Geometría y Trigonometría. Matemáticas Con Aplicaciones 2 - Acevedo, Valadez, Vargas

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Matemáticas con aplicaciones 2

VITALIANO ACEVEDO SILVA Profesor de la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México

MARCO ANTONIO VALADEZ SÁNCHEZ Profesor de la Escuela Normal Superior de México

EUSEBIO VARGAS BELLO Profesor de la Escuela Normal Superior de México Profesor de la Universidad Tecnológica "Fidel Velázquez"

Revisión técnica: ALEJANDRO ROSAS SNELL Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica Instituto Politécnico Nacional Profesor de Matemáticas en el Colegio de Bachilleres

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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Matemáticas con aplicaciones 2

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1999, respecto a la primera edición por McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies, Inc. Cedro No. 512, Col. Atlampa 06450 México, D.F. Delegación Cuauhtémoc Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 978-970-10-2081-4 1234567890

D.U.-99

0876543219

Impreso en México Esta obra se terminó de imprimir en Marzo de 1999 en Diagráficos Unión, S.A. de C.V. Calle Azucena Núm. 29 Col. Hacienda de la Luz Atizapán de Zaragoza C.P. 54500 Edo. De México Se tiraron 5,000 ejemplares

Printed in México

CONTENIDO

PRIMERA PARTE: GEOMETRÍA CAPÍTULO I Conceptos básicos de geometría.................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Geometría............................................................................................................................. Método deductivo ................................................................................................................ Aplicación de la geometría en la cartografía........................................................................ Conceptos geométricos ........................................................................................................ Proposición .......................................................................................................................... Trazo con regla y compás..................................................................................................... Resumen............................................................................................................................... Ejercicios .............................................................................................................................

1 1 2 3 6 7 15 19 37 37

CAPÍTULO II Ángulos ......................................................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Definición, notación y medida ............................................................................................. Unidades de medida de los ángulos...................................................................................... Longitud de arco .................................................................................................................. Clasificación de ángulos....................................................................................................... Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante..................................................... Teoremas referentes a ángulos.............................................................................................. Resumen ............................................................................................................................... Ejercicios.............................................................................................................................. Problemas.............................................................................................................................

40 40 41 43 48 49 58 61 64 65 69

CAPÍTULO III Triángulos.................................................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Definición y notación ........................................................................................................... Clasificación de los triángulos .............................................................................................. Puntos y rectas notables en el triángulo ................................................................................ Congruencia ......................................................................................................................... Semejanzas ........................................................................................................................... Demostración de teoremas.................................................................................................... Aplicaciones ........................................................................................................................ Resumen ............................................................................................................................... Ejercicios..............................................................................................................................

70 70 70 72 74 77 80 83 88 91 92

IV

Contenido

CAPÍTULO IV Polígonos...................................................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Definición y elementos de polígonos ................................................................................... Clasificación de polígonos................................................................................................... Cuadriláteros........................................................................................................................ Aplicaciones......................................................................................................................... Resumen............................................................................................................................... Ejercicios .............................................................................................................................

97 97 98 100 105 112 115 117

CAPÍTULO V Circunferencia y círculo .............................................................................. Introducción......................................................................................................................... La circunferencia ................................................................................................................. Ángulos en la circunferencia ................................................................................................ Relaciones métricas ............................................................................................................. Polígonos regulares en la circunferencia ............................................................................. Círculo ................................................................................................................................. Resumen............................................................................................................................... Formulario ........................................................................................................................... Ejercicios .............................................................................................................................

121 121 123 129 137 141 154 159 160 161

CAPÍTULO VI Perímetro, área y volumen......................................................................... Introducción......................................................................................................................... Perímetro ............................................................................................................................. Área ..................................................................................................................................... Sólidos geométricos............................................................................................................. Volumen ............................................................................................................................... Área de los poliedros regulares ............................................................................................ Volumen de los poliedros regulares ..................................................................................... Resumen............................................................................................................................... Ejercicios .............................................................................................................................

164 164 164 168 177 181 193 195 197 199

CAPÍTULO VII Traslaciones geométricas........................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Traslación ............................................................................................................................ Rotación de la figura............................................................................................................ Simetría................................................................................................................................ Homotecia......................... .................................................................................................. Resumen .............................................................................................................................. Ejercicios .............................................................................................................................

203 203 203 206 208 219 224 225

Contenido

V

SEGUNDA PARTE: TRIGONOMETRÍA CAPÍTULO VIII Funciones trigonométricas ...................................................................... Introducción ......................................................................................................................... Funciones trigonométricas de ángulos agudos, definidas en un triángulo rectángulo ........... Resumen............................................................................................................................... Ejercicios.............................................................................................................................. Tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas ................................................

232 232 233 273 275 279

CAPÍTULO IX Identidades trigonométricas........................................................................ Introducción ......................................................................................................................... Justificación de identidades trigonométricas........................................................................ Demostración de identidades ............................................................................................... Identidades de la suma y diferencia de dos ángulos.............................................................. Identidades del ángulo doble y triple .................................................................................... Identidades de la mitad del ángulo....................................................................................... Sumas y diferencias transformadas en productos ................................................................. Demostración de algunas identidades ................................................................................... Resumen ............................................................................................................................... Ejercicios..............................................................................................................................

287 287 287 289 297 303 307 310 316 319 320

CAPÍTULO X Solución de triángulos.................................................................................. Introducción.......................................................................................................................... Triángulos rectángulos.......................................................................................................... Fórmula de Herón................................................................................................................. Resumen ............................................................................................................................... Ejercicios.............................................................................................................................. Problemas .............................................................................................................................

322 322 322 334 339 340 342

CAPÍTULO XI Ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas....................... Introducción.......................................................................................................................... Ecuaciones trigonométricas.................................................................................................. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas............................................................................ Resumen .............................................................................................................................. Ejercicios .............................................................................................................................

345 345 345 357 365 366

Bibliografía ................................................................................................................................

368

PRÓLOGO El presente libro aborda los contenidos básicos del curso de geometría y trigonometría del nivel medio superior. Toca el turno al texto número dos de la serie Matemáticas con aplicaciones, que tiene como propósito apoyar al maestro en la enseñanza y enriquecer el aprendizaje de los alumnos. La finalidad de esta serie consiste en buscar la aplicación, en la vida cotidiana, de los conocimientos que se estudian y aprenden. Se pretende, a través de problemas prácticos, desarrollar los contenidos sin perder la profundidad y la formalidad de los conocimientos matemáticos que requiere el alumno de este nivel. La estructura didáctica de la serie está conformada de cinco etapas; primero, se parte del planteamiento de uno o varios problemas; después, se explica cómo se resuelven; a continuación, se formaliza el contenido matemático aplicado; más tarde, se resuelven varios ejemplos y al final de cada capítulo se presenta una serie de ejercicios y problemas de aplicación. Deseamos que este libro sea de utilidad para apoyar tanto al maestro como al alumno.

Los Autores

Primera parte: Geometría

CAPÍTULO I Conceptos básicos de geometría

INTRODUCCIÓN Geometría prehelénica Las primeras consideraciones geométricas se realizaron con la finalidad de interpretar los fenómenos naturales y objetos físicos. Uno de los primeros conceptos geométricos fue el de distancia, la noción para desplazarse de un punto a otro. La necesidad de limitar las extensiones de terreno produjo las figuras geométricas como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo; en tanto, la construcción de viviendas dio origen a las líneas rectas, paralelas y perpendiculares; la circunferencia se usó por primera vez para representar el Sol, la Luna y el arco iris; y también se aplicó la geometría en ornamentos y decoraciones.

Egipto En la cultura egipcia florecieron varias ramas de la ciencia: medicina, ingeniería, matemáticas, etc. Un antecedente de la matemática lo encontramos en el Papiro de Rhind, escrito por Arnés en 1700 a.C. y considerado como uno de los monumentos del saber, en el cual se exponen 180 problemas geométricos. Los conocimientos geométricos fueron aplicados en agricultura, agrimensura o tendedores de cuerda y en la construcción de la gran pirámide.

Grecia Tales de Mileto (640-546 a.C). Considerado uno de los Siete Sabios de la humanidad, fue de los principales fundadores de la geometría sistemática; utilizó el método deductivo en la geometría y estableció la escuela jónica. Pitágoras (569-500 a.C). En geometría, desarrolló las propiedades de las rectas paralelas y su aplicación en la demostración del teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Platón (429-348 a.C). Fundó la escuela llamada la Academia; dividió la geometría en elemental y superior. Consideró que la geometría elemental debía dedicarse al estudio de todos los problemas

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CAPÍTULO I

que se tenían que resolver con regla y compás. Llamaba superior a aquella que trataba de solucionar los tres problemas clásicos que se deberían resolver con regla y compás: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Para la cuadratura del círculo es necesario conocer el número p, que es la razón de la longitud de la circunferencia y el diámetro; el área del círculo es A = pr2 y el área de un cuadrado de lado l es A = l2; por lo tanto, podemos expresar esto comparando las dos áreas A2 = pr2 y al despejar A tenemos que A = finalmente se tiene A= . En Grecia y las civilizaciones posteriores, los innumerables intentos por solucionar dichos problemas fueron la base para un pronto desarrollo de todas las ramas de la matemática; sin embargo, aún no se han resuelto esos problemas, pues en la cuadratura del círculo interviene la constante que, aparece afectada por la raíz cuadrada, es decir, la raíz cuadrada de un número irracional. Euclides (300-275 a.C). En su obra principal, Los elementos, hay un total de 465 proposiciones de teoría de números y geometría, con lo cual resume de una manera exhaustiva la matemática existente hasta su época. Dicha obra es la base de la geometría actual, conocida como geometría euclidiana y la cual fue conservada por los árabes y posteriormente traducida a todos los idiomas; está formada por 13 tomos o libros: • Los libros I, II, IV y VI abordan las líneas, áreas y figuras planas regulares simples, temas desarrollados en su mayoría por los pitagóricos. • El libro III trata lo relacionado con el círculo. • El libro V, en el cual se desarrollan los trabajos de Eudosio acerca de las proposiciones relativas a las figuras semejantes. • Los libros VII, VIII y IX contienen aspectos aritméticos. • El libro X trata sobre los números irracionales. • El libro XI aborda los temas de geometría elemental del espacio. • Libro XII. Desarrolla el método exhaustivo, en la demostración del teorema de Hipócrates para obtener el área del círculo A = • Libro XIII. Aborda las demostraciones de la construcción de los cinco cuerpos geométricos regulares y finaliza con el dodecaedro, el cual es considerado como símbolo para representar el universo.

GEOMETRÍA Es una rama de las matemáticas, en la cual se utilizan puntos, rectas, planos, ángulos, etc., para interpretar los diversos fenómenos naturales; se usa y aplica en la vida real, como una herramienta en la construcción de carreteras, edificios, casas, etcétera. Geometría: Parte de la matemática dedicada al estudio de las formas y propiedades de los cuerpos naturales. La palabra se deriva de los vocablos griegos geo = Tierra y metron = medida de la Tierra.

Conceptos básicos de geometría

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Geometría plana La geometría plana se dedica al estudio de las figuras planas, como las presentadas en la figura 1.1.

FIGURA 1.1

Geometría del espacio Es la parte de la geometría que estudia los cuerpos geométricos sólidos, los cuales tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto (véase figura 1.2).

FIGURA 1.2

MÉTODO DEDUCTIVO Es un método usado por la ciencia y principalmente por la geometría, el cual consiste en pasar de lo general a lo particular, como cuando decimos "todos los cuadriláteros son polígonos, algunos polígonos son cuadriláteros". El método deductivo encadena conocimientos considerados verdaderos, para alcanzar otros nuevos o generalizaciones a través de una secuencia lógica; dichos conocimientos son axiomas, postulados, definiciones, etc., donde se utilizan las reglas de la lógica y se parte de lo general a lo particular.

Demostración Los griegos implantaron el procedimiento de la demostración, para explicar de un modo simple y corto la comprobación de proposiciones; así, la demostración se convierte en un arte que comprende una serie de etapas y sigue una secuencia lógica. Es una cadena de proposiciones verdaderas para llegar a otra proposición quizá más general.

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CAPÍTULO I

El método deductivo se basa en el razonamiento lógico y abarca los siguientes aspectos: 1. Enunciación: Consiste en mencionar una proposición general y de ella enumerar una serie de aspectos relacionados con un objeto dado. Ejemplo: Polígonos que tienen cuatro lados son cuadriláteros. 2. Enunciación de proposición particular. Ejemplo: Todos los cuadrados tienen cuatro lados. 3. Inferencia de una deducción que sea consecuencia lógica de aplicar una proposición general sobre una particular. Ejemplo: Todos los cuadrados son cuadriláteros. En esta inferencia, todos los cuadrados es una proposición particular y cuadriláteros es una general. Demostración. Es el proceso mediante el cual se puede comprobar un teorema, a partir de un razonamiento lógico. Mediante la demostración se establece la verdad de una proposición, partiendo de proposiciones primitivas para llegar a verdades generales o absolutas.

Condiciones

La demostración deberá ser correcta y corta, respetar las leyes de la lógica y partir de una hipótesis.

Elementos de una demostración Son cuatro: hipótesis, tesis, figura y trazos auxiliares. Ejemplo: En el teorema La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

Hipótesis. Es aquello que se tomará como cierto y es la base o punto de partida para una demostración.

la hipótesis es

Tesis. Es todo aquello que se habrá de demostrar.

la tesis es dos ángulos rectos.


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Figura. En toda demostración, es recomendable trazar una figura donde deberán intervenir los trazos auxiliares y lo que se habrá de demostrar (véase figura 1.3).

FIGURA 1.3

Trazos auxiliares. En algunos casos será necesario dibujar algunos trazos que ayuden a resolver más claramente el teorema.

y los trazos auxiliares son

FIGURA 1.4

Razonamiento Es la capacidad del ser humano para enlazar y formular conclusiones en forma lógica con base en su experiencia y observación. De esta manera podrá llegar a nuevas verdades; es decir, a generaliza-

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CAPÍTULO I

Niveles de razonamiento Totalizador. Reconoce la forma de cierta figura, incluidos todos los elementos y trazos auxiliares (véase figura 1.5).

FIGURA 1.5

Descripción. Mediante la descripción y caracterización de figuras, el ser humano analiza las partes de una figura: lados, ángulos, etcétera. Ejemplo: Al observar las características de los ángulos interiores del triángulo, se encuentra que son agudos. Relaciones. El ser humano es capaz de ordenar las figuras en clases, para establecer conclusiones. Ejemplo: La clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos. Formal. Parte de axiomas y postulados, a través de un encadenamiento lógico, para llegar a la demostración del teorema. Axiomatización. Los axiomas serán tratados en una secuencia lógica hasta justificar el teorema.

APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA EN LA CARTOGRAFÍA

FIGURA 1.6


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MÉXICO es un país del continente americano. Su nombre oficial es Estados Unidos Mexicanos (véase figura 1.6). Extensión. Tiene una extensión de 1 967 183 km2, la mayor parte rodeada de agua. Límites. Al norte con el río Bravo; para limitar con Estados Unidos; al este con el golfo de México y el mar de las Antillas; al sur con Guatemala, Belice y el océano Pacífico; al sureste con Belice y al oeste con el océano Pacífico. Población. En la década de los noventa, la población mexicana era de 81 249 645 habitantes y la densidad, de 41 habitantes por km2. Su población urbana, de 66.5%, está formada de mestizos, amerindios (30%) y descendientes de europeos (3.5%). Experimenta un crecimiento anual de 2.6%; pero en ciertas zonas se alcanzan tasas de natalidad superiores al 5%; esta irregularidad es provocada por la inmigración a Estados Unidos y la emigración a las grandes ciudades, principalmente el D.F. División política. Consta de 31 estados y un Distrito Federal. Las principales ciudades son: México, D.F., Monterrey, Guadalajara, Puebla, León, Ciudad Juárez, Culiacán, Mexicali, Tijuana, Mérida y Chihuahua. Gentilicio: mexicano. Idioma: español. Moneda: peso. Religión: católicos 92.6% y protestantes 7.4 por ciento. Capital: México, D.F. Agricultura: produce maíz, frijol, trigo, cebada, tomate, papa, arroz, algodón, caña de azúcar. Además cuenta con regiones de ganado bovino, porcino, caprino, caballar.

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS Punto Si observamos el mapa y localizamos el estado de Jalisco, podemos señalar su capital, Guadalajara, y especificar su ubicación mediante un punto (véase figura 1.7).

Guadalajara

FIGURA 1.7

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CAPÍTULO I

Si observamos la bóveda celeste, encontraremos un sinnúmero de estrellas, las cuales se pueden representar mediante puntos (véase figura 1.8); es posible marcar dichos puntos con gis, lápiz, pluma, etcétera.

FIGURA 1.8

Por lo tanto, podemos concluir que:

Nota: Para denotar un punto, utilizaremos letras mayúsculas A, B, C,...

Línea Observa la construcción del salón de clases y encuentra todas las líneas posibles, ya sean rectas, curvas mixtas, etcétera (véase figura 1.9).

FIGURA 1.9


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Línea. Es un concepto intuitivo. Es la figura geométrica más sencilla, formada por una sucesión infinita de puntos y que se puede desplazar en ambas direcciones.

La línea se puede clasificar en recta, curva, quebrada y mixta.

Recta Dos autobuses parten de la ciudad de Mazatlán rumbo a La Paz; uno sigue la carretera y el otro utiliza el transbordador. Suponiendo que éste se desplaza en línea recta, ¿cuál será la distancia más corta entre dichas ciudades? (Véase figura 1.10.)

carretera

FIGURA 1.10

La Paz

Mazatlán

Entre los puntos que representan las ciudades de La Paz y Mazatlán, se puede trazar una línea recta y sólo una, la cual es la distancia más corta entre las dos ciudades. Línea recta. Está formada por una infinidad de puntos en una misma dirección; es decir, entre dos puntos siempre existe la misma pendiente y se puede prolongar en ambos senti(véase figura 1.11). dos. Es la distancia más corta entre dos puntos. Se nota como

FIGURA 1.11

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CAPÍTULO I

Curva En el estado de Sonora existen grandes porciones de terreno desértico; por lo tanto, la flora y la fauna son escasas. Entre los animales que sobreviven en esas condiciones están las víboras, las cuales describen un movimiento ondulatorio al desplazarse (figura 1.12).

FIGURA 1.12

Linea curva. Es aquella cuyos puntos constantemente cambian de dirección i véase figura 1.13).

FIGURA 1.13

Quebrada La industria se concentra en el D.F., y en el triángulo formado por las ciudades de Monterrey, Saltillo y Monclova; su desarrollo más importante está en la producción metalúrgica, química, textil, vidriera, papelera, tabaquera, automovilística y turística. Para unir dichas ciudades, es necesario trazar segmentos de línea recta, que forman una línea quebrada, (véase figura 1.14).

Saltillo

Monterrey

Monclova

Línea quebrada. Está formada por segmentos de línea recta en diferentes direcciones 'véase figura 1.15).


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FIGURA 1.15

Mixta En la construcción de una fábrica se observa que, para mayor aprovechamiento y comodidad, el diseño arquitectónico tiene formas muy variadas; es decir, se consideraron los diferentes tipos de línea (rectas, curvas, quebradas, etc.), a las cuales por componerse de dos o más líneas se les llama mixtas (véase figura 1.16).

FIGURA 1.16

Línea mixta. Está formada por dos o más tipos de línea (véase figura 1.17).

FIGURA 1.17

Rectas paralelas En la ciudad de México, de la terminal de Buenavista parten los ferrocarriles a distintos estados del país. En su construcción, los ingenieros se encontraron con el siguiente problema: ¿Cómo trazar las vías del ferrocarril de tal manera que los trenes viajen sobre rieles, ya que no disponen de la facilidad y comodidad del automóvil, al cual se le puede cambiar de dirección en cualquier momento tanto en línea recta como en curva? Para resolverlo, diseñaron las vías de forma tal que entre dos líneas rectas siempre exista la misma distancia. A esas líneas se les llama paralelas, como se muestra en la figura 1.18.

FIGURA 1.18

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CAPÍTULO I

Rectas paralelas. Son las que se prolongan en ambos sentidos y jamás se juntan, porque entre ellas siempre existe la misma distancia. Se denotan

Rectas perpendiculares Como se puede observar, cada durmiente de las vías forma con los rieles un ángulo de 90° (véase la figura 1.19).

FIGURA 1.19

Rectas perpendiculares. Son las que al cortarse forman ángulos rectos, o sea de 90'. y se denotan (véase figura 1.20).

FIGURA 1.20

Oblicuas Una caseta para vigilar el paso del ferrocarril se construyó de la manera que muestra la figura 1.21.

FIGURA 1.21


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En la figura anterior podemos observar que los ángulos que forman las rectas, al cortarse, son diferentes.

Líneas oblicuas. Son las que al cortarse forman ángulos diferentes.

Plano El estado más grande de la República mexicana es Chihuahua, pues cuenta con una superficie de 244 938 km2 (figura 1.22).

FIGURA 1.22

Plano. Es una superficie que se extiende indefinidamente hacia todos los lados. Geométricamente se representa con tres puntos no alíneados o no colineales, una recta y un punto fuera de ella, etcétera.

Cuerpo geométrico El agua tiene la característica de adquirir los tres estados de la materia: líquido, sólido y gaseoso. Cuerpo geométrico. Ocupa un lugar en el espacio. Son todos ios que nos rodean y tienen forma, color y otras características (figura 1.23).

FIGURA 1.23

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CAPÍTULO I

Semirrecta El Sol es una estrella enana, ubicada a unos 27 000 años luz, la cual constituye el centro del sistema de la galaxia llamada Vía Láctea; es unaesfera que tiene de diámetro 1 392 000 km y un volumen de 1 300 000 veces mayor que el de la Tierra, de la cual se encuentra a una distancia de 149 597 870 km [conocida también como unidad astronómica (UA)]. El Sol está compuesto por 75% de hidrógeno, 23% de helio y 2% de otros gases; tiene una temperatura superficial media de 5700 °K, su máxima temperatura llega a ser de 15 millones de grados, en la región central; y se le considera una vida con duración de 4700 millones de años. Desde el centro del Sol, se emite un rayo luminoso con dirección a la Tierra y hasta el infinito; si dicho rayo se desplazara en línea recta, éste nos describiría una semirrecta (véase figura 1.24).

FIGURA 1.24

Semirrecta. Es la línea que parte del origen y se prolonga en un sentido, pasando por un punto. Se denota (véase figura 1.25).

FIGURA 1.25

Segmento de recta Si hacemos pasar una línea recta por las ciudades de Morelia y Guadalajara, estos lugares quedan unidos por una parte o un pedazo de recta llamado segmento de recta (véase figura 1.26).

Guadalajara Morelia


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Segmento de recta. Es la porción de la recta limitada entre dos puntos; en dicho segmento existe una cantidad infinita de puntos y se denota

Los elementos utilizados en geometría se expresan como enunciados, frases, etc., a los cuales se les llama proposiciones. Las proposiciones lógicas las podemos clasificar en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas.

Axioma Axioma. Es una proposición tan sencilla que por ser tan evidente no necesita demostración.

FIGURA 1.27

Ejemplos: A. Los extremos de una línea son puntos (véase figura 1.27). A.. En una línea existen infinidad de puntos.

Postulado Postulado. Es una proposición ni tan evidente ni sencilla como el axioma, pero se admite sin demostración.

Ejemplos: P. Punto es aquello que no tiene partes. P. Ángulo obtuso es aquel mayor de 90° pero menor de 180°. P. Dados el centro y el radio se puede describir una circunferencia. P. Toda figura puede cambiarse de lugar sin alterar su forma y sus dimensiones. P. El camino más corto entre dos puntos es la línea recta que los une.

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CAPÍTULO I

Teorema Teorema. Es una proposición que deberá ser demostrada.

TI. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, forman ángulos. Pares de ángulos iguales: opuestos por el vértice, correspondientes y alternos internos y externos iguales (véase figura 1.28).

FIGURA 1.28

T2. En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales (véase figura 1.29).

FIGURA 1.29

Nota. Los teoremas TI y T2 se demostrarán en los siguientes capítulos. T. Cuando hay dos líneas paralelas a una tercera, las tres líneas son paralelas entre sí (véase figura 1.30).


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Corolario Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a 2R = 180°, entonces (véase la figura 1.31):

FIGURA 1.31

De lo cual se desprende el siguiente corolario.

Corolario. Es una proposición que se desprende de un teorema ya demostrado.'

Lema En ocasiones, para resolver un teorema nos debemos apoyar en otro más simple. Ejemplo Para demostrar el teorema El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto de la base por la altura se deberá demostrar el teorema preliminar: Un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes.

Lema. Es una proposición que sirve de base en la demostración de un teorema, se le considera como un teorema preliminar. Problema Carlos Arturo y Luz Mariana tienen $74.00. Si Luz Mariana tiene $54.00 más que Carlos Arturo, ¿cuánto tiene cada uno? Para resolver un problema se deberán tomar en cuenta las siguientes fases: Comprensión del problema Esta fase consiste en leer el problema tantas veces hasta comprenderlo y ser capaces de identificar los datos, la incógnita y si existe alguna relación.

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CAPÍTULO I

Datos

Figura

Luz Mariana =$54.00

Incógnita

Planteo-Sol.

Resultado

Comprobación

x=?

Carlos Arturo = x Suma total

=$74.00

Planteamiento del problema Como su nombre lo indica, consiste en plantear el problema según las condiciones de los datos con incógnita. x + 54 = 74 Resolución del problema En esta fase se realizan todas las operaciones. x = 74 - 54 Despeje Se suman en ambos extremos (-54) x + 54 - 54 = 74 - 54 x = 74 - 54 o se despeja x Resultado x = 20

Comprobación Siempre que sea posible se deberá comprobar, sustituyendo el resultado en el planteamiento propuesto para saber si se cumple de acuerdo con los datos. x + 54 = 74 20 + 54 = 74

Partiendo de la original Sustituyendo x - 20

74 = 74

Problema: Es Id capacidad de superar una dificultad, siguiendo un camino correcto o incorrectc. Es lo que coloca al hombre inteligente por encima de sus compañeros.

Los problemas más comunes en geometría son la demostración de teoremas, las construcciones con regla y compás y algunas aplicaciones.


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TRAZO CON REGLA Y COMPÁS Elementos del juego de geometría y sus aplicaciones Regla Es un instrumento de plástico, madera o metal, en forma rectangular y alargada. Se aplica para trazar líneas rectas, paralelas o perpendiculares, y para medir distancias entre dos puntos. Están graduadas en cm, mm y pulg (véase figura 1.32).

FIGURA 1.32

Escuadra Instrumento de metal, plástico o madera, en forma de un triángulo rectángulo. Se utiliza para trazar ángulos de 30°, 45°, 60° y 90°, generalmente; además, se emplea para el trazo de líneas paralelas y perpendiculares (véanse figuras 1.33 y 1.34).

FIGURA 1.33

Trazo de paralelas.

FIGURA 1.34

Trazo de perpendiculares.

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CAPÍTULO I

Compás Está formado por dos varillas, una con punta de metal y la otra con lápiz de madera, metal o plástico, y se utiliza para trazar líneas curvas, arcos o circunferencias y para medir la distancia entre dos puntos (véase figura 1.35).

FIGURA 1.35

Transportador Está hecho de plástico o metal, generalmente en forma de circunferencia (360°) o semicircunferencia (180°). Su graduación es de 5° o 10° y se utiliza para medir y trazar ángulos (véase figura 1.36).

Ejemplos 1. Construir un segmento Sea el segmento figura 1.37). FIGURA 1.37

de la recta (L). Igual al segmento dado

Observemos que dicho segmento se inicia en P y termina en Q (véase


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Procedimiento a) Se traza una línea recta (L). FIGURA 1.38

b) Con el compás se toma la medida del segmento

con una abertura de P a Q (véase figura 1.39).

FIGURA 1.39

c) Dicha abertura se lleva a la línea recta arco para obtener B. Así, el segmento

se selecciona el punto A en dicha recta y se traza un queda como se muestra en la figura 1.40.

2. Construir un ángulo de la misma medida que un ángulo dado Sea el ángulo

FIGURA 1.41

(véase figura 1.41).

22

CAPÍTULO I

Procedimiento a) Haciendo centro en el vértice B y con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco (véase figura 1.42).

FIGURA 1.42

b) Se traza el lado A' B' =

(figura 1.43).

FIGURA 1.43

c) Haciendo centro en B' y con la misma apertura de compás, se traza un arco

FIGURA 1.44

d) Haciendo centro en R se toma la abertura S. e) Dicha abertura se lleva R S'

(figura 1.44).


23

/) Haciendo centro en R' se toma la abertura S' y se traza un arco de g) Se traza el lado con la semirrecta de B y la intersección de los arcos en S', como se muestra en la figura 1.45.

FIGURA 1.45

3. Trazar la bisectriz de un ángulo Sea el ángulo dado denotado por

dado. ABC (véase la figura 1.46).

FIGURA 1.46

a) Se traza el lado A'B'C =

FIGURA 1.47

ABC (véase figura 1.47).

24

CAPÍTULO I

b) Haciendo centro en B se traza el arco


FIGURA 1.48

c) Haciendo centro en B' y con la misma abertura se traza el arco

(figura 1.49)

FIGURA 1.49

d) Con centro en S y R, con la misma abertura se trazan arcos. Los arcos de M (véase figura 1.50).

se cortan en el punto

FIGURA 1.50

e) Se traza la semirrecta

FIGURA 1.51

la cual será la bisectriz como se muestra en la figura 1.51.


25

Bisectriz. Es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales.

4. Trazar la perpendicular a una recta (L) dada y que pase por un punto (M) fuera de ella. Sea la recta dada (L) y el punto (M) (véase figura 1.52).

FIGURA 1.52

Procedimiento a) Con una abertura del compás y haciendo centro en el punto (A/), se traza un arco de tal manera que corte la recta en los puntos C y D como se observa en la figura 1.53.

FIGURA 1.53

b) Haciendo centro en C y D, con la misma abertura del compás se trazan arcos y se cortan en N (véase figura 1.54).

FIGURA 1.54

26

CAPÍTULO I

c) Se une el punto (N) por el punto (M) y dicha recta es la perpendicular a la recta (L), como se ve en la figura 1.55.

FIGURA 1.55

Perpendicular: Es la recta que, al cortarse con otra, forma ángulos de 90°.

5. Trazar una recta paralela a la recta (L) y que pase por un punto (A) fuera de ella. Sea la recta L y el punto A fuera de dicha recta (véase figura 1.56).

FIGURA 1.56

Procedimiento a) Se traza la recta (L) y sobre ella el punto C como se observa en la figura 1.57.

FIGURA 1.57


b) Con una abertura del compás CA y apoyándose en la recta en el punto A, se traza un arco que corta la recta en D (véase figura 1.58).

FIGURA 1.58

c) Haciendo centro en D, se toma la abertura del compás DA y se traza el arco como lo muestra la figura 1.59.

FIGURA1.59

d) Haciendo centro en C, se toma la abertura CA (véase figura 1.60).

FIGURA 1.60

e) Se lleva dicha abertura sobre el arco en D para obtener DE (véase figura 1.61).

FIGURA 1.61

27

28

CAPÍTULO I

f) Finalmente, se traza la recta que pasa por los puntos AE, la cual será paralela a la recta L (véase figura 1.62).

FIGURA 1.62

Rectas paralelas. Son aquellas que, por más que se prolonguen, nunca se juntan; es decir, entre ellas siempre existe la misma distancia L II L'.

6. Construir un triángulo dados sus tres lados. Sean los lados (véase figura 1.63).

Procedimiento a) Se traza el segmento de mayor longitud

FIGURA 1.64

como se observa en la figura 1.64.


29

b) Haciendo centro en B y con una abertura del compás BC, se traza un arco como en la figura 1.65.

FIGURA 1.65

c) Haciendo centro en A y con una abertura del compás AC, se traza un arco. Donde se cortan dichos arcos se obtiene el punto C (véase figura 1.66).

d) Se traza el triángulo ABC, uniendo los segmentos

como se ve en la figura 1.67.

FIGURA 1.67

7. Trazar el triángulo LMN conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Sean los lados y el ángulo dado (véase figura 1.68).

FIGURA 1.68

30

CAPÍTULO I

Procedimiento a) Se traza el segmento

(figura 1.69).

FIGURA 1.69

b) Haciendo centro en el vértice del ángulo se traza con el compás un arco en la figura 1.70.

como se muestra

FIGURA 1.70

c) Haciendo centro en L y con la misma abertura del compás, se traza el arco

(figura 1.71).

FIGURA 1.71

d) Haciendo centro en R, se toma con el compás la abertura

(figura 1.72).

FIGURA 1.72

e) Con la misma abertura del compás y haciendo centro en R' y sobre el arco punto P (figura 1.73).

FIGURA 1.73

se obtiene el


/) Se une

(figura 1.74) y toma la distancia

para determinar el punto N.

FIGURA 1.74

g) Finalmente se une

formando el

(figura 1.75).

8. Trazar un triángulo, conociendo un lado y los dos ángulos adyacentes. Sea el lado

y los ángulos


FIGURA 1.76


FIGURA 1.77


31

32

CAPITULO I

b) Haciendo centro en el ángulo

se traza un arco

como se muestra en la figura 1.78.

FIGURA 1.78

c) Haciendo centro en A y con la misma abertura del compás, se traza el arco

(figura 1.79).

FIGURA 1.79

d) Se toma la abertura del arco figura 1.80).

y se lleva en el arco

para obtener el punto V (véase

FIGURA 1.80

e) Haciendo centro en el ángulo

FIGURA 1.81

se traza el arco



f) Haciendo centro en B, se traza el arco


FIGURA 1.82

e) Se toma con el compás la abertura del arco y se lleva al arco para determinar el punto U, como en la figura 1.83.

FIGURA 1.83

h) Finalmente, se unen los segmentos que pasan por para determinar el punto C, como se muestra en la figura 1.84.

FIGURA 1.84

9. Trazar un triángulo equilátero. Sea

la medida del lado (véase figura 1.85).

FIGURA 1.85

Procedimiento a) Se traza el lado

FIGURA 1.86

(figura 1.85).

33

34

CAPÍTULO I

b) Con una abertura del compás

se apoya en P y se traza un arco

como en la figura 1.87.

FIGURA 1.87

c) Con la misma abertura se apoya en Q y se traza el arco

(figura 1.88).

FIGURA 1.88

d) La intersección de los arcos figura 1.89.

FIGURA 1.89

determinan el tercer vértice R, como se muestra en la


e) Se trazan los segmentos tra en la figura 1.90.

Los dos determinarán un triángulo equilátero, como se mues-

FIGURA 1.90

Triángulo equilátero. Es el que tiene sus tres lados iguales.

10. Trazar un triángulo isósceles HJI. Sea la base

(figura 1.91).

FIGURA 1.91


FIGURA 1.92

35

(figura 1.92).

36

CAPÍTULO I

b) Con una abertura del compás un poco mayor que la mitad de la base traza un arco como en la figura 1.93.

y apoyándose en H, se

FIGURA 1.93

c) Con la misma abertura y apoyándose en J, se traza otro arco y se cortan los arcos en / como se muestra en la figura 1.94.

FIGURA 1.94

d) Finalmente se unen los segmentos

para obtener el triángulo, como se muestra en la figura 1.95.

FIGURA 1.95

Triángulo isósceles. Es aquel que tiene dos lados ¡guales.


RESUMEN Geometría. Es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas (puntos, líneas y planos). Geometría plana. Estudia las figuras contenidas en el plano; es decir, en dos dimensiones: largo y ancho. Geometría del espacio. Estudia las figuras en el espacio; es decir, en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Conceptos no definidos. Son el punto, la línea y el plano. La línea se clasifica en recta, curva, quebrada y mixta. Líneas paralelas. Aquellas que, al prolongarse en ambos sentidos, jamás se juntan porque entre ellas siempre existe la misma distancia. Líneas perpendiculares. Aquellas que al cortarse forman ángulos de 90°. Semirrecta. Línea que parte de un punto y se desplaza hacia el infinito. Segmento de recta. Porción de la recta limitada entre dos puntos. Proposición lógica. Enunciado o frase que se puede calificar de falso o verdadero. Axioma. Proposición que no necesita demostración. Postulado. Enunciado no tan evidente, pero que se admite sin demostración. Teorema. Proposición que se deberá demostrar. Corolario. Proposición que se desprende de un teorema. Elementos de la demostración. Hipótesis, tesis, figura y trazos auxiliares.

EJERCICIOS 1. Desde el punto de vista de la cultura griega, ¿cómo se define la geometría? 2. ¿En cuántas partes se divide la geometría? 3. ¿Qué estudia la geometría plana? 4. ¿Qué estudia la geometría del espacio? 5. ¿Cómo se define un punto y cuál es su representación? 6. ¿Cómo se define una línea? 7. ¿Cómo se define la línea recta? 8. ¿Cómo se define y representa la semirrecta? 9. ¿Cuál es el concepto no definido del lugar donde se cortan dos rectas? 10. ¿Cómo se llama la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales? 11. ¿Cómo se clasifica la línea?

37

38

CAPÍTULO I

¿Cuál de los tres puntos separa a los otros dos?

12. En la línea recta dada 13. ¿Cómo se define el segmento?

14. ¿Con qué elementos se mide un segmento de línea recta? 15. Traza un segmento

y que pase por C.

16. Dada la figura

¿Cuántas semirrectas puedes encontrar? Denótalas.

17. Dada la siguiente figura

¿Cuántos segmentos puedes identificar?

18. En la siguiente figura, indica qué puntos se encuentran sobre la misma línea recta.

19. Dada la siguiente figura

podrías decir que

20. ¿Cómo representar que los puntos A, B, C son colineales? 21. ¿Cómo se definen las rectas paralelas? 22. En la siguiente figura traza una paralela a

23. ¿Cómo se definen las rectas perpendiculares? 24. ¿Qué es plano? 25. ¿Qué es cuerpo? 26. Define qué es axioma. 27. Define qué es postulado. 28. Define qué es teorema. 29. Define qué es corolario. 30. ¿Cómo se define el lema?

que pase por C.


31. ¿Cuáles son los elementos de una demostración? 32. ¿Qué es la hipótesis? 33. ¿Qué es la tesis? 34. ¿Qué es la demostración? 35. ¿Qué es problema? 36. Con base en la siguiente figura, contesta estas preguntas: • • • • •

¿Qué segmentos se intersecan en el vértice A? ¿Qué segmentos se intersecan en el vértice B? ¿Qué segmentos se intersecan en el vértice C? ¿Qué segmentos se intersecan en el vértice DI ¿Qué segmentos se intersecan en el vértice El

37. Dada la siguiente figura, obtener: si

= 12 cm y B su punto medio, AB = 1

si si

= 10 cm y C es el punto medio, CD - ? = 14 cm y E punto medio, DE = ?

38. Busca el valor de la literal que se indica, dados los siguientes valores:

39

CAPÍTULO II Ángulos

INTRODUCCIÓN Encontramos ángulos en los edificios, piezas mecánicas y muchos objetos que nos rodean. Los ángulos nos facilitan varias tareas; por ejemplo, es más sencillo subir una carga mediante una rampa con cierta inclinación que hacerlo de manera vertical (véase figura 2.1).

FIGURA 2.1

El drenaje de una casa debe tener cierta inclinación para un mejor desagüe (véase figura 2.2).

FIGURA 2.2

Ángulos

41

En una autopista, el peralte de una curva da mayor seguridad (véase figura 2.3).

FIGURA 2.3

Inclina esta hoja y observa desde donde indica la flecha en la figura 2.4; descubrirás una sorpresa.

FIGURA 2.4

Así, los ángulos tienen un amplio campo de aplicación en el mundo que nos rodea.

DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y MEDIDA Definición Ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice y las semirrectas que se forman se llaman lados (véase figura 2.5).

FIGURA 2.5

Notación En la figura 2.5, se forman cuatro ángulos y se distinguen de tres formas diferentes, de acuerdo con cada situación particular.

42

CAPÍTULO II

Primera Entre los lados del ángulo, se coloca una letra minúscula, un número o una letra del alfabeto griego; el arco indica el ángulo al que se refiere (véase figura 2.6).

FIGURA 2.6

Si nos basamos en la figura 2.6, un ángulo se expresa anteponiendo a la letra el símbolo significa ángulo; de esta manera tenemos

que

Segunda Se coloca una letra mayúscula en el vértice del ángulo (véase figura 2.7).

FIGURA 2.7

La figura 2.7 es un triángulo y sus ángulos quedan expresados como mente, o como

respectiva-

Tercera Los puntos que conforman el ángulo se indican por medio de tres letras mayúsculas (véase figura 2.8).

