Geometria-Clemens

GEOMETRIA CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS

GEOMETRIA CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS

STANLEY R. CLEMENS PHARES G. ODAFFER Illinois State university

THOMAS J. COONEY university o f Georgia

versión en español de Adúison-Wesley iberoamericana con la colaboración de Manuel López Mateos Universidad Nacional A utónom a de México

^

Addison Wesley Longman

Argentina • Chile • Costa Rica • Colom bia • Ecuador • España • Estados Umdos Mexico • Peru • Puerto R ico • U ruguay • Venezuela

Versión en español de la obra titulada Geometry with Applications and Problem Solving, de S. R. Clemens, P. G. O'Daffer y T. J. Cooney, publicada originalmente en inglés por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A. © 1984 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Esta edición en español es la única autorizada

Cuarta reimpresión, abril 1998

Créditos de las fotografías Geometria generada por computador 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ramtek C orporation NASA/Jet Propulsion L aboratory N ational C enter for Atm ospheric Research/High Altitude O bservatory/N CA R SM M /C/T: Solar M aximum Mission (NASA/GSFC) coronagraph/Polarim eter Experiment Ramtek Corporation,/NASA/Jet Propulsion L aboratory Brookhaven N ational Laboratory/N ew York University M edical Center Lawrence Livermore N ational Laboratory M atrix Instrum ents Inc. M atrix Instrum ents Inc. M atrix Instrum ents Inc.

Geometria de un chip de silicio 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Intel C orporation Intel C orporation N ational Sem iconductor C orporation Bell Laboratories N ational Sem iconductor C orporation N ational Sem iconductor C orporation Intel C orporation Intel C orporation Intel C orporation Bell Laboratories

Carreras de computación 1. 2. 3. 4. 5.

N CR C orporation Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc. Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc. Prim e Com puter, Inc. Bell Helicopter,Textron

La geometría y computadores en la industria 1. General M otors C orporation 2. TRW , Inc. 3. California C om puter Products, Inc. (CalComp) 4. Anacomp, Inc. 5. T andy C orporation—TRS-80™. TRS-80 es una m arca registrada de Radio Shack Division of T andy C orporate 6. Sperry-Univac, una division o f Sperry C orpöralion 7. Lawrence Livermore N ational L aboratory 8. Engineered Systems, Inc., O m aha, Neb. 9. Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc. 10. N ational Sem iconductor C orporation 11. Alex Cam eron T andem Com puters, Inc. 12. Copyright Peter Menzel 13. Triiog

© 1989 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.Á. © 1998 por Addison W esley L ongm an de México, S.A. de C.V. Boulevard de Las Cataratas núm. 3 Jardines del Pedregal 01900, México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Im preso en M éxico - Printed in México ISBN 968 444 306 4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 - D O - 89 9 0 7 6 5 4 3 2 1 8

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[vl

hfcbrea de los autores Stanley R. Clem ens es profesor asociado de m atem áticas en la Illinois State U niversity. Se g rad u ó en bachillerato y m aestría en el Bluffton College y la Indiana U niversity, respectivam ente, y realizó el d o c to ra d o en m atem áticas en la U niversity o f N o rth C arolina. L a o b ra del d o cto r Clem ens sobre geom etría com prende varios artículos, adem ás de los libros Laboratory Investigations in Geometry y Geometry: A n Investigative Approach, am b o s publicados p o r A ddison-W esley Publishing C om pany, Inc. Phares G . O ’D affer es profesor de m atem áticas en la Illinois State University. Se grad u ó en bachillerato y m aestría en esa m ism a universidad, y realizó el doctorado en enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of Illinois. Ex profesor de m atem áticas de grad o preuniversitario, el d o cto r O ’D affer es a u to r y c o a u to r de num erosos artículos y libros de texto, incluyendo Investigations in Geometry y Geometry: An Investigative Approach, publicados p o r Addison-W esley Publishing C om pany, Inc. T am bién ha sido presidente del Illinois C ouncil of T eachers of M athem athics. Thom as J . Cooney es profesor de enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of G eorgia. Ex profesor de geom etría de g rado preuniversitario, se grad u ó en bachillerato y m aestría en la U niversity of T oledo, y realizó el d o cto rad o en enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of Illinois. El do cto r C ooney ha escrito varios artículos y libros de texto sobre enseñanza de las m atem áticas y fue presidente de la School Science an d M athem atics Association.

2S0075

prefacio Geometría con aplicaciones y solución de problemas es un texto que destaca la relación estrecha que existe entre los conceptos geom étricos y sus aplicaciones en el m undo que nos rodea. Los autores realizaron esta o b ra basándose en las siguientes ideas: L a geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones comunes. En este libro se tra ta rá n teorem as —conclusiones b á sic a s- m otivados p o r algún problem a físico, p a ra después aplicarlos a dicho problem a y solucionarlo. La m ayoría de las lecciones están estructuradas alrededor de esos teorem as y presentan casos de la relación que se analiza favoreciendo el desarrollo del razon am ien to inductivo. L a capacidad de redactar pruebas debe desarrollarse empezando con las situaciones más sencillas. El lector em pezará a d esarro llar su capacidad de prueba con problem as cortos, sencillos y que contienen u n solo concepto. E stos llevan gradualm ente al estu d ian te a p ru eb as m ás com plejas en los capítulos posteriores. Los estudiantes de geometría deben desarrollar su capacidad en el marco del pensamiento crítico, el razonamiento lógico y la resolución de problemas. La resolución de p roblem as es u n o de los aspectos fundam entales de esta obra. A cada co njunto de problem as se agreg an ejercicios y soluciones. E stas oportunidades p a ra experim entar y aplicar el razo n am ien to inductivo son im p o rtan tes p a ra el desarrollo creativo. El estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de otras áreas de las matemáticas. El lector en co n trará páginas especialm ente interesantes sobre los siguientes temas: técnicas p a ra la solución de problem as, repaso de álgebra, la geom etría en nuestro m undo (aplicaciones de la geom etría en diferentes áreas; gráficas con com p u tad o res y pasatiem pos), y un p rim er capítulo en el que se hace una revisión prelim inar con ejem plos de la geom etría en el m undo, cóm o u sarla en la solución de problem as y su papel en actividades recreativas. C on la idea de que este texto resultara práctico p a ra el estudio de la geom etría, se incluyeron o tras características: El lenguaje es breve p ero preciso. H ay profusión de ilustraciones y fotografías. Los ejercicios se clasificaron en tres niveles d enom inados A, B y C , y van desde problem as num éricos sencillos hasta p ru eb as excitantes. L a m ayor p a rte de los problem as im pares incluyen su respuesta. Al final del libro se en cuentran u n a lista de sím bolos, u n glosario de térm inos geom étricos y listas de teorem as y postulados. El resum en de ca d a capítulo p repara al lector p a ra el exam en del mismo. Los teorem as geom étricos se cubren en form a to tal, lo que perm ite al lector a b o rd a r o tro s tem as de m atem áticas con cierta confianza. En Geometría con aplicaciones y solución de problemas se orienta al lector para el éxito, pero n o sin desafíos. Al concluir este curso, el estudiante verá que el m u n d o físico resu lta m ás com prensible y que la capacidad que desarrolló en el estudio de la geom etría es útil en la solución de problem as. Stanley R. Clemens P hares G . O ’Daffer T hom as J. C ooney

[vii]

índice general USO

i

de la geometría: Revisión preliminar

Definiciones y construcciones

8

1.1

P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io

10

1.2

R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s

12

1.3

A lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á s ic a s

16

1.4

S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia y m e d ic ió n

20

1.5

B is e c tric e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo

24

1.6

R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s

28

1.7

P o líg o n o s

32,

C o n c e p to s im p o rta n te s E xam en

2 á fa

1

36

R esum en

37

38

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s D ib u je o e un d ia g ra m a

39

L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o D is e ñ o In te rio r: te s e la d o s

40

42

Razonamiento en geometría 2.1

El p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c tiv o

44

2.2

G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s

48

2.3

D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to 52

d e d u c tiv o

56

2.4

T ip o s d e p ro p o s ic io n e s « S i-E n to n ce s»

2.5

R e c ip ro c a , in v e rs a y c o n tr a rre c ip ro c a

2.6

E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to

64

2.7

P o s tu la d o s d e g e o m e tría

68

2.8

A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n

72

C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

76

60

.

R esum en

77

78

R e p a s o d e á lg e b ra L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o

79 F o to g ra fía , le n te s

80

vili

3

In d ic e g e n e ra i

Triángulos y congruencia

82

3.1

T riá n g u lo s c o n g ru e n te s

84

3.2

P o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia

90

3.3

P ru e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia

96

3.4

P ru e b a s : u s o d e d e fin ic io n e s

100

3.5

P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s

104

3.6

P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s

110

3.7

P ru e b a s : s o la p e d e triá n g u lo s

116

3.8

P ru e b a s : c a d e n a s d e c o n g ru e n c ia s C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

122

120

R esum en

123

124

R e su m e n g lo b a l (C aps. 1 a 3)

125

L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o A rq u ite c tu ra : d o m o s g e o d é s ic o s

126

Prueba de teoremas mediante propiedades básicas 4.1

P a s o s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a

4.2

U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s

138

4.3

P ru e b a d e te o re m a s : u so d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s

144

4.4

P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s v e rtic a le s

150

4.5

P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s e x te rio re s

154

U so d e la p ru e b a in d ire c ta

158

4.6


164

R esum en

r

130

165

166

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s

¿

128

H a c e r u n a ta b la -l

Rectas y planos paralelos

167

168

5.1

D e fin ic io n e s b á s ic a s

170

5.2

T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s

174

5.3

E l p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s

180

5.4

M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s

184

C o n c e p to s im p o rta n te s E xa m e n

190

R esum en

191

192

R e p a s o d e á lg e b ra La g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o

193 M in e ra lo g ía : s im e tría

194

In d ic e g e n e ra l

ix

196

Triángulos 6 1

198

C la s ific a c ió n d e lo s triá n g u lo s

. ,

,

202

6.2

T riá n g u lo s is ó s c e le s

6 .3

M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n triá n g u lo

6 .4

El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia L A A

6.5

El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia d e la C o n c e p to s im p o rta n te s E xa m e n

220

208

212 h ip o te n u s a y e l ca te to

R esum en

221

222

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n -d e p ro b le m a s

H a c e r u n a ta b la -ll

223

224

Más sobre triángulos

226

7.1

El te o re m a d e P itá g o ra s

7.2

T riá n g u lo s e s p e c ia le s

7.3

T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia e n triá n g u lo s

7.4

D e s ig u a ld a d d e i triá n g u lo

7.5

216

232 236 244 248

D e s ig u a ld a d e s e n u n triá n g u lo C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

252

R esum en

253

254 255

R e s u m e n g lo b a l (C aps. 4 a 7) L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o

G rá fic a s p o r c o m p u ta d o r: 256

d is e ñ o a s is tid o p o r c o m p u ta d o r

258

Cuadriláteros y polígonos

260

8.1

C u a d rilá te ro s

8.2

P a ra le lo g ra m o s

8.3

C u a d rilá te ro s q u e s o n p a ra le lo g ra m o s

8.4

E l te o re m a d e l s e g m e n to m e d io

8.5

R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s

264

276

282^ 288

8.6

T ra p e c io s

8.7

L o s á n g u lo s d e u n p o líg o n o C o n c e p to s im p o rta n te s E xam en

270

296

292 R esum en

297

298

R e p a so d e á lg e b ra

299

L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o A rq u ite c tu ra : ei re c tá n g u lo á u re o

300

r

x


9

Semejanza

302 9.1

P ro p o rc io n e s

9.2

T e o re m a fu n d a m e n ta l d e la p ro p o rc io n a lid a d

9.3

P o líg o n o s s e m e ja n te s

9.4

El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A

9.5

T riá n g u lo s re c tá n g u lo s y triá n g u lo s s e m e ja n te s

304 308 312 316

9 .6

T e o re m a s d e la s e m e ja n z a L L L y L A L

9.7

R a zo n es trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s triá n g u lo s

326

s e m e ja n te s 9.8

330

R a z o n e s trig o n o m é tric a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

336

R esum en

334

337

338

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s T ra b a ja r h a c ia a trá s

10

322

339

Círculos

340 10 .1


10.2

L a m e d ic ió n e n g ra d o s d e los a rc o s

10.3

C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e el c e n tro

10.4

P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s

10.5

T a n g e n te s a lo s c írc u lo s

10.6

T a n g e n te s d e s d e un p u n to a un c írc u lo

10.7

M e d id a s d e á n g u lo s in s c rito s

10.8

A n g u lo s fo rm a d o s p o r c u e rd a s

10.9

A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s C o n c e p to s im p o rta n te s E x a m e n 388

342 346 350 354 360

386

R e s u m e n g lo b a l (C aps. 8 a 10)

364 368 374

R esum en

378

387

389

L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o A g rim e n s u ra : el te o d o lito

390


392

Area y perímetro

394

11.1

P o s tu la d o s d e l á re a

11.2

A re a d e p a ra le lo g ra m o s

11.3

A re a s d e triá n g u lo s y tra p e c io s

402

11.4

A re a d e p o líg o n o s re g u la re s

408

11.5

C o m p a ra c ió n e n tre p e rím e tro s y á re a s d e p o líg o n o s

398

412

s e m e ja n te s 11.6

L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y el d iá m e tro d e u n c irc u lo

11.7

A re a d e c írc u lo s Exam en

426

R esum en

427

428 429

R e p a s o d e á lg e b ra L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o G rá fic a s p o r c o m p u ta d o r: tra n s fo rm a c io n e s

I

416 420

C o n c e p to s im p o rta n te s

12

x¡

430

432

sólidos

434

12.1

P irá m id e s y p ris m a s

12.2

A re a d e p ris m a s y p irá m id e s

12.3

V o lu m e n d e p ris m a s

12.4

V o lu m e n d e p irá m id e s

12.5

A re a y v o lu m e n d e

c ilin d ro s

12.6


conos

12.7


e s fe ra s

12.8

P o lie d ro s re g u la re s C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

440 444 448 452 456 460 464

468

R esum en

469

470

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s H á g a s e un d ib u jo p re c is o

471

L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o

472

N a v e g a c ió n

xii


13

Transformaciones y simetría

474

13.1

R e fle x io n e s s o b re re c ta s

13.2

U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s en la s o lu c ió n

476

13.3

T ra s la c io n e s

484

13.4

R o ta c io n e s

488

13.5

S im e tría

494

480

d e p ro b le m a s


498

R esum en

499

500

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s E x a m e n d e c a s o s e s p e c ia le s

14

501

Geometría de coordenadas

502

14.1

S is te m a de c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s

504

14.2

P u n to m e d io d e un s e g m e n to

508

14.3

L a p e n d ie n te d e u n a re c ta

512

14.4

P e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s y p a ra le la s

516

14.5

L a fó rm u la d e la d is ta n c ia

520

14.6

L a e c u a c ió n d e la re c ta

524

14.7

L a e c u a c ió n d e l c írc u lo

528

14.8

U so d e las c o o rd e n a d a s en la p ru e b a d e te o re m a s

532

14.9

T ra n s fo rm a c io n e s y g e o m e tría d e c o o rd e n a d a s

536

C o n c e p to s im p o rta n te s Exam en

538

R esum en

539

540

R e su m e n g lo b a l (C aps. 11 a 14)

541

S ím b o lo s

542

T a b la d e c u a d ra d o s y ra íc e s c u a d ra d a s

543

P o s tu la d o s y te o re m a s

544

G lo s a rio

553

R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s

559

In d ic e d e m a te ria s

593

R e c o n o c im ie n to s

600

identificación de figuras geométricas en la naturaleza

Es posible que haya sido la n atu raleza la que p ro porcionó al ser hu m an o las prim eras nociones de geom etría. H ay m uchos ejem plos de form as geom étricas en el m u n d o físico. C on el paso de los siglos, el hom bre em pezó a clasificar esas formas, les dio nom bre y creó definiciones p a ra describirlas.

2

1.

N óm brese p o r lo m enos una figura geom étrica sugerida p o r las fotografías.

2.

L os triángulos, cuadriláteros, p entágonos y hexágonos son ejem plos de las figuras geom étricas llam adas polígonos. E scríbase la letra de cada fotografía q ue sugiera un polígono y dése su nom bre.

3.

C on frecuencia se busca la relación que existe entre dos o m ás figuras geom étricas. Se dice que tres p u n to s son colineales (están en la m ism a recta), que d os rectas son paralelas (nunca se tocan), o que dos ángulos son congruentes (tienen el m ism o tam año). E scríbase la letra de cada fotografía que sugiera una relación y dése su nom bre.

4.

D escríbase p o r lo m enos un objeto n atu ral que no aparezca en las fotos y que sugiera u n a figura geom étrica o u n a relación.

Observación de figuras geométricas en nuestro mundo

En todas las épocas el hom bre ha utilizado las sencillas form as geom étricas que sugiere la n atu raleza p a ra la creación de objetos útiles e interesantes. D ebido a que estam os rod ead o s de objetos, es com prensible la im portancia que tiene poder h ab lar sobre ellos. Al com unicarnos con o tra s personas, p a ra describir el m edio en que vivimos, necesitam os un lenguaje de geom etría. 1.

N óm brese p o r lo m enos una figura geom étrica o relación sugerida p o r cada fotografía.

2.

C o m o ilu stra el balón de fútbol, el m undo de los deportes es rico en ejem plos de figuras geom étricas. D ense o tro s ejem plos de «geom etría en los deportes».

3. El d o m o geodésico es una m uestra de que el m u n d o del diseño y la arq u itectu ra están profundam ente im buidos de figuras geom étricas. El lector puede en co n trar ejem plos de «geom etría en la arquitectura» o de «geom etría en el diseño» en su p ro p ia com unidad, en revistas o en libros de consulta. 4. E labórese un álb u m de recortes (con fotos o dibujos tom ados de revistas) con el títu lo «L a geom etría en nuestro m undo». 3

uso de la geom etría en la resolución de problemas El estudio de la geom etría p ro p o rcio n a m uchas técnicas útiles p a ra la solución de problem as. Las relaciones en tre los conceptos geom étricos, llam ados teorem as, son la base de estas técnicas. C a d a u n o de los problem as siguientes se resuelve em pleando u n o o m ás de los teorem as que se estu d iarán en este libro.

Problema 1

Solución

¿H acia qué p u n to de la b an d a debe lanzarse la bola blanca p a ra que reb o te y golpee a la roja?

Piense en una im agen especular de la bola roja. La bola blanca debe lanzarse hacia el p u n to P.

Problema 2

Solución

C on una escuadra de carp in tero u o tro objeto con u n a «esquina cuad rad a» , encuéntrese el centro del tablero de u n a m esa redonda grande, de m anera que se p u ed a co n stru ir u n a base a d ecuada p a ra ella. 1.

D ibújese esta «m esa-de billar» y hágase un d iagram a exacto que m uestre el p u n to de la b an d a en el cual debe pegar la b o la blanca p a ra que rebote y golpee a la bola roja.

2.

C on ay u d a de un o bjeto circular, trácese un círculo en un papel. A hora, con un m étodo sim ilar al que se usó en el problem a 2, encuéntrese el centro del círculo.

Las líneas de co lo r cruzan el p u n to m edio de las d os cuerdas del circulo.

Problema 3

Si sólo se dispone de una cuerda y u n a cinta de m edir, ¿cóm o p o d ría m arcarse u n a esquina c u ad ra d a p a ra un cam po de juego?

problema 4

¿Cóm o p o d ría dividirse u n a v ara pequeña en 5 trozos de igual longitud, de m anera que sirvan com o postes p ara la vía de un tren a escala?

Solución

4 pies

Se hacen 3 nudos en la cuerda a intervalos de 3, 4 y 5 pies y se coloca com o se m uestra en la figura.

Solución

Se pone la vara en diagonal sobre u n a hoja de cuaderno ray a d a y se m arcan las líneas com o m uestra la figura. 3 cm

1.

C on estos segm entos y un com pás construyase un ángulo recto.

4 cm

2.

En una cu erd a háganse tres n u d o s separados 3, 4 y 5 dm y utilícense p a ra fo rm ar un ángulo recto.

3.

C órtese una tira de cartu lin a y empléese el m étodo del problem a 4 para dividirla en 7 p artes de la m ism a longitud.

4.

Búsquese u n a form a distin ta p a ra dividir u n a tira de cartulina en cinco partes iguales.

Uso de la geom etría como pasatiempo M uchos conceptos de la geom etría pueden d ar origen a escenas hum orísticas. Los rom pecabezas geom étricos pueden resu ltar juegos interesantes que ponen a prueba la inteligencia. E speram os que el lector encuentre alg u n a diversión en la geom etría. O b s é rv e n s e estas « g e o c a ric a tu ra s » .

i Reconózcanlo' ustedes dos nc tienen muncho c o m ú n . ^

Te veré en la intersección

\ /Te opuesto diez contra cuatro que no

Los « g e o g a ra b a to s » ta m b ié n son d ivertid o s.

P E R

P

s ín t e r c c i o'

DICULAR

n

T R IA N G U L O

ANGUZ.0

RECTAS

PUNT*

PARA

1.

Créese u n a «geocaricatura» propia.

2.

Diséñese un «geogarabato» original. P a ra esto, pueden em plearse palabras com o «ángulo recto», «recta», «círculo», «bisecar» o «cuadrado».

lUs

71

A h o ra , in té n te s e tra b a ja r con el ro m p e c a b e z a s T A N G R A M

D ibújese este cu ad rad o y córtese en 7 piezas com o se m uestra en la ilustración. E stas piezas son las del fam oso rom pecabezas chino T angram , que, según se dice, tiene unos 4000 años de antigüedad.

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X ! y \ : V / /

Rompecabezas 1 ¿C óm o deben colocarse las 7 piezas del T angram p a ra form ar la figura siguiente?

Solución ¿C óm o deben colocarse las 7 piezas del T an g ram p a ra form ar las figuras que aparecen abajo? E n algunos casos se d an indicaciones con líneas de puntos. D ibújense las soluciones.

7.

H ágase una figura con las 7 piezas del T an g ram y pásese a algún com pañero p a ra que la resuelva.

CAPITULO

1.1

P u n to , r e c ta , p la n o y e s p a c io

1 .2

R e la c io n e s e n tr e p u n to s , r e c ta s y p la n o s

1.3

A lg u n a s f ig u r a s g e o m é t r ic a s b á s ic a s

1.4

S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g r u e n c ia y m e d ic ió n

10 12

16

20

1.5

B is e c t r ic e s d e l s e g m e n t o y d e l á n g u lo

1.6

R e c ta s y p la n o s p e r p e n d ic u la r e s

1.7

P o líg o n o s

24

28

32

C o n c e p to s im p o r t a n t e s

36

R esum en

T éc n ic as p a ra la solución de p ro b le m a s D ib u jo d e u n d ia g r a m a

39

La g e o m e tría en n u estro m undo D is e ñ o in t e r io r : T e s e la d o s

40

37

E xam en

38

Definiciones y construcciones

10

D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s

1.1

Punto, recta, plano y espacio

¿ C ó m o p o d r ía n d e s c rib irs e u n p u n to , u n a re c ta , u n p la n o y el e sp a c io ? E s to s c u a tr o c o n c e p to s s o n m u y im p o r ta n te s e n el e stu d io d e la g e o m e tría . A q u í n o se d e fin irá n el p u n to , la re c ta ni el p la n o , s in o q u e se o b s e r v a r á n o b je to s q u e lo s su g ieren .

P IN T O u bicación^ sin lo n g itu d .

ia jié í& ll :'¡rí ;

U n p u n to c o m o p a r te d e u n o b je to físico

U n a r e c ta c o m o p a r te d e u n a s itu a c ió n física

U n p u n t o c o m o la m a rc a m á s p e q u e ñ a q u e se p u e d e d ib u ja r

U n a r e c ta c o m o la lín e a m á s d e lg a d a q u e se p u e d e d ib u ja r

s'alfffffi

U n p u n to e s u n a id ea o a b s tra c c ió n . U n p u n to n o p u e d e d e fin irse c o n té rm in o s m á s se n cillo s, es u n té rm in o in d e fin id o .

U n a re c ta es u n a id e a o a b s tra c c ió n . C om o no puede d e fin irse c o n té rm in o s m á s se n cillo s, es u n té rm in o in d e fin id o .

1.1

P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io

11

U n p la n o c o m o p a r te d e u n o b je to físico

U n p la n o c o m o el c o r te m á s d e lg a d o p o sib le

U n a p la n o es u n a id ea o a b s tra c c ió n . D e b id o a q u e n o p u e d e d efin irse c o n té rm in o s m á s sen c illo s,

H a y p u n to s s o b re , d e n tr o y fu e ra del g lo b o

E l e s p a c io c o m o lo que q u ed a al d e s tr u ir el g lo b o

E l e s p a c io es u n a id e a o a b s tra c c ió n .

Definición 1.1 El espacio es el co n junto de to dos los puntos.

EJERCICIOS 1. Indíquese si la porción en color de ca d a figura sugiere un punto, una recta, un p lan o o el espacio.

a. 2. M enciónense cinco objetos cuya form a sugiera un p u n to en alg u n a de sus partes. Identifiqúese la p a rte específica de cada objeto. 3. M enciónense tres objetos o sitüaciones físicas que ilustren la idea de recta o de u n a p arte de ella.

4. M enciónense cinco objetos cuyas form as sugieran u n plano en alguna de sus partes. 5. M enciónense tres objetos, com o el globo, que sugieran la idea de espacio.

12


1.2

Relaciones entre puntos, rectas y planos

P a r a re p r e s e n ta r p u n to s , se d ib u ja n p e q u e ñ a s m a r c a s e n u n p a p e l. L a s le tra s m a y ú s c u la s a l la d o d e c a d a p u n to s o n su s n o m b re s ; a sí, se lla m a n p u n to A , p u n to B y p u n to C. A •

• B • C

U n a r e c ta p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s . A l d a r n o m b r e a u n p a r d e ello s, se p u e d e lla m a r a la r e c ta e n fu n c ió n d e eso s d o s p u n to s . P o r e je m p lo , lo s p u n to s A y B e s tá n e n la re c ta , p o r lo q u e se lla m a re c ta A B ; se s u p o n e q u e p o r lo s p u n to s A y B s ó lo p a s a u n a re c ta . O t r a m a n e r a d e d e c ir e s to es: d o s p u n to s d e term in a n un a recta. E n o c a sio n e s , se n o m b r a u n a r e c ta c o n u n a le tr a m in ú s c u la . E n e ste c a so , la r e c ta A B ta m b ié n p o d r ía lla m a rs e re c ta f,.

Se escrib e: M

recta AB o recta l

U n p la n o ta m b ié n p u e d e c o n c e b irs e c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s . Se d e s ig n a c o n u n a s o la le tr a o d a n d o n o m b r e a tre s d e su s p u n to s q u e n o e s té n e n u n a re c ta . A sí, se le lla m a p la n o N o p la n o A B C .

L o s p u n to s A , B y C e s tá n e n el p la n o N . Se s u p o n e q u e s ó lo u n p la n o c o n tie n e e s to s tre s p u n to s . Se d ic e e n to n c e s q u e tre s p u n to s q u e n o e s tá n e n u n a m is m a r e c ta d e te r m in a n a l p la n o . Al c o n s id e r a r la r e c ta l c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s , p u e d e d e c irse q u e el p u n t o A e stá en la r e c ta £ , y q u e el p u n to A es un elem en to de la r e c ta l p a r a d e s c rib ir la m is m a s itu a c ió n . T a m b ié n p u e d e d e c irse q u e la re c ta t c o n tie n e a l p u n to A . Si A , B y C s o n p u n to s d e la r e c ta l , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra sig u ie n te , se d ic e q u e el p u n to B e s tá e n tre lo s p u n to s A y C. Si A , B y C n o e s tá n e n la m is m a re c ta , n o se u s a la p a la b r a e n tre p a r a d e sc rib ir su re la c ió n . A

E l p u n to B e s tá e n tre lo s p u n to s A y C.

1.2


13

A lg u n a s d e la s re la c io n e s b á s ic a s d e lo s p u n to s y la s re c ta s e n u n p la n o se d e s c rib e n a c o n tin u a c ió n c o n m o d e lo s , s ím b o lo s y d efin icio n es.

M odelo físico, fig u ra

Descripción, sím bolo

D efinición

Definición 1.2 A , B y C s o n colineales. A , D y C s o n no colineales. A , B , C y D e s tá n e n el m is m o p la n o ; s o n p u n to s coplanares. L o s p u n to s q u e , c o m o c o n ju n to , n o e s tá n e n el m ism o p la n o , s o n no coplanares.

L os puntos colineales son p u n to s que están en la m ism a recta.

Definición 1.3 L o s puntos coplanares son puntos que se encuentran en u n m ism o plano.

Definición 1.4 L a s re c ta s t y m se in terseca n e n e l p u n to A .

i.

m

n .

í

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( w

L as rectas intersecantes son dos rectas con un p u n to en com ún.

¡u " U

i

L a s r e c ta s t y m n o tie n e n u n p u n to e n c o m ú n , t es p a ra lela a m. Se e scrib e: i || m

L a s re c ta s p , q y r tie n e n e x a c ta m e n te u n p u n to en c o m ú n . S o n rec ta s co n cu rren tes.

Definición 1.5 Las rectas paralelas son rectas que están en el m ism o p lano y no se intersecan.

Definición 1.6 L as rectas concurrentes son tres o m ás rectas coplanares que tienen u n p u n to en com ún.

14


EJERCICIOS_____________________ A. 1. D ibújense tres p u n to s que sean colineales. 2. T rácese el g ru p o de p u n to s que se m u estra a continuación y, con una regla, dibújese u n a recta a través de g rupos de tres o m ás p u n to s colineales.

* (Ejercicio 2)

L os ejercicios 3, 4 y 5 se refieren a la figura de la derecha. 3. N óm brense conjuntos de tres p u n to s colineales. 4. N óm brense conjuntos de tres p u n to s n o colineales. 5. N óm brense c u atro p u n to s en tre los cuales no haya tres que sean colineales. Los ejercicios 6, 7 y 8 se refieren a la figura de la derecha. (Si las rectas parecen paralelas, puede suponerse que lo son.) 6. Enum érense tres pares de rectas intersecantes.

r

7. E num érense tres rectas concurrentes. 8. E num érense to d o s los pares de rectas paralelas. 9. D ibújense cu atro rectas concurrentes.

ACTIVIDADES L o s d is e ñ o s c o n o c id o s c o m o h ilo ra m a s son c re a c io n e s in te re s a n te s e la b o ra d a s e n su to ta lid a d co n lin e a s re c ta s d e h ilo o c u e rd a . E sto s d is e ñ o s p u e d e n s e r s im p le s o m u y c o m p lic a d o s . P a ra te n e r u n a id e a d e c ó m o s e h a ce n los h ilo r a m a s , se tra z a rá un á n g u lo y s e m a rc a rá co m o s e m u e s tra a c o n tin u a c ió n . C on un b o líg ra fo de p u n ta fin a o un lá p iz , s e u n e n lo s p u n to s q u e tie n e n el m is m o n ú m e ro .

(Ejercicios 6-8)

1.2


15

B.

10. Es im p o rtan te observar que tres p u n to s pueden ser colineaies au n q u e las rectas n o estén m arcadas. M enciónense gru p o s de tres p u n to s colineaies de la figura siguiente. 11. A unque no se haya dibujado, hay una recta que p a sa por cada p a r de p untos. C ítense d os de estas rectas en la figura. 12. E num érense tres rectas que serían paralelas a B ? si estuvieran dibujadas. 13. M enciónense tres rectas que serían paralelas a EF si estuvieran dibujadas. 14. E num érense cu atro rectas que u n an los p u n to s m arcados con letras y sean co n currentes en el cen tro de la figura.

(E jercicios 10 - 11 )

A

B

15. L os p u n to s A , B, C y D de este cubo son coplanares. ¿C uántos conjuntos de cuatro p u n to s coplanares hay en el cubo? 16. C on frecuencia se u san rectas p a ra describir (o representar) la realidad física; entre las rectas paralelas, las concurrentes y los p u n to s colineaies, ¿cuáles se em plearían p a ra describir cada uno de los casos siguientes? a. In iciar un fuego con una lupa. b. L a luz procedente de u n a linterna. c. El u so de u n telescopio de refracción.

17. ¿Es posible punto? ¿Es intersequen H ágase un

d ib u jar cu atro rectas que se intersequen en un posible d ib u jar cu atro rectas que se en dos, tres, cu atro , cinco, seis o m ás puntos? d ibujo que ilustre cada caso.

SOLUCION D E PROBLEMAS ¿ C u á n ta s re c ta s p u e d e n d e te rm in a r s e is pu n to s, si hay u n a re c ta q u e p a s a p o r c a d a p a r d e puntos? — m— «------- 9— • --------- ®— * s e is puntos colineaies, una recta

E x p e r im é n te s e y c o m p ru é b e s e si s e is p untos p u e d e n c o lo c a rs e de tal m a n e ra q u e d e te rm in en s e is re c ta s . C o ló q u e n se s e is p u n to s p a ra d e te rm in a r s ie te , ocho, n u ev e... c a to rc e re c ta s.

s e is puntos, en tre los que no hay tre s que s e a n colineaies; quince rectas

16


1.3

Algunas figuras geométricas básicas

Y a q u e la s re c ta s, lo s p la n o s y lo s e s p a c io s se c o n s id e r a n co n ju n to s d e p u n to s, r e s u lta ú til d e fin ir la s fig u ra s g e o m é tric a s c o m o c o n ju n to s y p u n to s. U n a fig u r a p la n a es u n a fig u ra c o n to d o s los p u n to s e n u n p la n o , p e ro n o to d o s e n u n a re c ta . / aa U n a fig u r a e sp a cia l n o tie n e to d o s su s p u n to s e n u n s o lo p la n o . TI . .. , „ . r , , , . Un triangulo es una R e v ise m o s p rim e r o a lg u n a s id e a s b a s ic a s figura plana, s o b re c o n ju n to s .

U n a c a ja es u n a figura e sp acial

Subconjunto. Si to d o elem ento de u n p rim er conjunto se encuentra tam bién en un segundo conjunto, el prim ero es un subconjunto del segundo.

Unión. L a unión de dos o más conjuntos es un conjunto que contiene to d o s los elem entos de estos conjuntos.

Intersección. L a intersección de dos conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elem entos com unes a am bos conjuntos.

Ejemplo

Ejemplo

Elemplo

L a r e c ta A B es u n su b c o n ju n to d e l p la n o N .

L a u nió n d e la s re c ta s ( y m c o n tie n e to d o s los

L a intersección d e las re c ta s l y m es el p u n to A .

p u n to s d e la s d o s rectas.

A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n a lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á sic a s co n m o d e lo s , s ím b o lo s y d efin icio n es. B

segmento AB

Definición 1.7

A y B s o n lo s e x tre m o s. Se e scrib e: A B

Un segmento, AB. es el conjunto de los puntos A y B y de to d o s los puntos que están entre A y B.

Definición 1.8

A es el e x tre m o . S e escrib e: À È

Un rayo, A B , es un subconjunto de u n a recta que contiene un p u n to A dad o y todos los p u n to s que están en el m ism o lad o de A, com o B.

1.3

Modelo físico, fig u ra


Descripción, símbolo

B es el vértice. B A y B C so n lo s la d o s. E l in te r io r de L A B C es la in te rs e c c ió n de lo s p u n to s d e l la d o A d e S ? c o n lo s d e l la d o C d e XÉ.

17

Definición

Definición 1.9 U n ángulo es la unión de dos rayos n o colineales que tienen el m ism o extrem o.

Definición 1.10 A , B y C s o n v é rtice s. A B , B C y A C s o n la d o s. Se escrib e: A A B C

U n triángulo es la unión de tres segm entos determ inados p o r tres puntos no colineales.

Definición 1.11 A , B , C y D s o n vértices. A B , B C , CD y A D so n lados. Se escrib e: c u a d r ilá te r o A B C D

L o s p u n to s A y B e s tá n en el c írc u lo . E l p u n to _ 0 es el c e n tro d e l c írc u lo . A B es u n d iá m e tro d e l c írc u lo . O B es u n ra d io d e l c írc u lo . S e dice: c írc u lo 0 S e escrib e: O 0

U n cuadrilátero es la unión de cu atro segm entos determ inados p o r cuatro puntos, entre los cuales no hay tres que sean colineales. Los segm entos se intersecan sólo en sus extrem os.

Definición 1.12 U n círcrno es el co njunto de to dos los puntos de u n plano que están a u n a distancia fija de u n p u n to d a d o del plano.

18


EJERCICIOS______________________________ A. D ibújese seis veces la recta que se m uestra abajo. E n cada dibujo resáltese una de las siguientes figuras: 1.

SC.

2. B D . A

3. CAB

4. A D . C

D

5.

S<5.

6. DB.

(Ejercicios 1-6)

Dibújese y dése el nom bre de la figura ap ro p iad a en cada uno de los ejercicios 7 a 12. 7. ¿ A B C .

8. Z X Y Z .

9. A D BF.

10. L A .

11. BA.

En los ejercicios 13 a 15, elíjanse d os sím bolos que se refieran al m ism o ángulo. 13. L A B C , L C A B , L C B A . 14. L C A B , L B A C , L C B A . 15. L A C E , L C A B , L B C A . 16. A A B C y A B A C son d os nom bres para el triángulo que se m uestra a la derecha. A este m ism o trián g u lo se le pueden d a r o tro s c u atro nom bres, ¿cuáles son? 17. Dibújese un círculo con un com pás. M árquese su centro, un ra d io y un diám etro. P o r últim o, escríbase elnom bre del círculo. 18. Elíjanse c u atro p untos, A, B, C y D, en el circulo y dibújese el cuadrilátero ABCD.

A C TIV ID A DES"1 P a ra e la b o ra r e s te d is e ñ o , d ib ú je s e un c írc u lo . D e sp u és, co n el c o m p á s a b ie rto a la lo n g itu d d e l ra d io y c o lo c a d o a in te rv a lo s ig u a le s a lo la rg o del c írc u lo , trá c e n s e lo s a rco s. C o m p lé te s e un d is e ñ o c o m o é ste . Lu e g o , e la b ó re n s e y c o lo ré e n s e o tro s d is e ñ o s u sa n d o c írc u lo s y s e g m e n to s p o r el p ro c e d im ie n to d e s c rito a n te s . P ue d e n h a c e rs e c o n c u rs o s d e d is e ñ o s c o n re g la y c o m p á s.

.......... ■

12. CD-

1.3


19. N ó m brense con sím bolos las c u a tro rectas trazadas en esta figura. N óm brese una recta que n o se h ay a trazado. 20. N ó m brense ocho segm entos trazados. N ó m brense a h o ra varios que no lo estén. E n los ejercicios 21 a 24, elíjanse los dos sím bolos que hacen referencia al m ism o co n ju n to de la figura. 21. M

A B , p.

23. BC , CB, B D .

22. A E , A d , q . 24. B C , B D , D B.

25. N óm brense seis ángulos distintos de la figura. 26. T rácense y recórtense dos triángulos com o A D EF. C oloqúense estos triángulos i un to s p a ra fo rm ar tan to s cu adriláteros com o sea posible.

(Ejercicio 26)

27. ¿Es CD el m ism o segm ento q u e £>C? ¿ P o r qué? 28. ¿Es CD el m ism o rayo que D C ? ¿P or qué?

29. M árquense tre s p u n to s com o los que se m uestran a la derecha. C o n ellos, trácense L B A C , L A B C y L A C B . ¿Consiste la figura resultante en tres rectas o en tres segm entos? ¿Es un triángulo? ¿P or qué?

B

A •

30. C ítense p o r lo m enos ocho triángulos en esta figura. 31. D ibújese esta figura y trácese un segm ento que añ ad a exactam ente o tro s tres triángulos. 32. C ítense p o r lo m enos ocho cuad rilátero s en esta figura.

SOLUCION D E PR O BLEM A S_____ ¿ C óm o p o d ría n u n irs e s e is p a lillo s d e m a n e ra q u e se fo rm e n c u a tro triá n g u lo s ? (S u g e re n c ia : co n in d e p e n d e n c ia d e l ta m a ñ o d e los p a lillo s , s e n e c e s ita rá b a s ta n te e s p a c io .)

C

19

20


1 .a segmentos y ángulos; congruencia y medición E l h o m b r e q u e a p a re c e e n el d ib u jo c o r ta r á u n a ta b la p a r a q u e m id a 0.5 m d e la r g o y te n g a u n b o r d e c o n á n g u lo d e 45 °. P rim e ro , tie n e q u e m e d ir. L o s d e ta lle s s o b r e la s p r o p ie d a d e s b á sic a s d e la m e d ic ió n d e á n g u lo s y s e g m e n to s se p r e s e n ta r á n e n la se c c ió n 2.8. L a m ed ició n d e la lo n g itu d a s ig n a u n n ú m e r o re a l a c a d a se g m e n to . A

---------- B h c e n tím e tro s

h

>3

<4^

L a lo n g itu d d e A B es 3.5 cm . Se e scrib e: A B = 3.5.

H a y u n a m a n e r a e sp e c ia l p a r a d e s c rib ir d o s s e g m e n to s d e la m ism a lo n g itu d . Se dice: A B es c o n g ru e n te c o n CD. S e escrib e: A B = CD A lg u n a s v eces se m a rc a n lo s s e g m e n to s p a r a m o s tr a r q u e so n c o n g ru e n te s.

Definición 1.13 D os segmentos son congruentes si tienen la m ism a longitud.

L a m edición d e á n g u lo s a s ig n a a c a d a á n g u lo u n n ú m e ro re a l e n tr e 0 y 180. L a m ed id a en g ra d o s de ¿ A B C es 40. S e e scrib e: m L A B C = 40 A lg u n a s v eces se escrib e q u e L A B C m id e 40°. H a y u n a m a n e r a e sp e c ia l d e d e s c rib ir d o s á n g u lo s d e la m is m a m e d id a .

Se dice: L A B C es c o n g r u e n te c o n L D E F . Se e scrib e: ¿ A B C s ¿ D E F .

Definición 1.14 D o s ángulos son congruentes si tienen la m ism a m edida.

1.4


21

L o s d is e ñ a d o re s e m p le a n g r a n v a r ie d a d d e in s tr u m e n to s y té c n ic a s de d ib u jo p a r a e la b o r a r p la n o s e x a c to s d e p ro y e c to s d e c o n s tru c c ió n . E n g e o m e tría , se d e b e c o n o c e r el u s o d e d o s in s tr u m e n to s — la re g la sin g r a d u a r y el c o m p á s — p a r a h a c e r tip o s e sp e c ia le s d e d ib u jo s lla m a d o s co n struccio n es. L a s d o s c o n s tru c c io n e s q u e se d e s c rib e n a c o n tin u a c ió n u tiliz a n el c o n c e p to d e c o n g ru e n c ia d e fin id o a n tes.

Construcción 1 . constrúyase un segm ento congruente con un segm ento dado. (Cópiese un segmento.) Con el mismo compás, cópiese un segmento sobre el rayo.

2. Trácese un rayo que tenga m ayor longitud que el segmento dado.

1. Abrase el compás a la longitud del segmento dado. Segm ento dado

Construcción 2. construyase un ángulo congruente con un ángulo dado. (Cópiese un ángulo.) 1. Trácese un arco que interseque ambos rayos del ángulo dado.

2 . Trácese un rayo que sirva como un lado del ángulo copia.

3. Con el mismo compás, abierto como en el prim er paso (1 ), trácese un arco que cruce el rayo.

5. Con el compás a esa misma abertura trácese un arco.

S. Trácese el segundo lado para com pletar la copia del ángulo ciado.

A ngulo dado

Abrase el compás a la m edida de la abertura del ángulo dado.

Angulo dado

L o s tre s tip o s d e á n g u lo s e x is te n te s se d e fin e n a c o n tin u a c ió n . E m p lé e se la c o n s tru c c ió n 2 p a r a tr a z a r tr e s á n g u lo s c o n g ru e n te s c o n c a d a u n o d e los sig u ien tes:

■90°

D

K

l

Definición 1.15

Definición 1.16

Definición 1.17

U n ángulo agudo es un ángulo que m ide m enos de 90°

U n ángulo recto es u n ángulo q u e m ide 90°.

Un ángulo obtuso es un ángulo que m ide m ás de 90°.

22


EJERCICIOS A. 1. C o n u n a regla g ra d u a d a en centím etros, encuéntrese la longitud de este segm ento. A B = _L

A

•B

2. T rácense segm entos de las longitudes siguientes: CD - 8 cm E F = 5.6 cm GH = 7.5 cm Con la regla sin g ra d u a r y el com pás, construyanse tres segm entos congruentes con cada uno de los dibujados. 3. E scríbase u n a proposición con s o con £ («no es congruente con») p a ra cada uno de los tres pares de segm entos siguientes. 1/»—

-

2

M

N

X

T rácense estos ángulos en un papel. C on un transportador, lo T S r d e c a lT n g u t: “ “ 5.

m ¿ABC = X

6.

P r° ' ° ngarSe

m¿_ D E F = _L

m L IH J = 8. Clasifiquense los ángulos de los ejercicios 4 a 7 en aeudos rectos y obtusos. 9. C on una regla sin g ra d u a r y un com pás, construyanse ángulos congruentes con cada uno de los que aparecen en los ejercicios 4 a 7.

ACTIVIDADES! Se n e c e s ita un a m a triz d e p u n to s d e 5 x 5. D os p u n to s so n e x tre m o s d e un s e g m e n to . Dos s e g m e n to s co n un e x tre m o c o m ú n d e te rm in a n un á n g u lo . a. ¿ C uán tas lo n g itu d e s d ife re n te s d e s e g m e n to s p u e d e n tra z a rs e e n u n a m a triz d e 5 x 5 ? b. ¿ C u á n ta s m e d id a s d ife re n te s d e á n g u lo s p u e d e n tra z a rs e en u n a m a triz d e 5 x 5 ?

7.

1.4


23

B. 10. N ó m brense c u atro ángulos rectos en esta figura. 11. N óm brense c u atro ángulos agudos.

-

12. N ó m brense c u atro ángulos obtusos.

4

Los segm entos con longitudes a y b se m uestran a continuación 13. C onstruyase un segm ento con longitud 2a. 14. C onstruyase u n

segm ento con longitud a + b.

15. C onstruyase un

segm ento con longitud b —a.

Se m uestran los ángulos con m edidas x e y. 16. C onstruyase un

ángulo que m ida x + y.

17. C onstruyase un

ángulo que m ida x - y.

18. C onstruyase un ángulo que m id a 3y. 19. U n avión vuela en dirección sureste. ¿C uántos grados gira al cam biar su curso h acia el sursuroeste?

c. 20. C onstruyase A A B C con lad o A B y ángulos A y B. 21. Síganse estas instrucciones p a ra dividir el segm ento A B en tres segm entos congruentes. a. T rácese un ray o a p a rtir del p u n to A y m árquense sobre él tres segm entos congruentes.

b. Trácese EB. c. Em pléese la construcción 2 p a ra copiar L A E B en D y después en C. d. Los lados_de los ángulos copiados dividen A B en tres segm entos congruentes.

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS Un g ra n je ro q u ie re s e p a ra r e s ta s o n c e o v e ja s c o n s tru y e n d o o n ce c o rra le s e x a c ta m e n te co n c u a tro v a lla s re c ta s . ¿ C óm o p u e d e h a c e rlo ? W (Las v a lla s se p u e d e n c ru z a r.)

lB

A-

■B

24


1.5

Bisectrices del segm ento y del ángulo

E n u n d ia m a n te d e b é is b o l, la s e g u n d a b a se e s tá a la m is m a d is ta n c ia d e la s d o s lin eas d e fo u l. H o m e , la p r im e r a b a se , la s e g u n d a b a s e y la te r c e r a b ase, e s tá n e n la s e s q u in a s d e u n c u a d r a d o . ¿ E s tá el m o n tíc u lo d e l la n z a d o r en el p u n t o m e d io en tre: a. hom e y la s e g u n d a b a se ? b . la p r im e r a b a se y la te rc e ra ? c. n in g u n a d e la s a n te rio re s ?

L a m a r c a c ió n d e u n d ia m a n te d e b é isb o l in c lu y e lo s c o n c e p to s y los p ro c e d im ie n to s d e c o n s tr u c c ió n q u e se e x p lic a n a c o n tin u a c ió n .

El ra y o B D es la bisectriz de ¿LABC . T o d o s lo s p u n to s d e B Ú e s tá n a la m is m a d is ta n c ia d e los la d o s d e L A B C .

Definición 1.18 La bisectriz de un ángulo A B C es un rayo BD en el interior de L AB C , de m anera que L A B D « L D B C .

Definición 1.19

E l p u n t o C _es el p u n to m e d io d e A B .

El punto medio de un segm ento es un punto C entre A_y B, de m an era que A C = CB.

Definición 1.20 R S , M T , la re c ta i y el_ p la n o N in te rs e c a n a PQ e n el p u n to m e d io M , y s o n b ise c tric e s d e PQ.

L a bisectriz de un segmento es cualquier p unto, segm ento, rayo, recta o plano que contenga al p u n to m edio del segmento.

1.5


A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n lo s m é to d o s p a r a b is e c a r u n á n g u lo y u n se g m e n to .

Construcción 3. Bisecar un ángulo. 2. Con S como centro, trácese un arco que interseque ambos lados ael ángulo en F y G.

1. Dado el ángulo ABC, A ¿p.

C

4.

Con G como centro y la misma \p abertura de compás « •«'y'J que en el A tercer paso, -— I trácese un \\ M arco que cruce al prim ero.

Construcción 4. 1. Dado el segmento de recta AB,

3. Con F como centro, trácese un arco en el interior del ángulo.

5. Unanse B y el punto de intersección de los arcos para marcar

la bisectriz del ángulo.

Bisecar un segmento. 2. Con A como centro y el compás con una abertura mayor que la mitad de AB, trácese un arco sem icircular.

E s te d ia g r a m a m u e s tr a c ó m o la b ise c c ió n d e u n á n g u lo r e s u lta ú til e n la m a rc a c ió n d e u n d ia m a n te d e b é isb o l. O b sé rv e s e q u e el m o n tíc u lo d el la n z a d o r e s tá s o b re la b is e c triz d e l á n g u lo , a 60 p ies y 6 p u lg a d a s d e h om e. N o e s tá s o b re u n a re c ta q u e v a y a d e la p r im e r a b a s e a la te rc e ra , n i e s tá e n el p u n to m e d io d e la r e c ta q u e v a d e hom e a la s e g u n d a b ase.

3. Con S como centro y el compás con la misma abertura que en 2, trácese un arco sem icircular que interseque al p rim e r arco.

4. Unanse los dos puntos de intersección para com pletar la construcción de la bisectriz de AB.

25

26


EJERCICIO S_________

1. Trácese un segm ento A B . Biséquese AB. 2. Trácese un segm ento A B . C onstruyase un p u n to N de tal m anera que A N = {A B . 3. ¿Q ué o tras fracciones de A B se pueden construir? 4. T rácense ángulos cuya m edida se aproxim e a la de los ángulos A , B y C. C onstruyanse las bisectrices de estos ángulos.

5. Trácese este triángulo. Biséquese ángulo. ¿Son concurrentes las bisectrices de los ángulos?

6. L a bisectriz de L X Y Z es Y T . Escribanse los nom bres de los ángulos congruentes que se forman.

ACTIVIDADES P a ra c o n stru ir e s to s d is e ñ o s e s n e c e s a rio b is e c a r án g ulos. 1. C o n s tru y a s e y c o lo ré e s e uno de e s to s d ise ñ o s. 2. Con un c o m p á s y una re g la , c o n s tru y a s e un d ise ñ o o rig in al q u e re q u ie ra la b isecció n d e án g u lo s.

1.5


27

B. P ara realizar los ejercicios 7 a 10, deben usarse las construcciones. Si se desea, puede copiarse el ángulo recto AB C . N o debe utilizarse el tran sp o rtad o r. 7.

C onstruyase u n áng u lo de 45°.

8. C onstruyase un ángulo de 22^°.

9. C onstruyase un áng u lo de 135°.

10. C on struyase un ángulo de 67^°.

(E jercicio s 7-10)

11. T rácense d os ángulos agudos; llám ense L J y L K . C onstruyase un tercer ángulo que m ida j ( m / - J + m ¿ K). N o debe utilizarse el tra n sp o rta d o r 12. D ibújense las c u atro direcciones señaladas en una brújula. C o n una regla y un com pás, trácese u n a recta que ap u n te hacia el nornoreste.

c. 13. C onstrúyase u n ángulo de 112^°.

14. C onstruyase un ángulo de 82

15. C onstrúyase un ángulo de 157-j0.

16. C onstrúyase un ángulo de 97^°.

17. E n este diag ram a, B F biseca a L EBG, m L A B C = 90, m L A B E = 20, m L G B C = 24. ¿Q ué es m L A B F = ? 18. C onstrúyase un segm ento de longitud 4CD - \A B .

A ---------------------------•D

O

_ SOLUCION D E PROBLEMAS Un c o m p á s o xid a d o p ie rd e su m o v im ie n to y s ie m p re tie n e la m is m a a u e ríu ra . Un c o m p á s p le g a b le , e n c a m b io , v u e lv e a c e rra rs e en c u a n to se s e p a ra d e l p a p e l.

A

1. B is é q u e s e A B con:

a. un c o m p á s p le g a b le b. un c o m p á s o x id a d o con a b e rtu ra de C a D.

C

D

2. B is é q u e s e un á n g u lo co n : a. un c o m p á s p le g a b le .

b. un c o m p á s o x id a d o .

•B

28


1.6

Rectas y planos perpendiculares

E n n u e s tr a v id a c o tid ia n a h a y m u c h o s e je m p lo s d e re c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s . A lg u n o s d e e s to s e je m p lo s se e m p le a n e n la s d efin icio n e s sig u ien tes.

Modelo físico

Figura, descripción

D efinición

90°^ _j90°

------------ J L — — -------?— —

90°

90°

t es p e r p e n d ic u la r a m. Se e scrib e: l _L m.

Definición 1.21 D os rectas son perpendiculares si al intersecarse form an ángulos rectos congruentes.

A p a r t i r d e p ro p o s ic io n e s sim p le s q u e p u e d e n d e m o s tra rs e , se in te r p r e ta r á e s ta d e fin ic ió n d e p erp en d icu la r in c lu y e n d o lo s sig u ie n te s c o n c e p to s: 1. C u an d o dos rectas son perpendiculares, to d o s los ángulos que se form an m iden 90c (ángulos rectos) y son congruentes. 2. C u an d o d os rectas se intersecan p a ra form ar uno, dos o tres ángulos de 90° (ángulos rectos), form an cuatro ángulos rectos y son perpendiculares. 3. C u an d o dos rectas se intersecan p a ra form ar un p a r de ángulos congruentes con un lado com ún, las rectas son perpendiculares.

Definición 1.22 L a r e c ta ( e s p e r p e n d ic u la r a la s re c ta s m , n, p, etc.; p o r ta n to , la r e c ta l es p e r p e n d ic u la r a l p la n o .

U n a recta es perpendicular a un plano si es perpendicular cada una de las rectas del plano que intersecan a la recta.

Definición 1.23 L a r e c ta m d e l p la n o B es p e r p e n d ic u la r a l p la n o A; p o r ta n to , el p la n o B es p e r p e n d ic u la r a l p la n o A .

D os planos son perpendiculares si en uno de ellos hay u n a recta que es perpendicular al otro.

1.6


29

l

Definición 1.24

I

M

D es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e CD.

t

L a bisectriz perpendicular de un segm ento es una recta perpendicular al segm ento y contiene su p u n to medio.

Definición 1.25 A

r

A B es la d is ta n c ia d el p u n to A a la r e c ta ( .

La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segm ento tra z a d o desde el p u n to perpendicular a la recta.

E n la c o n s tr u c c ió n 4 se tr a z ó la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e u n se g m e n to . L a s sig u ie n te s s o n o tr a s d o s c o n s tru c c io n e s im p o r ta n te s q u e in c lu y e n re c ta s p e rp e n d ic u la re s .

Construcción 5. constrúyase una perpendicular a una recta que pase por un punto dado de la recta. 1. Dados una recta t y un punto P d e t ,

2. Trácese un arco a cada lado de P.

3 . Trácense dos arcos que se crucen a rrib a

4. Trácese la perpendicular a la recta t por P.

P

Construcción 6. constrúyase una perpendicular a una recta que pase por un punto dado fuera de la recta.

1. Dados una recta í y un punto P fuera de la recta t ,

2. Trácense dos arcos que corten la

3. Trácense dos arcos que se crucen por

4. Trácese la perpendicular a la recta t , por P. P

30


EJERCICIOS_________ A. 1- / / = Z 2. ¿Q ué puede concluirse sobre las rectas j y /c? j

n

2. m L 3 es 90. ¿Q ué puede decirse sobre las rectas m y n y los ángulos 1, 2 y 4?

m

1 2

3. Trácese un segm ento PQ. C onstruyase la bisectriz perpendicular de PQ.

4 J j 90“

4. Trácese una recta l . C onstrúyase u n a recta perpendicular a t que contenga al p u n to A de L T rácese una recta m y un p u n to P que no esté en m. C onstrúyase una recta perpendicular a m que pase p o r P.

á

C ítense c u atro rectas que sean perpendiculares al p lan o ABCD . C ítense c u atro pares de planos perpendiculares.

^ (Ejercicios 6, 7)

8.

r L a recta r es p e rp e n d ic u la r a l p la n o Z . ¿Qué puede decirse sobre las rectas r, m y n i

n y

/

Z

B. 9. C onstrú yase u n re c tá n g u lo co n lados congruentes co n A B y CD.

A -

ACTIVIDADES! E stas in s tru c c io n e s m u e s tra n c ó m o u s a r u n a h o ja de p lá s tic o de c o lo r p a ra c o n s tru ir u n a p e rp e n d ic u la r a u n a re c ta q u e p a se p o r un p u n to q u e no e s tá en la re c ta (C o n s tru c c ió n 6). E x p liq ú e s e c ó m o re a liz a r las c o n s tru c c io n e s 3, 4 y 5 d e e s te c a p ítu lo u s a n d o la h o ja d e p lá s tic o . C o ló q u e s e la h o ja d e p lá s tic o p e rp e n d ic u la r al p la n o s o b re e l q ue se tr a b a ja r á (m e s a , p a p e l, etc.), co n un b o rd e p ró x im o a l p u n to P , d e ta l m a n e ra que la im a g e n v is u a l de la m ita d d e la re c ta (, fre n te a la h o ja d e p lá s tic o , e s té e x a c ta m e n te a la m ita d d e la re c ta l q u e e s tá d e trá s d e d ic h a h o ja ..H á g a s e el d ib u jo ju n to a l b o rd e p a ra p ro d u c ir la p e rp e n d ic u la r a la re c ta l p o r el p u n to P.

>B C

---------------- - D

1.6


Q

j \ 10. C onstruyase u n trián g u lo con un ángulo_de 4 5 _ y lados congruentes con los segm entos PQ y R S. (N o se debe utilizar el tran sp o rtad o r.) 11. Apliqúese la construcción 5 p a ra hacer un cu ad rad o con lados A B

31

- S A

B

12. T rácese un triángulo_/l BC. Apliqúese la_construcción 6 p a ra trazar un p u n to D sobre BC de m an era q u e AD sea perpendicular a BC. 13. ¿Es el p lan o X perpendicular al plano Y? D e acuerdo con la definición de los planos perpendiculares, ¿qué inform ación se requiere p a ra asegurarse de que los p lan o s son perpendiculares? T rácese el m apa que se m uestra a 14. D os ciudades necesitan un servicio adicional continuación y determ ínese m ediante una de agua. Se decidió co n stru ir u n a p la n ta construcción el p u n to en que debe pu rificadora de agua ju n to a un rio cercano colocarse la p lan ta p a ra satisfacer estos y can alizar el agua desde la p la n ta hasta objetivos. cada ciudad. C ad a ciudad p a g a rá la instalación de las tub erías que irán de la plan ta a ella. L a p la n ta debe ubicarse a la m ism a distancia de las d os ciudades. 15. O tro objetivo a cum plir al d eterm inar el p u n to en que debe ubicarse la p lan ta purificadora de a g u a del ejercicio 14 es que las ciudades c o m p a rta n de form a eq u itativ a todos los gastos. Este plan im plica que la longitud to tal de la tuberia debe ser la m ínim a necesaria. ¿D ónde debe (E jercicio s 14, 15) colocarse la p lan ta purificadora? T rácese el m apa y búsquese la ubicación idónea de la planta.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS Los s ig u ie n te s s o n c u a tro c u b o s id én tico s d e los q u e s e han ex traíd o una o m á s p o rc io n e s c ú b ic a s ta m b ié n d e idéntico tam añ o .

C o m p á re s e c a d a p a r d e fig u ras: A y 6 , A y C, A y D, B y C, 6 y D y C y D. ¿C uál d e e s to s p a r e s p o d ría s e r el m ism o (d e p e n d ie n d o d e la e sq u in a p o ste rio r q u e no e s tá a la v ista)?

32


1.7

polígonos

L a s fig u ra s g e o m é tric a s fo rm a d a s p o r lín e a s re c ta s s o n m u y c o m u n e s en n u e s tro m u n d o . T a le s fig u ras re c ib e n el n o m b r e de polígonos. E s te p o líg o n o tie n e o c h o la d o s . L o s p u n to s A , B , C, D , E , F , G y H s o n su s v é rtic e s. A c a d a s e g m e n to de u n p o líg o n o se le lla m a lado. Se escrib e: p o líg o n o A B C D E F G H .

Definición 1.26 U n polígono es la unión de segm entos que se ju n ta n sólo en sus extrem os, de tal m anera que: (1) com o m áxim o, dos segm entos se en cuentran en un p u n to , y (2) cada segm ento to ca exactam ente a o tro s dos.

L o s p o lig o n o s re c ib e n u n n o m b r e p a r tic u la r d e a c u e rd o c o n el n ú m e r o d e la d o s q u e te n g a n . P o r e je m p lo : triá n g u lo , 3 lad o s; c u a d rilá te ro , 4 la d o s ; p e n tá g o n o , 5 la d o s; h e x á g o n o , 6 la d o s; h e p tá g o n o , 7 la d o s; o c tá g o n o , 8 la d o s . U n p o líg o n o c o n n la d o s p o d r ía lla m a rs e n-gono. L a s d e fin ic io n e s sig u ie n te s p r o p o r c io n a n m á s in fo rm a c ió n s o b re lo s p o líg o n o s. C

D

L o s e x tre m o s d e A C so n v é rtic e s n o c o n s e c u tiv o s d e l p o líg o n o A B C D E . A C es u n a d e la s d iagonales d e l p o líg o n o .

Definición 1.27 U n a diagonal de un polígono es un segm ento que to ca dos vértices no consecutivos cualesquiera del polígono.

J C a d a d ia g o n a l d e_ este p o líg o n o , c o m o P R , e s tá e n el in te r io r d e l p o líg o n o . P Q R S T es u n p o líg o n o co n v ex o .

P o r lo m e n o s d ia g o n a le s d e n o e s tá e n s u G H IJ K n o es convexo.

u n a d e las e ste p o líg o n o in te rio r. u n p o líg o n o

Definición 1.28 U n polígono es convexo si to d as sus diagonales están en el in terio r del polígono.

1.7

P o líg o n o s

33

L o s tr iá n g u lo s c o n la d o s c o n g ru e n te s tie n e n n o m b r e s esp eciales.

Definición 1.29

A B ^ B C ^ A C

A B ^ A C

Definición 1.30

L A e s e l á n g u lo del vértice. L B y L C s o n los á n g u lo s de la base.

U n triángulo isósceles es un triángulo q u e tiene dos lados congruentes entre sí.

A lg u n o s p o líg o n o s tie n e n c a ra c te rís tic a s q u e los c o n v ie rte n e n p o lígonos regulares.

Definición 1.31

T o d o s lo s la d o s s o n d e ig u a l lo n g itu d . T o d o s los á n g u lo s m id e n lo m ism o .

A B C D E F G es un p o líg o n o re g u la r.

U n triángulo equilátero es aquel cuyos lados son todos congruentes entre sí.

U n polígono regular es aquel cuyos lados son congruentes entre sí, y to dos sus ángulos tam bién son congruentes entre sí.

34


EJERCICIOS________________ _ _ _ A. En los ejercicios 1 a 4, selecciónese la figura que no es un polígono regular. Expliqúese p o r qué no lo es. 1.

3.

c. 5. ¿Cuáles de las figuras anteriores son polígonos convexos? P o r ejemplo, la figura le es un polígono convexo. 6. Trácese un octágono convexo. Trácese un a de sus diagonales. 7. Trácese un octágono no convexo. 8. Identifiqúese cada triángulo com o equilátero, isósceles o ninguno de ellos. Empléese u n a regla. a. 9. ¿Cuáles de los siguientes son polígonos regulares?

a.

D

d.

10. Trácense tan tas diagonales com o sea posible p a ra cada un o de los polígonos anteriores

ACTIVIDADES P a ra c o n s tr u ir un h e x á g o n o re g u la r p u e d e u s a rs e el m é to d o de c o n s tru c c ió n co n re g la y c o m p á s d e s c rito en las a c tiv id a d e s de la s e c c ió n 1.3. C o m b ín e s e e s te m é to d o co n la b is e c c ió n de á n g u lo s y la c o n s tru c c ió n d e b is e c tric e s p e rp e n d ic u la re s p a ra c o n s tru ir:

a . un d o d e c á g o n o re g u la r b. un o c tá g o n o re g u la r

c. un p o líg o n o re g u la r de 16 la d o s.

(Ejercicios 9, 10)

1.7

P o líg o n o s

35

B

11. A B C D E es un p en tág o n o regular. N óm brense tantos

triángulos isósceles com o sea posible. (Si un triángulo parece isósceles, puede suponerse que lo es.) 12. Algunas letras del alfabeto pueden dibujarse con la form a de un polígono, pero o tras no. se neces| D ibújense con form a de polígonos tan tas dos polígonos letras com o sea posible. 13. U n a llave de tuercas fija tiene lados paralelos. ¿Q ué puede suponerse acerca del núm ero de caras de la tuerca a la que co rresponde esta llave? 14. El vástago de la válvula de u n a to m a de agua para incendios suele tener form a de p en tág o n o regular, en lugar de la form a usual de hexágono regular. ¿A qué puede ser debido?

un polígono

15. La figura que aparece a la derecha contiene ejem plos de diferentes polígonos: desde trián g u lo s hasta decágonos. E ncuéntrese y cítese cada uno. 16. C on un tra n sp o rta d o r y una regla, trácese un octágono cuyos lados tengan cinco longitudes diferentes y los ángulos de los vértices m idan 135°.

SOLUCION DE PROBLEMAS _ E ra tó s te n e s (275 a. d e C.) c a lc u ló la c irc u n fe re n c ia de la T ie rra c o n un m é to d o in g e n io s o . S u p u so q u e lo s ra y o s d e l S ol e ra n p a ra le lo s , y d e s c u b rió q u e c u a n d o el S ol se e n c o n tra b a e x a c ta m e n te s o b re A le ja n d ría , s u s ra y o s fo rm a b a n u n á n g u lo d e 7 i° co n un p o ste v e rtic a l s itu a d o a 500 m illa s , en S ie n a (A su á n ). A d e m á s , s u p u s o q u e el á n g u lo c e n tra l a ta m b ié n m e d ía 7¡°. D e d u jo q u e la re la c ió n del á n g u lo c e n tra l a a 500 m illa s s e ría ig u a l a la re la c ió n d e l to ta l d e g ra d o s de un c irc u lo p a ra c o m p le ta r la lo n g itu d d e la c irc u n fe re n c ia d e la T ie rra . D e fín a s e la p ro p o rc ió n y h á lle s e la d is ta n c ia . T ie rra

36


Capítulo 1

Conceptos im portantes

Términos P u n to (pág. 10) Recta (pág. 10) P lano (pág. 11) E spacio (pág. 11) P u n to s colineales (pág. 13) P u n to s coplanares (pág. 13) R ectas intersecantes (pág. 13) R ectas paralelas (pág. 13) Rectas concurrentes (pág. 13) Segm ento (pág. 16) R ayo (pág. 16) A ngulo (pág. 17) T riáng u lo (pág. 17) C u ad rilátero (pág. 17) C írculo (pág. 17) Segm entos congruentes (pág. 20) A ngulos congruentes (pág. 20)

A ngulo agudo (pág. 21) A ngulo recto (pág. 21) A ngulo o b tu so (pág. 21) Bisectriz de un ángulo (pág. 24) P u n to m edio de un segm ento (pág. 24) Bisectriz de u n segm ento (pág. 24) R ectas perpendiculares (pág. 28) Recta perpendicular a u n plano (pág. 28) P lanos perpendiculares (pág. 28) Bisectriz perpendicular (pág. 29) D istancia de un p u n to a u n a recta (pág. 29) Polígono (pág. 32) D iagonal de un polígono (pág. 32) P olígono convexo (pág. 32) T riángulo equilátero (pág. 33) T riángulo isósceles (pág. 33) P olígono regular (pág. 33)

Construcciones C ópiese un segm ento (pág. 21) Cópiese un áng u lo (pág. 21) Biséquese un ángulo (pág. 25) Biséquese u n segm ento (pág. 25)

C onstrúyase una perpendicular a una recta que pase p o r un p u n to dad o sobre la recta (pág. 29) C onstrúyase u n a perpendicular a una recta que pase p o r un p u n to d a d o fuera de la recta (pág. 29)

Capítulo 1

Resumen

1. C ítense objetos que ilustren lo siguiente: a. P u n to . b. P lano. d. Rectas intersecantes.

c. R ectas paralelas, e. Polígono.

2. Indíquese si las afirm aciones siguientes son falsas o verdaderas.

a. U n ray o láser es un ejem plo m ejor de recta que un ra y o . b. M N n o es p erpendicular a X Y , p orque sólo se form an dos ángulos rectos. c. El p u n to C está en AB. £^^ d. El p u n to C está en AB. e. U n ra d io es un rayo. f. D os segm entos son congruentes si tienen la m ism a longitud. 3. ¿C uántos extrem os tienen una recta, un ray o y un segmento? 4. ¿Es lo m ism o A B que BA1 ¿P or qué? 5. C onstruyase un ángulo de 135°. 6. Dibújese un ángulo o b tu so y trácese su bisectriz. ¿Son los ángulos resultantes agudos, rectos u obtusos? 7. Trácese un triángulo A B C (bastan te grande). M árquese el p u n to m edio de cada uno de los lados. 8. Trácese un segm ento que sea congruente con AB. 9. Trácese un segm ento de longitud {AB. 10. C opíense CD y P cn un papel y trácese u n a recta

perpendicular a CD que pase p o r P. • C En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo para identificar lo siguiente: 11. D os planos paralelos. 12. U n a recta perpendicular al plano EFHG.

13. U n a recta paralela al p lan o C D E F pero que no sea perpendicular al p lan o ABC-D. 14. L a intersección de los planos BCEG y BC FH .

-—

38


capítulo 1 1

Examen

C ítense objetos que ilustren lo siguiente: a. Recta.

b.

Rectas concurrentes.

d. P olígono regular.

c. Rectas perpendiculares.

e. Espacio,

2. Indíquese si las afirm aciones siguientes son Talsas o

verdaderas. a. D os p u n to s siem pre son colinealcs. b. Si d os ángulos son congruentes, entonces am bos son rectos. c. El p u n to D está en A B .

, CA

------- . D

-----------

B

d. El p unto D está en AC. e. U n d iám etro de un círculo es una recta. f. U n triángulo isósceles debe tener tres lados congruentes. 3. ¿Es lo m ism o A B que BA1 ¿P or qué? 4. Si dos rectas son paralelas, ¿cuántos p u n to s tienen en

com ún? 5. D ibújese un cuadrilátero no convexo. 6. Dibújese un triángulo AB C . T rácese la bisectriz

de cada

ángulo. 7. T rácese un ángulo que sea congruente con ¿ A B C . 8. S in u sar el tra n s p o rta d o r, trácense c u a tro ángulos rectos con un vértice co m ú n .

__

(Ejercicios 9, 10)

9. T rácese un segm ento congruente con AB. 10. M arqúese el p u n to m edio de AB.

a

En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo e identifiqúese lo siguiente: 11. U na recta paralela al plano ABU G . 12. U n p lan o perpendicular a É&. 13. U n a recta que n o sea paralela ni perpendicular a ninguna

cara del cubo. 14. L a in tersección de los p la n os A D F H y C D E t.

A

Técnicas para la solución de problemas Dibujo de un diagrama Puede resu ltar ag radable resolver problem as si se conocen diversas m aneras de abordarlos. H ay varias técnicas para resolver problem as de m atem áticas; u n a de ellas es d ibujar un diagram a.

Ejemplo E n el ray o A B , A C = 5 y A B = 2. E ncuéntrese BC. C om o ayuda p a ra resolver este problem a, se d ib u jará un diagram a. — A

|----------------------------------------------1---- 1----------- 1----------- 1---------- * B

C

En el diagram a se observa que B C = 3.

PROBLEMAS________________________________ Dibújense diagram as y resuélvanse los siguientes problem as. 1. E n el ray o Ñ P , N P = 4 y P M = 6. Encuéntrese N M . 2. En el ray o x \ , A Y = 15 e Y Z = 6. E ncuéntrese Z X . 3. ¿C uántos postes se necesitan p a ra cercar un terreno rectan g u lar si en tre los postes debe h a b e r 5 pies de distancia y el terreno m ide 20 pies p o r 30 pies? 4. Supóngase que un insecto cam ina sobre u n palo vertical y sube dos pulgadas en dos m inutos; después, baja una pulg ad a en un m inuto; de nuevo sube d os pulgadas en dos m inutos, y a,sí sucesivam ente. Si sigue así, ¿cuánto íiem po ta rd a rá en alcanzar un?, a ltu ra de 10 pulgadas? 5. U n a escalc:„ tiene diez escalones, cada u n o m ide un pie de an ch o y un pie de altura. U n a horm iga em pieza desde abajo del p rim er escalón y sube la escalera en línea recta. ¿Q ué distancia h a b rá recorrido la horm iga al llegar a la parte m ás alta del últim o escalón? 6. En u n a escuela se tra z ó un circuito p a ra una carrera de fondo en las calles de u n a ciudad. D esde el p u n to de salida, los corredores av an zaro n 4 calles al este, 6 al norte, 2 al oeste, d os al sur, 5 al oeste, 3 al n o rte, 2 al oeste, 8 al su r y 5 m ás hacia el este h a sta la m eta. Establézcase la dirección y el núm ero de calles que se recorrieron desde la salida h a sta la m eta.

Diseño interior: Teselados U n d iseñador de interiores en cuentra ejemplos de geom etría al seleccionar diseños de telas, suelos y papel p a ra paredes. C o n frecuencia, en diseño se em plea un concepto geom étrico llam ado teselado. U n teselado es un co n ju n to de polígonos dispuestos de form a que n o se sobreponen unos a o tro s ni q u ed an separaciones entre ellos. L a cocina que aparece en la fotografía tiene un suelo y un recubrim iento de azulejos que son ejem plos de teselados.

¿Con que polígonos es posible hacer un teselado sobre u n a superficie plana? Al colocar un papel sobre un cu a d ra d o y m arcarlo varias veces, puede elaborarse un teselado de cuadros. En la fotografía se m uestran o tro s teselados. Trácese en un papel u n a porción de teselado usando aquellas figuras de las que se m uestran a continuación que lo perm itan. E ntre estas figuras hay dos que no pueden usarse en un teselado, ¿cuáles son?

A

T rapecio

T riángulo escaleno

C om eta

C u ad rilátero n o convexo

U n cuadrilátero cualquiera

H eptágono

T rián g u lo eq u ilátero

P en tág o n o

T rián g u lo isósceles

H ex ág o n o

¿Con qué com binaciones de polígonos regulares es posible hacer un teselado sobre u n a superficie plana? Pueden crearse diseños interesantes p a ra pisos form ando teselados que com binen algunos de los polígonos regulares que se m u estran a continuación. El m odelo que aq u i se m uestra tiene u n cuadrado, u n hexágono y un dodecágono ro d ean d o cada punto; se le denom ina con los núm eros (4, 6, 12), que señalan el n ú m ero de lados de cada figura em pleada y el orden exacto en que se dispusieron alrededor del punto.

(4 ,6 ,1 2 )

T rácense las figuras siguientes p a ra m o stra r una parte de cad a uno de los teselados que se sugieren a continuación. C oloréense de m an era que resulten diseños interesantes. (4, 8, 8)

(3, 4, 6 ,4 )

(3, 6, 3, 6)

(3, 3, 3, 4 ,4 )

H ex ág o n o

D o d ecág o n o

C u a d ra d o

(3, 12,12)

T rián g u lo

O ctág o n o

41

CAPITULO

2 2.1

E l p r o c e s o d e l r a z o n a m ie n to in d u c tiv o

2 .2

G e n e r a liz a c io n e s fa ls a s y c o n t r a e je m p lo s

2 .3

D e s a r r o llo d e la g e o m e t r ía p o r m e d io

2 .4

T ip o s d e p r o p o s ic io n e s S i - E n to n c e s

2 .5

R e c íp r o c a , in v e r s a y c o n t r a r r e c í p r o c a

d e l r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o

2 .6

E s q u e m a s d e r a z o n a m ie n to P o s tu la d o s d e g e o m e t r ía

2 .8

A lg u n o s p o s tu la d o s s o b r e m e d ic ió n

R ep aso d e á lg e b ra

60

64

76

79

80

56

68

L a g e o m e tría en n u estro m undo F o to g r a fía : le n te s

48

52

2 .7


44

72

R esum en

77

E xam en

78

Razonamiento en geometría

43

44

R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría

2.1

El proceso del razonamiento inductivo

B .C . by perm ission o f Jo h n n y H a r t an d F ie ld E n terp rises, Inc.

E l r a z o n a m ie n to e s el p ro c e s o m e d ia n te el c u a l se s a c a n c o n c lu sio n e s a p a r t i r d e la in fo rm a c ió n . E n o c a sio n e s, la g e n te s a c a c o n c lu s io n e s b a s a d a s e n su s p r o p ia s o b se rv a c io n e s . A l o b s e r v a r v a r ia s veces q u e u n a a c c ió n p ro d u c e el m is m o re s u lta d o , se c o n c lu y e , e n g e n e ra l, q u e e sa a c c ió n te n d r á s ie m p re el m is m o r e s u lta d o . A e s ta c la se d e r a z o n a m ie n to se le lla m a ra zo n a m ie n to in d u ctivo . Y a la c o n c lu s ió n q u e se s a c a d e l r a z o n a m ie n to in d u c tiv o se le lla m a g en era liza ció n . L o s tr e s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n c ó m o p u e d e a p lic a rs e el r a z o n a m ie n to in d u c tiv o e n g e o m e tría .

Ejemplo 1

S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n c o r tó , d e u n a h o ja d e p a p e l, tre s triá n g u lo s d ife re n te s.

L a s e s q u in a s d e c a d a tr iá n g u lo se c o r t a r o n y c o lo c a r o n ju n t a s ta l c o m o se m u e s tr a a c o n tin u a c ió n .

¿ Q u é se o b s e r v a a c e rc a d e la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s? ¿E s eso c ie rto p a r a io d o s lo s triá n g u lo s ? C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n : L a s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es J L

2.1

Ejemplo 2


45

S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n m id ió to d o s lo s la d o s d e tr e s triá n g u lo s d ife re n te s.

E n e s to s tr iá n g u lo s , la s u m a d e la s lo n g itu d e s d e d o s la d o s es m a y o r q u e la lo n g itu d d e l te rc e r la d o . ¿ E s ta l a firm a c ió n v e r d a d e r a p a r a to d o s lo s triá n g u lo s? C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n : L a s u m a d e la s lo n g itu d e s d e d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo es -L q u e la lo n g itu d d el te rc e r la d o .

Ejemplo 3

S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n tr a z a la s b is e c tric e s d e c a d a á n g u lo d e tre s tr iá n g u lo s d ife re n te s.

¿Se e n c o n tr a r á n to d a s la s b ise c tric e s d e c a d a tr iá n g u lo e n el p u n to P? ¿E s e sa a firm a c ió n v e r d a d e r a p a r a to d o s lo s triá n g u lo s ? C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n : L a s b ise c tric e s d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo j L e n u n p u n to JL (q u e e s tá fu e ra , s o b r e o d e n tr o ) d e l triá n g u lo .

R a z o n a m ie n to in d u ctiv o E l p r o c e s o del r a z o n a m ie n to in d u c tiv o p u e d e d e s c rib irs e c o m o se m u e s tr a aq u í.

P aso 1 Se observa que una propiedad es verdadera para cad a caso que se verifica. P aso 2 D a d o que la propiedad es verdadera en to d o s los casos verificados, se concluye que es verdadera p a ra to dos los dem ás casos y se establece u n a generalización.

46

R a z o n a m ie n to en g e o m e tría

EJERCICIOS________ A. C om plétese la generalización de los ejercicios 1 y 2. L

Caso 1

Caso 2

Caso 3

E.

C G A

F

L A es un áng u lo recto

¿ £ es un ángulo recto

L y e s un ángulo recto

E n cada caso, ¿cuál de los tres lados del triángulo es el m ás largo? Generalización: En un trián g u lo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es el lad o JL.

2.

Caso 1

C aso 3

C

D

Q

A

Y

D y E son p u n to s medios. ¿Q ué relación hay en tre D E y 0 8 ?

Q y R son puntos m edios. ¿Qué relación h ay en tre QR e YZ1

-X

P y Q son puntos medios. ¿Q ué relación hay entre PQ e YZ1

Generalización: L a m edida de un segm ento de recta que une los puntos m edios de dos lados de un trián g u lo es JL el tercer lado.

ACTIVIDADES! T o d a s las c u e rd a s d e te rm in a d a s p o r un c o n ju n to d e p u n to s en un c írc u lo d iv id e n e l in te r io r d e l c írc u lo e n re g io n e s .

Puntos

--------------- -------------- ----

j

C l

I I U I I I C I Ü

d e re g io n e s p a ra 5, 6 y 7 p untos. 2. V e rifiq ú e s e la p re d ic c ió n d ib u ja n d o fig u ra s g ra n d e s (c írc u lo s d e 20 c m d e d iá m e tro , p o r lo m e n o s ) q u e m u e s tre n la c a n tid a d m á x im a d e re g io n e s p a ra 5, 6 y 7 puntos.

1 2 3 4 5 6 7

C a n tid a d m á x im a d e re g io n e s 0 2 4 8

_

2.1


3. C ad a uno de los triángulos siguientes es un triángulo equilátero.

M ídanse los ángulos. (Si es necesario, prolongúense los lados.) C ópiese y com plétese la generalización.

Generalización: Si un trián g u lo es equilátero, entonces tiene ángulos J -. 4. C a d a uno de los triángulos siguientes tiene d os lados congruentes. T rácense los triángulos isósceles y biséquense los ángulos form ados p o r los lados congruentes. O bsérvese la relación que existe entre la bisectriz y el lad o opuesto.

Generalización: En un trián g u lo con dos lados congruentes, la bisectriz del ángulo form ado por éstos es _! al JL tercer lado.

5. T rácese A A B C con A B = B C = AC. Elíjase un p u n to P en el interior del trián g u lo y trácense las perpendiculares de P a los lados del triángulo. M ídanse h, a, b y c al m m m ás cercano. H ágase lo m ismo, con p u n to s P diferentes, ta n ta s veces com o sea necesario p ara form ular una generalización.

SOLUCION D E PROBLEMAS. E ste d is e ñ o de c u a tro p a lillo s re p re s e n ta un e s p e jo con un a m o n e d a en é l. M u é v a n s e s ó lo d o s p a lillo s p a ra fo r m a r un e s p e jo del m is m o ta m a ñ o q u e é s te , p e ro d e ja n d o la m o n e d a (que no d e b e m o v e rs e ) fu e ra d e l e s p e jo .

47

48


2.2 Generalizaciones falsas y contraejemplos ¿LSUIEN ME Oíj o qu e

si

P o n ía

UNA MONEDA E N

MI ZAPATO; M E TRAERÍA SüfcNA S U E K T E ...... A sí

i j . . . TENGO U A M PO U -A

MAS,GR&Npe. G>ue T a m p s s e h a : j a v i s t o \\

E s ta c a r ic a tu ra ilu s tra u n a s itu a c ió n e n la q u e u n a g e n e ra liz a c ió n , q u e se c o n s id e ra b a v e rd a d e ra , re s u ltó s e r d o lo ro s a m e n te falsa.

LO ! IN T E N T É ......

C o p y rig h t, 1980, U niversal P ress S yndicate. A ll rig h ts reserved.

P a r a d e m o s tr a r q u e u n a g e n e ra liz a c ió n es fa lsa , su ele c ita rs e u n co n traejem p lo . L a s s itu a c io n e s q u e se p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n m u e s tra n c ó m o u n c o n tra e je m p lo p o n e a l d e s c u b ie rto la fa lse d a d d e u n a g e n e ra liz ac ió n .

Ejemplo 1 G e n e ra liz a c ió n fa ls a : Si u n c u a d r ilá te r o tie n e c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s , tie n e c u a tr o á n g u lo s c o n g ru e n te s . C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e e s ta g e n e ra liz a c ió n es falsa, d e b e p r e s e n ta r s e u n c u a d rilá te ro c o n c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s q u e no te n g a c u a tr o á n g u lo s c o n g ru e n te s. C o n tra e je m p lo : L a fig u ra E F G H tie n e to d o s su s la d o s c o n g ru e n te s , p e ro L E n o es c o n g ru e n te c o n L F.

G

2.2


49

Ejemplo 2 G e n e ra liz a c ió n fa lsa : Si u n c u a d r ilá te r o tie n e u n p a r d e la d o s p a ra le lo s , tie n e u n p a r d e la d o s c o n g ru e n te s . C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e la g e n e ra liz a c ió n es falsa, d e b e p r e s e n ta r s e u n c u a d r ilá te ro c o n u n p a r d e la d o s p a r a le lo s q u e no te n g a d o s la d o s c o n g ru e n te s . C o n tra e je m p lo : L a fig u ra A B C D tie n e B C || A D , p e ro n o tie n e d o s la d o s c o n g ru e n te s .

A L----------------------------- -------

Ejemplo 3 G e n e ra liz a c ió n fa lsa : Si u n tr iá n g u lo tie n e u n á n g u lo re c to , tie n e d o s la d o s c o n g ru e n te s . M

C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e la g e n e ra liz a c ió n es fa lsa , d e b e p r e s e n ta r s e u n tr iá n g u lo c o n u n á n g u lo re c to q u e no te n g a d o s la d o s c o n g ru e n te s . C o n tra e je m p lo : L a fig u ra T O M tie n e u n á n g u lo re cto {L 0 ), p e ro su s tr e s la d o s tie n e n d ife re n te s lo n g itu d e s .

U n c o n tr a e je m p lo p u e d e d e s c rib irs e c o m o se h a c e a q u í.

0

T

Definición 2.1 U n con tra e je m p lo es un solo ejem plo que po n e en evidencia la falsedad de u n a generalización.

Ejemplo 4 E s ta fig u ra es u n c o n tr a e je m p lo p a r a la g e n e ra liz a c ió n fa lsa sig u ien te . Si d o s r e c ta s se in te rs e c a n , e n to n c e s f o r m a n á n g u lo s recto s.

50


EJERCICIOS________ A. P a ra los ejercicios 1 y 2 se da u n a generalización basada en los casos presentados. Indíquese si las generalizaciones son falsas o verdaderas. Si alguna es falsa, dése un contraejem plo. 1.

Caso 1

C aso 2

Caso 3

D

W

, r> Z ^ ABW D C

_

/

Caso 4

A

V

'

U

--------------------- 5

E F \\H G

T

M N \\P O

/?S|| U T

Generalización: T o d o s los cu adriláteros tienen u n p a r de lados paralelos. 2.

Caso 1

D, E y F so n p u n to s m edios

El perím etro de A-4BC es el doble del perím etro de A DEF.

Caso 2

M , N y P so n p u n to s m edios

El perím etro de A X Y Z es el doble del perím etro de AM NP.

Generalización: El perím etro de un trián g ulo es el doble del perím etro del trián g u lo form ado al unir los puntos m edios de los lados del p rim er triángulo.

ACTIVIDADES! L o s c o n tra e je m p lo s tie n e n un p a p e l im p o rta n te en la c ie n c ia . U no de lo s o b je tiv o s d e los p ro g ra m a s de in v e s tig a c ió n e s p a c ia l e s c o n firm a r la v a lid e z o in v a lid e z d e la s te o ría s fo rm u la d a s p o r los c ie n tífic o s . Las fo to g ra fía s tom adas, p o r el V o y a g e r d e lo s a n illo s d e S a tu rn o d ie ro n re s u lta d o s s o rp re n d e n te s . A n te s d e los v u e lo s e s p a c ia le s d e l V o y a g e r, lo s a s tró n o m o s s o s te n ía n m u y d iv e rs a s te o ría s c o n re s p e c to a lo s a n illo s de S a tu rn o . ¿ C o n s titu y ó a lg u n o d e lo s n u e v o s h a lla z g o s un c o n tra e je m p lo de a lg u n a d e e s ta s te o ría s ? B ú s q u e n s e a rtíc u lo s p e rio d ís tic o s o d e re v is ta s c ie n tífic a s q ue a p o y e n s u s o b s e rv a c io n e s .

Caso 3

H, I, J so n p u n to s m edios

E1 perim etro de A R S T e s el doble del perim etro de A H IJ .

2.2


3. ¿P a ra cuál de las proposiciones siguientes seria un contraejem plo la figura A B C D I a. C u an d o to d o s los lados de un cuadrilátero tienen la m ism a longitud, to d o s los ángulos m iden lo m ism o.

i—

L—

b. C u an d o to d o s los ángulos de un cuad rilátero tienen la m ism a m edida, to d o s los lados son de igual longitud.

51

tí

c. C u an d o un p ar de lados de un cuadrilátero es congruente, el segundo p a r de lados tam bién lo es. 4. ¿P a ra cuál de las proposiciones siguientes sería un contraejem plo el polígono W X YZP. a. U n polígono con lados congruentes es u n polígono regular. b. U n polígono con ángulos congruentes es un polígono regular. c. U n c u a d ^ t e r o con ángulos congruentes es u n cuadrilátero convexo.

2 cm

LY 1cm

J 1 cm W

1

rZ

2 cm

En los ejercicios 5 y 6, indíquese si la proposición es falsa o verdadera. Si es falsa, dése un contraejem plo. 5. D a d o cu alquier A A B C , la bisectriz perpejidicular de A B

interseca a la bisectriz perpendicular de BC en un p u n to dentro del triángulo. 6. D ad o cualquier A A B C , la recta que pasa p o r A y es perpendicular a { § y la recta que p asa p o r B y es perpendicular a A C se intersecan en un p u n to den tro del triángulo.

SOLUCION D E PROBLEM AS---------------------\

E sta d is p o s ic ió n d e n ú m e ro s , c o n o c id a c o m o tr iá n g u lo de Pascal, re c ib e e s te n o m b re p o r e l m a te m á tic o fra n c é s

X

B la is e P a sca l (1623-1662).

1. O b s é rv e s e la relació n q u e e x iste e n tre c a d a n ú m ero y los m á s p ró x im o s d e la fila s u p e rio r. C ó p ie se el d ise ñ o y c o m p lé te n se p o r lo m e n o s o tra s tr e s filas. 2. E n c u é n tre s e la s u m a d e lo s n ú m e ro s d e c a d a fila . E s ta b lé z c a s e un a g e n e ra liz a c ió n s o b re e s a s s u m a s. 3. E n c u é n tre n s e los p o lin o m io s p a ra (a + b ) z, (a + b )3 y (a + b ) \ E s c ríb a s e u n a lis ta d e los c o e fic ie n te s d e los té rm in o s d e c a d a p o lin o m io . E n u n c íe s e una g e n e ra liz a c ió n d e la re la c ió n d e e s te e s q u e m a co n el triá n g u lo d e P a sca l.

g

1

^ 1

1 1

3

4 5

3 6

10

1 4

10

1 5

A 'v '

52


2.3

Desarrollo de la geometría por medio del razonamiento deductivo

H a s ta a h o r a se h a n b u s c a d o o b je to s de n u e s tro m u n d o q u e su g ie re n c o n c e p to s g e o m é tric o s. Se h a n e leg id o los c o n c e p to s b ásic o s — p u n to , re c ta y p la n o — y se les h a lla m a d o té rm in o s indefinidos. A p a r t i r d e e sto s té rm in o s , se o b tu v ie ro n definiciones p a r a d e sc rib ir o tr a s fig u ras g e o m é tric a s, c o m o triá n g u lo s, se g m e n to s y á n g u lo s. T a m b ié n se d e fin ie ro n relacio n es, c o m o la c o n g ru e n c ia , el p a ra le lis m o y la p e rp e n d ic u la rid a d . D e s p u é s , se e m p le ó el ra z o n a m ie n to inductivo p a r a d e s c u b rir a lg u n a s g e n e ra liz a c io n e s s o b re e sta s fig u ras. E n este p ro c e s o d e d e s c u b rim ie n to s se b u s c a ro n c o n tra e je m p lo s q u e in v a lid a ra n las g en eralizacio n es. A h o ra es el m o m e n to d e d a r el sig u ien te p aso . Se re q u ie re u n m é to d o p a r a c o m p r o b a r q u e las g e n e ra liz ac io n e s d e s c u b ie rta s son v e rd a d e ra s p a r a to d o s lo s caso s. E l m é to d o q u e se e m p le a rá se lla m a ra z o n a m ie n to deductivo. E n la s seccio n es sig u ie n te s se e s tu d ia r á este m é to d o . El p ro c e s o del r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o re q u ie re la a c e p ta c ió n d e u n a s c u a n ta s g e n e ra liz a c io n e s b á s ic a s sin c o m p ro b a rla s . E sta s g e n e ra liz a c io n e s se lla m a n p o stu lad o s. T o d a s la s d e m á s g e n e ra liz a c io n e s q u e p u e d e n p r o b a r s e c o m o v e rd a d e ra s c o n la a y u d a d e d efin icio n es, p o s tu la d o s y la ló g ica d el r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o , se lla m a n teo rem as. F in a lm e n te , se u s a n los te o re m a s y a p ro b a d o s, c o m o a y u d a p a r a la re so lu c ió n d e p ro b le m a s d e la v id a c o tid ia n a .

. EJEMPLOS DEL MUNDO REAL

____________ _

RECTA I PUNTO

T R I A N G U L O — un t r iá n g u lo e s

------------------- 1 TERMINOS INDEFINIDOS

LOGICA

DEFINICIONES

2 .3

P E A N U T S / £ p o r a u e ce s o ÍDeSBAC£RM6 DE PU FRAZADA?¿ft)R

D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to d e d u c tiv o

I SI PUEfjES 0W?mE U N

ft

BUENA fiftZÓN. N\£

AuáMoMlEUNA vBUEN» ftAZOWl ,

\

I y A SAB \tK q u e wo

PO R Q U E H A C E Q U E PAREZ C A S E S T Ú P ID O , PO RESO <

PODÍAS PENSAR E N U N A

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1Hftce a u e p w &zcas es T Ú PlO O .SO gC E \6 N 0R f t N T E l

©

1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.

E n las secciones a n terio res de este c a p itu lo se u só el ra z o n a m ie n to in d u ctiv o p a r a d esc u b rir generalizaciones. A h o ra se e x p lo ra rá n el ra z o n a m ie n to lógico y el d ed u ctiv o , y su fu n ció n e n la d em o strac ió n de teorem as. El p ro c e so del ra z o n a m ie n to d ed u ctiv o c o n sta d e tres pasos. E n el siguiente te o re m a se esb o zan esto s tres pasos: Si d o s la d o s de u n trián g u lo so n congruentes, ento n ces los d o s á n g u lo s o p u esto s so n congruentes. R a z o n a m ie n to d ed u ctiv o P aso 1 Em piécese con las condiciones d adas (la hipótesis). Paso 2 Usese la lógica, definiciones, postu lad o s o teorem as previam ente p ro b a d o s p ara justificar u n a serie de proposiciones o paso s que den el resultado deseado.

Paso 3 Afírmese el resultado (la conclusión).

53

D ado: A A B C es u n trián g u lo co n A B = AC. L as p ro p o sicio n es q u e p ro p o rc io n a n e s ta co n clu sió n n o se in cluyen aqui. E n este ca p ítu lo se p re se n ta n alg u n o s esq u em as d e ra z o n a m ie n to que a y u d a rá n a elegir, o rd e n a r y d a r ra zo n es p a r a pro p o sicio n es ad ecuadas. P o r ta n to , L B y L C so n congruentes.

D espués de u s a r la lógica p a r a o b te n e r las p ro p o sicio n es co rrectas del p a so 2 del ejem plo p ro b a d o en la s líneas anteriores, se h a b r á p ro b a d o este teorem a: Si dos lados de un triángulo son congruentes, (hipótesis) en to n ce s los dos ángulos opuestos son congruentes. (conclusión)

54


EJERCICIOS 1. Según el diccionario, un p lan o es u n a superficie llana o lisa. Escríbanse tres p alab ras de la «definición» que tam bién deberían entenderse y p a ra las cuales p o d ría intentarse d a r u n a definición. 2. D efínase u n o de los tres térm inos del ejercicio 1. H ágase una lista de las p alab ras de la definición que tam bién puedan necesitar definición. 3. ¿D ebería considerarse el térm ino plano en tre los térm inos indefinidos? Expliqúese la respuesta. 4. D ése una definición de espacio que incluya los térm inos indefinidos conjunto y punto. 5. E scríbase una proposición que sea un teorem a de geom etría.

ACTIVIDADES Uno d e los o bjetivos d e los c u rs o s d e g e o m e tría e s p ro p o rc io n a r c ie rta práctica e n el ra z o n a m ie n to lógico ap licad o a s itu a c io n e s d e la v id a cotid ian a. En la vida d ia ria , a lg u n a s v e c e s s e s a c a n c o n c lu sio n e s con p o c a o n in g u n a b a se . A c é p te s e e s ta h isto ria co m o u n a re p re s e n ta c ió n a d e c u a d a d e alg o que re a lm e n te ocurrió: El p e q u e ñ o Luis M edina s e s e n tó en un rincón a c o m e r s u p a ste l d e N avidad. M etió s u d e d o e n tre la m a s a , s a c ó u n a p a sa y dijo: «¡Qué b u en chico soy!» ¿ C u á le s d e e s ta s c o n c lu sio n e s p u e d e n a c e p ta rs e (quizá d e m a n e ra inco n scien te) al le e r la historia? 1. Luis co m ía un p a ste l d e p a s a s . 2. E ra el d ía d e N avidad. 3. Luis c o m p ren d ió q u e e r a un b u en ch ico 4. Luis e s ta b a s e n ta n d o en un rincón p o rq u e s a c ó u n a p a s a p o rq u e e s ta b a ca stig a d o . 5. Luis e r a un niño. A hora, lé a s e d e n u ev o la histo ria. ¿ C u á le s d e e s ta s c o n c lu sio n e s so n a c e rta d a s b a s á n d o s e ú n ic a m e n te e n la inform ación q u e p ro p o rcio n a la h isto ria?

2.3

D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to d e d u c tiv o

E n los ejercicios 6 a 9, se form ulan la inform ación d ad a y la conclusión b asad a en el razonam iento deductivo. Las proposiciones que llevan de la hipótesis a la conclusión se om iten. Form úlese el teorem a p robado. 6. D ado: Las líneas t y m form an un p ar lineal de ángulos, Z .ly Z .2 . ZL1 = Z. 2.

7. Dado: L 1 y L 3 son ángulos verticales.

P o r ta n to , L \ s ¿ 3 . P o r tan to , í i m .

8. Dado: U n A A B C isósceles con A B ^ A C , d o n d e A D bisecta a L A .

9. D ado: M N une los puntos m edios de A B y lC e n AABC.

A P o r tan to , CD = DB.

'B

c. 10. D esarróllese u n argum ento lógico para convencer a alguien de que la distancia m ás c o rta en tre el p u n to P y una recta l es la longitud de PQ, donde Q está sobre l y í es perpendicular a PQ.

__ SO LUCIO N D E PROBLEMAS. T res e m b a ja d o re s d e d ife re n te s p a ís e s p a g a ro n 30 d ó la re s por la h abitación de un hotel. C a d a uno co ntribuyó con 10 d ó la re s . M ás ta rd e , el a d m in istra d o r del hotel s e p e rc a tó d e q u e s ó lo d e b ía n h a b e r p a g a d o 25 d ó la re s, p o r lo q u e llam ó al b o to n e s y le dio 5 d ó la re s p a ra q u e los d e v o lv ie ra a los e m b a ja d o re s . El b o to n es p e n só q u e é s to s te n d ría n d ificu ltad es p a r a re p a rtirs e los 5 d ó la re s por las d ife re n c ia s lin g ü ísticas y só lo le s dio 3, q u e d á n d o s e con los 2 d ó la re s re sta n te s. Así p u e s , c a d a e m b a ja d o r p a g ó p o r la h a b itació n 10 d ó la re s m e n o s el dólar d ev u elto , e s to e s , 9 d ó la re s . 9 x 3 = 27. 27 d ó la re s m á s los 2 q u e s e q u ed ó el b o to n e s su m a n 29 d ó la re s . P e ro la c u e n ta original e r a d e 30 d ó la re s. ¿Q ué p asó con el otro d ó lar? V5-

”

55

56


2.4 Tipos de proposiciones «Si-Entonces» E s ta c a r ic a tu r a ilu s tr a u n tip o de p r o p o s ic ió n im p o r ta n te p a r a el r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o . L o s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n p ro p o s ic io n e s d e la fo rm a « si-e n to n c e s» . S i p, e n to n c e s q. Si n ie v a h o y , e n to n c e s e s q u ia re m o s . Si u n tr iá n g u lo isó sceles tie n e u n á n g u lo d e 60°, e n to n c e s es u n tr iá n g u lo e q u ilá te ro . Si L u c y n o se ríe , e n to n c e s S n o o p y e s tá tris te .

© 1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.

L a d e fin ic ió n 2.2 d e s c rib e e s te tip o d e p ro p o s ic ió n . L o s e je m p lo s q u e sig u e n p r e s e n ta n a lg u n o s a s p e c to s d e lo q u e se re q u ie r e p a r a tr a b a j a r c o n la s p ro p o s ic io n e s s i-e n to n c e s y c o m p re n d e rla s .

E je m p lo 1

Definición 2.2 U n a proposición si-entonces es u n a proposición de la form a «si p, entonces q», donde p y q son proposiciones simples. A p se le llam a hipótesis, y q es la conclusión. El sím bolo p -> q (léase «p implica q»), se usa p a ra representar una proposición si-entonces.

D a d a un a proposición si-entonces, fo r m ú le n s e la h ip ótesis y la conclusión. Si el in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ic e q u e h o y llo v e rá , e n to n c e s n o ju g a r e m o s al ten is.

H ip ó te s is (p): E l in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ice q u e h o y llo v e rá . C o n c lu s ió n (q): N o ju g a r e m o s a l te n is. E je m p lo 2

D a d a s la hip ótesis y la conclusión, fo r m ú le s e la proposición si-entonces.

H ip ó te s is (p): L a fig u ra A B C D es u n c u a d r a d o . C o n c lu s ió n (q)\ T ie n e c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s . S i-e n to n c e s (p -* q): Si la fig u ra A B C D e s u n c u a d ra d o , e n to n c e s tie n e c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s . E je m p lo 3

D a d a una prop osición en o tr a f o r m a fo r m ú l e s e c o m o un a proposición si-entonces.

C u a n d o n ie v a , la te m p e r a tu r a es in fe rio r a 0 o. S i-e n to n c e s (p -* q): S i n ie v a , e n to n c e s la te m p e r a tu r a es in fe rio r a 0 o.

2.4

P a r a c o m p r e n d e r m e jo r el p r o c e s o d e r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o , e n p r im e r lu g a r h a y q u e p o d e r d e c id ir si u n a p r o p o s ic ió n sie n to n c e s c o m o la q u e se m u e s tr a e n la ilu s tr a c ió n es v e rd a d e ra . (¿E s v e rd a d e ra ? E x p liq ú e se .)


51 LOS PECES NA.DftN,EN TONCES LAS 3 IRRPAS

C o n s id é re s e a h o r a el sig u ie n te e je m p lo . S u p ó n g a s e q u e u n p ro fe s o r fo r m u la la p ro p o s ic ió n si-e n to n c e s q u e a p a re c e a c o n tin u a c ió n . ¿ E n c u á l d e e s to s c a s o s p u e d e u n o s e n tir q u e se le h a tr a t a d o in ju s ta m e n te y q u e el p ro fe s o r n o d ijo la v e rd a d ? L a re s p u e s ta a e s ta p r e g u n ta a y u d a r á a o b s e rv a r c u á n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s es falsa.

Si se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta e n to d o s lo s e x á m e n e s d e g e o m e tría , e n to n c e s se o b te n d r á la c a lific a c ió n m á s a lta al fin a l d e l c u rso .

Caso 1 Se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta e n to d o s lo s ex á m e n e s. (h ip ó te s is v e rd a d e ra )

Caso 2 Se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta en to d o s lo s e x á m e n e s. (h ip ó te sis v e rd a d e ra )

Caso 3 N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta e n to d o s lo s e x á m e n e s. (h ip ó te s is falsa)

Caso 4 N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a l t a e n to d o s lo s ex á m e n e s. (h ip ó te s is falsa)

Se o b tie n e la c a lific a ció n m á s a lta al fin a l d e l c u rso . (c o n c lu s ió n v e rd a d e ra ) N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta a l fin al d e l c u rso . (c o n c lu s ió n falsa) Se o b tie n e la c a lific a ció n m á s a lta al fin a l d e l c u rso . (c o n c lu sió n v e rd a d e ra ) N o se o b tie n e la ca lific a ció n m á s a lta a l fin a l d e l c u rso . (c o n c lu sió n falsa)

Se re c ib ió u n t r a t o in ju s to s ó lo e n el c a s o 2.

L o s r e s u lta d o s d e l e je m p lo a n te r io r se re su m e n e n la s d e s c rip c io n e s d e la s p ro p o s ic io n e s s i-e n to n c e s fa lsa s y v e rd a d e ra s q u e se p r e s e n ta n a q u í.

U n a proposición si-entonces es verdadera si cuando la hipótesis es verdadera, la conclusión tam bién lo es. E n o tras palabras, u n a proposición si-entonces es falsa sólo cu an d o la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa.

57

58


EJERCICIOS________ ________________________ A. E n los ejercicios 1 a 8, form úlense prim ero la hipótesis (p) y la conclusión (q) de la proposición si-entonces. Luego, decídase si la proposición es o no verdadera. 1. Si L isa tiene quince años, entonces L isa es dem asiado joven p a ra v o ta r en las elecciones de P u e rto Rico. 2. Si u n a p elo ta se lanza hacia arriba, entonces la pelota bajará. 3. Si algunas m anzanas son rojas, entonces los caballos tienen cuatro patas. 4. Si C arlos co m p ró u n a p era, entonces C arlo s com pró un vegetal. 5. Si d os rectas se intersecan, entonces esas dos rectas no son paralelas. 6. Si tres rectas son concurrentes, entonces las rectas son paralelas. 7. Si el A A B C es isósceles, entonces el A A B C es equilátero. 8. Si el A A B C es equilátero, entonces el A A B C es isósceles. En los ejercicios 9 a 14, escríbanse proposiciones si-entonces (p -* q) con la hipótesis (p) y la conclusión (q) dadas. 9. H ipótesis (p): U n hom bre vive en San Ju an . C onclusión (q): Vive en P u e rto Rico. 10. H ipótesis (p): D os rectas se intersecan p a ra fo rm ar ángulos rectos. C onclusión (q): Las rectas son perpendiculares. 11. H ipótesis (p): D os rectas son perpendiculares. C onclusión (q): Se intersecan p a ra form ar ángulos congruentes. 12. H ipótesis (p): U n núm ero es primo. C onclusión (q): El núm ero tiene exactam ente dos divisores. 13. p: D os rectas son paralelas. q: N o se intersecan. 14. p: D os ángulos son congruentes. q: Tienen la m ism a medida.

A C TIV ffiA D ESE n c u é n tre n se p la n te a m ie n to s en re v is ta s o p e rió d ico s q u e incluyan p ro p o sic io n e s si-e n to n c e s o p ro p o sic io n e s q u e p u e d a n fo rm u la rse en la form a si-e n to n c e s sin c a m b ia r el significado. A n a líc ese c a d a pro p o sició n y la lógica q u e la re sp a ld a .

2.4


B.

E n los ejercicios 15 a 24, identifiqúense la hipótesis y la conclusión, y form úlese la proposición en la form a si-entonces sin cam biar el significado. 15. U n n ú m ero es p a r si term ina en 2. 16. D os rectas son perpendiculares si se cruzan en ángulo recto. 17. U n triángulo equiángulo debe ser equilátero. 18. U n n ú m ero es im p ar siem pre que term ine en 5. 19. «Sigue m is consejos y te harás rico.» 20. M ejo rarás si trab ajas duro. 21. U n triángulo es isósceles siem pre que d os de sus ángulos sean congruentes. 22. U n a recta q u e biseca a un segm ento contiene el p u n to m edio del segmento. 23. B es el p u n to m edio de A C si A B = BC. 24. T o d o s los triángulos son polígonos.

c. 25. F o r m ú la s e to d as las proposiciones si-entonces cuyo significado se? el m ism o que las proposiciones contenidas en este anuncio de la «C om pañía N ow ork». V enga a la C o m pañía N o w o rk y h ag a d inero rápidam ente. T ra b a je p a ra N o w o rk y ascenderá en poco tiem po. Sólo co n tratam o s gente inteligente que sea lo suficientemente to n ta com o p a ra saber que es inteligente. N o w o rk le g aran tiza una capacitación g ra tu ita excelente. A usted le g u stará tra b a ja r en la C o m pañía N o w o rk . C on tratam o s a cualquier ser hum ano. D espedim os a cu alquier ser hum ano. 26. Form úlese u n a proposición si-entonces verdadera (si a. entonces u), y form úlese de nuevo en las form as siguientes: b si a; a sólo si b\ a es to d o lo que se necesita p a ra aseverar b\ b debe ser verdad p a ra que a sea verdad. ¿Cuáles de estas proposiciones pueden considerarse verdaderas?

SOLUCION D E PROBLEM AS---------------------------lf/\ i- 2 (J C ja tro a d u lto s y d o s n iñ o s d e b e n c ru z a r un rio e n u n a c a n o a en la q u e so lo c a b e un a d u lto o d o s n iñ o s a la vez. No c a b e n un a d u lto y un niño ju n to s. E x p liq ú ese có m o p u e d e n c ru z a r la s s e is p e rs o n a s . ¿C uál e s el -ú m e ro m ínim o d e v e c e s q u e d e b e c ru z a r la c a n o a ?

i ■

\ AA/ti* r

A

r

2 N

59

60


2.5

Recíproca, inversa y contrarrecíproca

Si se e m p ie z a c o n u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s v e r d a d e r a es p o s ib le fo rm a r tre s tip o s d e p ro p o s ic io n e s r e la c io n a d a s lla m a d a s reciproca, inversa y c o ntrarrecípro ca d e la p r o p o s ic ió n o rig in a l. A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n lo s tip o s y se c o m p a r a n c o n la p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s o rig in a . P ro p o s ic ió n : P

Q

R e c íp ro c a d e la p ro p o s ic ió n :

significa « n o p.»

Si u n a b a n d e r a e s la b a n d e r a d e P .R . e n to n c e s tie n e e stre lla s.

Si u n a b a n d e r a tie n e e stre lla s, e n to n c e s es la b a n d e r a d e P .R .

q ^ p C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s (p -*• q) es v e r d a d e r a , n o se debe su p o n e r q u e s u r e c íp r o c a (q -> p) s e a n e c e s a ria m e n te v e r d a d e r a . _

P ro p o s ic ió n : p->q

In v e rs a d e la p ro p o s ic ió n : —» ~ q

Si u n v e h íc u lo es u n a e ro p la n o , e n to n c e s el v e h íc u lo se c o n s tru y ó p a r a v o la r. Si u n v e h ic u lo n o e s u n a e ro p la n o , e n to n c e s el v e h íc u lo n o se c o n s tr u y ó p a r a v o la r.

C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n si-e n to n c e s (p -*■ q) es v e rd a d e ra , no se debe sup on er q u e s u in v e r s a ( ~ p - ~ q ) s e a n e c e s a ria m e n te v e rd a d e ra . C hicago

P ro p o s ic ió n : P

q

Si se vive e n C h ic a g o , e n to n c e s se v iv e e n Illin o is. N u ev a Y ork S an F rancisco

C o n tra rre c íp ro c a d e la p ro p o s ic ió n :

Si n o se vive e n Illin o is, e n to n c e s n o se v iv e e n C h ic a g o .

M iam i

L os Angeles W ichita

C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s (p . q) es v e r d a d e r a , se p u e d e su po ner q u e s u c o n tr a r r e c íp r o c a ( ~ q —> - p) ta m b ié n es v e rd a d e ra .

2.5

R ecip ro ca, in v e rsa y c o n tra rre c íp ro c a

E s to s re s u lta d o s se re s u m e n c o m o sigue: p -y q

p r o p o s ic ió n d a d a

Si p , e n to n c e s q

v e r d a d (se su p o n e )

q -* p

r e c íp ro c a

Si q, e n to n c e s p

n o n e c e s a ria m e n te v e rd a d e ra

~ nr - > ~ ai

in v e rs a

Si n o p, e n to n c e s n o q

n o n e c e s a ria m e n te v e r d a d e ra

—^

c o n tr a r r e c íp r o c a

Si n o q, e n to n c e s n o p

s ie m p re v e rd a d e ra

p

C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n d a d a y s u re c íp ro c a s o n v e rd a d e ra s , p u e d e n c o m b in a rs e y f o r m a r u n a s o la p r o p o s ic ió n c o n la fra se si, y sólo si. P ro p o s ic ió n : p q

Si h o y e s m a rte s , e n to n c e s m a ñ a n a es m ié rc o les.

R e c íp ro c a d e la p ro p o s ic ió n :

Si m a ñ a n a es m ié rc o le s, e n to n c e s h o y es m a rte s.

p P ro p o s ic ió n si, y sólo si:

H o y es m a r te s si, y s ó lo si, m a ñ a n a es m ié rc o le s.

P *-*Q

T o d a d e fin ic ió n p u e d e f o rm u la rs e c o m o u n a p r o p o s ic ió n si, y sólo si. C o m o e je m p lo , c o n s id é re s e la s ig u ie n te d e fin ic ió n . U n tr iá n g u lo e q u ilá te r o es u n tr iá n g u lo c u y o s la d o s s o n c o n g ru e n te s e n tre sí. E sto p u e d e re fo rm u la rs e c o m o sigue: U n a fig u ra es u n tr iá n g u lo e q u ilá te r o si, y só lo si, es u n triá n g u lo co n to d o s su s la d o s c o n g r u e n te s e n tr e sí. E n r e a lid a d , la n u e v a p r o p o s ic ió n c o m b in a d o s p ro p o s ic io n e s v e rd a d e ra s : 1. S i u n tr iá n g u lo es e q u ilá te r o , e n to n c e s tie n e to d o s su s la d o s c o n g ru e n te s . 2. Si u n tr iá n g u lo tie n e to d o s su s la d o s c o n g ru e n te s , e n to n c e s es e q u ilá te ro . E s ta id e a p u e d e re s u m irse d e la s ig u ie n te m a n e ra : p si, y sólo si, q sig n ific a lo m is m o q u e si p, e n to n c e s q y si q, entonces p. C u a n d o e s ta p r o p o s ic ió n es v e r d a d e r a , se d ice q u e p y q s o n proposiciones equivalentes.

62


EJERCICIOS_______ Form úlense las recíprocas de las proposiciones de los ejercicios 1 a 4. Si es necesario, form úlense de nuevo en la form a si-entonces. ¿E n qué ejercicio son verdaderas la proposición y la recíproca? 1. Si una p erso n a está n ad an d o , entonces esa persona está m ojada. 2. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan. 3. Si una persona es p o b re, entonces esa p ersona n o tiene m ucho dinero. 4. Si a ■b = 0, entonces a = 0 o b = 0. E n los ejercicios 5 a 8, form úlese la inversa de cada proposición. 5. Si una p erso n a ro b a, entonces es una persona deshonesta. 6. Si una figura es u n triángulo, entonces es u n polígono. 7. C ualquier equipo que gane c u atro juegos de la Serie M undial, g an a la serie. 8. D o s planos son paralelos si no se intersecan. Form úlense las contrarrecíprocas de las proposiciones de los ejercicios 9 a 12. 9. Si una p erso n a conduce legalm ente un autom óvil, entonces esa p erso n a tiene 16 años o más. 10. T od o s los ángulos rectos son congruentes. 11. Se g an a rá el cam p eo n ato si se gana el p a rtid o de esta noche. 12. Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.

ACTIVIDADES

................ ....

A n á lis is d e un a n u n c io c o m e rc ia l

Analicemos un anuncio

A BC ¡La vitamina especialmente elaborada para usted!

™

—

(1) Si q u ie re s e n tirs e en p le n a form a, to m e u n a ta b le ta ABC al día. (2) La g en te q u e to m a vitam in as ABC s e p re o c u p a p o r s u sa lu d . U sted s e d e b e a q u ie n e s e s tá n c e rc a d e usted, c u íd e s e . E m piece hoy a to m a r ABC. Al e s c u c h a r p ro p o sicio n e s com o (1), s u e le s u p o n e rs e e q u iv o c a d a m en te la reciproca «si to m a u n a ta b le ta d e ABC to d o s los d ía s, e n to n c e s s e se n tirá e n p le n a form a». Al e s c u c h a r p ro p o sic io n e s com o (2), s u e le s u p o n e rs e e q u iv o c a d a m en te la inversa «si yo no tom o v ita m in as ABC, e n to n c e s no m e p re o c u p o por mi salud». C ó p ie se un an u n cio c o m ercial d e u n a re v ista o d e la telev isió n y b ú s q u e n s e p o sib le s e r r o r e s d e in terpretación.

2.5

R e c íp ro c a , in v e rs a y c o n tra rre c íp ro c a

63

En los ejercicios 13 a 18, form úlense dos proposiciones simples que sean equivalentes. 13. U n trián g u lo es equilátero si, y sólo si, es equiángulo. 14. U n ángulo es un áng u lo recto si, y sólo si, su m edida es 90°. 15. D os rectas de un p lan o son paralelas si, y sólo si, n o tienen pu n to s en com ún. 16. U n cuadrilátero es un rectángulo si. y sólo si, tiene cuatro ángulos rectos. 17. Un cuadrilátero es un p aralelogram o si, y sólo si, tiene dos pares de lados paralelos. 18. D os ángulos son com plem entarios si, y sólo si, la sum a de sus m edidas es 90°.

19. Form úlense la recíproca, la inversa y la co n trarrecíproca de estas frases de la form a p -» q. Elabórese una tarjeta com o la que se m uestra a continuación y m árquese en el lug ar correspondiente si la proposición es falsa o verdadera

V

Si se vive en Río Piedras, se vive en el área m etropolitana.

Reciproca

vy V

Si dos segmentos tienen la misma lonaitud, entonces son congruentes. Si una figura es un polígono regular, entonces todos sus lados son congruentes.

C ontrarrecíproca

V

LL

Si un núm ero es positivo, entonces es m ayor que 6.

Inversa

~n

Proposición

V V

¿7

SOLUCION D E PROBLEM AS-------------------------------- ------------------Dos m u je re s, Alicia y C aro lin a, y d o s h o m b re s, E nrique y David, son atle ta s. U na d e e s ta s p e rs o n a s p ra c tic a la n atació n , o tra el p atin aje, o tra la g im n a sia y o tra el te n is. Un d ía s e re u n ie ro n y s e se n ta ro n a lre d e d o r d e u n a m e s a c u a d ra d a : 1. El n a d a d o r e s ta b a a la iz q u ie rd a d e Alicia. 3. C a ro lin a y David s e se n ta ro n juntos. 2. El g im n a sta e s ta b a fre n te a E nrique. 4. U na m u jer s e se n tó al lad o del patinador. ¿C uál d e e s ta s p e rs o n a s e s el te n ista ?

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A u 'x O '

AvuAo.

e -— ’T ' Y$v?jC í¿A

_____

—------------------------------- "íFfc 0o ^ < r f ' — \&w < x Y" c I

1

64


2.6

Esquemas de razonamiento

A h o r a se e s tu d ia r á n d iv e rs o s e s q u e m a s d e r a z o n a m ie n to q u e se u s a r á n e n la p r u e b a d e te o re m a s . E s tu d íe s e la c a r ic a tu r a sig u ie n te y el a n á lisis p o s te rio r. UNA PRQFUNOA DEPRESION SE APODERA DE TUS HUESOS,T0$0 TE DUELE.... Y TE S íE H lE S C f\N S fcD & -

y SI ALGUIEN S l V ^ u w f W

auiERAMENCICNA

"U M \ PERDIZ EN UN

EN

UN

PERAL-JE DAN 6fV

AAUGH

ÑAS DE SR1TAR.

©

1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.

E l p r im e r e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to q u e se e s tu d ia r á e m p ie z a c o n u n a p ro p o s ic ió n v e r d a d e r a d e tip o s i-e n to n c e s. L a h ip ó te s is se d a p o r v e rd a d e r a , p o r lo q u e la c o n c lu s ió n ta m b ié n se to m a c o m o v e rd a d e ra . p - » q es v e rd a d e ra .

Si a lg u ie n d ic e « u n a p e rd iz e n u n p e ra l» , e n to n c e s L u c y g rita rá .

Se d a p.________________

C h a rlie d ic e « u n a p e r d iz e n u n p eral» .

Se c o n c lu y e q u e q es v e rd a d .

P o r ta n to , L u c y g rita .

E l e je m p lo a n te r io r ilu s tra u n e s q u e m a de r a z o n a m ie n to lla m a d o afirm ación de la hipótesis. E s tá b a s a d o e n la a s e v e ra c ió n de q u e la h ip ó te s is d e u n a p r o p o s ic ió n sie n to n c e s v e r d a d e r a ta m b ié n es v e rd a d e ra . T a m b ié n se e x p re s a c o n la lo c u c ió n la tin a m o d u s ponens.

Definición 2.3 L a afirm ación de la hipótesis es un esquem a de razonam iento q u e se representa com o sigue: Siem pre que p - * q sea verdad y p sea verdad, puede concluirse que q es verdad.

2.6

E l s e g u n d o e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to es la b a s e d e la p r u e b a in d ir e c ta q u e se e m p le a r á e n c a p itu lo s p o s te rio re s . E n la ilu s tra c ió n , el


P E A N U T S /SI EN REHUDMA /WE MlWmS.DEJftRfoS DE TOCAR lELPIRNO -i m í V N sg U R Itó /

e s q u e m a es: p -> q es v e rd a d . ~ q (n o se d a q). [ft ESO SE L E LLA fllR RES PONDER SIN RESPO NDER/

S e c o n c lu y e q u e ~ p e s v e rd a d e ro (p es falso). « S i e n re a lid a d m e a m a r a s , d e ja ría s d e to c a r el p ia n o .» S c h r o e d e r n o d e jó d e to c a r el p ia n o . ©

P o r ta n t o , S c h ro e d e r n o a m a a L u c y .

1971 U n ite d F e a tu re S y n d icate. In c.

Definición 2.a E ste e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to se lla m a neg ación d e la conclusión. T a m b ié n se e x p re sa c o n la lo c u c ió n la tin a m o d u s tollens. L a sig u ie n te ilu s tr a c ió n s u g ie re u n te rc e r e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to q u e se e m p le a e n la fo rm u la c ió n d e d e m o s tra c io n e s . E s te e s q u e m a u n e u n a s u c e s ió n d e p ro p o s ic io n e s e n la d e m o s tr a c ió n d e u n te o re m a . El e s q u e m a es:

L a negación de la conclusión es un esquem a de razonam iento que se representa com o sigue: Siem pre que p -* q sea verdad y ~ q (q es falso).____________ Se concluye: ~ p ( p es falso). I»*;A N U IS

'¿comosus&s CU1E TIENES EL CORAZON V

SUEUO,POR&ue s i T IE N E S E L CORAZON ROTO, NO PUEDES DORM IR.

ROTO? /

p - * q e s v e rd a d . q -» r e s v e rd a d .____________ Se c o n c lu y e q u e p -> r e s v e rd a d . « C a d e n a d e r a z o n a m ie n to » d e C h a rlie B row n:

CHANCO OfVS 'ÍUEUBS EN LK CAN\ft SUS BORDES ASTIUftDOS s e TE CLftvfAN EN EL ---------------- ----

' M E R LE C R R H H & E ft HABLADO CON U N EXPERTO

Si se tie n e e l c o r a z ó n r o to , e n to n c e s su s b o rd e s a s tilla d o s se c la v a n e n el c o s ta d o . Si lo s b o r d e s a s tilla d o s se c la v a n e n el c o s ta d o , e n to n c e s n o se p u e d e d o rm ir. © 1971 U n ite d F e a tu re S y n d icate, In c.

P o r ta n t o , si se tie n e el c o r a z ó n r o to , n o se p u e d e d o rm ir. E ste e je m p lo ilu s tr a u n e s q u e m a d e ra z o n a m ie n to lla m a d o regla de la cadena. E ste e s q u e m a p e r m ite « e n c a d e n a r» p ro p o s ic io n e s s i-e n to n c e s a l fo r m u la r d e m o stra c io n e s.

Definición 2.5 L a regla de la cadena es un esquem a de razonam iento que se representa com o sigue: Siem pre que p -* q es verdad y q - » r e s verdad. Se concluye que p - * r es verdad.

65

66


EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 6, form úlese la conclusión correcta. 1. p —►q: Si Julia vota hoy, v o tará p o r A rm ando Amigable. p: Julia votó hoy. P o r tan to , q: ? 2. p -» q: Si A A B C es isósceles, entonces tiene dos ángulos congruentes. p: A A B C es isósceles. P o r tan to , q: ? 3. p -* q: Si nieva, la tem p eratu ra será inferior a 0°C . L a tem peratura es 0 ° C o superior. P o r ta n to ~ p : ? 4. p -* q: Si una figura es un triángulo equilátero, entonces to d o s sus lados y ángulos son congruentes. q -* r: Si una figura tiene to d o s sus ángulos y lados congruentes, entonces es un polígono regular. P o r tan to , p -» r. ? 5. p - * q . Si dos rectas son paralelas, no tienen p u n to s en com ún. ~ q \ Las rectas m y n tienen un p u n to en común. P o r tan to , ~ p : ? 6. p - * q : D os rectas perpendiculares se intersecan, q -> r: Las rectas no son paralelas si se intersecan. P o r tanto, p -* r. ?

A C T IV ID A D E S ^ ^ ^ ? " ^ " —^

"

---------

C o n s id é re n s e los s ig u ie n te s e je m p lo s d e ra z o n a m ie n to q u e su e le n e n c o n tra rs e en a n u n c io s c o m e rc ia le s . D e cíd a se si la s c o m p a ñ ía s q u e los p u b lic a ro n e m p le a ro n e s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to c o rre c to s o in c o rre c to s . 1. «E nvíe su d in e ro a n te s d e l 1 d e o c tu b re y c o m p re a m ita d d e p re c io .» P aula J o s e p h e n v ió su p e d id o el 10 de o c tu b re . L a c o m p a ñ ía c a n c e ló su p e d id o . ¿ M in tió la co m p a ñ ía ? 2. «E nvíe su d in e ro a n te s d e l 1 de d ic ie m b re y c o m p re a m ita d d e p re cio .» A n g e lo S ilv a e n v ió su d in e ro el 24 de n o v ie m b re , p e ro la c o m p a ñ ía re c h a z ó s u p e d id o . ¿ M in tió la co m p a ñ ía ? 3. «E sta o fe rta es v á lid a p a ra p e rs o n a s q u e v iv a n e n c iu d a d e s d e E sta d o s

U n id o s q u e e s té n en el c o n tin e n te a m e ric a n o .» N a m o o n ie N akak v iv e en el A rtic o . L a c o m p a ñ ía re c h a z ó s u /p e d id o . ¿Hubo ju s tific a c ió n p a ra esto?

