TUGAS GEOMETRI DATAR
OLEH
I MADE PURWA( 2008.v.1.0084)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN IKIP PGRI BALI DENPASAR 2009
1
G!"#$% &'#'$ G!"#$% dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu ukur) yang ada. Perkembangan Geometri Fase I Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda alam yang berada di sekeliling kita ini). ontoh! batu"batako"kayu"besi"dll. #engamati benda-benda yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd objek yang ada). ada). $etela $etelah h menggu menggunak nakan an metode metode impir impiris" is" diprol diproleh eh rumus rumus dengan dengan menggu menggunak nakan an metode metode induksi.
l L= p x l
p
t
d
Vk
1 =
%
.π .r .t
&
t
d
Vt
=
π .
%
r .t
Fase II
Perkembangan geometri pada fase II" objek tidak lagi benda-benda konkrit(benda-benda alam yang yang ada). ada). #elain #elainkan kan bendabenda-ben benda da yang yang ada dalam dalam pikir pikiran an manusi manusia. a. ontoh ontoh ! garis garis lurus lurus mempunyai mempunyai panjang namun tidak memiliki memiliki lebar lebar (di alam pikiran pikiran manusia)" manusia)" kertas dilipat-l dilipat-lipat ipat dapat menjadi banggun geometri.
%
G!"#$% &'#'$ G!"#$% dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu ukur) yang ada. Perkembangan Geometri Fase I Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda alam yang berada di sekeliling kita ini). ontoh! batu"batako"kayu"besi"dll. #engamati benda-benda yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd objek yang ada). ada). $etela $etelah h menggu menggunak nakan an metode metode impir impiris" is" diprol diproleh eh rumus rumus dengan dengan menggu menggunak nakan an metode metode induksi.
l L= p x l
p
t
d
Vk
1 =
%
.π .r .t
&
t
d
Vt
=
π .
%
r .t
Fase II
Perkembangan geometri pada fase II" objek tidak lagi benda-benda konkrit(benda-benda alam yang yang ada). ada). #elain #elainkan kan bendabenda-ben benda da yang yang ada dalam dalam pikir pikiran an manusi manusia. a. ontoh ontoh ! garis garis lurus lurus mempunyai mempunyai panjang namun tidak memiliki memiliki lebar lebar (di alam pikiran pikiran manusia)" manusia)" kertas dilipat-l dilipat-lipat ipat dapat menjadi banggun geometri.
%
#emba'a benda konkrit ke dalam pikiran manusia"melalui proses ! Proses idealisasi Proses menyempurnak menyempurnakan an dari pada benda-ben benda-benda da konkrit konkrit ke benda-ben benda-benda da alam pikiran. ontoh! benag yang penampangnya sangat kecil sehingga penampangnya tidak ada. Proses abstraksi ari ari bend benda aob obje jek k yang ang diama iamati ti ini ini hany hanyaa seba sebaga gaii yang ang diam diamat ati. i. ala alam m pros proses es perkembanggan geometri pada fase II pada a'alnya belum di temukan hubungan dalil yang satu ke dalil yang lainnya juga teorema" asioma"lema. engan perkembanggan IP*+, yang begitu cepat cepat sehingga sehingga perkemban perkembanggan ggan matematikap matematikapun un menggiku menggikuti ti akhirnya akhirnya para ahli matematika matematika mencoba menghubungkan dalil"teorema"aksioma dalil"teorema"aksioma dan lema yang satu dengan yang lainnya. ypokraktus
I
l
n
II I
IV
l
II n
r
r
V
Phitagoras %
%
( %r ) = ( %l ) + ( %n )
%
r % = l % + n % r % = l % + n%
L ∩ r =
1
.π .r %
% 1 L ∩ l = .π .r % % 1 L ∩ n = .π .n% % L ∩ l + L ∩ n = L ∩ r = 1 %
1
π
% 1
.π .r % =
%
(l
π
%
(l
1 %
.π .l % +
+n %
%
+n
1 %
.π .n %
) %
)
r % = l % + n%
&
L r=L l+L n V+III+IV=I+III+II+IV V=I+II Fase III Perkembanggan geometri pada fase III ini" objeknya tidak lagi berbicara benda-benda alam" melainkan benda-benda yang ada di alam pikiran manusia. /adi metode pendekatan induktif tidak diperkenankan digunakan pada fase III melainkan dalam proses pendekatan ini" kita coba gunakan metode deduktif umum khusus. Fase I0 Perkembanggan geometri pada fase I0 setelah proses perkembanggan I"II" dan III pada fase I0 objeknya tidak hanya bangun-bangun geometri saja melainkan keseluruhan dari pada materi matematika yang ada asalkan tidak bertentangan dengan aksioma" teorema" dalil dan lema tidak bertentangan dengan aksioma yang lain. #isalnya kita tidak hanya membicarakan tentang garis lurus" lingkaran melainkan berbicara aljabar" kalkulus dan materi yang lainnya.
