2
Recuerda: La evolución de la Matemática Siglo XVI: a finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya la mayor parte de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto simbolismo, y la trigonometría se había convertido en una disciplina independiente. La época estaba ya casi madura para llevar a cabo ciertos avances que superaran las contribuciones tanto antiguas como medievales y renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a través de un considerable número de figuras intermedias como: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros. Siglo XVII: durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. Aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando así la organización de las instituciones y sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas. Sin embargo, se produjo un cambio muy importante en la concepción de las matemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudes constantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es cuando tienen comienzo todas o casi todas las disciplinas matemáticas: • • • • •
Geometría analítica. Métodos integrales. Métodos diferenciales. Análisis infinitesimal. Cálculo de probabilidades.
¡REFLEXIONA! • El hombre labra su felicidad de varios materiales incoherentes, para poder construir con ellos un edificio durable. • Cuando encontramos la felicidad en nosotros mismos, hacemos poco caso de la que puede venirnos de otra parte. • El entusiasmo y la paciencia son dos condiciones necesarias para avanzar en el camino de la fortuna. • El hombre generoso olvida los favores que hace y guarda en el corazón los que recibe.
¡ Razona... ! Colocar los números del 1 al 10 en cada uno de los círculos mostrados, de tal forma que la suma de los números en cada uno de los cinco lados sea la misma y la menor posible. ¿Cuál es esa suma? A) 16 B) 18 C) 19 D) 22 E) 25
44 CONGRUENCIA TRIÁNGULOS DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULO Es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.
Elementos:
Vértices: A, B y C Lados: AB, BC y AC Ángulos internos: q, a, b Ángulos externos: x, y, z
Notación: T ABC: se lee triángulo de vértices A, B y C
z
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema 1:
Teorema 2:
Suma de las medidas de los ángulos interiores.
B
q + a + b = 180°
A
α
C
A
θ
Teorema 3: B
x
α A
x =a +b
C
q + a + b = 360°
C
Teorema 4: B
Cálculo de un ángulo exterior.
β
Suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice)
B β
x
Suma de las medidas de dos ángulos exteriores distintos. x + y = 180° + q
y
θ
C
A
Teorema 5: Teorema de la correspondencia. a) B b
A
b
b)
Si: AB = BC
Si: BC 2 AB
Entonces:
Entonces:
a 2b
a=b C
Teorema 6:
Teorema 7: K: punto interior
Teorema de la existencia del triángulo
B c
B y
b - c 1 a1 b+ c
a
a+b+c 1 x y z 1 a b c + + + + 2
c
z
b$c A
b
C
A
a
K x
b
Donde: Perímetro = 2p = a + b + c C
45 TEOREMAS ADICIONALES 1. 2. x
b
x = a +b +q
a +b =x + y
a
y
3. 4. x
a +b =x + y
b=q
y
Ángulos determinados por dos bisectrices. 5. 6. x = a+b 2
x = b-a 2
7. x = a+b 2
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
De acuerdo a la medida de sus lados a) Equilátero
b) Isósceles B
B θ b
A
θ
θ b
b
q = 60°
b
C
θ A
c) Escaleno B β c
A
a
α
θ b
C
a !b
b !c
a !c
a !b
b !q
a !q
b !c
b
c
θ C
q 1 90°
46 De acuerdo a la medida de sus ángulos a) Triángulo rectángulo Donde: BC: hipotenusa
B β
AB, AC: catetos
a
c
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2
α A
b
Además:
C
a + b = 90°
b) Triángulo oblicuángulo
Acutángulo B
a 1 90°
c
b 1 90°
b
B
q 1 90°
2
2
a 1b +c C
α
A
Efectuar: Hallar x en cada caso.
2.
3.
4.
5.
6.
b 1 90°
q 1 90°
Teorema: a
c
1.
a 2 90° β
Teorema:
a
2
A
Obtusángulo
2
θ
b
2
2
a 2b +c C
a: longitud del mayor lado
47 1. Hallar x.
y x
140° A
40° B x
18°
62°
y
C
Resolución:
m + A = y ! por ángulos opuestos por el vértice
Por ángulos interiores:
m + B = 40° ! por ángulos suplementarios
x + 62° + 18 = 180°
Entonces:
x = 180° - 80°
x + y + 40° = 180°
x = 100°
x + y = 140° 5. Hallar B x.
