Geometría Nivel San Marcos - Teoría (1).pdf

GEOMETRÍA TEMA 0

SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES

SNII2G0

DESARROLLO DEL TEMA

ÁNGULOS

A A

P

Bisectriz

P

x q

aa

B q O

O

P

A

a

a

a

• CCCCq = q

• Sq = 180 − q • SSq = q • SSSq = 180 − q • SSSSq = q

B

a m

L1 L1 // L2 • a + q = 180°

x q

• CCq = q

B

x=90° b

q

• Cq = 90 − q • CCCq = 90 − q

R

O

q

x=45° R

• Sq: suplemento de q

x a b

• Cq: complemento de q

b b

Q

a

Q

n

q

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

• x=m+n L2

11

GEOMETRÍA

TEMA 0


TRIÁNGULOS NOTABLES

60°

45°

2a

a 2

a

75°

30°

45°

a

h

a

15° 4h

a 3

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

53°

5k

3k

a

a 5

37°

4k

2a

a 10

a

37/2

53/2 3a

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

13m

5m

7a

12m

25a

17k

8u

24a

PROPIEDAD BISECTRIZ

15k

PROPIEDAD MEDIATRIZ

a b a a

a b

a

a

PROPIEDADES DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

a 2a

TEMA 0

GEOMETRÍA

22



PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1

Problema 2

Calcula x.

4 Q

B

Problema 3 Calcule x, si PQRS es un cuadrado. B

B P

A

30°

45°

A

C

x

R

Calcula x, si el i ABC es equilátero.

B) x = 5 2

A) x = 5 4

Resolución:

B

°

45

5 5

H

•

Se traza la altura BH

•

(BHC) → notable

B

14

10

8

60°

10 30°

C

BH = 5 (AHB) → notable x=5 2

60°

A

P 30° 3 14 0°

6 60° R 3

x

•

BQP y

son notables

A

C) x = 8

x S

K 75° 4K

PRC

11 = x

Respuesta: 11 = x

15°

C 20 ABC → son notables

H

C

15°

R

15°

4L 4L

75° P

L 4L

En los QBR y de (15° y 75°) Sabemos:

• 14 = x + 3

Respuesta: x = 5 2

75°

75° L

Q

4 Q

° 60

C

Resolución:

Resolución:

B

15°

S

20 B) x = 3 E) x = 6

A) x = 4 D) x = 5

E) x = 5 8

x

x

P

D) 12 = x

E) x = 5 8

A

C) 13 = x

D) x = 5 9

•

C

B) 11 = x

C) x = 5 6

45°

R x

A) x = 5 4

A

Q

10

10

Propiedad: BH = 4L + L ↓ 5 = 5L → L = 1 x = 4L → x = 4

15°

Respuesta: x = 4

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que “C” es un punto medio de AE, AC = BD y AD + BE = 15 u. Calcular AD. A) 3 u B) 4 u C) 5 u D) 6 u E) 8 u 2. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AC = 20 u y BD = 16 u.

Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de AB y CD. A) 16 u B) 15 u C) 17 u D) 10 u E) 18 u 3. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B y C. Sea “M” el punto medio de AB, “N” punto medio de BC y “p” punto medio de MN. Calcular BP sabiendo que BC − AB = 24 u.


33

A) 6 u D) 12 u

B) 8 u E) 15 u

C) 10 u

4. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D donde: AB × BD =AC × CD. Hallar el valor de: E= A) 2 D) 0

GEOMETRÍA

AB2 + CD2 AB × CD B) 4 E) 1,5

C) 1

TEMA 0


5. Si un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo. A) 135° B) 70° C) 80° D) 60° E) 90° 6. Calcular el suplemento de la suma de dos ángulo, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150°. A) 60° B) 30° C) 90° D) 120° E) 150° 7. Si a la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18° para agregárselo a la medida del otro, la medida de este último ángulo resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos? A) 88° B) 62° C) 72° D) 28° E) 75°

TEMA 0

8. Alrededor de un punto “O“ se trazan los rayos coplanares: OA, OB, OC y OE determinándose 5 ángulos consecutivos; tal que el segundo ángulo es el doble del primero y la tercera parte del quinto, el tercero es 10° menos que la suma de los 2 primeros ángulos y el cuarto excede en 20° a la suma de los 3 primeros. Halle el mayor ángulo. A) 130° B) 120° C) 50° D) 160° E) 40° 9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD respectivamente. Si POQ mide 70° y BOD mide 120°. Hallar la medida del ángulo AOC. A) 60° B) 20° C) 40° D) 50° E) 30° 10. En la figura, calcular la suma de los valores de “y” cuando “x” toma su máximo y mínimo valor enteros.

GEOMETRÍA

44

x+y 2x–y A) 88° D) 135°

y–x

B) 96° E) 150°

C) 110°

11. Hallar “x”, si L1//L2. L1

2q 115°

L2 A) 80° D) 79°

x B) 60° E) 81°

3q C) 62°

12. Si L1//L2 y a° + b° = 250°, hallar “x”. L1 a a a L2 b x q q L3 A) 45° D) 60°

B) 30° E) 53°

C) 55°


GEOMETRÍA TEMA 1

TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES SNII2G1

DESARROLLO DEL TEMA

TRIÁNGULO B

Elementos: • Vértices: A, B, C • Lados: AB, BC, AC

A

C

q

Definición: Perímetro = 2p 2p = AB + BC + AC.

a

a

q

q

q = 60°

a Equilátero

Nótese: parte sombreada es la región interior

2. Por la medida de sus ángulos interiores A) Oblicuángulos

Observación: (Región interior) ∪ (iABC) = Región triangular ABC

0 < a, b, f < 90° b

I. CLASIFICACIÓN

a

f

a, b, f: agudos Acutángulos

1. Por la medida de sus lados: a≠b≠c

90° < q < 180° b

a

q c Escaleno

q: obtuso Obtusángulos B) Rectángulos q = 90°

a

a

f

b Isósceles


f: ángulo recto

55

GEOMETRÍA

TEMA 1

TRIÁNGULO Y LÍNEAS NOTABLES

II. TEOREMAS BÁSICOS * Existencia

q=a+b

b b

a

q

a

c b–a
Observación:

a + b = q + 180°

q

a

B

b

T

a+b=q+g C

A

a

p < TA + TB + TC < 2p

b

q

g

* Correspondencia Si a > b ⇒a>b b

a

a

a+b=q+f

q b

a f

b

Observaciones: B

B

2q C

A

90–q

a a

C

A

AB = BC

iABC: isósceles

b a a b = 90°

TEMA 1

GEOMETRÍA

66



LÍNEAS NOTABLES • Ceviana

B

Observación: B E

A

D

E: Ercentro

F

C

BD: Ceviana interior

A

BF: Ceviana exterior • Altura

m∠AEC =

B 2

C

B B

E E: Excentro

A

H BH: Altura

Observación:

m∠BEC = 90 –

C

A

B

A 2

C

• Mediatriz B F

L

H

A

C

D

A

C

M

H: ortocentro m∠BCA = m∠AHD

AM = MC

• Bisectriz B

q

q

L: Mediatriz respecto a el lado AC F

a A

Observación:

a

J

C

B

AF: Bisectriz interior

L2 L1

BJ: Bisectriz exterior

Observación:

O B I

A

I: Incentro m∠AIC = 90 +

A

B 2

C

L1 y L2 mediatrices

C


M

O: Circuncentro del iABC

77

GEOMETRÍA

TEMA 1


• Mediana

Observación:

B

B

T

A

N

E

A

C

M

G: Baricentro

C

M Se cumple: BG = 2GM AG = 2GN CG = 2GT

Si AM = MC ⇒ BM: mediana

Observación: B 2m

B

m

E

a x

I m

mK

A

A

I: Incentro del iABC

nK n

m

2m C

x=

E: Excentro del iABC

a K

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En el gráfico AB = BC = AC, calcula "x". B M

R

x

A

80° a

a w 40° Q 40°

80° 60°

C

SAN MARCOS 1996 NIVEL DIFÍCIL

Resolución:

x = 40°

2a

C

SAN MARCOS 1998

a a

A) 2 u D) 3 u

B) 5 u E) 4 u

Del gráfico se observa: A

a a

5

q P

x q Q

2 H

C

• Sea m∠APH = q = m∠BPQ

• En la figura ABCP: a + x + q = 90° a + q + x = 90° 45° + x = 90° x = 45°

Respuesta: 45°

88

C) 6 u

B q

APC: 2q + 2a = 90° q + a = 45°

C

Resolución:

Resolución:

GEOMETRÍA

Q

H

NIVEL FÁCIL

Respuesta: 40°

TEMA 1

A

q

2q

A

•

• Del dato se observa que el iABC es equilátero. • m∠PQC = 40° • Sea m∠MNP = w ⇒ iRQN : a + w + 40° = 180° a + w = 140° • iMNP: x + w + a = 180 → x + 140° = 180°

B P

a

Problema 3 Calcular "BQ", si PH = 2u y BH = 7u.

x P

N

P

Problema 2 En la siguiente figura, calcula "x". B

⇒ m∠BQA = q

•

El triángulo PBQ (isósceles) BP = BQ ∴ x = 5u

Respuesta: 5u



PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

PROFUNDIZACIÓN

1. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto Q, tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ∠ ACB. Calcular QB. Si: AQ = 9 y BC = 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. En la figura mostrada, calcular: a+b+c+d+e+f+g

a a x 2a A) 180 D) 520

a a

B) 50 E) N.A.

C C) 55

A) 144º

B) 150º

C) 136º

D) 160º

E) 120º 11. En la figura hallar “x”

45° A) 135º D) 100º

B) 95º E) 110º

3q

C) 150º

4q 12q

8. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13. Calcular su perímetro A) 23 B) 31 C) 26 y 31 D) 18 E) NA

2x I 3x

9. En el gráfico: PA = 2 y BR – RC = 3. Calcule PQ B

B) 20

C) 30

D) 50

E) N.A. 12. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD x

2x

R A

B) 20 E) N.A.

C

B

x A) 10 D) 40

x

A) 10

5. En la figura calcular “x” 60

x

x

x

q

x

x

q

C) 360

4. Hallar “x” I: Incentro B

A) 45 D) 15

C) 540º

50°

3. En un triángulo ABC, el lado BC excede en 10 unidades al lado AB. Halle el menor valor entero de el lado AB, si AC = 15 y AC > AB A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1

A

x

e

7. Según el gráfico, calcule “x”

w 2w w

B) 240 E) NA

E) NA

10. En la figura, calcule: “x”.

A) 720º B) 900º D) 1800º E) 96º z

D) 3

d

f

q 2q q

B) 5

C) 4

SISTEMATIZACIÓN

c

g

2. En el gráfico, calcular: x° + y° + z°

y

b

a

A) 6

2q 3q

q

Q

C) 30 P


A q

C

4°

E A) 82º

B) 83°

C) 84°

D) 85°

D

E) 86°

99

GEOMETRÍA

TEMA 1

GEOMETRÍA TEMA 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS SNII2G2

DESARROLLO DEL TEMA I. DEFINICIÓN

B

Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y, además, sus lados correspondientes de igual longitud (ángulos y lados homólogos).

q

c

A

b

a a

b

c

B'

B

q

c

C

A'

b

a b

C'

a

q C

b

C'

b

Si m\BAC = m\B'A'C' AB = A'B', AC = A'C'

→ i ABC ≅ iA'B'C'

B. Ángulo-lado-ángulo (A. L. A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados son, respectivamente, de igual medida. B

Para poder afirmar que dos triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de los que, por lo menos uno, debe ser un lado. Los casos más comunes son:

B'

b

A

q

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y, ademas, los lados que determinan a dichos ángulos son, respectivamente, de igual longitud.

Nota: Para la congruencia de dos triángulos, existen siempre tres condiciones. De estas nunca debe faltar un par de lados correspondientes congruentes. Solo cuando se demuestra que dos triángulos son congruentes, se puede afirmar que a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa.

q

A'

C'

b

Si AC = A'C' m\BAC = m\B'A'C' m\ACB = m\A'C'B' → i ABC ≅ iA'B'C'

C. Lado-lado-lado (L. L. L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son, respectivamente, de igual longitud. B B' a

c

A

a

c q

q

01 10

b

C

b

A. Lado-Ángulo-Lado (L. A. L.)


A'

II. CASOS DE CONGRUENCIA

a

Entonces: m\ABC = m\A'B'C' BC = B'C' m\BAC = m\B'A'C' y AB = A'B' m\ACB = m\A'C'B' CA = C'A'

c

q

A a

B'

b

C

A'

Si AB = A'B' BC = B'C' AC = A'C'

GEOMETRÍA

C'

b → i ABC ≅ iA'B'C'

TEMA 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

III. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

IV. BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO

A. Teorema de la bisectriz

Todo punto que pertence a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

A H m

d

Es el segmento que tiene por extremos, los puntos medios de dos lados de un triángulo, al tener lados se le denomina base.

1. Teorema de la base media

B

Q

m

P

R d

q q

O

bisectriz

Definición

En todo triángulo, una base media es paralela a la base y su longitud es la mitad de la longitud de dicha base.

Sea: OP Bisectriz del \AOB Si: RE OP , RH

OA y RQ

B

OB

→ RH = RQ Además: OH = OQ

M

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.

N

b 2

m

B. Teorema de la mediatriz

n

m

A

L P

n C

b

En la figura si: AM = MB y BN = NC MN : base media

d

d Entonces: MN // AC

A

m

y

MN =

AC 2

B

m

2. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa

Sea: L mediatriz del segmento AB.

Si: PE L →

PA = PB

•

Observación: Los siguientes triángulos son isósceles.

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa. B m

qq

q q

A m

m

m

m

m

Consecuencia:

•

M

C m

En la figura

BM : mediana relativa a la hipotenusa a AC del

Entonces: BM = AC 2

ABC.

aa →

q=b a=b g=f

m

m f g

a n


Observación: Dos triángulos rectángulos serán congruentes, cuando tengan dos elementos básicos congruentes, estos dos elementos son suficientes ya que siempre existirá el ángulo recto.

b n

1111

GEOMETRÍA

TEMA 2



UNMSM 2000 NIVEL DIFÍCIL

Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados forman una progresión aritmética de razón 4 u. A) 30 u D) 20 u

B) 25 u E) 41 u

B

2a a

R

C) 32 u

Q A

NIVEL FÁCIL

C

S P

x

A

UNMSM 1998

Resolución:

Problema 3 Si AB = BM y AM = MC. Hallar x. B

M

A) 20° C) 25° E) 30°

Resolución:

C

B) 15° D) 10° UNMSM 2003

a–4

B

a

Planteamiento: Piden a + 4 Del gráfico: 2

a = (a+4) –(a–4)

Resolución: B 2a a a a

Q

x

8 3 S

(a–4)2+a2=(a+4)2

16 3

12 3

30°

60°

A

2

30°

10 3

Análisis de los datos:

2

6 3 60° R

16 3

a+4

NIVEL INTERMEDIO

P

4 3 30° 60° C 8 3

a A

a

Análisis de los datos: AP = PC = 8 3 → AB = BC = AC = 16 3

∴ a + 4 = 16 + 4 = 20u

Respuesta: 20 u Problema 2 El iABC es equilátero. Hallar RS si: AP = PC = 8 3m. A) 10 m B) 13 m C) 15 m D) 12 m E) 14 m

En

PQC (30° y 60°) → QC = 4 3

En

RBQ (30° y 60°) → RB = 6 3

ARS (30° y 60°) → AS = 5 3 J N ∴ x = 5 3 K 3 O x = 15m L P En

a H 2a

Planteamiento: Piden RS = x

a2 = 4(a)(4) a = 16

P x

M

C

2a

Planteamiento: x Análisis de los datos: iABM (isósceles) AH=HM=a → m∠ABH=m∠HBM=a Entonces: AM = MC = 2a Trazamos: MP

BC

Por el teorema de la bisectriz: MH = PM = a ∴ MPC(not 30° y 60°) x = 30°

Respuesta: 15 m

Respuesta: 30°

PROBLEMAS DE CLASE 2. En la figura, halle el valor de x.

