Índice UNIDAD I
El polígono más sencillo
Capítulo 1 Triángulos ........................................................... 5
Capítulo 3 Congruencia ....................................................... 24
Capítulo 2 Líneas notables ................................................... 15
Capítulo 4 Repaso ................................................................. 33
UNIDAD II
Cuándo los lados aumentan
Capítulo 1 Polígonos ............................................................ 37
UNIDAD III
Capítulo 2 Cuadriláteros ...................................................... 46
¿qUÉ HARÍAMOS SIN LA RUEDA?
Capítulo 1 Circunferencia .................................................... 56
Capítulo 3 Repaso ................................................................ 75
Capítulo 2 Ángulos en la circunferencia .............................. 66
UNIDAD IV
Los puntos y las proporciones en geometría
Capítulo 1 Puntos notables .................................................. 79
Capítulo 3 Semejanza .......................................................... 95
Capítulo 2 Proporcionalidad ................................................ 87
Capítulo 4 Repaso ................................................................. 103
UNIDAD V
¿Cómo calcular proyecciones y lineas asociadas al triángulo y a la circunferencia?
Capítulo 1 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ........ 108
Capítulo 3 Relaciones métricas en la circunferencia ........... 124
Capítulo 2 Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo ... 116
Capítulo 4 Repaso ................................................................. 133
GEOMETRÍA UNIDAD VI
El tamaño de las figuras planas, FORMAS geométricas Y MANERAS DE CALCULARLAS
Capítulo 1 Polígonos regulares ............................................ 139
Capítulo 3 Área de regiones cuadrangulares ........................ 158
Capítulo 2 Área de regiones triangulares ............................. 15
Capítulo 4 Repaso ................................................................. 166
UNIDAD VII
sEGUIMOS CON EL AGRADABLE TEMA DE ÁREAS Y LAS COORDENADAS
Capítulo 1 Relaciones de áreas ............................................ 170
Capítulo 3 Geometría analítica I .......................................... 188
Capítulo 2 Área de regiones circulares ................................. 179
Capítulo 4 Repaso ................................................................. 199
UNIDAD VIII
Las gráficas, relaciones y cálculo en las figuras espaciales
Capítulo 1 Geometría analítica II ......................................... 204
Capítulo 3 Poliedro o Sólidos geométricos - Poliedros regulares . 221
Capítulo 2 Geometría del espacio ........................................ 212
Capítulo 4 Repaso ................................................................ 229
UNIDAD IX
Los sólidos geométricos más usuales
Capítulo 1 Prismas y cilindros ............................................. 234
Capítulo 3 Repaso ................................................................ 249
Capítulo 2 Pirámide - Cono - Esfera .................................... 241
TRILCE
UNIDADUNIDAD 1 1
el poligono más sencillo
A
lo largo del estudio de las matemáticas y en especial de la Geometría, has podido observar la frecuencia con la que se presentan los triángulos. Su importancia es tal que permite el estudio y desarrollo de otras figuras. Es más, en el quehacer diario y en la vida profesional, procuramos hacernos entender a través de su uso. Por ejemplo, el especialista Doug Copp, jefe del grupo de rescate y director de desastres del Grupo Internacional de Rescate Norteamericano (ARTI), el equipo de mayor experiencia en rescates del mundo, manifiesta que: "En cualquier derrumbe hay un 100% de sobrevivencia para las personas usando lo que se denomina "el triángulo de vida".
¿El triángulo es solo un concepto teórico?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar los tipos de triángulos y las líneas que se asocian a ella. • Interpretar los postulados de congruencia. • Reconocer y representar los teoremas en los triángulos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas relacionados a triángulos.
Razonamiento Matemático
Triángulos
1
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los triángulos, reconociendo sus elementos y características principales.
•
A utilizar con exactitud los teoremas que permitan obtener características de los triángulos y que permitan la resolución de problemas matemáticos.
El estudio de los triángulos es una de las partes medulares del curso de Geometría, que tiene muchas aplicaciones prácticas y que también sirve para el desarrollo mismo de la matemática en su conjunto. Hemos escogido esta lectura para graficar lo anterior.
E
l gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3; 4 y 5 unidades.
Evidentemente el triángulo es rectángulo y cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 4 2 = 5 2
Diofanto (275 d.C.)
Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • Un cateto mediría "x". • Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. • La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras. x2 +
2
14 =h2 x
Pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12. 14 x+ +h=12 x
De donde se llega fácilmente a:
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación: 14 2 196 x2+ 2 = 12 x x x
Cuya solución, Diofanto expresó como:
6x2
43x + 84 = 0
43+ 167 12
-1
Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.
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5
Triángulos
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: •
Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°.
a°
•
b°
+
= 90°
En la figura, la suma de los ángulos es de 180° y no son suplementarios.
a°
•
= 180°
Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es de 90°.
a°
•
b°
+
b° q° l°
Dadas las rectas paralelas, los ángulos cuya medida son "b°" y "a°", son iguales.
L1
a° b°
•
L2
En un cuadrilátero, la suma de sus ángulos internos es de 360°.
b° a°
q° l°
Importante: El ángulo exterior de un triángulo se consigue prolongando cualquiera de los dos lados del ángulo interior.
Colegios
6
TRILCE
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Geometría
1
Conceptos básicos
Elementos: B Región interior
y°
Vértices: A, B, C Lados:
b° a
c
Ángulos
a°
A
z°
q°
Externos: x°, y°, z°
Perímetro: 2p = a + b + c
C
b
x°
AB, BC, AC Internos: a°, b°, q°
Notación: ∆ ABC
• Observación B Puntos interiores
C
A
Se denomina región triangular a la reunión de los puntos del triángulo y los puntos interiores.
Puntos exteriores relativos al lado AC
Clasificación de los triángulos Según sus ángulos 0°
a2+b2=c2
b°
b°
c
a a°
q° Acutángulo
90°
a°
b Rectángulo
a° Obtusángulo
Según sus lados Escaleno
Isósceles
Equilátero 60°
a° Lados diferentes
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a°
Dos lados iguales
60°
60°
Tres lados iguales
Unidad I
7
Triángulos
• Se denomina triángulo oblicuángulo a aquel que es acutángulo u obtusángulo. Triángulo mixtilíneo
Triángulo curvilíneo
Propiedades • Propiedad del ángulo exterior
• Suma de ángulos internos b°
b°
a°+b°+q°=180° q°
a°
x° a°
• Suma de ángulos externos y°
q°
z°
• Propiedad de la existencia triangular Si: a>b>c
C x°+y°+z°=360° b
a x°
x°=b°+q° y°=a°+q° z°=a°+b°
y°
b c
z° B
c
A
• Cuadrilátero no convexo b°
a°
Colegios
8
TRILCE
xº
x°=a°+b°+q°
q°
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Geometría
1
Ángulos entre rectas paralelas •
Si: L1 // L2
L1
q°
a°=q°
a°
•
Si: L1 // L2
L2
b°
L1
Si: L1 // L2
correspondientes a°=b°
a°
•
alternos internos
L2
L1
a° x° b°
y°
a°+b°+q°+g°=x°+y°+z°
q° z° g°
L2
Caso particular: •
Si: a // b a°
a x°=a°+b°
x° b°
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Este caso es el más usado b
Unidad I
9
Triángulos
Sintesis teórica
TRIÁNGULOS
Tres rectas al cortarse dos a dos, forman un triángulo. Pueden ser de varios tipos, dependiendo de sus lados o de sus ángulos. La suma de sus ángulos internos es de 180° y de los externos es de 360°. El ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores. La existencia de los triángulos se analiza, de preferencia, escogiendo el mayor de los lados.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Grafique al triángulo ABC, de modo que: m A=47°, m B=53° y m C=2x°. Calcular el valor de "x°".
5. Dado un triángulo, dos de sus lados miden 8 y 5 cm. Calcular la suma de todos los valores enteros que asume el tercer lado.
2. Dado un triángulo, se sabe que la medida de uno de sus ángulos interiores es el doble de la medida del otro ángulo interior. Calcular la medida del menor ángulo interior, si se sabe que el triángulo es rectángulo.
6. En un triángulo, dos de sus lados miden 7 y 13 cm. Calcular la suma de todos los valores impares que adopta el tercer lado.
3. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "C" es de 140°. Si las medidas de los ángulos interiores en "A" y en "B" están en la relación de 2 a 3 respectivamente, calcular la m B. 4. En un triángulo isósceles, la medida de uno de sus ángulos interiores es de 140°. Calcular la medida del ángulo exterior situado en el vértice del ángulo interior agudo.
Colegios
10
TRILCE
7. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC y ubique un punto interior "Q". Si las medidas de los ángulos BAQ y BCQ miden 27° y 32° respectivamente, calcular la m AQC. 8. ABC es un triángulo equilátero y "Q" un punto interior, tal que: m BAQ=34° y m BCQ=22°. Calcular la medida del ángulo AQC.
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Geometría
sociAprende sáb sotpemás... cnoC
1
Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 270°. En un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos interiores siempre serán agudos. En algún triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales.
•
•
2.
Relacionar correctamente:
I. Uno de sus ángulos internos es obtuso. II. Hipotenusa. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°.
A. Triángulo rectángulo. B. Triángulo acutángulo. C. Triángulo obtusángulo.
3. Completar en cada gráfico: x° a°
q°
x°=
b
a c
7. ABC es un triángulo escaleno donde se sabe que: m A=x°+20°, m C=x°+40° y m B=80°. Calcular el suplemento de "x°". 8. ABC es un triángulo equilátero y "R" es un punto interior tal que: m RAC=20° y m RCB=32°. Calcular la m ARC. 9. ABC es un triángulo equilátero y AQC es un triángulo rectángulo interior de hipotenusa AC. Si la medida del ángulo BAQ es de 20°, calcule la m QCR, siendo "R" un punto de la prolongación de AC. 10. Dos lados de un triángulo miden 9 y 12 cm. Calcular la suma de los valores impares que adopta el tercer lado. 11. Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 8 cm. Indicar cuántos valores enteros adopta el tercer lado. 12. En un triángulo obtusángulo, sus lados menores miden 6 y 8 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 13. La gráfica muestra dos rayos paralelos ("a" y "b") y a un triángulo rectángulo. La hipotenusa y el cateto menor forman con los rayos paralelos ángulos agudos que miden 22° y 43°. Calcular la medida de los ángulos agudos de dicho triángulo. a
b 14. En la figura, si: m // n y a // b, calcular "x°". a m 2a° x° 100°
n
b
3a°
Unidad I
11
Triángulos
15. En la figura, si: L1 // L2 , calcular "x°". x2
L1
L2
x°
x2+30° 145°
17. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior "D", de modo que las líneas DA y DC sean perpendiculares y la m B=45°. Calcular la medida del ángulo BAD, sabiendo que es el doble de la medida del ángulo BCD. 18. En la figura, calcular el valor de "x°". b° b°
a°a°
16. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 24 cm. Calcular el máximo valor entero que adopta la longitud de la altura relativa al tercer lado.
q°
f°
q°
f°
x°
Aplicación cotidiana 19. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 72°. Cuando Carlos visita a estos amigos se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 60°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 20. "A" y "C" son dos puntos situados en uno de los bordes de una piscina rectangular. "B" es un punto situado en el borde paralelo al anterior. Si la distancia de "B" hacia "A" y "C" es de 30 y 22 metros respectivamente, ¿cuál es la máxima distancia que recorrerá un nadador para ir de "A" hacia "C"?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo ABC, se toma un punto "Q" sobre AB tal que: AQ=QC y BQ=BC. Si: m ABC=84°, hallar: m ACB.
4. En un triángulo ABC (AB=AC), en AC se toma un punto "M" de manera que: AM=MB=BC. Calcular la m MBC.
2. Dado un triángulo ABC, en AC se toma un punto "P" de manera que: m BPC=m A+m B. 2 Si: BC=8 cm, hallar "PC".
5. En un triángulo acutángulo ABC: m ABC=4x° y m BAC=x°+70°. Calcular: m BCA, cuando "x°" toma su máximo valor entero e indicar el lado de mayor longitud.
3. En la figura: x°+y°+z°>270°. Calcular el máximo valor entero de "q°". z° y° x° 6q°
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12
TRILCE
2q° q° 3q° www.trilce.edu.pe
Geometría 18:10:45
1
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
•
•
•
La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de cuatro ángulos rectos. Dado un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos exteriores siempre serán agudos. En el triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales.
2. Relacionar correctamente:
A. Triángulo isósceles B. Triángulo acutángulo C. Triángulo equilátero
I. La medida de su ángulo exterior es de 120°. II. Dos lados iguales entre sí. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°.
x°
2x° 2x°
8. Dos de los lados de un triángulo escaleno miden 7 y 4 cm. Calcular la suma de los valores enteros que toma el tercer lado.
B
4. Dado un triángulo obtusángulo, sus lados menores miden 5 y 12 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 5. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 66°. Cuando Carlos visita a estos amigos, se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 58°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 6. En la figura, L1 // L2 . Calcular "x°". 4x° 5x°
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2x°
2x°
9. Si: L1 // L2 y AB=BC, calcular "q°".
3. Dos lados de un triángulo miden 9 y 7 cm. Calcular la suma de los valores pares que adopta el tercer lado.
L1
7. En la figura, calcular "x°".
8q°
A q°
30°
C
L1 L2
10. ABC es un triángulo isósceles (AB=BC) y AF es una bisectriz interior, tal que: AF=FB. Calcular la m C. 11. En un triángulo ABC, el mayor ángulo es "B". Si: AB=5 dm y BC=10 dm, calcular el número de valores enteros que adopta el lado AC. 12. Calcular la diferencia entre "xº" e "y°", si: m // n y/x=2/7. x°
m
y° n 13. Se tiene el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", de tal modo que: AB=8 cm y BC=15'cm. Calcular el mínimo valor entero que toma la longitud del lado AC.
L2
Unidad I
13
Triángulos
14. En la figura, L1 .//.L2 . Calcular "x°". L1
2f°
10x°
4f° x°
L2
9x° w° w°
3f°
3f°
15. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), en la hipotenusa AC y en el cateto AB, se toman los puntos "E" y "F" respectivamente, de manera que: CB=BE=EF=FA. Hallar la m CAB. 16. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 9. Calcular el mínimo valor entero que asume el perímetro. 17. En la figura, L1 .//.L2 , calcular la diferencia entre los valores de "x°" y "f°". L1
Colegios
14
TRILCE
q°
6x° q°
19. En la figura, calcular el complemento de "x°". 2x° a° w° w° a°
q° q°
b° b°
x°
20. En la figura, se muestra a dos triángulos rectángulos. Calcular el complemento de "f°".
x°
6f° f°
18. En la figura, calcular el complemento de "x°".
f° L2
2f°
3f°
80°
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Geometría
Líneas notables
2
En este capítulo aprenderemos: •
A diferenciar las líneas notables asociadas al triángulo.
•
A ordenar y seleccionar los teoremas asociados a las líneas notables, que permitan la resolución de problemas matemáticos.
A
H
C
B
Ortocentro
D
esde grados anteriores hemos trabajado con líneas que se asocian al triángulo. Todas ellas tienen aplicaciones directas y prácticas. Pero hay una en especial que se presenta con mucha frecuencia a lo largo del curso y la vamos a descubrir a través de este poema:
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15
Líneas notables
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: •
La distancia de un punto hacia una recta, es la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. L A A L
• Dos líneas rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto. b
m a L
• La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice, biseca a dicho ángulo. C
A O
q° q°
F
O
a° a°
E
B B
• En el gráfico, se une "A" con el punto medio "M" de BC y no son necesariamente perpendiculares. B
A B
M
M C
C A
• En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios. a°
a°+ q°=90°
q° Colegios
16
TRILCE
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2
Geometría
Conceptos básicos El uso de ciertas líneas en el triángulo, son tan frecuentes e importantes, que es necesario detallarlas y mostrar las relaciones angulares que ellas determinan. • Mediana B
mediana BM
baricentro
M
A
C
=
=
A
=
2a G
N a M
C
=
B
• Altura A
B
altura AH
altura BH
A
C
H
H
C
B
• Bisectriz B a°
a°
B
bisectriz interior BF
E
a° a°
I A
A
C
F
F
B q° q°
incentro
q° q°
C
A
• Mediatriz
mediatriz del lado BC
= A
=
B
=
=
=
=
mediatriz del lado AC
mediatriz de AB
E
C
B
B
A
bisectriz exterior
C
A
C
• Ceviana La ceviana puede ser interior o exterior. Debe tenerse en cuenta que desde un vértice se pueden trazar infinitas cevianas. B
B
ceviana exterior BE
ceviana BF
A Central: 619-8100
F
C
A
C
E Unidad I
17
Líneas notables
Relaciones angulares •
B
•
B
q° I x°
a° A a°
b° b°
C
b°
b°
C x°= q° 2
incentro
E
•
B
•
x°
a° a° A
x°=90°+ q° 2 I
E
q°
excentro
Altura y bisectriz B
q°
x° A a°
a°
b°
C b°
x°
A
H
E x°=90° E
BH BD
q° 2
altura bisectriz
x°= A°
excentro
C
D
2
C°
=) Congruencia de triángulos (~ Dos triángulos se llaman congruentes, si tienen sus lados y ángulos congruentes. “A lados congruentes, uno en cada triángulo, se oponen ángulos congruentes y viceversa” Para que dos triángulos sean congruentes, deben cumplir con alguno de los casos de congruencia. En ellos se menciona como requisito que presenten tres pares de elementos congruentes, siendo por lo menos uno de ellos un lado. •
1er caso: (Postulado A - L - A) Un par de lados y los ángulos adyacentes a ellos.
~ = a°
Colegios
18
TRILCE
q°
a°
q°
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Geometría
2do caso: (Postulado L - A - L) Dos pares de lados y el ángulo comprendido entre ellos.
l
l
=
a°
=
•
~ =
3er caso: (Postulado L - L - L) Los tres pares de lados.
~ =
=
l
l
•
a°
=
•
2
4to caso: (Postulado L - L - A) Dos pares de lados y congruentes los ángulos que se oponen a los mayores lados.
a°
~ =
a°
Síntesis teórica LÍNEAS NOTABLES
La mediana está asociada al punto medio del lado opuesto. La altura es un perpendicularidad.
concepto
de
La bisectriz puede ser interior o exterior, pero siempre biseca al ángulo respectivo. La mediatriz asocia la perpendicularidad con un lado y su punto medio. La ceviana puede ser interior o exterior y une un vértice con cualquier punto de la recta opuesta.
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Unidad I
19
Líneas notables 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura BH y se sabe que los ángulos BAC y BCA miden 52° y 40° respectivamente. Calcular la diferencia de las medidas de los ángulos HBC y HBA. 2. Grafique el triángulo ABC y trace la mediana AM. Si los segmentos MB y MC miden "2x 1" y "x+6", calcular el valor de "x". 3. En un triángulo PQR, se trazan las medianas PN y QM. Calcular la suma de los lados RQ y RP, sabiendo que: QN=6 cm y MP=5 cm. 4. Grafique el triángulo ABC y trace la bisectriz interior BI. Calcule la m BIA, sabiendo que los ángulos ABI y ACB miden 36° y 40° respectivamente.
5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se traza la altura BH relativa a la hipotenusa. Calcular la m ABH, sabiendo que el ángulo "C" mide 47°. 6. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y trace la altura AH. Si la m HAB es de 42°, calcular la medida del ángulo ABC. 7. En un triángulo ABC, la m ABC=74°. Calcular la medida del menor ángulo que forman las bisectrices exteriores de los ángulos "A" y "C". 8. Grafique el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y trace la altura CH. Si los ángulos HBC y BCA miden 80° y 21° respectivamente, calcular la m HCA.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La mediatriz de un triángulo, siempre contiene a uno de sus vértices. La mediana de un triángulo biseca al lado opuesto. La altura de todo triángulo divide al ángulo interior en partes iguales.
2. Completar: La bisectriz ............................... divide al ángulo interior respectivo, en dos ángulos ............................. 3. Expresar gráficamente lo que se le solicita en cada caso:
•
•
•
Un triángulo y dos bisectrices interiores que se interceptan en "I". Un triángulo acutángulo ABC, la altura BH y la bisectriz CF, que se interceptan en "Q". Un triángulo obtusángulo y las alturas relativas a los lados menores.
Colegios
20
TRILCE
4. Teniendo en cuenta el poema mostrado al comienzo del capítulo y la teoría efectuada, indique a qué línea notable se refiere y qué propiedades le hace recordar. Resolución de problemas 5. Grafique el triángulo acutángulo ABC y trace las alturas AH y CF que se intersectan en "Q". Si el ángulo "B" mide 72°, calcular la m AQC. 6. Sea ABC un triángulo donde las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "C" se cortan en "I". Calcular la m AIC, sabiendo que el ángulo ABC mide 70°. 7. En un triángulo ABC, sea "M" punto medio de BC y sea "R" punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo "B" con la mediatriz del lado BC. Calcular la m ABC, sabiendo que el ángulo BRM mide 52°. 8. Grafique el triángulo ABC de modo que el ángulo "B" mida 48° y las bisectrices exteriores de "A" y "C", se corten en "Q". Calcule la m AQC.
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Geometría
9. Grafique al triángulo ABC de modo que el ángulo "B" mida "a°" y las bisectrices exteriores de "A" y "C", se corten en "Q". Si la m AQC=a°, calcule el valor de "a°".
14. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la altura BH y la bisectriz interior AE, que corta a la altura BH en "F". Calcular "BE", si: BF=5 2cm.
10. Grafique al triángulo equilátero ABC y trace la ceviana AE de modo que la m EAC=15°. En el triángulo obtusángulo AEC trace la altura CH. Calcular la medida del ángulo formado por las prolongaciones de CH y AB.
15. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos "B" y "C" que se interceptan en "E", de tal manera que: 2m BEC=5m A. Calcular: m A.
11. Los ángulos "A", "B" y "C" de un triángulo ABC, son entre sí como 3; 4 y 5 respectivamente. Calcular el valor del ángulo formado por la altura y la bisectriz interior relativas al lado mayor. 12. Sea ABC un triángulo obtusángulo, donde las alturas AE y CF se interceptan en "H". Si: m B=128°, calcular la m AHC. 13. Del gráfico, calcular la relación entre "x°" e "y°". q°
q°
2
16. ABC y PQR son dos triángulos congruentes, de modo que: AC QR; m A=m Q; m C=m R; AB=x 1; PQ=7 x; PR=6 y BC=2y. Calcular el valor de "x+y". 17. PQRS es un cuadrilátero donde: PQ=SR, m QPR=m PRS; QR= 20 y SP=x 5. Calcular "x". 18. Grafique el triángulo rectángulo ABC, recto en "B" y trace la altura BH, de tal manera que: AH>HC. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAH y HBC.
y° a°
x°
a°
Aplicación cotidiana 19. En uno de los extremos (banda) de una mesa de billar, se encuentran tres bolas en línea recta en "A", en "B" y en "C" respectivamente y en el otro extremo paralelo (banda opuesta) se encuentra el jugador y la bola blanca (punto "J"). Esta disposición es tal que JB es la mínima distancia entre las bandas opuestas, AJ=2,5 m y JC=1,5 2 m. Si además JB mide 1,5 m, calcular:
•
La medida del ángulo que formarían los recorridos de la bola blanca, que partiendo de "J" iría hacia "A" y "C".
•
Si en AB se ubica un punto "N" tal que AN=1,75 m, indicar qué línea sería JN para el triángulo AJC. PERÚ 323.54 m
Paralelo geográfico
Hito 1 Orilla del Mar 26 Punto Concordia
37 610 m2 10 km del puente Lluta
Océano Pacífico
Central: 619-8100
4.5
m
CHILE
20. En el gráfico, se muestra una parte del área en conflicto entre Perú y Chile, que tiene un área de 37 610 m2 terrestres. ¿Cuál es la distancia aproximada del Punto Concordia hacia la línea que une el paralelo geográfico con el Hito 1, considerando que la porción de línea costera es línea recta?
Unidad I
21
Líneas notables
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ABC es un triángulo equilátero y CQR otro triángulo equilátero exterior (ambos coplanares). Calcular el valor del mayor ángulo que forman BR y AQ. 2. Sea ABC un triángulo rectángulo (B=90°), ABEF y BCPQ son dos cuadrados exteriores a dicho triángulo. Si las distancias de "F" y "P" a la recta AC miden 3 2 y 6 2m respectivamente, calcule el valor de "AC". 3. En la figura, BI es bisectriz interior. B
Luego, podemos afirmar:
a) w° = b° a° b° a° c) f° = 2 e) 2w° =f°
b) w° = a°+b° d) w° =3f°
4. Grafique al cuadrado ABCD y a una recta exterior L que pasa por "A". Si las distancias de "B" y "D" a L miden 10 y 8 dm, calcular la distancia entre los pies de estas perpendiculares. 5. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", se trazan la altura BH y la bisectriz interior BM, de tal manera que: m A + 3m HBM=90° + m C. Calcular m HBM, si: BC>AB .
wº aº
bº I
fº 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La bisectriz de un triángulo, siempre contiene al punto medio del lado opuesto. La mediana de un triángulo no biseca al lado opuesto. La altura de todo triángulo es siempre una línea que pertenece a su región interior.
2. Expresar gráficamente lo que se le solicita en cada caso:
•
•
•
Un triángulo ABC y dos bisectrices exteriores que se interceptan en "F". Un triángulo acutángulo ABC, la mediana BM y la bisectriz CF, que se interceptan en "Q". Un triángulo obtusángulo y dos alturas relativas al lado menor y al lado mayor.
3. Sea ABC un triángulo de incentro "I". Calcular la m AIC, sabiendo que el ángulo ABC mide 118°. 4. En un triángulo ABC, sea "M" punto medio de BC y sea "R" punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo "B" con la mediatriz del lado BC. Calcular la m BRM, sabiendo que el ángulo ABC mide 82°. Colegios
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TRILCE
5. En la figura, AB=BC y AP=PC. Calcular "a°". B
2a° A
P 3a°
C
6. En el triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos "A" y "C" se cortan en "F". Si el ángulo ABC mide 72°, calcular la m AFC. 7. En la figura, AM=MD, CD=8 y AB=11. Calcular "BC". A D
B
M
C
8. Calcular la medida del ángulo exterior "C" de un triángulo ABC, si: m A=40° y 3m B=4m C. 9. Sea ABC un triángulo rectángulo (B=90°) y sea "Q" la intersección de las bisectrices exteriores de "A" y "C". Calcular la m AQC. www.trilce.edu.pe
Geometría
10. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH, luego, la bisectriz BF del ángulo HBC. Si: AB=BF, calcular la m BAC. 11. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la bisectriz interior AF. La mediatriz de la hipotenusa AC, corta a BC en "E" y a la prolongación de AF en "Q". Calcular: EF/QE. 12. Dos lados de un triángulo acutángulo suman 16 dm. Calcular la longitud del máximo valor entero de la altura relativa al tercer lado. 13. Se tiene el triángulo ABC. Si: m A=2m C y AB=5, calcular el máximo valor entero de BC. 14. ABCD es un cuadrilátero, tal que: AB=CD, m BAC=m ACD, BC=2 a y AD=a 2. Calcular el valor de "a".
18. En el gráfico, el triángulo ABC es obtusángulo. Calcular el mínimo valor entero de "a°+q°". B
a°
A
q°
C
19. Grafique al triángulo acutángulo ABC en el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen "H" y "J" con "M" punto medio de AC. Si el menor ángulo que forman las bisectrices del ángulo ABC y del ángulo HMJ mide "x°" y el ángulo JCA mide "y°", calcular la medida del ángulo HAC en términos de "x°" e "y°". 20. En el gráfico, el valor de AB es de 2 cm. ¿Entre qué valores está CD? B
15. Dibuje el triángulo rectángulo isósceles ABC (B=90º) y a la recta L exterior al triángulo pero que contenga a "B". Sean AH y CE las distancias a L . Si: AH=13 y CE=7, calcule "HE". 16. Dado el triángulo rectángulo PQR (Q=90º), dibuje exteriormente los cuadrados PQEF y QRST. Si las distancias de "F" y "S" a PR miden 4,5 y 8,5 dm, calcule "PR".
2
3a°
A
2a° D
a°
C
17. En la región interior y exterior relativa al lado AB de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos "P" y "E" respectivamente, de tal manera que el triángulo PBE sea equilátero. Calcular m PEA, si: m CPB=90°.
Central: 619-8100
Unidad I
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3
Congruencia En este capítulo aprenderemos: •
A identificar a los triángulos congruentes, haciendo uso de los postulados.
•
A demostrar que dos triángulos son congruentes y aplicarlo en la resolución de problemas a través de ello y los teoremas respectivos.
L
a congruencia de las figuras (léase en términos prácticos como igualdad), aparece en la naturaleza, en la vida cotidiana, en nuestro quehacer escolar y también en nuestros juegos. Una forma interesante de manifestarse es en el famoso "tangram". Este es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan solo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad", haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere.
Ya que estamos en el terreno lúdico, también cabe recordar cómo en nuestra niñez hacíamos uso de la congruencia de triángulos. Que agradable es recordar cuando construíamos la imagen de un chinito, compuesto por triángulos de diversos tipos. Probablemente no nos indicaban ni la naturaleza de los triángulos, ni de la congruencia de los mismos. Sin embargo hacíamos buen uso de ellos. ¿Podrías indicarnos cuántos triángulos congruentes aparecen en esta imagen y también indicarnos los tipos de triángulos? Colegios
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TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: •
En un triángulo se cumple que a mayor ángulo se le opone mayor lado y a menor ángulo se le opone menor lado y viceversa. a
a°
q°
c
•
Si "a°" es el mayor ángulo, entonces "c" es el mayor lado y si "q°" es el menor ángulo entonces "a" es el menor lado.
b
La mediatriz de un segmento es la línea perpendicular en el punto medio de dicho segmento. Mediatriz de BC
B A
•
B
C
A
La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice, biseca a dicho ángulo. C
A q° q°
O
F
O a° a°
B
•
E
B
La distancia de un punto hacia una recta, es la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. A
L
A L
Unidad I
25
Congruencia
Conceptos básicos En el capítulo anterior, se trabajó con las líneas notables en el triángulo y los casos de congruencia de triángulos. Ahora trataremos sobre las propiedades que se deducen de la congruencia de triángulos, como también de algunos triángulos rectángulos notables.
•
Propiedad de la bisectriz
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo, equidista de sus lados. Q a° a°
A
Si "P" ∈ a la bisectriz AM P
M
PQ
PR
AQ
AR
R
•
Propiedad de la mediatriz
Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos. L L → mediatriz de AB PB isósceles A
a°
=
DAPB
=
PA
P∈L
P
M
a°
B
En el triángulo isósceles •
La altura relativa a la base, es también mediana, bisectriz y mediatriz. Si: AB=BC
⇒ BH
•
La suma de las distancias EP y EQ, nos da la altura AH . "E"→ Punto cualquiera de la base AC
Si: AB=BC
Altura Mediana Bisectriz Mediatriz
B
B
⇒ EP+EQ=AH
a° a°
H Q A
Colegios
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TRILCE
q°
\
H
\
q°
P C
A
E
C
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Geometría
•
Teorema de los puntos medios
En un triángulo, la paralela a un lado, trazada por el punto medio de otro, corta al tercero en su punto medio. El segmento determinado se llama base media o paralela media y mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. B
Si: AM
3
MB y MN // AC
⇒ "N" es punto medio de BC M
N
A
MN= AC 2 y
C
MN se denomina base media
•
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de ella. B
Si BM es mediana
q° a°
AC ⇒ BM= 2
=
M
=
=
A
q°
a°
y
AM=BM=MC
C
Triángulos rectángulos notables
45°
45° a 2
a
a
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60°
2a
a 2
n
2n
45°
45° a 2
30° n 3
Unidad I
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Congruencia
37° 5a
4a
b 5 b
k 10
k
53°
2b
3a
53° 2
3k
37° 2
B
a( 6 - 2 )
A
En este caso, la altura menor es la cuarta parte de la hipotenusa.
a( 6 + 2 )
a
75°
15°
H
C
4a
Síntesis teórica
CONGRUENCIA
Para efectos prácticos puede entenderse a la congruencia (≈) como sinónimo de igualdad.
La propiedad de la bisectriz es respecto de la equidistancia de lados.
El teorema de la base media es para todo tipo de triángulo y el de la mediana relativa al lado mayor es aplicable solo en el triángulo rectángulo.
Recordar los triángulos rectángulos notables. La propiedad de la mediatriz es respecto de la equidistancia de vértices.
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Geometría 10 x 5 50
3
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Se tienen dos triángulos congruentes, donde los lados menores (uno en cada triángulo) miden (3x+2) cm y (14+x) cm. Calcular la longitud de uno de estos lados. 2. Se tienen dos triángulos rectángulos congruentes. Si las hipotenusas miden "3x" y "4x 5", calcular la suma de los cuadrados de los catetos de uno de estos triángulos. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 24 cm. Si la mediana relativa a dicha hipotenusa mide "5y+2", calcular el valor de: 2y. 4. En un triángulo, una base media mide (6x 2) cm. Si el lado al cual es paralelo mide 32 cm, calcular el valor de "x".
5. Si los lados de un triángulo miden 14; 16 y 18 cm, calcular el perímetro del triángulo que resulta al unir los puntos medios de sus lados. 6. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 y 16 cm. Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa. 7. Grafique al ángulo ABC y en su bisectriz marque el punto "Q", de modo que las distancias de "Q" hacia los lados midan (2x 1) cm y (x+4) cm. Calcular la longitud de una de estas distancias. 8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la bisectriz interior AF . Si: FB=2 3 cm, calcular la distancia de "F" a la hipotenusa AC.
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. •
•
•
Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos de su segmento. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos congruentes, entonces se afirma que dichos triángulos también serán congruentes. La altura de todo triángulo mide la mitad de su base.
P a° a°
A
C
B BM=
3. Completar: B
4. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al comienzo del capítulo.
Q
=
=
P A
M
=
2. Completar: En un triángulo, la base media es ............................... al lado opuesto y mide la .................................. de dicho lado.
N
PH = PN
=
H
C
PQ= Central: 619-8100
Unidad I
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Congruencia
Resolución de problemas 5. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH y la mediana BM relativas a la hipotenusa AC . Si la m ACB=42°, calcular la m HBM. 6. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC igual a 24 cm y cuyo ángulo "C" mida 36°. Trace la ceviana BF de modo que el ángulo ABF mida 18°. Calcular el valor de "BF". 7. Grafique al triángulo ABC de modo que los ángulos "B" y "C" midan 84° y 42° respectivamente. Trace la mediatriz de AC que corta al lado BC en "R". Calcular la longitud de AB, sabiendo que: CR=2 5 cm.
E
A O B
F
12. Grafique al triángulo ABC de modo que los lados AB y AC midan 7 y 13 cm respectivamente y trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" al punto medio del lado BC . 13. Grafique al triángulo ABC y a su mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 6 cm y BC mide 10 cm, calcular la m CBM.
8. Sea ABC un triángulo rectángulo de hipotenusa AC. La mediatriz de AC corta a BC en "Q" de modo que: QC=12 cm. Calcular la distancia de "B" al punto medio de AQ.
14. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC y trace la ceviana AF, de modo que: m FAC=2m BAF. En AC marque "Q" de forma que: m AFQ=m ACB. Calcular el valor de "QF", si el valor de FB es de 10 cm.
9. Grafique al triángulo ABC, cuyo lado AC mida 12 cm. Sean "M" y "N" puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. Grafique al rectángulo MNPQ (PQ sobre la base AC) de modo que NP=8 cm. Calcule el valor de "MP" y la m MPN.
15. Sea EFG un triángulo rectángulo tal que: m E=58°, m G=32° y EG=10 cm. Trace la ceviana FH , de modo que el ángulo EFH mida 6°. Calcule el valor de "FH".
10. Grafique al cuadrilátero ABCD de modo que los ángulos ABC y ADC sean rectos, el ángulo ACD mida 53°, AB y BC midan 7 y 24 cm respectivamente. Luego, exteriormente, grafique al triángulo rectángulo AFD de modo que sea recto en "F" y el ángulo FAD mida 45°. Calcule el valor de "FD". 11. En el gráfico, AE y BF son paralelos, OE y OF son bisectrices de los ángulos AEF y BFE. Si la distancia de "O" hacia EF es de 5 3 cm, calcular la distancia entre las paralelas
16. ABC es un triángulo acutángulo donde AC mide 24 cm y el ángulo "A" mide 45°. Exteriormente y relativo a BC marque el punto "Q" de modo que: BC=CQ y m A=m BCQ. Calcular la distancia de "Q" hacia CA. 17. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior "P" de modo que: m PAC=30°, m PCA=15° y m APB=90°. Calcule la m PCB, si además las longitudes AC, BP y PC miden 4; 2 y 2 2 cm respectivamente.
Aplicación cotidiana 18. Julio desea realizar un experimento de distancias. Para ello se sitúa en el punto "P" que está a 10 3 m al frente de su casa. Coloca una cuerda desde "P" hacia la parte más alta de su casa y la tensa firmemente. Julio se da cuenta que la cuerda forma un ángulo de 30° con el piso. Calcular:
• •
La altura de la casa. La distancia respecto del piso, a la que se encuentra el punto medio de la cuerda.
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TRILCE
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3
Geometría
19. Alberto y Carlos se encuentran ubicados de modo que la distancia entre ellos es de 10 m y entre ellos se encuentra un árbol tal que el pie del árbol dista 7 m de Carlos. El ángulo de elevación de Alberto para mirar la copa del árbol es el doble del ángulo de elevación que usaría Carlos para mirar la copa de dicho árbol. Calcular:
• •
La distancia del pie del árbol hacia Alberto. La altura del árbol.
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20. La figura nos muestra el cuerpo de un telescopio diseñado por el inventor John Lowry Dobson. Él montó el telescopio sobre una base de madera y utilizó una serie de varillas de 150 cm de longitud, para fijar la posición de los dos espejos (el principal y el secundario). La base de madera la colocó sobre un carro para mover el telescopio de un lado a otro y acercarlo a la gente para que disfrutasen del espectáculo nocturno. El sistema que utilizó para la fabricación de este telescopio fue tan sencillo, que hoy son muchos los aficionados que optan por seguirlo y fabricarse su propio telescopio, variando las medidas a sus necesidades. Si el ángulo que forman dos varillas es de 53°, ¿cuál sería la longitud de la base que se opone a dicho ángulo?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B". Trace una perpendicular a BC, por "B" y que corta a CA en "Q". Si la m BAC es el doble de la m ACB y AB=9 cm, calcular el valor de "QC".
3. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 96 cm y uno de sus ángulos agudos mide 37°. Trace la altura relativa a la hipotenusa y calcule la distancia del pie de dicha altura al punto medio del cateto mayor.
2. Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 12; 16 y 20 cm respectivamente. Calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares trazadas desde "B" hacia las bisectrices interiores de los ángulos en "A" y en "C".
4. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6 cm. Si el ángulo que forman es de 7°, calcular la medida del mayor ángulo interior.
18:10:45
5. Los ángulos "A" y "C" de un triángulo ABC miden 45° y 30° respectivamente. Calcular la m AMB, sabiendo que AM es la mediana relativa a BC.
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados. Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos agudos congruentes, entonces se afirma que dichos triángulos también serán congruentes. La bisectriz relativa a la hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa.
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2. Alberto y Julio se encuentran ubicados de modo que la distancia entre ellos es de 13 m y entre ellos se encuentra un árbol tal que el pie del árbol dista 9 m de Julio. El ángulo de elevación de Alberto para mirar la copa del árbol es el doble del ángulo de elevación que usaría Julio para mirar la copa de dicho árbol. Calcular:
• •
La distancia del pie del árbol hacia Alberto. La altura del árbol.
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Congruencia
3. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH y la mediana BM relativas a la hipotenusa AC. Si la m ACB=33°, calcular la m HBM. 4. Grafique al triángulo ABC, de modo que los ángulos "B" y "C" midan 76° y 38° respectivamente. Trace la mediatriz de AC que corta al lado BC en "R". Calcular la longitud de AB, sabiendo que CR=2 7 cm. 5. Grafique al triángulo ABC de modo que los lados AB y AC midan 9 y 16 cm respectivamente y trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" al punto medio del lado BC. 6. Sea ABC un triángulo, tal que: AB=18 cm, BC=20 cm y AC=24 cm. Trace la altura BH y calcule el perímetro del triángulo que se forma al unir "H" con los puntos medios de AB y BC.
12. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 6.cm, calcule la distancia de "C" hacia dicha mediana. 13. Sea ABC un triángulo donde: m A=30° y m C=15°. Trace la mediana BM y calcule la m MBC. 14. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 8 cm y el lado BC mide 10 cm, calcule la m MBC. 15. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 24 cm y uno de sus ángulos mide 15°. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. 16. En el gráfico, si PH mide 12 cm, calcular el valor de "AB". A H
7. Grafique al cuadrilátero ABCD, de modo que: m B=m D=90°, m ACB=30° y m CAD=37°. Calcular el valor de "DA", sabiendo que AB y CA suman 30 cm.
P aº aº
B
C
8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la mediatriz de la hipotenusa AC que intercepta a BC en "Q". Si QC mide 10 cm, calcular la suma de cuadrados de AB y BQ.
17. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la mediana AM de modo que: AB=5.cm y MA= 61 cm. Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa.
9. Grafique a los triángulos rectángulos ABC y CEF, de modo que "B", "C" y "E" sean puntos colineales y además: AC=CF, m ACF=90°, AB=5'cm y FE=12'cm. Calcular el valor de "BE".
18. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), se trazan la altura AH y la bisectriz interior BN ("N" ∈ AC) las cuales se cortan en "O". Calcular la distancia desde "O" hasta AC, si: AB=18 cm y BH=6 cm.
10. En el gráfico mostrado, calcular "PS", si: PQ=9 cm y RH=14 cm.
19. En el gráfico mostrado: FC=2AP; AF=FP=PE y el ángulo "C" es de 30°. Calcular el valor de "f°". E
R
f° B
Q P P
H
S
11. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipo tenusa AC y cuyo ángulo "C" mida 30°. Exteriormente construya el triángulo rectángulo AFC (F=90°) de modo que la m ACF sea de 37º. Calcular la diferencia entre FC y AC, sabiendo que: AB=12,5 cm.
Colegios
32
TRILCE
A
F
30°
C
20. Grafique al triángulo acutángulo ABC y trace BH altura y AM mediana, que se interceptan en "O". Si: BH =6 cm, AH=4 cm y AO=MO, calcular el valor de "BC".
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Razonamiento Matemático Geometría
Repaso
4
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos
•
•
•
La menor mediana de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. Si dos triángulos tienen sus ángulos iguales, entonces serán congruentes. La base media de un triángulo mide el doble de su lado opuesto.
2. En un triángulo, las mediatrices de dos de sus lados se interceptan en un mismo punto situado en el tercer lado. Calcular la medida del ángulo interior opuesto a dicho lado. 3. Las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo rectángulo son "4b°" y "5b°" respectivamente. Calcular el valor del menor de los ángulos interiores agudos.
x° x°= a°
q° B
P
A
PQ= Q
a
C
=
10. Completar:
=
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
b
c
4. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "B" es de 140° y su bisectriz exterior es paralela al lado AC. Calcular la m BAC.
11. El triple de un ángulo excede a otro en 40°. Si estos ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas, calcular la diferencia entre dichos ángulos.
5. En un triángulo ABC, los ángulos en "A" y en "C" miden 58° y 42° respectivamente. Calcular la medida del ángulo que forman la altura y la bisectriz relativas al lado AC.
12. En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas entre sí, al igual que L3 y L4 que también son paralelas. Calcular el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos SRT y SPR.
6. Los lados menores de un triángulo obtusángulo miden 8 y 15 cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede adoptar el tercer lado. 7. Los lados menores AB y BC de un triángulo ABC miden 3 y 5 cm respectivamente. Exteriormente se construye el triángulo equilátero ACQ. Calcular el máximo valor entero que adopta el perímetro del triángulo ACQ. 8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) cuyo cateto AB mida 8 cm y el ángulo "C" mida 30°. Exteriormente construya el triángulo isósceles AQC cuyo lado diferente es QC. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y QC.
P
L1
L2
a° R
T
L3
S a°
L4
13. Si: L1 // L2 , calcular: m n b° m° a°
L1
a° n° b°
L2
9. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 15° y la hipotenusa mide 48 cm. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. Central: 619-8100
Unidad I
33
Repaso
L1
17. En un triángulo ABC, el ángulo "A" mide 48º. Trace las bisectrices interiores BP y CQ y calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BQC y BPC.
L2
18. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se construye exteriormente el triángulo equilátero BCD. Calcular la medida del ángulo PQR, si "P", "Q" y "R" son los puntos medios de AD, BD y BC respectivamente.
14. Si: L1 // L2 , calcular el valor de "x°" cuando "q°" toma su máximo valor entero. q° 2x°+2q° 3q° 56º 3x°
q°
15. Grafique al triángulo ABC, de modo que: m A=2m C y trace la altura BH. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: HA=5 cm y HC=12 cm.
19. En el interior de un triángulo ABC, se ubica "M", de modo que: MA=AB=MC, m MAC=2x°, m MCB=3x° y m ABC=13x°. Calcule el valor de "xº".
16. Grafique el triángulo ABC, de modo que: m A=2m C y trace la bisectriz interior BD. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AD=6'cm y BC=10 cm.
20. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B". Calcule el valor de "AB", sabiendo que es un número entero y que además AC y BC miden 10 y 2 cm respectivamente.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Los lados menores de un triángulo obtusángulo miden 6 y 8 cm. Calcule la suma de todos los posibles valores enteros del tercer lado. 2. En un triángulo, las mediatrices de dos de sus lados se interceptan en un mismo punto situado en el tercer lado. Indicar de qué tipo de triángulo se trata.
7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
3. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "B" es de 130° y su bisectriz exterior es paralela al lado AC. Calcular la m BAC.
•
•
•
4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La mayor mediana de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. Si dos triángulos tienen todos sus lados iguales, entonces serán congruentes. La base media de un triángulo no es paralela al lado opuesto.
