GRAD100_ESTATISTICA_livro

Estatística Aplicada

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Adriana Santos Augusto

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DIREÇÃO SUPERIOR Chanceler Reitora Presidente da Mantenedora Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Pró-Reitor Administrativo

Joaquim de Oliveira Marlene Salgado de Oliveira Jefferson Salgado de Oliveira Wellington Salgado de Oliveira Jefferson Salgado de Oliveira Wallace Salgado de Oliveira

Pró-Reitora Acadêmica Pró-Reitor de Extensão Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

Jaina dos Santos Mello Ferreira Manuel de Souza Esteves Marcio Barros Dutra

DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA Assessora

Andrea Jardim

FICHA TÉCNICA Texto: Adriana Santos Augusto Revisão: Lívia Antunes Faria Maria e Walter P. Valverde Júnior Projeto Gráfico e Editoração: Andreza Nacif, Antonia Machado, Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos Supervisão de Materiais Instrucionais: Janaina Gonçalves de Jesus Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos Ilustração: Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos

COORDENAÇÃO GERAL: Departamento de Ensino a Distância Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420

www.universo.edu.br

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói A923e Augusto, Adriana Santos. Estatística aplicada / Adriana Santos Augusto ; revisão de Herivelto Nunes Paiva, Lívia Antunes Faria Maria e Walter P. Valverde Júnior. 2. ed. – Niterói, RJ: UNIVERSO, 2011. 254p. ; il. 1. Estatística aplicada. 2. Gráficos estatísticos. 3. Medidas estatísticas. 4. Amostragem (Estatística). I. Maria, Lívia Antunes Faria. II. Valverde Júnior, Walter P. III. Título. CDD 519.5 Bibliotecária: ELIZABETH FRANCO MARTINS – CRB 7/4990 © Departamento de Ensino a Distância - Universidade Salgado de Oliveira Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora da Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO).

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Informações sobre a disciplina NOME DA DISCIPLINA: Estatística Aplicada CARGA HORÁRIA: 60 CRÉDITOS: 04 EMENTA Elementos da Estatística Descritiva. Séries e Gráficos Estatísticos. Distribuição de Frequências. Medidas de Tendência Central. Medidas de Dispersão. Noções de amostragem. Cálculo das probabilidades. Distribuição de probabilidade (Binomial e Normal). Correlação e regressão.

OBJETIVO GERAL:

•

Apresentar aos alunos as noções de estatística, permitindo organizar,

•

interpretar e utilizar os conceitos básicos da estatística descritiva, na análise dos

•

fenômenos, seja nas áreas tecnológica, humana e da saúde.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

Unidade 1: Elementos da Estatística Descritiva 1.1-População ou Universo Estatístico 1.2-Amostra 1.3-Fases de Método Estatístico 1.4-Classificação das Variáveis 1.5-Tipos de Séries: Temporal, Geográfica e Específica. 1.6-Distribuição de Frequências. 3


Unidade 2: Gráficos Gerais Estatísticos 2.1-Principais Gráficos 2.1.1-Barras 2.1.2-Colunas 2.1.3-Setores 2.1.4-Linhas 2.1.5-Cartogramas 2.1.6-Pictogramas 2.2-Gráficos Estatísticos 2.2.1-Histograma 2.2.2-Polígono de Frequências 2.2.3-Ogivograma 2.2.4- Ogiva de Galton

Unidade 3: Medidas de Tendência Central 3.1-Média Aritmética 3.2-Mediana 3.3-Moda 3.4-Separatrizes

Unidade 4: Medidas de Dispersão 4.1-Amplitude Total 4.2-Variância 4.3-Desvio Padrão 4.4-Coeficiente de Variação 4


Unidade 5: Noções de Amostragem 5.1-Amostragem Casual ou Aleatória Simples 5.2-Amostragem por Conglomerados 5.3- Amostragem Acidental 5.4- Amostragem Intencional 5.5- Amostragem Quotas 5.6- Amostragem Estratificada

Unidade 6: Cálculo das Probabilidades 6.1-Caracterização de um experimento Aleatório 6.2-Espaço Amostral 6.3-Evento 6.4-Eventos Mutuamente Exclusivos 6.5-Definição de Probabilidade 6.6-Principais Teoremas 6.7- Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais Finitos 6.8- Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 6.9- Probabilidade Condicional 6.10-Independência Estatística

Unidade 7: Distribuições de Probabilidades 7.1-Distribuição Binomial 7.2-Distribuição Normal

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Unidade 8: Correlação e Regressão 8.1-Representação gráfica 8.2-Métodos dos Mínimos Quadrados

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA BÁSICA: BRASIL. ANUÁRIO ESTATÍSTICO DO BRASIL. Rio de Janeiro: IBGE, 2008. LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. São Paulo, Lapponi Treinamento e Editora Ltd., 2000. TRIOLA, M. F., Introdução à Estatística. Sétima Edição. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A.. Estatistica básica. Sao Paulo: ATUAL, 1, 1997. DOWNING, D. & CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo, Ed. Saraiva, 1999. Fonseca, J. S.; Martins, G. de A. Curso de Estatística . 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996. Martins, G. A.. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Atlas, 2001. Pereira, J. C. R. Análise de Dados Qualitativos. 3ª edição. São Paulo: Edusp, 2001.

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Palavra da Reitora Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO Virtual, que reúne os diferentes segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero bem-sucedidas mundialmente. São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se responsável pela própria aprendizagem. O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa plataforma. Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bemsucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, graduação ou pós-graduação. Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. Seja bem-vindo à UNIVERSO Virtual! Professora Marlene Salgado de Oliveira Reitora 7


Sumário

1. 2.

Apresentação da disciplina................................................................................................... 09 Plano da disciplina.................................................................................................................... 11

3.

Unidade 1 – Elementos de Estatísticas Descritiva........................................................ 15

4.

Unidade 2 – Representação Gráfica................................................................................... 53

5.

Unidade 3 – Medidas de Tendência Central................................................................... 69

6.

Unidade 4 – Medidas de Dispersão................................................................................... 97

7.

Unidade 5 – Noções de Amostragem .............................................................................. 114

8.

Unidade 6 – Cálculo das Probabilidades.......................................................................... 131

9.

Unidade 7 – Distribuição de Probabilidade.................................................................... 153

10. Unidade 8 – Correlação e Regressão................................................................................. 175 11. Considerações finais ................................................................................................................ 199 12. Conhecendo o autor................................................................................................................ 201 13. Referências .................................................................................................................................. 203 14. Anexos........................................................................................................................................... 205

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Apresentação da Disciplina

Caro aluno, Seja bem-vindo à disciplina Estatística Aplicada. Muitos falam em estatística, mas poucos sabem o que é e para que ela serve. A estatística é um ramo da matemática aplicada que desempenha um papel fundamental para a compreensão da realidade. Ela nos fornece métodos para coleta, organização, análise e interpretação de dados para posterior utilização dos mesmos em tomada de decisões. Na Antiguidade, assim como hoje, os povos mantinham um registro permanente do número de habitantes, nascimentos e óbitos. O que faziam ainda não tinha nome. A palavra ESTATÍSTICA surgiu na Idade Média, quando as informações eram tabuladas com finalidades bélicas e tributárias, ou seja, sua importância maior era servir ao Estado, daí o nome. A estatística será de grande utilidade para você, pois é uma ferramenta indispensável não só nos negócios, mas em todas as ciências, afinal de contas, você poderia imaginar o mundo de hoje sem registros numéricos? Já se deu conta da facilidade com que "projetamos" o futuro muito antes de ele acontecer? E isso acontece em todos os ramos da nossa vida. Assim, desejamos que você realize um ótimo estudo e, lembre-se: a aprendizagem é infinita! Utilize nossas referências bibliográficas para aprofundar e engrandecer seus conhecimentos sobre os assuntos aqui estudados, pois isso lhe acrescentará muito, não só como aluno, mas também como profissional e cidadão. Tenha um excelente estudo! Sucesso!

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Plano da Disciplina A disciplina Estatística possui objetivos próprios no que diz respeito ao processo ensino-aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades necessárias à formação de futuros profissionais que atuarão na sociedade contemporânea. São objetivos gerais da disciplina: capacitar o aluno para o uso da metodologia estatística mediante aplicação de técnicas de análise estatística de dados, de projeção e metodologia de tomada de decisão; utilizar os conceitos e o conteúdo prático dos Métodos Quantitativos aplicados para o desenvolvimento de trabalhos pedagógico-científicos e proporcionar melhor aplicabilidade interdisciplinar durante o exercício do curso. O conteúdo programático foi divido em oito unidades que abordarão desde os Elementos da Estatística Descritiva até a Correlação e Regressão. Seguiremos, agora com a apresentação de cada unidade:

Unidade 1 – Elementos da Estatística Descritiva

Objetivo: identificar conceitos básicos da disciplina; compreender o que é exatamente a estatística e para que ela serve; interpretar um levantamento estatístico; conhecer as séries estatísticas; trabalhar os dados estatístico através da montagem de uma distribuição de frequências.

Unidade 2 – Representação Gráfica

Objetivo: construir e analisar os gráficos que você tanto conhece e que fazem parte da sua vida cotidiana.

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Unidade 3 – Medidas de Tendência Central

Objetivo: compreender as medidas de tendência central e calculá-las para dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências.

Unidade 4 - Medidas de Dispersão

Objetivo: compreender as medidas de dispersão, calcular essas medidas para dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências.

Unidade 5 - Noções de Amostragem

Objetivo: conhecer mais sobre o cálculo e os tipos de amostra e os métodos probabilísticos.

Unidade 6 - Cálculo das Probabilidades

Objetivo: caracterizar os experimentos aleatórios; calcular as possibilidades de acontecimento de tais experimentos, a chance de um evento ocorrer ou não, ou seja, a probabilidade de sucesso ou insucesso.

Unidade 7- Distribuição de Probabilidade

Objetivo: identificar e calcular problemas relacionados à contagem – Distribuição Binomial; identificar e calcular problemas relacionados a espaços amostrais contínuos e às variáveis contínuas – Distribuição Normal. 12


Unidade 8 – Correlação e Regressão Objetivo: ajustar uma reta a um conjunto de dados e determinar a equação da reta que constitui o melhor ajuste; calcular e classificar o grau de correlação existente entre duas variáveis.

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Elementos de Estatística Descritiva Conceitos básicos da Estatística Séries estatísticas Distribuição de frequências

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Nesta primeira unidade, estudaremos o que é o método estatístico, bem como as suas fases. Aprenderemos as definições de variável, população e amostra, assim como algumas técnicas para o cálculo de uma amostra. Também iremos estudar as séries estatísticas e a distribuição de frequências .

OBJETIVOS DA UNIDADE:

•

Identificar conceitos básicos da disciplina.

•

Compreender o que é exatamente a estatística e para que ela serve.

•

Interpretar um levantamento estatístico.

•

Conhecer as séries estatísticas.

•

Trabalhar os dados estatístico através da montagem de uma distribuição de frequências.

PLANO DA UNIDADE :

Conceitos básicos da estatística Séries estatísticas Distribuição de frequências

Bem-vindo à primeira unidade de estudo

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Conceitos Básicos

Estatísticas são feitas todos os dias em jornais e revistas, algumas vezes por órgãos que não conhecemos e que não sabemos se são confiáveis ou não. O dia-adia de um cidadão está cheio de “armadilhas” espalhadas na mídia de modo a leválo a percorrer caminhos nem sempre corretos. Para não cair nessas “armadilhas”, a primeira coisa que devemos saber é distinguir os dois tipos de estatística - a que envolve a contagem pura e simples, como o censo da população, feito de tempos em tempos pelo IBGE e a calculada por amostragem, como, por exemplo, as pesquisas sobre a intenção de voto. A decisão quanto à metodologia a ser utilizada, se recenseamento ou amostra, vai depender principalmente dos custos e do tempo para apuração dos dados. É óbvio que o ideal seria consultar toda a população, porém isso custa caro e nem sempre os recursos existentes são suficientes para isso. Por isso, normalmente utiliza-se a pesquisa amostral. Deve-se saber também que há algumas regras básicas empregadas na "contabilidade" e na generalização dos dados obtidos. A coleta, a organização, a descrição, o cálculo, a análise e interpretação dos coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto que a análise e a interpretação dos dados amostrais, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, que se fundamenta na teoria da probabilidade e é muito útil na análise de jogos, entre outros. Por exemplo, não é preciso provar todas as caixas de bombom produzidas numa fábrica para se saber se o chocolate é bom. A amostragem nos permite mensurar o que queremos apenas sobre uma parcela pequena de determinada “população”, denominada amostra e utilizar essa informação para fazer inferência sobre toda a população.

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MÉTODO ESTATÍSTICO

Método: é o meio mais eficaz para atingir determinada meta. Dos métodos científicos destacamos o método experimental e o método estatístico.

•

Método Experimental:

consiste em manter constante todas as

causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc. Em laboratório é fácil mantermos constantes, por exemplo, a pressão e variarmos a temperatura para estudar o efeito dessa variação .

•

Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma dela. Ex.: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui? É um método muito usado nas ciências sociais, pois seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.

FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO

•

Definição do Problema O que exatamente se pretende pesquisar? Ou seja, é preciso definir

corretamente o problema.

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•

Planejamento

Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? Censo? Amostragem? Qual é o cronograma de atividades? Quais são os custos envolvidos no processo?

•

Coleta

É o registro de dados com um objetivo determinado. A coleta de dados pode ser Direta ou Indireta.

Coleta Direta: é feita pelo próprio pesquisador (censo) ou através de registros permanentes quando é obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. A coleta direta de dados pode ser classificada quanto ao fator tempo em contínua, periódica ou ocasional.

Coleta Contínua: quando é feita continuamente. Ex.: registros de nascimento, óbitos, casamentos;

Coleta Periódica: quando é feita em intervalos constantes de tempo. Ex.: censo (de 10 em 10 anos);

Coleta Ocasional: quando é feita a fim de atender a uma emergência. Ex.: coleta de dados epidemiológicos.

Coleta Indireta: é feita por deduções a partir de dados que são conhecidos, conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização.

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Quanto aos dados coletados, ou seja, a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos, eles podem ser primários ou secundários.

• Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido.

Ex: tabelas do censo

demográfico do IBGE. • Dados secundários: quando são publicados por outra organização.

EXEMPLIFICANDO

Quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.

IMPORTANTE

Trabalhar com fontes primárias é sempre mais seguro!

•

Crítica

Os dados coletados devem ser cuidadosamente criticados para evitar erros que possam vir a alterar os resultados. Ex.: numa pesquisa feita numa academia perguntou-se o peso dos atletas. Resposta: 765 kg. É obvio que houve algum tipo de erro na coleta do dado, este deve ser, então, descartado.

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•

Apuração

É a organização dos dados obtidos na coleta, através de sua contagem e agrupamento.

•

Apresentação dos Dados

Há duaspelo formas de apresentação. apresentação tabular segundo regras práticas fixadas Conselho Nacional de AEstatística e a apresentação gráfica dos dados. Uma não exclui a outra.

•

Análise dos Resultados

Esta é a última fase do método estatístico. Refere-se ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Nesta etapa obteremos conclusões sobre o todo (população), a partir das informações fornecidas pela parte que representa o todo (amostra).

População ou Universo Estatístico

É o conjunto total de elementos portadores de pelo menos uma característica em comum. Ex.: o universo dos alunos de uma escola.

Variáveis

Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Ex.: sexo, cor da pele, idade...Pode ser classificada de variável quantitativa ou variável qualitativa.

•

Variável Qualitativa: quando seu valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele,etc.

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•

Variável Quantitativa: quando os dados são de caráter quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, se divide em variável discreta e variável contínua.

•

Variável Discreta ou Descontínua: seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não-negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: número de filhos de um casal - pode assumir valores como 0; 1; 2; 3;..., mas nunca valores como: 1,5; 3,72; etc.

•

Variável Contínua: pode assumir qualquer valor entre dois limites, ou seja, assume valores em um intervalo real. Resulta normalmente de uma mensuração, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: temperatura. Normalmente as medições dão srcem a variáveis contínuas e as contagens a variáveis discretas.

Amostragem

Amostra é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população. É um subconjunto finito de uma população. Uma amostra deve ser cuidadosamente planejada a fim de garantir a menor margem de erro na pesquisa. A margem de erro é um intervalo controlado dentro do qual podem variar os resultados finais. Nenhum levantamento estatístico feito por amostragem é perfeito, ou melhor dizendo, um estudo bem planejado não elimina o erro, apenas o limita.

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Para selecionar uma amostra é preciso levar em conta as características de distribuição física da população, ou seja, algumas áreas têm uma população maior que outras. É preciso levantar os dados em proporção à densidade populacional das regiões. Por exemplo, se o objeto de estudo é o tipo de programa de TV mais assistido, não adianta fazer o estudo apenas em uma turma de escola de educação infantil, pois o resultado obviamente seria desenho animado. Crianças não costumam assistir a telejornais ou a filmes da madrugada. Se a pesquisa fosse feita dessa forma, o resultado não estaria correto. Assim, no caso de uma população ser composta de 35% de crianças, 40% de adultos e os outros 25% de idosos, uma amostra dessa população também deve conter crianças, adultos e idosos na mesma proporção.

Amostragem Casual ou Aleatória Simples

É o processo mais utilizado. Equivale a um sorteio lotérico. Pode ser realizada da seguinte forma: numera-se a população de1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, n números dessa sequência, que corresponderão aos elementos pertencentes da amostra.

EXEMPLIFICANDO

Obter uma amostra de 10% dos 580 alunos de uma escola: 1º - numeramos os alunos de 1 a 580. 2º - escrevemos os números dos alunos de 1 a 580 em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após mistura, retiramos, um a um, cinquenta e oito números que formarão a amostra.

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IMPORTANTE

Quando o número de elementos da amostra é muito grande como neste caso, esse tipo de sorteio é muito trabalhoso. Então, utiliza-se uma tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.

Amostragem Proporcional Estratificada:

Quando a população se divide em estratos (subconjuntos da população), é imprescindível que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.

EXEMPLIFICANDO Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, dos pacientes internados em um SPA. Supondo que sejam 106 mulheres e 54 homens. São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos:

SEXO MASCULINO FEMININO Total

POPULAÇÃO 54 106 160

10 % 5,4 10,6 16

AMOSTRA 5 11 16

Numeramos, então, os pacientes de 01 a 160, sendo 01 a 54 homens e 55 a 160, mulheres e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios, que será vista na unidade VII.

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IMPORTANTE

No caso da tabela acima, estamos selecionando uma amostra composta por pessoas, portanto não podemos selecionar 5,4 pessoas do sexo masculino. Devemos, então, “arredondar” o número 5,4 para um número inteiro, ou seja, 5.

Dúvidas no arredondamento?

Existem duas formas de representar um número quando não podemos representá-lo com todos os seus dígitos, o truncamento e o arredondamento.

O truncamento - Truncar um número é “quebrá-lo” de acordo com o número de dígitos que queremos representar.

EXEMPLIFICANDO Representar os números abaixo com apenas dois dígitos. 27,283 → 27 27,575 → 27 27,897 → 27 Em todos os casos o número será representado da mesma forma, não importando o tamanho do erro.

Erro- Toda vez que um número não é representado com todos os seus algarismos, estamos cometendo um erro. Por exemplo: ao aproximarmos o número 2,7 para 3 estamos aumentando esse número em 0,3 (erro!), ou então, ao aproximarmos o número 2,2 para 2 estamos diminuindo esse número em 0,2 (erro!). O erro cometido deve ser o menor possível!!!

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Arredondamento - Para arredondar um número, devemos seguir a Resolução 886/66 da Fundação IBGE, conforme segue abaixo:

•

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer.

•

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8, ou 9, aumentase de uma unidade o algarismo a permanecer.

•

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: a)

Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer.

b)

Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

IMPORTANTE: Não devemos nunca fazer arredondamentos sucessivos.

EXEMPLIFICANDO

Arredondar os números abaixo para duas casas decimais. 2,232 → 2,23 2,235 → 2,24 24,6650 → 24,66 24,7750 → 24,78 24,77501 → 24,78 24,66501 → 24,67

Amostragem Sistemática: Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de sorteio.

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EXEMPLIFICANDO Suponhamos um prédio com 200 apartamentos, dos quais desejamos obter uma amostra formada por 20 apartamentos para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 200/20 = 10, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 10, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 10 em 10. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 6, a amostra seria: 6o apartamento, 16o apartamento, 26o apartamento, etc.

Até aqui, vimos como se faz um levantamento estatístico, o que é e para que serve. Vimos ainda como é selecionada uma amostra e qual a importância desta. Veremos agora o que são séries estatísticas Vamos, então, passo a passo. Você sabe o que é uma tabela ?

TABELA - É um quadro que resume um conjunto de observações organizados segundo linhas e coluna

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Veja o exemplo de tabela abaixo :

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Ex.: Equipamentos existentes, disponíveis ao SUS, por tipo, segundo as grandes regiões – Brasil - 2002

IMPORTANTE

•

O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.

•

Na construção das tabelas, devemos colocar:

•

um traço horizontal ( - ) quando o valor for zero;

•

três pontos ( ... ) quando não tivermos os dados;

•

zero ( 0 ) quando o valor for muito pequeno em relação à unidade utilizada;

•

um ponto de interrogação quando não tivermos certeza quanto à exatidão de determinado valor.

Agora que você já sabe o que é uma tabela e como construí-la vamos conhecer as séries estatísticas .

Série Estatística

É uma tabela que apresenta um conjunto de dados estatísticos em função da época, local ou espécie.

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TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSITICAS

SÉRIES HOMÓGRADAS São as séries em que a variável estudada é discreta, ou seja, não contínua. Pode ser temporal, geográfica ou específica.

•

Série Temporal: o que está em estudo é o fator tempo. O local e a espécie são elementos fixos.

ARTE E COMÉRCIO LTDA UNIDADES EXPORTADAS PERÍODO 1O/2002 2O/2002 1O/2003 2O/2003 1O/2004 2O/2004 TOTAL

UNIDADES 300 250 225 289 352 458 1874

Fonte: dados fictícios.

•

Série Geográfica: o que está em estudo é o fator geográfico. A época e a espécie são elementos fixos. ARTE E COMÉRCIO LTDA UNIDADES EXPORTADAS - 2004 FILIAIS

UNIDADES

São Paulo

356

Rio de Janeiro

229

Curitiba

225

TOTAL

810


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•

Série Específica: a variável em estudo é o fator ou a espécie. ARTE E COMÉRCIO LTDA UNIDADES EXPORTADAS - 2004 TIPO UNIDADES ARTEFATOS EM BRONZE 365 TELAS TOTAL

445 810


SÉRIES CONJUGADAS OU TABELAS DE DUPLA ENTRADA: apresentam duas ou mais séries em uma mesma tabela, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica temporal. ARTE E COMÉRCIO LTDA UNIDADES EXPORTADAS FILIAIS

2003

2004

São Paulo

236

356

Rio de Janeiro

153

229

Curitiba

125

225

TOTAL

514

810


Conhecidas as séries estatísticas, vamos estudar agora a distribuição de frequências, em que aprenderemos a organizar os dados coletados através ou não da amostra, faremos também uma breve revisão de como calcular porcentagem. Vamos em frente !

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Mas, afinal, o que é uma distribuição de frequências?

A distribuição de frequências é um tipo de tabela que condensa uma série de dados de acordo com a repetição de seus valores (frequências).

1. Dados brutos ou Tabela primitiva

Trata-se de uma relação de elementos ou tabela que não foram numericamente organizados. São os dados coletados sem nenhuma arrumação. Apenas olhando para os números, é difícil ter uma ideia do comportamento da amostra. Não sabemos, por exemplo, quem é o menor, quem é o maior, quais são os números que mais se repetem, etc.

EX.: 25, 21, 22, 21, 22, 23, 24, 21 ,30, 26, 30, 26, 40, 34, 32, 38, 37, 38, 40, 31

2. ROL

Se olharmos no dicionário veremos como definição que o rol é a relação obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ordenando os dados podemos ter uma ideia melhor do comportamento da amostra. Percebemos, desta forma, os dados que mais se repetem, os que aparecem menos, quem é o menor deles e quem é o maior, etc.

EX.: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 30, 30, 31, 32, 34, 37, 38, 38, 40, 40

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3. Os tipos de distribuição de frequência

Distribuição de frequência sem intervalos de classe Essa distribuição é usada quando o número de dados diferentes que aparecem é pequeno. Trata-se de uma simples condensação dos dados, conforme as repetições de seu valores. No exemplo dado, ao invés de escrevermos o número 21 três vezes, escrevemos apenas uma e indicamos que ele se repete três vezes, ou seja, a frequência do número 21 é igual a três.

EX.: Tabela Primitiva Dados 21 22

Frequência 3 2

23 24 25 26 30 31 32 34 37 38 40 Total

1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20

Distribuição de frequência com intervalos de classe Quando o tamanho da amostra é grande, com vários números diferentes se repetindo, uma tabela de distribuição de frequências como a vista acima seria muito longa (comprida). Dessa forma, agrupamos os valores em vários intervalos de classe, diminuindo o tamanho da tabela. 33


No exemplo dado, temos:

i 1 2

Classes 21 |⎯ 25 25 |⎯ 29

Frequências 7 3

3 4 5

29 |⎯ 33 33 |⎯ 37 37 |⎯ 41 Total

4 1 5 20

Como você já deve ter percebido, a Estatística utiliza alguns nomes que talvez lhe sejam desconhecidos. Mas, a partir de agora, com certeza, você os aprenderá. Afinal de contas, é para isto que estamos aqui: para ensinar e também aprender!

NOMECLATURAS CLASSE (i) É cada um dos intervalos de variação da variável analisada. Ex.: na tabela anterior, a 3ª classe, simbolizada por i = 3, varia de 29 até 33, ou seja, (29 | ⎯ 33). O símbolo |⎯ significa intervalo aberto à direita e fechado à esquerda, ou seja, nessa classe estão contidos os valores de 29 (inclusive) até 33 (exclusive). Por exemplo, dado o número 33 do ROL, este não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 33 |⎯ 37 . Sempre utilizaremos o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.

