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GEOMETRIA ,
ANALITICA Joseph H. Kindle
SERIE DE COMPENDIOS SCHA UM
T E O R I A Y PR O B L E M A S
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GEOMETRIA ANALITICA ;
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Plana y del Espacio
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JOSEPH H . KINDLE, Ph. D. Professor of M athematics Uniuersity of Cincinnati
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ORGANIZACl\. N CHf..RAFEDI N /
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TRADUCX'ION Y ADAPTA C ()N
LUIS GUTIÉRREZ DíEZ
Jn¡(cniero de Armamento /\ NGEl. GuT1ÍlRREZ VÁZQUEZ
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/nl(t>ntero de Armamenl a Li anciado en Ciencias Flsicas
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Diplomado en ln!{en inía N11clc'
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McGRAW-HILL MXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • .GUATEMALA • LISBOA • MADRID NUEVA YORK• PANAMA • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • JOHANNESBURGO • LONDRES • MONTREAL NUEVA DELHI• PARIS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR ST. LOUIS • SIDNEY • TOKIO • TORONTO
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Prólogo Este libro de problemas está concebido como complemen to de los textos de geometría analítica q ue se estudian en los institu tos y escuelas técnicas de grado medio. En él se exponen !as materias aproximadamente en el mismo orden q ue figu ra en la mayor parte de dichos tex tos. Consta de 345 problemas tipo, cuidadosamente resueltos, y 910 problemas propuesto¡ como ejercicio para el al u m no a distinto grado de dificultad. Los problema s, por otra parte, se han , dispuesto de forma que se pueda seguir con facilidad el desarrollo natu ral de cada materia. Como ; u n curso de geometría analí tica se base, fundamental mente, en la resol ución de problemas , y dado q ue u na de las principa les causas del bajo rendimien to q ue en ocasiones se alcanza en los cursos de matemát icas es no disponer de métodos ordenados de resol ución de aquéllos, estamos convencidos de q ue este libro, bien empleado, constitu irá una gran ayuda para el alumno. También se ha pensado en aquellos otros q ue qu ieran repasar la teoría y los problemas fündamentales de la geometría analí tica. Para la mejor utili zación del li bro se debe tener presente lo q ue realmente es, considerando que no se trata de un texto propiamen te dicho y que, por tanto, no debe emplearse como medio para evitar el estud io de las cuest iones teóricas de la asignatura. Cada u no de los capítulos contiene un breve resumen , a modo de form ulario, de las definiciones necesarias, principios y teoremas , seguido de una serie de problemas , resu eltos unos y otros propuestos, a distintos niveles de dificultad. No se puede decir de forma rotu nda que estudiar matemáticas sea, esencialmente, hacer problemas, pero hay q ue t ener en cuenta que con u na lectura más o menos rutinaria del libro de texto, la retención en la mem oria de un pequeño n úmero de expresiones y con un estudio superficial de los problemas resueltos de este li bro, no se adq uirirá más que una vaga noción de la materi a. Por tanto. para que la utilización de este l i bro sea verdaderamente eficaz es necesario que el al u mno inten te resolver por sí mismo todos los problemas en un papel y se fije bien en el porqué de cada u no de los pasos de que consta su sol ución, y en la forma en q ue éstos se expresan. En todos y cada uno de los problemas resuelt os hay algo que aprender ; con estas normas, el al umno encon t ra rá muy pocas d ificultades pa ra resolver los problemas aq uí propuestos, así como los q ue figu ren en su propio libro de texto. J. H. K.
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1
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1na lrias
CA PIT ULO
r
PAGINA
l. COOR DEN A DAS RECTA NG U LA R ES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
ECUACION ES Y WG A R ES GEOM ETR I COS . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . 3.
4.
12
LA LI NEA R ECTA .........................................................................22
LA CI R CU N FER E NCI A .......................................................................................................35 5.
SECCION ES CON I CAS.-LA PA R A BOLA ........................ 46
6. LA ELI PSE . . . . . . .'............................................................................................................................................................................................................................................................51 7.
LA H I PER BOLA ... !. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8. TRA NSFOR M AC IO N DE COOR DENA DAS ........................................................ 66 9. COO R DE N A DAS POLA R ES .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
73
10. TA NGENTES Y NO R M A LES.................................................................................. 84 1 1. CU R VAS PLA NAS DE OR DE N SU PER IOR .......................................................... 93 12.
I NTRODUCC I ON A LA GEOM ETR I A A NA LITI CA EN EL ESPACIO . .
104
13.
EL
14.
LA R ECTA EN EL ES PACIO ............................................................................................. 1 23
15.
SU PER FICI ES ................................................................................................................................. 1 31
16.
OTROS SISTEM AS DE COOR DE N A DAS .......................................................... 144
PLA NO................................................................................................................................................1 15
I N DI CE ......................................................................................................................................................... 149
1
1
1
-·-
CA PI T U LO
Coordenadas rectangulares SISTEM A DE COO R DE N A DAS RECTA NG U LA R ES. El sistema de· coorde nadas rectang u la res d i vide a l pla no en '1>cua t ro cuad ra n tes por med io de dos recta s perpe nd icu la res q ue se corta n en u n pu n t o O. La horizont a l X 'OX se de1 nom i na eje x, la ver t ica l Y 'O Y. eje _¡-, y am bas const i t u yen Cuad ran te 11 1Cuadrante los d os ejes de coordenad a<;. El pu n to O se lla ma ori ge n del (-.+) 1 \ + , -) sistema. La d istan cia de u n pu nto al eje, y se l l a ma ahscisa del. X o X m ismo. La d ist a nci
D I STA NC I A E NTR E DOS PU NTOS . La d ista ncia d en tre dos pu ntos P1( x.,y 1 ) y P ( x 2,J'2) es
P, tx, ,y,l ::>
1 Por ejem plo. la d ista n cia ent re los pun t os (4. -1 ) y (7. 3) es
ti = ,1(7 -4}2+13 =
+
; y,-y,
x,-x,
1 )2
X'
o ------------------------------------------------- x
5 u nidade s.
PU NTO DE DI V I SI ON es el. q ue d ivide a u'n segmen t o en u na relación dada. Con sideremos los pun tos P 1(x i,y 1 ) y P2( x 2,y2) y la recta q u e determ i na n. y Sea P(x,y ) un tercer pu n t o q ue di vida al segmen t o en l:l rep p
/
=
lación p
r . Como P1P y PP2 son del m ismo sent ido.
2
dicha relación es posi t iva. Si el pu n to de d ivisión P(x,y ) . estu viera situad o en l a prolongación del segmen t o, a u no u otro lado del m ism o, la relación
P(x,y)
;> y, ' .
= r sería n egat iva,
ya que P 1P y PP 2 t end ría n sent idos opu est os. Teniend o en cu enta los t riángu los semejan t es de la P 1M X -X ¡ P1 P figura , --= ---- = -- = r . PN X 2 -X p pt
P.tx ;y.)J
----x_.--_x·_ ,-....i M---x
'<'
',¡.
1
COORDENADAS RECTANGULARES
2
X1
Despejando x,
x
=
1
+ TX +r
2
. Análogamente, y =
Y1
++ 'Y2 .
1
Xi
Si P(x,y) es el pu nto medio del segmento P,P2. r
=
1y x =
+ X2 2
Y1
,y =
+ Y2 2
JNCLI NACION Y PEN DIENTE DE U NA RECTA. La inclinaci611 de una recta L (que no sea paralela al eje x ) es el menor de los ángul os que dicha recta forma con el sem ieje x positivo y se mide, desde el eje x a la recta L, en el sentido y contrario al de las agujas del reloj. Mientras n o se advierta otra cosa, consideraremos que el sen tido positivo de L es hacia arriba. Si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero. La pendiente de una recta es la tangent e del ángulo de inclinación. En estas condiciones, m = tg O, siendo 8 el ángulo de inclinación y m la pendiente. La pendiente de la recta q ue pasa por dos punt os P1(xt>y 1) y P2(x,,y2) es
m = tg 8 =
Y2 -Y1
y'
X2 - X1
cualesq u iera que sean los cuadra ntes en los q ue estén situados los punt os P 1 y P2 • RECTAS PARA LELAS Y PER PEN DICU LA R ES . Si dos rectas son paralelas. sus pendientes son iguales. Si dos rectas L1 y L2 son perpend icu lares. la pend iente de una de ellas es igual al recíproco de la pendien te de la otra con signo con t rario. Esto es. l la mando m, a la pendien te de L1 y m 2 a la de L2 se tiene m 1 = -l/rn 2 , o bien , m 1m2 = -1 . AN GU LO DE DOS RECTAS . El ángulo a, med ido en el sentid o con t ra rio al de las agujas del reloj, desde la recta L1 de pendiente m 1 a la L2 de pendien te 1112 es
Demostración: 02 = a + Oi. o a tg a
= 02 - 8 1•
= tg (02 -81) tg 82 - tg 1
o,
+ tg 82 tg 81
AREA DE U N POLIGONO EN FU NClON DE LAS COOR DEN A DA S DE SUS VE RTI CES. . Sean P 1(Xi. Y1), P2(X2 , Y2). P3(x3, Yl) los vértices de u n triángulo. El área A en fu n ción de las coordenadas de l os vértices viene dada por la expresión
y
COOR DENADAS R ECTANG ULAR ES
3
Demostración : A rea del t r iángulo = área del t rapecio M 1 P 1 P 3 M 3 + área del trapecio M 3 P 3 P 2M 2 - área del t rapecio M 1P 1 P2 M 2 • Por ta n t o,
+
A = !( y, + Ya) {X3 -x,)
= H x1Y 2 f- X2Y 3
(y3
+ Y2) (x2 -X3) -HY 1 + Yi) (X2 -x,)
+ X sY1 -X1Y3 -X 2.Y 1 -X3J'z) .
Este resul tado se puede expresar de ot ra ma nera. más fácil de recordar , ten iendo en cuenta la notaci ón de determ ina n te : x, y, A
=
X2
Y2
Otra for ma de expresar el área de u n t r ián gul o, m u y ú t il cua n do se t ra t e de h allar áreas de pol ígon os de más de t res l ados, es la sigu ien te :
A =I .1
Obsérvese q ue se ha repe t ido la primera fila en la cu a rta .
PROBLEMAS RESU ELTOS DISTANC IA ENTR E DOS PU N TOS. l. Hallar la dista ncia en t re a) (-2, 3) y (5, 1). b) (6, -1) y (-4, -3). 2 a) d = V( X2 -x ,)2 +
--yJ
b) d = V(X2 -x,)2
+4 =
v53
..
+ (Y2 - y¡)2 = v(-4 -6)2 + (-3 + 1)2 = v l04 = 2 V26 y
y
(-2,3)
x·
X
X
H,-3) C(-S,-2) y' Problema J
l.
y' Problema 2
Demostrar que los puntos A(3, 8), B( -11, 3), C(-8, -2) son los vértices de un triángulo isósceles. AB = v<3 + 1 1)2 + <8 -3)2 = v221
ac = v<-1 1 + 8>' + (3 + 2)2 = v34 A C = v(3 + 8)2 + (8 + 2)' = v221 .
Como AB = AC, el t riángu lo es isósceles.
2
COORDENADAS RECTANGULARES
3.
b)
Demostrar que los puntos A(7, 5), 8(2. 3), C(6, -7) son los vértices de u n triángulo rectángulo. Hallar el área del t riá ngulo rectá n gulo.
a)
AB
a)
=
V(7 -2)2
Como (A 8)2 b)
Area
+ (5 -3) = 2
+ (8C)2 = ( AC )
2
,
\/29
BC
o sea. 29
= v'(2 -6)2 + (3 + 7)2 = v'fü
+ 1 16 = 145. A BC es un triángulo
rectángu lo.
= H A B}( BC) = v'29 vfü = 29 un idades de su perfici e . y
y
y
A (7,SJ
A(l,7)
o
B(8,6)
X
o X
A(-3,-2) C(7,-1)
C(G,-7)
Problema 3
4.
Problt'lna 4
Demost rar q ue los t res puntos sigui en tes son AB
=
\/ ( 5
+ 3)2 + (2 -r 2)2 = 4 \ 5 1
AC Como AB -t· BC
5.
Proh/e11:a 5
= \· (9 + 3)2 + (4
A (-3, -2). 8(5, 2), C(9, 4).
,;¡«) -5)2 + (4 -2)2 = 2 VS + 2)2 = 6v 5 BC =
= AC. o sea, 4 \ '5 t 2 v'5 -=- 6\/S, los pun tos son col i nea les.
Determina r un pu n to q ue eq uid ist1.: de lo p u n lC>s A( l. 7). 8(8. 6). C(7. -1 ). Sea P( x, y ) el pu n to bu scado. Ha de ser. PA - PB . PC Como PA = PB. v(x -
t)2---:¡: (y-7}i - \/(:r -8)2
f- (y - 6)2 •
Elevand o al cuad rado y si m pl ificando, 7x -y - 25 = O. ( 1 ) Como PA = PC. V( x - 1 )2 + (y -7)2 = v( x - 7)2 ··HJ' ..¡ 1 )2. Elevando al cuad rad o y si m pl i fican do, 3x -4y -= O.
(2)
R esol viendo el sistema formado por las ecuacion es ( 1 ) y (2) resu lt a x el punto buscado tiene de coorden adas (4. 3).
=
4, y = 3. Por ta nto,
P U NTO QU E DI V IDE A U N SEG M ENTO E N U NA R ELACION DA DA . 6.
H allar las coordenadas de un punto P( x. y) q ue d iv ida al segmento determinad o por P 1( 1 . 7) y P2(6, -3) en la relación r = 2/3.
Y
Como la relación es posi tiva , P1P y PP2 han de ser del mismo sent ido y, por tanto, el p u n t o P( x. y ) estará si tuado entre los puntos dados ext remos de l segmento. X
4
COORDENADAS
R ECTANGULAR ES
COORDENADAS R ECTANG U LAR ES
lo.
1 + 32 (6)
x 1 +rx2 X
=
Yi
-,--+,.- = ----2 = 3
5
+ ry2
7
2 + -(-3)
3
y = ---
1 +r
1 +3
=3
2
1
+3
El punto buscado es (3, 3).
J
7.
Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que d ivida al segmento determinado por P1(-2, 1) y P2(3, -4) en la relación r = -8/3. Como Ja relación es negativa , P1P y PP2 ha nP1P de ser de 8 sen tido opuesto, con lo q ue el pu n to P( x, y ) se , exte . a Isegmento p p 2· r = ·¡¡F;: = -· 3· ra nor 1
+ (- ) (3)
X ¡ + rx 2 = -2 x = ---
1
+r
l+ (- ) (-4) y = Y---= ---1 +'Y z l +r 1 + (- )
=6
+ (- )
1
y
y
7
y
P2( 2,G)
B(9,7)
P.(-2,1) X
X o
X
A (3,- t )
P(x,y) P(x ,y) Problema 7
I·
8.
Problema 8
Problema 9
El extremo de un diámetro de una circunferencia de cen t ro ºi(-4, 1) es P2(2, 6). Hallar las coordenadas P(x , y) del otro extremo.
Como P 1 P y PP2 son de sentido opuesto, la relación r es negativa. X ¡ + f X2
x = ---
J.
.1,
1
9.
+r
-4
+ (-+) (2) 1
= -10
+ (- )
Hallar dos puntos P.(x , y ) y P (x , y 1 1 2 2 tres partes iguales.
Y 1 + 'Y2 y = 1 +r
1
+ 1
) 2
(-+) (-+)
(6) = -4
que divida n al segmento que une A(3 , -1) con 8(9, 7) en
1 '
3
1. X1
•
+ +(9)
= --
J
= 5,
Y1 =
1+2
1 l 2
-1
3 -1 2(9)
x.• = -1-+ 2 - = 7 ,
-1 + -(7) 5 ----! - = )-.
Y2 =
+ 2(7)
¡+ 2
COORDENADAS RECTANGULARE S
6
10. Hallar las coordenadas del ex t remo C(x. y) del segmento q ue V
une este pu nto con A(2. -2) sabi endo que el punto 8( -4. 1) está sit uado a u na distancia de A igual a las tres q ui ntas partes de la longit ud total del segmento. AB 3 AC 5 r = BC = 2
C (X ,y)
X
Como AC y CB son de sentido opuesto, la relación r es negativa . 2
+ (- ;) (-4)
-2
+
= -8 y = --
x=
1
+ (- {)
1
(- %-)
A ( 2,-2)
( 1) =3
+ (- ;)
11. Las med ianas de un t riángulo se cortan en un pu n to P(x. y)
y
llamado baricentro, sit uado de los vért ices a 2/3 de la distancia de cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto. Halla r las coordenadas del baricentro de un t riángulo cuyos vértices tienen de coordenadas A( x 1• y 1). 8(x2• y2). C(x3, y3). Consideremo s la med ia na AP D. siendo D el punto medio de BC. Las coordenadas de D son x2 + x3 y·2 + ;· . •
-
AP
2
Como A D
=
X¡
-
2
J. resulta
2
AP r =
PD =
+ 2( Xz +2 X3 ) X ¡ +X z
x = --,+ 2--= Y1
3
+ 2(.J: _-1- )
y =
+2
1
2
= Y1
-· 2
T
o
= 2·
+ X3 + Y2 +Y3 3
Las coordenadas del baricen t ro de un triángulo son. pues,
+(x + x + x 1
2
3).
(y1
+ y 2 + y3).
Al mismo resultado se habría llega do considerando las media nas BPE o CPF. siendo en todo caso AP BP CP 2 ' = PD = -PE = PF = l= 2· I NCLI NAC ION Y PEN DI ENTE DE U NA R ECTA 12. Hallar la pendiente m y el ángu lo de i nclinación O de
las rectas que unen los pare s de puntos siguientes: a) (-8. -4), (5, 9). e) (-11, 4), (-11 . 10). h) (10, -3), (14, -7). d) (8, 6), ( 14, 6). Y2 -Y 1 111 = tg = ---
o
9
Xz
- ...·1
+4
t-1!,4)
5 a)
m =-
h)
"' =
e)
/11
=
.i .e.. '·
+f _
14 10 10 -4
= --1
-1 1 + 11 14
_¿
O = 1g -1 1 "'" 45º
= 1
-7 + 3
6 -6 d) m =
(-11,!0)
6
= - = i:x..
o
o
= Ó=O
n = tg
1
0 = 1g -' O ·= Oº
\8,6'---(14,G)J
' ,.,...
1
'e
-1 - 135"
O ::-. t g - 1 ov =-·90·
(5,9)
(-o.- 4)
COORDENADAS RECTANGULARES
13. Demo strar q u e los puntos A( -3. 4). 8(3. 2) y C(6. 2 -4 1 Pendiente de A B = = - ). ,,
f)
7
son colineales.
1 -4
6 + 3 --3· 313 Como la pend ient e de A B es la m isma que la de A C. los tres puntos están situados sobre la misma rect a. Pend ient e de A C =
14. Demost rar. apl icand o el concepto de pend iente. que los punt os A (8. 6). 8(4.8) y C( 2. 4) son los vért ices de un triángu lo rectángulo.
8 -6 Pend ien te de A B =
1
4 -8
Pend iente de BC =
=-·- -
2
4 -8 _ 2 4
= 2.
Como la pend iente de A B es el recíproco con signo con t rario de la pendiente de BC. estos dos lados del t riángu lo son perpend icu lares. A NGULO DE DOS RECTAS IS. Sabiendo q ue el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45º. y q ue la pendiente m 1 de L 1 es 2/ 3, halla r la pendiente m2 de 1.2 . t g 45º =
m..- m, 1
-
+ m 21111
2
.
m2 -T
.es dec 1 i r.
De esta ecuación. m = 5. 2
2
1 + ) m2
C(4.2)
X
X
A (-3,-2) Proh/1•11111
Problema 16
15
16. H alla r los ángulos i nteriores del t riángulo cuyos vértices son A(-3. -2), 8(2, 5) y C(4. 2). m,.n
=
tg A -·
5 + 2 7 2 -'- 3 = S me
lll AB A lllA1J l11CA
1
+
moc
=
tg C =
+ mocm,.11
mcA
1
3
= -2
mcA
=
2 + 2 4 4 +3 =7
A = 24° 43, I '.
+ 5 7
msc - mAo
1
2 -5 4 -2
7 4 - - -29 5 7 _(_74"")'- = 6f J
tg 8 =
=
- m8C
+ mcAmBC
7
-y -5
29 =-1 1 ·
2
B = 69º 1 3.6'.
= ;. C = 86º3,3'. Comprobación : A + B
+ C = 180º.
COOR DENADAS
8
R ECTANGULARES
A REA DE UN POLIGONO DE VERT ICES CONOC IDOS. y
17. Hallar el á rea A del t riángu lo cuyos vértice son los punto de coordenadas (2. 3), (5. 7), (--3. 4).
A =
1
2
2 5 -3 2
j
7 4 1
3
+ (-·3) (3) -2· 4 -(-3) ( 7) - 5· 31 = H l 4 + 20 -9 -8 + 21 - 1 5) = 1 1 .5 unidades de su-
=
H2· 1 -1 5· 4 pe rficie .
18. Hall ar el área A del pen tágon o cuyos vért ices son J os pu n tos de coordenadas (-5. -2). (-2, 5), (2. 7). (5, 1 ), (2. -4).
A =
-5 -2
-2 5
2 5
7 1
2
-4
-5
-2
y
W-5> <5>
r- < -2l (7) + 2· 1 + 5 (-4> + 2(-2) -( -5) (-4) -2· 1 - 5·7 -2 · 5 -( -2) ( -2)]
l 1
(S,I) X
-!< -132) = -66.
(-5,-2/
Solución: 66 unidad es de superficie . Si se toman los vértices recorriendo el polígono en el sentido con trario al de las aguja s del reloj, el área se considera positiva, y en caso contra rio negat iva.
(2,-4)
PROBLEMAS PROPUESTOS l. Representa r l os pu n t os de coordenadas: (2, 3), (4, O), (-3, 1 ). ( ,/2.. -1 ), (--2. 0). (-2, v3). (0, 1 ). c-2,
vs>. < vi.o>, < º·o),(4, 5, -2), < v io,- v2),
. (2.3, -6).
2. Representar los triángu los de vért ices: a) (0, 0), (-1 , 5), (4, 2) ; b)
(v2, O), (4, 5),(-3, 2);
e)
(2
+ v2. -3), ( \ 13, 3). (-2. 1
1- .,/8).
3. R epresentar los pol ígonos de vértices : a) (-3, 2), (l. 5), ( 5, 3). (1, -2) ; b) (-5, O), (-3 , -4), (3. -3). (7, 2), ( 1 . 6).
4. H a llar la distancia entre los pares de pUfl tos cuyas coordenadas son : a) (4, 1 ), (3, -2) ;
e)
b) (-7,4),(1, -11) ;
d)
Sol.
a)
(0,3).(-4. 1) ; (-1,-5),(2, -3);
IO b) l 7, c) 2 5, d)
e)
(2, -6).(2, -2);
f) (-3. 1).(3, -1).
T3, e) 4.f ) 2\l fó.
5. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son : a) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) ; e) (2, -5), (-3, 4), (0. -3); b) (0, 4), (-4, 1 ), (3. -3);
Sol. a) 23,56,
b)
20,67,
d) (-1 , -2), (4, 2). (-3. 5).
e)
20,74,
d)
21 ,30.
6. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de su s vértices son isósceles: a) (2, -2), (-3. -1 ), ( 1, 6); e) (2, 4), (5, 1 ). (6, 5);
b) (-2, 2), (6, 6), (2, -2);
d) (6, 7), (-8, -1), ( -2. -7).
';/ ;
' COORDENADAS RECTANG U LARES
9
7. Demostrar q ue los t riángulos dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos. Hallar sus áreas. a) (0. 9), (-4. -1 ), (3. 2): e) (3, -2), (-2, 3), (O, 4); b) (10, 5). (3. 2). (6. -5): d) (-2, 8), (-6, 1).(0,4). Sol. Areas: a) 29. b) 29. e) 7.5. d) I S unidades de superficie.
8. Demostrar q ue los pun t os sigu ientes son los vértices de un paralelogramo :
=: =: :: :
).2/
;I):
e) (2, 4), (6. 2), (8, 6), (4, 8).
9. Hallar las coordenadas del pun to q ue equ id ista de los pu n tos fijos: a)
Sol.
e) (2. 3), (4, -1), (5, 2).
(3. 3), (6. 2). (8. -2); b) ( 4, 3), (2. 7). (-3, -8); a) (3. -2). h) ( -5. 1 ). e) (3, 1 ).
10. Demost rar. med iante la fórm u la de la d istancia, q ue los puntos siguien tes son colineales: a)
b)
(0. 4). (3. -2). (-2, 8); (-2. 3). (-6. 1 ). (-1 0. -1 ):
e)
d)
( l. 2), (-3. 1 0). ( 4, -4); ( 1 , 3). (-2. -3), (3. 7).
11. Demost rar q ue la su ma de los cuad rados de las d istancias de un punto cualquiera P( x, y) a dos vér-
t ices opuestos de u n rectángu lo es igua l a la suma de los cuadrados de las d istancias a los otros dos vért ices. Supóngase q ue las coordenadas de los vértice s son (0. 0). (O, b), (a, b) y ( a, 0). 12. Ha llar el pu nto de abscisa 3 q ue d iste 10 u n id ad es del pu n to (-3, 6). Sol. (3. -2). (3. 1 4).
13. Ha llar las coorden adas de u n pu nto P( x. y) q ue divida al segmento que determi nan P1(x 1• y 1) ., P1 P Y P2(x 2 , )'2) en 1a re 1ac1on r = pp-;_·
2 -¡-·
a)
P 1 (4. -3). P 2 ( 1 . 4). r
h)
P 1 (5. 3), P 2 (-3, -3), r =
t)
1'1 ( -2. 3). P 2 (3. -2). r
Sol.
a)
=
(2. }). h) (3. )·
= -72 .
d)
P1 (0. 3). P2 ( 7. 4), r
T1 .
e)
P 1 ( -5. 2), P2 ( 1, 4), r
5 = - 3-.
2 S..
/)
P1 (2. -5), P 2 (6. 3), r
= 4·
3
e) (-
.
)·
d) (-T1 4 '
13 )
.
el ( 10. 7).
26 1 1 ) . -T . /> (7
14. Halla r las coordenadas del ba ricent ro de los triá ngulos cuyos vértices son : a)
·h)
( 5, 7). ( 1 , -3). (-5. 1 ): (2. -1 ), (6, 7), (-4. -3):
Sol . al IS
(+·
n.
h)
( .1).
e)
e)
(3. 6). (-5. 2). ( 7, -6);
d)
(7. 4). (3. -6). (-5. 2): (
·
)·
d)
( ·o).
e)
e)
(-3, 1 ). (2, 4), (6. -2).
( . 1).
Sabiendo q ue el pu n to (9. 2) d ivide al segmento q ue determi nan los pu ntos P1(6, 8) y P2( X z. Yz) en la relación r = 3/ 7, halla r las coord enadas de P2 .
Sol.
( 16. -12).
16. Ha llar las coordenadas de los vértices de un triángu lo sabiendo q ue las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (-2, 1 ), (5, 2) y (2. -3). Sol. ( 1 . 6), (9. -2). ( -5. -4). 17. Halla r las coordenadas de los vértices de u n triángu lo cuyas coordenadas de los puntos medios de sus lados son (3, 2), (-1. -2) y (S. -4). Sol . ( -3, 4). (9, 0). ( l. -8).
10
COOR DE NA DAS
R ECTANG ULA R ES
18. Demost rar analíticamente q ue las rectas q ue unen los punio s med ios de los lados adyacentes del cuadrilá!ero A( -3, 2), B(5, 4), C(7, -6) y D(-5. -4) forma n otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del primero. 19. Demostrar q ue las rectas q ue unen los puntos medios de dos lados de los t riá ngulos del Problema 14 son paralela s al tercer lado e iguales a su mitad . 20. Dado el cuadrilátero A(- 2, 6), 8(4, 4), C(6, -6) y D(2. -8), demostra r q ue : La recta q ue une los puntos medios de A D y BC pasa por el punto med io del segmen to q ue une los puntos med ios de A B y CD. b) Los segmentos que unen los pun tos med ios de los lados adyacentes del cuad rilátero forman un paralel ogramo.
a)
21. El segmento q ue une A(-2, -1 ) con 8( 3, 3) se prolonga ha sta C. Sabiendo q ue BC = 3A B. halla r las coordenadas de C. Sol. ( 18, 15). 22. Demostrar q ue el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo eq u idista de los vértices. lnd .: Supóngase que las coordenadas del vértice del ángu lo recto son (O. 0) y las de los otros vértices (a, 0) y (O, b). 23. Demostrar que en los triángulos isósceles del Problema 6 dos de las medianas son de la misma longitud . 24. Hallar las pendiente s de las rectas q ue pasan por los punt os:
Sol. a)
3,
e)
6
b)
e) (2. 4). (-2, 4);
(6, 0), (6, v'J); d) ( 1, 3), (7, I) ; 1
a) (3, 4), (1, -2) ;
b) ( -5, 3), (2, -3) ;
- 7·
e)
00,
d)
-3·
f) (3. -2). (3, 5). e)
o.
00.
.n
2S. Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos : a) (4, 6) y ( l , 3);
(2, 3) y ( l , 4) ; e) ( v'J 2) y (O, I ); b) (2, ·v'J) y ( l , 0); d) (3, -2) y (3. 5); () (2, 4) y (-2. 4). e) = tg -1 - 1 = 135º ; Sol. a) O = tg -1 1 = 45º ; e) O = tg -1 l/v'f = 30º ; 1 1 /) O = tg -1 0 = O". d) 1g- 00 = 90"; b) tg - v'3 = 60º ; e)
o o=
o=
26. Aplicando el concepto de pend iente, averigua r cuáles de los pun1o s siguiente s son col ineah:s. a) (2, 3), (-4, 7) y (5. 8); b) (4, 1 ), (5. -2) y (6, -5);
d) (0, 5), (5, 0) y (6. -1 ); e) ( a. 0). (2a. -b) y (-a. 2b) ; () ( -2. 1 ). (3. 2) y (6, 3).
e) (-1, -4), (2, 5) y (7, -2): Sol . a) No.
o) Sí,
C')
No.
d)
Si.
e) Si.
f) N o.
27. Demo strar que el punto ( 1, -2) está situado en la recta q ue pasa por l os puntos (-5. 1 ) Y (7. -5) y que equidi sta de ellos.
28. Aplicand o el concept o de pend iente, demost rar que los pu nt os siguiente s son los vértices de un triángulo rectán gul o. e) (2. 4). (4, 8) y (6, 2) ; a) (6, 5), ( l , 3) y (5.-7); d) (3. 4).(-2,-1) y (4. l). b) (3, 2). (5. -4) y (l, -2); 29. Hal lar los ángui os interiores de los triángulos cuyos vért ices son : (/) (3, 2), (5, -4) y ( l . -2) ; b)
(4, 2), (O, 1 ) y (6. -1 l:
e)
(-3. -l ). (4, 4) y (-2, 3);
Sol. 45' . 45' . 90 . Sol . 109" 39.2'. 32' 28,3', 37' 52,S' . Sol. 1 13' 29.9'. 40' 25,6', 26' 4,5'.
·ll!\
COORDENA ECTANGULARES COOR DAS DE NARDAS R ECTANG ULA R ES
10
11
Demost ra r, halla ndo los ángulos i nteriores, q ue los triángulos sigu ien tes son isóscele s. y efectuar la comprobación calculand o las longi t udes de los lados. (2. 4). (5. 1 ) y (6. 5): b) (8. 2). (3. 8) y (-2. 2) : e) (3. 2). (5. -4) y ( l. -2): d) ( l . 5), (5. -l ) y (9, 6); a)
Sol. 59" 2.2'. 61'' 55.6'. 59··2,2'. Sol. 50'' 1 1.7'. 79" 36,6'. 50" 1 1 ,7'. Sol . 45''. 45''. 90". Sol. 63" 26', 63" 26'. 53º 8'.
La pend ien te de u na recta q ue pa sa por el punt o A( 3, 2) es igual a 3/4. Sit uar dos pu ntos sobre esta recta q ue d isten 5 un idades de A. Sol . (7 . 5), (-1. -1 ).
32. El ángu lo formado por la recta q ue pasa por los puntos ( --4. 5) y y (9. 1 ) es de 1 35º. Ha lla r el va lor de ) " "
Sol . y
=
(3, y) con la que pasa por ( -2, 4)
9.
33. La recta L2 forma un ángulo de 60" con la recta L1• Si la pend iente de L 1 es 1 . halla r la pend ien te de L 2 • Sol . -(2
+ v'J¡.
34. Hall a r la pendien te de una recta q ue forma un ángu lo de 45º con la recta q ue pasa por los puntos de coordenadas (2. -1 ) y ( 5, 3). Sol . mt =· -7.
35. Hal la r la ecuaci ón de la recta q ue pasa por el punt o ( 2, 5) de ecuación .r -3y + 6 = O. Sol. 2.r -r + 1 =-- O.
y for ma un ángulo de 45'' con la recta
36. Hallar las á reas de los t riángulos cuyas coordenadas de los vértice s son : a) ( 2. -3), (4, 2) y (-5. -2) b) ( -3. 4). (6. 2) y (4, -3) e) {-8. -2). (-4, -6) y ( -1. 5) d) (0.4). (-8, 0) y (-1 . --4) t') . < -4. 6> Y ( 4. -2v2) .f ) (-7, 5). ( l. 1 ) y (-3. 3) g) ( a. h + e). ( h, e + a) y (c. n + h)
Sol . 18.5 un idades de supe rficie. Sol. 24;5. Sol . 28. Sol. 30. Sol. 7 v'2--2 = 7,899. Sol. O. Ra zona r la respuesta. Sol. O.
37. Halla r las áreas de los pol ígonos cuyas coordenadas de los vért ices son : a)
( 2, 5), (7. 1 ), (3. -4) y (-2. 3)
b)
(O. 4), (1. -6). (-2._3) y ( -4. 2)
e)
{l. 5). (-2. 4), (-3, -l ), ( 2. -3) y (5. I )
Sol. 39.5 u n idades de su perficie. Sol . 25.5. Sol. 40.
38. De mostra r q ue las rectas que unen los puntos med ios de los lados de los t riángulos del Problema 36 dividen a cada uno de ellos en cuat r o t riángulos de áreas igua les.
1
CA PIT U LO
Ecuaciones y
1
l 1
2
lugares geornétricos LUGft
LOS DOS PROBLEMAS FU N DA MENTA LES DE LA GEOMETRI A ANA LITICA SON: 1 . Dada u na ecuación , hallar el l ugar geométrico q ue representa. 2. Dad o un l ugar geomét rico defi nido por determinada s condiciones, hallar su ecuación matemática.
l. R
·.I p
p n
\'
L U G A R GEOM ETR I CO, o gráfica. de u na ecuació n de dos va ria bles es un a lí nea, recta o curva, q ue contiene todos los puntos. y solo ellos. cu yas coord en adas satisfacen la ecuación dada . A ntes de represe11tar gráficamente el l u ga r geom étrico q ue corresponde a una ecuación dada, es m uy conven iente, para determinar su forma , conoce r algunas propiedades del lugar en cu estión. como, por ejem plo : i n terseccion es con los ejes, simet rías, ca mpo de variación de las va riables, etc.
11
e e
I NTERSECC ION ES CON LOS EJES. Son las distancia s (positivas o negativas) desde el origen hasta los pu ntos en los q ue la lí nea del l ugar cort a a los ejes coordenados. Pa ra hall ar la intersección con el eje x se h ace y = O en la ecuación dada y se despeja Ja \ a ria ble x . A nálogamen te, para hallar la in tersección con el eje y, se hace x = O y se despeja y. Por ejem plo, en la ecuación y2 + 2x = 16, para y = O, x = 8; pa ra x = O, y = ±4. Por ta n t o, la a bscisa del pu n to de intersección con el eje x es 8 y las ordenada s de los de intersección con el eje y son ±4. SI M ETR I AS . Dos pu n tos son simétricos con respecto a u na rect a si ésta es la med iatriz del segmento q ue los u ne. Dos pu nt os son simét ricos con respect o a otro punto, si éste es el pun to med io del segmento q ue J os u ne. En con secuencia : 1.
Si u na ecuación no se altera al su stit u i r x por -x, su representación gráfica, o lugar, es si m ét rica con respect o al eje y. A tod o va lor de y en est a ecuación, le corresponden dos va lores igu ales de x en valor absol ut o pero de sign os cont rarios. Eje m plo:
2.
x2
-
6y
+ 12 = O, es decir, X
1
= J:v4x + 1.
Si u na ecua ción no va r ía al su stitu ir x por -x e y por -y, su representación gráfica, o l uga r , es simétrica con respecto a l origen. Ejem plo : x3
¡/
± v6y - 1 2.
Si u n a ecuación no varía al su sti tu ir y por -y, su represen tación gráfica , o lugar, es simét rica con respecto al eje x. A todo valor de x en esta ecuación le corresponden ctos val ores n um érica mente igu ales de y en valor absol ut o pero de signos contrarios. Ejem plo: y 2 - 4x -7 = O, es decir , y
3.
=
+ x + y3 = O.
CA M POS DE VA R I ACI ON. Los valo res de u na de las varia bles para los cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sen t ido. Sea la ecuación v2 = 2x -3. o bien, y = -¡\ 2x -3. Si x es menor q ue 1,5, 2x -3 es negati vo e y es ima.ginario. Por ta n to. n o se deben considera r los va lores de x menores q ue 1 ,5 y , en consecuencia, la cu rva del l ugar esta rá sit uada toda ella a la derecha de la recta :e = 1 ,5. Despeja ndo x, x = HY 2 + 3). Como x es real para t odos los valores de y. la cu rva del l uga r se extiend e hasta el i nfinito , a u mentando .r a med ida q ue lo hace x desde el v alor x = 1,5. 12
2.
ECUACIONES Y LUGAR ES GEOMl:.l'RICOS
13
PROBLEMA S R ESUELTOS LUGA R GEOMETR IC'O DE UNA ECUACION l. R e prcsenia r la eli pse de e;:cuación 9 r2 ¡ 1 6y2 = 144. ' /nft•rsetc·wm·.t co11 los ejes. Pa ra y = O. x = r 4. Pa ra x O. )' - ...:. 3. Por tanto. corta a l eje x en los pun t o de abcisa 1 4. y a l eje y en los de ordenada .: J .
y
Sime1r ías. Como la ecu ación solo con t ien e pot en cia pares de r l! y. la c u rva es simé t rica con respecto a los dos ejes y. por tan to. con respect o al orige n. Así . pues. ba sta con d i buja r la porción de cu r va con t en ida en el pri mer cu ad ra n t e y t raza r desp uc l'I rest o de t'l l a por si metría .
(4.0)
o
X
íO,-.:{
1
Ca111pu de 1•11rionó11. Despejando y y x,
3 I'
2
-- 4 - \ 1 6 - .\ .
,\'
-
Si r cs. en 1·alor ahsol1110. mayor q ue 4, J 6 -x es negativo e y es i magi nario . Luego x ne puede toma r va lorc.:s mayorc q ue 4 n i meno res q ue -4, es decir. 4 x -4 . A nálogamente , y no puede tomar va lores ma yoreo; que 3 ni menores q ue -3. o sea, 3 y -3.
o
,\'
•1
1 ¡2
, 3 , -¡ 2.9
1
± 2.6
l3
1 :J
3,5
±4
IJ2,o 1-+1.s1 º
2 . R epresenta r !:.i pará bola de ecuación y 2 - 2y -4x ¡. 9
=
O.
Despejando y de la fórm ula de resol ución de la ecuación de segund o grado,
-h 1 vhi -4ac
Y-
- . ien do a
1. h
2a
= -2. e = -4x
1 2 \11' -2. y2 -- 2y 9 X -
Depcjando ·'·
4
+9 :
y
( 1)
(2)
lnll!rs1·l'ciVt1l'S t1m los ejes. Para 1·
O. \ - 9/4. Para x - O. y e-; imaginario ( 1 J 2 \''-2). Por t a n t o. l a cu rva corta al l:je 1· en el pun t o de a b::.cisa 914 y no corta a l eje y.
o
X
Sime1rias. La cu rva no es si mé t rica ni con respecto a los ejes n i con respecto al origen . Es simét rica con re spccto a la recta " 1 . con lo cual. a cada va lor de x se obt ienen dos de y, u no ma yor q ue 1 y ot ro menor q ue I . Campas de 1•ariació11. De ( 1 ) se ded uce q ue ¡ x es men or que 2. ,. -2 es negat ivo e y imagina riu . Por tanto. ,. no puede toma r va lore-; menor..: q ue 2. An álogamen te. de (2) e ded uce q uc como ,. o.: rea l para t odos l o·va lores de y. esta variable puede t omar todos los va lores reale s. X
,,_ y
2
1
¡
9/1 O: 2 3: -1
4
5
6
--- -
3.8 :-1.8 4.5; -2.5 5: -J
ECUACIONES Y
14
LUGA R ES GEOMETR ICOS
3. R cpn:sc n tar la hi pérbola xy -2y -x = O. Int ersecciones con los eies. Pa ra x = O. y y --=
= O;
para
o. ,. = o.
Simetrías. La curva no es ·simét rica ni con respecto a los ejes coordenados ni con respecto al origen . Campos de variación. Despejando y, y
=
y
1
1
.
x x
2 para x = 2, el denomi nador. x -2. se a n ula e y se hace infinic o. Despejando x. x = ly . Para y = 1 , el denomiy -1 nad or, y - 1 , se a n ula y x se hace i nfin ito. Ninguna de las dos varia bles se hace imaginar ia para valores rea les de la otra . X
y
o
1 1 11
1
r
rz
2
-o 1 1 ---1
i 1 -9-1-52 j
1
1
l 1 1
_¡1_ _ _ _ _ _ _ _
o
1 1 1 1
lo 1t<';'•
2j J
4
J1 l
J 7
1
'
-1 -2 ; _ , ¡-4 0.3
o.si
I X
O.<> ·0.7
Cuando x tiende a 2 por la izq uierda, y tiende a menos infi n i t o. Cuand o x tiende a 2 por la derecha. y tiend e a más i nfi n i to. Las d os ramas de la curva se aproxi man i ndefin idamente a la recta x = 2 haciéndose tangentes a ella en ± infinito. La recta x - 2 = O se denomina asíntota vertical de la curva. Veamos q ué ocurre cuando x tiend e hacia infin ito. Consideremos y = x .::_ 2 . 2 1 -x Cuando x tiende a más o menos infinito , 3_ t iende a cero e v tiende a 1 . La recta y - 1 = O es una asíntota horizontal. x · lo
4. Representa r la función x2y - 4y
+X
¡;, = 0.
¡x
= O. y = O. Para y = O, x = O.
Int ersecciones con los ejes. Pa ra x
1
1 1
Simetrías. Sustituyendo -x por x. y -y por y, se obtiene la ecuación -x 2y + 4y - x = O. que multiplicada por -1 es la ecuación origi nal.
l
Por tanto, la curva es simét rica con respecto al origen . No es simétrica con respecto a los ejes. Campo de variati6n. Despejando y, X
X
+ x) · Las asintotas verticales son x -2 = O, x + 2 = O. · . - 1 ± v i + 16y y =
4 -x2
=
(2 - x)(2
2
Despejando x se obtiene. x .:
=
Y 2
Ninguna de las variables se hace imaginaria para valores reales de la otra . x . -2,5 _2_ __1_ ,5_ -1 o 1 1 ,5 i_2 _ 2_._5 _ 1 y 0,3 1 0,6 1,1 oo -0,9 --0,3 O 0,3 -1,I 1
-4 1 -3_ ·
1
1
= O.
La asíntota hori zontal es y
MI
1
oo
-0,6 1 3
1
4 --0.3-
a:a;±$ 4%&2
ECUACIONES Y
S. Represen tar el l ugar geomét rico x2 -x
LUGA RES GEOMETRICOS
+ xy
IS
+ y -2y2 = O.
Alguna s veces. una ecuación se puede descomponer en prod ucto de va rios factores y. en este caso, su gráfica consta de la correspond iente a cada uno de ellos. Como la ecuación dada se descompone en los factores (x -y) (x + 2y - 1 ) = O, su gráfica se com pone de las dos rectas X -JI
=0
y
X
+ 2y - ( = 0.
6. Determinar los pu ntos reales, si exist en, q ue sat isfacen las ecuaciones siguientes.
+ 4)2 + ( y -2)2 = -5. 2 x +y2 = O. x2 + yz -8x + 2y + 1 7 = O.
d) x2
a) (X b)
e)
+ 2y
2
-6x
+ 1 1 = O.
+ (x + 3y - 10)2 = O. {) x2 + (2i - l )x -(6i + 5)y - 1 = O. real es positivo. tanto ( x + 4)2 como (y - 2)2 son posi2
2
e) {x -4y )2
a) Como el cuadrado de todo n ú mero t ivos y, por tan to, la ecuación no se satisface para valores reales n i de x ni de y . b) Es evidente q ue el ún ico pu n to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0). e) Escribiendo la ecuación en la forma (x2 -8x + 16) + (y2 + 2y + 1) = O, o bien, (x - 4)2 + ( y + 1)2 = O, cua nd o x - 4 = O e y + 1 = O, es decir, para x = 4, y = -1,el único pun to real q ue la satisface es el de coordenadas (4. -1). d) Escribiend o la ecuación dada en la forma x2 - 6x + 9 + 2y2 + 2 = O, o bien, (x -3)2 + 2y2 + 2 = O, como (x - 3)2, 2y2 y 2 son posit ivos para todos los valores reales de x e y, la ecuación dada no se sat isface pa ra valores reales de dichas variables. e) La ecuación se satisface para J.os va lores de x e y q ue verifican, simultáneamente, las ecuaciones x2 -4y2 = O y x + 3y - 10 = O. Resolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (4, 2) y (-20, 10). q ue son los únicos puntos real es q ue sat i sfacen Ja ecuación dada.
+
/) Agrupand o las partes reales e i maginaria s se obtiene (x2 -x - 5y - l ) 2i(x -3y) = O. Esta ecuación se satisface pa ra los va lores de x e y q ue verifican, si m ultáneamente, las ecuaciones x2 -x -5y -1 = O y x -3y = O. Resolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (3, 1 ) y (-1 / 3. -1/9). q ue son los únicos puntos reale s que satisfacen a la ecuación dada. 7. Resolver gráficamen te el sistema formado por las ec uacion es sigu ientes y comprobar el resu ltado por vía algebrai ca. x -y
xy = 8
(1)
+2 = O
(2) 8
. Pa ra x = o.y es i.nDespej.an d o y en ( 1 ) se o btr.ene. y = finito. x Despejando x en ( 1 ) se obt iene, x = !_. Para y = O. x es infinito. Y Por tanto, y = O es una asíntota horizontal y x = O una asíntota vertical. X
o
1
y
00
8 '
¡-1_
J 8/3 2 ¡ -8
-2
i
-:3 1 -4
-4 ! -8/ 3 1 -2
La ecuación (2) representa una recta q ue corta a los ejes en los puntos (-2, 0) y (O. 2). Gráficamente se ded ucen las soluciones (-4, -2) y (2, 4).
q
ZC$Ui
ECUACIONES Y LUGA RES GEOMETRICOS
5. Representar el l ugar geomét rico x2 - x
+ xy
IS
+ y -2y 2 = O.
Alguna s veces. una ecuación se puede descomponer en prod ucto de va r ios factores y, en este caso. su gráfica consta de la correspond iente a cada uno de ellos. Com o la ecuación dada se descom pone en los factores (x -y ) (x + 2y - 1) = O, su gráfica se compone de las dos recta s X -y
=Ü
y
+ 2y - 1 = Ü.
X
6. Determinar los puntos reale s, si existen, q ue satisfacen las ecuacio n es siguientes.
+ 2y2 -6x + 1 1 = O. e) (x2 -4y2) 2 + (x + 3y - 10)2 = O. () x + (2i - l)x -(6í + 5)y - I = O. xz + y2 -8x + 2y + 1 7 = O. a) Com o el cuadrado de todo n ú mero real es posit ivo, tanto (x + 4)2 como (y -2)2 son posi-
a) (x + 4)2 + ( y -2)2 b) x2 + y2 = O. e)
= -5.
d) x2
2
tivos y, por tanto, la ecuación no se satisface para valores reales ni de x ni de y. b) Es evidente que el ún ico pun to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0). e) Escribi endo la ecuación en la forma ( x2 -8x + 1 6) + (y 2 + 2y + 1 ) = O, o bien, ( x - 4)2 +( y + 1 )2 = O, cuando x - 4 = O e y + 1 = O, es decir. para x = 4, y = -1,el único punto real q ue la sat isface es el de coordenadas (4. -1). d) Escribie n do la ecuación dada en la forma x 2 - 6x + 9 + 2y2 + 2 = O, o bien , (x -3)' + 2y2 + 2 = O, como (x - 3)2, 2y2 y 2 son positivos para todos los valores reales de x e y , la ecuación dada no se sat isface para valores reales de dichas va riables. e) La ecuación se sat isface para os va lores de x e y q ue verifican, simultáneamente, las ecuaciones x2 -4y2 = O y x + 3y - 10 = O. Resolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (4, 2) y (-20, 1 0), q ue son los ú nicos puntos reales q ue satisfacen la ecuaci ón dada. () Agrupand o las partes reales e imagi narias se obtiene (x 2 -x - 5y - 1 ) + 2i(x - 3y) = O. Esta ecuación se satisface para los valores de x e y q ue verifican, sim ul táneamente , las ecuaciones x2 - x -5y - 1 = O y .\·-3y = O. Resolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (3, 1) y (-1 / 3, -1/9), q ue son los únicos puntos rea les q ue satisfacen a la ecuación dada. 7. Resolver gráficamen te el sistema formado por las ecuacione s siguientes y comproba r el resu ltado por vía algebra ica. x -y
xy = 8
(1 )
+2=O
(2)
Despejand o y en ( 1 ) se obtiene, y n- finito.
=
-.
Para x = O. y es i
x
Despejando x en (1) se obtiene, x = . Pa ra y = O, x es infinito. Y Por tanto, y = O es una asíntota horizontal y x = O una asíntota vertical.
1
X
o
1
-2
-3 1 -4
y
00
8 4 8/3 2 ¡-8 -4
-8131 -2
2
"
3
La ecuación (2) repre senta u na recta q ue corta a los ejes en l os puntos (-2,0) y (O, 2). Gráficamente se ded ucen las sol uciones (-4.-2) y (2, 4).
SQI
1 16
ECUACIONES
Y
LUGARES GEOMETRICOS
Solución alf{ebraica. De (2), y
x -t 2 . Susliluyendo en ( 1). x( x -t 2) -:: 8, es decir, x2 + 2x - 8 = O. Descom poniendo en factores, (x + 4) ( x -2) - O. Por tant o, x Como y x 1 2, y -2 pa ra x = -4 e y = 4 para x = 2.
=o
-4 y x
=
2.
8. Resol ver gráfica men te el sistema de ecuaciones siguien te y comprobar su solución por vía a lgebraica . 4x2 1 y 2 = 100
9x2 -y2 -
( 1) (2)
108
Ambas curvas son si mét ricas con respecto a los ejes y al origen.
o
X
Despejando y en ( 1 ) se obt iene, y ¡ v' 1 00 -4x 2• Luego x no puede tomar valores mayores q ue 5 ni menores que -5. Despejando x en ( 1 ) se obt iene, x = v 100 -y 2 . L uego y no puede tomar valores mayores q ue 10 n i menores q ue 10. .\'
y
O ; :J 1 o
Ll Í
1
_1 9.s
f- 2 1
1 ±3 1
+4
-J: 5
-
+ 9.2 +8 + 6- o 1
Despejando y en (2) se obtiene. y = ± 3 ,;x 2 - 12. Luego x no puede tomar valores comprendidos en t re v l2 y _,11 2. Despejando
X
en ( 2) se obtiene.
X -
:l: v 2 1 - - l 5
y
1 :L6
o
X =
vy
2
+ 108. Luego y
puede tomar cualq uier valor.
-1: 6
--
-1-. 10,8 + 14,7
Gráficamente se deducen las soluciones (4. +6). ( -4, ±6). Solución algebraica.
4x2
+ y 2 = 100
9x2 -y 2
=
108 = 208. x2 = 16. y x = ± 4. y 2 = 9x2 - 108 = 144 - 108 = 36, e y = ±6. l3x2
ECU AClON DE U N LUG A R GEOM ETR ICO. 9. Hallar la ecuación de la recta q ue sea, a) b)
e) d) e)
/)
paralela al eje y y que corte a l eje x ci nco u nidade s a la izq uierda del origen. paralela al eje x y que corte al eje y siete u nidade s por encima del origen. paralela y a la derecha de la recta x + 4 = O y q ue diste de ella 10 u nidades. paralela y por debajo de la recta y = 2 y que d iste de ella 5 unidades. paralela a la recta y + 8 = O y q ue d iste 6 u nidades del punto (2, 1). perpendicular a la recta y - 2 = O y q ue d iste 4 u11idades del punto (-1, 7).
a) x = -5, es decir, x + 5 = O. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje y y q ue está situada 5 unidades a su izquierda. y = 7, es decir, y - 7 = O. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje x y que está situada 7 unidades por encima del origen.
b)
ECUACIONES Y LUGARES GEOMETR ICOS
e) x = -4 de la recia x
17
+ 10. es deci r. x = 6. Esta es la ecuación de la recta situada 10 unidades + 4 - O. Es pa ra lela a l eje y y está situada 6 unidades a su derecha.
a la derecha
d) y = 2 -5. es decir. y = -3. Esta es la ecuación de la recta situada 5 u n idades por debajo de la recia y -2 = O. Es pa ra lela al eje x y está a 3 unidades por debajo de él. Como la recia y + 8 = O es paralela al eje x. las dos recta s ped idas ta mbié n lo serán y estarán sit uadas 6 u n idades por debajo y por enci ma. respectivamen te. de la recta y = 1 . Luego y = 1 ± 6, es deci r. y - 7 e y - -5. e)
f) Como l a rec ia y -2 = O es paralela ,11 eje x , las d os rectas ped i d as ta mbién lo serán y estarán a 4 u n idades de la derecha o a la izq uierda de la recta x = -1. Luego x = -1 l. 4 . es decir• .\' = ] Y IO.
X
= -5.
