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Geometría Actividades Segundo grado de Secundaria

Editorial

Geometría Libro de actividades seGundo Grado de secundaria coLección inteLectum evoLución ©

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2013-11979 ISBN: 978-612-313-087-9 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300685 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941

La coLección inteLectum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la coLección inteLectum evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas

Páginas

Líneas y segmentos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

6 8

Ángulos

PRIMERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Triángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Triángulos rectángulos notables

29 31

Maratón matemática

35


Polígonos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Cuadriláteros Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Circunferencia

44 46 50 52 56 58


62


Semejanza de triángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Relaciones métricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Relaciones métricas en triángulos rectángulos

65 67 71 73 77 79


84 86


89

Polígonos regulares Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Área de una región plana

CUARTA UNIDAD

38 40


Proporcionalidad

TERCERA UNIDAD

21 23


Congruencia de triángulos

SEGUNDA UNIDAD

12 14


Geometría del espacio Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Transformaciones geométricas en el plano cartesiano

92 64

97 99

102 104


107 109


111

Unidad 1

Recuerda Euclides Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego. Posiblemente vivió entre el 365 y el 300 a. C., pero se desconoce su lugar de nacimiento. Se le denomina de Alejandría porque fue en esta ciudad donde desarrolló todo su trabajo. Su obra Elementos de geometría es el texto matemático de más éxito en toda la historia, tanto es así que hasta una época muy reciente se utilizaba como texto escolar en Inglaterra.

Arquímedes (287-212 a. C.) Se le considera padre de la ciencia mecánica, y el científico y matemático más importante de la Edad Antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton. En el campo de las matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón Arquímedes pidió que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro. A él debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos. ¡Eureka, eureka! ¡Lo encontré!, eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos, ya que medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer en la época de Arquímedes, pero con volúmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido.

Reflexiona • Todo esfuerzo se traduce en triunfo si es constante. • El único medio de alcanzar el éxito es merecerlo. • La vida es un deber que cumplir, un progreso que realizar, una prueba que superar y una eternidad que preparar. • Busca lo bueno en todo. En las personas, fíjate más en las cualidades que en los defectos; en las cosas y en los acontecimientos, busca el aspecto bueno y útil de los mismos.

¡Razona...! ¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para que el perrito vea a la izquierda y siga feliz?

Hasta que Arquímedes se dio cuenta de que cuando entraba en una bañera llena de agua hasta el mismo borde, se derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea de que si podía medir el volumen de ese agua derramada habría hallado el volumen de su propio cuerpo. En el año 212 a. C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geométricas. “No tangere círculos meos” (no toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras; en respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes.

A) 4

B) 5

C) 1

D) 3

E) 2

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

Líneas y segmentos

En la figura halla x si AB , CD. A

B

12

C

B) 5 E) 2

C)6

6

M

k

A) 2 D) 5

B) 3 E) 1

2

Intelectum 2.°

B) 36 E) 25

C) 30

En la figura, halla x. A

3k

B

C

x

D

E

F

17

A) 8 D) 9

C) 4

A, C, D y E son puntos consecutivos de una recta, tal que D es punto medio de CE y AC + AE = 50. Halla AD.

A) 30 D) 15

B) 29 E) 32

3

C N

En el segmento AB se ubican los puntos consecutivos M; N; O y P los cuales son los puntos medios de los segmentos AB; MB; NB y OB, respectivamente; calcula AP si AM = 16.

A) 28 D) 31 4

B D

6

D

En la figura halla k si AB , CD: A

5

x

7

A) 4 D) 3

3

2

C) 20

6

B) 10 E) 12

C) 11

Calcula AD, si: AB = BC = CD 2 3 4 A

4

A) 15 D) 13

B

C

D

B) 18 E) 22

C) 20

7

Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que: AD = 10; CD = AB + BC y BC = 2 , calcula BD. CD 5

A) 7 D) 12

9

B) 8 E) 10

8

C) 9

En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: AB = BC; CD = 2DE Calcula AD, si AB + AE = 6

A) 5 D) 4

P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta, de modo que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcula QR.

10

B) 6 E) 2

C) 7

En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: BD = 3 (AE) y AC + BD + CE = 40 5 Calcula AE.

A) 24 D) 16

C) 2 3

C) 8

C) 25

Se tienen los puntos A, B, C y D colineales y consecutivos tal que: AB = 8 y (AB)(BD) = (AC)(CD) Calcula CD.

A) 4 2 D) 12

B) 8 E) 16

5. E

10. B

8. D

9. B

7. A

C) 6

Claves

B) 7 E) 4 3

14

B) 29 E) 21

6. B

12. A 11. D

A) 6 D) 3 2

Se tienen los puntos colineales A, B, C, D y E, situados de tal forma que: AC + BD + CE = 45 y AE = 3 BD 2 Calcula AE.

A) 27 D) 23

En una recta se ubican los puntos A, B y C tal que M es el punto medio de BC. Calcula AM si AB + AC = 12.

C) 20

3. A

B) 1 3 E) 3 4

12

B) 25 E) 45

4. B

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que: AC + AB = 4 (BC). 3 Calcula AB . BC

A) 1 4 1 D) 6

14. B 13. A

13

C) 20

1. B

11

B) 9 E) 16

2. C

A) 10 D) 13

GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

Practiquemos Nivel 1

7.

x

Comunicación matemática 1.

A

Completa con las letras A; B; C; D y E en los recuadros si también son puntos consecutivos del segmento AE. B

8.

2.

B) 5 E) 4

a P

Ubica M si M es punto medio de AB y N, si N es punto medio de CD.

B

a E

9.

A

3.

C

Si:

AB = BA

A

B B

AB = BA

Razonamiento y demostración 4.

Según el gráfico, halla x. x A

5.

S

(2n + 1)

x 32

A) 5 D) 6

B) 7 E) 3

C) 5

n A 16

S

A) 6 D) 4

(x + 1) E

2x R

25

A) 6 D) 5

U

B) 4 E) 7

(2n - 1)

13

M

B) 8 E) 4

C) 3

C) 9

n E 31

n D

A) 6 D) 4

l

B) 8 E) 9

C) 7

13. Calcula b.

A 3

T

M

Calcula x. S

C) 7

12. Halla n. D

A) 6 D) 7

8

C) 3

Calcula x. 12

6.

B) 3 E) 6

10. Halla n.

P

B) 2 E) 5

E

C) 0

P

15

x

C

A) 1 D) 4

B) 2 E) 4

11. Halla el valor de x.

4 B 7

N

A) 2 D) 4

AB , BA A

A

(x + 3)

D

Indica si las expresiones son correctas () o incorrectas ().

2a

Halla x M

a

C) 3

R

x a

16

A) 1 D) 3

a

A

C

Halla a.

A

a

2x B 12

A) 6 D) 2

E

D

Halla x.

L 2

17

V x

8

E

A

6

B) 4 E) 8

Intelectum 2.°

C) 7

A) 4 D) 10

b B

16

b M

B) 5 E) 8

C

C) 7

21. Calcula BD.

Resolución de problemas

A

14. Halla AC. A

B

C

1

3x

D 2,5x

A) 4,5 D) 5,5

E

B) 4 E) 7

C) 6,5

N

3

P

4

5

Q

A) 10 D) 18

D

B) 24 E) 32

C) 25

Nivel 2 Comunicación matemática

15. Halla la distancia entre los puntos medios de NP y QR. M

15 C

A) 20 D) 12

4x

13

B 10

22. Completa los valores numéricos faltantes:

R

6

18

B) 16 E) 17

10

C) 15 15

16. Si: EL = 5, LA = 3 y TA = 10 T

E

L

5 A

23. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. El punto medio de un segmento equidista de sus extremos. ( )

Halla TE. A) 2 D) 4

B) 1 E) 5

17. Halla AC. A

a

C) 3

C

a

D

a

A) 2,5 D) 10

E

a

B) 5 E) 8

E

3

D

A

T 14

A) 13 D) 11

B) 12 E) 10

14

A) 9 D) 4

B 3k

D

C) 2

DN

MB

AB – AM

DN

C 5k

40

A) 20 D) 25

B) 15 E) 10

C) 35

26. Según el gráfico, halla x.

20. Halla x, si PS = 20. x

2x R

C

3

NC

Razonamiento y demostración

A

B) 5 E) 3

Q

N

8

AM

25. Halla BC.

4 C

C) VVF

B

M

C) 15

19. Halla (BC + CD). B

B) VFF E) FVV

8

A

M

A) 15 D) 16

( )

C) 15

20

P

III. El segmento de recta se extiende infinitamente.

24. Según el gráfico completa con = o , en los recuadros en blanco.

18. Halla ME.

A

( )

A) FFF D) VVV

20

B

II. Las rectas paralelas tienen un solo punto en común.

2,5 S

3x

B) 10 E) 11

A

C) 5

A) 3 D) 2

2x + 1 B

7,5

C

B) 4 E) 5

C) 6


9

34. Halla el valor de a.

27. Halla ( 2x + y). y

2x

A

2x

L

2a

y C

I 16

A) 3 D) 6

A

Y

B) 5 E) 8

C) 4

A

B (x + 3)

C (2x - 3) 36

E

A) 2 D) 6 (a + 1) (a + 2) C

A) 4 D) 7

C) 4

D

C) 6

C) 5

a

D

b

P

A) 9 D) 6

Q

29

M

C

30

B

C) 8

C

2x O

R

B) 8 E) 5

2x R 39

(2x - 1) E

B) 16 E) 28

A

C) 18

39. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Una recta es una sucesión de puntos en el espacio.

(2x - 3)

10 Intelectum 2.°

B) 12 E) 14

x

Comunicación matemática

C) 12

33. Calcula x. (x + 1)

C) 3

Nivel 3

B) 5 E) 15

(x - 1)

B) 1 E) 6

E

b

20

A) 4 D) 10

A

A) 20 D) 24

x C

Halla x.

2x

B) 4 E) 7

B

E

38. Halla (CO + RE).

(x + 1) (2x + 1) 30

32. Calcula x.

L

18

A) 10 D) 18

Y

A) 3 D) 6

A

4x

31. Halla x. T

C) 5

37. Halla AM.

E

B) 5 E) 8

A

O

B) 6 E) 5,5

A) 2 D) 4 2a

23

1,2 S 44x 5

36. Si: SA = 2x; LE = 3x y SE = 8x.

B) 3 E) 1

B

a

C) 7

1 A

6y

S

30. Halla a.

2,5 R

A) 1 D) 7

3

2

1,5 E

C) 7

P

x 14

2

A

D

B) 10 E) 9

C

B) 6 E) 11

A B

x

A) 6 D) 3

0,5

(x + 8)

29. Según el gráfico, halla x.

K

C

15

35. Halla (x + y).

D

A) 9 D) 12

A

B

a+1


28. Halla x.

a

2a - 1

( )

II. Una línea es una sucesión de puntos en un mismo plano. ( )

S

III. Una recta se extiende en un solo sentido. C) 7

A) VVF D) FFV

B) VFF E) FVV

C) FFF

( )

40. Completa los valores restantes:

46. Si: AB = BC y BC = CD . 2 3

18

A

B

C

12

D

Calcula AC. A) 7 D) 8

7

Razonamiento y demostración 41. Halla n. E 4

R n -7 20

7

A) 9 D) 6

B) 8 E) 4

C) 7

A) 8 D) 15

D

A) 16 D) 20

Halla BC. B) 1 E) 5

C) 3

B) 2 E) 4

C) 2 2

C) 10

48. Si: AB = 5BC, calcula a. B 2a - 3

C

A) 2,5 D) 4

18

B) 9 E) 11

A

1

B

C

Calcula AB.

42. Si: AC = 6 y AB = _64i6 . A

B

U

2

C) 5

47. Si: BC = CD y AC = 14. 2 6 A

P

B) 6 E) 10

C 5

B) 13 E) 21

C) 14

43. Calcula x.

A) 6 D) 8

39. A 40.

B

Nivel 3

M 12

41. E 42. D 43. C 44. A 45. B 46. B 47. A 48. C

A

x2 - 2

34. D 35. A 36. E 37. B 38. A

x2 - 2

B) 15 E) 18

C) 16

B

C

Nivel 1

45. Calcula AD, si AB = 3BC y BC = 2CD. A

22. 23. B 24.

D

D

C D D E E

A) 14 D) 17

C

9. E 10. C 11. A 12. B 13. A 14. E 15. A 16. A 17. D

B

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A

Nivel 2

x

25. D 26. D 27. E 28. C 29. B 30. A 31. E 32. D 33. B

44. Halla x. Si: BC = 3 , AB = BC y AD = 20. CD 4

18. A 19. A 20. C 21. A

C l a ve s


6

A) 59 D) 50

B) 54 E) 48

C) 25


11


ÁNGULOS

Halla m+DOB + m+COA, si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90°.

2

La diferencia de las medidas de los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Halla la medida del ángulo que forman la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB .

C D

B A

O

A) 180° D) 160°

3

B) 100° E) 130°

C) 150°

Calcula x, si m+POR = 100°.

A) 25° D) 18°

4

B) 5° E) 15°

Calcula x, si OB es bisectriz del ángulo AOC. C

P

B

R x

D

O

A) 20º D) 60º

5

C) 20°

B) 30º E) 75º

C) 40º

Calcula x.

A) 15° D) 30°

6

20°

O

4x

A

B) 10° E) 12°

C) 20°

¿A qué ángulo se le debe restar su complemento para obtener 10°?

(8x – 30°)

4x

A) 10° D) 30°

12 Intelectum 2.°

B) 20° E) 18°

C) 25°

A) 60° D) 25°

B) 15° E) 50°

C) 40°

7

Calcula x, si OM es bisectriz.

8

Si L1 ' L 2 , calcula x.

A

O

5x - 10° M 3x + 60°

x B

B) 40° E) 45°


10

B) 80° E) 100°

L2

B) 40° E) 50°

Calcula x, si L1 ' L 2 .

14°

L2

A) 10° D) 15°

C) 60°

12

B) 12° E) 14°

C) 13°


L1

x

L1

40°

2x

A) 35° D) 20°

C) 60°


L1

x+b 30° + a a b

x

A) 70° D) 40°

C) 35°

20°

11

150°

L2

A) 30° D) 25° 9

40°

L1

70°

L1

x 80° x

L2

A) 37° D) 60° Si L1 ' L 2 , calcula x.

Si L1 ' L 2 y a + q = 142°, calcula x. α

3α

C) 60°

L1

x

L1

x

A) 64° D) 70°

C) 135°

B) 74° E) 19°

5. A

10. C

8. B

9. E

7. C

C) 84°

Claves

B) 90° E) 150°

6. E

12. D 11. E

A) 45° D) 120°

L2

θ

L2

3. A

3ω

4. C

ω

14

B) 50° E) 85°

1. A

α

A) 40° D) 80°

C) 38°

2. E

14. A 13. A

13

B) 18° E) 45°

L2

x


13


5.

Calcula x.


Relaciona los conceptos con las figuras: I. Ángulo agudo.

C

B

(III)

2x 3x x

A

A) 20° D) 36° II. Ángulo obtuso.

(III)

III. Ángulo recto.

(III)

6.

B) 30° E) 32°

Clasifica los siguientes ángulos, si L1 // L2: L1

a c

x

x + 20°

A) 60° D) 72°

f

e

7.

C) 28°

Halla x.

x - 20°

2.

D

B) 52° E) 76°

C) 62°

Calcula x.

g h

b d

x 2x

L2

30°

I. Ángulos alternos internos:

y

II. Ángulos conjugados externos: III. Ángulos correspondientes: 3.

;

y

y y

; ;

A) 11° D) 10°

y y

8.

C) 24°

B) 36° E) 34°

C) 35°

Calcula x.

Completa los recuadros: 50° 70° 2x 75° 3x

70°

60°

A) 32° D) 33°


B) 12° E) 20°

9.

Calcula a.

Halla x. 30° 25°

2x 3x

A) 56° D) 59°

5α

B) 54° E) 62°

14 Intelectum 2.°

C) 38°

A) 33° D) 28°

50°

B) 32° E) 29°

C) 31°

10. Calcula a, si m+AOD = 130º.

15. Si L1 // L2, calcula x. 6x

C B

A

L1

D 40° 2α 30° O

A) 20° D) 25°

B) 30° E) 32°

C) 15°

A) 10° D) 26°

B) 20° E) 29°

8x

L2

B) 10° E) 2°

L1

130°

L1

40°

L2

5x

C) 3°

A) 10° D) 24°

B) 16° E) 26°

100°

38°

L1

L1 2x

20x

C) 3°

A) 19° D) 66°

B) 21° E) 71°

C) 30°


13. Si L1 // L2, calcula x.

18. Calcula x, si m+AOD = 102°.

4x - 20°

L1

60°

A x-α

L2

B) 60° E) 50°

C) 90°

B C

x x+α

O

D

A) 64° D) 27°

B) 36° E) 34°

C) 51°

19. Halla, m+POQ, siendo la m+AOC = 160°.


P

L1

4x 84°

Q

L2

B) 20° E) 26°

B

A α

O

A) 16° D) 24°

L2

L2

B) 4° E) 1°

A) 30° D) 20°

C) 20°



A) 5° D) 2°

C) 21°



A) 5° D) 7°

L2

120°

C) 21°

A) 40° D) 80°

α

θ θ

C

B) 100° E) 86°

C) 120°


15

20. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 40°. Calcula el mayor. A) 75° D) 25°

B) 45° E) 65°

28. Si L1 // L2, calcula x. 170°

C) 35°

L1

x

21. Dos ángulos congruentes miden: (4q + 28°) y (60° - 4q). Calcula q.

L2

140°

A) 10° D) 2°

B) 12° E) 6°

C) 4°

22. Las medidas de un par lineal se diferencian en 38°. Halla el mayor ángulo. A) 108° D) 86°

B) 98° E) 109°

A) 30° D) 60°

C) 96°

B) 56° E) 62°

40°

B) 54° E) 56°

L2

30°

A) 50° D) 80°

B) 60° E) 100°

C) 70°


C) 48°

L1

x 48° 25°

25. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 32°. ¿Cuánto mide el mayor? A) 102° D) 120°

L1

x

C) 58°

24. Dos ángulos complementarios se diferencian en 18°. ¿Cuánto mide el mayor? A) 46° D) 42°

C) 50°


23. Las medidas de un par lineal se diferencian en 58°. Halla el menor ángulo. A) 61° D) 59°

B) 40° E) 70°

B) 118° E) 98°

C) 106°

L2

A) 25° D) 18°

B) 20° E) 19°

C) 23°

Nivel 2


Comunicación matemática L1

40° x

A

120°

A) 80° D) 130°

L2

B) 100° E) 140°

C) 120°

α

B

I. +AOB , m+AOB , a III. m+BOA = m+AOB = a

110°

A) 85° D) 60°

O

II. +BAO , m+BAO = +a


x

31. Indica las notaciones correctas () o incorrectas ().

170°

B) 90° E) 40°

16 Intelectum 2.°

L1

32. Completa en los recuadros: 120°

L2

C) 80°

37. Calcula x. 20x 60° − α

2α

70°

A) 6° D) 10°

33. Si L1 // L2, clasifica los siguientes ángulos:

f e

g

B) 38° E) 36°

C) 31°

d

c

y + 10°

L1

4x

h

2y - 8°

L2

I. Correspondientes:

y

;

y

II. Alternos externos:

y

;

y

III. Conjugados internos:

C) 8°

38. Calcula x.

b

a

B) 7° E) 5°

y

;

A) 32° D) 28° 39. Si L1 // L2, calcula x.

y

6w


L1

x

34. Halla x.

4w

L2

x + 20° x

A) 60° D) 120°

2x

40°

A) 15° D) 30°

B) 28° E) 20°

C) 26°

B) 72° E) 140°


35. Halla a.

x

L1

80° - w 7w

2α α

A) 60° D) 100° B) 35° E) 37°

C) 55°

70° x2 - 11°

2x

A) 30° D) 60°

B) 70° E) 110°

x + 50°

B) 20° E) 50°

C) 40°

C) 90°


36. Calcula x.

40°

L2

70°

20° + 3α

A) 40° D) 45°

C) 108°

A) 6° D) 11°

B) 10° E) 7°

L1 L2

C) 9°


17

42. Si L1 // L2 // L3, calcula x. 10θ

48. Si L1 // L2, calcula el valor de x.

L1

x

L2

A) 30° D) 120°

B) 60° E) 150°

C) 90°

A) 60° D) 110°

C) 20°

44. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 64°. Halla el mayor. A) 124° D) 118°

B) 122° E) 114°

C) 18°

46. Si L1 // L2 // L3, calcula x. L1

A) 170° D) 140°

C) 150°

Nivel 3 Comunicación matemática 50. Relaciona los conceptos con los gráficos:

(3x - 20°) y (x + 28°). Calcula x. B) 16° E) 20°

B) 160° E) 130°

x

C) 116°

45. Dos ángulos opuestos por el vértice miden:

A) 24° D) 26°

C) 100°

10°

43. Uno de dos ángulos complementarios mide el cuádruple del otro. Calcula el menor. B) 18° E) 25°

B) 70° E) 130°

49. Calcula x.


A) 16° D) 15°

L2

x

L3

5θ

L2

L1

30° 100°

I. Par lineal

( )

II. Ángulos adyacentes

( )

III. Bisectriz

( )

α

θ

γ

50° x

70° L3

A) 115° D) 120°

B) 130° E) 150°

C) 110°

β

51. Clasifica los siguientes ángulos:

47. Si L1 // L2, calcula x. x

60°

18 Intelectum 2.°

β

θ

L2

B) 50° E) 140°

α

ω

L1

80°

A) 40° D) 80°

α

I. Ángulos consecutivos: C) 60°

y

;

y

II. Ángulos opuestos por el vértice: III. Ángulos suplementarios:

y

y ;

y

α

57. Calcula q.

52. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Dos rectas paralelas pertenecen a un mismo plano.

( )

II. Las rectas perpendiculares forman entre sí un ángulo agudo. ( ) 28° + x 3x - 40° 2(θ + 24°)

III. Las rectas secantes tienen al menos un punto en común. ( ) A) VFF D) FFF

B) VFV E) VVV

C) FFV

Razonamiento y demostración 53. Calcula q.

A) 35° D) 28°

B) 32° E) 37°

C) 34°

58. Si L1 // L2 // L3, calcula x.

2α

A) 60° D) 56°

L1

3α + 20°

120°

θ + 2°

B) 58° E) 70°

x

C) 62°

L2

110° L3

A) 10° D) 40°

B) 20° E) 50°

C) 30°

B) 15° E) 40°

C) 20°

59. Calcula x.

54. Calcula x.

θ

θ

160°

110° 2x

A) 5° D) 25°

B) 10° E) 35°

x

C) 15°

A) 10° D) 30° 60. Calcula x, si L1 // L2.

