ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL (sección 13.3) Cuando desarrollamos el concepto de energía potencial gravitacional gravitacional en la sección 7.1, 7 .1, supusimos que la fuerza gravitacional que actúa sore un cuerpo es constante en magnitud ! dirección, originando la e"presión #$ mg!. mg!. %&ora saemos que la fuerza gravitacional de la 'ierra sore un cuerpo de masa m afuera de la 'ierra est dada en forma ms general por la ecuación (1.), *g$+mm-r , donde m es la masa de la 'ierra ! r es la distancia del cuerpo al centro de la 'ierra. n prolemas donde r camia tanto que la fuerza gravitacional no puede considerarse considerarse constante, necesitamos una e"presión ms general para la energía potencial gravitacional. ara ara otener esta e"presión, usamos la misma secuencia sica de pasos que en la sección 7.1. Consideramos un cuerpo de masa m fuera de la 'ierra, ! calculamos primero el traa/o 0grav efectuado efectuado por la fuerza gravitacional cuando el cuerpo se ale/a del centro de la 'ierra o se acerca a l, desde r$r1 &asta r$r (2gura 1.1 ). %sí, 0grav est dado por r2
0grav$
Frdr ∫ Frdr
(13.4)
r1
5onde *r es la componente radial de la fuerza gravitacional , es decir, la componente dirigida &acia afuera desde el centro de la 'ierra. 5ado que apunta * &acia el centro de la 'ierra, *r es nega6va nega6va di2ere de la ecuación (1.), la magnitud de la fuerza gravitacional, por un signo menos *r$
−GmEm r
2
(13.7)
8us6tu!endo la ecuación (1.7) en la ecuación (1.4), vemos que 0grav est dado por r2
0grav$9+mm
∫ dr r 2
r1
$
GmEm r2
− GmEm r2
:a tra!ectoria no 6ene que ser recta; puede ser una curva como la de la 2gura 1.1. or un argumento similar al de la sección 7.1, este traa/o sólo depende de los valores inicial ! 2nal de r, no del camino seguido. sto tamin demuestra que la fuerza g ravitacional ravitacional siempre es conserva6va. conserva6va. %&ora de2nimos la energía potencial correspondiente # tal que 0grav < #1 # =como en la ecuación (7.3)>. Comparando esto esto con la ecuación (1.?), vemos que la de2nición apropiada de energía potencial gravitacional es #$
−GmEm r
/emplos; 1) n la novela de @ulio Aerne de 1?4< con ese Btulo, tres &omres via/aron a la :una en un cascarón disparado desde un caón gigante &undido en el suelo de *lorida. a) Calcule la rapidez inicial necesaria para disparar el cascarón ver6calment ver6calmente e &asta una altura sore la 'ierra igual al radio de sta. ) Calcule la rapidez de escape, es decir, la rapidez inicial que permi6ría al cascarón escapar de la 'ierra. 5esprecie la resistencia del aire, la rotación de la 'ierra ! la
atracción gravitacional de la :una. l radio de la 'ierra es D$43? Em$4.3?F1 ^4 m ! su masa es m$<.G7F1^H Eg
8I:.
a) odemos calcular v1 por la conservación de la enrgia J1K#1$JK# Como el cascaron queda en reposo v$ s decir; .
v1=
√
(
−GmEm r
)
=0+(-
GmEm 2r
)
GmEm r
=7900 m/s b) Lueremos que el cascarón apenas MllegueN al punto en r$O, sin energía cin6ca sorante, así que J$ ! #$ (la energía potencial es cero en el in2nito)
v1=
√
2 GmEm
r
=1.12X10^4 m/s
) 5iez días despus de lanzarse &acia Parte en diciemre de 1GG?, la nave Pars Climate Iriter (masa de 4G Eg) estaa a .?7 3 14 Em de la 'ierra, via/ando con rapidez de 1. 3 1H Em-& rela6va a la 'ierra. n ese instante, calcule a) la energía cin6ca de la nave rela6va a la 'ierra ! ) la energía potencial del sistema 'ierra9nave.
