GE Matemática

APRESENTAÇÃO

Um plano para os seus estudos Este GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA oferece uma ajuda e tanto para as provas, mas é claro que um único guia não abrange toda a preparação necessária para o Enem e os demais vestibulares.

É por isso que o GUIA DO ESTUDANTE tem uma série de publicações

que, juntas, fornecem um material completo para um ótimo plano de estudos. O roteiro a seguir é uma sugestão de como você pode tirar melhor proveito de nossos guias, seguindo uma trilha segura para o sucesso nas provas.

�

Decida o que vai prestar

O primeiro passo para todo vestibulando é escolher com clareza

a carreira e a universidade onde pretende estudar. Conhecendo o grau de dificuldade do processo seletivo e as matérias que têm peso maior na hora da prova, fica bem mais fácil planejar os seus estudos para obter bons resultados. COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE PROFISSÕES traz todos os cursos superiores existentes no Brasil, explica em detalhes as características de mais de 260 carreiras e ainda i ndica as instituições que oferecem os cursos de melhor qualidade, de acordo com o ranking de estrelas do GUIA DO ESTUDANTE e com a avaliação oficial do MEC.

CAPA: 45 JUJUBAS

CALENDÁRIO GE GE 2016 2016



�

Revise as matérias-chave

Para começar os estudos, nada melhor do que revisar os pontos mais importantes das principais matérias presentes prese ntes no Ensino Médio. Você pode repassar todas as disciplinas ou focar só em algumas delas. Além de rever os conteúdos, é fundamental fazer exercícios para praticar. praticar.  COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ Além do GE MATEMÁTICA, que você

já tem em mãos, mãos, produzimos um guia para cada cada matéria do Ensino Ensino Médio: GE QUÍMICA , Física, Biologia, História, Geografia, Português e Redação. Todos reúnem os temas que mais caem nas provas, trazem muitas questões de vestibulares para fazer e ainda têm uma linguagem fácil de entender, permitindo que você estude soz inho.

Veja Veja quando são lançadas as nossas publicações MÊS Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro

� Mantenha-se atualizado O passo final é reforçar os estudos sobre atualidades, pois as provas exigem alunos cada vez mais antenados com os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo. Além disso, é preciso conhecer em detalhes o seu processo seletivo – o Enem, por exemplo, é bastante diferente dos demais vestibulares.

PUBLICAÇÃO GE HISTÓRIA GE ATUALIDADES 1 GE GEOGRAFIA GE QUÍMICA GE PORTUGUÊS GE BIOLOGIA GE ENEM GE FUVEST GE REDAÇÃO GE ATUALIDADES 2 GE MATEMÁTICA GE FÍSICA GE PROFISSÕES

Novembro Dezembro Os guias ficam um ano nas bancas – com exceção do ATUALIDADES, que é semestral. Você Você pode comprá-los também nas lojas on-line das livrarias Cultura e Saraiva.

 COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE Enem e o GE Fuvest são dois

verdadeiros “manuais de instrução”, que mantêm você atualizado sobre todos os segredos dos dois maiores vestibulares do país. Com duas edições no ano, o GE ATUALIDADES traz fatos do noticiário que podem cair nas próximas provas – e com explicações claras, para

FALE COM A GENTE �

Av. das Nações Unidas, 7221, 18º andar, CEP 05425-902, São Paulo/SP, Paulo/SP, ou email para: [email protected]

quem não tem o costume de ler jornais nem revistas. GE MATEMÁTICA ��

3

APRESENTAÇÃO

Um plano para os seus estudos Este GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA oferece uma ajuda e tanto para as provas, mas é claro que um único guia não abrange toda a preparação necessária para o Enem e os demais vestibulares.

É por isso que o GUIA DO ESTUDANTE tem uma série de publicações

que, juntas, fornecem um material completo para um ótimo plano de estudos. O roteiro a seguir é uma sugestão de como você pode tirar melhor proveito de nossos guias, seguindo uma trilha segura para o sucesso nas provas.

