www.mustafayagci.com, 2008
Geometri
Notları
Mustafa YAĞCI,
[email protected]
Düzlem Geometriye Giriş Yazıma değerli hocam Ali Nesin’in MD’de yazdığı bir giriş yazısının 2 paragrafını çalarak başlamak istiyorum.
Önermede bildirilen hüküm doğruysa önermeye doğru önerme, yanlışsa yanlış önerme deriz.
İnsanların büyük çoğunluğunun zekâ bakımından üç aşağı beş yukarı aynı düzeyde olmasına rağmen kiminin matematiğinin iyi, kimininse kötü olmasının nedeni nedir?
Önermeler soru, emir, ünlem, istek bildiremezler. Yani, ‘’Bu paragrafta geçen cümlelerin kaçı önermedir?’’ cümlesi bir önerme değildir. Çünkü doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmiyor.
Çeşitli nedenleri olmalı ama matematikteki (dolayısıyla geometrideki) başarısızlığın ilk nedeni, matematiğin sürekli çalışma istemesi olsa gerek. Tarih dersinde bir konuyu kaçıran öğrenci, o konuyu hiç anlamadan da pekâlâ bir sonraki konuyu anlayabilir ve sınavı başarabilir oysa matematikte durum böyle değildir. Matematik bir piramide benzer, taban olmazsa tepe inşa edilemez. 12-13 yıllık ilk ve ortaöğrenim yaşamında matematikte geri kalmamak da oldukça zordur. Gerçi, sağolsun varolsunlar, okullarda sık sık geriye dönüş yapılıyor ve öğrencinin eksiklerini tamamlamasına izin veriliyor ama bu bile öğrenci gözünde ‘’Adam taaa nereden de soracakmış ya!’’ diye algılanıyor. Hâl böyleyken bir kez matematiği anlamadığına veya geç kaldığına inanan öğrenci psikolojik olarak etkileniyor (hatta çöküntüye uğruyor) ve ondan sonra kendini toparlaması ya zor oluyor ya da olanaksız. İkinci nedenin de size o matematiği öyle anlatan biz öğretmenlerin olduğunu düşünüyorum. Neyin nerden geldiğini, ötesi niye geldiğini izah etmeden, hatta bazen de belli bir sıra bile takip etmeden anlatarak anlamanızı beklemiyor muyuz çoğumuz? Ben bu kitapta şahsım adına bu hatayı yapmamaya çalıştım, sizler de sizin gibilerin yaptıkları hataları yapmayıp sürekli çalışın olur mu? Haydi bakalım, başlıyoruz: Öncelikle günlük konuşma dilinde çok kullanmadığımız bazı kavramları öğrenelim de dersi anlatırken kullandığımda ne demek istediğimi daha iyi anlayın. İlk kavramımız: Önerme. Önerme nedir, ne değildir? Doğru ya da yanlış fark etmez, kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Örneğin, biraz önce okuduğunuz cümle de bir önermedir. Kesin hüküm bildiren ifadelere dilimizde önerme denmiyorsa da, o cümle matematiksel anlamda bir önermedir. ‘’Doğru ya da yanlış fark etmez, bir hüküm bildiren ifadelere armut denir.’’ cümlesi de bir önermedir yani. ‘’Her üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 190 derecedir.’’ önermesi gibi, yanlıştır ama nihayetinde bir önermedir. ‘’Karenin kenar uzunlukları birbirine eşittir.’’ cümlesi de bir önermedir, ama bu doğrudur.
Teorem nedir? İlk ve ortaokulda geometri hakkında birçok önerme duydunuz. Fakat çoğu zaman bu önerme doğru mudur, yanlış mıdır diye düşünmediniz. Çoğu şu an zihinlerinize kazınmış durumda ancak bu bilgileri belki hiçbir kanıt yapmadan edindiniz. Örneğin bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamının 180 derece olduğunu hemen hemen hepiniz bilirsiniz fakat kaçınız bunun niye olduğunu bilir? Daha da ötesi doğru olduğunu kim garantiliyor ki sebebini bileceksiniz, belki de yanlış bir önermedir. Kim bilir? Ben söyleyeyim kimin bileceğini, kanıtlayan bilir! Artık geometride kanıtlar vereceğiz ve doğruluğunu kanıtladığımız bu önermelere teorem diyeceğiz. Siz siz olun, kanıtlanmamış hiçbir önermeyi dikkate almayın. Nedenini düşünün, bulamazsanız sorun, öğrenmeden yolunuza devam etmeyin. Aksiyom nedir? Bir önermenin doğruluğunu kanıtlarken doğal olarak önceki teoremlerden yararlanacağız. Önceki teoremlerin kanıtını da daha önceki teoremlere dayandıracağımızdan ilk birkaç önermeyi doğru kabul etmek zorunda kalacağız. İşte doğruluğunu kabul etmek zorunda kalacağımız bu önermelere aksiyom veya belit adını vereceğiz. Unutmayınız ki; aksiyomlar, o andaki bilgilerle kanıtlanamayan veya kanıtına hiç gerek duyulmayan temel ilkelerdir. Bu nedenle rastgele önermeleri aksiyom kabul edemeyiz. Aksiyomlar basit ve iyi anlaşılır, olabildiğince az sayıda, bununla birlikte birbirinden bağımsız yani biri birinden elde edilemeyen, birbirini tamamlayıcı ve sonuçları birbiriyle çelişkisiz olmalıdır. Aksiyomları matematiğin açık yanları gibi düşünmek abesle iştigalden başka bir şey olamaz. Zira biz matematikçiler, kanıtlayamadığımız şeylere aksiyom diyor değiliz, sadece ‘’Ona veya ona; ama birine aksiyom demeliyiz.’’ diyoruz. Çünkü mutlaka dön-dolaş bir şeyleri doğru kabul etmek zorunda kalıyoruz. Aslında hangisini seçelim diye düşündüğümüz şeylerin hepsi doğru.
