Guía de Matemática IIIsbsjjsjsnn

Matemática III

Guía del estudiante

Lima - Perú

c 2018 Universidad Científica del Sur Copyright 

c Matemática III

Ganas del estudiante

c Fondo editorial: Universidad Universidad Científica del Sur

Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19 Villa el Salvador Tlf: (511)6106400 (511)6106400 Web: www.ucsur.edu.pe Primera edición: 2018 Tiraje: 0000 ejemplares AUTORIDADES : Ing. José Carlos Dextre Chacón Presidente del directorio ————Rector ————Rector Emérito —————Vicerrector académico Mg. Rodrigo Pinillos Director de cursos básicos Ing. José Dávila Coordinador del área de matemática Autor: Mg. Lord Barrera Responsable del curso

c Ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorización expresa por

escrito del autor. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en en una cantidad no no mayor de 100, solo para uso con fines educativos educativos y sin lucro

Índice general

1

Funciones de varias variables-Lord Barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Introducción 1.2 Planos y superficies

9 10

1.2.1 1.2.2

Ecuaciones de planos . planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Superficies cuádricas . cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 1.4

Dominio, rango y aplicaciones Gráfica de una función y curvas de de nivel

1.4.1

Gráfica de una función y curvas de nivel nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5

Límites y derivadas parciales

1.5.1 1.5.2 1.5.3

Derivadas parciales . parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Aplicaciones a la economía . economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6

Diferencial total y linealización

1.6.1 1.6.2

Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Aproximaciones Aproximaciones lineales y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.7

Regla de la cadena

1.7.1 1.7.2

Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Fórmula de Euler para para funciones homogéneas homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

23 32 40

57

69

1.7.3 1.7.4

Diferenciación Diferenciación implícita . implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.8

Extremos de funciones

1.8.1 1.8.2

Extremos relativos y absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2

Integrales dobles y triples-Lord Barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.1

Integrales dobles

89

108

2.1.1 El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Integración sobre regiones generales . generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Regiones x-simples y regiones y-simples . -simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Integración en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Teorema Teorema del cambio de variables variables para integrales dobles . . . . . . . . . 2.1.6 Aplicaciones de integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 112 113 122 129 133

2.2

Integrales triples

137

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyección Proyección sobre sobre los los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración en coordenadas esféricas . esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 137 140 147 147 152

3

Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera . . 155

3.1

Ecuaciones de primer orden

156

3.1.1 Motivación y definiciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Aplicaciones de ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Aplicaciones a la termodinámica . termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Aplicaciones de ecuaciones ecuaciones lineales lineales de de primer orden . . . . . . . . . . . 3.1.8 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10 Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 160 167 167 174 174 179 181 181 186 194 194 199 209

3.2

Ecuaciones de segundo orden

223

3.2.1 3.2.2

Ecuaciones homogéneas de segundo segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Ecuaciones no homogéneas homogéneas de de segundo segundo orden orden . . . . . . . . . . . . . . . . 230

3.3

Transformada de Laplace

3.3.1 3.3.2 3.3.3

Propiedades Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Transformada Transformada inversa de Laplace . Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Resolviedo ecuaciones diferenciales diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

238

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Libros Artículos

247 247

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7

Prólogo La presente Guía del estudiante está diseñada para el curso de Matemática III de la

Universidad Científica del Sur, con una programación de 16 semanas lectivas. El autor han estructurado el texto conteniendo los temas temas tradicionales de un curso de cálculo de varias variables y ecuaciones diferenciales, dirigido a los alumnos de Ingeniería. Se ha puesto especial atención de que los conceptos sean presentados de una manera simple, evitando el rigor para una mejor comprensión; además explicando los

ejemplos de la manera más didáctica. Cada sección de la guía trae modelos aplicados a la ingeniería ambiental, ingeniería económica e ingeniería de sistemas; además de ejercicios

propuestos que corresponden al cálculo formal para alumnos de ciencias. Se espera que muchas de las aplicaciones se puedan extender en proyectos de investi-

gación donde se hace uso de software matemático y hojas de cálculo. Los pre-requisitos para la lectura de esta guía requiere conocimientos de un curso

básico de matemática, así como matemática I y II que son obligatorios en matemática III. El autor agradece a las autoridades de la Universidad Científica del Sur por el tiempo permitido a dedicar a la elaboración de esta guía y por último, a todos los que participaron

directa e indirectamente en este trabajo.

8

Objetivos El estudio de esta guía práctica permitirá:  Obtener información de los diferentes temas del curso Matemática III, de acuerdo al

perfil profesional.  Que se use en los desarrollos de los temas del curso tanto en la teoría como en la

práctica de los ejercicios y problemas aplicativos.  Disponer de ejercicios propuestos.  Disponer de problemas de aplicación.

1. Funciones de varias variables- Lord Barrera

1.1 Introducción Hasta ahora conocemos funciones de una variable, es decir, funciones cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango también es un conjunto de números reales.

Sin embargo, la descripción de muchos fenómenos exige considerar un mayor número de variables de manera simultánea. Algunas situaciones se presentan en los siguientes casos: 1. La cantidad de agua en una represa puede depender de la cantidad de lluvia precipi-

tada y de la cantidad de agua consumida por lo residentes locales. 2. La demanda de mantequilla puede depender del precio de esta y de la margarina. 3. La producción de una empresa de manufactura, puede depender de la cantidad de capital invertido en la planta y el tamaño de la fuerza laboral. 4. La oferta y la demanda de un bien o producto depende no solo del precio, si no también de los precios de los productos relacionados, del nivel de los ingresos, del

tiempo de atención y otros factores más. 5. Las utilidades dependerán no solo de la producción de un artículo sino también de los niveles de producción de diversos bienes y de la combinación de diferentes

máximos. 6. La demanda de un bien depende del precio del bien, de los gustos del consumidor, de las rentas de los diferentes consumidores, y de los precios de los bienes

complementarios y sustitutos, etc.

Capítulo 1 Funciones de varias variables- Lord Barrera

10

1.2 Planos y superficies Funciones con una variable independiente, tal como f ( x) = cos x, o ecuaciones en dos variables tales como x2 + y2 = 1, describen curvas en R2 . A continuación tomaremos una tercera variable y consideraremos funciones de dos variables independientes (por ejemplo, f ( x, y) = x2 + xy) y ecuaciones de tres variables (por ejemplo, x2 + y2

− 2 z2 = 1). En esta

sección estudiaremos ecuaciones que pueden ser descritas por superficies y las dibujaremos

en

R3 ;

un plano es el ejemplo más simple de este tipo de superficie.

1.2.1 Ecuaciones de planos DEFINICIÓN Ecuación del plano Sea P ∈ R3 un punto fijo y u, v vectores no nulos y no paralelos en la ecuación vectorial del plano Π como sigue Π

:

X = P + su + t v

R3 . Definimos

s, t

∈ R

v

P u

u y v son llamados vectores de dirección del plano es generado por los vectores u y v.

Los vectores

el plano

Π

Π y

se dice que

Ejemplo 1.1. Determinar la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto (1,1,3 ) y con vectores de dirección (1, −2,5) y (3,3,4 ). Solución. De acuerdo a la definición tenemos Π

:

( x, y, z) = ( 1,1,3 ) + s(1, 2,5) + t (3,3,4 )

s, t

−

∈ R



Observación 1.1. Haciendo en la definición anterior X = ( x, y, z),

p = ( x0 , y0 , z0 ),

u = ( u1 , u2 , u3 )

y

v = ( v1 , v2 , v3 )

obtenemos Π

:

x = x 0 + su1 + tv 1 ,

y = y 0 + su2 + tv2 ,

Estas son llamadas ecuaciones paramétricas del plano

z = z0 + su3 + tv3 Π.

s, t

∈ R

1.2 Planos y superficies

11

u

v no son paralelos, el vector u × v es un vector no nulo y perpendicular a los vectores u y v. O sea, u × v es un vector perpendicular al plano generado por los vectores u y v. El vector n = u × v se llama vector normal al plano Π. Este no es precisamente el único vector normal a Π, en realidad cualquier vector normal a dicho plano tiene la forma a n con a ∈ R no nulo. Observemos también lo siguiente: desde que

y

n = ( a, b, c) un vector normal a dicho plano. Si X ( x, y, z) es un punto general del plano, se tiene que Sea P( x0 , y0 , z0 ) un punto fijo del plano

Π

:

Π,

y sea

n · ( X − P) = 0

y reemplazando coordenadas podemos escribir Π

:

(a, b, c) ( x x0 , y y0 , z z0 ) = 0

· −

−

−

o también Π

:

a( x x0 ) + b( y y0 ) + c( z z0 ) = 0

−

−

que es llamada ecuación cartesiana del plano

(1.1)

−

Π.

Si hacemos d = −(ax0 + by0 + cz0 ), la relación (1.1) se convierte en Π

ax + by + cz + d =

:

llamada ecuación general del plano

0

(1.2)

Π.

Finalmente, tomando la ecuación general (1.2), es inmediato considerar un vector normal

a

Π como

el vector n = ( a, b, c).

Ejemplo 1.2. Determine la ecuación del plano perpendicular al vector n = ( 2,4,8 ).

Π que

−3,1,3)

contiene al punto (

Solución. Primera forma: por la fórmula (1.1) el plano Π consiste de los puntos ( x, y, z) que ⇔ 2 x + 4 y + 8 z − 22 = 0 2( x + 3) + 4( y − 1) + 8( z − 3) = 0 Segunda forma: desde que n = ( 2,4,8) es un vector normal al plano es 2 x + 4 y + 8 z + d = 0

Π,

y es

tal

su ecuación

y como (−3,1,3 ) ∈ Π, se consigue 2(−3) + 4(1) + 8(3) + d = 0

⇔

d =

−22

luego el plano es Π

:

2 x + 4 y + 8 z − 22 = 0




12

Ejercicios Ejercicio 1.1. a resulta

Si (1,2,

(A)

−1) pertenece al plano 2 x − ay + z = −5,

−3

(B) 2

(C)

−2

(D)

−2

entonces el valor de

(E) 3

Ejercicio 1.2. El punto (−1,2,3 ) pertenece al plano (A) x − y + 3 z = 8 (B) 2 x − y + z = −1 (C) 2 x − 3 y + z = 5 (D) (E) 3 x − y + z = 7 Ejercicio 1.3. Determine un vector normal al plano

− x + 2 y + z = 4

− x + 3 y + 2 z = 6.

Ejercicio 1.4. Determine la ecuación del plano con vector normal (1,1,1 ) y que pasa por el punto (0,1,0 ). Ejercicio 1.5. En cada caso, determine la dados (a) (1,0,3 ), (0,4,2) y (1,1,1 ) (b) (−1,1,1 ), (0,0,2 ) y (3, −1, −2) (c) (2, −1,4), (1,1, −1) y (−4,1,1) (d) (5,3,1 ), (1,3, −5) y (−1,3,1 ) Ejercicio 1.6.

ecuación del plano que pasa por los puntos

En cada caso, determine los puntos donde el plano interseca a los ejes de

coordenadas y las ecuaciones de las rectas que resultan de intersecar dicho plano con los

planos coordenados. (a) 3 x − 2 y + z = 6 (b) −4 x + 8 z = 16 (c) x + 3 y − 5 z = 30 (d) 12 x − 9 y + 4 z + 72 = 0 (e) −3 x + 2 y + z = 12 (f) 3 x − y − 6 z = 24

Ejercicio 1.7. En cada caso, grafique la ecuación dada (a) 5 x + 2 y + z = 10 (b) 3 x + 2 z = 9 (c) − y − 3 z + 6 = 0 (d) 3 x + 4 y − 2 z = 12 (e) − x + 2 y + z = 4 (f) 3 x − y − 6 = 0


13

Ejercicio 1.8. (Modelando una data).

La data de abajo muestra las ventas netas, x, (en miles de millones de dólares), los activos totales, y, en (miles de millones de dólares), y el patrimonio líquido de los accionistas, z, (en miles de millones de dólares), para APPLE

entre los años 2006 − 2011.

Año 2006

2007

2008

2009

2010

2011

x

19.3

24.6

37.5

42.9

65.2

108.2

y

17.2

24.9

36.2

47.5

75.2

116.4

z

10.0

14.5

22.3

31.6

47.8

76.6

Un modelo de ajuste para esta data es z = f ( x, y) = 0.035 x + 0.640 y

− 1.77

(a) Utilice una calculadora para para aproximar z de acuerdo a los valores de x e y. (b) ¿Cuál de las dos variables en este modelo tiene más influencia sobre el patrimonio líquido de los accionistas? (c) Grafique la ecuación del plano z = 0.035 x + 0.640 y − 1.77.


14

1.2.2 Superficies cuádricas A continuación describiremos algunas superficies

cuádricas, éstas se definen por

ecuaciones de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

para algunas constantes A, B, . . . , J (no todas nulas). Recordemos que la norma de un

vector v = ( a, b, c) es

v = (a, b, c) =



a2 + b2 + c2

y la distancia d (C , X ) entre los puntos C (a, b, c) y X ( x, y, z) es d =

 − ( x

a)2 + ( y

− b)2 + ( z − c)2

DEFINICIÓN La esfera La esfera S es el conjunto de puntos en el espacio los cuales distan una constante de un punto fijo C . Es decir S =

que equivale a lo siguiente S :

( x

 ∈ X

R

3

r



 − C  = r

: X

− a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = r 2

El punto fijo C se llama centro de la esfera y la constante r es el radio.

Ejemplo 1.3. Determine la ecuación de la esfera que pasa por el origen centro es C (1,2,3).

O(0,0,0) y cuyo

Solución. Es claro que el radio es r = d(O, C ) =

Luego S :

 −

( x

(1

√

0)2 + (2 − 0)2 + (3 − 0)2 = 14

− 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 14




15

A continuación describiremos al cilindro circular recto. En esta parte nos concentrare-

mos en los cilindros cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas.

DEFINICIÓN El cilindro circular recto El cilindro circular recto resulta de trasladar una recta L a lo largo de una circunferencia base C en R3 de tal manera que L es siempre perpendicular al plano que contiene a C .

La ecuación del cilindro cuya base es la circunferencia (contenida en el plano xy), centrada

en (a, b,0) y de radio r es ( x

− a)2 + ( y − b)2 = r 2

De manera similar, los otros cilindros son:

cuyas ecuaciones son, respectivamente, ( y

− b)2 + ( z − c)2 = r 2

y

( x

− a)2 + ( z − c)2 = r 2

Observación 1.2. El concepto de cilindro también puede ser extendido a curvas de base C que no sean circunferencias. Por ejemplo, podemos mencionar cilindros cuya curva de

base es una parábola, o una elipse, etc.


16

Otra cuádrica importante es el elipsoide como se define a continuación:

DEFINICIÓN El elipsoide El elipsoide con centro C ( x0 , y0 , z0 ) tiene ecuación ( x x0 )2

−

a2

+

( y y0 )2

−

b2

+

( z z0 )2

−

c2

= 1

La ecuación del elipsoide con centro en el ori z

gen de coordenadas es x2

y 2

z 2

a

b

c2

+ 2

+ 2

||

= 1

Debe saber que el valor a es el punto sobre el semieje positivo x, el valor b es el punto

||

0

||

sobre el semieje positivo y, y el valor c es

el punto sobre el semieje positivo z.

y x

En el caso r = a = b = c se tiene precisamente la esfera de radio r .

Ejemplo 1.4. Grafique el elipsoide cuya ecuación es ( x − 1)2 ( y − 2)2 ( z − 3)2 + + = 1 25 4 9 Solución. De la ecuación notamos claramente que el centro del elipsoide es C (1,2,3). El semieje paralelo al eje x mide 5 unidades; el semieje paralelo al eje y mide 2 unidades, y el semieje paralelo al eje z mide 3 unidades.

z 3 5

C

2

0

x

y

Ejemplo 1.5. Si en el ejemplo anterior tomamos como centro el punto (0,0,0), ecuación resulta x2 y 2 z 2 + + = 1 25 4 9



la

Ahora bien, la intersección de esta superficie con el plano xy es una curva que resulta de

tomar z = 0, es decir que es una elipse en el plano xy.

x2

25

+

y 2

4

= 1 


17

DEFINICIÓN El hiperboloide de una hoja El hiperboloide de una hoja centrado en el origen de coordenadas y con eje paralelo al eje z, es la superficie que tiene por ecuación x2 + y2

− z2 = 1

Veamos a continuación la definición del hiperboloide de dos hojas.

DEFINICIÓN El hiperboloide de dos hojas El hiperboloide de dos hojas centrado en el origen y con eje paralelo al eje superficie que tiene por ecuación x2

x, es la

− y2 − z2 = 1

La definición de hiperboloide de una hoja y de dos hojas con ejes paralelos a los otros ejes

de coordenadas es completamente similar.

18


DEFINICIÓN El paraboloide El paraboloide con vértice en el origen de coordenadas y con eje paralelo al eje la superficie que tiene por ecuación

z, es

z = x 2 + y2

Veamos a continuación la definición de silla de montar.

DEFINICIÓN La silla de montar La silla de montar es la superficie que tiene por ecuación z = y 2

− x2

La definición de paraboloide y silla de montar que se extienden a lo largo de los otros ejes

de coordenadas, es completamente similar.


19

DEFINICIÓN El cono El último tipo de superficie cuádrica que debemos considerar es el cono con vértice en el origen de coordenadas y con eje paralelo al eje z. Esta es la superficie que tiene por

ecuación x2 + y2 = z 2

La intersección de esta superficie con el plano z = k es una circunferencia, excepto cuando k = 0 que resulta el punto (0,0,0 ). Similarmente, al intersecar esta superficie con un

plano paralelo al eje z, la curva de intersección que resulta es una hipérbola, excepto

cuando el plano contiene al eje z que resultan dos rectas cruzadas.

Ejemplo 1.6. Consideremos el cono con ecuación de x e y, conseguimos z =



x2 + y2

o

z2 = x2 + y2 . Al despejar z en función

z =

 −

x2 + y2

cuyas gráficas son, respectivamente, los conos de una hoja como se ven en la figura de

abajo:




20

Ejercicios Ejercicio 1.1. ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a un cilindro parabólico paralelo al eje y? (A) y = x2

(B) y = − z2

(C) 2 y = z 2

(D) 3 z = x2

(E) y = z2 + 1

Ejercicio 1.2. La curva que resulta de intersecar la superficie y = x 2 + z2 z = 1 es una (A) Parábola

(B) Circunferencia

(C) Elipse

Ejercicio 1.3. Dibuje el cilindro x = z2 en Ejercicio 1.4. (a) y = (b) x2 + (c)

x2

4

(D) Recta

con el plano

(E) Un punto

R3 .

En cada caso, ¿cuál es el nombre de la superficie definida por la ecuación? z 2

+

y 2

3

8 + 2 z2 = 1

z2

− − 2 + x1 = 1 y2

Ejercicio 1.5. Mediante completamiento de cuadrados en identifique y dibuje cada superficie cuádrica. (a) ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = ( z + 3)2 (b) z = 4 x2 + ( y + 2)2 (c) 4 x2 + y2 + z2 + 8 x = 0 (d) 4 x2 + y2 − 4 z2 + 8 x − 4 y + 4 = 0 Ejercicio 1.6. Bosqueje la región sólida y = 1,

y = 3,

E

x, y o z si fuera necesario,

limitada por las superficies de ecuaciones z = 4,

4 z = x2 + y2

y el plano yz.

Ejercicio 1.7. Considere las superficies en el primer octante, con ecuaciones S 1 :

y2 + z2 = 4,

S 2 :

2 x + 3 y = 6,

S 3 :

x = 0

(a) Grafique las superficies en un mismo sistema de coordenadas. (b) Bosqueje la región sólida E limitada por dichas superficies. (c) Dibuje la proyección de E sobre los planos coordenados.

Ejercicio 1.8. Sea E la región limitada por la parte del cilindro z = 1 − y2 , ubicada en el primer octante y situada entre los planos verticales x + y = 1 y x + y = 3. (a) Bosqueje la región sólida E limitada por dichas superficies. (b) Dibuje la proyección de E sobre el plano xy.

1.2 Planos y superficies Ejercicio 1.9. Sea

E

21

el sólido en el primer octante limitado por las superficies

x2 + z2 = 4,

x + y = 2,

z = 4,

y = 0,

x = 0

(a) Grafique el sólido E . (b) Dibuje la proyección de E sobre el plano yz.

Ejercicio 1.10. (Intersecando un plano y un elipsoide). Sea S E el elipsoide y2 /4 + z2 = 1; S P el plano z = Ax + By, y C la intersección de S E con S P . (a) ¿Es C una elipse para todos los valores de A y B? Explique = 0. (b) Dibuje e interprete la situación para el cual A = 0 y B  (c) Determine la ecuación de la proyección de C sobre el plano xy

x2 /9 +

Ejercicio 1.11. Grafique el elipsoide x2

4

+

y 2

9

+ z2 = 1

¿Es posible encontrar una función f ( x, y) de tal manera que el elipsoide pueda conside-

rarse como la gráfica de z = f ( x, y)? Explique.

Superficies cuádricas. En los siguientes ejercicios se dan ecuaciones de superficies cuádricas. (a) Encuentre los puntos de intersección con los ejes de coordenadas (caso existan). (b) Determine las ecuaciones de las curvas que resultan de la intersección con los planos coordenados. (c) Haga una gráfica de la superficie. Ejercicio 1.12. (Elipsoides). (a) x2 +

y 2

4

+

z 2

(b) 4 x2 + y2 +

9

= 1

z 2

= 1 2 Ejercicio 1.13. (Paraboloides elípticos). (a) x = y2 + z2

(b) 2 y −

x2

2

z = 0 − 8 18

Ejercicio 1.14. (Hiperboloides de una hoja). (a) (b)

x2

y 2

− z2 = 1 y2 z 2 x2 + − = 1 4 9 16 25

+

9

Ejercicio 1.15. (Conos elípticos). (a) 4 y2 + z2 = x2 (b)

y x2 +

2

4

= z2


22

Ejercicio 1.16. (La catedral de Brasilia).

Ubicada en la capital de la Republica Federa-

tiva de Brasil fue diseñada por Niemeyer en la década de los

60. La superficie externa de

este edificio tiene la forma de un hiperboloide con las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. Determine la ecuación de este hiperboloide. Propuesto por Joaquín Pérez. z y

s o r t e m 0 4

s o r t e m 7 2

x

27 m

Diámetro de la base: 60 metros

60 m

20 m

Ejercicio 1.17. (Litotriptor). Un litotriptor es un equipo que localiza y visualiza cálculos renales, sincronizando automáticamente ultra-

Reflector

sonido y rayos X para pulverizar con ondas de elipsoidal choque (sin cirugía) cálculos (piedras) en las vías urinarias y permitir su eliminación con la orina, el 90% de las personas que presentan

F 1

Descarga eléctrica

Zona focal

F 2

cálculos renales pueden ser tratadas por este procedimiento. Si la distancia entre los focos

es de 1.60 metros, la distancia del foco F 2 al fondo del reflector es de 200cm, el plato reflector tiene 80cm de profundidad y 1.80 metros de ancho circular. (a) Determine la ecuacion del elipsoide que modele el diseño del plato reflector. (b) Si la onda de ultrasonido demora 0.001 segundo en recorrer 1 metro, ¿cuánto demorara la onda en recorrer desde el foco F 1 al foco F 2 ? Propuesto por Joaquín Pérez.

1.3 Dominio, rango y aplicaciones

23

1.3 Dominio, rango y aplicaciones Muchos problemas de la vida cotidiana involucran en su solución dos o más variables. Por ejemplo, si queremos calcular el volumen que ocupa un edificio, debemos considerar no solo el ancho, largo y altura, sino también la función que describe la superficie del techo. En esta sección resolveremos este tipo de problemas usando funciones de varias variables.

DEFINICIONES Funciones de dos y tres variables Una función real de dos variables x, y es una regla f que asigna a cada par ( x, y) de un conjunto X ⊆ R2 un único elemento f ( x, y). El conjunto X es llamado dominio de f y denotado por dom( f ). También definimos el rango de f como el conjunto rang ( f ) = { f ( x, y) ∈ R : ( x, y) ∈ X } De manera similar se define una función real de tres variables.

Una función de dos variables puede ser pen-

Entrada x Entra a y

sada como una máquina donde solo hay una salida f ( x, y) para cada entrada ( x, y) co-

mo se muestra en la figura adjunta:

Salida f ( x , y (

Máquina f

Ejemplo 1.7. La función f ( x, y) = y − x2 y − x2 ; así por ejemplo

asocia a cada punto ( x, y)

∈ R2

el número

− 12 = 2 − 1 = 1 f (3,3 ) = 3 − 32 = 3 − 9 = −6 f (1,2 ) = 2

El dominio de esta función es todo R2 ya que la expresión y x2 existe para cualquier

−

par de números reales x e y.

 − − −  − −

Ejemplo 1.8. La función f ( x, y, z) = 1 x2 el número real 1 − x2 − y2 − z2 . Por ejemplo



y2

z2 asocia a la terna ( x, y, z)

→ f (1,0,0) = 1 12 02 − 02 = 0 dom( f ) = {( x, y, z) ∈ R3 : 1 − x2 − y2 − z2 ≥ 0} = {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1} (1,0,0 )



∈ R3



24


Ejemplo 1.9. Durante un estudio de la demanda de leche realizado por R. Frish y T. Haavelmo, encontraron la relación C ( A, p, r ) =

Ar 2.08 p1.5

con A > 0

donde C es la cantidad consumida de leche, p es el precio relativo y r es el ingreso

mensual por familia. Evalúe C (3,1.1,9), C (3,2.1,8) y C (3,3.1,7).

Solución. Ejercicio para el estudiante.



DEFINICIÓN Función de Cobb-Douglas La función de producción de Cobb-Douglas es una función de la forma Q( L, K ) = α Ls K t

α > 0

y 0 < s, t < 1

donde L es el tamaño de la fuerza laboral en horas - trabajador y K es el capital

invertido. Los números α , s y t se llaman parámetros tecnológicos .

Ejemplo 1.10. (Producción en una fábrica). Consideremos el caso de una fábrica donde la salida es dada por la función de producción

de Cobb - Douglas definida por Q( L, K ) = 60 L2/3 K 1/3

unidades

siendo L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas - trabajador y K es la inversión del

capital medido en miles de soles. (a) Calcule la producción si se emplean 1000 horas - trabajador y se invierte un capital de 512 000 soles. (b) Muestre que la producción en el ítem (a) se duplica si tanto la fuerza laboral como el capital, ambos se duplican.

Solución. (a) Evaluando

Q( L, K )

con L = 1000 y K = 512 conseguimos

Q(1000,512) = 60(1000 )2/3 (512)1/3 = 60(100)( 8) = 48 000 unidades

(b) Evaluando Q( L, K ) con L = 2(1000 ) y K = 2(512) conseguimos Q[2(1000 ),2(512)] = 60[2(1000 )] 2/3 [2(512)] 1/3

= 60(2)2/3 (1000 )2/3 (2)1/3 (512)1/3 = 96 000 unidades




25

Ejercicios f ( x, y) = x 2 + y2

Ejercicio 1.1. ¿Cuál es el valor de la función (A)

(B) 5

−3

(C)

en el punto (−2,1)?

(D) 3

−5

(E) 2

Ejercicio 1.2. Los dominios de las funciones f ( x, y) =



ln( x2 + y2 − 16)

son, respectivamente (A) {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17} (B) {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17} (C) {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 16} (D) {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17} (E) {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17}

g( x, y) = ln( x2 + y2

y

y y y y y

− 16)

{( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 16} {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 16} {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 17} {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 16} {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 16} > >

>

Ejercicio 1.3. Evalúe cada función en los puntos dados (1,2), (−2,3), (−3,4) (a) f ( x, y) = x2 + y2 ; (b) g( x, y) = (c) (d)

 − 

xy + x2

;

x y h( x, y) = x cos y ; x l ( x, y) = ln ; y

(e) m( x, y) =



y

(3,1), (3,4), (5,1)

(0, π ), (1, π /2), ( 2, π /4) (3,1), ( 1, 2), (5,1)

(2t 1)dt ;

−

x

−

− −

(2,4), ( 1,1), (1,3)

−

Ejercicio 1.4. Determine el dominio de cada una de las funciones y haga un dibujo de tales dominios. (a) f ( x, y) = e x+ y (b) f ( x, y) = ln( x2 + y2 − 1) √ (c) f ( x, y) = x − y + 1 (d) f ( x, y) = | x| + | y| 1 (e) f ( x, y) = x2 + y2 − 25



Ejercicio 1.5. Sea f ( x, y) = 2 x2 + 3 y2 . En cada caso evalúe los cocientes. f ( x + h, y) − f ( x, y) (a) h f ( x, y + h) − f ( x, y) (b) h f ( x + h, y) − f ( x, y) (c) l´ım h→ 0 h ( + f x, y h) − f ( x, y) (d) l´ım h

→0

h

26


Ejercicio 1.6. El dominio de una función z = f ( x, y) es dom( f ) = {( x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y, y2 < 2} (a) Represente geométricamente en el plano xy el conjunto dom( f ). (b) Modele o construya una posible función f que tenga el dominio indicado.

Ejercicio 1.7. Suponga que la temperatura en un punto ( x, y, z) ∈ R3 es dada por la función T ( x, y, z) = 2 x2 + y2 + z2 y que la posición de una partícula en el tiempo t se describe por r(t ) = (t , t 2 , et ). ¿Cuál es la temperatura en el punto ocupado por la partícula cuando t = 1? Ejercicio 1.8. (Ciencias sociales). Exprese el costo

C de tarrajear una pared rectangular

como función su ancho A y su altura H en metros, si el costo por metro cuadrado es

S/12.

Ejercicio 1.9. (Temperatura).

Una placa delgada hecha de hierro se ubica en el plano xy.

La temperatura T en grados centígrados en un punto ( x, y) es inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia al origen. Exprese T como función de x e y.

Ejercicio 1.10. (Interés compuesto continuo). Si un capital de P dólares se deposita en una cuenta que paga una tasa de interés anual de r %, compuesto continuamente, entonces la cantidad acumulada luego de t años es dada por A = f (P, r , t ) = Pert dólares

3 años si se depositaron 10 000 dólares en una cuenta que paga una tasa del 10% anual. Determine la cantidad acumulada luego de

Ejercicio 1.11. (Economía agraria).

Ciertos estudios de economía agraria emplean

funciones de producción de la forma V = Q ( L, K , T ) donde V es el volumen de la cosecha, L el trabajo, K el capital invertido y T la superficie de la explotación agrícola.

(a) Explique el significado de Q( L, K + 1, T ) − Q( L, K , T ) (b) Muchos estudios suponen que Q es de Cobb-Douglas. ¿Qué forma tiene Q? (c) Si Q es de Cobb-Douglas, determine Q(tL , tK , tT ) expresándola en términos de t y Q( L, K , T )

Ejercicio 1.12. (Área de la superficie corporal).

El área de la superficie corporal de un

humano (en metros cuadrados) es aproximada por A = 0.024265 h0.3964 m0.5378 , donde h

es la altura (en cm) y m es la masa (en kg). En cada caso, calcule el valor de A (a) Altura, 178 cm; masa, 72 kg (b) Altura, 140 cm; masa, 65 kg (c) Altura, 160 cm; masa, 70 kg (d) Usando su masa y altura, calcule usted el área de su superficie corporal.

1.3 Dominio, rango y aplicaciones Ejercicio 1.13. (Ecología).

27

Un método de muestreo ecológico para determinar las pobla-

ciones de animales en una área dada, implica marcar primero todos los animales obtenidos en una muestra de R animales del área y luego soltarlos de manera que puedan mezclarse con animales no marcados. En feccha posterior se toma una segunda muestra de M ani-

males y se anota el número de aquellos que ya están marcados, S . Con base en R, M y S , una estimación de la población total N de animales en el área muestreada está dada

por N = f ( R, M , S )

≈ RM S

Calcule f (400,400,80 ). Este método se llama procedimiento de marcaje y

recaptura

Ejercicio 1.14. (Índice temperatura-humedad). En días húmedos y cálidos, mucha gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado numéricamente por el índice temperatura-humedad, ITH, que es una función de dos variables, t d y t w :

ITH = f (t d , t w ) = 15 + 0.4(t d + t w ) donde t d es la temperatura de bulbo seco (en grados Fahrenheit) y t w la temperatura de bulbo húmedo (en grados Fahrenheit) del aire. Evaluar el ITH cuando t d = 90 y t w = 80.

Ejercicio 1.15. (Silvicultura).

La regla de Doyle para el registro de la madera es uno

de los métodos usados para determinar el rendimiento de madera que resulta de un tronco de árbol (en pies tablares) en términos de su diámetro d (en pulgadas) y su longitud L

(en pies). El número de pies tablares se calcula mediante N (d , L) =

2

− 4

d

4

L

(a) Determine el número de pies tablares de madera de un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 pies de largo. (b) Calcule N (30,12).

Ejercicio 1.16. (El efecto doppler). Suponga que un sonido con frecuencia

f es emitido

por un objeto moviéndose a lo largo de una línea recta, con velocidad u, y que un oyente viaja a lo largo de la misma línea en la dirección opuesta con velocidad v. Entonces la

frecuencia F recepcionada por el oyente es dada por F =

− c

v

c+u

f

donde c es la velocidad del sonido con viento en calma (esto sucede alrededor de los 1100 pies/seg). Este fenómeno es llamado efecto dopler. Suponga que un tren viaja a

100 pies/seg (aprox. 68 mph) con viento calmado, y que la frecuencia de una nota emitida por la bocina del tren es de 500 Hz . ¿Cuál es la frecuencia de la nota escuchada por un pasajero sobre un tren que se mueve a razón de 50 pies/seg en la dirección opuesta de dicho tren?

28


Ejercicio 1.17. (Biología marina).

Un biólogo marino estima que el tiempo que demora

un buceador dentro del agua, usando su equipo de buceo, se modela de acuerdo a la

ecuación T (V , x) =

33V 0.3048 x + 33

donde T es el tiempo de buceo en minutos, V es el volumen del aire comprimido en el tanque considerando la presión a nivel del mar, y x es la profundidad del buceo en metros.

Calcule T (70,47) y T (60,27)

Ejercicio 1.18. (Factor de enfriamiento).

Durante su investigación del invierno de 1941

en el Antártico, el doctor Paul A. Siple ideó el siguiente modelo matemático para definir el

√ − v + 10.5)(33 − T ) donde

factor de enfriamiento del viento: H (v, T ) = (10 v

H se

mide en kcal/m2 h, v es la velocidad del viento en m/s y T es la temperatura en grados Celsius. Un ejemplo de este índice es: 1000 = muy frío , 1200 = implacablemente frío y 1400 = congelamiento de la carne expuesta . Determine el factor de enfriamiento en

−6.67◦C (20◦F) con una velocidad del viento de 20 m/s (45 mi/h). Ejercicio 1.19. (Intolerancia a la contaminación).

De acuerdo a las investigaciones

sobre lagos contaminados, el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación en

la región de la selva, puede ser estimado por la función P(W , R, A) = 48

− 2.43W − 1.81 R − 1.22 A

donde W es el porcentaje del lago contaminado, R es el porcentaje de espacio de

sobrevivencia y A es el porcentaje de marisma. (a) Use esta función para estimar el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación si el 5% del lago está contaminado, el 15% es zona habitable, y el 0% es marisma. (b) ¿Cuál es el mayor porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación? (c) Describa dos escenarios los cuales permitan que el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación sea cero. (d) ¿Qué variable tiene mayor influencia en P?

Ejercicio 1.20. (Pérdida de calor). El calor perdido (en Joules) por las crías de las focas en una playa, puede ser aproximado por 15.2m0.67 (T − A) H (m, T , A) = 10.23ln m − 10.74 donde m es la masa del cuerpo de la cría (en kg), T y A son la temperatura corporal y la temperatura del agua, respectivamente (en ◦ C). Para cada caso, calcule la cantidad de calor perdido. (a) Masa corporal, 21 kg; temperatura corporal, 36 ◦ C; temperatura del agua, 4 ◦ C. (b) Masa corporal, 29 kg; temperatura corporal, 38 ◦ C; temperatura del agua, 16◦ C.


29

Ejercicio 1.21. (Fiebre debido al dengue).

En regiones tropicales, la fiebre del dengue

es un significativo problema de salud que afecta aproximadamente a

100 millones de

personas. Mediante el uso de una data desde el 2002 sobre la epidemia del dengue en Brasil, los investigadores estimaron que la incidencia I (cantidad de nuevos casos en un

año dado) de dengue puede ser pronosticada por la siguiente función I ( p, a, m, n, e) = ( 25.54 + 0.04 p

− 7.92a + 2.62m + 4.46n + 0.15e)2

donde p es la precipitación debido a la lluvia (mm), a es la temperatura media (en ◦ C), n es la temperatura mínima (en ◦ C),

y e es la evaporación (mm).

(a) Estime la incidencia del brote del dengue para una región con 80 mm de lluvias, temperatura media de 23 ◦ C, temperatura máxima de 34 ◦ C, temperatura mínima de 16 ◦ C y evaporación de 50 mm. (b) ¿Qué variable tiene influencia negativa en el brote del dengue? Describa esta influencia y lo que se deduce matemáticamente acerca de la biología de la fiebre?

Ejercicio 1.22. (Locomoción de los animales).

Un artículo titulado “sobre el movimien-

to de los animales” explica que la locomoción de los diferentes tamaños de animales se

pueden comparar cuando ellos tienen el mismo número de Froude, definido mediante F =

v2 gl

donde v es la velocidad, g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2 ), y l es la

longitud de la pierna del animal (en metros). (a) Un resultado que explica el artículo es que diferentes animales cambian de trote a galope cuando tienen el mismo número de Froude, que es aproximadamente 2.56. Calcule la velocidad para el cual este cambio ocurre con un hurón, cuya longitud de

su pierna es 0.09 m, y un rinoceronte cuya pierna mide 1.2 m. (b) La antiguas huellas de un saurópodo (que fue un dinosaurio hervíboro) en Texas, fueron aproximadamente de 1 m de diámetro, correspondiendo a una pierna con una longitud aproximada de 4 m. Usted puede realizar la tarea de verificar el valor que resulta de dividir el tamaño de la huella y la longitud de la pierna de diversos animales de nuestra época; esto le puede ayudar a determinar el número de Froude para estos tipos de dinosaurios que es aproximadamente 0.025. ¿Qué tan rápido se

desplazaban los saurópodos?

Ejercicio 1.23. (Ciencias sociales).

Un sastre de Gamarra produce dos modelos de sacos:

el modelo clásico y el modelo blaizer. Producir cada modelo clásico le cuesta S/210, y producir el modelo blaizer le cuesta S/300. El costo fijo por mes que asume el sastre es de S/6000 y la función de costo mensual es dada por C ( x, y) = 6000 + 210 x + 300 y donde x e y son las cantidades producidas mensualmente de los modelos clásico y

blaizer, respectivamente. Calcule C (20,50) y C (50,8 ).

30


Ejercicio 1.24. (Porcicultura).

Cuando las cerdas gestantes de un corral estan atadas, por

lo general tienden a mostrar un comportamiento repetitivo, tales como morder su cadena o empujar la pared del corral, esto indica un estrés crónico. Algunos investigadores han desarrollado una función que estima la relación que hay entre el tiempo que se ocupan en morder su cadena, la cantidad de comida con que cuentan y el tiempo que las cerdas

permanecen empujando su corral, mediante ln(T ) = 5.49 − 3.00ln (F ) + 0.18ln (C ) donde T es el porcentaje de tiempo que se ocupan mordiendo la cadena, F es la cantidad de comida para las cerdas (en kilogramos por día), y C es el porcentaje de tiempo que las

cerdas permanecen empujando sus corral. (a) Resuelva la expresión para T . (b) Calcule e interprete T cuando F = 2 y C = 40.


31

Proyectos F LUJO DE AGUA :

Cuando el agua fluye de un grifo, como se muestra en la figura

(1), se contrae a medida que se acelera hacia abajo. Eso ocurre debido a que la tasa de flujo Q, la cual se define como la velocidad por el área de la sección transversal de la columna de agua, debe ser constante en cada nivel. En este problema suponga que las

secciones transversales de la columna de fluido son circulares (a) Considere la columna de agua que se muestra en la figura (2). Suponga que v es la velocidad del agua en el nivel superior, V es la velocidad del agua en el nivel

inferior a una distancia h unidades por debajo del nivel superior, R es el radio de la sección transversal en el nivel superior y r es el radio de la sección transversal en el nivel inferior. Muestre que la tasa de flujo Q como una función de r y R es Q =

√ √ R4 − r 4

π r 2 R2 2gh

donde g es la aceleración de la gravedad. (Sugerencia: Empiece expresando el tiempo t que tarda la sección transversal del agua en caer una distancia h en

(b)

términos de u y V . Por conveniencia considere la dirección positiva hacia abajo). Determine la tasa de flujo Q (en cm3 /s) si g = 980cm/s2 , h = 10cm, R = 1cm y R = 0.2cm.

(1)

(2) v

R

h r V


32

1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel En esta sección estableceremos el concepto de gráfica de una función y curvas de nivel.

Veremos que ambos conceptos están íntimamente ligados.

1.4.1 Gráfica de una función y curvas de nivel Sea z = f ( x, y) una función de dos variables definida en un dominio X del plano xy.

Si f es una función “que se comporta bien”, su gráfica es una superficie lisa del espacio.

DEFINICIÓN Gráfica de una función Sea f una función definida en el subconjunto X de R2 . Se define la gráfica de f

mediante graf ( f ) = {( x, y, z) ∈ R3 : z = f ( x, y) con ( x, y) ∈ X }

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

Ejemplo 1.11. (El paraboloide). La función f ( x, y) = x 2 + y2 es una función real que tiene como gráfica



graf ( f ) = ( x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 Si hacemos z = f ( x, y), entonces



z = x 2 + y2

Esta se genera mediante la rotación de la pará-

bola z = x2 alrededor del eje z.

Ejemplo 1.12. Describa el conjunto que resulta como gráfica de la función 1 − x − y. Haga un dibujo de él. Solución. Ejercicio para el estudiante.



f ( x, y) =



1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel

33

Curvas de nivel Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usando un campo

escalar de tal manera que z = f ( x, y) corresponde al punto ( x, y). Un campo escalar puede ser caracterizado por curvas de nivel (o líneas de contorno ) a lo largo del cual el valor de f ( x, y) es constante. Por ejemplo, el mapa meteorológico en la figura (a) muestra curvas de nivel de igual presión llamadas isóbaras. En los mapas meteorológicos para el cual las curvas de nivel representan puntos de igual temperatura, las curvas de nivel son llamadas isotermas, como muestra la figura (b). Otro uso común de las curvas de nivel es representado en campos potenciales eléctricos. En este tipo de mapa, las curvas de

nivel se llaman líneas equipotenciales.

Los mapas de contorno son comúnmente usados para mostrar regiones en la superficie de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapa es llamado mapa topográfico . Por ejemplo, la montaña en la figura (a) es

representado por el mapa topográfico en la figura (b).

Un mapa de contorno retrata la variación de z con respecto a x e y mediante el espacio entre las curvas de nivel. Demasiado espacio entre las curvas de nivel indica que z cambia lentalente, mientras que poco espacio significa que el cambio en z es rápido. Además para producir una buena ilustración tridimensional e un mapa de contorno, es importante

elegir los valores de z que son uniformemente espaciados.


34

En la práctica, graficar una función de dos variables, resulta dificultosa en muchos

casos. Para hacerlo más fácil, introduciremos curvas de nivel como se ve a continuación:

DEFINICIÓN Curvas de nivel

⊆ R2

Sea f una función definida en X

altura k mediante

y sea k

f −1 (k ) = ( x, y)

{

∈ R.

Se define la curva de nivel de

∈ X : f ( x, y) = k }

La curva de nivel es la intersección de la superficie z = f ( x, y) con el plano z = k .

Ejemplo 1.13. El rango de

f ( x, y) = x 2 + y2

es rang( f ) = [ 0, +∞). Además

f −1 (0) = ( x, y)

{ ∈ R2 : x2 + y2 = 0} f −1 (1) = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} f −1 (4) = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4} f −1 (9) = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 9}




35

Ejercicios f ( x, y) = x 2 + y2

Ejercicio 1.1. Indique el punto que pertenece a la gráfica de (A) (1,1,1)

(B) (2,3,4 )

Ejercicio 1.2. El rango de la función (A) [0,4]

(B) [0,16 ]

(C) (1,1,2 ) f ( x, y) =

 −

(B) 3 x2 − y = k

k para

(C)

(E) (1,3,9 )

16 4 x2 − y2 es

(C) [0, +∞)

Ejercicio 1.3. La curva de nivel de altura (A) x2 − 3 y2 = k (E) 3 x2 + y = k

(D) (1,2,6 )

(D) [0,2]

(E) [4,8]

la función f ( x, y) = x2 − 3 y2 es x2 + 3 y2 = k

(D)

x2

− 3 y2 = −k

Ejercicio 1.4. Si f ( x, y) = x 2 y/( x4 + y2 ), entonces f ( x, mx) es igual a (A)

mx

(B)

x2 + m2

mx2 x2 + m2

Ejercicio 1.5. La curva de nivel de ecuación (A) 2 x + 3 y = 8 (E) 2 x + 3 y = 6

(C)

mx

f ( x, y) = 12

(B) 2 x + 3 y = −8

(D)

x4 + m2

mx

(E)

x2 + m3

− 2 x − 3 y de altura

(C) 2 x + 3 y = 12

m2 x2 x2 + m2

k = 4 tiene por

(D) 2 x + 3 y = −12

Ejercicio 1.6. Sea la función f con regla de correspondencia f ( x, y) = ln( x + y)2 . ¿Cuál de las siguientes gráficas representa alguna curva de nivel de f ? Justifique su respuesta. (a ( y

=

y

( b (

y

y

-x

=

e x

1 x

x

-1 y

(c (

(d (

y

y

1

1 1

-1 -1

=

x

-1

1

-1

x

- x

e

36


Ejercicio 1.7. Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: todas las rectas de ecuación y = mx son curvas de nivel de la función f ( x, y) =

xy x2 + y2

,

x = 0



Justifique su respuesta.

Ejercicio 1.8. (Isóbaras).

Curvas que representan una presión constante son llamadas x2 isóbaras. La presión en un punto ( x, y) de un plano es P( x, y) = 2 2 . Dibuje en el x + y plano, las isóbaras para P = 1/10, 1/5, 1/2.

Ejercicio 1.9. (Isotermas). Curvas que representan una temperatura constante son llamadas isotermas. La temperatura en un punto ( x, y) de un plano es t ◦ C, donde t = 4 x − y2 . Dibuje en el plano las isotermas para t = −4, 0, 8. Ejercicio 1.10. (Curvas equipotenciales).

Si V ( x, y) =

4

( x

− 2)2 + ( y + 3)2

es el vol-

taje en un punto ( x, y) del plano xy, y las curvas de nivel de V son conocidas como

curvas equipotenciales, dibuje las curvas equipotenciales para V = 1/2, 1/4, 1, 2, 4.

  −

Ejercicio 1.11. Sea la función f ( x, y) = | x|−| y| (a) Grafique el mapa de contorno de la función f . (b) Esboce la gráfica del dominio de la función f . Ejercicio 1.12. Dada la función torno (curvas de nivel) de f .

f ( x, y) =

26 x2 − 2 x − y2 , elabore un mapa de con-

Ejercicio 1.13. Sea f ( x, y) =



si x2 + y2 < 1 x2 + y2 − 1 si x2 + y2 ≥ 1 0

Describa las curvas de nivel de f para k = 0, 1/2,

1 y 3. A continuación esboce la

gráfica de f .

Ejercicio 1.14. ¿Pueden intersecarse dos curvas de nivel de una función z = f ( x, y)? Explique Ejercicio 1.15. (Topografía). La superficie de una pequeña montaña puede aproximarse por la ecuación z(2 x2 + y2 + 100) = 1500 donde las unidades son metros. Dibuje la superficie de la montaña y los contornos para z = 3 m, z = 6 m, z = 9 m, z = 12 m

y z = 15 m


37

Ejercicio 1.16. (Ley de gases ideales). De acuerdo a la ley de gases ideales, PV = kT

donde P es la presión, V el volumen, T la temperatura (en grados Kelvin), y k es una

cm3 de nitrógeno a una presión de 26 libras por centímetro cuadrado y a una temperatura de 300 K. (a) Determine k (b) Escriba a P como una función de V y T y describa las curvas de nivel. constante de proporcionalidad. Un tanque contiene 2000

Ejercicio 1.17. (Superficie termodinámica). La presión p (en kPa), volumen V (en m3 ), y temperatura T (en K) para un determinado gas, se relacionan por la ecuación p = T /2V . Dibuje la superficie p − V − T usando el eje z para p, el eje x para V , y el eje y para T . Use las unidades de 100 K para T y 10 m para V . Las secciones transversales deberán ser usadas para dibujar esta superficie, que es una superficie termodinámica, debido a que ninguna de las variables es igual a cero. Ejercicio 1.18. (Distribución de la temperatura). La temperatura T (en grados Celcius) en cualquier punto ( x, y) de un plato circular de acero de 10 metros de radio es T = 600 − 0.75 x2 − 0.75 y2 donde x e y se mide en metros. Dibuje algunas de las curvas isotermales.

Ejercicio 1.19. Dos mapas de contornos se muestran en las figuras adjuntas. Uno es de una función f cuya gráfica es un cono. El otro es de una función g cuya gráfica es un

paraboloide. ¿Cuál es cuál? ¿Por qué? (a (

y

( b (

x

y

x


38

Ejercicio 1.20. (Curvas de nivel de un plan de ahorros).

Suponga que usted hace

depósitos mensuales de P dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa mensual de p %.

El valor futuro en la cuenta luego de t años resulta F (P, r , t ) = P



(1 + r )12t r

 − 1

donde r = p /100 (por ejemplo, si la tasa de interés anual es

9%, entonces p = 9/12 = 0.75 y r = 0.0075). Tome el tiempo de inversión t = 20 años. (a) Con una cuenta de 20 000, determine el conjunto de todos los puntos (P, r ) que satisfacen B = 20 000. Esta curva da todos los depósitos P y todas las tasas de interés mensual r que producen un monto de 20 000 luego de 20 años. (b) Repita la parte (a) con B = $ 5000, $ 10 000, $ 15 000 y $ 25 000 y dibuje las curvas de nivel que resultan de la función valor futuro.

Ejercicio 1.21. (Atmósfera).

El contorno del

mapa mostrado en la figura fue generado por computadora usando una colección de datos mediante instrumentación del satélite. El color se usa para mostrar el agujero de ozono en la atmósfera de la Tierra. Las áreas púrpura y azul representan los más bajos niveles de ozono y las áreas verdes representan los niveles más

altos (a) ¿Corresponden las curvas de nivel a los mismos niveles de ozono espaciados? Ex-

plique. (b) Describa cómo obtener un contorno de mapa más detallado.

Ejercicio 1.22. (Meteorología ).

Los meteo-

rólogos miden la presión atmosférica en milibares. A partir de estas observaciones, crean mapas climáticos en los cuales son trazadas curvas con la misma presión atmosférica (isobares) como se muestra en la figura adjunta. En este mapa, cuanto más próximas son las curvas isóbaricas, mayor es la velocidad del viento.

Relacione los puntos A, B y C con las siguientes características (a) mayor presión, (b) menor presión y (c) mayor velocidad

del viento.

1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel Ejercicio 1.23. (Lluvia ácida).

39

La acidez del

agua de lluvia se mide en unidades llamada pH. Un pH de 7 es neutral, valores menores corresponden a acidez creciente, y los valores mayores a alcalinidad creciente. El mapa de la figura adjunta muestra curvas de igual pH y da evidencia de que en la dirección en la que sopla el viento de áreas muy industrializadas la acidez ha ido aumentando. Utilizar las curvas

de nivel en el mapa, para determinar la dirección de los vientos dominantes en el noreste del Perú.

Ejercicio 1.24. (Geología). El mapa de contorno de la figura representa amplitudes sísmicas en código de color de una falla horizontal y un mapa de contorno proyectado que se usa

en los estudios de terremotos. (a) Analice el uso de colores para representar las curvas de nivel. (b) ¿Corresponden las curvas de nivel a amplitudes uniformemente espaciadas?

Explique.