�

Decida o que vai prestar

O primeiro passo para todo vestibulando é escolher com clareza

a carreira e a universidade onde pretende estudar. Conhecendo o grau de dificuldade do processo seletivo e as matérias que têm peso maior na hora da prova, fica bem mais fácil planejar os seus estudos para obter bons resultados. COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE PROFISSÕES traz todos os cursos superiores existentes no Brasil, explica em detalhes as características de mais de 260 carreiras e ainda i ndica as instituições que oferecem os cursos de melhor qualidade, de acordo com o ranking de estrelas do GUIA DO ESTUDANTE e com a avaliação oficial do MEC.

CAPA: 45 JUJUBAS

CALENDÁRIO GE GE 2016 2016

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Revise as matérias-chave

Para começar os estudos, nada melhor do que revisar os pontos mais importantes das principais matérias presentes prese ntes no Ensino Médio. Você pode repassar todas as disciplinas ou focar só em algumas delas. Além de rever os conteúdos, é fundamental fazer exercícios para praticar. praticar.  COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ Além do GE MATEMÁTICA, que você

já tem em mãos, mãos, produzimos um guia para cada cada matéria do Ensino Ensino Médio: GE QUÍMICA , Física, Biologia, História, Geografia, Português e Redação. Todos reúnem os temas que mais caem nas provas, trazem muitas questões de vestibulares para fazer e ainda têm uma linguagem fácil de entender, permitindo que você estude soz inho.

Veja Veja quando são lançadas as nossas publicações MÊS Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro

� Mantenha-se atualizado O passo final é reforçar os estudos sobre atualidades, pois as provas exigem alunos cada vez mais antenados com os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo. Além disso, é preciso conhecer em detalhes o seu processo seletivo – o Enem, por exemplo, é bastante diferente dos demais vestibulares.

PUBLICAÇÃO GE HISTÓRIA GE ATUALIDADES 1 GE GEOGRAFIA GE QUÍMICA GE PORTUGUÊS GE BIOLOGIA GE ENEM GE FUVEST GE REDAÇÃO GE ATUALIDADES 2 GE MATEMÁTICA GE FÍSICA GE PROFISSÕES

Novembro Dezembro Os guias ficam um ano nas bancas – com exceção do ATUALIDADES, que é semestral. Você Você pode comprá-los também nas lojas on-line das livrarias Cultura e Saraiva.

 COMO O GE GE PODE PODE AJUDAR VOCÊ O GE Enem e o GE Fuvest são dois

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FALE COM A GENTE �

Av. das Nações Unidas, 7221, 18º andar, CEP 05425-902, São Paulo/SP, Paulo/SP, ou email para: [email protected]

quem não tem o costume de ler jornais nem revistas. GE MATEMÁTICA ��

3

CARTA AO LEITOR

� EM CADA ��

APROVADOS NA USP USARAM

A P I S / R A H E B Y N O H T N A

SELO DE QUALIDADE GUIA DO ESTUDANTE

O valor de conhecer

N

a política e na vida, a ignorância não é uma virtude.” A frase foi dita pelo presidente

PARA FORMANDOS

O presidente dos Estados Unidos, Barack Obama, na cerimônia de formatura da Universidade Rutgers

O selo de qualidade acima é resultado de uma pesquisa realizada com 351 estudantes aprovados em três dos principais cursos da Universidade de São Paulo no vestibular 2015. São eles: DIREITO, DA FACULDADE DO LARGO SÃO FRANCISCO � � ENGENHARIA, DA ESCOLA POLITÉCNICA � e � MEDICINA, DA FACULDADE DE MEDICINA DA USP �



dos Estados Unidos, Barack Obama, na

cerimônia de formatura de uma turma da Universidade Rutgers. Na ocasião, Obama criticava o então candidato à presidência Donald Trump. Mas a ideia se encaixa no dia a dia de qualquer um. Vive melhor quem acompanha de perto as transformações

 Entre

os que utilizaram versões impressas do GUIA DO ESTUDANTE: 88% dis 88% dis seram que os guias guias ajudaram na preparação. 97% recomendaram os guias para outros estudantes.