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş kabul edilmesi gerektiğini düşünürdüm. Sebebi de tam burada konuşulanlardır. Sizce de öyle değil mi?
Dedik ya, matematikte taban olmadan tepe inşa edilemez, yani matematikte belli bir sıra takip edilmelidir diye, bu sıranın da doğru bir sıra olması lazım gelir. Yoksa herkes zaten bir sırayla anlatıyor ama ‘’ya sıra yanlışsa?’’ değil mi?
Büyük bir sessizlik olmuş. Sanırım ‘’Bugüne kadar benim niye aklıma gelmedi ki bu?’’ üzüntüsü sebep olmuştur bu sessizliğe. Ama yine de çok önemli bir yere ulaşmanın sevinci okunuyormuş yüzlerde.
İşte bu yüzden 1905 yılında matematikçiler en doğru sıralamayı yapmak üzere Okul Matematiği İnceleme Grubu (School Mathematics Study Group) adı altında David Hilbert önderliğinde buluşmuşlar. Gelinen sona göre yaşanmış olması muhtemel konuşmaları size aktarayım:
H devam etmiş: - Herkes de onaylıyorsa ‘’nokta’’yı tanımsız olarak alalım. Peki ‘’nokta’’ kavramını kullanarak doğruyu tanımlayıp tanımlayamayacağımıza bir bakalım. Ben buraya gelmeden önce saygıdeğer W hocamın yaptığı gibi birkaç araştırma yaptım. Edindiğim şu bilgileri vereyim. Euclid aynı eserinde ‘’Doğru, noktalarına göre düzgün yayılan nesnedir.’’ demiş. Heron ‘’Sabit tutulan iki nokta etrafında döndürüldüğünde durumunu değiştirmeyen nesneye doğru denir.’’ demiş. Grassman ise ‘’Hareketi esnasında yönünü koruyan bir noktanın çizdiği çizgiye doğru denir.’’demiş. Legendre ‘’Doğru, iki nokta arasındaki en kısa yoldur.’’ demiş. Barbarin ise ‘’İki noktasıyla tamamen belirli nesneye doğru denir.’’ demiş. Bence buradaki durum da noktayı tanımlamaya çalışırken yaşadığımız sıkıntıyla aynı. Çünkü halihazırda ‘düzgün’, ‘nesne’, ‘çizgi’, ‘yol’ gibi kavramlar tanımlanmadı.
Önce Profesör X söz almış: - Bunca yıllık geometri hayatımda her şeyin temelinin üçgen olduğunu anladım. Sanırım hepiniz bana katılırsınız. Ben önce üçgeni anlatalım derim, demiş. Hemen Profesör H söz almış: - Üçgenin önemi konusunda sana katılırız ama üçgenden başlama konusunda en azından ben katılmam. Çünkü nokta veya doğru parçasını tanımlamadan üçgeni nasıl tanımlayacağız ki? Diyelim bir şekilde üçgeni tanımladık, ardından iç açılarının ölçüleri toplamını vermeyecek miyiz? Bırakın iç açıyı, daha açıyı tanımlamadık ki! Toplantıya katılan herkes H’yi onaylar biçimde kafalarını sallamışlar. H devam etmiş: - İş onunla da bitmiyor. Açıyı tanımlamadan önce ışını tanımlamak gerekir. Bunun için de önce doğru ve doğru parçası gibi kavramların öğretilmesi gerekmez mi?
Oybirliğiyle ‘’doğru’’yu da tanımsız olarak ele almak gerektiği sonucuna ulaşmışlar. Şimdi bu iki kavramı kullanarak geometriyi inşa edip edemeyeceklerine gelmiş sıra. Bunun için de ‘’düzlem’’ kavramının öğretilmesi gerekmiş. Dr. M tekrar söz almış:
Dr. M: - Doğru, gerekir. Hatta onlardan önce de noktanın tanımlanması lazım.
-
Profesör W: - O zaman nerden başlayacağımızı bulduk demektir. Çünkü Euclid, Elementler isimli eserinde noktayı tanımlamış. ‘’Parçasız nesne.’’ demiş. Beğenmezseniz Legendre gibi gibi ‘’Çizgilerin ucuna’’ nokta diyelim. O da olmadı, Roche gibi ‘’Çizgilerin arakesitidir.’’ deriz.
