Geometrija.pdf

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva:

α < 90 pravi kut α = 90 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360

siljasti kut

Komplementi kutevi - su kutevi ciji je zbroj 90 : Suplementni kutevi - su kutevi ciji je zbroj 180 :

< α < 180

tupi kut

90

puni kut

α = 360

α + β = 90 α + β = 180

Vrsni kutevi - su 4 kuta koji nastaju kada se dva pravca sijeku. Dva i dva kuta su jednaka. Dva kuta, razlicita po velicini, su ujedno suplementni kutevi. Kutevi koji nastaju kada pravac - transferzala, sjece dva paralelna pravca, imaju slijedece karakteristike:

∠ 4 + ∠ 6 = ∠ 3 + ∠ 5 = 180 ∠1 = ∠ 5; ∠ 2 = ∠ 6; ∠ 3 = ∠ 7; ∠4 = ∠8

Zbroj unutarnjih kuteva je 180 : Neki su kutevi jednaki:

1. Izracunaj Izracunaj vrijednos vrijednostt za x i y , ako su poznate poznate velicine velicine zadane zadane na slici. slici. Kutevi su jednaki:

Geometrija – O kutevima

= 3x − 20 2 x = y + 10 2 ⋅ 20 = y + 10 2 x

⇒ x = 20° ⇒ y = 30°

1


1. Dva Dva kut kuta su supl suplem emen entn tnaa, veli elicine cine α

= 7 x − 27 i β = 2x . Izrac zracun unaj aj kut kuteve. eve. α + β = 180° ⇒ ( 7 x − 27 ) + 2 x = 180° ⇒ 9x = 180° − 27° ⇒ x = 23° α = 7 x − 27 = 7 ⋅ 23 23° − 27° = 134° β = 2 x = 2 ⋅ 27° = 46°

2. Pod Pod koji kojim m kute kutem m se sjek sjeku u dva dva prav pravca ca,, ako ako je omje omjerr kute kuteva va α : β

= 2 : 3. Izrac zracun unaj aj kut kut α . α + β = 180° ⇒ zamijenimo α = 2 x , β = 3x ⇒ 2x + 3x = 180° ⇒ x = 36° α = 2 x = 2 ⋅ 36° = 72° α = 3 x , β = x . Izra Izracu cuna najj kute kuteve ve.. α + β = 90° ⇒ 3 x + x = 90° ⇒ 4 x = 90° x = 22.5° α = 3 x = 3 ⋅ 22.5° = 67.5° β = x = 22.5°

3. Dva Dva komp komple leme ment ntna na kuta kuta su

α = ( x + 30) ° , β = ( x − 10) ° . Izrac zracun unaj aj kute kutev ve. α + β = 90° ⇒ x + 30 + ( x − 10) = 90° ⇒ 2 x = 70° x = 35° α = x + 30° = 35° + 30° = 65° β = x − 10° = 35° − 10° = 25°

4. Dva Dva kom komplem plemeentna ntna kut kuta su

α = x , β = 2x + 30° . Izracu racuna najj kute kutev ve. α + β = 90° ⇒ x + 2 x + 30 = 90° ⇒ 3x = 60° x = 20° α = x = 20° β = 2 x + 30° = 2 ⋅ 20° + 30° = 70°

5. Dva su kut kuta kom komplem plemeentna ntna;;

6. Dva Dva supl suplem emen entn tnaa kuta kuta imaj imaju u vrij vrijed edno nost sto oα

= x + 20 i β = 2x + 1. Izrac zracun unaj aj α i β α + β = 180° ⇒ x + 20 + 2 x + 1 = 18 180° ⇒ 3x = 159° ⇒ x = 53° α = x + 20° = 53° + 20° = 73° β = 2 x + 1 = 2 ⋅ 53° + 1 = 107°

7. Prava Pravacc sjece sjece dva dva parale paralelna lna prav pravca ca tako tako da su kutev kutevi unutar paralelnih pravaca imaju vrijednostiα

= 3 x + 1 i β = 2 x − 6. Izracunaj kuteve. α + β = 180° ⇒ 3 x + 1 + 2 x − 6 = 180° ⇒ 3x = 185° ⇒ x = 37 α = 3 x + 1 = 3 ⋅ 37° + 1° = 112° β = 2 x − 6 = 2 ⋅ 37° − 6° = 68°

Geometrija – O kutevima

2


5.2 Ono naj vaznije o trokutima Trokut je geometrijski lik omedjen sa tri stranice koje mogu biti jednake ili razlicite po duzini. Zbroj kuteva u trokutu je α

+ β + γ = 180° .

