ing. CARLOS CHACÓN LABRADOR VICERRECTOR ACADÉMICO Dra. DORIS AVENDAÑO VICERRECTORA ADMINISTRATIVA Dr. ÓSCAR A. MEDINA SECRETARIO Lcdo. JOSÉ A. CONTRERAS DECANO DE DOCENCIA Dr. JOSÉ L. RODRÍGUEZ DECANO DE INVESTIGACIÓN Dr. EDGAR PERNIA DECANO DE POSTGRADO MSc. BENITO MARCANO DECANO DE EXTENSIÓN Ing. LUIS VERGARA P. DECANO DE ESTUDIOS Dr. ATILIO GUERRERO JEFE DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA Lcda. NORMA OSORIO M. JEFE DE LA UNIDAD DE ADMISIÓN MSc. FREDY O. DELGADO R. COORDINADOR CURSO PROPEDÉUTICO Revisado:Lcdo. Freddy Bustamante Lcda. Aráis Maldonado Lcda. Darsy Moreno Lcdo. Ilmer Pabón
Curso Propedéutico UNET
Conjunto de los Números reales reales
Números naturales.
Números enteros.
Números racionales.
Números irracionales. irracionales.
Ι
Números reales.
Conjunto de los n úmeros naturales
Son los números con los que contamos. Por lo general se utiliza el símbolo para representarlo. Se denotan = {1,2,3...,12...} Operaciones definidas en
.
Adic Ad ic ió n:
Si se suma dos números naturales el resultado es otro número natural. Propiedades Propiedades de la adición Conmutativa
a+b=b+a
As oc iat iva iv a
( a + b ) + c = a + ( b + c)
Multiplicación:
Si se multiplican dos números naturales naturales el resultado es otro número número natural. Propiedades Propiedades d e la multiplicación Conmutativa
a.b = b.a
Asoc As oc iati iat i va
( a.b ) .c = a. ( b.c )
Distributiva
a b+c
Identidad
Material Material didáctico en revisión
(
) = a.b + a.c a (1) = 1( a ) = a
Curso Propedéutico UNET
Subconjunto de los naturales Pares
{
} .
P = 2,4,6,8,...,12...
Impares
{
}.
= 1,3,5,7,9,.......,15,.... I =
Conjunto de los números enteros . ..., −12 12,... ,...,, −3, −2, −1, 0,1 0,1, 2,3...,1 2,3...,12. 2... ..} . Se representa representa = {...,
Operaciones definidas en . Adic Ad ic ió n:
Los enteros positivos se escriben, con frecuencia, sin el signo
"+ ".
Si se suma dos números enteros negativos el resultado será siempre un número entero negativo. Si se suma ddos os números enteros positivos, el resultado será siempre un número entero positivo. Si se suma dos enteros de signo contrario, el resultado llevará el signo del símbolo de mayor valor absoluto. Propiedades Propi edades de la adición . Conmutativa
a+b =b+a
Asoc As oc iati ia tiva va
( a + b) + c = a + (b + c)
Elemento Elemento neutro
a+0 = 0+a = a
Inverso Inverso aditivo
a+
( −a ) = 0
Cuando se efectúa sumas algebraicas de números enteros, se suman separadamente separadamente los enteros positivos y los negativos y luego se procede a efectuar la operación final. Multiplicación:
El producto de dos números enteros da otro número entero. Si se multiplica dos números positivos el producto es positivo.
( + ) .( + ) = +
4
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Si se multiplica un número negativo por otro positivo, el producto será negativo.
( −) .( + ) = − Si se multiplica dos números negativos, el producto será positivo.
( −) .( −) = + Si se multiplica un número positivo por otro negativo, el producto será negativo.
( + ) .( −) = − Propiedades Propiedades de la multi plicación. Conmutativa
a.b = b.a
Asoc As oc iati ia tiva va
( a.b ) .c = a.( b.c )
Elemento Elemento neutro
a.1 = 1.a = a
(
Distributiva
a b+c
) = a.b + a.c
Subconjunto d e los enteros enteros +
= {0,1,2,3,...,12...}
−
= {.....,., −12.. 12..., ., −3, −2, −1} Enteros negativos
Enteros positivos
12..., ., −3, 3, −2, −1,1 1,1,, 2,3 2,3,.. ,..., .,12 12.. ....} { } = {.....,., −12..
− 0
Enteros sin el cero
Conjunto de los números racionales.
Los números racionales son aquellos que se representan como el cociente de dos números, en donde el numerador pertenece a los enteros y el denominador pertenece a los enteros sin el cero. Por lo general se utiliza el símbolo para representarlo a ir r ed ucib le : a ∈ ∧ ( ) b
=
.
b ∈ − {0}
Todo número racional se puede escribir de la forma decimal finito, decimal infinito periódico, periódico,
Material Material didáctico en revisión
1 2
= 0,5 0, 5 o
1 = 0,33333.... 3
5
Curso Propedéutico UNET
Propiedades. a c c a b d = d b
Conmutativa Asoc As oc iati ia tiva va
a c e a c e b d f = b d f
con b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0
a a a con b ≠ 0 .1 = 1. = b b b
Elemento Elemento neutro Distributiva
con b ≠ 0 ,d ≠ 0
a c + e = a c + a e b d f b d b f
con b ≠ 0, d
≠ 0,
f ≠ 0
Operaciones definidas en . a b a
Adic Ad ic ió n
b
+
a b a
Sustracción
c
a +c
b c
b ad + cb cb
+ =
b
d
=
c
a −c
b c
b ad − cb cb
− = −
d
=
a c
.
Multiplicación
b d
a
División
b
÷
c d
bd
=
bd a.c b.d
a d
ad
b c
bc
= . =
con b ≠ 0 ; con b ≠ 0, d ≠ 0
co n b ≠ 0
;
con b ≠ 0 , d ≠ 0
con
b
≠ 0, d ≠ 0
co n b ≠ 0 , d
≠ 0 ,c ≠ 0
Subconjunto d e los racionales racionales +
a = ∈ : a.b ∈ + , b ≠ 0 b
−
a = ∈ : a.b ∈ − Racionales negativos b
a ∈ : b
− {0} =
6
Racionales positivos
Racionales sin cero
a ∈ − {0} ∧ b ∈ − {0}
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Conjunto de los números ir racionales. racionales.
Son todos aquellos números que no se pueden expresar como una fracción. Su representación decimal es no periódica. Por lo general, se utiliza el símbolo I para representarlo. 2
= 1,41 1,4142135 4213562373 6237309504 0950488016 8801688724 887242097. 2097... ..
= = 3,1415926535897932384626433832795...
π
3 = 1,7320508075688772935274463415059.. 1,7320508075688772935274463415059....
Conjunto de los números reales reales
El sistema de números reales consiste en la unión de los números racionales e irracionales. Por tanto, cualquier número real puede ser racional o irracional. Por lo general, se utiliza el símbolo para representarlo. Símbolos de agrupación Para indicar el orden de algunas operaciones se usan los símbolos:
( ) paréntesis
,
[ ]
corchete ,
{ }
llaves.
Para eliminarlos, se emplea el mismo procedimiento que para los números, es decir, cuando un símbolo de agrupación esté afectado por el signo + , se puede eliminar sin que se altere nada de lo que está en su interior. Cuando el símbolo de agrupación esté afectado por el signo menos, para eliminarlo se cambian los signos + o − que están en su interior por − o + respectivamente. respectivamente. Ejercicios
Ordene los elementos de los conjuntos A, B y C en el mismo orden de sus correspondientes puntos a la izquierda o a la derecha de la recta de números reales: A=
−2, 3, 21, 5, − 7, 2 , 3
B=
11 , π , − 8, − 3
C=
1, 2 , − 3, 2 3
π
π
π
Material Material didáctico en revisión
3,
2 , 3,
7 4
− , − 5 , − 10 , 0,
−
2 , - 4,46,
3 , 4,
21 , 4
− 3 7 , 8,
−
25 , 3
3 , 4
5 − , − 1; 2,5 3
3 , ; 1,26; 2 2
−
− 3,2
3 ; 0,26 ; -4, 43, , 2 4
7
Curso Propedéutico UNET
Efectuar las siguientes operaciones: 1.)
1 1 + 3 12
2.)
2 5
3.)
3
−
1 14
1 9 − − 8 5
+
20
2 5
−
3 40
1 4.) 4 + 1 + − 6 30 15
5.)
1 2 2 1 1 − − − − 2 9 3 3 9 2 1 1 3 4 − − + − 3 2 8 4 9
6.)
2
7.) − + 9
15 3
1 1 4 − + − 2 5 15 3 30
8.)
5 9 2 4 3 2 − − − − 2 4 3 9 18 9
9.)
1 10
−
18 2 4 1 2 + − − 5 9 6 3 5
10.) 2 − 1 − 1 + 3 − 4 + 9 3 2 8 4 9 8
11.) 5 − 9 2 − 4 − 3 − 2 − 7 + 1 4 2 3 5 18 9 3 2 12.) 5 + 9 2 + 4 − 3 + 2 + 7 − 1 4 2 3 5 18 9 3 2
13.) 14.)
8
2 5 − 7 4
9 2 4 3 2 7 1 3 − − − − + + − 2 3 5 18 9 3 2 4
1 3 7 2 4 3 1 3 1 2 + + − − − + − + − 7 4 2 3 5 4 9 7 7 5
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
En las siguientes expresiones, eliminar los signos de agrupación y reducir los términos semejantes: 1.) 3a − (5b + 2c ) + (2a + 3b − 4c ) 2.) −8 x − 6 y − ( 3 x + 2 y ) − 4 y 3.) −10 x − {−5 y − 4 x + (1122x − 3 y ) + 2 y − 6x } + 8y 4.) − ( 7 x + 2 y ) − {−3 x + 9 x − ( −3 y − 4 x ) + 5 y + 6 x − 3 y } − 4 x 5.) −2 x − { 9 y + ( x + 2 y ) − ( 4 x − 8 y ) − 6 x } + 4 y 6.) −10a − { 5c − 7b − (11a − 3b + 4c ) + ( 2c − 6a − 5b ) } − 7b + 2a − ( a − b − c ) 7.)
{m − −6m − n + ( 9m − 30n − 4ñ ) + ( 2ñ − 7n − 9m ) } + 17n − 2ñ − ( m − n − ñ )
8.) −
3 x 5 3x 3x 5 5x x 7 − − − − − + + − + 1 − + 4 8 8 16 8 8 2 24
1 3 7 9 1 5 9.) a − b − − a + b − c − c + a − b + c 2 2 2 2 2 2 10.) 11.)
12.)
{ x − −4 x − y + (5x − 15 y − 7v ) + (v − 3 y − 5 x ) } + 7 y − 8v − ( x − 2 y − 4v ) 3 3x 2x 1 3x x 5 − − − + − + − − − 1 − + 4 7 5 3 8 7 3 4
6 x
a 1 2a a 6 7a a 8 − − − − − − − − + 1 − + 4 3 5 6 8 8 3 5
Material Material didáctico en revisión
9
Curso Propedéutico UNET
Máximo Máximo o mayor común divi sor
Máximo común divisor. (MCD)
Mínimo Mínimo o menor común múltiplo Mínimo común múltiplo.( mcm) Propiedades de potencia
Potenciación
Propiedades Propiedades radicales
Radicación Máximo Máximo o mayor c omún divisor (MCD (MCD))
Para determinar el número común más grande que divide a dos o más números, se debe hallar los divisores de cada uno de ellos y luego intersectar (que estén en todos) los divisores divisores de todos todos los números, el mayor es el MCD ,2,3,4,6,,12} ( ) = {1,2,3,4,6
D 12
,2,3,6,9,1 ,18 8} ( ) = {1,2,3,6,9
D 18
(
MCD 12,18
( ) ∩ D (18 ) = {1, 2, 3, 6 }
D 12
)=6
Otra forma, forma, es descomponer descomponer en factores factores primos, primos, para luego realizar el producto producto de los factores comunes con su menor exponente. MCD (16,36) 16 2
36 2
8 2
18 2
4 2
9 3
2 2
3 3
1
1
16 = 2 4
MCD(16, 36 36) = 2 2
3 6 = 2 2 32
=4
Mínimo Mínimo o menor común múltiplo (mcm)
Para determinar el número común más grande que sea múltiplo de dos o más números, se debe hallar los múltiplos de cada uno de ellos y luego intersectar los múltiplos de todos todos los números, el menor es el mcm.
{
}
3 N = 0,3,6,9,12, 2,15 15,1 ,18 8, 21,.. 21,.... .... = 0,3,6,9,1
{
}
6 N = ,6,12,18 ,18,24,. ,24,.... = 0,6,1
{
}
3 N ∩ 6 N = 0, 6, 6,12,18, 24 24, .....
( )=6
mcm 3, 6
Otra forma, es descomponer descomponer en factores primos, primos, para luego luego realizar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 10
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
mcm (16,36) 16 2
36 2
8 2
18 2
4 2
9 3
2 2
3 3
1
1
16 = 24
36 = 2232
,36)) = 2 4.32 mcm (16,36
= 1 44
Calcular el MCD y mcm mc m de los siguientes siguientes números: a) 15, 30, 45, 60 d) 50, 80, 120, 300 b) 25, 50, 75, 100
e) 45,75,95
c) 90,150, 300
f) 120, 192, 1764
Potenciación.
La potenciación representa un producto en el cual la base se multiplica por sí misma las veces que indica el exponente exponente.. an , a
es la base ,
n
, es el exponente , que indica las veces que se repite la base
como factor.
P
= {( a, n ) ∈ * x + : a ∈ * como base
}
y n ∈ + c o m o ex p o n e n t e
Propiedades a
n
=
n-veces a .a .a a
=
a1
a
n
a = 1 con a ≠ 0 0
( ) a
1 an n
n
m
=a
=a
a .a
m
a = an b bn 1
n .m
−n
= a n+ m
a
an am
( a.b.c )
n
−n
= an
= an − m
= a n .b n .c n
Material didáctico en revisión
11
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios
Efectuar las siguientes operaciones: 2 6 1.) + 3 5
−1
4
8 5 2.) . 5 8
2 −2 3.) 3
9.) (2 3 )
4
3
3
2 1 5 4.) + − 3 9 6
3
2 2. 35. 4 2. 3 10.) 4 2 3 2 . 3 . 4
−3
2 4 3 2 . 3 2 11.) 2 1 2 . 3
−2
14.)
3 . 4 . 1 4 6 5 .6. 1 10 6
3
15.) −3
3
5
2
1 . 5 . − 1 . 1 4 4 2 8 2 2 2 −4 1 . 1 . 1 . 1 2 2 5 4 5
12.) 6
3 2 −
1 2 4 5.) . 4 3 2 5 6.) 1 − + 5 4
−2
3 2 4 −4 − 1 . 1 . 1 . 1 7 4 9 4 8 3 2 −2 1 . 1 . 1 . 1 4 9 9 7
13.) −4
2 3 1 3 7.) ÷ 7 2
8.)
12
ab 5 c 2 a . 4 c b
3
1 3 . 3 16.) 3 2 3 1 1 2 . . 2 3 3
3
3 6 17.) ÷ 5 5
−2
(2 ) . (3 ) (3 ) . (2 ) 2 3
3 2
2 3
3 4
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Radicales.
símbolo radical
índice radical
n
cantidad cantidad subradica subradicall
a
o radicando
Definición:
Sea n un número entero positivo mayor que 1, y 1 .) a = 0 , e n t o n c e s
n
2.) 2.) si a > 0, ento ntonce nces
a
a un número real.
=0
un núm número real pos positivo, b , tal que b n a es un
n
3.) a.) si a < 0 y n es im impar, entonces
n
=a
a e s e l n ú m e r o r e a l n e g a t i v o b , ta l q u e b n
=a
< 0 y n es p a r , e n t o n c e s n a n o es u n n ú m e r o r e a l . Si n = 2 se escribe a se llama raíz cuadrada. b.) si a
Propiedades n
am
ab =
n
n
a b
m n
m. n
a
a mq
=a n
=
m
n
a. n
a
n
b
n
b
a 2 + b2
≠
a+b
a +b
≠
a
+
b
= m .n a m, n ∈
= n aq
Los radicales semejantes
+
y
n ≥ 2
son los que tienen el mismo índice y el mismo
radicando. Se pueden sumar o restar. Para ello se suman o restan los coeficientes. Los radicales no semejantes
son los que difieren en el radicando o en el índice.
No se pueden sumar o restar. Simplificar un radical es reducirlo a su mínima expresión. Para ello, se debe revisar dos casos: 1.) Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice Material didáctico en revisión
13
Curso Propedéutico UNET
3
b6 z 3
= = =
3
b6
3
6 3
3 3
b z
z3
se aplica
n
=na
ab
b
n m
n
se aplica
a
=an
m
= b2 z 2.) Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.
=
250 b6 z 3
= 53.2
b6
= 525.2 =
52
z3
b6
b6
= 5 10
6 2
b z
= 5 10 b3 z = 5b3 z 10
2 2
=na
a n+m
z2z
5.2
2 2
ab
n
z2
n
b
= a na m
z m
z
n
a
n
a
=an
m
z z
n
b
= n ab
= 5b3 z 10 z Multiplicación de radicales radicales
Si los radicales tienen el mismo índice, se multiplican m ultiplican los coeficientes coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí. 2 3 3 . 33 5
= 6 3 15
Si los radicales tienen tienen diferentes índice se reducen reducen al mínimo común índice índice y se multiplican como radicales del mismo índice 5 3a . 3 4a 2c
= = 5 6 ( 3a ) . 6 ( 4a 2c ) 3
= 5 6 ( 3a ) ( 4a 2c ) 3
2
2
= 5 6 33 a3 42 a 4c 2 = 5 6 432a 7 c 2 = 5a 6 432a c 2
14
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Racionalización
Cuando el denominador de una fracción contiene un radicando, generalmente se simplifica racionalizando racionalizando el denominad denominador, or, es decir, se multiplica y se divide la fracción por el radicando dando como resultado una potencia perfecta. 2 3 2 3
3
2
=
=
3
3 2 3
3
.
3 3
32
3
32
=
=
2 3 3. 3
=
2 3 32 3
3. 3 3 2
2 3
( 3) =
2
=
2 3 32 3
3.3 2
2 3 3
=
2 3 32 3
33
2 3 32 = 3
Cuando en una fracción el denominador es un binomio que contiene un radical, se racionaliza multiplicando y dividiendo dividiendo la fracción fracción por la misma misma expresión del denominador pero con signo contrario (conjugada). Expresió n
Conjugada
Se obti ene
a+
b
a−
b
a2
−(
b
a−
b
a+
b
a2
−(
b
2
)
2
a+
b
a−
b
( )
)
2
a−
b
a+
b
( a ) −( b)
2
a
2
)
−(
2
a +b
a −b
( a)
2
a −b
a +b
( )
2
Material didáctico en revisión
b
a
− b2 − b2
15
Curso Propedéutico UNET
2
=
2+ 3
2
=
.
2− 3
2+ 3 2− 3
(
2 2− 3
=
)
(2 + 3 )(2 − 3 ) 4−4 3
=
22 −
( 3)
=
4−4 3 4−3
=
4−4 3 1
2
= 4− 4 3 = 4 (1 − 3 )
Ejercicios
Obtenga la raíz, el producto o el cociente en los siguientes ejercicios: 3 7.) − 5 . − 25 1.) 81 72 12.) 3 9 3 2.) − − 243 3 8.) 3 13.) 3 − 64 3.) 24 . 6 24 3
3
5
4.)
4
324 4
9.)
4
4
16 625
5.) 3 − 0,001
10.)
3
6.)
11.)
4
16 . 36
14.)
− 4 .3 − 2
4
108 . 4 12
45
15.)
5
90 . 4 9000
Simplifique el radical: 1.) 48 x 2
4.)
2.) 3 54 x 6
5.) 16 x 6
8.) 3 135 a 9 b8
3.)
6.) 3 − 27 x12
9.)
16
3
8c
8
3
− 81 y 3
7.) 5 − 96 x 24 y10
4
16 x16 y 4 Z 9
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Efectuar las operaciones operaciones indicadas: 1.)
5 −3 5 +6 5 −2 5
9 x 16
2.)
25 x 36
−
400 x 81
− 3
15.) 5 x 3 y ÷ 5 900 x 729
+
5
3
3.) 8
a
4.)
54 + 3 250 − 3 16 − 3 1038
3
5.) − 5
8.) 9.)
a+b
1 a 2
6.) 7.)
−6
b
−3
−
a
+
a
4
a−b
+
b
−
a
8
+5
a+b
−2
b
+
−
−
16.) 6
b
2
17.) a−b
3 a 4
1 x
2
3 2 3 ( x y ) . xy 2 5
a b c
x
ab
18.) 5 ab . ab . 3
+2
2
b
19.)
mn 3
20.)
3 xy 3 z 5
21.)
3
÷3
1 ab
n2
23 a + 3 a − 53 a + 3 a − 33 a
3
2 5
1 4
−3
+ 23
1 4
−
33 2 5 5
24 + 3 320 − 3 375 − 3 5
3
10.)
3
3.3 4 .3 5
11.)
3
3 ÷ 4 6
2 3 12.) 3 . 3 4 2
13.) 14.)
4 3
3
3
2
÷ 4 6 x 2 y 4 z 3
625
22.)
3 4 3 .4 .3 2 3 2
23.) 5
xy z
2
3
2
5 2 a a b 4 24.) 3 . 4 b b a
a 6b 4c8 5.4 2
3.
Racionalizar 1.)
5 2 5 a+b
2.) 6
3.) 4.)