de seu tempo. Para você, vestibulando, o raciocínio é mais válido válido do que nunca. nunca. Para ir bem nas prova provass de vestibular vestibular,, é fundamental saber interpretar as notícias. E, para isso, é

importante, entre outras coisas, dominar aspectos básicos de diversas ciências, particularmente da matemática. A matemática está oculta em muitas das notícias que você vê na TV, na internet ou nos jornais. Em geofísica, explica como ocorrem os terremotos; em economia, ajuda a interpretar gráficos; em geografia e meio ambiente, é essencial para compreender a relação entre o crescimento da população e o estoque de recursos naturais do planeta. Ou seja, saber essa ciência exata não conta pontos apenas nas provas de matemática, mas também nas de outras áreas, e também na redação. Nós, editores do GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA VESTIBULAR + ENEM, entendemos que quem enxerga o lado prático da matemática aprende mais rápido. Por isso pinçamos para esta edição alguns dos grandes assuntos da atualidade como ponto de partida para trabalhar com os conceitos matemáticos básicos básicos.. O conteú conteúdo do foi prepa preparad radoo pelo pelo profe professor ssor Fabio Fabio Marson Marson Ferreira, do Colégio Móbile, de São Paulo. A primeira decisão acertada que você pode tomar agora é mergulhar neste guia e se preparar para um futuro futu ro de sucesso.  A redação 4

GE MATEMÁTICA GE MATEMÁTICA ��

8 em cada 10 entrevistados na pesqu isa usara m algum algum conteúd conteúdo o do GUIA DO ESTUDANTE durante sua preparação para o vestibular

TESTADO E APROVADO APROVADO � A pesquisa quantitativa por meio de entrevista pessoal foi realizada nos dias 11 e 12 de fevereiro de 2015, nos campi de matrícula dos cursos de Direito, Medicina e Engenharia da Universidade de São Paulo (USP).

Universo total de estudantes aprovados nesses cursos: 1.725 alunos. � Amostra utilizada na pesquisa: 351 entrevistados. � Margem de erro amostral: 4,7 pontos percentuais. �

SUMÁRIO

S �� r � o 78  Ma te má tic a

VESTIBULAR + ENEM 2017

92

infraestrutura precária, sofrem mais com terremotos Potenciação As propriedades da multiplicação de um número por ele mesmo repetidas vezes Funções e equações exponenciais As expressões nas quais a variável é o expoente de um número e seus gráficos Funções e equações logarítmicas Como encontrar o expoente de uma potência Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

94

TRIGONOMETRIA Os danos colaterais do aeromodelismo bélico Os drones usados

80 82 86

ÍNDICE REMISSIVO 8

Onde você encontra nesta edição os principais conceitos FÓRMULAS E CONCEITOS

10

14 16 19 24 28

46 52 58

60

contra terroristas fazem muitas vítimas entre civis inocentes 96 Triângulos e a circunferência trigonométrica Relações entre ângulos nas figuras de três lados 100 Funções trigonométricas As expressões que definem seno, cosseno e tangente e seus gráficos 102 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

As expressões matemáticas e os conceitos mais importantes

NÚMEROS E OPERAÇÕES Devem e pagam quando puderem A dívida dos estados com a União Números e conjuntos Os conceitos básicos para qualquer cálculo Razão e proporção Relações entre grandezas Juros Os cálculos básicos que envolvem o custo do dinheiro Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

GEOMETRIA 30 Júpiter recebe um bisbilhoteiro A sonda Juno, da Nasa, chega 32 36 38 40

POTÊNCIA E LOGARITMO Abalos semelhantes, prejuízos diferentes Países mais pobres, com

ao planeta gigante Ponto, reta e plano Os elementos essenciais das figuras geométricas lineares Plano cartesiano O quadriculado que permite localizar qualquer ponto Gráficos As diversas maneiras de representar a variação de grandezas Polígonos Medidas de lado e área de quadrados, retângulos, trapézios e triângulos Cônicas As curvas abertas e fechadas que não têm arestas e suas equações Sólidos O volume de prismas, cilindros, cones e pirâmides Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