2. Hallar q.
2x 112° 18°
A
Resolución: Por ángulo exterior: q = 18° + 112° q = 130° 3. Hallar x + y. 40°
2x
2x
C
2x
Resolución: Sea el triángulo ABC. Por definición de triángulo equilátero. B m+A=m+B=m+C 2x Entonces: 2x+ 2x+ 2x = 180° 6x = 180° 2x C A 2x 2x x2x= 30°
6. Calcular a + q + b.
x
28° y
2x
50°
Resolución: Por ángulo exterior tanto para x como para y: x = 28° + 40 ° = 68° y = x + 50° = 68° + 50° & y = 118° Nos piden: x + y = 118° + 68° x + y = 186°
Resolución: Sea el triángulo: α
y
4. Hallar x + y. 140°
y
x
Resolución: Completamos los ángulos interiores del triángulo. Sea el triángulo ABC:
θ
x
z
β
Por ángulos interiores: x + y + z = 180° Además: q + a + b + x + y + z = 3^360°h _ 1 44 2 44 3 q + x = 360°b 180° b q a b 180° = 1080° + + + + a + y = 360°` b q a + + b = 1080° - 180° b + z = 360° a q + a + b = 900°
48
7. Si a 1 q, ¿cuántos valores enteros toma a para que el triángulo exista?
7
10x 4 4x
a
9. Hallar x.
Resolución: Sea el triángulo ABC.
Resolución: De la figura: B
B
7
A
a
Por dato: a 1 q Entonces: AC 2 AB a 27
4
C
Además: por teorema de existencia del triángulo: AB 2 BC & 7 - 4 1 a 1 7 + 4 3 1 a 1 11
A
C
D ABC: isósceles & m+A = m+C = 4x Por lo tanto: 10x + 4x + 4x = 180° 18x = 180° x = 10°
10. Hallar a + b: 35°
Pero: a 2 7 ∴ a toma 3 valores: 8; 9 y 10.
8. Hallar x.
15°
22°
Resolución: 35°
22°
Resolución: De la figura:
T ABC: isósceles & m +A = m+ABD = 2x Por ángulo exterior: m+BDC = 4x También D DBC: isósceles & m+ C = 4x
15°
Por teorema: b = 35° + 22° + 15° b = 72°
Por ángulo suplementario: m+ACB = 180° - 72° m+ACB = 108° Por ángulo interior en el DABC 22° + a + 108° = 180° a = 50° Entonces: a + b = 72° + 50° a + b = 122° 11. Los ángulos interiores de un triángulo son tres números consecutivos, calcular la medida del mayor ángulo. Resolución:
Por lo tanto: 2x + 4x + 90° = 180° x = 15°
+ 1°
Por suma de ángulos interiores: a + a + 1° + a + 2° = 180° 3a = 177° a = 59° El mayor es: + 2° a + 2° = 59° + 2° = 61°
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar x.
2. Hallar x. x
64°
A) 16° D) 36°
B) 46° E) 18°
C) 26°
3. Hallar x.
A) 16° D) 15°
B) 24° E) 18°
C) 25°
B) 10° E) 30°
C) 20°
4. Hallar x.
x
x
80°
A) 80° D) 20°
35°
50°
x
B) 60° E) 30°
C) 10°
A) 15° D) 12°
30°
49
5. Hallar el máximo valor entero de AC. B
6. Los lados de un triángulo isósceles miden 9 m y 20 m. Calcular su perímetro.
8
5 A
C
A) 9 D) 14
B) 12 E) 13
C) 11
A) 38 m D) 49 m
B) 40 m E) 38 y 49 m
C) 48 m
8. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular x.
7. Calcular x + y.
B x 80°
C
A) 250° D) 260°
B) 240° E) 280°
C) 270°
C) 30°
2x 2x
80° - α
A) 40° D) 60°
B) 20° E) 15°
10. Hallar x.
9. Hallar x.
2x
A) 10° D) 40°
A
40° + α
B) 30° E) 38°
75°
C) 50°
A) 15° D) 21°
25°
B) 25° E) 18°
C) 20°
51 1. Hallar x.
