GEOMETR GEOMETR A 2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS
VI. GEOMETRÍA DEL ESPACIO
a).- Secantes .Secantes .- Tiene una recta común. P
La geometría del espacio o estereometría tiene por objeto el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir de las figuras cuyos puntos puntos no pertenecen pertenecen todos a un mismo plano, si no al espacio tridimensional, por ejemplo el prisma, el cilindro, la esfera, etc.
Q
l : recta común
b).- Paralelos.Paralelos.- No tienen punto común.
P//
Q
P
A
b) Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano el punto de intersección de esta segunda y un punto cualquiera de la primera determinan una tercera perpendicular a la recta contenida en el plano.
3. ÁNGULO DIEDRO
2. PLANO:
B
Si A y B pertenecen al plano “P”; entonces la recta esta contenida en “P”. “Q” : no es un plano.
Q
2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO
Arista : OA , OA , OC
Caras : a°, b° y c°
Teorema : o° < a° + b° + c° <360°
5. POLIEDRO Es el sólido formado por 4 o más polígonos planos, donde cada lado de un polígono pertenece a dos caras del sólido.
Poliedro convexo
Poliedro no convexo
Q
H E
F
A : Punto Punto común común B
b).- Paralelas: Paralelas: No tiene punto común. l
POSTULADOS PARA LA DETERMINACIÓN DE UN PLANO. Un plano queda determinado por :
P
L A
C
Es la figura por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro. A
a).- Secantes . Secantes . Tienen un punto común.
P
A
Elementos : Vértice : “O”
l 2
P
b°
a° B
l 1
P
Es una superficie ilimitada de puntos donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente contenida en el plano.
c°
l
l
1. INTRODUCCIÓN.
O
2.3 TEOREMAS a) Recta perpendicular a un plano. Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en él.
Q
Elementos : Caras :
P y
Q
Arista : AB Notación : Un : Un ángulo diedro AB. es es el ángulo plano o rectilíneo de la medida del diedro.
Teorema de Euler.
se cumple :
En todo poliedro
C+V=A+2 C = # de caras
GEOMETR A 5.1.- POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares, solamente existen 5 poliedros regulares y son:
d.- DODECAEDRO REGULAR
e.- ICOSAEDRO REGULAR
4.
a.- TETRAEDRO REGULAR S
a
G
a
a
* Caras: pentágonos regulares
12
a
G = Baricentro Caras = Triángulos equiláteros
6
6.1.- EL PRISMA Es el sólido cuyas caras bases son paralelas y congruentes todas la caras laterales son paralelogramos.
3
S=6a2
CLASES : Prisma recto.- Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
3
V=a
d
d=a
a
Prisma oblicuo.- Es aquel cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.
Prisma regular .- Es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
Prisma irregular.- Es aquel cuyas bases son polígono irregulares.
3
* Caras : Cuadrados c.- OCTAEDRO REGULAR S = 2a2
3
3
2
V= a
Nota .- La sección recta es el polígono cuyos lados son perpendiculares a las aristas laterales del prisma oblicuo. Además su área es diferente al área de la base.
a
3
h Cara lateral B
6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
b.- EXÁGONO REGULAR (CUBO)
a
* Caras : Triángulos equiláteros
12
a
a
Slateral = 2P (sección recta) . a
Arista lateral
3
3
h
a. El área de la superficie lateral de un prisma oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la arista lateral.
B
h V
En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polígonos regulares.
6.1.1.- PRISMA RECTO 2
3.
OBSERVACIONES: 1. Un prisma se denomina según el polígono que limita su base, así los prismas serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., según que sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares y
Base
b. El área de la superficie total de un prisma oblicuo es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.
Arista básica
a. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura.
Stotal = S lateral + 2S(base) c. El volumen de un prisma oblicuo es igual al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y una arista lateral.
Slateral = 2P (base) . h b. El área de la superficie de un prisma recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.
Volumen1 = S(base) . h
S total = S lateral + 2S (base) Volumen2 = S(sección recta) . a
c. El volumen de un prisma recto es el producto del área de la base y su altura.
6.1.3.- TRONCO DE PRISMA
Volumen = S (base) . h
Es la porción de prisma comprendido entre una de las bases y la sección que determina un planos secante a las aristas y no paralelo a las bases.
6.1.2.- PRISMA OBLICUO Sección recta
G
B
V = S(base) . h
a a
h
h
c
GEOMETR A 6.2.- EL PARALELEPÍPEDO Es el prisma cuadrangular cuyas bases son paralelogramos.
a. El área de la superficie lateral de un cilindro recto es igual al producto del perímetro de la base y su altura.
