Geometría 5to grado – II Bimestre
Índice Índice
Pág l
Ángulos
77
l
Clasificación de los ángulos
83
l
Bisectriz de un ángulo
91
l
Polígonos
97
l
Triángulos
101
l
Área de una región
111
l
Cuadriláteros
115
l
Área de cuadriláteros
119
Ángulos Observa: Región Angular
Región Angular
Región Angular
Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares. Cada región angular determina un ángulo.
Región Angular
P Ángulo
Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que parten del mismo punto. B
Elementos
do
la
___ ___
• Lados: OA; OB Vértice
O
Notación
α
∧
Ángulo AOB: � AOB ; A OB
• Vértice: O lado
A
Nota: m � AOB : Se lee medida del ángulo AOB. α es la medida del ángulo AOB. ∴ m� AOB = α º
Pasos para medir ángulos:
1)
Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice "O" del ángulo.
2)
Se hace pasar un lado del ángulo por la medida 0 del transportador.
Geometría - 5to. grado
77
2
3) Se identifica en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Ese número es la medida del ángulo.
B
A
O
70
60 50
110
90
100
100
90
80
110 70
1
B 12
0
60
1
0
14
0
30
10
170 180
180
0
O
170
10
0
160
20
20 160
15
30
0
15
50
40
0
0
40
13 50
14
30
20
80
A
B
60
70
50
90
100
100
90
80
1
0
40
1
14
0
15
30
30
160
160 20 180
0
O
10
0
170
11
170
20
0
0
10
13 50
15
0
0
40
180
12 60
0
78
110 70
14
30
20
110
80
A
Geometría – 5to. grado
¡Listos, a trabajar!
2
Jugando con los ángulos
1) Observa los siguientes ángulos y completa la tabla.
B
D E A
O
C R
Q P
N
Q
L
M
J
Nombre
Designación
Vértice
Ángulo AOB
� AOB
O
Geometría - 5to. grado
K
Lados
OA ; OB
79
2
2) Mide los siguientes ángulos con la ayuda del transportador y luego, completa cada espacio en blanco. A
Recuerda:
B
O
� AOB : se lee medida del ángulo AOB.
m � AOB = ____
H E
C D
G
F
m � EDC = ____
m � FGH = ____
J
L
N
K
I
M
m � IJK = ____
m � LMN = ____
R P m � PQR = ____
80
Q Geometría – 5to. grado
3. Denota y mide con ayuda del transportador todos los ángulos que observas en las siguientes figuras:
NOTACIÓN
C B
m�
AOC
m �
AOB
2
MEDIDA
m � BOC O
A
NOTACIÓN
MEDIDA
NOTACIÓN
MEDIDA
C
D
B
O
A
C B D
A
O
Geometría - 5to. grado
E
81
2
4. Usando tu regla y compás, construye en ángulo de 60º; 37º; 160º; 200º; 255º; 300º y 345º.
82
Geometría – 5to. grado
Clasificación de los ángulos 1.
Ángulo Nulo: Cuando sus dos lados coinciden, su medida es 0º.
O
2.
B
m � AOB = 0º
A
Ángulo Agudo: Su medida es menor que 90º y mayor que 0º.
B
Oº < m � AOB < 90º
O
A
60
70
50
110
90
100
100
90
80
1
0
40
1
0
14
0
15
30
30
13 50
0
10
180
0
O
170
170
20 160
160 20
10
0
15
0
12 60
40
180
70
B
0
Geometría - 5to. grado
110
14
30
20
80
A
83
2
3. Ángulo Recto : Su medida es igual a 90º. B
B
El cuadrado pequeño indica que el ángulo mide 90º
m � AOB = 90º
m � AOB = 90º
90º
O
O
A
A
B
60 50
110
80
90
100
100
90
80
0
40
1
0
14
0
15
0
30
30
13 50
15
10
180
0
O
170
170
20 160
160 20
10
0
40
180
12 60
0
0
110 70
14
30
0 12
70
A
4. Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90º pero menor que 180º.