8I:. a) J$.<(4G)(3.33F1^3)^2
=3.49X10^9 J b)
( 6.673 X 10− )( 5.97 X 10 )( 629) 11
U=
24
2.87 X 10 9
=-8.73X10^7 J
MOVIMIENTOS DE SATELITES (sección 13.4)
ara comenzar, recordemos lo dic&o sore el movimiento de pro!ec6les en la sección 3.3. n el e/emplo 3.4, un motociclista se lanza &orizontalmente del orde de un acan6lado, en una tra!ectoria paraólica que termina en terreno plano en la ase del acan6lado. 8i sorevive ! repite el e"perimento aumentando su rapidez de lanzamiento, caer ms le/os del punto de par6da. odemos imaginarlo lanzndose con tal rapidez que la curvatura de la 'ierra se &ace signi2ca6va. %l caer, la caída es ms larga por la curvatura. 8i la rapidez del motociclista es su2ciente, ! si su punto de lanzamiento es tan alto que pueda lirar las montaas, podría seguir dando vuelta a la 'ierra, sin /ams tocar el suelo. :a 2gura 1.1H muestra una variación de este tema. :anzamos un pro!ec6l del punto A en la dirección AB, tangente a la super2cie terrestre. :as tra!ectorias 1 a 7 muestran el efecto de aumentar la rapidez inicial. n las tra!ectorias 3 a < el pro!ec6l
12.14 Trayectorias
de un proyectil lanzado desde una gran altura (ignorando la resistencia del aire). Las órbitas 1 y 2 se completarían como se muestra, si la Tierra fuera una masa puntual en C. (Esta ilustración se basa en Principia de saac !e"ton.)
Qo c&oca contra la 'ierra ! se convierte en su satlite. 8i no &a! una fuerza que f rene al pro!ec6l, su rapidez al volver al punto A es la que tenía inicialmente, ! el movimiento se repite inde2nidamente. :as tra!ectorias 1 a < terminan donde comenzaron ! se denominan órbitas cerradas. 'odas las óritas cerradas son elipses o segmentos de elipses la tra!ectoria H es un círculo, un caso especial de elipse. (%nalizaremos las propiedades de una elipse en la sección 1.<.) :as tra!ectorias 4 ! 7 son órbitas abiertas el pro!ec6l nunca vuelve a su punto de par6da ! se ale/a cada vez ms de la 'ierra.
Satélites: Orbita circulares
#na órita circular como la tra!ectoria H de la 2gura 1.1H es el caso ms sencillo. 'amin es un caso importante, pues muc&os satlites ar62ciales 6enen óritas casi circulares ! las óritas de los planetas alrededor del 8ol tamin son apro"imadamente circulares. :a única fuerza que actúa sore un satlite en órita circular alrededor de la 'ierra es la atracción gravitacional terrestre, dirigida &acia el centro de la 'ierra !, por lo tanto, &acia el centro de la órita (2g ura 1.1<). Como vimos en la sección <.H, esto implica que el satlite est en movimiento circular uniforme ! su rapidez es constante. l satlite no cae hacia la 'ierra ms ien, cae constantemente alrededor de la 'ierra. n una órita circular, la rapidez es e"actamente la necesaria para mantener constante la distancia entre el satlite ! el centro de la 'ierra. Aeamos cómo calcular la rapidez constante v de un satlite en órita circular. l radio de la órita es r , medido desde el centro de la 'ierra la aceleración del satlite 6ene magnitud arad$v -r ! siempre est dirigida &acia el centro del círculo. or la le! de la gravitación, la fuerza neta (la gravitacional) que actúa sore el satlite de masa m 6ene magnitud F g$Gmm-r ! 6ene la misma dirección de la aceleración. :a segunda le! de QeRton( GmEm r
2
=
mv r
2
∑ F =ma
) nos dice entonces que
5espe/ando v tenemos; v$
√
GmE r
(orita circular) (13.1)