Ejercicio 1.25. (Electricidad). Se distribuye una carga eléctrica de tal manera que el potencial eléctrico en todos los puntos de una superficie imaginaria es el mismo. Una tal superficie es llamada superficie

equipotencial. Haga una gráfica de la superficie

equipotencial con ecuación 2 x2 + 2 y2 + 3 z2 = 6

Ejercicio 1.26. (Curvas de nivel de una cuenta de ahorros). Si usted deposita P dólares en una cuenta que le paga una tasa de p % anual, compuesto continuamente, entonces el valor futuro luego de t años es B(P, r , t ) = Pert , donde r = p /100 (por ejemplo, si la tasa de interés anual es 4%, entonces r = 0.04). A continuación fije la tasa de r = 0.04. (a) Determine todos los puntos (P, t ) que satisfacen B = 2000. Esta curva proporciona todos los depósitos P y tiempos t que permite acumular 2000 dólares. (b) Repita la parte (a) con $ 500, $ 1000, $ 1500 y $ 2500. A continuación dibuje las curvas de nivel de la función valor futuro. (c) En general, en una curva de nivel, si t se incrementa, ¿será que P aumenta o disminuye?


40

1.5 Límites y derivadas parciales A continuación nos acercaremos de manera informal al concepto de límite de una función de dos variables: damos un punto (a, b) y una función f definida en todos los puntos ( x, y) próximos de (a, b) ( puede pasar que f no esté definida en (a, b) )

DEFINICIÓN Límite Sea un número real L. Decimos que el límite de f ( x, y) cuando ( x, y) tiende

punto (a, b) es

L y

al

escribimos l´ım

( x, y)

que significa: cuando ( x, y) está

→ (a, b)

f ( x, y) = L

bien próximo de (a, b), entonces f ( x, y) está

bien próximo a L. Ejemplo 1.14. Calcular el límite l´ım

( x, y)

→ (1,1)

( xy + 1)

significa preguntarnos ¿qué pasa con la función xy + 1 cuando x se aproxima a 1 e y se

aproxima a 1? En este caso xy + 1 se aproxima a (1)(1) + 1 = 2 y escribimos l´ım

( x, y)

→ (1,1)

( xy + 1) = 2

y por el mismo argumento también tenemos l´ım

( x, y)

→ (1,π )

[sen( xy) + x2 y] = sen[( 1)(π )] + (1)2 π = sen π + π = π

En otras palabras, cuando la función es fácil de manipular como en el caso de las polinómicas o las trigonométricas, podemos calcular el límite simplemente por evaluar la función

en el punto.



Debemos tener en cuenta lo siguiente: así como para funciones de una variable, los

límites que resultan interesantes no se pueden calcular por el simple hecho de sustituir el punto en las variables x e y. Por ejemplo, para l´ım

( x, y)

y

→ (1,0) x + y − 1

al sustituir x = 1 e y = 0 resulta la forma indeterminada

requerimos investigar un poco más.

0 . Para evaluar este límite 0

1.5 Límites y derivadas parciales

41

1.5.1 Derivadas parciales Muchas veces, en física debemos tener cuidado cuando representamos una función que depende de una variable física; por ejemplo la velocidad dependiendo del tiempo, o

también, la presión dependiendo del volumen. Considere por ejemplo un gas contenido en un cilindro con un pistón en movimiento y una válvula adicional a través del cual el gas puede ingresar o salir. La ecuación que relaciona la presión P, el volumen V , la temperatura T ,

y la cantidad de sustancia n, en moles es P =

nRT V

Supongamos que el sistema se encuentra en un ambiente a temperatura constante. Para nuestro experimento cerramos la válvula y fijamos a n (el sistema es ahora un sistema cerrado ). Ahora bien, si tomamos un cambio infinitesimal dV en el volumen del gas pero manteniendo n y T constantes, debemos conseguir una función P dependiendo únicamente de la variable V . Así que la razón de cambio es similar como una función de una variable:

dP =

 

dP dV dV

(n y T constantes)

A continuación definiremos derivadas parciales: para una función de una variable no hay ambiguedad cuando nos referimos a la derivada de

f ( x) con respecto a x. Sin

embargo, para una función de dos variables z = f ( x, y) podemos utilizar las expresiones

derivada parcial con respecto a

x o

también derivada parcial con respecto a y.

En la siguiente definición damos una función de dos variables z = f ( x, y) y exigimos

que los límites involucrados existan.

DEFINICIÓN Derivadas parciales La derivada parcial de f con respecto a

x

es

f ( x + h, y) ∂ f ( x, y) = l´ım h→ 0 h ∂ x

− f ( x, y)

Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto a y es f ( x, y + h) ∂ f ( x, y) = l´ım h→ 0 h ∂ y

− f ( x, y)

Definiciones similares se tienen para funciones de más de dos variables.


42

Si fijamos el punto y = y 0 , resulta que z = f ( x, y0 ) es una función de la variable x, su gráfica es la curva C que resulta de intersecar el plano y = y 0 con la superficie z = f ( x, y). ∂ f La derivada parcial ( x0 , y0 ) es entonces la ∂ x pendiente de la recta tangente a C en el punto

( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )).

Si fijamos el punto x = x 0 , resulta que z = f ( x0 , y) es una función de la variable y, su

gráfica es la curva C que resulta de intersecar el plano x = x0 con la superficie z = f ( x, y). ∂ f La derivada parcial ( x0 , y0 ) es entonces la ∂ y pendiente de la recta tangente a C en el punto

( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )). Algunas veces usaremos la notación f x ( x, y) para indicar la derivada parcial respecto a x,

y también f y ( x, y) para indicar que derivamos respecto a y.

Ejemplo 1.15. Sea f ( x, y) = 3 x2 − 5 xy + 2 y3 . Determine Solución. para conseguir

f x ( x, y)

y f y ( x, y).

f x ( x, y) tomamos a y como una constante y a x como

una variable. La derivada del primer término, 3 x2 , es 6 x. En el segundo término, 5 xy, el coeficiente constante de x es 5 y, así que la derivada es 5 y. La derivada de 2 y3

−

es cero, pues, tomamos a y como una constante. Por tanto, f x ( x, y) = 6 x

−

−

− 5 y

Por otro lado, para determinar a f y ( x, y) tomamos a y como variable y a x como una constante. Desde que x es constante, la derivada de 3 x2 es cero. En el segundo término, el coeficiente de y es

término es 6 y2 . Así que

−5 x y la derivada de −5 xy f y ( x, y) =

−5 x + 6 y2

es

−5 x.

La derivada del tercer 


43

Ejemplo 1.16. Sea f ( x, y) = 4 − 2 x2 − y2 . Encuentre la pendiente de la recta tangente L en el punto (1,1,1 ), a la curva C que resulta de intersecar la superficie z = f ( x, y) con (a) El plano y = 1 y (b) El plano x = 1. Solución.

(a) La pendiente de la recta tangente en

cualquier punto de la curva, intersección del plano y = 1 con la superficie z = 4

por ∂ f ∂ = (4 ∂ x ∂ x

− 2 x2 − y2,

es dada

− 2 x2 − y2 ) = −4 x

En particular, se tiene ∂ f (1,1) = ∂ x

−4(1) = −4

(b) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva que resulta como intersección del

plano x = 1 con la superficie z = 4

dada por ∂ f ∂ = (4 ∂ y ∂ y

− 2 x2 − y2,

es

− 2 x2 − y2 ) = −2 y

En particular, se tiene ∂ f (1,1) = ∂ y

−2(1) = −2 

Ejemplo 1.17. Sea f ( x, y) = 2 x2 + y2 + 8 x − 6 y + 20. Determine (a) f x (−1,2) (b) f y (−4, −3) Solución. (a) Primero encontremos

f x ( x, y) teniendo

a y como constante.

f x ( x, y) = 4 x + 8

Ahora tomamos x = −1 e y = 2

−1,2) = 4(−1) + 8 = 4 f ( x, y) = 2 y − 6 f (−4, −3) = 2 (−3) − 6 = −12 f x (

(b) Desde que

y

y




44

1.5.2 Aplicaciones a la economía E LASTICIDAD La demanda Q de un producto particular depende de su precio P, el precio P A del producto alternativo, y el ingreso I de los consumidores. Así que Q es función de las

variables P, P A y I . La elasticidad de la demanda en el propio precio E P se mide por la razón entre la variación porcentual de Q y la variación porcentual de P (con P A y I constantes). Así

tenemos ∆Q

Q ∆P

P

Como

∆P

se aproxima a

× 100 P∆Q = × 100 Q∆P

0, entonces

P ∂ Q

∆Q ∆P

(1) se aproxima a

∂ Q y la razón (1) se ∂ P

∂ Q aproxima a . En la práctica, debe ser negativa (ya que la demanda decrece Q ∂ P ∂ P cuando el precio aumenta), por tanto, debemos tener un número positivo para la elasticidad

de la demanda en el propio precio. Definimos E P =

− QP ∂ ∂ QP

Esto se interpreta como sigue: la elasticidad E P es aproximadamente el cambio

porcentual en la demanda Q que resulta de una disminución del 1% en P. Similarmente definimos la elasticidad de la demanda con respecto al precio del

producto alternativo mediante E P A =

P A ∂ Q Q ∂ P A

Esto se interpreta como sigue: la elasticidad E P A es aproximadamente el cambio

porcentual en la demanda Q que resulta de un aumento del 1% en P A . Finalmente, la elasticidad del ingreso en la demanda E I se define mediante E I =

I ∂ Q Q ∂ I

Esto se interpreta como sigue: la elasticidad E I es aproximadamente el cambio

porcentual en la demanda Q que resulta de un aumento del 1% en I .


45

Si Q se incrementa cuando P A se incrementa, entonces el producto es sustituible.

Equivalentemente ∂ Q ∂ P A

>

0

Si Q disminuye cuando P A se incrementa, entonces el producto es complementario.

Equivalentemente ∂ Q ∂ P A

<

Ejemplo 1.18. Dada la función de demanda

0

Q = 220

− 4P + 2P + 50I , A

determine las

elasticidades con respecto al precio propio, con respecto al precio del producto alternativo, y la elasticidad del ingreso en la demanda. Evalúe las elasticidades cuando P = 5, P A = 6, I = 1900.

Solución. Las derivadas parciales de primer orden de ∂ Q = ∂ P

−4

∂ Q = 2 ∂ P A

Q

son

y

∂ Q 1 = 50 ∂ I

y

E I =

Por tanto, las elasticidades de demanda son E P =

4P Q

E P A =

2P A Q

I

50Q

Considere el caso P = 5, P A = 6, I = 1900. Entonces Q = 250 y E P = 0.08, entonces  E P A = 0.048 y E I = 0.152.

Ejemplo 1.19. Dada la función de demanda

Q = 100

− 4P2 + 3P + 0.04 I 1 2, determine A

/

las elasticidades con respecto al precio propio, con respecto al precio del producto alternativo, y la elasticidad del ingreso en la demanda. Evalúe las elasticidades cuando P = 3, P A = 1, I = 2500.

Solución. Las derivadas parciales de primer orden de ∂ Q = ∂ P

−8P

∂ Q = 3 ∂ P A

Q

son

∂ Q = 0.02 I −1/2 ∂ I

y

Por tanto, las elasticidades de demanda son E P =

8 P2 Q

E P A =

3 P A Q

y

E I =

0.02 I 1/2 Q

Considere el caso P = 3, P A = 1, I = 2500. Entonces Q = 69 y E P = 24/23, entonces E P A = 1/23

y E I = 1/69.




46

Ejercicios Ejercicio 1.1. La derivada parcial (con respecto a la primera coordenada) de una función de dos variables nos permite (A) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector (1,0) (B) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector (0,1) (C) Calcule la pendiente de la recta tangente en cualquier dirección. (D) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección de una recta diagonal. (E) Ninguna de las opciones anteriores. Ejercicio 1.2. Dada la función f ( x, y) = resultan (A) f x =

(B) (C) (D) (E)

f x = f x = f x = f x =

4 xy2 (1 + x2 )3

y

6 xy

y

− (1 + x2 )3 6 xy2 (1 + x2 )3

4 xy2

− (1 + x2 )3 6 x2 y

− (1 + x2 )3

f y =

y

(1 + x2 )2

, las derivadas parciales f x y

2 y (1 + x2 )2

f y = f y =

y2

2 y2

− (1 + x2 )2

− (1 +2 y x2 )2

y

f y =

y

f y =

2 y (1 + x2 )2

− (1 +2 y x2 )2

Ejercicio 1.3. En cada caso, determine (a) f ( x, y) = ( 3 x2 − 2 xy + 5 y2 )6 x + y (b) f ( x, y) =

f x

y f y .

−

x y 2 2 f ( x, y) = e x + xy

(c) (d) f ( x, y) = 3 x3 + y3 (e) f ( x, y) = ln( x + x2 + y2 )

 

Ejercicio 1.4. En cada caso, determine (a) f ( x, y, z) = xyze x+ y+ z (b) f ( x, y, z) = x y+ z + y x+ z + z x+ y

f x , f y

Ejercicio 1.5. En cada caso, calcule el valor de (a) f ( x, y) = x3 y3 − 6 xy, (1,1) (b) f ( x, y) = 2 ln x + y, (−1,1)

y f z .

f x

y f y en el punto dado:

Ejercicio 1.6. Si z = ln( x2 + xy + y2 ), demuestre que x

∂ z ∂ z + y = 2 ∂ x ∂ y

f y


47

Ejercicio 1.7. Determine ∂ u/∂ r y ∂ u/∂ θ sabiendo que u = er cos θ cos(r sen θ ). ∂ u ∂ u = y2 u3 . y ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.8. Si u = ( 1 − 2 xy + y2 )−1/2 , muestre que

x

Ejercicio 1.9. Si z = eax+by f (ax − by), muestre que

∂ z ∂ z + a = 2abz. ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.10. Rpta:

− xy3,

2

Si θ = t n e−r /4t y se cumple

Rpta: n = −3/2

∂ f ∂ x

1 ∂ r 2 ∂ r

Ejercicio 1.12. Si z = y f ( x2 − y2 ), muestre que

y

    1

determine

−13/22

Ejercicio 1.11. n.

si f ( x, y) = x 3 y

b

−

r 2

+

∂ θ ∂ r

1

∂ f ∂ y

=

env ( x, y) = (1,2).

∂ θ , calcule el valor de ∂ t

∂ z ∂ z xz + x = . y ∂ x ∂ y

∂ u Ejercicio 1.13. Si ux + vy = 0 y + = 1, muestre que x y ∂ x u

 

v

−

∂ v x2 + y2 = . ∂ y y2 x2

−

Si u = f (ax2 + 2hxy + by2 ) y v = ϕ (ax2 + 2hxy + by2 ), muestre que ∂ ∂ v = . u ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.14.

   

∂ ∂ v u ∂ y ∂ x

Ejercicio 1.15. Si u = ln(tan x + tan y), muestre que sen (2 x) Ejercicio 1.16. y (b) y

∂ u ∂ u + sen(2 y) = 2 . ∂ x ∂ y

Si u = e xyz f ( xz/ y), muestre que se cumplen (a) x

∂ u ∂ u + y = 2 xyzu ∂ x ∂ y

∂ u ∂ u + z = 2 xyzu . ∂ y ∂ z

Ejercicio 1.17. Si u( x + y) = x2 + y2 , pruebe que Ejercicio 1.18. Si u = arcsen

 x y

+ arctan



∂ u ∂ x

−

∂ u 2 = 4 1 ∂ y

 y x

, muestre que x

Ejercicio 1.19. Si u = ln( x3 + y3 + z3 − 3 xyz), muestre que



∂ ∂ ∂ 2 + + u = ∂ x ∂ y ∂ z



 −

− ( x + y9+ z)2

∂ u ∂ x

−

∂ u ∂ u + y = 0 . ∂ x ∂ y

∂ u ∂ y



.


48

Ejercicio 1.20. Si

w = ( x y)( y z)( z x),

−

−

−

demuestre que

∂ w ∂ w ∂ w + + = 0 ∂ x ∂ y ∂ z

Ejercicio 1.21. Si z = xy + xe y/ x , demuestre que x

∂ z ∂ z + y = xy + z ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.22. Muestre que la función z = x



y x2 + y2 arctan



x

∂ z ∂ z + y = z ∂ x ∂ y

satisface la ecuación

∂ f ∂ f = 2 xy y = x2 . ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.23. Encuentre una función tal que

Ejercicio 1.24. En cada caso, determine la verdad o falsedad. Si es verdad explique por qué. Si es falsa, de un contraejemplo para mostrar que es falsa. (a) Si z = f ( x, y) admite derivada parcial con respecto a x en el punto (a, b), entonces f ( x, b) − f (a, b) ∂ f (a, b) = l´ım ∂ x

x

∂ x

→a

−a

(b) Si f y (a, b) = 0, entonces la recta tangente a la curva que resulta de intersecar el plano x = a y la superficie z = f ( x, y) en el punto (a, b, f (a, b)) es horizontal; es decir, es paralelo al plano xy.

Ejercicio 1.25. (Psicología).

A principios del siglo XX se desarrolló un test inteligente

llamado IQ Test (comúnmente conocida como el test de coeficiente intelectual). En este test, la edad mental M de una persona es dividida por la edad cronológica C y luego

multiplicada por 100. El resultado es IQ ( M , C ) =

M C

× 100

Determine la derivada parcial de IQ con respecto a M y con respecto a C . Evalúe las

derivadas parciales en el punto (10,12) e interprete el resultado.

Ejercicio 1.26. (Costo de producción). Suponga que el costo de producir chips con información tecnológica para una empresa de asistencia digital, es aproximado por C ( x, y) = 45 x2 + 40 y2

− 20 xy + 50

donde x es el costo de los chips electrónicos e y es el costo de la mano de obra. Calcule

(a) C y (4,2)

(b) C x (3,6)

(c) C x (2,5)

(d) C y (6,7)

1.5 Límites y derivadas parciales Ejercicio 1.27. (Economía) .

49

Un fabricante de Gamarra estima que el número de unidades

que vende cada año es una función de los gastos hechos en la publicidad por radio y

televisión. La función que especifica esta relación es z = 50 000 x + 40 000 y

− 10 x2 − 20 y2 − 10 xy

donde z es el número de unidades vendidas al año, x denota la cantidad destinada a la publicidad por televisión y la y indica la cantidad gastada en la publicidad por radio (ambas en miles de soles). En la actualidad, el fabricante está destinando S/50 000 a la

publicidad por televisión y S/30 000 a la publicidad por radio (a) ¿Cuáles se espera que sean las ventas anuales? (b) Usando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales, si se asignan S/1000 más a la publicidad por televisión. (c) Empleando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales si se asignan S/1000 más a la publicidad por radio. (d) ¿En qué tipo de publicidad se obtienen mejores resultados con una inversión de S/1000?

Ejercicio 1.28. (Venta de autos).

Una concesionaria estima que la venta total semanal

de su último modelo de autos es función del precio de lista del auto, p, y la tasa de interés

en porcentaje, i, ofrecido por la tienda. La venta semanal es dada por f ( p, i) = 99 p

− 0.5 pi − 0.0025 p2

(a) Calcule la venta semanal si el precio de lista es $ 19 400 y la tienda ofrece una tasa de interés de 8%. (b) Determine e interprete f p ( p, i) y f i ( p, i). (c) ¿Qué debería pasar con la venta semanal si el precio de lista es $ 19 400 y la tasa de interés varía de 8% a 9%?

Ejercicio 1.29. (Producción marginal). Un empresario textil estima que la producción (en cientos de unidades) es función de las cantidades x e y de labor y capital usados,

como sigue 1 −1/4 3 −1/4 −4 + y f ( x, y) = x 4 4





(a) Determine el número de unidades producidas cuando son usadas 16 unidades de labor y 81 unidades de capital. (b) Calcule e interprete f x (16,81) y f y (16,81). (c) ¿Cómo debería variar la producción cuando se aumenta 1 unidad a la labor de 16 unidades, y 1 unidad al capital de 81 unidades?


50

Ejercicio 1.30. (Temperatura estable). Considere el semidisco H = ( x, y)

{

∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}

como se muestra en la figura. Si la temperatura

en los puntos del borde superior se mantiene 100◦ C, la temperatura en los puntos del borde inferior es de 50◦ C, y la temperatura estable de cualquier punto interior del semidisco, es dada por

en



100 1 − x2 − y2 T ( x, y) = 100 − arctan π 2 y

   



1 1 1 1 , y T y , e interprete el resultado 2 2 2 2 Ejercicio 1.31. (Ley de gases ideales). La ley de gases ideales establece que PV = nRT , calcule T x

donde P es la presión, V es el volumen, n es el número de moles del gas, R es una

constante fija (el gas constante), y T es la temperatura absoluta. Muestre que ∂ T ∂ P ∂ V = ∂ P ∂ V ∂ T

·

·

−1

Ejercicio 1.32. (Absorción química).

Sea D una región sólida cuya frontera es un cilindro de radio r y altura h, tapada en cada extremo por una hemisferio. El volumen V y el área de superficie S y D son dados por

   

2 3 4 π r = π r 2 h + r 3 3 S = 2π rh + 2(2π r 2 ) = 2π r (h + 2r ) 2

V = π r h + 2

Si D representa una bacteria, entonces la razón R con la que una sustancia química puede ser absorvida en D es dada por R = c (S /V ), donde c es una constante positiva. Muestre que ∂ R/∂ r < 0 y ∂ R/∂ h < 0. (El resultado implica que un aumento en el

radio o la altura de la bacteria disminuye la tasa de absorción química.)

Ejercicio 1.33. (Pérdida de calor). El calor perdido (en Joules) por las crías de las focas en una playa, puede ser aproximado por 15.2m0.67 (T − A) H (m, T , A) = 10.23ln m − 10.74 donde m es la masa del cuerpo de la cría (en kg), T y A son la temperatura corporal y la temperatura del agua, respectivamente (en ◦ C). Determine el cambio aproximado en la pérdida de calor bajo las siguientes condiciones:


51

(a) La temperatura corporal se incrementa de 37◦ C a 38◦ C, mientras la temperatura del agua se mantiene a 8 ◦ C y su peso en 24 kg. (b) La temperatura del agua se incrementa de 10◦ C a 11◦ C, mientras la temperatura corporal se mantiene en 37 ◦ C y su peso en 26 kg.

Ejercicio 1.34. (Ingreso marginal).

Una corporación farmacéutica tiene dos laboratorios

que producen los mismos medicamentos. Si x1 y x2 son las unidades producidas en los laboratorios 1 y 2, respectivamente, entonces el ingreso total que resulta de la venta de estas medicinas es calculado por I = 200 x1 + 200 x2 4 x12 8 x1 x2 4 x22 . Tomando

− −

x1 = 4

−

y x2 = 12 (a) Calcule el ingreso marginal ∂ I /∂ x1 que resultan de las medicinas producidas por el laboratorio 1. (b) Calcule el ingreso marginal ∂ I /∂ x2 que resultan de las medicinas producidas por el laboratorio 2.

Ejercicio 1.35. (Velocidad). En 1931, para la suma de dos velocidades x e y:

Albert Eintein desarrolló la siguiente fórmula

w( x, y) =

x + y xy

1+

c2

donde x e y están en millas por segundo y c representa la velocidad de la luz, que es

186 262 millas por segundo. (a) Suponga que, con respecto a un observador estacionario, una nave espacial es capaz de viajar a 50 000 millas por segundo y que, mientras viaja a esta velocidad, se lanza un cohete que viaja a 150 000 millas por segundo. ¿Qué tan rápido viaja el cohete con respecto al observador estacionario? (b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de w con respecto a la velocidad x de la nave espacial cuando la nave espacial viaja a 50 000 millas por segundo y el cohete viaja a 150 000 millas por segundo? (c) Hipotéticamente, si una persona conduce a la velocidad de la luz c y enciende los faros del auto, ¿cuál es la velocidad de la luz que salen de los faros con respecto al

observador estacionario?

Ejercicio 1.36. (Costo marginal).

Una fábrica produce dos tipos de chimeneas, el modelo

A que funciona a gas, y el modelo B que utiliza leña. La función costo para producir x

chimeneas del modelo A e y chimeneas del modelo B es

√

C = 32 xy + 175 x + 205 y + 1050

(a) Calcule el costo marginal ∂ C /∂ x y ∂ C /∂ y cuando x = 80 e y = 20.

52


(b) ¿Qué producción adicional es requerida para que el costo de producción aumente a un ritmo mayor? ¿Cómo podría determinar esto?

Ejercicio 1.37. (Inversión). El valor que se obtiene de una inversión de $ 1000 gana el 6% compuesto anualmente es



1 + 0.06(1 − R) V ( I , R) = 1000 1 + I

que

10



donde I es la tasa anual de inflación y R es la tasa de impuesto que debe pagar la persona que realiza la inversión. Calcule V I (0.03,0.28) y V R (0.03,0.28). Determine ¿cuándo la tasa de impuesto o la tasa de inflación es el mayor factor “negativo” en el crecimiento de la

inversión?

Ejercicio 1.38. (Aparente temperatura). Una manera de determinar cómo se calienta el clima es tomando como dato lo que experimenta una persona promedio. Este es llamado

índice de aparente temperatura. Un modelo para este índice es A = 0.885t

− 22.4h + 1.20th − 0.544

donde A es la temperatura en grados Celcius, t es la temperatura del aire, y h es la

humedad relativa (en forma decimal). (a) Calcule ∂ A/∂ t y ∂ A/∂ h cuando t = 30◦ C y h = 0.80. (b) ¿Quén tiene mayor efecto en A, la temperatura del aire o la humedad. Explique?


53

1.5.3 Derivadas de orden superior Si f es una función de dos variables, las derivadas parciales

funciones de dos variables. Definimos ∂ 2 f ∂ = 2 ∂ x ∂ x ∂ 2 f ∂ = ∂ y∂ x ∂ y

    ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x

∂ 2 f = ∂ x∂ y ∂ 2 f = ∂ y2

∂ ∂ x ∂ ∂ y

∂ f ∂ f y son también ∂ x ∂ y

    ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y

llamadas derivadas parciales de segundo orden . Otras notaciones son f xx = ( f x ) x = D 11 f f xy = ( f x ) y = D 12 f f yx = ( f y ) x = D 21 f f yy = ( f y ) y = D 22 f

Ejemplo 1.20. Sea f ( x, y) = x2 e y . Entonces f xx = 2e y

f xy = 2 xe y

f x = 2 xe y

y f y = x2 e y . Luego

f yy = x 2 e y

f yx = 2 xe y

Teorema 1.5.1 (Clairaut).

Sea f una función en las variables x e y tal que las

derivadas

existen y son continuas. Entonces

∂ 2 f

∂ x∂ y

e

∂ 2 f

∂ y∂ x



∂ 2 f ∂ 2 f = ∂ x∂ y ∂ y∂ x

Ecuación de la onda de Laplace Considere una cuerda de longitud L que está extendida en el eje x y atada en los extremos x = 0 y x = L . Ahora bien, si usted jala la cuerda en el tiempo t = 0, esta hace un movimiento vibratorio (ver la figura de abajo). El desplazamiento de un punto en la cuerda depende de la coordenada x y el tiempo t , y podemos expresar como una función de dos variables u( x, t ). Para un valor fijo de t , la función u( x, t ) depende solo de x, y la gráfica de u versus x describe la forma de la cuerda, que podemos pensar como una foto de la cuerda en el instante t . Concluimos que para un tiempo fijo t , la derivada parcial ∂ u/∂ x representa la pendiente de la recta tangente a la cuerda en x, y el signo de la segunda derivada parcial ∂ 2 u/∂ x2 nos dice si la cuerda es cóncava hacia

arriba o cóncava hacia abajo en el punto x.


54

Para un valor fijo de x, la función u( x, t ) depende solo de t , y la gráfica de u versus t es la curva posición versus tiempo del punto de la cuerda con coordenada x; además

∂ 2 u/∂ t 2 es la aceleración del punto. Se puede mostrar que bajo condiciones adecuadas,

la función u( x, t ) satisface una ecuación de la forma ∂ 2 u ∂ 2 u = c 2 ∂ t 2 ∂ x2

(1.3)

donde c es una constante que depende de la característica física de la cuerda. Esta ecuación

es llamada ecuación unidimensional de la onda.

DEFINICIÓN Función armónica Una función u( x, y) de las variables x e y es llamada función armónica si ∂ 2 u ∂ 2 u + =0 ∂ x2 ∂ y2

(1.4)

para todo ( x, y) ∈ dom(u). La ecuación (1.4) es también escrita por

2 u = 0.

∇

Ejemplo 1.21. Mostremos que la función u( x, y) = e− x cos y + e− y cos x es armónica para todo ( x, y) ∈ R2 . Solución. Tenemos

−e− x cos y − e− y sen x

∂ 2 u = e− x cos y 2 ∂ x

−e− x sen y − e− y cos x

∂ 2 u = ∂ y2

∂ u = ∂ x ∂ u = ∂ y

− e− cos x y

−e− cos y + e− cos x x

y

Así que ∂ 2 u ∂ 2 u + 2 = (e− x cos y 2 ∂ x ∂ y

− e− cos x) + (−e− cos y + e− cos x) = 0 y

x

y




55

Ejercicios Ejercicio 1.1. En√ cada caso, calcule la derivada indicada (a) f (r , θ ) = r 3 + θ 2 , f r θ (b) z = cosh( x2 y3 ),

∂ 2 z ∂ y2

(c) F (s, t ) = s3t 5 , F st

∂ 2 f ∂ x2

(d) f ( x, y) = ( 2 x + xy2 )2 , (e) z(u, v) =

u v

v

+ , zuu + zvv u

∂ f ∂ f = xy y = x2 . ∂ x ∂ y

Ejercicio 1.2. Muestre que no existe una función f ( x, y) tal que (Sugerencia: verifique que no cumple el teorema de Clairaut). 2

Ejercicio 1.3. Muestre que u( x, t ) = sen(nx)e−n t cualquier constante n:

satisface la ecuación del calor para

∂ u ∂ 2 u = 2 ∂ t ∂ x

Ejercicio 1.4. Sea la función no constante z = u ( x, y)eax+by Determine los valores de las constantes a y b, tales que ∂ 2 z ∂ x∂ y

tal que satisface

∂ 2 u = 0. ∂ x∂ y

− ∂ ∂ xz − ∂ ∂ yz + z = 0

Ejercicio 1.5. Si f y g son funciones de una variable dos veces derivables, verifique que la función u( x, y) = x f ( x + y) + yg( x + y) satisface la ecuación u xx − 2u xy + u yy = 0. Ejercicio 1.6. Sea la función f ( x, y) =



x2 + y2 .

f ( x, y)

∂ 2 f ∂ x2

+

∂ 2 f

Si se cumple la igualdad

= axm + byn

∂ y2

Calcule los valores de m y n.

Ejercicio 1.7.

La

función de producción de Coob-Douglas z = f ( x, y) se define me-

diante z = Axα yβ , donde A, α y β son constantes. El valor de z recibe el nombre de

salida eficiente para las entradas f x = f yy =

α z x

x

,

e y. Demuestre que f y =

β (β 1) z

−

y2

β z y

y

,

f xx =

α (α 1) z

f xy = f yx =

−

x2

αβ z xy


56

Ejercicio 1.8. (Energía cinética). La energía cinética velocidad v es dada por K = 21 mv2 . Muestre que

K de un cuerpo con masa m y

∂ K ∂ 2 K = K ∂ m ∂ v2

Ejercicio 1.9. (Resistores). Cuando dos resistores que tienen resistencias

R1 y R2

se conectan en paralelo, la resistencia combinada R es dada por R = R 1 R2 /( R1 + R2 ).

Muestre que

∂ 2 R ∂ 2 R ∂ R21 ∂ R22

Ejercicio 1.10. (Economía).

=

4 R2 ( R1 + R2 )4

Parece razonable que el aumento de los impuestos sobre un

producto disminuiría la producción de ese producto. El siguiente argumento apoya esta afirmación. Suponga que todas las derivadas requeridas existen. Para cualquier x

≥ 0,

sea U 0 ( x) la utilidad antes de los impuestos sobre x unidades producidas. Sea U ( x, t ) denotando la utilidad luego que se producen x unidades con una tasa t en cada unidad. Suponga que cualquiera sea la tasa t la empresa maximizará sus utilidades produciendo f (t ) unidades,

o sea ∂ U ( f (t ), t ) = 0 ∂ x ∂ 2U ( f (t ), t ) < 0 ∂ x2

( 1) (2)

(a) Muestre que U ( x, t ) = U 0 ( x) − tx (b) Usando (a), muestre que ∂ U ( x, t ) = U 0 ( x) ∂ x

− t

y

∂ 2U ( x, t ) = U 0 ( x) 2 ∂ x

(c) De (1) y (b) muestre que U 0 ( f (t )) − t = 0 (d) Derivando en ambos lados de la ecuación en (c) y usando (b) y (2), muestre que f  (t ) =

1 U 0 ( f (t ))

=

1 ∂ 2U ( f (t ), t ) ∂ x2

<

0

Por lo tanto, la producción tiende a disminuir a medida que la tasa de impuestos aumenta.

1.6 Diferencial total y linealización

57

1.6 Diferencial total y linealización Recordemos que para una función derivable y de una variable y = f ( x), se define el diferencial de y, como el número

d y = f  ( x) d x Aquí, f  ( x) =

donde d x = ∆ x

d y es la pendiente de la recta tangente al gráfico de y = f ( x) en el punto d x

( x, f ( x)). Fijando un punto x = a e incrementando ∆ x, obtenemos el nuevo punto x = a + ∆ x como indica el gráfico de abajo. Desde que f  (a)

≈ f (a + ∆∆ x x) − f (a) = ∆∆ y x ⇒

d y = f  (a)∆ x ≈ f (a + ∆ x) − f (a) = ∆ y

El número d y representa el cambio en la altura de la recta tangente cuando x se incrementa una cantidad ∆ x, y el número ∆ y representa el cambio en la altura de la curva y = f ( x)

cuando x se incrementa una cantidad

∆ x.

A continuación vamos a trasladar estas ideas al caso de dos variables: dada una función

diferenciable z = f ( x, y), y un punto (a, b) ∈ dom( f ), definimos ∆ ( x, y) = ( ∆ x, ∆ y)

entonces al incrementar el punto (a, b) una cantidad

∆ ( x, y)

tenemos el nuevo punto

( x, y) = (a + ∆ x, b + ∆ y) Sea

∆ z =

f (a + ∆ x, b + ∆ y) ∆ z =

− f (a, b).

Desde que z = f ( x, y) es diferenciable, se tiene

f (a + ∆ x, b + ∆ y)

− f (a, b) ≈ ∂ ∂ xf ∆ x + ∂ ∂ yf ∆ y

Desde que d x = ∆ x y d y = ∆ y, entonces ∆ z =

esto nos permite definir

f (a + ∆ x, b + ∆ y)

− f (a, b) ≈ ∂ ∂ xf d x + ∂ ∂ yf d y


58

1.6.1 Diferencial total DEFINICIÓN Diferencial total Dada una función diferenciable z = f ( x, y), definimos el diferencial d z o diferen-

cial total como d z =

∂ f ∂ f d x + d y ∂ x ∂ y

Si en la ecuación anterior hacemos d x = ∆ x = x − a y d y = ∆ y = y − b, entonces d z = f x (a, b)( x − a) + f y (a, b)( y − b) De manera similar al caso de una variable,

d z representa el cambio en la altura

∆ z representa

el cambio en la altura de la superficie

del plano tangente, mientras que

z = f ( x, y) cuando ( x, y) cambia de (a, b) hasta (a + ∆ x, b + ∆ y). Entonces d z es la

aproximación lineal de la variación ∆ z.

Ejemplo 1.22. El largo y el ancho de un rectángulo miden respectivamente 30cm y 24cm, con un error máximo en la medición de 0.1cm en cada una de las dimensiones. Use diferenciales para aproximar linealmente el máximo error en el área calculada del

rectángulo. Solución. Sea A( x, y) = xy la función área. Tenemos d A =

∂ A ∂ A d x + d y = yd x + xd y ∂ x ∂ y

d x = 0.1 , d y = 0.1 con x = 30, y = 24. Entonces la aproximación lineal del máximo error en el área es y también

|∆ x| ≤ 0.1, |∆ y| ≤ 0.1. ∆ A

Ahora usamos

≈ d A = 24(0.1) + 30(0.1) = 5.4cm2




59

Ejemplo 1.23. (Error en el cálculo del volumen de un depósito). Un depósito de combustible tiene la forma de un cilindro circular recto. Suponga que su radio mide 1.5pies y su altura mide 5pies, con un posible error máximo de 0.05pies y 0.1pies en cada magnitud, respectivamente. Aproxime linealmente el máximo error al calcular la capacidad

del depósito. V = π r 2 h. El error aproximado

Solución. La capacidad (volumen) del depósito es al calcular la capacidad del depósito es

≈ dV = ∂ ∂ Vr dr + ∂ ∂ V h dh = (2π rh)dr + (π r 2 )dh

∆V

Desde que los errores en las mediciones de r y h son como máximo 0.05pies y 0.1pies,

respectivamente, entonces d r = 0.05 y d h = 0.1. De aquí obtenemos dV = (2π rh)dr + (π r 2 )dh = 2π (1.5)(5)(0.05 ) + π (1.5)2 (0.1) = 0.975π Así que, el máximo error lineal al calcular el volumen del depósito de combustible es

0.975 π ≈ 3.1pies cúbicos.



DEFINICIÓN Diferencial total Dada una función diferenciable w = f ( x, y, z), definimos el diferencial

rencial total como dw =

∂ f ∂ f ∂ f d x + d y + d z ∂ x ∂ y ∂ z

Si en la ecuación anterior hacemos d x = ∆ x = x z

− c,

dw o dife-

entonces

− a,

d y = ∆ y = y − b y d z = ∆ z =

dw = f x (a, b, c)( x − a) + f y (a, b, c)( y − b) + f z (a, b, c)( z − c)

Ejemplo 1.24. Sea paralelo, tal que

R la resistencia total de tres resistores R1 , R2 , R3 , conectados en

1 R

=

1 R1

+

1 R2

+

1 R3

Si la resistencia se mide en ohms, donde R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω y R3 = 50 Ω, con un posible error del 0.5% en cada caso, estime el máximo error posible en el valor calculado

de R. ∂ R Solución. Calculemos tomando derivadas parciales en ambos lados ∂ R1

− R−2 ∂ R = ∂ R1

 

∂ 1 ∂ R1 R

∂ 1 1 1 = + + ∂ R1 R1 R2 R3



=

1

− R2 ⇒ 1

∂ R R2 = ∂ R1 R21


60

y por simetría obtenemos ∂ R R2 = ∂ R2 R22

∂ R R2 = ∂ R3 R23

y

Cuando R1 = 25, R2 = 40 y R3 = 50 1 R

=

17 200

R =

⇔

200 ohms 17

Desde que el posible error para cada Ri es de 0.5% Ri , el máximo error de R se consigue

haciendo d Ri = 0.005 Ri . Así que ∆ R

≈ d R = ∂ ∂ R R d R1 + ∂ ∂ R R d R2 + ∂ ∂ R R d R3 1

= ( 0.005) R2



2

1

R1

+

1

  

R2

= ( 0.005) R = ( 0.005)

+

3

1

R3

200 1 = ≈ 0.059ohms 17 17



Ejemplo 1.25. (Máximo error en el cálculo de la fuerza centrífuga ). Un centrífugo es una maquina diseñada con el propósito específico de sujetar materiales cuando se mantiene

una fuerza centrífuga. La magnitud de la fuerza centrífuga F en dinas está dada por F = f ( M , S , R) =

π 2 S 2 MR

900

donde S está en revoluciones por minuto (rpm), M es la masa en gramos, y R es el radio en centímetros. Si el máximo porcentaje de error en la medida de M , S y R son

0.1%, 0.4% y 0.2%, respectivamente, use diferenciales para estimar el máximo error porcentual en el cálculo de F . Solución. El error en el cálculo de F es ∆F , y ∂ F ∂ F F ≈ dF = ∂ ∂ M d M + dS + d R ∂ S ∂ R

∆F

π 2 S 2 R

π 2 S 2 M 2π 2 SMR = d M + dS + d R 900 900 900

Por tanto,

∆F

F

y



∆F

F

dS d R M ≈ dF F = d M +2 + S R

 ≈ 

dF F

 ≤ 



d M M

+2





dS S

+



d R R




61

Desde que



se tiene

 ≤ 

d M M



0.001 dF F

 ≤

 ≤

dS S

0.004



y

d R R

 ≤

0.002

0.001 + 2(0.004) + 0.002 = 0.011

O sea, el máximo error porcentual al calcular la fuerza centrífuga es aproximadamente

1.1%.

Ejemplo 1.26. La energía interna



U de un sistema termodinámico es función de la

entropía S , volumen V , y el número de moles N . Estas variables son llamadas variables naturales de U , y escribimos a esta función como U (S , V , N ). La temperatura T ,

presión

P

y potencial µ se definen como sigue: T =

∂ U ∂ S

P =

− ∂ ∂ UV

µ =

∂ U ∂ N

donde en cada definición anterior, las otras dos variables se mantienen constantes. Debemos

saber que la entropía es una cantidad difícil de calcular. Solución. Definimos la energía libre de Helmholtz F mediante F = U

− ST

Desde que ∂ U ∂ U ∂ U dS + dV + d N = T dS PdV + µ d N ∂ S ∂ V ∂ N

dU =

−

se tiene dF = dU − S dT − T dS = T dS − PdV + µ d N −S dT − T dS

   dU

= S dT PdV + µ d N

−

−

y por tanto ∂ F = ∂ T

−S

∂ F = ∂ V

−P

∂ F = µ ∂ N

La energía libre de Helmholtz usa frecuentemente la función termodinámica porque todas

las variables naturales T , V y N son fácilmente calculables.




62

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, determine el diferencial total (a) z = 2 x2 y3 (b) z = 2 x4 y − 6 x2 y3 1 (c) z = − 2 2 x + y x cos y y cos x

− (d) x (e) e sen y x + y (d) w = z − 3 y

Ejercicio 1.2. Para las siguientes funciones, halle la variación real y diferencial total (variación aproximada), en los puntos dados: (a) f ( x, y) = x2 y en el punto (1,2), ∆ x = 0.1, ∆ y = 0.2 (b) f ( x, y) = x3 + y2 − 3 xy en el punto (2,1), ∆ x = 0.01, ∆ y = 0.02 (c) f ( x, y) =

(d)

x2

− y2

en el punto (2,2), ∆ x = 0.5, ∆ y = 0.4

x2 + y2 f ( x, y) = ln( x2 + y2 ) en

el punto (0,2), ∆ x = 0.3, ∆ y = 0.8

Ejercicio 1.3. Usando diferenciales, aproxime cada uno de los valores: (a) (1.02 )3 (0.97)2 (b) (4.05 )2 + (2.93 )2 (c) (0.97 )1.02



Ejercicio 1.4.

Con x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados, un fabri-

cante puede producir Q( x, y) = 10 x2 y unidades por día. En la actualidad hay en el trabajo

20 trabajadores calificados y 40 no calificados (a) ¿Cuántas unidades se producen cada día? (b) ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador calificado a la fuerza laboral actual? () ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual? (d) ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel diario de producción si se adiciona un trabajador calificado y uno no calificado a la fuerza laboral actual?

Ejercicio 1.5. En cierta fábrica la producción es Q(K , L) = 120K 2/3 L1/3 , donde K es la inversión de capital en unidades de $ 1000 y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas trabajador (a) Calcule la producción si la inversión de capital es $ 125 000 y el tamaño de la fuerza laboral es 1331 horas-trabajador. (b) ¿En cuánto cambiará la producción si tanto el nivel de inversión de capital como el tamaño de la fuerza laboral se reducen a la mitad?


63

Ejercicio 1.6. (Error calculado en la potencia de una batería). Suponga que la fuente de corriente en un circuito eléctrico es una batería. Entonces la potencia de salida P (en watts) obtenida cuando el circuito tiene una resistencia de R ohms es dada por P = E 2 R , donde E es la fuerza electromotriz (FEM) en voltios y r es la resistencia ( R + r )2 interna de la batería. Estime el máximo porcentaje de error al calcular la potencia si la FEM de 12 voltios se aplica en un circuito con una resistencia de 100ohms , la resistencia interna de la batería es de 50ohms, y el máximo porcentaje de error en medir E , R y r

son de 2%, 3% y 1%, respectivamente.

Ejercicio 1.7. (Flujo sanguíneo). El flujo sanguíneo que pasa por una arteria, medido en

cm3 /s, es dado por F =

π PR4

8kL

donde L es la longitud de la arteria en centímetros, R es el radio en centímetros, P es la diferencia de presiones entre los dos extremos de la arteria en dinas-s/cm2 , y k es la visco-

sidad de la sangre en dinas-s/cm2 . Aproxime linealmente el máximo porcentaje de error al medir el flujo sanguíneo sabiendo que se consigue un máximo error de longitud de la arteria y se consigue un máximo error de

1% al medir la

2% al medir su radio. Suponer

que P y k son constantes.

Ejercicio 1.8. (Tanque con agua). Un tanque con agua teniendo una sección transversal de A m2 es llenado con agua a una altura de h m.

Luego el agua sale a través de un orificio de sección transversal a cm2 , localizado en la base del tanque. Se puede mostrar que el tiempo (en segundos) que toma vaciar el tanque es dado

por T = f ( A, a, h) =

A a



2h g

, donde g

es la constante de aceleración. Suponga que las magnitudes de A, a y h son

5m2 ,

0.001m 2 y 16m, con errores de 0.05m2 , −0.0001m2 y 0.2m, respectivamente. Aproxime linealmente el error máximo en el cálculo de T (tomar g como 8m /s2 ).


64

Ejercicio 1.9. (Volumen que se conserva de un hueso). Una pieza de hueso cuya forma es de un cilindro circular recto tiene 7 cm de largo y un radio de 1.4 cm . Esta pieza es cubierta por un líquido denso que forma una capa de 0.09 cm. Estime el volumen de esta capa formada. Ejercicio 1.10. (Producción). La función de producción para una fábrica es z = x0.65 y0.35 donde se utilizan x unidades de fuerza laboral e y unidades de capital. En un inicio se utilizan

50 unidades de fuerza laboral y 29 unidades de capital. Use diferenciales

para estimar el cambio en la producción si el número de unidades de fuerza laboral se

incrementa a 52 y el capital decrece a 27 unidades.

Ejercicio 1.11. (Hemodiálisis).

Un modelo que estima la concentración de úrea que se

encuentra en el cuerpo de un paciente que realiza una sesión de hemodiálisis, es dado por C (t , g) = 0.6(0.96)(210t /1500)−1 +

gt

126t − 900

[1

− (0.96)(210

t /1500)

−1 ]

donde t representa el número de minutos que dura la sesión de hemodiálisis y g repre-

senta la razón con la que el cuerpo del paciente produce úrea en mg /min. (a) Calcule C (180,8). (b) Usando el diferencial total, estime la concentración de úrea si la sesión de hemodiálisis del paciente se corta 10 minutos antes y produce úrea a razón de 9 mg por minuto. Compare esto con la concentración actual. (Sugerencia: primero reemplace la variable g con el número 8, reduciendo la función a una variable. Entonces use su computador para calcular la derivada parcial C t (180,8). Un procedimiento similar puede hacerse para C g (180,8).)

Ejercicio 1.12. (Inductancia). La magnético en un ambiente libre es

inductancia L (en microhenries) de un cable no





2h − 0.75 L = 0.00021 ln r

donde h es la longitud del cable en milímetros y r es el radio de la sección transversal 1 milímetros. circular. Aproxime L cuando r = 2 ± 161 milímetros y h = 100 ± 100

Ejercicio 1.13. (Sensación térmica). Fahrenheit) es dada por

La fórmula para la sensación térmica C (en grados

C = 35.74 + 0.6215 T

− 35.75v0.16 + 0.4275T v0.16

donde v es la velocidad del viento en millas por hora y T es la temperatura en grados Fahrenheit. La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es 8◦ 1◦ .

±

±

Use dC para estimar el máximo error porcentual en la variación de la sensación térmica.


65

1.6.2 Aproximaciones lineales y planos tangentes A continuación estudiaremos aproximaciones lineales de manera similar a funciones

de una variable.

DEFINICIÓN Linealización y aproximación lineal Definimos la linealización L( x, y) de f en el punto ( x0 , y0 ) mediante ∂ f ∂ f ( x0 , y0 )( x x0 ) + ( x0 , y0 )( y y0 ) ∂ x ∂ y

L( x, y) = f ( x0 , y0 ) +

−

−

que es una función lineal cuya gráfica es un plano en R3 que pasa por el punto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )). La función L( x, y) es llamada aproximación lineal de f en el

punto ( x, y). En este caso escribimos f ( x, y) ≈ L( x, y).

Ejemplo 1.27. Sea f ( x, y) = xe xy . Entonces f x ( x, y) = e xy + xye xy

Aproximemos f (1.1,

−0.1).

f y ( x, y) = x 2 e xy

y

En efecto, (1.1,

( x0 , y0 ) = ( 1,0) y tenemos

−0.1) = ( 1,0) + (0.1, −0.1),

f x (1,0 ) = e (1)(0) + (1)( 0)e(1)(0) = 1

y

en este caso

f y (1,0) = (1)2 e(1)(0) = 1

Luego L( x, y) = f (1,0) + 1( x

Por tanto,

− 1) + 1( y − 0) = 1 + x − 1 + y = x + y f (1.1, −0.1) ≈ L(1.1, −0,1) = 1.1 + (−0.1) = 1.

Ejemplo 1.28. Determine la aproximación lineal de f ( x, y, z) = y utilícela para aproximar el número



x2 + y2 + z2 en (3,2,6 )



(3.02)2 + (1.97 )2 + (5.99)2

Solución. Tenemos que f x =

Así que

x

f y =



x2 + y2 + z2

y



x2 + y2 + z2

3 2 f y (3,2,6 ) = 7 7 Luego la aproximación lineal de f en (3,2,6 ) es f x (3,2,6) =

3 7

L( x, y, z) = 7 + ( x



f z =

z



x2 + y2 + z2

f z (3,2,6) =

6 7

− 3) + 27 ( y − 2) + 67 ( z − 6) = 73 x + 27 y + 67 z


66

Por tanto,



(3.02 )2 + (1.97 )2 + (5.99 )2 = f (3.02, 1.97, 5.99 )

≈ L(3.02, 1.97, 5.99 ) 3 7 = 6.9914

2 7

6 7

= (3.02 ) + (1.97 ) + (5.99 ) 

DEFINICIÓN Plano tangente para z = f ( x, y) La ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) define mediante

se

∂ f ∂ f ( x0 , y0 )( x x0 ) + ( x0 , y0 )( y y0 ) ∂ x ∂ y

z = f ( x0 , y0 ) +

−

−

Ejemplo 1.29. Consideremos la función f ( x, y) = x2 + y2 y sea (1,1,2 ) un punto de él. Tenemos f x = 2 x y f y = 2 y, de donde, f x (1,1) = 2 y f y (1,1 ) = 2. La ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f ( x, y), en el punto (1,1,2 ), resulta z = L ( x, y)

= f (1,1) + 2( x

− 1) + 2( y − 1) = 2 + 2 x − 2 + 2 y − 2 = 2 x + 2 y − 2



DEFINICIÓN Vector gradiente 1. Dada la función z = f ( x, y) definida en (a, b) , b) =

∇ f (a

2. Dada la función

∂ f ∂ f (a, b)i + (a, b) j ∂ x ∂ y

w = f ( x, y, z) definida

, b, c) =

∇ f (a

Ejemplo 1.30. Dada la función ∇ f (

en (a, b, c)

∂ f ∂ f ∂ f (a, b, c)i + (a, b, c) j + (a, b, c)k ∂ x ∂ y ∂ z

f ( x, y) = x 2 + y2 .

1,2) =



Entonces



∂ f ∂ f (1,2), (1,2) = ( 2,4) ∂ x ∂ y




67

Ejemplo 1.31. Si f ( x, y, z) = y ln(2 x − 3 z), en el punto (2,3,1) tenemos ∂ f 2 ∂ (2,3,1 ) = = y = 6 y ln(2 x − 3 z) 2 x − 3 z (2,3,1) ∂ x ∂ x (2,3,1) ∂ f (2,3,1 ) = ∂ y ∂ f (2,3,1 ) = ∂ z

De aquí,

∇ f (

  

∂ y ln(2 x ∂ y ∂ y ln(2 x ∂ z

  

− 3 z) − 3 z)

2,3,1 ) = ( 6,0, −9).

