Matemática II
Lima – Lima – Perú Perú 2014
AUTOR: ING. OSCAR PAIBA
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© MATEMÁTICA II GUÍA DEL ESTUDIANTE Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del Autor.
© Derechos Reservados 2014
MATEMATICA II GUÍA DEL ESTUDIANTE
Cuarta Edición
© Universidad Científica del Sur © Área de Matemática
Universidad Científica del Sur S.A.C. Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19 Villa El Salvador Tlf: (51 1) 610 6400 Web: www.ucsur.edu.pe ww w.ucsur.edu.pe
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MBA Rolando Vallejo Cortéz Presidente Ejecutivo MBA Luis Pérez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo Dr. José Amiel Pérez Rector Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Académica M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Básicos de Ciencias Ing. José Dávila Coordinador del área de Matemática Autor Ing. Oscar Paiba
Reservados todos los derechos Ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorización expresa por escrito del autor. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100, sólo para uso con fines educativos y sin lucro.
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El
estudio
de
esta
guía
de
de
los
curso
de
práctica permitirá:
Obtener
información
diferentes
temas
del
Matemática II, de acuerdo al perfil
OBJETIVOS
profesional.
Que se use en el desarrollo de los temas del curso tanto en la teoría como en la práctica de los ejercicios y problemas aplicativos.
Disponer de ejercicios propuestos.
Disponer Aplicación.
de
problemas
de
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1. Capítulo 1: Integral Indefinida 1.1. La antiderivada. 1.1.1. Propiedades de la Integral Indefinida 1.1.2. Fórmulas de Integración. 1.1.3. Integración inmediata 1.2. Métodos de Integración 1.2.1. Por sustitución o cambio de variable 1.2.2. Integración por partes 1.2.3. De funciones trigonométricas 1.2.4. Por sustitución trigonométrica 1.2.5. De funciones racionales 1.2.6. Integrales especiales 1.3. Problemas propuestos 2. Capítulo 2: Integral definida 2.1. Introducción 2.2. Cálculo de áreas de regiones planas 2.3. Cálculo del volumen. Sólidos de revolución 2.3.1. Método del disco o método de las rebanadas
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2.3.2. Método del anillo o método de la arandela 2.3.3. Método de la corteza cilíndrica 2.4. Longitud de Arco 2.5. Problemas propuestos 3. Capítulo 3: Integrales Impropias. 3.1. Integrales impropias con límites infinitos 3.2. Integrales impropias con límites finitos 3.3. Cálculo de áreas 3.4. Problemas propuestos 4. Bibliografía 5. Anexos 5.1. Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.
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1.1.
La Antiderivada
Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I; si F ’ ( x ) = f ( x ) para todo valor de x en I. Ejemplo 1: Si Entonces:
´== =
Y decimos que es la derivada de (primitiva o función original) de . Ejemplo 2: Si
y
es la antiderivada
´== =
En general, si una función F(x) es una antiderivada de una función f(x) en un intervalo I y si G(x) está definida por: G(x) = F(x) + C Donde “C” es una constante arbitraria, entonces, derivando: G’(x) = F’(x) = f(x) G(x) también t ambié n es una antiderivada anti de rivada de f en el intervalo I.
La Integral Indefinida La Integral Indefinida o antidiferenciación, es el proceso de encontrar la antiderivada más general de una función dada y se denota así:
=
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∫. ∫
= = = = = = = =
Donde: (F(x) + C)’ = f(x) variable de integración integrando elemento de integración símbolo de la integral integral de f(x) diferencial de x integral particular Integral Indefinida. constante de integración arbitraria e indefinida
1.1.1. Propiedades de la Integral Indefinida. -
Derivada de una integral:
′ = = ′ = ′ ′ =
“La derivada de una integral indefinida, es igual al integrando” -
Diferencial de una integral:
′ = =
“El diferencial de una integral indefinida, es igual al elemento de integración” Si
es función funci ón derivable deri vable en e n el intervalo I
Diferenciando Entonces:
′ ′ = ∫ ′ = ∫ =
“La integral indefinida, diferenciación” Ejemplo 3: Sea la función:
es
=
una
=.
operación
inversa
a
la
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= . = . = ∫ . = . ∫ . ∫ .. = ∫ . ∫ ± ± = ∫ ± ∫ ± ∫
Diferenciando:
Entonces - Producto de una constante por una función:
-
Suma algebraica de 2 o más funciones:
1.1.2. Fórmulas básicas de integración. ( u, v, w = funciones; a, n, c = constantes)
1. =+ 2. = , ≠ 3. = = ||| 4. = 5. = 6. = 7. = 8. =| | = | | 9. =| || 10. =| | =. 11. = 12. =| =| | = 13. =
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14. = , >0 15. = , >0 16. = , >0 17. √ =, >0 18. ± = ± 19. = 20. √ = , >0 21. ± = ± ± ± 22. = 23. = 24. =| | 25. =| =|| | 26. = − ó − 27. = = ó − 28. = 29. = 30. . =
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31. . = .. 32. . = = . . 33. . =.. 1.1.3. Integración Inmediata Consiste en resolver la integral utilizando las propiedades y fórmulas básicas de acuerdo a la conclusión arriba mencionada. Ejemplo 4: Integrar:
8x 19x−dx
∫8 ∫ x8xdxdx 19∫ 19x∫ x−−dxdx c − c c c = c ∫8x 19x−dx
Utilizando propiedad: Utilizando propiedad:
= =
Utilizando Utiliz ando la fórmula (2):
=
Haciendo:
Simplificando y ordenando, se obtiene como resultado: =
Ejemplo 5:
2x x x x 2 dx dx x 2
Integrar:
Al diferenciar el denominador, resulta parte del numerador: =
4x 2x2xdx
=
22x xdx
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Para parecerse con la fórmula (3), se multiplica y divide por 2:
+ dx ∫ ++
=
∫ ++ + dx
O sea se tiene la forma de la fórmula (3):
Resultando:
∫ +++ . dx =
∫ = ln|u| c ∫ ++ .+ dx =
Ejemplo 6:
y y159 dy ∫ ++ dy ∫ + dy → ∫ y 9 dy 6 ∫ +
Integrar:
Se descompone 15 en 9+6 y se obtienen dos integrales:
Aplicando las fórmulas directas (21) y (18) resulta:
∫ ++ = 1.2.
Métodos de Integración
Para resolver integrales existen varios métodos, desde los más simples a los más complejos c omplejos de acuerdo a las características de la integral. En todos los métodos se busca llegar mediante procedimientos algebraicos u artificios matemáticos, a una de las formas de las integrales básicas (tabla) para obtener la respuesta .