5. Grafique al triángulo acutángulo ABC, trace la altura BH y la bisectriz AI. Si el ángulo "A" mide 72°, calcule el mayor ángulo que forman estas líneas al interceptarse.
Colegios
34
6. Grafique el triángulo ABC de modo que: m A=2m C y trace la bisectriz interior BD. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AD=7.cm y BC=16 cm.
TRILCE
La mediatriz del lado de un triángulo siempre es paralela al lado opuesto. Los ángulos interiores agudos del triángulo rectángulo son suplementarios. La bisectriz interior de un triángulo es perpendicular al lado opuesto.
8. Si la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 60 cm y uno de sus ángulos agudos mide 37°, calcule su perímetro. 9. En un triángulo isósceles ABC, AB=BC=5 cm, se traza la ceviana BP tal que AP=2 cm. Si BP toma un valor entero, calcular el perímetro del triángulo APB. 10. Dos lados de un triángulo miden 6 y 8 cm. Calcular el máximo valor entero del tercer lado, si su ángulo interior opuesto es agudo.
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Geometría
11. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A", las mediatrices de AB y AC interceptan a BC en "P" y "Q". Hallar m PAQ, si la medida del ángulo exterior en "A" es 80°.
15. Del gráfico mostrado, calcular el valor de "BF". B
F
90°- a°
q° q°
12. Calcular "AB", si: BM=MC; AD=50m y CD=35m. C B
A
24m
4
2a°
E
C
16. Calcular "PS", si: PQ=7m y RH=11m R
A
D
M
Q
13. En el gráfico mostrado, calcular el valor de AB. 15 A
8
B 14. En el gráfico, calcular el valor de "EH", si BC=4m B 45°
D
E
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H
H
S
17. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos "B" y "C" que se interceptan en "E", de tal manera que: 2m BEC=7m A. Calcular la m A.
° aa °
A
P
C
18. En el triángulo ABC, las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "C" se cortan en "F". Si el ángulo ABC mide 82°, calcular la m AFC. 19. Grafique al triángulo ABC y ubique el punto interior "D" tal que: m DBC=m DAC=a°, m C=5a°, m DAB=7a° y BD=AC. Calcule el valor de "a°". 20. Grafique al cuadrado ABCD y marque los puntos "M" en AD y "E" en CM, de modo que AM=MD y AB=BE. Calcular la m AEM.
Unidad I
35
UNIDADUNIDAD 2 1
Cuando los lados aumentan
E
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros.
Razonamiento Matemático
Polígonos
1
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar y nombrar los distintos tipos de polígonos así como sus elementos y conocer sus propiedades
•
A reconocer y aplicar los teoremas respectivos en la resolución de problemas matemáticos.
E
l estudio de los polígonos en Geometría nos permite ampliar las definiciones y generalizar algunas propiedades del triángulo y mostrar otras que nos ayudan para el normal desarrollo de los temas subsiguientes. Pero es aún más importante y fascinante el uso práctico que le damos a esta parte del curso. Actualmente podemos encontrar construcciones en forma de polígonos, como el edificio del secretariado de la defensa y el estado mayor de las fuerzas armadas de los EE.UU. Pero para no ir tan lejos, veamos la famosa piedra de los doce ángulos que se encuentra ubicada en la calle Hatun Rumiyoc (de la Roca Mayor, en castellano), situado en Cusco, Perú, que es una calle bordeada por el muro del que fuera el palacio en el cual habitó Inca Roca. La belleza de esta roca y la precisión de sus empalmes nos muestran lo ingenioso que fueron nuestros antepasados.
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37
Polígonos
Saberes previos Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
•
Las líneas pueden ser rectas, quebradas (o poligonal), curvas o mixtas.
•
Las rectas secantes pueden cortarse de diferentes maneras: cuando concurren en un punto, cortarse dos a dos, etc.
•
Dado un triángulo, el ángulo exterior se consigue prolongando uno de sus lados. B
B b° a°
A
•
C
A
C
En un mismo vértice, el ángulo interior y el ángulo exterior son suplementarios.
q° a°
•
Se denomina diagonal de una figura cuando se unen dos vértices no consecutivos.
Colegios
38
TRILCE
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Geometría
1
Conceptos básicos Elementos de un polígono Vértices
B e2°
: A; B; C; ...
: i1°; i2°; ...
Ángulos externos
: e1°; e2°; e3°; ...
e3°
i 2°
Lados : AB; BC; CD; ... Ángulos interiores
C
e 1° A i 1°
D
Diagonal : BD; FC; ... Diagonal media
: PQ; ...
Perímetro
: AB + BC + CD + ...
P
Q
E
F
Un polígono convexo no puede ser cortado más que en dos puntos por una recta que no sea un lado. En un polígono no convexo, su contorno puede ser cortado en más de dos puntos por una recta que no sea un lado. g° q°
r°
b°
w°
a°
a° Polígono convexo
Polígono no convexo
Según el número de lados, un polígono se llama: •
Triángulo
3 lados
•
Nonágono o eneágono 9 lados
•
Cuadrilátero
4 lados
•
Decágono
10 lados
•
Pentágono
5 lados
•
Endecágono
11 lados
•
Hexágono
6 lados
•
Dodecágono
12 lados
•
Heptágono
7 lados
•
Pentadecágono
15 lados
•
Octógono u octágono
8 lados
•
Icoságono
20 lados
Otros se mencionan según su número de lados. Ejm: polígono de 18 lados, polígono de 25 lados, etc. Central: 619-8100
Unidad II
39
Polígonos
Los polígonos se clasifican como: •
Equilátero Tiene todos sus lados congruentes.
•
Equiángulo Tiene todos sus ángulos congruentes.
i°: ángulo interior e°: ángulo exterior i°
i° i°
i° i°
i°
e°
m exterior = 360° n
•
m interior = 180°(n n
2)
Regular Tiene sus lados congruentes y sus ángulos también congruentes. o → centro c° → ángulo central e° → ángulo exterior i° → ángulo interior
i° o c° e°
m central = m exterior = 360° n m interior = 180°(n n
2)
∑ centrales = 360º
Colegios
40
TRILCE
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Geometría
Propiedades a usar •
En todo polígono, el número máximo de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es:
(n
•
El número de diagonales medias de todo polígono es igual a:
2
•
1)
La suma de los ángulos externos de todo polígono convexo es:
En todo polígono, el número de diagonales es igual a:
ND = n(n 3) 2
3) diagonales
NDM = n(n
•
•
1
La suma de los ángulos internos de todo polígono convexo, es igual a:
∑ s interiores = 180°(n
•
2)
En un polígono convexo, al trazar todas las diagonales desde un solo vértice se forman:
(n
2) triángulos
∑ s externos = 360°
"n" es el número de lados, el número de vértices o el número de ángulos interiores.
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Unidad II
41
Polígonos
Síntesis teórica
POLÍGONOS
Figuras de tres o más lados, determinadas al trazar tres o más rectas secantes que se cortan dos a dos.
Clasificación
Teoremas
Pueden ser convexas o no convexas. También clasifican por la regularidad de sus ángulos y/o lados.
Tener presente la suma de sus ángulos, el número de diagonales y las diagonales desde un vértice. Propiedades en los polígonos regulares.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un icoságono convexo.
5. Grafique al hexágono regular ABCDEF y calcule la medida del ángulo AEF.
2. Dado un polígono de 23 lados, calcular su número de diagonales.
6. Si en un polígono, el número de diagonales es igual al número de lados, ¿de qué polígono se trata?
3. Graficar y calcular la medida del ángulo exterior de los siguientes polígonos:
• Pentágono regular • Hexágono regular
4. Graficar al pentágono regular ABCDE y calcule la medida del ángulo ADE.
Colegios
42
TRILCE
7. Si el número de diagonales de un polígono es 35, calcular la suma de sus ángulos interiores. 8. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores es igual a seis ángulos rectos. Calcular su número de diagonales.
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Geometría
1
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
En un polígono regular, la medida del ángulo central es igual a la medida del ángulo exterior. El polígono de 15 lados, se denomina icoságono. Si todos los lados de un polígono son congruentes, entonces necesariamente el polígono es regular.
2. Completar:
Un polígono equiángulo es aquel donde todos sus .............................................. son congruentes entre sí.
3. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al inicio del capítulo. Resolución de problemas 4. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es ocho veces el valor de un ángulo recto, calcular su número de diagonales. 5. En un polígono, el número de diagonales es el triple de su número de lados. Calcular el número de lados de dicho polígono. 6. La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es 1.080°. Calcular el número de vértices de dicho polígono. 7. Calcular el número de vértices de un polígono convexo, donde la suma de sus ángulos interiores y exteriores es de 1 800°. 8. Si en un polígono convexo, el número de diagonales es el cuádruple del número de vértices, calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores. 9. Grafique a los polígonos regulares ABC y BCDE, de modo que DE sea exterior al polígono ABC. Calcular la m DCA.
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10. Grafique a los polígonos regulares ABCDE y ABPQ, de modo que el cuadrado sea interior al primero. Calcular la m PBC. 11. La medida del ángulo interior de un polígono regular es 135°. ¿Cuántas diagonales tiene este polígono? 12. Si en un polígono regular el valor del ángulo interior es el doble del ángulo central, ¿cuál será el número de diagonales de dicho polígono? 13. Si al número de diagonales de un polígono se le agrega el número de lados, se obtiene 6. Luego el número de lados es: 14. En un polígono regular, al disminuirle un lado, su número de diagonales disminuye en 4. Calcular la medida de su ángulo exterior. 15. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores aumentado en cinco veces la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero, nos da 3 600°. Calcular el número de lados de dicho polígono. 16. En un polígono de 25 lados, ¿cuántas diagonales como máximo se pueden trazar desde un vértice? 17. En un polígono regular desde cuatro vértices consecutivos se pueden trazar 33 diagonales como máximo. ¿Cuál es la medida de su ángulo central? 18. La figura nos muestra a dos polígonos regulares ABCDE... y a BCPQR..., cuyos números de lados son "n" y "m" respectivamente. Calcule la m PCD. C B A
D P
Q
E
R
Unidad II
43
Polígonos
Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra avisos de seguridad de tránsito en carreteras. El primero es un polígono regular y el segundo es un polígono equilátero de 20 cm de lado. Responder:
•
¿Cuál es el valor del ángulo interior del primer polígono?
•
¿Cuánto es en centímetros el perímetro del segundo polígono? 20. La figura nos muestra a un cubo y como se construiría dicho sólido con un polígono conformado por seis cuadrados iguales. Si la arista del cubo mide 10 cm, responder:
•
¿Cómo se llama el polígono no convexo formado por los seis cuadrados?
•
¿Cuál es el perímetro del polígono no convexo mostrado?
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En un polígono regular, desde seis vértices consecutivos se trazan como máximo 92 diagonales. Calcular el valor de su ángulo central. 2. Grafique al hexágono regular ABCDEF e interiormente al pentágono regular APQRF. Calcule la m QFE. 3. Si un polígono de "n" lados tuviera "n 3" lados, tendría "n+3" diagonales menos. ¿De qué polígono se trata?
4. La diferencia entre el número de diagonales de dos polígonos regulares es de 19 y los valores de sus ángulos externos están en la relación de 5 a 6. Calcular el producto de los números de lados de ambos polígonos. 5. Grafique a los polígonos regulares UNIDA... y a TRILCE... de modo que el primero sea un pentadecágono, que TR y RI sean interior al primero y LI; LC; CE;... sean exterior a dicho pentadecágono. Si la m TIA=114°, calcular el número de lados del polígono TRILCE... 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
En un polígono no convexo, la medida del ángulo central es igual a la medida del ángulo exterior. Al polígono de 20 lados, se le denomina pentadecágono. Si todos los lados de un polígono son congruentes, entonces necesariamente los ángulos del polígono son congruentes entre sí.
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TRILCE
2. La figura nos muestra avisos de seguridad de tránsito en carreteras.
El primero es un polígono regular de 12 cm de lado y el segundo es un polígono equilátero de 18 cm de lado. Responder:
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Geometría
•
¿Cuál es el valor del ángulo exterior del primer polígono? ¿Cuánto es en centímetros el perímetro del segundo polígono? ¿Cuál es la longitud de la diagonal del primer polígono, de modo que dicha diagonal subtienda tres lados del mismo?
12. Calcule el número de lados de un polígono en el cual la suma de sus ángulos interiores es el doble de la suma de sus ángulos exteriores.
•
•
3. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es 10 veces el valor de un ángulo recto, calcular su número de diagonales.
14. ¿Cuántas diagonales medias tiene el pentágono?
4. Si en un polígono el número de diagonales es 65, calcule su número de vértices. 5. Calcular el valor del ángulo central de un polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interior es cinco veces la medida de su ángulo exterior. 6. En un octógono, ¿cuántos triángulos se pueden contar al trazar todas las diagonales desde un vértice? 7. Graficar una región convexa y dos regiones no convexas. 8. Si en un heptágono, la suma de seis ángulos interiores es 820°, ¿cuánto medirá el séptimo ángulo? 9. Sea ABCDEF un polígono regular y EDPQ otro polígono regular exterior al primero. Calcular la medida del ángulo FEQ. 10. Sea ABCDEF un polígono regular y EDPQ otro polígono regular exterior al primero. Calcular la medida del ángulo EQF.
1
13. Si a un polígono se le agrega el doble de su número de lados, se obtiene 36. Calcular su número de diagonales.
15. Si en un polígono el número de diagonales es cinco veces el número de vértices, calcular su número de diagonales medias. 16. Graficar al cuadrado ABCD y al pentágono regular CDEFG, cuyas regiones son exteriores. Calcule la medida del ángulo AED. 17. Grafique al pentágono regular ABCDE, en la región interior ubique los puntos "P" y "Q", de forma tal que ABPQ sea un cuadrado. Calcular la medida del ángulo que forman BD y PQ. 18. ABCDEF... es un polígono regular de 16 lados. Calcule la m BDC. 19. ABCDEF... es un icoságono regular. Calcule la m BAC. 20. La figura muestra a un octógono equiángulo ABCDEF..., donde: AB=6 cm, BC=6 2 cm y CD=8 cm. Calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD. C B
D E
A
11. Si a un polígono le aumentamos un lado, el número de diagonales aumentaría en 3. ¿Cuántos vértices tiene el segundo polígono?
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Unidad II
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2
Cuadriláteros En este capítulo aprenderemos: •
A identificar y nombrar los distintos tipos de cuadriláteros, así como sus elementos.
•
A reconocer sus propiedades generales y específicas.
•
A emplear los teoremas respectivos en la resolución de problemas matemáticos.
E
n matemática, encontramos diversos juegos que nos permiten divertirnos y ejercitar nuestro ingenio. Para nosotros, los docentes, estos juegos son una forma de atraer a nuestros alumnos hacia el mundo de las matemáticas. Uno de estos conocidos juegos es el "cuadrado mágico", que tiene muchos años de antigüedad.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Probablemente sea el genial matemático Leonhard Euler (1707-1783), quien a partir de estos cuadrados y de sus trabajos sobre el cálculo de probabilidad (cuadrados latinos) le haya dado origen al muy de moda y famoso SUDOKU. Bien, veamos cuál es la historia de estos cuadrados:
En la antigua China se conocían unos cuadrados llamados mágicos desde el III milenio a.C., como atestigua Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.
Colegios
46
TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar a la teoría, recordemos que: •
Cuando un polígono es convexo y no convexo.
•
Los ángulos entre líneas paralelas "a°" y "q°" son iguales ( L1 // L2 ). q° a°
L2
L2
L1
L1 a°
L1
q° a°
q°
•
La distancia entre dos rectas paralelas es la perpendicular entre ellas (altura).
•
Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°.
a°
+
b°
L2
=180°
Unidad II
47
Cuadriláteros
Conceptos básicos Definición: Es la figura geométrica que se determina al trazar cuatro rectas que se interceptan dos a dos. Pueden ser convexos o no convexos. Convexo
No convexo (cóncavo) qº
qº bº aº
aº
gº
gº
xº xº=aº + qº + gº
aº + bº + qº + gº =360º
Clasificación de los cuadriláteros •
Trapezoide: Cuadrilátero donde no existe paralelismo entre sus lados opuestos. B
C B=
C
A
AB // CD ; BC // AD A
D
D
asimétrico
•
simétrico o bisósceles
Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos llamados bases. base
B menor C bº qº
*
Trapecio escaleno
*
h
aº
aº A
gº base mayor
* D
aº
Trapecio isósceles
Trapecio rectángulo
h=Altura del trapecio Colegios
48
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Geometría
•
2
Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y además iguales. * *
a°
q°
Romboide
Rombo
*
a°
Rectángulo
*
Cuadrado
Propiedades •
Romboide B
C BO=OD AO=OC A= C B= D
O
A
•
D
Trapecio ( BC // AD ) B
C MN es mediana o base media MN // bases y MN= AD+BC 2
N
M A
D
Demostración: a
B a
M A
a
E
H b
• Trazemos por "C" una paralela a AB (CH // AB)
C
b-a 2 b-a
• Luego: ME=a EN= b
N D
2
a
• Sumando: MN = ME+EN MN = a+ b
2
a
MN = a+b 2 AD+BC MN= 2
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Unidad II
49
Cuadriláteros
Trapecio ( BC // AD )
•
a
B
C
P A
PQ // bases PQ= AD BC 2
Q D
b
Demostración: a
B
C a/2
P A
Q b
• Prolongamos PQ hasta "F" DBDC: QF= a 2 • DACD: PF= b 2 F
• Sumando: PQ+QF=PF D
PQ+ a = b 2 2 PQ = b a 2 AD BC PQ= 2
Síntesis teórica
CUADRILÁTEROS
Convexos y no convexos
Trapezoides Pueden ser simétrico y asimétrico.
Colegios
50
TRILCE
Trapecios Pueden ser escaleno, isósceles y rectángulo.
Paralelogramos Pueden ser romboide, rombo, rectángulo y cuadrado.
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10 x 5 50
Geometría
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. En un cuadrilátero convexo, tres de sus ángulos internos miden 100°; 80° y 72°. Calcular la medida del cuarto ángulo. 2. Dos lados de un romboide miden 6 y 9 cm. Calcular el valor de su perímetro. 3. Grafique a un romboide ABCD, donde sus diagonales se corten en "O". Si AO y DO miden 8 y 6 cm respectivamente, calcular la suma de sus diagonales. 4. Grafique a un rombo de modo que sus diagonales midan 6 y 8 cm. Calcule su perímetro.
2
6. Grafique al trapecio ABCD cuya base mayor sea AD. Calcule el valor de "x°", sabiendo que el ángulo CAD mide 32° y que el ángulo ACB mide "2x°". 7. La mediana de un trapecio excede en 3 cm a la base menor. Si la base mayor mide 11 cm, calcule la longitud de su mediana. 8. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC ). Si el lado CD mide 7 cm, calcule el valor de "FB".
5. Las bases de un trapecio miden 24 y 14 cm. Calcule la longitud de su mediana y del segmento que une los puntos medios de sus diagonales. Realice un gráfico.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
En todo cuadrilátero convexo, la suma de sus ángulos interiores es de 360º. En un paralelogramo, los ángulos opuestos son suplementarios. En un trapecio, la base media se calcula como la semidiferencia de sus bases.
2. Completar: Un rombo es aquel cuadrilátero donde todos sus ................................................. son congruentes entre sí. 3. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al inicio del capítulo. Resolución de problemas 4. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC). Si el lado CD mide 7 cm y el lado FC mide 5 cm, calcule el valor de "CB".
6. En un trapecio, la base media excede en 3 cm a la base menor. Si la base mayor mide 14 cm, calcular la longitud de la mediana. 7. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana se encuentran en la relación de 5 a 9. Calcular la relación de sus bases. 8. Grafique un rombo de 52 cm de perímetro, donde una de sus diagonales mida 10 cm. Calcular la longitud de la otra diagonal. 9. ABCD es un romboide y AR es una bisectriz interior ("R" en BC). Si el lado CD mide 8 cm y el lado RC mide 4 cm, calcule la longitud de la mediana del trapecio ARCD. 10. Sea ABCD un rectángulo tal que la m ABD=70°. En la prolongación de DC marque el punto "P" y en la prolongación de AD marque el punto "R", de modo que DPQR sea un cuadrado. Calcule la medida del ángulo BDQ.
5. Grafique al romboide ABCD cuyo ángulo "A" mida 70° e interiormente grafique al triángulo rectángulo DRC de hipotenusa DC, de modo que: CD=2RD. Calcule la m RCB. Central: 619-8100
Unidad II
51
Cuadriláteros
11. Grafique al trapecio ABCD cuyo lado lateral AB mide 10 cm. Si los ángulos en "A" y en "D" miden 53° y 45° respectivamente, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
15. La figura nos muestra al trapecio rectángulo ABCD, donde: m CMD=90°, AM=MB, MC=5 cm y BC+AD=13 cm. Calcular el valor de "MD". B
12. PQRS es un paralelogramo, donde: SR=7 cm, SM=5 cm y QM es bisectriz del ángulo PQR. Calcular la longitud RQ. Q
P
M A
R
M
S
13. En un trapezoide ABCD, la diagonal AC mide 12 cm. Calcular la suma de PQ y RS, sabiendo que "P", "Q", "R" y "S" son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y AD respectivamente. 14. Dado un cuadrilátero, la suma de las longitudes de sus diagonales es de 46 cm. Calcular el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados.
C
D
16. Grafique al trapecio ABCD cuyas bases BC y AD midan 4 y 14 cm respectivamente. Trace las distancias BH y CF a las bisectrices exteriores de los ángulos "A" y "D". Calcule la longitud FH, si además los lados laterales del trapecio miden 6 y 8 cm. 17. Grafique al cuadrado ABCD y marque los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente. Calcule la m AQN, siendo "Q" la intersección de AM y BN. 18. En un cuadrado ABCD, calcular la distancia del punto medio de la diagonal AC al segmento DQ ("Q" ∈ AB) sabiendo que: MN=8 cm y AM y CN son perpendiculares a DQ.
19. Julio quiere construirle a su hija Antonella una cometa en forma de rombo, para lo cual compró dos porciones de caña de 48 y 14'm de longitud. Estas cañas serán colocadas en forma diagonal y perpendiculares entre sí y sobre ellas se colocará el papel cometa en forma de rombo. Calcular:
• •
La longitud del lado de la cometa que diseñará Julio. El perímetro que tendrá dicha cometa.
http://www.mamen.net/
Aplicación cotidiana
http://estavillo.wordpress.com
http://www.mamen.net/tutoriales/blend/2009/la-cometa.html
Colegios
52
TRILCE
20. El patio de la casa de la alumna Andrea tiene la forma de un trapecio isósceles. La longitud del lado igual es de 12 m, los ángulos agudos de la base mayor miden 60° cada uno y la longitud de la base menor es de 7 m. Como el padre de Andrea va a realizar unos arreglos al patio, necesita saber:
•
•
•
Los otros dos ángulos situados en la base menor del patio. La longitud de la base mayor de dicho patio. El perímetro del patio para poder cercarlo.
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Geometría
2
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafique al cuadrado ABCD, en la prolongación de AB marque "P" y en la prolongación de AP marque "Q", de modo que los segmentos AB, BP y PQ sean congruentes entre sí. Calcule la suma de las medidas angulares de ABD, BPD y AQD.
4. Grafique al romboide ABCD y marque "M" en CD tal que la m AMD mida "2f°". La mediatriz de BM corta a AM en "Q" y a DA en "F". Si los segmentos QM y CD son congruentes, calcular la m AQF.
2. Sea ABCD un cuadrado y "M" y "N" puntos situados en BC y CD respectivamente, de modo que BM=NC. Calcular la suma de las medidas de los ángulos AQN y ADC, siendo "Q" la intersección de AM y BN.
5. En la figura, ABCD es un rectángulo ("O" intersección de las diagonales). Si: OCFE es un cuadrado y MB=a, calcular "EL". B
3. Grafique al trapecio ABCD, cuyas bases AD y BC se diferencian en 32 cm. Sean "M" y "N" puntos medios de las diagonales. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MB y NB.
M
C
O L
A
F
D
E 18:10:45 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC). Si el lado CD mide 9 cm y el lado FC mide 6 cm, calcule el valor de "AD".
8. El perímetro de un rombo es de 40 cm y la diagonal mayor mide 16 cm. Calcule la diagonal menor.
2. Grafique al romboide ABCD cuyo ángulo "A" mida 74° e interiormente grafique al triángulo rectángulo DRC de hipotenusa DC de modo que: CD=2RD. Calcule la m RCB.
9. Luz quiere construirle a su hija Andrea una cometa en forma de rombo, para lo cual compró dos porciones de caña de 32 y 60m de longitud. Estas cañas serán colocadas en forma diagonal y perpendiculares entre sí. Sobre ellas se colocará el papel cometa en forma de rombo. Calcular:
3. En un trapecio, la base media excede en 2 cm a la base menor. Si la base mayor mide 12 cm, calcular la longitud de la mediana. 4. En un trapecio, la base mayor excede en 10 cm al segmento que une los puntos medios de las diagonales. Si la base menor mide 4 cm, calcular la longitud de la base mayor.
•
•
La longitud del lado de la cometa que construirá Luz. El perímetro que tendrá dicha cometa.
10. PQRS es un paralelogramo, donde: SR=9 cm, SM=7 cm y QM es bisectriz del ángulo PQR. Calcular la longitud QR.
5. En un trapecio rectángulo, las bases miden 4 y 12 cm. Si el lado recto mide 6 cm, calcular la longitud del lado oblicuo. 6. En un trapecio rectángulo, las bases miden 4 y 16 cm. Si el lado recto mide 5 cm, calcular el perímetro de este trapecio.
Q
P
R
M
S
7. Las diagonales de un rombo miden 2 y 4 cm. Calcular su perímetro. Central: 619-8100
Unidad II
53
Cuadriláteros
11. Grafique al trapecio rectángulo ABCD (m A = m B=90°), de modo que la suma de sus bases mida 20 cm y marque "M" punto medio de AB. Si: MC=6 cm y m MCD=90°, calcular la longitud CD.
16. Grafique al cuadrado ABCD, marque los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente y sea "Q" la intersección de AM y BN. Si la longitud DQ mide 2 5 cm, calcular el perímetro del cuadrado ABCD.
12. La figura nos muestra al trapecio rectángulo ABCD, donde: m CMD=90°, AM=MB, MC=7 cm y BC + AD=25 cm. Calcular el valor de "MD".
17. ABCD es un romboide. Hallar "BF", sabiendo que: BC=10 y CD=6.
B
D
13. Grafique al trapecio ABCD cuyas bases BC y AD midan 5 y 14 cm respectivamente. Trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" hacia el punto medio del lado CD, además considere que: AB=8 cm. 14. Grafique al cuadrilátero ABCD de modo que: m B=90°, BD=DC y que AC biseca a BD en "P". Calcular el valor de "PC", sabiendo que: PA=4 cm. 15. Grafique al romboide ABCD e interiormente grafique al triángulo equilátero DCF. Si el ángulo BCF mide 22°, calcular la m BAD.
Colegios
54
TRILCE
q°
F
C
M A
B
A
E
C q°
D
18. Se tiene un trapezoide simétrico ABCD, donde: AB=AD, en la región exterior al trapezoide se toma el punto "S", tal que BS y AC se interceptan en "R". Si: BS=12 y m CBS=m DCS, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de RC y DS. 19. ABCD es un trapecio, tal que: m A+m D=90°. (BC // AD y BC
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UNIDAD 3 UNIDAD 1
¿qué haríamos sin la rueda?
L
a figura que se muestra a continuación es de una rueda de carro hallada cerca de Susa, que es una ciudad de la antigua Persia (actualmente es el sudoeste de Irán), datada en el II Milenio a.C., pero los historiadores nos mencionan que las ruedas más antiguas que se conocen fueron construidas en la antigua Mesopotamia, entre el año 3'500 y el 3'000 a.C. La rueda es sin duda el invento más importante de todos los tiempos. La historia de la civilización ha girado en torno a la rueda y hemos viajado tan lejos como lo hemos hecho, gracias a ella. La agricultura, las guerras, los viajes, el comercio, todo ello sería imposible de lograr sin la rueda.
¿La circunferencia tiene que ver con la rueda? ¿El radio de la rueda es lo mismo que el radio de la circunferencia? AprendiZajes esperados Comunicación matemática • • •
Definir correctamente la circunferencia. Identificar los elementos y ángulos asociados a la circunferencia. Interpretar las propiedades y teoremas relativos a la circunferencia.
Resolución de problemas • •
Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. Distinguir los diferentes teoremas de circunferencia y formular estrategias de resolución en los diferentes tipos de problemas.
1
Circunferencia En este capítulo aprenderemos: •
A conocer la definición y los elementos geométricos asociados a la circunferencia.
•
A reconocer los teoremas relativos a la circunferencia y aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos.
El número Pi El número Pi es digno de admiración tres coma uno cuatro uno, todas sus cifras siguientes también son iniciales, cinco nueve dos, porque nunca se termina. No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco, con un cálculo ocho nueve, con la imaginación siete nueve. O en broma tres dos tres, es decir, por comparación ocho cuatro seis con cualquier otra cosa dos seis cuatro tres en el mundo. La más larga serpiente después de varios metros se interrumpe. Igualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas. El cortejo de cifras que forman el número Pi no se detiene en el margen de un folio, es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire, a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro, de las nubes, directamente al cielo a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo. ¡Oh, qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón! ¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio! Pero aquí dos tres quince trescientos noventa mi número de teléfono, la talla de tu camisa, año mil novecientos setenta y tres, sexto piso número de habitantes, sesenta y cinco céntimos la medida de la cadera, dos dedos, la charada y el código en el que mi ruiseñor vuela y canta y pide un comportamiento tranquilo, también transcurren la tierra y el cielo pero no el número Pi, éste no, él es todavía un buen cinco, no es un ocho cualesquiera, ni el último siete metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad para la permanencia. Wislawa Szymborska - Premio Nobel de Literatura 1996
http://ar.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/circunferencia-circulos/trazado-circunferencia-conocido-radio.html
Colegios
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TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
•
Equidistar implica igual distancia. B
P
B
A
A
C
O
Aquí "O" equidista de "A", "B" y "C"
•
O
Q
Aquí "O" equidista de AB y PQ
Una línea recta es tangente a una curva plana, cuando siendo coplanares, tienen solamente un punto en común. B
L
A
L Recta L , tangente en "A" Recta L , tangente en "B"
Conceptos básicos Definición: Es un conjunto de puntos coplanares que equidistan de otro punto llamado centro. A la región interior se le denomina círculo. M
C III
P A
III
a°
N
R
R O
T
B
L2
L1
Elementos • Centro • Radio • Diámetro • Cuerda • Arco • Flecha o ságita • Secante • Tangente • Punto de tangencia • Longitud de la circunferencia
: O : OB=R : AB=2R : PC : BC=a° : MN : L2 : L1 :T : 2pR
Unidad III
57
Circunferencia
Propiedades I.
II.
T
B
"T" y "P" son puntos de tangencia
R O
→ radio
R
a° a°
A
Si "B" y "C" son puntos de tangencia
O
→ AB=AC
tangente
C
m BAO=m CAO
P
III.
IV.
A
III O
E
q°
Si: OC C
III
M
F Si: EF // AB
AB a°
⇒ AM=MB
a°
⇒ AE = FB
AC = CB
q°
A
B
B
V.
B
C
a°
Si: AB = CD
a°
⇒ AB =CD A
D
• Teorema de Poncelet Solo triángulo rectángulo.
B r
⇒ AB + BC = AC + 2r
a
r
a r+b r=c a + b = c + 2r ⇒ AB + BC = AC + 2r
r r
b
b
r
a
r
B
Demostración:
r A
Colegios
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TRILCE
A
C
a
r
c
b
r
C
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Geometría
1
• Teorema de Pitot Solo cuadrilátero circunscrito.
Demostración: c
C
B
B
⇒ AB+CD=BC+AD
a-n
m1
C m2
a-n
b
a
d-n
n A
D
A
m1=m2 c (a n)=b (d n) c a=b d a+b=c+d ⇒ AB+CD=BC+AD
n
d
D
d-n
Recordemos esta convención de nombres: Circunferencia inscrita
Circunferencia circunscrita
B
B
Circunferencia ex-inscrita B
R I
r
A
E
O
r A
C
C
A C
I →incentro r →inradio
E → excentro r → exradio
O → circuncentro R → circunradio
Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares •
Exteriores
R
•
O
OP>R+r
Tangentes exteriores
r
O
P
R
T
P r
OP=R+r "T": Punto de tangencia entre las circunferencias
Central: 619-8100
Unidad III
59
Circunferencia
•
Tangentes interiores
r P
T
•
Secantes
O R
R
OP=R
r
Ortogonales
•
R
R
Corona o anillo circular P
O P
r R
OP2=R2+r2 •
r
Concéntricas
r
O
r
R
"T": Punto de tangencia •
P
O
r
OP=cero Interiores
R O r P OP
r
Síntesis teórica Circunferencia
Circunferencia • Definición • Elementos Colegios
60
TRILCE
Propiedades • De tangentes • De perpendicularidad
Circunferencia y polígono • Teorema de Poncelet • Teorema de Pitot www.trilce.edu.pe
Geometría 10 x 5 50
1
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafique una circunferencia de 2 cm de radio y calcule su longitud. 2. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las tangentes AB y AC. Calcular el valor de "x", sabiendo que: AB=2x 1 y AC=8 x. 3. En cada gráfico se muestra a una circunferencia y una tangente. Calcule el valor de "b°" en cada gráfico ("M" punto de tangencia). a)
M
5. En un triángulo rectángulo, grafique a la circunferencia inscrita. Si los catetos del triángulo miden 5 y 12 cm, calcular el valor del inradio. 6. En un cuadrilátero se encuentra inscrita una circunferencia, donde dos lados opuestos miden 6 y (12 x) cm. Si los otros dos lados miden 13 y "y x" cm, calcular el valor de "y". 7. La figura muestra a la tangente AE y a los puntos de tangencia "B", "F" y "Q". Si AB y EF miden 7 cm y 12 cm, calcular el valor de "AE".
2b° F
B
b)
M
3b°
4. Grafique a una circunferencia de centro "O" y a un punto exterior "A". Desde "A" trace la tangente AB y la línea AO, de modo que midan 12 y 13 cm respectivamente. Calcular el radio de la circunferencia y la longitud de la misma.
A
E
Q
8. La figura muestra al triángulo ABC y a la circunferencia inscrita. Si las tangentes AE; BF y CH miden 6; 4 y 8 cm respectivamente, calcular el perímetro de dicho triángulo. B
F
E
A
C
H
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La medida de una vuelta en grados de una circunferencia es de 360°. Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda. Los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas, son siempre diferentes entre sí.
2. Completar: En todo triángulo rectángulo, la suma de los ................................................. es igual a la hipotenusa aumentada en dos veces el inradio. Central: 619-8100
3. Completar: A
B
C
D
Si: AB // CD ⇒ mAC=
Unidad III
61
Circunferencia
C A
B
M O
Si: OC
11. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AR , sabiendo que: AB=13 cm; BC=11 cm y AC=16 cm. A
AB ⇒AM=
Resolución de problemas 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15 cm. Calcular el valor de su inradio. 5. Dado un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, dos de sus lados opuestos miden (6. .a) y (10+a) cm. Si los otros dos lados miden 7 y "x" cm, calcular el valor de "x". 6. Grafique a una circunferencia y al segmento AB tangente en el punto "Q", luego trace las tangentes AE y BF a dicha circunferencia. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AE=13'cm y BF=15 cm. 7. En un triángulo ABC, grafique a la circunferencia inscrita que determina el punto de tangencia "F" en AC. Calcule la longitud AF, sabiendo que: AB=9 cm; BC=11 cm y AC=14 cm. 8. En una circunferencia de centro "O" trace la cuerda AB y el radio OC perpendicular a dicha cuerda en "M". Si: AM=2x 1 y BM=9, calcular el valor de "x". 9. Se tiene un trapecio circunscrito a una circunferencia. Si los lados no paralelos miden 4 y 6 m, ¿cuál será la longitud de su mediana?
C
R
B 12. Grafique una circunferencia de 10 cm de radio y trace una cuerda de 16 cm de longitud. Calcule la longitud de la flecha correspondiente a dicha cuerda. 13. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia, sabiendo que la mediana del trapecio mide 14 cm. 14. Se tiene una circunferencia de centro "O". Desde un punto exterior "A" se traza la tangente AT, tal que m TAO=37°. Si: TA=24 cm, hallar la medida del radio de la circunferencia. 15. Se tiene una circunferencia de centro "O", cuyo radio mide 9 cm. Desde un punto exterior "A", se trazan las tangentes AT y AC. Si la m TAC=74°, calcular la medida de AT. 16. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo ABC de manera que es tangente en "T" al lado BC. Calcular el valor de "BT", si: AB=5; BC=6 y AC=7 cm. 17. En una circunferencia de centro "O" y cuyo radio mide 20 cm, se toma una cuerda AB de 32 cm de longitud. Calcular la medida de la flecha correspondiente a AB. 18. Se tiene un trapecio rectángulo, circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 12 cm. Si uno de sus lados no paralelos mide 30 cm, calcular la medida de la menor base.
10. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AQ, sabiendo que el perímetro del triángulo es de 18 cm. B
A Colegios
62
TRILCE
C
Q www.trilce.edu.pe
Geometría
Aplicación cotidiana
1
19. La parte central de la plaza mayor de una ciudad es de forma circular y tiene un radio de 20 m. Se desea colocar una reja de modo que sus extremos encajen perfectamente en la circunferencia de la plaza y que diste 16 m de su centro. Calcular la longitud de esta reja.
20. La figura muestra una de las llantas de un carro. Si el diámetro promedio de la llanta es de 14 pulgadas y se desea colocar un cintillo alrededor de la circunferencia de dicha llanta, ¿cuál es la longitud del cintillo a gastar, si se desea trabajar con las cuatro llantas?
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¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo rectángulo ABC se grafican dos circunferencias interiores al triángulo. La primera es tangente a AB en "P" y a la hipotenusa AC en "Q". La segunda circunferencia es tangente a BC en "R" y a CA en "S". Calcular la longitud del inradio del triángulo, sabiendo que: PB=SQ y RB=14 cm. 2. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo que: m ABC=m CDA=90°, CD=AB+BC y AD=18 cm. Calcular la diferencia de los inradios de los triángulos ABC y CAD. 3. Grafique a la circunferencia inscrita al triángulo ABC, que determina el punto de tangencia "P" en BC. La circunferencia exinscrita relativa a BC determina el punto de tangencia "Q" en BC. Calcular el valor de "PQ", sabiendo que AB y AC se diferencian en 16 cm.
4. En el gráfico "B"; "M" y "D" son puntos de tangencia. Calcular el valor de CO, sabiendo que: m A=74°; AB=16 cm y que "O" es centro. M
A
C
O
D
B
5. La figura muestra a un rectángulo ABCO y a dos circunferencias tangentes exteriores entre sí, cuyos radios miden 16 y 10 cm. Si la circunferencia menor es tangente a tres lados, calcular el perímetro del rectángulo. A
B Q
O
C
Central: 619-8100
Unidad III
63
Circunferencia 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24 y 25 cm. Calcular el valor de su inradio. 2. En un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, dos de sus lados opuestos miden (9 a) y (12+a) cm. Si los otros dos lados miden 10 y "b" cm, calcular el valor de "b". 3. Grafique a una circunferencia y al segmento AB tangente en el punto "R". Luego trace las tangentes AE y BF a dicha circunferencia. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AE=15 cm y BF=18 cm. 4. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia, sabiendo que la mediana del trapecio mide 18 cm. 5. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el inradio suman 14,5 cm. Calcular el valor del perímetro de dicho triángulo.
9. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a la cuerda AB, sabiendo que dicha cuerda mide 30 cm y que el diámetro de la circunferencia es de 34 cm. B A
O
10. La longitud de una circunferencia es de 26p cm y en ella se traza una cuerda de 10 cm de longitud. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a dicha cuerda. 11. Inscriba en una circunferencia al decágono regular ABCDEFG... y calcule la medida del arco BD.
6. Grafique a un trapecio circunscrito a una circunferencia. Si los lados no paralelos miden 7 y 9 m, ¿cuál será la longitud de su mediana?
12. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia de 6 cm de radio. Si uno de sus lados no paralelos mide 13 cm, hallar la medida de la base menor.
7. La figura muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AQ, sabiendo que: AB=16 cm; BC=18 cm y AC=20 cm.
13. La figura nos muestra a una circunferencia exinscrita relativa al cateto BC. Si: AB=8 dm y AC=10 dm, calcular el valor de "R", si además "T" es punto de tangencia. T
B
A
C
B
Q
8. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo que: m ABC=m ACD=90°, AB=6 cm, BC=8 cm y CD=24 cm. Calcular la diferencia de los inradios de los triángulos ABC y ACD.
A
R
C
14. La figura muestra a un sector circular de centro "O" y cuyo ángulo central mide 60°. Si: OA=OB=6, calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho sector. ("T" es punto de tangencia). A T O
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TRILCE
B
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Geometría
15. Dado el triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina los puntos de tangencia "E" y "F" en los lados AB y BC respectivamente. Si las longitudes AE y FC miden 7 5 y 5 5 cm, calcular el valor de "AC". 16. La figura nos muestra a una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O". Si la medida del ángulo TAB es cuatro veces la medida del ángulo TCA, calcular la m ATC. T
A
O
B
19. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina el punto de tangencia "E" en AC. Si: AB=10 3 dm, BC=12 3 dm y AC=24 3 dm, calcular el valor de "AE". 20. Calcular el perímetro del triángulo ABC, sabiendo que los radios de las circunferencias tangentes de centros "A", "B" y "C" miden 10; 4 y 1 cm respectivamente.
C
17. En un triángulo rectángulo ABC, los catetos miden: AB=9 m y BC=12 m. La circunferencia exinscrita relativa al lado AB, es tangente a la prolongación de CB en el punto "P". Calcular el valor de "CP".
Central: 619-8100
18. Si el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es de 72 cm, calcular la longitud de su mediana.
1
A B
C
Unidad III
65
2
Ángulos en la circunferencia En este capítulo aprenderemos: • A identificar los ángulos asociados a la circunferencia y a reconocer sus propiedades. • A distinguir las condiciones de inscriptibilidad y aplicarlos en la resolución de problemas.
y°
q°
x°
a°
E
n este capítulo estudiaremos las relaciones de las líneas asociadas a la circunferencia con los respectivos arcos que ellas determinan, debiendo tener presente que la equivalencia en grados de una circunferencia es de 360º.
Desde que se inventó la rueda hasta la actualidad, el estudio de las relaciones angulares y los arcos es de utilidad, ya que gracias a ello se pueden mejorar algunos diseños. Debido a estas relaciones es que podemos saber si un polígono puede o no estar inscrito en una circunferencia. Por ejemplo, para saber si un cuadrilátero convexo puede ser inscrito en una circunferencia, bastará con medir dos de sus ángulos opuestos, si ellos sumaran 180º, afirmaremos categóricamente que aceptará una circunferencia circunscrita. Para inscribir un polígono regular también usamos este criterio como base, aunque lógicamente no es el único. El cuadrado por sí solo es de amplia aplicación y al estar acompañado por la respectiva circunferencia circunscrita, ha servido como herramienta de estudio y como medio para poder expresarse. Un excelente ejemplo de lo que les menciono es la circunferencia de Vitrubio, que es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci, realizado alrededor del año 1492 y que actualmente es un dibujo que aparece en el reverso de la moneda de euro de Italia.
Colegios
66
TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
•
Los siguientes elementos asociados a la circunferencia: c) Secante
b) Tangente
a) Cuerda B
L
•
A
L
Cuando se trazan varias líneas: b) Cuerdas perpendiculares B
a) Cuerdas paralelas A P
B Q
E A
AB // PQ
F d) Líneas trazadas a una circunferencia desde un punto exterior P G
c) Cuerdas secantes P B
A
A B
Q A
•
F
Q
Dos circunferencias b) Tangentes
a) Secantes
E
Unidad III
67
Ángulos en la circunferencia
Conceptos básicos • Ángulo central
• Ángulo semi-inscrito A
O
a°
A
2q° q°
A
• Ángulo inscrito
B 2a°
a° a°
B
B
C
mAB=a°
mAB=2q°
• Ángulo interior
mAC=2a°
• Ángulo exterior B
A
A
C q°
A
w°
a°
a°
q°
D
g°
b°
a°
D
a°= q°+w°
C
g°= a°
2
P
B
C
B
a°
2
q°
a°= a°
2
b°
¡Muy importante! A
q°
b°
a°
B
a°+ b°=180°
Colegios
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TRILCE
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Geometría
2
Cuadrilátero inscrito
Se dice que un cuadrilátero es inscrito, cuando por sus vértices se puede describir una circunferencia. Para que esto suceda, es necesario y suficiente que cumpla con una de las dos condiciones siguientes:
a°
a°
q°
a°+ b°=180°
a°= q°
b°
Cuadriláteros inscriptibles
Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes: Caso 1: Dos ángulos opuestos suman 180°. b°
b° Si: a°+ b°=180° ⇒ a°
a°
Caso 2: Un ángulo interior es igual al opuesto exterior. q°
q° Si: a°= q° ⇒ a°
a°
Caso 3: Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra diagonal. q°
q° a°
a° Si: a°= q° ⇒
Tener presente que: En la práctica se suele confundir al cuadrilátero inscrito e inscriptible como si fuera la misma definición. Central: 619-8100
Unidad III
69
Ángulos en la circunferencia
Síntesis teórica
Ángulos en la Circunferencia
Ángulos en la circunferencia
Cuadrilátero inscrito
• Central, inscrito, semiinscrito e interior. • Exterior y formado por tangentes
• Definición • Gráficos
Cuadrilátero inscriptible • Definición • Gráficos
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico: a) O
40°
"O" es centro
x°
b)
64°
x° c) x°
40° Colegios
70
TRILCE
36°
2. Grafique a una circunferencia de centro "O" y trace los radios OA y OB , de modo que el arco AB mida 58°. En el arco mayor AB marque "F" y calcule la m AFB. 3. Grafique a una circunferencia de diámetro AB y en uno de los arcos marque "F". Calcule la m AFB. 4. Grafique a una circunferencia de diámetro AB y en uno de los arcos marque "F" de modo que la medida del arco FB sea de 130°. Calcule la m ABF. 5. Grafique a una circunferencia y un punto exterior "A", desde el cual se trazan las secantes ABC y APQ. Calcular la m CAQ, sabiendo que los arcos QC y BP miden 58° y 22° respectivamente. 6. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se trazan la tangente AB y la secante AEF a dicha circunferencia. Si la medida de los arcos FB y BE miden 120° y 44°, calcular la medida del ángulo BAE. www.trilce.edu.pe
Geometría
7. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico:
70°
a)
40°
x°
110°
x°
8. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, uno de sus ángulos interiores mide (120° x°) y el ángulo opuesto mide "4x°". Calcular la medida del mayor de estos dos ángulos.
c)
2
b)
130°
x°
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La medida en grados de una circunferencia es igual a la medida de cuatro ángulos rectos. En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de dos ángulos interiores opuestos es de 180°. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende expresada en grados.