FIGURA 2.8

Para expresar el ángulo remarcado en la figura 2.8, se coloca en medio de las tres letras la que corresponde al vértice del ángulo. Así queda de la siguiente manera:

Medida La medida de los ángulos nos muestra con exactitud el movimiento de cualquier objeto. Por ejemplo:

Ángulos

43

Los ángulos de más de 360° nos permiten conocer el número de rotaciones completas que sufre un cuerpo. La Tierra da un giro de 360° cada 24 h; si dividimos 360° entre 24 obtenemos:

lo cual nos indica que la Tierra cada hora gira un ángulo de 15°. Si queremos saber en cuánto tiempo (en horas) la Tierra gira un ángulo de 1530°, primero debemos obtener las rotaciones completas dividiendo 1530° entre 360°.

Son cuatro rotaciones completas más un ángulo de 90°, que corresponde a figura 2.11 ilustra el giro.

de rotación. La

FIGURA 2.11

Para conocer el tiempo en horas y como sabemos que cada rotación completa tarda 24 h, multiplicamos el número de rotaciones por 24

Por lo tanto, la Tierra gira 1530° en 102 h.

UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS Para expresar la medida de los ángulos, contamos entre otros con los sistemas sexagesimal, centesimal, mixto y circular.

Sistema sexagesimal Este sistema es el más conocido y mediante él se divide una rotación completa en 360 partes iguales, cada una de las cuales se llama grado; por lo tanto:

44

CAPÍTULO II

1 grado sexagesimal =

parte de una rotación completa.

Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos; de esta manera: 1 minuto sexagesimal =

de grado.

El minuto se divide también en 60 partes iguales y éstas se denotan como segundos: 1 segundo sexagesimal =

de minuto.

La notación de un ángulo de 58 grados, 15 minutos, 8 segundos es: 58° 15'8" Adición y sustracción de ángulos sexagesimales Dos ángulos expresados en grados completos se suman o restan como si se sumaran o restaran dos números enteros; por ejemplo: 35° + 15° = 50° y 85° - 60° = 25° Problema El brazo de una grúa de precisión tiene un ángulo de 35° 25' 46" respecto a la horizontal; después aumenta su inclinación un ángulo de 18° 45' 32". ¿Con qué ángulo respecto a la horizontal se encuentra el brazo de la grúa? Para resolver el problema se suman 35° 25' 46" y 18° 45' 32" primero se suman los segundos

como 60" equivalen a 1', entonces 78" equivalen a 1' 18" ; anexamos el minuto a la siguiente columna que corresponde a los minutos, dejamos el 18 en la columna de los segundos y sumamos los minutos.

Como 60' equivalen a 1°, entonces 71' equivalen a 1° 11'; anexamos el grado a la columna correspondiente, dejamos 11 en la columna de los minutos y sumamos los grados

Ángulos

45

El total de la suma es: 54° 11' 18" Por lo tanto, el ángulo del brazo es de 54° 11' 18" Problema El brazo de una grúa de precisión está formando un ángulo de 63° respecto a la horizontal; después lo baja un ángulo de 25° 42' 36". ¿Qué ángulo tendrá el brazo de la grúa respecto a la horizontal? Para resolver este problema se restan 25° 42' 36" a 63°

Como un grado equivale a 60 minutos, podemos descomponer 63° en 62° 60' y como cada minuto equivale a 60 segundos, se descompone 60' en 59' 60" ; de esta manera:

Ahora podemos efectuar la resta sin ningún problema, restando cada columna por separado

Finalmente, la diferencia será el ángulo de 37° 17' 24", correspondiente al ángulo del brazo de la grúa respecto a la horizontal.

Sistema centesimal A diferencia del sexagesimal, en este sistema la rotación completa se divide en 400 partes iguales, cada una de las cuales se llama grado centesimal. 1 grado centesimal =

parte de una rotación completa.

Cada grado centesimal se divide en 100 partes iguales que reciben el nombre de minutos centesimales. 1 minuto centesimal =

de grado centesimal.

El minuto centesimal se divide a su vez en 100 partes llamadas segundos. 1 segundo centesimal =

de minuto centesimal.

46

CAPÍTULO II

La notación de un ángulo de 45 grados, 15 minutos, 18 segundos se puede expresar de tres formas distintas:

de rotación completa en el sistema sexagesimal equivale a 90°, entonces en el sistema Si centesimal equivale a 100g, de tal manera que 90° sexagesimales equivalen a centesimales.

Sistema mixto En la actualidad, se tiende a expresar los ángulos en grados sexagesimales y en fracciones decimales de grados sexagesimales; por ejemplo, 38° 30' se expresa en el sistema mixto como 38.5°, porque 30' equivalen a la mitad de un grado Si queremos expresar 38.58° en grados, minutos y segundos, debemos considerar que la parte entera representa los grados y la parte decimal los minutos y segundos; para obtener estos últimos, como sabemos que Io equivale 60', aplicamos "la regla de tres"

Así tenemos 38° 34.8'. Ahora convertimos los decimales a segundos de la misma manera, partiendo de que 1' equivale a 60"

Entonces 38.58° = 38° 34' 48" Si aplicamos de la misma manera "la regla de tres", podemos pasar del sistema sexagesimal al mixto.

Ángulos

47

Ejemplo Expresar en el sistema mixto 35° 25' 12" Primero convertimos los segundos en fracción de minutos

de esta manera tenemos 35° 25.2' y convertimos los minutos a fracción de grado

Así tenemos 35.42°.

Sistema circular Este sistema es muy utilizado en física y trigonometría. Los ángulos se miden en radianes; un radián es el ángulo central de la circunferencia, cuyo arco determinado por los lados del ángulo tiene una longitud igual al radio de la circunferencia (véase figura 2.12).

El perímetro del círculo está determinado por P = rotación completa el radio cabe

veces y 1 radián =

veces el radio); por lo tanto, en una parte de una rotación completa.

48

CAPÍTULO II Para convertir radianes en grados sexagesimales y viceversa, utilizamos "la regla de tres"; si una rotación completa en el sistema sexagesimal equivale a 360° y en el sistema circular a radianes, esto quiere decir que: 360° sexagesimales equivalen a

radianes

Ejemplos: 1. Convertir

rad a grados sexagesimales.

Finalmente tenemos que

rad = 45°

2. Convertir 90° 18'a radianes. Primero convertimos 90° 18' al sistema mixto y tenemos 90.3°

Por lo tanto 90° 18' = 1.576 rad.

LONGITUD DE ARCO Como en este sistema se relaciona el ángulo central con la longitud del arco que subtiende, una de sus principales aplicaciones es encontrar la longitud del arco. Para conocer la medida de un ángulo en radianes, partiendo de la longitud del arco s, basta conocer cuántas veces o qué parte del radio r cabe en la longitud del arco Í. ASÍ se obtiene la siguiente expresión:

Ángulos

49

de la cual despejamos s, que es la longitud del arco, y tenemos:

que es la fórmula para encontrar la longitud de un arco conociendo el radio y el ángulo medido en radianes. Problema Calcular la longitud del arco de la siguiente figura.

Aplicando la fórmula tenemos: s = (0.78 rad) (5 u) S = 3.9U

Por lo tanto, la longitud del arco es de 3.9 unidades.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Cuando situamos un ángulo en el plano de coordenadas rectangulares (plano cartesiano), uno de cuyos lados llamado lado inicial coincide con el eje de las abscisas (eje x) en su parte positiva y con el vértice en el origen, el lado terminal es el que resulta de la rotación que parte del lado inicial, indicada por la flecha curva que representa la rotación. Cuando un ángulo se encuentra así, está en posición normal. En la figura 2.13 se muestra un ángulo en posición normal.

FIGURA 2.13

50

CAPÍTULO II

Signo de los ángulos Cuando el lado terminal rota en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, la medida del ángulo es positiva, como se muestra en la figura 2.13; si la rotación sigue el mismo sentido de las manecillas del reloj, entonces se trata de un ángulo con medida negativa, como se ve en la figura 2.14.

FIGURA 2.14

Ángulos coterminales Cuando los ángulos se encuentran en posición normal y su lado terminal coincide en estar en el mismo lugar, decimos que son ángulos coterminales. Por ejemplo, el ángulo de 45° y el de 405° son coterminales, como se muestra en la figura 2.15.

Ángulo coterminal 45° + 360° = 405°

FIGURA 2.15

Ángulos cóncavos y convexos Un ángulo divide el plano en dos regiones a y b, como se muestra en la figura 2.16

Región b FIGURA 2.16

Ángulo cóncavo

Región a Ángulo convexo

Ángulos

51

El ángulo que delimita la región a se llama ángulo convexo y el de la región b, ángulo cóncavo. El ángulo cóncavo mide más de 180° y menos de 360°; el convexo, menos de 180° y más de 0o.

Ángulo de elevación Si vemos hacia el horizonte y elevamos la mirada para observar un avión, hacemos un giro que genera un ángulo de elevación, como se muestra en la figura 2.17.

Ángulo de elevación: es el que se origina en la horizontal, en dirección positiva hacia un punto dado.

Ángulo de depresión Si observamos el horizonte desde un acantilado y bajamos la vista a una lancha que navega cerca del acantilado, hacemos un giro que genera un ángulo de depresión, mostrado en la figura 2.18.

FIGURA2.18

Ángulo de depresión: es el generado a partir de la horizontal, en dirección negativa a un punto dado.

52

CAPÍTULO II

De acuerdo con la magnitud de su medida, los ángulos se clasifican en agudo, recto, obtuso, llano, entrante y perigonal. Ángulo agudo: es el ángulo que mide menos de 90" y más de 0".

Por ejemplo, el ángulo de elevación de una escalera debe ser agudo para facilitar el ascenso, como se muestra en la figura 2.19.

FIGURA 2.19

Ángulo recto: es el ángulo que mide 90 \

Por ejemplo, para su lanzamiento, un transbordador espacial es colocado de tal modo que, forma un ángulo recto respecto del suelo, como se ve en la figura 2.20

Ángulo obtuso: es el ángulo que mide más de 90' y menos de 180 .

Por ejemplo, una autopista se considera segura si sus curvas son ángulos obtusos, como se muestra en la figura 2.21.

FIGURA 2.21

Ángulos

53

Ángulo llano: también llamado colineal, es el ángulo que mide 180°.

Por ejemplo, cuando extiendes completamente tus brazos hacia los lados, éstos forman el ángulo llano o colineal mostrado en la figura 2.22.

FIGURA 2.22

Ángulo entrante: es el ángulo que mide más de 180° y menos de 360°.

Por ejemplo, cuando un avión despega y alcanza su altura normal, éste describe un ángulo entrante, como el mostrado en la figura 2.23.

Ángulo perigonal: es el ángulo que mide 360°; es decir, una rotación completa.

Por ejemplo, cuando la Tierra gira 360° en 24 h gira un ángulo perigonal como se muestra en la figura 2.24.

FIGURA 2.24

54

CAPÍTULO II

Ángulos consecutivos: son los que tienen el mismo vértice y un lado común.

Por ejemplo, en una rueda, los ángulos centrales formados por los rayos son consecutivos, como se ve en la fisura 2.25.

FIGURA 2.25

En la figura 2.25, cada uno de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7 y 8 es consecutivo con el ángulo inmediato. Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos, cuyos lados no comunes forman un ángulo llano.

Por ejemplo, en la pendiente de un puente se consideran dos ángulos respecto al suelo, como se ve en la figura 2.26.

FIGURA 2.26

En la figura 2.26,

son adyacentes.

Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma es un ángulo recto.

Por ejemplo, el ángulo de 35° y el de 55° son complementarios porque 35° + 55° = 90°, correspondientes a un ángulo recto.

Ángulos suplementarios: son dos ángulos que, al sumarse, dan como resultado un ángulo llano.

Ángulos

55

Por ejemplo, el ángulo de 85° y el de 95° son suplementarios porque 85° + 95° = 180°. Ángulos conjugados: son dos ángulos que, al sumarse, tienen como total un ángulo perigonal.

Por ejemplo el ángulo de 120° y el de 240° son conjugados, ya que 120° + 240° = 360°. Para encontrar el complemento de un ángulo, sigue este procedimiento. Se trata de hallar el complemento del ángulo de 23° 32' 15". Como los ángulos deben sumar 90°, planteamos la siguiente ecuación: X° + 23°32'15" = 90° Despejamos X y tenemos: A-° = 90°-23°32'15" Efectuamos la operación:

Por lo tanto, X = 66° 27' 45", que es el complemento buscado. De la misma manera podemos encontrar el suplemento y conjugado de un ángulo. La suma de ángulos de la figura 2.27 se expresa en el inciso a) y la sustracción en el inciso b).

FIGURA 2.27

Por ejemplo, mediante la suma se encuentra el valor de los ángulos indicados en la figura 2.28.

FIGURA 2.28

56

CAPÍTULO II

Donde la suma de los cuatro ángulos es un ángulo llano. La suma se expresa así:

Tenemos una ecuación de primer grado y para saber cuánto mide cada ángulo, necesitamos conocer el valor de x, mediante esta operación: 6x=180° x =30° De esta manera, determinamos que el primer ángulo expresado como segundo ángulo, 2.5x mide 2.5(30°) = 75°. La medida del tercer ángulo x es de 30° y del cuarto, 2x, será 2(30°) = 60°. La suma de los cuatro ángulos debe ser igual a 180°; veamos: 15° + 75° + 30° + 60° = 180° En la figura 2.29 se muestran los ángulos con sus respectivos valores.

FIGURA 2.29

Teorema: "Dos ángulos que tienen el mismo complemento son congruentes" (véase figura 2.30).

FIGURA 2.30

Hipótesis: El ángulo X es complemento del ángulo a y del ángulo b. Tesis:

Ángulos

Afirmaciones

57

Razones 1. Ángulos complementarios 2. Ángulos complementarios 3. Propiedad transitiva de 1 y 2 4. Propiedad uniforme de la igualdad. 5. Operando

De la misma manera, se puede demostrar que dos ángulos con el mismo suplemento o conjugado son congruentes.

Ángulos opuestos por el vértice: son los que comparten el vértice, y los lados de uno son la extensión de los lados del otro.

Por ejemplo, las tijeras mostradas en la figura 2.31 tienen ángulos a y b opuestos por el vértice.

FIGURA 2.31

Teorema: "Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes" (véase figura 2.32).

FIGURA 2.32

Hipótesis: Tesis:

son opuestos por el vértice.

58

CAPÍTULO II

Afirmaciones

Razones 1. Ángulos suplementarios 2. Ángulos suplementarios 3. Propiedad transitiva de 1 y 2 4. Propiedad uniforme de la igualdad. 5. Operando

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE Al trazar dos rectas paralelas y una secante (transversal), obtenemos los ocho ángulos mostrados en la figura 2.33.

FIGURA 2.33

Los ángulos 3,4,5 y 6 se llaman internos por estar dentro de las paralelas. Los ángulos 1, 2, 7 y 8 se llaman externos por estar fuera de las paralelas. Los ángulos 1, 3, 5 y 8 son colaterales por estar en un mismo lado de la secante, así como los ángulos 2, 4, 6 y 7. Cuando dos ángulos colaterales (uno interno y otro externo) no son adyacentes, se llaman correspondientes. En la figura 2.33 podemos encontrar los siguientes pares de ángulos correspondientes: 2 y 6, 4 y 7, 1 y 5, 3 y 8. Los ángulos correspondientes son congruentes, pues al superponerlos coinciden los lados de uno con los del otro, así como el vértice. En la figura 2.33, los pares de ángulos 3 y 5, 4 y 6 se llaman colaterales internos, ya que están dentro de las paralelas y del mismo lado de la secante. Los pares de ángulos 1 y 8, 2 y 7 mostrados en la figura 2.33, se llaman colaterales externos por estar fuera de las paralelas y del mismo lado de la secante. Tanto los colaterales internos como los externos son ángulos suplementarios; es decir, suman 180°. Teorema: "Los ángulos colaterales internos son suplementarios" (véase figura 2.34).

Ángulos

FIGURA 2.34

Hipótesis: Tesis: Afirmaciones

Teorema: "Los ángulos colaterales externos son suplementarios" (véase figura 2.35).

FIGURA 2.35

Hipótesis: Tesis: Afirmaciones

59

60

CAPÍTULO II

En la figura 2.33, los pares de ángulos 4 y 5, 3 y 6 se llaman alternos internos; alternos por estar en diferente lado de la secante e internos por estar dentro de las paralelas, dichos ángulos no son consecutivos. En la misma figura 2.33, los pares de ángulos 1 y 7,2 y 8 se llaman alternos externos por estar fuera de las paralelas y en diferente lado de la secante (transversal). Los ángulos alternos internos y los alternos externos son congruentes. Teorema: "Los ángulos alternos internos son congruentes" (véase figura 2.36).

FIGURA 2.36

Hipótesis: Tesis:

Afirmaciones

Razones 1. Ángulos opuestos por el vértice 2. Ángulos correspondientes 3. Propiedad transitiva de la igualdad de 1 y 2

Teorema: "Los ángulos alternos externos son congruentes" (véase figura 2.37).

FIGURA 2.37

Razones 1. Ángulos correspondientes 2. Ángulos opuestos por el vértice 3. Propiedad transitiva de la igualdad de 1 y 2

Ángulos

61

TEOREMAS REFERENTES A ÁNGULOS Teorema: "Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares" (véase figura 2.38).

Hipótesis:

son adyacentes. Los segmentos

son bisectrices.

Tesis: Afirmaciones

Razones 1. Suma de ángulos consecutivos, ángulo llano. 2. Propiedad uniforme de la igualdad 3. Operando 4. Suma de ángulos consecutivos 5. Propiedad transitiva de 3 y 4

Teorema: "Dos ángulos que tienen sus lados respectivos paralelos son congruentes o suplementarios". Primero demostraremos el caso en el que son congruentes (véase figura 2.39).

FIGURA 2.39

Hipótesis:

62

CAPÍTULO II

Razones 1. Ángulos correspondientes 2. Ángulos correspondientes 3. Propiedad transitiva de la igualdad de 1 y 2

Ahora demostraremos el caso en el que son suplementarios (véase figura 2.40).

FIGURA 2.40

Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: prolongar Afirmaciones

hasta cortarse. Razones 1. Ángulos correspondientes 2. Ángulos correspondientes 3. Ángulos suplementarios 4. Sustitución de 1 y 2 en 3

Teorema: "Dos ángulos cuyos respectivos lados son perpendiculares, son congruentes o suplementarios". Primero demostraremos que son iguales (véase figura 2.41).

FIGURA 2.41

Ángulos

Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: prolongar Afirmaciones

Razones 1. Perpendiculares a un mismo segmento 2. Perpendiculares a un mismo segmento 3. Ángulos con lados paralelos 4. Ángulos que tienen el mismo complemento 5. Propiedad transitiva de la igualdad de 3 y 4 6. Propiedad simétrica de la igualdad.

Ahora demostraremos el caso en el que son suplementarios (véase figura 2.42).

FIGURA 2.42

Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: Afirmaciones

Razones 1. Caso ya demostrado 2. Ángulos suplementarios 3. Sustitución de 1 en 2

63

64

CAPÍTULO II

RESUMEN • Ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice; las semirrectas que se forman se conocen como lados del ángulo. • El ángulo se puede denotar de tres formas; en la primera, se escribe una letra minúscula, un número o una letra griega entre los lados del ángulo; en la segunda se coloca la letra mayúscula que representa el punto, donde se encuentra el vértice; y en la tercera se colocan las letras mayúsculas que determinan el ángulo, teniendo en cuenta que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio. • Para expresar la medida de los ángulos, tenemos los sistemas sexagesimal, centesimal, mixto y circular. • Un ángulo es convexo cuando mide menos de 180° y cóncavo si es mayor de 180° y menor de 360°; es agudo si es menor de 90°; recto, si mide 90°; obtuso, si es mayor de 90° y menor de 180°; llano, si mide 180°, entrante, si es mayor de 180° y menor de 360°; y perigonal, si su medida es de 360°. • Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado, y son adyacentes si además de ser consecutivos sus lados no comunes forman un ángulo llano. • Dos ángulos son complementarios si la suma de los mismos es un ángulo recto; suplementarios, si suman un ángulo llano; y conjugados, si forman un ángulo perigonal. • Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y cuando los lados de uno son la extensión de los lados del otro. • Al cortar un par de paralelas por una recta (transversal), se forman ocho ángulos que se relacionan en pares y reciben, de acuerdo con su ubicación, uno de los nombres siguientes: si están dentro de las paralelas, se llaman internos; si están fuera de las paralelas, externos; de un mismo lado de la transversal, colaterales; a uno y otro lados de la transversal, alternos. De esta manera, los ángulos alternos internos tienen la característica de estar a uno y otro lados de la transversal y también de estar dentro de las paralelas. • Tanto los ángulos alternos internos como los alternos externos son congruentes; los colaterales internos y externos son suplementarios. • La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que parte del vértice y divide el ángulo en dos ángulos congruentes.

Ángulos

65

EJERCICIOS 1. Expresa en tu cuaderno los ángulos con la notación que indican los tres puntos que forman el ángulo (véase figura 2a). Ejemplo

FIGURA 2.a

2. Con base en la figura 2.

escribe en tu cuaderno el número correspondiente al ángulo indicado.

Ejemplo a

CAB le corresponde el 9

FIGURA 2.6

3. Efectúa las siguientes adiciones de grados sexagesimales. a) 23° 2' 5" + 32° + 8' + 8" = b)34°23' 12"+ 15° 15'18" = c)36° 18'14"+ 43° 19' 16" = d) 68° 45' 12"+ 37° 5'55" = e) 128° 16' 48" + 134° 32' 45" = f) 325° 45'36" + 235° 37'21" = g) 415° 37' 47" + 127° 58' 55" = h) 218° 50' 45" + 32° 34' 13" + 234° 47' 35" = i) 354° 18' 56" + 124° 46' 35" + 324° 34' 47" = j) 418° 37' 45" + 316° 27' 16" + 428° 49' 39" =

66

CAPÍTULO II

4. Efectúa las siguientes sustracciones de ángulos sexagesimales. a) 24° 45'35"-12° 22'15" = b) 123° 46'56"-87° 36'15" = c) 318° 32'36"-245° 24'32" = d) 419° 56' - 325° 32' 27" = e) 458° 54' - 273° 49' 36" = /) 568° 39' - 436° 56' 38" = g) 718°-698° 56' = h) 76°-46° 15' 18" = i) 98° - 78° 42'39" = j) 136°-135° 55'57" = 5. En tu cuaderno expresa los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal. a) 23.5°

b) 42.34°

c) 56.35°

d) 28.56°

e) 47.58°

f) 57.95°

g)74.59°

h) 64.78°

i) 125.36°

j) 37.156°

6. Expresa en el sistema mixto los siguientes ángulos sexagesimales. Hazlo en tu cuaderno. a) 56° 36'

2?) 76° 46'

c) 96° 47'

d) 56° 56'

f) 75° 42'35"

g) 4° 15' 18"

h) 5° 27' 14"

i) 6° 39' 54"

e) 79° 59'

j) 89° 50' 59" 7. En tu cuaderno convierte en radianes los siguientes ángulos sexagesimales. a) 90°

b) 45°

c)270°

f) 30° 45'

g) 29° 46' 16"

h) 45° 36' 45"

i) 87° 56' 47"

j) 46° 47' 54"

d)60°

e)30°

8. Convierte en sistema sexagesimal los ángulos expresados en radianes. Hazlo en tu cuaderno. d) 3.14 rad h) 6.2 rad

i) 12.38 rad

j) 1.41 rad

Ángulos

67

9. Encuentra el complemento de los siguientes ángulos sexagesimales. a) 78° f) 49° 56'25"

b)49° g) 78° 47' 36"

c) 67°

d) 34° 45'

e) 59° 52'

h) 47° 15'8"

i) 85° 59'

j) 89° 59' 59"

10. Encuentra el suplemento de los siguientes ángulos sexagesimales. a) 125°

b) 145°

c) 167°

d) 145° 37'

e) 165° 57'

f) 12° 25' 15"

g) 178° 29' 39"

h) 4o 37' 47"

i) 2' 45"

j) 48"

11. Encuentra el conjugado de los siguientes ángulos sexagesimales. a) 287° f) 312° 47'15"

b)187° g) 56° 45' 47"

c) 185°

d) 234° 45'

h) 313° 12' 13"

i) 25' 59"

e) 315° 47' j;) 43"

12. Encuentra el complemento, suplemento y conjugado de los siguientes ángulos expresados en radianes. c) 0.025 rad 13. En la figura 2.c, encuentra el valor sexagesimal de los ángulos.

FIGURA 2.c

14. En la figura 2.d, encuentra el valor de los ángulos sexagesimales.

FIGURA 2.d

d) 0.035 rad

68

CAPÍTULO II

15. Encuentra el ángulo coterminal menor positivo de los siguientes ángulos en el sistema respectivo. a) 18° 14' 12"

b) 37° 25' 13"

c) 185°

e) 136.5°

f) 183.75°

g) 47.18°

16. Calcula el valor de los ángulos señalados en la figura 2.e

FIGURA 2.e

17. ¿Cuál es la razón de que

(véase figura 2.f).

FIGURA 2.f

18. Con base en la figura 2.g, demuestra que

FIGURA 2.g

19. Calcula la medida de los ángulos indicados en la figura 2.h.

FIGURA 2.h

d) 142°

Ángulos

69

PROBLEMAS 1. La hélice de un ventilador completa 12 rotaciones en 1.5 s. ¿Qué ángulo girará en 2.3 s? (Expresa el resultado en grados sexagesimales.) 2. ¿En qué tiempo la Tierra gira un ángulo de 22° 15'? 3. El abanico de una dama se abre sistema circular (en radianes).

de rotación completa. Expresa el ángulo que se abre en el

4. Para cerrar un frasco, la tapadera gira 3.2 vueltas. Expresa el ángulo que gira la tapa en el sistema sexagesimal. 5. Si la circunferencia (perímetro) de una rueda de un automóvil es de 1.75 m, calcula el ángulo sexagesimal que gira la rueda al recorrer 5 metros. 6. Un reloj de manecillas marca las 9 en punto después de 3.25 h. ¿Cuánto mide el ángulo entrante formado por las manecillas? (Expresa el resultado en el sistema circular.) 7. Calcula los ángulos indicados en el plano inclinado mostrado en la figura 2.i (Expresa el resultado en el sistema circular.)

FIGURA 2.i

8. Un ángulo en posición normal mide cuentra su lado terminal?

rad. ¿En qué cuadrante del plano cartesiano se en-

9. Para fabricar una rueda de 70 rayos, necesitamos conocer cuánto debe medir el ángulo entre cada par de rayos. (Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.) 10. ¿Qué ángulo girará la Tierra en un tiempo de 36.5 h? (Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.) 11. Calcula la longitud de la curva de una carretera, que es la sección de una circunferencia que tiene un radio de 50 m. La sección comprende un ángulo de 0.98 rad. 12. Calcula el ángulo central que comprende el arco de longitud 3.93 u. y un radio de 5 u. (Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.)

CAPITULO III Triángulos

INTRODUCCIÓN El estudio de los triángulos se remonta a la antigüedad. Los egipcios aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides, cuyas bases son cuadrangulares y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros. Asimismo, en el papiro de Rhind establecieron las reglas para calcular el área del triángulo isósceles y de otras figuras geométricas; sin embargo, fue con los griegos que la geometría se inicia como ciencia deductiva gracias a matemáticos como: Tales de Mileto (S. vil a.C), quien calculó la altura de las pirámides con base en la sombra que proyectan y la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, cuyo teorema dice: "Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales". Pitágoras de Sanios (S. vi a.C), a quien se le atribuyen dos famosos teoremas: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos". "La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos". Euclides de Alejandría (S. IV a.C), quien plantea en su obra Elementos, en los libros i y vi, la relación de igualdad de triángulos, teoremas sobre paralelas, suma de las áreas de triángulos de un polígono, igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura, teorema de Pitágoras y proporciones de triángulos semejantes, respectivamente. Conocimientos como los anteriores y otros más, son los que estudiaremos en este capítulo.

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN Posiblemente, en alguna ocasión habrás visto que puentes, edificios, bicicletas, etc., se sustentan en una figura geométrica: el triángulo.

Triángulos

71

FIGURA 3.1

El Mángalo es una figura plana, «imitada por tres rectas que secortan dos a dos.itaflWén se define como el polígono o figura geométrica formada por tres lados que forman, a su vez. entre sf tres Sngutos.

En la figura 3.2 podemos observar los elementos que configuran a un triángulo.

FIGURA 3.2

Los vértices del triángulo son los puntos de intersección/!, B y C, y los lados del triángulo son: usualmente designados por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto. Así tenemos: se denomina como c se denomina como a se denomina como b La notación más común para nombrar a los triángulos se da al colocar las literales de los vértices en seguida del símbolo De acuerdo con esto, la notación será Por otra parte, los ángulos interiores se designan con las letras de los vértices o con las literales minúsculas de los mismos:

Por lo tanto: un triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos.

72

CAPÍTULO III

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

FIGURA 3.3

FIGURA 3.4

FIGURA 3.5

El hombre, para construir edificios, puentes, casas o monumentos, ha utilizado como apoyo la figura geométrica triangular. ¿Pero los triángulos tienen un nombre en particular? Los triángulos se clasifican de acuerdo con la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Se desea cercar un terreno triangular que tiene 15 metros por lado. Si se tiene un carrete de alambre de 135 metros de longitud, ¿cuántas vueltas se darán? (Véase figura 3.6.)

FIGURA 3.6

Podemos conocer el perímetro, sumando las medidas de sus lados:

Es decir, para saber cuántas vueltas se le pueden

Por tanto, se le pueden dar tres vueltas.

135 m, basta dividir 135 entre 45 m.

Triángulos

73

A estos triángulos que tienen sus tres lados iguales se les llama equiláteros (véase figura 3.7).

FIGURA 3.7

Los triángulos que tienen dos lados iguales y uno desigual, se llaman isósceles (véase figura 3.8).

FIGURA 3.8

Aquellos triángulos que tienen sus tres lados desiguales se llaman escalenos (véase figura 3.9).

FIGURA 3.9

Figura de un acutángulo

Rectángulo

(Bolas de billar) FIGURA 3.10

Obtusángulo

(Puente) FIGURA 3.11

FIGURA 3.12

Observemos las figuras anteriores. El triángulo de la figura 3.10 tiene sus tres ángulos interiores agudos, el triángulo de la figura 3.11 tiene un ángulo recto, y el triángulo de la figura 3.12 tiene un ángulo obtuso.

74

CAPITULO III

Por la medida de sus ángulos Acutángulos: son los triángulos cuyos ángulos interiores son agudos (véase figura 3.13).

FIGURA 3.13

Rectángulos: son los triángulos con un ángulo recto (véase figura 3.14).

FIGURA 3.14

Obtusángulos: son los triángulos que tienen un ángulo obtuso (véase figura 3.15).

FIGURA 3.15

Los triángulos acutángulos y obtusángulos también reciben el nombre de triángulos oblicuángulos, porque ninguno de sus ángulos interiores forma un ángulo recto.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO Es importante estudiar las relaciones que se establecen entre las rectas notables llamadas bisectrices, mediatrices, alturas y medianas de un triángulo, así como los puntos de intersección de éstas, porque el conocimiento de estas relaciones tiene múltiples aplicaciones en la industria de la construcción, el dibujo arquitectónico y desde luego para futuros estudios de las matemáticas.

Triángulos

75

Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior en el ángulo, que lo divide en dos ángulos iguales. Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo, encontraremos que (véase figura 3.16):

FIGURA 3.16

Equilátero (a)

Isósceles (b)

Escaleno (c)

Las bisectrices se cortan en un punto interior del triángulo, que es el centro del mismo y desde el cual podemos trazar una circunferencia inscrita, cuyo radio será la perpendicular trazada de los lados del triángulo a este punto llamado incentro, que en todo triángulo se encuentra en el interior. Mediatriz Es la perpendicular que corta el punto medio de un segmento. Si trazamos las mediatrices de los lados de un triángulo, observamos que: (véase figura 3.17).

FIGURA 3.17

Acutángulo (a)

Rectángulo (b)

Obtusángulo (c)

76

CAPÍTULO III

La intersección de las mediatrices se encuentra a la misma distancia de los vértices de un triángulo, por lo que si la tomamos como radio, podemos trazar una circunferencia circunscrita al triángulo. Al punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo, se le llama circuncentro, el cual en un triángulo acutángulo se encuentra en el interior y en un rectángulo u obtusángulo se encuentra en el exterior. Altura del triángulo Se llama así al segmento de recta trazado desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto. Por ejemplo (véase fisura 3.18):

Equilátero (a)

Rectángulo (b) Obtusángulo (c)

FIGURA 3.18

Podemos darnos cuenta de que las alturas se intersecan en un punto llamado ortocentro y que en un triángulo acutángulo es interior, en el triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto y finalmente en el triángulo obtusángulo es exterior, formado por la intersección de la prolongación de las alturas.

Triángulos

77

Mediana Es el segmento trazado de un vértice al punto medio del lado opuesto. Tracemos las medianas en los siguientes triángulos y observemos que (véase figura 3.19):

Equilátero (a)

FIGURA 3.19

Escaleno (b)

Isósceles (c)

O es el baricentro, gravicentro o centro de gravedad. El punto de intersección de las medianas se llama baricentro, gravicentro o centro de gravedad, que en todo triángulo es un punto interior. Ahora que ya conocemos las rectas y los puntos notables de un triángulo, ¿cuál de estos puntos y rectas es más consistente? ¿Será el que se utiliza más en la construcción?

CONGRUENCIA A un albañil se le ha encargado construir anillos triangulares de alambren para anillar la estructura de las varillas que soportarán un muro de concreto. Si la medida de cada lado del triángulo es de 15 cm, ¿cómo deberá hacerlo para que éstos sean iguales? Lo primero es construir un triángulo equilátero, fijando postes que serán los vértices, como se muestra en la figura 3.20.

FIGURA 3.20

78

CAPÍTULO III

Posteriormente, se dobla el alambrón de tal modo que los anillos sean iguales.

FIGURA 3.21

El albañil ha hecho así coincidir cada vértice del primer triángulo con los vértices del segundo y, así sucesivamente, con lo cual también deberán coincidir sus lados (véase figura 3.21); por ello se dice que los triángulos son congruentes. En otras palabras: Dos triángulos son congruentes cuando los ángulos y lados de uno son respectivamente iguales a los ángulos y lados del otro. El símbolo de congruencia es:

La figura 3.22 muestra la congruencia entre lados y ángulos:

FIGURA 3.22

Sin embargo, para demostrar que dos triángulos son congruentes, no es necesario demostrar la igualdad de los triángulos o de los tres lados uno a uno, sino es suficiente que se cumpla la igualdad de algunos de ellos para que, consecuentemente, se cumplan las otras condiciones. Lo anterior da origen a los siguientes criterios sobre la congruencia de triángulos, criterios que nosotros consideramos como postulados. Primero: Dos triángulos son congruentes cuando uno de sus ángulos y los dos lados que forman dicho ángulo (1, a, 1) son iguales (véase figura 3.23).

FIGURA 3.23

Triángulos

79

En ambos triángulos:

Segundo: Dos triángulos son congruentes cuando uno de sus lados y sus dos ángulos adyacentes (a, 1, a) son iguales (véase figura 3.24):

FIGURA 3.24

En ambos triángulos:

Otros criterios sobre congruencia de triángulos son los empleados en los triángulos rectángulos, de gran utilidad para futuros cálculos y demostraciones formales. a) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando sus dos catetos son iguales (véase figura 3.25).

FIGURA 3.25

Los triángulos son congruentes por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos; es decir, se aplica el primer criterio (1, a, 1). b) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen, respectivamente, un cateto y un ángulo agudo iguales (véase figura 3.26). En este caso se aplica el segundo criterio; es decir, los triángulos serán congruentes por tener un lado y los dos ángulos adyacentes (a, 1, a) iguales.

FIGURA 3.26

80

CAPÍTULO III

c) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen, respectivamente, la hipotenusa y un ángulo agudo iguales. En este caso, se aplica el mismo criterio que en el caso anterior. Construye tus figuras e identifica el lado y los ángulos iguales (a, 1, a). d) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen la hipotenusa y uno de los catetos iguales. El otro cateto será igual; es decir, los tres lados serán iguales (1,1,1) (véase figura 3.27).

FIGURA 3.27

SEMEJANZAS Retomemos el problema del albañil. Ahora se le pide construir anillos triangulares de alambren, para anillar la estructura de las varillas que soportarán un muro de concreto más grande que el primero, de tal modo que cada lado del triángulo mida 30 cm. Como ya tiene experiencia, el albañil construye un triángulo equilátero, fijando los postes que serán los vértices, como se muestra en la figura 3.28.

FIGURA 3.28

De esta manera, doblará el alambren para construir anillos iguales (véase figura 3.29).

FIGURA 3.29

Triángulos

81

¿Cómo son los anillos que acaba de construir respecto a los primeros? Son semejantes porque ambas figuras poseen las mismas características y condiciones geométricas; es decir, se han reproducido en todos sus detalles y varía únicamente su tamaño. Por tanto: Dos triángulos son semejantes cuando tienen, respectivamente, ángulos iguales, uno a uno, y sus lados son proporcionales. El símbolo de semejanza es: - (véase figura 3.30).

FIGURA 3.30

son homólogos o correspondientes.

Es decir, los lados son proporcionales o están en una razón de semejanza.

Para comprender mejor lo anterior, te recordamos que la razón de un número xaun número y con y distinto de cero es el cociente: que:

que una proporción es la igualdad entre dos razones, en la

donde el producto de medios es igual al producto de extremos.

Por otra parte, la semejanza de triángulos es una relación de equivalencia y por lo tanto debe cumplir con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. a) Propiedad reflexiva: Todo triángulo es semejante a sí mismo (véase figura 3.31).

FIGURA 3.31

82

CAPÍTULO III

b) Propiedad simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero (véase figura 3.32).

FIGURA 3.32

c) Propiedad transitiva: Dos triángulos semejantes a uno tercero son semejantes entre sí (véase figura 3.33).

FIGURA 3.33

Otro apoyo importante que requerimos para realizar demostraciones formales de algunos teoremas y resolver problemas sobre triángulos es el teorema de Tales. Teorema de Tales: "Si un sistema de rectas paralelas corta dos transversales, determina entre ellas segmentos correspondientes proporcionales" (véase figura 3.34).

FIGURA 3.34

Triángulos

83

Hipótesis:

son segmentos correspondientes de V Tesis: Trazo auxiliar: dividimos por un segmento de unidad que llamamos número exacto de veces. Por los puntos que se determinan, trazamos paralelas a veces. tal modo que Afirmaciones

contenido un

Razones 1. Por construcción 2. Por construcción 3. Dos igualdades pueden dividirse miembro a miembro, dando lugar a otra igualdad 4. Por construcción 5. Por construcción 6. Por la razón 3 7. Aplicando la propiedad transitiva entre 3 y 6

Este teorema se verifica para cualquier número de paralelas, sin importar la posición de las transversales.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS Es importante desarrollar tu pensamiento lógico, por lo cual en este apartado se demostrarán algunos teoremas básicos sobre triángulos. En estas demostraciones, los conocimientos adquiridos en cursos anteriores son de gran apoyo, así como el razonamiento abstracto. Usar figuras en las demostraciones geométricas únicamente servirá para ilustrar el problema; toda demostración geométrica válida debe ser independiente. Finalmente, se debe tener cuidado de no hacer deducciones a partir de la apariencia de algunas situaciones geométricas que presentan las figuras. Estas situaciones geométricas deben incluirse en la hipótesis o en el desarrollo de las demostraciones.

84

CAPÍTULO III

Teorema: "Los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180o" (véase figura 3.35).

FIGURA 3.35

Hipótesis: Tesis:

Razones 1. 2. 3. 4.

Por construcción Por formar un ángulo llano Por ser ángulos alternos internos entre paralelas Sustituyendo las igualdades de 3 en la igualdad 2

Teorema: "En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él" (véase figura 3.36).

FIGURA 3.36

Hipótesis:

son ángulos interiores del

Tesis: Trazo auxiliar: Prolongar el Afirmaciones

Razones 1. 2. 3. 4.

Por suma de ángulos interiores de todo triángulo Por formar un ángulo llano Aplicando la propiedad transitiva entre 1 y 2 Por la propiedad de la igualdad que indica que cuando a cantidades iguales se restan cantidades iguales, los resultados son iguales

Triángulos

85

Teorema: "Si del vértice del ángulo recto de un triángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, los triángulos que se forman son semejantes al triángulo dado y semejantes entre sf' (véase figura 3.37).