(2,3,1)

(2,3,1)

  −  −  −

= ln(2 x = y

3 z)

3 2 x 3 z

(2,3,1)

(2,3,1)

= 0

= 9

−



DEFINICIÓN Vector gradiente Sea (a, b, c) un punto en la superficie S descrita por F ( x, y, z) = 0 , tal que cumple ∇F (a, b, c)  = 0. Entonces el plano tangente a S en el punto (a, b, c) define mediante ∇F (a, b, c) · ( x − a, y − b, z − c) = 0

se se

que equivale a F x (a, b, c)( x

− a) + F (a, b, c)( y − b) + F (a, b, c)( z − c) = 0 y

z

Ejemplo 1.32. Considere la superficie S con ecuación plano tangente a S en el punto (3, −1,2). Solución. Definimos

(1.5)

x3 y yz2 + z5 = 9. Determine el

−

F ( x, y, z) = x 3 y yz2 + z5

− 9. Entonces = −27i − 23 j + 84k F (3, −1,2) = 3 x2 yi + ( x3 − z2 ) j + (5 z4 − 2 yz)k (3,−1,2) es normal a S en (3, −1,2). De acuerdo a la fórmula (1.5), la ecuación del plano ∇

−





tangente tiene ecuación

−27( x − 3) − 23( y + 1) + 84( z − 2) = 0 ⇔ −27 x − 23 y + 84 z = 64 Ejemplo 1.33. Considere la superficie definida por F ( x, y, z) = x 2 + y2

El gradiente de F es , ,

∇F ( x y z)

z4 = x 2 + y2 .



Hacemos

− z4 = 0

= 2 xi + 2 y j 4 z3 k

−

Note que el punto (0,0,0) está en la superficie. Sin embargo,

∇F (

0,0,0 ) = 0, el cual

indica que el vector gradiente no es el apropiado para hallar la ecuación del plano tangente a la superficie, es decir, no podemos aplicar la fórmula (1.5). Concluimos de este ejemplo

que la superficie no admite plano tangente en el origen de coordenadas (0,0,0 ).




68

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, indique con (V) si la afirmación es verdadera y con (F) si es falsa. (a) Si ∇ f = ( 0,0,0), entonces f es constante. (b) ∇ z es perpendicular a la gráfica de z = f ( x, y) (c) ∇ f apunta en la dirección en la cual f aumenta con mayor rapidez. Ejercicio 1.2. En cada caso, determine ∇ f y la aproximación lineal de la función en el punto dado. A continuación estime el valor pedido. (a) f ( x, y) = xy + x − y, (2,3), f (2.1,2.99) (b) f ( x, y) = 12 − 4 x2 − 8 y2 , (−1,4), f (−1.05,3.95) (c) f ( x, y) = − x2 + 2 y2 , (3, −1), f (3.1, −1.04 ) (d) f ( x, y) = x2 + y2 , (3, −4), f (3.06, −3.92 ) (e) f ( x, y) = ln(1 + x + y), (0,0), f (0.1, −0.2) (f) f ( x, y) = ( x + y)/( x − y), (3,2), f (2.95,2.05)



Ejercicio 1.3. En cada caso, determine la ecuación del plano tantente a la gráfica de la función en el punto dado. (a) z = 4 − 2 x2 − y2 , (2,2, −8) 1 y 2 (b) z = 2 + 2 x2 + , ,1,3 − 2 2 (c) z = e xy , (1,0,1 ) (d) z = sen xy + 2, (1,0,2 ) (e) z = x2 e x− y , (2,2,4 ) (f) z = ln(1 + xy), (1,2,ln3 ) 1 (g) z = ( x − y)/( x2 + y2 ), 1,2, − 5 (h) z = cos( x − y) + 2, (π /6, −π /6,3)

 

 

Ejercicio 1.4. En cada caso, determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. (a) x2 + y + z = 3, (1,1,1 ) (b) x2 + y3 + z4 = 2, (1,0,1 ) (c) xy + xz + yz − 12 = 0, (2,2,2) (d) x2 + y2 − z2 = 0, (3,4,5 ) (e) xy sen z = 1, (1,2, π /6) (f) yze xz − 8 = 0, (0,2,4) √ (g) z2 − x2 /16 − y2 /9 = 1, (4,3, − 3) (h) 2 x + y2 − z2 = 0, (0,1,1 )

1.7 Regla de la cadena

69

1.7 Regla de la cadena En este apartado combinaremos las ideas de la regla de la cadena en el caso de una variable con nuestro conocimiento acrca de las derivadas parciales y encontraremos nuevos

métodos para determinar la derivada de una función de varias variables.

1.7.1 Casos particulares Ya conocemos la regla de la cadena para funciones de una variable la cual dice: si y = f ( x) es derivable en x con x = g (t ) siendo derivable en t , entonces y es una

función derivable en t y

d y d y d x = dt d x dt Para funciones de dos o más variables, la regla de la cadena se presenta de varias formas:

Regla de la cadena: primer caso Si z = f ( x, y) donde x = x (t ) e y = y (t ) son ambas derivables en es derivable en t y se cumple: d z ∂ f d x ∂ f dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt

o también

t , entonces z

d z ∂ z d x ∂ z d y = + dt ∂ x dt ∂ y dt

Ejemplo 1.34. Usemos la regla de la cadena para hallar la derivada de la función z = xy2 con respecto a t , sabiendo que x = et e y = sen t . Solución. d z ∂ z d x ∂ z d y = + dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ ( xy2 ) d t ∂ ( xy2 ) d = (e ) + (sen t ) dt dt ∂ x ∂ y = ( y2 )(et ) + (2 xy)(cos t ) = (sen t )2 (et ) + (2et sen t )(cos t ) = et sen2 t + 2et sen t cos t

 








70

Ejemplo 1.35. La temperatura en un punto ( x, y)

es T ( x, y), medida en grados centígrados. Un animalito se arrastra de tal manera que su posición después de t segundos está definida por x =

√ 1 + t ,

y = 2 + t /3, donde x e y se miden en centímetros. La

función temperatura cumple con T x (2,3) = 4 y T y (2,3) = 3. ¿Qué tan rápido se eleva

la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3 segundos?

√

Solución. Después de 3 segundos tenemos x = 1 + 3 = 2 y y = 2 + 13 (3) = 3. Además d x 1 1 d y 1 = √ = = y dt t =3 2 1 + t t =3 4 dt t =3 3







Ahora bien, por la regla de la cadena tenemos dT dt





d x ∂ T = ∂ x (2,3) dt t =3 1 4





  

d y ∂ T + ∂ y (2,3) dt t =3 1 3

= T x (2,3) + T y (2,3) = (4)

t =3

1 1 + (3) = 2 4 3



A continuación consideremos la situación cuando z = f ( x, y) pero cada una de las variables x e y es función de dos variables s y t , digamos: x = g (s, t ), y = h (s, t ). Entonces z es indirectamente función de s y t ; así que debemos hallar ∂ z/∂ s y

∂ z/∂ t .

Veamos el siguiente caso

Regla de la cadena: segundo caso Si z = f ( x, y) donde x = g (s, t ) e y = h (s, t ), entonces se cumple: ∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s

y

∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂ t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t

1.7 Regla de la cadena Ejemplo 1.36. Solución.

71

Si z = x2 y2 , donde x = s2

− t 2

e y = s2 + t 2 , calcule ∂ z/∂ s y ∂ z/∂ t .

∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s

= ( 2 xy2 )(2s) + (2 x2 y)(2s) = 2(s2

− t 2 )(s2 + t 2 )2 (2s) + 2(s2 − t 2 )2 (s2 + t 2 )(2s) = 8s3 (s2 − t 2 )(s2 + t 2 ) También ∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂ t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t

= ( 2 xy2 )( 2t ) + (2 x2 y)(2t ) = 2(s2

−

− t 2 )(s2 + t 2 )2 (−2t ) + 2(s2 − t 2 )2 (s2 + t 2 )(2t ) = −8t 3 (s2 − t 2 )(s2 + t 2 ) Ejemplo 1.37. Suponga que

f



es una función diferenciable de x e y, y sea

g(u, v) = f (eu + sen v, eu + cos v)

Use la tabla de valores para calcular gu (0,0)

y gv (0,0).

f

g

f x

f y

(0,0) 3 (1,2) 6

6 3

4 2

8 5

Solución. Hacemos g(u, v) = f ( x(u, v), y(u, v)) donde x = e u + sen v cos v. Entonces ∂ x = eu ∂ u

∂ x ∂ y ∂ y = cos v = eu = ∂ v ∂ u ∂ v ∂ g ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y = + Por la regla de la cadena: . Luego ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u

e y = e u +

− sen v

gu (0,0 ) = f x ( x(0,0), y(0,0)) xu (0,0 ) + f y ( x(0,0 ), y(0,0 )) yu (0,0)

= f x (1,2)(e0 ) + f y (1,2)(e0 ) = ( 2)(1) + (5)(1) = 7

Similarmente

∂ g ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y = + . Entonces ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v

gv (0,0) = f x ( x(0,0), y(0,0)) xv (0,0) + f y ( x(0,0), y(0,0)) yv (0,0)

= f x (1,2)(cos0) + f y (1,2)( sen0) = ( 2)(1) + (5)(0) = 2

−




72

Ahora consideremos la situación general en la cual una variable dependiente u es función de n variables intermedias x1 , x2 , . . . , xn , donde a su vez cada una de estas es función de m variables independientes t 1 , t 2 , . . . , t m . Notemos que deben existir n

términos, uno para cada variable intermedia.

Regla de la cadena: tercer caso Suponga que u es una función en las n variables x1 , x2 , . . . , xn y donde cada x j es una función en las m variables t 1 , t 2 , . . . , t m . Entonces u es una función en las

variables t 1 , t 2 , . . . , t m y se tiene ∂ u ∂ u ∂ x1 ∂ u ∂ x2 ∂ u ∂ xn = + +...+ ∂ ti ∂ x1 ∂ ti ∂ x2 ∂ ti ∂ xn ∂ ti

para cada i = 1,2, . . . , m.

Ejemplo 1.38. Consideremos z = w arctan(uv), Calcular

donde u = r + s, v = s + t y w = t + r .

∂ z ∂ z ∂ z , y en el punto (r , s, t ) = (1,0,1 ). ∂ r ∂ s ∂ t

Solución. ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = + + ∂ r ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r ∂ w ∂ r

= =

w

1 + u2 v

(v)(1) + 2

vw

1 + u2 v2

w

(u)(0) + arctan(uv)(1)

1 + u2 v2

+ arctan(uv)

∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = + + ∂ s ∂ u ∂ s ∂ v ∂ s ∂ w ∂ s

= =

wv

(1) +

1 + u2 v2

wu

(1) + arctan(uv)(0)

1 + u2 v2

w (v + u )

1 + u2 v2

∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = + + ∂ t ∂ u ∂ t ∂ v ∂ t ∂ w ∂ t

= =

wv

(0) +

1 + u2 v2

wu

(1) + arctan(uv)(1)

1 + u2 v2 wu + arctan(uv) 2 2

1+u v

Cuando r = 1, s = 0 y t = 1, se tiene u = 1, v = 1 y w = 2. Por tanto ∂ z π = 1 + 4 ∂ r

∂ z = 2 ∂ s

∂ z π = 1 + 4 ∂ t




73

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, determine d w/dt (a) w = xy, x = et , y = e−2t (b) w = cos( x − y), x = t 2 , y = 1 (c) w = x2 + y2 + z2 , x = cos t , y = sen t , z = et (d) w = xy cos z, x = t , y = t 2 , z = arccos t (e) w = xy + xz + yz, x = t − 1, y = t 2 − 1, z = t (f) w = xy2 + x2 z + yz2 , x = t 2 , y = 2t , z = 2 Ejercicio 1.2. En cada caso, determine ∂ w/∂ s y ∂ w/∂ t (a) w = xyz, x = s + t , y = s − t , z = st 2 (b) w = x2 + y2 + z2 , x = t sen s, y = t cos s, z = st 2 (c) w = ze xy , x = s − t , y = s + t , z = st (d) w = x cos yz, x = s2 , y = t 2 , z = s − 2t Ejercicio 1.3. Asumiendo que z es la variable dependiente, en cada caso determine ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y (a) 3 x3 + 5 y2 + 4 xz − 2 xy + 20 = 0 (b) 2 x2 − 3 y3 + 5 yz − 3 x2 y = 80 (c) x3 y + xz2 + y2 z − z3 = 8 (d) x2 y2 + x2 z3 + yz2 + x2 + y = 0 (e) x3 + 2 y3 + z3 − 3 xyz − 2 y + 3 = 0 (f)

x2

a2

+

y 2

b2

+

z 2

c2

= 1

Ejercicio 1.4. Use la regla de la cadena para mostrar que ∂ w ∂ w + = 0 ∂ u ∂ v

para w = f ( x, y), x = u − v, y = v − u.

Ejercicio 1.5. Dado el sistema



x = u2 + v2 y = u 2

− v2

Determine ∂ u/∂ x, ∂ u/∂ y, ∂ v/∂ x y ∂ v/∂ y.

Ejercicio 1.6.

Sea g( x, y) = xy f (u) una función diferenciable en (2,1), donde u = x + y ∂ g ∂ g . Calcule f  (3/2) sabiendo que 4 (2,1) + (2,1) = 20 y g(2,1) = 8. xy ∂ x ∂ y

−

Ejercicio 1.7. x

Sea f : R

∂ z ∂ z + y = 0. ∂ x ∂ y

→ R una función derivable y

z = f

− x y y

. Verifique que


74

Ejercicio 1.8. Sean define la función

f : R

→R

y g : R

→R

dos funciones derivables en todo R. Se

z( x, y) = x 2 y f (u) + xy2 g(v)

con u =

x y

y

y v = . x

∂ z ∂ z y ∂ x ∂ y

(a) Determine las expresiones para (b) Calcule el valor de f (

−1) = g(−1) = 0

∂ z ∂ z + en el punto ( 1,1 ) si f  ( 1) = g  ( 1) = 4 y ∂ x ∂ y

−

−

−

Ejercicio 1.9. Considere una función

f real de variable real y defina la función z = ∂ z ∂ z + x = ax + b para cualquier valor de x y + f ( x2 y2 ). Si se cumple la igualdad y ∂ x ∂ y e y, determine el valor de a + b.

−

Sea u = ( x + y)4 + y2 ( x + z)3 , donde x = rse −t , y = rs ln(1 + t 2 ) y ∂ u z = sr 2 cos t . Calcule cuando r = 2, s = 1 y t = 0. ∂ s

Ejercicio 1.10.

Ejercicio 1.11. Si z = f ( x, y) donde x = r cos θ e y = r sen θ , muestre que ∂ z 2 + ∂ x

∂ z 2 = ∂ y

∂ z 2 1 + 2 ∂ r r

∂ z 2 ∂ θ

    

Ejercicio 1.12. Si u = f ( x, y) donde x = er cos θ e y = er sen θ , muestre que 2

2

    ∂ u ∂ x

∂ u ∂ y

+

= e−2r

     ∂ u 2 + ∂ r

∂ u 2 ∂ θ

Ejercicio 1.13. Si u = f ( x, y) donde x = er cos θ e y = er sen θ , muestre que



2 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u − 2r ∂ u + = e + ∂ x2 ∂ y2 ∂ r 2 ∂ θ 2



Ejercicio 1.14. Si z = f ( x, y) donde x = u + v e y = u − v, muestre que ∂ z 2 ∂ x

∂ z 2 ∂ z ∂ z = ∂ y ∂ u ∂ v

  − 

Ejercicio 1.15. (Ecuaciones de Cauchy-Riemann). Dada las funciones u( x, y) verifique las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂ u ∂ v = ∂ x ∂ y

y

∂ u = ∂ y

− ∂ ∂ xv

∂ v = ∂ r

− 1r · ∂∂ θ u

que se puede expresar en la forma polar mediante: ∂ u 1 ∂ v = ∂ r r ∂ θ

·

y

y v( x, y)


75

Ejercicio 1.16. (Función homogénea). Muestre que si f ( x, y) es una función homogénea de grado n, entonces x f x ( x, y) + y f y ( x, y) = n f ( x, y)

(Sugerencia: sea g(t ) = f (tx, ty) = t n f ( x, y)). Encuentre g (t ) y tome t = 1. (a) Use diferenciación implícita para determinar d2 y/d x2 a partir de la ecuación implícita f ( x, y) = 0. (Asuma que f tiene segundas derivadas parciales continuas). (b) Use el resultado de la parte (a) para determinar d2 y/d x2 si x3 + y3 − 3 xy = 0. ¿Cuál es su dominio?

Ejercicio 1.17.

Ejercicio 1.18.

(a) Sea P(a, b) un punto de la curva definida por f ( x, y) = 0. Muestre que si la curva admite recta tangente en P(a, b), entonces la ecuación de la recta tangente se puede escribir en la forma f x (a, b)( x

− a) + f (a, b)( y − b) = 0 y

(b) Determine la ecuación de la recta tangente a la elipse x2

4 en el punto

+

y 2

9

= 1

 √ 

3 3 1, . 2

Ejercicio 1.19. (Variación del cilindro). El volumen de un cilindro circular recto con radio r y altura h es V = π r 2 h. (a) Suponga que r y h son funciones de t . Determine V  (t ). (b) Suponga que r = et y h = e−2t . Use la parte (a) para determinar V  (t ) (c) ¿Qué pasa con el volumen del cilindro cuando t se incrementa? ¿aumenta o disminuye? Ejercicio 1.20. (Variación de la pirámide). El volumen de una pirámide con base cua 1 drada de lado x y altura h es V = x2 h. 3 (a) Suponga que x y h son funciones de t . Determine V  (t ). (b) Suponga que x = t /(t + 1) y h = 1/(t + 1) para t ≥ 0. Use la parte (a) para determinar V  (t ) (c) ¿Qué pasa con el volumen de la pirámide cuando t se incrementa? ¿aumenta o disminuye?


76

Ejercicio 1.21. (Conservación de la energía). Un proyectil es lanzado al aire en una trayectoria parabólica. Para t ≥ 0, las coordenadas horizontal y vertical son x(t ) = u 0t e y(t ) = −(1/2)gt 2 + v0t , respectivamente, donde u0 es la velocidad inicial horizontal, v0 es la velocidad inicial vertical, y g es la aceleración debido a la gravedad. Recordando

que u(t ) = x  (t ) y v(t ) = y  (t ) son las componentes de la velocidad, la energía del

proyectil (cinética más potencial) es E (t ) =

1 m(u2 + v2 ) + mgy 2

Use la regla de la cadena para determinar E  (t ) y mostrar que E  (t ) = 0 para todo t

Interprete el resultado.

≥ 0.

Ejercicio 1.22. (Densidad variable). La densidad de un delgado plato circular de radio 2 es dada por ρ ( x, y) = 4 + xy. El borde del plato tiene ecuaciones paramétricas x = 2cos t , y = 2sen t para 0 ≤ t ≤ 2π . (a) Halle la razón con que cambia la densidad con respecto a t en el borde del plato. (b) ¿En qué puntos del borde del plato la densidad es máxima? Ejercicio 1.23. (Espiral dentro de un dominio). Suponga que usted sigue un camino de espiral C parametrizado por x = cos t , y = sen t , z = t para t ≥ 0, que atraviesa el dominio de la función w = f ( x, y, z) = ( xyz)/( z2 + 1). (a) Determine w (t ) a lo largo de C . (b) Determine los puntos ( x, y, z) en C donde w alcance su valor máximo. Ejercicio 1.24. (Momento de inercia).

Un

anillo cilíndrico tiene un radio interno r 1 y un radio externo r 2 (ver figura adjunta). Su momento de inercia es I = 21 m(r 12 + r 22 ), donde m es la masa. Los dos radios se incrementan a razón de

2cm/seg. Determine la razón con la

que I cambia en el instante cuando los radios son 6 cm y 8 cm (suponga que la masa es

constante).

Ejercicio 1.25. La temperatura en un punto ( x, y)

de una región del plano xy es T ( x, y),

medida en grados Celcius. Una hormiga se desplaza de modo que su posición después

√ 10 + 2t 3,

1 3 centímetros. La función de temperatura satisface T x (8,9) = 10 y T y (8,9) = 7. (a) Modele la expresión que describa la rapidez de cambio de la temperatura después de 3 segundos. (b) Determine la rapidez con la que está subiendo la temperatura en la trayectoria de la hormiga después de 3 segundos. de t segundos está dada por x =

y = 2t + t 2 , donde x e y se miden en


77

Ejercicio 1.26. Una ferretería vende dos marcas de pintura látex. Las cifras de ventas indican que si la primera marca se vende a x dólares por galón y la segunda a y dólares

− 10 x2 + 20 y galones por mes. Se calcula que dentro de t meses el precio de la primera marca será x = 5 + 0.02t √ dólares por galón y el precio de la segunda marca será y = 6 + 0.4 t dólares por galón. por galón, la demanda de la primera marca será Q( x, y) = 200

¿A qué razón cambiará la demanda de la primera marca de pintura con respecto al tiempo

dentro de 9 meses?

Ejercicio 1.27. Un distribuidor de bicicletas ha descubierto que si las bicicletas de 10 velocidades se venden a x dólares cada una y el precio de la gasolina es y centavos por

− √

galón, cada mes de venderán aproximadamente f ( x, y) = 200 24 t + 4(0.1 y + 5)3/2 bicicletas. Se estima que dentro de t meses las bicicletas se venderán a x = 129 + 5t

√

dólares cada una y el precio de la gasolina será y = 80 + 10 3t centavos por galón. ¿A qué razón cambiará aproximadamente la demanda mensual de bicicletas con respecto al

tiempo dentro de 3 meses?

Ejercicio 1.28. Un distribuidor de pinturas vende dos marcas de pintura. Se sabe que si la primera marca se vende a x1 dólares por galón y la segunda a x2 dólares por galón la demanda de la primera marca será q1 ( x1 , x2 ) = 200

− 10 x1 + 20 x2 galones por mes y la q2 ( x1 , x2 ) = 100 + 5 x1 − 10 x2 galones por mes

demanda de la segunda marca será (i) Determine el ingreso total mensual del distribuidor debido a la venta de las dos pinturas como una función de los precios x1 y x2 . (ii) ¿Cuál será la variación real del ingreso cuando el precio de la primera pintura pase de 5 a 5.20 dólares por galón y el de la segunda de 6 a 5.80 dólares por galón? (iii) ¿Cuál será la variación aproximada con los datos expuestos en (ii)?

Ejercicio 1.29. (Ley de gases ideales). La ley de gases ideales es

pV = mRT , donde

p es la presión, V es el volumen, m es la masa constante, R es una constante, T es

la temperatura, y tanto p como V dependen del tiempo. Determine

dT /dt , que es la

razón con la cual la temperatura cambia con respecto al tiempo.

Ejercicio 1.30. (Ciencias sociales).

El ingreso que le resulta a una agencia de turismo

por vender boletos de viaje depende de tres rutas: Lima-Arequipa, Lima-Pucallpa y Lima-

Trujillo, el cual se expresa por la fórmula I ( A, P, T ) = 2 A + P +

T 2

2

donde A, P y T son los ingresos por vender boletos a Arequipa, Pucallpa y Trujillo, respectivamente. Los ingresos por cada ruta a su vez dependen de la cantidad de boletos

vendidos según la aerolínea elegida (Lan l , Peruvian p, StarPerú s), como sigue: A = 200l + 180 p + 150s,

P = 150l + 120 p + 100s

Determine ∂ I /∂ l , ∂ I /∂ p y ∂ I /∂ s.

y

T = 250l + 200 p + 180s


78

1.7.2 Fórmula de Euler para funciones homogéneas Teorema de Euler Si f es una función homogénea de x

x

e y, de orden n, entonces

∂ f ∂ f + y = n f ∂ x ∂ y

Ejemplo 1.39. Verifique el teorema de Euler para la función

f ( x, y) = ax2 + 2hxy + by2

Solución. Aquí, f ( x, y) es homogénea de grado n = 2. Según el teorema de Euler: x

Ahora bien

∂ f ∂ f + y = 2 f ∂ x ∂ y

∂ f = 2ax + 2hy ∂ x

∂ f = 2hx + 2by ∂ y

y

Por tanto x

∂ f ∂ f + y = 2ax2 + 2hxy + 2hxy + 2by2 = 2(ax2 + 2hxy + by2 ) = 2 f ∂ x ∂ y

Ejemplo 1.40. Si u = ln



  x4 + y4

, muestre que

x + y

x

∂ u ∂ u + y = 3 ∂ x ∂ y

Solución. Desde que u = ln u

Sea f = e =

 

x4 + y4 x + y

x4 + y4

x + y

entonces

u

e =

x4 + y4 x + y

. Aquí la función f es homogénea de grado

teorema de Euler

x

3. De acuerdo al

∂ f ∂ f + y = 3 f ∂ x ∂ y

O sea x

∂ u ∂ (e ) + y (eu ) = 3 f ∂ x ∂ y ∂ u ∂ u u + y x e = 3eu ∂ x ∂ y ∂ u ∂ u + y = 3eu x ∂ x ∂ y








79

Ejemplo 1.41. Dada la función f ( x, y) =

1

1

x

xy

+ 2

+

ln x − ln y x2 + y2

muestre que x

∂ f ∂ f + y + 2 f = 0 ∂ x ∂ y

Solución. f ( x, y) es homogénea de grado x

o también x

Ejemplo 1.42. Si u = arccos

Solución. Si z = cos u, teorema de Euler

−2,

∂ f ∂ f + y = ∂ x ∂ y

que por el teorema de Euler

−2 f

∂ f ∂ f + y + 2 f = 0 ∂ x ∂ y







√ xx ++ y√ y

x

∂ u ∂ u 1 + y + cot u = 0 ∂ x ∂ y 2

, muestre que

entonces arccos z = u es homogénea de grado x

1/2. Por el

∂ z ∂ z 1 + y = z 2 ∂ x ∂ y

o también ∂ z ∂ u ∂ z ∂ u 1 + y = z 2 ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y 1 ∂ u ∂ u ( sen u) + y ( sen u) = cos u x 2 ∂ x ∂ y 1 ∂ u ∂ u + y = x cot u 2 ∂ x ∂ y x

−

−

−

Por lo tanto x

∂ u ∂ u 1 + y + cot u = 0 ∂ x ∂ y 2




80

Ejemplo 1.43. Si ∂ 2 z

z

∂ 2 z

es una función homogénea de grado n, muestre que

∂ z − 1) ∂ x∂ y ∂ x ∂ x 2 2 ∂ z ∂ z ∂ z + y 2 = ( n − 1) (b) x ∂ x∂ y ∂ y ∂ y

(a) x

(c) x2

+ y 2

= (n

∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z + + = n (n 2 xy y2 ∂ x∂ y ∂ x2 ∂ y2

− 1) z

Solución. De acuerdo al teorema de Euler x

∂ z ∂ z + y = nz ∂ x ∂ y

(a) Derivando con respecto a x: ∂ z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ z + x 2 + y = n ∂ x ∂ x∂ y ∂ x ∂ x

que implica x

∂ 2 z ∂ 2 z + = (n y ∂ x∂ y ∂ x2

− 1) ∂ ∂ xz

(b) Derivando con respecto a y: ∂ 2 z ∂ z ∂ 2 z ∂ z + + y 2 = n x ∂ y∂ x ∂ y ∂ y ∂ y

que implica

∂ 2 z ∂ 2 z + y 2 = ( n x ∂ y∂ x ∂ y

− 1) ∂ ∂ yz

(c) En (a) multiplicamos por x y tenemos x2

∂ 2 z ∂ 2 z + = (n xy ∂ x∂ y ∂ x2

− 1) x ∂ ∂ xz

En (b) multiplicamos por y y tenemos xy

∂ 2 z ∂ 2 z + y2 2 = ( n ∂ y∂ x ∂ y

− 1) y ∂ ∂ yz

Si a partir de las dos últimas ecuaciones sumamos, conseguimos 2 ∂ 2 z 2 ∂ z + 2 xy x ∂ x∂ y ∂ x2

2 2 ∂ z + y ∂ y2

= (n

−



∂ z ∂ z 1) x + y ∂ x ∂ y



= n (n

− 1) z




81

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso verifique el teorema de Euler y (a) f = xn sen

  √ − √  x

(b) f = sen−1 (c) z =

√ x x + √ y y

x1/3 + y1/3 x1/2 + y1/2 x

(d) u = arcsen

 y

Ejercicio 1.2. Si v =

+ arctan x3 y3

x3 + y3

 y x

, muestre que x

Ejercicio 1.3. Si z =

x2 + y2

√ x + y ,

muestre que x

Ejercicio 1.4. Si u = arcsen x

∂ v ∂ v + y = 3v ∂ x ∂ y



∂ z ∂ z 3 + y = z 2 ∂ x ∂ y

x + 2 y + 3 z

 

x8 + y8 + z8



, muestre que

∂ u ∂ u ∂ u + y + z + 3tan u = 0 ∂ x ∂ y ∂ z

Ejercicio 1.5. Si u = x arcsen

x y

+ y arcsen



2 ∂ 2 u 2 ∂ u + 2 xy x ∂ x∂ y ∂ x2

Ejercicio 1.6. Si u = arctan

x3 + y3

−

x y

y x

, calcule el valor de

2 2 ∂ u + y ∂ y2

, muestre que

∂ u ∂ u + y = sen2u ∂ x ∂ y 2 2 ∂ u ∂ 2 u 2 ∂ u 2 + y = 2cos3u sen u (b) x 2 + 2 xy ∂ x∂ y ∂ x ∂ y2

(a) x

Ejercicio 1.7. Si u = arcsen 2 2 ∂ u x ∂ x2



x + y

√ x + √ y



, pruebe que

2 ∂ 2 u 2 ∂ u + 2 xy + y = ∂ x∂ y ∂ y2

− sen u cos2u 4cos 3 u


82

1.7.3 Diferenciación implícita Considere el caso especial cuando z = f ( x, y) es una función de x e y, a su vez y es una función derivable en x. Entonces por el primer caso de la regla de la cadena

obtenemos

d z ∂ f d x ∂ f d y ∂ f ∂ f d y = + = + d x ∂ x d x ∂ y d x ∂ x ∂ y d x

(1.6)

Este resultado puede ser usado para hallar derivadas de funciones que son definidas

implícitamente. Por ejemplo, suponga que la ecuación F ( x, y) = 0

(1.7)

define a y implícitamente como una función de x, entonces nos interesaremos en hallar d y/d x. Derivando en ambos lados de (1.7) y aplicando (1.6) conseguimos

∂ F ∂ F d y + = 0 ∂ x ∂ y d x

= 0, obtenemos Por tanto, si ∂ F /∂ y 

d y =− d x

∂ F ∂ x = ∂ F ∂ y

− F F

x y

En resumen, tenemos el siguiente resultado:

Teorema 1.7.1 (Diferenciación implícita de una variable independiente) . Suponga que la ecuación F ( x, y) = 0 , donde F define a y implícitamente como una función derivable en x, entonces F x ( x, y) d y =− d x F y ( x, y)

=0 si F y ( x, y) 

(1.8)

d y si x2 + xy2 + y3 = 5 . d x Solución. La ecuación puede escribirse como

Ejemplo 1.44. Determine

F ( x, y) = x 2 + xy2 + y3

− 5 = 0

Entonces por la relación (1.8) conseguimos F x ( x, y) d y 2 x + y2 =− =− d x F y ( x, y) 2 xy + 3 y2




83

Como una segunda aplicación de la regla de la cadena a la derivación derivación implícita, suponga que se tiene la ecuación F ( x, y, z) = 0, donde donde F es una función en las variables x e y vía la ecuación z = f ( x, y). Derivand Derivando o en la ecuación ecuación F ( x, y, z) = 0 con respec respecto to a x,

obtenemos

∂ w ∂ F ∂ F ∂ z ∂ z z z = + = F x + F z = 0 x x z ∂ x x x ∂ x ∂ x ∂ z ∂ x

lo cual nos da

∂ z z = ∂ x x

− F F

x

= 0 siempre que F z 

z

Similarmente, derivando derivando en la ecuación F ( x, y, z) = 0 con respecto a y, obtenemos ∂ z z = ∂ y y

− F F

y

= 0 siempre que F z 

z

Teorema 1.7.2 (Diferenciación implícita de dos variables independientes). Suponga que la ecuación F ( x, y, z) = 0, donde donde F define a z implícitamente como una función derivable en x e y, entonces ∂ z z = x ∂ x

− F F (( x x,, y y,, z z)) x

∂ z z = y ∂ y

y

z

Ejemplo 1.45. Determine

− F F (( x x,, y y,, z z)) y z

∂ z ∂ z z z y si 2 x2 z ∂ x ∂ y x y

=0 siempre que F z ( x, y, z) 

(1.9)

− 3 xy2 + yz − 8 = 0 .

Solución. Aquí tenemos F ( x, y, z) = 2 x2 z

− 3 xy2 + yz − 8 = 0

y de acuerdo a la ecuación (1.9) (1.9) consegu conseguimos imos ∂ z z = ∂ x x

4 xz − 3 y2 3 y2 − 4 xz − F ( x, y, z) = − 2 x2 + y = 2 x2 + y z

∂ z z = ∂ y y

− F F (( x x,, y y,, z z)) = − −2 x6 xy2 ++ y z = 26 x xy2 +− y z

F x ( x, y, z)

y y z



Capítulo 1 Funciones de varias variablesvariables- Lord Barrera

84

1.7.4 Sistemas Sistemas de ecuaciones ecuaciones Si tenemos una ecuación simple F ( x, y, z) = 0 y deseamos calcular ∂ z estamoss z/∂ x x, estamo entendiendo que x es una función de las variables restantes y y z, por lo lo que no hay hay posibilidad de equivocarse a la hora de decidir qué variable hay que mantener constante en el cálculo de la derivada parcial. Sin embargo, supongamos que deseamos calcular ∂ z z/∂ x x dado el sistema F ( x, y, z, w) = 0 y G( x, y, z, w) = 0. Esto implica implica que que x es una de las variables dependientes, y que z es una de las variables variables independientes, independientes, pero no implica cuál de las otras dos variables u y w es la variable dependiente y cuál la independiente.

En pocas palabras, ¿a cuál de las situaciones



x = x ( z, w)

y

y = y ( z, w)



x = x ( y, z) w = w ( y, z)

nos estamos enfrentando? Tal como se plantea, la pregunta es ambigua. Para evitar esta ambiguedad podemos especificar en la notación de la derivada parcial qué variable se tomará como la otra variable independiente y, por tanto, permanecerá fija durante la

diferenciación. Así,

  x ∂ x ∂ z z

x ∂ x ∂ z z

implica la interpretación w

implica la interpretación

y

Ejemplo 1.46. Dadas las ecuaciones

 

x = x ( z, w) y = y ( z, w) x = x ( y, z) w = w ( y, z)

determinee F ( x, y, z, w) = 0 y G( x, y, z, w) = 0 , determin

(∂ x x/∂ z z)w

Solución. Diferenciamos las dos ecuaciones con respecto a como funciones de z y w, y mantenie manteniendo ndo fija fija a w

considerando do a x e y z, consideran

x y ∂ x ∂ y + F 2 + F 3 = 0 ∂ z ∂ z z z ∂ x ∂ y x y + G2 + G3 = 0 G1 ∂ z ∂ z z z F 1

Usando la regla de Cramer conseguimos

 ∂ x x z ∂ z

w

=

− F F 31GG22 −− F F 22GG31



1.7 Regla de la cadena Ejemplo 1.47. Sean x, y,

u

85

y v variables relacionadas relacionadas por las ecuaciones



u = x 2 + xy y2

−

v = 2 xy + y2

(a) Calcule (∂ x x/∂ u)v en el punto x = 2 e y = −1 (b) Calcule (∂ x x/∂ u) y en el punto x = 2 e y = −1

Solución. (a)

Para calcular calcular (∂ x x/∂ u)v consideraremos x e y como funciones de u y v y diferenciaremos diferenciaremos las ecuaciones ecuaciones dadas con respecto a u, manteniendo manteniendo v constante

∂ u ∂ x ∂ y x y = ( 2 x + y) + ( x 2 y) ∂ u ∂ u ∂ u ∂ v ∂ x ∂ y x y = 2 y + (2 x + 2 y) 0 = ∂ u ∂ u ∂ u

1 =

−

En x = 2, y = −1, tenemos que y ∂ x ∂ y x +4 ∂ u ∂ u x y ∂ x ∂ y 0 = 2 + 2 ∂ u ∂ u

1 = 3

−

y eliminando ∂ y y/∂ u se llega al resultado (∂ x x/∂ u)v = 1/7. (b) Par Paraa calcular calcular (∂ x x/∂ u) y consideraremos x y v como funciones de y y u y

diferenciaremos las ecuaciones dadas con respecto a u, mantenien manteniendo do y constante 1 =

x ∂ u ∂ x = ( 2 x + y) , ∂ u ∂ u

x ∂ v ∂ x = 2 y ∂ u ∂ u

En x = 2, y = −1, la primera ecuación produce (∂ x x/∂ u) y = 1/3.

DEFINICIÓN El jacobiano El jacobiano de las funciones x = x (u, v) e ∂ ( x, y) ∂ (u, v)

=

 

∂ x x ∂ u ∂ y y ∂ u

∂ x x ∂ v ∂ y y ∂ v

 

y = y (u, v)

=

∂ x x ∂ y y ∂ u ∂ v

es

− ∂ ∂ y uy ∂ ∂ x xv



Capítulo 1 Funciones de varias variablesvariables- Lord Barrera

86

De forma similar, el jacobiano de las funciones F ( x, y,

respecto a las variables x e y es ∂ (F , G) ∂ ( x, y)

=

 

∂ F ∂ x x

∂ F ∂ y y

∂ G ∂ x x

∂ G ∂ y y

 

=

∂ F ∂ G x ∂ y y ∂ x

···)

y G( x, y,

· · · ),

con

− ∂ ∂ x Gx ∂ ∂ y F y

Ejemplo 1.48. En términos de jacobianos, el valor (∂ x x/∂ z z)w obtenido a partir del sistema de ecuaciones F ( x, y, z, w) = 0,

G( x, y, z, w) = 0

se puede expresar en la forma

 ∂ x x ∂ z z

= w

∂ (F ,G) ∂ ( z, y y)

− ∂ ( ,

F G) ∂ ( x, y y)

Obsérvese la pauta. El denominador es el jacobiano de F y G con respecto a las dos variables dependientes, x e y. El numerador es el mismo mismo jacobiano, salvo que la variable variable

dependiente x ha sido sustituida por la variable independiente independiente z.



Consideremos un sistema de ecuaciones con n + m variables

  

F (1) ( x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ) = 0 F (2) ( x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ) = 0

.. .

F (n) ( x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ) = 0

y un punto P0 = (a1 , a2 , . . . , am , b1 , b2 , . . . , bn ) que satisface el sistema. Supongamos Supongamos que todas las funciones F (i) tienen derivadas derivadas parciales primeras continuas con respecto a todas las variables x j y yk (i = 1, . . . , n,

= 1, . . . , n) cerca cerca de P0 . Finalmen Finalmente te j = 1, . . . , m, k =

supongamos que ∂ (F (1) , F (2) , . . . , F (n) ) ∂ ( y1 , y2 , . . . , yn )

 

= 0

P0

Entonces, Entonces, se pueden despejar en el sistema sistema las variables variables y1 , y2 , . . . , yn como funciones de ( x1 , x2 , . . . , xm ) cerca de P0 . Es decir, decir, existen funciones

φ 1 ( x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φ n ( x1 , x2 , . . . , xm )


87

tales que φ j j (a1 , a2 , . . . , am ) = b j

( j = 1, . . . , n)

y tales que las ecuaciones F (1) ( x1 , x2 , . . . , xm , φ 1 ( x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φ n ( x1 , x2 , . . . , xm )) = 0 F (2) ( x1 , x2 , . . . , xm , φ 1 ( x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φ n ( x1 , x2 , . . . , xm )) = 0

.. . F (n) ( x1 , x2 , . . . , xm , φ 1 ( x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φ n ( x1 , x2 , . . . , xm )) = 0

se cumplen para todo ( x1 , x2 , . . . , xm ) lo suficientemente cerca de (a1 , a2 , . . . , am ). AdeAde-

más ∂ φ i = ∂ x x j

∂ (F (1) ,F (2) ,...,F (n) )

  ∂ y yi ∂ x x j

=

x1 ,..., x x j−1 , x x j+1 ,..., x xm

y1 ,..., x x j ,..., y yn )

− ∂ ∂ ( (

F (1) ,F (2) ,...,F (n) )

∂ ( y1 ,..., y yi ,..., y yn )

Ejemplo 1.49. Demuestre que el sistema



xy2 + xzu yv2 = 3 x3 yz + 2 xv

− − u2v2 = 2

se puede resolver, obteniéndose (u, v) como una función (vectorial) (vectorial) de ( x, y, z) cerca del punto P0 tal que ( x, y, z, u, v) = ( 1,1,1,1,1 ), y calcule calcule el valor valor de ∂ v/∂ y y de la solución

en ( x, y, z) = (1,1,1 ).

Solución. Sea



F ( x, y, z, u, v) = xy 2 + xzu yv2 G( x, y, z, u, v) = x 3 yz + 2 xv

∂ (F , G) ∂ (u, v)

 

=

P0

 −

− − 3 Entonces − u 2 v2 − 2

  

2 yv

xz

2uv2 2 x − 2u2 v

= P0

 −

1

2

2 0

 

= 4

Como este jacobiano no es cero, el Teorema Teorema de la Función Implícita nos asegura que las

ecuaciones dadas se pueden resolver, obteniéndose u y v como funciones de x, y y z, es decir, como (u, v) = f ( x, y, z). Dado que

∂ (F , G) ∂ (u, y)

tenemos

 

P0

=

 −  xz

2 xy + v2

2uv2 2 x − x3 z

∂ v y ∂ y

x, z z

=

  

∂ (F ,G) ∂ (u, y y)

− ∂ ( ,

F G)

∂ (u,v)

P0

=

=

 −

− 74

1

3

2 1

 

= 7




88

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, use diferenciación implícita para determinar. d y (a) si xy3 + x4 y = 2 d x ∂ y (b) si xy3 = y − z ∂ x xz ∂ z (c) si z2 + xy3 = y ∂ y ∂ z (d) si e yz x2 z ln y = π ∂ y ∂ x (e) si x2 y2 + y2 z2 + z2t 2 + t 2 w2 xw = 0 ∂ w

−

−

d y si F ( x, y, x2 − y2 ) = 0 d x ∂ u (g) si G( x, y, z, u, v) = 0 (f)

∂ x ∂ x (h) ∂ y



si x2 + y2 + z2 + w2 = 1 y x + 2 y + 3 z + 4w = 2

z

Ejercicio 1.2. En cada caso, calcule la derivada parcial usando diferenciación implícita. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

∂ z , ∂ x ∂ w , ∂ z ∂ z , ∂ y ∂ r ∂ t ∂ w ∂ y ∂ U ∂ T

x2 y + y2 z + xz2 = 10 x2 w + y2 z + w3 + wz2 + 3 yz = 0 e xy + sen( xz) + y = 0

y,

∂ t , ∂ r

1

+ 2

w2 + x ∂ T

y

r 2 = tes/r

∂ U

1 w2 + y2

= 1 en ( x, y, w) = ( 1,1,1 )

, (TU − V )2 ln(W − UV ) = 1 en ( T , U , V , W ) = ( 1,1,2,4 )

Ejercicio 1.3. Suponga que la ecuación

F ( x, y, z) = 0 define implícitamente cada una de

las variables x, y y z como función de las otras dos: = f ( x, y), y = g( x, y), x = h ( y, z).

Si F es diferenciable y F x , F y y F z son no nulos, muestre que ∂ z ∂ x ∂ y = ∂ x ∂ y ∂ z

· ·

−1

Ejercicio 1.4. Demuestre que las ecuaciones



− cos v = 2 u cos y + x2 v − yz2 = 1 xe y + uz

se pueden resolver, expresando u y v como funciones de x, y y z cerca del punto P0 tal que ( x, y, z) = ( 2,0,1 ) y (u, v) = ( 0,1), y calcule (∂ u/∂ z) xy en ( x, y, z) = ( 2,0,1 )

1.8 Extremos de funciones

89

1.8 Extremos de funciones En este apartado enfocaremos nuestra atención en determinar los extremos de una función de dos variables. Como en el caso de una función de una variable, distinguiremos

entre extremos relativos y extremos absolutos de una función de dos variables.

1.8.1 Extremos relativos y absolutos Iniciemos nuestro estudio con la siguiente definición:

DEFINICIÓN Extremos relativos Una función z = f ( x, y) tiene un máximo relativo ( mínimo relativo) en un punto (a, b) si el valor de la función en este punto es mayor o igual (menor o igual) que su valor en cualquier otro punto ( x, y) de algún entorno de (a, b). Un punto donde hay máximo relativo o mínimo relativo es llamado punto de extremo relativo . El punto donde ocurre el mayor de los máximos relativos en el dominio de la función se llama punto

de máximo absoluto ; similarmente, el punto donde ocurre el menor de los mínimos relativos en el dominio de la función es un punto de mínimo absoluto. Un punto donde existe máximo o mínimo absoluto es llamado punto de extremo absoluto.

Teorema 1.8.1 (Condición necesaria para ser extremo local) . Si (a, b) es un punto de extremo local para f , entonces ∇ f (a, b) = ( 0,0), es decir, ∂ f (a, b) = 0 ∂ x

y

∂ f (a, b) = 0 ∂ y

(1.10)


90

DEFINICIÓN Punto crítico Sea f una función en las variables x e y, cuyo dominio contiene al punto (a, b). Decimos que (a, b) es un punto crítico para f si ∇ f (a, b) = (0,0 ) o ∇ f (a, b)

no existe. Los puntos críticos son candidatos para obtener extremos relativos. Decir que (a, b) es un punto crítico, significa que se cumple solo uno de los casos:

1.

∂ f (a, b) = 0 ∂ x

y

∂ f (a, b) = 0 ∂ y

2. 

∂ f (a, b) ∂ x

o 

∂ f (a , b ) ∂ y

Ejemplo 1.50. Dada la función f ( x, y) = x 2 + y2 − 2 x − 4 y + 10. Determine el punto crítico para f y muestre que f tiene un mínimo relativo en dicho punto crítico. Solución. Para encontrar el punto crítico de f x ( x, y) = 2 x

− 2 = 2( x − 1)

f ,

calculamos

y

f y ( x, y) = 2 y

− 4 = 2( y − 2)

y

f y ( x, y) = 2( y

Igualando a cero ambas derivadas parciales f x ( x, y) = 2( x

conseguimos x = 1

y

− 1) = 0

− 2) = 0

y = 2 . Así que (1,2) es el único punto crítico de f . A

continuación mostraremos que f tiene un mínimo relativo en este punto. Para esto completamos cuadrados f ( x, y) = ( x

− 1)2 + ( y − 2)2 + 5

Notemos que ( x

− 1) 2 ≥ 0

y

( y

− 2 )2 ≥ 0

implica f ( x, y) = ( x

− 1)2 + ( y − 2)2 + 5 ≥ 5

∀ ( x, y) ∈ dom( f ).

Por tanto f (1,2 ) = 5 es

un valor mínimo relativo para f . 


91

DEFINICIÓN Punto de silla Un punto crítico (a, b) de f que no es extremo relativo, es llamado punto de silla. Esto significa que existe un entorno de (a, b), tal que acontecen los siguientes casos: 1. Existen puntos ( x, y) en dicho entorno para el cual f ( x, y) > f (a, b) 2. Existen puntos ( x, y) en dicho entorno para el cual f ( x, y) < f (a, b) Ejemplo 1.51. El punto (0,0) es un punto de silla para la función f ( x, y) = x 2 − y2 . También, el punto (0,0) es un punto de silla para la función f ( x, y) = xy. 

DEFINICIÓN Matriz hessiana y hessiano Dada la función f ( x, y), se define la matriz hessiana

H f ( x, y) =

  

∂ 2 f ∂ x2

∂ 2 f ∂ y∂ x

∂ 2 f ∂ x∂ y

∂ 2 f ∂ y2

H f ( x, y) mediante

la matriz

  

El determinante D = | H f ( x, y)| es llamado hessiano de f .

Ejemplo 1.52. La matriz hessiana de H f ( x, y) =

f ( x, y) = x 2 y + xy2 + x2 + y2



2 y + 2 2 x + 2 y 2 x + 2 y 2 x + 2

es



y el hessiano resulta D = ( 2 y + 2)( 2 x + 2)

− (2 x + 2 y)(2 x + 2 y) = 4 + 4 x + 4 y − 4 xy − 4 x2 − 4 y2

Caracterización de extremos relativos Sea z = f ( x, y) una función que admite derivadas de segundo orden en el punto crítico (a, b) de f . Se cumplen ∂ 2 f (a, b) > 0, entonces f tiene mínimo local en (a, b). 1. Si D > 0 y ∂ x2 ∂ 2 f (a, b) < 0, entonces f tiene máximo local en (a, b). 2. Si D > 0 y ∂ x2

3. Si 4. Si

D < 0, entonces f

tiene punto de silla en (a, b). D = 0, no podemos afirmar nada acerca de (a, b).




92

Ejemplo 1.53. Encuentre y clasifique todos los puntos críticos de f ( x, y) = x 3 + y4 + 3 x2

− 2 y2

¿La función alcanza extremos absolutos en su dominio? Solución. Entontrando las derivadas parciales f x = 3 x2 + 6 x = 3 x( x + 2) = 0

f y = 4 y3

y

obtenemos los puntos críticos (0,0), (0,

otro lado, H f ( x, y) =



−1),

(0,1),

 −   −   −    −  − −  −  − −  −  6 x + 6 0 2 0 12 y 4

1. Verificando en el punto (0,0) tenemos Luego (0,0) es un punto de silla.

2. En el punto (0, −1) tenemos

H f (0,

(0, 1) es un mínimo local.

−

3. En el punto (0,1) tenemos

4. En el punto (−2,0) se tiene

H f (

( 2,0) es un máximo local.

−

5. En el punto (−2, −1) se consigue donde (−2, −1) es un punto de silla.

6. En el punto (−2,1) obtenemos

H f (0,0 ) =

6 0 0 8

1) =

6 0 0 8

H f (0,1 ) =

que (0,1) es un mínimo local.

− 4 y = 4 y( y + 1)( y − 1) = 0 (−2,0), (−2, −1), (−2,1). Por

H f (

H f (

0 4

y

D =

−24.

y D = 48. De esta manera

y D = 48, donde también resulta

6 0

2,0) =

6 0

0 4

y D = 24. Se sigue que

6 0 0 8

2, 1) =

6 0 0 8

−2,1) =

y D =

y D =

−48,

−48,

de

que ahora

resulta (−2,1) un punto de silla. Veamos que f no admite extremos absolutos en su dominio. Eligiendo y = 0

x = t

C :

∈ R

t

h(t ) = f (t , 0) = t 3 + 3t 2

hacemos

Luego l´ım h(t ) = l´ım t 3 + 3t 2 = +∞

→+

t

∞

→+

t

∞

Esto implica que f no es acotada.

y

l´ım h(t ) = l´ım t 3 + 3t 2 = −∞

→−

t

∞

→−

t

∞




93

Ejemplo 1.54. (Control de calidad) . Después de un inventario en una planta industrial, el porcentaje de productos fallados puede ser modelado por P( x, y) = 0.3( x

− 3)2 + 0.1( y − 6)2 + 0.03 xy + 0.2

donde x es el número promedio de trabajadores asignados a un sector de la planta e y es el número promedio de horas que cada trabajador

1 ≤ x ≤ 5 y 1 ≤ y ≤ 11. La figura de la derecha muestra la gráfica de la función. realiza,

(i) Encuentre las derivadas parciales de P. (ii) ¿Cuál es el número de trabajadores y cuántas horas deberán trabajar para optimizar la calidad cuando no hay restricción en el lugar? (iii) ¿Qué porcentaje de productos están fallados cuando la calidad es optimizada?