ÁLGEBRA A juventude e o desemprego Os jovens são os mais afetados na hora

PROGRESSÕES 104 Disparidade econômica evidente na demografia As consequências da

explosão demográfica na África e redução da população na Europa 106 PA As progressões que evoluem pela soma de uma razão 108 PG As sequências que crescem ou decrescem de maneira exponencial 110 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 112 Contra toda a probabilidade A decisão do Reino Unido de deixar

a União Europeia 114 Combinatória As diferentes maneiras de arranjar e combinar

elementos de um conjunto 117 Probabilidade Como calcular as chances de ocorrer um evento 120 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

MATRIZES Sai a TV analógica, entra a digital A partir de 2018 todas as cidades 122

receberão apenas sinais digitais 124 Conceitos e propriedades Como funcionam as matrizes 126 Determinantes Números que facilitam cálculos em diversas áreas 128 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

de buscar trabalho 62 68

Função e equação de 1º grau A expressão que define uma reta Posições relativas de retas As funções que descrevem retas

70 76

perpendiculares, concorrentes ou paralelas Função e equação de 2º grau As parábolas e suas expressões matemáticas Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo

6 GE MATEMÁTICA ��

RAIO�X 130 As características dos enunciados que costumam cair nas provas do

Enem e dos principais vestibulares SIMULADO 132

�� questões e suas resoluções, passo a passo

ÍNDICE REMISSIVO

Conteúdo matemático Em ordem alfabética, os termos que remetem aos diversos conceitos abordados nesta edição

F

P Parábola ..........................................50, 70 a 75 Permutação ........................................115 a 116 Plano .........................................................32, 33 cartesiano...........................................36, 37 Poliedros ........................................................53 Polígonos ..............................................40 a 45 Inscritos e circunscritos ...................... 48 Potenciação .........................................80 a 85 Ponto......................................................32 e 45 Porcentagem .......................................... 22, 23 Princípio de Cavalieri .................................55 Prismas.................................................... 53, 54 Probabilidade.....................................117 a 119 Proporção ................................................19, 20 Progressão aritmética (PA) ............. 106, 107 Progressão geométrica (PG)........... 108, 109

Ângulos .......................................33, 34, 98, 99 Área........................................................ 41 a 44 do círculo ................................................. 46 de polígonos ....................................41 a 44 de sólidos ......................................... 53 a 55 Arranjos ....................................................... 116 Árvore das possibilidades .................114, 115

Fatorial ..........................................................115 Fórmula de Bhaskara ..................................72 Funções análise de sinal .........................................65 conceitos.............................................62, 63 domínio ......................................................67 exponenciais ....................................82 a 85 logarítmicas ........................................90, 91 de 1º grau .......................................... 63 a 65 de 2º grau..........................................70 a 75 trigonométricas..............................100, 101

B

G

Bhaskara, fórmula de ..................................72

Gráficos ................................................. 37 a 39

C

H

Capital ........................................................... 24 Cavalieri, princípio de ................................55 Cilindros ........................................................55 Círculo........................................................... 46 Circunferência.....................................46 a 48 equação da .................................................47 inscrita e circunscrita ............................ 48 trigonométrica.................................97 e 98 Combinação ................................................ 116 Cone ................................................................56 Conjuntos ......................................................17 numéricos..................................................18 Cosseno ....................................................97, 99 lei dos cossenos........................................99

Hipérbole.................................................50, 51

Razão ..............................................................22 Regra de três .................................................21 Reta .........................................................33 a 35 coeficiente angular ................................ 64 coeficiente linear ................................... 64 equação da ................................................65 posição relativa ..................33 a 35, 68, 69

I

S

Inequações ....................................................66

Sistemas de equação....................................66 Seno ....................................................... 97 a 99 lei dos senos .............................................99 Sólidos geométricos ........................... 52 a 57