EJERCITACIÓN

q

1. En la figura, calcule el valor de “x”. a 7

6–x 5

6

5 a 7

2x A) 3 C) 6 E) 7

TEMA 2

B) 4 D) 5

2+3x q

a

3a a 36°

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

GEOMETRÍA

3. En la figura, calcule a:

1221

A) 10°

B) 14°

C) 15°

D) 12°

E) 16°



4. Determine x, si AB=CD, AD=EC. B

C

5. Si: AB=CD y AC=BE, Calcule q. B

A

35° 45°

D 50°

C

q

A) 72°

B) 64°

D) 80°

E) 70°

PROFUNDIZACIÓN 6. Calcule q, si AB = DE y AE = CD. C q B

x

x

D

A) 74°

B) 72°

D) 65°

E) 80°

C) 70°

70°

A) 40° D) 35°

E B) 25° E) 55°

70°

A

9. Los triángulos ABC y PQC son equiláteros, calcule x. B Q x P 96°

A

11. En la figura BP = AC. Calcule x, si AM = MB y PN = NC. B

M A

B) 10° D) 13°

C) 60°

8. Si: AD = CD, calcule x. B C 70°

E A) 12° C) 15° E) 18°

10°

10°

B) 30° D) 42°

SISTEMATIZACIÓN 10. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM; en el triángulo BMC se traza la mediana BN, de manera que BN = 18. Sobre AC se ubica un punto “P” de modo que MP//BN; calcule MP. A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 6

20°

E

40° 40° D

A) 37° C) 25° E) 45°

20°

q

x 70°

A

7. Del gráfico mostrado, calcule q.

D

A

C) 45°

A) 30°

B) 24°

D) 25°

E) 18°


C

31 13

C) 36°

P

x

A) 60° D) 75°

H

N C

B) 45° C) 53° E) 67°30’

12. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 unidades, se trazan dos bisectrices exteriores de ángulos diferentes y desde el tercer vértice se trazan perpendiculares a estas bisectrices. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares. A) 15 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24

GEOMETRÍA

TEMA 2

GEOMETRÍA TEMA 3

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS SNII2G3

DESARROLLO DEL TEMA

POLÍGONOS Convexos

No convexos #D =

n(n – 3) 2

si = 180°(n – 2) Equiláteros

Equiángulos

a

L a

a

a

a

180°(n – 2) n

se = 360° d

e

Regulares L a L a a

b a c a a

i =

L

L

e =

360° n

c =

360° n

#D =

n(n – 1) 2

CUADRILÁTEROS I. DEFINICIÓN

B

Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.

B°

C°

C

II. CLASIFICACIÓN

Convexo

A. Trapezoides

A°

A

x°

No convexo

A

C

B

x° = a°+b°+q° D

B

D°

D

Trapezoide asimétrico A

A°+B°+C°+D° = 360°


C

41 14

GEOMETRÍA

D

TEMA 3

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

B

B

C

B

C

A

D

A

D

C

A

Rectángulo

D

Cuadrado

Trapezoide simétrico

III. PROPIEDADES BÁSICAS B. Trapecios B

A. En el Trapecio

C

a

MN: Base media

M

MN // Bases

N

MN =

D

A // AD BC  

a+b 2

b

Bases

b B

C P

PQ // Bases

Q

PQ = A

a

D

T. Escaleno B

A

a

B. En el Paralelogramo C

B

C

B

D

D

A

T. Isósceles

D

a°

b° a°

m

C

b

a+b = n+m

n

BC // AD

D B

C. En todo Cuadrilátero

C

Q

Romboide

a≠90°

C

B

D

A

C

A

Rombo

S

D


→ PQRS es un paralelogramo

R

P

B

D

A a

AB // CD

b°

A

C

B

B

AO = OC BO = OD

A

T. Rectángulo

C. Paralelogramos

A

C O

a

a–b 2

51 15

D

GEOMETRÍA

TEMA 3


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 La relación entre las medidas del ángulo interior y exterior de un polígono regular es 3/2. Calcular su número de diagonales. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución: 1.er vértice: n – 3 2.do vértice: n – 3 3.er vértice: n – 4 En total: 3n – 10 = 8 3n = 18 n=6 Piden: Si = 180 (6 – 2) Si = 720°

Resolución: i 3 Dato:  = e 2

180 (n – 2) 3 n = ⇒ 360 2 n

n–2 3 = =n=5 2 2

DT = 5

A) x = 160° C) x = 120° E) x = 90°

B) x = 140° D) x = 100°

Resolución: B

C x

A

50°

50°

60° D

Piden: m∠B = x Unimos BD para que el DBCD sea equilátero, por lo que m∠CBD es 60º. El DABD es isósceles (AB = BD).

Problema 3 En un trapezoide ABCD, se cumple: AB = BC = CD; calcula m∠ABC si m∠BCD = 60º y m∠BAD = 50º.

Entonces m∠ABD es 80º m∠B = m∠ABD + m∠CBD x = 80º + 60º x = 140º

UNMSM 1998

Respuesta: DT = 5

60°

60°

80°

Respuesta: Si = 720º

Piden: D1 = n(n – 3) = 5(5 – 3) 2 2

Problema 2 En un polígono convexo, desde 3 vértices consecutivos se han trazado 8 diagonales. Calcular la suma de los ángulos internos de dicho polígono. A) 700° B) 710° C) 720° D) 730° E) 740°

Respuesta: x = 140º

NIVEL FÁCIL

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. En un polígono, el número de diagonales excede al número de lados en 42. Halle la suma de los ángulos interiores. A) 1800º B) 1520º C) 1440º D) 1080º E) 900º 2. ABCDE es un polígono convexo. S i m ]A = m ]B = m ]C = 9 0 º ; entonces, la medida del ángulo que forman las bisectrices internas de los ángulos D y E será: A) 45º B) 40º C) 30º D) 60º E) 75º

A) 162º C) 160º E) 150º

A) A D) D

4. En la figura la longitud de cada lado del polígono ABCDE es 1m. Si un punto situado, en el vértice A empieza a moverse a través de cada lado en el sentido de las agujas del reloj; entonces ¿en qué vértice se encontrará dicho punto cuando haya viajado una distancia de 717m?

3. Calcule la medida del ángulo interior de un polígono regular de 170 diagonales.

TEMA 3

B) 158º D) 144º

GEOMETRÍA

B A

C I E

D

1661

B) B E) E

C) C

5. En un trapecio, la mediana mide 8u y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 5u. Halle la longitud de la base menor. A) 5 u B) 2 u C) 3 u D) 4 u E) 6 u

PROFUNDIZACIÓN 6. Calcule la longitud del lado de un octógono regular inscrito en un cuadrado de a cm de lado. a 2 cm 2 C) a/3 cm A)

B) a ( 2 – 1) cm D) a ( 2 + 1) cm

E) a/4 cm



7. Calcule la suma de las medidas de las diagonales relativas a un vértice en un hexágono regular cuyo lado mide 3. A) 6(1+ 3)

B) 6 3

C) 9 3 E) 15

D) 12

F E

A) 5 D) 4

B) 6 E) 7

2q F A

A) 16 D) 12

B) 17 E) 15

D C) 8

A

D C) 18

A) 5 D) 7

10. Las diagonales de un trapecio miden 9 y 13. Calcule el máximo valor entero que puede tener de su mediana. A) 8 B) 10 C) 4 D) 12 E) 13


71 17

MT

H 37°

q

SISTEMATIZACIÓN

C

A

11. En la figura F, M y G son los puntos medios de los lados del triángulo ABC. FH=1 y CT=4. Halle MG. B

B

8. En la figura, calcule la mediana del trapecio BCEF, si ABCD es un trapecio, AB=7, BC=8, CD=11 y AD=20; además, BF y CE son bisectrices. B

9. En la figura AB//CD, AB=5 y BC=12. Halle CD. C

G

C

B) 8 E) 9

C) 6

12. L es una recta exterior al triángulo ABC. La suma de las distancias de los vértices a L es 18. Calcule la distancia del baricentro del triángulo a L. A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 9

GEOMETRÍA

TEMA 3

GEOMETRÍA TEMA 4

CIRCUNFERENCIA I SNII2G4

DESARROLLO DEL TEMA I. DEFINICIÓN

2.

Es aquella figura geométrica formada por todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano llamado centro.

Si: AB = CD se cumple: B mAB = mCD a a = b A

II. ELEMENTOS

D

Centro :O O Radio :r r

Nota: Medida Angular: 360° Medida Longitudinal: 2pr

C

b

3. Si: OP ⊥ AB se cumple: P AM = MB A m AP = mPB B M O

III. ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 4.

• Cuerda: AB B C • Diámetro: PQ S A PQ = 2r • Arco AB P Q • Punto de Tangencia: T N • Recta Tangente: LT T • Recta Secante: LS LS M LT • Flecha: CS 1. Si:AB//CD se cumple: A B b

mAC = mBD

Si: L recta tangente se cumple: T a

O

5. A

IV. PROPIEDADES FUNDAMENTALES a

L

P

Si: A, B son puntos de tangencia, se cumple: AP = PB

a=b C D


81 18

GEOMETRÍA

TEMA 4

CIRCUNFERENCIA I

6. Si: AP y PB y son puntos A de tangencia a P O q B

D ACUTÁNGULO

Nota: Si te piden el inradio de un triángulo rectángulo será necesario aplicar el teorema de Poncelet. Si se tiene el gráfico.

Nota: Se tiene: a a

A q q

D OBTUSÁNGULO

T

A

O

D RECTÁNGULO

r 2a

B

r

B Se traza

VII. TEOREMA DE PONCELET

y se tiene m]ABC es conveniente trazar

V. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRIÁNGULO

En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más dos veces el inradio. A

Es aquella circunferencia que es tangente a los lados de un triángulo.

AB + BC = AC + 2r * r inradio del

Nota: Todo triángulo tiene una circunferencia inscrita a su centro, se denomina incentro y se determina al intersectarse las bisectrices interiores, además el radio se denomina inradio.

ABC

r B

C

VIII. TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la suma de los lados opuestos son iguales. B

C AB + CD = BC + AD

DACUTÁNGULO

DOBTUSÁNGULO

DRECTÁNGULO

VI. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia que contiene a los vértices de un triángulo.

Nota: Todo triángulo tiene una circunferencia circunscrita cuyo centro se denomina circuncentro y se determina al intersectar las mediatrices trazadas a cada lado del triángulo y cuyo radio se llama circunradio.


A

D

Nota: El teorema de Pitot se puede aplicar en cualquier polígono convexo cuyo número de lados sea par. Si dos cuerdas son congruentes, entonces la distancia del centro en dichas cuerdas son congruentes. Los únicos paralelogramos que se puedan inscribir en una circunferencia son el rectángulo y el cuadrado.

91 19

GEOMETRÍA

TEMA 4

CIRCUNFERENCIA I

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcula: "x". (T: punto de tangencia) T

Problema 2 En el gráfico, si AB = 50, BC = 70 y AC = 60. Calcula AQ. (P, Q y T son puntos de tangencia) P

B

x

2x

B) 14° E) 13°

C) 16°

r

O

r 4x

x

C) 30

A B

T

DVOT (m] VTO = 2x) m]TOM = 4x

70

4x + x = 90º 5x = 90º x = 18º

aa 10

50

C

O

D

5

B) 20 E) 23

C) 35

Resolución: Piden: 2pDBTC

60

A x

5

A) 28 D) 30

ODC (Not.

Por propiedad: 50 + 60 + 70 CQ = CP = pDABC = 2 CQ = CP = 90 ⇒ 60 + x = 90 x = 30

OTM

C

q

T

M

Q

10

P

P

Piden: x

D

B

B) 20 E) 23

2x 2x

A

Resolución: Piden: AQ = x

T

V

T

A

Q A) 28 D) 22

Resolución:

P

C

T A) 18° D) 12°

Problema 3 Calcula el perímetro del triángulo BTC si el cuadrado ABCD tiene un lado cuya longitud es igual a 10. B C

53° 2 ⇒ q = 37º

53° ) 2

a=

TBC (Not. 37º y 53º) 2pDTBC = 30

Respuesta: 30

Respuesta: 30

2. En el gráfico calcula "x" si A es puntode tangencia.

3. En la figura calcule "x". Si ABCF: romboide .

Respuesta: 18°

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Calcule "x" si T; punto de tange ncia y AT = TB.

B C

x 6

T

A

x A

O A) 10° C) 30° E) 60°

TEMA 4

C

C

x

B) 20° D) 40°

B

2

B P

A) 2 D) 8

GEOMETRÍA

D

F

B) 4 E) 10

2002

100

E

A C) 6

A) 10° D) 70°

B) 30° E) 90°

C) 50°


CIRCUNFERENCIA I

4. Calcula "x". B x A

C

a

a

a

b

10. En el gráfico, calcule "BC" si: AB = 10; AD = 8 y CD = 3 (J; H; G y F: puntos de tangencia).

D b

a

b

H C

E B) 46° E) 52°

C) 48°

A) 18 D) 22

28

B) 19 E) 23

C) 21

F A) 1 D) 7

8. Del gráfico, calcule "x".

D

24

B

C

5

B A

G

x

5. Del gráfico calcule "x". Si A y B son puntos de tangencia. A

J I

O

3

100°

A) 44° D) 50°

SISTEMATIZACIÓN

7. En el gráfico, calcule "x". Si a + b = 28.

D

E

B) 3 E) 9

C) 5

11. En el gráfico, calcule x. SI A; B; C y D son puntos de tangencia. 11

R

O

6 B

A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

53°

A A) 4 D) 2

PROFUNDIZACIÓN 6. En la figura calcule x si "T" es punto de tangencia. B

A

x

B) 3 E) 5

x

D

C) 6

D P

B A) 30° D) 120°

9. En la figura, O: es centro de la circunferencia. Si OC = r es el radio de la circunferencia y q = 3b. Calcule CD (ex - admisión 2014 - II)

B) 60° E) 150°

C

C) 90°

12. En el gráfico, calcule "BD" si: M, S, T y V son puntos de tangencia. B

O

100°

q O

A

x

A) 10° D) 40°

C b

M D

T B) 20° E) 50°

A C) 30°

S

7

P

A) r/3 D) 2r


B) r E) 3r

12 21

C) r/2

D T

V A) 7 D) 9

GEOMETRÍA

Q

2

B) 5 E) 11

C C) 10

TEMA 4

GEOMETRÍA TEMA 5

CIRCUNFERENCIA II SNII2G5

DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

D. Ángulo Ex–inscrito

A. Ángulo Central

a A x a

O

b

Del gráfico se cumple: x=

B

a+b 2

Del gráfico se cumple:

E. Ángulo Interior

mAB = a

B. Ángulo Inscrito

q

x

a A Del gráfico se cumple:

a

x= B Del gráfico se cumple:

a+q 2

F. Ángulo Exterior

mAB = 2a Caso 1

A

C. Ángulo Semi–inscrito

a

B

P

x

P

b B

b a A

Del gráfico A y B son puntos de tangencia x=

Del gráfico se cumple: mAB = 2a

x + a = 180°

mAPB = 2b


b–a 2

22 22

GEOMETRÍA

TEMA 5

CIRCUNFERENCIA II

Caso 2

Nota:

T

x

a

b

b

a

Del gráfico T es punto de tangencia x=

a

b

b–a 2

IV. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Caso 3

Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia, por lo cual, deberá cumplir con las propiedades anteriores.

