1
Recuerda: Johann Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quienes lo consideran uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Su padre era un obrero en Brunswick, obstinado en sus puntos de vista, que intentó evitar que su hijo recibiera una educación adecuada; pero en cambio su madre, que tampoco había recibido ningún tipo de educación, animó siempre a su hijo en sus estudios. De niño, Gauss asistió a la escuela local, dirigida por un maestro de costumbres rutinarias. El 30 de marzo de 1796 se decidió por fin por la matemática, porque ese mismo día, cuando le faltaba aún un mes para cumplir los diecinueve años, hizo un brillante descubrimiento. Desde hace más de 2000 años, se sabía cómo construir con regla y compás el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular (así como algunos otros polígonos regulares cuyos números de lados son múltiplos de dos, de tres o de cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados. Ese día en cuestión, Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que solo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás. Hizo una labor importante en la teoría de números. También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano. En 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y solamente una forma. Fuera del dominio de las matemáticas puras, Gauss ganó gran fama por su labor sobre el planetoide Ceres, del que calculó su órbita, siendo nombrado director del observatorio de Gotinga, en 1807. Durante su estancia en el observatorio, construyó un heliotropo, instrumento que reflejaba la luz solar a grandes distancias; con él los rayos de luz solar se podían emplear como líneas rectas que marcaban la superficie terrestre, pudiéndose obtener así determinaciones trigonométricas más precisas de la forma del planeta.
• Nuestra verdadera grandeza es la virtud; hasta la muerte, que lo destruye todo, la conserva y la corona. • La naturaleza nos ha dado una lengua y dos oídos para que hablemos poco y oigamos mucho. • Nada hay en el mundo más fuerte ni más frágil que la honra. • La ignorancia es la noche del espíritu, noche que carece de luna y de estrellas.
¡ Razona... ! ¿Cuál es la suma de los puntos que no se ven en la torre de dados?
A) 59 B) 51 C) 49 D) 36 E) 40
10 CONGRUENCIA LÍNEAS Y SEGMENTOS DE TRIÁNGULOS Línea recta Es una sucesión ilimitada de puntos, los cuales siguen una misma dirección. A
Notación: AB
B
Se lee: recta AB.
Notación: L1
L1
Se lee: recta L1.
Observaciones: – Rectas secantes: son aquellas que tienen un solo punto común.
– Rectas paralelas: son aquellas que son coplanares y nunca se cortan. L1 L2
L1 // L 2 Rayo Es una porción de recta limitada en un extremo e ilimitada en el otro.
O
Notación: OA
A
Se lee: rayo OA.
Segmento de recta Es la porción de recta comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les llama extremos.
A
B
Notación: AB Se lee: segmento de recta AB.
11 Nota 1. M punto medio de AB : a
a
A
M
B
AM = MB = a 2. Suma de segmentos: a A
b B
C x
x =a +b 3. Resta de segmentos: x A
a B
C b
x =b -a 4. Distancia de un punto a un segmento: d: distancia del punto P hacia el segmento AB. P d A
Línea quebrada o poligonal
Línea mixta
B
Línea curva
12 1.
Si B y C son puntos medios de AC y AD respectivamente; además, BC mide 7; calcular AD.
4. En una recta se toman los puntos consecutivos L, F, V y A, tal que F es punto medio de LA.
Resolución:
7
A
B
Hallar:
C
D
• Como B es punto medio de AC, entonces:
R = 13 # FV LV - VA
Resolución: • Sea el gráfico:
AB = 7 & AC = 14 • Análogamente, C es punto medio de AD, entonces: AC = CD & 14 = CD
L
F m
• Por lo tanto:
2. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, los cuales cumplen la siguiente relación: 3PQ = 2QR = 5RS = 180. Hallar PS.
A
P
Q
R
5. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que M es punto medio
Calcular
Resolución: • Sea el gráfico:
2QR = 180 5RS = 180 QR = 90 RS = 36
A
PQ + QR + RS = PS 60 + 90 + 30 = PS & PS = 180
y
x B
C
y D
• Del dato: x + x + y + y = 100 2(x + y) = 100 x + y = 50 • Según el gráfico: BD = x + y & BD = 50
m
a+b 4 = b-a 3 3a + 3b = 4b - 4a
7a = b
a 1 = b 7
• Nos piden:
D
a+b 4 = (m - a) - (m - b) 3
E
m-b M C
AB + CD 4 = BM - MC 3
Resolución: • Sea el gráfico:
m-a
B
m
3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, B es punto medio de AC, y D de CE. Hallar BD, si AE mide 100.
x
R = AB , si AB + CD = 4 . BM - MC 3 CD
• Del gráfico observamos:
13y 13y = = 6, 5 (m + y) - (m - y) 2y
S
• De la relación tenemos: 3PQ = 180 PQ = 60
R=
de AD (M está entre B y C).