55. Calcula x.

5x x

7θ

L1 x

2θ

x L2

6x

A) 10° D) 40°

B) 30° E) 50°

C) 60°

56. Calcula x.

A) 10° D) 15°

B) 9° E) 18°

C) 20°

B) 120° E) 135°

C) 130°

61. Calcula x. 60° 20°

8θ

3x

x

7θ

A) 16° D) 18°

B) 15° E) 13°

C) 20°

A) 100° D) 150°


19

68. Calcula x, si L1 // L2.

Resolución de problemas 62. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida del ángulo? A) 45° D) 35°

B) 135° E) 60°

C) 105°

63. Uno de dos ángulos suplementarios mide el óctuple del otro. Halla el menor. A) 10° D) 24°

θ 2θ x

B) 20° E) 15°

C) 18°

64. Dos ángulos complementarios son entre sí como 2 es a 3. ¿Cuánto mide el menor? A) 26° B) 54° C) 42° D) 36° E) 38°

α

2α α

L2

A) 135° D) 160°

B) 130° E) 175°

α α

L1

θ

θ

x β

β

3x

w w

L2

L1 a b 50° w + 10° w

A) 100° D) 115°

A) 30° D) 50° L2

B) 105° E) 120°

B) 40° E) 55°

C) 110°

w

L1

w x

θ

a a α

θ

A) 20° D) 45°

x α

A) 30° D) 50°

θ

Cl aves Nivel 1

2x

θ

A) 30° D) 50°

C) 30°

C) 45°

67. Calcula x.

θ

B) 25° E) 50°

L2

B) 40° E) 36°

x

L2

L1

3x

C) 45°

70. Si: L1 // L2; además: a - q = x + 45º. Calcula x. 2

66. Si L1 // L2; calcula x. α

C) 145°

69. Calcula x, siendo L1 // L2.

65. Calcula x, si: a + b = 160° y L1 // L2. x

L1

θ

B) 40° E) 60°

20 Intelectum 2.°

C) 45°

1. 2. 3. 4. B 5. B 6. A 7. E 8. D 9. A 10. B 11. A 12. B 13. D 14. C

15. B 16. E 17. E 18. E 19. D 20. E 21. C 22. E 23. A 24. B 25. C 26. B 27. C 28. C 29. C

30. C Nivel 2

31. 32. 33. 34. D 35. D 36. A 37. B 38. B 39. B 40. E 41. C 42. B

43. B 44. B 45. A 46. D 47. A 48. E 49. A Nivel 3

50. 51. 52. 53. C 54. D 55. D

56. D 57. A 58. E 59. C 60. C 61. C 62. B 63. B 64. D 65. E 66. E 67. E 68. A 69. C 70. C


TRIÁNGULOS

De la figura, calcula x.

2

Halla (x + y), si el triángulo ABC es equilátero. B

x

40°

x

y

20° C

30° A

A) 100° D) 105°

3

B) 110° E) 80°

A) 60° D) 70°

C) 130°

Halla x.

4

B) 100° E) 120°

Halla q.

x

θ

30°

40°

120°

30°

A) 75° D) 82°

5

C) 80°

B) 70° E) 80°

A) 50° D) 30°

C) 60°

Calcula a.

6

B) 40° E) 25°

C) 35°

B) 70° E) 60°

C) 80°

Halla a. α

α 70°

4α

A) 7° D) 6°

B) 8° E) 9°

C) 10°

A) 65° D) 75°

80°


21

7

Calcula: (a + b)

8

Halla x. 60°

60°

60°

α

α

20°

A) 140° D) 150°

9

x +10°

β

β

B) 100° E) 110°

C) 120°

Calcula x.

10

β α

β

A) 20º D) 70º

B) 30º E) 50º

Halla x, si BM es bisectriz del +ABC. B

2x

θ

x β

5x

θ

A

β

A) 22,5º D) 95º 11

C) 40º

B) 20º E) 32,5º

80°

M

A) 30º D) 50º

C) 32º

Halla b.

30°

12

C

B) 40º E) 55º

C) 25º

Calcula x, si BH es altura y L es mediatriz de AB. B

γ 110°

γ

30°

θ

A) 80º D) 105º

13

L

β

θ

A

B) 70º E) 100º

C) 120º

Halla q, si EB es bisectriz del +ABH.

x

60°

C

H

A) 120º D) 115º

14

B) 150º E) 100º

C) 130º

Calcula x, si AM es mediana y PM = MC. B

B

x M

θ

C) 30º

A) 30º D) 40º

5. E

8. A 7. A

10. C 9. A

12. A 11. B

14. C 13. A

Claves

22 Intelectum 2.°

x

C

B) 60º E) 55º 6. B

B) 20º E) 25º

P

C) 45º

3. C

A) 15º D) 45º

A

C

4. A

H

1. B

30° E

2. D

A


5.

Calcula q.


θ

Relaciona los conceptos con las comparaciones de los ángulos del siguiente triángulo: 126°

150°

θ

A) 86° D) 84° α

2.

β

I. Triángulo equilátero

( ) a
II. Triángulo escaleno

( ) a=b=q

III. Triángulo isósceles

( ) a=q

6.

B) 85° E) 79°

Halla x. 70° 2x + 20°

x

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Según el triángulo:

A) 20° D) 30° a

b

7.

B) 25° E) 42°

50°

El perímetro está dado por: p = 1 (a + b + c) 2 2

C) 35°

Halla x.

c

3.

C) 76°

2

2

(

)

El teorema de Pitágoras es: c = a + b

(

)

El semiperímetro está dado por: 2p = a + b + c

(

)

Relaciona los conceptos con las igualdades según la siguiente figura.

x 30°

70°

A) 30° D) 20° 8.

B) 60° E) 10°

C) 50°

Calcula x.

y 75° x

5x

10x

z

I. Triángulo equilátero

(

) x = 90°

II. Triángulo rectángulo

(

) x = z = 110°

III. Triángulo isósceles

(

) x=y=z

A) 5° D) 8° 9.

B) 15° E) 9°

C) 7°

Calcula q.


60°

Halla x.

50° θ

105° 2x + 60°

A) 41° D) 36°

80° 37°

B) 42° E) 44°

C) 38°

A) 30° D) 35°

B) 20° E) 36°

C) 25°


23

15. Halla x.

10. Halla a.

α α

x

45°

2α

35°

A) 10° D) 20°

B) 15° E) 40°

C) 18°

11. Halla x. 4x +

A) 42° D) 58°

B) 48° E) 56°

8

70°

70

B) 15 E) 30

A

C) 20

12. Calcula a.

C

P

A) 8 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

17. Halla x. 2x - 10°

5

5 8α + 4°

G x

C

A) 10 D) 25

C) 40°

B

70°

A x+

θ

16. Halla x, si G es baricentro.

B

10

θ

64°

θ

5

A) 8° D) 12°

B) 9° E) 7°

C) 10°

13. Calcula q.

3x

θ

α α

A) 10° D) 18°

B) 15° E) 23°

C) 20°

18. Halla x. 7θ

α α

4θ 9θ

θ

x

A) 10° D) 15°

B) 12° E) 20°

C) 18°

65°

A) 40° D) 48°

θ

B) 35° E) 60°

14. Halla x.

C) 50°

Resolución de problemas 80°

19. Si BM es mediana, calcula AC. B

α

α

x

θ

θ A

A) 120° D) 115°

B) 118° E) 105°

24 Intelectum 2.°

C) 130°

5x - 20

A) 7 D) 14

M 2x + 1 C

B) 15 E) 28

C) 30

20. Calcula x, si BH es altura y BF es bisectriz del ángulo ABC.

25. En el gráfico, calcula x, si CP es bisectriz. B

B x

20°

100° P

A

50°

H

C

F

A) 50° D) 40°

A

B) 70° E) 65°

C) 60°

B

A) 45° D) 50°

B) 13 E) 10

C

D

B) 20° E) 30°

C) 12

120°

C) 35° x

α

2β

22. Si AD es altura, halla x.

α

A) 15° D) 60°

D

x

A

A) 60° D) 45°

C) 20°

27. En la figura, mostrada calcula x.

x

B

C

B) 25° E) 30°

A) 14 D) 11

60°

A) 15° D) 10°

x

26. Dos lados de un triángulo miden 6 y 8. Calcula el mayor valor entero del tercer lado.

21. Si BD es bisectriz, calcula x.

A

2x

2β

B) 30° E) 70°

C) 45°

Nivel 2

C


B) 55° E) 75°

C) 40°

28. Completa con AE; CE y BH según corresponda:

23. Calcula x, si BH es altura y BF es bisectriz del ángulo ABC.

E

B

B x

A

50° H

F

A) 10° D) 80°

30°

C

B) 20° E) 30°

C) 40°

24. Calcula x, si BH es altura. B

20°

A) 40° D) 5°

C

I. Bisectriz exterior

(

)

II. Bisectriz interior

(

)

III. Altura

(

)

29. Rellena los recuadros con las letras G (baricentro), H (ortocentro), O (circuncentro), E (excentro) e I (incentro) según corresponda:

x

A

A

H

C

H

B) 15° E) 30°

2k

C) 20°

k


25

35. Halla x. 60°

β

30. Si en un triángulo dos ángulos externos suman 270°, ¿qué triángulo es? A) Rectángulo B) Obtusángulo C) Equilátero D) Isósceles E) Acutángulo

x

α

β

A) 20° D) 30°

α

B) 15° E) 45°

C) 35°

36. Halla x. 64°

Razonamiento y demostración 31. Calcula q.

x θ 43° 35°

A) 58° D) 60°

θ

32°

A) 118° D) 120°

B) 125° E) 110°

β

θ

C) 130°

β

B) 48° E) 66°

C) 46°

37. Halla x, si BM es bisectriz. B 50°

32. Halla x. 5x

100° a

A) 5° D) 25°

a

3x + 16°

A) 6° D) 10°

3x

M

B) 8° E) 11°

C) 12°

B) 15° E) 10°

C) 20°

38. Halla x. 3x

33. Calcula (x + y). y

4x

α α

x A) 305° D) 250°

B) 310° E) 270°

C) 290°

A) 30° D) 29°

B) 60° E) 36°

C) 28°

39. Halla x.

34. Halla x.

60°

x

20°

30°

8x + 40°

3x + 10°

A) 5° D) 12°

θ θ

B) 8° E) 10°

26 Intelectum 2.°

C) 15°

A) 120° D) 118°

B) 105° E) 113°

C) 110°

A) 65 D) 63

Resolución de problemas 40. Si el triángulo ABC es equilátero, calcula x.

B) 67 E) 81

Nivel 3

B x

Comunicación matemática 80°

C

A

P

A) 10° D) 40°

B) 20° E) 15°

C) 30°

41. En el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B), calcula x, si toma un valor entero. A

B

5

A) 3 D) 6

C

B) 4 E) 7

Respuesta: 48. En un triángulo obtusángulo, el número de alturas exteriores es: A) 2 D) 4

B) 1 C) 3 E) Todas son interiores.

A) Solo I D) Todas

C) 5

42. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP (P ! AC) de tal manera que: AB = BP = PC. Halla la medida del ángulo interior C, si m+A = 80°. A) 80° D) 20°

47. ¿Qué clase de triángulo es aquel en el que el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el incentro coinciden en un mismo punto?

49. En un triángulo isósceles, la altura relativa a la base es a la vez: I. Mediana y bisectriz interior. II. Mediatriz de la base. III. Bisectriz exterior.

x

2

C) 64

B) 40° E) 60°

C) 100°

B) II y III E) I y II

C) Solo II

Razonamiento y demostración 50. Halla x. 20°

43. Calcula el mayor valor entero que puede tomar h, si a + b = 36. C b

h

40° a

A) 50° D) 53°

A

B

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 14

44. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si AM = 5x - 4 y MC = 3x + 6. Calcula AC. A) 5

B) 7

C) 14

D) 21

B) 60°

C) 53°

D) 75°

E) 30°

46. Calcula la suma de todos los valores enteros de x que hacen que el triángulo exista. x

5

7

B) 30° E) 60°

C) 70°

51. Halla (a + q). α

70° θ

E) 42

45. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BH y CL intersecándose en O tal que OH = AH. Calcula la m+C del triángulo ABC. A) 45°

x

A) 100° D) 110°

B) 90° E) 107°

C) 105°

B) 120° E) 121°

C) 100°

52. Halla x. 150° 70° x

A) 110° D) 118°


27

53. Halla x.

α x

18°

B) 12° E) 9°

C) 6°

β

A

C

A) 14 D) 17

β

B) 15 E) 18

C) 16

A) 15° D) 35°

B

B 15°

B) 53° E) 41°

C) 46°

55. Calcula x.

A) 4 D) 5

40°

α α

A

N

A) 12 D) 30

B) 24 E) 32

C

C) 27

C) 7

R B

C) 70°

58. En la figura PQ // AC, AB = 7 y BC = 9. Calcula PQ.

28 Intelectum 2.°

T P

α A

α

A) 100° D) 140°

ωω C

B) 120° E) 160°

Nivel 3

47. 28.

B) 8 E) 3

C) 130°

A D D A C A

A) 10 D) 4

Nivel 2

C

62. Halla m+ APT, si m+ CBR = 140°.

B) 45° E) 80°

58. C 59. D 60. D 61. C 62. E 63. C 64. A 65. B 39. C 40. B 41. D 42. B 43. C 44. E 45. A 46. D

6

4 A

D

48. A 49. E 50. E 51. D 52. C 53. E 54. B 55. B 56. E 57. B

B

C) 89,5°

C

B 150°

C) 4

61. En la figura, ¿cuántos valores enteros puede tomar el lado AC para que el triángulo exista?

C

B) 54,5° E) 35,5°

B) 3 E) 6

29. 30. A 31. E 32. B 33. E 34. B 35. D 36. A 37. E 38. E

D

57. En la figura, calcula x.

A) 30° D) 60°

M

20. C 21. A 22. D 23. A 24. C 25. C 26. B 27. D

2y - 15°

2x + 48°

60°

8

A) 2 D) 5 B x+y αα

A

B

2x

56. Halla m+DBC.

A) 72° D) 94,4°

4

C) 120°

C) 30°

65. Si M es baricentro y BM = 12, calcula (MN + BN).

60. Calcula el máximo valor entero de x.

B) 110° E) 150°

A

C) 7

B) 20° E) 18°

C

10. A 11. C 12. E 13. D 14. C 15. D 16. C 17. C 18. C 19. C

A) 100° D) 130°

B) 6 E) 8

A) 10° D) 15°


x

θ

C

x

H

C l a ve s

A) 50° D) 82°

θ

O A

2α

A

M

10°

α

x

38°

C) 20°

64. Si O es ortocentro, calcula x.

59. En la figura, calcula AC si AB = 5.

54. Halla x.

B) 10° E) 60°

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A) 10° D) 8°

α

Nivel 1

3x

63. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz BD del +ABC las cuales forman un ángulo de 20°. Si la m+A = 60°, calcula la m+C (AB 1 BC).

Q

B

P

Aplicamos lo aprendido tema 4:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Calcula x.

2

1

4

B

C

8 x

B) 18 E) 10

30°

B

D

A) 14 D) 13

Calcula AD, si BC = 11 2 .

A

A) 16 2 D) 16 3

C) 16

4

B) 13 2 E) 15

C) 16

Calcula x. B

B 45°

60°

A

C

20 45°

A

D

A) 5 D) 8

5

45°

C

12

A

D

x

3

3

Halla x.

B) 7 E) 5,5

C) 6

Si AB = 20, calcula DC.

37°

x

A) 28 D) 16

6

C

B) 29 E) 13

C) 32

Si DE = 3 y D es punto medio de AC , calcula BE. B

B

E

A

30°

D

A

C

A) 20 3

B) 4 3

D) 8 3

E) 10 3

C) 5 3

D

A) 7 5 D) 6

37º

B) 3 4 E) 4

C

C) 8 5


29

7

Si AB = 9, calcula AD.

8

B A

B

60° 45°

B

E

A

A) 2 D) 8

B) 7 2 E) 16

6

A) 4 D) 7 2 10

B) 8 2 E) 8

C) 4 2

Calcula x, si AB = BC = 10. B 120°

53°

E

12

A) 10 D) 20

A

B) 11 E) 17

Calcula x, si AB = AD y BD = 2.

C

x

A) 10 3 D) 3 2

C) 15

12

A

B) 5 3 E) 10

C) 10 2

Halla x, si AB = 2 y BC = 4. A

D

B

x

2

2 x

30°

A) 3 3 D) 2 5

13

D

8

C

A

11

C) 18 2

Si ABCD es un trapecio, halla CE. B

C 45°

D

9

Si ABCD es un cuadrado, halla BE.

B

C

B) 3 E) 2 3

120°

A) 7 D) 5

C) 5 3

En el cuadrilátero PQRS; PQ = 3 3 y QR = 2 3 . Calcula (PS + RS).

14

S

B) 3 7 E) 2 5

C) 2 7

Calcula (x + y). 45°

R

C

4

x

2 2 105°

120° Q

A) 2 + 2 3 D) 4 + 2 3 6. A 5. E

8. C 7. C

10. A 9. A

12. C 11. E

14. C 13. A

Claves

30 Intelectum 2.°

B) 2 + 4 2 E) 4 + 3 3

C) 6 + 2 3

3. E

C) 16

4. A

B) 14 E) 18

1. D

A) 15 D) 17

2. A

P

30°

y


6.

Halla x.


45° x

Relaciona según el siguiente gráfico.

2

Si a < b, entonces: c

a

b

2.

I) Cateto mayor

( )c

II) Hipotenusa

( )a

III) Cateto menor

( )b

A) 4 2 D) 2 7.

45°

60°

4

a 2

C) 2 2

B) 2 3 E) 4

C) 4 3

B) 6 E) 9

C) 8

Halla x.

Completa los recuadros en blanco.

a

B) 4 E) 6

60°

x 3

3.

A) 2 D) 5

Relaciona: I. Triángulo rectángulo notable pitagórico.

(

) Lados enteros.

II. Triángulo rectángulo notable aproximado.

(

) Ángulos irracionales.

III. Triángulo rectángulo notable exacto.

(

) Ángulos de 15° y 75°.

8.

60° 12

x

A) 6 2 D) 6 3


Halla x. 9. 4 2

Halla x.

x

x

30°

60°

A) 2 D) 3 5.

Halla x.

B) 4 E) 3 2

C) 2 2

Halla x.

2 3

A) 6 D) 3

B) 3 2 E) 4

C) 3 3

B) 8 2 E) 2 2

C) 6 2

10. Halla x. 45° 2x

8

x

A) 4 2 D) 6

45°

B) 4 E) 8

4

C) 8 2

A) 2 D) 6


31

11. Halla x.

17. Halla: PR , si ABCD y PQRS son cuadrados. CD x

2 3

Q

B

C

P

60°

R S

A) 2 D) 10

B) 6 E) 4

3 3 D) 1 3

B)

2 4

C)

Nivel 2

8x

12

2 2 E) 2 3

A)

12. Halla x. 60°

D

A

C) 8

Comunicación matemática 18. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

A) 6 D) 2

B) 8 E) 1

C) 3

Resolución de problemas 13. En la figura; si AC = 2BC, calcula x. A E

G x

D

I. Los lados de un triángulo pitagórico son enteros negativos (Z-).

(

)

II. Solo los triángulos rectángulos de 30° y 60°, y el de 45° son exactos.

(

)

III. Los ángulos de los triángulos notables aproximados son irracionales.

(

)

19. Completa con: cateto menor, hipotenusa y cateto mayor, según corresponda: φ

I. Si b = 90°

F

φ

C

B

A) 40° D) 37°

C) 30°

B) 18 3 cm E) 24 3 cm

& AB es

B) 6 3

3 6

E)

C) 24 cm

3 4

C)

B

A) 24 D) 19

C

20. Llena los recuadros con los valores que corresponden. 2 3

3

2

2


m

21. Calcula: x2 + 7 x+1

D A

θ

3 2

16. Halla AB, si CD = DE = 5 y AE = 13. Además, m // n . C

B

& BC es

15. La altura de un triángulo equilátero mide 3. Halla su perímetro.

D)

β

III. Si b = 90° y a 2 q

14. Calcula el perímetro de un triángulo equilátero si una de sus alturas mide 4 3 cm.

A) 2 3

α

II. Si b = 90° y a 2 q B) 20° E) 53°

A) 18 cm D) 16 3 cm

A

& AC es

41

n 40

B) 25 E) 20

32 Intelectum 2.°

C) 23

A) 8 D) 71

B) 9 E) 81

C) 64

22. Calcula AB, si CD = 3.


D

27. En la figura, calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD. D

4

120° 37°

A

45°

B

C

6 C

A) 5 D) 2

B) 4 E) 1

C) 3

A

30°

B

A) 15 + 4 2 D) 11 + 5 3

2

23. Calcula: x - 1

B) 16 + 3 5 E) 6 + 3 4

C) 18 + 5 4

28. En la figura, calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa. B

13

x

3m 5

A) 12 D) 145

B) 144 E) 25

C) 143

24. Calcula: x + 1

15°

A

A) 4 m

B) 5 m

C) 6 m

C

D) 7 m

E) 8 m

29. En un triángulo ABC equilátero, calcula: MN + NP B P

25

x

N A

24

A) 7 D) 10

B) 8 E) 12

C) 9

8

M

A) 2 10 D) 10 3

C

8

B) 4 5 E) 6 3

C) 8 2

Nivel 3

25. Calcula ab.

Comunicación matemática 6

30. Demuestre que c2 = a2 + b2 (teorema de Pitágoras) a partir de la siguiente figura, sugerencia: “El área de un trapecio está dado por la semisuma de sus bases multiplicado por su altura”.

a

C

45°

B

b

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

26. Calcula BC, si AB = 5.

a

c

A

b

a

D

O

15 53°

A) 6 D) 12

E

b

31. Rellena los recuadros si los triángulos ABC y AOC son triángulos pitagóricos.

B

A

c

30°

B) 8 E) 15

20

A

C

C) 10

7 B

C


33

32. Completa los recuadros en función de a.

37. En la figura, AB = 2 2 . Calcula AD. D

30°

C 45°

15°

37° B

A

A) 4 D) 6

2a

B) 3 E) 7

C) 5


45°

38. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH y luego la altura HD (D ! BC), si: BC = 2HC y HD = 2, calcula AB.