Ha l lar la ecu ación de la recta q ue sea. pa ra l ela a l eje x y q ue dist e 5 un idades del pu n to (3. -4). h ) cq u id i:.ta n lc de l as recias x + 5 = O y x -2 = O, C' ) q ue d itc t n.:s veces más de la recta y - 9 = O q ue de y + 2 =- O. a)
Sea ( x. y) u n pu n10 genérico de la recta ped ida. -4 -¡. S. es decir. y - 1 e y - -9.
y
h)
s -t \' 2-=-x y +2
9 -y
+2 3 .-5 l - = -2, o bien.
1. . o sea. x
..:.
· Sim pl ificando. 4y - 3 = O y 2y
2x
+ 3 - O.
+ 1 5 = O. +:\. Para la recta 2y +
Pa ra la recia 4y -3 O. sit uada entre las dos dada s. la relaci ón es si1 uada por dchajo de e l las. la relación es -! .
15
=
O
11. H alla r la ec uación del l uga r geomét rico de los pu n los eq uid ista n tes de A( -2. 3) y 8( 3. -1). P A - PB. es tkci r. \1( x.1- 2)2 + ( y -3)2
=
V( x - 3)2 + ( y
+
Eleva n do a l c uad rado y si m pl i fica nd o se ob1icn e. IOx - 8y med iat riz del segme nt o q ue u ne los dos pu ntos dados.
1 )2.
+3 -
O. Esta es la ecuación de la
12. Halla r l a ecuaci ón ck la rect a q ue pase . a)
b)
por el punt o ( -4. 5) y cuya pend iente sea 213. por los puntos ( 3. -1} y (0. 6). Sea ( x. yl u n pu n to genérico de la rccta ped ida. La pend iente de la recta que Pª"ª por los pun to!\ ( x 1• y ) y (x • y ) es Y -Y 1 1
a¡
2
2
X2 - X1
La pcndien lc de la recta q ue pasa por los pun tos (-4. 5) y (.\ . 1·) e::.
2
.
3 5 Por tanlcJ. }_ ·- -= - . S1111 pl iflca ndo. 2.\ - .'11· + 23 \
.. 4
..
-e·
O.
.
h) La pend ie n te de la r<.:cta q uc pa !>a por los punt os (J. -1 ) y (0. 6) e::. ig ual a la pend ient e de la recta q ue pa sa por los pu nt os (0. 6) y ( x. y ). Por tant o.
·
= :_
. Sim pl ificando . 7x + 3y - 1 8 = O.
•
••
18
ECUACIONES
Y
LUGA RES GEOMET RICOS
13. Hallar la ecuación de la recta q ue pase. a)
b)
por el punto (2. -1 ) y sea perpendicular a la recta q ue u ne los pun tos (4. J) y (-2. 5). por el punto (-4. 1) y sea paralela a la recta q ue une los puntos (2, 3) y (-5, O).
a)
Si dos rectas son perpend iculares. la pend ie n te de una de ellas es igual al recí proco. con signo contrario, de la pendiente de la otra.
5 -3 2
Pendiente de la recta que pasa por (4. 3) Y ( -2. 5) = _ _ Pendiente de la recta ped ida
=
1
= - 3·
recíproco con signo con t rario de -
+
= 3.
Sea (x. y) un punt o genérico de la recta ped ida . La pendiente de la recta q ue pasa por (x. y) y (2, -1) es _Y
+1
x -2
h)
= 3. Si m plificando. 3x - y - 7
= O.
Si las dos recta s son para lelas, sus pend ientes son iguales. Sea (x. y) un pu n to genérico de la recta pedida . Pendiente de la recta q ue pasa por (2. 3) y ( -5. 0)
=
pend iente de la recta q ue pasa por (x. y)
y (-4. 1).
3 -0 Por tanto,
2
+ 5 =- x Y+:.
Simplifica ndo.
3x - 7y
+ 19 = O.
- 14. Hallar el l ugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya d istancia al punto fijo C(2. -1) sea igual a 5. Distancia PC
+
= 5. es decir. v(x - 2¡i° +
Elevando al cuadrado y sim pl ificand o se obt iene la ecuación del l uga r pedido. x 2 2y = 20. Este l ugar es una ci rcunferencia de cent ro el pu nt o (2. -1 ) y de rad io 5.
+ y - 4x
_ IS. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya suma de cuad rados de distancia s a los puntos fijos A(O, 0) y 8(2. -4) sea igual a 20. (PA)2 + (P8)2 = 20. o bien. x 2 Simpl ificando. x 2
+ y + [(x -2)2 + (y + 4)2 ] = 20.
+ y2 - 2x + 4y
2
;.=
O. Esta es la ecuación de u na ci rcunferencia de diámet ro A B.
'<. 16. Hallar la ecuación del l u ga r geométrico de los punt os cuya suma de d istancia s a los ejes coordenados sea igual al cuad rado de su s d istancia s a l origen .
+ dista ncia al eJe x = cuad rado de distancia al (0. 0). bien. x 2 + y 1 -x -y = O. Esta es la ecuación de una circunferencia
Distancia de P( x .y) al eje y Luego x +y = x + de centro y radio \ 'Í . 2
y 2• o
- 17. Hallar la ecuación dd l uga r geomét rico de los pu n tos f(x. y) cuya relación de d istanc ias a la recta
y -4
= O y al pun to (3. 2) sea igual a
1.
Distancia de P( x .y) a y - 4 = O
4 -y - 1 o sca - -= l .
Distancia de P( x. y) a (3. 2)
- ·
· \l( x _ 3)Z +( y _ 2)2
Elevando al cuadrado y simpl ificando. ( 4 - y ) 1 = ( x - 3): + ( y - 2)2• o bien. x 1 - 6x - 3 = 0. Esta es la ecuación de una parábola .
+ 4y
ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS
19
Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3). hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos P( x, y) de manera q ue la pendiente de PP 1 sea igua l a la pendiente de PP2 más la unidad. Pendiente de PP1 = pendiente de PP
2
Simpl ificando, x 2
+
1, o sea, y -
x-
+ 3y - 1 6 = O. que es la ecuación de u na
y +3 x -5
1
+ ·
pa rábola.
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punto s P( x, y ) eq uidistantes del punto fijo F(3, 2) y del eje y . PF = x, es decir,
·v'(X - 3)2 + (y - 2)2 = x, o sea. x 2 - 6x
Sim plificando, y 2 - 4y -6x
+ 9 + y2 -4y + 4 = x
2•
+ 1 3 = O, q ue es la ecuación de una parábola.
_ 20. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya diferencia de distancias a los puntos fijos F1( 1 , 4) y F2( 1 . -4) sea igua l a 6. PF1 - PF2
=
6. es deci r. V(x - 1)2 + (y -4)2 - v(x
- 1)2 + (y + 4)2 =
6.
Pasando un rad ica l a l segundo miembro .
v'0- - 1)2 + (y -4)2 = 6 + \/(x - 1)2 + (y +4)2. Elevando al cuadrado. x 2x + 1 + y2 - 8y + 16 = 36 + 12 \l(x - 1)2 +(y + 4)2 + x + 1 + y2 + 8y + 16. Simplificando, 4y + 9 = -3 \/( x - 1 )1 + ( y + 4) Elevando al cuadrado, 16y2 + 72y + 81 = 9x2 - 18x + 9 + 9y2 + 72y + 144. Simpl ificando. 9x2 -7y2 - l 8x + 72 = O, ecuación de una h ipérbola . 2
-
2
2
-
2x
•
PROBLEM AS PROPUESTOS LUGAR GEOMETRICO DE UNA ECUACION. Trazar la gráfica de las ecuaciones 1 - 18.
+ 2x -y + 3 = O 4X - 9y2 + 36 = Ü x2 + y2 -8x + 4y - 29
- l. x2
- 2. -- 3.
2
- 4. 2x
2
3x
+ 3y + 5y
2 2
-
=- O
18 = O
=O
X 6. 4y2 -.r = o 'I 7. ( xy - 6)2 + (x2 + 3xy
=
11. 12. 13. 14.
1
JS.
+ y + 5) = O 2
+ 3)
(x
+ 2) (x -3) + 2xy -24) + (2x + y2 - 33)' = O x( x
2
2
x2y + 4y -8 = O x 1y 2 + 4xª -9y2 = O
+ y + 4x - 6y + 17 = O 2x2 + y2 -2y"i + x2i -54 - t 7i = O 2
x2
+ 2)(x -4) - 8 = O x + xy -2y2 - 3x + 3y = O (x y) -yi = (5 -2x) + 3( 1 -x) i
16. y( x
17. 18.
3
8. 8y -x = O 9. y 2 = x( x - 2) (x
IO. y
2
2 --
Representar los siguientes pares de ecuaciones y ref!Olver gráficamente el sistema que forman . Comprobar algebraicamente los resultados .
19. y = X 2• X -y
-j-
2
= Ü.
Sol.
(2, 4), (-1, 1 ).
ECUACIONES
20
20. 4y -x2 = O, x2y 21. x 2
_. 22 . 23.
y 2 -4x
24. 2x2
3x2 -2y2 -
x2
-9 = O.
Sol.
y 2 -2x - 12
-5 - O.
+ 2y -6
1 - O.
Sol. (2,7. 1 J.2). (-1.4, t- 1 ,5).
- O.
Sol .
2
"
O,
26. .r -y +x -y -= O, x
2
-
.\ 2 1 y 2 •
( -2, 1 ). ( - 2, 1 ), (4,
-5),(0.
3).
.:':)ol. 1magina rias.
y 2 - 6 - O. x2 -y2 -4 - O.
+ 2y2
(2. 1 ). (-2, 1 ), las otras son i magina r ias.
Sol. (2. :!- 4), (-4, 1 2).
O.
·
25. 2x2 - 5xy 2
LU(iA R ES UEOMETRICOS
+ 4y - 8 =- O.
+ y 2 -20 = O.
y 2 -2x
Y
Sol. ( 2, l), (-2, -l),(1. 2),(-1 ,--2).
5 "'- O.
·hy- 3x 1 6y O.
Sol.
(3, -4), (-2/ J. -1 / 3), (3. J). (0, 0).
ECUACION DE UN LUGA R GEO METRICO. 27. H al lar la ecuación de la recta : a)
Sit uad a 3 u n idad es a la derecha del eje y .
Sol. x -3 = O
b) Sit uada 5 u nidade s po r debajo del eje x.
Sol. y + 5 = O Sol. .r - 5 = O. x
e)
Paralela al eje y y a 7 u n idades del punto (--2, 2).
e/ )
Sit uada 8 unidades a la izq uierda de la recta x --2.
<')
Paralela a l eje x y med iat riz del segmento determinado por (2, 3) y (2, -7).
/)
Que diste 4 veces más de la recta x
+ 1O ::- O
Sol. y
+ 2 -= O
J x 1- 1 1 - O,
Que pase por el punto ( -2. -3) y sea perpend icular a l a recta x -3 = O.
h) Que eq uidiste de los ejes coordenados.
Sol. y -x
í) Que pase por el pun to (3, -1) y sea pa ra lela a la recta y
j)
Sol. x
= J q ue de x = -2. Sol.
g)
+ 9 - O.
Que eq u id iste de las rectas y - 7 = O e y
+ 2 = O.
+
3 = O.
x
Sol.
= O,
y
+ 1 - O. y + 3=O + x = O.
Sol. y + 1 = O Sol .
2y - 5 = O
_ 28. H allar la ecuación del lugar geométrico de lo!; pu ntos P( x , y) cuya distanci a a l pu nto lijo (-2, 3) sea igual a 4. Sol. x2 y 2 + 4x -6y -3 o= O.
+
29. Hallar la ecuación del l ugar geomét rico de los puntos P( x. y) q ue eq uid isten de los pu ntos fijos ( -3, 1) y (7, 5). Sol. 5x + 2y - 1 6 = O.
-30. Hallar la ecuación del l uga r geométr i co de los pun tos P( x, y) cuyas distancias al pu nto fijo (3, 2) sean la mitad de sus distan ias al (-1, 3). Sol. 3x2 + 3y2 - 26x -1Oy + 42 = O. - 31. Hallar la ecu ación del l ugar geomét rico de los p u n tos P(x, y) q ue eq u id isten del p un to (2, 3) y de la rect a x + 2 = O. Sol. y 2 -8x -6y + 9 = O. 32. H allar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (3, 5) y sea tange n te a la recta y -1 = O. Sol. x 2 + y 2 -6x - IOy + 30 = O.
33. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya suma de d i stancias a los pun tos fijos (e, 0) y (-e, 0) sea igua l a 2a, (2a > 2c). Sol. (a2 -c2)x2 +
ECUACIONES Y LUGA RES GEOMET RICOS
35. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya d iferencia de d istancias a los fijos (3. 2) y (-5. 2) sea igual a 6. Sol . 7x2 -9y2 + 1 4x + 36y - 92 = O. 36. H a l lar la ecuación del l u ga r geomét rico de los pu nt os cuya distan cia a la recta y + 4 = O sea igual a los do t ercio.; de su d istancia al punto (3. 2). Sol. 4x2 -5y 2 -24x -88y -92 = O. 37. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cu ya d i tancia al punto fijo (-2. 2) sea tres veces su d istancia a la recta x 4 = O. Sol . 8x2 -y2 - 76x + 4y + 1 36 = O.
38. Hallar la ecuación
Sol.
x2
+ y2 = 9.
39. H allar Ja ecuación de la mediatriz del segmento determi nado por los punt os de coordenada s (-3. 2) y (5, -4). Sol. 4x - 3y = 7. 40. Hallar la ecuación del l ugar geomét r ico de los pun tos q ue
\
CA PITU LO 3
La Jínea recta UNA LI N EA RECTA , analíticamente, es u na ecuación lineal o de pri mer grado en dos variables. Recíprocamen te, la representación gráfica del l ugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta. U na recta q ueda determinada completamen te si se conocen dos cond iciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendien te o coeficien te angular), etc. FORMAS DE LA ECU ACION DE LA R ECTA : a)
PU NTO-PEN DIENTE. La ecuación de la recta que pasa por el punto P 1(xi. y1) y cuya pendiente sea m es y -y 1 = m( x -x 1).
· b)
PENDI ENTE-ORDEN ADA EN EL ORIGEN. La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje 'y'en el punto (0, b) -siendo b la ordenada en el origen- es y = mx + h.
e)
CA RTESI A NA. La ecuación de la recta q ue pasa por los puntos P 1(x1, y 1) y P2(x2, yJ es Y -Y1 Y1 -Y2 -· ---- =
d) R EDUCI DA O ABSCISA Y OR DEN A DA EN EL OR IGEN. La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los pu ntos (a, O) -siendo a la abscisa en el
origen - y (O, b) -siendo b la ordenada en el origen-, respectivamente , es X
)'
ª + -b = 1. e)
GEN ERAL. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax + By + C = O, en donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es m
.f)
=-
y su ordenada en el origen b = -
NOR M AL. U na recta también q ueda determinada si se conocen Ja longit ud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0.O) y el ángulo que dicha perpendicula r forma con el eje x. Sea AB la recta y ON la perpend icular desde el origen O a AB . La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre posi tiva cualq uiern q ue sea la posición de AB, es deci r , para todos los va lores del á ngulo ,,, que la perpendicular forma con el semieje x. positivo desde O
a 36()0.
.
.
'{
A
-- .l......;'"""'"
_,,,,_.x &
Sean (x•. y 1) las coordenada s del pu nto C. . 1 En estas condiciones, x 1 = p cos t•J , y 1 = p sen "'• y pendiente de AB = - -. tg (1) cos w = -cotg w = ----. sen w
22
..
LA LI N EA R ECI /\
Ll a ma ndo ( x , y) ot ro pun to cualq u iera de AB. y -y 1 - -(;Otg w ( x ,·1 ), o bien, cos y -p sen 111 = - -- (x -p cos m). sen w Si mpl ificando. x cos 1t1 +y sen 1t1 -p = O. q ue es la ecuación de la rect a e n forma n or mal. ( 1/
REDUCCION DE LA FOR M A G EN ER A L A NO R M A L. Sea n x -1 By -¡ C -= O y x cos "> + y sen (() -p = o las ecuaciones de una m isma rect a escri tas en su s forma s ge neral y normal respectivamente ; los coeficien tes de a m bas ecuacio n es han de ser iguales o proporcionales. Por tanto. cos 111 sen -p - = C = k . siendo k la con st an te de propo rcion a l idad . A -=-
8
En estas cond icion es, cos ,,, = k A , sen «> = k B. -p = k C. El eva nd o a l cu ad rado y suma nd o las dos primera s, cos2 m + sen 2 "> = k 2 ( A 2 + 82). o sea. J = k 2( A 2 + 82) , de donde
k - ..
1
- ± Vífi + Bi" Teniendo en cuen ta este valor de k .
A cos r11 =
±
B
v Ai + n2 ' sen ,,,
Por con siguien te. la for ma normal de
A
±V
At
+
82 X
+
-=· --
-p
+ v Ai - ffi , Ax + By + C = O es B2
±VA
+
B'- y 0
= C
+ TV A
C
+
-+ 2
v A 2 + a2 .
8
2
=
en la q ue se debe considerar el signo del rad ical el opuesto al de C. Si C radical se considera rá igual al de B. DISTANC I A DE U N PU NTO A U NA RECTA . Pa ra hall a r la distancia d de un pu nto (xi. y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y q ue pase por (x1. J'1). La ecuación de L es x cos "' + y sen ,,, -p = O, y la ecuación de L1 es x cos ,,, +y sen "' -( p + d) = O. ya q ue am bas rectas son pa ralelas. Las coorden adas de (x1,y1) satisfacen la ecuación de L., x1 cos w + y 1 sen w -(p + d) = O. Despejand o la dista ncia d,
d
o
= O, el
signo del
y
l \.
= x 1 cos w + y 1 sen
t
l...
En el caso de que {X¡, y 1) y el origen estén a dist i nto lado de la recta L, la dista n cia d es 'positiva ; si estuvie ran al mismo lado de L , d sería nega t iya .
PROBLEMAS RESUELTO S Deducir la ecuación de la recta que pasa por el pun to P1(x 1, y 1) y cuya pendiente, o coeficiente angu lar, sea m. (Ver figura .) Sea P(x,y) "otro punto cualquiera de la recta . La pendiente m de la recta que pasa por los puntos {x, y) y (x"11) es
y -y ¡ . = m= ,o bien, y -y1 ?r{x - x1).
x -x,
Deducir la ecuación de la recta de pendiente m que corte al eje y
el punto (O,b).
\. i \
y 1
1
1
,y-y, 1
1 _G _l _ _ _ _ _ ...J1
')(-X,
X
24
LA LI NEA RECTA
Sea P(x, y) otro punto cualq uiera de la recta. y -b La pendien te /11 de la recta q ue pasa por (x, y) y (O, b) es m = X - o-·Por tanto, y = mx + b. 3.
. (b) q ue pasa por (O, 5)
H allar la ecuación de la recta (a) que pasa por (-4, 3) y tenga de pendiente y tenga de pend iente -2, (e) que pasa por (2, 0) y tenga de pend ien te f· Sea P( x. y ) ot ro punto genérico cualquiera de cada una de las rectas. A plicando la fórmula y -y 1 = m(x - x 1). a)
y -3
=
(x
+ 4), es deci r, 2y -6 = x + 4, o bien , x -2y + 10 = O.
b) y -5 = -2( x -O), es decir, y - 5 = 2x, o bien, 2x +y -5 Esta ecuación también se puede obtener aplicando la fórmu la y En esta forma, 't = -2x + 5, es deci r, 2x +y -5 = O. e) 4.
y -O = i( x -2), o sea, 4y
= 3x -6, o bien,
3x -4y -6
= O.
=
mx
+ b.
= O.
Ded ucir la ecuación de la recta q ue pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2). Sea (x, y) otro punto cualq uiera de la recta que pasa por (x 1;y 1) y (x2, y2). Pendien te de la recta que une (x, y) y (x1, y1) = pend iente de Ja recta que une (xi. y1) y (x2, y2). y -y¡
Por tant o,
Yi
·Y2
X -X¡
- 5.
Hallar la ecuación de Ja recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (4, 2). A plicando y -Yi X -X ¡
6.
=
3 Yi =Yz , resulta y + = X¡ - X2 x +2
x -x 1 Divid iendo bx
2
2
4
, o sea. 5x -6y -8
= O.
= l..:1 -.l.'.
se tiene Y -O - _O__b-, o sea, bx
x 1 -x 2
+ ay = ab por ab se tiene
x -a :
+
=
abscisa
+ ay = ab.
a -0
= 1.
Ha llar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente. Aµl icando
8.
3
Ded ucir la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son (a, 0) y (O, b). (a en el origen, b = ordenada en el origen.) Sustit uyendo en Y -Yi
7.
-=
+
=
l , se tiene la ecuación
+
Y 3
=
I, o bien , 3x -5y - 15 = O.
Halla r la pend iente m y la ordenada en el origen b de la recta cuya ecuación.es Ax +By siendo A , 8 y C constantes arbitrarias. A C Despeja n do y, y = --¡¡ x -Ji· Comparando con y = mx
+ C = O,
A e + b, m = - B ' b = - -¡¡·
Si B
= O se tiene A x + C = O. o bien , x = - , recta pa ralela al eje y.
Si A
= O se tiene By + C = O, o bien, y = - , recta µaralela al eje x.
25
LA LI N EA R ECTA
Hallar la pendiente m y la ordenada en el· origen b de la recta 2y Escribiendo la ecuación en la forma y
= mx + b. y = -
+ '.•.\' = 7. x ..... }. Luego su pend ien te es
-3/2 y su ordenada en el origen 7/ 2. Si se escribe en la forma Ax + By + C = O. es deci r. 3x 2y - 7 = 7 3 . -7 A C = -- -m = - - = - -- y la ordenada en el origen h = 2· B 2 B 2
10. Demostrar q ue si las recta s A x + By + C = O y qu e si son perpendiculares. A A' .
1 1
S1 son para e as, m
.
y A 'x
+ B'y + (" - 0 son
º·
la pend iente
para lelas. A 1 A '
=
818'.
+ 88' = O.
A A' = m. . es d ec1r. . - B = -8' .o
d' I
S1 son perpen 1cu ares. m -= -
1 . , . es decir. m
b'1en. -Á. A
A
B'
B
A
-=
= ·/fB . .
. . o b1er . A A '
+ 88' = O.
11. Halla r la ecuación de la recta q ue pasa por el pu n t o ( 2. -3) y es pa ra k la a la recta q ue u ne l os pu ntos (4, 1) y (-2. 2). Las recta s paralelas tienen la misma pend iente. Sea ( x. y) otro pun t o cualq uiera de l a recta q ue pasa por (2. -3). Pend iente de la recta q ue pasa por (x, y) y ( 2. -3) = pend ien te de la recta q ue pasa por (4. l)
y -2. 2). Por tanto,
y + 3
1 -2
x -2
4 .¡ 2 .
Si mplificando , x
+ 6,r + 1 6 = O.
12. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por el punto (-2. 3) y es perpendicu lar a la recta 2x -3y
+ 6 = o. Si las rectas son perpendiculares. la pendien te de una de ellas es el recípr oco con signo contrario de la pendiente de la otra .
'
La pend ien te de 2x - 3y es -
=
+
6 = O, q ue est á escrita en la fo1 ma general Ax + By
, lu ego la pe n diente de Ja recta ped ida es -·
+ C = O.
.
Sea (x, y) ot ro punto cualquiera de l a recta q ue pasa por (-2, 3) y t iene de pend ien te -
3
Entonces, y -3 = - -y( x
+ 2).
Simpl i ficando, 3x
.
+ 2y -- O.
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmen to determinad o por los. ;>Unt os (7. 4) y (-1, -2). El punto medio (x0 • y0) del segmento tiene de coordenada s
=
7 -1
Pendiente del segmen t o =
,
2
=
4
+2 =
7 + 1
3,
)o =
3
Y1 -;- Yz
2
-
4 -·2
2
J.
, l uego la pend iente de la recta pedida es igual a -
4
.
3
4
4 Sea (x. y) otro punto cualq uiera de la recta que pasa por (3. 1) y t iene de pendiente - 3. En tonces, y - 1 = -
4
3(x - 3).
Simplificando, 4x
+ 3y - 15 = O.
r26
LA LINEA R ECTA
14. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por (2, -3) y tenga una incl inación de 60º. Sea ( x, y) un plin to genérico de la recta de pend iente m = tg 60º = v'3. Entonces, y
+ 3 = v' J(x -2).
Simpl ificando,
v'3x -y -3 -2v'3 = O.
15. Hallar el valor del parámetro k de form a q ue: a) 3kx + 5y + k -2 = O pase por el punto (-1, 4). b) 4x - ky -7 = O tenga de pend iente 3; e) k x -y = 3k -6 tenga de abscisa en el origen 5.
= -1. y
a)
Sustituyendo x
b)
Apl icando la forma Ax
= 4 : 3k(-I )
+ 5(4) + k -2 = O,
+ By + C = O, pend iente = -
O bien, red uciendo 4x -ky - 7 = O a la forma y = mx Por tanto, pend iente e)
Para y = O, x
= ; = 3,
=
3k -6
3k = 4, k
= 5.
k
2k
=
18, k
= 9.
= - \ = 3,
+ b,
4
k= ;
.
7
y = k x - T·
= ;.
De aqu í resulta 3k -6 = 5k, k
= -3.
16. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendien te -3/4 q ue formen con los ejes coordenados u n triángulo de área 24 unidades de superficie. Una recta de pendiente Para x = O, y = b; para y
!
y ordenada en el origen b viene dada por y = -
!
x
+ b.
4
= O, x = J b.
;\ ' a·del triángulo = !(producto de los catetos) = !(b ··
b) =
bz = 24.
De aq ui se deduce que 2b2 = 3(24), b2 = 36, b = ± 6, y las ecuaciones pedidas son y
= - : x ± 6, es decir, 3x + 4y -24 = O
y 3x
+ 4y + 24 = O.
17. Hallar el l ugar geométrico representado por las ecuaciones siguientes: a) x2 + 8xy -9y2 = O; b) x3 -4x2 -X + 4 = Ü.
+ 9y) = O. el l ugar que representa
a)
Como la ecuación se descom pone en los factores ( x -y) (x son las dos rectas x -y = O, x + 9y = O.
b)
Descomponiendo en factores, (x - 1 ) (x2 -3x -4) = (x - 1 ) (x + 1) (x -4) = O. Por tan to, representa las tres rectas x - 1 = O, x + 1 = O. x -4 = O.
18. Hallar el luga r geométrico de los punt os (x, y) q ue d isten el doble de la recta x = 5 q ue de la recta y = 8. Distancia del punto (x, y) a la recta x = 5 es deci r, x -5
= ±2[d istancia = ± 2( y -8).
de (x, y ) a la recta y
=
8],
Por consiguien te, el l ugar geomét rico está const i t uid o por el par de rectas
x -2y
+ 11 = O
y x
+ 2y ·- 21 = O, o sea. (x -2y + 1 1 ) (x + 2y -21) = O.
LA Ll NEA R ECTA
27
ECUACION NORMA L DE LA RECTA . 19. Traza r las rectas A B para los valores de p y <11 q ue se i nd ican y escr ibi r sus ecuaci cnes respectivas.
p = 5, h) p = 6, a)
= n /6 = 30º. = 2n/ 3 = 120º.
(I}
= 4, w = 4n/ 3 = 240°. p = 5, <•J = 7n/4 = 315º.
e) p
t11
d)
y
y
y
B
(b)
(a)
(e)
(d)
t
a) b) e) d)
o. . x cos 120° + y sen 120º -6 = O, es decir. -ix + v")y - 6 = O, o bien, x - v'3y + 12 = O x cos 240° + y sen 240º -4 = O, es deci r. -!x -hlJy -4 = O, o bien , x + v'Jy + 8 = O. COS 315° + y Sen 315º -5 = 0, es decir, -y -5 = 0, O bien , y -5 y'f = 0
X
cos 30º + y sen 30º -5 = O, es deci r, !vI\' + !Y - 5 = º· o bien. v3x + y - 10 =
X
X --
v2
X -
V2
lO. Red ucir a forma normal las ecuaciones siguientes y hallar- p y w.
v3:\'
+ y -9 = o. bi 3x -4y -6 = O. u)
C) d)
La forma normal de Ax
X + y + 8 = 0. v' A
+ By + C = O es '
a)
e)
12x - 5y = O.
±
A
2
+ 82
4y - 7 = O.
/) X + 5 = 0. 8 C x + r;o y + = O. 1 1 2 2 ±V A + 8 ± VA + 8
A = V3, B = 1 , V A 2 + 82 = vJ+I = 2. Como C l = -9) es negativo, con signo positivo. La ecuación en forma normal es
v3 + 2Y 1 9 -2 = O,
--x 2
V3
y
cos r11 = - , sen
2
9
1
r1J
VA' + 82 se
= l'
p =
2'
(1)
=
toma
30º.
Como sen <11 y cos ''' son ambos positivos. w está en el pri mer cuad rante.
t
b> A = 3. 8 = -4,
vA
1
+ 9t. =
v'9 + 16 = 5. La ecuación en forma normal es 6 306º 52'. 4 y cos tu -= 3 . sen ''' = - . p = -- . cu = 5 5 5
Corno cos ti> es positivo y sen w es negati vo. w está en el cuarto cuad rant e. r)
1,
v
v2.
A = B = 1. A2 + 82 = Como C (= negativo. La ecuación en forma normal es
1 1 --x ---=.y -4v' 2 = O
Vi
v2
'
+ 8) es
positivo. el rad ical se toma con signo 1
Y COS fU = Sen W = - - -=• p
vi
= 4yf,
(') = 225º.
Como cos c•i y sen d)
son n egat ivos. 111 est á en et t ercer cuad ra n t e.
+
,1 A 2 82 = ;f44T25 = 1 3. Como C = O. el rad ical se toma con el m ismo signo q ue 8( - - 5). con lo cual, sen 1•1 será posi t ivo y 1•1 · 1 80 '. La ecuación en forma norma l es 12 IJ X
e)
11i
+
Como cos
c1J
A - O, 8
= 4.
5
I )' 3
0.
y
es negat ivo y sen A2
1-
111
COS
es posi tivo,
A
= 1
1 . 8 = O, X +
s_
-1
vA
2 _,
12 13 111
5
• sen w
13
, p = O,
11i
= 1 57''23'·
está en el segu ndo cuadran t e.
82 =- 4. La ecuación en forma normal es
4 ' - 7- = o ) es
-
Cll
-82
=
-
o
7
O, sen 11, -= 1.
cos oi
y
p =
.
4
=
·
90°.
(lj
1 . La ecuación en forma normal es
= O, es deci r,
-X -
s = O, y
COS UI
= -1 . sen
(1)
= O, p = 5,
(1)
= 1 80".
1
21. H a llar l as ecuaciones de las rectas que pa san por el pu nto (4, -2) y d i stan 2 u n i dades del origen. La ecuación de las rectas q ue pasan por el punt o (4, -2) es y + 2 = m( x -4), o bien, + 2) = O. mx -y -(4m + 2) La forma normal de mx -y -(4111 1 2) = O es = O. -!- lm2 + 1
mx -y -( 4m
Lu ego, p
=
4m 1- 2
± vm
2
+t
+ 2)2 = 4(111 + 1) . Resolviendo, m = O, - 4-.
== 2, o bien, ( 4m
2
3
Las ecuaciones ped idas son y + 2 = O. e y
+2 = -
( x -4), o bien. 4x
+ 3y - 10 = O.
22. Ha lla r la distancia d desde a) la recta 8x + l 5y - 24 = O al punto (-2, -3). b) la recta 6x -8y 5 = O a l pun t o (--1, 7).
+
a)
..
+ I Sy=--24- = O, o bº en, 1 + vs + (1s>
La forma n orma1 de 1a ecuac 8x 1on es 8(-2)
+ 1 5(-3) -24
d :.::
=
-85
17
17
2
Bx
+ I Sy -24 = O. 1 7
2
= -5. Como el e nega t ivo. el punt o (-2. -3) y el ori-
gen está n al mismo lad o de la recta. r ., 6x -8y + S b. 6x -8y + 5 b) La 1orrna norma 1 de 1 a ec uac1on es -....,=---=---=- - = 0 . o 1en, - 62 + (-8)2 -1 0 d = 6(-1 ) -8(7) -1 0
+
-57
5
-10
=
5,7. Como d es po it i v o, el punto (-1. 7) y el origen están
a dist int o lado de la recta. 23. H allar las ecuaciones de las bi sect rices de los ángulos formados por las rectas ( L 1) Jx y
(L2)
5x
+ 4y + 8 = O + 12y - 1 5 = O. 1 1: 1,
l.
'
O
= .
LA LINEA RECTA
28
LA LI NEA
R ECTA
29
Sea P '(x', y' ) u n punt o genérico de la bisect ri z L3 • Tend remos. _ 3x' -4y ' 11 -S
y
+8
d _ 5x'
.
+ l2y' - 15 13
2 -
l
.
P''(x",y•) '
Pa ra todo pu n to de L3 se veri fica q ue d1 y d2 son igua les en valor abso l ut o. Los pu n tos P' y el origen están al mismo lado de L, pero a disti nto lado de L2• Luego d1 es negat ivo y d 2 positivo, y d 1 = -d2 . A si. pues . el lugar geométrico de P' viene defin id o
II
I
\
d4/I
/
'
'
\
I
\
,d'3
'
'
15 -4 y' + 8 5x' + l 2y' -5 --- = -- - 1 3 Sim pl ificando y supri miendo las pr imas, la ecua3x'
X
ción de L3 es 14x - l 1 2y + 1 79 = O. An álogamente, sea P "( x ", y") u11 punt o genérico de la bisectr iz L4 • Como P " y el origen están a d ist into lado de L1 y L2 , las d istancias d3 y d4 son posi tivas y d3 = d4 • 3 " -4 " + 8 5x" Por ta nto, el lugar de P" es x =
+ 1 2y"
- 15
13
Simplifi cando y supr i miendo las prima s. la ecuación de L4 es 64x
+ 8y + 29 = O.
Obsérvese q ue L3 y L4 son recta s perpend iculares y que l a ·pendiente de una de ellas es el recíproco con signo cont ra rio de la pend ien te de la otra . 24. Ha lla r las ecuaciones de las para lelas a la recia l 2x -5y - 1 5 = O q ue dis1en d e ella 4 unidades. 12x'-5y' -1 5 " = ±4 . Sea P '(x'. y') u n pun10 genérico cualq uiera de la recta ped ida . Entonces, 13 Sim plificando y supri miendo las pri mas. las ecu aciones pedidas son 1 2.r - 5y - 67 = O y
1 2.,·- 5y
25. H alla r el va lor de k pa ra q ue la d ist a ncia d de la recta 8x a 5 u n idad es.
.11·
8( 2) d -- -
1 5( J) 1 k -
Resolviendo. k
·l 5.
+ 17
26. Halla r el punto de i nlersección de las bisect rices de los á ngulos interiores del t riángulo de lados (L.1) 7x - y 1 1 - O, ( L 2 ) . y - l S - O, ( l3) h + 1 7y + 65 - o. El pu n to de in t er sección ( h. k ) es el cen t ro de la ci rcu nferen cia in scri ta a l t riú ngu lo. Por tan to. la d i!.t a ncia 7h -k ¡ 1 1 de ( h. k ) a L , es d1 • -\150
+ k - 15
v'2 7h de (h. k ) a L3 es d 3
=
1
l 7k
+ 65
-v'338
+ 37 = O.
+ l 5y + k
= O a l pun to (2, 3) sea igual
-1 46. 24.
y
X
Estas distancia s son todas negativas ya que el punto y el origen están al mismo lado de cada recta. Luego d1 = d2 = d3• 7h -k + 1 1 h k -15 Simpl ificando. 3'7 + k = 16. Como d1 = d2 , 7h 17k 65 711 -k + l l Simplificando , 4h -7k = 13.
+ v2 + +
-sv2 -sv2
-13y2
Resolviendo el sistema formado por 3h + k = 16 y 4'7 -7k
=
13 se obtiene, h
27. Dado el triángulo de vértices A(-2, 1), B(5, 4), C(2, -3), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. =
Ecuación de BC: : 7
Distancia de BC a A =
5, k = l.
y
B
i
, o bien, 7x -3y -23 = 0.
<-2
40
-23 = -
49 + 9
A .
X
v5s
1
Longitud de BC = V(5 -2)2 + (4 + 3)2 = v58. Area del triángulo
=
= l (V58 ·
) 8
e
= 20 unidades de super-
ficie.
HAZ DE R ECTAS. 28. Hallar la ecuación del haz de rectas a) b)
e) d) e)
f) g)
a) b)
de pendien te -4, q ue pasa por el punto (4, 1), de ordenada en el origen 7, de a bscisa en el origen 5, cuya suma de coordenadas en el origen sea 8, cuya ordenada en el origen sea el doble que la abscisa en el origen, q ue u na de las coordenadas en el origen sea el doble de la ot ra. Llamemos k , en cada caso, la constante arbitraria o parámetro del haz. Sea k = ordenada en el origen del haz de rectas cuya pend iente es -4. De la expresión y = mx + b se obtiene la ecuación ped ida. y = -4x + k , o bien , 4x + y -k =O. Sea k = pendiente del haz de recta s que pasa por el punto (4, 1). Sustituyendo en y -Yi. = m(x -x 1), la ecuación ped ida es
y - 1 = k(x -4), o bien, kx -y + 1 -4k = O. Sea k = pendient e del haz de rectas cuya ordenada en el origen es 7. De y mx + b se obtiene Ja ecuación, y = k x + 7, o bien , k x -y + 7 = O. d) Sea k = pendiente del haz de rectas cuya abscisa en el origen es 5. De y -y 1 = m(x -x 1) se obtiene la ecuación, y -O = k( x -.5). o bien , kx -y - 5k = O. e) Sea k = abscisa en el origen del haz de rectas. Entonces. (8 - k) = ordenada en el origen de dicho haz .
e)
y
X
Oe -¡¡ f )
Sea k
.
.
y
X
+ ¡;· = l se obtiene la ecuación, k +
_ k = 1 , o bien. (8 -k )x 8
+ k y -8k + k Z = O.
= ordenada en el origen . Entonces, !k = abscisa en el origen .
De ; +
-'b-
= 1 se obtiene la ecuación ,
+
f = 1 . o bien, 2x + y -k = O.
LA LINEA ECTA LA RLI NEA RECTA
30
g)
31
. ordenada en el origen Pendiente de u na recta =- - b . . . Cua nd o la abscisa en el origen sea igual a sc1sa en e1 origen
a (± ) e l doble de la ordenada en el origen, la pend iente es =f L cuando J a ordenada en el origen sea num érica men te igua l al doble de abscisa en el or igen , la pend iente de la recta es =f 2. Sea k = ordenada en el origen. De y = mx + b, las ecuacione s del haz de rectas pedid o son y = ± !x + k e y = ± 2x + k . 29. Halla r la ecuación de la recta q ue pasa por el punto (-2. -4) y cu yas coordenadas en el origen
su man 3. La ecuaci ón de l haz de rectas q ue pasa por el pun t o (-2, -4) es y + 4 = m( x + 2). 42m Pa r a x = O, y = 2111 -4 ; para y = O, x = -m • 4 -2m . La su ma de las coordenada s en el origen es 3. Luego, 2m -4 + 3 111
2
Simpl ificand o. 2m -9111
+ 4 = O.
Resolviendo , (2m - 1) (m -4) = O, m =
+ 2),
Sustituyendo est os valores de m en y + 4 = m(x
= Hx
+ 2) e y
t
4
= 4(x +
2), o
sea,
x -2y -6 = O
t. 4.
las ecuaciones pedidas son, y
y 4x -y
+4
+ 4 = O.
30. Ha llar la ecuación de la recta que pasa por el pun to de i ntersección de las recta s 3x -2y y 4x + 3y -7 - O y por el punto (2, 1 ).
+ JO = O
3x -2y ; 10 + k(4 x + 3y -7) = O es la ecuación del haz de rectas q ue pa san por el punto de intersección de las dos dadas. Como la recta pedida ha de pasar también por el punt o (2, 1), 3 ·2 -2 · 1 + 10 + k(4 ·2
+ 3 . 1 -7)
o.
Despejando k de est a ecuaci ón result a k = -7/2. La rect a ped ida es
Jx - 2y + J O - (4x
+ 3y - 7) = O, o bien , 22x + 25y - 69 = O.
31. Halla r la ec uación de la perpe ndicu lar a la recta 4x sección de 2.r -5y + 3 = O y x -3y -.7 = O.
+y - 1 = O q ue pase
por el punto de inter-
La pend ien te de la recta 4x +y - 1 = O es -4. Luego l a pendien te de Ja recta pedida es . La ecuaci ón del ha z de rectas que pasa por el pun to de in tersección de 2x -5y + 3 :-: O y x -3y - 7 = O es 2x -5.r
+ 3 + k( x - 3y - 7) = O. o bien , (2 + k )x
+ 3k )y + (3 -7k) = O.
1
= 4. de donde , k = -3. 5 Sust i t u yendo est e valor de k = -3 en ( 1 ) resulta la ecuación pedida. x -4y -24 Por tant o,
PROBLEMAS PROPUESTOS l. Hallar las ecuaciones de las recta s q ue sat isfacen las condiciones siguien tes: a)
b) e)
d) e)
(1)
:y la pend i ente de la recta pedida es f. 3
La pendien te de cada una de las recta s del haz es : 2 +k + Jk
-(5
Pasa por (0. 2). /11 = 3. Pa sa por (0. -3). m = -2. Pa sa por (0. 4), /11 = 1/ 3. Pasa por (0. -1 ), 111 = O. Pa sa por (0. 3), m = -4/3.
Sol. Sol. Sol. Sol. Sol.
y - 3x -2 = O.
+ 2x + 3 = O. x -3y + 1 2 = O.
y
y + 1 = O. 4x
+ 3y -9 = O.
= O.
2. H alla r la ecuación de las rectas q ue pasan por los puntos : a) ( 2, -3) y (4, 2). Sol. 5x -2y - 1 6 = O. b) (-4. 1) y (3, -5). Sol. 6x + 7y + 17 = O. e) (7, 0) y (O, 4). Sol. 4x 7y - 28 = O. d) (O, O) y (5, -3). Sol . 3x 5y = O. e) (5, -3) y (5, 2). Sol. x - 5 = O. f) (-5, 2) y (3, 2). Sol. y -2 = O.
+ +
•
3. En el triángulo de vértices A( -5, 6), 8(-1, -4) y C(3, 2), hallar, a) las ecuaciones de su s med ianas, Sol. 7x + 6y - 1 = O, . x + 1 = O. x -6y + 9 = O. b) el punto de intersección de las mismas. Sol . (-1, 4/ 3). 4. . a) Hal lar las ecuaciones de las alturas del t riángulo del Problema 3.
Sol. 2x b) 5. a) b)
+ 3y -8 = O,
2x -y -2 = O,
2x -5y
Ha llar el punto de i ntersección de d ichas al turas.
+ 4 = O. Sol. ( :,
)·
Hallar las ecuaciones de las mediat rices del triángu lo del Problema 3. Sol. 2x -5y + 1 1 = O, 2x -y + 6 """" O, 2x + 3y + 1 = O. H a llar el pu n to de int ersección de d ichas mediatrices. Sol. (-19/ 8, 5/4). Este es el centro de Ja ci rcunferencia circu nscri ta al triángulo.
,. '·
6. Demostrar que los puntos de in tersección de las med ia nas, de las alturas y de las med iatriccs de los lados del triángu lo del Problema 3, están en l ínea recta. Sol. 2x -33y + 46 = O. 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el pu nto (2, 3) y cuya a bscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen. Sol . x + 2y -8 = O. 8. Hallar el valor del parametro K en la ecuación 2x + 3y + K = O de forma q ue d icha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área 27 un idades de su perficie. Sol . K = -+- 1 8. 9. Hallar el valor del parámetro K para q ue la recta de ecuación 2x (-2, 4). Sol. K = l 7/ 12.
+ 3 Ky - 13
- O pas<: por el punto
10. Hallar el valor de K para q ue la recta de ecuación 3x -Ky - 8 = O forme un ángulo de 45' con la recta 2x + 5y - 17 = O. Sol. K = 7 -9/ 7.
11. H allar un pu nto de la recta 3x +y
+ 4 = O que equ idista de los puntos ( -5. 6) y (3, 2).
(-2,2).
Sol.
12. Hallar las ecuaciones de las rectas q ue pasan por el punto ( 1 , --6) y cu yo prod ucto de coordena
+ 7y - 3 = O en
14. H a lla r la ecuación de la perpend icu la r a la recta 2x 3x -2y
+ 8 = O.
Sol. 7x - 2y
p
b)
p=
(')
p = 3,
d) e)
/)
= 6.
(l.) =
,12,
(1¡
30º.
= :-r:í4.
y
r1)
Sol. Sol.
= 27t/ 3.
Sol.
7n/4. p = 3, 1r1 = Oº. p = 4, (1/ = 3.1/ 2..
Sol.
p
= 4,
(1)
W =
su pun to de intersección con
+ 16 = O.
15. Traza r las rect as siguien tes pa ra los valores de !' a)
+ 4y
Sol. Sol.
q u e se i nd ica n, escribiendo sus ecuaciones.
v'3x +y - 1 2 = O. X + y -2 = Ü. X - ,!)y + 6 = O. X ·-y -4 ·\/l = Ü. x -3 = O. y + 4 = o.
·
1
LA LA LIN EALINEA R ECTARECTA
32
33
Escribir las ecuaciones de las rectas siguien tes en forma normal. H allar p y 111. X 3 6 3\l' fü y= O, p = o) x -3y + 6 ,_.., O. SoI. -+11Ó 10 5·-
vio ' \
b) e)
2 2x + 3y - 10 = 0.
Jx + 4y - 5 = O.
d) 5x
e)
X
+ 1 2y = O.
+ )' - \12
0.
Sol.
3 x +- ,
-
13
13
3 Sol.
5x
Sol.
l
Sol.
5
10\/13
13 = O,
p =
13
<1J •
=
56º 19'.
4
+ x
..!=.
..;2
10
y --
"' = 108 26'.
5y -1 12
+ TI y
+
= O, p = O,
Y_ - 1
v12
p = l . <11 = 53'' 8'.
= 0.
= O,
11 1
p = l.
= 67eo 23'.
10
= n} 4.
17. H alla r la s ecuacion es y el pu n to de in tersección de las bisectrices de l os ángu los i nteriore s del t riáng1..lo formada por las rectas 4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O y 3x + 4y -5 = O. Sol . 9x - 1 3y -90 = 0, 2x + l l y -20 = 0. 7x + y -70 = 0. Punt o ( I0.0).
18. Hallar las ecuaciones y el pu nto de i ntersección de la s bi sectrices de los ángulos interiore s del triángulo cuyo s lado son la rectas 7x + 6y - 1 1 = O. 9x -2y + 7 = O y 6x -1y - 16 = O. Sol. x + IJy + 5 -=- O. 5x - 3y - 3 = O. 4x + y - 1 = O. Pu nt o (6/ 1 7, -7/ 1 7). 19. H allar las ecuaci one s y el p u nto de i ntersección de las bi sectrice s de los ángulos i nteriore s del triángul o cuyos lados son la s rectas y = O. 3x -4y = O y 4x + 3y -50 = O. Sol. x -3y = O, 2x -¡ 4y - 25 = O, 7x -y - 50 = O. Pu n to (15/2, 5/2). 20. H a lla r el pu nto de i ntersección de las bisect rices de los ángulos i ntPriores del t riángulo de vértices (-l , 3), (3, 6) y (3 1/ 5.0). Sol. (1 7¡7, 24/7).
21 . Hallar las coordenadas del cent ro y el rad io de la ci rcu nferencia in scri ta en el triángulo cuyos lados son la s rectas l 5x -8y + 25 = O, 3x -4y - 1 Q = O y 5x + l 2y -30 = O. Sol. (4/7. l /4). Radi o = 1 3(7. 22. H a llar el va lor de K de forma que la d istancia de la recta y Sol. K = -8/ 1 5.
+ 5 = K( x - 3) al origen sea 3.
23. Hallar el l ugar geométrico de los p u ntos que d istan de la recta 5x + l2y -20 = O tres veces más q ue de la recta 4x -3y + 12 = O. Sol. 1 81x - 57y + 368 = O, 131x - 177y + 568 = O.
l.
24 . H a l lar el l uga r geomét rico de los pu ntos cuyo cuad rad o de su d ista ncia a l (3. -2) sea igua l a su d istancia a la recta 5x - l2y - 1 3 = O. Sol. 13x2 + l 3y2 - 73x ¡. 40y + 1 56 = O. l3x2 + l 3y2 - 83x + 64y + 182 = O. 25. Hallar dos pu n tos de la recta 5x - 12y Sol.
+ 15 = O cuya d ista n cia a 3x + 4y - 12 = O sea 3.
33 4 5 ) ( 12 15 ) - , J4 ' -- 7 ' 28 . ( 7
26. Ha lla r la s ecuaciones de las pa ra lela s a la recta 8x - 1 5y ..¡ J4 - O q u e distan 3 un idad es del punto (-2, 3). Sol. 8.\·- 1 5y + 1 1 2 - O, 8x - 1 5y + 10 "'"' O. 27. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos que eq uid istan de la recta 3x -4y -2 = O y del punto (-- 1, 2). Sol. 16x 1 + 24xy + 9y2 + 62x -l l 6y + 121 = O.
\
34
LA LI N EA RECTA
28. Hallar el área y la longitud de la altura trazada desde A al lado BC de los triángulos cuyos vértices son :
a)
A( -3, 3). 8( 5. 5). C(2, -4).
b)
A(5, 6), B( l , -4). C(-4.0).
1 1 vi0 Sol. Att ura = -, 5 66v41
Sol.
área
= 33 unidades de superficie.
Altura =
e)
, - -41 Sol . Altura = 12vs 5 '
área = 33 u nidade s de superficie.
A(- 1, 4), B(I , -4), C(5, 4).
d) A(O, 4),
B(5, 1), C( 1 , -3).
Sol.
Altura = 4v2.
área = 24 unidades de superficie.
área
=
16 unidades de superficie.
19. Hallar el va lor de K en las ecuaciones de las rectas siguientes de forma q ue se verifique la condición que se ind ica. a) (2 + K )x -(3 - K )y + 4K + 14 = O, pase por el punto (2. 3). Sol . K -1. b) Kx + (3 -K )y + 7 = O, la pendiente de la recta sea 7. Sol. K = 7/2. e) 5x -1 2y + 3 + K .,; O, la distancia de esta recta al punto (-3, 2) sea, en valor absoluto, igua l a 4. Sol . K = -16. K = 88.
=
30. Hallar la ecuación de la recta que pa sa por el punto de intersección de las rectas 3x -5y
y 4x + ?y -28 = O y cumple la condición siguiente : a) Pasa por el punto (-3, -5). Sol. b) Pasa por el punto (4, 2). Sol. e) Es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = O. Sol. d) Es perpendicular a la recta 4x +5y -20 = O. Sol. e) Iguales coordenadas en el orígen. Sol .
+9 = O
13x -8y - 1 = O. 38x + 87y -326 = O. 82x + 123y -514 = O. 205x - 164y + 95 = O. 4 1x + 41y - 197 = O. 120x - 77y = O.
31. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x -3y y 2x + 5y -9 = o y cuya distancia al origen es (a) 2, (b) v5. Sol. (a) x -2 = 0. 3x + 4y - 10 = 0: (b) 2x +y - 5 = 0.
(
+1 =O
on :
CA PITU LO 4
·ie.
La circunferencia UNA CIRCU N FERENC I A , analíticamente, es una ecu ación de segund o grado con dos varia·bles. Ahora bien, no toda ecuación de este ti po repre senta siempre un a circunferencia ; solo en determin adas cond iciones es cierto. U na circ u nferencia queda com pletamente determinada si se conocen su centro y su radio. LA ECU ACION DE LA CI R CU N FER ENCI A de cen tro (h, k) y radio r es (x -h)2
.+ (;i -k )2 = ;2. '
Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma xi + y 2 = rt. Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo x2
+ y + Dx + Ey + F = O. 2
Si escribimos esta ecuación en la forma · x2
+ Dx + y' + Ey + F = O
y sumamos y restamos los término s q ue se ind ican para completa r cuadrados, se tiene,
D2
xi
D2
E2
E'
+ Dx + 4 + y2 + Ey + 4 = 4 + 4 -F D + E2 -4F X + D )2 + (y +E2 )' l =-- -4 . 2
o bien
(
E)
El cen.tro es el punto (- D ,-T
2
y el radio r =
v D + E' - 4F. 2
Si D' + E2 -4F > O, la circunferencia es rea l. Si D' + E2 -4F < O, la circunferencia es imaginaria. Si D 1 + E2 -4F = O, el radio es cero y la ecuación representa al punto (-
,-
).
PROBLEMAS RESUELTOS Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (--2, 3) y radio 4.
bien, x' + yt + 4x - 6y =J. . Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia x 2 + y2 -3x + 5y - 14 = O a) sumand o y restando los términos adecuados para completar cuad rados, b) aplicando la fórmula general. • - 9 · 3 a) . xi - 3x + + y2 + 5y + 25 = 14 + 9 + 25 .o sea, ( -,2 + Y + T5 )'= 90 · •
(x /,. '
+ 2)1 + (y -3)2 = . .
16, o
4
4 3 Luego el cntro es el punto T '-
,. D h = -2 =
3
2'
4
5)
(
2
E
5
k = -2
y
4
x
)t (
el radio r = 3v.'IO 3v'i0
= -T' y r =!V D + P -4F = lv9 + 25 + 56 = 2
35
2 -.
36
3.
LA CI RCUN FE REN CI A
Halla r el valor de k para q ue la ecuación x2 de rad io 7.
+ y2 -8x
Como r = ,11)2+ P - 4F. resu lt a 7 vien do, k = -8. 4.
+-
k """ O represente una ci rcunferenc ia
+ 100 -41. Ekvando al cuad rado y resol-
'
+
El radio de la ci rcunferencia es r ,(5 2
Luego (x -5) + (y
+ )
2
+ C -2
1 )2
:= 85, o bien , x
2
t
2
y
-5)2
- IOx
-=
v36
+49 = ,185.
+ 4y = 56.
H alla r la ecuación ele la circu nferenc ia de man era q ue u n o de su s d iámetros sea el segmento que une los puntos (5.-1) y (-3. 7). 5 -- 3 = 1, k ---------------------1 + 7 La s coordenadas del cent ro son h --. 3 2 . 2 El radio es r =- ,1(5 - 1)2 Luego ( x - 1 )2 t
6.
v64
IOy
H a lla r la ecuaci ón de la circunfe rencia d e cent ro ( 5, -2) y q ue pase por el punto (-1. 5). 1
5.
1
+ (-1 -3)
2
(y - 3)2
32. o bien . x2 ¡ y 2
2x - 6y
22.
Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pa se por el punto (0, 0), tenga de rad io r ·-. 1 3 y la a bsci sa de u cent ro <;ca -12.
Como 13 ci rcu nferenc ia pasa por el or igen. ¡,2
+ k 2 = r 2,
o 1 44
i
k2
1 69
R esol viend o: k2 - 1 69 - 144 - 25. k y
Luego, (x + 12)2 + (y -5)2 = 169 ( x -1 12)2 + ( y + 5)2 - 169.
+y2 + 24x - I Oy O x2 + y + 24x + 1 Oy = O.
Desarrolland o, x2 y 1.
•- 5.
2
H allar la ecuaci ón de la circunfcn:ncia q ue pa sa por los puntos (5, 3), (6, 2) y (3, -1).
Cada u na de las expresiones (.\" _ /¡)2 + (y _ k )Z
o bien ,
x2 -i y 2
+ Dx
= r2
t Ey t F = O
º'
cont iene tres constantes indetem1i na
9
+ 9 + 5D +4
-L
, JE , F
O. O.
6D r 2E • F
+ 1 + 3D -
E
+
F
=
O.
R esolviendo el sistema se obtiene, D - -8. E =-- -2 y F = 1 2. Sust it u yendo estos valores de D, E y F, resul ta la ecuación de la circunferencia x2 r·1 2 - O.
+y
2
-
8x -2y
ci
.$ ;a: Ai!0$1Nf
37
LA CIRCUNFERENCIA
8. Hallar la ecuación de la ci rcun.ferencia q ue pasa por Jos puntos (2, 3) y (-1, I) y cuyo cen t ro está sit uado en la recta x -3y - 1 1 = 0.
Sean (h. k) las coordenadas del centro de la ci rcunferencia. Como (h. k) debe eq uidista r de los puntos (2. 3) y (-1 . 1 ). \ (11 - 2)2
+ (k -3)2 =
+ )2 ..L (k - 1 )2. simpl ifica ndo. 6'1 + 4k \!( /,
Elevando a l cuad rado y - 1 1: Como el centro d ebe esta r sobre l a recta x -3y - 1 1 = O se t iene. h -3k =- 1 1. Despeja ndo l os va lores de h y k de estas ecuacione!> se
7
2.
ded uce. h -
Por t a n to, r =
k
= - 52 .
V( ;-1-;y
1 (-
L a ecuac1.o.n pe d.1d a es (x - 7 )2
-. 1
+ (y +
2
r 5
2
=
v'fo.
)2 =
130-. o b.1en. x 2 f- y2 - 7x 4
+ 5y - 14 =
O.
9. Hallar la ecuación de la cin:u nferencia inscri ta en e l t riángulo cuyos lados son la s recta s L 1 : 2.\'.. - 3y + 21 - O. L2:
3x -2y - 6 = O.
L3 : 2x
+ 3y +
9 = O.
----
Como el cent ro de la circu nferencia es el punto de in tersección de las bi sectrices de los ángu los interiores del triángulo será necesa rio ha lla r. previamen te. las ecu aciones de d icha s bi-
_7.h
=
3k_! 21 . _ 311 -2k - 6
bien, h _ k
+
.
= O.
sectrices. Sea n (h. k) la!> coordenadas del cent ro. Pa ra determ ina r la bi sectriz ( 1 } ( ver Fig ura) : X
3
0
'1
-,, , J \/ 13 Pa ra la biscct ri L (2) : _2!!. -+: Jk ·+.2_ =- 2 ' -Jk 21 , o bien, 6k - 1 2 = O.
+
_ ,11 3
-v lJ
Luego. k = 2. 11 - -1. y ,. _
2
< -!1_ +
2
1 1- 9
13 =- _,
v'T3.
v'I J ,11 3 Sustituyendo en ( x -h) + (y -k ) 2 = r 2,(x 1 1 )2 + (y -2)2 = 13. o sea. x2 .¡ y 2 + 2x -4y=8. 1
IO. H allar la ecuación de la ci rcunferencia ci rcun!>crita al t riá ngu lo cuyos lados son las recta s x +y 8, 2x
+y "-
3x
+y = 22.
14.
Resolv iendo esta s ecuaciones tomadas dos a dos, se obtienen las coordenadas de los vér t ices (6, 2), (7, 1) y (8. -2). Sustit uyendo estas coordenadas en la ecuación genera l de la ci rcu nfe rencia, x 2 + y 2 + Dx + Ey f- F = O. resu lta el istema sigui ente: 60 + 2E + F = -40,
7 0 + E -+ F - -50, -68.
8 D - 2E -1 F
cuya ol ución proporciona l os va lores D = -6, E =- 4 y F = -12. Por sustitución se ded uce la ecuación ped ida, xª +y• -6x + 4y - 12 = o.
Í
LA
38
CIRCUNFERENCIA
11. Halla r la ecuación de la circu nferencia de centro el punto 3x + 4y - 16 = O.
(-4,
2) y q ue sea tangente a la recta
El radio se puede determinar calculando la d istancia del punto (-4,2) a la recta.
1 3(-4) +;(2) -16 1 = 1 - 2 - 1 = 1 -41 o sea 4. La ecuación ped ida es (x + 4) +( y -2) = 16, o x + y + 8x -4y + 4 = O. r
=
2
2
2
2
.- 12. Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pase por el punto (-2, 1 ) y sea tangente a la recta 3x -2y -6 = O en el punto (4, 3).
y
Como la circunferencia debe pasar por los dos puntos (2, 1 ) y (4, 3), su centro estará situado sobre la mediatri z del segmen to que determi nan. Por otra parte, también debe perten ecer a la perpendicular a la recta 3x -2y -6 = O en el pun to (4, 3). La ecuación de la mediatriz del segmento es 3x
+y
- 5 = 0.
X
La ecuación de la perpendicular a la recta 3x -2y -6 = O en el punto (4, 3) es 2x + 3y -17 = O. Resolviendo el sistema formado por amba s ecuacione s, 2x + 3y - 17 . 2 se obtien e, X = - 7' y
41 = -7· Por tanto, r =
La ecuación pedida es (x
+
2
) +
V( + 7)2 + (
(y -- l )
1
=
41 )-2 3 --7 - =
2
4
1
1,
= O y 3x + y - 5 = O
'º vi_3.
--;¡-
o bien, 7x1 + 7y2
+ 4x -82y +55 = O.
13. Hallar el lugar geométríco de los vértices del ángulo recto de los triángulos cuyas hipotenusas son el segmen to q ue determinan los puntos (O, b) y (a, b). Sea (x. y ) el vértice del ángulo recto. Entonces, como los dos catetos son perpendiculares, la pend ien te de uno de ellos debe ser el recíproco con signo contrario de la pendiente del otro, es decir, y -b
-y --b
x -0
x -a y -b .
x -a
Simplificando, ( y -b) 2 = -x( x -a), o sea, x2 + y 2 -ax - 2by 14. Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1(x1, y 1) a la circunfere ncia ( x - h)2 + ( y -k)2 = ,2.
+ b2 = O (una circun ferencia). y
¡2 = (P1C)2 -,2, o bien
/2 = (X¡ _ /¡)2 + (y¡ _ k)2 _
de donde / = ../(x 1 -h)2
+ (y
1-
rt,
k)2 _ ,2.
En consecuencia, la longitud de la tangente trazada desde un pu nto cualquiera exterior a una circunfer encia es igual a la ra íz cuad rada del va lor que se obtiene al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la misma.
o
X
' \
l
LA CIRCUNFERENCIA
39
Definición. Se llama eje radical de dos ci rcunferencias al lugar geométrico de los pu ntos desde los cuales las tangentes a ellas son de igual longit ud . Deducir la ecuación del eje radical de las circunferencias, x 2 +y 2 + d1x + e1y +/1 = O y x2 + y 2 + d2x + e2y +/2 = O. Sea P'( x ',y') un punto genérico cualq uiera del eje radica l pedid o.
1, = Vx'Z + y' 2 + d,x · + e.y' +/1 y 1 =/ v'x '2-+y 2 + d 1x ' + e1y ; + f
vx' 2 + y'2 + dzx'
+ e2y' +/2· 2 2 Como 1 2, 1 = v7 + y' + d 2 x ' + e2 y' +/2• El evando al cuad rado, si m pl ificand o y suprimiendo las pri mas , (d1 -d2 )x + (e1 -e )y + j 1 -/
Tend remos
12
=
2
2
= O, que es la ecuación de una recta.
16. Hallar la ecuación de la famil ia de circunf erencias que pasan por l os puntos de intersección de dos dadas. Sean x2 + y2 cantes.
+ d1x + e1y + /1 =
O y x2
+ y 2 + d2x + e2y +/2 =
O, dos circun ferencias se-
La ecuación x2 + y 2 + d1x + e1y +/1 + K( x2 + y2 + d2x + e2y +/2) = O representa a dicha familia , ya q ue las coorden adas de los puntos de intersección satisfacen a las ecuaciones de dichas circunferencias. Para todos los va lores de K, excepto para K = -1, se obtiene una circunferencia. Para K = -1, la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circu nferencias. Hallar las ecuaciones de las circu n ferencias que pasen por los puntos A ( 1, 2), 8(3, 4) y sean tangent es a la recta
3x
+ y -3 = O.
Para hallar las coordenada s del centro, C(h, k), se tienen en cuenta las igualdades C,A = CB y CA = CN, es decir, (h - 1)2
y
+ (k -2)2 = (h -3)2 + ( k - 4)2
(h - 1)2
+ (k -2)2 = ( 3h + -3 )2 v' I O
X
Desarrollando y si mplificand o se obtiene ,
h +k =S h' + 9k' -6hk -2/t - 34k
+ 41 = o.
Resolviend o este sistema de ecuaciones resu lta n h
= 4, k =
1 y h
= 3/2, k = 7/2.
Dc r = Jh + k - 3 se ded uce r = 12 + 1 -3 = ,1¡() y r = 9/ 2 + 7/ 2 -3 = v2'10_ .
v io
.
v io Teniendo en cuenta (x - '1)2 + (y -k)2 = r2, tendrem os 3 (x -4)2 + (y - 1 )2 = 10
y
v io
)2 (
7
)2
10
+
y - 2 = 4· (x - 2 2 2 Desarrolland o estas ecuaciones , resulta x y -8x -2y + 7 = O y x2
+ 12 = 0.
+
. @ti ·.. Hallar la ecuaci ón de la circu nfe rencia de radio 5 que sea tangen te a la recta 3x , " el punto (4, 1).
+y2 -3x -7y
+ 4y - 16 = O en
LA CIRCU NFER ENCIA
40
Sean (h, k ) las coordenadas del centro. . 3h + 4k -16 = ± 5, o bien , 3h Entonces 5 (h -4)2
Por ot ra parte,
+ 4k - 16 = ± 25. + (k - 1)2 = 25, es decir, h2 + k 2 -8h -2k = 8.
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen las dos soluciones (7, 5) y (1, -3). Las ecuaciones de las dos circunferencias resoecti vas son (x -7)2 +( y -5)2 = 25, y (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25. -· 19.
Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias tan gentes a las rectas 3x -4y + 1 = O y 4x + 3y - 7 = O y q ue pasan por el punto (2, 3). ' Sea (h, k) las coordenadas del centro. Ent onces, 3h -4k
-5
+1
4h
= --5
+
3k -7
Por otra parte, como r (h -2)2 o bien ,
16112
?h _ k _
o
=
3h - 4k
_
6
= O.
+1
5
+ (k -3)2 = ( 3h - + ,
.'<:<::J ,.ti.-\
r
r--/ '?iC( , )
+ 9k2 - 106h - 142k + 24hk + 324 = O.
(h)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (a) y (b) se obtienen , para las coordenadas de los dos centros, Jos pun tos (2, 8) y (6/ 5, 12/ 5). 3h -4k + 1 Para la circunferencia de centro (2, 8), r = -----
-5
Ja misma es (x
- 2)2
+ (y
- 8)2
• C(2 ,8)
(a)
X
+ 1 = 5 y la ecuación de 5
6 -32 _
= 25.
6 'S 12 ), r = 1, y la ecuación de la circunferenciaes (x --6 Para la de centro (S S-
)2 + (y - 12 )2 =l.
20. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x +y + 4 = O y 7x -y + 4 = O y q ue tenga su centro en la recta 4x + 3y -2 = O. •'
Sean (h, k) las coordenadas del centro. Entonces, h -+ k
+4
= ..¡..
v2 o bien,
h -3k -8 =
o y
7h -k 5v2 3h
+4 _
+ k + 6 = o,
que son las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas. Como el cen tro ha de pert enecer a la . recta 4x + 3y -2 = O se verificará 4h + 3k -2 = O. De esta ecuación , y de h -3k -8 = O, se obtienen h = 2 y k = -2. 2 2 4 Por tanto, I'. = - _+ = 2 v'2, co.n lo que la ecuación de la circunferencia es (x - 2)1
+
v2
Rsolviendo el sistema formado por las ecuaciones 4h sulta, h = -4,k = 6 y r = 3,/2.
+ 3k -2 = O
y 3h
+k +6 = O
re-
Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x + 4)2 + ( y -6)2 = 18. 21. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x' , y') cuya suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas 5x J 2y -4 = O y 12x - 5y + 1O = O sea igual a 5.
+
LA CI RC U N FERENC I A
La distancia del punto ( x', y' ) a la recta 5x 12x -5y
+ to = O es
12x' - 5y ' + 10 --_-'- -13
41
+ l 2y - 4 - O es 5x ' 1 : y· -4 , y a la recta 5x' + 1 2y' -4 )2 ( 1 2x' - 5y' + 10 )2
Luel-!o. (
•-
13
-13
l
=
5.
Simplificando y su primiendo las primas , se obtiene 169x2 ..L 169y2 + 200x - t 96y = 729, una circunferencia. Hallar el l ugar geomét rico de los puntos (x, y) cuya suma de los cuad rados de su s d ista ncias a tos puntos fijos (2, 3) y (-1. -2) sea igual a 34. (x -2)2 +( y -3)2
+( x + 1)2 +( y + 2)2 = 34. Simplificando, se obt iene, x +y2 -x -y = 8, 2
una circu nferencia. Ha llar el l uga r geomé t rico de los puntos (x, y) cuya relación de distancias a los pu n t os fijos (-1,3) y (3, -2) sea igua l a a/ b. 1) + ( y -v--(:x+== =====3) 2
2
v(x -3) + (y
+ (b
2-
a
2)y 2
2
+ 2)2
a-. El evando al cuad rado y simpl ificando, se obtiene, (b2 - a2)x 2 = -b \
-+ 2(h2 1 3a2)x - 2( Jb%
+ 2a )y = 2
1 3a2 - 10b2, u na ci rcu nferencia.
24. Ha llar el l ugar geométrico de los pu n tos (x, y) cuyo cuad rado de la d ista ncia al punto fijo (-5, 2) sea igua l a su distancia a la recta 5x + l 2y -26 = O. (x l 3xi
+ 5)2 + (y - 2)2
+ l 3y + t 25x -64y 2
5
j_ ( x
+ \2; - 26
¡ 403 = O y
y.
Desarrollando y simplificando ,
13x2 + l 3y2 + l 35x -40y + 351 = O, circunferencias .
Hallar la ecuación de la circu nfere ncia concéntrica a la circunferenci11 x2 + y 2 -4x que sea tangente a la recta 3x -4y + 7 = O.
+ 6y - 17 = O
El centro de l a ci rcunfe rencia dada es (2, -3). El rad io de la circu nfe rencia ped ida es l a distancia <\\.
, del punt o (2, -3) a la recta 3x -4y .
6 1 12 + 7
•
+ 7 = O, es decir, r =.-- = .
5
)
2
Lu ego l a circunferencia ped ida tiene de ecuación (x -2) ·I
(y
+ 3)2 = 25.
Hallar. las ecuaciones de las circunferencias de radio 15 que sean tangente s a la circunferencia x 2 + y 2 = 100 en el punto (6, -8). El centro de estas circunfe rencias debe estar sobre la recta q ue un e l os punto s (O, O) y (6, -8), .. 4 cuya ecuac1on es y = - f x. Llamando (h. k) a las coordenadas del centro, k
y
4
= -y h y (h - 6)2
!- (k
+ 8) = 225. 2
Resolviendo el sistema formado por eslas dos ecuaciones se obt ienen Jos valores de h y k (-3, 4) (15, -20). Las ecuaciones de las dos circunferencias son (x + 3)2 +(y -4)2 = 225 y (x - 15)2 + (y + 20)2 = 225.
PROBLEMAS PROPUESTOS l. Hallar la ecuación de la circunferencia
+ y 6x + 2y - 15 = 0:x +y IOy = O. 2 x + y2 + 8x -4y + 4 = O.
a)
de centro el punto (3, -1) y radio 5.
Sol. x2
b)
de cen tro el punto (O, 5) y radio 5.
Sol.
e)
de centro el punto (-4, 2) y diámetro 8.
Sol.
2-
2
2
-
d)
de centro el punto (4, -1) y que pase por (-1, 3). Sol. x2 + y 2 -8x + 2y -24 = O. e) de diámetro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7, -3). • Sol. x2 + y 1 -4x -2y -36 = O. f ) 1 de centro el punto (-4,3) y q ue sea tangente al eje y . Sol. x2 + y 2 + 8x -6y + 9 = O. g) de centro el punto (3, -4) y que pase por el origen. Sol. x 2 + y 2 -6x + 8y = O. h) de centro el origen y q ue pase por el punto (6, 0). Sol. xª + y 2 -36 = O.
'11
i)
})
2.
'
3x1+ 3y2 -4x
+ 2y + 6 = O.
Sol.
e- -_!_ ) 3 .
3
(4, ).
•
Sol.
d)
xi +y 2 = O.
Sol. (O, O), r = O,
e)
2x' + 2y2 -x = O.
Sol.
(!,o),
r
l imaginaria. = -v-13
3
l
x' + y2 - 8x -1y = O.
e)
r=
r =
2
VTTI.
'
real.
un pun to.
1
4'
real.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
+ y2 + 1x -Sy -44 = O. xi +y2 -6x + 4y -12 = O. 8x2 + 8y -19x -32y + 95 = O. X2 +y + X + 1y = Ü. x2 + y2 -X + 3y -JO = 0.
a)
(4, 5), (3, -2), y (1, -4).
Sol. x2
b)
(8, -2), (6, 2), y (3, -7).
Sol.
e)
(l , l), (l, 3), y (9, 2).
Sol.
d)
(-4,-3), (-1, -7), y (O, O).
Sol.
e)
4.
1
Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determina r si cada una de ellas es real, '-"' imaginaria o se reduce a un punto. Aplicar la fórmula y comprobarla por suma y resta de los términos adecuados para completar cuadrados. a) x 2 + y -8x + lOy -12 = O. Sol. (4, -5), r = V53, real: b)
3.
que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r = 8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante. Sol. x2 +y2 - l 6x -l 6y + 64 = O. q ue pase por el origen, de radio r = 10 y cuya abscisa de su centro sea -6. Sol. x2 + y 2 + 12x - 16y = O, xª + y 2 + 12x + 16y = O.
(1, 2), (3, 1), y (-3, -1).
Sol.
Hallar la ecuación de l a circunferencia circunscrita al triángulo de lados x -y + 2 = O, 2x + 3y - 1 O, y 4x +y -17 = O." Sol. 5x2 + 5y2 -32x -8y -34 = O. b) X + 2y - 5 = Ü, 2x + y -7 = 0, y X -y = Ü. 2 Sol. 3x + 3y2 - 13x -!l y + 20 = O. a)
.-
+(
42
LA CIRCUNFERENCIA LA CI RCU NFER ENCI A
43
3x + 2y - 13 = O, x + 2y -3 = O, y x + y -5 = O. Sol . x2 + y2 - l7x -?y + 52 = O. d) 2x + y - 8 = O. x -y - 1 = O, y x -1y - 19 = O. Sol . 3x2 + 3y2 -8x + 8y -31 -= O. e) 2x -y + 7 = O, 3x + 5y -9 = O, y x -1y - 1 3 = O. Sol. l 69x2 + l 69y2 -8x + 498y -3707 = O. e)
5. Hallar la ecuación de la circu nferencia inscrita al triángulo de lados a)
b)
e) d)
e)
4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O, y 3x + 4y -5 = O. Sol. x2 + y2 -20x + 7 5 = O. 7x + 6y - 11 = 0, 9x -2y + 7 = 0, y 6x -7y - 16 = 0. Sol. 85x2 + 85y 2 -60x + ?Oy - 96 = O. y = O, 3x -4y = O, y 4x + 3y - 50 = O. Sol. 4x2 + 4y2 -60x -20y + 225 = O. 1 5x -8y + 25 = O, 3x -4y - 10 = O, y 5x + 1 2y -30 = O. Sol . 784x2 + 784y2 - 896x -392y -2399 = O. i nscr ita a l t riángu l o de vértices (-1, 3), (3. 6)
y ( 3 • o).
Sol. 7x2 + 7y2 - 34x -48y + 103 = O.
6. Hallar la ecuación de la circun ferencia de centro (-2, 3) que sea t angente a la recta 20x -2 1y -42
= O.
Sol. x2 + y2
+ 4x -6y - 12 = O.
7. Hallar la ecuación de la circu n ferencia de centro el origen que sea tangente a la recta 8x -l 5y - 12=0. Sol. 289.r + 289y2 = 144.
8. Hallar la ecuación de la circun ferencia de centro (-1.-3) que sea t angen te a la recta q ue une los 2 2 puntos (-2, 4) y (2, 1).
Sol. x
+ y + 2x + 6y - 1 5 = O.
'/- 9. Halla r la ecuación de la circu n ferencia cuyo centro esté en el eje x y que pase por los puntos (-2,3) )y (4, 5). Sol. 3x2 + 3y2 - 14x -67 = O.
10. Hallar l a ecuación de l a ci rcun ferencia q ue pasa por los punt os ( 1, -4) y (5, 2) y que tien e su centro ) en la recta x -2y + 9 = O.
X .f
Sol.
x2 + y 2 + 6x -6y -47 = O.
11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pa sa por los punt os (-3, 2) y (4, 1) y sea tangen te al eje x. Sol. x 2 + y 2 -2x - 1 0y + l = 0. x2 + y2 -42x -290y + 44 1 = Ü. q ue pasa por los puntos (2, 3) 2 y (3, 6) y sea tangen te a la \ 12. Hallar la ecuación de la circu n ferencia 2 2 2 recta 2x
+ y -2 = O.
Sol. x
+y
-
26x -2y
+ 45 = O, x + y
-
2x - 1Oy
+ 21 = O.
13. Hallar la ecuación de la circun ferencia q ue pasa por el punto (1 1, 2) y sea tangen te a la recta 2x + 3y - 1 8 = O en el punto (3, 4). Sol. 5x2 + 5y2 -98x - 142y + 737 = O. 14. Hallar la ecuación de la circu n ferencia de radio 10 que sea tangente a la rect a 3x -4y - 13 = O en el punto (7, 2).
Sol. x1 + y 1-26x + 12y + 105 = 0. x2 + y2 -2x -20y + 1 = 0. 15. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x -2y + 4 y q ue pase por el punto (4. -1). · Sol. x1 + y2 -30x + 6y + 109 = O, x2 + y2 -10x + 46y + 309 = O.
=Oy
2x -y - 8 = O
16. Hallar la ecuación de la circu nferencia tan gente a las rectas x - 3y + 9 = O y Jx + y -3 = O y que ten ga su cen t ro en la recta 7x + 1 2y - 32 = O. Sol. x2 + y ' + 8x - IOy + 31 = O, 96J x2 + 96Jy2 + 248x -5210y + 720 1 = O.
)
17. Hallar la ecuación de la ci rcunfe rencia defi nida por el l uga r geomét rico de los vértices del ángulo recto de los t riá n gu l os c.1ya hi poten usa es el segmen t o q ue u ne l os puntos (-4. 1 ) y (3, 2). Sol. x2 + y 2 i x -3y - 1 O O. 18.
H allar l a ecuación de la circu nfe r encia t angente a las rectas 4x ·t 3y - 50 y cuyo radio sea igua l a 5. Sol . x2 + y 2 - 20x + I Oy + 100 = O. 2 x2 f- y -36x -2y 300 = O. x 2 + y 2 -24x - l 8y + 200 - O, x 2 + y 2 -8x -6y = O.
O y 3x -4y - 25
=
O
+
19. Hal lar el l uga r geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuad rados de distanc ias a las rectas perpend icula res 2x + 3y -6 =' O y 3x -2y + 8 = O sea igua l a 10. Si es u na circunferencia . ha llar su cen t ro y su rad io. Sol. 13x2 + l 3y2 ·l- 24x - 68y -30 ..· O. Cent ro - 1 2 . 34 ) ,r - \ 11.0. ( 1313 20.
Demostrar que el l ugar geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuadrados de d istancias a las rectas per pend i cula res ·a 1x + b 1y + c1 - O y htx -a 1 y + et = O es u na constan te K 2• es una ci rcu nferencia .
21. H allar el J uga r geométrico de los puntos cuya su ma de cuad rados de d istancias a los pun tos fijos (-2, -5) y (3. 4) sea igual a 70. Si es u na circunfe rencia, ha llar su cent ro y su rad i o. Sol. x 2 + y 2 -x + y -8 = O. Cen tro (. - ), r =!v'34. 22.
. Ha llar el l u gar geométrico de los pu n tos cuya relación de distancias a los pu n tos fijos (2. -1 ) y (-3, 4) sea igua l a 2/3. Si es u n a circunferencia, determi nar su cent ro y su radio. Sol. x2 + y 2 - 1 2x + I Oy - 1 1 = O. Cent ro (6, -5), r = 6 v2.
23. Demostrar q ue el l uga r geomét rico de los pun tos cuya relación de d istancias a los pun tos fijos ( a, h) y (e, d) es igual a K (constante) es una circunferenc ia. '
24. . Hallar la ecuación del lugar geométrico de los pu n tos cuyo cuad rado de la d istancia al pun to fijo (-2, -5) sea el tri ple de la correspond i ente a l a recta 8x + l 5y -34 = O. Sol . 17x2 + 1 7y2 + 44x + 1 25y + 595 = O, 1 7x2 + 1 7y2 + 92x + 215y + 39 1 = O. 25. H allar la ecuación de la circunferencia ta ngen te a la recta 3x -4y + 17 = O q ue sea concént rica con la circunferencia x2 + y 2 -4x + 6y - 1 1 = O. Sol. x2 + y 2 -4x + 6y - 36 = O.
L
+yz = 25
26.
Hallar la ecu ación de la ci rcunferencia de rad io 10 q ue sea t angente a la ci rcunferencia xz en el punto (3, 4). Sol. x2 +y 2 - 1 8x -24y + 125 = 0, x2 + y2 + 6x + 8y -75 = 0.
27.
Hal lar la ecuación del l uga r geomét rico del pun to med io de un segmento de 30 ce ntí met ros de longitud cuyos extremos se apoyan constantemente en Los ejes de coordenadas . Sol. U na circunferencia. x 2 + y z = 225.
28.
Hallar la máxima y m ín i ma dista ncias del pu nto ( 1O, 7) a la circu nfere ncia x2 -20 = O. Sol. 15 y S.
+ y2 -4x -2y
29.
Hallar la longi t ud de la tangen te t razada desde el pu nto (7, 8) a la ci rcu n ferencia x2 Sol . 2\/26.
+ y 2 = 9.
30.
Hallar la longit ud de la tangente t razada desde el pu n to (6, 4) a la circunferencia x2 - 19 = O. Sol. 9.
31.
Hallar el valor de K pa ra el cual J a lon git ud de la ta ngente trazada desde el pun to (5, 4) a la circu nferencia x 2 + y 2 + 2Ky = O sea i gua l a a), 1 . h), O. Sol. a) K =- -5, h) K = -5, 125.
+ y 2 + 4x + 6y
xcw"'V ,..q
44
LA CIRCUNFER ENCIA LA CIRCUNFERENCIA
45
Ha l lar las ecuacione s de loi> t res ejes rad ica les de las ci rcu nfe ren1:ia:. sigu iente . y demostrar q ue se cortan en u n pu nto. x2 + y 2 + 3x -2y -4 = O. x2 + y 2 -2x - y -6 = O. y x2 + y 2 - 1 = O. Sol. 5x -y + 2 = O. 3x - 2y - 3 = O, 2x ·I y + 5 - O. P u n t o de i nt e rsección (-1. -3). Este punto se denomina cent ro rad ica l de las ci rcu nfe rencias . Hallar las ecuacione s de los tres ejes rad icales de las circu nfere ncia s siguien t es y hallar el centro radical ( punto de intersección de los ejes). 2 2 x2 + y2 + x = O, x + y -t 4y + 7 -= O. y 2x2 i" 2y2 + 5x + 3y + 9 = O. Sol. x -4y -7 = 0. .r + y 1 3 = 0. x -y - 1 O. Cent ro ( -1 . -2). Halla r las ecuaciones de los t res ejes radica les y el cen tro rad ical de las ci rcunferencias sigu ientes. x2 + y 2 + l2x t- 1 1 = O. x 2 + y 2 -4x - 2 1 O. y x2 + y2 - 4 r + l6y + 43 = O. Sol. x + 2 =- O. .\·-y - 2 O. y l-- 4 = O. Ccn 1 ro ( -2. -4). Halla r la ecuación de la circunfer encia q u e pa sa por el p u n t o (-2. 2) y por los de i n tersección de las ci rcu nferencias x2 1 y 2 + 3x -2y -4 O y x2 t- y 2 - 2x -y - 6 O. 2 2 Sol. 5x + 5y -7y -26 - O. H allar la ecuación de la ci rcunferencia q ue pa sa por el p u nto (3, 1) y por los de i n tersecc ión de las ci rcunferencia s x 2 + y2 -X -)' -2 = 0 y \ 2 , y2 !- 4.Y -4y - 8 = Ü. 2 2 Sol. 3x + 3y - 1 3x + Jy + 6 = O. 37. Halla r la ecuación de la ci rcunferencia q ue pa sa por los pun t os de i ntersección de las ci rcunferencia s x 2 + y 2 -6x + 2y + 4 = O y x2 -1 y 2 + 2x -4y - 6 - O y cuyo cen tro est é en la recta y = x . Sol. 7x2 + 7y2 - 10x - I Oy - 1 2 = O.
CA PITU LO
5
Secciones cónicas.-La parábola DEFI NICION. El luga r geomét rico de los pu ntos cu ya relación de d ista ncias a un pu nto y una recta fijos es constan te reci be el nombre de sección cónica o si mplem ente cónica. El punto fijo se llama foco de l a cón ica, la recta fija directriz y la relación consta nt e excentricidad q ue, normal mente , se represen ta por la letra e. Las secciones cónicas se clasi ñcan en t res ca tegorías, segú n su forma y propiedad es. Estas se esta blecen de acuerdo con los va lores de la excen t ricidad e. Si e < 1 , la cónica se llam a elipse. Si e = 1, la cónica se llama parábola. Si' e > 1, la cón ica se lla m a hipérbola. PA RA BOLA. Sean L' L y F la recta y pu n to ñjos . Tracemos por F la perpend icula r al eje x y sea 2a la dístancia de F a L'L. Por defi n ición de parábola la curva debe cortar al eje x en el pu n t o O, eq u idist a nt e de F y L' L. El eje y se traza perpend icular a l x por el punto O. · Las coordenadas de F son (a, O) y l a ecuación de L y la d irectriz es x = -a, o bien, x a = O. M Sea P( x, y) un pu n to genérico cualq u iera de ma-
+
PF
.
nera q ue PM Entonces,
=e = l.
V'(x
a)2 + (y -0)2 = x
+ a.
o
X
Elev mdo al cuadrado, x2 - 2ax o bien,
+ a + y = x + 2ax + a 2
2
2
2
,
y2 = 4ax.
De la forma de la ecuación se ded uce q ue la parábola es simét rica con respecto al eje x. El pu nt o en q ue la cu rva corta al eje de simetría se denom i na vértice. La cuerda CC q ue pasa por el foco y es perpend i cular al eje se llama ldtus · rectum. La l ongit ud del larus rectum es 4a, es decir . el coeficiente del término de pri mer grado en la ecuación. Si el foco está a la izq uierda de la direct riz, la ecuación torna la forma y i = -- 4ax . Si el foco pertenece a l eje y. la forma de la ecuación es
x2 =
± 4ay
en la que el signo depende de q ue el foco esté por enci ma o por debajo de la directriz . Consideremos ahora una pa rá bola de vértice el punto (h. k ). de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco esté a una d istancia a del vért ice y a l a derecha de él. La d irectri z . 46
•
---/
SECCIONES CONICAS.-LA l'A RA BOLA
47
pa ralela al eje y y a u na d ist a ncia 2a a la izq uierda del foco, tend rá la ecu ación x = h -a. o bie n. x - h + a - O. Lla memos P( x .y) u n pu nt o genérico cualq u iera y L de la pa rábola . Como PF = PM .
J (x - h -a)t es decir .
M
+ (y - k)' = x -h + a.
y1- 2ky ; kt = 4ax -4ah, ( y - k )2 =
o bien.
------
4a( x -h).
(h.k)
;:;
Ot ra s expresiones t i picas son : (y - k )2 = -4a( x - h); (x -'1}2 = 4a( y -k ); (x -h) 2
=
o
-4a( y --:k ).
L'
.\· - ay2
Que desarrollada s adq uieren la forma
ax1
y
;
hy ..¡ c.
+ hx + c.
PROBLEMAS RESUELTOS l.
Hallar el foco. la ecuación de la d i rectriz y la longitud del latus recttnn de la parábola 3y1 = 8x, o bi en .y2 -
x.
De la ecuación de la parábola se ded uce q ue 4a = -}. de donde. a = to de coordenada s la ecuación de la directriz. X .= - .
( , o). y
. El foco es. pues el pun)
Para hallar la longitud del latus rectum se calcula el va lor de y pa ra x = con lo cual , la longi t ud del /atus rectum es
2. í
Í ""
•2( ;)
. Para x
=
,y
=;.
= '.
H allar la ecuación de la pa rábola cuyo foco es el pun to Hallar la longitud del latus rectum .
(o. - ;) y por direct riz la recta y -
= O.
Sea P( x, y ) un punto genérico cualquiera de la parábola . En estas condiciones.
V
16
t.
Elevando al cuadrad o y si mplificando. x
1 .
y
2
+
3
16 y = O. Latus r-Pctum = 4a =
f.
y
Y- ,o X
o Problema 3
Problema 2
3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2).
2) se t iene. a = 2 y la ecuación ad quiere la forma
Como el vértice es el punto (3, 2) y el foco (5, (y - k)t = 4a(x - h), o sea, (y - 2)2 = 8(x -3). Simpl ificando, y -4y -8x
--
+ 28 = O.
,,
--
./ rd
llJI -- 3
r
48
4.
Sl::CCIONES CONICAS.
.
1 A
i>AR A ROLA
H a l la r Ja ecuación de la para bola de vértice el origen. de eje el de coordena da:. J
'. y que pa se por el pu n t o (6.
3).
La ecuación q ue hemo' de a pl ica r es x 1 - -4ay. Com o el pu n to (ó, -3) pertenece a la cu rva el valor de ft debe c;er ta l q ue las coordenada!> del punlo a t bfaga n a la ecuación . Suc; t it u yendo. 36 - -4a( -3). de
H a lla r la ec uaci ón de la pa rábola de foco el pu n to (6. -2) y d i rect riz la recta x · - 2 = O. De la defi nición . \/ ( x -6)-Z-., (y-!:'·2}2 ' -2. Eleva n do al cu ad rado. x - 1 2, -- 36 -y 2 -t 4y · 4 \'t 4 \ , 4 . Sim pl i fica nd o, y 2
8.,. , 36 6.
-;-
4y
O.
H a l l a r la cc uti ción lh: la pará bola de verticc el pu n t o ( 2, 3), de eje raralelo a l de coordenadas )', y q ue ra c por d pu n to ( 4, 5). La ecuación q ue hcmo:. de a pl ica r es ( ,. -- h ) - 4a( y - k ) . C!> deci r , ( x - 2)t -= 4a( y - 3). 4a( S -3). c.k donde, a -
Ccrnio el pu n t o (4. 5) pcr!cnccc a la cu rva. (4 - 2)t
1
2.
La ecuación ped ida e' ( " -2)2 - 2()• - 3). o bien, x2 -4x - 2y l J O - O. 7.
H alla r la ecuación de la pa rá bola de eje pa ra lelo al de coordenada' x. y q ue pa se por los puntos ( -2 . 1 ). ( 1 . 2) y (-1.
3).
A pl1ca mo la ecuación
2
1·
-
Dx -r t.v - F - O.
Su t1t u ycndo _,. e .1· por las coordenada de los pu n to:..
1 -20 · E t- F = O.
+ D + 2E + F = O: 9 - () 1 JE + F -= O.
4
R esolvie ndo c:-.te :.ist ema de ecuaciones. D
Por tant o, l a ecuación pcd ída e yt
2
5 8.
2
L"
5 . c. 21
x-
= - 21
F
5
4.
y 1 4 - O, o bien, 5y2
+ 2x -2 1y + 20 =- O.
H al lar la a lt u ra de u n pu n t o de un a rco pa raból ico de 18 met ro' de a l t u ra y 24 met ro!) de base. sit uado a u na d istancía de 8 met ro
o bien
2
= 4a( y -k l
(x - 0)2 °"
4a( r - 18).
La cu rva pasa por el pu nto ( 1 2. 0). Sustituyendo esta' (;OOrde· nadas en la ecuacíón se obt iene. a -... -2. Por consigu icntl'. (x - 0}2 = -8(y - 1 8). Para hal lar la alt ura del arco a 8 metro s del cen t ro se su::.t it u ye x - 8 en la ecuaci ón y se despeja el v alor de y. Por tant o. 82 = -8(y - 1 8). de donde. y = 1O metro!>. E l arco simple más resi stente es e l de forma pa rabólica . 9.
Dada l a pa rá bola de ecuación y 2 y la ecuación de su. d irect riz.
+ 8y -6x .-t- 4
=- O. hal lar la
..
,.
coord enadas del vért i ce y del foco,
' Sf'.CCIONES
CONICAS.-LA
PARA BOLA
Suma ndo y restand o t érm i n os adecuado-;. pa ra completar u n cuad ral.lo. yi - 8y 1 6 _ 6x -4 - 16 6\" • 1 2. o bien. ( y r 4)2 -= 6(x ;·2). Et 'énicc es e l pu nt o ( 2. 4). Como 4a .,_ 6, ri : 3 2. Luego el foco es el pu n t o de coordenada'> ( - . -4). y la ecuación de la d i rectri z es .\ - -7 2. 10. . Halla r la ecuación de la pa rábola cuyo l<1t11s rrc111111 e.; el seg men t o en t re los pu n t o<; (3. 5) y (3. -3). A pl ica rno!. la ecuación en la forma (y -k )2 • 4a( x - h). Com o la lon git ud del la1vs rectum es 8, 4n 8. e (J' -k )2 , 8( x -/i).
Pa ra determi na r l as coorden das ('1. k ) tenernos. ( 5 -k )2
8(3 -h) y ( -3 - k ) 2
-
-
r 8(3 -/i).
iª q ue l os pu n t os ( 3. 5) y (3. -3) pertenecen a la cu rva . R c'>o lv icn d o C'> t e .i stema de ecuaciones se
0011c n en como va lores de Ji y k l o<; p u n tos ( 1 . 1 ) y ( 5. 1 ). Las ecuacionc:. ped idas son ( 1 ) y
(y -
(2)
l l1 2
1)
(y
'=
8(x - 1 )
=
-8(x -
r2 -21• - 8.r
o
o
5)
r2 •
-
2.r
1
+9 -O 8.\ -39 - O.
X
y •-1
X
-¡
Pmhl 1•111t1 11
Proh/"' na /!)
11.
H a lla r l a ccuaciú11 d e l a pa rúhola de v ért ice en la recta 7 ' • Jy -4 O. de eje h ori7o n tal y q u e rase por los pu n w-. !3. 5) y (.\ 2. l ). A p l ica mo la ecuación cn la fo rma (r - k l2 4a( x /i). Su-.1i t u ye11do coort.cnadas de los p u n to-. dado, -.c oht iene.
'ª'
1
( -·5
/..
4a(.3 -
h)
y
( 1 -k )
+ 1l
1
4o( 3 • 2 - /i).
Como ( h . A ) pcrt1:11ece a la rect a 7.\ Jy 4 O. e t i ene. 7'1 l c ol vic 1H.lo e l ,¡lema de est a" t rc" cc u acion c' re u l t a h 1. k -97 1 7. 4a -- 504 1 7. L uego )a' ccuacione-; pct.l ida-. -;on. t.r
t 1
J
3k 4 -1 . 4a
O. 8: y h
JS9i l 19.
97 ) 8(·' - 1 ) e (y
:+
17
504 1 7 ( \·- 359 1 19 )·
12. . La t ra yccwri!J uc-,cril•1 por un rroycct il la111ado hori1.0111a lmen te. ). C'> u na pa rúbola de cc uac1ón
-.1endo ' la di)l t a ncia h ori1011 t a l dc,lk el l ugar de la111a m icn to y e 9.8 1 me t ros por cgund o en cada -.egu nd o ( m o;t ). a rro\ i111a damc11tl.'. El origen "l.' t oma en ..:! pun t o dl·'a l id a del proyectil del arma. En e-,1as con d i cione se la111:a hori1.onta l men t e u na ricd ra d1.:sdc u n pu n t o \1tuado a 3 met ros (m) dt.: a lt ura '-O bre e l -. ul.'lo. Sa hiend o q uc la ve locid ad inicia l e-, de SO 111c1ros segu ndo ( m is). calcular la d i '-!a ncia hori1.0111a l a l plu110 de ca íd¡1. 2r' X\! =
g .I'
2( 50)t ( -- J). co n l o q ue x -
-
- 89,
/ñ
50v0,61
= 39 m .
r
t1
•
so
SECCIONES CONICAS.-LA PAR ABOLA
PROBLEMAS PROPUESTOS 1 . H allar la s coordenada s del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación de la directriz de las pa rábolas siguiente s. R epresen tarlas gráficamente . a)
y 2 = 6x.
h)
x2 = 8y.
e)
3y2 = -4x.
Sol. (3/ 2. O). 6, x + 3/2 = O. Sol . (0. 2), 8, y + 2 O. Sol . (-1/ 3. 0). 4/3. ,. - l/ 3 = O.
2. Ha llar la ecuación de las parábolas siguient es: a) h) t)
Foco (3, 0) , d irect riz x + 3 = O. Sol. y 2 - 1 2x = O. Foco (0. 6). directriz el eje x. Sol. x 2 - 12y 36 = O. Vért ice el origen, eje el de coordenadas .r, y q ue pase por (·-3, 6). . Sol. y = -1 2x.
+
3. Halla r la ecuaci ón del l uga r geométrico de los puntos cuya d istancia al punto fijo (-2. 3) sea igual a su d istancia a la recta x + 6 = O. Sol. y 2 -6y -8x -23 = O. 4. . H alla r la ecuación de la parábola de foco el pu nto (-2. -1 ) y cuyo /atus rectum es el segmento ent re los p unt os (-2. 2) y (-2. 4). Sol . y2 1 2y -6x -20 -- O. y2 -l 2y 6x f- 4 - O.
+
5. Halla r la ecuación de la parábola de vért ice (-2, 3) y foco ( l. 3). Sol. y 2 - 6y - 12x - 1 5 -=- O. 6. Dada s l
( 1 ) y! -4y
Sol.
a)
(2, 2).
b) ( l / 2. 2).
e) 6.
d) x -7/2
= O.
Sol. a) (3/ 2, -7/4), b) (3/2. -4/3). e) 5/3. Sol. a) (3/2. 2). b) (3. 2). e) 6. d) x = O.
7. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y q ue pase por los puntos (3, 3), (6. 5) y (6. -3). Sol. y 2 -2y -4x + 9 = O. 8. Halla r la ecuación de u na pa rábola de eje vert ical y q ue pase por los puntos (4, 5), (-2, J 1) y (-4. 21). Sol. x 2 -4x - 2y + 1O = O. 9. H allar la ecuación de una parábola cuyo vértice esté sobre la recta 2y -3x = O, que su eje sea paralelo a l de coordenadas x. y q ue pase por los puntos (3, 5) y (6, -1). Sol . y2 -- 6y -4x ..¡ 1 7 = O. 1 ly2 -98y - 108x + 539 = O. 10. El ca ble de suspensión de un puente colgan te adq uiere la forma de un arco de parábola. Los pilares q ue lo soporta n t ienen u na altura de 60 met ros (m) y están separados una d istancia de 500 metros (m), q uedando el punt o má s bajo del cable a una alt ura de 10 metro s ( m) sobre la calzada del puente . Toman do como eje x la horizon tal q ue defi ne el puen te, y como eje y el de si metría de la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcu la r la alt ura de un punto si t uado a 80 metros (m) del centro del puente . Sol. x2 - 1 .250 y + 1 2.500 =- O; 1 5.12 m .
1 1 . Se lanza una pied ra horizont a lmente desde la ci ma de una torre de 185 metros (m) de altura con una velocidad de 15 metros por segundo (m/s). Hallar la dista ncia del pun to de caída al pie de la torre suponiendo q ue el suelo es horizon tal. Sol. 92,5 m . 12. U n avión que vuela hacia el Sur a una alt ura de 1.500 met ros (m) y a una velocidad de 200 ki lómetros por hora ( km / h ) deja caer una bomba. Calcular la distancia horizontal del punto de caída a la vertical del pun t o de lanzamiento . Sol. 972 m. 13. U n a rco parabólico t iene una altura de 25 metros (m) y una luz de 40 metros (m). Hallar la altura de los pu ntos del arco sit uados 8 metros a ambos lados de su centro. Sol. 21 m .
U> ·, j
,I
,,
1 CA PITU LO 6
La el ipse DE FI N I CI ON . El i pse es el l ugar geométrico de los pu ntos cu ya su ma de d i t a n cias a do. pu ntos fijos es consta n t e. Los pun tos fijos se l l a ma n focos .
O'
y
D lO,b)
.-.-
\-a.o)
... / r'l-c,o)
-
.-
----o
,....,
1
(O,;- b)
D'
D
Sea n los dos pu n tos fijos F( c. 0) y F'( -c. O) y 2o la su ma con sta n te, (a mos u n pu nto genérico P( x . _1·) q ue pertenez ca a l l u ga r. Por defi nici ón, F'P
Jf.\-"..t C)2 +
o hicn.
v'(X
Ele va nd o a l cuad rado
+. (y y
e). Considere-
+ PF = 2o,
es deci r.
j c)t
'>
vcx =- c) + < y -0¡ 2
2
= 20.
0)2 = 2a - ,1(x - c)2 1 ( y - Q)t.
red uciendo térm i nos semeja n tes ,
ex -u 2 -== -a
(x -c)i +- ( y -0)2•
2 ) x 2 1 a2y2 = a2 ( a2 -c2). Eleva nd o a l cuad rad o y sim rl ifica nd o. (a2 -1 ,.2 y2 2 1 2 c ) se oht iene la ecu ación · ., + · = 1. Di vid ie nd o por a ( a 2 2
1r
Como a > c. a el i pse en la for m<1
2
-
2
a -c
e s rosi t i vo . H aciendo a -c = h2 • resul t a la ecuación de la 2
o bien. Como eta ecua ci ón solo con t iene potencia s pa res de x e y. l a cu rva es simét rica con respecto a los eje de coord enad as ,. e y . y con respect o al orige n. El pu n t o O es el centro de la el i p e y l o eje se denom i na n eje mayo r y eje menor . Si l os focos fuera n los pu nt os de coordenad as (0. e) y (0, -e). el eje mayor esraría sobre .. \"2
1'2
v. con l o q ue l a t:cuación resu l ta de la forma ,,- 1 .:_. el eje · 2 2 0
SI
/ \
=
1.
LA
52
,102
('
La exce11f ricidad
t'
Fl.IPS
hT . --- , o hte n e = ae. a
a
Como la el i pse t iene dos focos. ta m bié n t end rú dos d i rect rices. Las ecuaciones de la!-> d i rect rices D' D' y DD son, respec t iva m en te. X
!
a
=- o
e
a
y
X -
-
= O.
('
Si los focos estuvieran sobre el eje y. la\ ecuacione s de las d i rcct rice-; sería n o )'
1
-o
e
.r - u
y
= O.
e
Se de nomi na larus /'('cf um de la el i pse a l i1 cuerda pe r pend icu l a r a l eje mayor por u no 2/J2
de los focos. Su l on gi t ud e (/
Los pu n tos en los cuales la el i r.e corta a l eje mayor se l lama n 1•1•rfl c<'.,. Si el ce n t ro de la el i pse es el pu n t o (/i. Á ) y el eje mayor t ie ne l a d i rect:tón del eje x, la ecuación de la el i p e es de la forma
a2
1.
-/j2'
( x - '1)2
o bie n,
{y -·k )2
Ji ) t
(x
(y - k )2
-- 02--
- /J2
si el eje mayor fuera pa ralelo
al eje y. E n cua lq u ier caso. la forma genera l de l a ecuación de la el i pse es A x -1 By2 -1 D.\' -1 Ey -1 F = O
siem pre q ue A y B sea n del mismo signo.
PROBLEMA S RESUELTOS J.
Dada la cl i p::.e 9xi .1 l 6y2 576. hall a r el semieje ma · yor, el semieje menor. la excen t ricidad . las coo1dcnada\ de los foco . las ecuacionc\ de las di rect rices y la longit ud del la111s rec111111. Di vidiend o por 576 se Í Í l'll C · 6 (1
=- y h - !?·
va - b 2
('
-
2
1{
+ ;·
D'
o
l·S.0)
(Ml
= 1 . L u ego
v7 2 \ 7.
....:
4 '·
(J
\0,- 6\
1
Coorde nada '.; d1.: l o foco!> : ( 2 \ 17. 0) ) ( -2 v7. Ol. La ecuacione) de la) d i rcct nccs on (1
e
0
X
·
-
1 \
32 \/7 7
La l ongit ud de l /(lfu rcu11111 de la clip c e' '1./>'4e1
·.,,¡ ; r
,<
D
n/6 = 9.
·11..1111 2 ..111.F...2 ........................iiliír l•liliiiiíiil- . ... as -.-= t f¡t¡f;f¡l; ?t. a d
*? ª %
SZJ.4
LA ELI PSE
J
2.
53
Hallar la ecuación de la eli pse de centro el origen . foco en el pu n to (0, 3) y semieje mayor igua l a S. Datos: c = 3 y n = 5. Por consiguiente. h = \1a2 -c2 Apl ica ndo la fórmu la :
3.
+ : = 1. se obtiene la ecuación
16 9 dados se obtiene, (i2 + bZ b2
+
=
=
';·
d· = 1 . Sustitu yend o x e y 36
1 y
+ ·; = 1 .
-¡;z
+
4 b2
por l as coordenadas de l os pu n tos '
= 1 . R esolviend o este sistema de ecuaciones. a2 = 52,
13. Lu ego la ecuación pedida es
\
25 -9 = 4.
Hallar la ecu ación de la el ipse de cent ro el origen, eje mayor sobre el eje x y q ue pase por los puntos (4, 3) y (6, 2). La fórmula a apl icar es ::
4.
=\
;
+ ;=
1, o bien , x2
+ 4y = 52. 2
. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya d ist ancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la correspond iente a la recta x - 16 = O. Del en unc iado del problema se deduce.
= !( x - 16), o sea, x2 -8x Sim pli ficndo, se obtiene la ecuación 3x2 + 4y2 = 192, de la elipse . v(x -4)2 + ( y -0)2
5.
Se considera u n segmen t o AB de 12 unidade s de lon git ud y un pun t o P( x, y ) situado sobre él a 8 unidades de A . Hallar el lugar geométrico de P cuando el segmen to se desplace de forma q ue los puntos A y B se a poyen constant ement e sobre los ejes de coordenadas y y x respect ivamente. ·· I . MA y P r v 64 -x2 gu os sem ntes, = PB , 4y · o tnan eja Ap o sea , =
8
Luego 64 -x 2
'1;
= 4y2, o
bien , x2
+ 4y 2 = 64.
El l ugar es una el i pse con su centro en el origen
y de eje mayor sobre e l ej x.
.y
'
1
1 X
X
1
! f
Prob!t' 11w 5
Probl11111a 6
6. Hallar la ecuacióH del l ugar geométrico de los pu nt os P( x , y ) cuya suma de d istancias a los puntos fijos (4, 2) y (-2, 2) sea igual a 8.
F' P
+ PF = 8, o sea,
V(x + 2)2 +( y - 2)2
Orden ando térm inos, V( x
+ 2)
2
+ ,'( x - 4)
2
+ ( y -2)2
= 8.
+-( y -2)2 = 8 - ,,.(x _::_ 4)2 + ( y -2)2 .
•k., . - tl-it....._
...._......=.--..'-"-"'=-o.-
··-· ...,---·-· -
· -- ---
54
LA ELIPSE
Elevando al cuad rado y reduciendo términos, 3x - 19 = -4v(x -4)2 +(y - 2)2• Elevando de n uevo al cuadra do y reduciendo términ os resulta la ecuación 7x2 + 16y11 - 14x -64y -41 = O, q ue es una elipse. 7.
Dada la eli pse de ecuac ión 4x2 y focos.
+ 9y2 -48x + 72y + 144 = O, hallar su centro, semiejes. vértices
Esta ecuación se puede poner en la forma
(x -h)2 02
4(x2 - 12x 4(x -6)2 (x -6)2 36
+
(y - k )2
=
b
2
1 , de la manera siguien te :
+ 36) + 9(y2 + 8y + 16) = 144,
+ 9(y + 4)2 =
+
144,
(y + 4)2 - 1 16 - .
Por tanto, el centro de la elipse es el punto de coordenadas (6, -4); a = 6, b son los puntos (0, -4), (12, -4), y los focos (6 + 2v'S. -4),(6 -2 v'S, -4). y
= 4; los vértices
y
o
X
(0,45)
1
1 1
,-4 ) -- -------..+(6-,--4-_ _ (_10_.5._ _ 1
¡
(l.5,- 4)
X
o
(12.-4/
(-75,0)
1
(-25,0)
(25,0)
(75,0)
1 1
1
(6,-B)
Problema 7
Problema 8
1
8.
U n arco tiene forma de semielipse con una luz de 150 metros siendo su máxi ma altu ra de 45·metros. Ha llar la longitud de dos soportes vertica les sit uados cada u n o a igual distancia del extremo del arco. Supongamos el eje x en la base del arco y el origen en su punto med io. La ett1ación del arco será,
x' 02
yi
+ b' = 1, siendo a = 75,
b = 45.