Vanjski kut uz bilo koji vrh trokuta, jednak je zbroju unutarnji kuteva uz preostal dva vrha. Zbroj dviju stranica trokuta je uvijek veci od trece stranice. Razlika dviju stranica trokuta je uvijek manja od trece stranice. Simetrala kuta sjece suprotnu stranicu u omjeru duzina stranica koje cine taj kut. 2

Visina trokuta na bazu, sjece bazu na dva dijela. Tada je ( visina)

= ( lijevi dio)( desni dio)

Povrsina trokuta jednaka je : ( baza ⋅ visina ) / 2. Povrsina trokuta se racuna i ovak o:  P 2

= s ( s − a )( s − b )( s − c ) , gdje je 2s = a + b + c.

Kosinuson, sinusov i Pitagorin poucak obradjeni su u dijelu trigonometrija Sukladnost trokuta: 1. Dva su trokuta sukladna ako imaju sve tri stranice jednake. 2. Dva su trokuta sukladna ako imaju jednake dvije stranice i kut medju njima. 3. Dva su trokuta sukladna ako imaju jednake jednu stranicu i dva prilezeca kuta toj stranici. Slicnost trokuta: a) Ako su dva trokuta (ili bilo koja dva lika) slicna, tada su njihovi odgovarajuci djelovi (elementi) proporcionalni. b) Dva su trokuta slicna ako imaju jednaka barem dva kuta. c) Omjer opsega dva slicna trokuta je konstantan i proporcionalan je omjeru pripadnih stranica: ( O1 / O2 ) = ( a1 / a2 ) = ( b1 / b2 ) = ( c1 / c2 ) . d) Omjer povrsina dva slicna trokuta je konstantan i jednak omjeru pripadajucih stranica na kvadrat: ( P1 / P2 ) = ( a1 / a2 )

2

2

2

= ( b1 / b2 ) = ( c1 / c2 ) .

Simetrala kuteva - je duzina koja spaja vrh trokuta sa stranicom trokuta i simetrala je doticnog kuta. Sve tri simetrale se sjeku u jednoj tocki: Sredistu trokutu upisane kruznice.

Okomice povucene na polovista stranica trokuta, sjeku se u jednoj tocki koja je: Srediste trokutu opisane kruznice.

Geometrija – O trokutima

3


Okomice povucene iz vrha trokuta na suprotne stranice, sjeku se u jednoj tocki: Ortocentru trokuta. Ono lezi unutar ostrokutog trokuta odnosno izvan trokuta, ako je trokut tupokutan.

1. Kutevi uz bazu istokracnog trokuta su: α

= ( 3 x − 1) i β = ( 2x + 16) . Izracunaj sve kuteve.

α = β ⇒ 3 x − 1 = 2 x + 16 ⇒ x = 17 α = 3 x − 1 = 3 ⋅ 17 − 1 = 50° β = 2x + 16 = 2 ⋅ 17 + 16 = 50° γ = 180° − (α + β ) = 180° − 100° = 80°

2. Kutevi u trokutu imaju vrijednosti: α

= 3 x + 1, β = 10x + 11 i γ = x + 2. Izracunaj kuteve. α + β + γ = 180° ⇒ 3 x + 1 + 10x + 11 + x + 2 = 180° ⇒ 14x = 168 ⇒ x = 12° α = 3 x + 1 = 3 ⋅ 12 + 1 = 35° β = 10x + 11 = 10 ⋅ 12 + 11 = 131° γ = x + 2 = 12 + 2 = 14°


4


= 1: 2. a) Izracunaj opseg prvog trokuta ako je opseg drugog  O2 = 12 b) Izracunaj povrsinu prvog trokuta ako je povrsina drugog  P2 = 12.

