COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN IV IV BIMESTRE BIMESTRE
TEMA 04: FUNCIÓN LOGARITMICA OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Diferenciar Función Exponencial y Función Logarítmica, para su posterior aplicación en la resolución de problemas. Determine la característica en un Logaritmo Decimal. Opera logaritmos neperianos con una aplicación adecuada de las propiedades. Resuelve ecuaciones e inecuaciones logarítmicas.
COMENTARIO PREVIO:
Tercer Año Secundaria 01
los valores que toma el logaritmo al asignarle valores a su variable independiente y concluir dándole el nombre de Función Logarítmica.
b
Si b es un número real positivo distinto a la unidad, se llama función logarítmica en base b a aquella función que tiene por dominio al conjunto de los números reales positivos, cuya regla de correspondencia viene dada por:
log b x
x
Ejemplo: De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos establecer:
4. El logaritmo de la unidad es cero. b R b 1
logb 1 0
5. El logaritmo de la base es uno. logb b 1
b R
b1
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LOGARITMOS A) Logaritmo de un Producto:
1) Como: 23 = 8 , entonces : 3 = log 8 2
Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2”
F( x ) log b x
b 0
b 1;
x1, x2 R
Log b ( x1. x 2 ) log b x1 log b x 2
Es decir:
F ( x; y) / y log b x ; b R b 1 x R Frecuentemente a la función logaritmo en base b se le define como la función inversa de la función exponencial de base b.
Se podrían mencionar muchas aplicaciones de los logaritmos, tales como su presencia en las fórmulas químicas, específicamente en la electroquímica, en la evaluación del interés compuesto, cálculo de la antigüedad de los restos fósiles (según el contenido de carbono 14), etc.....
Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente al cual será necesario elevar una base positiva y diferente de la unidad para obtener como resultado una potencia igual al número propuesto”
S1RM31B
Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente igualdad fundamental:
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
LOGARITMO DE UN NÚMERO
Notación: ................................ ( I ) Donde:
Tercer Año Secundaria
De acuerdo con la definición de logaritmo y de la notación (I), se puede establecer que: b y x .................................( II )
CONTENIDO TEORICO:
En el presente capítulo entraremos al estudio de los logaritmos, un tema importante tanto en el campo netamente matemático como también a su aplicación en las diferentes ciencias, así como en la ingeniería.
El estudio de que realizaremos de los logaritmos serán enfocados en dos formas una primera etapa corresponde al estudio de los logaritmos visto como operador es decir ver los teoremas respecto a las operaciones que con ellos se realizan y una segunda etapa sería observar el comportamiento de
ÁLGEBRA
02
y logb x
y = logaritmo (y R) x = número propuesto (
x R )
b = base (b R b 1)
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
2) Como : 3-3= 1 , entonces : -3 = log 1 3 27 27
Esto se lee así: “- 3 es el logaritmo de
1 en base 3” 27
Ejemplo: T Log815 , podríamos expresarlo como:
T log8(3.5) log8 3 log8 5 B) Logaritmo de un Cociente:
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION LOGARITMICA 1. En el campo de los números reales no existe el logaritmo para números negativos. 2. Si la base b está comprendida entre cero y uno (0 < b< 1) los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y los logaritmos de números mayores que uno serán negativos. 3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los logaritmos de números mayores que uno serán positivos. S1RM31B
b 0
b 1;
x1, x2 R
x Logb( 1 ) logb x1 logb x2 x2
T log 5 (
Ejemplo: podríamos
expresarlo
17 ), 2
como:
T log5 17 log5 2 C) Logaritmo de una Potencia:
b 0
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b 1;
x R ;
n Q
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN logb xn n logb x
log3 5
Ejemplo: Reducir:
Por la propiedad:
T 4 log3 3 5 log 2 2 3 log 7 7 T 4 (1) 5 (1) 3 (1) T 12 T= 4+ 5 + 3 D) Podemos elevar a una misma potencia a la base y al número, y el logaritmo no varía.
