´ ´ I GLQ2200 - Geophysique Appliquee Bernard Giroux, Michel Chouteau
´ Notes de cours - Gravimetrie
´ ´ Laboratoire de geophysique appliquee Automne 2008
` Table des matieres 1 Theorie e´ orie
1
1.1 Introd Introduct uction ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Princi Principes pes de base base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3 1.3
1.4 1.4
1.2.1
Lois de l’attraction l’attraction universelle universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.2 1.2.2
Champ Champ gravit gravitati ationn onnel el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3 1.2.3
Potent Potentiel iel gravit gravitatio ationne nnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.4
´ Equations du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Une r´ef´ ef´erence erence pour la terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
Un ellipso¨ ellipso¨ıde ıde de r´evolution evolution : le sphero¨ e´ro¨ıde ıd e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. .3.2
Le g´eo¨ eo ¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Dens Densit´ it´e des roches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Les Les donn´ donn´ees gravim´etriques etriques
11
2.1 Corre Correcti ctions ons et ref e´ f erences e´ rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
11
2.1.1 2.1 .1
Corr Co rrec ecti tion on de d´erive erive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2 2.1.2
Corre Correcti ction on de latitud latitudee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.3 2.1.3
Corre Correcti ction on d’altitu d’altitude de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.4 2.1.4
Corre Correcti ction on de platea plateau u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.5 2.1.5
Corre Correcti ction on de relie relief f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.6
Methode e´ thode de Nettleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.7 2.1.7
Anomal Anomalie ie Bougue Bouguerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Leve´ gravim´ gravimetrique e´ trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2. .2.1
Num´erotation erotation des stations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.2 2.2 .2
Nivel Nivelle leme ment nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
i
` Table des mati eres
ii
2.2.3
3
R´esum´e pour faire un lev´e gravim´etrique etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3 Instru Instrumen mentat tation ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.1 2.3 .1
Mesur Mesures es absolu absolues es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.2 2.3 .2
Mesur Mesures es relati relatives ves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4 Traitem raitement entss des donn´ donn´ees ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
S´eparation eparation r´ regionale e´ gionale - r´esiduelle esiduelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4.2 2.4 .2
Prolo Prolonge ngemen mentt vers vers le haut haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4.3
Exemples Exemples de de superpo superposition sition d’une anomalie anomalie avec avec une une r´ regional e´ gional . . . . . .
39
2.4.4
Cˆone de sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Inte Interp rpr´ r´etation etation
45
3.1
Mod`eles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1. 3.1.11
La sph` sph`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1.2 3.1 .2
Le cylindr cylindree horizo horizontal ntal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1.3 3.1 .3
Le cylindr cylindree vertic vertical al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.1.4 3.1 .4
Le feuille feuillett vertic vertical al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.5
La plaque mince horizontale horizontale infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.6 3.1 .6
Le prisme prisme recta rectangu ngulair lairee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Mod`eles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2. 3.2.11
Les Les methodes e´ thodes graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.2
Methode e´ thode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.2. 3.2.33
Grav Gravit´ it´e 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Exces e` s de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3. 3.3.11
Calc Ca lcul ul de l’exc l’exc`es e` s de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3. 3.3.22
Unic Unicit´ it´e de la solution solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.3. 3.3.33
Cons Co nsid´ id´erations pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.4 3.3 .4
Exempl Exemplee de calcul calcul de tonnag tonnagee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.3.5
Exemple Exemple de calcul calcul avec G-2 Marmora Marmora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.2
3.3
4
2.4.1
Signat Signature ure des struct structures ures g´eologiques eologiques en gravim´etrie
67
4.1
Lev´es es r´egionaux egionaux et tectoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.1.1
´ Etude structurale a` grande echelle e´ chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.1.2
´ Etudes r´ regionales e´ gionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Table des mati e` res
4.2
iii
Petrole ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2.1 4.2 .1
Form Format ation ionss recifales e´ cifales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2.2
Dˆomes de sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.2.3 4.2 .3
Anti Anticli clina naux ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Vall´ all´ee ee alluvionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.4 Batholi Batholite te gravim´ gravim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.5 Gise Giseme ment ntss metallif e´ tallif eres e` res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Archeologie, e´ ologie, travaux publics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.7 Autre Autress Exempl Exemples es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.3 4.3
4.6 4.6
4.7.1 4.7.1
Prolon Prolongem gement ent et filtrag filtragee ; mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.7. .7.2
Mod´ Mod´elisation elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.7.3 4.7 .3
´ Appl Applic icati ation onss : Etude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
5 Ref e´ ferences e´ rences
99
A Correction Correction de latitude latitude
101
B Obteni Obtenirr la la lati latitud tude e g´eocentrique eocentrique par rapport a` la latitude g´eographique eographique
103
C Syst`eme eme de coordonn´ees et Th´eor` eor`emes emes fondamentaux
105
C.1 Coo Coord rdonn onn´ees e´ es cart´ cartesiennes e´ siennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 05
C.2 Coo Coord rdonn onn´ees e´ es cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 05
C.3 Coo Coord rdonn onn´ees e´ es sph´ spheriques e´ riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 06
C.4 Th´eor` eor`emes emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 07
D Exercic Exercices es
109
D.1 Corre Correcti ction on de donn´ donn´ees ees gravim´etriques etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 D.2 Correction Correctionss gravim´ gravim´etriques etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 11
D.3 D.3 Ca Calcu lcull mo mod´ d´elisation elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 11
D.3.1 D.3.1 Collect Collecteur eur d’´egouts egouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 11
D.3.2 Produits Produits toxiques toxiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 11
iv
` Table des mati eres
´ 1 Theorie 1.1 1.1
Intr Introd oduc ucti tion on
En g´eophysique eophysique appliqu´ee, ee, la gravim´etrie etrie sert a` detecter e´ tecter les contrastes de densit´e du soussol. Pour ce faire, on mesure en plusieurs points de l’espace les variations de l’acc´el´ eleration e´ ration gravitationnelle. Examinons d’abord la nature du champ gravitationnel terrestre.
1.2 1.2
Prin Princi cipe pes s de ba base se
1.2.1 1.2.1 Lois de l’att l’attract raction ion unive universe rselle lle ` loi de Newton 1ere
Deux particules de masse m1 et m2 separ´ e´ par´ees ees par une distance r sont attir´ees ees l’une vers l’autre par une force F telle que Gm 1 m2 F= r (1.1) r12
−
ou` F est la force appliqu´ appliquee e´ e sur la masse m2 , r le vecteur unitaire (voir figure 1.1), 1.1), r1 la distance entre les masses m1 et m2 , et G, la constante universelle de la gravit´e. Les termes r1 et G sont donn´ donnees e´ es par r1 = G = =
− x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 6.6742 × 10−8 dyne cm2 /g2 [CGS] 6.6742 × 10−11 N m 2 /kg2 [SI] ( x2
(1.2)
` 2eme Loi de Newton
Il faut appliquer une force F a` une masse m pour lui faire subir une acc´ accel´ e´ leration e´ ration a. Ceci se traduit par la relation F = m a. ( 1 .3 ) 1
´ 1. Theorie
2
z m2 r1 x r
m1 y F IG . 1.1: Deux masses dans un r´ef´ ef´erentiel erentiel cart´esien. esien. En utilisant utilisant les equations ´ (1.1 (1.1)) et (1.3 (1.3), ), on trouve que l’acc´el´ el´eration eration d’une masse m a` la surface du sol s’exprime par G MT a= r=g (1.4) R2T
−
ou` MT est la masse de la terre (5.9736 1024 kg) et R T le rayon moyen de la terre (6370 km). g est dite acc´ el´ eration de la gravit´ e, ou simplement gravit´ e, et vaut en moyenne 9.797 m/s2 .
×
En l’honneur de Galil´ Galilee, e´ e, on a nomm´ nomme´ l’unit´ l’unite´ d’acc´ d’accel´ e´ leration e´ ration gravitationnelle le gal avec : 1 gal 1 mgal
= =
1 cm/s2 10−3 gal
= =
10−2 m/s2 10−5 m/s2
La pr´ecision ecision d’un gravim`etre etre d’exploration est de l’ordre de 0.01 mgal (10−7 m/s2 ). Les gravim`etres etres pour les etudes e´ tudes g´eodynamiques eodynamiques ou g´eotechniques eotechniques sont sensibles au µgal, soit − 8 2 10 m/s , environ le milliardi`eme de g.
1.2.2 1.2.2
Champ Champ gravita gravitation tionnel nel
Soit une particule immobile en un point A de l’espace. Toutes les particules se trouvant autour de la masse m du point A subissent une acc´ accel´ e´ leration e´ ration (voir figure 1.2). 1.2). Chaque point de l’espace est alors caract´ caracteris´ e´ rise´ par un vecteur acc´ accel´ e´ leration e´ ration qui point vers A et qui est proportionnel a` l’inverse de la distance au carr´e. e. L’ensemble de ces vecteurs constitue le Champ Gravitationnel de la masse m.
1.2.3 1.2.3
Potent Potentiel iel gravita gravitation tionnel nel
Le champ gravitationnel est un champ conservatif , c’est-` c’est-`a-dire a-dire que le travail fournit pour deplacer e´ placer une masse dans ce champ est ind´ ependant du chemin parcouru. Il n’est fonction que des points de d´ depart e´ part et d’arriv´ d’arrivee. e´ e. Donc, si on revient au point de d´ depart, e´ part, le bilan energ e´ nergetique e´ tique est nul.
1.2 Principes de base
3
a a
A
a
m
a
a
F IG . 1.2: La forc forcee qui qui enge engend ndre re un cham champ p cons conser erva vati tiff peut peut etre eˆ tre obte obtenu nuee par par le grad gradie ient nt de la fonc foncti tion on du potentiel scalaire U par U par F U = g = , ( 1 .5 ) m2
∇
ou` l’op´ l’operateur e´ rateur
∇ est donn´ donne´ par : ∇U = ∂∂U x i + ∂∂ yU j + ∂∂ zU k.
( 1 .6 )
L’equation e´ quation du potentiel nous donne donc (m (m2 : masse unit´e) e) : U =
R
∞
g r dr =
·
−Gm1
R
∞
dr = Gm 1 r2
1 r
R
∞
=
Gm 1 . R
( 1 .7 )
Ainsi, on peut d´efinir efinir le Potentiel Potentiel Gravitatio Gravitationnel nnel en un point du champ gravitationnel comme le travail requis requis pour deplacer ´ une masse unitaire de l’infini jusqu’`a ce point (figure 1.3). 1.3). S’il y a plusieurs masses, on somme la contribution de chacune des masses N
U =
N
∑ U i = G ∑
mi
R i =1 i
i =1
.
( 1 .8 )
Si l’on a une distribution continue de masse dans un volume V ext´ exterieur e´ rieur au point (voir fiU au point P est gure 1.4 1.4), ), le potentiel U au U = G
ρ dv, dv , V r
( 1 .9 )
ou` ρ est la densit´ densite´ (g/cm3 ) et dv l’´ l’el´ e´ lement e´ ment de volume (cm3 ). Lors de l’interpr´ l’interpretation e´ tation des donn´ donnees, e´ es, il est parfois plus simple de travailler avec le potentiel U , pour ensuite obtenir la gravit´ gravite´ g par la relation (1.5 (1.5). ).
´ 1. Theorie
4
∞
ds dr O
r
m2 R
P m1
F IG . 1.3: Potentiel gravitationnel.
z
P(x,y,z) V dv
S x
y F IG . 1.4:
´ e´ rence pour la terre 1.3 Une ref
1.2.4
5
´ Equations du potentiel
Partant du th´ theor` e´ oreme e` me de Gauss, nous avons
S
g ds =
·
S
gn ds =
∇ · V
g dv, dv,
(1.10)
ou` S est la surface qui enveloppe le volume V , et gn est l’acc´el´ eleration e´ ration normale a` S, positive vers l’ext´ l’exterieur. e´ rieur. Si le volume V est vide de masse, g = 0 et, en vertu de l’ equation e´ quation (1.5 (1.5), ), nous avons 2 U = 0, (1.11)
∇·
∇
qui est l’´equation equation de Laplace. Si le volume contient une masse m, et que la surface S est une sph`ere ere centr´ee ee sur m, alors
S
−
gn ds =
=
−
Gm r2 4π Gm. Gm.
4π r2
Le signe n´ negatif e´ gatif signifie que l’attraction est dirig´ dirigee e´ e vers le centre de la sph` sphere. e` re. Si la surface S contient plusieurs masses et que leur total vaut M, alors on peut montrer que
∇ · V
g dv =
S
gn ds =
−4π G M.
Pour un el´ e´ lement e´ ment de volume infinit´esimal, esimal, l’int´ l’integrale ´ tombe et nous avons
∇ · g = −4π G ρ, ρ, ou` ρ est la densit´ densite´ de cet el´ e´ lement e´ ment de volume. Toujours en vertu de l’´ l’equation e´ quation (1.5), (1.5), nous trouvons 2 U = 4π G ρ, ρ, (1.12)
∇
qui est l’´equation equation de Poisson. Des equations e´ quations (1.11) (1.11) et (1.12), 1.12), il d´ecoule ecoule que le potentiel sur une surface donn´ee ee peut etre eˆ tre produit par des distributions de masses diff erentes. e´ rentes. Ce fait peut etre eˆ tre la source d’ambigu¨ d’ambigu¨ıt´ ıtes e´ s lors de l’interpr´ l’interpretation e´ tation des donn´ donnees. e´ es.
1.3
´ erence ´ Une ref pour la terre
´ ´ o¨ıde 1.3.1 Un ellipso¨ ellipso¨ıde ıde de revolution : le sphero¨ er Pour pr´ predire e´ dire le champ gravitationnel de la terre en tout point, sa forme et ses variations ` cause de sa rotation, la terre n’est pas sph´ de densit´ densite´ doivent etre eˆ tre connus. A spherique. e´ rique. Sa forme peut etre eˆ tre approxim´ee ee par une ellipso¨ıde ıde de r evolution e´ volution quelques fois appel´ee ee sph´ero¨ ero¨ıde ıde et caract´eris´ eris´e par son coefficient d’aplatissement f =
Req
− R po =
Req
1 , 298.257
(1.13)
´ 1. Theorie
6
R po
R
Req
Sphère
Ellipsoïde F IG . 1.5: φ o s c 2 r
ω
r φ
ω2r
Req
ω
F IG . 1.6: Param` Parametres e` tres li´ lies e´ s au calcul de l’acc´ l’accel´ e´ leration e´ ration centrifuge : ω est la vitesse angulair angulairee ; ω2 r l’acc´ l’accel´ e´ leration e´ ration centrifuge centrifuge ; ω2 r cos ϕ la composante dans la direction de g
ˆ ou` Req est le rayon de la terre a` l’´ l’equateur e´ quateur (6378.137 km) et R po le rayon de la terre au pˆ pole (voir figure 1.5 1.5). ). Sur l’ellipso¨ıde, ıde, la gravit´ gravite´ de r´ef´ ef´erence erence go pour un point de latitude g´eod´ eod´esique esique φ est (formule WGS-84) : gth (φ) = 9.7803253359
1 + 0.0019318526524 0.001931852652411 sin2 φ
− 1
2
(1.14)
0.0066943799901 0.006694379990144 sin φ
La valeur de la gravit´e ainsi obtenue est celle qui serait observ´ observ´ee ee au niveau de la mer sur une terre de forme sph´ero¨ ero¨ ıdale (approximant de pr` pres e` s sa forme r´ reelle) e´ elle) et dont la densit´ densite´ ne varie qu’en profondeur et non pas lat´ lateralement. e´ ralement. La diff erence e´ rence de 5186 mgals entre la valeur aux pˆ poles oˆ les et a` l’ equateur e´ quateur est caus´ causee e´ e par : 1. L’effet de la rotation de la terre : plus on approche du pˆole, plus l’acc´el´ eleration e´ ration centrifuge est faible, donc g est maximum (voir figure 1.6 1.6). ). 2. La diff erence e´ rence entre le rayon equatorial e´ quatorial et le rayon polaire, i.e. le rayon etant e´ tant plus petit au pˆole, ole, la gravit´e y est plus forte. Cet effet est cependant att´enu´ enu´e par la distribution de masse plus importante a` l’´equateur. equateur. La diff erence e´ rence de 5186 mgals se r´ repartie e´ partie environ 2/3 pour l’acc´ l’accel´ e´ leration e´ ration centrifuge et 1/3 pour l’aplatissement.
1.4 Densite´ des roches
Sphéroïde de référence
7
Sphéroïde de référence
Géoïde
Continent
Géoïde
Excès de masse
Océan
F IG . 1.7: Sph´ Sphero¨ e´ ro¨ıde ıde et g´ geo¨ e´ o¨ıde ıde
´ ¨ıde 1.3.2 Le geo¨ eo ıd e La formule de gth donn´ donnee e´ e pr´ prec´ e´ cedemment e´ demment suppose (1) que le niveau des oc ean e´ an est lisse et (2) que la densit´ densite´ ne varie qu’en profondeur. Or, il n’en est rien dans la nature. On sait que cette surface pr´ presente e´ sente des rehaussements et des d´ depression e´ pressionss de plusieurs dizaines de metres e` tres en cert certain ainss endr endroit oits, s, et que que la dens densit´ it´e peut peut vari varier er suiv suivan antt tout toutes es les les dire direct ctio ions ns.. Ceci Ceci nous nous am`ene alors a` d efinir e´ finir le concept de g´eo¨ eo¨ıde ıde que l’on l ’on definit e´ finit par la surface equipotentielle correspondant ´ a` la surface des oc´eans eans aux repos. repos. Sur les continents, continents, le geo¨ ´ ıde ıde correspond a` la surface d´efinie efinie par l’eau contenue dans un canal etroit e´ troit reliant les oc´ oceans e´ ans de part et d’autre du continent. Par eo¨ıde ıde est partout perpendiculaire `a la verticale telle qu’indiqu´ ee par le fil `a plomb. plomb. Le definition, e´ finition, le g´ geo¨ e´ o¨ıde ıde et le sph´ sphero¨ e´ ro¨ıde ıde ne co¨ co¨ıncident ıncident pas en tout point. Il existe des cartes de la hauteur de g´eo¨ eo¨ıde ıde par rapport au sph´ero¨ ero¨ıde. ıde. Les deux plus grandes grandes variations variations sont au sud de l’Inde (105m) et en Nouvelle-Guin´ee ee (+73m). Jusqu’ici, aucune interpr´etation etation reliant les lignes de contour du g´eo¨ eo¨ıde ıd e a` la surface du globe (fronti`eres oc´ean-continents, ean-continents, rides mid-oc´eaniques, etc) ne s’est av´er´ eree e´ e possible. On a emis e´ mis l’hypoth` l’hypothese e` se qu’elle pourrait etre eˆ tre expliqu´ expliquee e´ e par des h´ het´ e´ terog´ e´ rogen´ e´ neit´ e´ ites e´ s du manteau inf erieur. e´ rieur.
1.4 1.4
Den Densit site´ des roches
La densit´ densite´ des roches est fonction de la nature des min´ mineraux e´ raux les composants, et de la porosit´e. e. Les tableaux suivants donnent des valeurs de densit´e pour un grand nombre d’entre elles.