Resolución: • Sean los puntos consecutivos:
A
m
AD = 14 + 14 = 28
V
R = AB = a & R = 1 CD b 7
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C,
2. De la figura calcular x.
D y E; B es punto medio de AC y D es punto medio
5x - 2
de BE. Hallar DE, si AC + 2CE = 36.
A
A) 12 D) 14
B) 10 E) 9
C) 8
3. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar BC, si AB = 2, CD = 3 y 1 1 2 . + = AB AD AC
A) 3 D) 4
B) 2 E) 5
C) 1
B
C
10
6x - 27
A) 12 D) 15
B) 16 E) 17
C) 18
4. En la figura mostrada AB = 4 y AC = 14. Calcular la distancia de A al punto medio de BC. A
A) 10 D) 6
B
C
B) 8 E) 7
C) 9
13
5.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que: AC + BD + CE + DF = 42 y BE 5 . Calcular BE. = AF 9
A) 15 D) 13
B) 14 E) 17
6. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C, tal que 7AB = 8BC y AC = 60. Calcular BC.
A) 27 D) 26
C) 16
7. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de modo que B es punto medio de AC, C es punto medio de AD y D es punto medio de AE. Calcular AE, si CE – AC = 16.
A) 31 D) 30
B) 33 E) 32
C) 28
8. En una recta se ubican los puntos consecutivos M, N y P. Si MP + MN = 26, siendo R punto medio de NP; calcular MR.
A) 13 D) 11
C) 34
9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, P, C y D. Si 2AB = CD, BP = PC y AP = 12; calcular BD.
B) 25 E) 35
B) 15 E) 14
C) 12
10. Según la figura calcular AC. 2x + 17 3x - 1 A
B
C
D
x 4x + 2
A) 20 D) 25
B) 22 E) 26
C) 24
A) 15 D) 11
B) 12 E) 13
C) 14
15 1. Hallar x.
7. Calcular PR. 2
3
P
x U 17
I
A) 8 D) 6
x
2
R
A
B) 4 E) 5
P
C) 7
2. Hallar x.
M
Q 8
A) 10 D) 14
R
S 3
B) 12 E) 6
C) 9
8. Hallar x. x A
18 B
M
C 24
A) 6 D) 10
B) 7 E) 4
C) 5
A) 10
12
A
18 C
B
M x
a
2a + 1 13
A
5 C
T
D
21
B) 3 E) 5
C) 2
4 B
A) 16 D) 15
16 C
D
B) 14 E) 18
C) 20
8
P
A
A) 21
C 17
B) 2 E) 2,5
C) 3
6. Calcular x. x M
R U
B 60
B) 15 E) 20
N
B) 20
C) 18
D) 24
E) 23
12. Dados los puntos consecutivos A, B, C, y D; calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. Si AB = 8; BC = 12 y CD = 24. A) 24
A
E
6
3x B
A) 1 D) 4
D
C) 5
20 (2x - 3)
a
11. Calcular MN, donde M y N son puntos medios de PE y RU, respectivamente.
5. Hallar x.
A) 16 D) 30
C
10. Calcular MN, donde M y N son puntos medios de AB y CD, respectivamente.
12
A) 9 D) 1
B
B) 6 E) 9
12
B
E) 11
C) 7
4. Calcular CD.
A
a
A) 8 D) 10
B) 4 E) 8
14
D) 13
D
38
A) 6 D) 5
C) 9
9. Calcular x.
3. Calcular AB.
A
B) 12
B) 28
C) 23
D) 25
E) 26
13. Dados los puntos consecutivos A, B y C; calcular la longitud del segmento que une los puntos medios
C
de AB y BC. Si AC = 28 y AB = 18. C) 25
A) 12
B) 16
C) 15
D) 18
E) 14
16
20. Hallar (a + b).
14. Calcular BD. A
B
8
D
20
a A
13
A) 24 D) 23
C) 22
15. Calcular AB + CD.
A) 5 D) 9
A
B) 14 E) 8
C) 18
16. Calcular AB + CD. D 19
B) 20 E) 27
8
x
E
B) 5 E) 9
(a + 1)
A
C) 24
(x + 1) K
U
A) 6 D) 10
C) 7
7 B
A) 11 D) 8
18
(b + 1) C
D
B) 12 E) 9
E
42
B) 12 E) 5
C
(x + 1)
C) 10
A
C) 8
Y (x - 1) x 22
x
R
18. Calcular AC.
A) 5 D) 3
8
B) 4 E) 8
C) 6
24. Hallar x.
Si: BC = 2(AB) A
B
K
C
2x
6
A) 16 D) 20
B) 14 E) 13
C) 18
A) 10 D) 9
6
Y
C) 12
x 2
4 R
4
A) 13 D) 14
(2x + 1)
T
B) 8 E) 4
Si: AB = BC y CD = 2(BC)