b 1;
log9 16 log 2 162 log81 256, 9
o
también 16 log3 4
* Corolario: log n b b
m
m n
E) Cambio de base: Permite expresar el logaritmo de un número x en base b en otra base m, según la fórmula: log x m log x = b log b m
log m x = log b x . log m b
Incógnita Dato Dato
log7 3
log3 7
,
es
decir:
1 log3 7
Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos dispuestos en la forma. log b a . log a c . log c d . log d e log b e
Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad:
log x 7 . log 7 32 5 Aplicar la regla de la cadena en el primer miembro es equivalente a hacer simplificaciones sucesivas, tal como se indica: log x 7 . log 7 32 5
Ejemplo: Expresar log3 5 , en base 2 De acuerdo con la 1ra. Fórmula: S1RM31B
log7 3
ÁLGEBRA
Tercer Año Secundaria
x
5
32
De donde: x = 5 Observaciones: Para la resolución de algunos ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las siguientes relaciones.
Después de simplificar cuidadosamente, nos queda: log x 32 5
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES También llamados logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene como base al número 10, es decir:
A y R / y log10 x ; x R
log b x1 log b x 2 x1 x 2
Notación
utilizada:
Lectura: y = log x logaritmos del número x
II) a log b c c log b a SISTEMAS DE LOGARITMOS Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en base b, tal que b>0 b1
x ; xR
A y R / y log 2 x ; x R 0,8
B) SISTEMA DE NATURALES
LOGARITMOS
También llamado sistema de logaritmos neperianos, en honor a su inventor Jhoan Napier, es el sistema que tiene como base al número trascendente: e= 2, 718 281 82.... Notación utilizada:
y log e x ln x
Ejemplo: Para los conjuntos:
Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en base 2 B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8
Lectura: y = ln x: logaritmo natural del número x C) FORMULAS DE CONVERSION I. Conversión de logaritmos naturales en decimales. log x = 0,4343 ln x
Es fácil deducir que así como existen infinitas bases; existen también infinitos sistemas de logaritmos de S1RM31B
y log 10 x log x
x1, x 2 R b 0 b 1
B y R / y log
entre los cuales los de mayor uso son dos.
I) Si:
REGLA DE LA CADENA
Ejemplo: Para log9 16 tenemos:
9
log 2 3
log3 3
02
Por definición de logaritmo se debe establecer que:
PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en base b es igual al inverso del logaritmo de b en base x R ; n Qx. 1 logb x logx b
logb x log n xn b
log9 16 log
log 2 5
Ejemplo: Expresar log7 3 en base 7 Según la 1ra. Fórmula:
T log log log
b 0
Tercer Año Secundaria 01
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
Dato Icógnita
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
Tercer Año Secundaria 01
II.Conversión de logaritmos decimales en naturales.
2
42
Por propiedad: T 2(log 2 2)
Dato Icógnita
T 2(1) 2
COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO
Co log b x log b x
ANTILOGARITMO Llamada también exponencial, se define así:
anti log b x b x
x R b 0 b 1
Ejemplo: Reducir:
T Co log2 4 antilog4 (0,5) Por
las
T log 2 4 4
S1RM31B
definiciones: 0,5
Tercer Año Secundaria
RELACIONES ENTRE OPERADORES: Colog ; antilog y log I.
IV) La función decreciente en todo su dominio x1, x 2 F, si:
V) Si x crece ilimitadamente, decrece ilimitadamente.
Y
II. log b (anti log b x ) x
F:y=b
I) Dom( F) 0; ; Ran ( F) ; Esto significa que la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio. Esto significa que tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) Esto significa que el punto: (1; 0) F
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
F(x) VI) Si x se aproxima a cero F(x) decrece ilimitadamente. Y
F-1: y = logbx
x
F: y = b
F( x2)
1
F(x1)
x11
x2
y=x F(x2)
GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA
Para este caso la gráfica de la función logaritmo es como se muestra; de donde se pueden apreciar las siguientes propiedades:
x1 x2 F(x1) F(x 2) V) Si x crece ilimitadamente, F(x) crece ilimitadamente.
