11. GRINZI CU Z ĂBRELE, METODA SECŢIUNILOR 11.1. Etape în aplicarea metodei A doua metod ă analitică pentru calculul eforturilor din barele grinzilor cu ză brele este metoda secţiunilor care iunilor care se bazează atât pe teorema solidific ării cât şi pe teorema echilibrului p ăr ţilor. Metoda se utilizează de obicei pentru verificarea rezultatelor eforturilor rezultatelor eforturilor din bare stabilite în urma utiliz ării metodei izolării nodurilor (v. cap. 10), dar poate fi folosit ă şi ca metodă directă pentru calculul eforturilor din bare. Etapele de calcul calcul la aplicarea acestei metode (utilizat ă ca metodă de verificare) sunt : 1) Se verifică condiţia de determinare statică şi invariabilitate geometric ă, conform relaţiei: 2 N = = b + r , unde s-a notat cu N numărul nodurilor, cu b numărul barelor, iar cu r numărul legăturilor exterioare simple. 2) Se calculează reacţiunile din leg ăturile exterioare. 3) Se procedează la o secţionare a grinzii cu ză brele, recomandându-se îndeplinirea următoarelor condiţii: - secţiunea trebuie să despartă grinda în dou ă păr ţi distincte; - secţiunea aplicată trebuie să întâlnească cel mult trei bare de efort necunoscut; - alegerea celor trei bare de efort necunoscut, se face astfel încât aceste bare secţionate să nu fie toate trei paralele, sau toate trei concurente în acelaşi punct. 4) Pentru una din cele două păr ţi ob ţinute în urma secţionării se scriu trei ecuaţii de echilibru. Scrierea ecuaţiilor se face astfel încât s ă se obţină un sistem de ecuaţii independente în vederea unei rezolv ări rapide. De exemplu, pentru o grindă cu tălpi paralele, una dintre ecuaţii va fi ecuaţia de proiecţie a for ţelor pe direcţia normală la direcţia tălpilor, iar celelalte dou ă, ecuaţii de proiecţie de moment în raport cu punctele de intersec ţie în care se întâlnesc dou ă câte două, direcţiile eforturilor căutate. 5) Se rezolvă sistemul de ecuaţii stabilit la punctul anterior şi se figurează eforturile găsite pe o schem ă de for ţe a grinzii în ansamblul ei. 6) Verificarea se face pentru un efort calculat, considerând o alt ă secţiune.
93
11.2. Aplicaţii A11.1. Utilizând metoda secţiunilor, să se determine numai eforturile din barele grinzii cu ză brele întâlnite de secţiunea I - I (fig. 11.1).
2P
I
3P
P
4P a 3
I 4a
4a
4a
4a
Fig. 11.1. Rezolvare: Grinda cu ză brele din figura 11.1 a fost rezolvată în capitolul precedent, urmărindu-se verificarea rezultatelor obţinute anterior cu metoda izolării nodurilor, numai pentru barele secţionate. Astfel, secţiunea I - I desparte grinda cu ză brele în două păr ţi. Se alege una din cele dou ă, de exemplu partea din stânga (fig. 11.2). Aceasta este supusă acţiunii for ţelor exterioare date şi de legătur ă, precum şi eforturilor din cele trei bare secţionate. Condiţia de echilibru a păr ţii alese, se exprimă prin trei ecuaţii de proiecţie (conform teoremei echilibrului păr ţilor), ecuaţii care se aleg astfel încât fiecare din acestea s ă aibă câte o singur ă necunoscută. y
2P S 24
2
a
D25
1
H 1=4P
V 1=2P
3
4a
I 35
3
5
x
4a
Fig. 11.2. Pentru calculul efortului din talpa inferioar ă I 35 se scrie ecuaţia de proiecţie de moment în raport cu punctul 2, deoarece celelalte două eforturi necunoscute sunt concurente în acest punct şi nu intervin în ecuaţie: 20 M ( 2 ) = −V 1 ⋅ 4a − H 1 ⋅ 3a + I 35 ⋅ 3a = 0 ⇒ I 35 = P. 3
∑
94
Aplicând acelaşi raţionament pentru calculul efortului din talpa superioar ă S24, se scrie a doua ecua ţie de proiecţie tot de moment, dar de aceast ă dată în raport cu punctul 5, punct în care eforturile D25 din diagonală şi I 35 din talpa inferioar ă sunt concurente: 8 M (5) = −V 1 ⋅ 8a + 2 P ⋅ 4a − S 24 ⋅ 3a = 0 ⇒ S 24 = − P . 3 Cel de-al treilea efort, D25 din diagonală se stabileşte din ecuaţia de proiecţie de for ţe pe direcţia verticală, deoarece S24 şi I 35 sunt orizontale şi deci au proiecţia nulă pe direcţia verticală: 3 Y i = V 1 − 2 P + D25 sin α = 2 P − 2 P + D25 ⋅ = 0 ⇒ D25 = 0 . 5
∑
∑
A11.2. Să se calculeze eforturile din barele însemnate, utilizând metoda secţiunilor pentru grinda din figura 11.3. 60 k N
30 k N 2
4
6
30 k N 10
8
0 , 3
1
4,0
4,0
9
7
5
3
4,0
4,0
Fig. 11.3. R ăspuns : S 46 = -80 kN, D36 = -50 kN, M 87 = 30 kN, I 97 = 80 kN. 3P√3
A11.3. Să se calculeze eforturile din barele însemnate, utilizând metoda secţiunilor pentru grinda cu ză brele din figura 11.4.
l
3
l
R ăspuns : S 35 = -3P, D45 = -2P, I 46 = 2P.
3P√3 5
l
l
l
2
6
l l
4
l
l 1
Fig. 11.4
95
A11.4. Să se stabilească mărimea for ţei orizontale Q în funcţie de valoarea for ţei verticale P, astfel încât efortul din diagonala 2-3 s ă fie nul (fig. 11.5). R ăspuns : Se calculează reacţiunile H 1 = Q(←), V 1 = (2P-Q)/4(↑), V 5 = (2P+Q)/4(↑). Se secţionează barele 1-3, 2-3 şi 2-4 şi se scrie ecuaţia de proiecţie de moment în raport cu punctul aflat la intersec ţia prelungirilor barelor 1-3 şi 2-4. Se află D23 = (P-Q) 5 /3=0 şi deci Q = P. Verificarea poate fi efectuată prin izolarea barei 2-4, scriind ecuaţia de proiecţie de moment în nodul 4 : Q⋅1-V 1⋅4=0. P
4
0 , 1
Q 6
2
0 , 2
1
5 3
4,0
4,0 m Fig. 11.5.
A11.5. Să se stabilească eforturile din barele 7-9, 8-9 şi 8-10 pentru grinda cu ză brele compusă din figura 11.6. R ăspuns : Sistemul este simetric şi este alcătuit din două grinzi cu ză brele simple, articulate între ele în nodul 6. Se calculeaz ă numai reacţiunile din articulaţia 11: H 11 = 105 kN(←), V 11 = 90 kN ( ↑); secţionând barele cerute rezultă : N 97 = -75 2 kN, N 10-8 = -15 2 kN, N 98 = -15 kN.
60 kN
60 kN
5
60 kN 7
6 4
3
a
8
9
a
1
a
11
10
2
a
a
a
Fig. 11.6. 96
a
a