3. Zadana su dva slicna trokuta koji imaju omjer stranica a1 : a1

a)

O1 O2

1

O1

2

2

= ⇒ O2 =

=

12 2

2

P 12 1 1 =   = ⇒ P 1 = 2 = = 3 b) P 2  2  4 4 4 P1

=6

4. Simetrala kuta γ sjece bazu na dva dijela. Poznavajuci velicine sa slike, izracunaj duzinua . Iz definicije imamo:

6 a

=

12 10

⇒

a

=5

5. Kut izmedju jednakih stranica istokracnog trokuta iznosi 50° . Izracunaj preostala dva kuta.

α + β + γ = 180° = α + β + 50° ⇒ α + β = 130° 130° U istokracnom trokutu: α = β = = 65° 2

6. Omjer kuteva u trokutu je 1:5:6. Odredi koje je vrste trokut. 1 x + 5 x + 6 x = 180°

α = 1 x = 15°

⇒ 12 x = 180° x = 15° β = 5x = 5 ⋅ 15° = 75° γ = 6x = 6 ⋅ 15° = 90° ⇒ Trokut je pravokutan

7. Zadan je trokut prema slici. Koristeci slicnost trokuta izracunaj bazu x trokuta. Iz slicnosti trokuta postavimo jednakost:


5

2

( 2 + 3)

=

4 x

⇒ x = 10


8.

Zadani su kutevi istokracnog trokuta: α

= 3 x − 1 i β = 2x + 16. Izracunaj kut γ . α = β ⇒ 3 x − 1 = 2 x + 16 ⇒ x = 17° α = 3 x − 1 = 3 ⋅ 17 − 1 = 50° γ = 180° − (α + β ) = 180° − 100° = 80°

9. Zadani su kutevi trokuta: α

= 3 x − 1 i β = 10x + 11 i γ = x + 2. Izracunaj kuteve α + β + γ = 180° ⇒ 3 x − 1 + 10 x + 11+ x + 2 = 180° ⇒ 14x = 168 ⇒ x = 12° α = 3 x − 1 = 3 ⋅ 12 − 1 = 35° β = 10x + 11 = 10 ⋅ 12 + 11 = 131° γ = x + 2 = 12 + 2 = 14°

10. Zadan je trokut sa stranicom c visina, k

= 13 i lijevim dijelom baze nastale nakon sto je povucena

= 4. Izracunaj visinu trokuta v.

Po definiciji imamo: ( visina )

2

= ( lijevidio )( desnidio ) ⇒ v 2 = 4 ⋅ (13 − 4) = 4 ⋅ 9 = 36

v=6


6


11. U trokutu su stranica m i b paralelne. Izracunaj stranicu x ako su poznate velicine sa slike. Iz ABC imamo stranice b = 6 i a = 6 + x a iz trokuta  DBE stranice m = 2 i x . Trokuti su slicni pa iz omjera stranica imamo:

6 2

=

6 + x x

⇒ 6 x = 12 + 2x ⇒ x = 3

12. Stap duzine 1m ima sjenu dugu 1.2m a zgrada ima sjenu dugu 21m. Izracunaj visinu zgrade. Iz omjera slicnih trokuta imamo:

1 1.2

=

x 21

⇒

x = 17.5m

13. Vrh krova kuce visok je 4.8m u odnosu na horizontalni dio krova. Podupora visoka 2m je na udaljenosti 5m od osi vrha. Izracunaj sirinu krova. Iz omjera slicnih trokuta imamo: Polovica krova je siroka: x + 5 =

x

=

2

⇒ x = 3.6m x + 5 4.8 3.6 + 5 = 8.6m , a cijeli krov dvostruko: 17.2m

14. Mjerenjerenjem su utvrdjene zadane duzine. Odredi duzinu objekta x . Iz omjera slicnih trokuta imamo:


8.6 15.8

7

=

19.5 x

⇒ x = 35.82m


5.3 Ponesto o kruznicama Kruznica je geometrijsko mjesto tocaka koje su jednako udaljene od jedne cvrste tocke, koja se zove srediste S . Udaljenost od sredista zove se radijus ili polumjer; r

= S F .

Duzina koja spaja dvije tocke na kruznici i prolazi sredistem zove se dijametar ili promjer d

= DE .

Pravac koji je povucen iz tocke van kruznice, na kruznicu je: a) tangenta - dira kruznicu u jednoj tocki, A b) sekanta - sjece kruznicu u dva nejednaka dijela. Duzina sekante koja pada unutar kruznice je tetiva t

= BC .

