akıcı ayrıntılı
kpss
güncel konu anlatımları örnekler yorumlar
2014
uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları
geometri kpss’ 13 de 0 2
85 soru
yeni s
arla l u n o yeni k la r a l u r o tır ş ı yeni s m n ırla z a h e gör e n i stem i s v a ın
Editörler : Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu KPSS Geometri ISBN 978-605-364-524-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
16. Baskı: Eylül 2013, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş. Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7 Şaşmaz/ANKARA (0312-278 34 84) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 16102 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 E-ileti:
[email protected]
SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK -Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar, - Çokgenler ve Dikdörtgenler, - Çember ve Daire, - Analitik Geometri ve - Katı Cisimler bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle
[email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Editörler: Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR....................................................1 Geometrik Kavramlar................................................2 Tanımsız Kavramlar...................................................2 Açılar..........................................................................2 Açının Ölçüsü............................................................2 Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler..........................2 Açı Ölçü Birimleri......................................................2 Derecenin Alt Birimleri..............................................3 Açı Çeşitleri................................................................3 Dar Açı........................................................................3 Dik Açı........................................................................3 Geniş Açı....................................................................3 Doğru Açı...................................................................3 Tam Açı.......................................................................3 Komşu Açılar.............................................................3 Açıortay......................................................................3 Tümler Açılar..............................................................4 Bütünler Açılar...........................................................4 Ters Açılar..................................................................5 Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar..............................................................5 Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar.....................................5 Kenarları Paralel Açılar.............................................7 Kenarları Dik Açılar...................................................7 Üçgenler.....................................................................10
Ağırlık Merkezi...........................................................25 Kenarortay Bağıntıları...............................................27 İkizkenar Üçgen.........................................................29 Eşkenar Üçgen..........................................................31 Üçgende Alan.............................................................35 Üçgende Benzerlik....................................................40 Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı................................40 Tales Teoremi.............................................................42 Temel Orantı Teoremi................................................42 Çapraz Tales Teoremi................................................43 Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı......................44 Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı..................45 Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları..............................48 Üçgen Eşitsizliği........................................................48 Çıkmış Sorular...........................................................53 Cevaplı Test - 1 .........................................................56 Cevaplı Test - 2 .........................................................58 Cevaplı Test - 3 .........................................................60 Cevaplı Test - 4 .........................................................62 Cevaplı Test - 5 .........................................................64 Cevaplı Test - 6 .........................................................66 Cevaplı Test - 7 .........................................................68 Cevaplı Test - 8 .........................................................70 Cevaplı Test - 9 .........................................................72 Cevaplı Test - 10 .......................................................74 Cevaplı Test - 11 ........................................................76 Cevaplı Test - 12 .......................................................78 Cevaplı Test - 13 .......................................................80
Üçgen Çeşitleri..........................................................10 Açılarına Göre Üçgenler...........................................10 Kenarlarına Göre Üçgenler.......................................10 Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar...................11 Yükseklik....................................................................11 Açıortay......................................................................11 Kenarortay.................................................................11 Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................12 Dik Üçgen...................................................................16 Pisagor Teoremi.........................................................16 Öklid Bağıntıları.........................................................17 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler........................18 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler............................19 Üçgende Açıortay Teoremleri...................................21 İç Açıortay Teoremi...................................................22 Dış Açıortay Teoremi.................................................23 Üçgende Kenarortay Teoremleri..............................25
2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER..............................83 Çokgenler...................................................................84 Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................84 Düzgün Çokgen.........................................................85 Dörtgenler..................................................................90 Özellikleri...................................................................90 Dörtgenlerde Alan.....................................................91 Paralelkenar...............................................................93 Paralelkenarda Alan..................................................94 Paralelkenarın Alan Özellikleri.................................94 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............96 Eşkenar Dörtgen........................................................97 Dikdörtgen .................................................................98
Kare............................................................................100
4. BÖLÜM
Yamuk – Deltoid.........................................................102
ANALİTİK GEOMETRİ................................................147
İkizkenar Yamuk.........................................................105
Noktanın Analitik İncelenmesi..................................148
Dik Yamuk..................................................................107
Analitik Düzlem..........................................................148
Deltoid........................................................................107
İki Nokta Arasındaki Uzaklık.....................................149
Çıkmış Sorular...........................................................108
Doğrusal Noktalar.....................................................150
Cevaplı Test - 1 .........................................................110
Doğrusal Olmayan Noktalar.....................................152
Cevaplı Test - 2 .........................................................112
Doğrunun Analitik İncelenmesi................................155
Cevaplı Test - 3 .........................................................114
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi................................155
Cevaplı Test - 4 .........................................................116
Doğrunun Grafiğinin Çizimi......................................157
Cevaplı Test - 5 .........................................................118
Doğrunun Denklemleri..............................................158 Özel Doğrular.............................................................160
3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE...................................................121 Çemberde Açı............................................................122 Çemberde Yardımcı Elemanlar.................................122 Çemberde Yay ve Açı Özellikleri..............................123 Merkez Açı..................................................................123 Çevre Açı....................................................................124 Teğet Kiriş Açı............................................................125
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları...................160 Doğru Demeti.............................................................162 Simetriler....................................................................165 Noktanın Simetriği.....................................................165 Doğrunun Simetriği...................................................168 Eşitsizlikler.................................................................170 Çıkmış Sorular...........................................................172 Cevaplı Test................................................................173
İç Açı...........................................................................125 Dış Açı........................................................................125 Çemberde Kiriş Yay Özellikleri.................................127
5. BÖLÜM KATI CİSİMLER..........................................................175
Kirişler Dörtgeni........................................................127
Prizma.........................................................................176
Çemberde Uzunluk....................................................128
Dikdörtgenler Prizması.............................................177
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti.................128
Küp..............................................................................179
Kuvvet Ekseni............................................................130
Silindir........................................................................179
İki Çemberin Ortak Teğetleri.....................................131
Dönel Silindir.............................................................180
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları....................133
Piramit........................................................................182
Üçgenin Çemberleri..................................................133
Düzgün Piramit..........................................................182
Üçgenin İç Teğet Çemberi.........................................133
Kesik Piramit..............................................................183
Üçgenin Dış Teğet Çemberi......................................134
Küre............................................................................185
Teğet Dörtgeni...........................................................134
Çıkmış Sorular...........................................................186
Dairede Alan...............................................................135
Cevaplı Testler - 1 .....................................................187
Dairenin Alanı ve Çevresi.........................................135
Cevaplı Testler - 2 .....................................................189
Daire Diliminin Alanı..................................................135 Çember Yayının Uzunluğu........................................135 Daire Kesmesinin Alanı.............................................135 Daire Halkasının Alanı...............................................136 Çemberde Benzerlik..................................................137 Çıkmış Sorular...........................................................139 Cevaplı Test - 1 .........................................................140 Cevaplı Test - 2 .........................................................142 Cevaplı Test - 3 .........................................................144
Genel Yetenek’te
40
MATEMATİK ÖSYM SORULARI
31.
3 : e2 4 : e2 -
5 6 7 8
2013 31.
o o
7 11
B)
D)
32.
9 11
C)
10 9
E)
7 9
9
3.
0, 01 + 0, 002 + 0, 0004 0, 1 + 0, 02 + 0, 004
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır? B) 106
E) 2
Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru
13
10 + 100 + 1000 0, 001 + 0, 01 + 0, 1 + 1 A) 107
1 1 6 :c + m 3 4 1 −5 3 işleminin sonucu kaçtır? 3 1 1 3 A) - B) - C) D) 4 2 2 4
işleminin sonucu kaçtır? A)
PEGEM AKADEMİ SORULARI
C) 105
A) 0,01
D) 104 E) 103
B) 0,1
C) 1
D) 10
E) 100
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru
4.
0, 4 + 0, 04 + 0, 004 1 − 0, 2 − 0, 02 − 0, 002
işleminin sonucu kaçtır? A) 0,5
B) 0,1
C) 0,2
D) 0,4
E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 4. Soru
33.
25 + 26 + 27 + 2 8
15.
2 −5 + 2 −6 + 2 −7 + 2 −8
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır? A) 27
2 45 + 2 46 + 2 47 2 23 + 2 22 + 2 21
B) 211 C) 213
D) 2-9
A) 88
E) 2-12
B) 410 D) 222
C) 810 E) 225
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru 34.
(4!) 2 + (3!) 2
4.
(4!) 2 − (3!) 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır? A)
19 15
B)
D)
19 12
17 15
10 ! − 9 ! 8! + 7!
C)
E)
13 12
13
A) 64
B) 65
C) 68
D) 70
E) 72
15
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 27 / 4. Soru
MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI
2013
35. 3 − x − 2 = 3 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? B) 4
A) 6
C) 2
PEGEM AKADEMİ SORULARI
9.
x +1 + 4 = 6 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
D) -8 E) -10
A) −4 B) −3 C) −2
D) 0
E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru 8.
x − 3 − 5 = 2 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı
kaçtır? A) −4
B) 0
C) 6
D) 10
E) 12
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru
36.
a 4 − ab3
:
(a + b) 2
8.
a2 + ab + b2 a 4 − b 4
A)
(a + b) 2
B)
D)
a (a + b) a2 + b2
a−1 (a + b) 2
C)
E)
A)
b (a − b) a2 + b2
y
D) 2
a-b
ab - a 2 b2
C)
b2
E)
a 2 + ab b2
a+b b2
aob = a2 − b3 a b =a2 + 2ab + b2 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, (3 o2) (5 o3) kaçtır? A) 1
olduğuna göre, a kaçtır? 3
B)
13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri
+y
B)
b2
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru
ax (aT2) = 8 1
a 2 - ab
a2 + b2
biçiminde tanımlanıyor.
A)
a 2 − ab + b 2 a2 − b2
D)
xxy = x : y + x x
|
a2 + b
37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemleri
xTy =
^ab + b 2 h2
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a−b
a 4 + ab 3
2 3
C) 9
D) 16
E) 25
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru
C) 1 E) 3
B) 4
3.
Tam sayılar kümesi üzerinde,
x4y = x + 3y x 3 y = 2x - y işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, 24 (3 3 4) işleminin sonucu kaçtır? A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru
MATEMATİK ÖSYM SORULARI
2013
38. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 eklenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır. m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır? A) 5
B) 4
C) 3
PEGEM AKADEMİ SORULARI
E) 1
D) 2
A) 30
B) 32
C) 34
D) 35
E) 36
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru 39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.
3.
Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölünen sayı en az kaçtır? A) 89
B) 87
C) 85
D) 83
A)151
E) 81
xy3z5 > 0 eşitsizliği veriliyor. I.
x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II.
x < 0 ve z < 0 ise y > 0
E)163
x < 0 < y olmak üzere, I.
x2 < y2
II.
x3 < y
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
D) Yalnız II
C) Yalnız I E) Yalnız III
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru
önermelerinden hangileri doğrudur? B) II ve III
A) Yalnız I
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
D) 160
C) 157
III. x + y < 0
Buna göre,
A) I ve II
B)153
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru 1.
40. x, y, z gerçel sayıları için
Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.
2.
x, y reel (gerçel) sayılar x
a > 0 için a ⋅ x > a ⋅ y
II. a < 0 için a ⋅ x > a ⋅ y III. a < 0 için x + a > y + a IV. a > 0 için V.
x2 < y2
A) I ve III
x y < a a B) I ve II
D) II, III ve IV
C) I, II ve IV E) II ve IV
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 118 / 2. Soru
MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI
41.
1 2+ 3
+
1 3+ 2
+
x 2 +1
PEGEM AKADEMİ SORULARI
2013
=2
1
14.
−
3− 3
1 3+ 3
+
2 3
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 + 2 B) 1 + 2 2 C) 2 + 2
A) 3 3 B) 2 3 C)
D) 2 + 3 E) 3 2
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 139 / 14. Soru 2
18.
2-
2
+
3
3 D) − 3 E) − 2 3
2+
3
işleminin sonucu kaçtır?
2 C) 2 3
B)
A) 1
D) 5
E) 8
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 186 / 18.Soru
4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ
45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Tur sayısı
Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir.
70
Mal sayısı sayısı(adet) Mal (adet)
60 50
125
40 30 20 10
110 90 60 40
1.saat 2.saat
3.saat
Zaman
Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 dakika sonra toplam kaç tur tamamlamıştır? A) 125
B) 130
C) 145
D) 150
E) 170
4.
A
B
C
D
E
10
12
15
20
25
Zaman ( dk )
Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir? A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
5.
Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir?
A) B ve D
6.
B) A ve C D) C ve E
C) D ve E E) B ve E
B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir? A) 1,5
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru
MATEMATİK ÖSYM SORULARI
PEGEM AKADEMİ SORULARI
2013
47. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.
B
C
E
D E
A
D
C
B
170
1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.
A
DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ.
130
Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri arasındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir.
D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.
L M N P
Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir? A) 230
B) 235
C) 240
D) 245
E) 250
140 310 K
L
M N
Tablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasındaki yolun uzunluğudur. Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir.
1.
N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır? A) 370
B) 380
C) 385
D) 390
E) 395
2.
Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir?
A) 1540
3.
B) 1555 D) 1600
C) 1580 E) 1625
Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240
B) 250
C) 320
D) 335
E) 380
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru
MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI 53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzdelerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir. Derinlik (m)
2013
28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ. gelen öğrenci
Doluluk (%)
15
PEGEM AKADEMİ SORULARI
giden öğrenci
kişi sayısı 500
100
400
72
10
300
50
200 100
7 10 Zaman (dk)
5 7 10 Zaman (dk)
2002
Cihan Levent
B) 20
C) 18
D) 16
2004
2005
2006
2007
yıllar
Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir.
Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır? A) 22
2003
E) 14
28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı arasındaki fark hangi yıl en fazladır?
A) 2003
B) 2004 D) 2006
C) 2005 E) 2007
29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?
A) 200
B) 250 D) 350
C) 300 E) 400
30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır?
A) 2002
B) 2003 D) 2006
C) 2004 E) 2007
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru
MATEMATİK ÖSYM SORULARI
2013
56. Kesilen parçalar çıkarıldıktan sonra kâğıt, konumu değiştirilmeden katlandığı yerlerden tamamen açılıyor ve aşağıdaki görünüm elde ediliyor.
Şekil I
Şekil III
Şekil I deki dikdörtgen biçimli kâğıt, kesik çizgi boyunca okla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil II, Şekil II'deki kâğıt da yine kesik çizgi boyunca okla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil III elde ediliyor. Şekil III'teki kâğıdın siyahla gösterilen bölgesi kesilip çıkarılıyor. A) A) B) Kesilip çıkarılan bölgeler siyahla gösterildiğine
Buna göre, kâğıdın açılmadan önceki biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C)
A) A)
E)
C) C)
C)
B) B) C)
B)
C) D)
D) D)
D)
D)
E)
E)
E) E) E)Sezon Finali Sayısal Mantık
Sayfa 58
A
58.
ABC bir üçgen % m^ACB h = 45 ο % m^BAC h = 60 ο
60° 3 2
AB = 3 2 birim
BC = x
45° B
x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? A) 3 3 B) 2 2 C) 2 6 D)
16.
A 4 B
15°
60°
x
C
ABC üçgen, m (B) = 15 ο , m (C) = 60 ο , AC = 4 cm'dir. Yukarıdaki verilenlere göre, BC = x kaç cm dir?
C
2 3 5 2 E) 3 3
B)
göre, kâğıt açıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir? A)
D)
Şekil II
A) 2 ( 3 + 6) B) 8 2 C) 8 3
D) 4 ( 3 + 1) E) 4 ( 3 + 2)
Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Test 81 / 16. Soru
MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI
2013
B'
59. C'
3
D A
12.
C 2 B
R
A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak A' noktası
•
B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak B' noktası
•
C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak C' noktası
A) 60
13
D) 90
E) 100
ABCD ve EFGH kare
5DF? = 5AG? 5BH? = 5EC?
B, G, H ile A, F, G noktaları doğrusal
AD = 10 cm
Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir? D) 18
C) 80
B) 70
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 345 / 12. Soru
A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor. C) 24
C
F
ABCD paralelkenar doğru parçalarıdır. L, E, F, K bulundukları kenarların orta noktaları ve taralı alan 16cm2'dir.
Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir?
D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak D' noktası elde ediliyor.
B) 28
K
S
R B
•
D
T
A'
Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdörtgeninde
A) 30
L
A E
D'
•
PEGEM AKADEMİ SORULARI
GB = 6 cm
Yukarıda verilenlere göre, A]EFGHg kaç cm2 dir?
E) 16
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 16
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 266 / 13.Soru
60.
ABCDE düzgün beşgen
E D
A
B
E
m ( KDE ) = 95°
95°
C
D %
Yukarıdaki verilenlere göre m ( FKD ) = α kaç derecedir?
B
O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çemberin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir? B) 128
ABCDEF düzgün altıgeninde [KF] açıortay,
F
K α
x C
A) 110
A
%
m(BOD) = x O
11.
C) 136
D) 144
E) 152
A) 55
B) 65
C) 75
D) 85
E) 95
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru
Geometrİk Kavramlar ve Doğruda Açılar � GEOMETRİK KAVRAMLAR � DOĞRUDA AÇILAR � ÜÇGENLER � ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ � ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
2008 2
� ÜÇGENDE AÇILAR
07 20 2
� DİK ÜÇGENLER � ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ
200 9 1
� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ
06 20 -
� ÜÇGENDE ALAN
10 1
20
� ÜÇGENDE BENZERLİK � ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI
2011 1
05 20 2
12 1
20
04
20
3
13 20 1
Çıkmış Soru Ağacı
“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”
Galıleo
GEOMETRİK KAVRAMLAR
AÇILAR
Tanımsız Kavramlar
Başlangıç
Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır.
aynı olan iki ışının bir-
Nokta
Yani;
Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.
oluşan açı BAC ya da
noktaları
B
A [ AB ∪ [ AC =
leşimine “Açı” denir.
6AB ve 6AC ışınlarının birleşimi ile A
C
CAB açısıdır. %
%
BAC açısı BAC ya da CAB açısı ile gösterilir.
Örneğin;
A
A noktası
B
B noktası
Doğru İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.
A
B
d
Açının Ölçüsü
6AB ve 6AC
ışınları arasında
B
kalan bölgeye At ’nın ölçüsü denir. Her At ’na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu
α
Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir.
reel sayıya BAC açısının (ya da A
Doğru Parçası
Yani BAC açısının ölçüsü α dır.
iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşim kümesine doğru parçası denir.
ve m (BAC) = m(At ) = α veya
A
B
doğru parçası 6AB@ sembolü ile gösterilir.
6CD@ " CD doğru parçası
CD " CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.
Işın Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
A
B
d
6AB " AB ışını diye okunur. Yarı Doğru
6AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir. A
2
PEGEM AKADEMİ
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR
B
d
@AB " AB ışını diye okunur. Düzlem Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir.
C
CAB açısının) ölçüsü denir. %
%
s ( BAC ) = s(At ) = α ile gösterilir. Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir. Yani; m (At ) = m(Bt ) & A ile B açýlarý eş açılardır. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu bölgeler B I. Açının kendisi I. II. Açının iç bölgesi III. Açının dış bölgesi
II.
α A III.
C
Açı Ölçü Birimleri Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 o ,40 o ,... şeklinde gösterilir. Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz, D: Derece G: Grad R: Radyan olmak üzere D G R = = bağıntısı vardır. 180 200 π
3
Örnek
Not Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile oluşan açı 360 o , 400 Grad ve 2π Radyandır.
C
_ 1 o " Bir derece bb 1 o = 60' 1' " Bir dakika ` 1' = 60'' b o 1'' " Bir saniye a1 = 3600'' dýr.
A) 10
B) 12
3α
C) 15
2α
O
B
D) 18
E) 20
Çözüm: A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180 o lik açı meydana getirirler.
AÇI ÇEŞİTLERİ
Yani; 3α + 7α + 2α = 180 o dir.
B
Dar Açı Ölçüsü 0 o ile 90 o arasında olan açılara dar açı denir.
& 12α = 180 o & α = 15 o bulunur.
α A
C
%
Ölçüsü 90 o olan açıya dik açı denir. Yani; α = 90 o + α dik açýdýr.
Komşu Açılar Köşeleri ve birer kenarı ortak olan C iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir.
B
Dik Açı
%
Yani; COB açıdır.
α A
C
B
O
ile BOA komşu iki
A
AÇIORTAY Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir.
Geniş Açı
% % Yani; m ( COB ) = m ( BOA ) dır. % 6OB ye COA nın açıortayı denir.
Ölçüsü 90 ile 180 arasında B olan açılara geniş açı denir. o
D
7α
A
Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?
Derecenin Alt Birimleri
Yani; 0 o < a < 90 o + α dar açýdýr.
A, O, B noktaları doğrusal, % % m ( DOB ) = 2α , m ( COD ) = 7α % ve m ( AOC ) = 3α
o
α
Yani; 90 o < a < 180 o + α geniþ açýdýr.
A
C
6OC ile 6OA ye açıortayın kolları (kenarları) denir.
C
B
O
A
Örnek
Doğru Açı Ölçüsü 180 o olan açıya doğru açı denir.
α =180°
C
Yani; α = 180 o + α doðru açýdýr.
A
D
A, O, B noktaları doğruB
sal 6OC ile 6OF açıortay %
m ( DOE ) = 80 o
E 80°
C
O
A
F B
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( COF ) kaç derecedir? A) 100
Tam Açı Ölçüsü 360 o olan açıya tam açı denir. Yani; α = 360 o + α tam açýdýr.
α =360°
A
B
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
4 Çözüm:
TÜMLER AÇILAR
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı 180 o D E dir. F % % α 80° β C m ( AOC ) = m ( COD ) = α , β α % % O A B m ( EOF ) = m ( FOB ) = β
Ölçüleri toplamı 90 o olan iki açıya tümler iki açı denir.
B
Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
dersek
α + β = 90 o + a ile β tümler iki açıdır.
2α + 2β + 80 o = 180 o & 2a + 2b = 100 o & a + b = 50 o
α’ nın tümleri 90 o - a
% % m ( COF ) = α + β + 80 o & m(COF) = 130 o bulunur.
nın tümleri 90 o - b dır.
C
α
β
O
A
BÜTÜNLER AÇILAR
Örnek Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54 o dir.
Ölçüleri toplamı 180 o olan iki açıya bütünler açılar denir.
Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
A) 100
α + β = 180 o + α ile β bütünler iki açıdır.
B) 104
C) 106
D) 108
E) 110
Çözüm: % % BOC ile COA komşu iki açıdır. 6OD ile 6OE açıortaydır. % % % m ( DOE ) = 54 o verilmiş m ( BOD ) = m ( DOC ) = α , %
%
O
A
α B
α’ nın bütünleri 180 o - a β’ nın bütünleri 180 o - b dır.
%
m ( COE ) = m ( EOA ) = β dersek m ( DOE ) = α + β = 54 o dir. %
C
β
Örnek Bir açının 4 katının 5 o fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?
%
Buradan m ( BOC ) + m ( COA ) = 2α + 2β
A) 157
& 2 ( α + β ) = 108 o bulunur. S o
54
B) 159
C) 161
D) 163
E) 165
Çözüm: Açı α
Not Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
6OD açıortay, 6OB ile 6OA açıortayın kolları olmak üzere B L
6CK@ = 6OB , 6DL@ = 6OB ,
6CE = 6OA ve 6DF@ = 6OA
çizilirse = = CK CE , DL
DF ve
= KO
FO dur.
= EO , LO
K
O
D
Tümleri 90 o - a dır.
Denklem kurulursa; 4α + 5 o = 90 o - α dýr. 5α = 85 o & α = 17 o bulunur. O halde açının bütünleri 180 o - α = 180 o - 17 o = 163 o bulunur.
C
E
F A
Örnek Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10 o dir. Buna göre küçük açı kaç derecedir? A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
5 Çözüm:
(ii) İç ters açılar
Bütünler iki açı
d1 // d2 ise
α ile β olsun
ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri
O halde α + β = 180 o dir.
birbirine eşittir.
Verilen denklem yazılacak olursa
Yani; c = x ve d = y dir.
α -
β 4
⇒ α = 4β + 10°dir.
(iii) Dış ters açılar
10°
d1 // d2 ise
Buradan α = 4β + 10 o denklemi
at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.
α + β = 180 o denkleminde yerine yazılacak olursa
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
4β + 10 o + b = 180 o & 5b = 170 o
Yani; a = z ve b = t dir.
& β = 34 o & α = 146 o dýr.
(iv) Karşı durumlu açılar
O halde küçük açı β = 34° bulunur.
d1 // d2 ise ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180 o dir.
TERS AÇILAR Kesişen iki doğrunun oluşturduğu
d1
b
açılardan birbirine komşu olmayan
c
açılara ters açılar denir.
Yani; c + y = 180 o ve d + x = 180 o dir.
a
Not
d
Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula-
d2
rında at ile ct , bt ile dt açıları ters
Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir. Yani; d1 // d2 6AC ile 6BC
d3
A
açıortay & 6AC = 6BC dir.
açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir.
d1
C d2
B
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR
d1 // d2 , a, b, c, d, x, y, z, t bulun-
dukları açıların ölçüleridir.
b
a
c
d
y
x
z
t
d1
d2
(i) Yöndeş açılar d1 // d2 ise at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş
açıların ölçüleri birbirine eşittir. = Yani; a x= , b y= , c z= , d t dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR (i) d1 // d2 ; d3 + d 4 = "B ,
α
d1
β
B
α , δ , β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α + δ = β dır.
d3
A
δ C
A
(ii) d1 // d2 ; α , β, δ bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α + β + δ = 360 o dir.
Not
α B
d2 d4 d1
β
δ C
Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n : 180 o dir.
d2
6 (iii) d1 // d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. Aynı yöndeki ardışık açıların
α
ölçüleri toplamı ile bu açılara göre ters yönde olan ardışık
β
aynı yönlü açıların ölçülerinin
δ
toplamları birbirine eşittir.
d1
x
y d2
Yani; α , β , δ , x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna göre α + β + δ = x + y dir.
Örnek d1 // d2 6AF@ = 6CF@ ,
B
A
6AB // 6CD , 6EC@ = 6CD ,
α E
140°
verilenlere
göre C
m ( BAE ) = α kaç derecedir? B) 40
d1
F E 80°
3α
3β
d2
D
C
C) 50
D) 60
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Çözüm: Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri toplamına eşit olduğundan
%
m ( AEC ) = 140 o
A) 30
5β
Yukarıdaki verilenlere göre α + β kaç derecedir?
Örnek
%
B
3α
% % m ( BAF ) = m ( FCD ) = 3α , % m ( ABE ) = 5β , % m ( EDC ) = 3β ve % m ( BED ) = 80 o
A) 5
Yukarıdaki
A
D
3α + 3α = 90 o & 6a = 90 o & a = 15 o
E) 70
5β + 3β = 8β = 80 o & β = 10 o dir . O halde α + β = 15 o + 10 o = 25 o bulunur.
Çözüm: Şekilde 6AB // 6CD olduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri toplamına eşit olacağından α + 90 o = 140 o & a = 50 o bulunur.