34


4.2. LIMITES DE CLASSE Os limites de classe são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). No intervalo 29 |⎯ 33, l3 = 29 e L3 = 33.

4.3. AMPLITUDES Aqui, podemos citar a amplitude do intervalo de classe, a amplitude amostral e amplitude total da distribuição. Vejamos, então, cada uma delas.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE (hi) É calculado após conhecermos o valor de i (nº de classes) e o valor de AA (amplitude amostral). hi

=

AA i

Se a distribuição por classes já estiver construída, nesse caso, hi = Li - li, ou seja, a diferença entre os limites de cada classe. Ex.: na tabela anterior. h1 = 25-21=4 h2 = 29-25=4 h3 = 33-29=4 h4 = 37-33=4 h5 = 41-37=4

IMPORTANTE Na distribuição de frequência com classe, devemos sempre que possível ter hi igual em todas as classes.

35


AMPLITUDE AMOSTRAL (AA = Xmáx - Xmin) Trata-se da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). No nosso exemplo: AA=40-21=19.

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT = L(max) - l(min)) É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.

EX.: na tabela anterior,

AT = 41 - 21= 20.

Obs.: AT sempre será maior ou igual aAA.

PONTO MÉDIO DE CLASSE xi

l

=

i

+L 2

i

O ponto médio de classe é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

EX.: considere a 3ª classe da tabela em29 |⎯ 3 3, o ponto médio x3 = (29+33)/2 = 31.

IMPORTANTE O ponto médio será de suma importância para o cálculo da média, pois, como dito anteriormente, na tabela organizada com intervalos de classe, não sabemos mais, exatamente, quais são os valores representados em cada intervalo. Assim, consideraremos esses valores como sendo o ponto médio dos intervalos para que o erro seja o menor possível.

36


Cálculo do número de intervalos de classe

Podemos calcular o número de intervalos de classe de duas formas: pela Regra de Sturges ou pela raiz quadrada de n.

DICA Regra de Sturges - Número de Classes Para determinar o número de classes ideal de uma distribuição, utiliza-se a Regra de Sturges, de acordo com o tamanho da amostra.

i ≅ 1 + 3,3 log.n Onde n é o número de elementos da relação de dados brutos. Para o exemplo dado, temos: i ≅ 1 + 3,3 log20 = 5,29 ≅ 5.

i 1 2 3 4 5

Classes 21 |⎯ 25 25 |⎯ 29 29 |⎯ 33 33 |⎯ 37 37 |⎯ 41 Total

Frequências 7 3 4 1 5 20

DICA Se você não possui uma calculadora científica para calcular o valor do logaritmo de n, busque nos anexos os respectivos valores.

37


Regra da Raiz Quadrada de n - Número de Classes

Para determinar o número de classes ideal de uma distribuição, utiliza-se a regra da Raiz Quadrada de n, de acordo com o tamanho da amostra. i≅ n Onde n é o número de elementos da relação de dados brutos. Para o exemplo dado, temos: i ≅

20 = 4,47 ≅ 4.

DICA Valores da raiz de n encontram-se previamente calculados nos anexos.

1i 2 3 4

Classes 21 |⎯ 26 26 |⎯ 31 31 |⎯ 36 36 |⎯ 41 Total

Frequências 8 4 3 5 20

Se i=4 deve-se calcular o novo hi. Ex.: na tabela anterior. h1= 26-21=5 h2= 31-26=5 3 36-31=5 h h4= = 41-36=5

38


Na tabela de distribuição de frequências sem intervalo de classes tínhamos um total de treze linhas com dados obtidos, já na tabela com intervalos de classe, apenas 5 ou 4 de acordo com a regra que for utilizada. Apesar de ser uma tabela mais “legível”, a precisão dos valores se perde um pouco, pois não sabemos mais quais são exatamente os sete números que aparecem no primeiro intervalo de classe, por exemplo. Mesmo assim, é a tabela mais usada, pois num levantamento de grande porte, seria inviável e incompreensível trabalharmos com os inúmeros valores que aparecem. Para a construção de uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classe, é muito importante o cálculo do número de intervalos de classe ou pela regra de Sturges ou pela raiz quadrada de n. Qualquer regra para determinação do número de intervalos de classes não determina com exatidão o valor de i, mas dá ao pesquisador uma noção do tamanho da tabela. Cabe ao pesquisador decidir com quantos intervalos de classe irá trabalhar. Na verdade, o número de intervalos de classe vai depender do tipo de dado que está sendo trabalhado. Por exemplo, se os dados referirem-se às notas de uma prova, talvez seja conveniente que os arrumemos em intervalos de 1 em 1 para que possamos ter uma ideia do número de alunos aprovados (nota maior que sete), o número de alunos em recuperação (nota entre quatro e sete) e o número de alunos reprovados (nota inferior a quatro). Para construção de uma Distribuição de Frequências com intervalos de Classes devemos seguir os seguintes passos ( roteiro ):

1º passo -

Organize os dados brutos em um ROL.

Dados Brutos:

25, 21, 22, 21, 22, 23, 24, 21 ,30, 26, 30, 26, 40, 34, 32, 38, 37, 38, 40, 31 Rol:

21, 21, 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 30, 30, 31, 32, 34, 37, 38, 38, 40, 40

39


2º passo - Calcule a amplitude amostral menor).

AA

(maior valor da amostra menos o

AA = 40 - 21 = 19

3º passo Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges" ou da raiz quadrada de n. i ≅ 1 + 3,3 log20 = 5 5,29 ≅

i 1 2 3 4 5

ou

i

≅

n

=

20 =4,47 ≅ 4

Classes

IMPORTANTE

O número de intervalos de classe pode ser diferente se calculado por uma regra ou por outra. Cabe ao pesquisador definir o número de intervalos de classe com que irá trabalhar.

4º passo - Calcule a amplitude dos intervalos de classe (amplitude amostral dividida pelo número de intervalos de classe).

hi = AA/i = 19/5 = 3,8 ≅ 4 No depara termos arredondar o valorclasse, de hi, este deve ser arredondado sempre paracaso mais queque haja folga na última no contrário corre-se o risco de a tabela montada não incluir o último valor, e nenhum valor pode ser descartado.

40


5º passo - Montemos, então, a tabela. O menor número da amostra será o limite inferior do 1º intervalo de classe e de h em h, no nosso exemplo, de 4 em 4, montamos, então, os limites de todos os intervalos de classe. O primeiro elemento das classes seguintes sempre será formado pelo último elemento da classe anterior. i 1 2 3 4 5

Classes 21 |⎯ 25 25 |⎯ 29 29 |⎯ 33 33 |⎯ 37 37 |⎯ 41

6o passo - Agora é só marcar quantos números temos em cada intervalo de classe. A maneira mais simples de fazer é através de marcações da seguinte forma: lemos o primeiro número e identificamos qual a classe a que ele pertence. Identificada a classe, riscamos o número e o marcamos na classe a que ele pertence.

i 1 2 3 4 5

Classes 21 |⎯ 25 25 |⎯ 29 29 |⎯ 33 33 |⎯ 37 37 |⎯ 41 Total

Marcação /////// /// //// / /////


Agora é só apagar a coluna de marcação e está pronta a tabela!

i 1 2 3 4 5

Classes 21 |⎯ 25 25 |⎯ 29 29 |⎯ 33 33 |⎯ 37 37 |⎯ 41 Total


41


DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS

Os dados absolutos são os resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou medida. Já os dados relativos são razões que se estabelecem entre dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades. Os dados relativos são de fácil compreensão. Como o nome mesmo diz, relativo, em relação aos dados absolutos .

Porcentagem As porcentagens são partes proporcionais calculadas sobre cem unidades. O emprego da porcentagem é de suma importância quando o intuito é destacar a participação da parte no todo.

Exemplo: Considere a série:

Clínica A - 2005 Número de Pacientes Atendidos no Mês de Março por Setor Setor Pediatria Alergologia Radiologia Total

Número de pacientes 225 175 135 535

Fonte: Dados Fictícios. Porcentagens dos pacientes atendidos em cada setor:

225 × 100 = 42,06% ≅ 42% 535 175 ×100 Alergologia: = 32,71% ≅ 33% 535 135 ×100 = 25,23% ≅ 25% Radiologia: 535 Pediatria:

42


Podemos inserir esses dados na nossa tabela através de uma nova coluna: Clínica A - 2005 Número de pacientes atendidos no mês de março por setor

Setor

Número de pacientes

%

Pediatria Alergologia Radiologia Total

225 175 135 535

42 33 25 100

Fonte: Dados Fictícios.

TIPOS DE FREQUÊNCIAS

•

Frequência Simples ou Absoluta (fi) - É o número de observações correspondentes a uma classe ou a um valor.

•

Frequência Simples Relativa (fri) - É o número de observações de um valor ou de uma classe, em relação ao número total de observações.

fri =

fi n

Em porcentagens temos:

f ri %

=

f i × 100 n

43

ou

f ri %

=

f ri × 100


Obs.: a soma das frequências relativas é sempre igual a 1 ou 100%. Devido a erros de arredondamento pode acontecer de o somatório das frequências relativas dar diferente

de

1

ou

100%.

Por

exemplo:

∑f

ri

= 99,8%

ou

f ri

= 100,02% Se isso acontecer, devemos retirar ou acrescentar a diferença no intervalo de maior frequência, pois dessa forma cometeremos um erro

∑

menor do que cometeríamos se alterássemos o intervalo de menor frequência. O ideal é trabalharmos com pelo menos 4 casas após a vírgula.

Frequências Acumuladas (Fi.) É a soma das frequências anteriores até a classe ou valor inclusive. Na tabela mais a frente, quantas pessoas tiraram nota até o limite superior do intervalo?

Frequência Acumulada Relativa (Fri) Trata-se da frequência acumulada de uma classe dividida pela frequência total. Podemos, ainda, representá-la em valores percentuais multiplicando a frequência acumulada relativa por 100. No exemplo abaixo, qual o percentual das notas até o limite superior do intervalo? Exemplo: Notas de um teste de estatística aplicado em uma turma do curso de Nutrição.

44


No exemplo abaixo, temos as frequências simples (absoluta - fi ; relativa - fri e relativa percentual - fri %). i 1 2 3 4 5

Notas 18 ├─ 34 34 ├─ 50 50 ├─ 66 66 82 82 ├─ 98

fi 2 5 3 8 2

fri 2/20=0,10 5/20=0,25 3/20=0,15 8/20=0,40 2/20=0,10

fri % 10 25 15 40 10

-

Σ

20

1

100

No exemplo a seguir, temos as frequências acumuladas (acumuladas – iF; acumulada relativa – Fri e acumulada relativa percentual – Fri%). i 1 2 3

Notas 18 ├─ 34 34 ├─ 50 50 ├─ 66

fi 2 5 3

Fi 2 7 10

45

66 ├─ 82 82 ├─ 98

82

-

Σ

20

Fri

Fri % 2/20=0,10 7/20=0,35 10/20=0,50

10 35 50

18 20

18/20=0,90 20/20=1

90 100

-

-

-

No exemplo seguinte, vamos calcular também para completarmos o cálculo da distribuição de frequências, o ponto médio xi. i 1 2 3 4

Notas 18 ├─ 34 34 ├─ 50 50 ├─ 66 66 ├─ 82

fi 2 5 3 8

xi 18+34/2 = 26 34+50/2 = 42 50+66/2 = 58 66+82/2 = 74

5

82 ├─ 98 Σ

2

82+98/2 = 90

20

-

-

45


NOTAS DE UM TESTE DE ESTATÍSTICA APLICADO EM UMA TURMA DO CURSO DE NUTRIÇÃO.

i

Notas

fi

xi

fri

fri %

Fi

Fri

Fri %

12 3 4 5

18 34 ├─ ├─ 34 50 50 ├─ 66 66 ├─ 82 82 ├─ 98

25 3 8 2

26 42 58 74 90

2/20=0,10 5/20=0,25 3/20=0,15 8/20=0,40 2/20=0,10

10 25 15 40 10

27 10 18 20

2/20=0,10 7/20=0,35 10/20=0,50 18/20=0,90 20/20=1

10 35 50 90 100

-

Σ

20

-

1

100

-

-

-

Onde: fi → Frequência simples absoluta. xi → Ponto médio de uma classe. fri → Frequência relativa. Fi → Frequência acumulada. Fri → Frequência acumulada relativa . Chegamos ao fim da unidade I, onde estudamos os elementos da Estatística descritiva. Espero que você tenha gostado .Vamos em frente.

É HORA DE SE AVALIAR!

de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes Lembre-se no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!

Na próxima unidade estudaremos os gráficos Estatísticos . Vamos lá.

46


Exercícios - Unidade I 1. Classifique as variáveis em qualitativa e quantitativa. (

) Cor preferida.

(

) Índice de liquidez.

(

) Sexo.

a)

qualitativa, qualitativa, quantitativa.

b)

quantitativa, quantitativa, qualitativa.

c)

quantitativa , qualitativa, quantitativa.

d)

qualitativa, qualitativa, qualitativa.

e)

qualitativa, quantitativa, qualitativa .

2. Classifique as variáveis quantitativas em contínuas (c) ou discretas (d).

( ) População: atletas Variável: altura ( ) P.: pacientes de um hospital Variável: pacientes com insuficiência cardíaca. ( ) P.: bebês monitorados em uma UTI neonatal Variável: peso a) b)

contínua, contínua, contínua. contínua, discreta, contínua.

c)

contínua, discreta, discreta.

d)

discreta, contínua, contínua.

e)

discreta,discreta, contínua.

47


3. Em uma escola de ensino médio, há 300 alunos divididos em 6 turmas, como no quadro abaixo. Selecionando uma amostra de 12% dessa população, acharemos o seguinte número: População

a) b) c) d) e)

TURMA

MENINOS

MENINAS

1001 1002 2001 2002 3001 3002 TOTAL

25 30 29 32 26 23 165

20 25 28 15 22 25 135

10 36 40 12 20

4. São fases do método estatístico: 1. A apuração. 2. A coleta. 3. A crítica. 4. A definição do problema. 5. O planejamento.

Qual a ordem correta dessas fases? a. b. c. d. e.

1, 2, 3, 4, 5 4, 5, 2, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1 4, 3, 5, 2, 1 4, 5, 3, 1, 2

48


5. Considere a série abaixo. Podemos classificá-la em:

Cidade AAA Ano

Número de Habitantes

1999

1.125.235

2000 2001

2.365.128 2.535.548

2003

2.874.100

2004

3.258.003

2005

3.356.259

a) b) c) d) e)

Geográfica. Categórica. Específica. Ocasional. Temporal.

6. Os dados abaixo se referem a uma série:

Programa preferido

N.º de entrevistados

novela

35

telejornal

15

desenho

10

filme

27

esporte

15

a) b) c) d) e)

Temporal. Geográfica. Periódica. Específica. Histórica.

49


7. Uma população encontra-se dividida em três estratos de tamanhos, respectivamente, e1=400, e2=350 e e3=225. Retirando 50 elementos do 3º estrato, a proporção encontrada neste estrato deve ser aplicada aos estratos 1 e 2. No total, quantos elementos serão retirados dos três estratos? a) b) c) d) e)

292 elementos. 705 elementos. 207 elementos. 755 elementos. 217 elementos.

8. Identifique o item errado: a) b) c) d) e)

A coleta periódica é aquela feita em intervalos constantes de tempo. A coleta ocasional é feita a fim de atender a uma emergência. A coleta direta de dados pode ser classificada quanto ao fator tempo em contínua, periódica ou ocasional. Os registros de casamentos são exemplos de coleta periódica. A coleta contínua é aquela feita continuamente.

9- Considerando as notas de estatística de uma turma de 80 alunos: 6,4 6,6 1,3 9,8 7,3 7,6 8,6 8,5

7,8 8,2 7,4 9,9 7,5 7,6 8,4 7,6

7,3 8,6 8,6 8,5 7,8 8,3 8,0 9,2

8,7 9,2 1,1 9,0 8,4 3,3 4,2 7,3

9,5 8,5 7,8 8,6 8,6 8,5 9,0 3,3

8,2 8,0 8,6 8,2 7,2 8,1 9,3 7,9

8,9 7,3 7,0 8,7 8,5 8,1 9,6 8,1

8,1 8,5 6,8 7,0 8,6 8,9 8,1 8,4

9,0 9,6 7,4 7,2 9,9 7,1 6,3 7,3

7,8 7,6 9,4 7,5 6,7 9,5 8,8 6,2

Forme uma distribuição de frequência com intervalos de classe seguindo o que se p ede:

a) Calcule a amplitude amostral.

b) Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".

50


c) Calcule a amplitude dos intervalos de classe.

d) Calcule as frequências de cada um dos intervalos de classe.

e) Monte a tabela.

51


10. Complete a distribuição de frequências abaixo:

Classes 10 |⎯ |⎯ |⎯ |⎯ |⎯ |⎯ 70

Σ

fi 14

fri

fri (%)

Fi 14

12 12 0,14 1

0,02 1,00

52

39 2 -

50 -

xi 15 25 35 45 55 65


2

Representação Gráfica

Gráfico em linha Curva. Gráficos em barra vertical. Gráficos em barra horizontal. Gráficos de setores. Pictogramas Cartogramas. Histograma. Polígono de Frequência. Ogivograma. Ogiva de Galton.

53


Esta é uma unidade importante para o entendimento da estatística, pois grande parte dos dados estatísticos são apresentados através de gráficos. Nela aprenderemos a construir e a interpretar alguns dos gráficos mais utilizados e os gráficos estatísticos específicos. Esperamos que vocês gostem.

OBJETIVO DA UNIDADE :

•

Construir e analisar os gráficos que você tanto conhece e que fazem parte da sua vida cotidiana.

PLANO DA UNIDADE :

•

Gráfico em linha Curva.

•

Gráficos de Coluna

•

Gráficos de Barra.

•

Gráficos de setores.

•

Pictogramas.

•

Cartogramas.

•

Histograma.

•

Polígono de Frequência.

• •

Ogivograma. Ogiva de Galton.

Bons estudos!

54


Os gráficos são representações visuais dos dados estatísticos e não substituem as tabelas. Devem corresponder aos dados de uma forma simples, clara e objetiva.

DICA Muito cuidado com os gráficos, pois se mal elaborados podem trazer uma ideia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor.

Por falar gráficos, quais você conhece? Você sabe qual é a funcionalidade deles? Vejamos então.

Alguns Tipos de Gráficos

Gráfico em linha ou curva

55


Estes gráficos são frequentemente usados para a representação de séries cronológicas com um grande número de períodos. Nos dão uma visualização clara da variação dos dados existentes nas séries. Também são ideais quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico.

Gráficos De Colunas

Gráficos de Barras

Quando as legendas são longas usa-se de preferência os gráficos em barras.Os retângulos (barras) têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

56


Gráficos em setores

Estes gráficos são construídos em uma círculo e empregados sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelos 360 graus de um círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que seus ângulos são respectivamente proporcionais aos dados da série.

IMPORTANTE As séries temporais, geralmente, não são representadas por este tipo de gráfico.

Pictogramas Constitui um dos processos gráficos que melhor se comunica com o público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.

Fonte: EMBRAER/2002

57


Cartogramas

São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Histograma

É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. É o gráfico que melhor representa uma distribuição de frequências com intervalos de classe ( este assunto será abordado na unidade 3). No eixo horizontal (eixo x), representamos as classes da distribuição e no eixo vertical (eixo y), representamos as frequências. A área de um histograma é proporcional à soma das frequências simples ou absolutas.

58


IMPORTANTE O histograma assemelha-se ao gráfico de colunas, a diferença é que não há espaçamento entre as colunas.

Polígono de frequência

É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última da distribuição.

59


Ogivograma

É o gráfico de frequências acumuladas. Ele é construído da mesma forma que o histograma, porém no eixo vertical (eixo y), representam as acumuladas.

frequências

Ogiva de Galton

A Ogiva de Galton ou polígono de frequência acumulada é um gráfico de linhas traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

60



Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!

Nessa unidade, vimos os principais e os mais importantes gráficos estatísticos. Com uma ferramenta computacional é muito simples representar dados graficamente. Na próxima unidade veremos as medidas de tendência central.

61


62


Exercícios - Unidade II

1. Considere a tabela abaixo que representa as idades de vinte duas crianças atendidas em um posto de saúde do município de Itaboraí. Ao construir o gráfico de setores relativo à tabela dada, o setor correspondente à classe 3 será de aproximadamente:

Idade

0

1

2

3

4

5

∑

Crianças

4

3

6

3

0

6

22

a) b) c) d) e)

6o 16,6o 30ºo 20 98º

2. Na administração de uma empresa, 50% do orçamento vai para a compra de equipamentos, 22% para a manutenção e 28% para pagamento de pessoal. O gráfico que melhor representa essa situação é:

a)

o de barras.

b)

o de setores.

c) d)

o linear simples. o de colunas.

e)

o de barras múltiplas.

63


3.

a) b) c) d) e)

O gráfico estatístico designado a representar a série abaixo chama-se:

Nota

fi

1├─ 3

3

3├─ 5

5

5├─ 7

9

7├─ 9

8

Σ

25

Cronograma. Gráfico de colunas compostas. Histograma. Gráfico de colunas. Gráfico de barras.

4. Gráficos são instrumentos úteis na estatística. Assinale a afirmação incorreta: a.

Um histograma é um gráfico de linhas.

b.

O gráfico de setores é apropriado quando se quer representar as divisões de um montante total.

c.

Um polígono de frequências acumuladas é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe da distribuição de frequência.

64


d.

Um polígono de frequências é construído unindo-se os pontos correspondentes aos pontos médios dos intervalos de classes.

e.

O gráfico de barras é usado para séries geográficas.

5. Observe a série abaixo. O gráfico que melhor representa tal série é:

Ano

Número de Infectados pela Doença AXZ

2000

2.236.215

2001

2.126.128

2002

2.035.265

2003

1.958.254

2004

1.532.126

2005

1.125.258

a)

O gráfico de linhas.

b)

O histograma.

c)

O gráfico de setores.

d)

O cartograma.

e)

O pictograma.

6- Assinale a alternativa correta. a)

O histograma assemelha-se ao gráfico de barras, a diferença é que não há espaçamento entre as barras.

b)

O histograma assemelha-se ao gráfico de colunas, a diferença é que não há espaçamento entre as colunas.

c)

O histograma assemelha-se ao gráfico de setores, a diferença é que não há espaçamento entre os setores.

65


d)

O histograma assemelha-se ao gráfico de linhas, a diferença é que não há espaçamento entre as linhas.

e)

O histograma assemelha-se ao ogivograma, a diferença é que não há espaçamento entre as linhas.

7. Assinale a alternativa verdadeira.

a)

O gráfico que melhor representa uma série histórica é o gráfico de setores de barras.

b)

Um polígono de frequências é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites inferiores dos intervalos de classe da distribuição de frequência.

c)

Um polígono de frequências acumuladas é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe da distribuição de frequência.

d)

O gráfico de linhas é usado quando queremos destacar uma parte do todo.

e)

O gráfico que melhor representa uma distribuição de frequências é o gráfico de barras.

8) O que podemos afirmar sobre o Polígono de Frequências? Assinale a alternativa correta:

a)

É formado por linhas que ligam ponto a ponto.

b)

É formado por colunas simples.

c)

É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classes.

66


d)

É formado por um conjunto de retângulos, um colado ao outro, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal.

e)

É uma linha poligonal aberta.

9. Os gráficos abaixo mostram o perfil dos doentes de Aids no Brasil. Faça um breve comentário sobre o assunto, levando em consideração os dados contidos nos gráficos.

67


10. A distribuição a seguir indica o número de dias afastados por motivo de doença de 40 funcionários de uma empresa alimentícia durante o período de um ano. de Nodias afastados deNofuncionários

1 13

2 7

a) Construa um gráfico de colunas.

b) Construa um gráfico de setores.

68

3 10

4 4

5 3

6 2

7 1


3

Medidas de Tendência Central Média Aritmética. Moda. Mediana. Separatrizes

69


Estudaremos aqui três tipos de medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana, bem como as principais separetrizes Essas medidas servem para visualizarmos a distribuição de frequências no eixo de variação da variável estudada.


•

Compreender as medidas de tendência central e calculá-las para dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências.

PLANO DA UNIDADE:

•

Média Aritmética.

• •

Moda. Mediana.

•

Separatrizes

Bons estudos!

70


As Medidas de Posição ou Tendência Central são denominadas dessa forma devido aos dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.

Média Aritmética

A Média Aritmética ( X ) é a medida de posição que possui maior estabilidade e é igual ao quociente entre a soma dos valores da variável e o número total de observações. Veja, abaixo, a fórmula: n

X

=

x1

+ x 2 + ... + x n n

=

∑x i =1

i

n

Em que xi são os valores da variável en o número de observações.

Para dados não agrupados a Média Aritmética Simples (X ) é calculada da seguinte forma: EXEMPLIFICANDO Ex.: Um aluno de determinada instituição de ensino tirou as seguintes notas em estatística: 7, 10 e 6. Sabendo-se que a nota final desse aluno é calculada através da média aritmética das três avaliações feitas no período, temos como média final do aluno: x1 = 7; x2 = 10 e x3 = 6

X

=

7 + 10 + 6 3

≅ 7, 7

71


Em relação aos dados agrupados sem intervalos de classe, consideremos a distribuição relativa a 38 crianças pacientes de uma clínica pediátrica com idades entre 0 e 4 anos.

Idades

fi

10 2 3 4 Total

62 12 14 4 38

As frequências representam quantas vezes ocorreu determinada idade, por exemplo, ao invés de escrevermos 0,0,1,1,1,1,1,1 etc., atribuímos a frequência, logo, a idade 0 (zero) ocorre duas vezes; a idade 1 ocorre seis vezes e assim por diante. As frequências funcionam como fatores de ponderação (pesos). A média aritmética, nesse caso, é a média aritmética ponderada, ou seja, em vez de somarmos o número 0 duas vezes, o número 1 seis vezes, o número 2 doze vezes e assim por diante, ponderamos os valores da variável com suas respectivas frequências. Esta ponderação é dada pela fórmula: k

X

=

x1 f 1

+

f1

x2 f 2

+

f2

+ ... + x k + ... + f k

fk

=

∑ (x i =1

Obs.:

∑ f = n, ou seja, a soma das frequências é igual a n. i

i =1

∑ f = 38, n = 38. i

72

⋅

fi )

k

∑f i =1

k

i

i


xi 0 1 2 3 4

∑

fi 2 6 12 14 4

xi.fi 0 6 24 42 16

38

88

A idade média das crianças atendidas na clínica será X

=

88 38

= 2,3 anos .