4. « U sted s e rá m á s a tra c tiv o si usa N eato.» Ja so n no u sa N eato p e ro es m u y a tra c tiv o . ¿Está e q u iv o c a d a la co m p a ñ ía ? 5. B ú s q u e n s e e id e n tifiq ú e n s e e je m p lo s de e s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to c o rre c to s e In c o rre c to s e n a n u n c io s c o m e rc ia le s .

2.6


B. E n los ejercicios 7 a 9, incluyase la inform ación om itida p a ra fo rm ular un esquem a de razonam iento correcto. 7. (Acéptese) U n p unto de la bisectriz perpendicular de u n segm ento equidista d e los extrem os del segmento. (D ado) ? _ (Conclusión) El p u n to C equidista de los extrem os de A B. 8. (Acéptese) T o d a s las rectas horizontales son paralelas. (D ado) ? ^ (Conclusión) E F y GH no son rectas horizontales. 9. (Acéptese) ? (D ado) L A B C m ide m ás de 90“. (Conclusión) L A B C es un ángulo obtuso.

c. F orm úlese la proposición o m itida en los ejercicios 10 y 11. (A unque n o se conozca el significado de todos los térm inos em pleados, se deben poder realizar estos ejercicios.) 10. T eorem a: Si A B C D es un cu ad rad o , entonces A B C D no es una com eta. Pruebas: 1. Si A B C D es un cuad rad o , entonces A B C D es un rom bo. 2. (proposición om itida) 3. Si A B C D es u n paralelogram o, entonces A B C D no es una com eta. P o r tan to , si A B C D es un cu ad rad o , A B C D no es u n a com eta. 11. Teorem a: Si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulo recto, entonces L A y L B son com plem entarios. Pruebas: 1. (proposición om itida) 2. Si m L A + m L B + m L C = 180 y m L C = 90, entonces m L A + m L B = 9 0 . 3. (proposición om itida) P o r tan to , si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulo recto, entonces L A y L B son com plem entarios.

_ SOLUCION D E PROBLEM AS-----------------------------------T re s p e rs o n a s , Leó n , M a rtín e z y N ie v e s , o c u p a n lo s p u e s to s d e a d m in is tra d o r, c a je ro y e n c a rg a d o e n un d e p a rta m e n to d e u n a tie n d a . Si N ie v e s e s la c a je ra , M a rtín e z e s el e n c a rg a d o . Si N ie v e s e s la e n c a rg a d a , M a rtín e z e s el a d m in is tra d o r. S i M a rtín e z n o e s el c a je ro , L e ó n e s e l e n c a rg a d o . SI León es el a d m in is tra d o r, N ie v e s e s la e n c a rg a d a . ¿Q ué p u e s to o c u p a c a d a uno?

68


2.7

postulados de geometría

L o s p o s tu la d o s d e g e o m e tría s o n m u y im p o r ta n te s e n el p ro c e s o d e l r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o . P u e d e n c o m p a r a r s e c o n la s reg las d e u n ju e g o . E n el « ju e g o d e la g e o m e tría » se a c e p ta n lo s p o s tu la d o s c o m o v e r d a d y se u s a n c o m o a y u d a e n la d e m o s tr a c ió n d e te o re m a s . A

B

G E O M E T R IA

.. ...

/-■ ;< Syi

A

P a r a a firm a r q u e lo s p u n to s e x iste n , se a c e p ta este p o s tu la d o . E l p o s tu la d o ta m b ié n d a in fo rm a c ió n s o b r e re c ta s y p la n o s.

B

'

4 J .:

rii

H

Sí

R e g la s o fic ia le s d e lo s ju e g o s d e c a rta s

i.:..

Postulado de la existencia de los puntos El espacio existe y contiene, p o r lo m enos, c u atro puntos no c o p in a r e s . U n plano contiene, p o r lo m enos, tres p u n to s n o lineales. U n a recta contiene, p o r lo m enos, dos puntos.

P a r a a f ir m a r q u e u n a lín e a es recta, se re q u ie re u n a , y só lo u n a , lin e a q u e c o n te n g a d o s p u n to s c u a le sq u ie ra . T a m b ié n p u e d e d e c irse q u e d o s p u n to s d e te r m in a n una recta.

Postulado del punto y la recta

P a r a a firm a r q u e u n p la n o n o se tu e rc e y d a v u e lta s e n el e s p a c io , se re q u ie re q u e u n o , y s ó lo u n , p la n o c o n te n g a tre s p u n to s n o c o lin e a le s c u a le sq u ie ra . T a m b ié n p u e d e d e cirse q u e tres p u n to s no colineales d e te rm in a n un plano.

Postulado del punto y el plano

P a r a a firm a r q u e u n p la n o es re c to , se re q u ie re q u e d o s p la n o s se in te rs e q u e n s ó lo e n u n a re c ta , n o e n d o s.

Postulado de la intersección de planos

D os p u n to s están contenidos en una, y sólo una, recta.

T res p u n to s no colineales están contenidos en uno, y sólo un plano.

Si dos planos se intersecan, se intersecan exactam ente en u n a recta.

2.7

B

Sí

í


69

P a r a a firm a r q u e u n p la n o es « p la n o » , se re q u ie re u n p la n o q u e c o n te n g a to d o s lo s p u n to s d e u n a re c ta , si se s a b e q u e c o n tie n e d o s p u n to s d e la re c ta .

postulado de los dos puntos, la recta y el plano

S e re q u ie re u n a r e c ta q u e d iv id a a u n p la n o e n d o s s e m ip la n o s . P u e d e u sa rse e s te p o s tu la d o p a r a d e te r m in a r si a m b o s p u n to s e s tá n e n el m is m o la d o de la r e c ta o e n la d o s o p u e s to s d e ella.

Postulado de la separación de planos

S e re q u ie re u n p la n o q u e s e p a r e al e s p a c io e n d o s se m ie sp a c io s. P u e d e u sa rse e ste p o s tu la d o p a r a d e c id ir si lo s d o s p u n to s e s tá n e n el m is m o la d o d e u n p la n o o e n la d o s o p u e s to s d el m ism o .

Postulado de la separación del espacio

Se re q u ie re sólo u n a re c ta q u e p a s e p o r u n p u n to d a d o y s e a p e r p e n d ic u la r a u n a r e c ta o u n p la n o d a d o s.

postulado de las perpendiculares

Si dos p u n to s están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano.

Sea N un plano y t u n a recta en N . L os puntos del plano que n o estén en t form an dos sem iplanos de m anera que: a. cada sem iplano es un conjunto convexo; b. si P está en u n sem iplano y Q está en el o tro , entonces P Q interseca a t.

Sea N u n p la n o en el espacio. L os puntos del espacio que no estén sobre N form an dos sem iespacios de m an era que: a. cada sem iespacio es un conjunto convexo; b. si un p u n to A está en un sem iespacio y B está en el o tro, A B interseca a N.

D ad o s un p u n to y u n a recta en un plano, h a y exactam ente u n a recta que pasa p o r el p u n to y es perpendicular a la recta dada. D a d o un p la n o en el espacio y u n p u n to que no está en ese plano, hay exactam ente u n a recta que p asa p o r el p u n to y es p erpendicular a l plano dado.

E s to s s o n a lg u n o s d e lo s p o s tu la d o s a c e p ta d o s e n g e o m e tría . E n la sig u ie n te sec ció n y e n c a p ítu lo s p o s te r io r e s se p r e s e n ta r á n o tr o s p o s tu la d o s im p o rta n te s .

70

R a z o n a m ie n to e n g e o m e tria

EJERCICIOS_______ A. E n los ejercicios 1 a 8, com plétense los enunciados con las p alab ras punto, recta, plano y espacio. D ígase qué postulado sugiere la proposición com pleta. 1. Si los dos p u n to s están en un plano, entonces la X que los contiene está en el plano. 2- U n X contiene p o r lo m enos tres p u n to s no colineales. 3. D o s p u n to s están contenidos en una, y sólo u na, X . 4. Si d os planos se intersecan, se intersecan exactam ente en una 5. H ay exactam ente u n a JL que p asa p o r un p u n to dad o y es p erpendicular a un p lan o dado.

6. U n plano sep ara un JL en d os semiespacios. 7. En un plano, hay exactam ente una X que p asa p o r u n p u n to dad o y es perpendicular a una recta dada. 8. U n a recta separa un X en d os sem iplanos.

A C T IV ID A D E S ^ ^ g g —

■

Con u n a c u e rd a y u n o s clip s, c o n s trú y a s e un m odelo p a ra e s to s « p o stu lad o s» . ¿C uál e s el n ú m ero m ínim o n e c e s a rio d e tro z o s de c u e rd a y clip s p a ra sa tis fa c e r to d o s los re q u isito s d e los p o stu la d o s? 1. Hay p o r lo m e n o s un tro z o d e c u e rd a . 2. Hay e x a c ta m e n te tr e s clip s e n c a d a tro zo d e c u e rd a . 3. No to d o s los clip s e s tá n e n el m ism o trozo d e c u e rd a . 4. Hay e x a c ta m e n te u n a c u e rd a a tra v é s de d o s clip s c u a le s q u ie ra . 5. Dos c u e r d a s c u a le s q u ie ra tie n e n p o r lo m e n o s un clip en com ún.

2.7

E n los ejercicios 9 a 16, form úlese u n p o stu lad o que perm ita llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera. 9. D os planos distintos, M y N , no pueden contener dos rectas distin tas l y m. 10. D o s rectas distintas, t y m, n o pueden contener dos puntos distin to s A y B. 11. D a d o s un p u n to P y u n a recta í en un plano, n o puede haber u n p ar de rectas d istin tas que pasen p o r P y sean perpendiculares a t . 12. Si los p u n to s J y K está n en diferentes sem iplanos determ inados p o r u n a recta t , J K interseca a l . 13. T res p u n to s n o colineales, A , B y C, no pueden estar en dos p lan o s distin to s N y M. 14. Si A y B son p u n to s del p lan o Ai, entonces A B no tiene ningún p u n to fuera del p lan o M. 15. D a d o s un p u n to P y un plano M , n o puede h aber dos rectas que pasen p o r P y sean perpendiculares al p lano M. 16. El espacio puede contener más, p ero no m enos de cuatro p u n to s no colineales y n o coplanares. 17. L o s fotógrafos y los ingenieros em plean trípodes p a ra m o n tar sus cám aras y o tro s instrum entos. Expliqúese p o r qué se utilizan tres pies y n o cu atro . ¿Q ué p o stu la d o es aplicable a esta situación? 18. ¿C uántas rectas pueden trazarse a través de c u atro , cinco, seis y n p u n to s no colineales en u n plano? 19. ¿C uántos p lan o s pueden determ inarse con c u atro puntos en tre los cuales no hay tres que sean colineales?

SOLUCION D E PROBLEM AS----------------E sto s 19 p u n to s so n la s e s q u in a s d e c u a tro fig u ras (un cu a d ra d o , un s o b r e c o n s o la p a , u n a c a ja y un trián g u lo eq u ilá te ro ). En el d ibujo a p a r e c e n a lg u n a s a r is ta s . Ningún punto e s la e s q u in a d e m á s d e u n a figura, p e ro a lg u n o s p u n to s e s tá n s o b r e la a ris ta d e o tra figura. T rá c e n s e e s to s p u n to s y d ib ú je n se la s c u a tro figuras.


71

72


2.8 Algunos postulados sobre medición E n le n g u a je C B , el « d ie z -v e in te » (u b ic a c ió n ) d el p r im e r d ib u jo c o r r e s p o n d e a la s e ñ a l del k iló m e tr o 62. E n el s e g u n d o d ib u jo , la u b ic a c ió n c o r r e s p o n d e a la se ñ a l del k iló m e tr o 97. ¿ Q u é d is ta n c ia re c o r r ió el m o to c ic lista ? E n el c a p ítu lo a n te r io r (v éase Sec. 1.4), se in tr o d u jo d e m a n e r a in tu itiv a el c o n c e p to d e m e d ic ió n d e la lo n g itu d y se u só lib re m e n te p a r a f o r m u la r d e fin ic io n e s y sa c a r co n c lu s io n e s . E n e s ta se c c ió n , se d a r á u n b re v e re p a s o a l p o s tu la d o e n el c u a l se b a s a e s te c o n c e p to d e lo n g itu d . A !

!

1

B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 3 fe 7 8 9 10 11 12 13 14 15 lí> 17 18 ]9 2 0 21 22

234

|6

-

16| =

A T I 1 2

T I 3 4

116 -

6| =

10

B ■ ■ ■ < i < i i i i i i i i i i i i 5 b 7 9 10 11 12 13 14 15 lfe 17 16 Í9 2 0 21 22

S

|3 - 13| = 113 - 3| = 10

E s to s e je m p lo s m u e s tr a n q u e n o im p o r ta d ó n d e se c o lo q u e la re g la , la lo n g itu d d el s e g m e n to es el v a lo r a b s o lu to d e la d ife re n c ia e n tre lo s d o s n ú m e r o s q u e c o in c id e n c o n los e x tre m o s. E l p o s tu la d o d e la re g la in c lu y e e ste c o n c e p to .

Ejemplo 1

El postulado de la regla a. A cada p ar de puntos corresponde un núm ero positivo único denom inado distancia entre los puntos. b. L os puntos de u n a recta pueden hacerse coincidir biunívocam ente con los núm eros reales de m odo que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea el valor ab so lu to de la diferencia entre sus núm eros asociados.

E n c u é n tre n s e A B , B C y A C . AB =

|3 — ( - 2 ) | = 5

B C — 118 — 3 1 = 1 5

A____________ fí____________________ C -2

3

18

A C = | —2 — 1 8 1 = 2 0 E n el e je m p lo , B e s tá e n tr e A y C. O b s é rv e s e q u e la d is ta n c ia e n tr e A y B j u n t o c o n la d is ta n c ia e n tr e B y C es la m is m a q u e la e x is te n te e n tr e A y C. Se fo r m u la u n a d e fin ic ió n .

Definición 2.6 El p u n to B está entre A y C si, y sólo si, A, B y C son colineales y A B + B C = AC.

2.8


73

U n p ilo to v erificó el ru m b o d e u n a v ió n (las lín e a s de c o lo r d e la F ig . 1 s e ñ a la n el r u m b o d el a v ió n , q u e es el á n g u lo e n tr e la d ire c c ió n n o r te y la tr a y e c to r ia del av ió n ). D e s p u é s c a m b ió el r u m b o c o m o m u e s tr a la fig u ra 2. ¿ E n c u á n to s g r a d o s c a m b ió e l ru m b o ? Figura 1

Figura 2

E n el p r im e r c a p ítu lo (Sec. 1.4), se in tr o d u jo d e m a n e r a in tu itiv a el J c o n c e p to d e m e d ic ió n d e á n g u lo s y se u s ó lib re m e n te p a r a fo rm u la r d e fin ic io n e s y s a c a r c o n c lu s io n e s . A h o ra , se d a r á u n b rev e re p a s o al p o s tu la d o e n el c u a l se b a s a e s te c o n c e p to .

Postulado del transportador

|95 -

52\ = 152 -

95| = 43

Si se g ir a el t r a n s p o r ta d o r d e m o d o q u e los ra y o s se c o r r e s p o n d a n c o n d ife re n te s n ú m e ro s , el v a lo r a b s o lu to d e la d ife re n c ia e n tre d o s n ú m e ro s , s e ría el m is m o . El p o s tu la d o in c lu y e e s te c o n c e p to .

Ejemplo 2

a. A ca d a ángulo le corresponde un núm ero real único entre 0 y 180, llam ado m edida del ángulo. b. Sea P un p u n to en la arista de un sem iplano H. C a d a rayo del sem iplano o su arista con un vértice P puede hacerse coincidir biunívocam ente con los núm eros reales n, 0 < n < 180, de m an era q u e la m edida de un ángulo form ado p o r un p a r de rayos no colineales con vértice P sea el valor absoluto de la diferencia entre sus núm eros asociados.

E n c u é n tre n s e m L A B C , m LCBD y m¿ABD.

m L A B C = 142 - 2 0 1 = 22 m L C B D = 177 - 4 2 1 = 35 m ¿ A B D = 177 - 2 0 1 = 57

Definición 2.7 E n e l e je m p lo , B Ú e s tá e n tr e B Á y BÍ). O b s é rv e s e q u e la s m e d id a s d e ¿ - A B C y L C B D ju n ta s m id e n lo m is m o q u e A B D . Se fo rm u la u n a d efin ició n .

B C está entre B A y BD si, y sólo si, B ? , B A y BD son coplanares y m / - A B C + m L CBD = = m L ABD.

74


EJERCICIOS A. U n n ú m ero asociado con un p u n to recibe el n o m bre de coordenada del punto. E ncuéntrese la distancia entre un par de p u n to s con las co o rd en ad as d ad as en los ejercicios 1 a 12. 1. 5, 2.

2. 14, 8.

3. 3, 12.

4. 17, 0.

5 .1 3 , 2 1 .

6. - 5 , 13.

7. 9, - 2 .

8. - 3 , 15.

9. - 1 2 , 7 .

10. - 3 , - 7 .

11. 0, - 8 .

12. - 4 , - 1 6 .

E ncuéntrese la m edida de los ángulos d ados en los ejercicios 13 a 18. 13. ¿ Q A S .

14. L U A R .

15. L Q A V .

16. Z W AQ

17. Z S A U •

18. Z V A R . (Ejercicios 13-18)

B.

Los p u n to s A, B y C son colineales. Se d a n las longitudes de ciertos segm entos. ¿Q ué p u n to está en tre los o tros dos? 19. A C = 4, C B = 8, A B = 12. 21. C A = 20, B A -

11.6, C B = 8.4.

20. B A = 9, B C = 12, A C = 3. 22. A C - 9.3, C B = 6.5, A B = 15.8.

23. A u n a c h aq u eta se le van a hacer tres ojales con u n a separación de 4 pulgadas entre sí. Se coloca sobre la p re n d a una cinta de m edir. L os ojales se m arcan en los núm eros 7, 11 y 15. ¿Q ué p o stu lad o o definición se empleó?

ACTIVIDADES E stím e se la longitud d e e s to s o b je to s a p ro x im an d o a la unidad m étrica m á s p ró x im a in d icad a. E n c u é n tre s e la s u m a d e la s d ife re n c ia s e n tre lo e stim a d o y la longitud re a l. Q uien te n g a la su m a m en o r s e r á el g an ad o r. 1 . La m e d id a a lre d e d o r d e la c in tu ra en c e n tím e tro s (u tilícese una

cu erd a). 2. El a n c h o d e u n a m o n e d a e n m ilím etros. 3. L a longitud d e u n a h a b itació n e n m etro s. 4 . La longitud d e un p a s o n o rm al en c e n tím e tro s.

5. La a ltu ra d e u n a p u e rta e n m etro s.

(¡j

2.8


24. D os lados de un m arco se encolan p a ra fo rm ar una esquina. C ad a lad o se c o rta a un ángulo de 45c. ¿Cuál es la m edida de la esquina exterior? ¿Q ué p o stu lad o o definición se empleó?

En los ejercicios 25 a 29, A, B y C son p u n to s colineales con co o rd en ad as a, b y c. 25. Si a < b < c, c = 54, A C = 26 y B C = 19, encuéntrense los valores de a y b. 26. Si b = —7, c = 13 y A es el p u n to m edio de BC, encuéntrese a. 27. Si b = —10, c = 4 y B A = 28, encuéntrense B C y CA. D ense dos respuestas posibles. 28. Si C está en tre A y B, B C = 8 y C A = 36, encuéntrense a , b y c. D ense d os respuestas posibles. ¿C uántas respuestas posibles hay? 29. Si C es el p u n to m edio de A B , c = 14 y C B = 10, dense dos posibles coord en ad as p a ra A. Los ejercicios 30 a 33 se refieren a una disposición de rayos en el mism o ord en que los de la figura. 30. Si m L A F D = 120 y m L A F C = 2 - m L C F D , encuéntrense m L A F C y m L C F D . 31. Si m L A F C = 3 - m L A F B , F C biseca a L A F D y m L A F B = 16, encuéntrese m L A F D . 32. Si m L A F B = 2 m L CFD, m L A F B ^ i ¡ m L CFD, y m L A FD = 112, encuéntrense m L A F B , m L B F C y m L CFD. 33. Si m L B FC = 3 - m L A F B , m L C F D = 4 - m L A F B , y m L A F D = = ( m L A F B ) 2 - 240, encuéntrese la m edida de m L A F B .

SO LUCIO N D E PROBLEM AS_____________________________ Un m e c á n ic o va a c o n s tru ir u n a p la c a m e tá lic a c o m o la q u e s e ilu s tra . El p rim e r paso es e n c o n tra r la s d im e n s io n e s q u e fa lta n , In d ic a d a s p o r la s le tra s A , B, C, D y E. E n c u é n tre n s e . diámetro______ 28?5______

A= .

B =

E =

75

76

R azo n am ien to e n g e o m e tría

capítulo 2

conceptos im portantes

Términos G eneralización (pág. 44) R azonam iento inductivo (pág. 45) C ontraejem plo (pág. 49) T érm inos indefinidos (pág. 52) P o stulad o s (pág. 52) T eorem as (pág. 52) R azonam iento deductivo (pág. 53) H ipótesis (pág. 56) C onclusión (pág. 56)

Proposiciones si-entonces (pág. 56) R ecíproca (pág. 60) Inversa (pág. 60) C o n trarrecíproca (pág. 60) A firm ación de la hipótesis (pág. 64) N egación de la conclusión (pág. 65) Regla de la cad en a (pág. 65) E ntre puntos (pág. 72) E n tre rayos (pág. 73)

postulados P o stu lad o de la exigencia de los puntos (pág. 68). P o stu lad o del p u n to y la recta (pág. 68) P o stu lad o del plano y el p u n to (pág. 68) P o stu lad o de la intersección de planos (pág. 68). P o stu lad o de los dos p untos, la recta y el plan o (pág. 69)

P o stu lad o de la separación de planos (pág. 69) P o stu lad o de la separación del espacio (pág. 69) P o stulado de las perpendiculares (pág. 69) P o stu lad o de la regla (pág. 72) P o stu lad o del tra n sp o rta d o r (pág. 73)

C a p itu lo 2

Capítulo 2

R e su m e n

Resumen

1. C om plétese la generalización siguiente: A A B C es equilátero. M , N , 0 son p u n to s medios. A M N O es equilátero. A

A EFD es equilátero. R, Q, S son puntos medios. A R Q S es equilátero.

G eneralización: Los p u n to s m edios de un X form an los vértices de un X . 2. Escríbanse contraejem plos p a ra las siguientes generalizaciones falsas. a. Si las diagonales de u n cuadrilátero son perpendiculares, el cuadrilátero es un cuadrado. b. Si un cuad rilátero tiene c u atro ángulos congruentes, tiene c u atro lados congruentes. 3. ¿C uál es la diferencia entre teorem a y postulado? 4. D ígase si es falso o verdadero. a. T res p u n to s determ in an un plano. b. D ad o s una recta f, y u n p u n to P que no está en la recta, hay sólo una recta q u e contiene a P y es p erpendicular a l . c. L a intersección de un p lan o y u n a recta puede contener exactam ente dos puntos. d. Si A, B y C son colineales, A B = 10 y B C = 4, entonces B está en tre A y C. 5. Si S está en tre R y T, S T = 6, y R S = 10, encuéntrese RT. 6. Si L W X Y ^ Z X Y , m ¿ W X Y = 2 0 y m ¿ Y X V = 50, encuéntrese m L Z X V . 7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de: a. D o s rectas son paralelas si n o se intersecan. b. T o d o s los cuad rad o s son rectángulos. 8. C onsidérese la proposición: Si u n a figura es u n cu ad rad o , tiene c u atro ángulos rectos. a. Form úlese la recíproca de la proposición. b. Form úlese la inversa de la proposición. c. Form úlese la contrarrecíp ro ca de la proposición. d. D ense contraejem plos p a ra a y b. E n los ejercicios 9 y 10, form úlese u n a conclusión correcta. 9. Si u n a figura es u n rectángulo, las diagonales son congruentes. A B C D es un rectángulo. P o r ta n to , X . 10. Si dos rectas n o están en el m ism o plano, no son paralelas. X b || c í). P o r ta n to , X .

5

77

78


Capítulo 2.

Examen

1. C om plétese la siguiente generalización. A A B C es isósceles y CD biseca a L C . ;C u á l es la relación en tre CD y A B 1

C

/ \ A X Y Z es isósceles y M Z / \ biseca al ángulo Z. A *-— — ^ B ¿Cuál e s j a relación entre M Z y XYl

G eneralización: L a bisectriz de los vértices de u n triángulo isósceles es J~ la base. 2. D ése u n contraejem plo p ara la siguiente generalización falsa. Sólo hay una recta p erpendicular a u n a recta d a d a en un punto de esa recta. 3. ¿C uál es el objeto de c o n ta r con térm inos indefinidos? 4. D ígase si es falso o verdadero. a. D os p u n to s determ in an u n a recta. b. U n a recta divide al espacio en d os semiespacios. c. Si dos planos se intersecan, la intersección es u n punto. d. Si X , Y y Z son colineales y X Z + Z Y = X Y , entonces Z está en tre X t Y. 5. Si B está en tre A y C, A C = 10 y A B = 4, encuéntrese BC. 6. C om plétese lo siguiente: mLABD + ± =

mLABC.

7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de las siguientes proposiciones: a. U n trián g u lo es isósceles si tiene dos lados congruentes. b. T odos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos congruentes. 8. C onsidérese la proposición: Si dos ángulos son rectos, son congruentes. a. F orm úlese la recíproca de la proposición. b. F orm úlese la inversa de la proposición. c. Form úlese la co n trarrecíp ro ca de la proposición. d. D ense contraejem plos p ara m o stra r que a y b son falsas. E n los ejercicios 9 y 10, enúnciese u n a conclusión correcta. 9. Si un trián g u lo tiene tres ángulos congruentes, es equilátero. A A B C tiene tres ángulos congruentes. P o r ta n to , JL. 10. Si d os ángulos son rectos (90°), son congruentes. L A n o es congruente con L B. P o r ta n to , X .

B

R e p a s o d e á lg e b ra

Repaso de álgebra P a ra cada problem a, dése la p ro p ied ad algebraica ilustrada. A. B. C. D. E. F. G.

Ley asociativa (sum a y m ultiplicación) Ley conm utativa (sum a y m ultiplicación) Ley distributiva (m ultiplicación sobre sum a) P ro p ied ad inversa (sum a y m ultiplicación) P rop ied ad de id entidad (sum a y m ultiplicación) Sum a y resta de iguales M ultiplicación y división de iguales

1. 3 • (7 • 9)

= (3 • 7) • 9.

2. Si x = 3, entonces 7x = 21.

3. 7 + ( —7) = 0 .

4. Si x — 2 = 1,entonces x

5. x - ( a + y ) = x a + xy.

6. Si a =

1. a + 0 = a.

8. a - b =

= 3.

b, entonces a + c = b - c. b-a.

Despéjese x en las ecuaciones. 10. 3x = 35.

11. x - 7 = 19.

12. - = 8.

13. 2x + 9 = 11.

14. —4 x = 8.

15. 10 - x = 42.

16. - | + 9 = - 5 -

17. 3x -

9. x + 3 =

35-

6

19 = 17.

Resuélvanse y grafiquense en u n a recta num érica. 18. x > 321. x + 1 > -

17-

24. 9 - x > 3.

19.

7 < x.

20. 3x < 15.

22.

x < f

23. x + 2 > 24.

25.

| > 10.

26. 3 (x + 6) > 12.

Resuélvanse las ecuaciones. 27. |x| = 9.

28. 3|x| = 21.

30. |3x| = 2 1 .-'

3 1 .|* |- 2 =

33. |2x + 1| = 13.

34.

29. |x + 1| = 4. 35.

32. |3x + 2| = 17.

|x| - 9 = 25-

35. 3 — |x| = - 5 .

Calcúlese. 36. V25-

37. V m .

38. V 100 + 69.

39. \ Z l 2 l + V sT .

40. V ¥ .

41. 8 \ / 9 - 6 V 36.

79

■

Fotografía: lentes Los fotógrafos suelen em plear diversas, lentes, desde las g ran an g u lar h a sta el teleobjetivo, p a ra o btener las fotografías que desean. L as tres fotografías siguientes se to m aro n desde la m ism a posición y co n la m ism a cám ara, pero con lentes distintas.

G r a n a n g u la r

T eleo b je tiv o

N o rm a l

C o n la lente «norm al» se to m an fotografías cercanas a lo que el fotógrafo ve. C on la lente g ran angular se to m a n fotos con u n a m ay o r am plitud de la escena. L as ¡ lentes de teleobjetivo am plían los objetos. L os fotógrafos deben com p ren d er la «geom etría de la fotografía», p a ra saber qué lente es la m ejor en cada caso. Se investigarán dos conceptos: la distancia focal y el ángulo visual. La distancia focal es la distancia en tre la lente y la película de la cám ara cuand o la lente está enfocando u n objeto distante. El ángulo visual es el ángulo form ad o p o r líneas im aginarias que van de los extrem os de la escena a la lente de la cám ara.

A n g u lo visual L e n te D is ta n c ia focal P e líc u la

80

El d iagram a siguiente ilu stra la relación en tre la d istan cia focal y el ángulo visual. L a lente de la cám ara e stá en la m ism a posición en to dos los dibujos.

A ngulo visual D ista n cia focal película T eleobjetivo

N o rm al

G ra n an g u lar

El d iagram a m uestra que la distancia focal m ás c o rta corresponde al ángulo visual m ás grande. Las lentes g ran angulares tienen distancias focales m enores y abarcan u n a am p litu d m ayor que las lentes norm ales. C on el siguiente d ibujo se puede determ in ar el ángulo visual ap ro x im ad o de una distancia focal dada. -I Paso 1 T rácese un segm ento A B de 43 m m de longitud. E sta es la longitud de la diagonal del negativo de la fotografía de una película c o m ú n de u n a c á m ara corriente.

B J

D

A

Paso 2 Biséquese A B . L lám ese C al pun to m edio. __ __ Paso 3 C onstrúyase D C 1 A B de m an era que D C tenga u n a longitud igual a la distan cia focal de la lente. (P o r ejemplo, 50 mm.) aso 4 T rácense DA y DB. o 5 M ídase L A D B con el tra n sp o rta d o r p a ra buscar el áng u lo visual aproxim ado. (P ara u n a distancia focal de 50 mm.)

m plétese la construcción an terio r p a ra cada u n a de las siguientes distancias .les: 21 m m .

2. 50 m m .

3. 200 mm.

a ca d a distancia focal, tóm ense m edidas p ara b u scar el ángulo visual. U n a lente distancia focal de 50 m m tiene u n ángulo visual sim ilar al que tiene el ojo ano. E sta es u n a lente norm al. ¿Cuál es la d istan cia focal de u n a lente gran a r y la de u n teleobjetivo? 81

C A P IT U L O

3.1

T r iá n g u lo s c o n g r u e n t e s

3 .2

P o s tu la d o s s o b r e la c o n g r u e n c ia

84 90

3 .3

P r u e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b r e la c o n g r u e n c ia

3 .4

P r u e b a s : u s o d e d e f in ic io n e s

3 .5

P r u e b a s : u s o d e p o s tu la d o s y d e f in ic io n e s

3 .6

P r u e b a d e la c o n g r u e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n t o s

100

3 .7

P r u e b a s : S o la p e d e t r iá n g u lo s

3.8

P r u e b a s : c a d e n a s d e c o n g r u e n c ia s C o n c e p to s im p o rta n te s

104 110

116

122

R es u m en g lo b a l (C a p s. 1 a 3)

96

120

Resum en 125

La g e o m e tría e n n u estro m undo A r q u it e c t u r a : d o m o s g e o d é s ic o s

126

123

Exam en

124

Triángulos y congruencia

84

T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia

3.1

Triángulos congruentes L o s a u to m ó v ile s se fa b ric a n u tiliz a n d o la p r o d u c c ió n e n c a d e n a . L o s c o m p o n e n te s p r o d u c id o s d e b e n s e r d e id é n tic o ta m a ñ o y fo rm a p a r a p o d e rlo s e m p le a r en c u a lq u ie r a u to m ó v il d e la lín e a d e m o n ta je . L o s re p u e s to s ta m b ié n d e b e n se r id é n tic o s. E n g e o m e tría , a la s fig u ra s q u e tie n e n el m is m o ta m a ñ o y la m is m a fo r m a se les lla m a congruentes.

E n g e o m e tría , se re q u ie re u n a d e fin ic ió n a p r o p ia d a p a r a d e c id ir c u á n d o d o s fig u ra s, c o m o A A B C y A D E F , s o n c o n g ru e n te s . P u e d e h a c e rs e u n a p r u e b a c o n p a p e l v e g e ta l p a r a m o s tr a r q u e A A B C p r o b a b le m e n te es c o n g r u e n te c o n A D E F (a p a r t i r d e las

D ib ú je s e A A B C .

Si p u e d e m o v e r el p a p e l p a r a q u e el tr iá n g u lo tr a z a d o c o in c id a c o n A D E F , los triá n g u lo s p ro b a b le m e n te s e a n c o n g ru e n te s.

3.1

C o n s id é re s e d e n u e v o la p r u e b a del d ib u jo . Si se m a r c a c a d a v é rtic e c o n u n sím b o lo e sp e c ia l, se o b s e rv a q u e lo s v é rtic e s d e lo s d o s tr iá n g u lo s se c o rr e s p o n d e n c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra . T a m b ié n se d e te r m in a la c o rr e s p o n d e n c ia d e á n g u lo s .


85

Bs Q

/\

t-T * A B ^ C

D E F

L A
c o rre s p o n d e n c ia e n tr e v értices

c o r r e s p o n d e n c ia e n tre á n g u lo s

Si se m a r c a c a d a la d o c o n u n sig n o e sp ec ial, se o b s e rv a q u e lo s la d o s se c o r re s p o n d e n c o m o se m u e s tr a e n la figura.

E n e s ta p r u e b a d e d ib u jo , se o b s e rv a que:

A B == D E BC = EF ACzsDF

AB_ D E

¿A ^ LD L B ^ L E L C ^ L F

B C ^ E F

A C ^D F c o r r e s p o n d e n c ia e n tr e la d o s

Definición 3.1 S ie m p re q u e p u e d a h a c e rs e c o in c id ir u n triá n g u lo c o n o t r o d e m a n e r a q u e las p a r te s c o m p a r a d a s se a n c ongruentes, se d a u n a c la se e sp e c ia l d e c o r r e s p o n d e n c ia lla m a d a congruencia. P a r a in d ic a r e sta c o n g ru e n c ia , se e scrib e: A A B C = A D E F . E l d ia g r a m a m u e s tr a c ó m o e s ta p r o p o s ic ió n s o b r e lo s tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s p r o p o r c io n a in fo rm a c ió n esp ecífica s o b r e la s p a r te s q u e se c o rre s p o n d e n (á n g u lo s y lad o s).

D os triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de m anera que cada p a r de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Obsérvese que la congruencia se puede definir de m anera sim ilar p a ra o tras figuras.

4 A

\ B

C

4/

=

A

\

\

D E F

86


EJERCICIOS-------------------------- -----A. ¿Cuáles de los siguientes pares de figuras son congruentes? (Puede em plearse papel vegetal.)

1.

2.

3.

4.

E n los ejercicios 5 a 8, selecciónese la proposición correcta (Em pléese papel vegetal si es necesario.) B 5. E 6-

a. A A B C ^ A D E F .

a . A A B C = A D EF.

b . A A B C s A E DF.

b . A A B C = A D FE.

c. A A B C

c. A A B C s í A F E D .

AEFD.

B 8.

7.

H

a. A B C D = EFGH. b. A A B C = AEFD. c. A A B C = A F D E .

b . A B C D ~ FGHE. c. A B C D s d. A B C D = GFEH.

3.1


87

D a d o que A A B C = A D E F , selecciónese la proposición falsa en cada parte. a. Á C s DF, Z S = Z E, B C = DE, ¿ C s ¿ F .

b. A B = E D , ¿ A = L D , Z C s Z F , A B s í E F . c. Á B s é D E , B C ^ F E , Z C s ¿ D , A C ^ D F .

(Ejercicio 9)

D a d o que A U V W = A X Y Z , com plétense las congruencias p a ra los seis pares de p artes congruentes correspondientes.

(Ejercicio 10)

11. D a d o que A C A T = A DOG, form úlense las congruencias p ara los seis pares de partes congruentes correspondientes.

(Ejercicio 11)

En los ejercicios 12 y 13 hay dos proposiciones de congruencia correctas. E ncuéntrense estas proposiciones.

a. A A B C ^ A D E F .

a. A B C D = EFGH.

b. A A B C = A E F D .

b. A B C D = F G H E .

c. A A B C s z A F D E .

c. A B C D s t G H EF .

d. A A B C ^ A E D F .

d. A B C D = F E H G .

14. D a d o que A P R S ^ A J K L , form úlense tres proposiciones de congruencia sobre los ángulos y o tras tres sobre los lados de los triángulos.


15 D ad as seis proposiciones de congruencia, com plétense correctam ente las proposiciones sobre los triángulos congruentes. L A = ¿B ¿ t =í ¿ p ¿ R sé L ] A JLJLJL s

a c t iv id a d e s

AP = BT QL P R sTJ A

li- 1

3.1


19. Si A A B C es un trián g u lo equilátero, puede escribirse A A B C ^ A B C A. A dem ás de ésta, hay otras cinco proposiciones de congruencia. Form úlense.

c. C a d a u n a de las figuras siguientes contiene u n o o m ás pares de triángulos congruentes. En ocasiones, los triángulos se «solapan» unos a otros. F orm úlese u n a proposición correcta de congruencia p ara ca d a p a r que se encuentre en u n a figura.

SOLUCION D E PROBLEMAS _ 1. ¿Qué p a re s de fig u ra s id é n tic a s h a y aq u í?

2. D ib ú je s e la fig u ra a y m á rq u e n s e lo s p u n to s d o n d e s e in te rs e c a n los s e g m e n to s . E n c u é n tre n s e s e is p a re s d e triá n g u lo s c o n g ru e n te s (ca d a un o de e llo s co n triá n g u lo s d e d ife re n te s ta m a ñ o s y fo rm a s ) y fo rm ú le n s e las p ro p o s ic io n e s d e c o n g ru e n c ia c o rre c ta s .

89

90

T rián g u lo s y co n g ru e n c ia

3.2

Postulados sobre la congruencia

S u p ó n g a s e q u e u n a lfo m b ris ta n e c e sita r e p a r a r u n a a lf o m b r a c o n u n re ta z o tria n g u la r. N o es p r o b a b le q u e se m id a n los tre s la d o s y lo s tr e s á n g u lo s p a r a c o r t a r la p ie za . S ó lo se n e c e s ita n a lg u n a s d e e sas m e d id a s. E n e s ta se c c ió n se a n a liz a r á n c u á n ta s y q u é c o m b in a c io n e s d e la s seis p a r te s d e u n tr iá n g u lo (la d o s a, b, c, y á n g u lo s A , B, C) se n e c e s ita n p a r a d e te r m in a r u n tr iá n g u lo c o n ta m a ñ o y fo rm a p a rtic u la re s . P r im e r o se e s ta b le c e n a lg u n o s c o n c e p to s ú tile s p a r a tr a b a j a r c o n triá n g u lo s c o n g ru e n te s .

U n ángulo y el lado opuesto a éste se m arcan con la m ism a letra; el ángulo con letra m ayúscula, y el ángulo, con m inúscula.

D os lados com prenden un ángulo si el vértice del ángulo es un extrem o de am bos lados.

D os ángulos com prenden un lad o si los extrem os del lado son vértices de los dos ángulos.

Si se c o n s tru y e u n tr iá n g u lo , d a d a s tre s d e la s seis p a rte s , se e n c u e n tra q u e el ta m a ñ o y la fo r m a d e l tr iá n g u lo e s tá n c o m p le ta m e n te d e te r m in a d o s d a d a la in fo rm a c ió n sig u ie n te :

A 1. D o s la d o s y el á n g u lo c o m p re n d id o .

35"

c = 40 mm 2. D o s á n g u lo s y el la d o c o m p re n d id o .

3. T re s la d o s.

3.2

P o s tu la d o s s o b re la co ngruencia

91

D e lo a n te r io r se o b tie n e n lo s tr e s p o s tu la d o s sig u ie n te s s o b r e c o n g ru e n c ia .

Postulado de la congruencia LAL Se c o n s id e r a q u e só lo p u e d e r e s u lta r u n triá n g u lo si se d a n d o s la d o s y el á n g u lo c o m p r e n d id o , así q u e se a c e p ta este p o s tu la d o . L as m arcas sobre el triángulo m uestran cuáles son los ángulos y lados congruentes.

Si dos lados y el ángulo com prendido de un triángulo son respectivam ente congruentes con dos lados y el ángulo com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado de la congruencia ALA

K S e c ree q u e só lo p u e d e r e s u lta r u n tr iá n g u lo si e s tá n d a d o s d o s á n g u lo s y el la d o c o m p r e n d id o , así q u e se a c e p ta este p o s tu la d o .

Si dos ángulos y el lado com prendido de un triángulo son respectivam ente congruentes con dos ángulos y el lado com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado de la congruencia LLL S e c re e q u e s ó lo p u e d e re s u lta r u n tr iá n g u lo si se d a n tre s la d o s , así q u e se a c e p ta e ste p o s tu la d o .

Si los tres lados de un triángulo son respectivam ente congruentes con los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

L a d e fin ic ió n d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s m u e s tr a q u e d e b e n c o in c id ir seis p a re s d e p a r te s . P e r o e s to s tr e s p o s.tu la d o s s u g ie re n q u e e n o c a sio n e s só lo es n e c e s a rio v e rific a r tr e s d e e s to s p a re s p a r a e s ta r se g u ro s d e q u e h a y c o n g ru e n c ia . E s to s p o s tu la d o s se e m p le a r á n p a r a d e m o s tr a r o tro s te o re m a s s o b r e triá n g u lo s .

92


EJERCICIOS______ A. 1. ¿Cuál de estos triángulos n o se denom inó en form a correcta? N

B U2. ¿Cuál de estos triángulos se denom inó en form a correcta?

A 3. D ibújese u n trián g u lo y m árquense sus ángulos y lados de acuerdo con el m étodo estándar. Establézcase el ángulo (o lado) com prendido en cad a p a r de lados (o ángulos). 4. A B y AD.

5. BD y BC.

6. ¿ ,4 y L C .

7. L A B D y L A D B .

8. A D y BD.

9. BD y CD.

B

10. ¿-A B C y L C . ¿ P o r cuál de los tres postu lad o s de la congruencia (LAL, ALA, L LL) son congruentes estos tres pares de triángulos? (Acéptese que la congruencia está indicada p o r las m arcas, au n q u e es posible que los triángulos n o parezcan congruentes.)

14.

(Ejercicios 4-10)

3.2


En los ejercicios 15 a 22, se m arcaro n las p artes congruentes de los triángulos. D eterm ínese si hay suficiente inform ación com o p a ra decidir si los triángulos son congruentes p o r los p ostu lad o s LA L, ALA o LLL. Si son congruentes, form úlese el postulado. 15.

17.

19.

En los ejercicios 23 a 27, determ ínese si los triángulos son congruentes. Si lo son, indíquese qué p o stu lad o (LAL, ALA, LLL) puede usarse p a ra verificarlo. 23. D ado: P Q s s X Y , Q R

Y Z , P R s= X Z.

24. D ado: P R s s X Z , R Q == Z Y , Z i? s

ZZ.

25. D ado: Z F s L X , ¿ R s z ¿ Z , P Q ^ X Y . 26. D ado: ¿ Q =s Z Y, ¿ R s é Z Z , Q R s

YZ.

27. D ado: Z P = s Z X , Z g s Z F , Z i í s Z Z .


28. Em pléese el p o stu lad o L L L p a ra co n stru ir un trián g u lo congruente con A A B C . 29. Em pléese el p o stu lad o LA L p a ra construir un trián g u lo congruente con A ABC. 30. Em pléese el p o stu lad o ALA p a ra co n stru ir un trián g u lo congruente con A A B C . 31. U n equ ip o de agrim ensores desea en co n trar la distancia A B a través de u n lago. U n m étodo requiere la construcción de u n p a r de triángulos congruentes. Los agrim ensores seleccionan u n p u n to cualquiera C, m iden L A C B y ubican un p u n to D de m an era que L A C D =5 L A C B y CD S CB. ¿ P o r qué son congruentes L A C D y L ACB1 ¿C óm o puede esto a y u d ar a en c o n trar la distancia requerida?

ACTIVIDADES-

—

H á g a n se c o p ia s con c a rtu lin a (por lo m e n o s tr e s v e c e s m ay o res) d e los s e is «p en tam in ó s» q u e s e m u e stra n . Un «pentam inó» e s un polígono q u e coin cid e co n cinco c u a d ro s d e un ta b le ro d e a je d re z .

C o lo q ú e n se los « p en tam in ó s» d e m a n e ra q u e s e form e un p a r de re c tá n g u lo s d e idéntico ta m a ñ o y form a.

(Ejercicios 28-30) C

3.2


95

E n los ejercicios 32 a 37, form úlese u n p o stu lad o de congruencia p a ra cada p a r de triángulos congruentes. Dígase, adem ás, si los trián g u lo s son congruentes p o r ALA, LA L o LLL. (Nota: empléese el concepto de que ta n to un segm ento com o un ángulo son congruentes consigo mismos.)

SOLUCION D E PROBLEMAS ¿D e c u á n ta s m a n e ra s p u e d e c o lo c a rs e un c u b o d e 3 x 3 x 3 en un cu b o d e 4 x 4 x 4? ¿ C u á n ta s p o sic io n e s d e 2 x 2 x 2 o d e 1 x 1 x 1 so n p o sib le s? C o m p lé te se la tab la. ta m a ñ o d e l cu b o

cubo de

✓

1

x 1x 1

y s s

cubo de 3 x 3 x 3

cub o de 2 x 2 x 2

/¿

S^

^s ---/ r-1—

n ú m e ro d e p o s ic io n e s en un c u b o de

4x4x4

96


3.3

Pruebas: uso de los postulados sobre la congruencia

P a r a p r o b a r q u e d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s , se e m p ie z a c o n la in fo rm a c ió n d a d a y se e m p le a n lo s esq ue m as de ra z o n a m ie n to d e d uctivo p a r a c o n c lu ir q u e s o n re a lm e n te c o n g ru e n te s . L a a firm a c ió n d e la h ip ó te s is e s el e s q u e m a q u e se u tiliz a c o n m a y o r fre c u e n cia , c o m o se d e s c rib e a c o n tin u a c ió n . E l p o s tu la d o L L L tie n e la fo rm a g e n e ra l:

Si

los tres lados de u n trián g u lo son respectivam ente congruentes con los tres lados de o tro triángulo,

REPASO: L a afirm ación de la hipótesis es un esquem a de razonam iento que se representa com o sigue: Siem pre que p - * q sea verdad y se afirm e que p es verdad, puede concluirse que q es verdad.

los dos triángulos son congruentes

entonces

B

Y

A h o r a se p r e s e n ta u n a a p lic a c ió n esp ecífica d e e s ta p ro p o s ic ió n : A

C

XJ

Se o b s e r v a q u e to d a s la s c o n d ic io n e s e s ta b le c id a s e n p se sa tisfa ce n ; e sto es, p e s v e r d a d e r o . C o n e s to se afirm a la hipótesis. P o r ta n to , p u e d e c o n c lu irse : q es v e rd a d e ro . A p lic a n d o e s to a e ste c a s o esp ecífico , A A B C s A X Y Z . R e s u lta ú til o r g a n iz a r el p e n s a m ie n to a l fo r m u la r la prueba a n te r io r e n d o s c o lu m n a s . L a c o lu m n a iz q u ie rd a se u s a p a r a las p ro p o s ic io n e s q u e lle v a n a la c o n c lu s ió n d e s e a d a . L a c o lu m n a d e la d e re c h a d a las ra z o n e s p o r la s c u a le s la s p ro p o s ic io n e s so n v e rd a d e ra s . D ado: A B ^ X Y B C = YZ A C séX Z s P ru é b e se : A A B C = A X Y Z .

B

A A --------- HH---------- X a ----------------

Prueba Razones

Afirm aciones 1. Á B = X Y .

1. D ado.

2. B C = YZ.

2. D ad o .

3. A C ^ X Z .

3. D ad o .

4. A A B C s z A X Y Z .

4. P o stu lad o de la congruencia

■444

-H 4

3.3

P ru e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia

A h o r a se p r e s e n ta n o tr o s d o s e je m p lo s d e p r u e b a s se n c illa s s o b re la c o n g ru e n c ia d e d o s triá n g u lo s . O b s é rv e s e q u e se e m p le a la a firm a c ió n d e la h ip ó te sis. ___

Ejemplo 1

___

C

D a d o : ¿ \B = X Y ZA=* ¿X Z f is ¿Y. P ru é b e se : A A B C = A X Y Z .

Prueba Razones

A firm aciones 1. A B ~ X Y .

1. D ado.

2. ¿ A = i Z X .

2. D ado.

3. Z B = ¿ Y .

3. D ado.

4. A A B C ^ A X Y Z .

4. P o stu lad o de la congruencia ALA.

M

Ejemplo 2

D ado:

P ru é b e se :

M N ss M P Z 1 = Z2. A M N Q s AMPQ-

Prueba Razones

Afirm aciones 1. M Ñ ^ M P .

1. D ado.

2. Z l s Z 2 .

2. D ado.

3. M Q s M Q -

3. U n segm ento es congruente consigo mismo.

4. A M N Q = A A ÍPQ -

4. P o stu lad o de la congruencia LAL.

(Nota: A lgunas veces, com o en el tercer paso, hay u n lado com ún a dos triángulos. E l concepto de que «un segm ento es congruente consigo m ism o» puede usarse p ara o btener un segundo par de lados congruentes necesario p a ra afirm ar la hipótesis del postulado de la congruencia LA L. Este concepto se an alizará m ás a fondo en el Cap. 4.)

97

98


EJERCICIOS_______________________ A.

Pruébese la congruencia de los siguientes triángulos form ulándose una dem o stració n a d os colum nas. Elabórense las dem ostraciones de acuerdo con los ejem plos recién vistos.

AC ^D F AB DE Z A s LD. Pruébese: A A B C = ADEF.

1. D ado:

c

RSssKL ST=sJK RT^JL. Pruébese: A R S T ^ A LKJ.

2. Dado:

3. Dado:

Pruébese: 4. Dado:

ZD = ZX Z_F = _ZZ

DF^XZ. A D EF s A XFZ. A C Â D A B síA E

B C = DE. Pruébese: A A B C = A AED.

ACTIVIDADES H á g a n se c o p ia s g ra n d e s d e e s to s « p e n ta m in ó s » (fig u ra s d e c in c o c u a d ra d o s ) y c o ló q u e n s e d e m a n e ra q u e fo rm e n un p a r de re c tá n g u lo s de id é n tic a fo rm a y ta m a ñ o .

A

3.3

P ru e b a s : uso d e los p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia

5. Dado:

Z 1=Z2 Z 3 s Z4. Pruébese: & A B D s A C D B -

1. D ado:

6. Dado:

DE = DF E H ss HF. Pruébese: A D H E s s A D HF.

8. D ado:

H I as K I

A } = i_ ¿ 2 J I = IL. Pruébese: A H I J = A K I L .

/IB = CD Z 1 = Z2. Pruébese: A A B D s A C D B .

D Pruébese: A A C E

ADBF.

10. D ado:

Á C ^ BD, A E ^ DF ¿ A ^ ¿D. Pruébese: A C A E s A B D F.

(Ejercicios 9, 10)

11. Dado: AA ¿ C , Á B ^ BC. Pruébese: A C B £ s A A B D . 12. D ado:

¿ J3 D A j= ¿ B E C BD = B£. Pruébese: A B D A = A BEC.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS. ¿ C u á le s d e los sig u ie n te s m o d elo s p u e d e n p le g a rs e d e m a n e ra que form en un c u b o d o b lan d o y p e g a n d o los b o rd e s? ¿ C u án to s m o d e lo s m á s d e s e is c u a d ro s s e p u e d e n d ib u ja r q u e al p le g a rlo s form en un cu b o ?

(Ejercicios lt , 12)

99

100


3.4

Pruebas: uso de definiciones REPASO: D os rectas son perpendiculares si se intersecan p a ra form ar ángulos rectos congruentes.

L a a n te r io r d e fin ic ió n d e la s r e c ta s p e rp e n d ic u la re s y la s d e fin ic io n es d e b ise c triz d e l á n g u lo , p u n to m e d io , b is e c triz d e l s e g m e n to (Sec. 1.5) y b ise c triz p e r p e n d ic u la r (Sec. 1.6), se u tiliz a n c o n fre c u e n c ia e n las d e m o stra c io n e s . C o n s id é re s e el s ig u ie n te e je m p lo d e afirm ación de la hipótesis (Sec. 2.6).

p -* q: Si u n r a y o b ise c a a u n á n g u lo , e n to n c e s lo s d o s á n g u lo s q u e se f o r m a n s o n c o n g ru e n te s . p: A ( ? b ise c a a L B A D . P o r ta n to , se c o n c lu y e q u e q: Z 1 =

Z 2.

•D

E s ta d e m o s tr a c ió n se m u e s tr a a c o n tin u a c ió n c o n u n d is e ñ o d e d o s c o lu m n a s . D a d o : A Ü b ise c a a ¿ B A D . P ru éb e se : L 1 s L 2 . Prueba

■D Razones

Afirm aciones 1. A(? biseca a ¿ B A D .

1. D ado.

2. ¿ l s ¡ ¿ 2 .

2. D efinición de la bisectriz del ángulo.

L a s p r u e b a s sig u ie n te s m u e s tr a n el e m p le o d e las d e fin ic io n e s d e l p u n to m e d io , la b is e c triz y la s re c ta s p e rp e n d ic u la re s . E s tú d ie s e c a d a p ru e b a .

3.4

P ru e b a s : u so d e d e fin ic io n e s

101

Ejemplo 1 D a d o : C es el p u n to m e d io d e BD. P ru é b e se : B C = C D . Prueba R azones

A firm aciones 1. C es el p u n to m edio de BD. 2. BC £ CD.

■D

1. D ado. 2. D efinición del p u n to medio.

Ejemplo 2

B

D a d o : A C e s la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e B D . P ru é b e se : C es el p u n t o m e d io d e BD . A Prueba R azones

Afirm aciones 1. A C es la bisectriz__ perpendicular de BD.

1. D ado.

2. C es el p u n to m edio de BD.

2. D efinición de la bisectriz perpendicular.

Ejemplo 3 D ado: A C A -B D . P ru é b e se : Z A C D =

D

¿LACB.

Prueba R azones

A firm arciones

A

1. A C ± BD .

1. D ado.

2. ¿ A C D s s ¿ A C B .

2. D efinición de las rectas perpendiculares.

102


EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 8, empléese alguna de las definiciones p resen tad as en esta sección p a ra sacar una conclusión de los d ato s dados. 1. D ad o : X M biseca a L Z X Y .

N es el p u n to m edio de AB.

2. Dado: R M _LTU.

4. D ado: A C y BD se bisecan entre sí.

5. D ado: S F es la bisectriz__ p erpendicular de PQ.

6. D ado: D B biseca a ¿ E D F . A

7. Dado: T es el p u n to m edio de QS.

8. D ado: K M es la bisectriz perpendicular

ACTIVIDADES

"

C o p íe n se e n g ra n d e e s to s d iez «pen tam in ó s» y jú n te n s e p a ra fo rm a r un p a r d e c u a d ra d o s d e id én tica fo rm a y tam añ o.

3.4

P ru e b a s : u so d e d e fin ic io n e s

B. F orm úlese u n a d em ostración a d os colum nas p a ra los ejercicios 9 a 14. 9. D ado: BD biseca a L A D C . Pruébese: L A D B s ¿ B D C .

10. D ado:

QS es la bisectriz perpendicular de PR. __ Pruébese: S es el p u n to m edio de PR. S

11. D ado: M es el p u n to m edio de AD. Pruébese: A M = M D.

12. D ado: PR1QS. Pruébese: ¿ P T Q s í Z P T S .

13. D ado:

14. D ado: BD biseca a AC. Pruébese: A E = EC.

LQ-es la bisectriz perpendicular de J N : x_ Pruébese: J Q s Q N.

Q

\

r- SOLUCION D E PROÓLEMAS. En e s to s d ib u jo s s e m u e stra n c u a tro fo rm a s d ife re n te s de dividir un c u a d ro en c u a tro p a rte s id én ticas. ¿Q u é o tra s fo rm a s s e p u e d e n e n c o n tra r? M u é stre n se por lo m e n o s o tra s cinco en un p a p e l p u n tead o .

R

103

104


3.5

Pruebas: uso de postulados y definiciones MO ESTft MM. ¿ E tt? \ 'ESTE PEQUEÑO S16N0 Q u ie r e d e c i r

."Congruente con -

SI f\IGUN DIA NECE SITAS UN "CONGRUEN T E c o n " , yo PUEQO DIBUJARTELO.

U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.

L a s d efin ic io n e s d e b is e c triz d e l á n g u lo , b is e c triz d e l s e g m e n to , b ise c triz p e rp e n d ic u la r y p u n to m e d io p u e d e n u s a rs e , ju n t o c o n lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia , p a r a p r o b a r q u e d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s. P a r a d e d u c ir la p r u e b a d e q u e d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s , su e le se r ú til a n a liz a r la s itu a c ió n e m p e z a n d o p o r lo q u e se v a a p r o b a r y h a c e r el d e s a r r o llo h a c ia a tr á s . E s tu d íe s e el sig u ie n te ejem p lo . P ro b le m a :

D ado: A B s A D A C b ise c a L B A D . P ru é b e se : A A B C AADC.

A n álisis (c ó m o se p o d r ía d e d u c ir la fo rm a d e re s o lv e r el p ro b le m a ): «Se q u ie re p r o b a r q u e A A B C ^ A A D C . P o d r ía h a c e rse p o r m e d io d e los p o s tu la d o s d e la c o n g r u e n c ia L L L , L A L o A L A , p e ro ¿ c u á l d e ello s? P o r la __ in fo rm a c ió n d a d a _ se s a t e q u e A B ss A D . Si p u d ie r a p r o b a r s e q u e Z 1 s Z 2 y q u e A C = A C , p o d r ía e m p le a rs e el p o s tu la d o L A L . P e ro A C b ise c a a L B A D , así q u e Z 1 ss Z 2 . A d e m á s, u n s e g m e n to es c o n g ru e n te c o n s ig o m ism o . Sí, p u e d e h a c e rse .» Prueba R azones

A firm aciones l. Á B sé Á D .

i. D ado.

2. A C biseca & ¿ B A D .

2. D ado.

3. Z 1 = Z 2 .

3. ¿ P o r qué?

4. A C m A C .


5. A A B C s

AADC.

5. P o stu lad o de la congruencia LAL.

A

3.5

P ru e b a s: u so d e p o stu la d o s y definiciones

E s tú d ie s e el análisis d e la s p r u e b a s sig u ie n te s y co m p lé te n se . A

Ejemplo 1

Dado:

A B = AD. ____ C es el p u n to m e d io d e B D .

Pruébese; AA B C = AADC.

A nálisis: « ¿ C u á l d e lo s p o s tu la d o s d e c o n g ru e n c ia se p u e d e u tiliz a r p a r a e sto , A L A , L A L o L L L ? Se p u e d e p r o b a r q u e A A B C s A A D C , si se p u e d e d e m o s tr a r q u e tr e s la d o s d e A A B C s o n re sp e c tiv a m e n te c o n g ru e n te s c o n lo s tr e s la d o s d e A A D C . P o r lo s d a to s , se s a b e q u e A B s A D . A C = A C , p o r q u e u n s e g m e n to es c o n g r u e n te c o n s ig o m ism o . B C = C D si C es el p u n to m e d io d e B D . A l se rlo (p o r lo s d a to s ), y a se p u e d e f o r m u la r la p ru e b a .» Prueba R azones

Afirm aciones ¡II

I?

1. D ado.

2. C es el p u n to m edio de BD-

2. D ado.

3. B C s CD-

3. ¿P or qué?

4. A C s A C .


5. A A B C = A A D C .

5. ¿P or qué?

E le m p iO 2

A

Dado: A C es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e BD . Pruébese; A A C B = A A C D

A nálisis: «Se p u e d e p r o b a r q u e A A C B = A A C D c o n u n o d e l o s __ p o s tu la d o s d e la c o n g ru e n c ia . S e in te n ta c o n el L A L . Se s a b e q u e A C s A C . C o m o A C es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e B C , L A C B s A A C D y B C 35 C D . A h o r a y a se p u e d e f o r m u la r la p ru e b a .» Prueba R azones

Afirmaciones 1. A C biseca a BD .

1. D ado.

2. B C

2. D efinición de la bisectriz de un segm ento.

CD-

3. A C 1 B D . 4.

ZACB s ¿ACD .

3. D ado. 4. ¿ P o r qué?

5. Á C = Á C .

5. ¿P or qué?

6. A A C B = A A C D .

6. Postulado de la congruencia LAL.

•D

106

EJERCICIOS A. E n los ejercicios 1 a 4, analícese la situación e indíquese cuál de los tres p o stu lad o s sobre la congruencia (LLL, LA L o ALA) po d ría usarse p a ra p ro b a r que los triángulos son congruentes. 1. D ado:

A D biseca a B C A B ssA C . Pruébese: A A B D sé A A C D . ..

2. Dado:

R T biseca a Z Q R S R T biseca Á Q T S . Pruébese: A R T Q ^ A R T S .

A

C 3. Dado:

NPLM O N P biseca A M P O . Pruébese: A M N P = A O NP. M

4. Dado:

A E y BD se bisecan Z lsZ 2. Pruébese: A A B C A EDC. A

D

E n los ejercicios 5 a 7, form úlense las razones o proposiciones que faltan.

A D = _D¿?

5. D ado:

AB1DC. Pruébese: A D A C s s A D B C .

Afirm aciones

Razones

1. A D s s DB.

1. D ado.

2. A B ± D C .

2. ? •'

3. Z i a Z 2 .

3. p ^ 1 .'. ■<. .•j
4. ?


c O

5. A D A C

ADBC.

5. ?

3.5 P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s

6. Dado:

A fí CD Z ls Z 2 . Pruébese: A A B C s z A C D A . A firm aciones 1. A B

R azones

CD.

1. D ado.

2. Z l s Z 2 .

2. D ado.

3. ?


s é

4. A A B C s

ACDA.

4. ?

7. Dado:

XM ±YZ X M biseca a Z YX Z. Pruébese: A X Y M A XZM. Afirm aciones

^

Razones

1. X M _L YZ.

1. D ado.

2. ?

2. Definición de las rectas perpendiculares.

3. X M biseca a Z FA’Z.

3. ?

4. Z l s Z 2.

4. ?

5. X M

5. ?

XM.

6. A X Y M sé A X Z M .

6. ?

B. E n los ejercicios 8 a 17 pruébese que los triángulos son congruentes. 8.

10.

D ado: X M biseca a Z Y X Z ZlsZ 2, Pruébese: A X M Y = A X M Z .

Dado:

/ í C es la bisectriz de Z B A D Á B s í AD. Pruébese: A B A C == A D A C .

9. Dado:

XM ±YZ_ Y M ss M Z. Pruébese: A X Y M s s A X Z M . X

11. Dado:

Q M = OP

Q N biseca a MP. Pruébese: A Q N M s s A QNP. M

107

108


12. Dado:

A C biseca a Z D A B A C biseca a L D C B . Pruébese: A A C D = A A C B .

13. Dado:

14. Dado:

15. Dado:

H R A -A E _ AH = sA D Z lsZ 2 . Pruébese: A A H E ~ A A D R .

R Z l s Z 2 LA s Z £ N es_el p u n to m edio de Pruébese: A A B N =s A E D N .

Pruébese:

16. Dado:

17. Dado:

Z £ s ZAT_ 5 biseca a E N E A ss w y Pruébese: A E A S = A N Y S . S

Pi? biseca a 5 2 5 2 biseca a P P . Pruébese: A P Q T s z A R S T .

ACTIVIDADES! Un « h e xa d ia m a n te » e s un p o líg o n o fo rm a d o c o n s e is triá n g u lo s e q u ilá te ro s .

\

/

W

\

/

\ A

E ste e s un «hexadiam ante«

V ___ E ste no e s un «hexadiam ante»

D ib ú je n s e y c ó rte n s e s e is c o p ia s d e e s te triá n g u lo e q u ilá te ro en un tro z o d e c a rtu lin a . E x p e rim é n te s e con e s to s s e is triá n g u lo s p a ra d e s c u b rir d o c e « h e x a d ia m a n te s » d e fo rm a s d ife re n te s . D ib ú je n s e los d o c e p o líg o n o s .

3.5

P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s

A B C D E es un p entágono regular. Pruébese: A A E B = A CDB. B

19. Dado:

A B ss A C A I biseca a Z B A C . Pruébese: A A I B = A A IC . A

21. Dado:

18. D ado:

20. Dado:

B F biseca a / - A B C A B C D E es un pentágono regular. Pruébese: A A B F = A CBF. B

A B ss B C __ M es el p u n to m edio de A C . Pruébese: L A s s Z C . B

C 22. El poste Y Z de una tienda de cam p añ a es perpendicular al suelo. ¿Q ué o tra s condiciones h a n de cum plirse pa ra aseg u rar que los lados Y W e Y X son de igual longitud?

SO LUCIO N D E PROBLEMAS

E ste d ibujo m u e s tra 13 palillo s d is p u e s to s p a r a fo rm ar s e is triá n g u lo s. ¿Q ué tre s p alillo s p u e d e n q u ita rs e p a ra q u e q u ed en tr e s triá n g u lo s? In v é n te se un p ro b le m a con palillos sim ila r a é s te .

109

110


3.6

Prueba de la congruencia de ángulos y segmentos

U n in g e n io so e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía (q u e e r a u n b u e n n a d a d o r , p e r o n o d em a siad o b u e n o ), u só este m é to d o p a r a e n c o n tr a r la d is ta n c ia e n tre el m u e lle y la isla: E líja se u n p u n t o P e n la o rilla d e l río . C o n s tru y a s e L í s ¿ 2 y h á g a s e ta m b ié n q u e L 3 s L A . L o c a líc e se v is u a lm e n te el p u n to de in te rse c c ió n A d e lo s la d o s d e lo s á n g u lo s 1 y 3. ¿ P o r q u é la d is ta n c ia d e l m u e lle a la isla D I ) es la m is m a q u e D A ? P a r a re s p o n d e r a e s ta p r e g u n ta , re c u é rd e s e la definición d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s (Sec. 3.1). C

Z

A A B C s A X Y Z sig n ific a q u e lo s ig u ie n te es v e rd a d e ro :

ÁB = X Y

AC = XZ

B C = YZ

¿ A ^ L X

¿ B ^ L Y

LC ^LZ.

C o n fre c u e n c ia se p r u e b a q u e u n p a r d e s e g m e n to s o á n g u lo s so n c o n g ru e n te s p r o b a n d o a n te s q u e u n p a r d e tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s. L u eg o se p u e d e u s a r la d e fin ic ió n d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s p a r a c o n c lu ir :}ue la s p a r te s d e lo s tr iá n g u lo s q u e se c o r r e s p o n d e n s o n c o n g ru e n te s. E n el p r o b le m a d e l m u e lle y la isla , A D A P = A D I P p o r el p o s tu la d o de ia c o n g ru e n c ia A L A . D a d o q u e D A y D I s o n p a r te s c o r re s p o n d ie n te s d e :s to s tr iá n g u lo s , D A ^ D I. P a r a p r o b a r la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s o se g m e n to s, a veces se p u e d e: 1. s e le c c io n a r tr iá n g u lo s q u e c o n te n g a n e s to s s e g m e n to s (o án g u lo s); 2. p r o b a r q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s ; 3. c o n c lu ir q u e la s p a r te s c o rre s p o n d ie n te s d e s e a d a s de e sto s triá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s . Al f o r m u la r p r u e b a s , se d a la s ig u ie n te r a z ó n p a r a el te rc e r p a so , .a s p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s s o n c o n g ru e n te s . A b re v ia d o , e s to es: P a r te s c o rre s p o n d ie n te s d e A s s o n s , o P C T C C .

3.6


E s te p r o c e d im ie n to se ilu s tr a e n lo s d o s e je m p lo s sig u ie n te s. A Ejemplo 1 D a d o : AB ~ AD Z _ l_ = Z 2 . P ru é b e se : B E = D i?. A nálisis: «Se p u e d e p r o b a r q u e B E ss D £ si es p o s ib le e n c o n tr a r u n p a r d e tr iá n g u lo s c o n g r u e n te s q u e c o n te n g a n e s to s se g m e n to s. A A B E y A A D E p a re c e n c o n te n e rlo s . ¿ Q u é p o s tu la d o d e c o n g ru e n c ia se p u e d e u s a r p a r a p r o b a r q u e s o n c o n g r u e n tes? In t é n te se c o n L A L . C o m o se s a b e q u e Z 1 =? Z 2 , A B s A D y q u e A E ss A E , p u e d e p r o b a r s e q u e lo s triá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s y c o n c lu ir q u e B E = D E .» Prueba R azones

A firm arciones 1. A B ss Á D .

1. D ado.

2. Z 1 = Z 2 .

2. D ado.

3. A E s A E .

3. ¿ P o r qué?

4. A A B E s A A D E .

4. P o stu lad o LAL.

5. B E ss D E .

5. P a rte s correspondientes de A s son s .

Ejemplo 2

D ado:

A C y B D se b ise c a n Z I ss Z 2.

P ru é b e se : Z 3 = s Z 4 . A n álisis: « Z 3 y Z 4 e s tá n e n A A O D y A 5 0 C , re s p e c tiv a m e n te , y en AA .D C y A A B C , re s p e c tiv a m e n te . P o r la in fo rm a c ió n d a d a , p a re c e q u e se d e b e p r o b a r q u e A A O D es c o n g r u e n te c o n A C O B . (¿ P o r qué?) E n to n c e s , p u e d e c o n c lu irs e q u e Z 3 e s c o n g r u e n te c o n Z 4 .» Prueba R azones

Afirm aciones 1. ,4C y BD se bisecan.

1. D ado.

2. A O ^ C Ó ; Ó B ^ Ó D .

2. Definición de la bisectriz del segm ento.

3. Z l s

3. D ado.

Z2.

4. A A O D = A C O B .


5. Z 3 s Z 4 .

5. P C T C C .

112


EJERCICIOS______ A. En los ejercicios 1 a 5, indiquese qué triángulos puede d em ostrarse que son congruentes p a ra establecer el hecho indicado. (En algunos casos puede h ab er m ás de un p a r de trián g u lo s correctos.) 1. Pruébese: A B s í ÁC.

A

2. Pruébese: Z F s Z Í .

3. Pruébese: EG

F

B

D

EH.

C 5. Pruébese: J N = NL.

4. Pruébese: AD = BC.

Drr ------------------------ C

K

E n los ejercicios 6 a 8, form úlense las proposiciones y razones que faltan. 6. D ado:

Z1 3 Z2 Z 3 s s Z4 . Pruébese: Z / í s Z C. A firm aciones

R azones

1. Z l s Z 2 .

1. ?

2.

2. D ado.

?

3. D B s D B .


4. A A D B s s A C B D .

4. ?

5. ¿ A ^ Z C .

5. ?

M N ^ MP N O s í OP. Pruébese: M O biseca Z NMP.

7. D ado:

R azones

A firm aciones 1. Á Í Ñ = M P ; Ñ O s

OP.

1. ?

2. ?

2.

3. A M N O ^ A M P O .

3. ?

4. ?

4. P C T C C .

5. M O biseca a ¿ N M P .

5. ?

?

3.6


113

8. D ado: ABCDEF es un hexágono regular. Pruébese: A C s B F / —

\

>c v

x

A

, /

B

A firm aciones

R azones

1. ABCDEF es un hexágono regular.

1. D ado.

2. A F s¡ BC.

2, } A'fccDLf

3. ?


4. Z FAB sé Z ABC.

4. ?

5. A FAB

5. ?

AC B A .

6. ?

*ovn [ « ^ ^ 0 ,0 0

,-to

6. PC TC C .

B. E n los ejercicios restantes, form úlense p ru eb as a d o s colum nas. 9. Dado:

Z ls Z 2

41

=

41

10. Dado:

OA, OB, OC, OD son congruentes

41

-

Pruébese: B C = CD.

=

41

-

Pruébese: A B = CD. B

D ü

11. Dado:

ABCDE es u n p entágono

regular. Pruébese: A ADC es isósceles.

X O es la bisectriz perpendicular de MP. Pruébese: A X M P es isósceles.

12. D ado:

X B

114


13. D ado:

Z l s Z2 D biseca a C E ¿C ~ ¿E . A Pruébese: B D ss DF.

15. E n un gim nasio, el extrem o de u n a red de voleibol está sujeto a la p a re d con dos argollas en los p u n to s P y M . C ad a p u n to del p lan o de la red está a una d ista n d a igual de las d o s jin e a s de base A C y BD. ¿ P o r cjué es P M p erpendicular a AB?

ACTIVIDADES— H á g a n s e e s to s 12 « p e n ta m in ó s » con c u a d ra d o s d e l ta m a ñ o d e lo s d e un ta b le ro de a je d re z . En e s ta fig u ra , s e d is p u s ie ro n s e is « p e n ta m in ó s » de fo rm a q u e n in g u n a d e las p ie z a s re s ta n te s se p u e d e a d a p ta r a l ta b le ro sin s o la p e . In té n te s e e s to m is m o con d ife re n te s ju e g o s d e s e is p ie za s.

14. D ado:

A B C D E F G H es un octágono regular. Pruébese: D F s s G E

16. D ado:

A D == B C Z 1 £3 Z 2 N es el p u n to m edio de AB. Pruébese: A C N D es isósceles.

l

3.6


115

C. E n los ejercicios 17 a 20, puede ser necesario p ro b a r que hay m ás de un p a r de triángulos congruentes. 17. D ado: A B C D E F es u n hexágono regular. Pruébese: Z 1 s Z 2. (Sugerencia: Pruébese prim ero que A E = BD.) A B

L i s L 2, L 3 s L A Z 5 s Z 6, Z 7 s Z 8 . Pruébese: Z ^ s L C . B

18. Dado:

rC

A B C D E F G H es un octágono regular ÄFJ-A B ; B G L G F L l s Z2. Pruébese: A A H I = A GHI.

20. Dado:

19. Dado: recular AG biseca a L E A B y es l a __ bisectriz p erpendicular de D C . Pruébese: A B C F = A EDF. A B

A

B C D

_

SO LUCIO N D E PROBLEMAS. M u é stre se có m o c o rta r un h e x á g o n o re g u la r en 18 c o m e ta s c o n g ru e n te s. U na c o m e ta e s un c u a d rilá te ro con e x a c ta m e n te d o s p a r e s de la d o s a d y a c e n te s c o n g ru e n te s. (Sugerencia: T rá c e n s e to d a s la s d ia g o n a le s del h e x á g o n o y d e s p u é s tr á c e n s e o tro s s e is s e g m e n to s c o rto s co lo c a d o s e stra té g ic a m e n te .)

116


3.7

Pruebas: solape de triángulos U n « r o m p e c a b e z a s » m u y p o p u la r c o n siste e n h a lla r u n p a r d e triá n g u lo s e q u ilá te ro s c o n g r u e n te s e n e s ta fig u ra y e n d ib u ja r lo s e n u n p a p e l a p a rte . R e su é lv a se e ste p ro b le m a .

E n la s p r u e b a s , s u c e d e c o n fre c u e n c ia q u e v a r io s tr iá n g u lo s se s o la p a n , lo c u a l h a c e difícil id e n tific a r a p r im e r a v is ta los triá n g u lo s q u e p o d r ía n s e r m á s ú tile s p a r a p r o b a r la c o n g ru e n c ia . E n o c a sio n e s, es ú til s e p a r a r lo s tr iá n g u lo s m e n ta lm e n te o d ib u já n d o lo s , p a r a a y u d a r a a n a liz a r la p r u e b a , c o m o se m u e s tr a e n el e je m p lo sig u ien te .

Ejemplo 1 D ado:

¿

1 cg

Z2

A C ==; D F

¿ 3 = ¿4. P ru é b e se : E F s s B C . A nálisis: « E s n e c e s a rio e s c o g e r u n p a r de triá n g u lo s q u e c o n te n g a n E F y B C . ¿ Q u é su c e d e c o n A E F H y A B C H 1 N o se p u e d e p r o b a r q u e s o n c o n g ru e n te s . I n té n te s e c o n A E F D y A B C A . E s to s d o s tr iá n g u lo s so n c o n g ru e n te s p o r el p o s tu la d o A L A , y se p u e d e c o n c lu ir q u e E F s B C .» E n lo s e je rc ic io s se p e d ir á c o m p le ta r e sta p ru e b a .

3.7

P ru e b a s : S o la p e d e triá n g u lo s

Ejemplo 2 Dado:

¿ 1 = ¿-(i. Z_3 =s ¿ A . A E = CD. Pruébese: ¿ A B E = ¿ C B D .

C

A nálisis: « L o s tr iá n g u lo s s o la p a d o s A A B E y A C B D c o n tie n e n d o s p a re s de á n g u lo s c o n g ru e n te s . L o s la d o s in c lu id o s ta m b ié n s o n c o n g ru e n te s . Se p u e d e u s a r el p o s tu la d o A L A p a r a p r o b a r lo .»

B

B

C

A veces e s ú til e m p le a r lá p ic e s d e c o lo re s p a r a m a r c a r lo s triá n g u lo s s o la p a d o s . E s tú d ie s e el s ig u ie n te e je m p lo .

L

Ejemplo 3 D a d o : A L J N es isó sceles c o n J L = L N

41

=

41

-

P ru é b e se : L K = L M . A n álisis: « S e p u e d e p r o b a r q u e L K ^ L M si e s to s se g m e n to s s o n p a rte s c o r re s p o n d ie n te s d e lo s tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s . Se in te n ta c o n A L K N y A L M J . Se s a b e q u e L l s ¿ 2 y q u e ¿ J L N es c o n g r u e n te c o n s ig o m ism o . Se s a b e q u e A J L N es isó sceles. A sí, lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g r u e n te s p o r el p o s tu la d o A L A . P u e d e p ro b a rs e .»

Ejemitw 4 D ado: J K = Ñ M ¿ K J N s _ Z M N J. P ru é b e se : K N = M J.

N

A n álisis: « K N y M J s o n p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e A L K N y L M J , c o m o e n e l e je m p lo a n te r io r . P e r o la in fo rm a c ió n d a d a e s p a r te d e A K J N y d e A M N J . C o m o J N es c o n g r u e n te c o n s ig o m is m o , p u e d e p r o b a r s e p o r L A L que A K J N s A M N J .»

117

118


EJERCICIOS _____ ___ A. E n los ejercicios 1 y 2, cítense to d o s los pares de triángulos (solapados y n o solapados) que parezcan congruentes. E m pléenselos vértices A y B en u n triángulo, y los C y D, en otro. D

2.

E D

B. 3. Form úlese u n a p ru eb a com pleta a dos colum nas p a ra el ejem plo 1.

4.

Form úlese u n a prueba com pleta a d os colum nas p a ra el ejem plo 3.

Form úlese una pru eb a com pleta a d os colum nas p a ra los ejercicios 5 a 10. 5. D ado:

B D = CE ¿ A B C js Z ACB. Pruébese: B E = CD.

6 . D ado:

Z D A B ss Z C BA Z D B A _5 Z CAB. Pruébese: A D s BC. [K .L A)

U_ C, -L

ACTIVIDADES L o s triá n g u lo s se u tiliz a n m u c h o e n los a n d a m ia je s p o rq u e so n fig u ra s ríg id a s . T re s v a rilla s u n id a s c o n c la v o s m a n te n d rá n su fo r m a a u n q u e se la s c a m b ie d e lu g a r. ¿ C u á le s d e e s ta s e s tru c tu ra s so n ríg id a s ? C o n s trú y a n s e m o d e lo s p a ra c o m p ro b a r las re s p u e s ta s .

clavo

3.7

Dado:

Z 3 s

P ru e b a s : S o la p e d e triá n g u lo s

119

8. D ado:

Z1 ==; Z2, B E s EC ¿ A E C j= _ Z B E D • Pruébese: A E s DE.

Z4

Pruébese:

o) . 9. D ado:

Z_1 =s Z_2, P£) = R Q P F s s 77?. Pruébese: Q T s s QV. ^ * ' u p

10. D ado:

)

11. D ado:

H F±BD , HG ± A C , — H F^H G . o Pruébese: /4G == D F. £ ------& \4 ^ A

P Q R S con PQ ^ R S , ¿ R Q P y ¿-QRS son ángulos rectos. Pruébese: QS « R P (es decir, las diagonales son congruentes).

12. D ado: A B C D E es un pentágono regular. Pruébese: A D s £B.

C

SO LUCIO N D E PROBLEMAS ¿ C uá ntos triá n g u lo s d ife re n te s h a y en e s ta fig u r a q u e s e a n c o n g ru e n te s vco n los q u e tie n e n n o m b re de le tra ?

S i se o b s e rv a n o tro s tip o s d e triá n g u lo s e n la fig u ra , d ib ú je n s e .

120


3.8

Pruebas: cadenas de congruencias

P a r a fo r m u la r c ie rta s p ru e b a s , h a d e p r o b a r s e a n te s la c o n g ru e n c ia de u n p a r d e tr iá n g u lo s , a fin d e o b te n e r la in fo rm a c ió n n e c e s a ria p a r a p r o b a r q u e u n s e g u n d o p a r d e tr iá n g u lo s e s c o n g ru e n te . E s tú d ie s e el e je m p lo s ig u ie n te y e x p ó n g a n s e lo s p a s o s o m itid o s . B

Ejemplo Dado:

Pruébese:

A B ^C B ED==EF Z 1 ss Z 2 Z 3 s Z 4 A D = CF.

Análisis: « P o d r ía p r o b a r s e q u e A D s C F si fu e ra p o s ib le p r o b a r q u e A A E D = A C E F , p e r o n o h a y s u fic ie n te in fo rm a c ió n p a r a eso . Si se s u p ie r a q u e A E s C E , p o d r ía p r o b a r s e q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s p o r LAL. P e r o A E y C E s o n p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e A A B E y A C B E , así q u e se p u e d e p r o b a r q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s.» Prueba Afirm aciones

R azones

1. A B s CB.

1. D ado.

2. Z 1 = Z 2 .

2. ¿ P o r qué?

3. B E s í BE.

3. ¿ P o r qué?

4. A A B E s

A CBE.


5. A E s s CE.

5. ¿ P o r qué?

6. Z 3 s Z 4 .

6. D ado.

7. D E =£ FE.

7. D ado.

8. A AED== A CEF.

8. ¿ P o r qué?

9. A D =5 CF.

9. PC T C C .

O b s é rv e s e q u e lo s p a s o s 1 a 4 p ru e b a n la c o n g ru e n c ia d e u n p a r d e triá n g u lo s . L o s p a s o s 5 a 8 e m p le a n la p r im e r a c o n g ru e n c ia p a r a p r o b a r la d e u n s e g u n d o p a r d e triá n g u lo s .

3 .8

P ru e b a s : c a d e n a s d e c o n g ru e n c ia

121

EJERCICIOS 1. Dado:

2. D ado: A B C D E F es un hexágono regular. Pruébese: A A B D s í A A F D . C D

3. D ado:

4. Dado:

Z | = Z 2 , U R biseca Q S P U = TU, Z PUQ = Z 7TO Pruébese: A Q R U ^ A S R U .

Zl=sZ2 L A E D _= Z CFB A E s í CF. Pruébese: A B = CD. D

A B C D E F G H es un o ctágono regular Z ] s s _Z2 . Pruébese: C F = H E . A B C D

A B C D E F G H es un octágono regular. D H biseca a Z CI>£ Z lsZ 2 . Pruébese: A B C I = A FBI. A B

E H ssB Jl A H ss DH A C = sD F Z_1 Pruébese: =BC. D

SOLUCION D E PROBLEMAS-

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 O

6. Dado:

5. D ado:

,C •D

G

E

O

M

0 - -E

M

E

M

0

E

G

M

0

E

G

E

M

O

E

G

1- R

T

E

M

0

E

G

A

R

T

E

M

ILI

G

—

E

o

©

G -- E - -o E

M -

-E -

m

G

E

O

'

M

E

T

0

E

0

M

a :-

O -G

-

-G -©

-

0

-

{S ugerencia: ¿De cuántas formas pueden leerse palabras de dos, tres y cuatro letras en un diseño sim ilar? Búsquese un esquema.)

G

G

I—

G

E

-m

G

m

En e l d is e ñ o q u e s e m u e s tra a c o n tin u a c ió n ¿ cu á n ta s v e c e s p u e d e le e rs e la p a la b ra « G e o m e tría » ? Se in d ic a n tre s fo rm a s .

~ ?

M - “ E '- T ' R

E

T

R

1

-

1

122


Capítulo 3 Conceptos im portantes Términos T riángulos congruentes (pág. 85)

Postulados Postulado de la congruencia LAL. Si d os lados y el ángulo com prendido de un triángulo son respectivam ente congruentes con dos lados y el ángulo com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Postulado de la congruencia ALA. Si dos ángulos y el lado com prendido de un trián g u lo son respectivam ente congruentes con d os ángulos y el lad o com prendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Postulado de la congruencia L L L . Si los tres lados de un triángulo son respectivam ente congruentes con los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

proposiciones Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes.

C a p ítu lo 3

Capitulo 3

R e su m e n

Resumen

1. D ado A B A C s A Q RP, identifiqúense los lados y ángulos correspondientes. 2. En los siguientes casos, dígase qué p o stu lad o sobre la congruencia puede em plearse p a ra d em o strar que los triángulos p A n

p n n it r n p n tp c

3. En ca d a uno de los casos siguientes, sáquese una conclusión b asad a en los d ato s proporcionados. A a. D ado: AB es perpendicular a CD.

c. D ado

R

D

d. D ado: A B C D E es un pentágono regular. E

D M P biseca a Z Q M N M P biseca a Z QPN. Pruébese: a . A M Q P = s A M N P b. Z Q s ¿N.

Q

4. D ado:

5. D ado:

A B _L CD R E ^B D BC ^B A. Pruébese: C E = AD-

6. D ado:

¿Q = P Y ¿ Z s ¿ P S a f f i Pruébese: X Y = X Q .

M

124


Capítulo 3

Examen

1. U tilícense las figuras p a ra co m p letar las proposiciones. a. A A B C ^ J L b. A X Y Z ^ J L c. A F U N

_L

2. E n los casos siguientes, sáquese u n a conclusión basada en los d a to s proporcionados. a. D ado: W es el p u n to m edio de Y Z y de XV.

b. D ado: J I l I Í K . K

Z d. Dado: A C biseca a BD biseca a A

3. D ado:

P A ^SA P T s s TS. Pruébese: a . A P A T s s A S A T . b. Z P s ¿ S .

4. Dado:

ADLBC D es el p u n to m edio de BC. Pruébese: A B s A C .

5. D ado:

FE ^ FD L E s s L_D. Pruébese: ¿ F s : D R.

R e s u m e n g lo b a l

Resumen global (Caps. 1 a 3) 1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. L os p o stu lad o s son proposiciones que deben dem ostrarse. b. U n ray o puede contener u n a recta. c. L os teorem as se p ru e b a n p o r razo n am ien to deductivo. 2. D ibújese u n trián g u lo A B C de m an era que L B sea obtuso. T rácese una recta que pase p o r B y sea p erpendicular a AC. En los ejercicios 3 y 4, clasifiquense los razo n am ien tos en inductivos o deductivos. 3. L 1 y L 2 se d en o m in an ángulos rectos. L os ángulos ico les so n congruentes. ¿ 1 y ¿ 2 son congruentes.

4. A B C D es u n c u a d ra d o y tiene diagonales perpendiculares. EF G H es un cu a d ra d o y tiene diagonales perpendiculares. T o d o s los cu ad rad o s tienen diagonales perpendiculares. E n los ejercicios 5 y 6, form úlese la conclusión correcta o escríbase «no h ay conclusión posible». 5. Si A B L C D , entonces A B y CD determ in an u n plano. A B y CD determ in an u n plano. P o r tan to , J L

6. Si A B C D es un cu ad rad o , entonces A B || CD. A B C D es u n cu ad rad o . P o r ta n to , JL 7. C onsidérese la proposición: Si dos rectas son paralelas, entonces no son perpendiculares. a. F orm úlese la reciproca de la proposición. b. F orm úlese la inversa de la proposición. c. F orm úlese la co n trarrecip ro ca de la proposición. d. D ense contraejem plos p a ra las proposiciones que n o son verdaderas.

8. D ado:

A D ==■B C : A B =s D C. Pruébese: A A B C = A C D A .

B

9. D ado: A B s z A C \ A D biseca a ¿ B A C . Pruébese: B D s ¡ CD.

125

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Arquitectura: domos geodésicos Los dom o s geodésicos fueron introd u cid o s p o r R. B uckm inster Fuller. Sus planos p a ra una clase de dom o, llam ado domo solar, pueden encontrarse en la revista Popular Science de m ayo de 1966. Se h a n co n stru id o dom os de diferentes tam añ o s y form as con m uy diversos m ateriales. Se utilizan d o m o s com o invernaderos, cubiertas de piscinas e, incluso, viviendas. En las fotografías se m uestra u n a vivienda dom o de C o lo rad o , y un dom o que puede habilitarse com o tien d a de cam paña.

Los d o m o s geodésicos se hacen lo m ás parecidos posible a porciones de esferas. D o s de las razones son que la esfera encierra el m ay o r volum en con la m enor superficie, y que es la figura m ás resistente.

126

U n tip o e stán d ar de do m o se b a sa en un sólido llam ado icosaedro. E labórese un m odelo de icosaedro con cartu lin a o con palillos e hilo y un p a tró n de 20 trián g u lo s equiláteros.

F ig . 1

P a tró n p a ra un icosaedro

Si se q u itan los cinco triángulos de la base, resulta u n a estru ctu ra de dom o.

En u n a estru ctu ra de d o m o real, cada uno de los triángulos equiláteros de la figura 2 se divide en triángulos m ás pequeños, com o se m uestra en la figura 3. P a ra que la form a del dom o sea m ás parecid a a una esfera, las piezas utilizadas p a ra fo rm ar los triángulos se hacen de diferentes longitudes. L as piezas del tip o C son ligeram ente m ás largas que las del tip o B, y éstas son un poco m ás largas que las del tipo A. 1. ¿C uántas piezas de los tip o s A, B y C se necesitan p a ra com pletar el dom o de la figura 2? 2. ¿C uántos triángulos de lados A, A, B y B, C, C hay en este dom o? 127

CAPITULO

4 4.1

P a s o s p a r a la p r u e b a d e u n t e o r e m a

4 .2

U s o d e la p r o p ie d a d d e s u m a y r e s t a d e ig u a le s

4 .3

P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s

130 138

144

4 .4

P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e á n g u lo s v e r t ic a le s

150

4 .5

P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e á n g u lo s e x t e r io r e s

154

4 .6

U s o d e la p r u e b a in d ir e c t a C o n c e p to s im p o r t a n t e s

164

158 R esum en

T é c n ic a s p a ra la s olució n d e p ro b lem as H a c e r u n a t a b la - l

167

165

E xam en

166

Prueba de teoremas mediante propiedades básicas

129

130

P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s

4.1

Pasos para la prueba de un teorem a c o n g r u e n c ia s e n tre se g m e n to s y á n g u lo s , c o m o se re s u m e e n la ta b la sig u ien te. O b s é rv e s e la s e m e ja n z a e n tr e la p ro p ie d a d re fle x iv a y la p r o p o s ic ió n « lo s p e r r o s so n p e rro s» . Algunas propiedades de los núm eros. P a ra cualquier núm ero, a, b y c: 1. a = a (propiedad reflexiva). 2. Si a = b, entonces b = a (propiedad simétrica). 3. Si a = b y b = c, entonces a = c (propiedad transitiva). R EP A SO :

Pasos para la prueba de un teorema

© 1958 U n ite d F eatu re S yndicale, Inc.

E n el c a p ítu lo 2, se d ijo q u e u n te o r e m a es u n a g e n e ra liz a c ió n q u e p u e d e p r o b a r s e c o n d e fin ic io n e s, p o s tu la d o s y la ló g ic a del r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o . E n el c a p ítu lo 3, se u s ó el r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o p a r a f o r m u la r p r u e b a s s o b re triá n g u lo s c o n g ru e n te s . E n e s ta se c c ió n , se e m p e z a r á u s a n d o e ste p ro c e s o d e r a z o n a m ie n to p a r a p r o b a r te o re m a s . E l p r o c e s o d e seis p a s o s p a r a p r o b a r u n te o r e m a se ilu s tr a r á e n e s ta se c c ió n c o n d iv e rso s e je m p lo s. E l p r im e r te o r e m a e s tá b a s a d o e n la s p r o p ie d a d e s d e lo s n ú m e ro s r e s u m id a s a n te s. L a s p r o p ie d a d e s reflex iv a, s im é tric a y tr a n s itiv a ta m b ié n s o n v á lid a s p a r a

Paso 1 Si el teorem a no tiene la form a sientonces, debe ponerse e n esta forma.

Paso 2 D ibújese y rotúlese u n d iag ram a para m o stra r las condiciones del teorem a.

Paso 3 Escríbase lo d a d o a p a rtir de la hipótesis (parte «si») d e la proposición si-entonces.

Paso 4 E scríbase la prueba a p a rtir de la conclusión (parte «entonces») d e la proposición.

Paso 5 Analícese lo que se va a p ro b a r e idéese u n plan.

Paso 6 Form úlese la p ru eb a d a n d o com o razones definiciones, postulados o teorem as ya probados.

Reflexiva

Simétrica

Congruencia entre ángulos

LA = LA

Si L A = Zfí, entonces L B s LA.

Si L A = Z f i , y Z B s Z C , entonces L A s í Z C.

Congruencia entre segmentos

ÂB ssÂ B

Si A B ss CD, _ _ entonces CD ss AB.

Si A B s= CD, y CD s ËF, entonces A B s= EF.

Transitiva

4.1

P a so s p a ra la p ru e b a d e u n te o re m a

E n r e a lid a d , e s ta t a b la re s u m e seis g e n e ra liz a c io n e s. U n a d e ellas se p r o p o n e y p r u e b a a c o n tin u a c ió n . O b s é rv e n s e lo s seis p a s o s p a r a la p r u e b a d e u n te o re m a . C u a n d o L A es c o n g r u e n te c o n L B y L B e s c o n g ru e n te c o n L C , ta m b ié n es v e r d a d e r o q u e L A e s c o n g r u e n te c o n L C . PR U EB A P aso 1 Si L A es congruente con L B y L B es congruente con L C , entonces L A z s congruente con L C . P aso 2 P aso 3 Dado:

¿ A s * LB. L B ss L C .

P aso 4 Pruébese: L A ^

LC.

P aso 5 Idéese un plan. Si se consideran los d ato s com o proposiciones sobre m edición de ángulos, entonces se puede u sar la propiedad tran sitiv a de los núm eros. Y p o r la definición de los ángulos congruentes se sabe que éstos tienen igual medida. P aso 6 Razones

Afirm aciones 1. ¿ A s L B .

1. D ado.

2. m L A = m L B .

2. D efinición de ángulos congruentes.

3. Z B s L C .

3. D ado.

4. m L B = m L C .

4. ¿P o r qué?

5. m L A — m L C .

5. P ro p ied ad transitiva de los núm eros.

6. ¿ A s L C .

6 . ¿P o r qué?

P o d r ía f o r m u la r s e u n a p r u e b a s im ila r p a r a la s o tr a s cin c o p ro p o s ic io n e s re s u m id a s e n la ta b la . C o m b in a n d o to d a s e sta s p ro p o s ic io n e s , se e sta b le c e e l te o r e m a sig u ie n te .

Teorema 4.1

L a s p ro p ie d a d e s reflexiva, sim étrica y tra n sitiv a so n aplicables a la c o n g ru en cia d e án g u lo s y segm entos.

131

132


L o s d o s te o r e m a s sig u ie n te s c o m p le m e n ta n la ilu s tr a c ió n d e l p ro c e s o d e seis p a s o s p a r a la p r u e b a d e u n te o re m a . T e o re m a : Si lo s p u n to s A , B, C y D e s tá n s o b r e u n a r e c ta de m a n e r a q u e B e s_ e l_ p u n to m e d io d e A C y C es el p u n t o m e d io d e B D , e n to n c e s A B s C D . PR U E B A P aso 1 El p rim er paso está contenido en la pro p o sició n del teorem a. P aso 2

A

B

C

D

P aso 3 D ado: B es el p u n to m edio de A C C es el p u n to m edio de BD. P aso 4 Pruébese: A B ^ CD. P aso 5 Idéese un plan. Se in te rp re ta rá cada u n a de las proposiciones de los d ato s com o una proposición so b re la congruencia de segm entos. Luego se u tilizará el hecho que la congruencia de segm entos satisface la p ro p ied ad transitiva. P aso 6 Afirm aciones

R azones

1. B es el p u n to m edio de AC.

1. D ado.

2. C es el p u n to m edio de BD.

2. ¿ P o r qué?

3. A B ^ B C .

3. Definición de p u n to medio.

4. B C

4. ¿P o r qué?

CD.

5. A B = s G D .

5. P ro p ied ad transitiva (Teorem a 4.1).

E n el p a s o 5, la r a z ó n e s u n te o r e m a y a d e m o s tr a d o . H a s ta a q u í, se u tiliz a ro n lo s p o s tu la d o s , d e fin ic io n e s y d a to s c o m o r a z o n e s e n las p ru e b a s . L a p r u e b a a n te r io r m u e s tr a q u e lo s te o re m a s y a p r o b a d o s ta m b ié n s o n u n a p a r te im p o r ta n te e n el p r o c e s o d e l r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o . C u a n d o se d is e ñ a u n p la n p a r a u n a p r u e b a , h a n d e re v is a rs e la s d e fin ic io n e s, p o s tu la d o s y te o r e m a s y a p r o b a d o s .

4.1

Teorema 4.2

P a so s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a

E n u n tr iá n g u lo isó sceles, e l s e g m e n to q u e v a d e l á n g u lo d el v é rtic e a l p u n to m e d io d e l la d o o p u e s to fo rm a u n p a r d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s .

L a p ro p o s ic ió n d e e s te te o re m a es c o m p le ja su fic ie n te c o m o p a r a ilu s tr a r la im p o r ta n c ia d e lo s p a s o s 1 y 2 d e e s te p ro c e s o d e seis p a so s. PR U EB A Paso 1 Si A A B C es u n trián g u lo isósceles con

A B s A C , y si D es el p u n to m edio de BC, entonces A A B D = A A C D . A

Paso 3 Dado: A B ^ A C

___ D es el p u n to m edio de BC.

Paso 4 Pruébese: A A BD = AACD . Paso 5 Idéese u n plan. Se u sará la inform ación p ro p o rcio n ad a, la definición de pun to m edio y la p ro p ied ad reflexiva de la congruencia de un segm ento ju n to con el p ostulado de la congruencia LLL. R azones

A firm aciones

1. A B s AC.

1. D ado.

2. D es el p u n to m edio de BC.

2. D ado.

3. B D s s CD.

3. D efinición de p u n to medio.

4. A D = í Á D .

4. P ro p ied ad reflexiva de la congruencia de un segm ento (T eorem a 4.1).

5. A A B D = A A C D .

5. P o stu lad o de la congruencia LLL.

133

134


EJERCICIOS______ A. En los ejercicios 1 a 3, se presenta un teorem a de la form a si-entonces. H ágase un d ibujo y establézcanse los d ato s y la p ru eb a u san d o el d ibujo y sus nom bres. N o se probará ningún teorema. 1. T eorem a. Si A A B C es u n triángulo isósceles, entonces A A B C tiene u n p a r de ángulos congruentes. 2. Teorem a. Si los p u n to s X , Y y Z son p u n to s m edios de los lados de u n trián g u lo A A B C , entonces los segm entos X Y , X Z e Y Z dividen A A B C en c u atro triángulos congruentes. 3. T eorem a. Si X e Y son los p u n to s m edios de dos lados de un triángulo, entonces X Y es igual a la m itad de la longitud del tercer lado. En los ejercicios 4 a 7, form úlese de nuevo el teorem a en la form a si-entonces, dibújese un d iagram a y establézcanse los dato s y la prueba. N o se intentará probar los teoremas. 4. U n trián g u lo equilátero es u n triángulo isósceles, 5. D os rectas intersecantes form an d os pares de ángulos congruentes.

6. D os rectas intersecantes que n o sean perpendiculares form an un p a r de ángulos obtusos. 7. L a bisectriz de un ángulo del vértice de un triángulo equilátero es u n a bisectriz p erpendicular de un lado. Indíquese la p ro p ied ad de la congruencia entre ángulos o segm entos (reflexiva, sim étrica o transitiva) ilustrada p o r cada una de las siguientes proposiciones.

8. Si dos segm entos son congruentes, la proposición de congruencia puede escribirse em pezando p o r cualquiera de los d os segmentos. 9. T odo segm ento es congruente consigo mismo. 10. Si un prim er ángulo es congruente con o tro y éste es congruente con un tercero, entonces el p rim er ángulo es congruente con el tercero. En los ejercicios l i a 14, em pléense los d ato s y la p ru eb a para hacer un dibujo. Luego form úlese un teorem a general. N o se probará ninguno de estos teoremas. 11. D ado:

AA B C _es u n trián g u lo isósceles con A B ^ A C . Pruébese: A B ^ A C .

12. D ado: A A B C con A B ^ A C . Pruébese: A A B C es un triángulo isósceles.

4.1

P a so s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a

135

13. D ado: A A B C es un trián g u lo equilátero. Pruébese: L A ^ í L B £ C.

14. D ado: A-4BC con L A ^ L B ^ L C . Pruébese: A A B C es un triángulo equilátero.

15. S i Al S ¿ 2 , y A 2 ^ ¿ 3 , ¿p o r qué ¿ls¿3?

16. S i _ A B ^ J C y B C s CD, ¿por qué ^ 5 s CD?

17. Si /4B = BC y BC = -4C, ¿por qué se sabe que A-4BC es equilátero?

18. Si A B ^ ED y ED == B C , ¿po£_gué se sabe que B es el p u n to m edio de A C 1

19. E n un p en tág o n o regular, dos diagonales del m ism o vértice s o n ___ congruentes. P o r ejem plo, A C £ A D en la prim era tigura. Em pléese este hecho con u n a p ro p ied ad transitiva para explicar p o r qué A C y B E son congruentes en la segunda figura.

136

P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s

20. U n plom ero está m idiendo la longitud de A B p a ra c o rta r un tro zo de tu b o de la longitud correcta. El tu b o co rtad o se llam a CD. ¿C óm o d em uestra la p ro p ied ad transitiva que el tu b o CD se ■ a ju stará al espacio AB'} (Sugerencia: la m edida es u n a p a rte im p o rta n te del razonam iento.)

F orm úlese u n a p ru eb a com pleta a dos colum nas p a ra los ejercicios 21 y 22. C ad a p ru eb a requiere el uso de alg u n a de las propiedades de congruencia entre segm entos o ángulos especificadas en el teorem a 4.1.

D ado: B E s C E Zl ^¿ 2 B es el p u n to medio de C es el p u n to m edio de. Pruébese: A A B E s A DCE.

O c¡ ^ O)

D ado: Z 1 == Z 2 Z 3 a Z4. Pruébese: A A B D = A CDB.

ACTIVIDADES1 E sta s « ilu sio n es ó p ticas» m u e stra n p o r q u é e s m ás fiable el ra z o n a m ie n to lógico q u e la inform ación visual. R e s p ó n d a s e a la s p re g u n ta s y d e s p u é s c o m p ru é b e se m idiendo.

a. ¿Q ué d ista n c ia e s m á s la rg a , A a B o C a D?

b . Si s e p ro lo n g a la recta k, ¿ lle g a rá al punto A, al S , al C o a ninguno d e ello s?

C ré e s e u n a ilusión óptica propia.

■8 D c. ¿Q ué se g m e n to tie n e __ m ay or longitud, AB o C D ?

4.1

P asos p a ra la p ru e b a de u n te o re m a

24.

23.

Dado: O B biseca a L A O C O t biseca a LBOD. Pruébese: L A O B s L C O D .

D ado: O es el p u n to m edio de B C A A O B es isósceles con O A s OB. Pruébese: A A O C es isósceles.

25. C

A

R

Dado: A A C E B es el C es el Pruébese: A A B E

C

D

s A DBF p u n to m edio de A C p u n to m edio de BD. s A DCF.

D ado: A B C E tiene A B = BC A B D F es isósceles con BF ^B D B~F biseca a L A B D y BD biseca a ¿ C B F . Pruébese: A A B F s ACBD.

27. Pruébese: que la congruencia de triángulos satisface la propiedad transitiva. 28. Pruébese: que to d o s los ángulos rectos son congruentes.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS

L as fig u ra s m u e stra n los c u a tro p rim e ro s n ú m e ro s h e x a g o n a le s. a . D en se los 2 n ú m e ro s h e x a g o n a le s s ig u ie n te s. M u é stre n se los p a tro n e s d e puntos. b . ¿P ro p o rc io n a la fórm u la n(2n — 1) el n -é sim o h ex ag o n al?

137

138


4.2

uso de la propiedad de suma y resta de iguales

L a s p ro p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s q u e se m u e s tr a n a la d e re c h a , s o n u n r e p a s o de á lg e b ra . E s ta s p r o p ie d a d e s se u s a n e n p r u e b a s q u e c o n tie n e n lo n g itu d e s d e s e g m e n to s y m e d id a s d e á n g u lo s . L o s d o s te o r e m a s q u e se p re s e n ta n e n e s ta se c c ió n ilu s tr a n el u so d e e s ta s p r o p ie d a d e s . E n p r u e b a s p o s te rio re s d e l lib ro , se u s a r á n a m e n u d o lo s te o re m a s , e n lu g a r de la s p r o p ie d a d e s d e lo s n ú m e ro s .

Teorema 4.3

REPASO:

A lgunas propiedades de los núm eros.

Sum a de iguales: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. Resta de iguales: Si a = b, c = d, y a > c, entonces a — c = b — d. M ultiplicación de iguales: Si a = b y c = d, entonces a- c — b d. Principio de la sustitución: Si a = b, entonces a puede sustituirse p o r b en cualquier ecuación o desigualdad.

S u m a d e á n g u lo s ig u ales. Si m L A P B = m L D Q E , m L B P C = m L E Q F , Y É e s tá e n tr e P Á y P C y Q É e s tá e n tre Q Ú y Q p , e n to n c e s m L A P C = m L D Q F .

PR U E B A D ado: P ru é b e se :

mLAPB - mLDQE m L B P C = m Z EOF. m ¿APC = d q F

Afirm aciones

R azones

1. m L A P B = m Z DQF.

1. D ado.

2. m Z B P C = m Z EQF.

2. D ado.

3. m L A P B + m L B P C = = m ¿ D O E + m L EQF.

3. P ro p ied ad de la sum a de iguales.

4. m L A P B + m L B P C = m L A P C .

4. D efinición de «entre» p a ra rayos.

5. m L D O E + m L E Q F = m L DQF.

5. ¿P or qué?

6. m L A P C = m L D Q F .

6. Principio de la sustitución.

4.2


P o r lo g e n e ra l, la in fo rm a c ió n s o b r e q u é r a y o s e s tá n e n tre o tr o s , n o se p re s e n ta e n lo s d a to s ; p u e d e to m a r s e d e la s fig u ra s. E s to m is m o ta m b ié n es v e rd a d p a r a lo s p u n to s , c o m o ilu s tr a el s ig u ie n te te o re m a .

Teorema 4.4

R e s ta d e se g m e n to s ig u ales. S i A C = D F , B C = E F , B e s tá e n tr e A y C , y E e s tá e n tr e D y F, e n to n c e s A B = D E.

Dado: A C = D F BC = EF. Pruébese: A B = DE.

*_________________ £__________ £ í-

Razones_______________

Afirm aciones

1. A C = DF.

1. D ado.

2. B C = EF.

2. D ado.

3. A C = A B + BC.

3. D efinición de «entre» para puntos.

4. D F = D E + EF.

4. ¿ P o r qué?

5. A B + B C = D E + EF.


6. A B + B C - B C =

6. P ro p iedad de resta de iguales.

= D E + E F — EF. 7. A B + B C - B C = A B .

7. P ropiedades de álgebra.

8 . D E + E F - E F = DE.

8. ¿P or qué?

9. A B - DE.

9. Principio de la sustitución,

L o s d o s te o re m a s sig u ie n te s se

n sin d e m o s tra c ió n .

Teorema 4.5

Teorema 4.6

S u m a d e se g m e n to s ¡g u ales. Si A B = D E , B C = E F . B e stá e n tr e A y C . y E e s tá e n tr e D y F , e n to n c e s A C = D F. R e s ta d e á n g u lo s ¡guales. Si m A A P C = m L D Q F , m L B P C = m L E Q F , P É e s tá e n tr e P l y P C , y Q E e stá e n tr e Q Ú y Q ? , e n to n c e s m L A P B — m L D Q E .

139

140


EJERCICIOS____________________ A. Indíquese si las conclusiones de los ejercicios 1 a 6 están justificadas p o r la p ro p ied ad transitiva de la igualdad, el teorem a de la sum a de ángulos iguales o el teorem a de la resta de ángulos iguales. 1. S i w Z l = m L 2, y m Z 2 = w Z 3 , entonces m L 1 = « Z 3. 2. Si w Z C O D — m Z EOF, entonces m L C O E = mLDOF. 3. Si m L B O D = m L C O E , entonces m L B O C = mLDOE. 4. Si m L A O C = m L D O F y m Z l = n iZ 3, entonces m L B O C - mLDOE. 5. Si m L A O C = m L B O D y m L B O D = m L D O E , entonces m L A O C = m ¿DOE.

6 . Si m L A O D — m L F O C y m Z B O D — m A E O C , entonces m ¿ A O B = m¿FOE. E n los ejercicios 7 a 10, form úlese u n a p ropiedad, u n teorem a o una com binación de am bos que justifique las proposiciones dadas. 7. Si BD = CE, entonces B C = DE.

8. Si A C = DF, entonces AD = CF. 9. Si B E = DF, y D F = A C , entonces C E = AB.

A

B

C

D

10. Si A B = E F y B C = DE, entonces AD = CF.

F.

(Ejercicios 7-10)

En los ejercicios 11 a 14, p ro porciónense to d as las razones que faltan en las dem ostraciones. 11. D ado: A B = CD. Pruébese: A C = B D .

R azones

Afirmaciones D

1. A B = CD.

1. D ado.

12. D ado: m L A O C = m¿BOD. Pruébese: m / _ A O B = m Z COD.

2. B C = B C .

2. ?

3. A C = BD.

3. ?

A

B

C

F

Afirm aciones

Razones

1. m L A O C = m ¿ B O D .

1. D ado.

2. m L B O C = m L B O C .

2.

3. m L A O B = m L COD.

3. ?

?

4.2


D ado:

A B = CD B D = DE. Pruébese: A C = DE.

A

B

C

Razones

Afirmaciones

D

E

i. A B = CD.

1. D ado.

2. B D = DE.

2 . D ado.

3. B C = B C .

3. ?

4. A C = BD.

4.

5. A C = DE.

5. f

5

Razones

Afirmaciones D ado:

m ¿ A O D = m Z FOC m Z 3 — m Z 4. Pruébese: m Z l = m Z 2.

,

f

1. m L A O D = >n Z FOC.

1. }

2. m Z C O D — m Z COD.

2. ?

3. m L A O C = m l F O D .

3. ?

4. m Z 3 = w-Z4.

4. ?

5. m Z 2 = m Z 1.

5. p

O

B. 15. C onsidérese el d iagram a que aparece abajo. a. ¿C uál es la distancia en tre el centro de la biela y la cabeza del pistón? b. ¿Cuál es la longitud del pistón?

pistón

biela

c. ¿Q ué teorem as o postu lad o s apoyan sus respuestas? 16. En u n a librería se quieren m o n tar soportes de estantes. Si se colocan de m an era que A B = DE y B C = EF, ¿qué teorem a se u sará p a ra llegar a la conclusión de que el prim ero y tercer estantes están a la m ism a distancia de am bos extrem os?

s / /

17. D os focos p a ra exterior idénticos se colocan den tro de una caja. D ebajo de las cajas se colocan d os cu ñas idénticas. ¿Q ué teorem a asegura que los dos haces de luz form arán el m ism o ángulo con el suelo?

k \\\

dirección de la luz

T \

141

142


E n los ejercicios 18 a 27, form úlese u n a d em ostración com pleta a dos colum nas. 18. Dado:

A B = CD Z l s Z 2 Z 3 s s Z4 . Pruébese: A A C F A D EE. E , ----------------

19. D ado

20. Dado:

21. Dado:

A BFC=s A D G C A ABC=s AEDC. Pruébese: A A F C ss A E G C .

22. Dado:

B es el p u n to m edio de À F E es el p u n to m edio de BC E es el p u n to m edio de DF A B s CD. Pruébese: A B EF s A CED.

A E séDE Z ls Z 2 Z _3sZ _4. Pruébese: A C =s BZ). E

B es el p u n to m edio de /4C Z I ss Z 2 Z_3sZ4 GB. Pruébese: F£> s s GB. F

F

C

ACTIVIDADES Un co n ju n to d e p u n to s q u e s a tis fa c e u n a s o la condición d a d a s e llam a lugar g eo m é tric o , lo cu s. El lo cu s d e p u n to s e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s d e u n a recta d e se g m e n to e s la b isectriz p e rp e n d ic u la r del se g m en to . S e p u e d e d e m o s tra r q u e e s to e s cie rto o b s e rv a n d o la figura tr a z a d a por un «punto móvil». C o n strú y a se un ju e g o e s p e c ia l d e 20 ta rje ta s (8 cm x 13 cm), ú n a n s e con un clip y r e c ó r r a n s e con un d e d o p a ra v e r el «punto móvil». P a ra v er la bisectriz p e rp e n d ic u la r p u e d e u s a r s e un ju e g o d e ta rje ta s com o el q u e s e m u e stra a continuación.

+

4.2


143

23. Dado:

C es el p u n to m edio de AD ¿ l s Z 2 Z 3 = ¿4. Pruébese: A E C G s í A BCF.

24. D ado: A AEC s í ADFB. Pruébese: A A B F s í A D C E .

25. Dado: A A E C síA D F B . Pruébese: A A B E s A D C F .

26. Dado:

A B C D E es u n p entágono regular 27. Dado: A B C D E es un p entágono regular FE GE. Pruébese: A A B F s í A DCG. Pruébese: A F G E es isósceles. B

D

SOLUCION D E PROBLEMAS. C o lo q ú e n s e e s to s n u e v e triá n g u lo s p a ra fo r m a r u n o s o lo , d e m a n e ra que lo s v é rtic e s qu e se to q u e n te n g a n el m is m o s ím b o lo .

144


4.3 Prueba de teoremas: uso de suplementos y com plem entos C o n fre c u e n cia , e n el m u n d o físico, lo s á n g u lo s se p r e s e n ta n en p a re ja s c u y a s u m a d e m e d id a s es d e 180° o 90°. E s te tip o d e p a re ja s se e s tu d ia n e n e s ta secció n .

L a s u m a d e la s m e d id a s d e ¿ A B C y ¿ D E F es 90°.

F L a s u m a d e la s m e d id a s d e L A B C y Z D E F es 180°.

Z A B C e s c o m p le m e n ta rio d e ¿DEF. ¿ D E F es c o m p le m e n ta rio d e ¿ABC.

Z A B C es s u p le m e n ta r io d e ¿DEF. ¿ D E F e s s u p le m e n ta rio de z ABC.

Definición 4.1 Angulos com plem entarios son dos ángulos cuyas m edidas sum an 90°.

Definición 4.2 Angulos suplem entarios son dos ángulos cuyas m edidas sum an 180°.

A lg u n o s p a re s d e á n g u lo s q u e s u m a n 180° tie n e n u n v é rtic e c o m ú n , u n la d o c o m ú n y n in g ú n p u n to in te r io r c o m ú n , y se d e n o m in a n p a r lineal. B ú s q u e s e u n p a r lin e a l d e á n g u lo s e n la fo to g ra fía .

Definición 4.3 ¿ A O B y ¿ B O C tie n e n u n la d o c o m ú n , OÍ!. L a u n ió n d e lo s o tr o s d o s la d o s, O l y O d , es u n a re c ta .

¿ A O B y ¿ B O C so n un p a r lin e a l d e á n g u lo s.

U n par lineal de ángulos es un p a r de ángulos con un lado com ún tal que la unión de los o tro s dos lados es u n a recta.

4.3


145

L a e s tru c tu ra q u e sostiene el te ja d o de u n a casa c o n frecuencia se e n sa m b la p o r se p a ra d o . E sta e s tru c tu ra se llam a sistem a de tijerillas de tejad o s. U n a d e las ta re a s de u n in g en iero es id en tificar to d o s lo s ángulos d e la m ism a m e d id a en este sistem a de tijerillas, p a r a p o d e r c o rta r al m ism o tiem p o to d a s las e stru c tu ra s con án g u lo s co n gruentes.

El te o re m a q u e se p re sen ta en e sta sección p ro p o rc io n a inform ación útil p a r a d e te rm in a r el ta m a ñ o de los ángulos. E m pléese u n tr a n s p o r ta d o r p a r a re sp o n d e r a las p re g u n ta s so b re los co m p lem en to s.

¿Es L A co m p lem en tario d e L O

¿Es L P co m p lem en tario de LRP.

¿Es L B co m p lem en tario de L O .

¿Es L Q co m p lem en tario d e Z.S?

¿Q u é co m p a ra c ió n existe e n tre m L A y m L B l

¿Q u é c o m p a ra c ió n existe e n tre m L P y m L Q l

Se p o d ía h a b e r d ich o q u e L A y L B son co n g ru en tes, y q u e L P y L Q son co n g ru en tes. El te o re m a 4.7 resu m e las d o s situ acio n es analizadas.

Teorema 4.7

D o s ángulos q u e son c o m p lem en tario s del m ism o á n g u lo (o de án g u lo s congruentes), son congruentes.

T e o re m a d e los c o m p le m e n to s c o n g ru e n te s.

146


Se p ro b a rá la p rim e ra p a r te del te o re m a de co m p lem en to s co n g ru en tes. L a se g u n d a p a rte , se c o m p le ta rá co m o ejercicio.

PRUEBA D a d o : L A es co m p lem en tario de L C L B es co m p lem en tario d e LC. P ru é b e s e :¿ A s LB. A

Afirm aciones

Razones

1. L A es com plem entario de L C .

1. D ado.

2. m L A + m L C = 90.

2. D efinición de ángulos com plem entarios.

3. L B es com plem entario de L C.

3. ¿ P o r qué?

4. m L B + m L C = 90.

4. ¿ P o r qué?

5. m L A + m L C = m L B + m L C .


6. m L A = m L B .

6. P ro p ied ad de la resta de iguales.

7. L A =s L B .

7. D efinición de ángulos congruentes.

APLICACION E n u n triá n g u lo c o n u n á n g u lo de 90°, la su m a de los o tro s d o s án g u lo s tam b ién es 90°. E n co nsecuencia, en este sistem a de tijerillas de tejad o , L 2 y ¿ 3 son co m p lem en to s d e L 1. P o r el te o re m a 4.7, p u ed e co n cluirse q u e L 2 y L 3 tienen la m ism a m edida.

Teorema 4.8

T e o re m a d e lo s s u p le m e n to s c o n g ru e n tes. D o s á n g u lo s q u e s o n s u p le m e n ta r io s d e l m is m o á n g u lo (o d e á n g u lo s c o n g ru e n te s ), s o n c o n g ru e n te s.

P are c e ra z o n a b le q u e d o s án g u lo s que fo rm a n u n p a r lineal d e b a n ser su p lem en tario s. E ste h echo se ac ep ta co m o

Postulado del par lineal

v e rd ad y se d e n o m in a « p o stu la d o del p a r lineal».

Si dos ángulos form an un par ángulos son suplementarios.

lineal, los

4.3


E s tu d íe s e c a d a p a s o d e la s p r u e b a s sig u ie n te s y fo rm ú le n s e las ra z o n e s o m itid a s .

E

Ejemplo 1 D ado: ¿ A ^

¿D

¿ A ££ Z 2 A B =? C D . P ru é b e se : B E = C E .

D Razones

Afirm aciones 1. ¿ A s ¿ D .

1. D ado.

2. A B s C D .

2. ¿P or qué?

3. Z l s Z 2 .

3. ¿ P o r qué?

4. ¿ 1 y Z 3 son suplem entarios.

4. P o stu lad o del p a r lineal.

5. Z 2 y Z 4 son suplem entarios.

5. ¿ P o r qué?

6. Z 3 s Z 4 .

6 . T eorem a de los suplem entos congruentes.

7. A A B E s A D C E .

7. ¿ P o r qué?

8. B E s C E .

8. P C T C C .

Ejemplo 2 D a d o : ¿ F G H y L I H G s o n á n g u lo s re c to s Z l s Z 2 . P ru é b e se : a f f l G s A F G H .

H

Afirm aciones 1. ¿ F G H y L I H G son ángulos rectos.

1. D ado.

2. ¿ F G H s

2. T odos los ángulos rectos son congruentes.

LIH G .

3. m Z F G / í — m Z / / / G = 90.

3. ¿P or qué?

4. Z l s Z 2.

4. D ado.

5. Z 1 y Z /G H son com plem entarios.

5. D efinición de com plem entos.

6. Z 2 y ¿ F G H son com plem entarios.

6 . ¿ P o r qué?

7. ¿ I G H s

7. T eorem a de los com plem entos congruentes.

¿FHG.

8. G H - H G .

8 . P ro p ied ad reflexiva (segmentos).

9. A l H G s

9. ¿P or qué?

A FGH.

147

148


EJERCICIOS__________________ A. 1. Cítese u n suplem ento de L 1. 2. C ítese u n suplem ento de L CO B. 3. Cítese un com plem ento de LC O E .

4. Cítese un com plem ento de L 2 . 5. ¿ P o r qué L C O E y L D O E son congruentes?

6 . ¿ P o r qué L C O B y L A O D son congruentes?

A B .L OE L \ = L2

7. C ítense d os ángulos que sean suplem entos de LCOE.

(Ejercicios 1-6)

8 . C ítense dos ángulos que sean com plem entos de L 3. 9. C ítense dos ángulos que sean com plem entos de LHOF. 10. ¿ P o r qué L C O E y L B O G son congruentes? 11. ¿ P o r qué L A O H y L C O E so n congruentes? 12. ¿ P o r qué L A O G y L E O D son congruentes?

A B _L EF, CD ± HÒ

13. ¿ P o r qué L 3 y L A O C son congruentes?

A H 1 ÍÍG, ÉG ± HG

14. ¿P or qué L 3 y L A O D son suplem entos? í. 15. Si m L A = x , entonces el com plem ento de L A m ide JL.

16. Si m L B = x, entonces el suplem ento de L B m ide

JL

17. D os ángulos son suplem entarios. L a m edida de uno de ellos es c u atro veces la m edida del otro. E ncuéntrense las m edidas de los dos ángulos. 18. D os ángulos son suplem entarios. L a m edida de u n o es 20° m enos que tres veces la m edida del otro. E ncuéntrense las m edidas de los d os ángulos.

ACTIVIDADES*

^

—

—

—

■

E la b ó re s e un ju e g o d e 20 ta rje ta s c o m o la s q u e s e m u e s tra n a c o n tin u a c ió n , ú n a n s e c o n un c lip y re c ó rra n s e co n u n d e d o p a ra m o s tra r q u e e l lu g a r g e o m é tric o d e p u n to s e q u id is ta n te s d e los dos la d o s d e un á n g u lo e s la b is e c triz d e l á n g u lo .

4.5


149

Em pléense los teorem as 4.7 y 4.8 en los ejercicios 19 a 22. A D = _CD BDLAC Z ls ¿ 2 . Pruébese: A A B D =s A CBD.

19. Dado:

LBAX = LDAX ¿ B C Y j^ LDCY. Pruébese: B C = D C ■

20. Dado:

p¡

D 21. D ado:

A B C D es u n cuadrilátero con to d o s los lados de la m ism a longitud Z1 s Z 2 W, X , Y, Z son p u n to s m edios de los lados. Pruébese: A B W X =s A D ZY.

A C A .A B , B D L Á B Z_1 = Z 2 . Pruébese: A D =s BC.

22. Dado:

C. 23. Dado:

Z I s Z2 Z _3 s Z4 BE_^D E_ A B A. B C , A D L C D . B

24. Dado:

A B 1 0 E , O es el p u n to m edio de A B L A e* L B Z I =£ Z 2 . Pruébese: A A O D ss A B O C .

c

25. Pruébese: la segunda p a rte del teorem a 4.7.

D

B

O

26. Pruébese: el teorem a 4.8.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS________ ( K 2E 2

1 . Con u n a c a lc u la d o ra y el m étodo d e « co n jetu ra y

• aa □s a n □ ai a íj A

C

1

— k

íej lüb e

a la o s

T *

p ru eb a» , e n c u é n tre n s e d o s d e c im a le s «x» e «y» ta le s q u e x — y = 1 y x y = 1. AC 2. Si= - — , e s ta lín ea s e divide e n u n a p roporción AC CB' e sp e c ia l lla m a d a « secció n á u re a » . M u é s tre se q u e AB e s igual al n ú m e ro x del p rim e r p ro b lem a.

8

150


4.4

Prueba de teoremas: uso de ángulos verticales

E n e s ta s e c c ió n se e s tu d ia r á n p a r e s de á n g u lo s fo r m a d o s p o r u n p a r d e re c ta s q u e se in te rse c a n . E l m o lin o d e v ie n to d e la fo to g ra fía p r o p o r c io n a m u c h o s e je m p lo s d e á n g u lo s fo rm a d o s p o r re c ta s in te rs e c a n te s . A d e m á s d e v a r io s p a re s lin e a le s d e á n g u lo s , h a y v a rio s p a r e s d e á n g u lo s q u e se e n tre c ru z a n . L o s te o r e m a s d e e s ta se c c ió n t r a t a n d e la s re la c io n e s e n tr e lo s á n g u lo s f o r m a d o s p o r re c ta s in te rs e c a n te s .

Definición 4.4

. , , , B C y A D se in te rs e c a n e n O.

L A O B y L C O D son á n g u lo s v e rtic ale s.

Los ángulos verticales son dos ángulos form ados por dos rectas que se intersecan, pero que no son un p a r lineal de ángulos.

¿ E s p o s ib le c o n v e n c e r a a lg u ie n d e q u e e sta s c in c o p ro p o s ic io n e s s o b r e lo s á n g u lo s fo rm a d o s p o r la s re c ta s C y m so n v e rd a d e ra s ? 1. L l

y

L 2 s o n s u p le m e n ta rio s .

2. L l

y

L l s o n s u p le m e n ta rio s .

3. L l

y

L 3 s o n c o n g ru e n te s .

4. L l

y

L A s o n s u p le m e n ta rio s .

5. ¿ 2

y

L A s o n c o n g ru e n te s.

E s ta s c in c o p ro p o s ic io n e s c o n d u c e n a l s ig u ie n te te o re m a .

Teorema 4.9

T e o re m a de lo s á n g u lo s v e rtica les. Si d o s re c ta s se in te rse c a n , lo s á n g u lo s v e rtic a le s s o n c o n g ru e n te s.