Örnek E
6CD // 6AB %
55°
m ( EAB ) = 65 o,
C
%
m ( AEC ) = 55 o 65° Yukarıdaki verilenlere göre % A m ( ECD ) = α kaç derecedir?
Örnek 6AB // 6CD , a, b, c, d, e bulun-
dukları açıların ölçüleridir.
Yukarıdaki verilenlere göre
B
A E F G
a + b + c + d + e kaç derece-
b
c
d
B) 450
C) 540
B) 110
C) 120
D
B
D) 130
E) 140
a
e
Çözüm:
C
D
dir? A) 360
A) 100
α
D) 630
E
K 65°
E) 720
55°
F α =120°
C
D
65°
A
Çözüm:
6AB // 6CD dir. Paralel doğrular 6AE@ , 6EF@ , 6FG@ , 6GC@
ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür. o
o
O halde a + b + c + d + e = 4 : 180 = 720 bulunur.
B
E noktasından KF // 6CD // 6AB olacak biçimde KF çizilir% % = = se m ( KEA ) m ( EAB ) 65 o (iç ters açıların eşitliği) ve %
%
= = m ( KEC ) m ( ECD ) 120 o dir. (iç ters açıların eşitliği) O halde α = 120 o bulunur.
7 KENARLARI PARALEL AÇILAR E
6AB // 6CD ve 6AK@ // 6EC@ olduğundan BAK ile ECD kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır.
α
O halde
%
(i) Kenarları aynı yönde paralel açılar:
B
6AB // 6DE ve 6DF // 6AC ise yön-
deş açıların eşitliğinden %
Çözüm:
α
%
D
A
m ( BAC ) = m ( EDF ) = α dır.
F
α
%
%
%
= = m ( BAK ) m ( ECD ) 35 o dir. FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa
C
35 o + α + 90 o = 180 o & a = 55 o bulunur. (ii) Kenarları ters yönden paralel açılar:
B
6AB // 6CD ve 6CB // 6AD ise yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dolayı; % % m ( BCD ) = m ( BAD ) = α dır.
A
α
Örnek
(iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar:
6AB // 6CD , 6KE@ = 6AB ,
α
α C
A
6KF = 6AC ve m ( FKE ) = 50 o %
D
F
B
α
6AB // 6EF ve 6ED // 6AC ise yöndeş ve karşı durumlu açı A tanımlarından
D
β
A) 50
B) 55
C) 60
%
%
D
% % CAB ile ACD karşı durumlu iki açı olduğundan
B
α
K
L
%
üzere α = β dır.
A
C
E
β α
A
E
α H
E
Yukarıdaki verilenlere göre % m ( AFH ) = α kaç derecedir?
C
F B
D
E) 65
B) 50
C) 60
Açı
Tümleri
Bütünleri
α
o−
180 o − α
90
α
E) 80
Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o fazla ise 180 o - a = 180 o - 2a + 50 o 2a − a = 50° & a = 50 o bulunur.
C
D) 70
fazla olan açı
Çözüm:
(180 o - α) = 2(90 o - a) + 50 o
K
35°
D) 55
A) 40
D
L
A
Örnek Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o kaç derecedir?
B
K
Örnek
C) 45
%
β
F
(ii)
B) 35
%
m ( CAB ) + m ( ACD ) = 180 o 130 o + α = 180 o & a = 50 o bulunur.
m ( EDK ) = α , m ( BAC ) = β olmak
A) 25
%
m ( CAB ) + 50 o = 180 o & m(CAB) = 130 o bulunur.
(i) 6DE = 6AC ve 6DK = 6AB ise
%
E) 70
O halde m ( CAB ) + m ( FKE ) = 180 o dir.
KENARLARI DİK AÇILAR
6FH@ = 6AK@ ve m ( ECD ) = 35 o
D) 65
% % CAB ile FKE kenarları dik iki açıdır.
%
6AK@ // 6EC@ , 6AB // 6CD ,
D
Çözüm: C
dir.
6AB = 6DF ve 6AC = 6DE % % ise m ( BAC ) = α , m ( FDE ) = β olmak üzere α + β = 180 o dir.
K
α
E
α
% % m ( DEF ) + m ( BAC ) = α + β = 180 o
%
50°
F
Yukarıdaki verilenlere göre C % m ( ACD ) = α kaç derecedir?
B
E
8 %
%
%
%
= m= ( CAK ) m ( KAB ) a
Örnek 6AB // 6CD , 6AF@ = 6CF@ ,
% % m ( BAE ) = m ( FCE ),
F
% % m ( EAB ) = m ( ECD )
= m= ( EDK ) m ( KDF ) b dersek
B
A
α
E
C
B) 45
C) 50
D) 60
A
6AB // 6DE olduğundan
%
α a
6AC // 6DF ,
m ( AEC ) = α kaç derecedir? A) 30
C
O halde a + b = 90 o dir. D
Yukarıdaki verilenlere göre
K
2 (a + b) = 180 o dir.
a B
b E
F
b D
% % % m ( CAK ) + m ( FDK ) = m ( AKD )
E) 75
dir. O halde a + b = α dır. α = 90 o bulunur.
Çözüm: Paralel doğrular arasındaki aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı zıt yöne bakan açıların ölçüleri top-
lamına eşit olduğundan C % % % m ( BAE ) + m ( ECD ) = m ( AEC ) % % % ve m ( BAF ) + m ( FCD ) = m ( AFC ) dir. %
%
B
A
%
a
b Fα a b
E
Örnek D
E
6AB // 6CD , 6FP@ ile 6KP@
%
= = = = m ( BAE ) m ( FCE ) a, m ( EAB ) m ( ECD ) b dersek
F
% açıortay, m ( BAE ) = 160 o, % m ( AEF ) = 150 o ve % m ( FPK ) = 50 o dir.
B
A 150°
160°
P
50°
α
K C
D
a + b = α ve 2a + 2b = 90 bulunur.
% Yukarıdaki verilenlere göre m ( KCD ) = α kaç derece-
& a + b = 45 o = a bulunur.
dir?
o
A) 150
C
6AK@ ile 6DK@ açıortay Yukarıdaki
verilenlere
göre
A
α
D) 135
B
C) 90
D
E
D) 120
E) 135
olduğundan %
aynı
%
E bakan BAE , AEF , % % % F EFK , FKC, KCD açılarının öl-
yöne F
m ( AKD ) = α kaç derecedir? B) 75
6AB // 6CD
K
6AB // 6DE , 6AC // 6DF ,
A) 60
C) 140
E) 130
Çözüm:
Örnek
%
B) 145
çüleri toplamı 720 o dir. ∆ FPK de iç açıların ölçüleri toplamı yazıla%
B
A 150°
160°
P
50°
α
K C %
D
%
cak olursa m ( PFK ) + m ( FKP ) + m ( FPK ) = 180 o %
%
%
%
m ( PFK ) + m ( FKP ) + 50 o = 180 o dir. Çözüm:
m ( PFK ) + m ( FKP ) = 130 o
% % CAB ile EDF bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü
Buradan 160 o + 150 o + 2(m(PFK) + m(FKP)) + a = 720 o
paralel açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir. % % Yani; m ( CAB ) + m ( EDF ) = 180 o dir.
%
%
160 o + 150 + 260 o + α = 720 o & a = 150 o bulunur.
9 Çözüm:
Örnek
B
6AB // 6CD // 6EF %
D
%
F
m ( BAK ) = 120 o m ( FEK ) = 150 o ve %
6AB ile 6CD doğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden % % m ( FAB ) = m ( TAE ) = α + 5° % % m ( ECH ) = m ( DCK ) = 2α + 10 o
A
%
120°
C α E
150°
m ( EKC ) = m ( AKC )
K
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( DCK ) = α kaç derecedir? A) 115
B) 120
C) 125
D) 130
B
α + 5°
F
T
A
α + 5°
E
120°
bulunur.
2α + 10° 2α + 10° C K
D
BT // DH olduğundan % % % m ( TAE ) + m ( ECH ) = m ( FEK )
H
& α + 5 o + 2α + 10 o = 120 o & 3α + 15 o = 120 o & 3α = 105 dir.
E) 135
Ohalde α = 35 o dir. %
m (FAB) = α + 5 o = 40 o bulunur.
Çözüm:
6AB // 6CD // 6EF // d çizilirse FEK ile EKL , BAK ile AKL , % % DCK ile CKL karşı durumlu açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir. %
%
%
%
Buradan %
%
m ( FEK ) + m ( EKL ) = 180 o
%
& 150 o + m(EKL) = 180 o %
%
& m ( EKL ) = 30 o
%
m ( BAK ) + m ( AKL ) = 180 o
%
& 120 o + m(AKL) = 180 o %
& m ( AKL ) = 60 o
%
E
6AB // 6CD , 6EF@ = 6CF@ ,
α
%
m ( FCD ) = 55 o
B) 65
55°
110°
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( AEF ) = α kaç derecedir? A) 60
%
F
m ( EAB ) = 110 o ve %
% % % % m ( AKL ) = m ( EKL ) + 2m ( CKE ) & 60 o = 30 o + 2m(CKE) % & 30 o = 2m (CKE) % & m (CKE) = 15 o %
Örnek
A
B
C) 70
C
D) 75
D
E) 80
O halde m ( CKL ) = m ( CKE ) + m ( EKL ) %
m ( CKL ) = 15 o + 30 o = 45 o Buradan %
Çözüm:
%
m ( DCK ) + m ( CKL ) = 180 o
& &
%
m ( DCK ) = 135 o bulunur.
Örnek B
% 6AB // 6CD m ( FEK ) = 120 o, % m ( FAB ) = α + 5 o, % m ( DCK ) = 2α + 10 o
Yukarıdaki verilenlere % m ( FAB ) kaç derecedir? A) 35
çizilirse KL // 6CD // 6AB % % KEA ile EAB karşı durumlu iki açı olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir.
%
m ( DCK ) + 45 o = 180 o
B) 40
C) 45
α + 5°
F A 120°
göre
D
D) 50
% % m ( KEA ) + m ( EAB ) = 180 o % m ( KEA ) + 110 o = 180 o % & m ( KEA ) = 70 o dir.
2α + 10°
E
KL // 6CD olduğundan %
%
%
E) 55
L
E 70°
110°
A
B
α
35°
F 55°
C
%
m ( LEF ) + m ( FCD ) = m ( EFC ) & m ( LEF ) + 55 o = 90 o %
& m ( LEF ) = 35 o dir .
C
K
K
K, E, L noktaları doğrusal olduğundan %
%
%
m ( KEA ) + m ( AEF ) + m ( LEF ) = 180 o 70 o + α + 35 o = 180 o & α = 75 o bulunur .
D
ÜÇGENLER
10
PEGEM AKADEMİ
ÜÇGENDE AÇILAR (iii) Geniş açılı üçgen
Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir. ∆ A 6AB@ , 6BC@ , 6AC@ = ABC ∆ ABC " ABC üçgeni diye okunur.
narlarıdır.
C
B
A
α
genin iç açıları, αl , βl , δl üçgenin dış açılarıdır.
uzunluklarına üçgenin kenar
α B
C
Kenarlarına Göre Üçgenler
ABC üçgeninde α , β , δ üç-
= BC a= , AC b, AB = c
A
Yani; m (Bt ) = α > 90 o ise ∆ ABC geniş açılı üçgendir.
∆ A, B, C noktaları ABC nin köşeleri
ve 6AB@ , 6BC@ , 6AC@ üçgenin ke-
Herhangi bir iç açısının ölçüsü 90 o dan büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.
β′
α′
c
b
Yani; ABC üçgeninde b
β
δ a
A
Bir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise ABC çeşitkenar üçgendir.
c
B
(i) Çeşitkenar üçgen
BC = a,
δ′
C
a
B
AC = b,
C
AB = c olmak üzere
uzunlukları denir.
AB ! BC ! AC (a ! b ! c) ise ABC çeşitkenar üçgendir.
Not Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.
(ii) İkizkenar üçgen
α + αl = 180 o, β + βl = 180 o, δ + δl = 180 o,
eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir.
Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine
Yani; AB = AC ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.
6BC@ ' na “taban”, eşit kenarların
ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
taban ile yaptıkları açılara “taban
A
Açılarına Göre Üçgenler
açıları” ve köşesi A noktası olan açıya “tepe açısı” denir.
α
(i) Dar açılı üçgen
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu ifadenin terside doğruB dur.
İç açılarından her birinin ölçüsü 90 o den küçük olan üçgenlere dar
açılı üçgenler denir. Yani α < 90
o
β
δ
%
C
B
A
Eşkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60 o dir.
(ii) Dik açılı üçgen Herhangi bir açısının ölçüsü 90 o olan
dir. 6AC@ ' na hipotenüs denir.
AC dir.
Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
δ < 90 o
üçgenlere dik açılı üçgen denir. ∆ Yani; m (Bt ) = 90 o ise ABC dik üçgen-
%
= O= halde m ( ABC ) m ( ACB ) + AB
C
(iii) Eşkenar üçgen
β < 90 o ∆ ABC dar açılı üçgendir.
A
B
C
= CA ise B Yani; = AB BC t ) = 60 o t t = = m (A) m (B) m (C dir.
A 60°
60°
Buradan ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
60°
C
11 ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
Bir üçgende üç iç açıortayın kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.
Bir üçgenin kenarlarına ve açılarına “temel elemanlar”, yükseklik, kenarortay, açıortay ve orta dikme gibi kavramlara da “yardımcı elemanlar” denir. (i) Yükseklik Bir üçgende bir köşeden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Yani; ABC üçgeninde
6AD@ = 6BC@ , 6BE@ = 6AC@ , 6CF@ = 6AB@ olmak üzere
A
Yani; ABC üçgeninde AD = n A " A köşesine ait açıortay
E
F
BE = nB " B köşesine ait açıortay
Z
CF = nC " C köşesine ait açı- B ortaydır.