Bakmaz olur muyum? demiş Profesör H. ve devam etmiş: -
Bu sözlerden sonra geriye sadece hangi tanımın seçileceği kaldığını düşünenler, tekrar H’nin söz almasıyla hatalarını anlamışlar. -
Değerli arkadaşlar, hâlâ aynı hataya devam etmektesiniz. Noktanın tanımı için açıklamaları hiç de kolay olmayan ‘nesne’, ‘parça’, ’çizgi’, ’uç’, ’arakesit’ gibi kavramlar kullanmaktasınız.
Dr. M araya girmiş: - Siz büyüklerin yanında bana laf düşmez ama her kullandığımız kelimeyi açıklayacaksak, bunun sonu gelmez ki hocam! Profesör H. duymak istediğini duymuş olmanın mutluluğuyla; - ‘’Ha şunu bileydin!’’ demiş. Ben de bunu duymak istiyordum. Öteden beri geometride (hatta pozitif ilimlerin hepsinde) ilk birkaç kavramın tanımsız olarak
Hocam, doğruyu tanımlama gafletine düşmüş olan bu büyüklerimiz, düzlemi de tanımlamışlar mı? Ona da baktınız mı? O tanımların bize ışık tutacağını düşünüyorum.
Nokta ve doğru tanımsız olarak alındığında düzlemin tanımlanması diğerlerine göre daha başarılı olmuş ama bence yine de havada kalan şeyler var. Ben kim ne demiş size söyleyeyim, siz kendi kararınızı kendiniz verin. Euclid ‘’Düzlem, doğrularına göre düzgün yayılan nesnedir.’’ demiş. Leibniz ‘’İki noktaya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yerine düzlem denir.’’ demiş. Theon–Simson–Legendre üçlüsü ‘’Düzlem, herhangi iki noktasından geçen doğruyu içine alan yüzeydir.’’ demiş. Duhamel ise ‘’Bir noktadan bir doğruya dik olarak çizilen doğruların geometrik yerine düzlem denir.’’ demiş. Bana soracak olursanız en güzel açıklama Leibniz’inki ama ‘’geometrik yer’’ kavramını daha en başta nasıl açıklayacağız? Bu yüzden ‘’düzlem’’i de tanımsız kavramlar içine almayı öneriyorum.
Tahmin ettiğiniz üzere itiraz eden çıkmamış ve nokta, doğru, düzlem kavramları tanımsız olarak alınmış. Buradaki çok önemli ayrıntıya tekrar değinmekte fayda görüyorum. Zira ‘’O kadar profesör bir araya gelmiş; nokta, doğru ve düzlemi tanımlayamamışlar mı ya? Bizim dershanedeki hoca hepsini
2
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş
tanımladı walla!’’ diyenler olabilir. Buradaki sorun tanımlayamamak değil, daha önceden tanımlanmış kavramlarla tanımlayamamak. Bu da olanaksız; çünkü ‘’daha önce’’si yok, en baştayız.
A ve B gibi iki noktanın aynı (çakışık) olmasını A ≡ B olarak göstereceğiz. a ≡ b ve ≡ ’nın anlamlarını anlatmaya da utanırız artık.
Bu toplantıdan bir asır sonra, bugün, ‘nokta’ ve ‘doğru’nun ne olduğunu sözlükten öğrenmeyi kendiniz deneyecek olsanız, örneğin Türk Dil Kurumu’nun sözlüğünde nokta için şu tanımı bulacaksınız:
Doğru ve düzlemler tanımsız nesneler olup eski alışkanlığımızı bırakıp bunları başlangıçta birer nokta kümesi olarak değil, bütün noktalardan arınmış nesneler olarak düşüneceğiz. Sonra aksiyomlar yardımıyla bu nesneler üzerinde noktalar alabilerek sayılarını artıracak ve süreklilik aksiyomu ile de bu nesneleri tam anlamıyla noktalarla dolduracağız.
Nokta: Hiçbir boyutu olmayan işaret. Noktanın tanımı boyut kavramına dayandırıldığı için boyutun ne olduğunu anlamak ister ve sözlükten şunu okursunuz:
Örneğin, şekilleri, hiçbir noktası olmayan bir a doğrusu ile hiçbir noktası olmayan bir düzlemini göstermektedir.
Boyut: Doğruların, yüzeylerin veya cisimlerin ölçülmesinde ele alınan üç doğrultudan yani uzunluk, genişlik ve derinlikten biri.
Öte yandan; şekilleri ise sadece üçer noktası bulunan b doğrusu ile düzlemini göstermektedir. Alışık olmadığımız bu durumu şöyle açıklığa kavuşturabiliriz: Çıplak telgraf teline ‘’doğru’’ ve kuşa ‘’nokta’’ diyecek olursak, çıplak telde hiçbir kuş bulunmamış olur. Eğer tele üç kuş konarsa doğrumuzda sadece üç nokta bulunur. Bunun gibi, masa yüzeyine ‘’düzlem’’ ve sineğe ‘‘nokta’’ diyecek olursak, üzerine bir sinek konmuş masamız sadece bir noktası olan düzlem olmuş olur.
