Prof. MARIO SALAS G.
Universidad Católica del Norte Departamento de Matemáticas GUIA N 2 DE CALCULO MA
1
387
Vector ector Grad Gradien iente te,, Recta Recta Norm Normal al,, Plan Plano o Tangen angente te y Vector ector Direccional.1. Determine el vector gradiente gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) f ( f (x; y ) = 3x2 y + cos(xy cos(xy)) ,en el punto b) f ( f (x; y ) = xy ,en el punto c) f ( f (x; y ) = Arctg
x0
x+y x y
= (2; (2 ; 2)
,en el punto
x0
d) f ( f (x;y;z) x;y;z ) = senx cos y t g z ,en el punto
Sol.:
0 BB BB BB BB B@
@f @f ; @x @y
c)
rf (x; y) =
=
0 BB @ 1
x+y x y
1+
=(
x
2
(x
2
= (1; (1 ; 1)
x0
= (1; (1 ; 0)
x0
=( ; ; ) 4 4 4
y ) (x + y ) ; (x y ) 1+ 2
1
x+y x y
y x ; 2 ) 2 + y ) x + y2 )
=
) rf (1 f (1;; 0) = (0; (0 ; 1)
2
(x
y) (x + y) (x y ) 2
1 CC 1C CC CC AC CC CA
1. Para cada una de las siguientes super…cies, hallar un vector normal unitario, en el punto que se indica: x2 y 2 + , en x0 = (2; (2 ; 2; 2) 4 4 b) z = x + y , en x0 = (1; (1 ; 4; 3) a) z =
p p
c) x2 + y2 + z 2 = 16 , en d) x2
4y
2
+ z 2 = 16 , en
x0
p
= (2; (2 ; 3; 3)
x0
= (2; (2 ; 1; 4)
2. Encuentre las ecuaciones ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a las super…cies dadas, en el punto indicado: 2
2
a) z = ln(x ln(x + y ) , en el punto b) z = (x (x
2
1) y
2
c) x2 yz + 33yy 2 = 22xz xz 2 d) x2
2
y 3z
2
x0
, en el punto
8z
=
x0
p p
1 1 ; ;0 2 2 = (1; (1 ; 1; 1)
, en el punto
= 5 , en el punto
x0
x0
= (1; (1 ; 2; 1)
= (6; (6 ; 2; 3)
1
Prof. MARIO SALAS G.
Sol.:
0 BB BB BB BB BB @
2
a) Sea (x;y;z) = z
r(x;y;z) =
ln(x
@ @ @ ; ; @x @y @z
+ y2 )
=
2x ; x2 + y2
x 2y+ y 2
2
;1
p p
1 1 = ( p ; p ; 0) = ( 2: 2; 1) 2 2 Luego, 1 x = p 2t 2 1 Ec. recta normal: y = p 2 2t z = t
)r
8>< >:
p p
p 2(x p ) p 2(y p ) + z = 0 3. Encuentre todos los puntos de la super…cie z = x 2xy y 8x + 4y 1
Ec plano tangente:
1
2
2
2
2
1 CC CC CC CC CC A
donde el plano tangente
es horizontal.
Sol.:(Los puntos son: (4; 0) ó (3;
1))
4. Encuentre los puntos del paraboloide: z = 4x2 + 9y 2 en los que la recta normal es paralela a la recta que pasa por P ( 2; 4; 3) y Q(5; 1; 2)
5. Probar que el elipsoide: 3x2 + 2y 2 + z 2 = 9 y la esfera: x2 + y2 + z 2 8x 6y 8z + 24 = 0 son mutuamente tangentes en el punto x0 = (1; 1; 2) , es decir, tienen el mismo plano tangente en el pto. x0 :
x2 3 6. Probar que las super…cies: z = x y e y = + se intersectan en (1; 1; 1) y tienen planos 4 4 tangentes perpendiculares en ese pto. 2
7. Demostrar que todo plano tangente al cono: x2 + y 2 = z 2 pasa por el origen. 8. Probar que toda recta normal a la esfera: x2 + y 2 + z 2 = r 2 pasa por el centro de la esfera. 9. Hallar el ángulo de intersección entre las super…cies: x2 y + z = 3 y x ln z x0 = ( 1; 2; 1) .