Pengertian pokok dalam Geometri! 1. Pengertian *itik *idak didefinisikan tidak mempunyai panjang dan lebar tetapi ia sangat menentukan letaknya. *itik bisa digambarkan sebagai naktah . ujung pensil yang di beri nama dengan hurup kapital besar 23. %. Pengertian Garis ( garis lurus ) *idak didefinisikan" garis itu memrupakan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai lebar garis di gambarkan dengan
A
AB
B
&. Pengertian 4idang ( 4idang datar ) *idak didefinisikan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan lebar. 5ang digambarkan permukaan halus dan tipis. #isal!
u
B id u
. Pengertian 6uang *idak didefinisikan. ,umpulan titik" garis merupakan kumpulan bidang-bidang dan bidang
merupakan bagian ruang.
R
R
R u a n g "R "
R R #isal !
7. Pengertian iantara *idak didefinisikan.
A
B
C
4 diantara 2 dan . *iap & titik itu segaris dan mempunyai urutan 2"4" atau "4"2. 8. 6uas garis 243 adalah kumpulan titik dari garis yang terdiri dari titik 2 dan 4 dan titik diantaranya.
A
B 2 dan 4 disebut titik ujung ruas garis AB 3.
3 AB 3 tanda panah menunjukan garis dapat ditarik sepanjangnya. 9. $inar merupakan titik yang union dari titik tertentu dari suatu ruas garis dan semua titik dari garis itu terletak. :. Pengertian sepihak dan berlainan pihak.
A
B
C
A
C
B
B
A
C
/ika 2 suatu titik pada suatu garis "4" juga titik dari garis itu dikatakan 4 dan letaknya sepihak terhadap 2. /ika 4 diantara 2 dan atau diantara 4 dan 2 . 4 dan letaknya berlainan pihak terhadap 2 jika 2 diantara 4 dan . $inar ;sinar berla'anan adalah dua sinar yang mempunyai titik pangkal yang sama dan pada garis yang sama.
D
C
A
B
AB dan AC berla'anan . AB dan CD bukan berla'anan . <. $udut adalah kumpulan titik-titik yang merupakan union atau gabungan dari dua sinar yang merupakan titik pangkal berserikat " masing-masing sinar disebut sisi sudut dan titik pangkal sinar di sebut titik sudut.
A B
C
∞ ∠ ACE ∠ECA" ∠ ACD D
E
"dsb
1=. >kuran 6uas Garis 2da korespondensi satu-satu antara titik pada suatu garis dengan bilangan nyata" kalau salah satu titik di ka'ankan dengan nol (=). #aka setiap titik yang lain berka'anan dengan
7
bilangan nyata tertentu dan sebaliknya jika titik p dika'ankan dengan bilangan s maka P berkoordinat $.
0
2
A
B
>ntuk 24 ? % atau 24 ? %
11. >kuran $udut >ntuk menyatakan ukuran sudut dapat dinyatakan sebagai berikut!