Razonamiento y demostración 33. Si: AB = 18, calcula BC. A) 20 B) 24 C) 28 D) 30 E) 36

B C 22°

15°

A

D

A) 4

20

a

b

Q

S

C

R

A) 14 3 D) 16 3

B) 14 E) 11 3 + 3

C S T

30°

2 3m

A

A) 12 D) 30

C

B

A) 4 m2 D) 6 m2

B) 8 m2 E) 7 m2

D

53°

A

Nivel 1

A) 2 2 m C) 4 2 m

45° 60°

D) 9 2 m E

34 Intelectum 2.°

P

B

B) 15 E) 24

C) 20

Cl aves

B) 3 m

B

R

C) 5 m2

36. En la figura DE = 5 m. Halla AE. C

C) 16

40. Halla SR, si el triángulo ABC es equilátero, cuyo lado mide 32 3 y P es punto medio de AB .

D

30°

E) 10

P

35. En la figura, calcula (AB)(BC).

A

D) 9

B

A

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C) 8

39. Si ABC es un triángulo equilátero, AB = 12 y PB = 4. halla el perímetro de PQRS.

34. Calcula: (b - a)

37°

B) 6

E) 3 2 m

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

C E C E D

9. D 10. E 11. A 12. C 13. C 14. C 15. B 16. B 17. E

Nivel 2

18. 19. 20. 21. D 22. E 23. C 24. B 25. C

26. B 27. D 28. C 29. D Nivel 3

30. 31. 32. 33. B

34. D 35. B 36. A 37. C 38. C 39. E 40. D

Matemática En un triángulo acutángulo ABC, con ortocentro H y circuncentro en O, calcula m+HAO en función de los ángulos b y q, si m+ABC = b y m+ACB = q (m+ABC > m+ACB). Resolución:

A

θ−y

x

H

2β θ−y y C

O β B

Q

Asignamos la variable “x” para m+HAO y la variable “y” para m+OCB & m+HAO = x / m+OCB = y; luego m+ACO = m+ACB - m+OCB. Reemplazando: m+ACO = q - y; pero el TAOC es isósceles dado que O es el circuncentro, por lo tanto: m+ACO = m+CAO = q - y Además: m+AOC = 2m+ABC & m+AOC = 2b En el cuadrilátero cóncavo AOCQ: 90° + x + y = 2b ... (I) En el triángulo rectángulo AQC: 2q - y + x = 90° ... (II) Finalmente, sumando (I) y (II): 2q + 2x = 2b & x=b-q

1.

En la siguiente figura, calcula x.

4.

B 100°

20°

40°

A

A) 10° D) 40° 2.

B) 20° E) 50°

D) 5 13 cm 3

80° D

C) 30°

5.

E) 4 13 cm

Siendo CE = CD; calcula x.

A B

2x E

A

A) 30° D) 45°

θ θ

x

B) 40° E) 26°

D

C) 50°

6.

x

30°

A) 45° D) 75° C

M

B) 30° E) 15°

D)

b_ 5 + 1i 4

B) b 3 E) b 2 2

15°

C

C) 60°

En la siguiente figura BM es mediana; AH = 16 y HM = 15, halla HC. B

En un triángulo rectángulo la mediana relativa a un cateto de longitud “b” se interseca perpendicularmente con la mediana relativa a la hipotenusa. Teniendo en cuenta esto, halla la longitud del otro cateto. A) b 2

C) 3 3 cm

Si en el siguiente triángulo AM es una mediana; entonces calcula x.

B

3.

B) 4 13 cm 3

A) 2 13 cm

C

x

Si la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y forma un ángulo de 30° con el cateto mayor, entonces la distancia en cm del baricentro al vértice opuesto al cateto menor es:

H A

C) b 3 3 A) 17 D) 40

M

B) 30 E) 16

C

C) 34


35

Unidad 2

Recuerda Reflexiona

Nicolás Copérnico (1473-1543) Nació el 19 de febrero de 1473 en Thorn y murió el 24 de mayo de 1543 en Frauenburg. Siguió la carrera eclesiástica en la Universidad de Carcovia, para marchar en 1496 a Italia donde se matriculó en la facultad de leyes, aunque su pensamiento y su afición estaban más cerca de la astronomía.

• El remedio de las injurias, es el olvido de ellas. • Aquel que perdona una injuria, obliga a su enemigo a injuriarse a sí mismo.

Copérnico pensó que se podrían calcular más fácilmente las tablas de las posiciones planetarias si se consideraba al Sol como el centro del universo, lo que implica que los planetas son los que giran alrededor del Sol. Trabajó en el desarrollo de un completo sistema matemático para demostrar su teoría.

• El recogimiento y la meditación son las primeras potencias del hombre. • Aquel que se acomoda a lo que fatalmente sucede, es sabio y apto para el conocimiento de las cosas divinas.

¡Razona...! Se quiere medir exactamente 7 litros de agua pero solo se dispone de envases de 3 y 5 litros. ¿Cuántos transvases como mínimo se deben hacer?

Agua

A) 5

B) 6

5L

C) 7

3L

D) 4

E) 3


Congruencia de triángulos

Calcula MN.

2 P

Del gráfico, calcula x, si LC = 2(AL). B α α

5 Q 3

α α

M

A) 8 D) 9 3

A

N

B) 7 E) 12

x

4 α

A) 60º D) 35º

C) 6

Calcula (x + y).

4 α

y

,

θ

θ

7

5

C

B) 30º E) 45º

C) 40º

En la figura, calcula BC si CD = 15. B

4

C

9

α A

A) 15 D) 12

x

L

B)18 E) 16

D

A) 12 D) 14

C) 19

6

En la siguiente figura, halla x, si AB = DC.

α

53°

B) 18 E) 20

C) 21

Calcula BM, donde M es punto medio de AC. B

B

6 3

6

E x A

8

H

A) 6 D) 15

38 Intelectum 2.°

A

C

D

B) 8 E) 12

C) 9

A) 10 D) 6

C

M

B) 3 E) 8

C) 4

7

Del gráfico, si AC = 10, calcula BD.

8

Calcula x. B

B x

E 2α

A

α

A) 5 D) 9

C) 7

x

D

C

A) 65° D) 52°

Halla x.

10

B) 60° E) 85°

Calcula x, si AC = 6x. B

B

x+4 C

A) 8 D) 3 11

A

B) 4 E) 5

C) 6

A) 2 D) 5

Si: AB = DC, calcula x.

12

B

A

80°

B) 3 E) 6

D

40°

C

C

H 120°

A

A) 80° D) 20°

C) 50°

A) 10 D) 12

En un triángulo isósceles ABC (AB = BC). En la prolongación de la ceviana interior BD se ubica un punto P tal que m+ABP = m+BPC = 90°, si AB = DP + CP, calcula la m+DBC.

14

B

A

C D

E

A) 1 D) 4

C) 30°

B) 3 E) 5

5. B

10. A

8. B

9. E

7. A

C) 2

Claves

B) 60° E) 53°

C) 7

En la figura, AE = 6 y FC = 8, calcula FE.

F

12. C 11. B

A) 45° D) 40°

P

B) 6 E) 9

6. D

14. C 13. A

13

B) 40° E) 60°

C) 4

En el gráfico, calcula BC si AH = 2 y HC = 5; además BC // AP y PC = 2 3 BH 3 B

x

C

M

3. E

20

4. A

A

N

x

1. C

M

C) 70°

2. B

9

B) 6 E) 11

20°

A

C

D


39

Practiquemos 5.

Nivel 1

Halla x.


A) Isósceles D) Congruentes 2.

B) Escalenos E) Equiláteros

B

10°

6.

AB , 3.

R

C

Si para las tres figuras se cumple que TABC , TADC, indica el criterio de congruencia (LAL, LLL o ALA). I.

B φ

A

B) 16 E) 7

2x

T

C

φ

(

C) 4

24

24

88°

A) 24° D) 44° 7.

B) 36° E) 46°

C) 42°

B) 5 E) 8

C) 6

Halla x. 16

)

26

10

26

y AC ,

36°

Halla x. 10

α

20

8

A) 8 D) 2

S α

10°

C) Obtusángulos

Completa los recuadros en blanco para que se cumpla que TABC , TRST.

A

36° 2x

20

En un triángulo isósceles, la altura relativa a la base divide a dicho triángulo en dos triángulos:…

2x + 6 β

β

D A

II.

D

α

θ

(

B

A) 4 D) 7

) 8.

A

(

A) 50 D) 30

) 9.

D

C

B) 45 E) 25

C) 60

B) 15° E) 25°

C) 20°

Halla x.

B

120°


60°

60°

C

III.

80

2x - 10

α

θ

Halla x.

4x

Halla a. A) 10° D) 30°

36° 36°

A) 48° D) 64°

10. Halla x.

112° 60° + α

x + 10°

B) 64° E) 63°

40 Intelectum 2.°

C) 52°

A) 40° D) 60°

60° 32°

B) 30° E) 20°

32°

C) 50°

11. Halla a.


15

16. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

28° 28°

E

2a - 1

α

B α

A

A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

D

Resolución de problemas 12. Si M, N y L son puntos medios de AB , BC y AC respectivamente, además; AB = 12; AC = 16 y HL = 2, calcula el perímetro del cuadrilátero MNLH. B

C

I. +EAI , +IAD II. AI = IB III. IC = ID

N

H

( ) ( ) ( )

17. Completa los cuadros en blanco para que en cada caso el TABC , TBDC.

M A

F

I

C) 8

A

B D

C

L

A) 20 D) 26

B) 22 E) 28

C) 24

I) Caso ALA: si +ABC ,

13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y luego se traza la mediatriz de BD que interseca a la prolongación de AC en E. Si la m+A = 40°, calcula la m+EBC. A) 20° D) 45°

B) 25° E) 50°

C

C) 40°

y

II) Caso LLL: si AB , III) Caso LAL; si

, +BCD

y

, CD

, BD y

, +DBC

18. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: B

14. En la figura, AC es bisectriz del ángulo BAD. Si: AF = BF = FC y BC = 2, calcula CD.

α

M

N

B A

C F A

A) 8 D) 2 2

D

B) 4 E) 2 3

B) 22,5° E) 45°

C

P

I. +BNM , +BCP

(

)

II. BN = NC

(

)

III. 2NP = AB

(

)


C) 2

19. Hallar a + b, en:

15. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de AB y la bisectriz del ángulo interior A se intersecan en un punto de BC. Calcula m+B. A) 18° D) 36°

α

C) 30°

14

a φ

φ 16

A) 20 D) 32

B) 30 E) 36

b

C) 28


41

20. Halla y.


48° 48°

2y - 7

A) 8 D) 10

B) 9 E) 6

25. Calcula PQ, si LT = 6.

13

B

A

21. Halla x (RM es mediana). R

M

Q

C) 7

α α

L

P

6

A) 12 D) 18 x + 28

Q

B) 9 E) 6

B

P

M

B) 7 E) 9

C) 6

H A

C N

22. Halla x.

A) 4 D) 7

x +13

A) 4,5 D) 9

A) 8 D) 5

B) 7 E) 18

C) 17

23. Halla x. γ

120°

B) 5 E) 8

C) 6

27. En un triángulo ABC, la m+A = 105°; m+C = 25° y AB = 9. Si la mediatriz de AC interseca a BC en P, calcula PC.

2x - 1

13

C) 3

26. Si: AM = MC; BC - AH = 5, calcula CN.

M 6x + 20

A) 8 D) 5

C

T

6 2x 6 γ

B) 6 E) 12

C) 18

28. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de AC interseca a BC en D tal que DC = 2(BD). Calcula la m+C. A) 25° D) 45°

B) 26,5° E) 37°

C) 30°

13

Nivel 3 A) 20° D) 15°

B) 10° E) 18°

C) 30°

24. Halla x.

x

θ

26°

26°

Comunicación matemática 29. Completa los recuadros en blanco con los símbolos presentes en la siguiente figura.

8+a

θ 8+a α

12 + a a

A) 3 D) 2,5

B) 4 E) 4,5

42 Intelectum 2.°

C) 5 θ


35. Calcula BP, si AM = MC = 10.

I. La altura relativa a la base de un triángulo isósceles también es la mediatriz de dicha base. ( II. La base media de un triángulo se encuentra entre los puntos medios de su base y de un lado.

(

III. La base de un triángulo isósceles es cualquiera de sus lados congruentes.

)

(

)

31. Completa los recuadros en blanco con las notaciones de triángulos que corresponden: B α

E

α α

32. Si AH = HC, calcula x.

x +3

B) 3 E) 6

C) 4

D) 4

E) 5

x2 - 1

A) 1

B) 2

8 α

C) 3

37. En un triángulo ABC isósceles, recto en B, halla la distancia entre los pies de las perpendiculares trazadas desde A y C, a una que pasa por B y corta a la hipotenusa, sabiendo que A y C distan de dicha recta 5 y 12 unidades, respectivamente. B) 4

A) 2

B) 2,5

A) 4

B M

H

C

b

B) 5

C) 5

D) 6

E) 7

C) 1,5

D) 0,5

E) 1

C) 6

D) 3

E) 7

40. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles DAC, recto en A, luego se traza DE = BC . Calcula DE, si AB = 12, BC = 16 y EC = 4. A) 26

B) 6 E) 15

B) 28

C) 20

D) 24

E) 18

C) 8

C l a ve s

34. Calcula: x + 10°

Nivel 1 1. D 2.

x

B) 55° E) 45°

E) 8

39. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcula el mayor valor entero de la mediana BM.

33. Calcula AM, si MC = 10.

A) 16° D) 34°

D) 7

Calcula BH.

C

H

c

C) 6

38. En un triángulo ABC recto en B la bisectriz exterior del +A y la prolongación de la altura BH se intersecan en F tal que: AB + AH = 4; HF = 3.

19

2

A) 5 D) 10

C

36. Calcula x.

A) 3

B

b

P



A

B) 5

C

D

, TABE y THGD ,

A) 2 D) 5

A) 10

θ

M

α

H

A

θ

A

α

F

A

&

G

α

B

)

3.

c

4. C

35°

5. C 6. D

C) 65°

7. B 8. B

9. D 10. C 11. C 12. B 13. C 14. C 15. D

17.

Nivel 2 16.

24. B

18. 19. B 20. D 21. E 22. D 23. C 25. E

26. B 27. D 28. C

34. D

Nivel 3 29. 30. 31. 32. C 33. D

37. E

35. A 36. C 38. A 39. E 40. B


43


Polígonos

¿Cuál es el polígono convexo cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18?

A) Hexágono C) Cuadrado E) Nonágono 3

5

B) Dodecágono D) Pentágono

¿Cuántos lados tiene el polígono cuya diferencia entre la suma de las medidas de los ángulos internos y la suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 1080°?

A) 8 D) 13

2

B) 9 E) 20

A) Endecágono C) Decágono E) Tridecágono

44 Intelectum 2.°

A) 43 D) 21 4

B) Icoságono D) Pentadecágono

B) 27 E) 36

6

C) 72

¿Cómo se llama el polígono regular cuya suma de sus ángulos internos es igual a 3 veces la suma de sus ángulos externos?

A) Octágono C) Hexágono E) Undecágono

C) 10

¿Cómo se llama el polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a la suma de las medidas de sus ángulos externos aumentado en 1260º?

Si las medidas de los ángulos interior y exterior de un polígono regular están en la relación de 7 a 2. Calcula el número de diagonales que tiene el polígono.

B) Decágono D) Heptágono

Halla el número de diagonales de un decágono.

A) 42 D) 40

B) 37 E) 54

C) 35

A) 1872° D) 1750°

B) 180 E) 200

B) 14 E) 12

B) 7 E) 9

12

C) 15

B) 32 E) 20

14

B) 1800° E) 2160°

C

B

α

A

α

D

E

F

A) 100° D) 150°

C) 20

B) 110° E) 160°

C) 120°

Claves

9. C 10. A

B) 18 E) 24

C) 1980°

Del gráfico mostrado, calcula a. α

11. e 12. B

A) 16 D) 22

C) 43

En un polígono, la suma de los números de lados, vértices y ángulos interiores es igual a 36. Calcula la suma de los ángulos interiores de dicho polígono.

A) 1620° D) 2070°

¿Cuántos lados tiene un polígono convexo, cuya suma de ángulos internos y exteriores es igual a 3960°?

C) 8

Calcula el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40°.

A) 27 D) 29

C) 170

Determina el número de lados que posee un polígono de 54 diagonales.

A) 24 D) 32

13. D 14. D

13

10

7. B 8. D

11

A) 6 D) 5

C) 2140°

¿Cuántas diagonales tiene un icoságono?

A) 150 D) 175

¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde 3 vértices consecutivos en un pentágono?

5. A 6. C

9

B) 2340° E) 1800°

8

3. C 4. A

Halla la suma de los ángulos interiores de un pentadecágono.

1. e 2. B

7


45

Practiquemos 5.

Nivel 1

A) 6 D) 10


Indica cuáles polígonos son convexos y cuáles son concavos: B

A

Calcula el total de diagonales de un pentágono.

6.

7.

E

F

8.

2.

En la figura siguiente coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: N

B

D

F

( ( ( (

) ) ) )

B

C

E

F

I. Polígonos con todos sus ángulos rectos: II. Polígonos con algún ángulo recto: III. Polígonos sin ningún ángulo recto:

A) 1500° D) 1780°

Halla la suma de los ángulos internos de un dodecágono. B) 1800° E) 1200°

B) 12° E) 15°

C) 132°

B) 4 E) 9

C) 5

C) 900°

B) 1600° E) 1850°

C) 1620°

12. Halla el número de lados de un polígono regular de lado igual a 4; si el número de diagonales es cuatro veces su perímetro. B) 35 E) 38

C) 40

13. En un polígono de n lados, desde (2n - 19) vértices consecutivos se pueden trazar (5n + 1) diagonales. Calcula n. A) 13 D) 14


46 Intelectum 2.°

C) 610

11. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono cuyo número de diagonales es igual al cuádruple del número de lados.

A) 36 D) 50

A) 720° D) 1440°

B) 594 E) 680

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es equivalente a 56 ángulos rectos. Halla la medida del ángulo central de dicho polígono.

A) 3 D) 6

Clasifica los siguientes polígonos de acuerdo a la rectitud de sus ángulos. D

4.

C) 32

10. En un polígono convexo, se toma un punto en uno de sus lados y se une con los vértices formándose 4 triángulos. Calcula el número de diagonales de dicho polígono.

M

I. MN es una diagonal media. II. AN es una diagonal media. III. FD es una diagonal. IV. CM es una diagonal.

9.

A) 30° D) 32° E

A

A

B) 36 E) 30


C

3.

C) 44

Calcula el total de diagonales de un polígono de 36 lados. A) 596 D) 650

• Polígonos cóncavos: • Polígonos convexos:

B) 48 E) 56

Halla el total de diagonales de un nonágono. A) 28 D) 27

D

C) 9

Calcula el total de diagonales de un endecágono. A) 46 D) 52

C

B) 7 E) 5

B) 12 E) 16

C) 15

14. Si a la medida del ángulo interno de un polígono se le disminuye 10°, resulta la medida del ángulo interno de otro polígono regular cuyo número de lados es 2/3 del número de lados del polígono original. Calcula el número de lados del primer polígono. A) 20 D) 16

B) 28 E) 18

C) 15

15. En un polígono equiángulo, la relación entre las medidas de un ángulo interior y otro exterior es como 5 a 1. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono? A) 18 D) 54

B) 36 E) 52

C) 42

16. En un polígono regular, se cumple que un ángulo exterior excede en 60° a un ángulo interior. Calcula el número de lados. A) 6 D) 5

21. Calcula el número de diagonales que le falta trazar al polígono.

B) 4 E) 3

C) 8

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

22. Si un polígono tiene 9 diagonales, calcula el número de lados. A) 2 D) 5


B) 3 E) 6

I. Todos los ángulos internos de un polígono cóncavo miden menos de 180°.

( )

II. Al menos un ángulo interno de un polígono convexo mide más de 180°.

( )

2x

con

los

valores

naturales

I. n.° de diagonales trazados desde un vértice: D1 = (n -

)

II. n.° de diagonales medios trazados ) desde un vértice: DM1 = (n -

3x 2x

A) 10° D) 18°

( )

II. La suma de sus ángulos internos es 360°.

( )

III. La suma de sus ángulos externos está dado por la relación: 180°(n - 2); donde “n” es el número de

( )

θ θ + 2x θ-y

A) 118° D) 124°

B) 108° E) 144°

C) 120°


lados de dicho polígono.

Razonamiento y demostración 20. Calcula x, si el polígono es regular.

25. En un polígono equiángulo la razón entre la medida de un ángulo interior y un exterior es 3/2. Calcula el número de lados del polígono. A) 5 D) 10

B) 6 E) 12

C) 9

26. Se tiene un polígono equiángulo tal que el número de diagonales más el doble del número de lados es 36. Calcula la medida del ángulo interior de dicho polígono.

x

E) 130°

C) 40°

θ+y

En un polígono convexo se cumple: I. El número de lados más el número de vértices es igual al doble del número de vértices.

D) 150°

B) 20° E) 30°

θ - 2x

19. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

B) 120°

2x

24. Calcula q.

lados.

A) 100°

x

2x

III. Un polígono regular es equilátero y equiángulo a la vez. ( ) 18. Completa los recuadros correspondientes:

C) 4

23. Halla x.


III. Un icoságono posee

C) 3

C) 110°

A) 160° D) 135°

B) 150° E) 140°

C) 100°


47

27. En un polígono regular, se cumple que un ángulo exterior excede en 60° a un ángulo interior. Calcula el número de lados. A) 6 D) 5

B) 4 E) 3

C) 8

33. Indica la suma de los ángulos externos de un polígono convexo de 260 lados. A) 1600°

B) 1200°

D) 360°

E) 3600°

28. Halla el número de lados de un polígono regular, tal que si tuviera 6 lados menos, la medida de su ángulo externo aumentaría en 80°. A) 10 D) 6

B) 5 E) 9

C) 8

Razonamiento y demostración 34. Si el hexágono es regular, calcula a.

29. Si el gráfico ABCDEF es un hexágono regular, calcula GA . EH C

A) 2 D) 5/2

A H

E

F

B) 3/2 E) 4/3

B) 900° E) 1600°

A) 60°

B) 120°

D) 140°

E) 160°

C) 135°

35. Calcula x, si los polígonos sombreados son regulares. C) 3

x

30. Si a la medida del ángulo interior de un polígono regular se le disminuye en 2°, se obtiene la medida del ángulo interior de otro polígono regular cuyo número de lados es menor en 2 al número de lados del polígono inicial. Calcula la suma de medidas de los ángulos interiores del primer polígono. A) 600° D) 1200°

α

B

G

D

C) 1800°

L

A) 60°

B) 75°

D) 32°

E) 45°

C) 30°

36. En la figura, calcula x si el polígono es regular.

C) 3240°

x

Nivel 3 Comunicación matemática 31. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: En un polígono regular se cumple: a) Sus diagonales son congruentes. b) Sus diagonales medias son congruentes. c) Su apotema es mayor que su circunradio.

( ) ( ) ( )

A) 120°

B) 136°

D) 108°

E) 96°

37. Calcula la m+ABN, si el polígono ABCDEF es regular.

32. Completa los recuadros con los valores naturales correspondientes:

M C 80°

En un polígono regular se cumple: (n n

I. Medida de un ángulo interno: m+i = II. Medida de un ángulo externo: m+e = III. Medida de un ángulo central: m+c =

48 Intelectum 2.°

n n

C) 72°

D

B

)

x N

E

A

A) 15°

B) 20°

D) 30°

E) 40°

F

C) 25°

38. Calcula x + y, si ABCDE es un pentágono regular. B A

a

a

C y

q E

x

q

A) 120°

B) 106°

D) 144°

E) 146°

C) 126°

39. En el hexágono equiángulo ABCDEF; si a + b = 5, calcula m + n. C

a

A) 3

B) 4

D) 6

E) 7

C) 5

43. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular en el que la relación entre su ángulo interior y exterior es 5?

D


B

42. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono regular en el que la diferencia entre su ángulo interior y exterior es igual a la mitad de su ángulo central?