Paralelepípedo Rectangular .- Es un paralelepípedo recto, cuyas bases son rectángulos. También se llama ortoedro o rectoedro.
Slateral = 2P(base) . h
Slateral = 2P(sección recta) . g Slateral = 2r . g
g c d
Slateral = 2R. g
2 R b
a
1. El volumen de un paralelepípedo es igual al producto de sus 3 dimensiones. Volumen = a .b.c
2
2
2
d = a + b + c
b. El área de la superficie total de un cilindro oblicuo es igual al área lateral más 2 veces el área de la base (elipse).
b. El área de la superficie de un cilindro recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.
Stotal = Slateral + 2S (base) c.
Stotal = S(lateral) + 2S(base) Stotal = 2R . g + 2 R2 Stotal = 2R (g + R)
2. Diagonal : d
a. El área de la superficie lateral es un círculo oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la generatriz.
El volumen de un cilindro oblicuo es igual al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y su generatriz. Volumen = S base . h
c. El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base y su altura.
2
Volumen = S (Sección recta) .g
Volumen = S (Base) . h
6.3.- CILINDRO 6.3.1 CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN.-
Es el sólido generado por un rectángulo, cuando gira alrededor de uno de sus lados tomados como eje. B
h
g
Volumen = R2 . g 6.3.2.CILINDRO OBLICUO
Si se corta a un cilindro recto con dos plano paralelos se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses.
Vértic B
g
r
R
Las fórmulas aplicadas en un Nota .-
B
h
Slateral = P(base).ap b. El área de la superficie total de una pirámide regular es igual al área de la superficie lateral más el área de la base. Stotal = Slateral + S(base) c. El volumen de toda pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base y su altura. Volumen =
Apotema de la pirámide
S(Base) . h
Es la porción de una pirámide, comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a las aristas. Si el plano secante es paralelos a la base, el tronco de pirámide se denomina de bases paralelas. B2
B1
h
Volumen = (B1 B 1 . B 2 3
Altura de la pirámide (h)
1 3
6.4.2 TRONCO DE PIRÁMIDE
6.4.1 PIRÁMIDE REGULAR
Es la pirámide cuya base es una región poligonal regular y cuyo pie de la altura coincide con el centro de la base.
B
Sección recta
6.4.- LA PIRAMIDE Es el sólido cuya base es una región poligonal y cuyas caras laterales son regiones triangulares, que tienen un vértice común.
a. El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base y su apotema.
B2 )
6.5.- EL CONO Es el sólido geométrico determinado al hacer girar una vuelta a un triángulo
GEOMETR A longitud de la figura, por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad.
2) Stotal = Slateral + SB1 + SB2 g
h
A
h
3) Volumen = (B1 B 1 . B 2 3
R
B
NOTA.- Las fórmulas aplicadas en una pirámide regular son aplicadas también en el cono circular recto. 1)
Slateral = R. g
2)
Stotal = Slateral + S(base)
3)
Volumen =
3
Es la superficie que genera una semicircunferencia cuando gira una vuelta alrededor de su diámetro tomado como eje.
Sesférica = 4R2
1)
R
2) Volumen =
S(Base) . h
R3
eje Corte de la superficie obtenida
S = 2 x (l )
b. El volumen engendrado por la rotación de una figura que gira alrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del área de la figura por la longitud de la semicircunferencia que describe su centro de gravedad.
Uso esférico (superficie) Cuña esférica (volumen)
S C.G.
R
R
r
B2
3
2
h
S=
πR θ
90
V=
πR θ
De (II): a(b + c) + bc = 90 3 x 14 + bc = 90 bc = 48
a
Nos piden: V = 3 x 48
b
eje
* a - r + a + a + r = 18 a = 6 * 2[a(a - r) + (a - r)(a + r) + (a + r)a] = 208 a2 - ar + a 2 – r 2 + a2 + ar = 104 3 x 62 – r 2 = 104 r=2
270
R
7. TEOREMA DE PAPPUS – GULDIM
c 10
V = 144m 3
Solución:
Corte del volumen obtenido Corte del volumen obtenido
Del gráfico: b 2 + c2 = 100 2(ab+bc+ca) = 180 ab+bc=90 …(II) a+b+c=17 …(I) De (I) 2: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 17 2 a2 + 100 + 180 = 289 a=3
2.- Halla el volumen de un paralelepípedo rectangular sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 18m. Su área total es 208m 2.
x
1.- Calcula el volumen de un paralelepípedo rectangular, el área de la superficie total es 180m 2 la diagonal de la base mide 10m y la suma de las longitudes de las tres dimensiones es 17m. Solución:
B
eje
Es la porción de cono comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a dicho cono, si el plano es paralelos a la base, el tronco de cono se denomina de bases paralelas.