B
C
P
A
Pada bidang 2P4 ada setengah lingkaran yang pusatnya di P. salah satu ujungnya 2 dan yang lainnya adalah sinar la'an dari pada titik pada setengah lingkaran itu berkorespodensi dengan bilangan kecil =° ↔ 1:=° . *itik A ↔ =° dengan kata lain 2 berkorespodensi = *itik C ↔ 1:=° dengan kata lain berkorespodensi 1:= /ika 4 berkoordinat @" bilangan @ inilah merupakan ukuran sudut dari ∠ APB.U ∠APB = X . efinisi a. $udut siku-siku adalah sudut yang ukurannya <=° b. $udut lurus adalah sudut yang ukurannya 1:=° c. $udut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari =° dan lebih kecil dari <=° ( =° < x < <=° ) d. $udut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari <=° dan lebih kecil dari 1:=° ( <=° < x < 1:=° ) e. ua sudut yang saling berkomplement adalah jika jumlah dua sudut itu <=° f. ua sudut yang saling bersuplement adalah jika jumlah dua sudut itu 1:=° g. ua garis tegak lurus adalah jika dua garis itu saling berpotongan dan membentuk sudut sikusiku h. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang titik pangkalnya titik sudut itu dan kedua sudut yang dibentuk oleh sinar itu dengan kaki-kaki sudut itu mempunyai ukuran yang sama
A g a r is b a g i
P
B
,ongruensi dari suatu ruas Garis sudut efinisi ! 6uas- ruas garis kongruen jika mempunyai ukuran yang sama yang simbulnya /ika AB ? CD tentu AB
∞.
∞CD
AB dan CD ruas garis yang sama" hanya membedakan namanya .
8
B=D
A=C
C
D
$edangkan dalam hal yang ke dua terjadi dua ruas garis yang berlainan tetapi ukurannya sama. emikian pula jika ∠ ABC = ∠DEF
#aka
∠ ABC ∞∠DEF
2ksioma ;2ksioma 1. $uatu garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya kedua arah %. >ntuk setiap % titik pada suatu ruas garis ada titik yang ke-& yang terletak diantaranya &. ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik
K!$*+% S%#%' ,
$egitiga ! bangun geometri yang banyak dibicarakan dalam geometri. >ntuk mendefinisikan apakah itu segitiga . iulai dengan bangun geometri yang lebih umum ! segi banyak ( poligon). efinisi!
P n dengan ruas garis P1 P % " P% P & " Poligon adalah union dari kumpulan titik P1 " P" % P& "...P n −1 " P& P "A Pn −1 P n .6uas garis itu berpotongan" titik potongnya adalah salah satu dari titik-titik" P1 " P" % P& "...P n −1 " P n dan tidak ada titik-titik potong yang lain. P
P n −1
P &
P1 " P"% P& "...P n −1 P n
P n
P %
P 1
titik
"
disebut
titik
sudut
poligon
.
P1 " P" % P& "...P n −1 " P n " P nl " disebut sisi poligon ∠P1 " ∠ P% ..." ∠Pn −1 " ∠P n disebut sudut poligon. ara memberi nama poligion D E
C
A
B
isamping ini adalah gamgar poligon 2"4"""+ dapat diberi nama 42+"4+2 dsb. efinisi!
9
$egitiga adalah poligon yang mempunyai & sisi C
AB BC CA A
B
*itik 24 disebut titik sudut segitiga"
"
"
disebut sisi segitiga"
∠ A" ∠B" ∠C disebut sudut segitiga. >ntuk mengetahui aksioma di ukur sisi"sudut sisi. C
F
A
B
D
V ABC ∞V DEF jika AB
E
∞ DE " BC ∞ EF dan ∞
ua segitiga adalah kongruen jika korespondensi antara titik sudutnya demikian hingga dua
sudut dan sisi apitnya dari segitiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi dari segitiga yang lain. >ntuk menyatakan aksioma ini disebutkan dengan sudut" sisi" sudut . V ABC ∞V DEF jika
, 1. %. , 1. %. &. .
∠ A∞∠D" ∠B∞∠E" dan AB∞ DE .
Pembagian jenis-jenis segitiga didefinisiksn berdasarkan pada sisinya ! $egitiga sama sisi jika ke-& sisinya kongruen $egitiga sama kaki jika ke-% sisinya kongruen 4edasarkan pada sudutnya! $egitiga sama sudut jika ke-& sudutnya kongruen $egitiga siku-siku jika satu sudutnya siku-siku $egitiga tumpul jika satu sudutnya tumpul $egitiga lancip sudut jika ke-& sudutnya lancip efinisi ! C
P
A
PA" danPC
PB
B
$inar
diantara sinar
yang dimaksud adalah jika >
∠ APB + U ∠ BPC = ∠ APC B
P
A
aerah dalam ( interior ) suatu sudut adalah kumpulan titik demikian hinga jika suatu suatu sinsr titik pangkalnya titik sudut itu dan melalui salah 1 titik dari kumpulan itu akan terletak diantara kaki-kaki sudut itu.