4.4

P ru e b a d e te o re m a s : u so de á n g u lo s v e rtic a le s

PR U EB A P aso 1 E ste p aso se incluye en la proposición del teorem a. P aso 2

P aso 3 D ado:

D os pares de ángulos verticales, ¿1 y L 3 L2 y ¿4.

Paso 4 Pruébese: ¿ 1 s ¿ 3 , y ¿2s¿4. P aso 5

«Se p ro b a rá que L 1 =? L 3, utilizando el hecho de que L 1 y ¿ 2 form an un p a r lineal, y de que L 2 y L 3 form an un p a r lineal. E ntonces se usará el p o stu lad o del p a r lineal y el teorem a de los suplem entos congruentes. L a p ru eb a de que L 2 = L A será idéntica, p o r lo que no se repetirá.»

P aso 6

A firm aciones

R azones

1. L \ y L 3 son ángulos verticales.

1. D ado.

2. L 1 y L 2 form an un p a r lineal.

2. D efinición del p a r lineal.

3. L 1 es suplem entario de L 2.

3. P o stu lad o del p a r lineal.

4. ¿ 3 y L 2 form an un p a r lineal.

4. ¿ P o r qué?

5. L 3 es suplem entario de L 2 .

5. ¿ P o r qué?

6. L l & L 3 .

6 . T eorem a de los suplem entos congruentes.

E l sig u ie n te te o r e m a ta m b ié n se refiere a lo s p a re s lin e ales d e á n g u lo s.

Teorema 4.10

Si u n á n g u lo d e u n p a r lin e a l es u n á n g u lo re c to , e n to n c e s el o t r o ta m b ié n es u n á n g u lo recto .

151

152


EJERCICIOS__________________ A. 1. C ítense dos pares de ángulos rectos que sean ángulos verticales. 2. Cítese un p a r de ángulos agudos que sean ángulos verticales. 3. Cítese u n par de ángulos obtusos que sean ángulos verticales. 4. Cítense seis pares de ángulos congruentes. Si m Z 2 = 35, encuéntrense las m edidas de los ángulos de los ejercicios 5 a 8. 5. m Z 3 = JL.

6 . m Z 1 = JL.

7. m Z 4 = _2_.

8. t w Z 1 + w Z 4 = _2_.

(Ejercicios 5-8)

C on la inform ación de los ejercicios 9 a 11, encuéntrense las m edidas de los ángulos. 9. m A R V O = 4x m ¿ S V T = 2x + 20 m Z R V Q = JL.

10. m Z Q V T = 5 x m ¿ R V S = 8x - 45 m ¿ R V S = _L.

11. m ¿ R V Q = 2x + 30 m Z S V T = 3 x + 20 m Z S V T = JL.

(Ejercicios 9-11)

B. P a ra los ejercicios siguientes, form úlense dem ostraciones a dos colum nas. C on frecuencia p o d rá utilizarse el teorem a 4.9.

__

__

Q

12. Dado:

AB y CD se intersecan en O A O ssO B ¿ A 88 ¿ B . Pruébese: A A O C s ; A B O D .

ACTIVIDADES M á rq u e n se d o s p u n to s A y B en un p a p e l y c o lo q ú e s e en cim a o tra h o ja d e p ap el, co m o s e m u e s tra e n la figura, d e m a n e ra q u e un lad o d e la h o ja e s té s o b r e A, y el o tro, s o b re B. M á rq u e se un p unto rojo P ,. R e p íta se e s to con el p apel en otra posició n y m á rq u e s e P3. P ro s íg a s e h a s ta m a rc a r 20 puntos d ife re n te s. ¿C uál e s el lu g a r g e o m é tric o d e los p u n to s P ,, P3, p 3’ p s' p 6. e tc é te ra ?

4.4

P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s v e rtic a le s

13. D ado:

AB^ y CD se m tersecan en O A B biseca a CD LC ^LD . Pruébese: A A O C s A BOD.

14. D ado:

A B y CD se intersecan en sus p u n to s medios. Pruébese: A C = BD.

15. Dado:

A B ss DE B E ^C E . Pruébese: A B ss CD.

(Ejercicios 13, 14) B

16. D ado:

biseca a L A B D L \ s ¿ 2. Pruébese: A A B C s í A DBC.

17. D ado:

18. Pruébese: Si dos ángulos de un par lineal son congruentes, entonces son ángulos rectos.

19. Pruébese: Si un ángulo es congruente con su suplem ento, entonces el ángulo es un ángulo recto.

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS S u p ó n g a s e u n a ta b la c o n la m ism a form a q u e s e m u e s tra e n la figura. S e d e s e a c o rta rla en tr e s p a r te s q u e p u e d a n c o lo c a rs e p a r a fo rm ar un c u a d ra d o . ¿C óm o p u e d e h a c e r s e e s to con d o s c o rte s ? (S u g e r e n c ia : e m p lé e s e el punto m ed io M d e BC.)

A E zs DE B E a CE. Pruébese: A A B C s A D C B .

153

154


4.5

Prueba de teoremas; uso de ángulos exteriores

REPASO: A lgunas propiedades de la desigualdad de núm eros reales Definición de «m ayor que»: a > b significa que fl = 6 + c y c es un núm ero positivo. Propiedad transitiva: Si a > b y b > c, entonces a > c.

Propiedad aditiva: Si a > b, entonces a + c > b + c. Propiedad de multiplicación: Si a > b y c > 0, ac > be. Si a > b y c < 0, ac < be. Propiedad de tricotom ía: P a ra los núm eros reales a y b, una, y sólo una, de las siguientes relaciones es verdadera: a = b, a > b, o a < b.

L a s p ro p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s q u e se a c a b a n d e d e fin ir, se u s a r á n p a r a p r o b a r el te o r e m a d e e s ta secció n . P rim e ro , se n e c e s ita n d o s d efin icio n es.

Definición 4.5

Angulo exterior

Angulos interiores no contiguos

El ángulo exterior de un trián g u lo es el ángulo que form a u n p a r lineal con un o de los ángulos del triángulo.

Definición 4.6 Los ángulos interiores no contiguos con respecto a un ángulo exterior son los dos ángulos que n o son adyacentes al ángulo exterior.

O b s é rv e s e q u e c a d a triá n g u lo tie n e seis á n g u lo s e x te rio re s, c o m o se ilu s tr a e n la fig u ra. v T rá c e s e e l á n g u lo e x te r io r 1 y c o m p á r e s e c o n lo s á n g u lo s in te rio re s n o c o n tig u o s d e lo s tr iá n g u lo s sig u ien tes.

TeOreirtS 4.11

T e o re m a d e l á n g u lo e x te r io r. L a m e d id a d e u n á n g u lo e x te r io r d e u n tr iá n g u lo es m a y o r q u e la m e d id a d e c u a lq u ie r a d e lo s á n g u lo s in te rio r e s n o c o n tig u o s.

4.5

P ru e b a d e te o re m a s ; u so d e á n g u lo s e x te rio re s

PR U E B A D a d o -A /IB C c o n á n g u lo e x te rio r, L 1. Pruébese»?*L 1 > m L 2 . P la n : E n e s ta e t a p a d e l e s tu d io d e la g e o m e tría , n o se e s p e ra q u e el e s tu d ia n te p la n e e u n a p r u e b a d e este tip o . Razones

A firm aciones 1. L l es u n ángulo exterior de A A B C .

1. D ado.

2. Sea M el p u n to m edio de A C .

2. Elección de M.

3. Sobre BÍví, elíjase u n p u n to D tal que B M = M D .

3. P o stu lad o del p u n to y la recta, elección de D.

4. Á M = M C .

4. D efinición del p u n to medio.

5. L B M A = L D M C .

5. ¿ P o r qué?

6. A A M B = A CMD.

6. ¿ P o r qué?

7. L M C D = = L 2 .

7. P C T C C .

8. m L M C D = m L 2 .

8 . D efinición de la congruencia de ángulos.

9. m L M C D + m L D C E = m L 3 .

9. D efinición de «entre» p a ra los rayos

10. m L 2 + r n L D E C = m L 3 .

10. Sustitución.

11. w Z 3 > m L 2 .

11. D efinición de «m ayor que».

12. m L 1 = m L 3.

12. ¿P or qué?

13. m L 1 > w Z 2 .

13. Sustitución.

A PLICA CIO N D o s o b s e rv a d o re s , e n lo s p u n to s P¡ y P 2, v e n p a s a r u n v e le ro . L o s á n g u lo s q u e se p r o d u c e n e n tr e s u v is ta y la o r illa d e l m a r ( L l , L 2 ) e s tá n e n c o n s ta n te c a m b io . m L 1 p a re c e m a y o r q u e m L 2 e n a m b a s p o sic io n e s d e l v e le ro . ¿ S e rá m L 1 sie m p re m a y o r q u e m L 2 , m ie n tr a s el v e le ro se a le ja p o r la lín e a d e la c o sta ? R e sp u e s ta . P o r el te o re m a d e l á n g u lo e x te r io r se s a b e q u e m L Í > m L 2 , c o n in d e p e n d e n c ia d e la s itu a c ió n d el b a rc o . P o r lo q u e , el á n g u lo q u e f o r m a n la s lín e a s v isu ale s d e lo s o b s e r v a d o r e s c o n la o rilla , s e r á s ie m p re m a y o r p a r a el o b s e rv a d o r d e l p u n to P v

156


EJERCICIOS____________________ A. 1. C ítense los ángulos exteriores. ¿C uántos ángulos exteriores en to ta l tiene un triángulo? 2. C ítense los ángulos interiores no contiguos de LDAC. 3. C ítense los ángulos interiores n o contiguos de LHAB. 4. L A B C es el ángulo in terio r n o contiguo de los ángulos exteriores y _L. 5. ¿Es L D A H un áng u lo exterior? ¿P or qué?

6. ¿C uál es la relación entre

L IC B y LCBA1

7. ¿C uál es la relación en tre

¿ A C B y LFCP.

8 . ¿C uál es la relación entre L A B G y L A B C ?

B. Expliqúese p o r qué son verdaderas las proposiciones de los ejercicios 9 a 12. 9. m Z l > * Z 2 .

10. « Z 3 > m Z l .

11. m Z 3 > m Z 4 ,

12. m ¿ 3 > m Z 2 .

13. U sese la figura p a ra p ro b a r que m /-A B D > m LE D F .

ACTIVIDADES

D ibújese y re c ó rte s e un triá n g u lo e q u ilá te ro com o el d e la fi gura y d is p ó n g a n s e las p ie z a s p a ra fo rm ar un c u a d ra d o .

(Ejercicios 9-12)

4.5

P ru e b a d e te o re m a s ; u s o d e á n g u lo s e x te rio re s

157

14. Usese la figura p ara p ro b a r que m L 1 > m L 6. 15. D ado:

c.

A A B C es un trián g u lo con un ángulo recto L B . Pruébese: L R C B es un ángulo obtuso.

C o n el teorem a del ángulo exterior, pruébense los teorem as de los ejercicios 16 y 17. 16. U n trián g u lo con un ángulo recto tiene dos ángulos agudos. 17. Si un trián g u lo tiene un ángulo o btuso, entonces los otros dos ángulos son agudos. 18. Al principio de la sección 4.5 se p ro p o rcio n a u n a prueba de que m Z l > m L 2 . Empléese u n m étodo sim ilar para p ro b a r que m L 1 > m L 3. (Sugerencia: empléese el punto m edio de B C .) 19. Pruébese que u n trián g u lo n o puede tener un ángulo recto y u n o obtuso.

SO LUCIO N D E PROBLEMAS. A lg u n a s v e c e s se u sa n lin e a s a u x ilia re s p a ra a y u d a r a la s o lu c ió n d e un p ro b le m a . P e ro h a y q u e te n e r la s e g u rid a d d e qu e las lín e a s e m p le a d a s e x is te n . C o n s id é re s e la s ig u ie n te p ru e b a . « T e o re m a » : T o d o triá n g u lo e s is ó s c e le s .

Dado: A A B C . Pruébese: A A B C e s is ó s c e le s . A firm a c io n e s

R a zo n es

1. T rá c e s e u n a re c ta a tra v é s de A y D, el p u n to m e d io d e B C . q u e s e a p e rp e n d ic u la r a B C .

1. C o n s tru c c ió n d e AD.

2. AD 5= AD.

2. P ro p ie d a d re fle x iv a d e la c o n g ru e n c ia .

3. B D s D C .

3. D e fin ic ió n d e p u n to m e d io .

4. Z ADB = Z A D C .

4. D e fin ic ió n d e la s p e rp e n d ic u la re s .

5. A ADB s

5. P o s tu la d o LAL.

6.

AADC.

Á B = ÁC.

7. A A B C e s is ó s c e le s .

6. P a rte s c o rre s p o n d ie n te s . 7. D e fin ic ió n d e is ó s c e le s .

E x p liq ú e s e c u á l e s e l e r r o r d e la p ru e b a . D ib ú je s e u n c o n tra e je m p lo p a ra m o s tra r q u e la a firm a c ió n 1 d e s c rib e u n a re c ta q u e n o s ie m p re e x is te .

(Ejercicio 18)

158


4.6 uso de la prueba indirecta

l

auép

El m é to d o d e la p ru e b a d irec ta u sad o h a s ta este m o m en to , im plica em p ezar con las co n d icio n es d a d a s y c o n la d ed ucción de q u e la co n clu sió n es v erd ad era. L a p ru e b a in d ire c ta se ilu stra con lo que p o d ría su ced er en esta c a ric a tu ra — si B.C. co o p erase— . S u p ó n g ase q u e B.C. com e la fru ta p e ro n o m uere. U n a p ru e b a in d irecta de q u e la fru ta n o es v en en o sa p o d ría ser la siguiente: S u p ó n g ase q u e la fru ta es venenosa. Si B.C. la com e, m o rirá. B.C. la com ió, p e ro n o m urió. P o r ta n to , la fru ta n o es venenosa. E ste m é to d o de p ru e b a im plica a c e p ta r la n eg ació n d e lo q u e se q u iere p ro b a r. P o r m e d io d el ra z o n a m ie n to , se d em u estra q u e e sta ac ep tació n co n d u c e a una co n trad icció n . Así, la p ro p o sició n q u e se v a a p ro b a r d eb e ser v erdadera.

l e PONDREMOS T U N O M B R E ^ A u n c e m G N T S R io .

J

—

—

B .C . b y p crm issio n o f Jo h n n y H a n an d F ie ld E n terp rises, Inc.

A c o n tin u a c ió n se resum en lo s p aso s p a r a la p ru e b a in d irecta.

P a s o s p a r a p ro b a r u n te o re m a m e d ia n te la p ru e b a in d ire c ta Paso 1 F orm úlense los d ato s y la p ru eb a a p a rtir de la hipótesis y la conclusión de u n a posición si-entonces. Paso 2 Supóngase la negación de la proposición co ntenida en la prueba. (Suposición de la prueba indirecta.)

P aso 3 F orm úlense los pasos de la prueba p a ra m o strar que la suposición lleva a la contradicción de un hecho conocido (teorem a, definición, inform ación p ro porcionada, etc.). P aso 4 C onclúyase que la suposición es falsa y que la proposición de la P R U E B A es verdadera.

4.6


Se ilu s tr a la p r u e b a in d ir e c ta p r o b a n d o d o s te o re m a s. T e o re m a :S i d o s r e c ta s se in te rs e c a n , la in te rs e c c ió n es u n p u n to . D a d o :L a s r e c ta s t y m se in te rs e c a n e n el p u n to P . P ru é b e s e :? e s el ú n ic o p u n t o d e in te rse c c ió n .

P aso 1

A nálisis: El p a s o 2 d e u n a p r u e b a in d ir e c ta e s s u p o n e r la n e g a c ió n d e la p r o p o s ic ió n d e la p r u e b a . L a n e g a c ió n d e « P es el ú n ic o p u n to d e in te rs e c c ió n » es « P no es el p u n to d e in te rse c c ió n » . E s to sig n ific a q u e h a y u n s e g u n d o p u n to d e in te rse c c ió n . E n to n c e s , se m u e s tr a q u e te n e r e s to s d o s p u n to s c o n d u c e a u n a c o n tr a d ic c ió n d e l p o s tu la d o . R azones

A firm aciones Paso 2

P aso 3

Paso 4

1. Supóngase que P no es el único p u n to de intersección de las rectas £ y m.

1. Suposición de la prueba indirecta.

2. Sea Q el segundo p u n to de intersección.

2. R eplanteam iento de 1.

3. £ contiene a P y a Q. m contiene a P y a Q.

3. A firm aciones 1 y 2.

4. P y Q están en dos rectas (contradicción del p o stu lad o del p u n to y la recta).


5. P o r tan to , P es el único pun to de intersección de t y m.

5. Lógica de la prueba indirecta. C /

Si d o s r e c ta s s o n p e rp e n d ic u la re s a la m ism a r e c ta , la s d o s re c ta s s o n p a ra le la s . D ado: k P ru é b e se : k

m , l _L m. L

Paso 1 IJ

A firm aciones P aso 2

P a so 3

P aso 4

s

1. Supóngase que /cjf¿ (k no es p aralela a i ) . 2. k y £ se intersecan en el p u n to C.

A ‘i

Razones 1. Suposición de la prueba indirecta. 2. R eplanteam iento de 1.

3. Se form a A A B C 4. m A D A C > m L A B C .

3. D efinición de triángulo.

5. k 1 m, £ 1 m . 6. L D A C y L A B C son ángulos rectos.

5. D ado. 6 . D efinición de las perpendiculares.

7. m A D A C = m L A B C (contradicción de m L D A C > m L A B C ) .

7. T o d o s los ángulos rectos tienen la m ism a m edida.

8. P o r tan to , k || £.

8. Lógica de la p ru eb a indirecta.

4. T eorem a del ángulo externo.

B

159

160

EJERCICIOS A. P a ra las proposiciones de p ru eb a de los ejercicios 1 a 10, form úlese la suposición de la p ru e b a indirecta que se usaría p a ra iniciar la p ru eb a, ju n to con la segunda proposición que interp reta la suposición de la p ru eb a indirecta. Ejem plo: Pruébese: l || m. Suposición de la p ru eb a indirecta: iJfrm. Segunda proposición: E ntonces, £ interseca a m. 1. Pruébese: £ 1 m. 2. Pruébese: L A es suplem entario de L B . 3. Pruébese: Los lados adyacentes n o son paralelos. 4. Pruébese: L A n o es un ángulo recto. 5. Pruébese: A B = CD. 6. Pruébese: L A y L B n o son ángulos verticales. 7. Pruébese: L A es u n ángulo agudo.

8. Pruébese: Sólo hay u n a recta a través de P y paralela a m. 9. Pruébese: A A B C es u n trián g u lo isósceles. 10. Pruébese: A A B C n o es un trián g u lo equilátero. ¿Q ué pares de proposiciones de los ejercicios 11 a 16 perm itirán llegar a u n a contradicción en u n a p ru eb a indirecta? Ejem plos: A B es m ás larg o que CD, y CD es m ás larg o que A B .

form a u n a contradicción

n o fo rm a u n a contradicción 11. L as rectas p y q son paralelas y las rectas p y q no se intersecan. 12. L A s L B y m L A > m L B . 13. £ 1 m y £/. m (nota: X significa «no es perpendicular a»), 14. L A y L B form an un p a r lineal. m L A < 90 y m L B < 90. 15. L A es un ángulo recto. L A es un ángulo obtuso. 16. L A y L B son congruentes. L A y L B son suplem entarios. E n los ejercicios 17 y 18, selecciónese la proposición que está en contradicción con la proposición dada.

4.6


17. L A y L B son suplem entarios. b. L A y L B form an un p a r lineal, d. L A y L B son ángulos verticales.

a. m L A + m L B - 180. c. L A y L B son agudos. 18. L as rectas p y q no son paralelas

b. Las rectas p y q se intersecan.

a. L as rectas p y q n o tienen puntos en com ún, c. Las rectas p y q son la m ism a recta.

d. L as rectas p y q están en u n plano y no tienen p u n to s en común.

E scríbase una proposición que co n trad ig a las proposiciones de los ejercicios 19 a 23. 19. L A y L B son com plem entarios. 21. A A B C s AX Y Z .

20. L as rectas p y q se intersecan.

22. A B C D E es un p entágono regular.

23. m L A = 117.

E n los ejercicios 24 a 27, form úlese la suposición q u e se usaría en una pru eb a indirecta del teorem a dado. 24. Si dos rectas n o se intersecan, entonces no son perpendiculares.

25. Si A B ¥= CD, entonces AB + EF CD + EF.

26. Si u n a figura es un triángulo, entonces la figura n o puede contener dos ángulos rectos.

27. Si dos ángulos form an un p a r lineal, entonces son suplem entarios.

B. En los ejercicios 28 a 30 se inicia u n a p ru eb a indirecta. P roporciónense las razones que faltan y continúese la prueba p a ra llegar a una contradicción. 28. D ado:

En A A B C , Á C ^ é A B ___ D es el p u n to m edio de BC. Pruébese: AD n o puede ser perpendicular a BC.

R azones

Afirm aciones 1. Supóngase que A D 1 BC.


2. L A D C sé L A D B .

2. ?


3. D ad o .

4. C D = BD.

4. ?

5. A D s Â D .

5. ?

6. A A D C = A A D B .


7. Â C £= A B .

7. P C T C C .

8. ?

8. ?

9. ?

9. ?

A

161

162


29. D ado:

A D _L B C AB_ gk A C . Pruébese: B D ~k D C.

A y /T y'

A firm aciones 1. Supóngase B D

DC.

2. A D ± BC. 3. Z B D A e

Razones

D

1. ? 2. ?

Z ADC.

3. D efinición de las perpendiculares.

4. A D =£ A D .

4. ?

5. A A D B = A A D C .

5. ?

6. ?

6. ?

7. ?

7. ?

8. ?

8. ?

ACTIVIDADES! El o b je to q u e s e m u e s tra a la d e re c h a p u e d e e x is tir o no e n e l m u n d o re a l. S u p ó n g a s e q u e p u e d e (?). C o n tin ú e s e el a rg u m e n to a n te r io r con las o tra s fig u ra s q u e s e m u e s tra n a c o n tin u a c ió n y v é a s e si se p u e d e lle g a r a un a c o n tra d ic c ió n d e lo s h e c h o s d e la v id a re a l. B ú s q u e n s e o tra s fo to g ra fía s o d ib u jo s d e o b je to s , q u e c o m o é s to s , son c o n tra d ic to rio s .

4.6

30. D ado: L A y L B son agudos. Pruébese: L A y L B no son suplem entarios. A firm aciones


A

Razones

1. Supóngase que L A es suplem entario de L B .

1. ?

2. m L A + m L B = 180.

2. D efinición de suplem entarios.

3. m L A < 9 0 , m L B < 9 0 .

3. D ado, definición de ángulo agudo.

4. ?

4. P ro p ied ad aditiva de las desigualdades.

5. ?

5. ?

31. ¿C óm o puede usar un a b o g ad o la p ru eb a indirecta? D ése un ejemplo. Form úlese u n a p ru eb a indirecta p a ra los teorem as de los ejercicios 32 a 35. 32. Si A B # CD, entonces A B + E F # CD + EF. 33. Si L A no es congruente con L B , entonces L A y L B no son ángulos verticales. 34. D ado: ¿ 1 y ¿ 4 no son suplem entarios. Pruébese: ¿ 2 y ¿ 3 no son suplem entarios.

i \

\

\ l \

\

35. D ado: __ = ^2, A C ^P R L A ^ ¡ LP. Pruébese: B C ^Q R .

SOLUCION D E PROBLEMAS_________________________________ C u a n d o un a n u n c io s o b re u n a ra d io b a ra ta e n v e n ta d e c ía «Es un ro b o » , la p ro p ie ta ria d e la tie n d a no s a b ía lo c ie rto q u e e ra . E sta b a s e g u ra d e q ue A n a , L eo, Isa o Ive h a b ía n ro b a d o ia ra d io . C ada p e rs o n a , en su m o m e n to , h iz o u n a d e c la ra c ió n , p e ro s ó lo u n a d e las c u a tro d e c la ra c io n e s e ra v e rd a d e ra . A n a d ijo : «Yo no ro b é la ra d io .» Le o d ijo : «A na m ie n te .» „ , „ Is a d ijo : «Leo m ie n te .» ¿Q u ie n d l<° la v e rd a d ? ¿Q u lé n ro b ó la ra d l0 ? Ive d ijo : «La ro b ó Leo.»

163

164


Capítulo 4

Conceptos Importantes

Términos Angulos com plem entarios (pág. 144) A ngulos suplem entarios (pág. 144) P a r lineal de ángulos (pág. 144)

A ngulos verticales (pág. 150) A ngulo exterior de un triángulo (pág. 154) A ngulo in terio r n o contiguo (pág. 154)

Postulado Postulado del p ar lineal. Si dos ángulos form an u n par lineal, los ángulos son suplem entarios.

Teoremas 4.1 4.2

4.3

4.4 4.5 4.6

4.1

4.8

4.9 4.10 4.11

Las p ropiedades reflexiva, sim étrica y transitiva valen para la congruencia de ángulos y segm entos. E n un triángulo isósceles, el segm ento que va del ángulo del vértice al p u n to m edio del lad o opuesto form a u n p a r de triángulos congruentes. Sum a de ángulos iguales. Si m /L A P B — m L D Q E , m L B P C = m L E Q F , P B está en tre P A y P C , y Q E está en tre QD y QF, entonces m L A P C = m L D Q F . R esta de segm entos iguales. Si A C = DF, B C = EF, B está en tre A y C, y E está en tre D y F , entonces A B = DE. Sum a de segm entos iguales. Si A B = DE, B C = EF, B está en tre A y C, y E está en tre D y F, entonces A C = DF. R esta de ángulos iguales. Si m ¿ A P C = m L D Q F , m L B P C = rnLE Q F , está en tre P A y P u , y Q É está en tre QD y Q F , entonces m L A P B = m L D Q E . Teorem a de los com plem entos congruentes. D os ángulos que son com plem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes. T eorem a de los suplem entos congruentes. D os ángulos que son suplem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes. T eorem a de los ángulos verticales. Si dos rectas se intersecan, los ángulos verticales son congruentes. Si u n áng u lo de u n p a r lineal es u n áng u lo recto, entonces el o tro ángulo tam bién lo es. T eorem a del ángulo exterior. L a m edida de u n ángulo exterior de un trián g u lo es m ayor que la m edida de cualquiera de los ángulos interiores no contiguos.

C a p ítu lo 4

R e su m e n

Capítulo 4 Resumen 1. Indíquese si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. a. Si d os ángulos son suplem entarios de ángulos congruentes, entonces son congruentes. b. L a p ro p ied ad transitiva de congruencia en tre segm entos establece que A B ss AB. c. L a sum a de d os ángulos com plem entarios es 90°. E n los ejercicios 2 y 3 se p ro p o rcio n a u n teorem a de la form a si-entonces. H ágase u n d ibujo y form úlense los d a to s y la prueba usando la figura y sus nom bres. 2. Si dos ángulos de un trián g u lo son congruentes, entonces el triángu lo es isósceles. 3. Si dos rectas son paralelas a u n a tercera, entonces to d as son paralelas. 4. Despéjese x y calcúlese la m edida de los ángulos. b.

C. (* + 26)"

(2 x - 4)

(3 * - 2 0 )‘

5. ¿C uál es la m edida de u n áng u lo que es congruente con su com plem ento?

6 . D ado:

A B _L B D , D E 1 B D , B C = CD . Pruébese: A A B C = A ED C.

I

ni

n A

7. D ado: m ¿ 1 — m ¿ 2. Pruébese: r r .L B A D - m L C A E .

8 . D ado:

A B =sÁE, ¿ E s ¿ B , y Z 1 s Pruébese: ¿ A C D s ¿ A D C .

L2.

9. P a ra las siguientes proposiciones de la prueba expóngase la suposición de u n a p ru eb a indirecta que se u saría p a ra em pezar la dem ostración. a . Á B || CD. b. L A y L B son suplem entarios.

( * + 40)"

165

166


Capítulo 4

Examen

1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a. L a m edida de u n ángulo ex terio r de un triángulo es m ayor que cu alquier ángulo del triángulo. b. Si d os ángulos son suplem entarios y congruentes, entonces am bos son ángulos rectos. c. Si d os ángulos son suplem entarios, entonces form an un par lineal. En los ejercicios 2 y 3, se p ro p o rcio n a un teorem a en la form a sientonces. H ágase un d ibujo y establézcanse los d ato s y la prueba u sando la figura y sus nom bres. 2. Si u n triángulo es equilátero, entonces la m edida de cada ángulo es 60°. 3. Si un segm ento de recta une los p u n to s m edios de dos lados de un triángulo, entonces el segm ento es paralelo al tercer lado. 4. Despéjese x y encuéntrese la m edida de los ángulos, a. L A y L B son com plem entarios.

b.

(5.x - 20)"

5. La m edida de u n ángulo es la m itad de la de su suplem entario, ¿cuánto m ide el ángulo? n 6. Dado: m L 1 = m Z 2

m L 5 = mL6. Pruébese: A D = A B .

1

Ay

5

3

N .

^4

7. D ado: A B = CD, B D = CE. Pruébese: A C = CE.

B A

8. Dado:

Z l s Z _ 2 , D A l . AQ_ E B 1 A C y F C 1 AC , B es p u n to m edio de AC. Pruébese: A D s CF.

/) fv

A

b '

B

/’

V

A

C

9. P a ra las siguientes proposiciones de la p ru eb a, expóngase la suposición de la prueba in directa que se usaría p a ra iniciar la dem ostración. a. A B = CD b. L D E F n o es un ángulo recto.

Técnicas para la solución de problemas Hacer una tabla-i U n a técnica útil p a ra la solución de p roblem as es hacer u n a tabla p a ra ver si puede en contrarse un esquem a. Estúdiese el siguiente ejemplo.

¿C uántos cuad rad o s pueden en contrarse en este tablero?

Ejemplo ¿C uántos cuad rad o s h a y en un tablero de ajedrez de 8 x 8? Considérese la ta b la de la derecha. El núm ero de cuad rad o s de 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4 se d a en la tabla. ¿Puede verse un esquem a y resolver el problem a? Solución. El núm ero de cu ad rad o s de 1 x 1 es 8 2. El núm ero de cuad rad o s de 2 x 2 es 72. El esquem a parece ser de cuadrados perfectos decrecientes. Así, se com plem entaría la tab la con 16, 9, 4 y 1. P a ra o b ten er el to ta l se sum a y resu ltan 204 cuadrados.

Tamaño del cuadrado 1X 1

2x 2 3x3 4x4 5X5 6x 6 7x7 8x 8

Número de cuadrados 64 49 36 25 ? ? ? ?

PROBLEMAS. P a ra cada problem a, hágase u n a tabla, obsérvese el esquem a y resuélvase el problem a. 1. ¿C uántos cubos hay en u n cu b o de 8 x 8 x 8? (Sugerencia: H ágase u n a ta b la sim ilar a la anterior. En la p rim era colum na se relacionan los tam añ o s de los cubos: l x 1 x 1, 2 x 2 x 2, 3 x 3 x 3 , ctc. En la segunda co lum na se presenta el núm ero de cuad rad o s de ca d a tam año.)

Lados

Diagonales

3

0

4 5

2 ?

6

?

2. ¿C uántas diagonales tiene un polígono de diez lados? {Sugerencia: H ágase u n a tab la com o la de la derecha.) 3. U na ceviana es un segm ento de recta que une u n vértice de u n triángulo a un pun to del lado opuesto. ¿C uántos triángulos se form an si se tra z a n 8 cevianas desde un vértice de u n triángulo?

Ceviana

(Nota: Esta ceviana forma 3 triángulos)

167

C A P IT U L O

5.1


170

5 .2

T e o r e m a s s o b r e r e c ta s p a r a le la s

5 .3

E l p o s tu la d o d e la s r e c ta s p a r a le la s

5 .4

M á s te o r e m a s s o b r e r e c ta s p a r a le la s C o n c e p to s im p o r t a n t e s

R e p a s o de á lg e b ra

190

193

La g e o m e tría en n u estro m undo M in e r a lo g í a : s im e t r í a

194

174 180 184

R esum en

191

E xam en

192

Rectas y planos paralelos

169

170

R e c ta s y p la n o s p a ra le lo s

5.1

Definiciones básicas

U n o s e s tu d ia n te s u n iv e rs ita rio s c o n s tr u y e r o n e s te b ip la n o y lo lla m a ro n « C h ry sa lis» . E s a c c io n a d o p o r p e d a le s, c o m o u n a b icic le ta . D u r a n te el v e r a n o d e 1979, el a v ió n re a liz ó 3 2 0 v uelos. E s te b ip la n o u tiliz a v a rio s c o n c e p to s q u e se e s tu d ia r á n e n e s ta secció n , c o m o la s r e c ta s p a ra le la s , r e c ta s p a ra le la s a u n p la n o , p la n o s p a ra le lo s y r e c ta s n o p a r a le la s q u e n o se in te rs e c a n .

L a s r e c ta s f y m n o e s tá n e n el m is m o p la n o y n o se in te rs e c a n . Se d e n o m in a n rectas alabeadas. L a r e c ta i es p a r a le la al p la n o A .

-l

A

______ _ v

Definición 5.1 L as rectas alabeadas son dos rectas que no se intersecan y no están en m ism o plano.

Definición 5.2 U n a recta y un plano son paralelos si n o tienen p u n to s en común.

B

Definición 5.3 L o s p la n o s A y B n o tie n e n p u n to s e n c o m ú n . S o n p la n o s paralelos.

Los planos paralelos son planos que n o tienen puntos en común.

5.1

L a r e c ta l in te rs e c a a las re c ta s m y n e n d o s p u n to s d ife re n te s y fo r m a ángulos interiores y exteriores. A i se le lla m a transversal.


171

Definición 5.4 U n a transversal es u n a recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos diferentes.

D o s re c ta s c o r ta d a s p o r u n a tra n s v e rs a l f o r m a n á n g u lo s im p o r ta n te s p a r a e l e s tu d io d e la s r e c ta s p a ra le la s.

Los ángulos alternos interiores son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal. L 1 y Z.4 s o n á ng ulos a lte rn o s interiores. L 2 y L 3 s o n án gu lo s a lternos interiores.

L os ángulos exteriores son dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal. L 5 y L 8 s o n á ng ulos a lte rn o s exteriores. L 6 y L l s o n á ng ulos a lte rn o s exteriores.

Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal. U n o de los ángulos es un ángulo exterior, el o tro es un ángulo interior. H a y c u a tr o p a re s d e án gu lo s co rrespondientes: L l y L l \ L 6 y L 4; L 5 y ¿3; L 2 y ¿8.

172

R e ctas y p la n o s p a ra le lo s

EJERCICIOS___ _ _ A.

L os ejercicios 1 a 3 se refieren al cu b o de la derecha. U n m odelo de u n cu b o o u n a caja de zap ato s puede a y u d a r a visualizar el cubo.

D A

I ñ I JH

1. C ítense c u atro rectas que sean alab ead as con AB. 2. C ítense seis rectas que sean paralelas a l plano ABCD. 3. C ítense tres p ares de p lan o s paralelos. 4. C ítense d o s pares de ángulos alternos interiores. 5. C ítense d os pares de ángulos alternos exteriores. 6. Cítese el áng u lo correspondiente con L 1.

B.

D (Ejercicios 7, 8) J

ACTIVIDADES" ¿ C u á n to s p u n to s d e in te rse c c ió n s e fo rm an con un n ú m e ro dad o d e re c ta s ? D e p e n d e d e s u s p o sic io n e s e n re la c ió n u n a s con o tra s. Ejemplo: T re s r e c ta s p u e d e n form ar:

1 punto,

(Ejercicios 1-3)

(Ejercicios 4-6)

7. E sta figura m uestra u n a tu erca hexagonal. C ítense tres pares de planos paralelos. 8. V arias rectas que contienen los extrem os de esta figura son alab ead as con A É . ¿C uántas son?

0 puntos,

G

2 puntos

o

E xperim ento: O b s é rv e s e si p u e d e n d is p o n e rs e c u a tro re c ta s p a ra fo rm ar un punto, d o s p u n to s, tr e s p u n to s..., m á s d e s e is p u n to s de in te rse c c ió n . ¿Y cin co re c ta s?

3 puntos

5.1.


173

9. U n carp in tero construyó u n a escalera co rtan d o triángulos com o A A B C y A CDE de u n tro z o de m adera. ¿C on qué par de ángulos y con qué transversal son L D C E y L F E G ángulos correspondientes?

10. E n u n periscopio se coloca un p a r de espejos paralelos entre sí según m uestra la figura. L a tray ecto ria de la luz form a una transversal. ¿Q ué p a r d e ángulos son altern o s interiores, L l y L 3 , L l y L 4, L 2 y ¿ 3 ,o Z 2 y ¿ 4 ?

espejo(Ejercicio 10)

11. C ítense dos pares de ángulos altem os interiores que incluyan al L 14. 12. C ítense tres pares de ángulos alternos exteriores que incluyan ¿ 21. (Ejercicios 11, 12)

SO LUCIO N D E PROBLEMAS E la b ó re s e u n a r e jilla d e re c ta s p a ra le la s c o m o la d e la fig u ra . 1. C o ló q u e n s e c in c o fic h a s ro ja s s o b re c in c o in te rs e c c io n e s d e m a n e ra q u e n o h a y a d o s e n la m is m a re cta . 2. D e sp u és, c o ló q u e n s e c in c o fic h a s a z u le s s o b re c in c o in te rs e c c io n e s d e m a n e ra q u e no h a ya d o s fic h a s s o b re la m is m a re cta .

174

R e cta s y p la n o s p a ra le lo s

5.2

Teoremas sobre rectas paralelas

L as rectas p ara le la s se u sa n a d ia rio de diversas form as. L os h e rre ro s colocan b a rra s de acero p aralelas e n tre sí. L os ag rim en so res, c o n frecuencia, m a rc a n divisiones de p ro p ied a d es p aralelas e n tre sí. L os d iseñ ad o res de ro p a tam b ién u san rectas p aralelas. E n la figura se m u e stra un p a tró n b ásico p a ra u n a m a n g a de cam isa. P a ra e la b o ra r u n p a tró n de u n a m a n g a m ás an ch a, el d ise ñ a d o r tra z a rectas paralelas so b re el p a tró n . E n to nces, las franjas fo rm a d as p o r estas p a ra le la s se c o rta n y se se p a ra n p a r a fo rm a r u n nuevo p atró n .

L o s p a re s d e án g u lo s fo rm a d o s p o r u n p a r d e rectas y una tran sv ersal so n im p o rta n te s en el tra z a d o de rectas paralelas. E stas tres figuras sugieren u n a relació n im p o rtan te.

D a d o :¿ 1 s L 2.

O bsérvese que p || q.

Teorema 5.1

D a d o :¿ 1 s L 2.

O bsérvese que p || q.

D a d o :¿ 1 ss L 2.

O bsérvese q u é p || q.

Si dos rectas se c o rtan p o r una transversal y un p a r de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.2


PRUEBA

PD a d o : L a s r e c ta s p, q y r c o n L 1 ^ L 2. P ru éb e se : p || q.

?

I ?

P la n : Se s u p o n e p Hq. ( N o ta : (f s ig n ific a « n o es p a r a le la a».) E n to n c e s , se c o n s id e ra el tr iá n g u lo q u e se f o r m a r ía y se e n c u e n tr a u n a c o n tra d ic c ió n .

Afirm aciones

R azones

1. Supóngase que p | q.

1. Suposición de la p ru eb a indirecta.

2. Entonces, p y q se intersecan en un punto, sea C, y se form a A ABC.


3. ¿ 2 es un ángulo exterior de A ABC.

3. D efinición de ángulo exterior.

4. L 1 es un ángulo interio r no contiguo con L 2.

4. D efinición de ángulo interior no contiguo.

5. m L 2 > m L 1.

5. T eorem a del ángulo exterior.

6. m L l = m L 2 (contradicción de

6 . D ado.

m / - 2 > m L 1). 7. P o r ta n to , p || q.

7. L ógica de la prueba indirecta.

H a y o tr o s tr e s te o re m a s re la c io n a d o s . ¿A q u é te o r e m a c o rre s p o n d e c a d a fig u ra ?

Teorema 5.2

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Teorema 5.3

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Teorema 5.4

175

176


EJERCICIOS_______ A. 1. E n los siguientes casos, ¿qué rectas p o d ría concluirse que son paralelas y qué teorem a justifica la respuesta? a. Z l s

Z 9.

b . Z 3 = £ Z6. c. m Z 8 + m Z 10 = 180.

d . Z 4 = s Z 9. e. Z 8 s f.

Z ls

Z 12. Z 8.

2. H ágase u n a lista de to d o s los d ato s co n trad ictorios que aparecen en la figura siguiente. 3. C íten se cu atro form as de p ro b a r que dos rectas son paralelas. 4. Estúdiese la fotografía de la p ág in a 170. Indíquense ejem plos de segm entos paralelos y una transversal. 5. ¿Q ué ángulos de esta figura se p odría p ro b a r que son congruentes de m anera que A B || £ (5 ?

6. ¿Q ué pares de ángulos de esta figura se p o d ría p ro b a r que son congruentes p ara m o stra r que &D || A B ?

7. ¿Q ué p ares de ángulos de esta figura se p o d ría p ro b a r que son suplem entarios p a ra concluir que ÍZ ) || A B ?

5.2.


8. C om plétese la siguiente p ru eb a a d os colu m nas p a ra el teorem a 5.2. D ado: Z 1 £ Z 2 . j Pruébese: p || q.

________ _ J -------►p

Razones

A firm aciones Z2.

1. ?

2. Z 2 s Z 3 .

2. ?

3. Z l s Z 3.

3. P ro p ied ad transitiva de la congruencia.

4. p II q■

4. ?

1. ¿ l s

En los ejercicios 9 a 12, form úlese una p ru eb a com pleta a dos colum nas. 9. Dado:

A B = sD C A D =s_BC. Pruébese: A B || D C.

10. D ado:

¿O sO B A O =í _OCPruébese: A B || DC.

(Sugerencia: P rim ero dem uéstrese que A A B C = AC DA.) C

11. D ado:

AB s

DE

Pruébese:

12. D ado:

B C = EF

Pruébese: B A || 13. Pruébese que si dos rectas en u n p lan o son perpendiculares a u n a recta, son paralelas.

(Ejercicios 11, 12)

177

ir

178


14. Pruébese el teorem a 5.3.

c. 16.

15. Pruébese el teorem a 5.4. B

Dado:

A

a b ib c

D CLBC

Z ls Z 4 . (Ejercicios 16-18)

Pruébese: B F II G C . 17. Dado:

¿ A B C sí LBCD B F biseca L A B C C G biseca ¿LBCD.

18. D ado:

Z 2 s Z 3 Z l s Z 4 .

Pruébese: A B II CD.

Pruébese: B F II CG. 19. Dado:

m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 5 = 180

Z 4s_ Z 5 . Pruébese: A B || C D .

T rá c e s e u n a re c ta f y un p u n to P q u e no e s té en e s a re cta .

S ó lo c o n un c o m p á s y u n a re g la trá c e s e un a re c ta a tra v é s de P q u e s e a p a ra le la a l . (S u g e re n c ia : In ic íe s e la c o n s tru c c ió n tra z a n d o u na re c ta q u e p a s e p o r P y que in te rs e q u e a la re c ta t .)

20. U n diseñador usa u n a regla T p a ra trazar un p a r de rectas paralelas en u n a hoja de papel. ¿C óm o se puede tener la seguridad de que las rectas son paralelas?

5.2


P M es la bisectriz p erpendicular de A B L A ss L B A D sB C . Pruébese: A B || CD. (Sugerencia: T rácense algunas rectas auxiliares. U n a recta auxiliar es u n a recta que se añ ad e a la figura para a y u d a r a p ro b a r un teorem a o a so lu cio n ar un problem a.)

179

21. D ado:

22. D ado:

L B C D sL D m L B + m L D = 180.

Pruébese: A B || DC. 23. U n a p lo m ad a (un peso suspendido de un cordel) sirve p a ra m a rc a r con yeso u n a recta sobre u n a pared. Si la p rim era h o ja de papel tapiz se coloca a lo larg o de la línea de yeso, ¿por qué asegura esto q u e el b orde del papel es paralelo a las puertas, v entanas y esquinas del cuarto?

_ SOLUCION D E PROBLEMAS A lg u n a s fo rm a s p o lig o n a le s p u e d e n c o rta rs e e n p ie z a s q u e s e p u e d e n c o lo c a r p a ra c o n s e g u ir n u e v a s fo rm a s p o lig o n a le s . L a s p ie z a s re c o rta d a s c u b re n p o r c o m p le to la fra n ja e n tre un p a r d e re c ta s p a ra le la s . E je m p lo :

M u é s tre s e q u e la s fo rm a s p o lig o n a le s co n lo s c o rte s in d ic a d o s p u e d e n c o lo c a rs e p a ra c u b r ir d ic h a fra n ja p a ra le la .

B

180


5.3

El postulado de las rectas paralelas

E n la ú ltim a ac tiv id a d se tra z ó u n p a r de rectas p aralelas. E n realid ad , h ay tres m éto d o s re la cio n ad o s q u e p o d ría n resu m irse c o n estas tres figuras. P a r a estab lecer la co rrec ció n d e estas co n stru ccio n es p o d ría n u sarse los teo rem as de la sección an terio r.

P are c e n a tu ra l su p o n er, co m o se hizo e n el p o stu la d o d e las p aralelas, q u e só lo h ay u n a re cta q u e p ase p o r P y sea p a ra le la a l . P ero , ¿p o r q u é es cierto esto? E sta p re g u n ta es h istó ricam en te significativa (véase m ás adelante).

• P

R EP A SO : T rácese una recta a través de P

que sea paralela a £.

postulado de las paralelas D ados una recta £ y u n p u n to P q u e no está en la recta £, existe sólo u n a recta a través de P que sea paralela a £.

L a p ru e b a del te o re m a siguiente ilu s tra el u so del p o s tu la d o d e las p aralelas.

Teorem a 5.5

D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.

►P

5.3

El p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s

PRUEBA

P -------------------------

D ad o : L as rectas p, q y r son tres rectas d istin tas, p\\q, q || r. Pruébese: p || r.

? -------------------------

^> A

r

Afirmaciones

Razones

1. Supóngase que p Hr.


2. p y r tienen un p u n to en com ún.


Llámesele A. 3. p || q.

3. D ado.

4. r || q.

4. D ado.

5. Las rectas p y r son dos rectas distintas que pasan p o r A y son paralelas a q. (C ontradicción del postulado de las paralelas que afirm a que h ay sólo u n a recta que pase p o r A y sea paralela a q.)


6. P o r ta n to , p || r.


IMPORTANCIA HISTORICA DEL POSTULADO DE LAS PARALELAS K arl F rie d ric h G auss

D u ra n te siglos, los m atem ático s in te n ta ro n d e m o s tra r q u e el p o stu la d o de las p aralelas e ra u n teo rem a. T ales in te n to s fa lla ro n u n a y o tra vez. A p rin cip io s del siglo XIX, tres m atem ático s, K a rl F rie d ric h G a u ss (1777-1855), Ja n o s B olyai (1802-1860) y N ico lai Iv a n o v itc h L o b ac h ev sk y (1793-1856), tra b a ja n d o in d ep en d ien tem en te, in te n ta ro n s e p a ra r el p o s tu la d o de las p ara le la s del sistem a eu clid ian o de p o stu la d o s y p ro b a r q u e e ra u n teo rem a. U tiliz a ro n u n m éto d o in d irec to , p ero en lu g ar d e lleg ar a u n a c o n tra d icció n , e n c o n tra ro n que esta su p o sició n re p re se n ta b a u n c o n ju n to to ta lm e n te nuevo d e teo rem as, u n a g eo m etría to ta lm e n te nueva. E ste im p o rta n te d esc u b rim ie n to m a te m á tic o dio lu g a r a lo q u e h o y se co n o ce co m o g eo m etría n o euclidiana.

181

182


EJERCICIOS_______ A. 1. D ése u n a expresión p ropia al p o stu lad o de las paralelas. 2. ¿Cuáles son las dos p alab ras m ás im p o rtan tes del postulado de las paralelas? 3. C lasifíquense las siguientes afirm aciones en falsas o verdaderas. a. H ay u n a recta que p asa p o r A y es paralela a l . b. P o d ría p robarse que hay una recta que p a sa p o r A y es paralela a t a u n sin usar el p ostulado de las paralelas. c.

El p o stu lad o de las paralelas dice que hay sólo u n a recta que p asa p o r A y es paralela a t .

d. Si p es una recta que p asa p o r A y es perpendicular a l , y q es u n a recta que pasa p o r A y es perpendicular a p, entonces q \\ tEn los ejercicios 4 y 5, determ ínese si se puede p ro b a r que las rectas p y q son paralelas.

ACTIVIDADES 1. C o n un a re g la , d ib ú je s e u n c u a d rilá te ro c u a lq u ie ra W XYZ. 2. D ib ú je n s e triá n g u lo s e q u ilá te ro s a c a d a la d o del c u a d rilá te ro , a lte rn á n d o lo s e n el in te r io r y el e x te r io r d e l c u a d rilá te ro y llá m e s e a lo s n u e vo s v é rtic e s A, B , C y D. 3. ¿Qué re la c ió n re s u lta v e rd a d e ra p a ra A D y B C , y p a ra A B y C D ? 4. E n ú n c ie s e u na g e n e ra liz a c ió n .

---------------------- — — ■+- I

5.3

El p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s

183

B.

6. D ado:

Z1 Z2 Z 3 s Z4. Pruébese: p r.

7. D ado:

m Z 1 + m ¿ 2 = 180 m Z 3 + m Z 4 = 180. Pruébese: p || r.

8. D ados una recta t y un p u n to P, trácese la perpendicular de P a i y llám ese m. T rácese la recta l a m q u e pase p o r P y llám ese r. ¿Cuál es la relación en tre r y (, y p o r qué?

\P

9. M uéstrese que la actividad de la página 178 da p o r resultado un p a r de rectas paralelas.

c. P a ra los siguientes ejercicios puede suponerse que el teorem a 5.5 es verdadero p a ra rectas en el espacio, adem ás de serlo para las rectas en un plano. 10. Si A B , CD y E F son las aristas de un cubo com o m uestra la figura, dem uéstrese que A B || EF. 11. Si A B , CD y E F son los bordes de tres páginas de un libro (supóngase cjue se tra ta de páginas rectangulares), pruébese que A B , CD y E F son pralelas en tre sí.

SO LUCIO N D E PROBLEMAS E sta fo to g rafía m u e s tra la s «tijeras» d e una platafo rm a d e cam ió n a b ie rta s, a lz a n d o la p latafo rm a a su a ltu ra m áxim a. Los s o p o rte s , d e s ig n a d o s com o AB y CD, s e b isecan . E x p liq ú ese p o r q u é e s ta s co n d ic io n e s significan q u e la p latafo rm a del cam ió n e s tá p a ra le la a la e stru c tu ra b a s e del cam ión.

(Ejercicio 10)

184


5.4

Más teorem as sobre rectas paralelas

Muchos aficionados a las reparaciones caseras compran escaleras plegables para instalar en el techo de la casa o del garaje. Estas escaleras se fabrican siempre de la misma longitud. La persona que la instala debe determinar cómo cortar la parte inferior de manera que la escalera se apoye firmemente sobre el piso, para lo cual se deben tener en cuenta la longitud y el ángulo. El hecho de que el piso y el techo son paralelos es muy importante para resolver este problema.

En estas figuras, ¿cuál es la relación entre Z 1 y L 2?

D ado: p y^

D a d o : p |[ ^

Obsérvese que L l » L2.

Obsérvese que L l sí L2.

D a d o : p j|

Obsérvese que Z l s

Z 2.

Las figuras anteriores sugieren el siguiente teorema.

Teorema 5.6

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5.4


PR U E B A

Dado: L a s re c ta s p || q se c o r ta n p o r la tr a n s v e r s a l r. L 1 y L 2 s o n á n g u lo s a lte r n o s in te rio re s .

Pruébese: ¿ 1 = 2. Plan: S u p ó n g a s e q u e L 1 n o es c o n g ru e n te c o n L 2 y e n c u é n tre s e u n a c o n tra d ic c ió n . A firm aciones

R azones

I. L í n o es congruente con.Z.2.


2. T rácese u n a recta que pase p o r A p a ra que ¿ l ^ Z . 3 y ¿ l y ¿ 3 sean ángulos alternos interiores.

2. C onstrucción.

3. q || s, A está en s.

3. Si los ángulos altem o s interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

4Í p || q, A está en p.

4. D ado.

5. H ay d os rectas que p asan p o r A y son paralelas a q. (C ontradicción del po stu lad o de las paralelas.)


6. L l ^ L 2 .


A PLICA CIO N E l te o re m a 5.6 p u e d e u s a rs e p a r a re s o lv e r el p r o b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io d e e s ta se cc ió n . ¿ C ó m o d e b e c o r ta r s e la p a r te in fe rio r d e la esc a le ra? S íg a se e s te p ro c e d im ie n to . 1. M íd a s e A B y lo c a líc e se u n p u n to D d e m a n e r a q u e A B = CD. 2. M íd a s e L U V W y lo c a líc e se u n p u n to E de m a n e ra q ue m / - U V W = m L C D E .

u

v

Techo

H a y v a r io s te o r e m a s a d ic io n a le s q u e se d e s p r e n d e n d e esto:

Teorema 5.7

Si d o s rectas p aralelas se c o rta n p o r u n a tran sv e rsal, entonces los á n g u lo s a lte m o s ex terio res s o n congruentes.

Teorema 5.8

Si dos rectas p ara le la s se c o rta n p o r u n a tran sv e rsal, entonces los án g u lo s c o rresp o n d ien tes so n congruentes.

Teorema 5.9

Sí dos re c ta s p a ra le la s se c o r ta n p o r u n a tran sv ersal, entonces lo s á n g u lo s in terio re s del m ism o la d o d e la tran sv e rsal son su p lem en tario s.

185

186


EJERCICIOS______ A. E n la figura de los ejercicios I a 7, las rectas p y q son paralelas y m ¿ 3 = 55. 1. m L l = _ L . 2. m L 2 = JL.

3. m L 4 - X .

5. m L 6 ~ _L.

6 . m Z 7 = JL.

7. m L 8 =

En la figura de los ejercicios 8 a 12, las rectas p y q son paralelas, y m L 1 = 125 y m Z 4 = 143.

8. m L 2 - JL 10. m L 5 = JL

9. m L 3 = JL 11. m L l - JL

En la figura de los ejercicios 13 a 22, A B || CD y X f i || BC*. Adem ás, m L A D C = 110 y m L A C D - 28. 13. m L l = X .

14. m Z 10 = X .

15. m L 3 = JL.

16. w Z 4 = X .

17. m L 5 = JL.

18. w Z 6 = X .

19. m L B C D = X

20. m L 9 = JL.

21. w Z 2 - X .

22. m L B A D = JL.

23. Supóngase que en la figura m L B C D = 70. ¿Cuáles deben ser las m edidas de L A B C , L C D A l _ L D A B si A B || CD y A D || BC?

(Ejercicios 13-22)

5.4


P a ra los ejercicios 24 y 25, supóngase que las rectas p y q son paralelas. 24. Si m L 1 = 2x + 3 y m Z 4 = 7x — 12, encuéntrense m L 1 y m L 2 . 25. Si m L 1 = 2x + 4, m L 5 = 3y + 6 y m L 2 = Ay + 6, encuéntrense las m edidas de L \ , L 2 y L5. 26. Pruébese el teo rem a 5.8. 27. Pruébese el teorem a 5.9. 28. Pruébese el teorem a 5.7. 29. D ado:

i || t r±s. Pruébese: r ± t .

30. Dado:

A O szO D B O a OC.

Pruébese: A É II 5 d .

r

A

B

31. D ado:

p || q * 111. Pruébese: ¿ l s Z 7 Z 2 s L 9.

(Ejercicios 31-33)

32. D ado:

p || q Z 3 s s Z ll. Pruébese: s || t.

33. D ado:

i || t L 9 y L l son suplem entarios Pruébese: p || q.

187

188


C. 34. D ado:

A B || CD B C || DE. Pruébese: Z B Z D.

35. Dado:

Pruébese: B C

36. D ado:

37. Dado:

A B || D E A C biseca ¿ .B A D

B C || DE.

D F biseca Z A DE.

Pruébese: m¿_ 1 + m ¿ 4 = 180.

Pruébese: A C || FD.

Z BAD

A B || CD

/ EDA- im ¿ BAD = \m ¿ E D A \ u s e T h e o re m 5-2.

A C TIV ID A DES.

...... ...........—

1. E m p ié c e s e p o r un p o líg o n o q u e se p u e d a c o rta r en p ie z a s y s e r re o rd e n a d o e n una fr a n ja fo rm a n d o un p a tró n re p e titiv o (co m o en la p á g in a 179).

2 . D e n o m ín e n s e los p u n to s A y 6 d e m a n e ra q u e se a n d o s p u n to s c u a le s q u ie ra q u e se c o rre s p o n d a n e n tre sí e n p ie z a s a d y a c e n te s d e la fra n ja . 3. T rá c e s e un p a r d e re c ta s p a ra le la s AD y BC c o m o se m u e s tra en la fig u ra . T rá c e s e A E 1 B C . L a s p ie z a s 1 a 5 o b te n id a s d e esta fo rm a p u e d e n c o lo c a rs e p a ra fo r m a r el p o líg o n o o rig in a l o un re c tá n g u lo . 4. R e p íta se e s te p ro c e d im ie n to d e tre s p asos p a ra lo s p o líg o n o s d e la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e la p á g in a 179. En c a d a c a s o c o lo q ú e n s e la s p ie z a s c o rta d a s p a ra fo rm a r un re c tá n g u lo .

5.4

38. D ado:

A D Ê C B C ^F D S C || FD. Pruébese: A B II EF.


B

39. Si A B || C D y A D || BC, pruébese que Z B = Z D.

40. Pruébese: Si d os lad o s opuestos de un cuad rilátero son congruentes y paralelos, entonces, los o tro s dos lados o puestos son congruentes y paralelos. 41. U n d eco rad o r de interiores está pegan d o tiras de papel tapiz en u n a p ared p a ra hacer u n diseño de franjas inclinadas. Al c o rta r el papel, ¿cóm o sab e el d eco rad o r que Z A y Z B deben ser congruentes?

_ SOLUCION D E PROBLEMAS. L o s ra y o s de lu z s e in c lin a n a l p a s a r a tra v é s de un v id rio . S u p ó n g a s e q u e un ra y o d e lu z s u fre la m is m a in c lin a c ió n a l e n tr a r q u e a l s a lir del v id rio . E x p liq ú e n s e d o s c o s a s : 1. ¿ P or q u é e l ra y o s a le e n d ire c c ió n p a ra le la a la d e e n tra d a ? E sto es, ¿ p o r q u é A B es p a ra le la a CD? 2. ¿ P or qu é lo s ra y o s q u e so n p a ra le lo s a l e n tra r so n p a ra le lo s ta m b ié n _ a l s a ljr? E sto es, ¿ p o r q u é A B || WX im p lic a CD || Y Z ?

189

190


Capítulo 5


Términos Rectas alab ead as (pág. 170) Rectas y planos paralelos (pág. 170) Planos paralelos (pág. 170) T ransversal (pág. 171) A ngulos altern o s interiores (pág. 171) Angulos altern o s exteriores (pág. 171) A ngulos correspondientes (pág. 171)

Postulado Postulado de las paralelas: D ad as una recta t y un p u n to P que no está en t , existe sólo u n a recta que p asa p o r P y es paralela a t .

Teoremas 5.1 Si dos rectas se c o rtan p o r u n a transversal y u n p a r de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas. 5.2 Si dos rectas se c o rtan p o r una transversal y un p a r de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. 5.3 Si Hos rectas se cortan p o r u n a transversal y un p a r de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. 5.4 Si dos rectas se co rtan p o r una transversal, y u n p a r de ángulos interiores del m ism o lad o de la transversal son suplem entarios, entonces las rectas son paralelas. 5.5 D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r. 5.6 Si d os rectas paralelas se co rtan p o r u n a transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes. 5.7 Si d o s rectas paralelas se c o rta n p o r u n a transversal, entonces los ángulos altern o s exteriores son congruentes. 5.8 Si dos rectas paralelas se c o rtan p o r una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. 5.9 Si d os rectas paralelas se c o rtan p o r una transversal, entonces los ángulos interiores del m ism o lado de la transversal son suplem entarios.

C a p itu lo 5

Capítulo 5

R e su m e n

Resumen

1. a. C ítense pares de ángulos altern o s interiores. b. Cítense pares de ángulos altern o s exteriores. c.

C ítense pares de ángulos correspondientes.

2 . Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a. Si d os rectas son paralelas y se c o rtan p o r u n a transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. b. Si dos rectas se c o rtan p o r u n a transversal p a ra form ar ángulos alternos interiores, entonces las rectas son paralelas. c. Si d os rectas son paralelas a u n a tercera, entonces las dos rectas son paralelas. 3.

a. Cítese

un p a r de planos paralelos,

b. Cítese un p ar de rectas alabeadas. 4. Si m L 6 = 120 y m L 12 = 60, ¿puede p ro b arse que a Hb? 5. Si mZ.13

= 55, a || b, y c || d, encuéntrese m L 4.

6. Dado: a \ \ b , c \ \ d m L \ = 8x - 2, m L 11 = 7x + 11. Despéjese x y encuéntrese m L 10. 7. D ado:

c || d L 8 y L 10 son suplem entarios. Pruébese: a || b.

(E je rcic io s 4-7)

8. Dado:

LE C D ^LE A B . Pruébese: L FD C = L FBA.

A‘

R

(E jercicio 8)

192


Capítulo 5

Examen

1. a. Cítese un p ar de ángulos alternos interiores que incluyan L 2 .

b.

Cítese un p a r de ángulos correspondientes que incluyan L 2. TJ

2. a. Cítese un p ar de p lan o s paralelos,

b.

Cítese un p ar de rectas alabeadas.

3. Si a || b, m L 10 = 70 y m L l = 70, ¿puede decirse que c || cP. 4. Si m L 6 = 115, m L l = 65 y m L 15 = 65, encuéntrese m L 13. 5. D ado: a || b, c || d, m L 11 = I x y m ¿ 8 = 5x + 32. Despéjese x y encuéntrese m L 6 .

6. Si a interseca a b, ¿puede ser que m L 1 = m L 2 ? Expliqúese.

7. Dado:

¿ ls ¿ 2 L2_y L 3 son suplem entarios. Pruébese: A B II E D .

1

D

8. D ado:

c\\d , ¿ 8 s ¿ 1 4 . Pruébese: a II b.


Repaso de álgebra Despéjese x en las ecuaciones siguientes: 1. 3* + 5 = 21 -

x.

4. 5 + 2(x - 4) = 19. 7. 4(x - 2) = 4 - (x + 2).

2. 10 — 6x = 4 + 2(1- x).

3. 5 - x = - 3 x .

5. 4(2* - 6) = 2x + 5.

6. f * + | = 1.

8 . \ x + 2(x - 4) = 17.

9. 2(x + 4) = 3(4 - x).

Despéjese x en las desigualdades siguientes: 10. - x > 9-

11. x + 2 < 7.

12. 2x + 6 > 17.

13. 3(x - 2) < 8.

14. 15 - 2x < x.

15. ^

16. 3x + 7 > 2x — 4.

17. 2 |x | < 10.

18. |x + 2| > 14.

> 24.

Evalúese. Exprésense fracciones en térm inos m enores: 19. \ / 8.

20. V640-

22. 8(8 - 6 vT ó).

23. \/7 5 -

25.

26. 1 4 \/6 4

21. \/2 7 + \/3 . \/l2 -

24. \/Í 0 8 + 3 \/3 . 27. V Í 8 - j E

B . V 9

D espéjense x e y en los sistem as de ecuaciones siguientes: 28. x = 2

00

x + 3y = 49.

ó 04

35. jy = 2x

II

6x — 4y = 0 -

x — 3 y = —17.

1

34. 3x + 4y = 18

33. x + ;y = 10

32. 3x + 4y = 14

H

x -\-y — 6 .

1

31. x - y = 2

3x + y = 4.

II

x + y = 5.

30. x = 2y + 1

29. 2x + ;y = 14

36. 2x + j- = 6 —3x + 2y =

Resuélvase. 37. E l an ch o de u n rectángulo es tres veces su longitud. E ncuéntrense la lo n g itu d y la a n c h u ra del rectángulo si su perím etro es 24.

38. U n p a r lineal de ángulos m ide x + 20 y x + 30. E ncuéntrese la m edida de cada ángulo.

193

Mineralogía-, simetría En general, los m inerales presen tan disposiciones regulares de áto m o s que tienen cierta sim etría geométrica. A unque los cristales no siempre m uestran una sim etría perfecta, algunos tienen form as parecidas a la de alguno de los cinco poliedros que se m uestran a continuación. Tales cristales tienen ejes de sim etría de revolución y planos de sim etría de reflexión.

F luorita

C ubo

T etra ed ro

O ctaed ro

E ncuéntrense ejes de sim etría de revolución p a ra un sólido.

a

P uede plegarse u n p a tró n com o el que se m uestra aquí y co n stru ir u n cubo. H áganse d os orificios pequeños e introdúzcase u n sorb eto a través del cubo com o ilu stra la fotografía. Si se hace g irar el cubo 90° cu atro veces sobre el eje, el sorbeto, volverá a su posición-original. D a d o que esto es verdadero, se dice que el so rb eto representa un eje de simetría de revolución de cuarto orden.

C ubo

194

DoO ÍCÜrO lO

Icosaedro

A continuación se m u estran los tres ejes de sim etría p a ra un cubo. /

.

Segundo orden U n a recta que p asa p o r los punto s m edios de aristas opuestas.

/

Tercer orden U n a recta que pasa por un p a r de vértices opuestos.

Cuarto orden U n a recta que pasa p o r el centro de caras opuestas.

a. ¿C uántos ejes de sim etría de segundo o rden puede tener u n cubo? b. ¿C uántos ejes de sim etría de tercer ord en puede tener un cubo? c. ¿cuántos ejes de sim etría de c u arto o rden puede tener un cubo?

E ncuéntrense p lan o s de sim etría de reflexión p a ra un sólido Puede co nstruirse un m odelo de un cubo con 12 sorbetos unidos con servilletas congruentes de papel com o se ilu stra en la fotografía. C órtense «planos» de cartu lin a y úsense p a ra visualizar los planos de sim etría com o se m uestra en los dibujos. a. U n plan o que p a sa p o r aristas o p uestas de un cubo, com o en el prim er dibujo, es u n p lan o de sim etría p a ra el cubo. ¿C uántos p lan o s de sim etría de este tip o tiene u n cubo? b. U n plan o situ ad o en el cen tro de un p a r de caras o p uestas de un cubo es un p lan o de sim etría p a ra el cubo. ¿C uántos planos de sim etría de este tip o tiene u n cubo?

195

C A P IT U LO

6.1

C la s if ic a c ió n d e lo s t r iá n g u lo s

6 .2

T r iá n g u lo s is ó s c e le s

6 .3

M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n t r iá n g u lo

6 .4

E l te o r e m a d e la c o n g r u e n c ia L A A

6 .5

E l t e o r e m a d e la c o n g r u e n c ia d e la h ip o te n u s a y e l c a te to C o n c e p to s im p o r t a n t e s

198

202

220

212

R esum en

T é c n ic a s p a ra la s olució n de p ro b le m a s H a c e r u n a t a b la - ll

223

208

221

E xam en

216 222

Triángulos

198

T riá n g u lo s

6.1

Clasificación de los triángulos L a s velas d el b a rc o d e la fo to g ra fía ilu s tr a n d ife re n te s fo rm a s d e triá n g u lo s . L o s triá n g u lo s p u e d e n cla sific a rse se g ú n la lo n g itu d d e su s la d o s o se g ú n la m e d id a d e su s á n g u lo s. REPASO: U n triángulo equilátero es un trián g u lo con los tres lados congruentes. REPASO: U n triángulo isósceles es u n triángulo que tiene al m enos dos lados congruentes.

Definición 6.1 N in g ú n la d o tie n e la m is m a lo n g itu d .

A G H I es u n triángulo escaleno.

U n triángulo escaleno es un triángulo que no tiene lados congruentes.

L o s tr iá n g u lo s ta m b ié n se c la sific a n s e g ú n la m e d id a d e su s á n g u lo s.

Definición 6.2 T o d o s lo s á n g u lo s s o n a g u d o s.

A A B C es u n triángulo ac u tángulo.

U n triángulo acutángulo es un triángulo con tres ángulos agudos.

6.1

C la s ific a c ió n d e lo s tr iá n g u lo s

199

E

¿ D e s u n á n g u lo re c to .

A D E F es u n triángulo rectángulo. E l la d o E F es la hipotenusa. D E y D F s o n lo s catetos.

Definición 6.3 U n triángulo rectángulo es un triángulo q u e tiene un ángulo recto.

H

Definición 6.4 A G H I e s u n triángulo ob tu sángulo.

U n triángulo obtusángulo es un triángulo que tiene un ángulo obtuso.

K

Deficinión 6.5 A J K L e s u n triángulo equiángulo. P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo h a y tre s s e g m e n to s d e n o m in a d o s alturas.

U n triángulo equiángulo es un triángulo que tiene tres ángulos congruentes.

Definición 6.6 U n a altura de u n triángulo es un segm ento q u e va de un vértice a u n p u n to F en el lad o opuesto (quizá extendido) y es perpendicular a ese lado opuesto.

O b s é rv e s e q u e e n u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo d o s d e la s a ltu r a s c o in c id e n c o n lo s la d o s d e l triá n g u lo . E n u n tr iá n g u lo o b tu s á n g u lo , d o s a ltu r a s tie n e n c a te to s e n la s e x te n s io n e s d e lo s la d o s.

200

T riá n g u lo s

EJERCICIOS A. 1. Clasifiquense estos triángulos en escaleno, isósceles o equilátero. b.

c.

2. C lasifiquense estos triángulos en acutángulo, obtusángulo o rectángulo. a.

b.

N

3. D enom ínense estas p artes del trián g u lo rectángulo M N P . a . A ngulo recto. c. H ipotenusa.

b. C atetos. d. A lturas.

M

4. D ibújese un trián g u lo isósceles que ten g a un ángulo de 45°. 5. D ibújese u n triángulo rectángulo escaleno.

6. D ibújese u n trián g u lo o btusángulo que tenga un ángulo de 30°. 7. D ibújese un trián g u lo equilátero y trácese u n a altura.

8. D ibújese un triángulo o b tu sán g u lo y trácense to d as sus alturas. 9. D ibújese y dense n om bres a u n a tab la com o la de la derecha. En cada casilla de la tabla, si es posible, dibújese un trián g u lo que satisfaga las dos condiciones.

ACTIVIDADES! D ibú jen se tr e s c o p ia s d e la e s tr e lla m á s p e q u e ñ a . C ó rte s e p o r la s lín e a s d e p u n to s y c o ló q u e n s e las p ie z a s p a r a fo rm a r la e s tr e lla g ra n d e .

equilátero acutángulo rectángulo obtusángulo

isósceles

escaleno

6.1

C la s ific a c ió n d e lo s triá n g u lo s

201

10. Identifiqúense los trián g u lo s com o

acutángulo, rectángulo u obtusángulo. a. b. c. d. e. f.

A ABD. A ABC. AADE. ABDC. A ACE. ADCE.

11. En la figura de la derecha, identifiqúense las altu ras y sus triángulos respectivos. Los ejercicios 12 a 14 se refieren al p en tág o n o ABCD H . 12. C ítense dos triángulos isósceles que tenga A B com o lad o desigual. 13. C ítense d os triángulos isósceles que ten g a A B com o u n o de los lados iguales. 14. Cítese un trián g u lo isósceles que tenga FG com o uno de los lados. 15. C ítense to d o s los trián g u lo s equiláteros y escalenos de la figura siguiente. 16. ¿P o r qué u n trián g u lo equilátero tam bién es isósceles? Expliqúese haciendo referencia a la definición de « triángulo isósceles». 17. D ado:

U n triángulo isósceles A B C co n B com o ángulo del vértice. A E es la a ltu ra de A a BC. CD es la altu ra de C a A B. AD £ CE. Pruébese: L B A E £ B C D . 18. C u a tro triángulos equiláteros pueden colocarse para fo rm ar un trián g u lo equilátero m ás grande. ¿Cóm o pueden colocarse c u atro triángulos obtusángulos p a ra fo rm ar un triángulo o btusángulo m ás grande de la m ism a form a que el original?

SO LUCIO N D E PROBLEMAS En e s ta fig u ra h a y 27 triá n g u lo s e q u ilá te ro s. C íte n se to d o s los p o sib les.

(Ejercicio 15)

202

T riá n g u lo s

6.2

Triángulos isósceles E n to d o el m u n d o se h a n c o n stru id o m iles d e d o m o s geodésicos. U n o d e los m ás g ra n d es se co n stru y ó e n 1958. Se tr a ta d e u n taller d e re p a ra c ió n d e au to m ó v ile s de B a to n R ouge, L o u isian a. E ste d o m o tiene 117 m etro s d e d iá m e tro y 35 de altu ra . P a ra la exposición d e M o n tre a l d e 1967, tam b ién se co n stru y ó u n d o m o , la fo to g rafía m u estra su proceso de con stru cció n .

L a e s tru c tu ra d e u n d o m o se co n stru y e u n ien d o m u c h o s trián g u lo s. D e esto s trián g u lo s, m u ch o s tie n e n lad o s de ig u al lo n g itu d , lo cual significa que so n isósceles o e q u ilá te ro s (V éase «L a g eo m etría en n u e stro m u n d o » , p ág. 126). E n esta sección se e stu d ia rá n alg u n as p ro p ie d a d e s im p o rta n te s de estos do s tip o s de trián g u los.

A B Â C

AC = BC

ÁB^BC

O b sérv ese q u e m L B = m L C .

O bsérvese q u e m L A = m L B .

O bsérvese q u e m L A = m L C .

Teorema 6.1

Si u n triá n g u lo es isósceles, en to n ce s lo s án g u lo s d e su b ase son congruentes.

6.2


PRU EB A D a d o : S ea A A B C isó sceles c o n A B s A C . P ru é b e se : L B s L C. P la n : S ea D el p u n to m e d io d e B C . T rá c e s e A D y p ru é b e s e q u e A ABD s A ACD.

Afirm aciones

Razones

1. A A B C es isósceles con A B = AC.

1. D ado.


2. C a d a segm ento de recta tiene un, y sólo un, p u n to medio.

3. A A B D s A ACD.

3. U n segm ento desde el vértice de un ángulo al p u n to m edio del lado opuesto form a un par de triángulos congruentes (Teorem a 4.2).

4. L B = L C .

4. PC T C C .

APLICA CIO N Se v a n a c o r t a r d o s ta b lita s d e m a d e r a c o n v e rg e n te s d e m a n e r a q u e p u e d a n c la v a rs e a u n a t a b la a lo la rg o d e u n a lín ea. Se c o lo c a n d o s e s c u a d ra s d e c a r p in te r o d e fo rm a q u e BE = DE. L o s p u n to s B y D d e te r m in a n la lín e a d e fo rm a q u e A A B D s A CDB. ¿ P o r q u é ? L a s e s c u a d ra s d e c a r p in te r o se c o lo c a n d e m a n e r a q u e A BDE es u n tr iá n g u lo isósceles. P o r ta n to , L E B D LED B, c o n lo c u a l p u e d e c o n c lu irs e q u e m L A B D = 90 + m L E B D = m L E D B + 9 0 = mL CD B .

A c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta n o tr o s d o s te o re m a s . E l te o re m a 6.2 es u n c a s o e s p e c ia l d e l te o re m a 6. 1.

Teorema 6.2 Teorema 6.3

Si u n tr iá n g u lo es e q u ilá te ro , e n to n c e s es e q u iá n g u lo . Si d o s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo s o n c o n g ru e n te s , e n to n c e s los la d o s o p u e s to s a e s to s á n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .

203

204

T riá n g u lo s

EJERCICIOS A. E n los ejercicios 1 a 3, los segm entos q u e tienen m arcas idénticas se consideran congruentes. C ítense to d o s los pares de ángulos que, según el teorem a 6. 1, son congruentes.

1.

A

E

E n los ejercicios 4 a 6, los ángulos que tienen m arcas idénticas se consideran congruentes. C ítense los triángulos isósceles.

7. m L A B C = _L. 9. m L A C D = _L. 11. A B = J _ .

8 . C E = _L. 10. S C = 12. m / _ A D B = X . (Ejercicios 7, 8)

B. 13. /S A B C es isósceles co n A B = BC. Si A B = 4x y B C = 6 x — 15, encuéntrense A B y BC. 14. En A DEF, D E ^ E F . Si D E = 4x + 15, E F = 2x + 45 y D F = 3x + 15, encuéntrense las longitudes de los lados del triángulo. 15. En A X Y Z , X Y ^ Y Z . Si m L X = 4x + 60,m A F = 2x + 30 y m L Z = 14x + 30, encuéntrense m L X , m L Y y m L Z . 16. E n A A B C , ¿ A ^ ¿ C . S \ A B = 4x + 25, B C = 2x + 45 y A C = 3x — 15, encuéntrense las longitudes de los tres lados.

6.2


Escríbase una dem ostración a d os colum nas p a ra cada uno de los ejercicios 17 a 24. 18. Dado:

A B C D es un cu ad rilátero con A B s B C y D A s s DC. Pruébese: L B A D s L B C D . (Sugerencia: A ñádase u n a línea auxiliar.)

17. D ado:

A B Â C D B a DC. Pruébese: Z 1 a Z 2 . A

D

B C

19. D ado: A C = A D , B C = ED. Pruébese: A A B E es isósceles.

20. D atos: AC AD, Z 1 = Z 2 . Pruébese: A A B D =s A AEC.

A

21. D ado:

AB BE CD Pruébese: C D

23. D ado:

ss A C biseca a Z 6 biseca a Z C. a BE.

AB = AC ZlsZ2. Pruébese: A B C D es isósceles.

22. D ado:

AB BE CD Pruébese: A D

24. D ado:

s; AC biseca a ¿ B biseca a Z C. = AE.

¿ A B C ss ¿ A D C Z J_ ss Z 2 . __ __ Pruébese: A B a A D y B C s DC.

205

T riá n g u lo s

25. Dado: Z A B C y ¿_D son suplem entarios. Pruébese: A A B D es isósceles.

26. Se h a pedido a un grupo de agrim ensores que localice un p u n to sobre una delim itación de p ro p ied ad CD que equidiste de dos p u n to s previam ente localizados, A y B. D ebido a la m agnitud de las distancias, no se puede realizar una m edición directa con una cinta métrica. L os p u n to s A y B están cerca uno del otro. En cada u n o de ellos se colocó un teodolito. ¿Cóm o puede el g ru p o de agrim ensores localizar el p u n to deseado?

C

D * I aproximadamente una milla I i

t A

E n los ejercicios 27 y 28, A B C D E es un p entágono regular. 27. P ruébese que A A B G es un triángulo isósceles.

F.

28. Pruébese que A A F G es un trián g u lo isósceles. 29. Pruébese el teorem a 6.2.

(E jercicio s 27, 28)

30. Pruébese el teorem a 6.3. 31. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles, es la bisectriz perpendicular del lado opuesto. 32. P ruébese que si A A B C s A D EF y A D E F =s A G H I , entonces A A B C = A G H I . (P ropiedad transitiva de los triángulos congruentes.)

ACTIVIDADES! En u n a ta b la co n tre s c la v o s en un lado, o e n un p a p e l de p u n to s d e 3 x 3, m u é s tre n s e : 1. S e g m e n to s d e c in c o lo n g itu d e s d ife re n te s . 2. A n g u lo s d e d ie z ta m a ñ o s d ife re n te s . 3. T riá n g u lo s de s ie te ta m a ñ o s y fo rm a s d ife re n te s .

s

>

/-

y

>

6.2


207

33. Pruébese que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. 34. Pruébese que los segm entos de recta que tocan el punto m edio de la base de un triángulo isósceles y los puntos m edios de los catetos son congruentes.

A

35. E n un trián g u lo A B C , A B £ A C. X es el p u n to m edio de A B e Y es el p u n to m edio de A C . X W es una p erpendicular a AB; Y Z es p erpendicular a AC; W y Z son p u n to s sobre BC. D em uéstrese que X W ^ YZ.

(Ejercicio 35)

36. Pruébese que un trián g u lo equiángulo es equilátero. 37. Supóngase que A A B C es_un triángulo isósceles con A C = B C y que AD y B E se intersecan en P de m anera que L P A B = L P B A . D em uéstrese que A PD E es isósceles.

A (Ejercicio 37)

SO LUCIO N D E PROBLEM AS________________ ¿ C u á n to s triá n g u lo s e q u ilá te ro s hay en e s ta figura? ¿ C u á n ta s c o m e ta s hay en e s ta figura? (Una c o m e ta e s un c u a d rilá te ro con e x a c ta m e n te d o s p a re s de lados a d y a c e n te s c o n g ru e n te s.)

208

T riá n g u lo s

6.3

Medidas de los ángulos de un triángulo L o s p a tro n e s y diseños geom étricos son in tere sa n tes e im p o rta n te s p a r a u n d e c o ra d o r de interiores. (V éase «L a g eo m etría en n u e stro m u n d o » , pág. 40.) Si se a n a liz a n c o n cu id ad o se e n c u e n tra que m u c h o s de esto s d iseñ o s e stán co n stru id o s en to m o a form as trian g u lares q u e se repiten. E l te o re m a de esta sección describe u n a p ro p ie d a d de los triá n g u lo s que les d a la cu a lid a d d e ser p a tro n e s de referencia.

E n el ca p ítu lo 2 se o b serv ó q u e las esq u in as de u n triá n g u lo p u ed e n c o rta rse y lu eg o unirse, la su m a de esto s án g u lo s re su lta ser 180°.

A h o ra se en u n c ia esto co m o u n teorem a.

Teorema 6.4

L a su m a d e los án g u lo s d e u n triá n g u lo es 180°.

PR U E B A

D ad o : U n triá n g u lo ABC. P ruébese: m L A + m ¿ B + m ¿ C = 180 P lan : T rá cese u n a re cta í a través de A y p a ra le la a BC, y ú sense teo re m as que re lacio n en rectas p a ra le la s c o n u n a tran sv ersal. (L a re cta í es u n a re c ta auxiliar.)

6.3

M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e un tr iá n g u lo

A firm aciones 1. Sea l u n a recta a través de A y paralela a B C . 2. ¿ 1

1. C onstrucción. 2. Si dos rectas son paralelas, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

3. m ¿ \ + m ¿ A + m ¿ 2 = 180.

3. Definición de «entre» para rayos y po stu lad o del p a r lineal.

4. m ¿ B + m L A + m ¿ C = 180.

4. Sustitución.

A PLICA CIO N D a d o q u e la s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es 180° (en la fig u ra , a + b + c = 180), se p u e d e n d is p o n e r c o p ia s c o n g ru e n te s d e u n tr iá n g u lo a lr e d e d o r d e u n p u n to , c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra , y e x te n d e rla s p a r a c u b r ir u n p la n o . E s to s p a tr o n e s tr ia n g u la r e s s o n la b a s e p a r a o tr o s m á s in trin c a d o s , c o m o se m u e s tr a a l p rin c ip io d e e s ta secció n .

E l s ig u ie n te te o re m a p u e d e p r o b a r s e a p lic a n d o el te o r e m a 6.4 p a r a triá n g u lo s e q u ilá te ro s .

Teorema 6.5

L o s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo e q u ilá te r o m id e n 60° c a d a u n o .

E l te o r e m a q u e se e n u n c ia a c o n tin u a c ió n es ú til p a r a re s o lv e r c ie rto s p ro b le m a s g e o m é tric o s . S e e n u n c ia e ilu s tr a a q u í, y se p r o b a r á c o m o ejercicio .

Teorema 6.6

x = a + b, donde x es la m edida del ángulo externo y a y b son las m edidas de los ángulos interiores no contiguos.

L a m e d id a d e u n á n g u lo e x te rio r d e u n tr iá n g u lo es ig u a l a la s u m a d e su s d o s á n g u lo s in te rio r e s n o c o n tig u o s .

209

210

EJERCICIOS A. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos indicados en los ejercicios 1 a 9. Las m arcas ind ican segm entos congruentes. 2.

5.

8.

B. 10. L a m edida de los ángulos de la base de un triángulo isósceles se representa p o r x, y el ángulo del vértice, p o r 2x + 30. E ncuéntrese la m edida de cada ángulo. 11. Las m edidas de los ángulos de un trián g u lo se representan por 2x + 15, x + 20 y 3x 4- 25. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos. 12. Pruébese que los ángulos de un triángulo equilátero m iden 60° ca d a uno. 13. P ruébese que los ángulos de la base de un trián g u lo rectángulo isósceles m iden 45° cada uno. 14. U n m ecánico debe co n stru ir u n a placa de acero con orificios com o los que m uestra la figura. El m ecánico debe calcular prim ero las m edidas de L 3 y LA. E ncuéntrense m / 3 y m L A .

ACTIVIDADES! T rá c e n s e y re c ó rte n s e tr e s h e x á g o n o s p e q u e ñ o s, y c ó rte s e p o r las lín eas p u n te a d a s . Con la s 13 p ie z a s re s u lta n te s, fó rm e se un h ex ág o n o re g u la r g ra n d e .

6.3

M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e un triá n g u lo

15. Pruébese que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son agudos. 16. E n A A B C y A DEF, L A ^ L D y L B u L E . Pruébese que L C ^ L F . 17. P ruébese que los ángulos agudos de u n triángulo rectángulo son com plem entarios.

18. Dado: A B ¡| DE. Pruébese: m ¿ B + m ¿ C + m ¿ D = 180.

19. Dado:

C E biseca a Z B C D A C sB C .

Pruébese: C É W Á B .

D"

E

20. D ado:

21. Dado: A B , BC , <3> y AD. Pruébese: m Z l + m Z 2 = m / _ C + m ¿ B .

22. Pruébese que la sum a de los ángulos de un cuad rilátero es 360°.

23. Pruébese el teorem a 6 .6.

DE± Z£ DB ± AB. Pruébese: m Z C A B = m L CDE. D

SO LUCIO N DE PROBLEMAS D ib ú jen se e s ta s fig u ra s y trá c e n s e la s lín e a s de p u n to s p a ra dividir las fig u ra s en c u a tro p a rte s id é n tic a s, to d a s d e la m ism a form a q u e la

A

211

212

T riá n g u lo s

6.4

El teorem a de la congruencia l a a

E n u n a isla de caníbales h a y diversos tipo s de árboles: U n roble, un olm o chino, y varios arces. S i trazá is un a sen da q u e v ay a del olm o a l roble en co ntra réis e l tesoro del cual q ueréis q u e os hable. S ó lo e n c o n tra d el p u n to y po d ré is e sta r seguros. C o n g r u e n te el triángulo será c o n u n o de piedras q u e a h í está.

(

Si se encuentra el p u n to X donde el ángulo ) es el m ism o que el ángulo correspondiente en el triángulo de piedras, ¿puede tenerse la seguridad de que los triángulos son congruentes?

U n p ir a ta , q u e e r a u n e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía fr u s tr a d o , c o lo c ó tre s e n o rm e s p ie d ra s , y e s c rib ió el p o e m a a n te rio r. E n lo s tr iá n g u lo s sig u ie n te s, d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a u n á n g u lo s o n c o n g ru e n te s . C o n p a p e l v e g e ta l, llé g u e se a la c o n v in c ió n d e q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .

E s ta s c o n c lu s io n e s d e b e n e s ta r d e a c u e r d o c o n el te o r e m a d e l la d o - á n g u lo á n g u lo (LAA).

Teorema 6.7

T e o re m a L A A . Si e n u n triá n g u lo , d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a u n o d e lo s á n g u lo s s o n c o n g ru e n te s c o n d o s á n g u lo s y el la d o c o r re s p o n d ie n te d e u n s e g u n d o triá n g u lo , e n to n c e s lo s d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .

6.4

PR U E B A


213

G

D ado: A A B C y A D E F con ¿A = LD

F

LB^_LE B C = £F. P ru é b e se : A A B C = A D E F . E

P la n : Se u tiliz a r á la in fo rm a c ió n p r o p o r c io n a d a p a r a m o s tr a r q u e L C s L F , y d e sp u é s se u tiliz a r á el p o s tu la d o A L A . Razones

Afirm aciones 1. D ado.

2. m L A + m L B + m L C = 180; m L D + m L E + m L F = 180.

2. L a sum a de las m edidas de los tres ángulos de un triángulo es

3. m L A + m Z £ + m L C = = m L D + m L E + mLF.

3. Sustitución.

4. m L C = m L F .

4. P rop iedad de resta de iguales.

5. L C s LF.

5. Definición de ángulos congruentes.

6. B C s EF.

6. ¿P or qué?

7. A A B C = A DEF.

7. ¿ P o r qué?

O’ O co i— H

1. Z A =2 L D , Z S s ¿ E .

^

APLICA CIO N E l te o re m a 6.7 p r o p o r c io n a u n a r e s p u e s ta a l p r o b le m a del te s o r o d e l p ir a ta . D a d o q u e d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a u n o d e lo s á n g u lo s d e l « tr iá n g u lo d e á rb o le s » so n c o n g ru e n te s c o n d o s á n g u lo s y el la d o o p u e s to a u n o d e los á n g u lo s d e l « tr iá n g u lo d e p ie d ra s » , lo s d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g r u e n te s y X s e ñ a la el p u n to e n q u e e s tá el te s o ro . C u a n d o se a p lic a el te o r e m a 6.7 a u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo , r e s u lta el te o r e m a d e la h ip o te n u s a y el á n g u lo . roblé

Teorema 6.8

T eo rem a de la hipotenusa y el ángulo. Si l a h ip o te n u s a y u n á n g u lo a g u d o d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo s o n c o n g ru e n te s c o n la h ip o te n u s a y u n á n g u lo a g u d o d e o tr o tr iá n g u lo r e c tá n g u lo , e n to n c e s lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .

olmo

214

T riá n g u lo s

EJERCICIOS A. E n los ejercicios 1 a 6 , indiquese si los pares de triángulos d ad o s son congruentes p o r LAA, LA L, ALA, hipotenusa y cateto, o p o r ninguno de estos teorem as.

c

B.

C on la inform ación p ro p o rcio n ad a en los ejercicios 7 y 8, pruébese que A A C D s A BCD. 7. Dado:

C D _L A B ¿ A s¿ B .

8. D ado: CD biseca a Z C

9. Dado:

Z I ss Z 2 Z C =£ ZO. Pruébese: A A B C s A B A D .

ACTIVIDADES! C ó rte n se palillos d e la s sig u ie n te s longitudes: d o s d e 10 cm d o s d e 17.3 cm uno d e 20 cm u n o d e 30 cm ¿C u á n to s triá n g u lo s d istin to s p u e d e n c o n s tru irs e con e s to s s e is palillos?

¿ A s¿ B .

(Ejercicios 7, 8)

D

ja

6.4

10. D ado:

A A B C es isósceles con ángulo d e vértice C Z f l s LE. Pruébese: A A B E ss A B A D . D E


11. D ado: B E s s C F L A == L D L A C B s LDEF. Pruébese: A A B C s A DFE.

12. Form úlese una p ru eb a a d os colum nas p a ra el teorem a 6.7. 13. Form úlese una pru eb a a d os colum nas p a ra el teorem a 6.8.

c. 14. D ado:

L A ss L B L A D C s LBEC. Pruébese: A A E C s s A B DC.

15. Dado:

A B C D E es un pentágono regular. Pruébese: A A F E = A BFC. L)

C.

C

B 16. Pruébese que los segm entos desde un p u n to sobre la bisectriz de un ángulo p erpendicular a los lados del ángulo son congruentes.

. SO LUCIO N D E PROBLEMAS Si lo s tr iá n g u lo s y h e x á g o n o s de e s te d is e ñ o s e d ib u ja ra n d e m a n e ra qu e d o s p o líg o n o s c u a le s q u ie ra co n un v é rtic e c o m ú n tu v ie ra n d ife re n te s c o lo re s , ¿ cuál es el n ú m e ro m ín im o de c o lo re s n e c e s a rio p a ra c o m p le ta r el c o lo re a d o del dise ñ o ?

17. Pruébese que si se trazan perpendiculares desde cualquier p u n to de la base de un triángulo isósceles a los lados congruentes, los ángulos que se form an en la base del triángulo son congruentes.

215

216

T riá n g u lo s

6.5

El teorem a de la congruencia de la hipotenusa y el cateto

S u p ó n g a s e q u e se d e se a in s ta la r u n a c a n a s ta d e b a lo n c e s to e n u n a p a r e d a l a ire lib re . ¿ C ó m o se p u e d e te n e r la s e g u rid a d d e q u e el ta b le r o q u e d e p a r a le lo a la p a re d ? L o s s o p o r te s q u e s u je ta n el ta b le r o a la p a r e d s o n u n e le m e n to im p o r ta n te p a r a la re s p u e s ta . C o n s id é re n s e lo s sig u ie n te s p a r e s de triá n g u lo s . G£ = JL_ GH JK

U tilíc e se p a p e l v e g e ta l p a r a lle g a r a la c o n c lu s ió n d e que: A A B C ^ A DEF.

TeOr©ITia 6.9

AGHI s

AJK L

T eo rem a d e la hipotenusa y el cateto. Si la h ip o te n u s a y u n c a te to d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo s o n c o n g r u e n te s c o n la h ip o te n u s a y u n c a te to d e o tr o triá n g u lo re c tá n g u lo , e n to n c e s lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .

PRUEBA

Dado: A A B C y A D E F

Pruébese:

c o n L B y L E c o m o jín g u lo s re c to s B C ^ E F y A C s D F. A A B C s A DEF.

218

T riá n g u lo s

EJERCICIOS---------------------------- ------AE n los ejercicios 1 a 4, decídase si la inform ación d ad a determ ina la congruencia p o r LAA, ALA, h ip o ten u sa y ángulo, hipotenusa y cateto, o ninguno de estos teorem as. D 1. D ado: Á B s DÉ, Á C s DF. 2. D ado: ¿ A s ¿ D, B C s EF. 3. Dado: ¿ B s ¿ E , Á B s D E . 4. D ado: Á C s DF, ¿ A s ¿ D . En los ejercicios 5 a 9, determ ínese si la inform ación d ad a asegura que los triángulos son congruentes. Si n o lo son, proporciónese un contraejem plo. 5. D ado: P Q s S T , ¿ P s ¿ S , ¿ Q s ¿ T . 6. Dado: P Q s T Ü , Q R s S Ü , ¿ Q s ¿ U . 7. D ado: ¿ P = ¿ S , ¿ Q s

¿ T, ¿ R s

¿ ü

8. D ado: ¿ Q s ¿ T , P Q s S T , P R s S Ü . 9. D ado: P Q s S U , Q R s S T , P R s

Q (Ejercicios 5-9)

TU.

B. P a ra los ejercicios 10 y 11, supóngase que A B = D E y A C = D F . 10. Si B C = 2 x - 3 y E F = x + 5, encuéntrense las longitudes de B C y EF. 11. Si m L A = 4x - 5 y m L D = 2 x + 25, encuéntrense m ¿ B y m ¿ E .

ACTIVIDADES T rá c e n s e y re c ó rte n s e la s 13 p ie z a s d e e s to s d o s d o d e c á g o n o s re g u la r e s y c o ló q u e n s e p a r a fo rm a r un d o d e c á g o n o re g u la r g ra n d e .

D \ \ . C b -------- f

(Ejercicios 10, 11) F.

6.5

El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia d e la h ip o te n u s a y e l c a te to

12. D ado:

BD = CE BD y C E son alturas. Pruébese: A A B C es isósceles.

A

13. Dado:

BD y C E son alturas L A B C 3? ¿ A C B . Pruébese: A B F C es isósceles.

c.

C

(Ejercicios 12,13)

En los ejercicios 14 a 16 B E ^ CD y BD y C E so n alturas. 14. P ruébese que A E F B 3= A DFC. 15. Pruébese que A A E D es isósceles. 16. Pruébese q u e ED || S ? . 17. P ru éb ese el teorem a 6.10. 18. U n a sierra circular de siete dientes se hace co rta n d o siete triángulos rectángulos de mi polígono reg u lar de siete lados. Si A B se c o rta con la m ism a longitud p a ra cada diente, ¿p o r qué to d o s los p u n to s salientes de la sierra tienen un ángulo del m ism o tam año?

C

(Ejercicios 14-16)

SO LUCIO N D E PROBLEMAS. A la d e re c h a s e ¡lustra u n a p irá m id e c u a d ra d a . 1. ¿ C u á le s de e s to s p a tro n e s p u e d e n d o b la rs e p a ra c o n s tru ir la p irá m id e ?

2. C o n s tru y a n s e e n m a y o r ta m a ñ o p a tro n e s c o m o é s to s . C o m p ru é b e s e la p re g u n ta a n te r io r c o n s tru y e n d o u n a fig u ra co n c a d a u n o d e e llo s .

219

220

T riá n g u lo s

Capítulo 6 Conceptos im portantes Términos T riángulo escaleno (pág. 198) T riángulo acutángulo (pág. 198) T riángulo rectángulo (pág. 199) H ipotenusa (pág. 199)

T riángulo obtusángulo (pág. 199) T riángulo equiángulo (pág. 199) A ltura (pág. 199)

Teoremas 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

6.6 6.7

6.8

6.9

6.10

Si un trián g u lo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes. Si u n trián g u lo es equilátero, entonces es equiángulo. Si d os ángulos de u n triángulo son congruentes, entonces los lados o puestos a estos ángulos son congruentes. L a sum a de los ángulos de un triángulo es 180°. Los ángulos de un trián g u lo eq u ilátero m iden 60° cada uno. L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de sus d os ángulos interiores no contiguos. T eorem a LAA. Si d os ángulos de un trián g ulo y el lado opuesto a u n o de ellos son congruentes con dos ángulos y el lad o correspondiente de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. T eorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y un áng u lo agudo de un trián g u lo rectángulo son congruentes con la h ipotenusa y un ángulo agudo de o tro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. T eorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ip o tenusa y un cateto de un trián g u lo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de un segundo trián gulo rectángulo, entonces los trián g u lo s son congruentes. Si un p u n to P equidista de un p a r de p u n to s A y B, entonces P está sobre la bisectriz perpendicular de AB._A la inversa, u n p u n to sobre la bisectriz perpendicular de A B equidista de A y de B.

C a p ítu lo 6

Capítulo 6

R e su m e n

221

Resumen

1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a. U n trián g u lo escaleno no puede ser un triángulo acutángulo. b. U n trián g u lo isósceles tam bién puede ser un triángulo rectángulo. c. U n trián g u lo rectángulo tiene sólo una altura. d. Si dos ángulos de un trián g u lo m iden 60” y 90°, entonces el trián g u lo es isósceles. 2. Si m L A C D = 120 y m ¿ A B C = 50, encuéntrese m ¿ B A C . 3. L as m edidas de los d os ángulos de la base de un triángulo isósceles se representan p o r x + 20 y 3x — 40. E ncuéntrese la m edida del ángulo del vértice. 4. D ado: A C s s B C , A D s s BD. Pruébese: ¿ C A D s s Z CBD.

5. Dado: Pruébese: A D = BC.

6. D ado:

w Z B = m L C = 90 Z lsZ 2.

7. D ado:

C X es u n a a ltu ra de A B A Y es u n a a ltu ra de CB C X ^Á Y. Pruébese: A A B C es isósceles. C

D

A

B

8. a . m Z D F E = m¿_ 5 + m Z l = = w Z 2 + m Z 4 . ¿ P o r qué? b . Si m / - 4 = 80 y m Z 3 = 35, encuéntrese m L 5. A

9. D ado:

A K M N es isósceles. Z1 ^ Z 2 . Pruébese: A K H G es isósceles. K

H

222

T riá n g u lo s

Capítulo 6

Examen

1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a. U n trián g u lo equilátero es equiángulo. b. U n triángulo o b tusán g u lo puede ten er un áng u lo recto. c. Si u n áng u lo ag u d o de un triángulo rectángulo es congruente con un áng u lo agudo de o tro trián g u lo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. d. Si d os ángulos de un triángulo m iden 100° y 40°, entonces el triángulo es isósceles. 2. Si A B s B C y m /L B A D = 116, encuéntrese Z B . 3. L as m edidas de los ángulos de un trián g u lo se representan p o r 4x, 5x — 5 y x + 35. E ncuéntrense las m edidas de ca d a uno. 4. D ado:

D A _L A R , D R s HA. Pruébese: D A == H R.

5. D ado:

T IJ es la al S W e s la al ¿ l s Z 2, Pruébese: A R S T es i

6. D ado:

Z 1= Z2 Z 3 = Z 4. Pruébese: X V ^ YW.

7. Pruébese que la a ltu ra a la base de un trián g u lo isósceles tam bién es la bisectriz del áng u lo del vértice. 8. a. Si m Z 2 = 20 y m Z 3 = 35, encuéntrese m Z l. b. Si m Z B E C = 100 y m L B A E = 65, encuéntrese m L A B E . 9. D ado:

J H \\ F G

Al =_Á.3 J H = JF. Pruébese: A J G H es isósceles

Técnicas para la solución de problemas Hacer una tabla-il En u n a sección an terio r sobre técnicas de solución de problem as, se sugirió el u so de una tab la p ara ay u d ar a la resolución de problem as. Aquí se presen tan m ás p roblem as p a ra los cuales puede ser útil la elaboración de tablas.

2 cortes, 4 piezas 8 cortes, ¿cu án tas piezas?

PROBLEMAS P a ra cada problem a, hágase u n a tabla, obsérvese un patró n y resuélvase el problem a. 1. ¿Cuál es la can tid ad m áxim a de pedazos de pizza que se pueden conseguir con sólo 8 cortes? (indicación: E labórese u n a tabla. U na colum na deberá tener el núm ero de cortes, y la otra, la cantidad m áxim a de pedazos de pizza.) 2. U n a región de un p lan o ac o ta d a en to d o s sus lados p o r u n a línea, es u n a región acotada. ¿C uántas regiones aco tad as pueden form arse tra z a n d o 9 líneas rectas? 3. U n núm ero trian g u lar (T ) es aquel que puede representarse geom étricam ente com o se m uestra en la tab la, d o n d e se ilu stran T¡, T2, T3 y T4. ¿Pueden en co n trarse Ts y T6? ¿Puede predecirse cuál es el décim o núm ero trian g u lar (T10)? configuración •

4. U n núm ero p en tagonal (P ) es u n núm ero que puede representarse geom étricam ente com o se m uestra en la tabla. ¿Pueden encontrarse P 5 y P 6? ¿Puede predecirse cuál es el décim o núm ero pentagonal ( P 10)?

configuración

núm ero 1

P

t2

3

Pi

T,

6

P 3

T,

10

P<

?

?

P5

?

?

Pe

T, t6

1 región a co ta d a

•

O

nú m ero 1 5 12 22

?

?

?

? '

5. U n núm ero h eptagonal (H) puede representarse geom étricam ente d ib u jan d o h eptágonos (siete lados), de m anera sim ilar a los problem as 3 y 4. E ncuéntrense H 3 y H 4. ¿Puede predecirse cuál es el décim o núm ero heptagonal (H 10)?

223

C A P IT U L O

7.1

El t e o r e m a d e P it á g o r a s

7.2

T r iá n g u lo s e s p e c ia le s

226 232

7.3

T e o r e m a s d e la c o n c u r r e n c ia e n tr iá n g u l& s

7 .4

D e s ig u a ld a d d e l t r iá n g u lo

7 .5

D e s ig u a ld a d e s e n u n t r iá n g u lo

248


R esum en

236

244

252

R es u m en g lo b a l (C a p s. 4 a 7)

253

255

La g e o m e tría en n u es tro m undo G r á fic a s p o r c o m p u t a d o r : d is e ñ o a s is t id o p o r c o m p u ta d o r

256

E xam en

25 4

Más sobre triángulos

225

226

M á s s o b re triá n g u lo s

7.1

El teorem a de Pitágoras

U n o d e lo s te o re m a s m á s c o n o c id o s y ú tile s e n g e o m e tría p la n a es el te o r e m a d e P itá g o r a s , lla m a d o a s í p o r el m a te m á tic o g rie g o P itá g o ra s . E l te o r e m a d ic e q u e el á r e a d e u n c u a d r a d o c o n s tr u id o s o b r e la h ip o te n u s a d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo es ig u a l a la s u m a d e la s á r e a s d e lo s c u a d r a d o s c o n s tr u id o s s o b r e lo s c a te to s d e l triá n g u lo . E n lo s e je m p lo s l a 3, e n c u é n tre s e la m a n e r a d e c o n ta r la s p e q u e ñ a s u n id a d e s c u a d r a d a s p a r a m o s tr a r q u e el á r e a d e lo s c u a d r a d o s A y B e s ig u a l a l á r e a d e l c u a d r a d o C s o b r e la h ip o te n u s a .

Ejemplo 1

REPASO: Las definiciones de triángulo rectángulo, hip o ten u sa y catetos de un triángulo rectángulo, están en la página 199.

Ejemplo 3

Ejemplo 2 B

c

h

a

v

t

L

a

A

ir

b

A

s é\

Teorema 7.1

tí

c

T e o re m a d e P itá g o r a s . Si A A B C es u n triá n g u lo r e c tá n g u lo , e n to n c e s el c u a d r a d o d e la lo n g itu d d e la h ip o te n u s a es ig u a l a l a s u m a d e lo s c u a d r a d o s d e la s lo n g itu d e s d e lo s c a te to s .

A

PRUEBA

D a d o : E l tr iá n g u lo r e c tá n g u lo A C B c o n lo n g itu d d e h ip o te n u s a c y c o n lo n g itu d e s d e c a te to s a y b. P ru é b e se : c 2 = a 2 + b 2.

tí

C

A nálisis: C o n s tr u y a n s e c u a d r a d o s s o b r e A A B C c o m o lo s q u e se m u e s tr a n e n lo s e je m p lo s l a 3. E l c u a d r a d o s o b re a te n d r á á r e a a 2. E l c u a d r a d o s o b re b te n d r á á r e a b 2. E l c u a d r a d o s o b re c te n d r á á r e a d e c 2.

7.1


E l c u a d r a d o s o b r e el la d o c c o n s ta d e c u a tr o triá n g u lo s c o n g ru e n te s c o n A A B C y u n c u a d r a d o . L a fig u ra m u e s tr a q u e la lo n g itu d d e u n la d o d e l c u a d r a d o p e q u e ñ o e s a — b. P u e d e e n c o n tr a r s e el á r e a d e l c u a d r a d o g r a n d e s u m a n d o la s á r e a s d e lo s c u a tr o tr iá n g u lo s y el á r e a d e l c u a d r a d o p e q u e ñ o . E l á r e a d e lo s triá n g u lo s es 1 /2 ab. E l á r e a del c u a d r a d o es (a - b)2. A sí, c 2 = 4(1 ¡ l a b ) + (a - b)2 = l a b + + (a2 - l a b + b 2) = a 2 + b 2.

APLICACION U n a n u n c io s o b re la v e n ta d e u n te le v iso r d ic e q u e la p a n ta lla es d e 25 p u lg a d a s . L a p a n ta lla m id e a p r o x im a d a m e n te 19.5 p u lg a d a s d e a n c h o y 15.5 p u lg a d a s d e a ltu r a . ¿ P o r q u é se p u e d e a n u n c ia r q u e tie n e u n a p a n ta lla d e 25 p u lg a d a s ? R e sp u e sta . E n re a lid a d , el f a b r ic a n te se re fie re a la lo n g itu d d e la d ia g o n a l d e la p a n ta lla . AB2 + BC2 = A C2 19.52 + 15.52 = 620.5 A C = 24.9 A sí, la d ia g o n a l d e la p a n ta lla es d e casi 25 p u lg a d a s . 19.5

E l s ig u ie n te te o r e m a es la r e c íp ro c a d e l te o re m a d e P itá g o ra s .

Teorema 7.2

Si A A B C tie n e la d o s d e lo n g itu d e s a, b y c, y c 2 = a 2 + b 2, e n to n c e s A A B C es u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo .

Ejemplo A A B C es u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo p o r q u e

(V7)2 + l 2 = (2V2)2.

( 7 + 1 = 8)

227

228


EJERCICIO S______ En los ejercicios 1 a 6, establézcase si la ecuación d a d a es correcta o no.

a c2 = a2 + b2

s2 = u2 - t 2

y

x2 + y 2 = z2

c2 = a2 + b2

r = \A 2 + t2

/=

E n los ejercicios 7 a 12, empléese la inform ación d a d a en la figura p ara en c o n tra r el valo r de .x.

En los ejercicios 13 a 18, em pléese el triángulo rectángulo ABC. 13. Si A B = 6 y A C = 8, entonces B C = J -. 14. Si B C = 15 y A B = 9, entonces A C = X . 15. Si A C = 2 y A B = 2, entonces B C = X . 16. Si B C = y í 5 y A B = ^ 1 0 , entonces A C = -2_. 17. Si A C = y j í y /15 = ^ 3 , entonces B C = J L 18. Si / 4B = 2 ^ /3 y BC. = 6, entonces

= JL.

C

7.1


225

E n los ejercicios 19 a 24, decídase si las cifras dadas pueden ser longitudes de lados de u n triángulo rectángulo. 19. 10, 24, 26. 22. 7, 25, V 674.

20. 20, 21, 29.

21. 8, 15, 17.

23. 5, 13, y/\95.

24. 5, 12, 13.

25. H allar la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen de lo n g itu d 10 y 18.

26. U n a p u erta m ide 6 pies y 6 pulgadas de a ltu ra p o r 36 pulgadas de ancho. ¿Cuál es el ancho m ay o r que puede ten er un tab lero p a ra que quepa p o r esa puerta?

27. U n a escalera de 6 pies se coloca contra una p ared con la base a 2 pies de la pared. ¿A qué altu ra del suelo está la p a rte m ás alta de la escalera?

(E je rcic io 26)

28. E ncuéntrense las longitudes de A B , A C , AD y A E . 29. C o n una regla y un com pás, trácense segm entos de longitudes y y¡7. 30. U n a persona viaja 8 m illas a l norte, 3 m illas al oeste, 7 millas al n o rte y 11 m illas al este. ¿A qué distancia está la persona del p u n to original? 31. C o n los cuad rad o s cuyos lados m iden a + b, m uéstrese que el teorem a de P itág o ras es verdadero.

l i

A

(E je rcic io 28)

-i

t

230


32. U n a escalera extensible de 36 pies debe tener 4 pies de solape cu an d o está to talm en te extendida. Si la base de la escalera está a 10 pies del edificio, ¿qué altu ra alcanzará la escalera? 33. (Empléese u n a calculadora.) Si u n a hilera de tejas m ide 6 pulgadas de ancho, ¿cuántas hileras de tejas se necesitan p ara cada lado de este tejado?

36 pies

34. (Empléese una calcuadora.) U n g ru p o de ingenieros agrim ensores quiere m edir la distancia entre dos p u n to s A y B en un terren o accidentado. D esean conocer la distancia horizontal real AB. Si la tierra está 0.75 m etros más alta en la m itad de los dos p u n to s y si la cinta de m edir indica 27.0 m etros, ¿cuál es la d istan cia real A B ‘1

ACTIVIDADES En u n a h ab itació n d e 8 p ie s d e an ch o , 8 p ie s d e a ltu ra y 15 p ie s de larg o , u n a m o s c a v u ela d e s d e la m itad d e la p a re d d e la n te ra , a 1 p ie so b re el piso , h a s ta la m itad d e la p a re d tr a s e r a , a 1 pie del techo. 1. A div ín ese cu ál d e los re c o rrid o s q u e s e m u e stra n a continuación e s el m á s corto.

2. C o n stru y a se u n a c a ja q u e re p r e s e n te la habitación, trá c e n s e los re c o rrid o s y m íd a n se s u s lo n g itu d es. (C u a lq u iera d e los d ia g ra m a s q u e a p a re c e n e n el sig u ie n te s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s p u e d e se rv ir p a ra c o n stru ir la caja.)

(Ejercicio 33)

(Ejercicio 34)

7.1 35. Se va a co n stru ir una escalera con u n a pieza de m ad era llam ad a larguero. (Véase el ejercicio 9 de la pág. 173.) El larg u ero va de A a B, cubre u n a distancia horizo n tal de 14 pies y una altu ra de 9 pies y 6 pulgadas. ¿Q ué longitud debe tener la pieza de m ad era p a ra el larguero? (Sugerencia. ia m ad era se vende en pies pies lineales.)

El te o re m a d e P itá g o ra s B

larguero 9 pies 6 pulgadas

A

14 pies pii

36. U n a caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10 cm de alto. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AB1

SOLUCION DE PROBLEMAS____________________ 1. Im a g ín e se q u e s e co rtó la c a ja d e la se c c ió n «A ctividades» an terio r. C o m p á re n s e los re c o rrid o s d e la m o s c a m o stra d o s e n e s a se c c ió n con uno d e los d ia g ra m a s sig u ie n te s:

A

/ ! i ------1 J—

2. C o m p lé te se un trián g u lo re c tá n g u lo y c a lc ú le s e la longitud d e c a d a reco rrid o .

________________________

231

232


7.2 Triángulos especiales L as fig u ras y ta b la s de la d e re c h a p re se n ta n las d im en sio n es y especificaciones d e d o s tip o s diferentes de tuercas. L a d im en sió n F in d ica el ta m a ñ o d e la llave q u e se n ecesita p a r a la tu erca. ¿C ó m o p u e d e n calcu larse las d im en sio n es G? P a ra este cálculo es ú til co n o c er los triá n g u lo s 45°-45°-90° y 30°-60°-90°. A

U n trián g u lo 45°-45"-90° está form ad o p o r do s lad o s d e un c u ad rad o y u na diagonal.

Tuercas cuadradas y hexagonales F

Tamaflo Anchura nomi entre nal caras

U n trián g u lo 30°-60°-90c está fo rm ad o p o r u n a a ltu ra de u n trián g u lo equilátero.

0 1 2 3 4

G Anchura entre esquinas Cuadr.

Hex.

Básica

M áx.

Máx.

5/32 5/32 3/16 3/16 1/4

0.221 0.221 0.265 0.265 0.354

0.180 0.180 0.217 0.217 0.289

Teorema 7.3

L a lo n g itu d de la h ip o te n u sa de u n triá n g u lo 45°-45°-90° es y j l m u ltip licad o p o r la lo n g itu d d e u n cateto.

Teorema 7.4

L a lo n g itu d del c a te to m ás larg o d e u n triá n g u lo 30°-60°-90c es R

m u ltip licad o p o r la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa o s/ 3 m u ltip licad o p o r la lo n g itu d del la d o m ás co rto .

L a p ru e b a del te o re m a 7.3 se d e ja co m o ejercicio. Se sugiere re alizar u n a p ru e b a del te o re m a 7.4 a p lic a n d o el te o re m a d e P itá g o ra s p a r a A A C D p re se n ta d o antes: ** = ( A C f + ( i , ) 2

(AC? = * - f = s ( 1 - 1 )

í) - í»

7.2


E sto s d o s teo re m as pu ed en u sarse p a ra e n c o n tra r lo n g itu d es d esco n o cid as en trián g u lo s especiales. F

C

Ejemplo 1 A 1. L A y L C deben ser án g u lo s de 45°. 2. P o r el te o re m a 7.3, x * j 2 = 12, así que

x = J 2 . ^ 2 = nV2 = f ¡ V 2. V2

V2

1. ED es u n a a ltu ra de u n trián g u lo eq u ilátero , así q u e /=

—

2

2

= 8.

2. P o r el te o re m a 7.4, e = V 3 ■ / o b ien e = 8 \/3 .

APLICACION 1 ¿Q u é d istan cia h ay e n tre home y la segunda b ase en u n d ia m a n te d e béisbol? R ecuérdese q u e la d istan cia de home a la p rim e ra b ase es 90 pies. D a d o q u e A H F S es u n triá n g u lo 45° - 45°-90°, el te o re m a 7.3 dice que

H S = \ / 2 ( 9 0 ) = 127.28 pies.

NOTA: J 2 y ^ 3 sólo se pueden aproxim ar con un n ú m ero decimal.

APLICACION 2 L as tu erc as d e la especificación del p rincipio d e esta sección tienen fo rm a c u a d ra d a y de h e x á g o n o reg u lar. P o r ta n to , A A B C es u n trián g u lo 45°-45°-90° y A DEF es u n trián g u lo 30°-60°-90°. P o r el te o re m a 7.3, G¡ = S/ 2 F 1. P o r el te o re m a 7.4, F E — \ / 3 D E F2 = 2 F E = 2-n/3 D E

DE =

F-,

2 \/3

G2 = 4 D E = - ^ F 2.

P a ra el ta m a ñ o 4 de tu ercas hexagonales con

F2 =

í

, G 2 = 4 D E = - 4 = • - = 0.289. V3 4

O bsérvese q u e este es el v a lo r d a d o en la tabla.

233

234


EJERCICIOS_____ A. E n los ejercicios 1 a 4, empléese el teorem a 7.3 para e n c o n tra r las longitudes de los lados indicados.

1.

2.

3.

En los ejercicios 5 a 12, empléese el teorem a 7.4 para e n co n trar las longitudes de los lados de cada triángulo.

6.

5.

7.

30 =

10.

9.

V3

11.

12.

} > 3 0 * \

1

^0 °

/ 9

>

ACTIVIDADES' R e c ó rte n s e en c a rtu lin a u o tro m a te ria l ta n to s triá n g u lo s e q u ilá te ro s c o m o s e a n n e c e s a rio s y ú n a n s e c o n b a n d a s e lá s tic a s c o m o se m u e s tra e n la fo to g ra fía . Se p u e d e n c o n s tr u ir o c h o fig u ra s d e s ó lid o s c o n v e x o s u s a n d o s ó lo tr iá n g u lo s e q u ilá te ro s d e l m is m o ta m a ñ o . C o n s trú y a s e e l m á x im o de e lla s .

}

19 i

\ >

2 \/3 □ _____ » :

7.2


235

13. E n un trián g u lo rectángulo, un ángulo ag udo m ide el doble

que el o tro ángulo agudo. Si la longitud del cateto m ás largo es 5, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 14. E l hueco de u n a ventana m ide 41 pulgadas de ancho y 26

pulgadas de altura. ¿Puede introducirse p o r la ventana una m esa de ping-pong de 48 p u lg ad as de ancho? 15. U n a escalera colocada c o n tra u n a p a re d form a un ángulo de 60° con el suelo. Si la base de la escalera está a tres m etros de la pared, ¿a qué altu ra del suelo está la p a rte superior de la escalera? 16. Pruébese el teorem a 7.3.

c. 17. Pruébese que la a ltu ra de un trián g u lo equilátero cuyo lado

m ide s es s-

c 2 '

18. Si la lo n g itud del lado de un hexágono reg u lar A B C D E F es s,

¿cuál es la longitud de X Y si X e Y son los puntos m edios de lados opuestos? x 19. Si un trián g u lo equilátero tiene lados de

longitud s, encuéntrese el ra d io del círculo que contiene los tres vértices. 20. U n arq u itecto está calculando las

dim ensiones de una ventana con forma de hexágono regular. Si la a ltu ra del hueco es 120 cm, encuéntrese la an ch u ra AB.

(m L A D F = 120.)

_ SO LUCIO N D E PROBLEM ASC o n s id é re s e un a p irá m id e c u a d ra d a c u y a s a ris ta s tie n e n lo n g itu d 2. S u p ó n g a s e q u e lo s p u n to s B y C s o n lo s p u n to s m e d io s de la s a ris ta s . 1. E n c u é n tre n s e las lo n g itu d e s d e A B y A C . 2. E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e la a ltu ra A D d e la p irá m id e . 3. ¿Es A A B C un triá n g u lo e q u ilá te ro ?

7

236

M ás s o b re triá n g u lo s

7.3

Teoremas de la concurrencia en triángulos

U n f a b r ic a n te m a n u f a c tu r a u n p r o d u c to q u e se v e n d e p rin c ip a lm e n te e n tre s g ra n d e s c iu d a d e s . S e v a a c o n s tr u ir u n a fá b ric a n u e v a e n u n p u n t o q u e e q u id is te de la s tr e s c iu d a d e s . ¿ C ó m o p u e d e lo c a liz a rs e el p u n to d o n d e se c o n s tr u ir á la fá b ric a ? E l a n á lisis s ig u ie n te r e s p o n d e a e s ta p re g u n ta . C o n s tr u y a n s e la s b ise c tric e s p e r p e n d ic u la re s a lo s la d o s d e u n triá n g u lo . B

¿ Q u é r e la c ió n h a y e n tre O A , O B y O C ?

Teorema 7.5

F

¿ Q u é r e la c ió n h a y e n tr e O D , O E y O F ?

/

¿ Q u é re la c ió n h a y e n tr e O G , O H y OP.

L a s b ise c tric e s p e rp e n d ic u la re s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo se in te rs e c a n e n u n p u n to O e q u id is ta n te d e lo s tre s v é rtic e s del triá n g u lo .

7.3


237

PRUEBA

Dado: A A B C c o n b ise c tric e s p e r p e n d ic u la re s t , l ' y Pruébese: t ' y l " s o n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to O y O A = O B = OC. C

B

Razones

Afirmaciones 1. t es la bisectriz perpendicular de ÁB.

1. D ado.

2. r es la bisectriz perpendicular de BC.

2. D ado.

3. 1 y i ' se intersecan en u n p u n to 0.

3. Si A B 0 BC entonces l Ht '.

4. O A = OB.

4. U n p u n to de u n a bisectriz p erpendicular equidista de los extremos.

5. OB = OC.

5. ¿ P o r qué?

6. O A = OC.

6. P ro p ied ad transitiva de las igualdades.

7. 0 está en la bisectriz perpendicular de A C .

7. U n p u n to equidistante de dos p u n to s está en la bisectriz perpendicular del segm ento d eterm inado p o r esos puntos.

8. 0 está en t , = OC.

8. A firm aciones 4 a 8.

t " y OA = O B =

C iu d ad B

APLICA CIO N A l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n , s u rg ió la p r e g u n ta d e c ó m o lo c a liz a r u n p u n to e q u id is ta n te d e tr e s c iu d a d e s . E l te o r e m a 7.. re s p o n d e a la p re g u n ta .

C iu d a d A C iu d ad C U bicación d eseada

238

M ás s o b re triá n g u lo s

Las bisectrices perpendiculares determinan un punto equidistante de los vértices del triángulo. También puede localizarse un punto que equidiste de los lados del triángulo. En AABC, se trazaron las bisectrices de los tres ángulos. B

¿Qué relación hay entre IX , I Y e IZ?

Teorema 7.6

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un punto I que equidista de los tres lados del triángulo.

Los puntos determinados por las bisectrices perpendiculares (Teorema 7.5) y las bisectrices de los ángulos (Teorema 7.6) son los centros de los círculos que tienen una relación especial con el triángulo.

El círculo O contiene los tres vértices de AABC. El centro es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares. El radio es OA. El círculo 0 se llama círculo circunscrito.

El círculo / toca cada lado de ARST exactamente en un punto. El centro es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. El radio es IW. El círculo I se llama círculo inscrito.

7.3


239

Si se d ib u ja r a u n tr iá n g u lo c o n s u s tr e s a ltu r a s , se v e ría q u e la s re c ta s q u e c o n tie n e n la s a ltu r a s s o n c o n c u rre n te s .

Teorema 7.7

L a s r e c ta s q u e c o n tie n e n la s a ltu r a s d e u n tr iá n g u lo se in te rs e c a n e n u n p u n to .

P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo , h a y tr e s s e g m e n to s lla m a d o s medianas.

Definición 7.1 U n a m ediana de un triángulo es un segm ento que va de un vértice al p u n to m edio del lado opuesto. Si se tr a z a r a n la s tr e s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo , se v e ría q u e las tre s ta m b ié n s o n c o n c u rre n te s . H a y o t r a re la c ió n in te re s a n te .

¿Q u é re la c ió n h a y e n tre A G y A X ? ¿ Q u é re la c ió n h ay e n tre B G y B Y ? ¿ Q u é re la c ió n h ay e n tre CG y C Z ?

El s ig u ie n te te o r e m a se e s ta b le c e sin p ru e b a .

T e o re m a

7 .8

L a s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo se in te rs e c a n e n u n p u n to s itu a d o a d o s te rc io s d e la d is ta n c ia d e c a d a v é rtic e a l la d o o p u e s to .

240


EJERCICIOS____ A. 1. C ítense u n a altu ra, u n a bisectriz de un ángulo y u n a m ediana de A A B C ,

2. E n A A B C , las rectas p y q son

bisectrices perpendiculares de los lados. Si O A = 5, encuéntrense OB y OC.

E n A A B C , A X , B Y y C Z son m edianas. 3. Si A Z = 3, Z B =

JL

4. Si CG = 4, G Z =

JL

B

5. Si A B = BY, B G = J L .

6. Trácese A A B C y el círculo que pasa p o r los p u n to s A, B y C. Em pléense un com pás y una regla p a ra e n co n trar el centro del círculo. (Indicación: U sese el T eorem a 7.5.)

a

¥ -------------------------------- "V C

E n los ejercicios 7 a 12 debe com pletarse una construcción. Em pléense u n a regla y un com pás o u n a h o ja de plástico tran sp aren te p a ra estas construcciones. C a d a ejercicio debe o c u p a r casi una h o ja com pleta de papel. 7. Ilústrese el teorem a 7.5 d ib u jan d o un

trián g u lo y las tres bisectrices perpendiculares.

7.3

T e o re m a d e ia c o n c u rre n c ia e n tr iá n g u lo s

8. Ilústrese el teorem a 7.6 d ib u jan d o un triángulo y las tres bisectrices de los ángulos. 9. Ilústrese el teorem a 7.7 d ib u jan d o un triángulo y sus tres alturas. 10. Ilústrese el teorem a 7.8 d ib u jan d o un triángulo y las tres m edianas. 11. D ibújense un trián g u lo y el círculo circunscrito. (Indicación: El teorem a 7.5 indica cóm o e n co n trar el centro del círculo.) 12. D ibújese A A B C co n lados de 14 cm, 17 cm y 20 cm. C on to d a precisión, trácense las intersecciones de las m edianas, de las altu ras y de las bisectrices perpendiculares de los lados. (El dibujo debe verificar q u e estos tres p u ntos están en u n a recta.) E ncuéntrense las respuestas de los ejercicios 13 a 16 experim entando con bocetos. Llénense los espacios en blanco con las p alab ras «siem pre», «algunas veces» o «nunca». 13. Las altu ra s de un triángulo X se intersecan en el in terio r del triángulo. 14. L as m edianas de u n trián g u lo X se intersecan en el exterior del triángulo. 15. L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo X se intersecan en el interior del triángulo. 16. L as bisectrices de u n trián g u lo X se intersecan en el interior del triángulo. 17. El cen tro del círculo circunscrito X está d en tro del triángulo. 18. El centro del círculo inscrito X está d en tro del triángulo. E n los ejercicios 19 y 20, llénese el prim er espacio en blanco con las p alab ras «acutángulo», «rectángulo» u «obtusángulo», y el segundo espacio con las p alab ras «dentro», «sobre» o «fuera». 19. El p u n to de intersección de las rectas que contienen las altu ras de u n trián g u lo X está X del triángulo. 20. El p u n to de intersección de las bisectrices perpendiculares de un trián g u lo X está X del triángulo.

241

242


B. 21. D ibújense un triángulo y el círculo inscrito. B 22. Pruébese que la m ed ian a del vértice del ángulo de un trián g u lo isósceles es tam bién una altura. 23. Pruébese que la m ediana del vértice del ángulo de un triángulo isósceles es tam bién la bisectriz del ángulo. 24. Pruébese q u e u n a a ltu ra de u n triángulo equilátero es tam bién una m ediana del triángulo.

(Ejercicios 22, 23)

25. Pruébese que u n a m ed ian a de u n triángulo equilátero es tam bién u n a a ltu ra del triángulo. 26. Pruébese q u e las m edianas de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. 27. E n A A B C , A B = A C , y B N y C M son bisectrices de los ángulos. Pruébese que A M O N es un triángulo isósceles.