1. Tetiva duzine 12, sjece kruznicu i pripadajuci luk toj tetivi je 60° . Izracunaj radijus kruznice. Iz trokuta ASB imamo: x + x + 60° = 180° ⇒ 2x = 120° ⇒

x = 60°

Trokut je istostranican.

2. Izracunaj povrsinu kruznog isjecka koji ima unutarnji kut α P

=

α 

360

⋅ r 2π =

72 360

52 π

Geometrija – – O kruznicama

=

72 360

25π

= 5π ⇒

8

= 72° a radijus kruznice je r = 5.

P = 5π


3. Dvije tetive se sjeku tako da su segmenti velicine : AB = 10, BC

= 4, BE = 8, DB = x .

Iracunaj duzinu segmenta x . Iz definicije o tetivama: Produkt segmenata na tetivama je jednak. AB ⋅ BC

= DB ⋅ BE ⇒ 10 ⋅ 4 = x ⋅ 8 ⇒ x = 5

4. Iz iste tocke van kruznice povucene su sekante na kruznicu. Segmenti tetiva su velicine: TB = 12, TC

= 4, TD = 9. Iracunaj duzinu segmenta TA = x .

Iz definicije o sekantama: Produkt segmenata na sekantama je jednak. TD ⋅ TC

= TB ⋅ TA ⇒ 9 ⋅ 4 = 12 ⋅ x ⇒ x =

36 12

=3

5. Iz iste tocke van kruznice povucene su sekanta i tangenta na kruznicu. Segmenti su velicine: TB = 3, BC

= 9. Iracunaj duzinu tangente TA = x .

Iz definicije znamo: TA

2

= TC ⋅ TB ⇒ x2 = ( 9 + 3) ⋅ 3 = 36 ⇒ x = 6

6. Zadani su sredisnji i obodni kut, koji pripadaju istom luku od α

= 40° . Izracunaj obodni kut.

Po definiciji: Sredisnji i obodni kut koji pripadaju istom luku odnose se u omjeru 1:2

α : β = 2 :1 ⇒ β =

α 2

=


40° 2

= 20°

9


7. Izracunaj luk AB ako je poznati kut u vrhu T i luk AC . 



Po definiciji je:

∠T =

AC − AB 



2

⇒ 50° =

200° − x 2

⇒ 2 ⋅ 50° = 200° − x ⇒ x = 100°

8. Zadane su dvije tetive na kruznici, i pripadajuci luk izmedju tetiva. Izracunaj kut pod kojim se tetive sjeku. AD = 20°, BC 

Iz definicije znamo: x



= 70°, BD = 210° 

= AVB =

AC + BD 



2

AC = 360° − ( 20° + 70° + 210° ) = 60° ⇒ 

⇒ x

AC



=

= 360 − ( AD + BC + BD) 

60° + 210° 2





= 135°

9. Zadana je kruznica radijusa r = 3. Izracunaj duzinu luka koji pripada sredisnjem kutu od

ϕ=

π 6

radijana.


Duzina luka se racuna:

10

L = r ⋅ ϕ

= 3⋅

π 6

=

π 2


10. Izracunaj kut ϕ ako je zadan omjer lukova na kruznici: AB : BC : ABC = 2 : 3 : 7 

Vrijednost za puni kut je : 2 x + 3x + 7 x = 360° AB : BC : ADC 









⇒ x = 30°

= 2 ⋅ 30° : 3 ⋅ 30° : 7 ⋅ 30° ⇒ AB = 60°, BC = 90°, ADC = 210° 

ϕ=

Po definiciji je:

ADC − AB 

2



=

210° − 60° 2





= 75°

11. Izracunaj kut x trokuta  ASB , ako je zadan luk pripadajuce tetive l = 40° . Vidi sliku. Trokut  ASBje istokracan, pa su oba kuta x , jednaka. Iz trokuta  ABC imamo:180° = 2 x + 40° ⇒ 2x = 140° ⇒ x = 70°

12. Zadana je kruznica i njene dvije tetive AB i AC koje zatvaraju luk od 140° i 100° . Izracunaj kut α medju tetivama. Obodni kut α :α

