Guía de Estudio Análisis Sísmico de Edificaciones

UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIÁTEGUI FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

GUÍA DE ESTUDIO: ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES TERCER MÓDULO:

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

AYACUCHO - JUNIO 2010

Capítulo 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS 1.1.

Conceptos Básicos de Sismología Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los términos más utilizados en sismología: Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas sísmicas provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos súbitos de la corteza terrestre (disparo sísmico o liberación de energía). Sismología: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenómenos asociados. Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de área en una región dada. A menudo esta definición es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma más general como “la actividad sísmica de una región dada”, esta última definición implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energía liberada en un área en particular. Amenaza Sísmica: Es el valor esperado de futuras acciones sísmicas en el sitio de interés y se cuantifica en términos de una aceleración horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un lapso de tiempo predeterminado. Microzonificación sísmica: División de una región o de un área urbana en zonas más pequeñas, que presentan un cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos sísmicos, dadas las características de los estratos de suelo subyacente. Fallas geológicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido movimientos paralelos al plano de ruptura. Ondas sísmicas: Son vibraciones que se propagan a través de la corteza terrestre causadas por la repentina liberación de energía en el foco. Acelerograma: Descripción en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la ocurrencia de un sismo real. Sismograma: Es un registro del movimiento sísmico y mide la magnitud de los sismos. Aceleración pico del suelo: Es la aceleración máxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo, expresada como fracción de la gravedad (g). Licuación: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso y no como una masa de suelo húmeda. Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco. Hipocentro: Foco sísmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterráneos desde donde se origina el sismo. Distancia epicentral: Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura 1.1. Profundidad focal: Es la distancia entre el foco y el epicentro. Sismo de diseño: Es la caracterización de los movimientos sísmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la realización del diseño sismo resistente.

Figura 1.1 Relación geométrica

1.2.

Causas de los Sismos

Varios fenómenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de éstos actualmente se reconocen tres clases de sismos: los sismos de origen tectónico, los de origen volcánico y los artificialmente producidos por el hombre. Siendo más devastadores los sismos de origen tectónico, y por ende los de mayor interés dentro la ingeniería. 1.2.1.

Tectónica de Placas

El origen de la mayoría de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teoría de la tectónica de placas. La idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes y rígidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacífico), y cerca de catorce placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.) como se puede apreciar en la Figura 1.2.

Figura 1.2 Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción

La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas en las zonas donde chocan unas contra otras. Una explicación plausible para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de la fusión del manto. La parte superior del manto, que est á en contacto con la corteza, se encuentra a una temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad menor al material frío (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la superficie una vez frío tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección. Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en distintas direcciones. Estas corrientes también hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos oceánicos. La roca formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base oceánica, desplazando las placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansión. Las placas se mueven libremente con respecto a la Astenósfera subyacente, y también pueden moverse una con respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos placas se mueven alejándose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de la otra. El primero de estos movimientos tiene su expresión en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San Andrés. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos oceánicos. El tercero tiene su acción en las profundas trincheras oceánicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se conoce como subducción. La Figura 1.4 ilustra los conceptos expuestos en los párrafos anteriores. La formación de nuevo piso oceánico en los lomos de expansión implica la separación de los continentes aumentando de esta manera el área del piso oceánico. Este aumento es equilibrado por la destrucción de la placa por medio de la subducción cuando la corteza oceánica es transportada al manto, en donde se consume.

Figura 1.3 Movimiento de las placas y generación de sismos. M ecanismo de Subducción.

Figura 1.4 Movimiento de las placas, (a) zona de expansión, (b) subducción

1.2.2.

Sismos de Origen Tectónico

Se producen por el desplazamiento súbito de las placas tectónicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que están sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo sísmico se traduce en una gran liberación de energía, seguido algunas veces de un rebote elástico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas posiciones de equilibrio. Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie terrestre: la circumpacífica y la alpìna o alpinohimalaya. También ocurren numerosos choques más pequeños en las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos oceánicos. El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de esta clase de sismo como se muestra en la Figura 1.5, y la dirección del movimiento de las placas es ilustrada en la Figura 1.6. De las dos clases de sismos no tectónicos, los del origen volcánico son raramente muy grandes o destructivos. Ellos son de interés principalmente porque anuncian las erupciones volcánicas inminentes. Los temblores se originan a causa de la subida del magma, llenando las cámaras internas del volcán. El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depósitos, la detonación subterránea de explosivos atómicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.

Figura 1.5 Localización del sismo de Loma Prieta

Figura 1.6 Movimiento de la falla de San Andrés durante el sismo de Loma Prieta

1.3.

Fallas Geológicas 1.3.1.

Definición

Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a varias decenas de kilómetros de profundidad. La presencia de fallas en la superficie no necesariamente implica que el área tiene actividad sísmica, así como la inexistencia de las mismas no implica que el área sea asísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a aflorar en la superficie. Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta puede ser representada aproximadamente como un plano, el cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano de falla.

1.3.2.

Tipos de Falla

Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior. Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.8). Y la Figura 1.7 muestra claramente la naturaleza del desplazamiento en cada caso.

Figura 1.7 Tipos de falla geológica según su desplazamiento

Figura 1.8 Falla de San Andrés (falla por desgarramiento o cizallamiento)

1.4.

Ondas Sísmicas

La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.

1.4.1.

Ondas de Cuerpo

La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie. Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a través del cuerpo del material. Un cuerpo elástico puede estar sujeto a dos tipos de deformación: compresión - dilatación y cortante, por lo tanto las ondas que se generan son de compresión o de corte, respectivamente. 

Las ondas P, llamadas también primarias, longitudinales, compresionales o dilatacionales; producen un movimiento de partículas en la misma dirección de la propagación, alternando compresión y dilatación del medio.



Las ondas S, llamadas también ondas secundarias, transversales o de cortante; producen un movimiento de partículas en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.9.

Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran primero, segundos más tarde llegan las ondas S, con su movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando graves daños en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.10. Las ondas P pueden propagarse a través

de medios sólidos y líquidos, en cambio las ondas S se propagan únicamente a través de medios sólidos debido a que los líquidos no presentan rigidez al corte.

Figura 1.9 Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S

Figura 1.10 Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S)

1.4.2.

Ondas Superficiales

Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanías de la superficie terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh (ondas R). 

El movimiento de las ondas L, es similar al de las ondas S que no tienen componente vertical ya que mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un plano horizontal y en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.11.



El movimiento de las partículas en las ondas R es elíptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la superficie libre.

En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.11 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación. En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.12 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación.

Figura 1.11 Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love

Figura 1.12 Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957

1.5.

Instrumentos de Medición y Registros Sísmicos

Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de

instrumento utilizado se puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de frecuencias a medir (ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ω n ). Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En los sismógrafos modernos, el movimiento del péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.

1.5.1.

Sismómetro [ωn <ω] Registra amplitudes de onda: Sismograma.