Un cuadrilátero va a ser inscriptible si se cumple:

x

a b

En el gráfico: x=

b–a 2

II. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

1)

2)

Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia. C

B

a

a

A D

3)

ABCD: Cuadrilátero Inscrito ó Ciclico

4)

III. PROPIEDADES

b

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

B

A

b

C a b

Nota: D

La medida longitudinal y la medida angular de una circunferencia de radio "r" es 2pr y 360º respectivamente.

a + b = 180°


32 23

GEOMETRÍA

TEMA 5

CIRCUNFERENCIA II

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si: mAB = mCD , calcula mEF 4 E b B P

Por ángulo inscrito: x = 30°

En el gráfico, calcula x. D E

30°

C

x

Respuesta: 30º

P

Problema 3 En el gráfico, calcula: mBD – mCF,

F

D

A

Problema 2

si: mAMD – m ENF =15° B

A) mEF = 20° B) mEF = 60° C) mEF = 80° D) mEF = 30°

A

A) 28º

B) 30º

C) 10º

D) 22º

B C

E) 23º

E) mEF = 10°

E

UNMSM 1993

P

M

D

NIVEL INTERMEDIO

UNMSM 1997

UNMSM 1996

NIVEL FÁCIL

NIVEL DIFÍCIL

Resolución:

Resolución: De los datos y el gráfico:

A) 18º D) 12º

D

a

mAB = 20°; mCD = 80°

a

E

P

30°

C

x

A

En la circunferencia mayor, por ser ángulo inscrito: mEF = m P ⇒ mEF = 60° 2

b

B

Del gráfico: 30º + a + b = 180º a + b = 150º

Resolución:

mENF – mCF m AMD – mBD = 2 2 mBD – mCF – mAMD – m ENF mBD – mCF = 15°

x = mEA 2

C) 15º

P =

En la circunferencia: mEA+ 2a + 2b = 360º mEA + 300º = 360º ⇒ mEA = 60º

Respuesta: mEF = 60°

B) 30º E) 20º

m AMD – mBD 2 Del gráfico: mENF – mCF P = 2 Luego:

b

En la circunferencia menor: 80° – 20° m P = mCD – mAB = 2 2 m P = 30°

N F

Respuesta: 15º

PROBLEMAS DE CLASE 2. En la figura, hallar "x" si: m ABP = 220°. A

EJERCITACIÓN 1. En la figura, hallar "x". A x 100° 40°

x B

TEMA 5

C

P

80° B

C A) 20° D) 10°

3. Hallar "x" si A y B son puntos de tangencia. A

B) 15° E) 60°

C) 5°

A) 40° D) 30°

GEOMETRÍA

B) 60° E) 140°

2442

60°

x

C

B C) 70°

A) 70° D) 20°

B) 40° E) 100°

C) 10°


CIRCUNFERENCIA II

4. En la figura, hallar "x".

7. Hallar "q" si "O" es centro y T punto de tangencia.

80°

T 4q

x A) 10° D) 40°

B) 20° E) 50°

C) 30°

5. Hallar "x".

A) 50° D) 70°

B) 40° E) 45°

C) 10°

F B) 60° E) 100°

C) 65°

PROFUNDIZACIÓN

O

35°

R

A) 90° C) 110° E) 105°

B

C) 60°

12. Hallar "x". 4x 5x

y B x

B) 70° E) 60°

E) 70°

100°

130° A) 50° D) 65°

B) 10°

D) 20°

x

O

O

A) 30°

A

N

C) 45°/2

11. En la figura, hallar "q".

C

B) 60° D) 140°

M 20°

E) 100°

2q 2q

9. En la figura, hallar x+y

6. Hallar "x" si O: centro de la circunferencia.

B) 50°

D) 20°

R

b

A

A) 40°

D

D C

x

80°

E

x B

q

8. Hallar "b", O: es centro de la circunferencia.

80° E A

10. En la figura, hallar "x".

O

A) 30° D) 60°

SISTEMATIZACIÓN

C) 45°

A) 90° C) 110° E) 130°


B) 60° D) 140°

A) 40°

B) 50°

C) 60°

D) 20°

E) 10°

52 25

GEOMETRÍA

TEMA 5

GEOMETRÍA TEMA 6

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SNII2G6

DESARROLLO DEL TEMA I. TEOREMA DE THALES

En la figura b), BE es bisectriz exterior, luego se cumple que:

"Tres o más paralelas determinan sobre dos o más secantes segmentos proporcionales". Las rectas L1 , L2 y L3 son paralelas y las rectas m y n son

secantes, luego se cumple: n m A D L1

a. B a a

E

B

L2

AB = BC AE CE

C L3

F

AB DE = BC EF

A

D

C

Corolario

"Toda paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos o a sus prolongaciones, determinan sobre ellas segmentos proporcionales". De (a):

MN // AC ⇒

a.

A

B

BM BN QB = ; De (b): PQ // AC ⇒ PB = MA NC BC BA b.

B

P

M

b. a a

Q A

B

C

N

C

A

C

"En todo triángulo se cumple que los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior (exterior) son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto". En la figura a),BD es bisectriz interior, luego se cumple AB BC = que: AD DC


62 26

Observación: • El Teorema de Thales es un teorema unívoco, eso quiere decir que exterior, tiene que luego haber rectas paralelas BE, es bisectriz se cumple que: paraBC que haya segmentos proporcionales y no lo AB = contrario. AE CE • Tener en claro la teoría de razón y proporción a. geométrica, ya que en este capítulo se utilizará esos conceptos con relación a lados, segmentos, etc. • Establecer la diferencia entre triángulos b. congruentes y semejantes.

GEOMETRÍA

TEMA 6

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS SEMEJANTES tienen 3

2

La misma forma

a

4

Diferente tamaño

es decir

Las medidas de sus lados correspondientes son proporcionales.

Sus ángulos son congruentes

6

4 8

los criterios de semejanza son:

Dos parejas de igual ángulo de igual medida

Dos pares de lados de medidas proporcionales y el ángulo comprendido de igual medida.

homólogos a aquellos que perteneciendo a dos triángulos

II. DEFINICIÓN

semejantes se oponen a ángulos congruentes), es un

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres

número constante, llamado razón de semejanza.

ángulos congruentes, o, sus tres lados respectivamente proporcionales.

Sus tres pares de lados de medidas proporcionales

Según lo expuesto, si los triángulos ABC y MNP de la

AB BC AC = = = k , donde; k es la razón de semejanza. MN NP MP

figura son semejantes, esto se denota así:

B

∆ABC  ∆MNP

N

b

Se comprueba que sus ángulos son tales que: m ∠ A = m ∠ M;m∠ B = m ∠ N;m∠ C = m ∠ P

En dos triángulos semejantes se verifica que la razón de

b A

cualquier pareja de lados homólogos (se denominan lados

a

q

C

a

M

q

P

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En la figura, calcular "x", si a // b // c .

  

A x 9

D 4

B

x

C

Reemplazando los datos: x x = 9 4 ∴ x=6

a b

E

c

F

UNMSM1990 NIVEL FÁCIL

A) 18 D) 12

B) 6 E) 13

AB DE = BC EF

C) 10

Resolución: Si a//b//c, por el teorema de Thales se cumple:

A) 18

B) 6

D) 12

E) 13

Resolución:

Respuesta: 6 Problema 2 En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BP(P en la prolongación de CA), en el triángulo PAB se traza la bisectriz interior PL, tal que la prolongación de CL interseca a PB en E. Calcular PE, si BL = 3, PC = 10 y BC = 8.


UNMSM 1992 NIVEL INTERMEDIO

72 27

C) 10

8 5n C 10

B q q 3 E L 3n A

a a

En la figura nos piden PE = x, en DCBL, por teorema de la bisectriz exterior tenemos: CE = 8n CE 8 = → EL 3 EL = 3n

GEOMETRÍA

TEMA 6


Entonces CL = 5n, luego en el , por el teorema de la bisectriz interior tenemos:

A) 18 D) 12

B) 6 E) 13

C) 10

Si el DABC es isósceles y BH es altura: x 2

AH = HC =

Resolución:

Y como: m]OAH = m]OBQ = a

x 10 = 3n 5n

B

∴x=6

Resulta que: a

Respuesta: 6

BHC ∼

AHO

8

Problema 3

Q

En un DABC(BC = BC), las alturas BH y AQ se intersectan en "O", tal que: OH = 1 y OB = 8.

a x/2

A

Calcular AC. UNMSM 2002 NIVEL DIFÍCIL

OO b1 x

H x/2 b

x /2 1 = 9 x /2 ∴x=6

C

Respuesta: 6

En la figura nos pide: AC = x

PROBLEMAS DE CLASE 3. En el gráfico AE = 3DC, BD = 9, EB = 8 y m]DCE=m]DAE. Halle AE.

EJERCITACIÓN 1. En la figura, DE es mediatriz de

C

6. Si AB = a y BC = b, halle "x".

AB. Si AD = 3 y EC = 5, halle el

B

perímetro del triángulo ABC.

D

B A

A

A) 17/5 D) 16/5

B) 24 D) 36

B

E

C

E

A) 28 C) 21 E) 32

A

B) 48/5 E) N.A.

A) a + b B)

BC, MN = 4, BN = 6, 3NC = 2NB y

halle el valor de CD. B

MN//AC. Halle el perímetro del

Calcule FP.

D A) 60 D) 30

A) 70/3 C) 200/3 E) 40/3

ab a+b E) a+b ab

B N

M

E

A

C

D)

a+b C) 2a – b 2

7. Si PQ//BC, PR//AB; AC = CF = 2cm.

C

triángulo ABC.

C

P

C) 17/15

4. Si AB//DE, BD = 80 y AE = 4CE,

2. En el gráfico se tiene que AB =

TEMA 6

60° 60° x

D

A

PROFUNDIZACIÓN

B B) 50/3 D) 80/3

B) 40 E) 16

5. En un triángulo ABC, se sabe que AB = 6, AC = 8 y m]BAC = 2m] BCA. Halle BC. A) 2 21 B) 2 17 C) 2 5 D) 6 5

GEOMETRÍA

E) 7 3

2882

Q

C) 20

R A

P

F

C

A) 2

B) 2 2

D) 3 2

E) 5 2

C) 4 2



8. Se trazan "n" paralelas al lado BC, determinando segmentos iguales en AB. Si BC = a, halle la suma de las longitudes de todas las paralelas en el triángulo ABC. B) an 2 D) n2 + a

A) 2an C) a + n 2 E) a(n + 1) 2

C) 36° D) 30° E) 37°

SISTEMATIZACIÓN

B x x x

D

B) 24°

9. Si: 5AD = 6EC y 2AD = 3DE, halle "x"

A

10. Sobre el cateto AB de un triángulo ABC, recto en B, se toma el punto "O" y con radio OA se traza un circunferencia que corta a AC en N y a AB en M. Halle el radio de la circunferencia, sabiendo que:

E

11. Tres circunferencias tangentes dos a dos están inscritas en un ángulo. Los radios de las exteriores son de 1 cm y 9 cm. Calcule el radio de la circunferencia intermedia.

A) 25°

C

AN × AC = 12 y AB = 6 A) 1

B) 2

D) 4

E) 5


92 29

C) 3

A) 2

B) 4

D) 3

E) 5

C) 1

12. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. Sobre el arco BC se toma un punto P, tal que las prolongaciones de BP y AC se cortan en Q. Calcule BC sabiendo que AB = BC, BP = 4 y PQ = 12. A) 6 B) 8 C) 10 D) 7 E) 9

GEOMETRÍA

TEMA 6

GEOMETRÍA TEMA 7

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA SNII2G7

DESARROLLO DEL TEMA

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1ra Relación

2da Relación

a2 = c . m

2

h =m.n

2

3ra relación

4ta Relación

a.b=c.h

a2 + b2 = c2

b =c.n

PROPIEDADES 1.

Nota: x r

R

Conocer bien la definición de proyección ortogonal en especial de los catetos sobre la hipotenusa. B

x = 2 R.r

2. A

x x2 = m . n m

C

H

Proyección de AB sobre AC es AH proyección de BC sobre AC es HC.

n

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

I. TEOREMA DE LAS CUERDAS m

II. TEOREMA DE LA TANGENTE

b

a n

x a.b=m.n b


03 30

x2 = a . b

a

GEOMETRÍA

TEMA 7

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA

III. TEOREMAS DE LAS SECANTES

IV. TEOREMA DE PTOLOMEO: B

C

m

ab + mn = xy

a a.b=m.n

a

b

x

b

y

A

n

n

D

m Nota: Según el gráfico:

Nota: La proyección de la hipotenusa sobre un cateto es el mismo cateto. Si los lados de un triángulo se encuentran en proyección aritmética entonces los ángulos miden 37° y 53°.

P AP2 = (AB)(AH) A

H

B

O

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcula AB. Si BC = 10 y DC2 + ED2 + AE2 = 56 B

Problema 2 Problema 3 Los radios de dos circunferenciasEn el trapecio mostrado calcula HD si tangentes externas están en la relaciónAC = 6, AH = 4 y BC = 2 B C de uno a tres. Las tangentes comunes exteriores miden 4 3 u y se cortan en E. Calcula la distancia entre el centro de la mayor y E.

A

A

SAN MARCOS 2004

D

C

SAN MARCOS 2002 NIVEL FÁCIL

A) 3 20

B) 2 11 C) 2 10

D) 5 10

E) 2 20

A) 12 m

B) 10 m

D) 15 m

E) 20 m

BED: BD2 = ED2 + BE2 .......... (II) BAE: BE2 = AE2 + AB2 ........... (III) Sumando (I), (II) y (III) obtenemos: BC2 = DC2 + ED2 + AE2 + AB2 102 = 56 + AB2 44 = AB2

NIVEL DIFÍCIL

A) 12 D 15

B) 5 E) 2

O 2r H

3r 30° r O2 r r

A

C) 3

Resolución: B

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos: BDC: BC2 = DC2 + BD2 .......... (I)

C) 11 m

Resolución:

Resolución:

AB = 2 11

SAN MARCOS 2001

NIVEL INTERMEDIO

E

D

H

4 3m

B

2

C

A E

H

D

E

Se pide calcular OE

2 4 x A partir del vértice C se traza una paralela a BD.

AB = 2 3r.r ⇒ r = 2m.

• Donde DBCE es un paralelogramo

Unimos los centros con E.

• En el

Se observa que OO2= 4r; OH = 2r y ya que r = 2 u; OA = 6 u

Respuesta: B) 2 11


OAE: OE = 12 m

A

4

H

X+2

E

2

6 = 4(6 + x) ⇒ x = 3

Respuesta: A) 12m

13 31

C

6

⇒ m∠OO2H = 30 ⇒ m∠OEA = 30°

En el

ACE

GEOMETRÍA

Respuesta: C) 3

TEMA 7

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA

PROBLEMAS DE CLASE

5. Del gráfico mostrado halle la hipotenusa: B

SIMPLES 1. Del gráfico, halle “x”. B

B

M A

30 A

x A

4 A) 4

B) 5

D) 7

E) 8

A) 7 D) 10

C

9 C) 6

A) 5 3

x 12 B) 5

D) 8

E) 7

4

D) 5

A) 14

E) N.A.

B) 2

N C) 3

10. En la figura, si a2 + b2 = 36. Halle x.

C) 3 x

a

7. Las bases de un trapecio miden 8m y 14m y los lados no paralelos 7m y 9 m. Calcule el segmento que une a los puntos medios de las bases.

C) 6

C) 4 4

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

b

C) 3

11. En la figura, halle x. 2m

D) 2 14 E) 4 12

120 13

x+4

A

C

x+4 A) 10

B) 20

D) 40

E) 50

C) 30

4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25m y la suma de las longitudes de los catetos y la altura es 47m, Halle la medida de la altura. A) 12

B) 14

D) 22

E) 16

TEMA 7

B) 3 5

D B) 2 E) 5

SISTEMATIZACIÓN

C

3. Halle el valor “x”. B 10

C) 9

6. Las bases de un trapecio miden 8m y 14 m y los lados no paralelos

B

A) 4

B) 8 E) 11

A) 1 D) 4

C

n

PROFUNDIZACIÓN

2. Calcule el valor de “x”.

A

n+1

C

C) 24

8. El diámetro de una circunferencia mide 13 y divide en partes iguales a una cuerda de 5 m de longitud. ¿Cuánto mide la parte menor del diámetro? A) 0,5

B) 2,5

D) 1

E) 1,5

C) 2

9. En la figura ABCD es un cuadrado. Si: 1 1 1 BM2 + BN2 = 25

calcule AB.

GEOMETRÍA

3223

x

A) 1m D) 4m

8m B) 2m E) 5m

C) 3m

12. Los lados de un triángulo miden 6; 5 y 7 m. Calcule la longitud de la proyección del lado que mide 6m sobre el lado que mide 7m. A) 3m B) 4,5m C) 5m 30 40 D) m E) m 7 7


GEOMETRÍA TEMA 8

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

SNII2G8

DESARROLLO DEL TEMA I. TEOREMA DE EUCLIDES

En la figura: a > 90 y AH es la proyección de AB sobre AC (AH = m), luego:

A. Teorema 1 En todo triángulo se cumple que la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él. B

A

a m

Observación En el

AHB: m = cCosa.