Boyut kavramının ‘doğru’, ‘yüzey’, ‘ölçü’, ‘doğrultu’, ‘uzunluk’, ‘genişlik’, ‘derinlik’ gibi kavramlara dayandırıldığını yani sonuç olarak ‘‘nokta’’nın tanımının ‘‘doğru’’ kavramına ve ‘‘doğru’’nun tanımının da ‘‘nokta’’ kavramına dayandırıldığını görmüş oluyorsunuz, o halde ‘‘nokta’’, ‘‘doğru’’ ve ‘‘düzlem’’i neden tanımsız nesneler olarak ele aldığımızı bir kez daha anlamış olduk. ‘’Tanımsız’’ olmak ‘’var olmamak’’ demek değildir. Zihinde de olsa (ki zaten öyle) nokta, doğru ve düzlemlerin varlığından bahsedebiliriz. Onları hayal edebilir ve hayalimize göre şekillendirebiliriz. Unutmayın ki neye benzediklerinin hiçbir önemi yoktur, sadece onlara yüklediğimiz görevleri yapsınlar bize yeter!
Tanımsız olarak, nokta, doğru ve düzlem dediğimiz nesneler doğadan soyutlama yolu ile elde edilen ve sadece zihinde yer alan soyut nesneler olup bunlar arasındaki ilişkileri gösteren aksiyomlar da gene doğadan soyutlama ile ifadelerini bulan sade ve doğru önermelerdir.
Nokta, doğru ve düzlemleri alışık olduğunuz üzere sırayla ‘‘.’’, ‘‘ ’’ ve ‘‘ ’’simgeleriyle göstereceğiz. Böyle göstermemizin nedeni, doğadaki temsilcilerinin de bu biçimde görünmeleridir. Örneğin, bir tarlanın köşeleri ‘’nokta’’yı, kenarları ‘’doğru’’yu ve yüzeyi de ‘’düzlem’’i temsil etmektedir. Yalnız, tanımsız oldukları için bu üç nesnenin hiç de ‘‘.’’, ‘‘ ’’ ve ‘’ ’’gibi gösterilmeleri gerekmez. Eğer üniversitede geometri okursanız noktanın ‘‘ ’’ ve doğrunun ‘’.’’ simgeleriyle gösterildiği geometriler de öğreneceksiniz. Bunun tek sebebi, tekrar tekrar söyleyelim, tanımsız olmalarıdır. ‘’Benim hayalimde böyle canlanıyor.’’ derse adam ne yapacaksınız? Haklı da!
Okul Matematiği İnceleme Grubu’nun okullarda okutulması için benimsediği aksiyomatik sistem şöyledir:
Biz kendimizin nasıl göstereceğini anlatalım. Noktaları A, B gibi büyük harflerle, doğruları a, b gibi küçük harflerle ve düzlemleri ise gibi küçük Yunan harfleriyle veya yine A, B gibi büyük harflerle göstereceğiz. Böyle yapmakla yazılan şeyleri daha rahat anlarız.
Doğruyu bizim resimlediğimiz gibi çizmek şartıyla yukardaki A ve B noktalarından geçen doğruyu çizin deseler, kim gelirse gelsin çizeceği doğru bizim de maviyle çizmiş olduğumuz doğru olacaktır.
A A n o k ta s ý
B d d o ð ru su (B C d o ð ru su )
C
Aksiyom 1. Farklı iki noktadan geçen bir ve yalnız bir doğru vardır. Yani, farklı iki nokta sadece tek bir doğruyu işaret eder diyor. Örneğin A ve B farklı iki nokta olsun. Hem A’dan hem de B’den geçen iki farklı doğrunun olamayacağı anlamına geliyor.
A
B
Aksiyom 2. Bir doğrunun noktaları ile reel sayılar öyle karşılaştırılabilir ki; i) Doğrunun her noktasına bir ve yalnız bir reel sayı karşılık gelir. ii) Her reel sayıya doğrunun bir ve yalnız bir noktası karşılık gelir. iii) İki nokta arasındaki uzaklık, bu noktalara karşılık gelen sayıların farkının mutlak değeridir.
E d E d ü z le m i
Bununla birlikte ‘’ işareti ‘ise’yi, ‘’ işareti veya ‘isse’ kelimesi de çift gerektirmeyi anlatacak.
3
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş
-6
-5
- 17 -4
-e -3
-1
0
1
0
2
3
4
5
Aksiyom 4. Bir doğru üzerinde P ve Q gibi iki nokta verildiğinde P’nin koordinatı sıfır ve Q’nun koordinatı pozitif olacak şekilde bir koordinat sistemi seçilebilir. Bu aksiyom da Cetvel Yerleştirme Aksiyomu olarak bilinir. Bu sayede örneğin bir üçgenin kenar uzunluklarını hesaplamak için üçgenin köşelerini teker teker cetvelin bir ucuna getirmek yerine, cetvelin ucunu üçgenin bir köşesine koyarak diğer köşenin cetvelin neresine geldiğine bakabilirsiniz diyor. Bu aksiyom olmasa ne yapardık acaba?
6
Sanırım bir örnek versek daha iyi olacak.
