SEMANA: 01 1) Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C tales que : AB
=
2 AB
Hallar AB . a) 2 b) 4
2
−
BC
2
AC
c) 6
Y AC
d)
=
a) 1!! b) 11! c) 12! d) 1*! e) 14!
12
e) 1!
11) Si &<
2) Sobre una recta se dan los puntos ",A,#,$,% de tal &anera que los cuatro pri&eros consti constituy tuyen en una cuater cuaterna na ar&'ni ar&'nica, ca, calcu calcular lar si KA 6&, RE 4 & y EN ( si EN = 2 AR . a) 2 b) 4 c) 6 d) e) 1! *) Sobre una l+nea recta se consideran los puntos A, B, C y tal que: que: A 2AC, 2AC, BC 4AB y C -d&. Hallar B. a) *& b) 6c& c) -d& d) 1d& e) 162c& 4) Si el suple&ento del co&ple&ento de * es i/ual & veces el co&ple&ento del suple&ento de 0. Hallar & cuando to&e su &+ni&o valor entero 3( &edida de un n/ulo /eo&5trico). a) 2-,4 b) 12, c) ,0 d) - e) 0) Sobre una l+nea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, , $ y 7, de &anera que: AB BC C( C( C7 2B$ 4A( Si, $7 14. Hallar C$. a) 0& b) 1!& c) 12& d) 14&e) 10& 6) A, B y C, son puntos colineales y cons consec ecut utiv ivos os.. 8 y %, bise biseca cann a AB y BC, BC, respectiva respectiva&ente &ente.. Hallar AC AC si: *8% 28C y AB 9 B% 2. a) 6 b) c) 1! d) 12 e) 16 ) $n una recta se to&an los puntos consecutivos: 8, , , ;, # y S donde: donde: 8 ; y ;#2#S. $ntonces e cierto que: a) 8# 2<*38 = 8S) b) 8# *<2 3;# = S) c)
8# *8S 9
# 2
d) 8# 438S > ;) e) 8# 2<* 38S > 8) ) Sobre una l+nea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y tal que AB.C BC.A . Hallar A si BC & y 2 AB AB *C a) *& b) 6& c) 12& d) 24& e) 4& -) el /r?ico ad@unto calcular si a<
1!) $n la ?i/ura &<
x
b
a) 1! b) 2! c) *! d) 4! e) 40 12) Si &<
1*) n n/ulo ADB &ide 24. $n la re/i'n eteri eterior or a dicEo dicEo n/ulo n/ulo se traFa traFa el rayo rayo
→
DC
.
Hall Hallar ar la &edi &edida da del del n/u n/ulo lo que que ?or& ?or&an an las las bisectrices de los n/ulos n/ulos ADC y BDC. BDC. a) 6 b) b) 1! 1! c) 12 12 d) 1 1 e) 2! 2! 14) 14) A, B y C son son tres tres punt puntos os coli coline neal ales es y consecuti consecutivos vos tales que: que:
AB BC
=
*BC AC = -6. Hallar AB. a) 12 b) 24 c) *6 d) *
2 *
e) 4
10) ados cinco cinco rayos coplanares coplanares →
→
y 2AB 2AB =
→
→
, , DA DB
→
DC , D y D$ , que ?or&an cinco n/ulos consecutivos cuyas &edidas son entre s+ co&o: 1, 2, *, 4, y 0. Calcular la &edida del &enor n/ulo ?or&ado por las bisectrices de los l os n/ulos ADB y CD. a) 4 b) 06 c) 6 d) 2 e) -6 16) , ;, #, S y G son puntos consecutivos de una recta. ;, biseca a G( # *#S( ;S 12 y G 4!. Hallar ;#. a) 2 b) 4 c) 6 d) e) 1! 1) ados los n/ulos adyacentes ADB, BDC y CD, tal que
→
→
y DC son rayos opuestos, el DA n/u n/ulo lo BD BD es rect recto. o. Halla Hallarr la &edi &edida da del del
n/ulo que ?or&an las bisectrices de los n/ulos ADB y CD. a) -! b) 1!0 c) 12! d) 1*0 e) 140 1) Siendo: 1<<2 , calcular x
a) 62 b) 6- c) 12! d) 121 e) 1*6
L1
3φ
105º
2φ
L2
1-) Si : L 1 << L 2 Eallar el n/ulo x . x
a) 22,0I b) 2,0I c) *!I d) *2,0I e) 4!I
L 1
4 x
21) Sean los puntos consecutivos , ;, # y S PQ
que: +
3
5 QR
. a) * b) 6
+
=
8 RS
QR 4 =
RS
=
132
5
.
y Hallar
PQ
c) -
d) 12
e) 4
22) a su&a de las &edidas de 2 n/ulos es !I y el co&ple&ento de la &edida del pri&ero es el doble de la &edida del se/undo. Hallar el valor de la raF'n arit&5tica de la &edida de dicEos n/ulos. a) 1! b) ! c) 6! d) *! e) 0! 2*) Si C : co&ple&ento, calcular K αK en : Cα = CC2α = CCC*α 16!I a) 0I b) 1!I c) 10I d) 2!I e) 20I 24) os puntos 8 y % dividen ar&'nica&ente al se/&ento AB . Calcular AB si : AM . AN AM
−
=
=
2!) Se tienen los n/ulos consecutivos ADB y BDC se traFan D7 y DJ bisectrices de los n/ulos ADB ADB y BDC respectiva&ente. respectiva&ente. Calcular la &edida del n/ulo ADC sabiendo que : AOG = 42° y COF = 6!° a) 4!I b) 4I c) 04I d) 62I e) 6I
2 PQ
=
+
x L 2
tales
26) $n una recta se to&an consecutiva&ente, A, B, C y de &anera que: AB, BC y C se encuentran en pro/resi'n arit&5tica, si: C 9 AB 6 y A 21( calcular AC AC a) 1! b) 11 c) 12 d) 1* e) 1 2) Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y tal que AC 1( BD 20. Calcular PQ siendo y ; puntos &edios de AB y CD respectiva&ente. a) 1 b) 2! c) 21 d) 12 e) 2) Sobre una l+nea recta se ubican ordena ordenada& da&ent entee los puntos puntos , ,$,#,, $,#,, siendo siendo PE &edia arit&5tica de # y RU y ade&s se cu&ple que: EU 2 2 EU 1, calcular la lon/itud de PU en &ts. a) 1 b) b) 2 c) * d) 4 e) 0 2-) L, D, son puntos colineales y consecutivos, tales que : 2 2 JO 3 OP 81 Hallar OP , si JP 36 a) * b) 6 c) - d) 12 e) 10 *!) Se dan los puntos colineales , %, , #, J, siendo punto &edio de UG , ade& ade&s s UN = PR . Calcular la lon/itud de NR ( si : UG 1 a) 6 b) b) c) d) - e) ! *1) *1) os punt puntos os cons consec ecut utiv ivos os : .$.#. $.#.. . pertenecen a la &is&a recta, $ es el punto &edio de Hallar si : PU . ER ( PR − RU = 64 . a) 16 b) 2- c) *2 d) *6 e)4! e)4! *2) os puntos $ y dividen ar&'nica&ente al se/&ento JO . Calcular JO si se tiene que :
+ AN
=
3
a) 2 b) 4 c) 6 d) e) 1! 20) 20) Sobr Sobree una una l+nea l+nea rect rectaa se cons consid ider eran an los los puntos , %, , # y J con la condici'n RG = 3 NP , Eall UP = NR y Eallar ar la lon/itud lon/itud del se/&ento UG . Si : * UN = 2 RG 2 µ. a) 12 b) 24 c) *6 d) 4 e) 6!
JE . JP
= 6 + JP a) 1 b) * c) - d) 12 e) 10 **) **) Sobr Sobree una una rect rectaa se ubic ubican an los los punt puntos os consec consecuti utivos vos A,B,C A,B,C,, ,,$,7 $,7,, sabie sabiendo ndo que se cu&ple que: AC + BD + CE + DF = 91 y JE
BE
=
5 8
AF .
Hallar AF . a) 02 b) 4 c) 04 d) 64 e) 06 *4) *4) Sobr Sobree una una rec recta se tie tienen nen los los punt puntoos consecutivos A, B, C y de tal &anera que AC
=
BD
−
a) 2
CD 4
( Eallar
4 AB
b) 0
=
BC
si :
20
c) 6
d) 4
e)
SEMANA: 02 1) $n la ?i/u ?i/ura ra ad@u ad@unt nta, a, el co&p co&ple le&e &ent ntoo del del suple&ento de θ es : C a) 10I 4! b) 1!I
α α A
θ
β β
B
B c) 2!I d) *!I e) *0I 2) $n un trin/ulo ABC, se tiene que: & MA 0*, & M C *!, BC , Eallar AB a) 4 b) 0 c) 6 d) e) * *) $n el Grin/ulo ABC se traFa la &ediana A8, lue/o se traFa la Cerviana B7 37 en AC) que interseca a A8 en tal que A 8. Calcular A7, si AC 12 a) 6 b) * c) 4 d) 0 e) 4,0 4) $n un trin/ulo ABC el n/ulo C I y el n/ulo B 22I. Hallar la &edida del n/ulo que ?or&a la bisectriF del n/ulo eterior B con la prolon/aci'n del lado AC . a) b) - c) 2! d) ! e) 0) $n la ?i/ura si/uiente : AB AC CD DE . Hallar KNK. =
=
a) b) c) d) e)
2 * 4 1 0
N
$
α) b) c) d) e)
C
)Calcular KαK si AB BC C $ $7 a) 10 B b) 1 c) α 2! d) α 24 e) *! 9) $n la ?i/ura ABA BC C C $, $ calcular
7
KNK.
a) b) c) d) e)
16I 1I 2!I 24I 26I
6
B
N A 1!) Si AJ 12, 7J * y calcular K7CK.
