GEOMETRÍA
05. 01.
En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D, de modo que: BC = 6 y AC + BD = 20.
AC BC
AD
Calcule
Del grafico mostrado, calcule
B 3a
C 2a
BD
D 2b 2b
E 3b
06.
BC 3
CD 5
y ( AB.BC 96) ,
CD .
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que: BC = 6; BD = 2AB y AC = 5CD, calcule AB . A)3 B) 4 C) 2 D) 6 E) 5
DF EF
14 ,
BC CD
CD DE
DE EF
Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. Luego se ubica
AC=22 , calcule AM .
A)16 B) 20 C) 4 D)12 E) 24
04.
el punto medio “M” de BC ; si AB=8 y
A)13 B) 14 C) 15 D)16 E) 17
En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D de modo que:
calcule
CE DE
__
A) 14 B) 18 C) 16 D) 42 E) 28
A)14 B) 10 C) 16 D) 12 E) 7
70
AB 2
BD CD
P AB BC
A
03.
calcule:
A) 10 B) 12 C) 14 D) 20 E) 18
02.
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B; C, D, E y F, si:
07.
Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. tal que: AB = 8; luego se ubican los puntos medios “M” __
__
de AC y “N” de BC . Calcule A)6 B) 5 C) 2 D)4 E) 8
M N.
GEOMETRÍA
ÁNGULOS
08.
12.
Calcule “x” en la igualdad mostrada: Sx = 3 + 4Cx siendo: C = complemento y S = suplemento
A) 25° B) 20° C) 10° D) 15° E) 5°
A) 80° B) 45° C) 40° D) 61° E) 70°
09.
Calcule “x”, en la expresión mostrada:
13.
SCS x CS x Sx
A) 2x B) 0 C) 1 D) 180 – x E) 2
11.
14.
En la igualdad mostrada, calcule “ ” SC+CS2=SCS3 ; siendo: C=complemento y S=suplemento
A) 54° B) 45° C) 30° D) 60° E) 40°
En la figura mostrada, calcule “x”, si: m –n=20°.
A) 45° B) 35° C) 55° D) 20° E) 40°
Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC, tal que: m AOB=40°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. A) 20° B) 40° C) 30° D) 25° E) 10°
Si los ángulos AOB y BOC forman un par lineal, calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices. A) 60° B) 30° C) 45° D) 90° E) 105°
Siendo: C = Complemento y S = Suplemento
10.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOB = 40° 40 °, m COD=10°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOD y BOC.
15.
mº
xº
nº
Dado los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: mAOB –mBOC=22°.
Luego se trazan las bisectrices OM
del AOC y ON del BOC. Además se sabe que: m MON=34°. Calcule: mAOC. A) 120° B) 110° C) 112° D) 114° E) 116°
GEOMETRÍA
16.
Se dan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, mAOC=130° y mBOD=150° BOD=150 °. Luego se s e trazan las l as
20.
bisectrices OM del AOB y ON del COD. Calcule: m MON. A) 120° B) 140° C) 125° D) 135° E) 110°
17.
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 36° B) 30° C) 40° D) 54° E) 50°
L1 2xº 3xº L2
21.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Luego se trazan
Calcule “x”, si L1 //L2 L1
A 30° B) 45° 180º+x C) 60° D) 36° E) 20° 180º+x
las bisectrices OM del AOB y ON del COD. Si mAOC=80° y mMON=110°. MON=110°. Calcule Cal cule la l a mBOD.
180º-x
180º-x L2
A) 140° B) 150° C) 130° D) 120° E) 110°
18.
Si a uno de dos ángulos suplementarios se le quita 43º para agregarle al otro, ambos se igualan. Calcule el suplemento del mayor.
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 15° B) 18° C) 12° D) 20° E) 30°
Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 3 es a 7. Calcule el complemento de la diferencia de los mismos. A) 36° B) 54° C) 72° D) 18° E) 60°
19.
22.
º 3 x
º
23.
º
L2
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 80° B) 20° C) 40° D) 30° E) 50°
º
40º
25.
L2
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 20°
A) 44° B) 47° C) 51° D) 53° E) 37°
L1
xº º
24.
L1
º º
2xº
L1
3xº 6xº
Calcule (x – y), si L1 //L2
L2
GEOMETRÍA
xº A) 5° B) 6° 2xº C) 7° D) 8° 3xº E) 9°
27.
3yº 2yº
En la figura, calcule “x”
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
4yº
4xº
26.
L1
6yº
L2
xº
20º 40º 50º 100º 10º
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 70° B) 80° C) 40° D) 30° E) 20°
L1
xº
8xº
7xº 2xº+20º L2
28.
Calcule “x”, si L1 //L2
A) 60° B) 70° C) 80° D) 50° E) 40°
L1 2yº
3yº 8yº xº
TRI ÁNGULOS I
L2
GEOMETRÍA
01.
A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 20º
3xº 2 x
º
xº
07.
A
02.
E
D
B
C
2xº
En la figura, calcule “ ” B A) 20º B) 18º 5º º C) 10º D) 12º E) 15º O
09.
3º º A Del gráfico (+=98º), calcule x.
C
C
º
x 2º
En el gráfico: a+b-m –n=105º, calcule (x + y) n m
y
x
b
a
x
10.