Sol.:
0 BB r BB r @
y
Sean 1 (x;y;z) = x2 y + z 3 y 2 (x;y;z) = x ln z y 2 + 4 , luego 1 (x;y;z) = (2xy ; x2 ; 1) = 1 ( 1; 2; 1) = ( 4; 1; 1) x 2 (x;y;z) = ln z ; 2y ; = 2 ( 1; 2; 1) = (0; 4; 1) z Sea el ángulo pedido, entonces 1 ( 1; 2; 1) 2 ( 1; 2; 1) 5 cos = = = = 73; 39 1 ( 1; 2; 1) 2 ( 1; 2; 1) 18 17
r kr
) r) r
r kkr
p ) p k
2
=
4 en el punto
1 CC CC A
10. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección de las super…cies: 9x2 + 4y 2 + 4z 2 41 = 0 y 2x2 y2 + 3z 2 = 10 en el punto x0 = (1; 2; 1)
11. Demostrar que el volumen del tetraedro formado por los planos coordenados y cualquier plano 9 tangente a la super…cie xyz = a3 es a3 : 2 12. Hallar la derivada direccional de la función dada, en el punto y dirección especi…cada a) f (x; y) = x2 + y2 ; b) f (x; y) = ex cos y ; c) f (x; y) = x2 tg y ;
= (2; 1) ; =
x0 x0
x0
b b 6 1 ; 2 3
= 1;
=
2
d) f (x;y;z) = x2 + y2 + z 2 ;
x0
; u=i
j
; en la dirección negativa del eje X .
b b b
= (2; 2; 1) ; u = i + 2 j + 2k 2
Prof. MARIO SALAS G.
x y ; y z f) f (x;y;z) = 2x 3y x2 + y2 + z 2 = 9
e) f (x;y;z) =
x = (0; 1; 2) ; P Q z ; x = (1; 2; 2) 0
0
donde P (0; 1; 2) y Q(3; 1; 4)
; en la dirección de la normal exterior a la esfera:
g) f (x;y;z) = x2 + y 2 z 2 ; x0 = (3; 4; 5) ; a lo largo de la curva de intersección de las super…cies: 2x2 + 2y2 z 2 = 25 y x2 + y 2 = z 2
Sol.:
0 BB rr BB BB rkr BB ) b B@
g) Sean 1 (x;y;z) = 2x2 + 2y 2 z 2 25 y 2 (x;y;z) = x2 + y 2 z 2 1 (x;y;z) = (4x ; 4y ; 2z) = 1 (3; 4; 5) = (12; 16; 10) 2 (x;y;z) = (2x ; 2y ; 2z) = 2 (3; 4; 5) = (6; 8; 10) Luego, 1 (3; 4; 5) 2 (3; 4; 5) = 20 i + 60 j 1 (3; 4; 5) 2 (3; 4; 5) = 20 10 1 (3; 4; 5) 2 (3; 4; 5) 1 3 = u= = i+ j 1 (3; 4; 5) 2 (3; 4; 5) 10 10 Por otra parte, f (x;y;z) = (2x ; 2y ; 2z) = f (3; 4; 5) = (6; 8; 10) Por tanto, 30 Du f (3; 4; 5) = f (3; 4; 5) u = 10
)r )r
r kr
r r
r r
r
b b p k
b
r
b
b b
p k p )r
p
1 CC CC CC CC CA
13. Un campo escalar diferenciable f tiene, en el punto P (1; 2) las derivadas direccionales 2 en la dirección al punto Q(2; 2) y 2 en la dirección al punto R(1; 1): Determinar el vector gradiente en P y calcular la derivada direccional en dirección al punto (4; 6):
14. Encontrar el valor máximo de la derivada direccional de f en el punto dado y la dirección en la que ocurre: a) f (x; y) = ln(x2 + y2 ) ;
x0
= (1; 2)
b) f (x; y) = xye y ; x0 = (5; 5) x
x y + ; x0 = (4; 2; 1) y z d) f (x;y;z) = xyz; x0 = (3; 1; 5) c) f (x;y;z) =
15. Si f (x; y) = x2 + 4y 2 , encuentre el vector gradiente f (2; 1) y utilicelo para encontrar la recta tangente a la curva de nivel f (x; y) = 8 en el punto (2; 1): Trace la grá…ca de la curva de nivel, la recta tangente y el vector gradiente.