En (2) a2 = b2 + c2 – 2bcCosa "Teorema de cosenos"

Dado el triángulo ABC, donde AB = c, BC = a y AC = b, siendo a > b > c, entonces se verifica que: a2 < b2 + c2 ⇒ el iABC es acutángulo a2 = b2 + c2 ⇒ el iABC es rectángulo a2 > b2 + c2 ⇒ el iABC es obtusángulo

H

C

b

De acuerdo a la figura siendo a < 90 y "m" la longitud de la proyección se cumple. a2 = b2 + c2 – 2bm ... (1)

A. TEOREMA DE STEWART

Observación

B

AHB: m = cCosa

En el

...(2)

II. RECONOCIMIENTO DE LA NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

a

c

a2 = b2 + c2 + 2bm

En (1): a2 = b2 + c2 – 2bcCosa Cosenos.

Teorema de c

a

x

B. Teorema 2

En todo triángulo obtusángulo se cumple que el cuadrado de la medida del lado, opuesto al ángulo obtuso es iguala a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados más el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él. B

A

m

F

n

Si BF es una ceviana entonces se verifica la siguiente relación: c2n + a2m = x2b + bmn

a

c

H

m

(3)

Observación

A

C

b

b


C

33 33

Si el triángulo es isósceles con a = c la expresión (3) se reduce a: a2 = x2 + mn

GEOMETRÍA

TEMA 8


l ABCD: inscrito en la circunferencia C. AB = a; BC = b, CD = c, AD = d AC = m y BD = n Se cumple: m . n = a . c + b . d

B. Teorema de la mediana B

a

mb

c

A. Teorema de Euler

A

M

III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO C

b

En todo cuadrilátero convexo o no convexo se verifica a la siguiente relación.

Si BM es mediana (BM = mb) se cumple lo siguiente: c2 + a2 = 2(mb)2 +

C B

b2 2

M

N

Observación

Siendo las medidas de las otras medianas ma y mc se cumple que: (ma)2 + (mb)2 + (mc)2 + =

3 (a2 + b2 + c2) 4

A

(AB)2 + (BC)2 + (CD)2 + (AD)2 = (AC)2 + (BD)2 + 4(MN)2

B. Teorema de Viette

C. Teorema de herón

(Segundo Teorema de Ptolomeo) En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible en una circunferencia, la razón de las longitudes diagonales es igual a la razón de la suma de los productos de las longitudes de los lados que ocurren a los extremos de cada diagonal respectivamente.

B

c

D

a

hb

B A

H

C b

hb =

2 b

a+b+c 2

p(p – a)(p – b)(p – c)

m

A

d

D

m ad + bc Se cumple: n = ab + cd

D. TEOREMA DE PTOLOMEO

c

n

a

BH es altura (BH = hb): p =

C

b

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus lados opuestos. C b C B

C. Teorema de Arquímedes

Es un cuadrilátero de diagonales perpendiculares se verifica que: C B

c a

A

TEMA 8

m

n

d

A

D

GEOMETRÍA

D 2

2

2

AB + CD = BC + AD

3443

2



D. Teorema de Chadú En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia o inscriptible, tal que tres vértices son los vértices de un triángulo equilátero, entonces la distancia del cuarto vértice más alejado es igual a la suma de las distancias de este a los otros dos vértices del triángulo equilátero. B b P

l

l

c

P: punto interior del rectángulo ABCD.

Se cumple:

P m

C

x

C

→ C=a+b

n

A

P: es el punto exterior del rectángulo ABCD. Se cumple:

E. Teorema de Marlen

D

x2 + y2 = m2 + n2

Es un rectángulo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera a sus vértices opuestos son iguales. 1. B C

Observación: El teorema de Marlen también se puede aplicar aun

c

cuadrado.

P a

y

B

Se cumple: PA = PC + PB

b

a2 + c2 = b2 + d2

2.

a

l

A

El punto P puede ubicarse en cualquier parte del plano que contiene al rectángulo, incluso el teorema

d

se sigue cumpliendo si P está en el espacio (fuera del plano que contiene al rectángulo).

A

D

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 ABCD es un rombo, BM = MC, AM = 9

Resolución: C

y DM = 13. Calcula AB. C

M

x

B D

D A) 8 D) 11

A B) 9 E) 12

M

13

x

Problema 2 En un triángulo ABC, AB = C; BC = a y AC = b. Si a2 = b2 + c2 – bc. Calcule la mediana de uno de los ángulos interiores. A) 45° B) 53° C) 37° D) 30° E) 60°

B 9

x

A

T x

Resolución:

Calculo de la mediana: 132 + 92 = 2x2 + x 2 2 x = 10

C) 10


c

Respuesta: C) 10

53 35

B

A

q

GEOMETRÍA

a b

C

TEMA 8


Teorema de cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bcCosq Dato: a2 = b2 + c2 – bc ⇒ 2bcCosq = bc 1 ∴ Cosq = 2 ⇒ q = 60°

A) 6 D) 8

B) 10 E) 12

C) 14

mBPCO (Ptolomeo)

xm 2 = ma + mb

Resolución: P

Respuesta: E) 60°

x 2 = 10 2

a

b

x

B

Problema 3 Es un cuadrado ABCD exterior y relativo a BC se ubica el punto P. Si m]BPC = 90° y PB + PC = 10 2 si O es centro del cuadrado, calcule: PO

m 2 m

x = 10

C

m O

Respuesta: B) 10 D

A

PROBLEMAS DE CLASE 4. En la figura, calcular "x".

EJERCITACIÓN 1. En la figura, calcular "x".

7. Calcular "x"

7

5

x

5

3

13

41

5

x

6 x

8

A) 0,5 D) 2

B) 3 7 E) 6 2

A) 2 6 D) 5 3

B) 4 E) 3

C) 1

C) 2 5

7 A

A) 8,1 D) 3,2

C) 2,4

3. En la figura, calcular "x".

x

6

x A) 1 D) 3

TEMA 8

C

4

B) 8 E) 4

1

C) 9

2

A) 6

B) 3

D) 5

E) 2

9

a x

a a

18

x

16 x

8

21 C) 4

C) 2

9. Calcular "x".

6. Calcular "x"

x B) 2 E) 5

D

4 x

PROFUNDIZACIÓN

a

8

2

2 A) 6 D) 5

B) 1,5 E) 1,4

E) 74

a a

x+2

x

5

5

D) 90

C) 53

8. Calcular "x".

2. En la figura, calcular "x".

x

B) 75

5. Calcular "x". B

3

A) 60

A) 7 D) 9

GEOMETRÍA

B) 6 E) 5

3663

C) 8

A) 8

B) 6

D) 12

E) 5

C) 4



SISTEMATIZACIÓN

A) K D) 2K

10. Calcular la m]C. Si ABC es un triángulo, m]B = 54° y a2 = c2 + bc. A) 21

B) 42

D) 30

E) 84

B) K/2 E) 3K

12. Si ABCD es un cuadrado y 2(AS) = SN. Calcule ON B

C) 18

C r O

11. Calcule (BL)(LD), si (LC)(LA) = k y mPM = mMQ M

C) K/3

Q S

C

B

L N

A

D

L

P

A

D


73 37

r 2 A) 3

r 2 B) 5

r 2 D) 2

r 2 E) 4

GEOMETRÍA

C) 3r 2 7

TEMA 8

GEOMETRÍA TEMA 9

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES SNII2G9

DESARROLLO DEL TEMA I. REGIONES POLIGONALES

A continuación se presentan una serie de teoremas para calcular el área de diversas regiones triangulares.

TEOREMA FUNDAMENTAL B

Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior. Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento

S = (1/2)hb.b

hb H

A

C

b

TEOREMA TRIGONOMÉTRICA

B

Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones triangulares de cualquier descomposición así se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal.

c a A

A. POSTULADOS

b TEOREMA DE ARQUÍMEDES

1. Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región. 2. El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en el cual puede dividirse. 3. Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones poligonales correspondientes tienen la misma área. Observaciones: a) Para todo triángulo obtusángulo B

hb b

c

c

a

a c

C A b Donde “p” es el semiperímetro.

B

S

L

b

83 38

C

b

c) Para un triángulo equilátero

bc S= 2

C


B

A

b) Para un triángulo rectángulo.

bhb S= 2

A

B

C

A

GEOMETRÍA

60°

S=

L2 3 4

L

L

60°

C

TEMA 9

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

TEOREMAS ADICIONALES

4. En función del inradio y los ex-radios Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABC y “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios, entonces:

1. En función del inradio B S = pr

Observaciones: 1. Dos figuras son equivalentes si tienen forma distinta pero igual tamaño. La siguiente figura muestra un círculo y una región triangular de igual área, es decir son equivalentes.

r

C

A Donde “p” es el semiperímetro.

c

S=

a O

R A

<>

S

2. En función del circunradio B

S

2. Para todo triángulo rectángulo B S = mn

abc 4R

C

b

C

A m

3. En función del ex-radio

n

3. Para todo triángulo rectángulo B S=

Ec rc

c(p – c)

c

c

ra

C A Donde “p” es el semiperímetro.

S= a

B

rc

C

A

PROBLEMAS RESUELTOS Resolución:

Problema 1 Calcula el área de la región sombreada si AB = 6m, BC = 8m y AC = 10m. B

B 8m A

C

A

R= D

6m

10m

B) R = 19 m2

Respuesta: C) R = 8 u2

C

Piden: el área de la región sombreada.

Problema 2 Calcula el área de la región sombreada si BF = 3 u y AC = 10 u. B

Por el teorema de Poncelet:

C) R = 8 m2 D) R = 10 m2

AB + BC = AC + 2(ED)

2

AB × ED 2

\ R = 8u2

Ya que D es el incentro del triángulo ABC, DE es el inradio.

A) R = 5 m2

E) R = 9 m

Sea R la región triangular ABC.

F

D

8u + 6u = 10u + 2(ED) SAN MARCOS 2000 NIVEL FÁCIL


ED = 2u

93 39

A

GEOMETRÍA

E

C

TEMA 9


A) 20 u2

B) 12 u2

2

2

C) 18 u

D) 15 u

De comparar lo obtenido con (1):

S(ABD) = 5u (3u + FE) = 5u(DH)

E) 10 u2

S(ABD) = 15u2 + 5uFE – 5u(DH) SAN MARCOS 2001 NIVEL INTERMEDIO

S(ABD) = 15u2 + 5u(FE – DH) 144424443 CERO

B

A

H

S

A(iSAB) =

Respuesta: D) 15 u2 C

E 10u

Piden:

AH = HB = 3 También: OB = 5;

En el gráfico, calcula el área de la región triangular ABS. B

entonces: OH = 4 En el trapecio SABK:

Se observa que:

• FE = DH

.................... (2)

Ahora: S(ABC) =

AC × BE = 5 u(3 u + FE) 2

S(ADE) =

AC × DH = 5 u × DH 2

AS × AB 2

Desde O trazamos OH ⊥ AB

Problema 3

OH =

A

• S(ABD) = S(ABC) – S(ADC) ........ (1)

D

O

Nos piden:

\ S(ABD) = 15 u2 D

B

A E

De comparar con (2)

Resolución: 3u F

Resolución:

AS × 5,5 2

→ AS = 2,5 E

D

S

A) 3,2

B) 7,5

C) 6,5

D) 4,5

Reemplazando: A(iSAB) = 7,5

E) 10,2 SAN MARCOS 2004

Respuesta: B) 7,5

NIVEL DIFÍCIL

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN 1 En un triángulo, dos de sus lados de 10 y 15 m respectivamente, forman un ángulo de 45°. Hallar el área del triángulo. A) 78 2 m2

A) 3 m2

B) 2 3 m2

C) 2 2 m2

D) 3 3 m2

A) 1

B) 2

D) 2

E) 5

C) 3

PROFUNDIZACIÓN 6. La figura muestra un rectángulo, halla la relación entre el área

E) N.A.

B) 75 2/2 m2

sombreada y el área no sombreada. 4. Los lados de un triángulo miden 9, 11 y 12. Hallar su área.

C) 73 2/2 m2 D) 80 2 m2 E) N.A. 2. Calcular el área de un triángulo sabiendo que el producto de sus lados es igual a 56 y el circunradio es igual a 2. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

TEMA 9

3. En un triángulo equilátero de 4 3m de lado se unen los puntos medios de sus lados, obteniéndose un triángulo cuya área es:

A) 8 7

B) 8 35

C) 8 5

D) 35

10

E) N.A. 5. En un triángulo ABC el lado AC=2. ¿Cuánto mide la paralela a dicho lado, tal que determina dos regiones equivalentes?

GEOMETRÍA

4004

3

4

A) 7/12

B) 7/13

D) 7/15

E) 7/16

C) 1/2



7. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, la bisectriz AF interseca a BH en P. Calcule el área de la región triangular BPF, si AP = 6 y PF = 4. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 8. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” y de incentro “I” se sabe que: IA = 10, IC = 8 2. Hallar el área del triángulo AIC. A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) 60 9. En un triángulo ABC, en AC se toma un punto “D” tal que DC = AC . Si 4 S(ABC) = 80. Calcular S(DBC).

A) 5

B) 10

D) 20

E) 25

C) 15

SISTEMATIZACIÓN

11. El área de un triángulo ABC es 72 m2, por el baricentro “G” se trazan paralelas a AB y BC, que intersecan a AC en los puntos E y F respectivamente. Calcular el área de la región triangular EGF

14 41

B) 7 u2

C) 8 u2

D) 9 u2

E) 10 3 u2

12. Si G es el baricentro del triángulo

10. S e t i e n e u n t r i á n g u l o A B C , tomándose en AC el punto “D” tal que AD = 2(DC). En el triángulo BDC se traza la mediana CM. Calcular S(BMC) si S(ABC) = 60. A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 15


A) 6 u2

ABC recto en B, la distancia del baricentro de dicho triángulo a los puntos medios M y N de los lados BC y AC miden 5 u y 3 u respectivamente. Calcular el área de la región triangular AGN A) 4 11 u2 B) 3 10 u2 C) 3 11 u2 D) 4 10 u2 E) 5 11 u2

GEOMETRÍA

TEMA 9

GEOMETRÍA TEMA 10

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES SNII2G10

DESARROLLO DEL TEMA I. TEOREMAS

3.

1.

AABCD =

(AC)(BD) Senθ 2

Sean A, B, C y D las áreas de las regiones triangulares. Se cumple:

A.B = C.D Observación:

AABCD =

Si :BM = MC AN = ND

(AC)(BD) 2

2.

4.

A = BD(AC) Senw 2

Observación:

A

ABCD

(BD)(AC) = 2


24 42

Si: AM = MB, BN = NC CP = PD y AQ = QD ⇒ f MNPQ: Paralelogramo

Se cumple

AMNPQ =

ADEMÁS

A +B = C+D

GEOMETRÍA

AABCD 2

TEMA 10

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

II. ÁREA DE REGIONES TRAPECIALES

Teoremas 1.

1.

Si: BC // AD

AABCD =

2.

( a + b 2+ c + d ) R

2.

Si: BC // AD BM = MA y CN = ND

3.

Sea: p =

a+b+c+d 2

AABCD = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)

3. Cuadrilátero bicéntrico

Si: BC // AD Se cumple: A = B Además: A.B = C.D A = CD Luego: AdABCD = A + B + C + D AdABCD = 2 CD + C + D AdABCD = ( C + D )2

A

AABCD = abcd

4.

III. ÁREA DE REGIONES PARALELOGRÁMICAS

Si: BC // AD CM = MD

⇒ ABMA =

AABCD 2


34 43

AABCD : Paralelogramo AABCD = (AD)(BH) AABCD = (AB)(AD)Senθ

GEOMETRÍA

TEMA 10


A. Área de la región rombal

D. Propiedades En regiones paralelográmicas.

1.

AABCD =

(AC)(BD) 2

B. Área de la región rectangular

AABCD = (AB)(AD)

C. Área de la región cuadrada

A+B =

AABCD 2

C+D =

AABCD 2

A+B =

AABCD 2

2.

AABCD = a2

AABCD =

d2 2


Resolución:

Problema 2 Se tiene los triángulos equiláteros ABC y PBQ, donde P está en la región interior y Q en la región exterior y relativa a BC, si: (AP)(CQ) = k. Calcule el área de la región no convexa BACP.

En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores AM y BQ. (AM ∩ BQ) Calcule la razón de las áreas de las regiones ABP y PQCM. Si:

NIVEL INTERMEDIO

BM 2 y AQ 3 = = MC 3 QC 2

Sea: A ∆APQ = A NIVEL INTERMEDIO

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1

De los datos: Por razón de áreas S1 + A 3 ; S2 + A 3 = = A ∆ABC 5 A ∆ABC 5

⇒ S1 + A = S2 + A

∴

S1 =1 S2

Respuesta: E) 1

TEMA 10

GEOMETRÍA

4444

A) k 2 3 k 3 B) 2 k 3 C) 4 k 3 D) 2 4 2 3 E) 4



Resolución:

Problema 3 En la figura se muestra un triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcular el área de la corona circular si CT = 2 3 y M, N y T son puntos de tangencia. NIVEL FÁCIL

Según el gráfico y por teorema general.

