Gradiente
En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente gradientecorrespondiente correspondiente se aprecia por fechas azules.
El gradiente gradiente normalmente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud ísica. En otros contextos se usa inormalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución ísica de una determinada magnitud o propiedad.
Defnición El gradiente gradiente de de un campo escalar, !ue sea dierenciable en el entorno de un punto, es un vector de"nido como el único !ue permite hallar la derivada direccional en cual!uier dirección como#
siendo
un vector unitario y
dirección de
la derivada direcciona direccionall de
en la
, !ue inorma de la tasa de variación del campo escalar al
desplazarnos según esta dirección#
$na orma e!uivalente de de"nir el gradiente es como el único vector !ue, multiplicado por cual!uier desplazamiento in"nitesimal, da el dierencial del campo escalar#
%on la de"nición anterior, el gradiente est& caracterizado de orma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla#
Interpretación del Gradiente 'e orma geom(trica el gradiente es un vector !ue se encuentra normal a una super"cie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cual!uiera, llamese
,
,
etc(tera. )lgunos ejemplos son# %onsidere una habitación en la cual la temperatura se de"ne a trav(s •
de un campo escalar, de tal manera !ue en cual!uier punto
,
la temperatura es . )sumiremos !ue la temperatura no varia con respecto al tiempo. *iendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dar& la dirección en la cual se calienta m&s r&pido. +a magnitud del gradiente nos dir& cu&n r&pido se calienta en esa dirección. •
%onsidere una montaa en la cual su altura en el punto
se
de"ne como . El gradiente de H en ese punto estar& en la dirección para la !ue hay un mayor grado de inclinación. +a magnitud del gradiente nos mostrar& cu&n empinada se encuentra la pendiente.
Aproximación lineal de una unción El gradiente de una unción f de"nida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la unción en un punto particular x - en Rn. *e expresa así# donde
es el gradiente evaluado en x -.
Propiedades El gradiente veri"ca !ue# Es ortogonal a las super"cies e!uiescalares, de"nidas por cte.. )punta en la dirección en !ue la derivada direccional es m&xima. *u módulo es igual a esta derivada direccional m&xima. *e anula en los puntos estacionarios /m&ximos, mínimos y puntos de silla0 El campo ormado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es, • • • •
•
Expresión en dierentes sistemas de coordenadas ) partir de su de"nición puede hallarse su expresión en dierentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente re!uiere los actores de escala, mediante la expresión
1ara coordenadas cilíndricas / h2 h z 3,
0 resulta
y para coordenadas es(ricas / hr 3, h4 r ,
0
Gradiente de un campo vectorial En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente tambi(n puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de dierencial del campo al realizar un desplazamiento
un tensor !ue da el
Este tensor podr& representarse por una matriz
, !ue en coordenadas
cartesianas est& ormada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
Ejemplo 5editar6 'ada la unción f / x , y ,z 0 7 x 8 9 y 7 : sin/ z 0 su vector gradiente es#
Aplicaciones en ísica El ;radiente posee innumerables aplicaciones en ísica, especialmente en electromagnetismo y mec&nica de fuidos. En particular, existen muchos campos vectoriales !ue puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. $no de ellos es el campo electrost&tico, !ue deriva del potencial el(ctrico o la ley de =ourier para la temperatura. )sí, por ejemplo, el fujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas siendo k la conductividad t(rmica.
Divergencia
+a divergencia de un campo vectorial mide la dierencia entre el fujo entrante y el fujo saliente de un campo vectorial sobre la super"cie !ue rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene ?uentes? o ?sumideros? la divergencia de dicho campo ser& dierente de cero.
Divergencia de un campo vectorial +a divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se de"ne como el fujo del campo vectorial por unidad de volumen#
donde S es una super"cie cerrada !ue se reduce a un punto en el límite. El símbolo
representa el operador nabla.
Esta de"nición est& directamente relacionada con el concepto de fujo del campo. %omo en el caso del fujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice !ue el campo posee manantiales. *i la divergencia es negativa, se dice !ue tiene sumideros. El ejemplo m&s característico lo dan las cargas el(ctricas, !ue dan la divergencia del campo el(ctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo el(ctrico. *e llaman fuentes escalares del campo
al campo escalar !ue se obtiene a
partir de la divergencia de +a divergencia de un campo vectorial se relaciona con el fujo a trav(s del teorema de ;auss o teorema de la divergencia.