Agora, vejamos os dados agrupados com intervalos de classe. Observe a seguir as notas de 50 alunos de uma turma de estatística: Notas 0 ├─ 2 2 ├─ 4 4 ├─ 6 6 ├─ 8 8 ├─ 10 Σ

fi 7 11 25 12 6 61

Neste caso não temos como saber se os sete alunos da primeira classe tiveram notas, por exemplo, zero ou 1,9. Então, para diminuirmos o erro cometido com o agrupamento, utilizamos como valor representativo de cada intervalo o seu ponto médio (xi). Utilizamos, então, a mesma fórmula, sendo que xi agora não é mais o

valor da variável e sim o ponto médio de cada classe . A média aritmética é calculada, então, da seguinte forma:

k

X

=

∑ (x i =1

⋅

fi )

k

∑f i =1

73

i

i


Em que xi é o ponto médio da classe.

0+2 = 1 , x2 2 6+8 8 + 10 = 7 , x5 = = 9. 2 2

No nosso exemplo: x1

x4

=

=

=

2+ 4 2

= 3,

x3

=

4+6 2

= 5,

Notas

fi

xi

xi ⋅ f i

0 ├─ 2 2 ├─ 4 4 ├─ 6 6 ├─ 8 8 ├─ 10 Σ

7 11 25 12 6 61

1 3 5 7 9 -

7 33 125 84 54 303

k

X

i i =1 ( x ⋅ =∑ k

∑f i =1

fi )

= 7 + 33 + 125 + 84 + 54 = 4,9 61

i

Outros tipos de médias menos usados são as médias geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.

IMPORTANTE A média aritmética para a população é denotada por . Você já ouviu falar em moda? Não, não é bem dessa moda que vamos falar! É a Moda na Estatística. Vamos estudar sobre ela, agora?

74


Moda (Mo) A Moda é o valor de maior frequência em uma série de valores. Você deve estar se perguntando: Como assim o valor que mais aparece? É isso mesmo!

EXEMPLIFICANDO

Por exemplo: o número de calçado mais vendido em uma sapataria é a moda. Até os vendedores ambulantes, mesmo sem saber, utilizam-se da moda. De uma maneira grosseira, podemos nos lembrar daquilo que está na moda, ou seja, daquilo que mais aparece.

Viu como é simples?

Podemos calcular a Moda para diversos tipos de dados. Veja como fazer isso:

Moda para dados não agrupados A moda de uma distribuição para dados não agrupados é fácil de ser vista, é só procurarmos o valor que mais aparece. Uma distribuição pode ter nenhuma (amodal), uma (unimodal), duas (bimodal) ou mais modas.

75


EXEMPLIFICANDO Exemplos: • Na série {6, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12} a moda é igual a 11. A distribuição é

• • •

unimodal A série {2, ; 5, 7, 11,12} não possui um número que apareça mais que os outros. A série é amodal; A série {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal; Em outros casos, pode haver três ou mais valores que mais se repetem. Nesse caso, a série tem três ou mais modas.

Moda para dados agrupados sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados, a moda é o valor da variável de maior frequência.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Manequim de roupa feminina mais vendida em uma loja de departamentos:

Manequim 34 36 38 40 42 44 Σ

Frequência 3 9 16 6 4 1

Resposta: 38 é o manequim modal, pois é o de maior frequência.

76


Moda para dados agrupados com intervalos de classe Classe modal é a classe que apresenta a maior frequência. Nesse caso, a moda está compreendida entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo consiste em tomarmos o ponto médio da classe modal como sendo a própria moda. A este valor chamamos de moda bruta.

l * + L* Mo = 2 Em que l* é o limite inferior da classe modal e L* o limite superior da classe modal.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Como podemos calcular o peso modal da tabela abaixo?

Peso (kg) 45 |— 50 50 |— 55 55 |— 60 60 |— 65 65 |— 70 Σ

fi 9 11 8 6 5

Classe modal

Resposta: A classe modal é 50|— 55, pois é a de maior frequência. l2 = 50 e L2 = 55 Mo =

50 + 55 2

77

= 52,5 kg


IMPORTANTE

Não temos como saber o real valor da moda, pois não conhecemos mais os valores que estão compreendidos em um determinado intervalo. Portanto, este valor é apenas estimado.

Você conhece a fórmula de Czuber? Pois, então conhecerá agora.

Fórmula de CZUBER (processo mais elaborado)

Mo

D1

= li + D1

Em que:

× h*

+ D2

li é o limite inferior da classe modal. D1 = f* - f(ant) D2 = f* - f(post) h* é a amplitude da classe modal. f* é a frequência simples da classe modal. f(ant) é a frequência simples da classe anterior à classe modal. f(post) é a frequência simples da classe posterior à classe modal.

Para o cálculo do peso modal da tabela anterior temos:

Mo

= 50 +

11 − 9

(11 −)9( + 11 ) −8

78

× 5 = 52kg


Passamos a estudar, agora, a mediana para dados não-agrupados, agrupados sem intervalos de classe e agrupados em classes.

Mediana (Md)

A mediana de um conjunto de valores previamente ordenados . É o valor situado bem no meio do conjunto de valores de tal forma a separá-los em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Mediana para dados não-agrupados

Quando o número de valores for ímpar:

EXEMPLIFICANDO Ex.: Dada uma série de valores {7, 2, 8, 13, 11, 7, 15, 12, 1} o primeiro passo a ser dado é a construção do rol: {1, 2, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15}.

O valor que divide a série em duas partes iguais é o 8, logo a mediana Md = 8. Na prática, o valor mediano é dado por

n +1 2

=

9 +1 2

= 5,

mediana será o quinto elemento da série ordenada, que é 8. Md = 8

79

ou seja, a


•

Quando o número de valores for par:

EXEMPLIFICANDO Ex.: Calcular a mediana da série {1, 2, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 6}

Rol - {0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6} - Md 3 + 4

2

= 3,5

Temos, aqui, duas observações a serem feitas, por isso preste bastante atenção:

•

A mediana coincidirá com um dos elementos da série quando o número de elementos for ímpar. Quando o número de elementos da série for par, a mediana nunca coincidirá com um dos elementos da série. Neste caso, a mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série;

•

A média aritmética, a mediana e a moda de uma série de valores não têm, necessariamente, o mesmo valor.

Mediana para dados agrupados sem intervalos de classe Neste caso, basta identificarmos a frequência acumulada (F i) igual ou

∑f imediatamente superior à

2

i

. A mediana será o valor da variável que

corresponder a essa frequência acumulada.

80


EXEMPLIFICANDO Ex.: Veja a tabela a seguir:

Xi 0 1 2 3 4 5 total

fi 2 5 8 15 5 4 39

Fi

2 7 15 30 35 39

Classe Mediana

∑ f = 39 = 19,5 , logo a mediana será M i

2

2

d=

3.

Mediana para dados agrupados em classes

Para esse tipo de dado é preciso determinar a classe da mediana, que será aquela que corresponder à frequência acumulada igual ou imediatamente superior à

∑f

i

2

.

idades 10 ├─ 15 15 ├─ 20 20 ├─ 25 25 ├─ 30 30 ├─ 35 35 ├─ 40

∑

fi 6 11 16 13 5 3 54

FAi 6 17 33 46 51 54 -

81

→ classe mediana (frequência acumulada imediatamente superior a

∑ 54 = 27 2


A mediana é dada pela fórmula: Em que: li é o limite inferior da classe mediana. F(ant) é a frequência acumulada anterior à classe mediana. f* é a frequência simples da classe mediana. *

h é a amplitude do intervalo da classe mediana.

EXEMPLIFICANDO

Exemplo:

⎛ ∑ fi ⎜ − F ( ant ) ⎜ 2 M d = li + ⎜ f * ⎜ ⎝ ⎛ 54 − 17 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ 5 ≅ 23,1 Md = 20 + ⎜ 2 ⎜⎜ 16 ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ .h * ⎟ ⎟ ⎠

IMPORTANTE Neste caso a mediana é estimada, pois não temos todos os valores da distribuição.

Qual é a medida que devemos usar? Todas as médias são valores que estão compreendidos entre o menor e o maior valor observado. Todas são igualmente importantes, portanto uma não deve prevalecer sobre a outra. Devemos saber que:

82


•

A média aritmética é a mais empregada apenas pelo fato de ser mais simples o seu cálculo e mais compreensível o seu resultado. É a medida de posição que possui a maior estabilidade;

•

A moda será utilizada quando a medida de posição for o valor mais típico da distribuição. É uma medida de rápida obtenção;

•

Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais, quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética ou quando a variável em estudo é salário, usamos a mediana.

A média aritmética de uma série de valores, por exemplo, é influenciável pelos seus extremos, enquanto que a mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. É por isso que, no caso de séries com extremos muito distantes, usamos mais a mediana do que a média aritmética, para que não haja influência dos extremos.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Na série { 8, 9, 10, 15, 18}, a média = 12 e a mediana = 10. Já na série { 6, 8, 10, 11, 75 }, a média = 22 e a mediana = 10.

A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro por influência do valor extremo (75), porém, nas duas séries, a mediana é a mesma, ou seja, não adianta analisarmos apenas as médias aritméticas de uma série de valores, é preciso analisar também a mediana.

RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, A MODA E A MEDIANA A relação existente entre a média, a moda e a mediana é denominada assimetria.

83


A assimetria é o afastamento ou o desvio da simetria de uma curva de frequências de uma distribuição estatística unimodal. Dessa forma, podemos caracterizar as distribuições estatísticas de frequência em: (a) Simétrica, quando a média, a moda e a mediana são, todas, coincidentes de valor, isto é, X

= Md = M o .

(b) Assimétrica à direita, quando a moda for menor que a mediana e, a mediana for menor que a média, isto é, M o 〈 Md 〈 X . (c)

Assimetria à esquerda, quando a média for menor que a mediana e, a

mediana menor que a moda, isto é, X 〈 Md 〈 M o .

QUARTIS São separatrizes que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.

0%

25%

50%

75%

100%

|_____________|______________|_____________|______________|

Q1

Q2

Q3

PRIMEIRO QUARTIL ( Q1 ) Separatriz que divide a distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e 75% maiores que ele.

SEGUNDO QUARTIL (Q2 ) O segundo quartil coincide exatamente com a mediana. É o valor que divide a distribuição em exatamente dos elementos.

TERCEIRO QUARTIL ( Q3 ) É o valor que deixa 75% da distribuição à sua esquerda e os 25% restantes à sua direita. 84


Fórmula É a mesma utilizada para a mediana, com pequenas adaptações>

= lQ

Primeiro Quartil Q1

1

⎛ Σf i − + ⎜⎝ 4

f

f Q!

⎞ ant ⎟⎠ .h

Determinação de Q1 1º Passo: Calcula-se

Σf i 4

:

2º Passo: Identifica-se a classe Q! através da Fi ; 3º Passo: Aplica-se a fórmula.

Determinação de Q3 1º Passo: Calcula-se

3.Σf i : 4

2º Passo: Identifica-se a classe Q3 através da Fi ; 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

Quartil Q3

= lQ

3

⎛ 3.Σfi − ⎜ +⎝ 4 f Q3

85

⎞

f ant ⎟

⎠ .h


Exemplificando: Dada a distribuição abaixo, determine Q1 , Q2 e Q3 .

Classes

fi

Fi

7 |---------- 17

6

6

17 |---------- 27 27 |---------- 37

15 20

21 41

37 |---------- 47

10

51

47 |---------- 57

5

56

∑

56

1º Passo:

Σfi = 56

Q1 = ?

= Md

Q3 = ?

Σf ÷ 2 = 28º

3.Σf

Q2

Σf ÷ 4 = 14º i

i

÷ 4 = 42º i

2º Passo: Através da Fi , identifica-se a classe da Q1 , Q2 e Q3 .

Q1

⎛ 56 − 6 ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ .10 = 22,33 = 17 + 15

Q2

⎛ 56 − 21⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ .10 = 30,5 = Md = 27 +

Q3

⎛ 3.56 − 41⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ .10 = 38 = 37 +

21

10

86


DECIS São separatrizes que dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais. 10%

20%

....

50%

...

80%

90%

|_____|________|______________|_____________|_______|_______|

D1

D2 ...

D5

D8

...

D9

Fórmula É a mesma utilizada para as separatrizes anteriores, com pequenas adaptações.

Di

= lD

i

⎛ i.Σf i − ⎜ + ⎝ 10

⎞ ⎠ .h ,

f ant ⎟

f Di Determinação de Di 1º Passo: Calcula-se

i.Σf i , para i = 1,2,3,...,9 10

2º Passo: Identifica-se a classe Di através da Fi ; 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

Di

= lD

i

⎛ i.Σfi − ⎜ + ⎝ 10 f Di

87

⎞

f ant ⎟

⎠ .h


EXEMPLIFICANDO: Dada a distribuição abaixo, determine D1 e D2 . Classes 7 |---------- 17 17 |---------- 27 27 |---------- 37

fi 6 15 20

Fi 6 21 41

37 |---------- 47 47 |---------- 57 ∑

10 5 56

51 56

D1

D2

⎛ 56 − 0 ⎞ ⎜ ⎟ 10 ⎝ ⎠ .10 = 16,33 =7+ 6

⎛ 56 ⎞ 6 = 17 + ⎜⎝ 4 − ⎟⎠ .10 = 22,33 15

PERCENTIS (OU CENTIS) São separatrizes que dividem um conjunto de dados em 100 partes iguais. 1% ...

2%

....

50%

...

98% ... 99%

|_____|________|______________|_____________|_______|_______|

P1 ...

P2 ...

P5

...

88

P98

P99


Fórmula É a mesma utilizada para as separatrizes anteriores, com pequenas adaptações.

Pi

= lP

i

⎛ i.Σfi − ⎜ + ⎝ 10

⎞ ⎠ .h ,

f ant ⎟

f Pi Determinação de Pi

i.Σf i , para i = 1,2,3,...,99 100

1º Passo: Calcula-se

2º Passo: Identifica-se a classe Pi através da Fi ; 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

Pi

= lP

i

⎛⎜ i.Σf i − + ⎝ 100 f Pi

f ant ⎞⎟

⎠ .h

89


EXEMPLIFICANDO: Dada a distribuição abaixo, determine P1 e P60 . Classes

fi

Fi

7 |---------- 17

6

6

17 |---------- 27

15

21

27 |---------- 37

20

41

37 |---------- 47 47 |---------- 57

10 5

51 56

∑

56

⎛ 56 − 0 ⎞ ⎜ ⎟ 100 ⎝ ⎠ .10 = 7,93 P =7+ 1

6

⎛ 60.56 − 21⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠ P60

= 27 +

.10 = 33,30

20


Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Vimos nesta unidade as medidas de tendência central. A média de um conjunto de valores ou de uma distribuição de classes é fundamental dentro do estudo da Estatística. Ela é um dos principais parâmetros de estudo e pesquisas.

Na próxima unidade, veremos as medidas de dispersão – o cálculo dessas medidas nos permite a verificação de quão representativa é a média de uma distribuição em relação a todas as suas observações. 90


Exercícios - Unidade III

1. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$250,00 cada um, quatro escriturários recebendo R$600,00 cada um, um chefe de escritório com salário de R$ 1000,00 e três técnicos recebendo R$ 2200,00 cada. A média desses salários é de: a. b. c. d. e.

R$ 1050,00 R$ 505,00 R$ 262,50 R$ 600,00 R$ 105,00

O quadro abaixo se refere às questões 2 e 3.

A 2 4 5 6 3

B 0 2 8 9 3

C 7 5 2 6 1

2. As médias aritméticas das sequências A, B e C são, respectivamente:

a. b. c. d. e.

4,0; 4,4, 4,4 4,2 e 4,2 4,0 4,2; 4,0 e 4,4 5,0; 8,0 e 2,0 4,0; 3,0 e 5,0

91


3. As medianas das sequências A, B e C são, respectivamente:

A 2 3 4 5 6 a. b. c. d. e.

B 0 2 3 8 9

C 1 2 5 6 7

4,0; 4,4 e 4,2 4,4, 4,2 e 4,0 4,2; 4,0 e 4,4 5,0; 8,0 e 2,0 4,0; 3,0 e 5,0

O quadro abaixo representa as informações cadastrais de 5(cinco) cidadãos de ambos os sexos: Estado Civil Solteiro Casado Solteiro Casado Solteiro

sexo F F M M M

Grau de instrução 2º Grau 2º Grau Superior Superior Superior

Número filhos de 2 1 0 4 3

Salários em S.M * 4,00 4,56 5,75 5,60 6,00

* o valor correspondente à variável salário representa o número de salário mínimo ( S.M )

Considerando as informações do quadro, marque a alternativa correta. 4) As Medianas das variáveis salário e idade são respectivamente:

a)

28 e 5,75.

b)

5,75 e 36.

c)

5,60 e 32.

d)

32 e 5,0.

e)

32 e 5,75.

92

Idade 29 32 36 40 28


A tabela abaixo dá a distribuição de frequências dos salários dos 83 enfermeiros de um hospital localizado em Rio Claro, por faixa de salário.

Classe de Salários (R$) 500⏐⎯⎯⎯ 650 650⏐⎯⎯⎯ 800 800⏐⎯⎯⎯ 950 950⏐⎯⎯⎯ 1100 1100⏐⎯⎯⎯ 1250

fi 15 18 23 19 8 83

Com base nessas informações da tabela, marque a alternativa correta: 5) Qual o valor modal da distribuição?

a)

R$ 870,55

b)

R$ 866,67

c)

R$ 883,33

d)

R$ 855,43

e)

R$ 843,90

Classe de Salários (R$) 500⏐⎯⎯⎯ 650 650⏐⎯⎯⎯ 800

fi 15 18

800⏐⎯⎯⎯ 950 950⏐⎯⎯⎯ 1100 1100⏐⎯⎯⎯ 1250

23 19 8 83

93


6) Qual o valor mediano da distribuição?

Classe de Salários (R$) 500⏐⎯⎯⎯ 650 650⏐⎯⎯⎯ 800 800⏐⎯⎯⎯ 950

fi 16 19 23

FI 16 16 + 19 = 35 35 + 23 = 58

950⏐⎯⎯⎯ 1100 1100⏐⎯⎯⎯ 1250

19 8 85

58 + 19 = 77 77 + 8 = 85

a)

R$ 870,55

b)

R$ 848,91

c)

R$ 883,33

d)

R$ 855,43

e)

R$ 843,90

7-Vinte empregados de uma cadeia as deseguintes hotéis que frequentaram um curso de atendimento com alegria obtiveram notas em uma prova dada ao final do curso:

17 16

19 19

14 18

20 15

17 16

17 16

Com base nas notas da tabela acima, responda: Qual foi a nota média? a) b) c)

16,25 17,28 16,75

d) e)

19,15 17,26

94

12 17

15 13

15 14

16 19


8) Pesquisa elaborada recentemente revela que, nos últimos anos, o consumo de cigarros vem aumentando entre as mulheres. Com base nesse estudo, permitiu-se o esboço de uma tabela de distribuição de frequência, que relaciona a quantidade de cigarros consumidos diariamente entre 1000 mulheres fumantes. A média aritmética é, aproximadamente:

CIGARROS CONSUMIDOS DIARIAMENTE

FREQUÊNCIA

15 |

20

150

20 |

25

300

25 |

30

250

30 |

35

200

35 |⎯ 40 Total

100

1000

(Dados Fictícios)

a)

21,6.

b)

23,5.

c)

24,6.

d)

26,5.

e)

27,6.

9 - Sejam os pesos (kg) de 50 alunos de uma determinada classe: PESO (kg) 40 |⎯ 50 50 |⎯ 60 60 |⎯ 70 70 |⎯ 80 80 |⎯ 90

95

fi 4 12 20 12 2


a)

Calcule a amplitude total.

10 - Calcule as frequências relativas. PESO (kg) 40 |⎯ 50 50 |⎯ 60

fi 4 12

Fr 4/50 = 0,08 12/50 = 0,24

60 |⎯ 70 70 |⎯ 80 80 |⎯ 90

20 12 2

20/50 = 0,24 0,40 12/50 2/50 = 0,04

50

1,00

∑

96


4

Medidas de Dispersão

Amplitude total. Variância. Desvio padrão. Coeficiente de variação

97


Estudaremos aqui as medidas de dispersão. Elas permitem calcular a dispersão (como os dados estão espalhados) existente entre os dados observados, estejam eles agrupados ou não, em relação à média aritmética.


•

Compreender as medidas de dispersão, calcular essas medidas, para dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências.

PLANO DA UNIDADE:

•

Amplitude total.

•

Variância.

•

Desvio padrão.

•

Coeficiente de variação.

Bons estudos!

98


A média aritmética, a moda e a mediana são valores representativos do todo, portanto a obtenção desses valores se faz fundamental no estudo de um conjunto de valores. Porém, para analisarmos um fenômeno estatístico, não basta obtermos apenas medidas de posição ou gráficos estatísticos. Para uma análise mais profunda, devemos saber como esses dados estão distribuídos no todo. As medidas de variabilidade ou dispersão nos dão exatamente isso. Elas fazem uma descrição de como os dados estão espalhados no todo. Existem diversas medidas de dispersão, porém, em nossa disciplina, estudaremos quatro delas, que são:

•

Amplitude total;

•

Variância;

•

Desvio padrão;

•

Coeficiente de variação;

EXEMPLIFICANDO Ex.: Observe os seguintes conjuntos de valores referentes à mesma variável: X = {20, 20, 20, 20, 20} Y = {05, 15, 20, 30 ,30} Z = {01, 01, 03, 05, 90}

99


Os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética x =

100 5

= 20 ,

porém é fácil notar que o primeiro conjunto de valores é mais homogêneo que os outros dois, pois todos os valores são iguais. Já o segundo é mais homogêneo que o terceiro, pois este é o mais disperso de todos. Portanto não adianta dois ou mais conjuntos de valores terem a mesma média aritmética, algumas outras análises se fazem necessárias.

Amplitude Total (AT) Amplitude Total (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe, ou seja, é a diferença entre os valores extremos de um conjunto de dados AT

= Lmáx − l mín .

Trata-se da única medida de dispersão que não tem a média como ponto de referência. A amplitude total é instável, pois só leva em consideração os valores extremos dos conjuntos de dados, descuidando do conjunto de valores intermediários, por isso é pouco utilizada. Uma de suas utilizações é na hora de decidirmos por uma distribuição de frequência com ou sem intervalos de classes. Fazemos uso da amplitude total quando queremos determinar a amplitude da temperatura em um dia, por exemplo, medida de cálculo rápido sem muita exatidão.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Dada a série 2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 27, 27, 48, 60 e 70 a amplitude amostral será:

AA = 70 − 2 = 68

100


Agrupando os dados sem intervalos de classe: xi

fi 2 3 5 6 7

1 1 1 1 2

89 10 21 22 23 24 25 27 48 60 70 ∑

33 2 1 1 3 1 2 2 1 1 1 27

Com intervalos de classe: Classes 2|— 14 14|—26 26|—38 38|—50 50|—62 62|—74 Σ

AT

fi 14 8 2 1 1 1 27

= Lmáx − l mín = 74 − 2 = 72

101


Variância (s2)

A variância mede o grau de variabilidade em torno da média . É a média aritmética dos quadrados dos desvios (cada valor menos a média). Diferente da amplitude total que se deixa influenciar pelos extremos, a variância leva em consideração todos os valores da variável em estudo. Ela baseia-se nos desvios em torno da média.

Variância Amostral

•

Para dados isolados: n

s2

=

∑ (x i =1

− X)

2

i

n −1

xi = cada valor observado. X = média dos valores observados.

n = tamanho da amostra.

•

Para dados agrupados: k

s2

=

∑ (xi − X ) . fi 2

i =1

k

∑ fi − 1 i =1

IMPORTANTE No denominador da fórmula da variância trabalhamos sempre com n-1 graus de liberdade para diminuir o erro do cálculo da variância com agrupamento da distribuição.

102


Em que:

xi = cada valor observado, no caso de dados agrupados com intervalos de classe, xi é o ponto médio do intervalo de classe. X = média dos valores observados. ∑ fi = somatório das frequências (n).

fi = frequência de cada classe.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Ao analisarmos as idades dos pacientes atendidos num dia em duas clínicas de saúde A e B, temos: Clínica A

Classes

fi

xi

02|— 14 14|—26 26|—38 38|—50 50|—62 62|—74

1 3 10 16 2 1

8 20 32 44 56 68

∑

33

X

=

1272 33

( xi . f i ) ( x i 8 60 320 704 112 68

−X

-30,5 -18,5 -6,5 5,5 17,5 29,5

( xi

− X )2

( xi

930,25 342,25 42,25 30,25 306,25 870,25

1272

= 38,5

930,25 1026,75 422,5 484 612,5 870,25 4346

s2

103

− X )2. fi

=

4346 33 − 1

= 135,81


Clínica B

Classes

xi

fi

02|— 14 14|—26 26|—38 38|—50 50|—62 62|—74

5

8 4 7 7 5 5

∑

40 20 32 44 56 68

33

X

=

1272 33

( x i . f i ) ( xi − X ) ( xi − X ) 2 -30,5 80 224 308 280 340

-18,5 -6,5 5,5 17,5 29,5

930,25 342,25 42,25 30,25 306,25 870,25

1272

= 38,5

( xi

− X )2 . fi

4651,25 1369 295,75 211,75 1531,25 4351,25 12410,25

s2

=

12410,25 33 − 1

= 387,82

Podemos observar que a variância da Clínica A é bem menor do que a variância da Clínica B, apesar de as médias aritméticas serem iguais. Isso significa que os dados referentes às idades dos pacientes atendidos na primeira clínica são mais homogêneos, ou seja, mais concentrados em torno da média que os da segunda clínica, que são mais dispersos.