sta relación muestra que no podemos elegir el radio de la órita r ! la rapidez v Sndependientemente para un radio r dado, la rapidez v de la órita circular est determinada. :a ecuación (1.1) tamin muestra que el movimiento del satlite no depende 5e su masa, porque la masa m no aparece en la ecuación. 8i pudiramos par6r un satlite a la mitad sin alterar su rapidez, cada mitad seguiría con el movimiento original. odemos deducir una relación entre el radio r de una órita circular ! el periodo T , :a duración de una revolución. :a rapidez v es la distancia p r recorrida en una revolución, 5ividida entre el periodo; 2 πr
v$
(13.11)
T
Itenemos una e"presión para T si despe/amos T de la ecuación (13.11) ! sus6tuimos v de la ecuación (1.1); 2 πr
'$
v
=2 π r
√
r GmE
=
2π r
3
/2
√ GmE
(orita circular) (13.1)
:as ecuaciones (13.1) ! (13.1) muestran que las óritas ms grandes corresponden a rapideces ms a/as ! a periodos ms largos (2gura 13.17). s interesante comparar la ecuación (13.1) con el clculo de la rapidez de escape en el e/emplo 13.<. Aemos que la rapidez de escape de un cuerpo esfrico con radio R es veces ma!or que la rapidez de un satlite en una órita circular con ese radio. 8i nuestra nave est en órita circular alrededor de cualquier planeta, deeremos Pul6plicar nuestra rapidez por para escapar al in2nito, sin importar la masa del planeta. uesto que la rapidez v en una órita circular est determinada por la ecuación (1.1) para un radio orital r dado, la energía mecnica total E=K 1 U tamin est 5eterminada. #sando las ecuaciones (13.G) ! (13.1), tenemos $
−GmEm 2r
(orita circular) (13.13)
/emplos; 1)ara un satlite en órita circular a 7? Em sore la super2cie terrestre, a) Tqu rapidez orital deería imprimírsele ! ) cul es el periodo de la órita (en &oras)U 8I:. r$&KD r$7.?F1^5+6.38X10^6
=7.16X10^6 m
&
m D
a)
∑ Fy =may *g$marad GmEm r
v$
√
$m
2
GmE r
v
2
r
3
=7.46 X 10
m/S
) '$
2 πr
v
=6030 s =1.68 h
) l 1< de /ulio de H, la Q%8% lanzó la nave espacial %ura para estudiar el clima ! la atmósfera terrestres. ste sat9 lite fue puesto en una órita a 7< Em sore la super2cie terrestre, ! supondremos una órita circular. a) TCuntas &oras le tomar a este satlite completar una óritaU ) TLu tan rpido (en EmVs) se mueve la nave espacial %uraU 8I:. 5e nuevo r$&KD '$
2πr
3
/2
√ GmE
$<.GHF1^3s=99 min
b) v=
2 πr
T
=7.49X10^3 m/s=7.49 m/s
LAS LEYES DE KEPLER Y ELMOVIMIENTO DE PLANETAS
(sección 13.<) :a palara planeta viene de un vocalo griego que signi2ca MvagaundoN efec6vamente,
los planetas camian con6nuamente su posición en el cielo rela6va al fondo estrellado. #no de los grandes logros intelectuales de los siglos FAS ! FASS fue darse cuenta de tres descurimientos; que la 'ierra es un planeta, que todos los planetas estn en órita alrededor del 8ol ! que los movimientos aparentes de los planetas vistos desde la 'ierra pueden servir para determinar con precisión sus óritas. :os primeros dos descurimientos fueron pulicados por Qicols Coprnico en olonia en 1
Jepler no saía por qué los planetas se movían así. 'res generaciones despus, cuando QeRton dirigió su atención al movimiento planetario, descurió que las le!es de Jepler pueden deducirse son consecuencias de las le!es de QeRton del movimiento ! de la le! de la gravitación. Aeamos de dónde surge cada una de las le!es de Jepler.
Primera ley de e!ler: ley de las órbitas
:a primera le!, conocida como le! de las óritas, acaa con la idea, mantenida tamin por Copernico, de que las óritas deían ser circulares. :os planetas giran alrededor del 8ol siguiendo una tra!ectoria elíp6ca. l 8ol se sitúa en uno de los focos de la elipse.
:a e"centricidad e de una elipse es una medida de lo ale/ado que se encuentran los focos del centro. 8u valor viene dado por;
e$
√
−
1
b a
2 2
ues ien, la ma!oría de las óritas planetarias 6enen un valor mu! pequeo de e"centricidad, es decir e X . sto signi2ca que, a nivel prc6co, pueden considerarse círculos descentrados.