GE
C << AC ,
$
θ
α
C
θ
α α<2 2α α<* *α
D
α
X
C A
7
A
α
$
B
=
6 α α
7
J
11) a &ediatriF del cateto BC de un trin/ulo rectn/ulo ABC, recto en B, corta a la # 0. prolon/aci'n de la altura B! en ( A #P . Hallar el AC a) 1* b) 26 c) *2 d) 4 e) 0! 12) $n un trin/ulo ABC, B -!I y C 1I, Eallar el n/ulo ?or&ado por la bisectriF de B y la &ediatriF de AC. a) 21I b) 2*I c) 20I d) 2I e) 2-I 1*) e la ?i/ura, Eallar KK si AB BC B.
a) *!I B C b) 1!I c) 10I d) 20I !I e) 2!I 6) $n un trin/ulo AABC, 8, % y son puntos $ &edios de los lados AB AC y BC , respectiva&ente, si NP 1!& y A! es la altura del trin/ulo relativa a BC , Eallar M! . a) 1! & b) 0 & c) 12 & d) 10 & e) 2! & ) Hallar KNK en la si/uiente ?i/ura, si EF "" AC . B a) b) c) d) e)
6 4,0 12 4 A
14) $n un trin/ulo ABC. C > A 4I. BE es bisectriF eterior. Hallar la &edida del n/ulo C$B. 3$ en la prolon/aci'n de AC). a) 21I b) 22I c) 2*I d) 24I e) 20I 10) $n la ?i/ura. Halle el valor de AB si A MA = 5 3 0 a) 8 1! b) 10 c) % 2! d) 20 e) *!I *!I B C 16) ado el trin/ulo ABC donde su incentro es O y M AOC 14!. Calcular la &edida del n/ulo B. a) !I b) -!I c) 1!!I d) 11!I e) 12!I 1) a su&a de las distancias del baricentro de un trin/ulo a sus v5rtices es *6. Calcular la su&a de &edianas del trin/ulo. a) 4 b) 02 c) 04 d) 0 e) 62 1) $n la ?i/ura, Eallar el valor de KK. a) 2!I C 4=2! b) *!I c) 4!I d) 0!I e) 6!I 2=1! 19) $n un
∆ ;#, se traFan las &edianas 8 y
;% cortndose en el punto J calcular J = ;J( si J82 y J%* a)1! b)10 c)1 d)2! e)*!
20) Se/Pn la ?i/ura AB B y
C C$,
calcular B a) 1!I $ b) 2!I 4 ! I c) *!I 2 ! I d) 10I C , A e) 40I 21) ABC es equiltero y ; ;#, calcular B a) 0I b) c) d) e)
1!I 10I 2!I 1I
; *!I 2θ
θ
A # C 22) $l per+&etro de un trin/ulo rectn/ulo es *6.calcular el &+ni&o valor entero de la Eipotenusa. a) 12 b) 1* c) 14 d) 10 e) 16 2*) $n un ∆ ABC recto en B se traFa la ceviana A y lue/o el se/&ento $, $ en AC, tal que A A$ y $ $C, si 2& MBA M C, calcular: M BA a) 1 b) 2! c) 10 d) 20 e) *! 24) $n un trin/ulo AB, se traFa la ceviana BC, lue/o AB BC C calcular el valor del MABC, si M 2 a) *2 b) 6I c) 44 d) ! e) 2 20) Se/Pn la ?i/ura, calcular . 4!I !I a) 2!I b) *!I A c) 4!I d) 0!I 1!!I 2!I e) 6!I 26) Se/Pn la ?i/ura a > b 12I, calcular 9 y a) 1!I b b) 6I c) 12I a d) 24I e) *6I
y
A
2) $n un ∆ ABC se sabe que el n/ulo eterno de A es triple del n/ulo interior de C, la &ediatriF del lado AC corta al lado BC en Eallar B si AB y BC 1!. a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 2) Calcular el &ayor valor entero del lado AB en el ∆ obtusn/ulo ABC, obtuso en B, si CB * y AC 10 a) 1! b) 1* c) 14 d) 1* y 14 e) 10 2-) $n un trin/ulo ABC, AB BC y & M B 1!, calcular la &edida del n/ulo eterior en el v5rtice C. a) - b) 124 c) 1*6 d) 144 e) 1*2
*!) $n un trin/ulo rectn/ulo ABC, recto en B, se traFan la altura BH y la bisectriF interior A, las cuales se intersectan en . Si B y C 10. Calcular BC a) 1* b) 2! c) 2* d) *1 e) 2 *1) $n un trin/ulo ABC, las bisectrices eteriores de B y C se intersectan en un punto $, tal que B$ BC. Si la &MABC !. Calcular la &MA a) 2! b) 4! c) 20 d) 0! e) ! *2) $n un trin/ulo rectn/ulo ABC se traFa la ceviana B Gal que: &MBC 4&MBAC. Si A 11 y C *. Calcular: B a) 2 b) * c) 4 d) 0 e) 6 **) $n un pent/ono conveo ABC$, &MB &M &M$ -!, se traFa B% perpendicular a $. Si AB BC, A$ 2c&, C 0 c& y B% c&. Hallar $. a) 0 b) 6 c) d) - e) 1! *4) $n un trin/ulo ABC, &MC 2, Se traFa la cerviana B7 tal que: &MAB7 -, &M7BC -! y 7C 1. Calcular AB. a) 6 b) - c) 11 d) 12 e) 1 *0) Se tiene un trin/ulo acutn/ulo ABC, se traFa la altura BH y la &ediana C8. Calcular la &M8CA, si BH C8 a) 1! b) 2! c) *! d) 10 e) 40 36) ado un trin/ulo ABC y un punto de su interior, tal que, C AB y AC 16. Calcular: A si &MBA &MAC
< APC
< ABP
m
2
m
0
a) 4 b) 0 c) 6 d) e) 12 *) a &edida del &ayor n/ulo de un trin/ulo es el triple del &enor y la &edida del n/ulo inter&edio ecede a la del &enor en 4!. Hallar la &edida del n/ulo ?or&ado por las bisectrices del &enor y &ayor n/ulo de dicEo trin/ulo. a) 12! b) 1!6 c) 124 d) 116 e) 11! *) $n un trin/ulo ABC, &MA 26 y &MC 2. $terior&ente y relativo a AC, se to&a el punto , siendo: &MAC 26 y & M CA 1-, si BC 1!. Hallar C a) b) 12 c) - d) 2 e) 6 2 *-) $n un trin/ulo ABC cuyos lados son AB -, BC 12, y &MBAC = &MBCA M -!. Calcular la su&atoria de los valores enteros que puede to&ar AC. a) -6 b) 111 c) -! d) 0 e) 6 4!) $n un trin/ulo ABC se traFan las bisectrices interior de A y eterior de C que se interceptan en $. Si la &MA$C *6 y &MA > 8MC *2, Calcular la &MBAC a) 6 b) *- c) ! d) *0 e) 06
SEMANA: 03
1) $n un trapecio is'sceles se conoce que la altura &ide & y que la su&a de las bases &ide *!&. Hallar la dia/onal del trapecio. a) 1! & b) 1* & c) 10 & d) 1 & e) 2! & 2) as dia/onales de un trapeFoide &iden 12 y 10 c&. Calcular el per+&etro del cuadriltero que resulta de unir los puntos &edios de los lados del trapeFoide. a) 2 b) * c) 42
d) 21
e) 2
*) $n la ?i/ura &ostrada ABC es un ro&bo, calcPlese el valor de . B a) 4I
a) 2
b) 6I c) 6I
A
d) 26I
02°
C x
e) 02I 4) $n un trapeFoide ABC se sabe que: m∠ B + m∠C = 24° , calcular el &ayor n/ulo que ?or&an las bisectrices de los n/ulos A y . a) 126 b) 120 c) 124 d) 1*! e) 1*4 0) $n un pol+/ono re/ular la sustracci'n entre las &edidas de su n/ulo interior y eterior es i/ual a 1!!. Calcular la su&a entre el nP&ero de dia/onales y el nP&ero de dia/onales &edias. a) 6! b) 60 c) 6* d) 61 e) ! 6) Calcular el nP&ero de lados de un pol+/ono re/ular cuyo lado &ide 4 c&( si el nP&ero total de dia/onales es nu&5rica&ente i/ual a cuatro veces su per+&etro. a) *0 b) *! c) 42 d) 40 e) *6 ) Calcular la su&a de las inversas de los nP&eros de lados de 2 pol+/onos re/ulares( si sus n/ulos eteriores son suple&entarios. a) <* b) <4 c) <0 d) 1<6 e) 1<2 ) $n un ro&boide ABC, la &ediatriF de BC intercepta a A en el punto $, tal que A$ AB. Hallar & M A, si & M $C 24. a) 6 b) 66 c) ! d) 6 e) -) $n un cuadrado ABC se prolon/a AD Easta un punto $ de &odo que M AC$ -I( si CE 2!&. Calcular el per+&etro del cuadrado. a) 4! b) 42 c) 4 d) 0! e) 6! 1!) Hallar la &edida del n/ulo . 16!I 10!I 1*0I 12!I 14!I
b) *
c) 4
d) 0
e) 6
14) Hallar el nP&ero total de dia/onales de aquel pol+/ono re/ular en el cual la &edida de un n/ulo interior es 16I. a) 2! b) *2! c) *60 d) 4!0 e) 46!
D
a) b) c) d) e)
11) Hallar el nP&ero de lados de un pol+/ono re/ular tal que si tuviera 4 lados &enos, la &edida de su n/ulo eterno au&entar+a en 24I. a) 1! b) 6 c) d) 12 e) 16 12) $n un trapecio ABC, 3 BC << A ), & M ABC 23& M CA) y AB 4. Calcule la lon/itud del se/&ento cuyos etre&os son puntos &edios de las dia/onales del trapecio. a) 2 b) *<4 c) 4 d) 1 e) *<2 1*) $n un ro&boide ABC, m∠ ABC = 10!° y BC = 16 , as bisectrices de los n/ulos A y se cortan en ;. Hallar la distancia de ; a C.
x x x
10) as &edidas de un n/ulo central y un n/ulo interior, de un pol+/ono re/ular, son entre s+, co&o 1 a 1-. Hallar el nP&ero de dia/onales que se pueden traFar desde un solo v5rtice. a) 6 b) * c) 4! d) 1 e) 4* 16) $n la ?i/ura &ostrada se tiene que ABC es un cuadrado y C$ es un trin/ulo equiltero. Hallar la &edida del n/ulo B$C. A B 6! a) $ N 60 b) 0 c) ! d) e) 0 C 1) a su&a de las distancias de los v5rtices de un paralelo/ra&o a una recta eterior es 06 c&. Calcular la distancia del punto de corte de las dia/onales a la &is&a recta. a) b) 14 c) 2 d) 2! e) *2 1) $n un rectn/ulo ABC se traFa la bisectriF # que corta al lado AD en el del n/ulo B punto K$K. Hallar el se/&ento que une los puntos &edios de EC y BD si AB a) 4 b) 4,0 c) * d) 0 e) 2,0 1-) $n un dodec/ono re/ular ABC$7Q. Hallar la &edida del &enor n/ulo que deter&inan las &ediatrices de AB y $7 . a) 6! b) 0! c) 2! d) 0 e) *! 2!) as dia/onales de un trapecio &iden 1! a 1. Calcular el &i&o valor entero de la &ediana. a) 11 b) 12 c) 1* d) 14 e) 10 21) $n un pent/ono conveo tres de sus n/ulos &iden 12!I cada uno, y los otros dos son con/ruentes. Hallar uno de estos Plti&os. a) ! b) 1*0 c) -! d) 1!0 e) 120 22) adas las si/uientes proposiciones :
O.