F: y = log x b
1
x
III. co log b (anti log b x ) x
Si : 0 < b < 1
IV) La función es creciente en todo su dominio: x1, x 2 F , Si:
VI) Si x se aproxima cero, F(x) crece ilimitadamente.
anti log b (log b x ) x
CASO I:
es
x1 x 2 F( x1 ) F( x 2 )
4
T=0
x R b 0 b 1
ÁLGEBRA
1
T log 2 2
ln x = 2,3026 log x
COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número de una base dada al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número, es decir:
02
x1
X y=x
1
x2 X
F( x1)
LOGARITMOS DECIMALES
CASO II Si : b > 1 La gráfica de la función es como la mostrada en la figura De donde podemos siguientes propiedades:
apreciar
las
Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de base 10 como por ejemplo: y logx , donde: x = 10 y
Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta de 10, es decir de Dom( F) 0; ; Ran ( F) exponente ; entero, su logaritmo “y” decimal, es también un número entero; , la curva está situada siempre a la en cambio si “x” es una potencia de derecha del eje de las ordenadas exponente fraccionario de 10, su (eje Y) logaritmo decimal “y” será también un número fraccionario. II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio por lo tanto tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir Ejemplo: el punto (1; 0) F 2 I)
log100 log10
S1RM31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN log 0,001 log10
4
log 10 log10
1 4
3
I) Si x > 1 log x > 0
3
La característica en estos casos es positiva e igual al número de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ).
1 4
Si “x” no es una potencia racional de 10, su logaritmo es un número irracional.
Ejemplo : log 457 ,
la característica es: 3 -1= 2 log 2 457,29 , la característica es : 4 - 1 = 3
Observación: Dentro del cálculo logarítmico, es frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que conociendo a estos, y con el auxilio de las propiedades de los logaritmos, se podrán conocer los logaritmos de todos Los números compuestos por ellos.
II) Si 0 < x < 1 log x < 0 La característica en estos casos es negativa e igual al número de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal.
I) log 2 = 0, 30103 II) log 3 = 0, 47712 A) FORMA GENERAL LOGARITMO DECIMAL
DE
Tercer Año Secundaria 01
log 0,0089
, la característica es : -3 = 3
log x CARACTERISTICA , MANTISA
x > 0 Donde la característica y la mantisa se definen de la siguiente manera: I) Característica: Es la parte entera del log x; ésta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas. II) Mantisa: Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas. B) DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su característica, la misma que se calculará teniendo en cuenta las siguientes reglas: S1RM31B
Observación.la expresión 3,176 091 indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091. Si se desea saber el valor de 3,176 091 , se deberá efectuar así: 3 + 0,176 091 = - 2,823 909
PRÁCTICA DE CLASE 01.
La igualdad: x a Se cumple si y sólo si:
log a x
a) a > 0 ; x R b) a > 1 ; x R – {0} c) a 1 ; x > 0 a > 0 d) a R – {1} ; x R – {0} e) a > 1 ; x > 0 02. Calcule:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Tercer Año Secundaria
E Log 6 216 Log 8 64 Log13 169 a) 5 d) 11
b) 7 e) 3
a) 2b + a 2a d) 2b + 3a 04.
c) 9
a) 2 e) N.a. 05.
b) a – 2b
c) 3b –
e) 3 – 2a
Hallar el valor de : P=
log9 5
log 5 2
log 2 7
c) 1/4
d) 1/2
b) 1 c) 0 e) [log tan 89° ]89
08.
d) 0,1
e)
a) x = log5 3 c) x = 3log 5 e) x = log 1/35
A
b) x = log35 d) x = 5log 3
=
Antilog
8 Anti log3 2 2 log 2 log 75 Co log 3 5 5 a) 10
b)
c) 100
10
e) 1
10
13.
Hallar
Log 4
2
d) 58
“x”
Log5 ( 2 x 3) 4
a) 10 d) 2
b) 14 e) 4
c) 6
Calcular: 3
Indicar el valor de “x”.