Los sismogramas permiten a los sismólogos localizar el epicentro de un sismo y calcular su magnitud. Midiendo la amplitud máxima del registro y calculando la diferencia entre los tiempos de llegada de las ondas S y P, con ayuda de fórmulas sencillas, se obtiene la magnitud del sismo y con un mínimo de tres instrumentos colocados en diferentes lugares, por triangulaciones, se puede localizar el epicentro. Sin embargo, la interpretación exacta de un sismograma y la distinción de los distintos tipos de ondas que se superponen en el registro es un problema bastante delicado. Existe una desventaja adicional: los valores de desplazamiento o velocidad no se obtienen directamente del registro, sino que están en función de la amplificación, voltaje y frecuencia natural del instrumento.

1.5.2.

Acelerómetro

Figura 1.13 Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo

[ωn >ω] Registra aceleraciones: Acelerograma. Los acelerómetros, también conocidos como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleración del suelo en función del tiempo para tres direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976. El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.

1.6.

Medidas de los Sismos

Comúnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamaño y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud y la intensidad. A pesar de ser parámetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la ingeniería sísmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.

1.6.1.

Magnitud

Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observación y está relacionada con la cantidad de energía liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una escala logarítmica en números arábigos y decimales. La escala de magnitudes que más se usa es la de Richter, que tiene 10 grados de medida y se denota por M. Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duración y frecuencia del movimiento, parámetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razón aún no se tiene una aplicación práctica en la ingeniería sísmica a los valores de magnitud y es un parámetro propio de los sismólogos.

1.6.2.

Intensidad

Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destrucción causada por un sismo en un sitio determinado, que generalmente es mayor en el área cercana al epicentro. La escala adoptada más ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los números romanos del I al XII. En la Tabla 01 se da una descripción detallada de esta escala de intensidad.

1.6.3.

Relación entre Escala de Intensidad y Medida

Para llevar a cabo un análisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe conocer suficientes características dinámicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de acelerómetros, y la falta de éstos, supone la carencia de registros de aceleración, fundamentales para el análisis estructural sísmico. Por esta razón y con el afán de deducir valores útiles para diseño, aún a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las características dinámicas de los sismos como la velocidad y aceleración del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales. En la Tabla 01 se expone como Medida de Intensidad la Aceleración Máxima del suelo y como Escala de Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas. Es necesario señalar que las apreciaciones de las aceleraciones están basadas en la experiencia de quien propuso la correlación, basándose principalmente en observaciones de eventos sísmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala

construidos sobre mesas vibrantes con las aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analogía entre los daños de los modelos construidos a escala con el nivel del daño en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad según sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleración correspondiente que los provocó.

Tabla 01 Escala de Intensidad Mercalli Modificada

Capítulo 2 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 2.1.

Introducción

Resulta complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional, éste último representado por sus dos componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El análisis dinámico tridimensional, requerirá la evaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de métodos sofisticados como el de los elementos finitos, que ayudaría a resolver las ecuaciones diferenciales por métodos de integración numérica. En una estructura tridimensional xyz tipo edificios, es útil y suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (u x ,uy ) y una rotación vertical (rz), a estos se conocen como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se concentran en un nudo denominado maestro, al cual están constringidos o conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx , ry ) y una traslación vertical (u y )

2.2.

Ecuación de Movimiento

Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura 2.1, se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica del sistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema está dada por la superposición de las vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo. La Figura 2.1 muestra tres modos de un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas).

Figura 2.1 Estructura de varios niveles

Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada una:

(2.1)

Las fuerzas de inercia en la ecuación 2.1 son simplemente:

(2.2)

En forma matricial:

(2.3)

O más generalmente: (2.4) Donde {FI} es el vector de fuerzas de inercia, [M] es la matriz de masa y {Ü} es el vector de aceleraciones. Debe notarse que la matriz de masa es diagonal para un sistema de sumas agrupadas, sin considerar acoplamiento entre las masas. En sistemas de coordenadas de forma más generalizada, usualmente hay acoplamiento entre las coordenadas lo que complica la solución. Esta es una razón primordial para usar el método de masas concentradas. Las fuerzas de la ecuación 2.1 dependen de los desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez pueden expresarse como:

(2.5)

En forma matricial:

(2.6)

O más generalmente: (2.7) Donde {Fs} es el vector de fuerzas elásticas, [K] es la matriz de rigidez y {U} es el vector de desplazamientos. Por analogía, las fuerzas de amortiguamiento en la ecuación 2.1 pueden expresarse como: (2.8) Donde {FD } es el vector de fuerzas de amortiguamiento, [C] es la matriz de amortiguamiento y { ̇ } el vector de velocidades. En general no es práctico determinar c y el amortiguamiento es expresado en términos del coeficiente de amortiguamiento (ξ). Aplicando las ecuaciones 2.4, 2.7 y 2.8 las ecuaciones de equilibrio dinámico (2.1) pueden escribirse generalmente como: (2.9)

Lo cual es equivalente a: (2.10)

2.3.

Respuesta Dinámica: Análisis Modal

Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos.

2.4.

Método Matricial

Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzas externas y el amortiguamiento es considerado cero. Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n de estas ecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración libre no amortiguada como: (2.11) La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras 2.2 y 2.3 de un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por: (2.12) Donde φn, forma de la deformada o amplitud relativa de movimiento, no varía con el tiempo, y la variación del desplazamiento con el tiempo es descrita por una función armónica: (2.13) Donde A n y Bn son constantes de integración que pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las ecuaciones 2.12 y 2.13 se tiene: (2.14) Donde φn y ωn son desconocidos. Sustituyendo esta forma de u(t) en la ecuación 2.11 da: (2.15) o (2.16) Esta expresión es una representación de la ecuación de eigenvalores; la cual tiene una solución no trivial sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las frecuencias naturales ω n (escalar) y los modos φ n (vector) deben satisfacer la siguiente ecuación: (2.17)

(2.18)

El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (ω n )2 , las raíces del cual son los eigenvalores. Sustituyendo éstos en la ecuación de eigenvalores (ecuación 2.17) se obtienen los eigenvalores para cada modo. A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada.

Figura 2.2 Vibración libre de un sistema no amortiguado en su primer modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b) Forma de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q ; (d) Histograma de desplazamiento 1(t)

Figura 2.3 Vibración libre de un sistema no amortiguado en su segundo modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b) Forma de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q ; (d) Histograma de desplazamiento 2(t)

2.4.1.

Matriz Modal y Espectral

Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o eigenvector φ n correspondiente a la frecuencia natural ω n tiene elementos φjn , donde j indica el DOF. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:

Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ω n2 pueden ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω 2, la cual es conocida como matriz espectral.

Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación 2.17 la cual puede ser reescrita como: (2.19) Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar esta ecuación en una ecuación matricial simple: (2.20) Esta ecuación presenta en forma compacta las ecuaciones relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.

2.4.2.

Ortogonalidad de los Modos

Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando ω n≠ωr (entiéndase que ω r también es una frecuencia natural). (2.21.a)

(2.21.b) La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuación 2.19 multiplicados por φ r T, la transpuesta de φ r, da: (2.22) Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia natural y el modo que satisface la ecuación 2.19; de esta manera k·φ r = ω r 2·m·φr multiplicando por φ n T da: (2.23) La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación 2.22 es igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuación; de esta forma: (2.24) Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. Restando la ecuación 2.23 de la ecuación 2.24 se tiene: De esta manera la ecuación 2.21(b) es verdadera cuando ω n 2≠ω r2 los cuales para sistemas con frecuencia natural posit iva implica que ωn≠ωr. Sustituyendo la ecuación 2.21(b) en la 2.23 señala que la ecuación 2.21(a) es verdadera cuando ω n ≠ωr. Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

(2.25) Donde los elementos de la diagonal son: (2.26) Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la diagonal de K y M son positivos, y están relacionados por: (2.27)

2.4.3.