Cada n/ulo interior de un Ee/ono &ide 12!I OO. $n el dec/ono se pueden traFar *6 dia/onales OOO. $l pol+/ono re/ular cuyos n/ulos eteriores &iden *6I es un dec/ono Son verdaderas : a) Solo O y OOO b) Solo OO c) Solo O y OO d)Solo OOO e) Solo OO y OOO 2*) $l per+&etro de un trapecio is'sceles &ide 4 c&. Calcular la &edida de su base &ayor, si su base &enor, su base &ayor y el lado no paralelo, son entre s+, co&o 4 es a 6 es a 2. a) 24 b) *6 c) *! d) 26 e) 2 24) os n/ulos A yB de un trapeFoide ABC &iden !I y 1!!I. Calcular la &edida de los n/ulos ?or&ado por las bisectrices de los n/ulos C y . a) -! b) 0 c) ! d) 0 e) ! 20) Hallar la lon/itud de la &ediana de un trapecio ABC si : BC << A, BC * ( M A 0*, AB 0, M 40 a) 0,0 b) 6,0 c) ,0 d) ,0 e) 4,0 26) Se tiene un pol+/ono re/ular en donde la su&a entre la &edida de un n/ulo interior y la &edida de un n/ulo eterior es i/ual al triple de la &edida del n/ulo central. Calcular el nP&ero total de dia/onales. a) 6 b) c) d) - e) 1! 2) Calcular la &edida del n/ulo interior en un pol+/ono equin/ulo, si al traFar las dia/onales desde 4 v5rtices consecutivos, 5stas Eacen un total de 1. a) 1!I b) 12!I c) 1*0I d) 144I e) 10!I 2) $n un ro&boide ABC se sabe que: AB = 4 , BC = 2CD y que las bisectrices de los n/ulos A y B se cortan en 8. Calcular la distancia de 8 al punto &edio de C. a) 4 b) 0 c) 6 d) e) 2-) Greinta veces la &edida del n/ulo interior de un pol+/ono equin/ulo, es i/ual al cuadrado de la &edida de su n/ulo eterior. Calcular el nP&ero de dia/onales que se pueden traFar de * v5rtices consecutivos. a) 1! b) c) 12 d) 1* e) 6 *!) $n un pent/ono ABC$ se sabe que: BC = 6 , DE = 2 * , AE = 4 * , m∠ B = m∠C = m∠ E y m∠ A = m∠ D = -!° . Calcular AB = C. a) 6 b)
6
*
c)
d) 0
e)
*
*1) $n un cuadrado ABC, se prolon/a el lado Easta un punto $, desde el cul se traFa BC E! perpendicular a BD que intercepta a CD en 7( si AB 1!& y FD 4&.
Calcular la lon/itud del se/&ento que une los puntos &edios de AE y BD . a) 2& b) *& c) 4& d) 0& e) 6&
SEMANA: 04 1)as circun?erencias de centros A,B y C son tan/entes. Calcular el se&iper+&etro del trin/ulo ABC. # &. a) b) c) d) e)
*,0 & -& 14& 7altan atos
C
B #
A
2) Hallar el valor de KK si KDK es centro y es B punto de tan/encia. a) 2!I b) 20I c) 4!I d) *!I 4! e) *I A ! rectn/ulo es *)$l per+&etro de un trin/ulo *1.2!&, y su Eipotenusa &ide 1*&. Hallar la lon/itud de su inradio.
A
a) b) c) d) e)
2,6 ,2 4,2 0 2
B
C
4) $n una circun?erencia de centro D se tienen los puntos A, B y C, en ese orden, tales que ∩
AB
12!I, n/ulo DBC 40I. Hallar el n/ulo DAC. a) *!I b) 10I c) 0I d) 0I e) 6!I 5) #esponder verdadero 3R) o ?also 37) se/Pn corresponda : 3 ) Si un punto ubicado en el plano de una circun?erencia dista del centro un nP&ero &enor que el radio, el punto es interior 3 ) a circun?erencia, incluye al c+rculo 3 ) a &eadiatriF de una cuerda perteneciente a una circun?erencia pasa por su centro a) RRR b) R7R c) R77 d) 77R e) 7R7 6) esde un punto eterior a una circun?erencia se traFa una secante ABC y una ta/ente AD . Hallar el n/ulo AC, si se sabe que el n/ulo ∩ CA 06I y BC 44I.
a) 4
b) 06
c) 01
d) 46
e) 6!
C
a) 12 b) 1* c) 14 d) 10 e) 16
) $n la si/uiente ?i/ura se sabe que : α = β 124I. Hallar el valor del arco ∩ . B B A 124I b) 12!I β α c) 12I d) 1*!I C e) 1*6I ) Cunto &ide el &ayor de los n/ulos internos de un cuadriltero inscrito en una circun?erencia, si * de sus lados son i/uales entre si y el cuarto lado es el di&etroT a) 1!!I b) 12!I c) 14!I d) !I e) 11!I -) Hallar . a)
a) b) c) d) e)
0! 6! ! ! 40
1!) esde un punto eterior o una circun?erencia se traFa una tan/ente que &ide lo &is&o que el radio 1!c&. Hallar la distancia del punto a la circun?erencia. a) 1! b) 1! 2 c) 1! 2 >1 d) 1!3 2 >1) e) 2! 2 11) esde un punto eterior se traFa la tan/ente A a una circun?erencia y la secante BC que ?or&an en un n/ulo de 0!o. Si el arco BC &ide 12!o, Calcular el n/ulo ?or&ado por los se/&ento AC y BC. a) 2!o b) 20o c) *!o d) *0o e) 4!o 12) $n la si/uiente ?i/ura a = b = c 12( r 1 = r 2 2,0. Calcular d. a) b) c) 6 d) 0 e) 4
10) Calcular , si la &edida del arco $ es !o ( la &edida del arco C es 1*! o a) 66o b) 00o c) 60o d) 40o e) 4o
B C E A
x
a) b) c) d) e)
A
!o 20o 6!o 00o 4!o
B
a) b) c) d) e)
2 *6 12 04 1!
1) Calcular en: a)
4!o *!o 0!o 2!o 20o
b) c) d) e)
18)
Hallar si: = U 04. a) b) c) d) e)
16 1 1- 22 14
a) b) c) d) e)
*0 00 6! 0! 60
C
$
14) $n la ?i/ura A 6 y ;C . Calcular AC, Siendo ,; y B son puntos de tan/encia.
; C A
B
D
16) $n la ?i/ura &ostrada, calcular ( donde A y B son puntos de tan/encia.
1-) Hallar si D es centro. 1*) Calcular la &edida del arco B si la &edida arco AB ≅ a la &edida del arco A$ ≅ a la &ediad del arco $ , & ∠C 2!o
82o
2!) $n la ?i/ura: # , r 0, B$ T a) b) 1! c) 11 d) 12
e) 21) $n la ?i/ura calcular el valor de x a) 4! b) 40 c) 0! d) 00 e) 6! x
2-) esde un punto KK eterior a una circun?erencia se traFan las secantes AB y C , si las cuerdas BC y A son perpendiculares y & M B 2!I, calcular la
4!°
22) $n una circun?erencia de centro D se to&an los puntos A, B y C de &odo que: ∠OCB = 10°, ∠OAB = *!°. Hallar el n/ulo ADC. a) 2I b) *6I c) 0I d) 40I e) -!I 2*) $n el /ra?ico B Calcular a) 2 b) * c) 1,0
60º
O
x
6
d) 1<2 e)
A
24) $n un trin/ulo ABC se inscribe una circun?erencia que es tan/ente a los lados AB BC y AC en los puntos , ; y # respectiva&ente, si & M #; 0!I, calcular & M ABC. a) 6!I b) !I c) !I d) -!I e) 1!!I 20) Hallar el valor de KαK en el cuadrante &ostrado. α a) 4!I b) 40I c) 0!I d) 00I ! e) 6!I 26) $l per+&etro de un cuadriltero circunscrito a una circun?erencia es de 2*& y el lado &enor &ide *,0&. Cunto &ide el lado &ayorT a) 1! b) c) ,0 d) -,0 e) 6 2) Si en un sector de 6!I de una circun?erencia de radio 12& se inscribe una circun?erencia, entonces el radio de esta Plti&a &ide:
a) b) c) d) e)
2& *& 4& 0& 6&
&edida del arco ∩ . B a) 60I b) 1*!I c) 40I d) -!I e) 11!I *!) os di&etros de dos circun?erencias en el &is&o plano estn en la relaci'n de 0 a *, y la distancia entre sus centros es co&o 1. Gales circun?erencias son: a) $teriores b) Onteriores c) Secantes d) Gan/entes interiores e) Gan/entes eteriores
SEMANA: 05 1) Si AB 4( BC *( C << $H. Hallar Si HF 4,0 y 1 << 2 << * a) b) c) d) e)
CH .
6 ,0
2) Si los tres son cuadrados calcular .
a) * b) 4 c) 0 d) *,0 e) , *) $n un sector circular de una circun?erencia de radio 0 se Ea inscrito una circun?erencia de radio 1 Calcular la cuerda del sector circular. a) 1,4 b) 1,0 c) 2 d) 2,4 e) 2,0 4) $n el paralelo/ra&o ABC, la recta traFada por A intersecta a BD en 8, a BC en % y a C en ;. Si 8% a, %; b. Calcule A8. a) b(a + b) b) ab c) a(a + b)
% O
12&
2) esde un punto KK eterior a una circun?erencia de centro KDK, se traFan las tan/entes PA y PB , si & M AB 2!I. Calcular & M ADB. a) 1!!I b) 2!!I c) 16!I d) !I e) 12!I
d)
a(a + b) 2
e)
b(a + b)
2
0) $n la ?i/ura ad@unta: L1 //L 2 , L 3 //L 4 //L 5 , AB 1 BC 2u( C *u y $ 4u. Halle la lon/itud de 7J. a) 2 b) c)4 d)11<* e) 6
6) $n la ?i/ura, G es punto de tan/encia. Halle . a)
ab
b) c)
8A% es i/ual al per+&etro del trapecio B8%C a) 2 b) * c) 4 d) 0 e) 6 1*) ABC es un cuadrado si B 2&, C 4&, Eallar 8%.