Desvio Padrão O desvio padrão é a medida de dispersão mais empregada , pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo e o seu resultado está na mesma unidade de medida da variável, diferente da variância, que é uma medida quadrática. Quanto maior o desvio padrão mais heterogêneos são os dados. O desvio é um indicador de variabilidade bastante estável. Ele baseia-se nos desvios em torno da média aritmética. É a média quadrática dos desvios, isto é, a raiz quadrada da variância.

s = s2

104


EXEMPLIFICANDO No nosso exemplo temos:

Clínica A

s=

Clínica B

135,81 = 11,65

s=

387,82 = 19,69

Propriedades do desvio padrão

•

1ª =

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os

valores de uma variável,o desvio padrão não se altera;

•

2ª =

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma

variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica

multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Coeficiente de Variação de Pearson - CVP

O desvio padrão tem algumas limitações. Um desvio padrão de 5 unidades, por exemplo, pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 500, porém, se a média for igual a 15, essa relação muda completamente.

IMPORTANTE Outra questão a ser considerada é que o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados, o que não nos permite comparar duas ou mais séries de valores expressas em unidades diferentes.

105


Para contornar essas dificuldades e limitações, utilizamos o coeficiente de variação CV. O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, ou seja, é adimensional, é a relação entre o desvio padrão e uma medida de tendência central. Portanto, existem diversos tipos de coeficientes de variação. Aqui, estudaremos apenas um: o coeficiente de variação de Pearson.

CVP = s ⋅ 100 X OBS.: O CV pode ser expresso em decimal ou em porcentagem.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Consideremos os pesos e as alturas de um grupo de jovens atletas de uma escola de ensino fundamental da baixada fluminense: qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade?

DISCRIMINAÇÃO ESTATURAS PESOS

MÉDIA 185 cm 68 kg

DESVIO PADRÃO 5,0 cm 2,0 kg

Apenas através do desvio padrão não podemos dizer nada, pois este só pode ser comparado no caso de dados com a mesma unidade de medida. Teremos, então, que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O menor resultado será o de menor dispersão ou variabilidade, ou seja, o de maior homogeneidade.

⎛ 5 ⎞ ⋅100 = 2,70% ⎟ ⎝ 185 ⎠

CVP(estatura) = ⎜

⎛ 2 ⎞ ⋅100 = 2,94% ⎟ ⎝ 68 ⎠

CVP( peso) = ⎜

106


Comparando os CVP, concluímos que as estaturas apresentam maior homogeneidade que os pesos. Se levarmos em consideração o coeficiente de variação das duas variáveis, podemos afirmar que a média dos dados é representativa, pois o CV é bem pequeno, tanto para estaturas quanto para os pesos.

Estudamos nesta unidade as medidas de dispersão. O cálculo do desvio padrão é de grande importância no estudo da Estatística. Por ser um valor que se encontra na mesma unidade da variável, fica fácil seu entendimento. Ele mostra, em valores, o afastamento das observações em relação à média aritmética.

Quando precisamos trabalhar variáveis diferentes, podemos compará-las através do coeficiente de variação. O estudo da dispersão ou afastamento dos dados é muito importante na nossa disciplina.


Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!

Veremos, na próxima unidade, como calcular uma amostra.

107


108


Exercícios - Unidade IV

1) Uma determinada editora pesquisou o número de páginas das revistas mais vendidas de uma cidade. Sendo fornecida a distribuição de frequência de número de páginas, o valor do desvio padrão é aproximadamente:

Revistas Nº de páginas

a) b) c) d) e)

A 62

B 90

C 88

D 92

E 110

F 86

16 18 20 25 15

2) Dado o conjunto de valores 3, 5, 2, 1, 3, 4, 6, 9, 3. O desvio-padrão é aproximadamente: a) b) c) d) e)

1,6 1,7 1,8 2,4 2,7

3- Após calcular o Coeficiente de variação da amostra B e da amostra C do quadro abaixo, marque a alternativa correta:

Amostra

n

Amplitude total

Media

Variância

Desv.Pad.

A

500

150

42

625

25

B

800

120

53

196

14

C

900

90

25

169

13

109

C.V 59,52%


a)

O CV da amostra B está no intervalo 26,00% a 27,00%, da amostra C está no intervalo 49,00% a 51.00%;

b)

O CV da amostra B está no intervalo 26,48% e 26,50%, da amostra C está no intervalo 50,00% a 52,50%;

c)

O CV da amostra B está no intervalo 26,00% e 26,50%, da amostra C está

d)

no intervalo 50,00% a 52,50%; O CV da amostra B está no intervalo 26,00% e - 26,00%, da amostra C está no intervalo 49,00% a 51.00%;

e)

O CV da amostra B está no intervalo 26,01% e 26,31%, da amostra C está no intervalo 50,00% a 51,50%;

4) Observe o desenho abaixo e assinale a alternativa correta com base nos dados observados em torno da média.

MÉDIA A B C D

110


a)

O segmento representado por “A” tem dispersão mínima;

b)

No segmento representado pela letra “C” a dispersão é máxima;

c)

Os segmentos “A” e “D” mostram maior dispersão;

d)

Nada se pode afirmar quanto aos pontos alocados em torno da média,

e)

para observar a dispersão; Os segmentos “A” e “C” apresentam dispersões iguais.

Enunciado das questões 5 e 6 A tabela abaixo mostra a relação de idade dos funcionários e o salário que recebem na empresa em que trabalham:

Idade

24

32

35

43

48

Salário (RS)

1.452,03

1.893,45

2.645,70

3.890,56

4.125,00

5. Calcule o desvio padrão das variáveis salário e idade.

a)

aproximadamente R$993,02 e 8,23 anos.

b)

aproximadamente R$1.234,89 e 3 anos.

c)

aproximadamente R$1.184,02 e 9,40 anos.

d)


e)


6. O coeficiente de variação é a relação entre a média aritmética e o desvio padrão. O que podemos afirmar quanto as variáveis salário e idade?

a)

Nada se pode afirmar quanto aos coeficientes de variação das variáveis salário e idade, uma vez que a variável idade não é contínua.

b)

O coeficiente de variação da variável idade é igual ao da variável salário.

c)

O coeficiente de variação da variável idade é 20% e salário 17%. 111


d)

O coeficiente de variação da variável idade é 25,82% e salário 42,27%.

e)

O coeficiente de variação da variável idade é 15,15% e salário 23,89%

Enunciado das questões 7 e 8

Suponha que uma voluntária visite residências de sua vizinhança, em um trabalho beneficente, recebendo os seguintes donativos (em Reais).

7

7

5

13

10

18

12

3

6

15

11

17

7) Qual o valor da variância para os donativos?

a)

aproximadamente 23,52

b)


c)


d)

aproximadamente 28.56

e)


8) Qual a variabilidade relativa para os valores doados?

a) b)

aproximadamente 24,56% aproximadamente 32,67%

c)

aproximadamente 35,87%

d)


e)


112


9) Carlos e Pedro, dois amigos, foram a uma loja de eletroeletrônicos para comprar uma TV de 42’ para assistir aos jogos da Copa do Mundo/2006. Mesmo tendo gostos parecidos, cada um escolheu um modelo de TV. Nas especificações do produto continha como informação a média de consumo e o desvio-padrão do consumo. A TV que Carlos escolheu tem um consumo mês de 120 kw com desvio de 3,7 kw, enquanto que a TV que Pedro escolheu tem um consumo mês de 115 kw com desvio de 5,2 kw. Com base nas informações, qual dos amigos pagará mais pelo consumo de energia da televisão? Justifique sua resposta.

10) Calcule o desvio padrão para a série abaixo: 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 13

113


5

Noções de Amostragem

Amostragem Casual ou Aleatória Simples. Amostragem por Conglomerados. Amostragem Acidental. Amostragem Intencional. Amostragem por Quotas. Amostragem Estratificada.

114


Esta unidade talvez seja uma das mais importantes da nossa disciplina, pois, num levantamento estatístico, a amostra deve ser representativa da realidade, se isso não ocorrer, não poderemos tirar nenhuma conclusão do comportamento de toda a população. Aqui aprenderemos mais um pouco sobre o cálculo de amostra e como poderemos confiar em seus resultados.

OBJETIVO DA UNIDADE:

•

Conhecer mais sobre o cálculo e os tipos de amostra e os métodos probabilísticos.

PLANO DA UNIDADE:

•

Amostragem Casual ou Aleatória Simples.

•

Amostragem por Conglomerados.

•

Amostragem Acidental.

•

Amostragem Intencional.

•

Amostragem por Quotas.

•

Amostragem Estratificada.

Bons estudos!

115


Conceitos básicos

Nem sempre a realização de um censo é possível, ou seja, obter informações referentes a todos os elementos de uma população torna-se, muitas vezes, praticamente impossível. Limitações de tempo e custo justificam o uso de técnicas amostrais.

Amostra é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre a mesma. É um subconjunto finito de uma população. Uma amostra deve ser cuidadosamente planejada a fim de garantir a menor margem de erro na pesquisa.

A margem de erro é um intervalo controlado dentro do qual podem variar os resultados finais. Um estudo bem planejado é capaz de reduzir o erro de amostragem. Para selecionar uma amostra é preciso levar em conta as características de distribuição física da população, ou seja, algumas áreas têm uma população maior que outras. É preciso levantar os dados em proporção à densidade populacional das regiões estudadas.

EXEMPLIFICANDO Por exemplo, se o objeto de estudo é o tipo de programa de TV mais assistido, não adianta fazer o estudo apenas em uma turma de escola de educação infantil, pois o resultado obviamente seria desenho animado. Crianças não costumam assistir a telejornais ou filmes da madrugada. Se a pesquisa fosse feita dessa forma, o resultado não estaria correto. Assim, no caso de uma população ser composta de 35% de crianças, 40% de adultos e os outros 25% de idosos, uma amostra dessa população também deve conter crianças, adultos e idosos na mesma proporção.

116


Tipos de amostragem

Existem basicamente dois métodos para composição da amostra: o método probabilístico e o não-probabilístico ou intencional.

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Neste método, faz-se necessário que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado, ou seja, se o tamanho da população for N, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será

1

N

. Esse

método garante que cada elemento da população tenha a mesma chance de ser selecionado como elemento da amostra. Assim, podemos garantir cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências.

Somente com base em

amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.

Amostragem casual ou aleatória simples A amostragem casual ou aleatória simples é o processo mais utilizado.

Equivale a um sorteio lotérico. Ela pode ser realizada da seguinte forma: numerase a população de 1 a n e sorteiam-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, n números dessa sequência, que corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.

117


Obs.: Quando o número de elementos da amostra é muito grande como, por exemplo, neste caso, tal tipo de sorteio é muito trabalhoso. Neste caso, utiliza-se uma tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 sejam distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.

Tabela de números aleatórios 5 2 7 9 0 1 5 7 2 4 9 2 4 7 5 3 8 2 5 1 0 5 4

7 8 4 1 4 2 2 1 5 8 2 0 9 0 2 4 0 3 5 4 8 7 8

7 8 5 2 2 0 5 2 4 7 5 1 8 6 0 8 2 2 0 9 0 2 4

2 0 4 0 5 5 4 5 1 4 5 3 6 3 4 7 0 5 1 5 2 1 5

0 5 1 5 8 0 0 4 0 5 2 6 5 2 5 0 1 8 2 8 5 0 9

0 5 2 0 4 1 1 6 3 2 1 5 4 0 7 2 5 4 5 4 8 3 6

3 3 8 8 2 5 2 0 6 5 0 8 0 2 4 8 9 5 8 5 9 6 5

9 5 5 0 5 0 5 3 9 5 3 9 8 7 5 4 6 6 9 2 6 9 8

8 1 4 7 9 8 8 0 8 8 0 7 9 8 2 5 3 8 6 0 3 8 7

4 5 9 0 6 0 9 2 4 5 6 8 3 6 0 2 0 7 3 3 2 5 4

8 9 6 4 3 4 6 5 8 2 8 5 2 2 0 0 1 5 0 1 0 4 1

4 0 3 0 0 0 3 0 0 2 7 4 9 1 7 2 4 2 1 5 1 7 2

4 9 7 6 1 3 0 1 2 2 9 1 6 6 4 8 7 1 4 6 5 8 0

1 9 5 9 5 6 7 9 1 1 8 2 2 8 4 1 2 5 8 5 2 5 5

7 3 5 4 2 9 0 0 5 5 7 3 4 7 4 1 8 9 6 5 0 1 8

9 9 1 6 0 8 5 1 4 4 5 6 5 4 5 4 5 2 1 2 3 6 7

6 8 2 3 4 7 1 2 6 8 0 9 1 1 1 5 4 8 9 6 3 2 4

7 8 0 9 5 4 2 0 9 5 2 8 2 5 1 4 5 1 2 6 3 1 5

7 7 4 8 7 5 5 7 8 2 1 5 1 8 5 2 4 5 0 2 1 1 9

1 5 5 2 8 2 8 0 7 0 7 2 5 9 7 4 1 7 4 1 2 4 6

4 8 8 0 0 1 9 4 5 3 6 1 8 0 9 5 0 8 5 5 5 5 3

0 7 7 7 6 0 6 5 4 6 5 4 7 3 6 7 3 9 0 9 8 8 0

2 0 4 1 0 3 3 6 6 9 2 5 9 2 3 0 1 0 3 5 7 7 1

1 2 1 4 1 6 0 9 3 8 1 8 5 5 0 1 5 2 6 3 0 9 2

1 7 2 5 9 9 2 8 0 5 0 7 4 4 1 9 4 1 9 0 2 6 5

EXEMPLIFICANDO Exemplo: Uma determinada universidade possui 7000 alunos. Pretende-se fazer uma pesquisa para verificar como vai a saúde dos alunos. Serão selecionados, aleatoriamente, 5% dos alunos. Deslocar um funcionário para escrever 7000 números de matrícula em um pedaço de papel e depois sortear 350 pedaços é algo praticamente inviável e desnecessário. Então, a amostra é sorteada com o uso de uma tabela de números aleatórios da seguinte forma: os números de matrícula existentes possuem 4 dígitos, escolhemos 4 linhas ou colunas da tabela e selecionamos os números que correspondem a alunos matriculados na instituição. Os números que não correspondem são descartados. Se selecionarmos, por exemplo, as 4 primeiras colunas teremos como números selecionados 5772, 2880, 7454, 9120, 0425, 1205, 5254 ... Estas são, então, as matrículas selecionadas, caso existam.

118

3 7 9 6 0 5 1 8 2 4 3 9 4 6 4 1 0 5 2 1 6 2 4

9 1 6 8 1 8 5 5 1 2 6 6 5 6 5 4 9 3 2 4 3 5 1

7 7 3 4 5 4 4 2 0 0 9 8 2 8 7 8 0 6 5 7 6 0 2

5 7 8 5 0 7 8 0 1 3 8 5 6 4 5 5 5 8 5 1 9 4 5

6 1 4 2 4 5 7 3 2 2 5 5 6 9 6 3 2 5 1 5 5 1 9


Amostragem proporcional estratificada

Quando a população se divide em estratos (subconjuntos da população) é imprescindível que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. Daí, obteremos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Vamos obter uma amostra de 10% dos pacientes internados em um SPA, supondo que sejam 106 mulheres e 54 homens. São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos:

SEXO MASCULINO FEMININO Total

POPULAÇÃO 54 106 160

10 % 5,4 10,6 16

AMOSTRA 5 11 16

Numeramos os pacientes de 01 a 160, sendo 01 a 54 homens e 55 a 160, mulheres e, fazemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios.

Amostragem sistemática

Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de sorteio. Neste caso, calcula-se o número de elementos da amostra e divide-se o número de elementos da população pelo de elementos da amostra (A), assim, escolhemos os elementos ordenados de x em x.

119


EXEMPLIFICANDO Ex.: Imaginemos um prédio com 200 apartamentos dos quais desejamos obter uma amostra formada por 20 apartamentos para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 200/20 = 10. Escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 10, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam, periodicamente, considerados de 10 em 10. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 6, a amostra seria: 6º. apartamento, 16º. apartamento, 26º. apartamento etc.

Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos)

Algumas populações não permitem ou dificultam extremamente a identificação de seus elementos. Não obstante, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode ser colhida e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.

120


MÉTODOS NÃO-PROBABILÍSTICOS

São amostragens nas quais há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população.

Amostragem acidental

Trata-se de uma amostraformada por aqueles elementos que vão aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra. Ela é geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades.

Amostragem intencional

De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião.

121


EXEMPLIFICANDO Ex.: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.

Amostragem por cotas

Trata-se de um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases: primeiramente classifica a população, ou seja, verifica o que é relevante para a característica a ser estudada; em segundo lugar ele determina a proporção da população para cada característica com base no que se conhece sobre a população; em terceiro e último lugar, o pesquisador fixa cotas para cada entrevistador de modo que a amostra total observada contenha a proporção da população determinada na fase anterior.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Numa pesquisa sobre programa de TV mais assistido, provavelmente, será interessante dividirmos a população em homens e mulheres, cidade e campo, idade, renda média, faixas etárias etc.

122


Cálculo para o dimensionamento da amostra

Para se dimensionar uma amostra, devemos saber:

•

A população é finita ou infinita?

Por exemplo: A população constituída por todos os brinquedos produzidos em um dia de trabalho em uma fábrica é finita, enquanto que a população constituída por todos os resultados (cara e coroa) em sucessivos lances de uma moeda é infinita.

•

A variável estudada é discreta ou contínua?

Variável Discreta ou Descontínua: seus valores são expressos, geralmente, através de números inteiros não negativos.

Resulta normalmente de

contagens. Ex.: Número de filhos de um casal - pode assumir valores como 0; 1; 2; 3... mas nunca valores como: 1,5; 3,72 etc.

Variável Contínua: pode assumir qualquer valor entre dois limites, ou seja, assume valores em um intervalo real. Resulta, normalmente, de uma mensuração, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Temperatura. Normalmente, as mensurações dão srcem a variáveis contínuas e as contagens a variáveis discretas.

•

O erro amostral – expresso na unidade da variável estudada;

O erro amostral é a máxima diferença que o pesquisador admite entre a média da população (μ) e a média da amostra ( X ).

•

O desvio padrão da população – expresso na unidade da variável;

O desvio padrão da população pode ser determinado através de estudos anteriormente feitos ou de suposições sobre o assunto.

123


•

A abscissa da curva normal padrão (Z ) para um determinado nível de confiança.

Normalmente utilizamos os níveis de confiança: Para 95% → Z = 1,96 99% → Z = 2,58

Fórmulas para o cálculo da amostra Infinita Variável / População Contínua

Discreta

Correção 2

⎛ Z ⋅σ ⎞ n0 = ⎜ ⎟ ⎝ ε ⎠ Z 2 ⋅ pˆ ⋅ qˆ n = 0

ε2

n=

n0 n0

1+

N

Em que:

•• • • •

Zσé éaoabscissa da curva padrão. desvio padrão danormal população. N é o tamanho da população.

ε é o erro amostral. pˆ é a estimativa da proporção verificada em pesquisa anterior. Por exemplo: se a variável analisada for a proporção de crianças míopes de uma determinada cidade e em uma pesquisa anterior essa proporção foi ˆ = 0,20. Quando se tratar de um trabalho srcinal e o de 20%, então, p

ˆ =50% = 0,50. pesquisador não dispor de nenhum valor, faz-se p •

qˆ = 1 − pˆ

124

Estatística Aplicada 2

⎛ Z ⋅σ ⎞ e Obs. 1: Quando a população for infinita, usaremos as fórmulas n0 = ⎜ ⎟ ⎝ ε ⎠ Z 2 ⋅ pˆ ⋅ qˆ n0 = para variáveis contínuas e discretas, respectivamente. Quando a 2 ε

população for finita, poderemos usar estas mesmas fórmulas, porém fazendo uma pequena correção depois com a fórmula n =

n0 . n0

1+

N

Obs. 2: Quando o pesquisador não dispõe de uma pesquisa inicial e, portanto, não tem o valor do desvio padrão, ele toma aleatoriamente 30 indivíduos desta população e calcula o desvio padrão.

EXEMPLIFICANDO Ex.: Uma pesquisa de opinião sobre a relação universidade e comunidade será realizada com a participação dos alunos e professores do curso de estatística. É necessário dimensionar a amostra, tendo em vista a impossibilidade de realização de um senso. Sabe-se que uma mesma pesquisa foi feita no ano anterior e registrou 30% de satisfação da população em relação ao trabalho que a universidade desenvolve com a comunidade. Qual será o número de indivíduos que farão parte desta amostra se a comunidade é de aproximadamente 8000 pessoas? Considere o nível de confiança de 95% e o erro de amostragem de 5%.

Solução: Considerando que os dados são discretos, usaremos a fórmula

n0

=

Z 2 ⋅ pˆ ⋅ qˆ e corrigiremos depois com a fórmula n = ε2

125

n0 n0 .

1+

N


Em que: n 0 = amostra inicial. n = amostra corrigida. pˆ = valor obtido do trabalho anterior. Probabilidade de sucesso estimado.

qˆ = 1 − pˆ = 1 – 0,30 = 0,70 ε = precisão (erro de amostragem). z = nível de confiança – abscissa da curva normal para 95% → z = 1,96 O valor da amostra inicial é:

n0

=

Z 2 ⋅ pˆ ⋅ qˆ ε2

=

1,96 2 ⋅ 0,30 ⋅ 0,70 (0,05) 2

=

0,8067 0,0025

≅ 323

A amostra corrigida é:

n

n=

1+ n N

=

323 1 + 323 8000

=

323

= 311

1,04

Resultado: A amostra calculada terá 311 indivíduos. É HORA DE SE AVALIAR! Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Vimos, nesta unidade, vários processos para o cálculo de n (tamanho da amostra). Em uma pesquisa, o tamanho da amostra deve ser cuidado somente e calculado, pois do contrário, pode comprometer todo um trabalho. Na próxima unidade vamos estudar o cálculo das Probabilidades.

126


Exercícios - Unidade V

1. Considere uma população com 1000 pessoas do sexo feminino na faixa etária de 20 a 30 anos, 800 pessoas que trabalham na área da saúde e 1200 pessoas no comércio de medicamentos. Na amostra dessa população: a)

deve conter a maior parte de pessoas do sexo feminino na faixa etária de 20 a 30 anos.

b)

deve somente considerar as pessoas que trabalham com comércio de medicamentos, tendo em vista a sua quantidade.

c)

a amostra não deve ser proporcional a cada categoria da população.

d)

deve conter um número total de pessoas sem considerar parte proporcional, porque a população é formada por apenas três categorias, não havendo necessidade técnica de calcular uma amostra estratificada.

e)

a amostra deve ser proporcional ao número de pessoas do sexo feminino na faixa etária de 20 a 30, de pessoas que trabalham na saúde e pessoas que trabalham no comércio de medicamentos.

2 No cálculo para dimensionar uma amostra é importante que se conheçam inicialmente as informações sobre a população, se é finita ou infinita. Marque a alternativa que não caracteriza uma população finita: a)

número de parafusos fabricados por uma metalúrgica em 24 horas.

b)

lançamento de um dado até ocorrer a face 1 ( um).

c)

num jogo de bingo, ocorrer a bola 9.

d)

número de todas as bactérias que estão na Terra.

e)

número de ossos do corpo humano.

127


3-Numa população dividida em estratos A1, A2 , A3 e A4 , podemos afirmar que: a)

pode ocorrer de um dos estratos não pertencer à população.

b)

todos os estratos, obrigatoriamente, têm os mesmos números de elementos.

c)

não deve haver qualquer tipo de relação entre os estratos e a amostra que será calculada.

d)

a soma dos estratos é maior que a população.

e)

os estratos são subconjuntos da população.

4. Considere uma agremiação esportiva com uma equipe de 500 atletas praticantes de todas as modalidades esportivas desenvolvidas na região. Essa instituição calculou uma amostra de “n” atletas para participar de atividades recreativas e esportivas em diversas modalidades. No dia do evento, faltaram atletas para algumas atividades em decorrência do custo por atleta. Marque a alternativa correta: a)

Nada se pode afirmar quanto ao custo em relação ao tamanho da amostra.

b)

A amostra foi cuidadosamente dimensionada com erro de amostragem bem calculado.

c)

A amostra foi calculada tomando cuidado com o menor erro amostral.

d)

Não houve cuidado em planejar a menor margem de erro.

e)

Nunca se calcula amostra para esse tipo de atividade, tendo em vista que a população é finita e a atividade está inclusa no custo total.

5. No cálculo de uma amostra, o erro amostral é a diferença que se admite entre: a) b) c) d) e)

o desvio padrão e o coeficiente de correlação. a média e o coeficiente de correlação. nada se pode afirmar sobre o erro de amostragem, pois a amostra é sempre 10% da população em qualquer situação. a média da amostra e o desvio padrão. entre os parâmetros da população e da amostra, como média.

128


6. Na amostragem “Casual ou Aleatória Simples” utiliza-se um tipo de sorteio equivalente a um “Sorteio Lotérico”. Quando o número de elementos da amostra é muito grande, qual o instrumento utilizado? a)

Tabela de números aleatórios.

b)

Nenhuma tabela é aplicada.

c)

Nada se afirma quanto ao cálculo de amostra nesses casos.

d)

Tabela da distribuição Normal.

e)

Tabela de logaritmo.

7- Em uma turma com 68 alunos, ordenados por n° de matrícula, cursando a disciplina de Estatística, calculou-se uma amostra de 12 alunos com o propósito de saber a opinião dos estudantes em relação à disciplina de Estatística. Foi aplicado o procedimento de amostragem N n

=

68 12

= 5,6 ≅ 6,0 , em que o aluno escolhe um

número de 0 a 6 para proceder à seleção da amostra. Marque alternativa correta: a)

Trata-se de uma Amostragem Estratificada.

b)

Como se trata de parte da turma aplica-se a Amostragem por Área.

c)

Está explícito que deve ser aplicada a Técnica de Amostragem por Conglomerado.

d)

Certamente aplica-se a Amostragem Sistemática.

e)

As alternativas não estão associadas à questão formulada.