´ 1. Theorie
8
TAB . 1.1: Densit´ Densites e´ s des roches ign´ ignees e´ es (g/cm3 ) Type de roche Rhyolite vitreuse Obsidienne Vitrophyre Rhyolite Dacite Phonolite Trachyte And´esite Neph´ e´ ph´elineeline- Sy´enite Granite Granodiorite Porphyre Sy´ Sye´ nite Anorthosite
Intervalle 2.20-2.28 2.20-2.40 2.36-2.53 2.35-2.70 2.35-2.80 2.45-2.71 2.42-2.80 2.40-2.80 2.53-2.70 2.50-2.81 2.67-2.79 2.60-2.89 2.60-2.95 2.64-2.94
Moyenne 2.24 2.30 2.44 2.52 2.58 2.59 2.60 2.61 2.61 2.64 2.73 2.74 2.77 2.78
Type de roche Diorite quartzeuse Diorite La Laves Di Diabase Es Essexite No Norite Ba Basalte Ga Gabbro Hornblende- Gabbro Pe´ ridotite Pyroxe´ nite Igne´ es acides Igne´ es basique
Intervalle 2.62-2.96 2.72-2.99 2.80-3.00 2.50-3.20 2.69-3.14 2.70-3.24 2.70-3.30 2.70-3.50 2.98-3.18 2.78-3.37 2.93-3.34 2.30-3.11 2.09-3.17
Moyenne 2.79 2.85 2.90 2.91 2.91 2.92 2.99 3.03 3.08 3.15 3.17 2.61 2.79
TAB . 1.2: Densit Densit´es e´ s des roches m´ metamorphiques e´ tamorphiques (g/cm3 ) Type de roch oche Quartzite Schiste Grauwacke Granulite Phyllite Marbre Ardoise quartzique
Interv ervalle 2.50-2.70 2.39-2.90 2.60-2.70 2.52-2.73 2.68-2.80 2.60-2.90 2.63-2.91
Moyenne 2.90 2.64 2.65 2.65 2.74 2. 2.75 2.77
Type de roche Serpentine Ardoise Gneiss Schiste a` chlorite ite Amphibolite E´ clogite M´etamorphique
Interv ervalle 2.40-3.10 2.70-2.90 2.59-3.10 2.75-2.98 2.90-3.04 3.20-3.54 2.40-3.10
Moyenne 2.78 2.79 2.80 2.87 .87 2.96 3.37 2.74 .74
F IG . 1.8: Densit´es es moyennes moyennes d’´ d’echantillons e´ chantillons de surface et de carottes
1.4 Densite´ des roches
9
TAB . 1.3: Densit Densit´es e´ s des min´ mineraux e´ raux (g/cm3 ) Min´ Mine´ ral Cuivre Argent Or
Intervalle 15.6-16.4
Moyenne 8.7 10.5 -
Oxydes,carbonates -Limonite 3.5-4.0 -Sid´erite 3.7-3.9 -Rutile 4.18-4.3 -Manganite 4.2-4.4 -Chromite 4.3-4.6 -Illmenite 4.3-5.0 -Pyrolusite 4.7-5.0 -Magn´ -Magne´ tite 4.9-5.2 -Franklinite 5.0-5.22 -H´ematite 4.9-5.3 -Cuprite 5.7-6.15 -Cassit´erite 5.8-7.1 -Wolframite 7.1-7.5 -Uraninite 8.0-9.97
3.78 3.83 4.25 4.32 4.36 4.67 4.82 5.12 5.12 5.18 5.92 6.92 7.32 9.17
Mine´ ral Intervalle Sulphures,Arseniures e´ niures -S -Sphale´ rite 3.5-4.0 -Covellite -Malachite 3.9-4.03 -Charcopyrite 4.1-4.3 -Stannite 4.3-4.52 -Stibnite 4.5-4.6 -Pyrrhotine 4.5-4.8 -Molybde´ nite 4.4-4.8 -Marcassite 4.7-4.9 -Pyrite 4.9-5.2 -Bornite 4.9-5.4 -Mille´rite 5.3-5.65 -Charcocite 5.5-5.8 -Cobaltite 5.8-6.3 -Arse´ nopyrite 5.9-6.2 -Smaltite 6.4-6.6 -Bismuthinite 6.5-6.7 -Argentite 7.2-7.36 -Niccolite 7.3-7.67 -Gal` -Gale` ne 7.4-7.6 -Cinabre 8.0-8.2
Moyenne 3.75 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.65 4.7 4.85 5.0 5.1 5.4 5.65 6.1 6.1 6.5 6.57 7.25 7.5 7.5 8.1
TAB . 1.4: Densit´es es des min´eraux eraux non-m´etalliques etalliques et des min´ mineraux ´ divers (g/cm3 ) Type Neige P´etrole Glace Eau de mer Tourbe Asphalte Lignite Houille grasse Anthracite Brique Carnallite Soufre Craie Graphite Sel gemme
Intervalle 0.60-0.90 2.88-0.92 1.01-1.05 1.10-1.20 1.10-1.25 1.20-1.50 1.34-1.80 1.60-1.70 1.90-2.10 1.53-2.60 1.90-2.30 2.10-2.60
Moyenne 0.125 1.05 1.19 1.32 1.50 1.50 2.01 2.15 2.22
Type Gypse Bauxite Kaolinite Orthoclase Quartz Calcite talc Anhydrite Biotite Ma M agne´ site Fluorine E´ pidote Diamant Corindon Barite Zircon
Intervalle 2.20-2.60 2.30-2.55 2. 2 .20-2.63 2.50-2.60 2.50-2.70 2.60-2.70 2.70-2.80 2.90-3.00 2.70-3.20 2.90-3.12 3.01-3.25 3.25-3.50 3.90-4.10 4.30-4.70 4.00-4.90
Moyenne 2.35 2.45 2.53 2.65 2.71 2.93 2.92 3.03 3.14 3.52 4.0 4.47 4.57
´ 1. Theorie
10
TAB . 1.5: Densit´es es des mat´eriaux eriaux rocheux typiques (g/cm3 ) Roches Roches Ign´ Ignees e´ es Roche Nb echa e´ chan. n. Granite 155 Granodiorite 11 Sy´enite 24 Diorite 13 Norite 11 Gabbro 27 Diabase 40 Pe´ ridotite 3 Dunite 1 Pyrox´enite 8 Anorthosite 12
Inte Interv rval alle le 2.516-2.809 2.668-2.785 2.630-2.899 2.721-2.960 2.720-3.020 2.850-3.120 2.804-3.110 3.152-3.276 3.289 3.10-3.318 2.640-2.920
Valeurs tir´ees ees de : “Handbook of Pysical Constants”, edit´ e´ dite´ par Francis Birch, Geological Society of America, Special Paper 36, 1942.
´ ´ 2 Les donnees gravimetriques De fac¸on ¸on gen´ e´ neral e´ ralee en geophysique e´ ophysique appliqu appliquee, e´ e, on mesu mesure re la comp compos osan ante te verticale de l’acc l’acc´el´ e´ leration e´ ration ´ gravitationnelle, que l’on note g z . Etant donn´ee ee que l’on cherche a` mesurer une variation variation tres ` faible du champ, la mesure est d´elicate elicate a` r´ealiser ealiser et requiert egalement e´ galement une grande pr´ecision ecision lors du positionnement des stations de mesure.
2.1 2.1
´ erences ´ Corre Co rrect ctio ions ns et ref
Afin d’obtenir les variations du champ gravitationnel dues a` des causes g´eologiques, eologiques, il est necessaire e´ cessaire de corriger nos lectures de toutes les autres causes ext erieures e´ rieures pouvant les influencer (d´ (derive e´ rive de l’appareil, mar´ maree, e´ e, ellipticit´ ellipticite´ de la terr terre, e, . . .).
´ 2.1.1 2.1.1 Correc Correctio tion n de derive Par cette correction, on tente d’´ d’eliminer e´ liminer l’influence apport´ apportee e´ e sur les mesures par les mar ees e´ es (figure 2.1 2.1)) et la fatigue de l’instrument. Dans ce but, il est n´ecessaire ecessaire de suivre un certain cheminement entre les stations de lectures. Dans la pratique, on fait une s´erie erie de mesures en suivant un cheminement en boucle : la serie e´ rie d´ebute ebute habituellement en un point donn´ee ee et se termine a` ce mˆeme eme point (figure 2.2 2.2). ). Le point de d´epart epart de la boucle est normalement reli´e a` une station de base. En gen´ e´ neral, e´ ral, les mesures du d´ debut e´ but et de la fin a` la station de base ne sont pas semblables. erive, erive , est due en partie au gravimetre, Cette diff erence, e´ rence, appel ee e´ e d´ e` tre, en partie au maree e´ e lunaire. Les valeur valeurss mesur mesur´ees e´ es sont sont donc donc entr entrav av´ees e´ es d’err d’erreur eurss puisqu puisqu’un ’unee de leurs leurs compos composant antes es provi provient ent de la d´erive erive et ne refl`ete ete pas un changement dans la valeurs de g duˆ a` des h´et´ eterog´ e´ rog´en´ en´eit´ eit´es es du sous-sol. La correction est faite en supposant que la d´erive est est lin´ lineaire e´ aire dans le temps. Donc, si on est pass´ passe´ a` la station de base, aux temps t1 et t2 et que les valeurs mesur´ mesurees e´ es etaient e´ taient respectivement v1 et v2 , le taux de d´ derive e´ rive ∆d est d´ defini e´ fini par ∆d =
v2 t2
− v1 . − t1
( 2 .1 )
positive , c’est que les mesures ont et´ Lorsque la d´ derive e´ rive est positive, e´ te´ surestim´ surestimees, e´ es, il faut donc les dimiegative. egative . Inversement, dans le cas ou` la d´ egative, egative, nuer. La correction de d´ derive e´ rive sera n´ derive e´ rive est n´ 11
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
12
F IG . 2.1: Exemple de l’influence des mar´ marees e´ es sur la gravit´ gravite. e´ .
F IG . 2.2: Illustration d’une boucle de mesure simple. les mesures sont sous-estim´ sous-estim´ees ees et la correction devra etre eˆ tre positive. positive . Ainsi, toute valeur v prise au temps t (ou` t1 t t2 ) est corrig´ee ee par la formule suivante :
≤ ≤
vcor (t) = vlu (t)
− ∆d (t − t1 ).
Exemple
Stat Statio ion n 1 2 3 4 5 6 1
Lect Lectur uree 1032.1
1031.0
Temps emps 12h15 12h20 12h25 12h31 12h35 12h39 13h05
Le taux de d´ derive e´ rive est ∆d =
1031.0 13h 13h05
− 1032.1 = − 1.1 = −0.022 div./minutes. div./minutes. 12h15 50 − 12h
(2 . 2 )
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
13
Lecture 5 4 3 2 1 Stn1 Base
6 7
v2
8 9 10
m2
Dérive v1
e e c é n v e r r é e s f f i b . e l D o f f i l e D é r
m1
Stn2 Base
Temps t1
t2
F IG . 2.3: Exemple d’une boucle avec plusieurs r´ef´ eferences. e´ rences. Donc, pour la lecture de la station 4, prise 16 minutes apr`es e s la 1re lecture de la station 1, la correction est de : 16 ( 0.022) = 0.352 div. 0.4 div.
×−
−
−
Le principe demeure le mˆ meme eˆ me si au lieu de boucler sur la station de d´ depart, e´ part, la derni` derniere e` re ´ mesure se fait sur une autre station de base (figure 2.3 2.3). ). Evidemment, Evidemment, les stations stations initiales initiales et finales doivent auparavant avoir et´ e´ te´ reli´ees ees entre elles. Si lors de l’´etablissement des deux stations de bases on a trouv´e des valeurs egales e´ gales a` ce que la diff´erence erence entre les nouvelles valeurs observ´ees ees v1 et v2 soit semblable a` celle qui existe entre m1 et m1 , obtenus ant´ anterieurement e´ rieurement a` v1 et v2 . La d´ derive e´ rive est egale e´ gale a` derive e´ rive = diff´erence erence r´ reelle e´ elle = (m2 m1 ) (v2
−
erence observ´ee ee − diff´erence − − v 1 ).
( 2 .3 )
De la mˆ meme eˆ me mani` maniere e` re qu’auparavant, la formule de correction est
− m1 ) − (v2 − v1 ) × (t − t1 ) + (m1 − v1 ). ( 2 .4 ) t2 − t1 Notons le terme suppl´ementaire ementaire a` la fin de l’´equation, equation, m1 − v1 . Il a pour but de ramener les vcor (t) = vlu (t) +
( m2
valeurs a` un niveau de r ef e´ f erence e´ rence semblable pour chaque partie du lev e. e´ . Exemple
Soit la ligne de base suivante : Statio Station n BL1 BL2 BL3 BL4
lect lectur uree 1 0 3 0 .1 1 0 3 2 .0 1 0 3 1 .7 1 0 3 2 .4
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
14
et les mesures suivantes prises le lendemain : Stat Statio ion n BL1 BL2 BL3 BL4 ... BL10 BL2
Temps emps 8 h 50 8h53 8h56 9h00 ... 1 0h00 1 0 h 30
Lect Lectur uree 1 0 2 7 .9
1 0 2 8 .7
La d´erive erive est de 1.1 division (1032.0-1030.1-1028.7+1027.9), et le taux de correction est de 0.011 div./minute (1.1/1h40). La correction de niveau vaut 2.2 div. (1030.1-1027.9). Ainsi, pour la station BL1 (2` (2eme e` me journ´ journee) e´ e) : vcor = 1027.9 + 0.011
× 0 + 2.2 = 1030.1 ≡ m1
et pour la station BL2 (2`eme journ´ee) ee) : vcor = 1028.7 + 0.011
2.1.2 2.1.2
× 100 + 2.2 = 1032.0 ≡ m2
Correct Correction ion de latitude latitude
Cette correction tient compte des variations de g avec la latitude dues a` la rotation de la ` partir des mesures g eod´ terre et a` son aplatissement. A e´ odesiques e´ siques mondiales, on sait que la terre est un ellipso¨ ellipso¨ıde ıde de r´ revolution e´ volution presque parfait. Sur cette surface, le champ gravitationnel peut etre eˆ tre d´ decrit e´ crit par l’´ l’equation e´ quation suivante (WGS-84) : gth (φ) = 9.7803253359
1 + 0.0019318526524 0.001931852652411 sin2 φ
− 1
2
(2.5)
0.0066943799901 0.006694379990144 sin φ
ou` gth (φ) est la valeur du champ au point de latitude g´eod´ eod´esique esique φ. La correction ∆ L pour un deplacement e´ placement l suivant un m´ meridien e´ ridien est donc ∆L =
∂ gth l, ∂l
·
(2 . 6 )
avec dl = R(φ)dφ
≈ R e d φ,
(2 . 7 )
ou` Re est le rayon equatorial e´ quatorial de la terre (6378.136 km). Finalement, si l est en m` metres, e` tres, on peut simplifier l’expression a` ∆L
sin2φ ≈ 8.1669 × 10−4 · l · sin2φ
[mgal] : (N
→ S)
(2.8)
Notez que la latitude g´ geod´ e´ odesique e´ sique se distingue de la latitude g´ geocentrique. e´ ocentrique. La seconde est l’angle entre la direction du centre de la terre vers le point consid er´ e´ re´ en surface et le plan
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
15
N -0.030 mgal 25 m -0.015 mgal 0 (48°44'N) 0.015 mgal 0.030 mgal
F IG . 2.4: equatorial. e´ quatorial. La premi` premiere, e` re, qui est la plus courantes sur les cartes, est l’angle entre la normale a` l’ellipso¨ l’ellipso¨ıde ıde de r´ ref e´ f erence e´ rence et le plan equatorial. e´ quatorial. On montre en annexe B la relation entre ces deux latitudes. L’equation e´ quation est lin´eaire eaire (i.e. φ = cte) sur une distance d’environ 1.5 km. Puisque gth est plus elev´ e´ lev´ee e e aux pˆoles oles qu’`a l’´equateur, equateur, il faut additionner ∆ L (correction positive) pour un deplacement e´ placement vers l’´equateur. equateur. Notez que pour obtenir une pr´ecision ecision acceptable, on doit chercher a` positionner les diff erentes e´ rentes stations avec une pr´ precision e´ cision d’une dizaine de m` metres e` tres (par exemple a` partir de photos-a´eriennes). eriennes). Pour une pr´ecision ecision recherch´ee ee de 0.01 mgal, il faut connaˆ connaˆıtre ıtre a` environ 10 m la distance entre deux stations s´ separ´ e´ parees e´ es de 100 m si φ =45˚. Il est a` noter que les corrections sont positives lorsque les stations se localisent au sud de la ligne de r´ef´ ef´erence erence et n´egative egative pour celles se situant au nord. Aucune correction de latitude n’est apport´ee ee pour un cheminement est-ouest.
±
Dans un lev´e local, les corrections ne sont pas calcul´ees ees pour chacune des stations a` partir de la formule g´ gen´ e´ nerale, e´ rale, mais sont plutˆ plutot ˆ determin´ e´ terminees e´ es a` partir d’une grille proprement gradu´ graduee. e´ e. Par exemple, supposons qu’un lev e´ de gravim´ gravimetrie e´ trie a et´ e´ te´ effectu´ effectue´ autour de la latitude g´eod´ eod´esique esique 48˚44’N. L’´echelle echelle des cartes de travail est de 1 : 2000 (20m/cm) (20m/cm) et nos stations de mesure sont espac´ees ees de 25 m. On a φ =48˚44’, 48˚44’, ce qui donne en decimales ´ 48.7333˚. On trouve alors la correction de latitude correspondante, soit : ∆ L = 8.1669
× 10−4 sin(2φ)l = 6.14 × 10−4 l mgal (N → S) →
Ainsi, chaque d´ deplacement e´ placement de 1.25 cm du nord vers le sud (N S) sur la carte carte au 1 : 2000 entraˆınera ınera une correction de 0.015 mgal (0.000614 25). La grille peut donc etre eˆ tre gradu´ee ee en multi multipl ples es de 0.015 0.015,, la corr correc ectio tion n z´ero ero etant e´ tant affec affect´ t´ee e e aux aux stat station ionss se trou trouva vant nt a` la latit latitud udee 48˚4 48˚44’ 4’N N (voir figure 2.4 2.4). ).
×
2.1.3 2.1.3 Correct Correction ion d’altitu d’altitude de Afin de pouvoir interpr´eter eter les donn´ees ees en fonction du sous-sol, celles-c¸i doivent etre ˆ rattach´ tachees e´ es a` une r´ ref e´ f erence e´ rence equipotentielle e´ quipotentielle unique pour le lev e. e´ . Or, les lectures d’un leve´ gravim´ vimetrique e´ trique ne sont pas forc´ forcement e´ ment prises au-dessus d’un terrain plat. Ainsi, plus on se rapproche du niveau de r ef e´ f erence, e´ rence, plus g augmente car on se rapproche du centre de la terre. Les
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
16
mesures obtenues pr´esentent esentent donc des variations qui ne sont dues qu’`a la position de la station de mesure et non pas a` des h´ het´ e´ terog´ e´ rogen´ e´ neit´ e´ ites e´ s du sous-sol. Il faut donc corriger les mesures. On sait que Gm , (2 . 9 ) r2 ou` r est lerayon lerayon dela ter terre au nive niveau au der ef´ e´ f´eren e rence ce.. Si on se d´eplace eplace d’une d’une hauteu hauteurr h par rapport rapport a` ce niveau de r´ ref e´ f erence, e´ rence, alors gr =
gh = Puisque l’on a r
Gm Gm . = (r + h )2 r 2 (1 + 2 ( h / r ) + ( h / r ) 2 )
(2 . 1 0 )
h, alors gh =
Gm (1
− 2h/r) = gr − 2hgr /r
r2
(2.11)
et donc gh
− gr = −2hgr /r.
(2 . 1 2 )
En prenant r comme rayon moyen de la terre, la correction correction d’altitude d’altitude (aussi nomm´ nommee ´ correction d’air libre) est donn´ donnee e´ e par (h (h en m etres, e` tres, positif vers le haut) ∆h = 0.3086 h mgal ; (h
>
0)
(2.13)
Donc ∆h est positif si on est au-dessus du r´ ref e´ f erentiel e´ rentiel et n´ negatif e´ gatif si on est en-dessous. Pour une pr´ecision ecision d’environ 0.01 mgal, il faut connaˆıtre ıtre a` 3 cm la hauteur de la station par rapport au r´ef´ ef´erentiel. erentiel.
±
2.1.4 2.1.4
Correct Correction ion de plateau plateau
La correction de plateau vise a` tenir compte de la masse comprise entre le r´ef´ ef´erentiel erentiel et la station de mesure. On consid` considere e` re que cette masse peut etre eˆ tre approxim´ approximee e´ e par une tranche horizontale homog` homogene e` ne et d’extension infinie. Dans bien des cas, cette approximation n’est pas juste, et il faudra apporter une correction suppl´ supplementaire, e´ mentaire, dite correction de terrain. Pour une tranche de hauteur h, l’attraction est donn´ee ee par ∆ p = 2π G ρB h
(2.14)
ou` G = constante universelle de la gravitation et ρB est la densit´e pr´esum´ esum´ee ee de la masse de 3 la tranche ( ρ ( ρ B = 2.67 g/cm en moyenne). Comme ∆ p augmente lorsque h augmente, il faut soustraire ∆ p lorsque h > 0 et donc : ∆ p =
0.04191 ρB h mgal ; (h −0.04191 ρ
>
0) ,
(2 . 1 5 )
ou` ρB est en g/cm3 et h en metres. e` tres. Comme pour la correction d’altitude, il faut connaˆ connaˆıtre ıtre pr´ precis´ e´ cisement e´ ment l’´ l’el´ e´ levation e´ vation du gravim` gravimetre e` tre a` chaque station (h (h = 10 cm si la pr´ precision e´ cision recherch´ recherchee e´ e est de 0.01 mgal).
±
±
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
z
17
station P
manquant
en trop
h
tranche de Bouguer référence
F IG . 2.5: Tranche de Bouguer et correction de relief. Si la mesure gravim´etrique etrique est faite sous terre (dans une mine ou un tunnel), la tranche fictive ajout´ee ee entre la station de r´ef´ eference e´ rence (` (a` z1 ) et la station souterraine souterraine (`a z2 , plus bas que z1 ) exerce une attraction vers le bas a` z1 et vers le haut a` z2 . La correction est doubl´ doublee, e´ e, et devient 4π G ρ( z2 z1 ).