A

D Determinantes....................................126, 127

E Elipse......................................................49 a 51 excentricidade ........................................ 50 Equações da circunferência.....................................47 8

da hipérbole.............................................. 51 da parábola ............................................... 71 de 1º grau ...................................................65 de 2º grau.............................................71, 72 da reta.........................................................65 sistemas de ................................................66 Escala de redução ............................................... 20 Richter .......................................................89 Eventos......................................................... 118

GE MATEMÁTICA ��

J Juros ......................................................24 a 27

L Logaritmo..............................................86 a 91

M Matrizes ...............................................124, 125 Média............................................................ 118 Mediana ....................................................... 118 Moda............................................................. 118 Montante ...................................................... 24

N Notação científica........................................81

Q Quadrantes ........................................37, 97, 98

R

T Tangente ........................................... 97, 98, 99 Teorema de Pitágoras .............................. 44, 45, 98 de Tales ....................................................35 Trapézio........................................................42 Triângulos ...............................42 a 45, 96, 97 na circunferência trigonométrica ...97, 98 retângulos ................................. 44, 45, 98 semelhança de.................................96, 97

V Volume .................................................... 56, 57 equivalência de ......................................56

FÓRMULAS E CONCEITOS

Para não esquecer

Equação: Se o centro estiver nas coordenadas C (0, 0): x Q2 + yQ2 = r2

Uma lista de conceitos e fórmulas desta edição

Se o centro não coincidir com (0, 0): (xQ – xC)2 + (yQ – yC)2 = r2

Compostos: Mn= C . (1 + i)n

ANÁLISE COMBINATÓRIA

ELIPSE

LOGARITMOS

Permutação simples: P nS = n!

Equações:

Logaritmo do produto: logb (a . c) = logb a + logbc

JUROS Simples: J = C . i . n

2

2 y x 2 + 2 = 1 sempre com a > b a b

Permutação com repetição: a,b,c,...

Pn

=

n! a!b!c!...

2

A n,p=

+

a2

n! (n–p)!

Arranjo com repetição:

2

Qx – m V

Arranjo simples:

Logaritmo do quociente:

Qy – n V

b2

= 1, semprecoma

2

b

1 log b ( a ) = – log b a

c Excentricidade: e = a r A n, p

=n

Logaritmo de potência: logb(an) = n . logba e logb(bn) = n

p

FUNÇÃO DE 1º GRAU Combinação simples: C n,p =

a log b ( c ) = log b a – l o g b c

Mudança de base do logaritmo:

f(x) = y = a . x + b, em que

A n,p n! = p! (n–p)!p!

log c a =

• a é o coeficiente angular da reta:

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

a=

3y 3x

=

(y A – y B ) (y B – y A ) = (x A – x B ) (x B – x A )

log b a log b c

MATRIZES

Retângulo: A = base . altura Diagonais: 2

Quadrado: A = lado . lado = lado

• b é o coeficiente linear da reta é o valor de y quando x = 0

Losango: diagonalmaior . diagonalmenor A= 2

Raiz da função é o valor de y no ponto em que a reta cruza o eixo x :

Trapézio:

y=a.x+b&0=a.x+b

A=

(basemaior + basemenor).h 2

Paralelogramo: A = base . altura

&

b x=–a

diagonal principal

A = A11 A21 A12 A22 Matriz identidade:

I=

FUNÇÃO DE 2º GRAU

diagonal secundária

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Forma geral: y = a . x2 + b . x + c Soma de matrizes: Forma fatorada: y = a . (x – x1) . (x – x2)

Triângulo: 2

base .altura A= 2

Forma canônica: y = a . (x – x V) + y V Fórmula de Bhaskara

Círculo: A = π . r 2 x=

–b

!

a12 + b12 a22 + b22 ... aij + bij

a13 + b13 a23 + b23 ... aij + bij

Multiplicação por um número:

2

b –4.a.c 2 .a

CIRCUNFERÊNCIA

Coordenadas do vértice da parábola:

Comprimento: P = 2 . π. r

xv=– b 2 .a


a11 + b11 Aij + Bij = a21 + b21 ... aij + bij

D

yv = – 4 . a

k . Aij =

k . a11 k . a21 ... k . aij

k . a12 k . a22 ... k . aij

k . a13 k . a23 ... k . aij

Multiplicação de matrizes: Os elementos da matriz P produto de A 1 . A 2 são obtidos pela multiplicação dos elementos de cada linha de A 1 pelos ele-

mentos correspondentes de cada coluna de A 2. Depois, os resultados são somados.

