ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA POLITECNI CA DE DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECANICA
ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
ANALISIS MATEMAT MATEMATICO ICO III I II “CABLES COLGANTES”
INTEGRANTES: Estefanía Bravo Pamela Pino Erika Medina John Pacheco Pacheco Jonathan Goyes Darwin Medina
PERIODO ACADEMICO: OCTUBRE 2014 – FEBRERO 2015
CABLES COLGANTES Considere un cable o una cuerda que cuela de dos !untos " y B #$ura%& no necesariamente al mismo nivel' "suma que el cable es (e)ible de modo que debido a su cara #la cual !uede ser debida a su !ro!io !eso& o a fuer*as e)ternas actuantes& o a una combinaci+n de ,stas% toma la forma como en la $ura' -ea C la !osici+n m.s ba/a del cable& y esco/a el e/e 0 y 1 como en la $ura& donde el e/e 1 !asa !or C'
"hora considere aquella !arte del cable entre el !unto m.s ba/o y cualquier !unto P en el cable con coordenadas #)& y%'
esta !arte estar. en equilibrio debido a la tensi+n 2 en el !unto P& la fuer*a hori*ontal 3 en C& y la cara vertical total en el semento CP del cable denota !or 4#)% la cual se asume en al5n !unto 6& no necesariamente en el centro del arco CP'
Demostraci+n de la ecuaci+n7 27 tensi+n el !unto P 37 tensi+n en el !unto m.s ba/o' 47 !eso #de!ende de 0% 8' 3acemos sumatorias de fuer*as& recordando que el cable esta en equilibrio F X =0
∑
− H + Tcosθ =0
Tcosθ = H
1
∑ F =0 Y
−W + Tsenθ=0
Tsenθ =W
2
9' Dividimos la ecuaci+n 9 sobre la uno y tenemos Tsenθ W = Tcosθ H senθ W = cosθ H senθ dy = tgθ = = a la pendientede larectatangente enel punto P cosθ dx
dy W = dx H
:' Derivar con res!ecto a 0& tomando en cuenta7 37 es constante !or ser la tensi+n en el !unto mas ba/o' 47 !uede de!ender de 0 2 d y 1 dW = 2 d x H dx
Ecuaci+n fundamental
dW dx
;e!resenta el incremento en 4 !or
unidad de incremento en )< esto es la cara !or unidad de distancia en la direcci+n hori*ontal'
=a ecuaci+n fundamental !uede ser utili*ada !ara diferentes caras !or unidad de distancia hori*ontal obtenemos varias ecuaciones diferenciales las cuales !roducen varias formas del cable' Para e/ercicios donde el !eso es des!reciable siem!re tendremos que sacar la forma del cable y este ti!o de !roblemas son de ran uso en la construcci+n moderna de !uentes' Determinaci+n de la forma del cable7 EJE;C>C>? >=@-2;"2>A?7 @n cable (e)ible de !oco !eso #des!reciable% so!orta un !uente uniforme' a% Determine la forma del cable' b% 2ensi+n en el !unto m.s ba/o' c% 2ensi+n en los so!ortes'
L
a
b De la ecuaci+n fundamental tomaremos
dW dx
una constante w
llamada el !eso !or unidad de lonitud' 2
d y 1 dW = 2 d x H dx
2
d y dx
2
w H
=
;esolvemos la siuiente ecuaci+n diferencial de
seundo orden'
'' w y = H !ero
'
y = p
''
y =
dp dx
dp w = dx H w dx ∫ dp =∫ H p=
w x +c 1 H
Condiciones iniciales en el !unto m.s ba/o y!