A a
a
b
Bu aksiyom da farklı sabit iki nokta arasındaki uzaklığın da sabit olduğunu söylüyor. Noktalar yer değiştirmedikçe aralarındaki mesafe de sabit kalır. İyi ki bu aksiyom var. Bu sayede sabah çözdüğümüz sorunun cevabı 4 iken akşam 5 olmaz. Bu aksiyom Uzaklık Aksiyomu olarak bilinir.
D) 7
A
B
0
7
Örnek. A(–5) ile B(12) noktaları arasındaki uzaklık kaç br dir? A) –17
B) 0
C) 7
D) 12
E) 17
Çözüm: A’nın koordinatını 0 yapmak için 5 eklemeliyiz. B’nin koordinatına da 5 ekleyince 17 olduğundan |AB| = 17 br dir. Doğru cevap: E.
Örnek. A(3) ile B(10) noktaları arasındaki uzaklık kaç br dir? C) 3
10
Uzun lafın kısası A’nın koordinatını 0 yapmak için ona kaç eklemek ya da ondan kaç çıkarmak gerekiyorsa aynı işlemi B’nin koordinatına da yapın, bulduğunuz değer |AB| değerine eşit olacaktır.
Aksiyom 3. Birbirinden farklı herhangi iki noktaya bir tek pozitif sayı karşılık gelir.
B) 0
B
3
A(3) ile B(10) noktaları arasındaki uzaklığı yani |AB|’yi hesaplamanın bir yolu da aynı sayı doğrusunun 0’a denk gelen noktasını A’ya getirince B noktasının o doğru üzerinde hangi reel sayıya geldiğine bakmaktır. Yukardan da görüldüğü üzere böyle bir hareket sonucunda B noktasının koordinatı 7 olacağından |AB| = 7 br dir.
Noktalara sayıların eşlenmesi aralarındaki mesafenin niceliğini bir başkasına rahat anlatma olanağı verir. A ile B noktaları arasındaki uzaklık, noktaların karşılık geldiği sayıların pozitif farkıyla hesaplanır. Bu uzaklık |AB| ile gösterilir. Yukardaki şekil için |AB| = b – a yazarız.
A) –7
A 0
Eğer doğru üzerindeki bir A noktası, bir ‘’a’’ reel sayısıyla eşlenmişse ‘’a’’ gerçel sayısına ‘’A noktasının koordinatı’’ denir. Gerekliyse eğer A(a) diye gösterilir. B
3
3 br
Şekilden de görüleceği üzere |AB| = 10 br – 3 br = 7 br dir. Doğru cevap: D.
Böyle bir doğruya daha önceki derslerimizde sayı doğrusu dendiğini de söylemiştik.
A
B 10
10 br
2 -2
7 br
A
Bu aksiyomla birlikte ölçümsel geometriye giriş yapılmaktadır. Bu aksiyom Cetvel Aksiyomu olarak bilinir. Hani daha ilkokula bile gitmeyen bir çocuğa defterin şeklini sorsanız dikdörtgen, tekerleğin şeklini sorsanız çember veya daire der ama onların çevrelerini veya alanlarını hesaplayamaz ya, noktaları reel sayılarla birebir ve örten olacak şekilde eşleyen bu aksiyomla birlikte uzunluk hesaplamalarına geçiş yapılabilecektir. Buradaki temel fikir şudur: Bir doğru üzerinde sonsuz farklı nokta alma hakkımız var ya, onun için doğruyu bir an noktalar kümesi olarak düşünelim. E reel sayılar da sonsuzdur. O halde doğru üzerindeki her farklı noktayı farklı bir reel sayı ile eşleştirmek mümkündür diyor.
E) 10
Çözüm: A(a) ve B(b) noktaları arasındaki uzaklık b – a br olarak tanımlandığından A(3) ile B(10) noktaları arasındaki uzaklık 10 – 3 = 7 br dir.
Ara bağıntısı ve Ara aksiyomları. B noktasının A ile C arasında olduğunun ne ifade ettiğini herkes bilir. Şekildeki gibi iki durum mümkündür:
Bir de şekille izah etmeye çalışalım: A(3) noktası sayı doğrusu üzerinde 0’a denk gelen noktanın 3 br sağında olan noktadır. B(10) noktası da 0’a denk gelen sayının 10 br sağında olan nokta demektir.
A
B
C
C
B
A
Eğer arada olmayı bir matematik kavramı olarak kullanacaksak, kesin olarak ne kastettiğimizi ifade edecek bir tanım vermeliyiz. Çünkü hislerimiz bizi aldatabilir. Bunu daha iyi anlamak için durumu çember üzerinde inceleyelim.
4
Mustafa YAĞCI
A
B
A
Geometriye Giriş
B
B
A
C
B
A C
C
C
Bu aksiyomla geometrimizdeki noktaların ve dolayısıyla doğru ile düzlemlerin sayısı sınırsız artmış oluyor. Çünkü P1 = P varlığından sonra A*P1*P2 olacak biçimde bir P2 noktasını, sonra bir P3 noktasının ve böyle devam ederek P1, P2, … , Pn, … gibi sayılabilir çoklukta noktaların varlığı bulunmuş olur. Böylece bu üçüncü aksiyomumuz geometrimizin sonlu geometri olmasını ortadan kaldırmış oluyor. Doğrunun Parçaları. Bir doğru üzerinde A ve B gibi farklı iki nokta alınsın. A ve B noktaları ile bu noktaların arasında ve onlarla doğrudaş olan noktaların kümesine doğru parçası, A ve B noktalarına da doğru parçasının uç noktaları denir.