PROBABILIDADE Eventos independentes: P (A

+

B) = P (A) . P (B)

União de dois eventos: P (A

,

B) = P (A) + P (B) – P (A

+

B)

PA E PG

Média aritmética: É a soma de todos os

Termo geral de uma PA:

an = a1 + (n – 1) . r, para n ≥ 2

valores dos elementos de um conjunto dividida pelo número total de elementos do conjunto.

Soma dos termos de uma PA:

Média ponderada: Leva em consideração

o peso de cada elemento do conjunto.

n . ( a 1 + a n) Sn = 2

Mediana: É a medida central de uma

an = a1 . q , n ≥ 2

lista de medidas colocadas em ordem crescente, ou decrescente.

Soma dos termos de uma PG finita:

Moda: É o valor que mais aparece em

Termo geral de uma PG: n-1

a 1 . (q n –1) paraq Sn = q– 1

uma série de dados. !

1

Soma dos termos de uma PG infinita: a lim S n = – q –11 n "

TRIÂNGULOS Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2

3

Razões trigonométricas: sen a =

catetoopostoa a hipotenusa

n = a . 10x, em que 1 ≤ a < 10

co s a =

cateto adjacente a a hipotenusa

Propriedades: • am . an = am + n

tg a =

POTENCIAÇÃO Notação científica:

• am : an = am – n • (am)n = am . n 

1 b a–b = S a X

•a

m n

=

n

catetoopostoa a cateto adjacente a a

Lei dos senos: a c b sen a = sen b = sen c Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2– 2 . b . c . c o s a

am

VOLUME DE SÓLIDOS •(m.n) b = m b . n b



b

S X m n

mb = b n

• a0 = 1, desde que a ≠ 0

4

Esfera: v = 3 . r . r

3

Prisma: v = A base . h

1

Pirâmide: v = 3 . A base . h 2

Cilindro: v = r . r .h

1

2

Cone: v = 3 . r . r .h

1

NÚMEROS E OPERAÇÕES CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO

 Conjuntos numéricos ..................................................................................... ��  Razão e proporção........................................................................................... ��  Juros

..................................................................................................................... �� prova + Resumo....................................................................... ��

 Como cai na

Devem, mas pagam quando puderem Aumento de gastos e redução de receitas arruínam as finanças dos estados e levam governadores a negociar com o governo federal a dívida com a União

O

s estados brasileiros e o Distrito Federal estão com as contas no vermelho. Algumas mais, outras menos, as 27 unidades da federação chegaram a 2015 com a contabilidade negativa, grande parte delas incapaz de pagar fornecedores e quitar dívidas. E, no geral, o maior credor dos estados é a União. Em maio de 2016, São Paulo devia ao governo federal mais de 220 bilhões de reais, Minas Gerais, 80 bilhões, Rio de Janeiro e Rio Grande do Sul, 57 e 52 bilhões, respectivamente. Sem dinheiro, os governos paralisam obras, atrasam o pagamento dos salários de servidores e não conseguem repor materiais básicos em hospitais e postos de saúde. Em dezembro de 2015, o Rio de Janeiro decretou estado de emergência na saúde pública e durante cinco meses amargou greves de professores. Diversos fatores contribuem para o saldo

negativo nas contas dos estados. Redução em tarifas públicas derruba a arrecadação do Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços (ICMS), importante fonte de recursos estaduais. A valorização do salário mínimo, que é corrigido acima da inflação desde 2003, engorda a folha de pagamento, que também tem sido inchada nos últimos anos por novas contratações e reajustes salariais concedidos pelos governos estaduais, em contrapartida ao aumento das receitas. 14