8 - Nas alternativas abaixo, podemos considerar como Amostra: a)

É o mesmo que população e sempre será.

b)

A população sempre

c) d)

A Amostra na População. Amostra é uma fração da população que deverá conter elementos que representem fielmente a população a ser analisada. Amostra é todo conjunto de elementos maior que a população

e)

⊄

∈

a amostra.

129


9- Determine o tamanho da amostra no levantamento do peso de uma determinada peça produzida em larga escala. Pelas especificações técnicas do produto, o desvio-padrão é de 15 kg. Admita um erro amostral de 1,5 kg e considere um nível de confiança de 95%.

10No oproblema anterior, admita que a população seja finita de 1600 peças. Calcule tamanho da amostra .

130


6

Cálculo das Probabilidades

Caracterização de um experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Definição de Probabilidade Principais teoremas Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística

131


Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpri-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico), que melhor o explica. Os fenômenos estudados pela estatística, são fenômenos que estão sujeitos ao acaso (fenômenos aleatórios), porque mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra. Para fenômenos aleatórios adotar-se-á um modelo matemático probabilístico chamado de: Cálculo das Probabilidades. Este é o objeto de estudo de nossa unidade.

OBJETIVO DA UNIDADE:

•

Caracterizar

os

experimentos

aleatórios

calcular

as

possibilidades de acontecimento de tais experimentos, a chance de um evento ocorrer ou não, ou seja, a probabilidade de sucesso ou insucesso.

PLANO DA UNIDADE :

• • • • • • • • • • •

Caracterização de um experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Definição de Probabilidade Principais teoremas Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Bons estudos!

132


Caracterização de um Experimento Aleatório A fim de se entender melhor a caracterização dos experimentos, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:

ξ1 → Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar o seu naipe.

ξ – o símbolo significa experimento

ξ2 → Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna, que contém 5 bolas brancas e 6 pretas.

ξ3 → Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.

A análise desses experimentos revela: a) cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; b) não se conhece um particular valor do experimento a priori, porém podem-se descrever todos os possíveis resultados – as probabilidades. c) quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração

f = r/n (frequência relativa), em que n é o número de repetições e r o número de sucesso de um particular resultado estabelecido antes da realização.

f

n

133


Como veremos adiante, a característica (c) é de fundamental importância para a avaliação da probabilidade de certo evento.

Espaço Amostral Para cada experimento ξ, define espaço amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

EXEMPLIFICANDO a) ξ → Jogar um dado e observar o número da face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) ξ → jogar duas moedas e observar o resultado. S = {(ca, ca); (ca, co); (co, ca); (co, co)}, onde ca = cara e co = coroa. Obs: S poderá ser um conjunto finito ou infinito enumerável. Trataremos de conjuntos finitos.

Evento É um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto de S. Inclusive ∅ e o próprio S. Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos. Assim:

• • •

A ∪ B → É o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorrer.

A ∩ B → É o evento que ocorre se ambos ocorrerem simultaneamente.

A→ É o evento que ocorre se A não ocorre.(Contrário de A )

134


EXEMPLIFICANDO a) ξ → jogar três moedas e observar o resultado. S = {(ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); ( co, co, ca); (co, ca, co); (ca, co, co); (co, co, co)} A = Evento ocorrer pelo menos duas caras. A = {(ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca) ; (co, ca, ca)} b) ξ → lançar um dado e observar o número da face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = Evento ocorrer número par. B = {2, 4, 6} Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-se verificar que o número total de eventos extraído de S é 2n.

Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se A e B não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A ∩ B =∅.

EXEMPLIFICANDO

ξ → jogar um dado e observar o resultado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A → ocorrer número par – {2, 4, 6}

A∩

B → ocorrer número ímpar – {1, 3, 5} B = ∅ ⇔ Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos.

135


Definição de Probabilidade Dado um experimento aleatório ξ e S o espaço amostral, a probabilidade de um evento, P(A) é uma função definida em S, que associado a cada evento um número real, satisfaz os seguintes axiomas:

•• •

P ( A) ≤ 1

P(S)≤= 1

0

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) se A ∩ B = ∅

Principais Teoremas • • •

P(∅) = 0

•

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P ( A) = 1 − P ( A) Se A ⊂ B, logo P(A) ≤ P(B)

Até o momento, já postulamos a existência do número P(A) e temos várias propriedades associadas a ele, mas não mencionamos como calcular P(A). A frequência relativa será de grande valor para aproximarmos o cálculo de P(A). Nota-se que não se está afirmando que Af é a mesma coisa que P (A). Mesmo que a aproximação seja grosseira, em nada abalará a lógica do modelo estabelecido acima.

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Seja S um espaço amostral finito S= {a1, a2, ..., an}. Considera-se o evento formado por um resultado simples A = {ai}. A cada evento simples {ai}, associa-se um número pi denominado de probabilidade de {ai}, satisfazendo as seguintes condições:

• •

pi ≥ 0, onde i = 1, 2, ..., n p1 + p2 + ...+ pn = 1

136


A probabilidade P(A) de cada evento composto (mais de um evento) é então definida pela soma das probabilidades dos pontos de A.

EXEMPLIFICANDO Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. A probabilidade de A ganhar a corrida é duas vezes mais do que B; e B tem duas vezes mais probabilidades de ganhar a corrida do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Solução: P(C) = p P(B) = 2p P(A) = 4p p + 2p + 4p = 1

1

4

2

1

7p = 1 → p = 7 logo, P(A) = 7 , P(B) = 7 e P(C) = 7

Espaços amostrais finitos equiprováveis Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável. Em particular se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será

1 . n

Por outro lado, se um evento A contém r pontos, então:

⎛1⎞= r . ⎟ ⎝n⎠ n

P(A) = r. ⎜

137


Este método de avaliar Pr(A) é teoricamente enunciado da seguinte maneira: P(A) =

Número de vezes que o evento A pode ocorrer ou Número de vezes em que o espaço amostral S ocorre

Número de casos favoráveis P(A) = Número de casos possíveis EXEMPLIFICANDO Escolhe-se aleatoriamente (a expressão “aleatória” indica que o espaço amostral é equiprovável), uma carta de um baralho que contém 52 cartas. Seja A = {a carta ser de ouros} B = {a carta ser uma figura} P (A) = número de ouros = 13 = 1 número de cartas 52 4 P(B) = número de figuras = 12 = 3 número de cartas 52 13

DICA Vale lembrar que um baralho possui 4 naipes, cada naipe possui 13 cartas onde 13x4 = 52 cartas. As figuras são: Dama, Rei e Valete, considerando os 4 naipes, temos 12 figuras, pois 3x4=12. Em muitos problemas, o cálculo das probabilidades de um evento reduzse a um problema de contagem. Assim é que a análise combinatória (teoria da contagem), tem fundamental importância para se contar o número de casos favoráveis e possíveis.

138


EXEMPLIFICANDO Num lote de 12 peças 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcular: a)

a probabilidade de ambas serem defeituosas;

b)

a probabilidade de ambas não serem defeituosas;

c)

a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

Solução: a) A = ambas serem defeituosas. A pode ocorrer = C4,2=

4! 4! 4 × 3 × 2 ×1 = = 2!(4 − 2)! 2! 2! (2 ×1).(2 ×1)

S pode ocorrer = C12,2=

12! 2!10!

= 66

139

=

24 2× 2

=

24 4

=6


Logo a probabilidade de ambas serem defeituosas é: P(A) =

6 66

=

1 11

b) B = Ambas não serem defeituosas. B pode ocorrer = C8,2= 8!

2! 6!

S pode ocorrer = C12,2=

= 28

12! = 66 2!10!

Logo a probabilidade de ambas não serem defeituosas é: P(B) =

28 14 = 66 33

c) C = ao menos uma ser defeituosa. C = B ou seja, P(C) = P( B ) P( B ) = 1 – P(B) como já conhecemos P(B) que é a probabilidade de ambas não serem defeituosas, temos que: P( B ) = 1 -

14 33

=

19 33

Vimos, com este exemplo, a necessidade de utilizamos análise combinatória. Precisamos, através da combinação, calcular o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Sem o auxílio da teoria de contagem, não seria possível.

140


Probabilidade Condicional Seja ξ → Lançar um dado A = saia o número 3 → P(A) = 1/3 B = saia número impar → P(B) = 1/2 É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular a probabilidade condicional. Neste exemplo, podemos estar querendo a probabilidade do evento A condicionada ao evento B, isto é: P(A/B) → (Lê-se: probabilidade de A condicionada a B ou probabilidade de A dado que B ocorre ). Assim, P(A/B) = 1/3 Podemos observar que na probabilidade condicional, há uma redução no espaço amostral, pois neste caso passamos de S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} para S’ = {1, 3, 5} e é neste espaço que calcularmos a probabilidade condicional.

Definição:

P( A / B) =

P( A ∩ B) P( B)

P(B) > 0

Podemos constatar que P(A/B) assim definida satisfaz os axiomas de probabilidades já mencionadas. É usual utilizarmos uma ferramenta mais prática para calcularmos P(A/B): Número de casos favoráveis P(A) =

Número de casos possíveis

141


EXEMPLIFICANDO

Seja ξ → Lançar dois dados A = {(x1, x2)} / x1 + x2 = 10 B = {(x1, x2)} / x1 > x2

Avaliar P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A)

S=

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

P(A) =

3 36

=

1 (ocorrências: (5,5); (4,6) e (6,4)) 12

P(B) =

15 36

=

5 (ocorrências: (2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3); 12

(5,4); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5)) P(A/B) =

1

(ocorrência: (6,4))

15 1 P(B/A) = (ocorrência: (6,4)) 3 P(A ∩ B ) =

1 36

(ocorrência: (6,4))

142


Teorema do Produto A partir da probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade de dois eventos simultaneamente.

P( A / B) = P ( B / A) =

P( A ∩ B) P( B) P( A ∩ B) P ( A)

⇔ P( A ∩ B) = P( B).P( A / B) ⇔ P( A ∩ B) = P( A).P( B / A)

EXEMPLIFICANDO

Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas, uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? A = a primeira ser defeituosa. B = a segunda ser defeituosa. P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) P(A ∩ B) = (4/12) . (3/11) = 1/11

Independência Estatística Um evento A é considerado independente de um outro evento B, se a probabilidade de A for igual à probabilidade condicionada de A dado B, isto é, se P(A) = P(A/B). É evidente que se A é independente de B, B é independente de A, isto é, P(B) = P(B/A).

143


Teorema: Se A e B são independentes, então: P(A ∩ B) = P(A). P(B).

Dado n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são independentes se forem 2 a 2, 3 a 3, n a n, isto é:

∩ A ) = P(A ) . P(A ) i ≠ j P(A ∩ A ∩ A ) = P(A ) . P(A ) . P(A ) i ≠ j ≠ k P(A ∩ A ∩ A ) = P(A ) . P(A ) … P(A ) P(Ai

j

i

j

1

i

k

2

j

i

n

j

1

k

2

n

EXEMPLIFICANDO ξ → Lançar um dado duas vezes. A → tirar face 5 no primeiro lançamento. B → tirar soma 7. C → tirar soma 8. P(A) = 6/36 = 1/6 P(B) = 6/36 = 1/6 P(C) = 5/36

∩ B) = 1/36 P(A ∩ C) = 1/36 P (A ∩ B) = P(A) . P(B) → A e B são independentes. P(A ∩ C) ≠ P(A) . P(C) → A e C não são independentes. P(A

144



Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Nesta unidade, aprendemos como caracterizar um experimento aleatório e como descrever e calcular os possíveis resultados de um fenômeno. Na próxima unidade, veremos duas distribuições de probabilidade. As distribuições Binomial e Normal.

145


146


Exercícios - Unidade VI

1. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Suponha que são sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. (Enunciado das questões 1 e 2).

1. Qual a probabilidade das duas bolas serem brancas? a)

0,05

b)

0,08

c)

0,10

d)

0,12

e)

0,15

2. Qual a probabilidade das duas bolas serem vermelhas? a) 0,30 b) 0,35 c) 0,40 d) 0,45 e) 0,50

3. Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Retira-se 2 bolas sem reposição. Qual a probabilidade da 2ª ser vermelha, dado que a 1ª é branca? a) 0,20 b) 0,30 c) 0,35 d) 0,40 e) 0,45

147


4. Uma companhia de seguros analisou a frequência com que 3.000 segurados (1.500 homens e 1.500 mulheres) usaram o hospital no último ano. Os resultados são apresentados na tabela:

Usaram o hospital Não usaram o hospital

Homens

Mulheres

250

320

1250

1180

5. Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? a) 0,19 b) 0,22 c) 0,26 d) 0,30 e) 0,31

5. Com base nos dados do exercício anterior, qual a probabilidade de uma mulher ter usado o hospital? a) b) c) d) e)

0,08 0,09 0,107 0,153 0,166

148


6. No posto de saúde de uma cidadezinha do interior, 15.800 crianças foram atendidas no último ano. A tabela abaixo relaciona a idade das crianças atendidas. Sexo Masculino

Feminino

Total

< de 1 ano

2.000

800

2.800

1 – 4 anos > 4 anos Total

4.500 1.800 8.300

2.500 4.200 7.500

7.000 6.000 15.800

Idade

Qual a probabilidade de uma criança selecionada ao acaso ter 4 anos ou menos e ser do sexo feminino? a)

0,209

b)

0,309

c)

0,410

d)

0,433

e)

0,456

7. Considere o problema 6 e suponha que escolhamos duas crianças ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que ambos sejam do sexo masculino? a) b) c) d) e)

0,18 0,20 0,28 0,31 0,35

8. A tabela abaixo dá a distribuição de probabilidades dos quatro tipos de sangue de indivíduos numa comunidade.

Probabilidades De ter o tipo especificado De não ter o tipo especificado

A 0,30 0,70

149

Tipos de Sangue B AB 0,20 0,10 0,80 0,90

O 0,40 0,60


Qual a probabilidade de que dois indivíduos desta comunidade, sorteados ao acaso, tenham o tipo A e outro o tipo B?

a)

0,06

b)

0,20

c)

0,30

d)

0,32

e)

0,35

9. Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com a ocorrência de A, B, A ∩ B, etc. Assim, P(A)=0,15, enquanto P(A ∩ B)= 0,06.

B A

A Total

Total

B 0,09

0,06 0,17 0,23

0,68

0,15 0,85

0,77

1,00

Verifique se A e B são independentes. Justifique sua resposta.

150


10. Os dados da tabela são referentes ao estudo efetuado por um psicólogo para verificar a eficiência do tratamento com seus pacientes. Sexo

Homens (M)

Mulheres (F)

Total

70

43

113

Uso de remédios - (R)

25

40

65

Somente análise - (A)

80

42

122

Total

175

125

300

Tipo de tratamento Terapias Alternativas - (T)

Um paciente é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade deste paciente fazer somente análise, dado que é mulher?

151


152


7

Distribuições de Probabilidades

Definição e classificação de variáveis Distribuição Binomial Distribuição Normal de Probabilidades

153


Estudaremos nesta unidade duas importantes distribuições de probabilidade: Distribuição Binomial e Distribuição Normal. Quando estudamos fenômenos aleatórios, estamos interessados em algum resultado ou alguns resultados relacionados ao experimento. As distribuições de probabilidade permite-nos através de experimentos quantificar os possíveis resultados de uma variável discreta ou contínua.

OBJETIVOS:

•

Identificar e calcular problemas relacionados à contagem – Distribuição Binomial.

•

Identificar e calcular problemas relacionados a espaços amostrais contínuos e as variáveis contínuas – Distribuição Normal.

PLANO DA UNIDADE:

•

Definição e classificação de variáveis.

•

Distribuição Binomial.

•

Distribuição Normal de Probabilidade.

Bons estudos.

154


Definição e classificação de variáveis Quando estudamos estatística uma das primeiras coisas que aprendemos é a definição e classificação de uma Variável. Uma variável pode ser classificada como

Variável Qualitativa ou Variável Quantitativa. As variáveis quantitativas são classificadas como: Quantitativa Discreta e Quantitativa Contínua. Vamos relembrar: 1.

Variável Qualitativa → É aquela que os valores são expressos por atributos, por exemplo: cor de cabelo, sexo, etc.

2.

Variável Quantitativa → É a variável que pode ser mensurada ou contabilizada, ou seja, assume valor numérico.

Discreta – É a variável que assume valor inteiro. Os dados discretos são resultados de contagem, por exemplo: número de carros que passam na ponte Rio de Janeiro – Niterói; atletas que cruzam a linha de chegada da maratona de São Silvestre, etc.

Contínua – É a variável que assume qualquer valor num intervalo contínuo, por exemplo: índice da bolsa de valores de New York; pressão sistólica arterial, etc. Como existem dois tipos de variáveis quantitativas, ao darmos início ao estudo das distribuições de probabilidade, essas distribuições também tratam as variáveis de acordo com a sua classificação. As principais distribuições de probabilidade são: Binomial, Normal, Uniforme, Bernoulli, Poison, Hipergeométrica, Beta, Gama, etc. Para a variável discreta a principal distribuição de probabilidade é a

Distribuição Binomial.

155


Para a variável contínua a principal distribuição de probabilidade é a

Distribuição Normal. Nosso objeto de estudo nesta unidade são as distribuições Binomial e Normal, e por que não trabalharmos com as outras distribuições de probabilidade? Quando trabalhamos com uma variável aleatória discreta, normalmente temos um problema de contagem. A distribuição Binomial utiliza os parâmetros n e p, onde n é o tamanho da amostra ou o número de vezes que se faz um experimento e p a probabilidade de sucesso de um evento acontecer. Com isso, podemos efetuar experimentos para verificar a probabilidade de sucesso de um evento acontecer (p) e a probabilidade de insucesso de um evento acontecer (1-p), quantas vezes forem necessárias. Quando trabalhamos com uma variável aleatória contínua estamos com uma variável que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real. Por exemplo, velocidade de um Boeing a determinada altitude no período de 1 hora. O que se observa no emprego de testes estatísticos com este tipo de variável é que as ocorrências de uma variável qualquer estudada ao acaso, ao longo do experimento desta variável, em um dado momento, observa-se um comportamento regular nas ocorrências. E este comportamento regular permitiu que, no estudo de grandes amostras, criasse um padrão onde o erro de mensuração para estas variáveis poderiam ser agrupados e classificados dentro de um padrão considerado normal. As variáveis aleatórias contínuas que seguem a um padrão normal possuem uma característica gráfica que se enquadra dentro de uma curva, chamada de curva normal de erros. Esta curva tem a forma de um sino e os erros de mensuração vão de -3σ a +3σ (lê-se: menos 3 desvios a mais 3 desvios). O desvio padrão, aqui representado por σ (sigma) significa quanto para + ou para – estamos afastados da média µ. Na distribuição normal os parâmetros são: o desvio padrão σ e a média µ.

156


Área sob uma curva normal a 1, 2 e 3 desvios padrões a contar de cada lado da média.

Distribuição Binomial Definição: considere um experimento ξ, e seja A algum evento associado a ξ. Admitamos que P(A) = p e consequentemente P(

A)

= 1-p.

Considere n repetições de ξ. O espaço amostral S será formado por todas as sequências possíveis {a1, a2, ..., an}, onde cada ai é o evento A ou

A,

dependendo do que tenha ocorrido na iésima repetição do experimento n

(existem 2 dessas sequências). Suponha que P(A) = p permaneça a mesma para todas as repetições. Seja a variável aleatória que indica o número de vezes que o evento A tenha ocorrido. Definiremos a variável aleatória discreta X como variável aleatória Binomial de Parâmetro n e p. Os valores de X são evidentemente: 0, 1, 2, ..., n; e X~b(n,p) significa que X tem distribuição binomial de parâmetros n e p.

157


•

Teorema: Seja X uma variável aleatória binomial, então: P{X = k} = Cn,k . pk . (1 – p)n-k k= 0, 1, 2, ..., n. Cn,k =

n! k! (n − k )!

EXEMPLIFICANDO ξ → Lançar um dado 3 vezes X→ Número de vezes que aparece a face 2. Determine a probabilidade de X = 0, ou seja, a probabilidade de não aparecer a face 2 ao lançar o dado 3 vezes. Temos uma distribuição binomial: X~b(3,1/6) n =3

p=1/6

X~b(3, 1/6) k

P{X = k} = Cn,k . p . (1 – p)n-k P{X = 0} = C3,0 . (1/6)0 . (5/6)3 P{X = 0} = 1 . 1 . 125 216 P{X = 0} =

125 216

No cálculo efetuado acima, para facilitar as contas, podemos buscar no anexo a tabela com combinações previamente calculadas.

158


n 0 1 2 3 . . 20

C3,0→n=3 e k=0 ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠

1

3

3

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3 ⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝6⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝7⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝8 ⎠

⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝9 ⎠

⎛n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝19 ⎠

1

EXEMPLIFICANDO

O setor de saúde do trabalhador, ao acompanhar por um longo período a aplicação de um produto químico domiciliar, verificou que este produto causa lesões na pele de 40% dos funcionários que trabalham com ele. Ao examinar uma amostra de 15 destes profissionais, pede-se determinar a probabilidade de causar lesões na pele em mais de 3 e no máximo em 6 deles. Temos uma distribuição binomial: X~(15,0,40) P(3< X ≤6) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

P( X

= 4) = C15, 4 0,440,611 = 0,1258 ou 12,58% dos 5

P( X P( X

funcionários

10

= 5) = C15,5 0,4 60,6 9 = 0,1859 ou 18,59% dos = 6) = C15, 6 0,4 0,6 = 0,2066 ou 20,66% dos

Então: P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 0,5817 ou 58,17%

159

funcionários funcionários


Distribuição Normal de Probabilidade Vamos apresentar uma distribuição de probabilidade sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento técnico da estatística. Esta distribuição de Gauss, Laplace ou Gauss Laplace. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por: f(X) =

1 σ 2π

1 X −µ ⎞ − ⎛⎜ ⎟ e 2⎝ σ ⎠

2

− ∞ < x < +∞

onde: µ = média distribuição σ = desvio padrão de X π = 3,71416..... e = 2,71.... Sendo o seu gráfico:

Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas:

1.

a integração de f(x), pois seria necessário para o desenvolvimento de séries;

2.

a criação de uma tabela, pois f(x) depende de dois parâmetros e isto provocaria um grande trabalho, por causa das diversas combinações que poderiam surgir com

eσ .

160


A maneira de solucionarmos este problema é por meio de uma transformação de variável e pelo uso de uma particular distribuição chamada deDISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ou REDUZIDA.

Distribuição Normal Padrão

Seja Z uma variável aleatória, tal que: Z i

Xi − σ

=

, onde X é uma variável

2

aleatória normal com média µ e variância σ .

•

Média de Z será dada por:

⎡X −µ⎤ ⎣ σ ⎥⎦

E[Z] = E ⎢ E[Z] =

E[Z] =

1 σ 1 σ

→ E[Z] significa valor esperado, esperança ou média.

( E[ X ] − µ (µ − µ )

E[Z] = 0

•

Variância de Z será dada por:

⎡X −µ⎤ ⎣ σ ⎥⎦

σ 2 [Z ] = V ⎢ 2

1

σ [ Z ] = σ 2 (V [ X ] − V [ µ ]) σ 2 [Z ] =

1 σ

2

(σ 2 − 0)

σ 2 [ Z ] = 1 logo, temos uma função de densidade.

161


f (Z ) =

1 2π

e

−

x2 2

− ∞ < z < +∞

Chamamos de função de densidade Normal Padrão, isto é:

2

Z~N(0; 1), lê-se: Z tem distribuição normal com

µ

= 0 e σ = 1. Como a média de Z é zero e a variância de Z é 1, as probabilidades

sob Φ(Z) são calculadas e tabeladas, obtendo a função de distribuição de Z. A notação de uma variável aleatória contínua normal qualquer, será dada por: X~N(µ; variância

σ 2 ),

lê-se: X tem distribuição normal com média

µ

e

σ 2.

Φ(Z) = valores tabelados da distribuição normal padrão.

Propriedades da Distribuição Normal Como foi visto, o gráfico de f(x) de uma V.A.C. (variável aleatória contínua) normal tem a forma de um sino e é simétrica em relação a média µ. Fixando-se a média, verifica-se que o “achatamento” está diretamente ligado ao valor do desvio padrão σ, assim:

σ 1< σ 2

162


1a Propriedade:

• •

f(x) é simétrica em relação a µ. Φ(z) é simétrica em relação a 0.

163


2a Propriedade:

• •

F(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem

µ

+ σ e µ - σ.

Φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1.

Exemplificação de consulta à tabela de Φ(z) através de um exemplo:

P(z ≤ -2,62) = Φ(-2,62)

Z -3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 . . . . .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0044

. -0,0

Na primeira coluna à direita, tomamos o número com a casa decimal e na primeira linha tomamos o número da casa das centenas (após a vírgula), a interseção desses dois elementos é a probabilidade procurada. P(z ≤ -2,62) = 0,0044

-Propriedades:

• •

P(z1 ≤ Z ≤ z2) = P(z1 < Z < z2) = Φ(z2) – Φ(z1) P(Z > z 1) = P(Z ≥ z1) = 1 – P(Z ≤ z1) = 1 - Φ(z1)

164


EXEMPLIFICANDO P(-2 ≤ Z ≤ 1) = Φ(1) – Φ(-2)

1)

P(-2 ≤ Z ≤ 1) = 0,8413 – 0,02275 = 0,81855 P(-2 ≤ Z ≤ 1) = 0,81855 P(Z > 1) = 1 – p(Z ≤ 1) P(Z > 1) = 1 – Φ (1)

2)

P(Z > 1) = 1 – 0,8413 P(Z > 1) = 0,1517 2

Caso X~N(µ; σ ) o cálculo de qualquer probabilidade será feito através da normal padrão e a transformação:

Z=

X

− σ

~ N(0; 1) isto é, z =

•

P(X ≤ x) = P(Z ≤ z)

•

P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2)

x− σ

logo:

x− z= σ

x1 − σ x − z2 = 2 σ z1 =

•

P(X > x) = P(Z > z)

x− z= σ

165


Nas probabilidades anteriores em nada se altera, caso tivéssemos ≥ ou ≤ em vez de > ou <.