90º < m � AOB < 180º
B
O
84
A Geometría – 5to. grado
70
60 50
110
90
100
100
90
80
110 70
2
12 60
0
1
0
14
40
0
0
40
13 50
14
B
30
0
12
80
30 15 0
0 15 30
10 0
180
0
180
170
10
170
20 160
160 20
O
A
5. Ángulo llano: Cuando mide 180º
m � AOB = 180º 180º
O
B
60 50
0
0 12
70 110
80
90
100
100
90
80
0
40
13
14
0
15
30
30
10
180
0
O
170
170
160
160 20
180
0
0
20
13 50
15
10
0
40
0
12 60
0
Geometría - 5to. grado
110 70
14
B
A
A
85
2
6. Ángulo de una vuelta: Este ángulo mide 360º m � AOB = 360º O
B
0
12 0
100
90
80
80
90
100
70 110
60 12
0
50
50
13
0
14
40
0
13
60
110 70
A
30
15
10
A
160 20
20 160
15
30
30
1 50
0
B
10
170
10
170
0
180
0
170
10
180
20
20 160
160
0
170
15
30
0
0
40
14
O
40
13 50
0
50
12 60
0 14
0
40
14
0
110 70
90
100
90
80
80 100
70 110
60
0
0
13
12
¡Listos, a trabajar! 1. Usando el transportador mide y clasifica cada ángulo según su medida: B
• m � AOB = __________, ángulo __________. • m � BOC = __________, ángulo __________.
C
• m � AOC = __________, ángulo __________.
O
86
A Geometría – 5to. grado
C B
D
A
O
E
¿C u á l
• ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______.
2
es el valor?
2. Halla el valor de "x" con los datos que se te proporcionan y denótalos correctamente:
C
A B
D 10º
x
x
2x
O
O
C
x = _________
E
x = _________
O
F
I
80º x
G 60º x
O
J
H
x = _________
Geometría - 5to. grado
K
x = _________
87
2
O
O 10º+x
N
8x
R
x
x
Q M
L
P
x = _________
x = _________
U
X
T
W
102 - 52
x 2x
x
O
S
O
Y
x = _________
x = _________
A
M N B
68º
x
x
20º+x
O
C
x = _________
88
O
P
x = _________
Geometría – 5to. grado
3) Con ayuda de tu transportador, encuentra la medida de 4 ángulos en cada figura. Luego, completa la tabla.
D
NOTACIÓN
MEDIDA
NOTACIÓN
MEDIDA
C B
O
A
N
O
P
M
Q
Algunos casos especiales de ángulos • Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio.
B A
Lado común
C Vértice común
Geometría - 5to. grado
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.
O
89
2
•
Ángulos Consecutivos: Son dos o más ángulos adyacentes.
B A
C O
Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos. D
•
Ángulos Opuestos por el vértice: Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.
A
D
m � AOD = m � COB
O
C
90
B
Geometría – 5to. grado
Bisectriz de un ángulo USANDO REGLA Y COMPÁS Concepto: Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales.
A
O
• Si: OP bisectriz del ángulo AOB.
x x
P
se cumple: m � AOP = � POB
Vértice B
Usando compás y regla traza la bisectriz.
Trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás. Paso 1:Ubica la punta del compás en el vértice O y con una abertura que tú elijas, dibuja un arco que cortará ambos lados del ángulo en "M y N".
A M o
Vértice
n B
Geometría - 5to. grado
91
2
Paso 2: Luego, con la punta del compás en "M" y luego en "N", con una misma abertura o con otra, dibuja dos arcos que se corten en "P".
A M
O
P
Vértice N B
Paso 3: Finalmente, al unir el vértice "O" y el punto de corte “P”, se obtiene la bisectriz OP del ángulo inicial AOB.
A M
O
P
Bisectriz del ángulo AOB
Vértice N B
92
Geometría – 5to. grado
¡Listos, a trabajar! 1.
2
Usando tu regla y tu compás, traza la bisectriz de los siguientes ángulos: a. Si: m � AOB = 80º
A
P
O
OP bisectriz del ángulo AOB donde: m � AOP = 40º y m � POB = 40º.
B
b. Ahora tú solo, construye un ángulo de 60º con tu transportador y luego, traza su bisectriz.
c. Construye un ángulo de 120º y traza su bisectriz.
d. Construye un ángulo de 40º y luego, traza su bisectriz.
Geometría - 5to. grado
93
2
2.
Traza la bisectriz de los siguientes ángulos y da la medida de los ángulos formados. (Usa tu transportador).
a.
b. R
T
O
S
U
O
c.
d. X
M E
O
3.