r
16. Hallar los valores de las constantes a; b y c tales que la derivada direccional de f (x;y;z) = axy2 + byz + cx2 z 2 en el punto
x0
= (1; 2; 1) tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela al eje Z .
17. Considere el potencial gravitacional: U (x; y) =
Gm
p
x2 + y 2 en donde G y m son ctes. . Demuestre que U aumenta o disminuye más rapidamente a lo largo de una recta que pasa por el origen.
18. Suponga que la temperatura T en un punto (x; y) de una placa de metal colocada en el plano XY está dada por: 100xy T (x; y) = 2 x + y2 a) Encontrar la derivada direccional de T en el punto u = i + 3 j
x0
b) ¿En qué dirección aumenta más rapidamente T en
?
!
b p b
3
x0
= (2; 1) en la dirección del vector
Prof. MARIO SALAS G.
c) ¿En qué dirección disminuye más rapidamente T en
x0
?
d) ¿Cuál es el valor de la derivada direccional máxima? e) ¿En qué dirección se anula la tasa de variación? 19. El potencial eléctrico V en un punto (x;y;z) de un sistema de coordenadas rectangulares es: V (x;y;z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 a) Calcular la tasa de cambio de V en Q(2; 1; 3) en la dirección de Q al origen
b) Encontrar la dirección que produce la máxima tasa de cambio de V en Q c) ¿Cuál es la tasa de cambio máxima en Q? 20. La super…cie de un lago está representada por la región D en el plano XY de manera que la profundidad (en mts:) bajo el punto correspondiente a (x; y) es de f (x; y) = 300 2x2 3y 2 .
Una niña está en el punto (4; 9) . ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad del agua bajo ella disminuya más rápidamente? . ¿En qué dirección permanecerá constante la profundidad? . Sea f (x; y) = ( 4x ; 6y) = f (4; 9) = ( 16 ; 54) luego, la dirección en que debe nadar es: f (4; 9) = 16 i + 54 j La profundidad permanecera constante cuando Du f (4; 9) = 0 , Sol.: siendo u = (a; b) ;es decir, cuando f (4; 9) (a; b) = 0 = 16a + 54b = 0 = a = 4b : Por tanto, la dirección en que permanece constante 1 4 la profundidad es: u = i j 17 17
0 BB BB @
r
b
)
)r
r r
b
b b )
b p b p b
1 CC CC A
21. Supóngase que se está escalando una colina cuya con…guración está dada por la ecuación: z = 100
2
0:01x 0:02y
2
y que una persona se encuentra situada en un punto de coordenadas (60; 100; 764) a) Determine en qué dirección debe moverse inicialmente para llegar a la cima de la colina lo más rapidamente posible b) Si la persona asciende en está dirección, determine a que ángulo sobre la horizontal estará escalando inicialmente.
2
Extremos y Extremos Condicionados de Funciones de Varias Variables.1. Determine, si los hay, los extremos locales y/o puntos silla de las funciones siguiente: a) f (x; y) = x2 + 4y2
4x b) f (x; y) = 2x xy 3y 3x + 7y c) f (x; y) = 2x 2y + 6xy + 10 d) f (x; y) = 2x x 2y y e) f (x; y) = e 8x 6xy + 3y f) f (x; y) = x + 4y 3xy + x y 1 g) f (x; y) = x y xy 2
2
3
3
2
2x+3y 2 2
2
2
2
2
2
h) f (x; y) = 2x2 + 2y 2 + 12xy + 3x + 4y i) f (x; y) = x2 + 4y2
3xy + x y 1
2 4
Prof. MARIO SALAS G.