M
En la figura, AB=BC=AD
calcule
“x”,
Si:
B
A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º
A
D
De la figura, calcule: (x+y+z) A) 200º B) 270º C) 300º D) 330º E) 360º
C
40º 20º
xº
A
D
y x
z
A
C
11.
Del gráfico, calcule x.
B
A) 50º
4
A) 100º B) 80º C) 105º D) 120º E) 90º
B
06.
En la figura, calcule el máximo valor entero que puede tomar “x”. A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 9
F
05.
9xº
C
B
80º
x
08.
A) 49º B) 84º C) 82º D) 98º E) 90º
C
M
D
A
04.
Del gráfico, calcule “x”
A) 18º B) 20º C) 22,5º D) 25º E) 15º
En la figura, calcule “x”.
A) 15º B) 18º C) 20º D) 12º E) 10º7xº
03.
B) 60º C) 66º D) 70º E) 75º
En la figura, calcule “x”,Bsi: AB=AD y BC=EC.
En la figura, calcule “x”. B N
A) 10º
80º 85º
xº 2xº
GEOMETRÍA
B) 15º C) 20º D) 12º E) 18º
12.
15.
B
A) 9 B) 8 C) 7 5 D) 6 E) 5
Del gráfico AB = BC, calcule “x”. B
A) 20º B) 40º C) 25º D) 50º E) 15º
50º
16.
x
A
C
Del gráfico: AE=EF, calcule “x”. B
E
En un triángulo ABC se traza la
AP y una recta perpendicular a AP en Q interseca a AC en “R” tal que:
x
17.
40º
A
punto P tal que AB=PC y mBCP=60º. Si mABC=40º, calcule la medida del ángulo determinado por
Calcule la m BPR.
AP y BC .
A) 70º B) 69º C) 72º D) 71º E) 68º
A) 60º B) 50º C) 80º D) 90º E) 100º
Exterior y relativo al lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto P tal que m APC=90º, la bisectriz interior
BM interseca a AP en L.
A) 68º B) 71º C) 72º D) 70º E) 69º
C
F En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior
AN en cuya prolongación se ubica el
mQRP = mBPR y mABC – mACB = 80º.
Si: mBAL=2mBCM mBMA=80º Calcule: mPCB
C
x
A) 40º B) 20º C) 60º D) 80º E) 50º
bisectriz interior
14.
9
A
13.
En la figura, calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “x”.
18.
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior
BN y en la región
exterior relativa a AC se ubica el punto T tal que:
y
AT // BC , mBNA m ACT y 3 2 mBAC + mATC = 180º. Calcule: mACT. A) 44º
GEOMETRÍA
B) 42º C) 46º D) 42º E) 45º
19.
20.
exterior relativa a los lados AC y BC se ubican los puntos N y Q respectivamente tal que: N, C y Q son colineales, mBAQ=mQAC, mACN=3mBCQ y 2mBCQ+mABC=100º. Calcule mAQN
Calcule “x” de la figura mostrada.
A) 45º B) 65º C) 70º D) 60º E) 75º
x
100º
135º
Dado un triángulo ABC, en la región
A) 50° B) 100º C) 90º D) 110º E) 120º
GEOMETRÍA
05.
B
TRI ÁNGULOS II
01.
A) 30º B) 40º C) 15º D) 45º E) 22,5º
En la figura, calcule “x”, AM=MC=MN B N xº 30º A) 12º B) 15º C) 30º D) 20º E) 10º A
06.
M
03.
C
C
D
BH
2º
A
H
C
3º 8 C
07.
3x
E
D
En un triángulo ABC, las alturas
AP
y CH se intersecan en un punto Q interior al triángulo y la m ABC=45º.
D
MN
Calcule la razón entre
AC y BQ .
B
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
7
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 1,6 E) 0,5
N M
º º
15
A
04.
D
º
x
En la figura, calcule
30º
En la figura, calcule
A) 4 B) 16 C) 6 D) 8 E) 10
B
A
2xº
B
En la figura, calcule los valores enteros que puede tomar “x”. A) 3; 3; 4 B) 2; 3 C) 3; 4 8 D) 3 E) 4
xº
A
2xº
02.
En la figura, calcule “x”, si: AB=CD
D
08.
Calcule AB , si: CO=20
Dado un triángulo ABC, se ubica un punto interior “P” tal que: BC=AP, mPBC=mPCB=mPAC=
m ABP
A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20
B
C
5
Calcule mBAP.
A) 30º B) 35º C) 40º D) 37º E) 45º
O 2 A
09.
En un triángulo ABC, se trazan la altura modo
BH y la ceviana interior CP de que
m BAC=60º,
GEOMETRÍA
mPCB=2(mPCH)=30º. mHPC.
Calcule
13.
Si: AB=4 y AC=6, calcule
MN .
B
A) 2 B) 1 C) 0,5 D) 0,7 E) 1,5
A) 30º B) 37º C) 35º D) 45º E) 25º
10.
º º
En un triángulo ABC, m A=2mC y AB=5. Calcule el máximo valor entero de
N M
A
14.
BC .
C
En el gráfico AB=DC y AH=HE, B calcule “x”. A) 28º B) 30º C) 32º D) 38º E) 45º
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
D x A
11.
Calcule
AC
3
si: AB=12
15.
H
E
C
Calcule AH si AB= B 9 y AC = 17
C
A) 24 B) 36 C) 32 D) 60 E) 72
12.