< ) < yb c 1= 0 w p= x H dy w = x dx H w xdx + c ∫ dy =∫ H
y =
2
w 2 x + c2 Condiciones iniciales7 yb & ) 2 H
c 2= b
y =
w 2 x +b 2 H
orma del cable
Tensin e! "#n$% &'s ba(%: y =
w 2 x +b 2 H
y =
w 2 x 2 H
Condiciones7 b& P#=F9&a%
w L a= 2 H 4
H =
2
w 2 L 8a
Tensin en !%s s%"%)$es
=w ∫ dW dx
dy W = dx H
→
w constante W tg θ = H
tgθ =
;eem!la*amos 3 1 4
wx 2
w L /8a
rem!la*ando en el !unto P#=F9& a%
tg θ =
4a
L
ormamos un tri.nulo rect.nulo y obtenemos sus lados e hi!otenusa
√ 16 a + L 2
2
I = -i utili*amos la f+rmula 8H de las sumatorias de fuer*as 2enemos7 H =Tcosθ
Donde !or el tri.nulo obtenemos
que se conoce7 T =
H cos θ
cosθ =
L
√ 16 a + L 2
2
y3
2
w L /8a
T = L / √ 16 a2 + L2
T =
wL 2 2 16 a + L √ 8a
CATENARIA In$)%*#++in " diferencia del cable colante& en la catenaria si se toma en cuenta el !eso& es decir no se lo des!recia' Para ello& consideramos un semento de cuenta como se muestra en la $ura' Este semento& su!uestamente in$nitesimal& esta a!licado en la $ura' El !eso esta uniformemente distribuido sobre el arco P6 en la $ura'
D+nde7 ∆ s=
ds dx
∆ x=
dx dx
∆ y=
dy dx
Entonces7
√
( )
2
ds = 1 + dy 1 dx dx
Esta ecuaci+n se utili*a m.s tarde !ara demostrar la ecuaci+n de la catenaria •
Procedemos ahora con la demostraci+n de la ecuaci+n7
Es f.cil ver que si el !eso de la cuerda es w& entonces es correcto dw = w ds
a$rmar que7
√
2
dw d y = w 1 + 2 dx dx
De la ecuaci+n demostrada anteriormente tomo7 x ∗ dw d w T = 2 dx dx 2
2
dw d y = ∗T dx d x 2
En este caso vamos a considerar el !eso
√
2
( )
d y w dy = ∗ + 1 dx d x 2 T
2
dy = p dx 2
d y dp = 2 dx dx dp w = ∗ √ 1 + p2 dx T
∫
dp
√ 1 + p
w T
=∫ dx 2
¿| p + √ 1+ p 2|=
p + √ 1+ p =e 2
p + √ 1+ p =e 2
w x + C 1 T
w x + C 1 T
w x T
C 1
e
C 1
e =C 2
p + √ 1+ p =e 2
w x T
C 2
x = 0 y ' ( 0 )=0 C 2 =1
p + √ 1+ p =e 2
( √ 1 + p ) =( e 2 2
w x T
w x T
− p
)
2
1 + p
2e
wx T
2
=e
2
w x T
2
p= e
(
w x T
−2 e p + p2
w x T
w
−1
1 T x p= e − e 2
(
−w
w
dy 1 T x = e −e dx 2
∫
[
1 T dy = 2 w
(
∫
) p = dydx
−w T
x
) w
w T x T e dx − T w
w
1 T T x y = e +e 2w
{ ==
x
T
−W T
x
∫
w e T
− w x T
dx
]
) +C
3
1 ∗T 2
y b b = ∗( 2 )+ C 3 w x 0
T T C 3 =b − pero b= w w C 3 =0
(
T e y = w
w x T
−w
+ e T 2
x
)
y por or!ula laecucion " nos "uedaes 7
T w y = cosh x w T
E,ERCICIOS DE APLICACI-N DE CABLE COLGANTE @n cable de un !uente colante tiene sus so!ortes al mismo nivel& se!arado a una distancia de K !ies' -i los so!ortes est.n a 8 !ies m.s alto que
el !unto mínimo del cable& use un con/unto a!ro!iado de e/es !ara determinar7 a% @na ecuaci+n !ara la curva en la cual el cable cuela asumiendo que el !uente es de !eso uniforme y que el !eso del cable es des!reciable' b% Determinar la !endiente del cable en los so!ortes'
8 ft
K ft 2omamos un e)tremo7
2
sin θ
2
2
cos θ
8 ft 4 3
9K ft
a% L) 2
cos θ
Ly 3
2 sin θ N 4
2
cos θ 3
T sin θ T cos θ W t θ H dy dx
2
d y 2 dx
2 sin θ 4
W H
<
dy t θ dx
W H dW dx 1
constante# !or demostraci+n%
H
3 constante de tensi+n en el !unto m.s ba/o' 2
d y 2 dx
W H
ecuaci+n diferencial
;esolviendo7 2
d y 2 dx dp dx
W H
!