B1
4 3
ej x
l
6.6.1 SUPERFICIE ESFÉRICA.-
6.5.1 TRONCO DE CONO
g
B2 )
6.6. LA ESFERA Es el sólido geomét5ico determinado al hacer girar una vuelta a un semicírculo, alrededor de su diámetro tomado como eje.
Stotal = R. g+R2 Slateral = R (g + R 1
PROBLEMAS RESUELTOS
a
GEOMETR A 3.- En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es 60m 2, la suma de las longitudes de todas las aristas es 96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres dimensiones es 200m2. halla la longitud de la altura del sólido.
OA = 5(Teorema de Pitágoras) Nos piden: V = 5 x 5
2 x5
V = 125
2
u 3
P 30
Solución:
Del gráfico: a x b x Sen = 60 Datos: * 4(x + a + b) = 96 x + a + b = 24 ...(I)
5
* x2 + a2 + b2 = 200
5
2
De (I) x2 + a2 + b2 + 2(ax + bx + abSen )= 242 200 + 2[x(a + b) + 60] = 576 x(a + b) = 128 De (I): a + b = 24 – x luego: x(24 - x) = 8(24 - 8)
x
b 2
60m
a) VVV d) VFF
10
5
O 5
2
5
45°
R
5.- Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m de radio y el área lateral del sólido es 28m 2. Solución:
x = 8m
a
A
2
4.- Halla el volumen de un paralelepípedo rectangular si su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45° con la base y un ángulo que mide 30° con una cara lateral. Solución:
En el POR OR = OP = 5 2 (Notable 45°)
2).- Verdadero (V) o Falso (F): ( ) La proyección de un segmento sobre un plano es mayor que dicho segmento. ( ) La proyección de un segmento sobre un plano paralelo a él, es congruente con dicho segmento. ( ) La proyección de un segmento sobre un plano perpendicular a él, es un punto.
Sea “2p” el perímetro de la sección recta (SR) Dato: AL = 28 2p x a = 28 p x a = 14 Del gráfico: A SR = 3p Nos piden: V = 3p x a V = 3 x 14 SR V = 42m 3 a
3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08 NIVEL I 1).- Se tiene un círculo de diámetro AB; por “A” se levanta una perpendicular al plano del círculo, tomándose en ella un punto
b) VFV e) FFF
c) FVV
3).- Se tiene una circunferencia de centro O y diámetro 12cm. Por O, pasa una recta LO perpendicular al plano de la circunferencia. F, es un punto de L, tal que OF=8cm. Halla la distancia de F a cualquier recta tangente a la circunferencia. a) 6 d) 12
b) 8 e) 11
c) 10
4).- En una circunferencia de centro O, se inscribe un triángulo ABC, recto en B. Se eleva BF perpendicular al plano ABC, de modo que BF=AC. Si AB=6 y BC=8. Halla OF. a)3 2 b)4 5 c) 5 5 d) 6
5
e) 2
5
5).- Indica verdadero (V) o falso (F): Tres puntos determinan siempre un plano. Dos rectas determinan siempre un Plano. Si una recta es paralela a un plano, será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. Cuantas proposiciones son verdaderas.
6).- En un cubo, cuyas aristas tienen longitud “a” cada una, halla la distancia de un vértice al centro de una cara opuesta. a) d)
a 3
b)
2 a 6
e)
2
a 3
c)
3
a 2 2
a 5 2
7).- ABCD, es un cuadrado de lado “a”. Por B, se eleva BE perpendicular al plano ABCD, tal que BE=a. Si “O” es centro del cuadrado y “H” punto medio de CD, halla el área de la región triangular EOH. a) d)
a
2
5
b)
8 a
2
3
e)
5
a
2
5
c)
6 a
2
a
2
3
8
5
8
8).- ABC es un triángulo equilátero de lado “L” por B, se eleva BR perpendicular al plano ABC, de modo que: BR=L/2. Se trazan luego RA y RC .Halla el área de la región triangular ARC. 2
a)
L
2
2
b)
L
3
c)2
2
L
4
d)
L2
e)
5
L2 6
9).- Halla el máximo número de planos que determinan “n” puntos en el espacio. a) c) e)
n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) 6 n(n 1)(n 2)(n 3)
b) d)
n(n 1) 6 n(n 1)(n 2) 2
6
10).- Halla el máximo de planos que determinan “n” rectas en el espacio. a)
n(n 1) 6
b)
n(n 1) 2
GEOMETR A NIVEL II 1).- Dados 20 puntos no colineales y no coplanares, ¿cuántos planos como máximo se podrán determinar con estos puntos?. a) 1130 b) 1140 c) 1150 d) 1160 e) 1170
a) 1 d) 2,5
a) √11 b) 2√3 c) √13 d) √14 e) √15
B
X
C O
D 8).- Se muestra un círculo de centro “0” PA; es perpendicular al plano del círculo m AR = 60; AB = 10 y PR = 6 . Calcula PB. a) √110 c) √112
b) √111 d) √113
e) √114
P
P
P
P
A
4).- ABCD: Región cuadrada; PB es perpendicular al plano ABCD; AB=2 Y PB=3. Calcula la medida del ángulo formado por PD y el plano ABCD.