5.)
2
−
6.) 7.)
3
3 5
− x
Material didáctico en revisión
3
xyz
9.)
xy
4
8.)
a b 3
10.)
ab
+ a−
a
b
11.
b
2 2+ 3
12.)
2
2
3
x y z 3
2 2
(a + b )2 4
xy
2
+
+2 m−2
5
m
n n
4 6− 3 17
Curso Propedéutico UNET
Polinomios. Grado del polinomio. Adición de polinomios.
Polinomios
Sustracción de polinomios. polinomios. Multiplicación de polinomios. División de polinomios. Polinomio.
Es una expresión algebraica que se conforma de números y variables, en los cuales todas las variables tienen exponentes enteros no negativos ( {0,1,2,...} ) y ninguna variable aparece en el denominador.
( )=ax
P x
n
1
a1 x n , a2 x n − , a3 x n− , a4 x n− , ..., an 1
2
3
+ a2 xn −1 + a3 xn− 2 + a4 xn− 3 + ... + an son los términos de los polinomios y están
separados por "+ " o "− " a1 , a2 , a3 , a4 , ...
son los coeficientes del polinomio.
x
n
es la variable del polinomio,
exponente del polinomio. El grado del polinomio lo indica el mayor exponente.
a0
en el cual no aparece la variable, es el término independiente.
( ) = 2x
P x
6
− 3 x 4 + x3 + 6 x 2 − 7
2 x , −3x , x , 6x , −7 6
4
2, −3,1, ,1, 6
3
2
términos
coeficientes
x
variable
−7
término independiente
Atendiendo al número de términos, los polinomios toman diversos nombres. onsta de un solo término. Monomio si cconsta onsta de dos términos. Binomio si cconsta Trinomio si consta de tres términos. Polinomio si consta de más de tres términos.
18
n
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Polinomio ordenado de forma decreciente
( )=ax
P x
n
1
+ a2 xn−1 + a3 xn − 2 + a4 xn −3 + ... + an
Polinomio ordenado de forma creciente
( )=a
P x
n
+ ... + a4 xn−3 + a3 xn− 2 + a2 xn−1 + a1 xn
Un polinomio es completo cuando posee posee todas las potencias potencias de las variables variables a partir del mayor grado. Ejercicios.
Dados los polinomios, indique si es un monomio, binomio, trinomio, polinomio; determine el grado del polinomio y ordénelo en forma decreciente y creciente. 1.) P ( x ) = 6 x 2 − 3 x + 5 9.) P ( x ) = 2 x − 5 − 6 x3 + 4 x5
2.) Q ( x ) = 3x − 2 x 2 3.) P ( x ) = − x6 − 4 x 2 + 3 − x + 8 x5
10.) P ( x ) = −28
4.) S ( y ) = 3 y − 4 y 2 + 7 y 3 − 8
11.) Q ( x ) = −6 x + 4 + 5 x3 + 7 x 2
5.) Q ( x ) = 3 x + 5 + x
12.) Q ( y ) = 3 y − 2 y 2 + 2 − y 3
6.) S ( x ) = 2 x − 4 − 7 x2 + 4 x3
13.) P ( x ) = 4 x
2
( 8.) P ( x ) = 6 x 7.)
P x
) = 3 x − 6 − 10 x 2 + 4 x 3 2
− 12 + 8 x
4
14.) Q ( z ) = −7 z 3 15.) S ( x ) =
2 x 3x 2 5
−
4
+7−
10 3
x
4
Operaciones Operaciones con pol inomios . Adic Ad ic ió n d e po li nomi no mi os
Dado los polinomios P ( x ) y Q ( x ) siempre es posible reunirlos mediante la adición en un solo polinomio denominado polinomio suma.
( ) + Q ( x) = S ( x)
P x
Para ello se hace la suma algebraica de los coeficientes de los términos semejantes (términos que tienen la variable con igual exponente). En la adición de polinomios se aplica la propiedad de los números reales. Para restar dos polinomios se le debe cambiar el signo al polinomio restando. Material didáctico en revisión
19
Curso Propedéutico UNET
Sea:
( ) = 3x − 4 x + x + x + 3 x − 6 Q ( x ) = 2 x − 4 x + 3x − 5x + 8x + 2 ( P + Q ) ( x ) = 3x − 4 x + x + x + 3x − 6 + 2 x − 4 x + 3x − 5 x + 8 x + 2 = ( 3 − 4 ) x + (1 + 3) x + ( −4 + 2 ) x + ( 3 + 8 ) x + (1 − 5) x + ( −6 + 2 ) P x
5
3
3
4
5
2
4
5
2
3
4
5
2
3
4
3
5
4
2
2
= − x5 + 4 x4 − 4 x3 + 11x 2 − 4 x − 4
( P − Q ) ( x ) = 3x
5
− 4 x3 + x 4 + x + 3 x 2 − 6 − ( 2 x3 − 4 x5 + 3 x 4 − 5 x + 8 x 2 + 2 )
= 3 x5 − 4 x3 + x 4 + x + 3 x 2 − 6 − 2 x3 + 4 x5 − 3 x 4 + 5 x − 8 x 2 − 2 = ( 3 + 4 ) x5 + (1 − 3) x 4 + ( −4 − 2 ) x3 + ( 3 − 8 ) x 2 + (1 + 5 ) x + ( −6 − 2 ) = 7 x5 − 2 x4 − 6 x3 − 5 x 2 + 6 x − 8 Ejercicios :
Sea: 1.) P ( x ) = 2 x3 − 4 x 2 + 8 x − 3 ; Q ( x ) = 5 x 3 + 6 x 2 − 7 x − 10 a) Sume los dos polinomios b) Reste el segundo polinomio del primero c) Multiplique por 3 el segundo polinomio y réstele 2 veces el primer polinomio. 2.) S ( x ) = 6 − 3x + 8 x 2 − 5x 3 ;
( ) = −x
H x
4
− 6 x3 + 4 x 2 − 4 x + 8
a) Sume los dos polinomios b) Reste el primero polinomio del segundo c) Multiplique por 2 el segundo polinomio y réstele el primer polinomio. 3.) P ( x ) = 8 y 4 − 6 y 2 + 3 y − 4 ; S ( x ) = 3 y 4 − 5 y 3 + 2 y 2 + 16 a) Sume los dos polinomios b) Reste el segundo polinomio del primero c) Multiplique por -3 el primer polinomio y réstele 2 veces el segundo polinomio. 4.) Q ( x ) = 3 x5 + 5 x 4 + x2 − 4 x + 2 ; H ( x ) = −4 x5 − 3 x3 + x 2 − 3 x + 8 a) Sume los dos polinomios b) Reste el segundo polinomio del primero c) Multiplique por 3 el segundo polinomio y réstele 2 veces el primer polinomio. 20
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
5.) P ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 5 x + 7 ; Q ( x ) = 4 x 3 − 5 x 2 + 3 x + 7 a) Sume los dos polinomios b) Reste el segundo polinomio del primero c) Multiplique por 2 el primer polinomio y réstele 2 veces el segundo polinomio. Dados los polinomios
( )
( )
3 2 P x = 7 x + 2 x − 11x + 5 Q x = 4 x + 4 x − 7 x + 1
3
2
y R( x ) = −3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3
Determinar: 1.)
P( x ) + Q( x ) + R ( x )
6.)
2.) P ( x ) − Q ( x ) + R ( x ) 3.)
( ) − 3Q( x ) − P(x )
2 R x 3
2
7.) −2 P ( x ) +
− R( x ) − Q( x ) − P( x )
4.) P ( x ) + 2Q ( x ) − 3 R ( x ) 5.) 3 P ( x ) − Q ( x ) + 4 R ( x )
3 2
3
(
Q x
)−
()
R x
3
( ) − Q( x ) + R ( x )
8.)
P x
9.)
4Q x 5
2
3
4
( ) − 2 P( x ) − 3 R(x ) 3
2
Multiplicación de polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, multiplic ador, teniendo en cuenta los signos de cada termino y agrupar términos semejantes. En la multiplicación multiplic ación de polinomios se aplica la propiedad de los números reales.
( ) = 2x
P x
2
+ x−3 ,
( ) = 3x
Q x
4
+2
( ) ( )
Hallar P x .Q x
( 2 x + x − 3 ) ( 3 x + 2 ) = ( 2 x ) ( 3 x ) + ( 2 x ) ( 2 ) + x ( 3 x ) + x ( 2 ) + ( −3) ( 3 x ) + ( −3) ( 2 ) 2
4
2
4
2
4
4
= 6 x 6 + 4 x 2 + 3 x5 + 2 x − 9 x 4 − 6 = 6 x 6 + 3 x 5 − 9 x 4 + 4 x2 + 2 x − 6
Material didáctico en revisión
21
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios
Efectuar el producto
P .Q
1.) P ( x ) = −5 x 2 , Q ( x ) = 3 x 4 2.) P ( x ) = x 2 n −1 3.) P ( y ) = 5 y 3
, Q ( x ) = 3 x 2 n +1 − 4 x −2 n + 5 x − x n −1 , Q ( x ) = 3 − 6 y + 2 y2
4.) P ( m ) = −4am3 , Q ( m ) = m4 − 3m2 + 7 3
5.) P ( x ) =
ax
2
, Q ( x ) = 2x 2 + 5ax − a 2
6.) P ( y ) = 5a 2 y 3 ,
( ) = − 3y
Q y
7.) P ( a ) = −6a , Q ( a ) = 4a − 2
3
+ 5ay 2 − 7 a 2 y 4 − 4 y
2 3b
−
a
3
2
8.) P ( a ) = 4 a m+ 2 , Q ( a ) = a m + 3a m−1 − a m− 2 9.) P ( x ) − x 2 , Q ( x ) = 7 x3 − 5 x + 1 10.) P ( x ) = −
5a3 x 4 7
,
( )=
Q x
14 x 6 5
−
ax
3
4
+
3x2 5
−
ax
10
11.) P ( x ) = 3 x 2 n , Q ( x ) = x n+1 − 4 xn + 5 x− n+1 12.) P ( x ) = a 3 x−1 , Q ( x ) = a 2 x+ 2 − a 2 x − 3a 2 x+1 − 5 a 2 x−1 13.) P ( x ) = 6 x 2 − 7 x 4 + 8 x3 − 5 + 4 x , Q ( x ) = 4 x 2 − 5 x + 8 14.) P ( x ) = 3x2 − x + 4 , Q ( x ) = 3 x + 5 15.) P ( x ) = 8x 3 − 9 + 6 x − 12 x2 , Q ( x ) = 2 x + 3 16.) P ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 3 − 6 x3 , Q ( x ) = x 2 − 6 x + 5 17.) P ( x ) = 2 x 4 − x3 + 3 − 7 x , Q ( x ) = −4 x + 2 18.) P ( x ) = x 2 + 5 x − 4 ; Q ( x ) = 2 x3 + 3x − 1 19.) P ( x ) = x 4 − 5 x3 −10 x 2 + 15 x − 3 ; Q ( x ) = 5 x 2 − 3 x + 4 20.) P ( x ) = 4 x3 − 5 x + 2 x4 − 6 x 2 ; Q ( x ) = 3 x − 2 22
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
21.) P ( m ) = m a +1 − 2m a + 2 − m a + 3 + m a + 4 ; Q ( m ) = ma −3 − m a −1 + m a − 2 3
22.) P ( b ) =
b
4
−
5a2 b 3
5ab2
−b + 3
3
( ) = a2 − 23b
Q b
23.) P ( a ) = a 2 x+ 2 − a 2 x − 3a 2 x+1 − 5a 2 x−1 ; Q ( a ) = 3a 3 x −1 − 5a 3 x + 6a 3 x +1 24.) P ( n ) = 15n5 − 9n2 − 5n + 3n3 + 3n 4 − 2 ; Q ( n ) = 3 − 2n 25.) P ( n ) = a 2 n + 3 + 4a 2 n + 2 + a 2 n+1 − 2a 2 n ; Q ( n ) = a n + 2a n +1 División de polinomios
Para dividir dos polinomios, es necesario que el polinomio dividendo sea de mayor grado que el polinomio divisor . El grado del polinomio cociente es la resta del grado del polinomio dividendo con el grado del polinomio divisor. El grado del polinomio resto siempre debe ser menor que el grado del polinomio divisor. Algo Al go ri tmo tm o p ara ar a reali re ali zar l a divi di visi si ón de do s pol p ol inom in om io s.
Se ordenan el polinomio dividendo y el polinomio divisor con relación a la variable de forma decreciente, si algún término no está en el dividendo se completa con cero (0), se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se cambia de signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Y así sucesivamente hasta que se obtenga un dividendo menor al divisor. Dividir
( ) = 7x + 2x
P x
2
− 8 entre
( ) = 4 + 2x
Q x
Se ordena ambos polinomios de forma decreciente y luego se procede a dividir
( ) = 2x
P x
2
+ 7x − 8 ,
Material didáctico en revisión
( ) = 2x + 4
Q x
23
Curso Propedéutico UNET
dividendo
2 x + 7 x −8 2
−2 x 2 − 4 x + 3 x − 8 − 2 x − 6
0
divisor
2 x + 4 x +
3 2
cociente
−14
0
resto
Ejercicios
Dividir el primer polinomio entre el segundo polinomio: 1.) x 2 − 18 x + 1 ; x − 2
13.)
2.) y
14.) a x + 2 − 2a x + 8a x −1 − 3a x −2 ;
3
− 6 y + 5 ; y 2 + 3 y − 2
3.)
3 −2. x 4 . y 5 ; 3−4. x −8 . y −12
4.)
4 x 2 − 2 xy − 3 y 2 ;
3a x −2 − 2a x −1 + a x
15.)
2 x + 3 y
5.) 8 x 2 − 28 x 4 + 16 x 3 ; 4 x 2 6.) x 3 − 7 x − 6 ; 3
16.)
7.) −48 y + 30 y − 18 y 9.)
5
6 y
2
2 3 y − 13 y + 4 ;
2
y − 4
10.) x m +2 − 5 x m + 6 x m +1 − x m −1 ; x m−2 11.) 12 x + 5 x − 2 ; 2
12.) x
24
n+2
+ 3 x
a
n +3
+ x
3 x + 2 n +4
− x
n +5
3
−
6
5a 2b 8
x + 3 2
−b + 3
5ab2 3
;
a
4
−
3b 2
17.) − 24a 3b 3 c 4 + 32a 2 b 4 c 2 ; 8ab 2 c 3
8.) 11 x − 3 x − 46 x + 32 ; 8 − 3 x − 6 x 3
+ 4x 2 − 5 ;
2 x 3
x + 2 2
− 3a 2 − a + 3 ; a − 2
a3
;
x
2
+ x
18.)
a
2
6
+
5ab 36
−
b
2
6
19.) 2 x 3 − 7 x + 8 ; 20.) 28 x y z 3
6
4
;
a
3
+
b
2
3 x − 4
− 49 x 2 y 5 z 3 − 21 xy 3 z 3 ;
− 7 xy 3 z 2
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cuadrados Producto de la suma por la diferencia de dos
Producto Notable Notable
cantidades. Cubo de un binomio. Producto de la forma ( x + a ) ( x + b ) Suma de un trinomio elevado al cuadrado. Un producto notable es un producto que cumple reglas fijas , cuyo resultado se puede escribir sin verificar la multiplicación. Cuadrado de la suma de dos cantidades:
La regla se anuncia así: El cuadrado de la suma de dos términos, es igual al cuadrado del primer término más el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo termino 2
( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 2 ( a + b ) equivale a multiplicar
( a + b) = ( a + b) ( a + b) 2
= a 2 + ab + ab ab + b2 = a 2 + 2ab + b 2 Cuadrado de la diferencia de dos cuadrados
La regla se anuncia así: El cuadrado de la suma de dos términos, es igual al cuadrado del primer término menos el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. 2
( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2 2 ( a − b ) equivale a multiplicar
( a − b) = ( a − b) ( a − b) 2
= a 2 − ab − ab ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 Material didáctico en revisión
25
Curso Propedéutico UNET
Producto d e la suma por la diferencia de dos cantidades cantidades
La regla se anuncia así: La suma de dos términos por su diferencia, es igual al cuadrado del primer término, menos menos el cuadrado del segundo término.
( a + b) ( a − b) = a
2
− b2
( a + b ) ( a − b) equivale a multiplicar ab − b ( a + b) ( a − b) = a + ab − ab 2
2
= a 2 − b2 Cubo de la suma de dos términos:
La regla se anuncia así: El cubo de la suma de dos términos, términos, es igual al cubo del primer término más tres veces el cuadrado del primero término por el segundo término más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo termino 3
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
(a + b)
es equivalente a multiplicar multiplica r
3
( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) (a + b ) = ( a + ab + ab ab + b ) ( a + b ) = ( a + 2ab + b ) ( a + b ) 3
2
2
2
2
= a 3 + a 2b + 2a 2b + 2ab 2 + b 2a + b 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 Cubo de la diferencia de dos términos :
La regla se anuncia así: El cubo de la diferencia de dos términos, es igual al cubo del primer término menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término más tres tres veces el primer primer término por el cuadrado del segundo término menos menos el cubo del segundo término 3 ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
26
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
( a − b)
3
es equivalente a multiplicar multiplica r
( a − b ) = ( a − b ) ( a − b ) (a − b ) = ( a − ab − ab ab + b ) ( a − b ) = ( a − 2ab + b ) ( a − b ) 3
2
2
2
2
= a 3 − a 2b − 2a 2b + 2ab 2 + b 2a − b 3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 El producto d e dos binomios q ue tienen tienen un término en común
La regla se anuncia así: El producto de dos binomios que tienen un término, es igual al primer término al cuadrado más el primer término multiplicado por la suma de los segundos términos más el producto de los segundos términos.
( x + a ) ( x + b ) = x
2
+ x ( a + b ) + ab
( x + a ) ( x + b ) = x.x + bx + ax + ab = x + x ( a + b ) + ab 2
La suma de un trinomio elevado elevado al cuadrado. cuadrado.
La regla se anuncia así: El producto de un trinomio elevado al cuadrado, es igual al primer término al cuadrado más el segundo término al cuadrado más el tercer término al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo término, más dos veces el primer término por el tercer término , más dos veces el segundo término por el tercer término. 2
( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 bc
( a + b + c ) = (a + b + c ) (a + b + c ) 2
= a 2 + ab + ac + ba + b 2 + bc + ca + cb + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Material didáctico en revisión
27
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios
1.) ( x + 7)
23.)
2
2.)
(y
)(
− 3y − y 2 − 3y
2
3.) (b + a )(a − b )(a
)
+ b2
2
)
2
5.) ( x − 8) (x + 12) 2
)(
)(
+ 2 x 4 + 9 x 2 − 2 2
)(
+ 7 a3 − 6
3
( x
11.) ( x 12.)
10
4
a 1 x 24.) + + x 3 a
)
)
2
)(
)
3
2
29.) (9 + m 2 n 3 )(5 + m 2 n 3 )
2
2
31.) (4 x − 10 x 2 )
2
32.) (3 x + 8) (4x − 3)
( x − 2 x + 1)
13.) (3 + 4a 2 x )
33.)
( x + x )
14.) (a − 11) (a + 8)
34.)
( x − 8)
2
15.) (4 x 4 − 3x 2 + 5)
2
(a
X
+ a X +1 )
17.)
(n
2
− 1 n 2 + 10
18.)
( y
3
− 2 y 2 z + z 4 )
2
)(
) 2
2
3 x y 36.) + 4 3
37.)
2
3
3
x 3 x 3 35.) 4 + 15 4 − 6 x x
16.)
3
( x − 10 xy )
2
10
38.) (10 + 2 x ) (x − 8)
20.) (ab + 7 ) (ab − 3)
39.) (2 x + 3 y )
21.) (3 − x − x
a 2 x 2 40.) − x a
22.)
28
ax
+
2
3
− 6 x 4 + 10
3
2
30.) (2 x + 1)
+ y 8 )
x y 19.) + 3 4
+ 5)
27.) (4 x + 5)
3 32 28.) x + 4 x 4
9. (6 x 2 + m 2 x ) (6 x 2 − m 2 x ) 10.)
xy
26.) ( xy − 6) (− 10 + xy)
7) (3ab + 5 x 2 ) 8.) (a
)
3ab 2 25.) + 5 3ab
4.) (6a + b) 6.) ( x
xy + 8
)
6 2
3 x
2
3
41.) (3 y
2
)(
2
− 6 4 y2 + 7
)
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
x 2 y 2 42.) − y x 43.)
59.)
3
44.) (2m
x 3 2
)(
2
3
46.)
5 x y 2 − 2 x y
2
47.)
(7 x
a
45.)
2 x 5 x 61.) + 6 − 4
− 7 5m + 6
2
2
−
2
2
2b a
2
5
)
64.) (3m + 9)(3m − 9) 65.) (a + b + 7)(a − b − 7)
)(
+ 4 8 x − 12
)
68.) (4 − x + y )( y − x − 4 )
( x − x ) 2
2
52.)
69.)
)(
+ 8 6a 2 − 9
23 13 51.) x − x a b
−3
)
5
56.) (4 x
2
73. (
a 3
)(
)
y +8
)(
− ab + b 2 a 2 + b 2 + ab
xy − x
) ( xy +
75.)