A) 36

B) 40

D) 62

E) 84

C) 54

44. Calcula el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo central equivale a nueve veces la medida de su ángulo interior. A) 45

B) 36

D) 35

E) 60

C) 30

m

A

D b

n

44. D

43. C

35. A

34. B

27. E 17.

26. D 8. B

9. B

42. C 33. D 25. A

7. D

Nivel 2

41. B 32.

24. B

6. C

16. E

40. B 31.

23. E

15. D 5. E

39. E Nivel 3

14. E

22. E

38. D

21. C

13. D

E) 4 10

4. B

D) 15

C) 14

3.

B) 13

2.

A) 12

G

37. B

H

30. C

F

29. A

A

20. B

E

12. B

B

11. C

D

Nivel 1

C

C l a ve s

40. En la figura se muestra el polígono equiángulo ABCDEFGH. Si AB = 5 2 y BC = 7, calcula AC.

1.

36. D

E) 5

28. E

D) 4,5

C) 3,5

19.

B) 2,5

18.

A) 1,5

E

10. C

F

41. En un polígono, si el número de lados aumenta en uno, el número de diagonales aumenta en dos. Calcula el número de lados del polígono inicial. A) 6

B) 3

D) 3

E) 45

C) 7


49


cUADRILÁTEROS

Calcula x.

2

B

Calcula x, si AH = BH y ABCD es un rombo. B

C α α

x

D

B) 45° E) 48°

A

α

β x

α

ω ω

4

C

θ

D

A) 60° D) 92°

C) 130°

6

P

C

40°

B

50 Intelectum 2.°

C) 65°

Q

120° x

C

D A

A) 18 D) 20

B) 70° E) 83°

Si ABCD es un cuadrado y BCPQ es un rombo, calcula x.

12 70°

C

35°

A

D

B) 190° E) 170°

5

C) 60°

En la figura ABCD es un trapecio rectangular. Calcula m+BMA. B

En la figura, si ABCD es un trapecio, calcula AD.

A

B) 70° E) 30°

M

θ

B

A) 53° D) 37°

y

A) 180° D) 202° 5

C) 50°

Si ABCD es un romboide. Calcula (x + y). β

D

A

F

A) 56° D) 72°

B

C

H

A

3

x

B) 17 E) 21

C) 15

A) 36° D) 10°

D

B) 15° E) 30°

C) 18°

7

La diferencia entre la longitud de la base media y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8. Calcula la longitud de la base menor.

A) 4 D) 8 9

B) 5 E) 6

8

Las distancias de los vértices A, C y D de un rectángulo ABCD a una recta son 4; 10 y 2, respectivamente. Calcula la distancia del vértice B a la recta.

A) 13 D) 11

C) 7

En un rectángulo ABCD los lados AB y AD miden 8 y 12, respectivamente. Se traza la bisectriz del ángulo A cortando a BC en M. Calcula la mediana del trapecio AMCD.

10

B) 12 E) 10

C) 12,5

Calcula la longitud de la mediana del trapecio de la figura. 3 5 53º

A) 10 D) 8

A) 6,5 D) 8,5

Calcula x, si BC // AD.

12 C

2x

x

A

A) 80° D) 90°

B) 70° E) 65°

E

Determina la base mayor AD de un trapecio ABCD, si BC = 4 y su mediana mide 10.

C) 60°

A) 22 D) 18 14

B) 19 E) 16

C) 17

Calcula x, si ABCD es un cuadrado. C

B

C

x

N

x

A

B) 16,7 E) 11,5

D

A) 30° D) 65°

C) 14,5

B) 45° E) 75°

C) 60°

Claves

A) 15 D) 10

9. D 10. A

D

7. D 8. B

A

5. B 6. B

M

C) 7

D

Calcula MN, si BE = 4 y EC = 21, además, M y N son puntos medios de AB y ED respectivamente. Además ABCD es un paralelogramo. B

B) 6 E) 7,5

3. A 4. B

B

11. C 12. E

13. C 14. C

13

C) 7

1. B 2. C

11

B) 6 E) 12

45º


51

Practiquemos 5.

Nivel 1

Halla x.


70°

En las siguientes tres figuras se cumple que: BC // AD. Relaciona dichas figuras con sus conceptos. D

I. Trapecio escaleno

(

A

)

80° C

B

A) 40° D) 60°

B C

A

II. Trapecio rectángulo

(

(

Halla x.

A) 15° D) 20°

D

)

A

7.

α

A) 55° D) 65°

C

E

8.

I. BD es el eje de simetría del cuadrilátero ABCD. II. AC es la diagonal del cuadrilátero EBCD. III. AC es el eje de simetría del cuadrilátero ABCD. IV. BD es la diagonal del cuadrilátero EBCD.

( ( ( (

α + 10°

B) 60° E) 80°

B

A) 40° D) 60°

D

α

C) 50°

Del gráfico, calcula x. B

5x

Halla x.

C

6x

140° A

40°

x

A) 30° D) 40°

C

B) 70° E) 30°


150°

C) 75°

50°

A

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

9.

α + 20°

En el rectángulo ABCD, halla a.

) ) ) )

I. Un cuadrilátero cóncavo tiene solamente una diagonal. ( ) II. Un cuadrilátero tiene dos pares de lados opuestos. ( ) III. Un cuadrilátero convexo tiene solamente un ángulo ( ) mayor a 180°.

C) 26°

Halla a.

α + 30°

D

4.

2x B) 24° E) 30°

B

3.

4x

2x

D

De acuerdo al siguiente gráfico coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

A

C) 30°

4x

B 2.

6.

B) 50° E) 52°

)

C III. Trapecio isósceles

3x

x + 50°

B) 20° E) 25°

52 Intelectum 2.°

C) 10°

A) 18° D) 30°

4x

B) 20° E) 17°

9x

D

C) 15°

17. Completa los recuadros de acuerdo a los valores presentes en la siguiente figura:


6x

10. En un cuadrilátero ABCD, los ángulos A, B y C son congruentes y el ángulo D mide 120°. Calcula la medida del ángulo C. A) 75° D) 85°

B) 60° E) 90°

8x

C) 80°

14x

11. Determina el ángulo agudo de un paralelogramo sabiendo que el ángulo obtuso es igual al doble de la suma de los dos ángulos agudos. A) 35° D) 38°

B) 36° E) 40°

C) 37°

12. Las longitudes de las bases de un trapecio están en la relación de 5 a 8; si la longitud de la mediana es 26 m, calcula la longitud de la base menor. A) 5 m D) 12 m

B) 8 m E) 20 m

B) 105° E) 120°

C) 110°

14. En un cuadrilátero ABCD se tiene: m+A = 3 x; m+B = x; m+C = 2 x ; m+D = 3x - 20° 4 3 Halla la medida del ángulo A. A) 52,61° D) 52°

B) 53° E) 54°

C) 52,5°

15. En un cuadrilátero convexo ABCD, m+A = 70º y m+D = 80º. Calcula la medida del mayor ángulo formado por las bisectrices exteriores de los ángulos B y C. A) 100º D) 105º

B) 101º E) 200º

C) 102º

x

α

z

θ

C) 10 m

13. Dos ángulos consecutivos de un cuadrilátero miden 100° y 120°. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos del cuadrilátero. A) 100° D) 115°

18. Rellena los recuadros con los símbolos +, - o = de acuerdo al siguiente gráfico:

φ

β

I. q

a

II. x

y

q

z

III. a

x

y

β

β

y

φ

Razonamiento y demostración 19. El perímetro de un rombo es igual a 56. Calcula el lado del rombo. A) 10 D) 16

B) 12 E) 18

C) 14

20. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo miden 3x - 40º y 2x + 60º. Calcula x. A) 30º D) 36º

B) 32º E) 38º

C) 34º

21. Si ABCD es un paralelogramo, calcula x. B

Nivel 2

C

x

Comunicación matemática 16. Rellena los recuadros con los símbolos + , - o = de acuerdo al siguiente gráfico: B

C O

b

A a

x

c

130°

A

A) 30º D) 45º

D

B) 35º E) 50º

C) 40º

22. Si ABCD es un paralelogramo, calcula x. B

dD

θ

C

θ x

I. a

b

c

d

II. a

c

b

d

III. 2x

b

d

4x

A

A) 75º D) 120º

α α

D

B) 60º E) 150º

C) 90º


53

23. Si ABCD es un rombo, calcula x. B

28. Según el gráfico ABCD es BT = 5(AT) y BC = 4(AT). Calcula a.

C

x

un

B

paralelogramo;

C α

100º

A

A) 50º D) 45º

D

B) 55º E) 40º

A

C) 60º A) 30° D) 15°


29. De acuerdo al siguiente gráfico, coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

F D

C

B

B

A) 12 D) 18

N

M

10

B) 14 E) 20

E

C) 16

20

B

D

C

H

D

E

A) 10 D) 20

B) 15 E) 14

C) 25

I. MNQP es el paralelogramo de Varignon de ABCD. II. AP = PD y GQ = QH III. MNQP es el paralelogramo de Varignon de EFGH.

P

B

B

A

A) 2 D) 8

C

D

B) 4 E) 10

C) 6

27. Si BC // AD, BC + AD = 20 y MQ = 8. Halla PM.

56°

M

3

N 22°

56°

A

G

7

34°

H

A

A

D

D

M

C) 6

D

31. De acuerdo al siguiente gráfico marque con ( V ) la opción correcta y con (F) la incorrecta. Si A ; B ; C y D son cuadrados:

B

Q

P

54 Intelectum 2.°

3

C

B

B) 4 E) 2,5

C

4

4

θ

( ) ( ) ( )

30. Rellena los recuadros de acuerdo a los valores presentes en la siguiente figura:

26. Si AD = 14 y DC = 8, hallar la medida del segmento que une los puntos medios de AP y CD. ABCD es un paralelogramo.

θ

Q

P

O A

G

C

A

25. En la figura, calcula AE, si AC = BE y BC // AD.

A) 2 D) 5

C) 45°


2

A

B) 60° E) 75°

Nivel 3

24. Calcula AB + CD + EF, en el siguiente trapecio: E

E

D

T

C

I. El perímetro del cuadrado B es el doble del perímetro del cuadrado A . II. El perímetro del cuadrado C es el doble del perímetro del cuadrado B . III. El perímetro del cuadrado A es la quinta parte del perímetro del cuadrado D .

( ) ( ) ( )

Razonamiento y demostración β

α

β

70°

80°

B) 100° E) 115°

C) 105°

x

C

A

C) 70º

x

B) 19 m E) 20 m

41. E 33. C

32. C 24. D

25. D 16.

40. B 31.

Nivel 2

23. A

39. A 30. 22. C

29. 21. C

14. A

15. D

38. A

37. C

13. C

20. B

Nivel 3

19. C


8. C

E) 75º

7. C

D) 60º

6. E

C) 30º

5. A

B) 37º

4. A

A) 53º

D

3.

A

12. E

C

x

18.

36. Si ABCD es un rectángulo tal que AD = 4 y AB = 3. Calcula x.

11. B

E) 53º

10. C

D) 45º

17.

C) 60º

9. C

B) 75º

D

Nivel 1

H

C l a ve s

A

2.

C

26. E

x

34. C

B

36. A

E) 40º 35. C

D) 80º

28. C

C) 60º

27. C

B) 53º

B

C) 16 m

D

35. Si ABCD es un rombo tal que AH = HD = 1. Calcula x.

A) 30º

C) 26

1.

A) 70º

C) 50°

B) 25 E) 28

A) 18 m D) 17 m

C

B

B) 46° E) 60°

41. Dado un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B; M es punto medio de AB y m+MCD = m+ADC. Si BC = 13 m y AD = 27 m, Calcula MC.

34. Si BC // AD y AB = CD = BC = AD , calcula x. 2

A

39. En un trapezoide PQRS, la diagonal QS es perpendicular al lado PQ y PQ = QR = QS. Calcula la medida del ángulo PRS.

A) 24 D) 27

D

B) 80º E) 53º

C) 10 m

40. La longitud de una de las bases de un trapecio es 1/3 de la longitud de la mediana; si la suma de las longitudes de las bases es 30, calcula la base mayor.

100° H

A) 60º D) 50º

B) 60 m y 90 m D) 40 m y 50 m

B) 9 m E) 12 m

A) 45° D) 40°

33. Si BC // AD y AC = AD, calcula x. B

A) 70 m y 100 m C) 81 m y 103 m E) 60 m y 100 m

A) 8 m D) 11 m

x

A) 110° D) 95°

37. Calcula las bases de un trapecio; si una de ellas excede a la otra en 22 m y la mediana mide 92 m.

38. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 6 m. Sobre la prolongación del lado AD se ubica el punto E de modo que DE = 4 m; calcula la distancia del punto medio de CE a AB.

32. En la figura, calcula x. α


55


circunferencia

Halla x + y.

2

Halla x, si: CS = CF. C

48° 3y

30°

L

49° x

x

30°

S

A) 50° D) 80° 3

B) 90° E) 70°

C) 100°

Calcula β.

A) 75° D) 73° 4

223°

β

21°

F

!

5

!

C) 120° !

Halla DPR , si R es punto de tangencia y RQA = 140°.

A

α

C

A) 10° D) 18° 6

B) 22° E) 26°

C) 15°

Halla el perímetro del cuadrilátero de la siguiente figura si BC = 6 y AD = 5.

D

A P

!

D

B

B) 121° E) 124°

C) 72°

Halla a si mBC = 2m AC .

60°

A) 119° D) 122°

B) 70° E) 75,5°

D

R Q

B

A

A) 142° D) 70°

56 Intelectum 2.°

B) 140° E) 280°

C) 220°

A) 38 D) 44

C

B) 40 E) 41

C) 22

7

En la figura O es centro de la semicircunferencia y AO = EC. Indica la relación correcta.

8

D

Por un punto P, exterior a una circunferencia de centro O, se trazan las tangentes PA y PB. Halla m+APB, si m+ABO = 20°.

E θ

A

A) q = 2a D) q = 6a 9

α

B

O

C

B) q = 3a E) 2q = 3a

A) 60° D) 40°

C) q = 4a

!

10

Según el gráfico mBC = 60°, calcula el valor de x. A

E

100°

B) 100° E) 10°

C) 90°

60° C 50° θ

D

A) 70° D) 10° 11

C) 10°

Calcula q.

B

x

B) 30° E) 50°

B) 80° E) 40°

C) 50°

A) 40° D) 70°

Calcula r, si AB = 5 y BC = 12.

12

Del gráfico mostrado, R = 3 y r = 1, Calcula BE. E

B

C

B

r

r R C

A

A) 2 D) 5

C) 4

Los perímetros de los triángulos ADE; BFG y CHI son 6; 14 y 10 respectivamente, calcula el perímetro de triángulo ABC. D

B) 5 E) 6

E

C) 7

Calcula x en el cuadrante AOB.

M

60°

N x

P

H

A) 100° D) 130°

B

B) 90° E) 115°

5. C

C) 25

6. C

10. D

8. D

9. A

7. B

C) 110°

Claves

B) 40 E) 30

80°

3. D

I

Q

4. C

O

C

1. C

G

12. B 11. B

A) 45 D) 35

A) 3 D) 4

A

A

F

B

14

D

2. A

14. C 13. E

13

B) 3 E) 6

A


57


Razonamiento y demostración Comunicación matemática

1.

Halla x, si O es centro de la circunferencia.

Completa los espacios en blanco con las notaciones correspondientes según el siguiente gráfico: R

B

K A

H

Q

F

2x

P O

E

O

C

M

2.

4.

S

60° N

I

J G

A) 24° D) 32° D

I. Rectas tangentes:

BE; ___; ___ y ___

II. Rectas secantes:

___ y ___

III. Rectas exteriores:

___ y ___

IV. Diámetros:

___ y ___

V. Cuerdas:

___ y ___

VI. Apotemas:

___ y ___

VII. Sagitas:

___ y ___

5.

B) 20° E) 30°

C) 35°

Halla a. 2α

80°

A) 10° D) 40°

Indica cuál de los gráficos siguientes es una porción de circunferencia:

6.

B) 20° E) 24°

C) 15°

Halla β. 40°

β

A

B

80°

C A) 60° D) 45°

D

E

A) A y D D) F y B 3.

F

B) B y E E) E y C

7.

Halla x.

x

56°

B

O

A) 16° D) 28° 8.

B) 20° E) 18°

C) 26°

Halla x.

A

x - 8° 78°

N

A) 48°

58 Intelectum 2.°

18°

22°

D E

C) 55°

C) C y F

Completa los recuadros con las notaciones correspondientes para cada arco:

C

B) 50° E) 48°

B) 68°

C) 72°

D) 58°

E) 56°

9.

!

Halla a.

14. Halla mPC , si: BC = BA. B P 40°

α

119°

A

C

A) 67° D) 61°

B) 69° E) 63°

C) 72°


A) 140° D) 120°

B) 130° E) 105°

C) 100°

Nivel 2

!


10. Halla a, si m AB = a + 60° 15. Relaciona: 2α

A

A) 30° D) 25°

B

I. Ángulo inscrito

B) 35° E) 28°

C) 20°

!

II. Ángulo semiinscrito

!

11. En la figura, la mBC = 120° y mAD = x. Calcula x. B

A P

x D

A) 36° D) 40°

III. Ángulo exterior

C

B) 42° E) 48°

C) 38°

12. En la figura: BC = 12, AD = 7 y CD = 10. Calcula AB. C

D

C) 7

IV. q

!

13. Halla a, si mPD = 72°

B

P

D

B) 63°

y 2y

3y

y R

2x 2x

θ

360°


C

A) 60°

x

III. 180°

B) 6 E) 9

x

180°

q

II. 90° A

A) 5 D) 8

16. Rellena los recuadros con los símbolos + , - o = de acuerdo al siguiente gráfico: I. y

R

B

IV. Ángulo interior

C) 57°

a

A

D) 50°

E) 54°

I. El radio de una circunferencia inscrita a una figura se denomina circunradio.

( )

II. El radio de una circunferencia exinscrita a una figura se denomina inradio.

( )

III. El centro de una circunferencia circunscrita a una figura se denomina circuncentro.

( )


59


Razonamiento y demostración 18. Halla x.

23. En la figura halla R, si NC = 14, CD = 16 y AD = 9. C

B

x

N

A

120°

A) 53° D) 62°

B) 57° E) 55°

C) 60°

A) 4,5

D

M

B) 5

C) 5,5

D) 6

E) 7

24. Si AB = 5, BC = 8 y AC = 10; halla AP.

19. Halla a.

B 108°

α

40°

T

P

A

A) 32° D) 34°

R

O

O

B) 29° E) 36°

C) 28°

A) 1

C

M

B) 2,5

C) 3

D) 3,5

E) 4

25. Calcula AT, si: AB = 13, BC = 14 y AC = 15. (T es punto de tangencia).

20. Halla x.

B

A

A) 70° D) 60°

B) 80° E) 50°

C) 75°

N

T

x

120°

A) 6

B) 3

C

M

C) 7

D) 2

E) 8

26. En la figura mostrada, las circunferencias de radios 15 y 8 son ortogonales. Halla el inradio del triángulo AOO’.

21. Halla x.

A

A) 21° D) 23°

O'

2x -10°

18°

B) 25° E) 22°

O

C) 19°

B) 4

C) 2,5

D) 4,5

E) 5

Nivel 3

22. Halla x.

2x

Comunicación matemática 27. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente gráfico:

72° 84°

A) 20° D) 36°

A) 3

B) 32° E) 35°

60 Intelectum 2.°

C) 30°

I. a =

=

II. g =

=

III.

+

γ 2α

= 180°

O φ

β θ

ω

28. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente gráfico:

33. Calcula q. r

b

θ

40°

θ

β

116° r

θ

O

A) 32°

β

a

B) 40°

C) 38°

D) 43°

E) 45°

34. Calcula q. θ

29. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el gráfico siguiente:

200°

b

a

I. d -

=n

II. n +

=

+ 2r

III. m +

+

=d+

R d

A) 26 B) 27 C) 29 D) 23 E) 21

60°

N B T A

A

O

C) 110°

D) 100°

P

D) 2 2 E) 6

E) 120°

A

O C

H D

31. Halla a.

37. En la figura, AB = 12 y BC = 4. Halla EF.

50°

A) 2 B) 2,8 C) 2,4 D) 3 E) 1,8

α

B) 75°

C) 76°

D) 70°

2.

102°

5. 6.

C) 51°

D) 53°

A

E) 56°

7.

8.

D

10.

E B A B

12.

11.

3. 4.

B) 50°

F

9.

1.

O

D

B

C

C l a ve s Nivel 1

θ

E

E) 80°

32. Halla q.

A) 52°

C P

B

A) 2 B) 3 C) 3 2

A) 60°

E) 32°

36. Si PH = 3, calcula HD.

B

B) 150°

D) 45°

35. Si AB = 15, BC = 13 y AC = 14; halla AP.

n

!

A) 130°

C) 20°


Razonamiento y demostración 30. Halla m AB .

B) 15°

m

r 30°

A) 30°

13. 14.

D D C D E B A

Nivel 2 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

C D D D

22.

C E 24. D 25. C 26. A Nivel 3

29.

23.

30.

27.

36.

28.

37.

31. 32. 33. 34. 35.

E E C C C E B C


61

Matemática En el interior de un cuadrante de una circunferencia de radio R se construye una semicircunferencia cuyo diámetro es uno de los radios del cuadrante. Calcula el radio de otra circunferencia tangente interior a el cuadrante y exterior a la semicircunferencia.

Denominamos “A” al centro del cuadrante, “B” al centro de la semicircunferencia y C al centro de la circunferencia tangente a ambas; luego en el triángulo ABC trazamos la altura CH la cual determina dos triángulos rectángulos:

Resolución:

• En el AHC: AH = x y AC = R - x; donde x es el radio de la circunferencia más pequeña

P R

x

C

R-x

2.

3.

• En el CHB: HB = R/2 - x y CB = x + R/2

x

Por el teorema de Pitágoras:

n A

1.

x

x H

h2 = (R - x)2 - x2 = (R/2 + x)2 - (R/2 - x)2 & R = 4x ` x = R/4

R/2 R/2

B R/2 - x

Q

En la región interior y en la región exterior relativas al lado BC de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que el triángulo BPQ es equilátero. Si la m+APB = 100°; calcula m+PQC. A) 60°

B) 50°

D) 30°

E) 70°

C) 40°

En un triángulo ABC, se traza la altura BH en la cual se ubica el punto P; de modo que AB = PC. Si m+PAC = m+BCA, calcula m+APH A) 30°

B) 45°

D) 37°

E) 75°

5.

C) 53°

3x 2x

6.

C 3x

7.

x A

A) Octágono

B) Pentágono

C) Hexágono

D) Decágono

E) Nonágono

Si en la figura AC , CD; calcula x. B

El número de diagonales de un polígono convexo excede en 16 a la diferencia entre el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores y el número de vértices del polígono. ¿Cuál es el polígono?

En un triángulo ABC se cumple que AB = BC = 10 cm y AC = 12 cm. Calcula la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C sabiendo; además, que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia. A) 5p cm

B) 15p cm

D) 10p cm

E) 20p cm

En la siguiente figura, O es el centro del arco AB. Además PE = OA; PF = AB y PH = OB. Halla el valor de x A

D

A) 14° D) 18° 4.