Para hallar la altura de los soportes, hacemos x
. 625 Es dectr , 5.625 9.
+
y2
-
8
2
=
25 en la ecuación y despejamos el valor de y.
-
o ",2- metrOl>.
2.025 - 1, y - (225), e y -3
La Tierra describe una trayectoria elípt ica alred ed or de l Sol que e encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la el ipse vale 1,485 X 108 k ilómetros y q ue la excentricidad es. aproxi!lladamente, l /62, hallar la máxima y la mínima d istancias de la Tierra al Sol. Excentn·ct'da d e = e -. Luego
0
1
62
=
_ e _ , o sea, e = 2 .400.000. 148 500 000
La máxima dil-tan cia es a + e = 1,509 x 108 k m . La mínima distancia es a + e = 1 ,46 1 X 108 k m .
---
.
-
-
.
•
l
LA ELIPSE
55
10. Hallar la ecuación de la elipse de centro (l . 2), uno de los focos (6, 2) y que pase por el punto (4, 6). (x - 1)2 (y -2)i Aplicamos la ecuación + b' = 102
Corno (4, 6) perlen :ce a 1a curva, (4 - J )2 02 Como e
=
5, resulta b2
=
a2 -c2
=
(6 -2)2 b2
+·
a2 -25
9
y
2
1
= ,o
+ b'b'
= l.
t.
a2 -25
(x - 1)2
Resolviendo, a2 = 45 y b2 = 20. Sustitu yend o, -
02
+ -16 - =
a
16
b' 9 1en,
45
+
(y -2)2 = l · 20
11. Hallar Ja ecuación de Ja elipse de centro (-1, -1), uno de los vértices el punto (5, -1) y excentricidad
e=
.
Como el centro es el punto (-1,-1) y el vértice (5, -1) se tiene, a = 6, e = := de donde e = 4. Por otra parte, (x
b2
= a 2
+ 1)
La ecuación pedida es 36
1-
2 -c2
+
(y
<
=
,
= 36 - 1 6 = 20. 2
+ 1)
=
1.
20
J -------
12. Hallar la ecuación de Ja elipse cuya directriz es la recta x = -1, uno de los focos el pun to (4, -3) y excentricidad 2/3. De la definición general de sección cónica, si PF = e pM y e
\
7Pfx.y)
1 Ja curva es una elipse.
o 2
v(x -4) +( y + 3)
'
+ 9y
2
-80x
X
I I
o
IFI (4,-3)
•
x +I
+
Ekvando al cuad rad o los dos miembros de esta ecuación y simplificando resulta,
5x2
I
1
2
Por consigu iente
I
+ 54y = -221 .
Completando cuadrados, 5(x2 -- l 6x + 64) + 9(y2 + 6y + 9) = -22 1 + 320 + 81,
1
es decir, 5(x - 8)2
.
1 'f
r
(x -8)2
+ 9(y + 3)2 = (y
180,
+ J)2
+ -W -= 1. 36 13. Hallar el lugar geométrico de los puntos P( x , y) cuyo producto de las pendientes de las rectas que unen P(x, y) con los puntos fijos (3, -2) y (-2, 1) es igua l a -6. o bien ,
\
( ;.: ) ( ;
) = -6, o bien , 6x2 + y 2
+ y -6x = 38. una el i pse.
1 2 , 3) .
14. Hallar la ecuación de la elipse de focos (O, ±4) y q ue pase por el punto (
5 . 12 x2 y2 • 144 = , + Sustituyendo x = 1 se obtiene 25b2 02 5 y = 3 en b2 Como los focos son (O, ± 4), resulta e = 4 y a2 -b2 = 42 = 16. Resolv iendo el sistema de ecuaciones, a2
= 25. b2 = 9. Luego,
+
9 a' = 1 .
2
-
f5 = 1. 2.
+
·
LA ELIPSE:
56
15. Hallar el l ugar geométrico de los pun tos que dividen a las ordenadas de los puntos de la ci rcu nferencia x2
+ y2 =- 25 en la relación
Sca y
,
=
3
y, o
5
b. n, y 1e
. 5 ,
=
, E
y .y x =x .
n tonce s, x
3
,2
+ 25 y .••=- 25. 9
Suprimiendo las primas y simpl ificando se llega a la ecuación 9x2 elipse. y
y (X.y)
,.,.,.,.
.,,,,.. --- rx'.y ) .....
I
'' \
_ _o
+ 25y2 = 22 . que es una
----
\l.6)
''
(12,t)
(-8.1)
X
,.,. ,
o
X
/
(2,-4)
Problema 16
Problema 15
16. H allar la ecuación de la elipse que pasa por los pu n tos (-6, 4), (-8, 1), (2, -4) y (8, -3) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas. En la ecuación x2 + By2 + Cx + Dy + E = O, susti tuyendo x e y por las coordenad as de los cuat ro pu ntos dados. 1 68 -6C + 40 + E = -36, B -8C + O + E = -64, 1 68 + 2C -40 + E = -4,
9B + 8C - 30 + E = -64. Resolviend o el sistema, B = 4, C = -4, O = -8, y E = -92. La ecuación ped ida es x2 + 4y2 -4x - 8y -92 = O, o bien , (x
2
2
>
17. H allar la ecuación del l ugar geométrico del centro de una circunferencia tangente a x2 + = 1 y x 2 + y2 -4x -21 = O.
+ (y ;1)2 =
y
r
1
Sean (x0, y0) las coordenadas del centro. Las circunferencia s dada s tienen de rad ios 1 y 5 respectivamente . a)
5-
2
(X0 -2)
2
+ (Yo -0)
= v'X0
2
1 1
/ ,f ¡Pt>... ,y )
+ Yo2 - 1 .
" I
Elevando al cuadrado, simpl ificando y suprimiendo las primas se llega a la ecuación 8x2 + l 6x -64 = O, ,ue es u na elipse. Poniendo esta ecuación en la forma (x - 1)2 (y - 0)2
(1,0) '-(2 0)
9r-
-- + 9
J.
X
8 -= I,
se ded uce c.¡ue el centro de la elipse corresponde al punto ( I,0). b)
\f x02
+ y02 + 1 =
5 - (x0 -2)2
las primas se llega a la ecuación
]x2
+ y02.
+ 4y
2 - 6x
Elevando al cuadrado , si mplificando y suprimiendo
1
· - 9 = O, o bien, ( x -:; >
2
2
+ (y
-; 0)
=
1.
El centro de esta elipse es el punto ( 1, 0).
7RT&
2
car
·: a r s
57
LA ELIPSE
18. En una elipse, los radi os focales son las rectas que unen los focos .con un punt o cualq uiera de ella. Hallar las ecuacione s de los radios focale s correspond ien tes al punt o (2. 3) de la elipse 3x2 + 4y2 = 48.
.. 1 r .b. d x2 Esen 1en o esta ecuac1on en a 1orma l 6
+ Tyzf
. = 1 se tien e. e
= ± v' 16 - 12 = ±2.
Los focos son los puntos (±2, 0). La ecu ación del rad io foca l del punto (2, O) al (2, 3) es x -i
1
y la del (-2, 0) al (2, 3) es y -O =
3
+
2
0
(x
O
+ 2), o bien, 3x -4y + 6 = O.
2
PROBLEM AS PROPUESTOS t.
En cada u na de las el i pses siguientes hallar a) la longit ud del sem ieje mayor, b) la longitud del semieje menor , e) las coordenadas de los focos. d) la excentricidad . 5 = l. Sol. a) 13, b) 12, e) (± S. 0), d) - . {I) 13 144 16 x2 y2 Sol . a) 2v'3 , b) 2v'2, e) (O, ± 2), d) v3. (2) 8 + 12 = l . 3
+
Sol. a) 17, b) I S, c) (± 8, 0),
(3) 22Sx2 + 289y2 = 65.025.
d)
8
. 0
2. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se i ndican.
1
x2
±
Sol.
{
( 1)
Focos ( 4, 0), vértices (± S, O).
I
(2)
Focos (O,
(3)
Longitud del latus rectum = 5, vértices (± 10, O).
1
Sol.
9
Sol. Sol.
= -.
Sol.
l.
225 +
y2 289 = l.
x2
y2
IC·o + 25 = 1. xi
64-
(S) Focos ( ± 5, O), excentricidad
+1 =
x2
±8), vértices (O, ±17).
(4) Focos (O, ± 6), semieje menor = 8.
¡
2
2
-
x2 6i{
+
y2
100 = J. y2
+ 39 = l.
origen, focos en el ej e x, y que pase por los puntos 3. Hallar la ecuación de la el ipse de centro el (-3, 2'/ J) y (4, 4 '513). Sol. 4x2 + 9y2 = 1 44.
4. H alla r la ecuación de la el i pse de cent ro el origen , semieje mayor de 4 u n idades de longitud sobre el eje y, y la longitud del latus rectum igua l a 9/2. Sol. l 6x2 t 9y2 = 144.
5. H allar el l ugar geomé t r ico de los pu ntos P(x. y) cuya suma de d istancias a los puntos fijos (3.
1)
y ( -5, 1 ) sea igua l a 1 0. ¿Qué curva represen ta d icho l uga r ?
Sol. 9x2 +- 25y2
.J-
l 8x -50y - 191
1
= O, una el ipse.
6.
H alla r el l uga r geomé t rico de l os pu ntos P(x, y) cu ya suma de d istancias a los puntos fijos (2, -3) y (2. 7) sea igua l a 1 2. Sol. 36x2 + l l y2 - l 44x -44y -208 = O.
7.
Ha llar el l ugar geométrico de los pun tos cuya distancia al pu nt o fijo (3, 2) sea la imitad de Ja correspond iente a J a recta x + 2 = O. ¿Qué curva representa dicho l ugar? Sol . 3x2 + 4y2 - 28x -16y + 48 = O, una el ipse.
. ......
r 58
LA ELI PSE
8. Dada la elipse de ecuación 9x 2 + 16y2 -36x + 96y + 36 = O, hallar a) las coordenadas del centro, b) el semieje mayor, e) el semieje menor, d) los focos y e) la longitud del latus rectum. Sol. a) (2, -3), b) 4, e) 3, d) (2 ± v7, -3), e) 4,5.
9. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, -1), uno de los focos en (1, -1) y que pase por el punto (8, O).
Sol.
(x
42 > + (y
2
1)
= 1, o bien , x 2 + 2y2 -8x + 4y
= O.
JO. Hallar la ecuación de la elipse- de centro (3, 1), uno de los vértices en (3, -2) y excentricidad e = l /3. (x -3)2 (y -1)2 Sol.
+
8
= , o bien , 9x2 + 8y2 -54x -16y + l 7 = 0.
9
11. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es el punto (-1, -1), directriz x = O, y excen trict'dad e =
..;2 2
Sol. x2 + 2y2 + 4x + 4y + 4
= O.
12. Un punto P(x, y) se mueve de forma que el producto de las pendien tes de las dos rectas que unen P con los dos puntos fijos (-2, 1) y (6, 5) es constante e igual a -4. Demostrar que dicho lugar es una elipse y hallar su centro. Sol. 4x2 + y2 - 16x -6y -43 = O. Centro (2, 3).
13. Un segmento AB, de 18 unidades de longitud, se mueve de forma que A está siempre sobre el eje y y B sobre el eje x. Hallar el luga r geométrico de los puntos P(x, y) sabiendo que P pertenece al segSol. x2 + 4y1 = 144, una el ipse.
mento AB y está situado a 6 unidades de B.
14. Un arco de 80 metros de l uz tiene forma semielíptica . Sabiendo que su altura es de 30 metros, hallar la altura del .arco en un punto situado a 1 5 metros del centro. Sol. l 5v55/4 met ros. lS. La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo q ue el semieje mayor de la elipse es 148,5 mi llones de kilómetros y que Ja excentricidad vale 0,01 7, hallar La máx ima y la mf nima distancias de la Tierra al Sol. Sol. (152, 146) millones de kilómetros. 16. Hallar la ecuación de la elipse de focos (± 8, O) y que pasa por el punto (8, 18/ 5). xi y' Sol. 100 + 36 = l. 17. Hallar el lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los punto s de la circunferen cia x 2 + y 2 = 16 en l a relación !. Sol. x 2 + 4y 2 = 16.
18. Hallar las ecuaciones de los radios focales correspond ientes al punto (1, -1) de la elipse x2 + 5y2 -2x Sol. x -2y -3
= O,
x
+ 20y + 16 = O.
+ 2y + 1 = O.
19. Ha llar la ecuación de la elipse q ue pasa por los puntos (O, 1 ), (1 , -1), (2, 2), (4, O) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas . Sol. l 3x2 + 23y2 - 51x - l 9y -4 = O.
10. Hallar el lugar geométrico del centro de la circunferencia tangen te a x2
+ y2 = 4
Sol. 220x2 + 256y2 -660x -3.025 = O y
\ \
+ y 2 - 6x -27 = O. 28x2 + 64y2 -84x -49 = O.
y x2
CA P IT U LO
7
La h ipérhola DE FI N ICI O . La hi pér bola e el h1gar geornél rico de los punlcs cuya diferencia de d islancias a los pu n t os tijos f"( c. 0) y F°( -c. 0) es con stante e igual a 2a. Ver Figu ra {a).
Sea P{ x . y) u n punlo genérico cualq u iera de la curva .
'.
Por defi nición. F' P -PF = 2a, o bien v(x + c)2 + (y -0}2 - (x -c)2 + (y --0)2 = 2a. Trasponiendo un rad ical. v(x
+ c) + ( y - 0) = 2a + 2
2
(x -c)2
+ ( y - 0) +y
2
Elevand o al cuadrado y red uciendo térmi nos. ex -a2 = a v'x -c)2 2 Elevand y si m pl ificando, (c2 -a2)x2 -a2y 2 = a2(c2 -a Dividiendoo al porcuad a2(c2rado -0 ), se obtiene la ecuación -:;. = 1. .)
+--;¡ '
.
2 2
•
2 •
2
a
e -a
Como e > a, c2 -a2 es positivo. Haciendo c2 -a2 = b2 se obtiene la ecuación de la hi pérbola con centro en el origen y focos en el eje x, xi yi QS - bz = I. Si los focos fueran (0. e) y (O, -e), la ecuación sería de la forma
- : = 1.
La expresión gen éral de la ecu ación de la hipérbola de centro en el origen y cuyos focos· estén sobre los ejes de coordenadas es Ax 2 -By• = ± l , correspondiendo el signo más cuando los focos pertenezcan al eje x. Como Ja ecuación solo contiene potencias pares de x e y , la curya es simétrica con respecto a los ejes x e y y con respecto al origen. El eje real o t ransversa l de Ja hipérbola es A1'A de longitud igua l a 2a. El eje imagina rio es B 'B de longitud 2b. Ver Figura (b). · 59
LA HIPERBOLA
e
v'a2
+ b2
La exce ntricidad es e = a = . Como vemos e > 1, lo cu al coincide con la a definición general de sección cónica . Las ecuacione s de l as d irectrices, DD y D'D, son
x=
cuando ± !!_ e
los focos están sobre el eje x, e y =
±
(\
!!_ cuando estén sobre el eje y. e
Los vértices reales de ·la hipérbola son J os puntos en Jos q ue la curva corta al eje real. Los otros dos vérti ces son i maginari os. 2b2 La l ongitud del latus rectum es--.
a
Las ecuaciones de las así ntotas son :
y = ± !a!_ x cuando el eje real o tran sversal es el eje x. y =
e
± :x
cuando el eje rea l o transversal es el eje y.
Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenaaas (h , k) y el eje real es paralelo al eje x, Ja ecuación de la hipérbola es (x - h)2 - l.
Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuación es (y - k)2 a'
(x - h)2 b2
l.
Las ecuaciones de las asíntotas son
e
y -k =
± .!a!.. (x -h) si el eje real es paralelo al eje x,
y -k =
± -¡; (x - h) si el eje real es paralelo al eje y.
a
La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes pa ralelos a los de coordenad as
x e y es Ax
2
-
By 2
+ Dx + Ey + F =.-= O,
siendo A y B del mism o signo.
PROBLEMAS RESUELTOS J . Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen , eje real sobre el de coordenadas y y que pase por los pun tos (4, 6) y ( 1, -3). Sustit uyendo x e y por las coordenadas de los pun t os dados en la ecuación y2 x2 36 16 9 l b = 1 resul tan , Qt -/)2 = 1 y a2 b'I. = l. 2 02 Resol viendo este sistema de ecuaciones, a2 = 36/5 y b2 = 4. 2 2 S · d · l'fi d 5Y x 5 ustituyen o y s1mp 1 can o,
36 -4 =
9
1 , o bi•en , y 2 - x 2 = 36.
LA HI PERBOLA
2.
61
Hallar las coordenada s de los vértices y de los focos. las ecuaciones de las d i rectrices, las correspond ien tes de las asín totas. la longit ud del latus rectum. la excent ricidad y la representación gráfica ?e lá,hipérbola 9x 2 - 1 6y2 = 144. 2
Escribiendo la ecuación en la forma -¡":- J = 1 se tiene. a = 4. b = 3,
= v/1 6
+ 9 =:, S.
Los puntos reales de corte con los ejes son ( ±4. 0). y los focos (± S, 0). · I·d ad e = e La excenlrtC
=
0
5
1as ecuaci·ones de 1as d.lfeCtrt·CeS SOn
4' y
X =
16 ª .= ± 5 · ±e
2b2 = -18 = -. 9
La tus rectum = -(/
4
2
a
. d 1 . b Las ecuaciones e as asintotas son y = ±
X
=
3 X. ±4
X
Problema 2
3
Hallar la ecuación de la hipérbol de ejes paralelos a los de coordenadas y de centro el origen. sabiendo q ue el !atus rectum vale 18 y q ue la distancia entre los focos es 12. y
1
y
Jt91
1
· :i
1 1
t.
(3.0) :F(G,O)
1
{6 9) Problema J(b)
Proh/ema J(a)
1 .
'
X
X
Latus ree1u111 = 2b2/ a = 1 8. y 2c = 1 2. Luego b2 = 9a y t = 6. Corno b2 = c 2 -- a2 = 36 -a2, se tiene 9a = 36 -a2, o sea. a2
+ 9a -36 = O. Resolviendo. ( a - 3) (a + 1 2) = O y a = 3, -12. Se desecha a = -12. Para a"l = 9. h2 = 36 -9 = 27 y las dos ecuaciones ped idas son x2 yt . . . yz xz • 2 "' · l. o bien, 3y - xi = 27. a) = 1 , o bien. 3x2 - y 2 = 27. y h) -. 27 9
27
9
M . I·
. .
62
LA HIPER BOLA
4.
Ha lla r la ecuación de la h ipérbola de focos (0, ± 3) y de eje imaginario igual a 5. 5 25 11 Dat os: e = 3 y h = . Luego a2 = c2 -b2 = 9 -- T = --¡ .
2
Sustituyendo en
y2 01
5.
x2
- b2
·
= 1. se obtiene
y2
x2
li'/4- 2514 =
J , o bien , J 00y2 -44x2
= 275.
Hallar la ecuación de la h ipérbola que tiene su cent ro en el origen, el eje real sobre el eje x, excentricidad !v7 y larus recturn igua l a 6. .Ya2 + b2 .Y7 2b2 Da tos: e = = - -, y latus rectum = - = 6, o sea. b2 = 3a. 2 a a
+ b2 = - a2 y b2 = Ja, se obtiene a2
R esolviendo el sist ema a2 Susti tuyendo en
x2 02
-
y2 b2
=
x2
1 , la ecuación pedida e.sT6 -
16, b2 = 12.
y2
-
í2 -
.
2
2
1, o bien , 3x -4y
Hallar el lugar geométr ico de los puntos cuyo prod ucto de d istancias a las rectas 4x -3y y 4x + 3y + 5 = O sea igual a 144/25.
6.
+
48.
11
=
O
Sea P(x. y) un punto genérico cualquiera del l ugar . En t onces. 4x -3y (
+ 1 1 ) ( 4x + 3y + 5 ) = _!.44 .
-5
-5
25 2 ) - (y Simplificand o. 16x2 -9y2 + 64x + l 8y -89 = O, o bien , (x ;
12
>
= 1.
que es la ecuación de u na hipérbola q ue tiene por asíntotas las rectas dadas.
X Problema 7
Problema 6
7.
Hallar el l uga r geométrico de los puntos (x. y) cuya d istancia a l punto fijo (0, 4) sea.igual a 4/3 de Ja correspond iente a la recta 4y -9 = O. v'(x -0)2 + ( y -4)2
=
- ( 4y 4 )· y2
Elevando a l cuadrado y simplifican do. 9x hipérbola .
-lilíilil...... lllÍllll ... ..
2
2 - 7y
x2
+ 63 = O. o bien. 9 - -=¡
1 , que es una
'"t
_¡_ f
-:;
jjj¡¡¡¡¡¡¡.-zf-
pe
3
W!Q
• 1
LA H I PE R BOL1\
63
8. Hal la r la ecu:ición de la hi pérbola q ue 1iene su ccn1ro en el origen. un vért icl.' en (6, 0) y por una de us asíntota s la recta 4x - 3.r = O. Escribi mos la ecuación de la asíntota dada en la for ma y = .x2 y2 La s asíntota de-2 - 2 h
(1
h
=
1 son ) ' = J -- x. Lu ego (/
e01110 u n vc.rt1.ce es (6. O ). (/ = 6 y h = -4a
x.
b 4 - = - . a 3 y2
8, con 1o q ue la ecuación . es x2
=
36
3
l.
64
9. H a l la r la ecuaci ón ele la h ipérbola con cen t ro en (-4, 1), un vértice en (2, 1 ) y semieje i magina rio ig ua l a 4 . La d ista nci a ent re d cent ro y el vért ice es 6; l u ego a = 6. El semieje i magi na rio es 4: l uego b = 4. (\" + 4)2 (y - 1)2 (x -¡,)2 (y - k )2 1, se obt iene : ---- = I. Sust i t u yendo en -·-·-- b2 (/% 36 16 10. Dada la hi pérbola 9.r2 - l 6y2 -- l 8x -64y - 199 - O. ha lla r a) el Ct:nt ro. h ) l os vértices. e) los focos. d) la ccuaciom:s de las asíntotas y e) efect uar u reprccntación gráfica. Proced iendo como se indica. escribimos la ecuación en la forma
y
X
()' -k )2
b2
- = l.
9( \'2-2x -! 1 ) - 1 6(y2 + 4y + 4) = 199 --64 +9. 9(x - 1 )2 - 16(y
1) 2
(x
-w-Sol. a) (l,-2);
(y
+ 2)2 = 144.
+
2)2
-· 9 - . = l. b)(·-3, -2).(5,-2);
c)(-4,-2), (6, -2) : d) y + 2 = ±
11. H alla r la ecuación de la hipérbola q ue pase por el punt o ( 4, 6) 1
2
2
02
Y -· h2
Las a ·intotas d e 1a 1i1·pe'r bo1a "'
\
)'
Opera ndo.
¡;
X
=
.
:t- -¡;· o bien.
Como el prod ucto (
X
0
¿¡. -by ) ( \'
=
1 son y
=+
X
)1
y
3
4(x - I).
cuyas asíntotas sean y = ± vTx.
b x. 0
)'
- ¡; = O y y ) +b =
•
0
+ ¡; = O. y2
\'2 2 - b'l.
= O, se ded uce q ue las ecuaciones de las
asíntota s de ; :- : = 1 <;e pueden determi nar an ulando el término i ndepend iente y descomponiendo en factores. En este problema , pues, la ecuación de la hi pérbola t oma la forma (y - v'I\') ( y
+ v:-i'x ) = e (constante). J
J =
\ 64
LA H I PER BOLA
Sust it uyendo la s coordenadas del pu n to (4. 6). (6 -4 -/3) (6 Luego la ecuación ped ida es (y - vfy)(y
-1- \lfy)
4 v.3)
= e = -12.
= -12. o bien, 3x2 -y2 = 1 2.
Definición. Dos hi pérbolas son conjuf(adas si los ejes rea l e i magi na rio de una de ellas son, respectiva-
mente, el i magina rio y real de la ot ra. Para ha llar l a ecuación de la hipérbola conju gada de una dada no hay más que ca mbiar en ésta los signos de los coeficien tes de x2 e y2.
=
12. Ded ucir la ecuación de la h i pérbola conjugada de · -
1 . Hallar las l.!Cuaciones de las asínto-
tas y las coor enadas de los focos de ambas h i pérbolas. La ecuación de J a h i pérbola conjugada es -
x; +
= 1.
v9
En las dos hipérbola s, e = + 16 = 5. Luego las coord enadas de los focos de la h i pérbola dada son (J:5, O), y los de la conjugada (0. :J_ 5). Las ecuaciones de las asíntotas, y = :t
- x, son las m ismas para las dos hipérbolas.
13. Hallar el Jugar geométrico de los puntos P( x. y) cuyo prod ucto de las pend ientes de las rectas que los unen con Jos pun tos fijos (-2, 1) y (4. 5) es igual a 3. (
)(
-)
= 3. Simpl ificando.
3x2 -y2 + 6y -6x -29 = O, una hipérbola.
8
14. Demostrar q uc la d iferencia de las d istancias del pu n to (8,
f)
de la hipérbola 64x2 -36y2
=
2.304
a los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d ista ncias son los rad ios focales del punto. 2
2
Escribiendo la ecuación en la forma ; 6 La longi tud del eje rea l es 2a = 1 2. Las diferencias de las d istancias del punto
V
(8 + 10)2
(
+-
2
sv7 ) --o
-(8 - 1 0)2 +
4
=
1 . Por tanto , e =
(s. ) sv7
- --O
(
3
± ,/ 36 + 64 = ± 1 0.
a los focos (± 10, O) es
) = 2
3
58 -22 3
=
12.
3
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Ha llar a) los vértices, b) los focos, e) Ja excen1ricidad . d) el latus rectum, y e las ecu aciones de las asín tota s de las hipérbola s siguientes: ( 1)
4r -45y2 = 180; (2) 49y 2 - 16x2 = 784 ; (3) x2 -y2 = 25.
Sol. (1) a) (± 3 v'5, 0); b) ( ±7, 0);
15
8vJ ;
:
c)
(3) a) (± 5, O); b)
(± 5v2, O);
e)
v65., 4
v2:
d 49 )T ; e> y
d) 10;
e)
21v' f x. 5
15
d) 15
(2) a) (o , ±4) ; b) (O, ±v. 65) ; e )
e) y = ±
y =
4 x. = ±7
± x.
lllil? ilillrm?illlíl .-..........................rr ••r ..-............... ... . ·ifiiiEiDmidltl
LA HIPERBOLA
\
65
2. H allar las ecuaciones de las h ipérbolas que satisfacen las condiciones siguiente s:
Sol . 9x2 - l6y2 = 144. Sol. 144y2 - 25xi = 3.600. Sol. 7x2 -9y2 = 252.
Eje real 8, focos ( ± 5. O). b) Eje imaginario 24, focos (O, ± 1 3). e) Centro (0, 0), un foco (8. 0), u n vértice (6, 0).
a)
3. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos puntos fijos (O, 3) y (O. -3) sea igual a 5. Sol. 44y2 - 100x2 = 275.
4. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya d istancia al punto fijo (0, 6) sea igual a 3/2 de la correspondiente a la recta y -8/3 = O. Sol . 5y2 -4x2 = 80. 5. H al lar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del latÚ s rectum 36 y d istancia entre los focos igual a 24. Sol. 3y2 -x2 = 108. 6. Ha llar la ecuación de la hipérbola de cen tro el or igen , eje real sobre el eje de coordenadas y, excen tricidad 2v'3y longitud del latus rectum igual a 18. Sol. 1 2 1y2 - l l x2 = 81. 1. Ha llar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, ejes sobre los de coordenadas y q ue pase po r los puntos (3, 1) y (9. 5). Sol . x2 -3y2 = 6.
\ @ Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( ± 6, 0) y asín totas 6y = ± 7x. Sol.
@
49x2 -36y2
=
1 .764.
H allar el l ugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6. -4) y (2, -4) sea igual a 6. Sol. ( x 42 22 > - (y ) = 1.
10. Hallar las coordenadas de a) el centro, b) los focos, e) los vértices, y d) las ecuaciones de las asínto tas, de la hipérbola 9x2 - l 6y2 -36x -32y - 124 = O. Sol. a) (2, -;-1) ; b) (7, -1), (-3, -1); e) (6, -1), (-2, -1); d) y + 1 = ± i
+1=O
+
'- 13. H allar la ecuación de la hipérbola de cen tro (0, 0)1 un vértice en (3, 0) .Y ecuación de una asíntota 2x -3y ·= O. Sol. 4x2 -9y 2 = 36.
14. Hallar la ecuación de la h ipérbola conjugada a la del Problema 1 3.
Sol . 9y2 -- 4x2
=
36.
15. Dibujar las hipérbola s siguientes y hallar ss puntos de i ntersección . 2 2 X -2y
3x2 - 4y2
+
8y - 8 = 0,
+ 3x +
l 6y - 18 = O.
+
X
Sol . (1 , 1), ( 1 , 3), (-2. 1 ), (-2, 3). 3 16. Demostra r que la diferencia de d istancias del punto (6.
5) de la
'
hipérbola 9x'- 16y2 = 144 a
los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d istancias son los radios focales del .punto.
r CA PITU LO
8
Transfor1uaciún de coordenadas I NTRODUCCI ON . En geomet ría analí tica. al igua l q ue en f ísica, es m uy i mporta n te elegi r un sistema de coord enad as. o referen cia, adecuad o con objeto de sim pl ifica r a l máxi mo l as ecuaciones y q ue el proceso de resol u ción sea l o m;ís rá pid o posi bl e. Ello se realiza med iante una transformación de ejes coordenad os cuyo proceso gen era l se pu ede co nsiderar red ucido a dos movi m ientos, u no de traslación y ot ro de 1otoció11. TR ASLACI ON DE EJES. Sean OX y OY l os ejes pr imitivos y O'X ' y O' Y ', para lelos r espect i vamen te a los an teri ores. l os n uevos ejes. Sea n también (h, k) las coordenadas de O' con respecto al sistema inicial. Supongamo s q ue (x, y ) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes pri mit ivos, y (x ', y' ) las coordenadas, del mismo pu nt o, respecto de los nu evos. Para determina r x e y en función de x' , y' , lt y k se t iene : x = MP = MM '
+ M 'P = h + x'
y = N P = NN'
+ N' P = k + y'
l 1 J
1 1 1
1
-o t--------- N '1 ----r 1
+
1
+ k. y
_ _ _ _ _x__ _ _ :;,r\ .1
1
J.--
-
_ _,, ...
--- ...-
•• - 1
X =
= x' sen
O + y'
J N'
o' ,'1,k.)
R OTACI ON DE EJ ES. Sean OX y OY los ejes primitivos y OX ' y OY' los nuevos, siendo O el origen com ú n de ambos sistema s. Represen tem os por O el ángulo X 'OX de la rot ación . Su pongam os q ue (x , y) son las coord enadas de un punto P del plan o con respecto a los ejes pri mit ivos, y (x' , y' ) las coordenadas, del m ismo punt o, respecto de Jos nuevos. Para determina r x e y en función de x ', y ' y O, se t iene: OM = ON - MN = x ' cos O -y' sen O y = MP = MM ' + M 'P = NN '
Y'
.) •M, ----M' --·- - - - -¡P 'A \.,. ...,y,,
e
Por tanto, las e1.:uaciones de la t r::i sl nción de ejes son : X =X ft, )' = }' 1
y
pg:;1 •J I
'\
\
'e' \
'
I
\
\) \ \ \
1
\
1'•''- -- \ , N I
' ' 1
e
+ M 'P
cos O.
Por ta n t o. las fórmulas de J a rot aci ón O de los ejes coorden ados son :
x = x ' cos O -y' sen O, y = x' sen O + y' cos O. 6tl
X
TR ANSFO R MAClON DE COOR DENA DAS
67
PROBLEM AS RESU ELTOS J.
H allar la ecuación 1.k la cu rva 2x2 1 3y 2 8x t 6y "' 7 cuando se t raslada e l origen de coordenada s al punt o (2.·-1 ). y
Sustit uyendo x dada se obt iene 2(.x '
+ 2)2
r' 1 2. y
y'
en
1
Y1
la ecuación
1
' co.'iG)
.¡.. 3( y ' -- 1 )2
-
8(x ' 1 2)
6(y' -- 1 ) -- 7.
i
curva refe rida a los n uevos ejes. Desarrolland o y simpl ifica ndo. se llega a La ecuaci ón de la 2.r'2 1 3y' 2
--'-
(3 ,0)
--
_ _ _ et _ _ _ _ _ _ 1
X:
X
18.
Esta es la ecuación de la el ipse con cent ro en el n uevo origen, con el eje mayor sobre el eje x' y de semiejes " - 3, h = \ 16.
2.
+ 6x
Por medio de u na tra slación de ejes. transforma r la ecuación 3xi -4y en la cua l los coeficien tes de l os ténni nos de pri mer grado sean n ulos .
24y = 1 35 en otra
Sust it u yendo x e y por los valores x ' + h e v' , k. respect i vamente. 3( x ' -! /¡)'l - 4(y'
3x'2 -4y'2
De 6h
+ k )2 + 6(.x' -!
h) 1 24( y' 1- k ) - 1 35. o bien
+ (6'1 + 6)x' -(8k -24)y'
+ 6 = O y 8k -24 = O se
obtiene '1
1- 3'12 -4k 2 1 6/r
= -1 y
k
=
+ 24k
135.
3. con lo cual resulta
3x'2 -4y'2 =- 102.
Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen , eje real o t ran sversa l sobre el eje x y -;emiejc real igual a \134 Otro método. A veces, para el imin ar los térmi nos de pr imer grado de u na ecuación, se sigue el método q ue se da a continuación . Sumando y restando los térmi n os q ue se i nd ican ( para completa r cu adrad os) en la ecuación dada 3x2 -4y2 + 6x + 24y = 135. 3(x2
resulta o bien.
+ 2x + 1 ) -4( y 3(x
Sustituyen do x
+
+ 1)
2
-4(y
2
-
6y : 9) - 102.
-3)2
=
1 02.
por x ' e y - 3 por y' resulta 3x'2 -4y'2 = 102.
3.
Ded ucir Ja ecuación de la parábola x 2 -2xy + y2 + 2x -4y + 3 = O cua ndo se giran los ejes un ángulo de 4º. x ' - y' , º , x' +y ' 0 e y = x sen 45 + y cos 45 = -- --=- - . x = x' cos 45° -y' sen 45º = ,12 ,12 Sustituyendo estos va lores en la ecuación dada (- x'
y'
f-·
2 ( x'
vÍ ) ( ·;/··) + ( x ' $2y' ) + 2 (_x' t
2 y' ) -4 ( x'
Desarrolland o y sim plificando se obtiene 2y'2 - vfx' - 3\1iy'
+ 3 = O. q ue
/' ) + 3 = o.
es Ja misma
TRANSFOR MACI ON DE COORDENADAS
2 para 1e1a con su ve.rt1.ce en ( 3v --, 8 4.
3v2) y su ej.e para 1e1o e1 nue vo ej.e x. 4
Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para elimina r el término en xy de la ecuación 7x2 -6v'3xy
+ 13y2 =
16.
Sustituyendo en la ecuación dada x ey
= x' = x'
cos O -y' sen O sen () + y ' cos (J. Se obtiene,
7(x' cos O -y' sen 0)2 -6v3(x' cos () -y' sen O) (x' sen O
+ 13(x' sen O +y'
cos 0)2
=
+ y' cos O)
1 6.
Desarrollando y reduciendo térm inos semejantes,
+
(7 cos20 -6v3sen O cos O
13 sen2 0)x'2
+ (7 sen + 6v'f sen 2 {)
+
[12 sen O cos O -6v'3(cos2 0 -sen 20)]x'y'
() cos {)
+ 1 3 cos 0)y' = 16. 2
2
Para eliminar el tér mino en x'y', igualamos a cero el coeficiente de dicho término y despejamos O,
12 sen {) cos O -6v'3(cos20 -sen2 0)
= O,
o
6 sen 28 -6v3(cos 20) = O. Luego tg 2 0 = v'3.
20 = 60º, de donde ()
=
30º.
+
Sustit uyendo este valo r de fJ, la ecuación se red uce a x'2 4y'2 = 4, que representa una elipse de centro en el origen y que tiene sus ejes sobre los nuevos. Los semiejes mayor y menor son, respectivamente, a = 2, b = 1 . LA FORM A M AS GENERA L de Ja ecuación de segundo grado es Ax2
+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O.
En el estudio general de esta ecuación, se demuestra que el ángulo O que se deben girar los ejes para eliminar el término en xy viene dado por tg 2{) = 5.
B
A -e·
Med iante u na tra slación y una rotación de ejes, reducir la ecuación 5x2
+ 6xy + 5y2 -4x + 4y -4 = O
a su forma más simple . Hacer un esquema en el que fi$uren los tres sistemas de ejes coordenados.
+ h, y = y' + k. + h) + 4( y ' + k) -4 = O.
Para eliminar los términos de primer grado hacemos x = x' 5( x '
+ h) + 6( x ' +h) ( y' + k) + 5(y ' + k)"' -4(x' 2
Desarrollando y agrupando términos, 5x'2 + 6x'y' + 5y'1 +(10h + 6k -4)x ' + (I Ok Resolviendo el sistema formado por IOh k
+ 6h + 4)y' + 5h + 6hk + 5k 4h + 4k -4 = O. + 6k -4 = O y I Ok + 6h + 4 = O se obtiene h = 1, 1
2-
= -1. Luego la ecuación se red uce a 5x'2
+ 6x'y' + 5y'1 = 8. 6
Para hallar º·se emplea Ja fórmula tg 20 = A
!!._ e --5
,, Las ecuaciones de la rotación son x'
,,
= x -y , y' v'2
=
-5 - = OO. Por tanto, 20 = 90º, () = 45°.
'' + ,, !._-l-. v'2
69
TRANSFOR MACION DE COORDENADAS
Sustituyendo,
-:iy ") + 6 (x" -:iy ") ( x " / " ) 2
5 (x"
+5
.!.
C":/ .. r =
,•
y
""t'
(0.2)
8.
X
Desarrollando y si m plificando, la ecuación se red uce a 4x "2 + y"2 = 4, que es una el i pse con sus ejes sobre los x " e y ",con cent ro en el n uevo origen. sem ieje mayo r 2 y semieje menor igual a l . LA ECU A CION G ENE RA L Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O, excepto en casos pa rticulares, corresponde a una sección cónica. Se demuestra que si el d iscriminante
82 -4AC < O, la curva es una elipse, 82 -4AC = O, la curva es una parábola, B2 -4AC > O, la curva es una hipérbola. En los casos particulares, la ecuación puede representar (degeneración) dos rectas, un punt o o rectas imaginar ias.
6.
Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación : 4x2 -4xy Como 81 4A C = 16 - 16 = O, puede ser una parábola.
+y2 -6x + 3y + 2 = O.
-
Agr upando términos, esta ecuación se puede descomponer en factores.
(4x2 -4xy
+ y2) -3(2x - y) + 2 = O,
(2x -y)2 -3( 2x -y)
+ 2 = O,
(2x -y - 1) (2x -y -2) = O. Se trata de las dos recta s paralelas , 2x -y - 1 = O y 2x -y - 2 = O.
7.
Determinar la nat uraleza del l ugar geométrico representado por la ecuación 9x2 - l 2xy
+ 7y2 + 4 =0.
En este caso, = (144 -252) < O, que es la condición necesaria para Ja el ipse. Sin embargo. escribiendo esta ecuación en la for ma 82 -4AC
(3x -2y)2
+ 3y2 + 4
.....,. O
se observa q ue no se satisface para valores reales de x e y . Por canco, el l ugar en cuestión es imaginario. Otro método consiste en despejar y en función de x,
+ 12x
± v{l2x)1-4(7)(9x1+ 4)
+ 6x ±
+
v-(27x1 28) y = 2(7) 1 El luga r geométrico dado es imaginario para todos los valores real es de x. 8.
+ 4y2 - 1 2x + 4y + 13 = O. completar cuad rados, 3(x2 - 4x + 4) + 4(y2 +y + !) =
El im inar los términ os de primer grado en la ecuación 3x2 Sumando y restando t érminos. pa ra o sea. 3(x -2)11 + 4(y + )2 = O. H aciendo x - 2 = x' e y
O,
+ !=y' se obtiene 3x'2 + 4y'2 = O.
Esta ecuación solo se satisface para x'
=
O. y' = O, q ue es t:l nuevo origen .
El l uga r geométrico repre sentad o por la ecuación orig111a l se red uce a u n punto (2, -j).
-
70
TR ANSFORMACION DE COORDENADAS
9. Simplifica r la ecuación siguiente: 4x 2 -4xy
+y2 -8
\fsx -16\/S I' - O.
Como 82 - 4AC = O, puede t rata rse de u na pa rábola . En el caso de la pa rábola. con viene gi ra r los ejes a n tes dt.> efect uar la traslación .
-4
= - 4 . De donde cos 2() :....:: - 3.. 4 1 3 5 2 2 Como cos 20 = 2 cos (J - 1 = - . cos fJ = t g 20 =
_
+·
.
..
cos O = -
2x' +y'
x ' - 2y'
= -- - --· y
Las ecuaciones de la rotac1on son x
vs
, 5
y
sen () .-...
v5
vs
,15
v s
v'5
v'5
Desarrollando y simpl i ficando se obtien e y '2 - 8x'
Js•
.
= -· - --·· Sust11uycndo.
}.v' )2-4(-x'-!y' ) ( 2x' :y' ) + ( 2x' +y ' )2- 8v'5 ( x' -!y' ') - 1 6 v'5 ( 2x'
4 ( x'
2
= O, q ue es u na
-y') = O. v'5
pa rá bola .
1
j X
Prob/e111a. 9
Problema
!U
10. Simplifica r la ecuación xy -2y -4x = O. Hacer un esquema con los t res sistemas de ejes.
= 1 > O, la curva, si existe, es una = x' + h, y = y' + k . se obt iene .
Como 82 -4AC Sustit uyendo x
hipérbola .
+ h) (y' + k ) -2(y ' + k ) ·-4(x' + h) = O, o bien, x'y' + (k -4)x' + (h -2)y"+ hk -2k - 4/i = O.
(x'
Para k
= 4, h =- 2, se llega a la ecuación x' y'
Para hallar el ángulo de la rotación :
Luego x' = x "
-:iy" , y' = x "
:.
"" 8.
r.g 20 =
y (
Simplificando, la ecuación final es x "2 -y" 2
= l"lV, 20 = 90", O
, " ) (:'"' , /'' ) 1
=
= 45•.
8.
16, una h i pérbola eq u ilátera.
ll. Hallar la ecuación de la cón ica q ue pasa por los pu n t os (1, 1 ). (2, J), (3, -1 ), (-3. 2), (-2. -1 ).
Divid iendo po r A la ecuación genera l de segu ndo grado, x2
+ B'xy + Cy 2 + D'x + E'y
-1-
F' = O.
TR ANSFOR MACION DE COOR DENADAS
71
Sust it uye ndo las coo rd enadas de los pu nt os por x e y, 8' -1 C + f)' ! E' -! F' -1 68' + 9C r 20' + JE ' -1 F' = -4 -3 8' + C + JO' - E ' 1 F' =- -9 -68' 14C -30' + 2E' + F' = -9 28' 1 C -20' - E' + F' - -4
1 R eso 1v1.cn d o eI s.i stema. 8. = 89 ·(" = 91 3 · f. . =J- 9
. E-· = T1 9• F' ...:: - -229 ·
Sustit uye ndo estos valores en la ecuación original y simpl ifica ndo resulta 9x2
+ 8xy - 1 3y2
.·
+ 19y - 22 - 0.
Como 82 -4 AC = (64 ·I 468) > O. l a cón ica es u na h i pérbola .
y
Otro mét odo de resolver esle problema es el siguien te. La ecuación de la recta AB es x - 5y + 13 = O. y l a de CD es y -1 1 = O. La ecuación de este par de recta s es (y f- 1 ) (.\ -5y
13) = X )' - 5y2 + x ...¡. 8y + 1 3 = 0. Anál ogamen te. la ecuación d el par de rectas A f) y BC es 1 2.\'2 + 7xy 1y 2 - 5x -4y - 77 = O. La fa mil ia de cu rvas q ue pasa n por los puntos de in tersección de estas rectas e
+
xy - 5y2 L x ,- 8y + 1 3 -+ k( l 2x2 + 7xy +. y 2 - 5x -4y -77 ) = 0. Pa ra determi nar la curva de esta fa mil ia q ue pase por el q u in to pun to ( l . 1), se sustit uyen x e y por las coordenada s de ésle y se despeja el valor de k ; se obtiene k = 311 1 . Pa ra este valor de k . la ecuación es 9x2
+ 8xy - 1 3y2 -x + 19y -22 = O.
PROBLEM AS PROPU ESTOS l.
Apl icando las fórm u las de la traslación de ejes. x =- x ' + h. y = y ' + k , red uci r las ecuaciones sigu ientes a su forma más simple y establecer la n aturaleza de la figu ra q ue representan. a)
+5
= O.
+ y2 + 2x -4y -20 "-'" O. Jx2 -4y t -j 1 2x + 8y -4 = O. 2x2 + 3y2 - 4x t- l 2y -20 = o. x2 + 5y + 2x -20y + 25 = O.
Sol. y 2 = 4x. Parábola .
+ y2 = 25.
h) "2
Sol . x2
l)
Sol. Jx2 -4y2 = 12.
e/)
2
e)
2.
yz -6y -4x
Ci rcunferencia. H i pérbola .
Sol . 2xt + 3y2 = 34. Elipse . Sol. x2 + 5y2 + 4 = O. El i pse imaginaria.
Eliminar los térm i nos de primer grado de las ecuaciones siguientes com pletando cuadrados perfectos. Sol. 2x2 + 4y2 = 33. a) x2 + 2y2 -4x + 6y -8 = O.
,,
3x2 -4y2 -,. 6x -8y - 10 = O.
e)
2x2
)
+ 5y2 - 1 2x + I Oy - 1 7 = O.
d) 3x2 + 3y2 - 1 2x + 12y -J = 0.
Sol. 3x2 _ 4y2 = 9. Sol. 2x2 + 5y2 = 40. Sol. 3x2 + 3y2 = 25.
TRANSFORMACI ON DE COORDENADAS
72
3. Por medio de u na t ra slacíón de ejes. eli mi nar los térmínos de primer grado de la ecuación 2xy -x -y + 4 = O. Sol . 4xy + 7 = O. 4. Por med io de u na traslación de ejes. el im inar los térm inos de pri mer grado de la ecuación x2
+
3y 2
+ 2x -4y - 1 = O.
Sol. 2x
2
+ 4xy + 6y
2
-
+ 2xy
1 3 = O.
S. Halla r la nat uraleza de las cónicas siguien tes ten iendo en cuenta el valor del d iscri mi nante 82 -4AC. a)
3x2 - 1Oxy
+ 3y2 + x -32 = O.
h) 4 1x2 -84xy e)
1 6x2
d) xy I•.¡
+ 76y2 =
Sol . Hi pérbola . Sol .
168.
+ 24xy + 9yi - 30x + 40y
Sol .
= O.
+ x -2y + 3 = 0.
e) x 2 -4xy
El ipse. Parábola.
Sol . Hipér bola.
+ 4y2 = 4.
Sol.
Dos rectas paralelas.
6. Por medio de una rotación de ejes, sim pl ificar la ecuación 9x2 y hallar la nat uraleza de la figura que representa.
Sol. x
2
+ 24xy + l6y2 + 90x - l 30y = O
-2x
-6y
= O.
Parábola.
l 7. Por med io de una rotación de ejes de valor O = are tg
, simplificar la ecuación
·
9x2
ll
+ 24xy + 16y2 + 80x -60y = O. Sol.
Hacer u n esquema con am bos sistemas de ejes.
l
x2 -4y = O.
8. Sim.plíficar las ecuacíones sigu ientes por med io de una t ransformacíón adecuada de ejes
y d i bujar
la figura q ue representan así como los sistemas de ejes. '.j ¡ 't 1
t
a)
h)
+ 4xy + 6y + 1 2x -t 36y + 44 = O. xz - 1Oxy + y + x + y + 1 = O. 2
9x2
2
e) 17x2 - 1 2xy + 8y2 -68x + 24y - 12 = O. d) 2x2 '
!.
+ 3xy + 4y + 2x -3y + 5 = O.
1
2x2
Sol .
32x2 -48y2 = 9.
Sol. x 2 Sol.
+ 4y
2
2.
= 16.
1m.aginaria.
9. Hal lar la ecuación de la cónica q ue pasa por los puntos (5. 2), (1, -2), (-1. 1 ), (2, 5) y (-l,-2). Sol. 49x2 - 55xy
·I
2
t yz
Sol.
+ 36y2 - l I Ox - 19y -231
= O. Eli pse .
10. Hallar la ecuación de la cón ica q ue pasa por los pun t os (1, 1 ), (-1, 2), (0, -2), (-2,-1), (3, -3). Sol. 1 6x 2 + 46xy + 49y 2 + 1 6x + 23y - 1 50 = O. El i pse. 11. Halla r la ecuación de la cónica q ue pasa por los puntos (4, 1 ), (2, 2), (3, -2), (4, -1), (1 , -3). Sol. 1 7x2 - 1 6xy + 54y2 + ll x + 64y - 370 = O. El ipse.
12. Hallar la ecuación de la con1ca q ue pasa por los puntos (1, 6), (-3, -2), (.-5, 0), (3, 4), (O, 10) Sol. xy -2x + y - 10 = O. Hipérbola.
_.::.
CA PITU LO
9
Coordenadas polares COOR DENADAS POLA R ES. En l ugar de fijar la posición de un pu nto del plano en función de sus d istancias a dos rectas perpendiculares es preferi ble, a veces, hacerlo en fu nción de su d istancia a u n pun to fijo y de l a d irección con respecto a u na recta fija q ue pase por este pu n to . Las coordenadas de u n pu n to, en esta referencia, se llaman coordenadas polares. El pun to fijo O se denomina polo y la recta fija OA se llama eje polar.
Las coordenadas polares de un pu nto P se representan por (r; O), siendo r la distancia OP y O el ángulo AOP. La d istancia r medida desde O hasta P es positiva. I gual q ue en trigonomet ría , el ángulo () es positivo cuando se mide en sen tido cont rario al de las agujas del reloj; r es positivo cua ndo se mide desde el polo al pun to, 'X _negativo en caso con trario . Si r y O están relacionados por u na ecuación cualq uiera , se pueden asignar valore s a O y determi nar los correspondientes de r. Los puntos que resultan constituyen u na lí nea, recta o cu rva, defi nida.
P(r.e)
... o
A
SI METRIAS. Igual q ue ocu rre en el caso de coordenadas cartesianas rectangulares, cua ndo se emplean coordenadas polares también se dispone de criterios para averiguar las si m etrías q ue puede presen tar una l ínea o l ugar geométrico cualq uiera . Si l a ecuación no se mod ifica a l sustit ui r O por -0, la cu rva es si métrica con respecto al eje pola r. La cu rva es simétrica con respecto a la perpendicular al eje polar q ue pasa por el polo cuando la ecuación no va ría al susti tu i r () por n -O . U na cur va es simétrica con respecto al polo cuando la ecuación no va ría al sus1i1ui r r por -r, o cuando se sustituye O por n + O. ' RELA CION ENTR E LAS COO R DEN A DAS R ECTA NG U LA R ES Y POLA R ES. Consideremos al pun to P(r ; O) y su pongamos q ue el eje polar OX y el polo O son, respectivamente, el eje x y el origen de un sistema de coordenadas recta ngulares . Sean (x. y ) las coordenadas recta ngulares del mismo pu n to P. En estas condicione s, .. x = r cos O,
y = r sen O, r = y'X2 + y2, y
O = are tg
y
p(x,y'. {r,8)
r
y X
!'
X. X
73
•
X
74
COOR DENA DAS POLAR ES
PROBLEMAS RESUELTOS
Como se conocen dos lados de un triángulo y el ángu lo q ue forman, el tercer lado se puede determinar med iante el teorema del coseno.
X
2.
Hallar la d ista ncia entre los pun tos (6; 1 5º) y (8: 75º).
V6'+ 81-2(6) (8) cos (75" - 15º) = v'36 + 64 -96(!) = 2v'l3.
Apl icando la fórm ula del Problema 1, d =
3.
Hallar la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de centro (r1 ; fJ 1) y radio a. Sea (r ; 0) un punto genérico cua lquiera de la ci rcunferencia. a2
Del triángu lo de Ja figura se obtiene la ecuación
=
r2
+ r12
-2rrl
cos (fJ - 01)
o bien,
X
Problema 4
Problema 3
4.
Ha l lar la ecuación de Ja circunferencia de centro (a ; Oº) y rad io a. Se tiene. 01
= Oº. Del triángulo se ded uce, a2 = r2• + a2 -2ra cos fJ.
Luego la ecuación ped ida es r2 = 2ar cos O o
5.
r = 2a cos O.
Halla r el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (O ; 0), (r, ; O,) y
=
(OP1) (h)
= t(r 1)r2 sen (02 -0 1)
= 6.
r 1r 2 sen ( 02 - 01 ).
Hallar el área del triángu lo cuyos vértices son les puntos (O: 0). (6; 20°) y (9: SOº).
Area =
!r r sen (02 - fJ 1
1)
= t(6) (9) sen (50 -20 )
= 1 3,5 un idades de superficie .
COOR DENA DAS POLA R ES
75
7. H a l lar la ecuación de la recta q ue pasa por el pun t o (2; JOº) y es perpend icular al eje polar OX. Sea (r : 0) u n p u n to genérico cua lq u iera de la recta. Se tiene r cos O = 2 cos 30" = 2(
J ) - VT.o bien, r cos O = v'J
(r, 8)
(2,0'J
X Probl ema 7
Problema 8
8. Halla r la ecuación en coordenadas polares c!e una recta para lela a l eje polar OX y situada por debajo de él a una d istancia de 4 unidades.
..
Sea (r ; -0) un pu n t o cualq uiera de la recta L. Se tiene r sen (-0) = 4. o sea. r sen O + 4 - O. Nota . eos (-8)
= co:. O ; sen ( -0)
= - srn
O.