C
D
A
F
AD = ha " 6BC@ na ait yükseklik
BE = hb " 6AC@ na ait yükseklik CF = hc " 6AB@ na ait yükseklik
B
P
E
C
D
A
Bir üçgende bir içaçıortay ile diğer köşelere ait dış açıortaylar üçgenin dışında bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktası üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir.
B
Yani D noktası ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir.
Not m ( ABC ) = 90 o olursa 6AB@ ile 6BC@ üçgenin iki yüksekliği olur. % %
m ( ABC ) > 90 o olursa üçgenin yüksekliklerinin ikisi üçgenin sınırladığı bölgenin dışındadır.
C
D
Not Bir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır.
Not
Bir üçgenin üç farklı yüksekliği bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına üçgenin diklik merkezi denir.
(iii) Kenarortay noktasını karşısındaki köşe ile
A
(ii) Açıortay
birleştiren doğru parçasına o ke-
eşit parçaya ayıran doğru parça-
B
taydır. Va ile gösterilir.
BE = Vb " 6AC@ na ait kenarortaydır.
nA′
B
C
N
CF = Vc " 6AB@ na ait kenaror- B taydır.
C
D
A
AD = Va " 6BC@ na ait kenarortaydır.
A
ortay
B
C
N
n A " A köşesine ait iç açı-
şesine ait dış açıortay
Yani 6AD@ , 6BC@ ye ait kenaror-
nA
sına açıortay denir.
ABC üçgeninde n A ' " A kö-
Va
nara ait kenarortay denir.
Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki
Yani ABC üçgeninde
A
Bir üçgenin bir kenarının orta
F
G
D
E
C
12
Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Kesişim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir. G ile gösterilir.
Not
Va
B
%
m ( BAC ) = 90 o + AD = Va =
İç açıları 2, 3, 5 sayıları ile doğru orantılı olan üçgenin en küçük iç açısı kaç derecedir? A) 52
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluA ğu hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir. Yani;
Örnek
C
D
BC dir. 2
B) 48
C) 44
D) 40
E) 36
Çözüm: Üçgenin iç açıları 2, 3, 5 sayıları ile doğru orantılı olduğundan açılar 2k, 3k, 5k şeklindedir. Üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180 o olduğundan 2k + 3k + 5k = 180 o & 10k = 180 o
ÜÇGENDE AÇILAR İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER 1. Özellik: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 o dir. A Yani; ABC üçgeninde
%
%
O halde en küçük iç açı 2k olduğundan 2 : 18 o = 36 o bulunur.
Örnek
α
% m ( BAC ) = α , % m ( ABC ) = β ve % m ( ACB ) = δ olmak üzere;
& k = 18 o dir.
δ
β
C
B
%
β
% m ( BAE ) = α kaç derecedir?
A) 85 A
α′
B) 80
C) 75
%
ABC üçgeninde DBA ile ABC
Yani;
bütünler iki açı olduğuna göre
üçge-
nin dış açıları olmak üzere αl + βl + δl = 360 o dir .
B
δ
D) 70
%
ları ölçüleri toplamı 360 dır. ABC
D B
δ′
E) 65
%
m ( ABC ) = 180 o - b
dır.
α
Bir
toplamı kendisine komşu ol-
β
mayan bir dış açının ölçüsüne
D B
180°-β
eşit olduğundan %
% m ( BAC ) = α ve % m ( ABD ) = β
β
olmak üzere %
%
%
m ( BAC ) + m ( ABD ) = α + β = m ( ACD ) dir.
%
Yani; α + 180 o - b = d & a + 180 o = b + d dır.
α
B
%
m ( BAE ) + m ( ABC ) = m ( DCE ) dir.
A
Yani; ABC üçgeninde
E
A
üçgende iki iç açısının ölçüleri
C
β′
3. Özellik: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
C
Çözüm:
o
αl , βl δl
α
ve α + β + δ = 340 o dir. Yukarıdaki verilenlere göre
m ( BAC ) + m ( ABC ) + m ( ACB ) = α + β + δ = 180 o dir .
2. Özellik: Bir üçgenin dış açı-
A
% ABC üçgeninde m ( BAE ) = α , % % m ( ABD ) = β , m ( DCE ) = δ
α + β + δ = 340 o olduğundan α+β C
D
S
α + 180°
2α + 180 o = 340 o & 2a = 160 o & α = 80 o bulunur.
δ
C
E
13
Örnek
4. Özellik: ABC üçgeninin iki iç
A %
açıortayının kesişmesi ile oluşan
%
ABC üçgen m ( EAC ) = m ( ABD ),
%
açı m ( BDC ) = α olsun
%
m ( ADB ) = 115 o Yukarıdaki %
115°
verilenlere
göre
m ( BAC ) kaç derecedir? A) 65
B) 60
A
D E
α = 90 o +
D
α
D) 50
C
B
C
B
C) 55
t m(A) dir. 2
A
E) 45 5. Özellik: ABC üçgeninde herhangi iki dış açının açıortaylarının
Çözüm:
%
% % % m ( EAC ) = m ( ABD ) = α , m ( BAE ) = β dersek,
oluşturduğu açı m ( BDC ) = α ol-
ABD üçgeninde iç açılar ölçüleri toplamı yazılacak olursa % % % m ( ABD ) + m ( BAD ) + m ( ADB ) = 180 o dir.
B
sun.
C
α
m(At ) dir. α = 90 2 o
D
α + β + 115 o = 180 o & a + b = 65 o dir. %
Buradan m ( BAC ) = α + β = 65 o bulunur.
Örnek
ABC üçgeninde 6BD@ ile 6CD@ %
dış açıortay m ( BDC ) = 4x + 15 o,
A
ABC üçgen 6BD@ açıortay
41°
%
m ( BDC ) = 96 o,
% m ( ACB ) = 49 o, % m ( BAE ) = 41 o dir.
A
Örnek B
%
α D E
C
m ( BAC ) = 6x + 10 o Yukarıdaki verilenlere göre x kaç derecedir?
96°
B
49°
C
A) 10
B) 15
C) 20
D
D) 25
E) 30
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( EAC ) = α kaç derecedir? A) 35
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
Çözüm:
ABC üçgeninde 6BD@ ile 6CD@ dış açıortay olduğundan %
%
m ( BDC ) = 90 o −
Çözüm: DBC üçgeninde iç açılar ölçüleri toplamı 180 o olduğundan %
%
%
m ( DBC ) + m ( BDC ) + m ( DCB ) = 180 o dir. %
m ( DBC ) + 96 o + 49 o = 180 o
m(BAC) dir. 2
6x + 10 o 2 4x + 15 o = 90 o - (3x + 5 o)
Yani; 4x + 15 o = 90 o -
4x + 15 o = 90 o − 3x − 5 o & 7x = 70 o & x = 10 o bulunur .
% % & m ( DBC ) + 145 o = 180 o & m(DBC) = 35 o dir. %
%
= = m ( ABD ) m ( DBC ) 35 o ABD üçgeninde iki iç açının ölçüleri toplamı kendisine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşit olduğundan %
%
%
m ( ABD ) + m ( BAD ) = m ( BDC ) %
35 o + 41 o + a = 96 o & a = m(EAC) = 20 o bulunur.
A
6. Özellik: Bir üçgende bir iç açıortay ve dış açıortayın üçgenin dışında kesiştiklerinde oluşan açı %
m ( BDC ) = α & α = %
m (At ) dir. 2 %
D
2α
B
Yani m ( BDC ) = α + m ( BAC ) = 2α dır.
α
C
14 7. Özellik: A
A
β
β
D
α α+β+δ δ
= BC
CD ,
% m ( BCD ) = 130 o dir.
δ
C
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( BAD ) kaç dere- B cedir?
C
D
C
B
= AC
α
B
A
Örnek
A) 50
α+β+δ
B) 55
D
130°
C) 60
D) 65
E) 70
A
α , β , δ bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere % m ( BDC ) = α + β + δ dır.
Çözüm:
α β
∆ ∆ ABC ile ACD ikiz8. Özellik: Bir ikizkenar üçgen-
kenar üçgenlerinde
A
de tepe noktasından tabana hemde kenarortaydır.
β D
130°
B
% % m (CDA) = m (CAD) = β
indirilen yükseklik, hem açıortay
C
α
% % m ( ABC ) = m ( BAC ) = α
dersek; %
Yani; ABC ikizkenar üçgeninde
6AH@ = 6BC@ çizilirse BH = HC
B
C
H
% % ve m ( BAH ) = m ( HAC ) dır.
%
%
%
m ( ABC ) + m ( BAD ) + m ( ADC ) = m ( BCD ) özelliğinden α + α + β + β = 130 o & 2a + 2b = 130 o & α + β + 65 o dir. %
O halde m ( BAD ) = α + β = 65 o bulunur.
Örnek
A
ABC üçgen
Örnek
20°
BD = AD , B
AE = EC ,
D
C
E
B) 110
C) 105
ğundan
B
%
%
%
%
A) 50
α 20° β
kenar üçgen oldu-
B) 60
E
C
m ( ABC ) = m ( BAD ) = α
C) 65
A
dan ADC üçgeni ikizke-
20°
ve
AE = EC
olduğun-
nar
dersek ve ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamını yazarsak
= m= ( ACD ) m ( DAC ) 40 o
2α + 2β = 160 o & a + b = 80 o dir. %
m ( BAC ) = α + β + 20 o olduğundan % m ( BAC ) = 100 o bulunur.
D) 70
6AD@ çizilirse 6DE@ = 6AC@
m ( EAC ) = m ( ACD ) = β
2α + 2β + 20 o = 180 o dir.
40°
D
C
E) 75
Çözüm: β
α D
B
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( BAC ) kaç derecedir?
E) 95
A
∆ ∆ BDA ile AEC ikiz-
E
EC ,
%
D) 100
Çözüm:
= DC , AE
m ( ACD ) = 40 o dir.
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( BAC ) kaç derecedir? A) 115
ABC üçgen 6DE@ = 6AC@ ,
= AB
%
m ( DAE ) = 20 o dir.
A
üçgendir.
%
O
%
halde
40°
80° 80°
E 40°
C D % B dır. ADC üçgeninde DAC % ile ACD nin ölçüleri toplamı kendisine komşu olmayan % ADC nin ölçüsüne eşit olduğundan %
%
%
m ( DAC ) + m ( ACD ) = m ( ADB ) dir.
15 Eşkenar üçgende bütün yardımcı elemanların uzunlukları birbirine eşittir.
%
Buradan m ( ADB ) = 40 o + 40 o dir. %
m ( ADB ) = 80 o olur. DC = AB ve ADC üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan AB = AD dir. O halde ABD üçgenide ikizkenardır. %
%
_ = h= a hb hc b b = = = n= A nB nC ` dir ve ha nB Vc dir . b b = V= a Vb Vc a
= = Yani m ( ADB ) m ( ABC ) 80 o dir. ABC üçgeninde iç açılar ölçüleri toplamı yazılırsa % % % m (ABC) + m (ACB) + m (BAC) = 180 o dir. % 80 o + 40 o + m ( AC ) = 180 o % & m (BAC) = 60 o bulunur.
Örnek ABC üçgen = = BE AE dir.
Örnek 6AD@
A) 80
açıortay,
%
= AD
Yukarıdaki verilenle% re göre m ( ABC ) = α B kaç derecedir?
A
ABC üçgen
= ED
B) 75
A
DC
D
α C
E
C) 65
D) 60
E) 45
BE = BD , m ( ABE ) = 28 o dir. Yukarıdaki
verilenlere
% m ( ACB ) = α kaç derecedir?
E
28°
göre B
α C
D
A
Çözüm: = AE
= ED
α 60°
AD
60°
ise AED üçgeni eşA) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
60° 30°
α
kenar üçgendir. Yani; B
30°
C
E
% % % = = m ( AED ) m ( ADE ) m ( EAD ) = 60 o
dir. DE = DC
olduğundan DEC üçgeni ikizkenar üç∆ % % % gendir. Buradan m ( DEC ) = m ( DCE ) dir. ADE , DEC nin
Çözüm: A
Şekilde 6AD@ açıortay. O halde %
D
%
dersek m ( BAD ) = m ( DAC ) = β ∆ ∆ ABE ile ADC ninde iki iç açının
ne eşit olacağından %
%
%
%
geninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılacak olursa
28° α + β = β + 28° α
B
%
BE = AE & m ( ABE ) = m ( BAE ) = α dersek ABC üç-
E
α+β
%
& m ( DEC ) = 30 o = m(DCE) bulunur.
ββ
ölçüleri toplamı kendilerine komşu olmayan bir dış açının ölçüsü-
%
= = dış açısı olduğundan 2m ( DEC ) m ( ADE ) 60° dır.
C
D
2α + 60 o + 30 o = 180 o & a = 45 o bulunur.
%
m ( BED ) = β + 28 o ve m ( BDA ) = α + β dır. BE = BD
%
%
ise m ( BED ) = m ( BDA )
10. Özellik: Bir üçgende iki ke-
& α +Y β =Y β + 28 o
A
narın orta noktasını birleştiren
& β = 28 o bulunur.
doğru parçası üçüncü kenara D
paraleldir ve uzunluğu üçüncü
30
aynı tabana ait yükseklik, açı-
D
ortay ve kenarortay çakışıktır. Uzunlukları eşittir.
