Grupos0_EjercicioResueltos

Universidad de Granada

Problemas Proble mas de teor´ teor´ıa de grupos grup os P. Jara, Jar a, A. Mart Mart´ınez, ınez, E. Miranda

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c 1999 Copyright  1999 [email protected] [email protected] P t l d´ 31 2001

V

ion oń Enero, 2000

Tabla de contenidos ´ 1. ALGEBRA II. GRUPOS. (2000–2001) 1.1.. Gene 1.1 Generali ralidad dades. es. Teore eorema ma de Lagr Lagrang angee . . . . . . . . . . 1.2. Ejemplo Ejemploss de grupos y sus ret´ ret´ıculos de subgrupos . . . 1.3.. Alg 1.3 Algunos unos sub subgrupos grupos especi especiales ales . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Aplicaciones de los teoremas de isomorf isomorf´´ıa . . . . . . . 1.5. 1. 5. El grupo grupo de los auto automo morfi rfismo smoss de un grupo . . . . . . 1.6. 1. 6. Pr Produc oducto toss direct directos os de grupo gruposs . . . . . . . . . . . . . . 1.7.. Grupos actua 1.7 actuando ndo sobre sobre conjunt conjuntos. os. Teor eorema ema de Cauchy Cauchy 1.8. p-grupos y teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . 1.9.. Apli 1.9 Aplicaci cacione oness de los teore teoremas mas de Sylo Sylow w . . . . . . . . . 1.10. Series de composici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.11. Productos semidirectos de grupos . . . . . . . . . . . . 1.12. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Grupos libres

4 4 11 20 25 27 31 36 44 52 55 60 65 68

Tabla de contenidos ´ 1. ALGEBRA II. GRUPOS. (2000–2001) 1.1.. Gene 1.1 Generali ralidad dades. es. Teore eorema ma de Lagr Lagrang angee . . . . . . . . . . 1.2. Ejemplo Ejemploss de grupos y sus ret´ ret´ıculos de subgrupos . . . 1.3.. Alg 1.3 Algunos unos sub subgrupos grupos especi especiales ales . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Aplicaciones de los teoremas de isomorf isomorf´´ıa . . . . . . . 1.5. 1. 5. El grupo grupo de los auto automo morfi rfismo smoss de un grupo . . . . . . 1.6. 1. 6. Pr Produc oducto toss direct directos os de grupo gruposs . . . . . . . . . . . . . . 1.7.. Grupos actua 1.7 actuando ndo sobre sobre conjunt conjuntos. os. Teor eorema ema de Cauchy Cauchy 1.8. p-grupos y teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . 1.9.. Apli 1.9 Aplicaci cacione oness de los teore teoremas mas de Sylo Sylow w . . . . . . . . . 1.10. Series de composici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.11. Productos semidirectos de grupos . . . . . . . . . . . . 1.12. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Grupos libres

4 4 11 20 25 27 31 36 44 52 55 60 65 68

Tabla de contenidos (contin´ ua)

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1.14. Presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. Algoritmo de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . .

71 78

Soluciones de los Ejercicios

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´ 1.. ALGEBRA II. GRUPOS. (2000–2001) 1.1.. 1.1 .. Gene General ralida idades. des. Teor eorema ema de Lag Lagran range ge Ejercicio 1. Sea G un grupo y a ∈ G un elemento de orden n. (1) Demostr Demostrar ar que que si m y r son n´ umeros naturales tales que n | mr umeros entonces n | r, siendo d = m. c. d.(n, m). d (2) Demostr Demostrar ar que para cualquier cualquier n´ umero umero natural m, n m ord(a ord(a ) = . m. c. d.(n, m) Ejercicio 2. Sean 2. Sean a a,, b ∈ G dos elementos elementos de un grupo, que conmutan conmutan entr nt re s´ı, ab = ab = ba ba,, de órdenes ordenes primos relativos, m. m. c. d.(ord(a (ord(a), ord(b ord(b)) = 1. Demostrar que ord(ab ord(ab)) = ord(a ord(a) · ord(b ord(b). Ejercicio 3. Demostrar 3. Demostrar que si G es un grupo en el que x2 = 1 para