:
C
A
B
aerah dalam ( interior ) suatu segitiga adalah kumpulan titik persekutuan dari daerah dalam dari sudut segitiga itu. 2ksioma ua segitiga adalah kongruen jika ada korespondensi antara titik- titik sudutnya sedemikian hingga % sisi dan sudut apitnya dari segi tiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi
S% "-'# Poligon S e g i em p a t a !a r a n g e n !a n g
P e r s e g i p a n !a n g
" r a p e s iu m
B e la # $ e t u p a t
" r a p e s iu m s a m a $ a $ i
B u !u r s a n g $ a r
efinisi! 1. C
D
A
B
$egiempat adalah poligon yang mempunyai sisi" sisi 24"4"2 dan
%. D
A
C
B
/ajaran genjang adalah segi yang sisi berhadapan adalah sejajar. 24
dan 24
&. D
C
A
B
Persegi panjang adalah jajaran genjang yang mempunyai 1 sudut siki-siku ! ∠ A = <=° " 24"4""2 sisi persegi panjang .
<
D
C
A
B
4ujur sangkar adalah persegi panjang yang mempunyai % sisi yang bersisian
kongruen. 2
∞ 24
7. D
C
A
B
4elah ketupat adalah jajaran genjang yang mempunyai % sisi yang bersisian
kongruen. $isi 2 ∞ 4 8. D
C
A
B
*rapesium adalah segi empat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi yang sejajar. $isi 24 4 9. D
A
C
B
*rapesium sama kaki adalah trapesium yang sepasang sisi yang
berhadapan tidak sejajar adalah kongruen. $isi 2 ∞ 4
1. %. &. . 1. %. &. . 1. %. &. . 7.
Iktisar $ifat-sifat yang ada pada jajaran genjang! ara untuk membuktikan bah'asegi empat adalah jajaran genjang /ika % sisi yang berhadapan adalah sejajar /ika sisi- sisi yang berhadapan adalah kongruen /ika diagonal- diagonal saling membagi % /ika sepasang sisi yang berhadapan kongruen dan sejajar ,esimpulan yang dapat diambil jika segi empat adalah jajaran genjang! $isi- sisi berhadapan adalah sejajar $isi- sisi berhadapan adalah kongruen iagonal-diagonal saling membagi % ua sudut yang berhadapan kongruen alil. $udut yang berhadapan dari jajaran genjang adalah kongruen iagonal-diagonal jajaran genjang berpotongan saling membagi % $emua sisi bujur sangkar kongruen $emua sisi belah ketupat kongruen iagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus
1=
8. $udut-sudut alas trapesium sama kaki kongruen 9. /ika sisi yang behadapan suatu segi kongruen maka segi empat itu dapat di katakan jajaran genjang :. /ika diagonal-diagonal segi empat saling membagi % maka segi empat itu dikatakan jajaran genjang <. /ika segi empat mempunyai sepasang sisi kongruendan sejajar maka segi empat itu adalah jajaran genjang
L%'$' efinisi r
lingkaran adalah kumpulan titik sedemikian hingga ruas garis yang ditentukan oleh tiap dari kumpulan itu dengan suatu titik tertentu adalah kongruen.
*itik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran /ari-jari lingkaran adalah ruas garis yang di tentukan oleh sembarang titik di lingkaran itu dengan titik porosnya. >nsur- unsur Bingkaran
,
R r r
P
r
%
&
Gambar di samping merupakan suatu lingkaran .C adalah suatu pusat lingkaran " CP"CD dan C6 adalah jari-jari lingkaran biasa dilambangkan dengan r (radius) dan PD dilambangkan dengan d. Panjang panjang garis tengah adalah dua kali panjang jari-jari. /adi d ? %r sedangkan garis lingkaran D6"6P"PD disebut busur lingkaran" panjang garis lingkaran" lengkung dari P ke titik P lagi disebut keliling lingkaran. 6umus dari keliling lingkaran adalah , ? π . d , ? keliling lingkaran ? % π .r d ? diameter d?%r r ? jari-jari % d π ? &"1 6umus luas lingkaran Buas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran tersebut π
r
(
)
)
2 *
'
'
( 2
*
r
,alau jari-jari lingkaran adalah r maka keliling lingkaran adalah % π r dengan memperhatikan bangun persegi panjang diatas yang terjadi lebarnya ? r sedangkan panjangnya ? E keliling lingkaran yaitu π r sehingga luas lingkaran adalah π r @ r B ? π .r % B ? luas lingkaran B? π d % d?%r
d ? diameter r ? jari-jari
11
TETRA HIDRON (P%$'"%& /%&' "-'#) D
A
C B P R
p
r
% +
o
P6 ? E PD %P6 ? PD %p-%r ? p ; %p ; p ? %r ; p ? %r ; p H ? %r r?E(pH) A
B a
S
b
$?E(aHb) , +
b
a
1.