2. Completar:
a°
x°=________
Central: 619-8100
4. En una circunferencia, trace dos cuerdas secantes AB y EF, secantes en "H" de modo que "E" pertenezca al arco AB. Si los arcos EB y AF miden (60°+b°) y (80° b°) respectivamente, calcular la medida del ángulo AHF.
6. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB . En el arco mayor AB se marca "F", de modo que los ángulos BPA y BFA se encuentren en la relación de 2 a 3 respectivamente. Calcular la m BPA.
a°+q°=
x°
Resolución de problemas
5. En una circunferencia, trace dos cuerdas secantes AB y EF secantes en "H", de modo que "E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al arco FB . Si los ángulos FQA y EQB miden 40° y 70° respectivamente, calcular la m EHB.
q°
a°
3. Completar convenientemente la siguiente expresión: Al unir un punto cualquiera de una circunferencia con los ............................... de un diámetro, siempre se determina un ángulo .. ...............................................
q°
7. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB , en la prolongación de AB marque "E" y en la semicircunferencia marque "F", de modo que la m FAB sea 24°. Calcule la m AFE, si la m AEF es 40°. Unidad III
71
Ángulos en la circunferencia
8. Grafique una circunferencia de diámetro AB y en la prolongación de AB marque "P", desde el cual se traza la secante PQR, de modo que la medida del arco QR sea 80°. Calcular la medida del ángulo que forman las cuerdas AQ y BR. 9. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, las medidas de dos ángulos opuestos se encuentran en la relación de 2 a 3. Calcular la diferencia de las medidas de dichos ángulos. 10. La figura muestra a dos circunferencias secantes en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor. Calcular la m AFB, sabiendo que la medida del arco AQB es 114°.
13. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Las medidas de los ángulos DBC y CAD miden 46° y "30°+x°" respectivamente. Calcular el valor de "xº". 14. Sea ABCD un trapezoide tal que: m CAD=3b°; m BAD=m BCD=90° y m BDC=2b°. Calcular la medida del ángulo CBD. 15. En la figura mostrada, "P" y "Q" son puntos de tangencia. La medida del ángulo ABC es de 12° y la medida del arco RP es de 40°. Calcular la medida del arco SQ. B R
A O
Q
F
B 11. Grafique a un cuadrante AOB, donde "O" es su centro y "F" es un punto de su arco. Calcular la m AFB. 12. La figura muestra a un cuadrante. Calcular el valor de "x°". 4x° 5x°
S Q A
P
C
16. En una misma circunferencia se inscriben los triángulos ABC y ECF ("E" pertenece al arco AB y "F" pertenece al arco BC). Si los ángulos ACE y BCF miden 17° y 23° en ese orden, calcular la medida del mayor ángulo que forman las cuerdas AB y EF. 17. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF, de modo que los arcos FC y EF midan 100° y 60° en ese orden. Calcular la medida del ángulo FAC. 18. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia se trazan la tangente PT y la secante PAB. Si el arco ATB mide 200° y la m TPB es 40°, calcular la m TBP.
Aplicación cotidiana 19. Si colocáramos tres palitos de fósforo de modo que sean los lados de un triángulo y graficáramos una circunferencia de modo que uno de los palitos sea una cuerda y los otros dos palitos sean tangentes, ¿cuánto mediría en grados el arco menor que se determinaría en la circunferencia?
B
C O A
D
Colegios
72
TRILCE
20. Una piscina tiene forma circular de centro "O" y diámetro AB. Rodrigo y Alonso nadan en línea recta desde "C" hacia "A" y "D" respectivamente. Andrea y Antonella se encuentran en "O", ambas nadan en línea recta hacia "D" y "B" respectivamente. Sabiendo que la medida del arco AD es de 74° y la medida del arco BC es de 100°, calcular:
• • •
El ángulo que forman los recorridos de Rodrigo y Alonso. El ángulo que forman los recorridos de Andrea y Antonella. El valor del ángulo CBD. www.trilce.edu.pe
Geometría
2
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafique dos circunferencias congruentes y secantes en "A" y en "B". "Q" es un punto de una de las circunferencias tal que las prolongaciones de QA y QB interceptan a la segunda circunferencia en "E" y "F" respectivamente. Calcular la relación de las medidas de los arcos AB y EF. 2. Del gráfico, "A" y "B" son puntos de tangencia y m APB=50°. Calcular el valor de "x°".
4. Por el vértice "B" de un triángulo ABC se traza la recta tangente a la circunferencia circunscrita. Si la distancia del incentro a dicha recta es igual a 12 cm y el inradio mide 2 cm, calcular la longitud de la altura relativa al lado AC. 5. En el gráfico: mMN=mNP; mAM=mNB=40º. Calcular "xº" ("P" punto de tangencia). P R
q° A x°
O
M
q°
A
N R
B
x°
P
B
3. Se trazan dos circunferencias secantes en "A" y "B", la tangente común más lejana a "A" es CD ("C" y "D" son los puntos de tangencia). En el arco AC se ubica un punto "M", tal que la prolongación de MA intercepta a AD en "N". Calcular la medida del arco AN, si la medida del arco AM es 120° y MN es tangente a la circunferencia que contiene a "C"; "A" y "D".
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
3. En una circunferencia, trace dos cuerdas secantes AB y EF secantes en "H", de modo que "E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al arco FB. Si los ángulos FQA y EQB miden 44° y 72° respectivamente, calcular la m EHB.
En la circunferencia, la medida de su ángulo central es igual a la semidiferencia de los arcos que subtienden. • En todo cuadrilátero inscrito en una circun- 4. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB. En la prolongación de AB, marque "E" y en ferencia, la suma de dos ángulos interiores la semicircunferencia marque "F", de modo que opuestos es de 180°. • La medida del ángulo central es igual a la la m FAB sea 32°. Calcular la m AFE, si la mitad de la medida del arco que subtiende m FEA sea 28°. expresada en grados. 5. Grafique una circunferencia de diámetro AB y en 2. Sea ABCD un trapezoide tal que: m BDC=2b°; la prolongación de AB marque "P", desde el cual m BAD=m BCD=90° y m CAD=50°.Calse traza la secante PQR, de modo que la medicular el suplemento de "b°". da del arco QR sea 72°. Calcular la medida del mayor ángulo que forman las cuerdas AQ y BR. Central: 619-8100
Unidad III
73
Ángulos en la circunferencia
6. La figura muestra a dos circunferencias secantes en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor. Calcular la medida del arco AQB, sabiendo que la medida del ángulo AFB es 44°. A O
F
Q
B 7. En una circunferencia, inscriba al triángulo equilátero ABC y al cuadrado APQR. Después de graficar, calcule la m PAB. 8. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se le trazan las secantes ABC y AEF. Luego se marca "S" en el arco EF. Calcule la m BAE, sabiendo que los ángulos BSE y CSF miden 16° y 28° respectivamente. 9. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF de modo que los arcos FC y EF midan 110° y 50° en ese orden. Calcular la medida del ángulo FAC. 10. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF de modo que AE sea congruente al radio y el arco FC mida 120°. Calcular la medida del ángulo FAC. 11. Grafique a dos circunferencias diferentes y secantes en "A" y en "B". La secante que pasa por "A" corta a las circunferencias en "E" y "F" respectivamente. Si los arcos AE y AF miden 82° y 66° respectivamente, calcular la m EBF.
13. Se traza una recta L tangente a una semicircunferencia de diámetro AB, en el punto "T" y luego se traza la cuerda AP paralela a L. Si la m PAB=52°, calcular la medida del menor ángulo que forman la recta L y la cuerda TB . 14. Sea AB el diámetro de una circunferencia de centro "O". Trace el radio OF perpendicular a BA y luego la cuerda BQ ("Q" pertenece al arco AF). Si: m QFO=3m QBA, calcular la m QBA. 15. Dado el cuadrilátero ABCD, calcular la medida del ángulo que forman sus diagonales. A
6° 57°
C
D 16. Se tiene dos circunferencias secantes en los puntos "E" y "F". Por "E" y "F", se traza las rectas L1 y L2 secantes a las circunferencias. L1 intercepta a la primera en el punto "P" y a la segunda en el punto "Q". L2 intercepta a la primera en el punto "R" y a la segunda en e l p u n t o "T ". S i : m R PQ =100°, ha l l a r l a m PQ T. 17. En el gráfico, MC es el doble de BA. Calcular la m ACB. C
M
2w
° w°
B
A
18. En el gráfico, BP es altura. Calcular el valor de "q°". B q°
H
Q
B E
6° 27°
x°
12. En el gráfico, el ángulo "A" mide 47°. Calcular la m EFH. F
B
A
2q°
P
2q ° q°
C
A
Colegios
74
TRILCE
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Razonamiento Matemático Geometría
Repaso
3
sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
En un polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior son iguales. En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, los lados opuestos son iguales entre sí. La bisectriz de un triángulo es perpendicular al lado opuesto.
2. En un polígono convexo, la suma de su número de diagonales y el número de vértices es 45. Calcular la suma de las medidas de sus ángulos interiores. 3. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 30 y 34 cm. Calcular la longitud de su inradio. 4. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF. Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo que el arco FC mide 88°. 5. Dos circunferencias diferentes son secantes en "A" y en "B". Una secante que pasa por "A", corta a la primera circunferencia en "P" y a la segunda en "Q". Otra secante que pasa por "B", corta a la primera en "E" y a la segunda en "F". Si la m EPQ es de 78°, calcular la m AQF. 6. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores con la suma de sus ángulos exteriores es igual a veinte veces el valor de un ángulo recto. Calcular su número de diagonales. 7. Grafique al triángulo ABC y a una circunferencia interior que es tangente a BA en su punto medio y que es tangente a AC en "F". Si las longitudes de AB y AC miden 8 y 11 cm respectivamente, calcular el valor de FC .
Central: 619-8100
8. Grafique el pentágono regular ABCDE e interiormente al triángulo equilátero BQC. Luego de realizado el gráfico, indique:
• •
El tipo de triángulo que es QCD. La medida del ángulo CDQ.
9. Dado un triángulo ABC, grafique a la circunferencia exinscrita relativa a BC que determina los puntos de tangencia "Q" y "S" en las prolongaciones de AB y AC respectivamente. Si las longitudes de CS y BQ miden 7 y 5 cm respectivamente, calcular la diferencia de las longitudes de AB y AC. 10. Grafique al triángulo ABC, de modo que el ángulo "B" mida 80° y ubique "M", punto medio de BC. Trace la mediatriz de BC que corta a AC en "P" y la bisectriz del ángulo "B" que corta a dicho lado en "I", de forma tal que "I" pertenece al segmento AP. Calcule la suma de las medidas de los ángulos BIP y MPI. 11. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Calcule el perímetro del triángulo que se determina al unir "H" con los puntos medios de AB y BC, sabiendo que: AB=18 cm, BC=20 cm y AC=26 cm. 12. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana, se encuentran en la relación de 9 a 13. Calcular la relación de sus bases. 13. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la bisectriz interior AF. La mediatriz de la hipotenusa AC, corta a BC en "E" y a la prolongación de AF en "Q". Calcular: EF / QE. 14. Grafique al triángulo acutángulo ABC en el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen "H" y "J" con "M", punto medio de AC. Si el menor ángulo que forman las bisectrices del ángulo ABC y del ángulo HMJ mide "x°" y el ángulo JCA mide "yº", calcular la medida del ángulo HAC.
Unidad III
75
Repaso
15. En un triángulo ABC, las bisectrices AF y BE se in terceptan en "P". Se sabe que: m FAC=m ACB, BC=14 dm y AP=4 dm. Calcular el valor de AB.
19. La figura muestra a un trapecio y a un triángulo rectángulo de hipotenusa CD. Calcular la longitud AD, si: CD=10 y BC=3. B
16. Grafique al triángulo ABC y marque los puntos medios "E" y "F" de AB y BC en ese orden. Grafique al cuadrado EFGH ("G" y "H" sobre AC) y calcule: HF / AC. 17. Grafique al triángulo rectángulo EFG de modo que: m E=58°, m G=32° y EG=10 dm. Trace la ceviana FH de modo que: m EFH=6°. Calcular "HF". 18. Sea ABC un triángulo en el cual se traza la mediana BF, cumpliéndose que: m ABF=aº, m FBC=2q° y BC=2FB. Calcular: a°+q°.
C
=
= A
D
20. En un trapecio ABCD, se trazan las bisectrices interiores de los ángulos BCD y ADC, las cuales se interceptan en "P". Si: AB=10 y la distancia del punto "P" a CD es 3, calcular la medida del ángulo BAD. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24 y 25 cm. Calcular la longitud de su inradio.
7. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la altura BH, luego, la bisectriz BF del ángulo HBC. Si: AB=BF, calcular la m BAC.
2. En un polígono convexo, la suma de su número de diagonales y el número de vértices es 190. Calcular el número de vértices.
8. Sea ABC un triángulo donde: AB < BC y m A=30°. Trace la ceviana BD, de modo que: BD=DC y AD=BC. Calcular la m DBC.
3. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Calcule el perímetro del triángulo que se determina al unir "H" con los puntos medios de AB y BC, sabiendo que: AB=22 cm, BC=26 cm y AC=30 cm.
9. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y t r a c e l a c e v i a n a AF d e m o d o q u e : m' 'FAC'='2m' 'BAF. En AC se marca "Q" de modo que: m AFQ=m ACB. Si: FB=8 dm, calcular "QF".
4. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana, se encuentran en la relación de 7 a 12. Calcular la relación de sus bases.
10. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la ceviana BF. Si se sabe que: AB=FC, m A=2a° y m FBC=3a°, calcular "aº".
5. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF. Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo que el arco FC mide 100°. 6. Grafique a dos circunferencias diferentes y secantes en "A" y en "B". Una secante que pasa por "A", corta a la primera circunferencia en "P" y a la segunda en "Q". Otra secante que pasa por "B", corta a la primera en "E" y a la segunda en "F". Si la m EPQ es de 76°, calcular la m AQF. Colegios
76
TRILCE
11. En el gráfico mostrado, calcular el valor de AP, si: BQ=8m. A P
B r
53°
O Q
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Geometría
12. En un triángulo PQR, PQ=8m; QR=9m y PR=11m. La circunferencia inscrita determina sobre PR el punto de tangencia "T". Calcular el valor de RT.
16. En el gráfico, calcular "x°".
3
x°
13. En la figura, las cuerdas son perpendiculares. Calcular el valor de "x°".
O x°
17. Hallar: m BEA, si ABCD es un cuadrado y BF=3AF.
156°
B
E
14. En una semicircunferencia, se trazan las cuerdas AB y CD que se interceptan en "P", de tal manera que la medida del arco AD es igual al triple de la medida del arco BC y m BPD=130°. Calcular la medida del arco BC.
F A
N M A
48°
D
18. Hallar "AN".
15. La figura muestra a un radio perpendicular a una cuerda y una tangente trazada por un extremo de dicha cuerda. Calcular el valor de "a°".
a°
C
b
H
a
P
19. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH, en el cual: AB=2 m; BC= 2 m y CD=3 m. Calcular la longitud de la diagonal AD. 20. En un polígono equiángulo ABCDEF..., las bisectrices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcular el número de diagonales de dicho polígono.
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Unidad III
77
UNIDADUNIDAD 2 1
Cuando los lados aumentan
E
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros.
Geometría
Puntos notables
1
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los puntos notables que se determinan a través de las líneas asociadas a un triángulo.
•
A reconocer y aplicar los teoremas anteriores y actuales al tema, en la resolución de problemas matemáticos.
D
e la lectura de la unidad, cuando estudiamos el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de la gravedad, nos interesa estudiar el modo en que se producen las rotaciones, o si queremos conocer el comportamiento en el equilibrio mecánico de los objetos, estas dos disciplinas son íntimas: la geometría de los cuerpos determina su comportamiento en estos fenómenos. Uno de estos conceptos geométricos de las figuras es el baricentro, un punto que sustituye teóricamente toda una masa distribuida en un volumen y nos permite considerar el cuerpo como un solo punto. Por ejemplo todos sabemos que cuando un objeto cae bajo la acción de la gravedad describe una parábola. Sin embargo cuando el cuerpo no es de forma esférica es difícil ver dicha parábola. Y es que el cuerpo no la describe, quien lo hace es su centro de gravedad. El cuerpo del saltador de trampolín se tuerce sobre su eje, pero si resaltamos su centro de gravedad veremos que las distintas posiciones dibujan una parábola. Un segundo ejemplo: si se analiza el cuerpo humano, el centro de gravedad de una persona se sitúa aproximadamente a la altura del ombligo, entre la 5.a (y última) vértebra lumbar y la 1.a vértebra sacra, en el punto que los médicos denominan L5-S1. Este punto, a la postre, recibirá el peso de todo nuestro cuerpo y la mayoría de los esfuerzos mecánicos realizados en nuestra actividad física, trabajo y deportes. Cuando la columna se yergue para la bipedestación (a diferencia de los cuadrúpedos cuya posición es horizontal), no solo todo el peso de nuestro cuerpo se carga sobre ella sino que su posición vertical hace que los discos intervertebrales se compriman y se deterioren tanto más cuanto mayor sea la actividad realizada (pesas, saltos, carreras, ...). Todo lo anterior se agrava con la edad (descalcificación) y los malos hábitos posturales (es mejor flexionar las rodillas para recoger algo del suelo que doblar la espalda).
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79
Puntos notables
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que:
•
¿Cómo era la concurrencia de rectas? a) Dos rectas
b)
Tres o más rectas
OJO: Dime, ¿qué puedes concluir de las líneas concurrentes?
•
Las líneas notables en el triángulo ABC: B
qº
Altura: BH Mediana: BM Bisectriz interior: AI Bisectriz exterior: BE
qº
I A
aº aº
M
H
E
C
OJO: ¿Falta alguna línea notable?
•
Tres propiedades importantes: a)
b)
Bº aº aº
Colegios
80
TRILCE
xº
Bº qº qº
xº=90º+ Bº 2
qº qº
c) Bº
xº aº
xº= Bº 2
aº
aº
aº qº qº xº
xº=90º
Bº 2
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Geometría
1
Conceptos básicos Puntos notables •
Baricentro: _______________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
G
•
2m
2n m G
n
=
=
G → Baricentro o Gravicentro
Incentro: _________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ r → Inradio
I → Incentro
qº qº
r I r r
I bº bº
aº aº
•
Ortocentro: ______________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ A
B H → Ortocentro H
B
A
C
H
C
H
Recuerda este caso
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Unidad IV
81
Puntos notables
•
Circuncentro: _____________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ B
B R
R
A
O
A
O
Recuerda este caso
A
R
R
O
C
R
C
C
B
O → Circuncentro R → Circunradio
•
Excentro: _________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ B
qº qº
A
aº aº
E bº
E → Excentro relativo al lado BC
B
rBC E rBC
bº A
C
C
Recuerda que todo triángulo tiene tres excentros.
rAB
B
A
rBC
C
rAC
Colegios
82
TRILCE
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Geometría
Síntesis teórica
1
PUNTOS NOTABLES
Baricentro
Incentro
Ortocentro
Circuncentro
Excentro
•
Intersección de las medianas.
• Intersección de las bisectrices interiores. • Coincide con el centro de la circunferencia inscrita.
• Concurrencia de las alturas.
• •
Concurrencia de las mediatrices. Coincide con el centro de la circunferencia circunscrita.
• Concurrencia de dos bisectrices exteriores y una interior. • Coincide con el centro de la circunferencia exinscrita.
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Expresar gráficamente lo que se le solicita:
• •
•
Un triángulo PQR y su incentro "I". Un triángulo acutángulo ABC y su ortocentro "H". Un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y a su ortocentro "H".
2. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM, en ella marque el baricentro "G". Si: GM=5 cm y BG=(x 1) cm, calcule el valor de "x". 3. Grafique al triángulo ABC, trace las medianas AM y BN que se interceptan en "G". Calcular la suma de las longitudes de dichas medianas, sabiendo que: GM=2 cm y GN=3 cm.
Central: 619-8100
4. Sea ABC un triángulo de incentro "I", calcular la m AIC, sabiendo que el ángulo ABC mide 70º. 5. Sea ABC un triángulo de incentro "I". Calcular la m ABC, sabiendo que el ángulo AIC mide 100º. 6. Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro "H". Calcular la m AHC, sabiendo que el ángulo ABC mide 82º. 7. En el triángulo acutángulo ABC, trace las alturas AE y CF. Si el ángulo AHF mide 48º, calcular la m ABC, sabiendo que "H" es el ortocentro del triángulo ABC. 8. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, de modo que su ángulo ABC mida 130º y que "H" sea su ortocentro. Calcular la m AHC. Unidad IV
83
Puntos notables
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Expresar gráficamente lo que se le solicita en cada caso:
• •
•
Un triángulo PQR y su baricentro "G". Un triángulo acutángulo ABC y su circuncentro "O". Un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y a su circuncentro "H".
2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
•
•
•
El incentro de un triángulo es siempre un punto interior a él. El ortocentro de un triángulo puede estar situado en uno de sus vértices. El baricentro de un triángulo divide a cualquiera de sus medianas en la relación de uno es a tres.
3. Completar convenientemente: B I A
bº bº
C
m AIC= B
A
wº wº
aº
E
bº
bº
C m BEC=
4. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada, al inicio del capítulo. Resolución de problemas 5. Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN perpendiculares entre sí, que se interceptan en "G". Calcular el valor de "AB", sabiendo que: AG=6 cm y NG=4 cm.
Colegios
84
TRILCE
7. Grafique al triángulo ABC y marque el excentro "E" relativo al lado AC. Si la medida del ángulo exterior en "B" es de 110°, calcular la m AEC. 8. Grafique al triángulo ABC, marque el excentro "E" relativo al lado AC y el incentro "I". Si la medida del ángulo AIC es de 130°, calcular la m AEC. 9. Grafique al triángulo acutángulo ABC y a su circunferencia circunscrita, luego ubique el circuncentro "F" y calcule la m AFC. Considere que la m ABC mide 76º. 10. Grafique al triángulo acutángulo ABC de circuncentro "O" y calcule la m OAC, sabiendo que el ángulo ABC mide 70°. 11. Grafique al triángulo acutángulo ABC y marque el ortocentro "H". Si la m AHB es el triple de la m C, calcular la m AHB. 12. En un triángulo rectángulo, la distancia del baricentro al circuncentro mide 7 dm. Calcular la longitud de la hipotenusa.
aº
wº wº
6. Dado el triángulo ABC de incentro "I", se tiene que el ángulo AIC excede al ángulo ABC en 30°. Calcular la m ABC.
13. Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN perpendiculares entre sí. Si las longitudes de dichas medianas miden 9 y 12.dm, calcular el valor de "BM". 14. ABC es un triángulo acutángulo de circuncentro "O". Calcular la m B, si el ángulo AOC es el complemento del ángulo ABC. 15. EFG es un triángulo acutángulo de ortocentro "H". Si las medidas de los ángulos EHF y EGF están en la relación de 5 a 4, calcular la m EGF. 16. Grafique al triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H" y circuncentro "O". Si los ángulos AHC y AOC son congruentes, calcular la m ABC. 17. Grafique al triángulo acutángulo ABC de 13'cm de circunradio, donde la distancia del circuncentro al lado AC es 5 cm. Calcule la longitud del lado AC. 18. En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 y 8 cm. Calcular la distancia entre su incentro y circuncentro. www.trilce.edu.pe
Geometría
Aplicación cotidiana
1
19. Un centro comercial se va a construir de modo que se encuentre rodeado por tres grandes franjas que servirán como playa de estacionamiento y en la región triangular que estas franjas delimitan, se construirá el centro comercial. Sea "O" el punto imaginario donde concurren las tres entradas que nacen en estas franjas y nos llevan al centro comercial, de modo que estas entradas sean las más cortas y se encuentren a igual distancia entre "O" y las franjas.
Conteste lo siguiente: • ¿Qué punto notable es "O"? • ¿Por qué motivo aseguraría usted que "O" estaría a igual distancia de las tres franjas? 20. Un parque de diversiones contrata a un ingeniero para que ubique y construya una boletería, de modo que dicha boletería equidiste de tres juegos situados de forma no colineal (carrusel, montaña rusa y carros chocones), para que de esta forma la afluencia de personas sea rápida y la mayor cantidad posible.
Ayude usted al ingeniero a ubicar dicho punto, contestando lo siguiente: • Geométricamente, ¿cuál es el nombre de dicho punto que equidistaría de los otros tres? • ¿Cómo ubicaría dicho punto y por qué equidistaría de los otros tres?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafique al triángulo ABC de baricentro "G" y ubique el punto exterior "Q" relativo a BC, de modo que QB sea paralelo a CA ("Q" se encuentra en la prolongación de AG). Calcular el valor de "AQ", sabiendo que AG mide 6 2 cm.
3. "H" y "O" son el ortocentro y circuncentro del triángulo acutángulo ABC. Si el ángulo ABC mide 46°, calcular la diferencia de los ángulos AHC y AOC.
4. ABCD es un paralelogramo y "Q" es punto 2. Grafique al cuadrilátero convexo ABEC, medio de AD. Si AC y BQ se interceptan en donde se sabe que: m ABC = m CBE=60°, "F", calcular: AF/FC. m ACB=34° y m BCE=73°. Calcular el ángulo mayor que forman las diagonales del 5. Sea "E" el excentro relativo a BC en el triángulo cuadrilátero. ABC. Si: m BEC=2 m BAC, calcular la m BEC. 18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
El excentro de un triángulo coincide con el centro de la circunferencia exinscrita. El ortocentro de un triángulo es siempre un punto interior a él.
Central: 619-8100
•
El incentro de un triángulo divide a cualquiera de sus bisectrices en la relación de uno es a dos.
2. Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN perpendiculares entre sí, que se interceptan en "G". Calcular el perímetro del triángulo ABG, sabiendo que: AG=5 cm y NG=6 cm. Unidad IV
85
Puntos notables
3. Dado el triángulo ABC de incentro "I", se tiene que el ángulo AIC excede al ángulo ABC en 40°. Calcular la medida del ángulo exterior en "B".
12. Sea "H" el ortocentro del triángulo acutángulo ABC. Si: m ACB/m AHB=4/5, calcule la m AHB.
4. Grafique al triángulo ABC, marque el excentro "E" relativo al lado AC y el incentro "I". Si la medida del ángulo AEC es de 70°, calcular la m AIC.
13. ABCD es un paralelogramo donde "R" es punto medio de AD. Si BR y AC se interceptan en "O", calcule: OB/OR.
5. Un centro comercial se va a construir de modo que se encuentre rodeado por tres grandes franjas que servirán como playa de estacionamiento y en la región triangular que estas franjas delimitan, se construirá el centro comercial. Sea "O" el punto imaginario donde concurren las tres entradas que nacen en estas franjas y nos llevan al centro comercial, de modo que estas entradas sean las más cortas y se encuentren a igual distancia de "O" y de las franjas. Si la longitud de una de estas entradas es de 25 m, indique:
• •
¿Qué punto notable es "O"? ¿Cuánto es la suma de las longitudes de la otras dos entradas diseñadas en estas condiciones?
6. Grafique al triángulo acutángulo ABC y a su circunferencia circunscrita, ubique el circuncentro "F" y calcule la m ABC, sabiendo que la m AFC es 124°. 7. Grafique al triángulo acutángulo ABC y ubique a su circuncentro "O". Si los ángulos OAC y OBA miden 25° y 30° respectivamente, calcular la m OBC. 8. Graficar al triángulo acutángulo ABC y marque el ortocentro "H". Si la m AHB y la m C se encuentran en la relación de 3 a 2, calcular la m AHB. 9. Dado el triángulo acutángulo ABC, trace las alturas BQ y AE que se cortan en "F". Si la m BFE es 48°, calcule la medida del ángulo exterior en "C". 10. Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN ("G" es baricentro). Si: GN=9'dm y AG=14'dm, calcule la suma de estas medianas. 11. Sea "E" el excentro del triángulo ABC, relativo a CA. Si: m ABC=2m AEC, calcule la m ABC.
Colegios
86
TRILCE
14. En el gráfico mostrado, "H" e "I" son el ortocentro e incentro del triángulo ABC. Hallar "q°". B q°
I H q° C
A
15. En el gráfico, "H" es el ortocentro e "I" el incentro, ambos del triángulo ABC. Si los ángulos en "A" y en "C" miden 70º y 50º en ese orden, calcular la m HBI. B
H A
I C
16. Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro "H" donde: 3HB=4AC. Calcular la m ABC. 17. En un triángulo ABC (m B=90º), se sabe que m AIM=90º. Calcular la m CAI, siendo "M" el circuncentro e "I" el incentro del triángulo ABC. 18. Grafique al triángulo acutángulo ABC y ubique el punto interior "R", tal que: m BAR=2m RAC, m RCA=m RCB y AB=AR, hallar la m ARC. 19. Grafique al cuadrilátero convexo ABEC, de modo que: m ABD=70º, m DBC=55º, m ADB=m BDC=60º..Calcular.el.ángulo menor que forman las diagonales del cuadrilátero. 20. En un triángulo acutángulo ABC, el ortocentro es "H" y el circuncentro es "O". Si HB=8 dm y AC=10 dm, hallar el circunradio.
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Geometría
Proporcionalidad
2
En este capítulo aprenderemos: •
A conocer las principales propiedades que se establecen entre líneas proporcionales.
•
A aplicar las propiedades de proporcionalidad en la resolución de problemas matemáticos.
U
no de los episodios más conocidos con respecto a las pirámides, es el protagonizado por el matemático griego Thales de Mileto, que vivió entre los siglos VI y V a.C., uno de los siete sabios de Grecia. Thales consiguió, de una manera ingeniosa, medir la altura de la Gran Pirámide de Keops. Se cuenta con diferentes fuentes para este episodio, pero el relato más completo e interesante, es el que aporta Plutarco, un griego que vivió durante el Imperio Romano, autor de las célebres "Vidas paralelas", en que recoge las vidas de diferentes personajes de la historia de Grecia y Roma. Para hacerlo, Thales se valió únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante. Con tan sencillo utillaje, calculó que la sombra proyectada por su altura, guardaría una proporción similar a la sombra de la propia pirámide con respecto a la altura de esta. Existe actualmente una publicación denominada El teorema del loro, que en su portada textualmente indica "Novela para aprender matemáticas", cuya autoría es del francés Denis Guedj. Aquí se relata la medición de la pirámide de Keops por Thales de Mileto: "La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya." De ahí dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura." Hete aquí la solución que buscaba. No faltaba sino ponerla en práctica. Thales no podía efectuar la operación solo. Necesitaban ser dos y el fellah accedió a ayudarlo. Es posible que sucediera de este modo. ¿Cómo llegar a saberlo? Al día siguiente, al alba, el fellah fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Thales dibujó en la arena un círculo con un radio igual que su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra. Cuando la sombra tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura, dio un grito convenido. El fellah, atento, plantó un palo inmediatamente en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Thales corrió hacia el palo. Sin intercambiar una sola palabra, con la ayuda de una cuerda bien tensa, midieron la distancia que separaba el palo de la base de la pirámide y supieron la altura de la pirámide".
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87
Proporcionalidad
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que:
•
Rectas paralelas y rectas paralelas con una o más transversales.
a)
L1
b) L1
L2
L2
L3
•
L3
Las bisectrices en un triángulo.
a) Interior
b)
Exterior
B B qº
I
qº
A
aº aº
A
C
•
E
El incentro B qº qº
A
•
C
aº aº
incentro
C
El cevacentro B cevacentro
A
Colegios
88
TRILCE
C
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Geometría
2
Conceptos básicos Corolario de Thales
Teorema de Thales
A
B
R
B
L1
Q
C
L2
S
E
F
L3 A
AB = RQ BC QS
Si: L1 // L2 // L3 ⇒
C BE = BF EA FC
Si: EF// AC ⇒
Propiedad de la bisectriz Bisectriz interior
Bisectriz exterior a =m b n
aº aº a
b
m
a
e t
Teorema del incentro
Teorema de ceva
Si: "I" es incentro ⇒
x = a+b y c
C
Si: AP; BQ y CD son cevianas concurrentes ⇒ abc=mnp B
aº aº
B
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b
n
a qº qº
a= t b e
aº aº
m
x I
D
b
P n
a
y c
b
A
A
p
Q
c
C
Unidad IV
89
Proporcionalidad
Síntesis teórica
Proporcionalidad
Teorema de Thales Corolario
La propiedad de la bisectriz interior nos relaciona dos lados y los segmentos determinados por la bisectriz en el lado opuesto.
La propiedad de la bisectriz exterior nos relaciona dos lados y los segmentos determinados por dicha bisectriz.
El teorema de ceva relaciona los segmentos determinados por tres cevianas concurrentes.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Expresar gráficamente lo que se indica:
•
• •
Tres rectas paralelas que son interceptadas por dos rectas secantes. Un triángulo ABC y su bisectriz interior BI. Un triángulo ABC y su bisectriz exterior BF, "F" en la prolongación de AC.
Colegios
90
TRILCE
2. Grafique a un triángulo ABC y trace la paralela EF a AC ("E" en AB y "F" en BC), de modo que: EB=12 cm, AE=6 cm, BF=16 cm y FC=(x+1) cm. Calcule el valor de "x".
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Geometría
2
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática B
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
La bisectriz interior determina sobre el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. El teorema de Thales se usa con rectas paralelas. La bisectriz exterior de todo triángulo siempre corta al lado opuesto.
2. Completar convenientemente:
A
qº
R
AB = BC Central: 619-8100
A
C
qº
E
AE = CE 3. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al inicio del capítulo. 4. Completar: El incentro de un triángulo divide a toda bisectriz en dos segmentos ............................... ............... a la suma de los lados y al ................ ..........................
B qº
qº
C
Resolución de problemas 5. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BF. Si las longitudes de AB y BC son proporcionales a 3 y 5 en ese orden y AF=9 cm, calcular el valor de "AC". Unidad IV
91
Proporcionalidad
6. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BQ. Si las longitudes de AB, BC y AC miden 6; 8 y 12 cm, calcular el valor de "AQ". 7. Dado el triángulo PQR, se tiene que: PQ/QR=7/4 y QA es bisectriz exterior ("A" en la prolongación de PR). Calcular el valor de "PR", sabiendo que PA=21 cm.
13. Grafique las rectas paralelas L1, L2 y L3. Una recta secante intercepta a estas en "A", "B" y "C" respectivamente. Otra recta secante intercepta a dichas paralelas en "P", "Q" y "R" respectivamente. Sabiendo que: AB=x+5, BC=3x, PQ=32/3 y RQ=12, calcular el valor de "AC".
8. Sea ABC un triángulo donde: AB=12 cm, BC=8 cm y AC=10 cm. Trace la bisectriz exterior BF ("F" en la prolongación de AC) y calcule el valor de "FC".
14. Sean L1, L2 y L3 rectas paralelas. L4 corta a ellas en "A", "B" y "C" respectivamente y L5 intercepta a las paralelas en "R", "Q" y "S" respectivamente ("A" y "R" pertenecen a L1). Si: AB=8, BC=x+2, RQ=6 y SQ=x - 2, calcule el valor de "AC".
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BI y la bisectriz exterior BE. "E" se encuentra en la prolongación de AC. Calcular el valor de "CE", sabiendo que: IA=4 cm y CI=2 cm.
15. Dado el triángulo ABC, se sabe que: AB=9 dm, BC=12 dm y AC=14 dm. Trace la bisectriz interior BF y marque el incentro "I". Calcule el valor de BI / FI.
10. Grafique al triángulo ABC y trace las cevianas concurrentes AE, BF y CR. Calcule el valor de "AF", sabiendo que: AR=4 cm, BR=6 cm, EB=2 cm, CE=9 cm y FC=3 cm.
16. Dado el triángulo ABC de incentro "I" y baricentro "G", tal que IG // AC. Calcular el valor de "AC", sabiendo que: AB=5 cm y BC=7 cm.
11. Dado el triángulo ABC, trace la mediana AM, además las cevianas BF y CQ, todas concurrentes en "O". Calcular el valor de "CF", sabiendo que: QA=12 cm, QB=8 cm y AF=9 cm. 12. Trace las rectas paralelas L1, L2 y L3. Una recta secante intercepta a estas en "A", "B" y "C" respectivamente. Otra recta secante intercepta a dichas paralelas en "P", "Q" y "R" respectivamente. Sabiendo que: AB=x+5, BC=2x+2, PQ=3x y RQ=18, calcular el valor de "x".
17. En el triángulo PQR se trazan las cevianas concurrentes PA, QB y CR de modo que: PC/QC=2/3 y QA/RA=5/8. Calcule el valor de: PB/RB. 18. Grafique al triángulo ABC y trace las cevianas concurrentes AF, BE y CM. Si: AM=6.cm, MB=4 cm, FC=10 cm y FB=5 cm, calcule la relación entre EA y CE .
División del segmento AB en tres partes iguales
Aplicación cotidiana A
19. El alumno Alberto tiene un listón que desea dividirlo en tres partes iguales, para lo cual, su amiga Fátima le alcanza la siguiente tabla. ¿Podrías ayudar a Alberto a interpretar dicha tabla?
• • •
¿Qué representaría AB? ¿Qué representaría la otra línea que sale de "A"? Luego de tener los segmentos iguales AM, MN y NP, ¿cómo se obtendrían los puntos M' y N' sobre AB, que lo dividirían en tres partes iguales?
1
2
A
B
B
u
u
M
u
N
u
P
A
B P N M
3
Colegios
92
TRILCE
A
M'
N'
B
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Geometría
20. Dos amigos, Julio y Sandro van a jugar golf. Después de un tiempo y en pleno bogey, Sandro le dice a Julio: "Julio, tú que eres matemático, dime: ¿cómo se puede hacer para medir el largo del estanque sin meternos en él?". Julio se queda pensando y responde: "Mira Sandro, lo que debemos hacer es buscar una proporcionalidad", a lo cual Sandro responde que no entiende y le sugiere hacer un gráfico. Julio accede y realiza el gráfico explicando lo siguiente: "Primero grafiquemos un triángulo ABC con AC=10 m y EB=3,5 m. Luego, trazo ED paralelo a BC, finalmente mido CD, cuya longitud es de 3 m y problema resuelto".
• •
2
Conteste usted lo siguiente:
¿Por qué Julio trazó la paralela ED? Si Sandro entendió y calculó el largo del estanque, ¿cuál es dicha longitud?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafique al triángulo ABC y trace las cevianas AE y CF que se cortan en "R", de modo que FE sea paralelo a CA . Al prolongar BR , corta a AC en "Q". ¿Qué línea notable es BQ para el triángulo ABC? 2. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo ABC es "r" y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo triángulo es "R". Si "I" es incentro y BF es bisectriz interior, hallar: BI / IF, además: m B=90°. (Dar la respuesta en términos de "R" y "r").
4. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BE ("E" en la prolongación de AC ). La ceviana AF intercepta a BE en su punto medio "M". Calcular "AB", si: BF=12 cm y FC=4 cm. 5. En la figura, m y n son rectas secantes: AB // CD // EF. Si: AO/2=OD/3=DF/4 y BE=45, calcular "OB". n
m A
3. Grafique al triángulo ABC y trace las cevianas BE y BF, tal que: m ABE=m EBF y la m EBC=90°. Calcular la distancia entre el baricentro y el ortocentro del triángulo EBC, sabiendo que: AE=6 cm y EF=4 cm.
B O
C E
D F
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Asociar convenientemente mediante flechas: Teorema de Thales Teorema del incentro Teorema de ceva
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Cevianas concurrentes Rectas paralelas Bisectrices interiores
2. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior AF. Si las longitudes de AB y AC son proporcionales a 7 y 5 en ese orden y BF=9 cm, calcular el valor de "BC". 3. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BR. Si las longitudes de AB, BC y AC miden 9; 12 y 15 cm, calcular el valor de "AR". Unidad IV
93
Proporcionalidad
4. Sea ABC un triángulo donde: AB=15 cm, BC=10 cm y AC=12 cm. Trace la bisectriz exterior BQ ("Q" en la prolongación de AC) y calcule el valor de "QC".
A
5. Grafique al triángulo ABC, trace la mediana BN y las cevianas AE y CF , todas estas líneas concurrentes en "Q". Calcule el valor de CE, sabiendo que: BE=16 cm, FB=18 cm y AF=9 cm.
P
6. Grafique al triángulo ABC y trace EF paralelo a CA ("E" en AB y "F" en BC). Calcule el valor de FC, sabiendo que: AE=9 cm, FB=14 cm y EB=16 cm. 7. Trace las rectas paralelas L1 , L2 y L3 . Una recta secante intercepta a estas en "A", "B" y "C" respectivamente. Otra recta secante intercepta a dichas paralelas en "P", "Q" y "R" respectivamente. Sabiendo que: AB=24, BC=40, PQ=x+4 y RQ=5x, calcular el valor de "x".
B C R Q
14. Hallar "x".
B 14
A
6
10. Grafique al triángulo ABC, trace la bisectriz interior BF y ubique el incentro "I" del triángulo ABC. Calcule la longitud AC, sabiendo que: AB=8 cm, BC=10 cm y que: IB/FI=3/2. 11. Dado el triángulo ABC, trace la bisectriz interior BF y ubique el incentro "I" del triángulo ABC. Calcule la longitud AB, sabiendo que: AC=15 cm, BC=14 cm y que: IB/FI=4/3. 12. Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y donde sus diagonales se cortan en "O". Calcular la longitud OA, sabiendo que: BO/DO=5/7 y CO=4 cm. 13. La figura muestra a dos circunferencias secantes. Si: AB=6 cm y BC=8 cm, calcule la relación entre PQ y RQ. Colegios
94
TRILCE
qº
10
R
x
C
15. Sea ABC un triángulo isósceles (AC=BC) y BF una bisectriz interior. Si: AB=9 dm y BC=18 dm, calcule el producto de AF y FC. 16. En el gráfico: ER // AF, RF // AC , EB=14 y EF=6. Calcule el valor de CF . B
8. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BI y la bisectriz exterior BE. "E" se encuentra en la prolongación de AC. Calcular el valor de CI, sabiendo que: IA=8 cm y CE=12 cm. 9. Grafique las rectas paralelas L1 , L2 y L3 . Una recta secante intercepta a estas en "A", "B" y "C" respectivamente. Otra recta secante intercepta a dichas paralelas en "P", "Q" y "R" respectivamente. Sabiendo que: AB=x+5, BC=3x, PQ=10 y QR=12, calcular el valor de "BC".
qº
E R
F C
A
17. Si: EF//AH; EH//AC, FB=4 y HC=3, hallar "FH". B F E
H
A
C
18. En un triángulo ABC, los lados AB, BC y AC miden 6; 12 y 15 dm respectivamente. Si se traza la bisectriz interior BQ, hallar: AQ . QC. 19. Si: 5PC=3BP, AM=MP y BQ=24, hallar "AQ". B
Q A
P M
C
20. En un triángulo ABC: AB=3BC. Sea BF una bisectriz exterior ("F" en la prolongación de AC) tal que: AF=15 dm. Calcule "AC". www.trilce.edu.pe
Geometría
Semejanza
3
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar a los triángulos semejantes y establecer relaciones entre sus elementos.
•
A aplicar las propiedades que se derivan de semejanza, en la resolución de problemas matemáticos.
L
a semejanza en términos sencillos es entendida como la igualdad de forma, pero con diferencia de tamaño. Sus aplicaciones son variadas, desde el estudio matemático, los diseños y también algunas aplicaciones que ponen a prueba nuestra habilidad y paciencia. Tal es el caso de este modelo de auto que se muestra en la figura. Para la elaboración de esta réplica, se invirtió seis años y medio de trabajo uniendo 956.000 cerillas con 1.686 tubos de pegamento. El resultado: una réplica a escala natural del Mercedes-McLaren MP 4-14 de fórmula 1 con el que el finlandés Mika Hakkinen se proclamó campeón del mundo en 1999. Vale la pena resaltar que ha sido dos veces campeón mundial. Para la construcción de esta réplica, es muy probable que se haya tenido que usar las conocidas maquetas, que implican el concepto de semejanza y que a su vez nos lleva al concepto de proporcionalidad. Por ejemplo, en las construcciones de edificios, urbanizaciones, etc., es indispensable el uso de maquetas que permiten a las personas entender mejor el proyecto y conocer la situación de su futura vivienda. En ellas, las escalas habituales varían desde 1/75 (léase de 1 a 75) hasta 1/300 (léase de 1 a 300). También cabe mencionar que existen maquetas virtuales, electrónicas o 3D, a los mo-delados en tres dimensiones asistidos por computadora, los cuales se desarrollan en base a software especiales para dicha labor como por ejemplo: Autocad, Revit, 3ds Max, Maya, SketchUp, etc.
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95
Semejanza
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que:
•
Se dice que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño.
Ejemplos: a) Dos círculos
b) Dos cubos
Colegios
96
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Geometría
3
Conceptos básicos Triángulos semejantes B
N
c
p
a
m h
H M A
n
P
C
b
Elementos homólogos DABC
DABC = a = b = c = H =...=K m n p h DMNP
DMNP
Casos Primer caso
Segundo caso
q° a°
q°
ak
a
a°
a°
a° bk
b
Tercer caso
ak
bk
ck
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a
b c
Unidad IV
97
Semejanza
Síntesis teórica
SEMEJANZA
Triángulos semejantes
La semejanza de triángulos se reconoce por cualquiera de sus tres casos.