30
t ) = 60 o = = m (At ) m (Bt ) m (C
ise;
B
30
eşittir. Burada o
G
ve AE = EC ise 6DE@ // 6BC@
E
dir. 30o
o
30
F
6DE@ ye orta
taban denir. Yani; AD = DB
o
30
Yani;
o
E
kenarın uzunluğunun yarısına
A
9. Özellik: Eşkenar üçgende
k
o
C
BC Buradan = 2
= k dir. DE
B
2k
C
Bir iç açısının ölçü-
Örnek
A
sü 90 o olan üçgene dik üçgen denir. Yani % m ( ABC ) = 90 o
dir. 6AB@ ve 6BC@ dik
kenarlar 6AC@ hipote-
Dik kenarlar
C
B
A
ABC dik üçgen AB = 24 cm, AC = 72 cm dir.
hipotenüs
ise
ABC üçgeni dik üçgen-
c
b C
ABC dik üçgeninde = = AC 72 cm 3k olur.
AB
2
ABCD dörtgeninde
3 3
AD = 3 3 cm,
& x 2 = 10k 2 & x = 10 k
B
Yukarıdaki verilenlere göre AB = x kaç cm dir?
2 3
D) 4
E) 2 5
Çözüm:
2
+ AB 2 = BD 2
+ DC 2 = BD 2 dir.
& AD
2
+ AB 2 = BC 2 + DC 2
C
Örnek
C) 2 3
üçgen olur ve pisagor teoremi uy-
k = 24 olduğundan
2 6
x
∆ ∆ 6BD@ çizilirse ABD ile BCD dik
dersek
x = 24 10 cm bulunur.
DC = 2 6 cm dir.
BC
D
A
BC = 2 3 cm ve
= = AB 24 cm k
+ AC 2 = BC 2 & k 2 + ^3k h2 = x 2 & k 2 + 9k 2 = x 2
Örnek
2
E) 28 10
Pisagor teoremi yazılacak olursa
b 2 + c 2 = a 2 dir.
gulanırsa AD
C) 20 10
Çözüm:
a Yani BAC dik üçgeninde BC = a, AC = b ve AB = c olmak üzere
B) 3
C
A
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. B
A) 2
72
x
B) 16 10
A) 12 10 D) 24 10
Pisagor Teoremi
24
Yukarıdaki verilenlere göre B BC = x kaç cm dir?
nüstür.
6DA@ = 6AB@ , 6DC@ = 6BC@
16
PEGEM AKADEMİ
DİK ÜÇGEN
3 3
D
6AC@ = 6CD@ , 6CD@ = 6DE@ 6DE@ = 6EF@ , 6EF@ = 6FB@ , AC = 4 cm,
A 4
C 1
D
E
3
4
DC = 1cm,
A
2 6
x
DE = 3 cm,
F
EF = 4 cm ve B
2 3
dir. 2 2 2 ^3 3 h + x 2 = ^2 3 h + ^2 6 h dir.
27 + x 2 = 12 + 24 & 27 + x 2 = 36
& x 2 = 9 & x = 3 cm bulunur.
C
5
B
FB = 5 cm dir. Yukarıdaki verilenlere göre A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir? A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
E) 20
17 Çözüm:
Denklemleri çözümlersek
A ile B noktaları bir doğru parçası ile birleştirilip şekildeki dikdörtgenler meydana getirilirse DC = 1cm ise AL = 1 cm, ise
A
= 4 cm, LK
AC = 4 cm = DL
ise 5
= 4 cm KH
C 1
4
1 L
D
4 K
ve DE = 3 cm ise
4
H
y = 13 değeri denklemlerin birinde yerine yazılırsa
E
3
x = 2 3 cm bulunur.
4
3
5
F
B
12
HF = 3 cm dir. Buradan AK = 5 cm,
KB = 12 cm bulunur. AKB dik
üçgeninde Pisagor teoreminde AK
2
+ KB 2 = AB 2 dir. 2
5 2 + 12 2 = AB
& AB
2
ABC dik üçgeninde hic
yüksekliğin çarpımı dik kenarların çarpımına eşittir. Yani 6AH@ = 6BC@ , BC = a, AB = c
b C
H a
3
A)
ABC dik üçgen BD = DC ,
x
AD = 5 cm, AC = 8 cm Yukarıdaki verilenlere AB = x kaç cm dir? C) 2 3
8
5
B
C
D
E)
13
15
= = y dersek ve ABD BD DC A ve ABC dik üçgenlerinde Pisagor teoremlerini uygularsak
AB
2
+ BC 2 = AC 2 dir.
Buradan: x 2 + y 2 = 25
x 2 + 4y 2
= 64 dir.
x
B
2 3
B)
6 3
C)
2 2 3
D) 1
E)
2 3 3
A
BH 2 = ise BH = 2k 3 HC dersek HC = 3k olur. ABC
D
3k
2 = AB
= = = BH : BC 2k $ 5k 10 k 2 & AB
10 k
2
= 15 k 2 & AC
15 k
= = HC : BC 3k $ 5k
AB Buradan = AC y
C
2k
H
= AC
8
5 y
C
H
AB oranı kaçtır? AC
dik üçgeninde öklid bağıntısı B uygulanacak olursa
Çözüm:
+ BD 2 = AD 2
B
Çözüm:
göre D)
BH 2 = dir. 3 HC
Yukarıdaki verilenlere göre
A
Örnek
C
k
A
Örnek 6AH@ = 6BC@ ,
2
H a
ve
a : h = b : c dir.
AB
p
b
1 1 1 = + bağıntıları sağlanır. h2 b2 c2
ABC dik üçgen
10
h
2 = k (p + k) = k : a 2 b c 2 = p ( p + k) = p : a
BC : AH = AC : AB
B)
c
1 h 2 = p : k
AH = h olmak üzere
A) 3
A
= BH p= ve HC k olmak üzere
h
B
Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse çizilen yükseklik hipotenüsde ayırdığı parçalar ve dik kenarlar arasındaki B bağıntılara öklid bağıntıları denir.
, AC b= , AB c= , BC a= , AH h, 6AH@ = 6BC@=
A
potenüs ve hipotenüse ait
Öklid Bağıntıları
Yani; ABC dik üçgen
= 25 + 144 = 169
& AB = 13 cm bulunur .
AC = b,
− x 2 " y 2 = − 25 3y 2 = 39 & y 2 = 13 & y = 13 cmdir .
EF = 4 cm = DH
x 2 + 4y 2 = 64
10 Y k = 15 Y k
5: 2 = 5: 3
2 = 3
C
6 bulunur. 3
18 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler
Örnek
(3-4-5) Üçgeni
ABC dik üçgen 6BA@ = 6AC@ , AB = AD , BD = 8 cm, DC = 5 cm dir.
A
x
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? A) 2 10
B) 4 6
A Kenar uzunlukları 3, 4, 5 sayıları ve bu sayıların katları 3k olan dik üçgenlerdir.
B
8
C) 10
D 5
D) 6 3
C
E) 3 13
A
5
olduğundan 6AH@ = 6BD@ çizilirse = BH
= 4 cm HD
B
4
H
D 5
4
2
Örnek = BE
= EC
DE ,
AB = 3 10 cm,
A) 9
B) 8
C) 7
Çözüm:
6BD@ çizilirse = = DE olduBE EC ğundan 6BD@ = 6AC@ olur. Buradan öklid bağıntısı uygulanacak olursa AB
2
C
E
D) 6
A
6
& 90 = 6 : (6 + x) & 15 = 6 + x & x = 9 cm bulunur .
B
39
15 C B
24
x E
C
36
k=2
k =3
üçgenleri (5-12-13) üçgeninin katları olan üçgenlerden bir kaçıdır.
A
Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ve bu sayıların katları olan dik üçgenlerdir. 15k
3 10
= AD : AC & (3 10 ) 2 = 6 : (6 + x)
26
10 C
C
12k
(8-15-17) Üçgeni
E) 5
D
B
13k
A
k =1
x
B
12
B
D
AD = 6 cm dir. Yukarıdaki verilenlere göre DC = x kaç cm dir?
13
5
3 10
A
A
A 6
k =3
Kenar uzunlukları 5, 12, 13 sayıları ve bu sayıların katla- 5k rı olan dik üçgenlerdir. B Yani;
= x 2 9= : 13 & x 3 13 cm bulunur.
A
k=2
(5-12-13) Üçgeni
= HC : BC dir.
ABC dik üçgen
C
12
B
C
ABC dik üçgeninde öklid bağıntısı uygulanacak olursa AC
C
8
B
15
9
üçgenleri (3-4-5) üçgeninin katları olan üçgenlerden bir kaçıdır.
x
bulunur.
10
k =1
A
ABD ikizkenar üçgen
A
6 C
4
C
4k
A
B
Çözüm:
B
Yani;
3
5k
Yani;
B
17k
C
8k
A
C
A
A
15
17
B
8 k =1
30 C
B
34
16 k=2
45
C
B
51
24 k =3
C
üçgenleri (8-15-17) üçgeninin katları olan üçgenlerden bir kaçıdır.
19 (7-24-25) Üçgeni
(45o - 45o - 90o) Üçgeni
A
Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ve bu sayıların katla7k rı olan dik üçgenlerdir.
25
7
24
B
14 C
B
k =1
C
24k A
A
A
Bir dik üçgenin diğer iç açıları 45 o ise dik kenarlarının uzunluklarının 2 katı hipotenüsün uzunluğuna k eşittir.
25k
B
Yani;
A
50
k 2
k
B
C B
C
72
k=2
üçgenleri (7-24-25) üçgeninin katları olan üçgenlerden bir kaçıdır.
(15o - 75o - 90o) Üçgeni
A
açıları 15 o ve 75 o ise hipotenüse çizilen yükseklik hipotenüsün 4’de 1’idir.
h B
75°
15°
H
genininde 6AH@ = 6BC@ çi= zilirse AH h= & BC 4h dir.
A
15
x
BH = 5 cm, AC = 15 cm
C
4h
Yani; 15 o - 75 o - 90 o üç-
ABC üçgen 6AH@ = 6BC@ ,
C
Bir dik üçgeninin diğer iç
k =3
Örnek
45°
75
21
48
45°
ve HC = 9 cm dir. Yukarıdaki verilenlere göre AB = x kaç cm dir? A) 10
B) 11
B
5
C) 12
9
H
D) 13
C
Örnek
A
ABC dik üçgen
E) 14
15°
% m ( DAC ) = 15 o, % m ( ACB ) = 30 o,
Çözüm:
30°
B
AD = 5 2 cm dir.
AHC dik üçgeni (3-4-5) üçgeninin kenarlarının uzunluklarının 3 katı olan 9-12-15 üçgenidir. O halde AH = 12 cm dir.
A) 8
B) 10
C) 12
ADC üçgeninde iki iç açının 5 ölçüsü kendisine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüB ne eşit olacağından
(30 - 60o - 90o) Üçgeni Bir dik üçgende diğer
A
iç açılar 30 o ve 60 o ise kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. Aynı zamanda 60
B
%
%
E) 16
15o 45o
x = 10
5 2
5
45o
30o
D
C
%
%
k 3
60°
30°
2k
15 o + 30 o = m(ADB) %
C
o
nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu 30 o lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun
C
m ( DAC ) + m ( ACB ) = m ( ADB )
k
30 o nin karşısındaki dik
D) 14
A
Çözüm:
o
D
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir?
ABH 5-12-13 üçgeni olduğundan AB = x= 13 cm bulunur.
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler
x 5 2
3 katıdır.
& m ( ADB ) = 45 o dir. Buradan ABD üçgeni 45 o - 45 o - 90 o, ABC üçgeni 30 o - 60 o - 90 o üçgenidir. = 5 cm buluO halde AD = 5 2 cm ise = AB BD nur. ABC dik üçgeninde 30 o nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu 5 cm ise 90 o nin karşısı 10 cm dir.
20
Örnek %
A
ABC üçgen m ( BAC ) = 105 o, % m ( ACB ) = 30 o,
ABC dik üçgen
30°
B
göre AC = x kaç cm dir? B) 9
= AD
6 2
Yukarıdaki verilenlere C) 10
D) 12
DB = 2 cm dir. C
Yukarıdaki
6AH@ = 6BC@
genin
iç
açıları
toplamı 180 o
üç6 2
olduğundan
% % = m= ( ABC ) m ( BAH ) 45 o, % m ( HAC ) = 60 o bulunur.
30°
C) 5
D) 6
E) 7
6 H
A
6EH@ = 6AB@ çizilir-
C
O halde ABH 45 o - 45 o - 90 o, AHC 30 o - 60 o - 90 o üçgenidir. Bu özel üçgenlerin özelliklerini kullanacak olursak AB = 6 2 cm ise = BH
B) 4
ABC dik üçgeninde
x = 12
6
45°
B
göre
Çözüm:
45° 60°
ölçüleri
verilenlere
C
8
DE = x kaç cm dir?
E) 15
A
çizilirse
E
x
D 2 B
= 8 cm ve BC
A) 3 Çözüm:
8
AE = EC ,
105°
AB = 6 2 cm dir.
A) 8
A
Örnek
= AH 6 cm dir.
se 6HE@ // 6BC@ olur.
5
8
6HE@ orta tabandır. BuraBC = 4 cm ve dan = HE 2 AH = HB olur.
AHC dik üçgeninde 30 o nin karşısındaki kenar uzunluğu
Yani HD = 3 cm, AH = 5 cm dir.
6 cm ise 90 o nin karşısındaki kenarın uzunluğu 12 cm dir.
O
halde
HDE
üçgeni
3-4-5
4
H 3 D 2 B
AE = EC olduğundan
E
x=5
8
C
üçgenidir.
Buradan
DE = x= 5 cm bulunur.
Örnek
Örnek
ABC üçgen
7
AC = 5 2 cm,
5 2
135°
B
AB = 7 cm dir .
C
x
Yukarıdaki verilenlere göre BC = x kaç cm dir? A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
E) 20
6AB@ = 6AD@ , BE = ED , AC = 5 cm ve ∆ Ç (AEC) = 18 cm dir.