(a
x +1
2
x
)
)
−5
)
− 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 )
77.) ( y + 2)( y + 3)( y − 2 )( y − 3)
)
− 8 3x 2 + 5 2
58.) (3m 2 n − 10 )(4m 2 n + 8 )
Material didáctico en revisión
)
76.) (a + 3)(a − 3)(a + 4)(a − 4)
2
x a+1 y 2 − a 57.) y x
2
3
74.) ( x + 1)( x −1)(x
− 3a 2 x ) 2
)(
+ 5 x2 − 5
70.) ( x 2 − 5 x + 6 )( x 2 + 5 x − 6 ) 72.) (a
b
2
3
xy 54.) 2 − 52 5 x y
( x
( x
71.) ( x y − 8)( x
3
53.) (3 y − 4)(6 y + 10)
55)
66.) (1 − x )3 67.) (a + 1)(1 − a )
3
50.) (a
63.) (m 2 − m + n )(n + m + m 2 )
2
3
2
62.) (2 a − 1)(2a + 1)
48.) (5 x 2 − 2 y 3 ) 49.)
3
60.) (m + 4)(m − 4)
(a − − a − ) x 2
( x + 8)
78.) ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x4 + 3x 2 + 9) 79.) ( x 2 + 5 ) .( x − 2 ) ( x + 2 ) x 80.) x + 14 14 14 − 2 2
29
Curso Propedéutico UNET
Factor común. Diferencia de dos cuadrados. Suma de dos cubos. Diferencia de dos cubos
Técnicas de factorización
Expresiones cuadráticas. Cubo perfecto. Cubo de la suma de dos monomios. Cubo de la diferencia de dos dos monomios
Factorizar : significa escribir una expresión conformada por términos en productos. Técnicas Técnicas de factorización: Factor Factor c omún: ax + bx = x ( a + b ) − 8 x 3 y 5 z 5 − 12 1 2 x 2 y 3 z 6 = 4 x 2 y 3 z 4 ( xy − 2 xy 2 z − 3 z 2 )
4 x 3 y 4 z 4
Diferencia Diferencia de dos cuadrados a
2
−
2
↓ a
(
b = a−b
) ( a + b)
↓ 2
b
↓
↓
a
b
2
x8 − 4 =
2
2 x4 − 2 a b
= ( x 4 − 2 ) ( x 4 + 2 )
2 Expresiones c uadráticas uadráticas ax + bx + c
1.) Por ensayo y error (por tanteo)
(
) ( x ± b)
(
) ( x − 2)
x 2 + 4 x − 12 = x ± a a.b = − 12
x + bx + c = ( x ± d ) ( x ± e ) 2
d ±e =b
y
( ± d ) . ( ±e ) = c
a±b = + 4 a=6 b = −2 x 2 + 4 x − 12 = x + 6
30
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
2.) Resolvente
x1,2
=
−b ±
b2
− 4 ac
2a
2 x 2 + 13 x − 15 a = 2 , b = 13, x1,2
−b ±
=
( x − 1) 15 x = − entonces ( 2 x + 15 ) 2 2 x + 13 x − 15 = ( x − 1) ( 2 x + 15 ) x1 = 1
c = − 15
b 2 − 4 ac
2
2a
2
−13 ± 132 − 4 ( 2) ( − 15)
=
entonces
2 ( 2)
120 −13 ± 169 + 12
=
4
−1 3 ± 28 9
=
4 −1 3 ± 1 7 = 4 17 4 −13 + 17 x1 = = =1 4 4 −13 − 1 7 − 30 15 x2 = = =− 4 4 2
4 x 2 + 12 x − 9
Cuadrado Cuadrado perfecto
↓
↓
4 x 2
9
c
↓
↓
↓
↓
2 x
3
x
d
x
+ bx + c = ( x ± d )
2
↓
2
↓
x 2
↑ 2 ( 2 x ) ( 3)
2 xd
comprobar
entonces
4 x 2 + 12 x − 9 = ( 2 x + 3)
2
Suma o diferencia de cubos a ± 3
3
↓ 3
a
(
b = ( a ± b ) a ab + b 2
2
)
27
↓ 3
3
+
x
↓
3
= ( 3 + x ) ( 9 − 3x + x 2 )
↓
3
b
↓
↓
a
b
Material didáctico en revisión
3
27
3
x
↓
↓
3
x
3
31
Curso Propedéutico UNET
Cubo de monomio s
± 3a 2b + 3a 2b ±
a3
↓ 3
a
b3
= (a ± b )
3
↓ 3
3
b
↓
↓
a
b
↑
↑ 2
3a b
3ab
= ( x − ay ) ↓
x 3 − 3ax 2 y + 3a 2 y 2 − a 3 y 3
↓ 3
3
x 3
3
a3 y 3
↓
↓
x
ay
2
3
↑
↑
3 x 2 ay
3 xa 2 y 2
Ejercicios
Factorizar los siguientes polinomios: 1.)
m3n 2
2.) x y 4
21.) 6am − 4ac − 3bm + 2bc
+ m2n2
22.)
+ 26 x 2 y + 168
2
6 x 2
− 8 x − 30
3.) 3 x 3 − 6 x 2 + 12 x 4
23.) xy − xz − y + z
4.) x 4 − x 2 − 90
24.)
5.)
a 2 b − ab 2
25.) ac − ad − bd + bc
6.)
a2
5 x 2
− 23x + 24
26.)
7 x 2
7.) 8a 4 + 16 a 3b
27.)
2cx 2
8.)
28.) 11 x 2 − 49 x + 20
m2
+ 8a − 105 − 35m + 250
− 60 x + 32 − 3bc − 2a 2 x 2 + 3a 2b
9.) 8a 3b − 4a 2 b 3 c − 12 a 5b 4 c 3
29.) ac + ad + 2bc + 2bd
10.) x 2 + x − 56
30.)
8 x 2
11.)
31.)
m + n − am − an
32.)
4 x 2
33.)
2 y + 2 x y − 3 z − 3 x z
3 4 4 3 5 5 2 3 6 4 x y z − 8 x y z − 10 x y z
12.) y
4
− 16 y 2 − 192
13.)
3 2 2 3 4 25 x y − 15 x y + 5 xy − 10 y
14.)
m2
15.)
2 3 3 5 2 4 4 3 9 x y z − 18 x y z − 27 x y z
16.)
6 x 2
17.)
6m 3 n − 3m 2 n + 3m 2 n 2
− 36 x + 36 + 15 x + 9 2
2
34.) 2 x 2 + 3 x − 2
− 2m − 80 − 22 x + 20
− 9m 3 n 2
35.)
a 2 n +1
36.)
a2
+ a n+2 + a n +1
+ 2ab + b 2 − 1
37.) xy − vy + xz + wy + wz − vz
18.) 15 x 2 − 26 x + 8
38.) 1 − 9m 2 − 6mn − n 2
19.) 16 x y
39.) abx + acx − bcy − aby + bcx − acy
3
2
− 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3
20.) 12 x 2 + 14 x − 6 32
40.)
m − 8mn + 16n − x y 2
2
2
4
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
41.)
9m − 16 y z 2
42.) x y 2
2
2
65.)
6
67.) 9m 4 n 2 + 1 + 6m 2 n
43.)
6 4 2 6 49 x y − 81m n
44.)
9m − 12mn + 4n − 1 + 6 xy − 9 x y 2
45.) (a + b )
2
−1
2
46.) x 3 − 15 x 2 + 75 x − 125 47)
(
2 4 a b − m−n
2
50.) 51.)
a
6
27
2
6
16
2 6 2
+
+ (3 y )
3
69.)
x
4
9
71.)
a
a bc
4
9 3
+
bc
8
− 36
72.)
2
4
2
a bc
9a 4b8
68.) (4mn )
− ( x + y )
4 3
+
2
3
+ 2 x 2 y + 9 y 2
70.) x 6 − 125
)
48.) 8 x 6 + 36 x 5 + 54 x 4 + 27 x 3 49.) (m − n )
+ 4b 2 − 2ab
8m 6
+ 216n 9 1 4
73.) x 2 y 4 z 2 + + xy 2 z 74.)
27 a 3 + b 6
52.)
8 x 6 − 12 x 4 y + 6 x 2 y 2 − y 3
75.) 1 − 8 xy
53.)
4 x 8
76.) (a − b )
25
−a
b
4
54.) 1 + 18a 2 b 3 + 108a 4 b 6 + 216 a 6b 9 4
55.)
2
25 x
2
4
y −
ab
6
4
+ 16 x 2 y 4
− (a + b )
3
2
3
77.) 25a 2b 4 +
1 + 2ab 2 25
78.) 1000 x 3 − 1 79.)
(
) (
4 − 4 1− a + 1− a
56.) 216 − 756 a 2 + 882 a 4 − 343 a 6
80.) 8 x 6 + 729
57.) 64 a 6 x − b 6 x
81.) x 2 − 9 x + 20
58.)
m3
82.) ( x − 1)
59.)
81 x 4 − 49 y 4
− 3am 2 n + 3a 2 mn 2 − a 3 n 3
3
84.) (m − 2)
61.) x
85.) x y
− 2 xy 3 + y 6
62.) 1 + 12a + 48a 2 + 64a 3 63.) x 2 + 4 xy + 4 y 2 64.)
a 9 − 18a 6b5 + 108a 3b10 − 216b15
89.)
u 2 – 7
Material didáctico en revisión
)
2
− (x + 2)
3
83.) x 2 − 250 − 15 x
60.) 1 + 12a 2 b 2 − 6ab − 8a 3b 3 2
2
66.) 64 − m 3
− 4 xy + 4 − 4b 2 − 9c 2 + 12bc
2
4 − 20 y + 25 y
3
2
4
+ (m − 3)
3
− xy 2 − 20
86.) ( x − 2 )3 + ( x + 2 )3 87.) t 2 – 5t + 4 88.)
m 4 – 13m 2
90.) 18
+ 36
– 2x 2
33
Curso Propedéutico UNET
Dadas las siguientes expresiones racionales, reducirlas a su mínima expresión: 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) 6.) 7.)
3a 6
− y 2 8.) 2 x + xy
7 x 2 y 5
y 2
12a 2
x
5
21 x y
9.)
3
− 36 r s 6 t 7
10.)
30 r s 7 t 6
9 x
10a
b
4
− 4 y + 4 y 2 − 4
16.)
c2
+ cd
17.)
− 3t − 28 11.) 2 t − 4t − 21 12.)
2
b
2
13.)
20 x 3 y 2 z 4 6
6
15 x y z 2 x − 4 x 2 − 4
14.)
− 16 4 − x
x 2
− 27 x − 3
x
3
5c + 5d 2
36 x 2 9a
15.)
t
5
2
2
6 x 2 − xy − y 2
18.)
2 x 2 − 9 xy + 4 y 2
5−a a
2
− 25
2 x − y 8 x 3 − y 3
2 a + 8a + 15
a 2 − a − 12
6 x 2 12 x
2
+ 11 x + 7 + 13 x − 35
Obtenga los siguientes productos y redúzcalas a su mínima expresión: 1.)
2.)
3.) 4.) 5.)
5 x 3 21 y 2 7 y
⋅ 4
6.)
10 x 2
45 a d 32 a b
8 x 2
8.)
⋅
16 b3 3a 4 5 z
⋅
3
33 uv w
2
27 c 2 100ac 7ab
⋅
2
− 11 uv 2 w4 3
10.)
6c − 9 c 2 − 3c − 10 c
2
2
15 r s w
11.)
34
⋅
16a 2 b 63b 3 15c
x − x − 12 3 x − 3 ⋅ 2 9.) 5 x − 5 x − 9
63 x y 2
⋅
⋅
20 x 2 z
25 wz 3 27 y 2 w2
42 x 2 y 10 z 2 20 r 3 s t 3
⋅
36 xy 2
56 b c 27 c d
15 a 2 8 b
3 xy 5 yz
9 y 2 z 10 z 3 12 x
7.)
⋅
⋅
t 2
− 25
⋅
12 − 4c
− 2t − 15 t 2 − 6t + 9 ⋅ 12 − 4t t 2 − 9 Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
12.)
x − y
⋅
x + 3 y
16.)
x2 − 9 y 2 x2 − y 2
2ab − a 2
2
⋅
⋅
6a2 + 13ab + 5b2 2a 2 − 7ab + 3b 2 2a 2 − 4ab
− 3ab − b b − 4ab ⋅ 16a 2b 2 − b 4 b−a
4a
13.)
2
3a − 4ab − 15b2 b 2 − 4a 2
2
− 3 xy − 4 y 2 x 2 − xy − 6 y 2 14.) 2 ⋅ x − xy − 2 y 2 x 2 − xy − 12 y 2 x 2
15.)
9 x 2 − 16 y 2 3 x
2
− 5 xy − 12 y
2
⋅
xy − 2 x
2
3 xy − 4 y
2
⋅
x − 3 y
2 x − y
Realice la división indicada indicada de expresiones expresiones racionales racionales y de los resultados resultados en su mínima expresión: 1.)
81 xz 3
÷
36 y
3.)
x 2
12 xy
3 4
2.)
− y 2 x 2 − 2 xy + y 2 ÷ 7.) xy − 2 y 2 2 x 2 − 4 xy
27 x 2 z 2
3 2
24r s t 18rs t
÷
4
15uvw
10 a 2 − 29 a + 10
8.)
6a
3
25uv w
15 x 3 y 2 z
÷
2abc 3
5 x 3 y 3 z 2 6 a 2bc 2
4.)
55tu 6
÷
18 r 3 s 3 25 t 6u 4
+ 9 x + 14 x 2 − 3 x − 10 ÷ 2 5.) 2 x + 4 x − 21 x + 2 x − 35 x
2
− 4 y 2 2 x 2 + xy − 6 y 2 ÷ 6.) 4 y − 2 x 6 x − 9 y x 2
− 2 3a + 2 0
÷
25a 2 − 10 a + 15 25
9 y 3 − 18 y 2 − 4 y + 8 ÷ 8 − 12 y 9.) 3 y 2 − 4 y − 4
(
)
− 7 x 3 − 8 2 ÷ 2 + 4 x + 8) ( x 10.) 4 x 2 − 4 x − 8 x
21 r 2 s 5
2
10 a 2 − 19 a + 6
6
2 2 + b2 a −b ⋅ ÷ 2 11.) 2 b−a a+b a − 2ab + b
a
12.)
a
2
27 a 3 − b 3 ⋅ 9a 2 − b 2 ac + bc c
4
− bc 3 ÷ 36 a 2 − 2 ab − b 2 ac
3
Realice la suma o resta resta indicada en cada una de los siguientes ejercicios y exprese el resultado en términos mínimos: 1.) 2.)
a +1 a
3
x − y xy
−
a+2
+
a
2
x − z xz
+
a+3
−
a
z − y
Material didáctico en revisión
yz
3.) 4.)
2t + 1 3t − 3
+
x − 2 y x + 2 y
−
6 − t 2
t
− 5t + 4
2 x − y 2 x + y
35
Curso Propedéutico UNET
5.) x + y − x − y x − y
6.) 7.)
x + y
4t 2 s
− t
2
2
t − 5
−
t + 5
a −1
x
+
s + t
9.)
t − s
2
− 8 x + 15 2 x + 5
x
10.)
a+2
+ − 18 9a − 3a 2
2a 2
2 x + 4
8.)
2
−
x − 5 x
+
2
− x − 6 3
−
+ 8 x + 16 2 x
2a + b 2a − b
+
8ab 4a
2
−b
2
−
x + 3 x
2
− 3 x − 10
x − 2 x
−
2
+ 4 x
b − 2a b+2
En cada una de los siguientes ejercicios, obtenga una expresión racional simple reducida a su mínima expresión, equivalente a la dada: 1
1 + x
x y
5.) 1 − x
1
1.)
1 x
−
+
a 2.) b a b
y x 2 y 2
4.) 1+
a−b
b a b a
x 2
3.)
1 + x 1 − 1 + x 1 − x
y
+
2
−
10.)
1 − x
1
1
−
−
a+b
6.)
−
b a−b
2 − 3 a + b b − a
1 + b .
1
−1 2 x y
+1
t t − 1 t + 1
7.)
−
8.) (1 + h )
3
−
11.)
1 1+
1 1+
1
x + h x h
1
1 1 − 2 x + 2h − 5 2 x − 5 h
1 x
1 x 3
h
1 1 − 9.) 3 x + 3h + 2 3 x + 2 h
Escriba la expresión dada como una expresión racional simple con exponentes positivos únicamente: x −
− y −1 1.) 2 2 x − y 1
2.)
36
−1
−1
−2
−2
a +b a −b
− a 2b −2 3.) ba −1 + ab −1 2
b a
4.)
−2
x −1 + y −1 5.) −1 −1 x − y
−1
2 x −1 + 3 xy −2 4 x −2
− 9 x 2 y −4
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
En los siguientes ejercicios, efectúe y reduzca a su mínima expresión algebraica el resultado:
+ 4 xyz + 4 y 2 z 1.) 2 2 x + 3 xy + 2 y z x
2 2 a b 14.) a 2 − b 2 ÷ − b a b a
2
− 27 2.) 2 3 x + 9 x + 27 x
3.) 4.) 5.) 6.)
7.)
2
+
6 x − 2 3 x
−
x
x
+
− y
2
x
+ 3 x
2
17.)
1
+
x + y
+
1 y − x
3
1
x
1
9.) x 2 − ÷ x + 1 + x
2 y 2 − 8 + y − 2 10.) 2 ÷ 2 y + 4 y y + 2 y − 8 y 2
11.)
x + 2 x
2
12.)
− 3 x
÷
13.)
−
x x
2
−
2
+ 3x3 − 8x − 24 24 18.) 3 2 18 x − 2 x − 9x + 18 4
2 ac + bc + 6 ad + 3bd 6 ac + 2 ad + 3bc + bd
x y 2 y 1 1 20.) + 2 ÷ 2 − + y x x x y
21.)
1 4 − 2 x 3 1 1 1 + + 2 x 4 2 x
x 2 − 4 x
− 5 x + 6
3
+
3 x
Material didáctico en revisión
6 5 8 3 ÷ + x 2 x + 1 x 2 x + 1
22.) −
÷ 3 x + 2 x 2 − 4 x − 2 1
2 x − 3 x − 4 x + 3 5 5 + x − 1 x − 3
x
19.)
x 2 + 5 x x 2 − 2 x − 24 ⋅ 8.) 2 x − 16 x 2 − x − 30
+ 4a + 3 2a + 2 − a a −1 a +1 a2 − a
x
x+2
7 x − 125 ⋅ 2 x 3 − 10 x 2 x 3 + 5 x 2 + 25 x x
a2
16.)
1
a+b
a−b
3
+
2 x 2
−
−
a+b a−b ab
2 x + 1
9 x 2 − 1 1 − 3 x
x + 3
−4
15.)
x
2
5 x 2
a−b
3
2
x − y 23.) (9 x 2 − 4 y 2 ) ÷ − 1 y − 2 x
− 7 x + 12 37
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Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones Ecuacione s de primer grado con valor
Ecuaciones de una variable
absoluto. Ecuaciones de primer grado con radicales. Ecuaciones de primer grado racionales. Ecuaciones cuadráticas. cuadráticas. Sistemas de ecuaciones.
Ecuación: es un enunciado que indica que dos expresiones son iguales. Las
expresiones están separadas por el símbolo = , el cual se lee lee igual . 6 x + 2 = 3x − 6
Miembros: se llama primer miembro de una ecuación la expresión que está a la
izquierda del signo de igualdad y segundo miembro a la que está a la derecha. 6 x + 2 = 3 x − 6
6 x + 2
primer miembro
3 x − 6
segundo miembro
expresione s que están separadas de las otras por el signo de Términos: son las expresiones la adición " + " o de la sustracción sustracc ión " − ", o la expresión que está sola en un miembro. 6 x + 2 = 3x − 6
son términos
6 x, 2, 3x ,
−6
Resolver Resolver u na ecuación:
Consiste Consist e en hallar el valor o valores de la incógnita que satisfacen la igualdad. Dicho(s) valor(es) valor(es) se llaman raíz o solución de la ecuación. Si la ecuación es de la forma ax + b = 0 Si la ecuación es de la forma
, tiene a lo sumo una sola raíz.
= 0 , tiene a lo sumo 2 raíces. Si la ecuación es de la forma ax3 + bx 2 + cx + d = 0, tiene a lo sumo tres raíces, ax 2 + bx + c
Es decir, que el número máximo de raíces que tiene una ecuación está indicada por el grado del término de mayor exponente. 38
Material didáctico en revisión
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Si
an x
n
+ an−1x n−1 + an−2 x n−2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 ,=tiene 0
raíces. n
Ecuaciones de primer grado: 1.) 2 x + 4 = 9 2 x + 4 − 4 = 9 − 4
restar 4
2 x = 5
agrupar términos
2 x 2
dividir entre 2 ambos miembros
=
x =
5 2 5 2
sol :
5 2
;
x∈ : x = 5 2
para comprobar se sustituye s ustituye el valor de x en la ecuación
5+4 =9 2 5+ 4 = 9 9=9 2
2.) 2 x + 8 = 3 − 2 ( 3x − 5) − 12
[ − 6x + 1 0 − 1 2 ] 2 x + 8 = 3 [− 6 x − 2]
propiedad distributiva
2 x + 8 = − 18 18 x − 6
propiedad distributiva
2 x + 8 + 18 x = − 18 x − 6 + 18 18x
sumar 18x eenn ambos términos
20 x + 8 = − 6
agrupar términos
20 x + 8 − 8 = −6 − 8
r es t a r 8
20 x = − 14
a g ru p a r t é r m i n o s
2 x + 8 = 3
20 x 20
=
agrupar términos
−14
dividir entre 20 ambos términos
20 −14 7 x = =− 20 10
7 ; 10
sol : −
Material didáctico en revisión
x∈ : x = − 7 10
39
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3.)