−
De fac¸on ¸on courante, courante, on combine combine la correction correction d’altitude et la correction correction de plateau plateau pour obtenir ce que l’on appelle alors la correction correction de Bouguer (attention, ceci n’est pas l’anomalie de Bouguer) : ∆hB = (0.3086
0.04191 ρB )h mgal ; (h − 0.04191 ρ
>
0) .
(2.16)
Si l’on choisit ρB = 2.67 g/cm3 , on obtient 0.1966h mgal ; (h ∆hB = 0.1966h
>
0) .
(2.17)
2.1.5 2.1.5 Correct Correction ion de relief relief Lors Lors de la corr correc ecti tion on de Boug Bougue uerr, on enl` enl`eve e ve l’att l’attra ract ctio ion n d’un d’unee tran tranch chee de terr terrain ain d’´epaisseur h. Si les variations topographiques sont telles qu’on ne peut approximer le terrain par une tranch tranchee unifor uniforme, me, il faut faut int´ integrer e´ grer num´ numeriq e´ rique ueme ment nt d’un d’unee part part les les part partie iess qui qui depasse e´ passent nt et d’autr d’autree part les parties qui manquent a` la tranche de Bouguer. Au point P (voir figure 2.5), 2.5), la gravit´e verticale caus´ee ee par un morceau de volume V , en trop ou manquant, est donn´ee ee par ∆ gt = G ∆ ρ
V
zo
(xo2 + y2o + z2o )
3/2
dv. dv.
(2.18)
Pour les morceaux en trop, zo et ∆ ρ sont positifs et pour les morceaux manquant, zo et ∆ ρ positive . Par exemple, consid´ sont n´ negatifs. e´ gatifs. Ainsi, la correction de relief est toujours positive. considerons e´ rons un volume de roche au dessus de la station. Ce volume g´ gen` e´ nere e` re une attraction vers le haut, de sens contraire a` l’attraction terrestre. Il a donc pour effet de r´eduire eduire g et il faut additionner le terme de correction pour eliminer e´ liminer son effet. En g´en´ en´eral, eral, l’int´egration egration se fait num´eriquement eriquement au moyen d’un ordinateur, en utilisant des cartes topographiques num´ numeris´ e´ risees. e´ es. Pour simplifier les calculs, on peut discr´ discretiser e´ tiser le terrain en cylindres creux concentriques, ces mˆ memes eˆ mes cylindres eux-mˆ eux-memes eˆ mes scind´ scindes e´ s en morceaux dont les sommets sont ajust´ ajustes e´ s a` la topographie moyenne (voir figure 2.6 2.6). ).
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
18
Topo Station
hi
h
Référence r2
r1
F IG . 2.6: D´efinition efinition du cylindre creux utilis´e pour accomplir la correction de relief. L’expression donnant l’attraction gravitationnelle g, sur l’axe d’un morceau de cylindre creux et d’´ d’epaisseur e´ paisseur r2 r1 est la suivante
−
2π G ρ ∆ti = r2 N
− r1 +
− − − r12
2
hi
r22
2
hi
(2.19)
ou` ∆ti est l’attraction du ie secteurs du cylindre, hi la hauteur du morceau de cylindre par rapport a` la station, ρ la densit´ densite´ du cylindre et N le nombre de secteurs par lequel le cylindre a et´ e´ te´ divis´e. e. La correction totale pour le cylindre entier est : N
∆T =
∑ ∆ti .
(2 . 2 0 )
Par ailleurs, au lieu d’utiliser la formule donn´ donnee e´ e pr´ prec´ e´ cedemment, e´ demment, il est possible d’utiliser un reticule e´ ticule (voir figure 2.7 2.7)) que l’on supperpose aux cartes topographiques et des tables pr´ prepar´ e´ parees e´ es par Hammer (et compl´ complet´ e´ tees e´ es par Bible). Ces tableaux (2.1 (2.1 et 2.2 2.2)) nous donnent, pour diff erentes e´ rentes valeurs de h, les corrections en mgal qu’il nous faut apporter pour chacun des secteurs du reticule. e´ ticule. Les diff´erentes erentes etapes e´ tapes a` ex´ecuter ecuter pour effectuer la correction sont : 1. Localiser Localiser la station a` corriger sur une carte topographique assez pr´ precise. e´ cise. 2. Centrer Centrer le reticule e´ ticule sur ce point. 3. D´eterminer eterminer l’´ l’el´ e´ l´evation evation moyenne de chacun des secteurs de l’abaque. 4. Prendre la diff´erence erence positive ou n´egative egative entre l’´el´ elevation e´ vation de la station consid´er´ee ee et chacun des secteurs. 5. Pour Pour chacun chacun des secteu secteurs, rs, a` l’aid l’aidee de la table table de Hamm Hammer er,, calcu calcule lerr la corr correc ectio tion n a` apport apporter er (la correction est toujours positive).
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
19
TAB . 2.1: Tables Tables de Hammer pour la correction correction de relief relief ; densit´e : ρ = 2 g/cm3 ; Zones B a` H ; Correction : ∑ ti 0.01 mgal
∗
Zone Secteurs Rayon
B 4 2 a` 16.5 m h en m 0.0 a` 0.3
C 6 16.6 a` 53.3 m h en m 0.0 a` 1.3
D 6 53.3 a` 170.1 m h en m 0.0 a` 2.4
E 8 170.1 a` 390 m h en m 0.0 a` 5.5
±
F 8 390 a` 895 m h en m 0.0 a` 8.2
G 12 895 a` 152 9 m h en m 0.0 a` 17.6
H 12 1529 a` 2615 m h en m 0.0 a` 22.9
ti 0
±
±
±
±
±
±
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.3 a` 0.6 0.6 a` 0.8 0.8 a` 0.9 0.9 a` 1.0 1.0 a` 1.1
1.3 a` 2.3 2.3 a` 3.0 3.0 a` 3.5 3.5 a` 4.0 4.0 a` 4.4
2.4 a` 4.1 4.1 a` 5.3 5.3 a` 6.3 6.3 a` 7.1 7.1 a` 7.8
5.5 a` 9.1 9.1 a` 12.0 12.0 a` 14.3 14.3 a` 16.2 16.2 a` 17.7
8.2 a` 14.0 14.0 a` 18. 18.3 18.3 a` 21. 21.6 21.6 a` 24. 24.4 24.4 a` 27. 27.0
17.6 a` 30.5 30.5 30.5 30.5 a` 39.3 39.3 39.3 39.3 a` 46.6 46.6 46.6 46.6 a` 52.7 52.7 52.7 52.7 a` 58.0 58.0
22. 22.9 a` 40.0 40. 40.0 a` 51.5 51. 51.5 a` 61.0 61. 61.0 a` 68.9 68. 68.9 a` 76.0
1 2 3 4 5
1.1 a` 2.0 2.0 a` 2.7 2.7 a` 3.5 3.5 a` 4.2 4.2 a` 5.0
4.4 a` 7.3 7.3 a` 9.8 9.8 a` 11.9 11.9 a` 13.8 13.8 13.8 a` 15.6 15.6
7.8 a` 13.1 13.1 a` 17.0 17.0 a` 20.2 20.2 20.2 a` 23.1 23.1 23.1 a` 25.7
17.7 a` 29.6 29.6 a` 38.3 38.3 a` 45.4 45.4 a` 51.8 51.8 a` 57.6
27.0 a` 45. 45.0 45.0 a` 58. 58.0 58.0 a` 68.0 68.0 a` 77.0 77.0 a` 86.0
58.0 58.0 a` 97.0 97.0 97.0 97.0 a` 125. 125 a` 148 148 a` 158 158 a` 186
76. 76.0 a` 126 126. a` 163 163 a` 193 193 a` 219 219 a` 242
6 7 8 9 10
5.0 a` 5.7 5.7 a` 6.5 6.5 a` 7.3 7.3 a` 8.2 8.2 a` 9.1
15.6 a` 17.4 17.4 17.4 a` 19.1 19.1 19.1 a` 20.8 20.8 20.8 a` 22.6 22.6 22.6 a` 24.4 24.4
25.7 25.7 a` 28.1 28.1 28.1 a` 30.4 30.4 30.4 a` 32.6 32.6 32.6 a` 34.7 34.7 34.7 a` 36.7
57.6 a` 62.9 62.9 a` 67.8 67.8 a` 72.4 72.4 a` 76.8 76.8 a` 81.1
86.0 a` 94.0 94.0 a` 101 101 a` 108 108 a` 114 114 a` 120
186 a` 202 202 a` 213 213 a` 233 233 a` 247 247 a` 260
242 a` 263 263 a` 283 283 a` 302 302 a` 320 320 a` 337
11 12 13 14 15
... ... ... ... ...
24.4 a` 26.1 26.1 26.1 a` 27.9 27.9 27.9 a` 29.7 29.7 29.7 a` 31.6 31.6 31.6 a` 33.5 33.5
36.7 36.7 a` 38.7 38.7 38.7 a` 40.6 40.6 40.6 a` 42.6 42.6 42.6 a` 44.5 44.5 44.5 a` 46. 46.4
81.1 a` 85.3 85.3 a` 89.3 89.3 a` 93.2 93.2 a` 97.0 97. 97.0 a` 100.8
120 a` 126 126 a` 131 131 a` 137 137 a` 142 142 a` 147
260 a` 272 272 a` 284 284 a` 296 296 a` 308 308 a` 319
337 a` 353 353 a` 368 368 a` 383 383 a` 397 397 a` 411
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
20
F IG . 2.7: Exemple de r´eticule eticule de Hammer. TAB . 2.2: Tables Tables de Hammer Hammer (suite) ; Zones I a` M. Zones Secteur Rayon ti 0
I 12 2615 a` 4470 m h en m 0 a` 30.2
±
J 16 4470 a` 6650 m h en m 0 a` 51
K 16 6650 a` 9900 m h en m 0 a` 62
L 16 9900 a` 14750 m h en m 0 a` 76
M 16 14750 a` 21950 m h en m 0 a` 93
±
±
±
±
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
30.2 a` 52.1 52.1 a` 67.1 67.1 a` 79.6 79.6 a` 90.2 90.2 a` 100
51 a` 88 88 a` 114 114 a` 135 135 a` 153 153 a` 169
62 a` 108 108 a` 139 139 a` 165 165 a` 187 187 a` 206
76 a` 131 131 a` 170 170 a` 201 201 a` 228 228 a` 252
93 a` 160 160 a` 207 207 a` 245 245 a` 278 278 a` 307
1 2 3 4 5
100 a` 164 164 a` 213 213 a` 253 253 a` 287 287 a` 317
169 a` 280 280 a` 361 361 a` 427 427 a` 485 485 a` 537
206 a` 341 341 a` 441 441 a` 521 521 a` 591 591 a` 654
252 a` 416 416 a` 537 537 a` 636 636 a` 721 721 a` 797
307 a` 507 507 a` 655 655 a` 776 776 a` 880 880 a` 978
6 7 8 9 10
317 a` 344 344 a` 369 369 a` 393 393 a` 416 416 a` 438
537 a` 584 584 a` 628 628 a` 669 669 a` 708 708 a` 745
654 a` 711 711 a` 764 764 a` 814 814 a` 861 861 a` 906
797 a` 867 867 a` 932 932 a` 993 993 a` 1050 050 1050 a` 1104 1104
973 a` 1058 1058 a` 1136 1136 a` 1210 1210 a` 1280 1280 1280 a` 1346
11 12 13 14 15
438 a` 459 459 a` 479 479 a` 498 498 a` 516 516 a` 534
745 a` 780 780 a` 813 813 a` 845 845 a` 877 877 a` 908
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
21
6. Additionner Additionner la contribution contribution de chacun des secteurs et convertir convertir a` la densit´e moyenne utilis´ utilisee e´ e pour pour le lev leve´ (car (car les les tabl tables es ont ont et´ e´ te´ calcul calcul´ees e´ es en supp suppos osan antt une une dens densit it´ede2g/cm e´ de2g/cm 3 ). Si l’on doit adopter une autre valeur ρ’, la correction evalu´ e´ valu´ee ee d’apr`es es les tables doit etre eˆ tre multipli´ee par ρ’/2. Exemple de correction de relief
Un r´eticule eticule de Hammer a et´ e´ t´e superpos´e a` la carte topographique (figure 2.8 2.8)) et l’altitude moyenne de chacun des secteurs a et´ e´ te´ not´ee e e dans le r´eticule. eticule. La table de Hammer a alors et´ e´ te´ utilis´ utilisee e´ e afin de calculer les corrections de terrain en centi eme e` me de milligal. En additionnant les corrections de chacun des secteurs (voir tableau 2.8 2.8), ), on obtient une correction totale de 0.032 mgal pour les zones B et C. Il est evident e´ vident que l’on ne peut songer a` utiliser la mˆeme eme carte topographique pour evaluer e´ valuer les altitud altitudes es moyenne moyenness des zones B et M ; a` l’´echelle echelle 1 : 1000, une distance de 2 m`etres est repr´esent´ esent´ee ee par 2 mm alors qu’une distance de 22 km conduirait a` un abaque de 22 m de rayon rayon ; au 1 : 100,000, 100, 000, ces ces mˆ memes eˆ mes longueurs deviennent respectivement 0.02 mm et 22 cm. La premi` premiere e` re echelle e´ chelle convient pour evaluer e´ valuer l’influence des zones centrales, alors que la seconde n’est utilisable que pour les zones eloign´ e´ loignees. e´ es. Il sera donc n´ necessaire, e´ cessaire, dans tous les cas o` ou` l’on calculera compl`etement etement la correction de relief, de la scinder en plusieurs parties. ´ erence ´ Choix du niveau de r ´ r ef ´ ef
Jusqu’`a pr´esent, esent, nous avons admis que la surface de r´ef´erence erence est le g´eo¨ eo¨ıde ıde (cote 0). En r´ealit´ ealit´e, e, pour r´eduire eduire le caract`ere ere imparfait de la correction de Bouguer, on sera souvent amen´e a` donner a` la surface de r´ef´ ef´erence erence la cote zo de la station la plus basse de l’´etude. D`es es lors, l’´ l’epaisseur e´ paisseur des tranches de terrain int´ interess´ e´ ressees e´ es par la correction de Bouguer sera r´ reduite e´ duite de la quantit´e zo , et le rayon a` donner a` la zone ext´erieure erieure pour effectuer les corrections de terrain se trouvera egalement e´ galement diminu´ diminue. e´ . Ce proc´ proced´ e´ de´ est d’ailleurs plus justifi´ justifie, e´ , pour une prospection d’´ d’etendue e´ tendue limit´ limitee, e´ e, que celui consistant a` adopter syst´ematiquement ematiquement le g´eo¨ eo¨ıde ıde comme surface de r´ef´ ef´erence. erence. ´ ´ Consid erations pratiques
Nous avons vu que l’influence des d´efauts efauts et des exc`es es de masse etait e´ tait de mˆeme e me sens; il convient, en cons´equence, equence, de traiter de mani`ere ere particuli`ere ere les compartiments du r´eticule eticule pr´ presentant e´ sentant a` la fois des altitudes plus elev´ e´ levees e´ es et plus faibles que celle de la station. Le plus souvent, il sera possible d’´ d’eviter e´ viter une telle disposition par une rotation appropriee e´ e du r´ reticule e´ ticule (bien entendu, ce dernier doit conserver le m eme eˆ me azimut pour tout le calcul relatif ` relatif a` une mˆ meme eˆ me zone), conduisant par exemple a` placer la courbe de niveau de cote Z le long d’un rayon vecteur. Si la chose est impossible, on devra (pour chaque compartiment pr´esentant esentant cette particularit´e) d´eterminer eterminer s´epar´ epar´ement ement l’altitude moyenne des terrains de cote sup´erieure erieure a` z et celle des terrains de cote inf erieure, e´ rieure, puis calculer calculer la moyenne moyenne des deux valeurs absolues absolues des diff erences e´ rences avec z, pond´ ponder´ e´ ree e´ e en fonction des surfaces occup´ occupees e´ es dans chaque cas. Remarques : Le calcul de la correction d’une station est assez long et peut prendre entre
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
22
Zone B C
Secteurs 0.3 / 1.0 / 0.2 / 0.3 0.1 / 0.5 0.5 / 0.3 / 0.1 / 0.3 / 0.1
Total 1 .8 1 .4
F IG . 2.8: Exemple d’utilisation du r´ reticule e´ ticule de Hammer
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
Zones h en m`etres etres
D 13
±
23
E 30
±
F 45
±
G 97
±
±
H 126
±
I 164
±
J 280
±
K 341
´ evations TAB . 2.3: El´ El e´ vations d’influence n´egligeable, egligeable, par zone du r´eticule eticule de Hammer 30 minutes et une heure heure dependant e´ pendant de la topographie. Ce temps peut etre eˆ tre r´eduit eduit a` 15 minutes grˆ grace aˆ ce aux remarques qui suivent : 1. De faib faible less irr irregularit´ e´ gularites e´ s dans dans la topo topogr grap aphi hiee n’on n’ontt que que peu peu d’ef d’effe fett sur sur la grav gravit it´e´ et peuv peuven entt etre eˆ tre n´eglig´ eglig´ees. ees. (Moins de 1/20 de la distance a` la station, par exemple moins de 0.1 m d’´ d’el´ e´ levation e´ vation a` l’int´erieur erieur d’un rayon de 2 m autour de la station). 2. Afin de simplifier les corrections corrections de terrain, l’emplacem l’emplacement ent des diff erentes e´ rentes stations doit etre eˆ tre judicieux : eviter e´ viter les ravins, les pieds de montagne, etc, car ce sont les d´ denivellations e´ nivellations les plus pr` pres e` s de la station qui ont le plus d’influence. Le tableau 2.3 resume, e´ sume, pour les diff´erentes erentes zones, les el´ e´ levations e´ vations de la topographie qui entraˆ traˆınent ınent une correction inf erieure e´ rieure a` 0.01 mgal lorsque la densit´ densite´ du terrain vaut 2 g/cm3 :
2.1.6
´ Methode de Nettleton
Pour la correction de Bouguer, il est important d’essayer de d´efinir efinir la densit´e ρB avec une 3 pr´ecision ecision de 0.1 g/cm . En ce qui concerne la correction de relief, le rˆole jou´e par ρB est moins consid´erable. erable. En effet, on observe rarement une diff´erence erence d’un milligal entre stations voisine siness ; une une vari variat atio ion n de 0.2 0.2 sur sur la dens densit´ it´e n’intro n’introdui duira ra dans dans ces conditi conditions ons qu’un qu’un ecart eca ´ rt de l’ordr l’ordree de 0.10 0.10 mgal mgal sur sur une une vale valeur ur qui qui n’es n’estt souv souven entt definie e´ finie qu’ave qu’avecc une moi moins ns bonne bonne appro approxim ximatio ation. n. La densit´ densite´ ρ B peut etre eˆ tre d´ determin´ e´ terminee e´ e a` partir d’´ d’echantillons e´ chantillons pr´ prelev´ e´ leves e´ s sur le terrain et repr ee´ sentatifs sentatifs de la geologie, e´ ologie, pour lesquels une mesure est faite en laboratoire. Elle peut egalement e´ galement etre eˆ tre d´etermin´ etermin´ee ee a` partir des donn´ees ees gravim´etriques etriques mˆeme. eme. Une fois la correction correction d’altitude d’altitude appliqu´ee, ee, l’anoma l’anomalie lie offr offree une corr´ corr´elatio elation n tr`es e s fort fortee avec avec la topo topogr grap aphi hiee du terr terrain ain.. La m´ethode ethode de Nettleton Nettleton consiste donc a` repr´esenter, esenter, sur une mˆeme eme figure, un profil topographique et les profils de l’anomalie de Bouguer qui lui correspondent, calcul´ calcules e´ s pour plusieurs densit´ densites e´ s (voir figure 2.9 pour un exemple). On choisit une r egion e´ gion au relief assez accident´ accidente´ pour que le role ˆ de la correction d’altitude soit d´ determinant e´ terminant vis-` vis-a-vis a` -vis de la forme des profils de gravit´ gravite. e´ . Parmi ceux-ci, une partie refl´etera etera assez fid`element element les irr´egularit´ egularit´es topographiques (groupe des densit´es es de 2.4 a` 2.8) et une autre donnera une image invers´ee ee du relief (groupe des densit´es es de 1.8 a` 2.2). Dans les deux cas, il existera une certaine corr´elation elation entre les formes formes topographiq topographiques ues et gravim´ gravimetriques e´ triques ; le profil profil le plus satisfaisant satisfaisant sera evidemment e´ videmment celui qui se situera entre les deux groupes pr´ prec´ e´ cedemment e´ demment d´ definis, e´ finis, et pour lequel, visiblement, la corr´ correlation e´ lation entre le relief et l’anomalie de Bouguer sera la moins nette. Un certain nombre de profils de ce genre, judicieusemen dicieusementt distribu´ distribu´es es sur toute l’´etendue etendue prospect´ee, ee, conduiront a` diff´erentes erentes valeurs de densit´e. e. Si ces valeurs ne sont pas trop dispers´ees, ees, leur moyenne pourra etre eˆ tre retenue comme caract´erisant erisant au mieux la r´egion, egion, et les corrections d’altitude et de relief seront calcul´ees ees en utilisant cette valeur. L’emploi de cette m´ methode e´ thode repose sur une hypothese e` se rarement rencontr´ rencontree e´ e dans la nature, en tout cas inv´ inverifiable e´ rifiable : d´ definir e´ finir comme le plus probable le profil gravim´ gravimetrique e´ trique refl´ refletant e´ tant le
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
24
1.8 1.9 2.0 2.1 2.8
2.2 2.3 2.4
1.8
2.5 2.6 2.7 2.8
F IG . 2.9: Exemple Exemple d’application d’application de la methode ´ de Nettleton
´ e´ rences 2.1 Corrections et r ef
25
moins l’allure de la topographie, c’est admettre implicitement qu’il n’y a pas a` l’aplomb de ce profil d’anomalies d’origine g´ geologique e´ ologique dont la forme soit en relation avec le relief. Il y a donc lieu de pr´eciser eciser dans quel cas cette m´ethode offre le plus de chances de conduire a` un r´esultat esultat convenable. convenable. Ce sera evidemment evide ´ mment lorsque les conditions conditions geologiques ´ permettent d’affirmer qu’il ne peut exister aucune relation entre la forme du relief et celle des couches profondes. Un tr`es es bon exemple de r´ealisation ealisation d’une telle condition est fourni par les dunes de sable dont le relief, d’ailleurs variable, est d´ determin´ e´ termine´ avant tout par l’orientation et le r´ regime e´ gime des vents. Ou encore, si le relief est assez accident´ accidente´ pour que l’on observe un creux relatif au voisinage du sommet d’une colline ou une ondulation au centre d’une colline ou une ondulation au centre d’une vall´ee, ee, il est assez probable que de tels mouvements secondaires, r´esultant esultant en g´en´ en´eral eral de l’action de l’´erosion, n’ont pas une origine g´eologique eologique profonde. Le profil gravim´etrique etrique le plus probable sera donc celui qui “effacera” le mieux de tels mouvements, mˆ meme eˆ me si son dessin doit offrir une certaine parent e´ avec la forme g´ gen´ e´ nerale e´ rale du relief.