-
?
% f + 1.a % +1
f ? E (b H c )
1 %. .(b + c ) ? % & c+b+a ?
&
?1& (a Hb H c) %. ,
l h
a
b
l ? E (a H b ) h=
1 % (a + c) + b ? % % +1 &
%c + 1b
1%
(a + c) + b
h=
&
? 1& ( a H b H c )
&. ,
l
a
b
k
k =E (a H b )
1 % (a + b) + c l= ? % % +1 & ( a + b) + c %k + 1c
l=
?1& (a H b H c)
&
,esimpulan! Faktor posisi yang sama akan berhimpit. q , h , l akan berhimpit.
1. C
l
g 1
D
B
A
g 1 = 1& (a H b H c ) l= l=
&. g1 + 1d
? &.1&(a H b H c ) H d
& +1 a +b+ c+ d
? (a H b H c Hd)
%. C
g %
h
D
B A
g % ? 1& (b H c Hd )
1&
h=
1 & (a + c + d ) + b ? & & +1 .
&. g % + b
h = (a H b H c H d )
&. C
g &
D
B
$ A
g & ? 1& (b H c H d ) k=
&. g& + 1.a & +1
1 &. (b + c + d ) + a ? & & +1
k = (a H bH c H d ) . C
m B
D
g A
g ? 1& ( a H b H d ) m=
1 &. (a + b + d ) + c ? & & +1 & +1
&. g + c
m = (a H bH d H c )
K*/*+ /
.
E
F
'
D
C '
A
'
B
0olume ? 1@1@1?1 ? m @ m @ m ? m&
1
/ E
F
.
t 0m A
D 2 m l
B
C
( m p
0olume ? %m @ &m @ 8m ? &8 m apat di tarik kesimpulan 0olume kubus ? 0 ? p @ l @ t 0? olume p ? panjang l ? lebar t ? tinggi /
.
E
F
t
D
xlxt %
C l
A
p
=
xl xt %
0? 0 E kubus ? luas alas @ t
B
!*" %"'+ /
.
t
F
E
'12 a
'12 a DD
t D
C
a
a A
a
C
A a B
B
0olume limas *. 24 ? 18 0 kubus ? 18 a & ? 1& a % . E a ? 1& . B alas bujur sangkar . t "
t
C A
a
a B
0olume limas. * .24 ? E . 1& luas alas . t ? E . 1& a % .t ? 1&. E a % .t ? 1& luas alas .t
17
P%+"' #' ABDEF D F E
A
C B
I Buas F24 II Buas 4+F III Buas F24 0olume Prisma ? luas alas .t 0. F24 ? 1& luas 24. t 0 ? F24 . 0olume 4+F 3A B C = 3 D E F a la s s a m a tin g g i s a m a 4, - = b e 5
K$*3*# #' "
m
A
B
0. ,erucut ? 1& luas alas .t 0. *24# ? 1& luas alasJ .t ? 1& J luas alas .t ? 1& B d .t
? 1& luas alas .t
6 6= m 3 7
R t
7
6= m 3 7
y ? m .@
18
y?m.@Hc y ? L= + L1.x1 + t
0?
t
∫ " dx %
π
∑
!
t
t
∫
∫ t x dx ?
# % ? π ( m.x) dx ? π ( . x) dx ? t ! !
∫
%
π
# % %
!
%
# %
π
%
t
t
∫ x dx %
!
# % 1 & # % 1 & 1 & ? π % x ? π % ( t − = ) t & ! t & & t
∫
# % 1 & 1 . % .t ? π % . t ? π # & t & 0 kerucut ? 1& luas alas .t
GEOMETRI BIDANG DATAR A.J''$' G' D5%%+% 6 $a%aran g&n%ang adalah '&g( &mat "ang '&a'ang)'&a'ang '('(n"a '&%a%ar
19
D'%7&'% 6 •
24 adalah jajaran genjang %(ka dan han"a %(ka 'udut-sudut yang berhadapan sama besar.