1 3 2 2 x + 3 6 x
+ = =
x −1
2 x −1
producto cruz en el primer término t érmino
2
a
2 ( 2 x + 3 ) = ( x − 1) 6
b
=
c d
→
ad
= cb
4 x + 6 = 6 x − 6
propiedad distributiva
4 x + 6 − 6 x = 6 x − 6 + 6 x
restar 6 x en ambos términos
− 2 x + 6 = −6 − 2 x + 6 − 6 = −6 − 6 − 2 x = −12 −2 x −12 = −2 −2 x = 6
agrupar términos
{}
sol : 6
restar 6 agrupar términos dividi div idirr entre entre
;
− 2 ambos ambos términ términos os
{x ∈ : x = 2}
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: 1.) 4 x + 2 = 10
13.) x ( x − a ) = − x[a − b − ( x − 1)]+ 1
2.) 2 x − 2 = −9
14.) 1 + = x +
x
1
a
b
3.) 5 x + 5 − 3x = 0
15.)
ax + bx = 2
4.) 4 x − 8 = 2 x − 12
16.)
3 x − (2 x − 1) = 7 x − (3 − 5 x) + (− x + 24)
5.) 6 x − 7 = 2 x + 5
17.)
6.) 4 x − 3 = −5 x + 6
3 x + − 5 x − ( x + 3 ) = 8 x + ( −5 x − 9 )
7.) − 3x + 4 = −1
18.) x − 5 + 3 x − { 5 x − ( 6 + x ) } = −3
8.) 5 x − 4 = 2 x − 4
19.)
9.) 5 x + 6 = 4 x + 3
20.) ( x + 1)
10.) ax − 2a + b = bx + b
21.) 3( x − 2 ) ( x + 5) = 3( x + 1) (x − 1) + 3
11.) vx − 2v + a = ax + a
22.) ( x − a)
12.) x − (2 x + 1) = 8 − (3 x + 3)
23.)15 x − 10 = 6 x − ( x + 2 ) + (− x + 3)
40
2 (3 x + 3) − 4(5 x − 3) = x ( x − 3) − x( x + 5) 3
− ( x − 1) = 6 x( x − 3) 3
2
2
2
− ( x + a) = a(a − 7 x ) 2
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Ecuaciones de primer primer grado co n valor absoluto:
La distancia que va desde cero hasta un número x en la recta real se llama valor absoluto x
=a
entonces entonces
x=a ó
x = −a
x
−a
a
0
Propiedades Propiedades Valor Absolut o de un n úmero real
a ab a b
1.) x − 3
=
=a
= a b
−a = a
a b
a b a
b≠0
=
b
=
⇔
con a > 0
ab
a=b
ó
a = b ó a = −b b = a ó b = −a
=6
x − 3 esta esta a 6 unid unidad ades es de 0 en la rect rectaa rea reall, por por tan tanto to x − 3 = 6
ó
x −3 =−6
x − 3 + 3 = 6 + 3
x − 3 + 3 = −6 + 3
x = 9
x = −3 sol : {−3, 9}
2.) 2 x + 8 = 3 2 x + 8 = 3
0
2 x + 8 = −3
x
= a entonces
x = a o x = −a
a.) 2 x + 8 = 3
2 x + 8 − 8 = 3 − 8
resto 8 en ambos miembros
2 x = −5
agrupar términos semejantes
2 x −5 = 2 2 5 x = −
divido divido entre 2 ambos ambos miembros miembros
2
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41
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b.) 2 x + 8 = −3
2 x + 8 − 8 = −3 − 8
resto 8 en ambos miembros
2 x = −11
agrupar términos semejantes
2 x 2
=
−11
divido divido entre 11 ambos ambos miemb miembros ros
2
x = −
11 2
11 − 5 2 2
sol : −
para comprobar comprobar se sustituye los valores de de x en la ecuación ecuación x = −
5
x =−
2
5 +8 = 3 2
11 2
11 + 8 = 3 2
2 −
2−
−5 + 8 = 3
−11 + 8 = 3
=3 3=3
−3 = 3 3=3
3
Ejercicios
Resolver las ecuaciones de primer grado con valor absoluto: 1.) 7 x - 2 = 6 2.) x − 3 3
− 10 = 8 1
3.) 5 x + 4 = 10 4.) 2 . 7 − x = 1 5.) 2 . x − 5 = 1 6.) 5 x + 9 = 17 7.) − 2 + x = 8 8.)
42
2 x + 6 x − 4
3 x − 2
9.)
4
17.) 3 x = 6
10.) x + 22 + − 5 = 10 11.)
3 x −
2 x + 6 2
= 4 12.)
13.) x + 7 .
x + 6
3 . x+7 2
15.)
3 x − 1 2
2
18.) 1 −
5 x + 1 7
=
−x 3
19.) 3 x − 25 = 13
5 x − 4 =3 7 x − 2
14.)
=4
16) 4 x + 7 x − 4 = 3
=5
20.) =4
10 x − 6 3
+ x = 2
− x = 11 + x = 1
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Ecuaciones de primer grado con radicales. radicales. 6 x − 2
(
=2
)
6 x − 2
2
x+2
= (2
x+2
2
)
elevar al cuadrado a ambos lados
6 x − 2 = 4 ( x + 2 )
n ( ab ) = a nb n
6 x − 2 = 4 x + 8
distributiva
6 x − 2 − 4 x = 4 x + 8 − 4 x
r e s t ar − 4 x
2 x − 2 = 8 2 x − 2 + 2 = 8 + 2
r es t a r − 4 x
2 x = 10
dividir entre 2
2 x 10 = 2 2 x = 5
sol : {5}
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con radicales. 1.)
4 x 2 − 15 − 2 x = −1
2.)
5 x + 7 = 2 x + 2
3.)
5−
4.)
3x + 1 = 0
9 x 2
5.) 15 −
3
− 5 − 3 x = −1 7 x − 1 = 12
Ecuaciones de segundo segundo grado:
6.)
3 x − 5 +
7.)
4 x − 11 = 7 2 x − 29
8.)
3x −14 14 = 0
2 x − 4 = 2 x − 1
9.)
9 x + 10 − 2 x + 3 = 0
10.)
x + 4 =
x −1
ax + bx + c = 0 2
Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. 1.) Aplicando la fórmula de la resolvente: x =
Material didáctico en revisión
−b±
b2
− 4ac
2a
43
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3 x 2 + 8 x + 4 a = 3, b = 8, c = 4
x1
=
−8 + 4 6
=
−4 6
2
=− , 3
x2
=
−8 − 4 6
=
−12 6
= −2
sol : −2, −
2
3
2.) Por factorización x + x − 6 = 0 2
Se buscan dos números que multiplicados
de él
término independie independiente, nte,
además, que esos esos mismos números sumados o restados restados den el coeficiente coeficiente del término que posee la variable con exponente uno. d .e =
−6 , d +c = 1 3. ( −2 ) = −6 3− 2 =1 x = 3 x = −2
3.) Completación de cuadrados Consiste en convertir una expresión cuadrática en un trinomio cuadrado perfecto para poder factorizarla de la forma
2 ( a ± b ) y luego despejar a la
variable. y 2 + 4 y + 5 = 0
( y + 4 y + _____ ) = −5 + ______ 2
↓ 2
4 = 22 = 4 2
b 2
2
Entonces
44
Material didáctico en revisión
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+ 4y + 4 = 5+ 4 y 2 + 4 y + 4 = 9
La expresión de la izquierda es un trinomio
( y + 2 ) ( y + 2 )
Se factoriza
y
2
2
=9
2
Se extrae raíz cuadrada a ambos lados
= 9
y + 2 = ±3 y = ± 3 − 2 y = 1 ,
y=
−5
Para poder aplicar la técnica de completación de cuadrados el coeficiente de la variable que esté elevada al cuadrado debe ser uno, de lo contrario se debe realizar artificios matemáticos para ello. 4 x 2 − 32 x + 28 = 0 4 x 2 − 32 x
= −28 ___) ) = − 28 + 4 ( __
4 ( x 2 − 8 x +
fac factor tor común 4 del lad lado izq izquierd ierdo o de la igu igualda ldad y se multiplica por 4 el término que se va a agregar
4 ( x 2 − 8 x + 16
) = − 28 + 4(16)
= 36 ( x − 4)2 = 9 x − 4 = ± 3 x = −1,
en el lado derecho de la igualdad igualdad
4( x − 4)2
se divide ambos lados entre 4 raiz a ambos lados x=7
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado o cuadráticas aplicando la fórmula de la resolvente: x = 1.) x 2 − 5 x − 6 = 0 2.)
9 x 2
2 x 3.) 3
2
+ x − 8 = 0 1 − + 4 8 x
=0
4.) 5 x 2 − 3 x − 5 = 0
Material didáctico en revisión
−b±
b2
− 4ac
2a
5.) 5 x 2 − 3 x − 2 = 0 6.) 7.)
x
2
2
1
10.) 3 y 2 + 8 y + 4 = 0
4
11.) 2 x 2 − 8 x + 6 = 0
− x + = 0
4 x 2
9.) x 2 + 6 x − 1 = 0
+ 6x − 1 = 0
12.) 6 x 2 = 10 + 11x
8.) 5 x 2 − 26 x + 24 = 0
45
Curso Propedéutico UNET
Resolver las siguientes ecuaciones ecuaciones de segundo grado por factorización: factorización: 1.) x 2 − 5 x − 24 = 0
8.)
2.) x( x + 3) = 5x + 3 3.) 12 x − 4 − 9 x 2 = 0
3 2 x + x − 3 = 0 5
9.) x 2 − 11x + 28 = 0 10.) 3 x 2 − 5 x + 2 = 0
4.) x − 8 x + 15 = 0 2
11.)
5.) x = −15 x − 56 2
3 x 2 − 5 x + 1 = 0
12.) 8 x 2 + 10 x − 3 = 0
6.) 105 = x + 2 x 2 7.) x 2 − 11x + 30 = 0
Expresar utilizando el método de completar cuadrados las siguientes ecuaciones: 1.)
x 2
+ 6x − 7 = 0
7.) 3 x 2 + 5 x +
2.) 5 x + 4 x − 3 = 0 2
3 4
=0
3.) 8 x 2 − 16 x − 1 = 0
8.) x 2 − 8 x − 9 = 0
4.) x 2 + 6 x − 40 = 0
9.) x 2 − 5 x − 1 = 0
5.)
10.) x 2 + 9 x + 16 = 0
3 x 2
= 9x + 2
6.) 2 x = 6 x 2 + 12 Ejercicios
Resolver las siguientes siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: 1.) 3 x 2 − 6 x = 0 2.)
(
5 x + 4 = 2 x + 2 2
8.)
)
3.) x 2 − 36 = 0 4.) x 2 = 12 x
6.) 25 x 2 − 64 = 0 7.) 2 x − 3 −
x
2
4
+ x = 0
10.) 4 x 2 + 12 = 0
5.) 5 x 2 − 15 x = 0
+1 = −7 x − 2
x
9.)
2 x − 3 x − 2 = x − 3 x − 1
2
11.) 7 x 2 = 49 12.) 3 x 2 + 12 = 0 13.) 9 x 2 − a 2 = 0 14.) 5 x 2 = 45 x
46
Material didáctico en revisión
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Ecuaciones racionales x + 2 x − 4 x + 2 x − 4
=4 ,
x ≠ 4
( x − 4 ) = 4 ( x − 4) (
x + 2 = 4 x − 4
multiplicar por x − 4 ambos miembros
)
x + 2 = 4 x − 16
distributiva
x + 2 − 4 x = 4 x − 16 − 4 x
restar por 4x
−3 x + 2 = −16 −3 x + 2 − 2 = −16 − 2 −3 x = −18 −3 x −18 = −3 −3 x = 6 x − 2
2
=
restar por
−2
div dividir idir por por
−3
{}
sol : 6
3x 7
7 ( x − 2 ) = 2 ( 3x )
a
7 x − 14 = 6 x
distributiva
7 x − 14 − 6 x = 6 x − 6 x
r es t a r
b
=
c d
→
ad
= cb
− 6x
x − 14 = 0 x − 14 + 14 = 0 + 14
s u m ar 1 4
x = 14
{ }
sol : 14
Ejercicios
Resolver las siguientes siguientes ecuaciones racionales. 1.) 2.)
3 x + 8
=
1 x
3 x − 5 6 = 5 x
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3.) 4.)
x + 7
5
=
x+2
2
4 x − 11 7 x = 2 3
47
Curso Propedéutico UNET
3 x + 1 4
5.) 5 x = 6.)
x − 4
2
=
x −1
3
2 2 7.) 3 x − 5 x = 3x + 2
3
8.) 9.)
5 − 4 x 3
=
2 x − 4
10.)
x + 3 x + 7 x − 6
11x 6
=
23.)
x−4
=
−10 = 11.) x + 7 x + 7 12.)
2 x 2 + 7 x x + 4
7
=
=
25.) 26.)
4x 2
2
27.)
13.)
x − 6
14.)
2 x + 1 3 x − 6 = 3 5 4 3
x−6
28.)
x x x 15.) 3 − − 1 − = 7 − x −
16.)
2
12
3
2
29.)
=
5x 2
x − 3 x − 2 x − 4 x − 2
3
x −6
x − 3
= −
12
x + 2
24.) 2 x −
2
4
20.)
22.)
2 x+3
6
2 6 x 2 2 − 2 = 3 9 x − 1 3 x − 1
+2−
21.) x −
3
5
x
2
x
x
19.)
−
−
x − 3 x − 3
4
=
x + 2 x + 1
−
x + 3 x + 2
x−4
=
5
5 x − 6 1 + ( x − 5) = −5 x 4 3
3 x − 1 x 2 + 7 x + 12
=
1 7 + 2 x + 6 6 x + 24
4 x + 3 3 x + 8 − 2 x − 5 3 x − 7 1 3 x − 3
+
1 4 x + 4
=1
=
1 12 x − 12
3 x − 1 5 x + 4 x + 2 − − 2 3 8 1 x + a
+
x 2 a
2
+ ax
=
=
2x − 3 1 − 5 10
x + a a
3 3 + =0 5 2 x − 1
3 x 17.) 4
1 5 − + 2 x = 5 4
3x − 20
30.)
1 x + b
+
x2 b
2
+ bx
=
x+b b
2 18.) 5 x − 27 x − 1 = x − 6 5 x + 3 x
48
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División s intética o regla de Ruffini.
Ecuaciones de orden superior
División de polinomios con binomios Raíces de un polinomio Factorización y simplificación de fracciones
Hasta este momento se han resuelto ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado. Pero en el álgebra se presentan ecuaciones de grado igual o superior a tres, para ello se aplica entre otros métodos, la división sintética o regla de Ruffini. División División de polinomios con binomios
Cuando se divide un polinomio entre un binomio de la forma
x ± a el
procedimiento se abrevia bastante mediante un proceso llamado división sintética Para ello se realiza el siguiente algoritmo. Se ubica en la primera fila los coeficientes del polinomio dividendo, ordenados de forma decreciente, si algún término falta se debe completar con cero; a la izquierda y en la segunda fila se ubica la raíz del divisor, es decir, el número que hace que el divisor sea cero, luego se baja el primer coeficiente del dividendo, de esta forma se obtiene la tercera tercera fila, luego se multiplica la raíz de divisor divisor por este coeficiente, el resultado se coloca en la segunda fila segunda columna , se procede a realizar la suma algebraica, el resultado se coloca en la tercer fila segunda columna, luego se multiplica la raíz del divisor por este resultado, así hasta llegar al término independiente.
( x
4
− 5 x 2 + 15 x − 3 ) ÷ ( x − 4 )
Hallamos la raíz de
x − 4
Para ello igualamos a cero el binomio x − 4 = 0 x = 4
Material didáctico en revisión
49
Curso Propedéutico UNET
El polinomio dividendo está ordenado de forma decreciente, sin embargo se observa que falta el término
ax 3 por
tanto, debemos completar con cero el espacio
que le corresponde. Aplicando el algoritmo se tiene entonces. 1 4
0
− 5 15
4
16
−3
44
( ) = x + 4x R ( x ) = 233 C x
2 36
1 4 11 5 59 9 coeficien coeficiente te del cociente cociente que en este caso es de grado grado tres
23 3
3
2
+ 11x + 59
resto
La división sintética o regla de Ruffini también se utiliza para hallar las raíces (números en donde el polinomio se iguala a cero) de un polinomio de grado mayor o igual a tres, para luego poder factorizarlo.
Factorizar el polinomio
( )
P x = x3 − 3 x − 2
Para ello se debe hallar las raíces del polinomio y luego factorizar.
1
−1
−3 − 2
−1 1 −1
1
2
−2
0
2
2
1
0
2 1
−1
0
divisores de - 2 y se prueba con ellos div div
( −2 ) = ±1, ±2
( −2) = ±1, ±2 ( ) = ±1
div 1
−1 0
(
)
raíces : {−1 doble , 2} x
50
3
− 3 x − 2 = ( x + 1)
2
( x − 2)
Material didáctico en revisión
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( )
Factorizar el polinomio 15
−1
22 22
15
−
−2
5
− 15 − 7 15 7 −2
1 5 2
P x = 15 x3 + 22 x2 + 5 x − 2
div
2 0
div
( −2 ) =
ningun uno o func funcio iona na , ento entonc nces es busc buscam amos os ± 1, ± 2 ning
3
2
fracciones, para ello, hallamos hallamos los divisores del coeficiente
10
0
del del térm términ ino o de mayor ayor grad grado o
15 ( ) = ±1, ±3,3, ±5,5, ±15
div 15
y
formanos fracciones los divisores de -2 entre d ivisores de 15
− 10
3
( −2 ) = ±1, ±2
0
1
2
5
3
raíces : −1, , −
1 2 15 x 3 + 22 x 2 + 5 x − 2 = 15 x + 1 x − x + 5 3
(
)
o
= ( x + 1)( ) ( 5 x − 1) ( 3x + 2)
Simplificar la expresión 15 x 3 + 22 x 2 + 5 x − 2 x 3 − 3 x − 2
para ello, se factoriza el numerador y denominador, luego se
simplifica. 15 x3 + 22 x 2 + 5 x − 2 x3 − 3 x − 2
=
( x + 1)() ( 5 x − 1) ( 3x + 2) = ( 5x − 1) ( 3x + 2) ( x + 1) ( x − 2) ( x + 1) ( x − 2 ) 2
Ejercicios
Simplificar las siguientes siguientes fracciones: 1.) 2.) 3.)
+ 2 x 2 − x − 2 + 4 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 4 x 3
x 4
+ 4 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 4 x 4 − 11 x 2 − 18 x − 8
x 4
− 3 x − 2 3 x + 4 x 2 + 5 x + 2 x 3
Material didáctico en revisión
4.) 5.) 6.)
+ 2 x 2 − 2 x + 3 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2
x 3
− 3 x 2 − 4 x + 12 − x 3 − 39 x 2 + 4 x + 60
x 3
6 x 4 x 3
+ x 2 − 5 x + 3 x 3 − 3 x + 2 51
Curso Propedéutico UNET
2 x 3
7.)
+ 12 x 2 + 22 x + 12 3 x 3 − 21 x − 18
11.)
13 x 2 + 36 − 12.) 4 x − 5 x 2 + 4
x3 − a 2 x + a 2 x 2 − a 4
8.)
x 4
x3 − a 2 x − a 2 x 2 + a 4
xa 2 − x 2 a + a 3 − 9.) 3 x − 3 x 2 a + 3 xa 2 − a 3 x 3
x 3
10.)
+ 2 ax 2 − a 2 x − 2a 3 x 3 − 3ax 2 − a 2 x + 3a 3
x 3
13.)
3 x3 − x 2 − 12 x + 4 2 x3 + x 2 − 8 x − 4
3 2 2 3 2 14.) 2 x + 22a x − 22a x −32ax x + ax + a x + a
+ 2bx 2 + 2b 2 x + b 3 x 3 + b 3
Hallar el verdadero valor de las siguientes fracciones para el valor de x indicado: 1.)
2.)
3.)
4.)
− 3 x + 2 2 x + x − 6
x 2
para x = 2
+ 7 x 2 + 16 x + 12 x 3 + x 2 − 8 x − 12
x 3
−8 + 11 x − 26 x 3
x 2
− x − 6 2 x + 2 x − 15 x 2
8.)
x 3
x 3
para x = −2
9.)
para x = 2
10.)
para
x = 3
5.) 6.)
7.)
52
x 3
x 2
+ 6 x 2 + 12 x + 8 x 4 − 8 x 2 + 16
− 2ax + a 2 x 2 − ax
para
para x = 1 13.) para x = −2 14.)
x
= −a
+ 2ax 2 + 2a 2 x + x 3 para x = a x 3 + a 3
− 3ax 2 + 3a 2 x − a 3 para x = a x 3 − ax 2 − a 2 x + a 3
x 3
3 2 11.) 3 x 3− 11 x2 + 13 x − 5 x + x − 5 x + 3
12.) 3 x 4 − 2 x 2 + 3 x + 4 2 x 3 + 5 x 2 − 6 x − 1
+ 2ax 2 + 2a 2 x + a 3 x 3 + a 3
para x = 1
2 x 4 + 3 x 3 − 3 x 2 − 7 x − 3 3 x 4 + 11 x 3 + 15 x 2 + 9 x + 2
x 3
+ 4 x 2 − x − 4 2 x 2 + x − 3
4 x 3 + 4 x 2 − 3 x 18 x 3 + 27 x 2 − 2 x − 3
para x = −1 para x = 1
para x = −
3 2
para x = a
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Sistemas de
Sistema de dos dos ecuaciones lineales lineales con dos incógnitas. Sistema de tres ecuaciones ecuaciones lineales lineales con tres
Ecuaciones
incógnitas. Sistema de ecuaciones ecuaciones cuadráticas.