Solución. (i) Calculando las derivadas parciales de P x ( x, y) = 0.6( x

− 3) + 0.03 y

y

P( x, y) tenemos P y ( x, y) = 0.2( y

− 6) + 0.03 x

(ii) Igualando a cero estas derivadas parciales obtenemos 0.6( x − 3) + 0.03 y = 0

y

0.2( y − 6) + 0.03 x = 0

cuya solución resulta ( x, y) = ( 2.7,5.6 ) y es el único punto crítico para P( x, y). Por otro

lado, la matriz hessiana para P( x, y) es HP( x, y) =



0.6 0.03 0.03 0.2



y en particular HP(2.7,5.6 ) =



0.6 0.03 0.03 0.2



Además,

| HP(2.7,5.6)| = (0.6)(0.2) − (0.03)2 = 0.1191

y

P xx = 0.6

Esto nos dice que en el punto (2.7,5.6 ) hay un mínimo relativo, y para optimizar la calidad deberán participar un promedio de

2.7 trabajadores, laborando cada uno un

promedio de 5.6 horas. (iii) El porcentaje aproximado en este punto es P(2.7, 5.6 ) = 0.7. O sea que el porcentaje mínimo de productos de mala calidad es aproximadamente 0.7%, ocurriendo

cuando un promedio de

cada uno.

2.7 trabajadores se ocupan para trabajar en promedio 5.6 horas 


94

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, identifique el extremo de la función reconociendo la expresión mediante completamieto de cuadrados. (a) f ( x, y) = ( x − 1)2 + ( y − 3)2 (b) f ( x, y) = 5 − ( x − 3)2 − ( y + 2)2 (c) f ( x, y) = x2 + y2 + 1 (d) f ( x, y) = 25 − ( x − 2)2 − y2 (e) f ( x, y) = x2 + y2 + 2 x − 6 y + 6 (f) f ( x, y) = − x2 − y2 + 10 x + 12 y + 4 + 64

 

Ejercicio 1.2. En cada caso, encuentre los extremos relativos y los puntos de silla. (a) f ( x, y) = 80 x + 80 y − x2 − y2 (b) f ( x, y) = x2 − y2 − x − y (c) f ( x, y) = xy (d) f ( x, y) = x2 − 3 xy − y2 (e) f ( x, y) = −3 x2 − 2 y2 + 3 x − 4 y + 5 (f) f ( x, y) = 2 x2 + 2 xy + y2 − 2 x − 3 (g) f ( x, y) = x2 + xy + 12 y2 − 2 x + y (h) f ( x, y) = −5 x2 + 4 xy − y2 + 16 x + 10 (i) f ( x, y) = x2 + y2 (j) f ( x, y) = ( x2 + y2 )1/3 + 2 (k) f ( x, y) = x2 − xy − y2 − 3 x − y



Ejercicio 1.3. Con respecto a la función f ( x, y) = 4 x + 6 y − 12 − x2 − y2 (a) Existe un único punto crítico. Encuentre este punto. (b) Considere el incremento ∆ f y determine cuando este punto crítico es mínimo, máximo o punto de silla. (c) Ahora use el criterio del hessiano para determinar la naturaleza de este punto crítico. Ejercicio 1.4. Con respecto a la función g( x, y) = x2 − 2 y2 + 2 x + 3 (a) Determine los puntos críticos de g. (b) Use el incremento ∆g para determinar la naturaleza de los puntos críticos de g. (c) Ahora use el criterio del hessiano para determinar la naturaleza de estos puntos críticos. Ejercicio 1.5. ¿Qué condiciones debe satisfacer la constante f ( x, y) = kx 2

k para que la función

− 2 xy + ky2

admita mínimo relativo no degenerado en (0,0)? ¿Qué información obtiene para que

exista máximo relativo?


95

Ejercicio 1.6. Considere la función f ( x, y) = ax 2 + by2

donde a y b son constantes no nulas. Muestre que el origen es el único punto crítico de f , y determine la naturaleza

del punto crítico en términos de a y b.

Ejercicio 1.7. Sea la función f ( x, y) = 3axy − x2 y − xy2 , donde nula. Clasifique los puntos críticos de f según los valores de a.

a es una constante no

Ejercicio 1.8. Dada la función f ( x, y) = x2 + mxy + my2 (a) Determine todos los valores de m para los cuales f tiee un punto de silla en (0,0). (b) Halle todos los valores de m para los cuales f tiene un mínimo en (0,0). Ejercicio 1.9. Sea la función

f ( x, y) =

x2

2 p

+

y2

2q

donde p y q son reales diferentes

de cero. Según los signos de las constantes p y q, analice los extremos relativos de la

función f .

Ejercicio 1.10. Sea la función f ( x, y) = ( y − x) sen x (a) Determine los puntos críticos de f . (b) Clasifique los puntos críticos encontrados en el ítem (a). Ejercicio 1.11. (Economía) . Suponga que usted produce dos tipos de televisores, los modelos A y B. La función ingreso, en dólares, es modelada por I ( x, y) = 8 x + 6 y x2

− − 2 y2 + 2 xy

donde x denota la cantidad vendida del model A, e y denota la cantidad vendida del

100. Determine la cantidad de televisores de cada modelo que se deberá vender con la finalidad de maximizar el ingreso. modelo B, ambas en unidades de

Ejercicio 1.12. (Economía) .

Una empresa produce dos modelos de zapatillas; Standard

y Deluxe. El costo de producir cada par del modelo standard es de

S/40 el par, y el costo

de producir cada par del modelo deluxe es de S/60. El departamento de marketing de la empresa estima que si el modelo standard se lanza con un precio de p1 soles y el modelo deluxe se lanza con un precio de p2 soles, la empresa venderá 500( p2 p1 ) unidades del modelo standard y 45 000 + 500( p1 2 p2 ) unidades del modelo deluxe, cada año.

−

−

Determine los precios de cada modelo para maximizar la utilidad.

Ejercicio 1.13. Encuentre el extremo absoluto de rectángulo {( x, y) ∈ R2 : −3 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5}.

f ( x, y) = x 2 + xy + y2

Ejercicio 1.14. Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de en el cuadrado {( x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2π , 0 ≤ y ≤ 2π }. Ejercicio 1.15. Encuentre los extremos absolutos de rectángulo {( x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}.

− 6 y en el

f ( x, y) = sen x cos y

f ( x, y) = 2cos x + 3sen y en el


96

Una lámina metálica tiene la forma de la región x2 + y2 1. La lámina es calentada de tal manera que la temperatura en cualquier punto ( x, y) se determina

Ejercicio 1.16.

≤

mediante T ( x, y) = 2 x2 + y2

− y + 3

Encuentre los puntos más calientes y más fríos en la lámina y la temperatura en cada

uno de estos puntos. ( Sugerencia: parametrice el borde de la lámina para determinar los puntos críticos allí.)

Ejercicio 1.17. (Papas fritas).

El proceso de freir las comidas cambian su calidad, textura

y color. De acuerdo a la universidad de Saskatchewan, el cambio total en el color E (el cual se mide en forma de energía como

kJ/mol) de las tiras de papas fritas se puede

modelar por la función E (t , T ) = 436.16

− 10.57t − 5.46T − 0.02t 2 + 0.02T 2 + 0.08tT

donde T es la temperatura (en ◦ C) y t es el tiempo de fritura (en minutos) (a) ¿Cuál es el valor de E antes de freirse? (Suponga que T = 0) (b) Use esta función para estimar el cambio total en el color de una tira de papa que se ha frito durante 10 minutos a 180 ◦C (c) Determine los puntos críticos de esta función y compruebe si hay máximo relativo, mínimo relativo o punto de silla en ese punto. Describa lo que puede estar sucediendo

en este punto.

Ejercicio 1.18. (Economía). Una empresa produce dos bienes sustitutos, cuyas ecuaciones de demanda son dadas por x = 500

− 2 p1 + p2

e

y = 900 + p1

− 3 p2

donde x e y son las cantidades producidas, p1 y p2 son sus precios unitarios, respecti-

vamene. Si la función de costo para fabricar esos bienes es C ( x, y) = 10 000 + 200 x + 100 y

obtenga los valores de p1 y p2 que maximizan la utilidad, y calcule el valor de esa

utilidad.

Ejercicio 1.19. (Biología).

Un lago debe ser abastecido pos peces de boca pequeña y

de boca grande. Asuma que x representa el número de peces de boca pequeña e y el número de peces de boca grande en el lago. El peso de cada pez depende de la densidad de la población. Después de un periodo de

6 meses, el peso de un único pez de boca pequeña

es dado por W 1 = 3

− 0.002 x − 0.001 y y el peso de un único pez de boca grande es dado por W 2 = 4.5 − 0.004 x − 0.005 y. Suponiendo que ningún pez muere durante el periodo 6 meses, ¿cuántos peces de boca pequeña y de boca grande deben ser colocados en el lago de modo que el peso total T de peces en el lago sea máximo? de


97

Proyectos P ROYECTO 1: Maximizando el beneficio en la producción de productos competitivos. Una empresa que fabrica computadoras planea presentar dos nuevos productos. Ambas computadoras contienen el mismo microprocesador, pero un sistema está equipado

27 pulgadas y el otro sistema con un monitos de 31 pulgadas. Además de los $ 400 000 en los costos fijos, a la compañía le cuesta $ 1950 producir una computadora de 27 pulgadas y le cuesta $ 2250 producir una computadora de 31 pulgadas. El precio de venta sugerido por el fabricante es de $ 3390 para el modelo de 27 pulgadas y $ 3990 para el modelo de 31 pulgadas. En el mercado competitivo en el que se venderán con un monitor de

los sistemas, el personal de marketing estima que por cada modelo adicional vendido de un tipo de computadora, el precio de venta caera en $ 0.10. Además, las ventas uno de los modelos afectan las ventas del otro. Se estima que el precio de venta para el modelo de

27

pulgadas se reduce en $ 0.03 por cada computadora vendida de 31 pulgadas, y el precio de venta de cada modelo de 31 pulgadas se reduce en $ 0.04 por cada computadora vendida de

27 pulgadas. Suponiendo que puede vender todas las computadoras que se

fabrican, ¿cuántos modelos de cada tipo se debería fabricar la empresa para que la empresa

maximice sus ganancias?

P ROYECTO 2: Calentamiento global.

La línea de regresión de mínimos cuadrados

para una data se determina fácilmente mediante un software matemático. La discusión de los mínimos cuadrados que haremos aquí será manual y nos permitirá relacionarlo a la ingeniería ambiental. En este estudio se utiliza la teoría de extremos de funciones de varias

variables para la construcción de la línea de regresión de mínimos cuadrados

El calentamiento global es una expresión usada para describir el fenómeno de los últimos años relacionada a la temperatura en la atmósfera de la Tierra, la cual asegura que está aumentando lentamente con el tiempo. La Administración de Océanos y la Atmósfera (AOA) ha recopilado una gran cantidad de datos históricos de la temperatura global. Los datos de los últimos años son compilados por satélite y por una variedad de métodos, incluyendo el análisis de los fenómenos sensibles a la temperatura tales como la densidad de anillos de árboles, que permite la estimación de la temperatura de los siglos pasados. Los datos se presentan a menudo en términos de anomalías de la temperatura, es decir,

como desviaciones de alguna norma. Por ejemplo, la AOA informa de las siguientes anomalías de la temperatura:

Año 1900 1950 2012

Anomalía de la temperatura ◦C Temperatura ◦C −0.15 8.35 −0.34 8.16 0.92 9.42


98

La temperatura de referencia con la que se deter(a) minaron las anomalías es la temperatura media global por tierra desde los años 1880 a 2000, calcula un promedio de

8.5◦C . La adición de

8.5 a cada anomalía da la temperatura real. La figura adjunta muestra una gráfica de los datos adjuntados de temperatura. Si los tres puntos se encuentran en una línea recta, la velocidad a la

y

) s 9.5 u i c l e C ( 9.0 a r u t a r e 8.5 p m e T

que está cambiando la temperatura puede ser de1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010

terminada por la pendiente de la línea.

x

Año

(b) Los puntos claramente no están en la misma línea, pero pueden ser aproximadas por una línea recta, como en la figura. El propósito del método de mínimos cuadrados es encontrar el mejor tal aproximación. La figura de la derecha muestra la distancia vertical desde cada punto

de la línea de aproximación:

y

) s 9.5 u i c l e C ( 9.0 a r u t a r e 8.5 p m e T 1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010

x

Año

el método de los mínimos cuadrados, los valores de m y b son determinado por la suma

de los cuadrados de esa distancia es minimizada. Para los tres puntos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) y ( x3 , y3 ), la siguiente función de dos variables debne ser minimizada: f (m, b) = ( y1

− mx1 − b)2 + ( y2 − mx2 − b)2 + ( y3 − mx3 − b)2

(1.11)

Usando los puntos: (1900,8.35), (1950,8.16), (2012,9.42), vemos que la ecuación

1.11 se convierte en f (m, b) = 3b2

− 11 460 644m2 + 11724bm − 51.86b − 101.460 m + 225.045

Las derivadas parciales de f con respecto a m y b son ∂ f = 22 921 288 m + 11 724b ∂ m

− 101 460

y

∂ f = 6b + 11 724m ∂ b

− 51.86

El punto crítico resultante es aproximadamente m = 0.01 y b = 10.85 . La línea de mejor ajuste para estos datos es y = 0.01 x 10.85 y se dibuja en la figura (a). De

−

−


99

acuerdo con estos datos, la temperatura global de la tierra está aumentando a un ritmo de aproximadamente 0.01◦C por año. No es justo decir que este cálculo es la evidencia del calentamiento global, ya que sólo se utilizaron tres piezas de datos. El conjunto de datos se mantiene pequeño para ilustrar el método de mínimos cuadrados. Este método se puede generalizar a utilizar cualquier cantidad de datos y para encajar funciones más

complicadas, incluyendo las funciones exponenciales.

Ejercicio 1.1. Verifique que el punto crítico (m, b) = ( 0.01, −10.85) corresponde a un mínimo de la función f (m, b) Ejercicio 1.2.

Derivando parcialmente en la ecuación (1.11) con respecto a m y b sin la sustitución de los valores en los puntos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) y ( x3 , y3 ), deduzca las

fórmulas m =

3 ( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) − ( x1 + x2 + x3 )( y1 + y2 + y3 ) 3( x21 + x22 + x32 ) − ( x1 + x2 + x3 )2

y y1 + y2 + y3

b =

3

 − m

x1 + x2 + x3

3



Muestren que estas fórmulas dan los mismos valores de m y b en el ejercicio anterior.

Ejercicio 1.3. Las fórmulas en el ejercicio anterior se pueden generalizar a cualquier número de puntos. Por ejemplo, para una data de cuatro puntos, las fórmulas para m y b,

son respectivamente m =

4( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 ) − ( x1 + x2 + x3 + x4 )( y1 + y2 + y3 + y4 ) 4( x21 + x22 + x23 + x24 ) − ( x1 + x2 + x3 + x4 )2

y b =

y1 + y2 + y3 + y4

4

 − m

x1 + x2 + x3 + x4

4



Añadir el punto de temperatura (2000,9.13) a los tres anteriores y encontrar la recta de mínimos cuadrados lineales mediante el uso de las fórmulas en este último ejercicio.

Representar gráficamente los puntos y discuta el valor de m.

100


1.8.2 Multiplicadores de Lagrange A continuación calcularemos los valores extremos de una función sujeta a restricciones. Un método para calcular puntos críticos con restricción es como sigue: se usa la restricción g( x, y) = 0 y se despeja una variable en función de las otras. Entonces se sustituye esta

variable en la expresión f ( x, y), creando una nueva función con una variable menos. Esta nueva función puede maximizarse o minimizarse usando las técnicas del apartado anterior. En teoría este camino es apropiado para resolver tales problemas, pero en la práctica trae

sus dificultades. Por ejemplo, si usted quiere maximizar la función f ( x, y) = x 2 + y2 + 3 y2

sujeta a la restricción g( x, y) = e xy + cos( xy) = 5

no hay manera de despejar a x o y en función de la otra variable. Por tanto, es imposible

proceder como en el ejemplo anterior.

Criterios de Lagrange para calcular extremos con restricción 1. Formar la ecuación vectorial ∇ f ( x, y) = λ ∇g( x, y) ∇ f ( x, y) = λ ∇g( x, y) Las soluciones para x en el 2. Resolver el sistema g( x, y) = k sistema anterior, junto con cualesquiera otros puntos x que satisfagan g( x, y) = k , y tal que ∇ f ( x, y) no está definido, o ∇g( x, y) no existe o no está definido, son los candidatos para ser extremos. 3. Determinar la naturaleza de f (máximo, mínimo o ninguno) en los puntos críticos encontrados en el paso 2.



El escalar λ que aparece en los pasos

1

y

2 es llamado multiplicador de Lagrange

en honor al matemático frances Joseph Louis Lagrange (1736-1813) quien fue el primero en desarrollar este método para resolver problemas de optimización con restricción. La

función f es llamada función objetivo y la ecuación g( x, y) = k es la restricción. El paso 2 significa lo siguiente:

 

f x ( x, y) = λ g x ( x, y) f y ( x, y) = λ g y ( x, y) g( x, y) = k


101

Ejemplo 1.55. Supongamos que tenemos un terreno de forma rectangular cuya suma de sus lados es 20 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar

el área? Solución. Consideremos la función área A( x, y) = xy cuyas variables x e y están sujetas a la restricción g( x, y) = x + y = 20. Las gráficas de la función área y de la restricción se muestran en la siguiente figura:

La ecuación vectorial ∇ A( x, y) = λ ∇g( x, y) junto con la restricción nos da el sistema y = λ

( 1)

x = λ

(2)

x + y = 20

(3)

De las ecuaciones (1) y (2) se sigue que x = y = λ . Si en la ecuación (3) sustituimos x por y, conseguimos x = 10. Así que x = y = 10, y el punto crítico del sistema

anterior es ( x, y) = (10,10). Como la restricción define un segmento de recta cerrado y acotado, el teorema del valor extremo garantiza que A debe tener en este segmento tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. Sin embargo, el método de los multiplicadores de Lagrange ha demostrado que solo hay un punto crítico. Pero advierte que los puntos (20,0 ) y (0,20) satisfacen la restricción x + y = 20; ambos son puntos donde ∇g no existe. Además tenemos A(10,10) = 100, mientras que A(20,0) = 0 y A(0,20 ) = 0.

Evidentemente el área máxima ocurre cuando x = y = 10.




102

Ejercicios Ejercicio 1.1. En cada caso, use multiplicadores de Lagrange para identificar los puntos críticos de f sujeta a la restricción dada. (a) f ( x, y) = y, 2 x2 + y2 = 4 (b) f ( x, y) = 5 x + 2 y, 5 x2 + 2 y2 = 14 (c) f ( x, y) = xy, 2 x − 3 y = 36 (d) f ( x, y, z) = xyz, 2 x + 3 y + z = 6 (e) f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 , x + y − z = 1 (f) f ( x, y, z) = 3 − x2 − 2 y2 − z2 , 2 x + y + z = 2 (g) f ( x, y, z) = x6 + y6 + z6 , x2 + y2 + z2 = 6 (h) f ( x, y, z) = 2 x + y2 − z2 , x − 2 y = 0, x + z = 0 (i) f ( x, y, z) = 2 x + y2 + 2 z, x2 − y2 = 1, x + y + z = 2 (j) f ( x, y, z) = xy + yz, x2 + y2 = 1, yz = 1 (k) f ( x, y, z) = x + y + z, y2 − x2 = 1, x + 2 z = 1 Ejercicio 1.2. Encuentre tres números positivos cuya suma es 18 y tal que el producto sea el mayor posible. Ejercicio 1.3. (Paquetes de envío). El correo central de Lima aceptará paquetes para el envío nacional solo si la suma de la longitud perimétrica del grosor de la caja con la longitud del largo es exactamente 108

cm. ¿Qué di-

mensiones tendrá la caja y cuál será la máxima

capacidad?

Ejercicio 1.4. (Modelo económico de E. Heady y J.Pesek).

De acuerdo al siguiente

modelo desarrollado por los economistas E. Heady y J.Pesek, si un fertilizante compuesto

de N kilos de nitrógeno y P kilos de fosfato es usado en una tierra de cultivo, entonces la cosecha de maíz (en toneladas por hectárea) es Y = 7.5 + 0.6 N + 0.7P

− 0.001 N 2 − 0.002P2 + 0.001 NP

30 nuevos soles de fertilizante por hectárea. Si el nitrógeno cuesta 25 céntimos (por kilo) y el fosfato 20 céntimos (por kilo), ¿qué combinación entre N y P produce la mayor producción de maíz? Un agricultor intenta gastar

Ejercicio 1.5. La fórmula de Heron para el área de untriángulo cuyos lados tienen longitudes x, y y z es Área = s(s − x)( s − y)( s − z), donde s = ( x + y + z)/2 (que



es el semi-perímetro del triángulo). Use la fórmula de Herón para mostrar que, para un

perímetro fijo P, el triángulo con la mayor área es equilátero.


103

Ejercicio 1.6. Encuentre la distancia más corta del origen de coordenadas a la recta de intersección de los planos 2 x + y + 3 z = 9 y 3 x + 2 y + z = 6. Ejercicio 1.7. Encuentre la distancia más corta del punto (2,5, −1) a la recta de intersección de los planos x − 2 y + 3 z = 8 y 2 z − y = 3. Ejercicio 1.8. El plano x + y + z = 4 interseca al paraboloide z = x2 + y2 Encuentre los puntos de la elipse más próximos y más lejos del origen.

en una elipse.

Ejercicio 1.9. Encuentre los puntos más elevados y más bajos en la elipse que resulta como intersección del paraboloide z = x2 + y2 con el plano x + y + 2 z = 2. Ejercicio 1.10. Encuentre la distancia mínima entre un punto de la elipse x2 + 2 y2 = 1 y un punto de la recta x + y = 4. (Sugerencia: considere un punto ( x, y) en la elipse y un punto (u, v) en la recta. Minimice el cuadrado de la distancia entre ellos como una función de cuatro variables. Este problema es dificultoso para resolver en una computadora). Ejercicio 1.11. (a) Use el método de multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos críticos de la función f ( x, y) = x + y sujeta a la restricción xy = 6. (b) Explique geométricamente por qué la función f no tiene extremos en el conjunto {( x, y) ∈ R2 : xy = 6} Ejercicio 1.12. Sean α , β y γ denotando los ángulos interiores de un triángulo. Determine el máximo valor de sen α sen β sen γ . Ejercicio 1.13. El cilindro

x2 + y2 = 4 y el plano 2 x + 2 y + z = 2 se intersecan en una

elipse. Encuentre los puntos en la elipse que están más próximos y más alejados del origen.

Ejercicio 1.14. Encuentre los puntos de la aelipse 3 x2 − 4 xy + 3 y2 = 50 que están más próximos y más alejados del origen.

√ √

Ejercicio 1.15. En este ejercicio usted determinará los extremos de f ( x, y) = x + 8 y sujeta a la restricción x2 + y2 = 17, donde x ≥ 0 y y ≥ 0. (a) Explique por qué f debe alcanzar su máximo absoluto y mínimo absoluto sobre la curva de restricción dada. (b) Use multiplicadores de Lagrange para resolver el sistema de ecuaciones



, = λ ∇g( x, y) g( x, y) = 0

∇ f ( x y)

donde g( x, y) = x2 + y2 . Usted debe identificar un solo punto crítico de f . (c) Identifique el mínimo absoluto y máximo absoluto de f en la restricción.


104

Ejercicio 1.16. Una compañía farmacéutica debe diseñar cápsulas para contener un volu-

r

h

men V de medicina. Un ejecutivo desea que

las cápsulas tengan la forma de un cilindro circular recto con longitud h y base r con un hemisferio en cada extremo (ver figura adjunta).

Un segundo ejecutivo se opone al desperdicio de materiales, y sostiene que el mismo volumen podría estar contenido en una cápsula esférica. ¿Qué ejecutivo debería influir en la decisión para que se utilice a mínima cantidad

de materiar para cubrir la cápsula?

Ejercicio 1.17. Una empresa produce dos bienes

A1 y A2 . La cantidad vendida de A1 se denota por q1 y su precio es p1 . Similarmente para A2 . Las funciones de producción

son p1 = 20

− q1 + 2q2

y

p2 = 10 + q1

− q2

El costo total es dado por C = 12q1 + q1 q2 + 6q2

La firma se limita a producir un total de

máxima utilidad?

20 unidades de cada producto. ¿Cuál es la


105

Proyectos P ROYECTO 1: El proceso de Haber-Bosch. Fritz Haber

(1868-1934) fue un quí-

mico alemán. Por el invento de este proceso, Haber obtuvo el premio Nobel de Química en 1918. Carl Bosch, cuñado de Haber e ingeniero químico, fue quien hizo que este

proceso fuera práctico a gran escala. Bosch obtuvo el premio Nobel de Química en 1931. Durante la Primera Guerra Mundial el gobierno alemán utilizó el proceso de Haber-Bosch para producir grandes cantidades de fertilizantes y explosivos. Haber fue posteriormente

expulsado de Alemania por Adolfo Hitler y murió en el exilio. El proceso de Haber-Bosch produce amoniaco mediante una unión directa de nitrógeno e hidrógeno bajo condiciones de presión P y temperatura constantes: catalizador

N2 + 3H2

 

2NH3

Las presiones parciales x, y y z del hidrógeno, nitrógeno y amoniaco satisfacen la

euación x + y + z = P y la ley de equilibrio z2 / xy3 = k , donde k es una constante. La cantidad máxima de amoniaco ocurre cuando se obtiene la presión parcial máxima de este mismo. Determine el valor máximo de z.

P ROYECTO 2: Si una especie de animales tiene amplitud de su nicho ecológico se define como

n fuentes de alimento, el índice

de

1 x21 +

donde xi , i = 1,

··· + x2

n

, n, es la fracción de la dieta de los animales que proviene de la i-ésima fuente de alimentos. Por ejemplo, si la dieta de los pájaros consiste en 50% de insectos, 30% de gusanos y 20% de semillas, el índice de amplitus es ...

1 1 1 = = ≈ 2.63 (0.50)2 + (0.30 )2 + (0.20)2 0.25 + 0.09 + 0.04 0.38 Advierta que x1 + x2 + . . . + xn = 1 y 1 ≤ xi ≤ 1 para toda i. (a) Para especies con tres fuentes alimenticias, demuestre que el índice de amplitud se maximiza si x1 = x2 = x3 = 1/3. (b) Demuestre que el índice de amplitud con n fuentes se maximiza cuando x1 = x2 = ··· = xn = 1/n.

2. Integrales dobles y triples-Lord Barrera

El centro de presión en un velero es un punto en el cual se concentra la fuerza total aerodinámica. Haciendo que el velero se represente por una región plana, ¿podemos usar

integrales dobles para hallar el centro de presión en el velero? En este capítulo estudiaremos la integral de una función de dos variables. Entre las principales aplicaciones calcularemos volúmenes de sólidos, centros de masa de objetos planos y valores promedios. Algunos cálculos pueden resultar complicados y para ello

usaremos el teorema de cambio de variables visto en la sección 2.1.5.

Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera

108

2.1 Integrales dobles En este capítulo estudiaremos la integral de una función de dos variables. Las principales aplicaciones que desarrollaremos serán: cálculo del volumen de un sólido, dterminar el

centro de masa de objetos planos y el cálculo de valores promedios.

2.1.1 El teorema de Fubini Sea f ( x, y) una función continua, definida en el rectángulo R = [ a, b]

× [c, d ]. Si fijamos c ≤ y ≤ d . En este caso

x, entonces f ( x, y) es una función de la variable y, donde

podemos calcular la integral



d

f ( x, y) d y

c

que ahora depende de la variable x

se tiene una función

∈ [a, b]. En otras palabras, para cada número x ∈ [a, b]



d

A( x) =

f ( x, y) d y

a

c

≤ x ≤ b

que es el área de la región plana que se muestra a la derecha. Si integramos A( x) con respecto a la variable x, desde a hasta b, obtenemos



b

  b

A( x) d x =

a

d

a

f ( x, y) d y

c



d x

Convenimos en escribir

  b

a

d

  b

f ( x, y) d y d x =

c

d

a

f ( x, y) d y

c



d x

(2.1)

Ejemplo 2.1. Calcule la siguiente integral

         −    1

3

(1 + 4 xy) d y d x

0

Solución.

  1

0

3

1

1

(1 + 4 xy) d y d x =

1

3

1

1

=

1

(1 + 4 xy) d y d x =

0

3 + 2 x(3)

2

   y + 2 xy

0

1 + 2 x(1)

2

0

1

=

(2 + 16 x) d x = 2 x + 8 x

0

2

1



0



2

3

d x 1

d x

= 10



2.1 Integrales dobles

109

Similarmente, si fijamos la variable y, el integrando es una función que depende de x , donde a x b. De esta manera, obtenemos una función de y, con c y d .

≤ ≤

≤ ≤



b

A( y) =

f ( x, y) d x

c

a

≤ y ≤ d

que es el área de la región plana que se muestra a la derecha. Si integramos A( y) con respecto a la variable y, desde c hasta d , obtenemos



d

  d

A( y) d y =

c

b

c

f ( x, y) d x

a



d y

También convenimos en escribir

  d

c

b

  d

f ( x, y) d xd y =

a

b

c

f ( x, y) d x

a



d y

(2.2)

Las integrales en (2.1) y (2.2) son llamadas integrales iteradas.


  3

1

1

(1 + 4 xy) d x d y

0

Solución.

  3

1

1

     3

(1 + 4 xy) d x d y =

0

1

2

x + 2 x y

1

3

=

(1 + 4 xy) d x d y

0

3

=



1

x=1

   d y

x=0

(1 + 2 y) d y = y + y

1

2

3

= 10 1



Teorema 2.1.1 (Teorema de Fubini). Sea f ( x, y) una función con valores reales, continua sobre el rectángulo R = [ a, b ] × [ c, d ]. Entonces



f ( x, y) d A =

R

  d

c

b

a

  b

f ( x, y) d x d y =

a

d

c

f ( x, y) d y d x


110 Cuando f ( x, y)

≥ 0 para todo

( x, y) R, entonces la integral

∈



f ( x, y) d A nos da el

R

volumen del sólido que es limitado superiormente por la gráfica de f e inferiormente por

el rectángulo R.

Ejemplo 2.3. Calcule el volumen del sólido E que se encuentra bajo el gráfico de la función x2 y2 f ( x, y) = 1 − − 4 9 y encima del rectángulo R = [ −1,1] × [−2,2]. Solución. Es fácil ver que

f ( x, y)

≥ 0 para todo 2

f ( x, y) d A =

1

−1 −2

R

1

=

∈

    − −    − −     −  1

V =

( x, y) R, entonces

y

y3

4

27

−1



2

x2 y

92 x3 = x − 27 3

=

−1

y2

4

9

1

−1

−2

d y d x

92 2 x d x 27

d x =

   1

x2

166 27



Integrando un producto de funciones independientes Sea f ( x, y) = φ ( x)ψ ( y) para todo ( x, y) ∈ [a, b] × [c, d ], donde φ ( x) es una función continua en [a, b] y ψ ( y) es una función continua en [c, d ]. Entonces f es continua en [a, b] × [c, d ] y



  b

f ( x, y) d A =

φ ( x) d x

a

[a, b] [c, d ]

×



d

ψ ( y) d y

c

Ejemplo 2.4. Evalúe la integral doble



x3 y2 d A

[0,2] [0,1]

×

Solución. De acuerdo a la proposición anterior



x3 y2 d A =

[0, 2] [0, 1]

×

2

1

              2

1

x3 d x

0

y2 d y

0

=

x4

4

0

y3

3

=

0

16 4

1 4 = 3 3 


111

Ejercicios Ejercicio 2.1. En cada caso, evalúe la integral parcial dada.

  −        

(a)

d y

(d)

(1

(g)

sec2 (3 xy)d y

(h)

(j)

(2 x + cos y)d x

(k)

   

(b) 2 y)d x

(c)

− 3 x√ y)d y

(f)

(6 x2 y

(e)

(12 y cos4 x

− 3sen y)d x

cos x sen3 yd y

(a)

0 ln3

ln 5

1

e

d xd y

(e)

(c)

(h)

0

2

xy

x2 + y2

2

(i)

0

d y

4

uv dudv

0

π /2

x sen y d yd x

1

x y d xd y

1

(f)

d x

(2 x + 5 y)6 d y

3

( x + 2 y) d yd x

3

π

2 x + 3 y

1

0

d y

y

4

y x d yd x

0

cos( x + y) d xd y

0

4

0 1 1 2

0

π

(g)

x+ y

(b)

x( y + 1)

(l)

  √     2

x cos( xy) d yd x

0

(d)

1

1

(i)

Ejercicio 2.2. En cada caso, evalúe la integral. π /2

  √     √    

√ (6 x2 y − 3 x y)d x

0 π /4

3

r sec θ dr dθ

0

0

Ejercicio 2.3. En cada caso, elija el orden conveniente para evaluar la integral. ( x + 2 y) d A ; R = {( x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4} (a)

        R

(b)

x

R

(c)

y

d A ; R = {( x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4}

e x+2 y d A ;

R = ( x, y)

{

R

(d)

x sec2 ( xy) d A ;

R = ( x, y)

{

R

(e)

3

x5 e x y d A ;

R = ( x, y)

R

(f)

y3 sen( xy2 ) d A ;

R

(g)

R

x

(1 + xy)2

∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ln2, 1 ≤ y ≤ ln3}

{

∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π /3, 0 ≤ y ≤ 1}

∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ln2, 0 ≤ y ≤ 1}

R = ( x, y)

{

∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π /2}

d A ; R = {( x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2}

Ejercicio 2.4. (Simetría). Evalúe las siguientes integrales usando argumentos de simetría. Sea R = {( x, y) : −a ≤ x ≤ a, −b ≤ x ≤ b}, donde a y b son números reales positivos sen( x − y) 2 2 (a) xye−( x + y ) d A (b) d A x2 + y2 + 1






112

2.1.2 Integración sobre regiones generales Sea D un subconjunto acotado de R2 y f ( x, y) una función real acotada, definida en D. Consideremos el rectángulo R = [a, b]

× [c, d ] tal que D ⊆ R (ver figura de abajo),

y sea la función f ( x, y) definida sobre R mediante f ( x, y) =



f ( x, y)

si ( x, y) ∈ D si ( x, y) ∈ R \ D

0

Decimos que f es integrable sobre D si f es integrable sobre R. En este caso

definimos



f ( x, y) d A =

D



f ( x, y) d A

R

Propiedades algebraicas de la integral doble Sean f y g funciones definidas en una región acotada D

y

  

g( x, y) d A existen, D

2.

[ f ( x, y)

± g( x, y)] d A =

c f ( x, y) d A = c

D





f ( x, y) d A

D

f ( x, y) d A

D,



f ( x, y) d A

D

 ±

g( x, y) d A

D

D

3. Si f ( x, y) ≥ 0 en

⊆

y sea c una constante. Entonces

D

1.

R2 tales que

entonces



f ( x, y) d A

D



≥0

 ≥

4. Si f ( x, y) ≥ g( x, y) en D, entonces f ( x, y) d A g( x, y) d A D D 5. Si D = D1 ∪ D2 , donde D1 y D2 son dos subconjuntos de D que se intersecan en una curva o un conjunto finito de puntos (ver figura de abajo), entonces



f ( x, y) d A =

D



D1

f ( x, y) d A +



D2

f ( x, y) d A


113

2.1.3 Regiones x-simples y regiones y-simples Cuando se integra sobre regiones no rectangulares, es conveniente parametrizarla de manera conveniente para que la integral resulte fácil de calcular. A continuación

estudiaremos regiones x-simples y regiones y-simples.

Región x-simple DEFINICIÓN Región elemental x-simple Una región plana es x-simple si x varía entre dos constantes pero, y, se encuentra

entre dos funciones que dependen de x, es decir,



D = ( x, y)

∈ R2 : a ≤ x ≤ b,

g1 ( x)

≤ y ≤ g2 ( x)

donde g1 y g2 son funciones continuas en [a, b].



Ejemplo 2.5. Exprese las regiones de las figuras de abajo como regiones x-simples. (a) y

(b)

4

y

y

=

5

y x 2

(c ( y

5 - x2

4

=

D2 D1 0

D3 1

1 2

x

-2

0

2

x

0

1

5 x

Solución. (a) En este caso, la curva que limita superiormente a la región D1 es la recta y = 2 x, mientras que la curva que limita inferiormente a la región, es la parábola y = x 2 . De esta

manera se tiene D1 :

0 ≤ x ≤ 2

y

x2

−2 ≤ x ≤ 2

y

1 ≤ y ≤ 5 − x2

(b) La región D2 se expresa mediante D2 :

≤ y ≤ 2 x


114

(c) Determinemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1) y (5,4). La 1 3 pendiente de esta recta es m = 54− −1 = 4 , o sea que la ecuación de dicha recta es

3 4

y = x + b

Desde que (1,1) es un punto de la recta, tenemos 3 1 = (1) + b 4

que implica

b =

1 4

Por tanto, y = 43 x + 14 . Finalmente, la región D3 se expresa mediante 1 ≤ x ≤ 5

D3 :

3 1 1 ≤ y ≤ x + 4 4

y



Fórmula de Fubini para regiones x-simples Si f es una función continua en una región D, la cual es x-simple y descrita por D = ( x, y)

{

entonces



∈ R2 : a ≤ x ≤ b,

≤ y ≤ g2 ( x)}

g2 ( x)

b

f ( x, y) d A =

D

 

g1 ( x)

g1 ( x)

a

f ( x, y) d y



d x



Ejemplo 2.6. Evalúe la siguiente integral por 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ x.

( x + 2 y) d A, donde D es la región descrita

D

Solución. La región se ve en la figura de abajo y notamos claramente que x-simple. Entonces

     

1

( x + 2 y) d A =

0

D

1

=

2

xy + y

0

1

=

 



x

=

0

x

( x + 2 y) d y d x

0

d x

0

( x)( x) + ( x)

0

1

D es

2

−

2 x3 1 2 2 = 2 x d x = 3 0 3



( x)(0) + (0)

2



d x




115

Región y-simple DEFINICIÓN Región elemental y-simple Una región plana es y-simple si, y, varía entre dos constantes, pero x, se encuentra entre dos funciones que dependen de y, es decir,



D = ( x, y)



∈ R2 : h1 ( y) ≤ x ≤ h2 ( y), c ≤ y ≤ d

donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d ].

Algunos ejemplos de regiones y-simples se muestran ea continuación:

Ejemplo 2.7. Exprese las regiones de las figuras de abajo como regiones y-simples. (a) y

(b)

4

y

y

=

(c ( y

5 - x2

5

y x 2

4

=

D2 D1 0

D3 1

1 2

-2

x

0

Solución. (a) Tenemos 0 ≤ y ≤ 4. √ tenemos x = ± y, lo cual nos da D1 :

x

2

0 ≤ y ≤ 4

1 ≤ y ≤ 5

5 x

1

Ahora bien, despejando x como función de y

√ ≤ x ≤ y 2 y

y

(b) La región D2 se expresa mediante D2 :

0

y

−

 − ≤ ≤  − 5 y x

5 y 3

1

(c) La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1 ) y (5,4 ) es y = x + . 4 4 Por tanto, la región D3 se expresa mediante D3 :

1 ≤ y ≤ 4

y

4 y − 1 3

≤ x ≤ 5




116

Fórmula de Fubini para regiones y-simples Si f es una función continua en una una región D, la cual es y-simple, tal que D = ( x, y)

{

entonces

∈ R2 : h1 ( y) ≤ x ≤ h2 ( y), c ≤ y ≤ d }

 



h2 ( y)

d

f ( x, y) d A =

D

f ( x, y) d x

h1 ( y)

c



d y

Ejemplo 2.8. Evalúe la siguiente integral integral



( x + 2 y) d A

D

donde D es es la regi región ón desc descri rita ta por por

0 ≤ x ≤ 1

y

0 ≤ y ≤ x.

Solución. La región se ve en la figura de abajo y notamos claramente que y-simple. Entonces

          −   1

1

( x + 2 y) d A = 1

=

2

0

1

=

0

=



x2

y

2

( x + 2 y) d x d y

0 1

D

+ 2 xy

y

d y

y

y2

1 + 2 y 2

+ y2

D es

y3

− 6 −

2

2 y3 3

  

+ 2 y2

1

= 0

d y

2 3 

Combinando regiones x-simples e y-simples Algunas veces es factible resolver una integral como una región x-simple en lugar de una y-simple y recíprocamente. Veamos Veamos esto a continuación:

Ejemplo 2.9. Evalúe la integral



1

d A

y4 + 1

D

donde D es es la regi región ón desc descri rita ta por por

0 ≤ x ≤ 8 y

√ x ≤ y ≤ 2. 3

2.1 Integrales dobles Solución. La región

117

D es x-simple. Su grá-

fica se muestra a la derecha. Esta integral no puede ser evaluada directamente como una re-

gión de tipo x-simple ya que



   8

1

d A = y4 + 1

D

0

2

d y

√ 3 x

y4 + 1

d x

por lo que vamos a cambiar el orden de integración en la integral doble. Veamos esto a

continuación: D :

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ y3

y

Luego

          8

2

d y

d x = √ 3 x y4 + 1

0

y3

2

2

d x

4 0 y + 1

0

0

0

y3

x

y4 + 1 0

ln( y4 + 1) 2 ln17 = d y = 4 4 y4 + 1 0

2

=

d y =

 

y3

d y






   1

1

x2 e xy d x

0

d y

y

Solución. La región de integración es el con junto D :

0 ≤ y ≤ 1

y

y

≤ x ≤ 1

como se ve en la figura de la derecha. Cambiando el orden de integración se tiene:

           −   −   1

1

2 xy

x e

0

1

x

d x d y =

x e

0

y

2 xy

x2

xe

0

x

xy

d y d x =

0

x

d x =

e x

d x

xe

0

1

=

1

2

2

x2

2

0

1

=



0

e

−2 2




118

Ejercicios Ejercicio 2.1.

En cada caso, describa la región como una x-simple -simple o como una y-simple.

y

(a)

(b)

1

(c (

y

x

1

y x 2 =

y

( 1, 1 (

x y 3

=

12 y 2 - 12 y 3

1

=

-1

1

0 y

=

x x y 2

-2 x4

=

0 0

-2

1

x

x

=

1

x

2 y2 - 2y

Ejercicio 2.2. Dibuje cada una de las regiones en el plano xy y exprésela como una región x-simple.

(a) El círculo unitario centrado en el origen. (b) La región triangular con vértices (1,1 1, 1), (3,1 3, 1) y (3,5 3, 5). (c) La región limitada por las gráficas de x = y 2 y x = 3. (d) La región del primer cuadrante limitada por y = x2 y x = y2 . muestra en la figura de arriba. arriba. Primero Primero tiene que (e) La región encerrada, R, como se muestra hallar el punto de intersección.

Ejercicio 2.3. Dibuje cada una de las regiones en el plano xy y expresarla como una región y-simple.

(a) El círculo unitario centrado en el origen. (b) La región triangular con vértices (1,1 1, 1), (1,3 1, 3) y (5,3 5, 3). (c) La región limitada por las gráficas de y = − x2 e y = −3. (d) La región del primer cuadrante limitada por y = x2 y x = y2 . muestra en la figura de arriba. arriba. Primero Primero tiene que (e) La región encerrada, R, como se muestra hallar el punto de intersección.

Ejercicio 2.4. Calcule



x y

D

donde D :

0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x.

e y d A


119

Ejercicio 2.5. En cada caso, dibuje la región de integración se indica

    √   2

(a)

0

(d)

4

f ( x, y) d yd x

(b)

1

f ( x, y) d xd y

(e)

−1 − x2

−1

0 ln x e

(g)

π /4

f ( x, y) d yd x

1

(h)

0

(c)

0

e

0

x2 + 1

2

      1

f ( x, y) d xd y −√ y

1

16− y2

3

√ y

     

2 x+1

D para la integral iterada que

9

f ( x, y) d yd x

(f)

3

√ y f ( x, y) d xd y √ 3 y

4

tg x

1

f ( x, y) d yd x

(i)

0

f ( x, y) d yd x

e x

y2

0

f ( x, y) d xd y

Ejercicio 2.6. En cada caso, dibuje la región de integración y evalúe la integral

    π

(a)

x sen y d yd x

0

(b)

0

1

d xd y

(e)

ln 8

y d yd x

(c)

0

ln y

1

y2

0

y

   

sen x

0 1

y2

2

(d)

    π

x

√ 0 x

4

3 y3 e xy d xd y

(f)

0

1

0

e x+ y d xd y

3 y/√ x e d yd x 2

Ejercicio 2.7. En cada caso, evalúe la integral invirtiendo el orden de integración

    2

(a)

0

1

(d)

2

y/ x

e

d xd y

(b)

y/2

1

0

2

2 y

   

4

4

2 e− x d xd y

(e)

x cos y d yd x

x2

0

2

2

3

(c)

3

√ 3 y sen y d yd x (f)

0

x

     √ 1

π /4

0 4

tg−1 y

0

√ y

sec2 x 1 + sec2 x d xd y

2

1

x3 + 1

d xd y

f ( x, y) definida en R2 .

Ejercicio 2.8. En cada caso, se tiene una función continua

Representar gráficamente el dominio y cambiar el orden de integración en la integral doble.

    1

(a)

0

(d)

f ( x, y) d yd x

0

1

(b)

sen x

0

2− y

y2

0

    π /2

x

f ( x, y) d xd y

2

f ( x, y) d yd x

1 1

2

(e)

0

f ( x, y) d xd y

ln x

(c)

0

4

   

(f)

y/2

0

f ( x, y) d yd x

0

π /4

f ( x, y) d yd x

arctan x

Ejercicio 2.9. En cada caso, represente gráficamente el dominio de integración y calcule la integral doble.

       1

(a)

0

π y

1

(d)

1

sen x x

y3

d x d y

√ x e d y d x

0

1

(f)

π

π /2

    1

(b)

9

y2

1 + cos2 x cos x d x d y

0

arcsen y

  √ 1

(c)

y

3

0

x2

e− d x d y

0

(e)

1

y cos( x2 ) d x d y

0

1

x

y

x2 + y2

d y d x


120

Ejercicio 2.10. Sea D ⊆ R2 la región limitada por las rectas y = 0, x = 1, y = 2 x 2 sea f ( x, y) = e x para todo ( x, y) ∈ D. Calcule la integral doble de f sobre D.

y

Sea D R2 la región triangular limitada por los segmentos de recta que unen los puntos (0,0 0, 0), (0,1 0, 1) y (2,2 2, 2). Si f ( x, y) = ( x + y)2 para todo ( x, y) D,

Ejercicio 2.11.

⊆

∈

calcule la integral doble de f sobre D.


 

x3 cos( y2 ) + 3sen y

(a)

| x x|+| y y|≤1


− 

π d A

(b)

 |

cos( x + y)|d A

[0,π ] [0,π ]

×

 − −

(1 x y) d A

D

donde D es el triángulo con vértices (0,0 0, 0), (1,0 1, 0) y (0,1 0, 1).

Ejercicio 2.14. Dibuje las regiones de integración y escriba las siguientes integrales como una sola integral iterada

  1

0

e

f ( x, y) d xd y +

e y

  0

e

−1

e− y

f ( x, y) d xd y

invierta el orden de integración para evaluar la expresión Ejercicio 2.15. En cada caso, invierta como una sola integral √

(a)

(b)

     −          y/e

e

0

2

x2

e

0

e2

d x d y +

e

x

√ sen

π x

d y d x +

2 ln y

0

4

2

e x d x

2

d y

π x

√ x sen 2 y d y d x

2 y 2 Ejercicio 2.16. En cada caso, evalúe evalúe la integral doble 1

(a)

x



x sen x x2

[0,1] [0,1]

×

| − y| d A

(b)

 |

sen x − y| d A

[0,π ] [0,1]

×

(c)



x− y ye−α | x

2

| d A

[0,1] [0,1]

×

Ejercicio 2.17. Considere la región D = ( x, y) : x x + y y

{

| | | | ≤ 1}

(a) Use una integral doble para verificar que el área de D es 2. (b) Calcule el volumen de la columna cuadrada cuya base es D y cuyo techo es z = 12 − 3 x − 4 y (c) Calcule el volumen del sólido con base D y debajo del cilindro x2 + z2 = 1 (d) Calcule el volumen de la pirámide cuya base es D y el vértice en el eje z es (0,0,6 )


121

Proyecto P ROYECTO 1 (Volumen de un sólido). Calcule el volumen de una pieza sólida como la que se muestra en la figura de abajo, donde la proyección D sobre el plano xy

también se indica a la derecha. z

z

=

2

- x

y

2

D D4

D5 2

D3

y

1

D2

0

-1

x

P ROYECTO 2 (Distribución exponencial).

D1 0

1

x

La probabilidad de que ocurran ciertos

eventos (tales como llamadas telefónicas o mensajes de e-mail) puede ser modelada usando distribución exponencial. Si λ es la tasa de ocurrencia de un tal evento, donde se asume constante en el tiempo, entonces el tiempo promedio entre ocurrencias es λ −1 (Por ejemplo, si las llamadas telefónicas alcanzan una tasa de λ = 2/min, entonces el tiempo promedio entre llamadas telefónicas es λ −1 = 21 min). La distribución exponencial es dada por f (t ) = λ e−λ t para 0 t < ∞. (a) Suponga que usted trabaja en un Call Center donde recibe llamadas a una tasa

≤

promedio de λ 1 = 0.8/min (es decir, el tiempo promedio entre llamadas telefónicas es

1/0.8 = 1.25min). La probabilidad de que una llamada telefónica ocurra durante

el intervalo [0, T ] es p(T ) =



T

0

λ 1 e−λ 1t dt . Calcule la probabilidad de que ocurra

una llamada telefónica los primeros 45s (0.75 min) que se encuentra trabajando. (b) Ahora suponga también que usted tiene clientes que llegan a su oficina a una tasa promedio de λ 2 = 0.1/min. La probabilidad de que una llamada telefónica y un cliente lleguen a usted en el intervalo [0, T ] es p(T ) =

  T

0

T

0

λ 1 e−λ 1t λ 2 e−λ 2 s dt ds

Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica y un cliente lleguen durante

los primeros 45s que usted se encuentra trabajando. (c) Los mensajes de e-mail que usted recibe, le llegan a una tasa promedio de λ 3 = 0.05/min. Entonces la probabilidad de que usted reciba una llamada telefónica, un cliente y un mensaje de e-mail en el intervalo [0, T ] es

   T

p(T ) =

0

T

0

T

0

λ 1 e−λ 1t λ 2 e−λ 2 s λ 3 e−λ 3 u dt dsdu

Calcule la probabilidad de que usted reciba una llamada telefónica, un cliente y un

mensaje de e-mail durante los primeros 45s que usted se encuentra trabajando.


122

2.1.4 Integración en coordenadas polares Las coordenadas polares son muy útiles para resolver ciertas integrales dobles. Por ejemplo, al evaluar la integral

  D

do en el origen, tenemos

             −

x2 + y2 + 2 d A, donde D es el disco unitario centra-



( x2 + y2 + 2) d A =

D

√ 1− x2

1

1

=

x2 + y2 + 2 d y d x

−1 −√ 1− x2 x2 y +

−1

y 3

3

√ 1− x2

+ 2 y

−√ 1− x2

2

d x



1 = 2 ( x2 + 2) 1 x2 + (1 − x2 )3/2 d x 3 −2 Una técnica simple de resolver este tipo de integrales es utilizando integración en coordenadas polares, como veremos a continuación

Teorema 2.1.2. Sea D 0 ≤ β − α ≤ 2π , y sea

la región plana descrita por a f

≤ r ≤ b

y α

≤ θ ≤ β ,

donde

una función continua sobre D. Entonces



  β

f ( x, y) dA =

α

D

Ejemplo 2.11. Evaluemos la integral centrado en el origen. Solución. El dibujo de la región

b

f (r cos θ , r sen θ ) r d r dθ

a

 



x2 + y2 + 2 d A, donde D es el disco unitario

D

y

D se ve en

la figura de la derecha. Esta región se expresa

mediante un rectángulo polar como sigue

D 0

0 ≤ r ≤ 1

y

0 ≤ θ ≤ 2π

1

x

Haciendo el cambio x = r cos θ e y = r sen θ llegamos a x2 + y2 + 2 = r 2 + 2. Luego

 

2

2

           2π

1

x + y + 2 d A =

D

0

r 2 + 2 r dr dθ

0 2π

1

dθ

=

0

= 2π



r (r 2 + 2) dr

0

r 4

4

1

+ r 2

=

0

5π 2




123

Ejemplo 2.12. Calcule el valor de la integral

  − a2

x2

D

donde

D = ( x, y)

{

− y2 d A

y D

∈ R2 : a2 /4 ≤ x2 + y2 ≤ a2}

a

0

a

2

x

Ver figura adjunta.