2ab
2ab a+b
d) ab
b(a + b)
e)
) $n la ?i/ura. AB 12, BC 16 y A C. Calcular DE
a) 6.0 b) 4 c) d) .0 e) ) as bases de un trapecio &iden * y 0 &ts., su altura 2&t. Hallar la altura del &ayor trin/ulo que se ?or&a al prolon/ar los lados no paralelos. a) 2 b) * c) 4 d) 0 e) 6 -) $n la ?i/ura A7 4&, 7$ 2&. Hallar $C.
a) 2& b) 4& c) 6& d) & e) & 1!) $n un trin/ulo ABC 3AB BC), la &ediatriF de BC corta en 7 a AC. or 7 se traFa 7H << BC 3H en AB). Hallar AB, si 7H 1 y 7C 6
a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 11) $n la ?i/ura &ostrada se cu&ple que: BD // CE // OR . Si # a y #$ b, entonces la lon/itud de AD es:
a) d)
ab a+b
a(a + b) b
−a
b)
2ab a+b e)
2
a
c)
2 ab
2
+b
12) os lados de un trin/ulo ABC BC 6 CA , AB 4 por un punto 8 de AB se traFa la paralela 8% a BC Eallar la lon/itud de A8 de &odo que el per+&etro del trin/ulo
a) * b) 4 c) 6 d) 4,0 e) *,0 14) el /ra?ico se cu&ple B A; y C# 4&. Calcular #.
a) *& b) *,0& c) *,2 d) & e) 1,6& 10) $n la ?i/ura, calcule .
a) ,0 b) -,! c) 11,0 d) 12 e) 12,0 16) $n un trin/ulo ABC, 0AB 2BC, se traFa la altura BH tal que & M HBC *&MABH, AH 2 u deter&ine HC. a) 2 b) 4 c) d) 12 e) 1 1) $n un trin/ulo ABC, O es incentro y $ es el ecentro relativo a BC. Calcular O$, si AO *, AB 0 y AC 6 a) * b) 4 c) 0 d) 6 e) 1) $n el trin/ulo ABC, AB 6, BC , se traFan la bisectriF interior B y la &ediana B8 de &odo que 8 !,0. Calcular AC. a) 1! b) c) d) e) 2! 1-) $n un trin/ulo ABC se traFa la ceviana interior B,la bisectriF del n/ulo BAC interseca a B en 7. Calcular AB, si A 6,B7 *, C 0, & M BC & M CB a) b) 1! c) 12 d) e) 14 2!) $n un trian/ulo ABC se veri?ica que & M B 12!I y ade&s que los lados a y c se relacionan as+:
1
1
c
a
0, 3 .
Calcular la
lon/itud de la bisectriF interior B. a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 21) ado un paralelo/ra&o ABC, AB 4, BC, en la dia/onal AC se to&a el punto
, si la distancia de a AB es i/ual a 2 calcule la distancia de a A. a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 22) $n un paralelo/ra&o ABC, por el v5rtice A se traFa una recta secante que intersecta a la dia/onal B en 8, al lado BC en % y a la prolon/aci'n del lado C en ;, si 8% 4 y %; 6 Eallar A8. a) 4 b) 6 c)2 1! d)4 1! e) 1! 2*) as &edidas de los lados de un trian/ulo son nP&eros enteros y consecutivos. Hallar su per+&etro si la &edida del &ayor n/ulo es el doble de la &edida del &enor. a) b) 1! c) 12 d) 10 e) 14 24) $n un trin/ulo ABC se tiene que los lados, AB y BC su&an 16 c&. Calcular el tercer lado sabiendo que es paralelo al se/&ento que une el baricentro con el incentro. a) 2 b) 4 c) 6 d) e) 1! 20) $n la ?i/ura calcular D$, si L 6. a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 26) $n el trin/ulo ABC, se traFan las cevianas A8, B y C% concurrentes en el punto o, si se cu&ple que A% 8C, A 2 y B% 2C , Eallar B8. a)1 b)2 c)* d)4 e)0 2) Si EB <<C, $7<< B donde AF *&, . FB 2&. Hallar BC A a) b) c) d) e)
2& * 1<* & 2 1<0 & * 2<* & *&
F E
D
B
C
2) $n un trin/ulo ABC se cu&ple que & M BAC 2& M BCA( AB 6 y AC . Hallar la lon/itud de BC. a)* 21 b) 21 c)2 21 d)2 14 e)* 14 2-) as bases de un trapecio &iden 1! y 2!( se traFa una paralela a las bases que divide a los lados no paralelos en dos se/&entos proporcionales a 2 y *. Calcular la lon/itud de dicEa paralela. a)- b)1! c)12 d)10 e)14 *!) $n un trin/ulo ABC recto en B se traFa la altura BH, lue/o se ubican los puntos &edios 8 de BC y % de BH tal que A8 2A%.Calcular & M C. a)*!I b)40I c)*I d)0*I e)6!I
SEMANA: 06 1) $n la ?i/ura , Halle AB , si A b y B% a a) a 2 − b2 ' b) 2a 2 − b2 c) a2 − 2b2 d) a2 + b2 e) 2a2 + b2 2) $n un trapeFoide ABC, AB (C( BC 1*, A - y MBC MBA = M BA. Calcular C, si B 0. a) 0 b) ,0 c) 0 2 d) 1! e) 1! 2 *) $n un paralelo/ra&o ABC, las dia/onales AC y B &iden 12 u y u . a circun?erencia circunscrita al trin/ulo AB intercepta a BC y es tan/ente a C en . Calcule C. a) 2 0 b) 2 6 c) 2 1! d) 6 * e) 4 *
4) $n un trin/ulo obtusn/ulo ABC obtuso en A, se traFa su altura BH . Hallar BH2 9 AH2, si BC2 9 AC2 . a) 4 b) 6 c) d) 12 e) 16 0) $n el cuadrado ABC, 8 es un punto de AB y % de A tal que el n/ulo C8% es recto. Si B8 N( 8% V y % W. Cul es la relaci'n correctaT a) V2 N .W b) V2 2NW 2 2 2 c) N = y W d) N2 V2 = W2 e) N =V W 6) os lados consecutivos de un trapeFoide &iden 2, * y 4. Si las dia/onales son perpendiculares deter&ine la lon/itud del cuarto lado. a) b) 11 c) 0 d)* e) 4 ) $n el cuadrante ADB se inscribe una seîun?erencia con di&etro AD, la prolon/aci'n de la cuerda D de la seîun?erencia intercepta al cuadrante en ;. Si ; * y G 4, siendo G XX AD y G en DB. Calcular D. a) * b) 4 c) 0 d) 6 e) ) $n un paralelo/ra&o ABC & ∠ AB -!o, a circun?erencia de Centro D inscrito en el trin/ulo AB es tan/ente con A en 7 A7 4, 7 6, BC DC, DC ∩ { E} . Calcule C$. a) 6 b) 0 c) d) e) -) $n el trin/ulo rectn/ulo is'sceles ABC recto en B, se traFa una circun?erencia de centro D y di&etro BC, lue/o se traFa 8 XX AB 3 pertenece a DB), la circun?erencia intersecta a 8 en $. Si 8$ $, y AB 4. Calcular D. a) 1 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1, 1!) Se tiene un cuadrado ABC cuyo lado &ide , se traFa una circun?erencia, que pasando por los v5rtices A y B es tan/ente a C. Hallar el radio de la circun?erencia.
0 * c) d) e) 0 0 11) Gres lados consecutivos de un cuadriltero &iden *, Y0 y 4. Si las dia/onales del cuadriltero son perpendiculares. Hallar el cuarto lado. a) 0 b) 2 0 c) 2 * d) *,0 e) 4 12) $n un trin/ulo is'sceles ABC 3AB BC). a altura A7, intersecta a la altura BH en D. Si DB 0 y DH 1. Calcule DA. a) b) 2 c) * d) 4 e) 0 a)
4H
b)
21) $n una circun?erencia de radio 20 c&. Se traFa la cuerda AB y sobre ella se ubica el punto , tal que( A. B 4!! c&2. Hallar la distancia del punto al centro de la circun?erencia. a) 12 c& b) 1* c& c) 14 c& d) 10 c& e) 1 c& 22) a su&a de los cuadrados de las dia/onales de un ro&boide es ". Hallar la su&a de los cuadrados de los dos lados di?erentes del ro&boide. a) "
1*) $n la ?i/ura &ostrada AC es di&etro si A , C 1 y & ∠ AB 40o, Hallar B. a) b) c) d)
7 5
3 5 4 5
6 5 2
e) 5 14) $n un trin/ulo rectn/ulo, la su&a de las lon/itudes de las alturas es 4 y la Eipotenusa &ide 20. Halle la lon/itud de la &enor altura a) 12 b) 1* c) 12,0 d) 1! e) 10) as bases de un trapecio &iden 2 y , sus lados no paralelos &iden * y 0. Calcular la lon/itud de la altura del trapecio. a) d)
2
14 3
14
b) e) 3
14 3
c) 4
14 3
14
2
16) os lados de un trin/ulo &iden ( y -. $ncontrar la &ediana relativa al lado que &ide . a) 0 b) 6 c) 6,0 d) 0,0 e) 1) $n el aralelo/ra&o ABC, B es perpendicular a C, los lados AB 6 y BC - se traFa la altura BH en el trin/ulo AB. Hallar H. a) 4 b) 0 c) 6 d) e) 1) $n el trin/ulo rectn/ulo ABC recto en B se traFa la perpendicular 8% al lado AC 38 punto &edio de AB y % en AC) Si A% V %C 1!. Hallar BC. a) 0 b) 6 c) d) e) 1-) Hallar el n/ulo a/udo de un trin/ulo( si el cuadrado de la Eipotenusa es i/ual al doble producto de sus catetos. a) *! b) * c) 40 d) 0* e) 6! 2!) $n una circun?erencia se inscribe el cuadriltero ABC( MB M -!, la &edida del M BAC 40( ade&s A 4 y C 6. Hallar la lon/itud de B. a) 4 2 b) 0 2 c) 6 2 d) 4 * e) 0 *
b) 2"
c)
" 2
d)
*" 2
e)
" *
2*) Calcular el di&etro de una circun?erencia, si una cuerda de ella, que &ide 1, subtiende una ?lecEa de *. a) 10 b) 1 c) 2! d) 20 e) *! 24) $n un trin/ulo ABC( AB 2 = BC2 20!, se traFa la &ediana B8. Hallar B8. Si B8 AC a) 0 b) ,0 c) d) e) 1! 20) Calcular el &ayor n/ulo a/udo de un trin/ulo rectn/ulo, si las proyecciones de los catetos sobre la Eipotenusa estn en la relaci'n de 1 a *. a) 1 b) * c) 40 d) 0* e) 6! 26) os lados de un trin/ulo &iden 2,* y 4. Hallar la altura re?erente al lado *. 0 10 a) 10 b) 10 c) d) e) 2 2 * 2 0
2) $n un trin/ulo ABC, se traFa la bisectriF interior B. Si AB 4, BC 6 y A 2. Calcular B. a) 2Y2 b) *Y2 c) Y2 d) 4Y2 e) 4 2) os catetos de un trin/ulo recto &iden 10 y 2!. Calcular la lon/itud de la altura re?erente a la Eipotenusa. a) - b) 1! c) 11 d) 12 e) 1* 2-) $n la ?i/ura AB 2 , $ *. Halle JB a) 0 b) 2 0 c) 0 d) * * e) 4 2 *!) A dos circun?erencias conc5ntricas de & y 11& de radio, se traFa una secante tal que la cuerda interceptada por la circun?erencia &ayor resulta dividida en tres partes i/uales por la otra circun?erencia. icEa cuerda &ide: a) 6 2 b) 12 c) 12 2 d) 1 e) 1 2
SEMANA: 07
1) $n una circun?erencia de di&etro AB , se traFa la cuerda C, cortando a AB en $. Si el arco CB 12!I y ade&s CD 1!&, DA 2&. Hallar el rea del trin/ulo AC. a) 0 &2 b) &2 c) 1! &2 d) 16 &2 e) 1 &2 2) as reas de 2 trin/ulos de i/ual altura son entre s+ co&o *<0. Calcular la base &ayor, sabiendo que la &enor es 12&. a) 1! b) 2! c) *! d) 4! e) 0! *) Calcular el rea de un trin/ulo cuyos lados son : 6, y -. $l radio del c+rculo circunscrito es 1!&. a)1!, &2 b) 12, &2 c) 10 &2 d)16 &2 e) 2! &2 4) Cul es el radio de un c+rculo inscrito a un trin/ulo cuya rea es 22&2 y per+&etro i/ual a 2! &T a) 2,2 & b)* & c) 4 & d) 6 & e) & 0) $l per+&etro de un trin/ulo es 1&. y est circunscrito a una circun?erencia de *&. de radio. Hallar el rea del trin/ulo. a) 2! &2 b) 2 &2 c) *! &2 d)*0 &2 e) 04 &2 6) Hallar el rea so&breada si *C. Ade&s el rea del rectn/ulo ABC &ide 64&2.