Exemplo: X~N(10;25), determine:

X~N(10;25) significa que X tem distribuição normal de média µ=10 e variância 2 σ =25, logo σ=5.

a)

P(8< x < 11)

b)

P(X > 6)

c)

P(X < 9)

d)

P(X < x) = 0,9918 determine x

a)

8 − 10

z1

=

z2

=

8 − 10 25 = 5

11 − 10 5

2 =−5

= −0,40

1

= = 0,20 5

P(8 < X < 11) = P(-0,40 < x < 0,20) P(8 < X < 11) = Φ(0,20) – Φ(-0,40) P(8 < X < 11) = 0,5793 – 0,3446 = 0,2347

b) P(X > 6) = P(Z > z)

z=

6 − 10 5

= −0,8

P(Z > -0,8) = 1 – P(Z ≤ -0,8) P(Z > -0,8) = 1 – Φ (-0,8) 166


P(Z > -0,8) = 1 – 0,2119 = 0,7881 c) P(X < 9) = P(Z < z)

z=

9 − 10

= −0,2

5 P(X < 9) = P(Z – 0,2) P(X < 9) = Φ (-0,2) P(X < 9) = 0,4207 d) P(X < x) = P(Z < z) = 0,9918 P(Z < z) = 0,9918 Φ(z) = 0,9918 → z=2,4 z=

x−

logo, 2,4 =

σ

x − 10 5

12 = x – 10 12 + 10 = x → x = 22

167


EXEMPLIFICANDO Carlos Eduardo e Camélia irão se casar no próximo fim de semana. Eles ganharam muitos presentes, mas infelizmente ficou faltando um eletroeletrônico muito importante. Eles não tinham ainda geladeira. Dirigiram-se até uma loja e lá observaram que os modelos vinham indicando o consumo de energia. O modelo que eles gostaram possuía as seguintes especificações: o consumo desta geladeira tende a uma distribuição normal com média de consumo de 220v/dia, com desvio padrão 20,02. Com essas informações, como Carlos conhecia um pouquinho de cálculo de distribuição normal, ele ficou curioso em saber qual a probabilidade da geladeira consumir mais do que 250v/dia. P(X > 250)= P(Z > z)

z

=

250 − 220 20,02

= 1,50

P(X < 250) = 1 –Φ(1,50 P(X < 250) = 1- 0,9332 = 0,0668 ou 6,68%

168



Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Vimos nesta unidade duas distribuições de probabilidade que são de extrema importância. Para problemas de contagem, a distribuição Binomial e a distribuição Normal. Vocês verão nas próximas unidades como a distribuição Normal é importante no estudo da estatística, pois os testes paramétricos seguem um padrão baseado em uma normalidade que é a curva da distribuição Normal, em que suas probabilidades já são conhecidas e calculadas dentro da curva da normal. Estudaremos, na próxima unidade, problemas de correlação e regressão.

169


170


Exercícios - Unidade VII 1. Consulte nas tabelas as probabilidades para os seguintes valores de Z: (z=-0,33; z=0,00; z=3,00 e z=1,12). a) b)

0,37070, 0,50000, 0,99865 e 0,86864 0,25700, 0,50000, 0,78956 e 0,86864

c)

0,34570, 0,45674, 0,34564 e 0,98567

d)

0,23450, 0,68743, 0,99865 e 0,23476

e)

0,12364, 0,98765, 0,26777 e 0,12966

2. Consulte nas tabelas o valor de z para as seguintes probabilidades: ( P=0,23576, P=0,42858 e P=0,85543). a)

z=-0,45, z=-0,24 e z=2,06

b)

z=-0,57, z=-0,45 e z=1,76

c)

z=-0,72, z=-0,18 e z=1,06

d)

z=-0,68, z=-0,35 e z=2,08

e)

z=-0,45, z=-0,56 e z=1,06

3. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar é de 12,5%. Determine a probabilidade de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente, nenhum se forme. a) b) c) d) e)

0,4390 0,4689 0,4488 0,6388 0,6773

171


4.Se uma variável aleatória tem distribuição normal com média μ=70 e desvio padrão σ=4,8. Determine a probabilidade de ela assumir um valor superior a 66,4. a)

0,7734

b)

0,7844

c)

0,7964

d)

0,8734

e)

0,8994

5. Na manufatura de certo artigo, é sabido que 2 entre dez dos artigos são defeituosos. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha exatamente um defeituoso? a)

0,3105

b)

0,3405

c) d)

0,4100 0,4096

e)

0,4356

6.No bairro de Buriti, a probabilidade de um carro furtado ser recuperado é de 0,40. Dentre 10 carros furtados, qual a probabilidade de 3 carros serem recuperados? a)

0,034

b)

0,304

c)

0,382

d)

0,413

e)

0,423

7. Em um tratamento para alergia em crianças, é ministrado um remédio. Observou-se que 20% das crianças que tomam tal medicamento ficam sonolentas em 5 minutos. Determine a probabilidade de que, dentre 20 crianças que tomam o remédio, no máximo duas ficarem sonolentas dentro de 5 minutos. 172


a)

0,207

b)

0,227

c)

0,277

d)

0,287

e)

0,297

8. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de aparecer face cara em pelo menos 3 lançamentos? a)

0,452

b)

0,500

c)

0,620

d)

0,660

e)

0,683

9. Em um grupo de 1000 pacientes com idade acima de 60 anos, todos com diabetes, verificou-se que a glicose média dos pacientes era de 175 mg/dl de sangue com um desvio padrão de 15 mg/dl. Quantos pacientes possuem glicose acima de 180 mg/dl?

173


10. O enfermeiro chefe de um hospital de emergência verificou que 60% de todos os pacientes que procuram a emergência nos fins de semana não estão em condições emergenciais. Determine as probabilidades de que, dentre oito pacientes que dão entrada na sala de emergência, 0, 1, 2, …, 7, 8 não estejam em condições de emergência.

174


8

Correlação e Regressão

Correlação. Regressão. Métodos dos Mínimos Quadrados.

175


Estudaremos, nesta unidade, o comportamento de uma variável em relação à outra através de uma equação linear e a relação existente entre elas e aprenderemos também, como estimar valores para duas variáveis.


•

Ajustar uma reta a um conjunto de dados e determinar a equação da reta que constitui o melhor ajuste.

•

Calcular e classificar o grau de correlação existente entre duas variáveis.

PLANO DA UNIDADE:

• • •

Correlação. Regressão. Métodos dos Mínimos Quadrados. Bons estudos!

176


Correlação Quando precisamos estudar a relação existente entre duas variáveis, por exemplo, peso e altura, com o objetivo de identificar o comportamento entre essas variáveis, podemos representá-las graficamente e verificar a dispersão existente entre elas. Para medir esta dispersão temos o Coeficiente de Correlação. Hoje, com o auxílio da informática podemos rapidamente construir um gráfico de dispersão. Não havendo uma ferramenta computacional para facilitar este processo, é bem simples construí-lo manualmente.

EXEMPLIFICANDO Dada as variáveis X e Y, construa um gráfico de dispersão para representálas.

Observações (n) 1 2 3 4 5 6 ∑

X 2 5 3 4 6 7

1o Trace o sistema de eixos cartesianos. 2o Relacione as variáveis aos eixos. Eixos das abcissas – Variável X. Eixo das ordenadas – Variável Y. o

3 Represente com um ponto, cada par de valores.

177

Y 3 4 2 5 8 10


Diagrama de Dispersão 12 10 8

Y

6 4 2 0 02468

X

O gráfico de dispersão mostra o comportamento entre as duas variáveis, isto é, se estão relacionadas. Como se comportam? Se X cresce, Y também cresce? Para respondermos estas perguntas, precisamos calcular o Coeficiente de Correlação de Pearson -r.

r=

Σxy −

(Σx).(Σy ) n

⎡ 2 (Σx) 2 ⎤ ⎡ 2 (Σy ) 2 ⎤ ⎢Σx − n ⎥.⎢Σy − n ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Para o exemplo, qual valor de r?

N

x

y

xy

x2

y2

1 2 3 4 5 6 ∑

2 5 3 4 6 7 27

3 4 2 5 8 10 32

6 20 6 20 48 70 170

4 25 9 16 36 49 139

9 16 4 25 64 100 218

178


r=

170 −

27 x32 6

⎡ ( 27) ⎤ ⎡ (32) ⎤ ⎢139 − 6 ⎥ x ⎢218 − 6 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

2

=

26 17,5 x 47,33

=

26 828,275

= 0,90

O que significa r=0,90? Significa que existe uma forte relação positiva entre as variáveis x e y, ou seja, quando x cresce y também cresce.

•

Intervalo de Variação de r Os valores de r estão compreendidos dentro de um intervalo que varia de -1 a +1 ou seja, -1 ≤ r ≤ +1.

•

Possíveis valores de r.

i)

r > 0 existe forte relação positiva

179


ii)

r < 0 fraca relação negativa

iii)

r = 0 ausência de relação

iv)

r = 1 relação linear perfeita

180


Para entender o significado do valor de r, não basta apenas conhecer r, é preciso uma análise profunda entre as variáveis. O valor indica o tipo de relação existente, com isso, o pesquisador pode se aprofundar no sentido de estudar a real relação entre essas variáveis. Vários fatores podem, num dado momento, fazer com que variáveis que aparentemente possuiriam uma forte relação não atingir esse resultado. Esses fatores podem ser de causas externas, naturais, etc. É preciso sensibilidade e conhecimento do estudo que está sendo feito para permitir uma boa análise dos resultados.

EXEMPLIFICANDO Foi feito um levantamento com 10 jovens atletas para verificar se existe relação entre o consumo de proteínas e a perda de peso, no período de 1 semana. Os dados revelados são:

Jovens

Consumo de

xy

x2

y2

proteínas (mg) Peso (kg) x y 1

300

4

1200

90000

16

2

250

3,5

875

62500

12,25

3

400

5,5

2200

160000

30,25

4

560

4

2240

313600

16

5

450

2

900

202500

4

6

320

5

1600

102400

25

7

200

1

200

40000

1

8

420

2

840

176400

4

9

320

5

1600

102400

25

10

480

3

1440

230400

9

∑

3700

35

13095

1480200

142,5

181


Gráfico de dispersão Perda de peso em relação ao consumo de proteínas 6 5

Peso 4 3 2 1 0 0

100

200

300

400

500

600

Proteínas (mg)

Coeficiente de correlação r = 0,097 Conclusão: se o atleta fizer uma dieta à base somente de proteínas, com o r calculado podemos verificar que o grau de correlação é quase nula, ou seja, r é muito próximo de zero. Mas somente com este resultado, é possível afirmarmos que não existe realmente nenhuma relação entre as variáveis? É preciso conhecer uma série de fatores para se chegar a uma conclusão precisa. O que concluímos com isso? O objetivo é demonstrar que não basta somente obter o valor de r, é preciso ter conhecimento de vários outros fatores que envolvem a variável em estudo. A aplicação da teoria da relação entre as variáveis necessita de fatores externos para uma análise precisa do fato em estudo. É necessário que tenhamos muito cuidado ao afirmarmos que variáveis que possuem forte relação entre elas, somente o valor de r basta para comprovar esta relação.

182


Regressão O modelo de regressão serve para permitir que possamos examinar o comportamento de uma variável em relação à outra, ou seja, verificar a existência de relação entre as variáveis. Por exemplo, existe relação entre: 1. Valor do dólar e exportação de carros. 2. Peso de um atleta e altura. 3. Produção de papel e tempo. O objetivo é poder verificar se existe relação forte ou fraca entre as variáveis, existindo esta relação, se ela é funcional ou não, e ainda poder prever essa relação funcional entre elas. A análise de regressão permite a verificação dessa relação das variáveis em estudo, permitindo a interpretação de tais resultados. Como existem duas variáveis, a análise de regressão mede a dependência existente de uma das variáveis em relação à outra. Teremos uma variável dependente (y) que sofrerá influência da variável independente (x). Para representarmos as variáveis graficamente utilizamos o mesmo procedimento do gráfico de dispersão, o que diferencia é que no eixo das abscissas representamos a variável independente (x) e no eixo das ordenadas, apresentamos a variável dependente (y). Para representarmos graficamente, marcamos os pares e ligamos os pontos para formar um gráfico de linhas.

183


EXEMPLIFICANDO Os dados são referentes à pressão arterial de pacientes hipertensos do sexo feminino, segundo a faixa etária, entre 30 e 60 anos, do hospital X.

Paciente

Idade (x)

PSA (y)

1

30

142

2

32

146

3

43

152

4

45

163

5

50

168

6

53

178

7

51

182

8

55

189

9

60

192

10

60

231

∑

De acordo com o gráfico, que representa a relação existente entre a PSA (pressão sistólica arterial) das pacientes entre 30 e 60 anos, observamos uma reta. Os dados poderiam ter qualquer tipo de comportamento, uma reta, uma parábola, etc. Neste estudo de regressão, vamos trabalhar com equações lineares. Como os dados representam uma reta, esta é chamada de reta de regressão. E como ajustar a equação de uma reta? Precisamos, inicialmente, conhecer o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta.

184


Pressão Arterial de Mulheres com Idade entre 30 e 60 anos 250 200 A 150 S P 100

50 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Idade

Equação linear → y = a + bx Coeficiente angular – representado por b, permite medir a inclinação da reta. Coeficiente linear – representado por a, é o intercepto de y. A vantagem da equação linear se deve ao fato de que permite com facilidade a aproximação, existente entre as variáveis, de uma linearidade. O que significa esta aproximação? Quando estudamos análise de regressão estamos estudando o comportamento de uma variável dependente (y) em função da variável independente (x), logo conhecendo os valores observados para a variável x, podemos calcular e “estimar” os valores previstos para y.

185


Método dos Mínimos Quadrados

EXEMPLIFICANDO Número de anos que os alunos de um curso de Engenharia estudaram até a colação de grau e o coeficiente de rendimento (CR) obtido ao final do curso.

Anos de estudo x Alunos n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

Coef. de rendimento (CR) y 3 4 4 3 5 3 4 5 4 3 38

57 78 72 58 89 63 73 84 76 48 698

186


Número de Anos de Estudo em Relação ao Coeficiente de Rend imento dos Alunos 100 80

R 60 C 40

20 0 0123456

Anos

Representando os dados graficamente, ou seja, os pares x e y, observamos que há uma linha reta mesmo não estando todos os valores sobre ela. Como não há uma dispersão muito acentuada dos valores no diagrama de dispersão, podemos concluir que a relação existente entre as variáveis pode ser uma linha reta. Se os dados observados tendem a uma linha reta, podemos, então, determinar a equação da reta. Com a equação da reta, podemos prever os valores de y com relação a x, ou seja, podemos prever, estimar o CR de um aluno de engenharia em relação ao tempo que ele leva para concluir o curso de graduação. O nosso problema é encontrar um ajuste que seja bem considerável em relação aos dados observados. Para ajustarmos a reta dos mínimos quadrados, iremos considerar o conjunto de n pontos (x1, y1), (x2, y2) , ..., (xn, yn).

187


Equação da reta → ŷ = a + bx. O ŷ (lê-se: y chapéu) é um valor estimado de y e y, efetivamente, é o valor observado. O objetivo é que a diferença entre o valor observado de y e o valor estimado ŷ seja o mínimo possível.

Como calcular o valor estimado de y que será ŷ? -Equações normais: Σy = na + b(Σx) 2

Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx ) Nessas equações, chamadas de equações normais, n é o número de pares observados, Σ(x) é o somatório dos valores observados de x (variável independente), e Σ(y) é o somatório dos valores observados de y 2

(variável dependente). Σx é a soma dos valores ao quadrado de x e Σ(xy) é a soma do produto da variável x pela variável y.

Tomando o exemplo dos alunos de engenharia e calculado os somatório necessário temos:

x2

xy

3 4 4 3

Coef. de rendimento (CR) y 57 78 72 58

9 16 16 9

171 312 288 174

5 3 4 5 4 3 38

89 63 73 84 76 48 698

25 9 16 25 16 9 150

445 189 292 420 304 144 2739

Anos de estudo x Alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ Σx = 38

2

Σy = 698 Σx = 150

188

Σxy = 2739

n = 10


Substituindo os valores nas equações normais: Σy = na + b(Σx) 698 = 10a + b38 →arrumando a equação temos:

698 = 10a + 38b (1) Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx2) 2739 = a38 + b150 →arrumando a equação temos:

2739 = 38a + 150b (2) Para o cálculo de a e b temos um sistema de equações lineares:

⎧698 = 10a + 38b ⎨2739 = 38a + 150b ⎩ Para encontrar os valores de a e b, é necessário igualarmos as duas equações e efetuar operações matemáticas, simples, que eliminea ou b e, assim, calculado o valor de a ou de b, permita-se a substituição na equação para o cálculo do outro valor. Como precisamos eliminar a ou b faremos a seguinte operação: Multiplicamos a primeira equação por -3,8, assim podemos eliminar a, permitindo o cálculo de b.

698 = 10a + 38b

→ (× − 3,8) com isso teremos: ⎧− 2652,40 = −38a − 144,40b ⎨ 2739 = 38a + 150b 86,60 = 5,6b ⎩ 5,6b = 86,60

b=

86,60 5,6

= 15,46

b = 15,46

189


Substituindo em qualquer uma das equações (1) ou (2), teremos o valor de a.

698 = 10a + 38b

698 = 10a + 38 x15,46 698 = 10a + 587,48 698 − 587,48 = 10a 110,52 = 10a 110,52 a= = 11,05 10 a = 11,05 Podemos calcular os valores de a e b utilizando sistemas de equações lineares ou pelo cálculo dos mínimos quadrados.

•

x=

Fórmulas para o cálculo dos mínimos quadrados

Σx

→ média da variável independente.

y=

n Σy n

S xx

= Σx 2 −

S yy S xy

→ média da variável dependente.

( Σx ) 2 n

( Σy ) 2 = Σy − n = Σxy − (Σx).(Σy ) n 2

Os valores das médias, já conhecemos, x e y , as outras expressões permitem uma facilidade para resolução pelo cálculo dos mínimos quadrados. • Cálculo de a e b

b=

S xy S xx

a = y − bx

190


Utilizando o mesmo exemplo, precisamos calcular as médias de x e y e os valores de y2.

Anos de estudo Coef. de rendimento x (CR) y 3 57

Alunos 1 23 4 5 6 7 8 9 10 ∑

4 4 3 5 3 4 5 4 3 38

Σx x= n Σy y= n S xx S xy b=

xy

y2

9

171

3249

16 16 9 25 9 16 25 16 9 150

312 288 174 445 189 292 420 304 144 2739

6084 5184 3364 7921 3969 5329 7056 5776 2304 50236

38

= 10 = 3,8 698 = = 69,8

10 2 2 = Σx 2 − (Σx) = 150 − (38) = 150 − 144,4 = 5,6 n 10 (Σx).(Σy ) (38).(698) = Σxy − = 2739 − = 2739 − 2652,4 = 86,6 n 10

S xy S

a

78 72 58 89 63 73 84 76 48 698

x2

xx

=

86,6

= 15,46

→ b=15,46

5,6

= y − b x = 69,8 − 15,46 × 3,8 = 69,8 − 58,75 = 11,05 → a=11,05 Vimos duas formas de calcular os valores de a e b para estimação dos

valores da variável dependente y. A escolha do processo de cálculo fica a critério de quem está calculando. Podemos optar pelo cálculo através do sistema de equações normais ou pelo método dos mínimos quadrados. 191


Agora podemos estimar qualquer valor para y.

EXEMPLIFICANDO Suponha que um aluno leve x=3,5 anos para concluir seu curso de engenharia. Qual seria o valor estimado do seu coeficiente de rendimento? x=7 a = 11,05 b = 15,46 ŷ = a + bx ŷ = 11,05 + 15,46 x 3,5 = 65,16 → Coeficiente de rendimento estimado = 65,16

Nesta unidade, aprendemos como calcular e analisar o grau de correlação entre duas variáveis, verificando seu comportamento e se estão ou não relacionadas. Vimos, ainda, a relação existente entre duas variáveis e a influência da variável independente sobre a variável dependente, permitindo, assim, estimar valores para esta variável através do estimador ŷ.

É HORA DE SE AVALIAR! Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino- aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!

192


Exercícios - Unidade VIII

1. A tabela abaixo é referente ao número de crianças nascidas vivas (x) e o número de crianças que morreram (y), no mesmo período, em um município do interior do país.

Período

Nascidas Vivas

Morte por todos os tipos e causas

1985

1100

540

1986

840

720

1987

480

640

1988

2200

380

1989

1840

560

1990

1790

120

∑ Com base na tabela, calcule o coeficiente de correlação. a)

r= -0,6713

b)

r= -0,7893

c)

r= 0,6713

d)

r=0,7893

e)

r= 0,8764

2. Com base no r calculado da questão 1, qual o tipo de correlação? a)

Forte relação positiva.

b)

Fraca relação positiva.

c)

Fraca relação negativa.

d)

Ausência de relação.

e)

Relação linear perfeita.

193


3. Nos casos abaixo, que tipo de correlação se espera: correlação positiva, correlação negativa ou não existe correlação? 1o Número do calçado e QI; 2o Renda e Educação. a)

1o não há correlação e 2o não há correlação.

b)

1o não há correlação e 2o correlação positiva.

c)

1o correlação positiva e 2o não há correlação.

d)

1o correlação negativa e 2o não há correlação.

e)

1o correlação positiva e 2o correlação positiva.

4. Um estudante de estatística calculou a correlação entre altura e peso de um grande grupo de alunos do curso de enfermagem de sua faculdade, obtendo r=0,32, mas não conseguiu decidir se é a altura que faz com que os alunos pesem mais ou se é o excesso de peso que faz com que os alunos sejam mais altos. O que você poderia dizer para ele que está desconsolado por não conseguir decidir quem influencia quem? a)

Ele não tem como saber se o peso influencia a altura ou se a altura influencia o peso, pois a correlação permite-nos apenas mostrar a associação entre as variáveis.

b)

Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais baixas.

c)

Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas com estatura

d)

elevada tendem a ter baixo peso. Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais altas.

e)

Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas de estatura elevada tendem a ter peso também elevado.

194


5. A tabela a seguir mostra a quantidade de carros que cada um dos 5 funcionários vistoriou, em um posto do Detran, entre 16 e 18 horas, em determinado dia.

Número de semanas

Número de carros inspecionados

trabalhadas (x)

(y)

2 7

13 20

9

22

5

15

12

20

∑ Com base na tabela, estabeleça a equação da reta dos mínimos quadrados que ^

permite estimarmos y em termos de x. (Equação da reta→ y a)

ŷ=10,10+0,974x

b)

ŷ=12,09+0,844x

c)

ŷ=15,34+1,163x

d)

ŷ=18,34+0,884x

e)

ŷ=18,87+1,234x

= a + bx ).

6. Com a equação da reta do problema 5, estime quantos carros um funcionário trabalhando 8 semanas poderá inspecionar no mesmo período. a) b)

Aproximadamente 19 carros. Aproximadamente 20 carros.

c)

Aproximadamente 21 carros.

d)


e)


195


7. Considere o quadro abaixo:

x

y

90

90

140

150

180

?

Observamos que um dos valores de y não foi colocado na tabela. Sabendo que a equação de mínimos quadros é ŷ=28+0,5x, determine o valor de y que falta. a) b) c) d) e)

49 58 67 110 120

8. Na análise de regressão as variáveis são classificadas de que forma? a)

x – variável independente

y – variável independente.

b) c) d) e)

xx –– variável variável independente dependente x– variável dependente x – variável pendente

yy –– variável variável dependente. independente. y– variável dependente. y – variável independente.

9. Seja a tabela abaixo composta pelo peso (kg) e altura (cm) de crianças com 10 meses de idade.

Altura (cm) 75 70 73 78

Peso (kg) 9,0 9,2 8,9 8,5

80 69 71 72 74 77 ∑

9,5 9,6 9,1 10,0 8,7 9,4

196


Determine o coeficiente de correlação de Pearson e verifique que tipo de correlação existe entre as variáveis peso e altura.

10. Vamos considerar os mesmos dados do exercício anterior. Altura é a variável Independente e Peso a variável dependente. O objetivo é estimar qual o peso de uma criança que tem altura de 85 cm. Desenvolva os cálculos necessários e através da equação da reta ŷ = a + bx e diga qual é o valor.

197


198


Considerações finais

Chegamos ao final dos estudos de Estatística. Ao longo das Unidades de Estudo você aprendeu o quanto a estatística é importante para compreendermos as pesquisas. Você também aprendeu a fazer suas próprias pesquisas e discutir seus resultados. A Universo Virtual o parabeniza por ter concluído seus estudos, aumentando sua bagagem com conhecimentos e habilidades que irão beneficiá-lo por toda a vida. Mas a aprendizagem não para por aqui. Mantenha o hábito de ler, atualize-se sempre e não esqueça de praticar o que foi aprendido.

“Uma visão sem ação é meramente um sonho. Uma ação sem visão carece de sentido. Uma visão com ação pode mudar o mundo.”

(Arthur Joel Barker – do filme Descobrindo o futuro)

Sucesso!

199


200


Conhecendo o autor

A professora Adriana Santos Augusto é formada em Engenharia Civil pela UFRJ, pós-graduada em Engenharia Econômica e Administração Industrial, Engenheira de Segurança do Trabalho pela UFF, Mestre em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ e licenciada em Matemática pela UNIVERSO. Atualmente é coordenadora do Curso de Segurança do Trabalho da Universo, campus São Gonçalo, tutora do Ensino a Distância e professora da rede de ensino do Estado do Rio de Janeiro.

Revisor: O Professor HERIVELTO NUNES PAIVA é graduado em Estatística pela ASOEC, Formação de Docentes em Matemática pela UNIVERSO-SG especialista em Matemática Estatística UFLA-MG, mestre em Ensino Ciências daNacional Saúde e do Ambientee pela UNIPLIpela e Doutorando em Educação pela de Universidade Lomas de Zamora – Argentina. Atualmente é professor de Bioestatística da UNIVERSO, professor do programa de pós-graduação do curso de Educação matemática da UNIVERSO- SG, professor da rede pública de ensino, membro da Equipe de Matemática da SEEDUC-RJ.