(Ejercicio 27)

ACTIVIDADES! Centroide s ig n ific a c e n tro d e m a sa s. Si un tr iá n g u lo p u d ie ra e q u ilib ra rs e , s u « p u n to de e q u ilib rio » s e ría u n c e n tro id e . E x p e rim e n to : C ó rte s e u n a fig u ra tr ia n g u la r en c a rtu lin a o ta b la . (El triá n g u lo d e b e s e r e s c a le n o .) E n c u é n tre s e el c e n tro id e d e la fig u ra . ¿Se p u e d e e q u ilib r a r el o b je to e n e s e p u n to ? ¿Se p u e d e h a c e r g ir a r e l o b je to ?

7.3

T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia en triá n g u lo s

c. 28. Si A A B C es equilátero, encuéntrese la lo n g itud I X del radio del círculo inscrito. 29. Si A D E F es un trián g u lo 45°-45°-90°, com o se m uestra, encuéntrese la longitud del ra d io del círculo circunscrito. 30. Pruébese que el p u n to de intersección de las bisectrices de los ángulos de u n trián g u lo isósceles está sobre la a ltu ra del ángulo del vértice. 31. Pruébese que las tres m edianas de u n trián gulo equilátero dividen al triángulo en seis trián g u lo s congruentes. 32. Pruébese que en un trián g u lo eq u ilátero las bisectrices perpendiculares de los lados, las bisectrices de los ángulos, las altu ras y las m edianas se intersecan en el m ism o punto. 33. Pruébese qi¡3 ¡as altu ras de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.

SOLUCION D E PROBLEM AS________________________ CDEF e s u na tir a d e p a p e l d e 5 c m d e a n c h o y A B e s un d o b le z p a ra le lo a CF.

A'

S e a P un p u n to c u a lq u ie ra s o b re CA y d ó b le s e a lo la rg o d e PB lo c a liz a n d o e l p u n to O. S ean PA = x y Q B = y. 1. M u é s tre s e q u e PO — Q B = y. x 2 + 25

2. M u é s tre s e q u e x e y e s tá n re la c io n a d a s p o rq u e y = ------------. 2x (S u g e re n c ia : M u é s tre s e q u e A PQ R s A B Q A ' y e m p lé e s e e l te o re m a d e P itá g o ra s .)

243

244


7.4

Desigualdad del triángulo C o n fre c u e n c ia se e s c u c h a n frases c o m o « la d is ta n c ia m á s c o r ta e n tr e d o s p u n to s es u n c a m in o re c to » . T a le s e x p re s io n e s s o n u n a m a n e ra in fo rm a l d e d e s c rib ir u n a re la c ió n im p o r ta n te q u e se e s ta b le c e rá c o m o p o s tu la d o .

L o s tr e s e je m p lo s sig u ie n te s s u g ie re n e l p o s tu la d o . M íd a n s e lo s la d o s .

M íd a n s e lo s la d o s.

M íd a n s e lo s la d o s.

A

O b s é rv e s e q u e A C < A B + C B.

O b s é rv e s e q u e A B < A C + CB.

O b sé rv e se q u e C B < A B + AC.

Postulado de la desigualdad del triángulo O b s é rv e s e q u e 60 mm

40 + 32 60 40 + 60 > 32 60 + 32 > 40

L a sum a de las longitudes de d os lados de un triángulo es m ay o r que la longitud del tercer lado.

7.4

D e s ig u a ld a d d e l triá n g u lo

245

A P L IC A C IO N 1

U n a c o m p a ñ ía d e fe rro c a rrile s v a a c o n s tr u ir u n a e s ta c ió n c e n tr a l p a r a d a r se rv ic io a c u a tr o c iu d a d e s lo c a liz a d a s en lo s v é rtic e s A B C D d e u n c u a d r ilá te ro , c o m o se m u e s tr a en la fig u ra . ¿ D ó n d e d eb e u b ic a rs e la e s ta c ió n H p a r a q u e la lo n g itu d y el c o s to d e la c o n s tr u c c ió n d e la lin e a fé rre a , A H + B H + C H + D H s e a n m ín im o s? R e sp u e s ta . E n el p u n to d e in te rs e c c ió n de la s d ia g o n a le s d e A B D C . S u p ó n g a s e q u e H ' es o tr o p u n to . E n to n c e s , p o r el p o s tu la d o d e la d e s ig u a ld a d d e l triá n g u lo , 1. B H + C H < B H ' + C H ' e n A B C H '. 2. A H + D H < A H ' + D H ' en A A D H '. P o r ta n to ,

A H + B H + C H + D H < A H ' + B H ' + CH ' + DH'. A P L IC A C IO N 2

Si la s c iu d a d e s e s tá n lo c a liz a d a s e n lo s p u n to s A , B , C y D c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra , ¿cu ál es l a lo n g itu d m ín im a d e u n a lín e a d e u n p u n to c e n tr a l H a c a d a u n a d e la s c iu d a d e s? R e sp u e sta . P o r la a p lic a c ió n 1, se o b s e rv a q u e la lín e a d e lo n g itu d m ín im a es la s u m a d e las lo n g itu d e s d e la s d ia g o n a le s A C y B D . P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e e s ta s d ia g o n a le s , p rim e ro d e b e n e n c o n tr a r s e B E y C E . D a d o q u e la lo n g itu d d e l c a te to m á s c o r to d e u n triá n g u lo 3 0 °-60°-90° es la m ita d d e la lo n g itu d d e la h ip o te n u s a , B E = 23 k m . E l c a te to m á s la rg o , C E , tie n e u n a lo n g itu d d e 2 3 7 3 o u n o s 3 9 .8 4 km . A p lic a n d o el te o re m a d e P itá g o r a s a_________ A A E C , A C = J A E 2 + C E 2 = ^ 1 3 225 + 1587 = = 121.7 k m . B D = 9 2 k m . P o r ta n to , la lo n g itu d m ín im a es, a p ro x im a d a m e n te , 121.7 k m + 9 2 k m = 213.7 k m .

C

246


EJERCICIOS____ A. En los ejercicios 1 a 7, decídase si los conjuntos de núm eros d ad o s podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo. 1. { 4 ,5 ,7 } .

2. {4, 5, 17}.

3. {6 ,1 3 ,7 } .

5. {7 ,7 ,1 3 } .

6. { j , k , j + k).

7. {a, 3a, 3a}-

4. {9, 13, 17}.

B. 8. Si dos lados de un trián g u lo tienen longitudes 2 y 5, entonces la longitud del tercer lado es m ay o r que JL y m en o r que JL 9. Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 7 y 9, ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado? 10. Pruébese que A B + B C + CD > AD para cualquier cuadrilátero ABCD.

(E je rcic io 10)

ACTIVIDADES! C o n strú y a se un trián g u lo co n la d o s d e 8 cm , 11 cm y 15 cm , y m á rq u e n s e los s ig u ie n te s puntos: a.

El pun to m edio d e los tr e s lad o s.

b.

Los p ie s d e las tre s a ltu ra s.

c.

La in te rse c c ió n d e la s tr e s a ltu ra s. L lám ese H a e s te punto.

d.

Los p u n to s m e d io s d e los s e g m e n to s q u e un en H con v é rtic e s del triángulo.

¿Q u é re la c ió n e x iste e n tre los 9 p u n to s d e los a p a rta d o s a, byd?

los

*

7.4

D e s ig u a ld a d d e l triá n g u lo

11. Pruébese que el cam ino m ás co rto entre d os puntos, A y B, es el segm ento que los une.

c. 12. P ruébese que la sum a de las longitudes de los lados de un cuad rilátero es m ayor que la sum a de las longitudes de las diagonales. 13. Pruébese que la longitud de una diagonal de un cuadrilátero es m enor que la m itad del perím etro. E sto es, B£)

A B + B C + CD + A D

2 14. Pruébese que si D es un p u n to en el interior de A A B C , entonces \ ( A B + B C + A Q < A D + B D + CD. 15. Supónganse que unas ciudades localizadas en los p u n to s A, B, C y D com o se m uestra en la figura. ¿D ónde está el p u n to H si A H + B H + C H + D H es un m ínim o? ¿Cuál es el valor de este m ínim o? (Em pléese una calculadora.)

SO LUCIO N D E PROBLEMAS E ste d ibujo m u e stra la visión frontal y lateral d e un c u a d ro co lg a d o e n una p are d . El c u a d ro e s tá a p o y a d o c o n tra la p a re d a lo la rg o d e s u b a s e CD y s e p a ra d o d e e lla e n la p a rte su p e rio r. E stá co lg a d o con u n a c u e rd a AOB, d o n d e O e s el clav o d e la p a re d . E n c u é n tre se la longitud AOB.

O

o

247

248

M ás s o b r e triá n g u lo s

7.5

Desigualdades en un triángulo

Im ag ín ese u n a se n ta m ie n to físico c o n d istan cias q u e n o p u ed e n m edirse d irec tam en te. A lg u n as veces n o es necesario co n o cer la d ista n c ia real, sin o sólo u n a c o m p a ra c ió n e n tre las dos d istancias. P o r ejem plo, en u n b a rc o se p u ed e c o m p a ra r su d ista n c ia a u n p u n to e n la c o sta con su d ista n c ia a u n p u n to en u n a isla p a r a ten er la se g u rid a d d e q u e se e n c u e n tra fuera de u n a lín ea im a g in a ria a m ed io c a m in o e n tre la c o sta y la isla. E l te o re m a d e e s ta sección p ro p o rc io n a u n m éto d o de h acer esto.

m Z Z < mLX

m L j
m / L P < wzZ<2

Y

¿ C u ál es m ás c o rto , X Y o FZ?

Teorema 7.9

¿C uál es m ás c o rto , J L o L K ?

¿C uál es m ás c o rto , P R o QR?

Si las m ed id as d e d o s á n g u lo s d e u n triá n g u lo so n desiguales, e n to n ces la lo n g itu d del la d o o p u e s to a l á n g u lo m e n o r es m en o r q u e la lo n g itu d del la d o o p u e sto a l á n g u lo m ay o r.

7.5

D e s ig u a ld a d e s e n u n triá n g u lo

PR U EB A

D ado: a A B C con m L B < m L A . P ru é b e s e :^ c < B C .

A

B R azones

Afirm aciones 1. m ¿ B < m ¿ A .

1. D ado.

2. Existe un p u n to D sobre BC de m an era que m L B A D = m L B .

2. P o stu lad o del tran sp o rtad o r.

3. Á D ^ B D .

3. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados o puestos a ellos son congruentes.

4. A D = BD.

4. ¿ P o r qué?

5. A C < A D + DC.

5. ¿ P o r qué?

6. A D + D C = B D + DC.

6. P ro p ied ad d e sum a de las iguales.

1. B D + D C = BC.

7. Definición de «entre» p a ra puntos.

8. A C < BC.


APLICA CIO N ¿ C ó m o p u e d e d e te r m in a r s e q u e u n b a r c o e s tá fu e ra d e u n a lin e a im a g in a ria s itu a d a a m e d io c a m in o e n tr e la c o s ta y u n a isla? R e sp u e sta . U n a s p e r s o n a s s itu a d a s ' e n los p u n to s A y B d e te rm in a n , p o r m e d io d e la ra d io , el r a d a r o ra y o s lá se r, q u e m / L A < < m L B . C u a n d o e s ta in fo rm a c ió n se c o m u n ic a a l b a r c o , el c a p itá n c o n c lu y e , p o r el te o re m a 7.9, q u e C B < C A . L a r e c íp ro c a d e l te o r e m a 7.9 se e n u n c ia a q u í s in d e m o s tra c ió n .

Teorema 7.1 i

Si la s lo n g itu d es de d o s la d o s de u n triá n g u lo son desiguales, en to n ce s la m ed id a del á n g u lo o p u e s to a l la d o m ás c o rto es m e n o r q u e la m e d id a d e l á n g u lo o p u e sto al la d o m ás larg o .

249

250


EJERCICIOS_____ A. En los ejercicios 1 a 4, dígase cuáles son los lados m ás cortos y los m ás largos de los triángulos dados. 1.

En los ejercicios 5 a 8, enum érense los lados del m ás corto al m ás largo, p a ra u n trián g u lo A A B C si: 5. t n ¿ A = 46, m L B = 30.

6. m L C = 101, m L B = 70.

7. m L A = 59, m ¿ C = 61.

8. m L B = 48, m L A = 47.

En los ejercicios 9 y 10, enum érense los ángulos del más pequeño al m ás grande de A A B C si: 9. A B = 17, B C = 21, A C =

18.

10. A B = 15, A C = 16, B C = 17.

B. B al m ás largo. C 12. E num érense todos los segm entos de esta figura del m ás co rto al m ás largo. (Supóngase que todas las m edidas indicadas de los ángulos son correctas.)

^

ACTIVIDADES' E m p lé e se u n a m atriz c u a d ra d a d e p u n to s d e 3 x 3. P u e d e n d ib u ja rs e o ch o trián g u lo s d e d iferen te ta m a ñ o y form a. En u n a m atriz c u a d ra d a d e p u n to s d e 4 x 4 p u e d e n d ib u ja rse m á s d e 30 trián g u lo s. Su g e re n c ia : T ra b á je s e e n fo rm a siste m á tic a . No d e b e e m p e z a rs e dibujando al a z a r. (Si no s e d is p o n e d e p ap el d e p u n to s, p u e d e u s a r s e pap el m ilim etrado.)

B 13. D ado:

7.5

D e s ig u a ld a d e s en un triá n g u lo

m L D B C = m ¿ B C D = 45.

Pruébese: CD < AB. 14. Pruébese que el segm ento p erpendicular de u n p u n to a una recta es el segm ento m ás co rto del p u n to a la recta.

c. 15. Pruébese q u e la m ed ian a del vértice Y del triángulo escaleno X Y Z es m ayor que la altu ra del vértice Y. 16. Pruébese que la sum a de las longitudes de las tres altu ras de A A B C es m enor que la sum a de los lados del triángulo. 17. L os tres lugares principales de trab ajo en u n a cocina son el refrigerador, la estufa y el lavadero, y pueden representarse com o los p u n to s de un triángulo. Según una regla de arq u itectu ra, «los tres lados del triángulo de la cocina deben su m ar m ás de 12 pies y m enos de 22 pies». Además, el lad o m ás corto del trián g u lo debe estar en tre el lavadero y la estufa. A continuación, se m uestra u n a tab la de «triángulos de cocina» posibles. Prim ero, debe decidirse si cada triángulo es o no posible. D espués, decidase si los triángulos cum plen con la regla establecida. E stufa-lavadero

E stufa-refrigerador pies

R efrigerador-lavadero

pies

8 pies

b.

10 pies

11 pies

11 pies

c.

6 pies

8 pies

7

pies

d.

3 pies

7

pies

4

pies

e.

3 pies

8 pies

4

pies

a.

5

4

SOLUCION D E PROBLEM AS. S u p ó n g a s e q u e ABCD e s un c a b le flexible, A e s un p unto fijo y C e s u n a p o le a fija. B e s un p e s o q u e s e d e s liz a p o r el c a b le d e m a n e ra q u e A B y CB tie n e n s ie m p re la m ism a inclinación con re sp e c to a la vertical. E n c u é n tre s e a q u é a ltu ra s e e le v a B s i s e tira d e D 2 m h a c ia abajo.

251

252


Capítulo 7 Conceptos im portantes Términos M ediana (pág. 239)

Postulados Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudes de dos lados de un trián g u lo es m ayor que la longitud del tercer lado.

Teorema 7.1

7.2 7.3 7.4

T eorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el cu a d ra d o de la h ipotenusa es igual a la sum a de los cu ad rad o s de los catetos. Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, c2 = a2 + b2, entonces A A B C es un trián g u lo rectángulo. La lo n g itu d de la h ipotenusa de un triángulo 45°-45'!-90° es y / 2 m ultiplicada p o r la lo n g itu d de un cateto. L a longitud del cateto m ás largo de un triángulo 30°-60°-90° es - y m ultiplicado p o r la lo n g itu d de la hipotenusa o %/3

7.5

7.6

7.7 7.8

7.9

7.10

m ultiplicada p o r la lo n g itu d del lad o m ás corto. L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se intersecan en un p u n to O que equid ista de los tres vértices de un triángulo. Las bisectrices de los ángulos de u n triángulo son co ncurrentes en un p u n to I que equidista de los tres lados de un triángulo. Las rectas que contienen las altu ras de un triángulo se intersecan en un punto. Las m edianas de un trián g u lo se intersecan en un p u n to que está a dos tercios de la distancia de cada vértice al lado opuesto. Si las m edidas de d os ángulos de un triángulo son desiguales, entonces la longitud del lad o o p u esto al ángulo m enor es m en o r que la longitud del lado opuesto al ángulo m ayor. Si las longitudes de d os lados de un triángulo son desiguales, entonces la m edida del ángulo opuesto al lad o m ás co rto es m enor que la m edida del áng u lo opuesto al lad o m ás largo.

C a p ítu lo 7

capítulo 7

R e su m e n

253

Resumen

1. Indíquese si los siguientes problem as son falsos o verdaderos. a. U n trián g u lo puede tener lados de 2 cm, 3 cm y 5 cm.

b. En el triángulo A BC, m ¿ .A = 120, m L B = 20 y m L C = 40. El lad o m ás largo es BC. c. U n rectángulo de 10 cm p o r 24 cm tiene u n a diagonal de 26 cm.

d. Si el cateto m ás largo de un triángulo 30o-60o-90Dtiene una longitud de 3 ^ 3 , entonces la longitud de la hipotenusa es 6. 2. ¿Cuál es el lad o m ás larg o de la siguiente figura? (La figura no está d ibujada a escala.) 3. E ncuéntrese la longitud de un cateto de u n triángulo rectángulo isósceles si la longitud de la h ipotenusa es 4 cm. 4. S i Á B ^ B C ^ C D ^ Á D . y Á C l B D co n BD = A B = 2, encuéntrese AC. 5. Pruébese que la m ediana S Q de un triángulo isósceles R S T tam bién es la bisectriz perpendicular de la base.

(E je rcic io 4) (E je rcic io 5)

6. Localícese un p u n to equidistante de M , N

y o.

,v M O

(E je rc ic io 6)

7. Si u n a escalera de 20 pies se coloca de m an era que su base esté a 12 pies de la pared, ¿qué a ltu ra alcan zará la escalera?

8. E y D son p u n to s m edios de A C y AB, respectivam ente. Si E P = 4, encuéntrese EB. B

9. D ado:

Y Z es el lado m ás largo de un cu ad rilátero X Y Z W . XW el lado m ás corto. Pruébese: m L X > m L Z .

(E je rcic io 8)

254

M ás s o b re trián g u lo s

Capítulo 7

Examen

1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. U n triángulo puede tener lados de 6, 6 y 13. b. Si un trián g u lo tiene lados de 16, 30 y 44, entonces es un trián g u lo rectángulo. c. Si el ángulo del vértice de un trián g u lo isósceles m ide 30°, entonces la base del triángulo es el lado m ás corto. A entonces la longitud de la hipotenusa es

-

3. E n J a figura siguiente , CD es perpendicular a A B . Si A C = 4, encuéntrense AD y CD. 4. A A B C y A BCD son triángulos rectángulos isósceles. Si A C = 2, encuéntrese BD. 5. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles tam bién es una m ediana. - (Ejercicio 4) 6. S W y R V son m edianas de A R ST. S L = 4, S W = 6 y R V = 9 . E ncuéntrese RL. (Ejercicio 6) 7. Si se coloca una viga co n tra u n a pared, a 80 cm de ella y apoyada a 150 cm del suelo, ¿cuál es la longitud de la viga? 8. En A A B C , localícese el p u n to que es equidistante de los lados A B BC y AC. A /.)_ 9. D ado:

D E = EF, DG = FG D E < DG. Pruébese: m L G < m ¿ E .

iE

(Ejercicio 8)

R e s u m e n g lo b a l

255

Resumen global (Caps. 4 a 7) 1. Utilícese la figura de u n cubo p a ra identificar lo siguiente. a. u n a recta paralela al p lan o A B E H .

d

b. una recta alab ead a a DC. c. un p lan o perpendicular a CB. d. una recta paralela a

— i-------i 1 i tfj-

c

e. un p lan o p aralelo al plano CFEB.

A 2. Supóngase que la recta a es paralela a la b y la c es paralela a la d. a. Si m L l = 105, encuéntrese m L 14. b.

Si m Z 5 = 2x — 10 y m L 10 = x + 5, encuéntrense m Z 5 y m Z 10.

c. Si m L 12 es 10 veces el doble de la m edida de L 11, encuéntrense m L 12 y m Z .ll. 3. D ado: Z ls Z 2 , Z 3ssZ 4. Pruébese: A A B C = A A E D . 4. Dado: D E = BC, A D = AC. Pruébese: A B D A = A ECA. 5. Si L A C B es el ángulo del vértice de un trián g u lo isósceles. A B C y m Z 2 = 70, encuéntrese m L 5. 6. Si A D || B C , m L 3 - 45, m L l = 65, encuéntrese m L 2.

(Ejercicios 5, 6)

7. Si X W es p erpendicular a Y Z , m L Y = 30, m L Z = 45 y X_W — 3, encuéntrense las longitudes de YW yXZ. 8. Si X Z es una altu ra de X Y , X Y = 12 y X Z = 5, encuéntrese Y Z .

Z (Ejercicios 7, 8)

9. Si dos lad o s co rto s de un triángulo m iden 5 cm y 3 cm, ¿es posible que el lad o m ás largo m ida 7 cm? ¿ P o r qué? 10. Dado: C u ad rilátero ABCD . Encuéntrese: a. m L A D B . b. m L B D C . c. m L A D C . 11. Enum érense los lados del cuadrilátero A B C D del m ás co rto al m ás largo.

(Ejercicios 10, 11)

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gasa ¡g ran sa s® ® m s » ©

Gráficas por com putador: diseño asistido por com putador L as gráficas p o r co m p u tad o r h an revolucionado el trab ajo de los diseñadores industriales. El diseñador debe ser capaz de im aginar y analizar form as com plejas com puestas de figuras geom étricas. C on diseños asistidos por co m p u ta d o r (Computer Aided Design, CAD), el d iseñador em plea los com putadores p a ra dibujar diseños.

L a fotografía superior m uestra un diseño de un autom óvil generado p o r un com putador. El co m p u ta d o r puede desplegar en la p a n ta lla este diseño en infinidad de posiciones. Es decir, puede presentarse en la p an talla u n a vista frontal, de arriba, de abajo, etc., del autom óvil. Las fotografías m uestran a unos diseñadores m anejando los term inales de un com p u tad o r. El d iseñador de la derecha usa u n a plum a electrónica p a ra alterar las dim ensiones de u n a sección de un m odelo. Al to ca r la pan talla con la plum a, el diseñador se com unica con el com putador. E l d iseñ ad o r de la izquierda está tra b a ja n d o con u n a sección transversal de u n m odelo tridim ensional. El tablero que tiene delante se utiliza para d a r órdenes al com putador. Al colocar la plu m a electrónica en diferentes cuadros, puede a ñ ad ir o b o rra r porciones del dibujo. T am bién puede ped ir al co m p u tad o r que am plíe u n a p a rte del dibujo. La biblioteca del c o m p u tad o r incluye dibujos de p artes estándar, com o cojinetes o la transm isión, que pueden añadirse al diseño.

256

U ltim am ente, con el uso de los m icrocom putadores, las gráficas p o r co m p u tad o r son accesibles p a ra los estudiantes. En un m odelo p o p u la r de m icro co m p u tad o r, la pantalla está dividida en 280 filas y 160 colum nas invisibles. P o r ejem plo, el espacio que está en la fila 40 y en la colum na 20, es el p u n to llam ado (40,20). Ilu m in an d o un conjunto gran d e de puntos, aparecen líneas en la pantalla. P o r ejem plo, el siguiente p ro g ram a despliega en la p a n talla un rectángulo cuyos vértices son los puntos (40,20), (220,20), (220,120) y (40,120). E l p ro g ram a, o lista de instrucciones al com pu tad o r, se m uestra a continuación. L a línea 10 indica al c o m p u tad o r que se p rep are p ara recibir instrucciones sobre gráficas (H G R). E n la línea 20, H P L O T es u n a instrucción p a ra dibujar en la p an talla u n a línea del p u n to (40,20) al pu n to (220,20). C om pruébense las dem ás instrucciones p a ra ver cóm o se dibuja un rectángulo.

10

HGR

20

H PLO T 40, 2 0 TO 220, 20

30

H PLO T 40, 2 0 TO 40, 120

40

HPLO T 40, 120 TO 2 2 0 , 120

50

H PLO T 220 , 2 0 TO 2 2 0 , 120

60

END

1. Escríbanse los m an d ato s H P L O T p a ra fo rm ar un cuad rad o en la pantalla. 2. Escríbanse cu atro m an d ato s H P L O T p ara fo rm ar u n rectángulo el doble de alto que de ancho. 3. Créese u n a figura com puesta de segm entos de recta. D espués, escríbanse los m andatos H P L O T que desplegarán la figura en la p an talla de u n televisor. 257

C A P IT U LO

8 .1

C u a d r ilá t e r o s

8 .2

P a r a le lo g r a m o s

8 .3

C u a d r ilá t e r o s q u e s o n p a r a le lo g r a m o s

8.4

E l t e o r e m a d e l s e g m e n t o m e d io

8 .5

R e c tá n g u lo s , r o m b o s y c u a d r a d o s

8 .6

T r a p e c io s

8 .7

L o s á n g u lo s d e u n p o líg o n o

260 264 270

276 282

288

C o n c e p to s im p o r t a n t e s R e p a s o d e á lg e b r a

292

296

R esum en

299

L a g e o m e t r ía e n n u e s tr o m u n d o A r q u it e c t u r a : E l r e c t á n g u lo á u r e o

300

297

E xam en

298

Cuadriláteros y polígonos

259

260

8.1

C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s

Cuadriláteros

REPASO: U n cuadrilátero es la unión de cuatro segm entos d eterm inados p o r c u atro p u n to s, tres de los cuales n o son colineales. Los segm entos se intersecan sólo en sus extrem os. N u e s tr o m u n d o e s tá lle n o d e e je m p lo s d e fig u ra s d e c u a tr o la d o s d e to d a s la s fo rm a s y ta m a ñ o s q u e se p u e d e n c la s ific a r e n fu n c ió n d e lo s la d o s , d e lo s á n g u lo s y d e las re la c io n e s e n tr e lo s á n g u lo s y lo s la d o s. E n e ste c a p ítu lo se e s tu d ia r á n e sta s c la sific a c io n e s y a lg u n a s d e la s p r o p ie d a d e s d e lo s c u a d rilá te ro s .

L a s fig u ra s sig u ie n te s ilu s tr a n a lg u n o s a s p e c to s im p o r ta n te s d e lo s c u a d rilá te ro s .

L o s la d o s B C y A D n o tie n e n u n v é rtic e c o m ú n . S o n u n p a r d e lados o puestos. L o s la d o s A B y D C ta m b ié n s o n o p u e s to s .

L o s la d o s A B y A D tie n e n u n v é rtic e c o m ú n . S o n u n p a r d e lados adyacentes. O tr o s p a r e s d e la d o s a d y a c e n te s s o n A B y B C , B C y C D , y A D y DC.

L o s á n g u lo s B y D n o tie n e n u n la d o c o m ú n . S o n u n p a r d e án g u lo s opuestos. L o s á n g u lo s A y C ta m b ié n s o n o p u e s to s .

L o s á n g u lo s A y B tie n e n a l la d o A B e n c o m ú n . S o n u n p a r d e án g u lo s adya cen tes. O tr o s p a re s d e á n g u lo s a d y a c e n te s s o n ¿ B y L C , L C y L D , y LD y LA.

8.1


261

A h o r a se d e s c r ib ir á n lo s tip o s b á s ic o s d e c u a d rilá te ro s . C

A'

\

Definición 8.1 D

D o s la d o s o p u e s to s s o n p a ra le lo s.

A B C D e s u n trapecio. B C y A D s o n la s bases d el tra p e c io .

7

D■

A m b o s p a re s d e la d o s o p u e s to s s o n p a ra le lo s .

T~ 1

-------£

r

U n trapecio es un cuadrilátero con exactam ente dos lados paralelos.

Definición 8.2

E D G F e s u n paralelogram o.

U n paralelogram o es un cu ad rilátero con am bos pares de lados opuestos paralelos.

y Definición 8.3 R

L o s c u a tr o á n g u lo s so n re c to s.

P Q R S e s u n rectán gu lo (y ta m b ié n u n p a ra le lo g ra m o ).

U n rectángulo es un paralelogram o con cuatro ángulos rectos.

Definición 8.4

L o s c u a tr o la d o s s o n c o n g ru e n te s .

L o s c u a tr o á n g u lo s so n re c to s . L o s c u a tr o la d o s so n c o n g ru e n te s .

H I J K es u n ro m b o (y ta m b ié n es u n p a ra le lo g ra m o ).

T U W V e s u n cu ad ra d o (y ta m b ié n es u n re c tá n g u lo , u n ro m b o y un p a ra le lo g ra m o ).

U n rombo es un paralelogram o con cu atro lados congruentes.

Definición 8.5 U n cuadrado es u n rectángulo con c u a tro lados congruentes.

262


EJERCICIOS_______ A. P a ra los ejercicios 1 a 4, véase el cuadrilátero ABCD. 1. ¿Cuál es el lado opuesto a A B ? 2. ¿Cuáles son los ángulos adyacentes a L C? 3. ¿Cuáles son los lados adyacentes a BC1 4. ¿Cuál es el ángulo o p u esto a ¿£>? D eterm ínese si lo siguiente es falso o verdadero. 5. U n cu a d ra d o es un rectángulo. 6. U n rectángulo es un paralelogram o. 7. U n p aralelogram o es un rom bo. cu ad rilátero

8. U n trapecio es un paralelogram o. 9. A lgunos paralelogram os son rectángulos.

trap ecio

p aralelo g ram o r^

10. U n ro m b o es un cuadrado. ro m b o

11. A lgunos rom bos son rectángulos.

\

12. U n p aralelogram o es un trapecio.

B'

13. D ibújese un p aralelogram o con un ángulo de 30°.

/fcsvA 15. D ibújese un trapecio con dos ángulos rectos.

ACTIVIDADES! 1. D ib ú jese e s te d o d ec á g o n o _ re g u lar y el p a ra le lo g ra m o co n la d o s AL y TR. 2. D ib ú jese un p a ra le lo g j^ m o con lad o s KJ y KX, y otro con la d o s, A X y AB . 3. Si s e c o n tin ú a con e s te p ro c e so , ¿ c u á n to s p a ra le lo g ra m o s re s u lta rá n d e s p u é s d e h a b e r dividido el d o d e c á g o n o en p a ra le lo g ra m o s ? 4. C o m p lé te se el d ibujo p a ra c o m p ro b a r la re s p u e s ta .

rectán au lo

c u a d ra d o

(Ejercicios 5-12)

14. D ibújese un rom bo con un ángulo de 60".

16. D ibújese un rectángulo que m ida la m itad de an cho que de largo.

8.1


263

17. C onstruyase un trapecio con un p a r de ángulos de 45° en una base. D ibújense y díganse los n om bres de los cuad riláteros de los ejercicios 18 a 20. 18. El cuadrilátero tiene d os pares de lados paralelos, ningún ángulo recto y ningún p ar de lados adyacentes congruentes. 19. El cuadrilátero tiene, p o r lo m enos, un p a r de lados adyacentes congruentes, un p a r de lados opuestos congruentes y ningún ángulo recto. 20. El cu ad rilátero tiene, p o r lo m enos, un p a r de lados paralelos, ningún p ar de lados adyacentes congruentes y exactam ente un p a r de lados o puestos congruentes. 6x — 1

c. 21. El perím etro (m edida del contorno) del p aralelogram o es 32 cm. ¿C uál es la longitud de ca d a lado (aproxim ación en milímetros)? 22. L a base m ás larg a de un trapecio es el cu ad rad o de la más corta. Los lados no paralelos son congruentes. El lad o no paralelo es 3 veces m ay o r que la base m ás corta. Si el perím etro del trapecio es 24 cm, ¿cuáles son las longitudes de los lados? 23. Supóngase que se in ten ta co n stru ir un m arco p a ra un cuadro. Se c o rtan c u atro piezas de m ad era y se encolan de m anera que A B = BC. = CD = AD. ¿Cuáles de las siguientes afirm aciones se sabe que son verdaderas utilizando sólo las definiciones? a. A B C D es un cuadrado, b. A B C D es un rectángulo, c. A B C D es un rom bo. d. A B C D es un paralelogram o.

SOLUCION D E PROBLEMAS. El sig u ie n te e s un c u a d rilá te ro form ad o p o r cin co re c ta s.

En la fig u ra hay p o r lo m e n o s o tro s s e is c u a d rilá te ro s . D ibújense e identifiqúense.

D (Ejercicio 21)

264


8.2

Paralelogram os

L o s la d o s y á n g u lo s d e lo s p a r a le lo g r a m o s q u e se m u e s tr a n e n el d is e ñ o tie n e n re la c io n e s d e la d o s y á n g u lo s esp eciales.

E n lo s p a r a le lo g r a m o s sig u ie n te s se d a n la s m e d id a s d e a lg u n o s p a re s d e á n g u lo s y la d o s o p u e s to s . C

D

O b s é rv e s e q u e


¿ A ^ ZC, Z£== ¿D, Z£ =

Z G, ¿ F ^

AB

ZH.

CD, A D « SC, G //, FG .

E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n d o s p r o p ie d a d e s b á s ic a s d e los p a ra le lo g ra m o s .

Teorema 8.1

L o s á n g u lo s o p u e s to s d e u n p a r a le lo g r a m o s o n c o n g ru e n te s .

Teorema 8.2

L o s la d o s o p u e s to s d e u n p a r a le lo g r a m o s o n c o n g ru e n te s .

8.2

A


PRUEBA

D a d o : A B C D es u n p a r a le lo g r a m o . P ru é b e se : ¿ A s s ^ _ J -D A B s í CD , A D = BC. P la n : T rá c e s e la d ia g o n a l BD y p r u é b e s e q u e A A B D = ACDB. Afirm aciones 1.

Razones

ABCD es u n paralelogram o.

1. D ado.

2. A B || CD.

2. D efinición de paralelogram o.

3. B C || AD.

3. ¿ P o r qué?

4. ¿ l s

4. Si d os rectas paralelas se co rtan

Z2.

p o r u n a transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5. ¿ 3 s Z 4 .

5. ¿ P o r qué?

6. BD = BD.

6. ¿P or qué?

7. A A B D s

A CDB.

7. ¿ P o r qué?

8. A B s CD.

8. P C T C C .

9. ¿A== ¿C .

9. PC TC C .

Si se r e p ite e s ta d e m o s tr a c ió n c o n la d ia g o n a l AC , p u e d e p ro b a rs e q u e AD ^ BC y ¿ B = LD . APLICA CIO N C u a lq u ie r p ro c e s o d e p r o d u c c ió n d e b e in c lu ir la c o m p ro b a c ió n d e la c a lid a d d e l a r tíc u lo p r o d u c id o . E n la p r o d u c c ió n d e b lo q u e s p a tr ó n , la v e rific a c ió n p u e d e in c lu ir la m e d ic ió n d e á n g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d r ilá te ro . L a c o n tr a r r e c íp r o c a d e l te o re m a 8.1 e s ta b le c e q u e si lo s á n g u lo s o p u e s to s n o s o n c o n g ru e n te s , e n to n c e s el b lo q u e n o p u e d e se r u n p a r a le lo g r a m o y d e b e d e s c a rta rs e . A c o n tin u a c ió n se e n u n c ia o tr o te o re m a im p o r ta n te q u e se p r o b a r á c o m o ejercicio .

Teorema 8.3

L o s p a r e s d e á n g u lo s a d y a c e n te s d e u n p a r a le lo g r a m o so n á n g u lo s s u p le m e n ta rio s .

265

266


EJERCICIO S_________ A. E n los ejercicios 1 a 3, supóngase que A B C D es un paralelogram o. 1. D íganse dos pares de segm entos congruentes. 2. D íganse dos pares de ángulos congruentes. 3. D íganse c u atro pares de ángulos suplem entarios. En los ejercicios 4 a 11, asúm ase que A B C D es un paralelogram o. 4. m ¿ C = X

5. m ¿ A B C = X .

6. m ¿ A B D = X .

7. m l A D B = X

8. m ¿ D B C = J_.

9. m L A D C = X . 11. C D = X

10. A D = X

En los ejercicios 12 a 15, supóngase que A B C D es un paralelogram o. 12. m ¿ A B C = X . 14. m ¿ A D C

13. w Z D O C = X .

= X.

15. m ¿ B O C = X .

16. E scríbase el teorem a 8.1 en la form a si-entonces y establézcase su contrarrecíproca. 17. E scríbase el teorem a 8.2 en la form a si-entonces y establézcase su contrarrecíproca. E n los ejercicios 18 a 23, em pléense las co n trarrecíprocas de los ejercicios 16 y 17 p a ra d eterm inar qué figuras no pueden ser paralelogram os.

18.

y

19.

40 mm

20.

41 mm

X

267

B.

En los ejercicios 24 a 26, encuéntrense las m edidas de todos los ángulos de los paralelogram os.

27. A B C D es un paralelogram o^S i A B = x + 5 y CD = 2 x - 1, encuéntrese la longitud de AB. 28. A B C D es un paralelogram o. Si A B = 2x, CD = 3y + 4, B C = = x + 7 y A D = 2y, encuéntrense las longitudes de los lados del paralelogram o. 29. En la figura se m uestra p a rte del sistema estru ctu ral de sop o rte efe un puente. A B || CD , D F || C B y AD || EC. Encuéntrese m /-CG F.

30. D ado:

A B C D es un paralelogram o A E C F es un paralelogram o. Pruébese: A C DF AABE.

(Ejercicios 27, 28)

31. D ado:

A B C D es un paralelogram o FG biseca a DB. Pruébese: D B biseca a FG.

A 32. D ado:

A B C D es un paralelogram o A, F, E y C son colineales. AF s_ C £ . Pruébese: D E || BF.

33. D ado:

A B C D es un paralelogram o AE ^ C F . Pruébese: C E 5? A F .

34. Pruébese que las diagonales de un p aralelogram o se bisecan unas a otras.

268


c. 35. Pruébese que un p aralelogram o con un ángulo recto es un rectángulo. 36. D ado:

A B C D es un p aralelogram o A E biseca a L A D E biseca a L D . Pruébese: A E 1 DE.

37. D ado:

A B C D es un paralelogram o DE L A B CF L A B . Pruébese: A A D E s A B C F y C D E F es un rectángulo.

C D

D

C

B A

B

38. D ado:

A B C D es un p aralelogram o A E biseca a L A C F biseca a L C. Pruébese: A E « CF.


ACTIVIDADES ™ D ibújese e s te ro m p e c a b e z a s tangram y re c ó rte n s e la s p ie z a s . C on la s cinco p ie z a s p e q u e ñ a s , c o n s trú y a s e un c u a d ra d o . ¿S e p u e d e n co lo c a r la s d o s p ie z a s g ra n d e s a lre d e d o r del cu a d ra d o p a r a fo rm ar 1 . un triá n g u lo ?

3. un tra p e c io ?

2 . un p a ra le lo g ra m o ?

4. un re c tá n g u lo ?

F~

8.2

E n la figura se dividió un dodecágono regular en paralelogram os. C on la definición de polígono regular y los teorem as de esta sección, respóndase a los ejercicios 40 a 48. Acéptese tam bién que m L A L K = 150. 40. m L B P X = 41. m ¿ 1 =

JL

42. m /L 2 =

JL.

JL.

43. w Z 3 = J _ 44. ?« Z 4

-

JL.

45. Pruébese que A B ^ X Y. 46. P ruébese que los tres polígonos de la figura son cuadrados. 47. Pruébese que P Q R S es un rom bo. 48. Selecciónese un paralelogram o cualquiera de la figura y pruébese que es u n rom bo.

SO LUCIO N D E PROBLEM AS_____ Hecho: C u an d o d o s p la n o s p a ra le lo s e n el e sp a c io s e c o rta n p o r un te rc e r plano, la s r e c ta s de in te rse c c ió n so n p a ra le la s . E ste h e c h o p u e d e u s a r s e p a r a re s o lv e r los p ro b le m a s sig u ie n te s. La reg ió n com ún a un cu b o y a un p lan o s e llam a se c c ió n tra nsv e rsa l d e un cubo. 1. ¿ P o r q u é c a da se c c ió n tra n s v e rs a l c u a d rila te ra l tie n e p o r lo m e n o s un p a r d e a r is ta s p a ra le la s ? 2. ¿ P o r q u é cada se c c ió n tra n s v e rs a l p e n ta g o n a l de un cu b o tie n e d o s p a re s d e a r is ta s p a ra le la s ?


269

+ 270


8.3

Cuadriláteros que son paralelogram os

Cuando dos niños se balancean en un columpio de dos asientos, ¿están los dos asientos del columpio siempre paralelos a la barra transversal superior de la estructura? El teorema de esta sección proporciona la respuesta. Considérense los cuadriláteros siguientes.

C

B

¿Es ABCD un paralelogramo en todos los casos?

Teorema 8.4

Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

PR U EB A

Dado: Cuadrilátero ABCD con AD z* BC y AB a? CD. Pruébese: ABCD es un pralelogramo. P la n :

Trácese un segmento auxiliar ÁC y que AABC s ACDA.

8.3

C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s

R azones

Afirm aciones 1. A B = CD.

1. D ado.

2. B C = DA.

2. D ado.

3. A C ^ Á C .

3. P ro p ied ad reflexiva.

4. A A B C = s A CDA.

4. P o stulado LLL.

5. Z l s Z 2 .

5. ¿ P o r qué?

6. A B || CD.

6. ¿P or qué?

7. Z 3 s Z 4 .

7. P C T C C .

8. A D || BC.

8. ¿ P o r qué?

9. A B C D es un paralelogram o.


A PLICA CIO N L a re s p u e s ta a la p r e g u n ta h e c h a al p rin c ip io d e la se c c ió n e s sí. L o s a s ie n to s s ie m p re e s tá n p a ra le lo s a la b a r r a tr a n s v e r s a l s u p e r io r d e la e s tr u c tu r a A B . H a y c u a tr o b a r r a s d e m e ta l a to r n illa d a s e n lo s p u n to s A , B, C y D , d e fo rm a q u e A B y C D , y A D y B C tie n e n la m ism a lo n g itu d . E l te o re m a 8.4 d ic e q u e c u a n d o el c o lu m p io se b a la n c e a , A B C D s ie m p re es un p a ra le lo g r a m o y C D es p a r a le la a A B .

L o s d o s te o re m a s sig u ie n te s p r o p o r c io n a n o tr o s m é to d o s p a r a p r o b a r q u e u n c u a d r ilá te r o es u n p a ra le lo g ra m o .

Teorema 8.5

Teorema 8.6

Si u n c u a d r ilá te r o tie n e u n p a r d e la d o s o p u e s to s p a ra le lo s y c o n g ru e n te s , e n to n c e s es u n p a ra le lo g ra m o .

Si lo s á n g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d r ilá te ro s o n c o n g ru e n te s , e n to n c e s el c u a d r ilá te r o es u n p a r a le lo g r a m o .

271

272


EJERCICIOS______ A. C on los teorem as de esta sección, decídase si los cuadriláteros son o no paralelogram os. L as decisiones deben basarse en las m edidas, m ás que en la form a de los dibujos. 25 m m

1.

3 cm

2.

17 m m

3.

145“

2 cm i '

11 m m ,

35“

25 m m

4.

21 m m

21 m m

4 cm

17 mm

6.

25 m m

25 m m

E n los ejercicios 7 a 9, encuéntrese el valor de x que hace que el cu ad rilátero sea un paralelogram o. 9.

36 m m

36 m m

32 m m

16 cm

16 cm

B. E n los ejercicios 10 a 12, encuéntrense los valores de x e y que hacen que A B C D sea u n paralelogram o. 10. A B = 2x + 4, CD = 4x - 20, A D = 2y, B C = y + 5. ,C

11. m /_ A = 2 x — 60, m¿_D = x — 5, A B = 4y + 6, C D = 6 y - 10. 12. A B = 6x + 30, B C = 2x - 5, C D — 2y — 10, A D = y 13. U n estacionam iento de autom óviles se va a m arcar p a ra estacio n ar en batería. Se tensa un a cuerda de A a B con m arcas ca d a 9 pies, X l , X 2, ..., X 6. Se tensa una segunda cuerda paralela a A B de C a D con m arcas cada 9 pies, Y„ Y 2, ..., Y6. ¿ P o r qué son paralelas to d as las líneas pintadas?

- 35.

A (Ejercicios 10-12)

8.3

C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s D

14. C om plétese la p ru eb a del teorem a 8.5. 15. D ado:

A B C D es u n paralelogram o B C E F es un paralelogram o. Pruébese: A D E F es un paralelogram o.

16. Dado:

A B C D es un paralelogram o E es el p u n to m edio de AD F es el p u n to m edio de BC. Pruébese: A F C E es un paralelogram o.

17. D ado:

A B C D es u n p aralelogram o E, F, G y H son p u n to s m edios de los lados dados. Pruébese: E F G H es un paralelogram o.

C

18. D ado:

A B C D es u n pralelogram o y A E = CF. Pruébese: B F D E es u n paralelogram o.

19. D ado:

A B C D es u n paralelogram o E es el p u n to m edio de A B F es el p u n to m edio de CD. Pruébese: A E F D es u n paralelogram o.

c.

C

F

20. a. D ado:

A B C D E F es u n hexág o n o regular m ¿ A F E = 120, OA , OC y OE bisecan a A, C y E, respectivam ente. Pruébese: A B C O es un rom bo.

b. ¿Son ro m b o s CDEO y EFAOI

R

273

274


21. Pruébese que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan unas a otras, entonces el cuad rilátero es un paralelogram o. 22. Pruébese que si los ángulos B y D de un cuadrilátero A B C D son suplem entarios del ángulo A, entonces A B C D es un paralelogram o. A B C D es un paralelogram o E, F, G y H son p u n to s m edios de los lados. Pruébese: L a figura A E I H es un paralelogram o.

D.

23. D ado:

24. D ado:

A B C D es un paralelogram o E, F, G y H son p u n to s m edios de los lados. Pruébese: L a figura W X Y Z es un paralelogram o.

25. Dado: A B C D E es un p en tág o n o regular. Pruébese: L a figura A B C F es un rom bo.

ACTIVIDADES! T rá c e s e un círculo g ra n d e con c e n tro O y s íg a n s e la s in stru c c io n e s p a r a c o n stru ir un p e n tá g o n o reg u lar. 1 . D e n o m ín e se V , a un punto c u a lq u ie ra del

círculo y tr á c e s e u n a p e rp e n d ic u la r 0 6 a 0Vv _ 2. U n a se V, a C, el pun to m edio d e OB. 3. B is é q u e se el á n g u lo OCV, p a r a o b te n e r el p unto N s o b re O Vr 4. T rá c e s e la p e rp e n d ic u la r a OV, en N y o b té n g a s e el pun to V3. El s e g m e n to V,V2 e s un lad o d e un p en tá g o n o reg u lar.

II. A

G

c

8.3

C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s

275

26. Pruébese que si las diagonales de un p aralelograrao son congruentes, entonces la figura es un rectángulo. 27. Dado:

A B C D es un cu ad rad o B E = BC, E F 1 BD. Pruébese: D E = E F = FC.

28. D ado

E F G H es un p aralelogram o

h d ^ fb, I ê ^ cg . Pruébese: A B C D es un paralelogram o.

29. U n carp in tero desea tra z a r rectas paralelas sobre una tabla. E sto puede hacerse usando d os veces una escuadra de carpintero. Las dos veces se coloca la escuadra en el m ism o ángulo con la tabla y se m arcan unidades iguales. Expliqúese p o r qué este m étodo asegura que A B será paralela a CD.


A

276


8.4

El teorem a del segm ento medio

U n e q u ip o d e a g rim e n s o re s n e c e s ita c o n o c e r la d is ta n c ia a tr a v é s d e u n e s ta n q u e g ra n d e . E l e q u ip o elig e u n p u n to c u a lq u ie r a y d e s d e él m id e n h a s ta c a d a la d o d e l e s ta n q u e . L o c a liz a n lo s d o s p u n to s q u e e s tá n a m e d io c a m in o e n tr e la o r illa d e l e s ta n q u e y el p u n to ele g id o . L a d is ta n c ia e n tr e e s to s p u n to s m e d io s s e r á la m ita d d e la d is ta n c ia a tra v é s d e l e s ta n q u e . E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n a y u d a a e x p lic a r el m o tiv o . E n lo s tr iá n g u lo s sig u ie n te s, D y E s o n p u n to s m ed io s. L a s m e d id a s d e lo s s e g m e n to s y lo s á n g u lo s s o n la s q u e se d a n .

D a d o q u e: Z E D B = D E || A C .

\A C . Z C A B,

Teorema 8.7

O b s é rv e s e q u e : D E = \A B . D a d o que: ¿ C E D s Z CBA, D E || A B .

O b sé rv e se qu e: D E = \C B . D a d o que: ¿ A D E s Z A C B , D E || CB.

T eo rem a del segm ento m edio.

E l s e g m e n to q u e u n e lo s p u n to s m e d io s d e d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo es p a ra le lo a l te rc e r la d o y tie n e la m ita d d e s u lo n g itu d .

DEMOSTRACION D ado:

C u a lq u ie r A A B C c o n X c o m o p u n t o m e d io d e A B y Y c o m o p u n t o m e d io d e A C .

P ru é b e se : X Y \ \ B C y X Y = \ B C

c

P la n : T rá c e s e u n a recta_¿ q u e p a s e p o r C y s e a p a r a le la a AB. E n to n c e s p r o lo n g ú e s e X Y h a s ta q u e in te rs e q u e a f e n Z . M u é s tre s e q u e se f o r m a n d o s tr iá n g u lo s c o n g r u e n te s (p a so s 3 a 6). D e s p u é s m u é s tre s e q u e B C Z X e s u n p a r a le lo g r a m o (p a so s 10 a 13).

8.4 Afirm aciones

El te o re m a del s e g m e n to m edio

R azones

1. X es el p u n to m edio de AB. Y es el p u n to m edio de A C .

1. D ado.

2. La recta t p asa p o £ C y es paralela a A B , y X Y se prolonga p a ra form ar A C Y Z .

2. C onstrucción.

3. A Y — YC.


4. Z l s Z 2 .

4. Si dos rectas son paralelas, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5. Z 3 = = Z 4 .

5. ¿ P o r qué?

6. A A X Y =5 A C Z F .

6. P o stulado ALA.

7. X F = Z F.

7. PC T C C .

8. F es el p u n to m edio de X Z.


9. X Y = \ X Z .

9. Algebra.

10. C Z = A X .

10. Afirm ación 6 y PC TC C .

11. A X = X B .


12. C Z = X B ; C Z || A B .

12. P ro p ied ad transitiva; afirm ación 2.

13. B C Z X es un paralelogram o.

13. Si un cuadrilátero tiene un p a r de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogram o.

14. X Y || BC.


15. X Z

15. L os lados opuestos de un p aralelogram o son congruentes.

BC.

16. X Y = \B C .

16. Sustitución en las afirm aciones 9 y 15.

O b s é rv e s e q u e la c o n c lu s ió n d e l te o re m a p a r te d e las a firm a c io n e s 14 y 16. A P L IC A C IO N

El m é to d o d e lo s a g rim e n s o re s es u n a a p lic a c ió n d ir e c ta del te o re m a 8.7. D a d o q u e U y V s o n lo s p u n to s m e d io s d e Z X y Z Y , U V = \ X Y , o b ie n X Y = 2 U V . E l sig u ie n te te o re m a p u e d e p r o b a r s e c o n el te o r e m a 8.7. V éa se el e je rc ic io 33. T e O re itia

277

8 .8

L o s p u n to s m e d io s d e lo s la d o s d e u n c u a d r ilá te ro s o n lo s v é rtic e s d e u n p a r a le lo g ra m o .

Y

278


EJERCICIOS_____________ A. E n esta figura, D y E son p u n to s medios. 1. Si A B = 8, entonces D E =

JL.

2. Si A C = 9, entonces A D =

JL.

3. Si B E = 5, entonces B C =

JL

4. Si A B = 15, entonces D E = X . B

5. Si D E = 17, entonces A B = X . P a ra los ejercicios 6 a 14, dígase el núm ero (o núm eros) que falta o escríbase «no se puede determ inar». 6.

7.

8.

En los ejercicios 15 a 17, exactam ente uno de los núm eros, a, b o c, puede determ inarse. Encuéntrese.

16.

17.

8.4

En el triángulo, M y N son p u n to s medios.

El te o re m a d e l s e g m e n to m e d io

C

18. Si M N = x + 8 y A B = 4x 4- 14, encuéntrense las longitudes M N y AB. 19. Si A M = x + 5, M C = 2 y + 6, M N = 2x - 5, y A B = y + 8, encuéntrense las longitudes M N y AB. E n los ejercicios 20 a 22, empléese el teorem a 8.8 para determ inar si A B C D es o no un paralelogram o. 20 .

22.

21.

3 ^ ’

II

E n los ejercicios 23 a 26, form úlense p ru eb as a dos colum nas. 23. D ado:

F es el p u n to m edio de A C D es el pun to m edio de BC E es el p u n to m edio de AB. Pruébese: A E D F es un paralelogram o.

24. Dado:

A B C D E F es un hexágono con A B || D E y A B = DE W, X , Y y Z son puntos m edios de los lados. Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.

26. Dado:

25. Dado:

A A B C es isósceles con A B = AC D es el p u n to m edio de A B E es el p u n to m edio de CB. Pruébese: A BD E es isósceles.

A A B C es equilátero D, E y F son puntos m edios de los lados. Pruébese: A D EF es equilátero.

C

B

(.Sugerencia: Em pléense los segm entos auxiliares A E y BD.)

279

280


27. Dado:

W, X , Y y Z son p u n to s m edios de los lados del cuadrilátero ABCD. Pruébese: W Y y X Z se bisecan.. OSugerencia: U tilícense rectas auxiliares.) B

A B C D es un paralelogram o. E, F, G y H son p u n to s m edios de A O , BO, CO y DO, respectivam ente. D Pruébese: E F G H es un paralelogram o.

28. Dado:

c. L a inform ación que se d a a con tin u ació n es p a ra los ejercicios 29 a 32. L a proposición de cualquiera de estos ejercicios puede usarse p a ra co m p letar cu alquiera de los ejercicios siguientes. D ado: A Z y B W son las m edianas de A ABC. X es el p u n to m edio de A G . Y es el p u n to m edio de BG. 29. Pruébese q u e W Z || X Y . 30. Pruébese q u e W X Y Z es un paralelogram o. 31. Pruébese que A X = X G = G Z y B Y — YG = GW. 32. Pruébese que el centroide de u n trián g u lo triseca a to d as las m edianas. E sto es, el centroide divide la m ediana en u n tercio y d os tercios. (El centroide es el p u n to de intersección de las m edianas.)

ACTIVIDADES! T re s de e s to s p o líg o n o s p u e d e n a c o p la rs e a lre d e d o r d e un p u n to P c o m o se m u e s tra e n la fig u ra . Con p a p e l v e g e ta l, m u é s tre n s e ta n ta s fo rm a s c o m o s e a p o s ib le p a ra

O ctágono

A

1 . a c o p la r tr e s p o líg o n o s a lre d e d o r d e u n punto. 2. a c o p la r c u a tro p o líg o n o s a lre d e d o r d e u n punto. 3. a c o p la r c in c o p o líg o n o s a lre d e d o r d e un punto.

C uadrado

Triángulo equilátero H exágono

In té n te s e d ib u ja r un d is e ñ o p ro s ig u ie n d o e s te p ro c e s o d e a c o p la m ie n to d e p o líg o n o s .

8.4

El te o re m a d e l s e g m e n to m e d io

281

33. C om plétese la siguiente p ru eb a del teorem a 8.8. D ado:

A B C D es un cuad rilátero cualquiera W, X , Y y Z son p u n to s m edios de los lados de ABCD. Pruébese: W X Y Z es u n paralelogram o.

B

P lan: A ñádanse los segmentos auxiliares DB, Z W , YX, Z Y y WX. A pliqúese el teorem a 8.7 a A A B D y a A B C D . B Jâ siguiente inform ación es p a ra los ejercicios 34 a 36. Dado: a. A B C D es un paralelogram o. b. W, X , Y y Z son los p u n to s m edios de los lados. c. C a d a línea de trazos es u n a diagonal de un polígono. 34- P ruébese q u e W Q Z D es un paralelogram o. U n a dem ostración sim ilar m o stra rá que A X O W , X B Y O y O Y C Z son paralelogram os. (Sugerencia: Pruébese prim ero que A X Z D y W Y C D son paralelogram os.) 35. Pruébese que A 'B'C ’D' es un paralelogram o. 36. Pruébese que cada lado de A'B'C'D' es p aralelo al lado correspondiente de A B C D y su longitud es la m itad.

— SO LUCIO N D E PROBLEMAS En la fig u ra se m u e s tra un c u b o c u y a s a ris ta s m id e n 1 qe lo n g itu d . S u p ó n g a s e q u e lo s p u n to s 6 y D so n lo s p u n to s m e d io s d e la s a ris ta s m o s tra d a s . 1. M u é s tre s e q u e A B C D e s un ro m b o . 2. E n c u é n tre n s e la s lo n g itu d e s d e lo s la d o s. 3. E n c u é n tre n s e la s lo n g itu d e s d e la s d ia g o n a le s B D y AC.

(Ejercicios 34-36)

282


8.5

Rectángulos, rombos y cuadrados

R ecuérdese p o r las definiciones de rectángulo, ro m b o y c u a d ra d o que son tip o s especiales de p aralelo g ram o s. E stas figuras se p re se n ta n en u n a g ra n v a rie d a d d e m o n tajes in dustriales. C o n frecuencia es n ecesario c o m p ro b a r si un o b jeto es realm en te u n o de estos p ara le lo g ra m o s especiales. P o r ejem plo, un a lb añ il d eb e e s ta r seguro d e q u e lo s cim ientos d e un edificio so n p erfectam ente rectan g u lares. E n e s ta secció n se e stu d ia rá la fo rm a de d e te rm in a r esto s p ara le lo g ra m o s especiales p o r sus d iagonales. E sto s p ara le lo g ra m o s tam b ién son rectán g u lo s.

K

O bsérvese: A C s BD.

O bsérvese: E G = FH.

O bsérvese: I K s í JL.

E stas o b serv acio n es re sp ald an el siguiente teorem a.

Teorema 8.9

U n p a ra le lo g ra m o es u n re ctán g u lo si, y sólo si, sus d iagonales so n congruentes.

E s n ecesario p ro b a r d o s cosas: I. Si las d iag o n ales d e un p a ra le lo g ra m o son congruentes, en to n ces el p a ra le lo g ra m o es u n rectángulo. II. Si u n p a ra le lo g ra m o es u n rectán g u lo , en to n ces las d iag o n ales son co n gruentes.

8.5


Explicación de l. D ado: A B C D es u n p aralelo g ram o . Á C s BD. P ruébese: AB C D es u n rectán g u lo . P lan : P ru éb e se q u e A ABD s A BAC, y q u e L A y L B so n c o n g ru en tes y su p lem en tario s. H ágase lo m ism o p a r a L C y LD.

D

A

Explicación de II. D ado: AB C D es u n rectángulo. Pruébese: Á C s BD. P lan : P ru éb e se q u e A A B D s ABA C. E sta p ru e b a se c o m p le ta rá co m o ejercicio

A P L IC A C IO N

L os cim ien to s de h o rm ig ó n d e u n a casa tien en u n a fo rm a re c ta n g u la r u n p o c o m ay o r q u e el rectán g u lo d e la casa. E n estos cim ientos, el c o n tra tis ta d eb e lo caliza r c u a tro p u n to s, A, B, C y D, q u e serán las esq u in as de la casa. E sto s c u a tro p u n to s d eb e n localizarse c o n p recisió n p a r a q u e AB C D sea u n rectán g u lo perfecto. D esp u és de m e d ir p a ra h a c e r q u e A B - CD y A D = BC, el p aso sig u ien te es m e d ir las d iagonales. Si A C = = BD, en to n ces A B C D es u n rectángulo. L as p ru e b a s d e lo s d o s teo re m as siguientes se p re s e n ta n en los ejercicios.

Teorema 8.10

U n p a ra le lo g ra m o es u n ro m b o si, y só lo si, sus d iagonales son p erp en d icu lare s e n tre sí.

Teorema 8.11

U n p a ra le lo g ra m o es u n ro m b o si, y só lo si, c a d a d iag o n al biseca a u n p a r de án g u lo s opuestos.

283

284

EJERCICIOS_____________________ A. 1. C ítense to d o s los p ares de segm entos congruentes del rectángulo ABCD. E n los ejercicios 2 a 4, supóngase que el cu ad rilátero A B C D se h a deform ado p a ra darle la form a deseada. C

2. Si A B C D fuera un paralelo g ram o , cítense to d o s los pares de segm entos congruentes. 3. Si A B C D fuera u n rom bo, cítense todos los ángulos que deben ser rectos. 4. Si A B C D fuera u n rom bo, cítense to d o s los ángulos que deben ser congruentes con LCAB.

U (Ejercicios 2-4)

¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rectángulos? (Supóngase que la inform ación p ro p o rcio n ad a es correcta, a pesar de que la figura p u e d a estar deform ada.)

¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rom bos? (Supóngase que la inform ación p ro p o rcio n ad a es correcta, a pesar de que la figura p u ed a estar deform ada.) 11.

12.

13.

8.5


En los ejercicios 14 a 20, decídase si la afirm ación es falsa o verdadera. 14. T o d o rectángulo es un paralelogram o. 15. T o d o ro m b o es un rectángulo. 16. T o d o cu ad rad o es un rom bo. 17. A lgunos rom bos son cuadrados. 18. A lgunos rom bos son rectángulos que no son cuadrados. 19. Si las diagonales de u n cuad rilátero son congruentes, entonces la figura es un rectángulo. 20. Las diagonales de u n cu a d ra d o son perpendiculares.

B. E n los ejercicios 21 a 2 5 , si es posible, dibújese un paralelogram o que satisfaga las condiciones que indica cada ejercicio. Si n o es posible, escríbase «no es posible». 21. T o d o s los ángulos congruentes. 22. L as diagonales se bisecan en tre sí. 23. T od o s los lados congruentes con diagonales que n o son perpendiculares. 24. N o hay ángulos rectos con diagonales congruentes. 25. D iagonales congruentes y perpendiculares. 26. A B C D es un paralelogram o.

A

A B = 2x + 4. D C = 3x - 11. A D = x + 19. M uéstrese que A B C D es un rom bo. 21. A B C D es un rom bo. m

DEC =

4x + 10.

m L DAB =

3x + 4 .

E ncuéntrese m L A B C . 28. A B C D es un paralelogram o. A B = 4x C D = 2x +

5. A C = 3x — 23. B D = 2 x +

2. 12.

M uéstrese que A B C D es un rectángulo.

C

285

286


29. Dado:

30. Dado: A B C D es un rectángulo. Pruébese: A A B O es isósceles.

31. D ado:

32. D ado:

A B C D es un rectángulo A B C D es un paralelogram o. Pruébese: A D B E es isósceles.

A B C D es u n cu ad rad o A H = DG = C F = BE. Pruébese: E F G H es un cuadrado. C

W X Y Z es un rom bo R es el p u n to m edio de W V T es el p u n to m edio de V Y S es un p u n to sobre VZ. Pruébese: A R S T es isósceles.

F

R (E je rcic io s 3 2 , 33)

33. D ado: W X Y Z es un rom bo. Pruébese: W Y y X Z dividen a W X Y Z en cuatro triángulos congruentes. 34. C om plétese la prueba del teorem a 8.9.

ACTIVIDADES! S u p ó n g a s e q u e se n e c e s ita d ib u ja r una ta r je ta co n s ie te c o lu m n a s p a ra un in fo rm e de e s tu d io s s o c ia le s . L a ta r je ta tie n e 5 p u lg a d a s de a n ch o . A q u í s e m u e s tra c ó m o h a c e r e s to s in n e c e s id a d d e c á lc u lo s .

1. C o ló q u e s e u n a re g la c o m o s e m u e s tra en e l d ib u jo y m á rq u e n s e lo s s ie te p u n to s d e u n a p u lg a d a .

2. T rá c e n s e re c ta s v e rtic a le s p o r c a d a p u n to , p a ra le la s a los la d o s d e la ta rje ta (o p e rp e n d ic u la re s al b o rd e in fe rio r). E x p e rim é n te s e d ib u ja n d o 9 c o lu m n a s e n un e s p a c io de 7 p u lg a d a s y 4 c o lu m n a s en un e s p a c io de 5 p u lg a d a s .

8.5


35. Se h a rá u n a construcción de 85' x 40'. Las estacas se colocan com o se m uestra en la figura y se tensa la cuerda. L as esquinas exteriores de la construcción serán los p u n to s en que se cruzan la cuerdas. a. D espués de ten sar las cuerdas, el c o n tratista m ide W Y y X Z . ¿ P o r qué? b. Si W Y es 93 pies y X Z es 94 pies, ¿cómo deben m overse las estacas E y F p a ra que W X Y Z sea un rectángulo?

85 pies

G 40 pies

H

c. W X Y Z es un cu ad rad o A W = B X = C Y = DZ. Pruébese: A B C D es u n cuadrado.

36. D ado:

37. D ado:


39. Pruébese el teorem a 8.11. G

40. D ado:

A B C D es un rom bo E, F G y H son p u n to s medios. Pruébese: E F G H es u n rectángulo.

287

A B C D es un cuadrado A H = DG = C F =J3E. Pruébese: EG = H F y EG 1 HF.

SO LUCIO N D E PROBLEMAS Si el c en tro O d e un cu b o s e u n e a los v é rtic e s d e u n a c a ra , s e fo rm a una p irá m id e con b a s e c u a d ra d a . S u p ó n g a s e q u e la longitud d e u n a a ris ta del cu b o e s 1. 1. Si 6 e s el c e n tro d e la b a s e c u a d ra d a , ¿cuál e s la longitud d e 0 6 ? 2. Si A e s el punto m ed io d e una a ris ta , ¿cuál e s la longitud d e O A? Si la s p irá m id e s c u a d ra d a s , co m o la q u e s e m u e stra e n la figura, s e u n en a la s c a r a s d e un cubo, s e fo rm a un só lid o cu y a s c a ra s s o n ro m b o s. Cubo con pirámides cuadradas 3. ¿ C u á n ta s c a r a s en fo rm a d e rom bo tie n e e s te só lid o ?

umdas a sus caras'

288

C u a d rilá te ro s y polígonos

8.6

Trapecios

Recuérdese que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Un ejemplo de trapecio sería el tejado de una casa. En esta sección se estudiará un teorema sobre trapecios que podría ser útil en la estimación de los costos de construcción en un proyecto. E y F son puntos medios.

U y V son puntos medios.

B

Obsérvese que EF = \(A B + CD) y EF || A B || CD.

Teorema 8.12

y U V || W X || YZ.

El segmento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y tiene una longitud igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

DEMOSTRACION D a d o : ^ B C D es un trapecio Z)CJ E es el punto medio F es el punto medio P ru é b e se : E F y A B E F y ^ y E F = % A B + CD).

de A D de BC.

8.6

P la n : P r o lo n g ú e s e A B y D F p a r a e n c o n tr a r G. D e sp u é s, p ru é b e s e q u e F es el p u n to m e d io d e D G y u tilíc e se el te o r e m a del s e g m e n to m e d io . A firm aciones

T ra p e c io s

A,

R azones

1. P ro lo n g a r A B .

1. C onstrucción.

2. D ib u ja r a D ? intersecando

2. C onstrucción.

a Â B en G. 3. D C II Â B .

3. Definición de trapecio.

4. L B G F s L C D F.

4. ¿P or qué?

5. C F ^ B F .

5. ¿ P o r qué?

6. L B F G 3 LD F C .

6. ¿P or qué?

7. L B F G ^ A C F D .

7. ¿ P o r qué?

8. D F ^ G F .

8. ¿ P o r qué?

9. F es el p u n to m edio de DG.

9. ¿ P o r qué?

10. ËF || Â B y ÊF || DC.

10. T eorem a del segm ento m edi

S ó lo re s ta d e m o s tr a r q u e E F = \ { A B + CD). E s ta p r u e b a se c o m p le ta rá e n u n ejercicio . U

APLICA CIO N Al e s tim a r lo s c o s to s d e c o n s tr u c c ió n d e u n te ja d o , d e b e c a lc u la rs e el á r e a d e l tra p e c io . E s ta á r e a es ig u a l a l á r e a del re c tá n g u lo A B C D . P o r el te o r e m a 8.12, X Y = j ( R S + T U ) , y el á r e a ( A B C D ) = h ( X Y ) = %h(RS + T U ) E l sig u ie n te te o r e m a e s ta b le c e p r o p ie d a d e s d e u n a c lase e sp e c ia l d e tra p e c io s. D

L

\

B

A D = BC

A D y B C s o n la d o s n o p a ra le lo s . L A y L B ju n to s se lla m a n án g u lo s de la base. L C y L D s o n o t r o p a r d e á n g u lo s de la b ase.

Definición 8.6 U n trapecio isósceles es un trapecio con lados congruentes no paralelos.

L a d e m o s tr a c ió n d e e ste te o re m a se d e ja p a r a lo s e jercic io s 13 y 15.

Teorema 8.13.

E n u n tra p e c io isó sceles, los á n g u lo s d e la b a s e y las d ia g o n a le s s o n c o n g ru e n te s .

289

290


EJERCICIOS_________ _______________ A. E n los ejercicios I a 9, la línea de trazos une los puntos m edios de dos lados no paralelos de un trapecio. Encuéntrese el valor de x. 1.

24

2.

28

43

44 41

5. 24.6

7.

28

16

8. 27

2x

B,

10 pies

10. U n a presa se construye con una sección transversal trapecial, con una longitud de 10 pies en la p arte superior y de 38 pies en la base. ¿Cuál es la anchura prom edio A B de una presa?

38 pies

ACTIVIDADES! La fig u ra m u e s tra un p o líg o n o q u e s e fo rm a u n ie n d o p o r la s a ris ta s c o m u n e s c u a tro c o p ia s c o n g ru e n te s d e l p a ra le lo g ra m o dado. D ib ú je n s e p o r lo m e n o s nu e ve p o líg o n o s de d ife re n te s fo rm a s co n e s te m é to d o o u n ie n d o c u a tro c o p ia s d e l p a ra le lo g ra m o dado.

*

*

i / ■ ~7~ /

~ r /

•

•

•

8.6

11. D ado:

12. Dado:

13. D ado:

A B C D es un_trapecio isósceles con A B || CD. Pruébese: A C = BD.

14. D ado:

A B C D es un trapecio isósceles con A B || CD. Pruébese: L A = L B . (,Sugerencia: C onstruyase una_recta que pase p o r D, y sea paralela a B C )

16. Dado:

A B C D es un trapecio con A B || CD. P está sobre CD, de m an era que A P biseca a L A . Pruébese: A A PD es isósceles.

T ra p e c io s

A B C D es u n trapecio con A B || CD. AD s BC, A C y BD se intersecan en E. Pruébese: A CD E es isósceles.

A B C D es u n trapecio con A B || C D j A E s BE. Pruébese: A D = BC.

C. 15. Dado:

A

Ai4J3C_es isósceles con AB ^ A C , L A E D ^ L B . Pruébese: B C D E es u n trapecio con BE s CD. A

B

SOLUCION D E PROBLEMAS 1. D ib ú je s e un h e x á g o n o re g u la r. ¿Puede re c o rta rs e p a ra fo rm a r: a. 6 triá n g u lo s e q u ilá te ro s ? b. 2 tra p e c io s is ó s c e le s ? c. 3 ro m b o s c o n g ru e n te s ? 2. D ib ú je n s e d o s h e x á g o n o s re g u la re s . ¿ P ueden c o rta rs e p a ra fo r m a r triá n g u lo s e q u ilá te ro s ? 3. D ib ú je s e un triá n g u lo e q u ilá te ro . ¿P uede c o rta rs e e n 3 fig u ra s c o n g ru e n te s d e 5 la d o s? (S u g e re n c ia : E m p lé e s e u n a fig u ra Y e n e l c e n tro .)

291

292


8.7

Los ángulos de un polígono

E n la s a c tiv id a d e s d e la p á g in a 2 8 0 se p id e b u s c a r c o m b in a c io n e s d e p o líg o n o s re g u la re s q u e p u e d a n a c o p la rs e a lr e d e d o r del p u n to P.

L a s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e lo s v é rtic e s d e lo s p o líg o n o s d e te rm in a n si re a lm e n te se a c o p la n o no. P rim e r o , se p r e g u n ta c u á l es la s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n p o líg o n o . P a r a r e s p o n d e r a e s to , se tr a z a n d ia g o n a le s d e s d e u n v é rtic e del p o líg o n o p a r a f o r m a r triá n g u lo s .

E n c a d a u n o d e e s to s c a so s, la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s del p o líg o n o e s la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e lo s triá n g u lo s . E s ta o b s e rv a c ió n p ro d u c e la s ig u ie n te ta b la .

N ú m e ro d e la d o s

N ú m e ro de triá n g u lo s

S u m a d e las m e d id a s d e los á n g u lo s

c u a d rilá te ro

4

2

2(180=) = 360°

p e n tá g o n o

5

3

3 (1 8 0 5) = 540°

hexágono

6

4

4 (1 8 0 °) = 720°

n -g o n o

n

P o líg o n o

n -

2

(n -

2)180°

8.7

L o s á n g u lo s d e un p o líg o n o

E l r a z o n a m ie n to in d u c tiv o p r e s e n ta d o e n la t a b l a su g ie re e s to s d o s te o re m a s.


L a s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n p o lig o n o c o n v e x o de n la d o s e s (n — 2) 180°. L a m e d id a d e u n á n g u lo d e u n p o líg o n o r e g u la r d e n la d o s in — 2) e s - -------- - 180°.

APLICACIO N U n a r tis ta q u e t r a b a j a e n u n m o s a ic o p o d r ía p r e g u n ta r s e q u é c o m b in a c io n e s d e tre s o c u a tr o d e e sto s p o líg o n o s r e g u la re s se p o d r á n a c o p la r a lre d e d o r d e u n p u n to s e g ú n se m u e s tr a al p rin c ip io d e la secció n . P aso 1 Em pléese el teorem a 8.15 p a ra e n co n trar !a m edida de los ángulos de cada u n o de estos polígonos regulares. Paso 2 M ediante p ru eb a y error, hállense com binaciones de los núm eros en co n trad o s en el paso 1 cuya sum a sea 360°. C o n s id é re s e el p e n tá g o n o q u e se p re s e n ta a c o n tin u a c ió n . U n á n g u lo e x te rio r d e c a d a v é rtic e tie n e u n a m a rc a . S i se c o r ta n e sto s á n g u lo s e x te rio re s y se c o lo c a n a lr e d e d o r d e u n p u n to , se o b s e rv a q u e s u m a n 3 6 0 “.

Teorema 8.16

L a s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s e x te rio re s d e u n p o líg o n o , u n o e n c a d a v értic e, es 360°.

293

294


EJERCICIOS______ A. E n los ejercicios 1 a 3, se p ro p o rcio n a el núm ero de lados de un polígono convexo. ¿En cu án to s triángulos dividen al polígono las diagonales tra z a d a s desde uno de sus vértices? 1. 10.

2. 25.

3. x.

En los ejercicios 4 a 9, se p ro p o rcio n a el núm ero de lados de un polígono convexo. E ncuéntrese la sum a de las m edidas de los ángulos de los polígonos. 4. 6.

5. 12.

6. 24.

7. 36.

8. 100.

9. p.

E n los ejercicios 10 a 15, se p ro p o rcio n a la sum a de las m edidas de los ángulos interiores. E ncuéntrese el núm ero de lados del polígono. 10. 7020°.

11. 1980°.

12. 6120°.

13. 1800°.

14. 1260o-

15. 3420“.

En los ejercicios 16 a 21, se p ro p o rcio n a el n ú m ero de lados de un polígono regular. E ncuéntrese la m edida del ángulo del vértice del polígono. 16. 7.

17. 9.

18. 10-

19. 15.

20. 20-

21. 100.

ACTIVIDADES 1. C on u na re g la y un tra n s p o rta d o r, d ib ú je s e un d o d e c á g o n o re g u la r c o n a ris ta s de 3 c m d e lo n g itu d . 2. C on u na re g la y un tra n s p o rta d o r, d ib ú je s e un p o líg o n o re g u la r d e 15 la d o s c o n a ris ta s d e 3 cm de lo n g itu d .

dodecágono

8.7

L o s á n g u lo s d e un p o líg o n o

295

B.

22. L a sum a de las m edidas de siete ángulos de u n octágono es 1000°. ¿Cuál es la m edida del octavo ángulo? 23. ¿Cuáles son las m edidas de los ángulos exteriores de un octágono regular y de un d o d ecágono regular? 24. ¿C uántos lados tiene u n polígono regular si cada ángulo exterior m ide 15”? ¿C uántos lados ten d ría si ca d a ángulo exterior m idiera 18o?

25. ¿C uántos lados tiene un polígono regular si cada ángulo interior m ide IOS1'? ¿C uántos lados tendría si ca d a ángulo interior m idiera 144o? 26. M uéstrese que d os p en tág o n o s regulares y u n decágono regular p ueden acoplarse alred ed o r de un p u n to . (Véase la aplicación.) 27. M uéstrese que u n trián g u lo equilátero, un heptágono regular y un polígono regular de 42 lados pueden acoplarse alreded o r de un punto.

c. 28. E ncuéntrese el núm ero de lados de u n polígono si la sum a de sus ángulos interiores es el doble que ia sum a de sus ángulos exteriores. 29. E n un o ctágono reg u lar se en cuentra inscrito un polígono con form a de estrella. E ncuéntrese m ¿ A B C . Pruébese que la respuesta es correcta. 30. Pruébese que A B || DE.

SO LUCIO N DE En un a p la ca d e a c e ro s e va n a ta la d ra r u n o s a g u je ro s co m o s e m u e s tra en la fig u ra .

(Ejercic¡os 2„ 30)

296


Capítulo 8


Térm inos T rapecio (pág. 261) P aralelo g ram o (pág. 261) R ectángulo (pág. 261)

R o m b o (pág. 261) C u a d ra d o (pág. 261) T rapecio isósceles (pág. 289)

Teoremas 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

8.6 8.7

8.8 8.9 8.10 8.11 8.12

8.13 8.14 8.15

Los ángulos o puestos de un p aralelogram o son congruentes. L os lados o puestos de un p aralelogram o son congruentes. L os pares de ángulos adyacentes de un p aralelogram o son ángulos suplem entarios. Si los lados o puestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cu ad rilátero es un paralelogram o. Si un cu ad rilátero tiene un p a r de lados o puestos paralelos y congruentes, entonces es u n paralelogram o. Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cu ad rilátero es un paralelogram o. T eorem a del segm ento medio. El segm ento que une los puntos m edios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la m itad de su longitud. Los p u n to s m edios de los lados de un cu ad rilátero son los vértices de un paralelogram o. U n p aralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes. U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares en tre sí. U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, cada diagonal biseca a un p a r de ángulos opuestos. El segm ento que une los p u n to s m edios de los dos lados no paralelos de u n trapecio es p aralelo a las dos bases y tiene una lo n g itu d igual a la sem isum a de las longitudes de las bases. E n u n trapecio isósceles, los ángulos de la base y las diagonales son congruentes. L a sum a de las m edidas de los ángulos de un polígono convexo de n lados es (n — 2)180°. La m edida de un áng u lo de un polígono regular de n lados es

n 8.16 La sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un polígono, uno en ca d a vértice, es 360°.

C a p ítu lo 8

Capítulo 8

R esum en

Resumen

1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. Si las diagonales de u n paralelogram o son congruentes,

entonces la figura debe ser u n rectángulo. b. Si las diagonales de un p aralelogram o son perpendiculares, entonces la figura debe ser un cuadrado. c. Si una figura es un cuad rad o , entonces debe ser un rom bo. d. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces la

figura es un paralelogram o. 2. Supóngase que A B C D es un paralelogram o, m L B = 110 y m ¿ 2 = 30. E ncuéntrese m L 4. 3. Dado:

L a figura A B C D es un paralelogram o E F || D A , E F £ DA. Pruébese: L a figura B C E F es un paralelogram o.

¿)

4. Dado:

L a figura B C D E es un rom bo. £ es el p u n to m edio de A B , m¿L 1 = 60. Pruébese: L a figura A B C D es un trapecio isósceles.

E B C D es un paralelogram o, m L 1 = m í 14. Pruébese: A D = DE.

5. Dado:

B

(Ejercicios 4, 5)

6. Supóngase que E, F, G y H son p u n to s m edios. Si m¿. 1 = 30 y m L 2 = 50, encuéntrese m L E F G . 7. Supóngase que E, F , G y H son p u n to s m edios. Si A C = 12 y BD = 8, encuéntrese E F + FG + G H + EH.

8. E ncuéntrese la m edida de cada ángulo de un d o d ecágono regular. 9. Si c u atro ángulos de un p entágono m iden 100°, 70°, 150° y 120°, encuéntrese la m edida del q u in to ángulo. 10. Supóngase que A B C D es u n rectángulo. Si A D = 5 y CD = 12, encuéntrese B X . C

B

A

F

D

297

298


Capítulo 8

Examen

1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. Si u n cuadrilátero tiene un p a r de lados congruentes, entonces es u n p aralelogram o.

v/

b. Si u n cu ad rilátero tiene diagonales congruentes, entonces debe ser u n rectángulo.

c. L a sum a de los ángulos exteriores de u n p entágono regular es 360°.

V

d. Si un p aralelogram o tiene un ángulo recto, es un rectángulo. 2. A B C D es un trapecio. M y N son p u n to s m edios. AD = 6 y M N — 10. E ncuéntrese BC. (Ejercicio 2)

3. Supóngase que D, E y F son puntos m edios. Si A B = 4, A C = 5 y B C = 6, encuéntrese D E + E F + DF. 4. D ado:

A A B C es equilátero D, E y F son p u n to s medios. Pruébese:' A D E F es equilátero.

£

(Ejercicios 3, 4)

5. P Q R S es u n paralelogram o. Si m /L P = 4x + 20 y m L Q = x + 10, encuéntrese m /-P .

6. S i m Z l + m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 4 + m ¿ 5 = 290, encuéntrese m L 6. 7. Si ca d a ángulo de un polígono regular m ide 156°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

8. D ado:

AD = D B y A E = EC A F = FD y A G = GE. Pruébese: FG || BC.

9. L as figuras siguientes son d os rectángulos solapados. E ncuéntrese la sum a a + b + c + d.

(Ejercicio 8)

R e p a so d e á lg e b ra

Repaso de álgebra Despéjese x en las siguientes proporciones. .

x 6 ‘ 2 “ 3'

2.

A x - 3 _ 4 -X 4‘ 6 -5 ’

5.

- 2x — 3 72

8.

5x

6 ’

3 _ 6 4 x 5

5x x + 60

6

x - 2 x + 5

6 20'

21

3.

x x - 2

6.

x 3

9.

x + 2 1 5 “ x - 2'

15

4 x - 1

Resuélvanse los siguientes sistemas. O rr) II

S

O

x = —2 y — 10.

3x + 2y = - 3 .

16. x + 2y - 4 = 0 1 X _ 13y _ 10 = 0. z

2x - l y = - 20.

17.

|

3x + 2 ( y - 1) = - 2 6 . 15. 2x + 3» + 3 = 0

14. 5x + 8^ = 1

K>|u>

H II

13. 2x + 5j> = 7

12. 2(x - 2) + y = - 1 8

11. y = 3x — 5

8x —

+ 25 = 0.

n —2 A 18. m ------- -— — 0

í+ f ? = 2

8^ = 3p + 4.

0.2m + 0.3« = 5.

19. V x - 9 = 0.

20. V x + 4 = 5.

21. V x + 2 + 4 = 7.

22. V x 2 - 9 = 4.

23. \ / 2 + x = 0.

24. V x + 4 = V x - 2.

Despéjese x.

Despéjese x. 25. (x + 2)(x - 5) = 0.

26. (2x + 5)(3x -

28. (x - 4 )2 = 9.

29. x 2 - x -

1) = 0.

12 = 0.

27. x 2 — lOx + 25 = 0. 30. 4x 2 — 9 = 0.

Resuélvase. 31. Las m edidas de los ángulos de un triángulo están en una razó n 2:3:5. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos.

32. El perím etro de un rectángulo es 160. Si la razón entre la an ch u ra y la longitud es 7:9, encuéntrense las dim ensiones del rectángulo.

299

W WSRSSm© MOTÍD® Arquitectura: El rectángulo áureo El rectángulo áureo fue considerado p o r los griegos de la antigüedad com o u n a de las figuras geom étricas m ás herm osam ente proporcionadas. D u ran te siglos, los arquitectos utilizaron esta figura en la planeación de tem plos, rascacielos y edificios de todo tipo. L os griegos construyeron el P arte n ó n de A tenas en el siglo V antes de C. El rectángulo que com prende la fachada delantera es u n rectángulo áureo.

El rectángulo áureo es u n rectángulo tal que si se corta un cuad rad o unitario en un extrem o, los lados del rectángulo resu ltan te estarán en la m ism a p ro p o rció n que los del rectángulo original. D a d o que las proporciones entre pares de lados correspondientes al rectángulo gran d e y al peq u eñ o (AB C D y EBCF) son iguales, puede usarse esta p roporción

1 + a _ J_ 1 a y calcular la longitud del lad o m ás larg o del rectángulo áureo de an ch u ra uno. Encuéntrese esta longitud.

R e c tá n g u lo á u re o

300

Construcción de un rectángulo áureo C o n el com pás y una regla, síganse las instrucciones p a ra construir un rectángulo áureo. P aso 1 C onstrúyase un c u a d ra d o u n itario ABCD.

1 1 T i

> -------- 1 -------o

B Paso 2 C onstrúyase el p u n to m edio del lad o AD. C on M com o centro y M C com o radio, dibújese un arco que interseque a A D en E.

*

/ \

\

\ V

M

A

L)

í E

>/ ys

P aso 3 C onstrúyase E F 1 A E y com plétese el rectángulo áureo A B F E .

301

C A P IT U LO

9.1

P r o p o r c io n e s

9 .2

T e o r e m a f u n d a m e n ta l d e la p r o p o r c io n a lid a d

304

9.3

Polígonos sem ejantes

9.4


9 .5

T r iá n g u lo s r e c t á n g u lo s y t r iá n g u lo s s e m e ja n te s

9.6

T e o r e m a s d e la s e m e ja n z a LL.L y L A L

9.7

R a z o n e s t r ig o n o m é t r ic a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s t r iá n g u lo s s e m e ja n te s

9.8

312 316

330

336

R esum en

T é c n ic a s p a ra la s olució n de p ro b lem as

Trabájese hacia atrás

322

326 .

R a z o n e s t r ig o n o m é t r ic a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s C o n c e p to s im p o r t a n t e s

308

339

337

334 E xam en

338

Semejanza

303

304

S e m e ja n z a

9.1

Proporciones

E n este c a p ítu lo se e stu d ia rá n p o líg o n o s que tienen la m ism a form a, p ero n o necesariam ente el m ism o ta m a ñ o . E n esta fo to g rafía hay m u ch o s trián g u lo s q u e tienen la m ism a form a.

L a idea de la « m ism a fo rm a» a p a rec e en las am p liacio n es o red u ccio n es. C o n sid é ren se las fotografías siguientes. 5 cm

10 cm

4 cm

8 cm

A m b as so n fo to g rafías de u n m ism o o b jeto , p ero u n a es m ás g ra n d e que la o tra . L as fo to g rafías tienen la «m ism a form a». Si se c o m p a ra n las ra zo n es e n tre el an c h o y el larg o de c a d a foto, se o b serv a q u e las razo n es so n iguales. 4 cm _ 5 cm

8 cm 10 cm

E sta ec u ació n se d e n o m in a proporción, p o rq u e se co m p o n e de d o s ra zo n es iguales, f \r

y

JL

io -

Definición 9.1 U n a proporción es u n a igualdad entre dos a c razones. Las razones - y - son proporcionales ; b d a c - = -.b * 0 ,d ¿ 0 .

b

a

(Es im p o rta n te re c o rd a r q u e u n d e n o m in a d o r n o pu ed e ser ig u al a cero.) E n e s ta sección se re p a s a rá n alg u n as p ro p ie d a d e s alg eb raicas de las p ro p o rcio n es. L as p ru e b a s de esto s teo rem as se om iten, p e ro to d o s van p reced id o s d e u n ejem plo num érico.

9.1

Ejemplo 1

E n u n a p ro p o rc ió n , los p ro d u c to s cru z a d o s so n iguales.

fXf Teorema 9.1

Ejemplo 2

ó

= 2 X 8

sí j b

E n u n a p ro p o rc ió n , p u ed e añ a d irse 1 a am b o s lados.

Si — = — , en to n ces — + — = — + — 3 4 ’ 3 3 4 4

Teorema 9.2

Ejemplo 3

4 X 4

ó

S i -u = e n to n c e s — b d b

= i l + l. 4

3

= —

. d

E n u n a p ro p o rc ió n , p u ed e re sta rse 1 de am b o s lados.

9 12 9 3 — = — , e n to n c e s ---------3 4 ’ 3 3

Teorema 9.3

1?

Si \ b

| e n to n c e s — d b

Ejemplo 4

9 Si y

Ejemplo 5

9 12 Si 9 x 4 = 3 x 1 2 , en to n ces - = — . 3 4

= — >en to n ces

Teorema 9.5

=

d

q — = -J.

a q Si a x d = b x c, e n to n c e s - = b d


305

306

S e m e ja n z a

EJERCICIOS A. 4 12 1. D ad o q u e - = — , ¿cuál de los teorem as se usa p a ra concluir los casos siguientes? a.

_4 = _5_ 12 15'

.9 _ _ c. 5 _ 15'

27 15

, _ , AD AE z. Supóngase que — = ¿Q ué teorem a se usa para JJ d

Ej C

A

concluir los casos siguientes? a.

A D - DB DB

A E - EC EC

c.

A D + DB DB

A E + EC EC ‘

b.

A D _ DB AE ~ EC' C

3. Em pléense el teorem a 9.5 y los siguientes p ro ductos p a ra form ar proporciones, a.

3

x

4

=

2

X

6.

b.

c .2 -M N = 3 -X Y .

V

2

X

\/3

=

1x

d . A B ■ C D = E F ■GH.

4. Em pléese el teorem a 9.1 p a ra despejar x en las siguientes proporciones.

a

5

= I , 25

6

18

c.

x —4

_3 4'

B. 5. Form úlese la co n trarrecip ro ca del teorem a 9.1. Empléese esta contrarrecíproca p a ra m o stra r que las siguientes ecuaciones n o son proporciones. 12

a. —

13

—

i ! b> 23 = 31_ 14'

'3 3

p 41

V 2+1 \/ 3

\/3 + 1

ACTIVIDADES! A e s te d ib u jo se le s o b re p u s o u n a c u a d ríc u la de 1 c m 2. D ib ú je s e un a c o p ia m á s g ra n d e del d ib u jo co n u n a c u a d ríc u la d e 2 c m 2.

9.1

6. L as m edidas de d os ángulos com plem entarios está n en una razó n de f . E ncuéntrense las m edidas de los ángulos. 7. Si d os calculadoras cuestan 28 dólares, ¿cuánto costarán cinco calculadoras?

8. D o s n úm eros están en la razó n de 2:3. ¿Cuál es la razón de sus cuadrados? 9. L as m edidas de d os ángulos suplem entarios están en la razón de f . E ncuéntrense las m edidas de los ángulos. 10. U n segm ento de 56 cm se divide en u n a razó n de 3 a 5. E ncuéntrese la longitud de los dos segmentos. 11. U n a fotografía de 5 x 7 se am plía en u n factor de f . ¿C uál es el tam añ o de la am pliación? 12. L as áreas de dos trián g u lo s están en u n a razón de 4 a 9. El trián g u lo m ás oequeño tiene un área de 50 cm 2. E ncuéntrese el área del trián g u lo grande.

c. -3

x —

13. D espéjese x en la proporción.

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS. 1 . C on u n a re g la y la e s c a la q u e se

p ro p o rc io n a , e n c u é n tre s e la d is ta n c ia re a l de n o rte a s u r y d e e s te a o e ste d e la c o n s tru c c ió n . 2. E s c ríb a n s e la s p ro p o rc io n e s e m p le a d a s en la s o lu c ió n del p ro b le m a 1.

3. S i to d a s la s p a re d e s , d e s d e A h a s ta F, p a rtie n d o h a c ia e l n o rte a lre d e d o r de la c o n s tru c c ió n , se v a c ia ro n en h o rm ig ó n y este v a c ia d o c o s tó 20 d ó la re s pie, e s tím e s e e l c o s to to ta l d e l v a c ia d o .

P L A N O D E U N P IS O

0*4* 8 '

I f l *________ 3 2 ’

E S C A L A E N P IE S


307

308

S e m e ja n z a

9.2

Teorema fundam ental de la proporcionalidad E l in s tr u m e n to a r tic u la d o lla m a d o p a n tó g r a f o es ú til p a r a lo s d is e ñ a d o re s y o tr a s p e r s o n a s q u e n e c e site n a m p lia r o re d u c ir d ib u jo s c o m o se m u e s tr a e n la fo to g ra fía . E l p a n tó g r a f o se c o lo c a s o b re u n a s u p e rfic ie p la n a y se fija la p u n t a P . C u a n d o la p u n ta D sig u e lo s d e ta lle s d el d ib u jo o rig in a l, el lá p iz E r e p r o d u c e la fig u ra a m p lia d a . E l p a n tó g ra f o se b a s a e n el te o r e m a d e e s ta sección.

E n los tr iá n g u lo s sig u ie n te s, se tr a z ó u n s e g m e n to p a r a le lo a u n la d o del triá n g u lo M N || B C

Z 7 ¡l D E

S R II G H

A K

M i r

i

X

E C

B

^ ii d

AM MB

II ► —

O b sé rv e s e q u e

EX.

i

FX XD

2 ’ YE

_1_

25

IS = 3 IR SG 1’ RH

o AM MB

_ AN_ NC '

FX XD

FY YE'

IS SG

IR RH'

E sta s o b s e rv a c io n e s se re s u m e n e n el te o r e m a sig u ien te.

Teorema 9-6

Si u n a r e c ta p a r a le la a u n la d o d e u n tr iá n g u lo in te rs e c a a los o tr o s d o s la d o s , e n to n c e s d iv id e a é s to s p ro p o r c io n a lm e n te .

9.2

T e o re m a fu n d am en tal d e la p ro p o rcio n alid ad 21-

E n c u é n tre s e F J e n la fig u ra si G F || K J .

E n e s ta fig u ra , M N || D E . E n c u é n tre s e N E .

p o r ta n to ,

o b ie n

-

fa

Ejemplo 1

P o r el te o re m a 9.6,

309 *=

CN

CM MD

P o r el te o re m a 9.6,

N E’

KH

=

FJ JH ’

2 _ 3

X

6 —x ’

3 _ 4 ! 5 X

3.x- = 12 -

3 x = 20 ,

5 x = 12,

x =

20 3 ’

o b ie n

x =

2x,

12 ~5~'

A P L IC A C IO N

1. U n p a n tó g r a f o se c o n s tr u y e d e m a n e ra q u e A B = C D , A D = B C , y P , D y £ so n co lin e a le s. A sí, p o r el te o r e m a 8.4, se p u e d e c o n c lu ir q u e A B C D es u n p a ra le lo g ra m o . 2. D a d o q u e A B C D es u n p a r a le lo g r a m o , A D || B E e n A P B E . P o r ta n to , p o r el te o re m a 9.6, se p u e d e c o n c lu ir q u e la - PD ■ • , , r a z ó n — s ie m p re e s c o n s ta n te e ig u a l a la , PA ra z ó n ——. AB E s te h e c h o a y u d a a e x p lic a r el f u n c io n a m ie n to d e l p a n tó g r a fo . L a r e c íp ro c a d e l te o r e m a 9.6 ta m b ié n e s v e r d a d y se e n u n c ia a c o n tin u a c ió n .

Teorema 9.7

Si u n a r e c ta in te rs e c a a d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo y lo s d iv id e p ro p o r c io n a lm e n te , e n to n c e s la re c ta es p a r a le la al te rc e r la d o .

310

S e m e ja n z a

EJERCICIOS 1. Supóngase q u e DE || BC. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. A D _ A E DB EC'

.

AB ' AD

AC AE'

c. A B _ A C DB EC'

d. A D AE

EC BD

e.

AD AE

AB AC'

f.

AD AB - AD

AE A C - EC'

(Ejercicios 1, 2)

2. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. r)D a - Si

—— entonces D E || BC.

, DB EC — — b - Si = - j - p , entonces D E || BC.

__ __ • AB AC c* Si = - q g , entonces D E || BC. e. Si

DB A B -D B

EC A C -E C

d’

entonces D E || B C .

f. Si

=

AD

E n los ejercicios 3 a 8, despéjese x. Supóngase q u e las rectas que parecen paralelas lo son. 20

16'

ACTIVIDADES1 P a ra e s ta activ id ad s e n e c e s ita rá n tira s d e c a rtu lin a o d e m a d e ra d e 30 cm o m á s d e la rg o y a lg u n o s su je ta d o re s.

1. C o n s tru y a s e un p an tó g ra fo u n ien d o la s tira s d e m a n e ra q u e A B = PC y A P = BC. 2. E m p lé e se el p an tó g rafo p a r a a m p lia r a lg u n a figura.

entonces D E || BC. DB = AE

-, entonces D E II BC.

9.2

T e o re m a fu n d a m e n ta l d e la p ro p o rc io n a lid a d

B. 9. D ado:

R S || Z X , R X || TS.

Pruébese: I X = * L . RT RZ 10. D ado:

A B C D es un trapecio

B

É F \ \ A B , E F || DC. Pruébese: A E ED

BF FC'

D‘ (.Sugerencia: T rácese BD. C onsidérense A A B D y ABC D.)

11. Dado:

A B C D es un trapecio E F \ \ A B , E F || DC,

§ \ BC Encuéntrense: B F y FC. 12. D ado:

A B C D es un trapecio

(E jercicio s 11, 12)

E F \ \ A B , E F || DC, Ü

= { , A D = 8 , B C = 12.

Encuéntrense: AE, ED, BF, FC. 13. En este pantógrafo, P A = 8 cm y A B = 24 cm. Si la punta D traza un segm ento de 14 cm, ¿cuál es la longitud del segm ento que se d ib u ja en £? 14. Dado: Pruébese:

A A B C , m Z l = m Z 2. BD _ AB DC AC'

(Indicación: C onstruyanse FB || AD.) 16. Dado:

A C = 15, B C = 18. Encuéntrense: BD y DC. (Indicación: Véase Ejercicio 14.)

A A B C , m/L \ = m Z 2 .

BD Pruébese: n / ” DC

AB AúCí ’'

----------D B (Indicación: Em pléese el teorem a fundam ental de la pro p o rcio n alid ad y u n a recta auxiliar.)

— SO LUCIO N D E PROBLEMAS. En e s ta p irá m id e p e n ta g o n a l, W X \\B C , X Y || CD, YZ \\ DE. y AW = 2, WB = 3, AE = 6 E n c u é n tre n se A Z y ZE.

280075

311

312

S e m e ja n z a

9.3

Polígonos semejantes

C o n fre c u e n c ia , lo s d is e ñ a d o re s in d u s tr ia le s c o n s tru y e n m o d e lo s de p ro y e c to s q u e lu e g o se f a b r ic a r á n e n ta m a ñ o n a tu r a l. El m o d e lo d e l a e r o p la n o tie n e la m is m a fo rm a q u e el a v ió n rea l. E n e s ta se c c ió n se t r a t a r á n lo s p o líg o n o s y se d e s c rib ir á lo q u e sig n ific a idéntica fo r m a o sem ejanza. C o n s id é re n s e la s sig u ie n te s figura? A B C D E es s e m e ja n te & A 'B 'C 'D 'E '

W X Y Z es s e m e ja n te d‘ W ' X ' Y ' Z '

L A = L A ', LB = = L B L C = z L C '. L D s s L D ’, Z E s L E '.

l

AB _ A 'B '

BC _ B 'C '

CD _ D E _ A E C 'D ' ~ D 'E ' ~ A 'E '

=z z r , Z F = Z F ' , L Z = L Z '. w «

zw

,

l x

IV X XY YZ WZ W 'X ' X ' Y ' Y 'Z ' W 'Z ' 2

O b s é rv e s e q u e to d o s lo s á n g u lo s c o r r e s p o n d ie n te s s o n c o n g ru e n te s y q u e la s r a z o n e s d e lo s la d o s c o r r e s p o n d ie n te s s o n ig u ales.

1

9.3

E l s ím b o lo « ~ » sig n ific a «es s e m e ja n te a». A B C D ~ ^ 'S 'C 'D 's ig n if ic a q u e A B C D es s e m e ja n te a A 'B 'C 'D ' C

1. Z A = ZD = 2.

Si se d a q u e A B C D ~ A 'B 'C 'D ', e n to n c e s p u e d e c o n c lu irs e q u e:

¿ A ' , Z B s Z B ', Z C s Z C ' Z D '.

AB

BC

CD

AD

A 'B '

B 'C

CD'

A 'D '

Ejemplo 2

Si se d a q u e

1. ¿ A = * Z A ZD =

2.

^ 5 / Í 'S '

Z B ^ ZD' y 5C 5 'C '

Z J 3 ', Z C =

CD C 'D '

Z C '5

/4 D A 'D '

e n to n c e s p u e d e c o n c lu irs e q u e A B C D ~ A 'B 'C 'D '.

A PLICA CIO N Si se d is p o n e d e u n m a p a a e sc a la , e n to n c e s la fig u ra d e l m a p a e s s e m e ja n te a la fig u ra q u e re p re s e n ta . D a d o u n m a p a a e s c a la d e las u b ic a c io n e s A , B y C, e n to n c e s A A B C ~ ~ A !B 'C . Si A 'C ' = 3 6 m m , A 'B ' = 2 4 m m y A B = 32 m m , e n c u é n tre s e A C .

Solución:

AB A 'B '

AC A 'C '

o b ie n

3 2 m x 36 m m P o r ta n t o , A C —

24 m m

32 m 24 m m = 48 m.

313

Definición 9.2

C

Ejemplo 1


AC 36 m m

D os polígonos son semejantes si hay una correspondencia entre los vértices tal que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.

314

S e m e ja n z a

EJERCICIOS A. En los ejercicios 1 a 4, determ ínese si los pares de polígonos dados son sem ejantes o no. 1.

T.

3

------------ C

2.

2 1

r

2

3.

P—

4.

L

1

7

5. S upóngase que A H IJ ~ A H 'I'J'. C ítense tres pares de ángulos correspondientes que sean congruentes.

6. Si A H IJ ~ A H 'I'J', com plétese la siguiente p ro p o rció n en dos form as diferentes. H T

(Ejercicios 5-7)

—

7. Supóngase que A H I J ~ A H 'I'J ' y que H T = 4, / ' J ' = 6, H 'J ' = 7 y H J = 12. E ncuéntrense las longitudes H I e IJ.

8 . C o n la escala que se indica en este p a tró n de bordado, encuéntrese la lo n g itu d A B del p ro d u cto final am pliado. 5 m m = 2 cm

ACTIVIDADES! El sig u ie n te e s un m éto d o p a r a c o n stru ir un polígono s e m e ja n te a ABCDE. a . S e le c c ió n e s e un pun to P y d ib ú je n se PÁ, p b , p 6 , p d y PÍ. C o n s trú y a n s e los p u n to s A ', & , C', D ' y £ ' co m o s e m u e stra en la figura, d e m a n e ra q u e A A ' = 2 P A , B B ' = 2 PB, CC' = 2PC, DD' = 2PD y EE' = 2PE.

b.

1. T rá c e s e ABCDE e in té n te s e h a c e r la co n stru cc ió n an terio r. 2. L o c a líc e se el pun to P e n d ife re n te s p o sic io n e s y re p íta se la co n stru cció n .

9.3


315

B. E n esta figura, D E || BC. AD 9. Si — AB

AE DE = — = — ,dem uestrese que A A D E ~ AC BC H

(Ejercicios 9,10)

. A ABC.

10. Si las longitudes de los segm entos son las que se m uestran, encuéntrense D B y EC. (Sugerencia: Em pléese el ejercicio 9.) 11. Si D E || B C y las longitudes de los segm entos son las que se m uestran, pruébese que A A D E ~ A ABC. 12. L as longitudes de los lad o s de u n p en tág o n o son 6, 8, 9, 12 y 15. Si u n p entágono sem ejante tiene de lad o m ás largo 4, encuéntrense las m edidas de los lados restantes.

(Ejercicio 11)

13. C onstruyase un trián g u lo rectángulo sem ejante a A A B C con un cateto de lo n g itu d - J l .

B

(Ejercicio 13) C

14. C onstrúyase un cu ad rilátero sem ejante a A B C D cuyo lad o m ás co rto m ida 9.

(Ejercicio 14) 15. Supóngase q u e A A D E ~ A A B C . DB EC Pruébese que — = — . (E sta es la H AD AE conclusión del teorem a fundam ental de la proporcionalidad.) 16. D a d o que A B C D E es u n pentágono BD B C DC regular y que — = — = —- , DC Dj CI establézcanse varios pares de triángulos sem ejantes. Justifiqúense las elecciones.

(Ejercicio 16)

_ SOLUCION D E PROBLEMAS. E m p ló e s e la té c n ic a d e s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e e la b o ra c ió n de ta b la s (pág. 167) p a ra re s o lv e r s s tc p ro b le m a . s in s u b d iv is io n e s

1 triángulo

u n a s u b d iv is ió n

5 triángulos

d o s s u b d iv is io n e s

tre s s u b d iv is io n e s

9 triángulos

JL triángulos

Si al triá n g u lo e q u ilá te ro s e le h ic ie ra n 10 s u b d iv is io n e s , ¿ cu á n to s triá n g u lo s re s u lta ría n ?

316

S e m e ja n z a

9.4

El postulado de la semejanza a a a

E n el ju e g o d e lo s b o lo s , el ju g a d o r se b a s a e n la s m a r c a s d e la p is ta p a r a d ir ig ir la b o la. S u p ó n g a s e q u e el ju g a d o r la n z a la b o la p a r a q u e p a s e p o r la s e g u n d a m a r c a y fa lla p o r d o s c e n tím e tro s . ¿ P o r c u á n to s c e n tím e tro s fa lla rá la b o la a l p a s a r j u n t o a l b o lo ? E s ta p r e g u n ta p u e d e re s p o n d e rs e a p lic a n d o el te o re m a d e e s ta secció n .

Si A A B C y A D E F , ¿ A =

Z Z ), ¿ B s

Z E, y L C s

Z F\

AB DE A l p a re c e r, s ie m p re q u e lo s tr e s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo s e a n c o n g ru e n te s c o n lo s tres á n g u lo s d e o t r o tr iá n g u lo , e n to n c e s las ra z o n e s d e lo s la d o s c o r re s p o n d ie n te s ta m b ié n s e r á n ig u a le s. E s to se a c e p ta c o m o p o s tu la d o .

CA FD

Postulado de la semejanza a a a Si tres á n g u lo ' de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

E l te o r e m a s ig u ie n te d e s c rib e u n m é to d o sim p le p a r a p r o b a r q u e d o s triá n g u lo s s o n se m e ja n te s.

Teorema 9.8

BC EF

T e o re m a d e la s e m e ja n z a A A . Si d o s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo s o n c o n g r u e n te s c o n d o s á n g u lo s d e o tr o tr iá n g u lo , e n to n c e s lo s tr iá n g u lo s s o n se m e ja n te s.

9.4

El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a AAA

PR U E B A Dado: a A B C y A D E F c o n A A ^ ¿ D , ¿ B ^ ¿ E . Pruébese: a A B C es s e m e ja n te a A D E F .

R azones

A firm aciones

1. ¿ A s L D .

1. D ado.

2. ¿ B s ¿ E .

2. D ado.

3. L C s L F .

3. ¿ P o r qué?

4.

4. Sem ejanza AAA,

A

ABC -

A DEF.

A (jugador)

línea

A PLICA CIO N C u a n d o u n ju g a d o r d e b o lo s fa lla u n a m a rc a d e la p is ta p o r 2 c m , ¿ p o r c u á n to fa lla el b o lo ? C o n s id é re n s e lo s tr iá n g u lo s A A B C y A A P D . E s to s tr iá n g u lo s se c o n s tr u y e r o n p a r a s e r re c tá n g u lo s , y tie n e n u n á n g u lo A c o m ú n . P o r ta n t o , p o r el te o r e m a 9.8, se c o n c lu y e q u e AA B C ~ A A P D .

BC PD

AB AP o

x = ^ -c m

4 m 19 m

2 cm x cm

= 9^cm

A l a p lic a r el te o r e m a d e la s e m e ja n z a A A al c a so d e lo s tr iá n g u lo s re c tá n g u lo s , se o b tie n e e ste o t r o te o re m a .

Teorema 9.9

D o s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s s o n s e m e ja n te s si u n á n g u lo a g u d o d e u n o es c o n g r u e n te c o n u n á n g u lo a g u d o d e l o tro .

/

317

318

S e m e ja n z a

EJERCICIOS A. En los ejercicios 1 a 4, se d a n A A B C y A X Y Z . Com plétese la afirm ación A B C ~ _L. 1. m Z A = 17, m ¿ C = 49, m ¿ X = 17, m Z Z = 49. 2. m ¿ A = 23, m ¿ B = 111, m Z Y = 23, m ¿ Z =

111.

3. m ¿ B = 68, m Z C = 21, m ¿ X = 2 1 , m ¿ Y = 9 1 . 4. m Z C — 119, m ¿ A = 24, m ¿ X = 24, « Z F = 37.

(Ejercicio 5) C

5. Expliqúese p o r qué A ^ S C ~ A D B A . 6. E ncuéntrese x.

8. Si un hom bre de 6 pies de a ltu ra proyecta una som bra de 9 pies, ¿qué so m b ra p ro y ectará un poste de 20 pies? 9. Si D £ || BC, A D = 3, A B = 8 y B C = 9, ¿cuál es la longitud de DE? 10. ¿Son sem ejantes to d o s los triángulos rectángulos isósceles? 11. ¿Son sem ejantes todos los triángulos rectángulos? ¿ P o r qué?

A

12. ¿Son sem ejantes d os trián g u lo s isósceles que tienen sus vértices congruentes? ¿ P o r qué?

>

13. ¿Son sem ejantes to d o s los triángulos 30°-60°-90°? ¿ P o r qué? 14. Cítese el m áxim o de triángulos sem ejantes que puedan en co n trarse en la figura.

D

B

C (Ejercicio 14)

B. 15. C u an d o se to m a una fotografía, la im agen que se form a en la película es sem ejante al objeto que se fotografía. Los triángulos sem ejantes ay u d an a explicar esto. Si Á B y Á W son paralelos, pruébese que A L A B y A L 'A 'B ' son sem ejantes. 16. U n m éto d o p a ra e n c o n tra r la altu ra de u n objeto es colocar u n espejo en el suelo y después situarse de m an era que la p a rte m ás alta del objeto p u ed a verse en el espejo. ¿Qué altu ra tiene una to rre si u n a persona de 150 cm de altura observa la p a rte superior de la to rre cu an d o el espejo está a 120 m de la to rre y la p erso n a está a 6 m del espejo?

B

A

espejo C ¿ A M B s s Z CMD

9.4


319

17. D ado: m L \ = m ¿ 2. Pruébese: A A B C ~ ~ A E D C . 18. D ado: A B || DE. Pruébese: a . A A B C ~~ A E D C . b.

AC CE

AB DE'

£

(E je rcic io s 17, 18)

19. D ado: A B C D es u n trapecio. Pruébese: A A E D ~ A CEB. q

20. D ado:

(E je rc ic io 19)

A B II D C

£

(E je rc ic io 20)

D 21. D ado:

AABC_~ ADEF A G y D H son alturas.

„ AB AG Pruebese: m =

22. D ado: N Q || OP. Pruébese: a. A M N Q ~ A M O P . .

MN MO

NQ OP'

H, N e Y son p u n to s m edios de M A , M E y AE. Pruébese: A H N Y ~~ A E A M .

23. D ado:

24. D ado: ¿ B ^ A C, D F ± A B , D E ± AC. Pruébese: a . A B D F — A CDE. ^ b.

FD ED

BD CD'

(E je rcic io 23)

E

320

S e m e ja n z a

25. Dado: L R S T , L 1 y L 2 son ángulos rectos. Pruébese: a . A R S U ~ A R T S . b . A U V T ~ A flU S .

i?

c. 26. Dado: A B C D es un trapecio. Pruébese: / J £ ■D E = B E ■ CE. A

27. D ado:

A /ÍB C - A EF G A D biseca a L A E H biseca a L E .

A

w 28. Dado:

A D 1 £ C , R E ± AC.

Pruébese: a .

= — . SC

b . A D - B C = A C - BE.

ACTIVIDADES C o lo q ú e se un p ro y ecto r a 10 p ie s d e una p a n ta lla y p e rp e n d ic u la r a é s ta . C o lo q ú e se un trián g u lo A B C e n el p ro y ecto r. L lám ese trián g u lo A 'B 'C ' al q u e a p a r e c e e n la p antalla. 1. M íd ase L A y s u im ag en L A '. ¿Q ué relació n tien en ? 2. M íd an se la s lo n g itu d es A B y A 'B ', A C y A 'C ' y B C y B 'C '. _ , AB AC BC ¿ C ual e s la ra z ó n e n t r e -------, ------- y --------? A 'B ' A 'C 1 B 'C '

¿Q u é co n clu sió n s e s a c a d e A A B C y A A 'B 'C "?

E

C

H

G

9 .4

29. Dado: Pruébese:


B E || C F || DG. B C _ EF CD FG '

30. Dado:

A C _L FE, A C _ ± BD , D E J_ B D , A E _L BE. Pruébese: A A F E — A B DE. D

31. Dado:

Pruébese:

AD BE

BC, FC ± A B AC.

A F _B D . CE = 1. B F ' CD A E

DELAC AB 1 BC mZl + 2 =90. Pruébese: B C ■ C E = E D ■A B .

D

32. Dado:

C A sC B B A s BD. Pruébese: { A B ) 2 = A C ■AD.

33. Dado:

SO LUCIO N DE S u p ó n g a s e q u e s e c o lo c a un p ro y e c to r de tra n s p a re n c ia s a 20 p ie s d e la pantalla. S u p ó n g a s e q u e A A B C e s s e m e ja n te a A A'B'C'. 1. Si s e c o rta un triá n g u lo A ABC y s e c o lo c a a x p ie s fre n te al p ro y ecto r, c a lc ú le s e la longitud A'B' e n función d e la longitud A B y d e la d is ta n c ia x. 2. Si á s e re d u c e a la m itad, ¿ q u é p a s a con A'B"?

C

321

322

S e m e ja n z a

9.5

Triángulos rectángulos y triángulos semejantes

U n e je m p lo in te r e s a n te d e s e m e ja n z a e n tre triá n g u lo s re c tá n g u lo s e n la n a tu r a le z a es la c o n c h a d e u n n a u tilo . L a fo to g ra fía m u e s tr a u n a c o n c h a c o r t a d a p o r la m ita d p a r a re v e la r su c o n s tr u c c ió n e s p ira l. E s ta e s p ira l p u e d e a p ro x im a r s e m e d ia n te u n a s u c e s ió n de se g m e n to s c o lo c a d o s e n á n g u lo s re c to s . E s ta e sp ira l e s tá re la c io n a d a c o n el te o r e m a de e s ta secció n . S e e m p e z a rá c o n u n e je m p lo y u n a defin ició n .

Definición 9.3

L a m e d ia g e o m é tric a e n tr e 4 y 16 es 8, d ad o que

U n núm ero x es u n a media geom étrica entre dos núm eros a y b si a x . n , , . - = J > x ¿ 0 ,b ¿ 0 .

E l c o n c e p to d e m e d ia g e o m é tric a se e m p le a e n el te o re m a sig u ien te.

O b s é rv e s e q u e A D _ = CD_ CD DB'

Teorema 9.10

P ru éb e se:

A A B C c o n L C c o m o á n g u lo re c to , C D es u n a a ltu ra . AD _ DC D C~D B'

XW WZ

IF Z W Y‘

E n u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo , la lo n g itu d d e la a l t u r a a la h ip o te n u s a es la m e d ia g e o m é tric a e n tr e la s lo n g itu d e s d e lo s d o s s e g m e n to s d e la h ip o te n u s a .

PRUEBA

D ado:


9.5


323

Afirm aciones 1. Z A D C es un ángulo recto.

1. CD es una altura.

2. Z B D C es un áng u lo recto.

2. ¿ P o r qué?

3. Z C es u n ángulo recto.

3. D ado.

4. Z B C D es com plem entario de ¿ A CD.

4. ¿ P o r qué?

5. Z C A D es com plem entario de Z A CD.

5. ¿ P o r qué?

6. Z B C D

Z CAD.

6 . ¿ P o r qué?

7. Z A D C ~ Z CDB.

7. D o s triángulos rectángulos son sem ejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con u n ángulo ag u do del otro.

8. ÆD _ P C

8. Partes correspondientes de

DC ~ DB'

triángulos sem ejantes son proporcionales.

A P L IC A C IO N

L a c o n c h a d e l n a u tilo e s tá b a s a d a e n u n a m e d ia g e o m é tric a . C o n s id é re s e la s u c e s ió n d e ra d io s:

OA, OB, ÓC, ÓD, OE, OF, ÓG, O H , OI, O j, Ó K. L a lo n g itu d d e c a d a u n o d e e s to s se g m e n to s es u n a m e d ia g e o m é tric a e n tr e la lo n g itu d d e l s e g m e n to p r e c e d e n te y la d el sig u ien te. JH 1 tK

C a d a tr e s p u n to s su c e siv o s, p o r e je m p lo , G, H e I , s o n v é rtic e s d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo . A d e m á s , O H es u n a a lt u r a d e A G H I . P o r ta n to , p o r el te o re m a 9.10, O H es la m e d ia g e o m é tric a e n tr e O G y OI. E s te tr iá n g u lo ilu s tr a el te o re m a 9.11. L a p r u e b a d e e ste te o r e m a se d e ja c o m o ejercicio .

Teorema 9.11

O b sé rv e se q u e

AD_ _ AC_ DB = BC AC A B y BC AB'

D a d o s u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo y la a ltu r a a la h ip o te n u s a , c a d a c a te to es l a m e d ia g e o m é tric a e n tr e la lo n g itu d d e la h ip o te n u s a y la lo n g itu d d e l s e g m e n to d e la h ip o te n u s a a d y a c e n te a l c a te to .

324

S e m e ja n z a

EJERCICIOS A. ¿Cuál es la m edia geom étrica en tre los n úm eros de los ejercicios 1 a 4? 1. 4 y 9.

2 ^ 9 y 16.

3. 4 y 5.

4. ^ 3 y f í .

5. La longitud CD es la m edia geom étrica en tre las longitudes de dos segm entos, ¿cuáles?

6. La longitud D E es la m edia geom étrica en tre las longitudes de d os segm entos, ¿cuáles? 7. L a longitud A C es la m edia geom étrica en tre las longitudes de dos segm entos, ¿cuáles? (Véase T eorem a 9.11.)


N

8. La longitud B C es la m edia geom étrica en tre las longitudes de dos segm entos, ¿cuáles? P ara los ejercicios 9 a_16, empléese esta figura en la cual L P M N es u n ángulo recto y M Q _L P N .


M

9- PQ = 9, Q N = 4. E ncuéntrese MQ.

10. Q N = 3, M Q = 9. E ncuéntrese PQ.

11. P M = 12, PQ = 9. E ncuéntrese P N .

12. M N = 8, Q N = 6. E ncuéntrese PN .

13. P N = 75, P Q = 72. E ncuéntrese M N .

14. M Q = 4, P N = 10. Encuéntrese QN.

15. P N = 13, P M = 12. E ncuéntrese MQ.

16. P M = 16, M N = 12. E ncuéntrese PQ.

ACTIVIDADES

- 11

U na e s p ira l s e m e ja n te a la d e u n a c o n c h a d e n a u tilo e s tá b a s a d a en el re c tá n g u lo á u re o y p u e d e c o n s tru irs e co n un c o m p á s y u n a re g la . 1. C o n s tru y a s e un re c tá n g u lo á u re o A B C D co m o se m u e s tra en la s e c c ió n «La g e o m e tría en n u e s tro m u n d o » d e la p á g in a

301. 2. D iv íd a s e el re c tá n g u lo B C E F en un c u a d ra d o y un re c tá n g u lo , y c o n tin ú e s e s u b d iv id ie n d o e l re c tá n g u lo re s u lta n te en un c u a d ra d o y un re c tá n g u lo .

3. En c a d a c u a d ra d o , c o n s trú y a s e un a rc o de c írc u lo c o m o e l qu e s e m u e s tra e n el d ib u jo . El c e n tro de c a d a a rc o e s un v é rtic e del c u a d ra d o .

9.5


325

B. 17. Supóngase que m Z H E G = 90 y E O ± H G . Si H O — 6 y EG - 4, encuéntrese OG. 18. Supóngase que m L H E G = 90, E O _L H G , E O = 8 y

H (Ejercicios 17-19)

= y. C

E ncuéntrese HO. 19. Supóngase que m L H E G — 90, £ 0 _L H G , / / O = 10 y O G — 8 . E ncuéntrese H E • EG. 20. D ado: m Z A C B = 90, C M _L A B , A B ■ C M = (¿1C)2. Pruébese: A C = B C .

¿

C. 21. D ado:

i» Z = 90, /? £ 1 T M , T Y = FM , = 4 f , T E = 6.

Pruébese:

M

i?


N.

A

23. Supóngase q u e A F D B es un rectángulo y que A D 1 CE. M uéstrese que el área de A F D B = V-SC ■S/4 • A F • FE.

/

/7 i

22. Em pléense el teorem a 9.11 y la figura p a ra m o stra r que a2 + b2 = c 2 (T eorem a de Pitágoras).

Bi D

(Ejercicio 23)

25. E n una estrella de m a r se en cu en tra la m edia geom étrica de varias formas. P o r ejem plo, en la estrella de cinco pu n tas que se m uestra en la fotografía, A B es la m edia geom étrica en tre B C y AC. Acéptese esto com o u n hecho y empléese p a ra m o stra r que A C tam bién es la m edia geom étrica entre A B y AD. (Sugerencia: Em pléese el teorem a 9.2.)

A B = CD

__SOLUCION D E PROBLEM AS----------------------------------------M u é stre se q u e la e sp ira l c o n stru id a en la actividad a n te rio r e s u n a esp iral d e u n a c o n c h a d e nautilo. E sto e s , m u é s tre s e q u e EX e s la m ed ia g e o m é tric a e n tre AE y XY. (Sugerencia: E m p lé e n se la definición del re c tá n g u lo á u re o d e «La g e o m e tría e n n u e stro m undo» d e la p á g in a 300, y el h ech o d e q u e ABCD y BCEF s o n re c tá n g u lo s á u re o s.)

326

S e m e ja n z a

9.6

Teoremas de la semejanza lll y LAL

Se v a a in s ta la r u n a fu e n te a 32 p ie s d e u n a e s q u in a d e u n e d ific io y a 27 p ie s d e la o t r a e sq u in a . E l e d ific io tie n e 40 p ie s d e a n c h o . E n el c o n ju n to d e p la n o s p a r a este p ro y e c to se e m p le a u n a e s c a la d e 5 m m p o r pie. D e s p u é s d e lo c a liz a r la s e s q u in a s A y B' del ed ific io d e l d ib u jo , se lo c a liz a u n p u n t o F ' a 160 m m d e A ' (5 x 32) y a 135 m m d e B' (5 x 27). ¿ S o n s e m e ja n te s A A B F y A A ' B ' F ' l

200 i

160 mm

135 mm

E n el s ig u ie n te e je m p lo , A Z F Z y A X ' Y ' Z se d ib u ja r o n d e m a n e r a q u e X Y X 'Y '

C u a n d o lo s la d o s d e lo s tr iá n g u lo s se tr a z a n p ro p o rc io n a lm e n te , e n to n c e s m ¿ X = m Z X ' = 30, m Z Y = m Z Y ' = 4 6 y m L Z ~ m L Z ' =. 104. E s to s e je m p lo s su g ie re n el te o r e m a lla m a d o te o r e m a d e la s e m e ja n z a L L L .

Teorema 9.12

T e o re m a d e la s e m e ja n z a L L L . Si lo s tr e s la d o s d e u n tr iá n g u lo s o n p r o p o r c io n a le s a lo s tre s la d o s d e o tr o tr iá n g u lo , e n to n c e s lo s d o s tr iá n g u lo s so n se m e ja n te s.

9.6


327

E l teo re m a 9.12 establece que si

T J _ J C _ TC PO OD PD’

en to n ces A T / C ~ A POD.

D

A P L IC A C IO N 40 pies

E n el ejem plo del p rin cip io de esta sección hay u n triá n g u lo cuyos lad o s m iden 27 pies, 32 pies y 40 pies, y u n d ib u jo a esc ala d e la d o s 135 m m , 160 m m y 200 m m . ¿Son sem ejantes estos trián g u lo s? D a d o q ue 40

32

27

1

B'

200 “ "160 “ ~135 “ 1 * el te o re m a 9.12 re sp o n d e a esta p re g u n ta . Sí, A A B F ~ A A 'B 'F . H a y o tra m a n e ra de m o s tra r q u e d o s triá n g u lo s son sem ejantes.

160 mm

DE EF A D E F y A G H I se co n stru y e ro n de m a n e ra q u e ----- = — y L E s L H . GH HI

E stas co n d icio n es im plican q u e L F L l y L D s L G . E ste ejem plo sugiere el siguiente teo re m a, lla m a d o te o re m a de la sem ejan za LA L.

Teorema 9.13

Si u n á n g u lo d e u n triá n g u lo es co n g ru en te c o n u n á n g u lo d e o tr o triá n g u lo , y si lo s lad o s co rre sp o n d ie n te s q u e in clu y en al á n g u lo son p ro p o rcio n ales, en to n ce s lo s triá n g u lo s so n sem ejantes. T e o re m a d e la s e m e ja n z a L A L .

135 mm

328

S e m e ja n z a

EJERCICIOS A. En los ejercicios 1 a 4, empléese la inform ación d a d a para determ inar si los triángulos son sem ejantes. Las decisiones deben basarse en las m edidas dadas, m ás que en la form a de los dibujos. Si los triángulos son sem ejantes, determ ínese cuál de los tres teorem as de sem ejanza se aplicó. (AA, L A L o LLL).

2.

8

10

3.

4.

4

8

5. Si A B = 4 y B C = 7, AD encuentrese — . CE

15

6 . Si el p u n to B divide A C y DE en tercios, ¿cuál es la longitud de C E ? D

D

E E

ACTIVIDADES 1. C o n s trú y a s e A A B C co n la d o s d e 10 cm , 13 cm y 17 cm d e largo. E n c u é n tre se el pun to d e in te rse c c ió n d e las b is e c tric e s p e rp e n d ic u la re s d e los lados. 2. E ste p unto e s el c en tro del círculo q u e p a s a p o r los tre s v é rtic e s. E ste círculo s e llam a círculo circunscrito. T rá c e s e e s te círculo. 3. D e sp u é s, tr á c e s e el círculo d e n u e v e pu n to s, com o s e d e sc rib ió e n la p á g in a 246. 4. ¿Q u é relació n e x iste e n tre el ra d io del círculo circ u n sc rito y el ra d io del círculo d e n u e v e p u n to s?

w 9.6

7. Dado: T rapecio A B C D , A B || CD. Pruébese: A A O B — A C O D .

9. D ado:


329

8 . D ado:

R U J_ UV, T V A. RT. Pruébese: A R S U — A V S T .