Normalización de los Modos

Si el vector {φn } es un modo natural, cualquier vector proporcional es en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuación 2.17. algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización; algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de libertad en particular sea la unidad. En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal manera que m n tenga valores unitarios:

o (2.28) Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

(2.29)

Donde: φjn = es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n. m jj= masa concentrada en el nudo j. ujn = el componente, para el nudo j, del eigenvector asociado con el nudo n.

2.4.4.

Factor de Participación

Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad está definida en forma matricial por: (2.30)

Donde [P]= vector de coeficientes de participación para todos los modos considerados {1}= vector unitario. Para un sistema en específico, los factores de participación tienen las propiedades de: (2.31) Donde Pn = es el factor de participación asociado con el modo n.

φ1n = es el componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector asociado con el modo n. La matriz de máximos desplazamientos está definida por:

(2.32)

Donde [D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral. [V] = matriz diagonal de velocidad espectral. [A] = matriz diagonal de aceleración espectral. La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema está dada por la segunda ley de Newton: (2.33) El vector de fuerzas cortantes en la base está dada por: (2.34)

2.5.

Método Numérico

Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos. Para un modo de vibración dado el factor de participación está definido por: (2.35)

Donde Mi = masa correspondiente al nivel i. φi = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado. M = masa modal = ΣM i·φi2 Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura. La masa efectiva está definida por:

(2.36) De forma similar el peso efectivo es definido por: (2.37)

Donde Wi = peso correspondiente al nivel i La aceleración pico en el nudo está definida por: (2.38) El desplazamiento máximo en el nudo está definido por: (2.39) La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton: (2.40) La cortante basal está dada por:

(2.41)

La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse mediante la distribución de la cortante basal del modo siguiente:

(2.42) Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a: (2.43)

2.6.

Método Iterativo

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre piso rígidas. Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los nudos. La rigidez de un nivel en particular está dada por: (2.44)

La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso como se muestra en la Figura 2.4. utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas iterativas basadas en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y Holzer. A continuación se presenta una adaptación del método de Holzer. El modelo dinámico describe que: cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral máximo ui, la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo está dada por: (2.45)

Figura 2.4 Análisis modal de una estructura resistente a fuerza lateral

La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado por:

(2.46) Donde ki·Δi = fuerza cortante total en el nivel i. Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene: (2.47)

La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia natural, en cada nivel. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincida la forma modal corregida con la inicial.

2.7.

Ejemplos

Ejemplo 2.1: Un pórtico de dos niveles tiene las propiedades mostradas en la Figura 2.5 y una relación de amortiguamiento de 5%, está localizado sobre un sitio rocoso cerca del origen del sismo de Loma Prieta. Determinar las fuerzas laterales y desplazamientos de cada nivel usando el espectro de respuesta de la Figura 2.6.

Figura 2.5

Figura 2.6 Espectros de respuestas registrados para varios sitios

Solución: El desplazamiento de cada nudo es:

la matriz diagonal de masa es:

la ecuación de eigenvalores es:

el determinante a resolver es:

resolviendo el polinomio se obtiene las frecuencias naturales correspondientes a los modos de vibración:

el periodo natural correspondiente es:

A partir del espectro de respuesta, Figura 2.6, la aceleración espectral es:

Sustituyendo estos valores en la ecuación de eigenvalores y estableciendo el primer componente de cada modo igual a la unidad se obtiene cada uno de los eigenvectores: Para ω 1 =5.15

De este modo se obtiene la matriz de eigenvectores:

los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

Para el modo 1:

Para el modo 2:

Entonces la matriz modal normalizada es:

El vector de coeficiente de participación esta definido por:

Asumiendo que la estructura se comporta elásticamente, la matriz de desplazamiento esta dada por:

Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo esta dado por.

Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la fuerza lateral en cada nudo es:

El vector de cortante basal es:

Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la cortante basal es:

2.8.

Problemas Propuestos

Problema 2.1: La Figura 2.7 representa un edificio de tres niveles. Las cargas muertas efectivas se muestran en cada piso y se dan como datos las siguientes propiedades dinámicas:

Figura 2.7

Eigenvectores:

Eigenvalores:

Se requiere: a) Calcular los factores de participación y verificar si son correctos dichos factores. b) Calcular los desplazamientos de cada nivel basados en el espectro dado. c) Calcular la deriva entre cada piso.

Problema 2.2: La Figura 2.8 representa un edificio de tres niveles con losas de entrepiso de 3 m. x 3 m. Las cargas muertas en cada piso se muestran en la figura.

Figura 2.8

Determinar: a) La cortante basal de cada modo, usando el espectro de respuesta de diseño con ξ=5%. b) La carga lateral para cada nivel, para cada modo. c) Cual es la cortante basal más probable.

Problema 2.3: Considere el pórtico de acero de dos pisos que se muestra en la Figura 2.9. La estructura tiene una razón de amortiguamiento ξ=7%, se conoce que cada piso de deflecta 0.3 [cm] debido a una esfuerzo cortante del piso de 4.5 [t].

Figura 2.9

Determinar: a) El modelo matemático para el análisis dinámico y resumir éste en un dibujo indicando masas y rigideces por piso. b) Dibujar la primera forma modal aproximada y calcular el periodo fundamental de vibración del modelo matemático. c) Para el primer modo asumir T1=0.5 [s] y que la forma modal es φ 2 =1.0 y φ 1 =0.66, calcular la primera fuerza modal por piso. d) Cual es la aceleración pico del suelo

Capítulo 3 CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS 3.1.

Introducción

La forma del edificio, tamaño, naturaleza y localización de los elementos resistentes, es decir: muros, columnas, pisos, núcleos de servicio, escaleras; y elementos no estructurales como: cantidad y tipo de divisiones interiores, la forma en que los muros exteriores se disponen sólidos o con aberturas para iluminación natural y ventilación; es a lo que se denomina configuración. Predominan también: geometría, geología y clima del lugar de construcción, reglamentos de diseño urbano y aspectos arquitectónicos de estilo. Estas decisiones arquitectónicas, tal como se ha podido observar en las edificaciones dañadas por los efectos de los terremotos, unidas a decisiones de diseño estructural y a las técnicas constructivas influyen determinantemente en el comportamiento sismo resistente de las edificaciones. Una adecuada selección del sistema estructural, del material y de los componentes no estructurales es de mayor importancia que un análisis complejo. A pesar, e independientemente de todo lo sofisticado que sea el método de análisis utilizado por el ingeniero, no se puede hacer que un sistema estructural may concebido se comporte satisfactoriamente en un terreno severo. Si se trabaja conjuntamente desde el inicio de esquema en un proyecto de edificación entre arquitecto e ingeniero, entendiendo de qué manera las decisiones pueden afectar el comportamiento sismo resistente de ésta, escogiendo apropiadamente los materiales básicos a utilizarse, la configuración y la estructuración del edificio. El ingeniero estructural no tendrá que pasar por la desagradable situación de escoger entre proponer revisiones que pueden llevar hasta la reformulación del proyecto inicial, o tratar de usar soluciones estructurales muy complicadas para resolver el problema producido, a causa de concepciones arquitectónicas inadecuadas. Es decir, que se deben conocer los aspectos críticos a ser considerados para garantizar la seguridad sísmica del proyecto

3.2.