FIGURA 3.37

Hipótesis: Tesis:

Trazo auxiliar: en el vértice Afirmaciones

Razones 1. Por la propiedad reflexiva 2. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual 3. Por la propiedad reflexiva 4. Por la razón 2 5. Aplicando la propiedad transitiva entre 2 y 4

Del teorema anterior se desprenden los siguientes corolarios, de gran utilidad para demostrar el teorema de Pitágoras. Corolario: "La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos que determinan la hipotenusa" (véase figura 3.38).

FIGURA 3.38

86

CAPÍTULO III

Corolario: "La perpendicular trazada de un punto cualquiera de una circunferencia a su diámetro, es media proporcional entre los segmentos que determina en dicho diámetro" (véase figura 3.39).

FIGURA 3.39

Corolario: "Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, se determinan en ésta dos segmentos y cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento adyacente al cateto" (véase figura 3.40).

FIGURA 3.40

Teorema: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (véase figura 3.41).

FIGURA 3.41

Hipótesis: Tesis:

Triángulos

87

Razones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Por construcción Por media proporcional Por la propiedad fundamental de las proporciones Por media proporcional Por la propiedad fundamental de las proporciones Sumando miembro a miembro 3 y 5 Factorizando el segundo miembro Por construcción Sustituyendo en 7 Realizando operaciones Por propiedad reflexiva

Teorema: "Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros lados un triángulo semejante al trazado" (véase figura 3.42).

FIGURA 3.42

Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: Por el punto

1. Por ser un ángulo común 2. Por ser ángulos correspondientes 3. Por ser lados proporcionales (teorema de Tales) 4. Por ser lados proporcionales (teorema de Tales) 5. Por la propiedad transitiva 6. Por ser lados opuestos del paralelogramo, 7. Sustituyendo 6 en 7 8. Por tener lados proporcionales y ángulos correspondientes iguales

88

CAPÍTULO III

Con base en la igualdad anterior, la hipotenusa y los catetos se calculan así:

Del teorema de Pitágoras, de gran utilidad para resolver problemas, se desprenden los siguientes corolarios: Corolario: "Dos triángulos rectángulos son iguales, si tienen respectivamente iguales dos catetos". Corolario: "Dos triángulos rectángulos son iguales, si tienen respectivamente iguales la hipotenusa y uno de los ángulos agudos". Corolario: "Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, son semejantes". Corolario: "Si dos triángulos rectángulos tienen proporcionales los dos catetos, son semejantes".

APLICACIONES Para conocer la altura de un edificio, un poste, un árbol; el ancho de una calle, de un río, etc., podemos aplicar los conocimientos vistos anteriormente. Ejemplos 1. Se desea conocer la altura de un árbol, cuando éste proyecta una sombra de 12 metros en el instante en que una vara de 1.5 metros proyecta una sombra de 4.5 metros (véase figura 3.43). Plantearíamos el problema como triángulos semejantes.

FIGURA 3.43

De acuerdo con la figura 3.43, plantearíamos la siguiente proporción:

Triángulos

Si despejamos

89

que corresponde a la altura del árbol, tendremos:

Al realizar operaciones: que es la altura del árbol 2. Se desea conocer el lado de un terreno cuadrado cuya diagonal tiene una longitud de 1200 m Primero trazamos una figura (véase figura 3.44): Sabemos por el teorema de Pitágoras que

Desarrollando:

que es la longitud de cada lado del terreno.

FIGURA 3.44

3. Calcular el valor de la altura en la figura 3.45. De acuerdo con la medida proporcional, tendremos:

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: FIGURA 3.45

Desarrollando:

90

CAPÍTULO III

4. Calcular el ancho de un río, de acuerdo con los datos de la figura 3.46. Para resolver el problema, es necesario aplicar la semejanza de triángulos:

Aplicando la propiedad de las proporciones:

Desarrollando:

FIGURA 3.46

que es el ancho del río. 5. Una baliza de 2 m de largo, colocada verticalmente, proyecta una sombra de 7 m al mismo tiempo en que una torre proyecta una sombra de 60 m. Calcular la altura de la torre (véase figura 3.47).

FIGURA 3.47

Aplicando la semejanza de triángulos, tendremos

por lo tanto:

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y sustituyendo valores:

Desarrollando:

17.14 m, que es la altura de la torre.

Triángulos

91

RESUMEN • El triángulo es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos; también se define como el polígono o figura geométrica constituida por tres lados que forman,a su vez, entre sí tres ángulos. • Los triángulos se clasifican de acuerdo con la medida de sus lados en equiláteros, isósceles y escalenos. • Por la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. • Las relaciones que se establecen entre las rectas notables llamadas bisectrices, mediatrices, altu ras y medianas de un triángulo y los puntos de intersección de éstas son: Bisectriz: se cortan en un punto llamado incentro, desde el cual podemos trazar una circunferencia inscrita. Mediatriz: La intersección de las mediatrices es un punto llamado circuncentro, ubicado a la misma distancia de los vértices, por ello podemos trazar una circunferencia circunscrita al triángulo, si tomamos como centro este punto y como radio la distancia a cualquiera de los vértices. Altura: el punto de intersección de las alturas se llama ortocentro. Mediana: las medianas se intersecan en un punto llamado baricentro, gravicentro o centro de gravedad. • Dos triángulos son congruentes cuando los ángulos y los lados de uno son respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro; el símbolo de congruencia es =. Para demostrar que dos triángulos son congruentes se aplican los siguientes criterios: 1. 1, a, 1. Dos triángulos son congruentes cuando tienen iguales un ángulo y los dos lados que forman dicho ángulo. 2. a, 1, a Dos triángulos son congruentes cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. 3. 1,1,1 Dos triángulos son congruentes si tienen, respectivamente, iguales uno a uno sus tres lados. • Otros criterios importantes son: a) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen iguales los dos catetos. b) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y un ángulo agudo. c) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen, respectivamente, iguales la hipotenusa y un ángulo agudo. d) Dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen iguales la hipotenusa y uno de los catetos. • Dos triángulos son semejantes cuando tienen, respectivamente, ángulos iguales uno a uno y lados proporcionales, y el símbolo de la semejanza es ~. • La semejanza es una relación de equivalencia, por lo que cumple con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. • En la demostración de teoremas, los conocimientos estudiados son de gran utilidad, y para el efecto es necesario plantear la hipótesis, la tesis, los trazos auxiliares y efectuar la demostración en la cual deben considerarse las afirmaciones y sus respectivas razones.

92

CAPÍTULO III

EJERCICIOS A. Relaciona ambas columnas, escribiendo en el paréntesis el número que corresponde a la respuesta correcta. 1. Triángulo 2. Mediatriz 3. Triángulo rectángulo 4. Altura 5. Triángulo equilátero 6. Ortocentro 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Incentro Triángulo obtusángulo Triángulo isósceles Circuncentro Triángulo escaleno Bisectriz Triángulo acutángulo

14. 15. 16. 17. 18. 19.

Gravicentro Mediana Notación de semejanza Notación de triángulo Notación de congruencia Notación de ángulo

20. Teorema de Pitágoras 21. Teorema de Tales

( ) Segmento trazado de un vértice al punto medio del lado opuesto. ( ) Intersección de las alturas de los lados del triángulo. ( ) Polígono formado por tres lados que forman a su vez, entre sí, tres ángulos. ( ) Intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. (

) Intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.

( ) Intersección de las medianas de los lados del triángulo. ( ) Triángulos que tienen sus tres lados iguales. ( ) Perpendicular que corta el punto medio de un segmento. ( ) Triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos. ( ) Son triángulos que tienen un ángulo recto. ( ) Son los triángulos con dos lados iguales y uno desigual. ( ) Son triángulos de lados desiguales. ( ) Son triángulos que tienen un ángulo obtuso. ( ) Semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. ( ) Segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto.

B. Construye en tu cuaderno las siguientes figuras. 1. Construye un triángulo de 5 cm por lado, después, obtén las bisectrices de los ángulos interiores y el incentro e inscribe una circunferencia en el triángulo. 2. Construye un triángulo con dos lados de 4 cm que formen un ángulo recto. A partir de esta característica, obtén el circuncentro y traza un círculo circunscrito al triángulo. 3. Traza un triángulo que tenga dos ángulos de 45° y un lado común de 6 cm y obtén el ortocentro. 4. Traza un triángulo de 3,4, y 5 cm de lado y obtén el gravicentro. 5. Con los datos del ejercicio anterior, demuestra gráficamente el teorema de Pitágoras.

Triángulos

C. Aplicaciones. 1. Resuelve los siguientes problemas: (véase figuras

FIGURA 3.b

FIGURA 3.a

FIGURA 3.c

FIGURA 3.d

FIGURA 3.e

FIGURA 3.f

X=

X=

z=

z= w=

93

94

CAPÍTULO III

2. ¿Cuánto medirá la diagonal de un cuadrado que mide por lado 8 cm? 3. Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo, cuyos catetos miden 4 y 5 cm respectiva mente. 4. Calcula la altura de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 12 cm cada uno y el lado desigual, 14 cm. 5. ¿Cuál será la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 5 cm respectivamente? 6. ¿Cuál será la longitud de un cable que habrá de sujetar un poste de 15 m de altura, si se atará a una distancia de 6 m del pie del poste? 7. La longitud de una resbaladilla es de 5.30 cm Si la altura es de 2.40 m, ¿cuál será el espacio para instalarla? 8. Calcula la anchura del río, de acuerdo con la figura 3.g.

FIGURA 3.g

9. Una vara de 2 m de longitud, colocada verticalmente, proyecta una sombra de 7 m en el momento en que una torre proyecta una sombra de 52 m. ¿Cuál será la altura de la torre? 10. Un observador se encuentra en la parte superior de un árbol cuya altura es de 13.45 m. Si un conejo se encuentra a una distancia del pie del árbol de 5.75 m, ¿a qué distancia se encuentra del observador? 11. Una escalera de 3 m de longitud se encuentra recargada en una barda de 2.40 m de altura ¿A qué distancia de la barda se encuentra el pie de la escalera? 12. Obtén lo que se indica en las figuras

FIGURA 3.h

FIGURA 3.i

Triángulos

FIGURA 3.j

FIGURA 3.l

FIGURA 3.n

FIGURA 3.k

FIGURA 3.m

FIGURA 3.0

95

96

CAPÍTULO III

D. Demostraciones Demuestra los siguientes teoremas: Teorema: "La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo suman 360o." Teorema: "Todo triángulo semejante a otro es congruente a uno de los triángulos que pueden obtenerse trazando una paralela a la base de éste." Teorema: "Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes." Teorema: "Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales y congruentes al ángulo comprendido." Teorema: "Dos triángulos son semejantes cuando sus tres lados son proporcionales." Teorema: "Las alturas homologas de dos triángulos semejantes son proporcionales a sus lados correspondientes." Teorema: "En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia." Teorema: "En todo triángulo isósceles, a los lados iguales se oponen ángulos iguales." Teorema: "Si los dos catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente congruentes a los dos catetos de otro triángulo rectángulo, los triángulos son congruentes." Teorema: "Si dos triángulos tienen dos ángulos y el lado incluido de uno congruente a los dos ángulos y el lado incluido correspondiente del otro, los triángulos son congruentes." Teorema: "Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes." Teorema: "Si dos de los ángulos de un triángulo son congruentes, los lados opuestos son congruentes."

CAPÍTULO IV Polígonos

INTRODUCCIÓN En este capítulo, analizaremos la definición, la clasificación, las propiedades y la demostración de teoremas referidos a los polígonos. Para estudiar los polígonos, se requiere tener como base los conocimientos de punto, recta y triángulo vistos en los capítulos anteriores. Pero, ¿qué es un polígono? Empezaremos por definir esta figura geométrica. Un campesino desea vender su tierra de labranza que tiene las siguientes medidas por lado: largo, 130 m y ancho, 80 m. ¿Qué figura describe? Primero se deberá elaborar una figura con los datos (véase figura 4.1).

FIGURA 4.1

Como puede observarse, describe una figura de 4 lados, iguales dos a dos, que recibe el nombre de cuadrilátero, por tener cuatro lados. Conociendo la figura, se podrá valorar su costo, ya que se puede obtener su área. Seguramente, cuando has visitado alguna iglesia o museo, te habrás percatado de la existencia de vitrales; esas vidrieras de colores formadas por un sinnúmero de figuras geométricas, construidas por el hombre en forma de polígonos. Estas figuras las puedes ver también en edificios, ventanas, azulejos, pisos, paredes, la bandera y hasta en lápices y bolígrafos. También, si cortamos en sección recta un panal de abejas, encontramos polígonos (véase figura 4.2).

98

CAPÍTULO IV

FIGURA 4.2

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE POLÍGONOS Etimológicamente, la palabra polígono proviene de las raíces poli (que significa "muchos") y gonos (que significa "ángulos"), por lo tanto, diríamos que un polígono es una figura geométrica con muchos ángulos. Existe una definición más rigurosa: es un conjunto de puntos, el cual es la unión de los segmentos (véase figura 4.3) que cumplen con estos requisitos: a) Cada punto extremo es el punto extremo de dos segmentos. b) Ningún par de segmentos se interseca, excepto en un punto extremo. c) Ningún par de segmentos es colineal con el mismo punto extremo. En la figura 4.3 encontramos que:

FIGURA 4.3

• Los lados del polígono son: • Los vértices son: A, B, C, D, E, F, G, H. • Los ángulos interiores:

Polígonos

99

Otros conceptos importantes son: Diagonal: es un segmento cuyos puntos extremos son vértices no adyacentes del polígono. Por ejemplo, en la figura 4.4, tenemos que:

FIGURA 4.4

las diagonales son: y la base: Ángulo externo: es un ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del polígono. Por ejemplo, en la figura 4.5

FIGURA 4.5

los ángulos externos son: Lados adyacentes: son aquellos lados que comparten un vértice. Vértices adyacentes: dos vértices son adyacentes si son puntos extremos del mismo lado. Ángulos adyacentes: son aquellos cuyos vértices son adyacentes. Por otra parte, según el número de lados, algunos polígonos reciben nombres específicos: Tres lados Cuatro lados Cinco lados Seis lados Siete lados Ocho lados

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono

Nueve lados Diez lados Once lados Doce lados n lados

Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono n-ágono

100

CAPÍTULO IV

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Los polígonos se clasifican según el carácter entrante o saliente de sus ángulos en: • Polígonos convexos: cuando todos sus ángulos son menores de 180°, los cuales también son llamados ángulos salientes (véase figura 4.6).

FIGURA 4.6

• Polígonos cóncavos: son aquellos que tienen uno o más de sus ángulos interiores mayores de 180°, es decir, tienen al menos un ángulo entrante. También se pueden cruzar sus lados, por lo que se conocen como polígonos estrellados (véase figura 4.7).

FIGURA 4.7

Otra clasificación de los polígonos corresponde a la regularidad de sus elementos; de esta manera tenemos: • Polígonos regulares: son aquellos cuyos lados y ángulos son congruentes; es decir, son equiláteros y equiángulos (véase figura 4.8).

FIGURA 4.8

Polígonos

101

• Polígonos irregulares: son aquellos que no tienen ángulos y lados congruentes, es decir, son irregulares (véase figura 4.9).

FIGURA 4.9

En general, los polígonos presentan la siguiente propiedad, que es de suma importancia para demostrar algunos teoremas.

3 lados RGURA 4.10 1 Triángulo

4 lados 2Triángulos

5 lados 3Triángulos

6 lados 4Tr¡ángulos

¿Te das cuenta de que existe una relación entre el número de lados de un polígono y los triángulos formados por sus diagonales a partir de un vértice? ¿Cuál es esa relación?

El número de triángulos de un polígono es igual al número de lados del polígono menos dos.

n es el número de lados de cualquier polígono.

Demostración de teoremas a) Teorema: "La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual al producto de dos ángulos rectos por el número de lados del polígono menos dos" (véase figura 4.11).

102

CAPÍTULO IV

Hipótesis: ABCDEF es un polígono irregular de n lados.

Trazo auxiliar: trazamos las diagonales

en la figura 4.11.

FIGURA 4.11

Demostración Afirmaciones

Razones 1. Por construcción 2. Por la propiedad vista anteriormente

3. La suma de los ángulos de un polígono es igual a la suma de los ángulos de todos los triángulos formados

3. El todo es igual a la suma de sus partes

4. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°

4. Por el teorema visto anteriormente

5. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n - 2)

5. De acuerdo con 2, 3 y 4

De este teorema se desprende el siguiente Corolario: el valor de un ángulo interior de un polígono regular está dado por la relación

Polígonos

103

b) Teorema: "En todo polígono, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360".

FIGURA 4.12

Hipótesis: ABCDEF es un polígono de n lados.

Trazo auxiliar: En la figura, los ángulos exteriores son:


Razones

1. Cada ángulo exterior es suplemento de su correspondiente interior

1. Por la definición de ángulo suplementario 2. Expresando algebraicamente 1 3. Por el teorema anterior 4. Sustituyendo 3 en 2 5. Realizando operaciones en 4

De este teorema se desprende el siguiente Corolario: el valor de un ángulo exterior de un polígono es igual a la suma de los ángulos exteriores, dividido entre el número de lados del polígono.

104

CAPÍTULO IV

c) Teorema: "El número de diagonales (D) que pueden trazarse en un polígono de n lados, es igual a la mitad del producto de n por (n - 3)". Hipótesis: A B C D E F es un polígono Tesis: Trazo auxiliar: trazamos las diagonales

en la figura 4.13

FIGURA 4.13


Razones

1. De cada vértice del polígono se pue-

1. Por construcción

2. Hay n vértices y las diagonales (D) están repetidas 2 veces; por lo tanto, el total de ellas es:

2. De los vértices disponibles quedan excluidos el vértice en cuestión y dos que están conecta dos a éste por lados y no por diagonales. 3. Realizando operaciones en 2

De este teorema tenemos el siguiente Corolario: el número de diagonales que pueden trazarse desde el vértice es igual al número de lados del polígono, menos tres.

d=n-3

Asimismo, tenemos que el valor de un ángulo central, en un polígono, es igual a 360° entre el número de lados de éste.

Polígonos

105

CUADRILÁTEROS De los polígonos regulares, un caso especial es el de los cuadriláteros, que son los polígonos de cuatro lados. Frecuentemente nos encontramos edificios que tienen como base una figura limitada por cuatro lados y que, además, forman entre sí cuatro ángulos.

Escala 1 :n

FIGURA 4.14

Como puedes observar, en el plano de la figura 4.14, se forman figuras geométricas regulares que de acuerdo con sus ángulos y la forma de sus lados (es decir, el paralelismo de sus lados opuestos) se clasifican en: Paralelogramos: cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos entre sí. Los paralelogramos, a su vez, pueden ser: Cuadrado: cuadrilátero que tiene ángulos y lados iguales (véase figura 4.15). Notación: donde:

FIGURA 4.15

106

CAPÍTULO IV

Rectángulo: cuadrilátero con lados contiguos desiguales; es decir, sus lados opuestos son iguales y sus cuatro ángulos son rectos (véase figura 4.16). Notación: donde:

FIGURA 4.16

Rombo: cuadrilátero que tiene sus lados iguales y cuyos ángulos son oblicuos; es decir sus ángulos no son rectos. Además, sus ángulos opuestos son iguales (véase figura 4.17). Notación: donde:

FIGURA 4.17

Romboide: cuadrilátero cuyos lados contiguos son desiguales; solamente sus lados opuestos son iguales. Además, sus ángulos son oblicuos, es decir, no son rectos, pero los ángulos opuestos son iguales entre sí (véase figura 4.18). Notación: donde:

Trapecio: cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos. A los lados paralelos se les llama bases, y a la perpendicular trazada desde la base menor a la base mayor, se le llama altura. Los trapecios, a su vez, pueden ser:

Polígonos

107

Trapecio escaleno: cuadrilátero que tiene dos lados paralelos desiguales (véase figura 4.19). Notación: donde:

Trapecio isósceles: cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos y desiguales e iguales los lados no paralelos (véase figura 4.20). Notación: donde:

FIGURA 4.20

Trapecio rectángulo: cuadrilátero que tiene un lado perpendicular a las bases, y éstas por lo tanto son paralelas (véase figura 4.21). Notación: donde:

FIGURA 4.21

Trapezoides: cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos entre sí. Los trapezoides pueden ser, a su vez: Trapezoide simétrico: cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales, aunque el primer par de lados consecutivos iguales es diferente al segundo y ningún lado opuesto es paralelo (véase figura 4.22).

108

CAPÍTULO IV

Notación: donde:

Trapezoide asimétrico: cuadrilátero que no tiene ningún lado opuesto paralelo y cuyos lados son desiguales (véase figura 4.23). Notación: donde:

Características importantes que debemos considerar en los cuadriláteros, son las siguientes: En los paralelogramos cuadrado, rectángulo y rombo, se forman dos diagonales que se intersecan en su punto medio, el cual se conoce como centro de simetría. En el rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí; en el rectángulo, ambas diagonales tienen igual longitud; en el cuadrado se cumplen todas las condiciones anteriores. En el rombo y cuadrado, las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen (véase figura 4.24).

FIGURA 4.24

Polígonos

109

En los trapecios, en general, los lados paralelos se llaman bases y como son desiguales, una se llama base menor y la otra, base mayor. Se llama altura de trapecio la distancia entre las bases, que es una perpendicular común a dichas bases. Por otra parte, la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio se conoce como paralela media o base media, cuya longitud es igual a la semisuma de las bases (véase figura 4.25).

FIGURA 4.25

De esta manera, la clasificación de los cuadriláteros se puede sintetizar así:

Paralelogramos

Cuadriláteros

Trapecios

Trapezoides

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Escaleno Rectángulo Simétrico Asimétrico

Demostración de teoremas sobre cuadriláteros En general, todos los cuadriláteros cumplen con el siguiente Teorema: "La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360o".

FIGURA 4.26

110

CAPÍTULO IV

Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: Trazamos la diagonal

formando los triángulos ABC y ACD (véase figura 4.26).

Demostración Razones

Afirmaciones

1. 2. 3. 4. 5.

Por construcción Por construcción Por el teorema demostrado anteriormente Por la razón anterior Por construcción

Otros teoremas importantes sobre cuadriláteros son: a) Teorema: "Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales". Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: trazamos la diagonal

en la figura 4.27.

FIGURA 4.27


Razones 1. Por construcción 2. Por ser ángulos alternos internos 3. Por el criterio de congruencia de triángulo a. 1. a. 4. Por ser lados homólogos de triángulos congruentes

Polígonos

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De este teorema y respecto a los ángulos internos, se desprenden los siguientes corolarios. Corolario 1. En un paralelogramo, los ángulos contiguos son suplementarios. Corolario 2. En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. b) Teorema: "Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio". Hipótesis: Tesis: que se cortan en el punto O en la figura 4.28

Trazo auxiliar: trazamos diagonales

FIGURA 4.28


Razones 1. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 2. Por ser ángulos alternos internos 3. Por el criterio de congruencia de triángulos a. 1.a 4. Por ser lados homólogos de triángulos congruentes

c) Teorema: "Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios". Hipótesis: Tesis: Trazo auxiliar: prolongamos los segmentos figura 4.29

FIGURA 4.29


Razones 1. Por ser ángulos colaterales internos 2. Por ser ángulos colaterales internos

112

CAPÍTULO IV

APLICACIONES Los conocimientos vistos anteriormente nos servirán para aplicarlos en la solución de problemas, por ejemplo, de geometría analítica, sin embargo, veremos ahora algunas aplicaciones prácticas. Problemas 1. Un ingeniero civil está deslindando un terreno que tiene la figura de un pentágono irregular. Ha calculado cuatro de sus ángulos interiores, cuyas medidas son: 125°, 85°, 130° y 80°. ¿Cuánto medirá el quinto ángulo? Para resolver este problema, debemos recordar que:

en donde n = 5. Sustituyendo tendremos:

Como la suma de los ángulos interiores del pentágono es de 540°: 125° + 85° + 80° + 130° +x = 540° x = 540° - 420° x = 120° Es decir, el quinto ángulo mide 120°. 2. Un artesano desea construir una mesa de forma octagonal regular. Quiere conocer cuánto medirá la suma de sus ángulos interiores, el valor de cada ángulo interior y el número de diagonales que se pueden trazar en este polígono. a) La suma de sus ángulos interiores

Es decir, la suma de los ángulos interiores del octágono será de 1080°. b) Con el dato anterior, podemos conocer la medida de cada ángulo interior.

Por tanto, cada ángulo interior del octágono medirá 135°.

Polígonos

113

c) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un octágono? Sabemos que, para calcular el número de diagonales de un polígono, usamos la relación:

donde n es el número de lados; por lo tanto, n = 8 Sustituyendo tendremos:

El artesano puede trazar 20 diagonales en el octágono. 3. En la construcción de un vitral, un artesano requiere cubrir un espacio que tiene forma de un polígono regular, cuyos ángulos interiores suman 1980°. ¿Cuántos lados tendrá el polígono? Para conocer el número de lados de este polígono regular, usaremos la relación:

Como conocemos que:

Sustituyendo este dato en (1) 1980° = 180°(n-2) 1980° = 180°n-360° 1980° = 360° = 180°n 2340° = 180°«

n = 13 Es decir, se trata de un polígono de 13 lados.

114

CAPÍTULO IV Otra aplicación es cuando se conoce el ángulo interior de un polígono, por ejemplo: Problema 1. Un talabartero construye una bolsa, en cuyo costado grabará una figura poligonal regular. Si el ángulo interior de esta figura es de 108°, ¿qué polígono será? Sabemos que el valor de un ángulo interior de un polígono regular está dado por la relación:

Si conocemos que:

Sustituyendo en (1), tendremos:

108°n = 180°n-360° 108°n-180°n = -360° -72°n = -360°

n=5 Es decir, el polígono regular que busca construir el talabartero es un pentágono, dado que tiene 5 lados.

Polígonos

115

RESUMEN En este capítulo hemos estudiado los polígonos, a los cuales definimos como un conjunto de puntos, el cual es la unión de los segmentos que cumplen con estos requisitos. a) Cada punto extremo es el punto extremo de precisamente dos segmentos. b) Ningún par de segmentos se interseca excepto en un punto extremo. c) Ningún par de segmentos con el mismo punto extremo es colineal. Los polígonos presentan las siguientes características: Diagonal: es el segmento cuyos puntos extremos son vértices no adyacentes del polígono. Ángulo externo: es un ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del polígono. Lados adyacentes: son aquellos pares de lados que comparten un vértice. Vértices adyacentes: son aquellos que son puntos extremos del mismo lado. Ángulos adyacentes: son aquellos cuyos vértices son adyacentes. Los polígonos reciben un nombre específico, de acuerdo con el número de lados que tengan: Tres lados Cuatro lados Cinco lados Seis lados Siete lados Ocho lados Nueve lados Diez lados Once lados Doce lados n lados

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono n-ágono

Los polígonos se clasifican según el carácter, entrante o saliente, de sus ángulos en convexos y cóncavos. Y por la regularidad de sus elementos, en regulares e irregulares. El número de triángulos que se pueden formar dentro de un polígono es igual al número de lados del polígono menos dos:

Se demostraron los teoremas de: a) La suma de los ángulos interiores

del cual se desprende el corolario del valor de un ángulo interior

116

CAPITULO IV

b) La suma de los ángulos exteriores

del cual se desprende el corolario del valor de un ángulo exterior

c) El número de diagonales que pueden trazarse en un polígono

del cual se desprende el corolario del número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice d = n-3 El valor de un ángulo central se obtiene de la siguiente manera:

Un caso especial de los polígonos regulares lo forman los cuadriláteros, cuya clasificación se puede sintetizar en el siguiente cuadro:

Paralelogramos

Cuadriláteros

Trapecios

Trapezoides

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Escaleno Rectángulo Simétrico Asimétrico

De los cuadriláteros demostramos teoremas como: a) b) c) d)

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360° Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios

Polígonos

117

EJERCICIOS A. Relaciona ambas columnas, escribiendo en el paréntesis de la derecha la letra que corresponda a la respuesta correcta. a) Es un segmento cuyos puntos son vértices no adyacentes del polígono b) Sus raíces etimológicas son poli y gonos c) Son aquellos pares de lados que comparten un vértice d) Es un ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del polígono e) Son aquellos cuyos vértices son adyacentes f) Se llama eneágono al polígono de g) El polígono de 12 lados recibe el nombre de h) El polígono de 7 lados se llama i) Los polígonos que tienen todos los ángulos menores de 180° se llaman j) Los polígonos regulares son aquellos que tienen lados y ángulos k) Los polígonos que tienen uno o más de sus ángulos interiores mayores de 180°, se llaman l) Los polígonos que no tienen ángulos y lados congruentes reciben el nombre de m) El número de triángulos que se pueden trazar en un polígono es igual a n) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice en un polígono, está dado por la relación o) La suma de los ángulos interiores de un polígono se obtiene mediante la relación p) El número de diagonales que pueden trazarse en un polígono se obtiene a través de la relación q) El cuadrilátero que tiene lados y ángulos iguales, se llama r) Los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos entre sí, se llaman s) El cuadrilátero que tiene solamente dos lados paralelos, recibe el nombre de t) Cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos entre sí

(

) n-2

( ) 9 lados ( ) Dodecágono ( ) Diagonal ( ( ( ( (

) ) ) ) )

(

)

Cuadrado Cóncavos Ángulo externo Polígono Paralelogramos n-3

( ) Vértices adyacentes (

) Heptágono

(

) Trapezoide

( ) Congruentes

( ) Polígonos convexos ( ) Polígonos irregulares

B. Demuestra los siguientes teoremas. á) Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. b) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. c) Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.

118

CAPÍTULO IV d) Las diagonales de un rectángulo son iguales. e) Los ángulos contiguos a una misma base de un trapecio isósceles son iguales. C. Demuestra los siguientes corolarios. a) Dos ángulos adyacentes cualesquiera de un paralelogramo son suplementarios. b) Cualquiera de las diagonales divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes. c) Las diagonales de un rombo son mutuamente perpendiculares. d) Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. e) En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. D. Resuelve los siguientes problemas. a) Hallar la longitud del segmento x en cada una de las figuras: 4.a, 4.b y 4.c.

FIGURA 4.a

FIGURA A.b

FIGURA 4.C

Polígonos

b) Calcular el ángulo indicado en cada una de las figuras:

FIGURA 4.4

FIGURA 4.e

FIGURA 4. f

E. Con base en los conocimientos estudiados en este capítulo, resuelve los problemas. 1. ¿Cuántos triángulos se pueden construir en los siguientes polígonos? a) Triángulo

j) Dodecágono

b) Cuadrilátero

k) 13 lados

c) Pentágono

l) 19 lados

d) Hexágono

m) 23 lados

e) Heptágono

n) 30 lados

f) Octágono

o) 25 lados

g) Eneágono

p) 18 lados

h) Decágono

q) 20 lados

i) Endecágono

r) 35 lados

119

120

CAPÍTULO IV

2. ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos? a) Octágono b) Hexágono c) Dodecágono d) 15 lados e) Heptágono f) 17 lados g) Decágono h) Pentágono

i) 24 lados j) 26 lados k) Triángulo l) 14 lados m) Cuadrilátero n) Endecágono o) 29 lados

3. ¿Cuántas diagonales pueden trazarse en cada uno de los siguientes polígonos? a) Triángulo b) Cuadrilátero c) Hexágono d) Eneágono f) Heptágono g) 15 lados h) 18 lados

i) 24 lados j) Pentágono k) 35 lados l) 40 lados m) Decágono n) 29 lados o) 23 lados

4. ¿Cuáles serán los polígonos cuyos ángulos interiores miden: a) b) c) d) e)

60° 108° 120° 147° 16' 128° 34'

f) 135° g) 156° h) 154° 17' i) 150° j) 158° 49'

5. ¿Cuántos lados tendrán los polígonos cuyos ángulos interiores sumen: a) b) c) d) e)

360° 1080° 1980° 1260° 2700°

f) 2340° g) 900° h) 3600° i) 4040° j) 180°

6. Obtén el valor de cada ángulo de un cuadrilátero, si cada uno tiene un valor de x, 7. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1080°? 8. ¿Cuánto medirá la diagonal de un rectángulo que tiene 8 cm de base y 5 cm de altura? 9. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un eneágono? 10. ¿Cuánto medirá un ángulo central de un polígono regular de 15 lados?

CAPÍTULO V Circunferencia y círculo

INTRODUCCIÓN La sección áurea La sección dorada o de oro se encuentra en diversos campos de la ciencia, en el arte, la arquitectura y la naturaleza. El rectángulo dorado es una de las figuras más perfectas, que surge con la cultura griega y está expresado en todas sus manifestaciones artísticas; por ejemplo, en el Partenón se encuentra el rectángulo en todas partes. División áurea en media y extrema razón División áurea es dividir un segmento

en medio y extremo razón


FIGURA 5.1

Procedimiento (véase figura 5.2) a) Se traza un segmento de recta b) Se encuentra el punto medio de con una abertura del compás un poco mayor que la mitad y apoyándose en P y Q, se trazan arcos arriba y abajo para obtener los puntos K y L, y se obtiene el punto M. c) Por un extremo del segmento punto Q, se levanta una perpendicular. sobre la perpendicular para obtener el punto O. d) Con una abertura del compás e) Haciendo centro en O y con una abertura del compás, se traza la circunferencia.

122

CAPÍTULO V

f) Se traza la semirrecta a partir de P y debe pasar por O, la cual cortará la circunferencia en los puntos S, T. en el punto R. se traza el arco hasta interceptar al segmento e) Con una abertura del compás se conoce como segmento áureo de El segmento

FIGURA 5.2

En la figura 5.1, podemos observar que se ha trazado a partir del punto P una tangente una secante a través de las cuales se puede obtener la siguiente proporción

Cálculo del segmento áureo Procedimiento Sean los siguientes datos: (véase figura 5.3)

FIGURA 5.3

Si sustituimos los datos en la proporción tenemos que:

Si aplicamos la propiedad de las proporciones productos de extremos y productos de medios obtenemos:

Circunferencia y círculo

123

Si igualamos a cero la ecuación tenemos que:

Se resuelve la ecuación aplicando la fórmula general: Si consideramos que:

entonces,

se descarta el valor negativo.

LA CIRCUNFERENCIA El diámetro de una rueda de un automóvil es de 1.2 m. ¿Cuántas vueltas deberá dar para recorrer una distancia de 42 km? (véase figura 5.4).

FIGURA 5.4

124

CAPÍTULO V

Procedimiento Se plantea la siguiente proporción: 1 vuelta/1.2 m = x 142 000 m, porque 1 km = 1000 m (x)(1.2 m) = 42 000 Propiedad fundamental de las proporciones x = 42 000 /1.2 despejamos x x = 35 000 vueltas Por tanto, la rueda tiene la forma de una circunferencia. Circunferencia: es una curva plana y cerrada de todos los puntos en el plano que equidistan (es decir, que están a la misma distancia de un punto fijo), llamado centro (véase figura 5.5).

FIGURA 5.5

Puntos interiores y exteriores de la circunferencia Con centro en el DF y un radio de un centímetro (véase figura 5.6), se debe trazar una circunferencia para observar que existen puntos interiores y exteriores:

FIGURA 5.6


125

Como se puede comprobar, existen puntos localizados a una distancia menor que el radio (la distancia del DF), como la ciudad de Puebla; a dicho punto se le llama punto interior. Si obtenemos la distancia entre el DF y Monterrey, sabremos que la distancia de Monterrey es mayor que el radio (véase figura 5.6), por lo tanto, la ciudad de Monterrey representa un punto exterior.

Punto interior: es aquel cuya distancia es menor que el radio. Punto exterior: es aquel cuya distancia es mayor que el radio.

Rectas y puntos notables en la circunferencia Radio Radio: es el segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. r=OP.

FIGURA 5.7

Cuerda

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia es perpendicular al radio.

FIGURA 5.8

la cual siempre

126

CAPÍTULO V

Diámetro Diámetro: es la mayor de las cuerdas. De la circunferencia pasa por el centro y su medida es igual a dos veces el radio

FIGURA 5.9

Secante Secante: es la línea recta que corta la circunferencia en dos puntos cualquiera figura 5.10)

(véase

FIGURA 5.10

Tangente Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto P; a dicho punto se le llama punto de tangencia y es perpendicular al radio. Se denota P1 r. (véase figura 5.11).

FIGURA 5.11


127

Circunferencias iguales Las llantas delanteras de un automóvil tienen 1.30 m de diámetro. Si deben recorrer una distancia de 26 km, ¿cuántas vueltas dará cada llanta? (véase figura 5.12). Sabemos que una vuelta es 1.30 m y que x vueltas es 26 000 m, al convertir km a m; por lo tanto formaremos la siguiente proporción:

1.3x = 26 000 x = 26 000/1.3 x = 20 000 vueltas.

1 vuelta es 1.30 m Como x vueltas es 26 000 m, (Propiedad fundamental de las proporciones)

FIGURA 5.12

Por lo tanto, cada rueda necesita dar 20 000 vueltas, lo cual indica que dichas ruedas son iguales Si representamos cada rueda mediante una circunferencia, entonces las circunferencias iguales se pueden definir así: Circunferencias iguales: son las que tienen el mismo radio: es decir, radios iguales (véase figura 5.12).

Longitud de la circunferencia Un móvil se desplaza describiendo una circunferencia, con una velocidad circular. Si parte del punto A y llega al mismo punto, ¿qué longitud recorre? (véase figura 5.13).'

FIGURA 5.13

La longitud de la circunferencia es La longitud de la circunferencia es igual a

128

CAPÍTULO V

Cálculo de la constante El siguiente método fue expuesto por Arquímedes como el método de los perímetros. longitud de la circunferencia despejando el valor de

Un polígono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

Si calculamos el semiperímetro para un hexágono regular tenemos:

Para un dodecágono regular

Para un polígono de 192 lados

Es la razón entre la de la longitud de la circunferencia y su diámetro r. Desde la antigüedad, el valor de ha variado de acuerdo con las diferentes culturas o aportaciones: Para la Biblia chinos y egipcios, según el Papiro de Rhin descrito por Ahmés en el ano 1000 d.C, consideraban 3.16; Arquímedes, al inscribir un polígono regular en la circunferencia de n lados, obtuvo la razón 22/7 = 3 1/7; hacia el ano 150 d.C, Ptolomeo aplicaba a 3.1416; en la India, se utilizaba la razón 3927/1250 = 3.1416. El matemático Francisco Vieta investigó la aproximación para hasta 10 cifras decimales. utilizando la siguiente fórmula:


129

En 1596. el matemático alemán Ludolf van Ceulen calculó para hasta 35 cifras decimales, lo cual quedó en su epitafio 3.14159265358979323846... Posteriormente, el matemático Lord Brouncker (1620-1684) comunicó a su colega John Wallis jiente fracción, que expresa una relación fundamental entre la circunferencia y su diámetro:

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central Un móvil se desplaza a una velocidad constante del punto A al punto B, en forma circular. ¿Cuál será la medida del ángulo recorrido?

Como el movimiento es circular, entonces nos describe una circunferencia. Para observar el ángulo, se trazan los segmentos que forman el ángulo

FIGURA 5.14

El ángulo recorrido es de 90°. Al ángulo subtiende.

se le llama central y su medida es igual a la del arco comprendido o que

Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia; sus lados son radios de la misma y su medida es igual a la del arco comprendido entre sus lados: (véase figura 5.14).

La circunferencia queda dividida en dos arcos, un arco menor figura 5.14).

y un arco mayor

(véase

Ejemplo ¿Cuál será el centro de una llanta de un automóvil? (véase figura 5.15). Uno de los problemas que con frecuencia encontramos es determinar el centro de una mesa redonda; es decir, que tenga la forma de una circunferencia y en la cual trazaremos dos cuerdas.

130

CAPÍTULO V

Procedimiento Se traza la mediatriz de cada cuerda y el punto en donde se intersecan las dos mediatrices será el centro de la circunferencia, es decir, el centro de la llanta.

FIGURA 5.15

Ejemplo (véase figura 5.16)

FIGURA 5.16

Ángulo inscrito Si desde un punto de una circunferencia se trazan dos secantes, ¿cómo se llamará el ángulo formado y cuál será su medida? (Véase figura 5.17.)


131

FIGURA 5.17

Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia; sus lados son secantes de la misma y su medida es un medio del arco comprendido entre dichos lados (Véase figura 5.17.)