A) 3p B) 6p C) 5p D) 2p E) 4p En el ∆OMA se deduce:

Luego: ∆ ABP ≅ ∆ CBQ (L – A – L) ⇒ mBAP = w y

A

OM = MA = r

mBCQ = w

AO = r 2 = ON

T

M

En el ∆ONC se deduce:

ON = NC = r 2 B

w + 60° = q + w q = 60° Reemplazando:

C

N

OC = 2r

∆OTC (Notable 30° - 60°)

Resolución: Se pide:

r=2 →R =2 2 En (1): A corona = π ((2 2)2 − 22 )

A corona = π(R 2 − r 2 ) ... (1)

∴ A corona = 4 π

Del dato: Ab = BC

Respuesta: C) k 3 /4 4

Respuesta: E) 4 p

mA = mACB = 45°

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1.

A) 100 m B) 200 m C) 150 m

En la figura ABCD es un trapecio, AB = BC = 15 cm. Hallar el área del trapecio. B C

37° A A) 225 cm2 C) 228,5 cm2 E) 221 cm2

45° D B) 229,5 cm2 D) 220,5 cm2

2. La suma de las áreas de las regiones de dos cuadrados es igual a 325 m2. Hallar la suma de sus perímetros si se sabe que el producto de las medidas de sus diagonales es igual a 300 m2

D) 50 m E) 120 m 3. Determine el área de la región encerrada por un rombo cuyo lado mide 5u y la suma de sus diagonales es 14u A) 20u2 B) 24u2 C) 30u2 D) 32u2 E) 28u2 4. El área de la región triangular BLC es 10, LC = 2OL. Calcular el área de la región paralelográmica ABCD B C O A


L D

54 45

A) 45 D) 60

B) 56 E) 120

C) 75

5. En la figura el área del paralelogramo ABCD es 120, hallar el área del triángulo AFB si AM = MD C B F A A) 15 D) 25

M

D

B) 30 E) 35

C) 20

PROFUNDIZACIÓN 6. Se tiene un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo de modo que uno de sus lados descansa sobre

GEOMETRÍA

TEMA 10


la hipotenusa; si la hipotenusa y su altura relativa miden 20u y 5u. Calcular el área del cuadrado. A) 16u2 B) 20u2 2 C) 25u D) 32u2 2 E) 24u 7. Un trapecio tiene como bases 6 dm y 14 dm. Este polígono es equivalente a un rombo cuya diagonal menor es congruente a la altura del trapecio. Hallar el área del trapecio, si la diagonal mayor del rombo es cuatro veces la altura del trapecio. A) 5dm2 B) 50 dm2 2 C) 25 dm D) 10 dm2 E) 12 dm2 8.

Calcular el área de la región cuadrangular MNPQ si MQ + NP = 22 u. P

A) 78 u2 B) 106 u2 C) 208 u2 D) 132 u2 E) 128 u2

11. Del gráfico, calcular el área AHED siendo AP = 6u y 5(AB) = 4(BC) B

A) x2/6 m2

A

D

A) 18u2

B) 36u2

D) 45u2

E) 48u2

C) 24u2

SISTEMATIZACIÓN

C) x2/9 m2 2

2

D) x /10 m

E) x2/18 m2 10. Según el gráfico calcular Sx

12. Del gráfico, ABCD es un romboide calcular el área de la región cuadrangular PCDQ, siendo el área PBQ = 4u2 y el área AQD = 9u2 B P C

27

Q Sx

A

A) 10 D) 8

GEOMETRÍA

D 2

6u

TEMA 10

E

B) 2x2/9 m2

6 Q

P

H

9. Un campo rectangular cuyo largo es el doble del ancho esta encerrado por “x” metros de cerco para protegerlo. El área del campo es

N

M

C

B) 11 E) 9

4664

C) 7

A) 10u C) 12u2 E) 14u2

B) 11u2 D) 13u2


GEOMETRÍA TEMA 11

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES SNII2GEO11

DESARROLLO DEL TEMA I. ÁREA DEL CÍRCULO S=

S = π R 2

π R2 4

II. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR S=

Observación • El área de un sector circular de radio R y ángulo central 2 se calcula R α . radianes) 2

III. ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR

S=

π R2 3

π R2 8

Observación • Las áreas de todos los círculos son proporcionales al cuadrado de sus radios. • Las áreas de todos los triángulos equiláteros son proporcionales a los cuadrados de sus lados.

ak

bk

A

a

Observaciones:

A

b G → Baricentro

S=

π R2 2

A A

A A

A

A A

A G A

A

S=

πR 6

2


A

74 47

A

A

GEOMETRÍA

TEMA 11

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

Propiedades: I) Para todo cuadrilátero

IV. RELACIÓN DE ÁREAS Nota: Las áreas determinadas son proporcionales al lado de donde parte la bisectriz.

R A

X

C D

S1 a = S2 b

X=

A×C=B×C

Sugerencia: • Para calcular el área de una región circular solo se necesita la longitud del radio y es necesario recordar las propiedades generales de una circunferencia. • El área de un sector circular de radio R y ángulo central 2 , se calcula R α . (a → radianes) 2

Sugerencia: Para relacionar área es importante recordar el teorema de Thales.

II) Para todo trapecio

Para Triángulos Semejantes

B

N

c h1 a A

l

A1 b b

h2

m

M

X=

b n

A

A

L

A1 a2 b2 c2 = ... = K 2 = = = 2 2 A2 m n l2

A

Nota: Las áreas de todos los círculos son proporcionales al cuadrado de sus radios.

A TOT 2

III) En todo paralelogramo

A2

a C

X

A=B

q

a

B

A

Si el ABC es semejante al MNL.

q

A TOT 2

A

A A

C B

A

B= A+C=

AT 2

Nota: Las áreas de todos los triángulos equiláteros son proporcionales a los cuadrados de sus lados.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En el gráfico, calcula el área de la región sombreada. Si QM = 2.

Resolución:

a 5 = AQ 2. jAPQO es un trapecio. Trasladando áreas. Sx =

πa2 1π (a 2)2 ⇒ S x = 4 2

Teorema de las cuerdas a 5 ⋅2 = a⋅a ⇒ 2 5 = a NIVEL DIFÍCIL

1. Se une PQ y AP APQ (Teorema de Pitágoras)

C) 15

(a 2)2 + a2 = (AQ)2

UNMSM 2000–I

A) 18 D) 20

TEMA 11

B) 12 E) 10

GEOMETRÍA

4884

• Reemplazando: 1 S x = (2 5)2 π S x = 10 π 2

Respuesta: 10 p



Problema 2 Calcula el área de la región sombreada,  = 90° (C, M y O son puntos de si mCM tangencia).

Resolución:

(Teorema de Pitágoras) 2

2

2

3 + (6 – r) = (3 + r)

9 + 62 – 2(6)(r) + r2 = 32 + 2(3)(r) + r2 Sx = 23p

Respuesta: 23 p Problema 3 Calcula el área de la región sombreada, si el área de la región triangular es 80 m2.

A) 10 p D) 30 p

B) 32 p E) 40 p

C) 23 p Se traza BM , por relación de áreas:

UNMSM 2001–I NIVEL INTERMEDIO

8S = 80 m2

Resolución:

S = 10 m2. A) 28 B) 30 C) 18 D) 50 E) 20

Pero piden 5S

m2 m2 m2 m2 m2

⇒ 5(10 m2) = 50 m2

UNMSM 2002–I

Respuesta: 50 m2

NIVEL FÁCIL

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Hallar el radio de un círculo de 121p m2 de área. A) 8m B) 9 m C) 11 m D) 13 m E) 17 m 2. Hallar el área de un sector circular de ángulo 60° y es parte de un círculo de radio 2cm. A) 3p/2 cm2 B) 3p/5 cm2 2 C) 5p/3 cm D) 2p/3 cm2 2 E) 2p/5 cm 3. Si el área de una corona circular de 28p cm2, el radio del círculo mayor de dicha corona mide 8cm. Calcular su radio menor. A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm E) 7 cm 4.

A) 12p m2 C) 20p m2 E) 25p m2

B) 14p m2 D) 21p m2

A) 3 3/4

B) 8 3/9

C) 4/3

D) 4/5

E) 5/3

5. Hallar el área de la corona. Si: AB = 18, AB: cuerda tangente a la menor circunferencia. A) 18p B) 54p C) 72p D) 81p E) 91p

7. En la siguiente figura: ABCD es un rectángulo de área 20m2. El punto I es el incentro del triángulo ABD. Hallar el área sombreada. A B I

PROFUNDIZACIÓN 6. Hallar la relación entre las áreas del cuadro ABCD y el triángulo equilátero APQ. P

El lado de un cuadrado mide 10 m. Hallar el área del círculo inscrito en él.


C

B

Q A

D

94 49

D A) 10 C) 30 E) 50

C B) 20 D) 40

8. E n l a f i g u ra , h a l l a r e l á re a sombreada. Si MN = 6 y la distancia entre los centros es 4 (Tomar p = 3 3)

GEOMETRÍA

TEMA 11


M

A

O

B

A) 2 p B) 6 p C) 6 3 D) 9 3 E) N.A 9. Si AP = 2, BR = 1. Hallar el área sombrada A

10. Sobre la circunferencia de 6m de radio se toma como centro un punto con radio igual al radio del círculo se traza un arco que corta a la circunferencia en A y B. Se traza el diámetro AOC y haciendo centro en “A” y con radio igual a AB se traza un arco que corta al diámetro en M. Calcular el área OMB. A) 3p B) 5p C) 7p D) 3,5p E) 4p 11. En la figura, ABCD es un cuadrado de 8m de lado. Calcular el área del círculo sombreado.

P

B O A) 3 D) 6

TEMA 11

A) 4p m2

SISTEMATIZACIÓN

N

R B) 4 E) N.A.

C

B) 25p m2 C) 9p m2 D) 64p m2 E) 10p m2 12. En la figura AB es diámetro AF = AB, si AB = 4m ¿Qué porcentaje del área del semicírculo es la diferencia de las áreas sombreadas? F

A

30°

B

A) 64 – 9p B) 54 – 9p C) 34 + 9p

B

D) 36 – 9p

C) 5 A

GEOMETRÍA

D

5005

E) 12p


GEOMETRÍA TEMA 12

GEOMETRÍA DEL ESPACIO SNII2G12

DESARROLLO DEL TEMA Postulado

I. DEFINICIÓN

Es aquella parte de la geometría que estudia las figuras

Con tres puntos no colineales se determina un plano.

geométricas en el espacio.

II. PLANO

B

A

El plano se considera como una superficie llana e ilimitada en toda su extensión, y de espesor despreciable.

C

P

Sea A, B y C punto no colineales.

A. Representación geométrica de un plano

Entonces con los puntos A, B y C se determina el

P.

Tradicionalmente al plano se le representa mediante una región paralelográmica; eso no significa que no lo podemos representar por cualquier otra región plana.

Teorema 1 Con una recta y un punto que no pertenece a dicha recta se determina un plano. A

L

B C

L P

Se uica la letra en una de sus esquinas. Notación:

Sea C ∉ L (A y B ∈ L )

L Se L.

Entonces con C y L se determina el

P.

Teorema 2

B. Determinación de un plano

Con dos rectas secantes se determina un plano.

Significa ubicarlo o fijarlo en un determinado lugar. Para que se entienda mejor, de manera análoga,

A

L1

B

citaremos un ejemplo real: Si deseamos que la pizarra queda fija en la pared, debemos apoyarla en la pared donde queramos fijarla y clavar en tres de

P

L2

C

sus esquinas. A continuación veamos qué es necesario para

Como A y B ∈ L 1, A y C ∈ L 2.

determinar un plano:

Entonces con L 1 y L 2 se determina el


15 51

GEOMETRÍA

P.

TEMA 12

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Teorema 3 Con dos rectas paralelas se determina un plano.

P

B

L

L1

B

A

A

C P

L2

Si A, B ∈ L y A, B ∉ P

Como A y B ∈ L 1 C ∈ L 2 y ∈ L 2// L 1 Entonces con L 1// L 2 se determina el

→Ly

P.

P son paralelos

Entre dos rectas: Pueden ser paralela, secantes o alabeadas (cruzadas)

Posiciones relativas entre rectas y/o planos en el espacio En el espacio se pueden analizar las posiciones relativas entre una recta y un plano, entre dos rectas y entre dos planos, las que explicaremos a continuación.

Rectas paralelas L1

Entre una recta y un plano Pueden ser una recta contenida, secante o paralela al plano.

L2 L 1 y L 2 son coplanares L 1∩ L 2 = f

Recta contenida en el plano Si los puntos de la recta pertenecen al plano.

Rectas secantes L1

L1

B

A

S L2

P

L 1 ∩ L 2 = {S} Si A; B; ... ∈ L y A, B ... ∈ P. symbol → L ⊂ P.

Rectas alabeadas L1

L2

Recta secanta al plano Si la recta y el plano tienen un solo punto en común.

A L 1 y L 2 no son coplanares ∧ L 1 ∩ L 2 = f P

A continuación se traza un plano que contenga a L 2 e interseca a L 1 para poder visualizarlo mejor. L1

L Si L ∩

P = {A}

→Ly

P son secantes

A

P

Recta paralela al plano Si la recta y el plano no tienen un punto o puntos en común.

TEMA 12

GEOMETRÍA

L2

5225



Entre dos planos Pueden ser planos paralelos o secantes Planos paralelos Son aquellos que no tienen ningún punto en común.

Sean L 1, L 2, L 3... L n contenidas en Hy L ⊥ H → L L 1 L L2 L L3

P

.

.

.

.

.

.

.

.

L

.

Ln

Condición para que una rceta sea perpendicular a un plano. La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que debe ser perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano. Luego de esto podemos decir que la recta será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

L

L Si

P∩ L = f

→

Py

L son paralelos.

L1

Planos secantes Son aquellos que tienen en común una recta.

Q L2

H M

Arista

L Sean L 1 y L 2 ⊂

B

Py

→L⊂

H

Luego L será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

Si L ⊂ P y L ∩ →

Si L ⊥ L 1 y L ⊥ L 2

A

P

H

M

M son secantes

Recta perpendicular a un plano Una recta perpendicular a un plano se define como

Ángulo entre dos rectas alabeadas o cruzadas. El ángulo entre dos rectas alabeadas es aquels cuya medida se determina al trazar, por un punto cualquiera del espacio, dos rayos que son paralelos a las rectas alabeadas. K L x L1 P

aquella que es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

S

L

H L2 L1 H

L3

L2

L4 Para esto vamos a trazar H, que se contenga a L 2 y que sea secante a L 1 por cuestiones didácticas.

L5

L 1 ∩ H = {s} L2 ⊂ H


35 53

GEOMETRÍA

TEMA 12


Sea P un punto del espacio. Entonces PL// L 2 y PK// L 1 Por lo tanto x es la medida del ángulo entre L 1 y L 2.

Sea L 1 ⊥ Si L 2 ⊥d

( L 1∩ L 2={P})

Nota: Si: L 1 y L 2 son ortogonales, entonces x = 90°. K L1

H

d⊂ H

→ L 3 ⊥ d (x = 90°)

L

Ángulo diedro

x

El ángulo diedro o simplemente diedro es la figura

P

geométrica que se forma por la unión de dos semiplanos que tienen en común la recta de origen

S

(la cual se denomina arista). L

L2

H

B cara

El punto P puede ser un punto de una de las rectas alabeadas o cruzadas.

M

S x

L

O

H

L1 cara

A

arista

x

S

P Notación L2

H

• Ángulo diedro AB o ángulo diedro. H – AB – M • ∠SOL: ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro AB .

Se sabe que P ∈ L 2 Luego: PR // L 1 Por lo tanto, x es la medida del ángulo entre L 1 y L 2.