Coordenadas cartesianas %uando la de"nición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
el resultado es sencillo#
Coordenadas ortogonales *in embargo, para un caso m&s general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las es(ricas, la expresión se complica
debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. +a expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es#
'onde los
son los actores de escala del sistema de coordenadas,
relacionados con la orma del tensor m(trico en dicho sistema de coordenadas. Esta órmula general, para el caso de coordenadas cartesianas /h x h y h z 30 se reduce a la expresión anterior. 1ara coordenadas cilíndricas /
0 resulta#
1ara coordenadas es(ricas /
0 resulta
Coordenadas generales En sistemas de coordenadas generales, no necesarimente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en t(rminos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor m(trico#
Divergencia de un campo tensorial El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de @iemann la divergencia de un tensor < completamente sim(trico
*e de"ne como#
1or ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor sim(trico de segundo orden, cuya divergencia es
cero. 'e hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la orma#
eorema de la divergencia El teorema de la divergencia, recuentemente llamado teorema de ;auss, relaciona el fujo de un campo vectorial a trav(s de una super"cie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una super"cie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroest&tica como en la mec&nica de fuidos. El teorema se enuncia así# *ea una unción vectorial sobre un conjunto una rontera
y sea
dierenciable de"nida
un conjunto cerrado limitado por
o super"cie de contorno /!ue sea una variedad
dierenciable0 y sea
el vector normal en cada punto de la super"cie,
entonces se cumple !ue#
Rotacional Introducción Aatem&ticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la !ue se integra se reduce a un punto#
)!uí, BS es el &rea de la super"cie apoyada en la curva C, !ue se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo /!ue es un vector0, sino solo su componente según la dirección normal a B S y orientada según la regla de la mano derecha. 1ara obtener el rotacional completo deber&n calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. )un!ue el !ue el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica !ue las líneas de campo giren alrededor de ese punto y
lo encieren. 1or ejemplo, el campo de velocidades de un fuido !ue circula por una tubería /conocido como per"l de 1oiseuille0 posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo el eje central, pese a !ue la corriente fuye en línea recta#
+a idea es !ue si colocamos una rueda de paletas in"nitamente pe!uea en el interior del campo vectorial, esta rueda girar&, aun!ue el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la dierente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.
!uente vectorial " escalar 5editar6 )l campo vectorial, , !ue se obtiene calculando el rotacional de un campo en cada punto,
se conoce como las uentes vectoriales de
/siendo las uentes
escalares las !ue se obtienen mediante la divergencia0. $n campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice !ue carece de uentes vectoriales. C si est& de"nido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una unción escalar#
Expresión en coordenadas cartesianas
1artiendo de la de"nición mediante un límite, puede demostrarse !ue la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
!ue se puede expresar de orma m&s concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante#
En la notación de Einstein, con el símbolo de +eviD%ivita se escribe como#
Expresión en otros sistemas de coordenadas *i se emplean sistemas de coordenadas dierentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el !ue los vectores de la base dependen de la posición. 1ara un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las es(ricas, la expresión general precisa de los actores de escala#
/donde, en cartesianas, h x h y h z 3 y reobtenemos la expresión anterior. En coordenadas cilíndricas coordenadas es(ricas
y en 0.
Expresión mediante ormas dierenciales
$sando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como# bs(rvese !ue tomando la derivada exterior de un campo /co0vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 7Dorma o un campo de bivector, escrito correctamente como
.
*in embargo, puesto !ue los bivectores generalmente se consideran menos
intuitivos !ue los vectores ordinarios, el RFDdual se utiliza comúnmente en lugar de otro# esto es una operación !uiral, produciendo un pseudovector !ue ad!uiere valores opuestos en conjuntos coordenados iz!uierdos y derechos.
Propiedades
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Ejemplos •
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En un tornado los vientos est&n rotando sobre el ojo, y un campo vectorial !ue muestra las velocidades del viento tendría un rotacional dierente de cero en el ojo, y posiblemente en otras partes /v(ase vorticidad0. En un campo vectorial !ue describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco !ue rota, el rotacional tendr& un valor constante en todas las partes del disco. *i una autopista uera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las ronteras entre los carriles sería dierente de cero. +a ley de =araday de la inducción y la ley de )mpGreDAaxHell, dos de las ecuaciones de AaxHell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. +a primera indica !ue el rotacional de un campo el(ctrico es igual a la tasa de variación de la densidad del fujo magn(tico, con signo opuesto debido a la +ey de +enzI la segunda indica !ue el rotacional de un campo magn(tico es igual a la suma de la densidad de corrientes y la derivada temporal de la densidad de fujo el(ctrico