1.2.1. Método: Por Sustitución o cambio de variable
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Si en
∫ f xdx
, reemplazamos la variable “x”
dx = g′udu
x=gu
por:
Tenemos: Donde “u” es una nueva variable y “g” una función continua diferenciable. Reemplazando, tenemos:
∫ f xdx ∫ f (gu) g′udu =
(1)
La función “g” se procura elegir de tal manera, que, el segundo miembro de la fórmula (1) tome una forma adecuada y parecida a las fórmulas básicas de integración. Ejemplo 7:
∫ x. √ 3x. dx ∫ √3x. x. dx
Integrar:
=
(El orden de los factores no altera el producto)
a ) Forma de resolución 1: (tomando solo el radicando)
du == 3.xdx x. dx xdx = du 3 x . dx ∫ x√3x. dx ∫3 x/. x. dx ∫u/ ∫ u/du ∫ u/du u/ c
Hacemos el cambio de variable: Diferenciando: Despej ando “ ”, para reemplazar en la integral original: Reemplazando “u” y “
” en el ejercicio original tenemos:
=
=
=
Integrando de acuerdo a la fórmula (2): =
Operando respuesta:
y
reemplazando “u” nuevamente, se obtiene la
u/ c
=
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b ) Forma de resolución 2: (tomando todo el radical)
√ == 3 2du = 3. x dx x . dx dx = 2udu x 3 x dx ∫ x√3x. dx ∫3 x/. x. dx ∫ u ∫ du ∫ udu u c
Hacemos el cambio de variable: Elevando al cuadrado Diferenciando implícitamente Despej ando “ ” , p a r a r e e m p l a z a r e n l a i n t e g r a l o r i g i n a l : Reemplazando “u” y “
” en el ejercicio original tenemos:
=
=
=
Integrando de acuerdo a la fórmula (2): =
Operando respuesta:
y
reemplazando “u” nuevamente, se obtiene la
u c
(√ )
=
N o t a : E s t e r e s u l t a d o s e p u e d e c o m p r o b a r d i f e r e n c i á n d o l o , y a s í o b t e n e r e l “ e l e m e n t o de integración”:
d 3x 3x c 3x 3x c′ dx x√3x . dx =
=
Ejemplo 8:
sec x. d x e
Integrar:
udu== tgxtgxx′dx→du = secx.dx ∫ . ∫ ∫ e−du
Haciendo: Diferenciando:
Reemplazando en el ejercicio original, tenemos =
=
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" ∫ edu =e c" t= u → dt = du → du = dt ∫ e−du ∫ edt e e ∴ ∫ . −
La idea es utilizar la fórmula (4): , pero en el ejercicio (la integral resultante) el exponente es negativo, lo cual implica hacer otro cambio de vari able con el exponente “ - u ” : Si: Reemplazando “t”:
=
La respuesta se obtiene
=
+ c)
reemplazando “t” y “u” en =
+ c):
+ c
Ejemplo9:
x √ 1.√ √1 xx1 . dx
Integrar:
Se puede considerar todo el radical como cambio de variable con el fin de e vit ar exponentes fraccionarios. fracciona rios. Cambio de variable:
=√ → u =1x 2udu=4xdx → xdx= dx = .
Diferenciando implícitamente:
Reemplazando simplificando:
en
el
ejercicio
(previo
ordenamiento)
. → ∫ + du → ∫ + du → ∫ .+ + =→ u 1 + ∫ u 1 + du→ ∫u 1 du du ∫ + dudu
√+ . ∫ √+ +.
a) Solución, dividiendo fracciones: Reemplazando en la integral:
Integrando y cambiando “u”, obtenemos la respuesta:
y
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.√+ . dx = u u lnu 1 c ∫ √+ + .√+ . d x = ( ) √ (√ ) ∫ √+ + b) b ) S o l u c i ó n , h a c i e n d o c a m b i o d e v a r i a b l e :
=1 = =1 ∫ −− dt → ∫ −+ → 2 ∫ ∫ √+.√+ + .d x → ++ 2 1 1
Cambio de variable: Diferenciando: Despejando “u”:
Reemplazando en la integral:
Integrando y cambiando “u”:
=
Recuperando la variable “u”
√+ +) + ( ) = 2(√ 1 x 1) ln(√ 1 x 1) c Simplificando, obtenemos la respuesta:
∫ √+.√+ + .dx = √ ((√ )
+ c
Nota: No olvidar que todos los números existentes en la solución, constituyen constantes y se agrupan en “c”.
Ejemplo 10:
5 1 5 dx
Integrar:
Cambio de variable:
u = 5 → du=5.ln5.dx → dx=
Reemplazando e integrando
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∫ + dx= ∫ + . → ∫ +.. du → ∫ + . ln1 u c reemplazando “u”: = . 1 5 Ejemplo 11: Nota: También se puede tomar “
”como “u”.
t t 5 dt t en t . t t 4t ∫ .− u = t 5 → t =u5 → du=4tdt → tdt= dt =
Integrar:
Se descompone
, debido a que la derivada de
es
.
Haciendo el cambio de variable:
Reemplazando e integrando:
+ ∫
= → ∫ ++ → ∫ du 5 ∫ ∫ .− = u5. u 5. l n|u| c → = [ . ] ∫ .−
1.2.2. Método: Integración por partes Método utilizado generalmente cuando el elemento de integración, representa un producto (multiplicación).
. . =. . . . =.. . ∫ . = ∫ .. ∫ .
Sean u , v dos funciones definidas y derivables en e l intervalo I: Diferencial de un producto: Despejando : Integrando ambos miembros: , Resulta la fórmula de integración por partes:
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∫ u.dv = u.v ∫ v.du
Ejemplo
(*)
12:
∫ x.lnx.dx
Integrar:
ó
∫ lnx.x. dx
De acuerdo a la fórmula de integración por partes, debemos elegir las dos partes del elemento de integración: u y d v , para luego encontrar d u y v respectivamente. Se debe tratar de encontrar en todo momento una integral más simple y factib le de resolver.
=lnx = xdx =lnx → →= dx = x dx → → ∫ dv = ∫ x dx → = ∫ lnx.x . dx ∫ u.dv = u.v ∫ v.du → lnxx ∫ dx ∫ lnx.x . dx lnx ∫ x dx lnx x c ∫ lnx.x. dx lnx c
Haciendo: Hallamos d u y v :
y
Si:
diferenciando
Si:
iintegrando nt egrando
Reemplazando, según la fórmula de integración por partes (*): =
Simplificando e integrando: =
=
O también, factorizando:
=
Ejemplo 13: Integrar:
ex 1dx
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Desarrollando el binomio, para aplicar integración por partes:
x 2x1 2x1edx =e = x2x1 → = 2x2 dx dx → = e ∫ u.dv = u.v ∫ v.du 2x1edx x 2x1 2x1e ∫ ∫x 2x1 =2x2 → =2dx =e dx → =e 2x2 2x2e ∫ e.2dx ∫ 2x1edx x 2x1 2x1e 2x2 2x2e 2e c ∫x 2x1 2x1edx x 2x1 2x1e 2x2 2x2e 2e c ∫x 2x1 Reemplazando en la fórmula de integración por partes: (*)
=
Resolviendo nuevamente por partes la integral (en negrita):
Se tiene:
=
=
Reemplazando en el ejercicio general, obtenemos la respuesta: =
=
Ejemplo 14: Integrar:
esen2x.dx =sen2x. = e dx →→ = = ecos2x dx ∫ esen2x.dx = 2 ∫ 2.
Hall Halland andoo u, du, dv v:
Reemplazando, según la fórmula:
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2 ∫ . ∫ esen2x.dx = 2 ==ecos2x. dx →→ == esen2x dx sen2x ∫ esen2x.dx ∫ . = esen2x
(1)
Desarrollando nuevamente por partes la integral en negrita:
Reemplazando en ( 1 ) :
∫ . = 2 esen2x ∫ . Dado que se vuelve a encontrar la integral inicial del ejercicio y no hay reducción del ejercicio, se opera como una ecuación de pr p r i m e r g r a d o , s e d e s p e j a l a i n t e g r a l p r o b l e m a y s e o b t i e n e l a respuesta:
2 2 2 ∫ . ∫ . = 2 ∫ . =
Ejemplo 15: Integrar:
lnx.dx
=sen2x. = lnx dx →→ =x= dx lnx.dx = x.lnx . 1 = .
Reemplazando, según la fórmula, obtenemos la respuesta:
.