A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
60º F
E 30º
B Calcule A AC si ABCD cuadrado AH=3 y CP = 4 B
es
un
16.
A
H
C
Si BC=3, calcule AB . B
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16
C
A
2
37º 30º
17.
C
53º
A En un triángulo ABC, se traza la alturaD
BH en la cual se ubica el punto P, de H
A) 7 B) 7 C) 5
2
D) 5 E) 14
2
D
P
modo que: AB=PC, mPAC=mBCA. Calcule mAPH. A) 22,5º B) 30º C) 37º D) 45º E) 60º
GEOMETRÍA
18.
En la figura, calcule “x”.
A) 70º B) 80º C) 25º D) 40º E) 50º
19.
20.
B
En la figura, calcule “x”.
A) 24º B) 30º C) 20º D) 40º E) 36º
M
A
xº
50º 2a
a
N
En la figura, calcule “x”. B
A) 45º B) 53º C) 60º D) 37º E) 30º º
2n
M 4xº
xº n
3xº
90º-º
A
N
C
GEOMETRÍA
E) 30°
05.
POLÍ GONOS
01.
Calcular el número de lados de un polígono convexo, si se sabe que; la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual al séxtuplo de la suma de las medidas de sus ángulos externos. A) 13 B) 14 C) 15 D) 12 E) 10
02.
03.
A) 120° B) 80° C) 60° D) 40° E) 90°
06.
A) 72° B) 36° C) 54° D) 18° E) 9°
07.
A) 900° B) 1980° C) 1800° D) 1620° E) 1080° En la figura, calcule pentágono es regular.
A) 72° B) 45° C) 60° D) 36°
“x”
si
¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados menos? A) pentágono B) nonágono C) icoságono D) decágono E) dodecágono
Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo, si se sabe que desde 3 vértices consecutivos de dicho polígono, se han trazado 14 diagonales.
08.
04.
Se tienen un decágono regular ABCDEF… Calcule la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED .
Se tienen dos polígonos convexos de modo que: el número de lados de uno es el doble del otro. Si la diferencia entre sus números de diagonales es 84 entonces el polígono de menor lados se llama: A) hexágono B) heptágono C) octágono D) nonágono E) decágono
En un polígono equiángulo ABCDE…, se sabe que; el número total de diagonales es el triple de su número de lados; BC=CD y AB=BD. Calcular la mADE.
En un polígono regular ABCDEF... de “n” lados; la m ACE=135º, calcule su número de lados. A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 30
el
09.
En un polígono regular ABCDE … las
mediatrices de AB y DE
se cortan
formando un ángulo de 135º. Calcule xº
GEOMETRÍA
el número total de diagonales del polígono.
13.
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
10.
En un polígono equiángulo de “n” lados, desde (n –5) vértices consecutivos se trazan (n+6) diagonales, Calcule la medida de un ángulo interior.
Las diagonales de un trapecio miden 10 y 12. Calcule el máximo valor entero que puede tomar la medida de su mediana. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
14.
En la figura, calcule “x”. 2x
A) 135° B) 140° C) 108° D) 60° E) 120°
12
53º
CUADRILÁTEROS
11.
5x
A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5
En la figura mostrada, calcule “x”
15.
A
Si ABCD es un romboide, calcule “x” E
M P
6+a x B
A) 6 D) 5,5
12.
B
Q
C
B) 7 E) 4,5
B
A) 36º D) 45º
16. 6
A
C) 5
En la figura, calcule “x”.
C 4xº
a
4
N
xº
D
C
B) 30º E) 37º
trapecio; calcule
º
R
A
A) 2 D) 5
5x
B) 3 E) 6
MN. C
º
M
N
N
º º
D
C) 4
D
C) 40º
En la figura mostrada, si ABCD es un
B
2x
A
8
D
GEOMETRÍA
19. A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
17.
prolongación de AD se ubica un punto “E” tal que la m ACE=105°. Calcule el perímetro del cuadrado, si CE=8 A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 36
En la figura mostrada, calcule “x”, si: MCCD 9
B
A) 11 B) 15 C) 14 D) 12 E) 13
C
20. M 4 A
18.
D
x
En la figura AB=4, BC=6 y CD=7. Calcule “PQ” A
A) 7 B) 7,5 C) 8 D) 8,5 E) 9
Se tiene un cuadrado ABCD, en la
B
° °
Q
P ° °
D
C
Se tiene un paralelogramo ABCD, sobre CD se ubica el punto medio “M” tal que la m ABM=90º. Calcule
AD , si AB=6 y MB=4. A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 7
GEOMETRÍA
05. CIRCUNFERENCIAS I
01.
Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, si: AB=24 y BC=32.
A) 32 B) 28 C) 24 D) 36 E) 40
A) 4 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9
02.
06.
Calcule el perímetro del trapecio ABCD. B
En la figura, calcule ( +), siendo A, B, C y M puntos de tangencia. º
B
2 30º
M A
C
P
6xº
8xº
M
B
Calcule “R”
N
O
Q
Calcule “x”.
A) 4 B) 5 C) 7 D) 6 E) 3
aº
xº
A) 3a – 2b B) 2b – a C) 2a – b D) a + b E) a – b
R 8 6
2x
04.
D
A) 22 B) 30 C) 28 D) 26 E) 23
07. A
53º
A
º
En la figura, calcule “x”, siendo: A, B, M y N puntos de tangencia.