•
24 adalah jajaran genjang %(ka dan han"a %(ka sisi-sisi yang berhadapan adalah sama panjang.
•
24 adalah jajaran genjang %(ka dan han"a %(ka kedua diagonalnya berpotongan membagi dua sama panjang.
B.P$+% P'' D5%%+% 6 P&r'&g( an%ang adalah %a%aran g&n%ang "ang 'at* '*d*tn"a '(k*)'(k*
D'%7&'% 6 •
iagonal-diagonal persegi panjang adalah sama panjang.
•
/ika diagonal-diagonal jajaran genjang adalah sama panjang maka jajaran genjang tersebut merupakan persegi panjang.
.B' K#*-'# D5%%+% 6 B&lah k&t*at adalah %a%aran g&n%ang "ang d*a '('( b&rd&katann"a 'ama
an%ang
1:
D'%7&'% 6 •
iagonal-diagonal belah ketupat membagi sudut-sudut sama besar.
•
iagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus.
•
/ika diagoal-diagonal jajaran genjang membagi dua sudut sama besar" maka jajaran genjang tersebut merupakan belah ketupat.
•
/ika diagoal-diagonal jajaran genjang berpotongan tegak lurus" maka jajaran genjang tersebut merupakan belah ketupat.
D.B**$ S''$ D5%%+% 6 B*%*r 'angkar adalah b&lah k&t*at "ang 'at* '*d*tn"a '*d*t '(k*)'(k*
ari definisi tersebut maka sifat-sifat! jajaran genjang" persegi panjang" dan belah ketupat merupakan sifat-sifat bujur sangkar.
E.
T$'-+%*"
D5%%+% 6 ra&'(*m adalah '&g( &mat "ang d*a b*ah '('(n"a '&%a%ar
1<
/ika sisi-sisi tegaknya sama panjang" maka disebut trapesium sama kaki. /ika salah satu sudutnya siku-siku" m aka disebut trapesium siku-siku. D'%7&'% 6 •
24 trapesium sama kaki %(ka dan han"a %(ka sudut-sudut alasnya sama besar.
•
*rapesium sama kaki %(ka dan han"a %(ka diagonal-diagonalnya sama panjang.
•
Garis-garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan sisi-sisi tegak suatu trapesium" sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya sama dengan setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar.
%=
Duestion +@cerpt 1. iketahui keliling sebuah persegi adalah &% cm. Buas persegi tersebut adalah & % & B. 8 . < 8 D. A.
%1
2.
Perhatikan gambar. 2pabila panjang PD ? 17 cm" D> ? 1= cm dan luas PD6$ ?
"
maka keliling PD6$ adalah ... cm 7 B. = & . 8 % D. 9 . ,eliling belah ketupat 24 ? := cm" Panjang diagonal 2 ? % cm. Buas belah A.
ketupat adalah ... % = &: B. = . = : D. = 4. $ifat layang-layang yang juga merupakan sifat belah ketupat adalah ... A.
A.sepasang sudutnya sama besar B.salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri . jumlah besar dua sudut yang berdekatan D.diagonal-diagonalnya berpotongan saling tegak lurus :. Pada persegi panjang ,B#K" besar sudut ,BK " sedangkan panjang diagonalnya
%= cm. Buas persegi panjang ,B#K adalah A A. B.
%= =
1==
.
1== 1= D. = ;. /ika panjang sisi 24 ? ( x + -. cm" dan panjang 4 ? /x ) 0. cm. /ika keliling
%%
persegipanjang 24 pada gambar di samping %& cm. Panjang sisi 24 adalah ...
A.7 cm B.9 cm .1% cm D.17 cm <. $ebuah persegipanjang 24 digambarkan pada sumbu koordinat dengan titik 2 (1"=)" 4(7"=)" (7"8) maka koordinat titik adalah """
(1"8 ) (1"7 B. ) (="7 . ) (="8 D. ) 8. Gambar di samping 24 adalah Persegi panjang dan +FG bujur sangkar. ,eliling A.
daerah yang diarsir adalah ... A.= cm B.&: cm .& cm D.&% cm 9. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut ! 1. $isi-sisi berhadapan sama panjang. %. iagonal-diagonalnya tidak sama panjang. &. $emua sudutnya sama besar. . ,eempat sudutnya merupakan sudut sekiu-siku.
iantara pernyataan tersebut yang merupakan sifat jajar genjang adalah ... A.1"%" dan & B.%"&" dan
%&
.1"&"dan D.1"%" dan 10. /ika persegi 24 diputar setengah putaran sehingga titik 2 menempati titik (2 -L ) maka ... A.4-L" -L" dan -L2 B.4-L2" -L4" dan -L .4-L" -L2" dan -L4 D.4-L" -L4" dan -L2 11.