Se"u#da ley de e!ler: Ley de las $reas
:a 2gura 1. muestra la segunda le! de Jepler. n un lapso pequeo dt , la línea del 8ol S al planeta descrie un ngulo d u. l rea arrida es el tringulo coloreado de altura r , ase r d u ! rea d%$.
dA 1 2 dθ = r (13.1H) dt 2 dt :a esencia de la segunda le! de Jepler estalece que la velocidad de sector 6ene el mismo valor en todos los puntos de la órita. Cuando el planeta est cerca del 8ol, r es pequea ! d θ -dt es grande cuando el planeta est le/os del 8ol, r es grande ! d θ -dt es pequea. ara saer por qu la segunda le! de Jepler es consecuencia de las le!es de QeRton, e"presamos dA-dt en trminos del vector de velocidad v del planeta . :a componente de perpendicular a la línea radial es v $v sen f. or la 2gura 13., el desplazamiento en la dirección de v durante el 6empo dt es r d θ , de modo que tenemos v $r d θ -dt . #sando esta relación en la ecuación (13.1H), otenemos ˔
˔
˔
dA dt
=¿
.
∅
5e esta manera, rvsen
(13.1<) ∅
es la magnitud del producto vectorial r " v , que es 1Vm veces el
momento angular :$r " mv del planeta respecto al sol, tenemos entonces; dA dt
=
1 2m
|r x mv|
$
L 2m
(13.14)
Tercera ley de e!ler: Ley de l%s !eri%d%s
Ya dedu/imos la tercera le! de Jepler para el caso especí2co de óritas circulares. :a cuación (13.1) muestra que el periodo de un satlite o planeta en una órita c ircular es proporcional al radio de la órita elevado a la potencia . QeRton pudo demostrar que esta misma relación se cumple para una órita el!p"ca, sus6tu!endo el radio r por el e/e semi9ma!or a;
'$
(a) / 2
2 π
3
√ Gms
(13.17)
Como el planeta est en órita alrededor del 8ol, no de la 'ierra, en la ecuación (13.1) sus6tuimos la masa de la 'ierra # por la masa del 8ol m8. Iserve que el periodo no depende de la e"centricidad e. #n asteroide en una órita elíp6ca alargada con e/e semima!or a 6ene el mismo periodo orital que un planeta en una órita circular de radio a. :a diferencia clave es que la rapidez del asteroide varía a lo largo de su órita elíp6ca (2gura 13.c), mientras que la rapidez del planeta es constante en su órita circular.
/emplos; 1) 8uponga que se descure un planeta entre el 8ol ! Percurio, con una órita circular de radio igual a del radio orital medio de Percurio. TLu periodo orital tendría ese planetaU (:legó a postularse la e"istencia de tal planeta, en parte para e"plicar la precesión de la órita de Percurio. Sncluso reciió el nomre Aulcano, aunque no tenemos prueas de que realmente e"ista. :a precesión de Percurio se &a e"plicado con ase en la rela6vidad general.) 8I:. #saremos '$
2 πr
v
*g$marad
Gmsm r
$m
2
'$ πr
√
r Gms
v
2
v^2=
r
Gms r
6
= 4.13 X 10 s =47.8 dias
"# $e%&'!' '%bi# !e me%c*%i' es 88 !&s $'% #' ,*e $'!%&m's c#c*#% $% *#cns =(88)(2/3) ^3/2=47.9 días
&' :a estrella D&o1 Cancri est a <7 aos luz de la 'ierra ! su masa es .?< veces la del 8ol. 8e &a detectado un planeta en órita circular en torno a D&o1 Cancri, con un radio orital igual a .11 veces el radio de la órita de la 'ierra alrededor del 8ol. Calcule a) la rapidez orital ! $) el periodo orital del planeta de D&o1 Cancri
8I:. :a velocidad orital est dada por v$ √ Gm / r , 5onde m es la masa de la estrella. l período orital es dado por '$
2 πr
v
a) v$
− √ (6.673 X 10 )( 0.85 X 1.99 X 10 )/ 1.5 X 10 (0.11 ) 11
30
11
$?.7F1^4 m/s
b) T=1.25X10^6 s=14.5 días
l período orital es menor que el período orital de ?? d de mercurio ste planeta est oritando mu! cerca de su estrella, en comparación con el radio orital de mercurio