A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 10º
C
O
A) 360° B) 450° C) 540° D) 270° E) 180°
03.
Calcular el perímetro de un rombo, si se sabe que la longitud de la circunferencia inscrita en dicho rombo mide 4 y uno de sus ángulos interiores mide 30°.
bº
GEOMETRÍA
08.
11.
En la figura, calcule “x”
En la figura, calcule la medida inradio del triángulo ABC.
7
del
B
º
6
8+a
2k xº
2º A
A) 45º B) 37º C) 30º D) 50º E) 53º
09.
D
a
C
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Calcule “R”
12.
3
A) 60º B) 53º C) 37º D) 45º E) 74º
2
R
En la figura mostrada, calcular “ ”
53º
4 3
5
º
A) 1 B) 2,5 C) 1,5 D) 2 E) 3,5
10.
13.
En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 1 B) 2 C) 3
En la figura, ¿cuanto mide el inradio del triángulo ABC?. Si AO=4 y “O” es centro. M
D)
2
E)
3
x
B
10
N
14.
O
A
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
T
4
Calcule la longitud del radio de una circunferencia en la cual una cuerda que mide 8, dista 4 del centro.
C
A) 6 B) 2
2
C) 4
2
D) 8 E) 8
2
GEOMETRÍA
15.
18.
En la figura, calcule “x” si: “O” es centro, si: BN=2 y MN=1
B xº
Si las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 1999. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.
O
A) 3998 B) 1999 C) 1333 D) 1222 E) 1111
N A
A) 37° B) 53° C) 45° D) 60° E) 30°
16.
M
C
19.
En la figura, calcule el perímetro del trapecio ABCD. B
A) 18 B) 27 C) 45 D) 21 E) 36
C
6 37º A
D
a
BC
prolongación de calcule AT
D
xº O A) 50º B) 60º C) 70º D) 55º E) 65º
En un triángulo ABC, AB=15; BC=9 y AC=12. Si la circunferencia exinscrita relativa
En la figura, calcule “x” si “O” es centro y “D” es punto de tangencia.
A
20.
53º
A) 50 B) 90 C) 80 D) 70 E) 40
17.
Calcule el perímetro de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia, si uno de los lados no paralelos mide 9.
40º B
C
A) 18 B) 17 C) 16 D) 19 E) 20
determina
en
la
AC el punto T;
GEOMETRÍA
05. CIRCUNFERENCIAS II PROBLEMAS APLICATIVOS
01.
02.
En la figura, calcule “x” si: “O” es centro. xº A C 2xº A) 54º B) 36º C) 30º D) 50º E) 40º B O En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A) B) 60º C) 90º D) 75º E) 120º
03.
A
06.
D
En la figura, calcule “x”.
A) 20º B) 40º C) 30º D) 50º E) 10º
xº
20º
07.
O xº
En la figura, calcule “x”.
A) 80º B) 60º C) 40º D) 50º 100º E) 90º
xº
60º
40º
En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.
08.
B 2xº
C
xº
A) 80º B) 40º C) 45º A D) 55º E) 60º
04.
En la figura, calcule “x”, si: ABCD es un romboide. C B xº A) 20º º x B) 15º 2 C) 25º D) 35º 150º E) 30º
D
En la figura, calcule “x”.
A) 60º B) 45º 90º-º C) 90º D) 75º E) 67,5º
A) 150º B) 160º C) 120º D) 125º E) 135º
40º O
09.
xº º
En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.
P A
B xº O
En la figura, calcule “x”.
A) 40º B) 30º C) 20º D) 50º E) 60º
80º
100º
xº 20º
GEOMETRÍA
10.
En la figura mABC.
mostrada,
A) 40º B) 45º A C) 80º D) 50º E) 60º 100+º
calcule B
15.
xº
º
En la figura, calcule “x”. A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º
12.
A) 60º B) 45º C) 30º D) 75º E) 50º
xº
75º
2xº
75º
60º
C
11.
En la figura, calcule “x”
PROBLEMAS PROPUESTOS
En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 10º B) 15º C) 18º D) 20º E) 12º
01.
En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.
A
A) 20° B) 10° C) 30° D) 40° E) 50°
5xº 4xº
Q
xº
60º
R
80º 13.
En la figura, calcule “x”.
A) 170º B) 130º C) 140º D) 150º E) 160º
02.
A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
x 40º
14.
xº
A
D
º
En la figura, calcule “x”.
A) 20º B) 25º C) 30º D) 24º E) 18º
O B S En la figura, calcule “x” si: “O” s centro.
4xº 5xº
03.
O B En la figura, calcule “x” si: “O” es centro. B
A) 30º B) 36º C) 40º D) 45º E) 60º
2xº
O
A
xº
C
C
GEOMETRÍA
04.
A) 80º B) 120º C) 110º100º D) 100º E) 150º
05.
08.
En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 12º B) 15º C) 18º D) 20º E) 30º
xº
09.
En la figura, calcule “x”.
3xº
xº
En la figura, calcule “x” si: “ I” es incentro del triángulo ABC. B
A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º
xº
4xº
80º I
x
A
A) 15º B) 12º C) 20º D) 18º E) 10º
06.
En la figura, calcule “x”.
10.
C
En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”.
xº
En la figura, calcule “x”.
70º
8
xº
07.