El caso más usado para que dos triángulos sean semejantes, es que tengan dos ángulos interiores iguales entre sí.
Cada vez que se trace en un triángulo una paralela a uno de sus lados, siempre se determina un triángulo menor semejante al inicial
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Expresar gráficamente lo que se le indica:
•
•
•
Dos figuras semejantes que no sean triángulos. Dos triángulos semejantes, indicando sus ángulos. Dado un trapecio, trace sus diagonales y sombree dos triángulos semejantes.
2. La figura muestra a los triángulos semejantes ABC y PQR. Calcular el valor de "QR", sabiendo que: BC=18 cm, AC=16 cm y PR=8 cm. B
A
qº
3. La figura muestra dos triángulos semejantes cuyas bases miden 5 y 10 cm. Si las alturas respectivas miden 7 y "x" cm, calcular el valor de "x".
4. La figura muestra al triángulo ABC y a EF paralelo a AC. Si: FB=5 cm, FC=7 cm y AC= 18 cm, calcular el valor de "FE".
Q
aº
C P
qº
B
aº
E R A
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98
TRILCE
F C www.trilce.edu.pe
Geometría
A
5. Grafique al triángulo ABC y trace EF paralelo a AC ("E" en AB y "F" en BC). Calcular el valor de AC, sabiendo que: FB=4 cm, CF=8 cm y EF=5 cm. 6. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90º) y marque "P" en BC. Trace PH perpendicular a la hipotenusa AC y calcule el valor de "AC", sabiendo que: PC=8 cm, PH=5 cm y AB=15 cm. 7. En el gráfico, AB es paralelo a EF. Calcule el valor de EF, sabiendo que: AO=6 cm, OF=12 cm y AB=9 cm.
B
3
O
E
F
8. Grafique dos cuadrados, donde sus lados midan 4 y 7 cm. Responda lo siguiente:
• ¿Son semejantes estas figuras? • ¿En qué relación se encuentran sus lados? • ¿En qué relación se encuentran sus perímetros?
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
•
•
•
Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. Al trazar una paralela a un lado de un triángulo, se determina otro triángulo semejante al inicial. Dos círculos son figuras semejantes.
2. Completar: Si los lados de dos triángulos son proporcionales, entonces dichos triángulos son ............................... 3. Observe los gráficos convenientemente.
y
complete
B E
F
A DEBF ....... DABC
E
ABC
.........
•
•
•
Un triángulo rectángulo y sobre uno de los catetos, ubicar un punto para luego trazar de allí una perpendicular a la hipotenusa. Sombree los triángulos semejantes que se determinan. Al paralelogramo ABCD, a la diagonal AC y marque "F" en AD. Después de unir "F" con "B", sombree los triángulos semejantes que se determinan. Un triángulo que sea semejante al de 3; 4 y 5 cm de lado.
Resolución de problemas 5. Grafique al triángulo ABC y trace PQ paralelo a AC ("P" en AB y "Q" en BC), de modo que: QC=2QB y PQ=13 cm. Calcular el valor de "AC".
7. La figura muestra dos triángulos semejantes cuyos perímetros son 15 y 75 cm. Si las alturas respectivas miden 3,4 y "x" cm, calcular el valor de "x".
B
F
6. Sea ABC un triángulo de 5; 6 y 7 cm de lados. Grafique otro triángulo semejante al anterior, cuyo perímetro sea 54 cm y calcule su lado mayor.
C
A
4. Grafique lo que se le indique:
C
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Unidad IV
99
Semejanza
8. En el gráfico mostrado AB y EF son paralelas y se encuentran en la relación de 7 a 9. Calcular el valor de "OE", sabiendo que BO mide 14 cm. A
B O
E
F
9. ABCD es un trapecio, cuya base menor BC mide 6.cm y donde sus diagonales se interceptan en "O". Calcule la longitud de la base mayor, sabiendo que BO y DO miden 4 y 9 cm respectivamente. 10. ABCD es un romboide y "E" es un punto de BC. Sea "R" la intersección de BD con EA, de modo que: AR=3ER. Calcule el valor de "CB", sabiendo que EB mide 4 cm. 11. Grafique al triángulo ABC y trace PQ paralelo a AC ("P" en AB y "Q" en BC), de modo que PQ diste 4 cm del vértice "B" y que la altura BH mida 12 cm. Calcular el valor de "AC", sabiendo además que PQ mide 5 cm. 12. En un triángulo ABC se inscribe el cuadrado PQRS, de modo que el lado PS se encuentre contenido en AC, "Q" pertenece a AB y "R" está en BC. Si la altura BH mide 8 cm y la base AC mide 12 cm, calcular la longitud del lado de dicho cuadrado.
14. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 6 y 8 cm. Inscriba el rombo APQR, de modo que "P" se encuentre en AB, "Q" en BC y "R" en AC. Calcule el lado de dicho rombo. 15. Sea "P" el punto medio del cateto AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", desde el cual se traza la perpendicular PH a la hipotenusa AC; de tal manera que: AH=6 cm y HC=9 cm. Calcular el valor de "PB". 16. Una circunferencia es tangente a una recta y pasa por un punto que dista 2 cm de la tangente y 8'cm del punto de tangencia. Calcule el radio de dicha circunferencia. 17. Del gráfico, calcular "AB", siendo: BC=8m, CR=4m y MC=2m. ("A" y "M" puntos de tangencia) A M B
C
R
18. En la figura, calcular "x" en función de "r" y "R".
r
x
R
13. Grafique a un triángulo ABC e inscriba el cuadrado PQRS, de modo que el lado PS se encuentre contenido en AC, "Q" pertenece a AB y "R" se encuentra en BC. Si el producto de la altura BH con la base AC es igual a cuatro veces la suma de los mismos, calcular la longitud del lado de dicho cuadrado. Aplicación cotidiana 19. Julio tiene un pino en su jardín y desea calcular matemáticamente su altura. Para ello se da cuenta que el pino proyecta una sombra de 3,5 m y luego clava una estaca B'A' que mide 1,6 m y que proyecta una sombra de 0,7 m. Conteste usted las siguientes preguntas:
•
•
¿Cuál es el sustento teórico que usará Julio para resolver este problema? ¿Cuál es la altura de dicho pino?
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Geometría
3
20. La alumna Luz se apresta a calcular la altura de su casa. Para ello dispone de los siguientes datos: una regla de longitud b=35 cm; la distancia de la mesa al pie de la regla es a=50 cm; de la mesa a la casa hay una distancia d=4,5 m y la altura de la mesa es de 80 cm. Conteste usted las siguientes preguntas.
• • •
¿Cuál es el sustento teórico que usará Luz para resolver este problema? ¿Cuál es el valor de "c"? ¿Cuál es la altura de la casa de Luz?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BD. Calcular el valor de "AB", sabiendo que: BC=18 cm, DC=12 cm, m ADB=63º30' y que la distancia de "A" hacia BD es de 4 5 cm.
4. En un triángulo PQR, inscriba el rombo PEFH, tal que "E" ∈ PQ y "F" ∈ RQ. Si: PQ=a y PR=b, calcule el perímetro de dicho rombo en función de "a" y "b".
2. En un trapecio rectángulo, calcular la longitud de la distancia del punto de intersección de las diagonales al menor lado lateral, si las bases del trapecio miden 2 y 3 unidades.
5. La base de un triángulo es 16 unidades y su altura 12 unidades. Se inscribe en este triángulo un rectángulo que tiene uno de sus lados contenido en la base del triángulo. Calcular las dimensiones del rectángulo, si su perímetro es 28 unidades.
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se inscribe un cuadrado PLMN de modo que el lado PN descansa sobre la hipotenusa AC. Calcular "AC", si: LM=12 y AP - NC=10.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
Dos triángulos equiláteros de diferente perímetro, serán siempre semejantes. Los lados de dos triángulos siempre son proporcionales. La razón de semejanza de dos figuras, puede ser entero o fraccionario indistintamente.
3. Sea ABC un triángulo de 5; 6 y 7 cm de lados. Grafique otro triángulo semejante al anterior, cuyo perímetro sea 90 cm y calcule la longitud de su lado menor. 4. La figura muestra dos triángulos semejantes cuyos perímetros son 12 y 72 cm. Si las alturas respectivas miden 2,5 y "h" cm, calcule el valor de "h".
2. Grafique lo que se le indique:
•
•
•
Un triángulo rectángulo y sobre un punto de la hipotenusa trazar una perpendicular al cateto mayor. Sombree los triángulos semejantes que se determinan. Al paralelogramo ABCD, a la diagonal AC y marque "R" en AD. Después de unir "R" con "B", sombree los triángulos semejantes que se determinan. Un triángulo que sea semejante al de 5; 4 y 8 cm de lado.
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5. ABCD es un romboide y "E" es un punto de BC. Sea "R" la intersección de BD con EA, de modo que: AR=3ER. Calcule el valor de "AD", sabiendo que EC mide 12 cm.
Unidad IV
101
Semejanza
6. Grafique al triángulo ABC y trace PQ paralelo a AC ("P" en AB y "Q" en BC), de modo que PQ diste 6 cm del vértice "B" y que la altura BH mida 18 cm. Calcular el valor de AC, sabiendo además que PQ mide 8 cm. 7. Antonella tiene un pino en su jardín y desea calcular matemáticamente su altura. Para ello se da cuenta que el pino proyecta una sombra de 2,5 m y luego clava una estaca B'A' que mide 1,2 m y que proyecta una sombra de 0,6 m.
13. En un triángulo ABC, la m B=53º y AC=5b. Hallar el valor del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices "A" y "C". 14. En un triángulo ABC, se inscribe el rombo PBQR ("P" en AB, "Q" en BC y "R" en AC). Si: AB=24 cm y BC=40 cm, hallar el perímetro del rombo. 15. Sobre los lados AC y BC de un triángulo ABC, se ubican los puntos "M" y "P" respectivamente; de tal manera que: MP // AB , AM=a y MC=b. Luego se traza PN // BM ("N" en AC ), calcular "MN". 16. En el gráfico: BH=k, AC=l, RS=b y QR=h. Hallar: b + h l k B
P
Conteste usted la siguiente pregunta: • ¿Cuál es la altura de dicho pino?
8. En un triángulo ABC se inscribe el cuadrado PQRS, de modo que el lado PS se encuentre contenido en AC , "Q" pertenece a AB y "R" está en BC . Si la altura BH mide 10 cm y la base AC mide 14 cm, calcular la longitud del lado de dicho cuadrado. 9. Grafique al romboide ABCD y marque "R" en BC; AC y DR se intersectan en "Q", tal que: 3QC=2QA y RC=12 dm. Calcule la longitud de BR. 10. En un romboide ABCD: 3BC=4CD. Sobre AC se ubica el punto "P", tal que la distancia de "P" a AD mide 12m. Hallar la distancia de "P" a AB. 11. Una circunferencia es tangente a una recta y pasa por un punto que dista 4 cm de la tangente y 10 cm del punto de tangencia. Hallar el valor del radio. 12. Se grafica al triángulo ABC de modo que el ángulo interior en "A" excede al ángulo interior en "C" en 90º. Trace la altura BH y calcule su longitud, sabiendo que HA y CH miden 8 y 16.cm respectivamente.
Colegios
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TRILCE
A
S
Q H
R
C
17. La figura nos muestra a dos circunferencias tangentes exteriormente en "T". Si: AT/CT=5/3 y AB=15 cm, calcular la longitud de CD. B
C T
A
D
18. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia donde los lados BC y AD son tangentes a ella en "M" y "N" respectivamente, tal que MN y AC se intersectan en "L". Si: LC=10; MC=8 y AN=4, calcular "AL". 19. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN, de tal manera que: AN=12; BN=4 y AH=9. Calcular "HC". 20. En la figura, "O" es el centro de la semicircunferencia, CP=8; DP=2 y AB=8. Calcular "PB". B
D P A
O
C
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Geometría
Repaso
4
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los puntos notables, la proporcionalidad en Geometría y los triángulos semejantes estableciendo relaciones entre sus elementos.
•
A aplicar las propiedades que se derivan de la proporcionalidad y semejanza, en la resolución de problemas matemáticos.
Síntesis teórica Puntos notables
Baricentro Incentro Excentro
Ortocentro Circuncentro
Proporcionalidad
Teorema de Thales
Propiedad de la bisectriz
Corolario
Ceva
Semejanza
Casos de semejanza
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Propiedades básicas deducibles
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Repaso
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
•
•
•
El ortocentro de un triángulo es siempre un punto interior a él. Al trazar una perpendicular desde un punto que pertenece a uno de los catetos hacia la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se determina otro triángulo semejante al inicial. La bisectriz interior determina sobre el lado opuesto, dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
2. Completar:
El centro de gravedad de un triángulo también recibe el nombre de ......................................... y es el punto de intersección de las .................. ......................
9. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 10 y 12 cm respectivamente. Inscriba el rombo APQR, de modo que "P" se encuentre en AB, "Q" en BC y "R" en AC. Calcule la longitud del lado de dicho rombo. 10. La razón de semejanza de dos triángulos es de 4/7 y la longitud del lado mayor del triángulo mayor es de 35 cm. Calcular la longitud del lado mayor del otro triángulo. 11. La razón de semejanza de dos triángulos es de 9/4. Calcular la relación de los perímetros de estos triángulos semejantes. 12. En la figura mostrada, se tienen tres figuras semejantes entre sí: a b
Resolución de problemas a'
3. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BQ. Si las longitudes de AB, BC y AC miden 8; 10 y 12 cm, respectivamente, calcular el valor de "AQ". 4. Dado el triángulo PQR, se tiene que: PQ/QR=9/5 y QA es bisectriz exterior ("A" en la prolongación de PR ). Calcule el valor de "PR", sabiendo que PA=27 cm. 5. Grafique al triángulo ABC, marque el excentro "E" relativo al lado AC y el incentro "I". Si la medida del ángulo AIC es de 142º, calcular la m AEC. 6. Grafique al triángulo acutángulo ABC y a su circunferencia circunscrita. Ubique el circuncentro "F" y calcule la m AFC. Considere que la m ABC es de 68º. 7. La base menor BC de un trapecio ABCD mide 4,8 cm y sus diagonales se cortan en "O". Calcular la longitud de la base AD, sabiendo que: OB/OD=3/5. 8. La base menor BC de un trapecio ABCD mide 6.cm y sus diagonales se cortan en "O". Calcular la longitud de la base AD, sabiendo que la distancia de "O" hacia BC es de 4 cm y que la altura del trapecio mide 13 cm. Colegios
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TRILCE
b' a''
b''
Calcular: • La razón de semejanza entre la primera y la tercera. • La razón de proporcionalidad entre la segunda y la tercera. 13. Grafique al triángulo ABC y marque "R" en AC, "E" y "F" en BC de modo que: AB//ER, AE//RF, EF=8 cm y FC=12 cm. Calcule el valor de "BE". 14. Dado el triángulo ABC, inscriba el paralelogramo PBQM ("P" en AB, "Q" en BC y "M" en AC). Las prolongaciones de PQ y AC se interceptan en "N". Calcular el valor de "MN", sabiendo que: AN=3 3 cm y CN= 3 cm. 15. En un triángulo ABC de incentro "I", se sabe que la m AIC es 135º. ¿Cuál es la posición de su circuncentro? www.trilce.edu.pe
Geometría
16. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Calcular la distancia del ortocentro al circuncentro.
P
A
H
4
N
B
17. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15 cm. Calcular la distancia entre su incentro y circuncentro. 18. En un triángulo ABC: m A=m C+90º. Calcule la longitud de la altura BH relativa al lado AC, si: AH=2 cm y AC=6 cm.
C
qº
qº
O
20. Del gráfico: PQ=2m y QC=3m. Calcular "TP". ("P" y "T" puntos de tangencia). T
19. En el gráfico: AB=4 y ON=3. Calcular "BC".
PQ A
18:10:45
B
H
C
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Grafique al romboide ABCD y marque "R" en AD. Las líneas AC y RB se cortan en "O", de modo que AO y OC se encuentran en la relación de 7 a 9. Calcular el valor de "BC", sabiendo que: RA=14 cm. 2. Grafique al triángulo acutángulo ABC de circuncentro "O" de modo que el ángulo OAC mida 20º. Calcular la m ABC. 3. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
El circuncentro de un triángulo es siempre un punto interior a él. Al trazar una paralela a un lado de un triángulo cualquiera, se determina otro triángulo igual al inicial. Las bisectrices interiores se cortan en un punto denominado incentro.
4. En la figura mostrada, se tienen tres figuras semejantes entre sí: a b a' b'
•
•
La razón de semejanza entre la primera y la segunda. La proporción en la que se encuentran los elementos homólogos de las tres figuras.
5. Grafique al triángulo ABC, marque el excentro "E" relativo al lado AC y el incentro "I". Si la medida del ángulo AIC es de 100º, calcular la m AEC. 6. Grafique al triángulo ABC y trace la bisectriz interior BQ. Si las longitudes de AB, BC y AC miden 5; 7 y 6 cm, calcular el valor de "AQ". 7. Dado el triángulo ABC, se traza la mediana BM y las bisectrices de los ángulos "A" y "C", que interceptan a BM , en los puntos "E" y "F" respectivamente ("E" en BF). Si: AB+BC=2AC, BE=3 cm y FM=2 cm, calcular el valor de "EF". 8. Grafique al triángulo isósceles ABC (AB=BC) de ortocentro "H" e incentro "I". Calcule la m HCI, sabiendo que es congruente con el ángulo ABI. 9. Grafique al triángulo ABC, marque el excentro "E" relativo al lado AC y el incentro "I". Si la medida del ángulo AIC es de 115º, calcular la m AEC. 10. Grafique al triángulo acutángulo ABC y a su circunferencia circunscrita. Luego ubique el circuncentro "F" y calcule la m AFC. Considere que la m ABC es 68°.
a''
Calcular:
b'' Central: 619-8100
Unidad IV
105
Repaso Cuadriláteros
11. En un triángulo ABC, el producto de los lados AB y BC es 80 cm2. Si la longitud de la altura BH es 5 cm, calcular el circunradio de dicho triángulo. 12. Sea ABC un triángulo rectángulo de hipotenusa AC y sea "M" punto medio del cateto BC. La distancia de "M" hacia la hipotenusa es 5 cm y el cateto AB mide 15 cm. Calcular el valor de "BC".
17. "E" es el excentro del triángulo ABC. Si el ángulo BAC mide 40°, calcular la m BEC. B
A
15. Indicar si es falso (F) o verdadero (V), según corresponda: • • •
El baricentro es el punto de corte de las alturas. .....................................(___) El incentro es el punto de corte de las bisectrices exteriores. ...............(___) El ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto en los triángulos rectángulos. .......................(___)
16. Indicar si es falso (F) o verdadero (V), según corresponda:
C
18. Si: a // b // c ; AB=24; DE=27; EF=18 y MN=BC+14; hallar "BC+NH".
13. Grafique al triángulo ABC y trace PQ paralela a AC ("P" en AB y "Q" en BC), de modo que: PQ=6 cm y 3QB=2CQ. Calcule el valor de "AC". 14. Dado el triángulo ABC, trace la bisectriz interior AE y luego EF paralela a AC ("F" en AB). Calcule el valor de "AF", sabiendo que: CE=3EB y que AC=16 cm.
E
B C
M
D
A
a
N
E F
b
H
c
19. En un triángulo PQR se traza EF // PR ("E" ∈ PQ y "F" ∈ QR), de modo que: QE=4; EP=8 y FQ=6. Hallar "QR". 20. Del gráfico, calcular "OB", siendo: 3 = 2 = 4 y BE=45 (L // L // L ) 1 2 3 AO OD DF A C E
O
B
L1 L2
D F
L3
• Todo triángulo tiene dos excentros. ...(___) • El excentro de un triángulo coincide con el centro de la circunferencia inscrita. ..............................................(___) • El baricentro de un triángulo divide a su mediana en la relación de dos a uno. ..........................................(___) • Todo triángulo tiene al ortocentro como punto interior. ..........................(___)
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UNIDADUNIDAD 2 1
Cuando los lados aumentan
E
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros.
1
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo En este capítulo aprenderemos: A identificar los elementos del triángulo rectángulo y relacionarlos entre sí.
•
A aplicar las propiedades que se deduzcan en la resolución de problemas matemáticos en los triángulos rectángulos.
Pitágoras
(aprox. 582 - 507 a.C.)
•
P
itágoras de Samos (aproximadamente 582 - 507 a.C.) Fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo al mismo Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), si fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto). El teorema de Pitágoras: para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Deberíamos destacar aquí que para Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa no estaría pensado como un número multiplicado por sí mismo, sino como un cuadrado geométrico construido sobre el lado. Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podrían ser cortados y reensamblados para formar un cuadrado idéntico al tercer cuadrado. Imagen: Parque de La Villette - París, Francia (http://borjalopezmenendez.files.wordpress.com/2010/11/triangulos.jpg)
Colegios
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TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: • En el triángulo rectángulo a) B q°
A
b)
a°
a°
a°
q°
H
A
C
m A = m HBC
B
C
H AHB
m C = m ABH
a°
BHC
ABC
• Proyecciones a) B
b)
B
A
A
L
C
H AH es la proyección de AB en AC
P
Q
PQ es la proyección de AB en L
¡Ojo, muy importante!
Cada vez que tengas un trapecio rectángulo, siempre traza la otra altura.
Unidad V
109
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Conceptos básicos Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
C • Catetos: BC=a AC=b a
B m
b
h
A
H
n c
Primera relación a2=c . m b2=c . n
Propiedad:
•
Hipotenusa: AB=c
•
Altura: CH=h
•
Proy BC en AB: BH=m
•
Proy AC en AB: AH=n
Segunda relación
Tercera relación
Cuarta relación
Quinta relación
h2=m . n
a . b=c . h
a2+b2=c2
1 1 1 + = a 2 b2 h2
L es tangente común a las circunferencias tangentes exteriores de radios "R" y "r".
r O1
O R
L
B
A AB=2 Rr Demostración:
R-r
R-r O
R
r
r
r A Colegios
110
TRILCE
O1
d
B
L
R+r
d Por el teorema de Pitágoras: (R+r)2 = d2+(R - r)2 (R+r)2 - (R - r)2 = d2 4Rr = d2 d=2 Rr
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Geometría
Síntesis teórica
1
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
El cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
La altura es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.
El producto de catetos es igual al producto de la altura con la hipotenusa.
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
•
Cada vez que trabajemos con un trapecio rectángulo, no olvidar de trazar la altura.
•
Dada dos circunferencias tangentes exteriormente, la longitud de la tangente común es igual al doble de la raíz cuadrada del producto de los radios. 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En cada figura mostrada, calcular el valor de "x". a) x 4
3. Grafique a un triángulo rectángulo y trace la altura relativa a la hipotenusa, que determina en ella dos segmentos que miden 2 y 8 cm. Calcular la longitud de la altura.
10
b)
4. En un triángulo rectángulo, los catetos dan como producto 60 cm2 y la hipotenusa mide 14 cm. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.
x
4
9
5. Grafique lo que se le indique:
c)
4 x
6
Central: 619-8100
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 14 cm y la proyección de uno de sus catetos sobre dicha hipotenusa es 2 cm. Calcular la longitud de dicho cateto.
•
•
Dos circunferencias tangentes exteriores y una tangente común exterior. Dos circunferencias exteriores y una tangente común exterior.
Unidad V
111
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
6. Grafique a un trapecio rectángulo, cuyas bases midan 4 y 10 cm. Calcular la longitud del lado oblicuo, si además la altura del trapecio mide 8 cm.
8. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm. Calcule la hipotenusa y la longitud de la altura relativa a ella.
7. Los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente miden 2 y 8 cm. Calcular la longitud de la tangente común exterior.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
•
•
•
En el triángulo rectángulo, los ángulos agudos son suplementarios. Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando tienen dos puntos en común. El teorema de Pitágoras se cumple en todo tipo de triángulo.
2. Completar:
9. Grafique a un triángulo rectángulo ABC y trace la altura BH relativa a la hipotenusa. Con diámetros HA y HC se describen dos circunferencias de 2 y 4.cm de radio. Calcular el valor de "BH".
En el triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual a la ........................................ por la .............................................. relativa a ella.
10. Grafique a dos circunferencias exteriores de 6 y 4 cm de radios. Calcule la longitud de la tangente común exterior, sabiendo además que la distancia entre sus centros es de 12 cm.
3. Graficar lo que se le indica: • Un trapecio rectángulo y trace la otra altura. • Dos circunferencias tangentes exteriormente y la tangente común exterior. • Un triángulo rectángulo y resalte la proyección de un cateto sobre la hipotenusa.
11. Dado un triángulo rectángulo ABC, se traza la ceviana BF relativa a la hipotenusa AC. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AB=BF, AF=8.cm y FC=10 cm.
Resolución de problemas 4. Grafique a un triángulo rectángulo cuyos lados son 5; 12 y 13 cm. Calcular la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. 5. Los lados de un triángulo rectángulo miden "x.-.7", "x" y "x+1". Calcular el valor de la hipotenusa. 6. Las bases de un trapecio rectángulo miden 5.y 17.cm. Si el lado recto es congruente con la base menor, calcular el perímetro de dicho trapecio. 7. Dada dos circunferencias tangentes exteriormente, el segmento de tangente común es el triple del radio menor y el radio mayor mide 18'cm. Calcular la longitud de la tangente común. Colegios
112
8. Dos circunferencias son tangentes exteriormente y el segmento de tangente común es congruente con el radio mayor. Calcular la relación entre los radios.
TRILCE
12. Grafique al triángulo JLM, con diámetros JL y JM describa las circunferencias C1 y C2 respectivamente. C1 intercepta a JM en "B" y C2 intercepta a JL en "A". Calcular la relación entre las longitudes de los segmentos JQ y JP, sabiendo que "Q" es la intersección de C2 con LB y que "P" es la intersección de C1 con AM. 13. Grafique un trapecio isósceles cuyas bases midan 10 y 22 cm. Calcular el valor de su perímetro, sabiendo además que la altura del trapecio es de 8 cm. 14. Grafique una circunferencia de centro "O" y al segmento AB tangente en "T". Si el ángulo AOB es recto y los segmentos TA y TB miden 4 y 9.cm respectivamente, calcular el diámetro de la circunferencia.
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Geometría
15. Un trapecio isósceles de 16 y 24 cm de bases, se encuentra circunscrito a una circunferencia. Calcular el radio de dicha circunferencia.
18. Calcular "R", si: AC=3m y BD=4m.
1
C R
16. En una circunferencia, su diámetro mide 20 cm y una cuerda 12 cm. Calcular la longitud de la flecha relativa a dicha cuerda.
B
A
17. Se tiene una recta r y un segmento AB exterior a ella. Los extremos "A" y "B" distan de la recta 15 y 7 cm respectivamente. Si la proyección de AB sobre r es de 6 cm, calcular "AB".
O D
Aplicación cotidiana 19. Se ubican tres pueblos: "L" (en Lima), "I" (en Ica) y "C" (en Cusco). Si se les une en línea recta, tendríamos que la distancia de "L" a "I" es 300 km aproximadamente y la de "I" a "C", 800 km, además, el ángulo que forman estos recorridos es 120º. ¿Cuánto distan "L" y "C"?
Lima Cusco Ica
20. Un grupo de alumnos de cuarto año del colegio Trilce han observado que un rayo ha trozado un árbol. Entonces, les surge la idea de calcular la altura que tenía dicho árbol, para lo cual miden la distancia del punto de apoyo hasta el pie del tronco, obteniendo 10 m, además, se dan cuenta que el ángulo que forma con el plano horizontal es de 30º. ¿Cuál era la altura del árbol? (Redondea a un decimal tu respuesta).
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Unidad V
113
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH y por "H" se trazan HN y HM perpendiculares a los catetos BC y AB respectivamente. Calcular "MN", si: (AM)(NC)(AC)=64m3. 2. En el gráfico mostrado, "O" y "O1" son centros. Calcular "MN", si además: PR=RS=4m y que "O" pertenece a la circunferencia menor.
M
S r
O
4. En un triángulo ABC, "H" es ortocentro y: AH2+BH2+CH2=5R2. Calcular: AB2+BC2+AC2, siendo "R" el circunradio. 5. En la figura, calcular el diámetro AB, si: CE=2 dm y EF=4 dm ("C" y "E" son puntos de tangencia).
P R
3. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la altura CH, en la cual se ubica el punto "F" de modo que: m AFB=90º y AF=2m. Calcular "AC".
N H O1
C
B E
A
A
F
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
El teorema de Pitágoras se cumple en el triángulo acutángulo. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, son congruentes entre sí. El segmento de tangente común exterior de dos circunferencias tangentes exteriormente, es siempre igual a la suma de los radios.
2. Grafique lo que se le indique:
• •
•
5. Dada dos circunferencias tangentes exteriormente, el segmento de tangente común es el triple del radio menor y el radio mayor mide 18.cm. Calcular el radio menor. 6. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la altura BH relativa a la hipotenusa. Con diámetros HA y HC describa circunferencias de 4 y 6.cm de radios. Calcule la longitud "BH".
Un trapecio isósceles y trace las dos alturas. Dos circunferencias tangentes exteriores y la tangente común exterior. Un rectángulo y resalte la proyección de un lado sobre una de sus diagonales.
7. Dos circunferencias son tangentes exteriormente y el segmento de tangente común es el triple del radio menor. Calcular la relación entre los radios.
3. Grafique a un triángulo rectángulo cuyos lados son 5; 10 y 5 5 cm. Calcular la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa.
8. Grafique a dos circunferencias exteriores de 4 y 1 cm de radio. Calcule la distancia entre los centros, sabiendo que la longitud de la tangente común exterior es de 2 10 cm.
Colegios
114
4. Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 y 21 cm. Si el lado recto excede en 2 cm a la base menor, calcular el perímetro de dicho trapecio.
TRILCE
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Geometría
9. Un grupo de alumnos de cuarto año del colegio Trilce han observado que un rayo ha trozado un árbol. Entonces, les surge la idea de calcular la altura que tenía dicho árbol, para lo cual miden la distancia del punto de apoyo hasta el pie del tronco, obteniendo 8 3 m, además, se dan cuenta que el ángulo que forma con el plano horizontal es de 37º.
14. En el gráfico: BC=R y r=1. Calcular el valor de "AC".
1
r
R B
C
A
D
2r
15. Del punto medio de un cateto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa dividiendo a esta en dos segmentos que miden 3 y 5 cm. Calcular la medida de los catetos.
http://www.fotolog.com/mrwolf_o/78499232
Conteste lo siguiente:
• •
10. Grafique un trapecio isósceles cuyas bases midan 8 y 18 cm. Calcular el valor de su perímetro, sabiendo además que la altura del trapecio es de 12 cm. 11. Un trapecio isósceles de 12 y 18 cm de bases, se encuentra circunscrito a una circunferencia. Calcular la longitud del diámetro de la circunferencia. 12. Se tiene una recta r y un segmento AB exterior a ella. Los extremos "A" y "B" distan de la recta 17 y 9 cm respectivamente. Si AB mide 12.cm, calcular su proyección sobre r . 13. Si: AB=3BC, calcular: r/R A C
E
L
¿Cuál era la altura del árbol? ¿Cuál es la distancia del pie del tronco hacia la parte caída del árbol?
B
16. En la figura mostrada: mAM + mNB = 90º, EL=7cm y LM=2 cm. Calcular "AB".
R
M
A
N
O
B
17. Un maestro pintor desea pintar la fachada de una casa de tres pisos y usa una escalera de 8 m de longitud que la tiene apoyada sobre una pared. Si el pie de la escalera dista 3 m de la pared, ¿qué altura alcanzará la escalera sobre la pared? 18. En un cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales se cortan perpendicularmente. Si: AB=6'dm, BC=7 dm y CD = 8 dm, calcule el valor de "DA". 19. En un trapecio rectángulo PQRS: m P=m Q=90º, QR=PQ=6 y PS=14. Calcular el perímetro del trapecio. 20. El lado de un cuadrado ABCD, inscrito en una circunferencia, mide 4 m. Si "M" es un punto del arco AB, de modo que: MD=5 m, hallar "MB".
r
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Unidad V
115
2
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo En este capítulo aprenderemos: • A identificar las proyecciones de los lados y las líneas asociadas al triángulo, relacionadas entre sí. • A aplicar las propiedades que se deduzcan en la resolución de los triángulos oblicuángulos.
E
uclides (330 - 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la antigüedad. Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la Geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I. La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la Geometría, le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios. Colegios
116
TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: • Proyecciones
a)
A
b)
B
C
H
P
R
H
RH es la proyección de QR sobre PR
AH es la proyección de AB sobre AC
c)
Q
A
B
H
C
F
HF es la proyección de la ceviana BF sobre AC
• El coseno de un ángulo a)
a° cosa = Cat. adyacente Hipotenusa
b) De ángulos notables: cos30º= 3 /2 cos37º=4/5 cos45º= 2 /2 cos53º=3/5 cos60º=1/2
• Líneas notables
A
a° a°
a
B q° q° I M
H a
C
E
BH: altura BM: mediana AI: bisectriz interior BE: bisectriz exterior
Unidad V
117
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
Conceptos básicos Teorema de Euclides Primer caso (a<90º)
Segundo caso (a>90º)
C
CH → altura
a
b
A
m → proyección de AC sobre AB
a aº
B
H
H
2c . m
B
A
m
c
a2=b2+c2
m → proyección de AC sobre AB
b
aº m
CH → altura
C
c
a2=b2+c2+2c . m
C
a
b
⇒ De aquí se deduce la Ley de cosenos A
aº
B c
a2=b2+c2
2bc . cosa
Teorema de la mediana
Teorema de Herón
AM → mediana
AH → altura A
b
C
A
m
c
M a 2
2m2+ a =b2+c2 2
b
B
C
c
h
H
B a
h= 2 . p(p a)(p b)(p c) a p= a+b+c (semiperímetro) 2
Colegios
118
TRILCE
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Geometría
Teorema de la bisectriz interior
Teorema de la bisectriz exterior
CD → bisectriz interior
CP → bisectriz exterior Recordar:
Recordar: a=n b m
C
C
B
x
a
b
x
b
D
n
a=n b m
q°
q°
a° a° a
2
x2=ab
B
A
m
A
m
P
n
nm
x2=nm
ab
Teorema de Stewart C
CF: ceviana
a
b
x B
n
F
m
x2c=a2m+b2n
nmc
A
c
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Unidad V
119
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
Síntesis teórica
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Teorema de Euclides
Teorema de Herón
Teorema de la mediana
Cálculo de la bisectriz
En triángulos acutángulos
Bisectriz interior
En triángulos obtusángulos
Bisectriz exterior
Conceptos básicos Aplica lo comprendido 1. a. Graficar un triángulo de 4; 6 y 9 cm de lado e indicar qué tipo de triángulo es.
b. Grafique a un triángulo cuyos lados midan 9; 10 y 12 cm. Indique el tipo de triángulo.
2. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 10 cm. Calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 3. Grafique un triángulo cuyos lados midan 5; 7 y 11 cm. Indique que tipo de triángulo es y calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 4. Los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7 cm. Calcule la longitud de la altura relativa al lado menor. Colegios
120
TRILCE
5. Los lados de un triángulo miden 4; 6 y 8 cm. Calcule la longitud de la mediana relativa al lado menor. 6. En un triángulo ABC, se sabe que: a=4 cm; b=5 cm y c=8 cm. Calcule el coseno del ángulo "B". 7. Los lados de un triángulo miden 5; 7 y 3 2 cm. Calcule la medida del ángulo que se opone al lado que mide 3 2 . 8. Grafique a un triángulo cuyos lados midan 8; 10 y 12 cm. Calcule la longitud de la menor de sus alturas.
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Geometría
2
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
5. Los lados de un triángulo miden 11; 13 y 16 cm. Calcule la longitud de la menor de sus alturas.
•
•
6. Los radios de dos circunferencias secantes miden 6 y 5 cm. Calcular la longitud de la cuerda común, sabiendo además que la distancia entre sus centros es de 7 cm.
•
En el triángulo oblicuángulo, todos sus ángulos interiores son agudos. En todo triángulo, la proyección de un lado "a" sobre otro lado "b", siempre pertenece al lado "b". El teorema de la mediana, se cumple en todo tipo de triángulo.
2. Asociar convenientemente mediante flechas: Teorema de Euclides Teorema de Herón Teorema de Pitágoras Solo en el triángulo rectángulo Calcula la altura en un triángulo Relaciona la proyección de un lado
7. Los lados de un triángulo miden 10; 11 y 3 5 cm. Calcular la medida del ángulo que se opone a 3 5 cm. 8. Los lados de un triángulo miden 2 ; 5 y 3 dm. Calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 9. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Si: AH=2; AC=6; AB=c y BC=a, calcular: "a2 c2". 10. Del gráfico: AB=BC=5m y AD=3m. Calcular "EF". C
3. Completar adecuadamente: a)
C a
b
h
B
c
. p(__ ._ )(__ . _)(_ __)
b) b
A
c
h=
E D
11. La figura muestra al triángulo ABC y al cuadrado AEFH. Si: AB=12 dm, BC=14 dm y AC=16 dm, calcule el valor de HE.
c
m
F A
B
B E
F
A
H
a 2m2+
2
=
C
Resolución de problemas
12. Dos lados de un triángulo miden 9 y 13m. Calcular la longitud del tercer lado, siendo igual a su mediana relativa.
4. Grafique a un triángulo cuyos lados miden 6; 9 y 10 cm. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor.
13. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 dm. Si los lados laterales miden 5 y 7 dm, calcular la longitud de su altura.
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Unidad V
121
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
14. Las diagonales de un trapecio miden 13 y 15m, siendo sus bases 4 y 10m. Calcular la altura del trapecio.
17. En un romboide ABCD, AB=5m y AD=3m. Calcular la diagonal AC, si su proyección sobre la recta que contiene al lado AB mide 6m.
15. En el paralelogramo ABCD se tiene que: 3AD=4AB y "M" es punto medio de BC. Si: AM=8 dm y MD=6 dm, calcular el valor de AB.
18. Del gráfico, calcular "x", siendo: AO=OB=R=4m.
x
16. En un triángulo ABC, se traza la mediana CM. Calcular el valor de "a2+b2 2c2", sabiendo que: CM= 8 ; AB=2c; BC=a y AC=b.
R A
O
B
Aplicación cotidiana 19. El niño Luis es un fanático de volar cometa y se encuentra volando dos cometas simultáneamente. Una de ellas tiene 36 m de cordón y la otra 40 m. Si su amigo José logra medir el ángulo entre los dos cordones obteniendo 30º, ¿puede usted ayudar a estos niños a calcular la distancia entre las dos cometas?
20. Un río tiene sus dos orillas paralelas. "A" y "B" son dos puntos situados en una orilla y "C" es otro punto situado en la otra orilla. Si la distancia de "A" hacia "C" es de 12 m, de "B" a "C" es de 14 m y la separación entre "A" y "B" es de 10 m, calcular la distancia del ancho del río en este tramo mencionado. http://www.orbita.starmedia.com
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Un triángulo acutángulo ABC, de altura BH=18m, se encuentra inscrito en una circunferencia de centro "O" y radio igual a 12m y la bisectriz interior BD corta a HO en "F". Calcular "BF", siendo: FO=4m. 2. Dado el triángulo EFG, se sabe que: EF=8 dm, FG=10 dm y EG=9 dm. Calcule la longitud de la ceviana FA, sabiendo que: EF=2AE.
4. En un triángulo ABC, AB=5m; BC=6m y AC=7m. Calcular "AP", siendo "P" punto de tangencia de la circunferencia ex-inscrita relativa al lado BC. 5. Calcular el lado mayor de un triángulo de perímetro 18m, siendo sus alturas proporcionales a los números 3; 4 y 6.
3. En un triángulo ABC de baricentro "G", calcular "AB2+BC2+AC2", siendo: AG2+BG2+CG2=40m2.
Colegios
122
TRILCE
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Geometría 18:10:45
2
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
•
•
En un triángulo oblicuángulo, todos sus lados siempre son iguales. En todo triángulo, la proyección de una mediana "m" sobre un lado "b", no pertenece al lado "b". En todo triángulo, a menor lado le corresponde la menor de las alturas.
2. Grafique a un triángulo cuyos lados miden 7;;9 y 11.cm. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 3. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 cm. Calcule la longitud de la menor de sus alturas. 4. Los radios de dos circunferencias secantes miden 8 y 6 cm. Calcular la longitud de la cuerda común, sabiendo además que la distancia entre sus centros es de 10 cm. 5. Grafique al paralelogramo ABCD y marque "M" punto medio de BC. Calcular la longitud "AB", sabiendo que: AM=10 cm, MD=6 cm y BC=12 cm. 6. Las bases de un trapecio miden 3 y 10 dm. Si los lados laterales miden 4 y 5 dm, calcule la longitud de su altura. 7. En un triángulo ABC, se sabe que: AB=13 dm, BC=12 2 dm y AC=17 dm. Calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 8. Los lados de un triángulo miden 5 ; 6 y 7 . Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 9. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 m y los lados laterales miden 5 y 7 m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. 10. Los radios de dos circunferencias secantes miden 10 y 17 m. Calcular la longitud de la cuerda común a las circunferencias, si la distancia entre los centros mide 21 m. 11. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 m. Calcular la longitud de la altura relativa al lado intermedio. Central: 619-8100
12. En un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto medio "M". Siendo: AM=9m y DM=13m, calcular el lado del rombo. 13. Grafique al romboide ABCD de modo que: AB=5.cm y BC=6.cm. Calcule la suma de cuadrados de MA y MD, siendo "M" punto medio de BC. 14. Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3; 5 y 7. Calcular la medida del mayor ángulo interior del triángulo. 15. ABC es un triángulo acutángulo y APQR es un rectángulo. Si: AB=10.dm, BC=17.dm, AC=21dm y QB=QR, calcular el valor de "AQ". B P
Q
A
C
R
16. Del gráfico, Calcular "AP", siendo: AO=OB= 10 y PB=2. A P
O
B
17. En un triángulo ABC, se conoce que: AB= 2 c, AC=b 2 y BC=2a. Si la mediana AM mide 3, calcule el valor de "b2+c2 - a2". 18. Dado un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2+c2 - 1,6 bc Calcular: m A. 19. Dado un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2+c2 + 1,2 bc Calcular la medida del mayor ángulo interior del triángulo. 20. En un triángulo ABC, AB=8m y BC=AC=10m. Se traza la altura BH y en ella se ubica el punto "P", tal que: m APM=90º. Calcular "AP". ("M" es punto medio de AC). Unidad V
123
3
Relaciones métricas en la circunferencia En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los elementos asociados a la circunferencia y relacionarlos entre sí.
•
A aplicar las propiedades que se deduzcan en la resolución de problemas de métricas en la circunferencia.
•
A conocer y aplicar los teoremas de Tolomeo.
A
strónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI (véase Sistema de Tolomeo). También se reconocen sus aportaciones en Matemáticas, óptica y geografía. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
La primera y más famosa obra de Tolomeo, escrita originariamente en griego, se tradujo al árabe como al-Majisti (Obra magna). En Europa, las traducciones latinas medievales reprodujeron el título como Almagesti, y desde entonces se le conoce simplemente como Almagesto. En esta obra, Tolomeo planteó una teoría geométrica para explicar matemáticamente los movimientos y posiciones aparentes de los planetas, el Sol y la Luna contra un fondo de estrellas inmóviles. Esta obra no incluía ninguna descripción física de los objetos del espacio.
Lectura en: http://www.terra.es/personal/migzotan/sistemasolar/tolomeo.html Colegios
124
TRILCE
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: • Líneas asociadas en la circunferencia
a) B
b) Cuerdas secantes
A E
L1 L2
AB: cuerda EB : arco L1: secante L2: tangente
B
E
F
A
T
c) Secantes desde un mismo punto
A
B
d) Tangente y secante desde un mismo punto S
P
Q Q
S
A
P
• Cuadrilátero inscrito
Unidad V
125
Relaciones métricas en la circunferencia
Conceptos básicos Teorema de las cuerdas
E A
a
Teorema de las secantes
n C
m
a
B b
b
F
n m
a.b=m.n
a.b=m.n
Teorema de la tangente
Teorema de Tolomeo a
n b
c
x
m a
y d
a2 = m . n
Colegios
126
TRILCE
x.y=a.c+b.d
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Geometría
3
Síntesis teórica RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Con líneas asociadas a la circunferencia
En el cuadrilátero inscrito o inscriptible
Teorema de las cuerdas Teorema de Tolomeo Teorema de las secantes
Teorema de la tangente 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar lo que se le indique:
• •
•
Una circunferencia y dos cuerdas secantes. Una circunferencia y dos secantes trazadas desde un punto exterior "P". Dos circunferencias secantes y su cuerda común.
2. Grafique una circunferencia y trace las cuerdas AB y EF secantes en "Q". Si: AQ=12 cm, QB=8 cm y EQ=6 cm, calcular el valor de "QF".
b) 8 4 x
8
c) 8 9
x 18
3. Calcular el valor de "x" en cada gráfico: a)
x 4
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6
4. Desde un punto exterior "P" se trazan la tangente PA y la secante PQS a una circunferencia. Sabiendo que: PQ=2 cm y QS=8 cm, calcular el valor de "PA". 5. Desde un punto exterior "P", se trazan la tangente PA y la secante PQS a una circunferencia. Sabiendo que: PA=3 3 cm y QP=3 cm, calcular el valor de "PS". Unidad V
127
Relaciones métricas en la circunferencia
6. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF a la misma circunferencia. Sabiendo que: AC=12 dm, AB=4 dm y EA=6 dm, calcular el valor de "AF".
8. En una circunferencia, trace las cuerdas AB y EF secantes en "S". Calcule la longitud de la cuerda "EF", sabiendo que: SA=12 cm, SE=4 cm y SB=6 cm.
7. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF a la misma circunferencia. Sabiendo que: AC=16 dm, AB=3 dm y EA=4 dm, calcular el valor de "EF".