6. Hallar x, si el T ABC es equilátero. B x 20° 4x + 10°
4x
x - 10° A
A) 40°
B) 20°
C) 30°
D) 50°
C
E) 60° A) 10°
2. Hallar a.
B) 30°
C) 15°
D) 20°
E) 25°
7. Calcular x, si AB = BC. B 4x
α
α + 6° A) 40°
B) 48°
C) 42°
D) 41°
20°
E) 43°
C
A
3. Calcular x.
A) 10°
B) 15°
C) 5°
D) 18°
E) 13°
8. Calcular q.
2x + 40°
A) 18°
B) 15°
43°
70°
C) 20°
D) 25°
35° 32°
E) 30°
4. Hallar a.
θ
A) 118° D) 120°
B) 125° E) 110°
C) 130°
9. Hallar x. B
45°
2α
4x +
35°
A) 10°
B) 15°
C) 18°
D) 20°
x+
E) 40°
70
70° C
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
10. Hallar a, e indicar qué tipo de triángulo es:
3θ 110° 50°
B) 25°
70°
A
5. Calcular q.
A) 15°
10
C) 18°
D) 5°
E) 10°
A) Acutángulo B) Equilátero C) Isósceles D) Rectángulo E) Obtusángulo A
B a
68°
22°
C
52
11. Hallar q, e indicar qué tipo de triángulo es:
16. Hallar x. 80°
2θ
20°
80°
A) Isósceles C) Rectángulo E) Escaleno
x
40° α
B) Equilátero D) Obtusángulo
A) 20°
B) 50°
40°
C) 70°
α
D) 60°
E) 58°
17. Hallar el máximo valor entero de x.
12. Hallar a.
x
4α
70°
A) 10°
10
8
α + 20°
B) 20°
C) 30°
D) 40°
E) 50°
A) 18 D) 17
B) 16 E) 15
18. Hallar el mínimo valor entero de x.
13. Hallar x.
x
4
4x + 5°
A) 45°
B) 30°
C) 60°
D) 10°
10
E) 15°
14. Hallar x.
A) 5 D) 8
B) 7 E) 9
C) 3
19. Calcular la suma de todos los valores enteros de x que hacen que el triángulo exista.
5
2x - 6
4x - 20
50°
50°
A) 7
C) 14
B) 5
C) 6
D) 8
x
7
E) 9
15. Hallar x.
A) 65 D) 63
B) 67 E) 81
C) 64
20. Hallar x. 40°
2x a
a θ
A) 30° D) 35°
2x 20°
B) 25° E) 28°
20° θ
4x
C) 31°
A) 20° D) 18°
B) 24° E) 16°
C) 15°
21. Hallar q.
53
26. Calcular q. 7θ 2θ
4θ
4θ
A) 20°
B) 21°
C) 26°
D) 18°
9θ
E) 15° A) 10°
22. Hallar x.
B) 12°
C) 18°
D) 15°
E) 20°
27. Hallar x. 100° a
a 3x + 16°
A) 6°
B) 8°
C) 12°
D) 10°
E) 11°
23. Calcular a.
8x + 40°
3x - 10°
A) 5°
B) 8°
C) °10
D) 12°
E) 10°
28. Hallar a. 20° 50°
5
5 8α + 4°
5
A) 8°
B) 9°
α
C) 10°
D) 12°
E) 7° A) 20°
24. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que toma a, para que el triángulo exista.
B) 15°
C) 30°
D) 32°
E) 36°
29. Si el T ABC es equilátero, hallar a + b + q. B
a
5
2α + 20° 8
A) 16 D) 18
B) 15 E) 17
A
C) 14
i + 10° 2
β - 30°
A) 250° B) 210° C) 205° D) 220° E) 190°
25. Calcular (x + y).
30. Calcular el perímetro del triángulo. 60°
y
3x - 7 60° x
A) 305° D) 250°
C
B) 310° E) 270°
60° 13 + x
C) 290°
A) 72 D) 68
B) 70 E) 69
C) 74
54 LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Ceviana
Altura
Es el segmento que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
Es el segmento que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación.
B
P
A
Q
C
T acutángulo
BP y BQ son cevianas del triángulo ABC. Mediana Es el segmento que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto.
T rectángulo
BM es mediana relativa al lado AC. AM = MC
T obtusángulo BH es la altura relativa al lado AC.
Importante: El punto de intersección de las medianas de un triángulo se denomina baricentro, y forma en cada mediana segmentos proporcionales de 2 a 1.
Mediatriz Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento formando un ángulo de 90°. 1
A
M
L1 : mediatriz de AB. AM = MB
B
G: baricentro o gravicentro L3
B
AG = 2GN
L3 : es mediatriz de AC.
BG = 2GM CG = 2GP
AM = MC A
M
C
55 Bisectriz
Bisectriz interior
Bisectriz exterior
Es el segmento que divide un ángulo interior en dos partes iguales.
Es el rayo que divide a un ángulo exterior en dos partes iguales. B
B
P
α α θ
A
A
C
D
C
θ Q
CP: bisectriz del ángulo exterior BCQ.
BD: bisectriz del ángulo ABC.
Propiedades adicionales 1. B
A
I x
α
θ
C
E: excentro
3. B
E
x
n
n 2
θ
I: incentro
x = 90° -
n x = 90° + 2
n
α
2.