Requisitos de Configuración

Cada estructura debe designarse como regular o irregular desde el punto de vista estructural: Estructuras regulares. Las estructuras regulares no tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración en planta y configuración vertical o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Estructuras irregulares. Las estructuras irregulares tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Las características irregulares incluyen, sin estar limitadas a ello, las descritas en la Tabla 3.1 y la Tabla 3.2.

3.2.1.

Configuración en Elevación

La Tabla 4 de la NTE Diseño Sismoresistente E-030, define posibles irregularidades verticales, y requerimientos adicionales de detalle, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidad estructural vertical están definidos: Irregularidad de rigidez (piso blando); Irregularidad de peso (masa); Irregularidad vertical geométrica; Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistentes a las fuerzas laterales y Discontinuidad en capacidad (piso blando)., puede considerarse de que no existen irregularidades de rigidez y de peso cuando para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor de 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba. Es conveniente que no existan cambios bruscos en las dimensiones, masas, rigideces y resistencias del edificio, para evitar concentraciones de esfuerzos en determinados pisos que son

débiles con respecto a los demás. Los cambios bruscos en elevación hacen también que ciertas partes del edificio se comporten como apéndices, con el riesgo de que se produzca el fenómeno de amplificación dinámica de fuerzas conocido como chicoteo. En la Figura 3.1 se muestran las diferentes irregularidades con más detalle.

Figura 3.1 Irregularidades en elevación

3.2.2.

Configuración en Planta

La Tabla 5 de la NTE Diseño Sismoresistente E-030, define posibles irregularidades en planta y requerimientos adicionales de detalles, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidades en planta son definidos: Irregularidad torsional a ser considerado cuando los diafragmas no son flexibles; Esquinas reentrantes; Discontinuidad de diafragma; Desviación fuera del plano y Sistemas no paralelos. Las estructuras regulares son definidas como aquellas que no tienen discontinuidades físicas significativas en su configuración en planta y vertical o en su sistema resistente a las fuerzas laterales.

En la Figura 3.2 se muestra en forma gráfica detallada las irregularidades mencionadas en la Tabla 5.

Figura 3.2 Irregularidades en planta

Es importante la simplicidad para un mejor comportamiento sísmico de conjunto de una estructura, y resulta más sencillo proyectar, dibujar, entender y construir detalles estructurales. Otro factor importante es la simetría respecto a sus dos ejes en planta, es decir su geometría es idéntica en ambos lados de cualquiera de los ejes que se esté considerando. La falta de regularidad por simetría, masa, rigidez o resistencia en ambas direcciones en planta produce torsión, que no es fácil de evaluar con precisión. Es necesario mencionar que a pesar de tener una planta simétrica, puede haber irregularidades debido a una distribución excéntrica de rigideces o masas ocasionando también torsión. En caso de que se tuviera entrantes y salientes, es decir plantas en forma de T, L, H, U, etc. es aconsejable utilizar juntas de dilatación, dividiendo la planta global en varias formas rectangulares y como segunda opción se puede restringir las mismas con límites máximos, como se indica en la Figura 3.2 Es preferible no concentrar elementos rígidos y resistentes, tales como muros de corte, en la zona central de las plantas, porque son menos efectivos para resistir torsión, si bien los muros ubicados en la zona central tienen un comportamiento aceptable, las columnas estarán sujetas a un cortante por torsión mayor que aquél proporcionado por la ubicación de los muros en la periferia. No es nada recomendable colocar las escaleras y elevadores en las partes externas del edificio ya que tienden a actuar aisladamente ante los sismos, con concentraciones de fuerzas y torsiones difíciles de predecir sin llevar a cabo un análisis complicado.

3.2.3.

Poco Peso

Las fuerzas producidas por los sismos son de inercia, que es el producto de la masa por la aceleración, así las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa, por tanto al peso del edificio; por ello debe procurarse que la estructura y los elementos no estructurales tengan el menor peso posible y además sean resistentes. No se recomiendan voladizos debido a que producen fuerzas de inercia verticales de magnitud apreciable que sumadas a las fuerzas de gravedad llegarían a causar serios problemas. Debido al aumento de las cargas laterales la falla de los elementos verticales como columnas y muros podría ser por pandeo, es ahí que la masa ejerce un rol importante; cuando la masa, empuja hacia abajo debido a la gravedad, ejerce su fuerza sobre un miembro flexionado o desplazado lateralmente por las fuerzas laterales, a este fenómeno se conoce como el efecto P-delta. Cuando mayor sea la fuerza vertical mayor será el momento debido al producto de la fuerza P y la excentricidad delta.

3.2.4.

Hiperestaticidad

Figura 3.3

Si existe continuidad y monolitismo en un sistema estructural, es decir, que sea hiperestático, entonces mayor será la posibilidad de que, sin convertirse en un mecanismo inestable, se formen articulaciones plásticas, con alta capacidad de absorción de la energía proveniente del sismo. Se evitan también fallas locales serias, debidos a grandes esfuerzos locales engendrados por lo grandes desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo presentes en uniones entre vigas y losas, y entre vigas y columnas. Puede convenir diseñar estructuras que durante un sismo intenso los daños se concentren en zonas previstas para servir como disipadores, mediante deformaciones inelásticas, sin que se produzcan daños graves en el resto de la estructura. Así, es preferible utilizar una serie de muros acoplados por trabes que se diseñen para que en ellas se formen articulaciones plásticas, ver Figura 3.3.

3.2.5.

Columna Fuerte, Viga Débil

En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales, permitiendo de esa manera el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no fallan aún después de un daño severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plásticas, en cambio las columnas colapsan rápidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del hormigón. Esto conduce a que las vigas peraltadas sobre columnas ligeras, no son apropiadas en regiones sísmicas.

Capítulo 4 ANÁLISIS ESTÁTICO - MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 4.1.

Determinación de las Fuerzas Laterales 4.1.1.

Factor de Zona Sísmica “Z”

Cada lugar o región está dividida en diferentes zonas sísmicas, las cuales están demarcadas según la aceleración pico del suelo expresada en función de la constante de gravedad (g). Toda estructura a ser diseñada debe tener asignada un factor de zona sísmica Z de acuerdo con la Tabla Nº 01 de la NTE Diseño Sismoresistente E-030. Estos valores se basan en registros históricos y datos geológicos y son también ajustados para proveer criterios de diseño consistentes con la región. Este factor se interpreta como la aceleración máxima del terreno con una probabilidad de 10% de ser excedida en 50 años.

4.1.2.