En soldaki şekilde B noktası A ile C arasındadır demek akla uygun geliyor. C noktası sağdaki şekillerde görüldüğü üzere çember üzerinde hareket ettirilip A’ya yaklaştırılırsa bu kez A noktası B ile C arasında görünür. O halde bir çemberde arada olma kesin değildir. Çember üzerinde verilen üç noktadan her biri diğer ikisi arasındadır denebilir. Bununla beraber bir doğru üzerindeki üç noktadan her biri diğer ikisi arasında olduğunu söylemek kolaydır.
Bu doğru parçası [AB] ya da [BA] simgesiyle gösterilir. A
Tanım. Eğer A, B ve C aynı doğrunun farklı noktaları ve | AB| + |BC| = |AC| ise B noktası A ile C arasındadır.
B
[A B ] d o ð ru p a rç a sý A*P*B ise, P’ye [AB]’nin bir iç noktası denir.
Ara aksiyomları, tanımsız ara bağıntısı ya da daha açık olarak ‘arada olma’ bağıntılarıyla ilgilidir. Gauss, geometride böyle bir bağıntı ve bununla ilgili aksiyomların yer almadığını görerek, meslektaşı Farkas Bolyai’ye yazdığı bir mektupta bunların eksikliğinden ve bunları bir yerde göremediğinden yakınmıştır. Bu boşluk sonraları Pasch tarafından doldurulmuştur.
P
A
İç noktaların kümesini (AB) ya da ]AB[ ile gösteririz.
Bir d doğrusunun herhangi bir noktası doğrudan çıkartılırsa, d doğrusu iki parçaya ayrılır. C
Bir P noktasının A ve B gibi noktalar arasında olmasını [APB] veya A*P*B simgesi ile göstereceğiz. Noktalara da aynı doğru üzerinde bulunduklarından ‘’doğrudaş noktalar’’ diyeceğiz. Bu bağıntı ile ilgili aksiyom şudur:
A
A
(a )
A
B
P
P
A
A
] A C y a r ýd o ð r u s u
Bir A noktası ile AB yarıdoğrusunun birleşimine AB ışını denir ve [AB ile gösterilir. Özel olarak, A’ya [AB’nin başlangıç noktası denir. A
B
d C
B
] A B y a r ýd o ð r u s u
P noktası A ile B arasında ise şu şekillerden hangisini benimseyeceğiz, (a)’dakini mi yoksa (b)’dekileri mi? P
B
Bu parçaların her birine yarıdoğru ya da yarımdoğru denir.
A1. A*P*B ise A, P, B noktaları farklı olup doğrudaştır ve B*P*A dır.
A
B
B
B [ A B ýþ ýn ý
(b ) Doğru, doğru parçası, yarıdoğru ve ışın arasında sadece doğru parçasının boyunun hesaplanabileceğine dikkat ediniz. Çünkü diğer üçü en az bir yönde sonsuza uzamaktadır.
Sezgimizi kullanarak (a)’yı benimseriz. Bağıntımız tanımsız olduğundan, acaba (a) yerine (b)’dekileri benimseyemez miyiz? (b)’dekileri benimseme A2 aksiyomu ile önlenmektedir.
Bu kavramlar arasındaki ilişkiyi daha iyi kavrayabilmek için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
A2. Farklı ve doğrudaş olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasındadır
d bir doğru ve A, B, C, D noktaları bu doğrunun üstünde olsun.
Eğer (b)’yi örneğin b’de soldakini benimsersek, bu üç noktadan hem A hem P öteki ikisi arasında kalmış olur; bu da A2’ye aykırıdır.
A Yukardaki şekle göre; d [AB] = [AB]
A3. A ve B bir l doğrusu üzerinde ise farklı iki nokta ise, l üzerinde A*B*P olacak biçimde bir P noktası vardır.
5
B
C
D
d
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş
[AB] üzerindeki her nokta zaten d üzerinde bulunduğundan [AB] kümesi d’nin bir alt kümesidir. Böyle bir kesişim durumunda cevap tabii ki altküme yani [AB] çıkacaktır.
[BA ]BD = d [BA ışını B noktasıyla B’nin solunda kalan tüm noktaları temsil eder. ]BD yarıdoğrusu ise B’nin sağında kalan tüm noktaları temsil eder. Birleşme durumunda kümede hem B’nin solu, hem B’nin kendisi, hem de B’nin sağı yani tüm noktalar olacağından cevap d doğrusu olmalıdır. Aşağıdaki şekilde P düzlemi ve bu düzlemde bulunan l ve k doğruları ile bu düzlemi delip geçen bir d doğrusu görülmektedir.
d [BC = d [BC üzerindeki her nokta zaten d üzerinde bulunduğundan [BC kümesi d’nin bir alt kümesidir. Böyle bir birleşimde cevap tabii ki üstküme yani d çıkacaktır. [AB [CA = d [AB ışını A noktasıyla birlikte A’nın sağında kalan tüm noktaları temsil etmektedir. Diğer yandan [CA ışınıysa C noktası ile bu noktanın solundaki tüm noktaları temsil etmektedir. Bahsi geçen noktalar d doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil ettiğinden böyle bir birleşim bize d’yi verecektir.