2.1.7 2.1.7 Anom Anomalie alie Bougu Bouguer er L’anomalie de Bouguer constitue la r´ reponse e´ ponse gravim´ gravimetrique e´ trique caus´ causee e´ e par les h´ het´ e´ terog´ e´ rogen´ e´ neit´ e´ ites e´ s de densit´e du sous-sol. L’interpr´etation etation se fait donc a` partir de celle-ci. celle-ci. Elle est donn´ donnee ´ par ∆ gB = ∆ gobserv´ observee e´e
± les 5 corrections
ou` les corrections sont : 1. Correctio Correction n de d´erive erive de l’appareil et des mar´ees; e es; 2. Correctio Correction n de latitude latitude ∆L = 8.1669
sin2φ mgal; × 10−4 sin2φ
3. Correctio Correction n d’altitude d’altitude ∆h = 0.3086 h mgal 4. Correctio Correction n de plateau plateau ∆ B = 5. Correctio Correction n de terrain terrain ∆T
−0.04191 ρ 0.04191 ρB h mgal
et o u` h est en m` metres e` tres et positif si la station est au-dessus du r´ ref e´ f erentiel e´ rentiel et n´ negatif e´ gatif dessous, et ∆ gobserv´ observee e´e = gobserv ee e´e
− gre f .
Remarque :
Le gravim` gravimetre e` tre ne donne pas une valeur absolue de g, mais bien une valeur relative. ∆ gB = gobserv´ observee e´e
± ∆ g − gre f
(2.21)
Si pour un niveau z de r´ef´ ef´erence, erence, gobserv´ e´ te´ rendue comparable a` gre f calcul´ee ee observee e´e en x, y et z a et´ sur l’ellipso¨ l’ellipso¨ıde ıde de r´ ref e´ f erence e´ rence en ( x, y, grace aˆ ce aux corrections. On en conclut donc que y, z = 0) grˆ gobserv ee e´ te´ r eduite e´ duite au niveau de l’ellipso¨ l’ellipso¨ıde. ıde. e´e a et´ C’est inexact. inexact .
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
26
N ligne 15N Stn : 10N-05W
ligne 10N ligne 05N
Stn : 00-00 ligne 00 ligne 05S ligne 10S Stn : 15S-10E ligne 15S E
F IG . 2.10: Exemple de num´erotation erotation des stations En fait, il faudrait plutˆot ecrire e´ crire ∆ gB = gobserv´ ´ observee
− ( gre f ± ∆ g)
(2.22)
y, z), on peut faire correspondre un point ( x, y, y, 0) sur l’ellipso¨ Au point ( x, y, l’ellipso¨ıde ıde ou` la gravit´ gravite´ y, z) et ( x, y, y, 0) ne normale vaut gre f . En effet, gobserv ee e´e et gre f ne sont pas comparables car ( x, y, sont pas a` la mˆeme eme altitude ni affect´es es du mˆeme eme relief. On fait donc subir a` gre f les corrections necessaire e´ cessairess pour l’emmener l’emmener dans la position position desir´ ´ ee ee et nous permettre de disposer d’une valeur th´eorique eorique convenable de g en ( x, y, y, z). L’anomalie de Bouguer est donc attach´ee au point ( x, y, y, z) et non pas au point ( x, y, y, 0) comme on tend a` le croire.
2.2 2.2. 2.2.1 1
´ Leve´ gravimetrique ´ Num Nu merotation des stations
Suivant le genre de lev e, e´ , le num´ numerotation e´ rotation des stations pose plus ou moins de difficult´ difficultes. e´ s. Dans un lev´ leve´ local, le long de traverses bien d´ definies, e´ finies, les points de mesure portent habituellement le num´ numero e´ ro de la traverse et un num´ numero e´ ro indiquant son ordre sur celle-ci. On aurait par exemple la station 02 + 09 qui serait la neuvi`eme station sur la traverse deux ou, comme indiqu´e sur la figure 2.10, la station ”10N-05W” qui serait la station situ´ ee a` 5 unit´e vers l’ouest par rapport a` la station de r´ef´erence erence (station 00-00) sur la ligne a` 10 unit´e par rapport a` la ligne de r´ef´ ef´erence erence (ligne 00). Dans un lev´ leve´ regional e´ gional (par exemple exemple pour toute la Gasp´ Gaspesie) e´ sie) les points de mesure seraient principalem principalement ent d´etermin´ etermin´es es par leur longitude et leur latitude. Habituellement, on utilise de plus une num´ numerotation e´ rotation arbitraire pour les stations. Recommandations :
– La repr´ representativit´ e´ sentativite´ de la station : il faut a` tout prix eviter e´ viter l’usage d’un mˆ meme eˆ me nom pour deux stations diff erentes. e´ rentes.
2.2 Leve´ gravime´ trique
27
– Le nom de la station doit fournir une id´ee ee approximative de la position g´eographique eographique du point consid consider´ e´ re. e´ . Pour les principaux r eseaux, e´ seaux, il convient de choisir un seul nom ou num´ero ero pour identifier un r´eseau eseau en particulier. On aurait, par exemple, 4 pour chemin Levesque, e´ vesque, etc. Un nom (ou l’initial) d’un lac, d’une rivi`ere, ere, d’une route ou d’une municipalit´e convient parfaitement. Ainsi par la connaissance du d´ebut ebut du nom d’une station, on peut d´eterminer eterminer la zone geographiqu e´ ographiquee ou` il est le plus probable de la trouver. – La concision : les noms trop trop longs doivent etre eˆ tre evit´ e´ vites e´ s parce qu’ils sont souvent ecrits e´ crits sous forme abr´ abreg´ e´ gee e´ e dans les carnets de terrain, ce qui constitue une source d’erreur potentielle. On devrait au maximum accepter trois groupes diff erents e´ rents de lettres ou de chiffres comportant comportant au maximum maximum deux caract`eres. eres. Seraient acceptables des noms tels que : S-2, TH-33-A, TL-6-10, BK-7-3, etc. Les noms : TL-6-24-2, TL-14-13-2, 323-28-2, et autres sem blables devraient etre eˆ tre rejet´es. es. Le nom des stations pourrait aussi compter un indice de la qualit´ qualite´ du lev´ leve´ au point consid´ consider´ e´ re. e´ . Ainsi, les points dont l’´ l’el´ e´ levation e´ vation est mesur´ mesuree e´ e a` l’aide d’un barom` barometre e` tre pourraient voir leur nom pr´ prec´ e´ ced´ e´ de´ d’un B, on aurait : BK-5-8, BTH-8-2, etc. Lorsqu’un r´ reseau e´ seau secondaire se d´ deploie e´ ploie a` partir d’un point donn´ donne, e´ , ce r´ reseau e´ seau peut prendre le nom du point de d´epart. epart. Ainsi, le point BK-5-8 qui a son d´ebut ebut au point K-5, etc.
2.2.2 2.2.2 Nivel Nivellem lement ent Le nivellement est extrˆemement emement important en gravim´etrie. etrie. Comme nous l’avons vu dans la correction correctio n d’altitude, d’alti tude, une erreur de quelques quelq ues cm entraˆıne ıne une erreur importante import ante dans la valeur va leur corrig´ee ee de la gravit´e. e. Si on consid`ere, ere, la correction d’altitude et la correction de plateau avec 3 une densit´ densite´ de 2.76 g/cm , nous avons une correction de 0.1966h 0.1966 h. Ainsi, une erreur d’estimation de h de 10 cm correspond a` une erreur 0.02 mgal sur g, 50 cm correspond a` 0.1 mgal et 1 m a` 0.2 mgal. Donc, une erreur de 50 cm dans la mesure des el´ e´ levations e´ vations introduit une erreur dans la valeur corrig´ee ee de la gravit´e qui est de l’ordre des anomalies recherch´ees (g´eotechnique, eotechnique, arch´eologie, eologie, minier). Heureusement, le nivellement a` l’aide d’un niveau ou d’une station totale nous donne une pr´ecision ecision meilleure que 5 cm, soit 0.01 mgal. Cette m´ ethode de mesure requiert toutefois beaucoup de personnel (une personne pour la mire et une pour l’instrument) et du temps. Dans la pratique, avant chaque mesure gravim´ gravimetrique, e´ trique, il faut d´ determiner e´ terminer la hauteur relative ` de la station de mesure par rapport a` la station de base. A partir des deux vis´ees ees obtenues avec le th´eodolite, eodolite, la diff´erence de hauteur entre les deux stations est donn´ee ee par la diff´erence erence entre les deux lectures (voir figure 2.11). 2.11). Attention cependant, la lecture sur la mire nous donne la hauteur relative entre le niveau de la station et la ligne de vis´ee. ee. Ainsi, une ambigu¨ıt´ ıte´ peut provenir du fait que plus la valeur lue sur la mire est importante, plus l’altitude absolue du point de mesure est faible. Par exemple, si on obtient des lectures de 1.53 m et 1.75 m pour les stations A et B respectivement, alors le niveau de la station B est dessous celui de la station A. Sur le terrain, il est tr`es es rare de pouvoir faire un lev´e entier avec une seule position pour la station totale ou le th´eodolite (terrain accident´e, e, vis´ee ee trop lointaine). Il est alors n´ecessaire ecessaire de changer la position position de l’instrument l’instrument pour poursuivre poursuivre les mesures mesures de nivellement. nivellement. Dans ce cas, il ne faut surtout pas oublier de relier entre eux les diff ´ diff erents e´ rents segments. Cette op´ operation e´ ration se realise e´ alise en prenant pour une m eme eˆ me station deux mesures de niveau : une avant et l’autre apr` apres e` s avoir d´ deplac´ e´ place´ le th´ theodolite e´ odolite (voir figure 2.11). 2.11). Il sera alors possible de relier les mesures
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
28
théodolite
ligne de visée h
h’
surface
S2 h - h'
S1
T 2
2] h[S3/T 2]
T 1 S3 S1
1] h[S2/T 1]
2] h[S2/T 2]
S2
F IG . 2.11: faites suivant le second segment avec celles du premier. Un exemple est pr´esent´ esent´e sur la figure 2.11. En consid´erant erant la station S1 comme r´ef´ ef´erence erence pour notre lev´e, e, le niveau de la station S2 est tout simplement donn´ donne´ par ∆hS2/S 2/ T 1] h[ S1/T 1/ T 1]. Pour la station S3, il faut faire 2/S1 = h[S2/T l’op´ l’operation e´ ration en deux etapes. e´ tapes. D’abord, calculer le niveau de la station S3 par rapport a` la station S2 : ∆hS3/S 3/ T 2] h[ S2/T 2/ T 2], puis ramener cette mesure par rapport rapport a` la station S1 : 3/S2 = h[ S3/T ∆ hS3/S 3/S1 = ∆hS3/S 3/S2 + ∆hS2/S 2/S1 .
−
−
Apr`es es avoir compl´et´ ete´ le lev´e et avant de ranger les instruments, il faut s’assurer d’avoir fait un bon lev´e du niveau relatif des stations. Ceci signifie qu’il qu’il faut fermer la boucle du nivellement . Pour ce faire, on realisera e´ alisera un second lev´ leve´ topographique depuis la derni` derniere e` re station du lev´ leve´ jusqu’` jusqu’a` la premi` premiere e` re et ceci en utilisant un nombre reduit de position pour le th eodolite e´ odolite (voir figure 2.12). 2.12). On obtiendra ainsi deux mesures distinctes de la diff erence e´ rence de niveau entre la premi`ere ere et la derni`ere ere station : l’une a` l’aller et la seconde au retour. Un bon lev´e est bien entendu un lev´e ou` les deux mesures sont identiques (∆e = 0). N´eanmoins, eanmoins, il est fr´equent d’avoir une diff´erence erence notable entre ces deux mesures. Il faut alors redistribuer cette erreur sur les N stations de mesures, en supposant que le chemin retour est juste. Pour ce faire, on corrigera chaque mesure de niveau de la quantit´ quantite´ ∆e / N . Pour les lev´es e s r´egionaux, egionaux, il est possible d’utiliser des barom`etres pour mesurer l’´el´ elevation e´ vation des stations gravim´ gravimetriques. e´ triques. Le nivellement au barom` barometre e` tre peut avoir une pr ecision e´ cision meilleure que 1.5 m aux conditions suivantes : 1. Utiliser Utiliser des instrume instruments nts de pr´ecision. 2. Faire usage usage d’un d’un barom` barometre e` tre t´ temoin e´ moin (enregistreur). (enregistreur). 3. Op´erer erer les instruments seulement dans le cas de temp´erature erature favorable. 4. Revenir le plus souvent possible au point de base ou a` un point dont l’´el´ el´evation evation est connue. (Boucle d’une heure au maximum). 5. Proc´ Proceder e´ der au lev´ leve´ en evitant e´ vitant les longues boucles (grande distance entre les points).
2.2 Leve´ gravime´ trique
29
aller
Stations 1
2
3
4
5
6
7
8
9
retour
F IG . 2.12: 6. Prendre Prendre un lev´e pr´ecis ecis de la temp´erature erature de l’air en mˆeme eme temps que celui de la l a pression. Les causes d’erreur les plus communes dans ce genre de lev´e sont dues principalement a` : 1. Les variations variations p´eriodiques eriodiques et non p´ periodiques e´ riodiques de la pression atmosph´erique. erique. 2. La turbulence de l’air. l’air. 3. L’effet du vent. 4. Les variation variationss dans la temp´erature de l’air.
Suggestions :
1. Dans Dans tout tout lev´e gravim´etrique, etrique, il faudrait minimiser au maximum l’usage du barom`etre. 2. Si le lev´e couvre un grand territoire, on peut utiliser un GPS de haute r´esolution esolution ; sinon, faire un lev´ leve´ topo au niveau optique. 3. Dans le cas de lev´ leve´ au niveau, il faudrait faire usage d’un niveau automatique afin de diminuer les temps d’op´eration. eration. 4. Si le territoire territoire est vaste vaste il serait souhaitable d’avoir deux deux equipes ´ de niveau sur le terrain.
2.2.3
´ ´ Resum e´ pour faire un leve´ gravimetrique
– Nivellement : ne pas oublier que pour une pr´ecision ecision de 0.01 mgal, il faut connaˆ connaˆıtre ıtre l’´ l’el´ e´ l´evation evation a` 3 cm pour la correction d’air libre et a` 9 cm pour la correction de plateau. – Manipulation Manipulation du gravim` gravimetre e` tre : le gravim` gravimetre e` tre est une appareil extrˆ extremement eˆ mement sensible et ne doit pas subir de chocs. chocs. Un soin particulier particulier doit etre eˆ tre apport´ apporte´ lors de son transport et de son utilisation.
±
±
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
30
F IG . 2.13:
F IG . 2.14: – D´erive erive : il faut repasser a` un point de contrˆole ole a` toutes les 3-4 heures. Le cheminement employ´ employe´ depend e´ pend du terrain sur lequel les mesures sont prises et le temps requis pour faire ces mesures. Le plus important est d’´ d’etablir e´ tablir un bon r´ reseau e´ seau de stations de base. Sur une grille traditionnelle d’exploration, on etabliera e´ tabliera les stations de base sur la ligne de base ou sur une des lignes de rattachement (voir figures 2.13 et 2.14). 2.14). – Positionneme Positionnement nt des stations stations : il est souhaitable d’´ eviter le faire des mesures a` proximit´e des accidents accid ents topographiqu topog raphiques, es, de fac¸on ¸o n a` faciliter les corrections de relief. – Personnel : une equipe e´ quipe de gravim´ gravimetrie e´ trie devrait etre eˆ tre compos´ composee e´ e d’au moins deux personnes : l’op´ l’operateur e´ rateur du gravim` gravimetre e` tre et son aide. Ce dernier pourrait, lorsque les conditions de terrain ne sont pas trop difficiles, faire les calculs n´ necessaires e´ cessaires a` l’obtention l’obtention de la carte de Bouguer. Bouguer. – Vehicule e´ hicule : selon les terrains etudi´ ´ es, il devrait avoir les qualit´es suivantes : es, 1. etre eˆ tre tout tout terrain et avec treuil treuil ; 2. etre eˆ tre fiable ; 3. etre eˆ tre ni trop gros, gros, ni trop pesant ; 4. poss´eder eder une bonne manoeuvrabilit´e. e.
2.3 Instru Instrumen mentat tation ion Il y a deux types de mesures : absolues et relatives.
2.3.1 2.3.1
Mesures Mesures absolues absolues
Pendule
La mesure est obtenue a` partir de la relation : 4π 2 I g = 2 T mh
(2.23)
2.3 Instrumentation
31
F IG . 2.15:
F IG . 2.16: Principe des appareils a` corde vibrante. ou` I est le moment d’inertie, T la p´eriode eriode d’oscillation, m la masse et h la distance du pivot au centre de masse du pendule (voir figure 2.15). 2.15). Cette equation e´ quation est remplac´ remplacee e´ e par la formule pour le pendule id´eal eal (la connexion entre le pivot et la masse est parfaitement rigide et sans poids) pour devenir 4π 2 I . (2.24) g = T 2 On peut mesurer la valeur absolue de g avec le pendule, mais la pr´ecision ecision n’est pas tr`es es elev´ e´ levee e´ e : on n’a pas encore r´ reussi e´ ussi a` en construire qui soit pr´ precis e´ cis a` 0.1 mgal. Cordre vibrante
Le prin princi cipe pe de la cord cordee vibr vibran ante te (voi (voirr figur figuree 2.16) estded´eter e termi mine nerr la fr´eque e quenc ncee de r´esonnance esonnance entre d’une part la corde soutenant la masse m et le circuit (sol´ (soleno¨ e´ no¨ıdes) ıdes) electronique, e´ lectronique, cette fr´ frequence e´ quence etant e´ tant proportionelle a` g. Les appareils reposant sur ce principe sont encore au stade exp erimental. e´ rimental.
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
32
F IG . 2.17: Chute libre
Suivant le principe de la chute libre, on a : 1 z = gt2 2
(2.25)
et donc, si un corps de vitesse initiale inconnue, tombe de distance z1 et z2 dans des temps respectifs de t1 et t2 , alors ( z2 z1 ) . (2 . 2 6 ) g = 2 ( t2 t 1 ) 2
− −
Pour une pr´ecision ecision de 1 mgal sur une chute de 1 a` 2 m, le temps doit etre eˆ tre connu a` 10−8 s et la distance a` 0.5 µm. On a r´eussi eussi a` construire des appareils reposant sur ce principe grˆace ace a` l’emploi de lasers (voir figure 2.17). 2.17).