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1.2.3. Método: Integración de funciones trigonométricas. Para este tipo de integración, es necesario conocer las identidades trigonométricas, diferenciales e integrales de las funciones trigonométricas. Es muy importante tener presente, para efecto de resolución de ejercicios, la afinidad que tienen: seno-coseno, tangente-secante y cotangente-cosecante. Si al tratar de desarrollar la integral de acuerdo a la afinidad y no se puede resolver, entonces una estrategia es convertir todo a seno y coseno. Identidades trigonométricas
1. = 1 2. 1tgθ=secθ 3. 1ctgθ=cosecθ 4. sen2θ sen2θ = 2senθ. 2senθ. cosθ cosθ 5. cos2θ =2cosθ 1 2 =12 7. cos2θ = cosθsenθ 8 . senθ.cosβ = 12 sen senθ β senθβ, 9. senθ.cosβ = 12 sen senθ β senβθ, 10. senθ.senβ = 12 cos cosθ β cosθβ 11. cosθ.cosβ = 12 coscosθ β cosθβ 6.
12. = 1 13. secθ = 14. ctgθ = tg1θ 15. tgθ = senθ cosθ cosθ 16.16. ctgθgθ = senθ si θ > si β >
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Ejemplo 16: Integrar:
senx.cosx.dx Donde existe seno y coseno, se debe tener en cuenta que el diferencial y la integral de uno de ellos, da como resultado el otro. Generalmente cuando uno de ellos tiene la potencia 1 y el otro una po p o t e n c i a d i f e r e n t e d e 1 , s e h a c e e l c a m b i o d e v a r i a b l e considerando como “u” a la función con exponente diferente de 1:
u=cosx → du=senx.dx → senx.dx=du du → c ∫ senx.cosxdx ∫ udu → ∫ udu→ ∫ senx.cosxdx cosx c
Si:
Reemplazando en el ejercicio: =
-
Reemplazando u:
=
ó
Ejemplo 17: Integrar:
sen2x.cos4x.dx Aplicando la fórmula de identidades trigonométricas que convierte el product o en suma o resta (9):
sen2x.cos4x = sen sen2x4x 2x4x sen4x 2x sen2x.cos4x = sen sen6x6x sen sen2x2x sen6x6x sen2x dx ∫ sen sen6x6xdx ∫ sen sen2x2xdx ∫ sen =
Reemplazando e integrando: =
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u=6x → du=6. d x → dx= du6 t=2x → dt=2. d x → dx= ∫ senu. ∫ sent. ∫ senu.du ∫ sent.dt cosu costc
Haciendo cambio de variable en ambas integrales:
Reemplazando e integrando:
=
=
=
Ejemplo18:
tgθ.dθcosθ
Integrar:
Reemplazando
, ordenando y cambiando variable:
∫ . Si:
. = ∫ u = tgθ → du = secθ.dθ
Reemplazando, integrando y cambiando variable:
∫
=
ln|u| c
=
|| |
Ejemplo19: Integrar:
tgx.secx.dx
. =
Se debe tener en cuenta que la derivada de tangente es Adecuando la integral para hacer el cambio de variable: además de utilizar la identidad
1tgθ=secθ
,
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∫ tgx..secx.dx = ∫ tgx1tgxsecx.dx u=tgx → du=secxdx ∫ tg x.sec x.dx = ∫ u 1 u du = c = Haciendo cambio de variable: Si:
Reemplazando y desarrollando la integral:
1.2.4. Método: Integración por sustitución trigonométrica. Método
utilizado cuando
expresión de la forma:
el
integrando
“f(x)”
contiene una
√a u √ a u √u a a > 0 ,
,
,
Casi siempre es posible integrar haciendo trigonométric a, obteniendo una integral trigonométricas.
una sustitución con funciones
√ > = = → = . . a u = a a.senθ = a asenθ = a1 senθ = a coscosθ = a.cosθ √ = . > = = → = . . = .
Caso 1:
,
Se usa la relación:
Caso 2 :
,
obteniendo:
,
Se usa la relación:
, obteniendo:
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√ >
Caso 3 :
,
= = → =... √ = . Se usa la relación:
, obteniendo: obtenien do:
Nota . En todos los casos, para retornar a la variable original “u”, se hace uso del triángulo rectángulo respectivo.
Ejemplo 20:
dx ó x√2dx x x√4x
Integrar:
= = =2.senθ → =2.cosθdθ → =2cosθ ∫ √ −− ∫ .. ∫ ∫ cosecθdθ ctgθc Aplicando el caso 1, y considerando
Reemplazando, simplificando e integrando: =
Regresando rectángulo:
a
la
=
=
variable
original,
∫ √ −− ctgθc √ −− c =
=
=
mediante
el
trián gulo
2 4
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Ejemplo 21:
√81x √9 x x dx ó x dx =9senθ → =9cosθ.dθ → = 9c9coosθ . dθ 9 ∫ dθ 9 ∫ − dθ ∫ . ∫ 9 ∫ dθ ∫ dθdθ 9[∫ cosecθ.dθ – ∫ senθ.dθ]θ] 9ln|cosecθcotθ| cosecθcotθ| cosθ c cosecθ= √− cot g θ = √− cosθ = 9 x ∫ √− dx 9 ln √− √− c
Integrar:
Aplicando Sustitución trigonométrica y cambiando variable: Reemplazando en la integral y simplificando: =
=
=
=
Recuperando la variable “x”, con el triángulo rectángulo: 9
X
=
Ejemplo 22:
dt ⁄ ó t 8t7 dt t 8t7 t 8t7 = t 8t 7 = t 4 9
Integrar:
Completando cuadrados para parecerlo a uno de los casos:
=
=
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Reemplazando en la integral: Haciendo:
= t4 t 4 → du = dt
∫ ++−
∫ (√− ) =3secθ √ 3 =3secθ. t gθdθ =3tgθ √ 3 . . . = = = ∫ ∫ ∫ ∫ = → = ∫ = ∫ = = ∫ ++ ⁄ = c = (√− ) c = ++− c ∫ ++ ⁄ = +++ , Considerando el e l caso:
Reemplazando en la integral, simplificando y desarrollando:
Haciendo:
Reemplazando, desarrollando y recuperando las variables:
Recuperando la variable a partir del triángulo rectángulo:
De manera equivalente:
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1.2.5. Método: Integración de Funciones Racionales. Cuando el integrando f(x) es una función racional (propia o impropia); ésta se puede descomponer en fracciones simples.
Donde: Si:
Px P x f x.dx y f x = Qx Qx PQxx ==PolPolininomiomiomioodedegrado "m" grado grado "n mm ≥< n,n, llaa ffunci uuncncinciiónóónn raciraracraciciional oonalnanall eses
Solución de una Función Racional Impropia: La solución se determina a partir de la división del polinomio:
Px Rx → Qx = C x QX Px . dx = Cx QX Rx . dx Qx CRxx:: Cuoci e nt e o resul t a do Resi d uo Qx: Divisor O sea:
Donde:
Solución de una Función Racional Propia: El denominador de la función racional se expresa en factores (se factoriza) y se descompone en fracciones parciales.
Caso 1 . Cuando los factores son lineales y no repetidos: (ax+b)(cx+d). La descomposición de cada factor en fracciones simples es:
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+ + Caso 2 . Cuando el factor es lineal y repetido (ax+b) n La descomposición de cada factor en fracciones simples es:
+ + ⋯ + Caso 3 . Cuando los factores del denominador son no-lineales y no repetidos: ( a x 3 + b x 2 +cx+d)(ex 2 +fx+g) La descomposición de cada factor en fracciones simples es:
++ +E +++ ++
Caso 4 . Cuando el factor del denominador es no-lineal y repetido: ( a x 2 +bx+c) n La descomposición de los factores en fracciones simples es:
++ + ++ + ⋯ ++ +
Nota : Donde: A, B, C, D, E, A 1, A2, An, B1, B2, Bn , determinarse.