A
A
25. Hallar x.
19. Calcular BD.
D
23. Hallar x.
x
A) 6 D) 8
E
17. Hallar x. T
C 13
B
22. Hallar (a + b). C
A) 21 D) 17
C) 6
D
40
B
D
B) 8 E) 7
28
A
C
B
21. Hallar (m + n). C
B
A) 24 D) 28
b
12
B) 25 E) 10
A
5
6 T
A
O
18 B
C
B) 15 E) 12
D
C) 20
A) 14 D) 15
B) 8 E) 16
C) 9
26. Calcular m. F
U
O 6
(m - 3)
B) 13 E) 7
C) 11
B) 12 E) 18
C) 10
29. Calcular BD.
8
(m + 1)
A) 10 D) 9
19
A) 2 D) 5
B) 3 E) 7
C) 3,5
27. Calcular x.
A) 14 D) 16
x T
20 E
A) 12 D) 13
30. Hallar AC. S
(2x + 6)
(n + 1)
B) 14 E) 11
C) 10
A) 14 D) 19
28. Calcular BC. (2x + 1)
6 A
A
2x C
B 27
D
(n + 2) B
26
B) 18 E) 20
7 C
D
C) 15
17
18 CONGRUENCIA ÁNGULOS DE TRIÁNGULOS Definición: es la figura plana que se forma al unir dos rayos en su origen.
Lados: OA, OB
Vértice: O
Notación: m+AOB = a
OL: bisectriz del ángulo AOB.
A
θ O
α
L
θ
B
Clasificación de los ángulos
A) Según sus medidas 1. Ángulo convexo:
0° 1 a 1 180°
Ángulo agudo: 0° 1 a 1 90°
α
Ángulo recto:
a = 90°
α
Ángulo obtuso:
2. Ángulo no convexo:
α
180° 1 a 1 360°
α
90° 1 a 1 180°
19
Observaciones:
α
β
θ
β α
γ
θ ω γ
a + b + q + g = 180°
a + b + q + g + w = 360°
B) Por la posición de sus lados 1. Ángulos consecutivos
θ
β
α
2. Ángulos opuestos por el vértice
α
θ
a=q
C) Por la suma de sus medidas
1. Ángulos complementarios
a + q = 90°
α
2. Ángulos suplementarios
θ
θ
α
a + q = 180°
Observación: Ángulo
Complemento
Suplemento
50°
40°
130°
48°
42°
132°
72°
18°
108°
x
90° - x
180° - x
2a
90° - 2a
180° - 2a
20 1. Se tienen los ángulos consecutivos AOC y COB. Si OM es bisectriz del +AOB y m+BOC - m+AOC = 42°, calcular m+COM.
4. Del gráfico, calcular x si x - a = 55°. P
Resolución: • Graficamos los ángulos consecutivos:
x M
• Reemplazamos los datos en la ecuación: m+BOC - m+AOC = 42° (b + a) - (b - a) = 42° b + a - b + a = 42° 2a = 42° & a = 21° = m+COM 2. Un tercio de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo.
R
Resolución: • Del gráfico:
x + a = 180°
...(I)
x - a = 55°
...(II)
• Del dato: • De I y II: 2x = 235° & x = 117,5° 5. Calcular el suplemento de x si OD es bisectriz del ángulo AOC.
Resolución: Sea x el ángulo: 1 1 3 c $ $ CS x m - 8° = C 2x 3 2 5
1 90° 180° x 3 x -^ - h@ - 8° = a90° - k 6 6 5 2
1 6 x - 90°@ - 8° = 54° - 3x 6 10 x - 15° - 8° = 54° - 3x 6 10 7x = 77° 15 & x = 165°
3. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar dicho ángulo.
a N
Resolución: Sea x el ángulo:
x - (90° - x) = 1 (180° - x) 4 4(2x - 90°) = 180° - x 8x - 360° = 180° - x 9x = 540° & x = 60°
Resolución: • Si OD es bisectriz del +AOC, entonces:
40° + x = 3x x = 20° • El suplemento:
S20° = 180° - 20° S20° = 160°
6. El complemento del complemento del suplemento de un ángulo, más el complemento de 60° es 180°. Hallar el ángulo.
Resolución: Del dato: CCSx + (90° - 60°) = 180° • Por propiedad:
CCa = a
• Entonces:
Sx + 30° = 180° 180° - x = 150° x = 30°
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es 500°. Hallar la medida del ángulo.
A) 46° D) 48°
B) 45° E) 42°
2.
C) 44°
3. La suma de dos ángulos es el triple del complemento del doble del suplemento de 170°, y la diferencia es el doble del suplemento del triple del complemento de 60°. ¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?
Si a la medida de un ángulo se le resta 2° más la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del suplemento del ángulo, disminuido en 1°. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
A) 50° D) 44°
B) 190° E) 192°
C) 194°
C) 46°
4. Calcular x.
2θ
A) 195° D) 200°
B) 45° E) 48°
A) 115° D) 105°
θ
x 60°
B) 120° E) 111°
C) 100°
21
5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; además, los rayos OM y ON bisecan a los ángulos AOB y COD, respectivamente. Hallar m+ MON, si m+AOC = 140° y m+BOD = 80°.