AJKL_~~ A N M P . J I y N O son m edianas.

Pruébese J L = J § - . NO NM

(Ejercicio 9)

10. D ado: T, U, y V son p u n to s medios. Pruébese: A Q R S ~ A V U T . 11. D ibújese un contraejem plo p a ra la proposición siguiente. Si dos lados de un trián g u lo son proporcionales a dos lados de o tro trián g u lo y u n ángulo del p rim er triángulo es congruente con un ángulo del segundo triángulo, los triángulos son semejantes. (Ejercicio 10)

12. Pruébese: Las diagonales correspondientes de dos cuadriláteros sem ejantes están en la m ism a razó n que los lados correspondientes. 13. Pruébese: D o s trián g u lo s isósceles con ángulos de los vértices congruentes son sem ejantes. 14. D ibújese un triángulo d ad o s d os ángulos agudos y la longitud de la altu ra al lad o incluido.


Id e n tifiq ú e n s e ta n ta s fig u ra s d e d ife re n te fo rm a c o m o s e a p o s ib le , y p a ra la s c u a le s s e p u e d a e n c o n tra r o tra fig u ra q u e s e a s e m e ja n te .

330

S e m e ja n z a

9.7 Razones trigonom étricas; una aplicación de ios triángulos semejantes L a a ltu r a d e ed ificio s m u y a lto s p u e d e d e te rm in a rs e c o n la a y u d a d e la s r a z o n e s d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo . Si se c o n o c e n la d is ta n c ia A C y la m e d id a d e L A , la a ltu r a B C p u e d e c a lc u la rs e p o r el m é to d o q u e se e s tu d ia e n e s ta secció n .

A

E n e s ta fig u ra , A A B C ~ A A E D ~ A A G F ~ A A I H . P o r ta n to , la s r a z o n e s e n tr e lo s la d o s c o rre s p o n d ie n te s s o n iguales.

lado opuesto lado adyacente

B C D E FG L a s re la c io n e s — , — , y AB AE AG J HI j — - d e la fig u ra a n te r io r so n

Al

ig u a le s. E s ta s r a z o n e s se a s o c ia n c o n L A y se lla m a n ta n g e n te d e L A , q u e se a b re v ia tan A.

B C ED GE L a s r a z o n e s ---- , — , — e A C A D ’ AF lado / opuesto ——- s o n ig u a le s. E s ta s A .ti r a z o n e s , a s o c ia d a s c o n L A , se lla m a n se n o d e L A , q u e se a b re v ia sen A.

hipotenusa

lado adyacente

A B A E AG L as razo n es — , — , — y A C ’ AD ' AF y AI —— s o n ig u a le s. E sta s AH ra z o n e s, a s o c ia d a s c o n L A , se lla m a n co sen o d e L A , q u e se a b r e v ia eos A.

Definición 9.4 L a tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón longitud del lad o opuesto longitud del lado a d y a cen te '

Definición 9.5 El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón longitud del lad o opuesto longitud de la hipotenusa

Definición 9.6 El coseno de un ángulo agudo de u n triángulo rectángulo es la razón longitud del lad o adyacente longitud de la hipotenusa

-

9.7

R a z o n e s trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e los triá n g u lo s s e m e ja n te s

Ejemplo 1

c

E n la fig u ra d e la d erech a p u ed e o b serv arse q u e ta n 37° =

sen 37° =

292

= 0.7534,

220 365.6

= 0.6018,

eo s 37° = - f p - = 0.7986. 36 d .6 E sta s ra zo n es trig o n o m é tric a s pu ed en e n c o n tra rs e p a ra v ario s án g u lo s p o r m edio de u n a ta b la de v alo res co m o la que ap arece a q u i o c o n u n a c a lc u la d o ra q u e ten g a funciones trig o n o m étricas.

m L A en grados

1 2 3 4 5

6 7

8 9

10

U 12 13 14 15 16 17 18 19

Ejemplo 2

20

P o r la ta b la de valores ap ro x im a d o s, puede verse que ta n 42° = 0.9004, sen 42° = 0.6691, eos 42° = 0.7431.

A P L IC A C IO N

U n a p e rs o n a s itu a d a a 1000 pies d e la base d el m o n u m e n to a W a sh in g to n e n c u e n tra que L A es a p ro x im a d a m e n te 29°. ¿C u ál es la a ltu ra a p ro x im a d a del m o n u m en to ? ta n 29° = 1000

o

x = 1000 X ta n 2 9 ' = 1000 x 0.5543 = 554.3 pies

21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

tan A

sin A

eos A

0.0175 0.0349 0.0524 0.0699 0.0875 0.1051 0.1228 0.1405 0.1584 0.1763 0.1944 0.2126 0.2309 0.2493 0.2679 0.2867 0.3057 0.3249 0.3443 0.3640 0.3839 0.4040 0.4245 0.4452 0.4663 0.4877 0.5095 0.5317 0.5543 0.5774 0.6009 0.6249 0.6494 0.6745 0.7002 0.7265 0.7536 0.7813 0.8098 0.8391 0.8693 0.9004 0.9325 0.9657 1.0000

0.0175 0.0349 0.0523 0.0698 0.0872 0.1045 0.1219 0.1392 0.1564 0.1736 0.1908 0.2079 0.2250 0.2419 0.2588 0.2756 0.2924 0.3090 0.3256 0.3420 0.3584 0.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.4540 0.4695 0.4848 0.5000 0.5150 0.5299 0.5446 0.5592 0.5736 0.5878 0.6018 0.6157 0.6293 0.6428 0.6561 0.6691 0.6820 0.6947 0.7071

0.9998 0.9994 0,9986 0.9976 0.9962 0.9945 0.9925 0.9903 0.9877 0.9848 0.9816 0.9781 0.9744 0.9703 0.9659 0.9613 0.9563 0.9511 0.9455 0.9397 0.9336 0,9272 0.9205 0.9135 0.9063 0.8988 0.8910 0.8829 0.8746 0.8660 0.8572 0.8480 0.8387 0.8290 0.8192 0.8090 0.7986 0.7880 0.7771 0.7660 0.7547 0.7431 0.7314 0.7193 0.7071

331

332

EJERCICIOS A. 1. C om plétese lo siguiente:

2. C om plétese lo siguiente:

tan A = _L.

tan M = JL.

sen A = JL. eos A = J_.

M

senP = X . A

eos P = _L.

P a ra los ejercicios 3 a 14, em pléense las tablas trigonom étricas. 3. sen 17° = JL.

4. eos 43° = J _

5. tan 21° =

6. eos 13° = JL.

7. tan 35° = JL.

8. s e n 37° = .

D adas las siguientes m edidas aproxim adas, encuéntrese el valor de L A red o n d ean d o al g rado m ás próxim o. 9. ta n L A = 0.7536. 12. eos L A = 0.8290.

10. eos L A = 0.9985.

11. sen L A = 0.2925.

13. sen L A = 0.0699.

14. tan L A = 0.9658.

B. 15. A A B C tiene A B = A C = 10 y m / B — 40. Encuéntrese la lo n g itu d de AD.

16. A A B C tiene A B = A C = 10 y m L B = 40. Encuéntrese la longitud de BD. C

(Ejercicios 15, 16)

ACTIVIDADES E m p lé e s e un a c a lc u la d o ra p a ra d e te rm in a r lo s ig u ie n te : 1. a. (sen 5 7 o)2+ (eos 5 7 o)2 = JL.

b. (sen 4 3 °)2

+ (eos 4 3 ° )2 = JL.

c. (se n 9 ° )2 + (eos 9 o)2 = J _

d. (sen 2 4 o)2

+ (eos 2 4 °)2 = j_ .

e. ¿Qué p u e d e d e c irs e s o b re s e n 2 x + e o s 2 x p a ra to d a s las x? s e n 47° 2. a . C o m p á re s e -------------- co n ta n 47°. eos 47°

s e n 71° b. C o m p á r e s e --------------- co n eos 71°

s e n 33° c. C o m p á r e s e -------------- co n ta n 33°. eos 33°

se n 66° d. C o m p á r e s e -c o n ta n 66°. eos 66°

se n x e. ¿Qué p u e d e d e c irs e s o b r e ---------y tan x? eos x

9.7

R a z o n e s trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s triá n g u lo s s e m e ja n te s

17. sen F = ^ -

18. tan Z = — ■

F D = JL.

X Y = JL.

F E - JL.

X Z = JL.

tan D = JL.

eos X = JL.

19. Supóngase que A B = 3, B C = = 4 y A C = 5. Em pléense las tablas trigonom étricas o una calculadora p a ra determ inar m ¿ .A y m L C en la m ayor aproxim ación posible.

Supóngase que se desea en co n trar la distancia a través del em balse Q N. Se m ide para en co n trar que PQ = 50 m y determ in ar que m L P = 44. E ncuéntrese QN.

21. Supóngase q u e se desea e n co n trar la altu ra del edificio F N . m L F U N = 50 a u n a distancia de 30 m etros de N. ¿C uál es la lo n g itu d de F N 1 22. Si un aero p lan o despega y asciende a una razó n uniform e de 10° hasta alcan zar una a ltu ra de 30 000 pies, ¿cuál fue la distancia recorrida? esto, se em plea un m olde con form a de caja y con lados interiores inclinados. El ángulo de inclinación es la pendiente de los lados. E ste ángulo es 2o y BD = 6 cm. ¿Cuál es la diferencia en tre las m edidas de A B y CD1

SOLUCION D E PROBLEMAS S u p ó n g a s e q u e s e d e s e a e n c o n tra r la a ltu ra (DC) d e u n a to rre , p e ro no e s p o sib le m edir d ire c ta m e n te la s d ista n c ia s AC y AB. Si m L A = 40, m L D B C = 60 y AB = 200 m e n c u é n tre s e DC.

333

334

S e m e ja n z a

9.8

Razones trigonom étricas de ángulos especíales

A sí c o m o lo s á n g u lo s d e 30°, 4 5 ° y 60°, s o n im p o r ta n te s p a r a los d is e ñ a d o re s , ta m b ié n s o n á n g u lo s esp e c ia le s im p o r ta n te s p a r a la trig o n o m e tr ía . C o n fre c u e n c ia es ú til c o n o c e r la s ra z o n e s trig o n o m é tric a s d e e sto s á n g u lo s sin te n e r q u e r e c u r r ir a la s ta b la s d e v a lo re s o a u n a c a lc u la d o ra . P o r el te o r e m a 7.3, se c o n c lu y e q u e las lo n g itu d e s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo de 4 5 °-4 5 o-9 0 ° tie n e n u n a r a z ó n 1 : 1 : ^ .

P o r el te o r e m a 7.4, se c o n c lu y e q u e la s lo n g itu d e s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo d e 30 °-6 0 o-9 0 o tie n e n u n a ra z ó n d e l : v /3 :2 .

E s ta ta b la m u e s tr a la s ra z o n e s trig o n o m é tr ic a s p a r a e s to s á n g u lo s esp eciales.

30°

60°

4 50

ta n

V3 3

V3

l

l

\ñ>

\/2

sen

2

eos

Ejemplo 1

2

\/3

l

V2

2

2

2

Ejemplo 2

L a d ia g o n a l d e u n c u a d r a d o es 5 cm . E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e u n la d o . sen Z E H F = E F 5 ' sen 45° = E F 5 ' V2

2

EF

H

's.

Cl V.I

4 5 ^ v 5 cm

E n el tr iá n g u lo q u e se m u e s tr a , e n c u é n tre n s e X W y XZ. x > XW tan Z Z = 4 ’ tan 30° =

F

XW

4 ‘

V3 _ X W

5 X IV =

------ L W 4 pies

4 y /3 -pies.

E F = — :— cm. D a d o q u e X Z es 2X W , e n to n c e s X Z = p ies.

3

9.8

R a z o n e s trig o n o m é tric a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s

335

EJERCICIOS___________________________________ A. E n los ejercicios 1 a 6, com plétese correctam ente la proposición sin co n su ltar la tab la de la página 331. 1. s e n 4 5 ° = J _ .

2. eos 3 0 ° = JL.

4. eos 60° = JL.

5. sen 30° = _Z_.

3. tan 6 0 ° = JL. 6. tan 45° = JL. 3

C. E n los ejercicios 7 a 14, el trián g u lo rectángulo que se m uestra no se dibujó con precisión. A céptense las longitudes d ad a s de los lados. C om plétense correctam ente las proposiciones siguientes.

/ . / A

V „ a

6

ÍEiercicios 7-14)

7. sen A = J_ .

8. eos A = JL.

V3 9. tan A = JL.

10. eos B = _L.

11. t a n S = JL.

12. sen 2? = J _

13. m ¿ A = JL.

14. m ¿ B = JL.

B. En los ejercicios 15 a 18, evalúense las expresiones dadas. Identifiqúense aquellos pares de expresiones q u e sean iguales. P a ra to d o s los problem as, supóngase que m L A = 30. 15. 2 sen A, 2 sen A eos A, sen 2A. 17. tan 2A , 2 tan A ,

2 tan .<4 1 - (tan A ) 2

16. eos 2A , (eos A ) 2 — (sen A ) 2, 2(cos A ) 2 — 1. 18. 2 eos A , 1 - 2 ( s e n ^ )2, eos 2A.

c.

G 19. Si m L G U S = 30 y U S = 50 m , ¿cuál es la a ltu ra del edificio? 20. El cu ad rilátero £ ,4 S Y es un trapecio isósceles con E A = SY. Si EA = 10 y m L E A S — 45, encuéntrese la longitud de la altu ra EZ.

/

/

A

21. A A B C es equilátero. E ncuéntrese la longitud de la a ltu ra AD. 22. M uéstrese que si A A B C tiene u n ángulo recto L C, entonces (sen A )2 + (cos/1)2 = 1.

q

(Ejercicio 21)

ni m ni if

336

S e m e ja n z a

Capítulo 9


Términos P ro p o rció n (pág. 304) Polígonos sem ejantes (pág. 313) M edia geom étrica (pág. 322)

Tangente de un ángulo agudo, (pág. 330) Seno de un ángulo agudo (pág. 330) C oseno de un ángulo agudo (pág. 330)

Postulado Postulado de la sem ejanza AAA (pág. 316)

Teoremas 9.1

Si — = 4 ’ entonces a X d = b X c. b a

9.2

Si í = 4 , entonces 5 _ ± Í = £ _ ± A b d b d

9.3

Si ~

9.4

Si -j- = entonces — = —. b d c d

b

9.5

entonces — ~ ^ = —~ ^ . a

b

d

Si cz x d — b x c , entonces — = — . b

d

9.6

T eorem a fundam ental de la proporcionalidad. Si una recta p aralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalm ente.

9.7

Si una recta interseca a d os lados de un triángulo y los divide p roporcionalm ente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

9.8

T eorem a de la sem ejanza A A. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

9.9

D os triángulos rectángulos son sem ejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo agudo del otro. En un triángulo rectángulo, la longitud de la altu ra a la h ipotenusa es la m edia geom étrica en tre las longitudes de los dos segm entos de la hipotenusa.

9.10

9.11

D ad o s un trián g u lo rectángulo y la a ltu ra a la hipotenusa, cada cateto es la m edia geom étrica en tre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segm ento de la h ipotenusa adyacente al cateto.

9.12

Teorem a de la sem ejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son p roporcionales a los tres lados de o tro triángulo, entonces los d os trián g u lo s son semejantes.

9.13

T eorem a de la sem ejanza LA L. Si un áng u lo de un triángulo es congruente con un ángulo de o tro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

C a p itu lo 9

Capítulo 9

R e su m e n

337

Resumen

1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a . Si B D || A E , entonces

CD _ CB DE BA'

b . S i - § § = - § , entonces B D || A E . c. Si CD — 4, D E = 3, B C — 8 , entonces A B = 6.

C

d . Si L A = L D B C , entonces A E A C ~ A DBC. e. Si CD = D E — A B = BC , entonces A E A C ~ A DBC. 2. Supóngase que D E || BC. a. A D = 4, B D — 6, A E = 5. E ncuéntrese AC . b . A B = 10, B D = 1, A C = 12. E ncuéntrese A E . c. A D — 3, B D = 4, B C = 6. E ncuéntrese DE. d. A B = B C = A C = 6 , A D = 2 . E ncuéntrese A D + D E + AE . 3. Dado:

A B || CD A C || DE. Pruébese: A B ■ C E = B C ■DC.

4. Supóngase que m L C A B = 90 y A D J . BC. a . Si A B = 8 y B C = 12, encuéntrese BD. b . Si A C = 6 y D C = 4 , encuéntrese BC. c. Si B D = 4 y A D = 6, encuéntrese DC. 5. Supóngase que m L D — 90.

8

a. Si sen L E — — , encuéntrese tan b. Si eos L H — c. Si ta n L E =

E.

encuéntrese eos L E . encuéntrese eos

H.

6. Si un árbol de 20 pies p ro y ecta u n a so m b ra de 45 pies, ¿qué so m b ra p ro y ectará un árb o l de 30 pies? 7. Dado: L a figura A B C D es un paralelogram o. Pruébese: a. A E C B — A E D F b. A E D F ~ A BA F c. A E C B - A B A F

C

338

S e m e ja n z a

Capítulo 9

Examen

1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas, a . Si D B || A E , entonces CD - D E = B C • AB. b . Si

L )L j

z jO

entonces A A E C ■ A B D C .

c. Si A A E C ~~ A B D C , entonces . 0. E C a . Si U Li

AC d

Lj

ED

f

= 4P-AB

. A entonces A A C E ■ A B C D .

e. Si D C ■A B = B C • E D , entonces B D || A E . 2. Supóngase que M N || CD. a . Si M E = 2ED , encuéntrese N E EC' b . Si M E = 4 , N E = 5 y E C — 3, encuéntrese ED. c. Si M E = 4, D E — 2 y N C = 9, encuéntrese EC. d . Si M N = M E — N E = 6 y C E = 4, encuéntrese C E + C D + D E 3. Supóngase que A A B C y A A B D son triángulos rectángulos. a. Si A C = 3 y A B = 4, encuéntrese A D . b . Si A B — 12 y B C — 13, encuéntrese DC. c. Si B D — 9 y B C — 15, encuéntrese A D . d . Si A C = 20 y B C = 40, encuéntrese DC. 4. D ado:

AB = AC D E = DC. Pruébese: A A B C — A DEC.

5. D ado: A B C D es un trapecio. Pruébese: D E - E C = A E - BE. 6. A B C D es un cu a d ra d o con diagonal BD. a. E ncuéntrese ta n L l . b. E ncuéntrese eos L 2. c. ¿Es eos A l = sen A l? 7. D ado:

D E ¡¡ A B , E F || B C , D E || A C .

Pruébese: A D E F ~ ~ A A B C .

Técnicas para la solución de problemas Trabájese hacia atrás A lgunas veces, al resolver problem as, es ta n ú til tra b a ja r hacia atrás com o hacia adelante. Plantéese esta pregunta: «¿Q ué inform ación se necesita p ara llegar a la conclusión deseada?»

Ejemplo D ado: Z ] s Z _ 2 , Z 3 s ¿ 4 A B s CD. Pruébese: a A G C ABED.

Considérese el problem a siguiente u tilizando las p reg u n tas y respuestas que se d a n com o ayuda p a ra resolver el problem a.

a. Pregunta: ¿C óm o se puede d em o strar que los triángulos son congruentes? b. Pregunta: ¿Q ué segm entos son congruentes? c. Pregunta: ¿Q ué lad o s de los triángulos puede d em ostrarse que son congruentes? d. Pregunta: ¿Q ué ángulos de los triángulos puede d em ostrarse que son congruentes?

PROBLEMAS________________________________________ Resuélvanse los p roblem as siguientes co n el m éto d o de tra b a jo hacia atrás. 1. D ado: A D 1 A B , CD 1 A B E F biseca, y es p erpendicular, a DC. Encuéntrese: AF.

D

fA

2.

V

t F ------ -------B

D

a. ¿Q ué clase de trián g u lo es A A D F 1 b. ¿P uede usarse aq u í el teo rem a de Pitágoras? c. P a ra e n co n trar AF, ¿qué lado de A A D F es necesario encontrar? d. ¿Q ué se sabe acerca de D F l

D ado: m Z B A D = w ¿ D C B -- 90, A E _L B D , F C i . BD , A B = C D = 9, A D = B C = 12. Encuéntrese: EF.

3. Supóngase que Z l = * Z 2 y Z 3 = = 4_¿C uál debe ser la m edida de Z C p a ra que D E || G F ? a. Supóngase que DE || GF. Entonces, m L D E F + m Z G F E = 180. b. Sea m Z l = m L 2 = x, y m Z 3 = m L 4 = y. Encuéntrese un a expresión p a ra w Z 2 + m Z 4 y después p a ra m L C . c. Inviértase el ord en de este razo n am ien to p a ra p ro b a r que la respuesta asegura que D E || GF. 33 9

C A P IT U LO

10.1


10.2

L a m e d ic ió n e n g r a d o s d e lo s a r c o s

10.3

C u e r d a s y d is t a n c ia s d e s d e e l c e n t r o

10.4

P e r p e n d ic u la r e s a la s c u e r d a s

10.5

T a n g e n te s a lo s c í r c u lo s

342 346 350

354

360

10.6

T a n g e n te s d e s d e u n p u n to a u n c í r c u lo

10.7

M e d id a s d e á n g u lo s in s c r it o s

10.8

A n g u lo s fo r m a d o s p o r c u e r d a s

10.9

A n g u lo s y s e g m e n t o s fo r m a d o s p o r t a n g e n t e s y s e c a n te s

364

368 374

378


386

R esum en

R e s u m e n g lo b a l (C a p s. 8 a 10) L a g e o m e tría en n u es tro m undo A g r im e n s u r a : e l t e o d o lit o

390

38 9

387

E xam en

38 8

Círculos

341

342

C írculos

10.1

Definiciones básicas

mmimM

R ecuérdese q u e u n círc u lo es u n c o n ju n to de p u n to s e n u n p la n o q u e e stá n situ a d o s a la m ism a d ista n c ia d e u n p u n to fijo. E n e sta sección se d efin irá n térm in o s re la cio n ad o s c o n los círculos.

Definición 10.1

C a d a p u n to del círculo es el e x tre m o de o tro radio.

U n radio de u n círculo es un segm ento cuyos extrem os son el centro del circulo y un p u n to del círculo.

CD es u n a cuerda O A.

Definición 10.2

C a d a p a r d e p u n to s del círculo d e te rm in a u n a c u e rd a del círculo.

U n a cuerda de u n círculo es u n segm ento cuyos extrem os son d o s p u n to s del círculo.

GH es u n diámetro de O A . C a d a p a r d e p u n to s

Definición 10.3

del círculo colineales c o n A d e te rm in a n u n d iá m e tro del círculo.

U n diám etro de un círculo es un a cuerda que contiene el centro del círculo.

A B es el radio de O A.

10.1


343

C u e r d a s , r a d io s y d iá m e tr o s s o n s e g m e n to s re la c io n a d o s c o n lo s c írc u lo s. L a s d e fin ic io n e s s ig u ie n te s d e s c rib e n a lg u n a s re c ta s y á n g u lo s ta m b ié n r e la c io n a d o s c o n lo s círcu lo s.

ex

Definición 10.4

L a r e c ta i s ó lo tie n e a B co m o p u n to c o m ú n con O A.

L a r e c ta l es ta n g e n te a Q A . E l p u n t o B e s el p u n to de tangencia.

U n a tangente a un círculo es una recta que interseca al círculo exactam ente en un punto.

Definición 10.5 & L a r e c ta m tie n e d o s p u n to s e n c o m ú n c o n O A.

L a r e c ta m e s u n a s e c a n te de

(DA.

U n a secante de u n círculo es u n a recta que interseca al círculo exactam ente en dos puntos.

Definición 10.6 E l v é rtic e d e L G H I e s tá e n O A. L o s la d o s d e L G H I in te rs e c a n a Q A e n los p u n to s G e / .

¿ G H I es u n án gu lo inscrito.

U n ángulo inscrito es un ángulo co n vértice en el círculo y con lados que contienen cuerdas del círculo.

Definición 10.7 E l v é rtic e d e L K A J es el c e n tr o d e O A

L K A J es u n á n g u lo central.

M

U n ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo.

Se d efin e u n arc o c o m o u n a p a r te c o n tin u a d e u n c írc u lo . Se e sc rib e L M p a r a re p r e s e n ta r a l arco L M . U n arco in tercep ta do e s u n a r c o c o n e x tre m o s en lo s la d o s d e á n g u lo s in s c rito s o c e n tra le s.

344

C írc u lo s

EJERCICIOS____________________ A. 1. C ítense to d as las cuerdas de la figura. 2. C ítense los diám etros de la figura. 3. C ítense p o r lo m enos cu atro arco s de la figura. 4. C ítense to d o s los rad io s de la figura.

(Ejercicios 1-4)

E

5. D ibújese u n círculo con cen tro T. T rácese u n a recta tangente al círculo en el p u n to B. T rácese una recta secante que interseque al círculo en los p u n to s F y G. 6. D ibújense un círculo y u n ángulo inscrito. Si el arco intercep tad o p o r ese ángulo es PQ, localícese en el círculo. 7. D ibújense un círculo y u n ángulo central. Si el arco intercep tad o p o r ese ángulo es X Y, localícese en el círculo. 8. D ibújese un círculo y localícese un arco según se m uestra en la figura. D espués, dibújese un ángulo inscrito que intercepte a ÁB. 9. D ibújese u n círculo y denom ínese CD a un arco. D ibújense d os ángulos inscritos diferentes, am bos con el arco in tercep tad o CD.

O

10. C ítense to d o s los ángulos con el arco interceptado A B y con el arco intercep tad o CD. 11. C ítense to d o s los ángulos

ACTIVIDADES! C on un c o m p á s , d ib ú je n s e e je m p lo s e n g ra n d e d e c a d a u n o d e lo s d is e ñ o s de « té c n ic a d e c o m p á s » q u e s e ¡lu s tra n a c o n tin u a c ió n . E la b ó re n s e d is e ñ o s o rig in a le s y c o lo ré e n s e de m a n e ra in te re s a n te .

10.1


12. C ítense to d o s los ángulos que ten g an al m enos un lado en una tangente. 13. C ítense to d o s los ángulos centrales.

P a ra los ejercicios 14 a 16, dibújese un círculo A. 14. T rácese u n segm ento que tenga un extrem o en el círculo p ero que n o sea u n a cuerda. 15. T rácese un segm ento que esté p o r com pleto d e n tro del círculo p ero que n o sea u n a cuerda. 16. Trácese u n segm ento q u e interseque al círculo en dos puntos y contenga al centro, p ero que n o sea un radio, u n diám etro o u n a cuerda. P a ra los ejercicios 17 a 19, dibújese un circuló B. 17. T rácese un recta que no sea ni secante ni tangente. 18. D ibújese un ángulo que tenga su vértice en el círculo y que interseque al círculo p ero que n o sea un áng ulo inscrito. 19. T rácese un ángulo con d os lad o s intersecando al círculo y cuyo vértice n o esté fuera del círculo, pero que no sea un áng u lo central ni un áng u lo inscrito. 20. U n asidero de 0.41 cm de d iám etro se reduce a un diám etro de 0.34 cm. ¿Cuál fue la p rofundidad del corte? 21. L os aviones del vuelo N ueva Y o rk-P aris suelen volar sobre Irlanda. ¿ P o r qué se eligió esta ru ta? (Sugerencia: Em pléese un globo terráq u eo y u n a regla flexible.)

SOLUCION D E PROBLEMAS___________________ E ste p o líg o n o co n fo rm a d e e s tre lla p u e d e c o n s tru irs e d e v a ria s m a n e ra s : a. m a rc a n d o c in c o p u n to s ig u a lm e n te e s p a c ia d o s e n u n c írc u lo . (P uede e m p le a rs e un tra n s p o rta d o r.)

b . e m p e z a n d o en un p u n to S y u n ie n d o c a d a d o s p u n to s a m e d id a q ue s e re c o rre e l c írc u lo e n la d ire c c ió n e n q u e g ira n las m a n e c illa s d e l re lo j. A é s te ú ltim o s e le lla m a p o líg o n o d e e s tre lla j^ J .

1.

¿ P ueden c o n s tru irs e lo s p o líg o n o s d e e s tre lla

2. ¿Qué p u e d e d e c irs e a c e rc a d e lo s p o líg o n o s d e e s tre lla

j^ j,

J , etc.?

345

346

C írc u lo s

10.2

La medición en grados de los arcos

C u a n d o se elig e n d o s p u n to s e n u n c írc u lo (q u e n o sea n e x tre m o s d e u n d iá m e tro ), se d e te r m in a n d o s a rc o s . A u n o se le lla m a arco m a y o r, y al o tr o , arco menor.

Definición 10.8 U n arco m enor es un arco qu e está en el in terio r de un ángulo central, de lo con trario se d enom ina arco m ayor.

A A B s im b o liz a s ie m p re a l a r c o m e n o r d e te r m in a d o p o r los p u n to s A y B. P a r a s im b o liz a r a l a r c o m a y o r, se m a r c a u n te rc e r p u n to . A C É sim b o liz a a l a rc o m a y o r d e te r m in a d o p o r A y B.

L a m e d id a d e u n a rc o se d e te r m in a p o r la m e d id a d e u n á n g u lo c e n tra l. P o r e je m p lo , m A É = m / L A O B = = 70 y m A C B = 36 0 - 7 0 = = 290.

B

E l p u n to C e s tá s o b re el a rc o A B . D o s a rc o s , A C y C B , se s u m a n p a r a f o r m a r el a rc o AB.

Definición 10.9 L a m edida de un arco m enor es la m edida de su ángulo central asociado. L a m edida de un arco m ayor es 360, m enos la m edida del arco m en o r asociado.

Postulado de la suma de arcos Si C_está en Á B , entonces m A C + m C B = mAB.

10.2

L a m e d ic ió n en g ra d o s d e lo s a rc o s

347

Definición 10.10 L o s a rc o s D C y B A d e este c írc u lo m id e n 50° c a d a u n o , y se d ic e q u e lo s a rc o s son co ngruentes.

Si dos arcos de un circulo tienen la m ism a m edida, se dice que son congruentes. Si A B y CD son congruentes, se escribe A B s CD.

E l r a d io A B tie n e la m is m a lo n g itu d q u e el r a d io CD. L o s c írc u lo s d e te rm in a d o s p o r e s to s r a d io s s o n c o n g ru e n te s .

Definición 10.11 D o s círculos son congruentes si tienen radios de igual longitud.

O b s é rv e s e e n la s d o s fig u ra s s ig u ie n te s la re la c ió n e x iste n te e n tr e c u e rd a s c o n g ru e n te s y su s a rc o s. D a d a s la s c u e r d a s c o n g ru e n te s A B = CD.

¿E s A B = C D } ¿ P o r q u é?

D a d o s lo s a rc o s c o n g ru e n te s A B s CD .

¿E s A B s C D ? ¿ P o r q u é?

E s ta s fig u ra s s u g ie re n lo s te o re m a s sig u ie n te s.


V-

E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , la s c u e rd a s c o n g ru e n te s tie n e n a rc o s m e n o r e s c o n g ru e n te s. E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , lo s a rc o s m e n o re s c o n g r u e n te s tie n e n c u e r d a s c o n g ru e n te s .

348

C írc u lo s

EJERCICIOS A. 1. ¿E stá el p u n to D en BAC1 ¿Está D en A B l 2. C ítense tres arcos m enores. Cítense tres arco s m ayores. C ítense tres ángulos centrales. 3. E ncuéntrense las siguientes m edidas en grados.

a. m A B ^ c. tn BC A .

b. mAC d. m A B C .

4. E ncuéntrense las siguientes m edidas en grados. a. mAÍB. b. m /L B O C . c. m B D . d. m L C O G . 5. E ncuéntrense las siguientes m edidas en grados.

a. mDF.

b. mEG.

c. mECG.

6. C ítense to d o s los arcos m enores que contengan al p u n to C. 7. C ítense tres pares de arcos m enores congruentes. 8. Cítese u n p a r de arcos m ayores congruentes. 9. S upóngase que m L A O B = 40, m L B O C = 20 y m L C O D = 40. C ítense to d o s los pares de cuerdas congruentes.

ACTIVIDADES 1. D ib ú je s e un c írc u lo c o n ra d io d e 4 c m e in d íq u e s e un p u n to A en e l c írc u lo . 2. C on un tra n s p o rta d o r, m á rq u e n s e p u n to s c a d a 10° a lre d e d o r d e l c írc u lo , e m p e z a n d o en A. 3. C ada un o d e e s o s p u n to s e s el c e n tro d e un c írc u lo q ue p a s a p o r A . D ib ú je n s e los c írc u lo s . (Y a se d ib u ja ro n 3 d e e llo s .) 4. A d iv ín e s e c u á l s e rá la fo rm a d e la fig u ra re s u lta n te .

10.2

L a m e d ic ió n e n g ra d o s d e los a rc o s

B. En los ejercicios 10 a 12, háganse dibujos precisos y respóndase a las preguntas. 10. ¿Tiene la cu erd a de u n arco de 90° de un círculo doble longitud que la cu erd a correspondiente a un arco de 45o? 11. ¿Se duplica la m edida del áng u lo central si se duplica la m edida de un arco m enor? 12. Supóngase que en el círculo O, O A y O B son radios y O A = OB = A B . ¿C uál es la m edida de LAOB"! 13. Pruébese el teorem a 10.1. 14. Pruébese el teorem a 10.2. H

C. 15. D ado: E S = AY. Pruébese: E A = S Y.

17. D ado: A B y CD son diám etros. Pruébese: A C B D es un paralelogram o. 18. Pruébese que si los vértices de un trián g u lo equilátero está n sobre un círculo, el círculo se divide en tres arcos congruentes. 19. D ado:

P O S es un d iám etro de O O S R || OQ-

Pruébese: R Q s QP.

SO LU C IO N D E PROBLEMAS 1. D ib ú je n s e lo s c írc u lo s C , y C 2, d e d ife re n te ta m a ñ o . 2. ¿ C u á n to s c írc u lo s h a y c o n c e n tro s c o lin e a le s q u e to q u e n a lo s c írc u lo s d a d o s e x a c ta m e n te en un p u n to ? (S e h a d ib u ja d o u n o d e e llo s .) 3. D ib ú je n s e e s to s d o s c írc u lo s . (P rim e ro c o n s trú y a n s e lo s c e n tro s d e los c írc u lo s . No e s n e c e s a rio h a c e r c o n je tu ra s .)

349

350

C írc u lo s

10.3

Cuerdas y distancias desde el centro

L a fo to g ra fía m u e s tr a u n a b r o c a de u n ta la d r o e lé c tric o c u y a c a b e z a tie n e tre s su p erficie s p la n a s . U n a c a ra c te r ís tic a n e c e s a ria d e e s te d is e ñ o es q u e la s tre s su p erficie s p la n a s e s té n a ig u a l d is ta n c ia del e je d e r o ta c ió n p a r a a s e g u r a r q u e la b r o c a se d eslic e c o n s u a v id a d . E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n d e s c rib e u n m é to d o p a r a d e te r m in a r q u e se s a tisfa g a e s ta c o n d ic ió n . E n c a d a fig u ra se d a u n p a r d e c u e r d a s c o n g ru e n te s .

CS = JN

FD = D N

¿ E s I L = l i l i e n c a d a c a so ? E s to s e je m p lo s s u g ie re n e l te o r e m a sig u ie n te .

Teorema 10.3

E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , la s c u e rd a s c o n g ru e n te s e q u id is ta n d el c e n tro .

PR U EB A

D ad o : O O, A B s s CD , Ó M _L Á B , O L J_ CD. P ruébese: O M = OL.

10.3

Afirm aciones

C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e e l c e n tro

Razones

1. A B = CZ).

1. D ado.

2. O A - O B = O C - OZ>.

2. D efinición de círculo.

3. Ó A s Ó B s Ó C s Ó D .

3. D efinición de segm entos congruentes.

4. A A O B s A C O D .

4. C ongruencia LLL.

5. Z 1 s s Z 2 .

5. P C T C C .

6. ÓM 1 Ze, O í 1 CZ).

6. D ado.

7. Z O M B =s Z O LD , Z OM B. y Z O L D son ángulos rectos.

7. L a s rectas perpendiculares form an ángulos rectos congruentes.

8. A O M B y A O L D son trián g u lo s rectángulos.

8. Definición de triángulo rectángulo.

9. A O M B s

9. C ongruencia de la hip o ten u sa y el ángulo.

A OLD.

10. Ó M s O L .

10. P C T C C .

11. O M = OL.

11. Definición de segm entos congruentes.

A PLICA CIO N L a b r o c a d e la fo to g ra fía d e b e e s ta r e q u ilib r a d a p a r a q u e fu n c io n e c o n su a v id a d . ¿ C ó m o d e b e c o n s tr u ir s e la c a b e z a d e la b ro c a p a r a q u e e s té e q u ilib ra d a ? Si lo s s e g m e n to s A B , C D y E F so n c o n g ru e n te s , e n to n c e s , p o r el te o r e m a 10.3, e q u id is ta n d e l c e n tr o d e l c írc u lo q u e c o n tie n e a lo s a r c o s A B , C D y E F . E s to a s e g u r a el e q u ilib r a d o d e la b ro c a .

L a r e c íp r o c a d e l te o re m a 10.3 ta m b ié n e s im p o r ta n te y se p r e s e n ta a c o n tin u a c ió n .

Teorema 10.4

E n u n círculo, o e n círculos co n g ru en tes, las cu erd as e q u id ista n te s d e l c e n tro so n congruentes.

351

352

C irc u io s

EJERCICIOS 1. D ado:

A B = CD O X ± A B , O Y _L CD O X = 3. Encuéntrese: OY.

2. D ado:

OX = OY O X L A B , O Y .L CD A B = 10. Encuéntrese: CD.

3. D ado:

ÓM ± A B ,O Ñ ± C D A B = CD m A M O N = 150. Encuéntrese: m L O M N (Sugerencia: ¿Es O M = ON1)

4. D ado:

Ó M ± A B , Ó Ñ ± CD A B = CD m L N M B = 70. Encuéntrese: m L M O N .

5. D ado: Pruébese:

A B , B C y C A equidistan del cen tro O. A A B C es equilátero.

ACTIVIDADES La tra y e c to ria d e s c rita p o r u n p u n to 6 d e un c írc u lo q u e ru e d a a lre d e d o r d e un c írc u lo fijo d e l m is m o ra d io e s u n a c u rv a d e n o m in a d a c a rd io id e . U na c a rd io id e ta m b ié n p u e d e d ib u ja rs e co n u n v a rilla je a rtic u la d o c o m o el q u e s e m u e s tra e n la fig u ra . S íg a n s e e s ta s in s tru c c io n e s y d ib ú je s e u n a c a rd io id e .

1. C o n s trú y a s e un v a r illa je a rtic u la d o co n c a rtu lin a c o m o el q u e se m u e s tra e n la fig u ra . O b s é rv e s e q u e B C = A D = a, A B = CD = b, D E = A F = c y a 2 = be. (S u g e re n c ia : S ea a = 6 cm , b = 32 c m y c = 8 cm .) 2. F íje s e e l v a r illa je a u n a s u p e rfic ie d u ra y p la n a e n los p u n to s E y F. 3. C o lo q ú e s e un lá p iz e n 6 y d ib ú je s e la c a rd io id e .

\J

(Ejercicios 3, 4)

10.3

^6. D ado:

OX = O Y _

C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e e l c e n tro

353

_

0 X 1 R S , J D Y 1 TU. Pruébese: m R S -- mTU. 7. Dado:

En el círculo O, O X ± A B , O Y -L CD m ¿ 1 = mZ2. Pruébese: A B — CD.

8. D ado:

En el círculo O, O X ± A B , O Y J_ CD CD = AB. Pruébese: m ¿ 1 = m Z 2 .

(Ejercicios 7, 8)

9. C on frecuencia, piezas de m áq u in as com o la que se m uestra sólo funcionarán adecu ad am en te si las ran u ras están «centradas». ¿P or qué al m edir A B y CD se sabe si las ran u ras están cen trad as o no?

10. Este ejercicio p resen ta una p ru eb a del teorem a D ado: C irculo O, O E = O F O E 1 A B , O F X CD. Pruébese: A B = CD. (Sugerencia: T rácense rad io s y em pléense triángulos congruentes.) 11. D ado:

En el círculo O, O X _L N E , Ó Y±ÁT L X Z O s Z YZO. Pruébese: N E - AT. T

_ SO LU C IO N D E PROBLEMAS L a re g ió n c e n tra l d e e s te h ilo ra m a p a re c e c irc u la r. E x p liq ú e s e p o r q u é e s a s i. E sto es, e x p liq ú e s e p o r q u é los p u n to s m e d io s d e lo s s e g m e n to s q u e c o n fo rm a n lo s b o rd e s d e la re g ió n c e n tra l e q u id is ta n d e un p u n to c e n tra l im a g in a rio . (P u e d e a s u m irs e q u e lo s c la v o s d e los e x tre m o s d e c a d a c u e rd a e s tá n ig u a lm e n te e s p a c ia d o s a lre d e d o r d e un c írc u lo .)

V

354

C írc u lo s

10.4 Perpendiculares a las cuerdas P a r a e n c o n tr a r el c e n tr o d e u n a m e sa r e d o n d a se p u e d e u s a r u n a e s c u a d r a d e c a rp in te r o . E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n e x p lic a c ó m o h a c e rlo .

E s ta s fig u ra s ilu s tr a n u n a p r o p ie d a d d e la s b ise c tric e s p e rp e n d ic u la re s d e u n a c u e r d a . E n c a d a fig u ra , l es la b ise c triz p e rp e n d ic u la r d e la c u e r d a A B .

¿ P a s a la r e c ta í p o r el p u n t o O? E s ta s tre s fig u ra s s u g ie re n el s ig u ie n te te o re m a .

Teorema 10.5

L a b ise c triz p e r p e n d ic u la r d e u n a c u e r d a c o n tie n e a l c e n tro d e l c írc u lo .

PRUEBA

D a d o : A B e s u n a c u e r d a d e l c írc u lo O y t es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e A B .

P ruébese: O es u n p u n t o d e i .

10.4


Razones

Afirm aciones 1. i es la bisectriz p erp en d icu lar de A B .

1. D ado.

2. O A = OB.


3. 0 está en t .

3. U n p u n to eq uidistante de los p u n to s A y B pertenece a la bisectriz perpendicular de AB. (T eorem a 6.10.)

A PLICA CIO N

E n cu é n trese el c e n tro d e u n a m esa re d o n d a . P a s o 1 S elecciónense d o s c u e rd a s cu alesq u iera Á B y CD. P a s o 2 T rá c e n se la b isectriz p e rp e n d ic u la r p de^ A B y la b isectriz p e rp e n d ic u la r q de CD. C onclusión: P o r el te o re m a 10.5, se concluye q u e el c e n tro está e n a m b a s rectas, p y q. E n consecuencia, el ce n tro d e la m esa d eb e ser la in tersección d e estas d o s rectas. A c o n tin u a c ió n se p re s e n ta n o tro s d o s teo re m as im p o rtan tes.

Teorema 10.6

Si u n a re cta q u e p a s a p o r el c e n tro d e u n círc u lo es p e rp e n d ic u la r a u n a c u e rd a q u e n o es u n d iá m e tro , entonces b iseca a la c u e rd a y a su a rc o m en o r.

Teorema 10.7

Si u n a re c ta q u e p a s a p o r el ce n tro d e u n círculo biseca a u n a cu e rd a q u e n o es u n d iá m e tro , en to n ce s es p e rp e n d ic u la r a la cu erd a.

E l te o re m a 10.6 p u ed e em p learse p a r a e n c o n tra r in fo rm ac ió n so b re círculos.

Ejemplo

D ad o :

x

O O d e ra d io 4 pulgadas. O X 1 PQ. L a c u e rd a PQ

e stá a 1 p u lg a d a d e O. E n c u é n tre se : p Q .

L a in fo rm ac ió n d a d a dice q u e O P = 4 (¿ P o r qué?), y q u e 0 7 = 1 (¿ P o r qué?). Al a p lic a r el te o re m a d e P itá g o ra s a A O PY, p u ed e d e te rm in a rse q u e P Y = y / l 5 . El te o re m a 10.6 in d ica q u e O X biseca a PQ. P o r ta n to ,

355

356

C írc u lo s

EJERCICIOS A. 1. T rácese la figura de la derecha. E n cuéntrese el centro de los arcos y com plétese el círculo. 2. C o n u n com pás y u n a regla, trácese u n a figura que ilustre los teorem as 10:6 y 10.7. En la figura de los ejercicios 3 y 4, O es el centro del círculo. 3. Si O C 1 A B , ¿qué relación hay en tre m Á C y mCB? 4. Si A D = 3 y B D = 3, encuéntrese m L B D C . E n los ejercicios 5 a 7, determ ínese qué teorem a (10.5, 10.6 ó 10.7) se em pleó p a ra llegar a la conclusión. 5. D ado:

O O con AO D com o altura d_e_A-4.BC. Conclusión: AD biseca a BC.

D ado:

(Ejercicios, 3, 4)

6. Dado: El_diám etro A B biseca a CD. Conclusión: A B 1 CD.

(i_es la bisectriz p erpendicular de CD.

t j j s la bisectriz p erpendicular de AB. f i y 1 2 se intersecan en X . Conclusión: X es el c en tro del círculo. E n los ejercicios 8 a 10, encuéntrese la inform ación que falta. O es el cen tro de ca d a círculo.

AB = ?

y

¿Cuál es la longitud del radio?

¿A qué d ita n d a del centro está A B ?

10.4


B. 11. E n un círculo de radio 5 cm, A B es una cuerda que m ide 8 cm. ¿Q ué distancia hay en tre A B y el centro del círculo? (H ágase un bosquejo p a ra a y u d ar a la solución del problem a.) 12. Dado:

C_es e ljn m to m edio de A B C E 1 AB. C E = 2 pulgadas, A B = 1 6 pulgadas. Encuéntrese: La longitud de un rad io del círculo.

A M - M B — 6 cm A O — 10 cm. Encuéntrese: OM .

13. Dado:

14. Dado:

Ó M _L A B O M = 5 , A O = 13. Encuéntrese: A B .

15. Dado:

M es el p u n to m edio de A B OM = M B O B = y/2. Encuéntrese: AB.

(Ejercicios 13-15)

16. D os cuerdas de un círculo tienen la m ism a longitud. La distancia en tre cada una de ellas y el cen tro se representa p o r x 2 y 4x, respectivam ente. ¿Q ué distancia hay entre cada cuerda y el centro? C U n círculo co n ,46 = 8 pies y m L A B C = 45. Encuéntrese: L a distancia en tre O y BC.

17. Dado:

fí

18. D ibújese un círculo O y m árquese un p u n to P d en tro del círculo. C on un com pás y u n a regla, trácese u n a cu erd a a la que biseque P.

19. E n u n a excavación, u n arqueólogo en co n tró un tro zo de rueda. E sta rueda puede reconstruirse d eterm inando su ra d io original. Expliqúese cóm o puede realizarse esto.

/

357

C írc u lo s

C 20. D ado:

A B || CD E F es la bisectriz perpendicular de AB. Pruébese: E F biseca a CD. A

21. D ado:

Pruébese:

XY XY XY AB

es u n diám etro biseca a A B biseca a CD. II CD.

O

B 22. Dado:

AB AB AO PX Encuéntrese: X Y

y CD son diám etros -L CD = 10 cm L CD y P Y L A B .

23. U n círculo O tiene de r a ¿ : ' 10 cm. Las cuerdas A B y C,D son perpendiculares y se intersecan en un p u n to F del interio r del círculo. Si A B = 16 y CD = 18, encuéntrese DF.

ACTIVIDADES1 1 1. D ib ú je s e e s ta fig u ra y re c ó rte n s e las p ie z a s . 2. C o lo q ú e n s e la s p ie z a s p a ra fo r m a r d o s re g io n e s o v o id e s y s in un ce n tro . 3. D ib ú je s e e l ro m p e c a b e z a s c o n un c o m p á s. (S e n e c e s ita rá d e te r m in a r c u id a d o s a m e n te el c e n tro d e c a d a a rc o . No e s n e c e s a rio h a c e r c o n je tu ra s .)

A

\D

10.4


24. D ado:

D os circuios con cen tro 0 A, B , C' y D son colineales. Pruébese: A B — CD.

25. D ado:

m P M = rrM Q

XM ±O P Y M _L ÓQ. Pruébese: X M = YM.

'

( x pV >T

J \

I

(Sugerencia: Trácese O M y em pléense triángulos congruentes.) 26. D ado: A B es una cu erd a com ún a los círculos O y O'. Pruébese: 0 0 ' es la bisectriz p erpendicular de A B . 27. D ado: O C biseca a A c É . Pruébese: O C biseca a A B .

SOLUCION D E PROBLEMAS

U sa n d o e l m é to d o d e s c rito e n la s a c tiv id a d e s d e la p á g in a 348, s e d ib u jó u n a c a rd io id e . L o s p u n to s b ; C s o n c e n tro s d e lo s c írc u lo s qu e p a s a n p o r A y s e e n c u e n tra n d e n u e v o en el p u n to D. ¿ P o r q u é so n c o n g ru e n te s A A B C y A DSC?

/

359

360

C írc u lo s

10.5

Tangentes a los círculos REPASO: U n a recta es tangente a un círculo si lo interseca exactam ente en u n punto. S u p ó n g a s e q u e se d e s e a n r e d o n d e a r las e s q u in a s d e u n p ie z a d e m a d e r a p a r a c o n s tr u ir u n a m e s a p e q u e ñ a . P a r a q u e el tr a b a jo e s té b ie n h e c h o , d e b e e n c o n tr a r s e la fo r m a d e tr a z a r u n a rc o . L o s b o rd e s d e la ta b la d e b e n s e r ta n g e n te s a l a rc o c irc u la r. ¿ C ó m o p u e d e tr a z a r s e este a rc o ?

U n o d e lo s te o re m a s d e e s ta se c c ió n a y u d a a re so lv e r el p ro b le m a . E n c a d a u n a d e e s ta s fig u ra s, O A es u n ra d io y (, es p e r p e n d ic u la r a O A e n A.

¿E s ( u n a ta n g e n te ? E sta s o b s e rv a c io n e s su g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .

Teorema 10.8

Si u n a r e c ta es p e r p e n d ic u la r a u n r a d io e n u n p u n to d e l c irc u lo , e n to n c e s la re c ta es ta n g e n te a l círc u lo .

PRUEBA

D a d o : ¿ j_ ÓA_ P ru é b e se : ¿ es ta n g e n te a l c írc u lo . P la n : H á g a s e u n a p r u e b a in d ire c ta . S u p ó n g a s e q u e l n o es ta n g e n te a l c írc u lo . E s to sig n ific a q u e i n o in te rs e c a a l c írc u lo o q u e lo in te rs e c a en d o s p u n to s . A h o r a se a n a liz a r á la ú ltim a su p o sic ió n .

10.5

Afirm aciones

T a n g e n te s a lo s c irc u io s

Razones

1. t interseca al círculo en un


segundo p u n to B. 2. OA ± 1

2. D ado.

3. OB es u n a h ip o ten u sa de un triáng u lo rectángulo.

3. Definición de hipotenusa.

4. OB > OA.

4. L a longitud de la hipotenusa es m a y o r que la longitud de cualquier lado.

5. OB = OA.


L a s a firm a c io n e s 4 y 5 s o n c o n tr a d ic to r ia s . P o r ta n to , la s u p o s ic ió n es falsa y la r e c ta f, es ta n g e n te a l c írcu lo . A PLICA CIO N A h o r a y a se p u e d e re s o lv e r el p r o b le m a p la n te a d o al p rin c ip io d e e s ta secció n .

Paso 1 D ibújese la bisectriz del ángulo, P aso 2 Elíjase u n p u n to 0_en la_bisectriz y dibújense las perpendiculares O A y O B a los lados del ángulo. P aso 3 El p u n to O de la bisectriz del ángulo es equidistante de los lados de los ángulos. P o r tan to , O A = OB. D ibújese el círculo con cen tro O que pase p o r A y B. L o s b o r d e s d e la t a b la s o n ta n g e n te s a l c írc u lo p o r el te o re m a 10 . 8 . A h o ra se p r e s e n ta n o tr o s d o s te o re m a s s o b r e ta n g e n te s.

Teorema 10.9 Teorema

10.10

Si u n a r e c ta e s ta n g e n te a u n c írc u lo , e n to n c e s el r a d io tr a z a d o h a s ta el p u n t o d e c o n ta c to e s p e r p e n d ic u la r a la ta n g e n te . Si u n a r e c ta es p e rp e n d ic u la r a u n a ta n g e n te e n u n p u n to d e l c írc u lo , e n to n c e s la re c ta c o n tie n e a l c e n tr o d e l círc u lo .

361

362

C írc u lo s

EJERCICIOS A. 1. D ibújese un círculo O y m árquese en él un p u n to P. T rácese una tang en te al círculo a través de P.

2. T rácese la figura siguiente, en la cual l y t ' son tangentes en los p u n to s P y Q, respectivam ente. E ncuéntrese el centro del círculo. (Sugerencia: Em pléese el teorem a 10.10.) 3. A X es tangente al círculo en A. m L A O X = 51. m ¿ A X O = X . 4. A X es tangente al círculo en A. Si O A = 10 y A X = 24, encuéntrese OX .

B. 5. Dado:

Pruébese:

R A y PB son tangentes OA y OB son rad io s de 4 cm P A 1 PB. A O B P es u n cuadrado.

ACTIVIDADES D ib ú je s e , m á rq u e s e y re c ó rte s e e n c a rtu lin a un a fig u ra c o m o la s ig u ie n te , d e n o m in a d a a v e c e s to m a h a w k (h a c h a d e g u e rra d e lo s in d io s ).

_

w

1. T rá c e s e A D d e m a n e ra q u e A B = B C = CD.

2. T rá c e s e u n s e m ic írc u lo e n BD. 3. T rá c e s e BE 1 AD y c o m p lé te s e la fig u ra c o m o s e m u e s tra . 4 . C o ló q u e s e e l to m a h a w k

s o b re L \N X Y d e m a n e ra q u e :

x

a. X e s té s o b re BE. b. A e s té s o b re u n ra y o d e l á n g u lo .

m ¿Y XZ = \m ¿ w x z

c. El b o rd e s e m ic ir c u la r d e l to m a h a w k s e a ta n g e n te a l o tro b o rd e d e l á n g u lo . 5. E n to n c e s , XC e s la tr is e c tr iz d e l á n g u lo . E m p lé e s e un to m a h a w k p a ra tr is e c a r v a rio s á n g u lo s .

10.5

T a n g e n te s a los c írc u lo s

363

P A y P B son tangentes PA 1 PB OB = 8 . Encuéntrese: OP.

6. Dado:

P A y P B son tangentes O A y OB son radios. 8. Dado: Pruébese:

P /l y P B son tangentes. m Z l = m L 2. (Ejercicio 7)

9.

Dado: Pruébese:

P A y P B son tangentes 0 /1 y OB son radios. O P es la bisectriz perpendicular

__

\

de

AB.

P/4 y P B son tangentes O A y OB son radios > m ¿ A P B = 80. Encuéntrese: m L A BO (Sugerencia: empléese la conclusión del ejercicio 9.)

10. Dado:


PA_ y P B son tangentes al círculo O /4 C es un diám etro. _ O P || BC.


/


I

(Ejercicios 9, 10)

/ ° /

j

/

F

(Ejercicio 11)


P ru é b e s e q u e e l m é to d o to m a h a w k p re s e n ta d o en la a c tiv id a d a n te r io r s irv e p a ra p ro b a r q u e Z. 1, Z. 2 y Z- 3 son c o n g ru e n te s .

364

C írc u lo s

10.6

Tangentes desde un punto a un círculo

Se le h a p e d id o a u n a g rim e n so r que en c u en tre el c e n tro de u n a fuente circular. P u e d e n em p learse p a r a esto u n ja ló n y un teo d o lito . U n o de lo s teo re m as de esta sección p ro p o rc io n a u n m é to d o p a ra e n c o n tra r el c e n tro c o n este equipo.

E n c a d a caso, P~Á y F É son tan g en te s en A y B. T ó m en se m ed id as con regla o tra n s p o r ta d o r p a r a e n c o n tra r las lo n g itu d es q u e faltan.

P A = 19 m m , P B = JL

P A = 33 m m , P B

P A = 20 m m , PB

m Z l = 24, m Z 2 = _L

m ¿ l = 25, m Z 2 = J _

m Z l = 38, m ¿ 2 =

Teorema 10.11

L o s seg m en to s tan g en tes a u n círc u lo d esd e u n p u n to e x te rio r so n c o n g ru en tes y fo rm a n á n g u lo s co n g ru en tes c o n la re cta q u e u n e al c e n tro c o n el p u n to .

10.6

T a n g e n te s d e s d e un p u n to a un c írc u lo

PRUEBA D a d o : P A y P B s o n ta n g e n te s e n A y B. P ru é b e se : P A = P B y L l » L2 ,

Afirm aciones 1. T rácese PO y los radios OA y OB.

OA = OB. 3. PO = PO. 4. OA A. P l y OB L PB. 5. A POA =£ A P O S . 6. PA^PB, ¿ l s s Z 2 . 2.

Razones 1. C onstrucción. 2. D efinición de radio. 3. ¿ P o r qué? 4. ¿ P o r qué? 5. ¿ P o r qué?

6. P C T C C .

APLICACION E l p r o b le m a d e l a g r im e n s o r q u e se in tr o d u jo a l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n p u e d e re so lv e rse c o n el te o r e m a 10.11 y el h e c h o d e q u e la b ise c triz d e u n á n g u lo es ú n ica. P aso 1 Se colocan dos teodolitos y se determ ina en ca d a caso la posición de los rayos tangentes. Paso 2 Se coloca el telescopio de los dos teodolitos en el lu g a r de la bisectriz del áng u lo form ado p o r las tangentes. Paso 3 U n ja ló n situ ad o en la «línea de visión» de am bos telescopios debe estar en el centro del círculo.

N O T A : N o es u n dib u jo a escala

365

366

C írc u lo s

EJERCICIOS A. D ado:

P A y P B son tangentes P A = 5 cm, m ¿ B P O = 17. 1. Encuéntrese: PB. 2. Encuéntrese m L A P B .

3. D ado:

P A , P B y P C son tangentes P A = 10 cm. Encuéntrese: PC. (Ejercicio 3)

B. 4. D ado: H A , A R , R D y D H son tangentes. Encuéntrense: Las longitudes .x: e y. 5. Dado:

P A y P B son tangentes a O O O A = 10 m L A P B = 60. Encuéntrese: OP.

(Ejercicio 5)

6. D ado: A B , AD y BC son tangentes a O O. Pruébese:

AD. + B C = AB.

7. D ado:

El trián g u lo rectángulo A B C A B , BC y A C son tangentes A B = 6, B C = 8 y -4C =_10. Encuéntrese: L a lo n g itu d del ra d io O X .

El m o to r W a n ke l e s tá d is e ñ a d o en to rn o a u n a c u rv a d e n o m in a d a c u rv a d e a n c h o co n s ta n te . C o n s tru y a n s e v a ria s fo rm a s c u rv a s id é n tic a s d e c a rtu lin a m e d ia n te el s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .

1. C o n s tru y a s e un triá n g u lo e q u ilá te ro A ABC. 2. C o n s trú y a n s e lo s a rc o s A B , Á C y BC, c a d a u n o c o n c e n tro en el v é rtic e o p u e sto .

3. G íre n s e e s ta s c u rv a s c o m o se m u e s tra e n e l d ia g ra m a p a ra d e m o s tra r q u e tie n e n el m is m o a n ch o .

(Ejercicio 7)

10.6

T a n g e n te s d e s d e u n p u n to a u n c írc u lo

367

8. D ado:

C P , CD y P B son tangentes CD = 4, C P = 9 m / A P B = 60. Encuéntrese: AB.

9. Dado: Pruébese:


A' tu - gentes com unes, com í se m uestra en la figura. A B = CD.

(Ejercicio 9)

C írculo O £ círculo O’. A B es u n a tangente in tern a com ún A B biseca a 0 0 ’.

11. El co n tro l de calidad en la prod u cció n de piezas de m aq u in aria con frecuencia requiere m éto d o s poco usuales de m edición. P o r ejem plo, p a ra verificar la corrección de los ángulos A y B en una pieza llam ad a «cola de m ilano», se insertan espigas circulares com o ilustra la figura. Entonces, se m ide la distancia X con u n m icròm etro. E n el caso de la cola de m ilano que se m u estra aquí, ¿cuál sería esta distancia? 12. T res discos de m etal de 10 cm de ra d io cada uno, son tangentes entre sí. L os discos están encerrados en una estru ctu ra m etálica con form a de trián g u lo equilátero. ¿Cuál es la lo n g itu d de un la d o del triángulo?

W

_ SOLUCION D E PROBLEMAS S u p ó n g a s e q u e £ e s u n a re c ta ta n g e n te a un a rc o d e la c u rv a c o n stru id a e n la actividad a n te rio r y q u e t ' e s p a ra le la a t a tra v é s d e un v é rtic e o p u esto . ¿Q u é relació n e x iste e n tre la d ista n c ia d q u e s e p a r a a la s re c ta s y la longitud A B ?

368

C írc u lo s

10.7 Medidas de ángulos inscritos D o s fa ro s p u e d e n s e rv ir c o m o a u x ilio a la n a v e g a c ió n d e u n b a r c o q u e p a s a c e rc a d e la c o s ta y p o r a g u a s p o c o p r o f u n d a s . Si el b a r c o e s tá e n el p u n to D, e n to n c e s L A D B d e b e se r m e n o r q u e u n « á n g u lo d e p e lig ro » c o n o c id o . E s ta té c n ic a d e n a v e g a c ió n se b a s a e n u n te o re m a d e s a r r o lla d o e n e s ta secció n .

Definición 10.12 U n á n g u lo in s c rito d e te r m in a u n a r c o lla m a d o

arco interceptado.

El arco interceptado en un ángulo inscrito ¿ A C B es el arco A B que está en el interior del ángulo.

E n c a d a fig u ra se d a n m A B , m L A C B y m / ADB.

E s ta s fig u ra s s u g ie re n el te o r e m a sig u ien te.

Teorema 'lO.'l2

L a m e d id a d e u n á n g u lo in s c rito es la m ita d d e l a m e d id a d e s u a r c o in te rc e p ta d o .

10.7


A P L IC A C IO N 1

L a técn ica d e n av e g ació n p re se n ta d a al p rin cip io d e esta sección se b a s a en el te o re m a 10.12. Si u n p u n to C está e n u n circu lo d e m a n e ra q u e el a rc o A B m id a el d o b le q u e el « án g u lo d e peligro», en to n ces m L A C B es igual al á n g u lo d e peligro. Si D e stu v ie ra en este m ism o círc u lo o d e n tro de él, en to n ces m L A D B sería ig u al o m a y o r q u e el á n g u lo d e peligro. C u a n d o D está fu era del círculo, m L A D B es m e n o r que el á n g u lo d e p elig ro y el b a rc o en el p u n to D e stá a salvo. L a se g u n d a ap licació n se b a s a en u n caso especial del te o re m a 10.12, q u e se fo rm u la co m o te o re m a 10.13. A P L IC A C IO N 2

C o n frecuencia, los d iseñ ad o res tienen que tra z a r d o s rectas tan g en te s a u n círc u lo desde u n p u n to d a d o fu era del círculo. A c o n tin u a c ió n se p re sen ta u n m é to d o p a ra re a liz a r esto. P aso 1 T rácense O P y su p u n to m edio M desde un p u n to P fuera de un círculo d ad o con cen tro O. P aso 2 T rácese el círculo con diám etro O P que interseca aLcírculo d a d o en los p u n to s A y B. T rácense PA y P B . El teorem a 10.12 indica que L O A P y L O B P son ángulos rectos. P aso 3 e i teorem a 10.8 indica que P A y P B son tangentes al círculo dado.

Teorema 10.13

U n á n g u lo in s c rito e n u n se m ic írc u lo es u n á n g u lo recto .

369

370

C írc u lo s

EJERCICIOS A. 50“ fi

E n los ejercicios 1 a 4, m A B = 50, m A O C = 230. l.m ¿ A O B = J _ .

2. m L B O C = _L.

3. m ¿ A O C = J _ .

4. m /iC = X .

(Ejercicios 1-4) (Ejercicio 6) 40'

5. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos de A-4SC.

A . 60°

(Ejercicio 5) >oo

6. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos de ABCD.

160"

7. E ncuéntrense: m A B , m A C , y mBC.

8. D ado: Encuéntrese:

X Y = YZ m L Y = 40. rnXY, m Y Z y wtYZ.

E n los ejercicios 9 a 14, m A C = 160, m A B = 75 y m C b = 45. 9. m ¿ A B C = _L.

10. m Z ^ D C = ± .

11. m É 3 = J _ .

12. m ¿ _ B A D = _L.

13. m L B C D = J_.

14. m ¿ A F B = _L.

B. 15. Dado:

BC es un diám etro /IB = 8, X C = 6. Encuéntrese: BC.

E n los ejercicios 16 a 19, A C es un diám etro, mCD = 66 y m ¿ C D B = 60. 16. m L A D B = J_.

17. m B C = J _ .

18. m Z B C A = J_.

19. m l B C D = JL.

} UO

10.7


j 20. Dado:

mMN 2 mNP 3 — = —y—— = — mNP 3 mMP 4 Encuéntrense: m L M , m ¿ N y m L P .

21. D ado:

m B C = 100, m A B = 80 A C es un diám etro. BD ± A C .

Encuéntrese: a . m L B A C . c. m l E B C .

22. Dado:

b. m L A C B . d . mAD.

/ íC b is e c a a A B A D m C D = 80, m A D = 160.

Encuéntrese: a . m L B A C .

b. m LBD C .

c. n i L A E B .

d. m L A D B .

23. D ado: A C biseca a L B A D . Pruébese: T res ángulos de A A B E son congruentes con tres ángulos de A DCE. 24. ¿C óm o puede em plearse una escuadra de carp in tero p ara en co n trar el cen tro de un disco? ¿P or qué funciona este m étodo?

25. D ado:

A B es u n d iám etro del círculo O BC es un diám etro del círculo O' El círculo O es tangente al círculo O' en B. Pruébese: m ¿ - 1 = m L 2.

26. P ru éb ese que to d o s los ángulos inscritos que tengan el m ism o arco in tercep tad o o arcos interceptados congruentes tienen la m ism a m edida. 27. D ibújense u n círculo y un p u n to P que n o esté d en tro ni en el círculo. Trácense d os rectas que pasen p o r P y sean tangentes al círculo.

C

371

372

C írc u lo s

c. 28. U n a cu rv a de an ch o co n stan te com o la de un m o to r W ankel se com pone de tres arcos circulares AB, B C y AC. ¿C u án to m ide cada uno de estos arcos? (Véase la construcción de la actividad de la pág. 366.)

29. Pruébese que si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, sus ángulos o puestos son suplem entarios. 30. Si A B C D es u n cu ad rilátero inscrito en un circulo y m L A = 3x + 50, m L B = 4 x + 25 y m L C - I x + 30, encuéntrese m L D . 31. Pruébese que u n p aralelogram o inscrito en un círculo es un rectángulo. 32. En la figura, L B A D y L B C D son ángulos inscritos. Pruébese q u e A A B E es sem ejante a A CDE.

ACTIVIDADES P a ra d ib u ja r un c írc u lo p u e d e u s a rs e u n a e s c u a d ra de c a rp in te ro . 1. A p ó y e s e la e s c u a d ra c o n tra un p a r d e c la v o s o a lfile re s y un lá p iz e n e l á n g u lo re cto . 2. G íre s e la e s c u a d ra s in s e p a ra r la d e lo s c la v o s . El lá p iz m a rc a rá e l s e m ic írc u lo co n e l d iá m e tro d e te rm in a d o p o r lo s c la v o s . ¿ P or qué? D ib ú je s e un c írc u lo c o n e s te m é to d o .

10.7


373

33. D em uéstrese que si dos rectas paralelas intersecan a u n círculo, entonces interceptan a. arcos congruentes.

34. D ado: A B C D es u n trapecio inscrito. Pruébese: A B C D es un trapecio isósceles.

35. D ado: A B C D es un cuadrilátero inscrito y A D s BC. Pruébese: A B C D es u n trapecio.

36. Dado:

l es tang en te al círculo en A BC |! I Pruébese: A A B C es un trián g u lo isósceles.

(Ejercicios 34, 35)

374

C írc u lo s

10.8

Angulos form ados por cuerdas

El p o líg o n o c o n fo rm a d e estrella se d ib u ja u n ie n d o c a d a c u a rto p u n to d e u n c o n ju n to de nueve ig u alm en te esp a ciad o s so b re u n círculo. (V éase la so lu ció n de p ro b le m a s d e la pág. 345.) E n este diseñ o d e estrella h ay m u ch o s á n g u lo s q u e p arece n congruentes. E n esta sección se e s tu d ia rá u n te o re m a q u e p u ed e u sarse p a r a d e m o s tra r q u e estos á n g u lo s son co n g ru en tes. E n to d a s las figuras, m A B + m C D — 80. B

E stas fig u ras su g ieren el teo re m a siguiente.

Teorema 10.14

U n á n g u lo fo rm a d o p o r d o s c u e rd a s q u e se in te rse c a n e n el in te rio r d e u n c írc u lo tiene u n a m e d id a ig u al a la sem isu m a d e lo s a rc o s in terc ep tad o s.

PRUEBA

Dado: L as c u e rd a s A D y B C se intersecan en el p u n to X.

Pruébese: m L A X B = \( m A B + mCD).

B

D

10.8


Razones

A firm aciones 1. C onstru y ase BD.

1. C onstrucción.

2. m Z 2 = \m C D .

2. L a m edida de un ángulo inscrito es la m itad de su arco interceptado.

3. m Z 3 = ¿ m A B .

3. ¿ P o r qué?

4. m Z A X B = m Z 2 + >«Z3.

4. ¿ P o r qué?

5. m L A X B = \ m Á B + \m C D .

5. Sustitución (afirm aciones 2, 3 y 4).

6. m ¿ _ A X B = \ ( m A B + mCD).

6. P ro p iedad distributiva.

APLICACION D eterm ín ese la m e d id a d e los án g u lo s d e este p o líg o n o con fo rm a de estrella. Se u sa rá el teo re m a 10.14. 1. m ¿ A X B = ¿(40 + 80) = 60. 2. m / L C Y D = ¿(80 + 120) = 100. 3. m ¿ E Z F = ¿(120 + 160) = 140.

E l sig u ien te es u n caso especial del te o re m a 10.14 p a r a u n a re c ta tan g en te.

Teorema 10.15

L a m ed id a del á n g u lo fo rm a d o p o r u n a ta n g e n te y u n a c u e rd a tra z a d a a l p u n to d e c o n ta c to es ig u al a la m ita d del a rc o in terc ep tad o .

375

376

C írc u lo s

EJERCICIOS A. 1. Dado:

2. Dado:

Encuéntrese:

Encuéntrese:

3. Dado:

4. Dado:

A B es tangente al círculo O m A D C = 300 Encuéntrense: m Z 1 y m Z 2.

Encuéntrese:

5. Dado:

A B es tangente al círculo O m A E - 160, m A D = 50, m D C = 60. Encuéntrense: m Z 1 y m Z 2 .

AB_L mBD mAD Encuéntrense: m A C

6. Dado:

m A X É = 190 m C D = 25m Z l.

CD = 20 = S0-_ y mBC.

B. M N es tan g en te al círculo O m P Q = 100, m M X Q — 150Encuéntrense: a. m ¿ .N M P . b. m Z PQM. c. m Z .M P Q . d . m /_ P M Q . e. m Z M NP.

7. Dado:

ACTIVIDADES' Con un c o m p á s y u n a re g la , m á rq u e n s e 15 p u ntos ig u a lm e n te e s p a c ia d o s a lre d e d o r d e un círculo. D ib ú jen se d o s p o líg o n o s co n fo rm a d e e s tre lla , uno d e e llo s u n ien d o c a d a c u a rto punto, y el otro, u n ie n d o c a d a sép tim o punto. (S u g e re n c ia : C o n s tru y a n s e un p en tág o n o re g u la r y un triá n g u lo e q u ilá te ro con un v é rtic e com ún. D e sp u é s, m X Y = 24 = ^-(360). El m éto d o p a r a co n stru ir un p e n tá g o n o re g u la r s e d e s c rib e e n la p á g in a 274.)

10.8

8. Los tres círculos q u e se m uestran a continuación son congruentes, co n tnAB = mCD = mEF. L 1 es un ángulo cen tral y L 3 es un ángulo inscrito. ¿C uál de los tres ángulos es el m ay o r y cuál el m enor? ¿ P o r qué?

9. Dado: A B ± CD-__ Pruébese: m A D + m B C = m A C + mBD.

c. A B es u n a tangente externa com ún a los círculos O y O'. CD es una tangente in te rn a com ún. Pruébese: L A D B es un ángulo recto.

10. Dado:


— mCD.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS En el p o líg o n o con fo rm a d e e s tre lla d e la figura, s e re s a lta ro n e n co lo r cinco án g u lo s. Sin u s a r el tra n sp o rta d o r, e n c u é n tr e s e lo sig u ie n te : m ¿ 1 = _L. mZ 4 = m Z 2 - _L.

mZ3 = ?


377

378

C írc u lo s

10.9

Angulos y segm entos form ados por tangentes y secantes

Cuando los ingenieros diseñan torres de antena, necesitan saber qué fracción de la superficie de la Tierra cubrirá la señal de radio de la torre. En esta sección se simplifica este problema al considerar un corte transversal circular de la Tierra que pasa por la base de la torre. Se plantea entonces la siguiente cuestión: «Si se conoce la medida del ángulo formado por la punta de la torre y los rayos tangentes al círculo, ¿se puede encontrar la fracción de la circunferencia del círculo cubierta por las señales de radio? En cada caso, TÁ y TÉ son rayos tangentes. mACB - mAB = 180

mACB - mAB = 112

mACB - mAB = 216

Mídase L A T B con un transportador. ¿Cuál es el resultado?

Teorema 10.16

La medida de un ángulo formado por dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

PRUEBA

Dado: TÁ y TÉ son rayos tangentes a un círculo. mAB = x, y mACB = y. Pruébese: m ¿ A T B = -¿(y — x).

10.9

A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s

Razones

Afirm aciones 1. m Z 2 = \x .

1. La m edida de un ángulo form ado p o r u n a tangente y u n a cuerda es igual a la m itad del arco interceptado.

2 . m ¿ 3 — $y.

2. ¿ P o r qué?

3. m Z .3 = m / . 1 + m Z 2.

3. L a m edida de u n ángulo exterior es igual a la sum a de las m edidas de dos ángulos interiores no contiguos.

4. m Z l = m Z 3 - m L 2 .

4. ¿ P o r qué?

5. m Z 1 = l y — \ x .

5. Sustitución.

6. m ¿ l = j ( y — x).

6 . ¿ P o r qué?

APLICA CIO N

S u p ó n g ase q u e el á n g u lo fo rm a d o p o r los dos ra y o s tan g en tes q u e p a rte n d e la p u n ta de la to rre d e a n te n a m id e 160°. ¿Q ué fracc ió n del círc u lo c u b re n las o n d a s d e radio?

Respuesta: 1. E l te o re m a 10.16 d a co m o re su lta d o la ecuación (1) al pie d e la fig u ra y la ecu ació n (2) ex p resa u n a p ro p ie d a d del círculo. 2. A l reso lv er el sistem a de ecu acio n es se e n c u e n tra q u e x = 20. 3 _ í _ _ _?0_ _ _ L

360

360

18'

L as o n d a s de ra d io c u b re n j g d e la circunferencia del círculo. E stas figuras sugieren u n te o re m a adicional.

Teorema 10.17

L a m e d id a d e u n á n g u lo fo rm a d o p o r u n a ta n g e n te y u n a secante, o p o r d o s secantes desde u n p u n to e x te rio r a un círculo, es ig u a l a la m ita d d e la diferencia d e las m edidas d e los a rc o s in terc ep tad o s.

379

380

C írc u lo s

Al p rin cip io d e esta sección se p re g u n tó qué fracción de superficie d e la T ie rra cu b riría n las señales de ra d io de la to rre . O tra cuestión de ig u al im p o rta n c ia es la d ista n c ia q u e cu b ren las señales d e ra d io . E l teo re m a siguiente d a r á u n a b u e n a a p ro x im a ció n a la respuesta. P a ra p re s e n ta r el siguiente teo re m a es necesario in tro d u c ir a lg u n o s térm in o s nuevos.

R ecu érd ese q u e A Ü es u n a secante. CA es u n segmento secante. BC es un segmento secante externo. CD es u n

segmento tangente. C o n sid éren se lo s siguientes ejem plos d e círculos c o n u n a ta n g e n te y u n a secante. ¿Q u é relación c o m ú n a los tres ejem plos se p u ed e en c o n trar?

O bsérvese que 152 = 9 x 25

E sta relació n se estab lece co m o el te o re m a 10.18.

Teorema 10.18

Si se tra z a n u n seg m en to ta n g e n te y u n seg m en to secante desde u n p u n to e x te rio r a u n círculo, en to n ce s el c u a d ra d o d e la lo n g itu d del seg m en to ta n g e n te es igual al p ro d u c to d e las lo n g itu d e s del segm ento secante p o r su segm ento se c a n te externo.

PRUEBA Dado: © O c o n el segm ento ta n g e n te PT. Pruébese: (PT)2 = P S -P R .__ Plan: M á rq u e n se S T y IR . E m pléense los triá n g u lo s sem ejantes.

10.9


R azones

Afirm aciones 1. D ibújese S T y TR.

1. C onstrucción.

2. L P = Z P.

2. P ro p ied a d reflexiva.

3. m L P T S = \m T S -

3. ¿P or qué?

4. m ¿ S R T = \ m f § .

4. ¿ P o r qué?

5. ¿ P T S s Z S R T :

5. S ustitución, definición de congruencia.

6 . A P T S ~ A PRT.

6 . T eorem a de la sem ejanza A A.

7. P T PR

7. D efinición de triángulos sem ejantes.

PS PT'

8 . T eorem a 9.1.

8 . (P T )2 = P S • PR.

T

A P L IC A C IO N

C o n a n te r io r id a d se p la n te ó la c u e s tió n d e la d is ta n c ia q u e c u b re n las o n d a s d e ra d io d e s d e la to r r e . L a lo n g itu d T A es u n a b u e n a a p r o x im a c ió n a la re s p u e s ta . E l te o re m a 10 .18 in d ic a q u e (T A )2 = ( T C ) ( T D ) o b ie n T A = J ( T C ) ( T D ) . S u p ó n g a s e q u e la t o r r e tie n e 800 pies d e a ltu r a . Se s u p o n d r á q u e el d iá m e tr o C D d e la T ie r r a e s d e 8 0 0 0 m illa s x 5280 p ie s/m illa s, o 4 2 2 4 0 0 0 0 p ies. E n to n c e s , TA = ^ 8 0 0 p ie s x 4 2 2 4 0 800 p ie s = 183 8 2 7 .7 p ie s = 34.8 m illas. L o s d o s te o r e m a s s ig u ie n te s ta m b ié n in c lu y e n se g m e n to s re la c io n a d o s c o n circ u io s.

Teorema 10.19

Si d o s c u e r d a s se in te rs e c a n e n u n c írc u lo , e n to n c e s el p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e lo s s e g m e n to s d e u n a c u e rd a e s ig u a l al p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e la s e g u n d a c u e rd a .

Teorema 10.20

Si se tr a z a n d o s s e g m e n to s s e c a n te s a u n c írc u lo d e sd e u n p u n to e x te rio r, e n to n c e s el p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e u n s e g m e n to s e c a n te y su s e g m e n to s e c a n te e x te rn o es ig u al a l p r o d u c t o d e la s lo n g itu d e s d e l o tr o s e g m e n to s e c a n te y s u s e g m e n to s e c a n te e x te rn o .

Ejemplo 1

Ejemplo 2

E n c u é n tre se : B E P o r el te o r e m a 10.19, C E -E D = B E -A E . C E -E D 5 -8 b b = ~ a e - - - ^

= 4.

E n c u é n tre se : P D P o r el te o re m a 10.20, P C -P A = P D -P B . 3 • 8 = x ( x + 10) ( x + 12)(x - 2) = 0 . x = 2

381

382

C írc u lo s

EJERCICIOS A. E n los ejercicios 1 a 12, encuéntrese x. P u ed e suponerse que las rectas que parecen tangentes lo son.

7.

B. E n jo s ejercicio sJ 3 a 15, A B C D es un cu ad rilátero inscrito. m A B = 100, m A D = 30, m B C = 90. 13. E ncuéntrese m ¿ P .

14. E ncuéntrese m L B A D .

(Ejercicio 13-15) 15. E ncuéntrese m L AB C.

10.9


383

E n los ejercicios 16 a 19, A B C D es un cuadrilátero circunscrito. m F G = 60, m G H = 70, m H E = 80. 16. E ncuéntrese mÉT.

17. E ncuéntrese m L A .

18. E ncuéntrese m L B .

19. E ncuéntrense m Z C y m Z D .

20. E ncuéntrense los valores de x e y.



En los ejercicios J!3 a 25, EC, EB, A D y ^4C son secantes. m Z E = 40, m B C = 120, y m B F = 80. 23. E ncuéntrese mDF. 24. E ncuéntrese mDC. 25. E ncuéntrese w Z A

E n los ejercicios 26 a 29, m A B = 55, w BD — 40, A C es un diám etro y P B es tan g en te al círculo en B. 26. E ncuéntrese m Z P.

27. E ncuéntrese m Z 2.

28. E ncuéntrese m L 1.

29. ¿Es AD || P B ? Expliqúese. A

30. D ado: A D J B E y m L C = 40. Encuéntrese: mBD.

(Ejercicios 26-29)

384

C írc u lo s

31. E ncuéntrense A B y CD.

32. En la figura, O es el centro de am bos círculos. RS es tangente al círculo m enor. Si R X = 5 y RS = 30, encuéntrese X Y . 33. En esta figura, í 2 es tangente a am bos círculos; t x y 1 3 son tangentes a los círculos en los p u n to s A y B, respectivam ente. D em uéstrese que M K a-

ACTIVIDADES C u a n d o s e ru e d a un c írc u lo a lo la rg o del in te r io r de o tro c írc u lo m á s g ra n d e , un p u n to P d e l c írc u lo q u e ru e d a d e s c rib e u n a tra y e c to ria (en lín e a s ro ja s ) d e n o m in a d a d e lto id e , s ie m p re q u e el ra d io d e l c írc u lo q u e ru e d a s e a i ó f d e l ra d io d e l m a y o r. T rá c e s e un a d e lto id e s ig u ie n d o las in s tru c c io n e s .

1. D ib ú je s e un c írc u lo d e 3 cm d e ra d io en e l c e n tro de u na h o ja d e p a p e l. M á rq u e n s e p u n to s e in te rv a lo s d e 5 o. N u m é re n s e los p u n to s 0, 1, 2, ... e n la d ire c c ió n en q u e g ira n la s m a n e c illa s d e l re lo j (n ú m e ro s e n n e g ro ).

2. E m p e z a n d o en el 36 (en n e g ro ), n u m é re n s e p u n to s a lte rn o s 0 , 1, 2 . . . en la d ire c c ió n en q u e g ira n la s m a n e c illa s d e l re lo j (n ú m e ro s e n ro jo ).

3. T rá c e s e un ra y o d e s d e un p u n to ro jo , q u e p a s e p o r u n p u n to co n e l m is m o n ú m e ro en n e g ro . H á g a s e lo m is m o co n to d o s lo s n ú m e ro s d e l 0 a l 71.

4. S e ñ á le s e la d e lto id e q u e ro d e a al c írc u lo .

10.9


34. Si P B y PD son segm entos secantes y P B = PD, dem uéstrese que P A = PC.

(Ejercicio 34)

35. Pruébese el teorem a 10.17 p a ra el caso de u n a tangente y u n a secante. 36. Pruébese el teo rem a 10.19. 37. Pruébese el teorem a 10.20. 38. Si dos círculos son tangentes in teriorm ente y el diám etro del círculo m enor es el rad io del círculo m ayor, entonces cualquier cu erd a del círculo m ay o r que vaya al p u n to de tangencia será b isecado p o r el círculo m enor. Dado: O'A = \O A y los círculos son tangentes en A. Pruébese: B es el p u n to m edio de AC.

_ SOLUCION DE

C on el m é to d o d e s c rito e n la a c tiv id a d a n te rio r, se tra z ó u n a d e lto id e u s a n d o in te rv a lo s d e 10°. C a d a p u n to da o rig e n a d o s ra y o s . ¿ P or q u é son p e rp e n d ic u la re s e s to s d o s ra yo s?

(Ejercicio 35)

385

386

C írc u lo s

Capítulo 10

conceptos im portantes

Términos R adio (pág. 342) C u erd a (pág. 342) D iám etro (pág. 342) T angente (pág. 343) Secante (pág. 343)

A ngulo inscrito (pág 343) M edida de un arco m ayor (pág. 346) A ngulo cen tral (pág. 343) Arcos congruentes (pág. 347) A rco m en o r (pág. 346) C írculos congruentes (pág. 347) A rco m ay o r (pág. 346) M ed id a de un arco m en o r (pág. 346)

Postulado P o stu lad o de la sum a de arcos (pág. 346) Teoremas 10.1 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos m enores congruentes. 10.2 En u n círculo, o en círculos congruentes, los arco s m enores congruentes tienen cuerdas congruentes. 10.3 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro 10.4 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas equidistantes del cen tro son congruentes. 10.5 L a bisectriz p erpendicular de u n a cuerda contiene al centro del círculo. 10.6 Si u n a recta que p asa p o r el cen tro de un círculo es p erpendicular a una cu erd a que no es u n diám etro, entonces biseca a la cuerd a y a su arco m enor. 10.7 Si u n a recta que p asa p o r el cen tro de un círculo biseca a u n a cu erd a que n o es un diám etro, entonces es perpendicular a la cuerda. 10.8 Si una recta es perpendicular a un radio en un p u n to del círculo, entonces la recta es tan g en te al círculo. 10.9 Si u n a recta es tangente a un círculo, entonces el ra d io trazad o h a sta el p u n to de co n tacto es p erpendicular a la tangente. 10.10 Si u n a recta es p erpendicular a una tangen te en un p u n to del círculo, entonces la recta contiene al cen tro del círculo. 10.11 L os segm entos tangentes a un círculo desde un p u n to exterior son congruentes y form an ángulos congruentes con la recta que une al cen tro con el punto. 10.12 La m ed id a de un ángulo inscrito es la m ita d de la m edida de su arco interceptado.

10.13 U n ángulo inscrito en un sem icírculo es un ángulo recto. 10.14 U n ángulo form ado por dos cuerdas que se intersecan en el in terio r de un círculo tiene u n a m edida igual a la sem isum a de los arcos interceptados. 10.15 La m edida de un ángulo form ado p o r una tangente y u n a cuerda tra z a d a al p u n to de contacto es igual a la m itad del arco interceptado. 10.16 L a m edida de un ángulo form ado p o r dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados. 10.17 La m edida de un ángulo form ado p o r una tangente y una secante, o p o r dos secantes, desde un p u n to exterior a un círculo es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados. 10.18 Si se trazan un segm ento tangente y otro secante desde un p u n to exterior a un círculo, entonces el cu a d ra d o de la longitud del segm ento tangente es igual al producto de las longitudes del segm ento secante por su segm ento secante externo. 10.19 Si dos cuerdas se intersecan en u n círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de la segunda cuerda. 10.20 Si se tra za n dos segm entos secantes a un círculo desde un p u n to exterior, entonces el p ro d u cto de las longitudes de un segm ento secante y su segm ento secante externo es igual al p ro d u cto de las longitudes del otro segm ento secante y su segm ento secante externo.

Capítulo 10

Resumen

En los ejercicios 1 a 4, indíquese si las afirm aciones son falsas o verdaderas. Si una afirm ación es falsa, dibújese un contraejem plo. 1. Si u n trián g u lo está inscrito en un circulo, con u n lado com o diám etro, entonces el trián g u lo es rectángulo.

2. Si u n a recta biseca a d o s cuerdas que no son diám etros, entonces las cuerdas son paralelas. 3. Si una recta es perpendicular a u n a cuerda, entonces contiene al centro del círculo. 4. Si P A y P É son tangentes al m ism o círculo en los p u n to s

A y B, respectivam ente, entonces P A = PB. 5. Dado: m L A O B = 120, m Á D = 150, A C es un diám etro. Encuéntrese: a . m Á A D B . b. m ¿ B A C . c . m ¿ CED.

d.

m é c í) .

6. D ado: Pruébese:

m A D = mBC. A B || CD.

7. Dado:

PA y P B son tangentes. 0 es el cen tro de un círculo. A C es un diám etro. m L A P O = 20.

Encuéntrese: a. m ¿ D P B . b . mÁD.

D

c. mBC. d . mAE.

e. m /L C A B .

8. D ado:

A B , BC y A C son tangentes en los p u n to s F , D y E, respectivam ente. C £ = 3, A F = 5, B C = 7. Encuéntrese: a. la longitud de BD. b. el perím etro de A A B C .

9. Si u n a cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro, ¿cuál es el radio del círculo? 10. S Z es tang en te al círculo que se m uestra en la figura. E ncuéntrense S Z y WY.

388

C irc u io s

Capítulo 10

Examen

En los ejercicios l a 4, indiquese si las afirm aciones son falsas o verdaderas. Si alguna afirm ación es falsa, dibújese un contraejem plo. 1. E n dos círculos diferentes, si d os cuerdas tienen la m ism a longitud, están a la m ism a distancia de sus centros. 2. Si u n trián g u lo está inscrito en un círculo y los arcos intercep tad o s tienen m edidas de 200°, 90° y 70°, entonces el triángulo es obtusángulo. 3. Si una recta biseca al arco m en o r de u n a cuerda, tam bién biseca al arco m ayor. 4. Si dos tangentes son paralelas, entonces sus p u n to s de tangencia determ inan u n diám etro. 5. D ado: Pruébese: 6. D ado:

A B || CD, EF es la bisectriz perpendicular de AB. __ EF_ biseca a CD. PA es tangente al círculo O. O A = 10 cm, P A = 24 cm.

E ncuéntrese la lo n g itu d de PC. 7. D ado:

A B es un diám etro m Z C A B - 50 m B D - 20.

Encuéntrense: a. m BC. b . mAC. c. m A A D C . d . m Z B ED.

8. Supóngase que u n a cu erd a m ide 6 m m desde el centro de un círculo de ra d io 10 mm. ¿Cuál es la lo n g itu d de la cuerda? 9. D ado:

m ¿ X = 30, m Y T = 5 0 , m ¿ W R Z = 90 X Y es tangente al círculo.

Encuéntrense: m Y Z , m W Z y m TW .

10. En la figura siguiente, FH es tan g en te al círculo. E ncuéntrense J I y FH.

Resumen global (Caps. 8 a 10) 1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas. a. Si un p aralelo g ram o está inscrito en un círculo, es un

rectángulo. b. Si A B C D es un paralelogram o, entonces sus diagonales son congruentes. c. Si m ¿ A = 40 en el trián g u lo rectángulo A B C y m/LD = 50 e n el trián g u lo rectángulo DEF, entonces los triángulos son sem ejantes. d. T o d o s los rectángulos son polígonos semejantes. 2. A B es un d iám etro y CD es perpendicular a AB. a. b. c. d.

Si A D = 4 y A B = 12, encuéntrese CD. Si A B = 13 y CD — 6, encuéntrese AD. Si C B = 12 y A B = 13, encuéntrese BD. D em uéstrese que A A B C ~ A CBD.

3. ¿C uál es la m edida de ca d a ángulo in terio r de un decágono regular? 4. -4C es u n a secante, A D es u n a tangente, m B C = 100, m L C B D = = 80 y mBD = 100. a. E ncuéntrese m / . A B D .

b . E ncuéntrese m L B C D . c. E ncuéntrese m L C A D . A E ncuéntrese m L E D C .

¿

g

5. D ado: A B C D es u n trap ecio con A B || DC Pruébese: N B ■N C = N A ■N D . D‘ 6. Si c u a tro ángulos de u n p en tág o n o m iden 100°, 160°, 90° y 150°, ¿cuál es la m ed id a del q u in to ángulo? 7. D ado:

M N P Q es un trapecio con M P = Q N. A, B, C y D son p u n to s m edios, com o se ilu stra la figura. Pruébese: A B C D es u n rom bo.

Q a

-¡l& ©©©Mgama usa Agrimensura: El teodolito L os agrim ensores están relacionados con la construcción de edificios, cam inos, puentes y presas. U n a de las responsabilidades de los agrim ensores es establecer lím ites exactos en los terrenos. T o d a la inform ación necesaria la tom an en el lugar, y luego, en la oficina, hacen dibujos o m apas del terreno medido.

El teodo lito es, quizá, el in stru m en to m ás im p o rtan te p a ra el agrim ensor. Se em plea p a ra m edir ángulos y distancias.

El teodo lito puede usarse p a ra m edir ángulos en tre objetos y ángulos de elevación. U n ángulo en tre objetos se m ide enfocando el prim er objeto y luego m oviendo el telescopio a la derecha o a la izquierda, hacia el segundo objeto. Un ángulo de elevación se m ide inclinando el telescopio hacia a rrib a p a ra enfocar el extrem o del objeto. El teo d o lito tiene d os escalas, u n a p a ra m edir ángulos horizontales y o tra p a ra m edir ángulos verticales.

M e d ic ió n d e u n á n g u lo e n tr e d o s o b je to s (á n g u lo h o riz o n ta l)

390

M e d ic ió n d e u n á n g u lo d e e le v a c ió n (á n g u lo vertical)

El teodolito tam bién se em plea p a ra m edir distancias. L as propiedades ópticas del telescopio de u n teo d o lito hacen que los rayos d e luz se crucen y form en un p ar de triángulos sem ejantes.

P a ra m edir distancias, se suelen necesitar d os personas. U n a de ellas está en el teodo lito y la o tra se coloca en la segunda ubicación, sosteniendo un ja ló n grad u ad o p erpendicular al suelo. L os siguientes pasos m u estran cóm o en c o n trar la distancia deseada D. Paso 1 M írese p o r el telescopio. L éanse los núm eros de ja ló n p a ra d eterm in ar la distancia PQ. P aso 2 E ncuéntrese L p o r m edio de u n a p ro p o rción b asad a en triángulos sem ejantes. P aso 3 Súm ense f y L p a ra en c o n tra r D. 1. ¿ P o r qué A A B C es sem ejante a A QBF? 2. f y L son longitudes de las altu ra s de los d os triángulos. Se puede dem o strar que L = J_ L PQ‘ Em pléese esta p ro p o rció n y encuéntrese una expresión p a ra - . d 3. f es la distancia focal del telescopio. El telescopio está construido p a ra que los ray o s de luz se crucen siem pre a la m ism a distancia, d es tam bién un p u n to fijo en un telescopio dado. P o r ta n to , la razó n f / d es fija. Supóngase que / = 1 m etro, d = 1 centím etro y PQ = 0.836 m etros. Encuéntrense L y D. (Véase el P aso 3.)

C A P IT U L O

11.1

P o s tu la d o s d e l á r e a

11.2

A r e a d e p a r a le lo g r a m o s

11.3

A r e a s d e t r iá n g u lo s y t r a p e c io s

1 1 .4

A r e a d e p o líg o n o s r e g u la r e s

1 1 .5

C o m p a r a c ió n e n tr e p e r í m e tr o s y á r e a s d e p o líg o n o s s e m e ja n te s

1 1.6

398 402

408

412

L a r a z ó n e n tr e la c ir c u n f e r e n c ia y e l d iá m e tr o d e u n c í r c u lo

1 1 .7

394

416

A r e a d e c í r c u lo s

420


R ep aso d e á lg e b ra

426

R esum en

427

E xam en

42 9

La g e o m e tría en n u es tro m undo G r á fic a s p o r c o m p u t a d o r : t r a n s f o r m a c io n e s

430

428

Area y perímetro

393

394

A re a y p e rím e tro

11.1

Postulados del área

A l c o n s tr u ir u n a c a s a , se c la v a n ta b la s p a r a c u b r ir la e s tr u c tu r a . D e sp u é s , se p in ta n o b a r n iz a n . E l te ja d o se su e le c u b r ir c o n p la n c h a s d e m a d e r a p r e n s a d a q u e lu e g o se c u b r ir á n c o n tejas. L a c o n s tr u c c ió n d e c a s a s p r o p o r c io n a m u c h a s a p lic a c io n e s d e lo s p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s d e e s ta secció n .

U n a t a b la r e p r e s e n ta u n p o líg o n o lla m a d o r e c tá n g u lo . L a su p erfic ie d e e s ta ta b la r e p r e s e n ta u n s u b c o n ju n to d e u n p la n o d e n o m in a d o región poligonal.

Definición 11.1 U n a región poligonal es un subconjunto de u n plano acotado p o r un polígono (o polígonos).

L o s sig u ie n te s s o n tr e s e je m p lo s d e re g io n e s p o lig o n a le s.

¿ Q u é c a n tid a d d e b a r n iz se re q u ie re p a r a u n a p la n c h a de m a d e ra p ren sad a?

L a c a n tid a d d e b a r n iz q u e se re q u ie re p a r a u n a p la n c h a d e m a d e r a p r e n s a d a d e p e n d e del ta m a ñ o d e é sta . P a r a d e s c rib ir el ta m a ñ o d e la p la n c h a se e m p le a u n n ú m e r o lla m a d o área.

Postulado del área A cada región poligonal se le puede asignar u n núm ero positivo único denom inado área. El área de la región R se representa p o r -4(R).

11.1


395

L a s p r o p ie d a d e s d e la s á r e a s la s d e s c rib e n v a rio s p o s tu la d o s .

D o s p la n c h a s d e m a d e ra d e l m is m o ta m a ñ o tie n e n la m is m a á re a , p o r ta n to d e b e n n e c e s ita r la m ism a c a n tid a d d e b a rn iz . E s te h e c h o es el te m a d e u n p o s tu la d o .

C u a tr o p la n c h a s de m a d e r a , S v S 2, S 3 y S4, se c o lo c a n ju n ta s .

P a r a c o n o c e r e l n ú m e ro p la n c h a s d e m a d e r a q u e n e c e s ita n p a r a u n a c a sa , n e c e s a rio p o d e r c a lc u la r á r e a d e re g io n e s re c ta n g u la re s .

de se es el

w

_____________ ------ I --------------► A re a = í w

I

E l á r e a d e e s ta fig u ra de c u a tr o p ie z a s es ig u a l a la s u m a d e la s á re a s d e c a d a p ieza. E s to es, A (4 p ie z a s) = /4 (S ,) + + A ( S 2) + A ( S 3) + A ( S 4).

E s te ú ltim o p o s tu la d o , en c o m b in a c ió n c o n el p o s tu la d o d e l á re a , el d e l á r e a d e re g io n e s c o n g ru e n te s y el d e la s u m a d e á re a s , p e rm ite c a lc u la r el á re a .

Postulado del área de reglón» congruentes Si dos rectángulos o dos triángulos son congruentes, entonces, las regiones que aco tan tienen la m ism a área.

Postulado de la suma de áreas Si u n a región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan, su área es la sum a de las áreas de las n regiones.

Postulado del área del rectángulo El área de un rectángulo de longitud t y anch o vv está d ad a p o r la fórm ula f.w.

396


EJERCICIOS------------------------------------------------------A. 1. D ibújese u n polígono y som bréese la región poligonal que determ ina. 2. ¿Es el interio r de u n círculo u n a región poligonal? 3. ¿Es un rectángulo u n a región poligonal? 4. Si d os rectángulos tienen la m ism a área, ¿son necesariam ente congruentes? 5. ¿Q ué p o stu la d o expresa que to d a región poligonal debe ten er área?

6 . ¿Expresan los po stu lad o s que sólo las regiones poligonales tienen área?

7. D ibújese u n contraejem plo p a ra la siguiente proposición: Si d os regiones poligonales tienen la m ism a área, entonces tienen el m ism o n ú m ero de lados. E ncuéntrense las áreas de las siguientes regiones. Puede suponerse que los ángulos que parecen rectos lo son.

10.

9.

8.

14 25

A - ? 5

A = ?

A = ?

45 11

40

B. En los ejercicios 11 a 16, supóngase que el á rea de la parte so m b read a es 1. E ncuéntrese el área de ca d a región m ediante los postulados. (Sugerencia: B úsquense los rectángulos y los m edios rectángulos.)

11.

12.

ACTIVIDADES' El á r e a del c u a d ra d o s o m b re a d o d e e s te ta b le ro e s 1. C o n stru y a n se o d ib ú je n s e en un ta b le ro co m o e s te triá n g u lo s con á r e a s d e 1, 1^, 2, 2 \ y 3.

K 13.

11.1


397

E ncuéntrese el á rea de cada u n a de estas regiones. 18.

19. E ncuéntrese el á rea del tejad o de la figura. Si se supone que se desperdicia el 10 % de los m ateriales pedidos, ¿cuántas p lanchas de m adera de 4 x 8 se necesitan para c u b rir el tejado?

20. Pruébese que la d iagonal divide al rectángulo en dos trián g u lo s de igual área. 21. A B I H , ID E F y A C E G son rectángulos. Expliqúese p o r qué las áreas de R¡ y R 2 son iguales: (Sugerencia: A ( A A C E ) = A (AA G E).)

22. El área de M B N X es | del área d e __ ABCD, y M es el p u n to m edio de AB. ¿Q ué relación existe entre la longitud de B N y la de BC1

SO LUCIO N D E PROBLEMAS En la fig u ra d e la d e re c h a , D e s e l c e n tro del c u a d ra d o m á s p e q u e ñ o . E l c u a d ra d o m á s g ra n d e s o la p a a l p e q u e ñ o en e l c u a d rilá te ro A B D E . E n c u é n tre s e e l á re a d e e s te

4 cm

398


11.2

Area de paraielogramos H a y s itu a c io n e s e n la s q u e es im p o r ta n te e n c o n tr a r el á r e a d e re g io n e s q u e n o s o n re c ta n g u la re s . P o r e je m p lo , si se v a a h a c e r u n e s ta c io n a m ie n to e n b a te r ía p a r a a u to s , c a d a e s p a c io s e rá u n a re g ió n en fo r m a d e p a ra le lo g ra m o . L a c a n tid a d d e a sfa lto re q u e rid a p a r a c a d a e sp a c io d e p e n d e d e l á r e a d e esa re g ió n e n fo r m a d e p a r a le lo g ra m o .

1

1

centímetro

□ centímetro cuadrado

A l m e d ir el á r e a de re g io n e s, d e b e eleg irse u n a u n id a d d e m e d id a . L a s u n id a d e s m á s c o m u n e s p a r a m e d ir á re a s s o n la p u lg a d a c u a d r a d a , el p ie c u a d r a d o , la s y a rd a s c u a d r a d a s , lo s c e n tím e tro s c u a d r a d o s y lo s m e tr o s c u a d ra d o s .

Definición 11.2 U n a u n id a d c u a d r a d a es una región c u a d ra d a en la cual cada un o de sus lados mide u n a unidad de longitud.

1

cm

E l á r e a d e u n a re g ió n p u e d e d e te rm in a rs e c o n ta n d o el n ú m e r o d e u n id a d e s c u a d r a d a s q u e se re q u ie re n p a r a c u b r ir e x a c ta m e n te la re g ió n . A c o p la n d o u n id a d e s c u a d r a d a s y re g io n e s tria n g u la r e s c o n g ru e n te s , y m e d ia n te d iv e rs o s p o s tu la d o s d e l á r e a , se c o n c lu y e q u e el p a r a le lo g r a m o d e la d e re c h a tie n e u n á r e a d e 10 c e n tím e tro s c u a d r a d o s .

C

unidad cuadrada Se escribe: A(ABCD) = 10 cm 2

11.2

O tr a fo rm a d e e n c o n tra r el á re a d e u n p a ra le lo g ra m o es im ag in an d o q u e la pieza tria n g u la r del ex tre m o d e la figura se c o rta y se co lo ca e n el o tro ex trem o p a ra fo rm a r u n rectán g u lo . Así, c o n el p o stu la d o del á re a de regiones c o n g ru en tes y el p o stu la d o de la su m a de áreas, se concluye q ue las á reas del p a ra le lo g ra m o y del re c tá n g u lo so n la m ism a. P o r ta n to , d a d o q u e el á re a d e u n re ctán g u lo es el p ro d u c to d e la lo n g itu d p o r la a n c h u ra , se deduce q u e el área del p a ra le lo g ra m o ta m b ié n es « lo n g itu d p o r an ch u ra» . C o n los p araleio g ram o s, se u sa n los térm in o s base y altura en lu g a r d e lo n g itu d y an c h u ra. C u a lq u ie r la d o de un p a ra le lo g ra m o p u ed e ser la base. U n a vez elegida la base, un seg m en to p e rp e n d ic u la r a ella, con u n ex trem o en la b ase y el o tro en el la d o o p u esto , se d en o m in a altu ra . O bsérvese q u e u n p a ra le lo g ra m o tien e d o s p ares de bases p aralelas.

A re a d e p a ra le io g ra m o s

399

R , = R¡ *2 = Rí

<-------- i ---------► A(R,) + A (R 2) = A(R¡) + A(R¿)

Definición 11.3 U na altu ra de un paralelogram o es un segm ento perpendicular a un p a r de lados paralelos en los cuales tiene sus extrem os. La altura del paralelogram o es la longitud de ese segm ento.

Teorema 11.1

D a d o u n p a ra le lo g ra m o c o n b ase b y a ltu ra c o rre sp o n d ie n te h, el á re a A está d a d a p o r la fórm ula

A = bh. A PLICA CIO N

L a m e d id a e s tá n d a r p a r a u n estac io n am ie n to d e vehículo en b a te ría es 9 pies de a n c h o p o r 24 pies de larg o . ¿C uál es el á re a d e la superficie q u e cu b re el asfalto e n u n estacio n am ien to ? R espuesta. U n estac io n am ie n to es un p a ra le lo g ra m o c o n 24 pies de b ase y 9 pies d e altu ra . Si se a p lica el teo re m a 11.1, se p u ed e ca lc u lar el área: á re a = 24 p ies x 9 pies = 216 pies c u a d ra d o s

400


EJERCICIOS__ A. E n los ejercicios 1 a 3, encuéntrese el área de cada paralelogram o.

1.

2.

3. A = ?

5|

A = ?

A =?.

26

21

-1 6 J-

En los ejercicios 4 a 6, se d a el á rea de los paralelogram os. E ncuéntrese el d a to que falta. 4.

D

6.

5.

n

I A = 143> I h

A R A B C D es un cu ad rad o AB = ?

A

= 360

h =

lly

A A B C D es un rom bo AD = ?

30 h = ?

B. E ncuéntrense las áreas de los paralelogram os de los ejercicios 7 a 9. 7.

9.

A

A " ÆB = 14, /4Z) = 5

221 n .

/4D = 5, E F = 11

ñ

= 12, /! £ = 5

ACTIVIDADES1 D ib ú jese e s te c u a d ra d o d e ¡ p u lg a d a s. R e c ó rte n s e las p ie z a s y c o ló q u e n s e d e n u e v o c o m o s e m u e stra en la figura.

1. ¿C uál d e la s tre s s itu a c io n e s q u e s e s e ñ a la n a la d e re c h a s e p re se n ta ? 2. E m p lé e n se los c o n c e p to s re la c io n a d o s con el á r e a p a ra d e te rm in a r cuál d e los tr e s c a s o s s e p re s e n ta re a lm e n te .

« a ju s te p e rfe c to »

«pequeña s e p a ra c ió n »

«pequeño s o la p e

11.2

A re a d e p a ra le lo g ra m o s

E n los ejercicios 10 a 12, encuéntrese el d a to desconocido. C a d a cuadrilátero es un paralelogram o. 12.

10. 8

1

13. ¿Q ué le sucede al área si se d uplican las longitudes de los lados de un paralelogram o? 14. U n p aralelogram o tiene lad o s con longitudes 12 y 8, y la m edida de u n o de los ángulos es 120°. ¿Cuál es el área?

15. L as rectas t , y t 2 son paralelas. C om párese el área del p aralelogram o A B E F con la del paralelogram o A BC D . £>. 16. D ad o s los paralelo g ram o s A B C D y EFGH, con m L A = m L E y h2 = y f i h , , si el á rea de E F G H es doble que la de ABCD, ¿qué relación hay en tre A B y EF1

/ A ^—L

E ncuéntrese el á rea de las regiones que aparecen en los ejercicios 17 y 18. Supóngase que los segm entos que parecen perpendiculares o paralelos lo son.

SO LUCIO N D E PROBLEMAS Los a n tig u o s b a b ilo n io s u sa ro n la f ó r m u la --------- p a ra d e te rm in a r el á r e a d e un c u a d rilá te ro co n la d o s de lo n g itu d e s a , b, c y d. 1. ¿S irv e ta m b ié n e s ta fó rm u la p a r a re c tá n g u lo s? 2. ¿S irv e ta m b ié n e s ta fó rm u la p a r a p a ra le lo g ra m o s ?

401

402


11.3 Areas de triángulos y trapecios U n in g e n ie ro civ il n e c e s ita e n c o n tr a r el á re a d e u n a p a r c e la p a r a e d ific a c ió n d e fo rm a irre g u la r c o m o la q u e se ilu s tr a e n la fig u ra c o n el n ú m e r o 6 . E s to p u e d e h a c e rs e d iv id ie n d o la p a r c e la e n re g io n e s tr ia n g u la r e s y c a lc u la n d o el á r e a d e c a d a r e g ió n tr ia n g u la r . L as figuras sig u ien tes ilu s tra n q u e u n a región tria n g u la r p u e d e c o n sid e ra rse c o m o la m ita d d e u n a re g ió n e n fo rm a d e p a ra le lo g ra m o . P o r ta n to , la fó rm u la p a r a e n c o n tr a r el á r e a d e u n p a ra le lo g ra m o p r o p o r c io n a u n a fó rm u la p a r a el á re a d e triá n g u lo s.

A (\H IJ ) = \A(HIKJ) = jb k

Teorema 11.2

A(AA SC ) = iA(ABDC) - \b h

D a d o u n tr iá n g u lo c o n b a s e b y a ltu r a c o r r e s p o n d ie n te h, el á r e a A e s tá d a d a p o r la fó r m u la A = \ b h .

E n o c a s io n e s , p u e d e s u c e d e r q u e se c o n o z c a n lo s tr e s la d o s d e u n triá n g u lo , p e ro n o la a ltu r a . E n ta le s c a s o s es ú til la fó rm u la u tiliz a d a p o r H e r ó n d e A le ja n d ría en el sig lo p r im e r o d e n u e s tr a e ra . s =

Teorema 11.3

F ó r m u la d e H e ró n .

+ b .+ c)

Si A A B C tie n e la d o s d e lo n g itu d e s a,

b y c, e n to n c e s A ( A A B C ) = y j s ( s — a)(s — b)(s — c), d o n d e s = $(a + b + c).

11.3


A P L IC A C IO N

U n m é to d o p a r a e n c o n tra r el á re a d e la p arcela 11 req u iere e n c o n tra r p rim e ro el á re a d e AA B C . C o n la fó rm u la d e H e ró n y u n a c a lc u lad o ra , ésta es u n a ta re a fácil. (O bsérvese q u e el ra d io del círculo es 50 pies.)

a = 130.48 + 50 = 180.48

b = 148.37

c = 141.32 + 50 = 191.32 j = l( a + b + c) = 260.09

s - a = 79.61, s - b = 111.72, s - c = 68.77 P o r la fó rm u la de H e ró n , A ( A A B C ) = V (260.09)(79.61)(l 11.72)(68.77) = 12 613. T a m b ié n p u ed e c o n sid e ra rse q u e u n trap e cio es la m ita d d e un p aralelo g ram o . El á re a de u n trap e cio es la m ita d del á re a del p aralelo g ram o . F

base d e C J A E F D = bx + b2 A ( O A E F D ) = h(bl + b2)

Teorema 11.4

bx y b2, y

D a d o u n trap e cio c o n bases está d a d a p o r la fó rm u la A =

A P L IC A C IO N

L as p resas suelen ten er sección tran sv ersal trap ecial. E l d ise ñ a d o r d e la p re sa debe d e te rm in a r el á re a d e esta sección tran sv ersal. Si la p re sa m ide 180 m etro s de a ltu r a y tien e bases d e 10 m e tro s y 60 m etro s d e lo n g itu d , ¿cuál será el á re a d e la sección tran sv ersal? P o r el te o re m a 11.4 p u ed e calcu larse el área: area = \ • 180(10 + 60) m 2 = 6300 m 2.

a ltu ra h, el á re a A

+ b2).

403

404


EJERCICIOS__ A. C alcúlense las áreas de las regiones de los ejercidos 1 a 11.

1.

2. 22

5.

B

U.

AC =41

BD = 25

B. 12. El área de A A B C es 48 cm 2, y A B = 6 cm. ¿C uál es la lo n g itu d de la altu ra en A B ? 13. U n trapecio con bases de lo n g itu d 14 pies y 21 pies, tiene u n á rea de 87^ pies cuadrados. ¿C uál es su altura?

B

14. ¿C uál es el á rea de la región som breada? 15. ¿C uál es el á rea de la región no som breada? 16. ¿C uál es la razó n en tre el área de la región som breada y el área de A A B E ?

C es el p u n to m edio de BE. D es el p u n to m edio de CE.

11.3

A re a s d e tr iá n g u lo s y tra p e c io s

405

En los ejercicios 17 y 18, encuéntrese el área de las regiones som breadas. 17. A B C D es u n rectángulo.

18. A B C D es un paralelogram o.

19. A B C D es im trapecio y E es el pun to m edio de A B . M uéstrese que el área de A E C D es igual al área de EBCD.

20. A B C D es un paralelogram o cuya área es 60 unidades cuadradas. E ncuéntrese el área de la com eta A B E D . (Sugerencia: E ncuéntrese el área de A A B D .)

21. M uéstrese que u n a m ediana divide a un trián g u lo en dos regiones de igual área. E sto es, si BD es u n a m ed ian a de A A B C , m uéstrese q u e el área de A A B D es igual al de A BDC. 22. A B C D es u n paralelogram o. Encuéntrese la longitud de BE. A

23. A B C D es un paralelogram o y X es cualquier p u n to en su interior. M uéstrese que el á rea de la región som breada es la m itad del á rea del paralelogram o. (Indicación: h i + h2 es la altu ra de ABCD.)

406


24. Em pléese la fórm ula de H eró n p ara e n co n trar el área de un trián g u lo cuyos lados tienen las siguientes longitudes: a. 3 cm, 4 cm, 5 cm.

b. 17 cm, 18 cm, 19 cm. (Empléese u n a calculadora.)

c. 25 cm, 36 cm, 41 cm. (Em pléese una calculadora.) 25. M uéstrese que las tres m edianas de un trián g u lo lo dividen e n seis regiones de igual área.

(Ejercicio 25)

26. U n a p erso n a com pró u n terreno con form a de p entágono irregular. Encuéntrese el á rea de este terren o si A F = 10 m, F G = 40 m , G H = 15 m, H C = 20 m, E F = 20 m , DG = 30 m y H B = 35 m.

C. 27. área de ABCD. 28. Supóngase que A A B C es u n triángulo equilát< a ltu ra h. Sea X un p u n to cualquiera en el intí trián g u lo y sean a, b y c las longitudes de las perpendiculares a los lados de A A B C . Pruébe: a + b + c = h. (Indicación: Empléese el área.)

ACTIVIDADES En e s te ta b le ro , el á re a d e l c u a d ra d o A e s 1 y e l á re a de c a d a un a d e las fig u ra s 6 y C e s 1 | 1. D ib ú je n s e la s fig u ra s s ig u ie n te s en p a p e l c u a d ric u la d o o en un ta b le ro .

2. E n c u é n tre s e e l á re a d e c a d a re g ió n s in u s a r n in g u n a d e las fó rm u la s d e l áre a .

B

11.3


407

29. D ad o A A B C con m edianas BD y CE, m uéstrese que las áreas de las regiones som breadas son iguales. 30. Pruébese q u e el á rea de u n trián g u lo equilátero cuyos lados tienen lo n g itu d s es s 2^ / 3/4. 31. C onsidérese el c u a d ra d o A B C D . Si se c o rtan triángulos en las esquinas, resulta un octágono. Si A B = 3, m uéstrese que 3 . , , x = si el o ctág o n o resultante es regular.

2 + ^/2

32. ¿C uál es el área de un o ctágono regular que tiene lados de lo n g itu d 2? 33. C onsidérese el trián g u lo equilátero A A B C . L os p u n to s D, E, F y G se eligieron com o se m uestra_en figura, de m anera que ED 1 A B , FG 1 B C , D E = FG = 1, y E F = 2. M uéstrese que el á rea de A CFG es

1 . 73 — -=, o bien - —. 2^3 6 34. M uéstrese que el á rea de un d o decágono regular con lad o s de longitud 2 es 6(4 + 2^/3). (Sugerencia: L a figura que se m uestra a continuación es un p en tág o n o BD E FG que es g del dodecágono regular Cuyos lados tienen longitud 2. E ncuéntrese la longitud A C y empléese p a ra en c o n tra r el á rea de A A B C . D espués, réstense las áreas de los triángulos A A D E y A CFG.)

SO LUCIO N D E PROBLEMAS.

La lo n g itu d d e la s a ris ta s d e l c u b o e s 1.

1.

E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e B E.

2. E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e BH .

3. 4.

E n c u é n tre s e e l á re a d e A BEG . E n c u é n tre s e e l á re a d e l re c tá n g u lo BCHE.

5. E n c u é n tre s e e l á re a d e A B IC .

(Ejercicios 31, 32)

408


11.4 Area de polígonos regulares E l c o sto de c o n stru c ció n de u n edificio d ep en d e de la lo n g itu d d e la s pared es ex teriores, es decir, del p e rím e tro d e la co n stru cció n . E s o b v io q u e u n edificio g ra n d e req u iere m ás bloques, vigas y m ateria le s p a r a v en tan as. E n consecuencia, al d iseñ ar u n edificio, u n a rq u ite c to puede p la n te a rse la cu e stió n de q u é políg o n o re g u la r p ro p o rc io n a rá la m e jo r á re a p a ra u n p e rím e tro d ad o . P a r a esto so n n ecesarias dos definiciones.

Definición 11.4 El perímetro (p) de un polígono es la sum a de las longitudes de los lados del polígono.

p = A B + B C + CD + D E + A E

p = A B + B C + CD + A D

Definición 11.5 L a apotema (a) de un polígono regular es la distancia de su centro a un lado.

E sta s d o s definiciones se em p lea n p a r a d e sa rro lla r u n a fórm ula p a r a el á re a de u n p o líg o n o re g u la r d e n lados. L a ta b la q u e se m u e stra a c o n tin u a c ió n re s u lta ú til p a r a a n a liz a r d o s ejem plos. A A rea d e A A B O

octágono regular

P erím etro (p)

A rea del polígono

octágono

8 x

= â(8s) = | ap

d ecágono

10 X

= â(lOs) =

2 aP

11.4

Teorema 11.5


D a d o u n p o líg o n o r e g u la r d e n la d o s d e lo n g itu d s y a p o te m a a, el á r e a A e s tá d a d a p o r la fó rm u la A = (¿)ans = (j)a p, d o n d e el p e rím e tro p = ns.

Ejemplo L a lo n g itu d d e c a d a la d o d e u n h e x á g o n o r e g u la r es 4. E n c u é n tr e n s e la a p o te m a y el á r e a d e l h e x á g o n o re g u la r. A O A B es u n tr iá n g u lo 30°-60°-90°. P o r ta n to , A B = 2, O A = 4 y a = O B — 2 \/3 . A p lic a n d o el te o r e m a 11.5, á r e a = ¿(2 \ / 3 ) • 6 ■4 = 2 4 \/3 f a

t í n s

APLICACION Si u n ed ificio c u a d r a d o y u n e d ific io c o n fo r m a d e h e x á g o n o r e g u la r tie n e n el m is m o p e rím e tro (p), ¿ c u á l es la re la c ió n e n tr e su s á re a s? B ¡-1 /

1. A O A B e s u n tr iá n g u lo 4 5 o-45°-90°. P o r ta n t o , la a p o te m a a = A B =

. 1 _ l (P\2 ¡

'/ Y o

A

s

2 \4 /

A re a d el c u a d r a d o = — — • p.

2

8

B

2. A O A B es u n tr iá n g u lo 3 0 °-6 0 °-9 0 c. L a a p o te m a a =

\[?> AB -

\/3 (^ ) = V 3p

12 A re a d e l h e x á g o n o =

D ado que

4

2 x 12

.

1 2x8

• - ~ - p ‘p ■

el á r e a d e l h e x á g o n o es m a y o r q u e el á r e a

d e l c u a d r a d o . P o r ta n t o , u n e d ific io h e x a g o n a l p r o p o r c io n a m a y o r á r e a q u e u n e d ific io c u a d r a d o c o n el m is m o p e rím e tro .

409

410

A re a y p e rim e tro

EJERCICIOS_______________________ A. E n los ejercicios 1 a 6, encuéntrese el perím etro de la figura dada. 2.

1. 18 33

4.

6.

5.

E n los ejercicios 7 a 9, encuéntrense la ap o tem a y el área de cada polígono regular dado. 9.

7.

ACTIVIDADES ! En la s a c tiv id a d e s d e la s e c c ió n a n te r io r se e n c o n tra ro n las á re a s d e a lg u n a s re g io n e s en un ta b le ro s in u s a r n in g u n a fó rm u la d e l áre a . C o m p lé te s e la ta b la s ig u ie n te . B ú s q u e s e un a fó rm u la p a ra la s á re a s d e e s to s p o líg o n o s en fu n c ió n del n ú m e ro de c la v o s que d e lim ita n a c a d a fig u ra (d) y d e l n ú m e ro de p u n to s in te rio re s (/').

Figura

Número d e clavos en el limite (d)

Núm ero d e puntos interiores [i)

A

?

?

B

7

0

C

?

?

I +Í ? 7 1 + o ?

A rea del polígono ? 5 2

?

11.4


411

B. 10. E ncuéntrese el área de u n hexágono regular con apo tem a 3^/3. 12. Si el á rea de un hexágono regular es 36^/3 cm 2, ¿cuáles son la ap o tem a y la lo n g itu d de ca d a lado?

c.

11. E ncuéntrese el área de u n octágono regular con lados de longitud 5 y ap o tem a k. 13. Si la apotem a de un hexágono regular es 5 m, ¿cuáles son el perím etro y el área?

14. Si un trián g u lo equilátero y u n hexágono regular tienen el m ism o perím etro, dem uéstrese que la razón entre sus áreas es 2 a 3.

15. El á rea de un hexágono regular es 50^/3 pies cuadrados. ¿Cuáles son el perím etro y la apotem a?

16. L a longitud de los lados de un octágono regular es 2. ¿C uál es su apotem a?

17. U n granjero quiere co n stru ir un corral con 100 m etro s de valla y ha de decidir la fo rm a del corral. Rellénese la siguiente tab la y véase si se le puede hacer alguna recom endación al granjero.

L o n g itu d

A ncho

P e rím e tro

A re a

m

?

m

?

?

100 m

_L

7

10 0 m

9

30 m

?

10 0 m

?

25 m

?

100

?

48 m

?

45 m

7

40 m 35 m

100 100

m

SO LUCIO N D E PROBLEMAS. E n c u é n tre se el p e rím e tro d e c a d a uno d e los p o líg o n o s d e e s te tab lero . O b s é rv e s e q u e A B = 1.

á

412


11.5

Comparación entre perím etros y áreas de polígonos semejantes

P a r a d is e ñ a r el s is te m a d e a ire a c o n d ic io n a d o d e u n ed ificio , u n in g e n ie ro d e b e p o d e r re s p o n d e r a p r e g u n ta s c o m o la s sig u ien tes: 1. ¿ Q u é d ife re n c ia h a y e n tr e el p a s o d e a ir e d e u n c o n d u c to d e 7 p u lg a d a s x 14 p u lg a d a s y u n o d e 5 p u lg a d a s x 10 p u lg a d a s ? 2. ¿ Q u é s e r á m á s e c o n ó m ic o , d o s c o n d u c to s d e 5 p u lg a d a s x 10 p u lg a d a s o u n o d e 7 p u lg a d a s x 14 p u lg a d a s ? P a r a r e s p o n d e r a e s ta s p re g u n ta s , e s n e c e s a rio h a c e r u n a c o m p a ra c ió n e n tr e la s á r e a s d e la s se c c io n e s tra n s v e rs a le s d e u n r e c tá n g u lo d e 5 x 10 y d e o tr o d e 7 x 14, e s d e c ir, d e u n p a r d e p o lig o n o s se m e ja n te s. E s tú d ie n s e lo s d o s e je m p lo s s ig u ie n te s, e n lo s q u e se c o m p a r a n la s á re a s d e u n p a r d e tr iá n g u lo s s e m e ja n te s y d e u n p a r d e h e x á g o n o s se m e ja n te s. E je m p lo 1

A A ' B ' C ~~ A A B C c o n A B ' AB

A'° AC

B'° BC

24 mm

E je m p lo 2

p e r ím e tr o A A ' B ' C '

5

áre a A A ' B ' C '

p e rím e tro A A B C

~3

áre a A A B C

A ' B ' C ' D ' E ' F ' ~~ A B C D E F c o n

A 'B ' AB

K 40)(25)

500

2 l

B'

- - ■ fB

p e rím e tr o { A ' B ' C ' D 'E ' F ') p e rím e tr o ( A B C D E F )

25

~ ¿(24)(15) = 7 8 0 = T

2 ~ T

á r e a { A ' B ’C ' D ' E ' F ) á rea (A B C D E F )

ó -A ( A A 'O 'B ') =

6-A (A A O B )

{ a 'A 'B ' =

\a A B

11.5

C om p aració n e n tre p e rím e tro s y á r e a s d e p o líg o n o s s e

L o s e je m p lo s a n te r io r e s se re s u m e n e n e s ta ta b la . R azó n de los lados corresp o n d ien tes E jem plo 1

A 'B ' AB

40 24

E jem plo 2

A 'B ' AB

2 1

R azó n de los perím etros R azón d e las áreas

5 3

5 3

©’

2 1

(!)'

E s to s e je m p lo s su g ie re n lo s te o re m a s sig u ien te s.


L a r a z ó n e n tr e lo s p e rím e tro s d e d o s p o líg o n o s s e m e ja n te s es ig u a l a la ra z ó n e n tr e la s lo n g itu d e s d e c u a lq u ie r p a r d e la d o s c o rre s p o n d ie n te s . L a r a z ó n e n tr e la s á r e a s d e d o s p o líg o n o s s e m e ja n te s es ig u a l a l c u a d r a d o d e la ra z ó n e n tr e la s lo n g itu d e s d e c u a lq u ie r p a r d e la d o s c o rre s p o n d ie n te s .

A P L IC A C IO N

A h o r a se r e s p o n d e r á a la s d o s p re g u n ta s p la n te a d a s a l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n p o r m e d io d e u n a c o m p a r a c ió n e n tr e la s á r e a s y lo s p e r ím e tr o s d e la s se c c io n e s tra n s v e rs a le s re c ta n g u la re s d e lo s d o s c o n d u c to s .

CD

7

á r e a (R')

A B

5

á r e a (R) = \ 5 /

_ / 7 V - 49 - 2 “

25 ~ T

p e rím e tro ( R 1)

7

p e rím e tr o (R )

5

C o n clu sió n : E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e rs a l (y p o r ta n to la c a n tid a d d e a ire m o v id o ) d e l c o n d u c to m a y o r es c a s i el d o b le q u e la d e l o tr o , a u n q u e e l- p e r ím e tr o d e su se cc ió n tr a n s v e r s a l es s ó lo § m a y o r q u e la d e l c o n d u c to m e n o r . E n c o n s e c u e n c ia , se r e q u e r ir á m e n o s m a te r ia l p a r a c o n s tr u ir u n c o n d u c to g r a n d e q u e p a r a c o n s tr u ir d o s c o n d u c to s pequeños.