son constantes que deben
Ejemplo 23:
x x 2x1 3x8 dx
Integrar:
Como el grado del polinomio del numerador es igual al del denominador (grado 2); entonces se divide:
−− + = 1 −+ − Remplazando en la integral inicial: ∫ −+ −− dx = ∫ 1 − + dx = ∫ dx ∫ − + dx
(**)
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Se obtiene una integral directa y una integral racional propia: ( caso2 ) Descomponiendo la función racional de la segunda integral en la suma de dos fracciones simples (caso 2) y aplicando MCD:
+ −
=
− −
Se tiene:
− −+ = − −−+ = ––− −− + – – − = − − − − =
Simplificando denominadores, se obtiene:
1. 9 = A. –(– (A – B)
“De dos polinomios iguales, los coeficientes que corresponden a l o s t é r m i n o s d e i g u a l g r a d o , s o n i g u a l e s ”
De:De:De: 9x == AxA B tene tetenemos: nemomos:s: = = − − = − −
Reemplazando las constantes A y B; resulta =
+ −
Reemplazando en la integral (**), e integrando, se obtiene el resultado:
xln|x 1| − c ∫ dx ∫ −+ dx → x ∫ − ∫ − → xln| Ejemplo 24:
x 5xdx 4x
Integrar:
Se trata de una “Fracción Propia”, Factorizando el denominador:
∫ ++ ∫ +++ =
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Trabajando con la fracción, haciendo correspondiente (caso 1) y hallando MCD:
+ ++
=
+ +
=
la
descomposició n
+++ +++= +++
Simplificando e igualando coeficientes, para hallar constantes A, B, C:
0 0x =xABC x5AB4C 4A ABC =0 5AB4=0 4A=1 A = B = C =
Se obtiene:
Reemplazando A, B y C en la integral, e integrando:
− ∫ =+ ∫ + dx ∫ = ∫ ∫ += + dx + + Por lo tanto: ∫ ++ = lnx lnx 4 lnx 1 c 1.2.6.
Método: Integración de contienen seno y coseno
Funciones
=
Racionales
que
Teorema: Una diferencial trigonométrica que contiene funciones racionales de sen(u) y cos(u), puede transformarse en otra expresión diferencial racional en Z, considerando el ángulo mitad, mediante la sustitución:
u Z = tg y → = → Z = tgg 2
Para obtener: sen(u) , cos(u) y d u , se trabaja a partir de las siguientes identidades trigonométricas:
| 33
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cos 2y = 2cosy 1 cos2= 2cos 1 → cosu= 1 cosu= + 1 → cosu= + 1 − = + sensen 2y= 2y = 2 sensenyy. coscosy sensen 22 = 2 sen.cos → sen u = 2 sen .cos . sen u = → sen u = 2 tg . . a)
=
=
Por lo tanto:
b)
=
=
Por tanto:
. sen u = 2 + → = + c ) Diferenciando para hallar “Z”: Z = tg → dZ= sec .d u dZ= 1tg du → dZ= 1 Zdudu = +
En conclusión, la función seno, coseno y el diferencial, se reemplazan así:
= + = −+ = +
| 34
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Ejemplo 25:
dx 1senxcosx − sen x = + cosx= + dx= + ∫ −+ ∫ − + ∫ −
Integrar:
Reemplazando: =
=
Integrando y reemplazando Z, obtenemos el resultado:
∫ −+ 1.3.
=
ln|1 Z| c
=
ln 1tg 1 tg
+ c
Problemas Problem as Propuestos
INTEGRALES INMEDIATAS
1. 3x5 3x5dx 3. 6x x 5 dx 5. 7 √ xxdx 3x 6x x √ 7. dp x dx 9. p 25 11. √ uu139 du 13. x2x x x 2 dx 15. 3x x2x1 1 dx
2. xdx− dx 4. x 6. xdx 8. av2adv b 10.10. √ x x 3c x dx 12. (a/ x/) dx 14. xxx 24 dx 16. xxx59 dx
| 35
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INTEGRACIÓN VARIABLE
POR
SUSTITUCIÓN
O
CAMBIO
x x 1 3xdx senhx. dx x 1 √ coshx dx 1senhx x 2 dx x2
1. 2. 2x5e 1 xdx 3. 4. √1exdx dx 5. 6. e1x 7. 8. x√ x 4 dx 9. cos cos1010xx 6dx 6 dx 10.10. e−dx 11. √ √ 1 cosx dx 12. 4edx 13. √ x√ 12x1 senx dx / 14. sedxcxdx 15. 1 x dx 16. 2 3 ∫ u.dv = u.v ∫ v.du 1. lnx.x. dxdx 2. xx 3x1e dx 3. secxdx 4. secxdx 5. xlnxdx 6. 7 x 3xe−dx dx 7. coslnxdx 8. ecose 32edx 9. cosxedx 10.xx 1e 11.xcosxdx 12. x1 dx INTEGRACIÓN POR PARTES
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. cos3xdx 3. sen2x. sen2x. cos4xdx cos4xdx
2. senxcos senxcosxdx 4. sen2x. sen2x. sen3xdx sen3xdx
DE
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5. cosdx4x1 4x1sen2xd sen2xdxx 7. senx.cosx dx 9. senxcosx cos 11. sen2x2x dx 13.ctg2x1 2x1dx
6. senx.cosxdx 8. cose cosenseccxx.xdx 10. √ cosx cosx dx 12. tg x.sec xdx 14.14. tgx.secxdx
INTEGRACIÓN POR SUSTITUTCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1. x√xdx 9 3. 1x √ √dx1 x x dx 5. x√4x du 7. u√25u dx / 9. 54xx √16t 11. t dt dx 1. 5x2 x 4 3. x dx4 dx 5. x 3x 4x17 dx 7. 5xx x3x3x5x5x3 9. x 4 dx
x dx 2.2. √ x2x5 4.4. xx dx4 √9x 6.6. x dx 8.8. 1 vdv 10.x 16x 1 6x . dx 12. √100u u du 2x x3 2. 6xx 2x1 2x 1 dx 4. 4xdx x dx 6. x2 30x 52x17 8. 9x24x 6x 11x 4x4 dx 10. tt 2t8 dt
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
| 37
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2v 8v8 11. vx1dx v 4 dv 2 13. x x 2x
4dx 12. x dz 1 14. z z
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CONTIENEN SENO Y COSENO
dx 1.1. 1senxcosx 3.secxdx dx 5.5. secx1 7.7. 1cosφ 1cosφ dφ dx √ 2 9.9. senxcosx
RACIONALES
cosxdx 2.2. 1cosx cosθdθ 4. 3senθ2cosθ 4cosω dω 6.6. 23cosω senxdx 8. senxcosx tgxdxx 10. 12tg
QUE
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| 38
| 39
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2.1.
Introducción.
La integral definida es un concepto que está relacionado con el valor del área o región bajo una curva delimitada por las rectas acotadas en un determinado intervalo [a, b]. 70
60
50
40 Y = f(X) 30 X=b 20 b a f x 10
x
X=a
0 0
1
2
3
4
5
[a, b]
Propiedades Propiedades Fundamentales de la Integral Definida:
1. ∫ cf xdx = c ∫ f xdx 2. ∫ f xdx = 0 3. ∫f x ± gxgxdxdx = ∫ f xdx ± ∫ gxdx 4. ∫ f xdx = ∫ f xdx 5. ∫ f xdx = ∫ f xdx ∫ f xdx , a<<
6. Si∶ f x ≥ gx,para todo x en a,a,bb; entonces: ∫ f xdx ≥ ∫ gxdx
| 40
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7. Si: m ≤ f x ≤ M, para a ≤ x ≤ b; entonces: mb a ≤ ∫ f xdx ≤ MMb a
Teorema del Valor Medio para integrales: Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe entonces un número “c” entre a y b tal que:
∫ f xdx = fcb a 20
y = f(x) (b)
15
10
y = f(c)
5
b
(a) (a)
1
a
1
2
a
f
x
3
c
x
4
b
x
| 41
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Teorema fundamental del cálculo integral: Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], y si la función F(x) es cualquier antiderivada particular particular de f(x) de modo que: F’(x)=f(x); entonces:
Fx = Fb Fa ∫ f xdx = Fx ,:, : límites de integraci gración
Ejemplo 26: Resolver:
xdx
Por definición:
∫ xdx =
=
=
Ejemplo 27: Aplicando el teorema del valor medio, encontrar el valor de “f(c)” y “c”:
f xdx = fcc3 1; Reemplazando Reemplazando f(x) e integrando:
si f x = x
| 42
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∫ xdx = = =
Entonces:
Pero: Entonces:
=
8
f c33 1 = → = f x = x = → c=± c=± → ≅ ..