a) 1!&2 b) 10&2 c) 2!&2 d) 20&2 e) *!&2 ) $n un trapecio ABC 3A<< BC) se traFa JC <
circun?erencia, sabiendo que el punto de tan/encia con el lado oblicuo lo divide en dos se/&entos que &ide 1& y -&. a) *6 &2 b) 4! &2 c) 4&2 d) 44 &2 e) 02 &2 12) $n un trapecio rectn/ulo ABC, la & ≮ A & ≮ B -!I, sobre AB se to&a un punto , tal que la & ≮ A 2 & ≮ BC. Hallar el rea de la re/i'n trian/ular C, sabiendo que BC 4, A y A 10. a) 24 u2 b) *6 u2 c) *! u2 d) 2 u2 e) *4 u2 1*) n trapecio ABC esta inscrito en una seîun?erencia de di&etro A i/ual a 12&, la proyecci'n de uno de los lados oblicuos del trapecio sobre el di&etro &ide * &. Calcular el rea del trapecio. a) 1 * &2 b) 24 * &2 c) *! * &2 d) *6 * &2 e) 2 * &2 14) $n un trin/ulo rectn/ulo ABC recto en B, AB 6&( BC &. Hallar el rea del trin/ulo AOC siendo O el incentro. a) 10 &2 b) 1 &2 c) 1! &2 d) 12 &2 e) 1*! &2 10) Calcular la base &ayor de un trapecio cuya base &enor &ide 4&, sabiendo que dicEo trapecio es equivalente a un trin/ulo de base 16&, si la altura del trin/ulo es i/ual a la del trapecio. a) & b) 1!& c) 12& d) 14& e) 16& 16) $n un ro&boide ABC se considera en BC un punto , lue/o A y B se cortan en D, Eallar el rea del cuadriltero DC si las re/iones trian/ulares BD y AD son 4& 2 y -&2 a) 4 &2 b) &2 c) - &2 d) 12 &2 e) 11 &2 1) os lados de un trin/ulo ABC tienen lon/itudes c& y -c& respectiva&ente una seîun?erencia de radio 6 c& es tan/ente a AB y BC, teniendo su di&etro sobre AC. Hallar el rea del trin/ulo. a) *6 c&2 b) 42 c&2 c) 01 c&2 d) 0 c&2 e) 4 c&2 1) $n un trin/ulo rectn/ulo ABC recto en B se traFa la bisectriF interior A 3 en BC). Hallar el rea del trin/ulo AC si B 6& y AC 10 &. a) 4! &2 b) 40 &2 c) -! &2 d) *! &2 e) 6! &2 1-) $l per+&etro de un ro&bo es ! & y la su&a de sus dia/onales es 06 &. Eallar el rea del ro&bo. a) 264 &2 b) *24 &2 c) 26 &2 2 d) *4 & e) 24! &2 2!) $n el si/uiente /r?ico, el rea del trin/ulo rectn/ulo 3recto en B) ABC es: B a) 2 4µ b) 6 µ2 c) µ2 d) 1! µ2 C 8 e)1* µ2 A 2
21) $l n/ulo &enor de un ro&bo &ide *!I y su lado es . Hallar el rea del ro&bo a) 2 b) 2 < * c) 2 < 2 d) 2 < 4 e) 2 < 0 22) ado un paralelo/ra&o ABC de di&ensiones AB 2!&, BC 1!& y de altura H 6&. Se to&a en el interior del paralelo/ra&o un punto cualquiera $. Se pide calcular la su&a de las reas de los trin/ulos AB$ y $C. a) 6! &2 b) 00 &2 c) 0! &2 d) 4! &2e) ! &2 2*) Calcular el rea de una corona circular si al traFar la cuerda AB en la circun?erencia &ayor deter&ina en la &enor los puntos 8 y %( si AB MN 1 2. 2
a) 6π b) *π c) π
2
d) 0π
e) 6π
24) Hallar el rea de un rectn/ulo de 46 & de per+&etro inscrito en un c+rculo de ,0 & de radio. a) 12! &2 b) 120 &2 c) 1*! &2 2 2 d) 1*0 & e) 1!! & 20) Hallar el rea del c+rculo inscrito en el trin/ulo cuyos lados &iden 14c&, 4c& y 0!c&. a) *2πc&2 b)*4πc&2 c) *6c&2 d) *πc&2 e) *6πc&2 26) Si AB BC y C $ en la ?i/ura ad@unta, el rea so&breada es:
a) 4! b) 2! c) *! d) *0 e) *2 2) Calcular el rea del ro&bo si D es centro de la circun?erencia. e radio 2 si el ro&bo se ?or&a con 2 cuerdas y 2 radios a) 3 <2 b) 3 c) 2 3 d) 4 3 e) 1 2) Calcular el rea de un ro&bo sabiendo que las proyecciones de las dia/onales sobres uno de sus lados &iden 0 y 1*&. a) - 60 b) 2! c) 1! d) 1 e) *2 2-) $n un trapecio ABC las bases AB y C &iden 2& y 10&. sobre la base AB se to&a un punto 8 tal que unido con el v5rtice C el trapecio resulta desco&puesto en dos partes equivalentes. Calcular A8. a) 6 b) 0 c) 4 d) e) *!) $n un trin/ulo equiltero cuyo lado &ide 2, se divide en un trian/ulo y en un trapecio , traFando a una paralela a uno de sus lados , si el rea del trapecio es la &itad del trin/ulo ori/inal Eallar la base &edia del trapecio a) 6 b) 0 c) 4 d) 2 + 2 e) 2 *1) Sean las re/iones A1 y A2 li&itadas por dos circun?erencias de i/ual radio tales que
A 1 ∩ A 2 A 1 ∪ A 2
= 10 π & 2 y = 40 π & 2
Hallar el radio de las circun?erencias. a) *& b) 4& c) 0& d) 6&
e) &
SEMANA: 08 1) $l rea lateral de un pris&a penta/onal re/ular es 2! &2, el rea total &ide ! & 2 ( la altura del pris&a es i/ual al lado del pent/ono , cuanto &ide la apote&a del pent/onoT a) 0 & b) 6 & c) & d) & e) - & 2) n cilindro de ! c&. de di&etro y 12!c&. de altura est co&pleta&ente lleno de a/ua, si dentro de 5l se introduce un troFo de &adera en ?or&a de pris&a de base cuadrada de 2! c&. de lado y *! c&. de altura , el a/ua se derra&a. Cul es el volu&en de a/ua que queda en el recipiente. a) 0-!! b) 06!!! c) 04 d) 0262 e) 0!!! *) Si la super?icie de una ca@a es 16! & 2, su lon/itud es el doble de su ancEo, y las caras opuestas son cuadrados i/uales, el volu&en de la ca@a en &* es : a) 112 b) 12 c) 1*2 d) 1* e) 142 4) as /eneratrices opuestas de un tronco de cilindro recto &iden 6&. y &. respectiva&ente y el radio de la base es 2. Calcular el volu&en del tronco. a) 1! π &* b) 6! π c) 42 π d) 2 π e) 1! π 0) Sabiendo que toda el a/ua contenida en el pri&er vaso de ! & de alto se vierte en el se/undo vaso, Easta qu5 altura ascenderT a)0 & b)1! & c)10 & d)2! & !& e)20 &
E 4!&
!&
6) Calcular el volu&en de un cilindro de revoluci'n si su altura &ide 2!& y el desarrollo del rea lateral del cilindro tiene por rea 2!! π &2. a) *!! π&* b) 4!! π&* c) 0!! π&* d)6!! π&* e) !! π&* ) Calcular el volu&en de un pris&a Eea/onal re/ular de 3 &. de altura, si el apote&a de su base &ide 3 &. a) 12! &* b) 126 &* c) 1*2 &* d)14! &* e) 10! &* ) Se &uestra la secci'n lon/itudinal de una piscina de 12& de ancEo, calcular su volu&en en &*. a) 12! 1&
2,0& 12&
&
b) c) d) e)
24! *2! 4-2 04
16) Calcular el volu&en del cilindro recto en el cual, la lon/itud de la circun?erencia es y el rea de su rectn/ulo /enerador es S. a)
-) Hallar la relaci'n de los volP&enes R1 y R2 de las ?i/uras &ostradas : a)1<2 b)2<* c)*<4 d)4<* e)2<0
R1
*
R2
4
* 1!) $l rea total de4un paralelep+pedo rectan/ular 2 es de 4 & . Si sus tres di&ensiones estarn en pro/resi'n arit&5tica, siendo la su&a de ellos i/ual a 2&. Calcular su volu&en. a) 6-* &* b) 2! &* c) 4! &* d) 0! &* e) 04! &* 11) Hallar el volu&en del s'lido &ostrado 1&
a) b) c) d) e)
1& 4&
1!&
12) Calcular el volu&en del s'lido &ostrado 1!& 24! &* *4! &* 4! &* 6!! &* 2! &*
4&
*&
4&
0& *&
*&
1!& 1*) n rectn/ulo cuyos lados &iden 2 c&. y4 c&. /ira una vuelta co&pleta alrededor del &ayor lado. Hallar el volu&en del s'lido en/endrado. a) 1 π c&* b) 12 π c&* c) 16 π c&* d) 14 π c&* e) 26 π c&* 14) a su&a de los cuadrados de la dia/onal de un cubo y de la dia/onal de una de sus caras, se &ultiplica por una arista, se obtiene el volu&en del cubo &ultiplicado por: a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 10) a ?i/ura est ?or&ada por dos cuadrados, el lado del cuadrado &ayor &ide 4 c&. Hallar el volu&en del s'lido en/endrado por la ?i/ura cuando /ira una vuelta co&pleta alrededor de EG
a) !π c&* b) 2π c&* c) !π c&* d) 2π c&* e) 144π c&*
D
E
C B
A
//
2
SL&3 6
2
b)
S L&
3
3
//
F
G
c)
SL&2 3
e) S
1) a altura de un cilindro &ide 1 c&. y el radio de la base &ide la seta parte de la altura. Calcular el volu&en del cilindro. a) 14 π c&* b) 106 π c&* c) 162 π c&* d) 12 π c&* e) 164 π c&* 1) Hallar el volu&en del pris&a de la ?i/ura. a) ! c&* b) 42 c&* c) ! c&* d) 2 c&* e) 144 c&*
) *&.