A) 37º B) 45º C) 53º D) 30º E) 60º
50º
A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 25º
11.
En la figura, calcule “x”.
3xº
A) 25º B) 35º C) 30º D) 20º E) 15º
2
5xº
En la figura, calcule “x” si: “O” es centro del cuadrante AOB. A) 130º B) 70º C) 100º D) 140º E) 120º
xº
A
D
O
C 70º
B
GEOMETRÍA
05. PROPORCIONALIDAD – SEMEJANZ A DE TRI ÁNGULOS
A) 4 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12
PROBLEMAS APLICATIVOS
01.
En la figura, calcule “x”, si L 1 //L2 //L3
A) 37° B) 53° C) 45° D) 30° E) 60°
02.
L1
06.
6 L2 3
xº
En la figura, calcule “x”, si
A) 30° B) 90° C) 60° D) 45° E) 37°
En la figura, calcule “x”.
2
MN// AC
x
45º 4
En la figura, calcule “x” si “O” es centro.
A) 12 B) 3 C) 9 D) 4 E) 6
L3
45º
6
3 n
O
B 07.
6-a
a xº M
7-a C
7
En la figura, calcule “x”.
A) 37° B) 53° C) 45° D) 15° E) 31°
N
a+1 A
x
5n
45º
4 5º
xº
03.
En la figura, se muestran semicircunferencias. Calcule “x”. A) 37° B) 45° C) 53° D) 30° E) 60°
dos
08.
A) 12 B) 6 C) 8 D) 10 E) 9
2 4 xº
º
2
6 º
2,5 04.
1
3 En la figura, calcule “x”.
En la figura, calcule el perímetro del triángulo ABC. B A) 23 º º B) 24 C) 25 9 D) 18 E) 16 C A 4
8 09.
x
En la figura, calcule “x”.
A) 30° B) 37° C) 53° D) 45° E) 60°
xº xº 2 4
5
GEOMETRÍA
10.
15.
En la figura, calcule “x”.
A) 6 B) 9 C) 12 D) 13 E) 16
En la figura, calcule “x”.
xº 9 4
º
º
x
11.
A) 37° B) 60° C) 30° D) 45° E) 53°
En la figura, calcule “x”. A) 9 B) 12 C) 5 D) 6 E) 8
n
x
4
PROBLEMAS PROPUESTOS
2n 01.
12.
12
R
9
7 L2 x+4
12
En
la
A) 10 B) 5 C) 7,5 D) 15 E) 6
x 8
x-4
figura,
calcule
MN // AC
En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”. A) 6 B) 8 C) 7 D) 4,5 E) 3
L1
L3 02.
20 13.
A) 7 B) 12 C) 8 D) 9 E) 10
En la semicircunferencia mostrada, calcule “R”. A) 6 B) 7,5 C) 8 D) 6 E) 10
Calcule “x”, si L1 //L2 //L3
03.
“x”,
B 4 5 S N x
M 9 A
C
D
En la figura, calcule “x”.
12 14.
En la figura, calcule “x”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 4,5
º
2
4 x
º
º
6 º
si
º
º
º
º
a
b
c
x
GEOMETRÍA
A) C)
04.
ac b bc
08.
c E) b
4n
09.
5n 8
6
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
10.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 12
C
F x 2n E
A
C
11.
3a
3 4a
En la figura, calcule “x”.
En la figura, calcule “x”.
x x 3x
3
9 2n
D
12
A) 15° B) 22,5° C) 30° D) 18,5° E) 26,5°
D
5n
5n
En la semicircunferencia mostrada, calcule “a”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
5n
x
G
2a
D 6
6
C
F
A 3n E
2n
B
x
H
B 3n I
5a
En la figura mostrada, x calcule “x” si ABCD y EFGD son cuadrados.
x
En el romboide ABCD mostrado, calcule “x”.
A) 6 B) 9 C) 7,5 D) 4,5 E) 12
a
B 6
En la figura, si “I” es incentro del ABC; calcule su perímetro.
A
07.
En la semicircunferencia, calcule “x”,
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
En la figura, calcule “x”
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
06.
ab
D) a
a
A) 16 B) 12 C) 24 D) 18 E) 10
05.
B)
12.
x
2
10
En el exágono regular mostrado, calcule “x”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
x
12
GEOMETRÍA
05. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRI ÁNGULOS RECTÁNGULO
A) 60º B) 30º C) 37º D) 45º E) 53º
PROBLEMAS APLICATIVOS
01.
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
02.
06.
O 8
En la figura, calcule “x”.
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
4 x
07.
x
3 5
En la figura, calcule “x”.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6
x 2
En la figura, calcule “x”.
6 x 6 2
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro. x
O 03.
A)
En la figura, calcule “x”.
A) 12 B) 9 C) 10 D) 8 E) 11
x
D) 5 E) 2
18
x
08.
x
x
4
En la figura, calcule “x”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
En la figura, calcule “x”.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 4
2
B) 3 C) 1
7
04.
6
x
5
09.
3
2
En la figura, calcule “x”.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6
x-1 3 x
GEOMETRÍA
10.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 1
11.
15.
En la figura, calcule “x”.
A) 3 B) 8 C) 7 D) 10 E) 15
8 x
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro y su diámetro mide (a+2)
12.
10
E)
13
01.