´ LGEBRA II. GRUPOS. (2000–2001) Secci´ on on 1.: A

5

Ejercicio 4. Demostrar 4. Demostrar que todo subgrupo de ´ındice ındice 2 es normal. Ejercicio 5. Demostrar 5. Demostrar que si se tienen subgrupos H ≤ T ≤ G de un grupo finito G, entonces [G : H : H ]] = [G : T : T ][ ][T T : H ] H ] Ejercicio 6. Demostrar 6. Demostrar que el grupo de Klein abstracto V abstracto V = Z2 × Z2 es, salvo isomorfismo, el unico u ´ nico grupo grup o de orden o rden 4 que no es c´ıclico. ıclic o. Para la unicidad, demostrar primero que si G un grupo de orden 4 que no es c´ıclico entonces todos sus elementos, a excepci´ excepcion oń del trivial, tienen orden 2. Construir entonces la tabla de G de G y y demostrar finalmente que G∼ = Z2 × Z2 . Ejercicio 7. Sean 7. Sean a, x ∈ G. Demostrar que los elementos x y axa−1 tiene tienen n el mi mism smoo orden orden.. Deduc Deducir ir que que para para cual cualesq esquie uiera ra a, b ∈ G los elementos ab y ba tienen ba tienen el mismo orden. Ejercicio 8. Sea G un grupo y sean a, b ∈ G tales que a2 = 1 y 2

3

5


6

Ejercicio 9. Sea n > 1 un n´ umero umero natural y sea G un grupo con la propiedad de que para todo par x, y ∈ G se verifica (xy (xy))n = xn y n . Definimos H = {x ∈ G | xn = 1} y K = {xn | x ∈ G}. Demostrar que H y K son son subgrupos normales de G y que |K | = [G : H ] Ejercicio 10. Sea G un grupo y sean a, b ∈ G tales tales que que ba = abk , an = 1 con n > 0 . (1) Demostr Demostrar ar que para todo i ∈ Z se verifica bi a = ab = ab ik . j

j kj

(2) Demostr Demostrar ar que para todo j ≥ 0 se verifica ba = a b . (3) (3) Demos Demostr trar ar que para para todo i ∈ j aj bik .

Z y

todo j ≥ 0 se verifica bi aj =

(4) Demostrar que todo elemento de a, b puede escribirse como


7

(5) Demostr Demostrar ar que si k  = ±1 existe un m > 0 tal que bm = 1. Ejercicio 11. (1) Si A es un anillo, no necesariamente conmutativo, se define su grupo de unidades o grupo de elementos invertibles U ( U (A) como U ( U (A) = {a ∈ A | ∃ a−1 ∈ A con aa−1 = 1 = a −1 a}. Demostrar que U que U ((A) es efectivamente un grupo con la operaci´ on on de multiplicaci´ on on en el anillo. (2) Demostr Demostrar ar que si A y B son dos anillos, entonces U ( U (A × B ) = U ( U (A) × U ( U (B ). (3) Probar que si f : A−→B es un isom isomor orfis fismo mo de anil anillo los, s, este este restringe a un isomorfismo entre sus correspondientes grupos de unidades f : U ( U (A)−→U ( U (B )

´ Secci´ on 1.: ALGEBRA II. GRUPOS. (2000–2001)

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Ejercicio 12. Sea n ≥ 2 un entero y U (Zn ) el grupo de los elementos invertibles del anillo de clases de restos módulo n. Demostrar que U (Zn ) = {r¯ | 1 ≤ r ≤ n,

m. c. d.(r, n) = 1}

Ejercicio 13. Sea p un n´ umero primo. Demostrar que U (Z p ) = Z p \ {0}, y por tanto tiene p − 1 elementos. Deducir el Teorema de Fermat : Para todo entero primo positivo p y para todo entero m, primo relativo con p, se verifica m p−1 ≡ 1 (mod p). Ejercicio 14. (1) Demostrar que si m. c. d.(m, n) = 1, entonces existe un isomor∼ Zn × Zm . fismo de anillos Znm = (2) Dar un ejemplo mostrando que el isomorfismo anterior no existe si m y n no son primos entre s´ı. (3) Demostrar que si m. c. d.(m, n) = 1, hay un isomorfismo de grupos U (Z ) ∼ U (Z ) × U (Z )


9

Ejercicio 15. La funci´ on tociente de Euler ϕ(n) se define para n entero positivo como el n´ umero de naturales menores que n y primos relativos con n. Esto es ϕ(n) = |{r | 1 ≤ r ≤ n, m. c. d.(r, n) = 1}| .