Solución. Sean x = r cos θ e y = r sen θ , con

  − a2

D

y 0 ≤ θ ≤ 2π .

≤ r ≤ a

   −      − 2π

x2

a /2

y2 d A =

a

r a2

−

0

r 2 dr dθ

a/2

2π

a

r a2

dθ

=

0

r 2 dr

a/2

−

= 2π

1 2 2 3/2 (a − r ) 3

Ejemplo 2.13. Calcule el valor de la integral

 

√ 3π a3

a

=



4

a/2

y



xy d A

D

b D

donde D es la región del primer cuadrante, limix2 y 2

tada por la elipse

a2

+

b2

0

= 1

Solución. Parametrizamos la región 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ π /2. Luego

D por x = ar cos θ ,

       1

y = br sen θ ,

x

donde

π /2

xy d A =

D

a

(ar cos θ )(br sen θ )(abr ) dθ dr

0

0

1

2 2

π /2

= a b

0

0 1

= a 2 b2 = a b

= a 2 b2

π /2

r 3 dr

0

2 2

r 3 sen θ cos θ dθ dr

0

1

sen2θ dθ 2

cos2θ π /2 4 0 1 a2 b2 = 4 8

  −      − −  r 4

4 1 4

0

1 4

 


124

Ejercicios Ejercicio 2.1. Dibuje cada uno de los siguientes rectángulos polares. (a) R = {(r , θ ) : 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π /2} (b) R = {(r , θ ) : 2 ≤ r ≤ 3, π /4 ≤ θ ≤ 5π /4} (c) R = {(r , θ ) : 1 ≤ r ≤ 4, −π /4 ≤ θ ≤ 2π /3} (d) R = {(r , θ ) : 4 ≤ r ≤ 5, −π /3 ≤ θ ≤ π /2} Ejercicio 2.2. Para cada región mostrada en la figura, exprese la integral en coordenadas polares (a (

( b (

y



f ( x, y)d A

R

y

6

4

3

0

4

0

x

x

Ejercicio 2.3. En cada caso, se pide calcular la integral sobre la región dada. (a) a2 − x2 − y2 d A, D = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2 }.

      D

(b)

xy d A, donde D es la región del primer cuadrante, limitada por la elipse de

D

ecuación (c)

D

x2 a2

2

+ by2 = 1



cos (2 x − y)2 + 2( x + y)2 d A, donde D es la región del primer cuadrante,

limitada por la elipse de ecuación 2 x2 + y2 = 2 (d) x d x d y, donde D es la región ( x + 1)2 + ( y − 2)2 ≤ 3, x ≥ −1, y ≥ 2 D

Ejercicio 2.4. Evalúe la integral



f ( x, y) d A ,

siendo

D

f ( x, y) =

 

f 1 ( x, y) = f 2 ( x, y) =

 −  −

y D la región limitada por las curvas C 1 :

y = 1

−

 −

2 x x2

( x

1)2 + ( y − 1)2

si y ≤ 1

4 4( x − 1)2 − ( y − 1)2 si y > 1 y

C 2 :

y = 1 + 2

 −

2 x x2


125

Ejercicio 2.5. Calcule el volumen del sólido limitado lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 4, superiormente por el plano z = x e inferiormen-

te por el plano z = 0.

Ejercicio 2.6. Evalúe

 

x2 + y2 d A donde

D

D es la región de la figura adjunta. (Sugerencia:

determine la ecuación de la circunferencia interna en coordenadas polares e integre sobre los discos

mayor y menor separadamente).

Ejercicio 2.7. Calcule la carga total en un plato D que tiene la forma de una elipse con ecuación

polar 1 2 1 2 −1 2 r = sen θ + cos θ 6 9





del que se ha removido el disco x2 + y2 1 (ver la figura adjunta). Asuma que la densidad de car-

≤

ga es ρ (r , θ ) = 3r −4 C/cm2 .


126

Proyectos P ROYECTO 1 Se argumenta que el costo, en términos de tiempo, dinero o esfuerzo, de colectar o distribuir material a o desde una localidad es proporcional a la integral P =



r d A

D

donde D es la región que se cubre y r denota la distancia al sitio de colección/distribución. Suponga, por ejemplo, que un quitanieves se envía a limpiar un área de estacionamiento circular de diámetro d . Muestre que quitar la nieve y acumularla en el perímetro es aproxi-

70% más costoso que acumular toda la nieve en el centro del estacionamiento. (Sugerencia: Establezca por separado la integral para cada caso, empleando una ecuación de coordenadas polares para el círculo con el sitio de colección en el origen.) madamente

P ROYECTO 2

La aproximación de Fraunhofer

es válida para distancias focales bastante largas.

f

La intensidad de onda difractada desde una abertura circular plana D de diámetro d , hasta el

punto ( x, y) del plano imagen es dada por Ψ ( x, y) =



2iπ ( xs+ yt )

e λ f

f

Fuente de onda esférica s

Lente



Haz óptico Onda plana

ds dt

D

Fuente de onda plana

Abertura

Plano imagen

donde λ es la longitud de la onda y f es la distancia focal. Muestre que el valor de la

   

integral doble depende solo del radio R = x2 + y2 y que d /2

Ψ ( R) =

2π

r cos

0

0

2π rR λ f



sen θ dθ dr

P ROYECTO 3 (Campo gravitacional debido a una cáscara esférica). Una masa puntual m está a una distancia d del centro de una cáscara esférica muy delgada de masa M y

radio R. La magnitud de la fuerza gravitacional sobre la masa puntual es dada por F (d ) =

GMm

4π

  2π

0

π

0

(d R cos ϕ ) sen ϕ dϕ dθ , ( R2 + d 2 2 Rd cos ϕ )3/2

−

−

G =

constante gravitacional

a) Use el cambio de variable x = cos ϕ para evaluar la integral y muestre que si d > R, entonces F (d ) =

GMm d 2

, lo cual significa que la fuerza es la misma que si la masa

de la cáscara estuviera concentrada en su centro. b) Muestre que si d < R (la masa puntual está dentro de la cáscara), entonces F = 0.

2.1 Integrales dobles P ROYECTO 4

127

De acuerdo a la ley de Coulomb,

P

la fuerza de atracción entre dos cargas eléctricas de magnitudes q1 y q2 separados por una distancia r es kq1 q2 /r 2 (k es constante). Sea F la fuerza neta en una partícula cargada P de carga Q coulombs localizada a d cm del centro (y fuera) de un disco circular de radio R, con una

d

Plato cargado

R 

r

distribución de carga uniforme de densidad ρ

coulombs por metro cuadrado (ver figura). Por simetría, F actúa en la dirección vertical.

(a) Sea D un pequeño rectángulo polar de área ∆r × ∆θ localizado a una distancia r . Muestre que D ejerce una fuerza en P cuya componente vertical es



k ρ Qd

(r 2 + d 2 )3/2



r ∆r ∆θ

(b) Explique por qué F es igual a la integral doble, y evalúe

  2π

R

F = k ρ Qd

0

P ROYECTO 5

0

r dr dθ

(r 2 + d 2 )3/2

En algunos estudios de la diseminación de enfermedades de plantas, el

número de infecciones por área unitaria como una función de la distancia desde la planta

fuente infectada se describe por medio de una fórmula del tipo I (r ) = a (r + c)−b

donde I (r ) es el número de infecciones por unidad de área a una distancia radial r de la planta fuente infectada, y a, b y c son parámetros (positivos) que dependen de la

enfermedad. a) Deduzca una fórmula para el número total de infecciones dentro de un disco de radio R centrado en la planta fuente infectada; esto es, evalúe I (r ) d A, donde D es D un disco de radio R centrado en el origen. Suponga que el parámetro b no es 1 o 2. b) Muestre que si b > 2, entonces el resultado en el ítem a) tiende a un límite finito cuando R → +∞. c) Para la roya común del maíz , el número de infecciones por metro cuadrado se modela mediante I (r ) = 68.585 (r + 0.248)−2.351



donde r se mide en metros. Encuentre el número total de infecciones.

128


P ROYECTO 6 Las densidades de población urbana decaen exponencialmente con la distancia desde el distrito comercial central (DCC); esto es, ρ (r ) = ρ0 e−r /d donde ρ (r ) es la densidad de la población a una distancia radial r desde el DCC, ρ0 es la densidad en el centro y d es un parámetro.



ρ (r ) d A, encuentre una expresión para la población a) Utilizando la fórmula; P = D total que vive dentro de una región circular D de radio R del DCC. b) Empleando r ρ (r ) d A

  D

ρ (r ) d A

D

determine una expresión para los viajes promedio (distancia recorrida) al DCC de la

gente que vive dentro de la región D. c) Utilizando los resultados de los ítems a) y b), determine la población total y los viajes promedio cuando R → +∞


129

2.1.5 Teorema del cambio de variables para integrales dobles En este apartado vamos a generalizar el teorema 2.1.2. Para esto nos hacemos las

siguientes preguntas: 1. Si una integral



f ( x, y) d A no puede ser calculada fácilmente cuando integramos

D

con respecto a x e y, ¿podemos hallar una sustitución de la forma x = x (u, v) e y = y (u, v) que transforma esta integral en una que involucra las variables u y v

que ahora es más fácil evaluar? 2. ¿Qué forma tiene la nueva integral? Antes de dar con el teorema del cambio de variables para integrales dobles, transformaremos regiones planas en otras regiones planas. Esta técnica nos permitirá resolver de una manera más simple algunas integrales que mediante el uso de coordenadas cartesianas

podría resultar más complicada.

Transformando regiones Muchas regiones que se expresan en las coordenadas ( x, y) se “pueden expresar” en

otros sistemas de coordenadas como se verá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.14. Considere la región de la figura adjunta. Se trata de un rombo cuyos lados opuestos son rectas paralelas. Hagamos u = y

− x

y

y

v = y + x

1

y - x = -1

Al resolver este sistema de ecuaciones tenemos x =

v

−u 2

y

y =

D

v+u

que nos da la transformación (u, v)

0

-1

2 y - x

=

1

-1

→ ( x(u, v), y(u, v))

Desde que

−1 ≤ y − x ≤ 1

x

y + x = 1 y + x = -1

v

y

1

− 1 ≤ y + x ≤ 1 R

entonces

−1 ≤ u ≤ 1

1

y

−1 ≤ v ≤ 1

y obtenemos un rectángulo en el plano

R2uv ,

cuya gráfica se muestra en la figura adjunta.

-1

0

1

u

-1 


130

Ejemplo 2.15. Determinemos el jacobiano de la transformación x(u, v) =

v

−u

y

2

Solución. ∂ ( x, y)

=

∂ (u, v)

 − 

v+u

y(u, v) =

1 2 1 2

1 2 1 2

Teorema del cambio de variables

 

=

2

− 12



Veamos a continuación nuestro principal resultado:

Teorema 2.1.3. Sea (u, v) → ( x(u, v), y(u, v)) la transformación que hace corresponder a la región R del plano uv, la región D del plano xy. Entonces



f ( x, y) dA =

D



f ( x(u, v), y(u, v))

R

Ejemplo 2.16. Evaluemos la integral



∂ ( x, y) ∂ (u, v)





dudv

y

( x + y + 1) d A

y - x = 1

D

Solución.

Tomemos las sustituciones que siguen

u = y

y v = y + x. Entonces

− x

x(u, v) =

con

v

−u

−1 ≤ u ≤ 1

2

y

e

y - x = -1

1

donde D es la región de la figura.

D 0

-1

y (u , v) =

x

1

v+u

2

y + x = 1

-1

−1 ≤ v ≤ 1.

y + x = -1

Tenemos así la transformación (u, v)

  →



− , v+u , donde 2 2

v u

−1 ≤ u ≤ 1 y −1 ≤ v ≤ 1.

Luego



    −

( x + y + 1) d A =

D

f ( x(u, v), y(u, v))

[ 1, 1] [ 1, 1]

− ×− 1

=

   − 

1

−1 −1

v

2

u

+

v + u

2

+1

∂ ( x, y)

∂ (u, v)



du dv

 

1 /2 1 / 2 du dv 1 /2 1 / 2


131

    1

=

1

1 2

(v + 1) du dv

−1 −1 1

1 = 2

1

du

−1

(v + 1) dv

−1

1 1 v2 = u +v 2 −1 2



1

   

= 2



−1

En algunos cálculos vamos a requerir el siguiente resultado: ∂ ( x, y) ∂ (u, v)

·

∂ (u, v) ∂ ( x, y)

= 1

Ejemplo 2.17. Calcule



x2 y2 d A

y

D

y

=

3x

donde D es la región limitada por las curvas en

la figura adjunta. y Solución. Hagamos u = xy y v = , donde x 1 ≤ u ≤ 2 y 1/2 ≤ v ≤ 3. Luego ∂ (u, v) ∂ ( x, y)

=

De aquí resulta

 −

y y

x2

∂ ( x, y) ∂ (u,v)



x

1 x

 

y

= 2 = 2v

=

2

y

0

x

=

-x 2

x x y

=

1

= 1/2v. Por tanto,

2 2

x y d A =

D

x y

   

[1, 2] [1/2, 3]

×

2

=

1

=

3

1 u · dv du = 2v 1/2

2 2 u

1

      

f ( x(u, v), y(u, v))

2

2

ln6du = ( ln6)



∂ ( x, y)

∂ (u, v)

2 2 u

1 u3

6

du dv 3

ln v

2

2

7 6

du 1/2

= ln6

1




132

Ejercicios Ejercicio 2.1. En cada caso, encuentre la imagen del conjunto dada: (a) D: 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ u; x = 2u + v, y = u − 3v (b) D: −1 ≤ u ≤ 4, 1 ≤ v ≤ 5; u = x − y, v = x + 2 y (c) D: 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2; x = u 2 − v2 , y = uv (d) D: 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2; x = uv , y = v2

D bajo la transformación

Ejercicio 2.2. En cada caso, determine ∂ ( x, y)/∂ (u, v) y ∂ (u, v)/∂ ( x, y) (a) x = 2u + v, y = u 2 − v (b) x = u2 − v2 , y = 2uv (c) x = eu cos2v, y = eu sen2v (d) x = u ln v, y = v ln u Ejercicio 2.3. En cada caso, se pide calcular la integral sobre la región dada. y (a) d A, D = ( x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 y 1 ≤ 2( x + y) ≤ 2 .

   −  D

(b)



x + y



cos y y+ x x d A, donde D es la región trapezoidal con vértices (1,0), (2,0), D (0,2) y (0,1)

Ejercicio 2.4. Un problema en termodinámica y xy a =

consiste en determinar el trabajo realizado por una máquina de Carnot. Este trabajo se define

xy

como el área de la región R en el primer cua-

D

drante acotado por las isotermas xy = a, xy = b,

0 < a < b y las adiabáticas xy1.4 = c, xy1.4 = d , 0 < c < d . Emplee d A y una sustitución

=

b xy 1.4

=

d

xy 1.4

 D

apropiada para calcular el área que se muestra en la figura adjunta.

=

c

x

Ejercicio 2.5. Dibuje la región D limitada por las curvas y = 2/ x, y = 1/(2 x), y = 2 x, y = x /2 en el primer cuadrante. Sea F la transformación u = xy , v = y / x del plano xy al plano uv. (a) Determine la imagen de D mediante F . 1 (b) Sea G = F −1 . Muestre que |Jac(G)| = . 2|v| (c) Aplique la fórmula del cambio de variables para deducir la fórmula

  

3 f d x d y = x 4 D y

(d) Aplique (c) para evaluar

ye y/ x

 D

x

d x d y.



2

f (v)dv

1/2

v


133

2.1.6 Aplicaciones de integrales dobles

Masa y centro de masa A continuación determinaremos la masa y el cen-

tro de masa para una región plana. Comenzamos con una función integrable ρ ( x, y), llamada función densidad, definida sobre una región acotada

Centro de masa

Lámina

D. La unidad de la densidad por unidad de área

es, por ejemplo,

kg/m2 . Para una lámina, el

centro de masa es un punto de la lámina tal que al ser colocada sobre un lápiz, la lámina queda en equilibrio. Si la densidad es constante, la ubicación del centro de masa depende solo de la forma

de la lámina, y en este caso el centro de masa es llamado centroide.

DEFINICIÓN Centro de masa Para una lámina D en el plano xy, con densidad continua por unidad de área ρ ( x, y), el centro de masa es el par ( x, y), donde

momento total con respecto al eje y = x = masa total

   

xρ ( x, y) d A

D

ρ ( x, y) d A

D

momento total con respecto al eje x = y = masa total

(2.3)

yρ ( x, y) d A

D

ρ ( x, y) d A

D

Ejemplo 2.18. Determine el centro de masa de la región limitada por y = x 2

e

y = x

y

si la función de densidad es y

ρ ( x, y) = x + y

Solución.

0

=

x

y

=

x 2

x


134

Utilizaremos las fórmulas (2.3). El denominador es

  1

x2

0

            1

x

( x + y) d yd x =

xy +

0

1

=

3 x2

0

El numerador de x es

  1

1

x

x2

0

x( x + y) d yd x =

x2

0

1

=

0

El numerador de y es

  1

x2

0

1

x

y( x + y) d yd x =

1

0

2

  

x

d x

x2

x4

− x3 − 2

d x =

x3

x4

x5

2

4

10

1

2

( x + xy) d yd x =

x y +

1

2

xy2

( xy + y ) d yd x =

2

0

0

x2

x6

5

12

+

18 120

d x

2

x5

5 x3 x5 x6 5 x4 − 2 − 3 d x = 24 6

Por lo tanto x = 11/18 y y = 65/126.

=

x

xy 2

2

0

x

1

  −         − −            − −      −

3 x3 4 x5 3 x4 − x − 2 d x = 8 2

x2

0

=

x

2

y 2

1

=

0

11 120

x

y 3

d x

3

x2

x6

x7

12

21

1

13 168

=

0



Ejemplo 2.19. Un plato de oro esculpido es descrito por 0 ≤ x ≤ 2π y 0 ≤ y ≤ π (centímetros) y tiene densidad de masa ρ ( x, y) = y 2 sen2 4 x + 2 (gramos por centímetro cuadrado). ¿Cuál es la densidad promedio de la masa en gramos por centímetro cuadrado?

Solución. La masa del plato es



    2π

ρ ( x, y) d A =

0

D

0

( y2 sen2 4 x + 2) d y d x =

0

2π

=

π

π 3

3

  2π

0



y3

3

π

sen2 4 x + 2 y

  

d x

0

sen2 4 x + 2π d x

t Recordando que sen 2 t = 1−cos2 , el último término se convierte en 2

π 3

3



2π

0



1 − cos8 x d x + 2π 2

2π

0

d x =

π 3

3

 −    x

2

sen8 x 16

2π

+4π 2 0

El área del plato es 2π × π = 2π 2 . Así que la densidad promedio de la masa es masa 12 + π 2 = área 6




135

Área de superficies Fórmula para determinar el área de una superficie z = f ( x, y): Sea f definida en una región D del plano xy. El área A de la superficie z = f ( x, y) es A =

 

f x2 + f y2 + 1d A

D

Ejemplo 2.20. Calcule el área de la parte de la superficie con ecuación z = 2 x + y2 que está sobre la región triangular D en el plano xy con vértices (0,0), (1,1) y (0,1). y

Solución. La región D se muestra en la figura adjunta, cuya parametrización es 0 ≤ x ≤ y,

(1, 1 (

1

0 ≤ y ≤ 1

D y

=

x

De acuerdo a la definición con f ( x, y) = 2 x + y2 ,

el área requerida es 0

A =

      

f x2 + f y2 + 1d A =

D

1

=

22 + (2 y)2 + 1d A

D

1

y

4 y2 + 5d x d y =

0

0

0

x



 

y

4 y2 + 5

0

1

=

    

x

1

1 (4 y2 + 5)3/2 y 4 y2 + 5d y = 12

 

1

d y 0

√ 1 − = (27 5 5) 0 12



Ejemplo 2.21. Calcule el área de la superficie de la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y2 que está encima del plano z = 5. Solución. La parte del paraboloide y su proyección se muestra en la figura adjunta: z

y z

=

9

2

- x - y z

=

2

2

5

x

2

2

3

=

2

x

D

-2 3

x 2 + y 2

y

-2

4


136

El paraboloide interseca al plano z = 5 a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 4, por tanto nuestra superficie de interés tiene de proyección el disco representado por x2 + y2 4.

Ahora bien, el área requerida se calcula mediante: A =

     

=

( 2 x)2 + ( 2 y)2 + 1d A

D

2π

2

4 x2 + 4 y2 + 1d A =

0

D

2π

=

  − −       −  

f x2 + f y2 + 1d A =

D

0

≤

12 2 (4r + 1)3/2 83

r

4r 2 + 1dr dθ

2π

π √ 1 (173/2 1) dθ = (17 17 − 1) 12 6

0

2

dθ =

0

0



Fórmulas para el área de superficies en la forma y = g ( x, z) y x = h ( y, z): Sea g definida en una región D del plano xz. El área A de la superficie y = g ( x, z)

es A =

 

g x2 + g z2 + 1d A

D

Sea h definida en una región D del plano yz. El área A de la superficie x = h ( y, z)

es A =

 

h y2 + h z2 + 1d A

D

Ejercicios Ejercicio 2.1. Determine el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la densidad de masa dada: (a) D es la región rectangular con vértices (0,0), (3,0), (3,2) y (0,2); ρ ( x, y) = y. √ (b) D es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = x, y = 0 y x = 4; ρ ( x, y) = xy. (c) D es la región limitada por la parábola y = 4 − x2 y el eje x; ρ ( x, y) = y. (d) D es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia x2 + y2 = 1; ρ ( x, y) = x + y. Ejercicio 2.2. En cada caso, calcule el área de la superficie S (a) S es la parte del plano 2 x + 3 y + z = 12 que se encuentra encima del rectángulo R = {( x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. (b) S es la parte del plano 3 x + 2 y + z = 6 que se encuentra encima de la región triangular con vértices (0,0), (1,3) y (0,3). (c) S es la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y2 que está encima del plano xy. (d) S es la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está encima del plano z = 2.

2.2 Integrales triples

137

2.2 Integrales triples Como en el caso de integrales dobles, una integral triple también puede ser evaluada

mediante el cálculo de una integral iterada apropiada.

2.2.1 El teorema de Fubini Teorema 2.2.1 (Fubini). Sea f ( x, y, z) una función con valores reales y continua sobre el cubo B = [ a, b ] × [ c, d ] × [ p, q ]. Entonces



q

f ( x, y, z) dV =

B

Ejemplo 2.22. Calcule 0 ≤ z ≤ 3.

   d

p

b

c

f ( x, y, z) dxdydz

(2.4)

a



xyz2 dV , donde B es el cubo

0 ≤ x ≤ 1,

B

−1 ≤ y ≤ 2,

Solución.



2

xyz

3

dV =

2

−1

3

=

2

3

2

2

3

0

yz

0

0

yz2

−1 2

0

=

1

xyz d x d y d z =

0

B

1

                −       3

d y d z =

z

3

3 z2 3 z3 d z = 4 4 3



=

0

0

2

3

d z =

4

0

d y d z

2

−1

y2

2

x2

2

0

−1

27 4

z2

z2

4

d z



La integral triple de la ecuación (2.4) también puede ser expresada como cualquiera de las

otras cinco integrales iteradas, cada una con diferente orden de integración. Por ejemplo,



   b

f ( x, y, z) dV =

B

a

q

d

p

f ( x, y, z) d y d z d x

(2.5)

c

Ejemplo 2.23. Evaluemos la integral del ejemplo anterior mediante la fórmula ( 2.5). Solución.



xyz2 dV =

     1

0

B

3

0

1

=

0

2

3

0

0

3 xz2 d z d x = 2 1

  

27 x2 = 2 2

1

xyz2 d y d z d x =

−1

0

=

27 4

2

           1

0

3 x z3 2 3

3

y2 xz2

2

0

−1

3

1

d x =



0

d z d x

0

27 x d x 2 


138

Integrando un producto de funciones independientes Si f ( x, y, z) = φ ( x)ψ ( y)δ ( z), para todo ( x, y, z) ∈ [a, b] × [c, d ] × [ p, q],



b

f ( x, y, z) dV =

×

 

d

φ ( x) dx

a

[a,b] [c,d ] [ p,q]

×

 

entonces

q

ψ ( y) dy

c

δ ( z) dz

p

Ejemplo 2.24. Evalúe la integral del ejemplo anterior.



xyz

2

   3

dV =

2

0

B

1

xyz2 d x d y d z

−1

0

Solución.



xyz

2

       3

dV =

2

0

B

1

xyz2 d x d y d z

−1

0

1

=

2

x d x

=

z2 d z

y d y

0

1

3

−1

2

0 3

          −  −  − x2

y2

z3

2 0 2 −1 3 1 1 = (9 0) 0 2 2 2 27 = 4

0



Propiedades algebraicas

 

1. f + g es integrable y

( f + g) dV =

E

2.

a f

es integrable y

f g es

4. Si

(a f ) dV = a

en E , entonces

f dV

E

5. La función

 ≤    ≤  | | f dV

g dV

E

| f | es integrable y



E

f dV

E



g dV

E

integrable.

≤ g

f

f dV +

E

E

3.

   f dV

E


139

Ejercicios Ejercicio 2.1. ¿Cuál de las opciones no es igual a (a) (b) (c)

7

1

4

         6 3

4 1

0

0 0

3

1

5

4

3

7 7

6

1

4

7

   0

3

6

f ( x, y, z) d z d y d x?

f ( x, y, z) d y d x d z f ( x, y, z) d z d x d y f ( x, y, z) d x d z d y

Ejercicio 2.2. En cada caso, evalúe



f ( x, y, z) dV para la función dada f y la caja

B

B

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

f ( x, y, z) = z4 ,

2 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ z ≤ 1 f ( x, y, z) = xz 2 , [−2,3] × [1,3 ] × [1,4] f ( x, y, z) = xe y−2 z , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 x f ( x, y, z) = , [0,2] × [2,4] × [−1,1] 2 ( y + z) f ( x, y, z) = ( x y)( y z), [0,1] [0,3] [0,3 ] z f ( x, y, z) = , 1 x 3, 0 y 2, 0 z x f ( x, y, z) = ( x z)3 , [0, a] [0, b] [0, c]

− −

− ≤ ≤

f ( x, y, z) = ( x + y z)3 ,

−

× × ≤ ≤ ≤ ≤4 × × [0, a] × [0, b] × [0, c]

Ejercicio 2.3. En cada caso, evalúe la integral dibujando la región de integración de manera apropiada. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

2

6

2

    −    −    −             −  − − 2 3 0 1 2 1

d x d y d z 6 xyz d y d x d z

2 1 0 2 2 e xy2

d z d x d y

2 1 1 z ln4 ln3 ln 2

0 0 0

π /2

2 1

0

2

1

0

1

0

1

π /2

1

0

0

0

0

sen π x cos y sen2 z d y d x d z

yze x d x d z d y 1

x2 y2 z2 d x d y d z

1 1 1 3 2 1

0

e− x+ y+ z d x d y d z

( x + y + z) d x d z d y


140

2.2.2 Proyección sobre los planos coordenados Un sólido E se puede proyectar sobre los planos coordenados xy, xz e yz. En cada

caso podemos plantar nuestra correspondiente fórmula para la integral triple.

Proyección sobre el plano

xy

Un sólido E que se proyecta sobre el plano xy, puede parametrizarse en muchos casos mediante E :

( x, y) D,

u1 ( x, y)

∈

z

z u2( x , y ( =

≤ z ≤ u2 ( x, y)

La figura adjuntra ilustra el comportamiento geo-

E

métrico de esta parametrización. Ahora bien, la

z u1( x , y ( =

región plana D puede parametrizarse en la forma x-simple o y-simple. Si la región D se expresa en la forma x-simple, digamos a

e ϕ 1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x), entonces



≤ x ≤ b ϕ 2 ( x)

b

f ( x, y, z) dV =

E

ϕ 1 ( x)

a

Ejemplo 2.25. Calcule el volumen del sólido E y por los planos y + z = 4 y z = 0. Solución. El sólido se ilustra en la figura ilustra en la figura (b). (a) z

u2 ( x, y)

f ( x, y, z) d z d y d x

u1 ( x, y)

que está limitado por la superficie y = x2 (a), mientras que su proyección D se

(b) y

y + z = 4

4

E

y = x 2

y = x 2

D

0 2

x

  

y

D

y 0

-2

x

x

2

Notemos que el sólido se extiende verticalmente desde z = 0 hasta z = 4 y. Por tanto,

−

     − 2

V =

−2 2

=

−2

4

x2

4− y

0

  2

d z d y d x =

−2

4

x2

 

2

(4 y) d y d x =

−

1 4 1 8 4 x + x4 d x = 8 x − x3 + x5 2 3 10 2

  −   4 y

−2

  

2

=

−2

256 15

1 2 y 2



4

d x

x2




141

Proyección sobre el plano

yz

Un sólido E que se proyecta sobre el plano yz,

z

puede parametrizarse en muchos casos mediante E :

( y, z) D,

u1 ( y, z)

∈

D

≤ x ≤ u2 ( y, z)

0

La figura adjunta ilustra el comportamiento geo y

métrico de esta parametrización. Ahora bien, la región plana D puede parametrizarse en la for- x

x u1 ( y, z ( =

E

ma x-simple o en la forma y-simple. Si la región

x u2( y, z ( =

D se expresa en la forma x-simple, digamos c

≤ y ≤ d e

ϕ 1 ( y)

≤ z ≤ ϕ 2 ( y), entonces



  

f ( x, y, z) dV =

E

u2 ( y, z)

ϕ 2 ( y)

d

u1 ( y, z )

ϕ 1 ( y)

c

Ejemplo 2.26. Calcule el volumen del prisma

f ( x, y, z) d x d z d y

E cuya base es el triángulo en el plano xy

limitada por el eje x y las rectas y = x y x = 1,

z

y cuyo techo está limitado por el plano z = 2 y.

2

Solución. sulta 0 ≤ y ≤ 1

−

z

=

2

La parametrización del sólido E re-

0 ≤ z ≤ 2 − y

y

≤ x ≤ 1

-y

y

y calculando el volumen tenemos

1

x

     −  −   − −  − 1

Vol( E ) =

2− y

0

=

d x d z d y

(1 y) d z d y

0

1

=

x

y

2− y

0

=

1

0

1

y

(1 y) z

0

2− y

d y

0

1

=

(1 y)(2 y) d y

0

1

=

( y2

3 y + 2) d y

0

=

 − y3

3 y2

3

2

  

1

+ 2 y

= 0

5 6




142

Ejercicios z

Ejercicio 2.1. Considere el cilindro cuadrado en

x

+

y + z = 6

el primer octante, limitado por las superficies x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, cortado por el

plano x + y + z = 6. Determine su volumen de

dos maneras (a) De la manera difícil: mediante una integración d x d z d y. (b) De la manera fácil: mediante una integración d z d y d x.

y x

= 1

= 1

y

x

Ejercicio 2.2. En cada caso, integre la función dada sobre el sólido E . (a) f ( x, y, z) = 2 x − y + z , donde E es el sólido limitado por z = y2 , el plano xy, y los planos x = 0, x = 1, y = −2, e y = 2. (b) f ( x, y, z) = y , donde E es el sólido limitado por el plano x + y + z = 2, el cilindro x2 + z2 = 1 y el plano y = 0. (c) f ( x, y, z) = 8 xyz , donde E es el sólido limitado por el cilindro y = x2 , el plano y + z = 9, y el plano xy. (d) f ( x, y, z) = 1 − z2 , donde E es el tetraedro con vértices (0,0,0 ), (1,0,0 ), (0,2,0 ) y (0,0,3). (e) f ( x, y, z) = x + y , donde E es el sólido limitado por x2 + 3 z2 = 9, el plano y = 0, y el plano x + y = 3. (f) f ( x, y, z) = 4 x + y , donde E es el sólido limitado por x = y 2 , y = z , x = y y z = 0. Ejercicio 2.3. En cada caso, dibuje la región de integración y reescribir la integral en sus otras cinco √ presentaciones √ iteradas. (a)

(b) (c)

2 2

1 y2

  −     −  −   0

0

y

1

1

1 x

1 y2 0 2 x y

0

0

0

1− x2 − y2

f ( x, y, z) d z d x d y

f ( x, y, z) d z d x d y

f ( x, y, z) d z d y d x

Ejercicio 2.4. Calcule el volumen del sólido limitado por x2 + y2 .

x2 + y2 + z2

≤ 1 y por z2 ≥

Ejercicio 2.5. Calcule el volumen del sólido limitado por

x2 + y2 + z2

≤ 2 y por y ≤

x2 + z2


143

Ejercicio 2.6. Considere la integral

  √ −  − 0

36 4 x2 −4 y2

36 9 x2 /2

2

0

5 x2

2d z d y d x.

(a) Esta integral es igual a la integral triple sobre una región sólida E en R3 . Describir E . (b) Escribir la integral dada como una integral iterada equivalente, integrando primero con respecto a z, luego con respecto a x, y luego con respecto a y. No evaluar su

respuesta. (c) Escribir la integral dada como una integral iterada equivalente, integrando primero con respecto a y, luego con respecto a z, y luego con respecto a x. No evaluar su

respuesta. (d) Ahora considere la integración primero con respecto a y, luego con respecto a x, y luego con respecto a z. A continuación exprese como una suma de integrales

iteradas. No evaluar su respuesta. (d) Repetir el ítem (iv) integrando primero con respecto a x, luego con respecto a z, y luego con respecto a y.

Ejercicio 2.7. Integrar

f ( x, y, z) = z sobre la

z

región E que se encuentra debajo del hemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 y que se

encuentra sobre el cuadrado 1 ≤ x, y ≤ 1.

Ejercicio 2.8. Integrar

f ( x, y, z) = z sobre la

región E que se encuentra debajo del hemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 y que

3

y x 2 + y 2 + z 2 = 9

E 1

se encuentra sobre el triángulo limitado por las

1

rectas x = 1, y = 0 y x = y.

3

x

z

Ejercicio 2.9. Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro parabólico z = x 2 + 1, y los planos z = y + 1 e y = 1.

z = y + 1

z = x 2 + 1 y

x


144

Ejercicio 2.10. En cada caso, calcule el volumen del sólido. (b)

(a)

z

- 2 x - y

+

z

=

(c (

z

8

z z

6 z

- 4 x - 4y

+

z

=

2

1

=

6

y

=

2

4

-x

+

1 y 2

-

0

y

4

4 1

4

-y

=

y

3

-x

3

y

x

x

x

(d)

z

4

z

=

6

-

(e)

- x2- y2

(f)

z z

4

=

4

z

- x2

y + z

=

2

y

=

4 y

x

2 1 2

x + 2 y

y

=

4

y

=

4

- y2

x

x

2

x

(g)

(h)

z

(i)

z

z z

1

z z

=

1

=

=

e y

sen y

-y 1

0

x

1 y x

=

y

y y

=

x

ln 2

y

x

1 x


145

z

z

=

1

- x

z

+ y

z

=

4

4

2 z

- 3x

=

2

z x2 + y =

1 1

y

x

=

1

2

- x

y 1

z

2

x

z

=

1

z

2

- y

y x

y

=

x2

x

z z

=

x2

+

y2

8

z

=

8

y x

2

2

- x - y

2

y


146

Proyecto (Energía térmica en un bloque de metal). Suponga que tiene un bloque de metal E en forma E

de un tetraedro, donde tres caras son perpendi-

c

culares dos a dos, y tres de sus aristas tienen

b

longitudes a, b y c, respectivamente (ver figura de la derecha). Este bloque consiste de un

a

material con densidad constante ρ , capacidad de calor específico c p y tiene una temperatura T = T ( x, y, z) que varía con z mediante T = T min + z. Un volumen elemental

dV del material, tiene masa ρ dV . Si la masa

elemental está a una temperatura uniforme T , entonces la energía térmica acumulada en la masa del bloque está dada por c p ρ T dV . Calcular la energía térmica acumulada en la región tetraedral E .


147

2.2.3 Integración en coordenadas cilíndricas z

A continuación se da una técnica para calcular in-

z z 2 ( r ,  (

tegrales triples, usando coordenadas cilíndricas.

=

Sea E un sólido que se proyecta sobre el plano r θ ,

E

cuya parametrización es (r , θ ) D,

z1 (r , θ )

∈

E :

z z 1 ( r ,  (

≤ z ≤ z2 (r , θ )

=

0

Ver figura adjunta. Si D se parametriza mediante

≤ θ ≤ θ 2,

θ 1

r 1 (θ )

x r r 1( ( =

≤ r ≤ r 2 (θ )

D 

=



1

r

=

 2

y

r 2( (

=

entonces la integral triple se calcula mediante



  

f ( x, y, z) dV =

f (r cos θ , r sen θ , z) d z r dr dθ

z1 (r ,θ )

r =r 1 (θ )

θ 1

E



z2 (r ,θ )

r =r 2 (θ )

θ 2

Ejemplo 2.27. Sea E el sólido definido por volumen de E . Solución. Para determinar el nivel en que se



x2 + y2

≤ z ≤ 6 − x2 − y2.

Calcule el

z

cortan las superficies debemos resolver las ecua-

ciones z = 6 x

2

− − y

2

y

z =

Resolviendo tenemos z = 6

z =



x2 + y2

Nivel z = 2

− ( x2 + y2 ) = 6 − z2

z = x 2 + y 2 0

− 2)( z + 3) = 0

2

E

o también ( z

2

- x - y

6

de donde z = 2

y

x

La proyección del sólido E sobre el plano xy es el disco D (centrado en el origen) de

radio 2, es decir, x2 + y2 ≤ 4, cuya parametrización es x = r cos θ

Además, como



x2 + y2

V =

2π

6−r 2

2

0 2π

0

r

2

0

  2π

r d z dr dθ =

dθ

0

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2π

≤ z ≤ 6 − x2 − y2, entonces r ≤ z ≤ 6 − r 2.

     0

=

y = r sen θ

(6r r 3

2

0



− − r 2 ) dr

r (6

=

Por tanto,

− r 2 − r ) dr dθ

32π 3




148

Ejemplo 2.28. Calcule el volumen de la región sólida y2 + z2 = 1, x = 5 − y2 − z2 , x = 0. Solución. El sólido

E limitada por las superficies

E y su proyección sobre el plano yz se muestran en las figuras

x

z x =

- y - z 2

5

2

E D z

0

y

1

y 2 + z 2 = 1 0

y

que parametrizado en coordenadas cilíndricas nos da y = r cos θ , z = r sen θ , x = x ,

donde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 5 − r 2 . Luego 1

Vol( E ) =

2π

0

=

5−r 2

     0 2π

0

0

1

0

r (5

0



= 2π

1

r d z dθ dr =

dθ

(5 r 2 )2

− −4

 

 

= 0

r (5

0

− r 2 ) dθ dr

 

− r 2 ) dr

1

2π

1

= 2π

0

r (5



− r 2 ) dr

9 π 2



Ejemplo 2.29. Calcule el volumen del sólido E (ver figura adjunta) limitado lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 4, superiormente por el z plano y = x e inferiormente por el plano z = 0. z

Solución. La proyección del sólido plano xy tiene como parametrización

=

x

sobre el

− π 2 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ r ≤ 2,

0 ≤ z ≤ r cos θ , entonces el volumen del sólido resulta Desde que

2

cos θ

π /2

2

r d z dr dθ =

−π /2

0

0

π /2

=

x

          · π /2

Vol( E ) =

y

−π /2

2

cos θ dθ

−π /2

= sen

2

0

sen

0

r dr = ( sen θ )

   − −  − π

r cos θ dr dθ

π

2

(2

0) = 4

π /2

r 2

−π /2 2

2



0 


149

Ejercicios Ejercicio 2.1. En cada caso, dibuje el sólido cuyo volumen es dado por la integral, y evalúe la integral (a) (b) (c)

π /4

r 2

2

      −    0 0

0 2

2π

π /2

1

−π /2

r d z dr dθ

0 1 r

0 2 r 2

0

0

r d z dr dθ r d z dr dθ

Ejercicio 2.2. En cada caso, use coordenadas cilíndricas para evaluar la integral en la región dada. (a) x2 + y2 dV , donde E es el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y E los planos z = 2 y z = 4. 2 2 (b) e x + y dV , donde E es el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y los E planos z = 0 y z = 2. (c) x dV , donde E es la parte del sólido en el primer octante limitado por parabo-

      E

loide z = 4 − x2 − y2 . (d) y dV , donde E es la parte del sólido en el primer octante limitado por parabo E

loide z = x2 + y2 y el plano z = 4. ( x2 + y2 ) dV , donde E es el sólido limitado por el cono z = 4 − x2 + y2 y (e) E el plano xy.



Ejercicio 2.3. √ caso, evalúe la integral usando coordenadas cilíndricas √ En cada (a)

(b) (c)

1 x2

1

4 x2 y2

  −  − −  −  √ √ −  √ − −  −  −√ −−  1 0 0 1 1 x2 2 x2 y2 x2

1 1

−1

x2 + y2

1 1 y2

0

x

0

z d z d y d x

( x2 + y2 )3/2 d z d y d x

( x2 + y2 ) d z d x d y

Ejercicio 2.4.

Sea E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1. Mediante el uso de una integral triple en coordenadas cilíndricas, calcule el volumen del sólido E para

el orden de integración etablecido: (a) d z dr dθ , (b) dr d z dθ , (c) dθ d z dr

Ejercicio 2.5.

Sea E la región limitada inferiormente por el cono z =

superiormente por el paraboloide z = 2 x2

− − y2.



x2 + y2 y

Mediante el uso de una integral triple

en coordenadas cilíndricas, calcule el volumen del sólido E para el orden de integración etablecido: (a) d z dr dθ , (b) dr d z dθ , (c) dθ d z dr


150

Ejercicio 2.6. (Distribución de la densidad). Un cilindro circular recto con una altura de 8 cm y un radio de 2 cm es llenado con agua. Al calentar un filamento a lo largo 2 g de su eje produce una densidad variable en el agua dada por ρ (r ) = 1 − 0.05e−0.01r cm3 .

(Aquí, ρ representa la densidad y no la coordenada esférica del radio). Encuentre la masa

del agua en el cilindro. Desprecie el volumen del filamento.

Ejercicio 2.7. (Tanque de gasolina). Antes de que se detenga un auto, la gasolina del tanque debe drenarse hasta vaciar el tanque. Suponga que

el depósito tiene la forma de un cilindro circular recto con una longitud de 80 cm y un radio de 20 cm. Si la gasolina está a 10 cm por encima de la parte inferior del tanque, determine la can-

tidad de gasolina que debe ser drenado en el tanque.

Ejercicio 2.8. Calcule la población total en una ciudad que tiene una zona territorial en la forma de un disco con un radio de 4 km (el centro puede localizar en el origen de coordenadas). Asuma que la densidad poblacional es ρ ( x, y) = 2000 ( x2 + y2 )−0.2 personas por kilómetro cuadrado. Ejercicio 2.9. El tanque de hidrógeno líquido en el transbordador espacial tiene la forma de un ci-

lindro circular recto con una tapa semielipsoidal en cada extremo. El radio de la parte cilíndrica del tanque es 4.2

m. Determine el volumen del tanque que se muestra en la figura adjunta.

Ejercicio 2.10.

Sea E la región sólida que se

encuentra encima de la esfera x2 + y2 + z2 = 9

y debajo del paraboloide z = 7 − x2 − y2 . a) Muestre que la proyección de E sobre el plano xy es el disco x2 + y2 ≤ 5 (ver figura adjunta). b) Calcule el volumen de E usando coordenadas polares.

z 7

z

=

7

-x - y 2

2

E 2

x2 + y 2 + z 2

5

3

=

9

y

x Ejercicio 2.11. Encuentre el centro de masa de la lámina que corresponde a la región

acotada por la curva llamada pétalo de rosa r = 2sen2θ en el primer cuadrante si la

densidad en el punto P en la lámina es directamente proporcional a la distancia desde el

origen polar.


151

Proyectos P ROYECTO 1: (Formación de montañas).

Cuando se estudia la formación de mon-

tañas, los geólogos estiman la cantidad de trabajo necesaria para levantar una montaña a partir del nivel del mar. Considere una montaña que tenga la forma de un cono circular recto. Suponga que la densidad del material en el entorno de un punto ( x, y, z) sea ρ ( x, y, z)

y la altura sea h( x, y, z). (a) Exprese la integral definida que representa el trabajo total ejercido para formar la montaña de radio R y altura H . (b) Calcule la integral definida del inciso (a). (c) Suponga que la montaña Fuji de Japón tenga la forma de un cono circular recto con un radio de 19000m, una altura de 3800 m y densidad constante de 3200 kg/m3 . ¿Cuánto trabajo fue realizado para formar la montaña Fuji de Japón si la tierra estaba

inicialmente al nivel del mar?


152

2.2.4 Integración en coordenadas esféricas

A continuación se da una técnica para calcular

z 1( ,  (

integrales triples, usando coordenadas esféricas.

2(  ,  (

Recordemos que en la fórmula del cambio de variables en coordenadas cilíndricas, usamos la ecuación

dV = r d z dr dθ . De la misma manera, 2

dV = ρ sen φ dρ dθ dφ

y

1

en coordenadas esféricas necesitamos la fórmula

E ijk

2

(2.6)

0

2

Sabemos que x = ρ sen φ cos θ ,

y = ρ sen φ sen θ ,

1

z = ρ cos φ

x

entonces la integral triple se calcula mediante



   φ 2

θ 2

ρ2 (θ ,φ )

f (ρ cos θ sen φ , ρ sen θ sen φ , ρ cos φ )ρ 2 sen φ dρ dθ dφ

f ( x, y, z) dV =

E

φ 1

θ 1

ρ1 (θ ,φ )

Ejemplo 2.30. Calcule el volumen del sólido z

E definido

 ≥−

x2 + y2 + z2

x2 + y2

Solución. Parametrizando

por

≤9

E en coordenadas esféricas tenemos

0 ≤ ρ ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤

3 π 4

Luego

      3

Vol( E ) =

0

=

2π

0 3

3π /4

ρ 2 sen φ dφ dθ dρ

0

2π

ρ 2 dρ

0

= ( 9)(2π )

3π /4

dθ

0

−

sen φ dφ

0



3π /4

cos φ

√

= 9π ( 2 + 2) 0

 


153

Ejercicios Ejercicio 2.1. En cada caso, dibuje el sólido cuyo volumen es dado por la integral, y evalúe la integral (a) (b)

2π

π /2

2

      0

0

2π

0

0

ρ 2 sen φ dρ dφ dθ

π /4 2sec φ

0

0

ρ 2 sen φ dρ dφ dθ

Ejercicio 2.2. En cada caso, use coordenadas esféricas para evaluar la integral en la región dada. (a) x2 + y2 + z2 dV , donde E es la esferra sólido x2 + y2 + z2 ≤ 1.

      E

(b)

2 2 2 3/ 2 e( x + y + z ) dV , donde E es la parte de la esfera unitaria x2 + y2 + z2

E

≤1

que se encuentra en el primer octante. (c) xz dV , donde E es sólido limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = E



1 e inferiormente por el cono z = x2 + y2 . ( x2 + y2 + z2 )2 dV , donde E es la esfera sólida x2 + y2 + z2 ≤ 25. (d) E

(e)

y dV , donde E es el sólido limitado por el hemisferio z =

E

plano xy.

 −

1 x2 − y2 y el

Ejercicio 2.3.

Sea E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1. Mediante el uso de una integral triple en coordenadas esféricas, calcule el volumen del sólido E para

el orden de integración establecido: (a) d ρ dφ dθ , (b) dφ dρ dθ

Ejercicio 2.4.

Sea E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente por el cono z = x2 + y2 y superiormente por el plano z = 1. Mediante el uso de una



integral triple en coordenadas esféricas, calcule el volumen del sólido E para el orden de

integración establecido: (a) d ρ dφ dθ , (b) dφ dρ dθ

Ejercicio 2.5. (Distribución de la carga). Una nube esférica con carga eléctrica tiene una densidad de carga conocida Q(ρ ), donde ρ es la coordenada esférica. Encuentre la

carga total en el interior de la nube en los siguientes casos: 2 × 10−4 (a) Q(ρ ) = , 1≤ρ <∞ 4 ρ

3

(b) Q(ρ ) = ( 2 × 10−4 )e−0.01ρ , 0 ≤ ρ < ∞

Ejercicio 2.6. El plano ( x/a) + ( y/b) + ( z/c) = 1 (siendo divide al elipsoide sólido x2

a2

+

y 2

b2

+

z 2

c2

≤ 1

en dos partes desiguales. Calcule el volumen de la menor.

a > 0, b > 0 y c

>

0)


154

Ejercicio 2.7. Suponga que la densidad de la atmósfera como función de la altura, h (en kilómetros) por encima del nivel del mar es dada por ρ (h) = ae−bh kg/km3 , donde a = 1.225 × 109 y b = 0.13. Calcule la masa total de la atmósfera contenida en la región sólida en forma de cono x2 + y2 ≤ h ≤ 3.



Ejercicio 2.8. Un planeta esférico de radio µ = µ 0 e−ch,

R tiene una atmósfera cuya densidad es

donde h es la altura sobre la superficie del planeta, µ 0 es la densidad a

nivel del mar, y c es una constante positiva. Calcule la masa de la atmósfera del planeta.

Proyectos P ROYECTO 1: (Determinando un electrón). La función de onda para el electrón en el átomo de hidrógeno es 1 −ρ /a0 ψ (ρ ) =



π a30

e

donde a0 es el radio de Bohr. La probabilidad de encontrar el electrón en una región E

de

R3

es igual a



p( x, y, z)dV

E

donde, en coordenadas esféricas

p(ρ ) = ψ (ρ ) 2

|

|

Use integración en coordenadas esféricas para mostrar que la probabilidad de encontrar el

5/e2 ≈ 0.677. (El radio de Bohr es a0 = 5.3 × 10−11 m, pero este valor no es necesario.) electrón a una distancia mayor que el radio de Bohr es igual a

3. Introducción a las ecuaciones diferenciales- Lord B

Las ecuaciones diferenciales son importantes en matemática, física y economía. Muchos problemas se pueden modelar mediante ecuaciones diferenciales y saberlas resolver nos permitirá responder cuestiones relacionadas con el mundo real; así como también nos proporcionará importantes resultados en tópicos específicos de la física matemática. En este capítulo, revisaremos ecuaciones diferenciales de primer orden y de segundo orden con motivaciones elementales relacionadas a los negocios, la economía y las ciencias

físicas.

156

Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales- Lord Barrera

3.1 Ecuaciones de primer orden 3.1.1 Motivación y definiciones preliminares La rapidez de crecimiento de una población es proporcional al tamaño de la población

y se escribe dP = kP (3.1) dt Esta es una ecuación diferencial porque contiene una función P y su derivada dP/dt .

DEFINICIÓN Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma d y = f ( x, y) d x

(3.2)

Una solución de la ecuación (3.2) es una función y = y ( x) que la satisface, es decir

d [ y( x)] = f ( x, y( x)) d x

Ejemplo 3.1. La función y = Ce−2 x + e x es solución de la ecuación y + 2 y = 3e x . Solución. Tenemos y =

d (Ce−2 x + e x ) = −2Ce−2 x + e x d x

(3.3)

Por otro lado, 2 y = 2Ce−2 x + 2e x

(3.4)

Ahora bien, de (3.3) y (3.4) obtenemos y + 2 y = 3e x . Luego y = Ce−2 x + e x es una

solución de la ecuación diferencial.



En general, una ecuación diferencial de primer or-

y 3

general de la ecuación. Por ejemplo, la solución

2

y = Ce−2 x + e x es llamada solución general de la

C

0

1

=

ecuación y + 2 y = 3e x . Al graficar la solución general de la ecuación y + 2 y = 3e x , obtenemos

-3 -2 -1

una familia de curvas, llamadas curvas integra-

C

muestra cinco curvas integrales de esta ecuación.