Y
U
Traza la bisectriz en los ángulos de cada triángulo y luego, halla la suma de la medida de los seis ángulos así formados. (Sugerencia: usar colores). a.
b.
E
C
A
B
J
G
d.
c.
H
94
F
D
I
K
L Geometría – 5to. grado
4. En cada caso, dibuja los ángulos con las medidas indicadas y traza sus bisectrices.
a. m � ABC = 20º
b. m � BCD = 50º
c. m � CDF = 60º
d. m � DFG = 70º
e. m � PQR = 96º
f. m � MNP = 120º
g. m � HIJ = 150º
h. m � DEF = 105º
Geometría - 5to. grado
2
95
Polígonos CONCEPTO: Un polígono es una figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales con segmentos de recta. diagonal
B
C
γ
A β
φ
D
ψ
α
F ángulo interno
•
Elementos:
ϕ
E
- Vértices
: __________________
- Lados
: __________________
- Diagonales
: __________________
- Med. de � Internos : __________________ vértice
lado
- Perímetro
: __________________
Completa el cuadro:
Polígono
Geometría - 5to. grado
Nombre
Nº de lados
Nº de vértices
Nº de ángulos internos
Nº de diagonales
97
2
•
Nonágono o eneágono, tiene _______ lados y _______ vértices.
•
Decágono, tiene _______ lados y _______ vértices.
•
Endecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.
•
Dodecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.
•
Pentadecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.
•
Icoságono, tiene _______ lados y _______ vértices.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS: 1. Polígono Convexo
_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________
2. Polígono no Convexo
_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________
98
Geometría – 5to. grado
¡Ahora, hazlo tú! 1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el gráfico?
3. Traza las diagonales en el siguiente gráfico:
2. En el hexágono mostrado, traza las
4. En el octógono mostrado, traza las diagonales desde dos vértices consecutivos:
diagonales de un vértice:
Geometría - 5to. grado
2
99
Triángulos Triángulo Figura geométrica formada por tres segmentos de recta determinados por tres puntos no colineales.
Elementos de un Triángulo Del triángulo ABC que se muestra en la figura, recordamos los siguientes elementos: B ___ ___ ___ χ Lados: AB;BC y AC β Vértices: A, B y C Ángulos: Internos: α; β y θ
α
A
θ
π
externos: χ , π , Z Perímetro: P ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ AB;BC AB;BC AB;BC y y AC y AC AC P= + +
C
Z
PROPIEDADES: En todo triángulo se cumple:
1.
α + β + θ = 180
( Suma de ángulos internos)
2.
φ + ω + π =360
(Suma de ángulos externos)
Clasificación de Triángulos
1. Según las medidas de sus lados. a) Triángulo escaleno.
B β
• Tiene sus tres lados diferentes. • Tiene sus tres ángulos diferentes. α A Geometría - 5to. grado
θ
C
101
2
b) Triángulo isósceles
• Tiene dos lados iguales y el tercer
B β
θ
A
θ
C
•
lado es diferente. Los dos ángulos de la base son iguales.
AC : BASE
___
c) Triángulo equilátero. B 60º
• Tiene sus tres lados iguales. • Tiene sus tres ángulos iguales a 60. 60º
A
60º
C
2. Según las medidas de sus ángulos:
a) Triángulo rectángulo C
• Tiene un ángulo recto (mide 90º).
α
•
___
___
Los lados BC y BA se llaman cateto y ___
β
•
AC hipotenusa. Se cumple α + β =90
A
B
b) Triángulo acutángulo B
• Tiene sus tres ángulos agudos. A
102
C Geometría – 5to. grado
c) Triángulo obtusángulo C
• Tiene un ángulo obtuso (mide
2
más de 90º y menos de 180º).
•
90º ∠ α ∠180º
α A
B
¡A practicar lo aprendido! 1. Encierra con un
60º
la alternativa que identifica a cada triángulo:
a. Rectángulo b. Isósceles c. Equilátero
a. Obtusángulo b. Escaleno c. Isósceles
a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno
a. Obtusángulo b. Equilátero c. Isósceles
a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno
a. Isósceles b. Equilátero c. Obtusángulo
30º
a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno Geometría - 5to. grado
60º
60º
a. Isósceles b. Equilátero c. Escaleno
103
2
2.