201


202


Referências

SPIEGEL, M. R.. Estatística. São Paulo: Mc Graw-Hill, 2004 FONSECA, J. S.. Curso de Estatística. São Paulo: Ed. Atlas, 1996.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: BUSSAB, W. O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica (Métodos Quantitativos). SP: Ed. Atual, 1997. CRESPO, A.A. Estatística Fácil. São Paulo: Ed. Atlas, 2003. MILONE, G. & ANGELINI, F. Estatística Aplicada. SP: Ed. Atlas, 1995. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. SP: Ed. Harbra, 1986. TOLEDO, G. L. Estatística Básica. SP: Ed. Atlas, 1985.

203


204


A

nexos

205


Material de Apoio

FERRAMENTAS BÁSICAS DA MATEMÁTICA Um homem musculoso.

• Potências. Um número n elevado a x significa que devemos multiplicar n por n, x vezes. Ex.:

25

= 2.2.2.2.2 = 32 , onde 2 é a base 5 é o expoente e 32 é a potência.

• Propriedades das Potências. 1ª Propriedade: divisão de potências de mesma base: Conservamos a base e subtraímos os expoentes. Ex.:

210 26

1ª solução: aplicando o conceito inicial.

210 2

6

=

2 . 2. 2. 2. 2 . 2. 2. 2. 2 . 2 2. 2. 2 . 2. 2. 2

=

1024 64

= 16

2ª solução: aplicando a propriedade.

210 2

6

= 210 − 6 = 24 = 2.2.2.2 = 16 (menos trabalhoso)

206


Ex.:

34 3

4

=

3. 3. 3. 3 3. 3. 3. 3

=

81 81

=1

Pela propriedade temos:

34 34

= 34 − 4 = 30 , comparando com a resposta anterior, temos que 30 = 1 .

Podemos concluir que: todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um.

• Logaritmos. Um homem sentado pensando. (o Pensador Rodin) Para entendermos o que seja logaritmo de um número, vamos resolver o seguinte problema: Qual é o número que devemos elevar 2 , para dar 8? Solução: Vamos chamar de x o número procurado. Podemos, então, escrever:

2x

= 8 , como 8 é igual a 23 , chegamos a conclusão de que o número procurado

é 3. Uma outra forma de enunciar esse problema seria: Quanto vale o logaritmo de 8 na base 2? Solução: Perguntar quanto vale o logaritmo de 8na base 2 é o mesmo que perguntar qual é o número que devemos elevar 2 para dar 8? Portanto o logaritmo de 8 na base 2 é 3.

207


A simbologia usada neste caso será:

log 8 = 3

→ 23 = 8

2 De uma forma geral temos:

log n

= x → bx = n

com n

> 0,b > 0 eb ≠1

b Ex.:

log 81 = 4

→ 34 = 81

3 • Logaritmos Decimais. São os logaritmos cuja base é 10. São os mais utilizados.

log n = log n 10 A calculadora nos dá o logaritmo na base 10. Ex.:

log 2 = 0,103029995

Nos logaritmos decimais não há a necessidade de escrevermos a base, basta indicarmos log n .

• Propriedades dos Logaritmos.

1ª ) log n

b

+ log m = log (n.m) b

b

208


Ex.:

log 2 + log 6 = log 12 5

5

2 ª ) log n

5

− log m = log

b

b

b

n m

Ex.

log 6 − log 3 = log 2 (a base, neste caso, é 10) 3ª ) x. log n

= log n x

b

b

Ex.:

2. log 5 = log 25 3

3

• Obtenção do logaritmo através da calculadora Sugestão: uma calculadora saindo fumaça A calculadora possui uma tecla com o ícone log (base 10). Para calcularmos logaritmos com bases diferentes de 10, devemos aplicar a fórmula para mudar a base, ou seja, passarmos para base 10. Fórmula para mudança de base:

log n

b

=

log n logb

209


Ex.: Usando a calculadora, obtenha os seguintes valores:

a ) log 3

b) log 5

2

3

Solução:

a)

b)

log 3 log 2 log 5 log 3

= =

0,4771 0,3010 0,6990 0,4771

= 1,5850 = 1,4651

• Resolução de expressões matemáticas Certos problemas, que maneira: envolvem cálculos de expressões matemáticas, deverão ser resolvidos da seguinte 1º) calculamos as potências, os logaritmos e os radicais. 2º) calculamos as multiplicações e as divisões. 3º) calculamos as somas e as subtrações.

Ex.1: Utilizando uma calculadora, resolva a expressão abaixo, com 5 casas decimais.

26

− 4. log 8 +

6 −2 13

210


Solução : Calculando as potências e os log arítmos teremos : 64 − 4.0,90309 +

6 −2 13

Calculando as multiplicações e as divisões teremos : 64 − 3,61236 + 0,46154 − 2 Calculando as somas e as subtrações teremos : 58,84918 Ex. 2: Utilizando uma calculadora, resolva a expressão abaixo, com 3 casas decimais

6,78 + 5. log 3,75 − 1 + 5 2 Resolvendo na ordem temos:

2,60 + 5.0,574 − 1 + 24 2,60 + 2,87 − 1 + 24 28,47 • Expressões com parêntesis, colchetes e chaves Resolvemos primeiro o que estiver dentro dos parêntesis, depois o que estiver dentro do colchete e finalmente o que estiver dentro das chaves. Ex.: utilizando a calculadora, resolva a expressão abaixo com 4 casas decimais.

{6,4.5 + [log 5,8 + 2.( 3 4

− log12) + 4,2] − 2 3 + 4,5}

Solução: Resolvendo o parêntesis:

{6,4.5 + [log 5,8 + 2.( 81 − 1,0792) + 4,2] − 2 3 {6,4.5 + [log 5,8 + 2.79,9208 + 4,2] − 2

211

3

+ 4,5}

+ 4,5}


Resolvendo o colchete:

{6,4.5 + [0,7634 + 2.79,9208 + 4,2] − 2 3

+ 4,5} {6,4.5 + [0,7634 + 159,8416 + 4,2] − 2 3 + 4,5} {6,4.5 + 164,8050 − 2 3 + 4,5} Resolvendo a chave:

{6,4.5 + 164,8050 − 8 + 4,5} {32 + 164,8050 − 8 + 4,5} 193,3050 • Equação do 1º grau Forma da equação: ax + b = 0 (a e b são números reais, ( a

≠ 0) , e x é valor a ser determinado) −b

Para calcularmos o valor de x, usarmos a fórmula: x

=

a

Ex.: 1º) Resolva a equação 2x + 3 = 0 Solução: Temos a = 2 e b = -3, portanto x =

−b

x

a

=

−3 2

x

= −1,5

Podemos verificar que x = -1,5 é o único valor de x que torna o binômio 2x – 3 igual a zero.

• Equação do 2º grau. Forma da equação:

ax 2

+ bx + c = 0

(onde a, b, c são números reais, ( a

determinado.

212

≠ 0 ) e x é o valor a ser


Para calcularmos o valor de x usamos a fórmula:

x

=

−b±

b2

− 4ac

2a

Ex.: 1º) Resolva a equação: 2 x

2

− 4x − 6 = 0 .

Solução: Temos a = 2; b = -4 ; c = -6. Aplicando a fórmula:

x

x

=

− ( − 4) ±

(−4) 2

− 4.2.(−6)

2. 2 4 ± 64

=

4

⎧x = 4 + 8 = 3 1 4±8 ⎪ ⎪ 4 x= ⎨ 4−8 4 ⎪ x2 = = −1 ⎪⎩ 4 Podemos afirmar que -1 e 3 são os únicos valores que tornam a expressão

2x2

− 4 x − 6 igual a zero.

213


2º) O quadrado de um número positivo menos o seu dobro vale 8. Calcule esse número. Solução: Quadrado de um número = x

2

Dobro do número = 2x Podemos, então, escrever: x − 2 x da igualdade trocando o sinal. 2

x2

= 8 . Devemos passar o 8 para o outro lado

− 2x − 8 = 0

Conseguimos com isso uma equação do 2º grau.

⎧a = 1 x2

− 2 x − 8 = 0 ⎨⎪b = −2 ⎪c = −8 ⎩

Aplicando a fórmula:

x

=

− (−2) ±

(−2) 2

− 4.1.(−8)

2. 1 2+6

x

=

2 ± 36 2

=

2±6 2

⎧⎪ =4 =⎨ 2 ⎪ 2 − 6 = −2 ⎪⎩ 2

214


Como o exercício afirma que o número é positivo a resposta será 4.

•

Razão e Proporção.

Razão é uma fração em que o numerador e o denominador representam uma mesma unidade (área, volume, comprimento, valor, temperatura, tempo, etc.), sendo que o denominador não pode ser zero. Ex.: o salário de um mecânico é R$ 1500,00 e de seu ajudante é R$ 500,00. Calcule a razão entre o seu salário e o reajuste. Solução:

500 1500

=

5 15

=

1 3

A razão entre o salário e o reajuste será

1 3

Proporção é a igualdade entre duas razões. Ex.: no exemplo anterior temos uma proporção, ou seja,

5 15

=

1 3

Dizemos que 5 está para 15 assim como 1 está para 3. De uma forma geral temos:

⎧m m n

=

p q

e p

= antecedentes

⎪⎨n e q = consequentes ⎪m e q = extremos ⎪⎩n e p = meios

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. n.p = m.p

215


Ex.: vamos calcular o valor de x, conhecendo a proporção:

8

x+3

=

2 5

Solução: Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: 2.(x + 3) = 5.8 2x + 6 = 40 Resolvendo a equação do 1º grau, encontramos x = 17.

É HORA DE AVALIAR! Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercícios! Elas poderão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Caro aluno, chegamos ao fim do nosso material. Aprendemos os recursos básicos da matemática para darmos início ao estudo da matemática financeira. No próximo material estudaremos os regimes de capitalização.

216


Valores da Raiz Quadrada de n

N

Raiz

n

Raiz

n

Raiz

n

Raiz

1

1,000000

26

5,099020

51

7,141428

76

8,717798

2 3

1,414214 1,732051

27 28

5,196152 5,291503

52 53

7,211103 7,280110

77 78

8,774964 8,831761

4

2,000000

29

5,385165

54

7,348469

79

8,888194

5

2,236068

30

5,477226

55

7,416198

80

8,944272

6

2,449490

31

5,567764

56

7,483315

81

9,000000

7

2,645751

32

5,656854

57

7,549834

82

9,055385

8

2,828427

33

5,744563

58

7,615773

83

9,110434

9

3,000000

34

5,830952

59

7,681146

84

9,165151

10

3,162278

35

5,916080

60

7,745967

85

9,219544

11

3,316625

36

6,000000

61

7,810250

86

9,273618

12

3,464102

37

6,082763

62

7,874008

87

9,327379

13

3,605551

38

6,164414

63

7,937254

88

9,380832

14

3,741657

39

6,244998

64

8,000000

89

9,433981

15

3,872983

40

6,324555

65

8,062258

90

9,486833

16

4,000000

41

6,403124

66

8,124038

91

9,539392

17

4,123106

42

6,480741

67

8,185353

92

9,591663

18

4,242641

43

6,557439

68

8,246211

93

9,643651

19

4,358899

44

6,633250

69

8,306624

94

9,695360

20

4,472136

45

6,708204

70

8,366600

95

9,746794

21

4,582576

46

6,782330

71

8,426150

96

9,797959

22

4,690416

47

6,855655

72

8,485281

97

9,848858

23

4,795832

48

6,928203

73

8,544004

98

9,899495

24

4,898979

49

7,000000

74

8,602325

99

9,949874

25

5,000000

50

7,071068

75

8,660254

100

10,000000

217


Valores do Logaritmo de n

N

log

n

log

n

log

n

log

1

0,000000

26

1,414973

51

1,707570

76

1,880814

2

0,301030

27

1,431364

52

1,716003

77

1,886491

3 4

0,477121 0,602060

28 29

1,447158 1,462398

53 54

1,724276 1,732394

78 79

1,892095 1,897627

5

0,698970

30

1,477121

55

1,740363

80

1,903090

6

0,778151

31

1,491362

56

1,748188

81

1,908485

7

0,845098

32

1,505150

57

1,755875

82

1,913814

8

0,903090

33

1,518514

58

1,763428

83

1,919078

9

0,954243

34

1,531479

59

1,770852

84

1,924279

10

1,000000

35

1,544068

60

1,778151

85

1,929419

11

1,041393

36

1,556303

61

1,785330

86

1,934498

12

1,079181

37

1,568202

62

1,792392

87

1,939519

13 14

1,113943 1,146128

38 39

1,579784 1,591065

63 64

1,799341 1,806180

88 89

1,944483 1,949390

15

1,176091

40

1,602060

65

1,812913

90

1,954243

16

1,204120

41

1,612784

66

1,819544

91

1,959041

17

1,230449

42

1,623249

67

1,826075

92

1,963788

18

1,255273

43

1,633468

68

1,832509

93

1,968483

19

1,278754

44

1,643453

69

1,838849

94

1,973128

20

1,301030

45

1,653213

70

1,845098

95

1,977724

21

1,322219

46

1,662758

71

1,851258

96

1,982271

22

1,342423

47

1,672098

72

1,857332

97

1,986772

23 24

1,361728 1,380211

48 49

1,681241 1,690196

73 74

1,863323 1,869232

98 99

1,991226 1,995635

25

1,397940

50

1,698970

75

1,875061

100

2,000000

218


Distribuição Normal Padrão - Valores Negativos de Z 0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

-3,0

0,00135

-2,9

0,00131

0 ,00126

0,00122

0,00118

0,00114

0 ,00111

0,00107

0,00104 0,00100

0,00187

0,00181

0 ,00175

0,00169

0,00164

0,00159

0 ,00154

0,00149

0,00144 0,00139

-2,8

0,00256

0,00248

0 ,00240

0,00233

0,00226

0,00219

0 ,00212

0,00205

0,00199 0,00193

-2,7 -2,6

0,00347 0,00466

0,00336 0,00453

0 ,00326 0 ,00440

0,00317 0,00427

0,00307 0,00415

0,00298 0,00402

0 ,00289 0 ,00391

0,00280 0,00379

0,00272 0,00264 0,00368 0,00357

-2,5

0,00621

0,00604

0 ,00587

0,00570

0,00554

0,00539

0 ,00523

0,00508

0,00494 0,00480

-2,4

0,00820

0,00798

0 ,00776

0,00755

0,00734

0,00714

0 ,00695

0,00676

0,00657 0,00639

-2,3

0,01072

0,01044

0 ,01017

0,00990

0,00964

0,00939

0 ,00914

0,00889

0,00866 0,00842

-2,2

0,01390

0,01355

0 ,01321

0,01287

0,01255

0,01222

0 ,01191

0,01160

0,01130 0,01101

-2,1

0,01786

0,01743

0 ,01700

0,01659

0,01618

0,01578

0 ,01539

0,01500

0,01463 0,01426

-2,0

0,02275

0,02222

0 ,02169

0,02118

0,02068

0,02018

0 ,01970

0,01923

0,01876 0,01831

-1,9

0,02872

0,02807

0 ,02743

0,02680

0,02619

0,02559

0 ,02500

0,02442

0,02385 0,02330

-1,8

0,03593

0,03515

0 ,03438

0,03362

0,03288

0,03216

0 ,03144

0,03074

0,03005 0,02938

-1,7 -1,6

0,04457 0,05480

0,04363 0,05370

0 ,04272 0 ,05262

0,04182 0,05155

0,04093 0,05050

0,04006 0,04947

0 ,03920 0 ,04846

0,03836 0,04746

0,03754 0,03673 0,04648 0,04551

-1,5

0,06681

0,06552

0 ,06426

0,06301

0,06178

0,06057

0 ,05938

0,05821

0,05705 0,05592

-1,4

0,08076

0,07927

0 ,07780

0,07636

0,07493

0,07353

0 ,07215

0,07078

0,06944 0,06811

-1,3

0,09680

0,09510

0 ,09342

0,09176

0,09012

0,08851

0 ,08691

0,08534

0,08379 0,08226

-1,2

0,11507

0,11314

0 ,11123

0,10935

0,10749

0,10565

0 ,10383

0,10204

0,10027 0,09853

-1,1

0,13567

0,13350

0 ,13136

0,12924

0,12714

0,12507

0 ,12302

0,12100

0,11900 0,11702

-1,0

0,15866

0,15625

0 ,15386

0,15151

0,14917

0,14686

0 ,14457

0,14231

0,14007 0,13786

-0,9

0,18406

0,18141

0 ,17879

0,17619

0,17361

0,17106

0 ,16853

0,16602

0,16354 0,16109

-0,8

0,21186

0,20897

0 ,20611

0,20327

0,20045

0,19766

0 ,19489

0,19215

0,18943 0,18673

-0,7

0,24196

0,23885

0 ,23576

0,23270

0,22965

0,22663

0 ,22363

0,22065

0,21770 0,21476

-0,6

0,27425

0,27093

0 ,26763

0,26435

0,26109

0,25785

0 ,25463

0,25143

0,24825 0,24510

-0,5

0,30854

0,30503

0 ,30153

0,29806

0,29460

0,29116

0 ,28774

0,28434

0,28096 0,27760

-0,4

0,34458

0,34090

0 ,33724

0,33360

0,32997

0,32636

0 ,32276

0,31918

0,31561 0,31207

-0,3

0,38209

0,37828

0 ,37448

0,37070

0,36693

0,36317

0 ,35942

0,35569

0,35197 0,34827

-0,2

0,42074

0,41683

0 ,41294

0,40905

0,40517

0,40129

0 ,39743

0,39358

0,38974 0,38591

-0,1

0,46017

0,45620

0 ,45224

0,44828

0,44433

0,44038

0 ,43644

0,43251

0,42858 0,42465

0,0

0,50000

0,49601

0 ,49202

0,48803

0,48405

0,48006

0 ,47608

0,47210

0,46812 0,46414

219

0,08

0,09


Coeficientes Binomiais - Cn,k =

n 0

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟1 ⎝⎜1 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎜⎝ 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 ⎠⎟ ⎜⎝ 8 ⎠⎟

1

1

2

1

3

n! k! ( n − k )!

⎛n⎞ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 9 ⎠⎟

⎛n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝⎜19 ⎠⎟

1 2

1

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

7

1

7

21

35

35

21

7

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1 1

36

84

126

126

84

36

9

9

1

9

10

1

10

45

120

210

252

210

120

45

1 10

1

11

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

12

1

12

66

220

495

220

66

13

1

13

14

1

15

1

16

792

924

792

495

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

1

16

120

560

1820

4368

8008 11440

12870

11440

8008

17

1

17

136

680

2380

6188

12376 19448

24310

24310

19448

18

1

18

153

816

3060

8568

18564 31824

43758

48620

43758

19

1

19

171

969

3876

11628

27132 50388

75582

92378

92378

20

1

20

190

1140

4845

15504

38760 77520

125970

167960

184756

220


Alfabeto Grego

Maiúsculo

Minúsculo

Nome

Α Β Γ

α β γ

alfa beta gama

∆Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ

δε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ

delta épsilon dzeta eta teta iota kapa lâmbda mu(mi) nu (ni) Ksi ônicron pi rô

ΣΤ Υ Φ Χ Ψ Ω

στ υ ϕ χ ψ ω

sigma tau úpsilom (ipsilon) fi chi (qui) psi ômega

221


Medidas de Tendência Central

x

=

Σf i

x

n

=

Σ( xi × f i ) Σf i

⎜⎛⎜ Σ2f i − F( ant ) ⎞⎟⎟ * Md = l i + ×h ⎜ ⎟ f* ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Mo

=

l * + L* 2

Mo

= l* +

D1 D1 + D2

× h*

= f * − f ( ant ) D2 = f * − f ( post ) D1

Medidas de Dispersão

s2

=

s= CV

Σ( xi − x ) 2 n −1

s2

=

Σ( xi − x) 2 × fi n −1

s2 s

= × 100 x

222


Amostragem Contínua

n0

Discreta

Z ×σ ⎞ = ⎛⎜ ⎟ ⎝ d ⎠

Correção ^

2

n0

=

^

Z 2 × p× q d2

n n

0

= 1+

n N

Probabilidade P(A) =

Número de casos favoráveis Número de casos possíveis

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B) P( B ) = 1 – P(B)

P( A / B) =

P( A ∩ B) P( B)

P( A / B) =

P( A ∩ B) P( B)

⇔ P( A ∩ B) = P( B).P( A / B)

P ( B / A) =

P( A ∩ B) P ( A)

⇔ P( A ∩ B) = P( A).P( B / A)

P(A

∩ B) = P(A) . P(B) k

n-k

P{X = k} = Cn,k . p . (1 – p) z=

x− σ

k= 0, 1, 2, ..., n.

→ P(z1 ≤ Z ≤ z2) = P(z1 < Z < z2) = Φ(z2) – Φ(z1)

223


r=

Σxy −

(Σx).(Σy ) n

⎡ 2 (Σx) 2 ⎤ ⎡ 2 (Σy ) 2 ⎤ ⎢Σx − n ⎥.⎢Σy − n ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

y = a + bx ŷ = a + bx

Equações normais: Σy = na + b(Σx)

2

e Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx )

Cálculo dos mínimos quadrados:

x= •

b= a=

Σx n

y=

Σy n

S xx

(Σ x ) 2 = Σx − n 2

Cálculo de a e b

S xy S xx y − bx

224

S xy

= Σxy − (Σ

x).(Σy ) n


Material de Apoio - Exercícios

Ferramentas básicas da matemática x

1. Sabendo que 3 = 20 , com o auxílio da calculadora, podemos afirmar que x vale aproximadamente: a) b) c) d) e)

1,86 2,73 3,49 4,52 5,15

2. Se log x a) b) c) d) e)

2

= 4 , então x vale:

0 2 10 100 1000

3. O valor de log 2 + log 5 é: a) b) c) d) e)

0 1

log 7 log 32 log 20

4. O valor da expressão log 3 5 + log 2 7 é, aproximadamente, igual a: a) b) c) d) e)

2,1 3,2 4,7 5,7 6,8

225


5. O valor da expressão {150 − [(8 + 3 2 )] } é, aproximadamente, igual a: 2

a) b) c) d) e)

3

0 5 10 26 59

6. Usando uma calculadora para resolver a equação 0,12567901x + 1,35571761x = 3, encontramos para x o valor: a) b) c) d) e)

2,025116002 3,046716334 4,015699115 5,31476601 6,77163725

7. 15% de x vale 0,384. O valor de x é: a) b) c) d) e)

1,46 2,56 4,82 5,78 8,14

8. Qual item representa uma proporção? a) b)

2 5 3 2

= =

4 3 8 5

c) 4

= 12 9

d)

=

e)

3 7 5 5 9

=

8 6 10 3

226


= 0 e 3x − 4 = 0 . Calcule a soma

9. Considere as equações x − 8 x + 12 das raízes das duas equações. 2

10. Calcule o valor de k na expressão

1 3

=

227

5

k

+7


Gabarito Material de Apoio 1 (b) – 2 (d) – 3 (b) – 4 (d) – 5 (a) – 6 (a) – 7(b) – 8 (c) 9-

1ª. Equação

x2

− 8 x + 12 = 0

x=

x=

8 ± 64 − 4.1.12 2 8± 4 2

⎧x = 2 →⎨ 1 ⎩ x2 = 6

2 ª. Equação 3x − 4 = 0 4 x= 3 Resposta: A soma será 6 + 2 +

4 3

=

28 3

k + 7 = 15 10 -

= 15 − 7 k =8

k

228


Gabaritos – Unidades de Estudo Unidade 1 1. e 2. b 3. b 4. b 5. e 6.. d 7. e 8. d 9. a) AA = 9,9 – 1,1 = 8,8 b) Através da Regra de Sturges i ≅ 1 + 3,3 lo80 = 7,27 ≅ 7 c) h = AA/i = 8,8/7 = 1,25 ≅1,3 d)

i 1 2 3 4 5 6

Classes 1,1 |⎯ 2,4 2,4 |⎯ 3,7 3,7 |⎯ 5,0 5,0 |⎯ 6,3 6,3 |⎯ 7,6

7

8,9 |⎯10,2

Marcação // // / / ////////// ///////// ////////// ////////// ////////// ///////// ////////// //////

7,6 |⎯ 8,9

Σ e) i

1i 2 3 4 5 6 7

Classes 1,1 |⎯ 2,4 2,4 |⎯ 3,7 3,7 |⎯ 5,0 5,0 |⎯ 6,3 6,3 |⎯ 7,6 7,6 |⎯ 8,9 8,9 |⎯10,2

Σ

229

f 02 02 01 01 19 39 16 80

fi 02 02 01 01 19 39 16 80


10. Classes 10 |⎯ 20 20 |⎯ 30 30 |⎯ 40 40 |⎯ 50 50 |⎯ 60

fi 14 6 12 7 10

fri 0,28 0,12 0,24 0,14 0,2

fri (%) 28 12 24 14 20

Fi 14 20 32 39 49

xi 15 25 35 45 55

60 |⎯ 70

1

0,02 1,00

2 -

50 -

65

Σ

Unidade 2 1. Idade

0

1

2

3

4

5

∑

Crianças

4

3

6

3

0

6

22

A terceira classe é a classe cuja idade é 2. Para resolver esta questão utilizamos a regra de três: 22 6

=

360

→ 22 x = 6 × 360 → 22 x = 2.160 → x = 2.160 ÷ 22 → x = 98,18 ≅ 98

o

x

2. b - Devemos usar o gráfico de setores quando queremos destacar uma parte do todo. 3. c 4. a 5. a 6. b 7. c 8. c 9. Observe o percentual de transmissão da doença através do sexo. Observe também a divisão das idades e de sexo. Por exemplo: A maioria dos doentes é do sexo masculino, assim como a maioria têm de 20 à 39 anos de idade. A maior fonte de contágio é por via sexual. Comente os dados do gráfico e tente tirar conclusões sobre ele. Não diga coisas do tipo “os homens são mais promíscuos do que as mulheres, pois os gráficos não dizem isso.