Condiciones Geotécnicas

Las vibraciones del terreno causadas por un sismo tienden a ser mayores en suelos suaves que en suelos firmes o roca. Como las vibraciones se propagan a través del material presente debajo de la estructura éstas pueden ser amplificadas o atenuadas dependiendo del periodo fundamental del material. De este modo se identifican cuatro tipos diferentes de perfil de suelos (Tabla Nº 2). La clasificación se puede ver en el Apendice A (Norma Técnica de Edificación Diseño Sismoresistente E 030).

4.1.3.

Factor de Amplificación Sísmica Se define el factor de amplificación sísmica “C” por la siguiente expresión

Este coeficiente se interpreta como el factor de amplificación de la respuesta estructural respecto de la aceleración del suelo.

4.1.4.

Periodo Fundamental

Cada estructura posee un único periodo natural o fundamental de vibración, el cual es el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración libre. La rigidez, la altura de la estructura son factores que determinan o influyen en el periodo fundamental, y éste puede variar desde 0.1 [s], para sistemas simples, hasta varios segundos para sistemas de varios niveles. Como primera aproximación el periodo fundamental puede ser asumido igual al número de niveles dividido por 10. El valor del periodo fundamental de la edificación debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la dirección a considerar; este requisito se puede suplir siguiendo los métodos presentados por el código UBC:

Figura 4.1 Procedimiento de Rayleigh

Los valores de fi representan cualquier fuerza lateral distribuida en forma racional como muestra la Figura 4.1; esta distribución en forma de triangulo invertido corresponde a la distribución de la cortante basal. Las deflexiones elásticas δi, deben calcularse utilizando las fuerzas laterales aplicadas fi.

Si la contribución de los elementos no estructurales a la rigidez de la estructura es subestimada, el cálculo de las deflexiones y el periodo natural son sobreestimados, dando valores demasiado bajos para los coeficientes de fuerza. Para reducir el efecto de este error el código UBC especifica que el valor de T del método B no debe exceder de un valor de 30% mayor que el de T obtenido del método A en la zona sísmica 4 y del 40% en las zonas sísmicas 1, 2 y 3. También se puede calcular de acuerdo a la NTE Diseño Sismoresistente E-030. Cuando el procedimiento dinámico o considere el efecto de los elementos no estructurales, el periodo fundamental deberá tomarse como el 0.85 del valor obtenido por este método.

4.1.5.

Amortiguamiento y Ductilidad

Los niveles de amortiguamiento son naturalmente dependientes del nivel de deformación o esfuerzo en una estructura, de los materiales empleados, la naturaleza del subsuelo, la forma de la estructura, la naturaleza de la vibración. La gran cantidad de valores de amortiguamiento determinados experimentalmente han sido obtenidos por lo general, ya sea de componentes estructurales individuales o a partir de vibraciones de baja amplitud. De ahí que para estructuras de conjunto sujetas a movimiento fuerte del suelo, será necesaria alguna extrapolación de los datos de amortiguamiento existentes. La tabla a continuación indica valores representativos del amortiguamiento para varios tipos de construcción.

La ductilidad es una medida de la habilidad del sistema estructural de deformarse más allá de su límite elástico sin colapsar. Esto le permite a la estructura absorber energía y seguir soportando las cargas y resistiendo las fuerzas. En el caso de una carga sísmica cíclica, la estructura sufre sucesivas cargas y descargas y la relación fuerza-desplazamiento toma una secuencia histerética. Para un sistema elastoplástico idealizado esta relación es ilustrada en la Figura 4.2 donde el área encerrada es una medida de la energía disipada por el sistema.

Figura 4.2 (a) Energía de disipación histerética. (b) Curva de fuerza-deformación asumida

Cuando una estructura es sujeta a un movimiento sísmico, ésta tiene la capacidad de absorber gran parte de la energía sísmica; una parte sustancial de energía es almacenada temporalmente por la estructura en forma de energía de deformación y energía cinética. Después de corto tiempo el movimiento sísmico puede ser tan fuerte que el punto de fluencia se excede en ciertas partes de la estructura y principia la disipación permanente de energía en forma de deformación inelástica (histerética). A través de todo el sismo la energía es disipada por amortiguamiento, el cual es, por supuesto, el medio por el cual la energía elástica es disipada una vez que cesa el movimiento del suelo. Es evidente que se requiere de una gran ductilidad para disipar en gran proporción la energía histerética generada por un sismo. Los factores de ductilidad para estructuras se utilizan en forma tal que implican una reducción en los valores espectrales de respuesta, por consiguiente se requiere una estimación razonable del factor de ductilidad permisible. Para este propósito se debe estar consciente de las diferencias entre los diferentes tipos de factores de ductilidad involucrados en la respuesta de las estructuras a carga dinámica. A este respecto debe hacerse una distinción entre el factor de ductilidad de un miembro, el factor de ductilidad de un entrepiso en un edificio y el factor de ductilidad global del edificio, para usarse en el cálculo del cortante basal a partir de los valores espectrales de respuesta. El factor de ductilidad de un miembro, de un entrepiso o el factor de ductilidad global, están todos gobernados por el desarrollo de una relación fuerza-desplazamiento, en la que el

desplazamiento es la deformación longitudinal en un miembro a tensión o a compresión, la rotación de una junta o conexión en un miembro a flexión o la deformación por cortante en un muro de corte. El factor de ductilidad de entrepiso se define esencialmente por medio de una relación en la que el desplazamiento es la deflexión relativa entre el piso por encima y el piso por debajo del entrepiso que se trata. El factor de ductilidad global es, en general, un promedio ponderado de los factores de ductilidad de entrepiso, y la mejor manera de definirlo es considerando un patrón particular de desplazamiento que corresponda al modo preferible de deformación de la estructura, en una condición de respuesta que la energía inelástica sea absorbida de manera tan general como sea posible para desarrollar tal deformación por toda la estructura. El factor de ductilidad de miembro puede ser considerablemente más grande que el factor de ductilidad de entre piso, que a su vez puede ser algo más grande que el factor de ductilidad global. La asignación del factor de ductilidad global de la estructura deberá realizarse de manera conservadora y teniendo en cuenta que las posibilidades de disipación de energía por deformaciones inelásticas dependen de muchos factores como por ejemplo: configuración estructural, distribución de rigideces y resistencia, características de los componentes estructurales y uniones, materiales y otros.

4.1.6.

Factor de Modificación de Respuesta

Como resulta antieconómico el diseñar una estructura que permanezca dentro de su rango elástico durante un sismo; la capacidad de absorción de energía no lineal del sistema es una ventaja que permite limitar el daño estructural sin disminuir la capacidad de la estructura de soportar carga vertical. En adición, como ocurre la fluencia, el periodo natural y el coeficiente amortiguamiento se incrementan reduciendo de este modo la fuerza sísmica desarrollada en la estructura. El factor R de modificación de la respuesta es el coeficiente de la cortante basal sísmica, el cual debe desarrollarse en un sistema linealmente elástico, y es una medida de la capacidad del sistema para absorber energía y mantener un comportamiento cíclico de deformación sin colapsar. La NTE Diseño Sismoresistente E-030, proporciona una serie de valores para R, los cuales están tabulados en la Tabla Nº 06 siguiente; el valor de R se incrementa a medida que la ductilidad de la estructura aumenta y su capacidad de disipación de energía aumenta; R es un coeficiente numérico representativo de la capacidad de ductilidad global de los sistemas resistentes a fuerzas laterales.