9. Hallar la ecuación de la recta q ue rase por el pu n to (4; 30º) y forme en ángulo de 150º con el ejP.
polar . Sea (r: O) un pun to cua lq u iera de la recta. Se tiene , OA
=
r cos (O -60") ·:: 4 sen 60', o hicn, r cos (O -60º) = 2VJ.
o
X Problema 9
X
Problrma J O
10. H allar la ecuación de la recta que pase por el pu nt o (4; 120º) y sea perpendi cula r a la que une (4; 120º)
con el polo (O; O). Sea (r ; 8) un p u nto genérico cualq u iera de la recta . las rectas L y d son perpendiculares . Por tanto, d = r cos ( () - 120º) y la ecuación de l es r cos ( O - 120º) = 4. La ecuación r cos ( e - 1 20º) = 4 es la forma po lar de la fonna normal de la ecuación de la recta en coordenadas recta n gulares. siendo p = 4 y ,,, = 1 20º. · tl . Hallar el lugar geométrico de los puntos P( r : 0) de manera
OP que M P
D M -- ---- ----
= e (constante).
1
M P = NO + OQ = p +' r cos fJ. Como OP = e( M P ), r = e( p + r cos 0)
o
r
=
ep
1 -e cos O
.
P (r.8) t 1
1
o
N
D'
Q
X
76
COOR DENA DAS POLA R ES
Si D' D estuviera a l 1 derecha del polo O, la ecuación sería
ep
r =
1 + e cos fJ
.
Como el punto (r ; l') se mueve de forma q ue la relación de sus distancia s a l punto fijo O. polo, y a la recta fija D' D es constante e igual a e, la curva es u n a cónica cuya naturaleza depende del valor de e. Si la recta fija D' D 1:s paralela al eje polar , la ecuación torna la forma
ep
r -- ---'---
- 1 T e sen fJ •
+
12. Hallar la naturaleza de la cónica defin ida por la ecuación r -= 4
12 3
cos
0
.
Divid iendo n umerador y denom i nador por 4 se obtiene la ecuación r = 1 Luego e = ¡y la curva es una elipse.
J
i
-l-cos
() .
Como ep = 3, o sea, i P = 3, se obtiene p = 4, con lo cua l, la directriz D' D es perpendicular al eje polar y está a 4 unidades a la derecha del polo. 13. Hallar la ecuación en coord enadas polar es de la elipse 9x"
= r cos 8, y
Aplicando las relaciones x
9r" cos20
+ 4j' = 36.
= r sen O, y sustituyendo en la ecuación dada se obtiene
+ 4r" sen"8 = 36, o bien , r'(4 + 5 cos"8) = 36.
14. Escribir la ecuación siguiente en coordenada s rectangular es :
r'- 2r(cos Sustituyendo r
fJ -sen fJ) -7 -
O.
= Vx +y. () = are tg .!'.., se obt iene la ecuación X
x2
+y -2vx +y 2
(
x
-
v;
2
) -7 = O, o bien, x''
Y
+ y"' -2x + 2y -7
=
O,
vx' + i'
que es una circunferen cia de centro (1, -1) y radio 3.
15. Escribir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares : r=
Sustituyendo r
= Vx2 +y2
Sim plificando,
4 () , o bi.en 1 -cos y cos () =
r(I - cos
v x•x+ y2
8
)
= 4.
se obt ien e
Vx' + y2 -x = 4, o bien ./X'+y2 = x -4
Vxi + y2 (1 - V x+ ) - 4 xt y2 - ·
4.
Eleva ndo al cuadrado, x 1 + y1 = x' + 8x + 16. o bien, y2 - 8x - 16 = O, que es la ecuación de una parábola de vértice (-2, 0) y simétrica con respecto al eje x.
16. Escri bir la ecuación siguiente en coordenada s rectangula res e ident ificar la curva .
'=
1 -2 sen O ·
I
COOR DENA DAS POLA R l:S
77
1
+ y2 = _
--- -.,,,-2y 1 - -==-\'1-:-\'. 1 y2
Sustit uyendo.
\./ x2
Simplificando,
Vx 2 + y 2 =-- -; ======::=- , o bien. Vx 2 -y 2 ( \ 'x2 + y 2 -2y - 1 ) = O.
\ 'x2
+ y2
.
x2 -l y2 - 2y
vx
Pero
2
+ y2 = O solo pa ra x
-y
O.
Eleva nJ o al cuadrado y si mpl ifica ndo la ecuación \1x 2 -4y - 1 = O; se trata de una hipérbola.
+y
2-
= O se obt iene x 2 -·3y2
2y - 1
17. Hallar las coordenadas de los pun tos de i ntersección de las curvas sigu ientes: ( 1) (2) Sabe mos por trigonometría que 1 -cos O
=
= 1 -cos (J ,. = sen O. r
2 sen2 tO .
!f:I = sen !O, o bien , sen iO (2 sen O - 1 ) = O. De donde, sen () = O, A. Para sen iO =- O, O = O"; para sen !O = !.!O = 30º. 1 50º, y {) = 60º, 300º. Luego las coorde nadas de los pu n t os de i n tersección son (0, Oº), (i. 60º), ( . 300u ). Por tant o. 2 sen
2
+ 4r cos {) -4 ,13 r sen () -20 - O.
18. Hallar el cen tro y el rad io de la circunferencia r 2
Aplicand o la ecuación de la circunferencia dada en el Problema 3 y desa rrollando se obtiene r 2 -2r(r 1 cos 0 1 cos O
o bien ,
r
2
-2r1 cos
+r
1
sen 0 1 sen 0)
+r
O
2 2 1 -a -
+r
01 r cos O - 2r 1sen 01 r sen O
1
Comparando la ecuación dada con esta última, (1) -2r 1 cos 0 1 = 4, (2) 2r 1 sen 0 1 = 4 ,1 3, y
(3)
2 -a2
= O.
r 1 -a 2
2
=
-20.
Dividiend o la ecuación (2) por ( !), tg 0 1 = -\13, 0 1 = 1 20º. Sustit uyendo en (!), -2r 1(-!l = 4. de donde, r 1
- 4.
De (3). 1 6 -a2
-
-20,
a - 6.
L u ego el cen t ro de la circu nferencia es t'f pun to (4: 1 20 ) y su rad io vaf e 6.
19. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo prod uc t o de d is-
P(r,B)
tancias a los dos fijos (-a ; Oº) y (a: O ) sea igua 1 a a2• Del triángu lo AOP se ded uce,
va
+ r2 -2ar cos ( 180º -O) = v'a2 + r2 + 2ar cos O. Del triángul o BOP. PB = va2 + r2 -2ar cos O.
AP =
2
+ ,2)2 _ 402,2 cos20 =- 02. Elevand o al cuad rado, a 1- 2a r + r' 4a r cos 0 = a Simplificando, r + 2a r 4rh cos 0 ., O, o bien, r (r + 2a
( AP )( PB) =
(a2
4
4
2 2 -
Luego la ecuación pedida es r
1-
2 2
2
2
+
2 2
2
2
2a2 -4n2
2
cos
20
X
4•
2
2 -4a2
cos2 0)
,_ O.
o sea, r = 2a (2 cos 0 - 1) = 2a2 cos 20. (Lemn iscat a. Ver Probl ema 25.) 2
2
2
=
O.
18
COOR DENA DAS POLA Rl-.S
20 . U n i.cgmen to de longi tuc 2a tiene sus ext remos sobn:s dos recta s fijas pcrpe ndicula rc::.. H a lla r d l ugar geomét rico de ! pie de la perpend icular t razada desde el pu n to d ! intersección de las recta s a l segmen t o. Sea una dr las rectas fijas el eje polar y el pu n to de intersección de las recta s dadas el p..:> lo.
OP sec O = AB cos (90, -- 0)
Se t iene OA es deci r.
r sec O = 2a cos (90" - O)
·--·· =
o bien.
cos (}
e
o
2a sen O .
A X
Luego ,. =- 2a sen O cos (}, de donde, r - a sen 2fJ . (Trébol de cuatro h oja s.) 21 . Est udia r y d i bu1ar el l uga r geométrico de ecuaci ón r - 10 cos fJ. Corno co::. -fJ) -= cos fJ. la curva es si métrica con respec to a l eje polar. El ángu lo O puede tomar cua lq ui er valor, pero r va ría de O a ± 10: l uego la curv a es cerrada. Para hallar punt os de ella, damos valores a () y calculam os los correspond ien tes de r. Por el Problema 4 sabemos q ue el l ugar dad o es una circunferencia de rad io a = 5 y cen t ro en el eje po lar. ()
-r
O''
30n
45°
60º
90º
120º
1 35º
1 50
180''
10
8,7
7.1
5
o
-5
-7.1
-8,7
-10
120•
GO' 45•
90'
30'
X
Prvbf,•111a 22
Problema 21
2 22. . Di bujar la curva o l ugar geomé t rico de ecu"ción r ------,,.. 1
-cos o .
...
Como cos (-0) = cos O, la curva es simét rica con respecto al eje polar . Pa ra O -- O'', r es infin ito: para O = 1 80º. ,. - l. La cu rva es abier ta. Según el Problema 1 1 , se trata de una pa rabola .
o
Oº 1 30" 1 60"
r
ex,.
r 14,9
1
4
90" 2
1 20"
¡ 1 so" ¡ 1soq
1,3 1 1 , 1
23. Di bujar el t rébol de t res hojas de ecuación r
=
1
1
2 10" 240" 270" 300º 330º 1,1
1 ,3
2
4
14,9
360º 00
'
10 sen 30.
Como el sen o es positivo en los cuad rantes 1 .º y 2.º y n egati vo en los 3." y 4.0 • la curva es simét rica con respecto a la recta perpend icular al eje polar t razada por el polo.
79
COO RDENADAS POLARES
El va lor de r es ce ro cuando 30 sea Oº. 1 80º, o algún múl ti plo de 180". es decir. para O = Oº, 60º, 120º. . . . Por el con t rari o. r a lca nza un máxi mo cuando 30 =- 90º. 270º. o algún m ú ltiplo im par de 90º. e dl!ci r, para O ==- 30 . 90". 1 50·. . . .
o ,.
Oº
1
o
1
30 10
1 60º
90"
120º
150''
-10
o
10
1
1
o
i 1 80º o
1
240° 270º
1 21 Oº 1
o
-10
300º ' 330°
10
o
·-10
l Problema 24
Prob/ e111<1 2.1 24. Dibujar la C"ardioide de ecuación r - 5( l
+ cos 0).
La curva es simétrica con respecto al eje pol ar. Corno cos O varía entre 1 y -t.r no puede ser negat ivo. El valor de r va ría de 1O a O cuando O lo hace de Oº a 180".
30" 1 45"
(}
,.
9,3
10
¡
90º
¡ 8,5 i7
120º
J
135º
1 50
J
180"
5 --J-2.5-'; 1 .5----1--,6-., _l._-o
25. Dibujar la lemniscata de ecuación : r2
9 cos 20.
Si se su stit uye r por -r y O por -0, la ecuaci ón no se mod ifica, ya q ue cos (-20) = cos 20 y (-r)2 = ,.2. La cu rva es. pue s. simét r ica con rc::specto al polo y con respecto a 1 eje poi a r. El valor de
r
alcanza un máximo para ()
-:o
O'',
ya q ue cos O' ::- 1 . con lo q ue r = 3.
Para 45° < i maginario .
(j <
135", y 225º' < () < 31 5º. r es
Pa ra () = + 45 . cvs 20 = O; de donde r en el origen.
r
-
= :i- 3vcos 20.
=
O. y tas rectas O = L n/4 son tangente s a la curva
o
20
o
o
1 5º
30º
30º 45"
60º 90º
cos 20
-
1
,. -:±- 3
2,8 0,866 ·± -· 0,5 ± 2,I
o
o
r
COOR DENADAS POLARES
80
26. Hallar el lugar geomét rico de los puntos cuyo radio vector sea proporcional al án gu lo. La ecuación es r
= aO. La cu rva q ue cumple esta cond ición se llama espiral de Arquímedes.
o o
(}
r 150•
120' 90·
n}6
n/ 3
n/2
n
3n/2
2n
0,52a
'Ἳ
1,6a
3,la
4,7a
6,3a
60'
30'
X' 180'
X Problema 26
Prublema 27
27. Siendo P( r ; 0) un pu n to cualq uiera , demost ra r q ue cua n do el eje pola r gi ra al rededor del polo O un ángulo a se verifica, r ' = r y (}' = O -a. siendo (r'; O') las n uevas coordenadas del punto. Las fórmulas de la rotación de ejes en coordenadas polare s son O
= O' + a y r = r'.
28. Dem ost rar que si se gi ra el eje polar un ángulo de 90º en el sentido contrario al de las agujas del reloj , la ecuación de la cardioide del Problema 24 se t ransforma en r = 5( 1 -sen O). Se sustituye O por 90º Entonces, r'
=
5\1
+ o·.
+ cos (90º + O')) = 5(1 -sen O'), ya
que cos (90º + O') = -sen O'.
PROBLEMAS PROPU ESTOS 1. Representar los puntos: (2; 30º), (-3; 30º), (5; 75º). (3; 2 10°), (2; n/ 2), (-2; 270º), (-4; 300c), (-3; -5n/ 6), (4 ; Oº), (0; 30º), (O; 60º). 2.
Hallar la distancia entre J os pares de puntos siguientes, expresando los resultados con una cifra decimal.
a)
(5; 45º) y (8; 90°).
b) (-5; -120º) y (4; 1 50º).
e) (50; 30º) y (50; -90º). d) (3; 150º) y (-2; 60º).
Sol. Sol . Sol. Sol.
5,7. 6,4. 86,6. 3,6.
3.
Hallar el área de los triángulos cuyos vértices son el polo y los pares de puntos del Problema 2. Sol. a) 14,14 ; b) 10; e) J082,5 ; d) 3.
4.
Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el punto (4; 120º) y es perpendicul ar a OX. Sol. r eos (J + 2 = O.
5. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto (3; -30 ) y es paralela a OX. Sol. 2r sen (J + 3 = O.
COOR DENA DAS POLA R ES
81
6. Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el punto (2; 120º) y por el polo. Sol. O = 2JT/3.
7. Hallar la ecuación polar de la rect a q ue pasa por el punto (4 ; 21l/3) y es perpend icular a la recta que u ne el origen con d icho pu n to. Sol. r cos (O -21l/3) = 4. 8. Hallar la ecuación polar de la recta q ue _Jasa por el punto (3; Oº) y forma un ángulo de 3Jt/4 con el eje polar. Hal lar r pa ra O = -n/ 4 y razonar la respuesta . Sol. vi r cos ( 0 -n/4 ) = 3.
9. H alla r la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 ; 20º) y forma u n ángu lo de 140º con el eje pola r. Sol. r cos ( 0 - 50º) = 2 v3.
10. Hal lar la ecuación polar de la ci rcu n ferencia de centro el po lo y rad io igual a 5.
Sol.
r = S.
11 . H allar la ecuación po lar de la ci rcu nferencia de cen tro (4 ; 30º) y radio igual a 5. Sol. r 2 -Sr cos ( O -:rr/ 6) -9 = O. 12. Hallar la ecuación de tas circunferencias siguientes: Cen t ro (3; O") y q ue pa sa por el polo . b) Centro (4: 45°) y q ue pasa por el polo. e) Cent ro (5; 90ª ) y q ue pa sa por el polo. d) Que pasa por el polo. por (3: 90º) y por (4: o ). a)
Sol. r = 6 cos fJ. Sol. r = 8 cos (O -45°). Sol. r - 1O sen O = O. Sol. r = 4 cos O
+ 3 sen O.
13. Ha llar la ecuación de la circunferencia de centro (8; 120º) y q ue pasa por el punto (4: 60º). Sol. r2 - l 6r cos ( O - 120°) t 16 = O. 14. Por compa raci ón con la ecuación del Problema 3 de la sección de resueltos, hallar el cen t ro y el radio de la ci rcunfere n cia r2 -4r cos ( 0 - n/4) - 12 = O. Snl. (2. :rr/4), rad io 4.
+ 1 5 = O,
15.
Dada la ci rcunferencia r2 - 4 vJ r cos O -4r sen O y el rad io. Sol. Cen t ro (4; n/6), rad io 1 .
16.
Halla r Ja ecuación de la ci rcunferencia de centro (8 ; n /4) y q ue sea tange nte a l eje po lar. Sol . r 2 - 1 6r cos ( O -n/4) + 32 = O.
hallar las coord enadas del centro
17. . Hallar la ecuación de la circunferenci a de cent ro (4: 30º) y q ue sea t angente al eje polar OX. Sol . r2 -8r cos ( 0 -:t/6) + 1 2 = O. 18. Demostra r q uc la ecuación de la circunfe rencia q ue pasa por el polo y por los puntos (a: 0º) y (b; 90º) es r =- a cos O -i h sen O.
= 5 cos O - 5
3 sen O.
19.
H alla r el cent ro y el rad io de la circu nferencia r
20.
En el Problema 1 1 de la sección de resue ltos se demostró q ue la ecuación de u na sección cónica con su foco en el polo y d i rectriz perpend icu lar al eje polar a p unidades a la izq uie rda del foco, viene dada por
ep
'=
1 -e cos O ·
Si la directriz está a p u nidad es del foco y a su derecha , la ecuación es:
r
=-
ep
-- () · ! + e cos
Sol.
< S; -60º),
5.
COORDENADAS POLARES
82
Demostra r q ue la ecuación polar de la cón ica con su foco en el polo y d irect riz paralela al eje polar y a p u n idades de él es r= e¡_ , 1 ± e sen O · donde el signo más corr esponde al caso en que la di rectriz esté por enci ma del eje ;:>ola r y el menos cuando esté por debajo.
21 . Hallar la nat u raleza de las cón icas sigu ientes q ue t ie nen un foco en el polo. Hall ar e y situar la direct riz en función de sus dirección con respecto a l eje polar y su d istancia al polo . .....
a)
r =
h) r = e)
r=
4
2 -3 cos () .
2 1 -cos o . 6 2 -sen O ·
Sol.
Hipérbola ; e = 3/ 2; una d irect riz perpend icu lar al eje polar y a 4/ 3 unidades de! foco correspond ien te.
Sol.
Parábola ; e = 1 ; d i rectriz perpend icular al eje polar y a 2 unidades a la izq uierda del foco.
Sol.
El i pse; e = ; d irect riz para lela al eje polar y a 6 u nidades debajo del polo.
22. Identificar y dibuja r las cón icas sigu ientes : 5
4 a)
r=
2
+ cos
b)
(J ;
r
=
2 e)
1 -cos O -;
23. Hallar la ecuación polar de Ja el i pse 9x2 Sol. r2(9 cos2 0 + 16 sen2 0) = 144.
+
16y2
24. Pasar a coordenadas polares : 2x2 -3y2 -x
=
'=
2 +-3 sen O ·
144.
cos
+y = O.
O -sen 8 Sol. ' = 2 coso -3 sen2ff
En los Problema s 25-30 pasa r las ecuaciones a coorde nadas polares.
25.(x2 +y2 )2 =
Sol. r 2 = a2 sen 20 .
2a2xy.
xs
J
1
=
2a sen O tg O .
26. y = 1a=- x ·
Sol. r
17. (x2 + y2)3 = 4x2y2.
Sol. r2 = sen2 20.
28. x -3y = O.
Sol. O = are 1g 1/ 3.
29. x •
+ x'yt -(x
+ y)2
= O.
30. (x' + yª)' = 16x2y2(x2 -y2)2.
Sol. r = l ( 1 -t tg fJ). Sol. r =
:t- ese 40.
31 . Pasar a coordenadas polares la ecuación de la recta q ue pa sa por dos puntos y demostrar que la
.. :.:ación polar de la recta que pasa por (r.; o.) y (r2 ; 02) es rr 1 sen( O - 0 1)
+ r1r2 sen({J 1 - O) + r r sen( O, - 0) = O. 2
32 . Pasar
Sol .
2
· 1·en d o 1os ra d.1ca1es, 1a ecuac1'6n (x - 4> + >' coord ena d as po lares y s1·mp1L·11car. supnm 9 25 9 . -9 r = ., o r= . ¿Por q ué son idénticas estas ecuaciones? -bien, 5 -4 cos 8 5 + 4 cos 0. R
= ¡.
mr
COOR DE NMJAS POLA R ES
83
E n los Problema s 33-39. pasa r las ccuacione a coo rdenadas pola res.
33.r
-
34. r
- 1 - cos
35.
/'
Sol . xz
3 cos O.
-= 2 cos {)
O. 1-
3 sen O.
Svl.
2
\'2
Sol. .\' -.)' = o. J
=
= O.
+ )'2 + x )2 -: +yi . x2 + y 2 -2x - 3y =, O.
Sol. (xz
36. () = 45 37. r
-i. y 2 - J x
Sol. 4x .-, - 5yZ
+ J sen O ·
+ 1 8y -9 = o. \/
Vx 2 -r y 2 = a a re tg -
38. r --= nO.
Sol.
39. ri - 9 cos 20 .
Sol. (x2
X
+ y2 )2 == 9(x2 _ y2) .
40. Ha llar los pun tos de intersección de los pares de curvas siguientes: r - 4(1 r(I -cos O) = 3. Sol. (6. 60 }(2, 1 20 ). (2, 240"'), (6. 300º). 41.
v2 cos O,
Hallar los puntos de i ntersección de las curvas : r ="'
+ cos 8) = O,
r = sen '20.
Sol . ( l . 45°). (O. 90 ). (--1 , 1 35''). 42. Halla r los pu n tos 1.k in tcrccción de las curvas : r Sol.
(1 +
l,
=
2
+ cos O,
I 2( 1 -cos 0) .
r=· ---
(1 ---..;; . : 1 35º)··
:::45')·
43. Hal lar los p u ntos de i n tersección de la s curvas : ,.
Sol. (]_
1
. Jol (-
3
. I SO').
= \ ·6 cos ú,
(-22" , 210 ). (
3
r2 == 9 cos 20.
2
, 330·).
44. Dibuja r la curva de ecuación r = 4 sen 20. 9 'b . 1 d . , -- . 45. D1 UJar a curva e ecuac1on r =--= --
4 -5 cos 0
46. Dibujar la curva ,. = 2(1 47. Di bujar la curva r 2
48. Dibujar la curva r
+ sen 0).
= 4 sen 20.
=
49. Dibujar la espiral rO
1
+ 2 sen
O.
= 4.
50. Deducir la ecuación polar de la el ipse cuando el polo es el centro. lnd .: Aplicar el teorema del coseno y la propiedad de q ue la suma de los rad ios focales es igua l a 2a. Sol. r2( 1 -e2 cos2 0) = b2•
.. (
f.
.·
>·
51. Un segmento. de 20 un idades de longitud, tiene sus ext remos sobre dos rectas perpendiculares. Halla r el l ugar geométrico de los pie s de las perpendiculares trazadas desde el punto de intersección de las recta s fijas a la recta de lon git ud constante. Tómese una de las rectas fijas como eje polar. Sol. r =- JO sen 20 .
51. Hallar el luga r geomét rico del vértice de un t riángulo cuya base es una recta fija d!! longitud 2b y el producto de los otros dos lados es b2• Tómese la base del t riángu lo como eje polar y el polo en su punto medio. Sol. r 2 = 2b2 ccs2 fJ. Esta curva es la lemniscata.
CA PI TU LO
10
rrangenles y norrna les TA NGE NTE Y NOR M A L. La definición de la ta ngente a u na cu rva en un o de su s pu ntos es como sigue : Sea n P y Q dos pu n tos de la cu rva y t ra cem os Ja secante PQ . Si el pu n to Q se despla za a lo largo de la curva hacia P , la seca n te PQ i r á gi ra ndo al rededor de P, y cu a ndo Q t iend a a confu nd i rse con P, la secan te PQ coincide, en el lí mite, con la recta PT q ue se lla ma tangente a la cu r va en P. La normal PN a u n a cu rva es la perpend icular a la tangen te en el pu nt o de conta cto P. Para hallar la ecua ción de la t a nge n te a la curva en uno de su s pu n t os, P1(x 1• y1 ), hay q u e det ermi na r la pend ient e de d icha ta ngen te. Ejem plo: H alla r la pend ient e de la t a ngente a la circu nferencia x2 1- y2 = r 2 en el pu nt o
y
T
X
P1( X ,, y ,). Sea Q( \"1
-L h. y, t- k ) ot ro pu n to cua lq uiera de la circu nferencia . La pend iente de la !>ecante es k fh. Al gira r la tange n te al rededor de P., el pu nto Q tiende hacia Pi. y l os va lores de k y h lo hacen hacia cero . La pend ien te m de la t a ngen te es el límite de la relación k/ h cua nd o am bos t ienden a cero. Como (x ,, y1) y (x1 + h. y, + k) pertenecen a la ci rcu nferenci a. estas coord enadas deben a t isfacer a la ecuación de aq u élla ; susti t uyend p va lores se obtiene
(!)
y
x: + y¡
(2) (x,
+ '1)
y
-Q (x, h.y,•k)
T
o
,2 2
1 (.1• 1
+ k)
2
= r2, o bien ,
xr
2hx 1 + h2 1- y¡
+ 2k y ,
f- k 1 = r 2•
?hx, f /¡ L. 2ky , + k2 = O o bien, k ( 2y, + J..) = -J1(2x 1 ,h).
Restand o (1) de (2). resulta k Por tan to, ,
2
2x 1 l h
2y x , 1 ,_ 1\ • El limi t e de esta ex presión cua ndo h y k t iend en a cero es --, o sea, m = - 1 2Y1 Y1 2x1
,1
Como la tangen te pa sa por P 1(x 1 • y1)• • u ecuación e x,
- x ,). J·- •r 1 = - -(x Yi
Quitando denominad ores, y 1y -y: - -x 1x X1X j ,l'i,l' - X
84
l
+ x . o bien,
+ y¡
= r 2.
85
TANGENTES Y NORMALES
La ecuación de la normal es y -y 1 = Y1 (x - x 1), X1
x = X1Y1 -X iY1 = O.
o bien,
XiY -y 1
PROBLEMAS RESUELTOS l.
y
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal xi a la elipse + by2 = 1 en el punto P (x1, y 1).
a
.
2
Sea Q un punto de coordenadas (x1 + h, y1 + k). Sustituyendo tas coordenadas de P1 y Q en la ecuación dada,
YT -
xr
(1 )
+ b2 - 1
a?.
+ h)'l + (y + k) =
(x1
( ) 2
y 2
1
X l.
b2
a1
Desarrollando (2) y restando ( 1) de (2), 2b2hx1 + b2h2 + 2a2ky 1 + k2a2 = O. . k b2(2X1 + h) Despejando, Ti = - a2( y +k) , 2 1 Teniendo en cuenta y -y 1 = m( x -x 1) resulta y -y1 = - b:x i (x -x 1)
a y, o bien a y¡y -a'yr = -b2x,x
+ b2xf . X i: + _Y { = 1 , que
2
Como bixr
+ aty¡ = a'b'. se
iene b'x1x
+ a2y 1y = a2b2, o bien,
ª
ecuación de la tangente. 2
La pendi ente de la normal es
b ª/1 , y su ecuación a2y 1x -b2x1y
2
= (a
b2)XtY1·
-
Xi
2.
Hallar las ecuaciones de!a tangente y de la normal a la parábola y• = 4ax en el punto Pi(x 1• y 1).
y
Sustituyendo t as coordenadas de P1(x1, y 1) y Q(x 1
+h, y + k) en la ecuación dada, 1
= 4ax 1
yf
k
y
(y 1
+ k)
2
=
4a(x 1 + h).
Desarrollando y despejando el valor k/ h, 4a • k • 4a
h=
2y1
+k '
y
1
im.
h=
1
tm. 2y 1 + k
= -2a . )'¡
La ecuación de la tangente es y -y 1 = 2a (x - x 1),o bien, y 1y -y f
= 2ax - 2ax 1•
)'¡
Como
y¡ = 4ax 1, esta
en ta forma
y 1y
ecuación se puede escribir
= 2a(x + x1).
La pendiente de la normal es -
y su ecuación, y 1x + 2ay = XiY 1 + 2aY1·
es la
86 3.
TANGENTES Y NOR MA LES
Hallar la ecuación de la tangente a la curva xy = a2 en el punt o P1(x1, yi). Sust ituyendo las coord enadas de los puntos P1(x1• y 1) y Q(x 1 + h. y 1 + k ) en la ecuación dada, y despeja ndo e l valor k/ h,
!__
Y1
+k
y
lim.
x1
h -
.!!_
+ k_ = _
Y1.
X1
X1
= _ lím. Yt
Ji
La ecuación de la tangente es Y - v1 =
- Yt (x -x 1) ;
•
X¡
q uitando d enominadores, x 1y - X 1Y1 = -y.x
X1Y 1
+ x y = 2x,y, = 2a ()'¡x + x ,y ) = a
o bien. y 1x q ue se puede escri bi r
+
2 ,
1
2
/
•
Asi , pue s, para establecer la ecuación de la tangen te en un pun to P1(x 1• y1) de una cu rva dad a por una ecuación de segu ndo grado ba sta con su stit ui r x 2 por x,x. y 2 por }' iJI, xy por 4.
(y 1x
+ x y), 1
+ x ,) e y
x por Hx
Sea P 1T y P1N las longit udes de la tangente y de la n ormal, respectivamen te, a u na cu rva en el punto P1• Las proyecciones ST y SN se denominan subta ngcntc y !>ubnorrnal. respecti vamen te, en P1•
por
HY + y 1).
y
Llama n do m a la pend iente de la tangt> nte en P,(x 1• y 1). resulta
-2'..!. = longit ud de ubtangente, m
y 1m = longitud de subnorma l. . ST 1 y ST Esto es ev e ya que = -cot O = ident -
e
Y1
Tambi én, SN
= - Y1 . 111
/11
= -cot = -cot(O ·-90'') = t g O = 111 y SN ==
111y 1.
Y1
Las subtan gente y subnorma l se miden en sen t id os opu est os, es deci r, son de signo contrario. Para ha llar las longit udes de la ta ngente y de la n ormal se a pl ican las relaciones pi t agóricas en un triángu lo rectángulo.
1
1
5.
Hallar las pendi entes de la tangente y de la norma l a la circunferencia x2 Teniendo en cuen ta que
111
= -2, la
pend iente de la t a ngente es -
= 5 en
3
t:I punto (2. 1).
y la corre;;pondien te de 1
J" 1
1 la normal vale -
+yt
. 2 2
6.
H allar las pendientes de la tangente y de la n ormal a l a el i pse · ; a2x 1
La pend iente de la tangentees m = - h2 16(2) 111
svs
.
y,
•
·:: - 1 en el punto
(2. -4 2).
Sustituyend o las coordenadas del punt o dado.
3 vs
= - ( VS/ J ) = - ---, y la pend iente de l a normal--. 15 8 94
TANGENTES Y NORMALES
87
7. Dem ostra r q ue Ja pendien te de la ta ngen te a la cu rva 4x 1 4xy 1 y 2 -9 O en un punt o cualquiera de dla es 111 - -2. k Tomcmo los dos pun t os P,(x • y ) y Q( x -! h. y 1- k ) , y h allem :>s e l lím it e de . h 1 1 1 1 Sust it u yendo . ( 1 ) 4(x 1 -l hf -l 4(x1 1 /¡) (y1 1- k ) ! (y1 ¡ k ) 2 - 9 - O y ( 2) 4x _¡_ 4_,·1y1 -1 J'I -9 O. Desarro lla nd o ( 1 ) y restand o (2) de d icho desarrol lo. . k 8x1 -t- 4y 1 li m . - --/¡
4.\º 1
+ 2)'1
-2.
Orro 111ér odv. La ecuación or igi nal se puede escri bi r en la for ma (2.\' i y )2 -9
Descom poniendo en factores. (2x pe nd il!nt e igu a l a -2.
+y +
3) (2x \- y - 3) = O. q ue son dos rectas pa ra lelas de
36
ta ngente a la h i pérbola 9.\ 2 -- 4y2 .-=
8. Hal la r l a pend i en te de l a
Tomem os l o dos pun t os P1(.\·1 , y 1 ) y Q(.\ 1
+ /1. y 1
en el pu n to
k ). y h alle1 10!> el límite de
Sust i t u yend o. ( 1 ) 9(x 1 f- /¡) -4(y1 -! k)2 == J6 y (2) 9xr - 4Ji -- 36. ·. i< . 4k 2.r1 l /¡ k ¡ y lim. ¡; Oe:-.arrol l an do y despejando /," se obtiene
.
9
5)
(
= O.
(3.-3ys ).
.
9x1
-4J' = 111. 1
3\ 27 9 Vs es m = , La pen d iente en 3. = -IO-. 2 6 15 9. Hal la r las pe nd ien tes de la tangen t e y cie !a normal a la cu rva y 2
Tomemos los pu n t os de la curva P1(x 1• y1) y Q(x 1 1 /i , y 1 Sust it uyendo.
f
{1 ) (y1
\-
--:
2. ª en el pu n t o (2, 4).
+ k ).
k ) =' 2(x 1 + /i)ª.o bien. yf f 2ky 1 1 k 2 = 2x1 2
+ 6xih + 6x ¡l1
3
y¡
=- 2x . Rest an d o (2) del desa rrollo de ( 1 ) e obtien e. 2k y 1 1 k 2 6x .2/1 + 6.r1'12 + 2'13 • k 2 Por ta n t o. = 6.r¡+ 6x1h + 2/i y 1.1m. k -= 6x¡- = -Jx ¡ ·-/1 /1 2yl + k .1 •I'1 12 En el pu n to (2, 4), 111 = lí m . =· = J. La pend iente de la norma l vale 4 y (2)
t- 2h
-
2x3 en el pun t o (2. 4).
10. H:ll la r las ecuaciones de la ta n gen te y de la norm al a la cu r va y 2
En el Problema 9 se vio que la pendien te de est a cu rva en el pu nt o ( 2. 4) vale 3. Por ta nt o. la ec uación de la tange n te es y -4 =- 3 (.\ -2). o bien . y = 3x -2. La ecua ción de la n ormal es y -4
= -H x -2). o
bien . x
+ 3r
= 14.
11. H a llar las ecuaciones de la ta n gen te y de la n ormal a la curva x2 f 3.ry -- 4y2 e n el pu n to ( 2. -1 ).
+ 2,·-y + 1
Apl icando la n or ma dada en e l Problema 3, X ¡X
+ 3( X 1Y
1
)' ¡X ) - 4)'1;'
+ 2( X
.i
X1 ) - ( )
Y1 )
+ 1 = 0.
O
88
TANGENTES
Y NOR MALES
Su st it u ye n d o x 1 '- 2, y1 = -1. resulta 3x + 1 3y +·7 = O, ecuación de la tangente de pend iente -3í1 3. 1 La l'Cuació n de la n ormal es y + 1 = - (x -2). o bi en , l 3x -3y -29 = O. 3 12. Ha lla r la ecuacion es de las rect as de pendien t e m tan gentes a la el i pse (1) b2x2 -1 a2y2
Las ecuaciones pedidas son de la forma (2) y
=
= a2b2.
mx 1- k.
+ a (mx + k)2 = a2b2 . Desarrollando y red uciendo términos, (3) (b2 + a2m2)x2 + 2a2mk x + a2k 2 -a2b2 = O. 2
Del sist ema ( 1) y (2) se obt iene b)
..
2
Pa ra q u e las recta s sean tangentes a la cu rva , las raíces de (3) deben ser iguales, es decir, el d iscriminan t e ha de ser igua l a cero. Por consiguie nte, 4a4m2k 2 -4(h2
+ a2m2) (a2k 2 -a2b2) = O, o bien, k 2 = a2m2 + b2, y k
=
± va2m2 + b2•
Las ecuacion es de las recta s de pendien te m y ta ngentes a la el ipse son y = mx
± va2m2 + b2•
JJ. Hallar las ecuaciones de las tangente s a la el ipse x2
+ 4y = 100 para lelas a la recta 3x + 8y = 7. 2
La pend iente de la recta dada es -3/ 8. Lu ego las ecuacion es pedida s son de la forma y =-
x
+ k , siendo k u na constante a determi nar .
Resolviendo el sistema formado por esta ecuación y la correspond iente de la elipse e imponiendo la condición de q ue las raíces sean iguales, se ded uce el valor de k . Así, pues, x2
+ 4(-
X
+k
r-
100 = O, o bien , 25x2 -48k x
+ (64kt - 1.600) = o.
Para que las raíces sean iguales, el d iscri minante ha de ser cero, o sea, (--48k)2 - 4(25) (64k2 - 1.600) = o.. 25 L .. uego 1as ecuac1..ones pedº1d as son y = - 3 x ± 25 Resol vi.endo. 16k 2 = 625, k = ± o bien, 3x
+ 8y ::!- 50 = O.
4
8
4,
y
Problema I J
Prnblema
14
14. Ha llar las ecuacione s de las rectas q ue pasan por el pu nto (-2, -1 ) y sean tangentes a la elipse 5x2 -1 y2 = 5.
Sea P1(x1• y 1) un punto de contacto. La ecuación de la tangente es de la forma 5x 1x + y 1y = 5; como el punto (-2, -1) pertenece a la tangente, -10x 1 -y 1 = 5. Por otra parte, el punto (x¡, y 1) perten ece a la elipse, con lo que Sx¡+y ¡ = 5.
' TANGENTES Y NOR MALES
89
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene pa ra (x1, y 1) los dos puntos de contacto
15 ). Susti.tuyendo estos valores en 5x x + y y = 5 resultan. 2x -y + 3 = o (-32 ·35 ) y (-72 • - 1 y 2x
1
+ 3y + 7 = O.
1
15. Hallar , en el punto (-! 1), las l ongitudes de su btangente, su bnorma l, tangen te y normal a la elipse 9x2
+ y2 =
y
1 8.
Pa ra hallar la tangente, aplica mos la fórmula 9x1x
+y y = 1
18.
Sust it uyendo las coord enadas del punto -9x
+ 3y = 18, o bien , 3x -y + 6 = O. Luego m = 3. N X
Subtangente ST = -y 1 / m = -3/ 3 = -1. Subnormal SN
= my 1 = 3(3) = 9.
Longit ud de tan gente, PT = v'32 + J2 = v'Tó. Longit ud de n ormal, PN = v'92 + 32 = 3 v'Tó. DEFI N ICION. El l ugar geométrico de los puntos med ios de un sistema de c uerdas paral elas a una cónica cualq u iera recibe el nombre de diámetro de la mi sma Si la pendiente de las cuerdas paralelas es m, Ja Y ecuación del d iámetro determinado por los punto s medios de ellas es: x2 yz Para l a el i pse + /jí = 1, 02
2a
Para la pa rábola y 2 = 4ax, x2 Para la hipérbola
02
Para la hipérbola xy
y2 -b 2
= a1,
y = -.
=
I, y
=
m b2x a2m .
y = -mx.
Para el caso general de la cón ica ax2 + 2hxy + by2 + 2gx diámet ro toma la forma (ax + hy + g ) + m(hx + by +/) = O. Hallar la ecuación del diámetro de la elipse . 1 pend 1ente
xi
9
+
+ 'l.fy + e = O,
la ecuación del
y2 = 1 corre spondiente a las cuerdas de 4
. 3
x , la ecuac·1on d eJ d 1 ' ametro es y Ap l 1. cando y = - ab''m
=-
4 ( l x/J) , o b'1en, 4x 9
+ 3y = O.
17. Hallar la ecuación del d iá met ro de la cónica 3x2 -xy -y2 -x -y - 5 correspond ien t e a las cuer-
das de pend iente 4. A plican do ( ax + hy + g) + m(hx + by +/ ) = O, si endo a = 3, h = -!, b = -1 , g = y e = -5, se obtiene 3x -!y -!+ 4(- x -y - ) = O, o bien , 2x -9y - 5 = O.
f =-
-,
r
90
TANGENTES Y NORMALES
18. Hallar la ecuación del diámetro de la parábola y 2 = l 6x que pase por los puntos medios de las cuerdas paralelas a Ja recta 2x - 3y = 5. . la pend 1ente de Ja recta 2x -3y -5 Para la parábola y 2 tro es y =
=
= 4ax, la ecuación
-2r·
O es
del diáme-
.3!!... Luego Ja ecuación pedida es y = m
o bien, y -12 = O. 19. Hallar la ecuació n del diámetro de la hipérbola xy das de pendiente 2.
8 , 2! 3
=
1 6 que pase por los punto s med ios de las cuer-
La ecuación del diámet ro de la hi pérbola xy = a2 que pasa por los puntos medios de las cuerdas de pendiente m es y = -mx . L uego la ccuac.i ón ped ida es y = -2x.
PROBLEM AS PROPUESTOS 1.
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las circunferencias siguientes en los puntos dados: a)
b)
+ y = 25, (3, 4). 2x + 2y 3x + 5y -2 = O, (2, O).
x2
2
2
2
-
e) x2 + y2 -6x + 8y -25 = 0, (-2, J ).
2.
Q 5.
Sol. Sol.
H allar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la el ipse 2x2
(-3, 2). 3.
+ 4y = 25 ; x + y -2 = O; x -y + 3 = O;
Sol. 3x
So/.
x -y
-L.
4x - 3y = O. x -y -2 x
= O.
+ y + 1 = O.
3y2 -30 = O en el punto
+ 5 =; O ; x +y + 1 = O.
Hallar las ecua-::iones de la tangente y de la normal a la eli pse 3x2 + 4y2 - 6x + 8y -45 = O en el punto (--3, -2). Sol. Jx + y + 1 1 = O; x - 3y - 3 = O. Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a la parábola x 2 -4y := O en el punto (2, 1).
Sol. x -y - 1 = O; x
+y .:..... 3 = O.
Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a las hipérbolas siguien tes en los puntos dados: a) 6x'-9y2 -S x
+ 3y + J 6 = O, (-1 , 2).
b) x2 -2xy -y2 -2x e) xy - 4 = O, (2, 2).
+ 4y +--4 = O, (2, -2).
Sol. 20x Sol. . Sol.
3x
+ 33y -46 = O; 33x -20y + 73 = O.
+ 2y
- 2 = O;
x +y -4 = O;
2x -3y - 10 = O.
x -y = O.
6.
Hallar las ecuaciones de las tangentP.s a Ja hipérbola Sx2 -4y2 = 4 en los puntos de intersección con la recta 5x -2y -4 = O. Sol. 5x -2y -4 = O.
7.
Hallar las ecuaciones de las tangentes a la h i pérbola x2 -4y2 - 12 = O que pasen por el punto (l, 4). Sol. x -y + 3 = O; I 9x + lly -63 = O.
8.
Hallar los puntos de la hipérbola x2 -4y2 - 8 = O en los cuales las tangentes son perpeQ.diculares 1ov34 4v34 ). ( -1ov34 -4v34 ) 4x Sy -2 = O. Sol.
a la recta
+
(--
-,-
17
•·
•
17
17
·
TANGEN TES Y NORMALES
Hallar la pendien te de la curva r = x ª
9 1
+ 2r en el punto ( Xu )'¡).
SoI.
= 3xL+ 4x,_ .
l ¡m . }!_
h
2yl
Hallar las ecuaciones de la t an gente y de la normal a la curva del problema ante rior en el pun t o (2. -4). Sol. 5x 2y - 2 = O; 2x -5y - 24 = O. Hallar las longi t udes de la subtangente y de la subnorma l a la cu rva y2 = .\.a ( 2. -4). Sol. -8/5. 10. a)
b)
H allar las longit udes de la tangente y de la norma l a dicha cur va.
J 2. Hallar la ecuación de las t angentes a la hi pérbol a 2xy Sol. 2x + 3y - 8 = O; 2x + 3y + 8 = O.
+y
2
-
Sol.
--1-
2x2 en el punto
4 29 , 2V29. 5
8 -. O de pe nd iente m = -2/3.
13. Hallar las ecuaciones de la t angente 'I de la n orm al. así como las lon gi tud es de la subtangente y de la su bn orm al , a l a curv a y 2 -6y -8x -31 = O en el pu n t o ( -3, -1 ). Sol . x 1- y 1- 4 =- O: .\' - y -t 2 O: -1 , l. 14. Hal lar la pe n die n te de la ta nge n t e a la cu rva 4x2 - l 2xy f- 9y2 - 2x + 3y - 6 = O en un punto cua lq u iera. (x1,y1), de ella. Sol. 111 2/3. I n terpreta r este resu ltado. 15. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva 4x2 - 2y2 - 3xy + 2x -3y - 10 = O paralelas a l a recta x -y + 5 = O. Sol. x -y - 1 = O; 4 1x -4 1y + 39 = O. 16.
H a llar las ecuaciones de las tangen tes a la hi pérbola xy Sol. 2x 1 y -4 - O; 2x l- y + 4 = O.
= 2 perpe n dicul ares a la rect a x -2y = 1.
¡ 11°':) ¡,En q ué pu ntos de la elipse x2 + xy + y2 - 3 = O las tangentes son pa ralelas al eje x? ¿En qué " pun tos son pa t ale t as al eje y?
Sol . ( l . -2), (-1 , 2): (2, -1 ). (-2. 1).
18. (.En q ué pu n tos de la curva x2 -2xy + y + 1 = O las tangentes son paralelas a la recta 2x +y = 5 ? Sol. ( l. 2) y (0. -1). 19. Halla r las ecu aciones de las rectas q ue pa san por el pu n t o (5. 6) y sean tan gentes a la parábola y2 = 4x Sol . x -y + 1 = O; x -5y + 25 = O. 20. Demost ra r q ue las t a nge n t es a la parábo la y2 d icul a res, es decir. :;us pe n d ie n t es son ± I .
=
4ax en los ex tremos del latus recfum son perpen-
21. Ha l la r las ecuaciones de la ta ngen te y de la n ormal a ta parábola x2 Sol. 6x -5y -9 = O: 25x + 30y - 129 = O.
=
5y en el punto de abscisa 3.
22. Demostr ar que las ecuaciones de las tan gentes de pendiente m a la parábola y 2 = 4ax son y = mx
a (m #- O). + -,
m
23. Demostra r q u e las ecuaciones de las tangentes de pen diente m a la circunfe ren cia xi
+y1 = a
1
son
)' = mx J: a\lm2 + l. 24. Demostrar q ue las ecuaciones de las tangen tes de pend iente m a la hi pé rbola b2xi -a2y2 son y = mx :r va2m2=b2, y a la hi pérbola b2x2 -a2y2 = -a2b2, y = mx ± Vbi -a2m2•
'
25. Hallar las ecuacione s de las ta nge n tes a la elipse 5x2
- 1 2 = O.
Sol. 3_v = 4x J-
+ 7yi =
= a2b'-
35 perpend iculares a la recta 3x
+ 4y
,'¡5·:y_
26. Hallar las ecuaciones de las t a ngen tes a la hi pérbola 16x2 -9y2 = 144 para lelas a la recta 4x -y
-14 = O.
Sol. y = 4x
+ 8../2.
92
TANG ENTES Y NOR MALES
27. La parábola y2 = 4ax pasa por el punto (-8, 4). Hallar la ecuación de su tangente paralela a la recta 3x 2y -6 = O. Sol. 9x 6y = 2.
+
+
28. Hallar la ecuación de la tangent e a la curva x3 Sol. (y -ax1)y + (x f -ay1)x = aX1Yi· 29. Hallar el valor de b para que la recta y = mx Sol. b = -am2•
+y' = 3axy en el punto
P1(x1, y 1).
+ b sea tange nte a la parábola x2 = 4ay.
30. Teniendo en cuenta el resultad o del Problema 29, hallar la ecuación de la tangente a la parábola x2 = -2y que sea par alela a la recta x - 2y - 4 = O. Sol. 4x -By 1 = O.
+
31. Hall ar la ecuación del d iámetro de la hipérbola x2 -4y2 = 9 que pase por los puntos medios de las cuerdas a) de pend iente 4. Sol. x - l 6y = O. b) de dirección 3x -5y -2 = O. Sol. 5x 12y = O. e) de d irección la tangente en (5, 2). Sol. 2x -5y = O. d) de dirección la asíntota de pendiente positiva. Sol. x -2y = O. 32. Hallar la ecuación del d iámetro conjugado del de ecuación x - l6y = O en el Problema 31 a). Sol. 4x -y = O. 33. Hallar la ecuación del d iámetro de la el ipse 9x2 + 25y2 = 225 q ue pase por los puntos medios de las cuerdas de pend iente 3. Sol. 3x + 25y = O. 34. Hallar la ecuación del d iámetro de la parábola y2 cuerdas de pendiente 2/3. Sol. y = 6. 35. Hallar la ecuación del diámetro de la el ipse x 2 y = 3x. Sol. x + l 2y = O.
=
8x que pase por los punto s medios de las
+ 4y = 4 conjugado del diámetro de la ecuación 2
36. Hallar la ecuación del diámetro de Ja cónica xy + 2y2 -4x -2y + 6 = O que pase por los puntos medios de las cuerdas de pendiente 2/ 3. Sol. 2x + l l y = 16. 37. Hallar el d iámetro de la cón ica x2 -3xy -2y2 -x -2y - 1 = O que pase por los pun tos medios de las cuerdas de pendientes 3. Sol. 7x + l 5y + 7 = O. 38. H.llar la ecuación del d iámetro de la elipse 4x2 cuerdas, a) de pendiente -2/ 3. b) de dirección 3x -5y
= 6.
+ 5y = 20 que pase 2
Sol. 6x - 5y Sol. 4x
39. Hallar la ecuación del d iámetro de la hipérbola xy cuerdas de dirección x + y = 1. Sol. y = x.
=
por los puntos medios de las
= O.
+ 3y = O.
16 q ue pase por los puntos medios de las ,
•
CA PITULO
1 1
Curvas planas de orden superior CU R VAS PLA N A S DE ORDE N SUPER IOR. U na cur va algebraica es aq uella que se puede representar por med io de u n pol i nomio en x e y igua lado a cero. Las curvas q ue no se pueden represen tar de esta form a, como, por ejemplo, y = sen x, y = ex, y = log x, se llaman curvas trascendentes. Las cu rvas a lgebraicas de grado superior al segundo jun to con las trascendentes reciben el n om bre de curl'as planas de orden superior. Para el est ud io de las si met rías, intersecciones con los ejes y cam pos de variación , véase el Capítu lo 2.
PROBLEMAS RESUELTOS l. R epresent ar la curva y2 = (x - 1) (x -3) (x - 4). Es simétrica con respecto al eje x, ya que la ecuación no va ría cuando se susti tuye y por -y. Los pu ntos de i ntersección con el eje x son 1, 3, 4. Para x = O, y 2 = -12 ; por tan to, la curva no corta al eje y. Para x < 1 , todos los factores del segundo miembro son negativos, con lo que y es imaginario. Pa ra 1 x 3. y es real. Para 3 < x < 4, y2 es negativo y, por tanto, y es imaginar io. Pa ra x ;;:; 4, y 2 es po sit ivo, con lo que y es real aumen tando ind efin idamente de valor numérico a medida que lo hace x. Formamos un cuadro de valores para determinar punt os de la curva. y = ± v(x - l)(x -3)(x -4).
--------
1
·---·
X
y
15
1
1
2
± 1 ,37
1
5
_± _1,62 - ± 2,83
± 1,41
5,5
6
±4,1 1
± 5,48
y
y
'1
4
1 1
1
1 1 1 1
1
3
o
1
'1 1
+
1
3
1
-----+ - -- ---¡--y-2
X
-2
'
-l
1
-4
!1 XI
-1
'
2
Problema l
I
Dibujar la curva x y -2x 2
le s
X
'
Problema
2.
4,5
1
2
- l 6y
= O.
Corte con los ejes. Pa ra y = O, x = O ; para x = O, y = O. . . . Simetrías . La curva es simétrica con respecto .al eje y, ya q ue la ecuación no vana al sust1tu1r x por -x. N o es simét rica con respecto al eje x ní con respecto al origen. 93
p:¿:e
;a:
94
CURVAS PLANAS DE OR DEN SUPER I OR
2x2 Despejando x e y se obtiene (1) Y = x 2 _
y (2)
X
= ±4
16
V
y
-
(x -4)
2x2 ----,-.,.... (x + 4)
2.
De ( 1) se ded uce q ue y se hace infin ito cuando x tiende a 4 y a -4, tomando valores mayores y menores que estos. La curva existe !)ara todo s los demás va lores de x. De (2) se ded uce que no existe curva para O < y < 2. Cuando y tiende a 2, tomando va lores mayore s que éste, x se hace infinito. Las rectas x = ± 4 e y = 2 son asíntotas.
o o
X
y 3.
±1
±2
±3
-0, 1 3
-0,67
-2,6
= x2 xª _
=
± 7 ±8
.
+ por y = x
= -1
X
x2 _ . Cuan1 1 do x aumenta indefinidamente , y también lo hace , y la Expresemos y
fracción
x2 _
±6
1
Para x = ± 1,y se hace infinito; lugo x = 1 y x son dos asintotas verticales . ..\-3
±5
+ y = O.
Representar la cu rva x3 -x2y Despejando y, y
±4
± oo - - - ------ --± oo 5,6 3,6 3.0 2,7 2
x tiende a cero. Por tanto, la recta y = x x2 - 1
es una así ntota de la curva. Para x > 1, un a rama de la curva está sit uada por encima de la recta y = x ; para x < -1, la otra rama está por debajo de y = x. La cur va pasa por el origen y es simétrica con respecto a él. En la tabla siguien te figu ran algun os valores de x e y. X
± 1/2 -
y
:¡:l/6
o ±1 - -o 00
± 1,5
±2
±2,7
± 2.67
1
r
± 2,5
±3
±4
±3.0
± 3,4
±4,3
Esta curva también se puede representar por el método de la suma de ordenadas. Para ello, sean Y 1 = x e y 2 = x2 .::_
1
. Traemos las gráficas de estas dos ecuaciones sobre un mismo sistema
de coordenadas y, a continuación, sumemos las órdenes, y 1 e y 2 , correspondientes a idéntica abscisa 4.
Dibujar la elipse 2x2 + 2xy de la suma de ordenadas. Despejando y, y
+y
2
-
1 = O por el método
-2x ± v'4x2 -8x2 + 4 = ---------2
= -x ± V I
x2•
Tracemos la recta y 1 = -x y la circu nferencia Y2 = ±vi x2, o bien, x2 + = 1. La elipse que resulta es simét rica con respecto al origen .
rz
CUR VAS PLA NAS DE OR DEN SUPER IOR
Funcion es trigonométricas. Di bujar la fu nción y
= sen x.