D 5).- En la figura ABCD: Región cuadrada, PB es perpendicular al plano ABCD, PB=BC=2 , “O” es centro. Calcula la distancia de “O” a PD.
IH Perpendicular al Plano ABC, siendo IH=3. Halla HC.
7).- ABCD cuadrado BP plano ABCD, AD = 2√2 Y BP = 3 . Calcula PO. (“o” centro del cuadro ABCD)
3).Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: ( ) Dos rectas paralelas a un plano, son paralelas entre sí. ( ) Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelas entre sí. ( ) Una recta paralela a uno de dos planos perpendiculares, es paralela al otro plano. ( ) Tres puntos no colineales determinan un plano y solo uno. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
B
c) 2
6).- Cuantos planos se determinan como máximo con 10 rectas y 8 puntos a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184
2).- Halla el máximo número de planos que determinan 10 rectas y 12 puntos del espacio. a) 220 b) 385 c) 150 d) 260 e) 370
a) 30 b) 37 c) 45 d) 16 A e) 15
b) 1,5 e) 3
.O
A
B
C R 9).- ABC, es un triángulo equilátero de lado 6 cm. Contenido en un plano P. Se elevan : BQ P y CR P , de modo que BQ=6cm y CR=3cm. Halla el área de la región triangular AQR a) 9
2
b) 9
6
c) 3
2
a) 10 d) 6
b) 7 e) 8
c) 5
NIVEL III : SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 1. La base de un prisma recto, es base de un tetraedro regular de altura 2 6 cm. Y el área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro. Halla el volumen del prisma. a) 50cm d) 53
b) 51 e) 54
c) 52
2. Halla el área lateral de un prisma oblicuo, cuya sección recta es un hexágono regular de área 24 3 U2. La altura del prisma es 3 3 u y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base. a) 140 u2 d) 146
b) 142 e) 150
c) 144
3. Halla el volumen de un prisma oblicuo triangular, sabiendo que el área de una cara lateral, es 5cm 2 y la distancia de la arista opuesta a ésta es 10cm. a) 35cm 3 d) 28
b). 25 e) 29
c) 27
4. La base de un tronco de prisma oblicuo triangular, tiene área 12. Halla el volumen del sólido, sabiendo que las aristas laterales están inclinadas 60° respecto a la base y tienen longitudes 3, 4 y 5 respectivamente. a) 22
3
b) 23
3
c) 24
3
5. Halla el volumen de un tronco de prisma recto, cuyas bases son un triángulo equilátero FED y un triángulo rectángulo isósceles ABC. Además una cara lateral es un rectángulo de lados 3 2 y 6; siendo los mayores son las aristas laterales. a) 30 d) 31.5
b) 30.5 e) 31
c) 31
6. Halla el área lateral y el volumen de una pirámide regular hexagonal, sabiendo que las caras laterales forman diedros de 45° con la base y las aristas básicas tienen longitudes “a” Dar como respuesta el volumen. a) d)
5
3
a
4 1
3
a
4
b) e)
3
a
3
2 3
a
c)
3
3
a
4
3
7
7. Las áreas de las bases de dos pirámides semejantes, son entre si 4 es a 9. Halla la relación de sus volúmenes. a) 1/8 d) 1/27
b) 8/27 e) 1/64
c) 27/64
8. En que relación se encuentran los volúmenes de los sólidos parciales que determina el plano mediatriz de la altura de una pirámide. a) 1/8 d) 1/7
b) 3/8 e) 1/2
c) 5/6
9. El volumen de un tetraedro ABCD, es 30 u3 sobre AB, AC y AD , se toman los puntos “M”, “N” y “R”, respectivamente. Si : AM=MB; AN=2NC y 2AR=3RD, Halla el volumen del sólido BCDRMN.