4. Si BD es bisectriz / a 2 q.
x=n 2 x = a-q 2
A
C
α
E: excentro
θ
5. n m
x=
Observación
L es mediatriz del lado AC / b 2 q
+ 2
B
x= A
C
b-q 2
56 1. Hallar a, si BQ es bisectriz. B
Otra forma: Como BM es bisectriz, entonces por propiedad:
a = 60° - 40° = 10° 2
α
70°
A
30° C
Q
4. Hallar x.
Resolución: De la figura: α α
A 70°
x
Se sabe: 70° + 30° + 2a = 180° 2a = 180° - 100° 2a = 80° 30° C a = 40°
B
Q
70°
Resolución:
B
2. Hallar b si BM es mediana. B α 4
A
6 α
A
M
b
4
Como BM es mediana, entonces: AM = MC = b = 4
6 α
M
C
b
B α A
60°
H
M
40°
C
Resolución:
H
70° C
Resolución: y es un ángulo formado por 2 bisectrices, entonces, por propiedad: y = 90° & y = 45° 2 Por ángulos suplementarios: y + x = 180° 45° + x = 180° & x = 135°
6. Hallar el valor de n si G es el baricentro del DABC. B
B α 60° 80° H M
M
5. Hallar el valor de x.
3. Hallar a, si BM es bisectriz.
A
70°
El T BAM es isósceles: & AB = AM = 4
B α
4
20°
C
Resolución: De la figura:
A
Q
x
BQ y BH son alturas del triángulo ABC y M es el cruce de las alturas. En el AQC: m+QAC = 20° En el AHM: m+AMH = 70° Por ángulos suplementarios: x + 70° = 180° & x = 110°
40°
C
En el T ABC: 60° + 40° + m+ABC = 180° m +ABC = 80° Pero BM es bisectriz, entonces: m +MBC = 40° & m+ AMB = 80° Por tanto, en el T HBM: a + 80° = 90° a = 10°
n A
G
4
M C
Resolución: Por teoría, el baricentro es el cruce de las medianas y forma segmentos proporcionales, entonces: AG = 2 GM & AG = 2(4) & AG = 8 = n
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar b si BH es altura.
2. Hallar a si BF es bisectriz.
B
B α
50°
β
A
H
A) 30° D) 25°
A
50°
C
B) 40° E) 50°
C) 20°
3. Hallar x.
40°
F
A) 40° D) 35°
B) 25° E) 45°
r F
x
A) 30° D) 25°
C) 50°
4. Hallar r si AF es mediana. B
C
55°
A
B) 45° E) 40°
C) 55°
A) 2 D) 3,5
7
C
B) 4 E) 5
C) 3
57
5. Hallar x.
6. Hallar x en la figura.
80°
60°
α α
θ
θ
x
x
A) 50° D) 40°
B) 20° E) 30°
A) 100° D) 80°
C) 60°
B
70°
α
A
θ
M 3α
β
A) 26° D) 24°
C) 120°
8. Hallar x.
7. Hallar a en la figura.
θ
B) 100° E) 70°
β
β
x α
β
α
C
B) 36° E) 30°
C) 33°
A) 20° D) 35°
B) 30° E) 40°
C) 40°
10. Hallar a si G es baricentro.
9. Hallar x. 50°
α α
A) 65° D) 90°
x β
β M
B) 105° E) 125°
C) 100°
A) 1 D) 5
B) 2 E) 3
C) 4
59 6. Hallar x, si BM es mediana.
1. Hallar x, si BM es bisectriz.
A) 10°
B) 15°
C) 25°
D) 22°
E) 20°
A) 8
B) 9
C) 5
D) 7
7. Hallar a, si TM es bisectriz.
2. Hallar x. 80°
α
α
x
α
θ
θ
V
A) 120° B) 118° C) 130° D) 115° E) 105° 3. Hallar el suplemento de a.
A) 32°
70°
M
B) 35°
C) 36°
γ
α
γ
B) 36 ° C) 45°
θ
θ
D) 28°
E) 40°
E) 55°
A) 42°
x
B) 48°
C) 40°
D) 58°
E) 56°
B) 89°
C) 120° D) 100° E) 90°
9. Hallar x. 60º
β
α
β
B) 15°
x
C) 35°
α
D) 30°
E) 45°
θ θ
80°
n
B) 30°
C) 50°
50 °
θ
m
n
A) 72° 10. Hallar a.