j) f (x; y) = x ln y + x k) f (x; y) = Arctg(x2 )
2
Arctg(y )
l) f (x;y;z) = x4 + y4 + z 4 + 4x + 4y + 32z + 1 4
m) f (x;y;z) =
4
4
2x y z + 8x + 4y + 4z 2 1 n) f (x;y;z) = x x + 2 y + 2y z + 2z 3 3
2
2
o) f (x;y;z) = 6x2 + 5y 2 + 4z 2 + 3xy + 2xz + yz
Sol.:
0 BB BB BB BB ) BB BB BB B@ ^
@f @f b) Ptos. críticos: =0 = 0 , luego @x @y 4x y = 3 = x =1 e y =1 x + 6y = 7 @ 2 f @ 2 f @ 2 f Como (1; 1) = 4 ; (1; 1) = 1 ; (1; 1) = 6 @x 2 @y@x @y 2 2 @ 2 f @ 2 f @ 2 f = (1; 1) (1; 1) (1; 1) = 1 + 24 = 25 > 0 @y@x @x 2 @y 2 ) (1; 1) es un pto. silla @f @f @f l) Ptos. críticos: =0 =0 = 0 , luego @x @y @z 4x3 + 4 = 0 4y 3 + 4 = 0 = x= 1; y= 1; z= 2 3 4z + 32 = 0 12 0 0 0 12 0 Matriz Hessiana: H ( 1; 1; 2) = = 1 = 2 = 12 > 0 0 0 48 3 = 48 > 0 ; ) ( 1; 1; 2) es un máximo relativo
)^
9= ^ ;)
^
2 4
3 5)
1 CC CC CC CC CC CC CC CA
2. Encuentre el valor máximo y mínimo absoluto de las siguientes funciones en el conjunto S e indicar donde ellos ocurren: a) f (x; y) = x2 + y2
2
2
2
2x 2y + 2 ; S = (x; y) 2 R = x + y 4 b) f (x; y) = xy ; S = (x; y) 2 R = 1 x 1 ^ 1 y 1 c) f (x; y) = x + y ; S = (x; y) 2 R = 1 x 3 ^ 1 y 4 d) f (x; y) = x y + 1 ; S = (x; y) 2 R = x + y 1 2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
Prof. MARIO SALAS G.
Sol.:
0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@
a) Ptos. críticos en S :
@f @x
= 2x
@f @y
= 2y
2 = 0
2 = 0
9> =) >; =
x =1 e y =1
@ 2 f @ 2 f @ 2 f (1; 1) = 2 ; B = (1; 1) = 0 ; C = (1; 1) = 2 @x 2 @y@x @y 2 = B 2 AC = 0 4 = 4 < 0 A > 0 ) f tiene un mín. relativo en (1; 1) Ptos. críticos frontera: La frontera de S es: x2 + y 2 = 4 y tiene como ecuación paramétricas: x = 2cos t ; y = 2 sent con 0 t 2 luego, g(t) = f (2cos t; 2 sent) con 0 t 2 @f dx @f dy 5 = g 0 (t) = + = 4 sent 4cos t = 0 = t = ; @x dt @y dt 4 4 además, t = 0 t = 2 , también son ptos. fronteras t= = g( 4 ) = f ( 2; 2) = 6 4 2 = 0:34 4 luego, A =
)
^
p p
)
)
^
p p
)
p p 6+4 2
5 = g( 54 ) = f ( 2; 2) = = 11:66 4 t =0 = g(0) = f (2; 0) = 2 t = 2 = g(2) = f (2; 0) = 2 ) f tiene un máx. absoluto en S en ( 2; 2) y tiene un mín. absoluto en S en (1; 1) t=
) ) )
p p
1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA
3. Encuentre las dimensiones de una caja rectangular cuyo volumen sea 1 m3 y que tenga un área de super…cie S mínima. 4. Encuentre un vector en máxima.