Perhatikan bangun datar di atas. 4angun-bangun yang tidak mempunyai sumbu simetri adalah ... A.I dan II B.II dan III .I dan I0 D.II dan I0 12. Bayang-layang 24 terletak pada koordinat kartesius dengan titik-titik nya adalah 2(-"%)" 4(-%"7) dan (&"%). ,oordinat titik adalah...
(-%"%) (-%"B. 1) (. %"=) (-1"D. %) 1. Pak 2mir memiliki sebidang tanah berbentuk trapesium sama kaki yang panjang sisi sejajar nya adalah 1== meter dan = meter dengan tinggi trapesium tersebut = meter. $eba- gian tanah itu akan dijual sehingga tersisa berbentuk persegi dengan panjang sisi = meter. /ika harga tanah yang terjual adalah 6p. 97=.==="== tiap meter persegi" maka pak 2mir akan menerima uang hasil penjualan tanah itu sebesar... A.
A.6p. 9:=.===.==="== B.6p. <==.===.==="== .6p. 1.=7=.===.==="== D.6p. 1.%==.===.==="== 14. ,eliling sebuah persegi panjang adalah % cm dan lebarnya : cm" Buas dari persegipanjang tersebut adalah ... A. B.
&&8
1=
.
<:
%
D.
: 1:. $ebuah taman berbentuk belah ketupat luasnya 18= . /ika panjang salah satu diagonalnya adalah 18 cm"maka panjang diagonal yang lain adalah ... A.1= cm B.1% cm .18 cm D.%= cm
G!"#$% A'%#% B%&' D'#'$ (GABD) P*%+ 6 ANTS EDUATION ! S'/#*= 21 D+"/$ 201 > 04.1
G+C#+*6I 2K2BI*I, 4I2KG 2*26 (G24)
4ab 1 ! $istem ,oordinat ,artesius
a.
Betak $uatu *itik pada Garis Burus
*
/ika garis g disebut sumbu @ maka" untuk menunjukkan letak suatu titik * dapat ditulis *(@) dan @ adalah absis titik * 2pabila koordinat % buah titik pada suatu garis diketahui" maka jarak kedua titik itu dapat dihitung dengan diambil harga mutlaknya. /ika ada dua titik *1 (@1) dan *% (@%)" maka jarak keduanya!
%7
/arak antara dua titik dapat dilambangkan dengan
atau
dan
sebagainya. $elain jarak antara dua titik" ada juga yang disebut dengan panjang ruas garis yang dilambangkan dengan
"
dan sebagainya. Panjang ruas garis ini dapat dicari dengan
caraM
$oal ! 1.
Gambarlah sebuah garis bilanganan" kemudian tentukan letak titik 2 (%)" 4 ( dan (
a.
)" (-7)
)" kemudian tentukanlah !
"
b. /a'ab !
? . . . .-7 . . - . . . . %. . . . .?. . ..-9 .
%8
? . . . . . .- . . . . . . . . .?. . . ; & 1&. ? . . .& 1& . . . .-. . . . %. . . . .? .1 1&
? . . 9.. . .
? . . .& 1& .. . .
? . . .1 1&. . . . .
b. $istem koordinat kartesian *egak Burus alam bidang datar" dipilih % buah garis lurus yang saling memotong. *itik potong kedua garis tersebut adalah titik C sebagai titik asal. ,edua garis disebut sumbusumbu koordinat (yang diberi nama sumbu @ sebagai absis dan sumbu y sebagai ordinat). $erta sudut antara kedua garis disebut sudut koordinat. >ntuk menentukan letak suatu titik * ditulis * (@"y) dimana @ adalah absis" dan y adalah ordinatnya. $umbu koordinat membuat bidang dalam menjadi daerah atau kuadran yaitu !
ontoh !