El ángulo x ha de expresarse en radiane s. (:7 radian es .\'
sen x
o 1 J_
:t :
Or±O
..L ! ± 2Jf3 '1 ± 5:ri T
---
- 2
±0,87
±1
1 1
95
=
1 80º:)
7:r
±-•
3n
4."7
±2
± 2n
:r 1
o
1
! ± 0,87 1
± 0,S
' o
l- 0,5 ' :¡:0,87
Como los valores de sen x se repiten periód icamen te. la función sen x se llama periódica , siendo el peri odo igual a 2n ; así. pues, la gráfica de y = sen x se compone de tramos exactamente iguales, uno por cada intervalo de 2::i radianes. Como además sen (-x ) = -sen x. la curva es simétrica con respecto al origen. Exi ste para todos los valores de x, y pa ra valores de y comprendidos, únicamente, entre y = J e y = -t. y
-----------/ ;;:;:-::::;;:::--
'
/ /
/ 2rr
De forma análoga se puede d ibujar la gráfica de y
s,. 1
o
0,5
--0,5
X
= cos x. Véase la l ínea de trazos de la figura.
± -6
±n
±
-0,87
-1
-0,87
l±
76'lt
4- 3:n
±
·¡ -0,S
32n
O
3 ±2:n 5
1
Como cos x = sen(x + n/2). un pun to cualq uiera de la cu rva coseno tiene la misma ordenada que otro pu nto de la cu rva seno situado n/2 u nidades a la derecha del primero. La curva es simétrica con respecto al eje vertical, ya que cos(-x) = cos x.
6.
Dibujar la curva y
= sen 3x.
Cuando x varía de O a 2rr, la función sen x toma todo s los valores de su campo de variación. En general, cuando x varía de O a 2n/11. o bien cuando nx lo hace de O a 2n, la función sen nx (siendo n una con stante cualquiera) t oma todos los valores de su campo de variación. En este problema n de sen 3x es 2n/ 3.
= 3. por
y
lo que el periodo
La curva es simétrica con respecto al origen. Ex iste para todo s los valores de x, y para los valores de y comprendidos. únicamente , entre -1 y l. X
o
1
:
1
;
2
;-r \
1
5
6"[
sen 3x
o
-¡-'--- -!-1
[
o
1
-1
1
o
1
1
1
:t
1
o
-
96
7.
CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPER IOR
Dibujar la función y
= tg x.
La curva es simét rica con respecto al origen, ya que tg (-x) = -tg x . El periodo de la función es n. La función se hace infinito cuando x sea un m ú lt i plo impar de n/ 2, y la curva toma todos los valores de y comprend idos entre x -n/ 2 y n/2. Ex iste para todos los demás va lores de x e y.
' - ;1
X
tg X
00
1
:re
:re
o 6 -.58 o
: -1
:lt
:lt
3
2
1 ,73
00
1
6
o.ss¡-1-
y
1
y 1
1 1
1
1
1 l
1 1
1
1
X
!
1
X
TI
1
1
1
-2
\
1
Problema 7
8.
o
: _< J -·¡ ' ( ''
,;'
í,
1
1 1
1 1
1
1
'
Problema 8
Dibujar la función y = sec x . La curva es simétrica con respecto al eje y, ya q ue sec (-x) = sec x. El periodo de la función es 2n. Como sec x = l /cos x, los valo res de sec x se pueden hallar fácilmente a parti r de una tabla de valores de cos x. Al ser el campo de var iación de cos x de -1 a + 1 , el correspond ien te de sec x es el conju nto de va lores de -oo a -1 y de 1 a + oo.
2:1t
2 ± -3
X
sec x
9.
Dibujar la función y
X
sen x sen 3.
-· en x
sen 3x
o o o
= sen x
:'7
M
2n
5,"l
2
3 -
6
-
6
3
0,5
0,87
1
0,87
0,5
1
o
-1
o
1
5n 3
1 l:t
4n
)r
6-
3-
T
-0,5 -0,87 -1 -0,87
o
1
-2
00 :lt
±
-1
+ sen 3x por el método de la suma de ordenadas.
:'7
1n
-1
1
o
±n
o
_ _ _I
o o
X
-6-
2".t
-0.5
o o
-1
y
-1
y 1 = sen x
( y = sen x
+ sen 3x
10. Funcíones exponencia les. Dibuja r la función y la unidad.
= a.r, siendo
a una constante positiva y mayor que
Para concretar , su po ngamos a = 5. La ecuación a representar es y = 5x. Para x = O, y = 5° = 1. Cuando x aumenta. y también aumen ta. Para valores negat ivos de x, 5·• es positivo pero disminuye de valor. Luego la curva está sit uada, toda ella , por encima del eje x. La curva no es simétrica ni con respecto a los ejes n i con respecto al ori gen. Para valores negativos de x, al au men tar x en valor absolu to, la curva tiende asintóticamente hacia el eje x. X
-
o
--
y
2
-1
-2
-3
--4
25
0,2
0,04
0,008
0,0016
y
\
2S
1
''
y
\
y•S"
\
's
\
'\ \
20
-4
y·e_."..\
15
3
'' ''
10
,
.......... -2
-1
2
3
X
-1
l ·
Problema 11
Problema /O
11. Dibujar la función y
= ex.
El n úmero e = 2,7 18 es la ba se del sistema de los loga ritmo s natura les o neperianos. X
-3
-2
-1
e-
0,050
0,135
0,368
-- ---
-O.5
o
0,606
1
'
º·5 - - --- 1 ,65
1
2
-- -2.72 7,39
La gráfica de y = e-·• es, como ind ica la figu ra , si métrica de la correspond iente a la función y = e" con respecto a l eje y.
12. Representar la función normal de probabil idad y = e-"'. La curva corta a l eje y a "una un idad del origen. y no corta a l eje x. Es simétrica con respecto a l eje y. El eje x es una asín tota ; cuando x -·-7 ,y O. La cu rva est á sit uad a. t oda ella, por encima del eje x , ya q ue e ·" > O para todos l os valores de x. y
o -X
)"
1
j_ 0,5
±1
-1 1 .5
..f.2
0.78
0.37
0,1 1
0.02
13. Funciones logarítmicas y
1
La gráfica de y = log11 x , llamada cu rva logarítmica . d ifiere de la correspond iente a la función relativa de los ejes. En efecto, ambas ecuaciones se pueden escri bir en la misma
= a• en la posición
CU RVAS PLA NAS DE ORDEN SUPER LOR CUR VAS PLANA S DE OR DEN SUPER IOR
98
fonna, exponencial o logarít mica. Sea, por ejemplo, a = 10 y dibujemos la función
97
y
y = log10 x, (o bien, x = IQY). Como x no puede tomar valores negativos, toda la cu rva estará a la derecha del eje y. Pa ra valo res positi vos de x < 1 , y es n egat iva. Pa ra x = 1 , y = O. Al aumentar x, y también aumenta. La cu r va no t iene simetrías. El eje y es u na asíntota . X
O,t
y
-1
--
14. Dibujar la función y
0,5
2
1
-1
4
5
10
0,60
0,70
1
3
---------·
o
.30
... X
3
0,30 0,48
= lo (x2 -9).
y
{x2 -
Para y = O, lo 9) = O, de donde, x x = ± V I O. La curva no cort a al eje y.
2
-
9= 1,
5 3
Para lx l < 3, y es imaginario. Si lx! > \110, y es posit ivo. Para 3 < lxl < vlO,y es nega t ivo. Las rectas x = ± 3 son dos asíntota s.
_, -s
La curva es simétrica con respecto al eje y .
-4
1-) -2
o -1 _ ,
-1
-3 X
._ y
± 3, I
---.49
± 3,2
± 3.5
±4
0,22
1,18
1,95
±5 -
-2,77
-!:6
3,29
15. Ecuaciones paramétricas . Alguna s veces con vien e expresar x e y en fu nción de una terce ra va ri able o parámetro. Las dos ecuaciones de x e y en función del parámetro se llaman ecuaciones pa ramétricas. Dand o va lores al parámetro se obtienen pares de va lores correspond ien tes de x e y. U ni endo los puntos así determinados resu lta una curva , q ue es la repre sen ta ción gráfica de las ecuaci ones para métricas. y Dibujar la curva x = 2t, y = . 1 1
± 1/4
X
-- -±-1/2 y
±8
± 1/2 ±1
±4
±1
±2
±3
±4
±2
±4
±6
-±:8
±2
±l
± 2/3
::J- 1/ 2
-
-
1 -2
2
4
6
X
8
_,
La curva es simétrica con respecto al origen . Los ejes x e y son dos asíntotas .
-
-e
Eliminando el parámetro t se obtiene la ecuación de la curva en coordenadas rectangula res, xy = 4. Esta es la ecuación de una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son Jos ejes coordenados.
para e)1' m.mar e 1 para•metro t, susti.tui.mos /
=
2
2 en y = t ' es X
d ec.1r , y = xi2f ' o bi'co, xy
=
4.
Rep:esentar la curva cuyas ecuaciones paramét ricas son x = t
--X )'
-3
1
4,5
1
--6,75 1
1
o o
-2 -1 -2----0,5
0,5
2 2
4.5
0,25
2
6,75
1
t 2 , y = tt3.
3
- ---2
u
--0,25
1
Eliminando t, la ecuación de la curva en coordenadas rectangulares es 2y2 = x3 , que es una parábola semicúbica. La curva es simétrica con respecto aJ eje x.
X
21iminemos el pa rámetro t : De x =! t 2 o 2x = t 2, se obtiene (2x)3 = (t2)3• De y = !tª o 4y = t3, se obt iene (4y)2 = (1ª)2. Lu ego (2x)3 = 16 = (4y)2, o bie n , x3 = 2y2• 17. Representar la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t t
es
-5
-4
X
----4 -3-
y
-
5
--
o
-3 -2
- --3
+ 1, y = t( t + 4).
-2 1 -I , -I
i1 -- o o 1 o
-4 1
1 ,
2
2 1
3
5-,
12
Eliminando el parámetro r , la ecuación en coordenadas rectangulares es y = x 2 una parábola.
+ 2x -3, que
y
!t
o -l
•I
X
2
-1
X
-4
Pr oblema 17
Problemn / '?
18. R epresentar la cu rva cuyas ecuaciones paramétricas son x = 2 cos O, y = 4 sen O.
l
o
!
Oº 30° 60' 9º'1 200 150'. 1 210• 240º 270° 300° 1 330º 360º 2 1 ,7 X -2 -1,7 -1 o 1 o -1 j -1,7 --y o 2 3.5 1 4 -1 3,5--1 2 1 O -2 - 3,5 -4 -3,s l --2-\0-
11 1.7'2
- '- -
x2
Eliminando el parámet ro O, la ccl.lación en coordenadas rectangulares es reprr.sent una el ipse. Eliminemos el pa rá metro O : cos ú
--
-
X
=2
y sen O =
y
4.
Lu ego
cos2 0 - sen o = 1 :..::
X2
)'
4+
16
.
y2
4 + 16 = 1, que
CURVAS PLANAS DE ORSUPERIOR DEN SU PERIOR CURVAS PLANAS DE ORDEN
100
99
19.La posición, con respecto al tiempo t, de un proyectil lanzado con una velocidad inicial V0 que forma
con la horizontal un ángulo (} viene dada por las ecuacione s x = ( V0 cos O)t, y = (V0 sen O)t -igt2, siendo g la aceleración de Ja gravedad-igual a 9,8 metros por segundo en cada segundo (m/s2)-y en las q ue x e y se expresan en metros (m) y r en segundos (s). Dibujar la trayectoria de un proyecti l siendo () = are cos 3/5 y V0 = 40 metros por segundo (m/s). Para mayor facilidad de cálculo, tómese g = J O m/s2• ·y se tiene, x = 721,
Como sen () =
-
60
y = 961 - 16t2•
o
l 2 3 4 5 6 -- ---- --o 24 48 72 96 120 144 ------ -- ---48 35 12 y 27 41J 51 o 1
X
30
60
90
120
X
. . d -4x - 5x2 , que es una para, bo1a El1m1nan o t, y = 3 576 de eje vertical. La ordenada del vértice es 51,2 metros, y el alcance máximo 153,6 metros. é . . param son x = 2at 2 , y = 2at3 20. Representar 1a curva cuyas ecuac + iones tncas 12 +1 1
,2
Para t = O, x = O e y = O. Para todos los valores de t positivos y negativos, x es positivo o cero ; y es positivo para t > O y negativo para t < O. La curva es simétrica con respecto al eje x. . 2at2 S1 ponemos x = 12 1
+
3a 'Y
2a
2a
=
+
a
, se observa que cuan
o ±1 -X- - a o y o ±a t
2a - 12
±2 ±3,2a
1
-a
±4
±3
l ,6a
2a
l ,9a
-2a
1
± 5,4a
± 7,5a
-3a
1
1 1
Eliminando t, se obtiene la ecuación en coordenadas rectangulares senta la Cisoide de Dioc/es.
y 2(2a -
= a cos30, = cos O y
(O.a)
= a sen30. sen (-0) = -sen y
Como cos (-0) O, esta curva es simét rica con respecto al eje x, y como sen (180º -fJ) = sen () y cos ( 180º -0) = -cos O, también lo es con respecto al eje y. Teniendo en cuenta que tanto el seno como el coseno son siempre menores q ue la unidad,
-a
o
x) = x3, que reprey
21. Representar la función x
l 1
l ,8a
----
x
a, y -a
y
X (-a.o)
\3,0)
a. (O.-a)
Oº
30º
60º
·
90º
X
a
0,65a
0,1 3a
o
y
o
l 0,1 3a
0,65a
a
- -
X
120º
150º -
180º
-0,13a -0,65a
-a
O,l3a
o
0,65a
-
El iminando O, la ecuación de esta curva en coordenadas rectangulare s es x 213 + y213 = a21a, q\.te re- , : presen ta una hipocicloide de cuatro lóbulos. Eliminemos el parámetro O : (x/a)213
+ (y/a)113 = (cos3f))213 + (sen38)213 = cos20 + sen20 = J , o bien, x2'3 + y21s = a2iJ.
22. Representar la cur va
x = a(O -sen O), y = a(l -cos O). Para {) = O, x = O. y = O. Pa ra O = 180º, x = :n:a, y = 2a. Para O = 360°, x = 2na, y = O.
X
e o··
120º
1 50º
X
30° 60° 90º Q 0,02a 0,18a 0,57a
l ,2a
2,l a
y
o
l ,5a
l ,9a
0,13a 0,5a
a
180º 210· 240° 270° 300º 330° 360º rea 4,2a 5,l a 5,1a 6, l a 6,3a 2rca l ,9a
2a
l ,5a
a
0,5a O,l 3a
o
Eliminand o el parámetro O, la ecuación de esta curva en coordenadas cartesianas es x cos
are
ª -y --./ 2ay -y
De y
2 , que representa una cicloide. a Eliminemos el parámetro O :
= a( 1 -cos O) se obtiene, cos O =
a -y
, de donde 8 = are cos a -y
a Sust i tuyendo en x
, y sen O
= -./
a
= a{) -a sen O se t iene, x = a are cos
ª
a
.!.. --./ 2ay -y2•
23. Expresar en forma paramétrica la ecuación x2 + 3xy + 3y2-ax = O.
= tx, resulta x2 + 3x2t + 3x2t2 -ax = O. Dividiendo por x se obtiene , x + 3xt + 3xt 2 -a = O. Haciendo y
. d a DespeJan o x, x = 312 + -3t + 1 , Y
at
= tx =
+ 31 + 1 · 312
PROBLEMAS PROPUESTOS Represen t ar las funciones de los Proble mas 1-14. l. (y2 -4)x -9y = O. x2 -4 9· Y = x2 -3x -4 · 2 . y = (x + 1) (x + 2)(x -2). 3. y2 = (x + J ) (x + 2) (x -2). 10 Y2 _ _ x -4 _
·
- x2 +2x -8 11. 4x2 - 1 2x -4xy + y 2 + 6y -7 = O.
4. y2(4 - x) = .r. 5. .r -x2y
+ 4y = o.
6. x y -3x2 -9y = O. 2
+ 4y -8 = O. + 2xy -4 + y = O.
7. x2y 8. x2
=a
2
12. x 3
+ 4x2 + xy2 -4y2 = O.
13. xy2 -xy -2x -4 = O. 14.
x21a
+ y213 = 0213,
-
.
a
102 CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR
101
Representar las funciones de los Problema s 1 5-22. 15. y = 2 sen 3x.
18. y -= cos (x -n/4).
16.y = 2 sen x/ 3. 17. y = tg 2x.
19. y = 2 sec .:"(/2. 20. y
21. y
= 3 cos
22. y =
= eot (x + ;i/ 3).
;(x - 1).
1
3ese 3x.
Representar las funciones de los Problema 23-28.
= are sen x. = 2 are tg 2x.
23. y 24. y
25. y
= 3 are cos x/ 3.
27. y = are ese 2x.
26. y = are src x .
28. y
=
are cot x / 2.
Representar las funciones de los Problemas 29-35. 29. y = 2eJCl2.
33. y = log10
30. y = 4 -x.
32. y =· log,.(3
+ x}.
eX
v'x'- 16.
35. y =
34. y = log.. v'27 -x3 •
+ e-x 2
Catenaria.
Representar las funciones dadas en los Probl emas 36-49 por el método de la suma de ordenadas.
+ y 2 -x = O.
36. 4x2 -4xy
43. y = x/ 2 + cos 2x.
+ y + x - 1 = O. 38. 3x 2xy + y 5x + 4y + 3 = O. 39. x + 2xy + y -4x - 2y = O. 40. 2x + y 2xy -4 = O. 41. y = 2 cos x + sen 2x. 42. y = ext2 + x2. 37. x -2xy
2
2
2
2
-
2
-
2
2
2
-
44.y = e -x + 2ex12. 45. y
= sen 2x + 2 cos x.
46. y = x sen x. nx 47. y = e -x12 cos-
2
48. y = xe -·x•. nx 49. y = x -sen --. 3
Expresar en forma paramétrica las funciones de los Problemas 50-55, teniendo en cuenta el valor que aparece de x o de y . 2 50. X - xy = 2, y = 1 -t. Sol. X = -, y = \ - t. I
51. x2 ·-4y2 = K 2, x = K sec O.
+ y3 = 6xy, y = IX . x2 -2xy + 2y2 = 2a2, x = 2a cos t.
52. x3 53.
Sol.
K tg O x = K sec O , y = --
Sol.
X =
Sol .
X =
2
2
61 1
2a
+ 13 '
x
55. x21a
+ y213 = az:a,
=
b cot
y = a senªO.
y·
y = -1 + tª .
t , y = a(cos t
COS
t
6t
Sol. x
= b cot 2,
± seo t) .
a2
I
y = 2b sen t.
3
Sol . x = a cos 0, y = a sen30.
Eliminar el parámetro de las fu ncion\.!s de los Problemas 56-59 y hallar sus ecuaciones cartesianas. xz yz 56. x = a sec (}, .v = b tg e. Sol. - - -- = I a2 bi (y + 2)2 (x + 1)2 57. x = 2 cos O - 1, y = 3 sen {) -2. Sol. + 9 = J. 4
58.
X =
t COS t , 3am
59. x =
·ts
l
+ m3 '
y
= cos 2t. 3am2
Sol. y = 8x2 - l.
y =
Sol. x3 +y3 = 3axy.
1 + m3 •
CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR
JOJ
60. Se lanza un proyectil desde un pun to A con una ve locidad inici al de 1 .000 metros por segundo (m/s) formando un ángulo de 35º con la horizontal. Hallar el alcance del proyectil y la d uración de la trayectoria. Sol. 95.800 m , 1 18 s. 61. Hallar el ángulo con el que se debe lanzar un proyectil a una velocidad de 400 metros por segundo
(m/s) para que su alcance sea de 12.000 metros (rn). Hallar, asimismo, la d uración de la trayectoria. Sol. 23º 42'; 32,8 s. 62. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 60º y u na velocidad inicial de 800 metros por segundo (mfs). Hallar el alcance y el vértice de la trayectoria . Sol. 56.500 m, 24.500 m. Representar las curvas cuyas ecuaciones paramétricas son las indicadas en los Problemas 63-70. l
67. X = ---
63. X = 4 COS 1, y = 4 sen t. 64. X = 1
+-1
65.
X = t2
66.
X =
1 y = t - -. t 1 '
+ 2,
68. x = I
1
y=
+ 1' .
+ t'
1
+ 12,
y = 41 - 13.
1
69. x = sen t + cos t, y = cos 2f .
y = t3 - l .
70. x = O -sen O, y = 1 -cos O .
4 tg O, y = 4 sec O.
71. Representar la curva cuyas ecuaciones paramétri cas son x
.
=
• •
72. Representar 1a curva cuyas ecuaciones parametncas son x =
8 cos30, y 61
+
= 8 sen30. 612 + 111 •
13 , y = 1 1 4 tg O, y = 4 cos10.
73. Representar la curva cuyas ecuaciones paramétrica s son x
=
74. Repre sentar la curva cuyas ecuaciones paramétrica s son x
= 4 sen O, y = 4 tg O (1 + sen O).
CA PITU LO 12
Introducción a la geometría analí tica en el espacio COOR DENA DA S CA RTESIAN AS. La posición de un punto en u n plano se defi ne por med io de las dos d istancias de éste a dos ejes que se corta n y q u e, normal men te, son perpendiculares en tre sí (rectangulares). En el espacio, u n punto se determina mediante sus distancias a tres plan os perpendic u lares dos a dos y que se ll ama n pl anos coordenados. La s d istancias del pu n t o a est os planos se denominan coordenadas del pu n to. Las rect as de i ntersección de los planos coord en ados ·son los ej es OX , OY y OZ que se llaman ejes coordenados y cuyo sen tido positivo se i ndica med iante flechas. Los planos coorden ados d ividen al espacio en ocho octantes nu merados de la forma siguien te: el octan te 1 está l imiz tado por los semiejes positivos; los octantes 11, 111 y 1V son J os situados por encima del pla no xy y numerados en sentid o contrario al de las agujas del rel oj alrededor del eje OZ. Los octa ntes V. V I , VJI y VIII son los situados por debajo del plan o xy, correspondién dose el V con 1, etc. En la figura adjunta, las distancia s S P , Q P y N P son , respectivamente, las coordenadas x, y y z del punto P, y se representan por (x,y, z), o bien , P (x,y, z). y
La distancia OP del punto P al origen O es
+ NP2 = v ó.M2 + .M N + Nf>S = vx2 + y2 + z2• Luego si OP = e, se tiene e2 = x2 + y + z2 • OP = v óN2
2
2
ANG U LOS DE DIRECCION Y COSENOS DIRECTOR ES Sean a, fJ y y los ángulos que OP forma con los ejes OX, OY y OZ, respectivamente. Se verifica, X = {] COS a, y = (! COS {J, Z = (! COS y. Elevand o al cuadrado y sumando miembro a miembro ,
x2
+ y2 + z2 = rl = e2 cos2a + e2 cos2{J + e2 coszy, 1 = cos2a
o bien ,
+ cos /3 + cos y. 2
2
También se verifican las relaciones cos a = !..., cos f3 =
e
cos a
=
vx2 +y2 + zt ,
e
(! '
y
X
o bien,
z
. cos y = -
cos f3 =
vx" + yz
Z
+ z2 '
cos y
=
vx2 +y2 + z2 .
Los ángulos a, f3 y y son los ángulos de la dirección de OP y sus cosenos se llaman cosenos directores de OP. 104
INTRODUCClON A LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
105
Si una recta no pasa por el origen O, sus ángulos de d irección a, (J y y son los que forman con los ejes una recta paralela a la dada que pase por O. COMPONENTES DE UN A RECTA. Tres números cualesqu iera, a, b y e, proporcionales a los cosenos d irectores de una recta se llaman componentes de la misma. Para hallar los cosenos directores de una recta cuyas com ponentes son a, b y e, se dividen estos tres números 2 por ± + b2+7. Se tomará el signo adecuado para que los cosenos directores tengan el q ue les corresponde.
va
DISTANCI A ENTR E DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos P 1(xi. Y i. z1) y Plx2, Y2. Z z) es
1
DJ R ECCION DE U N A RECTA. Los cosenos di rectores de P1P2 son
X y
PU NTO DE DlVíSION . Si el punto P(x, y , z) divide a la recta que une P1(x11 Y i. z1) con
X =
x1
+ rx 2
Y1
+ ry2
l +r '
l +r ' y =
Z=
:, + rz 1 +r
2
·
ANG U LO DE DOS RECTAS. El ángulo de dos rectas q ue no se cortan se defi ne corno el ángu lo de dos rectas q ue se corten y sean paralelas a las dadas. Sean OP 1 y OP2 dos rectas paralelas a las dadas pero q ue pa san por el origen , y O el ángu lo que forman. Del triángulo de la figu ra se deduce,
cos o = Ah ora bien , y d2 = (x2 -- x 1)2
e: = x +) + z f. ei + (Yz -y )2 + (z 1
= xi
+ Yi + z .
z 1)1• Sustituyendo y si mplificando,
2-
X 1X2
+ Y 1Y2 + Z1Z2
cos () = -------(!il!t
(*
INTRODU CCION A LA GEOMETR IA A N ALITICA EN EL ESPACIO
106
. A h ora b1en ,
p = cos a , etc. or tanto,
X i X2
-
2
- = cos ª" e. COS
(h.
O = COS a1
COS a2
+ COS /Jr COS /32 + COS Y r COS Y2·
Si las dos rectas son pa ralelas, cos O = 1 y, por consiguient e, a, = a2,
/31 = f:J,, Y 1 = Y2·
Si las dos rectas son perpendiculares , cos fJ
=
O, con lo cual
cos a1 cos a2 + cos f3 1 cos /J2 + cos y 1 cos Y2 = 0.
PROBLEMAS RESUELTOS l.
Representar los puntos siguientes y hallar sus distar.cias al origen y a los ejes coordenados: A (6, 2, 3), B(S, -2, 4).
X X
ºº = vST+<-ir +
= v62 + 22 + 32 = 7 Aa = v32 + 22 = vf3
OA
2.
3.
Ab =
v6 ·r·32 = 3vS
Ac =
v62 + 22 = 2 V 1o
Ba
= .Y4i + (
2)z
=
2
4 = 2v21
2..;s·
+
= 82 42 =--= 4 5 Br = .Ys2 + (-2):: = 2vi7
Bb
2
Hallar la distancia en tre los puntos P1(5, -2, 3) y P2(-4, 3. 7).
Hallar los cosenos directores y los ángu l os de dirección de la rec.ta q ue une el erigen con el pu nto (.:_.(), 2, 3).
cos a = \l( xz -X1)2
X z -X i
+ (Y2 -y + (z )2 1
-6 -0 - :(-:: = -0= )2 =-t= (Í -- -O)C+-(J-0)2 r.0.1lo
que a
=
-6
= -7- ,
149º.
Y2 -Yt cos ,R , = - --7 cos y =-:
z
2 1)
2 ..:: ;
= =
2 -O -= 2 ' con lo que 8
7 -7 3 -0 7
=
73°24'.
X
1
=
3
, con Jo que y 7
o
= 64°37'.
I NTROD UC\ION A LA GEOM F.TR IA A NA LITICA FN F.L FSPACIO
107
Demost rar q ue la s coord e na das del cen t ro geomet rico ( ba r iccnt ro o cent ro del rea ). es decir. el pu n t o de in tersección de las med ianas. dc:l t rián gul o di.! vért ices A( .\ ,.y • : ). 8( .r ,y .:) C(.Y • J'J. : ) son
+ -"2 + X3 . Y1 + J3'2 + )'3 · --
,
X1
3 ---
(
1
1
+ 32 +-3 ).
Las med iana s del t riángulo A BC se cortan en un AP BP CJ> 2 p un t o P(x,y, ) de forma qu e PD = PF = -PE = ¡ - r.
2
3
3
z
La s coordenadas del pu n to D son
+ X3
_!_2
2
(
Y2 _±
'
3
2
Z2
'
+ Z3 ) 2
Lu ego las coord enadas del pu n to P , quc .
en la relaetón r = P D X¡
1
r(
+ X3 ) 2 + , 1
.x =
5.
a AD
=-
1
A (x.,y,.z,)
o
, son
X
y
X2
-
Xi +
2
+ x3 • A ná logamen t e.y =
· -:i
t Ya .:
Ha lla r l os ccsc n os d i rectores y los ángu l os de dirección de u na recta cu yas com ponent es son 2, -3, 6. cos a -
6.
<.I ividc
2
;f p
2 3 -_ --=- = 3._, a = 73º24' . cos fj = - , fJ 7 1 9 + 36 7
,14
=
1 15 23 '. cos y -"'
6
7
. y -=- J I
Demostra r q ue la recta det erminada por los punt os A(5. 2. -3) y 8(6, 1 , 4) es paralela a la q ue une C(-3. -2. -1 ) y D(-1. -4, 13). Las corn pon l.!ntcs de A B son 6 -5, 1 -2. 4 + 3. o ca. 1, - 1 , 7. La s compo n e n t es de CD son -1 + 3. -4 + 2. 1 3 1- 1, o sea. 2, -2. 14.
ª =
S.1 d os recta s cuyas co mpone ntes son a, b. e y a ' b' e ' son pa ra 1e 1as. - ,
a Por t a n to, como
7.
2
T
=
-2
_::¡
-=
14
-=¡· a mba s rect as son
lb' = -e,.
e
?
para lelas.
Dados l os pu nt os A (-:1 , 8, 4), B(-1 , -7.-1) y C(9, -2. 4), dem ost ra r q ue l as rectas AB y BC son pe rpen d icu la res. La s compon en tes de A B son -1 + 1 1 , -7 - 8. -1 - 4, es deci r. 10. -1 5, -5. o bien , 2. -J. --1. La s com ponentes d e BC son 9 + l. -2 + 7. 4 + l. es deci r. 1 O, 5, 5, o bien. 2. l. l. Si dos rect as. de compon en t es a. b, e y a', h' . e', son perpend icul a res se ve rifi ca . aa' T bh' +ce' =O. Su t i t u ycndo. (2) (2) + (-3) (1) + (-1) ( 1) = O. Por ta n t o, l as rectas A B y BC son perpendiculares .
8.
H alla r e l ángu l o () formad o po r las rectas AB y CD sien do A (-3. 2. 4), 8( 2, 5, -· 2), C( I , -2, 2) y D(4, 2, 3).
L1s compon entes de A B son 2 + 3, 5 -2, -2 -4. o bien 5, J. -6. las com pon en t e de CD son 4 - 1 . 2 + 2, 3 -2, o bi en , 3. 4. 1 . . 5 Los cose n os d cct ores de AB son cos a = - 5 , co (J ir '\ 25 + 9 -l 36 \' 70 3 Los cosenos d irectores de CD son cos a 1 = = - , cos ¡11 =
..¡9 + 16 +
1
26 ,1
=
3
, cos y = -6 . ::.-_ \/ 70 ../70 4 , cos y 1 = -·
../26
../ 26
108
I NTRO DUCCION A LA GEOM ETR IA ANALlTICA EN EL ESPACIO
Por tanto, cos O
=
+ cos {J cos {11 +cos y cos y 1 + -3 · -4- - 6_ · 1 ;;:. = 0,49225,
c:os a cos a1 5 3
= -- -- ·
,110 v'26 · / 70 v'26
= 60º30,7'.
de donde ()
70 v'26 1 A)
z
9. Hallar los ángulos interiores del triángu lo cuyos
f>.l3:'
vértices son A(3, -1, 4), B( l , 2, -4), C(-3, 2, 1). 8 ). Cosenos directores de AE =- .2 =, --3=·--= (v'77 v'77 v'77 Cosenos directores de BC = 4 -= , O, -5 ). (v'4 1 v'4 t
.
= (-2 . 1 -1 ) v'
Cosenos di rectores de A C
v'G' v'6
X
.
6 Nota. Los cosenos d irectores de la recta AB son opuestos de los cosenos directores de BA .
-2 -2...= -= 3 l -8 -1 15 COS A = --= · + · + -=· - == -. v'77
v'6
vn
v'6
v'77
v6
cos e =
v'77
= 45º44, 7'.
B
= 55"16, 9'.
../462
2 -4 -3 8 5 32 cos B = -=- ·--= + -= ·O + -= · -=- = -=·
v'77 v'4t 4 2
A
v'77 v'41 v'3 157 -5 1 3
-= ·--= + o + -= ·--= = -----===-· ..¡4 1 v'6 v'41 v'6 v'246
e = 78º58, 4'.
A
+ B + C = J 80º.
10. Hallar el área del triángulo del Problema 9. El área de un triángulo conocidos dos de su s lados, b y e, y el ángulo q ue forman , A, es igual a !be sen A . Longitud de AB, e = v'77, longitud de A C, b = 3v'6: Por tanto, área = !(3v'6) (v77) sen 45º 44,7' = 23, l unidad es de superfi cie.
11. Hallar el lugar geométrico de los punto s que disten r unid ades del punt o fijo (x0, y 0, z0). v'( x -x0)2 +( y -y0)2 + (z -z0)2 = r, o bien, (x -x0) 2 +( y -y0)2 ción de una esfera de centro en (x0, y 0, z0) y radio r. La fonna general de la ecuación de una esfera es x2
+ (z -z0) 2 = r 2, ecua-
+)i2 + z2 + dx + ey +fz + g
= O.
12. Hall ar la ecuación de la esfera de centro (2, -2, 3) tangente al plano XY . Como la esfera es tangente al plano XY su radio es 3. Luego, v'( x -2)2 + (y + 2)2 + 4y -6z + 8 = O.
+ (z -3)2 = 3.
Elevando al cuadrado y simpl ificando, x1 + y 2
+z
+ y2 + z 6x + 4y -8z = 7. Completando cuadrados, x 6x + 9 + y2 + 4y + 4 + z 8z + 16 = 36 o bien. (x -3'J' +( y + 2'J' + (z -4) = 36. 2
13. Hall ar las coordenadas del centro y el radio de la esfera x 2 2-
2
-
2
-
2
4x
-
J NTRODUCCION A LA GEOM ETRJA ANALITICA EN EL ESPACIO
109
Compara ndo con La expresión (x -x0)2 +(y -y0) 2 +(z -z0)2 = r2 se deduce que el centro tiene de coordenadas (3, -2, 4) y el rad io de la esfera en cuestión es 6.
14. Hallar el J ugar geométrico de los puntos cuyas distancias a l pun to fijo (2, -3, 4) son el doble de la correspondiente al (-1,2, -2). Sea P( x, y, z) un punto genérico cualquiera del l ugar . Enton ces,
v(x -2)2 +(y + 3)2
+ (z -4)2 = 2v( x + 1)2 +(y -2)2 +(z + 2)2•
+ 3y2 + 3z2 + l 2x -22y + 24z + 7 = O, que es
Elevando al cuad rado y simplificando, 3x2 u na esfera de cen tro -2, -11 , -4) y rad io r
= 2 v70.
3
(
3
15. Hallar la ecuación del pla no perpend icular a la recta q ue une los puntos (2, -1, 3) y (-4,2, 2) en su punto med io. Sea P( x , y, z) un pu n to genérico cualquiera del plano. En tonces,
+ (z -2) = v(x -2) +(y + 1) +(z -3) Elevando al cuad rado y simplificando, 6x -3y + z + 5 = O. Esta es Ja ecuación del plano v(x
+ 4)
2
+(y -2)2
2
2
2
2•
cuyos puntos equidista n de los dos dados. El plano corta a los ejes en los puntos {-S/6, O, O), (O, S/3, O) y (O, O, -S), y a la recta dada en (-1, l /2, S/2).
{-4,2,2)
t
X
'\ 1
\\\\ (0.0,-5) 1 1
Problema 16
Problema 15
16. Halla r el J ugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia s a los dos pu ntos fijos (O, 3, O) y (O, -3, 0) sea igual a 1 O. Sea P(x, y,=> u n punto genérico cua lquiera del l ugar. Entonces, FP
v(X _:-0)2 + (y -3)2 + (z -0)2
+ PF' =
10, o sea,
+ \!(x - 0)2 + (y + 3)2 t (:-0)2 = 10.
Pa sa ndo uno de los radicales al otro miem bro y eleva ndo a l cuad rado se obtiene, después de reducir t érminos, 3y + 25 = S\/x2 +y 2 + 6y + 9 + 2. Elevando al cuad rado y simplifica ndo , 2Sx2 de ccnlro el origen.
+ 1 6y2 + 25 2 =
400, q ue representa u n elipsoide
17. Hallar el l uga r geométrico de Jos puntos cuya diferencia de dista ncia a los dos puntos fiJOS (4, O, O) y (-4, O, O) sea igual a 6.
INTRODUCC'ION A LA GEOM ETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
110
Sea (x,y, z) u n pun to genérico cualq uiera del l ugar. Entonce s.
+(z -0) V(x -4) + (y -0) +(z -0) 8x + 16 +y + z = 6 + V'x + 8x + 16 + y + z
V(x -4) 2 +(y -0)2 o bien,
V{x2 -
2
2
-
2
2
2
2
2
2
= 6,
2 •
Elevando al cuad rado de nuevo y simplificando, 7x2 -9y2 -9z2 = 63, que representa un hiperboloide de revolución a lrededor del eje x.
18. Hallar el lugar geométr ic.' de los puntos cuya distancia al eje z sean tres veces la correspondiente al punto (-1,2, -3). Di stancia al eje z = distancia al punto (-1,2. -3).
+ y2 = 3V'(x + 1)2 +( y -2)2 + (z + 3)2• si mplificando, 8x + 8y + 9z + l 8x -36y + 54z + 126 = O,
v·x2
Es d ecir, Elevando al cuadrado y elipsoide.
2
2
2
que es un
19. Demostrar que los puntos A(-2, O, 3), B(3, 10, -7), C( I , 6, -3) están en línea recta.
= 5, 10, -10,
Componentes de AB o bien, -1,-2, 2.
o bien , 1, 2, -2; componen tes de BC = -2, -4,4,
Como las componentes son proporcionales, las rectas son paralelas. Ahora bien, como B pertenece a am bas, AB y BC serán una misma recta y, po r con siguien te, los puntos dados son colineales . 20. Hallar el luga r geométrico de los punto s que equidist en de los punt os fijos (1, 3, 8), (-6, -4.2), (3, 2, 1). Sea (x, y, z) un punto genérico que satisfaga las condiciones del problema.
+(z -8) = (x + 6)2 +(y + 4) +(z -2) (2) (x -1) +( y -3) + (z -8) = (x -3) + (y -2) +(.:: - 1)2. Desarrollando y simplificando, se obtiene, (1 ) 1x + 7y + 6: -9 = O y (2) 2x -y -7z + 30=0. Solución: 7x + 1y + 6z -9 = O y 2x -y - ?z + 30 = O. Entonces
y
2
(1) (x -1)2 +( y -3)2
2
2
2
2
2
2
,
2
21. Demostrar q ue el triángulo A( 3, 5, -4), B(-1 , l. 2). C(-5.-5. -2) es isósceles .
+ 1) + (5 -1) + (-4 : 2) = 2 \ 117. de DC = v'(-5 + 1) + (-5 - 1) + (-2 -2) = 2 v'T7. de AC = v'(-5 :_ 3) + (-5-·5)2 + (-2 + 4) = 2 v'42.
Longit ud de AB Longitud Longitud
=
v'(3
2
2
2
2
2
2
2
2
Como AB = BC = 2v'i7, el triángulo es isósceles. 22. Demostra r, por dos métodos diferentes, que J os pun1os A (S. 1, S). 8(4, 3, 2), y C(-3, -2, 1). son los vértices de un triángu lo rectángulo. l. Apl icando el teorema de Pitágoras,
AB
= , (S -4)2 + (1 = 3)2 + (S -2)2 = ,114.
= (4 + 3)2 + (3 + 2)2 + (2 ==-i)2° = v'7S. CA = \1( -3 -5)2 + (-2 -1)2 + (1 -5)2 = v'89.
BC
( AB)2
...
+(BC)
2
= (CA)2, o 14
+ 75 = 89.
INTROOUCCION A LA GEOMET RIA A NALITICA EN 1:. L FSPAC IO
2.
111
Demostrando q ue A B y BC son perpendiculare s. . d 1 -2 3 d' 7 5 1 Cosen os d es e AB. =· , -- =· Coseno s -. -. -· s de BC, 1rcctor arectore - --=... , 1 4 ,'14 14 5 ,13 5 3 svJ 1 3 1 2 5 +cos B = · 7 · = 7 -10 + 3 -· =0
- -
- --
vi4 5 f i4 5 ,13 .,¡¡-¡ s ,13 5 4i · De otra forma : La suma de los prod uctos de las com ponente s de las dos rectas es igual a cero. 7(1) + 5(-2) ¡- 1(3) = o.
PROBLEMAS PROPUESTOS l.
Represen ta r los pun t os (2, 2, 3). (4. -1, 2), (-3. 2, 4), (3, 4, -5). (-4, -3, -2), (O. 4, -4). (4, O. -2), (O, O, -3), (-4. O, -2), (3, 4, 0).
2.
Ha llar la distan cia del origen a los pu ntos del Problema 1. so1. ,1fl, v2i, v29. 5vf. v29, 4 v2. 2 v5, 3, 2v5, 5.
3.
Hal la r la d ista ncia en t re los pare de pun tos siguie n tes: (a) (2, 5. 3) y (-3, 2. 1 ). Sol. v38. (b) (O. 3, O) y (6, O, 2). Sol. 7. e) (-4, -2. 3) y (3, 3, 5). Sol. V78.
4. Hallar el perím e t ro de los t r iángu los siguientes: a} (4, 6, 1 ), (6, 4. O), (-2, 3, 3).
b)
(-3, 1,-2), (5, 5, -3), (-4, -1, -1).
e) (8, 4, 1), (6. 3. 3), (-3, 9, 5).
Sol. Sol.
1O + v74. 20 + ,16,
Sol.
14
+ 9 2.
S.
Represen tar los pun tos siguien tes y h allar la distan cia de cada u no de ellos al origen así como los cosenos de la dirección q ue con él definen. a) (-6. 2, 3). Sol. 7, cos a = -6/7, cos (J = 2/7, cos y = 3/ 7. b) (6, -2, 9). Sol. 11, cos a = 6/ ll , cos /3 = -2/ 1 1. cos y = 9/l l. e) (-8, 4, 8). Sol. 1 2, cos a = -2/3, cos fJ = 1/3, cos y = 2/ 3. d) (3, 4. O). Sol. 5, cos a = 3/ 5, · cos (J = 4/5, cos y = O. e) (4, 4, 4). Sol. 4V3. cos a = l / V3, cos f3 = 1/ V3, cos y = l / '\/3.
6.
Hallar los án gulos de dirección de las rectas que unen el origen con los pu ntos del Problema 5 a), d) y e). Sol. a) a = 148º59,8', fJ = 73º23,9', y = 64º37,4'. d) a = 53°7,8', {3 = 36º52.2', y = 90º. e) a = (J = y = 54º44,I '.
7.
Hallar las lon gitudes de las m edianas de los triángulo s cuyos vértices son los q ue se indican . Dar el resul tado de las mediana s correspond ientes a los vértices A , B, C, por este orden. a) A(2, -3, 1), 8(-6, 5, 3), C(8, 7, -7). Sol. v9f, ,/i66, v2TI. b) A(7. 5, -4), 8(3, -9, -2), C(-5, 3, 6). Sol. 2v41, v l 82, v206. e) A (-1, 4, 6). 8(3, 6, -2), C(I , -8, 8). Sol. víl5, ví8t, v21 4.
8.
Hallar los cosen os directores de las rectas que unen el primero con el segundo de los punt os que se indican. a) (--4, 1, 7), (2, -3, 2). e) (-6, 5, --4), (-5, -2, --4). e) (3, -5, 4), (-6, 1, 2). b) (7, 1, --4), (5, -2, -3). d) (5, -2, 3), (-2, 3, 7). 6 vn 4 ,111 s vn 1v10 ,11 0 2 TO Sol. a) 71' -77• --77d ) -30· 6 ' 15 vi4
3vi4
b)
-· -1 -· - _1 _ 4 _'
e)
lO'--10'
v2
1v2 O.
vl4
----¡¡-·
9 e)
-TI,
6 11 •
2 11 ·
11:?
9.
INTRODUCCION A LA GEOM ETR JA A NALIT I CA EN EL ESPACIO
Hallar las com ponente de las rectas que pasan por los punt os que se i ndican. n) (4, 7, 3), (-5, -2. 6). Sol. 3, 3, -1 . b) (-2, 3, -4), ( 1 . 3, 2). Sol. -3, O, -6. e) (1 l . 2, -3), (4, -5, 4). Sol. 1, 1, -1.
10. H al lar el menor de los ángulos que form an las rectas que pasan por los a) (8, 2. O). (4. 6. -7) ; (-3. 1 , 2), (-9, -2, 4). Sol. b) (4, -2, 3), (6, I , 7); (4, -2, 3), (5, 4, -2). Sol. e) De (6, -2. 0) a (5, 4, 2v3) y de (5. 3, 1) a (7, -1 , 5). Sol.
pu ntos que se i ndican. 88"10,8'. 90''. 73º 11,6'.
11. H allar los ángu l os i nterio res del triángulo cuyos vértices son (-1, -3, -4), (4, -2, -7) y (2, 3, -8). Sol. 86"27.7', 44º25,4', 49º6,9'. 12. Hallar el área del t riángulo del Problema 1 1 .
Sol.
16, 1 7 u nidades de superficie.
13. Ha llar los punt os de int ersección de las mediana s de los t rián gulos sigu ientes: a) (-1 , --3, -4), (4, -2, -7), (2. 3, -8). Sol. (5/ 3, -2/ 3, -19/ 3). b) (2, 1 , 4). (3, -1, 2), (5, O, 6). Sol. (10/ 3, O, 4). e) (4, J, -2). (7, -1, 4), (-2. 1 , -4). Sol. (3, 1 , -2/3). 14. Demo st ra r que el t riángulo de vértices (6, 1 0, 10), ( 1 , O, -5), (6, -10, O) es rectángulo; hallar su área. Sol. Area = 25v2i unidades de superficie. 15. Demost rar que el triángulo de vért ices (4, 2, 6), (10, -2, 4), (-2, O, 2) es isósceles; hallar su área. Sol. Arca = 6vi9 unidade s de superficie. 16. Demostra r, por dos métodos disti ntos, que !:)s puntos (-1 1, 8, 4), (-1, -7, -1 ), (9, -2, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. 17. Demost rar q ue los puntos (2, -1, O), (O, -1, -1), (1, I,-3), (3, 1 ,-2) son los vértices d e un
rectángulo. 18. Demostrar que los puntos (4, 2, 4), (10, 2, -2) y (2, O, -4) son los vértices de u n triángulo equilátero.
19. Demostrar, por dos métodos diferentes, que los punt os (1 , -1, 3), (2, --4, 5) y (5, -13, 11) son colineales.
20. Hallar la ecuació n del l ugar geométrico de los puntos que equidisten de los pu ntos fijos (l , -2, 3) y (-3, 4, 2).
Sol. 8x -l 2y + 2z
+ 1 5 = O.
21. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punto s cuya dist ancia al punto fijo (-2, 3, 4) sea el doble de la correspond iente al (3,-1,-2). Sol. 3x2 + 3y2 + 3z2 -28x + 14y + 24z + 27 = O ; una esfera . 22. Hallar la ecuación de la esfera de radio 5 y centro (-2, 3, 5). Sol. x2 + y 2 + z2 + 4x - 6y - lOz + 13 = O.
23. La s componentes de dos rectas son 2, -1, 4 y -3, 2, 2. Demostrar que son perpendiculares. 24. Hal lar el valor de k de forma que la recta que une los pu ntos P 1 (k, 1 , -1) y P2(2k, O, 2) sea perpendicular a la que une P2 y P3(2 + 2k , k, 1). Sol. k = 3. 25. Las componen tes de una recta perpendicular a otra s dos, de componen tes a¡, b1, c1 y a2, b2• c2, vie-
nen dadas por los tres determinantes siguientes: b1 C¡ 1 1 C¡ O¡ 1 1 01 b1 1 1 b2 C2 ' C2 Oz ' Oz b2 . Hallar las componentes de una recta perpendicular a otras dos de componentes a) l , 3, -2 y -2, 2, 4. Sol. 16, O, 8, o bien, 2, O, l . b) -3, 4, 1 y 2, -6, 5. Sol. 26, 17, lO. e) O, -2, l y 4, O, -3. Sol. 3, 2, 4. d) 5, 3, -3 y -1, 1,-2. Sol. -3, 13, 8.
IN
26.
IRODUCCION A LA G EOMETR I A A N ALI TICA EN EL ESPAC lO
113
Hallar las componentes de una recta perpend icular a las dos rectas determinadas por los pares de pu n tos de coordenadas (2, 3, -4),(-3, 3, -2) y (-1, 4, 2), (3, 5, l ). Sol. -2, 3, -5.
, • Hallar los cosenos d irectores de una recta perpend icular a otras dos cuyas componentes son 3, 4, l y 6, 2, -1. Sol. 2/ 7, -3/ 7, 6/7. Hallar x sabiendo q ue el ángulo q ue forma la recta L1 -de componentes x, 3, 5-y L2 -de componentes 2, -i, 2-es 45º. Sol. 4, 5?.
29. Hallar x para q ue la recta que pasa por los pun tos (4, l . 2) y (5, x, O) sea paralela a la que une (2, 1, 1) y (3, 3, -1).
Sol.
x
=
3.
Hallar x para q ue las rectas del Problema 29 sean perpendicu lares.
Sol. x
=
-3/2.
Demostrar que los puntos (3, 3, 3), (1, 2, -1), (4, 1 , 1), (6, 2, 5) son Jos vért ices de un paralelogramo. Demostrar q ue los puntos (4, 2, -6), (5, -3, 1 ), (12, 4, 5), (1 1, 9, -2) son los vért ices de un rec tángulo. Demostrar que la recta que pasa por los pu nt os (5, 1, -2) y (-4,-5, 13) es la med iatriz del segme n to determinado por (-5, 2, O) y (9, -4, 6). 34. Hallar e l án gulo formado por las rectas q ue pasan po r los puntos (3, l , -2), (4, O, -4) y (4, -3, 3), (6, -2, 2). Sol. rr./ 3 rad ianes. 35. H allar el valor de k para qu e las rectas de componentes 3, -2, k y -2, k , 4 sean perpend iculares. Sol.
k
= 3.
. Hal lar el l ugar geométrico de los puntos q ue equ idistan del eje y y del punto (2, I , -1). Sol. y 2 -1y - 4x + 2z + 6 = O. 37. Ha llar el l ugar geomét rico de los puntos q ue eq uid i stan del plano xy y del punto (-1, 2, -3). So/ , x 2 + y 2 + 2x -4y + 6z + 14 = O. 38. Hallar el lugar geométri co de los pun t os cuya d iferencia de cu adrados de sus d istancias a los ejes x e y sea constan te. Sol. y 2 -x 2 = a. 39. Ha llar el l ugar geométrico de los pu n tos q ue eq u id istan de l eje z y del plano xy. Sol. x 2 + y 2 -.;2 = O, un cono. 40. Hallar l a ecuación de una esfera de cen t ro el p u n t o (3. -1, 2) y que sea tangente al plano yz. Sol. x 2 + y2 + .::2 - 6x + 1y -4.; + 5 = O. 41. Hallar Ja ecu ación de una esfera de rad io a y que sea tangen te a los tres planos coord enados sabiendo que su centro se encuen tra en e l primer octan te. Sol. x2 + y 2 z 2 -1ax -2ay -2a.:: t 2a2 = O.
+
Hallar la ecuaci ón de l a esfera de cent ro (2, -2. 3) y q ue pase por el punto (7, -3, 5). + y2 + z2 -4x -! 4y -6.:: - 1 3 = O.
Sol. x2
Hallar el l ugar geomét rico de l o$ puntos que eq uid istan de (-2, 1, -2) y (2, -2, 3). Sol . 4x - 3y + Sz -4 = O. Hallar la ecuaci ón del pla n o perpend icular al segmento determinado por (-2, 3, 2) Y (6, 5, -6) en su pun to med io. Sol. 4x + y -4.:: -20 = O. Dados A(3, 2, O) y 8(2, l. -5), ha llar el l ugar geomét r ico de los pu ntos P(x, y, -=: ) de manera que PA 2 .,:_, 5x -3y + 5:+ 8 = O. sea perpend icu lar a PB . Sol. x 2 + y 2
+ .::
H alla r el l ugar geométrico de l os pun t os ( x, y , :;-¡cu ya d ista ncia al pun to fij o (2, -1, 3) sea igual a 4. Sol. x2 + y 2 + z 2 -4x + 2y -6z -2 = O.
I NTRODUC CION A LA GEOM ETR IA ANALITICA
114
EN EL ESPACIO
47. Hallar el l ugar geomét rico de los pun tos ( x, y, z) cu ya distancia al pun t o fijo (1, 3, 2) sea tres veces su distancia al plano x z . Sol. x2 -8y2 z 2 -2x -6y -4z + i4 = O.
+
48. Hallar el centro y el radio de la esfera x 2 Sol. Centro (1,-3, -1), radio 5.
-L
y2
+: 2x + 6y + 2: -14 = O. 2-
49. Hallar las coordrnadas del centro y el radio de la esfera. a) b) e)
+ 16y + 16: 24x + 48y -5 = O. x2 + y 2 + z2 -2x -6y + 4z + 14 = O. x + y 2 + z2 + 4x -2y -6z = O. 16x2
2
2
Sol. Centro (
-
!.-- ,o);
SO. Hallar la ecuación de la esfera de centro (4, -3, 2) y que sea t an gente al plano x
Sol. x
+y + z 2
2
-8x
S f.
Sol. Cen t ro (1, 3, -2); r = O. Sol. Ccn t ro (-2, l . 3) ,.- = vi4.
2
2
r=
+ 2 = O.
+ 6y -4z -7 = O.
51. Hallar el lugar geométrico de los puntos situado:; a) 4 uni dades delante del plano xz. b) 6 unidades detrás del plano yz. e) 3 unidades detrás del plano y - 1 d) 3 unidad es delante del eje z.
= O.
Sol. y = 4. Sol. x = -6. Sol. y + 2 = O. Sol. x2 + y 2 = 9.
52. Hallar el l uga r geométrico de Jos puntos cuya su ma de distancias a los dos puntos fijos (3. O, 0) y (-3, O, 0) sea igual a 8. Sol. ?x' + 16y2 + 1 6:2 = 1 12, elipsoide.
53. Hallar el l ugar geomé trico de los puntos que equidi stan del punto (-1 , 2, -2) y del eje . Sol. z 2 + 4z + 2x -4y + 9 = O, paraboloid e. 54. Halla r el Jugar geométrico de los puntos que distan t res veces más del punto (3, -2, 1) que del plan o xy. Sol. x2 +yz -8z2 -6x 4y -2z 14 = O, hiperboloide.