=

BC 

2

⇒ 360° = 140 + 100 + BC ⇒ BC = 120° ⇒ α =




11



BC



2

= 60°


13. Zadana je kruznica polumjera r = 4 i upisani kvadrat. Izracunaj povrsinu izmedju kruznice i kvadrata. Povrsina kruga: P 

=

d 2 2

=

82 2

P○

= r 2π ⇒ P○ = 42 π = 16π Diagonala kvadrata:d = 2r = 2⋅ 4 = 8

= 32 ⇒ Razlika povrsina iznosi:

 P

= P○ − P  = 16π − 32

14. Zadana je kruznica i tri tocke iz kojih su povucene tangente na kruznicu. Duzine segmenata

= 4, FB = 5 i AB = 9. Izracunaj duzinu AC . Iz definicije znamo: FB = EB = 5 ⇒ AE = AB − EB = 9 − 5 = 4 AE = AD = 4 CF = CD = 4 AC = AD + CD = 4 + 4 = 8 su: CF


12


5.4 Poligoni – mnogokuti Poligoni su geometrijski likovi sa tri i vise stranica i njima odgovarajucih kuteva. Poseban slucaj poligona su trokuti (koje tako i zovemo), cetverokuti (paralelogrami, kvadat, romb, trapez...) te mnogokuti u pravom smislu rijeci, sa brojem stranica n = 5 ÷ beskonacno. Zbroj unutrasnjih kuteva poligona jednak je: Zbroj vanjskih kuteva poligona iznosi:

∑ K ∑ K

U

= 180° ( n − 2)

V

= 360°

Spajanjem sredisnjica stranica poligona dobije se novi poligon sa istim brojem stranica. U slucaju cetverokuta, novi cetverokut je paralelogram. Dijadonale cetverokuta se prepolavljaju a dijagonale kvadrata i romba sjeku se pod pravim kutem.

1. Izracunaj kut x , ako su poznati podaci zadani na slici.

∑K

Suma svih unutarnjih kuteva cetverokuta iznosi:

∑K

4U

= 180° ( n − 2)

= 180° ( n − 2 ) = 180° ( 4 − 2) = 360° ⇒ 360° = x + 55° + 85° + 115° 360° = x + 255° ⇒ x = 105° 4U


∑K

= 180° ( n − 2) 720° = 180° ( n − 2 ) = 180° ( 6 − 2) = 720° ⇒ 720° = 6x ⇒ x = = 120°

Suma svih unutarnjih kuteva sesterokuta iznosi:

∑K

6U

6U

6

3. Izracunaj kut x i y ako su poznati podaci zadani na slici.

⇒ 180° = x + 70° + 35° ⇒ x = 180° − 135° = 75° Iz  BCD ⇒ 180° = y + 110° + 25° ⇒ y = 180° − 135° = 45° Iz  ABD

Geometrija – Poligoni

13


4. Izracunaj kuteve x i y , ako su poznati podaci zadani na slici.

⇒ α = 60° Iz istoskracnog trokuta  ABC ⇒ x = 45° ⇒ y = α + x = 60° + 45° = 105° Iz istostranicnog trokuta  ACD


∑ K

U

= 360° ⇒ x + x + ( x − 35) + ( x − 45) = 360° ⇒ 4 x − 80 = 360° 440° x = = 110° 4

6. Izracunaj kuteve x i y , ako su poznati podaci zadani na slici. Iz AB  CD ⇒

x + x + 80° = 180° ⇒ x = 50°

Drugi nacin:(180° − y ) + 80° + x = 180° ⇒

Geometrija – – Poligoni

y = x + 80° = 50° + 80° = 130°

y = 50° + 80° = 130°

14


7. Unutarnji kut poligona iznosi α

= 135 . Izracunaj vanjski kut i odredi koji poligon je u pitanju. α u = 135° α u + α v = 180° α v = 180° − 135° = 45° Za poligon vrijedi: ∑ K v = 360° ⇒ n ⋅ 45° = 360° ⇒ n = 8 osmerokut (oktagon)

8. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj kuteve x i y . Stranice su paralelne: AB  CD pa imamo: ( 2x − 5) + ( x + 5) = 180° y + 70° = 180° 3x = 180° ⇒ x = 60° y = 180° − 70°