%9
Bihat pada gambar diatas terletak pada kuadran berapakah gambar tesebutN *entukanlah koordinat titik 2" 4" dan O
. /arak ua *itik pada 4idang atar #isalkan P1 (@1"y1) dan P% (@%"y%) dua titik pada bidang (lihat gambar). #elalui titik P1ditarik garis sejajar sumbu @ dan melalui titik P% ditarik garis sejajar sumbu y. ,edua garis ini berpotongan di titik *. #aka segitiga P1*P% adalah segitiga siku-siku. Panjang ruas garis
?
dan panjang ruas garis
?
5
5% P%
51
P1
*
%:
1
%
@
$elanjutnya dengan menggunakan teorema Pythagoras " diperoleh ? ? ? ontoh 1! #isalkan P ( 1"1) dan D (-&") maka jarak P dan D yaitu ! /a'ab ! P ( 1"1) M @1 ? 1" y1 ? 1 dan D ( -&") M @% ? -& " y % ? maka"
? ?
? . . 7. .
/adi jarak P dan D adalah . . . 7. . satuan ontoh % ! #isalkan 2 ( 1%=" <8) dan 4 ( -%7" -1&) maka jarak 2 dan 4 adalah . . . /a'ab !1:1"
B2*I2K $C2B !
1. Gambarlah sebuah garis bilangan" kemudian tentukan letak titik 2 ()" 4 ( dan a.
(
)" (8)
)" kemudian tentukanlah !
"
QpL5our bro'ser does not support iframes.QpL class?RBistParagraphR style?Rline-height! 17=SM margin! =cm =cm =.===1pt %.77ptM te@t-align! justifyM te@t-indent! -1.%ptMRL b. %. Gambarlah sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat ("1)" (-%"&)" (1")"
(7"-7)" (="8) dan (-7"=). *ulislah koordinat-koordinatnya disamping titik-titik
tersebut. &. Gambarlah segitiga dengan titik-titik sudutnya (7")" (-&" %) dan (="1). $egitiga apakah yang terbentukN
%<
. iketahui titik- titik P (-%")" D (1" -:)" 6 (-&" -1) dan $ (9"1<)" selidikilah dimana letak kuadran dari titik ; titik tersebutO 7.
Perhatikan gambar diba'ah tentukanlah koordinat titik +" F dan G setelah itu hubungkanlah titik antara + dan F " + dan G serta F dan G sehingga membentuk suatu segitiga siku-siku" lalu tentukanlah jarak antara masing-masing kedua titik ; titik ituO
. #enentukan *itik *engah 2ntara ua *itik #isalkan diketahui dua titik 2 (@"y) dan 4 (@%"y%). *itik pada pertengahan ruas garis penghubung2 dan 4. 2kan kita tentukan koordinat-koordinat titik .
4% 4 &=
%
2%
C
2
21
1
41
#isalkan koordinat titik adalah ( @c " yc) serta ! ? absis titik 2 yaitu @ 1 ? absis titik 4 yaitu @ % ? absis titik yaitu @ c ,arena titik terletak pada pertengahan 24 dan garis-garis 221 dan 1 sejajar" maka titik 1 terletak pada pertengahan ruas garis 2141 pula yaitu H
?
sehingga!
? ? ?
H
? ? % 1 H % ? % c
$karang c telah diketahui selanjutnya tentukan 5c N 5c ? . . . .N
&1
H
? ? ?
H
? ? % 51 H 5% ? % . C%. . " sehingga
ontoh $oal ! 1 *entukan titik tengah yang terletak antara 2 ( <"& ) dan 4 ( -%"-7 )O /a'ab ! silahkan diselesaikan sendiri dengan menggunakan rumus yang telah ditemukan
diatasO ( & " -1)
ontoh $oal ! % iketahui P ( "9 ) dan D ( :"1 )" * yang terletak diantara PD sehingga
?1!
&" tentukan koordinat ; koordinat titik * O Penyelesaian! *nt*k m&m&rm*dah &ng&r%aan gambarlah t&rl&b(h dah*l* t(t(k)t(t(k "ang d(mak'*d dalam '!al
&%
? CD1 ; C*1 ? : - C*1
?
-
. . . . . . . . .. . ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? . . . . . . . . .. . . . . ..........?.............. ..........?.............. ..........?............... ara yang sama bisa dilakukan untuk mencari
O silahkan dicari
$C2B B2*I2K
&&