(1) Demostrar que ϕ(n) = |U (Zn )|. (2) Demostrar que si m. c. d.(m, n) = 1, entonces ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m). (3) Demostrar que para cada primo p y cada e ≥ 1 se verifica que ϕ( pe ) = ( p − 1) pe−1 . (4) Calcular ϕ(8), ϕ(72) y ϕ(100). Ejercicio 16. Deducir el Teorema de Euler : Para todo entero positivo n y para todo entero m primo relativo con n se verifica m ϕ(n) ≡ 1 (mod )


10 3100

Ejercicio 17. Determinar los dos u ´ ltimos d´ıgitos de 3 (Pista: determinar 3100 (mod ϕ(100))).

.


11

1.2.. Ejemplos de grupos y sus ret´ıculos de subgrupos Ejercicio 18. Sea C n = a | an = 1 = {1, a , a2 , · · · , an−1 } el grupo c´ıclico de orden n generado por a. (1) Demostrar que para cualquier m, 1 ≤ m ≤ n, am es un generador de C n si y solo si m. c. d.(m, n) = 1. (2) Demostrar que el n´ umero de diferentes generadores de C n es precisamente ϕ(n). Ejercicio 19. Sea C n = a | an = 1, un grupo c´ıclico de orden n. (1) Demostrar que para todo divisor positivo m de n, el subgrupo n m c´ıclico C m = a  es de ese orden m. (2) Demostrar que si H ⊆ C n es un subgrupo de orden m, y consid{ | }


12

n , de s es un divisor de n,que H = as  y finalmente que s = m manera que H = C m . (3) Concluir que la correspondencia m → C m establece un isomorfismo entre el ret´ıculo de los divisores positivos de n (donde la relación de orden es la de divisibilidad) y el de subgrupos de C n . Ejercicio 20. Describir el ret´ıculo de subgrupos del grupo c´ıclico C 8 = x | x8 = 1. Ejercicio 21. Describir el ret´ıculo de subgrupos del grupo c´ıclico pn

C pn = x | x

= 1,

p primo. Ejercicio 22. Describir el ret´ıculo de subgrupos del grupo c´ıclico C 6 = x | x6 = 1.


13

Ejercicio 23. Describir el ret´ıculo de subgrupos del grupo c´ıclico C 12 = x | x12 = 1. Ejercicio 24. Describir el ret´ıculo de subgrupos del grupo de Klein abstracto C 2 × C 2 , donde C 2 = a | a2 = 1, es un grupo c´ıclico de orden dos. Ejercicio 25. El n-ésimo grupo sim´ etrico, S n es el grupo formado por todas las permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n} con la composici´ on de aplicaciones. (1) Expresar los 6 elementos de S 3 como productos de ciclos disjuntos. Escribir la tabla de multiplicar de S 3 usando esas expresiones para sus elementos. (2) Sea σ = (1, 2, 3) y τ = (1, 2). Mirando la tabla de multiplicar, demostrar que S

{1

2

2

}


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(3) Reescribir la tabla de multiplicar de S 3 usando la anterior expresión de los elementos de S 3 . (4) De (2) se sigue que S 3 = σ, τ . Encontrar otro sistema de generadores de S 3 formado por dos elementos de orden 2. Ejercicio 26. Describir el ret´ıculo de subgrupos de S 3 . Ejercicio 27. El n-ésimo grupo alternado, n ≥ 3, es el subgrupo de S n formado por las permutaciones pares. Lo representamos por An . (1) Demostrar que An es un subgrupo normal de S n y que [S n : An ] = 2. Concluir que |An | = n!/2. (2) Demostrar que si G ≤ S n , entonces G ⊆ An o [G : G ∩ An ] = 2. Concluir que un subgrupo de S n o bien contiene sólo permutaciones pares o bien la mitad de sus permutaciones son pares y