4.1.7.

Categoría de las Edificaciones

Cada estructura debe ser clasificada de acuerdo con las categorías indicadas en la Tabla Nº 3 de la NTE Diseño Sismoresistente E-030, la que asigna valores de importancia “U”.

4.2.

4.1.8.

Peso de la Edificación

4.1.9.

Fuerza Cortante en la Base

Estructuras de Varios Niveles 4.2.1.

Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica

4.2.2.

Efecto P-Delta

El efecto P-delta en un piso dado es causado por la excentricidad de la carga gravitatoria presente por encima del piso, la cual produce momentos secundarios aumentando las deflexiones horizontales y las fuerzas internas. Este efecto debe tenerse en cuenta cuando el índice de estabilidad (Q) excede a 0.1. El índice de estabilidad esta dado por:

El efecto P-delta debe evaluarse utilizando las cargas de diseño, es decir las fuerzas que producen los desplazamientos, es decir las fuerzas derivadas de la estática o fuerza lateral equivalente.

4.2.3.

Desplazamientos de Piso

Para el cálculo del desplazamiento del nivel de diseño se debe preparar un análisis elástico estático del sistema resistente a las fuerzas laterales utilizando las fuerzas sísmicas de diseño. Adicionalmente se debe considerar el efecto P-delta en el cálculo del desplazamiento de respuesta inelástica máxima cuando el caso así lo requiera. Cuando se diseña una estructura mediante el análisis dinámico, se debe utilizar el espectro de respuesta apropiado del terreno sin reducción por el factor de modificación de respuesta R. Esto da resultados de desplazamiento iguales a los valores elásticos correspondientes al espectro de respuesta elástico. Para estructuras de periodo grande con un periodo fundamental dentro de la región sensitiva de velocidad del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico es aproximadamente igual al desplazamiento total inelástico. Para estructuras de periodo corto con un periodo fundamental dentro la región sensitiva de aceleración del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico usualmente subestima el desplazamiento inelástico total.

Los valores máximos para el cálculo de las derivas o desplazamiento relativo entre pisos, se presentan en la tabla siguiente:

4.3.

Torsión

Para transferir las fuerzas sísmicas al suelo, se deben utilizar los elementos resistentes verticales y horizontales para proporcionar trayectorias de cargas continuas a partir del tope de la estructura hacia las fundaciones. Los componentes verticales consisten de muros de corte, pórticos arriostrados y pórticos resistentes a momentos. Los componentes horizontales consisten de techos y diafragmas de piso, los cuales distribuyen las fuerzas laterales a los elementos verticales. Los diafragmas se consideran flexibles cuando la deformación lateral máxima del diafragma, bajo carga lateral, es más del doble del desplazamiento promedio por piso del piso asociado. Esto puede determinarse comparando el punto medio calculado en la deflexión en planta del diafragma mismo con el desplazamiento por piso de los elementos colindantes resistentes a las fuerzas verticales tal como ilustra la

Figura 12.10. el diafragma puede modelarse como una viga simple entre soportes y la distribución de la carga a éstos es independiente de sus rigideces relativas y proporcional al área tributaria correspondiente.

Figura 4.3 Diafragma flexible

Cuando la deformación lateral máxima del diafragma es menor del doble del desplazamiento promedio de piso, el diafragma se considera rígido. Se deben considerar los incrementos del esfuerzo cortante que resulta de la torsión horizontal cuando los diafragmas no son flexibles. La distribución de la carga a los soportes es proporcional a sus rigideces relativas y es independiente del área tributaria soportada.

4.3.1.

Momento Torsor

El centro de rigideces es aquel punto alrededor del cual la estructura tiende a rotar cuando está sujeta a una fuerza excéntrica. En el caso de la fuerza sísmica, ésta actúa en el centro de masas de la estructura y el momento torsor es el producto de la fuerza sísmica y la excentricidad del centro de masas con respecto al centro de rigideces. La ubicación del centro de masas calculado no es exacta debido a la distribución imprecisa del peso de la estructura, lo cual conduce a una torsión accidental; y acontece algo similar con el centro de rigideces calculado debido a la rigidez despreciada de los componentes no estructurales. Para tomar en cuenta estas incertidumbres debe asumirse que la masa en cada nivel se ha desplazado del centro de masas calculado en cada dirección una distancia igual al 5% de la dimensión de la edificación en ese nivel perpendicular a la dirección de la fuerza bajo consideración.

4.3.2.

Centro de Masas y Centro de Rigideces

La ubicación del centro de rigideces se obtiene a partir de momentos estáticos alrededor de un origen conveniente. De la Figura 4.4 para la carga sísmica en la dirección Norte-Sur, los muros Norte y Sur, los cuales no tienen rigidez en esa dirección, se desprecian y sólo se consideran los muros Este y Oeste, es así que la ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Este está dada por:

La ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Sur está dado por:

El momento de inercia polar de los muros esta dado por:

De forma similar se calcula la ubicación del centro de masas, ̅ , . Y la fuerza cortante total en la base de los muros Este y Oeste está dada entonces por la suma de la cortante debida a las fuerzas en ese plano y los momentos torsores. Es importante que el momento torsor de diseño, en un piso determinado, debe ser el momento resultante de las excentricidades entre las fuerzas laterales de diseño aplicadas en los niveles por encima de ese piso y los elementos resistentes a las cargas verticales en ese piso más una torsión accidental.

Figura 4.4 Efecto de la torsión

4.3.3.

Efectos de la Torsión

La excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigideces está ilustrada en la Figura 4.4 como:

La excentricidad accidental está dada por:

La excentricidad máxima es:

La excentricidad mínima es:

El momento torsor máximo para la carga sísmica Norte-Sur está dado por:

El momento torsor mínimo para la carga sísmica Norte-Sur está dado por:

La fuerza total en el muro Este, para la carga sísmica Norte-Sur es:

Donde la fuerza cortante en la dirección considerada es:

La fuerza cortante debido al momento torsor más crítico en el muro Este es:

Para el muro Oeste, debido a que el momento torsor actúa en sentido opuesto al plano de acción de las fuerzas, la fuerza cortante debido al momento torsor mas critico es:

Y la fuerza total de diseño es:

4.4.

Problemas Propuestos

Problema 4.1: El pórtico de acero resistente a momentos, cuyas propiedades se muestran en la Figura 4.5, tiene una altura de 12 m de 4 m por nivel; está ubicado en un sitio, el cual pertenece a la zona sísmica 3 con un perfil de suelo tipo S3, y como Categoría de Edificación A. Calcular el valor de la Cortante Basal Sísmica y la determinar la Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica.

Figura 4.5

Problema 4.2: Del pórtico de acero detallado en la figura 4.6, determinar si es necesario considerar el efecto P-Δ. Las fuerzas y desplazamientos corresponden a un análisis elástico.