5. Hallar el complemento de q.
A) 60°
D) 38°
S
θ θ
64°
4. Hallar x.
A) 20°
40°
8. Hallar x. α α
A) 30°
E) 6
m
D) 40°
x
α
E) 56°
A) 82° D) 80°
B) 90° E) 70°
x
C) 50°
60
11. Hallar x.
16. Hallar x. 70°
x
αα
A) 90°
70°
θ θ
130°
B) 110° C) 100° D) 105° E) 115°
12. Hallar x.
80°
B) 56°
b b
C) 59°
D) 38°
E) 65° A) 8
13. Hallar x.
C) 4
D) 5
E) 6
B
β β
a
50°
a θ θ
α
5x
x
B) 40°
B) 3
18. Hallar x, si BM es bisectriz.
20°
A) 25°
C) 130°
50°
q q
α
B) 120° E) 100°
17. Hallar x, si G es baricentro.
x
A) 72°
A) 105° D) 110°
C) 30°
D) 15°
E) 19°
14. Hallar x.
A) 5°
3x
M
B) 15°
C) 20°
D) 25°
E) 10°
19. Hallar x.
64 °
3x
2x -10° x
θ
β
θ
A) 58° D) 60°
β
B) 48° E) 66°
θ
θ
C) 46°
A) 10°
B) 15°
C) 20°
B
A) 20° D) 15°
M
B) 25° E) 36°
E) 23°
α
x + 10°
70°
D) 18°
α
20. Hallar a.
15. Hallar x, si BM es bisectriz.
C
α
40°
θ
A
C) 35°
A) 32°
B) 30°
θ
3α
C) 36°
β
β
D) 28°
E) 33°
21. Hallar x.
61
26. Hallar y. y
3x
30°
50° α
A) 30°
4x
α
B) 60°
C) 28°
θ θ
D) 29°
g g
q q
E) 36° A) 35°
22. Hallar x.
B) 40°
C) 70°
D) 80°
E) 10°
27. Hallar x. 60°
20°
A) 120° B) 110° C) 100° D) 130° E) 90° 23. Hallar x (G es baricentro).
30°
x
A) 120° B) 105° C) 110° D) 118° E) 113° 28. Hallar x.
M
A) 8
B) 9
C) 15
D) 13
E) 12 A) 78°
24. Hallar x.
B) 84°
C) 86°
D) 88°
E) 79°
29. Hallar el complemento de x. x
α
A) 40° D) 48°
B) 35° E) 60°
β 58°
C) 50° A) 24°
25. Hallar x.
α
B) 32°
C) 28°
β
D) 35°
E) 26°
30. Hallar x. 60º
38° x
60°
x α α
θ θ
A) 80° D) 70°
B) 60° E) 65°
C) 50°
a a
A) 16° D) 32°
q
B) 18° E) 42°
q
C) 28°
62 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Triángulo Rectángulo Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior que mide 90°, por lo tanto, los otros dos ángulos interiores suman 90°.
Elementos • AC y BC: catetos • AC = b • BC = a • Hipotenusa: AB = c • Ángulos agudos: a y b
a + b = 90°
son complementarios.
Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
2
2
2
a + b = c
Triángulos rectángulos pitagóricos: son los que tienen sus lados enteros.
3
5
5
4
8
17
15
13
7
12
9
41
40
25
24
20
29
21
triángulos rectángulos notables Se denomina así a ciertos triángulos rectángulos en los cuales conociendo la medida de sus ángulos interiores, se tendrá una relación entre la longitud de sus lados y viceversa. Los más importantes son:
63 I. Demostración:
30° a
2a
3
a
Considerando un triángulo equilátero cuyo lado mide 2a, se traza la altura BH que también es mediana y bisectriz, entonces por Pitágoras:
60 °
2
2
h + a = (2a)
2
h=a 3 II.
Demostración:
45° a 2
a
Considerando un cuadrado cuyo lado mide a, se traza la diagonal formándose ángulos de 45°, entonces por Pitágoras:
45°
a
2
2
2
a +a =d d=a 2
III. De este triángulo rectángulo anterior se puede deducir:
Demostración: 2a = 53°
4a
3a 53 °
37°
5a
a = 53° 2
a 5
a
2a
53°/2
2q = 37° q = 37° 2
a 10
a
3a
37°/2
Propiedad Solo para el triángulo rectángulo de 75° y 15°.
Nota
B
h = AC 4
h A
75°
H
15°
C
5a
2
64 Efectuar: Hallar x en cada caso. Grupo I
Grupo II
1.
1. 60°
x
6
100
x
30°
8 2.
2.
60°
x
2
80
30° x
3 3.
3.
10 2
7 5
x
14
4.
4. 5 2
6
x
45° x
2 10 5.
5.
53°
x
x
37°
2 2
16
6.
6.
4 2
4x
4x
65 1. Hallar x.
Resolución: Sabemos que:
60°
2k
k
a
a
30°
Resolución: Por el teorema de Pitágoras: 1252 = x2 + 442 2 125 - 442 = x2 (125 + 44) (125 - 44) = x2 (169)(81) = x2 13 . 9 = x 117 = x
Entonces, en el
45°
LGF:
6=a 2 a= 3 En el
LVG:
2k = 3 k= 3 2 & VG = 3 2
2. Hallar x. x+2
5
a
k 3
2
x+3
5. Hallar x.
Resolución: Por el teorema de Pitágoras: 52 + (x + 2)2 = (x + 3)2 25 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 20 = 2x 10 = x Resolución: En el LAF(30°; 60°): FA = 8 En el RAF(37°; 53°):
3. Hallar x. 4
x
2
8 = 3k 8 k = 3
30°
Resolución: Del triángulo rectángulo notable de 30° y 60° sabemos que el cateto opuesto a 30° es siempre la mitad de la hipotenusa. &x= 4 2 =2 2 2 4. Calcular VG si LF = L
6.