Se rechaza rechaza el valor de -2.08, por no estar estar en el intervalo intervalo [1,3] Comprobando:
xdx = f 2.08 3 8 3 1 ≅ 8. 6
Cambio de variable y límites de integración: El cambio de variable en la integral definida es igual al método aplicado en la integral indefinida. El cambio de los límites de integración se realiza para unificar todo en la nueva variable. Ejemplo 28: Resolver:
x√ 1x. 1 x. d x
| 43
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u=1x → x=u1 → du=dx x=0 → u=1 u=1x⟹ u=1x⟹ cuando cuando x = 3 → u = 4 1 x.d x ∫u 1 u/du ∫(u/ u/) du ∫ x√ 1x. u/ u/ 4/ 4/ 1/ 1/ =
Cambio de variable:
Cambio de límites de integración: Si:
Remplazando Remplazando en el ejercicio original e integrando: i ntegrando: =
=
=
=
Ejemplo 29: Resolver:
/ senxdx
Integrando:
cos0 ∫/ senxdx cosx/ cos cos =
=
Integración Por Partes: En integrales definidas se utiliza la fórmula:
Ejemplo 30:
∫ u.dv = u.v ∫ v.du
Resolver:
x.lnx.dx
Hallando u, du, dv, v:
u=lnx → du= 1x dx
= 1
| 44
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x → v= 3 ∫ x.lnx.dx lnxx ∫ x. dx lnxx ∫ xdx = lnxx x 9ln3
dv= xdx
Reemplazando, Reemplazando, según la fórmula e integrando: =
=
=
2.2.
Calculo de Áreas de Regiones Planas.
El cálculo de áreas de regiones planas, es una de las principales aplicaciones de la integral definida.
Caso 1: El área de la región “R”, limitada por la curva y=f (x), el eje x y las rectas verticales x=a y x=b, se expresa: 10
8
6
= f (x)
4
R
2
b a f x 2
2
4
x
6
x=a
A = ∫ f xdx
8
10
x=b
u
Donde f(x) ≥ 0 (función positiva) y A se expresa en Unidades cuadradas ( ).
Caso 2: El área de la región “R”, limitada por la curva x=f (y), el eje y (x=0) y las rectas verticales y=c y y=d, donde f(y) ≥ 0 (positiva); se expresa:
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Caso 3:
| 45
= ∫
Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] y además f(x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ b; entonces el área de la región región “R” es:
= ∫ Caso 4: Si f(y) y g(y) son funciones continuas en el intervalo [c, d] y además f(y) ≥ g(y), para c ≤ y ≤ d; entonces el área de la región región “R” es:
= ∫
| 46
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Ejemplo 31: Calcular el área de la región que forman las ecuaciones y=0
=1
, x=-2, x=4,
Solución: De acuerdo al gráfico, se observan dos regiones: R 1 y R 2. El área de R1 es positiva (caso 1). El área R 2 está bajo el eje x (y=0), por lo que se tiene que aplicar la fórmula del caso 2, donde se consideran dos funciones: ,
y = 0 y=1
Se tiene: Área Total (AT) = AR 1 + AR 2
AT= ∫− 1dx ∫ 0 11 dx AT = x−− x 4 1 = 5 u :
Integrando:
=
| 47
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Ejemplo 32: Calcular el área de la región comprendida entre las curvas:
y = x y=x2 ,
Solución:
La parte sombreada corresponde corresponde a la región, a la cual cual se le hallará el área. área. Este problema se puede resolver en forma directa aplicando la fórmula del caso 4, despejando “x” para cada curva:
x = y x=2y A = ∫−2 y y dy 2y 2y − ;
Con límites de integración, desde -2 hasta 1:
=
=
Ejemplo 33: Dadas las ecuaciones: , , calcular el área de la región que encierran las tres curvas.
=
y = 2x1 y = 1 y=x5
: se pide
| 48
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Solución: En este problema, el área de la región buscada se puede dividir en dos regiones: R 1 y R 2, para poder hacer uso de la fórmula del caso 3, tal como lo muestra el gráfico. Área Total (AT) = AR 1 + AR 2
AT = ∫ 1 2x1 2x1 dx ∫ x5 x5 2x1 2x1 dx +
La respuesta se obtiene Integrando Integrand o y reemplazando reemplazand o los límites de integración respectivos:
AT = x x x + 5x x x 6 + = Ejemplo 34:
=
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas determinadas determinadas por f(x) = 4-x2 y g(x)= 3x2.
Solución: Haciendo uso de la fórmula del caso 3, donde el área de la región comprendida entre las dos curvas está formada por f(x) ≥ g(x), desde x=-1 x=-1 y x=1 (límites de integración). Para obtener los límites límites de integración se igualan las dos funciones para obtener obtener los puntos comunes comunes o de intersección intersección entre las las curvas:
= → 4 4=0 → 1=0 1 1 =0 → =1, = 1
Luego se reemplazan los valor es es de “x” en cualquiera de las ecuaciones para obtener los valores de “y”. Por lo tanto, los puntos de intersección son: (1, 3) y (-1, ( -1, 3).
| 49
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Siendo la región formada f ormada una Región simétrica; entonces se puede calcular calcular el área de la mitad de la región (de x=0 a x=1) y multiplicarla multiplicarla por 2:
A = 2 ∫4 x 3x dx= dx = 2 ∫ 44x dx 2 4x 4x 2 41 =
=
=
Ejemplo 35: Hallar el área de la región comprendida por la curva f(x) = x 3 entre las abscisas x=-2 y x=1. Solución: Según el gráfico, la función forma dos regiones: una bajo el eje x (negativa) y otra sobre el eje x (positiva). La función es continua. continua.
[ = ( = )]
En este caso se deben formar dos integrales; una desde x=2 a x=0, que incluye una diferencia de , dado que el área está bajo el eje x (y=0) y de esta manera se estaría evitando que el área sea negativa (fórmula caso 3); y la otra área sobre el eje x, desde x=0 a x=, que origina un área positiva:
= −( ). . . Entonces la suma de las áreas queda de la siguiente manera:
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= − . . = − = 2.3.
| 50
=
Calculo del Volumen de un sólido de revolución.
Un Sólido de revolución , es un sólido obtenido al rotar una región plana alrededor de una recta fija contenida en el plano de la región. La recta fija se llama eje del solido de revolución.
2.3.1. Método del Disco o de las Rebanadas Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces el volumen del sólido de revolución engendrado al hacer girar sobre el eje x la región limitada por la curva f(x), el eje x y las rectas r ectas x=a y x=b está dado por:
V = π ∫fx dx
| 51
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Nota: Se le llama método del disco, porque el diferencial al girar alrededor del eje, genera un disco de espesor “dx”
u
El volumen “V”, se expresa en unidades cúbicas ( ).
Ejemplo 36: Calcular el volumen del sólido alrededor del eje eje x, la región región acotada acotada
= √
generado al hacer girar por: , x=3 y el eje x.