A) 115° D) 114°
B) 120° E) 130°
6.
C) 110°
7. En la figura, el +BOD mide 80° y m+AOD - m+AOB = 12°. Hallar m+BOC.
Dos ángulos opuestos por el vértice miden 2x + 7° y 3x - 29°. Calcular x.
A) 35° D) 36°
B) 34° E) 33°
C) 37°
8. Se tienen los ángulos AOB y BOC adyacentes suplementarios. Calcular el ángulo que forman sus bisectrices.
B
C
O
A
D
A) 37° D) 45°
B) 46° E) 47°
C) 55°
A) 60° D) 70°
B) 100° E) 90°
C) 80°
10. De la figura, calcular x.
9. Del gráfico, calcular x.
67,5°
10x + 30° 40°
x
A) 10° D) 15°
B) 20° E) 5°
C) 30°
A) 112,5° D) 112°
B) 113° E) 111°
C) 110°
23 6. Hallar x.
1. Hallar x.
124° x
A) 18° A) 50°
B) 60°
x
139°
x
x
80°
C) 70°
D) 62°
E) 56°
B) 17°
C) 20°
D) 23°
E) 24°
D) 29°
E) 32°
7. Hallar a.
2. Hallar a.
α + 4° α + 4° α + 4°
2α + 60°
A) 24°
2α
B) 26°
C) 18°
8. Hallar x.
A) 18°
B) 20°
C) 40°
D) 45°
E) 30° 2x
3. Hallar x.
17°
23° 70º
A) 20°
B) 18°
C) 23°
D) 25°
E) 26°
9. Hallar q.
x + 18° 23°
A) 32°
B) 29°
C) 42°
D) 18°
E) 27°
4. Hallar q. 49°
A) 68°
B) 64°
48°
θ + 10°
C) 54°
D) 72°
E) 73°
10. Hallar el complemento del suplemento de 135°. A) 35° A) 30°
B) 50°
C) 40°
D) 35°
E) 36°
B) 30°
C) 60°
D) 53°
E) 45°
11. Hallar el suplemento del complemento de 72°.
5. Hallar x. A) 172° B) 162° C) 152° D) 142° E) 148° 12. Hallar el suplemento del complemento de 26°.
60º x
A) 116° B) 118° C) 115° D) 114° E) 132°
3x
13. Hallar x, si el suplemento de x es igual al complemento de 20°. A) 12°
B) 10°
C) 18°
D) 20°
E) 15°
A) 98°
B) 95°
C) 105° D) 110° E) 120°
24
14. Si el complemento de q más el suplemento de q es igual a 150°, hallar q. A) 40°
B) 30°
C) 60°
D) 62°
21. Hallar el complemento de a.
E) 53° 4 α + 23°
2 α + 7°
15. Hallar a. A) 72°
80°
3 α + 20°
B) 62°
C) 65°
D) 68°
E) 59°
22. Hallar el suplemento de q. A) 10°
B) 15°
C) 20°
D) 24°
E) 23°
16. Hallar a.
150°
α
Si: a = 3x - 20° q = 2x + 10° A) 30°
θ
B) 15°
C) 18°
2 θ - 8°
A) 153° B) 159° C) 164° D) 163° E) 161° D) 70°
E) 60°
17. Hallar q.
23. Hallar el complemento del suplemento de 137°. A) 50°
B) 47°
C) 52°
D) 56°
E) 48°
α
Si: a = 6x - 40° q = 2x + 20°
24. Hallar el suplemento complemento de 68°.
θ
A) 26° A) 40°
B) 30°
C) 60°
D) 56°
E) 50°
B) 36°
del
C) 32°
suplemento
D) 31°
del
E) 22°
25. Hallar x.
18. Si la m+AOC = 85°
3x - 10°
Hallar x.
A 2x + 10°
96°
B
80°
3x -10
O
3x + 30° 3x + 20°
C
A) 13° A) 18°
B) 17°
C) 23°
D) 24°
B) 24°
C) 14°
D) 16°
E) 20°
E) 15° 26. Hallar x, si la m+AOD = 98°.