º (x+10)
2 x
En la figura, calcule “x”. Si “O” es
02.
2. C
x
A
A)
2
B) 3
D)
3
E)
6
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8
9
3 x
x 6 n
3n
03.
En la figura, calcule “x”.
A) 8 B) 6 C) 5 D) 7.5 E) 7
04.
x 4
5
En la figura, calcule “x”. A) 37° B) 53° C) 30° D) 45° E) 60°
dos
8
C) 2
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro. 1 x A) 30° B) 37° O C) 45° 4 D) 53° E) 60° En la figura, calcule “x”.
En la figura, se muestran semicircunferencias, calcule “x”. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1
O
14.
8
x
En la figura, calcule “x”.
A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1
centro y AC = 2
13.
º
PROBLEMAS PROPUESTOS
A) 4 B) 5 C) 3 D)
En la figura, calcule “x”.
a
º º
2a
GEOMETRÍA
05.
A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20
06.
10.
En la figura, calcule “x”.
A) 4 B) 5
x
5
En la figura, calcule DE, si: AB=4 y AD=7. A
C)
21
C
D) 33 E) 3
En la figura, calcule “x”.
º
B
E
2º D
A) 9 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5
07.
2
09.
A) 6 B) 2 C) 4 D) 5
x
En la figura, calcule “x”.
E)
º
12.
x 3 º
x
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 6,5
4
X
13.
9
O
4
14.
1
x
5
O
En la figura, calcule “x”. x A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 6 E) 6
2x 10
En la figura, calcule “h”.
A) 2 B) 1 C) 2/3 7-1 D) 3/2 E) ¾
xº
En la figura, calcule “x”.
A) 37° B) 53° C) 45° D) 60° E) 30°
En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.
2
3
A) 5 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5
08.
11.
3
7+1 h
En la figura, calcule “x”.
x xº 3
10
1
º A) 8 B) 10 C) 6 D) 12 E) 9
8 º
GEOMETRÍA
06.
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRI ÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A) 53° B) 60° C) 30° 6 D) 45° E) 37°
PROBLEMAS APLICATIVOS
01.
En la figura, calcule “x”.
A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 1/3 E) 3
02.
07.
6
4
En la figura, calcule “ ”
5
En la figura, calcule “x”.
E) 7
5 6
E)
5
º
7
B) 10 C) 5 D) 3
x
D)
8
En la figura, calcule “x”.9
A)
A) 2 B) 3 C) 4
9
08.
6
4
x
11
8
En la figura, calcule “ ”
x
2 13
4 03.
º
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 1/3 E) 2,5
04.
6
3
x En la figura, calcule “ ” A
B) C) 2 D) 4 E) 3
09. 5
12
8
17 º
2
6 5
x
C 10
6
3
En la figura, calcule “x”. º º
B En la figura, calcule “h”. A) 2
A) 30° B) 26,5° C) 22,5° D) 45° E) 37°
5
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
05.
3
En la figura, calcule “x”.6
7
A) 3
5
B) 2
6
C) 5
2
D) 6
2
E) 4
3
h
6
10.
En la figura, calcule “x”.
º º
6
x
GEOMETRÍA
A) 30º B) 40º C) 80º D) 45º E) 37º
15.
11.
A)
28
B)
30
C)
33
D)
22
E)
19
12.
01.
º
En la figura, calcule “x” si: ab=mn a A) 4 m x B) 6 3 C) 5 D) 2 n x E) 3
6
4 03.
En la figura, calcule “x”. B
A
C
N
x 12
2
10
m
Los lados de un triángulo miden 26; 25 y 3. Calcule la medida de la altura relativa al menor lado. A) 24 B) 18 C) 17 D) 8 E) 15
13
M
17
9
11
7
En la figura calcule “m”.
A) 5 B) 6 C) 3 D) 4 E) 8
2
A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5
7
x
x
x
A) 7 B) 2,5 C) 2 D) 3
En la figura, calcule “x”.
2
22
14.
c
A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 1
7
02.
13.
º
PROBLEMAS PROPUESTOS
En la figura,2calcule “x”.
E)
80º
b
En la figura calcular “ ”
A) 15° B) 30° C) 37° D) 45° E) 53°
b
a
2
En la figura, calcule “ ” si: b =a +ac
04.
Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcule la medida de la mediana que no es mayor ni menor.
GEOMETRÍA
A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 7
05.
09.
En un triángulo, AB=13; BC=8 y AC=7. Calcule la mACB. A) 30° C) 60° D) 120°
En un triángulo ABC, AB=7; BC=8 y AC=5. Calcule la mACB.
10.
9
Las bases de un trapecio suman 21 y las diagonales miden 10 y 17. Calcule la altura del trapecio. A) 9 B) 8 C) 6 D) 12 E) 7
07.
En un triángulo ABC se traza la
AD
y la mediana
BM ,
las cuales se cortan en E. Si: BE=3; EM=2 y AB=9. Calcule BC:
20 . Si la diagonal menor
mide 28 , calcule la medida de la diagonal mayor. A) 3 B) 4 C) 8 D) 6 E) 9
A)
37
B)
41
C) 59 D) 8 E) 7
12.
En un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios E de
Se tienen las circunferencias secantes de radios 5 y 7. Si la distancia entre sus centros es 8, calcule la longitud de la cuerda común.
y F de
13
A) 13 B) 3 C) 2 D)
3
D) 10
AB
Calcule DF, si AB = 4
A) 4 B) 3 C) 5
13
x
bisectriz interior
Los lados de un romboide miden
E)
4x
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 1,5 E) 1
11.