414


EJERCICIOS__ A. Supóngase que las longitudes de los lados de dos cuadrados son 4 y 8, respectivam ente. 1. ¿C uál es

la razó n en tre sus perím etros?

2. ¿Cuál es

la razó n e n tre sus áreas?

L a razó n en tre las longitudes de los lados de dos pentágonos regulares es 13:20. 3. ¿C uál es

la razó n en tre sus perím etros?

4. ¿C uál es

la razó n en tre sus áreas?

4 u n id a d e s

u n id a d e s (E jercicio s 1, 2)

B. 5. L a ra z ó n en tre los perím etros de dos polígonos sem ejantes es

\/3

13 u n id a d e s

¿Cuál es la razó n en tre sus áreas?

2 0

u n id a d e s (E je rcic io s 3, 4)

6. Si la razó n en tre las áreas de dos polígonos sem ejantes de n lad o s es § f, ¿cuál es la ra z ó n en tre sus perím etros? 7. L a ra z ó n en tre las áreas de dos polígonos sem ejantes es 29 , y la sum a de las d os áreas es 272. E ncuéntrense las áreas de los dos polígonos.

ACTIVIDADES! H ay fig u ra s , co m o lo s triá n g u lo s e q u ilá te ro s , co n la s q u e s e p u e d e n fo r m a r o tra s de la m is m a fo rm a , p e ro m á s g ra n d e s . ¿ C u á le s d e las s ig u ie n te s fig u ra s p o d ría n e n tra r e n e s ta c la s ific a c ió n ? C o n té s te s e a la p re g u n ta d ib u ja n d o en p a p e l p u n te a d o o re c o rta n d o c u a tro c o p ia s d e ca d a u n a d e e s ta s p ie z a s e in te n ta n d o a c o p la rla s p a ra fo r m a r u n a fig u ra m a y o r d e la m is m a fo rm a

Un

11.5

C o m p a ra c ió n e n tre p e rím e tro s y á re a s d e p o líg o n o s s e m e ja n te s

8. Supóngase que A A B C es un trián g u lo rectángulo y que CD L A B . Si CD = 8, A D = 16 y BD = 4, encuéntrense las razones en tre estas áreas. A (A A C D ) A (A A C D ) a. b. A ( A CBD) A (A A B C )

c. 9. Supóngase q u e los p u n to s X , Y y Z so n pu- .os m edios de los lados de A ABC. Encuéntrese la razón A(A X YZ):A (A A B C ). 10. Supóngase que A A B C es u n triángulo rectángulo con h ipotenusa c y catetos a y b. C onstruyanse triángulos e q u ilá te ro s ^ los lados de A A B C com o se m uestra e n la figura. Si las áreas de estos triángulo.-) son A ¡, A 2 y A 3, com o se m uestra, dem uéstrese que Ai

¿3 = 1. Ai

11. L os p u n to s W , X , Y y Z son p u n to s mi lad o s del cu a d ra d o ABCD. Encuéntrese 12. L os p u n to s R, S, T , U. V y W son p u n los lados del hexágono regular A B C D E I A(A BCD EF ) A (R ST U V W )

de aire? 14. Si la can tid ad de aire ad m itid a p o r un con d u cto cuadrado de 10 pulgadas se va a increm entar en un 30 % , ¿de qué ta m a ñ o debe co n struirse el nuevo co nducto cuadrado? (Redondéese el resultado a la j pulg ada m ás próxim a.)

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS U na p irá m id e c u a d ra d a s e r o r t a p o r un plano q u e p a s a p o r el pun to C y la a ris ta A B . Sí el p lan o e s p a ra le lo a la b a s e c u a d ra d a , re s u lta u n a se c c ió n tra n s v e rs a l c u a d ra d a . AC 1 A(S) Si — = e n c u é n t r e s e ------- . CB 3 A(S')

415

416


11.6

La razón entre la circunferencia y el diám etro de un círculo

E n la s g rá fic a s p o r c o m p u ta d o r , la im p re s o r a d ib u ja a lg o q u e p a r e c e n se r lín e a s c u rv a s . E n r e a lid a d , la p lu m a d e l g ra f ic a d o r d ib u ja s e g m e n to s su c e siv o s de r e c ta ta n c o r to s q u e el e fe c to fin a l es u n a lín e a c u rv a . E s te m is m o c o n c e p to se e m p le a p a r a e n c o n tr a r la c irc u n fe re n c ia d e u n círcu lo .

E s ta s fig u ra s m u e s tr a n u n a se c u e n c ia d e p o líg o n o s re g u la re s q u e p o c o a p o c o se a p r o x im a n a u n círcu lo .

A l in c re m e n ta rs e el n ú m e r o d e la d o s d e u n p o líg o n o re g u la r, p o c o a p o c o s u f o r m a se a p r o x im a a la d e u n c írc u lo c irc u n s c rito . A d e m á s, s u p e r ím e tr o se a p r o x im a a u n n ú m e r o fijo q u e re c ib e el n o m b r e d e circunferencia del c írc u lo , y la a p o te m a se a c e rc a a l r a d io d e l c írc u lo c irc u n sc rito . E l sig u ie n te te o r e m a es b á s ic o p a r a la te o r ía d e los círcu lo s.

Teorema 11.8

Definición 11.6 La circunferencia de un círculo es el núm ero al que se aproxim an los perím etros de los polígonos regulares inscritos conform e se increm enta el núm ero de lados de los polígonos regulares.

L a r a z ó n e n tr e la c irc u n fe re n c ia y el d iá m e tr o es la m ism a p a r a to d o s lo s c irc u io s.

11.6

L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y e l d iá m e tro d e un c írc u lo

417

EXPLICACION DE LA PR U EB A 1. S ele c c ió n e n se d o s c írc u lo s c u a le s q u ie ra e in s c ríb a s e en e llo s u n p o líg o n o re g u la r d e n la d o s. 2. U n p a r d e triá n g u lo s isósceles s e m e ja n te s A A O B y A A O 'B ' e s tá n d e te rm in a d o s p o r u n la d o d e c a d a p o líg o n o . s s' . ns rís' 3. P o r ta n to , la s ra z o n e s - y — s o n ig u a le s y — = — . 4. L o s n ú m e ro s n s y r ís ' ig u a la n lo s p e rím e tro s p y p ' d e lo s d o s p o líg o n o s re g u la re s. P o r ta n to , P = l_ r

r1'

5. A l in c re m e n ta rs e el n ú m e ro d e la d o s n, lo s p e rím e tro s p y p ' se a p r o x im a n a la s c irc u n fe re n c ia s C y C '. P o r ta n to ,

C_C' , c _ c

Definición 11.7

7 ~ V y 2¡: ~ 2 ? '

c

L a ra z ó n — es u n n ú m e ro irra c io n a l, lo q u e sig n ifica q u e d n o p u e d e e sc rib irse e x a c ta m e n te c o m o u n d ec im a l. A lg u n a s a p ro x im a c io n e s d e e s te n ú m e ro s o n 3.14, 3 ^ y 3.14159.

Teorema 11.9

D a d o u n círc u lo d e ra d io r y d iá m e tro d, la circunferencia C está d a d a p o r la fó rm u la C = nd = 2 %r.

APLICA CIO N El a n im a d o r d e u n e sp e c tá c u lo q u ie re d is e ñ a r u n m o d e lo p a r a u n m e g á fo n o . E ste d ise ñ o es u n a p o rc ió n de u n c irc u lo lim ita d o p o r u n á n g u lo c e n tr a l y su a rc o in te r c e p ta d o . Si lo s la d o s d e l m o d e lo tie n e n 15 p u lg a d a s y el á n g u lo c e n tr a l m id e 120°, e n c u é n tre se la lo n g itu d d e l a rc o in te rc e p ta d o .

Solución.

P u e d e e sta b le c e rs e u n a p r o p o r c ió n e n tr e la lo n g itu d d e l a r c o , la circu n fe ren c ia d e l c írc u lo , la m e d id a d e l á n g u lo c e n tra l y la m e d id a e n g ra d o s d e l círcu lo .

120

x

360

c irc u n fe re n c ia

1 x - = --------------------3 3071 p u lg a d a s

_

o

La razón — , que es el mismo a núm ero real p a ra cualquier círculo, se representa p o r n (la letra griega pi).

x 27il5 x = 10n = 31.4 p u lg a d a s

418


EJERCICIOS__ 1. Si un polígono regular de 100 lados está inscrito en un círculo, el perím etro del polígono es casi igual a la JL del círculo. 2. Si u n polígono regular de 100 lados está inscrito en un círculo, la ap o tem a del polígono es casi igual al _L del círculo. 3. D ense varias aproxim aciones p a ra el valor n. E n los ejercicios 4 a 8, encuéntrense los núm eros que faltan. ra d io

d iám etro

circunferencia

4.

2

?

4n

5.

?

6

?

6.

Un

?

?

7.

?

?

8n

8.

?

?

16

B. q

9. E n un círculo, ¿a qué es igual la razó n —? Tí

ACTIVIDADES! C á lc u lo d e un v a lo r a p ro x im a d o p a ra n. (E m p lé e se u n a c a lc u la d o ra .) Se p u e d e p ro b a r la s ig u ie n te fó rm u la .

x = - J l — V4 - s2 C o m p lé te s e la s ig u ie n te ta b la y a p ro x ím e s e e l v a lo r de n.

s = lo n g itu d d e u n la d o de un p o líg o n o re g u la r d e n la d o s in s c rito e n un c írc u lo d e ra d ío 1. x = lo n g itu d d e un la d o del c o rre s p o n d ie n te p o líg o n o d e 2n la d o s.

C o n tin ú e s e la ta b la p a ra n - 48, 96, 192, 384 y 768. Número de lados (n) 6

Longitud del lado (s)

Perím etro [n - s)

Perím etro -^d iá m e tro

\¡2 -

1

6

3

12

0 .5 1 7 6 3 8

6 .2 1 1 6 5 6

3 .1 0 5 8 2 8

24

0 .2 6 1 0 5 2

?

Longitud de los lados del polígono de 2n lados (x)

7

\Jí -

^ / 4 ^ 1 ^ ) r = 0 .5 1 7 6 3 8

^ 4 ^ ( 0 .5 1 7 6 3 8 )* = 0.261052

11.6

L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y e l d iá m e tro d e un c írc u lo

10. E ncuéntrese la longitud de u n arco interceptado p o r un

ángulo cen tral de 60° en un círculo con radio 10. (Preséntese la respuesta en función de n.)

11. U n rectángulo de cartu lin a se enrolla p a ra fo rm ar un tu b o de 12 pulgadas de largo y 3 pulgadas de diám etro. ¿Cuál es el área del rectángulo de cartulina? 12. Si u n g aló n de p in tu ra cubre 400 pies cuadrados, ¿cuántos galones se necesitan p a ra p in tar un granero (sin c o n ta r el tejado) que m ide 10 pies de d iám etro y 50 pies de altura? 13. E n u n a m áq u in a grande, los centros de dos poleas están separados 16 pies, y el radio de cada polea es 24 pulgadas. ¿Q ué lo n g itu d debe ten er la correa p a ra que ab arq u e a las dos poleas? 14. E n los pedales de u n a bicicleta, el piñón m ás grande tiene 50 dientes, y el pequeño, 20. C u an d o los pedales com pletan dos vueltas ¿cuántas vueltas d a la rueda?

C. 15. U n a to rre redonda, c o n una circunferencia de 10 m etros, está ro d ead a p o r u n a valla situ ad a a dos m etros de la torre. ¿Cuál es la longitud de la valla? 16. ¿Q ué distancia recorre una bicicleta p o r cada 25 vueltas de una ru ed a si el diám etro exterior de cad a rueda es de 29 pulgadas? 17. Supóngase que el ecu ad o r terrestre es un círculo perfecto con ra d io de 4000 m illas, y que se ciñe u n a cuerda a su alrededor. Supóngase que luego se añ adió un tro z o de cu erd a de 40 pies y se estiró p ara form ar u n a valla, ¿qué distancia hay entre la valla y la Tierra?

_ SOLUCION D E PROBLEMAS. E m p lé e s e d o s v e c e s el te o re m a d e P itá g o ra s p a ra p ro b a r la fó rm u la u tiliz a d a en la a c tiv id a d a n te rio r. c

Dado:

OC = 1.

AB = S, AC = x. " = !■ Encuéntrense: OD, CD y x.

419

• IF * ' 420


11.7 Area de círculos U n in s p e c to r d e c o n s tru c c io n e s d e b e a s e g u ra rs e d e q u e la tu b e r ía p r in c ip a l d e a b a s te c im ie n to d e a g u a s e a s u fic ie n te m e n te g r a n d e p a r a s a tis fa c e r la d e m a n d a d e a g u a r e q u e r id a e n c a d a p a r te ¿ C u á n ta s v eces es m a y o r la c a n tid a d d e a g u a q u e p u e d e c o n d u c ir u n a tu b e r ía p r in c ip a l d e 6 p u lg a d a s q u e u n a d e 4 p u lg a d a s ? P a r a m o s tr a r q u e el v o lu m e n m a y o r es 2 | veces el v o lu m e n m e n o r , d e b e c o m p a r a r s e el á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l c irc u la r d e la tu b e r ía g r a n d e c o n el á r e a d e la se c c ió n tra n s v e rs a l c irc u la r d e l a tu b e r ía p e q u e ñ a . L a fig u ra s ig u ie n te a y u d a a e x p lic a r la d e fin ic ió n d e á r e a d e u n círcu lo .

E l á r e a d e u n p o líg o n o in s c rito d e n la d o s es u n a b u e n a a p r o x im a c ió n al á r e a d e l c írc u lo c irc u n s c rito c u a n d o n tie n e u n v a lo r g ra n d e .

Definición 11.8 E l área de un círculo es el n ú m ero al que se aproxim an las áreas de los polígonos regulares inscritos de n lados a m edida que n aum enta.

U n p o líg o n o re g u la r in s c r ito p u e d e c o rta rs e e n tr iá n g u lo s q u e p u e d e n lu e g o d is p o n e rs e p a r a f o r m a r u n p a ra le lo g ra m o .

U n a a p r o x im a c ió n c e r c a n a al á r e a d e l p a r a le lo g r a m o es j C a , j(2 n r )a , o b ie n nra.

WV\ alred ed o r d e -jC alred ed o r de j C

E s ta a p r o x im a c ió n m e jo r a c u a n d o a u m e n ta e l n ú m e r o d e la d o s d el p o líg o n o re g u la r.

11.7 ,

,. ,

,

A m e d id a q u e a u m e n ta el n ú m e r o d e la d o s , el n ú m e r o de triá n g u lo s q u e c o m p o n e n el p a r a le lo g r a m o ta m b ié n a u m e n ta .

A re a d e c írc u lo s

421

a lr e d e d o r d e \C = nr

L a a p o te m a a se a p r o x im a a l r a d io r y e l á r e a n ra se a p r o x im a a n r 2.

Teorema 11.10

D a d o u n c írc u lo d e r a d io r, el á r e a A e s tá d a d a p o r la f ó r m u la A = nr2.

A PLICA CIO N L a c a n tid a d d e a g u a q u e p u e d e c o n d u c ir u n a tu b e r ía de 6 p u lg a d a s p u e d e c o m p a r a r s e c o n el a g u a q u e c o n d u c e u n a tu b e r ía d e 4 p u lg a d a s . E s to p u e d e h a c e rse fo rm a n d o la r a z ó n d e la s á re a s . ^ ( C j ) = 57(3)2 = 9 7T A ( C 2) = tt(2 )2 = 4-n 4 ^ 4 = — = 2.25 ó 2 \ v eces m á s A ( C 2) 4 ir 4

/i

P u e d e u s a rs e la fó r m u la p a r a el á r e a d e u n c írc u lo p a r a e n c o n tr a r el á r e a d e u n a re g ió n q u e re c ib e el n o m b r e d e se c to r.

B

Definición 11.9 U n sector es una región ac o tad a p o r un ángulo central y su arco interceptado.

A O B e s u n s e c to r de 0 0 .

, á r e a d e u n s e c to r , m e d id a e n g r a d o s d e l á n g u lo c e n tra l L a r a z ó n —------- — :— es ig u a l a l a r a z ó n : ------------------------á r e a d e l c írc u lo 360°

APLICA CIO N Si u n a p iz z a d e 16 p u lg a d a s se c o r ta e n o c h o p e d a z o s c o n g ru e n te s , ¿ c u á l s e rá e l á r e a d e c a d a p e d a z o ? á rea de u n pedazo

45°

647r p u lg a d a s c u a d r a d a s

360°

A re a (u n p e d a z o ) = ¡ x 647t p u lg a d a s 2 = 87r p u lg a d a s 2.

422


EJERCICIOS___ En los ejercicios 1 a 4, exprésense las respuestas con un núm ero exacto (empléese el núm ero n). 1. E ncuéntrese el á rea de u n círculo con radios: a . 2.

b . 5^.

c.

d.

t í.

\/3 .

2. E ncuéntrese el área de un círculo co n diám etros: a . 6.

b . 1 \.

c. 3ít.

d . 4 \/2 .

3. E ncuéntrese el á rea de un círculo con circunferencias: a. 2

i

b . 6i t.

c. x/óW.

d . 10.

4. E ncuéntrese el radio de un círculo con áreas: a.

14477.

b . 225 t¡-.

c. 127,.

d.

100.

En los ejercicios 5 a 8, encuéntrese el área de los sectores som breados. R espóndase en función de n.

9. E ncuéntrese el á rea ap ro x im ad a de los sectores siguientes. Em pléese 3.14 p ara n. a. A ngulo central, 50°. Radio, 3 cm.

b. A ngulo central, 75°. R adio, 3 m.

10. Si el área de un sector es un décim o del área del círculo, ¿cuál es el ángulo central del sector?

B. 11. D o s círculos tienen rad io s de 4 cm y 5 cm, respectivam ente. ¿Cuál es la ra z ó n en tre sus áreas? 12. L a razó n en tre las áreas de d os círculos es 9 a 4. ¿Cuál es la ra z ó n en tre sus radios? 13. L a razó n en tre las áreas de d os círculos es 8 a 5. ¿Cuál es la razó n en tre sus radios? 14. E ncuéntrese el á rea de los círculos inscritos y circunscritos de un cu ad rad o cuyo lad o m ide 4 cm.

c. A ngulo central, 15°. Radio, 10 pulgadas.

11.7

A re a d e c írc u lo s

E n los ejercicios 15 a 17, encuéntrese el á rea de la región

E n las figuras de los ejercicios 18 a 20, las áreas som breadas reciben el n o m b re de segmento circular. E ncuéntrese el área de ca d a uno de ellos.

m L A O B = 120

21. U n o s círculos, con rad io s iguales, están colocados en un rectángulo com o ilu stra la figura. ¿Q ué fracción de la región rectangular está som breada?

22. ¿C uántas veces es m ayor la can tid ad de agua conducida p o r una tubería de 12 pulgadas de diám etro que la conducida p o r una tu b ería de 10 pulgadas?

23. Si B C = 2A B , ¿qué fracción del círculo está som breada?

24. La figura siguiente represen ta la sección transversal de una tubería de ¿ de pulg ad a de espesor que tiene un d iám etro interio r de 3 pulgadas. E ncuéntrese el área de la región som breada.

m ¿ X O Y = 60

423

424


25. D a d o un trián g u lo rectángulo A A B C , m uéstrese que el á re ^ de u n sem icírculo sobre la h ip o ten u sa es igual a la sum a de las áreas de los sem icírculos sobre los dos cateto s del triángulo.

26. D a d o u n trián g u lo rectángulo A A B C , su círculo circunscrito y los sem icírculos sobre los catetos, m uéstrese que la sum a d e las áreas de las d os regiones som b read as es igual al á rea de A A B C .

27. D a d o u n p u n to C en tre A y B, los sem icírculos sobre A C , C B y A B com o ilustra la figura, si CD L A B , m uéstrese que el á rea de la región so m breada es igual al á re a del círculo con CD com o diám etro. (Sugerencia: C onsidérese el triángulo rectángulo A ADB.)

A C TIVIDADES ................—

—

"Fl—

E s tím e s e el v a lo r d e n m id ie n d o d ire c ta m e n te . 1. E líja s e u n o b je to c ir c u la r q u e te n g a el ta m a ñ o a p ro x im a d o d e la p a rte s u p e rio r d e un c u b o d e b a s u ra . 2. M íd a s e su d iá m e tro (d) re d o n d e a n d o a l m ilím e tro m á s p ró x im o . 3. C o ló q u e s e u n a c u e rd a a lre d e d o r d e l o b je to y m íd a s e su lo n g itu d p a ra e n c o n tra r s u c irc u n fe re n c ia (C) re d o n d e a n d o a l m ilím e tro m á s p ró x im o . C 4. C a lc ú le s e —. ¿Qué p re c is ió n tie n e la e s tim a c ió n d e n?

d

5. ¿Q ué p u e d e h a c e rs e p a ra m e jo ra r la a p ro x im a c ió n ? R e p íta s e e s te p ro c e d im ie n to c o n u n a la ta d e a lu m in io y con un a ru e d a d e b ic ic le ta .

11.7

28. Si A A B C es un trián g u lo equilátero, ¿qué fracción del triángulo está som breada?

29. En la figura siguiente, el círculo pequeño es tang en te a cu atro arcos circulares. ¿Q ué fracción del círculo gran d e está som breada?

30. L os conductos de cables telefónicos está n co nstruidos p a ra co ntener tres cables (todos circulares y tangentes al co nducto y. en tre sí) de 1 cm de radio. ¿Q ué fracción del co nducto está o cu p ad a p o r los cables?

. SO LUCIO N D E PROBLEMAS L o s p u n to s A ', B ' y C' s o n p u n to s de tris e c c ió n de lo s la d o s d e A A B C . El á re a d e la re g ió n tr ia n g u la r s o m b re a d a e s J L del á re a d e A A B C . E m p lé e s e un a c u a d ríc u la p e q u e ñ a o a lg u n a té c n ic a d e m e d ic ió n p a ra d e te rm in a r sí la re g ió n b la n c a d e b e lle n a rs e co n la fra c c ió n -J, -J, ó -J.

A re a d e c irc u io s

425

426


Capitulo 11 Conceptos importantes Términos Región poligonal (pág. 394) U n id ad cu ad rad a (pág. 398) A ltu ra de un paralelogram o (pág. 399) Perím etro de u n polígono (pág. 408) A potem a de un polígono regular (pág. 408)

C ircunferencia de un círculo (pág. 416) P i (n) (pág. 417) A rea de un círculo (pág. 420) Sector (pág. 421) Segm ento circular (pág. 423)

Postulados Postulado del área. A ca d a región poligonal se le puede asignar un núm ero positivo único denom inado área. El área de una región R se representa p o r -4(R). Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o d os triángulos son congruentes, entonces las regiones que aco tan tienen la m ism a área. Postulado de la suma de áreas. Si u n a región poligonal es la unió n de n regiones poligonales que n o se solapan, entonces su á rea es la sum a de las áreas de estas n regiones. Postulado del área del rectángulo. El área de u n rectángulo de lo n g itu d ( y ancho w está d a d a p o r la fórm ula iw .

Teoremas

11.1 D a d o un p aralelogram o con base b y

11.6 L a razón entre los perím etros de dos

a ltu ra correspondiente h, el á rea A está d ad a p o r la fórm ula A = bh.

11.2 D a d o un trián g u lo con base b y 11.3

altu ra correspondiente h, el á rea A está d ad a p o r la fórm ula A = \bh. Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, entonces A (A A B C ) = = \/s(s — a)(s — b)(s — c) donde í = i ( a + b + c).

11.7

11.8 La razón entre la circunferencia y el diám etro es la m ism a p a ra to dos los círculos.

11.4 D ad o un trapecio con bases bx y b2, y a ltu ra h, el área A está d a d a p o r la fórm ula A = %h(b¡ + b2).

11.9 D ad o u n círculo de radio r y diám etro

11.5 D a d o u n polígono regular de n lados de longitud s y apo tem a a, el á rea A está d ad a p o r la fórm ula A = %ans = \a p , d o n d e el perím etro p = ns.

polígonos sem ejantes es igual a la razón entre las longitudes de cualquier p a r de lad o s correspondientes. L a razón entre las áreas de dos polígonos sem ejantes es igual al cu ad rad o de la razón entre las longitudes de cualquier p a r de lados correspondientes.

11.10

d, la circunferencia C está d ad a p o r la fórm ula C = nd = 2nr. D ad o un círculo de radio r, el área A está d a d a p o r la fórm ula A = nr2.

C a p ítu lo 11

R esum en

Capitulo 11 Resumen 1. E ncuéntrese el área de las siguientes figuras. Supóngase que los segm entos que parecen paralelos o congruentes lo son. a.

b.

10

c.

d.

2. Dado: A A B C ~ A D EF, á re a (AA B C ) = 3

A

a. E ncuéntrese la longitud de la a ltu ra de A B . b. E ncuéntrese el área de A DEF.

B

3. L a circunferencia del círculo 0 ‘ es doble que la del círculo O. ¿C uál es la razó n en tre las longitudes de sus diám etros? 4. Encuéntrese el á rea de un hexágono regular inscrito en un círculo de 6 cm de diám etro. 5. E n A A B C , A E es u n a a ltu ra , A F es la bisectriz de un ángulo y A D es una m ediana. ¿Q ué segm ento divide a A A B C en dos trián g u lo s de igual área?

6. Encuéntrese el á rea de las porciones som breadas. Supóngase que los segm entos son congruentes si lo parecen. B 7. E n A A B C , D, E y F son p u n to s medios, E ncuéntrese la razón

área (A DEF) área (A A BC)

8. E ncuéntrese el área de un círculo que está inscrito en un cu ad rad o de área 16 unidades cuadradas.

OA = 1 OB = 2

427

428


Capítulo 11 Examen i. E ncuéntrese el á rea de las figuras siguientes. Supóngase que los segm entos que parecen paralelos o congruentes lo son.

c.

2. D ado: A A B C ~ A D F E a. E ncuéntrese el perím etro de A AB C .

a

b. E ncuéntrese el á rea de A ABC. 3. E ncuéntrese el á rea de las porciones som breadas, d o n d e A B = 10 y B C = 26. 4. Si se duplica ca d a lad o de u n polígono regular, ¿en qué afecta esto al perím etro y al área? 5. E ncuéntrense las dos razones siguientes, a. b.

perím etro del c u a d ra d o A B C D

D

circunferencia del círculo O área (ABCD) área (O O)

c* ¿Las respuestas a y b dependen del tam añ o de la figura? 6. Si dos triángulos son sem ejantes y la ra z ó n en tre sus perím etros es 2:1, ¿cuál es la razó n e n tre sus áreas?

O

7. E ncuéntrese la circunferencia y el á rea de u n círculo de diám etro 4 cm. ¿En qué son diferentes? 8. E ncuéntrese el á rea del polígono regular.

(Ejercicio 8)


Repaso de álgebra Evalúese cada fórm ula p a ra la le tra indicada. 1. A = bh; p a ra A si b = 6 cm, h = 4 cm. 2. A = \ h (b¡ + b2)-, p a ra A si h ■= 7 cm, b¡= 9 cm, b2 = 15 cm. 3. C = 2t¡r ; p a ra C si r = 14 cm (empléese n = 3.14). 4. A = 4wr2; p a ra X si r = 14 cm. 5. F = fw r3; p a ra V si r = 14 cm. 6. V = \B h ; p a ra h si V = 100 cm 3, -B = 30 cm 2. 1. A = \ h (bl + b2); p a ra h si ^4 = 36 cm 2, 8. / í = 4wr2; p a ra r si 9. A

= 12 cm, b2 = 8 cm.

= 1007r m 2.

= rrrl -f wr2; p a ra A si r = 4^ pulgadas,

X = 8^ pulgadas.

s2 V 3 10. ^1 = —-— ; p a ra s si A = 6 \/ 3 y ard as cuadradas.

Despéjese x. 11. (* + 2X* - 3) = 0.

12. x2 - 9 = 0.

13. x 2 + 4 x + 4 = 0.

14. x 2 — 6 x + 9 = 0.

15. x 2 -f 5x = —6.

16. x 2 + x — 2 = 0.

17. x ( x -

1) = 90.

18. 6x2 - 7 x = 5.

19. 1 - 8x + 15x2 = 0.

20. x2 -

11* = 180.

21. x ( x - 5 ) + 6 = 0.

22. 0 = 5x - 3 x 2 + 2.

Resuélvase. 23. E ncuéntrese el á rea de u n cam po rectan g u lar cuya longitud es 100 yardas, y su ancho, 79 yardas.

24. E ncuéntrese el á rea de u n cuad rad o cuyo perím etro es 20 cm.

25. El perím etro de un rectángulo es 40 cm, y su longitud, 5 cm m ayor que su ancho. E ncuéntrese el área.

26. U n a laguna circular tiene 48 m etros de diám etro. ¿C uál es su área?

27. L a base de un trián g u lo es tres veces la longitud de su altu ra. Si estas dos m edidas sum an 72 m m , ¿cuál es el área del triángulo?

28. L a longitud y el ancho de u n rectángulo sum an 100 yardas. Su diferencia es 7 yardas. ¿C uál es el área del rectángulo?

29. L as dim ensiones de un ja rd ín rectan g u lar son 40 m x 24 m. A lrededor del ja rd ín hay un cam ino. E l á rea del ja rd ín y el cam ino es 1232 m 2. E ncuéntrese el an ch o del cam ino.

30. El ancho de u n rectángulo es 16 cm. La diagonal es 4 cm m ay o r que la longitud. E ncuéntrese la longitud del rectángulo.

429

Gráficas por computador: transformaciones El análisis de form as es un uso im p o rtan te de las gráficas p o r com putador. Prim ero se analizará la idea de m over u n a form a en u n plano. Los com putad o res pueden program arse p a ra m over u n a figura a diferentes posiciones de la p antalla. E stos m ovim ientos se llam an transformaciones. U n a de las transform aciones que pueden em plearse es la traslación. En un p ro g ram a, el m an d ato que aparece a contin u ació n h ará que el p u n to (x, y) se m ueva 50 unidades h acia la derecha y 70 unidades hacia arrib a. Es una línea de un p ro g ra m a la que causa la traslación de u n a figura. H PLO T X,Y TO X + 50, Y + 70

A ntes d e la traslación

Después de la traslación

A ntes de la ro tació n

Después de la rotación

A ntes de la reflexión

D espués d e la reflexión

En un p rogram a, el m a n d a to que aparece a continu ació n h ará que el p u n to (x, y) sufra una ro tación de 90° sobre su origen en el sentido c o n tra rio a las m anecillas del reloj. P o d ría ser u n a línea de p ro g ram a la que causa la ro tación de u n a figura. H PLO T X, Y T O —Y,X

E n u n p ro g ram a, el m a n d a to que aparece h a rá que un p u n to (x, _y) se refleje en el eje de las y. P o d ría ser u n a línea de un p ro g ram a la que cause la reflexión de una figura. HPLO T X,Y TO —X,Y

430

La ventaja de u sar com p u tad o res p ara m o stra r diferentes vistas de un objeto es particularm ente interesante p a ra sólidos tridim ensionales. L a ilustración m u estra un ejem plo de sólido de este tipo. A contin u ació n se m uestra cóm o puede servir u n co m p u ta d o r p a ra p resen tar diferentes vistas de este sólido.

En cada u n a de estas figuras, la p an talla del c o m p u tad o r m uestra al sólido de acuerd o co n el p lan o xy.

mmm ¡nii

!§gg¡¡¡¡¡¡¡I

ÜSÜ1

■ l il i!» m m m ■ im 111B S

Una vista del plano xy.

Una vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las y-

Una vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las x.

U na vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las z.

1. P a ra el sólido que se m uestra a continuación, elabórense bosquejos de las cu atro vistas p resentadas antes.

2. H ágase un bosquejo tridim ensional propio. P a ra este sólido, dibújense las cuatro vistas m o strad as antes. 431

C A P IT U LO

12 12.1

434

P ir á m id e s y p r is m a s

12.2

A r e a d e p r is m a s y p ir á m id e s

1 2 .3

V o lu m e n d e p r is m a s

12.4

V o lu m e n d e p ir á m id e s

12.5

A r e a y v o lu m e n d e c ilin d r o s

440

444 448

12.6

A r e a y v o lu m e n d e c o n o s

1 2 .7

A r e a y v o lu m e n d e e s fe r a s

12.8

P o lie d r o s r e g u la r e s

452

456 460

464

C o n c e p to s im p o r t a n te s

468

R esum en

T éc n ic as p a ra la solución d e p ro b lem as H á g a s e u n d ib u jo p r e c is o

471

La g e o m e tría en n u estro m undo N a v e g a c ió n

472

469

E xam en

470

Sólidos

434

S ó lid o s

12.1

Pirámides y prismas L a fo rm a d e p irá m id e fue u tiliz a d a p o r m u c h a s c iv iliz a c io n e s a n tig u a s . L o s e g ip c io s c o n s tr u y e r o n las q u e a p a r e c e n e n la fo to g ra fía ; e s ta s p irá m id e s s o n e je m p lo s d e poliedros.

U n p o lied ro es u n o b je to tr id im e n s io n a l fo r m a d o p o r re g io n e s p o lig o n a le s d e n o m in a d a s caras. L o s la d o s y v értices d e la s c a r a s re c ib e n lo s n o m b r e s d e a rista s y v é rtices d e l p o lie d ro .

Definición 12.1 U n poliedro está form ado por un núm ero finito de regiones poligonales. C ad a arista de u n a región es la a rista de exactam ente o tra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en u n a a rista o en un vértice.

E s te p r is m a tr ia n g u la r es u n a c la se e sp e c ia l d e p o lie d ro .

Definición 12.2 U n a pirám ide es u n poliedro en el cual todas las caras, m enos una, tienen un vértice com ún. Ese vértice com ún es el vértice de la pirám ide, y la cara que no contiene a l vértice es la base de la pirám ide.

12.1


D e fin ic ió n 12.3 U n prism a es u n poliedro que satisface estas condiciones: 1. H ay un p a r de caras congruentes sobre p lanos paralelos {bases). 2. T odas las dem ás caras son paralelogram os.

T a n t o e n lo s p ris m a s c o m o e n la s p irá m id e s , la s c a r a s q u e n o s o n b a s e s se lla m a n ca ra s latera les, y la s a r is ta s q u e n o p e rte n e c e n a la b a s e se lla m a n a rista s laterales. U n s e g n w u io q u e e s té e n tr e las b a se s d e u n p r is m a y s e a p e r p e n d ic u la r a ellas es u n a a ltu ra . U n s e g m e n to q u e v a y a d e l v é rtic e a la b a s e d e u n a p irá m id e y sea p e rp e n d ic u la r a la b a se , e s u n a altura.

U n a p irá m id e e s reg u la r si s u b a s e es u n p o líg o n o r e g u la r y su s a r is ta s la te ra le s s o n c o n g ru e n te s . U n p r is m a es u n p rism a r e c to si su s a ris ta s la te ra le s s o n p e r p e n d ic u la re s a las bases.

pirámide regular

...

inclinada

prisma recto

E s te te o r e m a e s ta b le c e u n a c a ra c te r ís tic a im p o r ta n te d e lo s p rism a s.

Teorema 12.1

L a s a rista s laterales d e u n p rism a so n p a ra le la s y c o n g ru e n te s .

435

436

S ó lid o s

EJERCICIOS A. 1. ¿C uál de estas figuras no es una pirám ide y p o r qué?

2. ¿C uál de estas figuras es un prism a y p o r qué?

b.

3. C ítense cinco aristas de la base en esta pirám ide.

(Ejercicios 3-5)

4. Cítense cinco aristas laterales en esta pirám ide. 5. Identifiqúense cinco caras laterales en esta pirám ide. 6. C ítense las aristas de la base de este prism a. 7. C ítense las aristas laterales de este prism a. 8. Identifiqúense las caras laterales de este prism a. 9. ¿Q ué relación existe en tre el núm ero de aristas de la base y el núm ero de aristas laterales de una pirám ide cualquiera?

(Ejercicios 6-8)

10. ¿Q ué relación existe en tre el núm ero de aristas de la base y el n úm ero de aristas laterales de un prism a cualquiera? 11. Si se considera que el cubo que se m uestra a continuación es un prism a y se tiene que A B C D es una base, dígase cuáles son la segunda base y las aristas laterales. 12. P a ra este m ism o cubo, si se considera

que A B F E es una base, digase cuáles son la segunda base y las aristas laterales.

(Ejercicios 11, 12)

12.1


437

Si las bases de un prism a son paralelogram os, el prism a recibe el nom bre de paralelepípedo. L os ejercicios 13 a 19 tra ta n de paralelepípedos. 13. Si B C G F es una base del prism a, dígase cuál es la segunda base. 14. Si A B F E es u n a base del prism a, dígase cuál es la segunda base.


En los ejercicios 15 a 19, B C = 8, A B = 6 y B F = 5. E ncuéntrense las siguientes longitudes. 15. A E = _2_,

16. E H = JL.

17. C D = JL . 18. D H = JL. 19. D ígase cuáles son las cu atro diagonales de este paralelepípedo.

B. 20. Bosquéjese una pirám ide con base en form a de cuadrilátero. L as aristas que no se ven deben dibujarse con líneas de p untos. (Sugerencia: Prim ero, dibújese la base; después, elíjase el vértice y únase a los vértices de la base.) 21. Bosquéjese u n a pirám ide con base hexagonal. 22. Bosquéjese un prism a con base hexagonal. 23. Supóngase que todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos y que A B = 15 cm y AD = 8 cm. M uéstrese que A C = 17. 24. M uéstrese que la d iagonal AG tiene una longitud de x/338. 25. D a d o un paralelepípedo con to d as las caras rectangulares com o el que se m uestra, si E H = 10, DC = 4 y F B - 4, encuéntrese la longitud de la diagonal HB. 26. Supóngase que to d as las caras de un paralelepípedo son rectángulos. Si A C = = a, A B = b y E C = c, m uéstrese que B E = = J a 2 + b 2 + c2. 27. En el cubo siguiente, A B = 5. E ncuéntrese la longitud de la diagonal AC.

H E 7 cm D 8

cm

----- 1 -------

1 ■ Je

15 cm

B (E je rcic io s 2 3 , 24)

438

S ó lid o s

c. 28. ¿D e q u é tip o es el poliedro con vértices A B C D P de esta figura? 29. ¿E n cu án tas pirám ides dividen al cubo los segm entos que van de P a ca d a u n o de los vértices?

(Ejercicios 28-30)

30. D ígase cuál es la base de ca d a u n a de las pirám ides del ejercicio 29. 31. Supóngase que el cubo de la figura está co rta d o p o r un p la n o AC F , form ando la pirám ide A B C F . Expliqúese p o r qué esta p irám id e es regular. (Recuérdese que las aristas de un cu b o siem pre tienen la m ism a longitud.) 32. ¿C uál es la base de la pirám ide regular que resultó de c o rta r el cubo? 33. ¿C uántas pirám ides regulares com o * puvuvii w iia ia v u ti tu u u : Cítense. 34. Si se q u itan c u a tro pirám ides com o A B C F del cubo de la figura, queda el p u n c u iu / i t n r . c íte n se to a a s las caras de A C F ÍF y expliqúese p o r qué son to d as triángulos equiláteros.

(Ejercicio 32) F

S i V

\ \

/

v\ A

/ / y D A

ACTIVIDADES A contin u ació n s e ex p lica un m éto d o p a r a c o n stru ir una p irá m id e con b a s e tria n g u la r a p a rtir d e un s o b re p a r a c a rta s c e rra d o . C o m p lé te se la co n stru cció n . 1. M á rq u e se el pun to C d e m a n e ra q u e A ABC s e a un triá n g u lo eq u ilátero . 2. H á g a s e un c o rte a lo la rg o d e DE, q u e p a s e por C y s e a p a ra le lo a ÁB. 3. H á g a s e un d o b le z a lo la rg o d e A C y BC, a d e la n te y a trá s. 4. S e a C' el punto e n el re v e rs o del lad o c o rre sp o n d ie n te a C. 5. A b ra se y c o m p rím a se el s o b re d e m a n e ra q u e los p u n to s D y £ s e ju n ten y q u e C y C' s e s e p a re n . P é g u e s e a lo la rg o d e C C ' y la p irá m id e e s tá te rm in a d a . C o n strú y a se o tro só lid o con e s te m étodo.

C ¿

(Ejercicios 33, 34)

12.1


439

35. En este paralelepípedo, expliqúese p o r qué el p u n to O es el p u n to m edio de A G y BH. 36. ¿D e q u é p aralelogram o son diagonales los segm entos CE y A G I 37. Expliqúese p o r qué O es el p u n to m edio de CE. 38. U n a escuela tiene un pasillo de 9 pies de a ltu ra p o r 9 pies de an ch o que hace esquina com o m uestra la figura. (E sto puede considerarse com o la intersección de un p a r de paralelepípedos con caras rectangulares.) ¿Es posible hacer pasar u n a pértiga de 12 pies p o r la esquina de este pasillo? Expliqúese. 39. L a figura m uestra u n a vista aérea_del _ pasillo del ejercicio anterior. Si A B || CD, verifiqúese que CD = 18N/2 . 40. ¿Se p o d ría hacer p a sa r p o r la esquina del pasillo una pértiga ligeram ente m ás larga de 18 y j 2 pies? Expliqúese.

SOLUCION D E PROBLEMAS Una c a ja d e d im e n s io n e s 2 x 4 x 8 p u e d e a ta r s e con u n a cin ta con d o s m éto d o s d ife re n te s. ¿Q u é c a n tid a d d e c in ta s e re q u ie re e n c a d a c a so ? (Sugeren cia : P ié n s e s e en c o rta r la c a ja y a b rirla p a r a c a lc u la r la c a n tid a d d e cinta q u e s e n e c e s ita p a r a el se g u n d o m étodo. En el d ia g ra m a , a lg u n a s c a r a s s e m u e stra n d o s v eces.)

(E jercicio s 35-37)

440

S ó lid o s

12.2 Area de prismas y pirámides Los diseñadores profesionales y aficionados de interiores necesitan determinar la cantidad de material que se requiere para decorar superficies. En ocasiones, objetos familiares tales como mesas auxiliares o vitrinas tienen forma de prisma. Con frecuencia es necesario calcular las áreas de estas superficies. Las áreas de prismas y pirámides pueden encontrarse usando la siguiente regla:

A rea = su m a d e las á reas d e las c a ra s laterales + áreas d e las bases.

Considérese un prisma de altura h, con caras laterales rectangulares y bases pentagonales. Si el área de cada base es B y las aristas de la base tienen longitudes eu e2, e3, e4 y e5, entonces: área de las caras laterales = e j i + e2h + e3h + ejx + e5h = /i(ej + e2 + e3 + e4 + e5) = hp, donde p es el perímetro de la base.

Teorema 12.2

Dado un prisma con caras laterales rectangulares, si la altura del prisma es h y las bases tienen área B y perímetro p, entonces el área S se encuentra con la fórmula S = hp + 2 B.

12.2


El á r e a to t a l d e u n a p ir á m id e e s ig u a l a la s u m a d e la s á r e a s d e las c a ra s la te ra le s m á s el á r e a d e la b ase. C o n s id é re s e u n a p ir á m id e r e g u la r c o n b a se p e n ta g o n a l, a l t u r a in c lin a d a t , y a r is ta s d e la b a se d e lo n g itu d e s e¡ = e 2 = e 3 = e 4 = e 5. S u m a d e la s á r e a s d e la s c a r a s la te ra le s = =

+ 2e2^

"t"

= % l(el + e2 + e3 + e4 + e5) = \ I p , d o n d e p es el p e rím e tr o d e la b ase. E s ta in f o r m a c ió n se re s u m e e n el s ig u ie n te te o re m a .

Teorema

12.3

D a d a u n a p irá m id e re g u la r c o n a ltu r a in c lin a d a t y b a se c o n á r e a B y p e r ím e tr o p, e l á r e a S se e n c u e n tra c o n la fó rm u la S = f y p + B.

A P L IC A C IO N

E n o c a s io n e s , es n e c e s a rio a d a p t a r la s fó rm u la s p a r a a p lic a rla s a d e te r m in a d o s o b je to s . P o r e je m p lo , c o n sid é re se la p lo m a d a (u n p e s o q u e se e m p le a e n c o n s tru c c ió n ) q u e se m u e s tr a a la d e re c h a . S u fo rm a es la d e u n p r is m a h e x a g o n a l c o n u n a b a s e u n id a a u n a p irá m id e h e x a g o n a l en la p a r te in fe rio r. U n f a b r ic a n te n e c e s ita s a b e r el á r e a de e s ta pieza. P o r el d ib u jo se p u e d e c a lc u la r q u e el á r e a d e la b a se es 6 ^ / 3 c m 2. D e lo s te o r e m a s 12.2 y 12.3 se tie n e q u e el á r e a del p ris m a y d e la p ir á m id e es: A re a d e l p r is m a = (12)(8) c m 2 + 12 v / 3 c m 2. A re a d e la p ir á m id e = i(5 )(1 2 ) c m 2 + 6 ^ / 3 c m 2. P e r o u n a b a s e d e l p r is m a y l a b a s e d e la p irá m id e s o n c o m u n e s . D a d o q u e n in g u n a d e e s ta s b a s e s e s p a r te d e la su p e rfic ie d e la p lo m a d a , se d e b e r e s ta r d o s v eces el á r e a d e la b P o r ta n t o , el á r e a d e la p lo m a d a es: = (12)(8) + 1 2 V 3 + i(5 )(1 2 ) + 6 V 3 = (126 + 6 \ / 3 ) c m 2^

2(6 V 3 )

441

442

S ó lid o s

EJERCICIOS A. E n los ejercicios 1 y 2, selecciónese la fórm u la correcta para en c o n tra r el área, p es el perím etro de la base, h es la altura, t es la a ltu ra inclinada y B es el á re a de la(s) base(s). a. S = \p h + 2 B.

a . S = \p h + B.

b ■ S ~ p k + B.

b . S = p l + B.

S = p h + 2 B.

c. 5 = \ p í + 2B.

C' S = p l + 2B. i 1* d.

d . S = \ p l + B.

rectos y de la pirám ide regular. 3.

4. I 1.5

E ncuéntrese el área de una caja sin tapa de 5 unidades de longitud, 3 unidades de ancho y 2 unidades de altura. B. E ncuéntrense las áreas de estas pirám ides regulares.

ACTIVIDADES' Un d e lta e d ro e s un p o lie d ro c o n c a ra s tria n g u la re s . E la b ó re n s e m o d e lo s d e d e lta e d ro s co n p a lillo s y p e g a m e n to . ¿ C u á le s d e e llo s son p irá m id e s ?

7. E ncuéntrese el área de un prism a recto con bases de triángulo equilátero si todas las aristas m iden 2 unidades de longitud.

12.2

11. L a superficie de un prism a con base c u a d ra d a es 360 cm2, y la a ltu ra es el doble de la lo n g itu d de las aristas de la base. ¿Cuáles son las longitudes de las aristas del prism a?


¡N i i i i i ------ A

12. El área de u n a pirám ide con base c u a d ra d a es 48 cm 2. Si la altu ra inclinada es igual a la arista de la base, ¿cuál es el á rea de la base?

\

\ —

443

t 2 x

I

jr-M

5 = 360 cm2

13. ¿Cuál es la longitud de la a ltu ra d e la pirám ide del ejercicio anterior? 14. Si la longitud de cada a rista de u n prism a se duplica, ¿cóm o cam b ia el área?

c. 15. Se desea cu b rir unos m oldes p a ra bizcochos de 20 cm de lado p o r 6 cm de p ro fu n d id ad con un m aterial antiadherente. Si la can tid ad disponible de an tiad h eren te cu b re 100 m etros c u ad rad o s, ¿cuántos m oldes p o d rá n cubrirse? 16. U n recipiente con form a d e pirám ide regular tiene la p arte superior abierta. E sta p a rte es un hexágono regular con las dim ensiones que m uestra la figura. Si se van a p in ta r 100 de estos recipientes, p o r d en tro y p o r fuera, con u n a p in tu ra que cu b re 450 pies cu ad rad o s p o r galón, ¿cuántos galones se requieren?

SOLUCION DE PROBLEMAS En la fig u ra d e la d e re c h a , s e s a c a ro n 14 c u b o s p a ra fo r m a r u n s ó lid o c u y a á re a (in c lu y e n d o la ba se ) e s 42 u n id a d e s . 1. ¿C óm o p u e d e c a m b ia rs e e l á re a a 44 u n id a d e s m o v ie n d o un s o lo cubo? 2. ¿ C óm o p u e d e c a m b ia rs e e l á re a a 40 u n id a d e s m o v ie n d o u n s o lo cu b o ?

(E jercicio s 1 2 ,1 3 )

444

S ó lid o s

12.3 volumen de prismas U n in g e n ie ro civ il e s tim a c o s to s d e c o n s tr u c c ió n . E n la c o n s tr u c c ió n d e e s ta c a r r e te r a , u n in g e n ie ro d e te r m in a la c a n tid a d d e m a te r ia l q u e d e b e s a c a rs e p a r a c o n f o r m a r el te r r e n o c a lc u la n d o el v o lu m e n . H a y p o s tu la d o s q u e c a r a c te r iz a n el c o n c e p to d e v o lu m e n y se e s tu d ia r á n e n e s ta secció n .

In tu itiv a m e n te se c o n s id e ra el v o lu m e n c o m o la c a n tid a d d e e sp a c io q u e o c u p a u n só lid o .

✓✓ ✓

I I I L V

S e in ic ia r á el e s tu d io d e l v o lu m e n c o n s id e r a n d o u n s ó lid o d e n o m in a d o c o m ú n m e n te « c a ja » , y q u e se d efin e c o m o u n só lid o rectangular.

U n s ó lid o r e c ta n g u la r tie n e lo n g itu d , a n c h o y a ltu ra .

Postulado del volumen A cada sólido se le asigna un núm ero positivo único denom inado volumen.

Definición 12.4 U n sólido rectangular es un prism a con bases rectangulares cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Postulado del volumen de un sólido rectangular El volumen de un sólido rectangular es igual al p ro d u cto de su longitud ( , ancho w y a ltu ra h.

Ejemplo. Postulado de la suma de volúmenes

E n c u é n tr e s e el v o lu m e n (V ) d e u n a c a ja d e 8 c m x 4 cm V = 2 c m x 4 c m x 8 c m = 64 c m 3 (léase 64 c e n tím e tr o s cú b ico s). E s to e q u iv a le a c o n ta r el n ú m e ro d e c u b o s d e 1 c m d e la d o q u e c a b e n e n la c a ja .

1 1

cm

1

cm

cm

Si un sólido es la unión de dos sólidos que no tienen puntos interiores en com ún, entonces su volum en es la sum a de los volúm enes de los dos sólidos.

12.1


445

Imagínese un sólido rectangular cortado en rebanadas que pueden moverse para obtener sólidos de formas irregulares. El volumen del sólido será el mismo.

Igualmente, supóngase que dos sólidos pueden rebanarse de manera que sus partes superiores correspondientes tengan áreas iguales. La intuición sugiere que los volúmenes de los dos sólidos son iguales.

Definición 12.5 U n a sección transversal de un sólido es u n a región com ú n al sólido y a un p lan o que interseca al sólido.

Los ejemplos anteriores dan lugar a un postulado conocido como principio de Cavalieri, llamado así por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647).

Postulado de cavallerl Sean S y T sólidos y X un plano. Si to d o plano paralelo a X que interseca a S o T, tam bién interseca a S y a T en u n a sección transversal con la m ism a área, entonces V olum en S = V olum en T.

Los postulados de esta sección pueden combinarse para probar el siguiente teorema.

Teorema 12.4

El volumen de un prisma cualquiera es el producto de la longitud de una altura por el área de la base.

446

S ó lid o s

EJERCICIOS A.

4. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden colocarse en la caja del ejercicio 1? 6. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden colocarse en la caja del ejercicio 2?

5. ¿C uántos cubos de 2 cm de lad o pueden colocarse en la caja del ejercicio 1? 7. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden colocarse en la caja del ejercicio 3?

8. ¿C uántas pulgadas cúbicas tiene un pie cúbico? E ncuéntrese el volum en de los prim as de los ejercicios 9 a 11.

de hexágono regular

B. 12. Si el á rea de la base de u n prism a se d u p lica y la a ltu ra perm anece igual, ¿cuánto au m en ta el volum en?

ACTIVIDADES! D ibújen se d o s c o p ia s d e e s ta fig u ra y co n strú y a n s e d o s sólidos. U n an se los d o s só lid o s p a r a fo rm a r un p rism a. (Al d ib u ja r la figura, a s e g ú r e s e d e q u e el polígono 1 s e a un h e x á g o n o re g u la r y q u e los p o líg o n o s 2 s e a n triá n g u lo s 45-45-90.)

12.3


447

13. Si las longitudes de to d o s los lados de u n a caja se duplican, ¿cuánto au m en ta el volum en? 14. L os lingotes de p lata son b a rra s m oldeadas com o la de la figura. Los extrem os son trapecios isósceles paralelos. ¿Cuál es el volumen?

(Ejercicio 14)

15. U n recipiente rectan g u lar tiene 5 cm de ancho y 12 cm de longitud, y contiene agua hasta una p rofundidad de 7 cm. Se m ete una piedra y el nivel del ag u a sube 1.7 cm. ¿Cuál es el volum en de la piedra? 12

16. U n ingeniero necesita en co n trar el volum en de una construcción p a ra d iseñ ar un sistem a de calefacción. E ncuéntrese el volum en de la construcción de la figura.

cm

(Ejercicio 15)

17. Si un recipiente rectangular con base c u a d ra d a tiene 2 pies de altu ra y u n volum en de 50 pies cúbicos, encuéntrense la lo n g itu d y el an ch o de la base. 18. Supóngase que el á rea de la base de un prism a es x pies cuadrados, y su altu ra, 2x pies. Si el volum en del prism a es 54 pies cúbicos, ¿cuál es su altura?

(Ejercicio 16)

2' 19. El p lan o de u n ingeniero m uestra un canal con sección transversal trapecial de 8 pies de profundidad, 14 pies a lo larg o de la base, y co n las paredes form ando un ángulo de 45°. El canal tiene 620 pies de largo. Se estim a que el costo de excavación del canal será de 1.50 d ó lares p o r yarda cúbica. Si se añade un 10 % p a ra gastos extra, ¿cuál será el presupuesto? 20. U n m u ro de contención de horm igón m ide 80 pies de longitud, con extrem os com o los de la figura. ¿C uántas yardas cúbicas de horm igón se em plearon p a ra construir este m uro?

SOLUCION D E PROBLEMAS ¿ C u á n ta s y a rd a s c ú b ic a s d e horm igón s e n e c e sita n p a ra los e s c a lo n e s d e la figura?

12"

448

S ó lid o s

12.4 volumen de pirámides E n m u c h a s o c a s io n e s es n e c e s a rio e n c o n tr a r el v o lu m e n d e u n o b je to q u e n o e s n i u n s ó lid o n i u n p r is m a re g u la r. E s te d ib u jo m u e s tr a u n re c ip ie n te c o n fo r m a d e p irá m id e d e b a s e tr ia n g u la r . C o n o c e r el v o lu m e n d e l re c ip ie n te es fu n d a m e n ta l p a r a el fa b ric a n te . El te o r e m a 12.7 p r o p o r c io n a la fó r m u la p a r a e n c o n tr a r el v o lu m e n de u n a p irá m id e . P r im e r o d e b e n p r e s e n ta r s e o tr o s d o s te o re m a s , q u e se u s a n e n el d e s a r r o llo d e la fó rm u la .

Teorema

12.5

D a d a u n a p irá m id e c o n b a s e B y a l t u r a h, si A es u n a se c c ió n tr a n s v e rs a l p a r a le la a la b a s e y la d is ta n c ia d e sd e el v é rtic e a la secc ió n tr a n s v e r s a l e s K , e n to n c e s á rea A _ f K \ 2 á rea B

Teorema

\ h )

12.6

D o s p irá m id e s c o n a ltu r a s ig u ale s y b a ses d e ig u a l á r e a tie n e n el m is m o v o lu m e n .

S u p ó n g a s e q u e se d e s e a e n c o n tr a r el v o lu m e n d e la p ir á m id e W X Y Z . P a r a h a c e r e sto , p rim e r o d e b e e n c o n tr a r s e e l v o lu m e n d e la p irá m id e r e c ta A B C D c o n á r e a d e la b a s e ig u a l a la d e A X Y Z y a l t u r a h. E m p lé e se el te o r e m a 12.6. W

__

A

12.4


449

C o n sid érese a h o ra el p rism a re c to c o n b ase y a ltu ra iguales a las d e la p irám id e ABCD. H á g a n se en el p rism a los d o s co rte s siguientes: í . C ó rtese desde A a trav é s de BD.

2. C ó rte se desde A a través d e ED.

E ntonces 1. V olum en d e AB C D = v o lu m en AD EF. L as bases d e A B C D y A A E F tien en la m ism a área, y las a ltu ra s A C y D F so n d e igual lo n g itu d . P o r ta n to , el te o re m a 12.6 im plica la ig u a ld a d e n tre volúm enes.

2. V o lu m en A D EF = v o lu m en ABD E. E stas d o s p irám id es tien en bases A B D E y A FDE d e á reas iguales, y a q u e son las m ita d e s del re ctán g u lo BDFE. L as a ltu ra s de a m b a s p irám id es se fo rm a n p o r u n segm ento p e rp en d icu lar q u e v a d e A a la b ase o p u e sta , p o r lo q u e las a ltu ra s son iguales. E l te o re m a 12.6 establece q u e los volúm enes son iguales.

P o r ta n to , el v o lu m en d e la p irám id e A B C D = i del v o lu m en del p rism a A B C D E F = $hB.

Teorema 12.7

D a d a u n a p irá m id e d e a ltu ra h y á re a d e la b ase B, el v o lu m en se e n c u e n tra p o r la fó rm u la V — 3hB.

450

S ó lid o s

EJERCICIOS A. Clasifiquense los ejercicios 1 a 5 com o falsos o verdaderos. 1. Si dos pirám ides de altu ra s iguales tienen bases congruentes, entonces sus volúm enes son iguales.

2. Si dos pirám ides tienen volúm enes iguales, entonces sus alturas son necesariam ente iguales.

3. Si dos pirám ides tienen volúm enes iguales y altu ras iguales, entonces sus bases son necesariam ente congruentes.

4. Si dos pirám ides tienen volúm enes iguales y bases de la m ism a área, entonces sus alturas son necesariam ente iguales.

5. U n a pirám ide con base cu ad rad a n o puede tener n u nca un volum en igual al de una pirám ide con base triangular. E ncuéntrese el volum en de estas pirám ides.

área de la base = 51

B. E n los ejercicios 9 a 11, encuéntrese el volum en de las pirám ides regulares que se m uestran. 9.

ACTIVIDADES' D ib ú je s e un a a m p lia c ió n d e e s ta fig u ra , re c ó rte n s e d o s c o p ia s , d ó b le n s e y p é g u e n s e p a ra fo r m a r d o s p o lie d ro s . ¿Se p u e d e n u n ir e s to s d o s p o lie d ro s p a ra fo r m a r un a p irá m id e ? (A l d ib u ja r la fig u ra , a s e g ú re s e d e q u e el p o líg o n o 1 s e a un c u a d ra d o y d e q u e lo s p o líg o n o s 2 y 3, ju n to s , fo rm e n u n h e x á g o n o re g u la r.)

12.1

12. Las bases de estas dos pirám ides tienen áreas iguales. ¿Q ué relación existe en tre sus volúmenes?


451

13. E stas dos pirám ides tienen a ltu ra s iguales y bases cuadradas. ¿Q ué relación existe entre sus volúmenes?

14. ¿Cuál es el á re a de la sección transversal A de esta pirám ide? 15. ¿Cuál es el volum en de la porción

so m breada de esta pirám ide? 16. ¿Cuál es el volum en de un o ctaed ro regular

cuyas aristas m iden 3 de longitud? 17. U n a represa está situ ad a a lo larg o de un lado

de u n estacionam iento de vehículos. L a represa em pieza en el p u n to A y se hace m ás profunda a m edida que au m en ta su anchura. El bord e superior BC de la p a rte m ás p ro fu n d a m ide 8 m etros de ancho. El p u n to B está a 40 m etros de A . El p u n to D, el m ás profundo, está 1.5 m etro s p o r debajo de BC. E n D hay un desagüe que d re n a 50 litros p o r m inuto. D ad o que un m etro cúbico tiene 1000 litros, ¿cuántas h o ras ta rd a rá en vaciarse la represa si está llena? (Supóngase que A B C D es u n a pirám ide.)

octaedro regular

_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS___ M u c h o s d ib u jo s en c o p ia s h e lio g rá fic a s m u e s tra n la p a rte s u p e rio r, un la d o y el fre n te d e lo s o b je to s . O b s é rv e s e q u e la s lin e a s p u n te a d a s m u e s tra n c o rte s q ue n o e stá n a la v is ta . B o s q u é je n s e d o s « c o rte s d e b lo q u e s » q u e te n g a n las v is ta s s u p e rio r y fro n ta l ig u a le s y d ife re n te v is ió n la te ra l.

parte superior

i i

J

lado O

---

frente

452

S ó lid o s

12.5 Area y volumen de cilindros M u c h o s o b je to s d e u s o c o r rie n te s o n eje m p lo s d e fo rm a s c ilin d ric a s. E s to s d ib u jo s m u e s tr a n a lg u n o s d e ellos. E n e s ta sec ció n se d e fin irá el c ilin d ro c irc u la r y se d e s c rib irá n fó rm u la s p a r a c a lc u la r s u á r e a y su v o lu m e n .

U n cilin d ro es c o m o u n p r is m a e n el s e n tid o d e q u e tie n e b a s e s c o n g ru e n te s e n u n p a r d e p la n o s p a ra le lo s . L a s b a s e s s o n re g io n e s c irc u la re s c o n g ru e n te s . E l s e g m e n to q u e u n e lo s c e n tr o s d e la s d o s b a se s se lla m a e je d el c ilin d ro . U n c ilin d ro es re c to si s u eje es p e r p e n d ic u la r a la s b a se s. L a a ltu ra d e l c ilin d ro es la lo n g itu d d e l eje.

U n c ilin d ro p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n p ris m a c o n u n n ú m e r o in fin ito d e la d o s . L a s u p e rfic ie la te r a l y la c irc u n fe re n c ia d e la s b a se s d e u n c ilin d ro c o rre s p o n d e n , re s p e c tiv a m e n te , a la s c a r a s la te ra le s y a l p e rím e tro d e u n p rism a .

c a ra s late ra les

N.

p i» ^

p e rím e tro

12.5

A re a y v o lu m e n d e c ilin d ro s

L o s d o s te o r e m a s sig u ie n te s d e s c rib e n el á r e a y el v o lu m e n d e u n cilin d ro c ir c u la r re c to .

Teorema 12.8

D a d o u n c ilin d ro c ir c u la r re c to d e a ltu r a h , si la c irc u n fe re n c ia d e la b a s e es C y el á r e a d e la b a s e e s B , el á r e a S e s tá d a d a p o r la fó rm u la S = C h + 2 B = 2 n rh + 2 n r 2.

Teorema 12.9

D a d o u n c ilin d r o c ir c u la r re c to c o n á r e a d e la b a s e B y a lt u r a h , s u v o lu m e n e s tá d a d o p o r la fó rm u la V = B h = n r 2h.

Ejemplo 1 U n re c ip ie n te c o n fo r m a d e c ilin d ro c irc u la r re c to m id e 35 cm d e a l t u r a y 16 c m d e d iá m e tro . E n c u é n tre n s e el á r e a y el v o lu m e n .

35 c m

.9 = 2 tt(8) • 35 + 2 tt(8)2 = 560tt + 128 tt =

68877-

8 era.

c m 2.

V = tt(8)2 • 35 = 2 2 4 0 tt c m 3.

■16 c m ■

Ejemplo 2 Si el r a d io y la a l t u r a d e u n c ilin d ro se d u p lic a n , ¿en c u á n to c a m b ia n s u á r e a y su v o lu m e n ? S (c ilin d ro g ra n d e ) = 2 n (2 r)(2 h ) -+- 2-n(2r)2 = A ^ r h ) + 4(27rr2) = 4 5 (c ilin d ro p e q u e ñ o ). F (c ilin d r o g ra n d e ) = rr(2r)2(2h) = 8777- ^ = 8 V (c ilin d ro p e q u e ñ o ).

2 r

453

454

S ó lid o s

EJERCICIOS A. E ncuéntrense el á rea y el volum en de los cilindros de los ejercicios 1 1.

a 3.

2.

d 35

4 es e ? !0 d í ¡t° f “ f “ pies ti° °cúbicos ‘ ! ] piescontiene de a ltu rael’ydepósito? el ra d io * »» base 10 pies. ¿Cruantos 5. ¿C uántas y ard as cúbicas contiene el depósito del

B.

ejercicio 4?

6' H ? l C° IU^ índ- a de mármo1 m ide ^ Pies de altu ra y 80 cm npeso , ' 7de ?la :°f 1 1 m dC márm01 Pesa 300 k& encuéntrese el colum na. 7. El volum en de un cilindro circular recto es 972 c m 3. Si la altura es 12 cm, ¿cual es el rad io de la base? 8. L a razó n en tre los rad io s de dos cilindros circulares rectos de la m ism a altu ra es 2:1. ¿Cual es la razó n en tre los volúmenes de los dos cilindros?

ACTIVIDADES!

m a d e ra o c u a lq u ie r o tro m a te ria l q u e o c u p e p o r c o m p le to e s to s a g u je ro s y p u e d a p a s a r a tra v é s d e e llo s s in c a m b ia r de fo rm a .

12.5

9. En un cubo se c o rta un cilindro de 8 pulgadas de diám etro. L a arista del cubo tam bién m ide 8 pulgadas. E ncuéntrense el volum en y el á rea de este sólido hueco.

10. U n rectángulo de 4 x 7 se ro ta alred ed o r del lado largo p a ra g enerar un cilindro y se ro ta alred ed o r del lado corto, p a ra generar o tro cilindro. ¿Cuál es la ra z ó n e n tre los volúm enes de estos cilindros? 11. E n u n a caja se em b alan seis latas cilindricas. ¿C uál es la razón en tre el volum en de la caja y los volúm enes de las seis la ta s ju n tas? 12. E ncuéntrense el á rea y el volum en de esta pieza de acero.

_ SO LUCIO N D E PROBLEMASE n c u é n tre n s e el volum en y el á r e a d e e s ta pieza.

A re a y v o lu m e n d e c ilin d ro s

455

456

S ó lid o s

12.6 Area y volumen de conos L a fo r m a d e c o n o su e le e n c o n tr a rs e e n el m u n d o re a l c o m b in a d a c o n la fo r m a de c ilin d ro . P o r e je m p lo , la p u n ta d e u n lá p iz o la p u n ta d e u n a lfile r p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n c o n o m o n ta d o s o b r e u n c ilin d ro . U n n iñ o p u e d e c o n s tr u ir u n c a stillo d e a re n a c o m b in a n d o e s ta s fo rm a s.

vértice L a fig u ra defla d e r e c h a es u n cono c ircu la r m e to . T ie n e u n a b a se c irc u la r y u n vértice. S u e je es el s e g m e n to q u e u n e a l v é rtic e c o n el c e n tr o d e la b a se . E l c o n o se lla m a re c to p o r q u e el e je es p e r p e n d ic u la r a la b ase.

base

U n c o n o p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n a p ir á m id e c o n u n n ú m e r o in fin ito d e c a ra s la te ra le s . L a s u p e rfic ie la te r a l d e u n c o n o c o rre s p o n d e a la s c a ra s la te ra le s d e u n a p irá m id e . L a a l t u r a in c lin a d a ({) d e u n c o n o c o r r e s p o n d e a la a ltu r a in c lin a d a ( t ) d e u n a p irá m id e , y la c irc u n fe re n c ia (C ) d e la b a s e d e u n c o n o c o r r e s p o n d e a l p e r ím e tr o (p) d e la b a s e d e la p irá m id e .

a ltu r a in c lin a d

12.6

A re a y v o lu m e n d e c o n o s

El te o r e m a s ig u ie n te d e s c rib e el á r e a d e u n c o n o .

Teorema 12.10

D a d o u n c o n o c irc u la r recto c o n a ltu ra in clin ad a C, si la circunferencia d e su base es C y el á re a de la b ase B , en to n ces el á re a S e stá d a d a p o r la fó rm u la S = C + B = n rí + nrz.

nrí á re a late ra l b a se

L a fó rm u la d e l v o lu m e n d a d a e n el s ig u ie n te te o r e m a es sim ila r a la f ó rm u la p a r a el v o lu m e n d e u n a p irá m id e .

Teorema

12 .11

D a d o u n c o n o c ir c u la r re c to c o n a l t u r a h y á r e a d e la b a se B , e l v o lu m e n e s tá d a d o p o r la f ó rm u la

V = %hB = %nr2h

Ejemplo U n c o n o c ir c u la r r e c to tie n e a l t u r a 15 y ra d io d e la b a s e 8. E n c u é n tr e n s e la a ltu r a in c lin a d a , el á r e a y el v o lu m e n . a. a ltu r a in c lin a d a :

t 2 = 64 + 225 = 289. i = 17. b. S = tt(8X 17) + 7r64 = 2007?.

c. V — ^tt(8)215 = 320tt.

457

458

S ó lid o s

EJERCICIOS E n los ejercicios 1 a 3, encuéntrense el volum en y el á rea de ca d a uno de los conos rectos. 3.

4. El radio de un co n o es 5 cm, y su altu ra, 12 cm. E ncuéntrense el área y el volum en. 5. Si el volum en de un cono es 72 n, encuéntrense la a ltu ra y el ra d io si son iguales.

B. 6. U n recipiente está form ad o p o r un cilindro circular recto de 4 cm de diám etro y 8 cm de a ltu ra , y un cono de 6 cm de altu ra. E ncuéntrese el volum en del recipiente.

(E je rcic io s

7. E ncuéntrese el á rea del recipiente. 8. E ncuéntrese el volum en de este trom po. 9. E ncuéntrese el á rea de este trom po. 10. U n a pila de a re n a tiene form a d e cono. ¿C uántas yardas cúbicas de aren a h ay en él? (P ara grandes cantidades de a re n a se em plea la y a rd a cúbica.)

ACTIVIDADES! C o n s trú y a n s e o c o n s íg a n s e m o d e lo s d e c o n o y c ilin d r o s in u n a ta p a , q u e te n g a n el m is m o ra d io y la m is m a a ltu ra . L lé n e s e el c o n o co n a re n a y lu e g o v a c íe s e la a re n a en e l c ilin d ro . ¿C uá ntos c o n o s d e a re n a s e re q u ie re n p a ra lle n a r e l c ilin d ro ?

■ - ■ (E je rcic io s 8 , 9)

6

, 7)

12.6 11. ¿C uántas pulgadas cúbicas de grafito hay en la

A re a y v o lu m e n d e c o n o s

0.1 2 5 " d iá m e tro

p u n ta afilada de este lápiz? (Em pléese una calculadora.) 0.25

12. E ste sólido está form ado p o r un cono co rtad o o tru n ca d o por un p lan o p aralelo a la base del cono. E ncuéntrense el volum en y el área. (Sugerencia: Em pléense triángulos sem ejantes para e n co n trar la altu ra del cono original.) 13. L os catetos de u n trián g u lo rectángulo

tienen longitudes 2 y 3. Al ro ta r los triángulos sobre sus lados co rto s y largos, se form an conos. E ncuéntrese la razó n en tre los volúm enes y la razón en tre las áreas de am bos sólidos. 14. E ste sólido se form a co rta n d o un cono con un p lan o p aralelo a la base y luego p erfo ran d o la p a rte superior en form a de cono. E ncuéntrese el volum en de este sólido.

:ti

_ SOLUCION D E PROBLEMAS R elaciónense co rrectam en te los o bjetos del co njun to 1 con su v isió n (s u p e rio r o lateral) del conjunto 2.

C o n ju n to 1

C o n ju n to 2

1

1 liijii

.i: ;■ .iiff.

£

459

460

S ó lid o s

12.7 Area y volumen de esferas E n e s ta s e c c ió n , se e s tu d ia r á n la s fó rm u la s p a r a el v o lu m e n y el á r e a d e u n a esfera.

m áx im o

E l p u n t o O d a d o es el c e n tro d e la esfera. U n radio d e u n a e sfe ra es u n se g m e n to d e te r m in a d o p o r el c e n tr o y u n p u n t o s o b r e la esfera. L a in te rs e c c ió n d e u n a esfera y u n p la n o q u e c o n tie n e a l c e n tr o d e la e sfe ra es u n c írcu lo m á x im o d e la esfera.

D e fin ició n1 2 .6 U n a esfera es el co njunto de to d o s los p u n to s que están a u n a distancia d a d a de un p u n to dado.

L a e x p lic a c ió n d e la fó r m u la d el te o r e m a 12.12 e s tá b a s a d a e n u n a c o m p a r a c ió n e n tr e u n a e sfe ra y u n c ilin d ro a l q u e se le h a p e rfo r a d o u n c o n o d o b le . L o s r a d io s d e la e sfe ra y d e l c ilin d ro s o n ig u a le s. L a a ltu r a d e l c ilin d ro e s el d o b le d e l ra d io .

Teorema 12.12

D a d a u n a e s fe ra d e r a d io r, e l v o lu m e n s e e n c u e n tr a c o n la fó rm u la V =

ir 3.

12.7

A re a y v o lu m e n d e e s fe ra s

C o n s id é re s e u n a se c c ió n tr a n s v e r s a l d e la e sfera y d e l c ilin d ro p e rfo ra d o q u e e s tá a u n a d is ta n c ia b d e l c e n tr o d e la esfera. Se tie n e p o r el te o re m a de P itá g o r a s q u e la d is ta n c ia a e n la fig u ra es a 2 = r 2 — b2.

B E l triá n g u lo e n r o jo e s isósceles

C o m p á re n s e la s á r e a s d e la s d o s se c c io n e s tra n sv e rsa le s.

A rea = -rrá2.

A re a = wr2 — iib 2 = ^ ( r 2 - b2) — 'na2.

D a d o q u e la s á r e a s d e la s d o s se c c io n e s tra n s v e rs a le s s o n ig u a le s, p o r el p r in c ip io d e C a v a lie ri (p á g . 445) se c o n c lu y e q u e el v o lu m e n d e la e sfe ra A es ig u a l a l v o lu m e n d e l s ó lid o B e n el q u e se p e r f o r a r o n d o s co n o s. E l v o lu m e n d el s ó lid o B p u e d e c a lc u la rs e c o m o : ■J7r2(2 r) — 2( | ttr 2)(r) = 2 ttr 3 — fw r3 =

r r 3.

E n to n c e s , el v o lu m e n d e la e sfe ra A c o n ra d io r ta m b ié n es f n r 3. E l te o r e m a 12.13 d a u n a f ó rm u la p a r a el á re a d e u n a esfera.

Teorema

12.13

D a d a u n a e s fe ra d e r a d io r, el á r e a S s e e n c u e n tr a c o n la fó r m u la

S = 47tr2.

461

462

S ó lid o s

EJERCICIOS 1. E ncuéntrese el volum en de una esfera de rad io 9 cm. 2. E ncuéntrese el á rea de una esfera de ra d io 9 cm. 3. E ncuéntrese el volum en de u n a esfera de rad io 2n. 4. E ncuéntrese el área de una esfera de ra d io 2n.

5. Si el á rea de u n a esfera es 36n, encuéntrese el radio.

6. Si el volum en de u n a esfera es 36n, encuéntrese el radio. 7. Si el á rea de u n a esfera es 87c, encuéntrese el radio. 8. Si el volum en de u n a esfera es 47 1 ^3 , encuéntrese el radio.

E n los ejercicios 9 y 10, supóngase que el sólido de la derecha es un cilindro recto ta p a d o con dos semiesferas. 9. E ncuéntrese el volum en del sólido que se m uestra. 10. E ncuéntrese el á rea del sólido que se m uestra. 11. E ncuéntrese el volum en de una esfera cuya á rea es 144n unidades cuadradas. 12. E ncuéntrese el á rea de u n a esfera cuyo volum en es 367t unidades cúbicas. 13. Si el n ú m ero de pies cu ad rad o s del á rea de u n a esfera es igual al núm ero de pies cúbicos del volum en, ¿cuál es el rad io de la esfera?

ACTIVIDADES— C o n s íg a s e un re c ip ie n te s e m ie s fé ric o y o tro c ilin d ric o ; e l d iá m e tro d e la b a s e del c ilin d r o y su a ltu ra so n ig u a le s a l d iá m e tro d e la e s fe ra . C on a re n a u o tro m a te ria l, m íd a s e c u á n to s re c i p ie n te s s e m ie s fé ric o s se n e c e s ita n p a ra lle n a r el c ilin d ro .

12.7

A re a y v o lu m e n d e e s fe ra s

14. El ra d io de u n a esfera es el doble que el ra d io de otra. ¿Cuáles son las razones en tre sus volúm enes y entre sus áreas?

C. 15. U n a esfera está inscrita en un cilindro. M uéstrese que el área de la esfera es igual al á rea lateral del cilindro. 16. U n dep ó sito esférico cuyo ra d io a la superficie exterior es 15 pies, está hecho de acero de \ p u lg a d a de ancho. ¿ C u á n to s pies cúbicos de acero se usaron en la construcción del depósito? 17. U n cono tiene u n a altu ra igual al d o b le de su radio. U na esfera tiene un ra d io igual al ra d io de la base del cono. ¿C uál es la relación en tre el volum en del co n o y el volum en de la esfera? 18. L a T ie rra n o tiene form a esférica perfecta, sino que es u n esferoide oblato. D eterm ínese el radio prom edio de la T ierra si se sabe que el radio p o la r es 6357 km y que el rad io ecuatorial es 6378 km. Supóngase que la T ierra es u n a esfera perfecta y determ ínense su volum en y su área.

C ircu n feren cia p o la r C ircu n feren cia m ed ia

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS S i s e c o rta u na e s fe ra co n un p la n o , s e o b tie n e u n a p o rc ió n de e lla co n b a s e c irc u la r. H e c h o : Si e l ra d io d e e s ta b a se c ir c u la r e s r , y su a ltu ra h, e n to n c e s e l v o lu m e n d e e s te c a s q u e te s ó lid o es V = % ir\h + -frih3. S i se p e rfo ra un a g u je ro d e 3 c m d e ra d io en el c e n tro de u n a e s fe ra c o n ra d io 9 c m , e n c u é n tre s e el v o lu m e n de e s te s ó lid o .

463

464

S ó lid o s

12.8 Poliedros regulares A lg u n o s m in e ra le s y e s q u e le to s d e p e q u e ñ a s c r ia tu r a s m a r in a s s o n m o d e lo s d e lo s s ó lid o s q u e se e s tu d ia r á n e n e s ta sección. E s to s s ó lid o s se d e n o m in a n p o lie d ro s.

Definición 12.7 U n poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares con el m ism o núm ero de aristas y cuyos vértices están rodeados, todos y cada uno, p o r el m ism o n ú m ero de caras.

U n c u b o es u n e je m p lo d e p o lie d r o re g u la r. E l m é to d o d e s c rito a c o n tin u a c ió n p a r a c o n s tr u ir u n c u b o p o r m e d io d e la c o n s tru c c ió n d e u n « te ja d o » e s ilu s tr a tiv o p a r a e l a n á lisis d e l s ig u ie n te te o re m a .

R o d é e s e u n v é rtic e V c o n tre s c u a d r a d o s .

Teorema 12.14

D ó b le s e , ú n a n s e A y B p a r a f o r m a r u n « te ja d o » trid im e n s io n a l.

U n a n s e d o s « te ja d o s » p a r a f o r m a r u n cu b o .

H a y ex a ctam en te cinco p o lied ro s re g u lares q u e son sólidos convexos.

12.8

P o lie d ro s re g u la re s

L a ta b la s ig u ie n te re s u m e lo s c in c o p o lie d ro s re g u la re s c o n v e x o s. S ó lo p u e d e n c o n s tr u ir s e c in c o tip o s d e « te ja d o s » c o n p o líg o n o s re g u la re s , r e s u lta n d o d e c a d a u n o u n p o lie d r o re g u la r.

C a ra del p o líg o n o

N ú m e ro d e c a ra s e n u n v é rtice (V )

E l « te ja d o » c o in c id e c o n c a d a v é rtice d e u n p o lie d ro re g u la r c o m p le to

U n ió n d e A V y B V p a r a fo rm a r u n « te ja d o » trid im e n s io n a l

tria n g u lo e q u ilá te ro A ,B

te tr a e d r o re g u la r

triá n g u lo e q u ilá te ro A ,B

o c ta e d r o re g u la r

triá n g u lo e q u ilá te ro A ,B ic o s a e d ro re g u la r

c u ad ra d o

V

B cubo

p e n tá g o n o re g u la r

K i\

'iA ,B d o d e c a e d ro re g u la r

E l p re fijo q u e se e m p le a e n e l n o m b r e d e c a d a p o lie d ro r e g u la r in d ic a el n ú m e r o d e c a r a s q u e tie n e . E s ta in fo rm a c ió n se re su m e e n la sig u ie n te ta b la . N o m b re d el p o lie d ro

P re fijo y s u sig n ificad o

N ú m e ro d e c a ra s

te tra e d ro

te tra -4

4

c u b o (hex aed ro )

h exa-6

o c ta e d ro

o c ta -8

d o d e c a e d ro

d o d e c a -1 2

ic o s a e d ro

ico sa-2 0

6 8 12 20

465

466

S ó lid o s

EJERCICIOS______________ A. 1. C ítense tres poliedros regulares cuyas caras sean triángulos equiláteros.

2. ¿Q ué poliedro regular tiene 20 caras?

3. ¿ P o r qué un hexágono regular no puede ser la c ara de un poliedro regular?

4. ¿P o r qué no puede h a b er seis caras en un vértice de u n poliedro regular?

5. ¿Q ué poliedro regular es u n a pirám ide?

6. ¿Q ué poliedro regular es u n prism a?

B. Em pléese cartulina p a ra co n stru ir u n m odelo de cada poliedro regular. L os m odelos que se m u estran a contin uación deben am pliarse. C órtese p o r las líneas contin u as y dóblese p o r las de puntos. 7. T etraedro

ACTIVIDADES

1. R e c ó rte n se e n c a rtu lin a d o s m o d e lo s g ra n d e s co m o el q u e s e m u e s tra arrib a. 2. H á g a se un d o b le z a lo la rg o d e ABCDE. 3. C o ló q u e s e un m o d elo s o b re el o tro g ira n d o 36°. S in s o lta rlo s, p á s e s e u n a cin ta e lá s tic a a lte rn a tiv a m e n te p o r a rrib a y p o r a b a jo d e c a d a e sq u in a . 4. Al le v a n ta r la m an o , s e v e rá un d o d e c a e d ro .

9. O ctaed ro

12.8

P o lie d ro s re g u la re s

11. Icosaedro

10. D odecaedro

c. El núm ero de caras (F), el n ú m ero de aristas (E) y el núm ero de vértices (K) de un poliedro satisfacen u n a de las fórm ulas que aparecen a continuación. 12. ¿Q ué fórm ula corresponde a un tetraed ro regular? ¿Q ué fórm ula corresponde a un o ctaed ro regular? a . F + E + V = 26.

b. F -

V + E = 10.

c. F - E + V = 2 .

d . F - E + V = 0 .

L a respuesta co rrecta a este ejercicio se llam a fórm ula de Euler. ¿P a ra cuáles de estos p o liedros es válida la fórm ula de Euler? 13.

_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS S ean: F e l n ú m e ro d e c a ra s d e u n p o lie d ro , £ e l n ú m e ro d e a ris ta s d e un p o lie d ro y V e l n ú m e ro d e v é rtic e s d e un p o lie d ro . F x (n ú m e ro d e a ris ta s p o r c a ra ) = 2£, p o rq u e c a d a a ris ta d e un p o lie d ro e s la a ris ta d e dos c a ra s . 1. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un o c ta e d ro re g u la r? 2. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un d o d e c a e d ro re g u la r? 3. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un ic o s a e d ro re g u la r?

4 . En un d o d e c a e d ro re g u la r, F x (n ú m e ro d e v é rtic e s /c a ra ) = 3V, p o rq u e c a d a v é rtic e d e un d o d e c a e d ro re g u la r e s el v é rtic e d e tre s c a ra s . ¿ C u á n to s v é rtic e s tie n e u n d o d e c a e d ro re g u la r?

467

468

S ó lid o s

Capitulo 1 2 Conceptos importantes Términos P olied ro (pág. 434) P irám id e (pág. 434) P rism a (pág. 435) Sólido rectan g u lar (pág. 444) Sección transversal (pág. 445)

C ilindro circular (pág. 452) C ono circular recto (pág. 456) Esfera (pág. 460) P oliedro regular (pág. 464)

Postulados P o stu lad o del volum en (pág. 444) P o stu lad o del volum en de u n sólido rectan g u lar (pág. 444) P o stu lad o de la sum a de volúm enes (pág. 445) P o stu lad o de C avalieri (pág. 445)

Teoremas 12.1

L as aristas laterales de un p rism a son paralelas y congruentes. 12.2 D a d o u n prism a con caras laterales rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h y las bases tienen un á rea B y un p erím etro p, entonces el área S se en cu en tra con la fórm ula S = hp + 2B. 12.3 D a d a u n a pirám ide regular con altu ra inclinada í y una base con á rea B y p erím etro p, el á rea S se en cu en tra con la fórm ula S = :¿ tp + B. 12.4 El volum en de un prism a cualquiera es el p ro d u cto de la a ltu ra p o r el área de la base. 12.5 D a d a u n a pirám ide con base B y altu ra h, si A es una sección transversal paralela a la base y la d istan cia desde el vértice a la sección transversal es K , entonces á rea A

( K N2

á rea B 12.6 12.7

D o s pirám ides con altu ras iguales y bases de igual área, tienen el m ism o volumen. D a d a una pirám ide de a ltu ra h y á re a de la base B, el volum en se en cuentra co n la fórm u la V = ^ hB.

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12 12.13 12.14

D a d o u n cilindro circular recto con altu ra h, si la circunferencia de la base es C y el á rea de la base es B, el área se encuentra con la fórm ula S = Ch + 2B = = 2nrh + 2n r2. D ado u n cilindro circular recto con área de la base B y a ltu ra h, el volum en se encuentra con la fórm ula V = Bh = nr2h. D ad o un cono circular recto con altu ra inclinada í , si la circunferencia de la base es C y el á rea de la base B, entonces el área S se encuentra co n la fórm ula S = C + B = n r t + nr2. D ad o u n co n o circular recto con a ltu ra h y área de la base B, el volum en está dado p o r la fórm ula V = %Bh - %nr2h. D a d a u n a esfera de radio r, el volum en se encuentra con la fórm ula V — § nr3. D a d a u n a esfera con rad io r, el área S se encuentra con la fórm ula S = 4nr2. H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidos convexos.

Capítulo 12 Resumen 1. E ncuéntrense el área y el volum en de un cubo con aristas de 4 cm. 2. E ncuéntrense las áreas de la pirám ide y del prism a regulares que se m uestran a continuación.

1

b.

A B — 10 cm, C D = 6 cm.

B C = 6 cm , CD — 2 cm.

3. E ncuéntrense los volúm enes de la p irám id e y el prism a regulares.

b.

V M = 8 cm, A B = 5 cm.

P Q = 8 cm, CD = 4 cm.

4. ¿C uántos centím etros cu ad rad o s de papel se necesitan p a ra una etiq u eta de u n a la ta cilindrica de 10 cm de a ltu ra y base circular de 6 cm de diám etro? 5. E ncuéntrese el volum en de la la ta cilindrica del ejercicio 4. 6. El volum en de un cilindro circular recto es 1607T. Si la a ltu ra es 10, ¿cuál es el d iám etro de la base? 7. E ncuéntrese el volum en del cono circular, d o nde PA = 12 cm y A B = 3 cm. 8. Si la a ltu ra de un cono circular recto se duplica, ¿cóm o afecta esto al volum en? 9. U n a esfera tiene u n volum en de 36n cm 3. ¿C uál es su radio? 10. E ncuéntrese el área de u n a esfera con radio 10 cm.

470

S ólidos

Capítulo 12 Examen 1. ¿C uántos cubos con aristas de 2 cm pueden colocarse den tro de u n a caja de dim ensiones 3 cm x 10 cm x 16 cm? 2. Encuétrese la d iagonal de un cubo con aristas de 1 cm de longitud. 3. E ncuéntrense las áreas de la pirám ide regular y el cilindro circular recto siguientes. a.

A

3cm

b.

6 cm

A B = 6 cm , C D = 2 cm. 4. E ncuéntrense los volúm enes del prism a y de la pirám ide con base trapecial siguientes.

b.

a.

A B = 4 cm, A C = 6 cm, B D = 12 cm.

A B = 4 cm, D C = 3 cm, F E = 5 cm.

5. ¿C uántos centím etros cúbicos de líquido p o d rían caber en un cono circular recto si su a ltu ra es 8 cm y el ra d io de su base es 3 cm? 6. E ncuéntrese el á rea de un cono circular recto si la base tiene radio 2 cm y su altu ra es 6 cm. 7. E ncuéntrese el volum en del cono descrito en el ejercicio 6. 8. E ncuéntrese el volum en de una esfera de rad io 3 cm. 9. E ncuéntrese el ra d io de una esfera si su volum en es 22871 cm 3. 10. ¿C óm o afecta al área de u n a esfera la duplicación del diám etro? 11. ¿C óm o afecta al volum en de u n a esfera la duplicación del radio?

(Ejercicios 5-7)

Técnicas para la solución de problemas H ágase u n d ibujo preciso En ocasiones, la respuesta a un p ro b lem a puede encontrarse haciendo un dibujo preciso o un dibujo a escala. E stúdiese el ejem plo que se presenta a continuación, en el cual se em plea un d ibujo a escala p a ra la solución.

Elemplo

Partida

U n a m esa de b illar de 8 pies p o r 12 pies, tiene u n a bola en u n a esquina. Supóngase que se golpea la bola y que ésta se desplaza form ando u n ángulo de 45° c o n u n a b an d a de la m esa. E ntonces, la bola reb o ta y se desplaza en o tro áng u lo de 45° b asta llegar a o tra b a n d a y re b o ta r de nuevo. ¿C uántas veces golpeará la b o la las b a n d a s antes de llegar a u n a esquina? E l d ibujo a escala m uestra que la b o la g olpeará tres veces.

3 golpes

2 golpes

Escala: ycm = 1 pie

PROBLEMAS Empléese un d ibujo preciso o u n o a escala p a ra resolver los problem as siguientes. 1. Supóngase que u n a b o la se desplaza com o se describió en el ejem plo anterior, p ero en u n a m esa de 8 pies p o r 10 pies. ¿C uántas veces g olpeará la b o la las b an d as antes de llegar a una esquina? 2. R espóndase a la m ism a p re g u n ta p a ra u n a m esa de 6 3. O es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lad o s de A A B C , G es la intersección de las m edianas y H es la intersección de las alturas. O bsérvese que O, G y H son colineales. ¿Q ué fracción de O H es OG? Inténtese con varios triángulos. 4. U n p ilo to de u n a avioneta m antiene una velocidad constante de 120 m.p.h. V iaja hacia el n o rte 30 m inutos y h acia el noreste 10 m inutos, luego h acia el sureste 45 m inutos y, finalm ente, hacia el suroeste 30 m inutos. U n a vez en ese lugar, ¿cuánto tiem po te n d rá que volar p a ra volver directam ente a su p u n to de partida?

471

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Navegación V iajar en un b a rc o de recreo puede resultar u n a form a au d az de conocer el m undo. P ero alguien de a b o rd o tiene que saber navegar.

E n térm inos generales, navegar significa saber e n co n trar el cam ino p a ra ir de u n lad o a o tro y saber d ó n d e se está en cada m om ento. U n piloto náutico debe conocer siem pre la ubicación de la nave, la dirección en que viaja y la distancia recorrida. D os instru m en to s necesarios p a ra un navegante son la b rú ju la y las cartas náuticas. L as cartas n áuticas son m ap as a escala de las zonas m arin as y contienen inform ación sobre la profu n d id ad de las aguas, la ubicación de puertos y señales, y to d a clase de peligros p a ra la navegación de la zona.

Dos técnicas de ravegael&n D eterm inación de la posición de u n b arco o bservando un objeto, P a ra d eterm inar la posición de u n barco, a veces es útil en co n trar la distancia D del barco a u n o bjeto observado. (Fig. 1). 472

M ientras el b arco navega en la dirección í \ P 2, ?e observa el faro desde P l . D espués, cu an d o el ángulo visual se h a duplicado, la observación se hace desde P 2. La distancia, d, que recorre el barco de a P 2 se calcula p o r m edio de la velocidad y el tiem po. L a distancia b u scada D es igual a d. ¿ P o r qué es cierto esto? ¿Q ué teorem a o teorem as se em plearon?

D eterm inación d e la posición de u n barco o b servando tres objetos. P a ra d eterm in ar la posición de u n barco, un piloto observa tres objetos reales representados p o r A , B y C en u n a c a rta n áu tic a (Fig. 2). Entonces, el p ilo to m ide los ángulos en tre las líneas de visión. Las líneas que p arten del p u n to P y m u estran estos ángulos, se d ib u jan en una ho ja de plástico rojo. Al colocar la h o ja de plástico sobre la carta, de form a que las rectas pasen p o r A, B y C, la posición del b arco está indicada p o r el p u n to P.

Figura 2

U .S. D ept, o f Com m erce

Sin em bargo, el m étodo que se a cab a de describir n o funcionará cu an d o P está en un círculo que contenga a A , B y C. E n esta figura, p o r ejem plo, el b arco p o d ría e sta r en el círculo en la posición R , en la S o en otra. ¿Q ué teorem a puede usarse p a ra d em o strar que esto es verdad?

473

C A P IT U LO

13.1

R e fle x io n e s s o b r e r e c ta s

13.2

U s o d e la s r e f le x io n e s s o b r e re c ta s

476

e n la s o lu c ió n d e p r o b le m a s

13.3

T r a s la c io n e s

13.4

R o ta c io n e s

13.5

S im e tr ia

480

484 488

494


498

R esum en

T é c n ic a s p a r a la s o lu c ió n d e p r o b le m a s E x a m e n d e c a s o s e s p e c ia le s

501

499

E xam en

500

T ransformaciones y simetría

475

476

T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría

13.1 Reflexiones sobre rectas L a p a l a b r a tra n sfo rm a c ió n im p lic a q u e u n o b je to c a m b ia d e a lg u n a m a n e ra . E n u n a tr a n s fo r m a c ió n g e o m é tric a , h a y q u e te n e r en c u e n ta tr e s p u n to s : 1. la fig u r a o rig in a l, 2. u n a re g la u o p e r a c ió n q u e d e s c r ib a el c a m b io , y 3. la fig u ra q u e r e s u lta d e s p u é s d e l c a m b io . E l o b je to a n te s d e l c a m b io se lla m a p reim a g en , y d e s p u é s d e l c a m b io , im agen. E n e ste c a p ítu lo , se e s tu d ia r á n lo s tre s tip o s d e tr a n s f o r m a c io n e s d e n o m in a d o s re fle x io n e s so b re recta s, tra sla c io n e s y ro ta cio n es. L a p r im e r a d e e s ta s tra n s fo rm a c io n e s , la re fle x ió n s o b r e re c ta s , p u e d e d e s c rib irs e u tiliz a n d o u n a h o j a d e p lá stic o . S u p ó n g a s e q u e se c o lo c a u n a h o ja de p lá s tic o s o b r e u n a r e c ta t c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra . L o s p u n t o s A ' y B ’ s o n la s im á g e n e s re fle ja d a s d e A y B.

O b s é rv e s e q u e t es la b is e c triz p e r p e n d i c u l a r d e A A ‘ y B B ’. E s to es v á lid o p a r a c u a lq u ie r se g m e n to q u e u n a a u n p u n to c o n su im a g e n re fle ja d a. D a d o q u e e l p u n to C e s tá s o b re l a r e c ta l , e s su p r o p ia im a g e n .

Definición 13.1 En un plan o , u n a reflexión sobre la recta t es u n a transform ación que representa ca d a p u n to P del p lan o en el p u n to P ' com o sigue: a. Si P está sobre l , P ' = P.

b. Si P n o está sobre t , entonces t es la bisectriz perpendicular de PP'. P ' es la imagen de P ' y P es la preimagen de P'.

13.1


C u a n d o c a d a p u n t o d e u n a fig u ra se re fle ja s o b re u n a r e c ta ( , el c o n ju n to d e to d o s lo s p u n to s d e la im a g e n ¡form an u n a fig u ra q u e es la im a g e n re fle ja d a d e la fig u ra . A c o n tin u a c ió n se m u e s tr a n d o s e jem p lo s.

a

B

U n a le tr a « B » y s u re fle x ió n s o b re la r e c ta í .

H H U n a le tr a « H » y su re fle x ió n s o b re la re c ta l .

L a tr a n s f o r m a c ió n lla m a d a re fle x ió n s o b r e u n a re c ta s a tisfa c e v a ria s p r o p ie d a d e s im p o r ta n te s , c o m o e s ta b le c e el te o r e m a sig u ien te.

Teorema 13.1 '

-

*,yr *■ Cl :

T••

D a d a u n a re fle x ió n s o b r e u n a rec ta: a . la im a g e n re fle ja d a d e u n s e g m e n to e s u n s e g m e n to d e ig u a l lo n g itu d ;

b. la

im a g e n re fle ja d a d e u n á n g u lo es u n á n g u lo d e ig u a l m e d id a .

A c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta u n p la n p a r a p r o b a r e l a p a r t a d o a d e l te o r e m a 13.1. PRUEBA

A B es la im a g e n re fle ja d a d e A 'B '. P ru é b e se : A B = A 'B ' P la n : ___l es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r de A A ' y B B '. D ib ú je n s e lo s s e g m e n to s a u x ilia re s A N y A ’N ' y e m p lé e n s e lo s triá n g u lo s c o n g ru e n te s. L a p r u e b a se d e ja c o m o ejercicio .

477

478


EJERCICIOS_________ A.

B

1. L a im agen a. de B es

c. de D es

reflejada

JL

sobre la recta

b.

de / es JL.

JL d.

de F es JL.

lJ.

D

H • G'

2.

T rácese la recta l y la figura roja. Em pléese un com pás o una h o ja de plástico p a ra co n stru ir la im agen reflejada de la figura ro ja a. b. A /

'A •B

/ W

'C

B

C opíense las siguientes figuras. Em pléese u n a hoja de plástico, papel vegetal o un com pás p a ra tra z a r con la m ayor precisión posible la im agen reflejada so b re la recta t de cada figura. 3.

4.

5.

ACTIVIDADES! C o n s íg a n s e un p a r d e e s p e jo s re c ta n g u la re s y ú n a n s e con c in ta a d h e s iv a . C on p a p e l c u a d ric u la d o y c a rtu lin a p u e d e n v e rs e d ife re n te s p o líg o n o s c a m b ia n d o e l á n g u lo 6 e n tre los e s p e jo s . P rim e ro , p é g u e s e u n a h o ja d e p a p e l c u a d ric u la d o a u n a h o ja d e c a rtu lin a o s c u ra . C o ló q u é n s e los e s p e jo s de m a n e ra q u e un o d e e llo s fo rm e un á n g u lo re c to co n u n a lín e a d e l p a p e l c u a d ric u la d o (v é a s e la fo to g ra fía ). P a ra fo r m a r d ife re n te s p o líg o n o s re g u la re s , m u é v a s e el o tro e s p e jo . E x p e rim é n te s e p a ra d e te rm in a r q u é v a lo re s d e 9 fo rm a rá n la fig u ra d e un p o líg o n o re g u la r. P o r e je m p lo , e n la fo to g ra fía s e fo rm a un triá n g u lo e q u ilá te ro . ¿C uál e s e l v a lo r d e 0? ¿Q ué v a lo re s d e d d a rá n un c u a d ra d o , un p e n tá g o n o re g u la r y u n h e x á g o n o re g u la r? ¿H ay a lg u n a re la c ió n e n tre e l á n g u lo 6 y el n ú m e ro d e la d o s?

. C •E

13.1


479

B. En los ejercicios 7 a 14 dibújese la figura dada. H ágase un bosquejo a m a n o alzada de la im agen reflejada de la figura d a d a sobre la recta l . Verifiqúese el resultado con un com pás, una h o ja de plástico o u n espejo. 7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

U

J

/

_

7

C. 15. L a ilustración m uestra u n a co nstrucción con un com pás de p u n tas fijas de la im agen reflejada de un p unto. Com o resultado de este m étodo, A P = P B = A P ' = B P '. ¿Cóm o se sabe que fe s la bisectriz p erpendicular de PP"!

B

X P'

16. D ibújese esta figura en la q u e A ' es la im agen reflejada de A . U sa n d o sólo una regla, constrúyase la reflexión del p u n to B.

(Ejercicio 15)

•A '

17. Form úlese u n a p ru e b a com pleta a dos colum nas que m uestre que la co nstrucción del ejercicio 16 es correcta.

B

18. Form úlese u n a p ru eb a a dos colum nas p a ra el teorem a 13.1. 19. Pruébese que un trián g u lo y su im agen reflejada son congruentes.

A (Ejercicio 16)

_ SOLUCION D E PROBLEMAS 1. D escífrese este m ensaje.

^

sa uunba raá

2. ¿Es co rrecta esta sum a?

-» A

3 tí. ¡ ti’

3 *°

480


13.2

uso de las reflexiones sobre rectas en la solución de problemas

L a s re fle x io n e s s o b r e r e c ta s p u e d e n e m p le a rs e p a r a re s o lv e r p r o b le m a s c o tid ia n o s . E n e s ta se c c ió n se in c lu y e n d o s e je m p lo s, u n o d e lo s c u a le s e s tá r e la c io n a d o c o n el ju e g o d e l b illa r. P r o b le m a 1 B o la o c h o

E n u n a m e s a d e _ b illa r, la b o la C se la n z a r á h a c ia la b a n d a A B d e m a n e r a q u e g o lp e e la b o la o c h o E . S i se s u p o n e q u e la b o la C n o tie n e r o ta c ió n , ¿ h a c ia q u é p u n t o d e A B d e b e d irig irs e la b o la C?

*E C (M in g o )

A

B

reflexión d e / la t r a y e c t o r i a ^ ^ re c ta /

S o lució n . L a r e s p u e s ta a e s te p r o b le m a c o n s id e r a el s ig u ie n te h e c h o . L a b o la re b o ta a lo la rg o d e u n a tra y e c to r ia que e s la re fle x ió n (en la b a n d a ) d e la tr a y e c to ria re c ta a l o tr o la d o d e la banda.

/

/

/

/

\

banda AB

\

\ \

Ny

P aso 1 Refléjese E sobre la recta A B p ara o btener el p u n to £ '.

tra y e c to ria recta a l o t r o la d o d e la b a n d a

\

P aso 2 D ibújese la recta CE'. Sea X el pun to d o n d e £ ¿ s' interseca a la banda. P aso 3 Al g olpear una bola sin ro tació n en el p u n to X , re b o ta rá y g olpeará a la bola o ch o E. ¿ P o r qué?

E /

c A

s

/ \

x

/

B

13.2

U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s e n la s o lu c ió n d e p ro b le m a s

E n el p r im e r p r o b le m a se u s ó la re fle x ió n s o b re u n a r e c ta p a r a d e te r m in a r la u b ic a c ió n d e u n p u n to q u e s a tisfic ie ra u n a c o n d ic ió n n e c e s a ria . E l s e g u n d o p r o b le m a ta m b ié n in c lu y e l a d e te r m in a c ió n d e la u b ic a c ió n d e u n p u n to . E n e l p r o b le m a 2, se u s a r á la d e fin ic ió n de « e n tre » p a r a p u n to s , a d e m á s d e la re fle x ió n s o b re u n a re c ta p a r a d e te r m in a r la u b ic a c ió n d e u n p u e n te q u e se v a a c o n s tru ir. i-iu a a a l.

Problema 2 D o s c iu d a d e s e s tá n lo c a liz a d a s e n el m is m o la d o d e u n río a tra v é s d e l c u a l se c o n s tr u ir á u n p u e n te . ¿ D ó n d e d e b e c o n s tr u ir s e el p u e n te (B) p a r a q u e la lo n g itu d d e la c a r r e te r a A B + B C s e a la m á s c o r ta p o sib le ?

•

/ / / / /

Ciudad A

■ 4 ^ ___ rio

S olució n P aso 1 Im agínese que el río es la recta t y refléjese el p u n to C sobre la recta i h asta el p u n to C'. P aso 2 P o r el teorem a 13.1 puede concluirse q ue B C = B C ‘. P o r tanto, AB + BC = AB + BC .

Paso 3 El cam ino m ás co rto en tre A y C ' es u n a línea recta. P o r tan to , p a ra que el cam ino A -B -C tenga la m enor longitud posible, el puente B debe construirse de m an era que A , B y C ' sean colineales.

\ \ \

481

482


EJERC IC IO S___________ A.

Punto Pi 1. C on u n a regla m ilim etrada, m ídanse las distancias de esta figura y anótense en una tab la com o la que se m u estra a continuación.

AP.

BP.

AP, + BP;

P, P2 P3 P< Ps

(E jercicio s 1, 2)

2. ¿C uál de los p u n to s P v P 2, P 3, P 4 o P 5 de la figura hace que AP¡ + P¡B sea un m ínim o?

B. 3. D ibújese la figura de u n a m esa de billar con la bola C y u n a segunda bola B. C om plétense las construcciones p a ra e n co n trar u n p u n to en ca d a una de las cu atro b an d as en el que debe re b o ta r la p rim era b o la p a ra g olpear a la segunda. (Sugerencia: refléjese B en los cuatro lados de la mesa.)

4. L a b o la C debe re b o ta r en una b an d a y golpear la bola 5 antes que a otra. D eterm ínese p o r m edio de una construcción la b a n d a y el p u n to de ésta d o n d e debe g olpear la b o la C.

13.2

U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s e n la s o lu c ió n d e p ro b le m a s

5. En esta figura se m uestran dos ciudades q u e están en el m ism o lado del río. D eterm ínese la posición B donde debe construirse u n p u en te p a ra que la longitud de la carretera A B + B C sea la mínima. Ciudad C • i 8 km ►í2 km Ciudad A« l I km no J ______

I

483

(Ejercicios 5, 6)

6. D espués de co n stru ir el p u n to B del ejercicio 5, em pléese el teorem a de P itág o ras p a ra calcular la longitud m ínim a de A B + BC. 7. S upóngase que u n a tray ecto ria de A a B debe to c a r prim ero la recta s y después la recta t. T rácese esta figura y construyanse los p u n to s X sobre s e Y sobre t p a ra que A X Y B sea la tray ecto ria m ás corta. (Sugerencia: Refléjese el p u n to A sobre la recta s y el p u n to B sobre la recta t.)

2 cm. 9 cm B ►í

8. Supóngase que la tray ecto ria de A a B debe to c ar prim ero la recta t y después la recta s. T rácese esta figura y construyanse los p u n to s X so b re t e Y sobre s de m anera que A Y X B sea la trayectoria m ás corta. ¿Q ué relación existe en tre la longitud de esta tray ecto ria y la longitud de la tray ecto ria del ejercicio 7? 9. L a figura siguiente ilustra la form a en que puede determ inarse un p u n to sobre la b a n d a E F hacia el que debe dirigirse la bola C p a ra que rebote en dos b an d as y golpee la bo la A. H

(Ejercicios 7,8)

G

A' Com plétese o tra construcción p a ra d eterm inar el p u n to sobre la b an d a G H hacia el q u e debe dirigirse la b o la p a ra que rebote en d os b an d as y golpee la bola A.

484


13.3 Traslaciones E s m u y c o m ú n e n c o n tr a r e s p e jo s e n la d e c o ra c ió n d e g r a n d e s a lm a c e n e s y s a lo n e s d e b e lle z a . E s to s n o s ó lo s o n im p o r ta n te s p a r a la d e c o ra c ió n , s in o ta m b ié n c o m o m e d id a d e se g u rid a d . E n o c a s io n e s , e s to s e s p e jo s e s tá n en p a re d e s o p u e s ta s d e u n s a ló n . E n la ilu s tr a c ió n , lo s e sp e jo s d e la p e lu q u e r ía h a n c o n s e g u id o u n e fe c to in te re s a n te .

E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n e s tá r e la c io n a d o c o n la re fle x ió n de u n a re fle x ió n . S in e m b a r g o , se e m p e z a r á c o n u n a d e fin ició n . D a d a u n a fle ch a A A ', im a g ín e s e q u e u n a fig u ra

D e fin ic ió n 1 3 .2 D a d a u n a flecha A A ¡ ,a

se d e sliz a e n la d ire c c ió n d e la fle c h a u n a d is ta n c ia A A ‘.

im agen trasladada de un p u n to P p a ra la flecha A A ' es el p u n to P', donde: a. A A ' = PP ', y b. las flechas A A ' y PP' tienen la m ism a dirección.

\

D

Im á g e n e s tr a s la d a d a s de lo s p u n to s P, C, D y d e l s e g m e n to CD.

Im a g e n tra s la d a d a

A B C D p a r a la flec h a X Y .

13.3

T ra s la c io n e s

485

Se p u e d e c o m p le ta r u n a tr a s la c ió n s ig u ie n d o u n a re flex ió n d e o tra . C o m p lé te s e e s ta c o n s tr u c c ió n d e c u a tr o p a s o s. Paso 2

P aso 1

Q'

Ô

!

K / ^

s P

/ /

3 cm

R

Empiécese con las rectas r y s , p aralelas y sep arad as 3 cm.

K R'

E ncuéntrese prim ero la reflexión de A P Q R sobre la recta r.

P aso 3

Paso 4

R'

E ncuéntrese la reflexión de A P 'Q 'R' so bre la recta s.

Teorema 13.2

D ibújese A P Q R y m uéstrese que puede trasladarse 6 cm en u n a dirección perpendicular a r y s, y que A PQ R 3 A P"Q"R".

Si la s re c ta s r y s s o n p a ra le la s , e n to n c e s u n a re fle x ió n s o b r e la r e c ta r, s e g u id a d e u n a refle x ió n s o b re la r e c ta s, es u n a tr a s la c ió n . A d e m á s, s i A " es la im a g e n d e A, e n to n c e s a. A A ' I r , b. A A " = 2 d, d o n d e d es la d is ta n c ia e n tre la s re c ta s r y s.

486


EJERCICIOS A. 1. P a ra la flecha de traslación X Y , la im agen tra sla d a d a de: a . C es _L.

b . E es _2_.

c. D es _L.

d . B es _L.

En los ejercicios 2 y 3, dibújese la figura sobre papel p u n to s o cuadriculado. D espués dibújese su im agen traslad ad a p ara la flecha X Y . 3.

B. 4. D ibújense un p a r de rectas paralelas y tres p u n to s A , B y C com o se m uestra en la figura. C onstrúyanse las imágenes de A, B y C p a ra la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q. L lám ase A", B" y C" a estos puntos. M ídanse A A", B B " y CC". Lléguese al convencim iento de que estos segm entos son paralelos y de igual longitud.

ACTIVIDADES! C ú b ra n s e la s c a r a s in te rio re s a n te rio r y p o ste rio r d e u n a caja, p re fe re n te m e n te con form a d e cubo, con e s p e jo s . C ú b ra n se la s o tra s c a r a s con cartu lin a n e g ra .

e s p e jo s

Con u n a c u e rd a , c u é lg u e s e un objeto d en tro d e la c a ja y m íre se d e n tro de e lla por e n c im a del b o rd e a n terio r. ¿Q ué s e ve?

¿Q u é relació n e x iste e n tre e s ta v ista y la ilu stración del principio d e la se c c ió n ?

y

*

/ /

5. T rácense un p a r de rectas paralelas p y q separadas 3 cm y dibújese A A B C com o se m uestra en la figura. C onstruyase la im agen de A ,4B C p ara la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q. 6. ¿Cuál de las flechas de esta figura describe la traslación que es la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta ql F lecha DE.

b.

Flecha FG.

c. F lecha H l.

d.

Flecha J K .

a.

7. E n esta figura, A D E F es la im agen tra sla d a d a de A A B C p a ra la traslación de la flecha X Y . a . T rácese la figura en una hoja de papel. b.

T rácese u n a recta p cualquiera p erpendicular a la recta X Y .

c. T rácese u n a recta q de reflexión sobre la recta reflexión sobre la recta traslación con la flecha

m an era que la p seguida de la q, sea la XY.

SO LUCIO N D E PROBLEMAS ¿Q ué tra c c ió n d e la reg ió n c u a d ra d a e s tá s o m b re a d a ? (S u p ó n g a se q u e el p ro c e so d e so m b re a d o c o n tin ú a indefin id am en te.)

488


13.4

Rotaciones

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»¡Estás despedido!»

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H a y m u c h o s c a s o s e n lo s q u e se p u e d e d a r u n c a m b io d e s itu a c ió n q u e se d e n o m in a « ro ta c ió n » . E l d e s c o n o c im ie n to d e la n e c e s id a d d e e s te m o v im ie n to p u d o h a b e r te n id o g ra v e s c o n s e c u e n c ia s p a r a el h o m b r e d e la ilu s tra c ió n .

D raw in g by R ic h ter; © 19 5 7 T h e N ew Y o rk er M agazine, In c.

P u e d e n in v e s tig a rs e la s p r o p ie d a d e s d e u n a r o ta c ió n c o m o se ilu s tr a a c o n tin u a c ió n . P aso 1

M árquese un p unto central O y o tro p u n to P sobre una hoja de papel.

P aso 2

M árquese el p unto P sobre u n a h o ja de papel vegetal.

P ' es la im a g e n r o t a d a d e l p u n t o P . 0 es el c e n tr ó d e la r o ta c ió n . E n e ste c a s o , el á n g u lo d e r o ta c ió n es 30°. E s ta s id e a s s u g ie re n la d e fin ic ió n de r o ta c ió n d e la d e re c h a . O b s é rv e s e q u e u n a ro ta c ió n p u e d e se r e n la d ire c c ió n d e las m a n e c illa s d e l re lo j o e n la d ire c c ió n c o n tra r ia .

Paso 3

Paso 4

M anténgase inmóvil el p u n to O y gírese el papel vegetal.

M árquese la nueva posición de P como P'.

Definición 13.3 U n a rotación con centro O y ángulo a es una transform ación que representa cada p u n to P del plano en u n p u n to P': a. Si P es el p u n to central O, P ' = P. b. Si P # O, entonces P'O - PO y m LPO P' = . oí

P' es la im agen rotada del p u n to P.

13.4

R o ta c io n e s

C o m o la s tra s la c io n e s , la s ro ta c io n e s p u e d e n c o m p le ta rs e h a c ie n d o u n a re fle x ió n tr a s o tr a . E n e s te c a so , la s re c ta s d e re flex ió n n o s o n p a ra le la s . C o m p lé te s e la s ig u ie n te c o n s tr u c c ió n d e c u a tr o p a so s. P aso 1

P aso 2

Em piécese p o r las rectas r y s, que pasan p o r O y se intersecan en un ángulo de 45°, y A PQR.

E ncuéntrese la reflexión de A P 'Q 'R ' sobre la recta s.

E ncuéntrese prim ero la reflexión de A PQ R sobre la recta r.

D ibújese A P Q R y m uéstrese que puede ro tarse un ángulo de 90° alrededor del p u n to O y que. A PQ R = A P"Q "R".

D o s re fle x io n e s s o b r e r e c ta s in te rs e c a n te s d a r á n sie m p re c o m o re s u lta d o u n a r o ta c ió n d e u n á n g u lo d o s v eces m a y o r q u e el á n g u lo e n tr e la s re c ta s . E s to s u g ie re el te o re m a sig u ie n te .

Teorema 13.3

Si la s re c ta s r y s s e in te rs e c a n e n e l p u n t o O , e n to n c e s u n a re fle x ió n s o b r e r s e g u id a d e u n a re fle x ió n s o b re s, e s u n a ro ta c ió n .. E l p u n t o O e s e l c e n tr o d e r o ta c ió n y el á n g u lo d e r o ta c ió n es 2 a, d o n d e a e s la m e d id a d el á n g u lo re c to o a g u d o q u e h a y e n tr e la s r e c ta s r y s.

489

490


EJERCICIOS D

1. E ncuéntrese la im agen de B en una ro tació n de 45° en la dirección de las m anecillas del reloj. 2. E ncuéntrese la im agen de H en una ro tació n de 90° en dirección co n traria a la de las m anecillas del reloj. 3. E ncuéntrese la im agen de B en una ro tació n de 135° en la dirección de las m anecillas del reloj. 4. E ncuéntrese la im agen de A D E F en una

ro ta c ió n de 45° en dirección co n traria a la de las m anecillas del reloj. 5. M árq u en se los p u n to s 0 y A en un papel. D ibújese la im agen A ' de A en u na ro tació n de 60° en la dirección d e las m anecillas del reloj com o sigue: a. T rácese el ray o O A . C on un tra n sp o rta d o r, trácese O X de m an era que m L A O X = 60. b. C o n un com pás, trácese un arco con cen tro O y ra d io OA. E ste arco interseca al lad o del ángulo en el p u n to A'. 6. T rácese un segm ento I F y u n p u n to O en una h o ja de papel. C on un tra n sp o rta d o r y u n com pás, trácese la im agen de X Y en u n a rotación de 40° en dirección c o n traria a la de las m anecillas del reloj. 7. D ibújese un trián g u lo A B C y un pun to O en u n a h o ja de papel. C o n un tra n s p o rta d o r y un com pás, dibújese la im agen de A A B C en una ro ta c ió n de 50° en la dirección de las m anecillas del reloj. 8. D ibújese un trián g u lo A B C y un p u n to O. D ibújese la im agen de A A B C en u n a ro ta c ió n de 135° en dirección c o n tra ria a la de las m anecillas del reloj.

O.

13.4

9. Si A 'B ' es la im agen de A B en una rotación con centro O, ¿qué ángulo debe m edirse p a ra e n co n trar el ángulo de rotación? a. Z A O B . b . ¿ A A 'O .

c. Z A 'B 'O . d. Z B O B j

O

10. Si A 'B ' es la im agen de A B después de una rotación, ¿cuál de los c u atro p u n to s p o d ría ser centro de ro tación? (Recuérdese que si O es el centro, OA = O A ' y O B = OB'.)

11. T rácense R S y V W . Si V W es la im agen de R S en una rotació n , encuéntrense el centro y -el áng u lo de rotación. 12. En cada u n a de las figuras siguientes, la figura roja es la im agen de la figura negra en u n a rotación. D ígase cuál es el cen tro de ro tació n e indiquese la m edida de cada ángulo de rotació n . (Puede ser útil usar papel vegetal.)

R o ta c io n e s

491

492


c. 13. T rácense un p a r de rectas intersecantes p y q y u n trián g u lo A B C com o se m uestra. D ibújese la im agen de A A B C p a ra la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q. Llámese A A "B " C " a esta imagen. 1 4 C on papel vegetal, com pruébese que A A "B " C " del ejercicio 13 es la imagen de ro tació n de A A B C . 15. M ídase con un tra n s p o rta d o r el ángulo ag u d o form ad o p o r las rectas p y q del d ibujo del ejercicio 13. ¿Q ué relación existe en tre el tam añ o de este ángulo y el tam añ o del ángulo de rotación? 16. A u n a ro tació n de 180° sobre un p u n to se le llam a media vuelta. A A 'B 'C ' es la im agen ro ta d a de m edia vuelta de A A B C . D ibújense estas figuras y encuéntrese el cen tro de la m edia vuelta.

ACTIVIDADES!

Unanse dos e spe jo s form ando un á ng ulo de 90° y o bsérvese lo que se ve en e llo s co m o ilustra la fotografía. ¿Es a lg o curioso? Expliqúese la observación.

Unanse dos espejos form a nd o un ángulo de 90° y o bsérvese lo que se ve en e llo s com o ¡lustra la fotografía. La re fle x ió n que aparece en la fo to grafía es sólo una de las tre s que a pa re cerán . Una de estas tres im ágenes es d is tin ta de las o tras dos, ¿en qué rad ica la diferencia?

13.4

R o ta c io n e s

17. M árquense los p u n to s X e Y en una

h o ja de papel y dibújese A R S T . a. D ibújese la im agen de m edia vuelta de A R S T alred ed o r de X . C o n la im agen de esta ro tació n dibújese una m edia vuelta alred ed o r de Y. b. ¿Q ué m ovim iento tiene el m ism o efecto que u n a m edia vuelta sobre X seguida de una m edia vuelta sobre Y ? D escríbase este m ovim iento de la m an era m ás específica posible.

R

18. A A 'B 'C ' es la im agen de A A B C en u n a ro tación sobre el

B

centro Q. D ibújense estas figuras. ¿Se puede trazar la recta q de m anera que la reflexión so b re la recta p seguida de u n a reflexión sobre la recta q tenga el m ism o efecto que la rotación?

SOLUCION D E PROBLEMAS D ib ú jese el d ise ñ o s ig u ie n te e n p a p e l v e g e tal. R ó te se el p apel 6 0 ' so b re el pun to A y o b s é r v e s e q u e la co p ia c o n c u e rd a co n el d iseñ o (s u p ó n g a se q u e el d ise ñ o y s u c o p ia s e e x tie n d e n en to d a s d ire cc io n es p a ra cu b rir to d o el plano). 1. ¿Q ué o tro s á n g u lo s d e ro tació n c e n tra d o s e n A h a rá n q u e el d ise ñ o c o n c u e rd e c o n sig o m ism o? 2. ¿ C u á le s so n lo s á n g u lo s d e ro tació n c e n tra d o s en los p u n to s B y C

q u e h a rá n q u e el d ise ñ o c o n c u e rd e c o n sig o m ism o?

Q

493

494


13.5

Simetría

L a m a r ip o s a y el c a n g re jo d e las fo to g ra fía s p o s e e n u n a b e lle z a n a tu r a l re la c io n a d a c o n s u fo rm a . U n a m ita d p a re c e id é n tic a a la o tr a . L a re la c ió n p a re c e ta n p e rfe c ta q u e p o d r ía c o lo c a rs e u n e s p e jo d e m a n e r a q u e se re fle ja ra la m ita d d e u n a n im a l y d a r la a p a r ie n c ia de q u e el a n im a l e s tá c o m p le to . S e d ic e q u e la s fo rm a s tie n e n sim e tría re fle x iv a y q u e la r e c ta s o b r e la c u a l se c o lo c a el e s p e jo es la línea de sim etría .

P a r a c o m p r o b a r la s im e tría re fle x iv a d e u n a fig u ra , p u e d e d ib u ja r s e é s ta e n u n p a p e l y v e rific a r si p u e d e d o b la r s e d e m a n e r a q u e u n a m ita d c o in c id a e x a c ta m e n te c o n la o tr a . T a m b ié n p u e d e e m p le a rs e la p r u e b a d e l « esp e jo » , c o m o se m u e s tr a e n la fo to g ra fía . Si se p u e d e c o lo c a r u n « e sp e jo » s o b r e la fig u ra de m a n e r a q u e la m ita d d e e lla y s u re fle x ió n p a re z c a n u n a c o p ia fiel d e la fig u ra c o m p le ta , e n to n c e s se d ic e q u e la fig u ra tie n e s im e tría reflexiva. L a s ig u ie n te d e fin ic ió n e s tá ilu s tr a d a p o r el d ib u jo .

Definición 13.4 U n a figura F tiene sim etría reflexiva sí hay una recta t tal que la im agen de reflexión sobre l de cada p u n to P de F tam bién es un p u n to de F. La recta se llam a línea de sim etría de F.

13.5

S im etría

495

E s ta flo r tie n e o t r o tip o d e sim e tría . P u e d e h a c e rs e g ir a r s o b r e u n c e n tr o fijo a p o sic io n e s d ife re n te s sin q u e c a m b ie s u a p a r ie n c ia o rig in a l. Se d ice e n to n c e s q u e la fig u ra tie n e sim e tría ro ta c io n a l y q u e el c e n tr o fijo e s el ce n tro de sim e tría ro ta cio n a l.

P a r a p r o b a r si u n a fig u ra tie n e s im e tría r o ta c io n a l, p u e d e d ib u ja rs e s o b re u n a h o ja d e p a p e l v e g e ta l o s o b re u n a h o ja d e p lá stic o . C o lo q ú e se la c o p ia d ir e c ta m e n te s o b r e la fig u ra o rig in a l. E n to n c e s , m a n te n ie n d o fijo el c e n tr o , se h a c e g ir a r la c o p ia h a s t a q u e c o in c id a d e n u e v o c o n la fig u ra o rig in a l c o m o se ilu s tr a a c o n tin u a c ió n .

C o m p ro b a c ió n d e la sim e tría r o ta c io n a l p o r el m é to d o d e d ib u ja r y g ira r

L a s ig u ie n te d e fin ic ió n e s tá ilu s tr a d a p o r el d ib u jo .

Definición 13.5 U n a figura F tiene simetría rotacional si hay un giro sobre el centro A ta l que la im agen ro tad a de cada p u n to P de la figura F tam bién es un p u n to de F. El centro, A, de la rotación se llam a centro de la simetría rotacional de F.

496


EJERCICIOS A. ¿En cuál de las siguientes figuras es t u n a línea de sim etría? Verifiqúese la respuesta con la p ru eb a del «espejo» p a ra la sim etría reflexiva. 1.

*

2.

3.

4.

7. D ibújense u n cu ad rad o , un rom bo, un rectángulo, un trapecio, un p en tág o n o regular y un hexágono regular, y m uéstrense to d as las líneas de sim etría reflexiva de ca d a figura. ¿P a ra cuáles de las figuras de los ejercicios 8 a 10 es verdadera la afirm ación: «esta figura tiene sim etría rotacional»? 9.

ACTIVIDADES! A la derecha aparece una fig u ra con sim e tría rota cion al de 90° (puede rota rse 90° para vo lv e r a su p osición o rig in a l) en una m atriz de puntos 5 x 5 . Esta fig u ra se construye traza nd o cu atro líneas idénticas que satisfacen estas condiciones. 1 . Todas las líneas em piezan en el punto ce n tra l y se m ueven de punto

en punto hasta a lca nza r uno de la frontera. 2. N inguna de las cu atro líneas se tocan o cruzan. 3. Una vez que la línea ha alcanzado un punto de la fron te ra , se detiene. Sobre una m a triz de puntos, d ib ú je n se p o r lo m enos 20 m odelos d iferen te s con sim e tría rota tiva de 90° que sa tisfag an las cond icio ne s a nte rio re s. O bsérvese que la fig u ra de la izq u ie rd a no se co n sid e ra «diferente» de la de a rrib a , porque se tra ta de la fig u ra a n te rio r re fle ja d a sobre la recta í . Las fig u ra s que pueden re fle ja rse o rota rse hasta c o in c id ir nuevam ente no se consideran diferentes.

13.5

S im e tría

B. D ibújense figuras que satisfagan ca d a una de las siguientes condiciones. 11. C u ad rilátero no convexo con u n a línea de sim etría.

12. U n hexágono con exactam ente dos líneas de sim etría.

13. U n hexágono con exactam ente tres líneas de sim etría.

14. U n p entágono con exactam ente una línea de sim etría.

15. U n a figura con un núm ero infinito de líneas de sim etría. 16. B osquéjese un p o líg o n o que tenga sim etría rotacional, pero n o sim etría reflexiva. 17. Bosquéjese un polígono que tenga sim etrías ro tacio n al y reflexiva.

En los ejercicios 18 y 19, supóngase que el diseño se ha extendido p ara cu b rir to d o el plano. E n ca d a problem a, ¿cuáles de las rectas, p, q y r son líneas de sim etría?

_ SOLUCION D E PROBLEMAS

NOW NO SWIMS 0N MON En una piscin a pública, estaba este letrero. G írese 180°. ¿Qué se observa?