= 110°

9. Zadani su kvadrat i istostranicni trokut prema slici. Izracunaj kut ϕ .

∠ABE = 60°; ∠ABC = ∠ BCD = 90° Kut ∠ ACB iznosi: ∠ACB = 45° ⇒ β = ∠ ABC − ∠ ABE = 90° − 60° = 30° Iz trokuta  BCF imamo: β + ϕ + ∠ ACB = 180° ⇒ β + ϕ + 45 = 180° ϕ = 105 Kutevi u trokutu  ABE iznose:

10. Zadan je jednakostranicni trapez. Izracunaj vrijednosti x i y .

= BC ⇒ 5x = 3x + 20 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10° Horizontalne stranice su paralelne, pa je: AB  CD ⇒ y + ( 3x + 20) = 180° y = 180° − ( 30 + 20) = 130° Jednakostranican trapez ima AD


15


11. Zadan je romb sa dijagonalama prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y . Dijagonala se sjeku u polovici njihovih duzina, pa se moze napisati: x + 2 y x

= 15   ⇒ 3 y + 2 y = 15 ⇒ y = 3 = 3y

x = 3y = 3⋅ 3 = 9 ⇒ x = 9

12. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y . Sredisnjica sjece dijagonalu na dva jednaka djela, pa se moze napisati: AB  CD ⇒ DF

= FB ⇒ x = 8

CG = GB =

1 2

CB ⇒ y =

15 2

= 7.5

13. Zadana je lik u obliku zvijezde sa pet krakova. Izracunaj nepoznanicu x . Zbroj unutarnjih kuteva poligona iznosi:

∑ K

u

∑ K

u

= 180° ( n − 2)

= 180° ( n − 2 ) = 180° ( 5 − 2) = 540° ⇒ 5Ku = 540° ⇒ K u =

540°

5 Iz slike je vidljivo, dijagonale sjeku unutarnji kut na 3 jednaka djela: K u

= 3x ⇒ x =

108°


3

= 36° ⇒ K u = 36°

16

= 108°


14. Zadana je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y . Sredisnjica sjece dijagonalu i bocne stranice na dva jednaka djela. CF

= FB ⇒ 2 x − 7 = 45 ⇒ x = 26


AG = GC ⇒ 3 y + 4 = 67 ⇒ y = 21

17


5.5 Povrsine likova, geometrijska tijela Povrsina geometrijskih likova Povrsina geometrijskih likova racuna se po znanom nacinu: sirina pu ta visina. Citaoc mor sam definirati te dvije kategorije prilikom postave zadatka. Za poligone - mnogokute vrijede slijedece: Povrsina poligona je sastavljena iz vise elementarnih djelova, obicno trokuta i moze se razviti u:

trapez - ako je broj stranica neparan paralelogram - ako je broj stranica paran

Na osnovu toga, povrsina poligona je jednaka: P P

=

 P P = Povrsina poligona O P ⋅ a  OP = Opseg poligona 2  a = okomita udaljenost stranice od sredista poligona(apothem)

Za likove kojima je osnova kruznica, treba primijeniti pravilo za povrsinu kruga r 2π . Geometrijska tijela Volumen tijela se u pravilu racuna: povrsina baze puta visina. Povrsina tijela se racuna tako, da se izracuna povrsina ploha tijela, koje su o bicno geometrijski likovi (trokuti, krug, paralelogrami) i inda se te povrsine zbroje. Volumen stozaca i piramida racuna se po jednadzbi: Volumen kugle jednak je V K

2 3

1 3

povrsina baze puta visina.

volumena valjka kome je visina jednaka promjeru:

2

2

2

4

3

3

3

3

= VV = r 2π ⋅ h = r 2π ⋅ 2r = r 3π

VK

4

= r 3π 3

1. Izracunaj povrsinu pravilnog sesterokuta, kome je najkraca udaljenost stranice od sredista opisane kruznice a

= 41 cm a duzina stranice st = 34 cm.