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
Resolución de problemas
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
3. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF a la misma circunferencia. Sabiendo que: AC=18'dm, CB=12 dm y EA=4 dm, calcular el valor de "EF".
•
•
•
En la circunferencia, al trazar dos cuerdas secantes, se determinan cuatro segmentos parciales. AB es una tangente y AEF es una secante a una misma circunferencia. Luego, es cierto que AB es igual al producto de AF y AE. El teorema de la tangente, relaciona directamente a la tangente y una cuerda.
2. Complete adecuadamente:
a)
6. Grafique al triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia y marque "F" en el arco AB. Si las cuerdas AF y FB miden 6 y 4 dm, calcule la longitud de "CF".
Q
7. En el gráfico, "B" y "D" son puntos de tangencia. Si: AB=12 dm, AE=8 dm y FC=4 dm, calcule el valor de "DC".
A
AC =
5. "P" es un punto exterior a una circunferencia. Desde "P" se trazan las secantes PAB y PCD. Si: PA=4 dm, PB=2PA y PD=16 dm, calcule la relación entre AB y CD.
C B P
4. En una circunferencia, trace las cuerdas AB y EF secantes en "S". Calcule la longitud de la cuerda EF, sabiendo que: BA=28 cm, SE=6 cm y SB=12.cm.
AB B
b)
A
F E
AB = AE AF
Colegios
128
TRILCE
C
D A
B
F
E
8. Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD de modo que: BC=5; CD=7 y AB=BD=AD. Calcular el valor de "AC".
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Geometría
9. Calcular la longitud "DE", si: AC=8.dm y BD=2'dm. ("A" y "C" son puntos de tangencia). A
B
C
D
14. Una circunferencia tiene 10 cm de radio. Se traza una cuerda AB, sobre la cual se ubica un punto "M" de modo que los segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y 12 cm. Calcular la distancia desde el punto "M" hacia el centro de la circunferencia. 15. Según el gráfico, calcular "CB", si: AC=CH=4.
E
A C
10. Calcule "BC", sabiendo que: BF=3 cm; EF=9'cm y ED=16 cm. B
O
C F
D
16. Calcular "MD", si: ME=6 y 2AM=3CM C
11. En el gráfico: AB=6 dm; BC=4 dm y CD=2 dm. Calcule el valor de "FD".
D
M B
C
D
F
12. Calcular el valor de "ED", si: AB=5 cm; BC=2'cm y CD=4 cm.
A
B C
D
E
13. ABC es un triángulo rectángulo isósceles (B=90º) inscrito en una circunferencia y "F" es un punto del arco AC. Si: FC+FA=8 2 , calcule la longitud de la cuerda BF.
A
B
E
O
17. Desde un punto "F" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes FA y FB y la secante FCD que intercepta a AB en el punto "P". Si: PC=2'cm y FC=3 cm, calcular "PD". 18. Grafique a dos circunferencias secantes en los puntos "A" y "B". Una cuerda PB de la primera circunferencia, al ser prolongada, corta a la segunda circunferencia en "Q". Si la suma de los cuadrados de las tangentes trazadas desde "P" y "Q" hacia la segunda y primera circunferencia respectivamente es de 288'cm2, calcular la longitud de PQ.
Aplicación cotidiana 19. El alumno Rudy ha dispuesto seis discos como se muestra en la figura. Este arreglo despierta la curiosidad de su compañero Julio, quien reta a Rudy a calcular la relación de radios del menor al mayor. Ayude a Rudy a calcular dicha relación.
Central: 619-8100
B
H
E
A
A
3
R R
R R
r
r
Unidad V
129
Relaciones métricas en la circunferencia
20. Una zona de seguridad pintada en el piso tiene forma circular. Desde un punto exterior "A", se traza una soga tangente en "T" y otra soga secante AEF. Si la longitud de la soga representada por AE y EF miden 25 y 11 cm respectivamente, calcular la longitud de la soga tangente (TA), que se va a utilizar.
S
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafique dos circunferencias tangentes interiormente en "P", de modo que el centro "O" de la mayor circunferencia pertenezca a la circunferencia menor. La cuerda AD corta a la circunferencia menor en "B" y "C", de modo que "B" pertenezca a AC. Si: AB=2; BC=12 y CD=10, calcular: (PB)2+(PC)2.
4. En la figura: MN es diámetro, OP=2m y PQ.PS=60m2. Calcular la longitud del radio de la circunferencia. M
R S
T
O
2. La figura muestra a dos circunferencias secantes. ¿Qué línea notable es BF para el triángulo ABC? ("A" y "C" puntos de tangencia).
N
B
Q
P
5. En el gráfico: BM.CN=24 y MN=8. Calcule "BC" ("B" y "C" puntos de tangencia). B
A
F
C
3. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, cuyo lado mayor es AC. Construye hacia un mismo lado los triángulos regulares ADB y AEC. La prolongación de CB corta a la prolongación de ED en "F". Si: FE=20 dm y AF=8 dm, calcular el valor de FC .
N
M
A
C
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Completar adecuadamente: a) E A S F
b)
B
a m
b n
AS . BS = Colegios
130
TRILCE
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Geometría
2. Realizar los gráficos que se le indica:
•
•
Dos circunferencias secantes y una recta secante a ambas que pase por uno de los puntos de intersección de las circunferencias. En una circunferencia, trace las cuerdas AB y FE. Prolongue las cuerdas AF y EB hasta que se corten en "Q".
3. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB y en su prolongación marque "C". Luego, trace la secante CEF, de modo que: mEB=2m C, AE=8; EF=6 y AC=16. Calcular el radio de la semicircunferencia. 4. Un triángulo equilátero ABC se encuentra inscrito en una circunferencia. Sobre el arco AB se ubica el punto "F" el cual se une con los tres vértices, siendo: FA=8 y FB=10. Calcular "FC". 5. Exteriormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo rectángulo BFC, recto en "F" y cuya suma de catetos es igual a 12 cm. Hallar la distancia desde "F" hacia el centro del cuadrado.
9. AB y CD son dos cuerdas secantes en "F" y que pertenecen a una circunferencia. Si: CF=6 dm, FD=4 dm y FB=3 dm, calcule la longitud de la cuerda AB. 10. Sea ABC un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia y marque "F" en el arco AB . Si las cuerdas FA y FB miden 9 y 12 dm, calcule la longitud de la cuerda FC. 11. En el gráfico, "B" y "D" son puntos de tangencia. Si: AB=6 dm; AE=4 dm y CF=2 dm, calcule el valor de CD. F
C
B D
E A
12. En el gráfico, calcular el valor de ED, si: AB=8'dm; BC=6 dm y CD=2 dm. E C
6. "A" y "B" son puntos de tangencia y AEFH es un rectángulo. Si: PQ=8 dm y EF=4 3 dm, calcule el valor de HQ.
P
3
D
B
A
13. Hallar "BC", si: AB=3 y CD=4 ("B" es punto de tangencia).
B E
A
F
F
Q B
H
A
C
7. En el gráfico: AF=2 5 dm. Calcular el valor de FB ("A" y "B" puntos de tangencia). A
F
B
E D
14. AE; EF y AB están representados por números enteros consecutivos respectivamente. Calcular "AB". ("B" es punto de tangencia).
B 8. Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD de modo que: BC=10; CD=8 y AB=BD=AD. Calcular el valor de AC.
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F A
E
Unidad V
131
Relaciones métricas en la circunferencia
15. En un triángulo ABC, se traza la mediana CM y se dibuja la circunferencia circunscrita al triángulo MCB tangente a AC en "C". Si AB mide 8 dm, hallar "AC". 16. Hallar "FD", si ABCD es un cuadrado y AF+FC=8 2 B
D
17. Desde un punto exterior "A", se trazan las secantes ABC y la diametral AEF, de modo que: EF=12; AF=x; BC=8 y m A=mEB. Si: x2.-.ax.-.b=0 es la ecuación que permite el cálculo de "AF", determine el valor de "a+b". 18. En un triángulo inscrito en una circunferencia, las ságitas correspondientes a cada lado miden: 1; 2 y 3 cm. Calcular la medida del menor lado del triángulo.
Colegios
132
TRILCE
A
Q M
P
B
C
F A
19. Calcular la longitud de la cuerda PQ, sabiendo que: MP=MQ; AM=6 y BM=18.
20. En el gráfico, la suma de los cuadrados de las tangentes AQ y BS es de 169 dm2. Calcular el valor de AB. S Q
B
A
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Geometría
Repaso
4
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer las propiedades de relaciones métricas en triángulos y circunferencias.
•
A aplicar las propiedades que se derivan de las relaciones métricas, en la resolución de triángulos y en problemas que involucren las métricas de la circunferencia.
E
l teorema de Pitágoras, en su forma habitual, dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, lo cual es una interpretación algebraica de un hecho geométrico: en todo triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados construidos sobre los catetos. Lo sorprendente es que esta relación se puede generalizar a toda terna de figuras semejantes cuyas longitudes formen una terna pitagórica. Veamos, que si en vez de tres aburridos cuadrados dibujamos sobre un triángulo rectángulo tres gatos de Cheshire, el área de la superficie ocupada por el dibujo del mayor de los tres será igual a la suma de las áreas de los otros dos dibujos.
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Lectura y dibujo extraído de: www.epsilones.com/paginas/t-fragmentos.html
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133
Repaso
Síntesis teórica
REPASO
Relaciones métricas en la circunferencia
Relaciones métricas
Métricas en el triángulo rectángulo
Métricas en oblicuángulos
Teorema de Tolomeo Teorema del producto de lados
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
Resolución de problemas
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm. Calcule la relación entre su inradio y la altura relativa a la hipotenusa.
•
•
•
En el triángulo, se cumple que a mayor lado le corresponde la menor de sus alturas. En todo triángulo, la proyección de un vértice "B" sobre el lado "b", siempre pertenece al lado "b". El teorema de Euclides se cumple en todo tipo de triángulo.
2. Asociar convenientemente mediante flechas: Teorema de las cuerdas Teorema de Herón Teorema de Pitágoras Relaciona catetos con hipotenusa. Se aplica en dos cuerdas secantes. Calcula la altura de un triángulo.
Colegios
134
TRILCE
4. Dos lados de un triángulo miden 8 y 12 cm. Si el coseno del ángulo que forman estos lados es de 1/3, calcular la longitud del tercer lado. 5. En un triángulo ABC, se sabe que: m A=30º; a=3 m y b=8 m. Calcule el valor de "c" y comente sobre el resultado. 6. Julio y Sandro salen en sus yates desde un mismo puerto con rumbos distintos y forman un ángulo de 120º. Julio partió a las 10 a.m. con una velocidad de 17 km/h y Sandro partió a las 11 y 30 a.m., con una velocidad de 26'km/h. Para poder comunicarse, han instalado un equipo de radio en cada yate que tiene un alcance máximo de 150 km. Cuando el reloj marque las 3 p.m., ¿podrán ponerse en contacto? Justifique su respuesta.
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Geometría
13. Los lados de un triángulo miden 8; 10 y 16m. Calcular la longitud de la menor mediana.
4
14. Dos lados de un triángulo miden 12 y 15 dm. Si el coseno del ángulo que forman dichos lados es de 2/5, calcular el perímetro del triángulo. 15. En un triángulo ABC, se cumple: a2=b2+c2+bc 2. Hallar uno de los ángulos interiores de dicho triángulo.
7. Los lados de un triángulo miden 12; 10.y 14.dm. Calcular la proyección del lado intermedio sobre el lado mayor. 8. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) la altura AF corta a la altura BH en el punto "O". Si: OB=5 m y OH=1 m, hallar "OA". 9. En una circunferencia su cuerda máxima mide 8 m. Si una cuerda tiene una flecha de 2 m, calcular la longitud de la cuerda.
16. En un trapecio, las bases miden 4 y 16 y los lados no paralelos miden 10 y 14. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. 17. En un triángulo ABC, las medianas AM, BN y CQ miden 9; 12 y 15 cm respectivamente. Hallar la longitud del menor lado del triángulo. AC ED = . 2 3 ("B" punto de tangencia), BD=4 y DF=9.
18. Según la figura, calcular "AB", si: DC= B
10. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se diferencian en 7 m y el cateto menor mide 1 m menos que la proyección del cateto mayor. Hallar el cateto menor. 11. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, "O" y "B" son centros de la semicircunferencia y del arco AC respectivamente. Hallar el radio "r". a D A
C
D
E
F 19. En la figura mostrada, EF=4; AM=2 y MN=AE+2. Calcular "AP" ("P" es punto de tangencia). P
r O
a
A
A
M E
N F
a
B
20. En la figura, si: AB=5m y AC=13m, calcular "BE", siendo "E" punto de tangencia y AM=MC.
C
12. En el gráfico, AD=14; DC=6 y AC=10. Hallar "EC". D
A r
C
B
B E A
M
C
E
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Unidad V
135
Repaso
¡Tú puedes!básicos Conceptos 4. Del gráfico: AC2+BC2=37 y PC=3, calcular "OM" (PM=MC y "P" es punto de tangencia). C
=
1. Grafique al trapecio ABCD, cuya base mayor AD mide 14 dm. Calcule la m ACB, sabiendo que: AC=10 dm y CD=6 2 dm.
M =
2. La figura muestra a tres circunferencias tangentes dos a dos y a su tangente común AB. Si los radios mayores miden 16 y 4 cm, calcular el radio menor.
A
P
B
O
5. Con los datos indicados, calcular el valor de "x°" B 4 2
5
3. En un triángulo ABC: m A=3m C, AB=3m y BC=4m. Calcular "AC".
A
6
x°
F
1
C
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular la longitud de la tangente común exterior, a dos circunferencias tangentes exteriores de radios 8 y 18 m.
7. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y su altura relativa miden 10 y 4 dm. Calcular la suma de los catetos de dicho triángulo.
2. En un triángulo cuyos lados miden 3; 4 y 5 dm, calcular el valor de la mediana media.
8. En una circunferencia de 25 dm de radio, se traza la cuerda AB y en ella se marca "P", tal que: AP.BP=400 dm2. Calcular la distancia del punto "P" al centro de la circunferencia.
3. Los lados de un triángulo miden 13; 12 2 y 17 dm. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 4. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Si: AB=4; BC=6 y AD=2, calcular el valor de BD. 5. El lado menor y el lado mayor de un triángulo rectángulo miden 10 y 26 dm. Calcular el perímetro del cuadrado, cuyo lado es el otro cateto de dicho triángulo rectángulo.
9. En una circunferencia, una cuerda mide 2 decímetros y la flecha correspondiente 2 centímetros. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia en centímetros? 10. En un trapecio ABCD de bases: BC=7m y AD=18m, las diagonales se cortan perpendicularmente. Hallar la altura BH del trapecio, si: AH=2m.
6. Calcular el menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa están en la relación de 1 a 3. Colegios
136
TRILCE
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Geometría
11. En el gráfico: EB=4 dm; EA=8 dm y CF=6 dm. Calcular el valor de CD. C
B F
E A
16. Se tiene los puntos "P" y "Q" exteriores a una circunferencia desde los cuales se trazan las secantes PAB; QAC y QBD, de tal forma que: m QPB=m ADQ. Calcular "AC", si: AQ=3 y (PA) . (AB)=6.
4
17. En un triángulo inscrito en una circunferencia de 20 dm de diámetro se sabe que el producto de dos lados es igual a 260 dm2. ¿Cuánto mide la altura relativa al tercer lado?
D
12. Sea PQR un triángulo cuyo lado PR mide 10; AB=5 y sea AB // PR ("A" PQ y "B" QR). Si la distancia de "Q" hacia AB mide 2, calcular la distancia de "Q" hacia PR . 13. Sea EFG un triángulo. Marque los puntos "A" y "B" en EF y FG en ese orden de modo que: AB//GE; AE=2FA y GB=8. Calcular "GF". 14. En la figura, calcular "FC", si: AE=5 y EF=6 ("E" y "F" puntos de tangencia). B
18. Calcular el perímetro de un triángulo acutángulo isósceles ABC, sabiendo que la proyección de AB en AC mide 16 y la proyección de AC en AB mide 20. Además: AC CB. 19. ABCD es un trapecio isósceles tal que: BC // AD; CD; BC=7 y AC=20. Calcular el valor AC de AD. 20. En la figura: FQ=b; QR=a y SP SR . Calcular el valor de SQ en función de "a" y "b". ("S" punto de tangencia). Q
A
E
F
C
15. Los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7. Se traza por el incentro una paralela al lado que mide 6 e intersecta a los otros en "M" y "N" respectivamente. Calcular "MN".
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P F
R S
Unidad V
137
UNIDADUNIDAD 2 1
Cuando los lados aumentan
E
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros.
Geometría
Polígonos regulares
1
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los elementos asociados a los polígonos regulares inscritos en una circunferencia.
•
A identificar los arcos que subtiende una cuerda y relacionarlo con los lados de los polígonos regulares inscritos.
•
A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de lados, apotemas y arcos en los polígonos regulares.
E
l uso de los polígonos regulares es múltiple, en construcciones hechas por el hombre, en la naturaleza y en los juegos matemáticos. Por ejemplo, tenemos al Geomag que es el nombre comercial de un juego de construcciones magnéticas creado en el año 1998. Sus elementos principales son barras de acero recubiertas de plástico y con un imán en cada extremo (27 mm de longitud en total) y esferas de acero niqueladas de 12,7'mm de diámetro que se utilizan para unir dos o más barras. Con estos se pueden formar estructuras geométricas espaciales.
Imágenes tomadas de: textodigital.com/P/GG/aagon.php
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139
Poligonos regulares
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: ¿Qué es un polígono regular?
=
=
=
=
=
=
=
=
El ángulo central de un polígono regular
=
=
=
=
60º
a = a
= aº
O
a
O
= =
a=60º
=
=
=
=
•
=
a=90º
O
=
=
=
•
=
=
=
= =
=
=
•
a= 360° n
El circunradio y el inradio
= = R
r
=
= R: circunradio
Colegios
140
TRILCE
r: inradio
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Geometría
1
Conceptos básicos Federico Villarreal (1850 - 1923)
Es uno de los más grandes matemáticos que ha tenido el Perú y sin duda el más ilustre del siglo XIX. Nació en Túcume, Lambayeque y se tituló de maestro a los veinte años. En 1877, logra su anhelo de estudiar matemáticas superiores en la Facultad de Ciencias de la UNMSM. En 1881, obtiene el grado de Doctor con el calificativo de sobresaliente, siendo el primer egresado de una universidad nacional. En la guerra del Pacífico, peleó en el Morro de Arica, en Chorrillos y en San Juan de Miraflores. A los 31 años ingresa a la Escuela de Ingenieros (UNI) y se gradúa de ingeniero civil. Fue un investigador incansable tanto en Matemática como en Física. En Geometría, son importantes sus trabajos en polígonos estrellados para quienes obtuvo una fórmula que da la suma de los ángulos interiores. Asimismo; trasladó esta inquietud a los polígonos no convexos.
Polígono regular
• Centro
:O
:R
• Ángulo central
: 360° =aº ("n": número de lados) n
• Circunradio
B
: ln
• Apotema
: OH
H
R
• Lado del polígono regular
D
C
Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.
O
ln
E
aº
aº F
A
Cálculo del lado de polígonos regulares más usuales • Triángulo equilátero
• Cuadrado aº
B aº
B
aº
R A
R
H
O
aº
120º
R C
l3
C
l4
O
aº
R A
D
H
aº
aº
aº=mAC=120°
aº=m AB =90°
l3 =R
3
OH=Apotema= R 2 Central: 619-8100
l4 =R
2
OH=Apotema=
R 2 2 Unidad VI
141
Poligonos regulares
• Hexágono
• Octógono aº
E aº
aº
H O
F aº
R A
aº
O
C
60º
l6
aº
aº
R
R A
B
OH=Apotema=
D
45º R
aº
l8
C
B aº=m AB =45°
aº=m AB =60°
l6 =R
aº
H
D
l8 =R R 3 2
2- 2
OH=Apotema=
R 2+ 2 2
Cuadro resumen
Colegios
142
Lado del polígono regular: ln=F(R)
Apotema del polígono regular: apn=r
Polígono regular
Ángulo central o arco que subtiende
Triángulo
120º
l3=R
3
ap3= R 2
Cuadrado
90º
l4=R
2
ap4=R 2 2
Pentágono
72º
10 - 2 5
ap5= R ( 5 +1) 4
Hexágono
60º
Octógono
45º
l8=R
Decágono
36º
l10= R (
Dodecágono
30º
l12=R
TRILCE
l5= R2
l6=R 2- 2
5 - 1) 2 2- 3
ap6=R 3 2 ap8= R 2+ 2 2 ap10= R 10+2 5 4 ap12= R 2+ 3 2
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Geometría
Graficando un triángulo equilátero, utilizando compás y regla
Graficando un cuadrado, utilizando compás y regla
1. Dibujar una circunferencia y trazar un diámetro cualquiera, determinándose los puntos "A" y "B".
1. Dibujar una circunferencia y trazar un diámetro cualquiera, determinándose los puntos "A" y "C".
1
A O → Centro
O → Centro A O
B
AB → Diámetro cualquiera
AC → Diámetro cualquiera
O C
2. Utilizando un compás, trazar la mediatriz del radio OB intersectando a la circunferencia en los puntos "P" y "Q".
2. Trazar la mediatriz del diámetro AC utilizando compás y regla (dicha mediatriz pasará por el cen tro "O") determinándose los puntos "B" y "D".
P A O O
M
A O O
M Q
Central: 619-8100
C
D
A
DAPQ será triángulo equilátero
B O → Circuncentro
O
B O → Circuncentro OM → Apotema
BD → Mediatriz de AC
3. Al unir los puntos "A", "B", "C" y "D" se determinará un cuadrado.
3. Al unir los puntos "A", "P" y "Q" se determina un triángulo equilátero. P
B
O
B PQ → Mediatriz de OB
Q
A
M → Punto medio de OB
D
C
Unidad VI
143
Poligonos regulares
Síntesis teórica
Triángulo equilátero, subtiende un arco de 120° y la longitud de su lado es R 3
Cuadrado, subtiende un arco de 90º y la longitud de su lado es R 2
Asociar los arcos con los lados
Hexágono, subtiende un arco de 60º y la longitud de su lado es R.
Polígonos regulares
No es necesario memorizar las fórmulas, basta con graficarlos y calcularlos por triángulos notables y/o Pitágoras.
Cálculo de apotemas
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Calcule el valor del ángulo central de los siguientes polígonos regulares:
• Hexágono • Cuadrado • Octógono
2. Grafique a un cuadrado inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio y calcule su perímetro. 3. En una circunferencia de 2 cm de radio, inscriba un triángulo equilátero y calcule su perímetro. 4. Grafique lo que se indica:
•
•
Un hexágono regular inscrito en una circunferencia e indique el valor del arco que subtiende uno de sus lados. Un pentágono regular inscrito en una circunferencia y trace su apotema.
Colegios
144
TRILCE
5. Indique a los lados de qué polígonos regulares, le corresponden las medidas de los siguientes arcos:
• • •
Un arco que mide 60° → Un arco que mide 120° → Un arco que mide 45° →
6. En una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular ABCDEF. Calcular la medida del arco BD. 7. En una circunferencia de 5 cm de radio se traza la cuerda AB que mide 5 2 cm. Calcule la medida del arco AB. 8. En una circunferencia se traza una cuerda que mide 6 3 cm y que subtiende un arco de 120°. Calcule la longitud de la circunferencia.
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Geometría
1
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. •
Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. .........................(__)
• El apotema de un polígono regular es siempre menor al lado del polígono correspondiente. ..................................(__) 2. Completar: La longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio "R" mide ....................... 3. Completar adecuadamente:
l6 l6 = R
l3 R
l3=
A
7. En una circunferencia de 4 cm de radio, se trazan dos cuerdas AB y BC, de modo que los arcos AB y AC midan 90° y 150° respectivamente. Calcular la suma de las longitudes de dichas cuerdas. 8. Sea "P" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes PAB y PSQ, de modo que los arcos QB y BA midan 140° y 40° respectivamente. Si el ángulo BPQ mide 40°, indicar a qué polígonos regulares le corresponderían las cuerdas SA y SQ. 9. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y BC que nos representan a los lados del triángulo equilátero y pentágono regular inscritos respectivamente. Calcular la medida del arco CA. 10. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un hexágono regular y un triángulo regular. Calcular la relación de sus perímetros respectivamente. 11. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio "R". Si: AB=R 3 ; BC=R y CD=R 2 , calcule la medida del arco AD. 12. En el gráfico, AB y EF representan al triángulo y al pentágono regular inscritos y además el arco AEB es el que subtiende el lado del triángulo. Si la medida del arco FB es de 22°, calcule el valor de "xº".
B
l8
6. La longitud de una circunferencia es de 8p cm. Calcular el perímetro del hexágono regular inscrito.
B mAB=
E
xº
F
A Resolución de problemas 4. Un cuadrado se encuentra inscrito en una circunferencia de 14 cm de radio. Calcular el perímetro de dicho cuadrado. 5. El diámetro de una circunferencia es de 24 cm. Calcular el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. Central: 619-8100
13. En una circunferencia de diámetro AB y centro "O" se traza la cuerda EF de modo que "F" pertenece al arco EB, la medida del arco AE es de 82º y la medida del arco FB es igual a 53º. Calcule el valor de la cuerda EF, si el radio mide 6'dm.
Unidad VI
145
Poligonos regulares
14. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y EF, de modo que AB=l3, EF=l10 y la medida del arco AE es igual a 150º. Calcular el ángulo que forman las prolongaciones de AB y EF.
17. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y PQ que miden 8 y 4 6 dm. Si el arco AP mide 100º, calcular el ángulo que forman AB y PQ (El radio mide 4 2 dm).
15. Calcular la relación de los perímetros del octógono y decágono regulares, inscritos en la misma circunferencia.
18. ABC es un triángulo acutángulo, donde m B=45º y AC=8 dm. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las alturas relativas a AB y BC.
16. En una circunferencia, se encuentran inscritos un triángulo equilátero y un octógono regular. Si el perímetro del triángulo es de 15 3 dm, calcule el perímetro del octógono.
19. Henry miró el reloj y a las dos de la mañana cerró el libro desesperado. Seguramente lo suspenderían al día siguiente. Cuanto más estudiaba Geometría, menos la comprendía. Había fracasado ya dos veces. Con seguridad lo echarían de la Universidad. Solo un milagro podía salvarlo. ¿Un milagro? ¿Por qué no? Siempre se había interesado por la magia. Había encontrado instrucciones muy sencillas para llamar a los demonios y someterlos a su voluntad. Nunca había probado. Y aquel era el momento o nunca. Tomó de la estantería su mejor obra de magia negra. Era sencillo. Ponerse a cubierto en un pentágono. Si llega el demonio, no podrá hacer nada y se obtendrá lo que se desea. El triunfo es vuestro !Despejó el piso retirando los muebles contra las paredes. Luego dibujó en el suelo, con tiza, el pentágono protector. Por fin pronunció los encantamientos.
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Aplicación cotidiana
El demonio era verdaderamente horrible, pero Henry se armó de coraje. Siempre he sido un inútil en Geometría comentó... ¡A quién se lo dices! replicó el demonio, riéndose burlonamente. Y cruzó, para devorarse a Henry, las líneas del hexágono que aquel idiota había dibujado en vez del pentágono.
• •
¿Cuál fue el error de Henry? Si los dos polígonos regulares mencionados estuvieran inscritos en la misma circunferencia, ¿cuál sería la diferencia de los arcos que subtienden sus lados? 20. Al alumno Julio, su profesor le ha dejado un trabajo consistente en construir la maqueta de una noria, para lo cual su profesor entre otros datos le dice: "La noria estará conformada por dos caras exactamente iguales que forman cada una un octógono regular. Para calcular la medida de los lados hay que tener en cuenta que el octógono está inscrito en una circunferencia de 20 cm de radio. Es conveniente realizar una plantilla uniendo cuatro folios blancos en los que entre dicha circunferencia ...". www.artesanum.com
Colegios
146
TRILCE
•
Con lo que mencionó el profesor, ¿se podrá calcular la longitud de dicho lado?, y de ser así, ¿cuál es dicho valor?
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Geometría
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular el perímetro de un pentágono regular cuya diagonal mide 2( 5 +1) cm. 2. Grafique a un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de radio 1 cm. Si: AD= 3 cm y los segmentos AB y DC prolongados forman un ángulo de 15º, calcular la medida de la cuerda BC. 3. Grafique el triángulo acutángulo ABC, de modo que la m B=75º y AC=8 2+ 3 . Calcular la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices "A" y "C".
1
4. Calcular el perímetro de un triángulo ABC (isósceles), sabiendo que la base BC mide 2 cm y la m A=45º. 5. En un triángulo ABC, se sabe que: m A=18º, m C=27º y AC=6m. Calcular "EF", si AE y CF son alturas.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F). •
No todos los polígonos regulares pueden ser inscritos en una circunferencia. ......(__)
• El apotema de un polígono regular es siempre congruente al lado del polígono correspondiente. ..................................(__)
4. Un cuadrado se encuentra inscrito en una circunferencia de 16 cm de diámetro. Calcular el perímetro de dicho cuadrado. 5. La longitud de una circunferencia es de 16p.cm. Calcular el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia.
2. Completar: La longitud del lado de un triángulo 6. La longitud de una circunferencia es de 24p.cm. Calcular el perímetro del hexágono regular insequilátero inscrito en una circunferencia de crito. radio "R" mide ..................... 7. En una circunferencia de 8 cm de radio, se trazan dos cuerdas AB y BC, de modo que los arcos AB y AC midan 60° y 210° respectivamente. Calcular la suma de las longitudes de dichas cuerdas.
3. Completar adecuadamente: B
l4
m AB =
A B
l3 A
R
l3= C
l8
A
R
8. Sea "P" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes PAB y PSQ, de modo que los arcos QB y BA midan 150° y 48° respectivamente. Si el ángulo BPQ mide 39°, indicar a qué polígonos regulares le corresponderían las cuerdas SA y SQ. 9. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y BC que nos representan a los lados del hexágono y octógono regular inscritos en la circunferencia. Calcular la medida del arco CA. 10. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un cuadrado y un hexágono regular. La razón de sus perímetros respectivamente es:
B
l8 =
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Unidad VI
147
Poligonos regulares
11. AB y PQ representan los lados del triángulo y dodecágono regulares inscritos. Si el arco AP mide 120º, calcular el ángulo que forman las cuerdas AB y PQ. A
l3 l12
P
B
Q
12. Un cuadrado se encuentra inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4 2 cm. Calcular el lado del octógono regular inscrito en el cuadrado. 13. En una circunferencia de radio igual a 8 dm, se encuentra inscrito un dodecágono regular. La longitud del lado de dicho polígono es: 14. Calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia. Dicha circunferencia está circunscrita a un triángulo equilátero de 9 cm de lado. 15. En la figura mostrada, se tiene que: AB // CD, AB=l5 y CD=l3. Calcular el valor de "xº". A
D
B
xº
16. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un cuadrado y un dodecágono regular. Si el perímetro del cuadrado es de 40 2 dm, calcule el perímetro del dodecágono. 17. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se tiene que: AB=l3 y AC=l4. Calcular la medida del lado BC, si la medida del radio de la circunferencia es de 2 m. 18. En el gráfico, se muestran a dos cuerdas no necesariamente paralelas, que representan a los lados del triángulo y decágono regulares inscritos. Calcular el valor de "xº".
l3
l10 x°
19. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Calcular el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo equilátero. 20. Si la medida del arco AB es de 36º y R= 5 dm, calcular el valor de la cuerda AB. A R
C B
Colegios
148
TRILCE
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Geometría
Áreas de regiones triangulares
2
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los elementos que intervienen en el cálculo de las áreas de regiones triangulares.
•
A reconocer y aplicar las propiedades del cálculo de áreas en la resolución de problemas.
E
l Papiro de Ahmes es un documento escrito en un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de ancho, en un buen estado de conservación, con escritura hierática y contenidos matemáticos. También se le conoce con el nombre de Papiro Rhind. Su contenido data del año 2000 al 1800 a.C.
www.freewebs.com
Fue escrito por el escriba Ala aproximadamente en el año 1650 a.C., a partir de escritos de doscientos años de antigüedad, según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque resulta imposible saber qué partes del papiro corresponden a estos textos anteriores.
En este papiro, se encuentra la forma de cómo los antiguos egipcios calculaban el área de un triángulo. Ejemplo de cálculo de un triángulo de tierra. Si alguien te dice: un triángulo de 10 khet sobre su mryt y de 4 khet de base, ¿cuál es su área? Calcular la mitad de 4, que es 2 para formar un rectángulo. Multiplica 10 por 2. Esta es su área. El término mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la fórmula utilizada para calcular el área hace pensar en la interpretación en favor de la primera solución. El escriba tomaba la mitad de la base del triángulo y calculaba el área del rectángulo formado por ese lado y la altura; es decir: A= base mryt 2
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Equivalente a la fórmula general utilizada en nuestros días: S= ah 2 • ¿Qué opinión te merece la lectura? • ¿Es la fórmula básica del cálculo del área de un triángulo, válido hasta nuestros días?
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149
Áreas de regiones triangulares
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: •
Región poligonal
Región triangular
Región pentagonal
•
¿Qué es el área?
Es el número que expresa la medida de la superficie (región triangular, región cuadrangular, etc.) de una figura geométrica.
Área = 10 m2
•
Área = 4 cm2
Acubo = 12 cm2
Seno de un ángulo
b a c sena = a b
Colegios
150
Región heptagonal
TRILCE
a
Ángulos notables: sen30º= sen37º= sen45º= sen53º= sen60º= etc...
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Geometría
2
Conceptos básicos Como bien es sabido, el tamaño que presenta el terreno de la casa que habitamos, los terrenos de cultivo y en general las propiedades particulares y del estado, provocaron en nuestros antepasados, el establecimiento de una nueva magnitud denominada área, sin cuya definición hubiera sido imposible reconocer una diferencia entre la extensión de una superficie con relación a otra. No bastaba entonces saber la longitud de los lados de una figura, pues en algunos casos el tamaño de estas coincidían, más no así las superficies que encerraban. Desde tiempos remotos, se sabe que fue a partir del rectángulo que se logró establecer una forma de medida del área en base al producto de sus lados. A partir de ella, el área de un triángulo resultó ser la mitad del área de aquel. De este modo el área de un cuadrado, de un paralelogramo y en general de un polígono de "n" lados, podían ser medidos en base a los dos primeros.
Área de la región triangular
b
h
h
h a
b
A= a . h 2
A= b . h 2
A= b . h 2
Forma trigonométrica Demostración:
a
a a
aº b
h
h=a sena
aº
h
Luego:
aº b
A= a . b . senaº 2
sena= h a
A= b . h 2
A= b . a sena 2
Fórmula de Herón
b
a
c
donde: p= a+b+c 2 p → semiperímetro del
A= p(p - a)(p - b)(p - c)
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Unidad VI
151
Áreas de regiones triangulares
Triángulo equilátero
Demostración: h=
l
h
30º
l
l
h
60º
l
l
h
A=
60º
2
l.h 2 2h . h A= 3 2
l 3 2 2
l.
A= l
l
l
l 3 También: h= 2 l= 2h 3
2 2 A= l . 3 = h 3 4 3
30º
l
l l.h 3 ..... 1 Luego: A= 2 2
2
4
3
Luego: A=
2 A= h 3 3
Área en función del inradio Demostración: Atotal= r
a
r
b
r
Atotal=r
r
A=p . r
ar br cr + + 2 2 2 a+b+c 2
Atotal=p . r
c
p → semiperímetro del En el triángulo rectángulo
tet
o
Ca
Ca
A
tet
o
A m
A=
Cateto . Cateto 2
n A=m . n
rBC B rAB
A A
Colegios
152
TRILCE
Área=rAB . rBC
C
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Geometría
2
Síntesis teórica
Fórmula básica Forma trigonométrica En todo tipo de triángulo
Fórmula de Herón Fórmula en función de sus radios
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
Propiedades que se deducen
Área del triángulo equilátero Casos particulares
Área del triángulo rectángulo Propiedades que se deducen
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafique un triángulo de 10 cm de base y traze la altura relativa a dicha base, que mide "2h" cm. Si el área de esta región triangular es de 80 cm2, calcular la suma de la base y la altura del triángulo. 2. En un triángulo, la base y la altura relativa a ella se encuentran en la relación de 2 a 1 respectivamente. Si el área de la región triangular es de 49 cm2, calcular la longitud de dicha altura.
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3. Dos lados de un triángulo miden 12 y 10 cm. Si el ángulo que forman dichos lados es de 45°, calcular el área de su región. 4. Grafique un triángulo de 48 cm de perímetro y grafique su circunferencia inscrita de 6 cm de radio. Calcule el área de la región triangular. 5. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro.
Unidad VI
153
Áreas de regiones triangulares
6. Un rombo está conformado por dos triángulos equiláteros. Si el perímetro del cuadrilátero es de 24'cm, calcular su área. 7. Sea "O" el centro de una circunferencia de 5 cm de radio y AB un segmento tangente a dicha circunferencia. Si AB=12 cm, calcule el área de la región triangular AOB.
8. ABCD es un cuadrilátero convexo, donde: m ABC=m ACD=90°, AB=3 cm, BC=4 cm y AD=13'cm. Calcule el área de la región cuadrangular ABCD.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
El área de la región de un triángulo equilátero de lado "b" es igual 2 a b 2 .................................................(__) 4 •
El área de un triángulo es igual al producto de su semiperímetro con su circunradio...(__)
La fórmula de Herón para calcular áreas del triángulo, es válido solo en triángulos acutángulos. ........................................(__)
•
2. Completar en cada caso lo que se pide (A=área) B
AABC=
aº C
b B
l A
l l
AABC= C
3. Graficar lo que se indica:
•
•
Una circunferencia de centro "Q", un segmento BC tangente a ella y sombree la superficie triangular BQC. Al triángulo ABC y trace la mediatriz de AC. Sombree la superficie cuadrangular que se determina.
Colegios
154
TRILCE
Una circunferencia de centro "Q", los segmentos AB y BC tangentes a ella y sombree la superficie cuadrangular ABCQ.
Resolución de problemas 4. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Sabiendo que: AB=6 cm, AH=4 cm y AC=10'cm, calcular el área de la región triangular ABC. 5. Grafique al triángulo ABC, a su altura BH y al rectángulo BHCD. Si el área de la región rectangular BHCD es de 48'cm2, HC=8'cm y AH=2'cm, calcular el área de la región triangular ABC. 6. El perímetro de un triángulo equilátero es de 36'cm. Calcular el área de su región.
c
A
•
7. En una circunferencia de 8p cm de perímetro, se encuentra inscrito un hexágono regular. Calcular la relación entre el área de este polígono y su perímetro respectivamente. 8. Dos lados de un triángulo miden 8 y 10 cm. Si el seno del ángulo que forman dichos lados mide 2/5, calcular el área de su región. 9. Grafique a un cuadrado ABCD de 20'cm de perímetro y describa una circunferencia con centro en "B" y radio igual a 3'cm. Trace la tangente AT a dicha circunferencia y calcule el área de la región triangular ATD ("T" es interior al cuadrado). 10. Grafique el triángulo rectángulo ABC (B=90º) e inscriba la circunferencia de centro "Q" y cuyo radio mida 4 dm. Si los lados AB y BC miden 16 y 12 dm, calcule el área de la región triangular AQC. www.trilce.edu.pe
Geometría
11. Dos lados de un triángulo miden 6 2 y 14'dm. Si el área de la región de este triángulo es 42'dm2, calcule la longitud del tercer lado. 12. Calcular el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que el inradio mide 3 m y el circunradio mide 8,5 m. 13. Por el vértice "B" del triángulo equilátero ABC, se traza BF perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo "C". Hallar el área de la región triangular ABC, si: AF= 7 cm.
16. La circunferencia inscrita a un triángulo, divide a uno de los lados en dos segmentos que miden 16 y 12 dm. Si el área de la región triangular es de 336 dm2, calcular el valor del inradio.
2
17. En un triángulo rectángulo, los exradios relativos a los catetos miden 9,5 y 10 dm. Calcular el producto de los catetos. 18. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y "Q" es punto de tangencia. Si la región sombreada tiene como área los 3/8 del área de la región del cuadrado, calcular el valor de "q°".
14. En un triángulo, las longitudes de sus lados miden 10; 12 y 14 dm. Calcule la longitud de su inradio.
B
C qº
Q
15. En un triángulo ABC: AB=13 cm, BC=15 cm y AC=14 cm. Se traza una semicircunferencia tangente a AB y a BC cuyo diámetro está contenido en AC. Hallar el radio de esta semicircunferencia.
A
D
Aplicación cotidiana 19. En un aviso publicitario, se lee lo siguiente: "Se vende terreno en Cocachacra, carretera central, ideal para casa de campo, el terreno tiene la forma de un cuadrilátero conformado por dos triángulos equiláteros que hacen un área de 200'm2 y está valorizado en $32'000".
• •
¿Cuál es la longitud del lado de este terreno? ¿Cuál es el precio por m2 de dicho terreno? 20. En una de las casas de Julio, su arquitecto diseñó en el segundo piso una estructura conformada por rectángulos, cuadrados y triángulos. A la hora de revestirlo de cierto material necesita saber el área de estas figuras. Si dos de los triángulos mostrados son isósceles cuyos lados congruentes miden 1,8'm y sus bases miden 1 y 1,2 m respectivamente, calcular:
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• •
El área de estos triángulos Si el m2 del material que va a revestir esta estructura cuesta $6 el m2, ¿cuánto gastará en material solo para estos dos triángulos?
Unidad VI
155
Áreas de regiones triangulares
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo ABC, las medianas AM , BN y CL miden 15; 12 y 18 m respectivamente. Calcular el área de la región triangular ABC. 2. La figura muestra a un triángulo rectángulo con dos semicircunferencias, donde su tangente común AB mide 8 dm. Calcular el área de la región triangular PQS. B
A
Q
P
S
3. En un triángulo rectángulo ABC, la circunferencia inscrita determina sobre los catetos AB y BC los puntos "E" y "F" respectivamente. Si: AE=8 cm y FC=10 cm, calcular el área de la región triangular ABC. 4. El inradio de un triángulo mide 4 cm y la circunferencia inscrita determina sobre uno de los lados, segmentos cuyas longitudes miden 6 y 8 cm. Calcular el área de dicha región triangular. 5. Los lados de un triángulo miden "a", "b" y "c" cm. Calcular el producto del inradio y el circunradio del triángulo.
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El área de un triángulo es igual al producto de su perímetro con su inradio. ..............................................(___) •
La forma trigonométrica de calcular el área de un triángulo, es aplicable solo en los triángulos acutángulos. .....(___)
•
El área de la región de un triángulo equilátero de lado "a" es igual 2 a a 5 . ..............................................(___) 4 2. Completar en cada caso lo que se pide (A=área). B c A AABC= p(
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156
TRILCE
a C
b )(
)(
)
C a B
b A
AABC= 3. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Sabiendo que: AB=8.cm, AH=2.cm y AC=12.cm, calcular el área de la región triangular ABC. 4. Grafique al triángulo ABC, a su altura BH y al rectángulo BHCD. Si el área de la región rectangular BHCD es de 80.cm2, HC=8'cm y AH=4.cm, calcular el área de la región triangular ABC. 5. El perímetro de un triángulo equilátero es de 24.cm. Calcular el área de su región. 6. En una circunferencia de 16p cm de perímetro, se encuentra inscrito un hexágono regular. Calcular la relación entre el área de este polígono y su perímetro respectivamente.
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Geometría
7. Dos lados de un triángulo miden 12 y 16.cm. Si el seno del ángulo que forman dichos lados mide 3/8, calcular el área de su región.
14. En la figura, ABC es un triángulo equilátero. Si: BC=12 cm, AQ=QC y PB=2 cm, calcular el área de la región sombreada. B
8. Grafique a un cuadrado ABCD de 20.cm de perímetro y describa una circunferencia con centro en "B" y radio igual a 4.cm. Trace la tangente AF a dicha circunferencia y calcule el área de la región triangular AFD ("F" es interior al cuadrado).
P A
Q
C
9. En un triángulo, la base y la altura relativa a ella están en relación de 2 a 1 respectivamente. Si el área de su región triangular es de 25 dm2, calcular la longitud de su altura.
15. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, determina sobre la hipotenusa dos segmentos que miden 4 y 6 dm. Calcular el área de dicho triángulo rectángulo.
10. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto se encuentran en la relación de 13 a 12. Si el área de esta región triangular es de 30 dm2, calcular el perímetro de dicho triángulo.
16. Calcular el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.
11. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15.dm. Calcule el área de su región.
17. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15.dm. Calcular el valor del inradio. 18. Si AE y FC miden 6 y 10 dm, calcular el área de la región triangular ABC.
12. Dos lados de un triángulo miden 6 2 y 8 dm y además el ángulo que forman es de 45°. Calcule el lado del cuadrado que tenga igual área a la del triángulo dado. 13. Si ABCD es un cuadrado de 24 dm de perímetro, calcular el área de la región sombreada. ("A" y "D" son centros). B
C F
A
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D
2
B F
E O A
C
19. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo recto es "C". Por "D" punto medio de AB se levanta una perpendicular que corta al cateto BC en "E". Si: AB=40 dm y AC=24 dm, calcular el área de la región cuadrangular ADEC. 20. En un cuadrante AOB (AO=OB=5 m) sobre el arco AB se ubica el punto "P" y desde dicho punto se traza PQ' 'AO, tal que PQ=3 m. Calcular el área de la región triangular QPB.
Unidad VI
157
3
Áreas de regiones cuadrangulares En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de cuadriláteros y los elementos que intervienen en el cálculo de sus respectivas áreas.
•
A reconocer, diferenciar y aplicar las propiedades del cálculo de áreas, en la resolución de problemas.