337-31770 En este pastel falta una rebanada. Gírese la fig u ra p ara poder e n co n tra r la rebanada?

El se ñ o r O liv e r Lee p idió este n úm ero para la m atricula de su auto m ó vil. G írese la ta rje ta 180° y e xpliqú ese por qué el señor Lee hizo esta petición.

497

498


Capítulo 13


Términos Reflexión (pág. 476) Im agen traslad ad a (pág. 484) R otación (pág. 488) Sim etría reflexiva (pág. 494)

Línea de sim etría (pág. 494) Sim etría rotacional (pág. 495) C en tro de sim etría rotacional (pág. 495)

Teoremas 13.1 D a d a u n a reflexión sobre u n a recta: a. la im agen reflejada de u n segm ento es un segm ento de igual longitud; b. la im agen reflejada de u n ángulo es u n ángulo de igual m edida. 13.2 Si las rectas r y s son paralelas, entonces una reflexión sobre la recta r seguida de una reflexión sobre la recta s es u n a traslación. Adem ás, si A " es la im agen de A, entonces a. A A " 1 r, b. A A " = 2 d, d o n d e d es la distancia entre las rectas r y s. 13.3 Si las rectas r y s s e intersecan en el p u n to O, entonces u na reflexión sobre r seguida de una reflexión sobre s, es u n a rotación. El p u n to O es el centro de rotación y el áng u lo de ro tació n es 2a, d o n d e a es la m edida del áng u lo recto o ag u d o que hay en tre las rectas r y s.

Capítulo 13 Resumen 1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. T o d a reflexión es u n a transform ación. b. Si P ' es la im agen de P p a ra u n a reflexión d a d a sobre la recta l , entonces i es la bisectriz p erpendicular de PP'. c. U n a ro tació n puede representarse com o d os reflexiones. d. U n c u a d ra d o tiene exactam ente d os líneas de sim etría. e. U n trapecio isósceles tiene sim etría rotacional. 2. C ítense dos letras m ayúsculas que tengan exactam ente dos líneas de sim etría. ¿H ay o tras con esta condición? 3. C ítense dos letras m ayúsculas que ten g an sim etría rotacional pero n o línea de sim etría. ¿H ay o tras con esta condición? 4. ¿C uántas líneas de sim etría tiene u n o ctágono regular? 5. T rácense los triángulos A B C y A 'B 'C . C on struyase la recta t de m an era que A A 'B 'C ' sea la im agen de reflexión de A A B C sobre í . A'

6. T rácense A B y A'B'. E n cu éntrense el cen tro de ro tación y el ángulo de ro tació n si A 'B ' es la im agen de A B en una rotación.

500


Capítulo 13 Examen 1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero. a. T o d a traslación es una transform ación. b. Si A 'B ' es la im agen de A B en ro tació n so bre el centro O, entonces m L A O A ' = m L B O B '. c. U n a traslación puede representarse com o dos reflexiones. d. U n p aralelogram o tiene exactam ente dos líneas de sim etría. e. U n ro m b o tiene sim etría rotacional. 2. C ítense d os letras m ayúsculas que tengan exactam ente una línea de sim etría. ¿H ay o tra s con esta condición? 3. C ítense d os letras m ayúsculas que tengan sim etría reflexiva y rotacional. ¿H ay o tra s con esta condición? 4. ¿Tiene u n polígono regular sim etrías reflexiva y rotacional? 5. D ibújese el triángulo A B C , las rectas p y q y la flecha de traslación X Y . Refléjese A A B C sobre p y q. ¿Q ué relación hay en tre la distancia de p a q y X Y ‘!

A

X 6. T rácese A A B C . C on C co m o centro de rotación, rótese A A B C un áng u lo de 120°.

Técnicas para la solución de problemas Examen de casos especíales En ocasiones es útil co nsiderar casos especiales p a ra la solución de problem as. Estúdiese el ejem plo siguiente.

Ejemplo Sea P cu alquier p u n to sobre o d en tro de un trián g ulo equilátero. Si a, b y c son las longitudes de los segm entos perpendiculares de P a los lados del triángulo, ¿qué relación existe e n tre la sum a a + b + c y la longitud de u n a altura? p C onsidérense estos casos especiales: 1. Supóngase que P = D. E ntonces, a = c — 0. D a d o que b es la a ltu ra de F E , a + b + c es igual a la lo n g itu d de una altura. 2. Supóngase que P está en el centro de A D EF. E ntonces, a = b = c = -j F H (la altura). E ntonces, a + b + c = F H o la longitud de la altura.

P = D

F,

¿A parenta a + b + c ser igual a la lo n g itu d de la altura?

PROBLEMAS _______________________________________ 1. En el ejem plo anterior, inténtese el caso especial en el que P es el p u n to m edio de un lado. ¿Es a + b + c igual a la longitud de la altura? 2. A A B C es un trián g u lo equilátero inscrito en un circulo. P es u n p u n to cualquiera en el círculo. ¿Q ué relación existe entre P A , P B y P C ? (Sugerencia: C onsidérense estos casos: 1. P = A, 2. P = C, y 3. P A = PC.) 3. D ado: <4P = B C = A C = 4 cm. P es cu alquier p u n to sobre A B . D P 1 A C , P E 1 BC. Encuéntrese: D P + PE. (Sugerencia: C onsidérese la relación en tre DP, P E y A F usando los casos especiales en que P = A y P A = PB.) 4. D ado:

El cu a d ra d o A B C D con c a d a lad o de 1 unidad de longitud. Encuéntrese: U n p u n to P tal que P A + P B + PC' + PD sea el m ínim o posible.

(Sugerencia: C onsidérense estos casos: 1. P = A; 2. P es el p u n to m edio de AB; 3. P es la intersección de las diagonales; 4. Em pléese u n a regla p a ra e n co n trar P A + P B + P C + PD cuand o P está en el in terio r de AB C D p ero no en el p u n to de intersección de las diagonales.) ¿Q ué posición parece p ro d u cir un m ínim o p a ra PA + P B + P C + PD? 501

C A P IT U LO

14 14.1

S is te m a d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s

14.2


14.3

La p e n d ie n te d e u n a re c ta

14.4

P e n d ie n te s d e r e c ta s p e r p e n d ic u la re s y p a r a le la s

14.5

La fó rm u la d e la d is ta n c ia

14.6


524

14.7

L a e c u a c ió n d e l c ir c u lo

528

14.8

U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a

14.9.

T r a n s fo r m a c io n e s y g e o m e tr ía d e c o o rd e n a d a s

d e te o re m a s

504

508

512 516

520

532

C o n c e p t o s im p o r t a n t e s

538

R e s u m e n g lo b a l (C a p s . 11 a 14)

R esum en 541

539

536 Exam en

540

Geometría de coordenadas

504

G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s

14.1

Sistema de coordenadas cartesianas ¿ C ó m o p u e d e d e c irse a u n a p e rs o n a q u e v a y a d e u n p u n to a o tro ? C u a n d o se d a n d ire c c io n e s, su e le d e c irse q u e se re c o rr a c ie rta d is ta n c ia e n u n a d ire c c ió n y lu e g o o t r a d is ta n c ia e n o t r a d ire c c ió n .

N o r te

P a r a d a r d ire c c io n e s d e m a n e r a q u e se p u e d a ir d e l p u n to A a l p u n to B d e la c u a d r íc u la d e la d e re c h a , p o d r ía d ecirse: « I r u n a c a lle a l e ste , o c h o a l n o r te , c in c o al e s te y d o s a l su r.» D e n s e d o s m a n e r a s m á s se n c illa s p a r a i r d e l p u n to A a l B.

E n m a te m á tic a s se e m p le a n d o s re c ta s p e rp e n d ic u la re s n u m e r a d a s p a r a e la b o r a r u n m é to d o d e lo c a liz a c ió n d e p u n to s . E l p u n to d e in te rs e c c ió n d e la s r e c ta s se lla m a origen.

.

O e ste

B

E ste

14.1


U n p a r d e n ú m e r o s lla m a d o s co o rd en a d a s in d ic a n la u b ic a c ió n d e c a d a p u n to . E l p u n t o A d e l e je m p lo s ig u ie n te e s tá « 2 la d e re c h a » y «1 a r r ib a » d el o rig e n . Se d ice q u e A tie n e c o o r d e n a d a s (2, 1). E l p r im e r n ú m e r o es la c o o r d e n a d a x y el s e g u n d o es la c o o r d e n a d a y . E n g e n e ra l, u n p u n to se re p re s e n ta p o r la s c o o r d e n a d a s (x, y). Se e m p le a r á l a n o ta c ió n P (x , y) p a r a re p re s e n ta r a l p u n t o P c o n la s c o o r d e n a d a s (x, y). E s te m é to d o d e d e te rm in a c ió n d e p u n to s se lla m a siste m a d e co o rd en a d a s ca rtesia n a s, p o r el fa m o s o m a te m á tic o R e n é D e sc a rte s. E s tú d ie n s e lo s s ig u ie n te s e jem p lo s.

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C o o rd en a d a s

(2 ,1 )

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(3 , 1)

B

(1, - 3 )

H

(- 4 ,1 )

C

(-2 , -4 )

(0 , i)

D

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(-3,-2)

E

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A

L o s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n q u e la s c o o r d e n a d a s q u e s e r n e c e s a ria m e n te e n te ro s . E s tu d íe s e c a d a e jem p lo . — 1 !y P u n to s C o o rd en a d a s r^ 1! A ( 3 ,! ) __ J *1c ±7 ,1

B C D

( - 2 , V 2) (7 7 , - 2 )

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C o o rd en a d a s

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505

506


EJERCICIOS_______________________ A. En los ejercicios 1 a 4, m árquense los siguientes p u n to s en un papel cuadriculado. Empléese un ju eg o diferente de ejes para cada ejercicio. 2. (6 ,2 ), ( - 2 * , $ ) , ( - 5 , § ) y ( - V ó,, /T\

1. ( - 4 , 2 ) , ( 6 , - 1 ) , ( - 5 , - 4 ) y ( - 3 , - 2 ) . 3. ( - 4 , 0 ) , (5 ,0 ), (0 ,0 ) y (2*, 0).

4. (0, - 2 \ \ (0, 6), (0, - 3 ) y (0, y/% .

E n los ejercicios 5 a 8, trácense rectas que co ntengan ios siguientes p ares de puntos. 5. (0 ,0 ) y ( - 5 , - 5 ) .

6. (4 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) .

7. ( - 4 , 2 ) y ( - 2 , - 6 ) .

8. ( 5 , - 3 ) y ( 4 , - 3 ) .

En los ejercicios 9 a 11, uibújense triángulos con las co o rd en ad as siguientes com o vértices. Indíquese si los triángulos resultantes son acutángulos, rectángulos u obtusángulos. 9. ( - 2 , 3 ) , (4 ,1 ) y ( 7 , - 2 ) . 10. (3 ,3 ), ( - 4 , 0 ) y (4,6). 11. ( - 4 , 2 ) , ( - 4 , - 3 ) y ( 3 , - 3 ) . E n los ejercicios 12 a 14, trácense cu ad rilátero s con las siguientes co o rd en ad as com o vértices. 12. ( - 5 , - 3 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( - 5 , 1 ) y ( - 1 , 1 ) .

.... ..

13. (0 ,6 ), (6 ,0 ), ( 0 , - 6 ) y ( - 6 , 0 ) .

.. 1

"y E

14. ( - 1 , 5 ) , (3 ,2 ), ( 2 , - 5 ) y ( - 4 , - 1 ) .

C A X

15. D a d a la gráfica siguiente, díganse las coorden ad as de los p u n to s A , B, C, D y E. E n algunos casos, será necesario d ar u n resu ltad o aproxim ado.

í)'

ACTIVIDADES1 En una cuad rícu la de coordenadas, em pezando en (0, 0), d ib úje se una se cue ncia co ntin ua de se gm en to s que vayan de un punto a otro. Léase cada c o lu m n a de a rrib a abajo.

¿QUE O B JE TO SE REPRESENTA? (4 , 24 )

(6 , 2 4 )

(6 , 39)

(4 , 3 9 )

(1 0 , 0)

(6 , 3 5 )

(7 , 39)

(4 , 37 )

(0 , 22 )

( 1 2 ,2 )

(7 , 3 5 )

(6 , 3 9 )

(3 , 37 )

(0 , 17)

( 1 2 ,8 )

(6 , 3 5 )

(6 , 42)

(4 , 37 )

(2 , 14)

( 8 ,1 4 )

(6 , 3 7 )

(4 , 4 2 )

(4 , 35 )

(-2 ,8 )

( 1 0 ,1 7 )

(7 , 37 )

(4 , 39 )

(3 , 35 )

( - 2 , 2)

(1 0 , 22 )

(6 , 37 )

(3 , 3 9 )

(4 , 35 )

(0 , 0 ) « -T e rm in a r

E m p e z a r-» (0 , 0)

14.1


B. E n los ejercicios 16 a 18, se d a n las coorden ad as de tres vértices d e un rectángulo. E ncuéntrense las co o rd en ad as del cuarto vértice. (Sugerencia: Se pueden rep resen tar las tres coordenadas.) 16. (0 ,0 ), ( - 4 , 0 ) y ( 0 , - 2 ) . 17. ( - 4 , 3 ) , ( - 4 , - 1 ) y ( 5 , - 1 ) . 18. ( 1 , - 3 ) , (1 ,5 ) y (4,5). En los ejercicios 19 a 21, se p ro p o rc io n a n las coordenadas de tres vértices de un cu ad rad o . E ncuéntrense las co o rd en ad as del c u a rto vértice. 19. (0 ,0 ), (3 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) . 20. ( - 1 , 2 ) , (2, 2) y ( 2 , - 1 ) . 21. ( - 3 , 2 ) , ( - 3 , 5 ) y (0 ,5 ). E n los ejercicios 22 y 23, se p ro p o rc io n a n las coordenadas de tres vértices de un p aralelogram o. E ncuéntrense las coordenadas del c u a rto vértice. (H ay m ás de una respuesta correcta.) 22. (0 ,0 ), (4 ,4 ) y (6 ,4 ).

23. (1, 1), (4 ,1 ) y (0, - 1 ) .

24. M árquense varios p u n to s en los que el p ro d u cto d e las co o rd en ad as sea igual a 12. T rácese u n a recta fina p o r estos puntos. 25. M árq u en se varios p u n to s en los q u e la c o o rd en ad a y sea el d o b le que la c o o rd en ad a x. T rácese u n a recta q u e pase por los p untos. 26. E ncuéntrese u n tercer p u n to que esté so b re la línea que p a sa p o r los p u n to s (3, - 2 ) y ( - 1 , 2). 27. G rafiquense los p u n to s (2,0) y (0, 4) y trácese una recta que pase p o r ellos. Si las co o rd en ad as (0, 0) y (3, n) determ inan u n a línea paralela a la prim era, ¿cuál es el valor de n?

_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS__________________ Dos vértices de una figura son (0, 0) y (6, 0). 1. ¿Cuáles1son las coordenadas del tercer vértice si la figura es un triángulo equilátero? (Hay dos soluciones.) 2. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la figura es un cuadrado? (Hay tres soluciones.) 3. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la figura es un paralelogram o de altura 4?

507

508


14.2

Punto medio de un segmento

U n c a m p o d e fú tb o l su e le m e d ir 100 y a rd a s d e la r g o y 60 d e a n c h o . S u p ó n g a s e q u e las c o o r d e n a d a s se a s ig n a n a la s e s q u in a s del c a m p o c o m o se ilu s tr a e n la fig u ra . ¿ C u á le s s o n la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tr o d e l c a m p o ? O b s é rv e n s e lo s p u n to s m e d io s d e lo s s e g m e n to s d e la d e re c h a . O b s é rv e s e q u e p a r a el s e g m e n to h o r iz o n ta l M N , la c o o r d e n a d a x d e l p u n to m e d io e s la s e m is u m a d e la s c o o r d e n a d a s x d e lo s e x tre m o s . P a r a el s e g m e n to v e rtic a l P Q , la c o o r d e n a d a y d e l p u n t o m e d io es la s e m is u m a d e la s c o o r d e n a d a s y d e los e x tre m o s .

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i

E s te m is m o c o n c e p to p u e d e u s a rs e p a r a o tr o s se g m e n to s d e re c ta . S ean ( x 1; y x) la s c o o r d e n a d a s d e u n e x tre m o y (x 2, y 2) la s c o o r d e n a d a s d e o tro e x tre m o d e la fig u ra sig u ien te.

(*i»-Vi) — ( — X1 + X2 __ 2 ” yi + y2 _

2

_

—2); (x2, y 2) — (5> 3) + 5 _ 2 “

j

-2 + 3 _

2

L as c o o rd e n a d a s del p u n to m e d io s o n (1, -§■). E s te e je m p lo s u g ie re el te o r e m a sig u ie n te .

Teorema 14.1

Si la s c o o r d e n a d a s d e lo s e x tre m o s d e l s e g m e n to P j P 2 s o n ( x ,, y ( x 2, y 2), e n to n c e s la s c o o r d e n a d a s d el p u n to m e d io d e í V ’ 2 S o n ^ ; h ^ - í ' + -Vj'

14.2


L a s sig u ie n te s p r e g u n ta s s u g ie re n u n a p r u e b a p a r a el te o r e m a 14.1. L a p r u e b a se d e ja c o m o ejercicio* 1. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e C s o n ( — 3, —4)? 2. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e E , el p u n to m e d io d e A C , s o n ( — 3, — 1)? 3. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e D , el p u n to m e d io d e B C , s o n (2, —4)? 4. C o n s id e r a n d o la s p r e g u n ta s 2 y 3, ¿ p o r

q u é la s c o o r d e n a d a s d e M , el p u n to m e d io d e A B , s o n (2, — 1)? O b s é rv e s e q u e si la s c o o r d e n a d a s d e A s o n (x ,, y ,) o ( — 3, 2), y la s xi + x2 —3 + 7 c o o r d e n a d a s d e B s o n (x 2, y 2) o (7, —4), e n to n c e s , — - — - = — - — = 2 e * 1 + y~ =

— — = — 1. P o r ta n t o , la s c o o r d e n a d a s d e

M s o n (2,— 1).

Ejemplo Si M es el p u n t o m e d io d e A B , d o n d e ( - 4 , - 2 ) s o n la s c o o r d e n a d a s d e A y (2 ,1 ) s o n la s c o o r d e n a d a s d e A i, e n c u é n tre n s e la s c o o rd e n a d a s de B. S e a n ( x x, y x) la s c o o r d e n a d a s d e B . P o r el te o re m a 14.1, 2 = - * + X' y l = - 2 + y i .

2

J

2

D e s p e ja n d o x l e y¡_, se o b tie n e x , = 8 e y x = 4. L a s c o o r d e n a d a s d e B so n , p u e s, (8, 4). A P L IC A C IO N

P a r a e n c o n tr a r la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tr o d e l c a m p o d e fú tb o l e s n e c e s a rio e n c o n tr a r el p u n to m e d io de AC . ^ *1

+

*2

y \

+

3 ^

_

+

100

0

L a s c o o r d e n a d a s d e M s o n (50, 30).

+

6Q ^

A (°<°>

¿ T e n d r ía M la s m is m a s c o o r d e n a d a s si se h u b ie r a e n c o n tr a d o el p u n to m e d io d e B D ?

509

510

G e o m e tria d e c o o rd e n a d a s

EJERC IC IO S__________ A. 1. D eterm ínense ios p u n to s m edios de los segm entos siguientes. a. b. T H -"?..; -jy . * ( ! > ? ) ..... ? ...... ;.......ì :

T

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! ...i...

i {i 1:

En los ejercicios 2 a 7, determ ínense los p u n to s m edios de los segm entos cuyos extrem os están representados p o r las siguien tes coordenadas. 2. ( - 3 , 2 ) y (7, 10).

3. ( _ 7 , 4) y (9; _ 4)

4. ( - 1 , - 2 ) y (5, 4).

5. ( - 3 , - 5 ) y ( - 7 , - 2 ) .

6. ( - 4 , 2 ) y (5, - 3 ) .

7. (7, _ 3 ) y (0,0 ).

8. G rafíquense los p u n to s A ( - 2 , 5), B(6, 1) y C j ^ 4 , _ - 3) y jrá c e s e A /4SC . E ncuéntrense los p u n to s m edios de A B , BC y AC. 9. G rafíquense los p u n to s A( 1, 6), B{6, 2), C(8, —_3) y D (-5,_2). E ncu én tren se los p u n to s m edios de A B , B C , CD y D A . D ibújese un cuad rilátero uniendo, los p u n to s m edios. ¿Qué clase de cuad rilátero es? A C T IV ID A D E S 1 S upóngase que la s coordenadas de A son ( - 2 , 6) y las coordenadas de B son ( —4, 2). P or el te o re m a 14.1, la s coordenadas del pun to m ed io M son

( - 3 , 4).

a.

Em pléese papel vegetal o una h oja de p lá stico p ara e nco n tra r la refle xió n de A B so b re el e je de las y. C om párense las co orde na da s d el punto m edio del segm ento re fle ja d o con las coordenadas de M.

b.

R efléjese A B sobre el e je de las x. C om párense las coordenadas del punto m ed io del segm ento re fle ja d o con las co orde na da s de M.

c . E stablézcase la m ism a com paración cuando la recta y = x se usa com o línea de reflexión.

\

14.2


En los ejercicios 10 a 14, M es el p u n to m edio de A B . Se d a n las co o rd en ad as de d os de los puntos. E ncuéntrense las co o rd en ad as del tercer punto. 10. ,4(1, 1), M (5, 1), encuéntrese B. 11. A ( —2, —6), M ( — 2, 1), encuéntrese B. 12. A( — 5, —3), M (2, 1), encuéntrese B. 13. M (0, 0,), B ( —4, 3), encuéntrese A. 14. M(0, 0), B (l, 6), encuéntrese A. 15. D a d o el trián g u lo A B C con vértices A ( —4, —3),_B (8, 0) y C(6, 1?' 2 traza u n a recta paralela a la base A B y que biseca a 4 C . E ncuéntrense las co o rd en ad as del p u n to donde la recta interseca a BC. 16. S upóngase que las co o rd en ad as de A y B son ( —4, 6) y (6, —2). E ncuéntrense las co o rd en ad as de X , tales que A X = ¿ AB. 17. S upóngase que las co o rd en ad as de A y B son ( —7, —2) y (5, — 1). E ncuéntrense las co o rd en ad as de u n p u n to C so b re A B tal que A C = j AB.

18. Pruébese el teorem a 14.1 co nsiderando la siguiente inform ación. Dado: y j , P 2( x 2, y 2), P XM = M P 2 Pruébese: L as co o rd en ad as de M son (

, X l, 2 2 (Sugerencia: T rácense las rectas auxiliares indicadas en el diagram a.) 19. C onsidérense los p u n to s P ¡(x ¡, y ,) y P 2(x 2, y 2). E ncuéntrense las coo rd en ad as d e los puntos q ue trisecan a P , P 2.

_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS_________ C o n s id é re s e un s is te m a trid im e n sio n a l d e c o o rd e n a d a s, con un e je d e la s x, uno d e la s y y uno d e la s z. S e sitú a un cu b o con a r is ta s d e 4 u n id a d e s s e g ú n ilu stra el d ia g ra m a . ¿ C u á le s so n la s c o o rd e n a d a s (x, y, z) d e l c e n tro del cu b o ?

511

512

G e o m e tría de c o o rd e n a d a s

14.3

La pendiente de una recta

¿ C u á l e s la p e n d ie n te d e lo s te ja d o s ? L a p e n d ie n te d e u n a r e c ta o d e u n s e g m e n to p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o la , e le v a c ió n r a z ó n -------------- , ta l c o m o a p a re c e e n la avance fig u ra.

elevación

avance

Se u s a la le t r a m p a r a d e s ig n a r a la p e n d ie n te . E s tú d ie n s e lo s sig u ie n te s e je m p lo s.

m 5

-

-2

2 l

m =

L a d e fin ic ió n d e p e n d ie n te q u e se p re s e n ta a c o n tin u a c ió n in c lu y e el s iste m a d e c o o r d e n a d a s c a rte s ia n a s .

D e fin ició n1 4 .1 L a p e n d ie n te d e u n a re c ta e s tá d e te r m in a d a p o r el c a m b io e n la d is ta n c ia v e rtic a l — y 2) d iv id id a e n tr e el c a m b io e n la d is ta n c ia h o r iz o n ta l ( * i - * 2).

Si P , y P 2 tienen coordenadas

(*i> y J y (*2, y 2\ respectivam ente, entonces la pendiente m de P iP 2 es: xx si Xj — X 2

x2 0.

14.3


L o s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n q u e la p e n d ie n te d e u n a re c ta p u e d e se r p o s itiv a , n e g a tiv a , c e ro o in d e fin id a .

Ejemplo 1

P e n d ie n te p o s itiv a

'.JJy . :: jj . . 7 7 . L ). L tfc : :: j: T! L.J._ ;:

ni 5 - ( - 3 )

Ejemplo 3 —

"T '” 1 ...J... V.

y,

U- - Í ü H “ 3r

8

P e n d ie n te c e ro ....... '“"f—!

....LX.! ,—|—j ...

_¿_; . '±1

m

t5 _j__!_

- 2 - ( - 2 )

—

- 3 - 6

Ejemplo 4

P e n d ie n te in d e fin id a

”Ty¡ /O ... é w- .

..y .... J

.. . >-4— ... xi ... --i r p ... ... ...i

_ 0 m —

5 - ( - 3 )

8

L a pendiente de u n a recta, si es paralela al eje de las x , es cero.

APLICACION Si e s ta c a s a m id e 3 0 p ie s d e a n c h o y la e le v a c ió n d e l te ja d o e s 6 p ies, ¿ c u á l es la p e n d ie n te d e l te ja d o ? Si A B = 30, e n to n c e s A C = 15. D a d o q u e D C = 6, e n to n c e s la p e n d ie n te = e le v a c ió n 6 avance

P e n d ie n te n e g a tiv a

_i f-* •• --jL '..1 ...}... ¡ .J x \ i1 _i_1 z i1z

m —

_

Ejemplo 2

15'

P o r ta n to , la p e n d ie n te = —.

2 - 2

0

Así pues, la pendiente es indefinida. ¿ P o r qué? La pendiente d é una recta paralela al eje de la y es indefinida.

514


EJERCICIOS_________________ A.

y

¡ í

....1......i... '

V

; -

I \

.- 4 .....j.....!....... • .....L f .....¡

1. D eterm ínense las co o rd en ad as de cada p u n to y encuéntrense las pendientes de los siguientes segm entos. a. A B .

b. H Ñ .

c. A C .

d. M C .

e. GJ.

f. L O .

g. H G.

h. M B.

i. M G .

, //

.

• •

i, •

í

r

!

i

i

:

..L \

i \

i

..

"T b

: • i

tf A Q ■¿ O

G

j

i.....i.....

E n los ejercicios 2 a 7, encuéntrese la pendiente de la recta que contiene los p u n to s dados. 2. (0 ,0 ), (4 ,6 ).

3. (3, 5), (9 ,2 ).

4. ( - 2 , 5), (6, - 3 ) .

5. ( - 2 , 10), ( - 6 ,

6. (1 0 ,2 ), ( - 2 , 2 ) .

7. (5 ,0 ), ( 0 , - 5 ) .

-4 ).

8. Los vértices de u n p aralelogram o son J?(l, 4), 5(3, 2), T (4, 6) y U(2, 8). G rafíquense estos p u n to s y encuéntrense las pendientes de ca d a lado. ¿Q ué lados tienen pendientes iguales? 9. Los vértices de un rectángulo son £ ( - 2 , 3), F(4, 3), G(4, - 1) y H (—2, — 1). E ncuéntrese la pendiente de ca d a lado. ¿Cuáles son los dos lados que tienen pendientes indefinidas?

B. 10. ¿C uál es la pendiente de una recta si cruza el eje de las x en 6 y el eje de las y en —2? 11. L os vértices de un trián g u lo son A(4, 6), B ( - 1, 2) y C(2, —4). E ncuéntrese la pendiente de cada lado.

ACTIVIDADES— —

—

Supóngase que las co o rde na da s de A son ( - 2 , 4) y las de

B ( - 6, 2). a. Con papel vegetal o con una_hoja de plástico, e ncuéntrese la re fle xió n de >AS sobre el e je de las y. C om párese la pendiente de A B con la pendiente del segm ento reflejado. b. R efléjese A B sobre el e je de las x y com p árese la pendiente de A B con la pendiente del segm ento reflejado. c. H ágase la m ism a co m p aració n cuando se usa la recta y = x com o línea de reflexión.

J

7

0

.

i

:

: . .........i...

. ...; X

14.3


12. D a d o A A B C con A ( - 2 , 4), B(6, 2) y C(0, - 4 ) : a. E ncuéntrense las coorden ad as de los p u n to s m edios D, E y F. b. D eterm ínense las pendientes de A B , BC y AC . c. D eterm ínense las pendientes de DE, D F y FE.

.?..*

d. ¿Q ué se observa en las pendientes en co n trad as en b y c?

13. L os vértices de u n trián g u lo son X ( U , 0), Y ( - 5, 4) y Z(3, 4). a. E ncuéntrense las pendientes de los lados. b. E ncuéntrense las pendientes de las m edianas. (Empléese el teorem a 14.1 p a ra e n co n trar los p u n to s m edios de los lados.) 14. U n a recta con pendiente —3 cruza el eje de las x en (8, 0). ¿En qué p u n to cruza el eje de las y?

15. ¿C uál es la pendiente de u n a recta si la co ordenada x siem pre es doble que )a c o o rd en ad a y?

16. ABCD es un cuadrilátero con vértices A(a, b), B(c, b), C(c + d,e) y D(a + d, é). E ncuéntrense las pendientes de los lados. 17. A A B C tiene vértices B ( - 6, -_3) y C(8, - 4 ) . L a pendiente de A B = i y la pendiente de A C = - 2 . E ncuéntrense las coorden ad as del p u n to A. 18. U n a recta con pendiente — 1 contiene al p u n to (5, —2). E ncuéntrese x si la recta tam bién contiene al p u n to (x, 8).

SO LUCIO N D E PROBLEMAS Tres puntos, A, B y_C, son co lin e a le s si la p e n d ie n te d e A B es igu al a la pendiente de BC. Em pléese este hecho para re so lve r el siguiente problem a.

A A X Y con A(OJ3), p endiente de A Y =-£. DEFG, HIJK y LMNP son cuadrados con coordenadas D(4, 0), «(10, 0) y L( 18, 0). Pruébese: F, J y N son colineales. Dado:

515

516


14.a Pendientes de rectas perpendiculares y paralelas S u p ó n g a s e q u e se h a c e g ir a r e n d ire c c ió n c o n tr a r i a a la d e la s m a n e c illa s d e l re lo j u n a b o la s u je ta a u n a c u e rd a . Si se s u e lta la b o la e n el p u n to A , ¿ c u á l es la p e n d ie n te d e la tr a y e c to r ia q u e sig u e? E s ta p r e g u n ta se e x a m in a e n e s ta secció n . P r im e r o , se c o n s id e r a r á n la s p e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s . L a s re c ta s d e la s fig u ra s s o n p e r p e n d ic u la re s . D e te rm ín e s e la p e n d ie n te d e c a d a p a r de rectas. O b s é rv e s e q u e la p e n d ie n te d e a = 4 , la p e n d ie n te de b = —4 y 4* —4 = —1.

O b s é rv e s e q u e la p e n d ie n te d e b = —f , la p e n d ie n te d e , _

2

c = l y

..

5 2 _ '2 ’ 5 —

1 — '■

E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n el s ig u ie n te te o re m a .

Teorema 14.2

E l p r o d u c t o d e la s p e n d ie n te s d e d o s r e c ta s p e rp e n d ic u la re s e s — l.

E l te o r e m a 14.2 s ó lo es v e r d a d e r o si n in g u n a d e la s re c ta s es p a r a le la al eje d e la s y . ¿ P o r q u é? APLICA CIO N P a r a re s o lv e r el p r o b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io d e la se c c ió n , a s íg n e s e u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s . Si las c o o r d e n a d a s d e A s o n (3, - 2 ) , la p e n d ie n te d e Ó A es —f . S o rp re n d e n te m e n te , la s le y e s c ie n tífic a s m u e s tr a n q u e la b o la s ie m p re se m o v e r á e n u n a d ire c c ió n Á É ta n g e n te a l círc u lo . A sí, O A -L A B . P o r el te o r e m a 14.2, el p r o d u c to d e las p e n d ie n te s d e e s to s d o s s e g m e n to s e s — 1. A sí, —f • p e n d ie n te d e A B = — 1, o la p e n d ie n te d e A B — f .

14.4


C o n s id é re n s e la s p e n d ie n te s d e lo s te ja d o s d e la d e re c h a . Si la p e n d ie n te de A B _es § y A B || C D , ¿ c u á l es la p e n d ie n te d e C D ? E s ta p r e g u n ta se re s p o n d e m á s a d e la n te .

C o n s id é re n s e a h o r a la s p e n d ie n te s d e la s r e c ta s p a ra le la s . L a s re c ta s sig u ie n te s s o n p a ra le la s . D e te rm ín e n s e la s p e n d ie n te s d e c a d a p a r d e re c ta s.

i • :

!

4 " : ¡

O b s é rv e s e q u e la p e n d ie n te d e a = f , la p e n d ie n te d e b = f y la p e n d ie n te de a = p e n d ie n te d e b.

O b s é rv e s e q u e p e n d ie n te d e c p e n d ie n te d e d p e n d ie n te d e c d e d.

•• T -

la = —f , la = —f y la = p e n d ie n te

E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .

E l te o r e m a 14.3 s ó lo es v e r d a d e r o si n in g u n a d e la s re c ta s es p a ra le la a l eje d e la s y . ¿ P o r q u é? A P L IC A C IO N

P a r a re s p o n d e r a la p r e g u n ta re fe re n te a lo s te ja d o s , a síg n ese u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s . E n to n c e s , la p e n d ie n te d e A B = f . E l te o r e m a 14.3 e s ta b le c e q u e la p e n d ie n te d e A B es ig u a l a la p e n d ie n te d e C D . P o r ta n to , la p e n d ie n te d e C D = f .

517

518


EJERCICIO S_________ A. 1. C onsidérense los p u n to s A(3, 5), 5(7, - 1 ) , C ( - 4, 4), y D(0, - 2 ) . ¿Es A B || CD? 2. C o n sid é re n selo s p u n to s -4(3, 5), B{1, - 1), C(0, 0) y D( 12, 8). ¿Es A B ± CD? 3. M uéstrese que (3, 9), (7, 5), (4, —1) y (0, 3) so n las coordenadas de los vértices de un p aralelogram o. (Empléese el teorem a 14.3.)

4 . M uéstrese que (1, 2), (3, 1), (0, - 4 ) y ( - 2 , - 3 ) son las coord en ad as de los vértices de un paralelogram o. 5. M uéstrese q u e (1, - 3 ) , (4, 5), ( - 3 , 7) y ( - 6 , - 1 ) son las co o rd en ad as de los vértices d e u n paralelogram o. 6. M uéstrese que (4, 6), (5, 1) y (2, 4) son las coordenadas de los vértices de u n trián g u lo rectángulo. 7. M uéstrese q u e (7, 9), (10, —3) y (2, —5) son las co o rd en ad as de los vértices de un trián g u lo rectángulo. 8. M uéstrese que (1, 4), (3, 5), ( - 3 , 12) y ( - 1 , 13) son las coorden ad as de los vértices de u n rectángulo. 9. M uéstrese que ( - 3 , - 3 ) , ( - 1 , - 2 ) , (1, - 6 ) y ( - 1 , - 7 ) son las co o rd en ad as de los vértices de un rectángulo. 10. M uéstrese que (10, 2), (8, 8), ( - 1 , 5) y (1, - 1) son las co o rd en ad as de los vértices de u n rectángulo.

ACTIVIDADES— ^ —

—

— —

S upóngase que A B || CD, E F 1 A B y £ f ± CD tienen las c oordenadas que se m uestra en la figura. a. Con papel vegetal o con una hoja de plástico, re flé je n se AB, CD, y E F sobre el eje de las x. ¿Siguen sie n d o ve rd ad eras las m ism as re la cio n e s para los se gm en to s reflejados? b. R efléjense los segm entos p ara el e je de las y. ¿Siguen sie n d o ve rd a d e ra s las m ism a s relacio ne s en los segm entos reflejados? c. R efléjense los segm entos sobre la recta y = x. ¿Siguen sie n d o ve rd ad eras las m ism as re la cio n e s p ara los segm entos reflejados?

14.4


11. L os vértices de u n trián g u lo tienen coorden adas (5,1), ( —1,7) y (1, —3). E ncuéntrense las pendientes de los tres lados. E ncuéntrense las pendientes de las tres alturas.

B. 12. E ncuéntrese y de m an era que la recta q u e pasa p o r ( —4, —3) y (8, y) sea paralela a la recta que p asa p o r (4, —4) y (3, 5). 13. E ncuéntrese y de m anera q u e la recta que p asa p o r ( —2, — 1) y (10, y) sea perpendicular a la recta que p a sa p o r (6, —2) y (5, 7). 14. D eterm ínese a de m anera que la recta que p asa p o r (7, 1) y (4, 8) sea paralela a la recta que p asa p o r (2, á) y (a, — 2). 15. D eterm ínese b de m anera que la recta que p asa p o r (2, 3) y (4, —5) sea perpendicular a la recta que p asa p o r (4, —5) y

(b,b). 16. L as coorden ad as de A, B y C son ( —3, 2), (4, —2)_y (0, 6), respectivam ente. E ncuéntrese D de m an era que A B || CD y D esté sobre el eje de las x. 17. Si las coorden ad as de A y B son (0, 4) y ( —5. 1), y si A B ±A
c. 18. A B C D es un ro m b o con vértices A( — 3, 6), B(5,7) y C(9, 0). E ncuéntrense las co o rd en ad as de D. 19. A B C D es u n p aralelo g ram o con vértices .4(3, 6), B(5, 9) y C (8,2). E ncuéntrense las coord en ad as de D. 20. U n círculo con rad io a y centro en el origen contiene el p u n to de coorden ad as (c, d). E ncuéntrese la pendiente de la tangente al círculo en el p u n to (c, d):

_

SO LUCIO N D E PROBLEMAS C o n s id é re n s e los p u n to s A( —2 ,0 ) B(6 ,4 ) y C(x, 0). Si AB 1 SC, e n c u é n tr e s e el á r e a d e A ABC. (Sug eren cia : E n c u é n tre n s e p rim ero las c o o rd e n a d a s del p unto C.)

519

520


14.5

La fórm ula de la distancia

E n e s ta se c c ió n se e s tu d ia r á u n a d e la s fó rm u la s m á s im p o r ta n te s d e la g e o m e tr ía a n a lític a : la fó r m u la d e la d ista n cia . P u e d e u s a rs e e s ta Si u n ja r d in e r o d e re c h o la n z a la p e lo ta d e l p u n to fó r m u la p a r a s a b e r a q u é d is ta n c ia se la n z ó A a la te rc e ra b a se ( p u n to B ), ¿ q u é d is ta n c ia la p e lo ta (v é a se la fig u ra d e la d e re c h a ). re c o rr ió la p e lo ta ?

Ejemplo 1 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to p a ra le lo a l eje d e la s x. [4 4 4 : 1

AB = AB = AB =

■r

|4 — |6| 6

( — 2)| Si A B es pa ra lela a l eje de la x y las c o o r d e n a d a s d e A y 6 s o n ( x x, y ¡) y (x 2, y 2), e n to n c e s A B = |x j — x 2|.

J..4..L.I..ÍXÍ

Ejemplo 2 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to p a ra le lo a l e je d e la s y.

p

-, -

r'fTT'T"!

■i

...

I”:”1 r— IT"! 4 LL^.-S-í U -4 é o É i d

—

A B = |3 — ( —2)| A B — |5| AB = 5

Si A B es p a r a le la a l eje d e la s y y las c o o r d e n a d a s d e A y B s o n ( x ¡ , y ,) y (x 2, y 2), e n to n c e s A B = | y \ — y 2|.

Ejemplo 3 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to q u e n o es p a r a le lo a n in g u n o d e lo s ejes. Se d e s e a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e A B . S e a B C p a r a le la a l eje de la s x , y A C p a r a le la a l eje d e la s y. E n to n c e s , B C = |2 — ( — 3)| y A C = |3 — ( —2)|. A A B C es u n triá n g u lo r e c tá n g u lo . A sí, p o r el te o r e m a d e P itá g o r a s , A B 2 = B C 2 + A C 2. P o r ta n to , A B 2 = = (2 — ( —3))2 + (3 — ( —2))2 o b ie n A B =

+ 3)2 + (3 + 2)2.

A B = V/2 5 ~ T 2 5 = 5 ^ 2 . E s to s e je m p lo s su g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .

14.5

Teorema 14.4

L a fó rm u la d e la d is ta n c ia

L a fó r m u la d e la d ista n c ia . Si A tie n e c o o r d e n a d a s ( x ¡ , y ¡ ) y B tien e c o o r d e n a d a s ( x 2, >’2), e n to n c e s A B = = y / ( x l - x 2)2 + (,V! - y 2)2 -

Ejemplo E m p lé e se la fó rm u la d e la d is ta n c ia p a r a d e te r m in a r si A A B C es isósceles. Se e m p ie z a

p o r e n c o n tr a r la s lo n g itu d e s d e lo s tre s la d o s.

AB =

V (8 - ( —2))2 + (7 - O)2 = VT49

BC ~

V O 2 + (7 -

AC =

V (8 - ( —2))2 + ( - 5 - O)2 = V Í2 5

( — 5))2 = V \ 4 4

N o h a y d o s la d o s q u e te n g a n la m is m a lo n g itu d , p o r ta n to A A B C n o es isósceles.

APLICACION V o lv ie n d o a la p r e g u n ta p la n te a d a al p r in c ip io d e la se c c ió n re la tiv a a la d is ta n c ia q u e re c o r r ió la p e lo ta d e b é is b o l, a síg n e s e u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s c o m o el d e la d e re c h a , c o n o rig e n e n hom e. E l ju g a d o r e s ta r á e n la p o s ic ió n (280,20). C o n la fó rm u la d e la d is ta n c ia , se o b tie n e : A B = 7 ( 2 8 0 - O)2 + (20 - 9 0 )2 A B = X/(2 8 Ó )2 + ( —7 0 )2 A B = ^ 7 8 ,4 0 0 + 4900 A B = ^ 8 3 , 300 A B = 288.62 p ies L a p e lo ta re c o r r ió u n o s 2 8 9 pies.

£(0, 90); tercera base C(90, 0); primera base 0(325, 0); valla del jardín derecho -4(280, 20); posición del jugador

521

522


EJERCICIOS____________________________________ A. En los ejercicios 1 a 8, encuéntrese la distancia entre los puntos dados. I. ( - 4 , 5 ) y (6 ,5 ).

2. (3 ,2 ) y ( 3 , - 8 ) .

3. (4 ,5 ) y ( - 3 , - 2 ) .

4. ( - 2 , 5) y ( 5 , - 2 ) .

5. (4 ,0 ) y ( 0 , - 6 ) .

6. (1 ,2 ) y ( - 7 , 3 ) .

7. ( - 5 , 3 ) y ( 0 , - 4 ) .

8. ( 6 , - 2 ) y (7, 3).

En los ejercicios 9 a 12, em pléese la fórm ula de la distancia para clasificar los triángulos en escaleno, isósceles o equilátero. 9. ¿ ( 4 , 5), 5 (5 , —2), y C (l, 1). 10. ¿ ( 1 ,1 ) , £ ( - 3 , 5 ) , y C ( 2 \/3 — l , 2 y / 3 + 3). 11. ¿ ( —6, 2), 5 (1 , 7), y C(6, 3). 12. ¿ (1 0 , —5), 5 ( —2, 1), y C (7,4). En los ejercicios 13 y 14, empléese la fórm ula de la distancia p a ra d eterm in ar si el trián g u lo es o n o rectángulo. 13. ¿ ( 1 ,4 ) , 5 ( —2, —2), y C(10, —8). 14. ¿ ( 5 ,7 ) , 5 (8 , - 5 ) , y C ( - 4, - 4 ) . 15. ¿R esulta m ás sencillo em plear la definición 14.1 o el teorem a 14.4 p ara m o strar que u n triángulo es rectángulo? 16. Empléese la fórm ula de la distancia p ara m o strar que A B C D es un p aralelogram o si los vértices son A( 1, —5), 5(7, - 1 ) , C(2, 0) y D( —4, - 4 ) .

ACTIVIDADES

~

A d e m á s del u so d e la s c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s , hay o tra form a d e e n c o n tra r p u n to s e n un plano. P or ejem p lo , p a ra lo calizar el punto P p o d ría d e c irs e « d e s p la z a rs e 4 u n id a d e s en un á n g u lo d e 45o». La n otación d e e s to s e re p r e s e n ta con el p a r o rd e n a d o (4, 45°) o bien, en g e n e ra l, (r, 0), d o n d e 0 re p r e s e n ta el án g u lo y r re p r e s e n ta la d ista n c ia d e O al punto dado. T rá c e s e un ray o OM (con O e n el o rig en ) y e m p lé e s e el tra n s p o rta d o r p a r a re p re s e n ta r los p u n to s sig u ien te s: 1 . ( 2 , 30°)

2 . ( 3 ,'9 0 ° )

4 . (2 .5 , 1 2 0 ° )

5. (4 , 4 2 ° )

3 . (5 , 9 0 ° ) 6

. (1 , 1 8 0 ° )

O (r, H) = (5 . 1 5 0 ° )

14.5

17. E ncuéntrese la longitud de la m ed ian a A D en A A B C con vértices A(2, 6), B(3, - 5 ) y C ( - l , 7). En los ejercicios 18 a 20, empléese la fórm ula de la distancia para d eterm inar si B está en tre A y C. (Si B está entre A y C, entonces A B + B C = AC.) 18. A ( — 3, - 7 ) , £ (0 , —2), C (6 ,8). 19. A ( 1 , - 2 ) , £ (4 ,3 ), C(10, 12). 20. A ( 1 ,4), £ (2 , 3), C(4, 1).

21. E ncuéntrese x si la distancia entre (1, 2) y (x, 8) es 10. 22. A B C D es u n rectángulo inscrito en un círculo, con vértices .4(0, 0), B(2, 1), C(4, - 3 ) y D(2, - 4 ) . E ncuéntrese la long itu d del d iám etro del círculo. 23. E ncuéntrese el área de A A B C cuyos vértices son -4(—3, —4), £ (3,4) y C( —5,0). 24. E ncuéntrese el área de A B C D con vértices A( — 2, 3), £(3, 8), C(8, 3) y D(3, - 2 ) .

25. E ncuéntrense las co o rd en ad as del p u n to equidistante de (3,11), (9,5) y ( 7 ,- 1 ) . 26. E ncuéntrense las coorden ad as del p u n to que equidista de (0,6) y (10,0) y está sobre la línea y = x. 27. G rafíquense al m enos c u a tro p u n to s que satisfagan la condición de que la distancia en tre ellos y el p u n to (1, 2) sea siem pre 5 unidades.

_ SOLUCION D E PROBLEMAS C o n s id é re s e un s is te m a d e c o o rd e n a d a s trid im en sio n al con un e je d e la s x, un e je d e las y y un e je d e la s z. En él, s e c o lo c a un c u b o c u y a s a r is ta s m iden 4 u n id a d e s c a d a una, com o s e m u e s tra en el d ia g ra m a . 1. E n c u é n tre s e la longitud d e OP. 2. E n c u é n tre s e la fórm u la p a r a la longitud O P e n un cubo, d e c u a lq u ie r ta m a ñ o . (S u g e r e n c ia : S e a P un punto con c o o rd e n a d a s (x,, y,, z,).)

L a fó rm u la d e la d is ta n e ia

523

524


14.6

La ecuación de la recta c

recorridas)

L a s re la c io n e s d e n u e s tr o m u n d o p u e d e n r e p r e s e n ta rs e c o n fre c u e n cia m e d ia n te la g rá fic a d e u n a re c ta . E s ta s re la c io n e s, c o m o la s ta rifa s d e lo s ta x is, se lla m a n rela cio n es lineales. T o d a r e la c ió n lin e a l p u e d e re p re s e n ta rs e p o r u n a e c u a c ió n d e la f o r m a y = m x + b, d o n d e la r e c ta c o r ta a l e je d e la s y e n b y tie n e u n a p e n d ie n te m.

Ejemplo 1

L a re la c ió n e n tr e la e s c a la F a h r e n h e it y la e s c a la C e ls iu s e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n F = f C + 32 L a p e n d ie n te e s f . E l c ru c e c o n e l eje F es e n 32.

Ejemplo 2

S u p ó n g a s e q u e p o r c a d a o n z a d e p e s o q u e se a g re g u e a u n m u e lle , é ste se e s tir a r á 0.5 p u lg a d a s . L a re la c ió n e n tr e el p e s o (x) y la lo n g itu d d e l a la r g a m ie n to (y) e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n y = 0.5x L a p e n d ie n te es 0.5. E l c ru c e c o n el eje y es 0. (peso)

Teorema 14.5

x

C u a lq u ie r r e c ta e n el p la n o d e c o o r d e n a d a s q u e n o sea p a r a le la a l e je d e la s y p u e d e r e p re s e n ta rs e p o r la e c u a c ió n y = m x + b , d o n d e m es la p e n d ie n te y b es el p u n t o e n q u e c r u z a e l e je d e la s y.

14.6

Ejemplo 1


D e te rm ín e n s e la p e n d ie n te y el p u n to d e c ru ce c o n el eje y d e u n a re c ta , d a d a la e c u a c ió n d e la f o r m a a x + b y = c.

C o n s id é re s e la e c u a c ió n 3 x + 4y = 12. D e sp é je se y . 3 x + 4y = 12. 4-y = - 3 x + 12 y = - |x

+ 3

A h o r a , e n c u é n tre n s e la p e n d ie n te y el c ru c e c o n el eje y. P o r el te o r e m a 14.5, m = —| (la p e n d ie n te ) y

3 x + 4y =

12

b = 3 (el c ru c e c o n el eje y). L o s d o s e je m p lo s s ig u ie n te s ilu s tr a n la fo r m a e n q u e p u e d e e m p le a rse el te o re m a 14.5 p a r a e n c o n tr a r la e c u a c ió n d e u n a re c ta d a d a s c ie rta s c o n d ic io n e s .

Ejemplo 2

E n c u é n tre s e la e c u a c ió n d e u n a r e c ta d a d o s la p e n d ie n te d e la r e c ta y u n p u n to s o b re la re c ta .

C o n s id é re s e u n a r e c ta c o n p e n d ie n te § y u n p u n to (- 3 ,- 4 ) . P a s o 1 L a p e n d ie n te e s tá d e te r m in a d a , ., y 2 ~ -V2 p o r la e c u a c ió n m = ------------ . Xi-*2 C o n s id é re s e u n p a r d e p u n to s (x, y) y ( — 3, —4), y o b té n g a s e la e c u a c ió n 2 _ y - (-4 ) 3

x — ( — 3)

P a s o 2 S im p lífiq u e se la e c u a c ió n . 2(x — ( — 3)) = 3(y — ( —4)) o y - ix - 2

Ejemplo 3

E n c u é n tre s e la e c u a c ió n d e u n a re c ta d a d o s d o s p u n to s s o b r e la re c ta .

C o n s id é re s e u n a r e c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( — 3, 6) y (1, 2). 6 -2 4 P a s o 1 L a p e n d ie n te m = ------------= — = — 1. - 3 - 1 —4 P a s o 2 D a d o q u e se c o n o c e n la p e n d ie n te y u n p u n to , síg a se el e je m p lo 2 u s a n d o lo s p u n to s (x , y ) y ( — 3, 6). 1

y - 6

(-3)

o y = —x + 3.

y = jx -

2

525

526


EJERCICIOS ___ ______________________________ A. E n los ejercicios 1 a 6, escríbase la ecuación de la recta en la form a y = m x + b. 1. m = 2, b = 3.

2.

m = §, b = —2.

4. m = —0.2, b — —2.5.

5.

m = 10,

3. m — — = —4.

b = 5-

6. w = 0, b — 2.

E n los ejercicios 7 a 10, represéntese la ecuación. 1. y = x + 4 . 9. j

— 5.

8.

= —2x — 3.

10. y = — \ x + 3.

E n los ejercicios 11 a 16, encuéntrese la pendiente y el cruce con el eje y de cada recta y represéntese la ecuación. 11. y + 2x = 4.

12. 2j< - x = 5.

13. 3x — 2jy = 4.

14.

15. 5 — 3x = 2y.

16. 3x - 4y = 12.

+ j x = 1.

E n los ejercicios 17 a 22, encuéntrese la ecuación de la recta dad o s la pendiente y un punto. 17. m = 2, (1, - 3 ) .

18. m = - 3 , ( - 2 , 1 ) .

19. m = j , (0 ,0).

20. m = - i , (4, 3).

21. m -

22. m = - | , (0,4).

( - 3 , -4 ).

En los ejercicios 23 a 28, encuéntrese la ecuación de la recta que contiene a los p u n to s dados. 23. (0 ,0 ), (4 ,3 ).

24. ( - 2 , 1), (5, —3).

25. (0 ,0 ), ( - 3 , - 3 ) .

26. (0, - 4 ) , (6 ,0 ).

27. (5 ,2 ), ( - 3 , 2 ) .

28. (1 ,3 ), ( - 4 , - 2 ) .

ACTIVIDADES! Id entifiq ú en se d o s v a ria b le s q u e s e su p o n e tienen alg u n a relació n . P o r ejem plo: a . el p e s o y la a ltu ra d e u n a p e rs o n a , b. el n ú m e ro d e b a te o s y el n ú m e ro d e .h its d e un ju g a d o r d e b éisb o l c. la c irc u n fe ren c ia d e v a rio s circu io s y los d iá m e tro s c o rre s p o n d ie n te s . D esp u és, 1. R e p re s é n te n s e los p a re s o rd e n a d o s. 2. D ib ú jese u n a re c ta q u e s e a el m ejo r a ju s te a los datos. 3. D e te rm ín e n se la p e n d ie n te y el c ru c e con el e je vertical d e la recta.

200-

-

"/

180- • / ' i •

160-

3 14° - 120-10° -J— /

. / • / / • / .

ir

+

80 50

60

70 80 altura

90

14.6


527

En los ejercicios 29 a 31, encuéntrese la pendiente de u n a recta que sea p erpendicular a la recta dada. 29. y = —2x + 3.

30. 2x - 3y = 6.

31. 12x + 30y = 18.

32. L os vértices de un trián g u lo tienen coordenadas (0, 0), (2, 4) y ( —4, 2). E ncuéntrese la ecuación de los lados del triángulo. 33. E ncuéntrese el p u n to de intersección de la recta x — 3 y = 1 y la recta que contiene a los p u n to s (1, 7) y (6, —3).

34. Si los puntos sobre x e y son (4,0) y (0, —3), ¿cuál es la ecuación de la recta?

35. E ncuéntrese el á rea de un triángulo form ado p o r el eje de las x, el eje de las y y la recta y = x — 5.

36. Encuéntrese la ecuación de la m ediana AD de A A B C con vértices A(4, 4), B(6, 2) y a —2, - 4 ) .

37. E ncuéntrense las ecuaciones de las diagonales del rectángulo A B C D con vértices A{ — 6, —4), B( —6, 2), C(3, 2) y D(3, - 4 ) .

38. E ncuéntrese la ecuación de la altu ra AD de A A B C con vértices A( — 1, 5), B( —7 , —3 ) y C ( 5 ,l) .

39. E ncuéntrese la ecuación de la recta que es_ la bisectriz perpendicular del segm ento A B con extrem os -4(10, 2) y B(2, —6).

40. E ncuéntrese la ecuación de la recta que contiene al p u n to (4, 2) y es perpendicular a la recta y = —2x — 4.

41. U n a d iagonal de un cu ad rad o está sobre la recta 3x — 5y = 14. U n vértice está en (0, 4). E ncuéntrese la ecuación de la o tra diagonal.

42. Las ecuaciones de dos lados adyacentes de un paralelogram o son x + 2y — 4 = 0 y 3x + y + 3 = 0. U n vértice tiene coordenadas (8, —7). E ncuéntrense las ecuaciones de los o tro s dos lados.

43. E ncuéntrese la distancia entre las rectas paralelas con ecuaciones y = Ix + 10 e y = — lx + 15. (Sugerencia: D ibújese un d iag ram a preciso.)

44. Las co o rd en ad as de A A B C son .4(0, 0), 5(6, 0) y C(4, 6). AD es u n a a ltu ra desde BC. E ncuéntrense las co o rd en ad as de D.

45. L as co o rd en ad as de los vértices de u n triángulo son (0, 0), (18,0) y (6,12). E ncuéntrense las coorden ad as del centroide (el p u n to de intersección de las m edianas).

SO LUCIO N D E PROBLEMAS. E n c u é n tre s e la d ista n c ia e n tre el punto (2, 1) y la re c ta 3x - 4y = 0. (S u g eren cia : D ib ú jese u n a figura p re c is a y d íg a s e la d is ta n c ia q u e d e b e e n c o n tra rse .)

528


14.7

La ecuación del círculo

S u p ó n g a s e q u e se a s ig n a u n s is te m a de c o o r d e n a d a s p a r a e s te d ib u jo d e fo rm a q u e la n iñ a se a el o rig e n . ¿ C ó m o p o d r ía d e s c rib irs e m a te m á tic a m e n te la tr a y e c to r ia del a v ió n ? E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n a y u d a r á a re s o lv e r la p re g u n ta . E n lo s e je m p lo s sig u ie n te s, m u é s tre s e q u e lo s p u n to s e s tá n s o b re el círc u lo . E s to p u e d e h a c e rs e si se m u e s tr a p r im e r o q u e las c o o r d e n a d a s d e lo s p u n to s sa tis fa c e n la e c u a c ió n d a d a p a r a el círcu lo .

x2 + y 2 = 4

X2 + y 2 =

16

x 2 + >’2 = 6 4

C o n s id é re s e el c írc u lo d e la d e re c h a c o n c e n tr o e n el o rig e n y r a d io 5 u n id a d e s . S u p ó n g a s e q u e (x ,j/) es u n p u n to s o b re el c írc u lo . L a fó rm u la d e la d is ta n c ia e x p re s a q u e V (x -

O)2 + ( y - O)2 = 5.

P o r ta n t o , x 2 + y 2 — 25, q u e es la e c u a c ió n d e l c írc u lo . E sto s u g ie re el s ig u ie n te te o re m a .

Te0reiH3 14.6

L a g rá fic a d e la e c u a c ió n x 2 + y 2 y c e n tr o e n el o rig e n .

r 2 es u n c írc u lo d e r a d io r

14.7


APLICA CIO N C o n s id é re s e a la n iñ a q u e m a n e ja el a v ió n c o m o se d e s c rib ió al p rin c ip io d e e s ta secció n . Si la n iñ a e s tá e n el o rig e n y la c u e r d a tie n e 15 p ie s d e lo n g itu d , e n to n c e s , p o r el te o re m a 14.6, la tr a y e c to r ia d e l a v ió n e s tá d e s c rita p o r la e c u a c ió n x 2 + y 2 = 225.

. E n, lo s e je m p lo s sig u ie n te s, m u é s tre s e q u e lo s p u n to s e s tá n s o b re los c irc u io s. L a s c o o r d e n a d a s d el c e n tr o d el c írc u lo se d a n e n ro jo .

(X - 2 f + (y - 3)2 = 16

(X - (_ 3 ))2 + {y _ 1)2 = 25 o ( x + 3)2 + (y - i)-’ = 25

A)2 + ( y - ( - 4 ) ) 2 = 36 o ( x - 4)2 + (y + 4 )2 = 36

(x -

S u p ó n g a s e q u e el c írc u lo d e la d e re c h a tie n e su c e n tr o en el p u n to (h, k) y tie n e r a d io r u n id a d e s . L a f ó rm u la d e la d is ta n c ia e x p re s a q u e V {x -

h )z + ( y -

k)2 --- r.

P o r ta n to , la e c u a c ió n d e l c írc u lo es (* -

h )2 + ( y - k ) 2 = r 2.

A h o r a se e n u n c ia el te o re m a sig u ie n te .

Teorema 14.7

L a g rá fic a d e la e c u a c ió n (x - h)2 + {y - k)2 = r 2 es u n c írc u lo d e r a d i o r y c e n tr o e n e l p u n to (h, k).

529

530


E JE R C IC IO S________________________________________________ A. E n los ejercicios 1 a 9, escríbase la ecuación de un círculo con el radio y el centro dados. D espués, dibújense los círculos con un com pás. 1- (0,0)s 5.

2. (0 ,0 ); 2 .

3. (0 ,0 ); 6.

4. (0 ,0 ); 4.

5. (2, 3); 6.

6. ( - 3 , - 4 ) ; 4.

7. (5 ,2 ); y /2 .

8. ( - 4 , 6); 2.5.

9. (0, - 4 ) ; 5.

En los ejercicios 10 a 17, encuéntrense el c en tro y el radio del círculo. 10. x2 + ;y2 = 25.

11. x 2 + y 2 = 36.

12. x 2 + y 2 = 20.

13.

14. (x + 4)2 + ( y

- 2)2 = 10.

(x - ( —3))2 + ( y - 4)2 = 25.

15. x 2 + ( y - 3)2 = 12.

16. (x + 2)2 + j 2 = 9.

17.

(x + 2)2 + ( y + 4)2 = 36.

B. 18. Escríbase la ecuación de un círculo con cen tro en ( —4, 0) y que con ten g a al origen.

ACTIVIDADES”

19. E scríbase la ecuación de un círculo con centro en (3, 4) y que contenga al origen,

'

'

U na e lip s e e s u n a figura m uy re la c io n a d a con el círculo. E stú d ie se la definición sig u ien te : P , y P2 so n p u n to s fijos. La s u m a d e la s d is ta n c ia s d e sd e c u a lq u ie r punto d e la c u rv a h a s ta P , y P2 e s sie m p re la m ism a. E sto e s , P ,B + S P 2 = = P ,A + A P t = P t C + CPt .

Una e lip se e s el co n junto de puntos en el q u e la s u m a d e la s d ista n c ia s d e s d e d o s p u n to s fijos (P, y P2) h a s ta un punto d e la c u rv a e s una co n sta n te .

El sig u ie n te e s un p ro ced im ien to p a ra c o n stru ir u n a elipse. 1. F íje n se d o s p u n to s co n c la v o s o alfileres. 2. A te n se los e x tre m o s d e u n a c u e rd a a los d o s clavos. 3. M u é v a se un lápiz co m o s e m u e s tra e n la figura. D ib ú jen se v a ria s e lip s e s ca m b ia n d o la d ista n c ia e n tre los clav o s y la longitud de la c u e rd a . ¿ C u án d o s e p a re c e la e lip s e m á s a un círculo?

14.7

20. E scríbase la ecuación de u n circulo con centro en ( - 2 , 3 ) y que con ten g a al p u n to (3,3). 21. E scríbase la ecuación de un círculo con u n diám etro cuyos extrem os sean (—4, 0) y (2, 0). 22. E scríbase la ecuación de u n círculo c o n un diám etro cuyos extrem os sean (3, 6) y (3, - 2 ) . 23. Escríbase la ecuación de un círculo con u n diám etro cuyos extrem os sean ( - 4 , 8) y (6, 2). 24. Escríbase la ecuación de una recta que sea tangente al círculo x 2 + y 2 = 25 en el p u n to ( - 3 , 4). (Recuérdese que la tangente es p erpendicular al radio.) 25. E scríbase la ecuación de la recta de los centros de los círculos (x + 4)2 + (y - 2)2 = 36 y (x - 5)2 + (_>- + 3)2 = 17. 26. E scríbase la ecuación del círculo con cen tro en ( —5, —5) y tang en te a am b o s ejes. 27. E scríbase la ecuación de u n círculo q u e tenga el m ism o cen tro que el círculo (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 y sea tangente al eje de las y.

28. E ncuéntrese la ecuación del círculo cuyo centro esté sobre la recta y = £x y que contenga a los p u n to s (0, 6) y (0, - 2 ) . 29. E scríbase la ecuación del círculo con centro en (1, 7) y sea tangente a la recta x + 3y = 12. 30. E ncuéntrese la longitud de una tangente desde (6,4) al círculo x 2 + y 2 = 36.

SOLUCION D E PROBLEM AS__ S u p ó n g a s e q u e u n a e s f e r a con c e n tro en (0,0,0) c o n tie n e al punto P (4 ,4 ,4 ) e n un s is te m a de c o o rd e n a d a s trid im e n sio n a l. E s c ríb a s e la e cu a c ió n q u e re p r e s e n ta la e sfe ra . E s c ríb a s e la e c u a c ió n d e la e s f e r a con c en tro e n (1, 3, 2) y q u e c o n te n g a al pun to (4, - 2 , 3).


531

532


14.8

uso de las coordenadas en la prueba de teorem as

A lg u n o s te o r e m a s se p u e d e n p r o b a r fá c ilm e n te c o n el u s o d e la s c o o r d e n a d a s . S in e m b a r g o , es m u y im p o r ta n te e le g ir la s c o o r d e n a d a s co n c u id a d o . E s tú d ie n s e lo s d o s e je m p lo s sig u ie n te s.

Ejemplo 1 C o n s id é re s e el te o re m a : L a s d ia g o n a le s d e u n r e c tá n g u lo s o n c o n g ru e n te s . ¿ C u á l d e la s sig u ie n te s p o s ic io n e s d e l r e c tá n g u lo p a re c e s e r la m ejo r? y .

y>

(a,b + d) (0, b)

( a,b)

( - a , b)

(a , b )

(a, b) (-a

0

(0 ,0 )

(a, 0 )

)

(a,0)

'

E l te o r e m a p o d r ía p r o b a r s e u tiliz a n d o la fó rm u la d e la d is ta n c ia c o n c u a lq u ie r a d e la s tre s p o sic io n e s . S in e m b a r g o , la fig u ra d el c e n tro p u e d e se r la m á s fácil d e u s a r d a d o q u e la s c o o r d e n a d a s q u e se n e c e s ita n tie n e n m á s ce ro s.

Ejemplo 2 C o n s id é re s e el te o re m a : L a m e d ia n a d e la b a s e d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo isósceles es p e r p e n d ic u la r a la b a s e ¿ C u á l d e la s sig u ie n te s p o sic io n e s d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo isósceles p a re c e s e r la m e jo r? y (a , b)

A

00

( , )

(a + c , b + d )

\ (2 a , 0 )

C u a lq u ie r a d e la s tr e s p o s ic io n e s p o d r ía u s a rs e p a r a p r o b a r el te o re m a . S in e m b a r g o , p a r a la p r u e b a se u s a r á la p o s ic ió n d e la d e re c h a .

( a + c, b)

14.8

Ejemplo 3

U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a d e te o re m a s

T e o re m a : L a s d ia g o n a le s d e u n r e c tá n g u lo so n c o n g ru e n te s .

y PR U E B A D ado:

D( 0, b)

A B C D es u n r e c tá n g u lo c o n c o o r d e n a d a s 4 .(0,0), B (a , 0),_C(a, b), D (0 ,b ) y d ia g o n a le s A C y B D .

P ru é b e se :

¿(0 ,0 )

A C = BD. R azones

Afirmaciones 1. A B C D es un rectángulo con ¿ ( 0 ,0 ) , B (a,0 ), C (a ,b ), D(0, b).

1. D ado.

2. A C = V (a - O)2 + (b - O f.

2. F ó rm u la de la distancia.

3. A C = V a 2 + b2.

3. P ro p iedades de los núm eros.

4. B D = V (» - 0)2 + (0 - bf -

4. ¿ P o r qué?

5. B D = y ja 2 + b2.

5. P ropiedades de los núm eros.

6. A C = BD .

6. ¿ P o r qué?

Ejemplo 4

x

T e o re m a : L a m e d ia n a d e la b a s e d e u n triá n g u lo r e c tá n g u lo isó sceles es p e rp e n d ic u la r a la base. PR U E B A D ado:

T r iá n g u lo r e c tá n g u lo isó sc ele s A B C c o n A ( 0 , 0), B ( a , 0 ), C (0, a ) y B M = M C .

P ru é b e se : A M _L B C Razones

Afirm aciones 1. T rián g u lo rectángulo isósceles A B C con A ( 0 ,0 ), B (a, 0), C(0, a).

1. D ado.

2. L as coorden ad as de M son

2. F ó rm u la del p u n to m edio (T eorem a 14.1).

- |- j.

4 -0

— 2 3. P endiente de A M =

= 1.

3. D efinición de pendiente.

4 -0 4. P endiente de B C = -------— = — 1. 0 —a

4. D efinición de pendiente.

5. Pendiente de A M • pendiente de

5. P ropiedades de los núm eros.

BC _=( 1 X - 1 ) = - 1 . 6. A M 1 BC.

6. ¿ P o r qué?

C( a, b)

B( a , 0)

533

534


EJERCICIO S____________________________________ A. En los ejercicios 1 a 5, dibújese un sistem a de coordenadas y ubíquese la figura. D ese una prop o sició n sobre la figura que pued a probarse. 1. C u ad rad o .

2. T rián g u lo equilátero.

3. Paralelogram o.

4. T rapecio isósceles.

5. U n trapecio AB C D con A B || CD y m /- A = m /-D = 90. 6. D ado:

A B C D es un cu ad rad o con ,4(0, 0), B(a, 0), C(a,a) y D(0, a). Pruébese: ,4C = BD.

7. D ado:

A B C D es un ro m b o con A{0, 0), B(a, 0), C(c, b) y D(c — a, b). Pruébese: A C 1 B D . (Sugerencia : M uéstrese que pendiente de A C • pendiente de BD = — 1. Recuérdese que A D = AB.)

ACTIVIDADES C onsíganse alg un os conos de un m a te ria l cu alqu iera. C órtense de va ria s fo rm a s, com o se s u g ie re a continuación. O bsérvese la fig u ra resultante.

corte 1. C órtese una sección p a ra le la a la base. La fig u ra que se fo rm a es un circulo.

figura

O c irc u lo

2. H ágase un corte que no sea p a ra le lo a la base y que no la interseque. La fig u ra que se form a se llam a elip se. e lip s e

A

3. C órtese una sección p a ra le la al lado in clin a d o del cono. La fig u ra que se form a es una p arábola.

p a rá b o la

4. C órte se una sección que sea p e rp e n d icu la r a la base. La fig u ra que se fo rm a se llam a h ip érb o la . Expliqúese por qué estas fig u ra s se llam an có n icas.

L

h ip é r b o la

14.8

8. D ado:

U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a d e te o re m a s

A B C D es u n p aralelogram o con ,4(0,0), B{a,0), C{c,b) y D(c — a, b).

D(c — a, b)

/V

535

C(c, b)

^ 7

Pruébese: A C y BD se bisecan. 9. D ado:

U n círculo con centro en el origen y cu erd a A B con coorden ad as (0, a) y (a, 0). Pruébese: L a bisectriz perpendicular de u n a cu erd a de un círculo contiene al centro.

,4(0,0)

B(a, 0)

*

i . ,4(0, a)

(l (0,0)0

B(a, 0) 1

X

B.

C.

10. Pruébese: L as diagonales de un cu ad rad o son perpendiculares. (Asígnese u n sistem a de coorden ad as com o el del ejercicio 6.)

11. Pruébese: L as diagonales de un trapecio isósceles A B C D son congruentes. (Asígnense los vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(c, b) y D(a - c, b).)

12. Pruébese: El p u n to m edio de la h ip o ten u sa de un triángulo rectángulo A B C equ id ista de los vértices. (Asígnense los vértices ,4(0,0), B(a, 0) y C(0,b).)

13. Pruébese: Si las diagonales de un paralelogram o A B C D son congruentes, el paralelogram o es un rectángulo. (Asígnense los vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(c. b) y D(c - a, b).)

14. Pruébese: Si las diagonales de un trapecio A B C D son congruentes, entonces los catetos del trapecio son congruentes.

15. Pruébese: El segm ento de recta que une los p u n to s m edios de dos lados de un triángulo es igual a la m itad del tercer lado y es paralelo a él.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS El s ig u ie n te p ro b le m a s e p re se n tó en un e x a m e n d e a d m isió n a u n a u n iv ersid ad . La r e s p u e s ta p re te n d id a e r a 7 c a ra s . Sin e m b a rg o , un e stu d ia n te d e b ach ille ra to a le g ó q u e 7 c a r a s no e r a la re s p u e s ta co rre c ta . ¿ E sta b a en lo c ie rto ? En c a s o afirm ativo, ¿cu ál e s la re s p u e s ta c o rre c ta ? En la s p irá m id e s ABCD y EFGHI, to d a s la s c a r a s son triá n g u lo s e q u ilá te ro s c o n g ru e n te s e x c e p to la b a se FGHI. Si la c a ra A B C s e c o lo c a ra s o b r e la c a ra EFG d e m a n e ra q u e los v é rtic e s del triá n g u lo coin cid ieran , ¿ c u á n ta s c a r a s te n d ría el só lid o re su lta n te ? a. 5.

b. 6.

c . 7.

d. 8.

e . 9.

536

G e o m e tria d e c o o rd e n a d a s

14.9

Transformaciones y geometría de coordenadas

E s to s d ib u jo s fu e ro n e la b o r a d o s p o r u n c o m p u ta d o r d e la U n iv e r s id a d d e C o n n e c tic u t, E s ta d o s U n id o s (V éase la r e v is ta S c ie n tific A m e ric a n d e fe b re ro d e 1980). E l c o m p u ta d o r u s ó u n tip o e sp e c ia l d e tr a n s f o r m a c ió n p a r a m o s tr a r la se c u e n c ia (fig u ra s u p e rio r) d e s d e la in fa n c ia (p erfil in te r n o ) a la e d a d a d u lta (perfil e x te rn o ). Se e m p le ó u n tip o d e tra n s f o r m a c ió n d ife re n te p a r a p r o d u c ir la se c u e n c ia (fig u ra in fe rio r) d e s d e el h o m b r e d e N e a n d e r th a l (perfil in te r n o ) h a s ta u n s e r h u m a n o d el f u tu r o (perfil e x te rn o ). L a s tr a n s f o r m a c io n e s a y u d a n a s im u la r el c re c im ie n to y lo s c a m b io s e n las c a ra c te rís tic a s d e l c u e r p o h u m a n o p a r a q u e los c ien tífic o s p u e d a n e s tu d ia rlo s . L o s e fe c to s d e tra n s f o r m a c io n e s sim p le s, c o m o tra s la c io n e s , re fle x io n e s, r o ta c io n e s y o tr a s , p u e d e n m o s tr a r s e e n u n eje d e c o o r d e n a d a s . E s tú d ie s e e l s ig u ie n te e je m p lo .

Ejemplo-

^ a r a r e p r e s e n ta r u n a fig u ra y s u im a g e n d e sp u é s d e u n a tr a n s f o r m a c ió n , c u a n d o la re g la es (x, y ) -* (x + 4 , y + 5).

P aso 1 RePres®ntese u n a figura, A A B C , p o r ejemplo. A ( — i , —4), B (l, —2), C(2, —4). P aso 2 Apliqúese Ia regla de la transform ación a los p u n to s A , B y C p a ra o btener com o im agen los p u n to s A ', B ' y C'. ( x ,y ) ----- * (* + 4, y + 5). ( - 3 , - 4 ) ----- * (1 ,1 ). ( 1 , - 2 ) ------* (5,3). (2, - 4 ) ----- * (6, 1). Paso 3‘ RePres¿ntese la im agen de A A B C , que es A A 'B 'C '. E sta transform ación es u n a traslación.

14.9

T ra n s fo rm a c io n e s y g e o m e tría d e c o o rd e n a a a s

EJERCICIOS A. Represéntese c a d a figura y su im agen con la regla de transform ación que se p ro p o rcio n a en los ejercicios 1 a 3. 1. Figura: T riángulo A B C , A ( — 6, 3), B( —4, 5) y C (—3, 4). Regla de transform ación: (x, y) - » (x + 4, y + 3). 2. Figura: T rián g u lo D EF, D(2, 1), E(3, 4), F (l, 5). R egla de transform ación: (x, y) —►( —x, y). 3. F igura: T rián g u lo P Q R , P (l, 1), 0(7, 4), R(5, 2). R egla de transform ación: (x, y ) - * ( —y , x). 4. P a ra los ejercicios 1 a 3, digase si la transform ación es una

traslación, u n a ro tació n o una reflexión. Si es una traslación, encuéntrese la distancia del traslado. Si es una reflexión, especifiquese la línea de reflexión. Si es una rotación, especifiquense el centro y el núm ero de g rad o s de la rotación.

B. En los ejercicios 5 a 7, represéntense el cuadrilátero y su imagen. D espués, respóndase a las preguntas. 5. C uadrilátero: -4(1, 1), B (l, 2), C(2, 1), D{2, 2). Regla de transform ación: (x, y) - » (3x, 3y). E sta transform ación se denom ina ampliación. ¿Q ué relación existe en tre las longitudes de los lados de esta figura y las longitudes de los lados de la im agen? ¿Q ué relación h a y entre sus áreas? 6. C uadrilátero: P (l, 2), 0 (1 , 3), R (3, 3), S(3, 2). Regla de transform ación: (x, y) -* (x + 3y, y). E sta transform ación se denom ina partición. ¿Q ué relación existe en tre el á rea de la im agen y el á rea del cuadrilátero? 7. C uadrilátero: W (4, - 1 ) , X (3 , 2), Y ( - 3, 2), Z ( - 2 , 1).

Regla de transform ación: (x, y) -* (yx, 2y). E sta transform ación se d en o m in a alargamiento. ¿C óm o cam bia esto a u n a figura? ¿Q ué relación existe en tre las áreas?

C. 8. E labórense algunas reglas de transform ación y represéntense una figura y su im agen p a ra ver có m o se tran sform a la figura. E labórese u n a regla que p ro d u zca u n a «contracción» de la figura.

537

538


Capítulo 14


Términos Sistem a de coord en ad as cartesianas (pág. 505) Pendiente de u n a recta (pág. 512)

Teoremas 14.1 Si las coorden ad as del segm ento P ¡P 2 son (x t, y ,) y (x 2, y 2). entonces las co o rd en ad as del p u n to m edio de P , P 2 son *i + * 2

(:

2

J'x ’

+y2 2

14.2 El p ro d u cto de las pendientes de d os rectas perpendiculares es — 1. (S uponiendo que ninguna de las rectas es paralela al eje de las y.) 14-3 Las pendientes de d os rectas paralelas son iguales. (Suponiendo que n in g u n a de las rectas es paralela a l eje de las y.) 14.4 L a fórm ula de la distancia. Si A tiene coordenadas (x j, y ,) y B tiene coorden ad as (x2, y2), entonces 14.5 C ualquier recta en el p lan o de coorden ad as que no sea paralela al eje de las y puede representarse p o r la ecuación y = m x + b, d o n d e m es la pendiente y b es el p u n to en que se cruza el eje de las y. 14.6 L a gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = r 2 es un círculo de rad io r y cen tro en el origen. 14.7 L a gráfica de la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es u n círculo d e ra d io r y cen tro en el p u n to (h, k).

C a p ítu lo 14

Capítulo 14

Resumen

1. E ncuéntrense las distancias en tre las coordenadas, a. (1, 2) y (5, 8) c. ( - 4 , - 2 ) y (2, - 2 )

b. ( - 3 , 4) y ( 5 , - 2 )

2. E ncuéntrense las pendientes de las rectas que contienen las coorden ad as del ejercicio 1. 3. E ncuéntrense los p u n to s m edios de los segm entos determ inados p o r las co o rd en ad as del ejercicio 1. 4. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene al p u n to (2, —4) con pendiente —3. 5. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene al p u n to (4, 1) y es paralela a la recta 3x + 4y = 2. 6. M uéstrese que (8, —5), (0, —7) y (5, 7) son los vértices de un trián g u lo rectángulo. 7. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m an era que A B || CD p a ra ,4(2, 5), B(4, - 2 ) , C ( - 3 , - 4 ) y £>(6, x). 8. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m an era que A B _L CD p a ra A ( - 4, - 5), B(7, - 2), C( - 4, 6) y D(x, 0). 9. E ncuéntrense el centro y el rad io de u n círculo con ecuación (x - 2)2 + {y + 3)2 = 24. 10. Escríbase la ecuación de un círculo con cen tro en el origen y que pasa p o r el p u n to (4, 3). 11. D ado:

A B C D es un c u a d ra d o con vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(a, a) y_D(0, 4 _ Pruébese: A C 1 BD.

12. Dado:

F ig u ra W X Y Z con vértices tfÔ, 0), X (a, 0), Y (a + b, c) y Z(b,c). Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.

R esum en

539

540


Capítulo 14

Examen

1. E ncuéntrense las distancias en tre las coordenadas. a. (3, 6) y ( - 6 , - 3 ) . b. ( - 4 , 0 ) y (0, - 4 ) . c. ( - 2 , 5) y ( - 2 , - l ) . 2. E ncuéntrense las pendientes de las rectas que contienen a las coorden ad as del ejercicio 1. 3. E ncuéntrense los p u n to s m edios de los segm entos determ inados p o r las co o rd en ad as del ejercicio 1. 4. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene a los puntos ( - 3 , 5) y (2, - 4 ) . 5. E ncuéntrese la ecuación de una recta que contiene al p u n to (3, 5) y es p erpendicular a la recta 2 x + 6y = —3. 6. M uéstrese que (4, 5), (6, 4), (3, — 1) y (1, 0) son las coordenadas de los vértices de un paralelogram o. 7. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m anera que A B || p a ra A ( - 4, 2), B ( - 1, - 3 ) , C(6, 2) y D(x. - 4 ) . 8. E ncuéntrese la c o o rd en ad a que falta de m an era que A B ± CD p a ra A(5, - 3 ) , B ( - 2, 4), C(3, 3) y D ( - 7 , x). 9. Escríbase la ecuación de un círculo con cen tro en (2,3) y rad io 6. 10. Escríbase la ecuación de u n círculo con cen tro en el origen y que pasa p o r el p u n to ( —5, 12). 11. Dado:

T riángulo isósceles A B C con vértices C{b,c), -4(0,0), B(2b,0) y p u n to s m edios E y D de A C y BC, respectivam ente Pruébese: A D = BE.

Figura A B C D con vértices A( —b, 0), B(0,a), C(b, 0) y D(0, —a). Pruébese: A B CD es un rom bo.

12. D ado:

Resumen global (Caps. 11 a 14) 1. E ncuéntrese el área de un c u a d ra d o inscrito en un círculo de d iám etro 10 cm. 2. E ncuéntrese el á rea de un trián g u lo isósceles de base 8 cm y donde cada uno de los lados iguales m ide 5 cm. 3. E ncuéntrese el área de un trián g u lo eq u ilátero si su perím etro es 12 cm.

4. Si la razó n en tre los perím etros de dos triángulos sem ejantes es 2:1, ¿cuál es la razón entre sus áreas? 5. E ncuéntrese el área de un hexágono regular inscrito en un círculo de rad io 6 cm. 6. Si un prism a tiene de a ltu ra 6 m , y á rea de la base 12 m 2, ¿cuál es su volum en? 7. Si una pirám ide tiene base cu ad rad a de lad o 3 m y a ltu ra 7 m, ¿cuál es el volum en de la pirám ide? 8. E ncuéntrese el á rea de un cilindro circular recto de a ltu ra 10 cm y diám etro de la base 4 cm. (Em pléese n = 3.14.) 9. E ncuéntrese el volum en del cilindro del ejercicio 8. 10. Si un trián g u lo A B C con vértices A( 3, 5), B(5, - 2 ) y C ( - 4 , 3) se reflejara so b re el eje de las y, ¿cuáles serán las co o rd en ad as de su imagen? 11. Si un trián g u lo A B C con vértices A(4, —2), B( — 3, —7) y C (l, 6) se reflejara sobre el eje de las x, ¿cuáles serían las co o rdenadas de su imagen?

12. D ense las ecuaciones d e las líneas de sim etría de u n cu ad rad o con vértices (1, 1), (5, 1) (5, 5) y (1, 5).

13. Si se ro ta 180° sobre el origen el p u n to (2, 6), ¿cuáles serían las coorden ad as de su imagen?

14. E ncuéntrese la longitud de la h ip o ten u sa de u n triángulo rectángulo con vértices en (6, 8), (9, —4) y (1, —6).

15. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene a los puntos ( 2 , - 6 ) y ( - 4 ,3 ) .

542

Símbolos AB

recta A B (pág. 12)

II

es paralela a (pág.

AB

segm ento A B (pág. 16)

13)

AB

rayo A B (pág. 16)

LABC

ángulo A B C (pág. 17)

A ABC

triángulo A B C

(pág,

0 O

círculo Ó (pág.

17)

17)

AB

longitud del segm ento A B (pág. 20)

=

es congruente c o n (pág. 20)

m L ABC

m edida de L A B C (pág. 20)

^

no es congruente co n (pág. 22)

1

es p erpendicular a (pág. 28)

p-*q

p im plica q (pág. 56)

~P

no p (pág. 60)

p «-»q

p si, y sólo si, q (pág.

61)

jf

no es paralela a (pág.

175)

no es perpendicular a (pág. 160) #

no es igual a (pág. 161)

s/

raíz c u ad rad a (pág. 227)

~

es sem ejante a (pág. 313)

=

es apro xim adam ente igual a (pág. 331)

AB

arco m enor determ inado p o r A y B (pág. 346)

ACB

arco m ayor d eterm in ad o p o r A y B (pág. 346)

mAB

m edida de A B (pág. 346)

A(R)

á rea de la región R (pág. 394)

P(x, y)

p u n to P con coordenadas x e y (pág. 505)

Tabla de cuadrados y raíces cuadradas N2

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1

4 9 16 25 36 49 64 81 10 0

11

12 1

12 13 14 15 16 17 18 19

144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625

20 21 22

23 24 25

VÑ 1.0 0 0

1.414 1.732 2 .0 0 0

2.236 2.449 2.646 2.828 3.000 3.162 3.317 3.464 3.606 3.742 3.873 4.000 4.123 4.243 4.359 4.472 4.583 4.690 4.796 4.899 5.000

N 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

N2

VÑ

N

676 729 784 841 900 961 1,024 1,089 1,156 1,225 1,296 1,369 1,444 1,521 1,600 1,681 1,764 1,849 1,936 2,025 2,116 2,209 2,304 2,401 2,500

5.099 5.196 5.292 5.385 5.477 5.568 5.657 5.745 5.831 5.916

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

6 .0 0 0

6.083 6.164 6,245 6.325 6.403 6.481 6.557 6.633 6.708 6.782 6.856 6.928 7.000 7.071

66

67 68

69 70 71 72 73 74 75

N2 2,601 2,704 2,809 2,916 3,025 3,136 3,249 3,364 3,481 3,600 3,721 3,844 3,969 4,096 4,225 4,356 4,489 4,624 4,761 4,900 5,041 5,184 5,329 5,476 5,625

VÑ

N

7.141 7.211 7.280 7.348 7.416 7,483 7.550 7.616 7.681 7.746 7.810 7.874 7.937

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

8 .0 0 0

8.062 8.124 8.185 8.246 8.307 8.367 8.426 8.485 8.544 8.602 8.660

86

87 88

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 10 0

N2 5,776 5,929 6,084 6,241 6,400 6,561 6,724 6,889 7,056 7,225 7,396 7,569 7,744 7,921 8 ,10 0

8,281 8,464 8,649 8,836 9,025 9,216 9,409 9,604 9,801 10 ,0 0 0

Postulados y teoremas Postulados Postulado de la existencia de los puntos. El espacio existe y contiene p o r lo m enos c u a tro p u n to s n o coplan ares y n o colineales. U n p lan o contiene p o r lo m enos tres p u n to s no colineales. U n a recta contiene p o r lo m enos dos puntos. (Pág. 68) Postulado del punto y la recta. recta. (Pág. 68)

D os p u n to s están contenidos en una, y sólo una,

Postulado del punto y el plano. y sólo u n plano. (Pág. 68)

T res p u n to s no colineales están contenidos en uno,

Postulado de la intersección de planos. Si d os p lan o s se intersecan, entonces se intersecan exactam ente en u n a recta. (Pág. 68) Postulado de los dos puntos, la recta y el plano. Si dos p u n to s están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano. (Pág. 69) Postulado de la separación de planos. Sea N un p lan o y í u n a recta en N. Los puntos del p lan o que n o estén sobre ( form an d os sem iplanos de m anera que: a. cada sem iplano es un co n ju n to convexo; b. si P está so b re u n sem iplano y Q está en el o tro , entonces PQ interseca a t . (Pág. 69) Postulado de la separación del espacio. Sea N un plano en el espacio. L os puntos del espacio que n o están so b re N form an d os sem iespacios de m an era que: a. ca d a sem iespacio es un co n ju n to convexo; __ b. si un p u n to A está en un sem iespacio y B e stá en el o tro, A B interseca a N. (Pág. 69). Postulado de las perpendiculares. D ad o s un p u n to y u n a recta en un plano, hay exactam ente u n a recta que p asa p o r el p u n to y es perpendicular a la recta dada. D ad o un p lan o en el espacio y un p u n to que n o está en ese plano, hay exactam ente u n a recta que p asa p o r el p u n to y es perpendicular al plano dado. (Pág. 69) Postulado de la regla, a. A cada p a r de p u n to s corresponde u n n úm ero positivo único al cual se le llam a distancia en tre los p untos, b. L os puntos de u n a recta pueden a p arearse biunívocam ente con los n úm eros reales de m anera que la distancia en tre d os p u n to s cualesquiera sea el v a lo r ab so lu to de la diferencia de sus núm eros asociados. (Pág. 72) Postulado del transportador, a. A cada ángulo corresponde un núm ero real único en tre 0 y 180, llam ado m ed id a del ángulo, b. Sea P un punto en la a rista del sem iplano H. C a d a ray o del sem iplano o su arista con un vértice P puede aparearse biunívocam ente co n los n úm eros reales n, 0 < n < 180, de m an era q u e la m edida de un ángulo form ad o p o r u n p a r de rayos n o colineales con vértice P es el valor ab so lu to de la diferencia de sus núm eros reales. (Pág. 73)


Postulado de la congruencia LAL. Si d os lados y el ángulo incluido de un triángu lo son congruentes co n respecto a d os lados y el ángulo incluido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91) Postulado de la congruencia ALA. Si d os ángulos y el lado incluido de un triángu lo son congruentes con respecto a d os ángulos y el lad o incluido de o tro triángulo, entonces los dos trián g u lo s son congruentes. (Pág. 91) Postulado de la congruencia L L L . Si los tres lados de un triángulo son congruentes con respecto a los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91) Postulado del p ar lineal. Si d os ángulos form an un p a r lineal, entonces los ángulos son suplem entarios. (Pág. 146) Postulado de las paralelas. D a d a u n a recta ( y un p u n to P que n o está sobre la recta l , existe sólo u n a recta que p asa p o r P y sea paralela a t . (Pág. 180) Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudes de dos lados de un trián g u lo es m ay o r que la longitud del tercer lado. (Pág. 244) Postulado de la sem ejanza AAA. Si tres ángulos de u n trián g u lo son congruentes con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces los triángulos son sem ejantes. (p á g . 316) Postulado de la sum a de arcos. (Pág. 346)

_ _ _ _ Si C está en A B, entonces m A C + m C B = mAB.

Postulado del área. A cada región poligonal se le puede asignar un núm ero positivo único den o m in ad o área. E l á rea de la región R se representa p o r A ( R ) . (Pág. 394) Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o dos triángulos son congruentes, entonces las regiones que aco tan tienen la m ism a área. (Pág. 395) Postulado de la sum a de áreas. Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solap an , su á rea es la sum a de las áreas de las n regiones. (Pág. 395) Postulado del área del rectángulo. El á rea de un rectángulo con longitud t anch o w está d ad a p o r la fórm ula f. w. (Pág. 395)

y

Postulado del volumen. A cada sólido se le asigna un núm ero positivo único denom in ad o volumen. (Pág. 444) Postulado del volumen de un sólido rectangular. El volum en de un sólido rectan g u lar es igual al p ro d u cto de su longitud t , an ch u ra w y a ltu ra h. (Pág. 444) Postulado de la sum a de volúmenes. Si un sólido es la unión de dos sólidos que no tienen p u n to s interiores en com ún, entonces su volum en es la sum a de los volúm enes de los dos sólidos. (Pág. 444) Postulado de C avalieri. Sean S y T .dos sólidos y X u n plano. Si to d o plano paralelo a X que interseca a S o T, interseca a S y a T en u n a sección transversal de la m ism a área, entonces volum en S = volum en T. (Pág. 445)

545

546


Teoremas Prueba de teorem as m ediante propiedades básicas 4.1

Las propiedades reflexiva, sim étrica y tran sitiva valen p a ra la congruencia de ángulos y segm entos.

4.2

En un triángulo isósceles, el segm ento que va del ángulo del vértice al p u n to m edio del lad o o p u esto form a u n p ar de triángulos congruentes.

4.3

Sum a de ángulos iguales^Si m L A P B = m ¿ D Q E , m L B P C = m ¿ E Q F , P B e stá entre p l y PC, y Q E está en tre QD y Q?, entonces m L A P C = m L D Q F .

4.4

Resta de segm entos iguales. Si A C = DF, B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F, entonces A B = DE.

4.5

Suma de segm entos iguales. Si A B = DE. B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F, entonces A C = DF.

4.6

Re§ta de ángulos iguales. S i m L A P C = m L D Q F , m L B P C = m L EOF, P B está entre P A y PC, } y QE está entre Q Ú y QF, entonces m L A P B = m L D Q E .

4.7

T eorem a de los com plem entos congruentes. D os ángulos que son com plem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.8

T eorem a de los suplem entos congruentes. D os ángulos que son suplem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.9

Teorem a de los ángulos verticales. Si dos rectas se intersecan, los ángulos verticales son congruentes.

4.10 Teorem a del ángulo externo. La m edida de un ángulo externo es m ayor q u e la m edida de cu alquier áng u lo in tern o no contiguo.

Rectas y planos paralelos 5.1

Si dos rectas están co rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.2

Si d os rectas están c o rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos a ltem o s son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

interiores

5.3

Si dos rectas están c o rta d a s p o r u n a transversal y un p a r de ángulos alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

exteriores

5.4

Si d os rectas están co rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos interiores del m ism o lad o de la transversal son suplem entarios, entonces las rectas son paralelas.

5.5

D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.

5.6

Si dos rectas paralelas están co rtad as p o r u n a transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5.7

Si dos rectas paralelas están c o rtad as p o r una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.


5.8

Si dos rectas paralelas están c o rtad as p o r u n a transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

5.9

Si d os rectas paralelas están co rtad as p o r una transversal, entonces los ángulos interiores del m ism o lado de la transversal son suplem entarios.

Triángulos 6.1

Si un trián g u lo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes.

6.2

Si un trián g u lo es equilátero, entonces es equiángulo.

6.3

Si d os ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

6.4

La sum a de los ángulos de un trián g u lo es 180°.

6.5

Los ángulos de un trián g u lo equilátero m iden 60° ca d a uno.

6.6

L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de los ángulos interiores n o contiguos.

6.7

T eorem a LAA. Si dos ángulos y un lad o o p uesto a u n o de ellos en un triángulo son congruentes con d os ángulos y el lado correspondiente de u n segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

6.8

T eorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y u n ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la h ip o ten u sa y un ángulo agudo de o tro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.9

T eorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la h ip o ten u sa y un cateto de un segundo triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.10 Si un p u n to P equidista de u n p a r de p u n to s A y B, entonces P está so bre la bisectriz perpendicular de A B . A la inversa, u n p u n to sobre la bisectriz perpendicular de A B equidista de A y de B.

Más sobre triángulos 7.1

T eorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el c u ad rad o de la hipotenusa es igual a la sum a de los cu ad rad o s de los catetos.

7.2 Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, y c2 = a2 + b 2, entonces trián g u lo rectángulo. 7.3

La longitud de la h ipotenusa de un triángulo 4 5 ° - 4 5 l! - 90° es J l m ultiplicada por la longitud de un cateto.

7.4 La longitud del cateto más larg o de un trián gulo 30° - 60" - 90° es la longitud de la hipoten u sa o. bien 7.5

A A B C es un

m ultiplicada p o r la longitud

ñ

m ultiplicada por

del lado m ás corto.

L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se intersecan en un p u n to O que equidista de los tres vértices de un triángulo.

547

548


7.6

L as bisectrices de los ángulos de un trián g u lo son concurrentes en un p u n to / que equidista de los tres lados de un triángulo.

7.7

L as rectas q u e contienen las altu ra s de u n triángulo se intersecan en un punto.

7.8

L as m edianas de un trián g u lo se intersecan en u n p u n to que está a dos tercios de la d istan cia en tre cada vértice y su lad o opuesto.

7.9

Si las m edidas de dos ángulos de un trián g u lo son desiguales, entonces la longitud del lad o o p u esto al áng u lo m en o r es m enor que la longitud del lado opuesto al ángulo m ayor.

7.10

Si las longitudes de d os lados de u n trián g u lo son desiguales, entonces la m edida del áng u lo o p u esto al lado m ás co rto es m enor que la m edida del ángulo opuesto al lad o más largo.

C uadriláteros y polígonos 8.1

L os ángulos opuestos de un p aralelogram o so n congruentes.

8.2

L os lados opuestos de un p aralelogram o son congruentes.

8.3

C ada p a r de ángulos adyacentes de un p aralelogram o es u n p a r de ángulos suplem entarios.

8.4

Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.

8.5

Si un cuadrilátero tiene un p a r de lados opuestos paralelos y congruentes, es un paralelogram o.

8.6

Si los ángulos o puestos de un cu ad rilátero son congruentes, entonces el cu ad rilátero es un paralelogram o.

8.7

T eorem a del segm ento medio. El segm ento en tre los p u n to s m edios de dos lados de un trián g u lo es p aralelo al tercer lad o y tiene la m itad de su longitud.

8.8

L os p u n to s m edios de los lados de u n cu ad rilátero son los vértices de un paralelogram o.

8.9

U n p aralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes.

8.10

U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares entre sí.

8.11

U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, cada diagonal biseca u n p a r de ángulos opuestos.

8.12

El segm ento que une los p u n to s m edios de los lados no paralelos de un trapecio es p aralelo a las dos bases y tiene u n a lo n g itu d igual a la sem isum a de las longitudes de las bases.

8.13

En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes y tam bién lo son las diagonales.

8.14

L a sum a de las m edidas de los ángulos de u n polígono convexo de n lados es ( n — 2J1800.

8.15

L a m ed id a de un ángulo de un polígono regular de n lados es ----------180°. n

8.16

L a sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un polígono, u n o en ca d a vértice, es 360°.


Semejanza entonces

sií

a

X

d

=

b

x

c.

c

+

d

d ' c

=d

« í

entonces

O wMja — b ~

b

’

c

=d

a + b

entonces

a - b

c

entonces

c

b

’

d '

d

x

d = b

x

c,

d

d

a

b

c

d ’ a

9.5 Si a

—

c

entonces - = b d

9.6 Teorem a fundam ental de la proporcionalidad. Si u n a recta es paralela a u n lad o de un trián g u lo e interseca a los o tro s dos lados, entonces divide proporcionalm ente a dichos lados. 9.7 Si u n a recta interseca a dos lados de un trián g ulo y los divide proporcionalm ente, entonces la recta es paralela al tercer lado. 9.8 Teorem a de la sem ejanza AA. Si d os ángulos de u n triángulo son congruentes con dos ángulos de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. 9.9 D os triángulos rectángulos son sem ejantes si un ángulo agudo de u n o de los triángulos es congruente con un áng u lo ag u d o del o tro triángulo. 9.10

En un trián g u lo rectángulo, la lo n g itu d de la altu ra a la hip o ten u sa es la m edia geom étrica en tre las longitudes de los d os segm entos de la hipotenusa.

9.11 D ad o s un trián g u lo rectángulo y la altu ra a la hipotenusa, ca d a cateto es la media geom étrica en tre la lo n g itu d de la h ip o ten u sa y la longitud del segm ento de la hipotenusa adyacente al cateto. 9.12 Teorem a de la sem ejanza L L L . Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres lad o s de o tro triángulo, entonces los d os trián gulos son semejantes. 9.13 Teorem a de la sem ejanza LA L. Si u n áng u lo de un triángulo es congruente con un ángulo de o tro trián g u lo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos so n semejantes.

Círculos 10.1

E n u n círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos m enores congruentes.

10.2

E n u n círculo o en círculos congruentes, los arcos m enores congruentes tienen cuerdas congruentes.

10.3

En un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro.

10.4

E n un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas que equidistan del centro son congruentes.

549

550


10.5

L a bisectriz p erpendicular de u n a cuerda contiene al centro del círculo.

10.6

Si una recta que p asa a través del centro de un círculo es perpendicular a u n a cuerda que n o es un diám etro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor.

10.7

Si una recta que p asa a través del centro de u n círculo biseca a u n a cuerda que n o es un diám etro, entonces es perpendicular a la cuerda.

10.8

Si una recta es perpendicular a un radio en un p u n to sobre el círculo, entonces la recta es tangente al círculo.

10.9

Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio h asta el p u n to de co n tacto es perpendicular a la tangente.

10.10

Si u n a recta es p erpendicular a u n a tang en te en un p u n to sobre el círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo.

10.11

Los segm entos tangentes a un círculo desde un p u n to fuera de él son congruentes y form an ángulos congruentes con la recta que une al centro y al punto.

10.12

L a m edida de un ángulo inscrito es igual a la m itad de la m edida de su arco interceptado.

10.13

U n ángulo inscrito en un sem icírculo es u n ángulo recto.

10.14

U n áng u lo form ado p o r d os cuerdas que se intersecan en el interior de un círculo tiene una m edida igual a la sem isum a de los arcos interceptados.

10.15

L a m edida de un ángulo form ado p o r u n a tangente y u n a cuerda h asta el p u n to de co n tacto es igual a la m itad del arco interceptado.

10.16

L a m edida de u n ángulo form ad o p o r dos rectas tangentes a un círculo que se intersecan es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.17

L a m edida de un ángulo form ado p o r u n a tangente y u n a secante o dos secantes desde un p u n to exterior a un círculo es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.18

Si un segm ento tangente y un segm ento secante a un círculo se trazan desde un punto exterior, entonces el cu a d ra d o de la longitud del segm ento tangente es igual al p ro d u cto d e las longitudes del segm ento secante y su segm ento secante externo.

10.19

Si d os cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el p ro d u c to de las longitudes de los segm entos de una cu erd a es igual al p ro d u cto de las longitudes de la segunda cuerda.

10.20

Si se trazan d os segm entos secantes a un círculo desde un p u n to exterior, entonces el p ro d u cto de las longitudes de un segm ento secante y su segm ento secante externo es igual, al p ro d u c to de las longitudes del o tro segm ento secante y su segm ento secante externo.

A rea y perím etro 11.1 D a d o un p aralelogram o con base b y a ltu ra correspondiente h, el á rea está d ad a p o r la fórm ula A = bh. 11.2 D a d o un triáng u lo con base b y a ltu ra correspondiente h, el área A está d ad a p o r la fórm u la A = 1/2bh. 11.3 F ó rm ula de H erón. Si A A B C tiene lados de longitud a, b y c, entonces A ( A A B C ) = = y j s ( s — a ) ( s — b ) ( s — c), d o n d e s = \ ¡ 2( a + b + c).


11.4

D ad o un trapecio con bases bx y b2 y altu ra h, el área A está d a d a por la fórm ula A = 1/2 h ( b 1 + b2).

11.5

D a d o un polígono regular de n lados de longitud s y ap o tem a a, el área A está d a d a por la fórm ula A = 1/2ans = 1/2ap, d o n d e el perím etro p = ns.

11.6

L a razó n entre los perím etros de dos polígonos sem ejantes es igual a la razón entre las longitudes de cu alquier p a r de lados correspondientes.

11.7

L a ra z ó n en tre las áreas de d os polígonos sem ejantes es igual a la sum a del cu ad rad o de la razó n en tre las longitudes, de cualquier p a r de lados correspondientes.

11.8

L a ra z ó n en tre la circunferencia y el diám etro es igual p a ra to dos los círculos.

11.9

D a d o un circulo con ra d io r y d iám etro d, la circunferencia C está d a d a p o r la fórm ula C = nd = 2nr.

11.10 D a d o un círculo con ra d io r, el á rea A está d a d a p o r la fórm ula A = nr2.

Sólidos "

'

12.1

Las aristas laterales de un prism a son paralelas y congruentes.

12.2

D ad o un prism a con caras laterales rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h y las bases tienen área B y perím etro p, entonces el área S está d a d a p o r la fórm ula S = hp + 2B .

12.3

D ad a una p irám id e regular con a ltu ra inclinada t y u n a base con área B y perím etro p el area S está d a d a p o r la fórm ula S = \ t p + B.

12.4 El volum en de cualquier prism a es el p ro d u cto dé la altu ra p o r el á rea de la base. 12.5 D a d a u n a pirám ide con base B y a ltu ra h, si A es u n a sección transversal paralela a la base y la distancia desde el vértice a la sección transversal es K , entonces — - — = área B 12.6

D os pirám ides con a ltu ra s iguales y bases de igual área tienen el m ism o volum en.

12.8

D a d o u n cilindro circular recto con altu ra h, si la circunferencia de la base es C y el área de la base es £ , entonces el área está d ad a p o r la fórm ula S = Ch + 2 B = 2nrh + 2nr2.

12.9 D a d o un cilindro circular recto con área de la base B y a ltu ra h, el volum en está d a d o por la fórm ula V = Bh = nr2h. 12.10 D ad o un cono circular recto con a ltu ra inclinada si la circunferencia de la base es C y el área de la base es B, entonces el área S está d ad a p o r la fórm ula S = \ t C + B = nri + n r 2. 12.11

D ad o un cono circular recto con altu ra h y área de la base B, el volum en está d a d o por la fórm ula V = %Bh = %nr2h.

12.12 D a d a una esfera de rad io r, el volum en está d ad o p o r la fórm ula V = f nr3. 12.13 D ad a una esfera con radio r, el área S está d ad a p o r la fórm ula S = 4nr2. 12.14

H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidos convexos.

551

552


Transform aciones y sim etría 13.1

D a d a u n a reflexión sobre u n a recta: a. la im agen reflejada de u n segm ento es un segm ento de igual longitud; b. la im agen reflejada de u n áng u lo es u n ángulo de igual medida.

13.2

Si las rectas r y s son paralelas, entonces u n a reflexión sobre la recta r seguida p o r una reflexión sobre la recta s es u n a traslación. Adem ás, si A" es la im agen de A, entonces a. A A" _L r; b. A A" = 2d, d o n d e d es la distancia e n tre las rectas r y s.

13.3

Si las rectas r y s se intersecan en un p u n to O, entonces una reflexión sobre r, seguida de u n a reflexión so b re s, es u n a rotación. El p u n to O es el centro de ro tación y el ángulo de ro tació n es 2a, d o n d e a es la m edida del ángulo agudo o recto q u e está entre las rectas rys.

Geometría de coordenadas 14.1

Si las co o rd en ad as de los extrem os del segm ento P ¡ P 2 son (X i,} '1) y -------fx l + x2 _Vi -í- 3^2% co o rd en ad as del p u n to m edio de P¡.P2 son I — - — , y — - — I.

14.2

El p ro d u cto de las pendientes de d o s rectas perpendiculares es — 1.

14.3

Las pendientes de d os rectas paralelas son iguales.

14.4

entonces las

La fórm ula de la distancia. Si A tiene co o rd enadas ( x ^ . y ^ y B tiene co o rd en ad as ( x 2, y 2), entonces A B = - J ( x , — x 2) 2 + ( y \ — y 2) 2-

14.5

C u alq u ier línea recta en u n p lan o de coorden adas que n o sea paralela al eje de las y, puede representarse con la ecuación y = m x + b, donde m es la pendiente y b es el punto en que cruza al eje de las y.

14.6

La gráfica de la ecuación x 2

14.7

L a gráfica de la ecuación ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r2 es un círculo con rad io r y centro en el p u n to (h, k).

+ y 1 = r2 es

u n círculo con rad io

ry

cen tro en el origen.

[553]

Glosario afirmación de la hipótesis F o rm a de razon am ien to que se representa com o sigue: Siem pre que p -» q sea verdad y p sea verdad, se concluye que q es verdad. (Pág. 64)

altura de una pirámide U n segm ento que va desde vértice a la base y es p erpendicular a ésta. (Pág. 434)

altura de un paralelogramo U n segm ento

ángulos complementarios D os ángulos cuyas m edidas sum an 90°. (Pág. 144)

ángulos congruentes A ngulos que tienen la m ism a m edida. (Pág. 20)

ángulos correspondientes D os ángulos que están en el m ism o lado de una transversal. U n o de ellos es u n ángulo exterior, y el o tro, un ángulo interior. (Pág. 171)

perpendicular a un p a r de lados, paralelos con extrem os en esos lados paralelos. (Pág. 399) altura de un prisma U n segm ento en tre las bases y p erpendicular a ellas. (Pág. 435)

ángulos interiores no contiguos Los dos ángulos

altura de un trapecio U n segm ento

ángulos suplementarios D os ángulos cuyas

p erpendicular a los lados paralelos (Pág. 403)

altura de un triángulo U n segm ento desde un vértice h a sta u n p u n to sobre el lad o opuesto (quizá extendido) y p erpendicular a ese lado opuesto. (Pág. 199)

altura inclinada de un cono U n segm ento que une al vértice con u n p u n to sobre la circunferencia de la base. (Pág. 456)

ángulo L a unión de dos ray o s n o colineales, los cuales tienen el m ism o extrem o. (Pág. 17)

ángulo agudo U n ángulo que m ide m enos de 90". (Pág. 21)

ángulo central U n ángulo con vértice en el centro de un circulo. (Pág. 343)

ángulo exterior de un triángulo U n ángulo que form a un p a r lineal con uno de los ángulos del triángulo. (Pág. 154)

ángulo inscrito U n ángulo con vértice en un círculo y co n lados que contienen cuerdas del círculo. (Pág. 343)

ángulo obtuso U n áng u lo que m ide m ás de 90°. (Pág. 21)

ángulo recto U n áng u lo que m ide 90°. (Pág. 21) ángulos alternos exteriores D o s ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de una transversal. (Pág. 171)

ángulos alternos interiores D o s ángulos interiores con diferentes vértices en lados o p uesto s de una transversal. (Pág. 171)

de un triángulo, con recpecto a un ángulo exterior, que n o son adyacentes al ángulo externo. (Pág. 154) m edidas su m an 180°. (Pág. 144)

ángulos verticales D os ángulos form ados por dos rectas que se intersecan pero que n o son un p a r lineal de ángulos. (Pág. 150)

apotema de un polígono regular La distancia desde su centro a un lado. (Pág. 408)

arco U n a p a rte continua de un círculo. (Pág. 343)

arco interceptado U n arco con extrem os sobre los lados de ángulos inscritos o centrales. (Pág. 343)

arco mayor Un arco que no está en el interior de un ángulo central. La m edida de un arco m ayor es 360, m enos la m edida de su arco m enor asociado. (Pág. 346)

arco menor U n arco q u e está en el in terio r de un ángulo central. La m edida de u n arco m enor es la m edida de un ángulo central asociado. (Pág. 346)

arcos congruentes D os arcos de un círculo que tienen la m ism a m edida (Pág. 347)

área de un círculo El n úm ero al q u e se aproxim an las áreas de los polígonos regulares inscritos de n lados a m edida que n aum enta. (Pág. 420)

arista de un poliedro Véase poliedro bisectriz de un ángulo La bisectriz de ¿ A B C es un rayo BD en el in terio r de L A BC, de m an era que L A B D = ¿ D B C . (Pág. 24)

554

G lo s a rio

bisectriz de un segmento C ualquier punto, segm ento, rayo, recta o p lan o que contiene al p u n to m edio del segm ento. (Pág. 24)

bisectriz perpendicular de un segmento U na recta perpendicular al segm ento que contiene a su p u n to m edio. (Pág. 29)

contraejemplo U n sólo ejem plo que m uestra que u n a generalización es falsa. (Pág. 48)

contrarrecíproca de una proposición La co n trarrecíproca de la proposición p -* q es la proposición ~ q -+ ~ p. (Pág. 60)

coordenada de un punto en una recta U n nú m ero real asociado con el p unto. (Pág. 14)

cara de un poliedro Véase poliedro catetos de un triángulo rectángulo Los lados que incluyen al áng u lo recto de un triángulo rectángulo. (Pág. 199)

cilindro circular U n sólido con dos bases congruentes en planos paralelos. Las bases son regiones circulares congruentes. (Pág. 542)

cilindro recto U n cilindro con sus ejes perpendiculares a am bas bases. (Pág. 452)

círculo El co n ju n to de to d o s los p u n to s en un p lano q u e están a una distancia fija de un p u n to d a d o en el plano. (Pág. 17)

círculo circunscrito U n círculo q u e contiene los tres vértices de un triángulo. El centro del círculo es el p u n to de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. (Pág. 238)

círculo inscrito U n círculo que to ca cada lado de un trián g u lo exactam ente en un p u n to . El centro del círculo es el p u n to de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. (Pág. 238)

círculo máximo L a intersección de u n a esfera y u n plan o que contiene al cen tro de la esfera. (Pág. 460)

círculos congruentes C írculos con rad io s de igual longitud. (Pág. 347)

circunferencia de un círculo El n ú m ero al que se aprox im an los perím etros de los polígonos regulares inscritos conform e se in crem enta el núm ero de lados de los polígonos regulares. (Pág. 416)

cono circular U n sólido co n u n a base circular y un vértice que n o está sobre el p lan o que contiene a la base. (Pág. 456)

cono recto U n cono con sus ejes perpendiculares a su base. (Pág. 456)

coordenadas de un punto en un plano U n p a r de núm eros (x ,> ) que d en o tan la ubicación del punto. El prim er p u n to es la co o rd en ad a x y el segundo es la c o o rd en ad a y. (Pág. 505)

coordenada x

U n a recta que corta al eje de las

x en un p u n to (a, 0) tiene el cruce a en x .

(Pág. 505)

coordenada y

U n a recta que corta a l eje de las y en un p u n to (0, b) tiene el cruce b en y. (Pág. 505)

cuadrado U n rectángulo con c u atro lados congruentes. (Pág. 261)

cuadrilátero L a unión de cu atro segm entos determ inados p o r cu atro p u n to s de los cuales no hay tres que sean colineales. Los segm entos se intersecan sólo en sus extremos. (Pág. 17)

cuerda de un círculo U n segm ento con extrem os sobre el círculo. (Pág. 342)

demostración o prueba indirecta Suponer la negación de lo que debe dem ostrarse y después m o stra r que esta suposición lleva a una contradicción (Pág. 158)

diagonal de un polígono U n segm ento que une un p a r de vértices n o consecutivos cualesquiera de u n polígono. (Pág. 32)

diámetro de un círculo U n a cuerda que contiene al centro del círculo (Págs. 17 y 342)

distancia de un punto a una recta La longitud del segm ento que p arte del p u n to y es perpendicular a la recta. (Pág. 29)

distancia entre dos puntos Los puntos sobre una recta pueden aparearse biunívocam ente con los núm eros reales de m anera que la distancia en tre dos p u n to s cualesquiera es el valor ab so lu to de la diferencia entre los núm eros asociados. (Pág. 72)

G lo s a rio

ecuación de la recta C ualquier línea recta en el plano de coordenadas, que no sea paralela al eje de las y, puede representarse con la ecuación y = m x + b, d o n d e m es la pendiente y b es el p u n to en que se cruza el eje de las y. (Pág. 524)

ecuación del círculo La gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = r2 es u n círculo con ra d io r y centro en el origen. La gráfica de la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es un círculo con radio r y centro en el p u n to (h, k). (Págs. 528 y 529) eje de un cilindro U n segm ento que une el centro de las dos bases (Pág. 452)

eje de un cono El segm ento que une el vértice al centro de la base. (Pág. 456)

«entre» puntos El p u n to B está en tre A y C si, y sólo si, A, B y C son colineales y A B + B C = = AC. (Págs. 12 y 72)

555

hipotenusa El lado opuesto al ángulo recto de un triángulo rectángulo. (Pág. 199)

imagen U n a figura resultante de una transform ación. (Pág. 476)

interior de un ángulo El interior de A A B C es la intersección de los puntos del lad o A de BC con los del lad o C de AB. (Pág. 17)

inversa de una proposición La inversa de una proposición p -* q es la proposición ~ p -> ~
línea de reflexión Véase reflexión linea de simetría Véase sim etría reflexiva línea o recta auxiliar U n a recta in tro d u cid a a un a figura p a ra a y u d a r a resolver el problem a. (Pág. 157)

«entre» rayos B C está en tre B A y B D ^ i , y sólo

media geométrica U n n úm ero x es una m edia

si, BC, B A y BD son coplanares y m / L A B C + + m ¿ C B D = m L ABD. (Pág. 73)

a x geom etnca entre d o s núm eros a y b si - = - , x b x * 0, b # 0. (Pág. 322)

esfera El co n ju n to de todos los p u n to s que están a u n a distancia d eterm in ad a de un p u n to dado. (Pág. 460)

espacio El co n ju n to de todos los puntos. (Pág. 11)

, .

mediana de un triángulo U n segm ento que une un vértice con el p u n to m edio del lado opuesto. (Pág. 239)

medida en grados El núm ero real entre 0 y 180 que se asigna a un ángulo. (Pág. 20)

figura espacial U n a figura que tiene p u n to s que no están to d o s en un solo plano. (Pág. 16)

figura plana U n a figura con to d o s sus puntos en un sólo plano, p ero n o to d o s en una spla línea. (Pág. 16)

fórmula de la distancia Si A tiene coordenadas (*i>3'i) y B tiene coorden ad as ( x 2, y 7), entonces A B = J ( x 1 - x 2)2 + (y, - y ,)2. (Pág. 520)

generalización U n a conclusión a la que se llega

negación de la conclusión F o rm a de razonam iento que se representa com o sigue: Siem pre que p -* q sea verdad y q sea falso, se concluye que p es falso. (Pág. 65)

octágono U n polígono con ocho lados. (Pág. 32)

origen L a intersección del eje de las x con el eje de las y en un plano de coordenadas. (Pág. 504)

a través del razo n am ien to inductivo. (Pág. 44)

paralelogramo U n cu ad rilátero con am bos heptágono U n polígono con siete lados. (Pág. 32)

hexágono U n polígono con seis lados. (Pág. 32)

pares de lados paralelos. (Pág. 261)

par lineal de ángulos U n p a r de ángulos con un lad o en com ún de m an era que la unión de los o tro s lados es una recta. (Pág. 144)

556

G lo s a rio

pendiente de una recta Si P l y P 2 tienen coorden ad as (jc1, j '1) y {x2, y 2)> respectivam ente, entonces la pendiente m de P j T es tn = y i ~ y 2 _ (Págs. 512 y 516) X! - X 2

pentágono U n polígono con cinco lados, nave no pom

perímetro de un polígono L a sum a de las longitudes de los lados del polígono. (Pág. 408)

perpendiculares a un plano U n a recta es perpendicular a un p la n o si es perpendicular a cada recta del p lan o que interseque a la recta. (Pág. 28)

pi (ít) La ra z ó n

C

que es el m ism o núm ero a real p ara cu alquier círculo. (Pág. 417)

pirámide U n poliedro en el cual to d as las caras, m enos una, tienen un vértice com ún. (Pág. 434)

pirámide regular U n a pirám ide con un polígono regular com o base y aristas laterales de igual longitud. (Pág. 434)

planos paralelos P lan o s que no tienen p u n to s com unes. (Pág. 170)

planos perpendiculares D os p lan o s son perpendiculares si hay u n a recta en un plano q u e sea p erpendicular al o tro plano. (Pág. 28)

poliedro Un núm ero finito de regiones poligonales llam adas caras. C a d a a rista de u n a región es la a rista de exactam ente o tra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en u n a a rista o en un vértice. (Pág. 434)

poliedro regular U n p o lied ro cuyas caras son polígonos regulares con el m ism o n ú m ero de aristas y cuyos vértices está n rod ead o s p o r el m ism o n ú m ero de caras. (Pág. 464)

polígono L a unión de segm entos que se tocan sólo en los extrem os, de m anera que 1) com o m áxim o d os segm entos se to c a n en un p u n to y 2) cada segm ento toca exactam ente a o tro s dos segm entos. (Pág. 32)

polígono convexo U n polígono es convexo si todas sus diagonales están en el in terio r del polígono. (Pág. 32)

polígono regular U n polígono con to d o s sus ángulos y to dos sus lados congruentes. (Pág. 33)

polígonos semejantes D os polígonos son sem ejantes si hay correspondencia entre los vértices de m anera que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales. (Pág. 312)

postulado U n a generalización básica aceptada sin dem ostración. (Pág. 52)

prisma U n poliedro tal que 1) hay un p a r de caras congruentes que están en planos paralelos y 2) todas las dem ás caras son paralelogram os. (Pág. 435)

prisma recto U n prism a que tiene sus caras laterales perpendiculares a am bas bases. (Pág. 435)

proporción U n a igualdad entre dos razones. , a c Las razones - y b a b ¿ o y d ¿ 0 . (Pág. 304)

.a c son proporcionales si b d

proposición si-entonces U na proposición de la form a si p, entonces q, donde p y q son proposiciones sencillas, p es la hipótesis y q es la conclusión. El sím bolo p -» q (léase p implica a q) se usa p a ra representar u n a proposición si-entonces. (Pág. 56).

punto medio de un segmento El p u n to medio del segm ento A B es un p u n to C sobre A y B tal que A C a CB. (Págs. 24 y 508)

radio de un círculo U n segm ento cuyos extrem os son el centro del círculo y un punto sobre su circunferencia. (Págs. 17 y 342)

rayo U n rayo A B es un subconjunto de una recta. C ontiene u n p u n to dad o A y to d o s los puntos sobre el m ism o lado de A que B. (Pág. 16)

razonamiento deductivo Se em pieza con una hipótesis y se usan la lógica y definiciones, postulados o teorem as d em ostrados con an terioridad p a ra justificar una serie de proposiciones o pasos que llevan a la conclusión deseada. (Pág. 52)

- = -

G lo s a rio

557

razonam iento inductivo O bservar q u e un suceso da el m ism o resultado varias veces sucesivas, y luego concluir que el suceso siem pre ten d rá el m ism o resultado. (Pág. 44)

regla de cadena U n a form a de razonam iento representado com o sigue: Siem pre que p -> q sea verdad y q - * r sea verdad, se concluye que p -* r es verdad. (Pág. 65)

razón del coseno El coseno de un áng u lo agudo de u n trián g u lo rectángulo es la razón

rombo U n paralelogram o con cu atro lados congruentes. (Pág. 261)

longitud del lad o adyacente — — --------------- ;— ----------. (Pág. 330) longitud de la hipotenusa razón de la tangente L a tangente de u n ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón longitud del lado opuesto longitud del lado adyacente'

rotación U n a transform ación con centro O y ángulo a que m arca cada pu n to P del plano en un p u n to P' com o sigue: a. Si P es el p u n to central O, P' = P. b. Si P 0, entonces P'O = PO y m í POP' = a. A P se le llam a la imagen de rotación del p un to P. (Pág. 488)

recíproca de una proposición L a recíproca de u n a proposición p -» q es la proposición q - * p. (Pág. 91)

secante de un círculo U n a recta que interseca al círculo exactam ente en dos puntos. (Pág. 343)

rectángulo U n paralelogram o con cuatro ángulos rectos. (Pág. 390)

sección transversal de un sólido U n a región com ún al sólido y a un p lan o q u e interseca al sólido. (Pág. 445)

rectas alabeadas D os rectas que n o se intersecan v que n o están en el m ism o plano. (Pág. 261) rectas concurrentes Tres o m ás rectas coplanares que tienen un p u n to en común. (Pág. 13) rectas intersecantes com ún. (Pág. 13)

D os rectas con u n pu n to en

rectas paralelas Rectas en el mismo plano y que no se intersecan. (Págs. 13 y 174)

sector de un círculo U n a región lim itada p o r un ángulo central y su arco interceptado. (Pág. 421) segm ento U n segm ento, A B , es el conjunto de puntos A y B y todos los puntos entre A v B. (Pág. 16) segmentos congruentes Segm entos que tienen la m ism a longitud. (Pág. 20)

rectas perpendiculares D os rectas que al intersecarse form an ángulos rectos. (Pág. 28)

semiplano P ara una recta en u n plano, los puntos del plano que no están sobre la recta form an dos sem iplanos. C ad a m itad es un co njunto convexo. (Pág. 69)

recta y plano paralelos Una recta y u n plano que n o tienen p u n to s en com ún. (Pág, 170)

sim etría Véanse sim etría reflexiva y sim etría rotacional.

reflexión Una transform ación, en un plano, sobre la recta t que m arca cada pu n to P del plano en el p u n to P' com o sigue: a. Si P está sobre f,P' = P. b. Si Pestá sobre ¿êntonces f, es la bisectriz perpendicular de PP'. A P' se le llam a imagen de P y P es la preimagen de P'. (Pág. 476)

sim etría reflexiva U n a figura F tiene sim etría reflexiva si hay u n a recta l tal que la im agen de reflexión sobre t de cada pu n to P de F es tam bién un p u n to de F. L a recta l es la línea de simetría. (Pág. 494)

región poligonal U n subconjunto de un plano lim itado p o r un polígono (o polígonos). (Pág. 394)

sim etría rotacional U na figura F tiene sim etría rotacional si hay u n a ro tación alrededor de un centro A tal que la im agen de ro tación de cada pu n to P de la figura F sea tam bién un pun to de F. El centro, A, de la ro tación se llam a centro de sim etría de F. (Pág. 495)

558

G lo s a rio

superficie El á rea de prism as y pirám ides es la sum a de las áreas de las caras laterales m ás el área de las bases. (Pág. 440) sólido rectangular U n prism a con bases rectangulares cuyas aristas son perpendiculares a las bases. (Pág. 444)

triángulo acutángulo U n triángulo con tres ángulos agudos. (Pág. 198) triángulo equiángulo U n triángulo con tres ángulos congruentes. (Pág. 199) triángulo equilátero U n triángulo con to dos sus lados congruentes entre sí. (Págs. 33, 198, 203 y 209)

tangente a un círculo U n a recta que interseca al círculo en un p u n to exactam ente. (Pág. 349)

triángulo escaleno U n triángulo que n o tiene lados congruentes. (Pág. 198)

teorem a U n a generalización que puede dem ostrarse que es v erdadera usando definiciones, p o stu lad o s y la lógica del razonam ien to deductivo. (Pág. 52)

triángulo isósceles U n triángulo con dos lados congruentes entre sí. (Págs. 33, 198 y 202)

teorem a de P itág o ras Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el cu ad rad o de la longitud de la h ipotenusa es igual a la sum a de los cu ad rad o s de los catetos. (Pág. 226) transform ación U n a regla u operación que cam bia u n a figura. L a figura, antes del cam bio, se llam a preimagen, y la figura que resulta del cam bio se llam a imagen. (Págs. 476-495) transversal U n a recta que interseca a dos rectas coplanares en dos p u n to s distintos. (Págs. 171 y 174)

triángulo obtusángulo U n triángulo con un ángulo obtuso. (Pág. 199) triángulo rectángulo U n triángulo con un ángulo recto. (Págs. 199 y 226) triángulos congruentes D os triángulos son congruentes si hay u n a correspondencia entre los vértices de m anera que ca d a p a r de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. (Págs. 84 y 90)

unidad cuadrada U na región c u a d rad a en la que la longitud de un lad o es una unidad de longitud. (Pág. 261)

trapecio U n cu ad rilátero con exactam ente un p a r de lados paralelos. (Pág. 261) traslación D a d a u n a flecha AA' , la im agen de traslación de u n p u n to P p ara la flecha A A' es el p u n to P \ donde: a. A A' = P P \ y b. las flechas A A' y P P' tienen la m ism a dirección. (Pág. 484) triángulo L a u n ió n de tres segm entos determ inados p o r tres p u n to s no colineales. (Págs. 17 y 32)

vértice de un ángulo El extrem o de los dos rayos n o colineales que determ inan al ángulo. (Pág. 17) vértice de un polígono El extrem o de un lado del polígono. (Pág. 32) volumen U n a m edida de la can tid ad de espacio que ocupa u n sólido. A cada sólido se asigna un núm ero real positivo único que es su volum en. (Pág. 444).