& x = 4k = 4. 8 = 32 3 3 6. En un triángulo ABC las medidas de los ángulos A y C son 45° y 37°, respectivamente. Hallar AC si BC = 15.
Resolución:
Graficamos, luego trazamos la altura BH: B
6 45°
F
45°
9
V
60°
G
A
45°
9
H
15 37° 12
C
66
9. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, cuya razón es 5. Calcular la longitud de la hipotenusa.
En el BHC(37°; 53°): 5k = 15 & k = 3 Entonces: HC = 4k = 4(3) = 12 BH = 3k = 3(3) = 9 En el AHB(45°; 45°): Si BH = 9 & AH = 9 Por lo tanto: AC = 21 7.
En un triángulo rectángulo sus catetos miden: 2x + 1 y 6x, y la hipotenusa 5x + 3. Hallar el perímetro. Resolución:
2x 1
6x
5x + 3
Resolución: Como son tres lados; entonces: x; x + 5; x + 10
Por Pitágoras:
x2 + (x + 5)2 = (x + 10)2 x2 + x2 + 10x + 25 = x2 + 20x + 100 x2 - 10x - 75 = 0 x -15 & x = 15 5 x
Por lo tanto la hipotenusa (lado mayor) es: x + 10 = 15 + 10 = 25
10. En la figura calcular AD si BC = 8.
Por el teorema de Pitágoras:
A
(2x + 1)2 + (6x)2 = (5x + 3)2 4x2 + 4x + 1 + 36x2 = 25x2 + 30x + 9 0 = 15x2 - 26x - 8 0 = (15x + 4)(x - 2) ∴x=2
B
C
Perímetro = 2x + 1 + 6x + 5x + 3 Perímetro = 2(2) + 1 + 6(2) + 5(2) + 3 Perímetro = 30
30°
D
Resolución: A
30°
B
P
8. Hallar x en la figura.
8 C
53° 18
x
Resolución: Sea la figura:
18
En el AHB (53° y 37°): Si: AH = 3 # 6 = 18 & BH = 4 # 6 = 24 En el BHC (37° y 53°): Si: BH = 24 = 3 # 8 & HC = 4 # 8 = 32
∴ x = 32
60° 30°
D
Del grafico: AP // CD Por ángulos alternos internos si: m+A = 30° En el
APD, como: BC = 8 & PD = 8
En el
APD(30° y 60°):
Si: PD = 8 & AD = 16
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
67
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar x.
14
2. Hallar RS si la relación de perímetros entre los triángulos PQR y RST es de 1 a 2 . 4 5
x
30°
P
45°
30°
Q
A) 8 2 D) 7
B) 6 2 E) 7 2
C) 7 3
3. Calcular x en la figura mostrada.
R
60°
A) 4 D) 7
S
B) 6 E) 3
C) 5
4. Si AD = 12, calcular BC.
12 53°
B
x
A) 24 D) 27
T
45°
A
B) 25 E) 26
C) 28
30°
135° D
A) 5^ 3 + 1h D) 3^ 3 + 1h
C
B) 4^ 3 + 1h E) 6^ 3 + 1h
C) ^ 3 + 1h
6. Hallar AD si AB = 4.
5. Calcular: x - y
y
x 37°
25
A) 4 D) 5
B) 3 E) 6
C) 1
A) 5 2 D) 3
7. Hallar x.
A
8
D
A) 5 D) 3
B) 7 E) 2
m
a
A) 126° D) 124°
x
y
B) 127° E) 129°
m
B
M
A) 56° D) 37°
C) 10
C
B) 53° E) 60°
C) 55°
10. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados están en progresión aritmética de razón 4.
9. Calcular: x + y + z.
3a
C) 8 2
8. Hallar la medida del + AMB, si ABCD es un cuadrado. 2x
6
B) 4 2 E) 6 2
z n 2n
C) 125°
A) 21 D) 19
B) 16 E) 20
C) 18
69 1. Hallar x.