+
+
55. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia d'! distancias a los dos puntos fijos (O, O, -4) y (O, O, 4) sea igual a 6. Sol. 9x2 + 9y2 -7z2 + 63 = O. h i perboloide. 56. Halla r el l ugar geomét rico de los puntos cu ya distancia del plano yz sea el doble de la correspon diente al pu nt o (4, -2, 1). Sol . 3x2 + 4y2 + 4z 2 -32x + l 6y -8z 84 = O, elipsoide.
+
57. Hallar el l ugar geométrico de los punto s que distan tres veces má s del plano z punt o (O, O, -2). Sol. 9x 2 + 9y2 + 8z2 -288 = O, el i psoi de. 58. Hallar el luga r geomét rico de los puntos que equidistan del plan o ;:
Sol. x
2
+ y + 4z - 16 = O, paraboloi de. 2
=5
+ 18 = O
y del punto
q ue del
(9. O, 3).
CA PrT U LO
13
El pl ano U N PLA NO se represen ta por u na ecuación l i neal o de prim er grado en las va ria bles x, y, z. El recí proco tam bién es ciert o, es deci r. toda ecuación l i nea l en x, y , = representa un plano. La ecunción genera l de un pla no es. por con sigu ie n te. Ax -1 By -¡ C= + D = O, siempre q ue A. 8 y C no c;cn n n u los si m ult<1neamen tc. La ecuac ión de la fa mil ia de pla nos q ue pasan por el pu n to ( x0• y0• =.,) es A( x - x.,)
l- B( y -y.,) 1 C( = - z0) = O.
R ECTA PE R PE N D I CU LA R A U N PLA NO . Sea n a. h, e las com pon en tes de la recta ; para q ue ésta sea perpend i cula r a l pl a n o de ecuaci ón A x 1 By + Cz f- D - O se ha de verifica r q u e d ich as com pon en t es sea n proporcionale s a los coeficien tes de x. y , :: de la ecu ación del
e , la recta a = ¡b¡ = C pla n o. Si.empre q u e a. / '· c. A . B. C sean t oe1os d.1st1.111 os d e cero y A y el pla no son perpend icu la res.
PLA NOS PA R A LELOS Y PE R PEN DICU LA R ES Dos pla nos, A ,x + B 1y + C1= + D 1 = O y A 2x + 82y + C2= + D 2 = O, son paralelos si los coeficien t es de x. y. = en su s ecuaciones son prop orcionales. es decir. si se veriA, Bi = C1 fica = Ai B2 C2 . Dos pla n os, A ,x + B 1y + Ci= + D, = O y A 2x + Bzy + C2= -i D2 = O, son perpem/;culares, cua ndo se verifica la relación ent re coeficien tes A ,A 2 + 81 82 + C1C2 = O. FOR M A NO R M A L. La forma n ormal de la ecuación de u n pla no es x cos a
+ y cos fJ + :: cos y -p = O,
siendo p l a d istancia del orige n al pla no. y a. /J. y. los ángulos de la d i rección de la perpendicul ar al plan o por el origen. La forma n orm al de la ecuación del plano Ax + By + C:: + D = O es
+D +C
A x + ) + C=
± vA
+8
2
2
=O
2
'
en donde el si gn o del radical se con sidera opuesto al de D para q ue la dista ncia p sea siempre positiva. EC U ACION DEL PLA NO EN FU NCION DE LOS SEG MENTOS QU E I NTER CEPTA EN LOS EJ ES. La ecu ación del pla no q ue cort a a los ejes x, y. :: en los pu n tos a, b, e, resy- += - = l. pect ivamente. viene d ada por x- + -h a e DI STANC I A DE U N PU NTO A U N PLA N O. La d istancia del pu n to (x., y 1, Ax
+ By + C:: + D = O es d =
A x 1 + By 1 + .,¡A 2
+ s2 + c2
1)
al pla no
D1
·
1 15
J
EL PLANO
116
A NG U LO DE DOS PLANOS. El ángulo agudo O q ue for man dos plano.;, A 1x + D1 = O y A2X + B2Y C2z + D2 = O, viene defi nido por
+
A1 A 2 + B1B2 + C.C2
cos o =
1
,1A 12
+ B y + Cz 1
1
1
+ B12 + e/· v A22 + B;2 + c22
i·
CASOS PA RTICU LAR ES. Los planos Ax + By + D = O, By + Cz D = O. Ax + Cz + D = O, representan planos perpend iculares, respectivamente, a los planos xy, yz y xz. Los planos Ax + D = O, By + D = O, Cz + D = O representa n pla nos, respectivamente , perpendiculares a los ejes x, y y z.
+
PROBLEMAS RESUELTOS l.
Hallar la ecuación del pl ano q ue pasa por el pu nto (4, -2, 1) y es per pendicu lar a la recta de componentes 7, 2, -3. Apl iquemos la ecuación del plano en la forma A( x -x0) + B( y -Yu) + C( z -z0 )= O y la cond ición de q ue los coeficientes sean proporcionales a las componentes dadas. En tonces, 7(x -4)
2.
+ 2( y + 2) -3(z - 1) = O, o bien,
7x
+ 2y -J: -21
= O.
Hallar la ecuación del plano perpendicu lar, en el punto .med io, al segmento definido por los puntos (-3, 2, l ) y (9, 4, 3). Las componentes del segmen to son 1 2, 2, 2, o bien , 6, 1, 1. El punto med io del segmento tiene de coordenadas (3, 3, 2). Luego la ecuación del plano es 6(x -·3) +(y -'3)
3.
+ (z -2) = O,
o bien, 6x +y
+ z - 23 = O.
Hallar la ecuación del plano que pasa por el pu nto ( 1, -2, 3) y es paralelo al plano
+ 2z = O. La ecuación del plano ped ido es de la forma x -3y + 2z = k. Para hallar k,.se sustituyen x - 3y
las
coordenadas (1 , -2, 3), en esta ecuación, ya q ue este punto pertenece al plano en cuestión. Entonces, 1 -3(-2) + 2(3)
= k, de donde k = 13. La ecuación
ped ida es x - 3y
+ 2z = 13.
4. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por el p Jnto (1, O, -2) y es perpendicular a los planos
+ y -z = 2 y x -y -z = 3.
2x
La familia de planos que pasan por el punto ( 1 , O, -2) es A(x - l ) + B(y - O) + C(z + 2) = O. Para que uno de estos planos sea perpendicular a los dos dados,
2A
+ 8 -C = O
y
A -B -C = O. Resolviendo el sistema, A
= -2B y C = -3B.
La ecuación pedida es -2B(x -- 1 ) 5.
+ B( y -O) -3B( z + 2) = O, 9 bie n , 2x -Y + 3z + 4 = O.
Hallar l a ecuación del plano que pasa por los puntos (!, l. -1), (-2, -2, 2), ( l . -1,2). Sustituyendo las coordenadas de estos puntos en la ecuación Ax el si stema
A + B - C + D = O,
-2A -28 + 2C + D = O,
A-B
+ 2C + D = O.
+ By + Cz + D = O se obtiene
EL PLA NO
117
Despeja ndo A , B. C y D resulta n. D - O. A = - C/ 2. B = 3C¡2. C - C. Sustituyendo estos va lores y d ividiendo por C resulta la ecuación .\" -Jy - 2:
= .o.
Otro método . La ecuación del plano que pa a por los pun t os (.r 1• y 1 • z 1). ( x 2 • y 2 , =J y (.\·3 y3 •
es el desarrollo del determinant e igua lado a cero siguiente:
X2 X:¡
6.
Est ud iar la ecuación 2x
+ 3y
+ 6: =
Yt
-
Y2 Ya
-:,
)'
X .\"1
-1
,
.!3
)
·
.. o.
-:?
12.
z
Como la ec uación es l i neal o de primer grado, representa un plano . Las componentes de la normal son 2, 3, 6. Los cosenos d irectore s de esta normal son cos a
=
.cos P =
,
(G,O,O) X
6 cos y = -::¡·
Los punt os de intersección con los ejes tienen de coorden adas (6, O, 0), (O, 4, O) y (O. O. 21. Las rectas de intersección de u n plan o con los planos coordenados se l laman trazas del plano . Pa ra hallar las ecuaciones de las trazas: en el plano xy. z = O; luego la ecuación de la traza es lx + 3y = 12. Análogament e, para hallar la traza con el plan o xz se hace y -""" O y resulta 2'" + 6z = 12 o bien , x 3= = 6, y la ecuación de la traza con el plan o yz es .ly + 6z _.., 12, o bien , y + 2z = 4. En la figura se representan los puntos de intersección con los ejes y las trazas del plano. Para hallar la lon git ud de la normal , es decir, la d istancia del origen al plano:
+
d
=
+By + Cz + D ± v1A + 01 + c2
Ax1
1
!dí = 1 2(0) _-t:_ () : 6(0) -
1
=
2
7.
Hallar la distancia del punto (-2, 2, 3) al plan o de ecuación 8x -4y -z - 8 = O. .. 8x -4y -·z -8 8x -4y -z - 8 La ecuac1on en forma normal es = --- ..-- = O. 9 1 64
-fl6 +
8(-2) -4(2) -1(3) -8 35 ----- = - 9·-. 9 El signo negativo ind ica que el punto y el origen están al mismo lado del plano. Sustituyendo las coordenadas del punto, d '=
8.
Ha llar el menor ángu lo formado por los planos
(1) 3x + 2y -5: -4 :.:: O y (2) 2x -3y + 5= - 8 = O.
Los cosenos directores de las normale s a los dos planos son : COS U1 =
3
\!38
.
2
cos {/ , =- --=
v3s
2 cos a.,
-
Sea
(J
=
v3s ·
-·
-3 cos {J1 =
,'Js ·
el á ng ulo formado por las dos normal es.
5
cos /'1 ::.. · - ------:-, \ 138
5 V -Co•<• /2 - "\ tj8
.
·
1 18
EL
Entonce5.
cos o = 1
3 ,13s .
PLANO
2 5 5 25 v38 -v382 . v383 -- v3S. °v38 =1 38' de donde o = 48 51,6'. o
9. Ha llar el pun t o de intersección de los planos:
+
x 2y - z = 6. 2x - y + 3z = -13. 3x -2y + 3:= -16.
Ten emos tres ecuaciones lineales. La solución de este sistema nos da las coordenadas del punto de intersección de los tres planos. Dicho punto es (-1 , 2. -3).
+
10. Hallar la ecuaci ón del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y -5z 7=O y x -2y + 4z -3 = O y po r el punto (-3, 2, -4). La ecuación del haz de planos qu e pasa por la recta de i ntersecdón de otros dos dados es de la forma , 3x + y -5z + 7 + k( x -2y + 4z -3) = O. Para hallar el plano del haz q ue pasa por el punto (-3, 2. -4), se sustitu yen los va lores -3, 2, -4 en luga r de x, y, z, respectivamen te, con lo q ue -9
+ 2 + 20 + 7 + k(-3 -4 -16 -3) = O, de donde k = 10/ 13.
+ 61
Sustituyendo y simplificando se obtiene 49x -1y - 25:
= O.
11. Hallar las ecuaciones de los planos bisectores del diedro formado por los planos
6x -6y + 1z + 21 = O y 2\' + 3y -6z - 12 = O. Sea (xi. y 1, z 1) un punto genérico cualquiera del plano bisector. Las d istancias de (x1,y,, a los dos planos deben ser iguales. Luego, 6x1 -6y1 + 7z1 + 21 2x 1 + 3y1 - 6z 1 - 12 -11 =+ 7 .
1)
Quitando denominadores y simplificando se obtiene: 64x -9y - 17: + 15 = O y 20x - 75y + 1 l 5z + 279 = O. 12. Halla r la ecu ación del plano que pasa por l os puntos (1, -2, 2), (-3, 1 , -2) y es perpend icu lar al plano de ecuación 2x y -z 6 = O.
+ + + Cz + D = O la ecuación del
Sea Ax + By plano buscado. Como los dos puntos dados pertenecen a él, sustituyend o valores,
+
+ 2C D = O y B -2C + D = O.
A -2B
-3A
+
Por otra part e, el plano pedido debe ser perpend icular al plano 2x 2A Despejando A , B, D en función de
+ y -z + 6 = O; por tanto.
+ 8 - C = O.
e, A = - I
'
B=6
,D =
.
Sustituyendo estos valores y dividiendo por C se obt iene la ecuación pedida, X -
l 2y - 10 -5
= 0.
13. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equ id istan del plano 2,·-2y •p unto (2, -1, 3). Sea (x. y, z) un punto genérico del l ugar. En tonces. V(x -2) +( y + 1)2 +(:- 3)2 Elevando al cuad rado y simplificando, 5x2 + 90 = O.
y del
= 2x -2y + :-6
+ 5y + 8: 2
+ :- 6 = O
2 -J.
3 8xy -4x: -1- 4y: - 1 2x -6y -42:
a y; 4
EL PLANO
119
14. Halla r las ecuaciones de los plan os paralelos al de ecuación 2x -3y -6: - 14 = O y que disten 5 unidade s del origen. La ecuación de la famil ia de planos paralelos al dado es de la forma 2x -3y -6z -k = O. La distancia de u n punto cualqu iera (x¡, Y1t 21) al plano 2x -3y ·-6: -k = O es
d = 2x1 -3y1 -6:1 -k
7
.
2(0) -3(0) -6(01 -k Como d = ± 5 desde (0, O. 0), se tiene, ± 5 = ' , de donde k = ±35. 7 Luego la ecuación ped ida es 2x -3y -6z ± 35 = O. En la figura se representan el plano 1, que es el dado, y los planos 11 y III , que son los que se piden.
z
z
/ / / /
/
/ / /
/
X
(12.0,0) X Y.
Probll!ma 14
15. Hallar la ecuación del plano 5x -3y los ejes de coordenadas.
Problema 15
+ 6z = 60 en función
Divid iendo por 60 resulta la ecuación,
2
-
{o
+
de los segmentos que intercepta sobre
To
= 1.
Los punt os de i nte rsección con los ejes son 1 2, -20, 1O.
16. Demostrar que los plano s 7x + 4y -4z + 30 = O, 36x - 5 1y + 1 2z + 17 = O, 14x + 8y -8z -12 = O, y !2x -17y + 4z - 3 = O son las cuatro caras de un paralelepípedo rectángulo . . 7 4 Los p1anos primero y tercero son paralelos, ya que 1 4 = 8
.,
36
= -4 _· 8
-51
Los planos segtindo y cuarto son tamb1en paralelos, pues l2 ==i7 =
12
4·
Además , los planos primero y segundo son perpendiculares , porque
+ 4{-51) -4(12) = 252 -204 -48 = O. Hallar el l ugar geométrico representado por la ecuación x 2 + y 2 -2xy -4z 2 = O. Escri bamos esta ecuación en la forma x2 - 1.xy -i- y 2 -4z2 = (x -y -2z) (x -y + 2z) 7(36)
17.
El lugar está consti tu ido por los dos planos, q ue pasan por el origen,
x -y -2z = 0 x -y + 2z = O.
y
= O.
120
EL PLANO
PROBLEMAS PROPUESTOS t. Hallar la ecuación del plano : Paralelo al plano xy y situado 3 unidades por debajo de él. Sol. z = -3. Paralelo al plano yz y q ue corta a l eje x en el punto de abscisa 4. Sol. x = 4. e) Perpendicular al eje z en el punto (O, O, 6). Sol . z = 6. d ) Paralelo al plano xz y a 6 u nidades detrás de él. Sol. y = -6, o bien, y 2. Hallar la ecuación del plano horizontal que pasa por el punto (3, -2, -4). Sol. z = -4, o bien , z + 4 = O. a)
b)
+ 6 = O.
3. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y que corta a los ejes x e y en los puntos 2 y -3, respectivamente. Sol. 3x -2y -6 = O. 4. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y cuya traza con el plano xy es la recta x +y -2 = O. Sol. x + y -2 = 0. . 5. Hallar las ecuaciones del plano: a) Que pasa por el punto (3, -2, 4) y es perpend icular a la recta de componentes 2, 2, -3. Sol. 2x + 2y -3z + J O = O. b) Que pasa por el punto (-1, 2, -3) y es perpendicular al segmento determinado por (-3, 2, 4) y (5, 4, 1). Sol. 8x + 2y -3z -5 = O. e) Que pasa por el punto (2, -3, 4) y es perpend icular a la recta q ue une dicho punto con (4, 4, -1). Sol. 2x + 7y - 5z + 37 = O. d) Perpendicular, en el punto med io, al segmen to que une los puntos (-2, 2, -3) y (6, 4, 5). Sol. 4x y 4z - 15 = O.
+ +
6. Hallar la ecuación del plano: a) Que pasa por el punto (-1, 2, 4) y es paralelo al plano 2x -3y -5z + 6 = O. Sol. 2x -3y - 5z + 28 = O. b) Que pasa por el punto (2, -3, 6) y es paralelo al plano 2x -5y + 7 = O. Sol. 2x -5 y - l9 = O. e) Que pasa por el origen y es paralelo al plano 3x + 7y -6z + 3 = O. Sol. 3x + 7v -6z = O. d) Paralelo al piano 6x + 3y -2z -14 = O y equidistante de él y del origen. Sol. 6x 3y -2z ± 7 = O. e) Paralelo al plano 3x -6y -2z -4 = O y a 3 unidades i:lel origen. Sol. 3x -6y -2z ± 21 = O.
+
7. Hallar la ecuación del plano : a) Paralelo al plano 6x -6y + 7z -44 = O y a 2 unidades del origen. Sol. 6x -6y + 7z ± 66 = O. . b) Paralelo al plano 4x -4y + 7z -3 = O y distante 4 unidades del punto (4, 1 , -2). Sol. 4x -4y + 7z + 38 = O, 4x -4y + 7z -34 = O. e) Paralelo al plano 2x -3y -5z + l = O y distante 3 unidades del punto (-1,3, 1). Sol. 2x -3y -5z + 1 6 ± 3v38 = o. 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, -2, 4) y es perpendicular a los planos 7x -3y + z -5 = O y 4x -y -z + 9 = O. Sol. 4x + 1J y + 5z - 10 = O. 9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, -3, 2) y es perpendicular a la recta de intersección de los planos x -y + 2z -3 = O y 2x -y -3z = O. Sol. 5x + 7y + z - 1 = O. 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, -4,2) y és perpendicular a los planos 2x + 5y -z - 1 2 = O y 4x -7y + 3z + 8 = O. Sol. 4x -5y - 17z + 10 = O. JI. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (7, O, 3) y es µerpend icular a los planos 2x -4y + 3z = O y 7x + 2y + z - 14 =-= O. Sol. IOx -19y -32z + 26 = O.
. ;
EL PLANO
121
12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 1, 0)
y e s perpendicular a tos planos 2x -y -4z -6 = O y x +y + 2z -3 = O. Sol. 2x -8y + 3z = O. 13. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 2) y e5 perpend icular a los planos 2x -2y -4z -6 = O y 3x +y + 6z -4 = O. Sol. x + 3y -z -2 = O.
14. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos 3x -y + z = O y x + 5y + 3z = O y que diste V6- unidades del origen. Sol. x +y -2z ± 6 = O. IS. Hallar la ecuación del plano perpend icular a los planos x -4y + z = O y 3x + 4y + z -2 = O y que diste una unidad del origen. Sol. 4x -y -8z ± 9 = O. 16. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 2, 2) y (O, -2, O) y es perpendicular al plano x -2y + 3z -7 = O. Sol. 4x -y -2.z -2 = O. 17. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 1, 1) y (3, 2, 2) y es perpendicular al plano x + 2y -5z -3 = O. Sol . 7x -6y -z -7 = O. 18. Hallar la ecuación del plano q ue pa sa por l os puntos (2, -1, 6) y ( 1, -2, 4) y es perpendicular al plano x -2y -2z + 9 = O. Sol. 2x + 4y -3z + 18 = O. 19. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, -2) y (2, O, -2) y es perpendicular al plano 3x +y + 2z = O. Sol. 4x 2y ·-7z -22 = O.
+
20. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por los puntos (1, 3, -2) y (3, 4, 3) y es perpendicular al plano 7x - 3y + 5z -4 = 0.
Sol. 20x + 25y -13z -121 = 0.
21. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos a) (3, 4, 1), (-1, -2, 5), (l , 7, 1). b) (3, 1, 4), (2, 1, 6), (3, 2, 4). e)
d) e)
(2, 1 , 3), (-1, -2, 4), (4, 2, 1). (3, 2, 1), (1, 3, 2), (1 , -2, 3). (4, 2, 1), (-1, -2, 2), (O, 4, -5).
Sol. Sol. Sol. Sol. Sol.
+ 2y + 6;: -23 = O. + :: - 1O = O. 5x -4y + 3z - 15 = O. 3x + y + 5z - 16 = O. 3x
2x
1 1x - 17y - l 3z + 3 = O.
22. Representar los planos siguientes, hallando los puntos de i ntersección con los ejes y las trazas con los planos coordenados. a) 2x + 4y + 3z - 12 = O. b) 3x -5y + 2z -30 = 0.
e)
x +y = 6.
d)
2y -3z = 6.
e)
f )
2x -z = O. x -6 = 0.
23. Hallar la ecuación de los planos definidos por : a)
a = l 20º, {J = 45º, y = l 20º, p = 5.
=
b) a = 90º, f3 = 135º, y = 45º, p 4. e) el pie de la normal al plano por el origen es el punto (2, 3, 1).
Sol. x - viy +z + IO = O. Sol. y - :; + 4 v2 = O. Sol.
d) <1 = 1 20º, [J = 60º, y = 135", p e)
P
= 2,
=
Sol.
2.
cos 1°-· = co;f!_ = co;y .
+ 3y + z - 14 = O. x -y + ,12z + 4 = O.
2x
Sol. x -4y -8z
±
18
= O.
24. Red ucir las ecuaciones siguientes a su forma normal y, a contin uación, determinar los cosenos directores y la longi t ud de la normal. a) 2x -2y + z - 1 2 = O. Sol . cos a = 2/ 3, cos f3 = -2/ 3, co; y = l / 3, p = 4. b) 9x + 6y - 2z + 7 = O. Sol . cos a = -9/ 1 1 , cos {J = -6/ 1 1 , cos y = 2/ 1 1, P = 7/ 1 1. e) x -- 4y + 8z -27 = O. Sol . cos a = 1/9, cos (3 = -4/9, co; y = 8/9. p = 3. 25. Hallar la d istancia del pu nto al plano ind icados. a) Punto (-2, 2, 3), plano 2x +y - 2z - 12 = O. b) Pun t o (7, 3, 4), plano éx - 3y + 2z - 13 = O. e) Punto (O, 2, 3), plano 6x -7y -6: + 22 = O. d ) Punto (1 , -2, 3), plano 2x -3y + 2z - 14 = O. 26. Hallar el ángulo agudo q ue forman los planos a) 2x -y + z = 7. x y + 2: - 1 1 = O.
+
b)
X + 2y
-Z
= J 2, X
-2y
- 2z -7 =
Ü.
Sol . Sol. Sol . Sol.
-20/ 3. l nterprét ese el si gno. 4. 10¡1 I.
O.
Sol. 60". Sol. 82º 1O,7'.
122
EL PLANO
e)
d)
2x -Sy + 14z = 60, 2x -y -2z - 18 2x +y -2z = l 8. 4x -3y - 100 = 0.
O.
Sol. 49°52.6'. Sol. 70°31,7'.
+ 3z = 1 , 8x -y Sol. (3/ 2. 4, -3).
27. Ha lla r el punto de intersección de los planos 2x -y -2.: - S. 4x .1... y
28. Hallar el pu nto de intersección de los planos: a) 2x + y -z - 1 = O, 3x -y -.: -r 2 =- O. 4x -2y + .:-3 = O. b) 2x + 3y + 3 = O. 3x - 2y - 5z + 2 = O, 3y -4: ¡ 8 = O. e) x
+ 2y + 4z -= 2, 2.\· + 3y -2z + 3 = O.
2x -·y
+ .: = 5.
Sol. ( 1 , 2, 3). Sol. (3/2, -2. l /2). Sol. (-4,2, l /2).
+ 4.: + 8 = O.
29. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por la recta d e in tersección de los planos 2x -7y + 4z -3 = O, 3x -Sy + 4z + 1 1 = O, y el pu n to (-2, 1 . 3). Sol. l S x -47y + 28z - 7 = O.
30. Hallar la ecuación del plano q ue pa sa por la rect a de i n tersección de los pla nos 3x -4y + 2z -6 = O, 2x + 4y -2z + 7 = 0, y por cl punto (l , 2. 3). Sol. 43x -24y + l 2z -31 = 0.
+
31. Hallar la ecuación del pla no q ue pasa por la recta de i n tersección de los pla nos 2x -y 2z -6 = O, 3x -6y + 2z - 12 = O, y que corta al eje x en el pu nto (6, O, 0). Sol. x - 5y -6 = O. 32. Hallar las ecuaciones de los planos bisectores del died ro formado por los planos 2x -y -2.z -6 = O y J x + 2y -6z = 12. So/. 5x - J 3y + 4.: -6 = O. 23x -y -32: -78 = O.
33. Ha lla r las ecuaciones de los planos bisectores del diedro formado por los planos 6x -9y + 2z + 18 = O y x - By
+ 4.: = 20.
Sol.
65x - l 69y
+ 62z -58 = O,
43.\· + 7y -26z
+
382 = O.
34. Ha lla r las ecuaciones de los planos bisectores del died ro formado por los planos Jx + 4y -6 = O y 6x -6y + 7z .J.. 16 = O. Sol. 9x + 2y ¡.. 5.: -1 2 = O, 3x + 74y - 3Sz - 146 = O. 35. Hallar la ecuación de los planos siguientes en función de los segmen tos de intersección con los ejes. a)
2x -3y + 4z = l 2. X )' 2
Sol. a)
b)
I
3x + 2y -5.: = 15. )' 2 I 5 + 7.5 - 3 = ·
r)
b) -X ·
6 -4 + 3 = ·
x + 3y + 4z = l 2.
y
X
e)
lf
z
+ 4- + 3 =
l.
36. H allar las ecuaciones de los planos que cort an a los ejes en los puntos: X · 2 a) (-2. O, O), (0, 3, 0). (0, O, 5). Sol . _ + .f + 5 = 1. 2 \' y b) (3, O, O), (0, -2, 0). Sol. T = 1. (Paralela a l eje .:.)
T-
Sol. x = 4. (Para lelo al plan o yz.) 37. Demostra r q ue los pla nos siguientes son las caras de un paralelepipedo: 3x -y + 4z -7 x + 2y -- z + 5 = O, 6x -ly + 8z + J O = O, 3x 6y -3z -7 = O. e) (4, O, 0).
= O.
+
38. Hallar el l ugar geométrico de los pun tos q ue d isten del plano 3x - 2y -6.: = 12 el doble que del plano x -2y + 2.: + 4 = O. Sol. 23x -34y + 1 O: + 20 = O, 5x -22y + 46.: + 92 = O. 39. Hallar la distancia en tre los planos paralelos 2x -3y -6.: -14 = O y 2x -3y -6: + 7 = O, Hacer la figura. Sol. 3. 40. Ha lla r la distancia entre los planos 3x ,6y + 2.: Sol. 5¡7.
= 22
y 3x + 6y + 2.:
41. Hallar la figura re presen tada por x2 + 4y2 -.: 2 + 4xy = O. Sol. Dos pla nos q ue se cortan : x + 2y + .: = O, x + 2y -z
= 27.
Hacer la figura .
= O.
42. Hal l a r la figura repre sentada por x + + .: + 2xy -2x.: -2y.: -4 = O. Sol. Dos plano s paralelos : x + y - .: + 2 = O. x + y -z -2 = O. 2
y2
2
43. Hallar el l u gar geométrico de los puntos q ue equid istan del plano 6x - 2y ,3= pu nto (-1, 1, 2). Sol. J 3x2 + 45y2 + 40.:2 ..L 24xy -36x.: l 2y.: + SOx - 82y -220z + 278 = O.
+ 4 = O y del
+
-,
CA PITU LO
14
La recta en el espacio RECTA EN EL ESPAC IO. U na recta en el espaci o viene defi n ida por la in tersección de dos planos, A 1x + B.y + C,z + 01 = O A 2x + B y -1 C2: + Dt = 0 excepto cua ndo estos sea n pa ra lelos. FO RMA PA R A M ET R I CA. Sean
L P(x,y,z)
J
+
x = x 1 + ar , y = y 1
+ bt.: = ::.
P, (X .,y,.Z,)
1- et.
FOR MA CONTI N U A. Las ecuaciones de la recta q ue pasa por u n pu nto P1(xh y 1 ,z1) y cuyos ángulos de d i rección son a, {J. y, vienen dadas por
x -x. cos '1
)' -)'1
- - Z1
cos tJ
cos y
Llam and o a, b, e, a las com ponentes de la recta, la ecuación en forma contin ua es
x -x , a
)' - y.
= -
h
;; - Z1
e
Si L es perpendic u lar a uno de los ejes de coordenadas. la ecuación toma una de las formas sigu ien t es: y - y. z - =1 x = x., - --- = --e (perpend icula r al eje x). 6
x -x.
y = y •. --
ª
Z
=
Z1
x - x.
a
(perpendicular al eje y).
e y -y. b (perpend icular a l eje z).
Si L es perpendicular a d os ejes, la rect a q ueda determinada por las dos ecuaciones siguien tes: x = x 1, y = y1(perpendicular a los ejes x e y) . x = x., z = .:- 1 (perpendicular a los ejes x y z). y = y 1 , =:1 (perpend icular a los ejes y y z). RECTA QU E PASA POR DOS PU NTOS . La s ecuaciones de la recta q ue pasa por los pu ntos P1(X1, y., z1) y Ph.-2. J'2· .:-2) son x - x. y y1, z -=1
·- - -
123
124
LA RECTA EN EL ESPACIO
PLANOS PROYECTA NTES. Cada u na de las ecuacione s
x - x. a
y -y . b
y -- y. b
e
Z - Z1
e
son la de u n plano q ue conttene a la recta. Como cada uno de estos planos es perpendicular a u no de los planos coorden ados, reciben el nom bre de planos proyectantes de la recta ; sus trazas con aq uellos son las proyeccio nes de la recta sobre d ichos planos de coordenadas . PA RA LELI SMO Y PER PEN D ICU LA R I DA D ENTR E R ECTA S Y P LA NOS . U na recta de com ponentes a, h, e, y u n pla no Ax + By + Cz + D = O son (1)paralelos si se ver ifica la rela ción Aa + Bh + Ce = O, y recí procamente , (·2) perpen d.icu 1ares s1. se ven'fican 1as reJ act·ones A = B b = C , y rec·1procamente . a, e PLA NOS QU E PASA N POR U N A R ECTA . Dad as las ecu acion es A 1x + B 1y + C1z + D 1 = 0 A 2x + B2Y + C2z + D 2 = O, la ecuación A 1x + B1y + C1z + D 1 + K(A 2x + 82)' + C2z + D2) = O, siend o K u n pará metro, represen ta el haz de pla n os q ue pasan por la recta de i ntersección de los dos dados, es decir la de todos los planos q ue pa san por d icha recta .
l.
PROBLEI\1AS RESUELTOS Dadas las ecuacione s 2x -y + z = 6, x + 4y -2z = 8, hallar , a) el punto de la recta para z = 1, b) d)
los punto s de i ntersección de la recta con los plan os coordenados, las componentes de la recta, los cosenos directores de la recta.
a)
Sustituyendo z
e)
1 en las dos ecuaciones resultan , 2x -y = 5, x + 4y = 10. 10 . ' y = 5 .. Lu ego el punto ped ido tiene de coordenad as Resolviendo el sistema, x =
=
3
0 . 3 ' 3'
(L b)
Como z
1)
= O en
, 1 o ,O ) . 99
el plano xy, proced iendo como en a) se obti.ene el punto ( 32
Análogamente, lo otros puntos de intersección son (4, O, -2) y (O, J O, 16). e)
Los punt os (
1
°, , 1) 3
y (4, O, --2) pertenecen a la recta .
10 5 2 s . En consecuencia , sus componente s son 4 -J' O - T' -2 - 1 , o sea, T' -T' -3, o bien ,
2, -5, -9.
2
=
v + 25 + 81
2
-5
vi
vi
-9 "V'l t O ·
= JO , cos fJ = JO , cos y = 4 Otro método. También se pueden obtener las componentes de la recta observando que ella es perpen dicular a las normales a los dos planos que la definen. Ten iendo en cuenta la notación de determinan te, a partir de la disposición matricial 4 l 4 -2 1 -1 formada con los coeficientes de x, y, z, 2 2 -1 1
d)
Los coseno s directores son cos a
se deduce
4 -1
-2
= 4 -2 = 2
-2 1
'1
l 2
1
4
= -4 - l = -5,
2 -1
= -9, o bien,
2, -5, -9.
LA RECTA EN EL ESPACIO
2.
125
Hallar el ángulo agudo formado por las rectas (1) lx -y + 3z -4 = O, 3x + 2y -= + 7 y (2) x +y -2z + 3 = O, 4x -y + 3z + 7
= =
O O.
Los cosenos directoreo; de la primera recta son, -5, 1 1 , 7, y los correspondiente s de la segunda, -1, 1 1, 5, obtenid os como ya se explicó en el Problema Id). Llamand o 8 al ángulo formado por las dos rectas, se tiene -5 -1 11 J1 7 5 23 cos O = ---==- ·-=+ -=·--= + --=· ---==- = --.= de donde 8 = 18º1,4'. "11 95 v 141 v 195 v141 v19s v 141 3v65 •
3.
Demostrar que las rectas (!) x -y + z -5 = O, x -3y + 6 = O y (2) 2y + z - 5 = O, 4x -2y + 5z -4 = O son paral elas. La s componentes de la primera recta son: o sea,
3, 1, -2.
Las componentes de la segunda recta son : o sea, 12, 4. -8, o bien
3, 1, -2.
Y
Como las componen tes de ambas recta s son iguales, éstas son paralela s.
x +I
4. Demostrar que las recta s-
y -5
- =-
pendiculare s.
2
-
x +4
z -1
= --=_
-5 -.=
y
. Los cosenos directores de la segunda recta son cos a
=-
2
v 14
5 .-- -
2
v 14 5
, cos p
= . ¡---· V
o = --..
3
=
3
-3
-1
1
v 14
v3s
vt4
v35
v 14 •
-1
cos y
= -.J
v 14 ·.
=
-3
cos p
35
+ -=- . -=- + ---=- .-=- =
v35
son per-
1-
-3
3
Los cosenos d irectore s de la primera recta son cos a
cos
= z -3
y -1
1
-. cos r = 35
v
. 35
9 I0 - - I = O. l uego O = 90º. v 14 v35
También , tomando como componentes de las rectas (2, 3, -1 y 5, -3, 1) se tiene, 2(5) + 3(-3)
+ (-1) ( 1 ) = O, de donde se ded uce q ue son perpend iculares . 5.
Repre sentar la recta 3x -- 2y + 3z -4 = O.x -2y -z + 4 = O. Se hallan dos de los puntos de intersección con los planos coordenados y, a continuación. se u nen ent re sí. Para hallar la intersección con el plano xy se hace z = O. Es decir. 3.x -2y = 4
z
x - 2y = -4. De aq uí se ded ucen los valores x = 4, y = 4. Luego el punto de intersección con e l plano xy es (4, 4.0). Análogam ente, el punto de intersección con el plano yz es (0, 1, 2). 6.
.•/ .
"
-/
.
X
./..
·-------- (4,4,0)
y
Hallar el punto de i ntersección de la recta x + 2y -z -6 = O, 2x -y + 3z + 13 = O con el plano 3x -2y + 3z + 16 = O. . Como el punto buscado debe satisfacer a las tres ecuaciones habrá que resolver el sistema correspondiente. Eliminando z se obtienen las dos ecuaciones, 3x + 2y -l = O, x -Y + 3 = O.
126
LA RECTA EN EL ESPACIO
De estas dos resulta, x = -1 , y = 2. Sustituyendo est os valores en x + 2y -z -6 ded uce z = -3. Luego el punto d e intersección tiene de coordenada s (-1 , 2, -3).
=O
se
7. Demostrar que las recta s de ecuaciones X -y
-z -7 = 0, 3x -4y - 1 1
= 0, y X
+ 2y -Z - 1 = 0, X
+y
+ 1 =0
se cortan. Sean (x., Y1> zt) las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. Estas deben satisfacer la ecuación de cada uno de los planos. Por consiguiente , (1) X1 -Yt -Z1 = 7 (2) 3x1 - 4y 1 = 1 1
(3) (4)
+ 2y1 -
Z¡ = + Y1 = -1.
X1 X¡
1
Resta ndo (3) de (1) se obt iene y 1 = -2. Sustituyendo este va l or de y 1 en (4) resulta x1= l. Sustituyendo estos dos valores en (1), z1 = -4. El punto de intersecció n tiene de coordenadas ( 1 , -2, -4). 8. Hallar el ángu lo formado por la recta x
+ 2y -z + J = O,
2x -y
3x -4y + 2z -5 = O. Para obtener las com ponentes de la recta : 1 2
o sea, 6 - 1, -2 -3. -1-4,
+ 3z + 5 = O,
o lo qu e es igua l
o bien. 5, -5, -5,
-Y'>( X
y el pla n o
1, -1, -1.
El ángulo formado por la recta y el plano es el complementari o del ángulo O q ue la recta forma con la norma l a l plano. La s componentes de la normal son 3, -4.2. 3(l ) -4{- I ) + 2 1> 5 o d d 57º35' . cos O · - -----=- · e on e, v3 .,/29 \1s1
<
o-
El ángu lo formado por la recta y el plano es 32º25'.
9. Hallar la ecuación, en forma continua , de la recta intersección de los planos
+ 3z -4 = O .\" + 2y - = + 3 = o.
2x -3y
Eliminando z e y en t re las ecuaciones dadas se obtiene,
+
+ +1
5x 3y + 5 = O y 1x 3= J gua lando los va lores de x de ambas ecuaciones resul ta.
5
x=
5
3z -/- 1
X
= -_ 7, o sea, T
=
y +5
1
y +-
3y_ -/- 5
= O.
z + J 3 = ---, o bº1en , TX 5 7 3 -3
=
:: + --
3
-5
Estas ecuaciones son las correspondientes a una recta q ue paa por el punto
3
=-
(o.- . -+)
y q ue tiene de componentes J, -5, -7. 10. Escribir, en forma paramé t rica, las ecuaciones de la recta de i ntersección de los planos
3x + 3y - 4z + 7 = O y x + 6y Eliminando y y z entre las ecuaciones dadas se obtiene,
+4 =o y
+ 2= - 6 = O.
+ Jy - 1 = O. Igua lando los valores de x de ambas ecuaciones resulta , : = y X - 2:
X
-
/J =
=
2
3 Si igualamos ahora cada uno de los mjembros a u n pa rámetro t, se obtienen las ecuaciones para mét ricas de la recta dada: x = 61, y = !- 2t , z = 2 1- 3t.
LA R ECTA EN EL ESPACIO
127
11. Hallar las ecuacione s de los pl2nos proyectantes de la recta de intersección de los planos de ecuaciones 2x + 3y -5z + 6 = O 3x -2y + z -8 = O.
Para hallar los planos proyectantes basta el iminar, sucesivame nte, z.y y x entre las dos ecuaciones: se obtien en los plan os 17x -1y -34 = O. 1 3x -1z -12 -.:: O y 1 3y - l 7z + 34 = O, que son los proyectantes de la recta sobre los pla nos xy , xz e y z. ll. Hal lar las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto ( 1 , -2, 2) y cuyos ángulos de dirección
son 60º, 1 20º, 45º. Ten iendo en cuenta x -x i cos a x-1 y +2
- -z 1 , resul ta
-
cos fJ
cos y
z -2 x -i y +2 Oº = cos 120°· = cos 45º , o sea. -! - --.,...- = z -2 y +2
o bien, x - 1 1
y -y,
=
=
-1
z -2
!v2 ·
v2
13. Hallar la s ecuaciones de la recta q ue pasa por los puntos (-2, 1, 3) y (4, 2, -2). Ten1·en d o en cuenta x -Xi
Y -Yi
z -Zi
Y2 -Y1
Z2 -l 1
=
•
se ob11·ene x
+
1 =y = z -3
2 X2 -X 1
o sea.
x +2 6
y-1
=
1
4 +2
2 -1
-2 -3'
:-3 -5 .
14. Halla r las ecuacion es de la recta q ue pasa por el punto ( 1, -3, 4) y es perpend icular al plano X -- 3y -!- 2.:: = 4.
La s componentes de la recta son 1, -3, 2. las ecuaci.ones ped'1d as son
X
-1 1
y+ 3 -= 3
-=._
z
.
4 2- - o bien , 3x +y = O, 2y + 3z -- 6 = O.
15. H allar la ecuación dd plan o formado por las recta s
x -1 y + J 4 2
z -2 3
x -1
y +I
z-2
4
3
y
5 Obsérve se q ue las recta s se cortan en el punto ( 1 , -1, 2).
A pliqu emos la ecuación Ax + By + Cz + D = O. Como las dos rectas pertenecen al plano, serán pe rpend iculares a la norma l a éste. Por tan to, 4A + 2B + 3C = O S A +48 + 3C = O. Por otra part e. el pun to ( 1,-1,2) ta mbién pertenece al plano . Luego, A -·B + 2C + D -= O. Como t enemos cuat ro incógni tas y solamen te tres ecuaciones, despejemos tres de aquéllas en función de la cua rta (sistema indeterminado con infin itas soluciones). Despejando A, C, D en función de B resulta : A = -28, C = 28, D = -B. Sustituyendo estos valores en la ecuaci ón general y dividiendo por B se ot>ticne, 2x -y -2z + 1 = O.
PROBLEMAS PROPUESTOS l.
Halla r las coordenadas del punto de la recta 2x -y + : - 5 = O, x + 2y -2z -5 = O, para z = 1. b) 4x -3y + 2z -7 = O, x + 4y -z -5 = O, para y = 2 . x -2 y +4 z -1 e) --= _ - = ·-, para x = 3. 3 2 2 d ) 2x = 3y - 1 , 3z = 4 -2y, para x = 4. e) x = 4 -31, y = -1 + 41, z = 2t -3, para t = 3. a)
Sol. (3, 2, 1). Sol. (7/6, 2, 25/6). Sol. (3, -14/3, 5/ 3). Sol. (4, 3, -2/3). Sol. (-5, 11, 3).
\
LA RECTA EN EL ESPACIO
128
2. Hallar los punt os de intersección con los pla nos coordenados de las rectas siguientes. Dibujar estas rectas uniendo dos de los puntos de intersección . Sol . (2, 1, O), (7, O, -7), (O, 7/ 5, 14/5). a) x -2y + z = O, 3x +y + 2z = 7. b) 2x -y e)
+ 3z + 1 = O,
x-1 2
5x
+4y -z -6 = O.
y +3 z -6 1 - -1
Sol.
2 (I
7 7 ' ) (1 , o, -1) ( I1T ' 13 '- 2í) . o, , o,
Sol. (13, 3, 0), (7, O, 3). (O, -7/2, 13/ 2).
·
+ 3y -2 = O, y -3z + 4 = O. + 2y -6 = O, z = 4.
d) 2x
e) x
Sol . (7, -4, O), (1 , O, 4/ 3), (0, 2/3, 14/9). Sol. (6, O, 4), (O, 3, 4).
J. Hallar las componentes y los cosenos directores de las rectas : Sol. 2, -1, 5; a) 3x + y -z -8 = O, 4x -1y -3z + 1 = O.
2
-1
5
v3o · v3o 6 • v3o 4 • -1 b) e)
+ 9 = O, 2x -y + 8z + 1 1 = O. 3x-4y + 2z-7 = O, 2x +y + 3z -1 1 = O.
2x -3y
d) x -y + 2z -1 e)
= O,
2x -3y -5z -7 = O.
3x -2y + z + 4 = O, 2x + 2y -z -3 = O.
Sol. 6, 4, -1 ; v53 • v53 ' '\153 · 14 5 -11 Sol. 14, 5, -11 ; 3v38 • 3v38 • 3v38 · 11 9 -1 Sol. 1 1, 9, -1; -v203· -v203 • .Y203 · l 2 Sol. o, 1, 2; o, v5' .y5·
4. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas x -2y + z -2 = O, 2y -z -1 = O y X -2y + Z -2 = 0, X -2y + 2z -4 = 0. Sol. 78º27,8'. z -4 y + 2 x -1 x + 2 y -3 y = s. Hallar el ángulo agudo formado por las recta s 6 - -3 6 3 6 z +4 Sol. 79º 1'. -2 6.Hallar el ángulo agudo formado por las rectas z -4 x -2 Sol. 49º26,5'. y +2 2x + 2y + z -4 = O, x -3y + 2z = O y - 6 7 -6
7.Hallar el ángulo agudo formado por la recta X 3+ J
y -1 6
z -3
- -6
y el plano 2x -2y
Sol. 26º23,3'.
+ z -3 = 0.
8. Hallar el ángulo agudo que forma la recta que pasa por los puntos (3, 4, 2), (2, 3, -1) con la que une (l, -2, 3). (-2, -3, 1). Sol. 36º19'. 9. Demostrar que la recta
x-1
-1
y +2 2
- z--¡3
es paralela al plano 6x
+ 7y -5z -8 = O.
10. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2, l , -2) y es perpendic ular al plano x -2 y - 1 = z +2 3x -5y 2z 4 = O. Sol. -
+ +
3
=
_5
11. Hallar las ecuaciones de la recta. a) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje x. b) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje y. e) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje z.
2-
.
Sol. y + 1 = O, z -3 = O. Sol. x -2 = O, z -3 = O. Sol. x -2 = O, y + l = O.
d) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y tiene de cosenos dire ctores c os a = .¡, cos {3 =
!.
x -2 y +I z -'3 Sol. 3 = 2-= ± v23 .
1 j
LA RECTA EN EL ESPACIO
129
12. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-6, 4, 1) y es perpend icula r al plano 3x -2y 5z + 8 = O. Sol. 2x -¡- 3y = O. 5y + 2z -22 = O. 13. Hallar las ecuaciones de la recta que pa sa por el punto (2, O, -3) y es perpendicular al plano 2x -3y + 6 = O. Sol. 3x + 2y -6 = O, z + 3 = O.
+
14. Hallar las ecuacion es de la recta que pasa por el punto (1, -2, -3) y es perpendicular al plano 1 x -3y + 2z + 4 = O. Sol. x Y +2 _ z +3
1
-3
2
15. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los pun tos (2. -3, 4) y (5, 2, -1).
x -2
3
Sol.
y +3
=
5-=
z -4 -5 .
16. Hallar las ecuacion es de la recta q ue pasa por los puntos
a) (1, 2, 3) y (-2, 3, 3). b) (-2. 2, -3) y (2, -2, 3). e) (2, 3, 4) y (2, -3, -4). d) ( 1 , 0, 3) y (2, 0. 3). e)
(2, -1, 3) y (6, 7, 4) en forma paramétrica .
+ 3y - 7 = O, z = 3. x +y = O, 3y + 2z = O. x -2 = O. 4y -3z = O. y = O, z = 3. 4 8 l Sol. x = 2 + 9'· y = -1 + 9'• z = 3 + 9 '· Sol. Sol. Sol. Sol.
x
17. Hallar la s ecuaciones de la recta que pasa por los punto s ( 1 . -2. 3) y es paralela a los planos
2x -4y
+ z -3 = O y x + 2y -6z + 4 = O.
x -l
y -1 2
2
Sol.
z -3
=
=
2
-g-·
13 18. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( l , 4, -2) y es paralela a los planos x-1 y -4 z+2 6x + 2y + 2: + 3 = O y 3x -5y -2z - I = Ü. Sol. -= - - = --=6'
1
3
19. Hallar las ecuaci ones de la recta que pasa por el punto (-2, 4, 3) y es paralela a la recta que pasa por (l , 3, 4) y (-2, 2, 3). Sol. x -3y + l 4 = 0, y -:- 1 = 0. 20. Hal la r las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3, -1, 4) y es perpend icular a las recta s cuyas
x -3
component es son 3, 2, ---4 y 2. -3, 2.
Sol.
-
8
y +I z -4 14 13
21. Halla r las ecuaciones de la recta q ue pasa por el p u n to (2, 2, -3) y es perpend icu lar a las rectas cuyas componente s son 2. -1 , 3 y -1, 2, O. Sol. x - 2y + 2 = O, y + z + 1 = O. 22. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el pun to (2, -2, 4) y cuyos á ngulos de dirección son 120n,60º, 45º. Sol. X - 2 .y + 2 = Z -4
-1
1
v'2
23. Ha llar las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto (-2, 1. 3) y cuyos ángulos de dirección son 1 35º, 60", 1 20".
S I
o.
x -r 2
_ ,12
=
z -3
Y - 1
1
-1
.
24. Hallar las ecuaciones de la recta , a) Que pasa por el punto (O, 2, -1) y t iene de componen trs. 1, -3. 4 . X
Sol. b)
y -2
:+ I
-3
4
T =
Que pa sa por e l punto (-1, 1 , -3) y tiene de.componentes, X
/- 1
2.
Sol.
3. -4. y -1 :+ 3 -- = -4 . 3
2 Que pasa por el punto (O, O, O) y tiene de com ponentes l , l , 1 . Sol. x = y = . d) Que pasa por el punto (-2, 3, 2) y tiene de componentes, o, 2, l. e)
Sol . x
+ 2 = O,
+ 1 = O. = -z + 5.
y -2x
e) Que pasa por el punto (1, -1, 6) y tiene de componentes, 2, -1, l. Sol. x = 2z - 11, y
)
130
s ¿, •
LA RECTA EN EL ESPAClO
D
1
2
= -=¡z + 3x -4y -17 1 = O.
emostrar que a recta x
x -y -z -7 = O,
es perpen d.1cu 1ar a l a recta
1 5 , y = - 5 z --34
1
1
+
16. Demostrar que las recta s x 2y -- z -1 = O, x +y + l = O y perpendiculares. 27. Demostrar que las recta s J x -2y + 13 = O, y + 3z -26 = O y
7y
7x -15
_
2 x +4 5
z +6
y +8
x -3
5
y -1 =
son perpendiculare s.
+ 34
z
= T son z -3
= -3 - -1 -
28. Demostrar que las rectas y 3x 5y + 7 = O, y + 3z - 10 = O son pe pendiculares. = --2 = -1 1 1 1.9 . Demostrar q ue las rectas x -2y + 2 = O, 2y + z + 4 = O y 7x + 4y - 15 = O, y + 14z 40 = O son perpend iculares.
+
+
2 --x-ro
30. Demostrar que la recta
2y -2
z
11
--:¡ .5
está situada en el plano 3x -8y
+ 2z -8 = O.
Para demostrar que una recta está situada en un plano hay que comprobar que dos puntos de la recta pert enecen al plano, o bien, que un punto de la recta está situado en el plano y que dicha recta es perpendicu lar a él. 31. Demo strar que la recta y -2x + 5 = O, z -3x ..:... 4 = O está situada en el plano 9x + 3y -5z
+ 35 = O. 32. Demostra r que la recta x -z -4 = O, y -2z -3 = O está situada en el plano 2x + 3y -8z -17 = o. X -1 y -i- 2 Z -3 33. Demostrar que la recta = --= está situada en el plano 2x + 3y -2z 1 2 4 + 10 = o. 34. Hallar las coordenada s del punto de intersección de la recta 2x -y -2z -5 = O, 4x +y + 3z -l = O con el plano 8x -y + z -5 = O. Sol. (3/2, 4, -3). 35. Hallar el punto de intersección de la recta x = z 2, y = -3z + 1 con el plano x -2y -7 = O. Sol. (3, -2, 1). 2 3 2 1 36. Hallar el punto de intersección de la recta = Y = con plano 4x -2y + z -3= O.
+
z -;--
Sol. (1, 2, 3).
+ 2y +4z -2 (-4,2, 1/2).
37. Hallar el punto de inte'rsección de la recta x el plano 2x -y
+ 4z + 8 = O.
Sol.
Sol . 3x
+ 5y + 7 = O,
= O en el 4x + 5z + l = O.
2x
+ 3y -2z + 3 = O
con
+
3y -z + 4 = O y q ue es perpendicular punto en que ésta corta a dicho plano.
38. Hallar las ecuaciones de la recta situada en el plano x a la recta x -2z -3 = O, y -2z
= O,
39. Demostrar que los puntos (2, -3, 1), (5, 4, -4) y (8, l l , -9) están en línea recta. 40. Hallar el punto de intersección de las rectas 2x +y -5 = O, 3x + z -14 = O y x -4y - 7 = O, 5x + 4z -35 = O.
Sol.
(3, -1, 5).
41. Hallar e\ punto de intersección de las rectas x -y -z + 8 = O, Sx + y + z + 10 = O y x + y + z -2 = O, 2x + y -3z + 9 = O. Sol. (-3, 3, 2). 42. Hallar el punto de intersección de las rectas x + 5y - 7z + l = O, lOx - 23y + 40z -27 = O y x -y + z + 1 = O, 2x +y - 2z + 2 = O. Sol. (-1/38, 148/ 38, 1 1 1/ 38). ,S3. Escribir, en forma continua, las ecuaciones del l ugar geométrico de los puntos equidistantes de los puntos fijos (3, -1, 2), (4, -6, -5) y (O, O, -3). S I .3- _ y + 175/32 _ z + 19/ 32 o . 16 13 -7 44. Escribir, en forma con tinua, las ecuaciones del l ugar geométrico de los punto s equid istantes de los puntos fijos (3, -2, 4), (5, 3, -2) y (O, 4, 2). X - 18/ 1 1 y Z + 9/44 Sol.
26
=
22
=
27
CA PITULO
15
Superf icies CUA DR ICAS. U na su rt·rficic defi nida por u n a ecuación de segu ndo gracio en t res va r iables reci be el rt l>rn brc de .\llpe1:fil"ie cu
+
1- Exz
/ z - K = O. Por rot aci ón o t ra slación c.k ejes. o bien. por a m bas t ra n sformaci ones, la ecuación ant eri or puede tornar u n a de l ai; dos forma s sigu ie n t e<; : ( 1 ) Ax 2 By 2 + cz·l -= D 1
Fyz ! Gx ! líy
1
(2) Ax 2 -j By2 I· Jz = O.