El ángulo inscrito se puede representar así (véase figura 5.18): El centro está en uno de sus lados

El centro está en el interior del ángulo

FIGURA 5.18

Primer caso: uno de los lados pasa por el centro de la circunferencia (véase figura 5.19). Teorema: "La medida de un ángulo inscrito, es igual a la mitad medida del arco comprendido entre sus lados". Hipótesis: es un ángulo inscrito T.A. OP que forma el ángulo central En el triángulo FIGURA 5.19

Afirmaciones

Razones 1. Por ser el isósceles, radios iguales. 2. Medida de un exterior al

132

CAPÍTULO V

4. Medida del ángulo central 5. Sustituyendo 4 en 3 6. Despejando

Ejemplo Obtener la medida del ángulo inscrito en cada una de las figuras 5.20, de acuerdo con los datos presentados.

FIGURA 5.20

Segundo caso: cuando el centro de la circunferencia se encuentra en medio de los lados del ángulo (véase figura 5.21). Hipótesis:

Tesis:

es inscrito T.A. Se traza el diámetro QS

Afirmaciones

Razones 1. Medida del ángulo inscrito. 3. Sumando 1 y 2. 4. Factorizando 5. Sumando los arcos


133

Tercer caso: cuando el centro de la circunferencia está fuera del ángulo (véase figura 5.22). Hipótesis:

Tesis:

FIGURA 5.22

Afirmaciones

Razones Medida de un ángulo inscrito. Medida de un ángulo inscrito. Restando los ángulos y los arcos. Realizando operaciones.

Ejemplos Encontrar el valor del ángulo inscrito en las figuras 5.23, con los siguientes datos:

FIGURA 5.23

Ángulo semiinscrito Ángulo semiinscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia; está formado por cuerda, tangente y secante: y su medida es igual a un medio del arco comprendido entre sus (véase figura 5.24).

134

CAPÍTULO V

FIGURA 5.24

Teorema: "La medida de un ángulo semiinscrito es igual a un medio del arco comprendido entre sus lados" (véase figura 5.25). Tesis:

FIGURA 5.25

Razones

Afirmaciones

Por construcción. Alternos internos entre Medida de un inscrito. Como

Ejemplos Obtener el valor del ángulo que se indica en la figura 5.26.

FIGURA 5.26


135

Ángulo interior Ángulo interior: os el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia, sus lados son secantes y su medida es igual a la semisuma de la medida de los arcos comprendidos entro sus lados.


FIGURA 5.27

Teorema: "La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados" (véase figura 5.28). Hipótesis:

Tesis:

FIGURA 5.28

Afirmaciones

Razones

Medida del ángulo exterior. Medida del ángulo inscrito. Sustituyendo 2 y 3 en 1. Por tener el mismo denominador.

136

CAPÍTULO V

Ejemplos Obtener el valor del ángulo que se indica en la figura 5.29.

FIGURA 5.29

Ángulo exterior Ángulo exterior: es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia; sus lados son secantes, tangentes o su combinación y su medida es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos comprendidos entre sus lados


FIGURA 5.30

Teorema: "La medida de un ángulo exterior a una circunferencia, será igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados" (véase figura 5.31). Hipótesis:

FIGURA 5.31

Tesis:


Afirmaciones

137

Razones Medida de un ángulo exterior. Despejando Medida del ángulo inscrito Medida del ángulo inscrito Sustituyendo 3 y 4 en 2. Por tener el mismo denominador.

Ejemplos Obtener el valor del ángulo en la figura 5.32 y de acuerdo con los datos presentados.

FIGURA 5.32

RELACIONES MÉTRICAS Teorema: "Una circunferencia o circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales" (véase figura 5.33). Hipótesis:

FIGURA 5.33

Tesis:

138

CAPÍTULO V

Afirmaciones

Razones Por construcción. Describen arcos iguales. Medida del ángulo central.

Teorema: "El diámetro es la mayor de las cuerdas en la circunferencia" (véase figura 5.34).

FIGURA 5.34

Afirmaciones

Teorema: "Cuando dos cuerdas (véase figura 5.35).

Hipótesis: son cuerdas O punto de intersección T.A. Trazar las cuerdas que forman los FIGURA 5.35

Razones

se cortan, entonces los productos OA x OB = OC x OD"

Tesis:


Afirmaciones

139

Razones Medida de ángulo inscrito. Común para ambos Medida de un ángulo inscrito. Caso de semejanza a.a.a. Por ser sus lados proporcionales. Propiedad fundamental de proporciones.

Ejemplo Dada la figura 5.36 y considerando los datos PT=2, TQ = 5 y RT= 3, obtener ST.

FIGURA 5.36

Teorema: "Si dos secantes parten de un mismo punto, el cual se encuentra fuera de la circunferencia, el producto de la primera secante por su parte externa será igual al producto de la segunda por su parte externa". (Véase figura 5.37.)

Hipótesis:

Tesis:

T.A. AC y BD son cuerdas que forman los A BOD y AOC. FIGURA 5.37

Afirmaciones

Razones Medida de un ángulo inscrito. Común para ambos Medida de un ángulo inscrito.

140

CAPÍTULO V

Caso de semejanza a.a.a. Por ser sus lados proporcionales. Propiedad fundamental de las proporciones.

Ejemplo Dada la figura 5.38 y con base en los datos, obtener el segmento que se indica.

QP=3 QT= 10 QS = 4 QR-1

QP/QT=QS/QR QR = (QS QT)IPQ =(4)(10)/3 =13.3

justificado despejando QR sustituyendo realizando operaciones

y una secante Teorema: "Si desde un punto fuera de una circunferencia, se trazan una tangente la tangente es media proporcional entre toda la secante y su parte externa". (Véase figura 5.39.) Tesis:

Hipótesis:

FIGURA 5.39

Afirmaciones:

Razones: Medida de un ángulo inscrito. Común para ambos Caso de semejanza a.a.a. Por ser sus lados proporcionales. Propiedad fundamental de las proporciones.


141

Ejemplo Obtener la media proporcional con base en la figura 5.40 y en los datos.

justificando despejando RS sustituyendo realizando operaciones

FIGURA 5.40

POLÍGONOS REGULARES EN LA CIRCUNFERENCIA Polígono inscrito Uno de los problemas clásicos es la cuadratura del círculo; es decir, inscribir un cuadrado de área igual a la del círculo.

Polígono Inscrito a una circunferencia: es el polígono cuyos vértices son puntos de la circunferencia (véase figura 5.41).

FIGURA 5.41

Polígono circunscrito Ejemplo Dados los vértices de un triángulo, encontrar la circunferencia circunscrita al triángulo.

142

CAPÍTULO V

Polígono circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia y ésta, por lo tanto está inscrita al polígono (véase figura 5.42).

FIGURA 5.42

Trazos de polígonos regulares Ejemplo Dividir el segmento

en un número exacto de partes iguales (véase la figura 5.43).

FIGURA 5.43

Procedimiento Sea el segmente


1. Por el extremo A se traza una auxiliar. 2. Con una abertura del compás, se lleva sobre la auxiliar un número de veces. 3. Se une la última parte con el extremo 4. A partir de se llevan paralelas por cada parte. 5. El segmento quedará dividido en n partes iguales. FIGURA 5.44

Polígono regular Polígono regular: es el que tiene lados y ángulos iguales.

Ejemplo 1 Inscribir en la circunferencia un pentágono estrellado regular, también conocido como el símbolo de los pitagóricos.


Procedimiento Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.45).

FIGURA 5.45

1. Se divide la circunferencia entre cinco. 36075 = 72° 2. A través de cuerdas, se unen los puntos dos a dos (véase figura 5.46).

FIGURA 5.46

3. Se obtiene un polígono de cinco lados, llamado pentágono estrellado. Ejemplo 2 Inscribir un triángulo equilátero en la circunferencia. Para hacerlo se presentan varios métodos. Aquí sólo se analizarán tres procedimientos. a) Dividir la circunferencia en tres partes iguales

FIGURA 5.47

Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.47). 360°/ 3 = 120°

143

144

CAPÍTULO V

Sobre la circunferencia se trazan arcos de 120° y se determinan los puntos P, Q, R. Dicha medida partirá de P o de cualquier otro punto (véase figura 5.48).

FIGURA 5.48

se obtiene el triángulo equilátero

Se trazan las cuerdas


FIGURA 5.49

Lo cual nos describe un

equilátero inscrito en la circunferencia.

b) Método general Sean la circunferencia y su diámetro


FIGURA 5.50

Por el punto M se traza una línea auxiliar, en la cual se llevan tres partes iguales (véase figura 5.51).

FIGURA 5.51


145

La última parte se une con el extremo del diámetro N y a partir de ella se trazan paralelas por cada una, dividiendo el diámetro en tres partes iguales (véase figura 5.52).

FIGURA 5.52

Con el compás y una abertura apoyándose en M se traza un arco; ahora, apoyándose en N se traza otro arco. En donde se intersecan los dos arcos se obtiene el punto C (véase figura 5.53).

FIGURA 5.53

Se traza una recta que pase por C y por la parte 2, la cual corta a la circunferencia en D (véase figura 5.54).

FIGURA 5.54

Se toma con el compás el arco comprendido de MD y este arco se lleva en toda la circunferencia, a la cual divide exactamente en tres partes iguales (véase figura 5.55).

FIGURA 5.55

146

CAPÍTULO V

Finalmente se unen a través de una cuerda los puntos


FIGURA 5.56

c) Expresar la longitud de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, en función de su radio Sea el triángulo equilátero PQR inscrito en la circunferencia (véase figura 5.57).

FIGURA 5.57

Se traza la altura del lado

y se denota la intersección con la circunferencia S (véase figura 5.58).

Se traza la cuerda que forma el resultado es un triángulo rectángulo y los arcos forman una semicircunferencia (véase figura 5.58).


147

despejando sustituyendo el diámetro y el radio realizando operaciones factorizando extrayendo raíz cuadrada r

Nota: si se divide el arco correspondiente al lado en 2, 4, 8,..., se pueden obtener polígonos de polígonos de n lados 4, 8, 16, 32,..., lados Ejemplo 1 Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio. Sabemos que 1 =r(1.7172..) = 3 (1.7172) = 5.15cm

justificado anteriormente sustituyendo el radio

Ejemplo 2 Inscribir un cuadrado en la circunferencia (véase figura 5.59). Sea la circunferencia de radio r

FIGURA 5.59

a) Dividir la circunferencia en cuatro partes iguales (véase figura 5.60). 36074 = 90°

FIGURA 5.60

cada arco mide 90°

148

CAPÍTULO V

Por dichas divisiones se trazan las cuerdas, las cuales serán los diámetros de la circunferencia. Éstos se cortan perpendicularmente, y sus extremos son los puntos R, Q, S, P (véase figura 5.61).

FIGURA 5.61

Por esos puntos se trazan las cuerdas mediante las cuerdas

FIGURA 5.62

b) Si usamos el método general Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.63).

FIGURA 5.63

Se traza el diámetro

FIGURA 5.64



149

Por el extremo P se traza la recta auxiliar, la cual se divide en cuatro partes iguales (véase figura 5.65).

FIGURA 5.65

Se une la última parte con el extremo del diámetro Q, trazando paralelas por cada una de las partes para dividir el diámetro en cuatro (véase figura 5.66).

FIGURA 5.66

Con una abertura del compás C (véase figura 5.67).

y apoyándose en P y Q, se trazan arcos que determinan el punto

FIGURA 5.67

Se traza una recta que pasa por C y la parte 2 del diámetro, con lo cual se obtiene el punto D (véase figura 5.68).

FIGURA 5.68

150

CAPÍTULO V

Se toma la distancia de

con el compás y se lleva a la circunferencia (véase figura 5.69).

FIGURA 5.69

se

Finalmente, se unen dichas intersecciones mediante cuerdas con los puntos obtiene el cuadrado (véase figura 5.70).

FIGURA 5.70

c) Encontrar el lado de un cuadrado inscrito en la circunferencia en función del radio Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.71).

FIGURA 5.71

Se trazan los diámetros PQy RSy se unen los extremos P y R para formar el

FIGURA 5.72



radios de la circunferencia y a la vez catetos del

151

con hipotenusa

Por el teorema de Pitágoras

sustituyendo simplificando

Ejemplo Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 2 cm de radio. I = r(1.4142) = 2(1.4142) = 2.83 cm

justificado anteriormente sustituyendo

Inscribir un pentágono regular en una circunferencia. Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.73).

FIGURA 5.73

á) Se divide la circunferencia en cinco partes iguales por los puntos P, Q, R, S y T (véase figura 5.74).

FIGURA 5.74

152

CAPÍTULO V

Se trazan las cuerdas uniendo dos puntos


FIGURA 5.75

b) Mediante el método general Sea la circunferencia de radio r (véase figura 5.76).

FIGURA 5.76

Se traza el diámetro


FIGURA 5.77

Por el extremo P se traza una recta y se divide en cinco partes iguales; la última se une con Q y se trazan paralelas por cada una de las partes; así se divide el diámetro en cinco partes iguales (véase figura 5.78).

FIGURA 5.78


153

y apoyándose en P, Q, se trazan arcos que se cortan en C; se traza Con una abertura del compás una recta que pasa por C y el punto 2 del diámetro, la cual corta la circunferencia en el punto D (véase figura 5.79).

FIGURA 5.79

Se toma con el compás la distancia de y se lleva la circunferencia, para obtener los puntos P, Q, R, S y T, los cuales se unen por las cuerdas (véase figura 5.80).

FIGURA 5.80

c) Lado del pentágono regular en función de su radio Ejemplo El lado del pentágono regular inscrito es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son el lado del decágono y el hexágono regular inscritos en la circunferencia. Sea el pentágono regular inscrito en la circunferencia (véase figura 5.81).

FIGURA 5.81

154

CAPÍTULO V

En el

se tiene que:

hipotenusa catetos teorema de Pitágoras despejando radio de la Sircunferencia lado de un decágono regular sustituyendo realizando operaciones

Ejemplo Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio r = 3 cm. justificado sustituyendo

CÍRCULO Círculo: es la porción del plano, limitada por una curva cerrada, o sea, por la circunferencia.

Encontrar el área de una superficie circular; si tiene por diámetro 2 m de longitud, ¿cuál será su área? Datos

Figura

D = 2r r= lm

A=?

Incógnita

Planteo-Solución

Observemos que dicha área está limitada por la circunferencia

FIGURA 5.82

circunferencia

círculo

Resultado


155

La circunferencia es un conjunto de puntos en el contorno o límite. El círculo es un conjunto de puntos en el plano dentro de la circunferencia (véase figura 5.82).

Ejemplo Obtener el área de un círculo que tiene un radio igual a 7 cm.

Solución De acuerdo con los datos del problema, tenemos que: r=7cm

p= 3.1416 área del círculo (3.1416)(49)

Teorema: "El área de un círculo es igual al producto de

realizando operaciones

con el cuadrado del radio" (véase figura 5.83).

Hipótesis:

Tesis:

T.A. polígono inscrito PQRSTU Sea el círculo de radio r

FIGURA 5.83

Afirmaciones 1. 2. 3. 4.

El área de PQRSTU = p = semiperímetro a=r A = (c/2)r

Razones Un polígono de n lados inscrito en la circunferencia, circunferencia, se aproxima al área del círculo dado cuando n crece indefinidamente. Longitud de la circunferencia. Simplificando l.q.d.

El área de un círculo es igual a

por radio al cuadrado

156

CAPÍTULO V

Ejemplo Calcular el área de un círculo, con un radio r = 4 cm.

Observación

Ejemplo

Elementos de un círculo Sector circular Es la porción de un círculo, comprendida entre dos radios y el arco que une los extremos de dichos radios, cuya área se obtiene a través de la siguiente relación

Ejemplo Se desea incrustar una porción de metal a una rueda de plástico. Si el radio mide 3 cm y el arco mide 32°, ¿cuál será el área? (véase figura 5.81).

FIGURA 5.84

Solución


157

r = 4 cm convirtiendo los minutos a grados fórmula del sector circular sustituyendo

Segmento circular Es la parte del circulo comprendida entre una cuerda y su arco.

Ejemplo de 56° y el radio que describe la circunferencia es de En una ventana se desea colocar un arco 0.5 m. ¿Cuál será el área del segmento circular? (véase figura 5.85).

AI trazar los radios OP y OQ se forma un triángulo Su área será igual a la del sector circular menos el área del

De acuerdo con los datos del problema tenemos que: El arco

r = 0.5m

Área total = área del sector circular menos el área del triángulo POQ fórmula del sector circular sustituyendo

Corona circular Es la porción del plano, limitada por dos circunferencias concéntricas.

158

CAPÍTULO V

Ejemplo En una llanta de coche se dibuja una franja entre dos cuerdas. Si el radio de la llanta es de 5 cm y del centro a la franja hay 3 cm, ¿cuál será el área de la franja? (véase figura 5.86).

FIGURA 5.86

diferencia de áreas sustituyendo realizando operaciones

Por lo tanto, el área de la franja será igual a la diferencia entre el área total y las dos áreas. Nota: a la franja se le conoce como corona circular. Ejemplo Obtener el área de la corona circular, dados los siguientes datos: R = 5 y r = 4 cm. fórmula dada sustituyendo realizando operaciones


159

RESUMEN Circunferencia: es una curva plana y cerrada de todos los puntos en el plano, que equidistan; es decir, que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Punto interior: es aquel cuya distancia es menor que el radio. Punto exterior: es aquel cuya distancia es mayor que el radio. Radio: es el segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia r= OP. Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia QR, la cual siempre es perpendicular al radio y comprende dos arcos ACB y ADB. Diámetro: es la mayor de las cuerdas de la circunferencia; pasa por el centro y su medida es igual a dos veces el radio QR = RO + OQ, donde RO = OQyRQ = d=2r. Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto; a dicho punto se llama punto de tangencia y es perpendicular al radio. Secante: es la línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos cualquiera MN. Circunferencias iguales: son las que tienen el mismo radio; es decir, radios iguales. La longitud de la circunferencia es igual a 2n = 360° y n - 180°. Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia; sus lados son radios de la misma y su medida es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados. ZAOB=ÁB. Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia; sus lados son secantes de la misma y su medida es un medio del arco comprendido entre dichos lados. ZAOB - 1/2AB. Ángulo semiinscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia; está formado por cuerda, tangente y secante; y su medida es igual a un medio del arco comprendido entre sus lados. ZPQR = \I2QR. Ángulo interior: es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia, sus lados son secantes y su medida es igual a la semisuma de la medida de los arcos comprendidos entre sus lados. ZQ = (RT+SU)/2 Ángulo exterior: es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia; sus lados son secantes, tangentes o su combinación; y su medida es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos comprendidos entre sus lados. ZP = (RT- QS)/2 Polígono inscrito a una circunferencia: es el polígono cuyos vértices son puntos de la circunferencia. Polígono circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia y por lo tanto ésta se haya inscrita al polígono. Polígono regular: es el que tiene sus lados y ángulos iguales. Círculo: es la porción del plano limitada por una curva cerrada, o sea, a través de la circunferencia. El área de un círculo es igual a n por el radio al cuadrado: A=ni2 = (nd2) /4. Sector circular: es la porción de un círculo comprendida entre dos radios y el arco que une los extremos de dichos radios. Segmento circular: es la parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. Corona circular: es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas.

160

CAPÍTULO V

FORMULARIO Para encontrar la medida de un ángulo en función de sus arcos comprendidos entre sus lados: Ángulo

Medida

Central Inscrito Semiinscrito Interior Exterior

Igual al arco comprendido Un medio del arco comprendido Un medio del arco comprendido Semisuma de los arcos Semidiferencia

Para obtener el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio dado: Polígono Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono Hexágono Octágono Decágono Dodecágono Apotema

Fórmula


EJERCICIOS 1. ¿Cómo se define un punto interior? 2. ¿Cómo se define un punto exterior? 3. ¿Cómo se define el radio? 4. ¿Cómo se define la cuerda? 5. ¿Qué es el diámetro? 6. ¿Cómo se define la tangente a una circunferencia? 7. ¿Qué es una secante? 8. ¿A que es igual la medida de un ángulo central? 9. ¿Cuál es la medida de un ángulo inscrito y semiinscrito a una circunferencia? 10. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior? 11. ¿Cuál es la medida de un ángulo exterior? 12. ¿A que llamamos polígono regular? 13. Dada la figura 5a y los datos AB = 100°, obtén:

FIGURA 5.a

161

162

CAPÍTULO V

15. Obtén la medida de cada ángulo, considerando el arco correspondiente:

FIGURA 5.

16. De acuerdo a la figura 5.c y los datos, obtén:

FIGURA 5.c

17. De acuerdo con la figura 5.

y considerando los datos, encuentra:

FIGURA 5.d

18. Dada la figura 5.e y considerando que

FIGURA 5.e

= 40°, encuentra lo que se indica:


19. Dada la figura

163

y considerando que POQ = 60°, obtén:

FIGURA

20. Dada la figura 5.g y considerando los datos siguientes, obtén lo que se indica:

FIGURA S.g

21. Con base en la figura S.g y de acuerdo a los datos encuentra:

22. Dada la figura

y de acuerdo con los datos, obtén lo que se indica:

FIGURA

23. De acuerdo a la figura

y considerando los datos, encuentra:

A£=84° BD= 16° FIGURA 5./

24. Obtén el apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio igual a 5 cm y lado

25. Obtén el apotema de un triángulo equilátero inscrito a una circunferencia de radio r = 6 cm y de

CAPÍTULO VI Perímetro, área y volumen

INTRODUCCIÓN Ahora estudiaremos la medida de figuras y cuerpos geométricos. Este tema es interesante porque tiene infinidad de aplicaciones; por ejemplo, podemos referirnos a una pista de atletismo al decir que tiene una longitud de 400 m; cuando compramos un terreno, lo medimos en metros cuadrados; o si queremos hacer una cisterna para almacenar agua, la medimos generalmente en metros cúbicos. En fin, todas las figuras y los cuerpos que observamos se pueden medir; además, si conocemos la medida de un objeto, podemos imaginar su tamaño y forma sin observarlo directamente.

PERÍMETRO El siguiente problema te permitirá conocer de manera práctica la utilidad del perímetro. En la figura 6.1, se muestra el croquis de un terreno a cuyo alrededor queremos construir una barda. ¿Cuál es la longitud total de la barda?

FIGURA 6.1

Perímetro, área y volumen

165

Para solucionar este problema, sumamos las longitudes de los lados del polígono 12in + 4m + 5m + 6m + 5 m + 1 2 m = 44m La barda tendrá así una longitud de 44 m y el perímetro del terreno es de 44 m. Perímetro: es la longitud del contorno de una figura.

En algunas ocasiones, el perímetro de ciertas figuras se calcula al aplicar el teorema de Pitágoras, como se muestra en el siguiente problema. Ejemplo En una granja se quiere cercar en secciones un terreno rectangular, para separar los criaderos de los diferentes animales, como se muestra en la figura 6.2. ¿Cuántos metros de malla de alambre se necesitan comprar?

FIGURA 6.2

Para solucionar el problema, primero calculamos el perímetro del cuadrado; como sus lados tienen la misma longitud, basta con multiplicar la longitud por el número de lados. P=4(12m) = 48m Ahora calculamos la longitud de las diagonales que dividen el cuadrado en cuatro secciones, mediante el teorema de Pitágoras

Como las dos diagonales de un cuadrado son iguales, multiplicamos por 2 la longitud obténida

Sumamos 33.8 m y el perímetro del cuadrado, que es de 48 m

166

CAPÍTULO VI

Entonces, se tienen que comprar 81.8 m de malla de alambre. Si observamos la figura 6.2, podemos darnos cuenta de que: • Las diagonales de un cuadrado son iguales • Las diagonales se cortan en su punto medio Con base en estas afirmaciones, podemos decir que las cuatro secciones tienen el mismo perímetro; por lo tanto, las secciones son figuras isoperimétricas.

Figuras isoperimétricas: dos figuras son isoperimétricas cuando sus perímetros son iguales.

Si queremos calcular el perímetro de un polígono regular, basta con multiplicar la longitud del lado por el número de lados que conforman el polígono

P, perímetro

n, número de lados

/, longitud del lado

Para calcular la longitud de la circunferencia (perímetro), es necesario observar la relación existente entre el diámetro y la longitud de la circunferencia. Comencemos por trazar un círculo y su diámetro, como se muestra en la figura 6.3a.

FIGURA 6.3a

En el mismo círculo, veamos cuántas veces cabe el diámetro en el contorno (figura

Parte de diámetro

FIGURA 6.3


167

Cabe tres veces completas y una parte que corresponde al número irracional .141592... La relación que existe entre el diámetro y la circunferencia es un valor constante, lo cual quiere decir que, en cualquier círculo, el diámetro cabe en la circunferencia 3.141592... veces. Este número se denota con la letra griega Te puedes dar cuenta de que, para calcular el perímetro del círculo, basta multiplicar la longitud del diámetro por P perímetro,

D diámetro

Pero como el diámetro es igual a dos veces el radio, se puede expresar la fórmula como: P perímetro, representa el numero de veces que cabe el diámetro en la circunferencia.

El siguiente problema nos muestra la utilidad de la fórmula del perímetro. Ejemplo Una glorieta tiene un perímetro de 94.25 m y queremos conocer la longitud de su diámetro. Solución Primero despejamos el diámetro de la fórmula

Sustituimos los valores del perímetro y de

y tenemos:

y hacemos operaciones

El diámetro de la glorieta es de 30 m. Ejemplo La circunferencia de la esfera terrestre tiene 40 000 km aproximadamente. ¿A qué distancia de la superficie se encuentra el centro de la Tierra? Solución Como dato, tenemos el perímetro y se nos pide calcular el radio de la circunferencia. Entonces, despejamos el radio de la fórmula y tenemos:

168

CAPÍTULO VI

Sustituimos los valores y hacemos operaciones

La distancia aproximada al centro de la Tierra es de 6366.203 km. Una de las aplicaciones principales de las fórmulas es calcular longitudes que no es posible medir directamente; un ejemplo es el problema anterior, o ¿se puede medir directamente la distancia al centro de la Tierra?

ÁREA La superficie de una mesa de billar es plana; pero la de algunos objetos es curva, como la superficie de la esfera, o una combinación de superficies planas y esféricas como la superficie de la Tierra. La superficie carece de grosor y sólo tiene dos dimensiones: largo y ancho; un ejemplo claro de esta afirmación es la sombra que proyecta un objeto, la cual carece de grosor.

Superficie: generalmente se conoce como el límite de los sólidos y tiene sólo dos dimensiones: largo y ancho; carece de grosor.

Cuando queremos medir la superficie de algún objeto, encontramos su área.

Área: medida de la superficie.

El área representa unidades cuadradas; por ejemplo, un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene por lado un centímetro, como se muestra en la figura 6.4.

Centímetro cuadrado FIGURA 6.4

Lo mismo sucede con el metro cuadrado o el kilómetro cuadrado. Estas unidades se utilizan según el tamaño de la superficie que se quiera medir; por ejemplo, si deseamos obtener el área de la República Mexicana, la calculamos en kilómetros cuadrados, pero si se trata de la superficie de una tarjeta, lo hacemos en centímetros cuadrados.


169

Área de un cuadrado El siguiente problema nos ilustra cómo podemos calcular el área de un cuadrado. Ejemplo La pirámide de Keops, en Egipto, descansa sobre una base cuadrada y cada uno de sus lados mide 200 m. ¿Cuál es el área de su base (véase figura 6.5).

FIGURA 6.5

Este problema se reduce a encontrar cuántas veces cabe un metro cuadrado en la superficie de la base de la pirámide. Para saberlo multiplicamos las dimensiones (largo y ancho) de la base y tenemos: A = (200 m)(200 m)

El área de la base de la pirámide es de En este problema, sabemos que el cuadrado tiene lados iguales y podemos encontrar su área elevando al cuadrado la longitud del lado mediante la siguiente fórmula.

A = área

Área del rectángulo Ejemplo Una alberca olímpica tiene las siguientes dimensiones: largo, 50 m; ancho, 25 m. Queremos conocer su área (véase figura 6.6).

170

CAPÍTULO VI

FIGURA 6.6

Como sucede en el cuadrado, multiplicamos las dimensiones y tenemos: A = (25 m)(50 m) A= 1250 m2 El área que ocupa la alberca es de 1250 m2. En este caso, se multiplica la longitud de la base por la de la altura y obtenemos la fórmula:

A - área b = longitud de la base

= longitud de la altura

Esta fórmula es aplicable a cualquier cuadrilátero que sea paralelogramo; por ejemplo, el romboide mostrado en la figura 6.7.

FIGURA 6.7

Si trasladamos el área sombreada al lado izquierdo de la figura 6.7, nos queda un rectángulo como el de la figura 6.8.

FIGURA 6.8

Por lo tanto, la fórmula que se habrá de aplicar es:


171

Área del triángulo Ejemplo Un agricultor tiene un terreno rectangular con estas dimensiones: 60 m de largo y 40 m de ancho. Traza una diagonal y divide el terreno en dos partes iguales, para separar la siembra de dos cultivos diferentes. ¿Cuál es el área de cada terreno? (véase figura 6.9).

FIGURA 6.9

Solución Primero calculamos el área del rectángulo A = (60 m)(40 m) A = 2 400 m2 Como sabemos que la diagonal de un paralelogramo divide a éste en dos triángulos iguales, entonces el área del rectángulo se divide entre 2 y encontramos el área buscada

Por lo tanto, cada terreno tiene un área de 1200 m2. Las operaciones realizadas en el problema anterior nos permiten obtener la fórmula del área del triángulo:

A = área

b = longitud de la base

longitud de la altura

La fórmula del área del triángulo la utilizamos para obtener la fórmula del área del rombo, en función de la longitud de sus diagonales (véase figura 6.10).

FIGURA 6.10

172

CAPÍTULO VI

En la figura 6.10, las diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos iguales con las siguientes dimensiones cada uno

base

altura

Debido a que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios y como son cuatro triángulos, multiplicamos por 4 el área de uno de ellos.

Con las operaciones, obtenemos la fórmula del área del rombo

A = aren

d = longitud de la diagonal menor

D = longitud de la diagonal mayor

Área del trapecio Ejemplo La cubierta de un escritorio es un trapecio con las dimensiones que se muestran en la figura 6.11. Sobre la cubierta de dicho escritorio se quiere colocar un vidrio. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio se necesitan?

FIGURA 6.11

Si dibujamos dos trapecios iguales y colocados, como se muestra en la figura 6.12, tenemos

FIGURA 6.12

un paralelogramo, calculando su área y haciendo operaciones A = (4m + 2m)(1.5m) A = 9m2


173

Pero como son dos trapecios iguales, dividimos entre 2 el área del paralelogramo

Se necesitan comprar 4.5 m2 de vidrio.

Área del trapecio La figura 6.13 representa un trapecio.

FIGURA 6.13

Si se dibujan dos trapecios, como se muestra en la figura 6.14, se tiene:

FIGURA 6.14

Para calcular el área del paralelogramo se usa la fórmula A = (b + B)h Pero como son trapecios iguales, dividimos entre 2 para encontrar el área de uno de ellos y obtener de esta manera la fórmula del área del trapecio

A = área

longitud de la base menor

B - longitud de la base mayor

longitud de la altura del trapecio

Área del polígono regular Ejemplo Un carpintero va a fabricar mesas de centro hexagonales, con las dimensiones especificadas en la figura 6.15. ¿Cuál es el área de la cubierta de cada mesa?

174

CAPÍTULO VI

FIGURA 6.15

Como se muestra en la figura 6.15, el polígono se dividió en seis triángulos iguales, por lo tanto, para obtener el área del hexágono, multiplicamos por 6 el área de uno de los triángulos:

El área de la cubierta de cada mesa es de 0.645 m2 El mismo procedimiento se puede seguir para calcular el área de cualquier polígono regular, como lo mostramos a continuación. Ejemplo Si dibujamos un polígono regular y lo triangulamos (figura 6.16),

FIGURA 6.16

se obtienen seis triángulos; si multiplicamos el área de un triángulo por 6, tenemos:

Quitando paréntesis resulta:

El producto

significa seis veces el lado; por lo tanto, es el perímetro del polígono:


175

Sustituyendo (2) en (1) tenemos la fórmula del área del polígono regular

A - área

P= - perímetro perímetro del polígono

a = apotema

La fórmula que encontramos nos permite obtener la fórmula del área del círculo, pues éste se considera el polígono que tiene infinidad de lados. Veamos cómo llegamos a la fórmula.

Fórmula del área del polígono regular

En el círculo, el apotema equivale al radio

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y si hacemos las operaciones, encontramos la fórmula del área del círculo

A = área

r = longitud del radio del círculo

Área del sector circular Ejemplo La mitad de una glorieta (figura 6.11 a) de 30 m de radio se va a empastar. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto se necesitan comprar?

FIGURA 6.17a

Solución En la fórmula del área del polígono regular,

176

CAPITULO VI

se sustituye la fórmula del perímetro del círculo y el apotema, que es igual al radio:

si quitamos el paréntesis obtenemos:

Aplicando la propiedad asociativa:

de la fórmula (1) representa un ángulo en radianes, equivalente a 360° sexagesimales; es decir, una rotación completa. Pero como nuestro problema consiste en encontrar el área de la mitad del círculo, entonces la mitad de y al sustituirlo tenemos:

Esta fórmula nos sirve para calcular el área de un sector circular limitado por un ángulo decir, de 180°. En general, si se quiere determinar el área de un sector circular limitado por un ángulo radianes de radio r, se aplica la fórmula:

A = área del sector circular

ángulo en radianes

r = longitud del radio (véase figura 6.17

FIGURA 6.17

Sustituyendo los datos del problema y mediante operaciones se tiene: equivale a 180°

A = 1413.72 m2 Se necesita comprar 1413.72 m2 de pasto aproximadamente.


177

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Una caja ocupa un espacio; la forma de este espacio es llamada sólido geométrico, como lo son las figuras 6.18a y 6.18b.

Caja (cuerpo geométrico)

Sólido geométrico

FIGURA 6.18a

FIGURA 6.18b

Un sólido geométrico tiene tres dimensiones: largo, ancho y grosor o profundidad. Cuando un sólido geométrico como el de la figura 6.18b está limitado por caras planas, se llama poliedro; las intersecciones de las caras se llaman aristas, que en este caso son los segmentos AE, BF, CG, DH, AD, AB, DC, BC, EH, EF, HG y FG; y las intersecciones de las aristas se llaman vértices del poliedro, los cuales en este caso son los puntos A,B,C,D,E, F,Gy H(véase figura 6.18b). Las dos caras de un poliedro que comparten una arista tienen una inclinación respecto a la otra. A esta inclinación se le llama ángulo diedro.

Con base en el número de caras, los poliedros se clasifican en: Núm. de caras 4 5 6 8 12 20

Nombre tetraedro pentaedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro

178

CAPÍTULO VI

Cuando todas las caras de un poliedro son iguales y son polígonos regulares, además de tener ángulos diedros iguales, se trata de un poliedro regular. En la figura 6.19 se muestran algunos poliedros.

FIGURA 6.19

Cuando un poliedro tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos (bases), y las otras caras son paralelogramos (caras laterales), dicho poliedro recibe el nombre de prisma. En la figura 6.20 se muestran algunos prismas.

FIGURA 6.20

Los prismas de la figura 6.20 son rectos porque las caras laterales son perpendiculares a las bases; cuando no sucede esto, se llaman prismas oblicuos.


179

Los prismas, de acuerdo con la forma de sus bases, se clasifican en triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc. En la figura 6.20a tenemos un prisma octagonal y en la 6.20b uno hexagonal. Si las bases de un prisma son paralelogramos, entonces se llaman paralelepípedos, como los de la figura 6.21.

FIGURA 6.21

El segmento mostrado en la figura 6.22 se llama diagonal del paralelepípedo y se caracteriza por unir dos vértices que no comparten la misma cara.

FIGURA6.22

Un caso particular de paralelepípedo recto es el cubo (llamado también hexaedro regular), pues sus caras son cuadrados. La figura 6.22 es un cubo. Como podrás darte cuenta, los poliedros los encontramos en muchos cuerpos, como edificios, esculturas, libros, cajas de zapatos, etcétera. También existen poliedros llamados pirámides, que poseen las siguientes características: - Tienen una sola base, que puede ser cualquier polígono. - Las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

180

CAPÍTULO VI

En la figura 6.23 se muestran algunos ejemplos de pirámides.

FIGURA 6.23

Las pirámides se clasifican según el número de lados de su base. En la figura 6.23a, se presenta una pirámide cuadrangular; en la 6.23b, una hexagonal; en la 6.23c una pentagonal; y en la 6.23d, una triangular. Para que exista una pirámide regular, es necesario que la base sea un polígono regular y el pie de la altura coincida con el centro de la base; las pirámides de la figura 6.23 son regulares. Otro sólido geométrico que tiene infinidad de aplicaciones es el cilindro; lo encontramos en tanques de almacenamiento de líquidos, en la forma de los tubos, en el agujero hecho con una broca, edificios, vasos, etcétera.

Cilindro: sólido geométrico generado por una recta que se mueve de tal manera que es siempre paralela a otra recta fija, y entre ambas se guarda una misma distancia (véase figura 6.24).

FIGURA 6.24

En la figura 6.24, observamos que la cara lateral de un cilindro es un rectángulo y sus bases dos círculos iguales; la altura es perpendicular a las bases y la generatriz es una recta paralela a la altura, éste es el caso del cilindro recto, pero si la altura no es paralela a la generatriz, entonces es un


181

En el campo es fácil encontrar otro sólido geométrico, el cono, en las construcciones llamadas silos, que sirven para almacenar semillas. Un cono se forma al rotar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sobre un cateto; en la figura 6.25 se muestra el cono.

FIGURA 6.25

Otro sólido de gran importancia es la esfera, la cual es generada por la rotación de un semicírculo sobre su diámetro; la característica de este sólido es que los puntos que forman su superficie están a una misma distancia del centro, llamado radio de la esfera. La mitad de una esfera se llama hemisferio o semiesfera, como el hemisferio norte o sur de nuestro planeta (véase figura 6.26).

FIGURA 6.26

VOLUMEN Cuando se va a construir un edificio, la cantidad de arena, grava, etc., se pide por metros cúbicos; por ejemplo 1 m3 de arena corresponde a la cantidad que cabe en un cubo que tiene por arista 1 m (véase figura 6.27).

metro cúbico

FIGURA 6.27

También la cantidad de agua que puede almacenar una cisterna se mide en metros cúbicos. De la misma manera, la unidad de volumen puede ser en decímetros, centímetros o kilómetros cúbicos, según el tamaño del cuerpo que se habrá de medir.

182

CAPÍTULO VI

Unidad de volumen: espacio ocupado por un cubo cuya arista es igual a la unidad utilizada.

Volumen: es el número de unidades de volumen que contiene un sólido geométrico.

Volumen del cubo El siguiente problema nos permite conocer la fórmula del volumen del cubo. Un tanque de gasolina tiene forma cúbica (véase figura 6.28); dicho cubo tiene una arista de 3 m. ¿Cuántos metros cúbicos de gasolina se pueden almacenar?

FIGURA 6.28

En la figura 6.28 podemos contar los m3 que conforman el sólido; en este caso, son 27 m\ De esta manera, el tanque puede almacenar 27 m3 de gasolina. Este mismo resultado se obtiene al elevar la longitud de la arista al cubo V=(3m)3 = 27m3 y para cualquier cubo tenemos:

V = volumen

l = longitud de la arista

El cubo también es un prisma y para calcular su volumen se usa:

Esta fórmula se puede expresar como:

Perímetro, área y volumen Como es el área de una de las caras del cuadrado, la cual puede ser la base del cubo, y altura, para cualquier prisma se tiene la fórmula:

volumen

183 la


área de la base

En las figuras 6.29a y 6.29b se nos muestran la base y la altura.

(a) Prisma oblicuo

(£>) Prisma recto

El cilindro es un caso particular del prisma, cuyas bases son polígonos de infinidad de lados; es decir, círculos. Si aplicamos la fórmula general del área de los prismas tenemos:

Para el cilindro, el área de la base es tenemos:

V = volumen

FIGURA 6.30

y si sustituimos este dato en la fórmula (1)

r = longitud del radio de la base


184

CAPÍTULO VI

En el siguiente problema, aplicaremos esta fórmula. Ejemplo Queremos construir un tanque para almacenar 471 m3 de gasolina en un terreno circular que tiene por radio 5 m. ¿Cuál es la altura que debe tener el recipiente cilíndrico? (véase figura 6.31).