6. Hallar x. 45° x
8
x
30°
A) 4 3 D) 8
B) 4 2 E) 4
C) 4 5
A) 4 2 D) 2
2
B) 4 E) 6
C) 2 2
7. Hallar x.
2. Hallar x. 40
2x
4
2
A) 8 D) 15
30°
A) 2 D) 3
30°
x
B) 4 E) 3 2
C) 2 2
B) 20 E) 10
C) 5
8. Hallar x. 60°
3. Hallar x.
12 3 x
A) 3 3 D) 6 3
x
30°
B) 6 E) 3/2
C) 4 3
4. Hallar x.
A) 6 2 D) 6 3
B) 6 E) 9
C) 8
9. Hallar x. 60° x
8
x
A) 4 2 D) 6
5
45°
C) 8 2
B) 4 E) 8
A) 5 D) 5 3
B) 5 2 E) 10 3
C) 10
10. Hallar x.
5. Hallar x. x x
2
2 60°
45°
A) 2 D) 4 2
B) 4 E) 1
2 3 C) 2 2
A) 6 D) 3
B) 3 2 E) 4
C) 3 3
70
11. Hallar x.
16. Hallar x.
60°
x 4 45° 20
A) 20 D) 10 3
2
x 3
B) 10 E) 15
C) 10 2
12. Hallar x.
A) 2 D) 5
B) 2 3 E) 4
C) 4 3
17. Hallar x. 45° 2x
2 3
2x - 6 60°
4
A) 2 D) 6
B) 8 2 E) 2 2
C) 6 2
13. Hallar x.
A) 5 D) 10
B) 6 E) 4
18. Hallar x. 60° x
45°
7
30°
A) 7 D) 14
2 B) 7 3 E) 14 2
C) 7 2
14. Hallar x.
2
45°
x A) 2 2 D) 4
B) 3 E) 6
C) 2
19. Hallar x. 45°
x
3
60° 60°
A) 2 D) 10
C) 8
B) 6 E) 4
x
8
C) 8 A) 4 2 D) 8
15. Hallar x.
B) 6 2 E) 10
C) 8 2
20. Hallar x. 12
20 30° 30°
2x + 8
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
2x + 16
C) 8
A) 10 D) 14
B) 18 E) 12
C) 16
21. Hallar x.
71
26. Hallar x. 6 6
A) 6 D) 6 2
x
B) 12 E) 18
24
4x
6
2
4x
6
C) 8 2
22. Hallar x.
A) 3 D) 4
B) 2 E) 6
C) 1
27. Hallar x.
8 6
x
32
8x
30°
A) 4 3 D) 16
3 30°
B) 8 3 E) 4 6
C) 8 2
A) 4 D) 12
B) 3 E) 2
C) 6
28. Hallar x.
23. Hallar AB. B
60° x
A
10
A) 8 D) 10
8 3
C
2
B) 20 E) 8 3
C) 13
A) 6 D) 4
B) 12 E) 8
C) 4
29. Hallar x.
24. Hallar x.
13
60° 8x
12
A) 6 D) 2
60°
B) 8 E) 1
C) 3
A) 13 D) 15
x+9
B) 17 E) 18
C) 14
30. Hallar x.
25. Hallar x. 2α (x - 1)
6
2
12
x+2 α
6
A) 8 D) 5
B) 7 E) 4
C) 9
A) 3 D) 1
B) 5 E) 4
C) 2
72 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos serán congruentes cuando tienen todos sus elementos (ángulos, lados, medianas, etc.) de igual medida. Para demostrar que dos triángulos son congruentes se debe cumplir cualquiera de los siguientes casos: Caso I (ALA) Dos triángulos serán congruentes cuando tienen un ángulo, un lado y un ángulo respectivamente de igual medida.
, Caso II (LAL) Dos triángulos serán congruentes cuando tienen un lado, un ángulo y un lado respectivamente de igual medida.
, CASO III (LLL) Dos triángulos serán congruentes cuando tienen sus tres lados respectivamente de igual medida.
, Propiedades importantes
1. Propiedad de la bisectriz Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo; además, se forma en cada lado segmentos de igual medida.
Si OL es bisectriz del ángulo AOB, entonces: PQ = PR OQ = OR
73 2. Propiedad de la mediatriz Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento formándose un triángulo isósceles. P
L
Si L es mediatriz de AB, entonces: AP = BP A
TAPB: isósceles
M
B
3. Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa formándose dos triángulos isósceles.
Si BM es mediana, entonces:
BM = AC 2 TBMC, TAMB; son isósceles.
4. Teorema de los puntos medios Si por el punto medio de un lado de un triángulo trazamos una paralela a un segundo lado, dicha paralela cortará al tercer lado en su punto medio, además, el segmento que se determina es la mitad del lado al cual es paralelo. Si L1 // AC / AM = BM, entonces:
& BN = NC
L1
MN = AC 2 MN: base media
5. Propiedad del triángulo isósceles Si trazamos la altura en la base de un triángulo isósceles, dicha altura será también mediana, bisectriz y mediatriz.
Si AB = BC, entonces:
BH )
altura, mediana, bisectriz y mediatriz
74 1. Hallar x.