19. Hallar x, si:
A
S4x = C2x
B
A) 40°
B) 32°
C) 45°
D) 46°
E) 50° O
20. Hallar x.
x x + 10° C x + 10° D
80° 148°
A) 59°
B) 61°
A) 24°
2x + 10°
C) 54°
B) 28°
C) 36°
D) 26°
E) 29°
27. Si la suma del suplemento de x con su complemento es 170°. Hallar el complemento de x. D) 63°
E) 57°
A) 40°
B) 30°
C) 60°
D) 45°
E) 48°
28. Si la m+AOC = 120° Hallar la m+BOC. A
B
x 3
x O
A) 10°
34. Si a la medida de un ángulo se le suma su complemento y su suplemento, resulta 240°. Calcular su medida.
B) 18°
C) 28°
A) 20° C
D) 27°
E) 30°
29. Hallar a.
B) 30°
C) 32°
D) 40°
E) 48°
35. Si el complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo. Hallar la medida del ángulo. A) 36°
B) 30°
C) 42°
D) 45°
E) 48°
36. Hallar el ángulo cuyo suplemento excede al doble de su complemento en 40°.
2α - 5°
A) 30°
B) 37°
85°
A) 30°
α 2
C) 40°
D) 42°
B) 60°
B) 90°
C) 72°
D) 75°
D) 40°
E) 36°
37. Hallar la m+AOB. E) 56° B
30. Calcular el valor de un ángulo que disminuido en su suplemento resulta el cuádruple de su complemento. A) 80°
C) 50°
C D x 2x
E) 84°
A
4x
O
3x
E
31. Calcular m+AOB. A) 64°
B) 52°
C) 84°
D) 80°
E) 72°
38. Hallar el complemento de q.
θ 3x - 45º
2x + 15º
A) 120° B) 125° C) 135° D) 145° E) 115° 32. Calcular el máximo valor entero de x. Si el +AOB es agudo. A
A) 17°
B) 16°
B) 68°
C) 70°
D) 45°
E) 60°
D) 84°
E) 82°
39. Hallar el suplemento de 6a.
30° + x
O
A) 40°
2x + 10° B
C) 18°
D) 24°
E) 26°
33. Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 40°. ¿Cuánto mide dicho ángulo? A) 105° B) 106° C) 112° D) 118° E) 110°
A) 72°
B) 76°
C) 78°
25
26 CONGRUENCIA CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS BÁSICAS ÁREAS DE ALGUNAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
A) De un triángulo B
h
A
A=
b . h 2
A=
c . a 2
C
b
B) De un triángulo rectángulo C
b
a
A
B
c
C) De un triángulo equilátero B
L
L
h
A
2 A=h 3 3
C
L
D) De un cuadrado C
B
L
A
A = L2
D
L
E) De un rectángulo B
C
n
A
m
D
A = m . n
27 f)
De un círculo
r
A = pr2
r: radio
g) De un trapecio b
h
A=
B+b . h 2
B
h) De un rombo
A = D . d 2
D
d
Nota
60°
a 2
53°
45°
a
a 2
a 30°
a 3 2
a
5a
3a
37°
45° 4a
28 1. Hallar el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 5 .
3. Hallar el área del trapecio ABCD si el cuadrado CDEF tiene área k. F
Resolución: B
C E 45°
A
• Por fórmula el área es: 2
A = L
& A=
D
Resolución: • El área del trapecio ABCD es:
3
4
^ 5 h2 3 & A= 5 3 4 4
A = c AD + BC m AB 2
• Completando el gráfico: F
2. En la figura, ¿qué porcentaje del área total representa el área sombreada?
k 2
B
C 45°
k 2
k
E
k k
45°
A
D
2k
AB = AN • Entonces:
A= f
El área sombreada sería la diferencia de áreas entre el cuadrante y el semicírculo.
A = 3k 4
• De la figura:
4. Hallar el área sombreada.
Resolución:
A=A -A
2k + 2
k 2p
k 2
AR = RB = r & AN = 2r • Área total = Área del cuadrante = 1 p(2r)2 = p2 4 • Reemplazando:
p^r 2h 1 A = p (2r)2 2 4 2 2 A = pr - pr = pr 2 2 2
• Luego: 2 (x)(pr ) = pr 2 x = 50%
R= 2
r =1
Resolución:
A = pR2 - pr2
A = p(22) - p(12)
A = 3p
2
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
29
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1.
Hallar el área de un triángulo equilátero de altura 7 .
A) 2 3 3
B) 3 3 5
D) 9 3 3
E) 5 3 3
C) 7 3 3 A) 58,25p D) 57,25p
3. Hallar el área de un trapecio de altura 3 sabiendo que el producto de bases es 10 y su diferencia 3.
A) 9,5 D) 13,5
B) 11,5 E) 10,5
2. Hallar el área de un cuadrante de círculo cuyo radio es 15.
C) 12,5
B) 55,25p E) 59,25p
C) 56,25p
4. Hallar el área de un rombo sabiendo que la suma de sus diagonales es 9 y su diferencia, 5.
A) 7 D) 10
B) 8 E) 11
C) 9
5. Hallar el área de un triángulo isósceles de base 6 y perímetro 16.
6. Hallar el área sombreada, si el área del triángulo mayor es 60.
A) 11 D) 14
B) 12 E) 15
A) 15 D) 18
C) 13
7. Hallar el área sombreada, si el perímetro del rombo es 40 y su diagonal mayor, 16.
B) 16 E) 19
C) 17
8. Hallar la relación que existe entre las áreas del trapecio y el rombo. 3 5
A) 24 D) 27
B) 25 E) 28
A
B
7
20
B) B = A2 E) B = A
A) B = 4A D) B = 2A
C) 26
10
C) B = 3A
10. Hallar la diferencia de áreas de las dos figuras.
9. Hallar el área sombreada. 2
60°
4
2 3
3
60°
37°
A) 9 D) 11
B) 10 E) 13
C) 12
A) 3 D) 4 3
B) 2 3 E) 5 3
C) 3 3
31 6. Hallar el área del cuadrado.
