Facultad de Ciencias de la Ingeniería
GUÍA DE APRENDIZAJE N°4 BAIN037 CÁLCULO I PARA INGENIERÍA Utiliza la derivada para describir el comportamiento de una RA3: Utiliza
Resultado de Aprendizaje
función.
Contenidos
Valores Extremos (Criterios) Problemas de Optimización
Optimización: Resolución de problemas de máximos y mínimos. En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, es recomendable usar una estrategia para lograrlo. 1) Lea el problema identificando las variables involucradas, indiqu e las restricciones de ellas si corresponde. 2) Identifique la magnitud que se desea maximizar, definiendo la función objetivo asociada a ella. 3) Si la función objetivo depende de más de una variable, busque en su problema información que relacione estas variables, despejando una en función de la otra. 4) Escriba la función objetivo en términos de una sola variable, la más conveniente. 5) Identifique los puntos críticos, y decida cuáles son máximo y/o mínimos según los criterios de la primera derivada o segunda derivada. 6) Compruebe siempre si este valor encontrado es optimo. I.
Problemas geométricos. 1.
En un concurso se entrega a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente formen un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos alumnos que consigan formar el cuadrilátero de mayor área, recibirán como premio tantos miles de pesos como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente las medidas del cuadrilátero de mayor área y cuánto sería el premio otorgado a estos alumnos.
Las variables de problema son: A: área, x: lado e y: lado Debemos maximizar una función de área.
Función a maximizar. Consideremos
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, esto arroja un punto crítico en , cuando Luego podemos decir que cuando el lado x del cuadrilátero es dm hay área máxima. Si , también vale 5 y el área será 25 dm . Relación entre las variables: Debemos considerar y Despejamos una variable en función de la otra Ahora reemplazamos en nuestra ecuación a maximizar
2
El premio será entonces de $25000 2.
De todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio r, ¿Cuál es el que tiene área máxima?
Las variables están dadas, son
( ) y sus restricciones son
La función objetivo es el área del triángulo es
.
La relación entre las variables es Nuestra función objetivo queda
Derivando
Puntos críticos
√
o cuando
(Si despejan el x,
) lo segundo cuando
, lo primero ocurre cuando
, este valor también está en las
restricciones del problema.
Verifiquemos que este valor sea un máximo para el área.
Calculando la segunda derivada: √ √ , luego para √ , el área del triángulo es máxima.
Debemos evaluar en los extremos del intervalo, cuando y es 20 y x es cero:
√ √
y
, la que es máxima.
Respuesta: el triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio r de mayor área, es aquel que posee
√
y base
.
Ejercicios propuestos. 3. Un rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo
√
¿Para qué longitud y anchura del rectángulo
se hace máxima su área? Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile General Lagos 2086 - Casilla 567
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4. ¿Qué puntos de la gráfica de II.
están más cerca del punto
?
Problema con costos asociados. 5. Se va a construir una lata cerrada y cilíndrica para envasar 1 litro de aceite, de modo que el costo de fabricación la lata sea mínimo.
Como queremos que el costo sea mínimo basta considerar en este caso que en la superficie de la lata se ocupe el mínimo de material.
Variables del problema serían el r: radio, h: altura y
S: Superficie
Función a minimizar es la superficie del cilindro, que corresponde a dos veces el área de las bases (circunferencias de radio r) y una vez el área del contorno de la lata (área de un rectángulo de altura h y largo
)
Al despejar h en función de r: Reemplaz en la función ( ) Buscaremos los puntos críticos: cuando , verifiquemos que para este valor de r, corresponde mínimo para la superficie. La segunda derivada es siempre positiva, lo que nos indicaría que tenemos un mínimo para este valor de r. La función objetivo:
Relación entre las variables: El volumen del cilindro es
amos
Si
,
6.
objetivo
, tendremos un gasto mínimo.
Se va a construir una cisterna en forma de prisma con base y tapa cuadradas para almacenar 12.000dm3 de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por dm2 y el material para construir la tapa cuesta $200 por dm2. ¿Cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?
Las variables son las medidas del prisma de base cuadrada, llamemos x: lado de la base, h: altura de prisma. Función a maximizar es el costo, esto está relacionado con el material que se ocupará para construirlo, o sea con la superficie o área del material a ocupar. Para esta función se debe considerar la superficie del prisma superficie lateral es y la base con superficie igual que la tapa por el valor que corresponde a cada sector del prisma.
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La función objetivo: El volumen que debe contener es de 12000 dm3, lo que nos da la relación entre las variables:
Despejamos h en función de x: Reemplazamos: Función a minimizar Puntos críticos: cuando , posible máximo o mínimo. , C’’ es siempre positiva, ya que x es positivo. Luego con y tenemos un mínimo costo. Ejercicios propuestos. 7. Un recipiente con base rectangular que será destinado
para almacenar arena,
debe ser capaz de contener 10 metros cúbicos del y
material. El largo de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 30.000 pesos el metro cuadrado y el material para los costados cuesta 20.000
2x
pesos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones para tener el recipiente sin tapa más económico
x
que
se puede construir. 8. Se desea construir un tanque de acero con la
forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por metro cuadrado de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de
III.
Volumen máximo o mayor capacidad. 9. Se desea fabricar una caja abierta de volumen máximo a partir de una pieza cuadrada de material de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas.