2 3 *&.
*0 &* ! &* -! &* 40 &* 6! &*
a) b) c) d) e)
d)
3
SL&
*&.
1-) a base de un pris&a es un rectn/ulo de 0 c&. de lar/o y * c&. de ancEo, la altura del pris&a &ide 6 c&. Calcular el volu&en del pris&a. a) 4! c&* b) 12!c&* c) -! c&* d) ! c&* e) -6 c&* 2!) $n un cubo, la lon/itud de una dia/onal en t5r&inos de la lon/itud a de una arista es: a) 2a b) a 2 c) a 6 d) *a e) a 3 21) n vaso de vidrio de ?or&a cil+ndrica contiene a/ua Easta cierto nivel, el cual se incre&enta en * c& al colocar dentro un troFo de piedra Eallar volu&en del troFo en c&*. Si el radio del vaso es 0c&. a) ! π b) 0 π c) ! πd) 0 π e) -! π 22) Calcular el volu&en de un cilindro recto si la &edia ar&'nica entre las lon/itudes del radio, la altura es -<0 y su rea total es 2! π a) - π u* b) 1! π c) 11 π d) 12 π e) 1* π 2*) Hallar el volu&en del cilindro recto de 24 &. de radio de la base, y que se Ealla inscrito en una es?era de 20 &. de radio 3$l centro de la es?era es interior al cilindro). a) !64 &* b) !64 π c) 4*2! d) 4*2! π e) 1*!! π 24) ado un pris&a recto, cuya base es un e/ono re/ular inscrito en un c+rculo de & de radio y cuya altura es i/ual al di&etro del c+rculo. calcular R
SEMANA: 09 1) Hallar el volu&en de la es?era inscrita en un cilindro de volu&en R. a)
+ 2
b)
+ 3
c)
2 + 3
d)
3 4
+
e)
3 + 5
2) Hallar el rea total de una pir&ide cuadran/ular re/ular de 20 de apote&a, si la arista bsica es -. a) **1 b) 4*1 c) 0*1 d) 6*1 e) 4!! *) Calcular el volu&en de una es?era cuya super?icie tiene un rea i/ual al rea total de un cono de 4& de radio y *& de altura. a) 16 π &* b) 24 π &* c) 12 π &* d) *6 π &* e) 40 π &* 4) Hallar el rea lateral del tronco de cono recto de /eneratriF i/ual a -&, si es circunscriptible. a) 2-6 π &2 b) 1 π &2 c) 24* π &2 d) 162 π &2 e) 1! π &2 0) $n un tronco de cilindro recto, se inscribe una pir&ide re/ular de base trian/ular y volu&en 1 * &*. Calcular el volu&en del tronco de cilindro. a) 2 π &* b) *6 π &* c) 4! π &* d) 4 π &* e) 04 π &* 6) Hallar el volu&en de la pir&ide D 9 ABC cuyas caras laterales ?or&an diedros de 40 con la base trian/ular ABC. Si AB 1* &, BC 10 & y CA 14 &. a) 1!4 &* b) 12 &* c) -6 &* * d) 112 & e) 4 &* ) Se tiene una es?era de radio 12 u A qu5 distancia del centro de la es?era se debe traFar un plano secante para que las reas de los casquetes ?or&ados est5n en la relaci'n de 1 a 4T a) u b) ,2 u c) 6,4 u d) ,2 u e) 0,4 u ) Calcular el volu&en de una es?era circunscrita a un cilindro circular recto de radio bsico -<2 & y de volu&en 24* π &*. a) 062,0 π &* b) 012,0 π &* c) 20 π &* d) !0 π &* e) 612,0 π &* -) $l desarrollo de la super?icie lateral de un tronco de cono circular recto es un trapecio circular de rea *! π &2. Calcular el volu&en del tronco de cono si la altura y la /eneratriF &iden * y 0& respectiva&ente. a) *6 π &* b) *1 π &* c) 42 π &* d) 24 π &* e) 62 π &* 1!) Calcular el rea de la super?icie lateral de un cono de revoluci'n sabiendo que el se/&ento de &ediatriF de una de sus /eneratrices li&itada por la altura del cono es 4& y la altura del cono &ide 1!&. a) 6! π &2 b) ! π &2 c) -6 π &2 d) 06 π &2 e) ! π &2
11) n trin/ulo equiltero cuyos lados &iden 6& /ira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volu&en total del s'lido en/endrado. a) 02 π &* b) 1 π * &* c) *4 π &* d) 04 π &* e) 64 π &* 12) $l rea de la super?icie total de un cono es 2!! π &2, el producto de las lon/itudes de su /eneratriF y el radio de su base es 1*6&2. Calcular el volu&en de dicEo cono. a) 104 π &* b) 1! π &* c) 2*! π &* d) 20 π &* e) *2! π &* 1*) $n qu5 relaci'n deben encontrarse la /eneratriF y el radio de la base de un cono de revoluci'n, para que al desarrollar su super?icie lateral se obten/a un cuarto de c+rculoT a) 2<1 b) *<1 c) 0<2 d) 4<1 e) *<2 14) $l apote&a de una pir&ide Eea/onal re/ular de 12& de altura es 16!Z &ayor que la apote&a de la base. Hallar el volu&en de la pir&ide. a) 1!! * &* b) 12! * &* c) 10! * &* d) 1! * &* e) 2!! * &* 10) Se tiene una pir&ide re/ular Eea/onal, cuyo per+&etro de la base es *6& y su altura &ide i/ual a la dia/onal &ayor de su base. Hallar el volu&en del s'lido. a) 11 * &* b) 216 * &* c) 24 &* d) *24 &* e) 2 * &* 16) Hallar a qu5 distancia del v5rtice de una pir&ide se debe traFar un plano paralelo a la base, a ?in de que el volu&en de la pir&ide de?iciente sea 1<64 del volu&en total, sabiendo que la altura &ide *2 c&. a) 4 c& b) 6 c& c) c& d) 1! c& e) 12 c& 1) Calcular el volu&en de una pir&ide cuadran/ular re/ular cuya arista bsica &ide 6&, siendo su rea lateral el qu+ntuplo del rea de la base. a) &* b) 2 6 &* c) 2 * &* d) 4 * &* e) 04 6 &* 1) Hallar el rea lateral de una pir&ide cuadran/ular re/ular cuyo apote&a es i/ual a la arista bsica e i/ual a 2&. a) &2 b) 4 &2 c) 2 &2 d) 1 &2 e) 12 &2 1-) Hallar el volu&en de un cono recto de 0 de /eneratriF si el desarrollo de su super?icie lateral /enera un n/ulo de 216. a) 12[ b) 1![ c) 10[ d) 1[ e) 2! [ 2!) $n una pir&ide trian/ular al rea de su base es 1 y su altura -( a la tercera parte de la altura a partir del v5rtice se traFa un plano secante paralelo a la base. Calcular el volu&en del tronco de pir&ide a) 4 b) 02 c) 0! d) 4! e) 6!
21) Hallar el volu&en de un cono equiltero, si la distancia del centro de su base a una /eneratriF &ide 3 &. a) d)
10 3 3
10 3
π&* b)
π&*
e)
8 3 3 8 2 3
8
π&*
c) π&* 3
π&*
22) $n una pir&ide cuya altura &ide 16&, deter&inar a qu5 distancia del v5rtice se debe traFar un plano paralelo a la base, para que la raF'n de los volP&enes de los s'lidos deter&inados sea de 1 a . a) 4& b) & c) 6& d) 0,0& e) 6,0& 2*) $n la ?i/ura, AB 0c&. Hallar el volu&en del s'lido /enerado al rotar *6!I el trin/ulo ABC alrededor de AC
que los casquetes que se deter&inan est5n en la relaci'n 1 a *T a) #<* b) #<2 c) #<4 d) #<0 e) 2#<* *!) Calcular el radio KrK, de la es?era inscrita en el tronco de cono &ostrado sabiendo que la su&a de su di&etro, la /eneratriF es 20 &. ade&s la su&a de los radios #, r es de 1* &.