2

=

tante arbitraria. Tal solución es llamada solución

les de la ecuación diferencial. La figura derecha

C C

=

den admite una solución involucrando una cons-

=

-1

1

2

-1 -2 -3 C

=

-2

3

1

x

3.1 Ecuaciones de primer orden

157

Podemos obtener una solución particular de una ecuación diferencial eligiendo un valor particular de una constante arbitraria. Usualmente requerimos que nuestra ecuación diferencial satisfaga una condición inicial y( x0 ) = y 0 . Geométricamente, la solución del

problema de valor inicial

 

d y = f ( x, y) d x y( x0 ) = y 0

es la curva solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto ( x0 , y0 ).

Ejemplo 3.2. Resolver el problema con valor inicial

 Solución. En

y + 2 y = 3e x y(0) = 1

el ejemplo 3.1 vimos que y = Ce −2 x + e x es una solución (a un

parámetro) de la ecuación diferencial y + 2 y = 3e x . Para hallar el valor de C usaremos

la condición inicial y(0) = 1, o sea, y = 1 cuando x = 0. Así obtenemos 1 = Ce0 + e0

y

y

y

=

e x

C = 0 3

x

Luego, la solución requerida es y = e . La grá-

2

fica de esta función es tal como se muestra en la

1

figura de la derecha, que es la curva de la expo-

nencial que pasa por el punto (0,1).

-3 -2 -1

1

-1

2

3

x 

Aplicación a las finanzas Suponga que usted deposita en el banco C 0 soles a una tasa de interés anual r , (expresada en su forma decimal), compuesto continuamente, entonces el capital acumulado C (t ) en

el tiempo t resulta de resolver el modelo

 

dC = rC dt C (0) = C 0

Es fácil ver que la solución para este modelo es C (t ) = C 0 ert

(3.5)


158

Ejemplo 3.3. Si usted hace un depósito 1000 soles en su cuenta y gana una tasa de interés anual del 8%, compuesto continuamente. ¿Cuál es su capital luego de 5 años? Solución.

C 0 = 1000, r = 0.08 y t = 5. El capital cuando han pasado t años es C (t ) = 1000e0.08t

Por tanto, para t = 5, se tiene C (5) = 1000e0.08(5) ≈ 1491.82 soles.



Aplicación a biología Suponga que P0 es la población inicial en una colonia de bacterias que tiene una tasa porcentual decrecimiento k , (expresada en su forma decimal), entonces el tamaño de la

población P(t ) en el tiempo t resulta de resolver el modelo

 

dP = kP dt P(0) = P0

(3.6)

Es fácil ver que la solución para este modelo es P(t ) = P0 ekt

Ejemplo 3.4. En el comienzo de un experimento biológico, 1800 bacterias están presentes en una colonia. Dos horas después, el tamaño de la población es 2240. Suponga que el tamaño de la población crece exponencialmente. Determine la razón de crecimiento k y

la ley de crecimiento para esta población.

Solución. Desde que la población inicial es 1800, convierte en P(t ) = 1800ekt

la ecuación P(t ) = P0 ekt se

2 horas de haber comenzado el experimento, el tamaño de la población es 2240. Usando esta información llegamos a Por otro lado, sabemos que luego de

2240 = P(2) = 1800ek (2) = 1800e2k de donde e2k =

2240 56 = 1800 45

Tomando logaritmo llegamos a 2k = ln

 56 45

⇔

k =

ln (56/45) 2

≈ 0.11

Por tanto, la ley de crecimiento para la población es P(t ) = 1800e0.11t




159

Ejercicios Ejercicio 3.1. ¿Cuál de las ecuaciones no es de primer orden? 1 d y 1 = (A) y = y2 x (B) y = (C) (D) y = ln y (E) xy + y = 0 d x y x Ejercicio 3.2. Una solución de la ecuación diferencial d y/d x = 2 xy con y(0) = 1, es (A)

y2 x

(B)

2

e x

(C) 1 − x2 y

(D)

x2 y + 1

(E)

x2 y2

2

+1

Ejercicio 3.3. (Desintegración radiactiva). Suponga que 10 gramos del isótopo 239 PU se liberaron en el accidente nuclear de Chernobyl. ¿Cuánto tiempo llevará a los 10 gramos disminuir a 1 gramo? Ejercicio 3.4. (Desintegración radiactiva). El radio radiactivo tiene una semivida o vida media de aproximadamente 1599 años. ¿Qué porcentaje de una cantidad dada permanece después de 100 años? Ejercicio 3.5. (La prueba del carbono 14. La prueba del carbono 14 supone que el contenido de dióxido de carbono sobre la Tierra hoy tiene el mismo contenido radiactivo que el de hace siglos. Si esto es cierto, la cantidad de 14 C absorbido por un árbol que creció hace varios siglos debe tener la misma cantidad de 14 C absorbida por un árbol que crece hoy. Una pieza de carbón viejo contiene sólo 15% de la cantidad de carbono de una pieza de carbón actual. ¿Hace cuánto tiempo fue quemado el árbol para formar la pieza

antigua de l año? (La vida media del

14 C

es 5715 años.

Ejercicio 3.6. (Crecimiento poblacional). Suponga que una población experimental de moscas se incrementa conforme a la ley de crecimiento exponencial. Había 100 moscas antes del segundo día del experimento y 300 moscas después del cuarto día. ¿Cuántas moscas, aproximadamente, había en la población original? Ejercicio 3.7. (Crecimiento de bacterias).

Crecimiento de bacterias El número de bacte-

rias en un cultivo se incrementó de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Después

de 2 horas se tienen 125 bacterias en el cultivo y 350 bacterias después de 4 horas. (a) Encontrar la población inicial. (b) Escribir un modelo de crecimiento exponencial de la población bacteriana. Sea t el tiempo en horas. (c) Usar el modelo para determinar el número de bacterias después de 8 horas. (d) ¿Después de cuántas horas la cantidad de bacterias será de 25 000?

Ejercicio 3.8. (Ventas decrecientes).

Cuatro meses después de que se detuviera la publicidad, una compañía fabricante notifica que sus ventas han caído de 100 000 unidades por mes a 80

000 . Si las ventas siguen un patrón de decrecimiento exponencial, ¿qué unidades habrá después de los siguientes dos meses?

160


3.1.2 Ecuaciones separables Ahora que sabemos verificar cuándo una función es solución de una ecuación diferencial, nos preguntamos: ¿cómo hallar una solución para dicha ecuación? Desafortunadamente son pocos los casos en los que podemos hallar soluciones explícitas de una ecuación diferencial, sin embargo, estudiaremos a continuación una técnica para resolver cierto tipo

de ecuaciones diferenciales.

DEFINICIÓN Una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar en la forma g( x) d x + h( y) d y = 0

se llama ecuación separable. Su solución es



g( x) d x +



h( y) d y = C

Ejemplo 3.5. La ecuación diferencial de primer orden xy + y = y 2

es separable desde que puede ser escrita en la forma d y y2 − y = d x x con y( y

− 1) = 0

d y

⇔

y( y

− 1)

=

d x x

y x = 0. Las funciones constantes y = 0 e y = 1 son claramente



soluciones de la ecuación xy + y = y2 . Las otras soluciones resultan de integrar



d y

y( y

− 1)

=



d x x

Esto nos da ln | y − 1|− ln | y| = ln | x| + C 1 De donde se consigue

 −  y

xy

1

= eC 1

o bien

despejando y obtenemos y =

y

− 1 = C

xy

( C = eC 1 )

||

1 1 − Cx




161

Ejemplo 3.6. Resolver el problema de valor inicial d y = xy d x y(0) = 2

 

Solución. Separando variables d y d y = x d x ⇔ = y

 

x d x

y

⇔ ln | y| = 21 x2 + C 1 ⇔ | y| = e + = e 1 x2 2

C 1

1 x2 C 2 e 1

= Ce x

2 /2

(C = eC 1 )

Esta es la solución general. Para satisfacer la condición inicial y(0) = 2, lo que hacemos

es sustituir y = 2 y x = 0 para hallar C . 2 = Ce0

C = 2

⇔

Sustituyendo C = 2 en la solución general obtenemos la solución particular 2 y = 2e x /2

Ejemplo 3.7. Resuelva la ecuación

e x tan y d x + (1

Solución. reescrimimos en la forma e x

Integrando

es decir,

d x + x

1−e





− e ) sec2 y d y = 0 x

sec2 y d y = 0 tan y



sec2 y d x + d y = C 1 − e x tan y − ln(e x − 1) + ln(tan y) = C e x

tan y = C (e x − 1)



Ejemplo 3.8. Resuelva la ecuación d y = 1 + x2 + y2 + x2 y2 d x Solución. La ecuación puede reescribirse como sigue d y = ( 1 + x2 )(1 + y2 ) d x d y = ( 1 + x2 )d x 2 1 + y arctan y = x +

x 3

3

+ C



162


Ejemplo 3.9. Resuelva la ecuación d y = ( 4 x + y + 1)2 d x

Solución. Hacemos 4 x + y + 1 = t . Entonces 4+

d y d y dt = = d x d x d x

Es decir dt = 4 + t 2 d x

dt

4 + t 2

= d x

1 t arctan = x + C 2 2 4 x + y + 1 = 2( x + C ) arctan 2



Ejemplo 3.10. Resuelva la ecuación x4

d y + x3 y = − sec( xy) d x

Solución. Escribimos la ecuación en la forma x

3

  x

d y + y = − sec( xy) d x

Poniendo se tiene

v = xy

dv d y = x + y d x d x

Entonces dv = − sec v d x dv d x =− 3 sec v x d x cos v dv = − 3 x3





x

1 + C 2 x2 1 sen( xy) = 2 + C 2 x sen v =




163

Ejercicios Ejercicio 3.1. Si d y/d x = 2 xy e (A)

y2 x

(B)

2

y(0) = 1,

entonces y = . . .

(C) 1 − x2 y

e x

(D)

x2 y + 1

(E)

x2 y2

2

+1

Ejercicio 3.2. Responda a las siguientes cuestiones: (a) ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden separable? t + 4 (b) La ecuación t 2 y (t ) = 2 ¿es separable? y

(c) La ecuación y (t ) = 2 y − t ¿es separable?

(d) Explique cómo resolver una ecuación diferencial separable de la forma g( y) y (t ) = h(t )

Ejercicio 3.3. En cada caso, resuelva la ecuación en variables separables d y xy d y d y = = e x− y = 1 + x + y + xy (a) (b) (c) d x x + 1 d x d x x(2ln x + 1) d y d y 2 xy = = 2 (d) (e) (f) y = 2 x y − 1 2 d x sen y + y cos y d x ( x − 2)( y + 3) 2 2 2 2 d y sen x + e2 y sen x  2 = y y (g) ( x + 1) y tg y = x (h) (i) x3 e2 x +3 y d x = y3 e− x −2 y d y d x 3e + e cos2 x d y y+1 d y xy − 3 y + x − 3 = √ √ = (j) (k) (l) cos( x + y)d y = d x d x d x xy + 2 y − x − 2 x + xy 2 d y d y = e x− y + x2 e− y (m) 2 yy = e x− y (n) ( x + y)2 = a2 (p) d x d x d y = 1 + tan( y − x) (q) 2 x2 + 3 y2 − 7 x d x − 3 x2 + 2 y2 − 8 y d y = 0 (r) d x Ejercicio 3.4. En cada caso, resuelva el problema con valor inicial (a) e x yd y − (e− y + e2 x− y )d x = 0, x(0) = 1 (b) 2tx 2 + 2t + (t 4 + 1) x = 0, x(0) = 1 2r − 1 r − 2r 2 (c) dr + 2 dt = 0, r (2) = 4 t t − 1 dT = k (T − T 1 ), T (0) = T 0 , donde K , T 0 , T 1 constantes. (d) dt d y 1 − x/8 π y = e (e) sen , y(0) = 2 d x 2 4 d y d y (f) y − x = a y2 + , y(0) = 1 d x d x (g) (1 + x) y d x + (1 − y) x d y = 0, y(0) = 1 (h) ( x2 + 1)( y2 − 1) d x + xy d y = 0, y(1) = 2 (i) ln( y x ) y = 3 x2 y, y(2) = e3 ( x − 1)2 (j) y = y , y( 3) = − 1 y + 3





 

 



164


Ecuaciones homogéneas La ecuación diferencial de la forma d y f ( x, y) = d x g( x, y) donde f y g son funciones homogéneas de grado n, es llamada ecuación diferencial

homogénea. Tal ecuación diferencial se puede escribir en la forma n

   

x ψ

y

y

ψ

d y x x = = y y d x xn φ φ x

(3.7)

x

d y dv = v + x , y la ecuación (3.7) se convierte en d x d x

Haciendo y = vx, se consigue v + x

dv ψ (v) = d x φ (v)

que equivale a

d x x

+

φ (v)dv vφ (v)

− ψ (v) = 0

la cual es una ecuación homogénea cuya solución ya se conoce.

Ejemplo 3.11. Resuelva la ecuación ( x2 + y2 )

d y = xy d x

d y xy = 2 , y hacemos y = vx. Luego d x x + y2

Solución. Podemos escribir

dv xvx = 2 d x x + v2 x2 dv v = v + x d x 1 + v2 − dv v v3 − v = 1 + v2 = x d x 1 + v2 d x 1 + v2 + 3 dv = 0 v + x

x

v

   d x x

+

1

1

v

v

dv + 3

ln x + ln x +

( y/ x)−2

−2

dv = C

v −2

−2 + ln v = C

+ ln( y/ x) = C




165

Ejemplo 3.12. Resuelva la ecuación



x + y sen

  y x

d x = x sen

 y x

d y

Solución. La ecuación puede escribirse en la forma

   y

d y x + y sen x = y d x x sen x Luego

dv x + vx sen v = d x x sen v dv 1 + v sen v = v + x d x sen v d x sen v dv = v + x



x

sen v dv =



d x x

− cos v = ln x + C

− cos Ejemplo 3.13. Resuelva la ecuación

 y x

= ln x + C

x d y y d x =

−





x2 + y2 d x

Solución. Haciendo y = vx, se consigue:

 −  −   −   √        x d y y d x = x

x v + x

d y y = x2 + y2 d x

dv d x

x

ln v +

v+

1 x

y +

x2 + y2 d x

vx =

x2 + v2 x2

dv = d x

1 + v2

dv d x = 1 + v2 x 1 + v2 = ln x + ln C 1 1 + v2 = Cx

x2 + y2 = Cx




166

Ejercicios Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones homogéneasa d y y2 = (a) , Rpta: y = Ce y/ x d x xy − x2 (b) ( x2 + y2 )d x = ( x2 + xy)d y, Rpta: − y x + 2ln xy − 1 = ln | x| + C d y (c) 2 xy + ( y2 − x2 ) = 0, Rpta: x2 + y2 = Cy d x (d) ( x + y)2 d x = 2 x2 d y, Rpta: ln x = 2arctan y x + C (e) x d y − y d x = x2 + y2 d x, Rpta: y + x2 + y2 = Cx2 y y − x d x, Rpta: cos y = ln Cx (f) x sen d y = y sen

             −   −−        −     − x

   

x

(g) 1 + e x/ y d x + e x/ y 1

x y

x

d y = 0, Rpta: x + ye x/ y = ye− y + Cy

d y = y (ln y ln x + 1), Rpta: y = xeCx d x y y y y = Cx (i) x sen y cos d x + x cos d y = 0, Rpta: cos

(h) x

(j)

x2 sen

C

x y2 x2

2

x

2 y2 cos

y2 x2

x

d x + 2 xy cos

y2 x2

x

d y = 0, Rpta: x sen

 y2 x2

=

2

(k) x2 e− y / x y2 d x + xy d y = 0 (l) xyy − y2 = ( x + y)2 e− y/ x

(m) xy − y = (n) (p) (q)

y2

− x2

ax2 + 2bxy + cy2 x x x2 x x2 3 + xy ln d x + y2 x2 ln d y, y(1) = 0, Rpta: 2 ln ln y = 1 y y 2 y y 4 y2 4e2 y y y y d y y + y sen = 0, Rpta: xy cos = x cos y y sen x cos x x x x x d x x C y y y = ln x + C x sen d y = y sen x d x, Rpta: cos x x x

−       −   −     − 

−

−




167

3.1.3 Aplicaciones de ecuaciones separables

Crecimiento logístico La figura de la derecha muestra el desarrollo de un pez en un experimento controlado. Como vemos, al principio el pez tiene un crecimiento exponencial, pero luego de un determinado momento, la concavidad en la curva de crecimiento va cambiando y no puede ser modelada por una función exponencial. Para obtener un modelo más

50

) m c 40 ( d u t i 30 g n o 20 L 10

preciso, los científicos establecieron las siguien-

4 8 12 16 tes hipótesis: (a) La longitud límite del pez es P∞ . En modelos poblacionales, la constante P∞ es llamada tamaño de soporte . (b) P → 0 cuando PP → 1. En otras palabras, cuando la función P se aproxima a la capacidad de soporte P∞ , la razón de crecimiento tiende a cero. ∞

Una manera de expresar estás hipótesis en un modelo de crecimiento es suponiendo que la razón con la que se incrementa la población es proporcional al tamaño de la población y

a P∞ − P. La razón de cambio conseguida

 

dP P = kP 1 − , dt P∞

P(0) = P0

(3.8)

es llamada ecuación de crecimiento logístico . En esta ecuación, k , P0 y P∞ son cons-

tantes positivas. Como la ecuación es separable, hacemos dP P

−  P

1

= k dt

= 0 y P  = P∞ desde que P 

P∞

Integrando cada lado de esta ecuación obtenemos

    −   | |− | − | dP

P

Esto nos da

ln P o también

1

k dt

=

P



o

P(P∞

P∞

ln P∞ P = ln



P∞

−P

P



1 P

+

= ln P∞

1 P∞

P∞

−P



− P) dP = k

 

dt

dP = k dt = kt + C 2

| − P|− ln |P| = −kt − C 2

(3.9)

168


y tomando exponencial



P∞

−P

P

Esto implica que



= e−kt −C 2 = e−kt e−C 2 = C 1 e−kt P∞

(C 1 = e−C 2 )

− P = Ce−

kt

(3.10)

P

donde |C | = C 1 . Despejando P de la ecuación (3.10) conseguimos P =

P∞

1 + Ce−kt

Para calcular C , usamos P(0) = P0 , de donde C = ( P∞

al problema con valor inicial es 1+ Note que

→+

t

∞

∞

(3.11)

 − P∞

1 e−kt

P0

P∞

l´ım P(t ) = l´ım

→+

Así que la solución

P∞

P(t ) =

t

− P0 )/P0.

1+

 − P∞ P0

= P∞

(3.12)

1 e−kt

como esperabamos. La gráfica de P(t ) es llamada curva logística .

Ejemplo 3.14. Los biólogos colocaron 400 peces en un lago y estimaron una capacidad de soporte de 10 000 peces. El número se triplicó el primer año (a) Sabiendo que la población de peces satisface la ecuación logística, halle una expresión para el tamaño de la población después de t años. (b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la población aumente a 5000? Solución. (a) Tenemos que P(0) = 400 y L = 10 000. Usando la solución (3.11) de la ecuación logística conseguimos 10 000 10 000 = P(t ) = 10 000 1 + 24e−kt kt − −1 e 1+ 400 Además 10 000 100 ⇔ ⇔ k ≈ 1.1856 = + P(1) = 1200 ⇔ 1200 1 24 e−k = 12 1 + 24e−k Luego 10 000 P(t ) = 1 + 24e−1.1856t (b) Para que la población aumente a 5000 hacemos 10 000 ⇔ 5000 = 1 + 24e−1.1856t = 2 ⇔ t ≈ 2.68 años − 1.1856 t 1 + 24e








169

Ejemplo 3.15. El cardumen de atún del pacífico fue modelado por la ecuación diferencial

 

dP P = kP 1 − dt P∞

donde P(t ) es la biomasa (masa total de los miembros de la población) en kilogramos en el instante t (medido en años), la capacidad de soporte es estimada como P∞ = 8

y k = 0.71 por año. (a) Si P0 = 2 × 107 kg, calcule la biomasa un año después. (b) ¿Cuánto tiempo llevará para que la biomasa alcance los 4 × 107 kg?

× 107 kg

Solución. La solución al modelo es P∞

P(t ) =

1+

 − P∞ P0

1 e−kt

(a) Al reemplazar los datos tenemos 8 × 107 P(t ) = 8 × 107 − 1+ 1 e−0.71t 7 2 × 10 8 × 107 = 1 + 3e−0.71t





y la biomasa un año después será 8 × 107 P( 1 ) = 1 + 3e−0.71(1) ≈ 3.23 × 107 kg (b) Debemos tener

8 × 107 4 × 10 = 1 + 3e−0.71t 7

que implica 1 + 3e−0.71t = 2 Es decir, t ≈ 1.55 años.

⇔



−0.71t = ln e−0.71t = ln 1 3



170


Ejercicios Ejercicio 3.1. Supongamos que una población satisface a un modelo logístico con P∞ = 500, que la población inicial es 100 y que a los 10 años llegó a 200. Determine la razón de crecimiento intrínseco k . Ejercicio 3.2. Compruebe que, para una población que satisface almodelo logístico, lamáxima razón de crecimiento de la población es kP∞ /4, y se alcanza cuando el tamaño de la población es P∞ /2. Ejercicio 3.3. (Especies en peligro). Una organización de conservación libera 25 panteras de Florida en una zona de refugio. Después de 2 años, hay 39 panteras en la zona. El refugio tiene una capacidad límite o de soporte de 200 panteras (a) Escriba una ecuación logística que modele la población de las panteras en el refugio. (b) Calcule la población después de 5 años. (c) ¿Cuándo la población será de 100 panteras? (d) Escribir una ecuación diferencial logística que modele la tasa de crecimiento de la población de las panteras. Entonces repetir el apartado (b) mediante el método de Euler con un tamaño de paso de h = 1 . Comparar la aproximación con las

respuestas exactas. (e) ¿En qué tiempo la población de las panteras crecerá más rápidamente? Explique.

Ejercicio 3.4. Las reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamaño, parecida al lenguado) en el Pacífico se modelan con la ED logística con capacidad sustentable de

80.5 × 106 , medida en kg (biomasa), y razón de crecimiento de 0.71 por año. Si la

biomasa inicial es la cuarta parte de la capacidad sustentable, calcule la biomasa después de un año y el tiempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que

llegue a la mitad de la capacidad sustentable.

Ejercicio 3.5. La población mundial en 1939 era aproximadamente 2.3 × 109 habitantes y, en 2009, se estimó en 6.7 × 109 habitantes. Algunos especialistas consideran que la capacidad sustentable del planeta es de 11 × 109 habitantes, en condiciones de bienestar (es decir, sin desnutrición ni padecimientos por falta de recursos). Considere t = 0 en 1939, P(0) = 2.3 × 109 y una capacidad sustentable de 11 × 109 . Suponiendo un crecimiento logístico de la población, encuentre una fórmula para

≥ 0,

P(t ) con t

habitantes.

Ejercicio 3.6.

determine P en el año 2020 y el tiempo t 1 en el que habrá

10 × 109

Un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario

aislado que tiene 1000 estudiantes. Al cabo de

4 días hay 50 estudiantes contagiados.

Si se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al número de estudiantes contagiados y al número de alumnos no contagiados, determinemos el número

de estudiantes contagiados que habrá después de 6 días.


171

Ley de enfriamiento y de calentamiento de Newton La ley de enfriamiento y de calentamiento de Newton dice que la razón con que varía la temperatura T (t ) de un cuerpo que se enfría, es proporcional a la diferencia entre la temperatura actual T (t ) del cuerpo y la temperatura constante T a del medio ambiente; o sea, la temperatura del cuerpo T (t ) es la solución del problema con valor inicial

 

dT = k (T − T a ) dt T (0) = T 0

donde k < 0 es la constante de transferencia de calor y T 0 es la temperatura inicial. Resolviendo la ecuación: dT = k dt

 −  T

T a

dT

− T = k dt ln |T − T | = kt + C 2 |T − T | = C 1e T − T = Ce T

a

a

kt

a

kt

a

Desde que T (0) = T 0 , T 0

Por tanto, la solución resulta

− T = C a

T (t ) = T a + (T 0

kt

− T )e a

Ejemplo 3.16. Una persona se sirve una taza de té que está a 85 ◦ C, y un minuto después pasa a 80 ◦ C en una cocina cuya temperatura ambiente es de 25 ◦ C. Determine la temperatura del té en función del tiempo y el tiempo que llevará para que el té alcance los

60 ◦ C

Solución. Usando la fórmula se tiene: T (t ) = 25 + (85

kt

− 25)e

= 25 + 60ekt

Por otra parte, 80 = T (1) = 25 + 60ek (1)

que implica

k =

−0.087

O sea, T (t ) = 25 + 60e−0.087t . Finalmente, para calcular el tiempo cuando el té alcanza

los 60 ◦ C debemos resolver lo que resulta t ≈ 6.2

60 = 25 + 60e−0.087t 


172

Ejemplo 3.17. Un objeto que tiene una temperatura de 20 ◦ C se coloca a las 10 : 00 horas en un horno que se mantiene a 200 ◦ C. A las 11 : 15 horas su temperatura era 80 ◦ C. ¿A qué hora estará el objeto a 120 ◦ C? Solución. Usando la fórmula T (t ) = T a + (T 0

kt

− T )e a

se tiene T (t ) = 200 + (20

− 200)e

kt

kt

= 200

− 180e

180ek (75) = 120

⇔

Luego de 75 minutos se tiene 80 = 200 − 180ek (75)

⇔

k

≈ −0.0054

y el modelo resulta T (t ) = 200

− 180e−0.0054

t

Para calcular el tiempo cuando el objeto alcance los 120 ◦ C, debemos resolver 120 = 200 − 180e−0.0054t

lo que implica

≈ 150.172

t

Es decir, deben pasar aproximadamente 150 minutos.



Ejemplo 3.18. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es 18 ◦ C. Después de 1 min. el termómetro marca 26 ◦ C y después de 5 min. marca 21 ◦ C. ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación? Solución. Debemos determinar

T 0 .

Se tiene

26 = T (1) = 18 + (T 0 − 18)ek (1)

y

21 = T (5) = 18 + (T 0 − 18)ek (5)

De estas dos últimas ecuaciones resulta que e4k =

3 8

lo que implica

k

≈ −0.24

y el valor de T 0 resulta de una de las ecuaciones anteriores, digamos 26 = 18 + (T 0 − 18)e−0.24 y conseguimos T 0 ≈ 28.17 ◦C.




173

Ejercicios Ejercicio 3.1. (Ley de enfriamiento de Newton).

Sea y la temperatura (en

objeto en una habitación cuya temperatura se conserva constante a

◦ F )

de un

60◦ . Si la temperatura

100◦ a 90◦ en 10 minutos, ¿cuánto tiempo se requerirá para bajar la temperatura a 80◦ ? del objeto baja de

Ejercicio 3.2. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 34◦ C al exterior, donde la temperatura del aire es de 16◦ C. Después de medio minuto el termómetro indica 28◦ C . ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 21 ◦ C? Ejercicio 3.3. (Ley de enfriamiento de Newton). Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70◦ F . Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85◦ F . Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80◦ F . Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6◦ F . Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t 1 > 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.] Ejercicio 3.4. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 ◦ C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200 ◦ C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 ◦ C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 ◦C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? Ejercicio 3.5. Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6:00 h del día siguiente. Un médico forense llegó a las 7:00 y tomó la temperatura del cadáver, a esa hora anotó

23 ◦C; una hora más

tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aún a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamente de 5 ◦C , el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver

y observó que era de 18.5 ◦C. ¿A qué hora murió el ganadero aproximadamente?

Ejercicio 3.6. Dos grandes tanquese

A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos

0◦ C y a 100◦ C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100◦ C, se sumerge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90◦ C . Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10◦ C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9 ◦ C? diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a


174

3.1.4 Aplicaciones a la termodinámica

Expansión isotérmica de un gas ideal Considere un gas ideal a temperatura constante, siguiendo la ley de Mariotte pv = K

donde p es la presión y v el volúmen. Si un pistón de área S se desplaza en un cilindro, el trabajo realizado por el gas en un

desplazamiento ∆ x es ∆W = F ∆ x = pS ∆ x = p ∆v

es decir dW = p dv Como d p/ p + dv/v = 0, vemos que d p dW = −vd p = −K p

El trabajo realizado en la expansión desde la presión p1 hasta la presión p2 es

 −

p2

W =

K

p1

d p p

= K ln

−

  p2 p1

= K ln

p1 p2

Ejemplo 3.19. Un reservorio con una capacidad de 0.2 m3 contiene aire a una presión de 107 pascales. Este aire se expande a remperatura constante, hasta la presión de 105 pascales, en una máquina de fricción. Calcule el trabajo realizado en esta expansión, y la duración del mismo sabiendo que él sirve de alimentador a un motor que consume 1500

wats.

Solución. Sabemos que

p1 / p2 = 100.

K = p 1 v1 = 107

Como

× 0.2 = 2 × 106

se sigue que W = 2

× 106 ln100 = 2 × 106 × 2 × 2.3 = 9.2 × 106 J

Desde que el motor consume 1500 wats, o sea 1500 J/s, la expansión precedente

alimentará durante

9.2 × 106 1500 O sea cerca de 1 hora con 42 minutos.

≈ 6130 s 


175

Ecuaciones de las curvas adiabáticas de un gas perfecto. Se dice que una transformación termodinámica es adiabática cuando no hay intercam-

bio de calor con otros sistemas, es decir, una transformación cuando d Q = 0. Consideremos un mol de gas perfecto, siguiendo la ley de Mariotte-Gay-Lussac pv = RT

(3.13)

donde p es la presión, v el volumen, T la temperatura absoluta y R una constante. Lo dejamos en un recipiente perfectamente aislado. A continuación realizamos una variación ∆v del

∆T 1

volumen a presión constante. Si

es la variación de la temperatura correspon-

diente y C el calor específico a presión constante, el gas libera una cantidad de calor (una

masa igual a una unidad) ∆Q1 = C ∆T 1

A continuación efectuamos una variación

∆ p

de presión a volumen constante y sea

∆T 2

la variación correspondiente de temperatura. Llammando c al calor específico a volumen

constante, la cantidad de calor es claramente ∆Q2 = c ∆T 2

de donde dQ = dQ1 + dQ2 = C dT 1 + cdT 2 = 0 De acuerdo a la relación 3.13 mediante derivación resulta pdv = RdT 1

que implica vd p = RdT 2

Por lo tanto,

pdv

dQ = C Dividiendo por cpv/ R:

R

+c

vd p R

C dv c v

= +

1 R

(C pdv + cvd p) = 0

d p

= 0

p

Supongamos que la razón γ = C /c sea independiente de la temperatura y separamos las

variables:

d p p

dv

= γ

−

de donde p =

v

K vγ

o escrito en su forma clasica: pvγ = K

que es la ecuación de las curvas adiabáticas.

(3.14)


176

Ejemplo 3.20. Sean tonces

p1 y v1 los valores correspondientes a una temperaturav T 1 . Enγ

pvγ = p 1 v1

Por otra parte pv p1 v1

de donde se deduce T T 1

=

Por tanto

=

RT RT 1

=

T T 1

  γ 1

−

v1 v

1 − γ ≈ −

2 5

=

p

1−1/γ

p1

1 2 1− = γ 7

o

Considere un gas más ligero que un gas comprimido bruscamente, por ejemplo a

0◦ C, y supongamos que el gas se reduce a 1/10 de su volumen mediante compresión adiabática. Desde que T 1 = 273◦ K, T

273 Así que

=

v1 2/5

 v

T = 273

= 100.4

× 100.4

Calculando T mediante el logaritmo en la base 10: log10 T = log10 273 + 0.4 = 2.83616

es decir

≈ 686◦ K

T

413◦ C, que es la temperatura suficiente para inflamar un pedazo de yesca que envuelve un pistón. que corresponde a

A continuación calculemos el enfriamiento producido por la expansión adiabática. Sea

0◦ C, bajo una presión p1 y mantenemos la presión hasta 1/100 de este valor, o sea p = p 1 /100. Entonces una masa de aire a

T

273 o también

=

2/7

   p

p1

1 = 100

2/7

2 4 log10 T = log10 273 + log10 0.01 = 2.43616 − = 1.86473 7 7 Finalmente

≈ 736◦ K

T

que es

−200◦ C. De esta manera vemos porque se puede producir hielo seco que se reposa

en el dióxido de carbono altamente comprimido. (Los valores precedentes son aproximados

ya que las dos transformaciones anteriores no son estrictamente adiabáticas.)




177

Ejemplo 3.21. (Trabajo en una expansión adiabática). Tomando fórmula d p dv + γ = 0 p

diferencial en la

v

El diferencial dW = p dv se expresa en función de p mediante la relación 1 1 d p dW = − vd p = − K 1/γ 1/γ γ

De donde

 − p2

W =

p1

que implica

1

1/γ

K

γ

γ

d p

p1/γ

=

K 1/γ

γ 1

p



1−1/γ p1

− p1 v1 − p2 v2 W = γ − 1

−



1−1/γ p2



Variación de la presión atmosférica con la altitud. Sea p la presión del aire a una altura h (medida por encima del nivel del mar). La

ecuación fundamental de la hidrostática permite escribir d p + pgdh = 0 (ρ es la densidad del aire a la presión p y a la temperatura absoluta T , y g es la aceleración de la gravedad, supuesta constante). Consideremos el aire como un gas

perfecto. Entonces pv = nRT

(3.15)

(donde n es el número de moles del aire ocupando el volumen v, y R una constante).

De donde ρ =

m v

=

Mp RT

donde M es la masa molar del aire.

C AS O 1: Suponga que la temperatura sea constante. Entonces podemos escribir d p M pg =− = −kp dh RT Separando variables d p = −k dh p

Integrando:

ln p

= kh C La constante de integración C se interpreta evidentemente como la presión p0 a nivel

−

del mar. Por tanto p = p 0 e−kh

178


C AS O 2: Suponga que el aire sigue la ley pvγ = K (ecuación de las curvas adiabáticas). La temperatura ua no es constante. De la relación (3.15) RT =

pv n

y usando la ecuación de curvas adiabáticas, se tiene RT =

que implica

p n

1/γ

 K

p

d p pg =− = k  p1/γ dh RT

Separando variables: p−1/γ d p = k  dh

Integrando: p−1/γ +1

− p−0 1 γ +1 = −k h /

−1/γ + 1

donde p0 es la presión a nivel del mar. Todavía podemos expresar h en función de la razón p/ p0 : k  h =

γ γ 1

−



1−1/γ p0



1−1/γ

− p

=

γ γ

−

1−1/γ p0 1

   − 1

p

1−1/γ

p0

Por tanto, obtenemos una expresión más simple en función de las temperaturas: T T 0

=

Entonces k  h =

pv p0 v0

γ γ 1

−

=

p

p0

1−1/γ

p0

1−1/γ

 −  1

T

T 0


179

3.1.5 Ecuaciones lineales de primer orden Las ecuaciones lineales de primer orden aparecen en muchas aplicaciones de ingeniería

y se definen como sigue:

DEFINICIÓN Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que se expresa en la forma d y + P( x) y = Q( x) (3.16) d x Ejemplo 3.22. Las siguientes ecuaciones lineales de primer orden (a) y − x2 y = x3

(b) xy − y = 1

(c) y + xy = cos x

1 (d) y + y = x 3 x

Criterios para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden 1. Reescribir la ecuación en la forma estándar y + P( x) y = Q ( x). 2. Hallar el factor de integración µ ( x) = e P ( x) d x . 3. Multiplicar ambos lados de la ecuación y + P( x) y = Q ( x) por µ ( x). ecuación obtenida (que es fácil de resolver) se escribe en la forma





La

d µ ( x) y = µ ( x)Q( x) d x

 

Ejemplo 3.23. Resuelva la ecuación d y 2 + y = x, d x x

x>0

Solución. El factor de integración es 2 d x

 µ ( x) = e

x

2

= e2ln x = eln x = x2

Esto nos permite plantear la ecuación d 2 ( x y) = x2 x = x3 d x que equivale a d( x2 y) = x3 d x e integrando conseguimos 2

x y =



2

d( x y) =



3

x d x =

x4

4

+ C



180


Ejercicios Ejercicio 3.1. Diga usted, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones es lineal? d y + xy2 = cos x (a) d x (b) x2 y + e x y = 4 1 d y − ln x = 0 (c) y cos y + x d x d y (d) y2 + 3 x = tg y d x Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación d y + 2 y = e2 x (a) d x d y 2 y − = x2 cos3 x (b) d x x d y (c) x + 3 y = 2 d x (d) y sen x + y cos x = 1 d y + yctg x = cos x (e) d x (f) (cos y − xe y )d y = e y d x (sug: considere x = f ( y)) d y 1 = y (g) d x e − x (h) yd x − (e y + 2 xy − 2 x)d y = 0 d y 1 = = 0 (i) , cos y  d x x cos y + sen2 y d y y = e x + C (j) ( x + 1) − y = e x ( x + 1)2 , Rpta: d x x + 1 d y y = ln x + C (k) ( x3 − x) − (3 x2 − 1) y = x5 − 2 x3 + x, Rpta: 3 d x x − x d y (l) sen x + 2 y = tan3 ( x/2), Rpta: y tan2 ( x/2) = ( 1/5) tan5 ( x/2) + C d x (m) (1 + y2 )d x = ( arctan y − x)d y, Rpta: x = − arctan y − 1 + Cearctan y d y 1 π (n) cot3 x − 3 y = cos 3 x + sen3 x, 0 < x < , Rpta: y cos3 x = (6 x − sen6 x − d x 2 12 cos6 x) Ejercicio 3.3. En cada caso, resuelva el problema con valor inicial (a) y + 3 y = e2 x , y(0) = −1 (b) xy + y = e x , y(1) = 3 1 (c) y + y = x −2 , y(1) = 2 x + 1 (d) y + y = sen x, y(0) = 1 (e) (sen x) y = (cos x) y + 1, y(π /4) = 0 (f) y + (sec t ) y = sec t , y(π /4) = 1 x 1 (g) y + y = , y(1) = 0 1 + x2 (1 + x2 )3/2


181

3.1.6 Ecuaciones de Bernoulli Las ecuaciones de Bernoulli son ecuaciones que generalizan las ecuaciones lineales de

primer orden. Veamos a continuación la técnica para resolver este tipo de ecuaciones.

DEFINICIÓN Una ecuación de Bernoulli tiene la forma d y + P( x) y = Q ( x) ya d x

(3.17)

donde a es cualquier número real. Para a = 0 o a = 1 esta ecuación es lineal. Para a = 0 y a = 1 hacemos el cambio





de variables v = y1−a . Multiplicando la ecuación (3.17) por y−a obtenemos y−a

d y + P( x) y1−a = Q ( x) d x

Derivando v = y1−a con respecto a x, obtenemos por la regla de la cadena dv d y = ( 1 − a) y−a d x d x que implica y−a

y sustituyendo en (3.18) llegamos a

d y 1 dv = d x 1 − a d x

1 dv + P( x)v = Q( x) 1 − a d x que es una ecuación lineal de primer orden que ya sabemos resolver. 1 Ejemplo 3.24. Resuelva la ecuación y + y = xy2 x

Solución. Haciendo el cambio de variables v = y−1 se sigue que dv d y = − y−2 d x d x y multiplicando la ecuación inicial por y−2 obtenemos y−2

d y 1 −1 + y = x d x x

(3.18)

182


que implica

− dd xv + 1 x v = x .

Multiplicando esta ecuación por

−1 resulta

dv 1 − v = − x d x x que es una ecuación lineal de primer orden y tiene solución v = x2 + Cx. Así, la solución

−

de la ecuación dada es y =

1



− x2 + Cx

Ejemplo 3.25. Resuelva la ecuación 2 xyy = y2 − 2 x3 ,

x>0

e y(1) = 2.

Solución. La ecuación puede escribirse en la forma 1 x2  y − y = −

2 x y y multiplicando en ambos lados de la igualdad por y, obtenemos 1 yy − y2 = − x2 (3.19) 2 x dv d y = 2 y , y la ecuación (3.19) se convierte en Haciendo v = y2 se sigue que d x d x 1 dv 1 dv 1 − − v = − x2 que implica v = −2 x2 2 d x 2 x d x x y la ecuación inicial resulta lineal de primer orden, al expresarse en la forma dv 1 + P( x)v = Q( x) donde P( x) = − y Q( x) = −2 x2 d x x − 1 d x − ln | x| 1 P ( x) d x



El factor de integración es e

plantear la ecuación

= e



x

= e



=

x

. Este factor nos permite



d 1 1 1 v = (−2 x2 ) = −2 x que equivale a d v = −2 x d x d x x x x Al integrar conseguimos 1 2 x

Desde que v = y2 , se tiene 1 2 2 x

y = x + C

−

v = x + C

−

que equivale a

y2 = x3 + Cx

−

Ahora bien, de acuerdo a la hipótesis se tiene 4 = 22 = y (1)2 = −(1)3 + (C )(1) = −1 + C entonces C = 5 y la solución particular resulta y2 = x (5 − x2 ).




183

Ejemplo 3.26. Suponga que una empresa tiene 100 trabajadores. Sea P(t ) la fracción de trabajadores en la empresa que tienen gripe, en el tiempo t (medido en días). A

9 : 00 a.m. del día lunes (t = 0) solo 1 trabajador estaba con gripe; también a las 9 : 00 a.m. del día martes (t = 1) habían 3 trabajadores con gripe (incluyendo las

el trabajador del día lunes). Suponga que la razón de cambio de P es directamente proporcional a P (pues P representa la fracción de la población capaz de contagiar la gripe) y 1 P (pues 1 P representa la fracción de la población que aún no está infectada). ¿Después de cuanto tiempo la mitad de los trabajadores en la empresa se

−

−

contagió con la gripe?

Solución. Debido a que la razón de cambio de tenemos dP = kP (1 − P) dt

P es proporcional a P y

1 − P,

1 trabajador de los 100 estaba infectado en el tiempo t = 0 , entonces P(0) = 1 /100. Así que la ecuación logística se expresa mediante para alguna constante de proporcionalidad k . Desde que solo

dP − kP = −kP2 dt

y

P( 0) =

1 100

(3.20)

Multiplicando en ambos lados por P−2 obtenemos: P−2

dP − kP−1 = −k dt

(3.21)

Hacemos v = P−1 . Luego dv dP = −P−2 dt dt

P−2

⇔

dP dv =− dt dt

que al reemplazar en la ecuación (3.21) resulta

− ddvt − kv = −k El factor de integración es

dv + kv = k dt

⇔



µ = e k dt = e kt

y la solución resulta de

 

d ekt v = ekt k d x

que implica

    d ekt v =

O sea, ekt v = ekt + C que implica P−1 = 1 + Ce−kt . Por tanto P(t ) =

1 1 + Ce−kt

ekt k dt

184


Desde que P(0) = 1/100 = 1/(1 + C ), se tiene C = 99. Luego P(t ) =

1 1 + 99e−kt

También, de P(1) = 3/100 = 1/(1 + 99e−k ), se tiene k = 1.119. Luego P(t ) =

1 1 + 99e−1.119t

lo que nos da t ≈ 4.1. Esto significa que tuvieron que pasar aproximadamente 4.1 días, o sea, aproximadamente a las 11:00 a. m. del día viernes la mitad de los trabajadores se contagió con gripe. 


185

Ejercicios Ejercicio 3.1. En cada caso, resuelva la ecuación de Bernoulli (a) y(6 x2 y2 − x + 1) + 2 xy = 0

√

(d) x3 y = 2 y( 3 y + 3 x2 ) 2

(g) x y + 2 xy − y3 = 0

(b) y = y + e−3 x y4 4 x (e) y = 5 y −

(f) y = y − y3

(h) y = y − y2

(i) y − 2 xy = xy2

y

(c) 2 x3 y = y ( y2 + 3 x2 )

Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación de Bernoulli 1 3 C (a) 3 xy − 3 xy4 ln x − y = 0 Rpta. 3 = − x(2ln x − 1) + , y = 0 4 x y 3 2 d y 4 x y 1 = 4 (b) Rpta. x4 = − + Cy, y = 0 d x x y + 2 y 1 1 (c) y(6 y2 − x − 1)d x + 2 xd y = 0 Rpta. 2 = (6 + Ce− x ), y = 0 y

x



2



1 1 x = + x + C , y = 0 (d) (1 + x)( y + y2 ) − y = 0 Rpta. y 1 + x 2 (e) xyy + y2 − sen x = 0 Rpta. x2 y2 = −2 x cos x + 2sen x + C (f) (2 x3 − y4 )d x + xy3 d y = 0 Rpta. y4 = 8 x3 + Cx4 1 = ( x + C ) cos x, y = 0 (g) y − y tg x + y2 cos x = 0 Rpta. (h)

6 y2 d x

x(2 x3 + y)d y = 0

−

y

Rpta. ( y − 2 x3 )2 = Cyx6 ,

y = 0

d y (i) x + y ln y = xye x Rpta. x ln y = xe x − e x + C d x d y tan y sen y − = ( 1 + x)e x sec y Rpta. = e x + C (j) d x 1 + x 1 + x d y 2 (k) tan y + tan x = cos y cos x Rpta. sec y = ( sen x + C ) cos x d x (ln y)2 + C (l) y ln yd x + ( x − ln y)d y = 0, Rpta. x ln y = 2 (m) (1 + y2 )d x = ( arctan y − x)d y, Rpta. x = ( arctan y − 1) + Ce− arctan y dr 1 (n) r sen θ − cos θ = r 2 , Rpta. r = dθ sen θ + C cos θ d y 1 2 tan3 x 2 2 = 2 y tan x + y tan x, +1 (p) y(0) = 1, Rpta. sec x = − d x y 3 d y y y 1 1 + ln y = 2 (ln y)2 , Rpta. = 2 + C (q) d x x x ln y 2 x x y y − 2 (r) e sec y d y = d x + x d y, Rpta. xe = tan y + C d y y3 = 2 x (s) , Rpta. e−2 x y2 + 2ln y + C = 0 2 d x e + y 2 1 d y 1 + (t) 2 x arctan y = x 3 , Rpta. arctan y = ( x2 − 1) + Ce− x 2 1 + y2 d x

186


3.1.7 Aplicaciones de ecuaciones lineales de primer orden

Matemática en las finanzas Supongamos que usted deposita k soles por año y le pagan una tasa de interés anual r , compuesto continuamente. Sea C (t ) el valor del capital en el tiempo t , donde t se mide en años. Si C 0 es el valor del capital en t = 0, entonces el modelo (3.6) se conviete en

 

dC = rC + k dt C (0) = C 0

donde la constante k es positiva para depósitos y negativa para saques. Su solución es k C (t ) = C 0 ert + ( ert r

− 1)

Si asumimos que el capital inicial es S 0 = 0, la solución se reduce a k C (t ) = ( ert r

− 1)

Ejemplo 3.27. Suponga que S 0 = 0 y que r = 7.5% = 0.075. ¿Qué cantidad se debe invertir cada año durante 40 años para que el valor de la inversión sea 1 000 000? Solución. Se debe resolver la ecuación C (40) =

Despejando k se tiene: k = 1 000 000

k r



e0.075(40)



−1

= 1 000 000

0.075

0.075 ≈ ≈ 3.93 1 000 000 19.0855 e0.075(40) − 1

Mezclas Un producto químico se vierte en un recipiente que contiene una solución líquida con una determinada cantidad de ese producto químico disuelto. La mezcla se mantiene homogénea por agitación y, a su vez, sale del recipiente a una velocidad conocida. En este proceso es importante conocer la cantidad de producto químico que

contiene el recipiente en un momento dado.




187

La rapidez con que cambia la cantidad de producto es la diferencia entre la rapidez a la que llega el producto y la rapidez a la que sale . Denotemos por y(t ) la cantidad de producto químico que contiene el recipiente en el instante t . Entonces y (t ) = ( rapidez de llegada )

− (rapidez de salida )

Si V (t ) es el volumen total de líquido del recipiente en el instante t , entonces la rapidez de salida del producto químico, en el instante t , es el producto de la concentración, en el

instante t , por la rapidez con que sale la mezcla, es decir, (rapidez de salida ) = (concentración)(rapidez con que sale la mezcla ) y(t ) = (rapidez con que sale la mezcla ) V (t ) Igualmente, la rapidez con que llega el producto químico, en el instante t , es el producto

de la concentración, en el instante t , por la rapidez de llegada de la mezcla ingresada, es

decir, (rapidez de llegada ) = ( concentración)(rapidez de llegada de la mezcla ingresada ) y(t ) = (rapidez de llegada de la mezcla ingresada ) V (t )

De acuerdo a lo anterior, y (t ) = ( rapidez de llegada )

− V y((t t )) (rapidez con que sale la mezcla )

Si medimos y(t ) en kilogramos, V (t ) en litros, y t en minutos, las unidades en la

ecuación anterior son





kilogramos kilogramos = minuto litros

Ejemplo 3.28.

  −  litros minuto

kilogramos litros

  litros minuto

En una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 10000

100 kilogramos de aditivo disuelto en ella. En preparación para el invierno, se bombea al tanque gasolina que contiene 0.05 kilogramos de aditivo por litro a una velocidad de 40 litros por minuto. La solución bien mezclada se bombea a una velocidad de 45 litros por minuto. ¿Qué cantidad de aditivo habrá en el tanque si han transcurrido 20 minutos desde que ha comenzado el proceso de bombeo? litros de gasolina que contiene

Solución. Sabemos que el volumen en litros (de gasolina y aditivo) del tanque, en cualquier instante t , es V (t ) = 10 000 + (40t

− 45t ) = 10 000 − 5t

188


Entonces (velocidad de salida ) =

y(t ) V (t )

(tasa de salida ) =

Por otra parte,

y(t )

10 000 − 5t

(45) =

9 y(t ) 2000 − t

(velocidad de llegada ) = ( concentración)(tasa de llegada ) = ( 0.05 )(40) = 2

La ecuación diferencial que modela el proceso de mezcla es y (t ) = 2

9 y(t ) − 2000 − t

Por otra parte, observemos que y(0) = 100. Por tanto, nuestro problema con valor inicial

es





d y 9 + y = 2, dt 2000 − t El factor de integración es 9dt 2000−t

 µ (t ) = e

=

1 (t − 2000 )9

=

2dt (t − 2000 )9

y la ecuación a resolver será d



y

(t 2000 )9

que al integrar resulta y

(t 2000 )9

−

Por lo tanto,

=

  d

−

y

(t 2000 )9

−

y(t ) =

y(0) = 100



  =

2dt 1 − = + C (t − 2000 )9 4(t − 2000 )8

) + C (t − 2000 )9 − (t − 2000 4

Desde que y = 100 cuando t = 0, se tiene: 100 = −

(0

− 2000) + C (0 − 2000)9 4

Despejando C : C =

De donde resulta

1 27 × 1025

(t − 2000 ) (t − 2000 ) + 7 y(t ) = − 4 2 × 1025

9

Finalmente, cuando t = 20, se tiene

9

(20 − 2000 ) ( 20 − 2000 ) ≈ 129.59 + 7 y(20) = − 4 2 × 1025




189

Ejemplo 3.29. Un depósito cuyo volumen es de 10 000 galones contiene agua con cloro al 0.01%. A partir del instante t = 0, se bombea agua del servicio público con cloro al 0.001% hacia el depósito, a razón de 5 galones/ minuto . El agua sale del depósito con la misma razón. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en el depósito después de 1 hora? ¿En qué momento el agua de la alberca tendrá 0.02% de cloro? Solución. Entonces

Sea y(t ) denotando el volumen del cloro en el depósito en el tiempo t .