Solución: Reemplazando Reemplazando en la fórmula correspondiente correspondiente al método del disco y desarrollando:
V = π ∫[√ √x ] dx
=
π ∫ x dx
=
=
.
| 52
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Caso: Si f es una función continua en el intervalo [c, d], entonces el volumen del sólido de revolución engendrado al hacer girar sobre el “eje y” y” la región limitada por la curva x=f (y), el eje y, y las rectas y= c, y=d está dado por:
V = π ∫fy dy Ejemplo 37: Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y, la región acotada por la curva f(y) = (y-1)1/2 y la recta y=3. Solución:
Aplicando la fórmula del presente caso, y desarrollando:
V = π ∫ [ y 1] dy = π ∫ y 1 dy = π y = 2.3.2. Método del Anillo o de la Arandela Si f(x) ≥ g(x), para todo x que pertenece al intervalo [a, b]. El volumen del sólido de revolución engendrado al girar sobre el “eje x” x” la región “R” formada por f(x) y g(x) es:
V = π ∫fx gxgx dx
| 53
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Al girar la región “R” alrededor “R” alrededor del eje x, forma un agujero, agujero, anillo u arandela:
También:
Caso: Si f(y) ≥ g(y), para todo “y “y” que pertenece al intervalo [c, d]. El volumen del sólido de revolución engendrado al girar sobre el “eje y” y” la región “R” formada “R” formada por f(y) y g(y) es:
V = π ∫fy gygy dy Ejemplo 38: Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las parábolas y=x y=x2yy2=8x. Solución:
= ±√ 88
Las ecuaciones quedarían despejadas de la siguiente manera: y=x 2, . Al igualar ambas ecuaciones, se encuentran los puntos de intersección de ambas parábolas: (0, 0) 0) y (2, 4).
| 54
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Por lo tanto, aplicando la fórmula para una región comprendida entre dos curvas que giran alrededor del eje x, tenemos:
V = π ∫ (√ (√ 8x)8x) x dx π ∫8xx dx =
=
Caso: Cuando la región “R” gira alrededor de un eje diferente al eje x o eje y, y gira alrededor del eje c, se aplica la siguiente fórmula:
= ∫ }. = >= >= >=
Nota: Para aplicar la fórmula, se debe señalar previamente una jerarquía de funciones de mayor a menor (en el gráfico: , para poder expresar la diferencia mayor, menos la diferencia menor, considerando siempre el eje “c”.
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2.3.3. Método de la Corteza Cilíndrica o casquetes cilíndricos Este método es alternativo y se puede utilizar para resolver volúmenes de sólidos de revolución de los métodos anteriores. La característica principal es que al girar un diferencial se obtiene un cilindro. Sea la función y = f(x) continua en [a, b]. Si la región limitada por y=f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b están en el primer cuadrante, el volumen del sólido de revolución engendrado al girar esta región sobre el eje “y” es:
V=2π ∫ x.x.ff x dx
Ejemplo gráfico
Ejemplo 39: Encontrar el volumen del sólido engendrado al girar sobre el eje y, la región positiva limitada por la curva , el eje x y la recta x=3.
y = x 2
Solución:
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La gráfica corta al eje x en x=2; por lo tanto los límites de integración son: x=2 y x=3. Aplicando la fórmula fórmula correspondiente a la corteza cilíndrica: cilíndrica:
V = 2π ∫ xx 2 dx 2π ∫ xx 6x 12x8 12x8 dx =
=
Ejemplo 40: Fabricación de objetos utilizando sólidos sólidos de revolución revolución y el programa programa Wolfram Mathematica. Se desea hallar la cantidad de material (volumen del sólido de revolución) a utilizar en la construcción de una pieza de ajedrez, al hacer girar alrededor del eje x la región formada por la siguiente función:
10.4; ; 0≤≤1.2 ≤ ≤ 2. 9 1 = 3. 5 0. 7 5; 2.1.29 1≤≤4 4 ≤ ≤ 4. 5 { 4.5;
1.0
= 0.8
1
x
y
2
x
3.5
2
0.6 y = 0.4 0.4
y = -x + 4.5
0.2
1
Solución:
2
3
4
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Para hallar el el volumen del sólido sólido de revolución de de la región formada, formada, se tiene que hallar el volumen de cada una de las regiones que forman la función. f unción. En este caso se aplica el método del disco:
= ∫. ∫.... ∫.. . ∫ ∫.. =.... ≅.
cm
Nota: Si las unidades estuvieran en centímetros, entonces el volumen de material material sería 4.333
2.4.
Longitud de Arco (L)
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y lo más pequeños posibles. Cada segmento de recta se puede calcular por el teorema de Pitágoras.
=
Teorema: Si f es una función y f´ la derivada de de f, son funciones continuas continuas en [a, [a, b], entonces la Longitud de Arco (longitud de la curva) de la gráfica, donde y=f (x) desde el punto [a, f (a)] hasta el punto punto [b, f (b)] en “unidades” (u) es:
| 58
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= ∫ Ejemplo 41: Calcular la longitud de arco de la curva punto (0, 1) al punto (1, (1, 0)
= 1
(Primer cuadrante) desde el
Solución:
La ecuación representa una relación, que al despejarla en y, se obtiene:
=±√1
, (Se considera considera “+” por estar estar por encima encima del eje x).
Para hallar la longitud de arco de la curva según los datos del problema, en el primer cuadrante desde el punto (0, 1) al punto (1, 0), primero se halla la derivada:
f ′x = √1xx
Reemplazando en la fórmula correspondiente a la “longitud de arco”, arco”, se obtiene:
L = ∫ 1 √ −− .dx
=
∫ − dx . =
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2.4.
Problemas propuestos
INTEGRAL DEFINIDA – EJERCICIOS EJERCICIOS
1. √ / 2. 4 / 3. 4. 1 /
5. 1 6. −/| 2| 7. . 2. 8. − 62125
CÁLCULO DE ÁREAS Determine el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Haga un esquema gráfico e indique claramente la región cuya área se pide: 1. y = x2, y=0, x=2, x=4 2. x=y2-4, x=0 3. y= 5x-x2, y=x 4. y2=x, y=x3 5. y=x3-8, y=0, x=0 6. y=6x-x2, y=0 7. y=x3-6x2+9x, y=x 8. y=senx, y=0, x pertenece a [0,π] 9. y2=x3, y2=x 10. y=senx, y= cosx, x a [π/4, 5π/4] 11. y=2x+x2-x3, eje x, eje y, y, x=-1, x=1 x=1
∈
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 1.
Calcular el volumen generado por la elipse = 1, al girar alrededor del eje x
2. Calcular el volumen alrededor del eje x.
generado por la circunferencia circunfer encia x2+(y-3)2=1, al girar
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3. Calcular el volumen volumen engendrado al al girar alrededor del del eje 0X la región región formada por las gráficas: gráficas: y2=x3, y=0, x=0, x=4. 4. Calcular el volumen volumen generado al girar el área menor comprendida comprendida entre las curvas curvas 2 2 2 x +y =25 y 3x =16y alrededor del eje x. 5. Calcular el volumen generado por la región comprendida por el el área menor que 2 2 forman las gráficas x +y =25 y x=4 al girar alrededor de la recta x=6. 6. Calcular el volumen generado por la rotación alrededor del eje y de la región formada por: y=lnx, Eje x y x=2. 7. Calcular el volumen volumen engendrado engendrado por la rotación de la región limitada limitada por y=x2, y= x1/2, x=2, cuando gira alrededor alrededor del eje eje x. 8.
Calcular el el volumen que se genera al girar alrededor de x=3 la región región 2 2 comprendida por la circunferencia (x+2) + (y-2) =1.
9. Calcular el volumen generado por la región limitada por las gráficas: x+y 2+3y6=0 y x+y-3=0, al girar girar alrededor alrededor de y=3.