3
R
que tenga longitud igual a 9 y tal que la suma de sus componentes sea
5. Encuentre la distancia mínima entre el punto P (1; 2; 0) y la super…cie cónica z 2 = x2 + y2 : 6. Calcule las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo que tiene tres de sus caras en los planos coordenados, un vértice en el origen y otro vértice en el primer octante sobre el x y z plano + + =1 a b c 7. Se va a construir un container de almacenamiento con forma de un paralelepípedo rectangular cerrado de manera que su volumen sea 60 m3 . Los costos del material de la tapa y de la base son de $10 y $20 por m2 , respectivamente. El costo de las paredes laterales es de $2 por m2 . Determine la función costo C (x; y) en donde x es la longitud e y es la anchura del contenedor, y que dimensiones darán el costo mínimo. 8. Cada año una empresa puede producir x radios e y televisores a un costo de: C (x; y) = 2x2 + xy + 2y 2 Una radio se vende en $600 y un televisor en $900 . Determine el número de radios y televisores que deben producirse para que la ganancia(G = I C ) sea máxima.
9. Una ventana debe tener la forma de rectángulo coronado por un triángulo isósceles(ver …gura). El
6
Prof. MARIO SALAS G.
perímetro de la ventana debe ser 4 m. ¿Qué valores de x; y y producen el área máxima?.
10. Se desea construir un recipiente con forma de un cilíndro circular recto con tapa. ¿Qué dimensiones producen el volumen máximo del recipiente suponiendo que el área de la super…cie tiene un valor …jo S ?. 11. Un depósito cilíndrico recto está coronado por una tapa cónica(ver …gura) . El radio del depósito es de 3 m y su área de super…cie total es de 81 m2 : Calcular la altura x e y de manera que el volumen del depósito sea máximo.
12. Determinar el punto de la recta de intersección de los planos E 1 : x está más cercano al punto ( 1; 3; 2)
7
y =4
y E 2 : y + 3z = 6 que
Prof. MARIO SALAS G.
13. Determine los extremos de la función sujeta a la(s) restricción(es) que se indica(n): a) c) e) g) ()
max f (x; y) = xy s:t: x + y = 10 max f (x; y) = x2 y 2 s:t: y x2 = 0 min f (x; y) = x2 + y2 s:t: 2x + 4y = 15 min f (x;y;z) = x2 + y 2 + z 2 s:t: x + y + z = 6 max f (x;y;z) = xyz x + y + z = 32 s:t: x y+z =0 max f (x;y;z) = xy + yz x + 2y = 6 s:t: x 3z = 0
p
b) d) f) h) j)
k)
l)
min f (x; y) = x2 + y 2 s:t: x + y 4 = 0 max f (x; y) = 2x + 2xy + y s:t: 2x + y = 100 max f (x; y) = exy s:t: x2 + y2 = 8 max f (x;y;z) = xyz s:t: x + y + z = 6 min f (x;y;z) = x2 + y2 + z 2 x + 2z = 4 s:t: x+y =8
min f (x; y) = x2 s:t: x + y = 8
2
8x + y 12y + 48
14. Hállense las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo (con aristas paralelas a los x2 y2 z 2 ejes coordenados) que se puede inscribir en el elipsoide 2 + 2 + 2 = 1: a b c 15. Hallar la mínima distancia del origen a la hipérbola x2 + 8xy + 7y 2 = 225 : 16. Sea T (x;y;z) = 100 + x2 + y 2 la temperatura en cada punto de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 50 . Hallar la temperatura máxima en la curva formada por la intersección de la esfera y el plano: (a) x z = 0 (b) x + y + z = 5 :
17. La temperatura en un punto (x; y) de una placa de metal es T (x; y) = 4x2
4xy + y
2
Una hormiga camina sobre la placa alrededor de un círculo de radio 5 con centro en el origen. ¿Cuáles son las temperaturas mayor y menor que se encuentra la hormiga? .
8