Resolver un sistema de ecuaciones, significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones que conforman el sistema. Es decir, encontrar los valores que al sustituirlos en las ecuaciones se transforman en una identidad. Sistema de dos ecuaciones con d os inc ógnitas.
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa las
( x, y )
coordenadas del punto de intersección intersecc ión
de dos rectas que representan las
ecuaciones. (Fig. 1) Si las ecuaciones representan dos rectas que sean paralelas, no hay punto de intersección, luego el sistema no tiene solución; las ecuaciones son incompatibles.(Fig.2) Si las ecuaciones son equivalentes representan dos rectas coincidentes, tienen infinitas soluciones, las dos rectas representan la misma línea.(Fig.3) línea.(Fig.3) y
y
y
x x x
Fig. 1
Material didáctico en revisión
Fig. 2
Fig.3
53
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Resoluci Resoluci ón de sistema dos ecuaciones con dos inc ógnitas.
Existen varios métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. incógnitas . Aquí se trabajaran cuatro de ellos.
x + 2 y = 10 2 x + 3 y = −8 Métodos: Igualación:
Despejamos la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, aplicamos la propiedad
a=c
si
x + 2 y = 10
y
a= b
entonces
c=b
x = 10 − 2 y
2 x + 3 y = − 8 2 x = −8 − 3 y si
a=c
10
a= b
y
1 2
3 y 2
3 y 2
entonces
− 2 y = − 4 −
−2 y +
−
x = −4 −
c=b
3 y 2
= −4 − 10
y = −14
y = 28
sustituimos y = 28 en
x = 10
( )
− 2y
o en
x=
−4 −
3 y 2
x = 10 − 2 28 x = − 46
sol :
54
( −46, 2288)
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Sustitución:
Consiste en despejar una de las variables de una de las ecuaciones, luego sustituir sustitu ir el despeje en la otra ecuación, para luego proceder a determinar el valor de una de la variable. x + 2 y = 10
despejar la va variable x
x = 10 − 2 y
esta expresión se s e sustituye en la ecuacion
(
2x + 3y = − 8
)
2 10 − 2 y + 3 y = −8 20 − 4 y + 3 y = −8
− y = −20 − 8 y = 28
se su sustituye y = 28
en
x = 10 − 2 y
para obtener el e l valor de de x
( )
x = 10 − 2 28 28 = −46
(
sol : −46, 28
)
Reducción:
Aquí se debe igualar los coeficiente con signos opuesto de algunas de la incógnitas
x + 2 y = 10 2 x 3 y 8 + =− Se multiplica la primera ecuación por -2 para igualar el término que posee la variable x de ambas ecuaciones. ecuaciones .
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55
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x + 2 y = 10
−2
2 x + 3 y = −8
− 2 x − 4 y = −20 2 x + 3 y = −8 0 − y = −28 y = 28 Se sustituye ahora en la primera o segunda ecuación para obtener el valor de x .
( ) = 10
x + 2 28
x + 56 = 10 x = −46 sol :
( − 4 6 , 28 )
Regla de Cramer
Para aplicar la regla de Cramer, se debe hallar el determinante del sistema, el determinante determinante de la variable
x
variables aplicando
∆ x , ∆
x =
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2
y de la variable y=
y,
luego se obtiene el valor de las
∆y ∆
Determinante Determinante del sistema ∆=
a1
b1
a2
b2
= a1.a2 − b1.b2
Determinante de las variables ∆ x =
∆ y =
56
c1
b1
c2
b2
a1
c1
a2
c2
= c1.b2 − b1.c2
= a1.c2 − c1.a2
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x + 2 y = 10 2 x + 3 y = −8
∆=
∆ x =
∆ y =
1
2
2
3
10
= 3 − 4 = −1 2
−8 3 1 10
−8
2
= 30 − ( −16 ) = 46
= − 8 − 2 0 = − 28
x =
∆ x 46 = = −46 ∆ −1
y =
∆ y −28 = = 28 ∆ −1 sol :
28 ) ( −46, 28
¡Tú decides el método! Ejercicios
x + 2 y = 7 x + y = 4
7 x − 8 y = 9 4 x + 3 y = −10
1.)
7.)
3 x + 2 y = 5 2.) 5 x − 2 y = 3
8.)
2 x + 6 y = 3 8 x − 3 y = −6 3 x + 5 y = 7 2 x − y = −4
4 x + 2 y = 5 5 x − 3 y = −2
9.)
2 x + y = −1 3 x − 2 y = −5
10.)
2 x − y = 5
11.)
3.) 4.)
2 y = 7 + 4 x
5.)
7 x + 9 y = 42 10 y = −4 12 x + 10
6.)
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6 x − 5 y = −9 4 x + 3 y = 13
4 x + 5 y = 5 − 10 y − 4x = −7
3 x − 4 y − 2 ( 2 x − 7 ) = 0 12.) 5 ( x − 1) − ( 2 y − 1) = 0 57
Curso Propedéutico UNET
3 x − ( 9 x + y ) = 5 y − ( 2 x + 9 y ) 13.) 4 x − ( 3 y + 7 ) = 5 y − 47
x − y = m − n 22.) ny = m 2 − n 2 mx − ny
14.)
( a − b ) x − ( a + b ) y = b 2 − 3ab 23.) 2 ( a + b ) x − ( a − b ) y = ab − b
( x − y ) − ( 6 x + 8 y ) = − (10 x + 5 y + 3 ) ( x + y ) − ( 9 y − 1111x ) = 2 y − 2 x
x − 2 − y − x = x − 7 4 2 15.) 3 x − y − 3 y − x = y − 13 8 6 x + y − y − x = 7 3 24 24 16.) 6 x + x − y = 5 6 12 2
4+3 =4 x y 17.) 2 − 6 = −3 x y 6 + 3 = −2 x y 18.) 4 + 7 = −2 x y 3 − 2 = 14 x y 19.) 6 + 3 = −7 x y 1 −3=3 2 x y 4 20.) 1+ 5 =−4 x 2 y 3 x − y = b 21.) a b a x − y = a 58
24.)
x + b + y − b = a + b a b b x − a − y − a = − a + b b a a
a ,b ≠ 0
by = a 2 + b 2 25.) ax + by ay = 2 ab bx + ay
26.) ax − by = 0 a2 + b2 bx + ay = ab
a≠0 y b≠0
x + y = − 2 x − y 7 27.) 8 x + y − 1 = 2 x − y − 2 3 x − 2 y = 2 3 28.) 2 2 x + 3 y = 2
2 + 3 = −2 x y 29.) 4 − 5 =1 x y x + y = 5 30.) 3 2 x − 2 y = −1 3
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Sistema de tres tres ecuaciones con tres incógn itas.
Al igual que en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas existen varios métodos. Aquí trabajaremos dos de ellos. Métodos: Reducción
(1) ( 2) ( 3)
x + 4 y − z = 6 2 x + 5 y − 7 z = −9 3 x − y + 2 z = −4
Se toman dos de las tres ecuaciones para igualar igualar el coeficiente de un una a de las variables con signos opuestos. En este caso se igualarán los coeficientes coeficiente s de la variable x en las ecuaciones x + 4 y − z
=6
(1)
−2 x − 8 y + 2 z = −12 2 x + 5 y − 7 z = −9 0 − 3 y − 5 z = −21
y 2 x + 5 y − 7 z = −9
( 4)
( 2)
, para ello se multiplica multiplic a (1) por -2
obteniéndose otra ecuación a la que llamaremos (4)
Ahora, se toma una de las ecuaciones trabajadas (1) ó (2) con la ecuación 3 x − y + 2 z = −4
( 3)
para igualar los coeficientes de la misma variable que se
trabajó con (1) y (2)
− 3 x − 12 12 y + 3 z = −18 3 x − y + 2 z = − 4 0 + 13 y + 5z = −22
( 5 ) obteniéndose otra ecuación a la que llamaremos (5)
Ahora, se toman las ecuaciones (4) y (5) para igualar los coeficientes coeficient es de una de las variables involucradas involucradas en estas ecuaciones
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59
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−3 y − 5 z = −21 −13 y + 5 z = −22
( 4) ( 5)
en este caso, los coeficientes coeficient es de la variable z están
iguales y con signos contrarios .
−3 y − 5 z = −21 −13 y + 5 z = −22 −16 y + 0 = −43 y =
( 4) ( 5)
−4 3 4 3 = −1 6 1 6
Sustituimos el valor de y en (4) ó (5)
−3 y − 5 z = −21
( 4)
43 −3 − 5 z = −21 16 z =
207 80
Y ahora se sustituye sustitu ye el valor de z y
yen (1) ó
(2) ó (3)
43 − 2 07 = 6 1 6 80
x + 4 x = −
173 80
173 , 43 , 207 80 16 80
sol : −
60
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Regla de Cramer
Para aplicar la regla de Cramer, se debe hallar el determinante del sistema, el determinante de la variable
x , y
y z , luego se obtiene el valor de las variables
aplicando x =
∆ x , ∆
y=
∆y , ∆
z
=
∆z ∆
Para hallar el determinante de orden 3x3 se puede aplicar la regla de Sarrus
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
producto positivo
producto negativo
Otra forma es realizar un acomodo de filas o columnas a1 x + b1 y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d 2 a x + b y + c z = d 3 3 3 3
Determinante Determinante del sistema
∆=
a1
b1
c1
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
= a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
c3
a3
b3
c1
d1
= ( a1b2c3 + b1 c2 a3 + c1a2b3 ) − ( a3b2c1 + b3c2 a1 + c3a2b1 )
Determinante de las variables
∆ x =
d1
b1
c1
d2
b2
c2
d3
b3
c3
Material Material didáctico en revisión
=
d1
b1
b1
d2
b2
c2
d2
b2
d3
b3
c3
d3
b3
= ( d1b2 c3 + b1c2 d3 + c1d 2 b3 ) − ( d3b2 c1 + b3c 2 d1 + c3 d 2 b1 )
61
Curso Propedéutico UNET
∆ y =
∆ z =
a1
d1
c1
a1
d1
c1
a1
d1
a2
d2
c2
a2
d2
c2
a2
d2
a3
d3
c3
a3
d3
c3
a3
d3
a1
b1
d1
a1
b1
d1
a1
b1
a2
b2
d2
a2
b2
d2
a2
b2
a3
b3
d3
a3
b3
d3
a3
b3
=
=
= ( a1b2 d3 + b1d 2 a3 + d1a2b3 ) − ( a3b2 d1 + b3d 2 a1 + d3 a2b1 )
(1) ( 2) ( 3)
4 x − 5 y + z = −3 x + y + z = 6 2 −3 +2 = 2 x y z −5 1
4
= ( a1d 2 c3 + d1c2 a3 + c1a 2 d3 ) − ( a3 d 2 c1 + d3c2 a1 + c3 a2 d 1 )
− 5 1 4 −5
4
∆= 1
1
1
= 1
1
1 1
1
2
−3
2
2
−3
2 2
−3
. 1.2 + 1.1.( − 3) − 2.1.( 1) + ( − 3) .1 . 1.4 + 2.1.( − 5) = 4.1.2 + ( −5) .1
= ( −5) − ( −20 ) = 15
− 3 −5 1 ∆ x =
6
1
1
2
−3
2
4
∆ y =
− 3 −5 1 − 3 − 5 =
6
1
1
6
1
− 3 2 2 −3 = ( −3 ) .1.2 + ( −5 ) .1.2 + 1. 1.6. ( − 3) − 2.1.( 1) + ( − 3) .1.( − 3) + 2.6.( − 5) = ( − 34 ) − ( − 4 9 ) = 15 2
−3 1
1
6
1
2
2
2
=
4
−3
1
4
−3
1
6
1
1
6
2
2
2
2
2
= ( 4 ) .6.2 + ( −3) .1.2 + 1.1.2 − 2.6.(1) + ( 2) .1.4 + 2.1.( − 3) = ( 44 ) − (14) = 30 62
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
4
∆ z =
−5 −3
1
1
6
2
−3
2
=
4
−5
−3
4
−5
1
1
6
1
1
2
−3
2
2
−3
.1.2 + ( −5) .6 .6.2 + ( − 3) .1 .1.( − 3) − 2.1.( − 3) + ( − 3) .6 .6.4 + 2.1.( − 5) = ( 4 ) .1
= ( −43) − ( −88) = 45
x =
∆ x 15 = =1 ∆ 15
y =
∆ y 30 = =2 ∆ 15
=
∆ z 45 = =3 ∆ 15
z
(
)
sol : 1, 2, 2, 3
Ejercicios.
2 x + 2 y + 5z = 3 1.) x + y + z = 3 x − y + 2 z = −4
2 x + 4 y − 5 z = 0 2.) − x + 2 y + 2 z = 3 x + y + z = 6 x − 2 y + 3z = 0 3.) 2 x − 3y − 4z = 0 x + y − 4 z = 0
x + 2 y + z = 8 4.) 2 x − y + 3 z = 15 − x + 3 y − 3z = −11
Material Material didáctico en revisión
5 x + 2 y − z = −7 5.) x − 2 y + 2 z = 0 3 y + z = 17
x − 2 y − 3z = −1 6.) 2 x + y + z = 6 x + 3 y − 2 z = 13
x − 2 y + 3 z = 4 7.) 2 x + y − 4 z = 3 −3 x + 4 y − z = −2 1 4 2 x + y + z = −6 3 2 4 8.) + + = 3 x y z 6 5 6 − − = 31 x y z 63
Curso Propedéutico UNET
Relación de orden en , desigualdades, intervalos. Inecuaciones de primer grado. Inecuaciones de primer grado con valor absoluto. Inecuaciones Inecuaciones racionales. racionales. Inecuaciones Inecuaciones cuadráticas.
Inecuaciones
Relación de orden
>
Es mayor que
<
Es menor que
≥ ≤
Es mayor o igual qu e Es menor o igual que
Desigualdades : es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor
que otra. Miembros: se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a
la izquierda y segundo miembro a la expresión que está a la derecha del signo de la desigualdad 3 x + 2 ≥ 5 x − 3 3 x + 2
primer miembro
5 x − 3
segundo miembro
Términos: son las cantidades que están separadas de la otra por el signo de la
adición " + " o de la sustracción sustracc ión " − "
3 x + 2
64
≥ 5x − 3
3 x , 2, 5 x,
−3
son términos
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Propiedades a < b y b < c , en t o n c e s a < c
a < b y c > 0 , entonces
ac < bc y
enton onc ces 0 < a < b ent
1 a
>
a c
a < b , en entonces a + c
<
1 b
b c
< b+ c y
a− c < b− c
a < b y c < 0 , entonces ac > bc y 0 < a < b entonces 0 < a < b 2
0 < a < b entonces 0 <
a<
a c
>
b c
2
b
INECUACIONES
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se s e verifica para determinados valores de las incógnitas. La Solución de una desigualdad.
La solución de una inecuación se presenta en intervalos, sobre la recta numérica o notación de conjunto. Notación
Notación de
intervalos
Conjunto
( a, ∞ )
{ x ∈ : x > a}
[ a, ∞ )
{ x ∈ : x ≥ a}
( −∞, a )
{ x ∈ : x < a}
( −∞, a ]
{ x ∈ : x ≤ a}
( a, b )
Sobre la recta numérica
a a a a
{ x ∈ : a < x < b}
[ a, b]
{ x ∈ : a ≤ x ≤ b}
[ a, b )
{ x ∈ : a ≤ x > b}
( a, b ]
{ x ∈ : a < x ≤ b}
Material Material didáctico en revisión
a
b
a
b
a
b
a
b
65
Curso Propedéutico UNET
Cuando la inecuación posee dos desigualdades esta se leen de la incógnita a la izquierda y luego de la incógnita a la derecha. El círculo solido en la recta numérica indica que el punto extremo es parte de la solución y un círculo abierto indica que el punto extremo no es parte de la solución. En notación de intervalo los corchetes [ ] , se utilizan para indicar que los extremos son parte de la solución, y los paréntesis ( ) , indican que los extremos no son parte de la solución. El símbolo ∞ que se lee “infinito” indica que el conjunto solución continúa indefinidamente. Cuando se utiliza ∞
en
notación de intervalos intervalos se debe utilizar un paréntesis del lado correspondien correspondiente te de esta notación. Resolver Resolver un a inecuación
Consiste en hallar los valores de la incógnita que satisfacen la inecuación. Inecuaciones Inecuaciones de primer grado: 1.) 3 x + 4 < 11 3 x + 4 − 4 < 11 − 4
restar 4
3 x < 7
agrupar ter min os semejantes
3 x 3
dividir dividir entre entre 3
x <
7 3
sol :
66
7 3
<
∞, 7 3
simplificar
7 x : x < 3
7 3
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
− 6 ≤ −2 x − 4 < 2 −6 + 4 ≤ −2 x − 4 < 2 + 4 −2 ≤ −2 x < 6 −2 −2 x 6 ≥ > −2 − 2 − 2
2 .)
se suma 4 se agrupan ter min os semejantes sedivid sedividen en entr entree
−2
camb cambia iand ndo o los los
sentidos de la desigualdad .
−1 ≥ x > −3 sol :
simplificar
( −3, −1]
{ x : −3 < x ≤ −1} −3
3.)
x + 2
4
−1
≥3
x + 2
.4 ≥ 3.4 4 x + 2 ≥ 12
multiplicar multiplicar por 4
x + 2 − 2 ≥ 12 − 2
restar 2
x ≥ 10
[
sol : 10, ∞
)
{ x : x ≥ 10}
10
Ejercicios
Resuelva las siguientes inecuaciones inecuacione s de primer grado, e indique la solución en la recta de números números reales y en forma de intervalo: intervalo: 1.) 5 x − 5 ≥ −9 + 3 x
7.)
2.) 5 x − 2 < 1 + 6 x 3.) 3 x + 5 ≥
x−2
6.)
2 x − 8 5 x − 7
4
2
( x − 2 ) + 1> − 2(x − 4)
2 x + 3 3
≤
5x + 1 2
4
4.) x − 6 < 21 − 8 x 5.)
8.)
3
≤0
< x
Material Material didáctico en revisión
9.) 3 x + 5 > 10.)
2 x + 1 4
x−2
−
4
4 x + 5 2
≥
x +1
3
11.) 3 x + 5 ≥ x − 2
67
Curso Propedéutico UNET
23.) −10 < − x + 4 < −8
12.) ( x + 2 )( x − 1) + 26 < ( x + 4 )(x + 5 ) 13.) 10 + 3 x > 14.)
3 x + 8
4x − 5
24.)
−3
≤ 4 − 2 x
−5
15.) ( x − 2)
2
3 x 4
25.) − 4 ≤
< x2
26.) − 1 <
16.) − 7 < 2 x + 1 < 5
18.) − 2 <
−3
28.)
≤6
2
6
2 + 3x
−2 7 − 2x 5
≤5
≤5
x
2
+6≥0
29.) ( x − 2 ) ( x + 4 ) − 6 < ( x + 1)( ) ( x + 4)
19.) 8 ≤ 4 − x ≤ 20
30.) x − 26 ≥ 4x + 6
20.) 16 ≤ 1 − 5 x < 21 21.)
x
27.) 2 > −3 − 3x ≥ −7
17.) 4 ≤ 2 x − 4 ≤ 12 2x + 3
1
− < +2
2 x − 5 < − x + 2 3 x
22.) 6 − ≥ 2 x − 4 3
Inecuaciones Inecuaciones de primer grado con valor absol uto:
Para resolver inecuaciones lineales con valor absoluto se debe aplicar las siguientes propiedades x x
68
≤ ≥
a a
⇔ −a≤ x≤a ⇔
x≥a
o
x
≤ −a
con con
a > 0 a > 0
[ //////////// ////////////////////////// //////////////// ]
−a ≤ //////////// //////////////////////] //////////] x ≤ − a
x
≤
a
[//////////// [////////////////////// ////////// a ≤ x
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
1.) x + 4
<1 x + 4 < 1 −1 < x + 4 < 1 −1 − 4 < x + 4 < 1 − 4 − 5 < x < −3 sol :
s e a p lic a
≤
a
⇔ −a≤ x≤ a
se resta 4 se agrupan términos semejantes
( −5, −3)
>1 x − 4 > 1 x − 4 > 1 o x − 4 + 4 > 1 + 4 x > 5 o
−3
−5
2.) x − 4
sol :
x
se aplica
x
≥
a
⇔
x ≥ a o x ≤ −a
x − 4 < −1 o
( −∞, 3) ∪ ( 5, ∞ )
x − 4 + 4 < −1+ 4
s e s u ma 4
x<3
s e agrupan términos semejantes
{ x : 3 > x > 5} 5
3
Ejercicios
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado con valor absoluto, indicando la solución en la recta real y en forma de intervalo: 1.) x ≤ 9
9.)
x
+5 ≤ 2
15.)
3 ( x − 2 ) +
10.) 6 ≤ 3 x + 9
16.)
2 x + 5
3
2.) 3 x ≤ 21 3.) 2 x + 4 ≤ 16
11.)
7−
4.) 5 x + 10 > 15 5.) 2 x − 6 < − 4 6.) 2 x − 11 ≥ 9 7.) −
4 − 5 x
≥ −2
12.) 13.) 14.)
x
4
5 − 3 x 2
≤3
≥
3 2
17.)