2.3.2 2.3.2
Mesures Mesures relative relatives s
Trois instruments : pendule, balance a` torsion et gravim`etre. etre. Pendule
Suivant le principe expos´e pr´ecedement, ecedement, on a gT 2 =constante, et donc que d( gT 2 ) = 2 gT ∆ T + T 2 ∆ g = 0.
(2 . 2 7 )
2.3 Instrumentation
33
lecture lampe miroir plaques reflechissantes m
m 2l
h
F IG . 2.18: Principe de la balance balance a` torsion. Alors, ∆ g =
−2 g ∆T T = −2 g t2 −t1 t1 .
(2.28)
T peut etre Si la p´ periode e´ riode T peut eˆ tre mesur´ mesuree e´ e a` 1 µs, la pr´ precision e´ cision sur ∆ g sera de l’ordre de 1 µgal. Dans les ann´ annees e´ es 30, les appareils appareils offraient offraient une sensibilit sensibilit´e´ de 0.25 µgal. Avec ces appareils, le temps requis pour effectuer une mesure est d’environ 30 minutes.
∼
Balance a` torsion
La balance de torsion est l’ancˆ l’ancetre eˆ tre du gravim` gravimetre. e` tre. L’apareil est form´ formee e´ e par deux masses egales e´ gales s´epar´ epar´ees ees par une barre rigide de longueur 2l 2 l (horizontale) et une d’une hauteur h (verticale). ticale). Le systeme ` est suspendue en son centre par une fibre de torsion a` laquelle est attach´ee ee un petit miroir afin de mesurer la rotation d’un rayon lumineux fourni par une lampe (voir figure 2.18). 2.18). A partir des variations du faisceau lumineux lues sur l’´ l’ecran, e´ cran, mesurera le gradient (variation) horizontal horizontal de la gravit´ gravite. e´ . On ne mesure pas g z car le mouvement n’est que rotationnel et caus´ cause´ par de petites diff erences e´ rences dans la composante horizontale de g agissant sur deux masses. Les mesures sont donn´ees ees en E¨ e´ gales a` 10 −6 mgal/cm. otv¨ os, os, egales
` Les gravim` gravimetres
Developp´ e´ veloppes e´ s pour mesurer ∆ g z sur le terrain ( 1930), le syst` systeme e` me correspond essentiellement a` une balance extrˆemement emement sensible dans laquelle une masse est reli´ee a` un ressort. Les variations de la gravit´e se traduisent alors par une elongation e´ longation du ressort amplifi´ee ee m´ecaniqueecaniquement ou electriquement. e´ lectriquement. Les gravim`etres etres modernes utilisent deux ressorts : un dont la tension correspond a` une valeur moyenne pour la r egion e´ gion et un autre plus sensible reli´ relie´ a` une vis microm´ crometrique e´ trique qui sert a` faire la lecture.
∼
On retrouve deux types de gravim` gravimetres e` tres : les gravim` gravimetres e` tres stables et les instables.
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
34
F IG . 2.19: ` stables Les gravim ` gravim etre
Ces gravim`etres etres sont etablis e´ tablis suivant suivant le principe principe de la loi de Hooke. Hooke. La variation variation de la gravit´ vite´ est egale e´ gale a` la variation de la force exerc´ exercee e´ e par le ressort (voir figure 2.19) : k (2.29) ∆x m ou` k est l’elongation e´ longation du ressort. Pour un ressort ayant k est la constante du ressort, m la masse et ∆ x l’´ une p´ periode e´ riode d’oscillation T , nous obtenons ∆ g =
g =
4π 2 ∆x T 2
(2.30)
(2 . 3 1 )
ou` la p´eriode eriode d’oscillation est donn´ee par T = 2π
m . k
Pour d´ detecter e´ tecter ∆ g de 0.1 µgal, ∆x doit etre eˆ tre de l’ordre de 10 −7 cm. Il faut dont des ressort extrˆ extremement eˆ mement sensibles. Un exemple, le Gravimetre e` tre Gulf : – Il mesu mesure re la rotat rotatio ion n d’un d’un ress ressor ortt cons constr trui uitt a` part partir ir d’un d’un ruba ruban n m´etal e talliq lique ue plat plat en s’´etirant, etirant, il engendre un mouvement relatif transmis a` un miroir qui lui est fix´e, e , la d´eflexion eflexion du rayon lumineux est amplifi´ee ee puis puis lue ; – sensibilit sensibilit´e´ > 0.1 0.1µ µgal; – initialement initialement 100 100 lbs, r´ reduit e´ duit a` 25.
2.3 Instrumentation
35
F IG . 2.20:
F IG . 2.21:
` astables Les gravim ` gravim etre
Les Gravim`etre etre astables astables sont plus precis ´ que les gravim`etres etres stables. – La Coste - Romberg : d´evelopp´ evelopp´e en 1934 par J.B. LaCoste, il est bas´e sur le principe du ressort de longueur z ero e´ ro : la tension ∝ longueur du ressort (voir figures 2.20 et 2.21). 2.21). Son degr´ degre´ de pr´ precision e´ cision est de 0.01 mgal, voire mieux. Ils sont fabriqu´ fabriques e´ s en m´ metal e´ tal avec faible extension thermique et sont isol´ isoles e´ s et thermostat´ thermostates e´ s 0.002˚C. Les premiers pesaient environ 80 lbs (1940), maintenant, seulement 6 lbs. – Worden (Sodin) : d´evelopp´e en 1948, il poss`ede ede un m´ecanisme ecanisme en quartz (tr`es e s l´eger, eger, le mecan e´ canism ismee est est gros gros comm commee un poing poing). ). Sa sens sensib ibili ilit´ t´e aux aux ∆T et e duite te parc parcee que que le T et ∆ P estr´edui mecanisme e´ canisme est sous vide. Il poss` possede e` de egalement e´ galement un syst` systeme e` me de compensation thermique. Le mo mouv uvem emen entt est est simila similair iree au LaCos LaCoste te - Ro Romb mber erg g (voi (voirr figur figures es 2.22). 2.22). Ses Ses cara caract ct´eristiques e´ ristiques techniques sont : 10 de haut, 5 de diam` diametre, e` tre, et environ 6 lbs. Le prospector de Sodin
±
∼
±
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
36
F IG . 2.22:
∼
∼
a une pr´ecision ecision de 10 µgals gals ; Coˆut 29,000 Can $ (1998). – Scintrex Scintrex CG-3 CG-3 : gravim` gravim`etre etre “´electronique” electronique” : les mesures sont automatiques et multiples (nivellement automatique, correction de mar´ees, interface avec ordinateur) Sensibilit´e 1µgal; Pr´ Precision e´ cision 3µgals; Cout ˆ 45,000 Can $ (1998). Version autonivellante heliport´ e´ liportee e´ e pour les r´ regions e´ gions d’acc` d’acces e` s difficiles : l’H´ l’Heligrav e´ ligrav de Scintrex.
∼
∼
∼
´ 2.4 Traitem raitement ents s des don donn nees 2.4.1
´ ´ ´ Separation regionale - residuelle
L’anomalie de Bouguer peut provenir de plusieurs niveaux : 1. grande profond profondeur eur : ex. : variations variations du socle m´ metamorphiqu e´ tamorphiquee ; 2. profondeu profondeurr moyenne moyenne : ex. : lentille de sel sel a` l’int´erieur erieur d’une colonne s´edimentair edimentairee ; 3. faible profond profondeur eur : variations variations de l’´ l’epaisseur e´ paisseur du mort-terrain. Plus la source est profonde, plus l’anomalie est evas´ ´ ee ee (voir figure 2.24). 2.24). Une fois toutes les corrections appliqu´ appliquees, e´ es, on obtient une carte de l’anomalie de Bouguer qui d´ demontre e´ montre en g´ gen´ e´ neral e´ ral deux caract´ caracteristiques e´ ristiques (l’anomalie de Bouguer repr´ represente e´ sente la somme de tous les corps sous la surface) :
2.4 Traitements des donn e´ es
37
F IG . 2.23:
F IG . 2.24:
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
38
1. Des variations variations du champ gravitati gravitationnel onnel r´eguli`eres eres et continues sur de grande distance appel´ appelees e´ es variations r´ regionales. e´ gionales. Elles sont produites par les h´ het´ e´ terog´ e´ rogen´ e´ neit´ e´ ites e´ s a` grandes profondeurs. Composante qui varie lentement en ( x, y). 2. Superpos´ees ees a` ces variations r´egionales, egionales, et souvent masqu´ees ees par celles-ci, on observe de petites perturbations locales du champ gravitationnel qui sont secondaires en dimensions, mais d’int´ d’interˆ e´ rets eˆ ts potentiellement primordiales selon l’application. Selon le but du lev´ leve, e´ , il faut : 1. Lisse Lisserr et enle enleve verr les les effe effets ts de surf surfac acee pour pour ne rete reteni nirr que que les les effe effets ts de prof profon onde deur ur (r´egionale). egionale). 2. Lisser les effets de sources sources profondes et les soustraire pour pour obtenir les anomalies de surface (r´esiduelle). esiduelle). Les anomalies dites r´ residuelles e´ siduelles sont surtout produites par des h´ het´ e´ terog´ e´ rogen´ e´ neit´ e´ ites e´ s situ´ situees e´ es dans la partie sup´ superieure e´ rieure de l’´ l’ecorce e´ corce terrestre. Ce sont souvent le r´ resultat e´ sultat de min´ mineralisation e´ ralisation ou de reservoirs. e´ servoirs. Afin de pouvoir interpreter e´ ter ces anomalies de fac¸on ¸on quantitative, il est n´ necessaire e´ cessaire de soustraire l’anomalie r´egionale de nos donn´ees. ees. Pour s´eparer eparer la r´egionale egionale et la r´esiduelle, esiduelle, plusieurs possibilit´es es s’offrent s’offrent au geophysicien e´ ophysicien : – faire une une lissage lissage graphique graphique sur le profil profil ; – faire un un lissage graphiqu graphiquee sur les cartes cartes de contours contours ; – calculer la r´ regionale e´ gionale analytiquement ou appliquer un filtre (effectu´ (effectue´ sur ordinateur ordinateur)) ; – calculer calculer l’effet l’effet de la source a` eliminer e´ liminer si sa g´ geom´ e´ ometrie e´ trie et sa densit´ densite´ sont connues afin de le soustraire a` l’anomalie Bouguer (mod´ (modelisation). e´ lisation).
2.4.2 2.4.2
Prolonge Prolongement ment vers vers le haut
Le fait que le potentiel gravim´ gravimetrique e´ trique ob´ obeisse e´ isse a` l’´ l’equation e´ quation de Laplace nous permet de determiner e´ terminer sa valeur valeur sur une surface surface arbitraire arbitraire si, d’une part, on le connaˆ connaˆıt ıt compl`etement sur une autre surface, et si, d’autre part, aucune masse ne se situe entre les deux surfaces. Consid´erons erons les deux demi-espace demi-espacess de la figure figure 2.25. 2.25. En se r´ef´ ef´erant erant aux equations e´ quations de Laplace et de Poisson (´equations equations (1.11 (1.11)) et (1.12 (1.12)), )), on a
∇2U Q
=
−4 π G ρ
U P = G
(2.32)
ρ dv. dv . V R
(2 . 3 3 )
En isolant ρ, on obtient U P =
−
1 4π
∇ V
1 R
2
U Q dv
(2.34)
dxdy
(2.35)
qui devient, en utilisant le th´ theor` e´ oreme e` me de Green 1 U P = 2π
x y
g Rs
ou` Rs est donn´e par R2s = ( x
− xO )2 + ( y − yO )2 + h2
(2.36)
2.4 Traitements des donn e´ es
39
F IG . 2.25: Prolongement vers le haut. Finalement, Finalement, la gravit´e au point P vaut ∂U P h = gP = 2π ∂ z
x y
g R3s
dxdy
(2.37)
´ 2.4.3 2.4.3 Exemple Exemples s de superpos superpositio ition n d’une anoma anomalie lie avec avec une regional ` La sphere
Sur la figure 2.26, on a superpos´ superpose´ sur la moiti´ moitie´ inf erieure e´ rieure l’effet d’une r egionale e´ gionale avec gradient posistif vers l’ouest de 0.3 µgal/100m. La r´egionale egionale a une valeur de 0.2µ 0.2µgal a` 475 m au nord du centre de la sph`ere. ere. Cylindre horizontal
Sur la figure 2.27, on a superpos´e sur la moiti´e inf´erieure erieure l’effet d’une r´egionale egionale avec gradient positif vers l’ouest de 0.3 µgal/100m. La r´egionale egionale a une valeur de 0.2 µgal a` 1000 m a` l’ouest du centre du cylindre. Faille verticale
Sur la figure 2.28, on a superpos´ superpose´ sur la partie sup´ superieure e´ rieure une r egionale e´ gionale de gradient 0.3 µ gal/100m vers l’est et dans la partie inf erieure, e´ rieure, une r´ regionale e´ gionale de gradient 0.3 µgal/100m vers l’ouest. Autres exemples Figure 2.29 Figure 2.29
La regional e´ gional est estim´ estimee e´ e par une droite de pente n´ negative. e´ gative. La r´ residuelle e´ siduelle est calcul´ calculee e´ e par simple diff erence e´ rence entre les valeurs mesur´ mesuree e´ e (corrig´ (corrigees) e´ es) et cette droite.
40
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
F IG . 2.26: Contours aux 0.2 µgal Rayon de la sph`ere ere 100 m ; Profondeur Profondeur au centre centre de la sph`ere ere 85 m
F IG . 2.27: Contours aux 0.2 µgal Rayon de cylindre 100 m ; Profondeur Profondeur au centre du cylindre 105 m
2.4 Traitements des donn e´ es
41
F IG . 2.28: Contours aux 0.2 µgal D´ Deplacement e´ placement vertical de la faille 90 m
F IG . 2.29:
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
42
F IG . 2.30:
F IG . 2.31:
Figure 2.30 Figure 2.30
La r´egionale egionale est estim´ee ee par un plan (cas 2D) d´eterminer eterminer par le prologement de chacunes des lignes de contours depuis les bordures vers le centre de la carte.
Figure 2.31 Figure 2.31
Diff erentes e´ rentes courbes sont calcul´ calculees e´ es en calculant des moyennes sur 5 ou 11 points. Noter ici que plus on prend un nombre important de points, plus on a tendance a` eliminer e´ liminer les petites variations pour obtenir presque une droite (cas 11 pts).
2.4 Traitements des donn e´ es
43
F IG . 2.32:
2.4.4
ˆ Cone de sources
Sur la figure 2.32, la sph`ere ere (1) est le corps le plus profond qui peut produire approximativement l’anomalie gravi´etrique etrique present´ e´ sent´ee. ee. Des corps plus superficiels et plus larges, tels que (2) et (3), pourraient aussi produire des anomalies semblables. Tous auraient la mˆeme anomalie de masse totale.
44
´ gravimetriques ´ 2. Les donnees
´ 3 In Inte terp rprretation En g´ geophysique e´ ophysique appliqu´ appliquee, e´ e, les applications classiques de la gravim´ gravimetrie e´ trie sont la d´ delin´ e´ lineation e´ ation des corps sous-terrains (la calcul de la position des limites des interfaces entre les corps), et le calcul des tonnages. Souvent, Souvent, des mod`eles eles g eom´ e´ om´etriques etriques simples ayant une reponse ´ analytiqu tiquee conn connue ue donn donnen entt un r´esul e sultat tat satis satisfa fais isan ant. t. Si la g´eom´etri e triee est est trop trop comp comple lexe xe,, la mo mod´ d´elisation elisation num´erique erique vient a` la rescousse.
3.1 3.1. 3.1.1 1
` Modeles simples ` La sp sph here
L’anomalie d’une sph`ere ere peut peut s’ ecrire e´ crire sous la forme (voir figure 3.1 3.1)) : gr =
Gm r2
ou`
4 M = π a3 ρ. ρ. 3
( 3 .1 )
La composante verticale s’exprime donc par 4 z z g z = gr cos θ = gr = π a3 G ρ 2 . 3 r ( x + z2 )3/2 Si il existe un contraste de densit´e entre la sph`ere ere et le mat´eriel eriel encaissant, ∆ ρ = ρ1 alors l’anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique de la sph` sphere e` re est 4 3
∆ g z = ( π a3 ) G ∆ ρ
z . ( x2 + z2 )3/2
( 3 .2 )
− ρ2, ( 3 .3 )
L’anomalie maximale se trouve a` x = 0 et est egale e´ gale a` ∆ gmax =
4 3 ∆ ρ π a G 2 . 3 z
( 3 .4 )
Examinons maintenant l’endroit particulier de la courbe ou` ∆ g = ∆ gmax /2 (voir figure 3.1 3.1)) definissant e´ finissant le point x = x1/2 ( x1/2 est appel´ appele´ la «demi-largeur» a` la «mi-hauteur»). On a, en 45
´ 3. Interpretation
46
F IG . 3.1: Anomalie Anomalie gravim´etrique etrique et param`etres etres g´eom´ eom´etriques etriques de la sph`ere. ere. posant V = 43 π a3 , ∆ g
VG ∆ ρ
z 2 + z2 )3/2 (x1/2 z3 2 + z2 )3/2 (x1/2
z 2 + z2 )1/2 ( x1/2
1+
x 1 + 1/2 z
1 2
=
1 2
=
1 2
3
1/2
2 3/2
x 1 + 1/2 z
=
3
1
2 x1/2 z2
= ∆ gmax /2 1 = VG ∆ ρ 2 2 z
2 3
= 2 = 4
d’o`u on trouve finalement z = 1.306 x1/2
(3.5)
Il est donc possible de connaˆ connaˆıtre ıtre la profondeur z du centre de la sph` sphere e` re a` partir de l’anomalie l’anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique qu’elle produit. Losque z est connu, on peut alors calculer l’exc` l’exces e` s de masse de
3.1 Mode` les simples
47
F IG . 3.2: Anomalie Anomalie gravim´etrique etrique et param`etres etres g´eom´ eom´etriques etriques d’un cylindre horizontal. la sp`ere ere (∆ M) M) ∆ M =
∆ gmax z2
·
(3.6) G et, si les densit´ densites e´ s de milieu encaissant et de la sph` sphere e` re sont connues, la mase r´ reelle e´ elle de la sph` sphere e` re ( M) egle de trois M) est alors obtenue par r`egle
ou`
ρsph`ere ere M = ∆ M ∆ ρ ∆ ρ = ρsph` sphere e` re ρencaissant
(3.7)
−
3.1.2 3.1.2 Le cylindr cylindre e horizont horizontal al L’anomalie gravim´etrique d’un cylindre de longueur L, dont la profondeur du centre est z et dont le contraste de densit´ densite´ est ∆ ρ = ρ1 ρ2 (voir figure 3.2 3.2), ), est donn´ donne´ par π GR GR 2 ∆ ρ ∆ g z = z(1 + ( x/ z)2 )
−
1+
1
−
( x2 + z2 ) 1/2 ( y+ L)2
1 1+
(3.8)
( x2 + z2 ) 1/2 ( y L)2
−
Si le cylindre est infiniment long (L (L > 10 z), alors l’´ l’equation e´ quation se simplifie pour donner ∆ g z =
2π GR GR 2 ∆ ρ z(1 + ( x/ z)2 )
(3.9)
GR 2 ∆ ρ 2π GR . = z
(3.10)
avec un maximum en x = 0 donn´e par ∆ gmax
´ 3. Interpretation
48
F IG . 3.3: Diff erence e´ rence entre l’anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique caus´ causee e´ e par une sphere e` re et un cylindre horizontal. En utilisant ces derniers r´ resultats e´ sultats et, de la mˆ meme eˆ me mani` maniere e` re que pour la sphere, e` re, on a, au point 2 x = x1/2 , en posant C = 2π GR GR ∆ g
C ∆ ρ z(1 + ( x1/2 / z)2 ) 1
(1 + d’oz on tire
x1/2 2 ) z x1/2 2
(1 +
z
= = =
∆ gmax
2 1 C∆ ρ 2 z 1 2
) = 2
z = x1/2
(3.11)
La profondeur du cylindre est trouv´ trouvee e´ e directement par la valeur de x1/2 . De plus, le cylindre donne une amomalie plus large que celle d’une sph` sphere e` re (voir figure 3.3 3.3). ).
3.1.3 3.1.3
Le cylindr cylindre e vertical vertical
Dans le cas du cylindre cylindre vertical, vertical, on doit int´egrer egrer un petit el´ e´ l´ement ement dg z donn´e par dg z = 2π G ρdl ρdl sin φdφ
(3.12)
pour φ allant de 0 a` arctan( R/l ) et puis pour dl variant de z a` z + l. Finalement, apr` apres e` s quelques calculs, la valeur maximum de l’anomalie ∆ gmax est donn´ee ee par
2
∆ gmax = 2π G∆ ρ L + z + R
2 1/2
−
2
2 1/2
( z + L) + R
.