Log 7 5
Log 4 7
Log3 4
a) 2 d) 5
09. Halle el mayor valor de “x” en la igualdad : S1RM31B
d) 4
Obetener el valor reducido de :
14.
(x )
c) 55
c) 3
Determinar “x” a partir de : 3x = 5
loglog
b) 51
b) 2
10
A partir de la igualdad :
a) 48 e) 16
d) 5
1 1 log 15 log( x 3) 10 log( x 1) 10
d) 10
07. El valor de “x” diferente de 1 que verifica : log x2 = ( log x )2, es : c) 100
c) 4
Resolver y hallar “x” en la ecuación
12.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Calcular “” en : = ( log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan 3° )....... ( log tan 89° )
b) 2
10.
log1125
3
b) 3
a) 1 e) 5
log 7 3
Simplificar : M = log94 . log53 . log725 . log2 49
a) 10 0,01
a) 2 e) 6
11.
b) 4
a) log tan 89! d) –1
2
log11 ( x 7 x 21)
5
03. Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 = b Hallar: Q = Log 72
UN Ejemplo : log 0,000923 , la característica es : -4 = 4
ÁLGEBRA
02
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 3 e) 7
c) 4
en:
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 15.
Calcular: Log a 2 Log b 4 5
Log b 3
Log 5 c
a) 2 d) 1/5
21. 3
3
7x
c) 5
c) 3
1 1 1 1 Log bca 1 Logac b 1 Logabc a) ½ b) abc b+c d) ab + ac + bc e) 2
c) a +
0, 25
Log 0,5 Log3 81
b) 2 e) 5
19.
2 anti log 2 Log 3 9 7
a) 2 d) 0,5
b) 8 e) 0,25
20. de la ecuación: 100
Log x
10 a) 2/3 d) 5/2 S1RM31B
co log 7 2
c) 4
Señalar la menor raíz
. 3 10
log a
de
resolver:
señalar
b) e e) e13 7
c) e
Si:
Loga b 3 y Log b 4a 2 , indicar el valor de “b” a) 2 5 8 b) 2 5 2 3 4 2 d) 2 e) 2 3 2 24. =3
25.
c) 6
25 podemos afirmar:
Log 10
17
Log x
a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Su C.S. = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminada 26.
a) 198 d) 202 27.
b) 2/5 e) 5
c) 3/2
El valor de :
M = 2 es :
log 2 3 2
log 4 2
3
3
log 6 2 ; 5 5
c) 187
16
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
log9 8
2
2 )
d) 16
29.
0,5
a) < )
b) 0,9375 e) 0,6521
5 Log 1 25
c) 0,5724 d) <
+ Anti log 0, 25
a) 2 d) 5 30.
b) 3 e) 6
31.
log9
5
log 4 3
;
5 4
a) d)
c) 2/3
e) N.A.
3 4
L
a
2 3
x
c) 1
Del siguiente gráfico :
y
Curva Logarítmica recta Q 45°
a
x
c) 10 3
2a;- 1 2 Calcule el segmento OQ
S1RM31B
3 2
>
>
e) 2
35.
O
d) 10 4
3 2
e) <
C
b)
= 10 25 ……… (2)
b) 10 2
;
>
3 2 1 2
10 ………… (1) y = 10
a) 10
1 2
4
Si :
y
3 4
1 4 -1 -2a
Anti log3 2 = 3
b) 1/3 e) 3/5
b) <0;
P
Rpta : ...............
log x
>
c) 4
Co log Anti log x
32.
2 3
y
Hallar “x” en : 3 Log log 10 = Colog x x
a) 1/5 d) 2/5
;
;
3 2
> - {1} 34. En la figura C representa una función logarítmica y L una función lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P.
Hallar “x” en :
Log x 2 Anti log3
3 4
c) <
Calcular : 1 9
33. Encontrar el dominio de la función F definida por: F(x) = log 4 x 3 3 2 x
Calcular (x - y) .