Dibuja los triángulos que se indican: Equilátero
Rectángulo e isósceles
Isósceles y obtusángulo
Isósceles y acutángulo
Reconozco líneas notables de un triángulo. a.
Mediana: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. B ___
BM : Mediana
A b.
C
M
Bisectriz Es el segmento trazado desde un vértice y divide a dicho vértice en dos ángulos iguales. B αα __
BI : Bisectriz
A
104
I
C Geometría – 5to. grado
c.
Altura Es el segmento que se traza en forma perpendicular desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación. B
2
B
___
BH : Altura
H d.
C
A
A
C
H
Mediatriz Es la recta perpendicular a uno de los lados y que lo divide en dos partes iguales. B T MT :Mediatriz A
C
M
¡Listos, a trabajar! 1.
Ahora, desarrolla tu cálculo mental aplicando en cada caso la propiedad de la suma de ángulos internos para determinar el valor de "x". 3x
x 15º
x
53º
x= Geometría - 5to. grado
x=
60º 30º
x=
105
2
x
100º
x
45º x
x=
70º
60º
75º
x=
x=
Suma de ángulos internos = 180º
2. Indica con una (V) si es verdadero o con una (F) si es falso:
- El triángulo es un polígono....................................................................... (
)
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º...................... (
)
- El triángulo isósceles tiene 3 lados iguales............................................... (
)
- El triángulo no tiene diagonales............................................................... (
)
- El cuadrado tiene 3 diagonales............................................................... (
)
Aprendo propiedades
1. La suma de los ángulos internos
de cualquier triángulo es 180º.
α
β
106
α + β + θ =180º
θ
2. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90º.
β
α + β =90º
α
Geometría – 5to. grado
3. La suma de los ángulos externos de cualquier triángulo es 360º.
α
4. La medida de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.
α + β + θ =360º
θ
β
α
β
2
x= α + β
x
Desmuestra lo aprendido 1. Halla el valor del ángulo "x" aplicando propiedades sobre los ángulos de un triángulo.
a) 60º
x + 60º + 70º = 180º x = 180º - 60º - 70º x = 50º
x
70º
b) 70º
x
Geometría - 5to. grado
107
2
c. 50º
x
60º
d.
x
60º
2. Averigua el tipo de triángulo:
a)
b)
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
3 cm
1 cm
c)
2 cm
3 cm
4 cm
108
Geometría – 5to. grado
3.
Grafica un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 4 cm e indica qué tipo de triángulo es.
4.
Construye con ayuda de una regla lo que se indica:
triángulo equilátero
5.
Grafica un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 5 cm y 3 cm e indica qué tipo de triángulo es.
triángulo isósceles
2
triángulo escaleno
Según la clasificación de triángulos, completa la tabla marcando con una cruz en los espacios en blanco: Triángulo
Isósceles
Escaleno
Equilátero
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
60º
60º
60º
60º 70º
50º
100º 40º
40º
Geometría - 5to. grado
109
2
40º
70º
50º
70º
40º
6. Halla "x" en cada caso:
130º
30º
120º
x
30º
x
40º
x
30º
x
x
x
x
x 3x
30º
110
70º
2x
x
x
x
x
60º
Geometría – 5to. grado
Área de una región Región
Nota: El área de una región se expresa en: cm2, m2, km2, etc. 40m2
Área
Área de una Región Triangular Para calcular el área de una región triangular es necesario conocer la altura y el lado relativo a dicha altura, como se muestra en el gráfico:
1.
Triángulo acutángulo
A=
b.h 2
h
A
área
b
base
h
altura
b
2.
Triángulo obtusángulo
A=
h
b.h 2
b Geometría - 5to. grado
111
2
3.
Triángulo rectángulo
a
A=
a.b 2
b
EJEMPLOS:
1.
Calcula el área de la región triangular ABC.
3. A
Resolución:
B
A=
A=
4.12 → A = 24 cm2 2
4cm
C
10cm
2.
Resolución:
10.8 → A = 40 cm2 2
8cm
A
Calcula el área de la región triangular ABC.