(3 . 1 3 )
Il est a` noter ici que la correction de terrain fait par le r´eticule eticule est donn´ee ee par int´egration egration sur une partie du cylindre
∆ gt = G ρθ (r2
− r1 ) + (r12 + L2 )1/2 − (r22 + L2 )1/2
.
(3 . 1 4 )
3.1 Mode` les simples
49
F IG . 3.4: Param`etres etres g´eom´ eom´etriques etriques du feuillet vertical
3.1.4 3.1.4 Le feuille feuillett vertica verticall Pour un feuillet vertical (voir figure 3.4 3.4), ), l’anomalie est donn´ donnee e´ e par
( h + l )2 + x 2 . ∆ g z = 2Gt ∆ ρ ln x 2 + h2
Si h
(3.15)
≈ l, le maximum est donn´e par ∆ gmax = 2Gt ∆ ρ ln(4)
(3.16)
et en x = x1/2 (∆ g z = ∆ gmax /2)
2 (2h)2 + x1/2 2Gt ∆ ρ ln 2 + h2 x1/2
2 4h2 + x1/2 2 + h2 x1/2
h
2
=
1 Gt ∆ ρ ln(4) 2
= 2 =
2 x1/2 z
ce qui donne 0.7xx1/2 h = 0.7
(3.17)
3.1.5 3.1.5 La plaqu plaque e mince mince horizont horizontale ale infini infinie e L’anomalie pour la plaque mince horizontale infinie (voir figure 3.5 3.5)) est π x ∆ g z = 2Gt ∆ ρ + arctan 2 h
(3.18)
´ 3. Interpretation
50
F IG . 3.5: Anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique et param` parametres e` tres g´ geom´ e´ ometriques e´ triques de la plaque mince horizontale infinie ou` h est la profondeur au plan m´ edian de la faille et non pas la profondeur au toit. Certains param` parametres e` tres de la plaque mince peuvent etre eˆ tre trouv´ trouves e´ s a` partir de l’anomalie qu’elle produit. Ainsi, lorsque : x x
→ −∞ → +∞
∆ g
→0 ∆ g → 2π Gt Gt ∆ ρ
et donc, l’anomalie maximum ∆ gmax est egale e´ gale a` ∆ gmax = ∆ g+∞
|
− ∆ g+ | = 2π Gt Gt ∆ ρ. ρ.
(3 . 1 9 )
∞
Ceci permet de d´eterminer eterminer un premier param`etre etre carat´erisant erisant la plaque, c’est a` dire t∆ ρ t∆ ρ =
∆ gmax
2π G
.
(3 . 2 0 )
De plus, la d´ deriv´ e´ rivee e´ e (i.e. la pente au point d’inflexion de la courbe) en x = 0 nous donne ∂ g ∂x
x =0
h = 2π Gt Gt ∆ ρ 2 h + x2
= x =0
∆ gmax
π h
.
(3 . 2 1 )
qui nous donne donc le second param` parametre e` tre pour la plaque, h h=
∆ gmax
Si la plaque a une longueur finie L, alors
− −
∆ g z = 2Gt ∆ ρ arctan
(3.22)
∂ g π ∂x 0
L
x
h
arctan
x h
.
(3 . 2 3 )
3.2 Mode` les complexes
51
F IG . 3.6: Param` Parametres e` tres g´ geom´ e´ ometriques e´ triques du prisme rectangulaire.
3.1.6 3.1.6 Le prisme prisme rectangul rectangulaire aire L’anomalie pour le prisme rectangulaire (voir la figure 3.6 pour les diff erents e´ rents param` parametres) e` tres) est donn´e par r 1 r4 r (3.24) + b ln 4 ∆ g z = 2G ∆ ρ z2 θ2 z1 θ1 + x ln r 2 r3 r3 r4 . L’´ Si b L’equation e´ quation devient alors ∞, alors θ1 ϕ1 , θ 2 ϕ2 et r3
→
→
→
−
→
∆ g z = 2G ∆ ρ z2 ϕ2
Pour un contact ( z ( z1 = 0, b
−
r1 z1 ϕ1 + x ln r2
(3.25)
→ ∞), alors :
x ln ∆ g z = 2G ∆ ρ t
3.2
(1 + x2 /t2 )1/2 x/t
π x + + arctan t 2
(3.26)
` Modeles complexes
Lorsque les corps etudi´ e´ tudi´es es ne peuvent peuvent raisonnablemen raisonnablementt etre eˆ tre approxim´es es par les formes simples dont on connaˆ connaˆıt ıt analytiquement les r´ reponses, e´ ponses, il est n´ necessaire e´ cessaire de recourir a` d’autres outils. Pour calculer l’anomalie, il existe les m´ methodes e´ thodes graphiques et les m´ methodes e´ thodes analytiques.
3.2. 3.2.1 1
´ Les Le s methodes graphiques
On peut utiliser des graticules pour calculer l’effet des corps. Un graticule est une s´erie erie de cellules de diff erentes e´ rentes formes et grosseur, chacune couvrant une surface correspondant a` une contribution connue (et g´ gen´ e´ neralement e´ ralement uniforme) a` la valeur de g z au point de mesure en surface. Il y a deux types.
´ 3. Interpretation
52
F IG . 3.7: Graticule a` compartimen compartiments ts trap´ezo¨ ez o¨ıdau ıd aux. x.
F IG . 3.8: Graticule “Dot chart” Premier type
Les compartiments trap´ezo¨ ezo¨ıdaux ıdaux (voir figure 3.7 3.7)) sont form´es es par des lign´ees ees horizontales e´ quidistantes coupant une s´ equidistantes serie e´ rie de lignes radiales s´ separ´ e´ parees e´ es d’un mˆ meme eˆ me angle. L’effet des cellules est (3 . 2 7 ) g z = 2G ρ(θ2 θ1 )( z2 z1 ).
−
−
Puisqu’en Puisqu’en gen´ e´ n´eral eral θ2 θ1 = cst et z2 z1 = cst, l’effet de chacune des cellules est le mˆeme. eme. Il s’agit alors de somme la contribution de chacun des compartiments pour obtenir l’anomalie.
−
−
` Deuxi ` Deuxi eme type : “Dots charts”
Les compartiments (voir figure 3.8 3.8)) sont form´ formes e´ s par la rencontre de lignes radiales et d’arcs de cercle. Leur contribution n’est pas uniforme mais est d´ependante ependante du nombre de points qu’ils contiennent. Chacun des points repr´esente une contribution constante a` g z au point de mesure. Pour calculer l’effet gravim´ gravimetrique e´ trique d’un corps enfouis, le “Dot chart”, imprim´ imprime´ sur un transparent, est superpos´ superpose´ sur une section transversale, le vertex est plac´ place´ sur la position de la surface ou` l’effet gravim´ gravimetrique e´ trique est d´ desir´ e´ sire. e´ .
3.2 Mode` les complexes
53
Remarques :
Si les structures ne sont pas r´eellement eellement 2-D, on peut appliquer des corrections pour les effets de bordure. Dans le cas des structures 3-D, la m´ethode ethode graphique s’applique aussi. Les corps corps sont divis´ divises ´ en une s´erie erie de plaques horizontales dont les effets sont calcul´es es a` l’aide de graticules. Cette approche est compliqu´ compliquee e´ e puisqu’on doit introduire un facteur d’´ d’ echelle e´ chelle pour tenir compte de la profondeur de chacune des plaques. On voit donc que cette m ethode e´ thode s’applique bien mieux a` l’aide d’un ordinateur (propos´ (propose´ par Hubbert en 1948, repris par Talwani sur ordinateur en 1959 (2D) et en 1960 (3D)).
3.2.2
´ Methode analytique analytique
On peut montrer que g produit par un corps 2D de section quelconque est egale e´ gale a` une int´ integrale e´ grale de ligne autour de cette section
g = 2G∆ ρ
zdθ zd θ .
(3.28)
Si la section est approxim´ approximee e´ e par un polygone de n cot´ oˆ tes e´ s (voir figure 3.9 3.9), ), l’int´ l’integrale e´ grale devient une sommation
ou` Zi est l’int´ l’integrale e´ grale de ligne pour le
Zi = ai sin θi cos θi (θi
ie
n
zdθ zd θ =
∑ Zi .
(3.29)
i=1
ˆ e, cot´ ot e´ , qui est egale e´ gale a`
− θi+1 ) + tan θi
×
cos θi (tan θi tan φi ) cos θi+1 (tan θi+1 tan φi+1 )
− −
(3.30)
et ou` les diff´erents erents param`etres etres sont d efinis e´ finis par
− − − − −
zi ; xi z Zi ; = arctan i+1 xi +1 xi = xi+1 zi+1 cot φi xi +1 xi = xi+1 zi+1 zi +1 zi
θi = arctan φi ai
−
3.2. 3.2.3 3
.
Gra Gravit vite´ 3-D
En trois trois dime dimens nsio ions ns,, on peut peut proc proc´eder e´ der de fac¸on ¸on similai similaire re,, mais cette cette fois on coupe coupe le volume volume en tranches horizontales (figures 3.10 et 3.11). 3.11). L’expression pour anomalie revˆ revet eˆ t la forme ∆ g(O)
= G∆ ρ
rdrdθ rdrdθ (r2 + z2 )3/2 rdrdθ rdrdθ . 2 S j (r2 + z j )3/2
zdz
m
= G∆ ρ ∑ W j z j j=1
S
(3.31)
´ 3. Interpretation
54
F IG . 3.9: Param`etres etres g´eom´ eom´etriques etriques d’un polygone. ˆ
F IG . 3.10: Param`etres g´eom´ eom´etriques etriques du volume d´ecoup´ ecoup´e en tranches.
3.2 Mode` les complexes
F IG . 3.11: Param`etres etres g´eom´ eom´etriques etriques du volume decoup´ e´ coup´e en tranches (suite).
55
´ 3. Interpretation
56
z S1 R
y x M
S2
F IG . 3.12: D´efinition efinition de la demi-sph` demi-sph`ere ere utilis´e pour le calcul de l’exc`es es de masse.
3.3
` de masse Exces
` de masse 3.3.1 3.3.1 Calcul Calcul de l’exc l’exces Supposons une masse M causant un champ gravitationnel g. Entourons cette masse d’une demi-sph`ere pr´esentant esentant sa surface plane a` z=0 (voir figure 3.12), 3.12), et appliquons le th´eor` eor`eme eme de Gauss : g) dv = g n ds. (3 . 3 2 ) ( ds .
∇ · V
S
ou` n est normal a` la surface de la sph`ere. ere. Or, g =
·
D’ou` : −∇U . D’o 2 − V ∇ U dv = S g · n ds
ou encore, en utlisant la formule de Poisson : etant e´ tant egal e´ gal a` zero e´ ro partout ailleurs) : 4π G
(3.33)
ρ, ou` ρ est la densit´ densite´ de la masse ( ρ ( ρ ∇2U = 4π G ρ,
ρ dv = 4π G M =
V
− S
·
g n ds
(3.34)
ou` M est la masse du corps causant causant l’anomalie. l’anomalie. Le flux de la force force d’attraction d’attraction a` travers toute surface ferm´ee ee situ´ee ee dans un champ gravitationnel est egal e´ gal a` 4π G fois la masse situ´ee a` l’int´ l’interieur e´ rieur de la surface. Notons que ceci est valide pour toute forme de surface et toute distribution de masse (volume, position, forme). On peut donc calculer la masse produisant une anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique a` partir du lev´ leve´ sans connaˆ connaˆıtre ıtre la forme ou la profondeur de la masse. Dans le cas d’un lev´e gravim´etrique, etrique , on connaˆıt ıt ∆ g z et on peut supposer que la surface de mesure etait e´ tait plane, ce qui correspond a` la surface z = 0 de la demi-sph`ere. ere. Sur le plan z = 0, on a (le signe (-) intervient parce que n pointe vers l’ext´erieur erieur de la surface) : (3.35) ∆g n = ∆ g z
·
−
Pour la surface r = R de la demi-sph` demi-sphere, e` re, on aura, en coordonn´ coordonnees e´ es sph´ spheriques e´ riques : ∆g n =
·
−∇U · r = − ∂∂U r
(3.36)
3.3 Exce` s de masse
57
et donc 4π G∆ M = Si R
− S
∆g n ds =
·
S1
∆ g z ds +
S2
∂U ds. ds. ∂r
(3.37)
→ ∞, on aura 4π G∆ M =
+∞
+∞
−∞ −∞
∆ g z dx dy + lim R
→∞
π
2π
θ =π /2 /2
ϕ=0
∂U 2 R sin θ dθ d ϕ ∂r
(3.38)
Pour R tr` tres e` s grand, le potentiel n’est plus vu que comme celui d’une masse ponctuelle M a` l’origine, ce qui conduit a` G∆ M . (3.39) U R→∞ = R Alors +∞
+∞
−∞ −∞
∆ g z dx dy
π
G∆ M sin θ dθ − 2π Rlim 2 → π /2 /2 R 4π G∆ M − 2π G∆ M
= 4π G∆ M
∞
= = 2π G∆ M
(3.40)
L’exc` L’exces e` s de masse est ainsi 1 ∆ M = 2π G
+∞
+∞
−∞ −∞
∆ g z dx dy
(3.41)
Puisque Puisque nous travaillons avec ∆ g z , ∆ M est l’exc`es es de masse du corps causant l’anomalie et non pas sa masse r´ reelle. e´ elle. Pour connaˆ connaˆıtre ıtre la masse r´ reelle e´ elle du corps, il faut utiliser un facteur correctif ρ M (3.42) M = ∆ M ρ M ρE
−
ou` ρ M est la densit´ densite´ de la masse et ρE est la densit´ densite´ du milieu encaissant.
3.3. 3.3.2 2
Unic Un icit it´e´ de la solution
Nous savons que des corps de forme, volume et positions spatiales diff´erentes erentes peuvent donner des anomalies gravim´ gravimetriques e´ triques identiques. On peut donc se demander si la d´ determinae´ termination de la masse causant l’anomalie est unique. Supposons deux masses M1 et M2 , produisan produisantt des anomalies ∆ g z1 e´ gales z2 partout egales z1 et ∆ g z2 sur le plan de r´ef´ eference. e´ rence. On aura donc :
∆ g z1 z1 ds
= 2π G∆ M1
∆ g z2 z2 ds
= 2π G∆ M2
(3.43)
qui est ind´ independant e´ pendant de la g´ geom´ e´ ometrie e´ trie (forme, volume, position spatiale) des masses puisque par hypoth` hypothese e` se ∆ g z1 integrales e´ grales sont donc identiques et M1 doit egaler e´ galer M2 . La z2 . Les deux int´ z1 = ∆ g z2 solution au calcul de l’exc` l’exces e` s de masse est donc unique.
´ 3. Interpretation
58
3.3. 3.3.3 3
´ Cons Co nsid id´erations pratique
Dans le cas d’int´ d’integration e´ gration num´ numerique, e´ rique, l’´ l’equation(3.42 e´ quation(3.42)) devient T min min = 23.9
×
ρ M ρ M ρE
−
S
∑ ∆ g∆s
(3.44)
ou` T min minimum en tonnes metriques, ´ ρ M la densit´e de la masse (g/cm3 ), ρE la min est le tonnage minimum densit´ densite´ de la roche encaissante (g/cm3 ), ∆ g l’intensit´ l’intensite´ de l’anomalie (mgal), ∆S la surface (m2 ) ou` l’anomalie a la valeur ∆ g et ∑ la sommation sur la superficie S du produit ∆ g∆s. Puisqu’en gen´ e´ neral e´ ral la surface d’int´ d’integration e´ gration S est finie, on doit appliquer un facteur correctif d´ d ependant e´ pendant de la g´eom´ eom´etrie etrie de l’anomalie. 1. Si l’anomalie l’anomalie est
± circulaire T = T min min
×
1
−
1 h/ R
(3.45)
ou` T est T est le tonnage total, R le rayon de la superficie circulaire sur laquelle la sommation est faite et h la profondeur du centre de gravit´e de la masse. Si S n’est pas parfaitement circulaire, on prendra le rayon moyen R = S/π .
√
2. Si l’anomalie l’anomalie est rectangulaire
T = T min min
×
/2 π /2 arctan
√
xy x2 + y2
1 h
ou` 2x 2 x2 y est la superficie rectangulaire de sommation (x (x de gravit´ gravite´ de la masse.
>
(3.46)
y) y) et h la profondeur du centre
3. Si S n’est pas parfaitement rectangulaire et qu’il est difficile d’obtenir des valeurs pr´ecises ecises de x et y, il est pr´ pref e´ f erable e´ rable de trouver le rapport approximatif x approximatif x/ y et d’utiliser T = T min min
×
/2 π /2
arctan
1 2h
S x/ x/ y 1+( x / y)2
.
(3 . 4 7 )
´ D ´ D etermination approximative de h
1. Si l’anomalie est circulaire circulaire en plan et relativement relativement aigu¨e, h = 1.3 1.3xx1/2 , ou` x1/2 est la demilargeur a` la demi-hauteur. 2. Si l’anomalie est au moins cinq fois plus longue que large en plan et relativement relativement aig¨ aigue, ¨ h = x1/2 . 3. Pour les longueu longueurs rs interm´ intermediaires, e´ diaires, choisir un coefficient entre 1 et 1.3. 4. Si l’anomalie pr´esente un maximum tr`es es plat, la valeur de h peut etre eˆ tre beaucoup trop grande et T sera T sera une valeur maximum.
3.3 Exce` s de masse
59
3.3.4 3.3.4 Exemple Exemple de calcul calcul de de tonna tonnage ge
• G1 ` Param ` Param etres pour G1 (figure 3.13 )
– – – –
Echelles Echelles : 1 pouce pouce carr´ carr´e = 14 900 m2 Intensit´es es = milligal Minerai Minerai : densit´ densite´ ρ1 = 2.92 g/cm3 Roche encaiss encaissante ante : densit densite´ ρ2 = 2.8 g/cm3
• G2 ` Param ` Param etres pour G2 (figure 3.14 )
– Echelles Echelles : 1 pouce pouce carr´ carr´e = 14900 m2 – Intensit´es es = milligal – Minerai : densit´e ρ1 = 4.00 g/cm3 – Roche encaissante encaissante : densit´ densit´e ρ2 = 2.8 g/cm3
• G3 ` Param ` Param etres pour G3 (figure 3.15 )
– – – –
Echelles Echelles : 1 pouce pouce carr´ carre´ = 21850 m2 Intensit´ Intensites e´ s = milligal Minerai Minerai : densit´ densite´ ρ1 = 4.35 g/cm3 Roche encaissante encaissante : densit´ densit´e ρ2 = 2.7 g/cm3
3.3.5 3.3.5 Exemple Exemple de calc calcul ul avec avec G-2 Marmo Marmora ra ´ ´ : Donn ees
– 1 po = 1 000 000 pi ; 1 po2 = 92903 m2 – 1 careau careau = 1/400 1/400 po2 – ρ1 = 4.00 g/cm3 ; ρ2 = 2.80 g/cm3 Mesures Mesures des surfaces : on compte les carreaux !