FIGURA 6.31

Para solucionar este problema, conocemos el volumen y el radio, pero nos piden la altura, nuestra fórmula despejamos la altura y tenemos:

Si sustituimos los valores en la fórmula (1) y hacemos las operaciones correspondientes resulta:

El tanque deberá ser de aproximadamente 6 m de altura. El área lateral de cualquier prisma se calcula mediante la siguiente fórmula:

área

perímetro de la base


Volumen de la pirámide Para calcular el volumen de la pirámide, primero observemos la figura 6.32.


185

FIGURA 6.32

La figura 6.32 es un prisma triangular; la fórmula del volumen del prisma es:

El prisma se compone de tres pirámides iguales las cuales son: pirámides DEFB, ABCF y ABDF. De esta manera, para obtener el volumen de una pirámide basta dividir entre 3 la fórmula (1) y encontrar la fórmula del volumen de la pirámide:

o bien:

V = volumen de la pirámide

A - área de la base

altura de la pirámide

De la misma manera se obtiene el volumen del cono, que es 1/3 del volumen del cilindro. Veamos:

Volumen del cilindro Y para el cono se tendrá:

V= volumen del cono

r = radio de la base del cono

altura del cono

186

CAPÍTULO VI

El área lateral de la pirámide se puede obtener observando y razonando la figura 6.33.

FIGURA 6.33

La figura 6.33 es una pirámide cuadrangular, cuyas caras son triángulos iguales; así para encontrar el área lateral basta con calcular el área del triángulo y multiplicarla por 4. La altura de los triángulos se llama apotema de la pirámide y se simboliza con a

Área del triángulo Multiplicando por 4 tenemos:

Si quitamos el paréntesis obtenemos:

de la fórmula (1) es el perímetro de la base por ser un cuadrado, entonces la fórmula para el área lateral de cualquier pirámide es:

A = área lateral de la pirámide

P = perímetro de la base

a' = apotema de la pirámide

Si aplicamos esta fórmula para el cono (véase figura 6.34), tenemos que el apotema generatriz y el perímetro de la base es al sustituir en la fórmula se tiene:

Al efectuar las operaciones obtenemos la fórmula del área lateral del cono:

A = área lateral del cono

r = radio de la base

generatriz

es la


187

FIGURA 6.34

El siguiente problema nos muestra la aplicación de la fórmula del cono. Ejemplo ¿Cuántos metros cuadrados de lámina son necesarios para construir un cono (véase figura 6.35) que tenga un volumen de 15 m3 y un radio de 3 m?

FIGURA 6.35

En el problema, se nos pide calcular el área lateral del cono; la fórmula es:

Tenemos el valor del radio pero no el de la generatriz La generatriz el teorema de Pitágoras:

Como contamos sólo con el radio y nos falta la altura volumen:

se puede calcular mediante

ésta la podemos obtener de la fórmula del

Aquí contamos con el radio, que es 3 m, y el volumen, 15 m3; sustituyendo tenemos:

Nos queda una ecuación, en la cual la incógnita es

Procedemos a despejarla y a efectuar operaciones:

188

CAPÍTULO VI

h = 1.59 m aproximadamente Con el valor de h podemos ahora calcular mediante la fórmula (2)

Finalmente, con el valor de se puede calcular el área lateral del cono con la fórmula (1) A = (3.1416) (3 m) (3.3953 m) A = 32 m2 El cono se construirá con 32 m2 de lámina

Volumen del tronco de la pirámide Ahora, de una manera simple, obtendremos la fórmula del volumen del tronco de la pirámide (véase figura 6.36). B - área de la base de la pirámide mayor b = área de la base de la pirámide menor a = altura del tronco

FIGURA 6.36

En la figura 6.36, se encuentran dos pirámides en el mismo cuerpo; el volumen del tronco estará dado por la diferencia que existe entre la pirámide mayor y la menor, de modo que: V del tronco = V de la pirámide mayor - V de la pirámide menor Expresando lo anterior en fórmula se tiene:

De la figura 6.36 tenemos también que: H-h = a


189

Como las bases de las pirámides son paralelas, entonces son pirámides semejantes y la proporción queda como:

Es decir, la razón de las áreas de las bases es proporcional a la razón de los cuadrados de sus elementos homólogos. Si aplicamos la raíz cuadrada a (2):

Y en toda proporción se cumple:

Pero como H-h = a, tenemos:

Formamos así dos proporciones:

Despejamos H y h, respectivamente:

Sustituimos Hy h en (1):

Factorizamos

Al restar las fracciones:

Racionalizamos el denominador:

190

CAPÍTULO VI

Multiplicamos las fracciones:

Factorizamos la diferencia de cuadrados y el radical común:

Factorizamos B - b:

Encontramos finalmente la fórmula buscada:

V = volumen del tronco

a = altura del tronco

B = área de la base mayor

b = área de la base menor (véase figura 6.37).

Para obtener la fórmula del volumen del tronco del cono (véase figura 6.38), partimos fórmula del tronco de la pirámide:

FIGURA 6.38

La fórmula del área de las bases está dada por:


191

Sustituyendo en (3):

Si se factoriza

se tiene la fórmula del volumen del tronco del cono:

V = volumen del tronco del cono R = radio de la base mayor

a = altura del tronco r - radio de la base menor

Área lateral del tronco de la pirámide

FIGURA 6.39

En la figura 6,39, se muestra el tronco de una pirámide triangular, cuyas caras laterales son trapecios iguales; la fórmula del área del trapecio es:

En la misma figura hay tres trapecios; por lo tanto, si multiplicamos por 3 la fórmula (1), obtenemos una expresión del área lateral de esta pirámide:

Al aplicar la propiedad distributiva y la altura h, que es el apotema (a) del tronco, tenemos:

En la figura 6.39, 3b y 3B son los perímetros de la base menor y la base mayor, respectivamente; si sustituimos p = 3b y p = 3B, entonces encontramos la fórmula del área lateral del tronco de la pirámide:

p = perímetro de la base menor P = perímetro de la base mayor a - apotema del tronco

192

CAPÍTULO VI

Esta fórmula nos permite obtener el área lateral del tronco del cono (véase figura 6.40).

FIGURA 6.40

En la figura 6.40, el perímetro de las bases está dado por sustituir en la fórmula

y el apotema por

tenemos:

Si factorizamos

Simplificando:

r = radio de la base menor

R = radio de la base mayor

generatriz

Problema de aplicación Un pintor de brocha gorda cobra su trabajo por metro cuadrado; si va a pintar una chimenea con las dimensiones especificadas en la figura 6.41, ¿cuántos m2 pintará?

FIGURA 6.41

El área lateral se calcula mediante la fórmula respectiva: A = 3.1416(3m + 6m)5m A = 3.1416 (9 m) 5 m A = 3.1416 (45 m2) A= 141.372 m2 El área que pintará es de 141.372 m2


193

ÁREA DE LOS POLIEDROS REGULARES Para encontrar el área de un poliedro regular, basta con encontrar el área de una de sus caras y multiplicarla por el número de caras:

A=nA' A' = área de la cara

n - número de caras

Es más práctico expresar la fórmula en función de la longitud de la arista; por ejemplo, la del tetraedro de la figura 6.42.

Tetraedro FIGURA 6.42

Como podemos observar, las caras del tetraedro son triángulos, como el mostrado en la figura 6.43.

FIGURA 6.43

Si expresamos la altura en función de (a), que es la arista del tetraedro, por medio del teorema de Pitágoras:

Despejamos h

194

CAPÍTULO VI

(1) La base del triángulo es (a); si sustituimos (1) y (a) en la fórmula del área del triángulo y multiplicamos ésta por 4, que es el número de caras:

A = área del tetraedro

a = arista del tetraedro

Simplificando, tenemos la fórmula del área del tetraedro en función de la arista (a); de la misma manera, intenta encontrar a las fórmulas de: hexaedro octaedro

dodecaedro icosaedro esfera Problema de aplicación Una lámpara tiene forma de icosaedro y una arista de 3 cm; en cada una de sus caras, se quiere colocar cristales. ¿Cuántos cm2 de cristal son necesarios? Si aplicamos la fórmula respectiva tenemos:

Si sustituimos los valores:

Se necesitan 77.94 cm2


195

VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARES Al descomponer un poliedro, nos encontramos con tantas pirámides como caras tiene; todas ellas iguales. La altura de estas pirámides es la distancia de la cara al centro del poliedro (llamado apotema); así que para encontrar el volumen del poliedro, se calcula el volumen de una pirámide y se multiplica por el número de caras. El volumen de una pirámide es:

La altura h es el apotema (a) del poliedro y A es el área de la base de la pirámide; si multiplicamos por n (número de caras) tenemos:

Pero como nA es el área total del poliedro (A'), nos queda la fórmula:

A' = área del poliedro

a = apotema

Por ejemplo, en el cubo, el apotema es la mitad de la arista (figura 6.44)

FIGURA 6.44

longitud de la arista

196

CAPÍTULO VI

y su área total:

Al sustituir en (1):

Haciendo las operaciones obtenemos la fórmula del volumen del cubo en función de la arista:

longitud de la arista del cubo De forma similar, intenta obtener las fórmulas de: tetraedro octaedro dodecaedro icosaedro esfera Problema Calcular el radio que deberá tener un tanque esférico que contenga un volumen de 113.04 m3. Despejando r de la fórmula y sustituyendo los valores se tiene:

El radio del tanque deberá ser de 3 m aproximadamente.


197

RESUMEN • Perímetro es la longitud del contorno de una figura; las figuras cuyos perímetros son iguales se llaman isoperimétricas. Para calcular el perímetro de figuras regulares, se multiplica la longitud del lado por el número de lados que las conforman. • Para calcular el perímetro del círculo (circunferencia), se debe saber que el diámetro cabe en la circunferencia 3.14159... veces. A este número se le conoce con el nombre de la letra griega (pi), y la fórmula para calcular el perímetro del círculo es • La superficie de una figura es el límite de los sólidos y tiene sólo dos dimensiones: largo y ancho, además de carecer de espesor; la medida de la superficie se llama área y se expresa en unidades cuadradas. A continuación, se presentan las principales fórmulas para calcular el área de figuras planas. Cuadrado Rectángulo y romboide Triángulo Rombo Trapecio Polígono regular Círculo Sector circular • Un espacio limitado cualquiera se llama sólido geométrico; el sólido geométrico tiene tres dimensiones: largo, ancho y grosor o profundidad. • El poliedro tiene caras planas; la intersección de las caras se llama arista, la intersección de las aristas se llama vértice, la unión de dos vértices no consecutivos se llama diagonal, la inclinación de una cara respecto a otra (ambas continuas) se llama ángulo diedro. Cuando las caras de un poliedro son iguales y son polígonos regulares, y sus ángulos diedros también son iguales, estamos hablando de un poliedro regular. Un prisma es un poliedro con dos caras que son polígonos iguales y paralelos (bases), y otras caras que son paralelogramos; cuando las bases de un prisma son paralelogramos, éste recibe el nombre de paralelepípedo. Un caso particular del paralelepípedo es el cubo. • La pirámide es un poliedro que tiene una sola base, la cual puede ser cualquier polígono, y caras laterales que son triángulos con un vértice común. • El cilindro es el sólido geométrico formado por una recta que se mueve de tal manera que es siempre paralela a otra recta fija, y se guarda una misma distancia entre ambas; sus bases son dos círculos paralelos e iguales.

198

CAPÍTULO VI

• El cono es un sólido geométrico formado al hacer rotar la hipotenusa de un triángulo sobre un cateto; su única base es un círculo. • La esfera se forma por la rotación de un semicírculo. Los puntos que conforman su superficie están a una misma distancia llamada radio. • Se llama unidad de volumen al espacio ocupado por un cubo cuya arista es igual a la unidad utilizada (mm, cm, m, km, entre otras); el volumen es el número de unidades de volumen que contiene un sólido geométrico. A continuación, se listan las fórmulas de volumen y área lateral de algunos sólidos geométricos. Sólido Prisma Cilindro Pirámide Cono Tronco de la pirámide Tronco del cilindro Tetraedro Hexaedro Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro Esfera

Volumen

Área lateral


199

EJERCICIOS 1. Calcula el perímetro y área de los rectángulos que tienen por base y altura: a)15c my28cm

b) 17 m y 1200 cm

d) 1.45 km y .99 km

c)48fty32ft

e) 0.0025 km y 0.0125 km

2. Calcula la base y el perímetro de los rectángulos que tienen de área y altura: a) 18.315 m2 y 2.31 m

b) 12.15 mm2y 3.6 mm2

d) 143.09 cm2 y 12.03 cm

e) 48.78 ft2 y 6.07 ft

c) 3.09 km2 y 1.5 km

3. Calcula la longitud del lado de los cuadrados que tienen de área: a)144m2

b) 32.45 cm2

c) 44.18 mm2

d) 0.035 m2

e)19.04 ft2

4. Calcula el perímetro y el área de los triángulos isósceles que tienen respectivamente de base y altura: a) 3.5 m y 8.2 m

b) 6.09 cm y 8.7 cm

c) 4.08 mm y 2.06 cm

d) 4.78 km y 3.009 km

5. Calcula la base y el perímetro de los triángulos isósceles que tienen respectivamente de área y altura: a) 4.8 m2 y 2.6 m

b) 12.44 km2 y 6.8 km

c) 0.13 m2y .002 m

d) 4.6 ft2 y 2.4 ft

e) 16.098 mi2 y 12.23 mi

6. Calcula el área de los rombos cuyas diagonales tienen: a) 25 m y 25.2 m

b) 14.08 cm y 34.009 cm

d) 2.009 km y 8.04 km

e) 2.03 ft y 3.08 ft

c) 23.08 m y 19.002 m

7. Calcula el área de los trapecios que tienen como altura y base respectivas: a) 21A m, 34.2 m y 12.8 m

b) 37.09 cm, 42.08 cm y 13.09 cm

c) 45.09 ft, 36.08 ft y 18.44 ft

d) 19.05 m, 49.06 m y 19.9 m

e) 68.4 mm, 125.2 mm y 16.04 mm 8. ¿Cuál es el área y el perímetro de los círculos de radio a)2.8m

b)3.15cm

c) 0.0098 km

d) 14.019 yd

e) 0.0012 mi?

9. En un círculo de 25 m de radio, ¿cuál es el ángulo sexagesimal del sector que tiene un área de a) 3.6 m2

b) 2.09 cm2

c) 4.09 mm2

d) 6.9 km2

e) 4.08 ft2 ?

200

CAPÍTULO VI

10. Encuentra el área de un triángulo equilátero de 1.2 m de lado. 11. Calcula el lado de un triángulo equilátero que tiene un área de 12 m2. 12. Calcula la base y la altura de un triángulo de 162 cm2, si la base y la altura son iguales. 13. Calcula la base y la altura de un triángulo que tiene 864 m2, si la base equivale a — de la altura. 14. El área de un trapecio es de 890 m2; si los lados paralelos tienen 80 y 120 m, ¿cuál es la distancia entre ellos? 15. El área de un rombo es igual a 60 m2. Calcula el perímetro, si la diagonal menor es igual al lado. 16. Calcula el área y el volumen del cubo que tiene por lado: a) 12.08 cm

b) 0.098 km

c) 2.08 m

d) 4.09 mm

e) 18.4 ft

17. Calcula el volumen y el área lateral de un prisma recto de 9 cm de altura, cuya base es un triángulo equilátero de 1.8 cm de lado. 18. Calcula el área de la base de un prisma cuadrangular que tiene 15 m de alto y un volumen de 4.25 m3. 19. Calcula el radio de la esfera que tiene de volumen: a) 45.28 m3

b) 385.4 cm3

c) 1287 ft3

d) 945 cm3

e) 48.9 km3

20. Calcula el volumen de un prisma triangular, si la base del triángulo tiene 1.02 m y su altura 80 cm; la altura del prisma es de 2.6 m 21. Calcula el volumen y el área del octaedro que tiene de arista: a)12cm

b)13.4m

c) 24.04 ft

d) 12.8 yd

d) 14.09 m

22. Calcula el volumen y el área del dodecaedro que tiene de arista: a) 12.08 cm

b) 14.28 m

c) 38.7 ft

d) 36.9 mm

e) 28.5 m

23. Calcula el volumen y el área total del cono que tiene de radio y altura: a)12cm y 4cm

b)1.4my2.5m

c) 6.8 m y 4.2 m

d)1.5my2.6m

24. El volumen de un icosaedro es de 1200 cm3. Calcula la longitud de su arista. 25. Calcula la altura del tronco de un cono cuyas bases son de 25 m2 y 32 m2, para que tenga un volumen de 532 m3.


201

Problemas de aplicación 1. Una finca tiene forma de trapecio, una altura de 3.8 m, que es la diferencia de las bases, y un área de 16.72 m2. Calcula las bases del trapecio. 2. En una lámina metálica de 80 cm de largo y de 64 cm de ancho, ¿cuántos agujeros de 4 cm de radio se pueden hacer, si las circunferencias deben ser tangentes? y ¿cuál será el área de los espacios que queden? 3. En una glorieta hay una corona circular de pasto y en el centro, una fuente de 12 m de diámetro; si el área empastada es de 120 m2, calcula el diámetro de la glorieta. 4. Calcula el lado de una mesa cuadrada, para que su área sea igual a la de otra mesa rectangular que tiene 1.95 m de largo por 0.94 m de ancho. 5. ¿Cuántas tablas de 3.9 m de largo por 32 cm de ancho son necesarias para entarimar una estancia de 16 m de largo por 7 m de ancho? 6. El área de las paredes de una sala es de 140 m2; si queremos colocar papel tapiz y cada rollo tiene 14 m de largo por 0.5 m de ancho y cada uno cuesta $75.50, calcula el número de rollos necesarios y cuánto debemos pagar por ellos. 7. Calcula el área de una carretera de 6 m de ancho que rodea una glorieta de 200 m de diámetro. 8. Calcula el largo de una banda que une dos poleas iguales con un diámetro de 25.5 cm; los centros de las poleas están a 92.5 cm de distancia. 9. La corona de pasto que rodea una alberca circular tiene 1 m de ancho y un área de 21.98 m2; la circunferencia exterior es de 25.12 m. Calcula el perímetro y el área de la alberca. 10. ¿Cuántos mosaicos hexagonales de 8 cm de lado se necesitan para el piso de una habitación de 6.5 m de largo por 4.72 m de ancho? 11. Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.

202

CAPÍTULO VI

son diámetros. Comprueba que el área cuadriculada es igual al área sombreada.

son diámetros.

12. Un tinaco tiene las siguientes dimensiones: 1.8 m, 1.08 m y 1.5 m. ¿Cuántos litros tiene de capacidad, si un litro equivale a 1 000 cm3? 13. Con una cartulina rectangular de 28 cm por 23 cm, construye un cubo lo más grande posible; pega las aristas con cinta adhesiva. Calcula el volumen y el área de la cartulina sobrante. 14. Un salón de clases tiene 8.25 m de largo, 7 m de ancho y 3.45 m de alto. Calcula el volumen de aire que contiene y cuánto pesa este aire, si un litro de aire pesa 1.3 gramos. 15. Un ladrillo tiene 25 cm de largo, 12 de ancho y 65 mm de espesor. ¿Cuál es su volumen? ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir una pared de 5.2 m de largo, 1.15 m de alto y 56 cm de espesor, descontando por las uniones un 30% del volumen? 16. Calcula el volumen de la pirámide de Egipto más grande, cuya base es un cuadrado de 200 m de lado; las caras laterales son triángulos equiláteros. 17. Calcula el área total del sólido especificado en el problema 16. 18. Un pintor cobra a $3.50 el m2 y pintó un tanque cilíndrico con las siguientes dimensiones: radio de las bases, 2.3 m; longitud del cilindro, 8.4 m. ¿Cuánto debe pagársele? 19. Se quiere impermeabilizar un techo que tiene la forma de media esfera y un diámetro de 15.4 m; si una cubeta de impermeabilizante rinde para cubrir 20 m2, ¿cuántas cubetas se necesitan? 20. Calcula el área total de una cisterna cilíndrica de 1 200 m3 de volumen, cuya altura es igual al diámetro.

204

CAPÍTULO VII

Procedimiento Se traza una paralela a la recta D Por el punto P y a 2 u se localiza P'

FIGURA 7.1

Ejemplo 2 Dado un segmento de recta A(-2,0), fi(-l,2), la directriz (D) y una magnitud m 2u, obtener su traslación A'B' (véase figura 7.2). Sea el segmento Procedimiento Se localiza A y B en un sistema de ejes coordenados. Se traza el segmento La directriz D = 24 se recorre a partir de A hacia se traza un segmento paralelo finalmente se obtiene

FIGURA 7.2

Ejemplo 3 la directriz (D) y la magnitud m = 3 u, obtener la traslación de dicha Sea la figura plana el (véase figura 7.3). Procedimiento Por cada vértice del se traza una paralela o directriz, y tomando una magnitud de 3 u obtener su traslación a Las coordenadas del

FIGURA 7.3

Traslaciones geométricas

205

Ejemplo 4 Dada una circunferencia de centro dicha figura (véase figura 7.4).

la directriz

y la magnitud m = 4u, obtener la traslación de

Las coordenadas de

FIGURA 7.4

Ejemplo 5 Dado el polígono (véase figura 7.5).

la directriz

y su magnitud m = 4u, obtener la figura trasladada

FIGURA 7.5

Solución

Procedimiento Se llevan paralelas a la directriz por cada vértice y se toma la medida a partir de la figura original para obtener la imagen (véase figura 7.6).

FIGURA 7.6

206

CAPÍTULO VII

APLICACIÓN (véase figura 7.7), se inserta un segmento de una determinada longitud, la cual En el triángulo será paralela a uno de los lados del y determinará la transversal en uno de esos mismos lados.

FIGURA 7.7

Procedimiento paralelo al lado Se lleva el segmento Se traslada paralelo por B y se obtiene para formar el paralelogramo (véase figura 7.8). = m (medida del segmento

FIGURA 7.8

ROTACIÓN DE LA FIGURA Ejemplo 1 Obtener la rotación del punto Sea el punto y

el cual se deberá girar 30°.

el centro de rotación. Procedimiento Con una abertura OP del compás, se traza un arco y se desplaza 30°, como se ve en la figura 7.9.

FIGURA 7.9


207

Ejemplo 2 Obtener la rotación del segmento de recta Sea el segmento

el cual se girará 45°.

el centro de rotación. Procedimiento Con una abertura O A y OB del compás, se trazan arcos que se girarán 45° con la ayuda del transportador, como se indica en la figura 7.10.

FIGURA 7.10

Ejemplo 3 Obtener la rotación del Sea el

el cual se girará un ángulo de 90° (véase figura 7.11).

cuyo centro de rotación será a través del centro Procedimiento Con una abertura del compás y con centro en se gira en un ángulo de 90 grados para obtener el

FIGURA 7.11

Ejemplo 4 Obtener la rotación de un

cuyo centro de ésta, es el vértice A (véase figura 7.12).

Procedimiento Se aplica el proceso indicado, para los ángulos de 90°, 180° y 270°. FIGURA 7.12

Para mayor facilidad, se trazan perpendiculares a cada lado del

por el vértice A

208

CAPÍTULO VII

Ejemplo 5 Obtener la rotación de un polígono regular Sea el polígono regular

el cual se girará un ángulo de 90°.

su centro de rotación. Procedimiento del compás y Con una abertura se trazan arcos por cada vértice. con centro en Con ayuda de transportador se localizan los vértices como se ve en la figura 7.13.

FIGURA 7.13

Ejemplo 6 Obtener la rotación de un polígono irregular Sea el polígono irregular

el cual se girará un ángulo de 90°.

el centro de rotación. Procedimiento Con una abertura del compás se girará cada vértice en un ángulo de 90°, como se ve en la figura 7.14.

FIGURA 7.14

Una figura realiza una rotación o un giro respecto a un centro de rotación, cuando se mueve de tal manera que las distancias de sus vértices siempre permanecen constantes. Los elementos de la figura son centro y ángulo de rotación.

SIMETRÍA La simetría se presenta en relación con un punto, una línea recta y un plano.


209

Simetría en relación con un punto ¿Cuántos puntos simétricos puedes encontrar en la figura 7.15?

FIGURA 7.15

Los puntos son los extremos del segmento dichos puntos se encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro de simetría (véase figura 7.16).

FIGURA 7.16

Elementos de la simetría 1. Figura dada u original. 2. Proceso de transformación, que implica el cambio. 3. Resultado o imagen. Ejemplo 1 Se tiene un segmento y a una distancia determinada se encuentra el punto centro de simetría. Obtener la imagen o figura resultante, la cual será simétrica al segmento dado.

FIGURA 7.17

Procedimiento A partir del extremo se traza una línea recta auxiliar que pase por (centro de simetría) y a partir y apoyándose en se obtiene el punto se prolonga. Con una abertura del compás y se obtiene que mismo proceso se sigue para el punto Finalmente (véase figura 7.17).

210

CAPÍTULO VII

Dada la figura 7.18 y su centro de simetría, obtener su imagen o figura simétrica. Procedimiento Con una línea recta se unen todos los vértices de la figura al centro de simetría O. La línea se prolonga y apoyado en con una abertura del compás obtiene y lo mismo se sigue para Por lo que

Ejemplo 2 Dada la figura 7.19, obtener la imagen o figura simétrica a partir del centro de simetría. Procedimiento Aplicando el proceso establecido en el caso anterior, obtener los vértices simétricos Por lo que FIGURA 7.19

Ejemplo 3 Dada la figura 7.20 obtener la imagen o figura simétrica a partir del centro de simetría. Procedimiento Se trazan líneas rectas por cada vértice y que pase por con una abertura del compás se lleva sobre la misma línea y se obtiene De la misma forma se obtiene guiendo ese mismo procedimiento se obtiene finalmente se traza la figura por lo tanto,

FIGURA 7.20


211

Ejemplo 4 Dada la figura 7.21, obtener la imagen o figura simétrica a partir del centro de simetría. Procedimiento Se aplica el proceso indicado y se obtienen los vértices simétricos.

Por lo que el polígono

polígono

FIGURA 7.21

Simetría central: es una transformación geométrica, la cual indica que dicha figura cambia a partir de su centra de simetría y que cada punto de la figura original tiene su simétrico en la imagen.

Teorema: "Si dos lados contiguos de un cuadrilátero son iguales y los otros lados también lo son, el cuadrilátero es simétrico respecto a su diagonal y, además, las diagonales son perpendiculares". Hipótesis

Tesis

FIGURA 7.22

Afirmaciones

Razones Opuestos por el vértice Puntos simétricos L.A.L. Lados homólogos. Medida de un ángulo llano. Medida de un ángulo llano. Comparando 5 y 6. Por formar 90°

212

CAPÍTULO VII

Figuras con centro de simetría ¿Cuántos puntos de simetría se pueden obtener en una rueda, si representamos dicha rueda con una circunferencia de centro en (véase figura 7.23).

FIGURA 7.23

Cada punto de la circunferencia tiene un solo punto simétrico en relación con el origen o centro de simetría; por ejemplo: y así sucesivamente.

Una circunferencia tiene infinidad de puntos simétricos respecto al centro.

Ejemplo En la figura 7.24 determinar si todos los vértices de los polígonos regulares tienen como centro de simetría el centro de la circunferencia circunscrita a estos polígonos.

No tiene vértices simétricos FIGURA 7.24

Sí tiene vértices simétricos

No tiene vértices simétricos

Sí tiene vértices simétricos OA = OE OR = OF

En tos polígonos regulares con n par de lados, los vértices y puntos son simétricos en la relación con el centro de la circunferencia circunscrita.


213

Orden de simetría Un polígono regular tiene un centro de simetría de orden n cuando sus puntos están asociados de n en n de tal manera que cada n puntos homólogos equidistan del centro. Los segmentos del punto n con el centro de simetría dividen al plano en n ángulos iguales (véase figura 7.15). 360°/n = 60° Se forman ángulos iguales de 60°.

FIGURA 7.25

Por ejemplo (véase figura 7.26).

FIGURA 7.26

Simetría de tercer orden

Simetría de cuarto orden

Simetría de quinto orden

Simetría de sexto orden

Simetría en relación con una recta o un eje de simetría Dados los puntos con coordenadas trazar un sistema de ejes coordenados. Localiza dichos puntos y encuentra qué podemos concluir en relación con la gráfica (véase figura 7.27).

FIGURA 7.27

214

CAPÍTULO VII

¿Qué podemos concluir respecto al punto A y el sistema de ejes coordenados? a) A tiene su simétrico en B respecto a la recta y y' o eje de simetría. b) A tiene su simétrico en C, respecto a un punto O o centro de simetría. De la misma manera, concluye con los demás puntos que faltan. Simetría respecto a una recta o eje. Dos puntos A y B son simétricos respecto a una recta o un eje de simetría y cuando se encuentran sobre una línea recta en el punto medio.

Dos puntos Ay B son simétricos en relación con una recta o un eje de simetría, cuando dichos puntos son perpendiculares y están a la misma distancia de la recta. A la simetría respecto a una recta o un eje se le llama también ortogonal, porque al proyectarse hacia la recta siempre lo hace perpendicularmente. Ejemplo 1 Obtener la figura simétrica del segmento

en relación con el eje o la recta de simetría. Procedimiento Se trazan perpendiculares a la recta E por cada uno de los extremos del segmento. Con un compás se toman las distancias de los extremos del segmento a la recta y se obtiene el simétrico (véase figura 7.28).

FIGURA 7.28

Ejemplo 2 Obtener la figura simétrica del

en relación con el eje o la recta de simetría. Procedimiento Se aplica el proceso del ejemplo anterior (véase figura 7.29).

FIGURA 7.29


Ejemplo 3 Obtener la figura simétrica del poliedro ABCD en relación con la recta o el eje de simetría. Se aplica el proceso del ejemplo anterior (véase figura 7.30).

FIGURA 7.30

También existen figuras con uno o varios ejes de simetría. Ejemplo 1 ¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar a una circunferencia? (Véase figura 7.31.)

FIGURA 7.31 En la circunferencia se pueden trazar tantos ejes de simetría como diámetros sea posible trazar.

Ejemplo 2 ¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en un triángulo isósceles? Sea el Ces simétrico a D en relación con la altura. A es simétrico a B en relación con la altura. P es simétrico a Q en relación con la altura. FIGURA 7.32

215

216

CAPÍTULO VII

Ejemplo 3 ¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar al cuadrado de la figura 7.33? Sea el cuadrado PQRS Para el eje D, A es simétrico a A'. Para el eje F, B es simétrico a B'. Para el eje E, C es simétrico a C. Para el eje G, D es simétrico a D'.

FIGURA 7.33

Ejemplo 4 ¿Cuántos ejes de simetría tiene el rombo de la figura 7.34? Sea el rombo STVU En el eje E, A es simétrico a A'. En el eje D, B es simétrico a B'.

FIGURA 7.34

El rombo tiene dos ejes de simetría: la diagonal mayor y menor. También el centro es centro de simetría en donde se corten dichas diagonales.


217

Aplicación Problema Se desea transportar ganado del punto A al punto B; pero se necesita pasar por un punto C, en la ribera un río, para que el ganado tome agua (véase figura 7.35). ¿Cuál será el camino más corto para transportar el ganado y que pase al río a tomar agua?

FIGURA 7.35

Existen varias soluciones; pero debemos escoger la correspondiente a la distancia más corta. Solución Procedimiento Se traza el simétrico de A respecto a la recta R (véase figura 7.36). Se une A' con B y la intersección con R se denota como C. El camino más corto será

FIGURA 7.36

Simetría respecto a un plano Ejemplo Si se tiene un punto A y un plano P, ¿cuál será el punto simétrico al punto dado? (Véase figura 7.37.) Procedimiento Se traza un segmento a partir del punto A, de modo perpendicular al plano P. La distancia del punto A al plano es la misma que va del plano al punto A'.

FIGURA 7.37

218

CAPÍTULO VII

Observación El punto A está a la misma distancia del plano que A' y, además, es perpendicular.

Dos puntos son simétricos en relación con un plano, cuando el plano es perpendicular en la mitad del segmento que une dichos puntos.

Simetría de una figura respecto a un plano Ejemplo 1 Dada una figura geométrica y un plano, obtener su figura simétrica (véase figura 7.38). Procedimiento al plano por cada Se trazan segmentos uno de los puntos ABCD de la figura dada y a la misma distancia del plano se obtiene A'B'C'D'.

FIGURA 7.38

Dos figuras geométricas son simétricas respecto a un plano, cuando cada punto de la primera figura tiene su simétrico en la segunda.

Ejemplo 2 ¿Cuál será la figura simétrica de una figura plana dada en el plano? Sea la figura plana (véase figura 7.39). Procedimiento Se determinan los puntos simétricos de la figura plana dada.

FIGURA 7.39

Una figura plana tiene como simétrica otra figura plana.


219

Simetría entre figuras geométricas De dos figuras P, P', P es simétrica a P" en relación con un plano y P es simétrica a P" respecto a un punto en el plano (véase figura 7.40). ¿Cómo serán entre sí dichas figuras simétricas? Procedimiento Primero se traza P' simétrica a P. Se localiza el punto de simetría. Por el punto o se traza la figura simétrica P".

FIGURA 7.40

Dichas figuras P, P'. P" son simétricas entre sí.

HOMOTECIA Construir un figura 7.41). Sea el

homotético al

Se conoce su centro y su razón de homotecia (véase

con centro de homotecia en O y razón k - 2 Procedimiento A partir de O se traza una semirrecta que pase por cada vértice

FIGURA 7.41

Para obtener mentos figura 7.41.

se multiplican los segpor 2, como se índica en la

Observemos que las razones siempre son constantes: siempre es constante. Homotecia: es la transformación en la cual e un punto P se hace corresponder un punto P, de tal forma que se cumplen estas condiciones: • Los puntos P, P' y el punto O siempre están alineados. • La igualdad ÓP= k OP' queda satisfecha cuando k no es cero o uno.

220

CAPÍTULO VII

La homotecia puede ser: • Positiva o directa, cuando k > 0 (véase figua 7.42)

FIGURA 7.42

• Negativa o inversa, cuando k < 0 (véase figura 7.43).

FIGURA 7.43

• Simétrica, cuando k = -1 (véase figura 7.44).

FIGURA 7.44

En la homotecia positiva o directa, el centro O es interior: en la homotecia negativa o inversa, el centro es exterior a la figura.

Ejemplos Dados el centro O y la razón de homotecia, obtener lo que se indica. 1. Los extremos de un segmento Sea el segmento

tienen un punto homotético ya sea positivo o negativo.

k = 2 cm (véase figura 7.45). Procedimiento

FIGURA 7.45


Sea el segmento

221

con centro en O y razón k = 3 cm (véase figura 7.46). Procedimiento

FIGURA 7.46

2. En dos figuras homotéticas, los lados razón de homotecia de dichas figuras. Sea

son paralelos y la razón entre ellos es igual a la

el segmento, O y k = 3 cm el centro y la razón de homotecia (véase figura 7.47). Procedimiento

FIGURA 7.47

Délos

OPQ y OPQ' se tiene: por ser correspondientes comunes a dichos

La figura homotética de una línea recta es otra línea recta; por ejemplo, cuando el centro de la homotecia está sobre la misma línea recta (véase figura 7.48).

FIGURA 7.48

su homotética es la misma línea recta Cuando el centro de homotecia está fuera de la línea recta

la razón de homotecia k = 2 cm.

222

CAPÍTULO VII

Sea la línea recta

cuyo centro es O y la razón k - 2 cm (véase figura 7.49). Procedimiento

FIGURA 7.49

De la figura 7.49 podemos considerar lo siguiente: por ser correspondientes. común a dichos por ser correspondientes La línea recta

es paralela a

3. Obtener la homotecia directa o positiva del k = 3 cm.

Conocemos su centro O y su razón de homotecia

con centro en O y k = 3 cm (véase figura 7.50). Procedimiento A partir de O y por cada uno de los vértices se traza la semirrecta. Para obtener siguientes igualdades:

se aplican las

FIGURA 7.50

4. Obtener la homotecia inversa o negativa Sea el

dados su centro O y su razón de homotecia k = 2 cm.

k el centro y la razón de homotecia (véase figura 7.51). Procedimiento

FIGURA 7.51


223

Si la figura se gira 180° en relación con el centro O, se transforma en una homotecia directa (véase figura 7.52).

FIGURA 7.52

Figuras homotéticas: se forman cuando una de ellas se transforma a partir de la otra, mediante una homotecia.

La figura homotética de un polígono será otro polígono semejante al dado. Sea el cuadrilátero PQRS con centro de homotecia O y razón k = 2 cm (véase figura 7.53). Procedimiento

FIGURA 7.53

La figura homotética de una circunferencia es otra circunferencia. Sea la circunferencia C de centro de homotecia O y la razón k - 2 cm (véase figura 7.54). Procedimiento

De la figura 7.64 se obtiene que:

FIGURA 7.54

donde k = contraste de homotecia

224

CAPÍTULO VII

RESUMEN • La transformación es el proceso de someter una figura o algunas de sus partes en otra más simple, en la solución de un problema. • La traslación es el movimiento de una figura plana, en el cual todos los puntos son desplazados de igual manera en distancia y sentido. • Los elementos de la traslación son directriz y magnitud. • La traslación se puede realizar con puntos, líneas y figuras geométricas. • La rotación es el proceso a través del cual una figura ha realizado un giro, de tal manera que permanece constante y sus elementos son: centro y ángulo de rotación. • La simetría puede ser en relación con un punto, una línea recta o un plano. • Los elementos de la simetría son figura original e imagen. • La simetría respecto a un punto establece que dicho punto será el centro de la simetría. • La circunferencia tiene infinidad de puntos simétricos en relación con el centro de la circunferencia. • En los polígonos regulares con un número par de lados, los vértices son simétricos. • Los polígonos con un número impar de lados tienen vértices no simétricos. • La simetría en relación con una línea recta será dada por la directriz o el eje de simetría. • La simetría es una herramienta para solucionar problemas geométricos. • Dos figuras geométricas son simétricas en relación con un plano, cuando cada punto de la figura tiene su simétrico en la imagen. • La homotecia es la transformación mediante la cual un punto P corresponde a un punto P'. El centro de homotecia así como los puntos P y f, están en la misma semirrecta. • La homotecia se clasifica en: • Positiva o directa, cuando k > 0 • Negativa o inversa, cuando k < 0 • Las figuras son homotéticas cuando una de ellas es la transformación de otra a partir de una homotecia.


EJERCICIOS 1. Dado el siguiente sistema de ejes coordenados, encuentra la imagen de cada punto.

La imagen de

2. ¿Cuántos puntos simétricos hay en una circunferencia? 3. ¿Cuántos ejes de simetría hay en una circunferencia? 4. ¿Qué triángulo tiene ejes de simetría? 5. ¿Qué cuadrilátero tiene un solo eje de simetría? 6. ¿Cuál es el polígono regular que tiene a su vez centro y eje de simetría? 7. El diámetro de una circunferencia es eje de simetría? 8. Traza un cuadrado con sus ejes de simetría. 9. En un decágono regular, ¿cuántos ejes de simetría hay? 10. Dados los lados del 5 cm, construye un simétrico respecto a la intersección de la bisectriz y mediatriz, en relación con el lado CA. 11. Construye un

simétrico al eje de simetría dado.

225

226

CAPÍTULO VII

12. Dado un pentágono irregular, construye su simétrico en relación con el eje de simetría.

13. La bisectriz de un ángulo ¿es el eje de simetría de dicho ángulo? 14. Especifica que letras del abecedario son simétricas; es decir, que tengan un eje por lo menos de simetría. 15. Obtén la traslación del segmento CD, dadas su directriz y su magnitud k - 3 cm.

16. Obtén las coordenadas de la traslación realizada con el ¿ = 2cm.

dadas la directriz y su magnitud

17. Dadas las coordenadas del centro, así como una circunferencia, su directriz y su magnitud k 2 obtén su traslación.


227

18. Obtén la traslación del cuadrilátero PQRS, dadas su directriz y su magnitud k = 3 cm.

19. De acuerdo con el polígono ABCD, obtén la traslación. Su directriz es (D) y su magnitud k = 2 cm.

20. Obtén la traslación de cada uno de los vértices del siguiente polígono. Conocemos su directriz y su magnitud k = 3 cm.

21. Con base en la figura del problema anterior (el 20) pero cambiando su magnitud k-x-y

228

CAPÍTULO VII

22. Con base en la figura del problema 20, ahora la directriz y la magnitud cambian.

23. Dados el

y un punto coordenado de su traslación, encuentra su directriz y su magnitud.