LONGITUD DE ARCO 1.- Un cable conductor de electricidad sostenido por dos postes, adquiere la forma de una catenaria, de ecuación y= a/2 (e x/a+e-x/a). Se pide calcular la longitud del cable necesario para colocarlo entre dos postes distantes 2a metros. 2.-Hallar la longitud del segmento de recta: y= 3x+5 desde x=1 hasta x=4. Compare el resultado con la fórmula de la distancia entre dos puntos. 3. Hallar la longitud de la curva 4(y-1)3=9x2, desde y=1 hasta y=4 4. Hallar la longitud longitud del arco arco de la curva y=lnx, y=lnx, desde x=(3) x=(3)1/2 hasta x=(8)1/2.
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Introducción
∞
La integral impropia, es una extensión del concepto de integral definida, aplicada a funciones que presentan extremos infinitos ( ) .
3.1. Integrales impropias con límites infinitos: Caso 1 : Si f es una función continua en el intervalo infinito [a, +∞), entonces:
∫+ = →+ ∫
Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es convergente , caso contrario es divergente .
Caso 2 : Si f es una función continua en el intervalo infinito ( -∞, b], entonces:
∫− = →− ∫
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Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es convergente, caso contrario es divergente.
Caso 3 : Si f es una función continua para todo x, entonces:
∫−+ = ∫− ∫+
Suponiendo que las integrales de la derecha son convergentes. “c” es un número arbitrario.
3.2. Integrales impropias con límites finitos: Caso 4 : Si f es es una función función continua en el intervalo intervalo semi-abierto [a,b), donde f(b )=∞ existe; entonces:
∫ = → ∫
Siempre que el límite exista.
Caso 5 : Si f es una función continua en el intervalo semi-abierto (a,b], donde f(a + )=∞ existe; entonces:
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| 64
∫ = → ∫
Siempre que el límite exista.
3.3. Cálculo de Áreas: Sea una función f continua en el intervalo infinito infinito [a, ∞), El ÁREA ÁREA de la región limitada por la curva y=f(x) y el eje x, hacia la derecha de x=a, es:
= ∫| ||
Siempre que el límite de la integral impropia exista. Interpretaciones semejantes a ésta integral, son válidas para cualquier otra integral convergente con límites infinitos de integración.
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Ejemplo 42: Evaluar la integral impropia:
− .
Aplicando la fórmula del caso 1:
∫ x.x.ee− dx = →lim ∫ x.x.ee− dx
Integrando con cambio de variable:
u = xx → du = 2x. dx → x. dx = du2 1 1 ] − − − . =l→im . = l i m = l i m [ → 2 → 2 l→im 12 [−] = →lim 12 [− 1] = →lim 12 [1 −]
Entonces:
Reemplazando los límites de integración: 0, t:
Aplicando el límite al infinito:
l→im 12 [1 −] = →lim 12 1 1 = 12 1 0 =
La integral impropia es convergente y converge a ½ .
Ejemplo 43:
√ 1
Determinar si existe el valor de:
| 66
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F(x), es continua en (1, 2], y f(1 + )=+∞. Utilizando la fórmula del caso 5:
√ 1
=
l→im √ 1
= →lim [2√ 1] =
La integral impropia es convergente y converge a 2.
3.4. Problemas propuestos
+ 1. −+ 1 2. − 3. −+ 4. − 22
5. −+ 9− 6. 9 7. +1 8.
4.
Bibliografía
1.
Santiago, Prado, Gómez, Quezada, Zúñiga, Pulido, Barajas, Olmos. Cálculo integral para ingeniería - Pearson Educación. México. Primera edición. 2008
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Swokowski, E. Cálculo con Geometría Analítica Iberoamericana. Segunda edición. 1998.
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Cálculo
Integral.
– Editorial
Grupo
Video de métodos de integración.
5. Anexos Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.
1. ∫21 211 1 3. ∫ 5. ∫ + − 7. ∫ − 9. ∫ + −) − ( ) √ 11. ∫
2. ∫ +− 4. ∫ 52 √ − + 6. ∫ 8. ∫ −+ 10. ∫ 4 12. ∫(3 3) √ 5
Editorial
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13. ∫ √ −– √ ++ 15. ∫ 17. ∫ +. 24 . ∫ + 21. ∫ 23. ∫ ++ 25. ∫ 27. ∫ + 29. ∫ √ 74 7 4. 31. ∫ . 33. ∫ coscos22 . 19
35.
ln s
s
3
37.
39.
cos
2
2
x
2
dx
5 p dp 2 p 1
3 p
34.
36.
ds
xsenx xsenx
14. ∫ +−− 16. ∫ − + 18. ∫ √− 20. ∫ −√ 22. ∫ ⁄ + 24. ∫ − 26. ∫ 28. ∫ +. / 30. ∫ . 32. ∫ ..
3
41. ∫ + dy 43. ∫ √ 1 e . dx
38.
2
y 2
cos
y 2
dy
1 2
1 e
1 e
.tag
d
x x
dx
40. ∫ ++ / − 42. ∫ √ − + dt 44. ∫ +
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45. ∫ ++ dx 47. ∫ . √− 49. ∫ 51. ∫ √− 53. ∫ √ ++ 55. ∫ +√ 57. ∫ 1 59. ∫ + 61. ∫ 17+. − 63. ∫ + . 65. ∫ +.√+√+++ 67. ∫ 69. ∫ ++√+ +√+ 71. ∫ +⁄ . 73. ∫ + 75. ∫− | 1|
46. ∫ .. 48. ∫ . 50. ∫ √+ 52. ∫ √ .. 54. ∫ 3 − 56. ∫ 1 1 58. ∫1 60. ∫ 62. ∫ 7.. −)( − ( )( 64. ∫ √ +)+) . 66. ∫ √+√−−√− 68. ∫ + 70. ∫ 1616 . 72. ∫ √ ++ 74. ∫ 30.. 76. ∫− +
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77. ∫ . 79. ∫ 23 23465 465 81. ∫ +− 83. ∫ 26. −+− 85. ∫ + 87. ∫ + 89. ∫ −+ . 91. ∫ +− 93. ∫ 24..
9.
78. ∫ − 80. ∫ √ ++ − 82. ∫ 84. ∫ − 86. ∫ . 88. ∫ .√ − 90. ∫ .. . 92. ∫ . 94. ∫ .+.
Hallar el área del rectángulo equivalente al área que forma la curva f(x)=4-x 2 con el el intervalo intervalo x є [-2, 2]. Grafique el problema.
96. Se pide encontrar el ÁREA de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones y2=2x; x-y=4. Grafique e indique claramente claramente la región región del área pedida. 97. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para un jardín que se encuentra limitada limitada por dos carreteras carreteras que se cruzan y simulan simulan las curvas: y=x y=x3 y la parábola y=2x-x2, desde x=0 hasta x=2; e indique gráficamente la región del área pedida. 98. Calcule el área que se destinará destinar á para reforestación, reforest ación, que corresponde correspon de a la región limitada por el eje horizontal y la gráfica de la función: en el intervalo [0, +∞).
f x = xe−
99. El diseño de la parte superior de un silo de granos, obedece al sólido de revolución que se forma al girar la región que forma la función:
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f y = 2 4 y
y las rectas y=0, y=3, al girar alrededor del eje x. Hallar volumen del sólido de revolución. 100. Hallar el volumen volumen del sólido de revolución revolución que se genera genera al girar alrededor alrededor del eje x la región formada por la curva y=2x+ x2 – x3, y = 0. (Ver gráfico).