B
12cm
C
Calcula el área de la región triangular ABC. Resolución:
B
A=
4.6 → A = 12cm2 2
4cm
A
112
6cm
C
Geometría – 5to. grado
¡Listos, a trabajar! •
2
Calcula el área de la región sombreada en cada ejercicio:
1.
4.
10 cm
8 cm
4 cm
10 cm
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
2.
5.
10 cm
5 cm 4 cm
3 cm
8 cm
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
3.
6.
6 cm
5 cm
8 cm
10 cm
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
Geometría - 5to. grado
113
2
7.
10. 3 cm
12 cm
4 cm 6 cm
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
8.
11. 4 cm
8 cm
5 cm
4 cm
3 cm
12 cm
A = ______________
A = ______________
12.
9. 3 cm
8 cm
6 cm
4 cm
5 cm
A = ______________
114
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
A = ______________
Geometría – 5to. grado
Cuadriláteros CONCEPTO: ______________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ C B
Elemento:
θ
β
A
: _________________________
- Lados
: _________________________
- Diagonales
: _________________________
- Ángulos Internos : _________________________
γ
α
- Vértice
α º +β º +θº +γ º = 360º
D
CLASIFICACIÓN:
1.
Paralelogramos a) Cuadrado B
a
b) Rectángulo C
B
a
a
a
A
D
a
b
C
a
a
b
D
D
b
d) Rombo
B
A
a
A
c) Romboide
C
b
B
a
a
•
•
A
C
•
•
a
a
D Geometría - 5to. grado
115
2
Sabías que... ...un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos. En el romboide AB//CD y BC//AD.
2. Trapecios
3. Trapezoides
Un trapecio tiene un par de lados paralelos que se ___ ___ llaman bases BC// AD.
Un trapezoide no tiene ningún par de lados paralelos.
¡Listos, a trabajar! 1. Indica los elementos de cada gráfico: R
a. Q
- Lados
: _________________________
- Vértices
: _________________________
- Diagonales : _________________________ S
P
b.
R
I
T
116
- Lados
: _________________________
- Vértices
: _________________________
- Diagonales : _________________________ L Geometría – 5to. grado
2. Completa los espacios en blanco: a. El cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos se llama ______________________.
2
b. El cuadrilátero que no tiene lados paralelos se llama ________________________. c. El cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos se llama __________________. d. El cuadrilátero es un polígono que tiene ______________________________ lados. 3. Traza las diagonales de los siguientes cuadriláteros:
a.
b.
c.
d.
Geometría - 5to. grado
117
Áreas de Cuadriláteros El cuadrado ________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ L
L
L
A=LxL A = L2
L
El rectángulo _______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
a
A = a.b
b
Geometría - 5to. grado
119
2
¡Listos, a trabajar! • Usando colores, sombrea cada área y luego, halla su medida. 5.
1. 4 cm
3 cm
6 cm
12 cm
A = _____
A = _____
6.
2. 4 cm
4 cm
10 cm
4 cm
A = _____
7.
3. 5 cm
3 cm
5 cm
3 cm
A = _____
A = _____
8.
4. 10 cm
9 cm
5 cm
A= _____
120
A = _____
9 cm
A = _____ Geometría – 5to. grado
2
Demuestra lo aprendido • Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
1. Un aula cuadrada de 10 m de lado se ha dividido en dos partes iguales. ¿Cuál es el área de tres aulas iguales? 2. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyos lados miden 10 m y 20 m?
3. ¿Cuál es el área de un rectángulo de 5 cm de largo, si se sabe que su ancho es el triple de la medida de su largo?
4. Si el lado del cuadrado es 1 m, el área será igual a: 5. Calcula el área de un cuadrado de lado igual a 16 cm. 6. El área de un rectángulo es 50 cm2. Si el ancho es 5 cm, ¿cuánto mide el largo? 7. El lado de un cuadrado es 16 cm. ¿Cuál es la medida del área de cinco cuadrados iguales?
{}(
))
(} {
8. Si el lado de un cuadrado es igual a 5 ×4+018÷ ÷810+4× 5 cm, ¿cuál es el área? 9. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo mide 5 cm y su ancho es 8 cm?
10. Si en una pista de patinaje cuadrangular, un lado mide 10 m, ¿cuál es el área de la pista de patinaje?
11. Si el área de un salón cuadrado es 64 m2, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?
Geometría - 5to. grado
121