r
a) 2 & b) 4 & c) 6 & d) & e) 1! &
r 1 #
SEMANA: 10 1) Si G/ = Ct/ n. Hallar Sen 2 a) n>1 b) 2n>1 c) !,0n>1 d) 2n e) !,0n 2) Calcular : Sec 2!I. Sec 4! . Sec !I a) 2 b) 4 c) d) 1< e) 1<4 *) #educir :
16 4 (* + 4 * )πc&* b) (- + 16 *)πc&* * * c) (6 + * )πc&* d) 12(1 + 2 * )πc&* * 4 e) (- + 1 * )πc&* * 24) Hallar la relaci'n entre los volP&enes de dos conos se&e@antes, si los radios estn en la relaci'n de 1 a 2. a)
a)
1 4
b)
2 5
c)
3 6
d)
1 8
e)
S./3 x − S./x C,-3 x + C,-x
a)Cot b) G/ c) G/2 d) Cot2 e) G/* 4) Si&pli?icar : ;
1 − C,-4x 1 − C,-2x
a) Sen 2 b) 2Sen2 c) 4Sen2 d)4Cos2 e) 2Cos2 0) #educir:
1 − C,- 2x 1 + C,- 2x
a)G/ b) Cot c) G/2 d) Cot2 e) 2G/2 6) Calcular : ; Cos* 2!I> 6Cos 2!I = 1
2
a) 1 b) 2
c) *
d) 4
e)
9
20) Calcular el volu&en del se/&ento es?5rico que tiene por radios 6c& y *c&. Si los centros de sus c+rculos respectivos estn separados por *c&. a) 40 πc&* b) 2 πc&* c) πc&* d)144 πc&* e) 1*0 πc&* 26) na es?era tienen * c&. de radio. A qu5 distancia del centro debe traFarse un plano para que la secci'n que resulta sea 1<* del rea de su c+rculo &i&o. a) e) 6 c) 8 5 b) ) d) 10
2) $n un cilindro circular recto cuya altura es i/ual al di&etro, se inscribe una es?era y un cono circular recto, la raF'n entre los volP&enes de la es?era y el cono es : a) 1<2 b) 2<1 c) 1<* d) *<1 e) 2<* 2) Si la altura y el radio de la base de un cono recto son i/uales al radio de una es?era de 4&* de volu&en. Eallar el volu&en del cono. a) * &* b) 2 &* c) 1 &* d) 1<2 &* e) 1<0 &* 2-) A qu5 distancia del centro de una es?era de radio # se deben Eacer pasar un plano de &odo
3 2
) Hallar K;K para obtener una Odentidad : ;
1 + Cos 1 − Cos Sen Sen a) 1 b) 2 c) >1<* d)>1<2 e) >2 )#educir: L Cos . Cos2 . Cos4 a) Sen 4 . b) Csc c) Sen . Csc d)Sen . Csc 2 e) G/ . Cot -) Calcular : $ C+S C−S
1!) M
C + 2S C−S
+
a) * b) 2
=
c) 0
C + 6S C−S
+
d) !,0
e) !,1 Calcular:
22° + 23° + 22° 23° 35 − 5 − 3
a) 4
2
b)
3 4
3 35 5 3
c) \ d) 1 e)
3 3
11) Si Sen = Cos a. entonces la epresi'n sen6 = Cos 6 es equivalente a:
a) d)
' −1 2
3' − 1
e)
2
2' − 1
b)
2
c)
1 − 3'
d) 2 a2 9 1
2
'/
3
' + 2 2
x
1 + S* x
a) *
b) 1
c)
1
d) 0
3
e)
1 2
16) Si se cu&ple : Gan 3" =2) 9 Ct/ 34] >") ! Hallar
# =
a) ! b) 1< 2 c) 1 < * d) 1 e) 2 1) ara que n/ulo es: Cos 36! > ) Sen 3! > * ) a) 0 b) 10 c) 20 d) 1! e) 9 0 1) Hallar los n/ulos a/udos α y θ tales que: G/ 3* α > *0) Ct/ 3-! > θ) 2 θ > α 10 a) 11 y 1! b) 10 y 1* c) 2! y 1 *!^ d) *0 y 20 e) 1 y 16 1-) Si Cos4 θ > Sen4 θ 8 Cos2 θ > 1, es una identidad. Eallar 8. a) 1 b) 91 c) 2 d) 92 e) * 2!) Si B 40I. Eallar el valor de la epresi'n :
−
Tg A
a) !
b) 1
c) 91
d) 2
21) #educir :
#
e) 92
2 2 Tg x − Sen x 2 2 C x − Cos x
a) G/* b) Ct/* c) G/6 d) Ct/6 e) Cos* Tg φ − C φ 22) eter&inar : $ , si Sec 2 φ − Csc 2 φ Cos φ = Sen φ a a) a2
b) a2 9 1
c)
a2
−1
2
−2
α + θ + C α + θ 4 2 C α + θ − 85° + Tg α + θ − 120° Tg
a) ! b) 1 c) 2 d) 1<2 e) * 24) Si : Sen4 = Cos4 !,- Calcular : $ 31 = Sen 2 ) 31 = Cos 2 ) a) 2,01 b) 2,2 c) 2,!1 d) 1,2 d) 1,!2 2S*x − 32 x − 2 20) Si&pli?icar : $ 1 + 3 S* x a) 1 = Cos b) 1 > Cos c) 1 = Sec d)1 = Sen e) 1 > Sec 26) Si Sen θ = Cos θ 1<. Calcular : $ Sen θ . Cos θ a)1<4- b) >1<4- c) 4<4- d) 24<4- e) >24<42) Sabiendo que : Sec α > Sen α 1 Calcular :
7
α 1 − S/ α C,-3
a) 1 b) 2 c) ! d) >2 2) Si ?3) G/2 . Calcular : 1
Co 4β − Ctg( α + 2β )
Cos A . Cos B
2
2*) Si Sen 3α > 2!I) Cos 3 θ > *!I)( α y θ son n/ulos a/udos. Calcular : #
Se" 2α − !a"( α + 2β )
Sen A + B
a
2
12) n re?lector situado al ras del suelo ilu&ina un &onu&ento ba@o un n/ulo de *!I. Se traslada el re?lector a 2& &s cerca del &onu&ento y 5ste se ve ba@o un n/ulo de 40I. Cul es la distancia del &onu&ento al se/undo lu/ar de ilu&inaci'nT a) 3 b) 3 > 1 c) 3 = 1 d) 2 e) 2 > 1 1*) Calcular el valor de : # 3Sec 1*!0I) 3Cos -6!I) 3Cos39 140)) a) 1 b) 1<2 c) 1<* d) *<0 e) 1<0 14) Sabiendo que S y # son nP&eros de /rados sea/esi&al y radianes de un n/ulo donde : πS + 5R πS − 5R + = 124 Hallar # 5 7 a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 10) Si Sec 9 Cot 1. Calcular el valor de $
e)
1
+
1
−1 +
$
e) >1
1− 2
1 1 + x
2
a)Sen b) 2 Sen c) Sen d)Sec2 e) Csc2 2-) Si&pli?icar : 7 x + S* x S* x − C,- x + x a) Cos b) Sen c) G/ d) Sec e) Csc *!) Si&pli?icar : 7
1 C 2 x
1 S.* 2 x
+
+
1 C-* 2 x
a)Sec2 b)Csc2 c) Sen2 d) G/2 e) 1> sec2 *1) Si : Sen4 θ= Cos4 θ n. Calcular 8 Sec2 θ = Csc2 θ a) d)
/ −1 2 2 / −1
b)
1− n 2
c)
2 1− /
e) n > 2
*2) Si la &itad del cuadrado de la di?erencia de las inversas de los nP&eros que representan los /rados sea/esi&ales y /rados centesi&ales de un n/ulo, es al cuadrado de la inversa del producto de dicEos nP&eros co&o una veF es nP&ero que epresa su &edida en /rados centesi&ales es a 2. ;u5 tipo de n/ulo esT
a) A/udo b) #ecto c) Dbtuso d) lano e) C'ncavo **) $l producto de 0 raFones tri/ono&5tricas de un &is&o n/ulo es 1. ;u5 n/ulo esT a) 0!/ b) -!I c) 6!I d) π<* e) π<6 *4) Calcular la altura de un rbol, sabiendo que se le corta a 4 &etros sobre el suelo y que al caer la punta del rbol ?or&a con la super?icie del suelo un n/ulo α tal que Sen α !,2. a) 12& b) 16& c) 2!& d) 24& e) 26& *0) Si α ∈ OO C y : Sen
2a
=
Sen
−Cos α
α
Calcular : Ct/ α > Sen α a) 11<12 1
d) −
60
e)
15
c) − 19 15
143
b)
60
15 4
*6) os nP&eros S y C representan la &edida de un n/ulo en /rados sea/esi&ales, y centesi&ales respectiva&ente, se relacionan as+ : S 2 91 y C 2 = 4 Hallar la &edida de dicEo n/ulo en radianes. a) π<2 rad b) π<* rad c) π<4 rad d) π<0 rad e) π<6 rad *) n n/ulo &ide π<2! rad, pero en /rados sea/esi&ales &ide : x − 1 . Hallar . a) b) ! c) 2 d) 6 e) *) Calcular : $ Sen2 θ = Sen2 312!I = θ) = Sen2 312! > θ) a) 1<2 b) *<2 c) 2<* d) *<4 e) 4<*
SEMANA: 11 1) Hallar el &enor valor positivo que resuelva la ecuaci'n: 2 Sen2 = * Cos = 1 ! a) 1!! b) ! c) 12! d) 10! e) 1! 2) Hallar el valor de KFK si : F Sec2 _arcG/3*)` = Cosec2 _arco Cot/34)` a) 2 b) 2! c) 1 d) 91 e) ! *) Hallar el &enor valor positivo de KK que resuelva la ecuaci'n: 1 1 + S/ x
+
1 1 − S/ x
=
8
a) !I b) *!I c) 40I d) 6!I e) 0I 4) a su&a de : 3 ( Arc Cos 3 ( Arc G/ 31) Arc Sen 2 2 $s : a) e)
3π ) *π 4
b)
2π )
c)
5π 6
d)
0) Hallar: E
+ Sen20 + Sen*0 + Sen40 Cos10 + Cos20 + Cos*0 + Cos40 Sen10
a)
*
b)
*<2
#espuesta: d)
c) 1 < 2 d ) 1 <
*
e) 2
6) Calcular: 7 Sen1!I Cos1!I Cos2!I Cos4!I Csc!I a) \ b) c) 2 d) 4 e) 1< )Si:
Senθ
− Cosθ = 1 . Calcular : Sen 2θ *
a) b) - c) <- d) -< e) >) Siendo : Sen340 + x ) = 2 < Hallar: Sen 2 a) >10<16 b) >14<10 c) >1*<14 d)>12<1* e) >11<12 -) Hallar :
3 1 + ' '%*S./ − '%* 3 5 3 2
a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 1!) Hallar el valor de en la si/uiente epresi'n
{
}
: Cos arct/ cot/ arcSec ( cc A )
1 2
a) -!I b) !I c) !I d) 6!I e) 0!I 11) Calcular el valor de la epresi'n: y arcta/ 1 = arct/ 3 a) 2!!I b) 10!I c) 1*!I d) 1!0I e) 1!!I 12) Hallar el valor aproi&ado de: Cos2 4I > Cos2 6I b) 5 2
a) ) 2
10
10
d) 9 2 10
e)
c) 3 2 10
2 10
1*) Si&pli?icar : $ Sen 2α + Sen 5α − Sen α Cos 2α + Cos 5α + Cos α a)G/ α b) G/ 2 α c) Ct/ 2 α d) Ct/ α e) G/ 4α 14) Si :
5π )
=
a)
Sen 6 A + Cos 6 A − 1 Sec 2 A + Csc 2 A
=
−3 16
Hallar el valor de Sen 2 A. 3 b) 3 + 1 c) 91 d) \ e) − 2
2
2
2
10) Si&pli?icar: α α α $ Csc + Csc + Csc + Csc α + CG/ α 4 2
.
α
a)Ct/
16
α
b) Ct/
e)Ct/ α 16) Calcular el
8
α
c) Ct/
valor de
d) Ct/
4
α
2
KbK para que la
3 5
4 5
epresi'n : arc Sen + '%*S./
π
a)
, sea una identidad.