62

B) 8° E) 20°

A) 2 cm

B) 5 cm

D) 5 2 cm 2

E) 5 3 cm

Intelectum 2.°

C) 5 cm 2

P

E

C) 12°

En un pentágono ABCDE convexo, los lados AE y DE miden 10 cm y 5 cm respectivamente. Si la suma de las medidas, de los ángulos internos de los vértices A; B; C y D es 480°, calcula la distancia del punto A hacia ED.

C) 25p cm

x 78°

O

A) 102°

B) 168°

D) 139°

E) 142°

F

H

B

C) 129°

Unidad 3

Recuerda Poincaré Jules Henri (1854-1912) Matemático francés nacido en Nancy y fallecido en París. Poincaré ha sido calificado por algunos como el último de los matemáticos que dominó toda esta ciencia, ya que fue capaz de realizar un trabajo innovador en casi todas las ramas de las matemáticas, la astronomía, e incluso en literatura. Se interesó desde muy joven por las matemáticas, graduándose como doctor en 1879, siendo Charles Hermite uno de sus profesores. Este interés está documentado por sus escritos filosóficos y por una gran cantidad de memorias matemáticas, en las cuales, entre otras cosas, sentó las bases de la topología. Más imponente todavía es el conjunto de trabajos en torno a la física matemática y la física teórica. Su obra científica fue muy notable; además de treinta volúmenes, consta de un número impresionante de artículos, ensayos y memorias, reunidos en Tratados y memorias. Fue uno de los primeros en comprender la importancia de la teoría de la relatividad de Einstein.

¡Razona...!

Reflexiona f flexiona • Muros de piedra no hacen una cárcel, ni barrotes de hierro una jaula. Para un alma inocente y tranquila solo son un refugio. • Afronta inteligentemente las circunstancias adversas. De tu actitud depende que ellas sean motivo de caída o escalones para ascender. • No desprecies nada, por insignificante que parezca. Granos de arena forman las montañas, momentos los años y jornadas la vida.

En las olimpiadas universitarias participaron 7 facultades diferentes, con un atleta por cada una de ellas, observándose: – El médico llegó después que el abogado. – El ingeniero no llegó en 5.º lugar. – El enfermero llegó inmediatamente después que el profesor. – El abogado llegó en 4.º lugar, tres lugares después que el artista. – El contador perdió la carrera. Si en dicha carrera no se observaron empates, ¿quién llegó en 5.º y 2.º lugar respectivamente? A) Ingeniero - profesor B) Médico - enfermero C) Artista - abogado D) Profesor - ingeniero E) Médico - profesor


PROPORCIONALIDAD

Calcula x, si PQ es igual a la distancia entre L1 y L2 ; además, L1 // L2 // L3 .

2

Si UN = NI, calcula x. M

L1

x

2a

4

Q a

L2

x

U

C

θ

A) 120° D) 135°

B) 127° E) 130

C) 150°

Calcula x, si 2AB = 5AD.

N

4

4

6

A

b

A) 2 3 D) 1 2

B) 3 7 E) 2 5

C) 3 2 A) 2 D) 3

Calcula x, si DE // AC

6

B) 5 E) 1

C) 0,5

Calcula x, si AB = AC = 10. B

B 3 E 6

A

A) 6 D) 9

L2 x+2

C

x+2

D

C) 6

L1

a 2

D

I

Si L1 // L2, halla x.

x+6

x-2

θ

B) 9 E) 8

θ θ

x-4

9

A) 5 D) 7

B

5

P

L3

P

3

6

A

x

C

B) 10 E) 13

C) 8

A) 2 D) 3

C

P

B) 5 E) 10

C) 1


65

Calcula AB , si O1 y O2 son los centros de las circunferencias BC (A es punto de tangencia)

B) 1 2

A

D) 1 3

C) 1

E) 1 4

C

P

10

b

B) 50

A

Q

C) 12

D) 16

E) 8

A) 1 12

B) 4

C

C

D) 5

E) 6

A) 7

14

A) 4 8. A 7. C

10. C 9. D

12. B 11. E

14. D 13. E

Claves

66 Intelectum 2.°

D) 6

E) 9

x

B) 2

5. A

E) 2

β β

6. B

D) 1

C) 24

D 3

C) 3

E) 3

12

x

5a 10

D) 5

αα

N

P

C) 4

3. A

B a M

B) 2

En la figura, calcula x

C

B) 4

B

D

halla x, si BC // MN // AD y CQ // NP

A) 5

E) 16

Del gráfico, calcula CD, si PA = 9; AB = 3; PC - CD = 4 (P: punto de tangencia). A

C) 7

x

D) 5

P D

B) 1

C) 12

4. E

B) 7

Q

C

R

x

37°

A

C) 120

P

8

45°

13

D) 100

En la figura, calcula RC si: PQ // BR; PR // BC ; AQ = 1 y QR = 3.

B

A) 2

C) 20

B

Del gráfico, BC bisectriz exterior. Calcula DC, si AD = 2.

A

C

1. C

A) 6

11

A) 80

D

A

P 18

a

N a

Q

B

2a

15

12

En el gráfico, P y Q son puntos medios. Calcula x (ABCD es un paralelogramo).

M

B

D

O2 R

O1

A) 2

9

Del gráfico, calcula ab

C

B A

8

2. E

7


5.

Calcula AD, si AB = 6; BC = 9 y AC = 10. B


2.

αα

Coloca  (correcto) o  (incorrecto), según corresponda: La proporción geométrica, a = m , se lee: n b I. a es a m como b es a n. ( ) II. a es a n como m es a b.

( )

III. a es a b como m es a n.

( )

A) 4

Encierra aquellos gráficos en donde se cumple la proporción geométrica: a = m b n A

a

B

n

m

6.

C) 8

E) 5

Calcula MA, si: AB = 12, BC = 16, BN = 7; además MN / / AC . B

M

N

A

n

D

m m

A) 17 4

n

a

a

7.

b

C

B) 11 4

C) 21 4

F

a

b

b

n

A

B

N

12

3

R

x

C

m

A) 8

Coloca V (verdadero) o F (falso) según el siguiente gráfico: M

E) 13 4

B α α

15 a

n

D) 27 4

En la figura, calcula x.

n

m

y AM = AN , entonces: MB BN

8.

B) 9

C) 14

A

P

x+3 B

II. M y N son conjugados armónicos de AB. ( )

9 Q

E) 12

Razonamiento y demostración A) 6

B) 7

L1

L2 x-3 R L3

8 C

III. A y B son conjugados armónicos de MN. ( )

Si BE = 4(AE) y CF = 2, calcula BC.

D) 7

Si L1 // L 2 // L3 , halla x.

I. B y M son conjugados armónicos de AN. ( )

4.

D) 10

b

b

A

B) 6

m

C

3.

C

D

a

b

E

A

C) 8

D) 9

E) 5

B

Resolución de problemas E A

A) 8 D) 14

α α

9. F

respectivamente. La bisectriz exterior del ángulo B corta a la C

B) 10 E) 6

Los lados AB; BC y AC de un triángulo ABC miden 14; 10 y 6, prolongación de AC en D, calcula CD.

C) 12

A) 5 D) 16

B) 10 E) 20

C) 15


67

10. En la figura: 4(AB) = 3(BC) y PQ = 12. Calcula AP.

15. Completa los recuadros con las letras presentes en el siguiente gráfico, si se sabe además que los puntos C y D dividen armónicamente a AB.

B

αα

A A P

C

D

B) 8

D) 10

E) 9

10 8

L2 C

m

7

C) 1

D) 4

E) 5

C

B) 8/10

C) 5/7

A

x

4 E

A) 3 D) 5

L3

E) 1/2

B 6 F

C

B) 4 E) 7

L1 L2 L3

C) 9

18. En la figura, calcula AD. B

Nivel 2 12

Comunicación matemática 13. Completa los recuadros con los valores presentes en el siguiente gráfico, si se sabe además que C y D dividen armónicamente a AB. a A

D

x+1

D) 3/2

C) 37°

17. En el gráfico, si L1 // L 2 // L3 , calcula 2x.

L2 R

B

B) 30° E) 60°

L1 Q

B

x

C

A) 45° D) 53°

P

A

6

L3

12. Del gráfico, 4(AC) = 3(PR). Si L1 // L 2 // L3 , calcula: AB + BC PQ QR

A) 3/5

+

A

α α 6

B) 2

= 1 +

L1

B

A) 3

2 +

16. Si L1 // L 2 // L3 , calcula x, (AB = BC).

11. En la figura, calcula (m - n).

n

D

c


C) 7

A

C

b

& Relación de Descartes: Q

A) 6

B

a

a M

b

C

c

B

d

N

A

β β

16

D

A) 7 D) 8

C

14

B) 5 E) 9

C) 6

19. En el gráfico, AM = 2(MC). Calcula x. B

2

& Relación de Newton: = ^ + h 14. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Dos razones geométricas iguales conforman una proporción geométrica. ( ) II. El teorema de Menelao se utiliza para demostrar la colinealidad de tres cevianas en un triángulo. ( ) III. El teorema de Ceva se utiliza para demostrar la concurrencia de tres puntos en un triángulo. ( )

68 Intelectum 2.°

45°

A

A) 37° D) 37° 2

x

M

B) 53° E) 30°

C

C) 53° 2

1

+

Nivel 3

20. En el gráfico, si L1 // L 2 // L3 , halla x. A

D

6 B

4 E

L1


L2

25. Rellena los recuadros en blanco con las letras presentes en la proporción geométrica: a = c b d

x+1

9 C

L3

F

A) 4 D) 2

B) 3 E) 7

C) 5 θ

Resolución de problemas 21. Del gráfico L1 // L 2 // L3 , QR - BC = 3 y 5(AC) = 3(PR). halla QR. A

P

26. Rellena los recuadros en blanco con las letras presentes en el siguiente gráfico:

R

b

c

L2

C

A) 8,4 D) 6,3

α α

L1 Q

B

θ

a

d

L3

B) 9,5 E) 7,1

e

g

f

I. Teorema de Menelao:

C) 7,5

. .

II. Teorema de Ceva:

22. Del gráfico, ABCD es un romboide y PB = 12. halla PE. B

C

. .

.

= =

.

27. Rellena los recuadros en blanco con las letras presentes en el , , siguiente gráfico, además se cumple que: 1 = 4 , 2 ,3

Q

E P A

&

D

A) 4 D) 3

B) 1 E) 5

C) 2

B) 3

C) 4

D) 5

b

a

23. En un romboide ABCD, sobre el lado BC se ubica el punto E, tal que BE = 9 y 4(BQ) = 3(QD). halla EC, si además AE + BD = {Q}. A) 2

. (e + f + g) .

´1

E) 1

24. En el gráfico, AB = 10, BC = 5 y AC = 12. Calcula: (AR)(RC) B

=

c d

´2

´3

´4

Razonamiento y demostración 28. En la gráfica, BE // DF. Calcula x. B

α α

D

A

C

R

A x

A) 32

B) 24

C) 64

D) 16

E) 28

A) 6

B) 5

E

2

F

C) 4

C 1

D) 3

E) 2


69

34. En la figura: CF // BE // AD; AF // EG; AB = 3 . Si GD = 6, BC 2 calcula AG.

29. Si: L1 // L2 , calcula x.

4

6

5

x

L1

C

F

B

E

L2 G

A

A) 7

C) 10 3

B) 7,5

E) 1 2

D) 1

A) 4 D) 10

30. halla x. 6

B) 6 E) 12

37°

A) 12

B) 9

B 2n

C) 16

C) 8

35. Si: BC // MN // AD; MB = 9, MA = 6 y AD = 10, calcula PC.

x

5n

D

M

D) 10

E) 14

α

C N

P

α

A

D

31. halla x. 6 3

A) 2 3 D) 3 2

3a θ

x

30° θ

A) 18

B) 20

C) 21

B) 2 2 E) 4 3

36. De la figura adjunta, DI // Fh // AC. Si: DB = 4; AF = 2 = BE; EG = 4 y hI = 3, Calcula Ch.

5a

D) 22

B

E) 26

D

32. halla y - x.

F 4

y

4a

α

A) 1

B) 2

A) 3/8 D) 4/3

3a

α

C) 3

E

I G

D) 4

H C

A

2a

α x

C) 4 2

B) 3/4 E) 6

C) 8/3

E) 6

Resolución de problemas 33. En la figura: AD // BE // CF; AB = 2(BC); DE = 6; EF = 5. Calcula el valor de x. A

D

B

A) 53° D) 30°

Nivel 1 1.

x E

C

C l a ve s 15.

23. B

30. A

16. C

24. A

31. B

17. B

Nivel 3

32. B

18. C

25.

33. C

4. B

8. D 9. C 10. E 11. C 12. D

19. C

26.

34. A

5. A

Nivel 2

20. C

27.

35. D

6. D

13.

21. C

28. A

36. B

7. E

14.

22. D

29. C

2. 3.

F

B) 45° E) 60°

70 Intelectum 2.°

C) 37°


SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

halla x.

2 6

B

halla x. B

C

θ x

x

A

D

8

A

θ 20

A) 2 3 D) 4 2

3

B) 5 E) 4 3

C)

3

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BF. Por F se traza una paralela a AB la cual corta en E a BC. Si AF = 6, FE = 3 y FC = 4, halla: CE

A) 12 D) 9 4

C

5

B) 10 E) 11

C) 14

halla x, sabiendo que: mÅABC = mÅBDC B x

A 3

A )1 D) 4

5

B) 3 E) 5

C) 2

Calcula RS si BC ' RS .

A) 5 3 D) 2 3 6

A

C

D 9

B) 3 E) 4 3

C) 6 3

En un triángulo PQR, sobre PQ y RQ se toman los puntos M y N respectivamente. halla PQ + QR, sabiendo que PM = 10, MN = 6, NR = 5, PR = 16 y MN ' PR .

8 S

R 3 B

A) 96 11 D) 8

12

C

B) 95 11 E) 7

C) 22 3

A) 23 D) 30

B) 24 E) 22

C) 20


71

7

halla x.

8

x

Se tiene un trapecio con bases 2 y 6, y altura 4. halla la distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base mayor.

6

A) 25 D) 22 9

B) 26 E) 24

A) 4 D) 6

C) 20

halla EF. B

3

10

B) 5 E) 3

C) 7

Si AB = 8 y BD = 6; calcula BC.

C

B θ θ C

D

F A

E

A) 4 D) 5,5

C) 12

Los lados de un triángulo miden 17; 19 y 23. Calcula la medida del menor lado de otro triángulo semejante a él, cuyo perímetro es 177.

12

B) 4,5 E) 7,5

Calcula PA si Q punto medio de AB. C D

12 α

B

A) 26 D) 46 13

B) 34 E) 51

α

P

14

B) 16 E) 7

6 θ

15

3

C) 6

A) 10 D) 7 8. D 7. E

10. B 9. B

B) 5 E) 10

D

C

12. B 11. E

14. E 13. D

Claves

72 Intelectum 2.°

B) 12 E) 5

5. A

A) 15 D) 10

2

6. B

E

θ

18

x

x

C) 15

halla x.

B

A

A

Q 20

A) 8 D) 9

C) 38

BE y BD son bisectriz interior y exterior respectivamente del triángulo ABC. Calcula x.

C) 5

C) 20

3. C

11

B) 5 E) 6

4. C

A) 4 D) 13

1. E

16/3

θ

2. B

A

D


5.

halla x de la figura.


I. AB y MP son lados homólogos II. AC y NP son lados homólogos III. BC y PN son lados homólogos

A) 5 D) 6

( ) ( ) ( )

Indica qué puntos deben unirse para obtener un triángulo semejante al triángulo ABC.

6.

C

θ

7.

I. VQT III. PSV V. WPV 3.

4 α

x

B) 4 E) 8

C) 6

A) 6

B) 9

C) 7,5

D) 4,5

E) 8

Calcula x.

II. XRU IV. XRS VI. WQT

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

∼

I.

α

( ) α

a

II.

2b

∼

( )

b

III.


2a

18 21

24

28

∼ 30

8.

Calcula PC, si: AC = 10, BQ = 24 y BC = 6. Q

( )

α

40

B α

A

IV.

∼

α

α

( )


θ

α

A) 2 D) 7 V W X

C) 8

9 x

A

θ

Calcula x.

T U

S

α

B) 3 E) 4

P Q R

B

4

2x

α

θ

Si ∆ABC ∼ ∆MNP; entonces:

2.

8

x

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

Si 3AB = 4DE, calcula a.

9.

E

A) 10

B) 12

D) 17

E) 18

B

C x

12 3a

A

B

A) 12 D) 18

B) 15 E) 24

F

D

C) 16

C) 15

En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula x.

C a

P

C

A

A) 16 D) 18

P a 6

Q D

B) 20 E) 22

C) 24


73

14. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda y teniendo en cuenta el siguiente gráfico:

10. En la figura, AB = 3 m y BD = 2 3 m. Calcula BC. B

θ

B

C

θ

E h

A

D

A) 2 m D) 4 m

θ

A

B) 3 m E) 10 m

C) 6 m

11. En un triángulo rectángulo ABC, se inscribe un cuadrado PQRS (P en AB, Q en BC, R y S en AC). Calcula el lado del cuadrado si: AR = 10 y CS = 15. A) 6 D) 5

B) 8 E) 15

C) 12

m

I. mÅ ABh = mÅ BCA

( )

II. 9ABC ∼ 9BEh

( )

III. h = mn

( )

Razonamiento y demostración 15. Calcula PQ, si: PQ // AC .

Nivel 2

P

12. Coloca los signos > , < o = según corresponda y teniendo en cuenta el siguiente gráfico: M

3 A

3 m

4

3 C

m

Q

AC PN

k

1

II. BC

AC QR

k

1

III. MN

PN AC

k

1

MR BC

A

A) 5 D) 12

B) 8 E) 9

C) 10

12

N

C

n

P

3n

x

A

D

A) 3 D) 5

B) 4 E) 2

C) 6

17. Calcula x. 4 x

5

α

α

A) 1 D) 4,5

B) 9 E) 3

C) 6

18. Calcula la longitud de la altura del trapecio ABCD, si: AB = 4 y CD = 9.

B

B

A

I C

D

A) 13 D) 6,5

74 Intelectum 2.°

C

20

B

13. Construye un triángulo desde el punto interior I y cuyas dimensiones sean el doble de las dimensiones del triángulo ABC.

A

Q

m 8

PM

B

16. Calcula x, si ABCD es un romboide.

R

P

I. AB

2

6


B

C

n

H

C

B) 6 E) 4

C) 5

19. Si: PQ ' AC , calcula x.

B 4 x

P

IV. 9APQ a 9BPC

( )

B

C

7

A) 1 D) 4

( )

24. Completa los recuadros en blanco teniendo en cuenta el siguiente gráfico y además: FG = DG = ED.

Q 10

A

III. 9AOC a 9POQ

B) 2 E) 5

C) 3 A

I.

Resolución de problemas 20. Calcula MA, MN / / AC , si AB = 12; BC = 16 y BN = 7. B

M

2

9

N

II. 1 = 1 +

1

9+

+ 16

4m

C) 21

4 cm

m

10 c

4

21. Dado un paralelogramo ABCD, se traza AP (P en CD) que corta a BD en Q. Calcula PD, si CD = 24 y BQ = 3QD. B) 12 E) 4


C) 8 26. Calcula x.

22. Dado un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la circunferencia inscrita toca al lado AB en el punto P. Por P se traza PM perpendicular a AC, si la altura Ch = 8, halla PM. A) 4 D) 4,5

C

16

= 9 Ç 16

C

B) 11 4 E) 13 4

A) 10 D) 18

G

D

25. Completa los recuadros en blanco de acuerdo a los valores presentes en el siguiente gráfico:

A

A) 3 4 D) 27 4

F

E

B) 6 E) 5,5

θ

x

C) 5

Nivel 3

4

A) 2 2 D) 2

Comunicación matemática 23. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda y teniendo en cuenta al siguiente gráfico:

θ

8

B) 4 E) 10 3

C) 4 3

27. Calcula la longitud del lado del cuadrado PQRS, si: AP = 16 y SC = 9. B

B

Q

P

R

Q O A

A C

I. 9APO a 9COQ

( )

II. 9ABC a 9PBQ

( )

A) 12,5 D) 3,5

P

B) 7 E) 10

S

C

C) 12


75

28. halla CS si: BE = 6

33. En el gráfico, AP = 3 m; PB = 6 m; CQ = 4 m; QD = 5 m y BM = MN = NC. Calcula Oh.

A θ

B

2

B

C

A) 2 D) 1,5

S

O

A

C) 4

29. Calcula PQ, si AB = 9 y CD = 4.

C

R N F

Q

A) 5,4 m D) 7,8 m

D

H

B) 3,2 m E) 6,2 m

C) 9,3 m

34. En la figura, si AB = 12, BC = 9 (T punto de tangencia), calcula TB.

P

B

B T

Q

A A

A) 6,5 D) 8

C

P

3

B) 1 E) 3

D

E

E

1 θ θ D

M

B) 5 E) 12

C) 6


A) 15 2 8 D) 3

C

O

B) 14 3

C) 10 3

E) 4,5

30. En un triángulo ABC: m+B = 120°, AB = 6 y BC = 18. Se traza la bisectriz interior BD . Calcula la longitud de dicha bisectriz.

A) 6

B) 3

D) 4 2

E) 2

76 Intelectum 2.°

C) 3 2

21. D

29. C 22. A 14.

13.

7. A

6. C

28. B

34. E 27. C 12. 5. E

26. C 19. B Nivel 2 4. C

20. D

32. C

33. D 25. 18. B

24.

31. E

17. C

D

11. A

A

M

10. D

N

O2

C

3.

O1

2.

B

1.

P

16. B

32. En la figura O1 y O2 son centros de los cuadrados ABCD y BPMN; PC = 6. Calcula O1O2.

15. A

C) 9

9. D

B) 8 E) 4

C l a ve s

A) 6 D) 5

Nivel 3

31. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B se tiene que AB = BC, se ubica el punto P en BD. Si P dista 5 de AD y m+ADC = 53°, ¿cuánto dista P de CD?

23.

30. A

C) 12

8. E

B) 13 E) 13,5

Nivel 1

A) 4,5 D) 6


rELACIONES MÉTRICAS

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20. Calcula la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

2

En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 y CF = 4. Calcula DE. C

B

F

A

A) 8 D) 12

3

B) 9 E) 13

C) 10

Si Ah = 2 = BH , calcula hC. 3

A) 8 D) 10 4

D

B) 3 E) 2

E

C) 9

halla x en el siguiente gráfico:

B x

A

A) 16 D) 18

5

C

H

B) 20 E) 19

2

C) 22

Calcula la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 y 20.

A) 12 D) 9

B) 11 E) 15

C) 17

A) 2 5 D) 2 10 6

3

B) 10 E) 3 5

C) 11

La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200. halla la longitud de la hipotenusa.