B
l
A
P k
d Yukardaki şekle göre;
[AB [CA = [AC] [AB ışını A noktasıyla birlikte A’nın sağında kalan tüm noktaları, [CA ışınıysa C noktası ile bu noktanın solundaki tüm noktaları temsil etmektedir. Kesişim istendiğinden her iki ışın üzerinde bulunan noktalar kümesini cevap olarak vermeliyiz. Bu da kolayca görüleceği üzere [AB] doğru parçasıdır.
d P { A} Kesişim sorulduğundan kümelerin ortak elemanlarına bakmalıyız. A noktasından başka ortak eleman olmadığı aşikar. lP l l doğrusu P düzleminde bulunduğundan l’nin üstündeki her nokta zaten P düzlemindedir. O halde ortak olan elemanlar l’nin kendisini belirtir.
[AB [BC = [AB [AB ışını A noktasıyla birlikte A’nın sağında kalan tüm noktaları, [BC ışınıysa B noktası ile bu noktanın sağında kalan tüm noktaları temsil etmektedir. Anlayacağınız [BC kümesi [AB kümesinin altkümesidir. Birleşim bize üst kümeyi vereceğinden cevap [AB ışını olmalıdır.
l k {B} Farklı iki doğrunun en çok 1 tane ortak noktası olur o da kesişiyorlarsa kesişim noktasıdır. Şu durumda cevabımız B noktası olmalıdır.
[AB [BC = [BC Yukarda birleştirdiğimiz kümeleri şimdi kesiştirmemiz isteniyor. Bu durumda cevabın altküme çıkacağını biliyoruz. O halde cevap [BC ışını olmalıdır.
d k { A} Üstteki durumla aynı durum söz konusudur. d ile k doğruları A noktasında kesiştiklerinden cevap A noktası olmalıdır.
[BA [BC = {B} [BA ışını B noktasıyla birlikte B’nin solunda kalan tüm noktaları simgelerken [BC ışını B noktasıyla birlikte B’nin sağında kalan tüm noktaları simgeler. İlk ışınla ikinci ışın arasında ortak olan tek nokta B noktası olduğundan bu kümelerin kesişimi {B} olmalıdır.
d l d ve l doğruları farklı düzlemlerde olup kesişmediklerinden cevap olmalıdır. Böyle doğrulara aykırı doğrular denir. kP P k doğrusu P düzleminde bulunduğundan k’nin üstündeki her nokta zaten P düzlemindedir. O halde bu kümelerin birleşimi üstkümeyi yani P düzlemini belirtir.
{A} ]AB = [AB ]AB bir yarıdoğru olup sadece A’nın sağında kalan noktaların kümesidir. Bu kümeye A noktası eklenirse oluşacak küme A noktasıyla birlikte A’nın sağındaki tüm noktaları içereceğinden cevap [AB ışını olmalıdır.
A P A noktası k doğrusunun üzerindedir. k doğrusu P düzleminde olduğundan her noktası P düzlemindedir. O halde A noktası gerçekten P’nin bir elemanıdır.
[AB[ {B} = [AB] [AB[ kümesi A noktasıyla birlikte A ile B arasındaki noktaları simgeler. Bu kümeye B’nin eklenmesiyle hem aradaki noktalar hem de A ile B noktaları kümeye dahil olacağından cevabımız [AB] doğru parçası olmalıdır.
6
A d
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş
A noktası d ile k doğrularının kesim noktası yani bu kümelerin kesişimidir. Kesişim kümesindeki elemanlar her iki kümeye de ait olduğundan A noktası d’nin elemanıdır.
(aksiyomlarını) sırasıyla ve yeri gelince vereceğiz. Şu an sıra doğru parçalarının! Doğru Parçaları İçin Eşlik Aksiyomları. Aşağıda bu iş için bilimsel açıklama var ama iki doğru parçasının eş olması, kabaca aynı boyda olmaları demektir.
dP d’nin noktalarından sadece bir tanesi P’nin elemanıdır o da A noktası. Tüm noktaları P’ye ait olmadığından d doğrusunun P düzleminin bir altkümesi olduğunu söyleyemeyiz. lP l’nin tüm noktaları P düzleminde bulunduğundan l doğrusu P düzleminin altkümesidir.
[AB] ve [CD] gibi iki doğru parçasının tanımsız eşliğini [AB] [CD] olarak yazacak ve eşlikleri şekilde doğru parçalarının üzerine birer, ikişer eğik çizgiler çizerek göstereceğiz.
A
kP l gibi k’nin de tüm noktaları P düzleminde bulunduğundan k doğrusu P düzleminin altkümesidir. AB P AB k olduğunu görüyoruz. Diğer yandan olduğundan AB P olur.