1. Hallar el área del triángulo.
20
2 5 40
A) 250
B) 300
C) 400
D) 200
E) 500 A) 15
2. Hallar el área del triángulo.
B) 30
C) 20
D) 25
E) 35
D) 64
E) 60
7. Hallar el área del cuadrado. 15
4 2 10
A) 70
B) 60
C) 80
D) 75
E) 85 A) 16
3. Hallar el área del triángulo.
B) 32
C) 8
8. Hallar el área del rectángulo. 4n
20 8n
A) 32 n2 D) 16 n2
B) 20 n2 E) 8 n2
C) 30 n2
40 A) 1200 B) 600
C) 800
D) 1000 E) 900
4. Hallar el área del triángulo. 9. Hallar el área del rectángulo. 10
8
4 30°
A) 30
B) 40
C) 50
D) 45
E) 55 A) 8
5. Hallar el área del cuadrado.
B) 8 3 C) 4
D) 6
E) 4 3
D) 42
E) 62
10. Hallar el área del trapecio. 4 15 8
10
A) 125
B) 325
C) 175
D) 225
E) 165
A) 56
B) 50
C) 48
32
16. Hallar el área del triángulo.
11. Hallar el área del trapecio. 20
30 60º
40
A) 800
B) 900
C) 700
60º 8
D) 850
E) 650
12. Hallar el área del triángulo.
A) 8 3 D) 32 3
B) 16 3 E) 14 3
C) 12 3
17. Hallar el área del rectángulo si su perímetro mide 40.
2
2 x 2 3x
A) 3
B) 6
C) 4
D)
2
E)
3
13. Hallar el área del rombo, si AC = 8 y BD = 12. B
A) 60 D) 90
B) 75 E) 65
C) 80
18. Hallar el área del rombo. A
C 2 4
4
D
A) 36
B) 52
C) 56
2
D) 42
E) 48 A) 18 D) 19
14. Hallar el área del triángulo.
B) 14 E) 20
C) 16
19. Hallar el área del rombo.
4
10
A) 4 3 D) 10 3
B) 6 3 E) 10
1
1
30º
C) 8 3 A) 6 D) 9
15. Hallar el área del triángulo.
B) 4 E) 10
C) 8
20. Hallar el área del círculo. (O: centro)
8
O
8 2
A) 30 D) 40
B) 36 E) 32
10
C) 42
A) 8p D) 4p
B) 10p E) 6p
C) p
21. Hallar el área del sector circular.
33
26. Hallar el área del cuadrado.
6
6
6
A) 6p D) 8p
B) 12p E) 9p
C) 10p
B) 6
C) 20
D) 12
E) 24
27. Hallar el área del triángulo equilátero.
22. Hallar el área del triángulo.
2 3
A) 36
2 3 2
2 3 A) 2 3 D) 6
B) 3 3 E) 3
C) 6 3
A) 6 3 D) 10 3
B) 8 3 E) 15 3
C) 12 3
28. Hallar el área del rectángulo. 23. Hallar el área del triángulo.
2
2 2
2 45º
A) 3 - 1 D) 2(1 + 3 )
30º
B) 2 - 1 E) 2( 6 - 2 )
C) 6 - 2
A) 32 D) 30
B) 16 E) 42
C) 64
29. Hallar el área del sector circular. 24. Hallar el área del triángulo. 60º
10 2 3
A) 100
B) 80
C) 20
D) 40
E) 50
A) 6p D) 9p
30º
B) 8p E) 12p
C) 3p
30. Hallar el área del cuadrado más grande.
25. Hallar el área del triángulo.
8
30º
4 3 A) 6 3 D) 9 3
B) 4 3 E) 10 3
C) 8 3
A) 132
B) 120
C) 130
D) 128
E) 64
34 ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS PARALELAS Y UNA SECANTE Si L1 // L2 , y L3 es secante a L1 y L2 , entonces tenemos los siguientes ángulos: 1. Ángulos internos: c, d, e, f 2. Ángulos externos: a, b, g, h
L1
b
a c
L2
3. Ángulo alternos ( son de igual medida) Alternos internos: (c = f); (d = e) Alternos externos: (a = h); (b = g)
d f
e g
h L3
4. Ángulos correspondientes: (a = e); (b = f); (c = g); (d = h) (son de igual medida) 5. Ángulos conjugados (son suplementarios) Conjugados internos: (c, e); (d , f) Conjugados externos: (a, g); (b, h)
teoremaS 1. Si L1 // L2 &
a=b
2. Si L1 // L2 &
L1 L2
a=b
L1 L2
3. Si L1 // L2 &
a + b = 180°
4. Si L1 // L2 &
L1 L2
a + b = 180°
L1 L2
35 PROPIEDADES 1. Si L1 // L2 : L1
α
x =a+q
x
θ
L2
2. Si L1 // L2 : L1
α a
b b
θ c
a +b +q =a +b +c
L2
3. Si L1 // L2 : L1
ω
θ
β α
L2
a + b + q + ... + w = 180°
36 1. Hallar a, si L1 // L2 .