 

0.001% (velocidad de llegada ) = 100%

5

gal = 5 × 10−5 (gal/min) min

Por otra parte (velocidad de salida ) =

   y(t )

5

10 000

gal = 5 × 10−4 y(t )(gal/min) min

y la ecuación para y(t ) se convierte en d y + 5 × 10−4 y = 5 × 10−5 dt Esta es una ecuación lineal que al resolver conseguimos −4t

y(t ) = 0.1 + Ce5×10

= 0.1 + Ce−0.0005t

Usando la condición inicial y(0) = 10 000 (gal)

= 1(gal) × 0.01% 100%

encontramos el valor de C : 1 = 0.1 + Ce−0.0005t

C = 0.9

⇔

Por tanto, y(t ) = 0.1 + 0.9e−0.0005t y la concentración de cloro, digamos c(t ), en el

depósito en el tiempo t es c(t ) =

y(t )

y(t ) × 100% = % = 10 000 100

Después de 1 hora (es decir, t = 60 min),





0.001 + 0.009e−0.0005t %

c(60) = 0.001 + 0.009e−0.0005×60 = 0.001 + 0.009e−0.03

≈ 0.0097%

Para resolver el segundo pedido, resolvemos la ecuación c(t ) = 0.001 + 0.009 e−0.0005t = 0.002

⇔

t =

ln(1/9) −0.0005 ≈ 4394.45 min ≈ 73.24 h



190


Ejemplo 3.30. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a razón de 3 galones/minuto en un tanque de 60 galones lleno con una solución salina. La mezcla resultante se desborda con la misma razón en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente contenía sólo agua pura, y de ahí se derrama al piso. Suponiendo una mezcla perfecta en ambos tanques, ¿en qué momento será más salada el agua del segundo tanque? ¿Y qué tan salada

estará, comparada con la solución original? t

Solución. Sea x(t ) denotando la cantidad de la sal en el primer tanque en el tiempo y que la masa inicial es x(0) = x0 . La concentración de la sal en el primer tanque es kg 60 gal

x(t )

Note que el volumen de la salmuera en este tanque permanece constante debido a que la

velocidad de ingreso es igual a la velocidad de salida. Entonces (velocidad de salida ) =

   kg 60 gal

x(t )

3

x(t ) kg gal = 5 × 10−4 x(t )(gal/min) = min 20 min

Desde que el líquido que ingresa es agua pura, concluimos que (velocidad de ingreso ) = 0

Por tanto, x(t ) satisface el problema de valor inicial d x x = ( velocidad de ingreso ) − (velocidad de salida ) = − , dt 20

x(0) = x 0

Esta ecuación es lineal y separable. Resolviendo y usando la condición inicial conseguimos x(t ) = x 0 e−t /20

Sea ahora y(t ) la cantidad de sal en el segundo tanque en el tiempo t . Desde que

inicialmente este tanque contiene solo agua pura, se tiene y(0) = 0. La función y(t ) se

describe mediante (velocidad de ingreso ) = ( velocidad de salida ) =

x(t )

20

=

x0

20

e−t /20

kg min

Además, desde que el volumen del segundo tanque permanece constante, tenemos (velocidad de salida ) =

   kg 60 gal

y(t )

3

y(t ) kg gal = min 20 min

Por tanto, y(t ) satisface el problema de valor inicial y(t ) d y x0 = ( velocidad de ingreso ) − (velocidad de salida ) = e−t /20 − , dt 20 20

y(0) = 0


191

o también

d y y (t ) x0 −t /20 + = e , y(0) = 0 dt 20 20 Esta es una ecuación lineal en su forma estandar cuya solución resulta y(t ) =

x0

20

te−t /20 + Ce−t /20

La constante C puede determinarse de la condición inicial 0 = y (0) =

x0

20

(0)e−(0)/20 + Ce−(0)/20

C = 0

⇔

Por tanto, y(t ) = ( x0 /20)te−t /20 . Para investigar el máximo valor de y(t ), hacemos d y x0 −t /20 y(t ) x0 −t /20 t − = e = e 1− dt 20 20 20 20 Así que

 

d y = 0 dt

1−

⇔

t

20

= 0

⇔

t = 20

que es el punto de máximo (note que d y/dt > 0 para t < 20 y d y/dt < 0 para t > 20). En otras palabras, en este momento el agua en el segundo tanque tendrá un sabor más

salado, y comparando concentraciones: y(20)/60 x0 /60

=

y(20) x0

=

veces tan salada como la salmuera original.

1 × 20 × e−20/20 = e−1 20 

192


Ejercicios Ejercicio 3.1. En un tanque que contiene 1200 litros de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 20 l/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la misma razón. Considrando

que la concentración de la solución que entra es de 0.02 kg/l, determine (a) La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t ≥ 0. (b) La cantidad de sal en el tanque después de 30 min. (c) La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo. (d) El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.

Ejercicio 3.2. Un tanque que tiene capacidad para 2500 litros, contiene inicialmente 1000 litros de agua con 8 kg de sal disuelta. Se bombea salmuera al tanque a razón de 20 l/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera a razón de 15 l/min. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0.02 kg/l, determine (a) La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos. (b) La cantidad de sal que hay en el tanque después de 1 h. (c) La concentración de sal en el tanque cuando éste se llena. Ejercicio 3.3. En un tanque que contiene 800 gal de agua, inicialmente se disuelven 10 libras de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 5 gal/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera el tanque a razón de 6 gal/min. Considerando que la solución que entra tiene sal con una concentración de 0.1 lib/gal , determine (a) La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos. (b) La cantidad de sal en el tanque después de media hora. (c) La concentración de sal en el tanque cuando quedan 100 gal de solución. Ejercicio 3.4. Un estanque contiene 1000 m3

de agua contaminada. Con el propósito de descontaminarlo se introduce agua limpia a razón de 2 m3 /min y el agua contaminada

(uniformemente mezclada) se deja salir del estanque a la misma razón. (a) ¿Qué porcentaje de contaminantes se habrá eliminado después de 1 h? (b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que los contaminantes disminuyan en un 90%?

Ejercicio 3.5. Se bombea cerveza con un contenido de 8% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 500 gal de cerveza con 6% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior a razón de 5 gal/min en tanto que el líquido mezclado se extrae del tanque a razón de 6 gal/min (a) ¿Qué cantidad de alcohol hay en el tanque después de t min? (b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en el tanque después de 1 h?


193

Ejercicio 3.6. Un tanque con 100 gal de agua tiene inicialmente 40% de una solución colorante. El colorante al 20% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. Simultáneamente, la mezcla sale del tanque a la misma tasa y pasa a otro tanque de 100 gal que se había llenado inicialmente con agua pura. La mezcla resultante sale del segundo tanque a una tasa de 5 gal/min. Obtenga una expresión para la cantidad de colorante en el segundo

tanque. ¿Cuál es la concentración de colorante en el segundo tanque después de 30 min?

Ejercicio 3.7. Una salmuera que contiene inicialmente 2 kg de sal por litro, fluye hacia el interior de un tanque inicialmente lleno con 500 litros de agua que contienen 50 kg de sal. La salmuera entra en el tanque a una velocidad de 6 l /min. La mezcla, que se mantiene uniforme por medio de agitación, está saliendo del tanque a razón de 5 l /min (a) Calcula la concentraciíon de sal en el tanque al cabo de 10 minutos. (b) Transcurridos 10 minutos, se presenta una fuga en el tanque que ocasiona que salga de él un litro adicional por minuto. ¿Cuál será la concentración de sal contenida en

el tanque al cabo de 20 minutos?

Ejercicio 3.8. El aire de una habitación de 6 por 4 por 3 metros tiene 3% de monóxido de carbono. A partir de t = 0, se introduce aire fresco sin monóxido de carbono en la habitación, a razón de 12 metros cúbicos por minuto. Si el aire de la habitación sale por una ventila con la misma razón, ¿en qué momento tendrá el aire de la habitación 0.01% de monóxido de carbono? Ejercicio 3.9. Una habitación que contiene 24 m3 de aire se encuentra inicialmente libre de monóxido de carbono. En el instante t = 0 entra en la habitación humo de cigarrillos con un contenido del 0.4% al ritmo de 0.024 m3 /min. La mezcla homogeneizada sale del local al mismo ritmo. Calcula el tiempo que se tarda en obtener una concentración del

0.012% de monóxido de carbono en el local. ( Rpta: 35.6675 min).

Ejercicio 3.10. Suponga que una sala contenga 1200

litros de aire que inicialmente está

libre de monóxido de carbono. A partir del instante t = 0, el humo de cigarro conteniendo

4% de monóxido de carbono es introducido en la sala con una rapidez de 0.1 l /min y la mezcla gaseosa homogénea sale de la sala con la misma rapidez. (a) Determine la cantidad y para la concentración de monóxido en la sala para t > 0. (b) La exposición prolongada a concentraciones de monóxido de carbono mayores que 0.012% es perjudicial para la salud. Determine el intervalo de tiempo después del cual se alcanza esta concentración.

Ejercicio 3.11. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de 3 cm3 /seg y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm 3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano es de 0.2 g /cm3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t , si inicialmente no había ras-

tros de dicho medicamento? ¿En qué momento llegará la concentración del medicamento

en el órgano a 0.1 g /cm3 ?


194

3.1.8 Método de Euler Ahora pasemos de los métodos analizados en la sección precedente a un método numérico. Al usar la ecuación diferencial es posible construir un procedimiento simple para obtener aproximaciones a los valores numéricos de las coordenadas y de puntos sobre

una curva solución.

Método de Euler Una de las técnicas más simples para aproximar una solución de un problema con valor

inicial de primer orden y = F ( x, y),

se denomina método

de Euler,

o

y( x0 ) = y 0

método de las rectas tangentes, en honor al matemá-

tico suizo Leonard Euler (1707-1783). En esta técnica usamos el hecho de que la derivada

de una función y( x) en un número x0 determina una linealización de y( x) en x = x0 L( x) = y 0 + y ( x0 )( x x0 )

−

Recuerde que la linealización de y( x) en x0

y

Curva solución

( x1 , y( x1 ((

es simplemente una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = y ( x) en el punto ( x0 , y0 ). Ahora dejamos que h represente un incremen-

Error

( x0 , y0 (

to positivo sobre el eje x, como se muestra en la figura adjunta. Luego, para x1 = x 0 + h

( x1 , y1 (

tenemos L( x1 ) = y0 + y ( x0 + h − x0 )( x − x0 ) = y0 + hy

0

Pendiente

F ( x0 , y0 (

=

L( x (

donde y0 = y ( x0 ) = F ( x0 , y0 ).

x1 = x0 + h

x0

x

h

Al hacer y1 = L ( x1 ) obtenemos y1 = y 0 + hF ( x0 , y0 )

El punto ( x1 , y1 ), que se muestra en la figura adjunta como un punto sobre la recta

tangente, es una aproximación al punto ( x1 , y( x1 )) sobre la verdadera curva solución; es decir, L( x1 ) y( x1 ) o y1 y( x1 ) es una aproximación de y( x) en x1 . Por supuesto, la precisión de la aproximación depende bastante del tamaño del incremento h. Por lo general, este tamaño de paso debe escogerse razonablemente pequeño. Si repetimos el proceso, usando ( x1 , y1 ) y la nueva pendiente F ( x1 , y1 ) como el nuevo punto inicial,

≈

≈

entonces obtenemos la aproximación y( x2 ) = y ( x0 + 2h) = y ( x1 + h)

≈ y2 = y1 + hF ( x0, y0 )


195

En general, se concluye que yn+1 = yn + hF ( xn , yn )

(3.22)

donde xn = x0 + nh. En el siguiente ejemplo se aplica el método de Euler (3.22) a una ecuación diferencial para la que se conoce una solución explícita; de esta forma es posible comparar los valores

estimados yn con los valores verdaderos y( xn ).

Ejemplo 3.31. Considere el problema con valor inicial y = 0.2 xy, y(1) = 1. Use método de Euler para aproximar y(1.5) usando primero h = 0.1 y luego h = 0.05. Solución. Si hacemos

F ( x, y) = 0.2 xy,

el

entonces (3.22) se conviete en

yn+1 = yn + h(0.2 xn yn )

Luego, para x0 = 1, y0 = 1 y h = 0.1 encontramos y1 = y 0 + (0.1)( 0.2 x0 y0 ) = 1 + (0.1)[ 0.2(1)( 1)] = 1.02

que se aproxima a y(1.1). Sin embargo, al usar h = 0.05, se requieren dos pasos para

llegar a x = 1.1. A partir de y1 = 1 + (0.05 )[ 0.2(1)( 1)] = 1.01 y2 = 1.01 + (0.05 )[ 0.2(1.05 )(1.01)] = 1.020605

tenemos y1

≈ y(1.05)

e

y2

≈ y(1.1)

El resto de los cálculos se llevo a cabo usando software de computadora. Los resultados se

resumen en las tablas de abajo

xn

1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50

valor yn verdadero 1.0000 1.0000 1.0200 1.0212 1.0424 1.0450 1.0675 1.0714 1.0952 1.1008 1.1259 1.1331

Error absoluto 0.0000 0.0012 0.0025 0.0040 0.0055 0.0073

Error porcentual relativo 0.00 0.12 0.24 0.37 0.50 0.64

196


xn

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50

valor yn verdadero 1.0000 1.0000 1.0100 1.0103 1.0206 1.0212 1.0318 1.0328 1.0437 1.0450 1.0562 1.0579 1.0694 1.0714 1.0833 1.0857 1.0980 1.1008 1.1133 1.1166 1.1295 1.1331

Error absoluto 0.0000 0.0003 0.0006 0.0009 0.0013 0.0016 0.0020 0.0024 0.0028 0.0032 0.0037

Error porcentual relativo 0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.16 0.19 0.22 0.25 0.29 0.32



En el ejemplo 3.31, los valores verdaderos en las tablas se calcularon a partir de la 2

solución conocida y = e0.1( x −1) . También el error absoluto se define como

|valor verdadero|−|aproximación| El error relativo y el error porcentual son, a su vez error absoluto |valor verdadero |

y

error absoluto |valor verdadero | × 100

Ejemplo 3.32. Use el método de Euler para aproximar y(1.5) para la solución del problema con valor inicial y = 2 xy, y(1) = 1. Solución. Al proceder como en el ejemplo 3.31, en las tablas de abajo:

xn

1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50

valor yn verdadero 1.0000 1.0000 1.2000 1.2337 1.4640 1.5527 1.8154 1.9937 2.2874 2.6117 2.9278 3.4904

obtenemos las tablas que se muestran

Error absoluto 0.0000 0.0337 0.0877 0.1784 0.3244 0.5625

Error porcentual relativo 0.00 2.73 5.71 8.95 12.42 16.12


xn

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50

valor yn verdadero 1.0000 1.0000 1.1000 1.1079 1.2155 1.2337 1.3492 1.3806 1.5044 1.5527 1.6849 1.7551 1.8955 1.9937 2.1419 2.2762 2.4311 2.6117 2.7714 3.0117 3.1733 3.4904

197

Error absoluto 0.0000 0.0079 0.0182 0.0314 0.0483 0.0702 0.0982 0.1343 0.1806 0.2403 0.3171

Error porcentual relativo 0.00 0.72 1.47 2.27 3.11 4.00 4.93 5.90 6.92 7.98 9.08 

198


Ejercicios Ejercicio 3.1. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación de cuatro cifras decimales al valor indicado. Haga manualmente la recursión de (3.22),

usando primero h = 0.1 y luego h = 0.05. d y = 2 x − 3 y + 1; y(1) = 5; y(1.2) (a) d x d y = x + y2 ; y(0) = 0; y(0.2) (b) d x Ejercicio 3.2. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación de cuatro cifras decimales al valor indicado. Use primero h = 0.1 y luego h = 0.05. Encuentre una solución explícita para cada problema con valor inicial y luego elabore las

tablas similares a las del ejemplo 3.31. (a) y = y; y(0) = 1; y(1.0) (b) y = 4 x − 2 y; y(0) = 2; y(0.5)

Ejercicio 3.3. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación de cuatro cifras decimales al valor indicado. Use primero h = 0.1 y luego h = 0.05. (a) y = e− y ; y(0) = 0; y(0.5) (b) y = x2 + y2 ; y(0) = 1; y(0.5) √ (c) y = xy + y; y(0) = 1; y(0.5) y (d) y = xy2 − ; y(1) = 1; y(1.5) x  2 (e) y = y − y ; y(0) = 0.5; y(0.5) Ejercicio 3.4. En cada caso, use el método de Euler para hacer una tabla de valores para la solución aproximada de la ecuación diferencial con un valor inicial específico. Usar n

pasos de tamaño h (a) y = x + y, y(0) = 2, n = 10, h = 0.1 (b) y = x + y, y(0) = 2, n = 20, h = 0.05 (c) y = 3 x − 2 y, y(0) = 3, n = 10, h = 0.05 (d) y = 0.5 x(3 − y), y(0) = 1, n = 5, h = 0.4 (e) y = e xy , y(0) = 1, n = 10, h = 0.1 (f) y = cos x + sen y, y(0) = 5, n = 10, h = 0.1


199

3.1.9 Ecuaciones exactas La teoría de ecuaciones diferenciales exactas es importante porque nos permite resolver

ecuaciones diferenciales lineales de una forma más elegante. En esta sección escribiremos la ecuación diferencial de primer orden M ( x, y) d y =− d x N ( x, y)

en su forma equivalente M ( x, y) d x + N ( x, y) d y = 0

(3.23)

DEFINICIÓN Ecuación exacta La ecuación diferencial (3.23) se llama exacta si existe una función escalar f ( x, y),

de modo que ∂ f ( x, y) = M ( x, y) ∂ x

∂ f ( x, y) = N ( x, y) ∂ y

y

Si este es el caso, la ecuación f ( x, y) = C nos proporciona la solución general de la

ecuación (3.23).

Ejemplo 3.33. La ecuación 2 xy d x + ( x2 + 1) d y = 0

(3.24)

es exacta, pues si hacemos f ( x, y) = ( x2 + 1) y entonces ∂ f ( x, y) = 2 xy ∂ x

y

∂ f ( x, y) = x2 + 1 ∂ y

Luego, la solución general de la ecuación (3.24) es ( x2 + 1) y = C

Teorema 3.1.1. Sean

M ( x, y)

y N ( x, y) definidas en



R2 .

Entonces

M ( x, y) d x + N ( x, y) d y = 0

es exacta si y solo si

∂ M ∂ N ( x, y) = ( x, y), para todo ( x, y) ∂ y ∂ x

∈ R2 .

200


Ejemplo 3.34. Resuelva la ecuación diferencial (6 xy2 + 4 x3 y) d x + (6 x2 y + x4 + e y ) d y = 0

Solución. Hacemos bien,

M ( x, y) = 6 xy2 + 4 x3 y

y

N ( x, y) = 6 x2 y + x4 + e y . Ahora

∂ M ∂ N = 12 xy + 4 x3 = ∂ y ∂ x

y la ecuación diferencial resulta exacta. Por definición, existe una función f ( x, y) tal que

∂ f = 6 xy2 + 4 x3 y ∂ x

y

∂ f = 6 x2 y + x4 + e y ∂ y

(3.25)

Para hallar f ( x, y) integramos la primera ecuación en (3.25) con respecto a x, es decir, f ( x, y) =



(6 xy2 + 4 x3 y) d x = 3 x2 y2 + x4 y + h( y)

(3.26)

y derivando respecto a y tenemos ∂ f = 6 x2 y + x4 + h ( y) = 6 x2 y + x4 + e y ∂ y

(3.27)

o sea que h ( y) = e y que implica h( y) = e y . Finalmente, reemplazando este valor en

(3.26) obtenemos f ( x, y) = 3 x2 y2 + x4 y + e y . Por tanto, la solución general es 3 x2 y2 + x4 y + e y = C




201

Ejercicios Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) (e y + 1) cos x d x + e y sen x d y = 0, Rpta: (e y + 1) sen x = C (b) ( y cos x + sen y + y) d x +(sen x + x cos y + x) d y = 0, Rpta: y sen x +(sen y + y) x = C

(c) ( x2 − ay) d x = ( ax − y2 )d y, Rpta: x3 + y3 − 3axy = C

(d) (ax + hy + g) d x + (hx + by + f ) d y = 0, Rpta: C

ax2

2

+ (hy + g) x +

by2

2

+ f y =

(e) ( x2 + y2 − a2 ) x d x +( x2 − y2 − b2 ) y d y = 0, Rpta: x4 + 2 x2 y2 − 2a2 x2 − y4 − 2b2 y2 = 4C (f) (3 x2 + 2 xy2 − 2 x) d x +(3 y2 + 2 x2 y − 2 y) d y = 0, Rpta: x3 + x2 y2 − x2 − y2 + y3 = C (g) (2 xy + e2 y ) d x + ( x2 + 2 xe2 y − y) d y = 0, Rpta: (h) y sen x + sen y + 1 x d x + x cos y − cos x + 1 y d y = 0, Rpta: − y cos x + x sen y + ln x + ln y = C (i) ( y sec2 x + sec x tan x) d x + (tan x + 2 y) d y = 0, Rpta: y tan x + sec x + y2 = C (j) (ax + hy + g) d x +(hx + by + f ) d y = 0, Rpta: ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2 f y +C = 0 (k) ( x4 − 2 xy2 + y4 ) d x − (2 x2 y − 4 xy3 + sen y) d y = 0 , Rpta: x5 /5 − x2 y2 + xy4 + cos y = C (l) y 1 + 1 x + cos y y ] d x +( x + ln x − x sen y) d y = 0, Rpta: y( x + ln x) + x cos y = C (m) ( x3 − 3 xy2 ) d x + ( y3 − 3 x2 y) d y = 0, y(0) = 1, Rpta: x4 − 6 x2 y2 + y4 = 1 (n) (1 + 3e x/ y ) d x + 3e x/ y (1 − x/ y) d y = 0, Rpta: x + 3 ye x/ y = C (p) [1 + ln( xy)] d x + (1 + x/ y) d y = 0, Rpta: x ln( xy) + y = C (q) (2 xy cos x2 − 2 xy + 1) d x + (sen x2 − x2 + 3) d y = 0, Rpta: y sen x2 − yx2 + x + 3 y =

 









C

(r) ( ye xy ) d x + ( xe xy + sen y) d y = 0, y(0) = π , Rpta: e xy − cos y − 2 = 0

Ejercicio 3.2. Determine los valores de las constantes ecuación diferencial ( y3 y2 sen x

−

A y B que hacen exacta a la

− 2 x) d x + ( Axy2 + By cos x − 3 y2 ) d y = 0

Ejercicio 3.3. Obtenga una función M ( x, y) de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial M ( x, y) d x + (e x cos y + 2cos y) d y = 0 Ejercicio 3.4. Obtenga una función N ( x, y) de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial x2 − y2 − 2 x d x = 0 N ( x, y) d y + 2



x y



202


Ejercicio 3.5. Resuelva las siguientes PVI (a) ( y2 cos x − 3 x2 y − 2 x) d x + (2 y sen x − x3 + ln y) d y = 0, y(0) = e x y (b) ( y + xe + 2) d x + ( x + e ) d y = 0, y(1) = 0 y y 2 (c) (e sin x + tan y) d x − (e cos x − x sec y) d y = 0, y(0) = 0 (d)

  x + y

1 + x2

d x + ( y + arctan x) d y = 0,

y(0) = 1


203

Factores de integración Ejemplo 3.35. Consideremos la ecuación diferencial y(2 x y + 2) d x + 2( x y) d y = 0

−

−

Observemos que las funciones M ( x, y) = y (2 x y + 2) y N ( x, y) = 2( x y) satisfacen

−





∂ M ∂ = y(2 x y + 2) = 2 x ∂ y ∂ y

−

−

− 2 y + 2

y

 −

∂ N ∂ = 2( x y) = 2 ∂ x ∂ x

de modo que ∂ M ∂ N ( x, y) = ( x, y) ∂ y ∂ x



por lo que la ecuación no es exacta.



Algunas ecuaciones diferenciales no exactas (como se vio en el ejemlo anterior) se pueden convertir en exactas multiplicándolas por un factor adecuado. En general, para la

ecuación M ( x, y) d x + N ( x, y) d y = 0

(3.28)

se dice que la función no nula µ ( x, y) es un factor de integración si la ecuación µ ( x, y) M ( x, y) d x + µ ( x, y) N ( x, y) d y = 0

es exacta. Veamos a continuación alguno criterios para convertir en exacta algunas ecuaciones:

Criterio 1: Si ( M y

− N )/ N es una función solo de x,

o constante, entonces un factor de

x

integración para la ecuación (3.28) es

µ ( x) = e

 −

M y N x N

d x

Ejemplo 3.36. Retomemos la ecuación del ejemplo 3.35 y(2 x y + 2) d x + 2( x y) d y = 0

−

−

y hagamos M = y(2 x − y + 2) y N = 2( x − y) . Se tiene ∂ M ( x, y) = 2 x ∂ y

− 2 y + 2

y

∂ N ( x, y) = 2 ∂ x


204

de donde

∂ M ( x, y) ∂ y

− ∂ ∂ N x ( x, y)

N ( x, y)

=

(2 x

− 2 y + 2) − 2 = 1 2( x − y)

Así que la ecuación posee un factor de integración que depende solamente de x, el cual es



µ ( x) = e d x = e x

Note que al multiplicar toda la ecuación por e x , esta se convierte en (2 xy e x y2 e x + 2 y e x ) d x + (2 x e x

−

x

− 2 y e ) d y = 0

donde ahora ∂ (2 xy e x y2 e x + 2 y e x ) = 2 xe x y ∂

−

x

− 2 ye

+ 2e x =

∂ (2 x e x x ∂

x

− 2 y e )

y la ecuación resulta exacta. Entonces existe f ( x, y) tal que ∂ f = 2 xy e x y2 e x + 2 y e x ∂ x

−

∂ f = 2 x e x ∂ y

y

x

− 2 y e

(3.29)

De la primera de estas expresiones obtenemos que f ( x, y) =



(2 xy e x y2 e x + 2 y e x ) d x = 2 xye x y2 e x + h( y)

−

−

Derivando respecto de y y usando la segunda igualdad en (3.29) obtenemos 2 x e x − 2 y e x =

∂ f = 2 x e x ∂ y

x

− 2 y e

+ h ( y)

de donde h ( y) = 0. Por tanto, la solución general de la ecuación es 2 xye x − y2 e x = C

Criterio 2: Si ( N x

− M )/ M es una función solo de y, y

o constante, entonces un factor de

integración para la ecuación (3.28) es

µ ( x) = e

 −

N x M y M

d y




205

Ejemplo 3.37. Consideremos la ecuación y( x + y + 1) d x + x( x + 3 y + 2) d y = 0

Las funciones M ( x, y) = y ( x + y + 1) y N ( x, y) = x ( x + 3 y + 2) satisfacen ∂ M ( x, y) = x + 2 y + 1 ∂ y

∂ N ( x, y) = 2 x + 3 y + 2 ∂ x

y

por lo que la ecuación no es exacta. Por otra parte, se tiene ∂ N ( x, y) ∂ x

− ∂ ∂ M ( x, y) y

=

M ( x, y)

(2 x + 3 y + 2) ( x + 2 y + 1) 1 = y y( x + y + 1)

−

y la ecuación posee un factor de integración que depende solo de la variable y. Este 1 d y factor es µ ( y) = e y = e ln | y| = y . Ahora, multiplicamos toda la ecuación inicial por



este factor para obtener y2 ( x + y + 1) d x + xy( x + 3 y + 2) d y = 0

Hacemos M ( x, y) = y2 ( x + y + 1) y N ( x, y) = xy ( x + 3 y + 2), lo que implica ∂ M ∂ N ( x, y) = 2 xy + 3 y2 + 2 y = ( x, y) ∂ y ∂ x

y ahora la ecuación es exacta. Entonces, existe f ( x, y) tal que ∂ f ( x, y) = y2 ( x + y + 1) ∂ x

∂ f ( x, y) = xy ( x + 3 y + 2) ∂ y

y

Integrando la primera de estas expresiones se obtiene f ( x, y) =



2

y ( x + y + 1) d x =

x2 y2

2

+ y3 x + y2 x + h( y)

y derivando respecto a y se sigue que x2 y + 3 xy2 + 2 xy =

∂ f ( x, y) = x 2 y + 3 xy2 + 2 xy + h ( y) ∂ y

de donde h( y) es constante, y así la solución general de la ecuación es x2 y2

2

+ y3 x + y2 x = C



206


Criterio 3: Si la ecuación

M d x + N d y = 0

es de la forma

y f 1 ( xy) d x + x f 2 ( xy) d y = 0

entonces un factor de integración para la ecuación ( 3.28) es µ =

1 Mx

− Ny

Ejemplo 3.38. Resuelva y( xy + 2 x2 y2 ) d x + x( xy − x2 y2 ) d y = 0 Solución. Dividiendo por

xy se

tiene

y(1 + 2 xy) d x + x(1 xy) d y = 0

(3.30)

−

Haciendo f 1 (t ) = 1 + 2t y f 2 (t ) = 1

µ =

1 Mx

− Ny

=

− t , se tiene M = y f 1 ( xy) y N = x f 2 ( xy). Luego 1

xy(1 + 2 xy) xy(1 xy)

−

−

=

1

3 x2 y2

Al multiplicar en (3.30) por 1 /3 x2 y2 obtenemos la ecuación diferencial exacta

 Luego

 

1



2 1 1 − + d x + d y = 0 3 x2 y 3 x 3 xy2 3 y 1 2 1 − 3 xy + ln x − ln y = C 3 3



Criterio 4: Si la ecuación es de la forma xa yb (my d x + nx d y) + xr ys ( py d x + qx d y) = 0

(3.31)

donde a, b, r , s, m, n, p, q son constantes. Entonces el factor de integración es

µ = x h yk , siendo h y k constantes tal que la ecuación (3.31) se convierte en exacta luego de multiplicar por µ

Ejemplo 3.39. Resuelva

xy3 ( y d x + 2 x d y) + (3 y d x + 5 x d y) = 0

Solución. Reescribimos la ecuación como sigue: ( xy4 + 3 y) d x + (2 x2 y3 + 5 x) d y = 0


207

y multiplicando en la ecuación anterior por µ = xh yk , obtenemos ( xh+1 y4+k + 3 xh yk +1 ) d x + (2 x2+h y3+k + 5 xh+1 yk ) d y

(3.32)

Ahora bien, esta ecuación es exacta si (4 + k ) xh+1 yk +3 + 3 xh (k + 1) yk = M y = N x = 2(h + 2) xh+1 yk +3 + 5(h + 1) xh yh

que se reduce a (4 + k ) xy3 + 3(k + 1) = 2(h + 2) xy3 + 5(h + 1)

Comparando coeficientes en ambos lados 2h − k = 0

y

5h − 3k = −2

que implica h = 2 y k = 4. Reemplazando estos valores en la ecuación (3.32), obtene-

mos la ecuación exacta ( x3 y8 + 3 x2 y5 ) d x + (2 x4 y7 + 5 x3 y4 ) d y

cuya solución es x4 y8 + 4 y5 x3 = C

Criterio 5: Si la ecuación

M d x + N d y = 0

es homogénea, el factor de integración es

µ =




1 Mx + Ny

d y x3 + y3 = d x xy2

Solución. Escribimos ( x3 + y3 )d x

− ( xy2 )d y = 0

De aquí, M = x3 + y3 y N = − xy2 . Luego 1 µ =

=

Mx + Ny

1

x( x3 + y3 )

− ( xy2 ) y

(3.33)

=

1 x4

Multiplicando la ecuación (3.33) por 1 / x4 , se obtiene:

  1

x

cuya solución es

+

y 3 x4

ln x −

d x −

y2 x3

d y = 0

2 y3 = C 3 x3




208

Ejercicios Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones

x2 e3 x

2 x 3 x 2 e3 x e3 x 3 − 9 e + 9 3 + ( y + 1) 3 = C 3

( x + y3 + 1) d x + y2 d y = 0,

(a) Rpta: (b) ( x2 + y2 + 2 x) d x + 2 y d y = 0, Rpta: ( x2 + y2 )e x = C (c) 2 xy d y − ( x2 + y2 + 1)d x = 0, Rpta: y2 − x2 + 1 = Cx y 3 x 2 1 (d) y + + d x + ( x + xy2 ) d y = 0, Rpta: 3 x4 y + x4 y3 + x6 = C 3 2 4 (e)

 

( xy2



− x2 ) d x + (3 x2 y2 + x2 y − 2 x3 ) d y = 0, Rpta:

x2 2 6 y y e

3

− e6 x3 = C y

2 4 y 3 x4 1 3 1 2 1 yx x6 2 + + = C (f) y + y + x d x + (1 + y ) x d y = 0, Rpta: 3 2 4 4 12 12 1 (g) ( x sec2 y − x2 cos y) d y = ( tan y − 3 x4 ) d x, Rpta: − tan y − x3 + sen y = C



x

Ejercicio 3.2. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) (3 x2 y4 + 2 xy) d x + (2 x3 y3 − x2 ) d y = 0, Rpta: (b) ( xy3 + y) d x + (2 x3 y3 − x2 ) d y = 0, Rpta: (c) y( x2 y + e x ) d x − e x d y = 0, Rpta:

x3

3

+

e x y

x3 y2 + x2 / y = C 6 x2 y4 2 y + xy + = C

2

6

= C

(d) (2 x4 y4 e y + 2 xy3 + y) d x + ( x2 y4 e y − x2 y2 − 3 x) d y = 0, Rpta: x2 e y + (e) ( y ln y) d x + ( x − ln y) d y = 0, Rpta: 2 x ln y = C + (ln y)2

x 2 y

+

x y3

Ejercicio 3.3. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) ( y − xy2 ) d x − ( x + x2 y) d y = 0, Rpta: ln( x/ y) − xy = C (b) y(1 + xy) d x + x(1 − xy) d y = 0, Rpta: xy ln( y/ x) = Cxy − 1 1 1 (c) y(1 + xy) d x + x(1 + xy + x2 y2 ) d y = 0, Rpta: 2 2 + − ln y = C 2 x y xy (d) ( xy sen xy + cos xy) y d x + ( xy sen xy − cos xy) x d y = 0, Rpta: y cos xy = Cx

= C

Ejercicio 3.4. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) (2 y d x + 3 x d y) + 2 xy(3 y d x + 4 x d y) = 0, Rpta: x2 y3 (1 + 2 xy) = C (b) ( y2 + 2 yx2 ) d x + (2 x3 − xy) d y = 0, Rpta: 4( xy)1/2 − (2/3)( y/ x)3/2 = C (c) (3 x + 2 y2 ) y d x + 2 x(2 x + 3 y2 ) d y = 0, Rpta: x2 y4 ( x + y2 ) = C 7 7 (d) (2 x2 y2 + y) d x − ( x3 y − 3 x) d y = 0, Rpta: x10/7 y−5/7 − x−4/7 y−12/7 = C 5 4 Ejercicio 3.5. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) x2 y d x − ( x3 + y3 ) d y = 0, Rpta:

3

− 3x y3 + ln y = C

(b) ( y3 − 3 xy2 ) d x + (2 x2 y − xy2 ) d y = 0, Rpta: y/ x + 3ln x − 2ln y = C (c) ( x2 y − 2 xy2 ) d x − ( x3 − 3 x2 y) d y = 0, Rpta: x/ y − 2ln x + 3ln y = C (d) ( y3 − 2 yx2 ) d x + (2 xy2 − x3 ) d y = 0, Rpta: x2 y4 − x4 y2 = C


209

3.1.10 Proyectos P ROYECTO 1: (Aplicación a la economía). Designemos por X = X (t ) al producto nacional, por K = K (t ) al stock del capital, y por L = L (t ) al número de obreros de un

país en el instante t . Supongamos que, para t ≥ 0, X = AK 1−α Lα ˙ = sX K

(a) (b)

L = L0 eλ t

(c)

donde A, α , s, L0 y λ son constantes positivas con 0 < α < 1. (a) Deduzca de esas ecuaciones una única ecuación diferencial que determine K = K (t ). αλ t 1−α . Respuesta: K ˙ = sALα K 0 e (b) Encuentre la solución de la ecuación (en el inciso anterior) cuando K (0) = K 0 > 0. αλ t − 1 1/α K = K 0α + (s/λ ) ALα 0 e (c) Muestre que K / L tiende a (sA/λ )1/α cuando t → ∞. Calcule el límite de X / L cuando t → ∞. (d) Sustituya (c) por (c) L = b (t + a) p , donde a, b y p son constantes positivas. De (a), (b) y (c) , deduza una ecuación diferencial para K = K (t ). Resuelva con K (0) = K 0 y estudie el comportamiento de K / L cuando t → ∞.



 

(En (a) se tiene una función de producción de Cobb-Douglas, (b) dice que la inversión agregada es proporcional a la producción y (c) implica que el incremento laboral es

exponencial).

P ROYEXTO 2: (Curva de persecución).

En y

un ejercicio naval, un barco S 1 es perseguido por un submarino S 2 (ver figura adjunta). El barco S 1 parte del punto (0,0) en t = 0 y se mueve a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una rapidez constante v1 . El submarino S 2 mantiene al barco S 1 en contacto

C S 1 L

visual, indicado por la línea punteada L en la figura mientras que viaja con una rapidez cons-

S 2

tante v2 a lo largo de la curva C . Suponga que el barco S 2 comienza en el punto (a,0), a > 0,

en t = 0 y que L es tangente a C .

x

(a) Determine un modelo matemático que describe la curva C . Respuesta: xy − y = −v1t . (b) Encuentre una solución explícita de la ecuación diferencial. Por conveniencia defina

210

Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales- Lord Barrera r = v 1 /v2 .

Respuesta:

y =

a

  1

x 1+r

2 1 + r a

1

− 1 − r

  x 1−r a

ar

+

1 − r 2

(c) Determine si las trayectorias de S 1 y S 2 alguna vez se interceptarían al considerar dt dt ds los casos r >, r < 1 y r = 1. (Sugerencia: = ) donde s es la longitud d x ds d x de arco medida a lo largo de C . Respuesta: S 2 nunca alcanza a S 1 .

P ROYEXTO 3: (Tsunami). (a) Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, está dado por

√ dW = W 4 − 2W d x donde W ( x) > 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Examinando, encuentre totas las soluciones

constantes de la ecuación diferencial. Respuesta: W = 0 y W = 2. (b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso (a). Un SAC puede ser útil para la integración. Respuesta: W ( x) = 2sech2 ( x + c). (c) Use un programa de graficación para obtener las gráficas de las soluciones que satisfacen la condición inicial W (0) = 2.

P ROYEXTO 4: (Acuacultura).

La acuacultura es el arte de cultivar plantas y anima-

les originarios del agua. En el ejemplo aquí considerado, se cultiva un lote de bagres en un estanque. Nos interesa determinar el mejor momento para recolectar los peces de modo

que el costo (por libra) por el cultivo de los peces se minimice. Una ecuación diferencial que describa el crecimiento de los peces puede ser dW = KW α dt

(1)

(3.34)

donde W (t ) es el peso de los peces en el instante t , y K y α son constantes de crecimiento determinadas en forma empirica. La forma funcional de esta relacion es similar a la de los modelos de crecimiento para otras especies. La modelacion de la tasa de crecimiento o la tasa de metabolismo mediante un termino W α es una hipótesis comun. Con frecuencia, los biólogos se refieren a la ecuación 3.34 como la ecuación alométrica y puede ser apoyada por argumentos plausibles como que la tasa de crecimiento depende

del área de la superficie de las entrañas (que varían como W 2/3 ) o depende del volumen del animal (que varía como W ).

 1. (a) Resuelva la ecuación (1) cuando α = (b) La solución obtenida en la parte (a) crece sin límite, pero en la práctica hay un peso máximo límite W max para el pez. Este peso límite se puede incluir en la ecuación diferencial que describe el crecimiento insertando una variable adimensional S


211

0 y 1 e implica un parámetro µ determinado en forma empírica. A saber, ahora suponemos que que puede variar entre

dW = KW α dt

(2)

(3.35)

donde S = 1 (W /W max )µ . Cuando µ = 1 α , la ecuación (2) tiene una solución con forma cerrada. Resuelva la ecuación cuando K = 10, α = 3 /4,

−

−

µ = 1/4, W max = 81 (onzas) y W (0) = 1 (onza). Las constantes dadas para t se

miden en meses. (c) La ecuación diferencial que describe el costo total C (t ) en dólares por criar un pez durante t meses tiene un término constante K 1 que especifica el costo mensual (debido a costos tales como los intereses, la depreciación y la mano de obra) y una segunda constante K 2 que multiplica la tasa de crecimiento (debido a que la cantidad de alimento consumida por el pez es aproximadamente proporcional a la

tasa de crecimiento). Es decir, dC dW = K 1 + K 2 ( 3) (3.36) dt dt Resuelva la ecuación (3) cuando K 1 = 0.4, K 2 = 0.1, C (0) = 1.1 (dólares) y W (t ) queda determinada según la parte (b). (d) Bosqueje la curva obtenida en la parte (b) que represente el peso del pez en función del tiempo. A continuación, bosqueje la curva obtenida en la parte (c) que

represente el costo total de criar al pez en función del tiempo. (e) Para determinar el tiempo óptimo para recolectar el pez, bosqueje el cociente C (t ) /W (t ). Este cociente representa el costo total por onza en función del tiempo.

Cuando este cociente alcanza su mínimo (es decir, cuando el costo total por onza

es mínimo), es el instante óptimo para recolectar los peces. Determine este instante

óptimo redondeado a meses.

P ROYEXTO 5: (Contaminación debido a la radiación). La transferencia de calor de un cuerpo para un ambiente que es envuelto por radiación, según la ley de Stefan-

Boltzmann, es descrita por la ecuación diferencial du = −α (u4 − T 4 ) dt

(a)

donde u(t ) es la temperatura absoluta del cuerpo en el instante t , T es la temperatura absoluta del ambiente y α es una constante que depende de los parámetros físicos del cuerpo. Sin embargo, si u fuera mucho mayor que T , entonces las soluciones de la

ecuación (a) pueden ser aproximadas por las soluciones de la ecuación más simple du = −α u4 dt

(b)

212


Suponga que un cuerpo con temperatura inicial de 2000 ◦K está inmerso en un ambiente

con una temperatura de 300 ◦K y que α = 2 × 10−12 ◦ K−3 /s (a) Determine T (t ) resolviendo la ecuación (b). (b) Haga una gráfica de u en función de t . (c) Determine el instante τ para el cual u(τ ) = 600, es decir, el doble de la temperatura ambiente. Hasta ese instante, el error en la utilización de la ecuación (b) para aproximas las soluciones de la ecuación (a) no es mayos al 1%.

P ROYECTO 6: (Un modelo logístico para el crecimiento del girasol). Este problema implica un plantío de semillas de girasol y el dibujo de la altura en función del tiempo.

3 a 4 meses obtener los datos, por lo que ¡comencemos ya! Si puede

Podría llevar de

cámbiela por una planta diferente, pero puede tener que ajustar la escala de tiempo y la

escala de altura adecuada. (a) Usted va a crear una gráfica de la altura del girasol (en cm) contra el tiempo (en días). Antes de iniciar intuya cómo será esta curva y dibuje la gráfica en la malla. 400

300

altura

200

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

días

(b) Ahora plante su girasol. Tome la medida de la altura el primer día que su flor brote y llámelo el día 0. Después tome una medida al menos una vez a la semana; éste es el momento para empezar a escribir sus dato (c) ¿Sus datos de puntos más cercanos parecen crecimiento exponencial o crecimiento logístico? ¿Por qué? (d) Si sus datos más cercanos son del crecimiento exponencial, la ecuación para la altura en términos del tiempo será d H /dt = kH . Si sus datos más cercanos son del crecimiento logístico, la ecuación de la altura en función del tiempo es d H /dt = kH (C H ). ¿Cuál es el significado físico de C ? Utilice sus datos para calcular C .

−

(e) Ahora experimentalmente determine k . Para cada uno de sus valores de t , estime d H /dt usando diferencias de cocientes. Después use el hecho de que k = d H /dt para obtener la mejor estimación de k . H (C H )

−

(f) Resuelva su ecuación diferencial. Ahora trace la gráfica de su solución junto con los datos de los puntos. ¿Llegó a un buen modelo? ¿Cree que k cambiará si planta un

girasol diferente el año que entra?


213

P ROYEXTO 7: (Diseñando un panel solar). Usted como ingeniero quiere diseñar un panel

y

curva no conocida

solar que debe concentrar los rayos solares para dirigirlos a un punto específico. Por simetría, esta ( x , y (

superficie debe tener la forma de una superficie recta tangente

de revolución obtenida por rotación de una curva alrededor de un eje. Sin pérdida de generalidad,

 rayos del sol



suponga que este eje es el eje x y los rayos paralelos a este eje son dirigidos hacia el origen 



(ver figura adjunta). Para conseguir esta ecuación

0

proceda como sigue:

x

(a) La ley de reflexión dice que los ángulos γ y δ son iguales. Use este resultado de la geometría para mostrar que β = 2α . (b) Como usted sabe derivar, recuerde que d y/d x = tg α . Use esto, junto con el hecho que y/ x = tg β y además la fórmula del ángulo doble, para mostrar que y x

=

2d y/d x 1 − (d y/d x)2

(c) Ahora muestre que la curva satisface la ecuación diferencial



d y − x + x2 + y2 = d x y (d) Resuelva la ecuación del inciso anterior (e) Describa las soluciones e identifique el tipo de panel solar obtenido.

P ROYEXTO 8: (Pesca sustentable). Para un nivel dado de esfuerzo, es razonable suponer que la razón según el cual se realiza la pesca, depende de la población y; cuanto más peces existan, más fácil será la pesca. Supongamos entonces que la razón con que se realiza la pesca es dada por Ey, donde E es una constante positiva, en unidades de

1/tiempo, que mide el esfuerzo total para explorar la especie de peces en consideración. Para incluir este efecto, la ecuación logística es sustituida por d y y = r 1 − y − Ey dt K

 

(a)

Esta ecuación es conocida por modelo de Schaefer, en honra al biólogo M. B. Schaefer,

que lo aplico a las poblaciones de peces. (a) Muestre que, si E < r , entonces existen dos puntos de equilibrio, y1 = 0 y y2 = K (1 − E /r ) > 0. (b) Muestre que y = y1 es asintóticamente inestable, y que y = y2 es estable.

214


(c) Una producción sustentable Y de peces es una razón según el cual se puede pescar indefinidamente. Esa producción es el producto del esfuerzo E de la población asintóticamente estable y2 . Encuentre Y en función del esfuerzo E ; la gráfica de

esta función es conocida como curva de producción-esfuerzo. (d) Determine E de modo que se maximice Y y encuentre de esta manera la producción máxima sustentable Y m

P ROYEXTO 9: (Modelo de cosecha constante). Un modelo que describe la población de una pesca en la que se cosecha con una razón constante, está dada por dP = kP − h dt donde k y h son constantes positivas. (a) Resuelva la ecuación sujeta a P(0) = P0 . (b) Describa el comportamiento de la población P(t ) conforme pasa el tiempo en los tres casos: P0 > h/k , P0 = h /k y 0 < P0 < h/k . (c) Utilice los resultados del inciso (b) para determinar si la población de peces desaparecerá en un tiempo finito, es decir, si existe un tiempo T > 0 tal que P(T ) = 0. Si la población desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T .

P ROYECTO 10: F ECHAMIENTO CON POTASIO / A RGÓN : El mineral potasio, cuyo símbolo químico es K , es el octavo elemento más abundante en la corteza terrestre,

2% del peso de ésta, y uno de sus isótopos naturales, el K − 40 es radiactivo. El decaimiento radiactivo del K − 40 es más complicado que el del carbono 14 porque cada uno de sus átomos decae a través de una o dos reacciones de decaimiento en una de dos sustancias: el mineral calcio 40 (Ca − 40) o el gas argón 40 (Ar − 40). Se constituye alrededor de

han desarrollado métodos de fechamiento con estos dos productos de decaimiento. En cada caso, la edad de una muestra se calcula usando la razón entre dos números: la cantidad del isótopo padre

K − 40 en la muestra y la cantidad del isótopo hijo (Ca − 40 o Ar − 40)

en la muestra que es radiogénico, en otras palabras, la sustancia que se origina a partir del

decaimiento del isótopo padre después de la formación de la roca. La cantidad de K − 40 en la muestra es fácil de calcular. El K − 40 incluye 1.17% de potasio natural existente, y este pequeño porcentaje está distribuido de manera bastante uniforme, de modo que la masa de

K − 40 en la muestra es justo 1.17% de la masa total

de potasio en la muestra, que puede medirse. Pero por varias razones resulta complicado, y algunas veces problemático, determinar cuánto de

Ca − 40 en una muestra es radiogénico.

En contraste, cuando una roca ígnea se forma debido a actividad volcánica, todo el gas argón (y otros gases) previamente atrapado en la roca es dispersado por el calor intenso. Cuando la roca se enfría y solidifica, el gas atrapado dentro de la roca tiene la misma composición que la atmósfera. Hay tres isótopos estables del argón, y en la atmósfera aparecen en las abundancias relativas siguientes: 0.063%

Ar − 38, 0.337% Ar − 36 y 99.60% Ar − 40.


215

Ar − 36, no es creado radiogénicamente por el decaimiento de cualquier elemento, de modo que cualquier Ar − 40 que exceda 99.60 /(0.337) = 295.5 veces la cantidad de Ar − 36 debe ser radiogénico. Así, la cantidad de Ar − 40 radiogénico en la muestra puede determinarse a partir de las cantidades de Ar − 38 y Ar − 36 en la muestra, que es posible medir. En el supuesto de que tenemos una muestra de roca para la cual se han determinado la cantidad de K − 40 y la cantidad de Ar − 40 radiogénico, ¿cómo puede calcularse la edad de la roca? Sean P(t ) la cantidad de K − 40, A(t ) la cantidad de Ar − 40 radiogénico y C (t ) la cantidad de Ca − 40 De éstos, justo uno, el

radiogénico en la muestra como funciones del tiempo t en años desde la formación de

la roca. Entonces un modelo matemático para el decaimiento de

K − 40 es el sistema de

ecuaciones diferenciales lineales de primer orden d A d A dP = k A P, = k C P, = −(k A + k C )P dt dt dt donde k A = 0.581 × 10−10 y k C = 4.962 × 10−10 (a) Encuentre una fórmula para P(t ). ¿Cuál es la vida media del K − 40? k

A (b) Demuestre que A(t ) = P(t )( e(k A +k C )t − 1) k A + k C (c) Cuando t → ∞, ¿qué porcentaje del K − 40 originalmente presente en la muestra decae en Ar − 40? ¿Qué porcentaje decae en Ca − 40? (d) Demuestre que la edad t de la roca como una función de las cantidades presentes P(t ) de K − 40 y A(t ) de Ar − 40 radiogénico en la muestra es

t =

1

k A + k C

ln

    A(t )

k A + k C

P(t )

k A

+1

(e) Suponga que se descubre que cada gramo de una muestra de roca contiene 8.6 × 10−7 gramos de Ar − 40 radiogénico y 5.3 × 10−6 gramos de K − 40. ¿Cuál es la edad de la roca?

P ROYECTO 11: (Contaminación de un lago). Um pequeño lago conteniendo 1 000 000 de galones (cerca de 4 550 000 litros) de agua, inicialmente está libre de algún producto químico indeseable. Una tubería que conecta con el lago desecha (al lago) agua conteniendo 0.01 g/galón a razón de 300

galones /hora y el agua también sale del

lago con la misma razón. Suponga que el producto químico esté distribuido uniformemente

en el lago. (a) Sea Q(t ) la cantidad de produto químico en el lago en el instante t . Escriba un problema de valor inicial para Q(t ). (b) Resuelva el problema del inciso (a) para Q(t ). ¿Cuánto producto químico tendrá el lago al final de 1 año? (c) Al final de un año, la fuente de producto químico desechada en el lago es retirada; a partir de ahí, el lago recibe agua pura y la mezcla sale con la misma razón de antes.

Escriba el problema con valor inicial que describe esta nueva situación.

216


(d) Resuelva el problema con valor inicial del ítem (c). ¿Qué cantidad de producto químico todavía permanece en el lago después de 1 año más? (dos años después del inicio del problema). (e) ¿Cuánto tiempo llevará para que Q(t ) = 10 g? (f) Haga una gráfica de Q(t ) en función de t para t hasta 3 años.