3
4 x + 1 2
1 4
<6
≤4
<3
18.) 3 x + 6 > 4
−5 + 3 x − 4 ≤ −5 4−
2 x 3
<
3 2
8.) 3 x + 3 ≥ 0 Material Material didáctico en revisión
69
Curso Propedéutico UNET
Inecuaciones racionales: x + 1 ≤2 1.) x + 3 Un error frecuente frecuente al resolver inecuaciones inecuaciones como estas, es multiplicar primero primero
ambos miembros por x + 3 , si se hiciera se tendría que estudiar varios casos, ya que x + 3 puede ser positivo, negativo o cero. Un método sencillo de resolver sería aplicando el método diagrama de signos o del número de prueba. x + 1 x + 3
x + 1 x + 3 x + 1 x + 3
≤2
−2 ≤ 2−2 −2≤ 0
x + 1 − 2 ( x + 3 ) x + 3
x + 1 − 2 x − 6 x + 3
x + 3
≤0
≤0
− x − 5 ≤0 x + 3 x + 5
rest restar ar 2 para para que que el segu segund ndo o miem iembro bro sea sea cero cero
≥0
producto cruz
distributiva
agrupar términos
multiplicamos por -1
Se hallan las raíces del numerador y denominador para realizar el diagrama de signos o valores de pruebas. numerador
den denominador
x + 5 = 0
x +3 = 0
x = −5
x = −3
70
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Diagrama Diagrama de sign os
Para ello se debe determinar la posición de la recta respecto al eje x Sea y = mx + b
m > 0
+
− −
x + 5 x + 3 x + 5
L x
+ L
m < 0
Del punto de corte (raiz) a la derecha es positiva, y del punto de corte a la izquierda es negativa. Del punto de corte (raiz) a la derecha es negativa, y del punto de corte a la izquierda es positiva.
x
---------------++++++++++ ---------------++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++
−5
----------------------------------------++++++++++++
−3
++++++++++------------++++++++++----------------------+ ---------++++++++++++ +++++++++++
x + 3
−5
−3
Como la desigualdad es mayor o igual a cero c ero se toma el o los intervalos donde dio positivo en este caso Sol:
( −∞, 5] ∪ ( −3, ∞ )
Si en el conjunto solución está la raíz del denominador éste debe ir en paréntesis si la desigualdad es ≤ , ≥ .
Material Material didáctico en revisión
71
Curso Propedéutico UNET
Método Método de valores de prueba se realiza la siguiente tabla. x + 5
x + 3
x + 5
Intervalo
N° de prueba
(Formado por
(un número que pertenezca a el intervalo)
(Sustituir el N° de prueba en el lugar de la incógnita y revisar signo del resultado)
(Sustituir el N° de prueba en el lugar de la incógnita y revisar signo del resultado)
( −∞, −5 )
-6
-
-
+
( −5, −3)
-4
+
-
-
( −3, ∞ )
0
+
+
+
las raíces)
x + 3
(Dividir los signos)
Si en el conjunto solución está la raíz del denominador, esté debe ir en paréntesis si la desigualdad es
≤ , ≥.
Sol: ( −∞, 5] ∪ ( −3, ∞ ) Ejercicios
Resuelva las siguientes inecuaciones inecuacione s racionales en forma de intervalo: 1.) 2.) 3.)
3 2 x − 6 x + 2
>0
>1
1 − x 3
>
x − 2
2 x
6.)
7.) 8.)
5 x x − 4
x − 4 x + 2
3 x + 1
≥6
10.)
3 x − 1 ≤1 x − 6
11.)
2 x + 1 >2 3 x − 1
>2
12.) −4 x + 1 ≤ 0 x − 2
>1 13.)
4.) 5.)
72
5 x − 3
>4
x − 1
2 x − 5
9.)
2 x 1 − x
>0 14.)
<0
x + 3
3 − x
≤2
5 x ≥3 2 x − 8
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Inecuaciones Inecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Al igual que las inecuaciones racionales, un método sencillo para resolver inecuaciones cuadráticas, sería aplicando el diagrama de signos, el valor de prueba (métodos que se puede aplicar si la cuadrática se pueden factorizar) o la posición de la gráfica de la ecuación cuadrática con respecto al eje
x .
10 < 7 x − 10 x 2 < 7 x − 10 2 se ha hace cero el segundo mi miembro x − 7 x + 10 < 0 ( x − 2 ) ( x − 5) < 0 se factoriza 1.) x 2
raíces x = 2 , x = 5
Ahora se realiza el diagrama de signos o los valores de pruebas. En este caso se está resolviendo por los valores de pruebas.
Intervalo
N° de prueba
x − 2
x − 5
( x − 2 ) ( x − 5)
( −∞, 2 )
0
-
-
+
( 2, 5)
3
+
-
-
( 5, ∞ )
6
+
+
+
Sol: ( 2, 5 )
Material Material didáctico en revisión
73
Curso Propedéutico UNET
Posición de una ecuación ecuación c uadrática con respecto al eje x
Sea y = ax
2
+ bx + c
Criterio
Grafica
a>0 ,
2 b − 4ac > 0
a<0 ,
b − 4ac > 0
a>0 ,
b − 4ac = 0
x
2
x
2
x
a<0 ,
b − 4ac = 0
a>0 ,
b − 4ac < 0
x
2
2
x a<0 ,
x
b − 4 ac < 0 2
Interpretació n Por debajo de los puntos de corte (raíces) es negativa. En los puntos de corte es cero Por arriba de los puntos de cortes es positiva. En los puntos de corte es cero Del punto de corte hacia arriba es positiva. En el punto de corte es cero
Del punto de corte hacia abajo es negativa. En el punto de corte es cero Es positiva para cualquier valor en los reales Es negativa para cialquier valor en los reales
2.) x 2 + x + 1 ≤ 0
En este caso la cuadrática no se puede factorizar, entonces revisamos la posición que tiene su gráfica con respecto al eje x x 2 + x + 1 ≤ 0 a > 0 , b 2 − 4 ac < 0
sol: ∅
1 > 0 , 12 − 4 (1)( 1) < 0
Ya que es positiva para cualquier valor en los reales. 74
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado dando la solución en
forma de intervalo: 1.) x 2 − 4 x − 5 < 0
13.) x 2 + x + 3 ≤ 0
2.) 9 − 4 x 2 > 0
14.) x 2 − x − 1 < 0
3.) − x 2 − 2 x + 8 < 0
15.) ( 2 x + 1) ( x − 3) ≥ 0
4.) 0 ≤ 2 x + 8 − x 2
16.)
5.) x − 6 + 2 x 2 < 0
17.) 16 x 2 + 1 ≥ 8 x
6.) (2 x − 1)( x + 3) > 0 .
18.) x 2 − x − 4 ≤ 0
7.) x 2 + 4 x + 4 < 0
19.) − 9 x 2 + 6 x − 1 ≤ 0
8.) x 2 + 4 x + 4 > 0
20.) 4 x 2 + 9 x < 9
9.) x 2 + x + 3 > 0
21.) 2 x 2 − x < 3
10.) x 2 ≥ 4
22.) x (2 x + 3) ≥ 5
11) x 2 < 16
23) 25 x 2 − 9 < 0
12) 5 x 2 − 2 x + 1 < x 2 + 2 x
24) 25 x 2 − 9 x ≥ 0
Material Material didáctico en revisión
4 x 2
.
≥ 9 − 9 x
75
Curso Propedéutico UNET
Función Exponenciales Exponenciales
Definición. Gráfica.
Función Logaritmo
Propiedades. Ecuaciones.
Función Exponencial para cualquier número real a > 0 y a ≠ 1 f ( x ) = a x definida
de → *+ es una función exponencial. exponencial. Graficas
( )=a
x
f x
( )=a
con a > 1
f x
x
con 0 < a < 1
Propiedades exponenciales :
Sea
a , b, x, y
números positivos cualesquiera
x
a x + y a
− x
= a xa y =
1 a x
a = a x b b x xy
a
= (a
x
y
)
x − y
a
− x
=
a x y
a
a =b b a
x
x ( ab) = a xbx
76
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Función Lo garítmica
Para cualquier número real a > 0 y a ≠ 1 f ( x ) = log a x definida de *+ → es una función logarítmica. logarítmica. Gráficas
( ) = log
f x
a
x con 0 < a < 1
( ) = log
f x
a
con a > 1
x
Definición.
log a x = b
⇔
a
b
=x
Propiedades logaritmos:
Si
a
> 0,
a ≠1, n ∈ , b y c
( ) = log
log a b.c
a
números positivos
b + l og a c
log a a = 1
b = l o g b − l og c a a c
lo g a
lo g a b n
log a ( a x ) = x
= n l og a b
log a 1 = 0
a loga b =
log b log a
log a x
=x
(cambio de base)
Escriba en forma logarítmica las expresiones siguientes: 1.) 43 = 64
4.) 3 x = 4 − t
1 2.) 4 = 16
5.)
−2
3.)
t r = m
Material Material didáctico en revisión
35
= 243
6.) 3−4 =
1 81 77
Curso Propedéutico UNET
7.) 10 2 = x
18.) 10 3 = 1000
8.) 10Y +3 = Z 9.)
e
10.)
= x
2
y +3
= Z
e
11.) 40 = 1 12.) 256 = 4 =8
14.) 5 = 625 15.) 10 − 3 = 0 ,001 4
16.)
x
5
3 4
20.) 81 = 27
=
2 22.) 1 = 1 4 16
23.) 64
2.) log5 5 1 6
5.) log10 0,0001 6.) log8 2
1 256
16.) log7 1
1
17.) log3 9 81
3
19.) log 2 4 32
8.) log32 2
20.) log2 256
log 1 64 2
10.) log16
1 8
11.) log 2 1024 12.)
78
1 25
14.) log 6 36
18.) log
log 1 9 3
9.)
log 4
log 3
1 16
15.) log2 47
4.) log3 81
7.)
=
5
7
log6
−2 3
24.) 5−2 =
17.) 33 = 27 Obtener los valores de los siguientes logaritmos: logaritmos: 1.) log 49 13.)
3.)
= 16
83
1
4
23
19.)
21.) 7 2 = 49
1
13.)
4
1 243
21.) log 2
4
1 8
22.) log 2 8 1 23.) log3 3
2
24.) log10 10 Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Hallar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas: 1.) log x = 2
14.) log 25 x =
5
2.)
log x = 50
15.) log 1 x =
3.) ln x = 0,1
4
4.)
log x = 2
5.)
log x = − 8
6.)
2
2
7.) log4 ( 5 + x ) = 3
5 2
17.)
log 4 x =
18.)
ln x = − 0 ,125
3
19.) ln x = 3,41
1 2
20.) ln x = 2 ,12 21.) log x = − 0,5
9.) log x = 3 4
10.)
7
log x = 0 16.) log
log 1 x = − 4
8.) ln x =
3 2
log 2 x =
3 2
22.) log9 x = −
1 2
5 11.) log 1 x = 2 9
23.)
l og x
24.)
ln x = 4 ,5
12.)
25.) log 3 x = 6
log 1 x = − 6 2
= 0 ,85
26.) log2 3 x = 2
1 13.) log8 x = 3
Hallar el valor de la base “ a” en las siguientes expresiones logarítmicas: 1 1.) loga 8 = 2 8.) log 4 = a
2.) loga 16 = 4 3.) log a 32 = − 4.) log a 5.)
2 3
=−
log a 32
1 4
=
5 7
1 3 5 4
1 6.) log a 3 = 4
7.) loga 81 = − 2 Material Material didáctico en revisión
3
9.) loga 1000 = 3 10.) loga 0 ,01 = −2 11.) loga 27 = − 3 12.) log a 0 ,001 = − 13.)
log a 256 =
4 3
14.)
log a 343 =
3 4
3 2
79
Curso Propedéutico UNET
15.)
3 2
log a 512 =
16.) log a 10 10 = 1 8
17.) log a = −
20.) log a 64 = − 3 2
3 2
125 =−3 8
22.) loga 0 ,001 = − 3 23.) loga 50 = 2
18.) loga 49 = 2 1 19.) log a 4
21.) log a
3 2
2 =− 3
24.) loga
8 75 7 27
=3
Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos, en donde las variables representan números positivos y simplifique el resultado. 1.) loga ( a3 . 3 ab )
9.) log a
2.) loga a . ( b + c )
81 3 b a
10.) log a
m. n m
11.)
m n
( ) ( 2 + b)
( bc ) 3
3
3.) log a
2 4 ab
log a
4
3
d
(
3
7b 2 c
)
4
2
4.)
log a
x 3 . b − 1 . 3 5 x
12.) 5.)
(
log a 3 − 3 b
6.) loga 7.)
b
3
)
13.) logm ( m2 + b ) 4 mb3
c
2
d 3
ln
3 4
n2 m b log b 2 b .c 2 3 4
2
5a b c d 4
14.) log a 15.) log a
8.) ln
80
4
e
3
m 2 b3 c
⋅
m b c
a 3b 2 c 3 ab
x
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos y despeje caso: 1.)
3
2
a b x
3
=4
c
2.) a
3
x
a b
=x
6.)
x 4
3 a 2
a3 x 2 c
=
x
3.) a b = a b x b
3
4
cada
2
a .x
−
2 5
7.) 2 xy = x 2 y 3 8.) x 3 n 5 4
2
c
log x en
3
t
= 3 xnt 3
x 2 y + 1 = 9.) y − 2
3
4.) x = 3 ⋅ x −3 a+b
y − 2 x
5.) a 2 x = 3 xb 4 logarítmicas 1. Determinar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas 1.)
lo g x = 3 l o g a − 4 l o g b + 5 l o g c − 3 l o g k
2.)
log x = −2 log k + 5 − 3 log a + 2 log b − a
3.) 5 log x + 2 log a = log x − 3 log b + 5 logc
4.)
log x = 3log b +
5.)
ln x + 3
6.)
log x = log b +
7.)
log x = lo log b + 1
(
− log d
) = ln e − ln 5 + ln
(
1
4
1
logc
3
a
− 2log ( d − 5)
) − 14 (log c + 3log d )
8.) log 2 + log b − 2 log c = − log x 3 2
9.) log x = 10.)
3 log m + 2 log n − 5 log 2 3
lo g 3 + lo g x = lo g 6 + 2 l o g 3
11.) 2 log x − 4 = 4co log 3 − 3 log 5 Material Material didáctico en revisión
81
Curso Propedéutico UNET
12.) 2 + 4 log x = log 6 + 2 log 5 15.)
log x = log ( m + n ) − 2 log ( m − n ) + log ( m 2
− n2 )
1 1 log y − log z 2 3
13.) 5 log x =
14.) ln π + ln x + 2 ln r − ln ln 3 = 5 1
1 ln x − ln y 2 2
15.)
ln 2 + ln π +
16.)
1 2 log x = log x − 1 3
(
17.) 3 log x −
1 2
=3
) − log y − 4log z
log y − 2 log z
= −log x 2
Utilizando la calculadora, determinar el valor de x en las siguientes expresiones aplicando logaritmos: 1.) x = 2.) x =
2 ,5 . 92 ,6 4 3
(15,3 )() ( −12 ,8)
( −18 , 2) .( −25, 4) 3.) x = ( −0 ,08) .( 326) 0 , 612 . 35,8
4.) x =
(12 ,3 )
5.) x = 4,8 2.
4
3 ,6 3 e4 7.) x = 100
8.) x = 9.) x =
10e3
5
7
2
715 . 5 123 1110
2
3 ,2 3 1 , 37
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: 1.)
5 x
7.) 2 x = 3x −5
=7
2.) 2 x = 16 3.)
x 2 − 7 x +14
3
=9
4.) 4 x +1 = 83 x − 2 5.)
3
x
= 81
6.) 73 x −1 = 82
6.) x = 38, 42 + 3 829
1 49 x
1 8.) 4
5 − 3 x
1+ 2 x
1 = 8
9.) 2 x−3 = 1 10.) 2 x −3 =
1 2
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
11.) 12.) 13.) 14.)
2 x
(
= 3x −1 127
x +1
e
)
18.) 3 x−1 . 3x+3 = x
1 9
=1
19.) 4 53− x . x+1 25 = 5
2x
20.) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 14
1 = e
21.)
7 2 x
− 3.7 x − 28 = 0
22.) 2 x + 2 − x = 6
3 x − 1 = −2 3 x
2
23.) e x − 6 x+8 = e
15.) 3 x − 32 x = 0
24.)
16.)
25.) 3 x + 36 − x = 90
x −1
8
x − 2
17.) 9
= 16
=
2 x +1
4 x
+ 2 x + 3 − 48 = 0
26.) 3 x +
1 27
1 x −1
3
=4
Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1.) log ( x + 2 ) − log x = log 12 14.) 2 log ( x + 2 ) + log 4 = 2 2.) log3 ( 2 x + 1) = 2
15.) log ( x + 3) = 2
3.) log 4 16 = x + 3
16.) log3 x + log 3 ( 2 x − 3) = 3
4.)
log x 2
17.)
5.)
lo g x − 2 = 2 l o g 2
(
− x − 5) = 0
log x + 3 log 2 = 3
18.) log3 ( x + 6 ) − log 3 ( x − 2 ) = 2 19.) log x 2 = log ( 6 − x )
1 6.) ln x 2 = x − 3 e
20.) log 4 ( 2 x + 3) − 2 log 4 x = 2
2
7.) ( log x ) + 6 log x + 9 = 0 8.) 9.)
log ( x −2 ) ( −3 x + 6 ) = 2 log x + ( log x )
2
=2
10) log ( x + 1) − log x = 1 11.) 2 log x 2 = 0 12.) log 2 x + log 2 ( x − 7 ) = 3 13.) log x 2 = log x + log 3
Material Material didáctico en revisión
21.) log5 ( 2 x + 3) = log5 11 + log5 3 22.) log 2 ( x + 7 ) + log 2 x = 3 23.)
(
log 3 x + 1
) + log (6 x − 1 ) = log ( 9x − 1)
24.) ln ( −4 − x ) + ln 3 = ln ( 2 − x ) 25.) ln ( x + 6 ) − ln 10 = ln ( x − 1) − ln 2 26.)
(
) + log ( 3x − 5) = log ( 5 x − 3) + 2
log 2 x + 1
2
2
83
Curso Propedéutico UNET
Circunferencia Elipse. CÓNICAS
Hipérbola. Parábola.
Sistema de coordenadas
El sistema de coordenadas consta de dos rectas dirigidas llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. La recta vertical se llama eje Y y la recta horizontal se llama eje X . El punto de intersección 0, es el origen. Estos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamados cuadrantes numerados en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. La dirección positiva del eje X está hacia la derecha y en el eje Y hacia
arriba. Todo punto P del plano tiene coordenadas se representa por
( x, y )
, siendo x la abscisa y está ubicada en el eje X , y la ordenada y ubicada sobre el eje Y la localización del punto P se llama trazado del punto.
y
II
(+)
( −) III
84
I P(x1,y 1)
( +)
( −)
x
IV
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Circunferencia: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que
se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. Ese punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio
( )
P x, y
Ecuación canónica x 2
con centro (0,0) y radio r
+ y 2 = r 2
Ecuación Ordinaria 2 2 ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 con centro (h,k) y radio r Ecuación general Ax 2
+ Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A = C
Dada la ecuación
ó
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
x 2 + y 2 − 4 x + 7 y − 8 = 0
determinar
si
representa
una
circunferencia, circunfe rencia, de ser así graficar. (Use completación de cuadrados) Debemos determinar el radio y centro.
( x
2
− 4x +
)+( y
↓
2
+ 7y+
↓ 2
_____+ _____ ) = 8 + __ com completac pletación ión de cuad cuadra rado dos s
2
4 = 22 = 4 7 = 49 2 2 4 49 49 ( x 2 − 4 x + 4 ) + y 2 + 7 y + 4 = 8 + 4 + 4 2 7 97 2 2 2 ; ( ( x − h) + ( y − k ) = ( x − 2 ) + y + = 2 4 97 1 7 97 centro → C = 2,- radio → r = = 4 2 2 Material Material didáctico en revisión
y
x
C 2, −
2
r
)
7 2
= r =
97 2
85
Curso Propedéutico UNET
Dada la siguiente ecuación
x 2
+ y 2 + 4 y − 1 = 0 determine el lugar geométrico
que representa. Trace su gráfica.
( x ) + ( y 2
2
+ 4y +
_____ ) = 1 + __
↓
com completac pletación iónde de cuad cuadrad rados os 2
4 2 =4
(
x 2 + y 2 + 4 y + 4
(
x + y + 2 2
)
2
) =1+ 4
=5
;
((
x−h
)
2
+ ( y − k ) = r 2 2
y
)
centro → C = ( 0,-2) radio → r =
5
x
≈ 2.23 (
C 0, −2
)
= 5 r =
ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
L
A 1
Eje Menor B 2
P b c
F 1
Centro F 2
Eje Mayor A 2
a
L´
86
B 1
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Elementos de la elipse: Focos de la elipse: son dos puntos fijos F 1 , F 2
la recta que pasa por los focos
la llamaremos eje focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse. El segmento (distancia focal) que une los focos es
F1 F2
= 2c
focal corta a la elipse en dos puntos puntos A1 , A2 llamados vértices, el Eje mayor: el eje focal segmento A1 A2 lo llamaremos eje mayor. La longitud del eje mayor es A1 A2
= 2a
Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Eje menor: el eje normal corta a la elipse en dos puntos B1 , B2 el segmento B1B2 lo
llamaremos eje menor. La longitud del eje menor es
B1B2
= 2b
Relació Relación n entr e a, b y c: c : a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje
menor, c es la del centro a cada foco. La relación entre los parámetros a, b, c es 2
2
2
a = b + c . Es importante destacar que en las elipses siempre se cumple que a > b , esta condición es la que permite escoger el caso que se está trabajando.