Çözüm: ABC geniş açılı bir üçgen yükseklikle-
A
rinden iki tanesi üçgenin dışına çizilir. O halde 6CH@ = 6BH@ çizi-
7 B
5
135°
5 2 x = 13
B
5 45°
C
∆ % lirse m ( BAC ) = 135 o olduğundan HAC 45 o - 45 o - 90 o
D
E
B) 11
C) 12
D) 13
Çözüm:
H
45°
5 C
Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir? A) 10
olduğundan
A
ABC üçgeninde
A
% m ( BAC ) = 135 o,
BAD dik üçgeninde hipotenüse çizilen kenarortay, ayırdığı parçaların uzunluklarına eşittir. O halde B = BE = ED = a ve AE DC = b dersek
E) 14
A a a
= 5 cm olur. üçgenidir. AC = 5 2 cm ise = AH HC ∆ HBC 5-12-13 üçgeni olduğundan BC = x= 13 cm bu-
∆ Ç (AEC) = 2a + b + 5 = 18 cm & 2a + b = 13 cm dir.
lunur.
Buradan BC = 2a + b = 13 cm bulunur.
a E 2a + b
5
D b C
53
ÇIKMIŞ SORULAR 1.
3.
A
A
D
x
F
25o
B
C
E
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? (2007) A) 25
B) 30
C) 38
D) 42
E) 50
Açıklama:
ABC üçgeninde 6BD@ iç, 6CD@ dış açıortay olduğundan %
m ( BAC ) x = & 25 o 2 2
%
= m ( BDC )
ABC, DBE, FEC birer eşkenar üçgen
D B
C
E
Yukarıdaki şekilde BC = 12 cm olduğuna göre, ADEF dörtgeninin çevre uzunluğu kaç cm dir? (2008) A) 36
B) 32
C) 28
D) 24
Açıklama:
x = 50 o bulunur .
= BE x= ve EC y olsun . A x
y
F
2. Alanı 2 3 cm 2 iç açılarının ölçüleri 30 o , 60 o ve 90 o olan üçgenin çevre uzunluğu kaç cm dir? (2007) A) 2 3
B) 3 3
E) 2 ^3 + 3 h
3 +2
D)
C)
3 +1
İç açıları 30 o , 60 o ve 90 o olan üçgenin hipotenüsü 2x cm ise dik kenarlar x cm ve x 3 cm dir.
A
2x
T
x
E
y
DB = BE = ED = AF = x ve EF = EC = CF = AD = y olur .
x 3
x
Buna göre,
Çevre ^ADEF h = 2x + 2y = 2 ^x + y h = 24 cm bulunur .
C
O halde, = A (ABC)
B
y
y
= 2 ^12 h
30°
60°
x
x
BC = 12cm & x + y = 12 cm dir .
Açıklama:
B
D
x:x 3 x2 3 = & 2 3 2 2 x2 = 4 x = 2 cm olur .
Buna göre, üçgenin çevre uzunluğu 2x + x + x 3 = 3x + x 3 = x ^3 + 3 h = 2 ^3 + 3 h cm bulunur .
C
E) 20
54 4.
5. Aşağıdaki şekilde, uç noktaları A ve D olan bir su bitkisinin durgun ve rüzgârlı havadaki konumu gösterilmiştir.
E S1
S2 A
1
ABCD bir dikdörtgen EAF
C
D
A
bir üçgen AB = 1cm
B
BF = 3 cm
S3
5
D 6OA@ = 6BC@ C Su yüzeyi AB = 5 cm BC = 12 cm
x
F 3
B
3
12
CD = 3 cm
Sulak alanın dibi
OB = x
O Şekildeki EDC üçgeninin alanı S1 , ABCD dörtgeni-
Buna göre x kaç cm dir? (2009)
nin alanı S2 ve CBF üçgeninin alanı S3 tür. S2 Buna göre, oranı kaçtır? (2008) S1 + S3 A)
1 5
B)
3 5
3 4
C)
D)
2 3
E)
A) 26
B) 28
5
= DC
= AB 1cm ve BF = 3 cm olduğundan, 1 benzerlik oranı tür. 3 E
3
12 C
B x+
x
OBC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından:
2
x+5
x 2 + 12 2 = (x + 2) 2
O
x 2 + 144 = x 2 + 4x + 4
h D 3h
A
S1 S2
4x = 140 x = 35 cm olur .
C
1 3h
1
S3
B
AE = h + 3h = 4h olur . Buna göre, istenilen oran, 3h : 1 3h = S1 + S 2 h : 1 + 3h : 3 10h 2 2 2 3 = bulunur . 5 =
A
6. ABC bir eşkenar 3
= O halde ED h= ise CB 3h ve
S2
E) 35
Bitkinin boyu AO = OD olacağından D OC = OD − DC = x + 5 − 3 = x + 2 olur.
A
EDC ve CBF üçgenleri benzerdir.
D) 32
Açıklama:
1 3
Açıklama:
C) 30
F
D
üçgen DBC bir ikizkenar dik üçgen DB = DC BC = a
B
C
a
Taralı bölgenin alanı 16 ( 3 - 1) cm 2 olduğuna göre, a kaç cm dir? (2010) A) 4
B) 6
C) 8
D) 6 3
Açıklama:
A
ABC eşkenar ve DBC ikizkenar dik üçge-
B
16 3 − 16 =
a 2 a 2 : 2 2 2
a2 3 a2 − 4 4
64 3 − 64 = a 2 3 − a 2 & a = 8 cm dir .
D
a
ninde BC = a ise a 2 = = dir. DB DC 2
a2 3 − Taralý Alan = 4
E) 8 3
a 2 2
a
a 2 2
a
C
55 Açıklama:
7.
A
ABC bir üçgen 6AN@ açýortay
30o
2 3
%
E
m ( ABC ) = 48 o %
m ( ACB ) = 40 o AN = a birim
30o
3 B
BN = b birim CN = c birim
3
30o F
C
4 3
%
= FC
BF
%
= = m ( FAC ) m ( ACF ) 30 o %
%
o = = m ( EFD ) 60 ve m ( DEF ) 30 o olur .
B) a 1 c 1 b
C) b 1 a 1 c
D
2 3
AF 6AF@ kenarortay olduğundan = olur.
Yukarıdaki verilere göre, a,b ve c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (2011) A) a 1 b 1 c
2 3 60o
DEF üçgeni 30 o - 60 o - 90 o üçgeni olduğundan
D) b 1 c 1 a
3 3 3 = = 3 ve EF = 2 3 cm olur . 3 3 AF = FC = BF = 4 3 cm ise
E) c 1 b 1 a
DF =
Açıklama:
BD = 4 3 − 3 = 3 3 cm bulunur .
% % = m= ( BAN ) m ( NAC) 46 o
ABN üçgeninde 48 o 2 46 o olduğundan a 2 b olur. ANC üçgeninde 46 o 2 40 o olduğundan c 2 a olur.
A
9. ABC bir üçgen
Dolayısıyla b 1 a 1 c olmalıdır.
% m^ACB h = 45 ο % m^BAC h = 60 ο
60° 3 2
AB = 3 2 birim
45°
BC = x
x
B
C
Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? (2013) A) 3 3 B) 2 2 C) 2 6
D)
2 3 5 2 E) 3 3
Açıklama: A
8.
A
E
3 6 ° 2 30 45° x B
BA = AC 30o D
F
C
ED = BC AE = EF
3
D) 2 3
1. E
2. E
4. B
3
AH =
E) 3 3
3. D
C
Buradan,
Buna göre, |BD| uzunluğu kaç cm’dir? (2012) C) 6
45°
ABH, 30 ο − 60 ο − 90 ο, HBC, 45 ο − 45 ο − 90 ο üçgenidir.
Şekildeki ABC dik üçgeninde 6AF@ kenarortaydır. B) 5
3 6 2
[BH] ⊥ [AC] çizilirse,
ED = 3cm
A) 3
H
3 2
%
m ( BCA ) = 30 o
3 B
60°
ABC bir dik üçgen
3 2 2
3 2 3 6 3 12 + 2= cm, BH = HC = 2 2 2 = 3 3 cm bulunur.
5. E
6. C
7. C
8. E
9. A
56
CEVAPLI TEST - 1 6.
1 1. Bir açının tümlerinin bütünlerine oranı olan 3 açı kaç derecedir? A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
Geometrik Kavramlar
E) 67,5
6AB // 6CD , %
m ( AEF ) = 130 o,
E
% m ( BAE ) = α ,
C) 35
D) 45
β
F
D
α + β = 150 o dir.
2. Bir açının tümleri ile bütünlerinin toplamı 200 o ise bu açı kaç derecedir? B) 25
α
130°
C
% m ( DCF ) = β ve
A) 15
B
A
Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?
E) 55
A) 100
B) 105
C) 110
D) 115
E) 120
7. A, O, B noktaları
D
doğrusal, 6OD = 6OE ,
% % m ( EOF ) = m ( AOC ) ve % % m ( COD ) = m ( FOB ) dir.
o
3. Komşu iki açının ölçüleri toplamı 72 olduğuna göre, bu iki açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir? A) 20
B) 24
C) 28
D) 36
E
C
F O
A
B
Yukarıdaki verilenlere %
göre m ( COF ) kaç derecedir?
E) 40
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 135
8. 4.
B
A
6AB // 6CD , m ( BAE ) = 85 o ve %
D
Yukarıdaki verilenlere göre
C 35°
%
6AE // 6CD , 6CB@ açıortay
142°
% m ( EAC ) = 142 o dir.
Yukarıdaki verilenlere %
göre m ( EBC ) = α kaç
C
E
α
D
derecedir? A) 131
B) 141
%
A) 70
D) 161
E) 171
C
D
B) 80
C) 90
D) 100
B
6AB // 6CD // EF,
E) 110
A
3α
%
m ( DCT ) = 50 o,
D
C
50°
%
m ( BAP ) = 3α ,
β
% m ( CLF ) = 5α , % m ( AKE ) = β dir.
E
5α K P
L
F T
Yukarıdaki verilenlere göre β − α kaç derecedir? A) 70
C) 151
F α
%
E) 140
B
A
%
E
Yukarıdaki verilenlere göre m ( AFC ) = α kaç derecedir?
9. 5.
%
dir.
E
dir? D) 130
%
m ( AEC ) + m ( AFC ) = 150 o
α
C) 120
A
m ( DCE ) = m ( ECF ) ve
m ( DCE ) = α kaç dereceB) 110
B
% % m(BAE) = m(EAF),
85°
% m ( AEC ) = 35 o dir.
A) 100
6AB // 6CD ,
B) 72
C) 74
D) 76
E) 78
57 10.
14.
6AB // 6CD ,
A
52°
Yukarıdaki verilenlere göre % m ( BAE ) = α kaç derecedir? B) 24
E
158°
%
m ( ECD ) = 52 o dir.
A) 22
C) 26
D) 28
E) 30
A) 84
E
α 40°
C
15.
ve α − β = 20 o dir.
B) 86
AB // 6CD , %
% Yukarıdaki verilenlere göre m ( FEC ) = α kaç
C) 88
E) 100
%
%
m ( AFR ) = 50 o,
A) 45
% m ( FRP ) = 80 o, % m ( RPC ) = α + 20 o, % m ( ELK ) = α + 30 o ve % m ( LKD ) = β dir.
D) 60
E) 65
12.
6AB // 6CD , 6KF@ = 6AC@ ,
B
6KE@ = 6CD ve
A
Yukarıdaki verilenlere göre
F
B
E
60°
50°
R
80°
α + 20° 60°
C
α + 30°
P
L
β K
D
B) 105
C) 110
D) 115
E) 120
C
E
D
A) 100
F
α
A
Yukarıdaki verilenlere göre α + β kaç derecedir?
115°
K
%
m ( BAC ) = 115 o dir. %
D) 96
= m= ( PCD ) m ( BEL ) 60 o,
derecedir?
m ( FKE ) = α kaç derece-
D
F
30°
D
C) 55
E
C
β
K
m ( ECD ) = 40 o,
B) 50
α
A
20°
%
108°
derecedir?
B
% % m ( AKF ) = β , m ( FEC ) = α
A F
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( FEC ) = α kaç
C
D
11. % 6AB // 6CD , m ( BAK ) = 20 o, % m ( KFE ) = 30 o,
6AB // 6CD , 6AF@ ile 6EA@ açıortay ve % m ( AFE ) = 108 o dir.
B
α
% m ( AEC ) = 158 o ve
B
dir? A) 65
B) 75
C) 85
D) 105
E) 115
16.
AB//CD, 6LN = AB,
N
6KF@ = 6LT@ ve %
100°
L
% göre m ( FED ) = α kaç
T
B
C
B) 30
C) 40
1. C
3. D
4. C
E
D) 50
5. D
E
K %
Yukarıdaki verilenlere göre m ( DCK ) = α kaç
D
7. E
60°
%
derecedir? A) 130
E) 60
6. A
140°
C
m ( CKA ) = 60 o dir.
F
A
α
% m ( AEF ) = 140 o,
α
derecedir?
D
6EA@ = 6KA@ ,
P
50°
Yukarıdaki verilenlere
2. C
K
H
A
m ( KFE ) = 100 o dir.
A) 20
B
6AB // 6CD // 6EF ,
13.
8. D
9. D
10. E
11. C
B) 125
12. E
13. D
C) 120
14. A
15. C
D) 115
16. E
E) 110
F
58
CEVAPLI TEST - 2 1. İç açıları 3, 4, 5 sayıları ile doğru orantılı olan üçgenin en büyük dış açısı en küçük dış açısından kaç derece fazladır? A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
Üçgende Açılar
5. ABC üçgen,
E A
B, A ve E noktaları doğrusal, 6BD@ ile
6CD@ açıortay ve
E) 75
α
D
% m ( BDC ) = 125 o dir.