101. Dada la siguiente siguiente función función f(x) = 1/(2x-x2)1/2, se pide hallar la superficie que forma con el eje y=0 y sus asíntotas. 102. Se desea medir la longitud de un cable de internet suspendido entre dos
y =
edificios contiguos que está representada por la función entre los puntos x=1/2 y x=2. Hallar la longitud, longitud, considerando considerando la escala cartesiana cartesiana en metros. 103. La producción de una matriz para la elaboración de hitos, se desarrolla mediante un sólido de revolución, que se obtiene al rotar la región que forman las curvas y los ejes positivos, positivos, al girar alrededor alrededor de la recta x=4. Determinar Determinar dicho sólido.
x = 4 y
104. Se desea construir un soporte para una línea de postes de alumbrado de un bosque, que se logra con la rotación de la región formada por las funciones f(x) = x2+2x+2, g(x)= 6x-2, h(x) = 1, alrededor del eje x. Construir la gráfica y hallar el volumen soporte formado 105. Las curvas y=x3; x=y3; forman una región en el 1° cuadrante. Esta región al girarla alrededor del eje y, forma parte del diseño de la parte superior de una pileta ornamental. ornamental. Se desea hacer el esquema gráfico y hallar el volumen de revolución respectivo.
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106. La producción de flotadores obedecen a una matriz experimental, que es producto del sólido de revolución que forma la circunferencia (y-3)2 + x2 =1 al girar alrededor alrededor del eje y=0. y=0. Urgentemente, Urgentemente, se le pide hallar el el volumen engendrado y su gráfica. 107. Se desea construir un depósito para almacenar agua sobre una plataforma en una zona desértica, que obedece a la región formada por las curvas y=6-x2, x=0, y=2 en el 2° cuadrante; que gira alrededor de la recta x=2. Hallar el volumen del sólido de revolución formado y su gráfica.
x=14y
108. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para una losa que colindará con un área verde que se encuentra limitada por dos curvas: ; . Indique gráficamente gráficamente la región del del área pedida. pedida.
x=14356y6y
109. Un terreno destinado para arborización como pulmón de una determinada ciudad, tiene la forma de la región que se forma entre las curvas: y=x 3-6x2+8x e y-x2+4x=0. Se pide determinar determinar el el área del del terreno. 110. Calcular el área de la región que se encuentra limitada por las ecuaciones y2-x+1=0, y+1=0 y los ejes cartesianos del “IV cuadrante”. Además, calcular el costo de la región, si el m2 cuesta S/.20.00. Considerar la escala cartesiana 1:1Km. 111. La región destinada para un moderno centro de cómputo, simula el espacio que encierran las curvas y=x3 y la recta recta tangente a la curva en el punto x=-2. Se pide calcular calcular el área. 112. La construcción de una pileta artística de concreto, que será instalada en el parque que Ud. diseñará; se asemeja a la región que encierran las curvas y=1-(x+1)2; x-y=0 y que que gira alrededor alrededor de la recta x=0. Escala cartesiana: cartesiana: 1:1m. Se le pide: a) Hacer la gráfica respectiva y calcular el volumen del sólido de revolución. b) ¿Cuánto será el costo del concreto a utilizar, utilizar, si el m3 cuesta S/.2,580.00? 113. Un sólido experimental diseñado para reemplazar unas piezas de caucho para un dispositivo utilizado en la recuperación de petróleo; se forma por la rotación alrededor de la recta y=-1 de la región que cierran las curvas: x=4+6y-2y2; x+4=0. Se pide la gráfica y calcular el volumen volumen del sólido de revolución.
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114. La parte externa de una campana industrial, se genera por la rotación alrededor de la recta x=0 de la región que encierran las curvas: x=1, y=-x2+4x-3, y=x3-6x2+12x-5, x=3. Se pide la gráfica y calcular el volumen del sólido de revolución. 115. Cree Ud. un sólido de revolución considerando lo siguiente: a) Que sea de utilidad utilidad cotidiana cotidiana o industrial b) Que contenga contenga como mínimo mínimo 02 curvas c) Dibujar la gráfica d) Calcular del volumen del sólido de revolución. 116. Las toberas de un cohete que será enviado al espacio, se construyen con un molde que se asemeja a la región que encierran las 03 curvas: y=4x-x2; la tangente a la curva en el punto x=1 y y= -4, que gira alrededor de la recta x=2. Se le pide la gráfica gráfica respectiva y hallar hallar el volumen del sólido formado. formado. 117. Calcular el área de una región destinada para pozas de oxidación, que se encuentra limitada por las curvas: y=4xe -x, y=0, comprendida comprendid a desde x=0 al infinito. Gráfica. 118. Un pedestal decorativo sólido, se genera por la rotación alrededor del eje x de la región que encierran las curvas: (y-1)3=x2, y=0, x=1, x=8. Escala cartesiana: cartesiana: 1:1pulgada. 1:1pulgada. Aparte de la gráfica gráfica respectiva, respectiva, se le pide: a) Calcular el perímetro de la región formada. b) Calcular el volumen del sólido de revolución. c) El costo de la cantidad de material a utilizar, si el litro cuesta S/.53.00. 119. Una zona destinada para la instalación instalació n de un equipo de tratamiento de aguas residuales, es representado representado por la región que limitan las ecuaciones: ecuaciones: y2+x-5=0; y+x+1=0. Calcule: a) El área de la región formada, considerando la escala 1:1m. b) La longitud de la región formada 120. Cierto dispositivo de caucho para la pesca industrial, se diseña a partir de la región que encierran las curvas y=4x2; x=2, x=-2, x=-2, y=0 y que gira gira alrededor de la recta y=-1. Se pide: a) Calcular el el perímetro de la región formada antes del giro giro
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b) Hallar el el volumen del sólido sólido fe revolución 121. Una cúpula industrial, se asemeja al sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje y, la región que encierran las curvas: y+x-4=0; y+2x-8=0; y= (12-2x)/3. Calcule: a) El volumen del sólido de revolución formado. Escala 1:1m b) El costo del concreto a utilizar en caso que la construcción sea factible; si 7m3 cuestan S/.2125.00 122. Un agitador de una poza de lechada de cal de una fábrica de papel, se asemeja al sólido que se genera por la rotación alrededor del eje y de la región que encierran las curvas: ; y=0, x=1, x=8. Se pide:
y1 = x
a) Calcule el área de la región formada formada y la gráfica respectiva b) Calcular el el volumen del sólido de revolución revolución formado 123. Un prototipo de propulsor de cohetes ideado por la NASA, se asemeja a la región que encierran las curvas: Y=2x; y=x/2; x=1, x=3 al girar alrededor de un eje. Se pide calcular: a) El perímetro de la región formada. b) El área de la región formada c) El volumen volumen del sólido sólido formado, formado, cuando cuando gira gira en en la recta y=-1 124. Una plataforma plataforma especial, en uno de sus extremos, extremos, tiene la forma forma de la curva: y=1+2x-x2, acotada desde x=-1 a x=2. Calcule la longitud de este extremo y el costo del cerco especial a colocar, si el pie lineal cuesta cuesta S/. 18.5. Considerar Escala cartesiana: 1:1metro; 1pié=30.cm.
= 3 2 = 4 3 = , = √
125. Un cruce moderno de dos grandes autopistas, se asemeja al que forman las curvas: , formando una región que se destinará para área verde. Se pide calcular el área de la región formada. Gráfica. 126. Dada la región encerrada por las curvas: le pide calcular: a) El área de la región formada b) El perímetro de de la región establecida establecida
y la recta x=2; se
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c) El volumen volumen del sólido de revolución revolución formado cuando gira en la recta recta y=0 127. Un recipiente para preparar aditivos para un riego tecnificado, obedece aproximadamente al sólido que se genera cuando gira alrededor de x=0 la región que encierran las curvas a) Encuentre la capacidad del reservorio. Escala cartesiana: cartesiana: 1:1m 1:1m b) El costo del agua agua para llenarlo, llenarlo, si el litro litro cuesta S/.0.25
x y3 =4; y=x1; x=0
128. El cabezal de un tanque industrial, se construye simulando la rotación alrededor alrededor de la recta x=-1 de la región que limitan las curvas: x=cosy; x=0; y=0; y=π/4. Calcular el volumen volumen del sólido sólido de revolución formado.