T
odos conocemos a los trapecios como aquellos cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases, donde el área de su región es igual a la semisuma de las bases por su altura.
b
En la práctica, tenemos terrenos en forma de trapecio y construcciones en dicha forma, etc. Pero también se usa el nombre de esta figura en contextos que no necesariamente se ajustan a su forma geométrica, tal es el caso del trapecio muscular en medicina. Este denominado "trapecio" es un músculo en forma de abanico que se fija en un área muy pequeña (la escápula) y se proyecta hacia un amplio número de huesos.
h
a
Sus haces musculares van a tener direcciones muy diferentes en la parte más elevada respecto a la más baja, y eso se refleja en sus funciones. Como ustedes podrán observar y leerán, este trapecio tiene muchas funciones pero no es exactamente un trapecio tal y como lo conocemos. •
Se acuerda usted, ¿cómo se calcula el área de un trapecio?
•
El trapecio muscular, ¿a qué cuadrilátero se asemeja?
Colegios
158
TRILCE
www.fuerzaycontrol.com
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que:
•
Trapezoide
•
Cuadriláteros que no tienen lados paralelos
Trapecios a) Escaleno
base menor
a
Isósceles
Rectángulo
base mayor
a
b)
•
b
b
mediana
x
B
B
Mediana= B+b 2
x= B - b 2
Paralelogramos Rectángulo Cuadrado Rombo
Romboide
Unidad VI
159
Áreas de regiones cuadrangulares
Conceptos básicos En el paralelogramo ha
A=b . hb A=a . ha
a
hb
b Rectángulo
Cuadrado d
l
a
Rombo B A
C
l
b
D 2
A= l 2= d 2
A=a . b
A=
(AC).(BD) 2
En el trapecio "B" y "b": bases b
B
C BC // AD
H M
N
M
h
a
M c
punto medio de AB
MH
CD
A=a . c A
B A=
D
(B+b) . h=MN . h 2
En un cuadrilátero inscrito
En un cuadrilátero convexo B
Semiperímetro: p=
a+b+c+d 2
b a
A= (p - a)(p - b)(p - c)(p - d)
Colegios
160
TRILCE
C c
d
A
D . A= AC BD . sen 2
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Geometría
3
Síntesis teórica
EN EL TRAPECIO Semisuma de las bases por su altura
Cuadrilátero convexo
EN EL PARALELOGRAMO Producto de su base con la altura TRAPEZOIDE Semiproducto de las diagonales multiplicado por el seno del ángulo que forman
ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero no convexo
Semiproducto de sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. La base de un rectángulo es el doble de su altura. Si el área de su región es de 72 cm2, calcular la suma de la base y la altura.
5. Grafique un rombo, donde la diagonal menor mida 10 cm y la diagonal mayor excede a la diagonal menor en 6 cm. Calcule el área del rombo.
2. En un romboide, la base mide 10 cm y la altura relativa a ella mide 8,1 cm. Si este cuadrilátero es equivalente a un cuadrado, calcule la longitud del lado de dicho cuadrado.
6. El lado de un rombo mide 20 cm y una de sus diagonales mide 24 cm. Calcule el área de su región.
3. Grafique al paralelogramo ABCD, de modo que: BD=6 cm y m BDA=30º. Trace la altura BH ("H" ∈ AD), y calcule el área del paralelogramo, sabiendo además que: AH=2 3 cm.
7. En un cuadrilátero, dos de sus diagonales miden 6 y 18 cm. Si el ángulo que forman estas diagonales es de 60º, calcular el área de su región.
4. Grafique al trapecio rectángulo ABCD, cuyas bases BC y AD midan 4 y 10 cm respectivamente. Si el lado oblicuo CD mide 8 cm, calcule el área de dicho trapecio.
8. En una circunferencia de 5 cm de radio, se encuentra inscrito un rectángulo de 8 cm de base. Calcular el área de dicho cuadrilátero.
Central: 619-8100
Unidad VI
161
Áreas de regiones cuadrangulares
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
El área de un rombo se calcula como el producto de un lado con su altura. .......(__) • El área de un trapezoide se calcula como el semiproducto de sus diagonales, multiplicado por el coseno del ángulo que forman dichas diagonales. .............(__) • El área de un trapecio es igual al producto de su mediana con uno de sus lados. ...(__) 2. Completar en cada caso lo que se pide (A=área).
•
a) Trapecio B
C
M
N
h D
A AABCD=
C R
A
D
AABCD= 3. Graficar lo que se le indica:
•
•
•
Un trapezoide y sombree el cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de sus lados. Un romboide ABCD y un punto "M" en BC. Sombree la superficie del triángulo AMD. Un rectángulo ABCD de centro "O" y el rombo OCFD. Sombree el área del pentágono ABCFD que se determina.
Resolución de problemas 4. Grafique al triángulo ABC, trace la altura BH y grafique al trapecio rectángulo BHCF, de modo que AB y BF sean congruentes. Sabiendo que: AB=6 cm, AH=4 cm y AC=14 cm, calcular el área de la región trapecial BHCF. Colegios
162
TRILCE
6. Grafique al triángulo ABC, ubique "Q" punto medio de BC y luego grafique al cuadrado PQRC cuya área sea de 64 cm2. Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo además que AC=20 cm. 7. ABCD es un trapecio, cuya base menor es BC. Inscriba el cuadrado PBCQ de 32 cm2 de área y calcule el área de dicho trapecio, sabiendo además que: AB=8 cm y m D=45º. 8. Grafique a la semicircunferencia de diámetro AB, de centro "O" y radio igual a 12 cm. Trace la cuerda PQ paralela al diámetro AB de modo que el arco QB mida 30º. Calcule el área de la región cuadrangular APQB. 9. El perímetro de un rombo es de 40 cm y la diagonal menor mide 12 cm. Calcular el área de dicho rombo.
b) Cuadrado B
5. Grafique al paralelogramo ABCD y trace la altura BH relativa a AD. Si: HA= 5 cm y HD=7,cm, calcule el valor de "AB", sabiendo que el área de la región paralelográmica ABCD es de 72'cm2.
10. ABCD es un trapecio rectángulo donde: m A=m B=90º, BC=6 dm, AB=12 dm y CD=13 dm. Calcular el área de la región que encierra dicho trapecio. 11. Sea ABDE un cuadrado de 6 dm de lado y BCD un triángulo equilátero interior al cuadrado. Calcule el área de la región pentagonal ABCDE. 12. Con dos triángulos rectángulos isósceles y un cuadrado se puede formar un trapecio isósceles. Si el área de la región de este trapecio es de 32'cm2, hallar el perímetro del cuadrado central. 13. Se tiene un rombo de 40 dm de perímetro, en el cual se encuentra inscrito una circunferencia de 9,6 dm de diámetro. Hallar el área de la región del rombo. 14. Se tiene dos segmentos de 8 y 10 cm, que los ubicaremos como diagonales de un cuadrilátero. Para que el área de la región de este cuadrilátero sea la mayor posible, ¿qué ángulo deberán formar dichos segmentos? 15. Si el perímetro de un cuadrado disminuye en www.trilce.edu.pe
Geometría
4'cm, el área disminuye en 13 cm2. Hallar el área de la región del cuadrado original. 16. En la figura, ABCD es un cuadrado de 6 dm de lado. Calcular el área de la región sombreada. B
C
17. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se inscribe una semicircunferencia cuyo diámetro MN está contenido en AC y es tangente a los otros dos lados. Calcular el área de la región MBN, si: AB=13 m, BC=15 m y AC=14 m. 18. En el gráfico: AB=AM=MD=4 dm. Calcule el área de la región sombreada. N
B A
3
C H
D A
M
D
Aplicación cotidiana
4m
2m
19. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30'm de ancho, si cada planta necesita para desarrollarse 4 m2.
4m
8m
20. La figura nos muestra un esquema de la fachada de un edificio. Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar dicha fachada, sabiendo que se gastan 0,5 kg de pintura por m2.
10 m
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (m B=90º) tal que sobre la hipotenusa se toma un punto "P" y se traza PM perpendicular a AB y PN perpendicular a BC . Hallar el área de la región triangular ANP, si el área de la región triangular PMC es 3 m2. 2. En un cuadrante AOB (AO=OB=R), se traza una circunferencia tangente a OB y a la prolongación de AO de centro "O1". Calcular el área de la región triangular AO1O, si: m ABO1=90º.
Central: 619-8100
3. Calcular el área de la región sombreada, si las tangentes comunes miden 6 y 9 dm. S
B
P
Q
Unidad VI
163
Áreas de regiones cuadrangulares
4. Se tiene tres circunferencias de centros "A", "B" y "C", tangentes exteriormente dos a dos. Calcule el área de la región triangular ABC, si el producto de sus radios es 8 m3 y la suma de sus radios es 6 m.
5. En un triángulo rectángulo BAC, recto en "A", se construye un cuadrado exterior BCDE. Luego se trazan DM y EF perpendiculares a la prolongación de AB. Calcular el área de la región triangular ADF, si: BM=3 m y FM=8 m.
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Completar en cada caso lo que se pide (A=área) a) Paralelogramo H
a
h
4. Grafique al paralelogramo ABCD y trace la altura BH relativa a AD. Si: HA=4 cm y HD=6'cm, calcule el valor de "AB", sabiendo que el área de la región paralelográmica ABCD es de 80'cm2.
A= b) Trapezoide
C
B
5. Grafique al triángulo PQR, ubique "A" punto medio de QR y luego grafique al cuadrado ABRC cuya área sea de 81'cm2. Calcule el área de la región triangular PQR, sabiendo además que PR=20 cm.
a D
A A= c) Rombo
6. ABCD es un trapecio cuya base menor es BC. Inscriba el cuadrado PBCQ de 64 cm2 de área y calcule el área de dicho trapecio, sabiendo además que: AB=10 cm y m D=45º.
B C
A D A= 2. Graficar lo que se le indica:
•
•
•
Un rombo ABCD y el punto medio "M" de BC. Sombree la superficie del triángulo AMD. Un rectángulo ABCD de centro "O" y el rombo OCFD. Sombree la superficie exterior al rombo, pero interior al rectángulo Una semicircunferencia de diámetro AB e inscriba al trapecio APQB. Sombree el área de la región triangular AQB.
3. Grafique al triángulo ABC, trace la altura BH y Colegios
164
TRILCE
grafique al trapecio rectángulo BHCF, de modo que AB y BF sean congruentes. Sabiendo que: AB=10 cm, AH=6 cm y AC=20 cm, calcular el área de la región trapecial BHCF.
7. Grafique a la semicircunferencia de diámetro AB, de centro "O" y radio igual a 8 cm. Trace la cuerda PQ paralela al diámetro AB de modo que el arco QB mida 60º. Calcule el área de la región cuadrangular APQB. 8. El perímetro de un rombo es de 60 cm y la diagonal mayor mide 24 cm. Calcular el área de dicho rombo. 9. Si ABCD es un trapecio rectángulo, tal que: m A=m B=90º, AB=6 dm, BC=4 dm y CD=10 dm. Calcule el área que encierra dicho trapecio. 10. Hallar el área de la región de un cuadrado, si sus diagonales suman 16 dm. 11. Dos lados de un romboide miden 10 y 12 dm. Si el ángulo que forman mide 53º, calcule el área de su región. 12. La base de un rectángulo es de 30 dm y la www.trilce.edu.pe
Geometría
diagonal mide 34 dm. Calcular el área de dicha región rectangular. 13. En un cuadrilátero convexo, una diagonal es el doble de la otra y ambas son perpendiculares. Si el área de este cuadrilátero es de 25 dm2, calcule la diagonal mayor. 14. Grafique al cuadrado ABDE y exteriormente el triángulo equilátero BCD. Calcule el área de la región pentagonal ABCDE, si AE mide "b" cm. 15. Si ABCD es un trapecio, donde: BC // AD, AB=10 2 dm, BC=6 dm, AD=24 dm y m A=45º, calcule el área que encierra dicho trapecio. 16. En un cuadrilátero convexo, una diagonal es el doble de la otra y forman un ángulo de 45º. Si el área de esta región es de 8 2 dm2, calcular la suma de las diagonales. 17. El perímetro y las diagonales de un rombo
Central: 619-8100
suman 34 m. Además el lado es a la diagonal menor, como 5 es a 6. Halla el área que encierra el rombo.
3
18. Calcular el área de un rombo, en el cual la suma de las diagonales es de 70 dm y el inradio mide 12 dm. 19. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. Calcular el área de la región sombreada, si el área triangular BCE es de 9 dm2. D A E
B
C
20. Calcular el área que encierra un triángulo rectángulo, donde un ángulo mide 15º y en el cual se ha inscrito un cuadrado de área "A". Además uno de sus lados descansa en la hipotenusa de dicho triángulo.
Unidad VI
165
4
Repaso En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los elementos asociados a un polígono regular y relacionarlos con las fórmulas enseñadas.
•
A aplicar las relaciones para el cálculo de áreas de regiones poligonales, en la resolución de problemas matemáticos.
Síntesis teórica
EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS PLANAS, FORMAS GEOMÉTRICAS Y MANERAS DE CALCULARLAS
A
POLÍGONOS REGULARES R
• Elementos asociados • Cálculo de lados y apotemas
B
B
C
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
F
• Fórmula básica, forma trigonométrica, fórmula de Herón y área en función de sus radios. A
A
• Casos particulares, triángulo equilátero y rectángulo.
D
D
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES E
• Paralelogramos (rectángulo, cuadrado, rombo), trapecios
B Colegios
166
TRILCE
C
• Área de todo cuadrilátero en función de sus diagonales.
Geometría
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • El área de todo trapecio es igual al producto de la mediana con su altura. ..................................................(__) • El área de la región de un rombo es igual al producto de uno de sus lados con la altura. .......................................(__) • La medida del arco que subtiende el lado de un decágono regular inscrito es de 30º. ............................................(__) Resolución de problemas
9. Calcular el área de un hexágono regular cuyo circunradio mide 10 m. 10. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo que: m B=m ACD=90º, AB=6 dm, BC=8 dm y CD=10 dm. Calcule el área de la región cuadrangular ABCD. 11. La base de un triángulo y la altura relativa a ella, se encuentran en la relación de 4 a 3 respectivamente. Si el área de esta región triangular es de 54 dm2, calcule la longitud de su altura. 12. Los lados de un triángulo miden 9; 10 y 11 dm. Calcule el área de su región.
2. Si los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7 cm, calcule el valor de su inradio.
13. Dos lados de un triángulo miden 8 y 10 dm. Si el ángulo que forman estos lados mide 135º, calcule el área de su región.
3. Un hexágono regular se encuentra inscrito en una circunferencia de 16 cm de diámetro. Calcular el área de dicho polígono.
14. En una circunferencia de diámetro AB=20 m, se traza la cuerda AC que mide 12 m. Calcular el área de la región triangular ABC.
4. En la figura mostrada, l3 y l6 representan los lados de un triángulo equilátero y un hexágono regular inscritos en una misma circunferencia. Calcular m APC.
15. Calcular el área de un rectángulo, donde un lado mide 16 m y el radio de la circunferencia circunscrita mide 10 m.
P C A
l6
l3 B
5. En una misma circunferencia se inscribe un cuadrado y un triángulo equilátero. Calcular la relación de sus lados respectivamente. 6. En una misma circunferencia se inscribe un triángulo equilátero y un hexágono regular. Calcular la relación entre sus apotemas respectivamente. 7. Calcular la relación entre el inradio y el circunradio de un hexágono regular respectivamente. 8. Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo apotema mide 2 m.
16. Calcular el área de un trapecio isósceles, si la mediana mide 12'm y una diagonal mide 13'm. 17. En un romboide, la base mide 10 dm y la altura relativa a ella 4 dm. Se tiene un trapecio equivalente a este romboide, cuyas bases miden 2 y 6 dm. Luego, la altura del trapecio mide: 18. Grafique al trapecio ABCD, cuya base menor BC mida 4 dm y la base mayor AD mida 20 dm. Si además: AB=10 2 dm y m A=45º, calcular el área que encierra dicho trapecio. 19. En un trapezoide ABCD, sus diagonales son perpendiculares y miden 8 y 8 3 dm. Calcule el área de la región trapezoidal. 20. Grafique una circunferencia de centro "O" y ubique un punto exterior "A". Trace las tangentes AT y AB, luego la secante ACD, de modo que la medida del arco DTC sea igual a la medida del arco BD. Si: AT=4 dm y AC=2 dm, calcular el área de la región triangular ABC.
Unidad VI
167
Repaso 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda y justifique su respuesta: • • •
El área de todo paralelogramo es igual al producto de un lado con cualquiera de sus alturas. ...........................................(__) El área de la región de un rombo, es igual al producto de sus diagonales. .............(__) La medida del arco que subtiende el lado de un dodecágono regular inscrito es de 36º. ............................................(__)
2. Si los lados de un triángulo miden 8; 10 y 6'cm, calcule el valor de su inradio. 3. Un hexágono regular se encuentra inscrito en una circunferencia de 8p cm de longitud. Calcular el área de dicho polígono. 4. En la figura mostrada, l3 y l4 representan los lados de un triángulo equilátero y un cuadrado inscritos en una misma circunferencia. Calcular m ABC. P C A
l4
l3 B
5. Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo, de 50 m de hipotenusa y 10 m de inradio. 6. La altura de un trapecio es el doble de su mediana. Si el área de dicho trapecio es de 72'cm2, calcular la longitud de la altura. 7. Dos lados de un romboide miden 12 y 14 cm. Si la medida del ángulo que forman dichos lados es de 45º, calcular el área de su región. 8. En una circunferencia de 10 cm de diámetro se encuentra inscrito un rectángulo cuya base mide 8 cm. Calcular el área de dicho rectángulo. 9. Un pentágono regular ABCDE se encuentra inscrito en una circunferencia. Calcular el valor del menor ángulo que forman las diagonales AD y CE. Colegios
168
TRILCE
10. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un hexágono regular y un cuadrado. Si la suma de sus perímetros es de 12(3+2 2 ) cm, calcular la longitud de la circunferencia. 11. En un triángulo rectángulo, la distancia del ortocentro al circuncentro es de 7 cm. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 5 cm, calcular el área de la región triangular. 12. Las diagonales de un trapezoide miden 12 y 10'cm. Si el ángulo que forman es de 60º, calcular el área de su región. 13. Los lados de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 1 y su área es de 6 6 m2. Calcular la altura trazada hacia el lado intermedio. 14. Se tiene un cuadrado ABCD, de lado "a" y se toma el punto "P" en BC. Hallar "BP", si se sabe que: AAPD=AP2 - PD2. 15. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un octógono regular y un hexágono regular. Calcular la relación de sus perímetros respectivamente. 16. Grafique a un rectángulo ABCD de centro "O" y el rombo OCFD. Calcule la relación de áreas del rombo y del rectángulo respectivamente. 17. Se tiene un rectángulo ABCD, en el cual la distancia de "D" a la diagonal AC mide 4 m. La distancia de "B" a la prolongación de la perpendicular trazada desde "D" a AC mide 6'm. Hallar el área del rectángulo. 18. Hallar el área de la región de un trapecio de lados no paralelos: 13 y 15 m y de bases: 6 y 20'm. 19. Hallar el área de la región de un triángulo ABC, en el cual: AB=7 m, AC=20 m y el circunradio mide 12,5 m. 20. En un triángulo ABC: m A=2m C, AB=4 m y BC=6 m. Hallar el área de la región triangular ABC.
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UNIDAD UNIDAD 2 7 UNIDAD UNIDAD11
Cuando Seguimos los con lados el agradable aumentan tema de áreas y las coordenadas
E A
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
continuación mostramos una imagen que entre otras cosas nos sirve para el seguimiento del ¿Es el estudiodede polígonos una mera desplazamiento las los tormentas y huracanes. Este es abstracción un mapa situadoteórica? en un plano coordenado de la península Caribe otra con las coordenadas geográficas de de cadalos punto. Uno de los objetivos ¿Recuerda usteddel alguna forma práctica del uso polígonos? del mapa es que los usuarios de internet puedan imprimirlo y dar seguimiento escrito en papel al huracán, aún en caso de pérdida de comunicaciones de datos. Otros de los usos es el de saber qué áreas podrían verse afectadas. AprendiZajes esperados
Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. matemáticalas propiedades en los polígonos. • Comunicación Reconocer y representar • Identificar los polígonos y elementos que intervienen en la comparación de sus áreas. • Identificar los elementos en un plano coordenado y el cálculo en ellos. Resolución de problemas
• Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. de problemas • Resolución Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de • cuadriláteros. Calcula con los datos disponibles, las relaciones entre áreas, las partes circulares y los cálculos haciendo uso de los planos cartesianos. • Formula estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas donde se calcule áreas circulares, relaciones y el uso de las coordenadas rectangulares.
1
Relaciones de áreas En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de polígonos y los elementos que intervienen en la comparación de sus respectivas áreas.
•
A reconocer, diferenciar y aplicar las propiedades de las relaciones de áreas, en la resolución de problemas.
E
n la antigüedad, se plantearon varios problemas famosos, uno de ellos era la denominada cuadratura del círculo. Este problema es irresoluble por Geometría y consiste en hallar _con solo regla y compás_ un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
p . R2
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
b2
Por otra parte, se trabajó en las cuadraturas de algunos polígonos. La siguiente figura nos muestra una manera muy interesante de mostrar la cuadratura de un triángulo, se observa cuatro cortes realizados en el triángulo de modo que encajan perfectamente en un cuadrado. Cuadratura de un triángulo
4
2 •
1 1 4
Colegios
170
TRILCE
2
3
3
¿Podría usarse estos cortes del triángulo como un aporte lúdico en matemática?
Geometría
Conceptos básicos 1.ra Relación BF
Ceviana
AF
B
Ceviana
B
S1 a = S2 b S1 A
A
C 3.ra Relación
B BM
Ceviana
BD
A
D
n
A
3n
4.ta Relación B
S
S C
M
S
S G S
A
Baricentro
S S
C
5.ta Relación S=
S
M
G
S
C
B
Mediana
3S
S
n
S2
2.da Relación
B
A
C
b
F
S1 m = S2 n
F
S1
S2
a
m
4 qº
N
S
S
ABC
Área
a
S
B
También:
N
n
b
S1 a.b = S2 m.n
3S A
S2
Si: aº=qº ó aº+qº=180º
MN // AC
S
M
aº
C
P
m
S1
C
6.ta Relación 1
2
Si: h1
S1 aº
S2
qº a
h2
1
2
S1 h2 a2 = 2 = 12 = ...=K2 S2 h2 b
qº
aº b
Unidad VII
171
Relaciones áreas
7.ma Relación En todo cuadrilátero convexo: A . B=x . y
x= aH 2 bh y= 2 Luego: A . B= ah . bH 2 2 aH . bh Ordenando: A . B= 2 2
Demostración: a
x B
A
A= ah 2 bH B= 2
h
y
x
H
A y
B
b
A . B=x . y
8.va Relación En todo cuadrilátero:
C N
B
Si: "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios de los lados MNPQ es un paralelogramo
P X
M
Además: X= A
ABCD 2
Área
D
Q
9.na Relación En el trapecio B
C S1
B
BC // AD
C
x
S2 y
A
D
A
D S1 =S2
A =( x+ y)
2
10.ma Relación Para un paralelogramo
B S
S A
"P"
Colegios
172
P
B A
C B
S A
A
A
D
C
A
A
D
punto cualquiera de BC
TRILCE
B
C
A D S=A+B S= Área
2
ABCD
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Geometría
1
Síntesis teórica
FIGURAS PLANAS EQUIVALENTES
• Dos figuras planas son equivalentes, cuando tienen la misma área.
CUANDO DOS TRIÁNGULOS COMPARTEN UNA MISMA ALTURA
• Las áreas se encuentran en la relación de los lados a los cuales es relativa la altura. • Al trazar una mediana, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes.
AL TRAZAR LAS DIAGONALES DE UN CUADRILÁTERO CONVEXO, SE DETERMINAN CUATRO TRIÁNGULOS TALES QUE EL PRODUCTO DE LAS ÁREAS DE LOS OPUESTOS SON IGUALES
FIGURAS SEMEJANTES
•
En todo trapecio, al trazar las diagonales se forman triángulos equivalentes.
•
Las áreas de dos polígonos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus elementos homólogos.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En las figuras mostradas, calcular la relación entre "S1" y "S2".
a)
S1
M 3n
b)
B
S2
n
2. Si el área de la región sombreada es de 12 3 cm2, calcular el área de la región triangular ABC.
2n
S1 S2
Central: 619-8100
5n
A
C
3. Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y donde las diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABO y OCD son de (x2 - 1) cm2 y 80 cm2 respectivamente, calcular el valor de "x".
Unidad VII
173
Relaciones áreas
4. ABCD es un trapecio. Si las áreas de las regiones ABO y ADO son de 8 cm2 y 14 cm2, calcular el área de la región triangular ACD. B
C O
A
D
5. La figura muestra a dos triángulos semejantes. Calcular la relación de sus áreas. Q
B
aº
A
qº 2l
C P
aº 3l
qº
6. Grafique al triángulo ABC y marque "M" punto medio de BC y "N" en AC, de modo que: NC=2AN. Si el área de la región triangular AMN es de 12 cm2, calcular el área de la región triangular AMB. 7. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD cuyas diagonales se interceptan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares AOB, BOC y OCD son de 8 cm2, 6 cm2 y 12 cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular AOD. 8. Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y donde las diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares CBO y OAD son de 9 cm2 y 25 cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular COD.
R
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática
b)
B
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
•
En todo triángulo, al trazar una mediana, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes. ........................................(__) • Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus elementos homólogos. .........................(__) • Si se une los puntos medios de las bases de un trapecio, esta se divide en dos partes de diferentes áreas. ..............................(__) 2. Completar de acuerdo al gráfico (A=área).
A
3l
C
l
AABF= ___ AABC
c) ABCD: Trapecio C
B S1
a) B
F
O
A
S2 D
M S1 = C
A AABM= ___ AABC Colegios
174
TRILCE
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Geometría
3. Graficar lo que se le indica:
•
•
•
B
Un romboide ABCD y su punto medio "M" de BC. Sombree el área de la superficie interior al paralelogramo y exterior al triángulo AMD. Al trapecio ABCD de base menor BC y al punto medio "M" de AB. Sombree la superficie de la región triangular DMC. El cuadrado ABCD, los puntos medios "M", "N", "P" y "Q" de los lados BC, CD, AD y AB respectivamente. Sombree la superficie del cuadrado que determinan AM, BN, CP y DQ.
Resolución de problemas
F E A
6. En el romboide ABCD mostrado, el área de la región paralelográmica MOPD es de 7 m2. Calcular el área de la región BNOQ. Q
A
O
M D
B
P
C
10. Sea ABCD un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se cortan en "E". Si las áreas de las regiones triangulares ABE, ECD y AED son de 8'dm2, 18 dm2 y 36 dm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular BEC. 11. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo ABCD es el área de la región sombreada?
4. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana AF, de modo que FB=2FC y sea BM una mediana del triángulo ABF. Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que el área de la región triangular ABM es de 12 cm2. 5. Grafique a dos triángulos semejantes cuyas bases están en la relación de 2 2 a 3 5 . Calcule la relación de sus áreas.
B
C
A
D
12. Dado el triángulo ABC, se traza EF // AC ("E" AB y "F" BC) de modo que las áreas de las regiones EBF y AEFC se encuentren en la relación de 2 a 3. Si AC mide 2 5 dm, calcule el valor de "EF". 13. En el gráfico, las áreas triangulares EBF y HFC son de 16 dm2 y 25 dm2 respectivamente. Calcule el área de la región triangular ABC, si: EF // AC y EA // FH.
N
B
C E
7. Dado el triángulo ABC, se traza la mediana AM y se marca "F" en AC, de modo que AF=3FC. Calcule la relación de áreas de las regiones ABM y FMA respectivamente. 8. Dado el trapecio ABCD, las diagonales se cortan en "O" y su base menor es BC. Si las áreas de las regiones triangulares BOC y AOD son de 2 dm2 y 8 dm2 respectivamente, calcule el área de la región ABCD. 9. Si: EF=3EA, calcular la relación de áreas de los triángulos AEC y ABC respectivamente.
Central: 619-8100
1
A
F
C
H
14. En el gráfico, ABCD es un romboide. ¿Cuál es la relación correcta entre "S1", "S2" y "S3"? B
C S2
S1
A
S3
D
Unidad VII
175
Relaciones áreas
15. El área de una región triangular ABC es de 120'dm2 y "G" es su baricentro. Calcular el área de la región triangular ABG. 16. En un triángulo ABC, los lados AB y BC son proporcionales a 5 y 8. Si el área de la región triangular ABC es de 130 dm2, calcular la diferencia de las áreas de los triángulos ABF y FBC, siendo BF una bisectriz del triángulo ABC.
17. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AF de modo que: 2(BF)=5(CF). Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región triangular ABF es de 50 dm2. 18. El área de la región triangular ABC vale 64'dm2. Trace BD bisectriz y AM una mediana, ambas líneas se cortan en "E". Calcular el área de la región triangular BEM, si: AB=10 dm y CB=12'dm. 4m
Aplicación cotidiana
5m
19. Una piscina tiene 210 m2 de área y está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio rectángulo para los niños. Observa el dibujo y calcula la relación de áreas de la piscina menor y la mayor. 30 m
20. Andrea tiene un terreno de cultivo cuya forma es de un paralelogramo de 32'm de base y 30'm de altura. Ella consciente del problema de la contaminación ambiental, desea plantar árboles en dicho terreno. Calcule el número de árboles que Andrea va a plantar en dicho campo, sabiendo que cada árbol necesita para desarrollarse 4 m2 de área.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ABCD es un cuadrado donde "M" y "N" son puntos medios de BC y CD respectivamente. Calcular el área de la región cuadrangular AOND, siendo "O" el punto de corte de AM y BN. Además se sabe que el perímetro del cuadrado es 32 cm. 2. En el interior de un paralelogramo ABCD cuya área es de 90 m2 se ubica un punto "P", de modo que el área de la región triangular APB sea 30 m2. Calcule el área de la región triangular CPD.
4. Las bases de un trapecio miden 36 y 22 cm y su altura 14 cm. Calcular el área de la región triangular total, formada al prolongar los lados no paralelos. 5. ABCD es un trapecio de base menor BC. Sean "M", "N" y "Q" los puntos medios de AB, BC y AD respectivamente. Calcular la relación de áreas de los polígonos CMD y ABNQ.
3. ABCD es un cuadrilátero convexo de 24 cm2 de área. Marque "M" y "N" puntos medios de BC y AD respectivamente y calcule el área de la región cuadrangular AMCN.
Colegios
176
TRILCE
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Geometría 18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda y justifique su respuesta:
•
•
•
Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales al cubo de sus elementos homólogos. ........................(__) Al unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se determina otro cuadrilátero cuya área es la mitad del cuadrilátero inicial. ..............................(__) En todo triángulo, al trazar una altura, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes. .......................................(__)
2. Completar de acuerdo al gráfico (A=área). a)
B
4l
Q
l C
A AABQ=..... AAQC b)
5. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana AF, de modo que FB=3FC y sea BM una mediana del triángulo ABF. Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que el área de la región triangular ABM es de 15 cm2. 6. Sea ABCD un paralelogramo y "M" un punto de BC, de modo que BM=2 CM. La diagonal BD intercepta a MA en "O". Calcule la relación de áreas de los triángulos BOM y AOD respectivamente. 7. En el trapecio ABCD, las diagonales se cortan en "O" y su base menor es BC. Si las áreas de las regiones triangulares BOC y AOD son de 9'dm2 y 16 dm2 respectivamente, calcule el área de la región ABCD. 8. En un triángulo ABC, trace las medianas AM y BN, cortándose en "G". Si el área de la región triangular GMN es de 5 dm2, calcule el área de la región triangular ABC. 9. El área de un cuadrilátero convexo es de 40'm2, hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de los lados del primero.
B
G C
A AABG=___AABC 3. Graficar lo que se le indica:
10. En un triángulo ABC, AB=6 cm y BC=8 cm. Calcule la relación de las áreas de las regiones ABD y DBC respectivamente, siendo BD la bisectriz interior. 11. Grafique al triángulo ABC y marque los puntos medios "M" y "N" de AC y BC respectivamente. En BM marque "F" de modo que FB=3MF. Calcule la relación de áreas de los triángulos FNM y ABC respectivamente.
•
Al cuadrilátero convexo ABCD. Ubique "M" en AD y "N" en CD. Sombree la superficie cuadrangular MBCN.
12. Las áreas del triángulo EBF y del trapecio AEFC están en la relación de 3 a 5. Si EF=2 3 dm, calcule el valor de "AC".
•
El triángulo ABC, de baricentro "G" y sombree la región cuadrangular AGBC.
B
4. Grafique a dos triángulos semejantes cuyas bases están en la relación de 3 2 y 2 5. Calcule la relación de sus áreas.
E
A
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1
F C
Unidad VII
177
Relaciones áreas
13. El área de un trapecio ABCD es de 100 m2. Calcular el área del trapecio ABMN, siendo "M" y "N" puntos medios de las bases BC y AD respectivamente.
17. El área de la región sombreada es al área de la región no sombreada como:
14. El área de la región de un triángulo ABC es de 120'm2. Hallar el área de la región triangular MGN, siendo "G" el baricentro y "M" y "N" puntos medios de AB y BC respectivamente. 15. Los lados de un triángulo ABC miden 13; 14 y 15 cm. Calcular el área de la región triangular AGM, siendo "G" el baricentro y "M" el punto medio de AC. 16. Si: BQ=5QM, calcular qué fracción del área del triángulo ABC, representa el área de la región sombreada.
n
2n
18. En un trapezoide ABCD, las diagonales se interceptan en "O". Si: SAOB=6 m2; SBOC=8m2 y SCOD=12 m2, calcular: SAOD. 19. El área de la región sombreada es al área del romboide ABCD como: B
M
C
B
N A Q
A
Colegios
178
TRILCE
M
C
D
20. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana BR de modo que: 7(CR)=5(AR) y el área del triángulo RBC sea de 50 dm2. Calcular el área triangular ABC.
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Geometría
Áreas de regiones circulares
2
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de áreas de regiones circulares, como el círculo, sector circular, corona circular, etc.
•
A reconocer, diferenciar y aplicar las propiedades que se dan entre las diferentes regiones circulares.
E
l círculo es una figura geométrica bastante estudiada desde el colegio y que tiene innumerables aplicaciones. En él se puede distinguir a los sectores circulares, segmentos circulares, a la corona circular y otras figuras más. En esta oportunidad, deseo mostrar una aplicación práctica de la corona circular. En nuestros apreciables ojos hay una parte que los médicos llaman "la corona iridiana" y ella nos puede ayudar a mostrar ciertos casos de la situación de nuestro organismo. Ya decía la abuelita: "El estado de tus ojos refleja tu estado de ánimo y de salud".
R
r
A=p (R2 - r2)
Los expertos elaboran una topografía del iris, que consiste en una representación gráfica de las áreas iridológicas correspondientes a cada órgano, sistema o región del cuerpo humano. En el centro del mapa está la pupila, cuyo tamaño puede variar según el grado de dilatación establecida por la mayor o menor cantidad de luz o por intoxicaciones o defectos orgánicos. A partir de la pupila se puede determinar en el iris siete zonas: 1. Área estomacal 2. Zona intestinal 3. Glándulas suprarrenales, área cardíaca, riñones y pituitaria 4. Conductos bronquiales, glándulas pineal y pituitaria 5. Cerebro y órganos reproductores 6. Bazo, tiroides e hígado 7. Área de la piel, sistema linfático y circulatorio, glándulas sudoríficas, músculos y nervios motores y sensitivos. Como verán, el estudio matemático de la corona trasciende más allá de nuestros cuadernos y es interesante saber que en los ojos se pueden reflejar ciertas dolencias. Central: 619-8100
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179
Áreas de regiones circulares
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: •
Elementos asociados a la circunferencia: a)
b)
c) Tangente
B
Cuerda
Secante A
•
Ten presente las siguientes partes de un círculo. a)
Sector circular
b)
Segmento circular
O •
Circunferencias concéntricas. a)
b)
Dos circunferencias concéntricas
Tres circunferencias concéntricas
Conceptos básicos 2. Área del sector circular
1. Área del círculo
A=p.R2 p=3,1416
L=2pR
O R
R A=
a p R2 360°
O R
A
a R B
L=Longitud
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Geometría
3. Área de la corona circular
S=pR2 - pr2
4. Trapecio circular
S
A S=
O
-
A
A
E O F
2 2 S= ap(R - r ) 360°
5. Área del segmento circular
B
B
-
F R
O
6. Área de la zona circular
B
S
Si: AB // EF R
O
F
E
a
2 S= apR - Área 360°
B
a
r
B O
S
E
O r R
A
A
S= O
S=p(R2 - r2)
2
S=A
AOB
B
-E
S
A F
B
R
7. Figuras semejantes 2 S= pa 2
Demostración:
2
Q= pb 2
Q
S
a
S a
x
x=S+Q
b
a
Q b
c
c c
x
2 x= pc 2 2 2 Luego: S+Q= pa + pb 2 2
S+Q=
p 2 2 (a +b ) 2 c2 (por Pitágoras)
S+Q=
p 2 c 2
S+Q=x
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Unidad VII
181
Áreas de regiones circulares
8. Teorema de las lúnulas de Hipócrates 2 x+N+M= pc .............. 1 2
Q
2 S+N= pa 2
Demostración:
2 Q+M= pb 2
S
Q
x S
N
aa
b
x
a
x=S+Q
b
M b
c
c
c
p (a2+b2) 2 c2 (por Pitágoras) p S+Q+N+M= c2 .............. 2 2 S+Q+N+M=
S+Q+N+M=x+N+M S+Q=x
Síntesis teórica
R O
El área de todo círculo es pR2
El área de un sector circular se calcula conociendo el radio y el ángulo central.
R O
A
a r
r
B
S O r
El área de la corona circular es igual a p por la diferencia de los cuadrados de sus radios.
R
S
El área de un segmento circular se calcula como la diferencia de las áreas del sector circular y el triángulo correspondiente.
Colegios
182
TRILCE
B
a O
R
A
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Geometría
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. La longitud de una circunferencia es de 10 p cm. Calcular el área de su círculo.
b)
2. Calcule el área de la región sombreada en cada caso. a)
60º 4
2
4
4
4. La figura nos muestra a un segmento circular cuya área se desea calcular, sabiendo que la medida del arco AB es de 60º y el radio mide 4 cm. A
B
b) 120º
R 6
3. Calcule el área de cada corona circular mostrada a)
5. El área de un semicírculo es de 8p cm2. Calcule la longitud de su diámetro. 6. El área de un cuadrante circular es de 9p cm2. Calcule su perímetro. 7. En una circunferencia de 6 cm de radio, trace una cuerda que subtienda un arco de 30º. Calcular el área del segmento circular determinado.
2 6
8. Un círculo y un cuadrante de círculo son equivalentes. Calcular la relación de sus radios.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
2. Completar:
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
• •
•
a) Área del sector circular
El área de un sector circular depende de su ángulo central. .................................(__) Un segmento circular se determina al trazar solamente un diámetro. ..............(__) La corona circular se determina al trazar dos circunferencias cualesquiera. .........(__)
O
aº
R A=
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Unidad VII
183
Áreas de regiones circulares
b) Área de la corona circular
10. Si la medida del arco AB es 120º y R=6 dm, calcular el área del segmento circular sombreado.
r
A
B
R R A= 3. Graficar lo que se le indica:
•
•
•
Un hexágono regular y la corona que determinan sus circunferencias inscrita y circunscrita. Un cuadrado ABCD y a una semicircunferencia de diámetro AD, interior al cuadrado. Sombree la región interior al cuadrado y exterior a la semicircunferencia. Dos circunferencias secantes y sombree la superficie en común.
Resolución de problemas 4. Un sector circular de 60º de ángulo central y 6 cm de radio, es equivalente al área de un círculo. Calcular el radio de dicho círculo.
11. La figura muestra al triángulo equilátero ABC de 12 dm de lado. Calcule el área de la región sombreada. B M
N
A
C
12. ¿Qué porcentaje del círculo mayor es la región sombreada?
5. Grafique dos circunferencias concéntricas, de modo que el área de la corona sea equivalente al círculo menor. Calcular la relación de radios de estas circunferencias. 6. ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Calcular el área del segmento circular que determina el lado BC. 7. ABC es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. La altura AH, prolongada corta a la circunferencia en "M". Calcular el área del segmento circular MB. 8. La longitud de una circunferencia es de 20p dm y se tiene en dicha circunferencia un sector circular de 60º de ángulo central. Calcule el área de dicho sector.
13. AOB es un triángulo equilátero de 6 3 m de perímetro. Calcular el área de la corona circular limitada por las circunferencias inscrita y circunscrita. 14. AOB es un triángulo equilátero de 6 dm de lado. Calcular el área de la región limitada por la circunferencia y los dos arcos descritos y tangentes a la circunferencia.
O
9. En una circunferencia de 3 cm de radio, se traza una cuerda AB de modo que su arco mida 60º. Calcule el área del segmento circular determinado. A Colegios
184
TRILCE
M
B
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Geometría
15. Dada dos circunferencias concéntricas, el área de la corona circular que determinan es el triple del área del círculo menor. Calcule la relación de radios. 16. En un triángulo equilátero, calcular el área de la corona circular que determinan las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo. El circunradio mide 4 dm.
17. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB y marque "F" en AB. Grafique dos semicircunferencias interiores de diámetros AF y FB. Calcule el área limitada por estas semicircunferencias, si: AF=8 dm y FB=4 dm.
2
18. Dado el cuadrante AOB de radios: AO=OB=2 2 m. Se trazan interiormente dos semicírculos de diámetros AO y OB cortándose las dos semicircunferencias en "C". Calcular el área del triángulo curvilíneo ABC.
Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra a un esquinero de baño en forma de un sector circular. Los soportes de madera en la que se apoya el esquinero miden 20 cm cada uno. Calcular la cantidad de vidrio gastado en este diseño, sabiendo además que las paredes forman un ángulo de 90º.
Balonmano
Fútbol
Atletismo
20. En el aula de Julio Alberto, los alumnos practican balonmano, fútbol, baloncesto, tenis y atletismo. El entrenador del aula muestra un Baloncesto reporte estadístico del número de alumnos Tenis que practican estas disciplinas. Si Julio y Luz practican tenis, ¿cuál será el ángulo central del sector circular que los representa? También se suele incluir en cada sector el valor del porcentaje correspondiente 10%
20%
25% 15%
30%
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Un sector circular de ángulo central 60º y radio "R", se inscribe en una circunferencia. Calcular el área de la región exterior a la circunferencia e interior al sector.
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2. Sobre el radio OB de un círculo AOB, se toma el punto "P", de modo que: PB=2 2 cm. Con centro en "P" y radio PB se traza un arco de circunferencia que corta a OA en el punto "N". Si: AN=PB, hallar el área de la región encerrada por los arcos AB; NB y el segmento AN.
Unidad VII
185
Áreas de regiones circulares
3. Hallar el área de una zona circular, determinada en un círculo de radio "R", sabiendo que las bases son los lados del triángulo equilátero y hexágono regular inscritos, situados a un mismo lado del centro. 4. Calcule el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un pentágono regular de 30 cm de perímetro.
5. Grafique al cuadrado ABCD de 6 m de lado y ubique los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente. Con centro en "A", describa un cuadrante y calcule el área del sector circular limitado por dicho cuadrante y los segmentos AM y NA.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar lo que se indica:
•
•
Una semicircunferencia y un cuadrado inscrito, tal que uno de sus lados esté sobre el diámetro. Sombree la superficie que limitan estas figuras.
8. Se tiene un sector circular con ángulo central igual a 30º y radio 6 cm. Hallar la medida del radio del círculo equivalente al sector. 9. Hallar el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero de 9 3 dm2 de área.
Un pentágono y cinco semicircunferencias interiores cuyos diámetros sean los lados del pentágono. Sombree la superficie que limitan estas figuras.
10. Se tiene un cuadrado ABCD de 4 m de lado, haciendo centro en "D" se traza el arco AC. Hallar el área de la región limitada por AB, BC y el arco AC.
2. Un sector circular de 60º de ángulo central y 12 cm de radio, es equivalente al área de un círculo. Calcular el diámetro de dicho círculo.
11. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada, si: AB=BC=4m. B
C
A
D
3. Grafique dos circunferencias concéntricas, de modo que el área del círculo menor sea la octava parte del área de la corona. Calcular la relación de los radios de estas circunferencias. 4. En una circunferencia de 6 cm de radio se traza una cuerda AC, que subtiende un arco que mide 45º. Calcular el área del segmento circular que forma la cuerda AC. 5. Un dodecágono regular está inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio. Calcular el área de uno de los segmentos circulares que determina uno de sus lados. 6. Si el perímetro y el área de un círculo son numéricamente iguales, hallar el área del círculo.
12. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada, si: AO=OB=R. ("B" centro del arco OD) A
O
D
B
7. Si el área de un sector circular es 3p m , hallar la medida de su ángulo central, sabiendo que su radio mide 6m. 2
Colegios
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Geometría
13. Si el perímetro de un círculo es de 24p cm, calcule su área. 14. Se tiene un círculo de 36p m2 de área, hallar el área del segmento circular limitada por una cuerda que subtiende un arco de 60º.
19. En el gráfico, los lados del cuadrado son diámetros de las semicircunferencias, además: AB=2 cm. Calcular el área de la región sombreada. B
C
A
D
2
15. Hallar la relación de las medidas de los radios de dos sectores circulares equivalentes, de ángulos centrales de 120º y 60º respectivamente. 16. Dadas dos circunferencias concéntricas, se tiene que el área del círculo menor es la cuarta parte del área de la corona circular. Calcular la relación de sus radios.
20. Calcular el área de la región sombreada, si: AB=AC=BC=2BN=2AM=4 dm.
17. Hallar el área de la corona circular determinada por los círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado de 16 cm2 de área. 18. En dos circunferencias concéntricas se toma una cuerda AB de la circunferencia mayor tal que sea tangente a la circunferencia menor. Hallar el área de la corona determinada, si: AB=4 m.
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B
N A
M
C
Unidad VII
187
3
Geometría analítica I En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer el ángulo de inclinación de una recta, su pendiente y ecuación, encontrando una relación entre ellos.
•
A resolver problemas de la línea recta a partir del análisis de sus características, gráficas y ecuaciones.