24. Obtén la traslación de una

dadas las coordenadas de sus vértices, su directriz y su mag-

son los puntos coordenados dados, y conocemos la directriz y su 25. Si los vértices del magnitud k = (x- 1, y + 3). Obtén la traslación del


229

26. Obtén la rotación del punto P. El centro es O y el giro es de 30° de rotación.

27. Traza la imagen de rotación del segmento

28. Obtén la rotación del segmento

29. Obtén la rotación del

su centro es O y el ángulo de rotación es de 45°.

cuando se gira 60° y su centro está en el origen.

si el centro está en el origen y su ángulo es de 90°.

230

CAPÍTULO VII

30. Obtén la rotación del

si el centro está en el origen y su ángulo es de 180°.

31. Dados un punto P( 1,1), el centro de homotecia 0(0,0) y la razón k - 2 cm, obtén las coordenadas del punto P'

32. Obtén la homotecia del segmento cuyos extremos son los puntos coordenados P(2,l). (2(1,2), si 0(0,0) y fc= 2

33. Obtén la homotecia del segmento A(-2,l), B(-l,2), conociendo su centro 0(0,0) y la razón fc = 2cm


34. Obtén la homotecia del

231

conociendo su centro y la razón k = 2 cm

35. Dado el cuadrilátero ABCD, obtén la figura homotética, conociendo el centro O y su razón de homotecia k

Segunda parte: Trigonometría

CAPÍTULO VIII Funciones trigonométricas

INTRODUCCIÓN Una de las ramas de las matemáticas más interesantes por su practicidad es la trigonometría, que aparece con Hiparco, 150 años antes de nuestra era, al aplicarla a la astronomía. Después de Hiparco, continuaron desarrollando la trigonometría hombres como Claudio Ptolomeo, Arybhata, Johan Miiller, Jorge Joaquín Rético, Francisco Vieto, Leonardo Euler, John Napier o Néper, Henry Briggs y otros. ¿Qué es la trigonometría? el nombre proviene de las raíces griegas trigónom (triángulo) y metron (medida), de tal suerte que la palabra trigonometría significa medición de los triángulos. También se le ha definido como la ciencia de la medida indirecta, pues a través de ella se pueden calcular distancias imposibles de medir directamente. Como es en estos casos donde reside la importancia excepcional del estudio, tanto teórico como práctico, de la trigonometría, en este capítulo estudiaremos los conceptos básicos para resolver algunos problemas que hasta el momento, con los conocimientos estudiados en geometría, no sería posible resolver. Ejemplos a) Un montañista desea escalar una montaña que tiene una longitud de 1 200 m desde su base a la parte más alta, y una pendiente de 48°. ¿Cuál es la altura de la montaña? b) Un obrero tiene una escalera de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo debe formar con el piso, si quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 5 m de altura? c) Un mecánico desea que le construyan una rampa para subir automóviles a una altura de 8 m. Si la rampa tiene una pendiente de 25°, ¿qué longitud tendrá la rampa? Para resolver estos problemas, será necesario estudiar trigonometría.

Funciones trigonométricas

233

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS, DEFINIDAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO La trigonometría se basa en relaciones llamadas funciones trigonométricas, que son las razones existentes entre elementos rectilíncos ligados a un ángulo, cuya variación dependerá de la variación del ángulo. Por ejemplo, observemos la figura 8.1

FIGURA 8.1

Se dice que un ángulo está en su posición normal si tiene su vértice en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. Asimismo, el lado terminal del ángulo puede quedar en cualquiera de los cuatro cuadrantes. Analicemos ahora la figura 8.2

FIGURA 8.2

En esta figura, son, respectivamente, la abscisa, la ordenada y el radio vector del punto B. De estos segmentos de recta, se forman las razones:

234

CAPÍTULO VIII

Por otra parte, si Q es otro punto cualquiera de OR y PQ es perpendicular a OX, los triángulos OAB y OPQ son semejantes, por lo que cada una de las razones anteriores será igual a las correspondientes formadas con la abscisa, la ordenada y el radio vector de Q. En consecuencia, el valor de cada razón dependerá de la magnitud del ángulo (theta) y no de la posición de los puntos B y Q. El valor de cada razón se determina al asignar un valor definido al ángulo por lo que todas estas relaciones son funciones del ángulo A estas relaciones se les llama funciones trigonométricas del ángulo y cada una de ellas recibe un nombre especifico, el cual se define de la manera siguiente:

FIGURA 8.3

Dado un ángulo cualquiera en su posición normal, tomemos un punto cualquiera B situado en el lado terminal del ángulo y consideremos x, y y r como abscisa, ordenada y radio vector, respectivamente; las funciones trigonométricas del ángulo se definen como:

Es importante notar que las abreviaturas en los nombres de las funciones trigonométricas no van seguidas del punto ortográfico y que su uso sin el correspondiente símbolo del ángulo carece de significado. Asimismo, dichas funciones tienen su recíproco: tiene como recíproco a tiene como recíproco a tiene como recíproco a Estas relaciones las estudiaremos con detalle posteriormente.


235

Funciones trigonométricas complementarias Hasta el momento, únicamente encontramos las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo del triángulo rectángulo. ¿Cuál será el valor del otro ángulo agudo?

FIGURA 8.4

En la figura 8.4, los ángulos

(alfa) y (beta) son complementarios, ya que

Obténgamos las funciones trigonométricas de dichos ángulos. Ángulo

Ángulo

Observemos y comparemos las funciones de los ángulos ¿Qué detectamos?

del triángulo rectángulo ABC.

Es decir, si los ángulos son complementarios, entonces tendrán el mismo valor.

236

CAPÍTULO VIII

Relaciones numéricas entre las funciones trigonométricas Con los conocimientos hasta ahora estudiados, podemos resolver los problemas planteados al inicio de este capítulo. Asimismo, para encontrar los valores solicitados, usaremos las Tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas y la calculadora. Ejemplo 1. Un alpinista desea escalar una montaña que tiene una longitud de 1 200 m desde la base a la parte más alta, y una pendiente de 48°. ¿Cuál es la altura de la montaña? Para resolver este problema, es necesario elaborar una figura donde representemos los datos y apliquemos alguna de las relaciones que hemos visto (véase figura 8.5).

FIGURA 8.5

¿Qué función trigonométrica relaciona al cateto opuesto y a la hipotenusa? El seno de un ángulo, dado que relaciona al cateto opuesto y a la hipotenusa.

/i = (sen 48°)(1200m) Tenemos dos formas de encontrar el sen 48°. La primera es acudir a la "Tabla del seno natural"; en la columna N localizamos 48° y en la columna 0 leemos su valor correspondiente; en este caso es 0.7431 (Tabla anexa). La segunda es usar la calculadora, que deberá ser de las llamadas científicas, porque tiene las funciones trigonométricas básicas, seno, coseno y tangente. En este caso, basta con marcar 48° y oprimir la tecla sin que corresponde al seno. El resultado que aparece en la pantalla es 0.7431144825; pero para efectos del cálculo de la altura, en este ejemplo, consideraremos únicamente hasta diezmilésimos: es decir, 0.7431. Sustituyendo los valores tenemos h- (0.7431)(1 200 m) h = 891.72 m La montaña tiene una altura de 891.72 m.


237

2. Un obrero tiene una escalera de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo debe formar con el piso, si quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 5 m de altura? (Véase figura 8.6.)

FIGURA 8.6

Como tenemos los datos del cateto opuesto y la hipotenusa, el problema ahora es encontrar el ángulo. Debido a que la función trigonométrica que los relaciona es el seno del ángulo tenemos que:

are sen x significa que "el ángulo cuyo seno es x" se aplica para todas las funciones trigonométricas". Para solucionar el problema, buscamos en las columnas de las tablas el valor 0.625. Este valor se encuentra en la intersección de 38° 40', correspondiente a 0.6248, por lo que le faltan 2 diezmilésimas. Éstas se buscan en la columna de partes proporcionales, de tal suerte que la suma de 0.6248 + 0.0002 es igual a 0.6250; por lo tanto, el ángulo buscado es de 38° 41'. También podemos solucionar el problema usando la calculadora. En este caso, dividimos 5 entre 8, cuyo cociente es 0.625, y oprimimos la tecla Shift o 2ndF, que corresponde a la segunda función, es decir, a sin"1. Obtenemos 38.68218745, Para conocer la equivalencia en grados y minutos, oprimimos de nueva cuenta la tecla de la segunda función y en seguida la tecla cuyo icono °'" representa grados, minutos y segundos; el resultado es 38° 40 55.87, que de manera aproximada sería 38° 41. Es importante aclarar que los cálculos realizados con la calculadora son más exactos que los obténidos con las tablas de valores naturales. En este problema la solución es: = 38° 41' 3. Un mecánico desea que le construyan una rampa para subir automóviles a una altura de 8 m. Si la rampa tiene una pendiente de 25°, ¿qué longitud tendrá la rampa? (Véase figura 8.7.)

FIGURA 8.7

238

CAPÍTULO VIII

Nuevamente, la función trigonométrica que relaciona al ángulo, al cateto opuesto y a la hipotenusa es el seno; por lo tanto tenemos:

Este problema se resuelve de manera similar al primero; es decir, se busca en las tablas de "seno natural" 25° y su lectura en la columna 0. El resultado es 0.4226. De igual manera, en la calculadora se marca 25° y en seguida se oprime la tecla sin; así se obtiene 0.422618261 y al sustituir:

que será la longitud de la rampa. Como puedes observar, la solución de estos problemas con el uso de las tablas de valores naturales y la calculadora es muy sencilla. Únicamente hay que tener cuidado en usar la función trigonométrica adecuada; es decir, que relaciones los datos propuestos correctamente. Resolvamos otros problemas 1. Un ingeniero desea conocer la anchura de un barranco, donde cayó un árbol sobre la pared opuesta; la longitud del barranco es de 15.75 m. Al medir con su teodolito el ángulo de inclinación del árbol, encontró que éste medía 31°. ¿Cuál es la anchura del barranco? (Véase figura 8.8.)

FIGURA 8.8

En este problema tenemos los datos del ángulo y la hipotenusa, y deseamos conocer el cateto adyacente. ¿Qué función trigonométrica los relaciona? El coseno, de tal suerte que:


239

Localizamos el coseno de 31 , tanto en las tablas como con la calculadora. Si sabemos que cos 31° = 0.8571 y realizamos operaciones tendremos x = (15.75 m)(0.8571) x= 13.49 m que será la anchura del barranco. 2. Galileo, al soltar la histórica piedra desde lo más alto de la torre de Pisa, que tenía un ángulo de inclinación de 5° con respecto a su base y una altura de 50 m, se preguntó qué distancia recorrería la piedra. Para conocer la distancia, elaboró una figura parecida a la 8.9:

FIGURA 8.9

que dio como resultado un triángulo rectángulo en el que conoció un ángulo agudo y la hipotenusa. ¿Qué deseaba conocer Galileo?: el lado adyacente. ¿Con qué función trigonométrica podemos resolver este problema? Con el coseno del ángulo:

h = (50 m)(cos 5 o) A = (50m)(0.9961) h = 49.80 m que es la distancia que recorrió la famosa piedra. 3. Un ingeniero topógrafo se encuentra a 20 m de distancia de la base de un peñasco, que tiene una altura de 75 m. ¿Cuál será el ángulo con el que ve el borde del peñasco? De acuerdo con los datos, elaboramos la figura 8.10.

FIGURA 8.10

240

CAPÍTULO VIII

Debido a que conocemos el cateto adyacente y el cateto opuesto, la función trigonométrica que nos permitirá encontrar el ángulo será la tangente.

Si usamos las tablas o la calculadora tendremos que:

En la calculadora oprimimos la tecla Shift o 2ndF y en seguida la tecla tan ', con lo cual obtenemos 75.0685; para conocer el ángulo, minutos y segundos, nuevamente oprimimos la tecla Shift o 2ndF y en seguida la teclac' " con lo cual obtenemos el ángulo buscado: 75° 04. Con las tablas buscamos el valor aproximado a 3.75, localizado en la columna 75° y la intersección con la columna 0; el valor es 3.75. Los minutos se obtienen sumando la parte proporcional correspondiente, 19. De esta manera se tendrá

que corresponde a 75° 04; es decir, el ángulo buscado en nuestro problema. Actualmente, usar la calculadora es más común que emplear las tablas, por lo que sugiere adquirir una calculadora científica.

Aplicación de las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos Para reafirmar lo visto anteriormente, estudiaremos ahora las diferentes aplicaciones de las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos. 1. Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos. Sea el triángulo

FIGURA 8.11


donde para

241

cateto adyacente = 4 cateto opuesto = 3 hipotenusa = 5

Por lo tanto, las funciones trigonométricas quedan definidas de la siguiente manera:

Para

cateto adyacente = 3 cateto opuesto = 4 hipotenusa = 5

las funciones trigonométricas son:

Lo cual reafirma las funciones complementarias estudiadas anteriormente. 3. Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones (véase figura 8.12).

a) Sea la función tan encontrar las demás funciones trigonométricas. Para facilitar su obténción, dibujemos el triángulo rectángulo que relacione al y a los catetos, dado que la

FIGURA 8.12

242

CAPÍTULO VIII

Para complementar el valor de los lados, falta definir el valor de la hipotenusa, que obtendremos aplicando el teorema de Pitágoras:

Por lo tanto, las funciones trigonométricas serán:

b) Dada la función trigonométrica cos (véase figura 8.13).

determinar las demás funciones trigonométricas

FIGURA 8.13

¿Cuál será el valor del cateto opuesto? Lo determinaremos aplicando el teorema de Pitágoras:

Por lo que las funciones trigonométricas serán:


243

Como puedes observar, conociendo la función trigonométrica se puede obtener los demás valores de un triángulo rectángulo. c) Dado un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide 5 cm y el adyacente 8 cm, obtener los demás valores del triángulo.

FIGURA 8.14

De la figura 8.14, los datos son, con respecto al cateto opuesto = 5 cm cateto adyacente = 8 cm

Para calcular la hipotenusa, usaremos el teorema de Pitágoras:

El ángulo lo podemos encontrar aplicando la función tangente, en virtud de que ésta relaciona a los catetos dados.

Recuerda que con la calculadora basta oprimir la función equivalente a la función inversa de tan, y a continuación la función de grados, minutos y segundos °'" ; por tanto:

Al determinar el ángulo b y conocer el ángulo a, podemos encontrar el ángulo c aplicando el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:

244

CAPÍTULO VIII

d) Hallar el valor de los elementos faltantes en el siguiente triángulo rectángulo, si sabemos que el cateto adyacente al ángulo mide 12 cm y éste 45°.

FIGURA 8.15

Datos Cateto adyacente = 1 2 cm Cateto opuesto = ? Hipotenusa = ?

Solución Cateto opuesto:

(12cm)(tan45°) (12cm)(l) 12 cm Hipotenusa:


245

Ángulo c:

Ahora ya puedes obtener todos los elementos faltantes de un triángulo rectángulo, cuando conoces un ángulo agudo y algunos de los lados, u obtener la medida de un ángulo agudo si conoces los lados del triángulo rectángulo.

Valores numéricos de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45°, 60° Frecuentemente, en problemas que se pueden resolver con aplicación de funciones trigonométricas se presentan ángulos de 30°, 45° y 60°. Además, las escuadras están conformadas, una con ángulos agudos de 45° y otra con ángulos de 30° y 60°. Como ejemplo, encontremos los valores numéricos de las funciones trigonométricas. Consideremos el siguiente triángulo rectángulo isósceles (escuadra de 45°), cuyos lados son iguales a uno y la hipotenusa igual a por el teorema de Pitágoras.

FIGURA 8.16

Las funciones trigonométricas de 45° serán:

246

CAPÍTULO VIII

Si racionalizamos el sen y cos, tendremos:

Observa que el sen 45° = cos 45° csc45° = sec 45° tan 45° = cot 45° Ahora tracemos un triángulo equilátero cuyos lados midan 2 unidades. Asimismo, tracemos la bisectriz de uno de sus ángulos, como se muestra en la figura 8.17.

FIGURA 8.17

En el

¿cuánto

Por el teorema de Pitágoras tenemos:


En consecuencia, tendremos el triángulo rectángulo:

FIGURA 8.18

Por lo tanto, las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° serán:

racionalizando

racionalizando

racionalizando

racionalizando

247

248

CAPÍTULO VIII

Para familiarizarte con estas expresiones, construyamos la tabla:

Funciones trigonométricas en los ejes coordenados En el estudio de la trigonometría, la magnitud de un ángulo depende de la amplitud de rotación del lado móvil. Esta rotación puede ser ilimitada, a diferencia de los ángulos estudiados en geometría, en los que la amplitud nunca se considera superior a 360°. Lo anterior nos lleva a dos preguntas: ¿Cuáles son los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? ¿Cómo reducir al primer cuadrante las funciones trigonométricas de ángulos positivos y negativos? Las respuestas las encontrarás a continuación.

Signos de las funciones trigonométricas Observa la figura 8.19

FIGURA 8.19

En la figura, se genera el al cual llamamos el cual forma el triángulo rectángulo OQP. Asimismo, consideremos OX como posición inicial del lado móvil, al punto como un punto cualquiera de dicho lado móvil y la distancia De acuerdo con lo anterior, las funciones trigonométricas del se definen de la siguiente manera:


249

Las relaciones trigonométricas anteriores son generales y se aplican a todo ángulo, cualquiera que sea el cuadrante a que pertenezca; varían solamente los signos, de acuerdo con los de las coordenadas correspondientes al punto tomado en el lado móvil. Por tanto, en el primer cuadrante, todas las funciones trigonométricas son positivas. Analicemos ahora el segundo cuadrante:

FIGURA 8.20

En el segundo cuadrante, todas las funciones trigonométricas son negativas, excepto el seno y la cosecante.

250

CAPÍTULO VIII

En el tercer cuadrante:

FIGURA 8.21

Observemos que en el tercer cuadrante, todas las funciones trigonométricas son negativas, excepto la tangente y la cotangente. En el cuarto cuadrante:

FIGURA 8.22


251

En este cuadrante, todas las funciones trigonométricas son negativas, excepto el coseno y la secante. Lo anterior se puede resumir en el siguiente cuadro:

Los signos de las funciones trigonométricas nos servirán para ubicar un ángulo de cualquier magnitud, de acuerdo con la posición que ocupe el lado terminal al girar, es decir, en cualquier cuadrante. Ejemplos 1. Dado el punto de coordenadas (-3, -4), calcular los valores de cada una de las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo que resulta al trazar la perpendicular desde este punto al eje de las abscisas y unirlo a su vez con la intersección de los ejes coordenados. Para encontrar las funciones trigonométricas, debemos ubicar las coordenadas del punto dado; para encontrarlas, observa la figura 8.23.

FIGURA 8.23

252

CAPÍTULO VIII es agudo y a partir del cual En esta figura se forma el triángulo rectángulo OPQ, cuyo que es la obtendremos las funciones trigonométricas. Antes, debemos definir el valor de hipotenusa, mediante el teorema de Pitágoras:

Así, las funciones trigonométricas serán:

2. Dado tan

obtener las funciones trigonométricas si el ángulo está en el cuarto cuadrante:

FIGURA 8.24

Definimos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:


253

Por tanto, las demás funciones trigonométricas serán:

Funciones trigonométricas de ángulos especiales Existen ángulos que, por la posición final del lado móvil, requieren un estudio particular. ¿Cuál es el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°?, trataremos de encontrar la respuesta a esta pregunta a continuación.

Funciones del ángulo de 0°

FIGURA 8.25

Para el ángulo de 0°, la posición final del lado móvil coincide con la posición inicial, como se observa en la figura 8.25, de tal suerte que el punto P tiene como coordenadas (a, o); por tanto, de acuerdo con las definiciones de las funciones trigonométricas estudiadas anteriormente, éstas serán:

254

CAPÍTULO VIII


FIGURA 8.26

SiP Si observamos la figura 8.26, nos damos cuenta de que la posición final coincide con entonces las coordenadas de éste serán (o, b), por tanto, es un punto del lado móvil, tal que < las funciones trigonométricas serán:


FIGURA 8.27

En la figura 8.27, observamos que el punto P coincide con por lo que las coordenadas de este punto son (-a, o) y las funciones trigonométricas se definirán de la siguiente manera:


255


FIGURA 8.28

En este ángulo, la posición final del lado móvil coincide con de tal forma que la distancia por lo que las coordenadas de P serán {o, —b) y las funciones trigonométricas se definirán de la siguiente manera:


FIGURA 8.29

256

CAPÍTULO VIII

Si observamos la figura 8.29, notaremos que la posición final del lado móvil coincide con y que por lo tanto las funciones trigonométricas correspondientes serán iguales a las del ángulo 0o. sen 360° = 0

csc360° =

cos 360° = 1

sec 360° = 1

tan 360° = 0

tan 360° =

Lo anterior lo podemos resumir en el siguiente cuadro:

Funciones trigonométricas de ángulos simétricos Otro concepto importante que debes conocer es el de los ángulos simétricos.

FIGURA 8.30

En la figura 8.30, suponemos que P es un punto cualquiera del lado móvil del ángulo agudo A, y Fy un punto cualquiera del lado móvil del ángulo agudo -A'; donde las coordenadas de dichos puntos son P(a, b) y P'(a, -b) respectivamente. En esta misma figura designamos los ángulos A y -A y las distancias por lo que los triángulos OMP y OMP son congruentes. En estos triángulos, los ángulos A y -A son simétricos porque tienen la misma medida pero signo diferente.


257

El signo indica el sentido del giro del lado móvil; es decir, si el lado móvil gira con sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera un giro positivo; en caso contrario, el giro será negativo y por lo tanto se da el signo negativo al ángulo. Por lo tanto, las funciones trigonométricas del ángulo -A son

De acuerdo con lo anterior, podemos concluir que las funciones trigonométricas del mismo nombre y de dos ángulos simétricos, son iguales pero de signo contrario, excepto el coseno y la secante, que tienen el mismo signo. Lo anterior se cumple para cualquier clase de ángulos simétricos. Ejemplo Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de -45°.

Reducción de funciones trigonométricas A menudo necesitamos obtener el valor de una función trigonométrica mayor de 90°, ubicada en el segundo, tercero o cuarto cuadrante. En este apartado estudiaremos cómo conocer los valores de ángulos mayores de 90° y cómo reducirlos al primer cuadrante, para encontrar un ángulo menor de 90° cuyas funciones, sin considerar el signo, sean iguales a las del ángulo dado. Lo anterior se aplica fundamentalmente para obtener el valor del ángulo usando las tablas de valores naturales o para resolver ecuaciones trigonométricas; por tanto, es importante estudiarlas.

258

CAPÍTULO VIII

Ángulos relacionados El concepto de ángulo relacionado se usa con frecuencia para expresar una función trigonométrica de un ángulo mayor de 90°, en términos de alguna función de un ángulo del primer cuadrante, es decir, de un ángulo agudo positivo. El ángulo relacionado se define de la siguiente manera: Si un ángulo dado que no sea múltiplo de 90° se encuentra en su posición normal, entonces el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje X se denomina ángulo relacionado. La figura 8.31 muestra ángulos relacionados.

FIGURA 8.31

En la figura 8.31 es el ángulo dado y es el ángulo relacionado. De acuerdo con el criterio anterior, se presentan las siguientes aplicaciones.

Ángulos suplementarios Observemos la figura 8.32

FIGURA 8.32


En la figura 8.32, sea

259

un ángulo cualquiera, su suplemento es

También consideremos a P un punto cualquiera del lado móvil de sus coordenadas. por lo que las coordenadas de P son (-a, b) y las funciones trigonométricas del ángulo

De lo anterior podemos concluir que las funciones trigonométricas de igual nombre de dos ángulos suplementarios, son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante, que son del mismo signo. Ejemplos 1. Calcular las funciones del ángulo de 135°

2. Calcular las funciones del ángulo de 120°

260

CAPÍTULO VIII

Funciones de ángulos que difieren entre si en 90° Sea la figura 8.33

FIGURA 8.33

En la figura tenemos los ángulos

Considerando que por tanto, las funciones trigonométricas del

ángulo 90° +

De acuerdo con lo anterior, las funciones de un ángulo son iguales y de signos contrarios a las cofunciones del ángulo que difiere de él en 90°, excepto el seno y la cosecante del mayor, que conserva el mismo signo que las cofunciones correspondientes del menor.


261

Ejemplo Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 120°

Ángulos que difieren entre sien 180°

FIGURA 8.34

En la figura 8.34, de forma análoga que en los casos anteriores, tenemos:

por lo que las funciones trigonométricas del ángulo 180° +

quedan definidas como sigue:

262

CAPÍTULO VIII

De acuerdo con lo anterior, podemos decir que las funciones de un ángulo son iguales y de signo contrario a las funciones del mismo nombre que las del ángulo que difiere de él en 180°, excepto la tangente y la cotangente, que tienen el mismo signo. Ejemplo Calcular las funciones del ángulo de 240°

Ángulos que difieren entre sien 270° Sea la figura

FIGURA 8.35


263

De igual manera que en los casos anteriores, tenemos:

Así, las funciones trigonométricas del ángulo de 270° +

se definen de la siguiente manera:

Como conclusión, podemos decir que las funciones de un ángulo son iguales y de signos contrarios a las cofunciones del ángulo que de él difiere en 270°, excepto el coseno y la secante, que conservan el mismo signo que las cofunciones del ángulo menor. Ejemplo Calcular las funciones del ángulo de 330°

264

CAPÍTULO VIII En general, podemos resumir en el siguiente cuadro lo expuesto anteriormente:

Funciones de ángulos mayores de 360° En la actualidad, con el uso de la calculadora podemos obtener cualquier valor de una función trigonométrica, aun cuando el ángulo sea mayor de 90° o de 360°. Sin embargo, como en las tablas de valores naturales únicamente se dan los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 0o a 90°, para conocer los valores de las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 90°, es necesario reducir éstos al primer cuadrante. Si el ángulo dado se localiza en el segundo, tercer o cuarto cuadrante, se aplican los criterios vistos anteriormente. Si el ángulo es mayor de 360°, para efectuar la reducción, se comienza por restarle las circunferencias que contiene y en seguida se aplican también los criterios ya estudiados; por ejemplo: 1. Reducir al primer cuadrante el ángulo de 767°

Como las funciones de 767° son iguales a las del ángulo de 47°, las funciones trigonométricas serán: sen 767° = sen 47° cos 767° = cos 47° tan 767° = tan 47° cot 767° = cot 47° sec 767° = sec 47° csc767° = csc47° 2. Reducir al primer cuadrante el ángulo de 1185° 3 circunferencias + 105°


265

Lo anterior nos permite deducir que el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que al aplicar nuestros conocimientos tendremos: sen 1185° = sen 105° = cos (105° - 90°) = cos 15° cos 1185° = cos 105° = -sen (105° - 90°) = -sen 15° tan 1185° = tan 105° = -cot (105° - 90°) = -cot 15° cot 1185° = cot 105° =-tan (105°-90°) =-tan 15° sec 1185° = sec 105° =-csc(105°-90°) =-csc15° csc1185° = csc105° = sec (105° - 90°) = sec 15° 3. Reducir al primer cuadrante el ángulo de 1280° : 3 circunferencias + 200° Como se puede observar, el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante y las funciones trigonométricas serán: sen 1280° = sen 200° = -sen (200° - 180°) = -sen 20° cos 1280° = cos 200° = -cos (200° - 180°) = -cos 20° tan 1280° = tan 200° = tan (200° - 180°) = tan 20° cot 1280° = cot 200° = cot (200° - 180°) = cot 20° sec 1280° = sec 200° = -sec (200° - 180°) = -sec 20° csc1280° = csc200° = -csc(200° - 180°) = -csc20° 4. Reducir al primer cuadrante el ángulo de 1740° 4 circunferencias + 300° De lo anterior deducimos que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante y las funciones trigonométricas serán: sen 1740° = sen 300° = -cos (300° - 270°) = -cos 30° cos 1740° = cos 300° = sen (300° - 270°) = sen 30° tan 1740° = tan 300° = -cot (300° - 270°) = -cot 30° cot 1740° = cot 300° = -tan (300° - 270°) = -tan 30° sec 1740° = -sec 300° = csc(300° - 270°) = csc30° csc1740° = csc300° = -sec (300° - 270°) = -sec 30°

Reducción al primer cuadrante de ángulos negativos Un caso especial se presenta cuando se tiene un ángulo negativo, ya que éste puede encontrarse en el segundo, tercero o cuarto cuadrante, dependiendo de la función trigonométrica que se desee encontrar. El procedimiento es el siguiente:

266

CAPÍTULO VIII

a) Determinamos en qué cuadrante está el ángulo negativo, de acuerdo con la función trigonométrica solicitada (se recomienda auxiliarse de una figura) b) En ángulo negativo se resta a 360° para hacerlo positivo (ángulo coterminal) c) En caso necesario, se reduce al primer cuadrante (ángulo relacionado) d) El signo de la función trigonométrica del resultado queda determinado por el cuadrante en el que se ubica el lado terminal del ángulo negativo inicial Ejemplo 1. Obtener el valor natural del ángulo

-60°, expresado en función de sen (-60°).

Elaboramos la figura:

FIGURA 8.36

Obtenemos el ángulo coterminal: 360° - 60° = 300° Obtenemos el ángulo relacionado: sen (300° - 270°) = 30° = -0.5 El signo negativo se debe a que el seno de un ángulo en el cuarto cuadrante es negativo. 2. Obtener el valor natural del ángulo

FIGURA 8.37

-140°, expresado en función de tan (-140°).


267

Obtenemos el ángulo coterminal: 360o- 140° = 220° Obtenemos el ángulo relacionado: tan (220° - 180°) = 40° = 0.8390 El signo positivo se debe a que la tangente de un ángulo en el tercer cuadrante es positiva. Como puedes darte cuenta, para la reducción al primer cuadrante de un ángulo negativo, es importante aplicar los temas estudiados anteriormente.

Gráficas de funciones trigonométricas Hasta ahora hemos estudiado los métodos que permiten determinar los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo, cuando se conoce el valor del ángulo. En este apartado estudiaremos cómo varía el valor de las funciones trigonométricas cuando el ángulo varía a lo largo de un intervalo de valores; para ello trazaremos sus gráficas.

Variación del seno, coseno y tangente Para trazar las gráficas es importante determinar el rango del sen para el dominio del posteriormente, investigar cómo cambia el valor de cada función cuando el aumenta en forma continua de 0°

268

CAPÍTULO VIII

Ahora bien, con la información anterior, analicemos la variación del seno, coseno y tangente. Para ello observaremos la siguiente figura.

FIGURA 8.38


269

en su posición normal Hemos construido un círculo de radio unitario, cuyo centro es 0, y el con su lado terminal intersecando el círculo en el punto P, cuyas coordenadas son (x, y); el radio gira de 0o a 90°, de 90° a vector de P es Ahora bien, supongamos que el lado terminal 180°, de 180° a 270° y de 270° a 360°. Al recordar los valores obténidos anteriormente para los ángulos cuadrantes, estamos de acuerdo en que:

Esta última expresión representa la razón de dos números que varían cuando varía suerte que va de 0 a según el cuadrante en que se localice. Sin embargo, para trazar su gráfica, la función se expresa como:

Lo anterior lo podemos resumir en la siguiente tabla:

Por otra parte, si en la figura 8.38 aumentamos el radio vector efectuará una revolución completa alrededor del punto O y el punto P vuelve a su posición original; por lo tanto, todas las funciones trigonométricas varían a través de una secuencia de valores y vuelven a su valor original. Esta característica se conoce como periodicidad. Por ello, una función que toma la misma secuencia de valores a medida que la variable varía a través de intervalos iguales, es periódica. Con esta información estamos en posibilidad de trazar las gráficas del seno, coseno y tangente, para lo cual usaremos un conjunto de parejas ordenadas de valores de según sea el caso. Asimismo, se calcularán los valores de cada función considerando un dígito significativo.

270

CAPÍTULO VIII


FIGURA 8.40

271

272

CAPÍTULO VIII

FIGURA 8.41


273

RESUMEN En este capítulo estudiamos y definimos las funciones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Estas son:

Asimismo, vimos las funciones trigonométricas complementarias en un triángulo rectángulo. Éstas son:

Por otra parte, al aplicar estas relaciones en la solución de problemas usamos las tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas, así como la calculadora. Aplicamos también las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos: a) dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, para determinar las funciones trigonométricas de sus ángulos. b) dado el valor de una función trigonométrica, para determinar el valor de las demás funciones. Obtuvimos los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos, así como sus signos, de acuerdo con el cuadrante en que se encuentran. Lo anterior lo podemos sintetizar en el siguiente cuadro:

274

CAPÍTULO VIII

Vimos también los ángulos simétricos, que son los que tienen igual medida pero distinto signo; éste indica el sentido del giro del lado móvil: positivo, cuando el giro es contrario a las manecillas del reloj y negativo en el caso opuesto.


275

Analizamos la reducción de funciones trigonométricas, partiendo de los conceptos de ángulo relacionado y ángulo suplementario. Así encontramos las funciones de ángulos que difieren entre sí en 90°, 180° y 270°, así como funciones de ángulos mayores de 360°. Lo anterior nos permitió reducir al primer cuadrante tanto ángulos positivos como negativos. Finalmente, obtuvimos las gráficas de las funciones trigonométricas del seno, coseno y tangente, para lo cual expresamos en radianes los valores de los ángulos de 30°, 45° y 60°, y sus múltiplos.

EJERCICIOS A. Usando las tablas de valores naturales, encontrar el valor de las funciones trigonométricas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

sen 35° cos 20° tan 65° cot71° cos 18° 20' sen 45° 50' tan 70° 40' cos 10° 50' cot51° 10' sen 78° 30' cos 15° 40' cos 29° 10' tan 31° 40' cot89°50' cot23°20'

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

sen 50° 50' sen 85° 10' cot39° cos 60° 30' cos 41° 40' tan 63° 10' tan 45° cot57° cot80° sen 45° cos 45° tan 45° cot45° sen 66° 30' cos 89° 50'

B. Encontrar el valor de los ángulos en cada caso, usando la calculadora.

276

CAPÍTULO VIII

C. En los siguientes ejercicios, dada la función trigonométrica, expresa las funciones restantes en relación con el ángulo dado. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y utiliza el teorema de Pitágoras para localizar los valores restantes.

D. Determinar los elementos que faltan de un triángulo rectángulo, de acuerdo con los datos que se te proporcionan.


277

E. Aplicando el procedimiento adecuado, reduce al primer cuadrante el ángulo indicado y encuentra su valor. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

sen 178° = cos 320° = tan 260° = cot 746° = sen 524° = cos 200° = csc295° = cos 972° = cot 149° = tan 1025° = sen 127° = cos 364° = tan 459° = sec 187° = csc295° = sen 890° = cos 595° = tan 990° = cot 220° = sec 160° =

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

sen (-160°) = cos (-238°) = tan (-40°) = cot (-304°) = sec (-170°) = csc(-285°) = sen (-415°) = csc(-516°) = tan (-487°) = cot (-504°) = sec (-609°) = csc(-652°) = sen (-705°) = cos (-789°) = tan (-815°) = cot (-892°) = sec (-910°) = csc(-987°) = sen (-36°) = tan (-79°) =

278

CAPÍTULO VIII F. Problemas. 1. Un poste de 10 m de longitud proyecta una sombra de 8.40 m. Hallar el ángulo de elevación. 2. Calcula la magnitud de la base de un triángulo isósceles, si el vértice de los lados iguales es de 48° y éstos miden 168 m. 3. Desde un punto sobre el suelo, situado a 100 m de la base de un edificio, el ángulo de elevación a la cima del mismo es de 16° 40'. ¿Cuál será la altura del edificio? 4. Desde la torre de un faro de 30 m de altura se avisora un barco; si el ángulo de depresión es de 20° 30', ¿a qué distancia se encuentra el barco? 5. Un rectángulo tiene de largo 30 cm y de ancho 20 cm. Determina el ángulo menor que se forma entre una de las diagonales y sus lados. 6. Una escalera de 7 m está apoyada contra una pared. ¿Qué altura alcanza si forma con el suelo un ángulo de 65o? 7. El ángulo en la base de un triángulo isósceles es de 38° y la altura mide 18 cm. ¿Cuál es la longitud de los lados iguales del triángulo? 8. ¿Bajo que ángulo se ve un árbol de 16 m de altura a 30 m de distancia? 9. Se desea sostener un poste de 6.80 m de altura con un cable que deberá tener un ángulo de inclinación de 48°. ¿Cuál será la longitud del cable? 10. Una cuña tiene una cara de 15.25 cm de longitud; si la punta tiene una abertura de 15°, calcula la longitud de la cuña. 11. Calcula la altura de una torre de un pozo petrolero, si a una distancia de 20 m de su base, la cima se ve bajo un ángulo de elevación de 60°. 12. La base de un triángulo isósceles tiene 12 m de longitud y los lados iguales miden 20 cm. ¿Cuánto medirá el ángulo opuesto a la base? 13. ¿Cuánto medirá el lado desigual de un triángulo isósceles, si sus ángulos iguales miden 50° cada uno y los lados iguales tienen 25 cm de longitud? 14. ¿Cuánto medirá cada uno de los lados de un octágono regular inscrito en una circunferencia, cuyo radio es de 10 cm? 15. Desde una altura de 23 245 pies, el piloto de un avión observa la luz de un aeropuerto, bajo un ángulo de depresión de 28° 30'. ¿A qué distancia se encuentra el aeropuerto? 16. La longitud del hilo que sostiene un papalote es de 250 m y el ángulo de elevación del mismo es de 70°. ¿A qué altura se encuentra el papalote? 17. ¿Qué ángulo forma la visual del sol con el horizonte, si un edificio de 25 m de altura proyecta en ese momento una sombra de 56 m? 18. Una carretera tiene una pendiente en un punto A de 5.75 m. ¿Qué ángulo forma con el horizonte en ese punto? 19. ¿A qué distancia de la torre Eiffel se encuentra un observador, si el ángulo de elevación al faro es de 28° y éste está situado a una altura de 300 m? 20. Calcula la medida del lado de un dodecágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de radio. G. Construye las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente, empleando el sistema de coordenadas rectangulares. Da valores sucesivos al Z0 de 0° a 360°, utilizando los múltiplos de 30°, 45° y 60°. Obtén los valores de los ángulos con las tablas o la calculadora, considerando el signo de acuerdo con el cuadrante en que se encuentre el ángulo. Utiliza una cifra significativa.


Tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas SENO NATURAL N

Partes proporcionales (s suman) 4' 5' 6' 12 15 17 12 15 17 12 15 17 12 15 17 12 14 17 12 14 17 12 14 17 12 14 17 12 14 17 12 14 17 11 14 17 11 14 17 11 14 17 11 14 17 11 14 17 11 14 17

0'

10'

20'

30'

40'

50'

0 1 2 3 4 o 5 6 7 8 9 10° 11 12 13 14 15°

.0000 .0175 .0349 .0523 .0698 .0872 .1045 .1219 .1392 . 1564 .1736 .1908 .2079 .2250 .2419 .2588

.0029 .0204 .0378 .0552 .0727 .0901 .1074 .1248 .1421 .1593 .1765 .1937 .2108 .2278 .2447 .2616

.0058 .0233 .0407 .0581 .0756 .0929 .1103 .1276 .1449 .1622 .1794 .1965 .2136 .2306 .2476 .2644

.0087 .0262 .0436 .0610 .0785 .0958 .1132 .1305 .1478 .1650 .1822 .1994 .2164 .2334 .2504 .2672

.0116 .0291 .0465 .0640 .0814 .0987 .1161 .1334 .1507 .1679 .1851 .2022 .2193 .2363 .2532 .2700

.0145 .0320 .0494 .0669 .0843 .1016 .1190 .1363 .1536 .1708 .1880 .2051 .2221 .2391 .2560 .2728

1' 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2' 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8

16 17 18 19 20° 21 22 23 24 25° 26 27 28 29 30°

.2756 .2924 .3090 .3256 .3420 .3584 .3746 .3907 .4067 .4226 .4384 .4540 .4695 .4848 .5000

.2784 .2952 .3118 .3283 .3448 .3611 .3773 .3934 .4094 .4253 .4410 .4566 .4720 .4874 .5025

.2812 .2979 .3145 .3311 .3475 .3638 .3800 .3961 .4120 .4279 .4436 .4592 .4746 .4899 .5050

.2840 .3007 .3173 .3338 .3502 .3665 .3827 .3987 .4147 .4305 .4462 .4617 .4772 .4924 .5075

.2868 .3035 .3201 .3365 .3529 .3692 .3854 .4014 .4173 .4331 .4488 .4643 .4797 .4950 .5100

.2896 .3062 .3228 .3393 .3557 .3719 .3881 .4041 .4200 .4358 .4514 .4669 .4823 .4975 .5125

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10

14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13

31 32 33 34 35°

.5150 .5299 .5446 .5592 .5736

.5175 .5324 .5471 .5616 .5760

.5200 .5348 .5495 .5640 .5783

.5225 .5373 .5519 .5664 .5807

.5250 .5398 .5544 .5688 .5831

.5275 .5422 .5568 .5712 .5854

2 2 2 2 2

5 5 5 5 5

7 7 7 7 7

10 10 10 10 9

36 37 38 39 40°

.5878 .6018 .6157 .6293 .6428

.5901 .6041 .6180 .6316 .6450

.5925 .6065 .6202 .6338 .6472

.5948 .6088 .6225 .6361 .6494

.5972 .6111 .6248 .6383 .6517

.5995 .6134 .6271 .6406 .6539

2 2 2 2 2

5 5 5 4 4

7 7 7 7 7

9 9 9 9 9

41 42 43 44

.6561 .6691 .6820 .6947

.6583 .6713 .6841 .6967

.6604 .6734 .6862 .6988

.6626 .6756 .6884 .7009

.6648 .6777 .6905 .7030

.6670 .6799 .6926 .7050

2 2 2 2

4 4 4 4

N

0'

10'

20'

30'

40'

50'

o

7 6 6 6 1’ 2' 3'

9 9 8 8 4' Partes

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

T 8' 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

22

9' 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 25 25 25

17 17 17 16 16 16 16 16 16 16 16 15 15 15 15

20 19 19 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18

22 22 22 22 22 22 21 21 21 21 21 21 20 20 20

25 25 25 25 25 24 24 24 24 24 23 23 23 23 23

12 12 12 12 12

15 15 15 14 14

17 17 17 17 17

20 20 19 19 19

22 22 22 22 21

12 12 11 11 11

14 14 14 13 13

16 16 16 16

19 18 18 18 15 18 11 13 15 17 11 13 15 17 11 13 15 17 10 12 15 17 5' 6' 7' 8' proporcionales

21 21 20 20 20 20 19 19 19 9'

279

280

CAPÍTULO VIII

SENO NATURAL Partes proporcionales N 45° 46 47 48 49 50° 51 52 53 54 55° 56 57 58 59 60° 61 62 63 64 65° 66 67 68 69 70° 71 72 73 74 75° 76 77 78 79 80° 81 82 83 84 85° 86 87 88 89 90°

0'

10'

20'

30'

40'

(se

50'

.7071 .7193 .7314 .7431 .7547 .7660 .7771 .7880 .7986 .8090 .8192 .8290 .8387 .8480 .8572 .8660 .8746 .8829 .8910 .8988 .9063 .9135 .9205 .9272 .9336 .9397 .9455 .9511 .9563 .9613 .9659 .9703 .9744 .9781 .9816 .9848 .9877 .9903 .9925 .9945 .9962 .9976 .9986 .9994 .9998 1.0000

.7092 .7214 .7333 .7451 .7566 .7679 .7790 .7898 .8004 .8107 .8208 .8307 .8403 .8496 .8587 .8675 .8760 .8843 .8923 .9001 .9075 .9147 .9216 .9283 .9346 .9407 .9465 .9520 .9572 .9621 .9667 .9710 .9750 .9787 .9822 .9853 .9881 .9907 .9929 .9948 .9964 .9978 .9988 .9995 .9999

.7112 .7234 .7353 .7470 .7585 .7698 .7808 .7916 .8021 .8124 .8225 .8323 .8418 .8511 .8601 .8689 .8774 .8857 .8936 .9013 .9088 .9159 .9228 .9293 .9356 .9417 .9474 .9528 .9580 .9628 .9674 .9717 .9757 .9793 .9827 .9858 .9886 .9911 .9932 .9951 .9967 .9980 .9989 .9996 .9999

.7133 .7153 .7254 .7274 .7373 .7392 .7490 7509 .7604 .7623 .7716 .7735 .7826 .7844 .7934 .7951 .8039 .8056 .8141 .8156 .8241 .8258 .8339 .8355 .8434 .8450 .8526 .8542 .8616 .8631 .8704 .8718 .8788 .8802 .8870 .8884 .8949 .8962 .9026 .9038 .9100 .9112 .9171 .9182 .9239 .9250 .9304 .9315 .9367 .9377 .9426 .9436 .9483 .9492 .9537 .9546 .9588 .9596 .9636 .9644 .9681 .9689 .9724 .9730 .9763 .9769 .9799 .9805 .9833 .9838 .9863 .9868 .9890 .9894 .9914 .9918 .9936 .9939 .9954 .9957 .9969 .9971 .9981 .9983 .9990 .9992 .9997 .9997 1.0000 1.0000

.7173 .7294 .7412 7528 .7642 .7753 .7862 .7969 .8073 .8175 .8274 .8371 .8465 .8557 .8646 .8732 .8816 .8897 .8975 .9051 .9124 .9194 .9261 .9325 .9387 .9446 .9502 .9555 .9605 .9652 .9696 .9737 .9775 .9811 .9843 .9872 .9899 .9922 .9942 .9959 .9974 .9985 .9993 .9998 1.0000

0'

10'

20'

30'

50'

1’ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y

N

40'

2' 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

3 ' 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

2' 3

4' 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 4'

suman)

5' 10 10 10 10 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0

6' 12 12 12 12 11 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 0

5 6'

7’ 14 14 14 13 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0

8' 16 16 16 15 15 15 14 14 14 14 13 13 13 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 4 4 3 3 3 2 2 1 1 1 0

9' 18 18 18 17 17 17 16 16 16 15 15 14 14 14 13 13 12 12 12 11 11 10 10 10 9 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 3 2 1 1 1 0

7' 8' 9'

Partes proporcionales


281

COSENO NATURAL N 0 1 2 3 4

0' o

1.0000 .9998 .9994 .9986 .9976 o 5 .9962 6 .9945 7 .9925 8 .9903 9 .9877 10° .9848 11 .9816 12 .9781 13 .9744 14 .9703 15° .9659 16 .9613 17 .9563 18 .9511 19 .9455 20° .9397 21 .9336 22 .9272 23 .9205 24 .9135 25° .9063 26 .8988 27 .8910 28 .8829 29 .8746 30° .8660 31 .8572 32 .8480 33 .8387 34 .8290 35° .8192 36 .8090 37 .7986 38 .7880 39 .7771 40° .7660 41 .7547 42 .7431 43 .7314 44 .7193 N

0'

10'

20'

1.0000 1.0000 .9998 .9997 .9993 .9992 .9985 .9983 .9974 .9971 .9959 .9957 .9942 .9939 .9922 .9918 .9899 .9894 .9872 .9868 .9843 .9838 .9811 .9805 .9775 .9769 .9737 .9730 .9696 .9689 .9652 .9644 .9605 .9596 .9555 .9546 .9502 .9492 .9446 .9436 .9387 .9377 .9325 .9315 .9261 .9250 .9194 .9182 .9124 .9112 .9051 .9038 .8975 .8962 .8897 .8884 .8816 .8802 .8732 .8718 .8646 .8631 .8557 .8542 .8465 .8450 .8371 .8355 .8274 .8258 .8175 .8158 .8073 .8056 .7969 .7951 .7862 .7844 .7753 .7735 .7642 .7623 .7528 .7509 .7412 .7392 .7294 .7274 .7173 .7153 10'

20'

30' 1.0000 .9997 .9990 .9981 .9969 .9954 .9936 .9914 .9890 .9863 .9833 .9799 .9763 .9724 .9681 .9636 .9588 .9537 .9483 .9426 .9367 .9304 .9239 .9171 .9100 .9026 .8949 .8870 .8788 .8704 .8616 .8526 .8434 .8339 .8241 .8141 .8039 .7934 .7826 .7716 .7604 .7490 .7373 .7254 .7133 30'

40'

Partes proporcionales (se restan)

50'

.9999 .9996 .9989 .9980 .9967 .9951 .9932 .9911 .9886 .9858 .9827 .9793 .9757 .9717 .9674 .9628 .9580 .9528 .9474 .9417 .9356 .9293 .9228 .9159 .9088 .9013 .8936 .8857 .8774 .8689 .8601 .8511 .8418 .8323 .8225 .8124 .8021 .7916 .7808 .7698 .7585 .7470 .7353 .7234 .7112

.9999 .9995 .9988 .9978 .9964 .9948 .9929 .9907 .9881 .9853 .9822 .9787 .9750 .9710 .9667 .9621 .9572 .9520 .9465 .9407 .9346 .9283 .9216 .9147 .9075 .9001 .8923 .8843 .8760 .8675 .8587 .8496 .8403 .8307 .8208 .8107 .8004 .7898 .7790 .7679 .7566 .7451 .7333 .7214 .7092

40'

50'

1’

2'

5'

6'

7’

8'

9'

0 0 0 0 0

3 ’ 0 0 0 1 1

4'

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 2

0 1 1 1 2

0 1 1 1 2

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

2 2 3 3 3

2 3 3 3 4

3 3 3 4 4

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 3 3 4

3 3 4 4 4

4 4 4 5 5

4 5 5 5 6

5 5 6 6 7

1

2

2

3

4

5

5

6

7

1 1 1 1

2 2 2 2

2 3 3 3

3 3 4 4

4 4 5 5

5 5 6 6

6 6 6 7

7 7 7 8

7 8 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 4

4 4 5 5

5 6 6 6

6 7 7 7

7 8 8 8

9 9 9 10

10 10 10 11

1

3

4

5

6

8

9

10

11

1 1 1 1

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 6 6

6 7 7 7

8 8 8 9

9 9 10 10

10 11 11 11

12 12 12 13

1 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 5 5 5 5

6 6 6 6 7

7 8 8 8 8

9 9 9 10 10

10 11 11 11 12

12 12 13 13 13

13 14 14 14 15

2

3

5

7

8

10

12

14

15

2 2 2 2

3 4 4 4

5 5 5 6

7 7 7 7

9 9 9 9

10 11 11 11

12 12 13 13

14 14 14 15

16 16 16 17

2

4

6

8

9

11

13

15

17

2 2 2 2

4 4 4 4

6 6 6 6

8 8 8 8

10 10 10 10

12 12 12 12

13 14 14 14

15 16 16 16

17 18 18 18

1’

2'

3 4' 5' 6' 7 8' Partes proporcionales

9'

282

CAPÍTULO VIII

COSENO NATURAL Partes proporcionales (se restan) 4' 5 6' 7' 8 1 12 15 8 1 13 15 9 1 13 15 9 1 13 15 9 1 13 15 9 1 13 16 9 1 14 16 9 1 14 16 9 1 14 16 9 1 14 17 10 1 14 17 10 1 15 17 10 1 15 17 10 1 15 17 10 1 15 18 10 1 15 18 10 1 15 18 10 1 15 18 10 1 16 18 11 1 16 18 11 1 16 19 11 1 16 19 11 1 16 19 11 1 16 19 11 1 16 19 11 1 16 19 11 1 17 19 11 1 17 19 11 1 17 20 11 1 17 20 11 1 17 20 11 1 17 20 11 1 17 20 11 1 17 20 11 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20

0'

10'

20'

30'

40'

50'

45° 46 47 48 49 50° 51 52 53 54 55° 56 57 58 59 60° 61 62 63 64 65° 66 67 68 69 70° 71 72 73 74 75° 76 77 78 79 80° 81 82 83 84 85° 86 87 88 89 90°

.7071 .6947 .6820 .6691 .6561 .6428 .6293 .6157 .6018 .5878 .5736 .5592 .5446 .5299 .5150 .5000 .4848 .4695 .4540 .4384 .4226 .4067 .3907 .3746 .3584 .3420 .3256 .3090 .2924 .2756 .2588 .2419 .2250 .2079 .1908 .1736 .1564 .1392 .1219 .1045 .0872 .0698 .0523 .0349 .0175 .0000

.7050 .6926 .6799 .6670 .6539 .6406 .6271 .6134 .5995 .5854 .5712 .5568 .5422 .5275 .5125 .4975 .4823 .4669 .4514 .4358 .4200 .4041 .3881 .3719 .3557 .3393 .3228 .3062 .2896 .2728 .2560 .2391 .2221 .2051 .1880 .1708 .1536 .1363 .1190 .1016 .0843 .0669 .0494 .0320 .0145

.7030 .6905 .6777 .6648 .6517 .6383 .6248 .6111 .5972 .5831 .5688 .5544 .5398 .5250 .5100 .4950 .4797 .4643 .4488 .4331 .4173 .4014 .3854 .3692 .3529 .3365 .3201 .3035 .2868 .2700 .2532 .2363 .2193 .2022 .1851 .1679 .1507 .1334 .1161 .0987 .0814 .0640 .0465 .0291 .0116

.7009 .6884 .6756 .6626 .6494 .6361 .6225 .6088 .5948 .5807 .5664 .5519 .5373 .5225 .5075 .4924 .4772 .4617 .4462 .4305 .4147 .3987 .3827 .3665 .3502 .3338 .3173 .3007 .2840 .2672 .2504 .2334 .2164 .1994 .1822 .1650 .1478 .1305 .1132 .0958 .0785 .0610 .0436 .0262 .0087

.6988 .6862 .6734 .6604 .6472 .6338 .6202 .6065 .5925 .5783 .5640 .5495 .5348 .5200 .5050 .4899 .4746 .4592 .4436 .4279 .4120 .3961 .3800 .3638 .3475 .3311 .3145 .2979 .2812 .2644 .2476 .2306 .2136 .1965 .1794 .1622 .1449 .1276 .1103 .0929 .0756 .0581 .0407 .0233 .0058

.6967 .6841 .6713 .6583 .6450 .6316 .6180 .6041 .5901 .5760 .5616 .5471 .5324 .5175 .5025 .4874 .4720 .4566 .4410 .4253 .4094 .3934 .3773 .3611 .3448 .3283 .3118 .2952 .2784 .2616 .2447 .2278 .2108 .1937 .1765 .1593 .1421 .1248 .1074 .0901 .0727 .0552 .0378 .0204 .0029

1' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

N

0'

20'

30'

50'

1' 2' 3 4' 5 6' 7 8' 9' Partes proporcionales

N

10'

40'

2' 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

3 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

8' 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 21 2! 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

9' 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26


283

TANGENTE NATURAL N 0° 1 2 3 4 5o 6 7 8 9 10° 11 12 13 14 15° 16 17 18 19 20° 21 22 23 24 25° 26 27 28 29 30° 31 32 33 34 35° 36 37 38 39 40° 41 42 43 44

N

0'

10'

20'

30'

.0000 .0175 .0349 .0524 .0699 .0875 .1051 .1228 .1405 .1584 .1763 .1944 .2126 .2309 .2493 .2679 .2867 .3057 .3249 .3443 .3640 .3839 .4040 .4245 .4452 .4663 .4877 .5095 .5317 .5543 .5774 .6009 .6249 .6494 .6745 .7002 .7265 .7536 .7813 .8098 .8391 .8693 .9004 .9325 .9657

.0029 .0204 .0378 .0553 .0729 .0904 .1080 .1257 .1435 .1614 .1793 .1974 .2156 .2339 .2524 .2711 .2899 .3089 .3281 .3476 .3673 .3872 .4074 .4279 .4487 .4699 .4913 .5132 .5354 .5581 .5812 .6048 .6289 .6536 .6787 .7046 .7310 .7581 .7860 .8146 .8441 .8744 .9057 .9380 .9713

.0058 .0233 .0407 .0582 .0758 .0934 .1110 .1287 .1465 .1644 .1823 .2004 .2186 .2370 .2555 .2742 .2931 .3121 .3314 .3508 .3706 .3906 .4108 .4314 .4522 .4734 .4950 .5169 .5392 .5619 .5851 .6088 .6330 .6577 .6830 .7089 .7355 .7627 .7907 .8195 .8491 .8796 .9110 .9435 .9770

.0087 .0262 .0437 .0612 .0787 .0963 .1139 .1317 .1495 .1673 .1853 .2035 .2217 .2401 .2586 .2773 .2962 .3153 .3346 .3541 .3739 .3939 .4142 .4348 .4557 .4770 .4986 .5206 .5430 .5658 .5890 .6128 .6371 .6619 .6873 .7133 .7400 .7673 .7954 .8243 .8541 .8847 .9163 .9490 .9827

0'

10'

20'

30'

40' 50' .0116 .0291 .0466 .0641 .0816 .0992 .1169 .1346 .1524 .1703 .1883 .2065 .2247 .2432 .2617 .2805 .2994 .3185 .3378 .3574 .3772 .3973 .4176 .4383 .4592 .4806 .5022 .5243 .5467 .5696 .5930 .6168 .6412 .6661 .6916 .7177 .7445 .7720 .8002 .8292 .8591 .8899 .9217 .9545 .9884

40'

.0145 .0320 .0495 .0670 .0846 .1022 .1198 .1376 .1554 .1733 .1914 .2095 .2278 .2462 .2648 .2836 .3026 .3217 .3411 .3607 .3805 .4006 .4210 .4417 .4628 .4841 .5059 .5280 .5505 .5735 .5969 .6208 .6453 .6703 .6959 .7221 .7490 .7766 .8050 .8342 .8642 .8952 .9271 .9601 .9942

50'

Partes proporcionales (s suman) 1’ 2' 3' 4' 5 6' 7’ 8' 3 6 9 12 1 17 20 23 3 6 9 12 1 17 20 23 3 6 9 12 1 17 20 23 3 6 9 12 1 18 20 23 3 6 9 12 1 18 20 23 3 6 9 12 1 18 21 23 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 21 24 3 6 9 12 1 18 22 25 3 6 9 12 1 19 22 25 6 19 3 6 9 13 1 22 25 3 6 9 13 1 19 22 25 3 6 10 13 1 19 22 26 3 6 10 13 1 19 23 26 3 7 10 13 1 20 23 26 3 7 10 13 1 20 23 27 3 7 10 13 1 20 24 27 3 7 10 14 1 20 24 27 3 7 10 14 1 21 24 28 4 7 11 14 1 21 25 28 4 7 11 14 1 21 25 29 4 7 11 15 1 22 25 29 4 7 11 15 1 22 26 30 4 8 11 15 1 23 26 30 4 8 12 15 1 23 27 31 4 8 12 16 9 2 24 27 31 4 8 12 16 2 24 28 32 4 8 12 16 2 25 29 33 4 8 13 17 2 25 29 33 4 9 13 17 2 26 30 34 4 9 13 18 2 26 31 35 5 9 14 18 2 27 32 36 5 9 14 18 2 28 32 37 5 9 14 19 2 28 33 38 5 10 15 20 2 29 34 39 5 10 15 20 2 30 35 40 5 31 5 10 16 21 2 36 41 5 11 16 21 2 32 37 43 6 11 17 22 2 33 39 44 6 11 17 23 2 34 40 46 1 2' 3' 4' 5 6' 7' 8' Partes proporcionales

9' 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 47 48 50 51 9'

284

CAPÍTULO VIII

TANGENTE NATURAL N

0'

10'

20'

30'

40'

1’

Partes proporcionales (se suman) 2' 3' 4' 5' 6' 7’

8'

50'

9' 5

45° 46 47 48 49

1.000 1.036 1.072 1.111 1.150

1.006 1.042 1.079 1.117 1.157

1.012 1.048 1.085 1.124 1.164

1.018 1.054 1.091 1.130 1.171

1.024 1.060 1.098 1.137 1.178

1.030 1.066 1.104 1.144 1.185

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 5 5

5 5 5 5 6

50° 51 52 53 54 55° 56 57 58 59 60° 61 62 63 64 65° 66 67 68 69 70° 71 72 73 74 75°

1.192 1.235 1.280 1.327 1.376 1.428 1.483 1.540 1.600 1.664 1.732 1.804 1.881 1.963 2.050 2.145 2.246 2.356 2.475 2.605 2.747 2.904 3.078 3.271 3.487 3.732

1.199 1.242 1.288 1.335 1.385 1.437 1.492 1.550 1.611 1.675 1.744 1.816 1.894 1.977 2.066 2.161 2.264 2.375 2.496 2.628 2.773 2.932 3.108 3.305 3.526 3.776

1.206 1.250 1.295 1.343 1.393 1.446 1.501 1.560 1.621 1.686 1.756 1.829 1.907 1.991 2.081 2.177 2.282 2.394 2.517 2.651 2.798 2.960 3.140 3.340 3.566 3.821

1.213 1.257 1.303 1.351 1.402 1.455 1.511 1.570 1.632 1.698 1.767 1.842 1.921 2.006 2.097 2.194 2.300 2.414 2.539 2.675 2.824 2.989 3.172 3.376 3.606 3.867

1.220 1.265 1.311 1.360 1.411 1.464 1.520 1.580 1.643 1.709 1.780 1.855 1.935 2.020 2.112 2.211 2.318 2.434 2.560 2.699 2.850 3.018 3.204 3.412 3.647 3.914

1.228 1.272 1.319 1.368 1.419 1.473 1.530 1.590 1.653 1.720 1.792 1.868 1.949 2.035 2.128 2.229 2.337 2.455 2.583 2.723 2.877 3.047 3.237 3.450 3.689 3.962

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5

3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 12 13 14 16 19

4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 11 12 13 14 16 18 20 23

4 5 5 5 5 5 6 6 6

4 4 5

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 9

7 8 8 9 9 10 11 12 13 14 16 17 19 22 24 28

5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 17 18 20 23 25 29 33

6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 19 21 23 26 29 33 37

6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14 15 16 18 20 21 24 26 29 32 37 42

76 77 78 79 80° 81 82 83 84 85° 86 87 88 89 90°

4.011 4 331 4.705 5.145 5.671 6.314 7.115 8.144 9.514 11.43 14.30 19.08 28.64 57.29

4.061 4 390 4.773 5.226 5.769 6.435 7.269 8.345 9.788 11.83 14.92 20.21 31.24 68.75

4.113 4 449 4.843 5.309 5.871 6.561 7.429 8.556 10.08 12.25 15.60 21.47 34.37 85.94

4.165 4 511 4.915 5.396 5.976 6.691 7.596 8.777 10.39 12.71 16.35 22.90 38.19 114.6

4.219 4.275 4 574 4 638 4.989 5.066 5.485 5.576 6.084 6.197 6.827 6.968 7.770 7.953 9.010 9.255 10.71 11.06 13.20 13.73 17.17 18.07 24.54 26.43 42.96 49.10 171.9 343.8

1'

2'

4'

5'

6'

7'

8'

9'

N

0'

10'

20'

30'

40'

50'

3

5 6 7 7 8 9 1 1 1 1 4 3'

5

7


6 6 6 6


285

COTANGENTE NATURAL N

0'

10'

20'

30'

40'

50'

0o 1 2 3 4

oo

343.8 49.10 26.43 18.07 13.73

171.9 42.96 24.54 17.17 13.20

114.6 38.19 22.90 16.35 12.71

85.94 34.37 21.47 15.60 12.25

68.75 31.24 20.21 14.92 11.83

5°

57.29 28.64 19.08 14.30 11.43

11.06

10.71

10.39

10.08

9.788

6 7 8 9

9.514 8.144 7.115 6.314

9.255 7.953 6.968 6.197

9.010 7.770 6.827 6.084

8.777 7.596 6.691 5.976

8.556 7.429 6.561 5.871

8.345 7.269 6.435 5.769

10° 11 12 13 14

5.671 5.145 4 705 4.331 4.011

5.576 5.066 4 638 4.275 3.960

5.485 4.989 4 574 4.219 3.914

5.396 4.915 4 511 4.165 3.867

5.309 4.843 4 449 4.113 3.821

5.226 4.773 4 390 4.061 3.776

15°

3.732

3.689

3.647

3.606

3.566

3.526

3.487 3.271 3.078 2.904

3.450 3.237 3.047 2.877

3.412 3.204 3.018 2.850

3.376 3.172 2.989 2.824

3.340 3.140 2.960 2.798

3.305 3.108 2.932 2.773

2.747

2.723

2.699

2.675

2.651

2.605 2.475 2.356 2.246

2.583 2.455 2.337 2.229

2.560 2.434 2.318 2.211

2.539 2.414 2.300 2.194

16 17 18 19 20° 21 22 23 24

Partes proporcionales (se restan) i'

2' 9

3' 14

4' 19

4

8

12

4 3 3 3

7 6 6 5

11 10 9 8

2.628

2

5

2.517 2.394 2.282 2.177

2.496 2.375 2.264 2.161

2 2 2 2

4 4 4 3

5

5' 23

6' 28

r 8' 33 37

9' 42

16

20

14 13

12 10

18 16 14 13

24

29 33

37

22 19 17 16

25 23 20 18

29 26 23 21

32 29 26 24

7

9

12

14

17 19

21

7

9 8 7 7

11 10 9 8

13 12 11 10

15 14 13 12

20 18 16 15

17 16 15 14

2.145

2.128

2.112

2.097

2.081

2.066

2

3

6 5 5 5

6

8

9

11 13

14

2.050 1.963 1.881 1.804

2.035 1.949 1.868 1.792

2.020 1.935 1.855 1.780

2.006 1.921 1.842 1.767

1.991 1.907 1.829 1.756

1.977 1.894 1.816 1.744

1 1 1 1

3 3 3 2

4 4 4 4

6 5 5

7 7 6 6

9 8 8 7

10 10 9 8

12 11 10 10

13 12 12 11

1.732

1.720

1.709

1.698

1.686

1.675

1

2

3

5

6

7

8

9

10

31 32 33 34

1.664 1.600 1.540 1.483

1.653 1.590 1.530 1.473

1.643 1.580 1.520 1.464

1.632 1.570 1.511 1.455

1.621 1.560 1.501 1.446

1.611 1.550 1.492 1.437

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 5

7 9 7 8 7 8 6 7

10 9 9 8

35°

1.428

1.419

1.411

1.402

1.393

1.385

1

2

3

3

4

5

6 7

8

36 37 38 39

1.376 1.327 1.280 1.235

1.368 1.319 1.272 1.228

1.360 1.311 1.265 1.220

1.351 1.303 1.257 1.213

1.343 1.295 1.250 1.206

1.335 1.288 1.242 1.199

1 1 1 1

2 2 2 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 4

6 5 5 5

7 6 6 6

7 7 7 6

25° 26 27 28 29 30°

40°

5

1.192

1.185

1.178

1.171

1.164

1.157

1

1

2

3

3

4

5

6

6

41 42 43 44

1.150 1.111 1.072 1.036

1.144 1.104 1.066 1.030

1.137 1.098 1.060 1.024

1.130 1.091 1.054 1.018

1.124 1.085 1.048 1.012

1.117 1.079 1.042 1.006

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 5

1’

2'

3'

4'

5'

6'

7’ 8'

9'

N

0'

10'

20'

30'

40'

50'


286

CAPÍTULO VIII

COTANGENTE N

0'

10'

20'

30'

45° 46 47 48 49 50° 51 52 53 54 55° 56 57 58 59 60° 61 62 63 64 65° 66 67 68 69 70° 71 72 73 74 75° 76 77 78 79 80° 81 82 83 84 85° 86 87 88 89 90"-

1.0000 .9657 .9325 .9004 .8693 .8391 .8098 .7813 .7536 .7265 .7002 .6745 .6494 .6249 .6009 .5774 .5543 .5317 .5095 .4877 .4663 .4452 .4245 .4040 .3839 .3640 .3443 .3249 .3057 .2867 .2679 .2493 .2309 .2126 .1944 .1763 .1584 .1405 .1228 .1051 .0875 .0699 .0524 .0349 .0175 .0000

.9942 .9601 .9271 .8952 .8642 .8342 .8050 .7766 .7490 .7221 .6959 .6703 .6453 .6208 .5969 .5735 .5505 .5280 .5059 .4841 .4628 .4417 .4210 .4006 .3805 .3607 .3411 .3217 .3026 .2836 .2648 .2462 .2278 .2095 .1914 .1733 .1554 .1376 .1198 .1022 .0846 .0670 .0495 .0320 .0145

.9884 .9545 .9217 .8899 .8591 .8292 .8002 .7720 .7445 .7177 .6916 .6661 .6412 .6168 .5930 .5696 .5467 .5243 .5022 .4806 .4592 .4383 .4176 .3973 .3772 .3574 .3378 .3185 .2994 .2805 .2617 .2432 .2247 .2065 .1883 .1703 .1524 .1346 .1169 .0992 .0816 .0641 .0466 .0291 .0116

.9827 .9490 .9163 .8847 .8541 .8243 .7954 .7673 .7400 .7133 .6873 .6619 .6371 .6128 .5890 .5658 .5430 .5206 .4986 .4770 .4557 .4348 .4142 .3939 .3739 .3541 .3346 .3153 .2962 .2773 .2586 .2401 .2217 .2035 .1853 .1673 .1495 .1317 .1139 .0963 .0787 .0612 .0437 .0262 .0087

.9770 .9435 .9110 .8796 .8491 .8195 .7907 .7627 .7355 .7089 .6830 .6577 .6330 .6088 .5851 .5619 .5392 .5169 .4950 .4734 .4522 .4314 .4108 .3906 .3706 .3508 .3314 .3121 .2931 .2742 .2555 .2370 .2186 .2004 .1823 .1644 .1465 .1287 .1110 .0934 .0758 .0582 .0407 .0233 .0058

.9713 .9380 .9057 .8744 .8441 .8146 .7860 .7581 .7310 .7046 .6787 6536 .6289 .6048 .5812 .5581 .5354 .5132 .4913 .4699 .4487 .4279 .4074 .3872 .3673 .3476 .3281 .3089 .2899 .2711 .2524 .2339 .2156 .1974 .1793 .1614 .1435 .1257 .1080 .0904 .0729 .0553 .0378 .0204 .0029

N

0'

10'

20'

30'

40'

50'

40'

NATURA

50' 1’ 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1

2' 11 11 11 10 10 10 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

3' 17 17 16 16 15 15 14 14 14 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

2' 3'

Partes proporcionales (s restan) 4' 5 6' 7’ 23 2 34 40 22 2 33 39 21 2 32 37 21 2 31 36 20 2 30 35 20 2 29 34 19 2 28 33 18 2 28 32 18 2 27 32 18 2 26 31 17 2 26 30 17 2 25 29 16 2 25 29 16 2 24 28 16 2 24 27 15 1 23 27 15 1 23 26 15 1 22 26 15 1 22 25 14 1 21 25 14 1 21 25 14 1 21 24 14 1 20 24 13 1 20 24 13 1 20 23 13 1 20 23 13 1 19 23 13 1 19 22 13 1 19 22 13 1 19 22 12 1 19 22 12 1 18 22 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 21 12 1 18 20 12 1 18 20 12 1 17 20 12 1 17 20 12 1 17 20 4'

5

6'

8' 46 44 43 41 40 39 38 37 36 35 34 33 33 32 31 31 30 30 29 29 28 28 27 27 27 26 26 26 25 25 25 25 24 24 24 24 24 24 24 23 23 23 23 23 23

9' 51 50 48 47 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 35 34 33 33 32 32 31 31 30 30 29 29 29 28 28 28 28 27 27 27 27 27 27 27 26 26 26 26 26 26

7’ 8' 9'


CAPÍTULO IX Identidades trigonométricas

INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Para demostrar las identidades, se deberán considerar las siguientes sugerencias: a) Seleccionar el miembro de la identidad en el cual se puedan realizar más operaciones o transformaciones; por ejemplo, elegiríamos el segundo miembro en 1 b) Tener presente todas las identidades. Elaborar un formulario. c) Siempre tener presente lo que se desea demostrar, para realizar las transformaciones en las funciones que se desee. Por ejemplo, en ciona el primer miembro de la identidad, se efectúan las transformaciones de las funciones tan, cot, sec, esc, y las funciones del ángulo múltiple en senos y cosenos (primer miembro de la identidad). d) Manejar fracciones, además de conocer los productos y sus factorizaciones. e) Generalmente se selecciona un miembro de la identidad y se realizan las transformaciones hasta llegar al otro. Evitar los términos que contengan radicales hasta donde sea posible, y cuando no lo sea, multiplicarlos por sus conjugados; es decir, hay que multiplicar y dividir a los miembros por el conjugado del numerador o denominador. Proponemos utilizar únicamente las funciones trigonométricas fundamentales, con las cuales se realizan los procesos aritméticos y algebraicos, para las demostraciones. También se emplea el método tradicional, como se muestra a continuación.

288

CAPÍTULO IX

Formulario

FIGURA 9.1

Identidades recíprocas

de cociente

Identidades pitagóricas

Para la suma de dos ángulos

Para el doble y triple del ángulo

Para la mitad del ángulo

Productos de senos y cosenos

Identidades trigonométricas

Sumas y diferencias de senos y cosenos

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES Demostración de identidades recíprocas

Demostración

Demostración

Demostración

289

290

CAPÍTULO IX

Demostración de identidades trigonométricas de cociente

Demostración

Demostración de identidades trigonométricas pitagóricas

Demostración

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos tan Sabemos que: Demostración sustituyendo realizando operaciones sustituyendo


Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: tan Demostración

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos:

sustituyendo las funciones realizando operaciones

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: Demostración

Al aplicar las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: Demostración sustituyendo realizando los productos simplificando c

291

292

CAPÍTULO IX

Sabemos que: Demostración

Al aplicar las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos:

Demostración sustituyendo buscando un común denominador indicando los productos simplificando producto de binomios conjugados sustituyendo simplificando a

Sabemos que: Demostración sustituyendo la función cot y sec realizando los productos



Demostración sustituyendo las funciones elevando al cuadrado buscando un común denominador realizando los productos indicados simplificando

Demostración sustituyendo sustituyendo a la realizando los productos

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: Demostración sustituyendo realizando las potencias indicadas buscando un común denominador realizando los productos indicados simplificando

Sabemos que: Demostración

realizando el producto simplificando

293

294

CAPÍTULO IX

Si sustituimos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos:

Demostración sustituyendo productos de extremos medios buscando un común denominador c2 sustituyendo a2 + b2 simplificando

c2

19. sen A/csc A + cos A/sec A - 1

Demostración (senA)/(l/senA) + (cos A)(l/cosA) = 1 sen2 A + cos2 A = 1 1=1

sustituyendo realizando productos de extremos y medios sen2 A + cos2 A = 1

sen A/csc A + cos A/sec A = 1

Si aplicamos las identidades fundamentales tenemos:

Demostración sustituyendo realizando los productos simplificando

Sabemos que:


Demostración sustituyendo los productos realizando los productos

simplificando


Demostración sustituyendo las funciones realizando las operaciones c2 sustituyendo a2 + b2 realizando los productos simplificando

23. (sen A cos A)(tan A + cot A) - 1

Demostración sustituyendo la función realizando las operaciones sustituyendo sen2 realizando los productos simplificando (sen A cos A)(tan A + cot A) = 1

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: Demostración sustituyendo realizando operaciones

295

296

CAPÍTULO IX

multiplicando por su conjugado del numerador realizando las operaciones sustituyendo simplificando

Sabemos que: Demostración sustituyendo las funciones realizando la operación aplicando la propiedad multiplicando por el conjugado realizando las operaciones

descomponiendo el numerador sustituyendo por su función

Si aplicamos las identidades fundamentales de la figura 9.1 tenemos: Demostración sustituyendo las funciones buscando un común denominador realizando la fracción productos extremos y medios multiplicando por c2 - a2 simplificando a2

Sabemos que:


297

Demostración buscando un común denominador simplificando sen función recíproca sec2

Demostración

IDENTIDADES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Identidad de la suma

función fundamental suma de segmentos como PR - QS

FIGURA 9.2

Demostración expresando la suma multiplicando y dividiendo por 05 cambiando los denominadores función fundamental multiplicando y dividiendo por TS

298

CAPÍTULO IX

cambiando los denominadores función fundamental sustituyendo

Ejemplos 1. Encontrar el valor del ángulo: sen (90°) = sen (30° + 60°) El ángulo de 90° se descompone en 30° + 60° y si utilizamos la identidad de una suma ya demostrada tenemos que:

encontrando su valor con una calculadora científica realizando las operaciones simplificando

2. Obtener el valor del ángulo sen 60° = sen (20° + 40°) Si descomponemos el ángulo de 60° = 20° + 40° y aplicamos la función de la suma de dos ángulos tenemos:

calculando los valores realizando operaciones simplificando

De la figura 9.2 se tiene: función fundamental diferencia de segmentos sustituyendo por ser lados opuestos de un rectángulo sustituyendo multiplicando y dividiendo por 05 cambiando los denominadores función fundamental


299

multiplicando y dividiendo por cambiando los denominadores función fundamental sustituyendo tenemos

Ejemplos Obtener el cos 75° como la suma de

(30° + 45°)

El ángulo de 75° se puede descomponer en 35° + 45° y sustituyendo en la identidad anterior demostrada tenemos:

Nota: Usando los valores de las funciones especiales tenemos (véanse figuras 9.3 y 9.4):

FIGURA 9.3

FIGURA 9.4

Sustituyendo las identidades fundamentales y realizando operaciones: función fundamental sustituyendo

300

CAPÍTULO IX

simplificando sustituyendo tan

Ejemplos Obtener tan 71° Si utilizamos la suma de dos ángulos y expresamos el ángulo 71° = 25° + 46° tenemos:

encontrando los valores realizando las operaciones

tan 105° = tan (45°+ 60°) Si utilizamos las funciones especiales de las figuras 9.5 y 9.6 tenemos:

FIGURA 9.5

FIGURA 9.6

sustituyendo los valores simplificando realizando las operaciones


301

Identidad de la diferencia

Demostración expresando la diferencia como suma desarrollando la suma de signos de las funciones en los diferentes cuadrantes sustituyendo realizando la operación indicada

Ejemplos Obtener el valor de sen 15° Si utilizamos la identidad ya demostrada y descomponemos el ángulo 15° = 60° - 45° tenemos:

Utilizando las funciones de ángulos especiales de las figuras 9.5 y 9.6:

sustituyendo realizando operaciones común denominador extrayendo la raíz realizando la operación obteniendo el valor de 15°

302

CAPÍTULO IX

Con ayuda de la calculadora: sen 60° = 0.8660 cos 45° = 0.7071 cos 60° = 0.5 sen 45° = 0.7071

Ejemplo Obtener el valor de cos 75° Si utilizamos la diferencia de dos ángulos y expresamos el ángulo de 75° = 90° - 15° aplicando la diferencia diferencia de dos ángulos valor de las funciones realizando las operaciones

transformando la diferencia en suma sustituyendo signo de la función tangente sustituyendo


303

Ejemplo Obtener el valor de tan 25° Si utilizamos la identidad de la diferencia y expresamos el ángulo de 25° = 30° - 5o expresado como diferencia sustituyendo valor de la función sustituyendo realizando operaciones

IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE Y TRIPLE Identidades del ángulo doble

Demostración

Ejemplo Obtener el valor de sen (120°) Si utilizamos la identidad del ángulo doble y expresamos el ángulo de 120° = 2(60°), tenemos: sen (120°) = sen 2(60°) sen 2(60°) = 2 sen 60° cos 60° sen 2(60°) = 2(0.8660)(0.5)

expresado como el doble del ángulo identidad del ángulo doble valor de las funciones realizando operaciones

304

CAPÍTULO IX

Demostración identidad de la suma de dos ángulos

Ejemplo Obtener el valor del ángulo de 150° Si utilizamos la identidad del ángulo doble y expresamos el ángulo de 150° = 2(75°): sustituyendo el ángulo de 150° función del ángulo doble valor de la función realizando operaciones simplificando

Si utilizamos la identidad de la suma de dos ángulos y hacemos

tenemos:

Demostración identidad de la suma de dos ángulos sustituyendo realizando operaciones


305

Ejemplo Obtener el valor del tan 80° Si utilizamos la identidad del ángulo doble y expresamos 80° = 2(40°) tenemos: identidad del ángulo doble sustituyendo valor de la función realizando operaciones aproximando

Identidades del ángulo triple Si aplicamos la identidad de la suma de dos ángulos y hacemos Demostración

Ejemplo Obtener el valor de sen 195° Si utilizamos la identidad del ángulo triple y expresamos el ángulo de 195° = 3(65°) tenemos: sustituyendo en la fórmula valor de la función realizando operaciones

306

CAPÍTULO IX

Si aplicamos la identidad de la suma de dos ángulos y hacemos

tenemos:

Demostración

Ejemplos 1. Obtener el valor de cos 90° Si utilizamos la identidad del ángulo triple y hacemos 90° - 3(30°), tenemos: expresado como producto identidad del ángulo triple valor de la función realizando operaciones

2. Obtener el valor de cos 135° Si utilizamos la identidad del ángulo triple y hacemos 135° = 3(45°), tenemos: expresado como producto identidad del ángulo triple valor de la función realizando operaciones

Si aplicamos la identidad de la suma de dos ángulos y hacemos


307

Demostración identidad de la suma sustituyendo

sustituyendo

realizando operaciones y simplificando

Ejemplo Obtener el valor de tan 120° Si utilizamos la identidad del ángulo triple y hacemos 120° = 3(40°), tenemos: función del ángulo triple valor de la función realizando operaciones

IDENTIDADES DE LA MITAD DEL ÁNGULO

Si aplicamos la identidad del ángulo doble y hacemos Demostración identidad del ángulo doble sustituyendo simplificando despejando extrayendo la raíz cuadrada

308

CAPÍTULO IX

Ejemplo Obtener el valor de sen 30° Si utilizamos la identidad de la mitad del ángulo y hacemos 30°

tenemos:

expresado el ángulo como un medio identidad de la mitad del ángulo valor de la función realizando operaciones

Si aplicamos la identidad del ángulo doble y hacemos Demostración identidad del ángulo doble sustituyendo sustituyendo sen2 realizando operaciones simplificando simplificando despejando

Ejemplo Obtener el valor de cos 45° Si utilizamos la identidad de la mitad del ángulo y hacemos 45°

tenemos:

al expresar la mitad del ángulo identidad de la mitad del ángulo


309

valor de función simplificando extrayendo la raíz

Si aplicamos la función identidad de la tangente y sustituimos, tenemos: Demostración función fundamental sustituyendo simplificando 2 la división de un radical

Ejemplo Obtener el valor de tan 60° Si utilizamos la identidad de la mitad del ángulo y hacemos 60° mitad de un ángulo identidad de la mitad del ángulo valor de la función realizando operaciones

extrayendo la raíz cuadrada

310

CAPÍTULO IX

SUMAS Y DIFERENCIAS TRANSFORMADAS EN PRODUCTOS Productos transformados en sumas y diferencias

Ahora transformaremos un producto de funciones en una suma, aplicando las identidades ya demostradas. La suma y diferencia de dos ángulos son sen Demostración

suma y diferencia simplificando ordenando despejando sen expresado como fracción

Ejemplo Obtener el valor de sen 45°

23°

Si utilizamos la identidad del producto de sen y

tenemos:

identidad del producto sen sustituyendo realizando operaciones obteniendo su valor realizando operaciones

Si aplicamos la suma y la diferencia de dos ángulos, tenemos:


311

Demostración

Ejemplo Obtener el valor de cos 68° sen 40c Si utilizamos la identidad del producto

tenemos:

identidad del producto sustituyendo los ángulos realizando operaciones obteniendo su valor realizando operaciones

Si aplicamos la identidad de la suma de dos ángulos, tenemos: Demostración

sen

312

CAPÍTULO IX

Ejemplo Obtener el valor de Si utilizamos la identidad del producto

tenemos:

identidad del producto sustituyendo el ángulo realizando operaciones obteniendo su valor realizando operaciones

Si aplicamos la identidad de la suma y la diferencia de dos ángulos, tenemos: Demostración suma-resta quitando paréntesis simplificandc realizando operaciones despejando sen expresando como fracción

Ejemplo Obtener el valor de sen 100° sen 58° Si utilizamos la identidad del producto de sen

tenemos:

identidad del producto sen sen sustituyendo el ángulo realizando operaciones obteniendo su valor realizando operaciones


313

Sumas y diferencias transformadas en productos Ahora transformaremos sumas y diferencias de funciones dadas en productos.