[559]

Respuestas seleccionadas Se d a n las respuestas a la m ayoría de los ejercicios im pares y a to d o s los de «Solución de problem as». Se incluyen to d as las respuestas a los resúm enes de capítulo y a los resúmenes globales. N o se d a n las respuestas a los exám enes de los capítulos.

11. ¿ E O F , L F O M , ¿ L O H . L J O D . 19. 67¿°. Solución de problem as

CAPITULO 1 páginas 14 y 15

3. A, F, C; A, E, D; B, F, E: B, C, D. 5. Ejem plo : A, F, D, B. 1. r, t. q. 11. A E , BG o B?. 13. A B , H C , ^ D . 15. 12; A BCD, A D H E , CDHG, A BF E , BCGF, EFGH, ADFG, B C E H , A B G H , CDEF, BFHD, AEGC. 17. T o d a s son posibles excepto 2; el m áxim o es 6.

páginas 26 y 27

5.

13. 19. 21. 25.

¿ A B C ^ L C B A . 15. L A C B . L B C A . A B , A C , A $ , BD, M A B , p. 23. £Ü?, BD. ¿ A B C , L A C B , L A C D , L A DC , L CAD, LCAB. 27. Sí, los segm entos tienen los m ism os extremos. 29. Tres rectas; no; los lad o s de un triángulo son segmentos. 31. D ibújese el segm ento El. Solución de problem as F órm ese una pirám ide con u n a base triangular.

43.

páginas 30 y 31

jlk. AB CD , A B F E ; ABCD, B C G F; A B C D , C D H G ; A BCD, ADHE. 13. U n a recta contenida en un plano debe ser perpendicular al segundo plano. 15. C onstrúyase una perpendicular de A al pu n to C de m an era que e l'río pase p o r el p u n to m edio de AC. Sea M la intersección de CB y el río. Entonces, A M + M B es el mínimo. Solución de problem as A y D.

páginas 34 y 35

Ib. páginas 22 y 23

4 cm. PQ S R S , M Ñ £ X Y , 140°. 7. 90°.

17.

1. 7.

páginas 18 y 19

1. 3. 5.

Sí.

JE s

3a. 5. 11. EF. 13.

C ad a segm ento n o toca exactam ente a otros dos segm entos. Igual que el ejercicio 1. 2c, 3c. 9a. Regular. 9d. Regular. AAFB, ACGB, A A J E , AEID, ADHC, A F B G , A G C H , A H DI, A J I E , A A F J . ' N ú m ero p a r de aristas.

560


15.

H I J , ACE G, J I D E F , C E G J H A , B H I J F G A , CIDEGJHA, ABH ICE FJG , AHBCIDEFJG. ?s 500 Solución de problem as —— = -----; 25 000 millas. 360 x

página 37 capítulo 1

2a. 2d. 3. 4. 11. 12. 13. 14.

Resumen

Falso. 2b. Falso. 2c. Falso. V erdadero. 2e. Falso. 2f. V erdadero. N inguno; uno; dos. Sí, am bos segm entos tienen los m ism os extremos. Planos: ABCD, GHFE; B C F H , ADEG; o CDEF, BAGH. Recta: DE, CF, A G o BH. R ecta: A B o GH, A H o BG. R ecta CB.

página 39 Técnicas para la solución de problemas

1. 5.

10. 2. 19 pies.

9 ó 21. 3. 20. 4. 26. 6. U n a calle al sur.

páginas 5 0 y 51

1. Falso. 3. a. 5. Falso; úsese u n triángulo obtusángulo. Solución de problem as 1. 1 5 15 20 15 6 1 1 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 8 2 . 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ..., 2 " ~ \ donde n es el núm ero de la fila. 3. a2 + l a b + b2, a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3, a4 + 4 a 3/) + 6a 2b2 + 4ab3 + 64. Los coeficientes son los m ism os que los núm eros de cada fila del triángulo de Pascal. páginas 54 y 55

1. Superficie, llana, plana. 3. Si. L a definición de plano requiere m ás térm inos básicos. 7. L os ángulos verticales son congruentes. 9. El segm ento de recta que une los puntos m edios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado. Solución de problem as (30 — 3) — 2 = 25 ó 25 + 2 + 3 = 30 son correctos. (30 — 3) + 2 no es correcto.

CAPITULO 2 páginas 58 y 59 páginas 46 y 47

1. 1. C B , G F , X Z ; el m ás largo. 3. T res iguales. 5. h = a + b + c. Solución de problem as 1. M uévase el palillo # 2 hacia la derecha. 2. M uévase el palillo # 1 ab ajo a la derecha.

3. 5. 7.

O

O

9. 2

4

4

11.

(p) Lisa tiene 15 años, (q) Lisa es dem asiado joven p a ra v o tar en las elecciones de P u erto Rico. V erdadero. (p) Algunas m anzanas son rojas, (q) Los caballos tienen c u a tro p atas. V erdadero. (p) D os rectas se intersecan, (q) E sas dos rectas no son paralelas. Verdadero. (p) A A B C es isósceles, (q) A A B C es equilátero. Falso. Si un hom bre vive en San Juan, entonces vive en P u erto Rico. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan p a ra form ar ángulos rectos congruentes.


13.

Si dos rectas son paralelas, entonces no se intersecan. 15. (p) T erm in a en 2. (q).El n ú m e ro es par. Si un núm ero term in a en dos, entonces es un núm ero par. 17. (p) U n trián g u lo equiángulo, (q) D ebe ser equilátero. Si u n a figura es u n triángulo equiángulo, entonces debe ser equilátero. 19. (p) H a z co m o te digo, (q) Serás rico. Si haces lo q u e yo te digo, entonces serás rico. 21. (p) D os d e sus ángulos son congruentes. (q) U n trián g u lo es isósceles. Si dos ángulos de un trián g u lo son congruentes, entonces el triángulo_es isósceles. 23. (g) A B s B C. (q) B es el p u n to m edio de A C . Si A B s B C , entonces B es el p u n to m edio de A C . Solución de problem as N ueve viajes de ida y ocho de regreso. p á g in a s 62 y @3 1.

Si u n a p erso n a está m ojada, entonces está nadando. 3. Si u n a persona n o tiene m ucho dinero, entonces es pobre. 5. Si u n a persona n o ro b a, entonces no es deshonesta. 7. Si un equipo n o gana c u a tro juegos de la Serie M undial, entonces n o g an a la Serie. 9. Si u n a p erso n a n o tiene 16 años o más, entonces n o conduce u n autom óvil legalm ente. 11. Si n o se gana el p a rtid o de esta noche, entonces n o se g a n a rá el cam peonato. 13. Si u n trián g u lo es equilátero, entonces es equiángulo. Si un trián g u lo es equiángulo, entonces es equilátero. 15. Si dos rectas en u n p lan o son paralelas, entonces no tienen p u n to s en com ún. Si dos rectas en un p lan o no tienen p u n to s en com ún, entonces son paralelas. 17. Si un cu ad rilátero es un paralelogram o, entonces tiene dos pares de lados paralelos. Si un cu ad rilátero tiene d os pares de lados paralelos, entonces es un paralelogram o. Solución de problem as Alicia.

561

p á g in a s 66 y 67 1. 3. 7.

E lla votó a A rm ando Amigable. N o está nevando. 5. N o son paralelas. El p u n to C está sobre la bisectriz perpendicular. 9. U n ángulo con m edida m ay o r de 90u es un ángulo obtuso. 11. 1. Si A A B C es u n trián g u lar rectángulo con L C com o ángulo recto, entonces m L A + m L B + m L C = 180 y m L C = 90. 3. Si m L A + m L B = 90, entonces L A y L B son com plem entarios. Solución de problem as L eón es el encargado, M artínez es el cajero y Nieves es la adm inistradora.

p á g in a s 70 y 71 1.

Recta, dos puntos, recta, p o stu lad o del plano. 3. Recta, po stu lad o de la recta y el plano. 5. Recta, po stu lad o de la perpendicular. 7. R ecta, po stu lad o de la perpendicular. 9. P o stu la d o de la intersección de planos. 11. P o stu lad o de la perpendicular. 13. P o stu lad o del p u n to y el plano. 15. P o stu lad o de la perpendicular. 17. P o stu lad o del p u n to y el plano. 19. 4. Solución de problem as

p á g in a s 1. 3. 11. 8. 19. C.

74 y 75 3. 9. 5. 8. 7. 11. 9. 13. 40. 15. 155. 17. 21. B.

19. 80.

562


23.

D efinición de «entre», p ostulado de la regla. 25. 28,3 5 . 27. B C = 14, C A = 42 ó 14. 29. 4 ó 24. 31. 96. 33. 20. Solución de problem as A = 0.010, B = 0.540, C = 0.249, D = 0.882, E = 1.1555.

p á g in a 77 C apitulo 2 R esum en 1. 2a. 2b. 3.

4a. 4d. 7a. 7b. 8a. 8b. 8c. 8d. 9. 10.

T rián g u lo equilátero; triángulo equilátero., U n a com eta o un ro m b o sin ángulos rectos. U n rectángulo con lados adyacentes no congruentes. U n p o stu lad o es u n a proposición que se acepta com o v erdadera sin necesidad de d em ostrarla. U n teorem a es una proposición que se puede dem ostrar. Falso. 4b. V erdadero. 4c. Falso Falso. 5. 16. 6. 30. (Hip) no se intersecan (con) dos rectas son paralelas. (Hip) to d o s son cuad rad o s (con) todos son rectángulos. Si u n a figura tiene c u atro ángulos rectos, entonces es un cuadrado. Si u n a figura n o es un cu ad rad o , entonces no tiene c u a tro ángulos rectos. Si u n a figura no tiene c u atro ángulos rectos, entonces, no es un cuadrado. R ectángulo (a y b). L as diagonales de la figura A B CD son congruentes. A É y £ d están en el m ism o plano.

p á g in a 79 R epaso d e á lg e b ra 1. 11. 21. 27. 33. 41.

A. 3. D. 5. C. 7. 26. 13. 1.15. - 3 2 . x > - 1 8 . 23. x > 22. - 9 ,9 . 29. 3 , - 5 . 31. 6 , - 7 . 35. 8 , - 8 . 37. -1 2 .

F. 9. 32. 17. 12. 25.x > 20. 3 7 ,- 3 7 . 11. 39. 20.

CAPITULO 3 p á g in a s 86 a 89 1. 5. 9b. 11.

N o son congruentes. 3. C ongruente. b^_ 7. _b. 9a. B C =? DE. A B ^ EF. 9c. L C m L D . L C 3 LD, L A s LO, L T s ¿G , C A s DO, A T s OG, C T 3 D G . 13. a, c. 15. A P R , B T J . 17. A A B C sé A A'B'C'. 19. A A B C s ¿\BAC, A A B C = A A C B , A A B C 3 A A B C , A Á B C ZáACAB, AABC^CBA. 21. A A B D ^ A D C A , A B A E s A CDE. 23. A A E B s; A A D C , A D B C 3 A ECB. Solución de problem as b, e; c, g; d, f T riángulos congruentes: ADI , BCI; ADB, BCA; A D H , BCJ; A F C, BDG; A H I , BJI; A E I , BEI.

p á g in a s 92 a 95 1. 9. 17. 19. 21. 23. 27. 31.

A L M N . 5. L D B C . 7. L B D C . 11. L A L . 13. A L A . 15. N o hay suficiente inform ación. N o hay suficiente inform ación. N o hay suficiente inform ación. L L L. 25. N o congruente. N o congruente. A C 3 AC, A A C D ^ A ACB, LAL, definición de triángulos congruentes. 33. A A B C ^ CDA, A LA. 35. A A B E s A CBD, L AL . 37. A D B A ^ A EBC, A L A . Solución de problem as 8, 27, 64.

BD. LLL.

R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s páginas 9 8 y 99

1. 5.

L A L . 3^ A L A . BD £ D B , un segm ento es congruente consigo m ism o; ALA. 7. L A L. 9. A L A . 11. ¿ B Sí A B; A L A . Solución de problemas T odos m enos el m odelo medio.

p á g in a s 102 y 103 1. 5. 7. 9. 11. 13.

A Z X M _ p A Y X M ^ 3. A Ñ s z B Ñ . P V ^ Q V , S V L P Q , A P V S y A Q V S son ángulos rectos. O T^ST. Definición de bisectriz del ángulo. Definición de p u n to medio. D efinición de bisectriz perpendicular.

Solución de problemas

563

15. 17.

A N = E N , definición de p u n to medio; A L A . ES = N S , definición de bisectriz del segmento; LAL. 19. A A B F = CBF, definición de bisectriz del ángulo; A B = C B , definición de pentágono regular; B F sr BF: L A L . 21. A M = C M , definición de p u n to medio; MB.si M B , A A M B ,s A CMB, LLL; definición de triángulos congruentes. Solución de problemas N o hay solución única; 7. 8 y 9 son u n a solución.

p á g in a s 112 a 115 1. 3. 5. 7.

9.

AABD, AACD. A EFG, A E I H , A E F H , A EI G. AJNK, ALNK; AJNM , ALNM. 1. D ado. l . M O ^ MO; un segm ento es congruente consigo mismo. 3. LLL. 4. L P M O = L N M O . 5. D efinición de bisectriz del ángulo. A C == AC ; A A C B = A A C D , A LA; PCTCC..

11. L E ^ A B , A E ^ A B ^ E D ^ B C ;

p á g in a s 106 a 109 1. 5. 3. 4. 7.

L L L. 3. ALA. 2. D ado. D efinición de rectas perpendiculares CD = CD. 5. L A L. 2. A 3 £ Z.4. 3. D ado. 4. D efinición de bisectriz del ángulo. 5. U n segm ento es congruente consigo m ism o. 6. A LA. 9. Í M s J CM; L A L . 11. N Q s N Q ; LLL. 13. A R A D 3? L E AH; A L A.

definición de polígono regular; definición de isósceles: A A E D ~ A A B C, LAL; A D ^ A C , PCTCC. 13. C.D s ED, definición de bisectriz del segm ento; A BCD = A F E D , ALA ; P C T C C . 15. A P = B P y A N = B N , d a d o que los puntos P y N en el plano de la red están a una distancia igual de las líneas de la base; P N £ PN; A A P N £ A B P N , LLL; L P N A ^ L P N B , PCTCC; L P N A y L P N B son suplem entos con m edidas que sum an 180°; cad a un o tiene una m edida de 90° ya que los ángulos son iguales; L P N A y L P N B son ángulos rectos y P M es perpendicular a_AB. 17. A A F E ^ A BCD, LA L; A E s BD, P C T C C ; A A E B s A D B E , LLL; P C T C C _ 19. A DFG ^ A CFG, L AL ; FD s_ F C , P C T C C ; A A E F sé A A B F, L AL; E F A B F , P C T C C C , LLL.

564


S olución de problem as

3a. 3b. 3c. 3d. 4.

5.

6.

Z-/4BC y L A B D son ángulos rectos. F E ^ GE. LABD ^LC BD ;LAD B^LC D B. T odos los ángulos y lados son congruentes. AQPM SíLN P M ,LQ M P s íLNM P^ definición de bisectriz del ángulo; M P = S M P, A M Q P s A M N P , ALA, PCTCC. Z-D BA = L EBC, rectas perpendiculares form an ángulos rectos congruentes; A D B A s A E B C , LAL; P C T C C . AZgAT s A P Y X , LAL; P C T C C .

página 125 páginas 1 18 y 119

I. 3.

A ABC, A CDA; A A B E, A CDE. L l = * L 2 ; A C ^ D F , ¿ 3 _ S ¿ 4 i dado; AE F D ^_A B C A , A L A ; EF s B C , PCTCC. 5. C B — BC; A ECB s A DBC, LAL; P CT CC . 7. A A C E s A B D F , ALA, P C T C C . 9. A Q P V g z A Q R T , L A L , P C T C C . 11. L A H G ^ L D H F ; A A H G ^ A D H F , A L A ; PCTCC. Solución de problem as >1-36, B-36, C-24, D- 8.

la . 3. 5. 7a. 7b. 7c. 7d. 8. 9.

página 121

A P U Q T l/S , .4L/1; Q Ü ^ S U , P C T C C . QR = S R , definición de bisectriz del segm ento; U R ^ U R ; LLL. 3. A GF E sí A D E F , L A L , GE s D F , P CT C C ; A H G E s A C D F , LAL; P C T C C . 5. A A H B s A D H E , LAL; ¿ 4 s ¿ 3 , P CTC C; A A C B 3 A D F E , A LA; P C TC C. Solución de problem as 255; sea n = núm ero de letras, 2" — 1.

Resumen g lo b al capítulos l a s

Falso. Ib. Falso, le . V erdadero D eductivo. 4. Inductivo. N o hay conclusión. 6. A B || CD. Si dos rectas n o son perpendiculares, entonces son paralelas. Si dos rectas no son paralelas, entonces son perpendiculares. Si dos rectas son perpendiculares, entonces n o son paralelas. 7a, b; m o strar rectas intersecantes que no sean paralelas. A C » A C; LLL. L B A D £ ¿ C A D ; A B A D ^ A C A D , L AL; PCTCC.

1.

página 1 2 3

1. 2a.

C apitulo 3

Resumen

/-B^¿-Q ,L_A^LR,LC _^¿P, BA Qi?, ¿ C 3 R P , BC ss Q P . A L A . 2b. LL L. 2c. L A L . 2d.

LAL.

C A PITU LO 4 páginas 1 3 4 a 137

5.

Si d o s rectas se intersecan, entonces form an dos pares de ángulos congruentes. 7. Si u n segm ento es la bisectriz de un ángulo del vértice de un triángulo equilátero, entonces el segm ento es la bisectriz perpendicular de un lado. 9. Reflexiva. 11. Si u n trián g u lo es isósceles, entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.


13.

Si un trián g u lo es equilátero, entonces to d o s los ángulos son congruentes. 15. P ro p ied ad transitiva. 17. A B = AC, transitiva; tres lados congruentes. 19. B E = BD, A D = BB, A D = BD, B E = AD, transitiva; sustitución. 21. D B £ BD, reflexiva; A L A . 23. L A O B ^ L B O Q L B O C £ LCOD, transitiva. 25. A B £ C D, teorem a de la página 198; ¿ A & L D , A E £ D F , P C T C C ; LAL. 27. A A B C £ A DEF, A D E F £ A GHI, dado; L A £ L D , L D £ LG ; L A £ L G , transitiva, A B £ D E , D E £ GH; A B £ GH, transitiva; com pletar el m odelo p a ra cuatro pares más. Solución de problem as a. 45, 66. b. Sí.

565

27.

A A B E £ A D C E , LAL; L A E B £ DEC, P C T C C ; m L E A F = m L E D G , resta de_ángulos iguales; A A E F £ DEG, ALA; F E £ GE, P C T C C . Solución de problem as O bsérvese que se pueden colocar 9 triángulos p a ra form ar un triángulo con 6 sím bolos en el centro.

páginas 1 4 8 y 149 páginas 14 0 a 143

1. 5. 7. 9.

T ransitiva. 3. R esta de ángulos iguales. T ransitiva. R esta de segm entos iguales. B E = A C , transitiva, resta de segm entos iguales. 11. 2. P ro p ied ad reflexiva. 3. Sum a de segm entos iguales. 13. 3. P ro p ied ad reflexiva. 4. Sum a de segm entos iguales. 5. P ro p ied ad transitiva. 15a. 29.73 cm. 15b. 6.045 cm. 15c. Sum a y resta de segm entos iguales. 17. Sum a de ángulos iguales. 19. A A B E £ ADCE, _ALA; A B = DC, P C T C C ; A C = D B, sum a de segm entos iguales. 21. A B = BC; m L A B F = m L C B G , sum a de ángulos iguales; A F B A £ A GBC, LAL; LF_ £ L G , A F B D 3 A G BE, A LA; P C T C C . 23. A C £ CD; m L A C B = m L D C E , sum a de ángulos iguales; A A C B £ A D C E , ALA ; L E £ L B , E C £ BC, P C T C C ^ A L A . 25. A E £ D F , L A £ L D , A C £ D B , P C T C C ; A C - B C = DB - CB; LAL.

1. L C O B . 3. ¿ l o bien ¿ 2 . 5. C om plem entos de ángulos congruentes. 7. L C O F , L E O D . 9. L H O A , L F O D . 11. C om plem entos del m ism o ángulo, L A O C . 13. C om plem entos del m ism o ángulo, L C O E . 15. 90 - x. 17. x + 4x = 180; 36, 144. 19. L B A D £ L BCD, suplem entos congruentes; ALA. 21. B W = B X = YD = DZ; L W B X £ L Z D Y . suplem entos congruentes; LAL. 23. L E B C £ L E D C , com plem entos congruentes; L B E C £ ¿ D E C , suplem entos congruentes; A LA . 25. Em pléese el d iagram a de la página 217 con L D £ L C , L A es com plem entario de L C , L B es com plem entario de LD; m L A + m L C = 90, m L B + m L D = 90; m L A + m L C = m L B + m L D , sustitución; m L A = m L B , resta; L A £ L B . Solución de problem as x = 1.618; y = 0.618;

566


páginas 152 y 153

1. 3. 5. 13.

L COE, L B OF ; L BOC, L FOE. Ejem plo : L A O C , L F O D . 145. 7. 145. 9. 40. 11. 50. CO = DO, L C O A £ L D O B , ángulos verticales; A LA . 15. L A E B £ L DEC, A A E B s AZ)£C, L/4 L. 17. L A E B s ¿ DEC; A X £ B £ AZ>£C, L-4L; L A ^ L D , A B ^ D C , PCTCC; A E + E C = D E + EB; LAL. 19. L 1 s L 2, L 1 y L 2 son suplem entarios, dado; m L l + m L 2 = 180; 2 m L 1 = 180, ___ sustitución, sum a; m L 1 = 90:__ Solución de problem as D ibújese A M y DM.

definición de ángulo recto, sustitución; ni L Z ni L Y son ángulos obtusos (Ejercicio 16); en A X Y Z , sea L 2 un ángulo obtuso, dado; 90 > m L Z , 90 > m L Y (Ejercicio 17); ni L Z ni L Y son ángulos rectos. Solución de problem as Si el trián g u lo n o es isósceles, el p u n to m edio de B C y el pie de la perpendicular son dos puntos distintos.

páginas 1 6 0 a 163

A B = 2a; m í - A M D = 90; A M = D M — a^ /s . 1. páginas 15 6 y 157

3. 1. 3. 5. 7. 11. 13. 15. 17.

Seis; ángulos I C B , F C A , CAD, H A B , ABG, EBC. ¿ACB, ¿ABC. N o , n o form a p a r lineal con L C A B . A ngulo vertical. 9. A ngulo exterior. m ¿ 3 > m / - \ ; m ¿ - \ > m/L4, ángulo exterior, transitiva. m L A B D > m LBD C ;m /-BD C = mLEDF. m L R C B > m L B ; m L R C B > 90. E n A X Y Z , L 2 es u n áng u lo obtuso,

5. 7. 9. 11. 13. 15. 19. 21. 23. 25. 27. 29.

19.

dado; m L 2 > 90, definición de ángu lo obtuso; m L 1 + m L 2 = 180; 90 > m L 1; m L 1 > m L Z , m L \ > m L y, teorem a del áng u lo exterior; 90 > m L Z , 90 > m L Y, transitiva. U sese el d iag ram a del ejercicio 17; en A X Y Z , sea ¿ 2 u n ángulo recto, dado; m L 1 > m L Z , m L l > m L Y, teorem a del ángulo exterior; L 1 es u n áng u lo recto, resta; 90 > m L Z , 90 > m L Y,

31.

t J. m; los ángulos form ados n o son ángulos rectos. Los lados adyacentes son paralelos. Los lados adyacentes no se intersecan. A B ^ CD; A B * CD. L A n o es un ángulo agudo. m L A ^ 90. A A B C no es u n trián g u lo isósceles. AB / BC AC. N o es una contradicción. F o rm a u n a contradicción. F o rm a u n a contradicción. 17. c. m L A + m L B i= 90 (Ejercicios 19 a 27, las respuestas pueden variar). AABCgeAXYZ. m L A # 117. A B + E F = CD + EF. m L \ + r r i L 2 ¿ 180. 1. Suposición de la p ru e b a indirecta. 2. D ado. 4. P ro p ied ad reflexiva. 5. P o stu lad o LA L . 6. A B ^ A C , P C T C C . 1. A B A C , dado. 8. BD £ DC, lógica de la dem ostración indirecta. U n ab o g ad o descubre que un cliente suyo, acusado de un delito en Ponce, estaba en la ciudad de S an Ju a n cuando se com etió el delito. El a b o g ad o hace la siguiente proposición: Si m i cliente estaba en San Ju a n , entonces no com etió el delito. El a b o g ad o usa este razonam iento: Supóngase


q u e m i cliente com etió el delito. El delito se com etió en Ponce. M i cliente e stab a e n San Juan . N o p u d o h a b e r estad o en P once y en San Ju a n al m ism o tiem po. P o r ta n to , mi cliente n o com etió el delito.

1.

2. 3.

1

.

2. 3. 4. 5.

Supóngase que L A y L B son ángulos verticales. LA^LB. LA LB. (contradicción). 4. L A y L B n o son ángulos verticales. Supóngase que B C = QR. A A B C 2 A PQR. LAgsLP. L A ^L P (contradicción) BC QR.

1.

2.

3. 4.

1

.

2. 3. 4. 5.

Suposición de la dem ostración indirecta. Definición de ángulos verticales. D ado. Lógica d e la dem ostración indirecta. Suposición de la dem ostración indirecta. LLL. PCTCC. D ado. Lógica de la dem ostración indirecta.

9a.

A B \ \ C D . 9b. L A y L B n o son suplem entarios.

página 167

1.

1296.

Técnicas d e solución d e problem as

2.

35.

la . 4a. 4c. 6. 7. 8.

Resumen

V erdadero. Ib. Falso, le . V erdadero. x = 22.5°, 3x = 67.5°. 4b. 56. 100,80. 5. 45. L B C A = L D C E ; em pléese A L A . Em pléese la sum a de ángulos iguales. A A B C =* A A E D , A L A ; L 3 s LA, P C T C C , em pléense los suplem entos de ángulos congruentes.

45.

páginas 172 y 173

1. 3.

E jem plo E H , M , CG, M . E F G H y AB CD , B C G F y A D H E , A B F E y DCGH. 5. L 2 y L l , L 1 y L 8. 7. A B G y D J I L A G L y CDJ, A B C y J KL . 9. y EF; AÉ. 11. ¿ 1 4 y ¿ 1 7 , ¿ 1 4 y ¿ l l . Solución de problemas

£3

páginas 1 7 6 a 1 7 9 C apitulo 4

3.

CAPITULO 5

Solución de problem as Si se supone que A na está diciendo la verdad, puede llegarse a una contradicción. Si se su p o n e que Isa o Ive dicen la verdad, tam bién se llega a una contradicción. Si se supone que L eo está diciendo la verdad, no se llega a u n a contradicción. P o r tan to , A na es la culpable.

p ág in a 1 6 5

567

,

la . a y c, 5.1. Ib. a y b, 5.2. le . b y c, 5.4. Id. a y c, 5.2. le . b y c, 5.1. lf. a y b, 5.3. 3. T eorem as 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4. 5. L 2 y ¿ 3 . 7. ¿ 8 y (LA y L5); L l y ( L 5 y L6). 9. LL L; L 3 s L 2 , P C T C C ; teorem a 5.2. 11. A F + F C = D C + CF; A A B C s A DEF, LL L; L A C B s L D F E ; teorem a 5.2.

568

13. 15.


Em pléese el teorem a 5.4.

L 2 es suplem entario de Z.3, d ad o ; L 2 es suplem entario de L 1, p a r lineal; L 1 £ L 3, suplem entos congruentes; t || m, teorem a 5.1.

17.

% m L A B C = % m¿ B C D , ¿ 2 s ¿ 3 ; teorem a 5.2. 19. ( m L 2 + m ¿ 3 ) + m A l = 180; mZ.1 = m A 5 ; m¿11 = m ¿ 4 ; teorem a 5.1. 21. D ibújense D M y C M . P r uébese que A A M D £ A B M C , LAL; D M £ CM, L D M A £ L C M B , PCTCC; L D M P = L C MP; A D M P £ A C M P , L A L ; L D P M = L C P M . Em pléese el teorem a 5.4. 23. L a p lo m ad a es paralela a las puertas, ventanas y esquinas de las paredes. Solución de problem as

OBI páginas 182 y 183

3a. 3c. 5. 7. 9.

V erdadero. 3b. V erdadero. V erdadero. 3d. V erdadero. N o paralelas. q || p, teo rem a 5.4, q || r, teo rem a 5.4; teo rem a 5.5. Usese el teorem a 5.1 o el 5.2.

11. A B 1 BG. H G 1 BG; BA |l H G ; F.F || H G ; úsese el teo rem a 5.5. Solución de problem as Sea E la intersección de A B y CD; A E = BE, C E = DE; L A E C £ L B E D ; A A E C £ A BED, LAL; L E D B £ L E C A , P C T C C ; ángulos alternos interiores. páginas 1 8 6 a 189

1. 125. 3. 125. 5. 55. 7. 125. 9. ' 37. 11. 37. 13. 110.15. 28. 17. 70. 19. 70. 21. 42. 23. m L A B C = m L C D A = 110; m L D A B = 70. 25. m L l = m L 5 = 78; m L 2 = 102. 27. t || m; L 1 = L 3, teorem a 5.8; L 2 es suplem entario de ¿ 3 , p a r lineal; L 2 es suplem entario de Z_ 1; sustitución. 29. U n ángulo in terio r form ado p o r r y t es 90°, teorem a 5.6; definición de perpendicular. 31. 1 = m L 11, m L 11 = m L 7 , m L \ = m L l , transitiva; m L 2 = mZ.4, m ¿ 4 = m/L9, m L 2 = m L 9 , transitiva. 33. L 9 es suplem entario de L 6 , teorem a 5.9; L \ £ L 6, suplem entos de ángulos congruentes; úsese el teorem a 5.2. 35. ¿ 8 s L D E F , A A B C £ A D E F , ALA. 37. L 4 £ L 2, teorem a 5.8; m L l + m L 2 = 180, teorem a 5.9; m L 1 + m L 4 = 180, sustitución. 39. L B es suplem ento de L A, L D es suplem ento de Z./1, teorem a 5.9; suplem ento de ángulos congruentes. 41. L os bordes del papel tapiz deben ser paralelos ___ _______ de tal m anera que L A ^ L C ; dad o que el 7 B? piso es paralelo al techo, IA /c L B = L C . P o r tanto,

LA

sé LB.

Solución de problem as 1. D a d o que A B sufre la m ism a inclinación al e n tra r que al salir, se form a un p a r de ángulos


correspondientes congruentes al hacer que X É || C$. 2. Usese el teorem a 5.5. p ág in a 191

la . Ib. le . 2a. 2c. 3b. 4.

7. 8.

21.

Resumen

¿ 3 y ¿6 , ¿ 4 y ¿5. L l y L l , L l y ¿8. L 2 y L 6 , L l y L5, ¿ 3 y ¿ 7 , ¿ 4 y ¿ 8 . V erdadero. 2b. Falso. V erdadero ^ 3a. A B E y DCF. S £ y FD, A D y P d . N o. 5. 55. 6. 78. ¿ 8 3 ¿ 1 1 , teorem a 5.6. ¿ 1 0 y ¿ 1 1 son suplem entarios. Usese el teorem a 5.4. S á || 5 ? , teorem a 5.1. Usese el teorem a 5.8.

página 19 3

1. 9. 15.

C a p ítu lo s

Repaso d e álgebra

4. 3. - f 5. - 8 . 7. 2. $ 11. x < 5. 13. x < ^ x > 36. 17. —5 < x < 5. 19. 4^3.

23.

3 n//3.

25.

¿ 27.

2 ^/2 . — 4

29. 35.

(- 1 0 ,3 4 ) . (7,14). 37.

31. (4,2). 33. ( 1 4 ,- 4 ) . 3 ,9 .

CAPITULO 6 páginas 200 y 201

la . le. 3a. 3d. 9. 11.

13. 15. 17.

Escaleno. Ib. E quilátero, Isósceles. Id. Escaleno. L N . 3b. M N , P Ñ . 3c. M P . M N ,P N . U n trián g u lo equilátero debe ser un trián g u lo acu tá n g u lo ._ A X Y Z ¿ a ltu ra s XZ_, YZ,\ Z P ^ A Z P Y, Z P ^ _ PQ, Y P ; A P Q Y , PQ, Q W , Y W ; A X P Z , X P , Z P ; A P Q Z , PQ, ZQ. A H A B , A CBA. T riángulos equiláteros A B C, D EF ; triángulos escalenos DEA, FDC, EFB. CD L A B , A E ± B C ; L C D B S í L A E B ;

569

L B ^ L B ; A B - A D = C B - CE, D B = E B ; A B A E 3 A BCD, A L A . Solución de problem as 16 triángulos com o A M O N ; tam bién los triángulos A J C, B K D , CLE, F M H , G N I , J O L, A M D , B N E , FO¡, J L C , AOE. páginas 2 0 4 a 207

1. L B = L E ; L A C D = L A D C . 3. ¿ M N L , L M L N ; L K N L , L K L N . 5. A A EB , A DEC, A D E A , A C E B . 1. 50. 9. 31. 11. 14. 13. 30. 15. m L X = m L Z = 72; m L Y = 36. 17. m L A B C — m L 3 = m L A C B — m ¿ 4 . 19. L A C D 3 L A D C ; L A C B ^ L A D E , suplem entos de ángulos congruentes; A A C B 3 A ADE, L AL ; A B 3 AE. 21. L A B C ^ _ L A C B ; m L E B C = m L D C B ; B C 3 CB; A D B C 3 A L A . _ 23. L A B C s * L A C B ; m L 3 = m L A ; D C zéDB. 25. L D y L A B D son suplem entarios de ¿ ABC; L D 3 L A B D ; AD 3 AB. 27. A A B C 3 ABA E, LAL; L C A B 3 ¿ EBA, PCTCC. 29. E n el triángulo equilátero A B C, L A 3 ¿ C , L B 3 ¿ C , teorem a 6 . 1 ; ¿ ^ s ¿ B í ¿ C ; transitiva. 31. A A B C es isósceles con AB 3 AC; sea el p u n to £) la intersección de B C y la bisectriz de L A U B A D j í L C A D ; A B A D 3 A CAD, LA L; BD 3 CD, L A D B 3 L A D C , C P CT C; L A D B y L A D C son ángulos rectos, A D 1 BC. _ 33. A A B C es isósceles con A B 3 A C , BD biseca a L A B C , C E biseca a L A C B , dado; L A B C 3 L A C B , ángulos de la base; m L D B C = m L E C B , m itades de iguales; A D B C |_ A .ECB, A LA; E C 2 DB, P C T C C . 35. X B 3 Y C ; L B X W = L C Y Z ; L A B C Zé L A C B ; A X B W = A Y C Z ^ L A . 37. m L E A P = m L D B P , resta; A P 3 BP; L E P A S í L D P B ; A E P A 3 A DPB, A LA ; E P 3 DP. Solución de problem as 29, 16.

570


páginas 2 10 y 211

1. 9. 13. 15.

17.

19. 21.

páginas 2 1 4 y 215

54. 3. 110. 5. 55. 7. 60. 110. 11. 5 5 ,4 0 ,8 5 . 180 - 9 0 = 90; ^ = 45. E n el trián g u lo isósceles X Y Z , m L X + m L Y + m L Z = 180; 2 m L X + m L Z = 180; m L X + ± m Z .Z = 90; m L X < 90; empléese la definición de ángulo agudo. En el trián g u lo rectángulo A B C con ángulo recto B, m L A + m / - B + m L C = 180; m L B = 90; m / - A + m L C = 90, resta; úsese la definición de ángulos com plem entarios. L D C E s L E C B ; L A = L B ; úsese el teo rem a 6.6\_LECB £ L B . D ibújese A C . m L \ + m L D A C — m L B + + mLACB. m L 2 = m L D A C + mLDCA. Sum ar.

1. 7. 9.

11.

H A . 3. A L A . 4 _ H A^ _ L C D A £ LC D B; A C B C ; HA. AAL. B E + E C = F C + C E ; AAL.

13.

15. 17.

Usese el teorem a A AL . A E A B £ A B C A, LA L; L A E B £ L B C A , P C T C C ; L E F A £ L C F B ; A AL. T riángulo isósceles 4 B C con L A ^ L B , FD 1 A C , F E 1 BC, m L A D F = m L B E F — 90, definiciones de rectas perpendiculares y de ángulos rectos;

___ £ A

1. mZ-2 + mZ.3 + m ¿L4=180. 2. m L l + m Z .4 = 180.

3. mZ_2 + w ¿ 3 + + (18° —m Z -l)= 180. 4. m L 2 + m L 3 —m L l .

1. T eo rem a 6.4. 2. P a r lineal; def. de suplem entos. 3. Sustitución. 4. Algebra.


1. 7.

Solución de problem as 9. 13.

—i— i •+ - I _i_

15.

-“ 1

F

m LA + mLADF + m L l = m LB + + m L B E F + m L 2 , teorem a 6.4, transitiva; m L 1 - m L 2, resta. Solución de problem as 4.

HC. 3. H A . 5. A L A . N o congruentes; hágase PQ = 2ST, P R = 2S U, Q R = 2 T U . L LL . 11. 35. A E C B £ A DBC, HA; L D B C £ L E C B , PCTCC. A E F B £ A D F C (Ejercicio 14); E F £ DF; L D E F £ L F D E ; L D E A £ L E D A , sum as de ángulos.


Si P n o está sobre A B , entonces construyase la p erpendicular de P a ÁB; A C P £ A B C P J Í C ; A C £ B C, P C T C C . (Si P está sobre A B , entonces P es el punto m edio.) Si P está so b re la bisectriz perpendicular, entonces A A C P £ A B C P p o r L A L , P A 2í P B , P C T C C . Solución de problem as A, sí; B, no; C, sí; D , no.

571

13. 21.

10. 15. 2y/2. Sí. 23. No.

25. 27. 31.

y / 4 2 4 = 2 ^ 1 0 6 = 20.6. 4v /<2 pies. Area del cu a d ra d o 1 = á rea del cuad rad o 2; 4(l/2ab) + c2 = 4(l/2a&) + a 2 + b2; c2 = a 2 + b 2.

33.

' / ‘40° A l i n e a ,

17.

^5.

19.

Si.

0.5

página 221

C apítulo 6

Resumen

la . le. 2. 4.

Falso. Ib. V erdadero, Falso. Id. Falso. 70. 3. 80. mACAB -m ¿ D /IB = m¿CBA — m L DBA. 5. A B ^ BA; A A D B ^ B C A , A A L . 6. A A C D £ A ABD, HA. 7. A C Y A £ A A X C ^ H C ; L Y C A £ L X A C , P C T C C ; B C £ BA. 8a. U n ángulo exterior iguala la sum a de dos ángulos interiores no contiguos. 8b. 45__ 9. K M £ K N ; L K M N £ K N M ; L K M G £ L K N H , suplem entos de ángulos congruentes; A K G M ^ _ A K H N , ALA; KG £ K H .

35. 26.96 metros. Solución de problem as la . 4. Ib . 3. le . 1. Id. 2. 2a. „ /5 2 Í . 2b. 23 = ^/5292c.

^545.

2d.

v /565.


2 ,2 ^ 2 .

3.

5 ,5 .

7. 2 ^ 3 , 2 .

1.

9.

8 ^ /7 , % J l \ .

15.

5.

2 ,^ 3 .

1. 4. 5.

Técnicas d e solución d e problem as

37. 2. 28. 3. Ts = 15, T6 = 21, Tl0 = 55. P 5 = 35, P6 = 51, P 10 = 145. H 3 = 18, H 4 = 34, H l0 = 235.

^ 5 .

3 ^ 3 m.

17.

En el triángulo 30-60-90, el lado opuesto al ángulo de 30° es - ; el lad o opuesto al ángulo de 60° es v 73 veces la longitud del

páginas 22 8 a 231

C orrecto. 5. 9. 8.

•

i9 . i é . 3 Solución de problemas 1. A B 2 + 12 = 2 2, A B = ^ 3 . 2. A D 2 + B D 2 = A B 2; AD = J l . 3. N o.


CAPITULO 7

1. 7.

38, 19^/3.

13.

cateto m ás corto o bien — p ág in a 22 3

11.

3. Incorrecto. 11. y í 9 .

5.

C orrecto.

1. 13. 13. 19.

B X , B Y , BZ. 3. 3. 5. 4. A lgunas veces. Algunas veces. 17. A lgunas veces. O b tu so , fuera; recto, sobre; o agudo, dentro.

572


23.

A D = DC, definición de m ediana y de pu n to m edio; B A = BC, definición de isósceles; L A s L C \ A A B D A CBD, L A L ; L A B D £ L C B D , P C T C C ; BD es la bisectriz del ángulo. En el trián g u lo equilátero AX Y Z , M es el p u n to m edio de X Z ; A X Y M = A Z Y M , L L L ; L X M Y y L Z M Y son congruentes y suplem entarios, p o r ta n to , ángulos rectos; Y M es una altu ra. __ _ A N C B £_A M B C , A LA; M B £ C N , M C £ N B , PCTCC; A M C N ^ A NBM , LAL; L N M C £ M N B , O M £ ON.

25.

27.

29.

11. Escoger C fuera de A B; A C + C B > ,48. 13. A D + A B > BD y CD + B C > BD. Sum ar. 15. H está en la intersección de las diagonales. D H + H B = 4. Fórm ese un triángulo rectángulo con A C com o hipotenusa. 2 2 + (4 + 2 ^ 3 ) 2 = A C 2; A C = 7.7; DB = 4; m ínim o = 11.7. Solución de problem as E ncuéntrese la longitud de la perpendicular que va de la p arte superior de la figura al p u n to O (diagram a izquierdo), yj2 ;

encuéntrese AO. ( \ A B ) 2 + %/ 2 2 = A O 2;

AO =

/Í7

dad o que la longitud del cordón es

3^2 el doble de AO, longitud = y / 17.

31.

E n el triángulo equ ilátero ABC, AD, B E y C F son m edianas; A F = BF, definiciones de m ediana y de p u n to medio; A A F C £ A BFC, LLL; L A F C y L B F C son congruentes y suplem entarios, y p o r ta n to ángulos rectos; A A F X s A B F X , LA L; d a d o que A A C F £ A B C F , L X C E = L X C D ; C E = CD, m itades de iguales; A E C X £ A P C X , LAL; repítase el m odelo p a ra AD y BE. 33. T riángulo isósceles ABC, A C = B C con altu ras B E y AD; L C E B £ LCDA, definiciones de altura y ángulo recto; A C £ B j= A C D A , A AL; B E £ AD, P C T C C . Solución de problem as 1. A'B = 5 = PR ; úsase A A L. 2. En A P fiR , y2 = R Q 2 + 52; y + RQ = x; sustituir.


1. A B , A C . 3. G H , GI. 5. A C < B C < AB. 7. B C < A C < AB. 9. m L C < m L B < m L A . 11. CD < B C < BD < A B (AD = AB). 13. E n A ABD, BD < AB; CD = BD; sustituir. 15. Usese el ejercicio 14. 17a. Posible, no. 17b. Posible, no. 17c. Posible, sí. 17d. N o es posible. 17e. N o es posible. Solución de problemas = sñr - J l ;

372

Sí. 3. N o. 5. Sí. 7. Sí. M ay o r que 2 y m enor que 16.

y? 2

página 2 5 3

la . le . 2. 4.

páginas 24 6 y 247

1. 9.

-

6.

= 1.3 m.

C apítulo 7

Falso. Ib. V erdadero.

Resumen

Verdadero, Id. V erdadero.

CD. 3. 2x//2. E n el triángulo 30°-60°-90° A A B E , A E es el ángulo opuesto de 60°. A E = ^ 3 ; A C = 2^/3. Fórm ese un triángulo. C onstrúyanse dos bisectrices perpendiculares cualesquiera.


7. 9.

16. 8. 1Z_ D ibújese ATZ. En A X YZ, m L Y X Z > m ¿ Y Z X . En A X W Z m ¿ Z X W > m L X Z W . Sum ar.

31.

CD || B A ; L CDB 3 L ABD; ángulos verticales; A B E G 3 A D E F A L A FJÍ=íG_E. ’ 33. D C 3 B A , L D 3 L B , A D 3 CB; A D - A E = C B ~ CF; A D E C 3 A B F A LAL, PCTCC. 35. P aralelogram o A B C D con ángulo recto A dado; m L A = m L C = 9 0 , ángulos opuestos; L D es suplem ento de L A m / D = 90; m L D = m L B = 90, úsese la definición de rectángulo.

p a g in a 255 R esum en global, c a p ítu lo s 4 a 7 Ejem plo D F . Ib. Ejem plo FE. le. Ejem plo A B E H . Id. H B . le. D GHA . 2a. 75. 2b. 113^,664 2c. 1 2 3 i 5 6 | 3 3 3. A B 3 A £ ; úsese A LA . 4. B C + CD = ED + D C \ L 5 3 ¿ 6 : úsese LAL. 10a. 8&_ 10b. _ 7 5 .__10c. 163. 11. CD, BC, BD, A D , AB.

1-

CAPITULO 8 Páginas 262 y 263

1- DC. 3. DC, AB. 5. V erdadero. 7. Falso. 9. V erdadero. 11 . V erdadero. 19. Rom bo. 21. 5.4 cm, 10.6 cm. 23. c. Solución de problem as A B G l . D E G J H C 1 DH EGB , B J D H , J I E F , HFGG, CEDA, A J GC . ’ Páginas 266 a 269

1.

Â ,L D ;L D ,L C ;L C ,L B ;L B ,L A 132. 7. 90. 9. 132. 11. 4 cm. 122. 15. 58.

17.

Si los lados opuestos de un cu ad rilátero no son congruentes, entonces el cuadrilátero n o es un paralelogram o. R o m bo o trapecio con 3 lados congruentes. N o es un paralelogram o, co n trap o sitiv a del teorem a 8.1. N o es un paralelo g ram o , co n trap o sitiv a del teorem a 8.1. 17°, 163°. 27. 17. 29. 85.

19. 21. 23. 25.

3?‘ H A ~ á C\ F ¿ te ° rem ^ 5:8; 1 5 = úsese ir 11 ’ usese el eJercicio 35. 39. Usese la definición de paralelogram o v el teorem a 5.9. 41. 9 a 431_ 4 0 1_ ^ A B ~ KJ; tr ^2S'tiva. B C 3 P g , teorem a 8.2; B C 3 &./, definición de polígono regular; KJ 3 3 P S , teorem a 8.2; PO es p e sustitución. "" ’ Solución de problem as 47.

1. 2.

La sección transversal corta p o r lo m enos un p a r de planos paralelos. C ualquier co njunto de cinco caras del cubo debe contener dos pares de aristas paralelas.

Páginas 272 a 275

1. 9. 13.

AB,DC:AD,BC.

3. 5. 13.

573

15. 17.

19.

21.

Sí- 3. Sí. 5. No. 60°. 11. 811 ,8 .

7.

14 mm.

X , X 2 e Y1Y2 son congruentes y paralelas. x i x 2 Y2Y, es un paralelogram o. X iYiV C zl» __ A D || B C , EF_|| BQ_AD || FE; A D 3 BC, F E = BC, A D 3 F £ ; úsese el teorem a 8.5 A H A E 3_A FCG, A D H G = A B F E , L A L H E 3 FG, H G 3 FE, P C T C C ; úsese e l’ teo rem a 8.4. \ D C = %AB; D F || AE; úsese el teorem a 8 5 A E = EC, D E = EB, dado; A A E B 3 A CED, A D £ 4 3 ABEC,LAL, A B 3 CD, A D ^ C B , P C T C C , úsese el teorem a 8.4.

574


23.

A E G D y A B F H son paralelogram os, teorem a 8.5; GE || D A , H F || AB; úsese la definición de paralelogram o. 25. A A E D £ A C D E , LAL; L CED £ Z A D E ; A A E D y A C D E son isósceles; m L E A D = 36, sum a de trián g u lo de 180; m A E F D = 108, sum a de trián g u lo de 180; m A B A F = m A B C F = 72; A B C F es_un paralelogram o, teorem a 8.6; A B £ BC. 27. D ibújese FB; A E B F £ A CBF, HC; E F = FC; L B D C £ Z D BC, ángulos base; ¿ D F E £ ¿ DBC, 180 - m A E F C ; ¿ B D C j= LDFE. 29. A C || BD, ángulos correspondientes; úsese el teorem a 8.5. Solución de problem as a, b, c, d. e

: \ 2 = r -

páglnas 27 8 a 281

1. 11.

17. 23. 25. 27.

29. 31.

4. 3. 10. 5. 34. 7. 5. 9. 7.5. 8, 16. 13. 20. 15. & = 7. a = 31.5. 19. 5, 1 0 _ 2 h _ No. Usese teorem a 8.7, FD || A E , DEJ _AF. ABDE_es paralelogram o; A E ^ BD, A E || BD; obténgase Y X = Z W , Y X || Z W . W Z Y X es u n p aralelogram o, teorem a 8.8; las diagonales de un p aralelogram o se biseca n en tre sí. W Z || A B , X Y || A B , teorem a 8.7. W G = GY, X G - GZ, diagonales de paralelogram o; úsese la propiedad transitiva.

33.

Y X = j D B 1 Z W = ^D B , Y X = ZW; Y X || DB, Z W || DB, Y X || Z W ; úsese el teorem a 8.5. 35. E n A A O B , A' y B' son puntos m edios de los lados, en A DOC, D' y C' tam bién son p u n to s medios; úsense los teorem as 8.7 y 8.5. Solución de problemas 1. Pruébese que jo s triángulos rectángulos son congruentes con A B , BC, CD y A D com o partes correspondientes.

2.

I 2 + (i)2 = longitud2; longitud = v í* 2 ‘

3.


1.

3. 5. 13. 19. 23. 27. 29. 31.

33. 35a. 37.

A D £ BC, D C £ A B , D B £ AC, DE £ AE_ £ EC, D E £ EC, D E £ A E , A E £ EB, C E £ BE. LD E A,¿D EC ,¿C EB,¿BEA. N o. 7. Si. 9. N o. 11. Si. N o. 15. Falso. 17. Verdadero. Falso. 21. Rectángulo. N o es posible. 25. C uadrado. 4x + 10 = 90; x = 20; 116. D B = AC, B E = ,4C; D B = BE, transitiva. Pruébese que cu atro triángulos son congruentes con EF, F G , G H y H E p o r PCTCC; m ¿ D H G + m A G H E + m L A H E = 180; A D H G s L A E H , P C T C C ; A A E H y ¿ A H E son com plem entarios, A D H G y L A H E son com plem entarios, sustitución; L G H E es un ángulo recto. Z V = X V , W V = Y V : Z X ± W Y ; úsese LAL. Si las diagonales son congruentes, entonces la figura es un rectángulo. D ibújese GFEH; A D G H A D G //_ £ A CF G £ A B E F £ A A H E , L A L GF £ F E £ E H ^ H G teorem a 8.10.


39.

1. Si c a d a diagonal biseca a un p a r de ángulos opuestos, entonces un paralelo g ram o es un rom bo; L D A B s L D C B , L D C A s L D A C , dado, m itades de ángulos iguales; A D £ D C ; dad o que los lados opuestos tam bién son congruentes, entonces todos los lados son congruentes. 2. Si u n p aralelo g ram o es un ro m b o , entonces c a d a diagonal biseca a un p a r de ángulos opuestos; A D C E s A BCE, HC; L D C E » ¿ B C E , P C T C C ; obténgase L D A E £ LB AE. Solución de problem as 1.

2.

4

2

3.

12.

páginas 290 y 291

1. 33.5. 3. 36. 5. 17.15. 7. 21. 9. 18. 11. L D A P s L P A B, bisectriz del ángulo; i'-DPA £ L P A B , ángulos altern o s internos. 13. Trácense las perpendiculares de D a A É que se intersecan en £ y de C a A É que se intersecan en F; A D E A £ A CFB, HC; L-DAB s / - C B A , sup. congruente; A D A B as A C B A J . A L . 15. D ibújese D E || C B con_E so b re AB_; D E B C es un paralelogram o; D E s CB; D E £ DA; L A s L D E A ; L D E A L B , ángulos correspondientes; L A =? L B , transitiva. Solución de problem as

3.

575

x

T rácese la figura con form a de Y en el centroide del triángulo de m anera que (1) A G = B G = CG, (2) m L A G B = m L B G C = m L A G C = 120, (3) /fG no está sobre u n a altura. C om plétese la figura dibujando A X , B Y y C Z . X A G C Z , Y B G A X y Z C G B Y son pentágonos congruentes.


1. 8. 3. x — 2. 5. 1800°. 7. 6120° 9. ( p - 2)180°. 11. 13. 13. 12. 15. 21. 17. 140°. 19. 156°. 21. 176.4°. 23. 45°, 30°. 25. 5.10. 27. 60° + 1 2 8 f + 1 7 l f = 360°. 29. T rácense X A e YB con intersección en T; AX Y A Y XA, LAL; X A = YB, PCTCC; A X A B s AYBA, LLL; LXAB ^LYBA^_ P C T C C ; T B s TA, lados opuestos de ángulos congruentes; T X T Y, resta; A B T A y A X T Y son isósceles; L T X Y z L T Y X , L T B A ^ L TAB, ángulos base; L X T Y s L A T B , ángulos verticales; L T X Y ^ L T A B , sum a de ángulos del triángulo, resta; X Y \ \ BA; L X B A es suplem ento de L B X Y , teorem a 5.9; m L B X Y = 135, octágono regular: m L X B A = 45; m L E B C = 45 (m ism o m odelo que el anterior); m L A B C = 135 - 2(45) = 45. Solución de problem as 1. 56. 2. 50.

576


página 297

la . Id. 3. 4.

Capftulo 8

Resumen

Falso. Ib . Falso, le. V erdadero. Falso. 2. 40. DA s CB; E F £ CB; DA || CB; E F || C B ; úsese el teorem a 8.5. m L 3 = m L l = 60; L 4 £ L A D E ; (180 - 60)

m L 4 = -------------= 60; L A s L B .


la . V erdadero. Ib. Verdadero. le . V erdadero. Id. Falso, le. V erdadero. lf. Falso. 3. 2§. 5. 2.4. 7. 10. 9. T eorem a 9.6. 11. 6 ,2 4 . 13. 42 cm. 15. 7 i 10f, Solución de problem as iy ,

2

5. 6. 7.

L 3 = L l , ángulos correspondientes; L 4 £ L 3 , transitiva. E F G H es un p aralelogram o p o r el teorem a 8.7; m L E H G = 100; m L E F G = 100. 20. 8. 150. 9. 100°. 10. 6.5.

página 299

1. 11. 17. 23. 31.

Repaso d e álg eb ra

4. 3. 7. 5. 12. 7. 9. 9. ±3. ( 0 ,- 5 ) . 13. ( - | , 2 ) . 15. ( - 3 ,3 ) . (!>!). 18. 81. 21. 7. - 2 . 25. - 2 , 5 . 27. 5. 29. 4 , - 3 . 36°, 54°, 90°.


1. 5. 7. 9.

n.

13.

15.

CAPITULO 9

AD

páginas 30 6 y 307

la .

T eorem a 9.4.

le.

T eorem a 9.3.

3b.

^

3d.

— =— .

- 4 1 v/3

Aß

GH

EF

CD

Sí. 3. N o. L I £ L F , L J s LJ', L H £ LH'. 6 f, lO f LA ^ L A , L A D E ^ L B , / A E D ^ L C ; úsese la definición de polígonos semejantes. AD A E DE 1 -----= ------= — = - ; ¿ A D E £ ¿ ABC, AB AC BC 3 LAE D £ LACB, L A £ LA. H ágase la hipotenusa de 2 unidades de largo. AD AE L A D E ~ A A BC , AA; ■ AB AC’ AB A C A D + DB A E + EC

Ib. 3a.

3c.

2

Teorem a 9.2. 3

6

2 _ 4' X Y


3 _ MÑ'

a c Si ad j=- be, entonces - i= b d 7. $70. 9. 67.5, 112.5. 11. 1 2 j x 17¿. 13. 3, 5. Solución de problem as 1. 128 pies NS, 133 pies EW. 5a.

2.

32 pies NS: 19 mm

x pies

3.

A proxim adam ente $7000.

76 mm

AE' AD AE DB EC DB EC 1 + — = 1+ AD A E AD ÂË’ Solución de problem as 13, 4 s + 1,41.

32 pies ; EW: 19 m m

y pies 79 mm

1. A X Y Z . 3. A Y Z X . 5. C ad a uno contiene dos pares de ángulos congruentes. 7. 10. 9. 3f. 11. N o , ángulos agudos diferentes. 13. Sí, A A A. 15. L A L B ^ L A ' L B 1, L B ' £ L B . 17. L 3 £ L 4 , ángulos verticales; A A B C ~ A E D C , teorem a 9.8. 19. A A E D = L C E B , ángulos verticales L E B C £ ¿ E D A , ángulos alteraos internos; A A.


21.

L B ^ L E , m L B G A = m L E H D = 90, L B G A = L EHD: A BGA ~ A E H D , AA; úsese la definición de triángulos semejantes. 23. Fórm ense paralelogram os; L E s L E H Y , ángulos opuestos; L H N Y , A A. 25a. A R 3 Z.R; AA. 25b. RS || V V , L R ^ L V U T , L \ 3 ¿ 2 ; AA. 27. m L B AD = m L F E H , m itades de ángulos iguales; A,ABD - A E F H, AA. 29. Trácese BG intersecando a C F en H; úsese el teorem a fundam ental de la BC BH BH EF pro porcionalidad = -----y ------ = — : 1 1 CD HG HG FG úsese la p ro p ied ad transitiva. 31. A A F C ~ A AEB, A B D A ~ A B F C , AF F C BD DA A CDA ~ A C E B ; ----- = — , — = — -, AE EB BF FC C E _ EB y CD~~DA’ A F BD C E _ F C D A E B _ ]

x 2.

20 Se

19. 23.


1. 7.

AB 20 A B = -------; A ' B ' = --------- . A 'B ' x duplica A 'B '.

AB _ 5 AC

13. 13. 15. 21.

|

BD = y j B C - B A . E n A A DE, DF2 = A F FÉ, DF = J A F - F E;

AB ~

AC '

AC

~DE ~ To’ ~EF ~ 6’ no son triángulos semejantes. F c

B D A A B C y A D E F son triángulos isósceles con LL B B = 3 L EE; — —

BD ■DF = ^ B C ■BA • A F ■FE. BC A B BC + AB AB + AC ~

Sí, L LL . 3. No. 5. f L D O C s L A O B , ángulos verticales; L C A B = L D C A . ángulos alternos interiores; A A. JKKL kKL KI ------= ------ = f-------= -------. / K ^ L M : NM MP jM P MO A K J l ~ AAÍiVO, L A L sem ejanza; partes proporcionales.

A•

6. 3. 2x/5 . 5. AD y DB. A B y AD. 9. 6. 11. 16. f§ 17. 2. EG = 12; H E = 6 ^ 5 ; 72v /5 . E n A CDA, B D 2 = B C ■BA,

AB ~ A C ’ AB AC AC+CD

CX

11.

páginas 32 4 y 325

1. 7. 15.

XB

AF “ CX ’ CX XB1 A F 2 = A F C X + C X 2; C X 2 = C X ■X B + X B 1, C X 2 = A F - A F C X , sum ar; 2 C X 2 = 2 A F X B . Usese el teorem a de P itágoras, 2C X 2 = E X 2, 2 A F 2 = A E 2, 2X S 2 = X Y 2, A E 2 ■X Y 2 = 2 A F 2 ■2 X B 1 = 4A F 2 X B 2 o AE- X Y = 2 A F X B . E X 2 = A E -X Y , sustitución.

9.

A E B F ' CD ~ E B F C D A ~ AB 33. A A C B - A A B D , AA- ^ C- = AB AD' Solución de problem as

1.

Solución de problemas AF + CX AF CX

577

(180 — m L E ) ’

-

= mLA;

= m L D ; A A B C ~ A DEF,

AA. Solución de problem as A lgunas respuestas posibles son: p en tágono A B C DE ~ A'B'C'D'E';

F

578


estrella con los p u n to s A B C D E ~ estrella con los p u n to s A'B'C'D'E'; triángulo obtusángulo, A A ' B ~ A'BB' B triángulo acutángulo, A E ' B ~ A'A"B'; triángu lo isósceles, A E ' A ~ A A ' B " , A E B ~ A ' E ’B', C' CD ~ C'D"D'\ rom bo, A B C ' E ~ E ’A'C"D'\ trapecio isósceles, ABC' D' ~ E'A' C' D" , A B C E ~ A'B'C'E'.

página 337 c a p ítu lo 9

la . le. 2a. 3.

páginas 33 2 y 333

1. 7. 15. 19.

f, f, | 3. 0.2924. 5. 0.3839. 0.7002, 9. 37°. 11. 17°. 13. 4°. 10sen40° = 6.4. 17. 2 5 ,2 4 ,^ 53°, 37°. 21. 35.7 m. 23. 0.42 cm. DC Solución de problem as ta n 40° = 200 + B C ’ DC tan 60° = — ; 325.5 m. BC

4a. 5a. 6. 7a. 7b. 7c.

Resumen

V erdadero. Ib. Verdadero. Falso. Id. V erdadero, le. V erdadero. 12 j 2b. 3 j 2c. 2 f 2d. 6. A Ti QC' A ABC ~ ADCE, A A ; — = — . DC CE ^ 4b. 9. 4c. 9. A 5b. 5c. f 67.5 pies. L E D F £ / £ C fí, teorem a 5.8; /M . Z. EF D = L B F A, ángulos verticales; L D E F £ L A B F , teorem a 5.7; ,4.4. L A ^ L C , ángulos opuestos; L C E B & L A B F ; A A.

página 3 3 9

Técnicas p ara la solución de problem as

página 335

1.

„

9. 15.

-. 4 . . - . 3. v"3. 5. 2 v 2 1 , J l r 11. V 3 . 13. v /3 3 2 sen 30° = 2(|) = 1;

la . Id. 2. 3c. 30°.

2 sen 30° eos 30° = 2( ^ ( ^ ) = ^ ;

sen (2-30°) = sen 60° = ^ ; 2 2 sen A eos A = sen 2A.

Recto. Ib. Sí. le . DF. E F = C F , A F = 6. E F = 4.2. 3b. 90. m L C = 90, m ¿ 2 + m L 4 = 90, m L 1 + m L 3 = 90; m L l + m L 2 + m L 3 + m L 4 = 180; m L 1 + m L 2 + m L D E F = 180, m L 3 + m ¿ 4 + m L G F E = 180, sum ar; 180 + m L D E F + m L G F E = 360; L D E F y L GF E son suplem entarios.

CAPITULO 10 páginas 3 4 4 y 345

17.

tan 2(30°) = ta n 60° = ^ 3 ; 2 ta n 30° = , n/ 3 2

2^3

ta n 30 = v /3;

7 — (tan 30)2 1ta n 2 A =

2 t a n -4 1 — (ta n A) 2 ‘

1. 11. 13. 21.

A E , AD, BC, BE. 3. AE, BC, CD, AB. LCAD , LA CD , LC D A, LCDB, LADB. LAO B,LBO F,LFO E,LEO B,LAO F. El arco m ás co rto es la circunferencia m áxim a. Solución de problem as 3. Son los m ism os que los de la lista del núm ero 1.


579

páginas 3 48 y 349

I. 3d. 7. 9. 13.

Sí, no. 3a. 90. 3b. 150. 3c. 270. 2J0. 5a. 70. 5b. 50. 5c. 310. A B £ EF, B C £ f G ^ C D £ DE. A B ^ C D , A C ^ B D . 11. Sí. Fórm ense triángulos congruentes, LLL; ángulos centrales congruentes; definición de arco m enor. 15. mE A + m A S = m A S + mSY; m E A = mSY. 17. m A C B = mDAC; tuD A + mAC^= m B C + mAC: mDA^= mBC;_DA = BC, teorem a 10.2; m A C B = mDBC; ^ m A C + m C B = mD B + mBC; m A C - mDB; A C = DB, teorem a 10.2; úsese el teorem a 8.4. 19. A S O R es isósceles, L ! £ L 3, Z 3 == / 4 , L 1 £ L 2 , L 4 s Z12, transitiva. Solución de problem as 2. C uatro.

11. A X O Z s A Y O Z , H A ; Ó X s O Y , P C T C C ; teorem a 10.4. Solución de problem as Usese la figura de la página 533; cuerdas iguales son equidistantes del centro; trácese un segm ento perpendicular desde el centro a cada cuerda; el segm ento p erpendicular interseca a la cuerda en su p u n to medio; em pléense los triángulos congruentes p a ra dem ostrar que los segm entos perpendiculares son radios iguales; radios iguales determ inan un círculo.


3. 5. 7. 13. 15.

m A C = mCB, teorem a 10.6. Teorem a 10.6. T eorem a 10.5. 9. 5. 11. 3 cm. O M 1 A B , teorem a 10.7; A O 2 = A M 2 + O M 2: 8 2.

17. 19.

3.

Prolongúese el segm ento que une los centros de C ¡ y C 2 h asta el p u n to m ás lejano de cada círculo. Biséquese el segm ento. U se el centro com o un nuevo radio.

páginas 352 y 353

1. 3. 5. 7. 9.

OB = 4; x = distancia; 4 = x ^ / 2: x = i j l . Trácense dos cuerdas del arco; constrúyanse bisectrices perpendiculares p a ra cada cuerda; la intersección da el centro. _ 21. A B 1 X Y , CD ± X Y , teorem a 10.7; dos rectas perpendiculares a la m ism a recta son paralelas. 23. E ncuéntrese la distancia de O a A B, x 2 = 102 — 82,_x = 6; la distancia de F al p u n to m edio CD tam bién es 6; 15. 25. L M O Q £ A M O P ; arcos congruentes tienen ángulos centrales congruentes. A X O M j ^ A Y O M , HA; P C T C , C _ 27. A C £ BC, teorem a 10.2; O A £ OB; úsese el teorem a 6.10. Solución de problem as D C = AC, DB = AB; LLL.

3, teo rem a 10.3. O M £ O N , teorem a 10.3;

2

T eo rem a 10.4. O X £ O Y, lados opuestos de ángulos congruentes; teorem a 10.4. T eorem a 10.3,

í = 15

páginas 362 y 363

3. 5.

39. P B 1 OB, PA 1 OA , teorem a 10.9; P A || BO, P B || AO, teorem a 5.4; A O B P es un paralelogram o; O A = OB = 4;

580

R e sp u e sta s s e le c c io n a d a s

la d o s o p u e s to s c o n g ru e n te s ; 7. 9.

L P e s u n á n g u lo re c to . O A 1 A P , OB 1 BP, te o r e m a 10.9; A O A P £ A OBP, H C ; P C T C C . A P A O £ A PBO, HC; PA £ PB: A O £ OB;

te o r e m a 6 . 1 0 . T rá c e s e OB; 2 m L O C B + m L C O B = 180, 2 m L A O P + m L C O B = 180; L A O P £ L O C B ; te o r e m a 5.1. 13. t i . m e n P, d a d o ; s u p ó n g a s e q u e f, n o c o n tie n e a l c e n tr o d e l c írc u lo ; tr á c e s e el r a d io d el c e n tr o 0 a l p u n to P; OP 1 m, te o r e m a 10.9; h a y e x a c ta m e n te u n a re c ta q u e p a s a p o r P p e r p e n d ic u la r a m; la r e c ta t c o n tie n e al c e n tr o d el c írc u lo . Solución de problem as U n a s e D c o n e l p u n to d e ta n g e n c ia s o b r e BC; m u é s tre s e q u e lo s tr e s tr iá n g u lo s s o n c o n g r u e n te s p o r HC. 11.

páginas 36 6 y 367 1. 7.

9.

11.

5 c m . 3. 10 cm . 5 . 20. D e n o m ín e s e x a la d is ta n c ia d e A al c irc u lo ; y a la d is ta n c ia d e B a l c írc u lo ; z a la d is ta n c ia d e C a l c írc u lo ; x + y = 6 ; x + 2 = 10; y + z = 8 ; y = 2 , O X = 2. _ E es el p u n to d e in te rs e c c ió n d e A B y C D ; A E £ ED y B E £ C E , A E 4- B E = £ D + C E . Y= fV 3+|=1.025. X = 2 Y + 3. X = 5.05.


1. 5. 7. 15. 21a. 23.

25. 27.

29. 31. 33.

T r á c e s e u n a re c ta p e r p e n d ic u la r d e A a t q u e in te r s e q u e a t e n D;

A A D B es u n tr iá n g u l o 3 0 -6 0 -9 0 c o n A B = ~ \ / 3 -

in te r c e p ta n a l m is m o a rc o . m L E = m / D = 90; L A B E s z L C B D , á n g u lo s v e rtic a le s. T r á c e s e u n s e g m e n to d e P a l c e n tr o del c ír c u lo d a d o ; b is é q u e s e el s e g m e n to ; ú sese la m i ta d d e e s te s e g m e n to c o m o r a d io , ú se se e l c e n tr o c o m o p u n to m e d io del s e g m e n to , c o n s tr ú y a s e el c írc u lo ; lo s p u n to s d e in te rs e c c ió n c o n el c ír c u lo d a d o so n p u n to s d e ta n g e n c ia . S u m a d e lo s a r c o s in t e r c e p t a d o s p o r v é rtic e s o p u e s to s = 360°; y - 3 6 0 = 180. L o s á n g u lo s o p u e s to s s o n c o n g r u e n te s y s u p le m e n ta rio s . L C A D = L A D B , á n g u lo s a lt e r n o s in te rio re s ; á n g u lo s c o n g r u e n te s in s c rito s in te r c e p ta n a ta r e o s c o n g ru e n te s . ^

35.

A D = BC: mDA + m A B + m B C + mCD - 360; L A D C in te r c e p ta A B j i i á s BC, L D A B in te r c e p ta a B C m á s CD; m L A D C + m L D A B = \(mAB + mBC + + m B C + m C D ) = _ 180j_¿ A D C y L D A B s o n s u p le m e n ta r io s ; A B I! DC. Solución de problem as M P d e l c ír c u lo Q es c o n g r u e n te c o n M N d e l c ír c u lo O; m M P = m M N = t; L M A P e s u n á n g u lo in s c rito , a sí q u e m L M A P = j , te o r e m a 10.12. páginas 3 7 6 y 377

1. 7. 9. Solución de problem as

3. 65. m L A = 8 0 , m L B = 5 5 , m L C = 45. 100, 120, 140. 9. 80. 13. 40. 10. 17. 120. 19. 87. 50. 21b. 40 . 21c. 50. 21d. 80. L A E B y L C E D , v e rtic a l; L A B E y L E C D in te r c e p ta n a l m is m o a rc o ; L B A E y L E D C

25.

25. 3. 60. 5. 55, 110. 55 , 5 5 , 7 5 , 5 0 , 20. _ _ O e s la in te rs e c c ió n d e A B y CD;

mLAOD = + mBC); m L A O C ^ % ( m A C ^ + mBD). ^ ____ 11. 9Q=^j(mÁ¡l + mCb), 9 0 = j { m A E + mBC); m Á E + mCD = m X É + mBC. Solución de problem as 36 , 6 0 , 8 4 , 108, 132.

R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s páginas 382 a 385

1. 9.

120. 3. 22b. 5. 20 . 7. 3. 8. 11. 23. 13. 30. 15. 85. 17. 30. 19. 110, 100. 21. 62 = x(x + 9); x = 3; 62 = 4(4 + >■); y = 5. 23. 40. 25. 20. 27. 70. 29. N o, L 1 y L 2 no son suplem entarios. _ 31. 7 ,8 . 33. Sea X el p u n to de intersección de A B y £¿ los ángulos verticales en X son congruentes; los arcos m ayores son congruentes; los ángulos altern o s interiores son congruentes. 35. m L 3 = jy; m L 2 = m LP + mL2 = = m L 3, áng u lo externo; m L P = | ( x — y). 37. ¿ P C B = L P D A ; los ángulos ___ inscritos interceptan a AB: A, A P C B ~ A PDA, A A; PA PD P B^PC ’PAPC = FBPDSolución de problem as

5a. 6.

7a. 8a.

60. 5b. _30. 5c. 75. 5d. T rácese AC; L B A C s L D C A , m enores congruentes; ángulos interiores. 20. 7b. 110. 7c. 40. 7d. 4. 8b. 24. 9. 17 cm.

10.

V'51- 12.

página 3 8 9

Resumen global

la . V erdadero. le .' V erdadero. 2a. 3.

Ib. Id.

581

90. arcos alternos 70.

7e.

20.

cap ítu los 8 a 10

Falso, Falso.

4 ^ 2 . 2b. 4 ó 9. 2c. 144. 4a. 100. 4b. 50.

2d. 4c. 30.

A A. 4d. 80.

5.

& A N B ~A C N D ,A A : — = — . NC ND 6. 40. 7. A B = \ M P , DC = \ M P , B C = j Q N , A D = ±QN. Teorem a del segm ento medio; D C = AB, A D = BC-, A B C D es un paralelogram o, lados opuestos congruentes; A B = AD = D C = BC dad o que M P = ON.

CAPITULO 11 páginas 3 9 6 y 397

3.

7.

No. 5. P o stu lad o del área. T riángulo con base 20, a ltu ra 7; rectángulo con longitud 10, ancho 7. 630. 11. 6. 13. 3. 15. 3 j 17. 720.

Se traza un ray o a p a rtir de cada n roja a través de la n negra p a ra ca d a entero 0, 1 ,2 ,..., 71. D ad o que los num erales rojos m antienen un espacio de 10°, un n um eral rojo n, 0 < n ^ 35, y u n a n ro ja + 36 designan al m ism o punto. ¿Q ué relación existe en tre los núm eros n negros y los n + 36? El pun to con n negra + 36 está 180° alrededor del círculo a p a rtir del p u n to n. El resultado se desprende del teorem a 10.13.

A {A A CE ) = A(AAGE); A ( A A H I ) + A(HIFG) + A ( A F I E ) = = A ( A A B I ) + A(BCDI) + A(AIDE); A(AAHI) = A(AABl), A(AFIE) = A{AIDE); restar. Solución de problem as no.

página 387

p á g in a s a o o y 401

l. 4.

C a p itu ló lo

Verdadero. V erdadero.

2.

Resumen

Falso.

3.

9. 19. 21.

Falso. 1- 147. 3. 9 0 f 7. 1 4 - 1 ^ 3 = 35^/3.

2 (3 2 -1 0 ^ /3 2 )-1 .1 = 31.1; 32 hojas.

5.

12.

582



9.

1 2 - ^ = 20 n/ 3.

11.

13. C uadruplicado. 15. Solución de problem as 1.

f Igual. 17. 13. Sí. 2. No.

páginas 40 4 a 407

429. 3. 264. 5. 425. 198. 9. 512^ 11. 8.75. 13. 5 pies. 15. J .2 .5 ._ 1 7 . 30. 19. Sea h = distancia en tre A B y C D ; A( AE CD ) = \ h ( A E + DC); A(EBCD) = x2h(EB + DC); A E = EB. 21. A A B D y A BD C tienen la m ism a altu ra y bases iguales, A D y CD. 23. A(ABCD) = (hi + h2)AB; A ( A C D X ) = = \ h xAB; A ( A A B X ) = \ h 2AB; A ( A C D X + A A B X ) = \ h ^ A B + %h2A B = = ^ A B { h l + h2). 25. A ( A B A A ' ) = A(ACAA'), tienen la m ism a a ltu ra y bases iguales; sea H el centroide de A A B C ; A ( A B H A ’) = A ( A C H A ‘); A ( A A H B ) = A (A A H C ) , resta; A (A B H C ) = A(AAHC') = A(AAHB') = = A( ACHB') ; repítase el procedim iento con A( AB AB ') = A( ACBB') com o p rim er paso. 27. A( ABCD) = i¿h{AB + DC); A ( A A D E ) = = A{ABCD) + ( A{ADCE) + A{AABE)); trá c e n se la s perpendiculares de £ a D C y de £ a AB; longitudes de estas altu ra s = = %h; A{ AA DE ) = $h{AB + DC) - ( i ^ hD C + \ \ h A B ) = $h(AB + DC); \ A( ABCD) . 29. Usese el ejercicio 25; sum a de áreas. 1. 7.

31.

9.

11, 484.

3.

104.

5.

11.

20k.

v /3 .

3.

2 '

5.

A 4 '

,2 5 ^ /3 .

20v//3 pies, 5 pies. 2, 96; 5, 225; 10, 400; 15, 525; 20, 600; 25, 625; en cerrar un cuadrado.

Solución de problem as 4 + 3 ^ /5 + 7 1 7 ;

10 + 2x//5 + N//2;

3x/ 2 + 2s/ l 0 + 2 ^ 5 + 2 y / l 3 . páginas 4 1 4 y 415

1. 1:2. 3. 13:20. 5. 3:4. 7. 200, 72; 25x + 9 x = 272. y z _ i /iy _ i 9. BC~2’[ y ~ 4 11. 2:1. 13. ^ 2 8 8 = 17. Solución de problem as 1:16. páginas 4 1 8 y 419

1. Circunferencia. 3. 3^, 3.14, 3.1416. 5. 3, 6n. 7. 4, 8. 8. D iám etro. 11. 3Ó7c pulgadas2. 13. (32 + 4n) pies. 15. (10 + 4?i)m . 17. 6 pies. Solución de problem as AD2 + OD2 = AO2; s2 OD2 = \ - -

. 4 ; O D

CD = 1 —

s2 O D

=

^ Í 4 — s2 -

-; x 2 = C D 2 + A D 2; s2V

fs^2

+ í 2,


y/2.

5^3

2 0 ^/3 m , 5 0 ^ 3 m 2.

— 2 — sj4 —

1= - 'f i

V?

7.

15. 17.

x2 = 1 1 -

Solución de problem as 2.

72.

13.

E n el triángulo 30-60-90, C G = — A( AC F G ) = ~ ~

1.

102.

x j 2 = 3 — 2x; x = --------- —

2 + %/ 2 33.

1.

1.

4n,

7T3, 3n.

3.

n, 9 n, \ n , —. 5. n

18n cm 2.


7.

25 tt

9a.

cm

3.93 cm 2.

9b.

5.89 m 2.

9c. 13.

~24~ 13.08 p u lg ad as2. 11. 16:25. 2%/ 2 : v /5 . 15. 9 - Jir.

17.

9 - ln.

21.

21.5% ; ( 9 ~ 47f). 9 i n g A B ) 2 - - H A B 2 + { ( n ^ A B ) 2) = \ n A B 2 som breada; la fracción del círculo es 31 (a\2 1 /b\2 T eo rem a de P itá g o r a s ,- 71I - j + =

23.

25.

n =

27.

19.

,

n

,

8 (fl + f , ) = 8 ( c ) = r ( 2

>4,

7 t//lB \2

rc /A C V

7 t/B C \2

2y 2 y

2\ 2 J

2 \ 2 )

^ =

1. 5. 7. 9. 11. 17. 23. 27.

1. 5. 7. 9.

A L = -------------; A 2 = n

% nACBC

C D 2 = A C • BC, A 2 =

A rea del c u a d ra d o área de c u atro cuartos de círculo— á rea del círculo pequeño = área som breada; sea 2x = longitud de un lad o del cu ad rad o ; dibújese un triángulo 30-60-90 con vértice en el centro y longitudes x, x, x N/ 2; ra d io del círculo peq u eñ o = x v/2 - x; (2x )2 — n x 2 -

— n(Xy/2 — x )2 = 4 x 2 — 4 n x 2 + 2 n x 2s¡ 2 \ razó n del área so m breada con el área 4 del círculo = — 4 + 2 j 2 ó 10% . n Solución de problem as =

11. 13. 19. 23. 27. 31.

33. 35. 37.

página 427

5N/2 .

2a.

3.

5.

AD.

.

471.

Repaso d e álgebra

24 cm 2. 3. 87.92 cm, 3658.77Î c m 3 ó 11 488.2 cm 3. h — 3.6 cm. /4 = 58.571 p u lg ad as 2 o 183.69 p u lg ad as2. - 2 , 3 . 13. - 2 . 15. - 3 ,- 2 . 1 0 , - 9 . 19. ü 21. 2,3. 7900 yard as2. 25. 93.75 cm 2. 486 m m 2. 29. 2 m.

páginas 4 3 6 a 4 3 9 7ty4C • B C

la .

8

CAPITULO 12

n((AC + BC)2 - A C 2 - B C 2

29.

1:4.

página 4 2 9

/c

1

T riángulo 30-60-90, OB = 2, O A = 1, B A = ^ 3 ; n ■22 - f 3 • 2 ^ 3 = 4 n - 3 ^ /3 .

7.

1271 - 9^/3.

n

6.

583

2b.

Capitulo 11

Ib. 27 —. 4

40. 3.

Resumen

le . 2:1.

5^/TT9. 4.

Id.

21J Ï — 2

50. 39.

b. 3. A B , BC, CD, DE , AE. A F B C _A F A B_A/vl_£, M-'DE, ¿\FDC. E F, H G , I J , L K , AB, DC. M ism a. _ EFGH, A E , BF, CG, DH. A D H E _ 15^ 5 ^ 17. 6. B H , A G , CE, DF. _ 152 + 82 = 289 = 172. 25. 2 ^ 3 3 . 5V 3 . 29. 6. A F , FC y A C son diagonales congruentes y form an la base de un triángulo equilátero; FB, C B y A B son aristas congruentes y form an aristas laterales congruentes. 8; BDEA, A C F B , BDGC, A C H D , AF H E , BEGF, C F HG, DEGH. Las diagonales del p aralelogram o A H G B se bisecan entre sí. En el paralelogram o A BGH, O es el punto m edio de A G y B H (Ejercicio 35); en el_ paralelogram o AC.GE, las diagonales A G y C E se intersecan en el p u n to m edio; el p u n to m edio de AG es O. Sea E la esquina interior; C A B E y A B D E son paralelogram os, definición; C E = ED = = 9 ^ /2 , lados o p u estos congruentes; sum ar.

584

R e s p u e s ta s .s e le c c io n a d a s

Solución de problem as J 5 4 4 = 23.3.

M éto d o 1, 32; M éto d o 2,

A.

B. C.

páginas 44 2 y 443

1.

c.

9.

7 2 ^ 3 + ^ ^ 3 = 1 1 2 .5 7 3 .

3.

24.

5.

120.

7.

12 + 2 ^ 3 .

D.

í x 5 x l ' x f ' x M , = W = 7 .0 3 p ies3. v 9 ' _ 1 1 v 1 „ 9 _ 213 _ * * x 2 12 2 2 16 — = 1 3 .3 1 pies3. l! V è! y 3 2 : 5 = j f = 3.75 pies3. 20.81 + 7.03 + 13.31 + 3.75 = 44.90 pies 3 44.90 -=- 27 = 1.66 y a rd as3.

11. 6 cm , 12 cm.

13.

y á i ' - 1 y 37 y 9 _ 333 _ r x 4'7-:L" l x ^ 2 — 1 X 8 X 2 — 16— = 2 0 .8 1 pies3.

D eterm ínese la arista, x 2 +

^

= c2, páginas 4 5 0 y 451

c2 = - x 2; - x 2 + (2y f l ) 2 = a ltu ra 2;

15.

1. 7.

a ltu ra = cm. C a d a m olde necesita 880 cm 2, 880 cm 2 x

7 = 0.088 m 2, 10000 cm 2

, x m oldes 100 m 2----——— - = 1136 moldes. 0.088 m 2 Solución de problem as 1. M uévase el cu b o de a rrib a de la derecha un espacio hacia adentro. 2. M uévase el cubo inferior d elantero de la esquina h acia a rrib a y hacia atrás.

V erdadero. 3. 2 6 f 9. 4 5 8 3 |

64,6 cm 3.

5.

17.

402 = 82 + h2; h = ^ 1 5 3 6 ; V = 2 ^ 1 5 3 6 ;

1 min , 1000( 2 y i 5 3 6 m - x - — 3- x --------x 1 mJ 50 £ l h

= 26.1 h. 60 m in Solución de problem as p a r te

s u p e r i o r / '^ *

2 cubos.

7. 42 cubos. 9. 60. 11. 4 3 2 , / í 13. O ch o veces.15. 102 cm 3. 17. 5 pies. 19. y (8 pies)(30 pies + 14 pies) x 620 pies 1 y a rd a 3 $1.50 x -- f - : ■ x ----- — r = $6062.22; 27 p ies -3 yardas^ $6062.22 x 1.1 = $6668.44. Solución de problem as

Falso.

3 4 5 6 ^ 3 . 13. 9:4. i- 6 4 - 8 — 1 -2 5 -5 = 129.

fren te

3.

5.

11. 15.

páginas 4 4 6 y 44 7

1. 24 cm 3.

Falso.

x

V

p a r te s u p e rio r

fren te

□

p a r te fren te s u p e rio r

V

'


1. 3.

768 tt unidades cuadradas, 28 807T unidades cúbicas. 30071 unidades cu ad radas, 6257c unidades cúbicas.


9. 11.

512 - 12871 p u lg ad as3; 384 — 32 jz + 64n p u lg ad as2. r = rad io de la lata; h = p ro fu n d id ad de la caja: volum en de las latas = 6nr2h; volum en de la caja = 24r2h; razó n 4:n.

Solución de problem as

22871

9

16

+ — p u lg ad as3; 32

9J5

585


1.

T etraed ro regular; octaed ro regular, icosaedro regular. 3. Los «tejados» no se juntan. 5. T etraedro. 13. Sí. 15. Sí. Solución de problem as 1. 12. 2. 30. 3. 30. 4. 20.

T 6 T ' l' s + ~ 8 ~ p u l g página 4 6 9 páginas 4 5 8 y 4 5 9

1.

1.

32(k;2007í.

3.

25n^ U 9 .. %5n_ 5> 6

7.

367t + 471^/10 cm 3.

9. 871^/113 + 167^/165. 11. 0.001 p u lg ad as3. u

96 cm 2; 64 cm 3.

2a. 156

cm 2.

Técnicas p ara la solución de problem as

1-4, 2-5, 3-3, 4-6, 5-1,

6 - 2.

1.

páginas 46 2 y 463

97271 c m 3.

Resumen

72 + 12^/3 cm 2. 3a. ^ c m 3. 32 ^/3 cm 3. 4. 607t cm 2. 9071 cm 3. 6 . 8. 7. 3671 cm 3. El volum en se duplica. 3 cm. 10. 400 tt cm 2.

p ág in a 471

2V 13+ 4 Solución de problem as

1.

2b. 3b. 5. 8. 9.

c a p ítu lo 1 2

3.

7 veces.

2.

5 veces.

3.

3 . 4.

23 min.

CAPITULO 13 5.

3.

7.

Jl.


la . 15. 11. 2287t unidades cúbicas. 13. 3 pies. 15. Sea r = rad io de la esfera; sea h = 2r; área lateral = 2nrh = 2nr(2r) = 47tr 2. 17. 1:2. Solución de problem as V olum en de la esfera = = 9727i; determ ínese la a ltu ra del cilindro, 92 = 32 + V ,

A. Ib . D. le . I. Id. G. L as diagonales de un ro m b o son bisectrices perpendiculares en tre sí.

17.

/ii = 6 ^ / í , a ltu ra = 12^ / 2; volum en del cilindro = n ■9 • 12^/2 = lOSn^/í; h = 9 - 6 ^ / 2 = 0.515; volum en del casquete = 571: -9(0.515) + + ¿7t(0.515)3 = 7.35; volum en del sólido = = 972ti - 10871^2 - 2(7.35) = 2559 c m 2.

T rácese A' A, A B interseca a la recta de la base en D, A ' B interseca a la recta de la base en C; la intersección de AÍ> y Á C es

586


B'; es necesario m o stra r que B' es la reflexión de B sobre la recta de la base; A A ' F D £ A A F D , L A L ; A'D £ A D, ¿ F A ' D ^ I F A D , L A ' D F ^ L A D F , P C T CC , ¿-BDF £ L B ' D F , ángulos verticales y sum a; A A ' F C £ L A F C , L A L ; A'C £ A C , PCTCC; A F A 'C £ ¿F A C , PCTCC; L CA ' D £ ¿L C-4£>, resta de ángulos; A C A ' D £ A C A D , LAL; L A ' C D P C T C C ; A B D A ^ A B ' D A , A LA; BD £ B'D, P C T C C ; d a d o que L B D F £ L B' DF, L B D C £ L B ' D C , A B D G £ A B' DG , LAL; BG £ B'G, P C T C C ; L B G D y A B ' G D son ángulos rectos, congruentes y suplem entarios; BG _L CF; B' es la reflexión de B sobre C F. 19. T eorem a 13.1a. Solución de problem as 1. L a razó n de que este m ensaje parezca tan extraño-es q u e se escribió u san d o un espejo. 2. N ueve + u n o + ocho = dieciocho.


la .

F.

Ib .

H.

le.

G.

Id.

E.

3.


1.

3.

31 44 61 78 99

103 78 59 40 22

134 122 120 118 121 7.

p

i.

xV,7 D f7 B

E

F

r

,r X

Y

Solución de problem as La región form ada por los cuad rad o s 1, 2 y 3 está som breada en y de su área. La región form ada p o r los cuad rad o s 4, 5 y 6, está som breada en y de su área, etc. P o r tan to , está som breado j del total de la región.

R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s páginas 49 0 a 493

1. 7.

E.

587

Solución de problemas 1. 120°, 180°, 240°, 300°. 2. 120°, 240°; 90=, 180°, 270°.

3.

páginas 4 9 6 y 4 9 7

1. 7.

Sí.

3.

Sí.

5.

Sí.

E ncuéntrese la intersección de las bisectrices perpendiculares de R F y W ; m L R O V = 95. 13.

15. U n a m itad del áng u lo de rotación. 17a.

•

•

X

Y

T \

, R‘

•

17b.

U n a traslación a lo larg o de x f de doble lo n g itu d que X Y.

13. N o es posible. 15. Círculo. 17. Ejem plo: un p en tágono regular. 19. p y r. Solución de problem as G ira r cada tarjeta 180°. página 4 9 9

cap ítu lo 13

la . V erdadero. le . V erdadero. 2. H , X , /. 3. 5.

Resumen

Ib. V erdadero. Id . Falso, le . Falso. N, S y Z . 4. 8.

588


6.

11. ( - 2 ,8 ) . 13. ( 4 ,- 3 ) . 15. (7,6). 17. ( - 1 , - ! ) . 1Q f x i + x 2 y t + y 2\ ( 2 ( x x + x 2 ) 2(y, + • V

3

’

3

Solución de problem as

)’{

3

y 2)

’

3

(2,2,2).


m / - B O B ' = m L A O A ' = 57, ro ta c ió n en la dirección en que giran las m anecillas del reloj.

página s o i

1. 2.

3.

Técnicas p a ra la solución de problem as

Sí. P A + P C = P B cu an d o P está sobre AC. P A + P B = P C cu a n d o P está sobre AB. P B + P C = P A cu a n d o P está sobre §C. 2 ^ /J c m .

4.

Intersección de diagonales.

págin as 5 0 6 y 507

1. 2. 3.

(13,2), (10,5); - 1 . Ib. (0,5), (8,10); f (13,2), (9,3); Id. (4,3), (9,3); 0. (4,0), (9,0); 0. lf. (2,4), (0,1); f (0,5), (4,0); - | lh . (4,3), (10,5); i (4,3), (4,0); indefinido. - i 7. 1. EF, 0; FG, indefinido; G H , 0; H E , indefinido. 11. A B , f , B C , - 2 ; CA, 5. 13a. X Y , - i ; Y X J ) ; X Z , - j 13b. M ediana de X Y , indefinido; m ediana de Z X , —¿; m ediana de Y Z , —j 15. i

17

o _ > ' + 4 , / 2 4 12 X -8 ’ \ 5 ’ 5

1 .. y + 3 2 x + 6’

Solución de problem as D eterm ínense las 1 v- 0 co o rd en ad as de G, - = -— - , G(4,2), F (6 ,2);

CAPITULO 14

9. O btuso. 11. Recto. 17. 19. ( 3 ,- 3 ) . 21. (0,2). 23. ( 3 ,- 1 ) , ( - 3 , - 1 ) , (5,3). 27. - 6 . Solución de problem as

la . le. le . lg . 1i. 3. 9.

(5,3).

(3 ,3 ^ 3 ) ; ( 3 , - 3 ^ 3 ) . (0,6), (6,6); (0, - 6), (6, - 6); (3,3), (3, - 3). Ejem plo: (1,4), (7,4).

1 y - 0 determ ínense las co o rd en ad as de K , - = --------- ,

2

10-0

K(10,5), 7(15,5); determ ínense las coordenadas de

P ’

2 = t

ó

’ P (1 8’ 9)’ Aí(27,9); P endiente de

— 1 — 1 F J = - ; pendiente de J N = - .

páginas 5 1 8 y 519 páginas 51 0 y 511

la . Id. 7.

( f , 3). Ib. (2, - i ) , le . ( i - 2 ) . ( - 2 , 0 ) . 3. (1,0). 5. ( - 5 , - 1 ) . ( 1 ,- 1 ) .

9- (1,4), (7, - i) , ( i —i), (-2,4), paralelogram o.

1. 3.

Sí. L a pendiente de la recta form ada p o r (3,9) y (7,5) es igual a la pendiente form ada p o r (4, — 1) y (0,3), la pendiente de la recta form ada p o r (3,9) y (0,3) es igual a la pendiente de la recta form ada p o r (7,5) y ( 4 ,- 1 ) .


5.

L a recta que contiene a los p u n to s (4,5) y (1, —3) es paralela a la recta que contiene a ( —3,7) y ( —6, — 1); la recta que contiene a (4,5) y ( —3, —7) es paralela a la recta que contiene a (1, —3) y (—6, —1). 7. El p ro d u cto de las pendientes de la recta que contiene a (7,9) y (10, —3) y la recta que contiene a (2, —5) y (10, —3) es —1. 9. P aralelogram o, la recta que contiene a ( —3, —3) y ( — 1, —7) es paralela a la recta que contiene a ( — 1, —2) y (1, —6); la recta que contiene a ( —3, —3) y ( —1, —2) es paralela a la recta que contiene a ( — 1, —7) y (1, —6); empléese el teorem a 14.2. 11. - 1 , - 5 , 1 ; 1, | , - 1 . 13. | 15. - 8 . 17. C (^ ,0 ). _ 19. E ncuéntrese la pendiente de A D y CD; empléese D(x, y); em pléese la definición de p endiente d o b le p a ra fo rm ar dos ecuaciones; resuélvase; D(6, — 1). Solución de problem as C (8,0); a ltu ra = 4; A = f 1 0-4 = 20.

589

Solución de problem as 1.

4^3.

2.

OP

s / x S + y S + zS-


1. 5.

y = 2x + 3. 3. y - lOx - 4.

y = —| x + 5.

páginas 52 2 y 523

1. 9.

10. 3. i j í . 5. 2 7 T 3. 7. J T A . B C — A C = 5, isósceles. 11. Escaleno.

13. 15. 17.

= J a ? + y í s o 2; si. D efinición de pendiente. P u n to m edio (1,1); J 26 .

19.

^ 3 4 + J ñ l # n/2 2 7 , no.

21.

10 = 7 ( 1 - x )2 + (2 - 8)2; 100 = x 2 — 2x + 37; x = 9 ó —7. P endiente de BC = i; pendiente de A C = = - 2 , BC_ ± Á C; B C = 4 ^ 5 ,

23.

25.

27.

A C = 2 ^/5 ; 20. E ncuéntrense las bisectrices perpendiculares de dos segm entos; el p u n to de intersección es (2,4). El d o b le de la distancia de ( —3,7) a (0, y) es igual a la distancia de ( 6 ,1) a (0, y); y = 5 ó 13; (0,5),(0, 13).

11. 15. 19. 23. 29. 35. 39. 43. 45.

m = —2, b = 4. 13. m = §, b = —2. m = - |, b = | 17. y = 2x - 5. y = f x. 21. y = | x + | = |x . 25. >' = x. 27. y = 2. m= ¿ 31. m = f 33. (4,1). ^ 37. y = | x , y = - f x - 2. y = - x + 4. 41. y = —f x + 4.

Fórm ese el triángulo 45-45-90; f J l . G rafiquese; los f de la distancia entre (0,0) y el p u n to m edio (12,6) es (8,4). Solución de problem as E ncuéntrese la intersección de la recta d a d a con la ecuación 3y = 4x + 11 d an d o (ff, 25)', úsese la fórm ula de la distancia, f

590


páginas 53 0 y 531

1. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.

x 2 + y 2 = 25. (x - 2)2 + (y (x - 5)2 + (y x 2 + O + 4)2 = (0,0); 6. ( - 3 ,4 ) ; 5. (0,3); 2^/3. ( - 2 , - 4 ) ; 6. (x - 3)2 + (y (x + l ) 2 + y 2 = (x - l )2 + (y -

3. x 2 + y 2 = 36. 3)2 = 36. 2)2 = 2. 25.

encuéntrese c, c = a; dése nuevo n om bre a D(0,b), C(a, b). 15. En A A B C , A(0,0), B(2a, 0), C(2b, 2c); D(b, c) es p u n to m edio de AC; E(b + a,c) es p u n to m edio de BC; D E = = a; D E = j A B ; pendiente de DE = 0, D E || AB. Solución de problem as 5 caras.

página 537

4)2 = 25. 9. 5)2 = 34.

1.

y= i* -i

(x + 4)2 + (y .- 3) 2 = 16. G rafiquese; encuéntrese la ecuación del rad io perpendicular a la recta tangente; resuélvase el sistem a de dos ecuaciones p a ra el p u n to de intersección; (0,4); r = V lO ; (x - 1) + ( y - 7)2 = 10. Solución de problem as x 2 + y 2 + z 2 = 48; (x - l)2 + (>• - 3)2 + (z - 2)2 = 35.

(-4 , 5)B

a2

(-6 ,3 )

7.

V:

/I

- i l ri ll ii

5.

y/ ( c — a)2 + h2 = ^ / a 2, despéjese a, c2 - b 2 = -----------; 2c — c sustitución en la pendiente de BD; - . b

^

(5, 2)^1/>(7 i l i i l . M r-rH— 1 — r*

i l i

y

1 - (6, 3)

(6 ,6 )

+ (3. 3)

(3 ,6)

Br-yD

A*—¡C

■H-+-H-

pendiente de

A B = — 1; y = x contiene a (0,0). 11. A C = J e 1 + b2; BD = V ( - c )2 + b2. 13. A C = V e 2 + b2; BD = J { c - 2 a f + b 2; J e 2 + b2 = y / c 2 - 4ac + 4 a 2 + b2,

fi (7,

(-2,5) _

Las respuestas variarán. — b P endiente de A C = - ; pendiente de c — b BD = —; c — 2a

P u n to m edio de A B =

\ 7 > i“ 1-7)

AD = y /( c - a)2 + b 2, A B = , / a 2,

9.

> ( - 3c, 4 ) -+-

3.

páginas 53 4 y 535

1-5.

y

h o , 8)

7.

L as longitudes de los lados de □ A B CD son 5 de la longitud de la m agnificación. Se «encoge» horizontalm ente y se «estira» verticalm ente; igual


7.

X

9. 11.

12.

x = -^ -

la . 2b. 3c. 5. 6.

C apítulo 14

Resumen

2 7 1 3 . Ib. 10. Ic. 6. 2a. f 2c. 0. 3a. (3,5). 3b. (1,1). ( - 1 , - 2 ) . 4. y = —3x + 2. y = - f x + 4. L a recta que contiene a los p u n to s (5,7) y (8, —5) es p erpendicular a la recta que contiene a los p u n to s (0, —7) y (8, —5).

1.

x = —26.

(2, - 3); 2 ^/6. 10^_ x 2 + y 2 = 25. L a pendiente de .-4C es 1; la pendiente de BD es — 1; el p ro d u cto de las pendientes es — 1. W X = a; Y Z = a; la pendiente de W X es 0; la pendiente de Y Z es 0; W X || YZ; teorem a 5.8.

página 5 4 1

página 539

8.

591

50 cm 2.

Resumen global

2.

12cm 2.

3.

Capítulos 11 a 1 4

4 V'3 cm 2.

4. 6. 8. 10. 11. 12. 13.

4:1. 5. 54v/3 cm 2. 72 m 3. 7. 21 m 3. 150.72 cm 2. 9. 125.60 cm 2. ( - 3 ,5 ) , ( - 5 , - 2 ) , (4,3). (4,2), ( - 3 ,7 ) , ( 1 ,- 6 ) . y = x; y = —x + 6; y = 3, x = 3. ( - 2 ,- 6 ) .

14.

V/2 2 Í.

15.

y = - | x - 3.

índice de materias afirm ación de la hipótesis, 64 agrim ensura, 390, 391 álgebra, repasos de, 79, 299, 429 altu ra de triángulo s equiláteros, 242 isósceles, 242 de u n a pirám ide, 434 de u n paralelogram o, 399 de u n prism a, 435 de u n trapecio, 403 de un triángulo, 199 inclinada d e un cono, 456 d e u n a pirám ide, 441 ángulo(s), 17 ag udo, 2 1 altern o s exteriores, 171 altern o s interiores, 171 bisectriz de un, 24 central, 343 com plem entarios, 144 congruentes, 2 0 construcción de, 2 1 correspondientes, 171 de un polígono, 292, 293 de un triángu lo, 44, 154, 208, 209 exteriores de un polígono, 293 exteriores de un triángu lo , 154, 209 inscrito, 343 in te rio r de un, 17 interiores n o contiguos, 154, 209 lados del, 17 m ed id a de, 2 0 m ed id a en g ra d o s de, 20, 73 o b tu so , 2 1 p a r lineal de, 144 recto , 2 1 re sta de iguales, 138,139 su m a d e iguales, 138 suplem entarios, 144 trisección de, con tom ahawk, 362, 363 verticales, 150 vértice del, 17 ap o tem a, 408 arco(s), 343 congruentes, 347-

interceptado, 343, 368 lo n g itu d de, 417 m ay o r, 346 m ed id a en grad o s de, 346, 347 m enor, 346 área d e conos, 456, 457 d e esferas, 461 d e paralelo g ram o s, 398, 399 de pirám ides, 441 de polígonos regulares, 408, 409 sem ejantes, 412, 413 d e prism as, 440, 441 de rectángulos, 395 de regiones poligonales, 394 de trapecios, 403 d e triángulos, 402, 403 d e u n cilindro, 453 d e un círculo, 420, 421 arista, 434 lateral d e u n a pirám ide, 434 d e un prism a, 435 arq u ite ctu ra , 126, 300 base(s), án g u lo s base d e u n trián g u lo isósceles, de conos, 456 d e cilindros, 452 d e paralelo g ram o s, 399 de pirám ides, 434 de prism as, 435 de trapecios, 261 d e triángulos, 402 bisectriz d e u n a cu erd a, 354, 355 d e u n ángulo, 24, 148 de u n segm ento, 24 p erp en d icu lar, 29, 142, 217 Bolyai, Ján o s, 181 cad en a, regla d e la, 65 cara, 434 lateral de u n a pirám ide, 434

202

594

In d ic e de m a te ria s

d e un prism a, 435 cardioide, 352, 359, 373 centro de ro tació n , 488 de u n a esfera, 460 de un círculo, 17 d e un polígono, 408 cen tro id e de un triángulo , 242 cilindro, 452, 453 á re a de un, 453 bases de un, 452 eje de un, 452, 453 recto, 452 volum en del, 452, 453 círculo(s), 17, 341 án g u lo central del, 343 án g u lo inscrito en un, 343 ángulos form ados p o r cu erd as del, 374, 375 ángulos form ados p o r secantes del, 379 ángulos fo rm ad o s p o r tangentes a, 378 ángulos form ados p o r tan g en te y cu erd a del, 375 ángulos form ados p o r tan g en te y secante del, 379 arco d e un, 343 a rc o m a y o r del, 346 arco m en o r del, 346 á re a de un 420, 421 centro del, 17 circunferencia del, 416, 417 circunscrito, 238 congruentes, 347 cu erd a del, 342 d iám etro del, 17, 342 ecuación de!, 528, 529 inscrito, 238 m áxim o, 460 rad io del, 17, 342 secante del, 343 secto r del, 421 segm entos form ados p o r tan g en te y secante del, 380, 381 tangente al, 343, 361-65 com eta, 115, 207 com pás, 2 1 conclusión, 56 congruencia entre ángulos, 2 0 arcos, 347 círculos, 347 cuerdas, 347, 350, 351 p artes de triángulos, 1 1 0 , 1 1 1 segm entos, 2 0

triángulos, 84, 85, 90, 91 cónicas, 534 co n ju n to s, 16 cono, 456, 457 a ltu ra in clin ad a del, 456 á re a d e u n , 456, 457 base del, 456 circular, 456 eje del, 456, 457 recto, 456 vértice d e un, 456 volum en del, 457 construcción(es), 2 1 con ho jas de plástico, 30 de a ltu ra s de un trián g u lo , 241 de ángulos, 2 1 de bisectrices de los án g u lo s d e u n trián g u lo , 241 d e bisectrices p erpendiculares d e los lad o s d e un trián g u lo , 240 d e bisectriz d e ángulos, 25 de bisectriz p erp en d icu lar, 25 d e círculo circunscrito, 240, 328 d e c u ad rad o s, 31 d e la im agen de reflexión, 478, 479, 487 de la im agen d e ro tació n , 490 d e m edianas de un trián g u lo , 241 d e perpen d iculares a u n a recta a trav és d e u n p u n to d a d o q u e n o está so b re la recta, 29 de perpen d iculares a u n a re c ta a través d e u n p u n to d a d o sobre la recta, 29 d e polígonos regulares, 34 sem ejantes, 314 de rectán g u lo áu reo , 301 de rectángulos, 30, 263 de rectas paralelas, 178 de ro m b o s, 263 de segm entos, 2 1 d e u n p aralelo g ram o , 263 d e u n p e n tág o n o regular, 274 d e u n segm ento dividido en segm entos congruentes, 23 d e u n trap ecio , 263 d e u n trián g u lo , 31, 8 8 , 94 contraejem p lo , 48, 49 co n trap o sitiv a, 60 conversa, 91 c o o rd en adas d e u n p u n to en u n a recta, 74 d e u n p u n to en u n p lan o , 505 co o rd e n a d a x, 505

In d ic e d e m a te ria s co o rd en ad a y, 505 cruce en x , 527 en y, 524 cuadrado(s), 261 dividido en partes congruentes, 103 en un sistem a de coord en ad as, 507 líneas d e sim etría de u n , 496 p ro p ied ad es del, 285 cuad rilátero , 17, 32, 260 cubo, 464 en un sistem a tridim en sio n al d e c o o rd en ad as, 511. 523 m odelo d e un, 464, 467 secciones transversales del, 269, 275 cuerda(s), 342 bisectriz p erp en d icu lar d e u n a, 354, 355 congruentes, 347, 350, 351 lon g itu d de un a, 381

deltaedro, 442 deltoide, 384, 385 D escartes, René, 505 desigualdades entre n úm eros, 514 e n tre triángulos, 45, 244, 248, 249 d iagonal de un polígono , 32 d iám etro de un círculo, 17, 342 diseño interior, 40 distancia de un p u n to a u na recta, 29 e n tre d o s p u n to s, 72 fórm ula de la, 520 d o m o geodésico, 126, 202

ecuación del círculo, 528, 529 de la recta, 524 eje de u n cono, 456, 457 de un cilindro, 452, 453 elipse, 530, 534 «entre» p u n to s, 12, 72 rayos, 73 E ratóstenes, 35 esfera, 460, 461 área d e la superficie d e una, 461 centro d e un a, 460

circunferencia m áxim a d e u n a, 460 en u n sistem a d e co o rd en ad as, 531 ra d io d e u n a, 460 volum en d e u n a, 460 espacio, 11 E uler, fórm ula de, 467 extrem o d e u n rayo, 16 d e un segm ento, 16

figura(s) espacial, 16 p lan a, 16 rígidas, 119

G au ss, K a rl F ried rich , 181 g eneralización, 44 falsa, 48, 49 g eom etría en n u estro m undo, agrim ensura, 390, 391 a rq u itectu ra, 126, 127, 300, 301 diseñ o in terio r, 40, 41 fotografía, 80, 81 gráficas p o r c o m p u tad o r, 256, 257, 430, 431 m ineralogía, 194, 195 navegación, 472, 473 geom etría n o euclídiana, 181 gráfica d e u n a recta, 524 d e u n círculo, 528, 529 p o r c o m p u ta d o r, 256, 430

h ep tág o n o , 32 H eró n , fórm ula de, 452 h exadiam ante, 108 h exágono, 32 líneas d e sim etría d e un h exágono regular, 496 h ip érb o la, 534 h ipo tenu sa, 199 hipótesis, 56

ilusiones ó pticas, 136 im agen, 476 in terio r d e u n ángulo, 17 d e u n políg o n o , 32

595

596

In d ic e de m a te ria s

intersección d e conjuntos, 16 d e planos, 68 de rectas, 13 inversa, 60

lad os de un ángulo, 17 de un polígono, 32 d e un triángulo, 1 7 línea de sim etría, 494 línea o recta auxiliar, 157 L obachevsky, N icolai Ivanovitch, 181 locus o lu g ar geom étrico, 142, 148, 152 lon g itu d de un segm ento, 20, 72

m edia geom étrica, 322 m edianas d e triángulos equiláteros, 242 isósceles, 242 m edida en grados de u n ángulo, 20 de un arco, 346, 347 m ineralogía, 194 m odus ponens (véase afirmación de la hipótesis) modus tollens (véase negación d e la conclusión) m ultiplicación d e iguales, 138

navegación, 472 negación d e la conclusión, 65 núm eros hexagonales, 137 reales, p ropiedades de los, 130, 154

o ctág o n o , 32 origen, 504

paralelepípedo, 437 paralelogram o(s), 2 6 1 a ltu ra d e un, 399 á rea de un, 398, 399 base de un, 399 d iagonales d e un, 267, 282 en un sistem a de co o rd en ad as, 507 p ro p ied ad es del, 264, 265

p antógrafo, 308, 310 p a rá b o la , 534 p a r lineal de ángulos, 144 P ascal, trián g u lo de, 51 pendiente d e rectas paralelas, 517 d e rectas p erpendiculares, 516 d e u n a recta, 512, 513 p en tág o n o , 32 líneas d e sim etría d e u n p en tág o n o regular, 4 9 6 pen tam in ó s, 94, 98, 102, 114 p erím etro , 408 i d e p o líg o n o s sem ejantes, 412, 413 pi (n), 417 pirám ide(s), 434 a ltu ra d e una, 434 a ltu ra inclin ad a de, 434 á re a d e una, 441 arista d e la base d e u n a, 434 a rista lateral d e u n a, 434 m odelos de, 439, 450 regular, 434 vértice d e u n a, 434 volum en d e u n a, 448, 449 P itág o ras, teo rem a de, 226 plano(s) figura d e un, 16 intersección de, 68 paralelos, 170 p erpendiculares, 28 poliedro(s), 434 caras d e un, 434 m o d elo s de, 99, 219, 234, 439, 446, 450, 466, 467 regulares, 4 6 4 ,4 6 5 polígono(s), 32 a lred e d o r d e p u n to s, colocación de, 280, 2 9 2 án g u los de, 292, 293 ángulos exteriores d e u n , 293 á reas d e p o líg o n o s sem ejantes, 412, 413 ce n tro d e u n , 408 con fo rm a d e estrella, 345, 374, 376, 377 convexo, 32 de n lados, 32 d iag o n al d e un, 32 in te rio r d e u n , 32 lad o s d e un, 32 po líg o n o regular, 33 a p o te m a d e u n , 408 á re a d e u n , 408, 409 c en tro d e un, 408 en espejos, 478

In d ic e d e m a te ria s postulado(s), 52, 68 de C avalieri, 445 de la sum a de arcos, 346 d e la sum a de áreas, 395 de la su m a de regiones congruentes, 3 9 5 de la sum a d e volúm enes, 445 de la congruencia ALA, 91 LA L, 91 L L L , 91 de la desigualdad del trián g u lo , 2 4 4 de la existencia de p u n to s, 68 de la intersección d e plan o s, 68 del área, 394 del rectángulo, 394 de la regla, 72 de la sem ejanza AAA, 316 d e la sep aració n del espacio, 69 de la separación de plan o s, 69 de las paralelas, 180 de las perpendiculares, 69 de los d o s p u n to s, la recta y el p lan o , 69 del p a r lineal, 146 del p u n to y el p lan o , 68 del p u n to y la recta, 68 del tra n sp o rta d o r, 73 del volum en, 444 de un sólido rectangular, 444 preim agen, 476 principio de la sustitución, 138 prism a(s), 435 a ltu ra de un, 435 á re a d e un, 440, 441 aristas laterales de, 435 b ase de un, 435 caras laterales de, 435 m odelos de, 446 recto, 435 volum en de un, 444, 445 p ro p ie d a d e s) a d itiv a de las desigualdades, 1 5 4 d e los núm eros, 130, 138, 154 de m ultiplicación de las desigualdades, 1 5 4 de trico to m ía, 154 reflexiva, 130 sim étrica, 130 tran sitiv a, 130 d e las desigualdades, 154 p rop o rcio n es, 304, 305 en m odelos a escala, 307, 313 en p olígo nos sem ejantes, 312, 3 1 3 ,4 1 2 ,4 1 3

p ro d u c to s de, 307 p roposiciones equivalentes, 61 si-entonces, 56, 57 si-entonces v erdadera, 57, 60, 61 si, y sólo si, 6 1 prueba(s), a d o s colum nas, 96 afirm ación d e la hipótesis, 96 co n el u so d e co o rd en ad as, 532, 533 co n el uso de definiciones, 100, 101, 104 105 co n el uso de p o stu lad o s, 90, 91, 104, 105 in d irecta, 158, 159 pasos p a ra u n a, 130-33, 158, 159 p u n to m edio d e un segm ento, 2 4 c o o rd e n a d a s del, 508 punto(s), 10, 12 «entre», 12, 72 colineales, 13 coordenada(s) de, 74, 505 coplanares, 13 d istan cia en tre, 72, 520 n o colineales, 13 n o co p lan a res, 13

rad io d e un circulo, 17, 342 de u n a esfera, 460 rayo, 16 razón d e la tangente, 330 del coseno, 330 del seno, 330 razo n am ien to , afirm ación d e la hipótesis, 64, 96 d eductivo, 52, 53 in ductivo, 44, 45 negación d e la conclusión, 65 regla d e la cad en a, 65 razo n es trig o n o m étricas, 330, 331 identidades, 332 p a ra án g u lo s especiales, 334, 335 ta b la d e valores, 331 rectángulo(s), 2 6 1 á re a d e un, 395 áureo, 300, 324 en u n sistem a d e co o rd en ad as, 507 líneas d e sim etría de, 496 p ro p ied ad es del, 282, 283

597

598


recta(s), 13 alabeadas, 170 auxiliares, 157 concurrentes, 13, 236-39 en un trián g u lo , 236-39 ecuación d e la, 524 intersección, 13 p a ra le la a un p lan o , 170 paralelas, 13, 174, 175 p en diente d e u na, 512, 513 perpendiculares, 28 a un p lan o , 28 reflexión(es), 476 con h o jas de plástico, 476, 478 de ángulos, 477 d e segm entos, 477 en un sistem a de co o rd en ad as, 510, 514, 518 p a ra la solución de pro b lem as 480, 481 reflexión de u na, 485, 489 región poligonal, 394 resta de iguales, 138 rom bo(s), 261 líneas de sim etría d e un, 496 p ro p ied ad es del, 283 rotación(es), 488, 489 c o m o reflexión oe u n a reflexión, 489

secante, 343 sección áu rea, 149 transversal, 445 sector d e un círculo, 421 segm ento(s), 16 bisectriz d e un, 24 bisectriz p erpendicular d e un, 29, 142, 217 congruentes, 20 con stru cció n d e, 21 divididos en segm entos congruentes, 23, 286 lon g itu d de un, 20, 72 p u n to m edio de un, 24, 508 resta de iguales, 139 secante, 380 su m a de iguales, 139 tangente, 380 sem iespacío, 69 sem iplano, 69 sim etría, 194, 195, 494, 495 cen tro de, 495 línea d e 494 líneas de, en polígonos, 496

reflexiva, 494 ro tacio n al, 495 sistem a d e co o rd en ad as, 504, 505 origen d el, 504 po lares, 522 tridim en sio n al, 515, 523, 531 sólidos, 434 rectangulares, 444 su b co n ju n to , 16 superficie (o área) d e cilindros, 453 d e conos, 457 d e esferas, 461 de p irám ides, 441 d e p rism as, 440, 441 su m a d e iguales, 138 tan g e n te a u n círculo, 349 T an g ram , ro m pecabezas, 7, 268 técnicas p a ra la solución d e problem as, d ib u ja r u n d iag ram a, 39 e x a m in a r casos especiales, 501 hacer u n a ta b la I, 167 hacer u n a ta b la II, 223 hacer u n d ib u jo preciso, 471 tra b a ja r h acia a trá s, 339 teo d o lito , 390 teorem a, 52 de la h ip o ten u sa y el án g u lo , 213 d e la h ip o ten u sa y el cateto , 216 d e la sem ejanza AA, 316 LA L, 327 L L L , 326 d e los án g u lo s verticales, 150 d e los com p lem en to s congruentes, 145 d e los suplem entos congruentes, 146 del án g u lo exterio r, 154 del segm ento m edio, 276 d e P itá g o ra s, 226 fu n d am en tal d e la p ro p o rcio n a lid a d , 308 LA A , 212 pasos p a ra d em o strar u n , 130-33 uso d e la p ru e b a indirecta, 158, 159 térm in o s indefinidos, 10, 11, 52 teselados, 40 trapecio(s), 261 a ltu ra d e u n , 403 á re a d e u n , 403 bases de un, 261 isósceles, 289


propiedades del, 288, 289 transform ación(es), 476-95 en u n sistem a de co o rd en ad as, 536 im agen de u n a, 476 preim agen de un a, 476 reflexión, 476, 477 ro tació n , 488, 489 traslación, 484, 485 tra n sp o rta d o r, 22 transversal, 171, 174 triángulo(s), 17 acutángulo, 198 altu ra de un, 199 ángulos exteriores de u n , 154, 209 ángulos interiores no contiguos d e un, 154 área de un, 402, 403 bisectrices de los ángulo s d e u n , 45, 237 cen tro id e de un, 242 congruentes, 84, 85, 90, 91 d em o stración de congruencia entre, 96, 97, 104, 105, 110, 111, 116, 117, 120, 121 desigualdades del, 45, 244, 248, 249 equiángulo, 199, 203 equilátero, 33, 198, 203, 209 en un sistem a de co o rd en ad as, 507 m edida d e los ángulos d e un, 209 escaleno, 198 isósceles, 33,198, 202, 203 p ropiedades del, 132, 202, 203 lados de un, 17 m ed ian as de, 239 o b tu sán g u lo , 199 partes congruentes de, 110, 111

p a rte s co rresp o n d ien tes de, 85 rectán g u lo , 199, 226, 227 cate ro s d e un, 199 45°-45°-90°, 232, 233 h ip o te n u sa d e un, 199 m edias geom étricas d e un, 322, 323 sem ejantes, 316, 317, 322, 323 teo rem as d e co n g ru en cia p ara , 213, 216 30°-60“-90°, 232, 233 sem ejantes, 316, 317, 326, 327 su m a d e la m ed ida d e los ángulos d e un, 44, 208 teorem as d e co n cu rre n c ia de, 236-39 30°-60°-90°, 232, 233 vértices d e u n , 17

u n id ad es c u ad rad as, 261 unión d e co nju n to s, 16

vértice(s) d e u n án g u lo , 17 d e u n a pirám id e, 434 d e un co no , 456 d e u n políg o n o , 32 d e u n trián g u lo , 17

v olum en, 444 d e u n a esfera, 460 d e u n a pirám ide, 448, 449 de u n c o n o , 457 d e u n cilin d ro , 453 d e u n prism a, 444, 445

GEOMETRIA S e terminó d e imprimir e n abril d e 1998 en los talleres d e L asna Grafhic, S.A. d e C.V. Mixcoatl No. 452 Col. S anta Isabel Tola C.P. 07010 México, D.F. S e imprimieron 3 000 ejem plares

599

.[600 ] 598

Reconoció

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2 ar. izq.

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L ick O b serv ato ry /U n iv ersity of C alifornia ar. cent G ra n t H eilm an P h o to g rap h y ab. izq. G ra n t H eil P h o to g ra p h y 3 ar. izq. G eorge B. F ry III* ar. der. Jim G oldberg* ab. izq. G eorge B. F ry III* ab. der. Rene B u rri/M ag n u m P h o to s 9 R o b ert A. Isaacs 14 G eorge B. F ry III* 17 ar. cent... ab. G eorge B. F ry III* 33 ab. der. G eorge B. F ry III* 43 G eo rg e B. F ry III* 44 B. C. con p erm iso de Jo h n n y H a rt y Field E nterprises 48 © copyright, 1980, U niversal Press Syndicate. T o d o s los derechos reservados 50 H ale O bservatories 53 © 1961 U nited F e a tu re Syndicate, Inc. 56 © 1961 U nited F e a tu re Syndicate, Inc. 64 © 1961 U n ited F eatu re Syndicate, Inc. 65 ar., ab. © 1971 U n ited F ea tu re Syndicate! Inc. 83 R ene B u rri/M ag n u m P h o to s 84 C o rtesia d e G en eral M o to rs 104 © 1980 U n ited F ea tu re Syndicate, Inc. 118 B aro n W olm an* 126 ar. T o m S tack/T om S tack & Associates ab. R oger B. S m ith /E d ito rial P h o to c o lo r Archives, Inc. 129 R obert A. Isaacs 130 © 1958 U nited F eatu re Syndicate 143 Games and P uzzles, N um . 46 (m arzo 1976), con perm iso d e E duG am es (U .K .) Ltd. 150 Sam uel C h am b erlain 158 B. C. co n perm iso d e Jo h n n y H a rt a n d Field E nterprises 162 C o p y rig h t © 1969 de M artin G ard n er, R eim preso co n perm iso de S IM O N & S C H U S T E R , una division de G u lf & W estern C o rp o ratio n . 169 R obert A. Isaacs 170 © 1979 Steve F in b erg 181 C ulver Pictures 194 ar. © Lester V. B ergm an & Associates 197 Jim G oldberg* 202 Rene B u rri/M ag n u m P hotos 225 R obert A. Isaacs 236 © L e o n a rd F reed /M ag n u m P hotos 244 R obert A. Isaacs 256 ar. C o rtesia d e T h e Perkin-E lm er C o rp o ratio n

260075

ab. i ab. 259 290 300 301, 303 304 ar. 307 ab. ¿12 izq. der. 322, 325 330 341 350, 351 369 390 ar. izq. 393 403 408 416 433 434 ar. 444 460 464 ar. izq. ar. der. 475 476 479 ab . der.

484 494 ar., cent. 503 536

C o rtesia de A pplicon, Inc. L ockheed M issiles a n d Space C o m p an y , Inc. Jo sep h W. M o lito r B ureau o f R eclam ation M ich o s T zo v o ras/E d ito rial P h o to c o lo r Archives, Inc. Joseph W. M o lito r Bill P lum m er* C o rtesia de L eR oy T ro v er an d A ssociates C h evrolet M o to rs D ivision, G eneral M o to rs C o rp o ra tio n L ockheed-C alifornia C om pany G ra n t H eilm an P h o to g ra p h y Ju lian E. C a ra b allo /T o m Stack & A ssociates R o b ert A. Isaacs Illinois S ta te U niversity P h o to Services P hiz M ezey* P hiz M ezey* © 1979 B arrie R okeach U.S. D ep a rtm en t o f In terio r U.S. A ir F orce F o to co rtesia d e H ew lett-P ack ard C o m p an y R o b ert A. Isaacs S cala/E d ito rial P h o to c o lo r Archives, Inc. B aron W olm an* NASA D avid S ch arf/P eter A rn o ld Inc. L ester V. B ergm an & A ssociates R obert A. Isaacs D ib u jo de W. M iller; © 1962, The N ew Y o rk er M agazine, Inc. D e M a rtin G ard n er, The A m bidextrous Universe. C o p y rig h t © 1979 d e M artin G a rd n e r (N ueva York: C harles S cribner's Sons, 1979) R eim preso co n perm iso de C harles S cribner’s Sons. D ibujo de C h arles A ddam s; © 1957 T he N ew Y o rk er M agazine, Inc. G eorge B. F ry III* R obert A. Isaacs R obert E. S haw /U niversity of C onnecticut

* F otografías p ro p o rc io n a d a s expresam ente p ara el editor. L as d em ás fotografías so n d e W ayland Lee, de la p lan tilla de Addison-W esley.

G e o m e tría c o n a p lic a c io n e s y s o lu c ió n d e p ro b le m a s e s u n t e x t o q u e d e s ta c a la r e la c ió n e s tr e c h a q u e e x is t e e n tr e lo s c o n c e p t o s g e o m é t r ic o s y s u s a p lic a c io n e s e n el m u n d o q u e n o s ro d e a . L a s id e a s e n q u e s e b a s a ro n lo s a u to r e s p a ra r e a liz a r e s ta o b r a s o n :

1 L a g e o m e tr ía s u r g e a p a r t ir d e la o b s e r v a c ió n d e c o s a s s im p le s y r e la c io nes co m unes.

2 . L a c a p a c id a d d e r e d a c ta r p ru e b a s d e b e d e s a r r o lla r s e e m p e z a n d o c o n la s s it u a c io n e s m a s s e n c illa s . 3. L o s e s tu d ia n te s d e g e o m e t r ía d e b e n d e s a r r o lla r s u c a p a c id a d e n e l m a r c o d e l p e n s a m ie n to c r i t i c o , e l r a z o n a m ie n to ló g ic o y la r e s o lu c ió n d e p r o b le m a s . 4. El e s t u d io d e la g e o m e tr ía n o d e b e a is la r s e d e l m u n d o n i d e o tr a s á re a s d e la s m a te m á tic a s . E l t e x t o r e s u lta p r á c t ic o p a ra e l e s t u d io d e la g e o m e tr ía p u e s s u le n g u a je e s b r e ve p e ro p r e c is o , lo s e je r c ic io s e s tá n c la s if ic a d o s e n tr e s n iv e le s d e d if ic u lt a d , se in c lu y e la m a y o r ía d e la s r e s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s im p a r e s y a l f in a l h a y u n g lo s a r io d e té r m in o s . E l e s t u d io d e e s ta o b r a h a rá q u e e l le c t o r a u m e n te s u h a b ilid a d p a ra r e s o lv e r p r o b le m a s y q u e v e a u n m u n d o f í s ic o m á s c o m p r e n s ib le . O T R A S O B R A S D E IN T E R É S P U B L IC A D A S P O R

A D D IS O N -W E S L E Y IB E R O A M E R IC A N A : K E E D Y /B IT T IN G E R : Á lg e b ra y trig o n o m e tr ía (0 3 8 7 9 ) A R IZ M E N D I/C A R R IL L O /L A R A : C á lc u lo , p r im e r c u rs o n iv e l s u p e r io r (6 4 0 2 0 ) T H O M A S /F IN N E Y : C á lc u lo c o n g e o m e tría a n á litic a , s e x ta e d ic ió n V o lu m e n 1: c a p í t u lo s 1 a 10 (6 4 0 1 2 ) V o lu m e n 2: c a p í t u lo s 11 a 18 (6 4 0 1 4 ) E d ic ió n c o m p le t a (64011)

Geometria-Clemens

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