– Contours Contours 8.0-10.0 milligals milligals : 28 carreaux carreaux ligne ligne 1 2 3
Nb de carr carr. 8 13 7
´ 3. Interpretation
60
F IG . 3.13:
3.3 Exce` s de masse
61
F IG . 3.14: – Contours Contours 6.0-8.0 milligals milligals : 88 carreaux lign lignee 1 2 3 4 5 6
Nb de carr carr.. 2 19 11 10 6 12
lign lignee 7 8 9 10 11
Nb de carr carr.. 7 1 7 10 13
lign lignee 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nb de carr carr.. 10 3 10 4 14 7 6 6 14
lign lignee 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Nb de carr carr.. 3 6 complete e` te 1 7 6 5 10 6
– Contours Contours 4.0-6.0 milligals milligals : 118 carreaux carreaux
´ 3. Interpretation
62
F IG . 3.15:
3.3 Exce` s de masse
63
– Contours Contours 2.0-4.0 milligals milligals : 246 carreaux carreaux lign lignee 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nb de carr carr.. 8 17 7 8 6 5 5 10 19 2
lign lignee 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nb de carr carr.. 8 2 5 24 6 16 3 4 15 17
lign lignee 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Nb de carr carr.. 12 6 1 10 6 5 1 5 13
lign lignee 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Nb de carr carr.. 12 20 1 13 19 3 13 21 2 9 8
lign lignee 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Nb de carr carr.. 13 11 5 4 8 5 2 9 5 3 2
– Contours Contours 0.0-2.0 milligals milligals : 262 carreaux carreaux lign lignee 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
Nb de carr carr.. 07 05 06 06 06 05 06 07 06 02 09 08
Calcul de T min
Contours ∆ g (mgal) (mgal) al) 8.0-10. 9.0 6.0-8.0 7.0 4.0-6.0 5.0 2.0-4.0 3.0 0.0-2.0 1.0 TOTAL :
Nb div. 28 88 1 18 1 46 2 62 742
∆S
∆S
po 2
m2
0 .0 7 00 0 .2 0 00 0.2950 0.6150 0.6550 1.8550
6 5 03 20 4 39 27 4 06 59 1 35 60 8 52 172 335
∆ g
× ∆S2
(mgal m ) 58 5 2 7 143 073 1 37 0 3 0 1 71 4 0 5 60 8 5 2 5 70 8 8 7
´ 3. Interpretation
64
F IG . 3.16:
T min min = 23.9
ρ1
ρ1
− ρ2
S
∑ ∆ g × ∆s
4.00 570 880 = 23.9 4.00 2.80
−
≈ 45.5 × 106
(3.48)
Calcul de T Par la meilleure formule pour G-2
T = T min min
×
/2 π /2
arctan
1 2h
S x/ x/ y 1+( x / y)2
(3.49)
1. Calcul de x, y (voir figure 3.16). 3.16). On obtient :
≈ 2.40 po
2 y
≈ 0.75 po
( x/ y) = 3.20
2x
× 2 y = 1.80 po2 ≈ S = 1.855 po2
2x
(3.50)
2. Calcul de h (voir figure 3.17) 3.17) : On a : 2x1/2 = 3.40 po
x1/2 = h = 1.7 po
Nous avons alors 1 2h
S x/ y
1 = 0.34 1 + ( x/ y)2
√ 1.855 × 3.20
1 + (3.20)2
= 2 .1 3 7
(3.51)
3.3 Exce` s de masse
65
F IG . 3.17: Ainsi /2 × arctanπ /2 (2.137) 63.1 × 106 tonnes m´ me´ triques
T = T min min
=
(3.52)
Par l’autre formule pour S rectangulaire
T = T min min
avec
Ainsi
1 h
×
/2 π /2 arctan
1 xy = 0.17 x2 + y2
√ 1 h
xy x2 + y2
× 0.375 = 2.105 √ 1.2 1.22 + 0.3752
/2 × arctanπ /2 (2.105) 63.4 × 106 tonnes m´etriques
(3.53)
(3.54)
T = T min min
=
Ce r esultat e´ sultat n’est pas tellement diff erent e´ rent du pr´ prec´ e´ cedent. e´ dent. Ceci provient du fait que 2x 2x S.
(3.55)
× 2 y ≈
Par la formule pour S circulaire
T = T min min
×
1
−
1 h/ R
(3.56)
´ 3. Interpretation
66
Comme l’anomalie n’est pas vraiment circulaire, il faut prendre, pour calculer T , la valeur de R donn´ donne´ par : 1.855 S (3.57) = = 0 .7 6 8 4 R= π π
Ainsi T = T min min
=
1
× 1 − 0.17 0.7684 58.4 × 106 tonnes m´etriques
(3 . 5 8 )
Ce dernier r´ resultat e´ sultat est assez dif errent e´ rrent des deux pr´ prec´ e´ cedent, e´ dent, mais beaucoup mieux que T min min . 6 Dans ce cas, il faut accepter T M = 63.1 10 tonnes m´ metrique. e´ trique.
×
4 Signat Signature ure des struct structure ures s ´ ´ geologiques en gravimetrie 4.1
4.1.1
´ regionaux ´ Leves et tectoniques
´ ´ Etude structurale structurale a` grande echelle
Canada : Fig.4.1 Fig.4.1
F IG . 4.1: Carte d’anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique du Canada. L’intervalle des lignes de contour est de 20 ; l’intervalle l’intervalle des lignes de contour de couleurs couleurs est de 40 mgal. 67
68
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
´ ´ Etats-Unis d’Amerique : Fig.4.2 Fig.4.2 et 4.3
´ F IG . 4.2: Carte de la gravim´ gravimetrie e´ trie r´ regionale e´ gionale de Bouguer des Etats-Unis d’Am´ d’Amerique e´ rique compos´ composee e´ e d’ondes de longueur plus grande que 250 km. L’intervalle des lignes de contour est de 20 mgal.
F IG . 4.3: Carte montrant les el´ e´ lements e´ ments g´ geologiques e´ ologiques majeurs observables sur la carte d’anomalie gravim´ gravimetrique. e´ trique.
´ r e´ gionaux et tectoniques 4.1 Leves
´ Am´erique Am du sud : Fig.4.4 Fig.4.4 et 4.5
F IG . 4.4: Am´erique erique du sud.
F IG . 4.5: Carte g´ geologique e´ ologique de l’Am´ l’Amerique e´ rique du sud.
69
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
70
4.1.2
´ ´ Etudes regionales
L’information gravim´ gravimetrique e´ trique permet de caract´ caracteriser e´ riser les provinces g´ geologiques e´ ologiques et de suivre leurs trac´es es si l’opposition est faible.
´ Etat de Washington : Fig.4.6 Fig.4.6
´ F IG . 4.6: Gravim´etrie etrie r´egionale egionale de Bouguer de l’ouest de l’ Etat de Washington (partie ouest). L’intervalle de lignes de contour est de 5 mgal. Elle indique un minimum co¨ıncidant ıncidant avecla chaˆ chaˆıne ıne des Cascades, un maximum avec la Coast Range et un minimum avec Puget Sound et Olympic Mountains.
4.2 Pe´ trole
71
´ Owens en Californie : Fig.4.7 Vallee Fig.4.7
F IG . 4.7: Gravim´etrie etrie de Bouguer du sud de la Vall´ee Owens en Californie ainsi que la relation a` la g´eologie eologie de cette r´egion. egion. Les contours montrent un minimum ferm´e asym´etrique etrique avec son axe au centre de la vall´ee. ee. La gravit´e est faible dans les r´egions egions riches en aluminium, dont l’origine a et´ e´ t´e interpr´et´ etee e´ e comme provenant d’une epaissse e´ paissse d´epression epression s´edimentaire edimentaire (s´ediments ediments clastiques). L’interpr´ ’interpretation e´ tation indique que le socle est faill´ faille´ et est couvert au centre par presque 10,000 de s´ediments.
4.2
´ Petrole
ˆ s de sel, Dans Dans ce cas, cas, on cher cherch chee des des struc structu ture ress pi` pieges:d e` ges:domes ome sel, anticli anticlinau naux, x, format formation ionss recifales e´ cifales (“reef”) ou a` connaˆ connaˆıtre ıtre l’´ l’epaisseur e´ paisseur des s´ sediments e´ diments ou d’un bassin. Le p´ petrole e´ trole a et´ e´ te´ decouvert e´ couvert dans des anciennes formations r´ecifales ecifales de calcaire et on s’est interess´ ´ e a` connaˆ co nnaˆıtre ıtre leur l eur signas ignature en gravit´e. e. Ceci n’est possible que s’il y a contraste de densit´e ρ entre la formation r´ecifale ecifale et les roches s´edimentair edimentaires es qui l’entoure l’entourent. nt. Malheureu Malheureusemen sement, t, la densit´e et porosit´e du calcaire et du mat´ materiel e´ riel de remplacement sont si variables qu’il n’y a pas de r` regles e` gles g´ gen´ e´ nerales e´ rales ; seulement, d´ dependant e´ pendant du contexte et de la situation g´ geographique, e´ ographique, on peut d´ developper e´ velopper des signatures particuli` particulieres. e` res.
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
72
´ 4.2.1 4.2.1 For Forma matio tions ns recifales
Dawn no 156, Ontario Fig.4.8 Fig.4.8 a` 4.10
Ce champ est situ´e dans le bassin de l’Illinois, recouvert de d´epˆ epots oˆ ts glaciaires lourds, d’allure irr´ irreguliers, e´ guliers, pouvant atteindre 30m d’´ d’epaisseur. e´ paisseur. Il n’y a pas de correction de relief, le pays est plat. C’est un bassin primaire avec des couches de sel d’´ d’epaisseur e´ paisseur variable dans le silurien. Les formations recherch´ recherchees e´ es r´ recifales e´ cifales sont d’ˆ d’age aˆ ge silurien. Le Pr´ Precambrien e´ cambrien donne de larges anomalies anomalies de types type r egional, egion ´ al, dues a` des variations de densit´e du socle. Stations Stations aux 300m ; Erreurs de nivellement nivellement < 15 cm ; Erreurs de planim´etrie etrie < 8 m
F IG . 4.8: Carte g´ geologique e´ ologique du sud-ouest de l’Ontario.
4.2 Pe´ trole
73
F IG . 4.9: Gravim´etrie etrie de Bouguer (intervalle - 0.1 mgal).
F IG . 4.10: Carte r´esiduelle (intervalle - 0.1 mgal). Anomalie positive due au calcaire r´ recifal e´ cifal entour´ entoure´ de sel. Le recif silurien, noye´ dans le sel (Dawn,156) apparaˆ apparaˆıt ıt decal´ e´ cale´ largement vers l’ouest. La r´ residuelle e´ siduelle (fig 4.10) 4.10) permet de le localiser correctement. On savait aussi a` l’avance que les r´ecifs ecifs siluriens siluriens sont souvent align´es es et donnent des anomalies circulaires en Ontario. L’anomalie de gravit´e dans le cas pr´ecis ecis peut r´esulter esulter : 1. Soit d’une accumulation de galets glaciaires. 2. Soit d’une d’une variation variation de de l’´epaisseur epaisseur de sel. 3. Soit de la pr´ presence e´ sence d’un relief. La porosit porosit´e´ d’une formation r´ recifale e´ cifale pouvant beaucoup
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
74
varier, il ne faut pas s’attendre a` une localisation localisation pr´ precise ´ de l’anomalie recherch´ee. ee. La formation r´ecifale ecifale recherch´ee ee a et´ e´ t´e d ecouverte e´ couverte a` une profondeur de 300m. Champ de Cement (Oklahoma) Fig.4.11 Fig.4.11 et 4.12
Difficile a` localiser sur l’anomalie de Bougeur a` cause d’une forte r´egionale egionale (fig 4.11), 4.11), la carte de la d´eriv´ eriv´ee ee seconde (fig 4.12) 4.12) donne une bonne image de l’anticlinal.
F IG . 4.11: Champ de Cement (Oklaoma). Bouguer avec un intervalle de 0.5 mgal.
F IG . 4.12: Champ de Cement (Oklaoma). D´ Deriv´ e´ rivee e´ e seconde obtenue avec un pas de 1 km.
4.2.2
ˆ Domes de sel
Grand Saline a` l’Est du Texas Fig.4.13 Fig.4.13
Le dˆome de sel du Grand Saline a` l’Est du Texas a` son sommet a` 250’ de la surface. Les corrections d’air libre, Bouguer et de latitude ont et´ e´ te´ effectu´ees, ees, mais il n’y a aucun ajustement pour la direction de la r´ regionale. e´ gionale. Chaque unit´ unite´ gravim´ gravimetrique e´ trique est de 0.1 mgal, alors l’intervalle entre le lignes de contour est de 1 mgal. L’anomalie est n´ negative e´ gative (fig 4.13). 4.13). La zone pointill´ pointillee e´ e repr´ represente e´ sente la position de la masse de sel.
4.2 Pe´ trole
75
F IG . 4.13: Grand Saline
ˆ ˆ du Golfe du Mexique au Texas Fig.4.14 Domes (4) de sel sur la cote Fig.4.14 a` 4.17
L’anomalie de Bouguer (fig 4.14) 4.14) donne une image floue et la r´esiduelle esiduelle (fig 4.15) 4.15) qui montre une anomalie n´ negative e´ gative ne permet pas de s eparer e´ parer les effets des diverses sources. Sur la carte de la d´ deriv´ e´ rivee e´ e seconde (fig 4.16), 4.16), calcul´ calculee e´ e avec un pas de 1.8km, les 4 sources apparaissent clairement. Ce traitement est a` comparer avec l’exemple theorique e´ orique des 3 sph` spheres e` res (figure 4.17). 4.17).
76
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.14: Bouguer. Intervalle des courbes 0.5 mgal.
F IG . 4.15: R´ Residuelle. e´ siduelle.
4.2 Pe´ trole
77
F IG . 4.16: D´ Deriv´ e´ rive´ seconde.
F IG . 4.17: Exemple t´ teorique e´ orique de la repr´ representation e´ sentation par le calcul de la d´ deriv´ e´ rive´ Baranov d’une anomalie provoqu´ provoquee e´ e par trois sph` spheres e` res pesantes.
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
78
4.2.3 4.2.3 Antic Anticlin linaux aux Anticlinal de Cole Creek (Wyonning 1968) Fig.4.18 Fig.4.18 et 4.19
La regionale e´ gionale est r´ reguli` e´ gulierement e` rement pent´ pentee, e´ e, positive d’est en ouest, brusquement accident ee e´ e d’un replat important (fig 4.18). 4.18). L’anticlinal assez r´ regulier e´ gulier pr´ presente e´ sente une image bien refl´ reflet´ e´ tee e´ e par la r´ residuelle e´ siduelle gravim´ gravimetrique e´ trique (fig 4.19). 4.19).
F IG . 4.18: Bouguer de la r´egion egion de cole Creek. Graduation tous les 0.5 mgal.
F IG . 4.19: Carte r´ residuelle e´ siduelle de Cole Creek.
4.2 Pe´ trole
79
Anticlinal de Wellington (Colorado) Fig.4.20 Fig.4.20 a` 4.22
L’anticlinal a` des flancs assez raides. Son expression est peu visible sur la carte de Bouguer (fig 4.20) 4.20) a` cause de la r´egionale egionale plane (gradient de 2.2 mgal/mile). La r´esidulle obtenue par soustraction de la r´ regionale e´ gionale N-S de l’anomalie de Bouguer marque tr` tres e` s nettement l’anticlinal (fig 4.21). 4.21). Il s’agit d’un cas id´eal : fort gradient gradient des isogals, isogals, rentrant des courbes courbes tres ` accus´e et regulier. e´ gulier. Les mesures ont et´ e´ te´ prises avec un gravim` gravimetre e` tre sensible a` 0.03 mgal.
F IG . 4.20: Bouguer de Wellington avec isogrammes tous les 0.2 mgal.
80
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.21: R´esiduelle esiduelle graphique de Wellinton par la m´ethode ethode des profils.
F IG . 4.22: Coupe selon A-B
Chapelet d’anticlinaux de Kettleman Hills, Californie (Boyd, 1946) : Fig.4.23 Fig.4.23 a` 4.25
Le chapelet d’anticlinaux est bien dessin´ dessines e´ s par la r´ residuelle e´ siduelle analytique (fig 4.24) 4.24) sur une Bouguer a` fort gradient (fig 4.23). 4.23). Il s’agit d’un chapelet d’anticlinaux, dispos´ disposes e´ s NO-SE de-
4.2 Pe´ trole
81
puis Kettleman Nord, au nord jusqu’`a Hills, au sud. Deux structures sont a` l’aplomb d’un maximum maximum gravim´ gravimetrique e´ trique (+), une autre structure, qui appartient au mˆ meme eˆ me alignement correspond au contraire a` un minimum (-). Cette inversion est due a` un changement de faci`es es stratigraphique du nord au sud. a` l’aplomb d’un minimum gravim´etrique, on a des argiles a` diatom´ees, ees, tr`es e s l´eg` eg`eres, eres, et vers le nord, des marnes plus denses. L’anticlinal occupe le volume situ´e a` l’aplomb d’un maximum de g. Des isobathes (obtenus par forage) (fig 4.25) 4.25) trac´es es sur la formation Temblor tous les 500’ (180m) montrent la tr` tres e` s bonne corr´ correlation e´ lation entre la forme de la structure et la carte de Bouguer.
F IG . 4.23: Bouguer du Chapelet d’anticlinaux de Kettleman Hills (Californie), contour tous les 0.5 mgal.
82
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.24: R´esiduelle esiduelle du Chapelet d’anticlinaux de Kettleman Hills (Californie), contour tous les 0.5 mgal.
4.3 Valle´ e alluvionnaire
83
F IG . 4.25: Isobathes obtenus par forage, sur des horizons pr´esentant esentant des variations brusque de densit´e. e. Chapelet d’anticlinaux de Kettleman Hills (Californie).
4.3
´ alluvionnaire Vallee
L’objectif ici est de d´ determiner e´ terminer la g´ geom´ e´ ometrie e´ trie et l’´ l’epaisseur e´ paisseur du remplissage d’une vall´ vallee e´ e par les alluvions.
´ de Portmadoc en Galles du Nord : Fig.4.26 Vallee Fig.4.26 et 4.27
L’epaisseur e´ paisseur d’alluvion est d´ dependante e´ pendante du contraste de densit´ densite´ consid´ consider´ e´ re. e´ . On trouve 240 m 3 3 g/ g/ avec ∆ ρ = 0.7 0.7 g /m et 360 m avec ∆ ρ = 0.5 0.5 g /m .
84
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.26: Anomalie de Bouguer, entre Portmadoc et Harlech.
4.4 Batholite gravim e´ trique
85
F IG . 4.27: Anomalie r´ residuelle, e´ siduelle, entre Portmadoc et Harlech.
´ 4.4 Bathol Batholite ite gravim gravim´etrique Batholite Batholite granitique : Fig 4.28
Au milieu de volcaniques ou m´ metamorphiques, e´ tamorphiques, l’anomalie circulaire est n´ negative e´ gative alors qu’au milieu de s´ sedimentaires, e´ dimentaires, elle est positive.
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
86
F IG . 4.28: Effet gravim´etrique etrique d’un batholite granitique.
4.5 4.5
´ ` Gise Giseme ment nts s metallif eres
Il faut faut s’atte s’attendr ndree a` des des anom anomali alies es auss aussii peti petite tess que que 0.05 0.05 mgal mgal economique e´ conomiquement ment int´ interessantes. e´ ressantes. La pr´ precision e´ cision dans les relev´ releves e´ s de terrain doit etre eˆ tre tr` tres e` s elev´ e´ levee e´ e : c’est-` c’est-a-dire a` -dire des lectures precises e´ cises au gravim`etre etre et au nivellement. Une erreur de 0.016 mgal est probable sur une simple observation.
Cuba : Fig 4.29
Recherche de minerais de chromite (1945) de densit´ densite´ de ρ favorable a` l’exploration par gravim´ gravimetrie. e´ trie.
g/ 4.0 g /cm 3 particuli` particulierement e` rement ∼ 4.0
´ 4.5 Gisements m etallif e` res
87
F IG . 4.29: Cuba : Anomalie gravim´ gravimetrique e´ trique au dessus d’un d´ depot e´ pot connu de chromite. L’intervalle entre les lignes de contour est de 0.05 mgal. Les cercles blanc sont des stations gravim´ vimetriques e´ triques et les noirs sont des trous de forages.
New Hosco, Abitibi (1950) (ouest de Matagami) Fig 4.30
Determination e´ termination de l’anomalie en gravit´ gravite´ pour mieux evaluer e´ valuer le corps (cuivre, zinc). Il s’agit d’un d’un gise giseme ment nt de 2400’ 2400’ de lon long, g, 20 a` 150’ 150’ de larg largee et de pend pendag agee de 65˚ 65˚ a` 70˚ 70˚, avec avec 1,800, 1,800, 000 000 tonn tonnes es Zn . a` 2.5% de Cu et 780, 780, 000 t a` 8.15% de Zn.
88
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.30: New Hosco (Abitibi)
4.6
´ Archeologie, travaux publics
Il s’agit bien souvent de caract´eriser eriser d’anciennes galeries ou cavit´es es (ex : port de Montr´eal, eal, Louis-Riel). Les mesures sont prises avec une tr`es es grandes pr´ecision. ecision. Il faut une pr´ecision ecision au cm sur l’altitude (2 a` 3 µgal) et d’environ 10 cm sur la position. Le gravim` gravimetre e` tre doit etre eˆ tre mgal ) et sensible (1 µgal). Les contrastes de denegalement e´ galement extr` extrement e` ment pr´ precis e´ cis (5 µgals = 0.005 mgal) sit´ sites e´ s sont forts (roche/air) et sont de l’ordre de 1.5 a` 2.5 pour des cavit´ cavites e´ s en travaux publics.
4.6 Arche´ ologie, travaux publics
89
Carriere : Fig.4.31 Fig.4.31
F IG . 4.31: Anomalie gravim´ gravimetique e´ tique au-desus d’une carri` carriere. e` re. Les courbes sont exprim ees e´ es en 0.01 mgal.