Piden x = UR B
E
HUB ,
BRE (ALA)
HU = BR / RE = UB 3x A
x+8 C
D
F
9 = BR 3 = UB Entonces: UR = 9 + 3 = 12
4. Calcular AB.
Resolución: DABC , DDEF (LAL) Entonces: BC = EF Por lo tanto: 3x = x + 8 x=4
8
A
D
8
C
M
Resolución: A P n R n Q n S
B
E
4
A
D
2n
C
M
D
A
C
x
Resolución:
3. Calcular UR si HB = BE, HU = 9 y ER = 3. H
4
B
4
Si trazamos PQ paralela a AM, entonces PQ = 2 = n (teorema de los puntos medios). En el RPS, por propiedad de la mediana: PQ = RQ = QS = 2 = n Del dato CR = RS = SM = 2n = 4 ∴ CM = 12
TABD , TCBD ^LALh & m+BAD = m+BCD 46° = m+BCD & x = 180° - 46° x = 134°
6. Hallar x, si CE = 3 y AE = 9. E
B
Resolución:
Se deduce: m + BAC = 180° - (q + a) m + ADE = 180° - (q + a) Entonces el DBAC Ü DEDA(ALA) AC = AD = 2x - 4 = 12 x=8
R
Resolución: H θ 9
α α
U
3
θ B
C
TADE , TCBD ^LALh & DC = AE = 4 ` AB = 12
5. Hallar x.
46°
U
4
Resolución: A
2n
E
2. Del gráfico calcular CM.
C
B
x
9
E 3 R
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar x. A
x2 + 1
2. Hallar x. D
17
3x + 5
B
E
A) 5 D) 4
17
C
B) 2 E) 6
C) 3
3. Calcular x.
A) 5 D) 2
C) 3
4. Hallar x.
θ θ
A) 30° D) 2q - a
B) 4 E) 6
B) 40° E) 45°
C) q - a
A) 6 D) 7
14 x+8
B) 8 E) 20
C) 10
75
5. Calcular CD si AB = AE, BC = 12 y DE = 7.
6. Hallar x si BM es mediana. B x E
M
F
45
A) 10 D) 6
B) 5 E) 12
A) 23 D) 20
C) 19
7. Calcular el perímetro del cuadrado ABCD si PH = 7 y BH = 3.
B) 22 E) 24
C) 22,5
B) 25 16 16 E) 20
C) 16 25
B) 17° E) 15°
C) 15,33°
8. Hallar: (x + 1)2
C
D
B
H
A) 20 D) 28
A
P
B) 12 E) 16
A) 1 4 D) 1 8
C) 24
9. Si PM es mediatriz de AC y PC = 8, hallar AB.
10. Hallar x.
A) 16 D) 5
B) 7 E) 24
C) 8
A) 16° D) 15,37°
77 1. Hallar x.
6. Hallar x. x+3
A) 10
B) 12
C) 8
12
D) 7
E) 9 A) 24°
2. Hallar a.
B) 36°
C) 42°
D) 44°
E) 46°
B) 26°
C) 29°
D) 27°
E) 31°
7. Hallar x.
60° +
A) 48°
B) 64°
C) 52°
D) 64°
E) 63°
3. Hallar x.
A) 28° 8. Hallar x.
16
2x + 6 β
A) 20°
B) 40°
C) 34°
D) 18°
β
E) 30° A) 4
4. Hallar x.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B) 7
C) 10
D) 6
E) 8
B) 45
C) 60
D) 30
E) 25
9. Hallar x.
A) 8
B) 16
C) 4
D) 2
E) 7
5. Hallar a.
A) 70°
A) 9 10. Hallar x.
B) 60°
C) 40°
D) 50°
E) 62°
A) 50
78
11. Hallar x (RM es mediana).
A) 8
B) 7
C) 6
17. Hallar x.
D) 5
E) 9
12. Hallar x.
A) 10°
A) 1
B) 2,5
C) 1,5
D) 1,05 E) 2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
B) 12°
C) 15°
D) 20°
E) 10°
B) 4
C) 5
D) 2,5
E) 4,5
B) 30
C) 28
D) 32
E) 36
B) 9
C) 7
D) 10
E) 6
18. Hallar a.
B) 15°
C) 20°
D) 30°
E) 25°
13. Hallar x (PR // SV).
A) 6 19. Hallar x.
A) 12
B) 15
C) 13
D) 16
E) 17
14. Hallar x.
A) 8° 20. Hallar x.
A) 40°
B) 30°
C) 50°
D) 60°
E) 20°
15. Hallar x.
A) 3
21. Hallar a + b, en:
A) 8
B) 7
C) 17
D) 5
E) 18
16. Hallar x. A) 20 22. Hallar y.
120°
A) 20°
B) 10°
C) 30°
D) 15°
E) 18°
A) 8