GEOMETR A 10. El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74 cm 3. Si su altura mide 6cm y el área de una de las bases es 16 cm 2 . Halla el área de la otra base, en cm 2. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 11. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel del agua sube a 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8cm. ¿cuál es el volumen del pedazo?. a) 150 b) 152 c) 174 d) 176 e) 175 12. AB y CD , son generatrices opuestas de un cilindro circular recto y O punto medio de BC . Siendo E un punto de CD , tal que OE AE , CE = 8cm. Y ED = 9cm. Halla el área total del sólido. a). 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278 13. En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de resolución, la altura es el doble del diámetro de la base. Si el vaso contiene un líquido que ocupa las ¾ partes de su capacidad, determinar el ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido esté por derramarse. a) 43° b) 44° c) 45° d) 46° e) 47° 14. Halla el volumen de un cilindro oblicuo, de base circular; sabiendo que la generatriz mide igual que el diámetro de la base y la distancia del centro Q de una de dichas bases a los extremos de un diámetro AC de la otra, son 9 y 13cm.;respectivamente.
15. Una población con 5 000 habitantes consume en promedio por persona 20 litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tengo además capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro. a)
1 3
2
d)
5 3
3
b)
π
2 3
2
π
e)
π
c)
3 3
2
π
5 3
2
π
16. La superficie lateral de un cono de revolución se interfecta por un plano paralelo a la base, determinando un cono parcial. Si las áreas laterales del cono parcial y tronco del cono, son entre sí como 4 es a 5; Halla la relación de volúmenes del cono parcial al cono total. a) 1/8 d) 27/64
b) 1/27 e) N. A.
c) 8/27
17. Dado un cono de revolución, de vértice E, y volumen 54cm 3 ,se traza un diámetro AC en el círculo de la base. Halla el volumen del tronco de cono que se determina al trazar un plano paralelo a la base, por el baricentro de la región triangular AEC a) 35cm 3. d) 39cm 3.
b) 36cm3. c) 38cm3. e) 34cm3.
18. Un cono de revolución, se l lama equilátero, si la generatriz mide igual que el diámetro de la base. Halla el volumen de un cono equilátera, conociendo el radio r de la esfera inscrita en él.
19. Halla el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que los radios de las bases, miden 8 y 12cm., respectivamente y que el área de la superficie lateral es igual a la suma de áreas de las bases. a) 3244 π/5cm 3. c) 3224 π/5cm3. e) 3274 π/5cm 3.
b) 3234 π/5cm3. d) 3264 π/5cm3.
20. Halla el volumen de un tronco de cono de revolución, cuyas bases tienen radios 4 y 9cm., respectivamente. El área total del cono, es 266πcm 2. a) 530πcm3. c) 532πcm3. e) 534πcm3.
b) 35° e) 65°
c) 45°
b) 300π/3 m2 d) 400π/3 m2
23. Halla el área de la superficie del sólido que se genera al girar la figura sombreada, alrededor del eje diametral CD , si m BC =120° y radio “r”. a) 3/2πr 2 d) 9/2πr 2
c) 34
25. En un recipiente que tiene la forma de un cilindro circular recto de altura igual al radio, se deposita arena, adoptando ésta la forma de una semiesfera cuyo círculo máximo coincide con la base del cilindro igual al radio de su base. ¿Qué fracción del volumen del recipiente no está ocupado?. a) 2/3 VC d) 7/3 VC
b) 4/3 V C e) 1/3 V C
c) 5/3 V C
CLAVES DE RESPUESTAS
22. Halla el volumen, en m 3, de un segmento esférico de una base, cuyo casquete tiene área 40π m 2 y el radio de la esfera mide 10m. a) 200π/3 m2 c) 500π/3 m2 e) 600π/3 m2
b) 24 e) 64
b) 531πcm3. d) 533πcm3.
21. En una esfera de radio “R”, una zona esférica de altura R/4, es equivalente a un Huso. Halla el ángulo correspondiente al Huso. a) 25° d) 55°
a) 14 d) 54
b) 5/2πr 2 e) 1/2πr 2
c) 7/2πr 2
24. Se funde una bola de plomo de radio
NIVELI 1) c
2) c
3) c
4) c
5) a
6) -
7) e 10)a
8) a
9) c
NIVEL II 1)b 6)b
2)b 7)c
3)b 8)b
4)b 9)b
5)c 10)b
1) e 2) c
3) b
4) c
5)d
6) c 7) b 11)e 12)d
8) d 13)c
9) c 14)a
10)d 15)e
NIVEL III
16)c
17)c
18)b
19)d
20)c
21)c
22)d
23)d
24)e
25)e