El equivalente de : Q=
3
a) 0,8355 d) 0,7218
x
b) 190 e) 1181
c) 8
Co log 8 0,5
Al resolver la ecuación: log x x 4 2
a (
3
loga a(
c)
Resolver: Loga64 Logxa b) 8 e) 5
b) 4
Obtener el valor de :
el
6
Tercer Año Secundaria
Sabiendo que :
c) 3
Calcular:
Log 0.5
28.
c) e-1
42 Lnx
23.
x
a) 1 d) 4
a) 2 e) 32
3 Lnx
13
a) 2 d) 4
Calcular: Co log16 9
Lnx
a) e d) e8
Reducir:
18.
Luego
4
b) 2 e) 5
2
b) e2 e) e/2
22. Lnx
si se sabe que: x 2 Log 3a
17.
2 Lnx
ÁLGEBRA
02
producto de sus soluciones
Log a 3
a) 1 d) 4
3
a) e d) e
Calcular: Log a x
Hallar “x” en: 1 Lnx
Logc 4
Log 3 a
b) 25 e) 125
16.
Tercer Año Secundaria 01
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2
1 2
d)
b)
1
2
b) 3 e) Ninguna
PROBLEMAS PROPUESTOS E= Calcular E log
7 7
a) 1
b)
7 2
d)
(
e)
02.
7
) c) 7
7
log
log b b
a
a a
100
b) b
d) ba
e) ab
a) 100
a) 2 b) 1000
c)
loga
d)
100 d) 10 03.
e)
logb 100
a) - 3 log 3 d) 3 log 2 04. siguientes :
co log 6
las
a) 100 d) 0,01
L=
proposiciones
logaritmos de números reales positivos son siempre positivos.
x a) y d) xy 08.
log abc
y
b)
ecuación
2
=
2 x
{a; b; c; x; y}
x
log y x x log y x y
y
y x
log abc
x
1 27
12. ecuación :
El equivalente de :
1 3
e)
1 81
x
x
3
= 27
a) 2 d) 16
S1RM31B
2
c)
b) 7 c) 4 e) No tiene solución
4
= 2x log 3 c) 33 e) 2
3
Resolver
6 log 2 x log x 4
1 4
log 2 x
b)
d) 4 17.
1 x c) 4
2
x 1
b) 32
16.
logx
: = 1
1 2
c) 2
e) 8 Resolver :
1 log 2 x 4 log
b) 4 e) 2 4
Hallar el valor de “x” en la
a) 31
1 9
=1
2
a) 5 d) - 5
a)
log x
c) 2
d) 3
Hallar una solución de la
log x 4 log x 4
c) 1
e) abc
b)
3 2
x 1 log 1 x 3
log x
log
la
Resolver :
log 1
c) 5
9
de
e) Ecuación Absurda
15. ecuación :
Resolver :
a) 3
b)
2
x log x x
b) 4 e) 7
11.
1 2 5 2
14.
x 2
a) 3 d) 6
a)
c) 0,1
Resolver :
solución
2 log 2 log 4 5 x 6 x 3 log 2 x 1
d)
Dar la menor de sus soluciones :
xy
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 10 e) 1
10.
d) x
la
Una
es :
c) Ln 10
x
Siendo :
2 8
log colog1000 antilog1000(-1) = 0
S1RM31B
e)
c) 1
reducir :
colog0,1 1000 000 = 6 Los
1 2
3 2 1 4
b) log 3 e) log (3e)
09. Resolver logarítmica :
R - {1}
b) 2 log 3 c) - 2 log 3 e) No existe en R De
b)
07.
Calcular log y si :
anti log 4 y = log 2 2
c) ab
log 3 log 9 a b 18 L= 1 log 9 log 3 a b
10
a) 1 d) Ln 30
y dar el producto de sus soluciones :
Siendo a + b > 0, reducir :
.
es :
a
13. ecuación :
4 log x = 10 x x
log log b a log a
a) a
06.
7 2
El valor : 3
b
:
7
c) 2
Siendo : a > 1 b > 1,
05. reducir :
01.