12 y
08.
E) 150°
En la figura calcule “x”.
A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 37°
06.
B) 45°
E) 2
13
13
3
21 13.
En la figura, calcule “x”.
7
13
EC .
GEOMETRÍA
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 6
14.
A) 1 B) 2 C) 3
En la figura, calcule “x”.
A) 45° B) 60° C) 30° D) 37° E) 53°
13
8 xº 15
15.
En la figura, calcule “x”.
7 x
D)
7
E)
3
GEOMETRÍA
05. ÁRE AS DE REGIONES POLIGONALES
Calcule la relación de áreas de la parte sombreada y no sombreada. A)
01.
En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y donde un cateto es el doble del otro. Calcular su área.
B)
2
A) 300u 2 B) 400u 2 C) 500 u 2 D) 550 u E) 600 u2
C) D) E)
02.
La base de un triángulo mide 40m y la altura relativa a la base mide los 3/8 de la base . El área del triángulo es:
06.
A) 280m 2 B) 300m2 2 C) 350 m 2 D) 400 m 2 E) 250 m
03.
2 1
N
5 1
M A
4 1
C
7 1 3
Calcular el área de la región 2 sombreada si el área total es 60 u . B
A) 10u B) 20 u2 C) 40 u2 2 D) 50 u 2 E) 25 u
Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 10, 17 y 21u
A
07.
2
2n
D
n
C
Calcular el área del triángulo ABC, si el área de la región sombreada es 2 20u . B 2
A) 10u 2 B) 20 u 2 C) 40 u 2 D) 60 u 2 E) 50 u
En la figura AB=5, AD=13 y el triángulo BCD es equilátero. Calcular C el área sombreada.
B A) 18 B) 16 C) 15 D) 12 E) 10
1
2
A) 96 u 2 B) 80 u 2 C) 92 u 2 D) 84 u 2 E) 76 u
04.
B
A
08.
A
3n
D
C
2n
Hallar el área de la región del trapezoide ABCD.
C
A) 24 B) 26 C) 28 D) 32 E) 30
B
4
3 9
D A
D
GEOMETRÍA
09.
2
2
2a N M a C
14.
Hallar el área de la región sombreada 2 si el área del triángulo ABC=60m .
S1
A
E
D
S2
C
En el trapecio mostrado, la base mayor es el doble de la menor. Encontrar la relación entre el área del trapecio y el área sombreada.
B
2
A) 1m 2 B) 2 m C) 3 m2 D) 4 m2 E) 5 m 2
a
A) P
4a A
1 2
B) 2 C)
C
M
1 3
D) 3
En la figura las áreas tienen los siguientes valores. Hallar el valor del área sombreada: S 1=20 y S2=10
E)
3 2
B
A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 30
15.
S2
A)
C
Calcular el área de la región sombreada. Si: AM=MC, BN=2NC y 2 el área del triángulo ABC es 100m .
B)
B
2
A) 8m 2 B) 10m 2 C) 12m 2 D) 15m 2 E) 20m
C)
D)
N
A
Calcular el sombreada.
área
de
M
S1
A
12.
B
A) 10m 2 B) 11m 2 C) 12m 2 D) 13m 2 E) 19m
A
11.
2
En la figura: 2BC=3CD. S 1=12m y 2 S2=5m . Hallar el área de la región sombreada.
B
A) 40 u 2 B) 30 u 2 C) 20 u 2 D) 60 u 2 E) 80 u
10.
13.
Calcular el área de la región sombreada si el área del triángulo 2 ABC es 120u .
M
C
E)
a
2
20 a
a
2
24 a
2
18 a
2
12 a
2
10
a
la
región
GEOMETRÍA
16.
Hallar
A B
19.
M
BM 3 AQ 2 ; Si: MC 2 QC 3 13
2
A) 3 2 B) 2 2 C) 4 2 D)
B
15
E)
B) 1 C) D) E)
17.
13 14 14 13 12
A
20. B A
C
Q
2
2
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 2 de lado. B C
B
O
Si ABCO es un rectángulo, calcular su área, si : OP=5 y “D” es centro del cuadrante A) 17 2 2 B) 9 2 C) 25 D) 36 2 2 E) 49
13
P
B
C
A 21.
O
Calcular SX; Si: S1=8 y S2=10 2
A) 10 2 B) 20 2 C) 18 2 D) 24 2 E) 30
D
A
ABCD es un cuadrado de 4 de lado y “A” es centro de ambos arcos. Calcular el área de la región sombreada. B C
22.
A
D
O S1
Calcular la suma de sus áreas de los cuadrados, si R=4
R
2
23.
S2
SX
A) 9 B) 12 2 C) 15 2 2 D) 16 E) 18 2
2
A) 4 2 B) 5 2 C) 3 2 D) 2 2 E)
N
R
M
A) 4 – B) 4 –2 C) –4 D) 2( –4) E) 2(4 –)
18.
Calcular el área de la región sombreada, si M y N trisecan al arco AB y R=6 . A
O
Hallar el área sombreada si la medida del arco EF es 90º; PE=3 y FQ=5 2
A) 20 2 B) 24 2 C) 15 2 D) 32 2 E) 64
F E
A P
O
Q
B
GEOMETRÍA
24.