125°
B
Yukarıdaki verilen-
C
%
lere göre m ( EAC ) = α kaç derecedir? A) 70 2. ABC üçgen, %
m ( DAC ) = α ,
% m ( DBE ) = β , % m ( ACE ) = δ ve
α + β + δ = 200 o dir.
A) 10
B) 20
A
6. ABC üçgen,
α
D
C
β
C) 110
D) 120
açıortay, %
%
C
B
%
m ( EBD ) = α ve
E
%
m ( DCF ) = β
E
α
Yukarıdaki verilenlere göre
C) 25
D) 30
E) 35
E) 135
A
6BD@ ile 6CD@
m ( EAF ) = m ( BDC ),
δ
B
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( DAC ) = α kaç derecedir?
B) 90
β
F
D
α + β toplamı kaç derecedir? A) 150
B) 135
C) 120
D) 105 A
7. ABC üçgen, I noktası ABC üçgeninin iç teğet çem-
A
3. ABC üçgen
%
berin merkezi, D noktası
%
m ( ABF ) = m ( FCB ) ve
ABC üçgeninin dış teğet
m ( BFC ) = 110 o dir.
çemberinin merkezi ve
%
F
Yukarıdaki verilenlere göre % m ( ABC ) kaç derecedir? A) 50
B) 55
C) 60
C
D) 65
I B
C
t ) = 72 o m ( tI) − m (D
110°
B
E) 90
Yukarıdaki verilenlere
D
% göre m ( BAC ) kaç dere-
E) 70
cedir? A) 36
B) 54
C) 60
D) 72
E) 90
8.
6DC@ açıortay,
% m ( ADC ) = 81 o, % m ( EAC ) = 31 o ve % m ( ABC ) = 59 o
ABC üçgen 6BD@
A
4. ABC üçgen,
%
D 59°
% m ( BAC ) = 2x ve % m ( ACB ) = 70 o dir.
81°
E C
B %
Yukarıdaki verilenlere göre m ( BAE ) = α kaç derecedir? A) 16
B) 22
C) 32
D) 46
A
açıortay m ( BDC ) = x,
α 31°
E) 50
D
2x
Yukarıdaki verilenlere
% göre m ( ACD ) = α kaç
x 70°
B
α C
derecedir? A) 35
B) 40
C) 55
D) 65
E) 70
59 %
%
13. ABC üçgen,
9. m ( ABD ) = m ( DCE )
A
m ( DBE ) = m ( ACD )
80o
m ( BAC ) = 80 o ve
m ( BEC ) = 160 o dir.
%
%
%
D
%
E
Yukarıdaki verilenlere % göre m ( BDC ) = α kaç derecedir? A) 100
B) 105
C) 110
α
160o
B D) 115
10. ABC üçgen, AD = BD ,
= BH
D
C
B) 40
C) 100
D) 108
B
C) 48
B) 96
α
40°
%
B) 40
C) 45
D) 50
12. ABC üçgen,
E) 60
A
6BC@ = 6AH@ , BH = HC
x −10°
%
m ( ABC ) = 2x − 5 o ve
H
% m ( HAC ) = x − 10 o dir.
α C
B
D) 106
C
D
15. ABC üçgeninde,
C) 102
E) 64
E
Yukarıdaki verilenlere göre %
m ( BAH ) kaç derecedir?
E) 108
A) 15
B) 20
C) 25
2x − 5°
B
D) 30
H
C
E) 35
A
6DE@ = 6AC@ ,
α
E
AE = EC ,
DC = AB ve %
m ( ABC ) = 70 o dir.
B
70°
C
D %
B) 70
2. A
C) 75
3. E
4. D
D) 80
5. C
7. D
% m ( BDC ) = 108 o % m ( BAC ) = 40 o, % % m ( DBC ) = m ( ACD ) dir.
40°
D
Yukarıdaki verilenlere göre
E) 100
6. C
A
16. ABC üçgeninde,
Yukarıdaki verilenlere göre m ( BAC ) = α kaç derecedir?
1. B
D) 56
A
% % m ( ECB ) = m ( BAD ) % m ( ABC ) = 40 o dir. B
A) 35
CH ,
dir?
C
lenlere göre m ( ADE ) = α kaç derecedir?
E) 120
%
x° D
A
m ( BHC ) = α kaç derece-
E
x°
DE = EC ,
Yukarıdaki veri-
%
A) 40
%
A) 32
E
Yukarıdaki verilenlere göre
ve m ( BAD ) = 32 o dir.
m ( BAC ) = 46 o dir.
A) 92
α
32°
14. ABC üçgeninde,
11. ABC üçgen, = AH
= = m ( ABE ) m ( ACB ) x o
E) 120
36°
B) 90
%
C
% m ( DAE ) = 36 o dir.
B Yukarıdaki verilenlere göre % m ( BAC ) kaç derecedir?
%
A
Yukarıdaki verilenlere % m ( DAC ) = α kaç derecedir?
A
AE = EC
A) 72
BE = BD ,
8. C
9. E
108°
% m ( ABC ) kaç derecedir?
B
A) 40
D) 64
10. D
11. A
B) 48
12. C
13. A
C) 52
14. B
15. C
16. E
C
E) 68
60
CEVAPLI TEST - 3 1. ABC dik üçgen,
5. 6CB@ = 6CD@ ,
A
6AB@ = 6BC@ ,
x
BE = EC , BC = 12 cm,
AB = 16 cm dir.
E
16
B
C
12
B) 8
C) 9
D) 10
6DA@ = 6AB@ ,
BC = 5 cm ve
AB = 7 cm dir.
x
5
AB = 4 3 cm,
12
BC = 5 cm
C C)
3. 6AH@ = 6AB@ ,
x
1
6HC@ = 6CD@ ,
B
6HD@ = 6DE@ ,
= BC
= CD
C
= DE
3
B) 2
C)
6BC@ = 6CD@ ,
D)
5
A
6CD@ = 6DE@ ,
6
1
1 D
E
= 1cm dir. EF E)
6
6AD@ // 6BC@ ,
AB = 6 cm,
E) 8
6
C
4
3
F
E
Yukarıdaki verilenlere göre A ile F noktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir? C) 17
B) 6,4
B
D) 18
E) 19
H
C) 7,2
C
kaç cm dir?
D) 9,6
10
AD = 3 5 cm,
AC = 10 cm dir.
E) 10
A
6AB@ = 6BC@ , DC = 5 cm,
3 5
x
B
D
5
C
Yukarıdaki verilenlere göre BD = x cm kaç cm dir?
D
D
6
B) 2
C) 3
8. ABC üçgen,
= CD 6 cm,
B) 16
D) 5 2
AC = 8 cm dir.
7
= DE = 4 cm, BC EF = 3 cm dir.
A) 15
kaç cm dir?
A
6BC@ = 6DH@ ,
A) 4,8
B 4
6ED@ = 6EF@ , = AB
C) 4 3
6AB@ = 6AC@ ,
A) 1 4. 6AB@ = 6BC@ ,
B) 6
Yukarıdaki verilenlere göre DH
Yukarıdaki verilenlere göre FH = x kaç cm dir? A)
B
7. ABC dik üçgen
F 1
1
E) 11
111
1 H
A
6HB@ = 6BC@ ,
= AB
D)
91
Yukarıdaki verilenlere göre AD = x kaç cm’dir?
= AH
A) 2 3
D
CD = 12 cm,
6HF@ = 6EF@
D
6. ABCD dörtgen,
B
B) 9
2 3
5
Yukarıdaki verilenlere göre CD
E) 11
4 3
6BC@ = 6CD@ ,
71
AD = 2 3 cm,
C
A
2. ABCD dörtgeninde,
A)
A
6AB@ = 6AD@ ,
Yukarıdaki verilenlere göre AE = x kaç cm dir? A) 7
Dik Üçgen
6AH@ = 6HB@ ,
D) 4
A
% % m ( BAH ) = m ( HBC ),
HB = 3 cm,
AH = 4 cm,
BC = 12 cm dir.
E) 5
x
4 3
B
H C
12
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
61 9. ABC dik üçgen,
6AH@ = 6BC@ ,
6AC@ = 6AB@ , AC = 6 cm,
B
9
6
x
C
H
BH = 9 cm dir.
A
6AH@ = 6BC@ ,
17
BC = 21cm,
AB = 17 cm,
AC = 10 cm dir.
B
A) 3
A) 5
B) 3 2
C) 5
D) 3 3
E) 4 2
DC = 2 cm dir.
4
B) 4
D) 5
A) 10
B
B) 12
A D
AC = 6 cm,
DB = 5 cm,
BE = 3 cm dir.
5 B
3
6
x C
E
%
%
2m ( ABD ) = m ( ACB ),
AB = 5 cm,
AD = 1cm dir.
5
x
A) 2 2
A) 12
10
D) 2 3
E) 4
B) 11
C) 10
C
x
B
Yukarıdaki verilenlere göre DE = x kaç cm’dir? C)
E) 20
1 D
= Yukarıdaki verilenlere göre DC cm dir?
B) 3
toplamı-
D) 17
A
15. ABC üçgen
C
D
C) 15
11. ABC dik üçgen, AD = DC ,
3
Yukarıdaki verilenlere göre AD + ED nın en küçük değeri kaç cm dir?
E) 4 2
6AC@ = 6BC@ ,
E
5
EC = 3 cm dir. C) 2 6
E) 9
AB = 5 cm,
C
2
D
D) 8
A
BC = 15 cm,
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? A) 2 2
C) 7
6EC@ = 6BC@ ,
x
AB = AD , B
B) 6
14. 6AB@ = 6BC@ ,
A
6AB@ = 6AC@ , BD = 4 cm,
C
H
Yukarıdaki verilenlere göre AH = x kaç cm dir?
10
x
Yukarıdaki verilenlere göre AH = x kaç cm dir?
10. ABC üçgen,
13. ABC üçgen,
A
= x kaç BC
D) 9
E) 8
16. ABC dik üçgen, 12. ABC üçgen,
A
6AH@ = 6BC@ ,
20
AB = 20 cm,
13
AC = 13 cm, B
HC = 5 cm dir.
H
C
5
6AC@ = 6AB@,
A
6AH@ = 6BC@
x
6BF@ = 6FD@ ,
BD = DC ,
F
4
B
H
BF = 4 cm dir.
C
D
Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir?
Yukarıdaki verilenlere göre AB = x kaç cm dir?
A) 21
A) 5
B) 20
1. D
2. E
C) 18
3. B
4. C
D) 17
5. B
6. A
E) 16
7. C
8. A
9. D
10. C
11. C
B) 4 2
12. A
13. D
C) 6
14. D
15. A
D) 7
16. B
E) 5 2
62
CEVAPLI TEST - 4 1. ABC dik üçgen,
5. ABC üçgen, 6AN@ açıortay,
A
6AB@ = 6BC@ ,
6CN@ açıortay,
N 3
AC = BC + 4,
C
B
NB = 3 cm dir. B) 3
C) 4
D) 5
2. 6BD@ açıortay, 6BA = 6DA@ ,
6BA = 6FN@ , 6BC = 6DC@ , 6BC = 6HN@ ,
FN = (2t) cm,
AD = c
AN = 6 cm,
NB = 3 cm dir.
4k + 1 m cm dir. 2
Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir?
B
A) 4
D) 7
B) 5
C) 6
B
BN = 3 cm dir.
C
3. ABC üçgen, 6AN@ açıortay,
A) 5
A
B) 6
C) 7
NC = 2 cm dir.
B
A) 2
D) 4
C) 3
x
60°
N
NB = 4 cm,
NC = 3 cm dir.
3 2
B) 4
C) 5
C
2 3
A
8
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? A)
B
D x N
C
2
B
A)
3
B) 2 3
C) 3 2
D) 3 3
E) 4 2
E) 3 2
4. ABC üçgen, 6AN@ açıortay,
9
Yukarıdaki verilenlere göre DN = x kaç cm dir? 45°
Yukarıdaki verilenlere göre BN = x kaç cm dir?
AB = 8 cm,
E) 10
A
6AN@ ve 6BD@ AB = 9 cm,
NC = 2 3 cm dir.
C
x
N
D) 8
açıortay, AD = 3 DN ,
% m ( ACB ) = 60 o, % m ( ABC ) = 45 o,
B) 2 2
3
Yukarıdaki verilenlere göre NC = x kaç cm dir?
E) 8
3 5
7. ABC üçgen,
C
N
A
AN = 3 5 cm,
Yukarıdaki verilenlere göre t kaçtır? 1 3 5 B) 1 C) D) 2 E) A) 2 2 2
3
6AN@ açıortay,
3t
H
6
6AB@ = 6BC@,
D
F 2t N B
A
6. ABC dik üçgen,
4k + 1 2
k +1
DC = (3t) cm ve
AB : AC = 48 cm 2 ,
E) 7
A
NH = (k + 1) cm,
kaç cm dir?
Yukarıdaki verilenlere göre AN A) 2
Üçgende Açıortay Teoremleri
4
x
N
3
C
A 8. ABC ve FSH üçgen, F noktası iç açıortayla5 F rın kesim noktası, 6BA@ = 6AC@ , B S 6AB@ // 6FS@ , 6AC@ // 6FH@ , ∆ AB = 5 cm ve Ç (FSH) = 13 cm dir.
x C
H
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? D) 6
E) 9
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
63 9. ABC ve ABD dik üçgen,
13. ABC üçgen, B, A, E
A
6AD@ = 6DB@ , 6AB@ = 6BC@ ,
noktaları doğrusal,
D
% % m ( BAC ) = m ( CAD ),
% % = = m ( BAC ) m ( EAD ) 60 o,
N
BC = 6 cm, NC = 5 cm dir. Yukarıdaki verilenlere göre ∆ Ç (NBC) kaç cm dir? A) 14
B) 15
C) 16
C
3 FS = 2 FH , HC = 7 cm,
F
FB = 5 cm dir.