Figura 4.6

Problema 4.3: Dado el pórtico especial resistente a momentos como se ilustra en la Figura 4.7. El módulo de elasticidad E=2038900 [kg/cm2]. Todas las columnas están fijas en la parte superior. La viga continua es infinitamente rígida. Se considerará una estructura de acero.

Se requiere: 1. Calcular el desplazamiento de piso debido a la carga sísmica de 40 [t] 2. Determinar si los desplazamientos calculados están en conformidad con los requisitos del código NTE Diseño Sismoresistente E-030.

Capítulo 5 MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL 5.1.

Introducción

El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinámica.

5.2.

Ventajas del Análisis Modal

El procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos sísmicos. La respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un número de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo específico de vibración de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal tiene la ventaja de determinar la distribución real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución lineal simplificada asumida en el método de la fuerza lateral estática. Además, considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.

5.3.

Procedimiento del Análisis Modal

Las fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis dinámico para un modelo matemático de la estructura, combinando la respuesta de un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal. El espectro de diseño debe suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos, debe tener como mínimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años, además, el espectro debe desarrollarse para una relación de amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida para el sitio. Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la estructura está dado por: (5.1) Y el peso efectivo para un modo dado está definido por: (5.2)

(5.3)

Donde:

Para una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:

(5.4)

Por tanto la ecuación 5.2 se reduce a: (5.5)

La relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por: (5.6) Donde:

Por consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos sea: (5.7) Para asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el procedimiento de fuerza lateral estática, la NTE Diseño Sismoresistente E-030, estipula un valor mínimo del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos los parámetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:  Para una estructura regular, usando el espectro de respuesta que presenta la NTE E-030, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 80% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.  Para una estructura irregular, usando el espectro de respuesta que presenta la NTE E-030, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 90% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

5.4.

Análisis Espectral

Es un análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales máximas se calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada. Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.

5.4.1.

Numero de Modos

Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal, ver la ecuación 5.7. Los modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de dinámica estructural, tales como: el Análisis de Eigenvectores o el Análisis de los Vectores de Ritz

5.4.2.

Combinación de Modos

Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación Cuadrática Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo.

(1981). El método GMC, Combinación Modal General, método descrito por Gupta (1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El método de La suma de valores absolutos, ABS Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse cuando se combinen las máximas modales. Según la NTE E-030, se debe de usar los siguientes criterios de combinación:

5.4.3.

Efectos de Dirección

Según la NTE E-030, los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo el 100% de las fuerzas sísmicas en una dirección.

5.4.4.

Torsión

El análisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la sección 4.3. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de torsión accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los procedimientos estáticos equivalentes.

5.5.

El Análisis por Historia del Tiempo (Cronológico)

Determina la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre pequeños incrementos de tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología específica del movimiento del suelo. La metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseñador ella describe adecuadamente las propiedades dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser linealmente elástico o inelástico.

5.6.

Problemas Propuestos

Problema 5.1: Para el pórtico de 2 pisos mostrada en la Figura 5.1 determine el número de modos que deben combinarse para asegurar que todos los modos significantes estén incluidos en el análisis. Usar resultados obtenidos en el Ejemplo 2.1.

Figura 5.1

Problema 5.2: Una estructura de acero de 5 pisos resistente a momentos, se muestra en la Figura 5.2. La forma modal fundamental ha sido determinada por un análisis por computadora, el periodo fundamental ha sido calculado por un análisis racional como T=0.90 s. Los datos del espectro de respuesta para un sitio específico son dados en la siguiente tabla.

Se requiere a) Usando la distribución de masa dada, la forma modal, el periodo de la estructura y los datos del espectro de respuesta; determine el cortante total para la base de la estructura, basado en la respuesta elástica de la estructura. Usando los datos dados, determine la fuerza lateral de diseño (cortante para la base) usando el procedimiento de fuerza lateral. b) Usando el espectro de respuesta, determine la distribución de cortante de piso de diseño, asumiendo un valor de cortante basal estático de 78.693 Tn, y considerar como una estructura irregular. c) Usando el espectro de respuesta inelástico, determine el desplazamiento esperado para la parte superior de la estructura y las derivas.

Figura 5.2

Capítulo 6 RESOLUCIÓN A PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1. Capítulo 2 Problema 2.1: a) Los factores de participación para un sistema de varios grados de libertad están definidos por:

Como la matriz modal es normalizada, entonces el vector de coeficientes de participación es:

La matriz de masa es.

Realizando los cálculos necesarios se tiene el vector correspondiente a los factores de participación para los tres modos:

Como los factores de participación tienen la propiedad de:

Por tanto los factores son correctos. b) Los periodos naturales para cada uno de los tres modos se obtienen a partir de los eigenvalores usando la expresión:

Se obtiene la aceleración espectral para cada uno de los modos, del espectro de respuesta:

La matriz de desplazamiento esta dado por:

Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:

c) El desplazamiento entre pisos de los tres modos se obtiene por restas sucesivas de las filas de vectores de matriz a partir de los desplazamientos del nivel superior. La matriz de los deslizamientos de los niveles es entonces.

Problema 2.2: Las masas respectivas para cada nivel son:

Determinación de [ω]: La matriz de rigidez es:

La matriz diagonal de masa es:

De la ecuación 2.18:

Resolviendo el determinante:

Resolviendo el polinomio:

Los periodos correspondientes son:

Determinación de [Φ]: Para ω 1 =15.58

Para ω 2 =38.016

Para ω 3 =53.179

Realizamos la normalización:

Entonces la matriz normal normalizada es:

A partir de estos cálculos se procede a resolver los incisos: a) Cortante basal y b) La carga lateral para cada nivel. Primer modo.Para T1 =0.403 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

Segundo modo.Para T2 =0.165 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

Tercer modo.Para T3 =0.118 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

c) El cortante basal más probable:

Por tantos es posible aplicar el método SRSS y el cortante basal más probable esta dado por:

Problema 2.3: La carga muerta tributaria al nivel de cada losa se obtiene sumando las contribuciones de la losa misma, las columnas y los muros, de la siguiente manera: Piso 1

Peso total

Piso 2

Peso total

La rigidez de cada piso es la fuerza de corte requerida para producir un desplazamiento unitario en éste piso y es dado por:

k 1 = k 2 = Esfuerzo cortante de piso / desplazamiento

a) El modelo dinámico del pórtico de pisos puede considerarse una estructura resistente a corte con todas las masas concentradas en las losas rígidas de entrepiso y teniendo un grado de libertad, una traslación horizontal, para cada losa de entre piso. El modelo matemático se ilustra en la Figura 2.10.