Ecuaciones canónicas y
Con centro C(0, C(0,0) 0) y el eje mayor so bre el eje X
Eje Menor Menor
x
2
a
2
+
y
2
b2
B1
=1 A 1 F 1
Centro foco
F 2
Eje Mayor Mayor x A 2
C ( 0,0) F1 ( − c,0) F2 ( c,0)
B 2
A1 ( − a,0)
, A2 ( a,0) coor oorden denada adas de los vérti rtices del eje menor B1 (0,− b), B2 (0, b) coor oorden denada adas de los vérti rtices del eje mayor
Material Material didáctico en revisión
87
Curso Propedéutico UNET
y
Con centro C(0, C(0,0) 0) y el eje mayor so bre el eje Y y
2
b a Centro
2
x
2 2
+
Eje Mayor A2 F 2
=1 Eje Menor
C( 0,0) F1 (0, − c)
foco
B1
C
A1 (0, − a), A2 (0, a)
F 1
x
B2
, F2 (0, c)
coordenadas de los vértices del eje mayor
coor coorde dena nada dass de de los los vér vérttices ices del del eje eje menor enor B1 (− b,0), B2 ( b,0)
A1
Ecuaciones ordinarias Con centro C(h,k) C(h,k) y el eje mayor paralelo al eje X y B2
( x − h ) + ( y − k ) 2
a2
2
b2
=1
Centro
C(h,k )
foco
F1 (h − c,k )
A 1
C (h,k )
F 2
F 1
Eje Mayor A2
x
B1 Eje Menor
, F2 (h + c,k )
Coor Coorde dena nada dass de los los vér vérti tice cess del del eje eje mayo mayorr A2 ( h + a, k), A1 ( h − a, k ) Coor Coorde dena nada dass de los los vért vértic ices es del del eje eje men menor or B1 ( h, k − b), B2 ( h, k + b) y
Con centro C(h,k) C(h,k) y el eje mayor paralelo al eje Y
Eje Mayor A1 F 1
Eje Menor
( x − h ) + ( y − k ) 2
b
2
a
B1
C (h,k )
2
B2
x
2
=1 F 2
Centro foco
C(h,k ) F1 (h,k − c)
A2
, F2 (h,k + c)
Coor Coorde dena nada dass de de los los vé vérti rtices ces del del ej eje may mayor or A1 ( h, k − a) , A2 ( h, k + a) Coor Coorde dena nada dass de de los los vért vértic ices es del del eje eje menor enor
88
B1 ( h − b, k) , B2 ( h + b, k )
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Ecuación general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
del mismo signo A ≠ C y del
Dada la elipse
16 x
2
+ 9 y2 = 144 . Hallar la longitud del eje mayor, menor, distancia
focal, lado recto, excentricidad, las coordenadas de los focos y de los vértices. Dibuja la elipse. 16 x 2 + 9 y 2 = 144 16
9 2 144 2 x + y = 144 144 144 x 2
9
+
y2
16
=1
como a > b entonces a 2 = 16 , a = 4 y b2 = 9 , b = 3 la elipse elipse dad dada a tiene su centro centro c ( 0,0 ) y eje mayor ayor sobre sobre eje el y a=4
,
A1 A2 = 8 C (0,0)
b= 3
c 2 = a 2 − b2
B1 B2 = 6 A1 (0,−4)
c=
F1 F 2 = 2
A2 (0,4)
7
7
, F1 ( 0,− 7 ) F2 ( 0, 7 ) , B1 ( − 3 , 0 ) B2 ( 3 , 0 ) y
Eje Mayor
A2 (0,4)
F 2 (0, 7 )
Eje Menor
C (0,0)
( ,0) B2 3
B1 (−3, 0)
x
F 1 ( 0,− 7)
( ,−4) A1 0
Material Material didáctico en revisión
89
Curso Propedéutico UNET
Dada la elipse 4 x 2 + 9 y 2 - 32x - 36 y + 64 = 0 . Hallar la longitud del eje mayor, menor, distancia focal, la excentricidad, las coordenadas de los focos y de los vértices. Dibuja la elipse. 4 x 2 + 9 y 2 − 32 x − 36 y + 64 = 0 4 ( x 2 − 8 x +
) + 9( y
2
↓
↓ 2
2
8 2 = 16 4 ( x 2 − 8 x + 16
4 2 =4
) + 9( y
( ) 9 ( y − 2 ) +
4( x − 4)2 + 9 y − 2 4( x − 4)2 36
( x − 4)2 9
___) + 9 ( ____ ) ) = − 64 + 4( __
− 4y +
2
2
= 36
2
=
36
( y − 2 ) +
) = − 64 + 4(16) + 9( 4)
− 4y + 4
36 36
2
4
como a > b entonces a 2 =9
=1 a= 3 y
b2
= 4
b=2
la elipse elipse dada dada tiene su centro centro en C( h, k) y eje mayor ayor parale paralelo lo eje el x c=
5
C (4,2)
A1 A2
=6
,
B1 B2
A1 (1,2) , A2 ( 7 , 2) y
A1 1 ( , 2)
=4
F1 F2 = 2
F1(4 − 5, 2) , F2 ( 4 + 5 , 2 )
B2 ( 4, 4) , B1( 4, 0)
B2 (4,4)
C (4,2 )
F 1 (4 − 5 , 2) B1 (4,0 )
90
5
F 2 (4 +
5 ,2 ) A2 (7,2 ) x
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancia a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
asíntota Eje Conjugado
P
B 2 A 2
F 1
A 1
C
Eje Transversal F 2
B 1
asíntota
Elementos de la hipérbola: Focos de la hipérbola: son los dos puntos fijos F1 F2
F 1
,
F 2
.La longitud del segmento
= 2c
Eje Focal es la recta que pasa por los focos.
hipérbola en dos puntos puntos A2 , A1 llamados Eje transverso: el eje focal corta a la hipérbola vértices, el segmento A1 A2 lo llamaremos llamaremos eje transverso. transverso. El punto punto medio del eje transverso es el centro centro (C) de la hipérbola hipérbola.. La distancia distancia del eje transverso es es A1 A2
= 2a
Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal, no
corta a la hipérbola. unaa porció porciónn del eje normal normal con ext extrem remos os en dos pu punt ntos os B2 , B1 Eje conjugado: un se llama eje conjugado. La distancia del eje conjugado es B1B2 = 2b
Material Material didáctico en revisión
91
Curso Propedéutico UNET
Relación entre a, b y c : a es la longitud del semieje transverso, b es la del
semieje conjugado c es la del centro a cada foco. a, b, c están ligadas por la relación c 2 = a 2 + b 2 . Rectángulo Rectángulo recto : se obtiene trazando paralelas a los ejes y que pasen por los
puntos A1 , A2 , B1, B2 . As íntot ínt otas as:: son las rectas que contienen a las diagonales del rectángulo recto. Ecuaciones canónicas Con centro C(0, C(0,0) 0) y el el eje transverso transv erso sobre sob re el el eje eje X x 2
−
y2
a2 b2 C en t r o
=1 C (0,0 )
coordenadas de los fo cos
F1 (− c ,0) F2 (c ,0 )
coord oorde enada nadass de los los vé vértic rtice es del del eje tran transv sve erso rso A1 (− a ,0), A2 (a ,0 ) coordenadas de los los vértice ices del eje conjug jugado B1 (0,−b ), B2 (0,b ) a sí n t o t a s :
y= -
b a
x
,
y =
b a
x b y = x a
B 2 A 2
A 1
F 1
C
F 2
B 1 b y = − x a
92
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Con centro C(0, C(0,0) 0) y el el eje transverso transv erso sobr e el eje Y y
2
a2
−
x
2
b2
=1 C (0,0)
Centro foco
F1 (0,− c) F2 (0, c)
coord ordenadas das de los vérti rtices del eje transv nsverso
A1 (0,− a)
A2 (0, a)
coor coorde dena nada dass de los los vért értices ices del del eje con conju juga gado do B1 (− b,0) asíntotas: y
=
a b
x
,
y=
B2 ( b,0) y
a
- x b
=
a b
x
F 2 A2
C
B2
B1 A1
F 1 a y = − x b
Ecuaciones ordinarias Con centro C(h,k) C(h,k) y el el eje transverso trans verso paralelo al al eje X
( x − h ) a2
2
−
( y − k )
2
b2
=1
Centro → C (h,k ) foco → F1 (h − c,k )
F2 (h + c ,k )
Coor Coorde dena nada dass de los los vé vértic tices del eje tran transv sve erso A1 (h − a ,k ) , A2 (h + a ,k ) Coor Coorde dena nada dass de los los vértic tices del eje conju onjug gado ado B1 (h ,k asíntotas:
y -k
b
= − ( x − h) a
y -k
− b)
B2 (h ,k
+ b)
y - k
b
= (x − h ) a
b
= ( x − h) a
B 2 F 1
C A1
A 2
F 2
B1
y - k
Material Material didáctico en revisión
b
= − (x −h ) a
93
Curso Propedéutico UNET
Con centro C(h,k) C(h,k) y el el eje transverso transv erso paralelo al al eje eje Y
( y − k ) − ( x − h ) 2
a
2
b
2
2
=1
Cent Ce ntro ro C( h,k ) F1 (h , k − c)
foco
F2 (h , k + c)
Coor Coorde dena nada dass de los los vért vértic ices es del del eje eje tra trans nsve vers rso o A1 ( h, k − a) , A2 ( h, k + a) Coor Coorde dena nada dass de los los vér vérti tice cess del del eje eje conj conjug ugad ado o B1 ( h − b, k), B2 ( h + b, k ) asíntotas: y - k = −
a b
( x - h)
y- k =
a b
( x - h) F 2 A 2 B 1
C
B 2
A 1
F 1
Ecuación general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A y C son de signo distintos
Dada la ecuación y 2 − 4 x 2 = 16 determinar sus elementos y graficar y 2 − 4 x 2 y 2
4 x2 − 16 16
y 2
16
−
x2
4
= 16 =
16 16
=1
( )
la hipérb hipérbola ola dad dada a tiene tiene su su cen centro tro en en C 0,0 y eje eje tranve tranverso rso sobre sobre el eje y
94
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
a = 16
a =4
2
b =4
,
b= 2,
2
( ) , A ( 0, 4) , B ( −2,0) F ( 0,−2 5 ) F ( 0, 2 5 )
A1 0,−4
2
, B2 ( 2, 0)
1
1
c=2 5
2
A1 A2 = 8
,
B1 B2 = 4
asintotas
y = −2 x
, F1 F 2 = 4 5 y = 2x Eje Transversal
(
F 2 0,2 5
y
)
= 2x
A 2 ( 4,0 )
( )
( −2,0 ) B1
B2 2,0
Eje Conjugado
Centro
( −4,0 ) A 1 y
= −2 x
F 1
( 0, −2 5 )
9 x 2 − 4 y 2 − 54 x −1 16 6 y + 29 = 0
Dada la ecuación
determinar sus elementos y
graficar. 9 x 2 − 4 y 2 − 54 x − 16 1 6 y + 29 = 0
( 9 x
2
) − ( 4y
− 54 x +
9 ( x 2 − 6 x + 9
( x − 3) 4
2
−
Material Material didáctico en revisión
)
−4(
( y + 2) 9
2
+ 16 y +
y2
____+ ____ ) = − 29 + __
+ 4 y + 4 ) = − 29 + 81 − 16
2
=1
95
Curso Propedéutico UNET
( )
la hipérb hipérbola ola dada dada tiene tiene su centro centro en C h,k y eje tranve tranverso rso parale paralelo lo el eje x
(
C 3,−2
(
)
a = 2 , b = 3, c = 13
)
(
)
(
( ) (
)
) (
A1 1,−2 , A2 5,−2 , B 3,−5 , B1 3,1 , F 1 3 − 13 ,−2 , F 2 3 + 13 ,−2 A1 A2
=4 ,
asíntotas
B1B 2
y = −
3 2
=6 , x+
F1F 2
5
y
2
)
= 2 13
=
3 2
x−
13 2
y
y
=
3 13 x− 2 2
( 3,1) x
(3 +
1 3 , −2
)
( 5, −2 )
(1, −2 )
(3 +
1 3 , −2
)
( 3, −2 )
( 3, −5 )
y
=−
3 5 x+ 2 2
PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija (L), situada s ituada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo (F) del plano y que no pertenece a la recta. y
L1
F
p
P x
V
L
96
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Elementos de la parábola: Foco: es el punto fijo. F Directriz: es la recta fija. L
el vértice y es perpendicular perpendicular Eje de la parábola : es la recta que pasa por el foco, el a la directriz. También se le llama eje focal o eje de simetría. Vértice: es el punto medio entre el punto de intersección del eje de la parábola
con la directriz directriz y el foco. V. La distancia del vértice al foco la llamaremos llamaremos p Ecuaciones canónicas Con vértice vérti ce V (0,0) (0,0) y el eje de la parábola paráb ola sobr so bre e el eje Y x 2 = 4 py
(
F 0, p
)
directriz y = − p Vértice V ( 0,0 )
si p > 0 la parábola tie tiene la forma y
L1
F
si p < 0 la parábola tie tiene la forma y
L2
p V
L x
V p F
L L1
x
L2
Con vértice vérti ce V (0,0) (0,0) y el eje de la parábola paráb ola sobr so bre e el eje X y2 = 4 px F ( p,0 ) directriz x = − p vértice: V ( 0,0 )
si p
>
0 la parábola
tiene la forma
y
si p < 0 la parábola tie tiene la forma
L
y
L2
V F p
L2 x
F
V p
L1
L x
L1
Material Material didáctico en revisión
97
Curso Propedéutico UNET
Ecuaciones ordinarias Con vértice V (h, k) y el el eje eje de la parábola paralelo paralelo al eje Y
( x − h ) = 4 p ( y − k ) F ( h,k + p ) V ( h, k ) 2
directriz y = k - p si p > 0 la parábola tie tiene la forma
si p < 0 la parábola tie tiene la forma
y
y
F
L1
p V ( h, k )
L2
L V ( h,k )
p F
x
L
L1
x
L2
Con vértice V (h, k) y el el eje eje de la parábola paralelo paralelo al eje X
( y − k ) = 4 p ( x − h) F ( h + p , k ) V (h, k ) 2
directriz x = h - p si p > 0 la parábola tie tiene la forma
L2
L2
y
L
si p < 0 la parábola tie tiene la forma
( ) F
V h,k
F
y
L
p
p
( )
V h,k
x
x
L1
L1
Ecuaciones generales:
Eje focal coincide o paralelo al eje y 2 Ax + Bx + Cy + D = 0 98
Eje focal coincide o paralelo al eje x 2 Ay + By + Cx + D = 0 Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Determinar el foco y la directriz de la parábola 2 y 2 = −3x . Trazar la gráfica y
2 y 2
= −3 x
= 4 px
y 2
4 p = −
y2
3 2
→
Directriz
x
=
=− p=
3 x 2 3 − 8
x =
de de dond donde e
→
3 − ,0 8
p< 0
3 8
x V
3 F − ,0 8
3 8
Determinar el el foco, vértice vértice y la directriz de la parábola parábola y 2 + 2 y − 8 x − 3 = 0 . Trazar la gráfica. y 2 + 2 y − 8 x − 3 = 0
( y + 2 y + ) = 8 x + 3 ( y + 2 y + 1 ) = 8 x + 3 + 1 2 2
( y + 1) 4 p
2
1 = 8 x + 2
=8
directriz
(
→
p
( y − k)
→
=2 ,
h=−
→ x = h − p →
F h + p, k
)
→
3 2
= 4 p ( x − h)
1 , k 2
x=−
2
5 2
= −1
donde
1 2
V − , −1 x =
−
5 2
y
F , −1
x
− 1 , −1 2
Material Material didáctico en revisión
3 . − 1 2
99
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios
Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias. Trazar su gráfica. 2 2 1.) x + y = 10
8.) x 2 + y 2 − 2 x − 15 = 0
2
2
9.) x 2 + y 2 − 4 = 0
2
2
10.) 4 x 2 + 4 y 2 + 12 x − 12 y + 14 = 0
2.) ( x + 4 ) + ( y − 2 ) = 64 3.) ( x − 4 ) + ( y + 2 ) = 9 2
2
4.) ( x + 3) + ( y + 1) = 25 2
2 5.) ( x − 5) + y = 16
1 2 y + 11 = 0 11.) 3 x 2 + 3 y 2 + 6 x −12 40 y = −127 12.) 4 x 2 + 4 y 2 + 24 x − 40
13.) 3 x 2 + 3 y 2 + 4 y − 7 = 0
2
6.) x2 + ( y + 8) = 54
2 2 14.) x + y + 2 x + 10 y + 18 = 0
2 2 7.) x + y + 4 x − 2 y + 2 = 0
Encontrar los elementos de cada una de las ecuaciones de las elipses. Trazar su dibujo 2 2 7.) 9 x2 + 4 y 2 − 90 x − 24 y + 225 = 0 1.) x + y = 1 2.)
25 9 x 2 y2 + 4 16
8.) x 2 + 36 y 2 + 4 x − 432 y + 1264 = 0 =1
9.) 2 x2 + y2 − 24 x − 2 y + 72 = 0
2
2
x − 1) ( y − 6) 3.) ( + =1
9
16
2
2
x + 1 ) ( y + 6) 4.) ( + =1
16
4
2
2
x + 1 ) ( y − 6) 5.) ( + =1
64
16
x + 4 ) 6.) (
2
+
16
( y + 1)
201 = 0 10.) 4 x2 + y 2 + 64 x − 6 y + 20 52 = 0 11.) 27 x2 + y2 + 108 x − 10 y + 52
12.) 4 x2 + 32 y 2 + 4 x + 128 y + 65 = 0 2 2 13.) 4 x + y + 9 x − 24 y + 144 = 0
14.) x2 + 6 y 2 + 8 x − 24 y + 36 = 0
2
9
=1
Encontrar los elementos de cada una de las ecuaciones de la hipérbola. Trazar su dibujo. 2 2 6.) x 2 − y 2 − 4 x − 4 y − 400 = 0 1.) x − y = 1 2.)
25 16 y 2 x2 − 25 144
y − 5 ) 3.) (
−
2
9
100
8.) −4 x 2 + 49 y 2 − 48 x + 98 y − 291 = 0
( x + 4)
2
=1
36 2
−
9
y + 5 ) 5.) (
=1
2
9
4.) ( x − 5 )
7.) 4 x 2 − 9 y 2 + 8 x − 54 y − 113 = 0
( y + 4)
2
−
36
( x − 4) 36
=1 2
=1
9.) − x 2 + y 2 + 10 x − 8 y − 18 = 0 10.) 4 x 2 − y 2 − 40 x − 8 y + 68 = 0 11.) x2 − 2 y2 + 4 x + 20 y − 50 = 0 12.) −8 x 2 + 3 y 2 + 128 x − 6 y − 557 = 0 Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Encuentre el foco y la directriz de las siguientes parábolas. parábolas. Graficar 1.) x2 = 4 y 8.) x2 − y = 0 2.) y 2 = 8x 3.) x 2 = − y 4.) y 2 − 8 x = 0 5.) x 2 = −16 x 6.) ( y − 5) 2 = 8 ( x + 2 ) 7.) ( x − 5 )2 = 8 ( y + 2 )
9.) y 2 + 2 x = 0 2 10.) y − 24 x = 0 11.) y 2 − 8x − 8 y + 64 = 0 12.) y 2 + 20 x + 2 y − 39 = 0 13.) 12 x 2 − 72 x + y + 78 = 0 14.) y 2 − 24 x + 10 y + 49 = 0
Indicar que cónica representa representa cada una de las gráficas, gráficas, así como la ecuación le corresponde según la ubicación de su eje de referencia.
Material Material didáctico en revisión
101
Curso Propedéutico UNET
Trigonometría
Mediciones de ángulos. Razones Trigonométricas de los triángulos rectángulos. Grafica de las funciones seno y coseno. Ángulos notables. Identidades trigonométricas. Formulas de la suma y diferencia de ángulos de seno y coseno. Formula de ángulos doble de seno y coseno.
Medicion Medicion es de los ángulos.
La medida que se ha tomado como unidad para medir un ángulo es la sexagesimal (grados) y la circular (radianes) Sistema sexagesimal.
En esta medida se divide la circunferencia en 360 partes iguales. Un ángulo formado por una vuelta completa de un lado terminal en dirección contraria a las manecillas del reloj tiene medida de 360 grados, lo cual se escribe 360° . Un ángulo de 1 grado, expresado, se forma por un
1 parte de una vuelta, o 360
rotación, completa en dirección contraria a las manecillas del reloj. Un grado se divide en minutos y segundos, del mismo modo que se divide la hora. Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos, expresada con ´ , y cada minuto de divide en 60 partes iguales llamadas segundos, expresada con ".
Cinco grados, 25 minutos minutos y treinta segundo segundo se expresa 5°25´30" . Las medidas también pueden estar en decimales 35, 35, 413° para llevarlo a grados, minutos y segundos, se toma la parte decimal para llevarla primeramente a minutos, luego la parte decimal que se origina de este cambio, se toma y se lleva a segundos.
(
)
35,41 35,4133° = 35 ° 0, 413 . 60 ´
= 35°24,78´ = 35°24´( 0,78 . 60) " = 35°24´47" 102
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Sistema circular.
En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado radián. Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. circunferencia. Es decir, si la longitud del arco AB es igual a r, entonces ∠ AOB = 1 radián A r r O r B
La longitud de una circunferencia es 2π radios entonces un ángulo de 360° equivale a 2π radianes, es decir 6,28 radianes, dándole a
π
el valor de 3,14.