3. Si L1 // L2 , hallar x.
α
L1
β
L1
20° 40°
100°
35° 25°
L2
3β
30°
Resolución: α
L1
β
Resolución: • Por propiedad:
40° + 25° + 30° = x + 35° + 20°
x = 40°
180° - 3β 3β
L2
4. Hallar a si L1 // L2 . α
• Por propiedad sabemos:
1
α
& 180° - 3b + b = 100°
α x
β
b = 40°
α α
L2
95° = x + 55°
100°
x=α+β
x
• a + 90° - b = 180° & a = 90° + b ∴ a = 90° + 40° = 130°
2. En la figura PS // CM. Calcular q.
θ
L2
Resolución: • Por propiedad sabemos: a + a + 90° + a + a = 180° 4a = 90° a = 22,5° 5. En la figura, si L1 // L2 , calcular x. A
2α
α
L1
B x
Resolución:
θ
2θ
θ
θ C
L2
Resolución: • En el triángulo ABC: x + a + q = 180° ...(I) • Por ángulos conjugados internos:
• m+PST = 60° (alternos internos)
& q = 90° - 60° = 30°
(2a + a) + (2q + q) = 180° 3(a + q) = 180° a + q = 60° • En (I): x + 60° = 180° x = 120°
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
2. Expresar q en función de a.
1. Si L1 // L2 , calcular x.
x
130°
θ 3α
160° L2
A) 75° D) 85°
B) 80° E) 70°
C) 90°
A) 13a D) 10a
L2
B) 12a E) 14a
C) 11a
4. Si L1 // L2 , calcular x. 1
120°
L1
30°
4β
3. Hallar x si L1 // L2 . 20°
L1
α
β
L1
50° 4x 140°
10°
L2
x
L2
A) 24° D) 26°
B) 22° E) 23°
C) 20°
A) 120° D) 105°
B) 110° E) 125°
C) 115°
37
5. Expresar m en función de n, sabiendo que L1 // L2 .
6. Si L1 // L2 y L3 // L4 . 120°
m
L1
L1 x 145°
L2
n
L3
A) 90° + n D) n
B) 90° - n E) 2n
B) 85° E) 86°
x 3α
α
C) 75°
50°
α
L1
θ
L4
8. Si L1 // L2 , calcular a + q.
7. Calcular x si L1 // L2 .
3θ
A) 90° D) 65°
C) 180° - n
L2
1
θ
L2
L2
A) 50° D) 41°
B) 45° E) 55°
C) 42°
B) 170° E) 200°
C) 180°
10. Calcular q, si L1 // L2 .
9. Hallar x si L1 // L2 . 70°
A) 195° D) 190°
L1
α
4α x L1
50°
θ
60°
L2
L2
A) 130° D) 110°
B) 125° E) 120°
C) 100°
A) 72° D) 70°
B) 85° E) 75°
C) 80°
39 6. Calcular q, L1 // L2 .