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Ejercicio 28. Describir el ret´ıculo de subgrupos de A4 . Ejercicio 29. El n-ésimo grupo di´ edrico es el grupo de isometr´ıas del pol´ıgono regular de n lados, n ≥ 3. Lo representamos por Dn . Es un grupo de orden 2n, que contiene dos elementos significativos que lo generan: El giro de 2π/n radianes respecto al centro del pol´ıgono regular, que es un elemento de orden n y lo representamos por r, y la simetr´ıa respecto al eje que une el centro con uno de sus v´ ertices, que es de orden 2 y la representamos por s. En t´ erminos de estos generadores, los 2n elementos de Dn se expresan de manera u ´ nica en la forma Dn = {1, r, · · · , rn−1 , s, rs, · · · , r n−1 s}. Manejando esta representaci´ on de sus elementos, la multiplicaci´ on del grupo se deduce de las siguientes relaciones “fundamentales”, rn = 1, s2 = 1, sr = r −1 s.


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(1) A partir de las relaciones fundamentales del grupo diédrico, demostrar que se verifican las siguientes, sri = r −i s , (ri s)2 = 1,

i ∈ Z.

(2) Demostrar que el subgrupo c´ıclico de orden n, r es normal, pero que el de orden 2, s, no lo es. (3) Escribir la tabla de multiplicar del grupo D3 . (4) Comparar la tabla obtenida en el apartado anterior con la obtenida para el grupo S 3 en el Ejercicio (18), apartado (3). Concluir la ∼ S 3 . existencia de un isomorfismo D3 = (5) ¿Es D4 isomorfo a S 4 ? Ejercicio 30. Describir el ret´ıculo de subgrupos de D4 . Ejercicio 31. El grupo cuaternio, que representamos por Q2 , es el grupo formado por los ocho elementos

{±

}


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con la ley de composición que determinan las igualdades i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1, (−1)2 = 1, (−1)i = −i = i(−1), (−1) j = − j = j(−1), (−1)k = −k = k( (1) Escribir la tabla de grupo para Q2 (2) ¿Es Q2 isomorfo a D4 ? Ejercicio 32. Escribir el ret´ıculo de subgrupos de Q2 Ejercicio 33. El n-ésimo grupo lineal general de un cuerpo F , representado por GLn (F ), es el grupo formado por todas las matrices n × n, invertibles y con coeficientes en F , con la multiplicaci´ o n de matrices como ley de composici´ on. (1) Demostrar que |GL2 (F2 )| = 6, escribiendo expl´ıcitamente todos los elementos que forman este grupo.


18

(2) Sea α = ( 01 11 ) y β = ( 01 10 ). Demostrar que GL2 (F2 ) = {1, α, α2 , β, αβ, α2 β } . (3) Escribir, utilizando la representaci´ on anterior, la tabla de multiplicar de GL2 (F2 ). (4) Comparando las tablas de multiplicar, concluir que GL2 (F2 ) es isomorfo al grupo diédrico diédrico D3 (y entonces también al simétrico S 3 , ver Ejercicio (22)). Ejercicio 34. Si F es un cuerpo finito con q elementos. Determinar el orden de GLn (F ). Ejercicio 35. El n-ésimo grupo lineal unimodular o grupo lineal especial de un cuerpo F , que representamos por SLn (F ), es el subgrupo de GLn (F ) formado por las matrices de determinante 1. (1) Sea det : GLn (F ) → F × la aplicaci´ on que lleva cada matriz en su determinante. Demostrar que es un epimorfismo de grupos


19

(2) Si F un cuerpo finito con q elementos, determinar el orden de SLn (F ). Ejercicio 36. (1) Demostrar que el subgrupo de SL2 (F3 ) Q = a, b , 0 −1 1 0

1 1 1 −1

    generado por a = y b = es isomorfo al grupo cuaternio Q2 .

(2) Demostrar que SL2 (F3 ) y S 4 son dos grupos no isomorfos de orden 24 (Indicaci´ on: demostrar que S 4 no contiene ning´ un subgrupo isomorfo a Q2 ).


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1.3.. Algunos subgrupos especiales Ejercicio 37. Se llama centro de un grupo G al subgrupo Z (G) = {a ∈ G | ∀x ∈ G xa = ax }.