A) 10 D) 3 5

B) 2 5 E) 15

C) 12


77

7

En un triángulo rectángulo calcula la altura relativa a la hipotenusa si las proyecciones de los catetos sobre esta miden 2 y 6.

8

En la figura AQ = QB, EQ = 4 y QF = 9. Calcula AB. B

E Q A

B) 2 3 E) 4 3

A) 3 5 D) 5

9

Calcula x.

C)

3

A) 6 D) 10 10

T 6

11

C) 12

En una circunferencia se trazan dos cuerdas AB y CD perpendiculares en el punto E. Si EC = 6, EB = 8 y ED = 4, calcula AD.

B

A

A) 2,5 D) 2

B) 7 E) 9

C

x

x-1

F

B) 4,5 E) 3

C) 3,5

A) 2 D) 3

Calcula CQ, si AB = 8, CD = 3 y RC = 4.

12

B

A R

C

B) 4 E) 5

C) 7

En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan los segmentos isogonales BP (P en AC) y BR (R en la circunferencia). Calcula BR si AB = 9, BC = 6 y BP = 4.

Q

D

A) 7 D) 8

13

B) 6 E) 9

C) 10

A) 17,2 D) 11,3

Determina la longitud del menor cateto de un triángulo rectángulo en el cual la longitud de la altura relativa a la hipotenusa mide 7 3 y la divide en dos segmentos que son entre sí como 1 es a 3.

14

B) 13,5 E) 10,8

C) 16

halla x, si O es centro y DKMO es un cuadrado. M

x

K

36

O

C) 10

3. D

6. A 5. A

8. C 7. B

10. E 9. B

12. B 11. B

14. A 13. A

Claves

78 Intelectum 2.°

B) 13 E) 8 4. B

A) 12 D) 9

C) 12

1. D

B) 15 E) 13

2. E

A) 14 D) 11

D


Razonamiento y demostración Comunicación matemática

1.

4.

Coloca V (verdadero) o F (falso), teniendo en cuenta el siguiente gráfico. P2

M2

a

R1

B

S2

A P1

M1

42

D

N2

P

N1

L2

S1

C

A) 20 D) 12

L1

I. M2 N2 es la proyección de AB sobre L2.

2.

Calcula x.

5.

II. R1 S2 es la proyección de CD sobre L1.

( )

IV. M1 N1 es la proyección de AB sobre L2.

( )

( )

V. CS1 es la proyección de CD sobre L2.

( )

A) 2 D) 4 6.

I.

Proyección oblicua

16 - x

18 - x

B) 1 E) 5

C) 3

En la figura, Ah = 3 y AB = 5. Calcula BC. C

D

B

C) 13

Calcula x. 9-x

Relaciona: A

(a + 1)

B) 15 E) 10

( )

III. P2 es la proyección de P sobre L2.

x

( ) C

B

A

II. Proyección cónica

A) 10 D) 20

B

( )

C D

7.

B) 5 E) 50

C

B

D

A) 5,6 D) 7,3

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: B a A

m H

I. b2 = cm

( )

II. a = cn

( )

III. h = mn

( )

2 2

8.

C

H

B) 9,2 E) 4,8

(n + 2) c

n

C) 15,2

Calcula: n + 1.

b

h

40

B

A

3.

C)

En la figura, AB = 6 y BC = 8. Calcula Bh.

A

III. Proyección ortogonal ( )

A

H

C

3

n

5

A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5


79

9.

Calcula m sabiendo que T es punto de tangencia.

Nivel 2

T (m - 1)

A

B

5

C

4

A) 7 B) 8 C) 5 D) 4 E) 8

Comunicación matemática 17. Coloca V (verdadero) o F (falso), teniendo en cuenta el siguiente gráfico. T


A

10. Calcula el menor lado de un triángulo rectángulo si el mayor mide 2 5 y el segundo lado es el doble del menor. A) 2 D) 10

B) 6 E) 4

C) 8

B) 12 E) 11

C) 8

B) 24 E) 32

A) 2,5 D) 3,75

B) 3,43 E) 6,3

P

16. En el gráfico, AE = 10 y ED =

A

30°

80 Intelectum 2.°

B

II. ab = III. x = b

C

P Q

19. halla x. 7

24

A) 3 B) 3 2 C) 4

A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 13

20

20. Del gráfico, calcula AB . BC B

D) 5 E) 5 2

D

T

I. a =

y

x

C

Calcula CT.

A

b

C) 6 2

15. En el gráfico, PC = 4, CD = 1 y PB = 3. Calcula AB. B

α

a θ x


B) 2 2 E) 2

A

) ) ) )

B

C) 9,6

14. Se tiene un triángulo rectángulo de lados 6; 8 y 10. halla la proyección del cateto menor sobre la bisectriz del ángulo recto. A) 4 2 D) 3 2

( ( ( (

18. Completa los recuadros en blanco teniendo en cuenta el siguiente gráfico; si BP y BQ son rectas isogonales.

C) 26

13. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 4,25 y 2 respectivamente. Calcula la medida del otro cateto.

N

a

E z

I. 2Ry = az II. y(2R + y) = (a + z)z III. ay = 2Rz IV. x2 = y(2R+ y)

12. Calcula el perímetro de un rectángulo si un lado es el triple del otro y una de sus diagonales mide 4 10 . A) 23 D) 25

y

B M

11. Calcula la altura de un trapecio isósceles si las bases miden 6 y 16; y uno de los lados laterales, 13. A) 10 D) 6

x

R

A

3.

1

C

4

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/5 D) 5 E) 2

21. En la figura, R = 12 y r = 3. calcula AB.

C

D E

A) 2 3 B) 3 2 C) 4 3 D) 5 3 E) 6

R

r A

B

A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 18

22. halla PQ, si AB = 10 y AQ = 8. P

28. En la figura, BM = BC = 5 y AC = 13. Calcula MC.

x Q A

B

23. Calcula AP si CP = 8, PD = 4 y PB = 16. C

A

A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 2,5

B

P D

B

A) 9 B) 10 C) 11 D) 20 E) 12

A

A) 16 43 D) 29 41

B) 30 19 E) 50 13

24. halla ED si BC = 8, AB = 4 y AD = 6. B C

D

A) 1 B) 6 C) 3 D) 2 E) 4

A

T

D

30. En la figura, R = 6 m y Ah = 3 m. Calcula AB.

R

B

A

x

A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 9

C

45°

T

P

C

C) 4 7

R

Q

B

A

D

B

E) 2 14

D C

A

E

Resolución de problemas 27. En la figura, AB = 8, BQ = 4 y QC = 9. Calcula PQ. B

A

Q

C

P

D

A) 1 B) 3 C) 9 D) 2 E) 7

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

32. En la figura, AB = 13, BC = 4, CD = 3 y DE = 8. Calcula AE.

D) 2 21 B

C

P

A) 7 6 B) 4 3

C

H

31. En la figura, BQ = 3, QC = 12 y AB = 9. Calcula PQ.

26. En la figura, R = 5. Calcula PT.

37°

A) 4 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m

B

25. Si AB = 6, calcula BC.

A

A) 18 B) 20 C) 24 D) 25 E) 26

C

B

E

A

C) 4

29. En el gráfico, CD = 18 y AT = 24. Calcula R.

R

A

C

M

A) 22 B) 23 C) 25 D) 20 E) 21

33. En la figura, R = 5 y hB = 1. Calcula el valor de Ph. P

A

R

H

B

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


81

34. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si QR = 12, calcula (AB)(AC).

39. En la figura, R = 7 y hC = 2. Calcula AB. A)

B

C

B) 2 42

Q

C) 3 42

B

A

A

53º

P

A) 32 D) 36

B) 64 E) 48

D) 14 3

E) 16 3

B 5

C) 25 3

x

A

E) 14 3

41. En la figura, Ah = 2 m y hC = 6 m. Calcula hD.


B

36. Coloca V (verdadero) o F (falso) teniendo en cuenta el siguiente gráfico.

a A

I. ab = hc b

h

m H

c

C

n

2 II. a2 = n m b 2 2 2 a III. h = 2 + b2 a -b

D

( ) ( ) ( )


A

A) 1 m D) 4 m

B) 2 m E) 5 m

x

A) 12 D) 15

B) 14 E) 12,5

4

A

2C D

x F

82 Intelectum 2.°

C) 13

43. Calcula FE, si CD = DE.

30

B) 14,4 E) 14,5

R

D

B

A) 14 D) 14,2

O

12 A

38. halla x.

18

C) 3 m

42. Calcula x, si DR . RO = 25.

II. El teorema de las cuerdas se cumple si y solo si ( ) una de las cuerdas es un diámetro. III. En un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia ( ) se cumple el teorema de Arquímedes si y solo si sus diagonales son perpendiculares entre sí.

C

H

I. El teorema de Dostor solo se cumple en dos ( ) triángulos semejantes.


C) 50 13

B) 14

D) 13

Nivel 3

C

13

A) 60 13

B

E) 5 42


35. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles ABC. Si: AB = BC = 10 y AC = 16. B) 27 7

D) 4 42

C

H

R

R

C) 72

A) 25 6

42

C) 15

A) 3 2 D) 15

B) 6 2 E) 5

E

C) 2 2

44. En la semicircunferencia de centro O, calcula x.

49. En un trapecio rectángulo ABCD, m+A = m+B = 90°, la base menor BC = CD = 10 y m+C = 120°. halla la proyección de AB sobre BD.

x 3

3 O

A) 3 D) 2

B) 1 E) 6

C)

7

45. Calcula la longitud del lado del cuadrado ABCD, si MC = 2(MB) y DE = 7. M

A

C

A) 2 D) 3

B) 2,5 E) 3,5

D) 20

E) 10 3 2

C) 15 2

A) 60° D) 75°

B) 30° E) 90°

C) 45°

51. Dos cuerdas AB y CD de una circunferencia de centro O, se cortan perpendicularmente en el punto E. Si AE, EB y ED miden 24 cm, 5 cm y 10 cm, respectivamente, halla la longitud de la cuerda BC.

E

D

B) 5 3 2

50. Dado el triángulo ABC, se traza la altura BF. Se traza luego FQ perpendicular a AB. Si AQ = 1, QB = 9 y FC = 9 10 . Calcula la medida del +ABC.


B

A) 5 2

C) 2 3

A) 13 cm D) 12 cm

B) 7 cm E) 18 cm

C) 10 cm

46. Se tiene un triángulo rectángulo cuya altura relativa a la hipotenusa mide 6. Las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se diferencian en 5. Calcula la medida de la hipotenusa. C) 12 42. C 43. B 44. B 45. D 46. D 47. C 48. D 49. B 50. E 51. A

B) 11 E) 14

C) 10

48. Según la figura, AT = 1 m y QC = 8 m. Calcula AC.

11. B 12. E 13. D 14. D 15. E 16. B Nivel 2 17. 18. 19. C 20. B

B Q T A

H

A) 4 3 m

B) 2 2 m

D) 5 5 m

E) 6 6 m

C

Nivel 1 1. 2. 3. 4. C 5. B 6. A 7. E 8. B 9. A 10. A

B) 8 E) 14

C l a ve s

A) 5 D) 12

32. D 33. C 34. B 35. C Nivel 3 36. 37. 38. B 39. B 40. A 41. C

47. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. En AC se ubica un punto R, de manera que: (AR)(AC) = 200. Si: AB = BR, calcula AB.

21. A 22. E 23. D 24. D 25. C 26. D 27. D 28. E 29. D 30. C 31. C

A) 10 D) 13

C) 4 5 m


83

Aplicamos lo aprendido tema 4:

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

halla x.

2

1

35

25

x

20

10

A) 25,5 D) 25

3

B) 24 E) 26

C) 15

halla m.

A) 11 D) 9

4

m

13

26 2

10

A) 3 D) 4

B) 3,05 E) 2

C) 3,3

halla x.

A) 9 D) 13 6

x

10

B) 12 E) 8

C) 10

B) 10 E) 11

C) 12

halla x.

8

5

5

Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15. Calcula la altura relativa al lado 14 de longitud.

x

104

En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 10 y AC = 13. Calcula la proyección de la mediana AM sobre AC.

9

8

A) 151 D) 13

84 Intelectum 2.°

B) 150 E) 10

C) 12

A) 122 13 124 D) 13

B) 120 13 121 E) 12

C) 10

7

En un trapecio isósceles las bases miden 14 y 50, y los lados no paralelos miden 30 cada uno. Calcula la longitud de su diagonal.

8

Calcula la altura del trapecio mostrado. 6 13

15

20

A) 44 D) 40 9

B) 43 E) 45

C) 42

A) 11 D) 10

halla x.

10

17 10

B) 13 E) 9

C) 12

Dado un triángulo ABC de lados 13; 14 y 15. Calcula la distancia del vértice A al pie de la altura relativa al lado que mide 15.

x

9

A) 8 D) 7

C) 6,5

A) 6 D) 6,4

En un trapecio isósceles ABCD donde AB = 50, CD = 14 y AD = BC = 30. Calcula la diagonal AC.

12

halla x.

B) 7,2 E) 7

B

3 C

A) 40 D) 41

40 3

60° 8

A) 10,5 D) 6

C) 38

Calcula q.

x

14 θ

A

B) 9 E) 7

C) 10

Dado un trapecio cuyas bases miden 2 y 12, y los lados no paralelos miden 9 y 13. Calcula el segmento que une los puntos medios de las bases.

10

14 3

A) 10,5 D) 12

B) 11 E) 11,3 6. A 5. A

C) 45°

C) 10

3. B

10. C

8. C

9. A

7. D

Claves

B) 53° E) 30°

4. D

12. E 11. A

A) 37° D) 60°

1. D

14. C 13. A

13

B) 42 E) 39

C) 6,6

2. B

11

B) 6 E) 5


85


A) 1,5 D) 4,5


Coloca A (triángulo acutángulo), R (triángulo rectángulo), O (triángulo obtusángulo) o b (triángulo que no existe) según corresponda y teniendo en cuenta las longitudes de los lados de cada uno de los triángulos. I.

( )

6

( )

3

A) 3 D) 1

V.

( ) 17

7

x

13

10

6.

3

B) 2 7 E) 4

En la figura, calcula el valor de x.

8

15

III.

( ) 6

VI.

12

x

( ) 10

12

11

7

7

A) 4 2 D) 6 2

5

Completa las expresiones con los símbolos +; - o = según corresponda y teniendo en cuenta el siguiente gráfico:

7.

B) 3 2 E) 7

7

5

A

I. d2

II. c2

III. a2 3.

x

b2

z2

d2

y

H

D

z

z)2

2x(x

2

C

A) 4 D) 6

z)2

(y

d2

2zy (x

y

y

z)


8.

Razonamiento y demostración Calcula la proyección de BC sobre AC. B

A

86 Intelectum 2.°

5

C) 5

En un triángulo ABC, si: AB = 7; BC = 9 y AC = 8. A) 4 D) 7

9.

B) 5 E) 8

C) 6

Dado un rectángulo ABCD y un punto exterior P, si:

PA2 + PC2 = 8 Calcula: PB2 + PD2 A) 4 D) 16

B) 12 E) 10

C) 8

10. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura Ah tal que hC = 2 y AC = 2 5 . Calcula AB.

6

4

B) 3 E) 2

halla la mediana relativa a la base AC.

II. El teorema de Stewart se cumple para todo tipo de ( ) triángulos. III. La naturaleza de un triángulo depende de su área. ( )

4


I. El teorema de herón solo se cumple para triángulos ( ) acutángulos.

4.

x

d

c

b

C) 6

Calcula el valor de x.

B a

C) 2

8

α α

9

2.

5

7

8

C) 3,5

En la figura, calcula x.

( )

13

13

6

II.

IV.

5.

B) 2,5 E) 5,0

C

A) 4 D) 60

B) 2 6 E) 75

C) 5

15. En la figura, calcula BF si: AB = 5, BC = 7, AF = 4 y FC = 2.

11. En un paralelogramo ABCD, AB = 2 y BC = 4. Calcula la suma de los cuadrados de sus diagonales. A) 40 D) 48

B) 42 E) 50

B

C) 46

Nivel 2

A


A) 5 D) 31

12. Relaciona: 2

2

a

2

I. b = c + a + 2ca(cos)q ( )

C

F

B) 6 E) 33

C) 4

16. Calcula Ah, si: AB = 37, BC = 15 y AC = 44

b

B

θ

c b

II. b2 = c2 + a2 - 2ca(cosq) ( )

a

A

c

θ

A) 20 D) 22 III. b2 = c2 + a2

b

a

( )

θ

C

H

B) 21 E) 35

C) 29

17. Calcula BD. Si: AB = 4; BC = 6 y AC = 5

c

B

13. Rellena los recuadros con los valores presentes en el siguiente gráfico.

αα

B ´ x

´

z A

m

A

E

y

A) 3 D) 3 2

C

n

D

D

C

B) 4 E) 2 6

C) 2 3

I. Teorema de la mediana: 2

2

+2

2

= n2 +


2

II. Teorema de la ceviana: 2

(n + m) - 4 2

= x2

-n

(

18. Se tiene un triángulo ABC, recto en B, de incentro I en el cual IA = 1; IC = 2 2 . Calcula la longitud del inradio de dicho triángulo.

)

+

III. Teorema de Steiner: x2

+4

2

m=

2

(

+

) + mn (

+

)

A) 13

B) 2 13

13 13

E) 3 13

D)

Razonamiento y demostración 14. Calcula la longitud de la mediana BM. Si: AB = 8, BC = 12 y AC = 6

A

A) 65 D) 35

M

B) 85 E) 15

19. Se tiene un triángulo ABC, AB = 4 y BC = 7. Calcula AC si m+BAC = 2m+BCA A) 33 4 D) 32 3

B

C

C) 95

C) 2 13 13

B) 9

C) 10

E) 34 3

20. Calcula el perímetro de un rombo ABCD si MC = 9, MD = 13 y M es punto medio de AB. A) 6 D) 24

B) 10 E) 40

C) 12


87



20

21. Marca las alternativas correctas teniendo en cuenta el siguiente gráfico.

x

A) 37° D) 60°

B a

A

x

b y

Q

d

c

21

B) 45° E) 53°

P

P

I. Teorema de la bisectriz interior: 2

R

c = ad - (x + y)z

A

B

bd - yz = c2

II. Teorema de la bisectriz exterior:

A) 6

a2 = (x + y)z - cd

B) 8

d2 = (z + x + y)z - ac


II. En el teorema de la proyección de la mediana se cumple que la diferencia de los cuadrados de los lados concurrentes con la mediana es igual al ( ) producto de la proyección de la mediana sobre el lado al cual es relativa y dicho lado. III. En un triángulo obtusángulo la proyección de la mediana relativa al lado menor es mayor que la ( ) mitad de dicho lado.

A) 4 D) 3

B

Q

C) 8

A) 12 D) 9

B) 37° E) 90°

C) 10

29. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 13; BC = 20 y AC = 21. Calcula la distancia del baricentro al lado AC. A) 2 D) 5

C

D) 6

B) 3 E) 2 5

C) 4

B) 8 E) 14

Nivel 1

2 13

C) 45°

C) 10

C l a ve s

E) 3 7. C

13.

20. E

26. E

8. D

14. C

Nivel 3

27. E

2.

9. C

15. E

21.

28. A

3.

10. C

16. E

22.

4. D

11. A

17. D

23. D

5. B

Nivel 2

18. C

24. E

6. D

12.

19. A

25. A

1.

3

B) 13 E) 8

A) 6 D) 12

24. En la figura, calcula el valor de x. x

C) 2

30. En un trapecio ABCD (BC//AD) BC = 5; AD = 9; AC = 13 y BD = 15. Calcula la altura del trapecio.

P A

B) 7 E) 7,2

Además: AB = 13 y CD = 20

23. Calcula PQ, si: AB = 13, BC = 15, AC = 14 y BP = PC

88 Intelectum 2.°

E) 16

28. Calcula la longitud de la altura de un trapecio ABCD sabiendo que sus bases, BC y AD, miden 5 y 26, respectivamente.


4

D) 12

27. Calcula la altura de un trapecio si sus bases miden 5 y 10 y sus diagonales 12 y 9 (las diagonales son perpendiculares).

I. El teorema de la proyección de la mediana solo se ( ) cumple para triángulos acutángulos.

B) 9

C) 10


d2 = (x + y + z)x - ab

A) 53° D) 60°

r

Q

b2 = ac - xy

A) 12

C) 30°

26. Calcula PQ, si AB = 21; R = 17 y r = 10.

z

C

13

29. C 30. D

Matemática Resolución: Resolución: En el cuadrilátero inscrito ABPC aplicamos el teorema de Packein: AQ = ^ ABh^ ACh ; reemplazando: y = , 2 & y = x, 2 ... (I) x ab QP ^PBh^PCh ab

▪ Sea un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia. Sea además P un punto del arco BC y Q la intersección de AP y BC; demuestre que: 1 = 1 + 1 PQ PB PC B

P

a 60°

Luego en este mismo cuadrilátero, aplicamos el teorema de Viette: AP = ^ ABh^ ACh + ^BPh ; reemplazando: y + x = , 2 + ab BC ^ ABh^BPh + ^ ACh^PCh , ,a + ,b 2 + , ab & y+x= ... (II) a+b 2 2 Reemplazamos (I) en (II): x, + x = , + ab ab a+b Factorizamos x : ab x (, 2 + ab) = 1 (, 2 + ab) ab a+b & x = 1 &1 =1 +1 ab a + b x a b

x Q

´

b y 60° C

´

A

Finalmente reemplazamos los valores simbólicos: 1 = 1 + 1 ; queda demostrada dicha expresión. PQ PB PC

1.

2.

Considera dos circunferencias tangentes exteriores y cuyos radios son de longitudes R y r; halla el área del triángulo que está formado por las tres tangentes comunes a las circunferencias. (R > r) A) Rr Rr R-r

B) 2Rr Rr R-r

D) 4Rr R - r R-r

E) Rr Rr 2 (R - r)

B

D

C) 4Rr Rr R-r

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD, por D se levanta una perpendicular al segmento AC que interseca a BC en M. Si AD = 30 cm y DC = 40 cm, calcula la medida del perímetro del triángulo BMD en centímetros. A) (30 + 24 2 ) cm

B) (32 + 24 2 ) cm

C) (34 + 24 2 ) cm

D) (35 + 24 2 ) cm

A

A) 7 5 D) 5.

15 7

B) 15 9

C

C) 12 5

E) 2 15 5

En la figura adjunta el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD es r y A es el centro del cuadrante que contiene el arco BD. halla CE. B

E) (36 + 24 2 ) cm 3.

E

H

E

C

En la figura A y T son puntos de tangencia y AB = 5 m . Calcula la longitud de AT si EC = 2(DE). T A

A B

D

4.

O

E

A) 4 m

B) 5 m

D) 2 5 m

E) 3 5 m 2

Q

A) 2r D) r 6

C

C) 3 m

2 De acuerdo con la siguiente figura, calcula d AB n , si EC = 7 . AE 5 AD

6.