230


10. a)

dias afastados

b)

Unidade 3 1. a 2 × 250 + 4 × 600 + 1 × 1.000 + 3 × 2.200 500 + 2.400 + 1.000 + 6.600 10.500 X = = = = 1050,00 2 + 4 +1+ 3 10 10 2. a

XA

=

2+ 4+5+6+3 5

=

20 5

= 4,0

231


3.

XB

=

XC

=

0+ 2+8+9+3 5 7 + 5 + 2 + 6 +1 5

22

=

21

5

5

= 4,4 = 4,2

e Ordenando o rol, a mediana será o valor que estiver no meio do rol.

A 2 3 4 5 6

4.

=

B 0 2 3 8 9

C 1 2 5 6 7

c - Ordenando o rol, a mediana será o valor que estiver no meio do rol. Salários em S.M * Idade 4,00 28 4,56 29 5,60 32 5,75 36 6,00 40

c - Quando se especifica a respeito moda, calcula-se a moda de 5. Czuber por sernãomais correta. Anada classe modal da será aquela que tiver a maior frequência. Classe de Salários (R$) 500⏐⎯⎯⎯ 650 650⏐⎯⎯⎯ 800 800⏐⎯⎯⎯ 950 950⏐⎯⎯⎯ 1100 1100⏐⎯⎯⎯ 1250

232

fi 15 18 23 19 8 83


Mo

→

D1

= l* +

× h* →

D1 + D2 4 M o = 800 + × 150 9

Mo

= 800 +

5 4+5

× (950 − 800)

M o = 883,33 → M o = 800 + 600 9 → em que: D1 = f* - f(ant)

→

D1 = 23 – 18 = 5

D1 = f* - f(post)

→ D2 = 23 – 19 = 4

6.. b Para o cálculo da mediana, precisamos saber primeiro qual a classe mediana, para isso calculamos as frequências acumuladas.

Classe de Salários (R$)

fi

FI

500⏐⎯⎯⎯ 650 650⏐⎯⎯⎯ 800 800⏐⎯⎯⎯ 950 950⏐⎯⎯⎯ 1100 1100⏐⎯⎯⎯ 1250

16 19 23 19 8 85

16 + 16 19 = 35 35 + 23 = 58 58 + 19 = 77 77 + 8 = 85

A posição da mediana será

85 2

= 42,5 ≅ 43 . O 43º número está na terceira

classe que é a classe mediana.

Md

⎛ = li + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

fi

∑2

⎞ − F( ant ) ⎟.h * = ⎟ f* ⎟ ⎠

848,91

233

800

85 35 + ⎛⎜ 2 − ⎞⎟.150 = M d ⎝ 23 ⎠

=


7. a Para o cálculo da nota média, basta somar todos os números e dividir por 20. X

=

17 + 19 + 14 + 20 + 17 + 17 + 12 + 15 + 15 + 16 + 16 + 19 + 18 + 15 + 16 + 16 + 17 + 13 + 14 + 19 20

=

325 20

= 16,25 8. d Para calcular a média aritmética para distribuição de frequência com intervalos de classe, temos primeiramente que calcular o ponto médio das classes.

CIGARROS CONSUMIDOS DIARIAMENTE

FREQUÊNCIA

fi

xi

xi × f i 150 x 17,5 =

15 |

20

150

(15 + 20)/2 = 17,5

20 |

25

300

22,5

25 |

30

250

27,5

30 |

35

200

32,5

100

37,5

35 |⎯ 40

2625 6750 6875 6500 3750

Total

1000

26500 A média aritmética será, então: X

=

1000

234

= 26,5

26500


9.

AT

= 90 − 40 = 50

10. PESO (kg) 40 |⎯ 50 50 |⎯ 60 60 |⎯ 70 70 |⎯ 80 80 |⎯ 90 Σ

fi 4 12 20 12 2

Fr 4/50 = 0,08 12/50 = 0,24 20/50 = 0,40 12/50 = 0,24 2/50 = 0,04

50

1,00

Unidade 4 1. e Para o cálculo do desvio padrão, devemos primeiro calcular a média aritmética.

X

=∑

xi

⋅

fi

=

n

62 + 90 + 88 + 92 + 110 + 86 6

=

528 6

= 88 páginas.

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos primeiro a variância, que será: s2

s2

=∑

=

(x

− X) ( = n −1 2

i

62)−(88

2

+) (90 − )88( 2 + )88( − 88 2) +( 92 −) 88 2 + 6 −1

(− 26) 2 (+) 2(2) + ( 0) 2 (+ ) 4 2( +) 22 2 + − 2 2 5

s = s2

=

236.8

=

110 − 88

676 + 4 + 0 + 16 + 484 + 4 5

2

=

+

86 − 88

1184 5

2

= 236.8

= 15.39 ≅ 15 páginas.

2. d Como no exercício anterior, para o cálculo do desvio padrão devemos primeiro calcular a média aritmética.

X

=∑

xi n

⋅

fi

=

3 + 5 + 2 +1+ 3 + 4 + 6 + 9 + 3 9

=

36 9

=4.

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos primeiro a variância que será: 235


s2

=∑

s2 =

(x

− X ) ( 3 )− 4( 2 +) 5( − 4) 2 (+ 2)− (4 2 +) 1( − 4) 2 (+ 3)− (4 2 +)( 4 )− 4 2 + = n −1 9 −1 2

i

(−) 1 2 (+) 1(2 +) −(2 2) + (−) 3 2 (+) −(1) 2 +( ) 0 (2 )+

2

+ 5 + −1 2

8

=

s 3.

2

s2

=

5.75

=

6−4

2

+

9−4

2

3−4

1 + 1 + 4 + 9 + 1 + 0 + 4 + 25+1 46

=

8

8

2

= 5.75

= 2 .4 .

c

CVPB

= σ ⋅ 100% = 14 ⋅ 100 = 26,42%

53 X 13 σ CVPC = ⋅ 100% = ⋅ 100 = 52% 25 X

4.

d Pontos dispersos ao redor da média são pontos distantes da média. Quando

os pontos de uma distribuição estão próximos da média, a distribuição possui menor dispersão, quando estão distantes da média, a distribuição possui maior dispersão. Ou seja, no caso acima, os pontos A e D possuem maior dispersão ao redor da média.

5. d Para o cálculo do desvio padrão, devemos primeiro calcular a média aritmética. Variável Idade

X

=

∑x ⋅ f i

i

n

=

24 + 32 + 35 + 43 + 48 5

=

182 5

= 36,4 anos.

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos primeiro a variância, que será:

(x − X ) (= =∑ 2

s

2

s2

i

24 −) (36,4

n −1

=

(−12,)4 (2 + −) 4(,4 2)+( −)1,4( )2 + 4

2

) ( − 36,4) 2 + +) ( 32 − 36) (,4 2 + 35 5 −1

6,6

2

+ 11,6 2

=

43 − 36,4

2

+

48 − 36,4

153,76 + 19,36 + 1,96 + 43,56 + 134,56 353,2 = 4 4

236

2

= 88,3


s=

s2

=

88,3

≅ 9,4 anos.

Variável Salário

=∑

X

xi ⋅ f i n

= 1.452,03

+ 1.893,45 + ... + 4.125,00 5

= 14.006,74 = R$ 2.801,35 5

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos primeiro a variância, que será:

s

2

=

(−1.349),32(2 + ...)+ 1.323,65 2 4

s=

s2

=

= 5.607.601,54 = 1.401.900,39 4

1401900,39

≅ R$ 1.184,02

6.. e Para a variável idade temos:

σ 9,4 CVP = X ⋅ 100% = 36,4 ⋅ 100 = 25,82% Para variável salário temos:

CVP =

σ

X

⋅ 100% = 1.184,02 ⋅ 100 = 42,27% 2.801,35

7. a Para o cálculo da variância devemos primeiro calcular a média aritmética. X

=

∑ xn ⋅ f i

i

= 7 + 7 + 5 + 13 + 10 + 18 + 12 + 3 + 6 + 15 + 11 + 17 = 124 = R$ 10,33 12

12

A variância será:

(7 −10),33(2 + ... +) 17 −10,33 2 258,67 s = = ≅ 23,52 12 −1 11 2

237


8.

e

Para o cálculo da variabilidade relativa precisaremos da média e do desvio padrão.

X

=

∑x ⋅ f i

n

i

=

7 + 7 + 5 + 13 + 10 + 18 + 12 + 3 + 6 + 15 + 11 + 17 12

=

124 12

= R$ 10,33

O desvio padrão será:

s2

2 2 = (7 −10),33( + ... +) 17 −10,33 = 258,67 ≅ 23,52 12 −1 11

s

=

CVP =

σ

s2

=

23,52

= R$ 4,85

O CVP então será:

X

4,85 ⋅ 100 = 46,95% 10,33

⋅ 100% =

9. Para resolver esta questão precisamos calcular o coeficiente de variação. TV do Carlos → CV

=

3,7 × 100 = 3,08% 120

TV do Pedro → CV

=

5,2 × 100 = 4,52% 115

Justificativa: O Pedro pagará mais pelo consumo de energia da televisão, pois o coeficiente de variação é maior. Significa que a chance da TV do Pedro consumir os 115 kw é menor do que a do Carlos, ou seja, quanto maior o coeficiente de variação mais heterogêneo são os valores.

238


10 Para o cálculo do desvio padrão devemos primeiro calcular a média aritmética.

X

∑x ⋅ f

=

i

=

i

n

2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 13 7

=

42 7

=6

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos primeiro a variância que será: s2

s2

=

=∑

(x − X )

2

i

n −1

( 2 −)6 (2 + )3 −( 6 2) +( 4 −) 6(2 + )5 (− 6 )2 +( 7 −)6 2 + 8 − 6 2 + 13 − 6 2 = 7 −1

(− 4) 2 (+ )− 3(2 +) −(2) 2 +()−1( )2 + 1 2 + 2 2 + (7)2 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 49 84

=

6

s=

s2

=

14

6

=

6

= 14

≅ 3,74

Aproximadamente 3,74.

Unidade 5 1. e 2. d 3. e 4. d 5. e 6.. a 7. d 8. d 9. Nesse caso, a variável escolhida é contínua e a população estudada é infinita. O desvio padrão é 15, o erro amostral é de 1,5 e Z = 1,96. Sendo assim: Normalmente utilizamos os níveis de cobrança: Para

95% 99%

⎛ Z ⋅σ ⎞ n=⎜ ⎟ ⎝ ε ⎠

Z=1,96 Z=2,58

2

2

⎛ 1,96 ⋅15 ⎞ = = n=⎜ ⎟ 384,16 ≅ 384 1 , 5 ⎝ ⎠

O tamanho da amostra é, então, de 384 peças.

239


10 Nesse caso, a variável é contínua e a população estudada é finita de 1600 peças. O desvio padrão é 15, o erro amostral é de 1,5 e Z = 1,96. Sendo assim, a fórmula usada será: 2

2

2

⎛ Z ⋅ σ ⎞ = ⎛⎜ 1,96 ⋅ 15 ⎞⎟ = ⎛⎜ 29,4 ⎞⎟ = (19,6)2 = 384,16 n0 = ⎜ ⎟ ⎝ ε ⎠ ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 1,5 ⎠ Como a população é finita devemos fazer a devida correção:

n0 n0

n=

1+

N

n0

n=

1 + n0 N

=

384,16 1 + 384,16 1600

=

384,16

=

1 + 0,2401

384,16 1,2401

Unidade 6 1. c

C2 , 2

= 1 (observar tabela de coeficientes Binomiais)

C5 , 2


PRB

=

1 10

= 0,10 Coeficientes Binomiais - Cn,k =

240

n! k! (n − k )!

= 309,78 ≅ 310


2.

a

C 3, 2


C5, 2

= 10 (observar tabela de coeficientes Binomiais) 3

P

RV

3.

= 10 = 0,30 b

2 5

= = 0,4

PB

3

P(V / P )

= = 0,75

P( A ∩ B )

= 0,6 ⋅ 0,5 = 0,30

4

4.

a

PS

= 250

5.

c

PS

=

+ 320

3000

320 3000

= 0,10666... ≅ 0,107

6.. a

PMa 4 7.

a

PA, B 9.

= 800

+ 2.500

15.800

≅ 0,209

c

P2 Mo 8.

= 0,193333... ≅ 0,19

=

8.300 8.300 ⋅ 15.800 15.800

≅ 0,28

= 0,30 ⋅ 0,20 = 0,06

∩

Para A e B serem independentes P(A B)= P(A).P(B) P(A).P(B) = 0,15.0,0,23=0,03 ≠ 0,06 não são independentes.

241


10.

P(A/F) =

P( A ∩ F ) 42 / 300 = P( F ) 125 / 300

=

0,14 0,42

= 0,33

Unidade 7 1. a Buscamos na tabela da normal as probabilidades correspondentes aos valores de z. Z= -0,33 2. c Fazemos agora, o contrário, a partir da probabilidade buscamos na tabela o valor de z correspondente. P= 0,23576 3. c Distribuição Binomial p=0,125 (12,5%) q=0,875 (1-p=1-0,125=0,875) n=6 Teorema: Seja X uma variável aleatória binomial, então: P{X = k} = Cn,k . pk . (1 – p)n-k k= 0, 1, 2, ..., n. -

C

n,k

=

n! k! (n − k )!

A probabilidade de nenhum estudante se formar é k=0, ou seja, Pr{X=0}. P{X=0}= C 6, 0

× 0,125 0 × 0,875 6 = 1 × 1 × 0,4488 = 0,4488

P{X=0}=0,4488 Para o cálculo de C 6, 0

=

6! 0!×6!

o resultado. Coeficientes Binomiais - Cn,k =

, pode-se consultar a tabela de binomial e buscar

n! k! (n − k )!

4. a Sempre que estamos trabalhando com a probabilidade do valor estar acima (superior a 66,4), temos que levar em consideração que: O espaço amostral possui 100% ou 1; Buscamos o valor da probabilidade que está a partir do valor especificado; Subtraímos 1 - a probabilidade calculada. 242


z=

x− σ

P{X>66,4) = 1- P{Z66,4) = 1- Φ(z) P{X>66,4) = 1- Pr{X≤66,4) =

1 − ⎡⎢ 66,4 − 70 ⎤⎥ = 1 − φ (−0,75) = 1 − 0,22663 = 0,7734 ⎣ 4,8 ⎦ P{X>66,4) = 0,7734 5. d p=0,2 q=0,8 n=4 k=1 P{X=1}=

C 4,1 × 0,21 × 0,8 3

=

4! 1!×3!

× 0,2 × 0,512 = 4 × 0,2 × 0,512 = 0,4096

P{X=1}= 0,4096 6.

c

p=0,40 q=0,60 n=10 k=0 k=1 k=2 k=3 P{X≤3} = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2} + P{X=3} P{X=0}=

C10, 0

× 0,40 0 × 0,6010 = 0,00605

= 0,04031 2 8 P{X=2}= C10 , 2 × 0,40 × 0,60 = 0,12093 3 7 P{X=3}= C10 , 3 × 0, 40 × 0,60 = 0, 21499 P{X=1}=

C10,1 × 0,401 × 0,60 9

P{X≤3}= 0,38228 ou 0,382

243


7. a p=0,20 q=0,80 n=20 k=0 k=1 k=2

P{X≤2} = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2} 0 20

× 0,20 × 0,80 = 0,01153 1 19 P{X=1}= C 20,1 × 0,20 × 0,80 = 0,05765 2 18 P{X=2}= C 20, 2 × 0,20 × 0,80 = 0,13691 P{X=0}= C 20, 0

P{X≤2} = 0,20609 ou 0,207 8. b Uma moeda possui dois lados, logo a probabilidade de ocorrência de qualquer face é de

1 2

= 0,50 .

p=0,50 q=0,50 n=5 k=0 k=1 k=2 P{X≥3} = 1- P{X<3} = 1- [P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}]

× 0,5 0 × 0,5 5 = 0,03125 1 4 P{X=1}= C 5,1 × 0,5 × 0,5 = 0,15625 2 3 P{X=2}= C 5, 2 × 0,5 × 0,5 = 0,3125 P{X=0}=

C 5, 0

P{X≥3} = 1- P{X<3}= 1-0,500=0,500

244


9. z=

x− σ

P(X>180) = 1- P(Z
180 − 175 z=

15

= 0,33

P(X>180) = 1 –Φ(0,33) = 1-0,6293 = 0,37 No total de 1000 pacientes = 1000 x 0,37 ≅ 371 pacientes

10. Dentre os 8 pacientes que deram entrada na sala de emergência, os 8 não estejam em condições de emergência. p=0,6 q=0,4 n=8 P{X≤8} = P{X=0} + P{X=1} + P(X=2} + P{X=3} + P{X=4} + P{X=5} + P{X=6} + P{X=7} + P{X=8}

P{ X P{ X P{ X P{ X P{ X P{ X P{ X P{ X P{ X

= 0} = C8, 0 .0,6 0.0,4 8 = 0,001 = 1} = C8,1 .0,61.0,4 7 = 0,008 = 2} = C8, 2 .0,6 2.0,4 6 = 0,041 = 3} = C8,3 .0,6 3.0,4 5 = 0,124 = 4} = C8, 4 .0,6 4.0,4 4 = 0,232 = 5} = C8,5 .0,6 5.0,4 3 = 0,279 = 6} = C8,6 .0,6 6.0,4 2 = 0,209 = 7} = C8, 7 .0,6 7.0,41 = 0,090 = 8} = C8,8 .0,68.0,4 0 = 0,017

P(X≤8} = 1 ou 100%

245


Obs: Como já dito anteriormente, o espaço amostral tem uma probabilidade de 1 ou 100%. No caso do problema, como pegamos uma amostra de tamanho 8 e verificamos a probabilidade de todos os 8 pacientes, a soma dessas probabilidades só poderia ser igual a 1 ou 100%, pois verificamos todo o espaço amostral.

Unidade 8 1. a Desenvolvimento: • Precisamos calcular os somatórios. Feito isso, substituímos os valores na fórmula para o cálculo de correlação r. Período

Nascidas Vivas

Morte por todos os tipos e causas

x2

y2

xy

1985

1100

540

1210000

291600

594000

1986

840

720

705600

518400

604800

1987

480

640

230400

409600

307200

1988

2200

380

4840000

144400

836000

1989

1840

560

3385600

313600 1030400

1990

1790 8250

120

∑

•

2960

Para o cálculo do coeficiente de correlação r, precisamos dos somatórios de: ∑x, ∑y, ∑x2, ∑y2 e ∑xy. O ideal é utilizarmos uma planilha eletrônica por facilitar o cálculo de valores, mas, independente de possuir ou não recurso de informática, podemos calcular o valor de r utilizando apenas a calculadora.

(Σx).(Σy )

r=

3204100 14400 214800 13575700 1692000 3587200

n Σxy − 2 ⎡ 2 (Σx) ⎤ ⎡ 2 (Σy ) 2 ⎤ ⎢Σx − n ⎥.⎢Σy − n ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

246


r

3.587.200 −

=

⎡ (8.250) ⎢13.575.700 − 6 ⎣

2

8250 × 2960 6

⎤ ⎡ (2.960) ⎤ ⎥ × ⎢1.692.000 − 6 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 2

=

− 482.800 719.178,15

= −0,6713

2. Comentário: • Somente com o valor do r calculado já poderíamos dizer que a série possui uma relação negativa.

•

Outra forma seria construindo o gráfico de dispersão com a linha de tendência. Ele demonstra claramente que a relação é negativa.

Gráfico de Ten dência 800 600 400 200 0 0

500

1000

1500

247

2000

2500


3. b Desenvolvimento:

•

Buscamos analisar a relação existente entre as variáveis, pois o objetivo da correlação é verificar a associação existente entre elas. Número do calçado e QI são duas variáveis que dispensam qualquer tipo de cálculo, pois elas não se relacionam, ou seja, não há nenhuma associação entre elas.

•

No caso de Renda e Educação, são duas variáveis que possuem associação, pois, por exemplo, se um indivíduo possui baixa escolaridade, provavelmente a renda dele também é baixa; se um indivíduo possui uma graduação, por exemplo, provavelmente a renda dele é superior ao caso anterior, e assim sucessivamente. A questão “educação” leva o indivíduo, normalmente, a obter uma alavancagem cultural, social e financeira, por isso, são variáveis que se correlacionam.

4. a 5. b Para estimarmos a reta, iremos trabalhar com as equações normais: -Equações normais: Σy = na + b(Σx) 2 Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx )

Vamos calcular os somatórios e encontrar os valores de a e b:

Número de semanas trabalhadas (x)

Número de carros inspecionados (y)

x2

xy

2

13

4

26

7

20

49

140

9

22

81

198

5

15

25

75

12

20

144

240

35

90

303

679

248


∑x=35 ∑y=90 2 ∑x =303 ∑xy=679 Σy = na + b(Σx) 2 Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx )

Substituindo os valores temos:

⎧90 = 5a + b(35) ⎨679 = a (35) + b(303) ⎩

Precisamos eliminar uma das variáveis a ou b. Vamos multiplicar a 1 a linha do sistema por (-7); após a multiplicação somar a 1a do sistema com a 2a linha do sistema. Assim eliminamos a e encontramos o valor de b. Em seguida, substituindo o valor de b em qualquer uma das linhas, encontramos o valor de a.

⎧90 = 5a + b(35) → ×(−7) ⎨679 = a (35) + b(303) ⎩ ⎧⎨− 630 = −35a − 245b + ⎩ 679 = 35a + 303b 49 = 58b 58b = 49 b=

49 58

= 0,844

b=0,844 Substituindo o valor de b na 1a ou 2a equação do início do problema, temos: 90 = 5a + 0,844 × 35 90 = 5a + 29,54 90 − 29,54 = 5a 60,46 = 5a 5a

= 60,46

60,46 5 a=12,09

a=

= 12,09

249

Estatística Aplicada ^

Logo a equação da reta será: y 6.

= 12,09 + 0,844 x

a ^

Utilizando a equação da reta calculada no exercício 5, y = 12,09 + 0,844 x , iremos estimar quantos carros um funcionário trabalhando 8 semanas irá inspecionar: ^

y ^

y ^

y

= 12,09 + 0,844 × 8 = 12,09 + 6,752 = 18,842 ≅ 19 carros

7. a Para o cálculo do valor de x utilizamos uma das equações normais que nos permite o cálculo do valor de y. Através do problema, temos as seguintes informações:

a

= 28

b = 0,5

∑ x = 410 n = 3

y = na + b( x) substituindo : ∑ ∑ y = (3 × 28)∑+ (0,5 × 410) ∑ y = 289 Se o somatório de y é igual a 289, não podemos esquecer de subtrair os valores já existentes na tabela. Logo: y = 289 − 90 − 150 → y = 49 .

8.

b

250


9. Solução: Crianças

Altura (cm) - x

Peso (kg) - y

xy

x2

y2

1

75

9

675

5625

81

2

70

9,2

644

4900

84,64

3

73

8,9

649,7

5329

79,21

4 5

78 80

8,5 9,5

663 760

6084 6400

72,25 90,25

69

9,6

662,4

4761

92,16

7

71

9,1

646,1

5041

82,81

8

72

10

720

5184

100

9

74

8,7

643,8

5476

75,69

77

9,4

739

91,9

723,8 6787,8

5929 54729

88,36 846,37

6

10 ∑

Vamos calcular o valor de r

r=

( x).( y ) Σxy − Σ Σ

n

⎡ 2 (Σx) ⎤ ⎡ 2 (Σy ) 2 ⎤ ⎢Σx − n ⎥.⎢Σy − n ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 2

⎛ 739 × 91,9 ⎞ ⎟ 10 ⎝ ⎠ r= ⎡ (739) 2 ⎤ ⎡ (91,9) 2 ⎤ 54729 − × 846 , 37 − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 10 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎣ − 3,61 − 3,61 6787,8 − 6791,41 = = = −0,2482 r= 116,90 × 1,809 211,4721 14,5421 6787,8 − ⎜

r= -0,2482

251


O valor de r indica que a relação é negativa mais é fraca. Isso não significa não haver correlação nenhuma entre as variáveis. Para uma análise mais aprofundada seria necessário o domínio de diversas informações que não estão sendo levadas em consideração. Por exemplo: aos 10 meses as crianças, normalmente, já ingerem diversos tipos de alimentos. Será que todas as crianças têm o mesmo tipo de alimentação? Será que todas as crianças ainda bebem leite materno, ou seja, mamam no peito? Vale lembrar que é muito importante o domínio da informação acerca de um grupo que estamos analisando para evitar erros grosseiros de análise.

10. Solução: Crianças

Altura (cm) - x

Peso (kg) - y

xy

x2

1

75

9

675

5625

2

70

9,2

644

4900

73

8,9

3 4

78

8,5

649,7 663

5329 6084

5

80

9,5

760

6400

6

69

9,6

662,4

4761

7

71

9,1

646,1

5041

8

72

10

720

5184

9

74

8,7

643,8

5476

10 ∑

77

9,4

739

91,9

723,8 6787,8

5929 54729

Para o cálculo da equação da reta, que permitirá a estimativa do peso de crianças com 85 cm de altura, vamos utilizar as equações normais e encontrar os valores de a e b, como já desenvolvido em exercício anterior. Σy = na + b(Σx) 2 Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx )

252


⎧91,9 = 10a + 739b → ×(−73,9) ⎨6787,8 = 739 + 54729b ⎩ ⎧− 6791,41 = −739a − 54612,10b ⎨ 6787,8 = 739a + 54729b ⎩ − 3,61 = 116,90b 116,90b = −3,61 − = 3,61 = − b

116,90

0,0309

Substituindo encontramos o valor de a.

91,9 = 10a + 739 × (−0,0309) 91,9 = 10a − 22,8351 91,9 + 22,8351 = 10a

10a = 114,7351

a=

114,7351 = 11,47351 10

a= 11,47 b= -0,03 ŷ = a + bx= 11,47 - 0,03 x 85 = 8,92

≅ 9 kg

253

GRAD100_ESTATISTICA_livro

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