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
90
4.7 Autres utres Exemp Exemples les
Consulter : Hinze, W.J. (1985). The utility of regional Gravity and Magnetic anomaly maps. SEG
4.7.1 4.7.1
´ Prolonge Prolongement ment et filtrage filtrage ; mod mod´elisation
Texas (Ouest) : Fig.4.32 Fig.4.32 a` 4.38
F IG . 4.32: Localisation : Partie ouest du Texas
4.7 Autres Exemples
91
F IG . 4.33: Anomalie de Bouguer de la partie ouest du Texas. Contours aux 5 mgals
F IG . 4.34: Anomalie de Bouguer Bouguer ; Traiteme Traitement nt : Prolongem Prolongement ent vers le haut 5 km ; Contours aux 5 mgals
92
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.35: Anomalie de Bouguer ; Traitement Traitement : Filtre Passe-Haut et prolongement vers le haut 2 km (longueurs (longueurs d’ondes de 80 a` 4 km) ; Contours Contours aux 2 mgals
F IG . 4.36: Anomalie de Bouguer ; Traitemen Traitementt : Filtre Filtre Passe-Bas et prolongement prolongement vers le haut 2 km (longueurs d’ondes de ∞ a` 80 km) ; Contours Contours aux 5 mgals
4.7 Autres Exemples
93
F IG . 4.37: Interpr´etation etation d’une coupe EW passant dans le “Salt Basin Grabben” (voir fig 4.36) 4.36)
F IG . 4.38: Interpr´ Interpretation e´ tation d’une coupe SW-NE passant dans le “Delaware basin” et le “Central basin platform” (voir fig 4.36) 4.36)
4.7. 4.7.2 2
´ Mod Modelisation
Grennville Fig.4.39 Fig.4.39 et 4.40
Une des anomalie n´ negative e´ gative majeure du Canada poursuit le front du Grennville sur environ 1200 km (Voir article de Thomas).
94
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
F IG . 4.39:
4.7 Autres Exemples
95
F IG . 4.40:
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
96
Domaine volcanique Fig.4.41 Fig.4.41 a` 4.48
F IG . 4.41:
F IG . 4.42:
FIG . 4.43:
4.7 Autres Exemples
97
F IG . 4.44:
F IG . 4.45:
FIG . 4.46:
´ ´ 4. Signature des structures g eologiques en gravimetrie
98
F IG . 4.47:
FIG . 4.48:
F IG . 4.49:
´ 4.7.3 4.7.3 App Applic licati ations ons : Etude de cas Articles a` consulter
– V.K. Gupta and F.S. F.S. Grant, Mineral-exploration aspects of gravity and aeromagnetic survey in the Sudbury-Cobalt area, Ontario – R.J. Whitelay. Whitelay. Geophysical case study of the t he Woodlawn Woodlawn Orebody New South Wales, Wales, Australia.
´ erences ´ 5 Ref • Adller, J.L. [ 1941 ]. Simplification of Tidal Corrections for gravity meter-surveys. Annual Meeting, Houston, Texas, Avril 1941. • Blaricom, R.V. , [ 1980 ]. Practical Geophysics for the Exploration Geologist. NorthwestMining Association, Spokane. Bible, G.L. G.L. [ 1962 ]. Terrain Terrain Correction Tables for gravity. gravity. Geophysics, vol. 27, p. 716-718. • Bible, Compagni gnie e G´en´ eneral e´ rale e de G´eophysique , Prospection gravim´ gravimetrique. e´ trique. Manuel. 2e edition, e´ dition, • Compa tome II, Paris. • Dobrin M.B. [ 1988 ]. Intoduction to geophysical propecting. McGraw-Hill. Grant, F.S. et West, est, G.F. G.F. [ 1965 ]. Interpretation theory in Applied Geophysics. McGraw• Grant, Hill. • Griffin, W.R. [ 1949 ]. Residuel Gravity in Theory and Practice. Geophysics, vol. 14, pp. 39-56. • Hammer, S. [ 1945 ]. Estimating ore masses in gravity prospecting, Geophysics, Vol. 10(1), p. 50-62 Hinze, W.J. W.J. [ 1985 ]. The utility of regional Gravity and Magnetic anomaly maps. Society • Hinze, of Exploration Geophysicists • Ivanhoe, L.F. [ 1957 ]. Chart to check elevation factor effects on gravity anomalies. Geophysics, vol. 22, no. 3, pp. 643-645. • Keary, P. et Brooks, M. , [ 1991 ]. An introduction to Geophysical Exploration. Blackwell Scientific. • Nettleton, L.L. [ 1939 ]. Determination of density for reduction of gravimeter observations. Geophysics, vol. 4(3), p. 176-183. • Nettleton, L.L. [ 1971 ] Elementary Gravity and Magnetics for Geologists and Seismologists. Society of Exploration Geophysicists, Monograph Series 1. • Parasnis, D.S. [ 1962 ]. Principles of Applied Geophysics. Chapman & Hall. Gravimetrie e´ trie appliqu´ appliquee e´ e aux recherches structurales et a` la prospec• Schoeffler J. [ 1975 ]. Gravim´ tion p´ petroli` e´ troliere e` re et mini` miniere. e` re. Editions Technip. • Reynolds, J. M. [ 1997 ]. An Introduction to Applied and Environmental Geophysics. John Wiley & Sons. • Telford, W.M., Geldart, L.P. et Sherif, R.E. [ 1990 ]. Applied Geophysics. Cambridge University Press.
99
100
´ erences ´ 5. Ref
A Correc Correctio tion n de latitu latitude de L’equation e´ quation pour g( ϕ) s’´ s’ecrit e´ crit sous la forme g( ϕ) = c1 1 + c2 sin2 ϕ + c3 sin2 2 ϕ
Donc dg dϕ
(A.1)
sin2 ϕ cos2ϕ cos2 ϕ] = c1 [2c2 sin ϕ cos ϕ + 4c3 sin2ϕ sin2 ϕ + 2c3 sin4ϕ sin4 ϕ]] = c1 [ c2 sin2ϕ
(A.2)
En consid´erant erant que l = R ϕ, alors
et donc
dl =R dϕ
(A.3)
dg dg d ϕ c sin2 ϕ + 2c3 sin4ϕ sin4 ϕ] = = 1 [c2 sin2ϕ dl d ϕ dl R
(A.4)
En prenant c1 =978.0524 gals, c2 = 5.297 1967), on obtient : dg dl
= =
× 10−3 , c3 = −5.9 × 10−6 et R = 6367 km (I.U.G.G.
sin2 ϕ − 1.813 × 10−6 sin4ϕ sin4 ϕ × 10−4 sin2ϕ 0.081 0.081 sin(2 ϕ) × dl mgal/100m 8.137
101
(A.5)
102
A. Correction de latitude
´ B Obte Obteni nirr la la lat latit itud ude e geocentrique ´ par rapport a` la latitude geographique Consid´ Considerons e´ rons l’´ l’equation e´ quation de l’ellipse d’axes a et b : x 2 y2 + 2 = 1. a2 b
(B.1)
En choisissant les changements de variable x = r cos ϕ et y = r sin ϕ
(B.2)
ou` ϕ est la latitude g´eocentrique, eocentrique, l’´equation equation de l’ellipse peut s’´ecrire ecrire r 2 cos2 ϕ r2 sin2 ϕ + = 1. a2 b2
(B.3)
a 2 b2 b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ
(B.4)
On peut en d´eduire eduire que r2 =
et donc, x=
ab cos ϕ
b2 cos2
ϕ+
a2 sin2
.
(B.5)
ϕ
De mˆeme, eme, on a b a
− a2
x2
−
− x2
−
y =
(B.6)
Soit dx = dy
b a
1 2
( 2 x ) a2
103
1/2
=
− ba √ a2x− x2
(B.7)
´ ´ B. Obtenir la latitude geocentrique par rapport a` la latitude g eographique
104
Par cons´equent equent dx dy
=
=
= =
− − − b a
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ
b a
a2
ab cos ϕ
ab cos ϕ
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ ϕ
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ)2
(
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ
ab cos ϕ
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ
b2 cos ϕ a2 sin ϕ
− 2
a4 sin2
b2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ
b a
−
ab cos ϕ
−
a2 sin ϕ
−
1
1
(B.8)
Il est donc maintenant possible de calculer ψ, qui est l’angle entre le plan equatorial equat ´ orial et la parall`ele ele au plan de l’ellipse : ψ=
− arctan
−
dx = dy
− arctan
−
b2 cos ϕ a2 sin ϕ
Puisque la latitude g´ geographique e´ ographique θ vaut par d´ definition e´ finition π /2 /2 /2 + arctan θ = π /2 Ainsi
−
b2 cos ϕ a2 sin ϕ
b2 cos(θ a2 sin(θ
b2 ϕ = arctan 2 tan θ a
avec a = re = 6378.139 km et b = r p = 6356.754 km. km.
(B.9)
− ψ, alors
/2) − π /2 ϕ = arctan /2) − π /2 Comme cos(θ − π /2 /2) = sin θ et sin(θ − π /2 /2) = − cos θ , alors
−
(B.10)
(B.11)
(B.12)
` ´ C Systeme de coordonnees et ´ emes ` Theor fondamentaux C.1 C. 1
´ ´ Coor Co ordo donn nn´ees cartesiennes
´ ement – El´ El e´ ment de d´eplacement eplacement : dl = dx i + dy j + dz k
(C.1)
´ ement – El´ El e´ ment de surface (plan parall` parallele e` le a` x0 y seulement) : ds = dxdy
(C.2)
dv = dxdydz
(C.3)
∂φ ∂φ i+ j+ k ∇φ = ∂φ ∂x ∂ y ∂ z
(C.4)
∇V = ∂∂V xx + ∂∂V y y + ∂∂V z z
(C.5)
´ ement – El´ El e´ ment de volume : – Gradient Gradient de φ :
– Divergen Divergence ce de V :
– Rotationel Rotationel de V :
∇×
∂V z V= ∂ y
−
∂V y ∂V x i+ ∂ z ∂ z
−
∂V y ∂V z j+ ∂x ∂x
−
∂V x k ∂ y
(C.6)
– Laplacien Laplacien de φ : 2
2
2
∇2 φ = ∂∂xφ2 + ∂∂ yφ2 + ∂∂ zφ2 C.2 C. 2
(C.7)
´ cylindriques Coor Co ordo donn nn´ees
´ – Equations de transformation :
x = r cos θ y = r sin θ z = z 105
(C.8)
` ´ et Th eor ´ emes ` C. Systeme de coordonnees fondamentaux fondamentaux
106
´ ement – El´ El e´ ment de d´eplacement eplacement : dl = dr ar + rdθ rd θ a` + dz k
(C.9)
´ eement – El´ El ´ ment de surface (cylindre d’axe Oz seulement) : ds = rdθ rdθ dz
(C.10)
dv = rdrdθ rdrdθ dz
(C.11)
1 ∂φ ∂φ ar + a` + k ∇φ = ∂φ ∂r r ∂θ ∂ z
(C.12)
∇V = 1r ∂∂r (rV r ) + 1r ∂∂θV θ + ∂∂V z z
(C.13)
´ ement – El´ El e´ ment de volume : – Gradient Gradient de φ :
– Divergence Divergence de V :
– Rotationel Rotationel de V :
∇×
1 ∂V z V= r ∂θ
−
∂V θ ∂V r ar + ∂ z ∂ z
−
1 ∂ ∂V z a` + (rV θ ) ∂r r ∂r
−
∂V r k ∂θ
(C.14)
– Laplacien Laplacien de φ :
∇ C.3 C. 3
1 ∂ 1 ∂2 φ ∂2 φ ∂φ 2 r + 2 2+ 2 φ= r ∂r ∂ r r ∂θ ∂ z
(C.15)
´ spheriques ´ Coor Co ordo donn nn´ees
´ – Equations de transformation :
´ ement – El´ El e´ ment de d´eplacement eplacement :
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ
dl = dr ar + rdθ rd θ a` + r sin θ d ϕa’
(C.16)
(C.17)
´ ement – El´ El e´ ment de surface (sph ere e` re de centre O seulement) : ds = r2 sin θ dθ d ϕ
(C.18)
dv = r2 sin θ drdθ drd θ d ϕ
(C.19)
1 ∂φ 1 ∂φ ar + a` + a’ ∇φ = ∂φ r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r
(C.20)
∇V = r12 ∂∂r (r2 V r ) + r sin1 θ ∂θ∂ (sin θV θ ) + r sin1 θ ∂∂ϕV ϕ
(C.21)
´ ement – El´ El e´ ment de volume : – Gradient Gradient de φ :
– Divergence Divergence de V :
´ e` mes fondamentaux C.4 Theor
107
– Rotationel Rotationel de V :
∇×V
1 ∂ ∂V θ ar + (sin θ V ϕ ) r sin θ ∂θ ∂ϕ 1 1 ∂V r ∂ (rV ϕ ) a` + r sin θ ∂ϕ ∂r 1 ∂ ∂V r aϕ (rV θ ) r ∂r ∂θ
=
−
−
−
(C.22)
– Laplacien Laplacien de φ :
∇ C.4
1 ∂ 2 ∂φ 1 1 ∂ ∂φ ∂2 φ 2 r sin θ + 2 + 2 2 φ= 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ ϕ2
(C.23)
´ emes ` Theor fondamentaux
– Th´ Theor` e´ oreme e` me de Gauss :
S
– Th´ Theor` e´ oreme e` me de Stokes :
C
U ds =
·
U ds =
·
∇ · ∇ × (
U)dv
(C.24)
U) ds
(C.25)
V
S
(
·
– Premi` Premiere e` re identit´ identite´ de Green :
S
( ϕ ψ) ds =
∇ ·
– Deuxi` Deuxieme e` me identit´ identite´ de Green :
S
[ϕ ψ
∇ V
∇ − ψ∇ ϕ] =
( ϕ
· ∇ ψ) + ( ϕ ∇2 ψ)
∇ V
ϕ
2
ψ
− ψ∇2 ϕ
dv
dv
(C.26)
(C.27)
108
` ´ et Th eor ´ emes ` C. Systeme de coordonnees fondamentaux fondamentaux
D Exer Exerci cice ces s ´ gravimetriques ´ D.1 Correc Correctio tion n de don donn nees
Les donn´ees ees ci-jointes furent obtenues au-dessus d’un gisement de sulfures massifs pr`es es de Noranda. A partir des donn´ees du tableau A on obtient la d´erive erive de l’appareil a` chaque station de base en comparant la lecture corrig´ corrigee e´ e etablie e´ tablie dans la partie A et la lecture obtenue lors de mesures mesures subs´ subsequentes. e´ quentes. La d´ derive e´ rive aux autres stations est obtenue en interpolant entre les valeurs valeurs de la derive e´ rive aux stations de base.
[A]
Sta Station tion
Heur eure
1 +00 E 6 +00 E 1 +00 E 6 +00 E
13h41 13h53 14h02 14h16
12+00 E 6 +00 E 12+00 E
13h31 14h42 14h50
Lec Lectur ture (div.) 34.8 39.3 35.1 39.8 39.8 22.6 40.1 23.2
Corr Corr.. diu diurne rne (div.) 0.0 -0.2 -0.3 -0.5 -0.6 -0. 8 -0.9 -1.0
Lect Lectur uree corri orrig´ g´ee (div.) 34.8 39.1 34.8 39.3 39.2 21.8 39.2 22.2
Compl´ Completez e´ tez le tableau B des donn´ donnees e´ es en corrigeant les lectures de l’erreur de d erive. e´ rive. Calculez les valeurs relatives de la gravit´ gravite´ observ´ observee e´ e en multipliant les lectures corrig´ corrigees e´ es par la constante de l’appareil (K (K = = 0.1074 mgals/div.). 109
110
D. Exercices
[B]
Stati tation on 12+00 E 11+00 E 10+00 E 9 +00 E 8 +00 E 7 +00 E 6 +00 E 5 +00 E 4 +00 E 3 +00 E 2 +00 E 1 +00 E
Heur eure 15 15h50 15h53 15h57 15h59 16h03 16h05 16h10 16h13 16h15 16h17 16h20 16h22
Lect Lectu ure (div.) 23.7 24.3 27.2 36.5 49.4 45.9 41.2 40.0 39.7 38.5 38.6 37.0
Corr Corr.. diu diurne rne (div.) -1.7
Lect Lectu ure corr corrig´ ig´ee (div.) 22.0
-2.0
39.2
-2.2
34.8
∆ gobs
(mgal) 2.3
On peut maintenant calculer l’anomalie Bouguer en appliquant la correction appropri´ee. ee. Si 3 on supp suppos osee que que le terr terrai ain n poss` poss`ede e de une une dens densit´ it´e mo moye yenn nnee de 2.70 2.70 g/cm g/cm . La corr correc ectio tion n comb combin´ in´ee ee d’alt d’altitu itude de et de Boug Bougue uerr est est egale ´ a` 0.059 0.05944 mgal mgal/p /pi. i. Co Comp mpl´ l´etez e tez le table tableau au C en appl appliqu iquan antt cette cette ´ correction. Comme le profil est orient´ oriente´ E-O, la correction de latitude n’est pas n´ necessaire. e´ cessaire. Etant donn´ donne´ que le terrain de prospection est peu accident´ accidente, e´ , on peut aussi n´ negliger e´ gliger la correction topographique.
Station
∆ g
(mgal) 1 +00 2 +00 3 +00 4 +00 5 +00 6 +00 7 +00 8 +00 9 +00 10+00 11+00 12+00
Elev lev. (pi) 59.3 60.7 60.2 59.3 56.5 52.8 50.5 46.4 34.0 21.5 17.3 15.0
[C] Corr. Boug ouger (mgal)
Anom. Bouger (mgal)
Anom. r´esiduelle (mgal)
Dessinez le profil de l’anomalie Bouguer. S´ Separez e´ parez graphiquement l’anomalie r´ residuelle e´ siduelle de l’anomalie l’anomalie regionale. e´ gionale. Dessinez le profil de l’anomalie r´ residuelle e´ siduelle et estimez la profondeur du gisement.
D.2 Corrections gravim e´ triques
111
´ D.2 Correc Correctio tions ns gravim gravim´etriques Faire les corrections de d´ derive, e´ rive, latitude, altitude et plateau des donn´ donnees e´ es pr´ present´ e´ sentees e´ es dans le tableau. Reportez dans le tableau la valeur de la correction et non pas la valeur de l’anomalie corrig´ corrigee. e´ e. Calculez ensuite l’anomalie de Bouguer pour chacune des stations. La latitude de la station 0+00 est 48˚45’10” et le profil est orient´e suivant la direction N30E. On utilisera une densit´e de ρB = 2.67 g/cm3 . Station 2+50 N 2+25 N 2+00 N 1+75 N 1+50 N 1+25 N 1+00 N 0+75 N 0+50 N 0+25 N 0+00 0+25 S 0+50 S 0+75 S 1+00 S 1+25 S 1+50 S 1+75 S 2+00 S 2+25 S 2+50 N
a lt . (m) 100.64 100.46 102.01 100.37 99.57 101.52 104.76 103.52 104.48 105.06 104.79 104.01 103.77 103.79 104.38 104.73 105.35 106.48 107.71 108.46 100.64
∆ gmes
(mgal) 106.89 .89 106.99 .99 106.80 .80 107.23 .23 107.47 107.18 .18 106.53 .53 106.90 .90 106.78 .78 106.60 .60 106.65 106.82 106.95 107.05 107.10 107.19 107.16 107.11 107.05 107.19 107.65 .65
heure (hhmm) 10h30 10h35 10h39 10h46 10h54 10h58 11h03 11h14 11h31 11h35 11h40 11h47 11h50 11h59 12h07 12h10 12h15 12h18 12h28 12h39 12h59
∆t
∆h
∆ gder
∆ glat
∆ galt
∆ g pla
∆ g B
(mn)
(m)
(mgal)
(mgal)
(mgal)
(mgal)
(mgal)
´ D.3 Calc Calcul ul mo mod delisation ´ D.3.1 D.3.1 Col Colle lect cteur eur d’egouts A quel quelle le prof profon onde deur ur maxim maximale ale doit doit se trou trouve verr le toit toit un coll collec ecte teur ur d’´ d’e´ gou gouts de 4 m de rayon ayon si l’on veut le d´etecter etecter a` l’aide d’un gravim`etre de sensibilit´e de 0.05 mgal. On supposera le tuyau horizontal. La roche encaissante a une densit´ densite´ de ρ = 2.2 g/cm3 .
D.3.2 D.3.2 Produit Produits s toxiqu toxiques es On suppose qu’un baril contenant des produits toxiques est enfouis verticalement dans le sol a` une profondeur d’environ 4 m (profondeur du toit). Celui-ci aurait un rayon de 0.2 m
112
D. Exercices
pour une hauteur de 1 m. La densit´e de l’encaissant et du contenant du baril sont respectivement ρ=2.2 g/cm3 et ρ = 0.8 g/cm3 . Pouriez Pouriez vous le detecter e´ tecter a` l’aide d’un gravim`etre etre de sensibilit´e de 0.01 0.01 mgal ? On rappel que l’anomalie maximale d’un cylindre vertical est ∆ gmax = 2π G ∆ ρ
L+
z2 + R2
−
( z + L)2 + R2
ou` z est profondeu profondeurr du toit ; R le rayon du cylindre et L la hauteur du cylindre.