D

B) r 2 E) r 5

C) r 3

En el triángulo rectángulo ABC, M ! AB y N ! BC luego se ubica el punto T el cual es punto medio de MN y Q es el punto medio AC; si AM = 4 u y NC = 6 u. halla TQ. A) 2 u D) 15 u

B) 3 u E) 4 u

C) 13 u


89

Unidad 4

Recuerda Isaac Newton (1642-1727) Científico y matemático inglés nacido en Wolsthorpe y fallecido en Londres. Newton ha sido considerado por muchos como la mayor inteligencia que jamás ha existido. Fue criado por su abuela, hasta que un tío suyo se dio cuenta de la inteligencia inusual del niño y convenció a su madre para que lo matriculase en Cambridge. A finales de 1664 Newton, tras estudiar las obras de Euclides, Kepler, Viéte y sobretodo la de Wallis, parecía haber alcanzado las fronteras de los conocimientos matemáticos de la época y se encontraba preparado para hacer sus propias contribuciones originales. Sus primeros descubrimientos, que datan de 1665, se derivan de su habilidad para expresar funciones en términos de series infinitas. También empezó a analizar la velocidad de cambio o fluxión de ciertas magnitudes que varían de manera continua o fluentes, tales como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas. En 1696, la peste asoló Londres y se retiró a la finca de su madre huyendo del peligro, y fue durante ese período cuando llevó a cabo sus principales descubrimientos: el teorema binomial, el cálculo, la ley de la gravitación y la naturaleza de los colores. Sus obras más importantes son: Philosophiae naturalis principia mathematica, el tratado más admirado de todos los tiempos, en el que se presentan los fundamentos de la física y la astronomía formulados en el lenguaje de la geometría pura; Methodus fluxionum et serierum infinitorum , en el que se describe el método de fluxiones para explicar sus métodos infinitesimales; Optics, en el que se describen los experimentos con la luz y el color que lo condujeron a enunciar teorías sobre la naturaleza de la luz; Arithmetica Universalis, famoso tratado que contiene las fórmulas para la suma de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica. Sin embargo, a pesar de sus propias contribuciones al álgebra, Newton prefirió el análisis geométrico de los antiguos, y en consecuencia la sección más larga de Arithmetica Universalis, es la que está dedicada a la resolución de cuestiones geométricas.

Reflexiona • El que vence las pasiones vence a los mayores enemigos. • El que se entrega a las pasiones juzgando hallar en ellas la felicidad, hace lo mismo que el que, queriendo calentarse, se arroja a las llamas. • Feliz aquel cuyo presente no está envenenado por los recuerdos del pasado ni por los temores del futuro. • Vale más recordar a quien se ama que vivir con quien se aborrece.

¡Razona...! Halla el término que continúa: -1; 15; 63; 143; ... A) 240 D) 425

B) 250 E) 625

C) 255


POLÍGONOS REGULARES

Halla x.

2

´3

O x

α

B) 36° E) 50°

A) 30° D) 90°

C) 24°

Halla b.

´4

4 β

´6

A) 105° D) 100°

B) 110° E) 75°

C) 90°

Halla AB, si: R = 2 3 .

x

O

B) 80°30’ E) 82°25’

C) 82°32’

B) 2 E) 3

C) 1

!

Halla R, si m AB = 90°.

A

R

C) 60°

´3

A) 81°30’ D) 82°30’ 6

B) 120° E) 150°

Halla x.

´8

O

5

O

´5

A) 72° D) 48° 3

Halla a .

A 120º

R

B

A) 2 D) 9

92 Intelectum 2.°

O

3 2

B

B) 3 E) 4

C) 6

A) 2 D) 3 2

7

Halla x, si R = 8.

8

Halla la longitud del perímetro de un cuadrado si su apotema mide 2 2 .

A R

O

x 120º B

A) 4 D) 6 9

B) 3 E) 1

Halla x, si: AB ' DC . A

10

B

´6

D

´6 ´10

B) 60° E) 150°

C) 90°

A) 100 D) 10

Calcula: x + y

12

´5

B) 8 2 E) 15

C) 8

Del gráfico, calcula x si: AC = R 3 y BD = R 2 A

R 2

B

R R 3

C) 4 2

En el gráfico se cumple: (µ6)2 + (µ10)2 = 100 Halla µ5.

C

´3

x

B) 16 2 E) 18 3

x

A) 45° D) 120°

11

A) 8 2 D) 16 3

C) 5

x y

R

C

D

A) 30° D) 60° 14

El gráfico es parte de un icoságono regular, calcula x. C B

E

A) 10° D) 15°

B) 9° E) 12°

5. C

C) 15°

6. E

10. D

8. B

9. C

7. A

C) 20°

Claves

B) 30° E) 25°

D

x

A

12. E 11. E

A) 24° D) 16°

C) 54°

3. A

Halla la medida del ángulo central de un pentadecágono regular.

B) 40° E) 75°

4. D

C) 100°

1. B

14. B 13. A

13

B) 140° E) 150°

2. C

A) 120° D) 210°


93


6.

Halla a. α


Rellena los recuadros en blanco con: µ (lado), ap (apotema), R (circunradio) y r (inradio); según corresponda.

´3 A) 45° D) 35°

B) 60° E) 40º

C) 53°

Resolución de problemas 7.

2.

3.

A) 1 D) 2 3

Relaciona: I. µ6

(

) R 2

II. µ5

(

)R 3

III. µ3

(

IV. µ4

(

) R ) R 10 - 2 5 2

8.


9.

I. El ángulo central de un polígono regular mide ( igual que su ángulo exterior.

)

II. Un polígono regular está inscrito y circunscrito en ( dos circunferencias concéntricas.

)

III. El apotema de un polígono regular mide igual que ( su circunradio.

)

Halla µ6; si R = 2 m; (µ6 es el lado de un polígono regular de 6 lados).

´6

En un triángulo ABC, BC = 3 3 y el circunradio mide 3. Calcula la m+A. B) 30° E) 45°

C) 60°

En una circunferencia de radio 2 3 , calcula el perímetro del triángulo equilátero inscrito. A) 6 D) 18

B) 9 E) 24

C) 12

10. En un triángulo ABC la m+BAC = 45°. Calcula BC, si el circunradio de ABC mide 2. A) 2 2

B)

D) 1 2

E) 1

2 3

C)

3

11. En una circunferencia de 10 cm de radio, calcula el perímetro del hexágono regular inscrito.

O

R

C) 2

B) 2 E) 3

A) 90° D) 75°


Se tienen dos circunferencias secantes cuyos radios miden 3 . Si cada una pasa por el centro de la otra, calcula la medida de la cuerda común.

A) 10

B) 30

D) 40

E) 50

C) 60

Nivel 2 A) 6 m D) 12 m 5.

B) 3 m E) 2 3 m

C) 3 m

Comunicación matemática 12. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda; teniendo en cuenta el siguiente gráfico:

Halla x.

P x

O

´4 A) 30° D) 50°

B) 45° E) 35º

94 Intelectum 2.°

A

C) 40°

45°

x R

O

30°

B

I. x = R 2 + 3

(

)

II. x = R 2

2+ 3

(

)

III. x = R 3 + 2

(

)

13. En la siguiente circunferencia y con ayuda de un compás, dibuja un triángulo equilátero inscrito a dicha circunferencia de radio R.

18. Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 5 2 , halla el lado de un triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia. B) 5 E) 6

A) 5 3 D) 16 A

B

O

R

19. Una cuerda de 15 3 cm, subtiende un arco de 120°. Calcula la longitud de la cuerda que subtiende un arco de 60°, en la misma circunferencia. B) 12 3 cm 5 E) 15 cm

A) 15 3 cm 2 D) 16 cm

Razonamiento y demostración 14. Halla x.

´6

A) 60° D) 80°

x

B) 75° E) 85º

15. Halla AB, si R = 6.

C) 2 2 3

21. Se tiene un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 3 y AC + BF = M. Calcula MD. B) E)

C) 2 5

5 21


O

B) 12 E) 4 2

C) 6 3

22. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta el número de lados (n) de los polígonos regulares; además dichos polígonos se encuentran inscritos en una misma circunferencia de radio igual a 1. n

!

ac

µn

apn

Nombre

8

16. Halla R, si: mAB = 90° 8

A

12 B

10

O

23. Con la ayuda de un compás dibuja un hexágono regular e inscrito en la siguiente circunferencia de radio R.

R

A) 4 D) 6

E)

3 2 2

Nivel 3

B R

B)

A) 6 D) 6

120°

A

A) 6 2 D) 14

C) 90°

C) 15 3 cm 4

20. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un cuadrado y un hexágono regular. Halla la razón en la que se encuentran sus perímetros. A) 3 2 2 1 D) 2

´3

C) 10

B) 8 E) 2 2

C) 4 2 A


R

O

R

B

17. Halla el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 m de radio. A) 20 m D) 16 m

B) 24 m E) 26 m

C) 18 m


95

30. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia tal que AB = µ3 y AC = µ4. Calcula BC, si el radio de la circunferencia mide ^ 6 - 2 h.

Razonamiento y demostración 24. Halla x. B C

R 2 R

R A

O

A) 20° D) 30°

A) 4 2 D) 4 E

D

B) 15° E) 25º

C) 10°

B) 2 2 E) 2,5

C) 2

31. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH cuyo perímetro es 16. Calcular AD. A) 2 + 1 D) 4

B) 3 2 - 1 E) 8^ 2 - 1h

C) 2 2 + 2

25. Calcula m+CAO; si AB = R 3 ; BD = R 2 y CD = R. B C A

O R

A) 60° D) 45°

D

B) 15° E) 18°

C) 30°

26. Calcula la medida de BQ; si BC = ( 5 + 1 ) u.

28. Halla el apotema de un hexágono regular de 48 m de perímetro. A) 6 3 m

B) 4 3 m

D) 5 3 m

E) 2 3 m

C) 3 6 m

29. Se tiene un polígono regular de n lados cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 34. Calcula el valor de n. A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

96 Intelectum 2.°

C) 10

31. C 25. B 19. E 12. 6. B

30. C

24. B 18. A

23. 17. B 11. C

Nivel 2

29. B 3.

5. B

28. B

22. 16. C 10. A

4. E

27. A

E) 14 3 m

21. E

D) 17 3 m

C) 15 3 m

Nivel 2

B) 12 3 m

15. C

A) 18 3 m

14. C

27. Halla el perímetro de un triángulo equilátero si su apotema mide 3 m.

9. D


8. C

26. D

2u

2.

E)

C) 2 5 u

1.

D) 2 u

B) ^ 5 - 1h u

20. C

5u

C

Q

13.

A)

49°

7. E

A

72°

C l a ve s

23°

Nivel 1

B


ÁREA DE UNA SUPERFICIE PLANA

Halla el área del triángulo equilátero ABC, si BH = 3 m.

2

B

Halla el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 32 m2. B

A

C

H

A) 3 3 m2 D) 3 m2

3

A

B) 2 3 m2 E) 9 3 m2

C) 3 2 m2

Calcula el área de la región triangular.

4

5

O 3x

C

6

12 m2

D

A) 5 m2 D) 8 m2

C) 84 m2

En la figura BC // AD y AD = 2BC. Halla la relación entre el área de la región sombreada y el área del cuadrilátero ABCD. B

C x

A

B) 21 m2 E) 114 m2

C) 16 m2

Halla el valor de x.

9 m2

14 m

C

B) 20 m2 E) 10 m2

B

A) 42 m2 D) 28 m2

5k

A) 12 m2 D) 8 m2

15 m

13 m

D

3k

B) 6 m2 E) 9 m2

C) 7 m2

Calcula S, a partir del siguiente gráfico:

8 m2 6 m2

4 m2 S A

A) 1 4 D) 2 3

D

B) 1 2 E) 2 5

C) 1 3

A) 8 m2 D) 2 m2

B) 4 m2 E) 3 m2

C) 6 m2


97

7

En el gráfico, halla el área de la región sombreada. 8

B 2

8

Calcula el área de la región sombreada, si AE = 2 y FB = 1. A

C

P

E

E 3 A

D

F

5

A) 16 D) 19

9

O

B) 18 E) 20

C) 17

F

A) 6 D) 12

En la figura, calcula el área de la región sombreada.

10

B

B) 8 E) 10

C) 9

Calcula el área de la región sombreada.

2a

3m

A) a2 D) 4a2 11

B) 2a2 E) 8a2

Calcula el área de la región sombreada, si AB, BC y AC son diámetros.

A

B

4

2

A) 12p D) 48p

13

A) p m2 D) 9p m2

C) 3a2

12

B) p m2 E) 27p m2

C) 6p m2

En el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada si a = 6 m.

a C

B) 24p E) 60p

C) 36p

A) 12^6 3 - ph

B) 18(4 - p)

C) 6^3 3 - ph

D) 36^6 3 - ph

E) 36^3 3 - ph

Calcula S.

14 6m

En un triángulo isósceles ABC, la base mide 15 m y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 12 m. Halla el área de la región triangular ABC.

2m S

C) 54 m2

3. C

6. E 5. C

8. D 7. C

10. D 9. B

12. B 11. B

14. A 13. B

Claves

98 Intelectum 2.°

B) 60 m2 E) 36 m2

4. B

A) 75 m2 D) 45 m2

C) 64p m2

1. A

B) 32p m2 E) 36p m2

2. B

A) 6p m2 D) 16p m2


5.

Calcula el área de la región sombreada. 2


A) 6 - p B) 4 - p

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda; teniendo en cuenta la siguiente figura (G es baricentro del DABM).

2

C) 5 - p

B

D) p + 2 E) p - 2

2 G A

I. A BGM = 1 A ABM 2 1 II. A BGM = A BMC 3 III. A ABGM = 3 A BGMC 4 2.

M

(

)

(

)

(

)

(

C D

7.

b

= 1 ab 2

(

)

h

1 (a + b)h 2

(

)

C

C θ

9. b

a

D

A

Halla el área del triángulo mostrado. 6m

120°

4m

C) 6 3 m E) 18 m

4.

2

Halla el área del paralelogramo ABCD.

A 3m

A) 10 m2

B

D 2m

Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de diámetro AC = 8 3 m . Si AB = 12 m, halla el área de la región triangular ABC.

2

A) 25 cm2 D) 36 cm2

B) 12 m2 D) 6 2 m

2

D) 6

B) 16 cm2 E) 50 cm2

C) 32 cm2

10 m p 10 m p

10 m p 10 m p

B) 4 E) 7

C) 5

10 m p

Comunicación matemática 11. Si ABCD es un trapecio, completa los recuadros en blanco con los valores correspondiente en el siguiente gráfico: B

B) 12 m2 C) 14 m2 E) 20 m2

C) 18 m2

Nivel 2

M 4 u2

u2

D) 16 m2

C

B) 24 m2 E) 16 3 m2

Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 5 cm.

A) 3

A) 12 3 m2

C) 40 m2

10. Sean las regiones A1 y A2 limitadas por las circunferencias iguales tal que el área de A1 + A2 es 100 m2 y el área de A1 , A2 es 400 m2. Entonces, el radio de las circunferencias iguales es:


B) 60 m2 E) 10 m2

A) 16 m2 D) 24 3 m2

D

B ABCD =

a/2

b/2

H

III. A

8.

b/2

a/2

Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 m. Si el ángulo desigual mide 53°, calcula el área del triángulo. A) 80 m2 D) 20 m2

B A ABCD

D) 2(3 + p)

Resolución de problemas 60°

A H

II. A

C) 2(4 - p)

4

120°

h

)

A) 16 - 2p

E) 2(p - 1)

B

1 ab senq 2

4

4

a ABCD =

Calcula el área de la región sombreada. B) 8 - p

Relaciona:

I. A

6.

C

16 u A

C

u2

u2

2

N

Q D


99

12. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. I. Al perímetro de una circunferencia también se le ( denomina longitud de la circunferencia.

)

II. pes un número exacto.

(

)

III. El área de un círculo es igual al número pi por la ( longitud de su diámetro al cuadrado.

)

Razonamiento y demostración 13. Calcula el área de la región sombreada. A) 42 m2

1m

B) 40 m2

12 m

C) 46 m2 D) 38 m2 E) 44 m2

20 m

14. Halla el área del paralelogramo ABCD. 6m

B

4m

C

A) 20 m2 B) 30 m

18. En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 5 m y la mediana relativa a la hipotenusa 6,5 m. Halla el área del triángulo. A) 60 m2 D) 30 m2

B) 45 m2 E) 15 m2

19. Las alturas de un romboide miden 3 m y 5 m, y las medidas de sus ángulos internos se encuentran en la relación de 1 a 2. Calcula el área de la región limitada por dicho romboide. A) 15 3 m2

B) 30 m2

D) 45 m2

E) 10 3 m2

D

A) 1 2

B) 9 16

D) 6 11

E) 7 16

E) 60 m2

Comunicación matemática 21. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente gráfico:

u2

A) p

20 u2

B) 2p C) p/2 D) 4p

A

B

E) p/4

B

u2

15. Calcula el área de la región sombreada si AB = 2.

O

C) 2 5

Nivel 3

2

D) 50 m2

C) 18 3 m2

20. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CP. Calcula la razón, entre el área de la región triangular PBH y el área de la región cuadrangular APHC, si además m+ABC = 53°.

C) 40 m2 A

C) 40 m2

C

A

Además la diferencia del área de las lúnulas es de 4 u2. 22. Relaciona: ( )

B

b

16. Halla el área de la región sombreada. A) 3(6 3 - p)

6

6 6

B) 4 3 + p C) 6(6 3 - p)

6

=

(a + b + c) (a + b + d) (b + c + d) (c + d + a) 4

D) 4 3 - p

12

=

A)

D) 3 15 m2 8

B) E)

100 Intelectum 2.°

15 m2 4 15 m2 6

C) 3 15 m2 4

B

b

C

a

abcd ( )

III. Área del cuadrilátero ABCD = 1 (a + b + c + d)r 2

D

d

II. Área del cuadrilátero ABCD

17. Los lados de un triángulo miden 2 m, 3 m y 4 m. Halla el área de la región triangular.

c

r

A

( )

E) 5(3 3 - p)


15 m2 2

a

I. Área del cuadrilátero ABCD

C

c

A

d

B

b a A

D

C r

d

c D

28. Si el área de la región triangular ABC es 36, además G es baricentro, calcula el área de la región sombreada.


B

23. En la figura, halla el área de la región sombreada, si AB = 90, BC = 50 y EC = 30. B

A) 1560

θ θ

B) 2160

G A

C) 1750 D) 1830

E

A

24. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado x. Calcula el área del rectángulo MPNQ, si MN = y. P

B

C

A) x2 -

N

A

Q

45°

D

E) x2 -

2 y2 D) x 3 3

y2 3

α

C

B) 6 E) 3

C) 5

29. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD tal que m+ABD = m+BCA y BC = 3(BD). Calcula S ABD/S BDC

y2 y2 B) x2 + 2 2

2 C) x - y 2

M

N

A) 2 D) 4

E) 1920

C

α

A) 1 4 1 D) 6

B) 1 2 1 E) 8

C) 1 3

30. Si el lado del cuadrado inscrito en el círculo C1 es L, entonces, el área sombreada de la figura mostrada, en función del radio R de la circunferencia C1, es:

25. En la figura, calcula el área de la región sombreada si las circunferencias son iguales de radio R.

C1

A

C2

C O

R

L

D B

A) R ` 4 - p j 3

B) R ` 3 - p j 2

D) R ` 5 - p j 4

E) R ` 7 - p j 9

2

2

A) p R2 4

C) R ` 5 + p j 4

2

2

D) ` 4 - p j R2 4

2

B) `1 - p j R2 4 3 p E) R2 4

C) `2 - p j R2 4

26. En la figura: L = ^3 + 2 2 h m Halla el área del círculo sombreado. A) p m2

B) 2p m2 2L

C) 3p m2

C l a ve s

D) 0,5p m2

E) 0,75p m2 7. C

13. A

20. B

26. A

8. D

14. C

Nivel 3

27. C

9. E

15. A

21.

10. C

16. C

22.

4. B

Nivel 2

17. C

23. A

5. B

11.

18. D

24. A

6. A

12.

19. E

25. B

Nivel 1


1.

27. Las diagonales de un rombo están en la relación de 4 a 3. Si la diferencia entre ellas es 6, Halla el área del rombo. A) 169 D) 162

B) 252 E) 288

C) 216

2. 3. C

28. D 29. E 30. B


101


GEOMETRÍA DEL ESPACIO

En un poliedro el número de caras y el número de vértices están en la proporción de 3 a 1. Si tiene 18 aristas, calcula cuántas caras tiene este poliedro.

A) 15 D) 10 3

B) 3 E) 20

2

C) 5

Calcula el volumen de un cono equilátero de altura 6.

El área de la superficie total de un cono equilátero es 27p. ¿Cuánto mide el radio?

A) 1 D) 4 4

B) 2 E) 5

C) 3

B) 56 E) 8

C) 6

Calcula x, si AT = 54p.

x

x

A) 15p D) 14p 5

B) p E) 23p

Halla el área lateral de un prisma recto, si su altura mide 4 m y la base es un triángulo rectángulo de catetos 8 y 6 m.

A) 24 m2 D) 56 m2

102 Intelectum 2.°

B) 48 m2 E) 32 m2

A) 4 D) 7

C) 24p

C) 96 m2

6

El área total de un tetraedro regular mide 4 3 m2, calcula el valor de su arista.

A) 3 m D) 2 m

B) 2 3 m E) 5 m

C) 4 3 m

El círculo máximo de una esfera tiene como área 9p m2. Halla el volumen de la esfera.

A) 18p m3 D) 30p m3

B) 4 m E) 9 m

B) 40 E) 34

10

B) 16p m2 E) 12p m2

12

B) 27 cm3 E) 18 cm3

La base de una pirámide regular es un cuadrado de lado igual a 3 m. La altura de la pirámide es igual a la diagonal de la base. Calcula el volumen del sólido.

14

C) 20 cm3

Un cono de revolución tiene una altura que mide 8 m y el radio de la base 6 m. Calcula el área lateral del sólido.

A) 40p m2 D) 70p m2

C) 38

C) 15p m2

La suma de las aristas de un cubo es igual a 36 cm. Calcula el volumen de dicho cubo.

A) 9 m3 D) 36 cm3

C) 5 m

Un poliedro tiene 27 caras y 15 vértices. ¿Cuántas aristas tiene este poliedro?

A) 42 D) 36

B) 50p m2 E) 80p m2

C) 60p m2

La diagonal del cubo mostrado mide 6 3 . Calcula el volumen de la esfera inscrita en el cubo. O

C) 7 2 m3

A) 27p D) 81p

B) 36p E) 288p 6. D 5. C

10. B

8. B

9. A

7. E

C) 54p

Claves

B) 8 2 m3 E) 5 2 m3

3. C

12. C 11. B

A) 9 2 m3 D) 6 2 m3

4. C

14. B 13. A

13

A) 18p m2 D) 10p m2

El volumen de un octaedro regular mide 9 2 m3, calcula el valor de su arista.

A) 3 m D) 6 m 11

C) 30p m3

Calcula el área de una esfera, si se encuentra inscrita en un cubo cuya arista mide 4 m.