• x. medida del ángulo diedro AB ( OS ⊥ L y OL ⊥ L , además OS ⊂

H ∧ OL )⊂ M)

Planos perpendiculares

Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se

N

traza otra recta perpendicular y secante a una de las rectas contenidas en el plano, entonces por el pie de esta última recta y un punto cualquiera de la primera S

recta se determina otra recta perpendicular a dicha recta contenida en el plano mencionado. L3

O

L1

x

P

Sea H

L

M

L2

a

d

M⊥ N. → ∠ SOL es recto

(a = 90°)

TEMA 12

GEOMETRÍA

5445



Proyección ortogonal de un punto un segmento y una recta respecto a un plano.

R

ARP

L

N

B

N

H

P M

A

Proyectante

P'

A'

L

N'

B' H

Aproy

a

L1

Aproy = ARP . Cosa Sea la región plana

M'

• ARP: área de la región plana contenida en

N.

• Aproy: área de la proyección ortogonal de dicha región R • P' proyección ortogonal de P sobre

sobre

H

• A' y B': proyecciones ortogonales de A y B sobre

H.

• M' y N' proyecciones ortogonales de M y N sobre

H.

• A'B': proyecciones ortogonales de AB sobre • L 1: proyección ortogonal de L sobre

• a: medida del ángulo diedro determinado por el

Ny

H.

Nota:

H.

Cuando

H.

H son paralelas, entonces Aproy = ARP

N∧

Distancia entre dos rectas alabeadas. La distancia entre dos rectas alabeadas es la longitud del segmento de recta común que es pependicular a dichas rectas.

Nota: A'B' puede ser congruente a AB. L 1 puede ser paralela a L

H.

L1

S

Ángulo entre una recta y un plano. El ángulo entre una recta y un plano se define como aquel que determina la recta con su respectiva proyección ortogonal sobre el plano. L T S

L2 x

Sean: L 1 y L 2 alabeado o cruzadas. Si ST ⊥ L 1 ∧ ST ⊥ L 2 entonces: ST es la distancia entre L 1 y L 2.

L1

H

Método para hallar la distancia entre dos rectas alabeadas. Para hallar la distancia entre dos rectas alabeadas, se debe trazar un plano perpendicular a una de las rectas y luego proyectarlas ortogonales sobre el plano mencionado. Finalmente la distancia entre las proyecciones (punto y recta) será la distancia entre las rectas alabeadas.

Sea L secante al

L 1: proyección ortogonal de L sobre

x: medida del ángulo entre L y

Proyeccón ortogonal de una región plana respecto

H y S. H

H.

L1 L2

a un plano.

El área de la proyección ortogonal de una región plana sobre un plano dado es igual al producto del área de dicha región y al coseno del ángulo de diedro determinado por el plano que contiene a dicha región y al plano dado.


55 55

GEOMETRÍA

TEMA 12


Sean L 1 y L 2 alabeadas Se traza el H de manera perpendicular a L 1.

Se traza la perpendicular ST a L 2. ST = d: distancia entre L 1 y L 2

L2 L1

Nota: Si L 1 y L 2 son ortogonales, entonces el llamado plano de proyección podría ser el plano que contiene

L2

a uno de dichas rectas.

S H

L1

plano de proyección

L2

H ⊥ L 1. L 2: proyección ortogonal de L 2 sobre H. S: proyección ortogonal de L 1 sobre H.

d

S

d: distancia entre L 1 y L 2

L2 S

d


H


PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En el gráfico AP = 80 cm. Hallar AB.

Resolución:

Problema 2 En un rectángulo ABCD se traza BK

P

80

luego se ubican los puntos medios L y S AB BC BK de AD y DC, = = . 3 4 2 Calcule la medida del ángulo LS y AK .

75°

NIVEL INTERMEDIO

P

A A

perpendicular al plano del rectángulo,

x

75°

B

Resolución:

B

K Nos piden AB = x Se sabe que

A) x = 20 2 ( 3 – 1)cm

y 75°.

B) x = 10 2 ( 3 – 1)cm

x = ( 6 – 2 )k y 4k = 80

C) x = 15 2 ( 3 – 1)cm

→ x = ( 6 – 2 )20

D) x = 13 2 ( 3 – 1)cm

Respuesta: aaa

NIVEL FÁCIL

GEOMETRÍA

C

5665

3l S 3l

x A

E) x = 12 2 ( 3 – 1)cm

TEMA 12

8l

6l

x = 20 2 ( 3 – 1)cm

UNMSM 2007

4l B

ABP es notable de 15°

4l

L

4l

D

Nos piden la medida del ∠entre LS y AK = x. Como podemos ver AK y LS son alabeados, para lo cual se traza AC//LS.



S ABK:

Nos piden: ASLD.

B

Dato: la semicircunferencia de diámetro

L

ABK:

AB y el cuadrado se encuentran en

C

ABK: AC = 10l  AKC: por teore,a de cosenos.

planos perpendiculares. Como SO ⊥

A

ABCD

→ SO ⊥ OD ∧ SO ⊥ OL SOD: m2 = 5 2 + 52 D UNMSM 2001–I NIVEL INTERMEDIO

m = 30 SOL: n2 = 5 2 + 102 n = 15 Teorema de Euclides: S

Resolución: S 5

Respuesta:

30 B

5

5

5

n

L

5

10 5

Problema 3 Del gráfico, el cuadrado ABCD y la semicircunferencia de diámetro AB se encuentran en plano perpendiculares, BL = LC = 5 y mAC = m SB . Calcule el área de la región triangular SLD.

5

A

D

15 a

5

C

L

302 = 152 + 52 – 2(5)a

5

m

h

2 5

→ a = 1 ∧ h = 14 ASLD = (5) 14 2

2 5 D

Respuesta: ASLD =

(5) 14 2

PROBLEMAS DE CLASE 1. Indique verdadera (V) o falso (F) según corresponda. I. Si una recta es secante a dos planos, entonces dichos planos tienen que ser paralelos. II. Si una recta es secante a la recta de intersección de dos planos, entonces uno de los planos contiene a dicha recta. III. Si dos planos son secantes y una recta es secante a uno de ellos, entonces dicha recta es secante al otro plano. A) FFV B) FVF C) VFF D) FFF E) FVV 2. Se tiene que L 1 es perpendicular al plano del triángulo ABC, luego se traza BM perpendicular a dicho plano, A ∈ L 1, m∠ACB = 90°, m∠CAB = 37° y MB = AC + AB . 3 Calcule la medida del ángulo entre L 1 y MC.

A) 37° C) 45° E) 60°

B) 30° D) 53°

los puntos medios M y N en AD y CD, rerspectivamente, tal que LO = 2 y MN = 2 3. Cacule la distancia entre

3. Del gráfico, QS es perpendicular al plano del círculo de centro O, PL = LQ, AO = 2 6 , LO = 2 y SQ = 2 5 Calcule la distancia entre AL y BS S

B

C) 3

D) 1,5 3

del semicírculo de centro O, AL = LO,

O

mBK = mKD, BD = LS = 20. Calcule

Q

la distancia entre OK y BS . S

B) 1,5 D) 2,5

B

A) 5 B) 6

4. En un cuadrado ABCD de centro O se traza OL perpendicular al plano de dicho cuadrado, luego se ubican


B) 2 3

5. Del gráfico LS es perpendicular al plano L

A) 1 C) 2 E) 5

A) 1,5 2

E) 3 2

P

A

MN y BL .

75 57

O

C) 8 D) 4 E) 10

GEOMETRÍA

K

L A

D

TEMA 12


6. Del gráfico L es perpendicular al plano del cuadrado ABCD S es punto de tangencia la distancia de S a DA es 4 cm y AM = 2 5 cm. Calcule la medida del ángulo entre MS y el plano de dicho cuadrado. L

B

M C A S D A) 16°

B) 37°/2

C) 14°

D) 53°/2

E) 30° 7. En el lado AB de un cuadrado ABCD se ubica S, luego se traza LS perpendicular al plano de dicho c ua dra do, t a l q u e S L = 3 y CD = 6. Calcule el área de la región triangular LCD. A) 8 5 B) 9 5 C) 9 3 E) 10 3

D) 10 5

8. En un rectángulo ABCD se traza el triángulo ASB isósceles que es perpendicular al plano de dicho rectángulo, AS = SB = 3 3, CD = 6; luego se ubica K en AD, tal que m∠KCD = 45° y BC = 11. Calcule la medida del diedro determinado por los triangulos KSC y ABD.

TEMA 12

A) 36°

B) 39°

C) 53°

D) 45°

E) 37° 9. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Si dos rectas son secantes aun plano, entonces estas rectas siempre son secantes entre sí. II. Con cuatro puntos se pueden construir como máximo seis planos. III. Si una recta es alabeada a una recta contenida en un plano entonces dicha recta es paralela al plano. IV. Si una recta es paralela a uno de dos planos secantes, entonces será paralela al otro plano. A) FVFV B) VVFF C) FFFV D) FFFF E) FVVF 10. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si por el punto de intersección de dos rectas secantes se traza un plano, entonces una de las rectas siempre estará contenida en el plano. II. Si una recta está contenida en un plano y otra recta es paralela a la primera, entonces la segunda recta es paralela a dicho plano. III. Si una recta es perpendicular a dos rectas contenidas en un plano, entonces dicha recta es perpendicular al plano.

GEOMETRÍA

5885

IV. Si tres puntos ubicados en una recta la cual es secante a un plano, se proyectan ortogonalmente a dicho plano, entonces dichas proyecciones pueden formar un triángulo. A) FFFV B) FFFF C) FFVV D) VVFF E) VFFF 11. Del gráfico EFCD es un rectángulo EC = 10, BD = DC y AB = 12. Calcule la medida del ángulo determinado por AE y DF. F E C

D

A

B A) 37°/2 C) 37° E) 74°

B) 53° D) 53°/2

12. Sea ABCD un cuadrado. Por el punto D se traza DH el cual es perpendicular al plano que contiene el cuadrado. Por H se traza L, la cual es paralela a AC . Si la distancia entre L y AC es 6 y AD = 8, calcule la distancia entre BD y L . A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 2 E) 2


GEOMETRÍA TEMA 13

POLIEDRO Y POLIEDROS REGULARES SNII2GEO13

DESARROLLO DEL TEMA A. Diagonal

Objetivos: • Estudiar la forma de los poliedros, y reconocer los elementos principales y secundarios, así como también la relación que hay entre ellos. • Analizar los poliedros regulares empleando fórmulas que permitan calcular su volumen y el área de la superficie que los limita.

Es aquel segmento cuyos extremos son dos vértices de caras diferentes. En todo poliedro se cumple C+V=A+2

donde: C: número de caras V: número de vértices A: número de aristas

I. POLIEDRO

Es el sólido geométrico limitado por cuatro o más regiones poligonales denominadas caras de poliedro. El lado común a dos caras se denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas se le denomina vértice del poliedro. Un poliedro se identifica según el número de caras.

vértice

N°. de caras

Nombre

4

Tetraedro

5

Pentaedro

6

Hexaedro

7

Heptaedro

8

Octaedro

9

Nonaedro

10

Decaedro

Teorema de Euler

II. POLIEDRO REGULAR

Un poliedro regular es aquel que tiene por caras regiones poligonales regulares congruentes entre sí y en cada vértice concurren igual número de aristas. Solamente existen cinco poliedros regulares, los cuales son tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dondecaedro regular y el icosaedro regular. A continuación analizaremos los poliedros regulares.

A. Tetraedro regular. Es aquel poliedro regular que se caracteriza por tener 4 caras que son regiones triangulares equiláteras. A

a

P

D

h

B

arista

a

a

O a

Notación: Tetraedro regular ABCD Cálculo de la longitud de su altura.

cara diagonal del poliedro Q


C

h=

95 59

a 6 3

GEOMETRÍA

TEMA 13

POLIEDRO Y POLIEDROS REGULARES

Área de la superficie total (AST)

• Desarrollo de la superficie de un hexaedro regular: En la figura se muestra una caja de cartón cuya forma es cúbica. Al despejar sus caras y ubicarlas en un plano se obtiene lo que se denomina el desarrollo de su respectiva superficie.

A = a2 3 Cálculo del volumen (V)

V=

a3 2 12

• Desarrollo de la superficie de un tetraedro regular: En la figura se muestra un tetraedro regular cuyas caras son de cartón. Al desplegar sus caras y ubicarlas sobre un plano se observa una superficie triangular equilátero, la cual se denomina desarrollo de su respectiva superficie.

C. Octaedro regular

A

Es aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares etquiláteras.

CC

A

P

A

B

D

a

B

C

A A

B. Hexaedro regular o cubo Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas congruentes entre si. B

D a

Q Notación: Octaedro regular P – ABCD – Q Diagonal del octaedro regular: AC, BD y PQ a: longitud de la arista O: centro del octaedro regular

D

a F

G

Cálculo de la diagonal

a a

a

O

a

O

AC = BD = PQ = a 2

H

Notación: Hexaedro regular ABCID – EFGH


Diagonal del hexaedro: AG, BH, CE y DF

A ST = 2a2 3

a: longitud de la arista

Cálculo del volumen (V)

O: centro del hexaedro regular

V=

Cálculo de la diagonal AG = BH = CE = DF = a 3

AST = 6a2 Cálculo del volumen (V)

Estos procesos se pueden realizar también con el dodecaedro regular y el icosaedro regular.

V = a3

GEOMETRÍA

a3 2 3

En un octaedro regular, si sus caras son de cartón, entonces se podrán desplegar, y al ubicarlas sobre una mesa (tal como se ha realizado con el tetraedro regular y el hexaedro regular) se obtendrán ocho cartones triangulares equiláteras. A dicho procedimiento se le denomina desarrollo de la superficie del octaedro regular. Sugerimos al lector realizar el proceso inverso para el tetraedro regular, hexaedro regular y el octaedro regular.


TEMA 13

a

C

A

E

a

6006



D. Dodecaedro regular

E. Icosaedro regular

Es el poliedro regular limitado por doce caras, las cuales son regiones pentagonales regulares y congruentes entre si.

Es el poliedro regular limitado por veinte caras, las cuales son regiones triangulares equiláteras congruentes ente si.

N° de caras 12 N° de aristas: 30 N° de vértices: 20

N° de caras: 20 N° de aristas: 30 N° de vértices: 12

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Se tiene un cubo de arista a, desde un vértice se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de sus caras. Calcule el seno del ángulo que forman dichas diagonales. UNMSM 2004–I

Resolución: b P

Q a

b A

R

b

Nos piden AiAQC

b Sena = (I) l Pero por el teorema del cubo.

Trazamos AQ, QC y AC, los cuales son diagonales de los cuadrados APQB y ABCD AQC equilátero d = (2) 2 d=2 2 Por fórmula (región triangular equilétera)

D

Nos piden sena Donde es la medida del ángulo que forman las diagonales de una cara y del cubo.

b b 3

senα =

A ∆AQC =

3 3

Problema 2 En un cubo de 2 m de arista se unen 3 vértices de modo que se forma un triángulo equilátero. Determine el área de dicho triángulo. UNMSM 2009–I

2

Q

QB ⊥ dABCID

(1.a ⊥)

P 2

S B

(2. ⊥)

AQ ⊥ AD

(3.a ⊥)


d

D

2

Problema 3 En el gráfico se tiene un cubo cuya arista mide a cm, donde BC es una diagonal y AC diagonal de una cara. Calcule el perímetro del triángulo ABC. C

2 C

2 A

(2 2)2 3 4 AiAQC = 2 3m2

R

d

a

BA ⊥ AD

d2 3 4

A ∆AQC =

ABCD – PQRS es un cubo. Sabemos que por el teorema delas tres perpendiculares

DC = 2

Reemplazando en (II) en (I)

l C

Dato: cubo ABCD – PQRS

l=b 3

senα =

S B

Por lo tanto seno ( QAD) Sena = AD QD

A

B UNMSM 20011–I

16 61

GEOMETRÍA

TEMA 13


Resolución:

donde:

a cm

Q

T N

M a cm A

l

a cm

B

2piABC: perímetro de la región triangular ABC Dato:

l Q

En el

P a cm

AMC notable de 45° t = a 2 cm (II)

Por diagonal del cubo: l = (a cm) 3 (III)

ABPQ – MNTC es un cubo.