Si ni n gu na de l as con sta n tes de ( 1) o (2) es n ula, l a ecuación se pued e escri bi r de estas dos manera s: {J)
( 4)+
}
h2 ,_ -e;- - 1
.\2
a2 xi a
l't
r2 h2
l·
-2
I
-('
La ecuación (3) pued e represl!nlar t res su perficies esencialmente distintas cuyas ecuacion es son . ,.2 r2 -t ,.2 r2 -2 "2 y2 -2 (5) · ·I :-. 1 - - 1. · f- .::__ = 1, · - -- ..::: = l. 2 2 2 1 2 2 a" ht c a b c a b él Corno t odas las su per ficies (5J son sim ét r icas con respecto al origen , se denominan cuá d ri cas con cen tro. Las d os su rer ficies represen tada s por (4) son cu ád ricas si n cent ro. _ . . x2 v2 =2 ESFER A. S1 en l a cc.:u ac16r. • = 1 se verifica q u e a = b = e, se transforma en a2 + · 6• + e2 x 2 + y 2 + z2 = a2, q ue representa u na esfera de centro el pu n to (O, O, O) y rad io a. En el caso de que el cen t ro de la esfera fuera el pu nto (h, k ,-j) en l ugar del origen, su ecuación sería (x -1t)2 + (y -k)2 + (z -j )2 = a2.
ELI PSO I DE . Si a, b, e son disti n tos, la ecuación x2 y2 zi 02 + b2 + e = represent a el caso más general de una cuádrica . Si a # b, pero b = e, el el i pso ide es de revolución . Si el cen t ro del el i psoide es el pu n to (h, k ,j ) y sus ejes son paralel os a Jas dos coordenadas, la ecuación adq uiere la forma ( x _ Jr)i (y _ k )i <= _j)2 b2-- + - 2-e= l. a--2 - + -Si el centro es el origen. ia ecuación es ·: + JJ I
: + ;: =
1.
SUPERFICI ES
132
H I PER BOLOI DE DE U N A HOJA . E nX2el casoyi de q ue el signo de u na de las variables sea disti n to . ,:Z
ª
del de las otras, como por ejem plo + pi --::¡ = 1, Ja su perficie se lla ma hiperboloide de 2 una hoja. ? e Si a = h, la superficie es el hiperboloid e d i! revol ución de u na hoja. Las secciones pa ralelas a l os planos xz e yz son hi pérbola s. Las secciones paralelas al pla no xy son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol u ción en el que son circunferencias.
z
X
X
H iperholoide de una hoja
Hipahofoicle de dos hojas
. H I PER BOLOI DE DE DOS H OJ AS. La ecuación 02
-
hi - c2
= 1 represen ta u n /11perbo-
loide de dos hojas. Como se observa esta ecuación coi ncide con la del eli psoide con signo contrario en dos de las var iables. Si b = e, l a cuád rica es de revol ución. Las secciones paralelas a los pla n os xy y xz son hipér bola s. Las seccion es paralela s a l pla n o y.: son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol ución en el q ue son ci rcu nferencias. PAR A BOLOI DE ELI PTI CO. Es el lugar geomét rico de los pu ntos repre sentado por la ecuax2 1'2 ción 02 + í,2 -; 2c.:. Las secciones obtenidas por Jos pl a nos z = k son elipses cuyas d i me n sion es va n aum entando a med ida q ue el plano se aleje del pla no xy. Si e > O, la cu ád r ica está toda ella por enci ma del plano xy. Si e < O, la superficie está toda ella por debajo de dicho plano xy.
z
Las secciones correspond ientes a planos paralelos a los de coordenada s xz o yz son parábolas. Si a = b la superficie es de revolución.
X
PARABOLOIDE H lPER BOLICO. Es el lugar geométrico de los puntos representados por Ja ecuación x2 y2 b2 = 2cz, (e > O). 02 Las secciones producidas por los planos z = k, siendo k > O, son hi pérbolas cuyos ejes real e imaginario son paralelos, respectivamen te, a los de coordenadas x e y, y cuyas dimensiones aumentan a medida que lo hace k. Si k < O, los ejes real e i maginario son par alelos 2
a los y y x, respectivamente. Si k = O, la sección degenera en el par de rectas
1 -
2 = O.
SUPER FICIES
133
Las secciones correspon Jientes a los pla nos y = k son pa rá bolas abiertas por su parte superior , y las correspond ientes a x = k son pa rá bolas abiertas por su pa rte inferior.
X
J. y
Cono recto circular
Hiperboloide pa rabólico
CONO R ECTO CIR CULAR x2
+y
2
-
c2z2 = O.
Esta superficie se pued e considera r generada por Ja rotación .x2 y2 ·-- -- -ro- -- ---Si Ja directriz c:s J a elipse a2 J = 1, la ecuación del 12 \o,bl \2 y2 cilind ro es 2 62 = 1.
z+ 1
• 1
x
+·
+
PROBLEMAS RESUELTOS l. Hallar Ja ecuación de la esfera con su cent ro en el punto (-2, 1, -3) y de rad io 4. Sustituyendo en
(x - h)2 + ( y -k )2
(x
+ 2)?. + (y -1)2
+(z -j f = a2, se obt iene
+ (.:: + 3)2 = 4
Desarrollando y red uciendo térmi nos, x2 2.
2.
+ y 2 + .::2 + 4x -2y + 6z -2 = O.
Hall.a r la ecuación de la esfera con su centro en el punto (3, 6, -4) y t angente al plan o 2x -2y -z - 10 = 0.
134
SUPERFICI ES
2(3) -2(6) - 1(-4) - J O 1 = 4. Luego la ecuación pedida es 3 (x -3)2 +(y -6)2 +(:+ 4)2 = 16, o x2 1- J,2 +2: -6x - l 2y -1 8: + 45 = O. El rad io a =
3.
1
Ha llar la ecuación de la esfera q ue pasa por los pu nt os (7, 9, 1), (-2, -3, 2), (1, S, S), ( Sustituyendo sucesivamente las coordenadas de los cuat1 o puntos en la ecuación x1 + Gx + Hy + !: + K = O, 7G + QH + I + K = -131 -2G -3H + 2I + K = - 17 G S H + 5! K = - 51 -6G + 2H + S l K = - 65.
+
+ +
+
Resolviendo este si st ema de ecuacion es, G = 8, H = -1 4, / = 18, K = --79. Sustituyendo estos valores en la ecuación general se obtiene,
x2 4.
+y + z + 8x -14y + l 8z -79 = O. 2
2
Hallar las coordenadas del centro y el rad io
+ y z +: 6x + 4y -3z = 2
-
15.
Sumando y restando témúnos para que la ecuación adopte la forma
+ (z -j )2 = a2,
( x -h)2 +(y -k)2
Resu lta, x2 -6x + 9 + y2 + 4y + 4 + z2 -3z + :=
1 1
, o bien, (x -3)
+(y
+2)2 + (z -
) =(
J ) y su radi.o 1 1 . El centro de la esr1era es el ( 3, -2,
2
5.
2
Hallar el l ugar geomé trico de los puntos cuyas d i sta ncias a l os pu ntos P.jos (-2, 2, -2) y (3, están en la relación 2 : 3.
,1cx+ 2f _+_ (r 2r + (= + 2)
2
,/(x -3)2
- - ----
+ (Y-+ 3f + c= -= W
=
2 3·
Haciend o operacion es, 2
x + y2
+z
2
+ l 2x - 1 2y + 12:= O, una esfera de cen t ro el pu n to (-6, 6, -6) y de radio
xz
6. Estudiar y repre sentar Ja su perfir.i e
yi +
25
16
-2
+9
= 1.
Esta superficie es si métrica con respect o tanto a los planos coordenad os como a l origen . Corta a los ejes x , y, z en los pun t os :l_ 5, ± 4, ± 3, respecti vamen te. Su t raza con el pla no xy es la eli pse de ecuación x2 v2 . . . . 2 5 + -6 = 1 y scnHCJCS 5 y 4. A s11rnsmo las t razas con 1 los planos x: e y.:: son tam bién eli pses. Esta super ficie es un el i psoide. 7.
y
Demostra r que la ecuación siguien te es un el i psoide. Hallar su centro y las longitudes de los semie·
+ 3y + ;: 8x + 6y -4: -3 = O, + 4) + 3( y + 2y + 1) + (z 4: + 4) = 3 + 8 + 3 + 4 = 2(x - 2) + 3(y + 1) + (z -- 2)2 = 18. 2
2x2
2(x2 -4x o sea,
2
2-
2
2
2
-
18,
p».
.
(
.
SUPER FICI ES
D
. .d. d 1 '6 18 b . (x - 2)2 1v1 1en o a ecuac1 n por se o tiene
9
135
(y + 1)2
(z -2)2
6
18
+ ---- +
= 1, q ue es un elip-
3, v6. 3v2.
soide de centro el punto (2, -1, 2) y semiejes
8. Demost rar que el lugar geomét rico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (2, 3, 4) y (2, -3, 4) es constante e igua l a 8, es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de l os semiejes.
v'(x=1)2 + (y -3)2 + (z -4)2 de donde
v(x -2)2 +(y -3)2
+(z -4)
2
+ V(x -2)2 +(y + 3)2 + (z -4)2 = 8 = 8 -v(x -2)2 +(y + 3) + (z -4) 2
+
= 4v'(x -2)2
Elevando al cuadrado y red uciendo términos,
3y
Elevando al cuad rado y reduciendo érmi nos, (x - 2)2 (y -0)2 ló Haciendo operaciones , -- -
16x2 + 7y2 (z -4)2
+
+
7 ción de centro el pun to (2, O, 4) y semiejes v7, 4, por planos paralelo s al xz son circunferencias.
v7.
16
2•
+ 16z
2
+ (y 1- 3)2
- 64x
- 1 28z
+ (z -4)2•
+ 208 = O.
= 1, que es un elipsoide de revolu 7 Las secciones de esta superficie producidas
9. Hallar la ecuación del elipsoide que pa sa por los punt os (2, 2, 4), (O, O, 6), (2, 4, 2) y es simétrico con n:specto a los plan os coordenados.
"2
+
Sustituyendo las coordenadas de los puntos dados por x, y, z en la ecuación . a se uene, 4 4 16 o o 36 4 16 4 2 a
+ bt +
r 2 = I, a
+ b2 + -e2 = l. Y
a
+
h2-
+
y2
bt
z2
+
e
=1
ci = l.
Despejando a'l, b2 y c2, se obtiene a2 = 9, b2 = 36, c2 = 36.
x2 De donde,
9
+
y2
z2
_
2
- + '36 - 1, o sea, 4x 36 x2
JO . Estudiar y representar la ecuación
y2
2
+y
2 _
+ z - 36.
-2
9 + 4 --; = 6
l.
7
Esta su perncie es simétrica con respecto tanto a los planos coordenados como al origen. Corta a los ejes x e y en los puntos ± 3 y ±2, respecti vamente. No corta al ej e z .. Las secciones prod ucidas por los planos z = k son el ipsec; de cen t ro en el eje z. Estas el i pses aumen tan de tamaño a med ida q ue lo hace el valor numérico de k .
X
'
La s seccion es prod ucidas por planos paralelos a los xz o yz son hipérbola s. Esta cuádrica es un hiperboloide de una h oja. 11. Hallar Ja naturaleza de la cuádrica cuya ecuación es 3x2
3(x2
y ·'
+ 4y 2:: + 6x - 16y + 8z = 13. 4= +4) = l 3 + 1 1 = 24, 2
-
2
+ 2x + 1) + 4(y2 -4y + 4) -2( 2 i2_ + J )2 + 8
( y -2)2 - <= -2)2
6
12
=
l.
I
136
SUPER FICI ES
Se trata, pues, de u n h iperbolo ide d
x2 12. Est ud ia r y represen tar la ecuación
yz
22
9 -4 -
16
=
z
1.
Esta cuádrica es simétrica con respecto a los pl anos coordenados y al origen. Corta al eje x en los puntos ±3. No corta a los ejes y y z.
X Las secciones por planos paralelos a los xy y xz son hipérbolas, y las prod ucidas por planos paralelos al yz son elipses. La cuádrica, pues, es un h iper bo loide de
2(x2-4x + 4) -3(y2-2y + l) -2(z2 + 6z + 9) = 8, o bicn , (x 4
,-
2 )2
(y ;:; l )2 - (z
3) 2
=
J,
-
3
que es un hiperboloide de dos hojas con su cent ro e n el pun to (2, 1 ,-3) y eje rea l parale lo al de coordenadas x.
14. Hallar el J ugar geométri co de los puntos cuya d iferencia de d istancia s a los pu ntos fijos (-4, 3, 1) y (4, 3, 1) sea igual a 6.
v(x + 4)2 + (y -3)2 + (i="lf -v(.-- 4)i +-( y -3)2 + (z -1)2 = 6, o bien,
v(x- + 4)
2
+( y - 3)2
-
(z--=-1)2
=6
+ v'(x --=4r:t- (y
3)Í-+ (z -1)2•
Elevando al cuad rado y red uc iendo térmi nos, 4x -9 = 3v(x -4)2° +(y -3)2
+ l 8z = 153.
Elevando al cuadrado y red uciendo término s, 7x2 - 9y2 -9z2 -t 54y
- (z-l) - = ' q ue es un 2 1 7
· nes (x 0) Hac1·en do operacw , ·- 2 -·(y ----3)2
+ (z - 1)2.
h.1pcrbo 1 ·de de dos
01 9 7 hojas con centro en el punto (O. 3, 1) y eje real pa ralelo al de coordenadas x . Como las secciones prod ucida s por planos parale los a l yz son circunfe rencias, la superficie es un hi perboloide de revolución de dos hojas.
15. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya d istancia al pu nto fijo (2, -1, 3) es el doble de la correspond iente al eje x.
v'(x -2)2 + (y + i°)2 + (z -3)2 = 2 vi-+ z2. Elevando al cuadrado y reduc iendo términos, x2 -3y2 -3z 2 -4x
+ 2y -6z = -1 4.
Haciendo operaciones , (x -2)2 -3( y -l /3)2 -3(z + 1)2 = -40/3, 0b
.
ien,
+ 1)
(x -2)2
40
40
-----::fó- -
9
9
(y -1/3)2
+
(z
2
_
1
'
3
que es un hiperboloide de revolución de una hoja, con centro en (2, 1/3, -1) y eje de revolución el de coordenadas x.
SUPER FICIES
16. Estu diar y repre sentar la ecuación y 2
B7
+ z2 = 4x. z
Esta superficie es simétrica con respecto al eje x y a los planos x: y xy. Corta a los ejes en el origen. Las tra zas con los pla nos coordenados son y 2 + z 2 = O, y las pa rábolas correspond ientes, 2 = 4x e y2 = 4x.
X
Como x no puede tor.ia r valores negativos, la su perficie está si t uada toda ella a la derecha del plano yz. Las secciones prod ucidas por planos paralelos a l yz son circunferencia s, y las prod ucidas por planos paralelo s a los xy y x: son parábolas. Esta cuádrica es u n pa raboloide de revol ución. 17. Hallar la ecu ación del parabolo ide de cen tro O, eje OZ y q ue pasa por los pu n tos (3, O, 1) y (3, 2, 2).
z
Sustituyendo las coordenadas de los pun t os dados en la ecuación Ax2 + By2 = Cz se obtiene, (1) 9A + OB = C, de donde 9A = C (2) 9A 48 = 2C. Resolviendo este sistema de ecuaciones, A = C,9, B = C/4. Sustit uyendo estos valores de A y B en Ax2 + By 2 = Cz x2 y2 z
+
resulta, 4x 2 + 9y2 = 36:, o bien, paraboloide elíptico.
+
X
4 = (' que es u n
18. Hallar el l uga r geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de sus distancias al eje x son iguales a tres veces sus dista ncias al pla no y::.
+
Sea (x, y, z) un punto genérico del l ugar. Entonces, y2 z2 = 3x. Esta superficie es un paraboloide de revol ución simétrico con respecto al eje x.
19. H allar el vértice del parabolo ide elíptico 3x2 + 2y2 - 12: -6x + 8y - 1 3 = O. 3 (x2 -2x i- 1 ) 2(y2 4y + 4) = l 2z + 13 11 = l 2z (x - 1)2 (y f- 2)2 de don de 3(x - 1)2 + 2( y + 2)2 = 12(z + 2), o sea,-+ -= 6 4
+
+
+
+ 24, z
+2
El vértice es el pu nto ( 1 ,-2, -2).
20. Estudia r y hallar la nat ura leza de la superficie 9x2 -4y2 - 36::. La superficie es simétrica con respecto a l eje z y a los planos xz e yz. Corta a los ejes en el origen de coordenadas. Para z = O resulta la traza con el plano xy, q ue es el par de rectas definida s por la ecuación 9x2 - 4y2 = O, o sea, 3x + 2y = O y 3x -2y = O. 2 Para y = O resulta la traza con el pla no x::, que es la pará bola 9x2 = 36=, o bien, x = 4z. Esta parábola tiene su vértice en el origen y está abierta pnr su parte superior. Para x = O resul ta la traza con el plano yz, q ue es la parábola -4y 2 = 36:, o sea, y2 = -9z. Esta parábola t iene su vértice en el origen y está por su parte inferior. Las secciones prod ucidas por los planos z = k son hipérbolas. Si k es posi t ivo el eje de la parábola es paralelo a l eje x. Si k es negativo , el eje real oc la h i pérbola es paralelo a l eje y. An álogamen te, las secciones prod ucidas por planos paralelos a los x: e yz son también parábolas. La cuádrica en cuestión es un parabol oide hiperból ico.
SUPERFICIES
138
21. Hallar la ecuación de un paraboloide de vértice el pu nt o (O, O, 0). eje O Y y q ue pa a por los puntos (1 , -2. 1 ) y (-3, -3, 2). Sustit uyendo las coordenadas de los dos punto s dados en la ecuación A x2
+ Cz2 = By,
A ¡ C = -28 9A
+ 4C = -38.
Despejando A y C en función de 8. resulta. A. = B. C = -38. Sust it u yendo estos valores de A y C y divid iendo l
+ 3:2 -x2 = O.
Esta su perfi cie es simétrica con respecto a l os pla nos coord enad os y con respecto al origen. Corta a los ejes en el origen de coordenadas. Para x = O no existe la traza con el plano y: . z Pa ra y = O resu l ta la traza con el pla n o x z , q ue es el 2 2 par de rectas defi nid o por la ecuación 3z - x = O, o sea.
VJz + X = Ü, J;-.\ = Ü. Para z = O resulta la t raza
con el plano -xy . que es el par de recta s defi nido por la ecuación 2y2 - xl = O. o sea, iy + x = O, \ '2y - x = O. Las secciones prod ucidas por los pla nos x - k son elipses, cualq u iera q ue sea k d isíin to de cero. Análogam en te, las secciones por plan os para lelos a los xy o xz son hi pérbo las.
y
23. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos cuya d ista ncia al eje y sea el t riph: de la correspond ien te al eje z . Hallar la nat uraleza de la superficie resultante. \lx2 1-
2
-= 3\ 1x2
+ y2. de donde x 2
1 :2
- 9x2
-r 9y2, o bien 8x!"' 9y 2 -=2 = O.
Esta su perficie es un cono de vértice el origen. El eje del cono es el eje :. 24. R epresenta r la superticic 4x2 + 9y 2 = 36. Esta su perfi cie es u n cil i nd ro de eje pa ra lelo a l de coordenadas :. y cu ya direcrri: es la el i pse 4x 2 9y 2 = 36.
+
z
.
,,
/
.----··-·- r;----,,_
X
X
------ -,"; -- - - - - (3,0.0) (0,2,0)
y
Problema 24
Problema 25
25. Hallar la ecuación de la superficie de revol L:ción generada en la rotación de la elipse x2 al rededor del eje x.
+ 4:2 - 16 = O
Sea P(x. y.:) un punto genérico cua lq u iera de la su perfici y t racemo s desde él la perpen dicular al plano xy . En el trián g u lo rer.tángu lo A BP, .4 8 y. BP z.
---------"'--
SU PEP FICll S
Haciendo A P
= y'
se tiene, y
2
+ z = y' 2
2.
De la ecuación de la eli pse, x 2
Sustitu yendo , x = 16 -4{y + z }, o bien , x l uci ón cuyo eje es el de coordenadas x. 2
2
2
139
2
f- 4y
2
+4 = 2
=
16 - 4y'2.
1 6, q u e es un el ipsoide de revo-
26. H allar la ecuación de la superficie de revol ución generada en la rotación de la h ipérbola alrededor del eje z.
x2 -222
=
l
Sea P 1(x•• O, z,) un punto genérico cualq uiera de la hipérbola. y P'(O, O, .) su proyección sobre el eje z . En la rotación de la hi pérbola alrededor del eje z , el punt o P 1 describe una circunfe rencia de cen t ro P' y radio P'P1• Sea P(x, y, z) un punto cua lq u iera de esta ci rcunferencia y, por tanto, de la su perficie bu scada. Como z 1 = z y P'P1 = P 'P, se tiene xt
=
2
+y
2
=
+ (z -z,r = v'xz + yi .
v'(x -- O)Z +(y -· 0)2
= z en la ecuación de la hipérbola, xr - 2zr x + y -2z = 1 , que es un hiperboloide de una hoja. Susti tuyendo
2
2
X¡
v'X
y
Z1
=
1 , se obtiene,
2
z
J
.,,-
/'
,.
.........,
'
' Pcx,y;z) \
\
::::::::-----
_...._.
,P. (x, ,y,.o) I I
/
.,, ;'/
Problema 26
Problema 27
27. Hall ar la superficie de revolución generada en la rotación de la recta 2x
+
3y
= 6 alrededor del eje y .
Sea P1(x 1• y 1, 0) u n punto genérico cualq uiera de la recta ,Py1 P'(O. y 1 , O) proyección el scribe unasucircunfe rencia sobre de cende ej e y. En la rotación de la recta alrededor del eje y , el pun to tro P' y radio P' P,. Sea P(x. y , z) u n punto cualq uiera de la circu nferencia y , por tan to, de la superficie buscada . Como y 1 = y y P'P1
P 'P, se tiene
x 1 = v'x2
+ z 2•
+ z2
+
e Yi =y en la ecuación de la recta, 2x1 3y1 = 6, se obtiene. 2 x + 3y = 6. Simplificando términos se llega a la ecuación 4x2 -9( y -2)2 4z2 = O, que es un cono de vértice el pu n to (O, 2, 0).
v
Susti tuye nd o x 1 2
z2
+
=
=
v'x 2
+
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar las ecuaciones de las -:sferas siguientes: o) Centro (2, -1. 3), rad io 4.
+ y +:2 -4 x + 2y -6z -2 = O. x 2 + Ji2 1-2: + 2x -4y - 8:t 8 = O.
Sol. x2
2
b) Cen t ro (-1,2, 4), rad io ,113. Sol. e) Un d iámet ro es el segment o determinad o por l os puntos (6, 2, -5) y (-4. O, 7).
Sol. x2 d)
Centro (-2, 2, 3) y q u e pasa por el punto (3, 4, -J ).
Sol. .x2 e)
Centro (6. 3, -4) y ta ngente al eje x .
Sol. x
2
+y 2
1- z 2 -2 \' -2y -2.: -59 = O.
+ y + : + 4x -4y -6z -28 = O. + y 2 -1 :: 1 2x ·-6y + 8z + 36 = O. 2
2
2
-
,· 7· -·........... -
!11!!!!!11111111!11 -
""""'
SUPER FICI ES
140
2. Hallar las ecuaciones de as esferas siguientes: a) Ce n t ro (-4.2, 3) y t.rngente al plano 2x -y -2: + 7 = O. Sol. x 2 + y2 +:2 + 8x -4y - 6z + 20 = O. b) Centro (2. -3. 2) y t.1ngenle al plano 6x -3y -2z -8 = O. Sol. 49x2 + 49y2 + 49:2 - l 96x + 294y - 196: + 544 - O. e) Cen t ro (1 . 2. 4) y ta n en te al plano 3x -2y + 4: -7 = O. Sol. 29x2 + 29y2 + 29:2 -58x - l 1 6y -232z + 545 = O. d) ) Cen t ro (-4, -2, 3) y tangente al plano yz . Sol. +y2 +.z2 + 8x + 4y - 6:: + 13 = O. e) Cen t ro (0, O, O) y tan gente al plano 9x -2y + 6z + 1 J' = O. Sol. x2 + y 2 + z2 = 1 . 3. Ha llar las ecuaciones de las esferas siguien tes : a) Que pasa por los pu n tos ( 1 , 1 , 1 ), (1, 2, 1), ( 1 , 1, 2), y (2, 1 , 1). Sol. x2 1- y 2 + z2 -3x -3y -3z 6 = O. b) Que pasa por los pu nt os (2, 1, 3), (3, -2, 1), (-4, 1 , 1 ), y ( 1 , 1.-3). Sol. 51x 2 + 5 1 y 2 + 51z2 + 45x + 37y -33z -742 = O. e) Que pa sa por los pu n tos ( 1, 3, 2), (3, 2, -5), (O, 1, O), y (O, O, O). Sol. l lx2 + lly2 + llz2 - 127x - l l y + 3: = O.
+
4. Hallar las coord enadas del centro y el rad io de la esfera: a) x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y -6z + 8 = 0. Sol. b) 3x2 + 3y2 + 3:2 -8x + 12y - 1 0: + 1 0 = O. Sol. 2 2 2 e) x + y + + 4x -6y + 8z + 29 = O. Sol. d ) x2 + y 2 + :2 -6x + 2y -2z + 1 8 = O. Sol.
( 1 , -2 , 3). r = v6. (4/ 3, -2, 5/ 3), r = v47/ 3. (-2, 3, -4), r = O.
I magi na ria.
5. Hallar la ecuación de la esfera tangente a los planos x -2z -8 = O y 2x -:+ 5 = O y que tiene su cen t ro en la recta x = -2. y = O. Sol. x2 + y2 + z2 + 4x + 6z + 49/ 5 = O, x2 + y2 + z2 + 4x + 22:: + 48 1/ 5 = O.
6. Halla r la ecuación de la esfera que pasa por los puntos ( 1 , -3. 4), ( 1 . -5. 2) y ( 1, -3, 0) y t iene su centro en e l plano x +y + z = O. Sol. x2 + y2·+ z2 -2x + 6y -4z + 10 = O. 7. Hall ar el l ugar geométrico de los pu ntos cuya su ma de cuad rados de sus distancias a los plan os x + 4y + 2z = O, 2x -y + z = O y 2x + y -3z = O es igu a l a 10. Sol. x2 + y 2 + z 2 = 1O. 8. H alla r el l uga r geométrico de l os puntos cuya relación de d ista n cias a los pu nt os fijos (l. 1 , -2) y (-2, 3, 2) es i gual a 3 : 4.
Sol . 7x2
+ 7y2 + 7z2 -68x + 22y + I OOz - 57 = O.
9. Estudiar y represen tar los el i psoides sigu ientes: a) 25x2 -r 16y2 + 4:2 = 1OO. b)
4x2 + y1 + 9z2
e)
8x2
=
144.
+ 2y2 + 9z2 =
144.
x2 + 4y2 + 4z2 -1if = O. e) x2 + 4y2 + 9z2 = 36. (x - 1)2 (y - 2)2 (z -3)2 - 1 f) 36 + 16 + 9 - . d)
10. Hallar las coordenadas del cent ro y la longitud de los semiejes de las superficies siguientes: a) x 2 + l 6y2 +:2 -4x + 32y = 5. b) 3x2 + y 2 + 2:2 + 3x + 3y + 4z = O. e) x2 + 4y2 + z2 -4x -8y + 8z + 15 = O. d ) 3x2 + 4y2 + z2 - 12x - 16y + 4z = 4. e) 4x2 + 5y2 + 3z 2 + 1 2x -20y + 24z + 77 = O.
/
x2
Sol. Sol. Sol. sol. Sol.
(2, -1, O). 5, 5/4, 5. (-1/2, -3/2, -1), vlS/3, (2, 1, -4), 3, 3/2, 3. (2, 2, -2), 2 v3, 3, 6. Punto (-3/2, 2, -4).
v'5, vW / 2.
f SU PERF I CI ES
141
11. Hallar la ecuación (referid a a sus propios ejes) de los elipsoides q ue pasan por los punt os que se ind ican. Aplíque se la ecuación Ax2 + By 2 + C 2 = D. a) (2, -1, 1 ), (-3, O, 0), ( 1, -1 , -2). Sol. x2 + 4y2 + z2 = 9. b) (VJ, 1, 1 ), ( 1, 3, -1), (-1 , -1 , \/S). Sol. 2x2 + 2y2 + z 2 = 9. e) (2, 2, 2), (3, 1 , J), (-2, O, 4). Sol. 2x2 + 3y2 + z2 = 24. d)
( 1, 3, 4), (3, 1, -2
l) y su eje de revolución
Sol. 2x2 + y2 + z 2 = 27.
es el eje x.
12. Ha llar el l ugar geométrico de los punt os cuya su ma de distancias.a los puntos fijos (0, 3, O) y (O, -3. O) es igual a 8. Sol. 16x2 + 7y2 + 16z2 = 1 1 2. 13. Hallar el l ugar geomé trico de los punt os cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 2, -4) y (3, 2, 4) (x -3)2 (y -2)2 (z -0)2 + + = l. es igual a 10. Sol. 25 9 9 14 . Halla r el l uga r geométrico de los pun tos cuya suma de d i stan cias a l os pu ntos fijos (-5, O, 2) xz yz ( z -2¡2 y (5, O, 2) es igua l a 12.
Sol.
36
+ 1¡ +
11
=
l.
IS. Hall ar el l uga r geométrico de los punto s cuya s distancia s al plano yz son el doble de las correspond ientes al p un t o ( 1 , -2, 2). Sol. 3x2 + 4y2 + 4z 2 - 8x + 1 6y - 1 6z + 36 = O. 16. Hallar el l uga r geomé trico de l os puntos cuya distancia al punt o fijo (2, -3, 1) sea la cuarta pa rte de la correspondien t e al plano y + 4 = O.
16x2 + 15y2
Sol.
+
16z2 -64x
+- 88y -32: + 208 = O.
17. Halla r el l uga r geométrico de Jos punt2 os cuya d istancia al eje x sea el tripl e de la correspond iente al punto fijo (2, 3, -3). Sol. 9x 8y2 + 8z2 - 36x -54y -54z + 198 = O.
+
18. Est udiar y represen t ar los siguientes hi perboloide s de una hoja :
xz
+
a)
16 xi b)
4-
e)
2-·
yz :z - -36 = 1 . 9 y2 z2 36 1 6 = l.
+
2
4x 25y
+
2
1 6z
= 100.
d)
l6y2 -36x2 + 9z2 = 144.
x2
yi
e)
T6 + 4 -
/)
9y2 -x2 + 4;:2 = 36.
19. Estud iar y representar Jos siguiente s h iperboloide s de do$ hojas: xz y2 z2 (x - 1)' (/) 16 - 9 - 36 = J. e/) 16 b)
e)
36x2 -4y2 -9z2 = 144. 25x2 - 16y 2 -4z2 = 100.
(z - 1)2 - 25 = l.
e)
•f)
yz
z2
4 - 25
= l.
36y2 -9x2 -16z 2 = 144. 4z2 -x2 -9y2 = 36.
20. Hallar las coordenada s del centro y la natural eza de las superficies sigui entes: a) 2x2 -3y2 + 4z2 -8x -6y + 12z - 10 = O.
Sol. (2, -1 , -
b) x2 e)
d) e)
f) g)
} H i perboloide de un a hoja. Eje paralelo al eje y.
+ 2y2 -3z2 + 4x -4y - 6: -9 = O.
Sol. (-·2, l . -1). Hi perboloide de una hoja. Eje paralelo al eje z. 2x2 -3y2 -4z 2 - 1 2x -6y - 2l = O. Sol. (3, -1,O). H iperboloide de dos hojas. Eje paralelo al eje x. 4y2 -3x2 -6z2 - 16y -6x + 36z -77 = O. Soi. (-1,2, 3). H iperboloide de dos hojas. Eje pa ralelo al eje y. 16y2 -9x 2 + 4z 2 -36x -64y -24z = 80. Sol. (-2,2, 3). Hiperboloide de una hoja . Eje paralelo al eje x. 5z2 -9x2 - 15y2 + 54x + 60y + 20z = 166. Sol. (3, 2, -2). Hiperboloide de dos hoja s. Eje para lelo al eje z . 2x2 -yi -3z2 -8x -6y + 24z -49 = O. Sol. Pu nto (2, -3, 4).
)
SUPERFICIES
142
21. Hallar el lugar geomét rico de los punt os cuya diferencia de d istancias a los puntos fijos (O, O, 3) y (O, O, -3) es igual a 4. Sol. 5z 2 -4x2 -4y2 = '.!O. Hiperboloide de dos hojas. Ceni ro en el origen .
22. Hallar el lugar geométrio de Jos puntos cuya diferencia de distancias a los punto s fijos (2, -3, 4) y (2, 3, 4) es igual a
5.
2 - 100x2 -100z 2
Sol. 44y
+ 400x + 800z = 2.275. Hiperboloid e de dos hojas. Centro (2, O, 4).
23. H allar la ecu ación del h ip•;rboloide de una hoja que pa sa por l os pu n tos (4, con c1::ntro el punto (O, O, O), que t iene al eje y como eje de revol ución. Sol. 2x2 -y2 2z2 = 21). H iperboloide de revolu ción de una hoja.
2v'3, O) y (-1, 3, 3v'6/ 2),
+
24. Hallar la ecuacién del h iperboloide de dos hoja s de cent ro el or igen , ejes los de coordenadas y que pa sa por los pu n tos (3, 1, 2), (2, v'll, 3) y (6, 2, v'í5). Sol . 3z2 -x2 -2y2 = l. H iperboloide de dos hoja s, eje t ran sverso al eje z. 25. Estudiar y r;:presentar las superficies siguientes: a)
3x2
+; 2
b) x + 2y e) y 2 -4;2 2
2
-4y -
e) 4x2 1 3y2 - 1 2:= O. /) 4x2 -- y 2 - 4z = O. g) 4x2 + yi t- z = O. h) x 2 t- 2y2 = 8 -4z.
= O.
6; = O.
+ 4x
= O. d) x2 + 4z2 - 16y = O.
26. H allar la ecuación del pa rabol oide de vértice el pun to (0, O, O), q ue tiene el eje : como eje, y que pasa por los puntos (2, O, 3) y (1, 2, 3). Sol. 12x2 9y2 - l 6z = O. Paraboloide elíptico.
+
27. Hallar la ecuación del paraboloide de vértice el punto (O, O, O), q ue t iene al eje z como eje. y q ue pasa por los pu ntos ( 1, O, 1) y (0, 2, 1). Sol. 4x y 2 -4: = O. Paraboloide el íptico.
+
28. Hallar la ecuación del paraboloide de vértice el punt o (O, O, O) q ue tiene al eje por los p u ntos ( 1, 2, 1 ) y (2, 1, 1). Sol. x 2 y2 -Sz = O. Paraboloide ele revolución .
z como eje,
y q ue pasa
+
29. Hallar la ecuación del pa raboloide de vértice el punto (O, O, O) q ue tiene al ej e z como eje, y que pasa por los pun tos (1 , 1 , 1 ) y (3/2, 7/ 12, 1/2). Sol. x 2 + 5z2 -6y = O. Paraboloide elíptico. 30. . Hallar la ecuación del paraboloide q ue pasa por el or igen. por los pu ntos ( 1 , 2, 2) y (2, 6, 8), y que es simétrico con respecto al eje x. Sol. z2 -2y2 + 4x = O, paraboloide h iperbólico; 2x2 = , cil indro pa raból ico. 31. Hallar el l ugar geomét rico de los punt os cuyo cuadrado de la d istancia al eje correspondiente al pla110 xy. Sol. x2 y 2 -2z = O. Paraboloide de revolución alrededor del eje x.
z es el doble de la
+
32. Hallar el vértice del paraboloide :
+
a) 2x2 + 3y2 -8x + 1 2y 3z + 23 = O. b) 2x2 + 4zt -4x -24z -y + 36 = O. e) 3zt + 5y2 -2x + I Oy - 12...- r 21 = O. d) y2 -4x2 + 2z -6y - l 2x -1 6 O. e) 4x2 + 3 2 -4y + l 2z + 12 = 0.
Sol. Sol. Sol. Sol. Sol.
33. Estud iar y represen tar los conos siguien tes:
a) x 2 -1 2y2 = 4z 2 . b) 3x2 2y2 = 6z2.
+ + y = 2x 3x2 + 4z2 = l 2y2.
e) z2
d)
/
I
2
2 •
e)
.f ) g)
(2, -2, -1). {I, -2, 3). (2, -1, 2).
(-3/2, 3, -3). (O, O, -2).
+ 3y 6(z -4) = O. 4( x + 3)2 = O. z2 + 2y 3xi + 4z2 - 12(y -4)2 = O. 2x2
2
2
-
--
2
j
r 1
SU PER FIC I ES
143
34. Est ud ia r y re pre se n ta r los cil i nd ros siguiente s: X2 + )'2 = 9. b) '1x2 1 9y 2 - 36. t·) y 1 - 4x. (d) l6y2 1 9z2 = 144.
e) x 2 - 9y2 = 36. () : . 4 -x2
a)
•
K)
x213
+ y 113 = a213 (pri mer cuadrante).
35. Ha llar la nat ura leza y la ecuación de las su pe rficies generadas en la rotación de las curvas siguien tes alrededor de los ejes q ue se ind ican. a) x 2 - 2z2 = 1, alrededor del eje x. Sol. x2 -2y2 -2z2 , 1. H i perboloide de dos hojas. h) x 2 -2z2 = 1, al rededor del eje z. Sol. x2 + y2 -2z 2 = l. H i pe rboloide de una hoja. e) x = 4 - v2• al rededor del e je x. Sol. - x ,_; 4 -y 2 - z 2 . Pa ra bol oid e. d) 2x -y - 1 O. al rcdc
+
.....
--
CA PITULO
16
Otros sisten1as de coordenadas COO R DENA DAS POLA R ES, CI LI N DR I CAS Y ESFE R I CAS. Además de las coordenadas ca rtesia n as rectan gu la res, existen otros sistema s de coordenadas muy ú tiles y qu e se em plea n con frecu encia como son las coorden adas polares, las cil índricas y las esfér icas.
z
COOR DE N A DAS POLA R ES. Las coordenadas pola res de u n pu n to P del espacio (ver figura adyacente) son (e. a, {3 y), si endo u la d ista ncia OP y·a, /J y y los án gulos de l a d irección de OP . Las relaciones q ue ligan las coordenadas polares y recta n gul ares de u n pu n to P son, X
: !! COS lj
a, .\' = (j COS {J, y =
Z = (! COS
/
y.
,
/
X
_ _ _ _ _ _ _ y1 //
y
± vx2 + y2 + z2,
r Como cos2 a + cos2 fJ + cos2 y = 1, las cuatro coorden adas no son independ ientes. Por ejem plo. si a = 60º y p = 45° se tiene, cos2 y = 1 -cos2 a -cos2 {J = 1 - !-!= j. Como por ot ra parte }' 1 80°, y = 60° ó 1 20°. COOR DEN A DAS CI LI N DR I CAS. En este sistema , u n pu nto P(x, y , :) vie ne defi nido por f!, O, z, siendo (! y O las coordenadas polares de la proyecc ión Q del pu nto P sobre el pla no xy . Estas coorden adas se escriben en tre pa réntesis y en este orden (!?, O, z). Las relacion es q ue ligan las coorden adas cili nd ricas con las rectangulares son,
Zt
p
(X,y,Z)
(j),9,Z)
z
,
x = (! cos O, y = e sen O, z = z.
o = ± vx2 + r, e = are tg X .
/
Q
y
Obsérvese que el á n gulo fJ puede tom ar cualq u ier va lor , con lo que lores negat ivos, com o en el caso de las coord en adas polares.
..
X
, ,
e puede
tomar va-
COO RDEN ADAS F.SFER ICAS . Sea P(x,y, z) u n pun to cualq uie ra del espa cio y Q su proyección sobre el plan o xy . R epresentemos por !! la d ista nci a OP, z p (X,"0) com o en el caso de las coord enadas polares , por e/> el án gulo ¡p.FJ.lf>) ZOP , por O el ángul o XOQ , y consideremos el ángul o c/> posi1 ti vo cu ando 0° c/> 180°. Los símbolos (!, O y e¡, son las coor1 1 denadas esféricas del pu n to P, y éste se represen ta por P(Q. 1 1 O, cf>). La coordenada !! es el rad io vecto r, O la longi tud y e/> la 1 1 cola t i t ud de P. El ángulo O puede tomar cualq uier va lor. l M ., : / X Del triángulo rectángulo OPQ se ded uce, : _
OQ = /2 sen c/>.
QP = (} cos e/> .. 144
)
y
' _ ...... ......,y ,
Q
OTROS SISTE MAS DE COOR DENA DAS
145
En el t riángulo OM Q se verifica, OM = OQ cos O, M Q = OQ sen O. Por tanto,
=
x - O M - '.! sen cos fJ. y = M Q = '.! sen sen O. )'
'.!
fJ - are tg · ,
l
=:::
Q P - !! cos .
-= are cos .J
.\"
En m u ch os problemas relati vos a la determi nación de áreas de su perficies, o de vol úmen es l i mi tad os por éstas, los método:· em pleados en el cálculo d iferencial e i n tegral se ven n ot a blem ente si m pl ificados pa sa ndo el problema a coorde nadas esféricas o cil í nd ricas . En todos aq uel los casos en q ue la su perficie lí mite sea de revol ución , l o más adecuado es el em pico de las coorden adas cil índ ricas.
PROBLEMAS RESU ELTOS l. H a llar las coordenad as polares. ci línd ricas y esféricas de l pun t o cu ya s coorden adas rectan gulares
son (!, -2. 2).
z
z
z P(p,B,t/J)
P(p,a.,,B,Y)
z 1 1 1
2
,)
.....'-2 X
X
X y
Coordenadas dlindrica.v
Coordenadas pr>lares
i = a re cos }=
a = are cos y
= are cos = = a re cos
0
Coordenadas cilíndricas.
70º32',
Coordenadas esRricas
fi = arc cos
3
= 48º 1 1 '.
Sol. (3, 70°32', 131n49', 48º 1 1 ').
= vx 2 +-Ji! = '\/ 12 + (-2)2 = v5. Sol.
X
g
1 31º49',
= '\1x2 + y2 + =2 =
(} = are tg L = are tg (-2)
= 296"34',
'1 2
cvs, 296º34', 2).
+ (-2)2 + (f)t =
= are cos
X
3.
= are cos
2
= 48º 1 1'.
3
,..
Sol. (3, 296º34'. 48º 1 1 '). 2.
Hallar las coordenadas rectangu lares del pu n to cu yas coordenadas cil índricas son (6. 120º, -2). X
= (! COS 0 = 6 COS 120° = -3,
Sol. (-3, 3v3, -2).
1
,.
2
L = are tg (-2) = 296º34', : = 2.
Coordenadas esféricas.
= arc cos (- ) =
y = (} Sen 0
= 6 sen
120<>
= 3 VJ ,
Z
= -2.
=
QS & e:tM 65
146
3.
=
QQ
t : se q;
e
4
'l'l
OTROS SISTEMAS DE COO R DENA DAS
Hallar las coordenadas recta ngulares del pun to cuya s coordenada s esféricas on (4. -45", JO''). y
= 4 Sen 30º COS (-45°) = Vl, = r¿ sen e/> sen O = 4 sen 30º sen (--45º) = -vi,
z
=
X
= (! sen COS 0
º
= 2 v3.
= 4 cos 30°
cos
/
4.
Hallar las coordenada s rectangulares del punto cuyas coordenadas polare s son (3, 120 , 120º, 135").
= (! COS a = 3 COS 1 20 = -3/2, = 3 cos 1 20º = -3/2, = = e cos Y = 3 cos 135º = -3v212.
X
y = (! cos{J
f
Sol.
3
J
·-
•-
\
2
3ví )
2
. 2
5. Hallar las coorde:iadas recta ngula res po!ares y esféricas del punto cuyas coord e nadas cil í ndricas son (6, 120º, 4).
\
Rectangulares. x = (! cos O = 6 cos 120° = -3, y = r sen O = 6 sen 1 20º = 3VJ,
'\
Polares.
{!
+ y2
=\lx 2
sol. : = 4. + .:2 = \/(-3)2 + (3 ,13)2 + 42 = 2 \ID.
(-3. 3v3. 4).
3
= are cos
-
= 1 14 "35', 2v13 3 3 f3 = are cos L = are cos - 46 7' -e 2\113 · · 4 y = arc cos ::_ = arc cos -- = 56 19'. (! 2\.1 1 3 Sol. (2vi3. 1 14º35', 46º "1', 56"19'). X
a = are cos
(!
Esféricas.
Q = \!x2
+ y2 + z2 =
/(-3)2.1... (]\13)2
y 3\ () = are tg - = are tg
f> = are cos z
= are cos
!? Expresar la ecuación x2
3
-J
X
6.
1
+ 41.= 2 vD,
= 120º,
2\ 113
= 56º 19'.
Sol.
(2
13, 120 , 56 19').
+ y + 2z2 -2x - 3y -: ·f 2 = O en coordenadas cil í nd ricas. 2
= e cos O, y -= ') sen O, .: = z. Susti tuyendo , [J2 cos 0 + rl sen 2 0 + 2.:2·-2!.! cos O -3g sen O -.: + 2 = O. Simplificando , e 2 -g(2 cos () + 3 sen O) + 2z2 - z + 2 = O. x
2
7.
Expresar la ecuación 2x2 f- 3y2 - 6.: = O en coordenadas esféricas.
x Sustituyendo , o bien, •8.
Expresar la ecuación
= g-sen cos O,
2e2 sen2 cos28 2(! sen2 cos28
y
= f! sen sen O. z = e cos .
+ 3(!2 sen2cf> sen20 -6Q cos = O, + 3e sen2 sen20 -6 cos = O.
e + 6 sen e¡, cos e + 4 sen sen O -8 cos = O en coordenadas rectangulare s. e y teniendo en cuenta
Esta ecuación est á dada en coordenada s esféricas. M ultipl icando por los valores de x, y, z, del Probl ema 7, se ded uce,
1:/
+ 6() sen e/> cos O x
/
2
,_.
J.::
-L
4.!.l sen e/> sen
O -8g cos e/> = O, o sea,
+ = + 6.r + 4y -3.: = O. 2
Esta ecuación representa una esfera de cen tro (-3. -2, 4) y rad io r = \129.
j
01 l< OS SISTl:MAS 01 C OOR DE A DAS
147
9. Expresa r la ecua ción . ecri ta en coorden ada s cil indricas. ;: - r/ cos 20. e n coordenada s recta ngu la res. Ten iendo en curnta q ue cos 20
co<:.2 0
sen 2 f) resu l ta . : - el(co s 2 () -scn20) = r l cos10 -r .l
sen20. ·Como I! cos O - x y '! sen O 10. Expresa r la ecuación
x 2 .;
y. la ecu ación ped ida es
y2 -. :z
En coordenadas pol ares. x
==x
2 -y t.
25 en coordenadas polares.
= f.! cos a.
Luego l a ecuación se tra n forma
en
y:; e cos {l.
= = (! cos y .
1¿1 cos2a ¡ r l cos"P -r l cos2y = 25,
o sea. !2(cos2 ' .; cos'íJ -cos2y) - 25. Como cos2a
/1 + coS2)• - 1 . la ecuación
C0!.2
pedid a es e:( I -2 cos1y) = 25.
JI. Expresa r la ecuación. escrit a en coordenada s pola re , cos y gulares.
= (! cos a cos {3, en coordenadas rectan-
Mult ipl ica ndo por f! los dos miemb ros de la ecuación se tiene, (! cos y = ei cos a cos {1. Ten iendo en cuenta que (! co<. y = :, '! cos a x, f! cos fJ = y. la ecuación pedida es z = xy.
PROBLEMAS PROPUESTOS l. Halla las coordenada s polares de los puntos siguicn ics: a) (0, 1. 1 ); b) (0. -2. -2); r) ( 1 . -2. 2); d) (6. 3. 2); e) (8. -4, I ). Sol. a) (\ 2. 90 . 45'. 45 ) ; h) (2\ 2. 90". 135 ', 135< ); e ) (3. are cos l / 3, are cos (-2/ 3). are cos 2/3); d) (7, a re cos 6/ 7. are cos 317. a re cos 2/7): e) (9. are coo; 8 9. a re cos (-4/9), are cos 1/9). 2. Hallar las coordenada s cilínd rica de los punt os del Problema 1. S(lf. a) ( l . 90 . I ); b) (2. 270 . -2); e) (\15 , 2:t -are tg !, 2); d) (3
5. a re t g! . 2) ; 1') (4v 5. 2n -are tg 2, 1).
) '
3. Hallar las coord e nadas esféricas de los puntos del Problema 1. Sol. o) ( 12, 90º, 45º): b) (2\1:2, 270'. 135º): e) (3, 2;i - are tg 2, are cos 2/3); J) (7, are tg 1 2, are cos 2/7) ; e) (9, L-t - are tg l. a re cos l /9).
4 . Hallar las coordenad as rectangulare s de los pun tos cuyas coordenadas polares son : a) (2, 90", 30', 60 ); b) (3, 60°, -45º, 120º) ; e) (4, 120º, 1 20º, 135º); d) (3, 150°, 60°, 90") ; e) (2, 45º, 120°, -60°). · Sol. a) (O, ,13, I ); b) (3/2. 3,12 2, -3/2); e) (-2, -2, -2 v'i); d) (-3\/ 3/ 2, 3/2, 0); e) ( 2, -1, 1).
5. Hallar las coordenad as rectangulares de los puntos cuyas coordenada s cillndricas son : o) (6, 120°, -2) ; b) (1 , 330°, -2); e) (4, 45º, 2) ; d) (8, 1 20º, 3) ; e) (6. 30º, -3).
Sol. a) (-3. 3 3, -2) ; b) ( 3/2, -1/2, -2); e) (2v'2, 2 d) (-4, 4v3, 3);
e) (3
2, 2) ;
3, 3, -3).
6. Hallar las coordenadas rectangu lares de los punt os cuyas coordenada s esféricas son : a) (4, 210º, 30º): b) (3, 120", 240"); e) (6, 330º, 60º) ; d) (5, 1 50º, 2 10°) ; e) (2, 180º, 270 ).
."1'l
148
OTROS SISTEMA S DE COORDENA DAS
9 J) Sol. a) (-\/ 3 ) -1 ) 2v13-)·) b) \( .h/3 4 -, - -4-- ' - 2 ·' 5\13 5 d) ( 4 -, - .4 - 2 - ; e) (2, O. O).
3
(9 ,
e)
2
5,13 )
v3 , 3) ; 2
7. Ha lla r las coorden adas esférica s de los punt os cuyas coordenada s cil índricas son : a)
(8, 1 20", 6);
h) (4, 30º, -3) ;
Sol. a) (1 0. 1 20 . a rc co) d ) (5, 1 SO , are cos
e) (6,
135º. 2);
d ) (3. 1 50º. 4) ;
) ; h) 1 5, 30 '. arc cos () ; e) ( 1 3, -90 , a re cos
) I:
(12. -90°. 5).
e) (2
16, 1 35º.
);
5 )· 13
8. a) Expresa2 r en 2coordenadas esféricas las ecuacion es sigu ien t es: 3x -3y - 8:; hJ x2 y2 -: -= a ; e ) 3'." + Sy -2: 2
e)
2
6.
Sol. a) 3(! sen 2 cos 20 - 8 cos O ; h) g2(scn 2 cos 20 -cos2) = a2 ; e) (!(J sen cos O + 5 sen sen fJ - 2 cos ) = 6.
9. Expresar en coordenada s ci línd r icas las ecuacio nes siguiente : a) 5x 1- 4y O ; h) 5x2 -- 4y2 + 2x + Jy - O ; e) x2 1 y2 - 8.\' - O; d ) x2 -y2 1- 2y -6 = O; <") xi 1 y2 - 2 - a2. Sol. a) () - a re t g(-5/4); h) 5(! cos20 -4!! sen 2 0 ,2 co O ..¡ 3 se n O =·0; e) !! - 8 cos O = O; d) r / co!> 20 -1 2(! !>en O - 6 - O; t') r.!2 - ;2 a2• 10. Dad as l as ecuacion es siguiente s, en coordenada s cilínd rica . ha llar su na t u raleza y expresarlas en coord enadas recta n gula res. a) g2 ·1 3.:2 - 36; h ) ' -: a sen O ; e) '!2 1 2 ,- 1 6 ; d ) O .:o 45 ; e) i2 - 2 = l. 2 2 2 Sol. a) x + y + 3 -= 36. El ipsoide de revol ución. h) x2 + y2 = ay. Cil i nd ro circu la r reclo. 2 e) x 2 ..._ y 2 +: - 1 6. Esfera. d) y x. Plano . 2 1 . Hi perboloid e de una h oja. e) x2 -i y 2 - ; = 11. Expresar en coordenada s po la res las ecuacion es iguiente : a) x 2 1 y 2 ..¡ 4:= O; h) .v2 ..¡ y 2 - 2 = a2 : e ) 2.\· • 3y2 .¡ 2::2 -6x ..!.. 2y = O; d) z Sol. a) g(eos 2u + cos2¡3\ -L 4 cos y = O. o bien, '!( 1 - co2)•) -1- 4 cos y = O; h) !/( 1 -2 cos2f'l = o2 : e ·) !!( 2 cos2 1) -6 co u 2 co ft = O: d) cos ) ' = 2<_> eos ü co ¡f .
= 2xy.
12. Expresar las ecua cion es igu ientcs, dada s en Cl)Ordcna da s e<;fér icas. en coordenada s rectangulares : a) '} = Sa cos a : d ) ' - 4. 2 2 2 Sol. a) \ _.._ y -1- :: - Sa:: ; h ) y -- \ 3x : e ) .\ 2 -: y 2 - a2 ; d ) x 2 + y 2 -i- 2 = 1 6. 13. Expresa r las ecuaciones iguien tes. dada s en coordenada'> polare'). en coord enad a. recta ngul ares: a) !'(cos a - cos ¡I - co!. y ) 5: h) '}2 (2 cos21.1 - 1 ) 25 ; e) cos y = Q(cos 2cz -cos2ff): d ) f.! 2 - 1 / cos2)' - 4, cos y - 2 O. Sol . a) x -1.. y + :-= 5: b ) .\'2 -·- y - ::2 - 25: r) := .r2 - y2: d ) x 2 -r y 2 -4:: - 2 - o.
14. Deduci r la fórm ula de la dista ncia entre dos pun tos. P 1( 1J 1, 01 • 1) y P2(g2, 02•
2 ) , en coordenadas esféricas . l nd.: A pliq ue e la fórm ula de la d istancia entre dos puntos en coordenada s rectangulares y, a cont i n uación. hacer el cambio a coordenad as esféricas.
Sol. 1\Qf -r !! - 2'}1!!2 (co (0
2-
0 1 ) sen 1 sen cf>i ,cos 1 co
,..
r:'"' 1
2
1 = d.