1. A

9

B) 27p m3 E) 36p m3

8

2. C

7


103

Practiquemos Prisma

Nivel 1 C)


F

D

E

Completa: Nombre

Caras

Vértices

Aristas

C

Tetraedro

A

Hexaedro

B

Octaedro Dodecaedro Icosaedro 2.

4.

Del tema posiciones relativas en el espacio, relaciona:

Relaciona: A)

I.

B)

II.

C)

III.

D)

3 V= a 2 3

V = a3

3 V= a 2 12

IV.

3 V = 5a 6

A)

I. Planos secantes

B)

II. Rectas alabeadas

C)

III. Recta secante a un plano

7+3 5 2

Razonamiento y demostración E)

V.

3 V = 5a 2

47 + 21 5 10

3.

Señala los elementos de la pirámide, el cilindro y el prisma.

A)

Pirámide

5.

La figura muestra el desarrollo de la superficie de una pirámide cuadrangular regular. Calcula el volumen de la pirámide. 13 13

A) 100 6.

B) 150

D) 250

E) 300

R

B)

104 Intelectum 2.°

C) 200

Halla la superficie esférica y el volumen de la esfera, si el área de su círculo máximo es 81p.

Cilindro

H

5 2

A) 81p; 324p D) 324p; 972p

B) 324p; 405p E) 324p; 486p

C) 162p; 324p

7.

El gráfico es una pirámide regular. Halla la apotema de dicha pirámide.

I. II. III. IV.

12

B) 14

C) 13

D) 15

E) 10


El volumen de una pirámide regular triangular es 24 3 y su arista básica mide 4 3 . ¿Cuánto mide la altura? A) 4

9.

B) 8

C) 7

D) 9

E) 6

El área lateral de una pirámide hexagonal regular es igual a 2 202,5 m . La apotema de la pirámide mide 9 m. Calcula el lado de la base. A) 7,1 m

B) 7,2 m

C) 7,3 m

D) 7,4 m

B) 120 2

D) 122 3

E) 120 3

A) Solo I D) I, III

B) Solo II E) Todas

I. II. III. IV.

Una recta pertenece a un solo plano. Un punto está incluido en un solo plano. Dos rectas alabeadas pueden pertenecer a un plano. Dos planos paralelos tienen una recta en común.

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

15. ABCD - EFGH es un cubo, calcula la medida del ángulo formado por EA y EG. E

F

B

C H

A) 53º

G

B) 45º

C) 60º

D) 75º

E) 37º

O

I.

Poliedro

Superficie llana perfectamente lisa, sin espesor que se extiende indefinidamente en todas las direcciones.

II.

Plano

C)

Contiene al menos 4 puntos no coplanares.

III.

Recta

D)

Porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que forman la superficie del sólido. Sólido geométrico formado por polígonos situados en distintos planos que constituyen las caras.

D

16. Calcula la relación entre el volumen del cono y del cilindro recto.

11. Relaciona:

B)

E) 0


C) 124 2


E)

C) Solo III

A

Unión de infinitos puntos colineales sin un punto de origen.

( )

14. Indica cuántas son correctas:

Nivel 2

A)

( ) ( ) ( )

I. Dos planos definen el espacio. II. Una recta y un punto exterior a ella definen un plano. III. Dos planos paralelos definen el espacio.

E) 7,5 m

10. Con una región rectangular ABCD se construye la superficie lateral de un prisma hexagonal regular tal que AB sea una arista lateral; AB = 5 y BC = 24. Calcula el volumen del prisma correspondiente a dicha superficie. A) 115 2

Tres puntos colineales determinan un plano. Por dos rectas paralelas pasa un plano. Se le denota como o(p). Dos rectas paralelas determinan un plano al cual pertenecen.

13. Indica cuáles son correctas:

10

A) 12

12. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda sobre la definición del plano:

A) 1 2

B) 1 3

C) 1 4

D) 2 3

E) 2 5

17. Sea: P - ABCD una pirámide regular, ABCD - EFGH un cubo; O y R: centros de ABCD y EFGH, además PO = OR. Si EH = 6, calcula el volumen del sólido total. P

B

IV. Sólido geométrico

A F

V.

E

Espacio A) 144

B) 188

O R

C) 288

C D G H

D) 244

E) 388


105

Resolución de problemas 18. Si el área total de un cilindro es 198p cm2 y su altura es 10 veces su longitud del radio del círculo de su base. Halla el radio. A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

E) 5 cm

A) 24

19. En una pirámide cuadrangular regular, si su área total es 360 y su apotema mide 13, calcula el volumen de la pirámide. A) 300

B) 400

C) 450

D) 500

37°

E) 600

B) 24 3

D) 42 2

E) 18 6

A) 24 B) 46 C) 40 D) 48 E) 60

21. Indica cuántas proposiciones son verdaderas: I. 4 puntos definen el espacio. II. 4 puntos no colineales definen el espacio. III. 4 puntos no coplanarios definen el espacio. IV. 4 puntos no colineales ni coplanarios definen el espacio. B) 2

C) 3

D) 4

A) 110

B) Solo II E) Ninguna

B) 112

C) 114

D) 116

E) 118

29. En un prisma recto ABC - DEF, m+ABC = 90° y el área de la región triangular equilátera AEC es 2 3 . Calcula el volumen de prisma.

C) Solo III

A) 6

El hexaedro regular es un prisma. El prisma es un poliedro. El paralelepípedo es un prisma. Una pirámide es un poliedro.

A) Solo I D) Solo IV

2

28. Los lados de la base de una pirámide triangular miden 13; 14 y 15. Si la altura es igual al radio de la circunferencia inscrita en la base, calcula el volumen de la pirámide.

23. Indica qué proposiciones son incorrectas: I. II. III. IV.

3


Una esfera es un poliedro. Un poliedro tiene como mínimo 5 caras. Existen 5 poliedros regulares. Un poliedro tiene regiones circulares. B) Solo II E) Todas

8

E) 0

22. Indica qué proposiciones son correctas:

A) Solo I D) Solo IV

E) 25

27. Halla el volumen del prisma mostrado.


I. II. III. IV.

D) 36

A) 18p m3 B) 20p m3 C) 22p m3 D) 16p m3 E) 19p m3

C) 36 2

Nivel 3

A) 1

C) 48

26. En la figura el área de la proyección del cono sobre la base del cubo mide 9p m2. Halla el volumen del cono.

20. Calcula el volumen de una pirámide regular O-ABCD tal que m+DOC = 60° y AB = 6. A) 2 6

B) 11

B) 3 3

C) 4/3

D) 2 2

E) 4

30. ¿Cuánto mide la arista de un cubo, si un vértice dista de una diagonal 6 ? A) 1

C) Solo III

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

24. Coloca verdadero (V) o falso (F) donde corresponda: I. II. III. IV.

Una pirámide es un sólido geométrico. Un cilindro es un sólido geométrico. Una pirámide tiene base circular. Un prisma tiene base circular.

( ( ( (

) ) ) )

Razonamiento y demostración 25. Calcula el área de la sección axial, si el área de la superficie lateral es 40p.

106 Intelectum 2.°

Cl aves Nivel 1

7. C

13. E

20. C

26. A

1.

8. E

14. E

Nivel 3

27. D

2.

9. E

15. C

21. B

28. B

3.

10. E

16. B

22. C

29. E

4.

23. E

30. C

Nivel 2

17. C

5. C

11.

18. C

24. A

6. D

12.

19. B

25. A


Halla el punto simétrico a Q(-9; 5) con respecto al eje y.

A) (-9; 5) D) (9; -5) 3

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

B) (-9; 9) E) (5; 5)

2

C) (9; 5)

Halla la posición final del punto A(-1; -2) que se ha desplazado 3 unidades en dirección del eje x negativo.

Halla el punto simétrico a P(-12; -3) con respecto a (0; 1).

A) (12; -3) D) (3; 12) 4

B) (12; 5) E) (-3; 12)

C) (-12; 3)

Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto P(-1; 4) que ha sido trasladado 58 unidades en dirección "

del rayo V (3; 7).

A) (-2; 4) D) (-2; 1) 5

B) (-1; -2) E) (-1; 4)

Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto T(-5; -5) luego de que este ha rotado (53°) en sentido horario con respecto al origen de coordenadas.

A) 7 D) 4

B) -6 E) 3

A) 1 D) -5

C) (1; -2)

C) -5

6

B) -1 E) 6

C) 13

Halla el radio vector del punto simétrico al punto B(3; 6) con respecto a la recta L, la cual pasa por los puntos (-4; 0) y (0; 1).

A) D)

27 31

B) 29 E) 19

C)


23

107

Se tiene el TABC; de vértices A(-5; -2); B(-1; 2) y C(3; 2). Halla la distancia entre los puntos M' y N', si M' es la traslación del punto medio de AB en dirección del eje y negativo y a su vez N' es la traslación del punto medio de BC en dirección del eje x positivo. Además dichas traslaciones se hicieron ambas una distancia de 4.

B) 5 2 E) 13

Si: A = Sim (-1; 5) "y y B = Sim (-2; -3) "x . Halla la distancia entre A y B.

A) 3 13

B) 13 E) 13 2

D) 2 13

13

C) 11

C) 3 13 2

14

Halla la distancia entre M y G.

10. E 9. A

12. C 11. B

14. B 13. E

Claves

108 Intelectum 2.°

C) ^ 3 ; 1h

3m 3

Se tiene el triángulo A'B'C en el plano cartesiano. Si la mediana A'M mide 5 se pide hallar las coordenadas del punto C si se sabe que este punto pertenece al eje x positivo. Además B' es el resultado de la rotación en 90° del punto B(10; 0) con respecto al origen de coordenadas así como A' es el simétrico del punto A(-2; -2) con respecto al eje x.

B) (6; 0) E) (4; 0)

C) (2; 0)

Halla el punto simétrico del punto R con respecto a la recta L, si se sabe que dicha recta pasa por el punto ^3; 3 3 h y el origen de coordenadas. R = ^1; 2 3 h .

A) c 3 ; 1 + 3 m 2 2

B) c 3 ; 1 m 3 3

D) ^2 + 3 ; 3 h

E) c 1 + 3 ; 3 m 2 2

C) c 5 ; 3 3 m 3 2

Si: G = Rot (-9; 12)(O; -90°) y M = Rot(0; 20)(O; 53°). Calcula la distancia entre G y M, además O es el origen de coordenadas.

A) 26 D) 27

C) 4 2

7. C

B) 4 E) 5

8. D

A) 3 2 D) 7

E) c2;

A) (3; 0) D) (5; 0) 12

Si: M = Tras (2; 4)(2; - "x ) y G = Tras (-3; -4)(4; "y ).

D) c 2 3 ; 1 m 3

B) 28 E) 24

5. B

A) 10 D) 9

10

B) c 3 ; 2 m 6

6. B

11

C) 2 3 - 2

A) c 3 ; 1 m 3

C) 23

3. B

9

B) 2 - 3 3 E) 3 3 - 6

En el plano cartesiano el punto A^ 3 ; 0h es rotado 60° con respecto al punto B(0; 1) en sentido antihorario generándose así el TABA'. Halla las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.

4. C

A) 2 - 2 3 D) 2 3 -1

8

1. C

El punto P(-2; 1) es rotado 30° en sentido antihorario con respecto a C(2; 1). Halla el producto de las coordenadas de la nueva posición de P.

2. B

7

Practiquemos A) (-4; -2) B) (-4; 2)

Nivel 1 Comunicación matemática 1.

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Sim (-5; 1)( "x ) = (-5; -1)

III. Tras (4; 3)(- "x ; 7) = (-3; 3)

2.

B) VFFF

C) VVVF

B) 2 10

D) VVVV

P'

I. Giro antihorario:

II. Tras (5; -5)(- "y ; 10) = (-5; -15)

III. Si O = (0; 0) & Rot (2; -2)(O; -45°) = (0; - 2 2 )

IV. Si O = (0; 0) & Rot (-4; 3)(0; 37°) = (5; 0) C) FFVF

D) FVVF

4.

B) (-2; -7) E) (7; -2)

x

12. Completa:

Halla el punto simétrico a el punto (-3; 7) con respecto al eje x. B) (3; 7) E) (7; 7)

C) (-3; -7)

7.

D) -2

E) 5

B) 6

C) -5

D) 1

E) -7

Halla la diferencia de las coordenadas del punto simétrico a B(-9; 3) con respecto al origen de coordenadas. A) 6

9.

C) 0

Halla la suma de coordenadas del punto A. Si se sabe que su posición final luego de haber sido trasladado 74 unidades en dirección de la flecha V(7; -5) es A'(3; 0). A) 3

8.

B) -2

B) 12

C) -12

P''(.....; .....)

D) -6

Razonamiento y demostración 13. Halla el radio vector del punto simétrico a (-6; 8) con respecto al eje y. A) 11

B) 10

C) 9

D) 18

E) 12

14. Halla las coordenadas de la traslación del punto A(2; -1) en dirección de la flecha V(1; 1), una cantidad igual a 2 .

Halla la abscisa del punto de intersección entre el eje x y el segmento A'B', que es simétrico a la recta AB con respecto al punto (1; 1), además: A(-4; 1) y B(-2; 3). A) -5

P(x; y)

x

C) (-3; 2)


P'(.....; .....) y

C) (2; -7)

B) (-2; -3) E) (-2; 3)

A) (-3; 7) D) (3; -7)

P'' =

P''

Halla la posición final del punto D(-2; -1) que se ha trasladado 4 unidades en dirección del eje y positivo. A) (3; -2) D) (2; 3)

5.

II. Giro horario:

E) FVVV

Halla la posición final del punto M(-2; 7) que ha sido rotado 90° en sentido antihorario con respecto al origen de coordenadas. A) (-7; -2) D) (2; 7)

P' =

P

θ θ

A


E) 5 10

11. Completa: y

I. Sim (4; -1)(y) = (4; 1)

B) FFFF

D) 10


E) FVVV

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A) VVVV

C) 4 10

Nivel 2

IV. Si O = (0; 0) & Rot(-7; 11)(O; 90°) = (11; 7) A) VVFF

E) (4; 3)

10. Halla el radio vector de la posición final de N(-5; -3) luego de que este punto rota 90° en sentido antihorario con respecto al punto (2; 4). A) 3 10

II. Tras (-6; -3)( "y ; 4) = (-6; 1)

C) (4; -3) D) (4; 2)

E) 3

Halla la posición final del punto M(-4; 3) que se ha desplazado 5 unidades en dirección del eje y negativo.

A) (-3; 0) D) (-2; 0)

B) (0; -3) E) (0; 3)

C) (3; 0)

15. Halla el producto de las coordenadas de A', dicho punto es resultado de la rotación de 60° de A(1; 2) con respecto al punto (-3; 2), en sentido antihorario. A) 2 -2 3

B) -2 + 2 3

D) 2 + 2 3

E) 2 - 2 2

C) -2 - 2 3

Resolución de problemas 16. Halla la suma de las coordenadas de la traslación del punto A(-3; 2). Si se sabe que este punto ha sido trasladado siguiendo la dirección de la flecha (0; -8), 8 unidades. A) 2 5

B) 5

C) 5 3

D) 3 5

E) 3 3


109

17. Halla las coordenadas de la posición final de (-3; 5), si este punto ha rotado 45° con respecto al origen de coordenadas, en sentido antihorario. A) (-2 2 ; - 2 ) D) (-4 2 ; 2 )

B) (2 2 ; 2 ) E) (-4 2 ; 2)

C) (4 2 ; 2 )

18. Ubica los puntos R = Sim(3; 8)L y S = Sim(-8; -6)L. Si L pasa por los puntos (0; 0) y (2; 2).

F = Tras (6; -1)(- OL ; 2) Si el rayo OL parte de O(0; 0) y pasa por (3; 3).

C) 2 3 3

3 E) 3 3

Comunicación matemática Si Q ! IIIC & Sim Q( "x ) ! IVC Si R ! IVC & Sim R( "x ) ! IIC Tras (-2; 5)( "x ; 4) ! IC Si A ! IIC y O = (0; 0) & Rot A(O; 90°) ! IIIC B) VVFF E) FVVF

C) FVFV

22. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. II. III. IV.

Sim (2; 5)( " ) = (-2; 5) x Sim (-3; -2)( "y ) = (3; -2) Tras (-2; 1)( "x ; 3) = (1; -1) Si O = (0; 0) & Rot (-9; -3)(O; 180°) = (9; 3)

A) FVFV D) FFVV

B) VFVF E) FFFV

B) (-5; 0) E) (5; -5)

C) 12

C) VVFF

26. Halla el baricentro del triángulo simétrico al triángulo ABC con respecto al punto (-2; 0). Si A es (-7; 1), B es (-2; 4) y C es (-5; 7). A) c- 4; 2 m 3 D) c 4; 2 m 3

B) c 2 ; - 4 m 3 E) c- 2 , - 4 m 3

C) c 2 ; 4 m 3

27. Halla la distancia entre los puntos A' = Rot(0; 5)(0; 37°) y

" A' = tras(-4; 5)( "V ; 5) y B' = tras(6; -1)(- "V ; 5); si V = (4; 3).

A) (2; 1) D) (-1; -2)

B) (1; 2) E) (2; -1)

D) 13

C) (-1; 2)

29. En el plano cartesiano la figura simétrica al hexágono regular ABCDEF respecto al eje y es el hexágono A'B'CD'EF'. Si AB = 2 señala la longitud de AB'. Además se sabe que: C^0; 3 h; E^0; - 3 h y D ! x. B) 3 7

A) 4 7

C) 2 7

D) 5 7

E) 7

A) 5

B) 3 2

C) 4

D) 2 2

E) 3

Cl aves

E) 14

24. En el TABC; los vértices son: A(-2; 3); B(6; 1) y (4; -5). Halla la distancia entre los puntos M' y N'; si M' es la traslación del punto medio de AB en dirección del eje y negativo y a su vez

110 Intelectum 2.°

C) (0; 5)

30. En el plano cartesiano se tienen los puntos A(0; 1), B ^ 3 ; 0h y C^3 3 ; 0h . Halla AC', si C' = Rot C(B; 2a), donde a es el menor ángulo formado por AB y el eje x de coordenadas; además la rotación que se efectúa sobre C' es de sentido antihorario.

23. Halla la distancia entre A' = Sim (-2; 4)(L) y B' = Sim (3; 8)(L) si L pasa por el punto (2; 2) y el origen de coordenadas. B) 11

E) 6

25. Tenemos A' = Rot (-12; -5)(O; 90°) y B' = Rot (13; 0)(C; 53°). En el segmento A'B' se toma el punto H de tal forma que 4A'H = 3HB'. Halla las coordenadas de H si C es (-7; 0) y O es el origen de coordenadas.


A) 10

D) 5

28. Halla las coordenadas del punto medio entre

21. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A) VFVF D) FFVV

C) 4

B' = Rot (6; -2)(C; 90°), si C es (1; -1) y O el origen de coordenadas. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Nivel 3

I. II. III. IV.

B) 2


20. En el plano cartesiano el punto A^- 3 ; - 1h se traslada 2 3 unidades en dirección del eje x positivo generándose A1; que a su vez es rotado 90° en sentido antihorario con respecto a O para transformarse en A2. Halla la razón entre BO y A2O, si B es la intersección de AA1 con la prolongación de A2 O y O es el origen de coordenadas. B)

A) 3

A) (5; 0) D) (0; -5)

19. Ubica los puntos: C = Tras (-2; 5)( OL ; 5)

A) 2 3 D) 1 3

N' es la traslación del punto medio de BC en dirección del eje x positivo. Además dichas traslaciones recorrieron una distancia de una unidad.

Nivel 1

7. D

13. B

20. E

26. B

1. C

8. B

14. C

Nivel 3

27. B

2. C

9. A

15. C

21. D

10. A

28. B

3. A

16. D

22. A

4. E

Nivel 2

17. D

23. D

5. C

11.

18.

24. D

6. E

12.

19.

25. A

29. C 30. C

Matemática ▪ En un cubo las caras opuestas son ABCD y EFGH, siendo las aristas que las conectan AE; BF, CG y DH. El ángulo que forma BE con AH mide:

Paso 1: AH y BE son rectas alabeadas. AH se proyecta en el plano BCGF & AH , BG

Resolución: B

a 2

a

a

Paso 2: El triángulo EBG es equilátero. ` +EBG = 60°

a

a

A

C

a 2 a 2 a

F

E

1.

H

Halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado “a” y PQ es tangente al arco AC (de centro “O”) en su punto medio. A

P

B

Q O

2.

G a 2

C

A) d 3 2 - 8 + p n a 2 4 + 8 2 8 - p n a2 B) d 4 C) d 8 2 + 6 + p n a 2 4 + 8 2 8 n a2 D) d 3 E) d 8 2 - 8 - p n a 2 4

A O

A) L = 1 + p2

r

B

B'

A) 1 D) 8/27 5.

B) 2/3 E) 3

A) (1; 2; 3) D) 1; -2; -3) 6.

B) (-1; 2; -3) E) (1; -2; 3)

A) 3p m3 D) 5p m3 4.

D) L = 2 1 + p

4 + 2p2

Se tiene un prisma recto de base triangular ABC, siendo el ángulo ABC = 90° y la altura del prisma 6 m. Considerando como diámetro el segmento BC se dibuja un cilindro recto de igual altura que el prisma. La cara lateral mayor del prisma es dividida por una de las generatrices del cilindro en dos regiones rectangulares; cuyas áreas son 18 m2 y 6 m2; la región rectangular menor es interior al cilindro. Halla el volumen del cilindro. B) 4p m3 E) 6p m3

C) 2p m3

En la figura mostrada se tienen dos esferas cuyos radios están en la relación de 2 a 3. La parte sombreada corresponde a los anillos esféricos determinados en cada una de ellas por cilindros inscritos, rectos y de altura “h”. Si “r” es la medida del radio de la esfera menor, halla la razón de los volúmenes de los anillos esféricos para h = 2 r . 3

(-1; -1)

7.

C) (-1; -2; 3)

Del triángulo notable cuyo baricentro es (-2; 1/3), halla el área encerrada por la simetría axial respecto al eje y y la simetría axial respecto al eje x.

2

3.

C) 4/9

Se tiene un punto en el espacio tal que el punto simétrico respecto al eje y del punto simétrico respecto al eje x se traslada (-1; -2; -3) y coincide con el origen de coordenadas. Halla las coordenadas de dicho punto.

C) L = 2 1 + p2 E) L =

h 2 h B 2

(II)

B) L = 2 1 + 2p2

A

A

O'

(I)

La curva de longitud mínima, trazada de A a B están sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa en torno al cilindro recto de radio 1 y altura 2, tiene por medida “L” igual a: B

A'

G (-2; 1) 3 37°

A) 15 4 27 C) 8 3 E) (-1; 3) 2

B) 15 8 9 D) 4

Se tiene una esfera maciza de metal y un cono macizo de metal, el cual resulta ser el mayor de los conos que se puede inscribir en el menor cilindro que contiene a la esfera indicada. Al sumergir completamente la esfera en un recipiente cilíndrico con agua, el nivel del agua sube 6 cm. ¿Cuántos centímetros subió el nivel del agua, al sumergir completamente a la vez la esfera y el cono? Area (A) 6 cm R R R

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12


111

Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941

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