P ROYECTO 12: (G OTAS DE LLUVIA CAYENDO ). Suponga que en algún tiempo, que se puede denotar por t = 0, las gotas de lluvia de radio r 0 caen desde el reposo de una nube y se comienzan a evaporar. (a) Si se supone que una gota se evapora de tal manera que su forma permanece esférica, entonces también tiene sentido suponer que la razón a la cual se evapora la gota de lluvia, esto es, la razón con la cual ésta pierde masa, es proporcional a su área superficial. Muestre que esta última suposición implica que la razón con la que el

radio r de la gota de lluvia disminuye es una constante. Encuentre r (t ). (b) Si r 0 = 3.48 mm y r = 2.1336 mm, 10 segundos después que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por

completo. (c) Si la dirección positiva es hacia abajo, construya un modelo matemático para la velocidad v de la gota de lluvia que cae al tiempo t . Desprecie la resistencia del aire. (Sugerencia: Cuando la masa m de un cuerpo está cambiando con el tiempo,

d (mv), donde F es la fuerza neta que actúa dt sobre el cuerpo y mv es su cantidad de movimiento). (d) Determine v(t ) (del inciso (b)) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. la segunda ley de Newton es F =

P ROYECTO 13: (P RECIO , OFERTA Y DEMANDA ). Es claro que la demanda de cualquier artículo (petróleo, ropa o automóviles) depende de su precio (entre otras cosas). Los artículos con mayor precio son por lo general menos atractivos, a menos que el precio esté aumentando y los consumidores quieran adquirirlo a un precio bajo por introducción. Así, para modelar matemáticamente la demanda D(t ) de un producto en el instante t ,

una estimación cruda que ignora todos los factores excepto el precio tomaría la forma D(t ) = d 0

− d 1 p(t ) + d 2 p (t )

donde p(t ) es el precio unitario y las constantes di son positivas. Quienes ofrecen el artículo tratarían naturalmente de capitalizarse con base en artículos con valor creciente,

de modo que un modelo crudo de función de oferta tomaría la forma S (t ) = s0 + s1 p(t ) + s2 p (t )

donde s2

es positiva

Si la demanda excede a la oferta, una estrategia para obtener ganancias indicaría que el precio debe aumentar; si la oferta excede a la demanda, no habrá más alternativa que reducir los precios. Se llegará a un equilibrio económico si el precio fuese tal que la oferta equilibre


217 d

−s

exactamente a la demanda: D(t ) = S (t ), p (t ) = 0 y p(t ) = p eq = d 0+s0 . Veamos una 1 1 cuestión más interesante: ¿Cómo evoluciona un precio (que no es de equilibrio) p(t )

durante un periodo en que la oferta sigue a la demanda, S (t ) = D (t )? (a) Iguale D(t ) y S (t ) y resuelva la ecuación diferencial resultante suponiendo que = d 2 ) para p(t ) en términos de su valor inicial p0 = p (0). s2  −s1 < 0, entonces p(t ) tiende al pre(b) (Estabilidad de precios). Muestre que si d d 21+ s2

→

cio de equilibrio cuando t

∞.

¿Que condiciones sobre las constantes garantizan

que el precio de equilibrio sea positivo (y por tanto realista)? −s1 > 0 y p0 > peq , entonces p(t ) (c) (Inestabilidad de precios). Muestre que si d d 21 + s2 crece sin límite cuando t → ∞. (d) Si el precio unitario de un artículo p(t ) es 5 dólares en t = 0 (meses) y la oferta y la demanda por miles de unidades se modelan como S (t ) = 20 + p (t ) + 6 p (t ) D(t ) = 30

− 2 p(t ) + 4 p (t )

¿cuál será el precio unitario después de

10 meses? ¿Hay estabilidad o inestabilidad

de los precios al aumentar t ?

P ROYECTO 14: (Entropía de un gas ideal). Sea un gas ideal monoatómico cuya 3 energía interna está dada por: U (T ) = nRT , donde n es el número de moles, T es la 2 temperatura y R es la constante de los gases. Si una cierta cantidad de calor dQ fuera proporcionada al gas, su energía interna sufriría una alteración dU y el gas realizaría un trabajo dW . De acuerdo con la primera ley de termodinámica (conservación de energía): dQ = dU + dW . Recordando que la ecuación de estado de gas ideal se escribe P(V , T ) = nRT /V y que dW = p dV , donde V es el volumen del gas, entonces 3 nRT dQ = nR dT + dV 2 V

(3.37)

¿Será dQ una diferencial exacta?

P ROYECTO 15: (Contaminación en el subsuelo).

Cuando un solvente clorado tal

como el tricloroetileno se derrama sobre la tierra, se va introduciendo en el subsuelo que progresivamente la contamina. Este solvente es más denso que el agua pero ligeramente soluble, este permanece mas o menos estable en el agua subterránea que fluye, formando una fuente tóxica. A medida que el agua subterránea fluye a través de la región contaminada va recogiendo partículas tóxicas y las traslada en su recorrido. El diagrama en la figura de abajo proporciona una representación visual de este evento de contaminación. Asumiremos que la región contaminada es un cubo con sección transversal de área A, y la velocidad del agua en el subsuelo es V (llamada la velocidad de Darcy); M (t ) es la masa de la región contaminada y C (t ) es la concentración (masa por volumen) del contaminante

218


contenido en la región. La razón de cambio de la masa M es dada por d M = − AVC dt La concentración C claramente depende de M . Una relación constitutiva es determinada

experimentalmente, y una suposición común es C c0

=

  M

M 0

β

,

β > 0

donde m0 es la masa inicial del contaminante en la fuente y c0 es la concentración inicial en la región. En resumen, obtenemos una ecuación que modela la disolución de la masa en

la región, causada por el agua que fluye en el subsuelo. d M = −α M β dt Finalmente, la degradación debida a procesos bióticos y abióticos causan decaimiento para

tener

d M = −α M β − rM dt

(3.38)

(a) Muestre que α = VAc 0 /mβ 0 . = 1. (b) Resuelva la ecuación (3.38) con M 0 = m0 para los casos (i) β = 1, (ii) β  (c) Sea 0 < β < 1. ¿La fuente de contaminación tiene una vida útil limitada? (Considere ambos casos, r = 0 y r > 0) (d) Tome m0 = 1620 kg, c0 = 1000 mg/L , A = 30 m 2 , V = 20 m/año, y r = 0. Haga una gráfica de M (t ) en los casos β = 2 y β = 0.5 para 0 ≤ t ≤ 100 años .


219

P ROYECTO 15: (Contaminación de los grandes lagos). Durante los años 60 , la contaminación de los Grandes Lagos se convirtió en la principal preocupación, debido a su importancia para el abastecimiento del agua potable y la pesca. Incluso si la contaminación que ingresaba a los lagos se reducía drásticamente, aún tomaba tiempo para que los contaminantes existentes fluyeran fuera de los lagos. La gran pregunta, entonces, es ¿cuánto tiempo les tomaba a los lagos limpiarse por este proceso natural? Intentaremos

responder a esta pregunta utilizando un modelo matemático Comenzaremos con las siguientes suposiciones: (a) La precipitación y la evaporación son iguales, así que para que la cantidad de agua en cada lago se mantenga constante, el flujo hacia el lago es igual al flujo de salida. (b) La velocidad con la que el agua entra y sale de cada lago se mantiene constante a lo largo del tiempo. (c) La contaminación no se elimina del lago, excepto al fluir. (d) La contaminación que ingresa al lago se dispersa de manera uniforme en todo el lago para que, de esta manera, la concentración de la contaminación en el lago se

mantenga constante. (e) Los contaminantes fluyen libremente fuera del lago. Algunas de estas suposiciones son cuestionables y las simplificaciones excesivas. Por ejemplo, los contaminantes pueden estar más concentrados en algunas partes del lago que otros, violando la suposición (d). El DDT y el mercurio tienden a retenerse en el lago, violando la suposición (e). Sin embargo, estas suposiciones nos permiten construir un modelo simple con al menos algo de validez. Se necesitan modelos más sofisticados para

capturar todas las complicaciones de la vida real. Usaremos las siguientes variables en el modelo: V = volumen del lago P L (t ) = concentración de la contaminación en el lago en el tiempo t P E (t ) = concentración de la contaminación en el flujo de entrada al lago en el tiempo t r = razón del flujo r = tiempo en años

De acuerdo a las hipótesis anteriores, el cambio en la contaminación sobre un corto

intervalo de tiempo

∆t es

aproximadamente V

donde

∆P L

ecuación por

diferencial

· ∆P = [P (t ) − P (t )]( r · ∆t ) L

E

L

es la variación en la concentración de la contaminación. Dividiendo esta ∆t y

por V tomando el límite cuando

→ 0,

∆t

dP L [P E (t ) − P L (t )] r = dt V

conseguimos la ecuación

220


Desde que V y r son constantes, sustituimos r /V con k , por tanto la ecuación puede

expresarse como una ecuación lineal de primer orden. dP L + kP L (t ) = kP E (t ) dt Resolviendo esta ecuación obtenemos





t

P L (t ) = e −kt P L (0) + k

0

La figura adjunta muestra los valores de

P E ( x)ekx d x



(1)

1/k

para cada lago (excepto Hurón) medido en años. Los números en la figura pueden ser usados en la ecuación (1) para determinar el efecto de diversos escenarios. El lago de Ontario no se incluye en este análisis debido a que la mayor parte delflujo que ingresa proviene del lago Erie, asi que cualquier proyecto individual para limpiar

el lago Ontario no tendría éxito. No es sorprendente que un alto inmediato a toda la contaminación que ingresa a un lago limpiará el lago más rápido. Haciendo P E (t ) = 0 para todo t

≥ 0,

se reduce a

la ecuación (1)

P L (t ) = e −kt P L (0)

y despejando t de esta última ecuación resulta t =

1 k

ln

  P L (0)

(2)

P L (t )

Podemos usar la ecuación (2) para calcular el tiempo necesario para reducir la contaminación un determinado porcentaje de su nivel actual. Por ejemplo, de la figura, 1/k = 189 para el lago superior. Así que, al reducir la contaminación al 50% de su valor actual,

obtenemos

P L (t ) P L (0)

= 0.5

P L (0)

o

P L (t )

= 2

de donde t = 189ln2

≈ 131

Los valores en la siguiente tabla se determinan de esta manera. Observe el largo tiempo requerido para limpiar el Lago Superior; debido a estos valores grandes de V y valores pequeños de r , resultan valores grandes de 1/k . Afortunadamente, está menos

contaminado en la actualidad que algunos de los otros lagos. A ÑOS DE REDUCCIÓN DE LA CONTAMINACIÓN AL PORCENTAJE DADO


221

Lago 50% 20% 10% 5% Erie 2 4 6 8 Michigan 21 50 71 92 Superior 131 304 435 566 Como mencionamos anteriormente, algunas de las suposiciones en este modelo son cuestionables. Para los contaminantes como el DDT que se retienen en el lago, el tiempo de limpieza real puede ser mucho más prolongado. Es de esperar que partes del lago donde entra la contaminación estén más contaminadas que las áreas alejadas de la fuente de contaminación. Sin embargo, este modelo proporciona una primera estimación del tiempo

necesario para limpiar los lagos

Ejercicio 1. en cada nivel.

Calcule el número de años para reducir la contaminación en el lago Erie

Ejercicio 2. Repetir el ejercicio 1 para el lago Michigan. Ejercicio 3. Repetir el ejercicio 1 para el lago Superior. Ejercicio 4. En este ejercicio afirmamos que la ecuación ecuación diferencial dP L + kP L (t ) = kP E (t ) dt

(1) es solución de la

donde t mide el tiempo a partir del presente. La constante k = r /V mide qué tan rápido se reemplaza el agua en el lago a través de la entrada y salida correspondiente. La constante P L (0)

es el nivel de contaminación actual.

(a) Muestre que la ecuación (1) define una solución de la ecuación diferencial, multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por ekt y luego derivando en ambos lados

con respecto a t . Recuerde del teorema fundamental del cálculo que



d dt

t

f ( x) d x = f (t )

a

(b) Cuando usted sustituye t = 0 en el lado derecho de la ecuación (1) conseguirá P L (0). ¿Qué le pasó a la integral? ¿qué sucedió con el factor e−kt ? (c) En el mapa se indica un valor de 30.8 para el lago Michigan. ¿A qué valor de k corresponde esto? ¿Qué porcentaje del agua en el Lago Michigan se reemplaza cada

año? ¿Qué lago tiene la mayor renovación anual de agua? por entrada?

Ejercicio 5.

Supongamos que en lugar de asumir que toda la entrada de contaminación

cesa de inmediato, modelamos P E (t ) por un decaimiento exponencial de la forma a e− pt donde p es una constante que nos dice qué tan rápido se está limpiando la entrada de

·

contaminación. Para simplificar las cosas, también asumiremos que inicialmente el flujo de entrada y el lago tienen misma concentración de contaminación, así que a = P L (0). A

222


continuación sustituimos P L (0)e− px en lugar de P E ( x) en la ecuación (1), y evaluamos la integral como una función de t .

Ejercicio 6. Cuando usted simplifique el lado derecho de la ecuación (1) usando su nueva expresión para la integral, y luego que factorice y divida por P L (0), obtendrá la siguiente expresión P L (t ) 1 = ke−kp − pe−kt − k p P L (0) (a) Suponga que para el lago Michigan la constante p es igual a 0.02. Realice una gráfica de P L (t )/P L (0) para estimar cuánto tiempo llevará reducir la contaminación al 50% de su valor actual. ¿Cómo se compara esto con el tiempo, suponiendo un flujo de entrada libre de contaminación? (b) Si la constante p tiene el valor 0 para el lago Michigan, ¿Qué te dice eso sobre el





nivel de contaminación en la entrada? En este caso, ¿qué sucede con la expresión P L (t ) /P L (0) con respecto al tiempo?

Ejercicio 7. En el sitio web Wolframalpha.com usted puede digitar y (t ) = ( f (t ) − y) ∗ k , y(0) = a para resolver el problema con valor inicial en esta aplicación extendida, donde se usa a y(t ) para representar a P L (t ), f (t ) representa a P E (t ), y a representa

a P L (0). Verifique esto y compruebe que la solución sea equivalente a la ecuación (1).

Ejercicio 8. Repita el ejercicio 7,

pero en lugar de f (t ) coloque a e ( p t ), que es la forma de P L (t ) usada en los ejercicios 5 y 6. Verifique que la solución es

∗ ∧− ∗

equivalente a la solución dada en el ejercicio 6.

Ejercicio 9. Repita el ejercicio 8 probando otras funciones de

t en lugar de f (t ),

tal como t 3 . Determine las funciones que dan una respuesta reconocible, y verifique esa

respuesta usando la ecuación (1).

3.2 Ecuaciones de segundo orden

223

3.2 Ecuaciones de segundo orden En esta sección ampliaremos nuestro estudio a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan en muchas aplicaciones de las ciencias y la ingeniería. Por ejemplo, se aplican en el estudio de resortes y circuitos eléctricos. El estudiante aprenderá en este capítulo cómo resolver estas ecuaciones

utilizando varios métodos.

DEFINICIÓN Ecuación de segundo orden Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la forma P( x)

d2 y d y + Q( x) + R( x) y = G ( x) d x d x2

(3.39)

donde P, Q, R y G son funciones continuas. Si G( x) = 0 , la ecuación diferencial (3.39) es llamada homogénea; de otro modo, diremos que la ecuación es

no-homogénea. Si cientes constantes.

P, Q y R son constantes, diremos que la ecuación tiene coefi-

Ejemplo 3.41. Las siguientes ecuaciones son de segundo orden (a) y − y + 5 y = x2

(b)

d2 y d y − 3 x + y = e x d x d x2

(c)

d2 y + y = cos x d x2



En toda esta sección estudiaremos ecuaciones de segundo orden con coeficientes

constantes.

3.2.1 Ecuaciones homogéneas de segundo orden A continuación estudiaremos la ecuación (3.39) para el caso G( x) = 0. Así que una

ecuación lineal homogénea tiene la forma d2 y d y + a b + cy = 0 d x d x2

=0 donde a 

(3.40)

Ejemplo 3.42. Las siguientes ecuaciones son homogéneas (a) y − 3 y + 5 y = 0

(b)

d2 y d y − + y = 0 3 d x d x2

(c)

d2 y + y = 0 d x2



224

Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones ecuaciones diferencialesdiferenciales- Lord Barrera

¿Cómo resolver una ecuación homogénea? Consideremos la ecuación lineal homogénea de segundo orden ay + by + cy = 0

a=0

(3.41)



Para resolver esta ecuación debemos considerar ar 2 + br + c = 0

que es llamada ecuación característica de (3.41). 3.41). Note que esta esta es una una ecuación algebraica cuyas raíces pueden ser halladas, algunas veces, mediante factorización o usando la

fórmula cuadrática

−b + r 1 =

 − b2

4ac

−b − r 2 =

y

2a

 − b2

4ac

2a

A continuación distinguiremos tres casos de acuerdo a los signos del discriminante ∆

Primer caso:

b2

− 4ac

>

= b2

− 4ac

0.

En este caso, las raíces r 1 y r 2 de la ecuación característica son reales y distintas; distintas; así

la solución solución gener general al de (3.41) 3.41) resulta y( x) = c 1 er 1 x + c2 er 2 x

Ejemplo 3.43. Resuelva la ecuación diferencial diferencial y

− 5 y − 14 y = 0

Solución. La ecuación característica es (r 7)(r + 2) = r 2

−

− 5r − 14 = 0

= 7 y r = = −2. Por tanto, y( x) = c1 e−2 x + c2 e7 x . de donde r =

Ejemplo 3.44. Resuelva la ecuación diferencial para y

− 2 y − 15 y = 0

y(0) = 1

donde y satisface las condiciones y, donde y ( 0) =

Solución. La ecuación característica es (r 5)(r + 3) = r 2

−



− 2r − 15 = 0

−1


225

= 5 o r = = −3. Luego, la solución general de donde r = general es y( x) = c 1 e−3 x + c2 e5 x

Utilicemos ahora las condiciones y(0) = 1 e y (0) = −1 y = c 1 e−3 x + c2 e5 x y =

−3c1e−3

x

+ 5c2 e5 x

y(0) = c 1 + c2 = 1 y (0) =

−3c1 + 5c2 = −1

Resolviendo las dos ecuaciones resulta 3 c1 = 4 Entonces, la solución particular es

y

3 4

c2 =

1 4

1 4

y( x) = e −3 x + e5 x

Segundo caso:

b2



− 4ac = 0.

En este caso, r 1 = r 2 , es decir, decir, las raíces de la ecuación característica característica son reales e

= r 1 = r 2 , entonces iguales. Sea r = entonces la solució soluciónn genera generall de ( 3.41) 3.41) result resultaa y( x) = c1 erx + c2 xerx

Ejemplo 3.45. Resuelva la ecuación diferencial diferencial y

− 6 y + 9 y = 0

Solución. La ecuación característica es (r 3)2 = r 2

−

− 6r + 9 = 0

= 3. de donde r = 3. Por tanto, tanto, y( x) = c1 e3 x + c2 xe3 x .

Tercer caso:

b2

− 4ac

<

0.

En este caso, las raíces son complejas, digamos r 1 = p p =

−b/2a y q =



 − 4ac

b2 /2a.

− iq

y r 2 = p + iq, dond dondee

Por tanto, la solución solución general tiene tiene la forma

y( x) = e px (c1 cos qx + c2 sen qx)

226


Ejemplo 3.46. Resuelva la ecuación y

− 4 y + 5 y = 0

Solución. La ecuación característica es ¯ r 2 − 4r + 5 = 0 Resolviendo obtenemos = r =

−(−4)

 ± −

( 4 )2

2 (1 )

y las raíces resultan r = = 2 + i y r = = 2

general es

− 4(1)(5)

− i. Por tanto, tanto,

=

4 ±

√ −4 2

luego, la soluci solución ón p = 2 y q = 1, luego,

y( x) = e2 x (c1 cos x + c2 sen x)



Sabiendo que el problema problema de valor inicial inicial que describe un sistema masaEjemplo 3.47. Sabiendo resorte está dado por y + 2 y = 0

y (0) = 1

y(0) = 0

Encuentre Encuentre la solución solución general de la ecuación diferencial y resuelva el problema de valor

inicial.

Solución. La ecuación característica es r 2 + 2 = 0, Luego, la solución de la ecuación diferencial es y(t ) = c 1 cos(

√

y tiene tiene como como raíces raíces r = =

±√ 2 i.

√

2 t ) + c2 sen( 2 t )

Para resolver resolver el problema problema de valor inicial precisamos precisamos calcular la derivada derivada de la solución

general

√ √ √ √  y (t ) = −c1 2sen( 2 t ) + c2 2cos ( 2 t )

y reemplazando y(0) = 0 e y (0) = 1 obtenemo obtenemoss c1 = 0

La solución resulta y(t ) =

y

√ 2 2

c2 =

√

sen( 2 t )

√ 2 2




227

Ejercicios Ejercicio 3.1. En cada caso, determine la solución general de la ecuación diferencial dada: (a) (d) (g) (j)

3 y − y = 0 y − 8 y = 0 y − 3 y + 2 y = 0 y − 4 y + 5 y = 0

(b) 2 y + 5 y = 0 (e) y + 9 y = 0 (h) y − y − 6 y = 0 (k) 8 y + 2 y − y = 0

(c) (f) (i) (l)

y

− 16 y = 0

4 y + y = 0 y + 3 y − 5 y = 0 y − 4 y + 5 y = 0

Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva el problema de valores valores iniciales   (a) y + 16 y = 0, y(0) = 2, y (0) = −2 (b) y − y = 0, y(0) = y (0) = 1 (c) y + 6 y + 5 y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3 (d) y − 8 y + 17 y = 0, y(0) = 4, y (0) = −1 (e) 2 y − 2 y + y = 0, y(0) = −1, y (0) = 0

Proyectos Ejercicio 3.1. (Pozo a través través de la Tierra).

Su-

ponga que se perfora un pozo a través de la Tierra de mane manera ra que que éste éste pasa pasa por por el cent centro ro de la mism misma. a.

superficie

Se deja caer un cuerpo con masa m dentro del

pozo. Considere que la distancia desde el centro de la Tierra a la masa en el tiempo t se denota

por medio de r . (Vea (Vea la figura figura adjunta). Tierra y M r r la masa de la porción de la la Tierra den(a) Deje que M denote la masa de la Tierra tro de una esfera de radio r . La fuerza gravitaci gravitacional onal sobre sobre m es F = = kM r r m/r 2 , donde el signo menos indica que la fuerza es de atracción. Use este hecho para

−

mostrar que = F =

−k mM r R3

(Sugerencia: Suponga que la Tierra es homogénea, esto es, que tiene una densidad

4 3

constante ρ . Ahora Ahora bien, bien, M = = ρ π R3 , así que M / M r r = R3 /r 3 y M r r = r 3 M / R3 .

= −kM r r m/r 2 ). Ahora sustituya en F =

Newton F = = ma y el resultado resultado del inciso inciso (a) para deduci deducirr (b) Utilice la segunda ley de Newton la ecuación diferencial d2 r = 2 + ω 2 r = = 0 F = dt donde ω 2 = kM / R3 = g / R Resuelva a la ecuación ecuación diferen diferencial cial del del inciso inciso (b) si la masa m se suelta desde el (c) Resuelv reposo en la superficie de la Tierra. Interprete su respuesta utilizando R = 3959 km .

228


Ejercicio 3.2. La figura muestra un péndulo de longitud L y ángulo θ a partir de la vertical del del péndulo. Se puede mostrar que θ , como función función del tiempo, satisface la ecuación diferencial no

lineal

d2 θ g + sen θ = 0 dt 2 L



L

donde g es la aceleración de la gravedad. gravedad. Para valores pequeños de θ , podemos podemos usar la la aproxiaproxi-

≈ θ , y entonces entonces la la ecuación ecuación sen θ ≈ diferencial se convierte en lineal.

mación lineal

(a) Determine la ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m si inicialmente θ = 0.2 rad y la velocidad angular es dθ /dt = = 1 rad /s. Respuesta: √ √ √ θ (t ) = 0.2cos ( 9.8t ) + (1/ 9.8) sen( 9.8t ). vertical? Respuesta: aproximadamente (b) ¿Cuál es el ángulo máximo a partir de la vertical? 0.377 0.377 radianes. radianes. necesario para una oscilación (c) ¿Cuál es el periodo del péndulo? (esto es, el tiempo necesario completa) Respuesta: aproximadamente aproximadamente 2.007 segundos. (d) ¿Cuándo el péndulo estará por primera vez en la vertical? Respuesta: aproximadamente 0.825 0.825 segundos segundos.. (e) ¿Cuál es la velocidad angular del péndulo péndulo cuando ella está en la vertical? Respuesta: θ  (0.825 ) ≈ −1.180 rad /s.

Ejercicio 3.3. (Ingeniería de sistemas). Considere el problema con valores iniciales d2 θ + sen θ = = 0, dt 2

θ (0) =

π

12

,

θ  (0) =

O

− 13

mg cos



l

para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resolver la ecuación diferencial, no es posible

mg sen 

encontrar una solución explícita de este problema. Pero suponga que se desea determinar la primer

P W mg

t 1 > 0 para la cual el péndulo de la figura adjunta,

=

comenzando comenzando desde su posición posición inicial a la derecha, derecha, alcanza la posición posición OP, es decir decir,, la primera raíz positiva de θ (t ) = 0. En este problema y el siguiente, siguiente, se examinan examinan varias

formas de cómo proceder (a) Aproxime t 1 resolviendo el problema lineal d2 θ + θ = 0, dt 2

θ (0) =

π

12

,

θ  (0) =

− 13


229

(b) Use series de Taylor para encontrar los primeros cuatro términos no nulos de una solución en serie de Taylor θ (t ) centrada en 0 para el problema con valores iniciales no lineal. Dé los valores exactos de los coeficientes. (c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar t 1 . (d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar t 1 . (e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora gráfica) para encontrar raíces y (f)

los primeros cuatro términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar t 1 . En esta parte del problema se proporcionan las instrucciones de Mathematica que permiten aproximar la raíz t 1 . El procedimiento se modifica con facilidad por lo que se puede aproximar cualquier raíz de θ (t ) = 0. (Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tiene.) Reproduzca con precisión y luego, a su vez, ejecute cada línea de la secuencia dada

de instrucciones. sol = NDSolve[y”[t]=0+Sin y[t]==0, y(0)==Pi/12, y’(0)==-1/3, y’,t,0,5]//Flaten = Solución=y[t]/. sol = Clear[y] = y[t]:=Evaluate[Solución] = y[t] = gr1=Plot[y[t],t,0,5] = root=FindRoot[y(t)==0,t,1] (g) Modifique de manera apropiada la sintaxis del inciso (f) y determine las siguientes dos raíces positivas de θ (t ) = 0.

230


3.2.2 Ecuaciones Ecuaciones no homogén homogéneas eas de de segundo segundo orden En esta oportunidad aprenderemos aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de la forma a

d2 y d y + b + cy = G ( x) d x d x2

(3.42)

Es decir, ecuaciones de segundo orden no homogéneas y con coeficientes constantes. La ecuación homogénea d2 y d y + a b + cy = 0 (3.43) d x d x2 se llama ecuación complementaria y juega un papel importante en la solución de la ecuación (3.42 (3.42)) La solución general de la ecuación no homogénea (3.42 ) se puede escribir como y( x) = y p ( x) + yc ( x)

donde y p es una solución particular de la la ecuaci ecuación ón (3.42) 3.42) e yc es la solución

complemen complementaria taria de ( 3.43). 3.43). Ya sabemos resolver la ecuación complementaria, ahora nos ocuparemos de hallar la solución particular y p . Existen dos métodos métodos para hallar una solución particular: particular: el método

de los coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros.

Método de los coeficientes indeterminados Con este método método se resuelve resuelve la ecuación ecuación ( 3.42) 3.42 ) d2 y d y + a b + cy = G ( x) d x d x2 según sea la forma de G( x).

Primer caso. G( x) = a 0 + a1 x + . . . + an xn En este caso, la solución particular tiene la forma y p ( x) = x s ( A0 + A1 x + . . . + An xn )

= 0 es raíz de la ecuación donde r = ecuación característica, de multiplicidad s.


231

Ejemplo 3.48. Resuelva la ecuación y + y

− 2 y = x2

característica de la parte homogénea es Solución. La ecuación característica r 2 + r

− 2 = (r − 1)(r + 2) = 0

y las raíces son r = = 1 y r = =

complementaria es

−2.

De este modo, modo, la solución solución general general de la ecuación ecuación

yc ( x) = c1 e x + c2 e−2 x

Puesto que G( x) = x 2 es un polinomio de grado

= 0 no es raíz de la ecuación 2, y r = característica, debemos hallar una solución particular de la forma y p ( x) = A0 + A1 x + A2 x2

Por lo tanto, y p ( x) = A1 + 2 A2 x

y

y p ( x) = 2 A2

Así que al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene 2 A2 + (2 A2 x + A1 ) − 2( A0 + A1 x + A2 x2 ) = x 2 o bien

−2 A2 x2 + (2 A2 − 2 A1 ) x + (2 A2 + A1 − 2 A0 ) = x2 Los polinomios son iguales cuando sus coeficientes lo son; así

−2 A2 = 1

2 A2 − 2 A1 = 0

2 A2 + A1 − 2 A0 = 0

La solución de este sistema de ecuaciones es A2 =

− 12

A1 =

− 12

A0 =

− 34

Por tanto, la solución particular es y p ( x) =

− 12 x2 − 12 x − 34

y la solución general de la ecuación no homogénea es y( x) = y c ( x) + y p ( x)

= c1 e x + c2 e−2 x

− 12 x2 − 12 x − 34



232


Ejemplo 3.49. Resuelva la ecuación y + y = 2 + x2

Solución. La ecuación característica característica de la parte homogénea es = 0 r 2 + r = y sus raíces son r 1 = 0 y r 2 =

mentaria es

−1.

De esta manera, manera, la solución solución de la ecuación ecuación complecomple-

yc ( x) = c 1 + c2 e− x

Puesto que G( x) = 2 + x2 es un polinomio de grado

= 0 es raíz de la ecuación 2 y r = característica, de multiplicidad multiplicidad 1, la solución particular tiene la forma y p ( x) = x ( A0 + A1 x + A2 x2 ) = A0 x + A1 x2 + A2 x3

Ahora bien, y p ( x) = A 0 + 2 A1 x + 3 A2 x2

y p ( x) = 2 A1 + 6 A2 x

y

Sustituyendo y p e y p en la ecuación y + y = 2 + x2 llegamos a (2 A1 + 6 A2 x) + ( A0 + 2 A1 x + 3 A2 x2 ) = ( A0 + 2 A1 ) + (2 A1 + 6 A2 ) x + 3 A2 x2 = 2 + x2 De donde se obtiene A0 = 4, A1 =

de la ecuación no homogénea es

−1

y A2 = 1/3. Por tanto, tanto, una solución solución particula particularr

1 3

y p ( x) = 4 x x2 + x3

−

y la solución general de la ecuación no homogénea es 1 3

y( x) = c 1 + c2 e− x + 4 x x2 + x3

−

Segundo caso. G( x) = ( a0 + a1 x + . . . + an xn )ekx En este caso elegimos y p ( x) = x s ( A0 + A1 x + . . . + An xn )ekx

= k es raíz de la ecuación característica, de donde r = de multiplicidad s.




233

Ejemplo 3.50. Determine la solución general de y + 4 y = e3 x = r 2 + 4 = 0 y tiene raíces r =

Solución. La ecuación característica es la solución complementaria es

±2i.

Así que que

yc = c 1 cos2 x + c2 sen2 x

Ahora bien, la solución particular, en principio, tiene la forma y p = Ke 3 x . De donde y p = 3Ke3 x

y

y p = 9Ke3 x

que al sustituir en la ecuación inicial obtenemos 9Ke3 x + 4(Ke3 x ) = e3 x 1 e3 x , y la solució Por tanto, K = = 1/13. Así, la solució solución n particular particular es y p = 13 solución n general general de

la ecuación no homogénea resulta

y( x) = y c ( x) + y p ( x) = c1 cos2 x + c2 sen2 x +

1 3 x e 13



Tercer caso. G( x) = eα x ( A cos β x x + B sen β x x) En este caso elegimos y p ( x) = x s eα x ( A cos β x x + B sen β x x)

donde α ± β i es el par conjugado de la ecuación característica, de multiplicidad s.

Ejemplo 3.51. Resuelva la ecuación y + y − 2 y = sen x. tiene la forma y p ( x) = A cos x + B sen x. Solución. La solución particular tiene se obtiene y p ( x) = A sen x + B cos x

−

y

Derivand Derivando o

y p ( x) = A cos x B sen x

−

−

Al sustituir en la ecuación inicial llegamos a ( 3 A + B) cos x + ( A

−

y resolviendo conseguimos conseguimos

− − 3 B) sen x = sen x 1 y B = − 3 . o sea que la solución particular es A = − 10 10 1 3 y ( x) = − cos x − sen x 10 10 p

Finalmente, la solución general de la ecuación no homogénea es y( x) = c 1 e x + c2 e−2 x

− 101 cos x − 103 sen x



234


Método de variación de parámetros Supongamos ahora que ya tenemos resuelta la ecuación diferencial homogénea ay + by + cy = 0

cuya solución es

y( x) = c 1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)

(3.44)

donde y1 ( x) e y2 ( x) son soluciones linealmente independientes. independientes. A continuación, reemplazamos las constantes (o parámetros) c1 y c2 en la ecuación ecuación (3.44) 3.44) por funcione funcioness arbitrarias u1 ( x) y u2 ( x). Una solución particular particular para la ecuación no homogénea homogénea ay + by + cy = G ( x)

tiene la forma

y p ( x) = u1 ( x) y1 ( x) + u2 ( x) y2 ( x)

(3.45)

Este método es llamado variación de parámetros porque variamos los parámetros c1 y c2 como funciones. Las soluciones de u1 y u2 resultan de resolver u1 y1 + u2 y2 = 0 a(u1 y1 + u2 y2 ) = G

Ejemplo 3.52. Determine la solución general de y − 3 y + 2 y = 4 x

cuya Solución. Resolvemos primero la ecuación homogénea y − 3 y + 2 y = 0, cuya ecuación auxiliar es r 2 − 3r + + 2 = 0, con con raíce raícess r = = 1 y r = = 2. Por Por tanto tanto,, y1 = e x e y2 = e 2 x son dos soluciones independientes de la ecuación homogénea, y la función

complementaria es yc = C 1 e x + C 2 e2 x

Se puede encontrar una solución particular y p ( x) de la ecuación ecuación no homogénea homogénea de la

forma y p = u1 e x + u2 e2 x , donde u1 y u2 cumplen u1 e x + u2 e2 x = 0 u1 e x + 2u2 e2 x = 4 x

Resolvemos estas ecuaciones lineales obteniendo u1 y u2 y después integramos, integramos, con lo

que resulta u1 =

−4 xe−

x

u1 = 4( x + 1)e− x

Entonces y p = 4 x + 4

−4 xe−2 u2 = −(2 x + 1)e−2

u2 =

− (2 x + 1) = 2 x + 3

x

x

es una solución particular particular de la ecuación no

homogénea, y la solución general es

y = 2 x + 3 + C 1 e x + C 2 e2 x




El caso cuando

235

G( x) = G1 ( x) + G2 ( x)

Suponga que G( x) = G1 ( x) + G2 ( x), hacemos lo siguiente: Si y p1 e y p2 fueran las soluciones particulares de ay + by + cy = G 1 ( x)

ay + by + cy = G 2 ( x)

respectivamente, entonces y p1 + y p2 es una solución particular de ay + by + cy = G1 ( x) + G2 ( x)


y + y = 4 x + 10sen x

Solución. La solución de la ecuación homogénea es yc = C 1 cos x + C 2 sen x

Debido a que G( x) = G 1 ( x) + G2 ( x), donde G1 ( x) = 4 x y G2 ( x) = 10sen x, las

correspondientes soluciones particulares son de la forma y p1 = Ax + B

pero r =

y p2 = C cos x + D sen x

±i tiene multiplicidad 1; por tanto, la solución particular y

p2

tiene la forma

y p2 = Cx cos x + Dx sen x Luego

y p = Ax + B + Cx cos x + Dx sen x

Derivando este resultado y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene y p + y p = Ax + B

y por tanto, A = 4,

− 2C sen x + 2 D cos x = 4 x + 10sen x B = 0, C = −5 y D = 0 y la solución particular resulta y = C 1 cos x + C 2 sen x + 4 x − 5 x cos x p



236


Ejercicios Ejercicio 3.1. En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados (a) y + 4 y + 4 y = 2 x + 6 (d) y − 2 y + y = x3 + 4 x (g) y − 2 y − 3 y = 4e2 x + 2 x3

(b) y − 9 y = 54 (e) y − 4 y = 7e4 x (h) y + y + y = x2 e x + 3

(c) 2 y − 7 y + 5 y = −29 (f) y + 25 y = 6sen x (i) y − 8 y + 25 y = e3 x

Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados sujeta a las condiciones iniciales. (a) y − 64 y = 16, y(0) = 1, y (0) = 0 (b) y + 5 y − 6 y = 10e2 x , y(0) = 1, y (0) = 0 Ejercicio 3.3.

En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por variación de parámetros

(a) 4 y + y = cos x (d) y − y = e x (g) y − 3 y + 2 y =

1 1 + e− x

(b) y − 2 y − 3 y = x + 2 (e) y + y = sec2 x

(c) y − 2 y + y = e2 x (f) y + y = sec3 x

(h) y + 3 y + 2 y = sen(e x )

(i) y − 2 y + y =

e x

1 + x2

Ejercicio 3.4. (Diabetes). Bajo ciertas circunstancias, la ecuación y + 2ay + by = 0

donde y(t ) = Y (t )

− Y 0

es la diferencia entre la concentración de glucosa Y (t ) en el

flujo sanguíneo de un paciente, luego de t horas que se inyectó la glucosa, e Y 0 es la concentración ideal de la glucosa en el flujo sanguíneo; puede a ayudar a determinar

√

cuándo una persona tiene diabetes o no. Mediante un estudio se dedujo que: si 2π / b < 4, entonces es imposible que el paciente tenga diabetes; mientras que si 2π / b > 4, el

√

paciente tiene diabete. Asuma que y(0) = 12 e y (0) = 0. Resuelva esta ecuación si para un paciente se determina que b = 4 y luego resuelva esta ecuación si para un paciente se determina que b = 1. Haga una gráfica de la solución en cada caso. ¿Es problable que el

paciente tenga diabetes? Explique.


237

Proyectos Ejercicio 3.1. (Conservación de la flora marina).

Puesto que el fosfato es a menudo un

nutriente limitante para el crecimiento de algas en lagos, en el manejo de la calidad del agua es importante ser capaces de predecir la entrada de fosfato en lagos. Una fuente es el

sedimento en el lecho del lago. Un modelo matemático que describe la concentración del fosfato en el sedimento del lecho de un lago es la ecuación diferencial d 2C C ( x) − C (∞) = F = λ 2 d x2 donde C ( x) es la concentración de fosfato a una profundidad x desde la superficie del sedimento, C (∞) es la concentración de equilibrio a profundidad “infinita”, esto es, C (∞) =

l´ım C ( x), y λ > 0 es un parámetro de “norma de espesor” de la porosidad del

x

→

∞

sedimento, el coeficiente de difusión del ion fosfato y una tasa de absorción constante. Resuelva esta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial C (0) = 0. Respuesta: C ( x) = C (∞)( 1

x/λ

− e−

).

238


3.3 Transformada de Laplace La transformada de Laplace proporciona un método algebraico para obtener una

solución particular de una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas.

3.3.1 Propiedades elementales DEFINICIÓN Transformada de Laplace La transformada de Laplace de una función de una función



+∞

F (s) = L ( f ) =

0

f (t ) se

define mediante

e−st f (t ) dt

Notemos que esta integral es impropia cuyo valor se resuelve mediante



+∞



c

e−st f (t ) dt = l´ım c →+

∞

0

0

e−st f (t ) dt

Ejemplo 3.54. Determine la transformada de Laplace de la función

f (t ) = t , t > 0.

Solución. De acuerdo a la definiión de transformada de Laplace



+∞

L ( f ) = L (t ) =

0

que al usar integración por partes resulta



+∞

L (t ) =

= l´ım c

c

e−st t dt = l´ım c

0

→+

∞



e−st t dt



→+

∞

e−sc (−sc − 1) s2

0



e−st t dt = l´ım c

1

+

s2

=

→+

∞

e−st (−st − 1) s2

c

0

1 s2

Ejemplo 3.55. Determine la transformada de Laplace de la función

 



f (t ) = cos at .

Solución. Por definición



+∞

L ( f ) = L (cos at ) =

0

que al usar integración por partes resulta



c

L (cos at ) =

c

l´ım + →

∞

= l´ım c

→+

∞

0



e−st cos at dt =

+ →l´ım

c

∞

e−st cos at dt

e−sc (−s cos ac + a sen ac) s2 + a2

  

e−st (−s cos at + a sen at ) s2 + a2

 − −

s s2 + a2

=

c

0

s

s2 + a2



3.3 Transformada de Laplace

239

A continuación presentamos una breve tabla de transformada de Laplace. Ellas son

suficientes para los cálculos que realizaremos f (t ) = L −1 (F )

1. 2.

1

1

s

t n−1

1

(n 1)!

sn

−

1

3.

e−at

4.

1 − e−at

5.

cos at

6.

sen at

7.

s+a a s (s + a ) s s2 + a2 a s2 + a2

1 − cos at

8.

at

9.

e−at

− e−

10.

ae−at

− be−

− sen at bt

a2 s(s2 + a2 ) a3 s2 (s2 + a2 ) b

−a

(s + a)(s + b) bt

f (t ) = L −1 (F )

L ( f ) = F (s)

s (a

− b)

(s + a)(s + b)

Propiedades de linealidad (a) L ( f + g) = L ( f ) + L (g) (b) L (a f ) = a L ( f ) Transformada de f  y f  (c) L ( f  ) = sL ( f ) − f (0) (d) L ( f  ) = s2 L ( f ) − s f (0) − f  (0)

11.

te −at

12.

t n−1 e−at

13. 14.

e−at (1

[(b

1 ( s + a) 2 (n 1)! ( s + a) n

− s

− at )

( s + a) 2

− a)t + 1]e−

at

15.

sen at − at cos at

16.

t sen at

17.

sen at + at cos at

18.

t cos at

19.

e−at sen bt

20.

e−at cos bt

L ( f ) = F (s)

s+b

( s + a) 2

2a3 (s2 + a2 )2

2as (s2 + a2 )2

2as2 (s2 + a2 )2 s2

− a2

(s2 + a2 )2 b

(s + a)2 + b2 s+a

(s + a)2 + b2


240

Ejemplo 3.56. Sabiendo que se cumple f (0) = 0 y f  (0) = 1, de f  (t ) − 2 f  (t ) en términos de s y la transformada de f (t ).

exprese la transformada

Solución. Usando la propiedad de linealidad y las transformadas de las derivadas, tenemos

 (t ) − 2 f  (t )] = L ( f  ) − 2L ( f  )

L [ f

= [ s2 L ( f )

− s f (0) − f  (0)] − 2[sL ( f ) − f (0)] = [ s2 L ( f ) − s(0) − 1] − 2[sL ( f ) − 0] = ( s2 − 2s)L ( f ) − 1



3.3.2 Transformada inversa de Laplace Si la transformada de Laplace de una función es conocida, entonces es posible determi-

nar la función encontrando la transformada inversa.

−1 (F ) = f (t )

L L 1

− denota la transformada inversa.

donde

Ejemplo 3.57. Si

F (s) =

s s2 + a2

, de la transformada (5) de la tabla vemos que

−1 −1 L (F ) = L

  s

s2 + a2

= cos at

f (t ) = cos at



Ejemplo 3.58. Si (s2 − 2s)L ( f ) − 1 = 0, entonces L ( f ) =

1 s2

o

− 2s

F (s) =

1 s( s

− 2)

Por tanto tenemos f (t ) = L −1 (F ) = L −1





1

Propiedades de linealidad (a) (b)

L 1 (F + G) = L 1 (F ) + L 1 (G)

− − L −1 (aF ) = a L −1 (F )



  

−2 = − 1 1 − e2t 1 = − L −1 2 2 s( s − 2 ) s (s − 2 ) −



3.3 Transformada de Laplace Ejemplo 3.59. Si

F (s) =

241

s+5 s2 + 6s + 10

, entonces

−1 (F ) = L −1

L



s+5 s2 + 6s + 10



Desde que s2 + 6s + 10 = ( s2 + 6s + 9) + 1 = ( s + 3)2 + 1

Podemos escribir F (s) =

(s + 3) + 2 s+3 2 = + (s + 3 )2 + 1 ( s + 3 ) 2 + 1 (s + 3 )2 + 1

Encontrando la inversa de cada término tenemos

−1 (F ) = L −1

L



s+3

(s + 3 )2 + 1

  + L −1

2 ( s + 3) 2 + 1

f (t ) = e −3t cos t + 2e−3t sen t



f (t ) = e −3t (cos t + 2sen t )

Ejemplo 3.60. Si

F (s) =

5s2 − 17s + 32 , entonces s3 − 8s2 + 16s

−1 (F ) = L −1

L

Hacemos

Ahora bien





5s2 − 17s + 32 s3 − 8s2 + 16s



5s2 − 17s + 32 5s2 − 17s + 32 A B C = = + + s s−4 (s − 4 )2 s3 − 8s2 + 16s s (s − 4 )2 5s2 − 17s + 32 = A (s − 4)2 + Bs(s − 4) + Cs s = 0 : s = 4 :

coeficientes de s2 :

32 = 16 A, A = 2 5(42 ) − 17(4) + 32 = 4C , 5 = A + B, 5 = 2 + B,

C = 11 B = 3

Encontrando la inversa de cada término tenemos



2

3

11 −1 −1 + + L (F ) = L s s−4 (s − 4 )2 −1 4t 4t L (F ) = f (t ) = 2 + 3e + 11te

 


242

Ejercicios Ejercicio 3.1. Use la definición de la transformada de Laplace para dederminar (a) f (t ) = 1 (b) f (t ) = sen at

L ( f ).

Ejercicio 3.2. En cada caso, use la tabla para determinar la transformada de la función dada. (a) e3t (e) 8e−3t sen4t

(b) 2t sen3t + e−3t cos t (f) cos 2t − sen2t

(c) 5t 3 e−2t t (g) 1 − cos2tt

(d) 3 + 2t cos3t (h) t 3 − 3te −t

Ejercicio 3.3. En cada caso, exprese la transformada de la expresión dada en términos de s y L ( f ). (a) y + y , y(0) = 0, y (0) = 1 (b) y − 3 y , y(0) = 2, y (0) = −1 (c) 2 y − y + y, y(0) = 1, y (0) = 0 (d) y − 3 y + 2 y, y(0) = −1, y (0) = 2 Ejercicio 3.4. (a) (e)

En cada caso, determine la transformada inversa de la función F (s) dada.

2

(b)

s3

6 s2 + 4

(f)

1 s3 + 3s2 + 3s + 1 s2 1

−

s4 + 2s2 + 1

(c)

15

2s + 6 s+2 (g) 2 (s + 9 ) 2

(d) (h)

3 s4 + 4s2 s+3 s2 + 4s + 13


243

3.3.3 Resolviedo ecuaciones diferenciales A continuación mostraremos como las ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas

usando tyransformadas de Laplace.

Ejemplo 3.61. y(0) = 1

Usando transformadas de Laplace, resuelva la ecuación 2 y

− y = 0,

si

Solución. Tomando transformada en cada término de la ecuación tenemos

 ) − L ( y) = L (0) 2L ( y ) − L ( y) = 0 Recuerde que L (2 y

Por otra parte, desde que

L ( y

L (0) = 0

 ) = sL ( y) − y(0), obtenemos 2[sL ( y) − 1] − L ( y) = 0

Resolviendo

L ( y),

conseguimos 2sL ( y) − L ( y) = 2

que implica L ( y) =

2 2s − 1

=

1 s

y al determinar la transformada inversa conseguimos

− 12

y = et /2



Ejemplo 3.62. Resuelva la ecuación y + 2 y + 2 y = 0, si y(0) = 0, y (0) = 1. Solución. Usando los mismos pasos que en el ejemplo anterior:

 ) + 2L ( y ) + 2L ( y) = 0

L ( y

[s2 L ( y)

− sy(0) − y (0)] + 2[sL ( y) − y(0)] + 2L ( y) = 0 [s2 L ( y) − s(0) − 1] + 2[sL ( y) − 0] + 2L ( y) = 0 s2 L ( y) − 1 + 2sL ( y) + 2L ( y) = 0 (s2 + 2s + 2)L ( y) = 1

1 1 = ( s + 1) 2 + 1 s2 + 2s + 2 y = e−t sen t

L ( y) =



244


Ejemplo 3.63. Resuelva la ecuación y + y = cos t , si y(0) = 1, y (0) = 2. Solución. Usando los mismos pasos que en el ejemplo anterior: L ( y

[s2 L ( y)

 ) + L ( y) = L (cos t )

− s(1) − 2] + L ( y) = s2 +s 1 (s2 + 1)L ( y) = L ( y) =

y =

s

s2 + 1 s

+ s + 2

(s2 + 1)

+ 2

s s2 + 1

+

2 s2 + 1

t

sen t + cos t + 2sen t 2



Ejemplo 3.64. Un resorte es estirado 1 pie por un peso de 16 libras. La resistencia media al movimiento es con una fuerza de 4v, donde v es la velocidad del movimiento. la ecuación diferencial que describe el desplazamiento y de este peso es d y 1 d2 y + 4 + 16 y = 0 2 2 dt dt Determine y como función de t , si y (0) = 1 y d y/dt = 0 para t = 0. y + 8 y + 32 y = 0 L ( y

[s2 L ( y)

 ) + 8L ( y ) + 32L ( y) = 0

− s(1) − 0] + 8[sL ( y) − 1] + 32L ( y) = 0

(s2 + 8s + 32)L ( y) = s + 8

Por tanto, L ( y) =

s+8

(s + 4)2 + 42

=

s+4

+ 2

(s + 4 )2 + 4

4 (s + 4)2 + 42

que implica y = e −4t cos4t + e−4t sen4t = e −4t (cos4t + sen4t )




245

Ejercicios Ejercicio 3.1. Utilice transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones: (a) y + y = 0, y(0) = 1 (b) 2 y − 3 y = 0, y(0) = −1 (c) y + 3 y = e−3t , y(0) = 1 (d) y + 4 y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1 (e) 9 y − 4 y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 (f) 4 y + 4 y + 5 y = 0, y(0) = 1„ y (0) = −1/2 (g) y + 2 y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = −2 (h) y − 4 y + 5 y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2 (i) y + 2 y + y = 3te−t , y(0) = 0, y (0) = 2 (j) 2 y + y − y = sen3t , y(0) = 0, y (0) = 0

Bibliografía

Libros [Ad] Adams R. - Bivens I. - Davis S. Calculus, Early Transcendentals. Pearson, 2010. [Ba] Barrera L. Cálculo de varias variables, con aplicaciones. Editorial San Marcos, 2014. [Lar] Larson R. and Falvo D. Precalculus with Limits. Brooks/Cole, 2011. [Li] Lial and Raimond Calculus with applications. Pearson, 2017. [Ma] Marsden J.E. and Tromba A.J Vector Calculus. Freeman and Company, 2003. [Ro] Rogawski J. Calculus early transcendentals. Freeman and Company, 2008. [St] Stewart J. Calculus, Early Transcendentals. Thomson Learning, 2008. [Tan] Tan S.T. Calculus, Early Transcendentals. Brooks/Cole, 2011.

Artículos [Ba] Barrera L. O teorema do H-cobordismo e conjectura generalizada de Poincare . Departamento de Ciencias-UFPE, 2003.

Índice alfabético

Aproximación lineal, 57 Aproximaciones lineales y planos tangen-

tes, 57 Centro de una circunferencia, 13 Cilindro circular recto, 14 Cono elíptico, 18 Curva de nivel, 31 Curvas de nivel, 10

Extremo relativo, 82 Función armónica, 47 Función de dos variables, 21 Gráfica de una función, 29 Gráfica de una función de dos variables, 29

Hiperboloide de dos hojas, 16 Hiperboloide de una hoja, 16

Derivada parcial, 36 Derivadas de orden superior, 46 Diferencial total, 50, 51 Dominio, 21

Integrales dobles, 98 Integrales iteradas, 99 Integrales triples, 125 Introducción, 9

Ecuación vectorial del plano, 10 Ecuaciones exactas, 188, 208 Ecuaciones paramétricas del plano, 10 El elipsoide, 15 El paraboloide, 29 Espacios vectoriales, 74 Extremo absoluto, 82

Límite de una función, 35 La esfera, 13 Máximo absoluto, 82 Mínimo absoluto, 82 Marco teórico, 10, 21 Multiplicador de Lagrange, 92

Guía de Matemática IIIsbsjjsjsnn

Recommend Documents