S
e conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
y y=
k x
x
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x; y)=0, donde "f" representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado uno (ejemplo: 2x+6y=0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado dos (ejemplo: la circunferencia: x2+y2=4, la hipérbola: xy=1).
y
Es bueno aclarar que nosotros en este curso de geometría escolar, solo veremos y estudiaremos hasta la ecuación de la recta.
A
P
1 1
r
Colegios
188
TRILCE
x
Geometría
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: •
Coordenadas rectangulares a)
y
b) P(x0;y0)
II
I
III
IV
y0 x
x0
•
Distancia entre dos puntos y B(x2; y2) d=AB= (x1 - x2)2+(y1 - y2)2
A(x1; y1) x
•
Punto medio de un segmento y B(x2; y2)
=
M
=
M= x
A(x1; y1)
•
Rectas perpendiculares L2
x1+x2 y1+y2 ; 2 2
• Rectas paralelas
L1
L1 L2
Unidad VII
189
Geometría analítica I
Conceptos básicos LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO y
Elementos
Dada la recta " "
• (- a; 0) : intersección con "x" • (0; b) : intersección con "y" • "a" ∧ "b" : interceptos • "a" : ángulo de inclinación • (x0; y0) : punto de paso
L (x0; y0)
(0; b) b (- a; 0)
a
x
a
PENDIENTE DE UNA RECTA: m Dada la recta " " con su ángulo de inclinación "a"; se denomina pendiente de la recta que se obtiene de la tangente del ángulo de inclinación.
al número "m"
Observación: a) Si "a" es agudo: 0º < a < 90º ⇒ m: (+)
b) Si "a" es obtuso: 90º
Se calcula así:
y
y
L
aº
m=tga
Se calcula así: L
x
aº
m= - tg(180º - a)
x
c) Si: a=0º ⇒ m=0 d) Si: a=90º ⇒ m: no definida
Ejemplos a)
y
L
L 45º
120º x
x ⇒ m=tg45º m=1
Colegios
190
TRILCE
y
b)
⇒m= - tg(180º - 120º)= - tg60º m= - 3
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Geometría
y
c)
y
d)
3
L
L
90º
x
x
⇒ m=tg0º m=0
⇒ m=tg90º m=
OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE CON DOS PUNTOS DE PASO Dada la recta " " que pasa por los puntos P(x1; y1) y Q(x2; y2), la pendiente "m" se calcula así: y y2 y1
y2 - y 1 m=tga= x - x 2 1
L2
L1 (3; 6)
m1=1 Para
x
x1 x2
y
: tga1=m1= 6 - 1 3 - ( - 2)
: tga2=m2= 4 - 0 2-6
L
P
aº
Por ejemplo del gráfico: Para
Q
(2; 4) (-2; 1) a2
a1
m2= - 1
(6; 0)
x
ECUACIÓN DE LA RECTA Es una relación algebraica que debe verificar tanto la abscisa como la ordenada de todo punto perteneciente a una recta. Para hallar esta relación se requiere de dos elementos necesarios y suficientes: y • m=tga → pendiente de la recta L • P0(x0; y0) → punto de paso
Luego: P ∈ ; se debe cumplir:
y - y0 m= ⇒ y - y0=m(x - x0) Ecuación de la recta x - x0
Central: 619-8100
P(x; y) P0(x0; y0)
a
x
Unidad VII
191
Geometría analítica I
También: La ecuación de la recta la podemos representar por la siguiente expresión: Ecuación ordinaria Se le denomina y=mx+b de la recta Donde: m → pendiente de la recta = tg b → intersecto en "y" a
y
L1
b
x Si a la ecuación de una recta se le expresa de la forma: Ax+By+C=0, a esta se le conoce como ecuación general de la recta. Ax+By+C=0 Ecuación general de la recta POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA Recta vertical
Recta horizontal y
y
: y=b
(0; b)
: x=a
b 0
(a; 0)
a
x
x
0
• Propiedades a) Dada la ecuación general de una recta : Ax+By+C=0, su pendiente "m" se calcula así: m= b) Si un punto P(a; b) pertenece a una recta satisfacer la ecuación, es decir:
•
A B
de ecuación general: Ax+By+C=0, entonces debe
P(a; b) ∈ : Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0
c) Rectas paralelas ( / / ) Si dos rectas y son paralelas, entonces sus pendientes son iguales.
Gráficamente:
Si:
Colegios
192
TRILCE
//
⇒ m1=m2
q
q
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Geometría
d) Rectas perpendiculares ( ) Si dos rectas y son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es - 1.
Gráficamente:
L2
L1
⇒ m1 . m 2= - 1
Si:
3
Demostración: tga=m1 ∧ tgq=m2 - tg(180º - q)=m2
y
L2
L1
tg(180º - q)= - m2 como: tga=ctg(180º - q) 1 tg(180º - q) 1 m1= - m2 ... m . m = - 1 tga=
1
q
a
x
2
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO En un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3) se trazan sus tres medianas denominándose al punto de intersección BARICENTRO, representado por G(x0; y0). y C(x3; y3) G
A(x1; y1)
B(x2; y2) x
Las coordenadas del baricentro G(x0; y0) se calculan así: x0 =
Central: 619-8100
x1+x2+x3 3
y0 =
y1+y2+y3 3
o también
G=
A+B+C 3
Unidad VII
193
Geometría analítica I
Síntesis teórica
y
L P(x; y)
La recta en el plano cartesiano, ángulo y pendiente.
45º
x
y 4 3
(2; 3)
2
x
Ecuación de la recta, perpendicularidad y paralelismo.
x
Posiciones de la recta, baricentro de un triángulo y ejercicios de aplicación.
1 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1 -2 -3 -4
2
3 4
5
(0; -3)
y B -5 -4 -3 -2 -1
4 3 2 1
C
-1
A1
2
3 4
5
-2 -3 -4
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indique el ángulo de inclinación de cada recta:
a)
c)
y
y 150º 120º x
b)
y
40º Colegios
194
TRILCE
x
2. Grafique una recta que forme con el eje de las abscisas un ángulo de 30º y calcule su pendiente. 3. Grafique una recta que forme con el eje de las abscisas un ángulo de 120º y calcule su pendiente.
x
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Geometría
4. Calcule la pendiente de las rectas mostradas: a)
y
6. En la figura mostrada, determinar la pendiente de la recta que pasa por "A" y "B". y
3
B(5; 8)
(0; 5) A(2; 4)
(-2; 0)
x
b)
x
y
7. En el gráfico, calcular el ángulo de inclinación de la recta e indicar cuáles son los interceptos.
(0; 7)
y (3; 0)
x
(0; 4)
5. Determinar la pendiente de una recta que pasa por A(- 5; 6) y B(2; - 5)
(-3; 0)
x
8. Graficar la recta cuya ecuación es: 2x+y=8
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática
Resolución de problemas
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
3. Una recta forma con el eje de las abscisas un ángulo que mide 37º. Calcular su pendiente.
•
Si una recta forma un ángulo "b" con el eje "X", entonces se afirma que su pendiente es "senb". ............................(__)
•
El ángulo de inclinación de una recta en el plano cartesiano es siempre agudo ... .............................................................(__)
4. Una recta al cortar a los ejes coordenados, determina en ellas dos segmentos iguales. Calcular el ángulo de inclinación de dicha recta, si esta no se intercepta con el cuarto cuadrante.
•
La pendiente de una recta horizontal es cero. ................................................(__)
2. Completar:
La .................................... de una recta viene a ser la ................................. de su ángulo de inclinación.
Central: 619-8100
5. Los extremos de un segmento de recta son A(2; 0) y B(0; 6). Calcule su pendiente. 6. La pendiente de una recta es 4/5 y pasa por el punto (-2; 5). Determine la ecuación de dicha recta. 7. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5; 4) y B(- 7; 5).
Unidad VII
195
Geometría analítica I
8. Calcular la pendiente de la recta "L" del gráfico mostrado. y
14. Calcule la ecuación de la recta "L" de la figura mostrada. y
L
L
P(x; y) 45º
(0; 6) x
9. Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (- 1; 3) y (7; 9) 10. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 2) y tiene una pendiente de - 2/3. 11. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3; 7) y B(- 5; 1). 12. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1; 5) y Q(- 3; 2). 13. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(2; 3), B(5; - 4) y C(1; 8). Calcular la pendiente del lado mayor.
(5; 0)
x
15. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(2; 2), B(- 1; 4) y C(4; 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 16. Si los vértices de un triángulo son los puntos: A(- 2; - 3), B(- 1; 7) y C(12; 2), determinar las coordenadas del baricentro. 17. Teniendo en cuenta el problema anterior, determinar el punto medio de AB y la pendiente de la recta que pasa por "A" y "B". 18. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2) y la abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar la ordenada de este punto.
Aplicación cotidiana 19. En un día de campamento, Karem ubica su carpa en el punto (30 2; 0) y tiene que ir a recoger agua de un río cuya trayectoria se encuentra representada por la recta: y=x. Si Karem recoge agua haciendo el menor recorrido de ida y vuelta, ¿cuánto recorrió Karem?
P
20. Las curvas de oferta y demanda forman parte de la cultura general de todo alumno de secundaria. En realidad estas "curvas" las dibujamos más como líneas rectas que como curvas. La curva de oferta está inclinada hacia adelante y la curva de demanda está inclinada hacia atrás (las ordenadas representan el precio y las abscisas la cantidad).
O E
P1
El precio y la cantidad de equilibrio se encuentran en el punto de intersección de las dos curvas. En este punto la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida.
Conteste Ud. lo siguiente: a) ¿Cómo son las pendientes de la demanda y de la oferta? b) ¿Qué nos representa el punto "E" y qué significa?
D Q1
Colegios
196
TRILCE
Q
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Geometría
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Las rectas L1: 3x+2y=6 y L2: 2x - ay=5, son perpendiculares entre sí. Calcular el valor de "a".
4. Dados los vértices de un triángulo ABC: A(2; - 1), B(4; 5) y C(- 3; 2), escribir la ecuación de la recta que une el centro de gravedad de este triángulo y el origen de coordenadas.
2. Se tiene el segmento AB, tal que: A(- a; 3) y B(2; a). Si la pendiente del segmento AB es 2/3, calcular la distancia de "B" al punto (- 2; - 6)
5. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
3. Del gráfico, hallar la ecuación de la recta L1.
I. Si L1:3x - 4y+6=0 y L2: 6x+8y+24=0 → m1 - m2=0 .................................. (___)
II. Si L1: 2x+y+3=0 → L1: m1=- 2 .... (___)
III. Si: L1 // L2 → m1 . m2=0 .................... (___)
IV. Si: L1
y
L1 P(6; 5)
yº
yº (3; 0)
L2 x
3
L2 → m1 . m2= - 1 ................ (___)
(0; -2)
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular la pendiente de la recta mostrada que pasa por "P". y
7. Calcule la ecuación de la recta "L" que se muestra en la figura. y
P(x; y)
L 127º x
2. Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (2; 5) y (4; 7). 3. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5; 4) y (- 2; 7). 4. Dados los puntos (3; - 2) y (- 2; 4), determinar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. 5. Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo ABC, si: A(- 6; 6), B(- 2; 8) y C(2; 1). 6. Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (- 2; 3) y (7; - 5) Central: 619-8100
(4; 0)
x
(0; - 3) 8. Si el ángulo de inclinación de una recta con el eje de abscisas es 60º, halle la pendiente de dicha recta. 9. Calcule la ecuación de la recta mediatriz del segmento cuyos extremos son A(- 2; 7) y B(4; 5) 10. Una recta contiene al punto (- 5; 6) y su pendiente es - 1/2. Calcule el valor de la abscisa de un punto de la recta, cuya ordenada es 4. 11. En un triángulo ABC, encontrar la ecuación de la recta que contiene a la mediana relativa al lado AB, si: A(- 3; 8), B(1; 6) y C(- 5; - 2). Unidad VII
197
Geometría Cuadriláteros analítica I
12. Del gráfico, calcular la ecuación de la recta L2. L1 L2
a
y
a
127º x
(0; -2)
17. Se tiene al segmento AB, cuyos extremos son A(2; 3) y B(- 4; - 2). Calcule la ecuación de una recta perpendicular a ella y que contenga al punto (1; 2). 18. Una recta pasa por los puntos: B(4; 1) y A(- 2; 3). Si un punto de abscisa 10 pertenece a dicha recta, ¿cuál será su ordenada? 19. Calcule la ecuación de la recta mediatriz del segmento cuyos extremos son A(3; 4) y B(- 5; 2).
13. Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A(- 2; 1), B(4; 6) y C(7; - 4), hallar la ecuación de la recta que pasa por el baricentro y el vértice "B".
20. En el gráfico mostrado, calcular la pendiente de una recta perpendicular a "L". y
14. Dado el triángulo ABC, calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de AB y BC, siendo A(- 1; 7), B(3; 5) y C(7; - 1). 15. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3; 4) y B(5; - 7).
L (6; 0)
x
(0; - 5)
16. Se tiene al segmento AB, cuyos extremos son A(- 1; 3) y B(- 5; 1). Calcule la ecuación de su recta mediatriz.
Colegios
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Geometría
Repaso
4
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los elementos que se asocian a una recta en el plano cartesiano, sus gráficas y características.
•
A aplicar las relaciones aprendidas para el cálculo de áreas de regiones circulares y de comparación de áreas, en la resolución de problemas matemáticos.
Saberes previos
B
4l
Q
l C
A
Relación de áreas en triángulos y cuadriláteros.
AABQ=.......... AAQC
Cálculo de áreas de círculos y sus partes
P
y Q(5; 3)
La línea recta en el plano cartesiano, ángulo, pendiente y ecuaciones.
x
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199
Repaso
Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. •
Dos figuras planas son equivalentes, si son semejantes. ....................................(__)
•
El área de la región de un sector circular depende del valor de su ángulo central y de su radio. ..........................................(__)
•
La pendiente de una recta en el plano cartesiano no puede ser negativa. .........(__)
2. Completar: En el plano cartesiano, dos rectas son perpendiculares cuando el ................................ de sus pendientes sea igual a ............. 3. Calcular la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es de 150º. 4. Una recta corta al eje de las abscisas en el punto (- 3; 0) y pasa por el punto (1; 4), calcule su pendiente. 5. Dos triángulos semejantes tienen sus áreas una relación de 16 a 25. Calcular la relación en la que se encuentran sus bases. 6. En un triángulo, al trazar una paralela a su base, su región queda dividida de manera que el área del trapecio formado sea seis veces el área del triángulo determinado. Calcular la relación de las bases del trapecio. 7. Grafique al trapecio PQRS, de base menor QR y donde sus diagonales se cortan en "O". Calcule el área de la región triangular POQ, sabiendo que las áreas de las regiones triangulares ROQ y POS son de 16 cm2 y 49 cm2 respectivamente. 8. ABCD es un trapecio, de base menor BC y donde sus diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABC y ACD son de 24'cm2 y 48'cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular ABO. 9. Una recta pasa por el punto (- 5; 0) y por el punto medio del segmento OB, siendo "O" el origen de coordenadas y B(0; 10). Calcule la pendiente de dicha recta.
Colegios
200
TRILCE
10. En un cuadrado ABCD, de 4 cm de lado, se inscribe una circunferencia de centro "O". Calcular el área de la superficie interior al triángulo AOD y exterior a la circunferencia de centro "O". 11. El perímetro de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es de 12 3 cm. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 12. En un cuadrado de lado igual a 12 cm, se describe una circunferencia tangente a un lado y que contiene a dos vértices opuestos de dicho lado. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 13. Dos circunferencias concéntricas tienen como radios 6 cm y "R" cm. La corona circular que ellas determinan es equivalente a un sector circular, de 30º de ángulo central y 6 cm de radio. Calcular el valor de "R". 14. En la figura, AM=MO=2 3. Calcular el área de la región sombreada. A
M
N
B
O
15. En la figura: R=2 3, m BSM=120º y // AM. Calcular el área de la región sombreada. B
M S
L a A
a R
C
16. La circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor lado lateral en dos segmentos parciales de 1 y 9 m. Calcular el área del trapecio.
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Geometría
17. Calcular el área de la región sombreada "S1+S2", 2
si el área del triángulo ABC es igual a 26 m .
19. En la figura mostrada, calcular el área de la región triangular ABC sombreada, si: PB=12 y BQ=18 . P
S2
B
4
S1
B
A
C
18. Calcular el área del triángulo rectángulo mos2
2
trado, si: x=30 m e y=5 m . B
A
O
Q
C
20. Las bases de un trapecio miden "a" y "b" (a>b). Calcular la longitud del segmento paralelo a las bases que determina dos regiones equivalentes.
y C
A x
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: • •
El área de la corona circular depende del valor de su ángulo central y de su radio. ...............................................(__) La pendiente de una recta en el plano cartesiano, no puede ser cero. ....(__)
2. Completar: En el plano cartesiano, si dos rectas son paralelas, entonces sus .............................. serán iguales. 3. Calcular la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es de 127º. 4. Una recta corta al eje de las abscisas en el punto (5; 0) y pasa por el punto (2; 2). Calcule su pendiente. 5. En un triángulo, al trazar una paralela a su base, su región queda dividida de manera que el área del trapecio formado sea cinco veces el área del triángulo determinado. Calcular la relación de las bases del trapecio. Central: 619-8100
6. Grafique al trapecio PQRS, de base menor QR y donde sus diagonales se cortan en "O". Calcule el área de la región triangular POQ, sabiendo que las áreas de las regiones triangulares ROQ y POS son de 25 cm2 y 64 cm2 respectivamente. 7. Una recta pasa por el punto (-'3; 0) y por el punto medio del segmento OB, siendo "O" el origen de coordenadas y B(0; 8). Calcule la ecuación de dicha recta. 8. ABCD es un trapecio, de base menor BC y donde sus diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABC y ACD son de 21 cm2 y 28 cm2, calcular el área de la región triangular OCD. 9. En un cuadrado ABCD, de 6 cm de lado, se inscribe una circunferencia de centro "O". Calcular el área de la superficie interior al triángulo AOD y exterior a la circunferencia de centro "O".
Unidad VII
201
Repaso
10. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24 3 cm. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 11. Dos circunferencias concéntricas tienen como radios a 6 y 3 cm. La corona circular que ellas determinan es equivalente a un sector circular, de "qº" de ángulo central y 6 cm de radio. Calcular "qº". 12. La longitud de una circunferencia es de 12p cm. Calcule el área de su círculo. 13. Los lados de un triángulo miden 10; 10 y 12'dm. Si este triángulo es equivalente a un rectángulo de 18 dm de base, hallar la altura del rectángulo. 14. Un trapecio tiene como bases a 6 y 14 dm. Si este polígono es equivalente a un rombo cuya diagonal menor es congruente a la altura del trapecio, calcular el área del trapecio, si la diagonal mayor del rombo es cuatro veces la altura del trapecio.
(AF=6FC) y la mediana AM del triángulo ABF. Calcular la relación de áreas del triángulo ABM y ABC respectivamente. 17. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana BF y la mediana AM que se cortan en "Q". Si FC=4AF, calcular qué fracción del área del triángulo ABC, nos representa el área del triángulo AMF. 18. La suma de las bases de un trapecio es de 26 cm y su altura mide 13 cm. Calcule el lado de un cuadrado equivalente a dicho trapecio. 19. Grafique al triángulo rectángulo ABC (C=90º). Se traza la bisectriz interior BM y se desea calcular el área de la superficie triangular ABM, si: AB=6 dm y CB=2 dm. 20. Sea ABCD un trapecio, cuya base menor sea BC y cuya área es igual a 46 cm2. Calcular el área de la región triangular CMD, siendo "M" punto medio de AB.
15. Grafique dos circunferencias concéntricas y trace una cuerda de 21 dm de longitud perteneciente a la circunferencia mayor y que es trisecada por la circunferencia menor. Calcular el área de la corona circular. 16. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF
Colegios
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UNIDADUNIDAD 2 1
Cuando los lados aumentan
E
l uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros.
¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros.
1
Geometría analítica II En este capítulo aprenderemos: •
A identificar las ecuaciones de una recta y realizar sus gráficas.
•
A reconocer la distancia de un punto hacia una recta.
•
A reconocer la intersección de dos rectas y calcular sus coordenadas.
E
jugandoestapartida.blogspot.com/2008/05/
l estudio de las rectas paralelas o secantes, se hace através de una geometría elemental o también de la geometría analítica, lo importante es la aplicación de ellas en la vida real. Por ejemplo, se muestra un mapa de la ciudad de La Plata, que es la capital de la provincia de Buenos Aires (Buenos Aires se divide en capital federal y provincia). Aquí podemos observar cómo las avenidas se enumeran, por ejemplo la calle Nº'13, que se intercepta con la diagonal 74. A su vez podemos observar las avenidas paralelas, como la calle 19 y 23. Resulta claro que para el señor que se le ocurrió diseñar esta estructura cuadriculada, uno de sus conocimientos bases era el de un sistema de coordenadas rectangulares y las rectas que se podrían trazar en ella.
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: • Resolver: 3x - 5y = 15 3x+5y = 25 •
Calcule el área de los triángulos rectángulos mostrados: 13
6
•
12
8
Grafique la distancia de "P" hacia cada recta. P
P P
Colegios
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Geometría
•
Calcule el valor de:
a) 3 5
b)
- 2 0
2 0
4 3
4 2
-1 5
Conceptos básicos Gráfica de una recta Para graficar una recta, se sugiere ubicar dos puntos de paso de ella, de preferencia las intersecciones con los ejes. Así por ejemplo: : 4x+3y - 24=0 Hacemos: x=0 y=0
y
L
(0; 8) y=8 x=6
8 (6; 0)
Ejemplo
y
Hallar el área formada por la recta: : 2x - 3y - 36=0 y los ejes coordenados * Hacemos: x=0 y=0
x
6
y=-12 x=18
... S= 12×18 =108 2
(18; 0) x
S
12 2
L
18
(0; -12)
Intersección de rectas Para hallar el punto de intersección de dos rectas, se resuelven las ecuaciones como un sistema de dos incógnitas. Así por ejemplo:
: 3x+y=6 : x - y=6 Resolvemos: 3x+y=6 + x - y=6 Sumando: 4x=12 x=3 y=-3 ...
= (3; -3)
L1
y 6 L2 2
6
x
(3; -3) -6
Unidad VIII
205
Geometría analítica II
Ecuación simétrica Dada la recta oblícua , su ecuación simétrica es de la forma: y
L
x y + =1 a b
(0; b) (a; 0)
Ecuación simétrica
x
Ejemplo
Hallar la ecuación simétrica de la recta .
y
Se observa: a= - 2 b= - 1 x y + =1 -2 -1 Resolviendo : x+2y+2=0
L
-2
-1
x
Ecuación general de la recta.
Distancia de un punto a una recta Dada la recta : Ax+By+C=0 y el punto del plano: Po(xo; yo). La distancia "d" de "P" a se determina: y Po(xo; yo)
L
d
d=d(P; L)= x
|Axo+Byo+C| A2+B2
Área de una región triangular Si: A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3) son las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC como se muestra en el gráfico y "S" el área de su región. y B(x2; y2)
S
A(x1; y1) x
C(x3; y3) Para calcular el área "S", se colocan las coordenadas de sus vértices en columna, tomadas en sentido antihorario, repitiéndose las coordenadas del primer vértice, luego se procede como a continuación se indica: Colegios
206
TRILCE
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Geometría
x2 . y 1 + x3 . y 2 x1 . y 3
x1 x2 x3 x1
y1 y2 y3 y1
I
1
x1 . y 2 x2 . y 3 + x3 . y 1 D
D I |(x .y +x .y +x .y ) - (x2.y1+x3.y2+x1.y3)| S= 1 2 2 3 3 1 2 ... S=
|D - I| 2
Síntesis teórica Ecuación simétrica
Gráfica de una recta
Intersección de rectas
LA LÍNEA RECTA Distancia entre rectas paralelas Distancia de un punto a una recta Área de una región triangular
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Unidad VIII
207
Geometría analítica II
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Dadas las siguientes ecuaciones, indique sus nombres:
a) 4x+2y - 6=0 ...............Ecuación general
x y b) + =1...................._________________ 3 2 c)_ _y=3x+7 ......................________________ d)_ _x - 3y+2=0 ..............________________ x y 2. Graficar la recta cuya ecuación es: + =1 2 4 3. Dada la recta: 2x + 3y - 36=0, graficarla y calcular el área del triángulo que se forma al interceptarse con los ejes coordenados.
4. Dadas las rectas L1: 3x - 4y=12 L2: 2x+4y=8, calcular las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. 5. Graficar la recta cuya ecuación es: y=x, además ubicar los puntos (3; 3) y (5; 5). 6. Grafique la recta: 7x - 4y=21 y calcule su pendiente. 7. Sea la recta L1: 2x+5y=10 y el punto P(3; - 1). Calcular la distancia de "P" hacia la recta L1. 8. Grafique la recta: 4x - 3y - 12=0 y ubique el punto Q=(- 2; 3). Calcule la distancia de "Q" hacia dicha recta.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
b) Ecuación simétrica de "L" y
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • • •
x y A la expresión: + =1, se le a b denomina "ecuación general de una recta". ......................................(__) Si una recta en el plano cartesiano, corta a los ejes coordenados, siempre formará un triángulo rectángulo. ..........(__) La distancia de un punto hacia una recta en el plano cartesiano es siempre positiva. ..............................(__)
2. Completar adecuadamente: a)
P(xo; yo)
L: ax+by+c=0
d
x d=
Colegios
208
TRILCE
L (0; 5)
(-3; 0)
x x
+
y
=
Resolución de problemas 3. Graficar la recta: 5x - 2y=10 y mostrar su ecuación simétrica. x y + =1, graficarla y mostrar la 3 4 ecuación general.
4. Dada la recta:
5. Calcular la distancia del punto (0; 2) hacia la recta: x+2y - 6=0 6. Una recta pasa por el punto (4; 2). ¿Cuál será su ecuación, si cortó al eje "y" en el punto (0; 7)?
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Geometría
7. Determinar la ecuación simétrica de las rectas: L1: 4x - y+8=0 L2: 5x+4y - 20=0
13. Hallar el área de la región triangular que forma la recta de ecuación: x - 2y + 4=0 al interceptarse con los ejes coordenados. 14. De la figura, hallar "a".
8. Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas:
y (7; 5)
L1: 3x - 2y+6=0 L2: 4x - 3y+10=0
a x
9. Del gráfico mostrado, calcular "a+b". (a; b)
15. Calcular la distancia del punto A(- 2; 3) a la recta que pasa por los puntos B(5; 5) y C(3; - 3).
10. Hallar el punto "P" e indicar la suma de sus coordenadas. L1: 2x - y - 10=0 P
(0; -.2)
L1: x - 2y+6=0
L2: 3x+2y - 14=0
1
L2: 2x+y - 14=0
11. Calcular el área de la región que se determina con las rectas L1: y=-.7; L2: x=-.4 y los ejes coordenados.
16. Calcular la distancia que hay entre el punto A(6; 8) y el punto medio de BC, siendo B(4; - 4) y C(-10; 2). 17. Calcular el área de la región triangular que determina los siguientes puntos: A(2; 2), B(5; 6) y C(17; 1). 18. Del gráfico, determinar la ecuación de la recta , si: S=8u2. L
12. Calcular el área de la región triangular, formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 3x+2y - 12=0.
y
S x (6; -2)
Aplicación cotidiana 19. El siguiente gráfico nos muestra el denominado punto de equilibrio en economía. Dicho punto de equilibrio es aquel donde toda empresa consigue cubrir la totalidad de sus costes, tanto fijos como variables, obteniendo un beneficio cero. Punto de equilibrio
Pérdidas
Ingresos Costes
Actividad Beneficios
Teniendo en cuenta la gráfica y el concepto anterior, conteste: a) ¿Por debajo de dicho punto, la empresa gana o pierde? b) ¿Cómo se calcularía dicho punto, teniendo las ecuaciones de las rectas: ingresos y costos? Central: 619-8100
Unidad VIII
209
Geometría analítica II
20. El mercado de la naranja en España, presenta las funciones de oferta y demanda siguientes: O=10.000+250 P D=50.000 - 150 P
Siendo "O" la línea de la oferta, "D" la de la demanda y "P" el precio en soles, calcule usted el precio de equilibrio.
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Se tiene el segmento AB, tal que: A(- 4; 3) y B(2; a). Si la pendiente del segmento AB es - 4/3, calcular la distancia de "B" al punto (- 6; 8). 2. Dados los siguientes puntos: A(3; 2), B(- 4; 2), C(- 2; - 3) y D(4; 2), determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas que pasan por AC y BD. 3. Hallar el área que determinan las rectas: L1: y - x=0; L2: x+y=4; L3: y+2=0.
4. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 120º y corta al eje "y" en el punto (0; 2 3). Calcule la distancia del punto (5; 6) hacia dicha recta. x y + =1. Calcule 5 10 el área del triángulo que forman estas rectas con el eje de las abscisas.
5. Grafique a las rectas: y=x
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta.
4. Calcular la distancia del punto (-.4; 2) hacia la recta: x+2y - 12=0.
• Si una recta en el plano cartesiano corta a los ejes coordenados, siempre formará un triángulo oblicuángulo. ......................................(__)
5. Dada las rectas: 2x - y=7 x+y+1=0, cuya intersección es (2; b). Calcular el valor de "b".
•
El punto (0; 2) puede representar la intersección de dos rectas. ...............(__)
x y 6. La ecuación de la recta , es: + =1. Calcule el 8 4 área de la región sombreada. y
x y + =1, se le a b denomina "ecuación ordinaria de una recta". ......................................(__)
•
A la expresión:
2. Graficar la recta: 12x - 5y=60 y mostrar su ecua-ción simétrica. x y + =1, graficarla y mostrar la 5 2 ecuación general.
x L 7. Hallar el área del triángulo formado por la recta L: 5x+3y - 45=0 y los ejes coordenados.
3. Dada la recta:
Colegios
210
TRILCE
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Geometría
8. Graficar las rectas:
• 2x - 5y - 12=0
• x+5y - 8=0
9. Hallar el punto "P" e indicar la suma de sus coordenadas. L1: x - 3y - 12=0
L2: x+3y+18=0
P 10. Del gráfico, hallar el área de la región sombreada. y
x L: 8x+3y+24=0
11. De la gráfica, hallar "a". y L: 2x+3y - 20=0 P(a; - 2)
13. Calcular el área de la región triangular, formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 3x+2y - 12=0 14. Determine la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos A(2; - 3) y B(4; 4). 15. Determine la distancia del punto "A" a la recta que forman "B" y "C", siendo: A(- 6; 6), B(- 4; 8) y C(2; - 2). 16. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es - 4 y que pasa por la intersección de las rectas cuyas ecuaciones son: L1: 2x+y+8=0 L2: 3x - 2y - 9=0 17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 2) y por el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son: L1: 2x - 3y - 12=0 L2: x+3y - 6=0 18. Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas: 2x - y+5=0 x+y+1=0 y la intersección de las rectas: x - y+7=0 2x+y - 5=0 19. Calcular el área de la región triangular que determinan los puntos: A(2; 2), B(4; 7) y C(14; 3).
x 20. Halle la ecuación de la recta
12. De la gráfica, hallar "b". (-5; 8)
.
2
y
y
L2
L1: 4x - y - 16=0 x
b (3; 0)
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1
x
Unidad VIII
211
2
Geometría del espacio En este capítulo aprenderemos: •
A graficar figuras geométricas en el espacio.
•
A reconocer la perpendicularidad en el espacio.
•
A aplicar las propiedades de Geometría plana, en la resolución de problemas espaciales.
E
s la parte de la Geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran: el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, etc. La Geometría del espacio (también denominada estereometría) amplía y refuerza las proposiciones de la Geometría plana y es la base fundamental de la Trigonometría esférica, la Geometría analítica del espacio, la Geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. ¿Qué considera Ud. que es necesario saber para aprender la Geometría del espacio? ¿Qué figuras observas en la gráfica mostrada?
gallery.cabri.com/es/roof.html
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: •
Dos rectas secantes a)
b)
•
A qué es igual: a)
Colegios
212
5
C 2=
TRILCE
b)
6
C 3=
Geometría
•
Proyección de un segmento a)
b)
B
B
A
A
•
Indique cómo es el teorema de Thales.
Conceptos básicos Geometría del espacio Plano
P
Q
S
En los gráficos anteriores, se representan a los planos "Q"; "P" y "S". Se les debe considerar infinito. Axioma
Por una recta en el espacio (denominada arista), pasan infinitos planos.
Determinación del plano
I. Tres puntos no alineados
II. Dos rectas secantes
Unidad VIII
213
Geometría del espacio
III. Dos rectas paralelas
IV. Una recta y un punto exterior
Posiciones relativas de dos figuras en el espacio • Dos planos
Paralelos
•
Secantes
Coincidentes
Paralelas
Recta contenida
Un plano y una recta
Secantes
• Dos rectas
Colegios
214
Secantes
TRILCE
Paralelas
Alabeadas
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Geometría
2
Recta perpendicular a un plano Definición: Se dice que una recta es perpendicular a un plano, cuando dicha recta es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. L a Si:
Q
c
b
Q
L L L
a b c
Condición: Para que una recta sea perpendicular a un plano, es necesario y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano. L
P
a
Si: L L
b
a b
P
L
Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una perpendicular a un plano, se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano y se une el pie de la segunda con cualquier punto de la primera, se obtiene una tercera recta perpendicular a la recta contenida. E Si: EH y: HM
B H P
M
P AB
EM
AB
A
Teorema de Thales
Si: P // Q // S NL
B
Q
S
Central: 619-8100
A
P
C
E
F
H
M
N
L
Unidad VIII
215
Geometría del espacio
Síntesis teórica
PLANOS DETERMINACIÓN DEL PLANO
Tres puntos no alineados determinan un plano
•
Dos rectas secantes determinan un plano.
•
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.
Posiciones relativas de dos figuras en el espacio
Dos rectas secantes, alabeadas y paralelas.
Dos planos, un plano y una recta.
Perpendicularidad
Recta perpendicular a un plano
Colegios
216
TRILCE
Teorema de las tres perpendiculares
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Geometría 10 x 5 50
2
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Con cinco puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 2. Si se tienen cuatro rectas secantes dos a dos y en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 3. Graficar un plano, una recta contenida en él y una recta paralela al plano. 4. Grafique una recta contenida en un plano y otra recta alabeada a la anterior. 5. Grafique un plano y una recta perpendicular a dicho plano.
6. Sea "P" un plano y "L" una recta contenida en dicho plano. Luego, ubique un punto "Q" exterior al plano y trace una recta perpendicular a "L" trazada desde "Q" pero que no sea perpendicular al plano "P". 7. AB es un segmento exterior a un plano, tal que las distancias de "A" y "B" al plano, miden 5 y 9 cm. Si AB=7 cm, calcular la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano. 8. Una circunferencia de centro "O" y radio igual a 3 cm, se encuentra contenida en un plano "P". Se levanta la perpendicular OH al plano "P", de modo que HO=4 cm. Calcular la distancia de "H" a cualquier punto de la circunferencia mencionada.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
Resolución de problemas
1. Grafique lo que se indica:
3. Con siete puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar?
•
Un plano y los puntos "A" y "B" situados en semiespacios diferentes.
•
Un cubo y ubique dos rectas paralelas y dos rectas alabeadas.
•
Un triángulo equilátero ABC y levante BH perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo.
2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) y justifique su respuesta. •
Dos rectas alabeadas tienen un punto en común. .................................(__)
•
Tres puntos siempre forman un plano. .............................................(__)
La proyección de un segmento sobre un plano, es siempre otro segmento. .........(__)
•
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4. En el espacio, se tienen cinco rectas paralelas. ¿Cuántos planos como máximo se podrán formar? 5. En el espacio, se tienen seis rectas secantes. ¿Cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 6. Se tienen ocho rectas y seis puntos no alineados. Ubicándolos convenientemente, ¿cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 7. Sea AB un segmento exterior a un plano, tal que las distancias de "A" y "B" al plano midan 4 y 9 cm. Si AB=13 cm, calcular la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano. 8. PQ es un segmento que forma 45º con un plano. Si PQ=2 2 cm, calcular la proyección de PQ sobre dicho plano.
Unidad VIII
217
Geometría del espacio
9. Sea ABC un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Levante AH perpendicular al plano del triángulo, de modo que HA=7 cm. Calcular la suma de HB y HC. 10. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio y de centro "O". Levante la perpendicular OH al plano de este triángulo, de modo que HO=2 cm. Calcule la distancia de "H" hacia uno de los lados del triángulo ABC. 11. Una circunferencia de centro "O" tiene una cuerda AB que dista 3 cm del centro. Levante OP perpendicular al plano que contiene a dicha circunferencia, de modo que OP=6 cm. Calcule la distancia de "P" hacia la cuerda AB. 12. Grafique al triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos AB y BC midan 3 cm cada uno. Levante BQ perpendicular al plano de dicho triángulo, de modo que BQ=4 cm. Calcule el perímetro del triángulo AQC. 13. Grafique un cubo de 4 cm de arista, donde su base sea el cuadrado ABCD y una de sus alturas sea CF. Calcule el área del triángulo FBD.
14. Grafique al triángulo ABC, tal que AC=6 cm y su altura BH=3 cm. Perpendicularmente al plano de este triángulo, levante BS, de modo que BS=4 cm. Calcule el área de la región triangular ASC. 15. Sea ABCD un rectángulo de modo que CD=6'cm. Perpendicularmente a su plano, se levanta BQ, de modo que QD=10 cm. Calcule el área de la región triangular QDC. 16. Sean "P", "Q" y "R" tres planos paralelos entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y otra recta corta a dichos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcular el valor de "FH", sabiendo que: FH=EF+2, AB=6 cm y BC=9 cm. 17. Grafique a los planos "P", "Q" y "R" paralelos entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y otra recta corta a dichos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcular el valor de "FE", sabiendo que: EH=24 y AB/BC=2/3. 18. Grafique a los cuadrados ABCD y ABPQ de planos perpendiculares. Si el lado de estos cuadrados mide 6 cm, calcular la distancia entre sus centros.
Aplicación cotidiana 19. La figura muestra una construcción de dos pisos.
La columna del primer piso mide 2,5 metros y la columna del segundo piso mide "a" metros. Se desea construir el tercer piso, de modo que la distancia entre el primer piso y el techo del tercero sea de 8 metros. Si la columna del tercer piso mide "b" metros y excede a "a" en 0,3 metros, calcular "a - b".
20. La imagen nos muestra a un poste perpendicular al plano del piso y a su soporte que forma un ángulo de 53º con el plano del piso. Si la longitud del soporte es de 150 cm, calcular la longitud de su proyección sobre el plano y la distancia del pie del poste al punto de apoyo de su soporte.
Colegios
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Geometría
2
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Un segmento AB se proyecta sobre un plano obteniéndose otro segmento de 9 cm. Si la proyección de AB sobre una perpendicular a dicho plano es de 6 cm, calcule la longitud de "AB".
4. Grafique al triángulo equilátero ABC y levante MQ perpendicular a su plano, siendo "M" punto medio de BC. Calcule el área de la región triangular que une "Q" con los puntos medios de AB y AC, sabiendo que: QM=4 cm y AC=6 cm.
2. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, cuyo cateto AB mide 6 cm. Perpendicularmente a su plano, se levanta BQ , de modo que BQ=4 2 cm. Calcular el área de la región triangular AQC.
5. Una circunferencia de 3 cm de radio está contenida en un plano "P". Sea "A" un punto exterior a "P" tal que su distancia al plano sea de 4 cm y la mínima distancia de "P" a la circunferencia sea de 2 5 cm. Calcular la máxima distancia de "P" hacia dicha circunferencia.
3. Con 12 puntos en el espacio, 14 rectas secantes no coplanares y 8 rectas paralelas no coplanares, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar?
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafique lo que se indica:
•
Un plano y los puntos "A" y "B" situados en el mismo semiespacio.
•
Un cubo y ubique dos rectas alabeadas de modo que una sea la diagonal del cubo.
•
Un triángulo ABC y levante BH perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo, luego sombree la región triangular HAC.
5. Se tienen diez rectas y ocho puntos no alineados. Ubicándolos convenientemente, ¿cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 6. "P" y "Q" son planos paralelos y además la distancia entre ellos es AB y mide 6 dm. Si AC mide 10'dm, calcular el valor de "BC".
2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) y justifique su respuesta. • • •
Las rectas paralelas siempre determinan un plano. ..........................(__) Si dos rectas no se cortan, entonces necesariamente serán paralelas. ...........(__) La proyección de un segmento sobre un plano paralelo a él, es siempre otro segmento congruente a él. ............(__)
Q
A
C P
B
7. Si AB mide 7 dm y la distancia de "A" al plano "P" es de 5 dm, calcular la proyección de AB sobre "P". A
3. Con nueve puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 4. En el espacio, se tienen siete rectas paralelas. ¿Cuántos planos como máximo se podrán formar? Central: 619-8100
P
B
Unidad VIII
219
Geometría del espacio
8. Los planos "P", "Q" y "R" son paralelos. Calcu- 13. AB es un segmento que forma 53º con un plalar "x". no. Si AB=10 2 cm, calcular la proyección de PQ sobre dicho plano.
P
Q
A
E
8
x
14. La figura muestra al cuadrado ABCD de centro "O". Si: OF=3 cm y CD=4 cm, calcular la distancia de "C" a "F"; siendo OF perpendicular al plano del cuadrado.
B
F
12
16
C
F B H
R
C O
A
D
9. Sea "Q" un plano y EF un segmento, tal que "F" pertenece a "Q" y la distancia de "E" a "Q" es 15. Grafique al triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos AB y BC midan 5 cm cada uno. Levante de 9'dm. Si la proyección de EF en "Q" mide BQ perpendicular al plano de dicho triángulo 6'dm, calcular "EF". de modo que BQ=12 cm, luego, calcule el perímetro del triángulo AQC. 10. Si AB mide 5 dm y las distancias de "A" y "B" al plano "P" miden 4 y 8 dm, calcular la proyec16. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en ción de AB en P. una circunferencia de 4 cm de radio y de centro B "O". Perpendicularmente a su plano, se levanta BP, de modo que BP=4 2 cm. Calcule el perímetro del triángulo AOP. A 17. ABCD es un cuadrado de 24 cm de perímeP tro y cuyo centro es "O". Levante BP perpendicular al plano de este cuadrado, de modo que BP=4 3 cm. Calcule el área de la región triangular APC. 11. Sea ABC un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Levante AQ perpendicular al plano del 18. Grafique a los planos "P", "Q" y "R" paralelos triángulo, de modo que QA=8 cm. Calcular la entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", suma de QB y QC. "B" y "C" respectivamente y otra recta corta a di12. La figura muestra a dos cuadrados de planos perpendiculares. Calcular "EC". F
E
19. Grafique dos rectángulos congruentes y perpendiculares, cuya arista es el lado menor de los rectángulos. Calcular la distancia entre los centros de estos rectángulos, sabiendo que el lado mayor mide 12 cm.
B C
A
6 D
Colegios
220
TRILCE
chos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcular el valor de AC, sabiendo que: AB=x, BC=x+2, EF=10 cm y FH=14 cm.
20. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio y de centro "O". Levante la perpendicular OH al plano de este triángulo, de modo que HO=3 3 cm, luego, calcule la distancia de "H" hacia uno de los lados del triángulo ABC.
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Geometría
Poliedros o sólidos geométricos Poliedros regulares
3
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de poliedros y sus elementos.
•
A reconocer los cinco poliedros regulares.
•
A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de áreas y volúmenes de los poliedros regulares
U
rkm.com.au
na investigación realizada por expertos de la Universidad de Carolina del Norte (Estados Unidos), fue publicada en la revista especializada Nature y permitiría a los científicos acceder a información hasta ahora oculta sobre el virus del SIDA. En el artículo de dicha revista, se afirma que "los virus de ARN de una sola hebra (como el VIH) abarca una amplia gama de agentes infecciosos que causan el resfrío común, el cáncer, el SIDA y otras enfermedades graves". El VIH transporta su información genética con una estructura más complicada que la de otros virus. Al igual que la influenza, la hepatitis C y la poliomielitis, usa el ARN en lugar del ADN para transportar su información. La información del ADN que tiene dos hebras es relativamente fácil de decodificar, pero la del ARN (ácido ribonucleico), de una sola hebra, es mucho más difícil. Fuentes de ONUSIDA, el programa conjunto de las Naciones Unidas sobre el SIDA, saludaron la noticia y dijeron a BBC Ciencia: "Todo descubrimiento científico que eche luz sobre cómo se estructura el virus del VIH es un paso importante. Cuanto más sepamos sobre el carácter del virus, más cerca estaremos de encontrar una cura y desarrollar nuevos tratamientos para combatir la infección". •
¿Podrías decirnos qué forma poliédrica identificas?
Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: •
Polígonos a)
b) Convexo
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No convexo
Unidad VIII
221
Poliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
•
Algunas áreas a)
b)
l
l
l
b
•
3 4
l
a
l
Área=ab
Área=l 2
l Área=l 2.
l
c)
Suma de ángulos interiores
Si=180º(n - 2)
•
Recta perpendicular a un plano A
B
Conceptos básicos POLIEDROS Son aquellos sólidos geométricos cuyas caras son polígonos. El segmento común entre dos caras se denomina arista. Vértice
Cara
Arista
Poliedro convexo Colegios
222
TRILCE
Poliedro no convexo
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Geometría
3
Teorema de Euler
C=6 V=6 A=10
C=5 V=6 A=9
C+V=A+2
Siendo: C=Número de caras V=Número de vértices A=Número de aristas
Poliedros Regulares Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen cinco poliedros regulares: Forma de la cara
C
V
Tetraedro regular
Triángulo equilátero
4
4
Hexaedro regular (o Cubo)
Cuadrado
6
8
Octaedro regular
Triángulo equilátero
8
6
Dodecaedro regular
Pentágono regular
12
20
Icosaedro regular
Triángulo equilátero
20
12
A
Tetraedro regular
a
h Altura:
h
A=a2 3 a a
Central: 619-8100
h=
a 6 3 3
V= a 2 12
Baricentro de la base Unidad VIII
223
Poliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
Octaedro regular
Hexaedro regular (Cubo) a
a
A=2a2 3 a
3 2 V= a 3
d
a
a
D
A=6a2 D=a 3
d=a 2 a
V=a3
a
d Diagonal del sólido
Síntesis teórica POLIEDROS O SÓLIDOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES
La
do
A
D
E
B
H
POLIEDROS o SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
C
POLIEDROS REGULARES Son solo cinco (cuerpos platónicos)
TETRAEDRO REGULAR
HEXAEDRO REGULAR (cubo)
OCTAEDRO REGULAR
DODECAEDRO REGULAR
ICOSAEDRO REGULAR
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Geometría 10 x 5 50
3
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Graficar lo que se le indica:
•
•
•
Un hexaedro regular, una diagonal del sólido y la diagonal de la cara. Un tetraedro regular, la altura del sólido y la altura de una cara. Un sólido de base cuadrada y cuyas cuatro caras restantes sean triángulos.