Figura 2.10

b) La forma modal y el periodo fundamental de vibración se obtiene mediante una técnica de iteración. El procedimiento es ilustrado a continuación en una tabla con la forma modal inicial, primeros valores para la iteración, definido por:

La última forma modal revisada es idéntica a su anterior en la última iteración. La forma modal final es mostrada en la figura anterior. La frecuencia circular natural del primer modo se obtiene por la ecuación del valor final del componente de desplazamiento más grande para su valor inicial:

El periodo fundamental esta dado por:

c) Las fuerzas laterales se obtienen de la siguiente manera. Para T1 = 0.52 [s] y para un coeficiente de amortiguamiento ξ=7% la correspondiente aceleración espectral es obtenido del espectro de respuesta como:

El factor de participación es definido como:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

Las fuerzas laterales para los respectivos niveles están dadas por:

El cortante basal esta dado por: Σ Fi = V

d) La aceleración pico del suelo ocurre en el tiempo t = 0 y se obtiene del espectro de respuesta como:

6.2. Capítulo 4 Problema 4.1: Hallando el valor del Factor de Amplificación Sísmica:

Tp = 0.9, para S3, según Art. 6.2 =

=

= 0.34, según Art. 17.2

0.9 = 6.56; 0.34

= 2.5.

≤ 2.5; ∴

= 2.5

Calculando el valor de la Cortante Basal Sísmica, según Art. 17.3:

2.5 = 0.26; ∴ 9.5

≥ 0.125;

Tipo

Valor

3

0.4

Categoría de la Edificación

A

1.5

Condiciones Geotécnicas

S3

1.4

Factor de Amplificación Sísmica

C

2.5

Factor de Reducción Sísmica

R

9.5

Cortante Basal Factor de Zona

=

.

.

.

.

(

.

+

+

)=

.

=

.

Determinando la Distribución en Altura de la Fuerza Sísmica, según Art. 17.4, como el periodo es a 0.70 s, no se usará Fa como fuerza concentrada en la parte superior de la estructura.

Peso

Altura

Pxh

PxhxV

F

1º Nivel

400

4

1600

424416

44.21 Tn

2º Nivel

400

8

3200

848832

88.42 Tn

3º Nivel

400

12

4800

1273248

132.63 Tn

TOTAL

9600

Problema 4.2: De acuerdo al Art. 16.5, el índice de estabilidad se calcula como:

El factor de reducción sísmica para estructuras de acero es 9.5.

265.26 Tn

4.60 6.44 100 = = = 0.003 (30.20 + 22.25) 4 9.5 1993.1 (70 + 70)

Q < 0.1, por lo tanto no será necesario realizar análisis de segundo orden o P-delta.

Problema 4.3: La rigidez del pórtico se obtiene a partir de la sumatoria de las rigideces individuales de cada columna. La rigidez de la columna A está dada por:

La rigidez de la columna B está dada por:

La rigidez de la columna C es cero, puesto que tiene dos articulaciones:

La rigidez de la columna D está dada por:

La rigidez de la columna E está dada por:

La rigidez total del pórtico, para la carga lateral, es:

1. El desplazamiento lateral del pórtico debido a una carga sísmica V de 40 [t] es:

2. Desplazamiento lateral admisible. Asumiendo que la edificación tiene un periodo fundamental menor a 0.7 [s], la relación del desplazamiento admisible está limitado, según el Art. 15.1, a 0.010. Asumimos que la fuerza sísmica lateral ha sido calculada inelásticamente. Según el Art. 16.4, los valores de derivas se deben de calcular para un análisis lineal elástico, por lo que los valores de las derivas y desplazamientos se deben de multiplicar por 0.75R. R para estructuras de acero = 9.5. Mayor Deriva en columnas =

∆

=

. .

= 0.00295

Deriva Máxima presente = 0.00295 x 0.75 x 9.5 =0.021 ∴ el pórtico no cumple con la NTE E-030, ya que el valor de la deriva obtenida es mayor al máximo permitido, 0.021 > 0.010.

6.3.

Capítulo 5 Problema 5.1: La matriz diagonal de los valores de diseño elástico del espectro de aceleración para los 2 periodos:

Previamente calculado en el ejemplo 2.1, es:

La cortante basal para ambos modos, previamente calculados en el ejemplo 2.1 es:

El peso total de la estructura es:

El peso efectivo para cada modo esta dado por:

La suma de los pesos efectivos debe ser igual al peso total, pero debido al redondeo no se constata esto. Y en notación matricial, el vector de peso específico es:

Expresado en porcentaje es:

Problema 5.2: a) Para el periodo fundamental de 0.90 s la aceleración es:

Para el cálculo del peso efectivo se realiza la tabla siguiente:

Asumiendo un comportamiento elástico, el cortante basal es:

b) El mínimo cortante basal aceptable para una estructura irregular usando el espectro de respuesta, es del 90% para el cortante basal del análisis estático:

La fuerza lateral por cada nivel será:

c)

Para el periodo fundamental de T = 0.90 s, el desplazamiento espectral específico es:

Asumiendo un comportamiento elástico, el desplazamiento por cada nivel es dado por:

El factor de participación es:

La deriva para un piso dado es definido como el desplazamiento relativo del piso superior respecto al piso inferior inmediato, y la deriva elástica para un piso específico es dado por:

La relación de la deriva para un piso dado es definido como la relación de la deriva del piso con la altura de tal piso y la relación de la deriva elástica para un nivel especifico es dado por:

Estos valores son mostrados en la tabla siguiente:

Los valores obtenidos son por un espectro inelástico, para verificar el cumplimiento máximo según la NTE E-030, se debe de multiplicar por 0.75R. Se deja al alumno realizar la comparación.

Capítulo 7 TALLER: ANÁLISIS SÍSMICO DE UN EDIFICIO DE 04 NIVELES (Tomado de la publicación Análisis Sísmico de Edificios de Genaro Delgado Contreras)

Se tiene la siguiente estructura aporticada de concreto armado:

1.

Se pide realizar el cálculo de las fuerzas sísmicas, desplazamientos y derivas, por el método de las fuerzas estáticas equivalentes y el análisis dinámico según la NTE Diseño Sismoresistente E-030. Se tendrán las siguientes características: Concreto Peso del Acabado Peso de la Tabiquería Altura de la Losa Aligerada Sobrecarga en la Azotea Sobrecarga de Entrepisos Columnas: C1 C2 C3 Vigas: Dirección X Dirección Y Zonificación Sísmica Categoría de Importancia Condiciones Geotécnicas

= = = = = =

210 Kg/cm 2. 100 Kg/m2 . 150 Kg/m2 . 0.25 m. 150 Kg/m2 . 250 Kg/m2 .

= = =

0.45 x 0.45 0.50 x 0.50 0.60 x 0.60

= = = = =

0.35 x 0.70 0.30 x 0.45 3 B S3 .

7.1. Metrado de Cargas

7.2. CÁLCULO DE LAS RIGIDECES, POR EL MÉTODO DE KARL MUTO

Cálculo de las rigideces por cada elemento

7.3. ANÁLISIS POR FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTE

7.4. DETERMIACIÓN DE LOS PERIODOS Y FORMAS DE MODO (A nivel Informativo, no siendo tema para evaluación del curso, para comparación con el uso del Sap2000)

Diagonalización de la Matriz de Rigidez por el Método de Jacobi.

Al Décimo ciclo K diagonilizada

K diagonalizada x ø

w2 x m x ø

K diagonalizada x ø = w2 x m x ø w2 =

w (rad/seg) =

T=

SENTIDO Y

K diagonalizada x ø = w2 x m x ø w2 =

w (rad/seg) =

T=

Apéndice A NTE DISEÑO SISMORESISTENTE E-030