(
a) 1 b) 2 c) * d) 4 e) 0 1) Calcular: φ 2 *,-'%*4'1 5 -./'%*41 3 a)
π
π
b)
6
c)
3
1)Si = y 10I Calcular : 8
π
d)
2
+ Arc Cos x Arc tg x + Arc ctg x a) 1 b) 2 c) ! d) >1 e) * 2) Calcular el valor de: Cos 60 ° − Cos 0° E = Sen 60 ° + Sen 0°
$
π
4
2 *
arct/
C,- 2x
a) 2 b)
2
e)
3
3
Si&pli?icar: =
− 1 − 1
a)G/ b) 9G/ c) G/ * d) 9G/ * e) * G/ 2!) Sabiendo que : G/ 340 9 ) 4 Calcular G/ 2. a)<0 b) 9<0 c) 910< d) <10 e) 10< 21) Si Sen 36! > α) 1<*. Calcular Sen * α. a)21<2* b) 2*<20 c) 2*<2 d) 20<2 e) 2<20 22) esde un punto situado a !&, &edidos sobre una EoriFontal del pie de un edi?icio, el n/ulo de elevaci'n es de 6!I, Eallar la altura del edi?icio. a) 2! * b) 0! * c) ! * d) 2 * e) * * 2*) Calcular ( si arct/ arccos 4 a)
0
b)
6
c)
*
d)
4 *
e)
* 4
24) Hallar : Si: arcos
4 0
= arcos
12 1*
arcos
** x
a) 40 b) 00 c) 60 d) 0 e) 0 + Sen x Cos x + Cos x a) ta/ b) t/ 2 c) t/ * d) t/ 4 e) t/ 0 26) Hallar:
20) Si&pli?icar:
E =
Sen x
e)
*
4
, Eallar el valor de 8.
Si : 8 Sec 10I Sec -I Sen 10I. Sen -I
8
2
F
1
d)
*
5 − 1
2-) Si Sen 1I
+ S/ 2 y + 30° + 45 + C,- 2y + 45°
S/ x 4 C,-2 x C,- x 4 S/2 x
*
2) Hallar el valor de : 7 Cos 2!I . Cos 4!I . Cos !I a)1,!20 b) !,120 c) 1,20! d) !,216 e) 1,*2
S/ 2x + 30°
1-)
*
2
c)
2
1
a)
c) * d)
*
b) > *
π
e)
Arc Sen x
8 5
+8
d) 5 − 1
8
b) e) 43
8
5
+1
5
>1)
c)
1 4 5
+4
*!) Calcular : # G/ -I = G/ 2I = G/ 6*I = G/ 1I a) 2 5 b) 5 c) * 5 d) 4 5 e) 1
SEMANA: 12 1) Hallar la ecuaci'n de la recta que pasa por el punto 3*( 4) y su n/ulo de inclinaci'n es 6! a) y = 4 3 3 9 2) b) y 9 4 3 3 9 *) c) y 3 d) y 9 ! e) y 3 3 9 *) 2) punto de ori/en es 0 siendo ( y enteros. Hallar que valores no puede to&ar y a) ! b) 1 c) 4 d) * e) 0 *) Calcular la &enor distancia del punto 31( 2) a la recta: : 4 9 *y = 4 ! a)
3
b)
4
2 5
c) 1
d)
3 5
e)
4 5
4) os v5rtices de un trin/ulo son 34( *)( 3>0( *)( 36(>2). Hallar las coordenadas del centroide de dicEo trin/ulo 5 4 5 4 a) $ b) $ c) 31( !) 2 3 3 3 d) 30( 4) e) 32( 1) 0) Si la distancia del ori/en de coordenadas Eacia el punto ; 3( *) es 13 Calcular a) 6 b) 2 c) * d) 4 e) 0
5 11 $ 6 ( B $ 2 2 2
6) Si A
Calcular las coordenadas del punto &edio de AB
a) 34( ) b) 34( 6) c) 34( 4) d) 3( ) e) 30( 1) ) Hallar la ecuaci'n de la recta que pasa por los puntos 32( 2) y ; 34( 6) a) 2 9 y 9 2 ! b) 92 = y = 2 ! c) 9 y ! d) 2 9 y = 4 ! e) 2 9 y 9 4 ! ) Hallar el rea de la re/i'n trian/ular que tiene por v5rtices: A 392( *) B 34( 91) C 30( 0) a) *! b) 1! c) 4! d) 2! e) 0! -) eter&inar el valor de n Si 1: y& 9 = 2 ! 2: 2y = n 9 1 ! Son perpendiculares a) 1 b) 2& c) & d) 9& e) 92& 1!) ados los puntos A 392( 9*)( B 32( 1) C 34( 9-)( 8 punto &edio de BC a distancia de 8 al se/&ento AC es a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 6 11) a abscisa de un punto es 96 y su distancia al punto 31( *) es 74 . $ncontrar la coordenada de dicEo punto a) 396( 91) b) 396( 9*) c) 396( 92) d) 396( 9) e) 396, !) 12) $l punto &edio de un se/&ento cuyos etre&os se Eallan en los e@es cartesianos( es 8 31( *), Hallar las su&a de las coordenadas de dicEos etre&os a) 2 b) c) 12 d) 94 e) 16 1*) os v5rtices de un trin/ulo son: A 31( )( B 3( 6)( C 3( 91) Si 8 es punto &edio de BC . Hallar la lon/itud de la &ediana AM a) 2.0 10 b) 10 c) 2 10 d) 4 10 e) 0 10
14) Si los puntos 31( 6) y 30( 2) son los v5rtices opuestos de un cuadrado, entonces el rea del cuadrado es: a) 4 b) 16 c) d) 64 e)*2 10) Si las rectas: a = 2y 1 y 2 9 by son paralelas Calcular ab a) 4 b) 2 c) * d) 0 e) 94 16) Si los v5rtices A( B( C de un trin/ulo se Eallan en el se&ie@e positivo de las abscisas( se&ie@e positivo de las ordenadas y en el OOO C( respectiva&ente. Hallar la su&a de las coordenadas de su baricentro si se sabe que la abscisa y la ordenada de C son la abscisa de A y ordenada de B respectiva&ente a) 1 b) ! c) * d) 4 e) 6 1) $l punto 3a ( a) est en la &ediatriF del se/&ento AB, siendo A 32 ( >*) y B 3>4 ( -). Hallar el valor de a. a) * b) 0 c) d) 11 e) 1* 1) a recta de ecuaci'n y = 0 contiene la dia/onal AC del cuadrado ABC. Si:
A31( a) y ;3!, q), siendo ; el centro del cuadrado, Hallar el rea ABC. a) 2 u2 b) * u2 c) 4 u2 d) u2 e) 6 u2 1-) $l punto A 3* ( >1), es centro de una circun?erencia que intercepta en la recta 2 9 0y =1 !, una cuerda de lon/itud 6. $l radio de la circun?erencia, es: a) * b) *0 c) * d) * e) * 2!) Cul de las si/uientes ecuaciones tiene co&o /r?ica una recta EoriFontalT a) 2y 6 b) 2 6 c) > 4 ! d) = y ! e) > y ! 21) Hallar el rea de la re/i'n trian/ular ABC. Si A 3*( ), B32( -) y C 3>2( *) a) 0 u2 b) 6 u2 c) u2 d) u2 e) - u2 22) os v5rtices de un trin/ulo son A 3* ( 6), B 3>1 ( *) y C 32 ( >1). Calcular la ecuaci'n de la recta que contiene a la altura traFada desde C a) * = 4y > 0 ! b) *y = 4 > 0 ! c) * > 4y > 0 ! d) * > 4y > 1! ! e) 4y > * > 1! ! 2*) Hallar la distancia del punto 3>4,*) a la recta y 2=0 a) d)
6 0 0 * *
* 6 0 4 0 e) 0 b)
c)
0 * *
24) a recta de ecuaci'n a=by=6 !, pasa por
a b −1 c) >* d) e) 1 *
los puntos 31( 4) y 3*( >2). Hallar a) * b)
1 *
20) Si 3>2( 1)( ; 3>1( 2) y C 3-( ). Hallar el valor de " si , ; y C son colineales a) b) - c) 1! d) 11 e) 12 26) es una recta no paralela a los e@es coordenadas, que pasa por los puntos 32(2)(
1 1 = & n 1 1 1 1 a) 1 b) c) d) e) 2 * 4 0
3!,n)( 3&( !) donde & n ≠ !.
Hallar
2) Hallar el punto de intersecci'n de las rectas: 1 pasa por 3>1( 2) y 31( 6) 2 pasa por 31( 1) y 3>1( 0) a) 3>1( 14)
b) 3
−1 ( ) 4 2
c) 3>4( )
d) 3>1( ) e) 3>1( 4) 2) ado el punto 3>4 , *) punto &edio del se/&ento AB. Si A3 , >0), Hallar la su&a de las coordenadas de B. a) 0 b) >* c) >0 d) * e) 4 2-) os v5rtices de un trin/ulo son: A3*,), B32,>1) y C36,>1). Si es el punto &edio del lado BC. Calcular la lon/itud de la &ediana A.
a)
2
b)
62
c)
*2
d)
2
e)
-2
*!) os puntos &edios de los lados de un trin/ulo son 3*,0), 30,2) y 32,1). Hallar la su&a de las coordenadas de sus tres v5rtices. a) 10 b) 2! c) 1 d) 1 e) 16 *1) $l punto 316,-) divide al se/&ento de etre&o A31,y1) y B34,0) en la raF'n r >*<2. Hallar las coordenadas de A. a) 3>2,*) b) 34,2) c) 3>0,*) d) 34,*) e) 31,1) *2) ada las rectas: 1 2 = 6y = ! y 2 2 = &y 9 1 !. Calcule & si 1 es paralela a 2. a) 6 b) >2 c) 2 d) * e) >* **) Calcule & para que las rectas 1: = *y 9 2 ! y 2: & 9 0y = 41 !, sean paralelas a) *< b) 0<* c) ><1* d) *<11 e) >*0<* *4) Calcule el rea de la re/i'n trian/ular li&itada por la recta: 2 9 0y 9 1! ! y los e@es coordenados. a) 6 b) ,0 c) d) 6,0 e) 0 *0) Se/Pn el /r?ico DA AB y J es Baricentro de la re/i'n trian/ular ABD. eter&ine la ↔ ecuaci'n de. L a) * = 2y 912 ! b) *y = 2 912 ! c) *y = 2 =12 ! d) 4 9 0y =12 ! e) 9 y =12 !
*6) $l rea de un trin/ulo es u dos de sus v5rtices son los puntos: A31,>2), B32,*) y el tercer v5rtice C est en la recta: 2 = y 9 2 !. eter&inar las coordenadas del v5rtice C que se encuentra en el OO Cuadrante. a) 3>4,0) b) 3>*,2) c) 3>1,4) d) 3>,1) e) 3>-,4) *) Hallar la ecuaci'n de la recta que pasa por los puntos 32( *) y es perpendicular a: 2 9 y = - ! a) = *y 9 21 ! b) = 2y 9 2! ! c) 0 = 2y 9 16 ! d) = 4y 9 26 ! e) 0y = 9 0 !