W H
W dx ∫ dp =∫ H
! C8
W H
) C8
{
x =0 y =0
dy dx
2
!O
d y 2 dx
dy
W H
x
W x dx ∫ dy ∫ H W H
y C9 3
Q
y
2
C9
2
{
x =0 y =250
250
WL 8a
2
9K
w
y
x
WL 8a
2
8ax
2
2 L
2
Q
x
De la demostraci+n
2
2
9K
9K
500
y
y
¿ ¿ 2¿ 8 ( 100 ) ¿ x
Q )9 9K
2
625
9K
#!ar.bola%
b% y yR
x
2
625 2 x 625
9K so!orte7 P #9K& 8%
ecuaci+n de la curva
yR
2 ( 250) 625
./ 0
!endiente
E,ERCICIOS DE APLICACI-N DE CATENARIA @n cable de densidad & lbF!ie :& que !osee un volumen iual a 9&9!ie :& cuela de dos so!ortes que est.n al mismo nivel y se!arados !or 89 !ies& si la !endiente del cable en cualquiera de los so!ortes es 8K&9' Calcule la tensi+n del cable en el !unto m.s ba/o
Datos7 S& lbF!ie: A9&9!ie : 089 !ies dx =!=15,2 dy
2T -oluci+n m SA
(
! = 0,4
lb e
t
)(
2,2 t )
m&UU lb
4m 4#&UU lb%#:9ftFse 9% 49U&8V lb ftFse 9
√
2
2
d y W dy = 1 +( ) 2 T dx dx dP W = √ 1+ p 2 dx T
∫
dP
√
1 + P
2
=
W T
∫ dx
<
dy P= dx
2
<
dP d y = dx d x 2
arc tag
√
2
√
2
ln ¿ P + 1+ P
ln ¿ P + 1+ P
P + √ 1+ P =e 2
Wx
∨¿
Wx + C 1 T
∨¿
Wx T
∫
∫ (e
(
T y = e 2 W
Wx T
{
→ c1
Wx T
1 P= ( e T − e 2
1 dy = 2
<
C# = x =0 y $ =0
−Wx
)
T
<
P=
dy dx
−Wx
Wx T
−e −Wx
+e
T
) d)
T
{
) +C
y =0 →C = −T 2 W x =0
2
Wx −1 T cosh ¿
(
T ∴ y = e 2 W
Wx T
− Wx
+e
T
)− T W → y = T W ¿
Derivamos7 dy Wx =sinh dx T W = 28,16
T =
dy =15,2 dx
<
<
lbt s
2
Wx −1
sinh ( 15,2 )
( =
28,16
)(
lbt s
2
60 t ) −1
sinh ( 15,2 )
= 494,68 lbt 2 s
x =60
<
T =494,68
lbt 2
s
@n cable !esa ': lbF!ie& cuela de dos so!ortes que est.n a un mismo nivel y a : !ie de se!araci+n' -i la !endiente del cable en uno de los so!orte es U&K' Determine7 a% la tensi+n del cable en el !unto m.s ba/o b% la ecuaci+n !ara la curva en el cual el cabe cuela
Datos7 w =0.3 lb / pie
a ¿ T =&
dx =!=8.5 dy
x = 300 pie
b ¿ ecuacion cur'a=&
dy dx
¿ ¿ 1 +¿
a% 2
d y dx
2
=
W √ ¿ T
dy y = = P dx $
donde
2
d y $ y = 2 = P dx $ $
$
P =
W 2 1 + P √ T
dP W = √ 1+ P 2 dx T
∫
dP
√ 1 + P −1
= 2
sinh P =
p=sinh (
W T
∫ dx
W x + C 1 T
-i7 )& P W
W X ) T
W T (¿ X ) dy =sinh ¿ dx X ) dx + C ∫ dy =∫ sinh ( W T
2
W x T (¿)+ C 2 T y = cosh ¿ w
y =
-i7 )& y W
T W T cosh ( X )− W T W
dy T W W = sinh ( X ) dx W T T dy W =sinh ( X ) dx T
