(2) Vektör integrali, Gradyan (gradient), diverjans (divergence) ve rotasyonel rotasyonel (cur (curl) l) op oper eraatör örle leri ri
Vektör İntegral İşlemleri •
Elektromanyetik Elektromanyetik alanları anlamak için gerek duyulan bazı integral tanımları: Çizgi İntegrali İntegrali Yüzey İntegrali Hacim İntegrali İntegrali •
•
•
•
İşlemleri basitleştirmek için integraller Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir. a konumundan b konumuna olan yol boyunca F vektörünün çizgi integrali ∆s yüzeyi boyunca F vektörünün yüzey integrali ρv hacmi üzerinde F vektörünün hacim integrali
Çizgi İntegrali
•
•
Kartezyen koordinat sisteminde fonksiyonu için integralini integralini hesaplayın?
yolları için çizgi
(1) İntegral İntegral sonucu AB, BC, CD ve DA integrallerinin toplamına eşittir. eşittir. AB için
BC için
CD için
DA için
(2) İntegral sonucu AB, BD AB, BD ve ve DA integrallerinin toplamına eşittir. BD üzerinde çizgi denklemleri:
x başlangıç değeri 2, bitiş değeri 1
Yüzey İntegrali •
•
Yüzey integrali, diferansiyel yüzey elemanı ds olan ∆s yüzeyinden geçen vektör alan şiddetini hesaplamak için kullanılır. kullanılır. Bu vektör alanı genellikle akı (flu (flux) x) olar olarak ak isim isimle lend ndir iril ilir ir.. Yüz üze ey in inttegr egralin aliniin yönü, önü, yüz yüzeyin yin norm normal al yönünden dışa doğrudur.
Eğer Eğer vekt vektör ör alanı alanı,, tüm kapa kapalılı yüz yüzeyle eyleri ri için içine e alıyo alıyors rsaa ifad ifades esii kull kullanı anılılırr. Kapalı yüzey integrali duruma göre pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Yüzey İntegrali •
•
Küp üzerinde 6 farklı diferansiyel diferansiyel alanla ilişkili 6 farklı vektör bulunur. bulunur.
Verilen vektörler z eksenine dik ve birbirlerine zıt yöndedir.
Örnek 2.2 •
•
fonksiyonu için arasında belirtilen küpün yüzey integralini integralini hesaplayın? Not: Küpün altı yüzeyi vardır. Yüzey integrali bu altı yüzeyin toplamıdır. Üst yüz •
•
•
Alt yüz z=-1, Ön yüz
, aynı şekilde yüzey sıfır olur.
sınırları
•
Arka yüz, x=-1,
•
Sağ yan yüz,
•
Sol yan yüz,
•
Toplam yüzey =
aynı şekilde 12 olarak bulunur.
Örnek 2.3 vektör vektörü ü için için kürese küresell koordin oordinat at siste sistemin minde de kapalı kapalı yüzey yüzey integr integralin alinii
•
bulun?
MATLAB Uygulaması 1
>> sphere(20)
0.5
0
-0.5
-1 1 0.5
1 0.5
0 0 -0.5
-0.5 -1
-1
1
0.8
0.6
>> cylinder(20)
0.4
0.2
0 20 10
20 10
0 0 -10
-10 -20
-20
Hacim İntegrali
•
Kartezyen koordinat sisteminde integral hesaplanırken
•
Silindirin hacmi:
Örnek 2.4 •
fonksiyonu için arasında belirtilen bölgenin hacmini hesaplayın?
sınırları
Grad Gr adya yan n (1 (1)) •
•
Bir skalar büyüklüğün gradyanı, bize onun büyüklüğünü ve skalar büyüklüğün değişim değ işiminin inin mak maksim simum um or oranı anını nı gös göste tere ren n yön yönü ü bulm bulmak ak içi için n kul kullan lanılır ılır.. Gradyan işlemi skaler fonksiyon üzerinde uygulanır ve sonuç bir vektördür. Kartezyen koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyenti:
Büyüklük değişimin maksimum oranıdır. oranıdır. Yönü ise değişimin maksimum oranının yönüdür.
Skaler fonksiyonun düzey çizgisi (contour) (contour)
Grad Gr adya yan n (2 (2)) •
•
Silindirik koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı:
Küresel koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı:
Diverjans •
•
Diverjans operatörü uzayda bir vektör alanının bulunduğu belirli bir bölgede bir kayn ynak ak ya da bi birr he hede deff no nokt ktaa va varr ol olup up ol olma madı dığı ğını nı be beli lirl rlem emed ede e fayd ydal alıd ıdır ır.. Elektromanyetik alanlar için kaynak ve hedef olarak pozitif ve negatif yükler olarak düşünülebilir. Diverjans vektör fonksiyonu üzerinde uygulanır ve sonuç bir skalerdir. Kartezyen Kartezyen koordinat sisteminde diverjans tanımı:
Rotasyonel •
•
Rotasyonel bir vektör alanıyla ilişkili bir dönüş olup olmadığını belirlemek için kullanılabilecek bir vektör bir işlemdir. Vektör fonksiyonu üzerinde uygulanır ve sonuç yine bir vektördür. Kartezyen koordinat sisteminde rotasyonel tanımı:
Stokes Stok es Teor eoremi emi •
F vektör alanının yönlendirilmiş bir S yüzeyinin sınırı C kapalı yolu üzerindeki saat yönünün yönünün tersine tersine dolaşımı, yüzeyin birim normal vektörü vektörü n olmak üzere, üzere, .......…… .......…… ifadesinin S yüzeyi üzerindeki integraline eşittir.
Diverjans Dive rjans Teore eoremi mi •
F vektör alanının kapalı yönlendirilmiş bir S yüzeyindeki, yüzeyin dışarı doğru biri birim m n nor orma mall vek vektör tör alanı alanını nın n n yönü yönünde ndeki ki akıs akısıı ’nin ’nin yüze yüzeyi yin n çev çevre rele lediğ diğii V hacminin integralidir.
Sık Kullanılan Bazı İşlemler
Gradyan, Diverjans ve Rotas Rotasyonel yonel
Gradyan, Diverjans ve Rotas Rotasyonel yonel