Reemplazamos (III) y (II) en (I)

Observamos:

x = a 2 cm + (a cm) 3 + a cm

x = t + l + a cm (I)

Nos piden 2piABC = x

x = a(1 + 2 + 3 ) am

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si un poliedro tiene 8 vértices y 12 aristas, entonces es un hexaedro regular. II. Puede haber un poliedro que tenga 6 caras y 5 vértices. III. En todo poliedro convexo se cumple que la cantidad de caras disminuida en uno más la cantidad de vértices disminuida en uno es igual a la cantidad de aristas. A) FVV B) VFF C) FFF D) VVV E) FVF 2. Un poliedro está limitado por dos regiones hexagonales, dos regiones triangulares y tres regiones cuadrangulares. Calcule el número de vértices. A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) 16 3. Del gráfico se muestra un poliedro. Calcule A + V donde: C A: Número de aristas V: Numero de vértices C: Número de cara.

TEMA 13

A) 15/13 C) 10/3 E) 5/2

B) 2 D) 4

A) 2/2 C) 3/2 E) 1/3

4. Un poliedro convexo está limitado por 3 regiones triangulares, 4 regiones cuadriláteras y una región pentagonal. Calcule A/V si se sabe que A es el número de aristas y V es el número de vértices de dicho poliedro. A) 2 B) 4/3 C) 7/5 D) 3/2 E) 5/3 5. Un poliedro convexo está limitado por 3 regiones triangulares, 5 regiones cuadriláteras, 1 región hexagonal y 1 región heptagonal. Calcule A – C si A es el número de aristas y C es el número de caras. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

PROFUNDIZACIÓN 6. Un poliedro está limitado por regiones triangulares y tiene una sola diagonal. Calcule el número de aristas. A) 12 B) 9 C) 6 D) 15 E) 18 7. Se tienen dos tetraedros regulares, en que es uno de ellos se cumple que el perímetro y el área de una cara son numéricamente iguales y, en el otro, el área de la superficie total y el volumen son numéricamente iguales. Calcule la razón de sus alturas.

GEOMETRÍA

6226

B) 2/3 D) 1/2

8. En el tetraedro regular mostrado, M y N son puntos medios de las aristas indicadas y el área de la región sombreada es 11. Calcule el área de la superficie total del sólido.

M N

A) 9 3

B) 8 3

C) 16 3

D) 25 3

E) 12 3 9. En el tetraedro regular mostrado, MP = 2(MA), las regiones sombreadas son paralelas y sus áreas se diferencias en 5 3. Calcule el volumen de dicho tetraedro. A M

P

A) 6 2

B) 9 2

C) 18 2

D) 3 2

E) 15 2



10. En el tetraedro regular P – ABC

11. En el hexaedro regular ABCD –

mostrado, PH es altura ME es mediatriz

EFGH mostrado, MR es mediatriz

de AP y ME = 2. Calcule PH P

de AF, MR = 3 y BR = RH. Calcule el volumen del hexaedro B

M E

C

A

B B) 2

C) 4 3 3

D) 2 2

E) 4 2

R

E

H

A) 27

B) 9 3

C) 216

D) 27 3

E) 3 3


36 63

x

E A) 30° C) 37°/2 E) 151°

GEOMETRÍA

C

D F

G

F

A) 4 6 3

B A

D M

12. En el hexaedro regular ABCDEFGH mostrado, calcule x.

C

A

H

SISTEMATIZACIÓN

G H B) 53°/2 D) 45°/2

TEMA 13

GEOMETRÍA TEMA 14

PRISMA Y CILINDRO SNII2GEO14

DESARROLLO DEL TEMA II. CLASIFICACIÓN

Objetivos: • Identificar las características fundamentales del prisma y del cilindro. • Reconocer los elementos básicos para calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen del prisma y del cilindro.

A. Prisma oblicuo Los prismas se clasifican según la inclinación de sus arista lateral con respecto al plano de su base 1. Sección recta (S.R.) Es aquella sección plana que se determina en el prisma por un plano secante y perpendicular a todas las aristas laterales.

I. PRISMA

S.R.

B

arista básica

C D

vértice A

E

arista lateral

cara lateral G

base

plano secante

a E

D F

plano de la base

Notación Prisma triangular oblicuo ABC – DEF

A continuación se indicará los cálculos que debemos conocer. Área de la superficie lateral (ASL)

ASL = (2PS.R.)a

H I

F

C h

• Arista lateral: Es el segmento común entre una cara lateral y una base. • Arista básica: Es el segmento común entre una cara lateral y una base. Un prisma es nombrado según el número de lados que tenga una base. Por ejemplo, si la base tiene 6 lados, se denomina prisma hexagonal. base

B

A

Es un poliedro en el cual dos de sus caras son regiones poligonales congruentes paralelas (son las denominadas bases) y las demás caras son regiones paralelográmicas (son las denominadas caras laterales).

2pS.R.: perímetro de la sección recta. a: longitud de la arista lateral

J

Notación: Prisma pentagonal ABCDE – FGHJ Este prisma tiene C = 7, V = 10 y A = 15. Como podemos ver, también cumple el teorema de Euler.


46 64

Área de la superficie total (AST) AST = ASL + 2(Abase) Abase: área de la base

GEOMETRÍA

TEMA 14

PRISMA Y CILINDRO

Volumen (V)

A continuación se muestra el desarrollo de la superficie lateral.

V = (Abase)h

A

m

B

n

C

A

l

h: altura del prisma a

B. Prisma recto Un prisma es recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. B

F

D

Nota:

C h Notación: Prisma recto E triangular ABC – DEF

D

Paralelepípedo Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

F B

C

A a

E

m, n y l pueden ser iguales

A a

D

D Notación: Prisma recto cuadrangular ABCD – EFGH G h F

E

H

Paralelepípedo rectangular Es aquel paralelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares. También se le denomina rectoedro u ortoedro.

Área de la superficie lateral (ASL) a

ASL = (2Pbase)A d

2Pbase: perímetro de la base

b


c

AST = AST + 2(Abase)

a, b y c son dimensiones del paralelepípedo rectangular; además tiene 4 diagonales, las cuales son congruentes y concurrentes.

Abase: área de la base Volumen (V)

a2 = a2 + b2 + c2

V = (Abase)h

Áreas de la superficie lateral (ASL)

h: altura del prisma (a = h)

AST = 2(ab + ac)

1. Desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto triangular B m A a

D


n

l

C

E

h

AST = 2(ab + bc + ac) Volumen (V) V = abc

F


56 65

GEOMETRÍA

TEMA 14

PRISMA Y CILINDRO

base

C. Prisma regular Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares.

superficie lateral

B A

C

base

Notación: Prisma triangular ABC – DEF E D

A. Cilindro circular recto o cilindro e revolución A

F B

F

B

H

B m

a

l

C

E

h

A

g

F

n

C

l

E

F

B

(ASL): ASL = 2pr(g + r)

D

Volumen (V) (V): V = pr2h

Es aquel sólido geométrico comprendido entre dos planos paralelos entre sí y secante a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral y en dichos planos paralelos se determinan secciones planas congruentes, las cuales se denominan bases. • Las bases son paralelas y congruente • Las generatrices son paralelas y congruentes.

TEMA 14

D 2pr

h

Área de la superficie total

II. CILINDRO

Desarrollo de la superficie lateral

(ASL): ASL = 2pr

A

m, n y l

A

Área de la superficie lateral

a D

C

B

A continuación se muestra el desarrollo de la superficie lateral. B

D

n

D

m

r O1

1. Desarrollo de la superficie lateral del cilindro de revolución Es una región plana limitada por un cuadrilátero equiángulo, cuyos dos lados tienen igual longitud que la circunferencia de una base y los otros dos tienen longitud que la generatriz del cilindro.

1. Desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular triangular

A

C

Sección axial: Sección plana determinada en el cilindro por un plano que contiene a su eje (OO1)

G

E

O

g

C

A Notación: Prisma D cuadrangular ABCD – EFGH

A

generatriz

GEOMETRÍA

Nota: El cilindro equilátero es aquel cilindro recto cuya sección axial es una región cuadrada.

6666


PRISMA Y CILINDRO

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si r es el radio de la base de un cilindro, con tapa, de volumen 100 cm3, el área del material usado en la construcción del envase, expresado en función de r, es:

Problema 2 Al rotar la región sombreada un ángulo de 360° alrededor de la recta LL' se obtiene un sólido cuyo volumen es: UNMSM 2000

UNMSM 1997

Problema 3 Las dimensiones de un paralelepípedo están en progresión aritmética y suman 24 u. Si el volumen es 440° u3, calcule la dimensión de mayor longitud.

5m

NIVEL FÁCIL

UNMSM 2006–I

5m

Resolución:

3m

Resolución:

r L g

L' a

Resolución: 5m

r

5m

3m

Nos piden Amat: área del material 4m

Amat = 2prg + 2pr2 ...(1) Del dato 100 = Vcil = pr2g 100 g= 2 πr Reemplazando en (1)  100  Amat = 2πr ×  2  + 2πr2  πr  100  Amat = 2  πr2 + + cm2 r  

3m

Nos piden Vsolido generado: VSG VSG = Vcono + Vcilindro VSG = p(3)3 × (4/3) + p(3)2 × (5) VSG = 12p + 45p ∴VSG = 57p m3

c

b Nos piden la dimensión de mayor longitud. Datos: a + b + c = 24 a × b × c = 440 Como las dimensiones están en progresión aritmética. a=l–r b=l C=l+r l – r + l + l + r = 24 l = 8 Del segundo dato (8 – r)(8)(8 + r) = 440 (8 – r)(8 + r) = 5 × 11 → r = 3 Ahora podemos decir que la dimensión de mayor longitudes c c=8+3


La base de un prisma recto es un cuadrado de 4 cm de lado. La altura mide 6 cm. El área lateral del prisma es: A) 80 cm2 B) 16 cm2 2 C) 96 cm D) 48 cm2 2 E) 45 cm

3. Calcular el área total de un prisma triangular de 2,5 m de altura, si la base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros. A) 42 m2 B) 30 m2 2 C) 12 m D) 56 m2 2 E) 60 m

C) 8/3 πR3

D) 2 πR3

3

E) 3 πR

PROFUNDIZACIÓN 4

2. En un paralelepípedo rectangular la base es un cuadrado de 2m de lado y la altura mide 1m. ¿Cuánto mide la diagonal del paralelepípedo? A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m

5. Un cilindro está circunscrito a una esfera cuyo radio mide R. Calcular el volumen del cilindro si es recto. A) πR3 B) 4 πR3

La base de un prisma recto es un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. Si la altura del prisma mide 12 cm, ¿cuánto mide el área lateral? A) 320 cm² B) 300 cm² C) 360 cm² D) 270 cm² E) 400 cm²


76 67

6. Un cilindro recto de revolución está lleno de agua hasta la mitad, se suelta un pequeño pedazo metálico y el nivel de agua sube 3,5. Si el diámetro del cilindro mide 8. ¿Cuál es el volumen del metal? A) 46 π B) 56 π C) 36 π D) 66 π E) 76 π

GEOMETRÍA

TEMA 14

PRISMA Y CILINDRO

7. Calcular el volumen de un cilindro recto si la media armónica entre las medidas de su radio y altura es 9/5 y su área total es 20 π. A) 6 π

B) 8 π

C) 9 π

D) 10 π

E) 18 π 8. Al aumentar el radio de un cilindro recto en 6, el volumen aumenta en a, si la altura del cilindro aumenta en 6, el volumen aumenta en a. Si la altura original mide 2. Calcular el radio original. A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

TEMA 14

9. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución es un cuadrado cuyo lado mide a. Calcular el área total del cilindro A) a2( p – 2) B) a2(1 – 2) p C) a2(1 + p) D) a2 (p – 2) 2 2p E) a2(1 + 1) p

11. Calcular el volumen de un cilindro recto cuya área total es S, si la media armónica de las medidas del radio de la base y la altura es K A) K.S /4

B) (K + S)/2

C) (K – S)/4

D) K.S

E) K.S/2

SISTEMATIZACIÓN 10. Hallar la relación entre los volúmenes de un cilindro de revolución y un prisma triangular regular, si los desarrollos de sus superficies laterales son congruentes A) 3 3/p B) 9/p C) 3/p D) 3/p E) 3 2/p

GEOMETRÍA

6886

12. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿En qué relación se encuentran las áreas laterales de estos dos sólidos? A) 3/p

B) 2 3/3p

C) 2 3/p

D) 3 3/p

E) 3/p


GEOMETRÍA TEMA 15

PIRÁMIDE Y CONO SNII2GEO15

DESARROLLO DEL TEMA A

Objetivos: • •

•

Estudiar la construcción y forma de las pirámides y los conos. Reconocer los elementos y la relación entre ellos, así como también su clasificación según las características de estos elementos. Identificar la similitud entre estos dos sólidos geométricos, tanto para calcular su volumen como para calcular el área de la superficie que los limita.

O

B

b q g

C

D Notación: ángulo tetraedro O – ABCD a, b, q y g medidas de las caras

ÁNGULO POLIEDRO Es aquella figura geométrica formada por tres o más regiones angulares (si tomamos dos regiones adyacentes no deben ser coplanares), que tienen vértice en común y comparte un lado de dos en dos. Los nombres de los ángulos poliedros se debe a las cantidades de regiones angulares, las cuales se denominan caras de ángulo poliedro.

Nota: Triedo birrectángulo

Gráficamente C Cuando solo dos caras miden 90°.

Cara

Cara

Triedo trirrectángulo O

a

b q

B

Cara A Cuando sus tres caras miden 90°.

Notación: ángulo triedro O – ABC a, b y q: medidas de las caras


96 69

GEOMETRÍA

TEMA 15

PIRÁMIDE Y CONO

PIRÁMIDE

Es aquel poliedro que se determina cuando un ángulo poliedro es intersecado por un plano secante a sus aristas. sección plana determinada

1.

Pirámide regular Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.), además, todas sus aristas laterales son de igual longitud. Ejemplo Pirámide triangular regular

plano secante

l

l l t

A una pirámide se le nombra de acuerdo a la sección plana determinada, a la cual se le llama base de la pirámide.

t

t

Pirámide cuadrangular regular

n

n Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

b b

P

Vértice

arista lateral

Cara lateral

altura

h

En la siguiente figura se muestra una pirámide hexagonal regular M-ABCDEF. Por medio de ella reconoceremos los elementos de las pirámides regulares. M

C

B

base

h

D B

Nota: Una de las características de las pirámides es que no tienen diagonales.

D b E a O N F A O: centro de la base

• ON: longitud del apotema del polígono regular ABCDEF. • O: centro de la base de la pirámide.

suma de las áreas de las caras laterales

• MO: altura de la pirámide, O es el pie de dicha altura.


• a: medida del diedro formado por una cara lateral con la base.

AST = AST + 2(Abase)

• b: medida del ángulo formado por una arista lateral con la base.

C

• ap: longitud del apotema de la pirámide (MN = ap)

Área de la superficie lateral (ASL) ASL =

ap

altura

O E

arista básica

n

b

Elementos de una pirámide

A

n

Abase: área de la base

MON: aplicando el teorema de Pitágoras

Volumen (V) V = (Abase).h

(ap)2 = (ON)2 + h2

3 h: longitud de la altura de la pirámide

h: longitud de la altura

TEMA 15

GEOMETRÍA

7007


PIRÁMIDE Y CONO

• Pirámide pentagonal M-ABCDE • Pirámide cuadrangular M-ABCF • Pirámide pentagonal M-AFCDE

Nota: Apotema de la pirámide regular (ap) Es la perpendicular trazada desde el vértice de la pirámide hacia una arista básica.

CONO

El estudio sistemático de las pirámides , el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas han conllevado a obtener y estudiar otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una región poligonal.

Área de la superficie lateral (ASL) ASL = p(ap) p: semiperímetro de la base

2.

vértice o cúspide

Tetraedro regular Es aquella pirámide regular cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras. P a A

altura

a

h a

a

a

B base

C

O: centro de la base

Notación: Tetraedro regular P-ABC

Calculo de la longitud de su altura

1.

Cono de revolución o cono circular recto Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos. 360°

h= a 6 3 Área de la superficie total (AST)

Volumen (V)

V = a3 2 12 a: longitud de la arista 3.