2. Si la suma de las aristas de un tetraedro regular es de 12 cm, calcular el área y el volumen del sólido. 3. Grafique un hexaedro regular, donde la diagonal mida 6 3 cm, luego, calcule el área y el volumen.
4. La altura de la cara de un tetraedro regular mide 2 3 cm. Calcule el área del sólido. 5. Grafique a un octaedro regular de arista igual a 2 cm, luego, calcule su área. 6. Grafique a un octaedro regular, cuya diagonal mida 4 2 cm, luego, calcule el área de dicho sólido. 7. Grafique a un tetraedro y a un hexaedro ambos regulares, luego, calcule la relación de sus áreas, sabiendo que sus aristas son congruentes. 8. En un cubo, se inscribe una esfera de 3 cm de radio. Calcular el volumen del cubo.
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática
b) Hexaedro regular
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
D
• Un hexaedro está compuesto por seis cuadrados. ..............................(__) • Las caras de un pentaedro son pentágonos. .........................................(__) • Las caras de un octaedro regular son cuadrados. .....................................(__)
a
D=
2. Completar:
3. Graficar lo que se le indica:
• •
•
a) Tetraedro regular
a
Un cubo y sombree un plano diagonal. Un octaedro regular y un plano que lo parta en dos pentaedros iguales. Un tetraedro y la distancia de un vértice a una cara opuesta.
Resolución de problemas
Área=
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4. En un hexaedro regular, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta mide 6 cm. Calcule el volumen del sólido.
Unidad VIII
225
Poliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
5. Si el área de un tetraedro regular es de 4 3 cm2, calcule su volumen. 6. En un hexaedro regular, el número que expresa su volumen es el doble del número que expresa su área. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas. 7. Se tiene a un tetraedro regular ABCD cuya arista mide 12 . Calcular la distancia del vértice "B" al triángulo ACD. 8. La altura de la cara de un tetraedro mide 3 dm. Calcular el valor de su área. 9. Las aristas de un hexaedro y un tetraedro, ambos regulares, se encuentran en la relación de 2 a 3. Calcular la relación de sus áreas. 10. El área de un octaedro regular es de 8 3 cm2. Calcule su volumen. 11. Calcular la diagonal de un octaedro regular, cuyo volumen es de 72 2 cm3. 12. Calcular el área de una de las caras de un icosaedro regular, si su área total es de 40 dm2.
13. Si C: número de caras, V: número de vértices y A: número de aristas, ¿qué alternativa es correcta para el dodecaedro regular?
a) b) c) d) e)
C=12; A=12; V=30 C=12; V=12; A=20 C=12; V=20; A=12 C=12; V=30; A=20 C=12; A=30; V=20
14. Si la distancia del centro de una cara del cubo a un vértice de la cara opuesta es de 3 m, calcular el área de este sólido. 15. Se tiene el cubo ABCD-EFGH de arista "a". Calcular el área del cuadrilátero BCHE. 16. En un cubo ABCD-EFGH, calcular la medida del ángulo que forman AC y DG. 17. La arista del cubo mide 4 dm. Calcular la distancia de "B" al punto medio de HE. 18. Se tiene un octaedro regular y un tetraedro regular, donde la arista del segundo es el triple de la arista del primero. Calcular la relación de áreas de estos sólidos.
Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra la vista frontal de un diamante.
Conteste usted lo siguiente:
a) En esta vista, ¿por qué clase de polígonos está conformado este diamante? b) En esta vista, ¿en cada vértice de cuánto en cuánto concurren las caras de un vértice?
20. La figura nos muestra un recipiente cúbico portalapiceros de 10×10×10 unidades.
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Si la lámina del material externo de 5×5 unidades se vende a $1,5 y la lámina de 4×4 unidades de uso interno se vende a $0,8, calcular:
a) El costo de material externo para construir este recipiente. b) El costo total para construir este recipiente, sabiendo que las dimensiones interiores del cubo son de 8×8×8 unidades y que la mano de obra por el trabajo terminado es el 50% del costo total de material.
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Geometría
3
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. El área de un tetraedro regular es de 36 3 cm2. Calcular la longitud del segmento que une los centros de gravedad de dos caras.
4. Un sólido convexo está formado por seis cuadriláteros y cuatro triángulos. Calcular el número de aristas.
2. Grafique a un hexaedro regular de 6 cm de arista y calcule la distancia de su centro hacia una de sus aristas.
5. Un sólido convexo está conformado por tres cuadriláteros, seis triángulos y cuatro hexágonos. Calcular la suma de los ángulos de todas las caras del sólido.
3. En un octaedro regular se unen consecutivamente los centros de todas sus caras. ¿Qué sólido se forma?
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: •
Las caras de un hexaedro necesariamente son cuadrados. .....................................(__)
•
Si la arista de un octaedro regular mide "b", entonces su diagonal mide "b 3 ". ........(__)
El tetraedro regular tiene 3 diagonales. ...(__)
•
b) Hexaedro regular D d
a
D/d=
2. Completar:
a) Octaedro regular
a D
3. Un sólido está conformado por cuatro cuadriláteros y cuatro triángulos. Calcular la suma de los ángulos interiores de todas las caras. 4. En un hexaedro regular, calcular la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta, sabiendo que el volumen del sólido es de 8 cm3. 5. Calcular el área en cm2 de un tetraedro regular, sabiendo que su volumen es igual a 144 2 cm3.
D=
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6. En un hexaedro regular, el número que expresa su volumen es el triple del número que expresa su área. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas.
Unidad VIII
227
Poliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
7. Se tiene a un tetraedro regular ABCD cuya arista mide 12 . Calcular la distancia entre el plano ABC y el vértice "D". 8. La figura muestra el desarrollo de un cubo. Si el perímetro de este octógono es de 36 cm, calcular el área y el volumen del sólido.
15. En el cubo mostrado, "O" es el centro de la cara EFGH. Calcular el área del triángulo AOC. C B
G F O
10 H
A
9. Calcular el volumen de un tetraedro regular, en el cual la altura de una de sus caras es igual a 2 3 m. 10. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos diagonales de dos caras de un cubo que parten de un mismo vértice? 11. Se tienen los cuadrados perpendiculares ABCD y ABEF. Hallar "DE", si: BC=2 cm. 12. El área total de un tetraedro regular es 9 3 2. Calcular el volumen de dicho tetraedro. 13. En un cubo de 3 2 de arista, se unen tres vértices no consecutivos. Hallar el área del triángulo formado. 14. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): • Dos rectas pertenecientes a dos planos paralelos son paralelas entre sí. ..........(__) • Si dos rectas forman el mismo ángulo con un plano, entonces son paralelas entre sí. ...............................................(__) •
E
16. Hallar la relación en la que se encuentran las áreas totales de un tetraedro regular y un octaedro regular, si la arista del primero es el doble del segundo. 17. Dado un triángulo equilátero ABC, que se encuentra en un plano perpendicular a un cuadrado ABCD. Si el segmento de recta que une el punto medio de AC con el punto medio de BD, mide 2 m, calcular la diagonal del cuadrado. 18. Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo y de un octaedro regular, cuyas diagonales son congruentes. 19. Hallar el ángulo formado por las diagonales de dos caras opuestas de un cubo, si ambas diagonales no son paralelas. 20. En el gráfico, se muestra una caja (sin tapa) la cual tiene forma cúbica y debe ser pintada totalmente. ¿Cuánto costará pintarla, si por cada 100 cm2 se debe pagar un nuevo sol? (a=40'cm).
a
Si una recta es perpendicular a un plano, toda recta perpendicular a la primera es paralela al plano. ................................(__)
• Si dos planos son perpendiculares, entonces las rectas que pertenecen a dichos planos son perpendiculares entre sí. ...............................................(__)
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Geometría
Repaso
4
En este capítulo aprenderemos: •
A graficar figuras geométricas espaciales, aplicando conceptos de paralelismo, perpendicularidad y proyecciones.
•
A graficar a los poliedros regulares y aplicar las relaciones de áreas, diagonales y volúmenes, en la resolución de problemas matemáticos.
Síntesis teórica
EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS PLANAS, FORMAS GEOMÉTRICAS Y MANERAS DE CALCULARLAS
La línea recta
r b
Planos, rectas y perpendicularidad
m
Poliedros y poliedros regulares
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Unidad VIII
229
Repaso
Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta:
10. ¿Cuántas diagonales tiene un octaedro regular? Grafíquelos.
• • •
11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
Un cubo está compuesto por seis rectángulos. ..................................(__) Las caras de un tetraedro pueden ser triángulos escalenos. ......................(__) La recta: y=x, forma un ángulo de 45º con el eje de las abscisas. .............(__)
2. Completar convenientemente: Si dos rectas en el plano cartesiano son paralelas, entonces sus pendientes son ........................ . 3. Relacionar convenientemente: I. Rectas perpendiculares II. Pentaedro III. Ecuación simétrica de una recta
a) Pendientes iguales x y b) + =1 a b c) Sólido de cinco caras
d) Pendientes cuyo producto da - 1
4. Dada las rectas L1: 7x+2y=5 L2: 2x - 3y=12, calcular las coordenadas de su intersección.
• • •
Dos planos paralelos no tienen un punto en común. .................................(__) Cuatro puntos siempre forman un plano. .............................................(__) Dos rectas al cortarse forman un plano. .............................................(__)
12. Sea AB un segmento exterior a un plano "Q". Si las distancias de "A" y "B" al plano "Q" miden 6 y 11 dm, calcular la proyección de AB sobre "Q", si además: AB=13 dm. 13. Los planos "P", "Q" y "R" son paralelos entre sí. La recta L1 corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y la recta L2 corta a los mismos planos en "E", "F" y "H" en ese orden. Si: AB=x, BC=x+9, EF=x - 1 y FH=16, calcular el valor de "AC". 14. OB es perpendicular al plano "Q" y AB es diámetro del círculo contenido en "Q". Si AC y OC miden 4 y 6 dm, calcular el área de la región triangular AOC. O
5. La recta: 2x+3y+6=0, forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área se desea calcular. 6. Grafique a un tetraedro regular ABCD cuya arista mida 18 cm, luego, calcule la distancia entre los puntos medios de BC y CD. 7. Si la arista de un tetraedro regular mide 12 cm, calcular la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes. 8. Sea L1: 2x - 3y+12=0 L2 una recta que pasa por (0; 4) y forma 135º con el eje de las abscisas. Calcular el área de la región triangular que determinan dichas rectas con el eje de las abscisas. 9. Sea Q=(- 2; 5) y L: 2x+3y+6=0. Calcular la distancia de "Q" hacia .
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B Q
A
C
15. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide 3 dm. Por "B" se levanta BE perpendicular al plano del triángulo. Si BE=1 dm, calcular el área del triángulo AEC. 16. Un punto "P" dista 12 dm de un plano y un segmento de recta AB que está contenido en el plano mide 8 dm. Encontrar la distancia desde AB al pie de la perpendicular bajada desde "P", si: AP=BP=13 dm. 17. Se tienen 10 puntos en el espacio, luego, hallar el máximo número de planos que ellos pueden formar. www.trilce.edu.pe
4
Geometría
E
B
A a
a
P C
D
19. El volumen de todo cilindro se calcula multiplicando el área de la base con la altura del sólido. Si un cilindro tiene como diámetro de la base 10 cm y como altura el triple del radio, ¿cuánto será la capacidad de dicho sólido? 20. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
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18. Si "P" es el centro de una cara del cubo y "Q" el punto donde la recta EP corta al plano de la base ABCD, calcular el valor de "PQ".
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. La longitud del segmento que une los centros de gravedad de dos caras de un tetraedro regular es de 6 cm. Calcular su área y volumen. 2. Calcular el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular de 12 cm de arista.
4. Al unir los centros de todas las caras de un hexaedro regular, se obtiene un: 5. Sea "Q" el punto de intersección de las rectas: L2: 4x+5y=20. Calcular la L1: 3x - 2y=7 distancia de "Q" hacia la recta: x=8.
3. Sean las rectas L1: 2x+5y=20 L2: - 3x+2y=12. Calcular la distancia del punto de su intersección hacia el eje de las ordenadas. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafique a un octaedro regular cuya arista mida 4 2 cm, luego, calcule la distancia entre los puntos medios de dos aristas contiguas.
5. Graficar a las rectas L1: x=5 L2: y=3. Calcular el área de la región que forman dichas rectas con los ejes coordenados.
2. Si la arista de un octaedro regular mide 6 cm, calcule la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes.
6. Con 12 puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se podrán formar?
3. La recta: 5x - 2y+15=0, forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área se desea calcular. 4. Sea L1: 2x - 3y+12=0 L2 una recta que pasa por (0; 4) y forma 120º con el eje de las abscisas, calcular el área de la región triangular que determinan dichas rectas con el eje de las abscisas.
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7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • • •
La intersección de dos planos es un segmento. ...................................(__) Tres puntos siempre forman un plano. .............................................(__) Dos rectas paralelas siempre forman un plano. .................................(__)
Unidad VIII
231
Cuadriláteros
8. Sea AB un segmento de 26 dm de longitud y exterior a un plano "P". Si las distancias de los extremos de AB al plano "P" miden 12 y 22 dm, calcular la proyección de AB sobre dicho plano "P".
15. Sean 1 y 2 dos rectas alabeadas. En L1 se marcan los puntos "A" y "B" y en L2 se marcan "P" y "Q", de modo que AP es la mínima distancia entre L1 y L2. Si AP=AB=PQ y BQ=AP, calcular el ángulo que forman 1 y 2.
9. Sean "P", "Q" y "S" tres planos paralelos entre sí. La recta L1 corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y la recta L2 corta a los mismos planos en "E", "F" y "H" en ese orden. Si: AB=x, BC=2x+5, EF=6 y FH=3x+3, calcular el valor de "AC".
16. Se consideran 10 rectas y con ellas se obtienen como máximo "ab" planos. Si "a+b" es el número de puntos de un conjunto, calcular cuántos planos como máximo puede determinar dicho conjunto.
10. Si "O" es el circuncentro del triángulo EFG de 6'dm de circunradio y OQ mide 4 dm, calcular la distancia de "Q" al punto medio de FG.
17. La figura muestra a un cubo. Calcular el ángulo que forman CD y AB. B
A
Q
C G
E
D
O F 11. Dado el cuadrado ABCD de centro "O" y lado igual a 4 cm, levante OF perpendicular a su plano, de modo que OF= 7 cm. Calcule la distancia de "F" al punto medio de AD. 12. Calcular cuántos planos como máximo se pueden formar con 5 puntos no alineados y 6 rectas paralelas. 13. Sea PQR un triángulo equilátero de perímetro igual a 12 3'cm y circuncentro "O". Se levanta OF perpendicular al plano del triángulo equilátero PQR y se desea calcular el ángulo que forma FR con el plano de dicho triángulo. (OF=3'cm).
18. ABC y ABEF son dos polígonos regulares de planos perpendiculares. Calcular: FC/AE. E F
A
B
C
19. La distancia de un punto "P" a una recta contenida en un plano es de 13 dm. La distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de "P" al plano mide 12 dm. ¿Cuál es la distancia del punto "P" al plano?
14. En el gráfico, calcular "AC+AB", sabiendo que AF es perpendicular al plano FBC sombreado. A 8 8
F
C
6 B
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UNIDAD 9
Los sólidos geométricos más usuales
D
espués de haber estudiado la primera parte de Geometría del espacio, nos toca estudiar a los prismas, cilindros, pirámides, conos y esfera. En cada uno de estos capítulos encontraremos una lectura motivadora por separado. En la lectura de esta unidad quiero mostrarles las aplicaciones prácticas de estos sólidos. Por ejemplo, no hace poco que se ha puesto de moda el uso del cilindro, para preparar el pollo al cilindro, lechón al cilindro, en fin diversos potajes al cilindro. Este cilindro es de un radio variable, encontraremos algunos de radio igual a 25 cm y de espesor 0,9 mm, pintado solo por fuera y tiene una chimenea con tapa para regular el paso del aire. ¿Podría Ud. indicar algún uso práctico del cilindro y el cono? ¿Sabe Ud. qué es la pirámide truncada?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar los sólidos geométricos y diferenciar cada uno de ellos. • Identificar los elementos de los sólidos geométricos y el cálculo que se da entre ellos. Resolución de problemas • Calcula con los datos disponibles, los valores de los elementos en los sólidos geométricos. • Formula estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas donde se calcule la relación entre los sólidos geométricos.
1
Prismas y cilindros En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de prisma y sus elementos, así como las del cilindro.
•
A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de áreas laterales, totales y volumen en estos sólidos.
•
A asociar las relaciones de cálculo del prisma a la del cilindro.
n la naturaleza no es difícil hallar diversos cuerpos en forma de prisma. Por ejemplo, en México, podemos encontrar uno de los fenómenos geológicos más hermosos de la naturaleza y que involucran a los prismas, se trata de los Prismas Basálticos de Santa María Regla, ubicados en el estado de Hidalgo, relativamente cerca al Distrito Federal. Son columnas de basalto con un promedio de 30 metros de altura sobre los cuales fluye agua de cuatro cascadas como si se tratara de una fuente gigante. Reciben esta denominación debido a la forma que tienen de un prisma y lo de basalto, es por el tipo de roca de origen volcánico, rico en hierro y magnesio.
Conceptos básicos Prismas
Prisma recto C'
A'
B'
Área lateral (AL) Bases ABC y
ABASE
A'B'C'
Aristas laterales AA', BB', CC'
A
B
Caras laterales ABB'A', BB'C'C, ACC'A'
Perímetro ×h de la base
h: Altura del prisma h
Área total (AT)
Aristas básicas AB, BC, AC C
A L=
AT=AL +2ABase ABASE
Volumen (V) V=ABase ×Altura
Observación: Si las bases son polígonos regulares, entonces el prisma es regular.
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E
Geometría
Cilindros Cilindro recto de revolución Área lateral (AL) ABASE
Observación Paralelepípedo rectangular (rectoedro u ortoedro)
AL=2 gr
Generatriz
Área total (AT) AT=AL +2ABase
g
c
D
AT=2 r(g+r) Volumen (V)
r g: Generatriz r: Radio de las bases
A=2(ab+ac+bc)
V=ABase . g
D= a2+b2+c2
V= r2. g
V=abc
a
b
Síntesis teórica PRISMAS Y CILINDROS
Base Cara lateral
PRISMAS
Altura Base
Sólidos con dos bases congruentes y paralelas, las caras laterales son paralelogramos.
CILINDRO H
Sólido generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
r
c a
b
PARALELEPÍPEDO Es un prisma cuyas caras opuestas son congruentes y paralelas.
Unidad IX
235
Prismas y cilindros 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Grafique un prisma pentagonal e indique el número de caras, número de aristas y número de vértices.
6. El área lateral de un cilindro recto es de 90 cm2. Si el radio de la base es de 5 cm, calcular su capacidad.
2. Graficar un prisma triangular regular, cuya área de la base es 10 cm2 y su altura mide 12 cm. Calcular el volumen del sólido.
7. El área de la base de un paralelepípedo es de 30 cm2 y su altura es de 9 cm. Calcular el volumen del sólido.
3. Las dimensiones de un paralelepípedo son: 4; 6 y 3 3 cm. Calcular su volumen.
8. El desarrollo lateral de un cilindro recto, es un rectángulo de 6 cm de altura y 10 cm de diagonal. Calcular el radio de dicho cilindro.
4. Un cilindro de revolución tiene 6 cm como diámetro y 8 cm como generatriz. Calcular el área lateral y su volumen. 5. El radio de un cilindro circular recto es de 8 cm y su generatriz es de 5 cm. Realice el desarrollo lateral de este sólido y calcule la longitud de su base.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
b) Cilindro circular recto
• Un prisma cuadrangular tiene cuatro caras. ...................................................(__) • Las bases de un cilindro necesariamente son círculos. ........................................(__) • Las bases de un prisma siempre son paralelas. .............................................(__)
h r V=
2. Completar:
a) Prisma recto
3. Graficar lo que se le indica:
b a a
a
• Un paralelepípedo y dos diagonales del sólido.
•
Un prisma pentagonal.
•
Un cilindro recto y su desarrollo lateral.
V= Colegios
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Geometría
4. Relacionar correctamente:
1
B
I. Prisma triangular II. Paralelepípedo III. Cilindro recto a. La altura es igual a la generatriz b. Tiene cinco caras c. Todas sus caras laterales tienen un vértice común. d. Las caras opuestas son congruentes y paralelas Resolución de problemas 5. Se tiene un prisma triangular recto, donde las aristas básicas miden 6; 8 y 10 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido. 6. El área de la base de un cilindro circular recto es de 81 cm2 y su generatriz mide 6 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido.
A
C
13. La base de un prisma recto de 12 de altura, es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el lado de este triángulo, si el área lateral del prisma es 108 2? 14. Se tiene un prisma triangular cuyas aristas básicas miden 5; 6 y 7 cm. Si la arista lateral mide 10 cm, calcular el volumen del sólido. 15. En el prisma regular mostrado, el inradio de la cara lateral es de 4 cm. Calcular el área total.
7. En un paralelepípedo rectangular, una de las dimensiones de la base es de 5 cm y la diagonal de dicha base es de 13 cm. Si la altura del sólido es de 6 cm, calcular el área y el volumen del sólido. 8. La figura muestra a un cilindro circular recto de 8/ dm de radio y a su desarrollo lateral. Calcular el valor de "x".
r
16. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 4 y 8 dm. Si la altura del sólido mide 10 dm, calcular el volumen del sólido y su área lateral. 17. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son de 3; 4 y 6 dm. Calcular el valor de las aristas de un cubo que tenga la misma área que la del paralelepípedo.
x
9. El desarrollo de un cilindro es un rectángulo de base igual a 8 cm. Calcular el radio del cilindro.
18. El área de la base de un cilindro de revolución es de 25 dm2. Si la altura mide 6 dm, calcular el área lateral de otro cilindro que tenga el mismo radio, pero de doble volumen.
10. En un prisma recto, la base es un triángulo equilátero de 2 dm de lado. Si la arista lateral mide 6'dm, calcular el área total y el volumen de dicho sólido. 11. La base de un prisma triangular regular tiene un lado de 6 dm de longitud y la altura es igual al semiperímetro de la base. Calcular su volumen. 12. Calcular el área total del cilindro mostrado, sabiendo que: AB=15 y BC=9.
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Aplicación cotidiana
Unidad IX
237
Prismas y cilindros
19. La piscina de Andrea es de forma ortoédrica y tiene como dimensiones: 50 metros de largo, 15 metros de ancho y 2 metros de profundidad. Para llenar esta piscina, Andrea dispone de un grifo que arroja un caudal de 50 litros por segundo. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar la piscina? 20. Muchas veces hemos escuchado a las personas mayores hablar de la cilindrada del motor, de la compresión, etc. Partamos por
entender que un pistón tiene forma cilíndrica y por ejemplo un pequeño motor tiene 2,5×2,25, que significa 2,5 pulgadas de diámetro por 2,25 pulgadas de carrera (es decir de alto) el desplazamiento o cilindrada se obtiene, calculando el volumen del cilindro correspondiente.
Después de estos datos, calcule Ud. la cilindrada de un motor que tiene cuatro pistones de 3'pulgadas por 2 pulgadas.
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si la altura de un prisma regular mide 8 y el desarrollo de la superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 10 , calcular el volumen del prisma.
4. Si la diagonal de un rectángulo es el doble de su ancho y el largo es 6 3 cm, entonces, calcula el volumen que se genera cuando el rectángulo gira 360º sobre su lado mayor.
2. Un cilindro de revolución tiene un área lateral de 160 m2 y el área de su base es 100 m2. Calcular el volumen del sólido.
5. Un cilindro se encuentra inscrito en un cubo. La diagonal del cubo corta a la superficie lateral del cilindro en los puntos "P" y "Q". Calcular el área lateral del cilindro.
3. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCD EFGH. Si: FH=25; HG=7 y AE=1, calcular su volumen. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • Un prisma pentagonal tiene cinco caras. ...................................................(__) • Las bases de un cilindro pueden ser elipses. ................................................(__) • El cubo puede considerarse como una particularidad de un paralelepípedo rectangular. .........................................(__)
2. Completar:
a) Cilindro circular recto
h r AL=
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Geometría
b) Prisma recto
8. En un cilindro circular recto, su generatriz mide 8 dm y el radio de la base 5 dm. Calcular el área total del sólido. b a
a
a
9. Si el diámetro de un cilindro circular recto mide lo mismo que la altura y esta mide 12'cm, calcular el área total.
3. Relacionar correctamente:
10. Si las longitudes de las dimensiones de un paralelepípedo rectangular están en la relación de 1; 2 y 3 y su volumen es 48 3, calcular el área total.
I. Cilindro recto II. Prisma cuadrangular III. Rectoedro
11. El desarrollo lateral de un prisma hexagonal regular es un cuadrado de perímetro igual a 48 . Calcular el área lateral del prisma.
a. Todas sus caras laterales tienen un vértice común. b. Las caras opuestas son congruentes y paralelas. c. Tiene cuatro rectángulos como caras laterales y dos cuadriláteros como bases. d. La altura es igual a la generatriz.
12. El rectángulo mostrado se enrolla para formar un cilindro cuyo volumen es:
AL=
4 10
4. Se tiene un prisma triangular recto, donde las aristas básicas miden 5; 2 y 29 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido.
13. El área lateral de un rectoedro es 160 m2 y su altura mide 5 m. El perímetro de la base sería:
5. El área de la base de un cilindro circular recto es de 121 cm2 y su altura es de 5 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido.
14. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH. Si: AB=3 , AC=5 y AE=2 , hallar su volumen.
6. En un paralelepípedo rectangular, una de las dimensiones de la base es de 6 cm y la diagonal de dicha base es de 10 cm. Si la altura del sólido es de 9 cm, calcular el área y el volumen del sólido.
15. En un paralelepípedo rectangular, las áreas de tres de sus caras miden 48; 60 y 80'cm2. Hallar el volumen del sólido
7. En el cilindro circular recto que se muestra, se cumple: r=3 y OM=5, hallar el volumen. M
1
16. Calcular el volumen del prisma regular, sabiendo que el radio de la semicircunferencia inscrita en la cara lateral mide 4 cm y que "T" es punto de tangencia. T
O r
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Unidad IX
239
Prismas y cilindros
17. Si "A" es el área lateral de un cilindro recto y su altura mide "H"; luego su volumen será: 18. Calcular el volumen de un cilindro de revolución, si la altura mide 10 m y el desarrollo de la superficie lateral del cilindro tiene por área 100 m2. 19. El área total de un cilindro circular recto es 25,12'm2, ¿cuál es el radio de la base, si su generatriz es el triple del radio de la base? ( =3,14)
Colegios
240
TRILCE
20. La figura muestra a un cilindro recto de 12 cm de altura y donde BO forma 53º con la base. Calcular el área lateral y el volumen del sólido. O
B
O1
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2
Geometría
Pirámide - Cono - Esfera En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de pirámides y sus elementos, así como en el cono.
•
A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de áreas laterales, totales y volumen en las pirámides y conos.
•
A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de área y volumen en una esfera.
L
a Necrópolis de Gizeh, es un extraordinario conjunto funerario que data de la dinastía IV (2'600 - 2'480 a.C.). Aquí, encontramos la pirámide más grande y antigua a la vez del conjunto, ella es la que forja la tumba del faraón Keops (2'580'a.C).
blog.genteprevisiva.com.ve
Para tal construcción, fueron trasladados desde lejanas canteras, dos millones y medio de bloques de piedra, con un peso medio de 2,5 toneladas cada uno. Con una superficie de 48'000 m2, posee una base cuadrada y cada lado de la misma mide 233'm y su altura alcanzó en aquellos tiempos 146 m, sin embargo, hoy con el paso de los años y debido a diferentes factores, su altura oscila en los 138 m.
La Gran Pirámide de Ghiza, situada en las afueras de El Cairo, en Egipto.
Conceptos básicos PIRÁMIDE Vértice o cúspide
h
Arista lateral
V=
AB • h 3
Arista básica Base Central: 619-8100
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241
Pirámide - Cono - Esfera
PIRÁMIDE REGULAR O O: Vértice h: Altura OM: Ap=Apotema de la pirámide
p semiperímetro
Ap h
Área total (AT)
AT=AL+ABase
Volumen (V)
1 V= ABase . h 3
C
B
M
O1
A
AL=pBase . Ap
Área lateral (AL)
D
CONO CIRCULAR RECTO DE REVOLUCIÓN Vértice Generatriz (g) g
h
g
h
Altura (h)
r r
g
Área lateral (AL)
A L= r . g
Área total (AT)
AT= r . (g+r)
Volumen (V)
V=
g h O
r
1 . r2 . h 3
DESARROLLO LATERAL DEL CONO
g g h
2 r b= g
b g
2 r
El ángulo "bº" resulta en radianes.
r
Colegios
242
TRILCE
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Geometría
2
ESFERA Círculo menor Círculo mayor o máximo 2R
R
R
A=4 R2 V= 4 R3 3
HUSO Y CUÑA ESFÉRICA HUSO
CUÑA
R
AH=
R
R
R
R
. . R2 90º
V C=
. . R3 270º
CASQUETE ESFÉRICO (Zona esférica de una base) h
AC=2 R . h R
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Unidad IX
243
Pirámide - Cono - Esfera
Síntesis teórica PIRÁMIDE - CONO - ESFERA
PIRÁMIDE La base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos con un vértice común.
g
h r
CONO Sólido generado por un triángulo rectángulo, al girar una vuelta alrededor de uno de sus catetos.
ESFERA Sólido generado por un semicírculo, al girar una vuelta alrededor de su diámetro.
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. La base de una pirámide tiene como área 24 cm2 y su altura es 6 cm. Calcular su volumen. 2. Un cono circular recto tiene como área de su base 12 cm2 y su altura es 4 cm. Calcular su volumen. 3. El diámetro de una esfera es de 6 cm. Calcular su área y su volumen.
Colegios
244
TRILCE
4. Un cuadrado de 4 cm de lado es la base de una pirámide regular. Si la altura del sólido es de 2 cm, calcular la longitud de su apotema y la arista lateral. 5. Un cono circular recto tiene como radio 6 cm y su altura es 8 cm. Calcular la longitud de la generatriz y su área lateral. 6. En una pirámide regular, su base es un triángulo de 6 cm de lado y la altura del sólido es el doble de la altura de la base. Calcular su volumen. www.trilce.edu.pe
Geometría
7. Un cono circular recto tiene como área lateral 2 13 cm2. Si el radio de la base es 2 cm, calcular el volumen del cono.
8. La arista de un cubo es 3 4 cm, calcular el radio de una esfera que tenga el mismo volumen del cubo.
2
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • Una pirámide cuadrangular, tiene cuatro caras en total. ......................................(__) • El cono recto se genera al hacer girar a un rectángulo, alrededor de uno de sus lados. .............................................(__) • En una esfera, el radio de un círculo máximo es mayor al radio de la esfera. ..................................................(__) 2. Relacionar correctamente, sabiendo que "r", "g" y "h" son el radio, la generatriz y la altura de un cono respectivamente y además "R" es el radio de una esfera. I. Área lateral II. Área de la esfera III. Volumen del cono
a. 4 r2 b. rg c. 4 R2 d. r2h/3
3. Graficar lo que se le indica:
•
• •
Una pirámide pentagonal y sombree una de las caras laterales. Una esfera inscrita en un cubo. Un prisma triangular regular y un cono inscrito en dicho prisma.
Resolución de problemas 4. Una pirámide cuadrangular regular, tiene como arista básica 10 cm y como apotema 13 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido.
6. Graficar una esfera, donde el número que expresa su volumen es el doble del número que expresa su área. Calcular el valor del radio. 7. Sean "r" y "R" los radios de una semiesfera y una esfera que tienen el mismo volumen. Calcular: r/R. 8. Una pirámide regular, tiene como arista básica 6'cm y como altura 9 cm. Esta pirámide es cortada mediante un plano paralelo a la base y que dista 6 cm de dicha base. Calcular el perímetro de la sección que se determina. 9. Un cono recto de 5 cm de radio, es cortado mediante un plano paralelo a su base, determinando una sección de 2 cm de radio. Calcular la relación de las áreas laterales del cono menor determinado y del cono inicial. 10. Una esfera es cortada mediante un plano que dista 3 cm de su centro y determina un círculo de 8 cm de diámetro. Calcular la longitud del radio de la esfera. 11. Un cono recto de 6 cm de altura, es cortado mediante un plano paralelo a su base que dista 2'cm de su vértice. Calcular la relación de volúmenes del cono menor y del cono original. 12. El radio de la base de un cono mide 4 dm y la altura mide 3 dm. Calcular el valor de su área total y el ángulo que se determina en el desarrollo lateral. 13. Hallar el apotema de una pirámide cuadrangular regular, si la altura mide 15 cm y el volumen 1 280 cm3.
5. La generatriz de un cono recto es de 3 5 cm y el diámetro de la base es de 6 cm. Calcular el área lateral y el volumen del sólido.
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Unidad IX
245
Pirámide - Cono - Esfera
14. Hallar la razón entre el área lateral y el volumen del cono recto, si: r=4 cm.
17. En el cono, la medida del ángulo AOB=90º y el radio de la base es 2 cm. Hallar su volumen (AB es diámetro de la base). O
r
A
60º
15. En un cono de revolución, el radio mide 4 dm y la generatriz mide 8 dm. Calcular el área lateral de un cilindro que tenga la misma altura y el doble del radio del cono.
2
B
18. En un cilindro circular recto, se encuentra inscrita una esfera. Si el área lateral del cilindro es 100 cm2, calcular el área de la esfera.
16. En una pirámide triangular regular, el producto del apotema con la arista básica es 8 m2, hallar el área lateral de dicha pirámide. Aplicación cotidiana 19. Un recipiente sin tapa tiene la forma de una pirámide regular invertida, donde su altura mide 3 pies y su base es un hexágono inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 2 pies. Se desea pintar 100 de estos recipientes por dentro y por fuera, para lo cual se utilizará pintura, donde con un galón se puede pintar 470 pies cuadrados. Determine la cantidad de galones de esa pintura que se necesitarán para pintar los 100 recipientes. 20. Un globo esférico contiene originalmente 32 /3'cm 3 de aire. Luego de inflarlo más, se halla que su diámetro ha crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se incrementó.
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Se tiene un cubo de 2 dm de arista y una esfera
inscrita en él. En su vértice "A" del cubo y a una distancia "x" de él, se señalan los puntos "P", "Q" y "R" en las aristas que confluyen en "A". Determinar el volumen de la pirámide APQR, si el plano PQR es tangente a la esfera.
2. Dada una pirámide hexagonal, la arista de la base es "b". Si la arista lateral mide "3b", hallar la distancia del pie de la altura a una arista lateral. Colegios
246
TRILCE
3. En un cono de revolución, se inscriben dos esferas de radios 2 y 6 dm. Calcular el volumen del cono. 4. Se construye un cono circular recto de 10 dm de altura y se le inscribe una esfera de 8 dm de diámetro. ¿Cuál es el volumen del cono?
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Geometría 18:10:45
2
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
10. Del gráfico, hallar el área total del cono.
• La esfera se genera al hacer girar a un semicírculo 180º alrededor de su diámetro. .............................................(__) • En un cono circular recto, la generatriz puede ser menor a la altura. .................(__) 2. Relacionar correctamente, sabiendo que "r", "g" y "h" son el radio, la generatriz y la altura de un cono respectivamente y además "R" es el radio de una esfera. I. Área total II. Volumen de la esfera III. Volumen del cono
a. r2h/3 b. rg+ r2 c. 4 R3/3 d. 4 R2
3. Una pirámide cuadrangular regular, tiene como arista básica 12 cm y como apotema 10 cm. Calcular el área total y el volumen del sólido. 4. La generatriz de un cono recto es de 2 10 cm y el diámetro de la base es de 4 cm. Calcular el área total y el volumen del sólido. 5. Graficar una esfera donde el número que expresa su volumen es el triple del número que expresa su área. Calcular su volumen. 6. Sean "r" y "R" los radios de una semiesfera y una esfera cuya relación de volúmenes es de 1 a 16. Calcular: r/R. 7. Una pirámide regular tiene como arista básica 6'cm y como altura 12 cm. Esta pirámide es cortada mediante un plano paralelo a la base y que dista 3 cm del vértice. Calcular el área de la sección que determina dicho plano. 8. Un cono recto de 6 cm de radio, es cortado mediante un plano paralelo a su base, determinando una sección de 3 cm de radio. Calcular la relación de volúmenes del cono menor determinado y del cono inicial. 9. Una esfera es cortada mediante un plano que dista 5 cm de su centro y determina un círculo de 144 cm2 de área. Calcular la longitud del radio de la esfera. Central: 619-8100
10
74º
11. En un cono recto de revolución, el punto medio de una generatriz dista de la base 6 dm. Si el radio es de 4 dm, calcular la capacidad de dicho cono. 12. Hallar el volumen que se genera al rotar 360º, la región sombreada, sobre la recta "L". B 10 A
37º
45º
L
C
13. Calcular el radio de una esfera equivalente a un cubo de arista 4 cm. 14. Calcular el área generada al rotar 360º el arco AB sobre AO.
A 4u O
B
4u
15. La arista de una pirámide cuadrangular regular mide 12 y el volumen del sólido es de 384 3. Calcular el área total de dicha pirámide. 16. Calcular el volumen generado al rotar 360º sobre , la región sombreada. 5 3 L Unidad IX
247
Pirámide - Cono - Esfera
17. Calcular el área de la superficie esférica, si: MN=7 , ("T" y "P" son puntos de tangencia).
19. En la figura se muestra el desarrollo de un cono recto. Calcular el volumen del cono.
N 37º
8
P T
M
18. Se tiene una pirámide regular de base cuadrada y volumen igual a 270 dm3. Si la arista mide 9'dm, calcular la altura del sólido.
Colegios
248
TRILCE
8 20. La generatriz de un cono mide 12 dm y la superficie lateral desarrollada forma un semicírculo. Calcular el volumen de dicho cono.
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Geometría
Repaso
3
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los elementos asociados a los prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.
•
A aplicar las relaciones para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes en los diferentes sólidos mencionados anteriormente.
Síntesis teórica LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS MÁS USUALES
Base Cara lateral
Altura
PRISMAS y CILINDROS
Base
g
h
PIRÁMIDES y CONOS
r
ESFERA
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249
Repaso
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Una recta pasa por los puntos A(3; 5) y 5. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a B(- 1; - 8). Calcular la ecuación de dicha recta. un cubo cuya diagonal mide 6 3 m. 2. Una recta L1, pasa por los puntos P(1; 0) y Q(6; 4). Calcular la ecuación de otra recta L2 que es perpendicular a L1 y que pasa por el punto (- 5; 1). 3. Los vértices de un triángulo ABC tienen como coordenadas A(2; 8), B(- 6; - 2) y C(6; - 4). Calcular las coordenadas del baricentro y el área de dicho triángulo. 4. El volumen de un cubo es 64 m3. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide igual que la del cubo.
6. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, cuya arista básica mide 10 m y la apotema de la pirámide mide 13 m. 7. El volumen de un cilindro recto es de 36 m3. Calcular el volumen del prisma hexagonal regular, inscrito en dicho cilindro. 8. Calcular el volumen de un octaedro regular, cuya diagonal es igual a la diagonal de un paralelepípedo rectangular cuyas dimensiones son 3; 4 y 5 m.
Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
6. Calcular la pendiente de la recta: L: 3x+5y - 1=0
• El cono recto de revolución, es generado por la rotación de un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados. ............(__) • El área de una esfera de diámetro "d" es igual a 8 d2. .......................................(__) • Una pirámide hexagonal tiene siete caras. ..................................................(__)
7. Del gráfico, hallar "x+y"
2. Una esfera de 4 cm de radio, es cortada mediante un plano que pasa por su centro. Calcular el área de una de las partes que se determina. 3. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es 5 2 m. Sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 1 m, hallar el volumen del sólido. 4. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P(- 1; 4) y Q(5; - 4)? 5. Calcular la pendiente de la recta: L: 4x - 2y+1=0
Colegios
250
TRILCE
y A(- 4; 4) x (0; - 3)
P(x; y) 8. En un cubo se inscribe una esfera de radio "r". El volumen del cubo será: 9. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto. Luego, la relación de los volúmenes de estos sólidos es:
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Geometría
10. La figura muestra a un tetraedro regular y a un hexaedro regular. Si sus aristas están en la relación de 2 a 3, calcular la relación de sus áreas.
11. En el problema anterior, la relación de volúmenes de los sólidos es: 12. Un cilindro recto está inscrito en un prisma cuadrangular regular de 10 m de altura. Calcular el volumen del cilindro, si la diagonal de la base del prisma mide 12 2 m. 13. Calcular el volumen de un cono circular recto, cuya generatriz mide 18 y su área total es igual a la de un círculo de 12 de radio. 14. Si la distancia de un vértice a la diagonal del cubo mide 6 cm, hallar su volumen.
17. La relación de áreas de una esfera inscrita y otra circunscrita a un cubo es:
3
18. Se tiene un cono circunscrito a dos esferas cuyos radios miden 1 y 3 . ¿Cuál es el volumen del cono? 19. Una empresa necesita enlatar productos para exportación y los requerimientos exigidos son: que el envase debe ser cilíndrico, con una capacidad de 400 cm3 y un diámetro de longitud igual a 15 cm. Si se desea colocar una etiqueta adhesiva que recubra la superficie lateral externa, ¿cuánto material deberá utilizarse en la elaboración de 1 000 latas? 20. Se nos ha entregado una orden de trabajo para producir 1 000 cojinetes de bronce, cuyas especificaciones son: 5 cm de radio exterior, 4 cm de radio interior y 3 cm de largo. Además se sabe que en el proceso de fundición del bronce se tiene una pérdida del 10% del material fundente. ¿Qué cantidad de bronce (cm3) hay que considerar en la fundición para obtener el número de cojinetes que se nos ha solicitado?
15. Se tiene una pirámide regular cuadrangular, cuyo apotema es igual al lado de la base y su área lateral es de 128 m2. Calcular la altura de la pirámide. 16. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un cono recto, en el cual el radio de la base y la altura miden 6 y 8 cm respectivamente.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si los vértices de un triángulo son: A(1;1), B(- 1; 5) y C(5; 3), calcular la longitud de la mediana relativa al lado AB. 2. En el triángulo anterior, determine la longitud de la mediana relativa al lado AC.
3. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada: y A(- 2; 0)
x B(7; - 2)
C(3; - 8)
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Unidad IX
251
Repaso
4. Se tiene un triángulo ABC, cuyos vértices son: A(3; - 5), B(- 7; 13) y C(0; 9). Calcular el área del triángulo formado por los puntos medios de los lados del triángulo ABC.
5. Si el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(m+n; 9) y B(- 5; m - n) es M(5; 3), calcular "m/n".
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
10. Calcular el área total de un cono recto, si su generatriz mide 26 m y su altura 24 m.
11. Calcular la ecuación de la recta, que pasa por (1; 1) y sea perpendicular a la recta: L1: 3x+2y - 1=0
•
• •
En un paralelepípedo, el cuadrado de su diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. ................(__) El área de una esfera de diámetro "d" es igual a 4 d2. ....................................(__) El cono recto de revolución, es generado por la rotación de un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos. ......................................(__)
2. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado, se necesitan para recubrir las caras de una piscina que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 10 m de largo por 6 m de ancho y 3 m de profundidad? 3. Calcular el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 cm y la suma de sus tres dimensiones es 82 cm. 4. La generatriz y la longitud de la base de un cilindro recto miden 6 cm cada una. Hallar el volumen de dicho cilindro. 5. Halle la ecuación de la recta que pasa por A(1; 2) y B(3; 5). 6. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P(- 1; 2) y Q(2; - 2)?
13. Si dos vértices opuestos de un cuadrado son A(1; 3) y C(7; 9), calcular el perímetro del cuadrado. 14. Se tiene un prisma cuadrangular regular, de altura igual a la diagonal de su base. Si su área lateral es 64 2 m, hallar su volumen. 15. Calcular el apotema de una pirámide cuadrangular regular de 384 cm3 de volumen y cuya altura mide 8 cm. 16. Se tiene una pirámide regular hexagonal, cuyo perímetro de la base es 36 cm y su altura mide igual a la diagonal de su base. Calcular el volumen del sólido. 17. Calcular el área de la esfera circunscrita a un cubo, si el área de la esfera inscrita es 60 2.
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1; 2) y Q(3; - 2).
18. Se tiene un prisma triangular regular de 8 cm de altura. Si el radio de la circunferencia inscrita en su base mide 2 cm, hallar el volumen del prisma.
8. El número que expresa el volumen de una esfera es igual a dos veces el número que expresa su área. Luego el volumen de la esfera es:
19. La generatriz y el diámetro de la base de un cilindro recto son congruentes. Si su área lateral es de 16 dm2, hallar su volumen.
9. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un cilindro recto y un cono recto inscrito en el cilindro?
20. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar 360º, la región de un triángulo rectángulo, alrededor de un cateto que mide 12 m, sabiendo que su hipotenusa mide 15 cm.
Colegios
252
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(3; 2) y sea paralela a la recta L1: x+2y+1=0
TRILCE
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