Opseg sesterokuta: O

= 6 ⋅ st = 6 ⋅ 34 = 204 ⇒

Geometrija – Povrsine likova, tijela

18

P P

O

= P

⋅a

2

=

204 ⋅ 41 2

= 4264cm2


2. Izracunaj povrsinu zadanog paralelograma ako su poznate velicine prema slici. O = 2 x + 2 x + ( 2 y − 2) + 3 x = 7 x + 2 y − 2 ⇔ O = 40 = 7 x + 2 y − 2

⇒ 7 x + 2 y = 42

= 2 y − 2 ⇒ 3x − 2 y = − 2 Rjesenje jednadzbi iznosi: x = 4 y=7 Iz paralelograma imamo: 3 x

3. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. Povrsina istostranicnog trokuta stranice a

= 6 iznosi: P  =

a2 3 4

=

62 3 4

Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l ° = 360° − 60° = 300° , r =

2

:

2

6 300° 9 ⋅ 300° 15 =   π = π= π P = r π ⋅ 360°  2  360° 360 2 2

l °

a

=9 3

Sveukupna povrsina lika iznosi:

P = P

15

45

2

2

+ 3P  = 9 3 + 3 π = 9 3 +

π

4. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. Povrsina kvadrata stranice a

= 18 iznosi: P = a 2 = 182 = 324

Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l ° = 90° , r =

2

:

2

18 90° 81 ⋅ 90° 81 P = r π ⋅ =   π = π= π 360°  2  360° 360° 4 2

l °

a

Sveukupna povrsina lika iznosi:


P = P

19

− 4P  = 324 − 4⋅

81 4

π = 324 − 81π


5. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. Povrsina istostranicnog trokuta stranice a Povrsina kruga radijusa r

=

a 2

= 12 iznosi: P = a 2

3 4

= 122

3 4

= 36 3

2

 12  P ○ =   π = 36π 2

:

Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l ° = 60°, r =

a 2

; To su dvije neobojane i

jedna obojana povrsina unutar trokuta. l °

2

12 60° 36 ⋅ 60° =   π = π = 6π P = r π ⋅ 360°  2  360° 360 2

Sveukupna povrsina lika iznosi: Povrsina kruga radijusa r, plus povr sina trokuta umanjena za tri kruzna isjecka: P

= P○ + ( P − 3P  ) = 36π + ( 36 3 − 3 ⋅ 6π ) = 36π + 36 3 − 18π = 36 3 + 18π

6. Nogometna lopta je u kutiji (kocka) sa stranicom a

= 25cm , koji je jednak promjeru lopte.

Koliki postotak volumena je oko lopte? Volumen kocke je: Vk

= a3 = 253 = 15625cm3 4

4 a

3

4  25 

3

= r π =   π =   π = 8181.231cm3 3 3 2 3 2  V − V l 15625 − 8181.231 pv = 100 ⋅ k = 100 ⋅ = 100 ⋅ 0.4764 = 47.64% Volumen lopte je: Vl

3

V k


15625

20


7. Silos ima oblik valjka koji ima na vrhu oblik polukugle radijusa r

= 4m . Ukupna visina silosa

je h = 7.5m. Izracunaj volumen silosa. Volumen silosa cine valjak i polukugla. Visina valjka je hv

= h − r = 7.5 − 4 = 3.5m a baza ima r = 4m

= r 2π ⋅ hv = 42 π ⋅ 3.5 = 56π m3 14 3 4 ⋅ 64 64 14 Volumen polukugle iznosi: V pk =   r 3π = 4π = π = π m3 23 6 3  2 3 Volumen valjka iznosi: Vv

Volumen silosa iznosi:

V s

= Vv + Vpk = 56π +

64 3

π = 77.33π = 310m3

8. Keopsova piramida ima za bazu kvadrat sa stranicom duzine a

= 230.4 m

a visina

piramide je h = 147 m. Izracunaj priblizno koliko je kamenih blokova dimenzije Pk

= 2.3 × 1.8 m bilo potrebno za poplociti pir amidu, ukljucujuci i bazu.

Povrsina piramide iznosi: cetiri povrsine trokuta plus povrsina base: P P

= P + 4 P ⇒ P = a2 = 230.42 = 53084.160m2 2

 230.4  + 230.4 147 2  2  b ⋅ v a  2  a     = =  h +   = P  = 21514.982m 2 2 2 2  2    P P = 4 P+ P = 4 ⋅ 21514.982 + 53084.160 = 139144.088m2 2

Za poplociti piramidu trebalo je : n =


P P P k

=

21

139144.088 2.3 ⋅ 1.8

 33610 kamenih blokova



22

Geometrija.pdf

Recommend Documents