Si aplicamos la identidad de la suma y la diferencia de dos ángulos y combinamos las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 tenemos: Demostración

Ejemplo Obtener el valor de sen 3* + sen x Si utilizamos la identidad de la suma de sen A + sen B, tenemos: Sean:

identidad de la suma de sen A + sen B sustituyendo su valor realizando las operaciones simplificando

Si aplicamos la identidad de la suma de sen Sean:

tenemos:

314

CAPÍTULO IX

sustituyendo realizando las operaciones

obteniendo su valor realizando operaciones

Si aplicamos la diferencia de la identidad de la suma de dos ángulos, tenemos: Demostración suma y diferencia quitando paréntesis realizando operaciones simplificando sustituyendo 1, 2, 3 y 4

Ejemplos 1. Obtener el valor de la siguiente identidad, dados los siguientes datos.

Sean: A = 45° fi = 21°

2. Obtener el valor de la identidad que se indica, para los siguientes valores de los ángulos.


315

identidad sen - sen sustituyendo realizando operaciones simplificando

III. Si aplicamos la suma del coseno de dos ángulos, tenemos: Demostración

suma de cosenos realizando operaciones simplificando sustituyendo 1, 2, 3 y 4

Ejemplos 1. Obtener el valor de Si utilizamos la identidad de la suma de cosenos para los siguientes valores de los ángulos, tenemos:

diferencia de cosenos sustituyendo su valor realizando operaciones simplificando obteniendo su valor realizando operaciones

2. Obtener el valor de Si utilizamos la identidad correspondiente y consideramos los siguientes datos para los ángulos, tenemos: Sean:

316

CAPÍTULO IX

diferencia de cosenos sustituyendo realizando operaciones simplificando

Si aplicamos la diferencia de la suma y resta de dos ángulos, tenemos: Demostración

diferencia de cosenos realizando operaciones simplificando

sustituyendo 1, 2, 3 y 4

Ejemplo Obtener el valor Si utilizamos la identidad de la diferencia de cosenos y dados los siguientes valores, tenemos:

diferencia de sustituyendo realizando operaciones sen (-8°) = -sen 8o obteniendo su valor realizando operaciones

DEMOSTRACIÓN DE ALGUNAS IDENTIDADES


sustituyendo simplificando sen

sustituyendo tan común denominador de simplificando


realizando operaciones simplificando simplificando


317

318

CAPÍTULO IX

sustituyendo común denominador de sen multiplicando por su conjugado realizando operaciones simplificando sen

sustituyendo realizando operaciones

simplificando


RESUMEN Formulario Funciones fundamentales

Identidades recíprocas

De cociente

Pitagóricas

Para la suma de dos ángulos

Para el doble y triple del ángulo

Para la mitad del ángulo

Productos de senos y cosenos

Sumas y diferencias de senos y cosenos

319

320

CAPÍTULO IX

EJERCICIOS I. Comprueba las siguientes identidades.


321

CAPITULO X Solución de triángulos

INTRODUCCIÓN La trigonometría tiene un amplio campo de aplicación; por ejemplo en la ingeniería civil, cuando se efectúa el cálculo estructural (sistema de fuerzas que actúan en una estructura), el topógrafo la aplica para calcular distancias y pendientes, principalmente para el trazado de carreteras y la edificación de grandes obras. El astrónomo, mediante la trigonometría, obtiene sobre todo las distancias que no es posible medir directamente. En este capítulo, te mostraremos algunas aplicaciones de la trigonometría en problemas que se te pueden presentar.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS La trigonometría relaciona los lados del triángulo con sus respectivos ángulos; el siguiente problema nos ilustra cómo se aplica esta relación. • Un tobogán recto tiene una longitud de 35 m y un ángulo de 60° respecto al piso. Debemos calcular su altura (véase figura 10.1).

FIGURA 10.1

La figura 10.1 muestra un triángulo rectángulo. Para resolver el problema, tenemos que encontrar la función trigonométrica que relacione el ángulo de 60° con el cateto opuesto (altura) y la hipotenusa (longitud del tobogán).

Solución de triángulos

323

La función buscada es la del seno, ya que relaciona el ángulo, la altura y la hipotenusa.

Sustituyendo los datos del problema tenemos:

Ahora tenemos una ecuación, despejamos h y hacemos operaciones para encontrar su valor h = 35 m (sen 60°) h = 35 m (0.8660) A =30.31 m La altura del tobogán es por tanto de 30.31 m. Si aplicamos la función del coseno, también podemos calcular la distancia d de la figura 10.1, que es la distancia existente entre el pie del tobogán y el pie de su altura. Si recordamos la función del coseno

sustituimos los datos del problema

y despejamos d d = 35 m (cos 60°)

d=35m(0.5) d= 17.5 m la distancia es de 17.5 m Con la ayuda del plano de coordenadas rectangulares, podemos encontrar fácilmente las componentes de una fuerza, como se muestra en el siguiente problema. • Calcular la componente sobre el eje x y la que está sobre y de la fuerza mostrada en la figura 10.2

Componente y

FIGURA 10.2

Componente x

324

CAPÍTULO X

En la figura 10.2, la componente x es el cateto adyacente y la componente y el cateto opuesto. Para calcular la componente x, aplicamos la función del coseno.

y despejamos x

La componente x es una fuerza de 54.64 N (N = newtons). Para la componente y aplicamos la función del seno

y despejamos y y = 85 N (sen 50°) y = 85 N (0.7660) y = 65.11 N La componente y es una fuerza de 65.11 N. En el siguiente problema, la función de la tangente nos ayudará para encontrar el ángulo. • Calcular el ángulo con el que se debe trazar una escalera, como se muestra en la figura 10.3.

FIGURA 10.3

Recordemos la función de la tangente.


325

y sustituyamos los datos del problema

Si buscamos en las tangentes de los ángulos el 0.7567 (tabla de tangentes), observamos que le corresponde 37° 7'; si usamos la calculadora, se sigue esta secuencia de teclas:

Entonces, el ángulo con el que se debe trazar la escalera es de 37.11°

Solución de triángulos rectángulos La solución de un triángulo rectángulo consiste en encontrar la longitud de sus lados y ángulos, como en el siguiente triángulo de la figura 10.4.

FIGURA 10.4

En este triángulo, falta el ángulo

el cateto opuesto y y la hipotenusa h.

Cálculo del ángulo En todo triángulo, los ángulos interiores suman 180° y para este triángulo son:

Despejando

y haciendo las operaciones tenemos:

326

CAPÍTULO X

Cálculo de la hipotenusa Si aplicamos la función del coseno tenemos:

Despejando h y haciendo las operaciones:

h = 4.84 u

Si aplicamos la función del seno tenemos:

Despejando y y calculando su valor y = 4.84 u (sen 42°) y = 4.84 u (0.6691) y = 3.24 u Este último valor se puede calcular por medio del teorema de Pitágoras.

Ley de senos Esta ley sirve para solucionar ciertos casos de triángulos que no son rectángulos; el triángulo mostrado en la figura 10.5 nos ayudará a encontrar la expresión que denota la ley de senos.

FIGURA 10.5


327

En la figura 10.5, la altura h divide al triángulo en dos triángulos rectángulos, de los cuales podemos obtener:

Si despejamos h en ambas expresiones

como se trata de la misma altura h, igualamos

dividimos entre el producto

y nos queda (1) De la misma manera, se puede probar que: (2) De (1) y (2) tenemos finalmente

Esta expresión se conoce como ley de senos. Ejemplo de aplicación • Encuentra los elementos que faltan del triángulo mostrado en la figura 10.6.

FIGURA 10.6

328

CAPÍTULO X

Cálculo del ángulo B

Cálculo del lado a Para ello tenemos la ley de senos

donde sustituimos los datos

despejamos a y resolvemos

Cálculo del lado c Para ello aplicamos la ley de senos

donde sustituimos los datos

despejamos c y resolvemos


329

La ley de senos se aplica cuando se cuenta con dos ángulos y uno de los lados opuestos (o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos).

Ley de cosenos Al igual que la ley de senos, la de cosenos sirve para solucionar triángulos oblicuángulos (no rectángulos). El triángulo mostrado en la figura 10.7 nos permitirá obtener la expresión llamada ley de cosenos.

FIGURA 10.7

En la figura 10.7, la altura h divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. Si aplicamos al teorema de Pitágoras en ambos triángulos tenemos:

Despejando h2 en ambas expresiones

Como se trata de la misma altura h, igualamos ambas expresiones

Operando el binomio al cuadrado

y despejando cr tenemos (1)

330

CAPITULO X

De la figura 10.7 sabemos que:

y despejamos x x = b cos A

(2)

Sustituyendo (2) en (1) obtenemos finalmente una de las expresiones de la ley de cosenos

De manera similar se obtienen

Ejemplo de aplicación • Calcula el valor de los elementos que faltan en el triángulo de la figura 10.8.

FIGURA 10.8

En la figura faltan los ángulos A y C y el lado Cálculo del lado b Si aplicamos la ley de cosenos para


sustituimos los datos y hacemos operaciones

Cálculo del ángulo A Si aplicamos la ley de cosenos para A

Sustituimos los datos y hacemos operaciones

Despejando

Al buscar en la tabla de cosenos o mediante la calculadora el ángulo respectivo tenemos:

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180° tenemos:

Sustituyendo los datos y haciendo operaciones

Despejando el ángulo C

331

332

CAPÍTULO X

La ley de coseros se aplica cuando contamos con dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ellos.

A continuación, te mostramos algunos ejemplos de aplicación de estas leyes. 1. Dos embarcaciones partieron del punto A y, después de un tiempo, cada una recorrió las distancias indicadas en la figura 10.9. Calcula a qué distancia se encuentran las embarcaciones.

FIGURA 10.9

La figura 10.9 representa un triángulo oblicuángulo. Conocemos cuánto miden dos de sus lados y el ángulo entre ambos; por lo tanto, aplicamos la ley de cosenos

Sustituyendo los datos y efectuando operaciones

Despejando d

d= 114.568 km Por lo tanto, las embarcaciones están a 114.568 km de distancia una de la otra.


333

2. Calcula la altura de la montaña que se muestra en la figura 10.10.

FIGURA 10.10

Este problema se resuelve conociendo cualquiera de los lados del triángulo oblicuángulo ABC, ya que los lados son hipotenusas de los triángulos rectángulos ADC y BDC, respectivamente; con la hipotenusa y el ángulo se puede calcular la altura h, mediante la función del seno. Primero calculamos los ángulos ABC y ACB. Ángulo ABC

porque forman un ángulo llano y si sustituimos valores

despejamos

Ángulo ACB

porque son ángulos interiores de un triángulo. Si sustituimos valores

334

CAPÍTULO X

Ahora aplicamos la ley de senos para encontrar la distancia

Si sustituimos datos, despejamos

tenemos la hipotenusa

y hacemos operaciones

del triángulo rectángulo BCD, y si aplicamos la función seno tenemos:

donde despejamos h y hacemos operaciones h = 6.104 km (sen 42°) h = 6.104 km (0.6691) h = 4.084 km La altura aproximada de la montaña es de 4.084 km. Nota: puedes llegar al mismo resultado calculando la hipotenusa

FÓRMULA DE HERÓN En algunas ocasiones, nos enfrentamos al problema de calcular el área de un triángulo conociendo sólo sus lados. Te mostraremos cómo encontrar la fórmula para resolver dicho problema, a partir de la figura 10.11.

FIGURA 10.11


Simbolicemos con la letra k el área del triángulo (1) Expresemos sen A del triángulo ACD

Despejando h h = b sen A

(2)

sustituyendo (2) en (1)

y elevando al cuadrado ambos miembros (3) tenemos la identidad sen2 A + cos2 A = 1 Despejando sen2 A (4) Sustituyendo (4) en (3)

Factorizando la diferencia de cuadrados (5) Tenemos la ley de cosenos a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

donde despejamos cos A

(6)

335

336

CAPÍTULO X

Sustituyendo (6) en (5)

Resolviendo la suma y la diferencia de fracciones

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto

Aplicando la propiedad asociativa

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto

Factorizando las diferencias de cuadrados

Efectuando la multiplicación de fracciones

Simplificando factores iguales en la división y multiplicando los denominadores

Factorizando el denominador

y como tienen un común denominador las fracciones


337

simplificamos

En el triángulo de la figura 9.11, el perímetro está dado por

de modo que

(8) es la mitad del perímetro del triángulo y la simbolizamos con la letra s. Si sustituimos (8) en (7) k2 = s(s - a)(s - c)(s - b) y aplicamos la raíz cuadrada en ambos miembros

A esta expresión se le conoce con el nombre de fórmula de Herón (matemático griego) y se le atribuye a Arquímedes. El siguiente problema nos muestra la aplicación de esta fórmula. En las oficinas del Registro Público de la Propiedad, Rocío necesita calcular el área de su terreno que tiene forma de triángulo y sólo conoce las dimensiones de los lados: 15.8 m, 12.7 m y 19.7 m, como se muestra en la figura 10.12.

FIGURA 10.12

Primero obtiene el semiperímetro con la fórmula

donde sustituye los datos

s = 24.10 m

338

CAPÍTULO X

Aplica la fórmula de Herón para obtener el área buscada

y hace las operaciones

Rocío tiene un terreno de 100.17 m2


339

RESUMEN Las funciones trigonométricas relacionan los lados del triángulo con sus respectivos ángulos. Dar solución a un triángulo es conocer todas sus partes; es decir, los lados y los ángulos. Para dar solución a un triángulo rectángulo, primero observamos con qué datos contamos; éstos deben ser al menos un lado y un ángulo o dos lados. Después, buscamos la función trigonométrica que relaciona los datos y se despeja el dato buscado. Las funciones más usuales para solucionar triángulos rectángulos son:

Estas funciones tienen un gran campo de aplicación, sobre todo cuando se trabaja con vectores (fuerza, velocidad, aceleración, etc.), pues con ellas es posible obtener las componentes de un vector en el plano de coordenadas rectangulares (plano cartesiano). En fin, en todo donde esté involucrado un triángulo rectángulo encontraremos un campo de aplicación de las funciones trigonométricas. Para solucionar triángulos que no sean rectángulos (oblicuángulos), se tienen las leyes de senos y de cosenos, las cuales te mostramos a continuación. Ley de senos

Debes tener cuidado de colocar los lados y ángulos como se muestra en la figura 10.13

FIGURA 10.13

La ley de senos se aplica cuando tienes como datos dos ángulos y uno de los lados opuestos a dichos ángulos, o dos lados y un ángulo opuesto a alguno de ellos. No todos los triángulos oblicuángulos se resuelven mediante la ley de senos; por ejemplo, cuando contamos con dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ellos, o cuando se cuenta sólo con los tres lados y queremos calcular los ángulos, aplicamos otra ley llamada de cosenos. A continuación, te mostramos las expresiones que corresponden a dicha ley:

Te recomendamos tener cuidado de colocar los elementos del triángulo, como se muestra en la figura 9.13.

340

CAPÍTULO X

En algunas ocasiones, cuando se quiere calcular el área de un triángulo y no se conoce la altura sino sólo los tres lados, se recomienda usar la fórmula de Herón:

EJERCICIOS 1. Da solución a cada triángulo, con la información dada en cada inciso. Toma como base el triángulo mostrado en la figura 9.a.

FIGURA 10.a

2. Soluciona los triángulos con la información que se te proporciona en cada inciso. Toma como base el triángulo oblicuángulo que se muestra en la figura 10.

FIGURA


3. Calcula el área de los triángulos que tienen por lados: 2,3,4 cm 4.5,6.2,7.3 km 345.78,235.98,300.18 m 18.4,36.5,22.8 m 39.87,43.18,40.02 km

52,25,42 m 8.07,43.86,38.09 km 0.0032,0.0068,0.0055 km 14.89,32.19,27.9 m 19.04,49.08,38.7 cm

341

342

CAPÍTULO X

PROBLEMAS 1. Rocío y Marco subieron una rampa recta, donde caminaron 30 m. Marco caminó 5 m más que Rocío. Si la rampa tiene un ángulo de 36° respecto a la horizontal, ¿A qué altura respecto a la horizontal se encuentran Rocío y Marco? 2. Para medir la altura de una nube, se coloca en la noche un reflector en posición vertical. Un observador ubicado a 600 m de distancia del reflector mide el ángulo respecto a la horizontal, del sitio en donde el haz de luz choca con la nube con una medida de 37°. Calcula la altura a la cual se encuentra la nube. 3. Un observador se encuentra a una distancia de 800 m de un edificio y mide el ángulo de elevación hasta lo alto del edificio; dicho ángulo es de 10° 37' y el observador tiene una estatura de 1.72 m. Calcula la altura del edificio. 4. Lupita está en lo alto de un acantilado que tiene una altura de 215 m respecto al nivel del mar; a lo lejos se encuentra una lancha y Lupita, con ayuda de un teodolito (aparato para medir ángulos), mide el ángulo de depresión que es de 17° 14'. Calcula la distancia de la lancha al pie del acantilado. 5. Una rampa recta tiene una longitud de 50 m y una altura de 8.5 m. Calcula el ángulo de elevación de la rampa. 6. El ingeniero Einar va a construir una rampa para minusválidos en un edificio, la cual debe llegar a una altura de 6 m. Si cuenta con un espacio longitudinal de 12 m, ¿con qué ángulo de elevación debe trazar la rampa? 7. Carlos, el ingeniero, tiene que trazar en un terreno circular con radio de 23 m, los cimientos de una construcción en forma de octágono regular. ¿Cuánto medirá el lado del octágono? 8. Ángel es un pintor de brocha gorda y cobra su trabajo a $15.00 el metro cuadrado. Si tiene que pintar un techo hexagonal y cada lado del hexágono mide 2.5 m, ¿cuánto debe cobrar por su trabajo? 9. Un avión despega de la pista y sube con un ángulo de 12°. Si va a una velocidad constante de 540 km/h, ¿en cuánto tiempo alcanza una altura de 5 km? 10. Mariana va a comprar un terreno triangular y cada uno de sus lados mide 18 m, 25 m y 32 m. Si cada metro cuadrado le cuesta $200.00, entonces ¿cuánto debe pagar por el terreno? 11. Cuando el Sol se encuentra a 32° sobre el horizonte, ¿cuánto medirá la sombra de una torre que tiene una altura de 120 m? 12. Una escalera de 12 m de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de 5 m de altura de un lado de la calle; sin mover la base de la escalera, ésta se recarga del otro lado de la calle y alcanza una ventana que está a 5 m de altura. Calcula el ancho de la calle.


343

13. Supón que el hilo de un papalote se sostiene recto y mide 125 m, y que el ángulo de elevación del papalote es de 35°. Calcula la altura del papalote. 14. Calcula el ángulo que forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una de sus caras; dichas diagonales están trazadas desde el mismo vértice. 15. La longitud del lado de un heptágono es de 8 cm. Calcula la longitud de los diámetros de los círculos inscrito y circunscrito. 16. Un poste de 10 m de altura proyecta una sombra de 10.15 m. Calcula el ángulo de elevación del Sol. 17. Un barco sale y toma el rumbo NE, exactamente a una velocidad de 25 km/h. Calcula la velocidad a la cual se está moviendo hacia el norte. 18. Un terreno de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140.5 m y 170.6 m y el ángulo opuesto al primero es de 40°. ¿Cuántos metros de tela de alambre son necesarios para cercar el terreno? 19. Un avión se desplaza 150 km al SE. ¿Qué distancia ha recorrido hacia el sur y qué distancia hacia el este? 20. Calcula las componentes de una fuerza de 635 N, que forman un ángulo de 23° 15' respecto al eje X. 21. Dos aviones tienen un equipo de comunicación con un alcance de 600 km. Uno de los aviones se encuentra a 200 km del punto donde partieron y el otro está a 180 km. Los desplazamientos de los aviones forman un ángulo de 32.5°. ¿Pueden los aviones comunicarse entre sí? ¿por qué? 22. Un faro se ubica a 30 km al noroeste de un muelle. Un barco sale del muelle a la 6 de la mañana, con dirección oeste a una velocidad de 20 km/h. ¿A qué hora se encontrará a 45 km del muelle, 23. Tres circunferencias de radios de 121,213 y 143 m, respectivamente, son tangentes. Encuentra los ángulos interiores del triángulo formado por los centros de las circunferencias. 24. Dos lados adyacentes de un paralelogramo forman un ángulo de 48° 18' y tienen una longitud de 5 y 9 m, respectivamente. ¿Cual es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo? 25. La distancia en línea recta de la ciudad de México a Acapulco es de 235 km. Si un avión se encuentra a 95 km de la ciudad de México (su punto de partida) en dirección a Acapulco y se desvía 8o 45' del curso respecto a su punto de partida, ¿A qué distancia se encuentra de Acapulco en ese momento? 26. Desde una lancha, un observador mide el ángulo de elevación de lo alto de un acantilado (que es de 32°) y se acerca en línea recta 500 m: desde este punto mide un ángulo de 43°. Calcula la altura del acantilado respecto al nivel del mar.

344

CAPÍTULO X

27. Dos excursionistas salen de su campamento en dirección NO y NE, respectivamente. Si cada uno de ellos camina en promedio a una velocidad de 4.2 km/h, al cabo de 2.5 h, ¿a qué distancia aproximada en línea recta se encuentran? 28. Un avión debe volar 700 km hacia el oeste para llegar a un aeropuerto; si por error de despegue se desvía 6° hacia el norte, ¿qué tan lejos se encuentra de su destino? ¿qué ángulo debe girar para corregir el rumbo, si ha recorrido 480 km? 29. Un brazo mecánico se compone de dos secciones con longitud de 1.8 y 2.5 m, respectivamente; si el ángulo máximo al que pueden abrirse las componentes del brazo es de 158°, calcula el alcance del brazo. 30. Un terreno de forma triangular tiene las siguientes longitudes: 25 m, 45 m, y 40 m, respectivamente. Calcula el área del terreno y la longitud de sus alturas.

CAPÍTULO XI Ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

INTRODUCCIÓN Muchas veces, al resolver problemas en donde se involucra la trigonometría, es necesario encontrar el valor de un ángulo. La solución de ecuaciones trigonométricas es una herramienta poderosa para resolver ese tipo de problemas; asimismo, cuando un problema te plantea una ecuación cuya incógnita es un exponente, las propiedades de los exponentes y logaritmos son también muy útiles. En este capítulo te mostraremos cómo encontrar la solución de ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Posiblemente recuerdes que, en las funciones trigonométricas, las gráficas representan curvas periódicas; por ejemplo, la función seno se muestra gráficamente en la figura 11.1.

FIGURA 11.1

Debido a que es una función periódica, una ecuación trigonométrica tiene infinidad de soluciones. Veamos la siguiente ecuación: sen x - 1

346

CAPÍTULO XI

En la figura 11.1 se puede distinguir que los valores de x que son ángulos y cumplen que su seno sea 1 son: ..., -270°, 90°, 450°, ... Puedes encontrar las soluciones que quieras, sólo tienes que sumar o restar a cada ángulo 360°, si estás en el sistema sexagesimal, y 2% rad si estás trabajando en el sistema circular, pues

En este libro obtendremos las soluciones, que están entre 0o y 360°. Ejemplos 1. Veamos cómo se resuelve la ecuación 2 sen x - 1 = 0 despejamos sen x y haciendo operaciones 2 sen x - 1

sen x = 0.5 Como 0.5 es un valor positivo, el seno es positivo en el primer y segundo cuadrantes; buscando en las tablas o mediante la calculadora el ángulo correspondiente, encontramos sólo el ángulo del primer cuadrante, que en este caso es: sen x = 0.5

Para localizar fácilmente el ángulo del segundo cuadrante, trazamos un ángulo de 30° en el mismo, como se muestra en la figura 11.2.

FIGURA 11.2

Ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

347

El ángulo del segundo cuadrante se obtiene restando el ángulo de 30° a 180°; de esta manera se tiene:

Las soluciones de esta ecuación son: 30° y 150°. 2. Veamos la ecuación 2 sen si despejamos sen x

y despejamos x

x = -60° es negativo y el seno es negativo en el tercero y cuarto cuadrantes; en la figura 11.3 graneamos para el tercer cuadrante Para este cuadrante tenemos:

FIGURA 11.3

348

CAPÍTULO XI

En la figura 11.4, graneamos para el cuarto cuadrante

FIGURA 11.4

y para el cuarto cuadrante tenemos:

Comprobación

Las soluciones de esta ecuación son los ángulos 240° y 300°.

3. Ahora tenemos la ecuación y contamos con la siguiente identidad


Primero sustituimos la identidad en la ecuación

despejamos tan x

y despejamos x

FIGURA 11.5

por lo que es un

positivo y la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes.

Para el primer cuadrante tenemos

graneando para el tercer cuadrante (véase figura 11.5) Para este cuadrante tenemos

349

350

CAPÍTULO XI

Las soluciones de esta ecuación son los ángulos 30° y 210°. Efectúa la comprobación resolviendo cot x 4. Ahora tenemos la ecuación donde despejamos sen x

y despejamos x

En este caso, tenemos que encontrar los ángulos de los cuatro cuadrantes por el ± Para el primer cuadrante tenemos

Para el segundo cuadrante

FIGURA 11.6

Para el tercer cuadrante


FIGURA 11.7

Para el cuarto cuadrante

FIGURA 11.8

Las soluciones de esta ecuación son los ángulos 30°, 150°, 210° y 330°. 5. También tenemos ecuaciones como:

Hagamos un cambio de variable a

es decir, cambiamos

Una ecuación de segundo grado, que resolvemos por factorización (2a-l)(a-2) = 0 2a - 1 = 0

a-2=0

Si regresamos a la variable original; es decir, cambiamos a por

por a y tenemos

351

352

CAPÍTULO XI

el 2 es mayor que 1, por lo que esta

Como el rango de la función cos x es de -1 a 1 y solución se desecha y continuamos trabajando con:

Despejando x

es un valor positivo y el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantes. Para el primer cuadrante

Para el cuarto cuadrante (véase figura 11.9)

FIGURA 11.9

la solución de esta ecuación está en los ángulos 60° y 300°. 6. Cuando tenemos ecuaciones como (1) debemos utilizar identidades que permitan convertir la ecuación en una donde los argumentos sean iguales. Por ejemplo, si tenemos la siguiente identidad

pero

sustituimos


353

eliminamos paréntesis

simplificamos términos (2) sustituimos (2) en (1)

ordenamos términos

y tenemos una ecuación cuadrática, donde cambiamos la variable cos x = a

cos2 x - a2

para tener 2a2 + a-1=0 Al resolver por factorización la ecuación cuadrática, queda (a + l)(2a-l) = 0 a +1=0 2a- 1 = 0

Regresando a la variable original

para cos x = -1, el coseno tiene un valor negativo y éste sólo se presenta en el segundo y tercer cuadrantes (véase figura 11.10); por lo tanto

FIGURA11.10

354

CAPÍTULO XI

el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantes. En el primer cuadrante cos x = 0.5 despejamos x

x = 60° En el cuarto cuadrante (véase figura 11.11)

FIGURA 11.11

La solución de la ecuación son los ángulos 180°, 60° y 300°. 7. Si tienes que resolver ecuaciones como cos 2x + sen x = 0

(1)

debes expresar la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, para lo cual conoce que

por lo que sustituyes

haces las operaciones correspondientes

simplificas términos (2)

sustituyes (2) en (1)


355

ordenas términos -2 sen2 x + sen x + 1 = 0 multiplicas toda la ecuación por -1 2 sen2 x - sen x - 1 - 0 cambias la variable sen x = a y sen2 x = a2

y tienes 2a 2 - a - 1 = 0

Al resolver la ecuación por el método de factorización (a-l)(2a+ l) = 0 a-l=0 2a + 1 = 0

regresas a la variable original sen x = a sen J: = 1 para sen x - 1 es positivo y el seno es positivo en el primero y segundo cuadrantes (véase figura 11.12). sen x - 1

x=9Q°

FIGURA 11.12

356

CAPÍTULO XI

para sen x

es un valor negativo y el seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrantes.

para el tercer cuadrante (véase figura 11.13) x= 180°+ 30° x=210°

FIGURA 11.13

para el cuarto cuadrante (véase figura 10.14) x = 360° - 30° x = 330°

FIGURA 11.14

Las soluciones de la ecuación son los ángulos 90°, 210° y 330°


357

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente; por ejemplo

y las ecuaciones logarítmicas son las que involucran logaritmos; por ejemplo: log(x-4)-logx = 2 Tanto las ecuaciones exponenciales como las logarítmicas se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos, que conviene recordar: a) Pasar de una expresión logarítmica a una exponencial. Cuando tenemos una expresión exponencial como la siguiente 2' = 8 la podemos expresar en forma logarítmica de esta manera

la cual se lee logaritmo de base 2 de 8 es 3. La siguiente relación entre las dos formas te ayudará a mecanizar la conversión de una forma a otra.

Por ejemplo si tienes una expresión en forma logarítmica como

y la quieres expresar en la notación exponencial, tendrás 32 = 9 Para encontrar la solución de la ecuación

realizamos la conversión a notación exponencial y tenemos 24 = x donde resolvemos la potencia y tenemos que x = 16, que es la solución buscada.

358

CAPÍTULO XI

b) Recordemos también la propiedad del logaritmo del producto de dos números positivos, sean

Expresando en forma logarítmica (1)

(2)

multiplicando R por 5

Aplicando la ley de los exponentes de la multiplicación

Expresando en notación logarítmica (3) Sustituyendo (1) y (2) en (3)

El logaritmo del producto de dos números es igual a ia suma de los logaritmos de dichos números.

c) Ahora veamos la propiedad del logaritmo de la división de dos números, sean

Expresando en forma logarítmica (1)

(2)

Dividiendo R entre S

Aplicando la ley de los exponentes para la división


359

Expresando en notación logarítmica (3) Sustituyendo (1) y (2) en (3)

El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

d) También recordemos la propiedad del logaritmo de la potencia de un número, sea

Expresando en notación logarítmica (1) obtenemos la potencia enésima de R

Al aplicar la ley de los exponentes

expresar en notación logarítmica (2) y sustituir (1) en (2)

El logaritmo de la enésima potencia de un número positivo es igual a n veces el logaritmo del número.

Otra propiedad parecida a la anterior es la del logaritmo de la raíz enésima de un numero; veamos

360

CAPÍTULO XI

Expresamos en notación logarítmica (1) obtenemos la raíz enésima de R

expresamos en notación exponencial

pasamos a la forma logarítmica (2) sustituimos (1) en (2)

o bien

El logaritmo de la raíz enésima positiva real de un número positivo es igual a dividir entre n el logaritmo del mismo número.

Tenemos dos sistemas de logaritmos más usuales. Uno es el de base 10 y se expresa omitiendo la base; por ejemplo Iog5 se lee logaritmo de base 10 de 5. El otro sistema es el llamado natural o neperiano, que se caracteriza por ser de base e; el valor de e es aproximadamente de 2.71828..., que se aplica sobre todo en el cálculo diferencial e integral y se expresa de la siguiente manera 1n5 que se lee logaritmo natural de 5. Existen tablas de logaritmos de base 10 y en una calculadora científica se encuentran ambos sistemas.


Veamos cómo resolver ecuaciones exponenciales.

Primero aplicamos logaritmos a ambos lados de la igualdad

aplicamos la propiedad del logaritmo de la potencia de un número ( JC + I)log3 = log81 despejamos x

usamos la calculadora o las tablas de logaritmos log 81 = 1.9084

y

sustituimos los valores de los logaritmos

hacemos las operaciones correspondientes JC = 4-1

y finalmente obtenemos JC

Comprobación

El valor de x en la ecuación es 3.

Aplicamos logaritmos a ambos miembros

=3

log 3 = 0.4771

362

CAPÍTULO XI

Por la propiedad del logaritmo de la potencia enésima de un número (x2 + x) log 5 = log 25 Dividimos ambos miembros entre log 5

Igualamos con cero

Encontramos los valores de los logaritmos y hacemos las operaciones correspondientes x2+x-2=0 y resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización (JC + 2)(JC-1) = 0 x+2=0

x-1=0

Efectúa en tu cuaderno la comprobación.

Aplicamos logaritmos a ambos miembros de la ecuación

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia x log 7 = (2x+ 1) log 2 Efectuamos las operaciones correspondientes x log 7 = 2x log 2 + log 2 Despejamos x x log 7 - 2x log 2 = log Factorizamos x x(log 7 - 2 log 2) = log 2


363

Por la propiedad del logaritmo de una potencia

Aplicamos la propiedad del logaritmo del cociente de dos números

Finalmente, buscamos los valores de los logaritmos y haciendo operaciones x= 1.2386 También puedes llegar a las mismas soluciones de estas ecuaciones, aplicando logaritmos naturales o neperianos. Ahora resolvamos ecuaciones logarítmicas.

Al aplicar la propiedad del cociente

necesariamente son iguales los argumentos

y despejamos x

x=2(x- 2) x = 2x - 4 4 = 2x-x x=4 Comprobación log 4 - log (4 - 2) = log 2 Operando log 4 - log 2 = log 2

364

CAPÍTULO XI

Aplicando la propiedad del cociente

Por la propiedad del cociente

necesariamente los argumentos son iguales

Y resolvemos para x

ordenamos e igualamos a cero x 2 - 3x -10 = 0 por el método de factorización

Efectúa la comprobación en tu cuaderno. El valor negativo no es solución porque al sustituirse, los argumentos son negativos. 3. log (2x - 3) = 1 - log (x - 2)

(1)

Para resolver esta ecuación, es necesario que todos los términos estén expresados en logaritmos de igual base, en este caso de base 10. Para expresar 1 en logaritmos se tiene

Si expresamos en notación logarítmica tenemos (2) Sustituyendo (2) en (1) log (2x - 3) = log 10 - log (x - 2)


365

Y aplicando la propiedad del cociente

necesariamente los argumentos son iguales

Resolviendo para x (2x-3)(x-2)= 10 2x2-7x-4=0 Factorizando

También en este caso

no es solución porque obténdríamos argumentos negativos. Efectúa en

tu cuaderno la comprobación.

RESUMEN Debido a que las funciones trigonométricas son periódicas, al resolver ecuaciones, éstas tienen infinidad de soluciones. Para resolver una ecuación trigonométrica, es necesario recordar los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes, ya que de ello dependerá encontrar todos los ángulos solución. También son de mucha importancia las identidades trigonométricas, pues cuando en una ecuación encontramos distintas funciones, hay que obtener mediante las identidades la ecuación equivalente expresada en una sola función. La habilidad para resolver ecuaciones es directamente proporcional al número de ecuaciones ya resueltas, de modo que te sugerimos resolver todas las de los ejercicios del presente capítulo. Para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales, es necesario aplicar las propiedades de los logaritmos. Los resultados de estas ecuaciones tienen su principal aplicación en la biología, ya que muchas bacterias u organismos se reproducen en forma exponencial, al igual que la población humana.

366

CAPITULO XI

EJERCICIOS A. Resolución de ecuaciones. 1. Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones trigonométricas.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa su solución en radianes.


3. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

B. Problemas. 1. De la fórmula de absorción de rayos x, despeja x.

2. De la fórmula de interés compuesto, despeja n.

3. De la fórmula para calcular circuitos eléctricos, despeja

4. De la fórmula de55l tiempo de desintegración radiactiva, despeja A.

5. De la fórmula de crecimiento de la población, despeja;

367

BIBLIOGRAFÍA Anfossi, Agustín. Trigonometría rectilínea. Edit. Progreso. México, 1974. Aranda García, Pedro, etal., Geometría y trigonometría, Ed. S.P.R.I., 1988. Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Edit. Cultural, 1967. Boyle J., Patrick. Trigonometría con aplicaciones, Edit. Haría, 1990. Bruno, M. C. Elementos de geometría. Edit. Enseñanza, 1967. García Arenas, Jesús, etal., Geometría y experiencias, Edit. Alhambra, 1997. García Baca, Juan David. Euclides: Elementos de geometría I - II - III - IV - V. Traducción, 1992. González O. Mario. Geometría. Edit. Minerva, 1965. Granville William, Anthony. Geometría plana y esférica. U.T.E.A., 1969. Hemmerling, Edwin. Geometría elemental. Edit. Limusa, México, 1980. Hernández Velasco, Manuel. Trigonometría. México, 1977. Moise E. Edwin, et. al., Geometría moderna. Edit. Addison Wesley Iberoamericana, 1966. Nielsen, L. Kaj. Trigonometría moderna. Edit. CECSA, 1973. Niles, O. Nathan. Trigonometría plana, Edit. Limusa, 1979. Rewmen, James R. Sigma el mando de las matemáticas. Edit. Grijalbo, 1976. Rice, J., Bernard, etal., Trigonometría plana, Edit. CECSA, 1987. Silva, Juan Manuel y Lazo, Adriana. Fundamentos de matemáticas. Edit. Limusa, México, 1994. Sparks y Roos. Trigonometría. Edit. Reverte Mexicana, S.A., México, 1976. Stanley R., Clemens, et ai, Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Edit. AddisonWesley, 1989. Taylor E., Howard. Trigonometría contemporánea. Edit. Limusa, 1976. Wentworth, Jorge, et al., Geometría plana y del espacio. Edit. Ginn y Compañía. Zuckerman. Álgebra y trigonometría simplificadas. Edit. Limusa, México, 1994.

Geometría y Trigonometría. Matemáticas Con Aplicaciones 2 - Acevedo, Valadez, Vargas

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