A)
B) 9
C) 12
D) 14
A
11. ABC üçgeninde,
6AD@ dış açıortay, AB = 9 cm
C
35 3
D)
70 3
B) 4
CD = 12 cm,
8
AB = 8 cm, B
AC = 6 cm dir.
E) 7
A) 6
6
x D
12
C
lere göre AD = x kaç cm dir? C) 10
2. C
3. E
B
5. D
45o
D
C
x
A
D) 18
A
E
C
12
B
C) 12
E) 24
E
x
7 B
I
D
N
C
D
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir?
D) 12
4. D
B) 9
16. ABD üçgeninde, 6AN@ iç açıortay, 6AC@ dış açıortay, AN = 7 cm, NC = 25 cm dir.
Yukarıdaki verilenB) 8
5
Yukarıdaki verilenlere göre ∆ ∆ Ç (ABC) − Ç (ADE) kaç cm
E A
6AD@ dış açıortay,
12
dir? D) 6
12. ABC üçgeninde,
A
6DE@ // 6BC@ , BC = 12 cm
D
C
C) 5
70 13
iç teğet çemberinin merkezi;
x
B
E)
15. I noktası ABC üçgeninin
lere göre AC = x kaç cm dir?
1. D
C)
E
Yukarıdaki verilen-
A) 6
B) 7
Yukarıdaki verilenlere göre CD = x kaç cm dir? 65 13 65 B) C) D) 10 E) 13 A) 17 7 7
E) 18
9
3 CD = BD ,
7
N
B
AB kaç cm dir?
A) 3
35 13
14. ABD dik üçgen, 6AB@ = 6AD@ , % m(CAD) = 45 o, AB = 12 cm, AD = 5 cm dir.
H
5
Yukarıdaki verilenlere göre A) 7
S
D
x
C
A
6AN@ = 6BC@ , BN = NC ,
5
Yukarıdaki verilenlere göre CD = x kaç cm dir?
E) 18
10. ABC üçgen,
60°
60°
B
dir.
6 D) 17
8
AB = 8 cm, AC = 5 cm
5 B
E A
E) 16
6. A
7. A
A) 20
8. E
9. D
10. B
11. A
B) 21
12. D
13. C
C) 22
14. C
15. C
D) 23
16. E
E) 24
64
CEVAPLI TEST - 5 1. ABC üçgeninde
5. ABC üçgen,
A
D
DG + GF + GE = 12 cm
A
G noktası ağırlık
G noktası ağırlık merkezi,
6AE@ + 6DC@ + 6BF@ = "G , ,
Üçgende Kenarortay Teoremleri
merkezi, 6AB@ = 6BC@ ,
F
G
AC = 12 cm dir.
x
Yukarıdaki verilenlere
dir. Yukarıdaki verilenlere göre
B
C
E
B) 26
C) 28
D) 32
A) 6
E) 36
2. ABC üçgen, G noktası ağırlık merkezi,
F
G
GE = 2 cm,
D
4
5
2
GD = 4 cm ve
B
DC = 5 cm dir.
B) 5
C) 4
C) 3
C
E
Yukarıdaki verilenlere göre BC = x kaç cm dir? A) 5
B) 6
E) 2
A
6. ABC üçgen, 6BE@ = 6DC@ , D ve E noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır, AG = 10 cm dir.
A
6AE@ + 6BD@ + 6CF@ = "G , ,
C
B
göre BG = x kaç cm dir?
toplamı kaç cm dir? A) 24
12
G
G C
x
B
C) 8
10 E
D
D) 10
E) 15
∆ Yukarıdaki verilenlere göre Ç (AGD) kaç cm dir? A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15 7. ABC üçgen,
6AB@ = 6AC@ ,
AD = 5 cm,
AE = EC , C
D
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B
C
D
BC = 18 2 cm dir.
Yukarıdaki verilenlere göre AB = x kaç cm dir? A) 6
B) 6 2
C) 6 3
D) 12
8. ABC üçgeninde
6AB@ = 6AC@ ,
G
6GH@ = 6BC@ ,
3
G noktası ABC üçge-
E) 6 6
B
H
30°
C
merkezi, 6AB@ = 6AC@ ,
6AF@ + 6BE@ + 6DC@ = "G , , HG = 1cm dir.
%
m ( ACB ) = 30 o, dir. Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir? C) 8
D) 10
A
G noktası ağırlık
ninin ağırlık merkezi,
B) 6
E
G
A
4. ABC üçgen,
A) 4
x
BD = DC ,
5
B
AB = 2 cm dir.
6BE@ = 6AD@ ,
x
2
BD = DC ,
A
6AB@ = 6AC@ ,
A
3. ABC üçgen,
E) 12
B
D
H
1
E
G
C
F
Yukarıdaki verilenlere göre BC + AH + GF toplamı kaç cm dir? A) 11
B) 12
C) 15
D) 17
E) 18
65 9. ABC üçgen, = BD
AC = 7 cm, AB = 5 cm
B
B)
D)
E) 4
21
6BE@ + 6DC@ + 6AF@ = "G , ,
9 2
G
B
Yukarıdaki verilenlere göre AF C) 7
5
AB = 5 cm
B) 6,5
B
A) 12
E) 3 37
6BA@ = 6AC@ ,
12
= AD
= AE
= 3 cm EB
A
3
E
x
4
C
E
E) 4
D
F G
C
E
5. C
6. D
C) 4
D) 5
E) 6
A
4
7. E
10
merkezi, 6AG@ = 6GC@ ,
8. D
4
x
G
AB = 10 cm,
B
AG = 4 cm dir.
C
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir?
Yukarıdaki verilenlere göre AF = x kaç cm dir? 5 7 10 14 A) B) C) D) E) 5 3 3 3 3
4. E
B) 3
G noktası ağırlık
D
F
B
3. C
D) 6
16. ABC üçgeninde
C
2. C
D
Yukarıdaki verilenlere göre DC kaç cm dir?
dir.
1. E
H 2
A
2 FD = BG ,
C
6,5
E) 13
3
= 4 cm, DC
F
G
B
C) 8
B
GF = FD ,
D
D) 12
12. 6AB@ = 6AC@ ,
B) 10
15. ABC ile DBC üçgen, A, G, E noktaları doğrusal, x
6,5
x
AF = FC , BC = 12 cm dir.
C) 9
6BD@ + 6EC@ = "F , ,
A
Yukarıdaki verilenlere göre AB = x kaç cm dir?
A) 2
E) 6
dir.
A
AC = 12 cm,
A) 6
D) 5
AH = 2 HE , HF = 2 cm
C
kaç cm dir?
D) 15
= 6, 5 cm, DC
Yukarıdaki verilenlere göre AD = x kaç cm dir?
C) 4,5
AF = FC ,
11. ABC üçgen, = BD
B) 4
6AE@ + 6DF@ = "H , ,
E
F
4
C
kaç cm dir?
G, D noktaları doğrusal,
9 cm, BF = 4 cm, 2 5 DG = cm 2
37
E 3
G noktası ağırlık merkezi, A,
5 2
D
GE =
B)
A) 3
A
ağırlık merkezi,
A) 6
F
14. ABC üçgeninde
10. ABC üçgen, G noktası
1,5
3 D
GF = 1, 5 cm dir.
C
4
B
= 3 cm, BD
Yukarıdaki verilenlere göre AF
C) 5
33
D
4
G
DF = FE , = EC
göre AD = x kaç cm dir?
6DG@ = 6GE@ ,
7
x
Yukarıdaki verilenlere
A
6AB@ = 6AC@ ,
5
dir.
A) 6
13. ABC üçgen,
A
= 4 cm, DC
A)
9. D
10. E
B) 5
13
11. B
12. C
13. C
C) 6
14. A
15. C
D) 2 13
16. D
E) 8
66
CEVAPLI TEST - 6 1. ABC üçgen,
5. ABC dik üçgen,
A
6AC@ = 6BH@ ,
AB = AC ,
BH = 4 cm dir.
6FH@ = 6BC@ ,
H
B
C
B) 3
C) 4
D) 5
C)
D) 2
3
BD = 2 cm, C
H
3
α
B
AD = 1cm dir.
5
A
1
2
AC = 3 cm, B
E)
D
BE = EC ,
17
15
AH = 15 cm dir.
B) 32
2
6DE@ = 6BC@ ,
BH = HC , AC = 17 cm,
A) 25
B)
6. ABC üçgen,
% % m ( BAH ) = m ( HAC ),
Yukarıdaki verilenlere göre ∆ Ç (ABC) kaç cm dir?
AC = 4 3 cm dir. A) 1
E) 6
A
2. ABC üçgen,
C
H
Yukarıdaki verilenlere göre FA = x kaç cm dir?
göre AB = x kaç cm dir? A) 2
4 3
B
FB = 7 cm,
2 5
A
7
BH = HC ,
4
Yukarıdaki verilenlere
Fx
6AB@ = 6AC@ ,
x
BC = 2 5 cm,
Özel Üçgenler
C
E %
C) 36
D) 44
Yukarıdaki verilenlere göre m ( BCA ) = α kaç
E) 50
derecedir? A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
A
3. ABC üçgen, %
%
m ( BAH ) = m ( HAC ), = AB
13
= AC 13 cm,
AH = 12 cm dir.
6DE@ // 6BC@ ,
AB = AC ,
Yukarıdaki verilenlere göre BC
13
12
B
C
H
kaç cm dir?
A) 10
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
A) 15
A
6
B) 18
C) 21
D) 24
E) 27
B
BC = 10 cm dir.
2x
F
1
C) 3
D)
9 2
E)
C
A
6AC@ = 6BE@ , 6BC@ = 6AD@ ,
AB = AC , FC = 8 cm,
F
EC = 4 cm dir.
Yukarıdaki verilenlere göre x kaç cm dir? B) 2
6FC@ + 6BE@ + 6AD@ = "H , ,
H
%
FH = (2x − 1) cm,
9 4
C
B
8. ABC üçgen,
m ( BAF ) = m ( FAC ),
A)
3
Yukarıdaki verilenlere göre ∆ Ç (ABC) kaç cm dir?
AB = AC , %
E
D
% % m ( ABE ) = m ( EBC ),
BC = 6 cm, DB = 3 cm dir.
4. ABC üçgen,
6AC@ = 6BH@ ,
A
7. ABC üçgen,
11 2
Yukarıdaki verilenlere göre HB = x kaç cm dir? A) 4
B) 2 5
C) 5
x B
H
E C
D
D) 6
E) 7
67 9. ABC üçgen,
13. ABC üçgen,
A
6AB@ = 6HC@ , AB = AC , BD = 13 cm,
H
HC = 5 cm,
C
B
HB = 4 cm dir.
6EH@ // 6AC@ , AB = AC , EH + HD 1 = dir. ∆ 3 Ç (ABC)
5
4
x
13
Yukarıdaki verilenlere dir? B) 6
C) 7
D) 8
E
E) 9
A)
1 3
1 2
B)
D
B
Yukarıdaki verilenlere göre BC oranı kaçtır? AC
D
göre CD = x kaç cm A) 5
A
6AB@ // 6DH@ ,
A, C, D noktaları doğrusal,
C) 1
C
H
D) 2
E) 3
10. ABC dik üçgen,
6AB@ = 6AC@ ,
A
6FS@ = 6BD@ ,
6HS@ = 6AC@ ,
F
BD = DC = AD
B
= 3 cm, HS
14. ABC üçgen,
3
D
1
H
3
%
DE = 1cm,
C) 8
D) 4 5
A) 3
A
6HS@ = 6AC@ ,
C) 12
D) 15
%
F
= AC 14 cm,
B
75°
x
%
5
AH = 12 cm,
C
H
C) 5
D) 7
x
13
AB = 13 cm,
S
12
B
DC = 11cm dir.
Yukarıdaki verilenlere göre HS = x kaç cm dir? B) 4
E) 16
A
m ( BAH ) = m ( HAD ),
FH = 5 cm dir. A) 2
B) 11
BH = HD ,
% m ( ABC ) = 75 o,
H
15. ABC üçgen,
6AB@ = 6FH@ , = AB
B
Yukarıdaki verilenlere göre KD kaç cm dir?
E) 5 5
11. ABC üçgen,
F E D C
75°
FH = 4 cm dir.
Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir? B) 5
%
m ( BAH ) = m ( HAC ),
C
S
K
6DE@ // 6AB@ , 6KD@ // 6AC@ ,
FS = 1cm, dir.
A) 4
A
6AH@ = 6BC@ , 6FH@ = 6AC@ ,
C
11
D
H
Yukarıdaki verilenlere göre AC = x kaç cm dir?
E) 9
A) 16
B 17
C) 20
D) 22
E) 25
12. ABC üçgen, B, C ve E noktaları doğrusal,
6AB@ = 6EF@ ,
A
6AD@ = 6DE@ ,
m ( ACB ) = 80 o,
F 12
HE = 10 cm,
B
HC = 5 cm, CS = 12 cm dir. B) 8
E
3. A
4. C
5. A
Yukarıdaki verilenlere göre AD = x kaç cm dir? A) 5
E) 15
6. C
7. B
10°
BC = 10 cm dir.
kaç cm dir?
D) 12
D
%
m ( ABD ) = 10 o,
D
C) 10
2. E
5
m ( CBD ) = 70 o,
10
C
Yukarıdaki verilenlere göre FH
x
%
H
S
AB = AC ,
1. D
A
%
6CS@ = 6AB@ ,
A) 6
16. ABC üçgen,
8. C
9. D
10. D
11. A
B) 8
12. B
C) 5 3
13. C
14. D
D) 10
15. C
80°
70°
B
16. D
10
E) 8 3
C