27.
En la figura “T” es punto de tangencia “O” es centro y AO=OB=BC=R. Hallar el área de la región sombreada.
O
R A) ( 3 ) 2 2
C
B
28.
25.
A
D 4
Calcular el área de sombreada. Si: AO=OB A) B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
29.
3 -)
E) R (
4 4
la
región
A
R 2 (3 3 ) C) 3 R 2 (3 3 ) D) 6 2
4
4
3 -)
B) R (3
4
A) 16 –24 B) 96 –16 C) 120 –16 D) 48 –120 E) 16 –48
T
A2
ABCD es un cuadrado de lado de 12 m. hallar el área de la región sombreada. C B
Hallar el área de la región sombreada. Si: AO=OB=2
8
B
O
Si: CD=20cm y AB=30cm. Hallar el área de la región sombreada. (AB diámetro) y “D” es punto de tangencia.
D
45 A
B
O
A) –2 B) 2 –1 C) 4 –3 D)
2
–
A 2
2
A) 36 cm B) 30 cm C) 40 cm 2 2 D) 78 cm E) 39 cm
30.
2
2
D
En la figura. Hallar el área sombreada. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 . A) 8( –2) B) –4 C) –8 D) –16 E) 4 –215
2
Si: ED.DC=6 ; “O” es centro. Calcular el área de la región triangular E ABD.
E) 2 –3
26.
C
B
B
C
A
D
A
O 2
A) 12 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 8 2 E) 3
B
C
GEOMETRÍA
lateral del prisma es 40m longitud de su altura es 5m.
NOCIONES DE GEOMETRÍ A DEL ESPACIO
2
y la
2
01.
A) 48m 2 B) 50m C) 60m2 D) 65m2 E) 96m2
Dado un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, si: mEDG=60º y AC=4 2 cm, calcular el volumen del prisma. 3
A) 64cm 3 B) 60cm 3 C) 50cm 3 D) 40cm 3 E) 10cm
06.
En el cilindro de revolución mostrado, BO1= 101 cm, O2M= 26 cm, PM=MQ. Calcular el volumen del cilindro. A P O1
3
02.
a) 4cm 3 B) 10cm 3 C) 6cm 3 D) 18cm 3 E) 20cm
En un cubo ABCD-EFGH, sea “O” el centro de la cara ABCD y M punto medio de CG . Calcular la m BOM. A) 60º B) 80º C) 90º D) 70º E) 50º
03.
B
07.
La altura de un prisma recto triangular regular mide 12m; si el área lateral del 2 prisma es 108m . Calcular la longitud de la arista básica. A) 2m B) 3m C) 4m D) 5m E) 6m
05.
Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular regular, si el área
Q
AB y CD
son
diametralmente opuestas (B y C en una misma base), en el arco BC se 2 2 ubica el punto P. Si: 2(AB) +(BC) =20 2 2 Calcule: (AP) +(PD) . A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
2
04.
O2
En un cilindro de revolución las generatrices
En un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, O es el centro de la 2 2 2 base ABCD. Si: (DG) –(EO) =4u . Calcular el área de su base. A) 6u 2 B) 8u 2 C) 4u 2 D) 10u 2 E) 9u
M
08.
En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular. Calcular la razón de volúmenes de dichos sólidos. A) C) E)
2
4
7
B) D)
3
5
GEOMETRÍA
09.
10.
En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si se cumple: AH=2(HB)=6, además: EB=BC, Calcular el volumen del cilindro.
13.
Una pirámide de altura 10cm y 3 volumen 750 cm , calcular el área de la base de dicho sólido. 2 A) 225cm 2 B) 175cm 2 C) 150cm 2 D) 125cm 2 E) 75cm
14.
Se tiene una pirámide regular V – ABCD cuya altura y una diagonal de base tienen igual longitud y el radio de la circunferencia inscrita en la base
E
A) 81
3 3
B) 60
3 3
C) 50
3 3
D) 30
3 3
E) 20
3 3A
H
B
mide 3 2 cm. Calcular el volumen de la pirámide. 3 A) 72cm 3 B) 100cm 3 C) 150cm 2 D) 200cm 3 E) 288cm
C
En un cilindro de revolución, la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de las bases. En una de las bases se traza la cuerda AB de 2 3 cm de longitud y dista del centro de dicha base 3cm. Calcular el área de la superficie total del cilindro.
15.
A) 96cm2 2 B) 95cm C) 80cm2 2 D) 60cm 2 E) 50cm
11.
3
A) 250cm B) 312cm3 C) 400cm 3 3 D) 162cm 3 E) 200cm
La arista de un tetraedro regular mide 3. Hallar la altura del tetraedro. A) 3
12.
16.
Las áreas de las bases de dos pirámides semejantes están en la razón de 9 a 16. Calcular la razón de sus volúmenes.
3
B) 3 C) 2
6
D) 3
6
E)
Se tiene una pirámide hexagonal regular V –ABCDEF, en el cual AB=6cm, BV=12cm. Calcular el volumen del sólido V –BCDE.
A) B)
6
Hallar
la
arista
de
un
regular, si su altura mide
tetraedro
C)
2 D)
A)
2
B)
3 C)
D)
6
E)
4
5 E)
25 32
27 64 25 64
22 23 27 32