(1) Demostrar que Z (G) es efectivamente un subgrupo de G. (2) Demostrar que Z (G) es un subgrupo normal de G. (3) Demostrar que G es abeliano si y solo si Z (G) = G. (4) Demostrar que si si G/Z (G) es c´ıclico, entonces G es abeliano. Ejercicio 38. Determinar el centro del grupo diédrico D4 . Observar que D4 /Z (D4 ) es abeliano aunque D4 no lo es (comparar este hecho con el apartado (3) del Ejercicio (37)). A


21

Ejercicio 40. Determinar el centro del grupo Dn ,n ≥ 3 . Ejercicio 41. Determinar el centro del grupo Q2 . Ejercicio 42. Si G es un grupo, para cualquier subconjunto S ⊆ G se llama centralizador de S en G al conjunto C G (S ) = {a ∈ G | ∀x ∈ S ax = xa }. Y se llama normalizador de S en G al conjunto N G (S ) = {a ∈ G | aSa−1 = S }.

(1) Demostrar que el centralizador C G (S ) y el normalizador N G (S ) son subgrupos de G. (2) Demostrar que C G (S ) es un subgrupo normal de N G (S ). (3) Sea H un subgrupo de G. Demostrar que H es un subgrupo normal de N (H )


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(4) Sean H ⊆ K subgrupos de G tales que H es un subgrupo normal de K . Demostrar que K ⊆ N G (H ) (Los dos u ´ ltimos puntos caracterizan a N G (H ) como el mayor subgrupo de G en el que H es normal). Ejercicio 43. Demostrar que C G (Z (G)) = G. Deducir que N G (Z (G)) = G. Ejercicio 44. Sea G un grupo y sea H un subgrupo suyo. ¿Cuando es G = N G (H )? ¿Y cuando es G = C G (H )? Ejercicio 45. Sea H un subgrupo de orden 2 de un grupo G. Demostrar que N G (H ) = C G (H ). Deducir que H es normal en G si y sólo si está contenido en Z (G). Ejercicio 46. Dados dos elementos x, y ∈ G se llama conmutador de x e y al elemento [x, y] = xyx−1 y −1 .


23

El subgrupo conmutador o subgrupo derivado de G, G = [G, G], es el subgrupo generado por todos los conmutadores de elementos de G, G = [G, G] =< [x, y], x , y ∈ G > .

(1) Demostrar que [x, y]−1 = [y, x]. (2) Demostrar que todo elemento z ∈ [G, G] es un producto de conmutadores z = [x1 , y1 ] · · · [xn , yn ]. (3) Demostrar que para todo grupo G el conmutador [G, G] es un subgrupo normal de G. (4) ¿Cuándo es [G, G] = 1? Ejercicio 47. (1)

G/[

] es un grupo abeliano.


24

(2) Sea f : G → A un homomorfismo de grupos arbitrario con A abeliano. Demostrar que [G, G] ⊂ Ker(f ). Concluir que existe ¯ un u ńico homomorfismo f ¯ : G/[G, G] → A tal que f (a[G, G]) = f (a), para todo a ∈ G. (3) Sea H ≤ G un subgrupo normal. abeliano si y solo si [G, G] ⊆ H .

Demostrar que G/H es

Ejercicio 48. Determinar el subgrupo conmutador de los grupos S 3 , A4 , D4 y Q2 . Ejercicio 49. Demostrar que para n ≥ 3 el derivado de S n es An . Ejercicio 50. Demostrar que, para n ≥ 3, An es el u ´ nico subgrupo de S n de orden n!/2.


25

1.4.. Aplicaciones de los teoremas de isomorf´ıa Ejercicio 51. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G, uno de ellos normal. Demostrar que

|H | |K | = |HK | |H ∩ K | . Ejercicio 52. Sean H, K subgrupos de G y sea N un subgrupo normal de G tal que HN = K N . Demostrar que H ∼ K = H ∩ N K ∩ N Ejercicio 53. Sea N un subgrupo normal de G tal que N y G/N son abelianos. Sea H un subgrupo cualquiera de G. Demostrar que existe un subgrupo normal K de H tal que K y H/K son abelianos. Ejercicio 54. Sea G un grupo finito y sean H, K subgrupos de G con K normal y tales que |H | y [G : K ] son primos relativos. Demostrar que H está contenido en K

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