E=
es :
¿Cuántas son falsas? a) todas d) 1
Tercer Año Secundaria
1 1 1 1 log 3 10e 1 Ln 30 1 log 3e
log x + log y = log(x+y)
e) 1
ÁLGEBRA
02
Es falso que en ningún caso se cumple que :
2
c)
Tercer Año Secundaria 01
2
a) 2 d) 5
2
x 3 b) 3 e) 6
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
x 3
c) 4
1
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 18.
Resolver
:
x
log8
x
co log8 log8
1 9 1 d) 3 a)
b) -
x
c)
log 2 x 6 log 6 x 0,5 Log x 2
1 3
Una de sus raíces es :
e) Absurdo
19.
01. CEPUNT 96 : III SUMAT. AREA “A” Al resolver la ecuación :
0,5
1 9
Tercer Año Secundaria 01
a) 4 d) 1
b) 3 e) 0
c) 2
Calcular el valor de :
E=
log2 3 . log6 3 + log3 2 . log6 2 -
log3 6 . log2 6
1 3
b) -
d) - 3
e) 0
a)
1 3
log log
R
a)
c) Log pqr x log
b)
10
2 2
d)
e)
log
log x
10 2
c)
1 2
2 d 7 b 12 d 17 d
1 Log pqr x
3
d)
1 e)
Log pqr x
3 e 8 b 13 e 18 a
3
El conjunto solución de la ecuación :
4 d 9 b 14 e 19 d
5 a 10 c 15 a 20 d
es : b) {-2 ; 2}
d) {-2 ; 4} e) {2 ; 4} 04. UNT - 96 : AREA “B”
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) 25 d) 10
b) 20 e) 5
08. UNT - 99 : AREA “A” El valor de x en la ecuación :
Log5 x Log x 5 2 ; es : a) 1 d) 25
b) 5 e) 125
c) 3 y 4 1 log 2 ( x 4) log
“x”
que
Log x x Log 1 0 2 x a) 10 0
b) - 10 0
d) - 10 1
e) 10 2
satisface
;
es :
la
a) 5 d) 8
e
d)
e
x
c) 7
( 1) 6
log 2
2
log 4
16 5
se obtiene : a) 19
b) 4
d) 71 / 2
e) 7
Lnx
x
c) 1
e) e x
2 Log x 15x 2
x 3
10. CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A”
07. UNT - 99 : AREA “A” La suma de las raíces de la ecuación :
S1RM31B
x3
Al efectuar : c) 101
b) 0
x e
b) 6 e) 9
Al simplificar la expresión : x e
2
es :
06. UNT - 99 : AREA “B”
a) -1
c) 5
09. CEPUNT 1999 - 2000 : AREA “A”
se obtiene: c) {2}
c) 15
El valor de “x” en la ecuación : b) 2 y 4 e) N.A
El valor de ecuación :
TAREA DOMICILIARIA S1RM31B
se
05. UNT - 97 : AREA “B”
anti log x 2 co log x 2 8 Log4 x a) {-2}
5
1) El valor de “N” es el doble del valor de “a” 2) El valor de “N” es igual que el valor de “a” 3) El valor de “N” es el cuadrado del valor de “a” 4) El valor de “N” es mayor que el valor de “a” 5) El valor de “N” es menor que el valor de “a”
b)
03. UNT - 96 : AREA “A” y “B” 2
CLAVES DE PROBLEMAS PROPUESTOS
1 e 6 a 11 e 16 e
a) Log pqr x
Loga10 N ;
expresión:
cumple la siguiente relación :
Log p x.Logq x.Log r x
Calcular :
la
a) 1 y 4 d) 5
La expresión :
Es equivalente a :
20. Sabiendo que : log x = 1 + log 2
En
Tercer Año Secundaria
Son ciertas :
02. UNT - 96 : AREA “A”
1 1 1 Log p x Logq x Log r x
c) 3
ÁLGEBRA
02
es :
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
c) 11