Se desea maximizar volumen.
consideremos que
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es la medida del lado del cuadrado. La función objetivo es el volumen es hay un volumen máximo. Buscaremos puntos críticos
Lo que nos indica dos puntos críticos:
, pero x tiene como restricción ser menor que 12.
Analizando
,
<0, lo que nos indica que para
Para tener un volumen máximo se deben cortar cuadrados de lado 4 en todos los extremos de la plancha de metal. 10. Se requiere construir una cancha de fútbol rodeada por una pista de atletismo que tiene forma elíptica descrita por la ecuación
Calcule las dimensiones de la
cancha para que su área sea la máxima posible.
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Ejercicio propuesto 3
11. Dado un cilindro de volumen 4 m , determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima.
IV.
Ejercicios clásicos. 12. Problema de la vaca perezosa que se convirtió o en f ísica.
Este es un viejo problema que aparece bajo diferentes formas en muchos textos. Al atardecer, las vacas entran a un corral por una puerta ubicada en un punto A; luego se dirigen automáticamente a un estero a tomar agua. El estero sirve como límite del canal. Después se dirigen a la puerta del establo, ubicada en B.
Una vaca muy perezosa y por lo tanto inteligente quiso minimizar el número de pasos que debería efectuar para ir primero al estero, beber agua y entrar al establo a dormir. Procedió de la siguiente forma: El estero esta sobre una recta que tomo como el eje X; el eje Y lo tomo como la perpendicular de A al eje X. Llamo al punto en el estero en el cual deberá beber para minimizar el número de pasos.
, | | || Para encontrar donde s es mínima la vaca procedió de la siguiente manera. , luego consideró donde la derivada es cero para encontrar los puntos √ críticos o posibles máximos del problema. √ Consideraremos el punto
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Donde:
, debemos considerar que . Esta sería la restricción de x. Desarrollando esta igualdad llegamos a Calculando la segunda derivada: esta expresión es siempre positiva. , y por la segunda derivada este es un mínimo absoluto. Luego s tiene un mínimo relativo en Se puede hacer una observación acerca de los ángulos . , si observamos en podemos decir que Si observamos y √ √
son iguales. Luego la vaca se dirigió a beber agua a un punto P en la orilla del estero con un ángulo con respecto a la orilla del estero igual al que formaba su camino con respecto a este cuando se dirigió a la puerta B. 13. Un alambre de longitud L se corta en dos partes, una se dobla para que forme un círculo y la otra para que forme un cuadrado.
Basándose en las restricciones físicas del problema: defina explícitamente sus variables, establezca la función que representa la suma de las áreas y determine su dominio.
Las variables son: x: longitud del alambre para construir el círculo, y: longitud del alambre utilizado para construir el cuadrado. En otras palabras , despejando , ahora si es el radio del círculo y el lado del cuadrado.
,
y
o sea
Por lo tanto el área correspondiente a la suma del área del cuadrado más la del círculo es:
Con
a) Muestre que la función corresponde al área definida en el apartado “a” no posee puntos críticos en el interior de su dominio. Para determinar los puntos críticos debemos analizar la primera derivada.
cuando y además como la La segunda derivada , luego tendríamos un mínimo para derivada segunda es siempre positiva, la función cóncava hacia arriba este mínimo debe ser mínimo absoluto.
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Facultad de Ciencias de la Ingeniería b) Determine donde se debe cortar el alambre para que el área sea máxima.
c) Determine donde se debe cortar el alambre para que el área sea mínima.
V.
Problemas físicos:
14. El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial y con ángulo respecto de la horizontal es , donde g es la aceleración de gravedad. Calcular el ángulo que produce alcance máximo.
, considerando ⁄ , cuando y esto ocurre cuando Derivando: , Analicemos la segunda derivada: La función a optimizar es
Luego en
tenemos un máximo
15. Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 40m/s ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es 10m/s?
Debemos optimizar la altura: , con Luego un posible máximo se encontrará cuando Ecuación que describe la altura en función del tiempo:
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Considerando Si queremos conocer la altura máxima debemos evaluar en La altura máxima es 80 m.
16. Dos barcos salen al mismo tiempo; uno de un muelle, con dirección sur y con velocidad de 20km/h. El otro parte hacia el muelle desde un punto que se encuentra a 15 km al oeste, a 10km/h. ¿En qué momento se encuentran más cercanos estos dos navíos? a) Haga un dibujo que modele esta situación. b) Resuelva. VI.
Problemas económicos. 17. Un campo petrolero tiene ocho pozos que producen un total de 1600 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevo que se tiene, la producción media por pozo disminuye en 10 barriles diarios. ¿Cuántos pozos adicionales se deben formar para obtener la mayor producción de crudo al día?
Las variables en juego son x: número de pozos nuevos, y la producción diaria: p La función a maximizar es la producción.
La función de producción es: Dada la primera derivada
La función es creciente en
, con
, el punto crítico esta dado para
[]
y decreciente en
[[
Luego hay que agregar 6 pozos más para lograr una máxima producción.
Problema propuesto. 18. El propietario de un huerto de manzanas, calcula que si siembra 24 árboles por acre, entonces cada árbol adulto dará 600 manzanas al año. Por cada tres árboles más que se planten por acre el número de manzanas que produce cada árbol disminuye en 12 al año. ¿Cuántos árboles se deben plantar por acre para obtener el mayor número posible de manzanas al año.
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