V superficie lateral

g

AST = a 3

superficie lateral

Pirámide irregular Es aquella pirámide que no tiene todas las características de una pirámide regular. M

vértice o cúspide

h

g

O

r eje de giro

generatriz

r

base

Elementos: • O: centro de la base del cono • r: radio de la base • OV: eje

Sección axial Es la región triangular que tiene como lados a dos generatrices diametralmente opuestas. V

h

D F

B A

A

O E

En el gráfico se muestran las siguientes pirámides irregulares:


17 71

B

AVB: sección axial del cono de revolución

GEOMETRÍA

TEMA 15

PIRÁMIDE Y CONO

Área de la superficie lateral (AST) ASL = prg r

g: longitud de la generatriz g

Área de la superficie total (AST) AST = ASL + Abase Abase: área de la base

Volumen (V)

2

V = pr .h 3

Tronco de cono de revolución Es la porción de un cono de revolución determinada por dos planos paralelos y perpendiculares a su eje. Todo tronco de cono de revolución tiene dos bases circulares. El cálculo del área de la superficie lateral, total y el volumen depende del tipo de información que se tenga.

h: longitud de la altura de la pirámide

g g

g q 2pr

r

La superficie lateral es equivalente con su respectivo desarrollo, el cual es un sector circular cuyo centro es el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz.

H

g

Q

n t

Desarrollo de la superficie de un cono de revolución

R Área de la superficie lateral ASL = pR(g + n) – prn ASL = pRg + p(R – r)n

ASL = Asector

2 → prg = qpg 360°

Ángulo de desarrollo de la superficie lateral q = r .360° 3

g

Por semejanza de triángulo (∼∆) r n = R n+g → n(R – r) = gr

En (I) ASL = pRg + prg

Área de la superficie total

AST = ASL + Abase1 + Abase2 2. Cono equilátero Es aquel cono de revolución cuyas generatrices tiene longitudes iguales a las del diámetro de la base (q = 2r).

Volumen

V=

1 2 1 pR H + pr2r 3 3

g

g

Por semejanza de triángulos (∼∆) r t = n = y h = H – n R H n+g r

r

g

g: longitud de la generatriz

En la figura se muestra un cono equilátero y el respectivo desarrollo de la superficie.

TEMA 15

GEOMETRÍA

h

g

R

7227

En resumen:


PIRÁMIDE Y CONO

Área de la superficie lateral (ASL)

AST = ASL + pr2 + pR2

ASL = p(R + r)g

Volumen (v) h V = p (r2 + R2 + Rr) 3


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Calcule el volumen de un cono circular recto cuya área lateral es 96p cm2, sabiendo que el ángulo que forma la generatriz con su base es 60°.

Problema 2 Si se duplica, simultáneamente, la medida del radio de la base y la altura de un cono de revolución de volumen V, entonces el nuevo volumen es

UNMSM 2003

UNMSM 2007-1

Resolución:

E O

A

C UNMSM 2010-1

Resolución:

h=r 3 O

r 60° r

Nos piden Vcono' Donde: Vcono es el volumen del cono Datos: mVBA = 60° y ASL = 96p cm2 De la fórmula del volumen del cono Vcono = 1 pr2h 3 Del dato: Vcono = 1 pr2(r 3 ) = p 3 r3 (I) 3 3 De la fórmula del área de la superficie lateral ASL = prg ASL = pr(2r) ASL = 2pr2 Pero del dato, ASL = 96p → 2pr2 = 96p r = 4 3 (II) Reemplazamos (II) en (I) 3 Vcono = p (4 3 ) 3 ∴ Vcono = 192p cm3

a

2r

O r Cono 1

B

B

2h

h

g = 2r

60°

r

Resolución: V

A

B

r

A

Nos piden Vx. Dato: V es el volumen del cono 1. El cono 2 tiene el doble de radio y altura respecto al cono 1.

R

(I)

V = 1 pr2h (II) 3

Reemplazamos (I) en (II) 1 p(2r)22h V = 3 → x =8 V V 1 pr2h 3

Vx

C

Vcono = 1 pR2(l + r) 3

(I)

En el BMC a + a + b = 90° Por teorema, en la circunferencia a=b 3a = 90° → a = 30° MC = OM 3

→ R = r 3 y CO = 2(OM) → l = 2r (II)

Problema 3 En el gráfico se sostiene una esfera inscrita en el cono de revolución cuyo volumen es 81p cm3 y BO = OC. Halle el radio R de la esfera.

37 73

R

Nos piden r. Dato: BO = OC Vcono = 81p cm3 d

Vx = 8v


M

a b

De la fórmula del volumenel cono

En el cono 1

l

r

Donde: Vx es el volumen del cono 2.

E

O

Cono 2

En el cono 2 Vx = 1 p(2r)22h 3

l

Reemplazamos (II) en (I) y con el dato del volumen 81 p = 1 p (r 3 )2(2r + r) 3 81 = 1 (3)(r)2(3r) 3 ∴ r = 3 cm

GEOMETRÍA

TEMA 15

PIRÁMIDE Y CONO


Hallar el volumen generado por un triángulo equilátero de lado "a" que gira alrededor de su base. 3 A) pa3 B) pa 2 3 3 C) pa D) pa 3 4 E) pa3 3 4

PROFUNDIZACIÓN

2. De un cilindro macizo de plomo, se han obtenido luego de fundirlo un cono recto y una esfera; si la altura y el diámetro tanto del cono como del cilindro miden 9 u. Calcular el diámetro de la esfera. A) 1 u B) 3 u C) 6 u D) 9 u E) 18 u 3. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 288° de ángulo central y un metro de radio. Calcular el volumen del cono en decímetros cúbicos. A) 100p B) 120p C) 180p D) 200p E) 250p 4. Calcular el volumen del cono recto de altura "h" si la longitud de la circunferencia de la base es "c". 2 2 A) c h B) c h 8p 4p 2 C) c h 12p 2 E) c h 13p

TEMA 15

5. Calcular el volumen generado al rotar un trapecio isósceles alrededor de su base mayor, si los lados no paralelos miden 5 y las bases miden 2 y 8. A) 40p B) 36p C) 60p D) 64p E) 72p

2 D) c h 17p

6. Calcular la altura de un cono circular recto sabiendo que el perímetro del triángulo generador es 30 y este volumen es igual la los 2/9 del producto entre las medidas del radio de la base y el área total. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

9. Las aristas de las bases de un tronco de pirámide octogonal miden 2 y 3. ¿A qué distancia de la base menor se debe trazar un plano paralelo a las bases para que la arista de esta sección mida 2, 8 si la altura del tronco mide 5? A) 2 B) 3 C) 4 D) 4, 5 E) 2 2

SISTEMATIZACIÓN 10. Las aristas laterales de una pirámide cuadrangular regular forman con el plano de la base un ángulo que mide 60. Si la altura mide 6 . Calcular su volumen. A) 2 6/3 B) 4 6/3 C) 6 V E) 9 6/4

7. Se tiene un cono de revolución cuya altura mide 5, tal que al aumentar el radio de la base en 3 entonces su 11. volumen aumenta en 55p. Calcular el volumen del cono. A) 50p B) 20p 3 C) 80p D) 27p 3 E) 65p 3 8. Calcular el volumen de una pirámide regular si el apotema mide 15 y la base es un triángulo equilátero de perímetro 54 3 . A) 339 2

B) 338 3

C) 972 3 D)

973 2

E) 973 3

GEOMETRÍA

7447

Una cuerda de la base de un cono de revolución mide 8 m y la sagita 2 m. Si la altura es de 10 m. Hallar generatriz. 5 A) 5

B) 5

C) 3 5

D) 4

E) 5

12. La altura de un cono recto es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcular el volumen de la parte intermedia si el volumen del cono es 27. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


GEOMETRÍA TEMA 16

ESFERA Y PAPPUS-GULDIN SNII2G16

DESARROLLO DEL TEMA 2. Casquete esférico

I. SUPERFICIE ESFÉRICA

La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de otro punto fijo del espacio denominado centro. La superficie esférica, es aquella superficie que se genera al hacer girar 360° una semicircunferencia al-rededor de su diámetro.

H R

Superficie esférica

360°

O

O

H

O R

Eje de giro

Observación:

R

• Si los sólidos de revolución (cilindro, cono y esfera) que tienen el mismo radio (R) y la misma altura (2R), sus volúmenes son proporcionales a 3; 2 y 1 respectivamente.

R Circunferencia máxima

360°

Eje de giro Área de la Superficie Esférica A S.E. = 4πR 2

A. Porciones notables de superficies esféricas

1. Zona esférica Es la superficie generada por una porción de arco de una semicircunferencia cuando se hace girar 360° alrededor de su diámetro.

Vcilindro V V = esfera = cono 3 2 1 • Si el cono de revolución se inscribe una esfera se cumple:

360°

O

H

R

R q R

H

Vcono Vesfera

Eje de giro

S cono Sesfera

Área del casquete esférico

Área de la zona esférica:

A CE = (2πR)H

A Z.E. = (2πR)H


=

57 75

GEOMETRÍA

TEMA 16

ESFERA Y PAPPUS-GULDIN

3. Huso esférico Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencia máximas que tienen en común su diámetro.

Nota: • El segmento que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de la esfera, es perpendicular al plano del círculo.

Huso esférico

q R

O

q

R

R

R

• Si dicho círculo tiene por centro el centro de la esfera, entonces se denomina círculo máximo y si no contiene al centro se denomina círculo menor.

Eje de giro

Área del huso esférico q → H.E.

AH.E. =

O 2

θπR 90°

Q

II. ESFERA

P

O

360° → 4pR2 →

OQ ⊥ AB

P

H

O: Centro de la esfera, también es centro del círculo máximo. O1: Centro del círculo menor. H: Plano tangente a la superficie esférica en P. P y Q: Planos secantes a la esfera.

Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un semicírculo alrededor de su diámetro. Círculo máximo

360°

R

R

R

A. Porciones notables de la esfera

(Sólidos de revolución) 1. Sector esférico Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un sector circular alrededor del diámetro de su respectivo círculo. (Según el gráfico)

Volumen de la esfera V=

R

Eje de giro

O

4π 3 R 3

360°

A

Al trazar cualquier plano secante a una esfera, en dicha esfera se determina una sección plana el cual es un círculo.

B

H

R

H

R R

Eje de giro Volumen del sector esférico

Nota: Toda sección plana de una esfera es un círculo. Si el plano secante no pasa por el centro se obtendrá un círculo menor y si pasa por el centro un círculo máximo.

 2πR 2  VS.E =   .H  3  H: longitud de la proyección del arco AB sobre el eje de giro. 360° R O

H

R

H

TEMA 16

GEOMETRÍA

7667



2. Anillo esférico Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un segmento circular alrededor del diámetro de su respectivo círculo.

IV. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE 360° r

360°

A

H

H R

R H B

H

Eje de giro

R Eje de giro

Volumen del segmento esférico de una base

Volumen del anillo esférico VA.E =

π (AB)2.H 6

VS.E. =

Nota: Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

πH3 πr 2 H + 6 2

También: por relaciones métricas r2 = H(2R – H)

Luego:

VS.E =

πH2 (3R – H) 3

V. CUÑA ESFÉRICA

Es la porción de esfera comprendido entre dos círculos máximos que tienen su diámetro común. 360°

Cuña esférica

OM ⊥P q

III. SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES

R

Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos y secantes a la esfera.

Eje de giro

360° r1

Volumen de la cuña → VC.E.  θ (V )  V = 360° → VEsfera  C.E 360° esfera θ

R

H

H

r2

R

R

Eje de giro Volumen del segmento esférico de dos bases

Nota:

VC.E. =

θπR 3 270°

VI. TEOREMA DE PAPPU'S GULDING

2  πr 2  πH3  πr1  VS.E = + H+ 2 H 6  2   2 

También:

El teorema de Pappus Gulding, se aplica para calcular el área de una superficie generada por una línea plana o para calcular el volumen de un sólido generado por una región plana cuando se hace girar 360° en torno a un eje coplanar de manera tal que no lo divide en dos partes a la línea o región, así tenemos:

A. Área de la superficie generada

VANILLOESF =

El área de la superficie generada por una línea finita cuando se hace girar 360° alrededor de eje coplanar, es igual al producto de la longitud de la circunferencia que describe su centroide por la longitud de la línea.

1 3 πh 6


77 77

GEOMETRÍA

TEMA 16


A

eje coplanar, es igual a producto de la longitud de la circunferencia que describe su centroide por el área de dicha región.

360°

C.G x

x

360°

B Eje de giro

C.G

x

x

A

Área de la superficie generada A S.G. = ( 2π X ) .L

Eje de giro

: Distancia del C. G. al eje L : Longitud de la línea curva AB. C.G. : Centroide de la línea

Volumen del sólido generado A S.G. = ( 2π X ) .A

B. Volumen del sólido generado

CG: centroide A: área de la región : distancia del C.G al eje de giro

El volumen del sólido generado por una región plana, cuando se hace girar 360° alrededor de un


Resolución:

Hallar el volumen de un segmento esférico, cuyo casquete tiene área 40 2

pm y el radio de la esfera mide 10 m.

Resolución:

2 NR N Szona = 2pRO O= pR 4 2 P P

A

C

2 Aruso = pR a 90

10

Resolución: Scasq = 40p

Como son equivalentes.

Pero: 2pRh = 40p Como R = 10, entonces h = 2

pR2 a = pR2 90 2

Vsegm esf: 2/3 pR2h

de donde a = 45°

A

H

O

10

45° H

D

BD = 10 2 OD = 5 2

V = 400 p/3 m3 Problema 3

AODH

Problema 2

El lado de un cuadrado ABCD mide 10.

OH = 4 2

En una esfera da radio R una zona

Hallar el volumen del sólido al girar el

Por teoreama de Pappus

e s fé t r i c a t i e n e a l t u ra R / 4 y e s

cuadrado una vuelta alrededor de un

equivalente a un huso. Hallar el ángulo

eje que pasa por D haciendo un ángulo

correspondiente al huso.

de 8° de manera exterior al cuadrado.

TEMA 16

8°

GEOMETRÍA

7887

V = 2p(OH)(S4) V = 2p(4 2 )(102) V = 800 p 2



PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

PROFUNDIZACIÓN

SISTEMATIZACIÓN

1. El área de la sección máxima de una esfera es 9p. Indica su volumen.

6. El diámetro de una esfera mide 60. ¿Cuál es el diámetro de la base de un cono de igual volumen, cuya altura es 30 cm?

10. Se inscribe un cono recto de revolución en una esfera, tal que la generatriz del cono sea igual al diámetro de su base es igual a 2a. Calcula el área total de la esfera. A) 16 p a B) 16 p a 3 9 4 4 3 C) p a D) πa 3 3 E) 12

A) 6p

B) 24p

D) 36p

E) 50p

C) 12p

2. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto. Halle la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro. A) 4/9

B) 2/5

D) 2/3

E) 1/3

C) 1/4

A) 60

B) 120

D) 80

E) 150

C) 40

7. Sean E1 y E2 dos esferas, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de E1 =

3

16 cm,

calcula el volumen de E2. A) 612p cm3

3. La sección máxima de una esfera tiene área S. ¿Cuál es el área total resultante al partir dicha esfera en dos pedazos iguales? A) S

B) 2S

D) 4S

E) 6S

C) 3S

4. Calcular el área de la esfera circunscrita a un cubo, si el área de la esfera inscrita es igual a 60. A) 120

B) 60

D) 240

E) 320

C) 180

5. Calcula el volumen que genera un cuadrado al girar en torno a una de sus diagonales, si su lado mide 6m. A) 18 2p B) 36 2p C) 9p 2 D 16 3p E) 20 3p

B) 512/3p cm3 C) 412p D) 128/3 p cm3 E) 552p cm3 8. Calcular el ángulo de la cúspide de un cono recto sabiendo que el área de la esfera inscrita es al área de la base del cono como 4 es a 3. A) 15°

B) 30°

D) 74°

E) 80°

C) 60°

9. Hallar el área de un huso esférico de 90° si el radio es 5.

11. Un cilindro macizo de plomo tiene un diámetro D y una altura D. Se funde el cilindro para obtener 2 sólidos: un cono recto y una esfera. Si el cono tiene altura D y una base con diámetro D, ¿qué diámetro tendrá la esfera? A) D/3

B) D/2

D) 2D

E) 3D

12. Hallar el área de la sección que se determina al intersecarse una esfera y un cono, ambos inscritos en un cilindro recto cuyo radio de base es 5 m. A) 2p m2 B) 4p m2

A) 24p

B) 12,5p

C) 16/5p m2

C) 25p

D) 16p

D) 12p m2 E) 15/4p m2

E) p


C) D

97 79

GEOMETRÍA

TEMA 16

Geometría Nivel San Marcos - Teoría (1).pdf

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