Si se divide 360° entre 2π , un radián equivale a 57°18´ Conversión
De radián a grado
De grado a radian
α
α
r
d
=
=
180° α r π rad
π
rad
180°
α
d
Ángu Án gu lo en p os ic ió n es tán dar o n or mal
Un ángulo en posición estándar es aquel que su vértice está en el origen
del
sistema sistem a de coordenadas y el lado inicial está ubicado sobre el lado positivo del eje x.
y
α
x Lado inicial
Material Material didáctico en revisión
103
Curso Propedéutico UNET
Cuando la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo, cuando se hace en sentido a las manecillas del reloj el ángulo es negativo.
y
135°
90°
3π
60°
4
45°
π
y
3
π
π
4
2
π
30° 180°
360°
6
x
x
π
2π 7π
210°
6
225° 240°
270°
315°
5π 4
4π
3π
3
2
7π 4
Ejercicios.
¿En qué cuadrantes están los ángulos siguientes? 1.) 2.)
π
6 2π 3
3.)
π
4.)
5π , 4
11π 5.) 6
11.) 3
6.) −
π
4
12.) -2,5
7.) −
π
13.) 0,78
2
14.) -5,4
8.) −
5π 6
9.) −
5π 4
10.) − 5π 3
104
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
¿Cuál es la medida en radianes del ángulo dado? 1.) 150°
5.) –135°
9.) 100°
2.) –60°
6.) 210°
10.) 630°
3.) 225°
7.) 450°
11.) –54°
4.) 120°
8.) 72°
12.) 95°
¿Cuál es el valor exacto en grados del ángulo dado? 1.) 2.)
15π 6 11π 4
3.) −
7π 2
4.) 7 π 2π 5.) 9
6.) −
8.)
π
15
5π 2
7.) 9 π
Transforme los ángulos dados en radianes a grados, minutos y segundos 1.) α = 3 Rad
3.) χ = 5 Rad
5.) φ = 1,86 Rad
2.) β = 2 Rad
4.) δ = 4,25 Rad
6.) ω = 8,35 Rad
Transforme los ángulos dados en grados, minutos y segundos a grados y luego a radianes: 1.) 19° 47’ 23’’
3.) 138° 29° 24’’
5.) 318° 50’ 34’’
2.) 80° 15’ 47’’
4.) 205° 38’ 56’’
6.) 526° 41’ 18’’
Material Material didáctico en revisión
105
Curso Propedéutico UNET
Razone Razoness trigono métricas
El círculo con radio igual a 1 y centro en el origen es el llamado círculo unitario, tiene la ecuación x 2 + y 2 = 1 y es fundamental para desarrollar las razones trigonométricas. Lado Lado fina finall
y x 2
+ y2 = 1
( )
P x, y
y α
x
( )
A 1,0
y α
x
α a o t s e u p o o t e t a C
2
= x2 + y2
teorena de pitágoras
h
cate cateto to adya adyace cent nte e
tg α =
Cateto adyacente a α
sen α =
cate cateto to opue opuest sto o
= csc α =
hipotenusa
106
hipotenusa
cate cateto to opue opuest sto o
=
=
x h
h x
cos α =
sec
hipotenusa
=
x h
hipotenusa h = ( ) = cate cateto to adya adyace cent nte e x α
cate ateto opue opuest sto o cate catetoady toadyac acen ente te
ctag α =
=
cate cateto to adya dyacent cente e catetoopu oopuesto
Material didáctico en revisión
x y
=
y x
Curso Propedéutico UNET
Signos de los valores de las razones razones trigon ométricas dependen de la posición
del punto P ( x, y ) en el ssistema istema de coordenadas y I cuadrante cuadrante
II cuadrante cuadrante
( )
( )
P x, y
sen
tg
( ) α
P x, y
+
α
( )
y csc
+ ( )
y ctg
+ Todas
α
+ ( ) α
x
( ) y sec( )
cos
α
α
( )
P x, y
( )
P x, y
I V cuadrante
III cuadrante cuadrante
Obtenga los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo α en posición normal, cuando el punto punto P( x , y) está en el lado terminal de α . 1.) P(4 , 3)
3.) P( − 2, 2)
5.) P ( 0, − 4)
2.) P(5 , − 12)
4.) P ( − 8, − 15)
6.) P( 3, 0)
Determinar el cuadrante que contiene al ángulo α . 1.) cos α > 0 y tgα < 0
8.) ctgα < 0 y
2.) senα < 0 y ctgα > 0
9.) cos α < 0 y ctgα < 0
3.) cos α < 0 y tgα > 0
10.) senα < 0
4.) senα > 0 y ctgα < 0
11.) senα < 0 y cos α < 0
5.) tgα < 0
y csc α > 0
6.) ctgα > 0
y
7.) tgα > 0
12.) tgα < 0
y y
sec α > 0
tgα < 0
sec α < 0
sec α < 0
y csc α < 0
Material Material didáctico en revisión
107
Curso Propedéutico UNET
Determinar los valores exactos de las otras cinco funciones trigonométricas de α si: 1.) sen α =
5 y cos α > 0 13
2.) cos α =
3 y sen α > 0 5
7.) sec α = 2 y ctg α < 0 1 2
8.) cos α = − y tg α > 0 2 5
9.) sen α = y α ∈ Ι
4 5
3.) cos α = − y sen α > 0 4.) ctg α = 5.) tg α = −
10.) sec α = −
4 y csc α < 0 3 8 y sec α < 0 15
6.) csc α = −2 y ctg α > 0
7 2
y α ∈ ΙΙ
11.) ctg α =
1 2
y α ∈ ΙΙΙ
12.) cos α =
3 8
y α ∈ ΙV
Utilizando la calculadora, determine el ángulo x ∈ I cuadrante 1.) sen x = 0,5025
4.) ctg x = 3,566
2.) cos x = 0,5783
5.) sec x = 1,4920
3.) tg x = 1,530
6.) csc x = 2,049
Funciones Trigon ométricas. Graficas Graficas base para un ciclo o periodo : Función Seno f ( x )
y
=
sen x
dom f
= , rgo f = [ −1,1]
periódo perió do 2π , 1
int ercepciones en x :nπ π
−1
108
2
π
3π 2
2π
x
n ∈
desplaz desplazamie amiento nto de fase : empieza x = 0 ,ter mina x = 2π
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Función Coseno
y
f ( x )
=
cos x
d om f ( x )
1
π
−1
3π
π
2
2π
x
2
=
, rgo f ( x )
= [ −1,1]
periódo 2π , int ercepciones en x : nπ +
π
2
desplaza desplazamien miento to de fase : empieza : x
=0 ,
ter min a : x
= 2π
Fórmulas de reducción al pr imer cuadrante Ángu Án gu lo s d el s egu nd o c uadr ua dr ant e: El ángulo α se resta de 180°
Y P(-a, b)
P(a, b)
X
= sen (180° − α ) cos α = − cos (180° − α ) tgα = −tg (180° − α ) senα
= − ctg (180° − α ) secα = − sec (180° − α ) csc α = csc (180° − α )
ctgα
Ángu Án gu lo s d el ter t ercc er c uadr ua dr ante: an te: Al ángulo α se le resta 180°
Y P(a, b)
X
sen (α − 180° ) = − se 180° ) cos α = − co cos (α − 180 tgα = − tg tg (α − 180° ) senα
= ctg (α − 180 ° ) sec α = − se s ec (α − 180 ° ) cscα = − csc (α − 180 °) ctgα
P(-a, -b)
Material Material didáctico en revisión
109
Curso Propedéutico UNET
Ángu Án gu lo s d el c uar to cu adr ant e:
Y
El ángulo α se resta de 360°
P(a, b)
= − sen ( 360° − α ) cos α = cos ( 360° − α ) tgα = − tg tg ( 3 6 0 ° − α ) senα
X
= − ctg ( 360° − α ) secα = sec ( 360° − α ) csc α = − csc ( 360° − α ) ctgα
P(a,-b)
Ángu Án gu lo s m ayo res re s a 360°: 36 0°:
Se divide el ángulo α entre 360°, el cociente indica el número de vueltas dadas por el radio vector unitario, el ángulo α es igual al ángulo del residuo. Ángu Án gu lo s n egati ega ti vos: vo s:
Para transformar un ángulo negativo α a ángulo positivo, se resta de 360° el valor absoluto de α o también se aplica las relaciones: sen ( −α) = −sen α
cos (−α) = cos α
tg ( −α) = − tg α
csc (−α) = − csc α
sec ( −α) = sec α
ctg ( −α) = −ctg α
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Identidades tr igonométricas fundamentales: fundamentales: tg α =
1 + tg 2 α = sec 2 α
ctg α =
1 + ctg 2 α = csc 2 α
110
sen α
sen 2 α + cos 2 α = 1
cos α cos α sen
α
sen α . csc α = 1 tg α . ctg α = 1 cos α . sec α = 1
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Identidades de la suma sum a y diferenc ia de ángulo s: sen (α + β) = sen α . cos β + cos α .sen β
cos (α + β) = cos α . cos β − sen α .sen β
sen (α − β) = sen α . cos β − cos α .sen β
cos (α − β) = cos α . cos
tg (α + β) =
tg α + tg β
tg (α − β) =
1 − tg α . tg β
β + senα . sen β
tg α − tg β 1 + tg α . tg β
Identidades Identidades del ángulo doble: sen 2 α = 2 .sen α . cos α tg 2α =
Cos2α = Cos 2α
2 tg α 1 − tg
2
Cos2 os2α = 1
α
− Sen 2α
Sen 2α − 2Sen
Cos2α = 2Cos 2α
−1
Identidades Identidades del ángulo medio: sen
α 2
=
1 − cos α 2
cos
α 2
1 + cos α 2
=
tg
α 2
=
1 − cos α 1 + cos α
Otras fórmulas de reducci reducci ón: sen (−α) = −sen
α
cos ( −α) = cos α
π − α = cos α 2
cos
sen
π + α = cos α 2
sen ( π − x ) = sen x
sen
Material Material didáctico en revisión
tg ( −α) = − tg α
π − α = sen α 2
tg
π − α = ctg α 2
cos
π + α = −sen α 2
tg
cos ( π − α) = − cos α
tg ( π − α) = − tg α
π + α = −ctg α 2
111
Curso Propedéutico UNET
Ejercicios
Obtenga los valores exactos de: 1.) sen 15°
4.) cos
2.) cos 165°
3.)
7π 12
sen −
23 π 12
5.) tg 105° 6.) tg
13 π 12
Obtenga los valores exactos de: 1.) sen 32°.cos 58° + cos 32°. sen 58° 2.) cos 116°.cos 64° − sen 116°. sen 64° 3.) sen 110°. cos 20° − cos110°. sen 20° 4.) sen 110°.sen 70° − cos110°. cos 70° 5.) sen 85°.sen 25° + cos 85°. cos 25°
6.) sen 70°.cos 205° − cos 70°. sen 205° 7.)
8.)
tg 20° + tg 25° 1 − tg 20°. tg 25° tg 200° − tg 80°
1 + tg 200° ⋅ tg 80°
Comprobar que
π 1.) sen + x = cos x 2
2.) sen (π − x ) = sen x 3.) sen (π + x ) = −sen x 3π − x = − cos x sen 2 4.) 3π 5.) sen + x = − cos x 2 6.) sen (2π − x ) = −sen x π 7.) cos + x = −sen x 2 8.) cos (π − x ) = − cos x 9.) cos (π + x ) = − cos x
3π 10.) cos − x = −sen x 2 112
3π 11.) cos + x = sen x 2 12.) cos (2 π − x ) = cos x π 13.) tg + x = −ctg x 2 14.) tg (π − x ) = − tg x 15.) tg (π + x ) = tg x
3π − x = ctg x 2 16.) 3π 17.) tg + x = −ctg x 2 tg
18.) tg (2π − x ) = − tg x
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
Hallar sen 3x en términos de sen x. Hallar cos 3x en función de cos x . Hallar tg 3x en función de tg x.
Determine sen 2 α , cos 2 α , tg 2 α .
1.) Si sen α =
3
con
5
2.) Si sen α =
4
3.) Si sen x =
4
4.) cos x = −
π 2
5.) tg x = <α<π 0< α <
con
5
0
con
5
5
con
13
π 2
8
6.) sen x =
π
sen x < 0
y
15 3
con
5
π 2
2
π 2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes siguientes identidad identidades es trigonométricas: trigonométricas: 1.) cos x . tg x = sen x 2.) 3.)
4.)
1 + ctg 2 x 2ctg 2 x tg x sen x
sec 2 x = 2
7.)
= sec x 8.)
sen x + ctg x tg x + csc x
= sen x . ctg x
5.) tg x − sen x = 2
6.) sen 2x =
2
Material Material didáctico en revisión
9.)
2 tg x 1 + tg 2 x
sec x + csc x 1 + tgx cos2 x cos x
= 2 cos x − sec x
tg x + ctg 2 x tg x − ctg 2 x
sen 4 x cos 2 x
= csc x
10.) cos 2x =
=
tg 3 x + 1 tg 3 x − 1
1 − tg 2 x 1 + tg 2 x
113
Curso Propedéutico UNET
25.)
11.)
tg 2 x tg x
12.)
(1 + sec x ) (1 − cos x ) = tg x .sen x
= 2 cos 2 x .sec 2x
1 + ctg 2 x 13.) 2 ctg x
14.) 15.)
= csc 2 x 1 + tgx = sec x
cos 2 x
sen 2 x
+
cos x
26.) (sec x + tg x ) (1 − sen x ) = cos x 27.)
1 + ctg x csc x sen x
(ctg x + csc x ) (tg x − sen x ) = sec x − cos x tg x + cos x sen x
= sec+ ctg x
28.) cos 2 x (sec 2 x − 1) = sen 2 x 29.) (1 + sen x ) (1 − sen x ) =
= csc x
1 sec 2 x
30.) (1 − sen 2 x ) (1 + tg 2 x ) = 1 16.) 17.)
18. )
sen x
=
1 + cos x
1 − cos x
tg 2 x 1 + tg x . tg 2 x 1 1 + cos x
31.)
sen x
+
=
20.)
1 + cos x
+
2 − sec x sec 2 x 2
21.)
1 − ctg 2 x 22.) 1 + ctg 2 x
23.)
24.)
114
= sec x + tg x
2 tg x 1 + tg 2 x 1
32.) sec 2 x .csc 2 x = sec 2 x + csc 2 x
= 2 csc x 2
1 − cos x
19.) ctg x − tg x = 2 ctg 2x sen x
1 + sen x cos x
1 + cos x sen x
= 2 csc x
3 33.) (1 − tg x ) =
ctg x − 1 ctg x
.(sec 2 x − 2 tg x )
34.) ( tgx tgx + ctgx ctgx ) = sec2 x.cs x.cscc2 x 2
35.) tg 2 x − sen 2 x = tg 2 x .sen 2 x 36.) ctg 2 x − cos 2 x = cos 2 x . ctg 2 x
= cos 2 x 37.)
= sen 2 x − cos 2 x
1 1 + tg x . tg 2 x
38.)
sen x + 1 1 + cos x = sec x − 1 1 − cos x csc x + 1 csc x − 1
= cos 2x
1 1 − = 2 tg 2 x csc x − 1 csc x + 1
39.)
40.)
=
1 + sen x 1 − sen x
1 tg x + ctg x 1 1 + sen x
+
= sen x .cos x
1 1 − sen x
= 2 sec 2 x
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
2 41.) (tg x + ctg x ) = sec 2 x + csc 2 x
42.) ctg x . csc x =
sen 3 x + cos 3 x 47.) sen x + cos x
1 sec x − cos x
48.) csc 4 x − csc 2 x = ctg 4 x + ctg 2 x 49.)
43.) csc 4 x − ctg 4 x = csc 2 x + ctg 2 x 44.) cos x − sen x = cos x − sen x 4
4
2
2
45.) tg 4 x + tg 2 x = sec 4 x − sec 2 x 46.)
sec x + 1 tg x
=
= 1 − sen x . cos x
tg 3 x + sen x . sec x − sen x . cos x sec x − cos x
= tg x .sec x + sen x
50.) 1 + cos x 1 + sen x 2(cos x − csc x ) + = 1 − cos x 1 − sen x ctg x − cos x − csc x + 1
tg x sec− 1
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes siguientes ecuaciones trigonométricas: trigonométricas: 1.) cos x =
1
2.) sen x =
1 2
2
0 ≤ x ≤ 90º 0 ≤ x ≤ 2 π
3.) 2 sen x = sen 2 x
0 ≤ x ≤ 2 π
4.) tg x = +1
0 ≤ x ≤ 2 π
5.) tg x = −1
0 ≤ x ≤ 2 π
6.) 2 sen x + 1 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
7.) 2 cos x − 1 = 0
0º ≤ x ≤ 360º
8.) 2 sen 2 x − 1 = 0
para todos los ángulos
9.) 4 sen 2 x + 4 sen x − 3 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
10.) 2 cos 2x + 3 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
11.) 2 sen 2 x + 3 cos x = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
12.) 2 tg 2 x + 3 sec x = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
13.) tg 2 x + ctg 2 x − 2 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
Material Material didáctico en revisión
115
Curso Propedéutico UNET
14.) cos 2 x + cos x = −1 15.) sen x + cos x = 0
0 ≤ x ≤ 2 π 0 ≤ x ≤ 2 π
16.) (tg x + 1) 3 ctg x − 1 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
17.) 2 sen 2 x − cos x − 1= 0
0 ≤ x ≤ 2 π
18.) sec 2 x − tg x = 1
0 ≤ x ≤ 2 π
19.) 4 sen 2 x − 1= 0
0 ≤ x ≤ 2 π
20.) 2 cos 2 x + 3 cos x + 1 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
21.) 2 sen 2 x − 5 sen x − 3 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
22.) sec 2 x − tg x = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
23.) 9 cos 2 x + 6 cos x − 8 = 0
0 ≤ x ≤ 2 π
24.) 2 sen 2x − 3 sen x = 0
0 ≤ x < 2 π
2cosx − 3 = 0 25.) 2cosx
0 ≤ x ≤
26.) 6 cos 2 x + cos x − 2 = 0
x ∈ 0 , 2π
27.) csc2 x = 2 ctg 2 x 28.) cos x + 3sen x = 1 29.) 2 cos 2 x = cos x + 1 30.) 2 cos 2 x − 3 cos x + 1 = 0 31.) 4 cos x − 3 = 0 32.) tg 2 x − tg x = 0 33.) cos x − 2 sen 2 x + 2 = 0 34.) tg 2 x = 3 tg x 35.) 2 tg x − sec 2 x = 0
116
π 2
[ x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2 x ∈ [ 0 , 2
π
π
π
π
π
π
π
π
π
] ] ] ] ] ] ] ] ] ]
Material didáctico en revisión
Curso Propedéutico UNET
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA VICERRECTORADO ACADÉMICO UNIDAD DE ADMISIÓN CURSO PROPEDÉUTICO CRONOGRAMA CRONOGRAMA ÁREA MATEMÁTICA PARCIAL
SEMANAS
CONTENIDO CONTENIDO Conjunto numérico: N, Z, Q, I, R, Operaciones en R, propiedades.
Potenciación y radicación. Operaciones combinadas Polinomios: Operaciones, valor numérico de un polinomio Productos notables: Cuadrado de la suma suma o diferencia diferencia de dos cantidades ( a ± b )2 . Producto de la suma por la diferencia diferencia de dos cantidades cantidades( a + b ) ( a − b ) . El Producto Producto I (30%)
4
de dos binomios que tienen un término en común ( x + c ) ( x + d ) . La suma de un trinom trinomio io elevado al cuadrado ( a + b + c )2 .
(
)
3
Cubo de la suma suma o diferenci diferencia a de dos términos a ± b . Factorización de polinomios: Factor común. Diferencia de cuadrados. Expresiones
cuadráticas. Suma o diferencia de cubos. Cubo de monomios. Simplificación de fracciones cuyos términos sean monomios o polinomios. Operaciones con expresiones algebraicas: suma resta, multiplicación y división. Combinadas. Ecuaciones De primer primer grado. grado. De primer grado con valor absoluto. absoluto. De primer grado co con n radicales. Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones de primer grado y segundo grado racionales. Ecuaciones de orden superior. Sistema de dos ecuaciones.
4 II (30%)
Lineales con dos incógnitas: igualación, sustitución, reducción, Cramer. Desigualdades. Relación de orden en R. Intervalos. Inecuaciones. De primer primer grado. De primer primer grado con valor absoluto. absoluto. De primer primer grado grado racionales. Inecuaciones de segundo grado. Logaritmos Definición. Propiedades de los logaritmos, operaciones de cálculo con logaritmos. Exponenciales. Definición. Propiedades. Propiedades. Operaciones Operaciones de cálculo cálculo con logaritmos logaritmos Ecuaciones Ecuaciones exponenciales exponenciales y logarítmicas. logarítmicas. Cónicas: Circunferencia. Parábola. Elipse. Hipérbola Trigonometría
4 III (35%)
Material Material didáctico en revisión
Razones trigonométrica de ángulos en posición normal. Signo de las razones trigonométricas. Identidades o relaciones trigonométricas Grafica de las las funciones trigono tri gonomé métri tricas cas (seno, coseno) Calculo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo α . Ángulos notables 30º ,45º ,60º . Reducción de ángulos al primer cuadrante. Formulas o identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos, de ángulos dobles Identidades trigonom trigonométricas. étricas. Ecuaciones Ecuacionestrigonom trigonométri étricas. cas.
117