1. Calcular x, si L1 // L2 . L1
2x 28°
A) 28°
B) 9°
θ 290°
L2
C) 12°
D) 14°
A) 35°
2α
L2
θ
E) 13°
2. Calcular a, si L1 // L2 .
L1
B) 36°
C) 42°
D) 43°
7. Calcular x, si L1 // L2 .
L1
x + 8°
B) 70°
L1
L2
40°
A) 60°
E) 32°
78°
C) 35°
D) 90°
E) 110°
3. Calcular a, si L1 // L2 .
A) 32° 4α
L2
x – 2°
B) 34°
C) 36°
D) 43°
8. Calcular a, si L1 // L2 .
L1
L1
28° α
α+18°
52°
L2 3α
A) 9°
B) 12°
E) 46°
C) 6°
D) 7°
E) 15°
A) 18°
B) 26°
L2
C) 30°
D) 10°
E) 20°
9. Calcular (x + y), si L1 // L2 .
4. Calcular q, si L1 // L2 . L1
60°
L1
y
2x
5θ 147°
40°
A) 15°
B) 18°
80°
L2
L2
C) 25°
D) 20°
E) 24°
A) 68°
B) 63°
C) 78°
D) 73°
E) 76°
10. Hallar (a + q), si L1 // L2 .
5. Calcular a, si L1 // L2 . 3α
L1
L1
3α
2θ
80° 20°
A) 15°
B) 20°
C) 18°
D) 21°
150°
60°
L2
E) 26°
A) 45°
B) 32°
C) 46°
L2
D) 35°
E) 36°
40
11. Hallar a, si L1 // L2 .
16. Hallar a, si L1 // L2 . 2x + 32°
L1
α
L1
3x + 20°
α
2α L2
x + 24°
A) 51°
B) 53°
C) 61°
D) 57°
L2
3x - 17°
E) 68°
12. Hallar q, si L1 // L2 .
A) 56°
B) 25°
C) 62°
D) 72°
E) 68°
17. Hallar x, si L1 // L2 . L1
4θ + 40°
θ + 75°
L1
x - 8°
2θ – 10°
L2 L2
2θ
A) 20°
B) 25°
C) 30°
D) 32°
E) 36° A) 76°
B) 72°
C) 64°
D) 69°
E) 78°
13. Hallar x, si L1 // L2 . 18. Hallar x, si L1 // L2 . 3x + 20° L1 5θ + 40° 5x – 18°
L1
L2 2x + 15° θ – 10°
A) 18°
B) 20°
C) 24°
D) 26°
E) 19°
14. Hallar a, si L1 // L2 .
A) 70° °
+ α
16
L2
B) 75°
C) 80°
D) 85°
E) 68°
19. Hallar x, si L1 // L2 .
4α + 24°
3
L1
5x
72°
L2
L1 3x
A) 18°
B) 16°
C) 24°
D) 23°
L2
E) 20° A) 7°
15. Hallar q, si L1 // L2 .
B) 8°
C) 9°
D) 12°
E) 13°
20. Hallar q, si L1 // L2 . θ L1
2θ 8θ - 9°
5θ – 40°
L3 L1
A) 23°
B) 26°
29°
L2
C) 19°
D) 21°
E) 28°
A) 24°
B) 21°
C) 26°
L2
D) 23°
E) 42°
21. Hallar x, si L1 // L2 . L1
80°
θ
20° x 4x
A) 20°
B) 30°
41
26. Hallar x, si L1 // L2 // L3 .
18°
a L2
C) 10°
D) 35°
E) 40°
22. Si: L // M y P // Q , hallar x. M
A) 42°
2x
L2
102°
α+θ
B) 41°
C) 46°
L3
D) 34°
E) 32°
27. Hallar a, si L1 // L2 .
L L1
4α x + 57°
P
4x
A) 17°
L1
114°
Q
B) 23°
C) 19°
D) 18°
2α
E) 15°
A) 16°
B) 18°
L2
C) 19°
D) 21°
E) 23°
D) 54°
E) 65°
28. Hallar x, si L1 // L2 .
23. Hallar x, si L1 // L2 .
L1
L1
L2 2x
4x + 8° 50° 2x + 4°
80°
L2
A) 56° A) 28°
B) 14°
C) 16°
D) 24°
E) 23°
B) 71°
C) 63°
29. Hallar x, si L1 // L2 .
24. Si L1 // L2 , hallar x. L1
2α
47°
7x
x
80° α
A) 86°
L1 5x
28°
B) 84°
7x
L2
C) 98°
D) 96°
L2
E) 94°
28°
42°
L1
3x
B) 19°
D) 29°
E) 23°
24°
C) 16°
θ
L1
3x 75°
96° 78°
A) 20°
C) 24°
2
4θ
52°
B) 18°
30. Hallar x, si L1 // L2 .
25. Si L1 // L2 , hallar i + x . 2
A) 20°
θ
L2
L2
D) 21°
E) 17°
A) 18°
B) 17°
C) 16°
D) 15°
E) 21°
42
35. Hallar x, si L1 // L2 .
31. Hallar x, si L1 // L2 .
L1
3x
x+40°
A) 24°
B) 26°
C) 19°
L1 80° x - 4° 2
L2
D) 18°
L2
E) 20° A) 96°
B) 104° C) 106° D) 172° E) 168°
32. Hallar x, si L1 // L2 . 36. Hallar a, si L1 // L2 . L1 2x - 25°
36° 105°
L2
L2
2α - 8°
A) 55°
B) 65°
C) 56°
D) 67°
E) 58° A) 21°
33. Hallar x, si L1 // L2 .
B) 26°
C) 23°
L1
3x
L2
x + 20°
4x - 16°
B) 31°
D) 22°
C) 36°
D) 28°
E) 29°
34. Hallar q, si L1 // L2 .
A) 20°
B) 18°
C) 15°
L1
L2
D) 10°
60°
E) 16°
L1
2α - 10°
L2
L2
θ + 98°
B) 59°
L1
38. Hallar a, si L1 // L2 .
2θ + 40°
A) 56°
E) 25°
37. Hallar x, si L1 // L2 . 108°
A) 32°
L1
C) 70°
D) 58°
E) 64°
A) 35°
B) 30°
C) 45°
D) 42°
E) 36°