F
B C
D
G
E
Yukardaki şekilde hem [AB] [CD] hem de [DE] [FG]’dir. Yani |AB| = |CD| ve |DE| = |FG|’dir. Dikkat edilecek olursa doğru parçalarında eşlik için yön veya doğrultunun önemi yokmuş, sadece uzunluğun önemi varmış!
kP
Hilbert, doğru parçalarının eşliği için şu üç aksiyomu vermiştir:
Bl B noktası k ile l doğrularının kesim noktası yani bu kümelerin kesişimidir. Kesişim kümesindeki elemanlar her iki kümeye de ait olduğundan B noktası l’nin elemanıdır.
E1. A ve B farklı iki nokta ve [AP herhangi bir ışın olsun.
{B} k B noktası k doğrusunun üzerinde olduğundan tek elemanı olan {B} kümesi, B’yi de içeren noktalara sahip k kümesinin altkümesidir.
Bir ucu A noktasında, öteki ucu ışın üzerinde olan ve [AB]’ye eş bulunan bir tek [AB] vardır.
B A
A'
P
B'
Anlatılmak istenen şudur: |AB| = a br olsun. AP ışını üzerinde A noktasına uzaklığı a br olan tek bir nokta vardır. O nokta da şekilde gösterilen B noktasıdır.
Al Hem A noktası hem de l doğrusu P düzlemindedir fakat l doğrusu A noktasından geçmediğinden A, l’nin elemanı değildir.
E2. Doğru parçaları için eşlik bağıntısı geçişkendir. Yani [AB] [AB] ve [AB] [AB] ise [AB] [AB]. Burada anlatılmak istenen de iki farklı doğru parçasının boyu aynıyken, üçüncü bir doğru parçası ilk ikisinden biriyle aynı boydaysa, diğeriyle de aynı boydadır. Evet farkındayım, çok açık ama bunu kanıtlamak şu an için mümkün değil. Aksiyomlar da zaten böyledir, doğruluğu su götürmez ama kanıtlamak da mümkün değil, dikkat edin kolay değil değil, mümkün değil.
Eşlik Bağıntısı ve Eşlik Aksiyomları. Dersimizin başında her nesneyi veya bağıntıyı tanımlayamayacağımızı ve her önermeyi kanıtlayamayacağımızı söylemiştik. Bunun nedenini de dilimiz döndüğünce açıklamıştık. Tanımsız kabul edilen kavramlar ‘’nokta’’, ‘’doğru’’ ve ‘’düzlem’’ idi, tanımsız kabul edilen bağıntılar da ‘’üzerinde/içeriyor olmak’’, ‘’arasında olmak’’ ve ‘’eş olmak’’ demiştik. Şimdiki dersimiz, tanımsız bağıntıların sonuncusu olan ‘’eşlik’’ bağıntısıyla ilgili. Tanımı olmadığından sezgisel olarak anlamaya çalışacağız.
E3. A*P*B ve A*P*B için [AP] [AP] ve [PB] [PB] ise [AB] [AB] olur.
“Eşlik” bağıntısı tanımsızdır. Çoğu zaman simgesiyle gösterilir. Yani A ile A şekilleri eş ise A A yazacağız.
A
P
B
A'
P'
B'
[AB] ve [AB] gibi iki farklı doğru parçası düşünün. Her iki doğru parçası üzerinde de birer nokta alın. Her iki doğru parçasında da bu noktanın hem sol köşeye uzaklıkları eşit
Önce A’nın bir doğru parçası olduğunu, daha sonra bir açı daha sonra da bir üçgen olduğunu farz ederek eşlik belitlerini
7
Mustafa YAĞCI
Geometriye Giriş
hem de sağ köşeye uzaklıkları eşitse, o zaman bu doğru parçalarının boyları eşittir demek istiyor. [AB] ve [CD] gibi iki doğru parçasının eşliği, Öklid anlamında, bu doğru parçalarının çakışabilmeleridir. Bu da [CD]’nin yerinden kaldırılıp (!) bir hareketle [AB] ile üstüste getirilmesi, yani C’nin A’ya konması halinde D’nin de B’ye gelebilmesidir (!). Bu iş başarılamayacağına göre, görev maddesel bir nesne olan pergele yüklenir. Pergelin birer molekül yığını olan uçları, [CD]’nin uçlarına konur ve hareketle pergelin bir ucu A’ya konup öteki ucun B’ye tam gelmesine bakılır. Bu iki işin anlamsızlığı ve olanaksızlığı böylece açıklanınca, eşliği belirtmek üzere bir tek yol kalıyor: Ya [AB] [CD] yazmakla yetinmek ya da bunu şekille şöyle göstermek: B A
C
D
Bu iki doğru parçasından birisi gözünüze daha kısa görünüyorsa da eşlikleri birer çizgiyle belirtilmiş bulunan bu doğru parçalarına eş gözüyle bakmak zorundayız.
A
B
C
Ancak yukardaki gibi A*B*C durumunda [AB] [AB] olup, [AB] [AC] alamayız. [AB] [AB] olmasına hatta daha genel olarak bir geometrik nesnenin kendisine eş olmasına özeşlik adı verilir.
8