A atual dívida com a União foi contraída entre 1997 e 1999, quando, para salvar os estados, o go verno federal assumiu o pagamento aos credores, concedendo aos governadores prazos e índices de correção mais favoráveis. No entanto, as regras e a situação econômica do país mudaram. Hoje, os valores das parcelas são atualizados segundo a variação da taxa básica de juro (Selic) e corrigidos pelo mecanismo de juros compostos – o que aumenta o valor da dívida de maneira exponencial. Os governadores pedem a troca dos juros compostos por juros simples. Mas o governo federal não cede. A substituição faria com que o Tesouro Nacional deixasse de receber 313 bilhões de reais. Enfim, as partes chegaram a um acordo em junho de 2016: o prazo para quitação foi expandido, e as parcelas serão pagas com abatimentos gradativamente menores: na primeira, o desconto será de 94,5%, na segunda, 89%, e assim por diante, retrocedendo

a cada mês 5,5 pontos percentuais. Porcentagens, juros simples e compostos são alguns dos temas que você revê neste

capítulo.

FORA DAS ESCOLAS

Professores da rede estadual de ensino do Rio de Janeiro permaneceram em greve entre março e julho de 2016. Os docentes pedem aumento salarial e reclamam do atraso nos pagamentos

A N E R A O T O F / O P U P O S L E C


15

NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS

K C O T S I

Conceitos fundamentais As ferramentas básicas usadas em todas as operações, da simples contagem aos cálculos mais complexos

A

ssim como qualquer campo do conhecimento – física, química, história ou geografia –, a matemática tem também sua própria linguagem, composta de símbolos e conceitos. O primeiro e mais importante deles são os números. Sem eles, não seria possível contar, medir, ordenar e classificar. Não se sabe ao certo que povo de-

senvolveu a ideia abstrata de número. Mas os historiadores têm como certo que o conceito surgiu da necessidade de contar objetos e seguir um calendário. O sistema de contagem deve ter se iniciado com o uso dos dedos, há

milhares de anos, e de pedras, uma para cada unidade. Depois vieram pequenas placas de argila –, cada uma delas também representando uma unidade. Os incas criaram os quipus, um sistema de cordas e barbantes com nós. 16


Os numerais, ou algarismos – os

símbolos gráficos que representam os números –, teriam aparecido bem mais tarde, com a escrita. E a uma certa altura da história, o comércio criou a

necessidade de se registrar e comunicar a contagem de mercadorias e seus valores. Antropólogos têm registro de ossos, pedras e pedaços de madeira de pelo menos 5 mil anos com marcas escavadas com o que eles supõem tenham sido os primeiros numerais. Atribui-se aos egípcios a invenção dos primeiros símbolos numéricos mais formais, na forma de hieróglifos. Os romanos criaram os algarismos romanos: I, V, X, L, C, D e M. Hoje a matemática faz uso, no mundo todo, dos algarismos indoarábicos: 1, 2, 3... 10, 11, 12... Acredita-se que esses algarismos tenham sido criados na Índia, também há milhares de anos.

SAIBA MAIS ALGARISMOS ROMANOS

O sistema de notação por algarismos romanos – que empregamos hoje apenas para classificar e ordenar elementos, como nos capítulos de um livro – dispensa o número zero. Nele, as letras I, V, X, L, C, D e M simbolizam quantidades básicas: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respectivamente. A posição e o número de vezes em cada um desses símbolos é repetido definem dezenas, centenas e milhares.

ALGARISMOS ARÁBICOS

1, 2, 3, 4

I, II, III, IV

5, 6, 7, 8

V, VI, VII, VIII

9, 10, 11... 19, 20

IX, X, XI... XIX, XX

50

L

54

LIV

100

C

111

CXI

500

D

591

DXCI

1000

M

1008

MVIII

VIAGEM NO TEMPO

Milênios se passaram desde a criação dos algarismos indoarábicos, na Índia. Mas até hoje, por mais avançada que seja a tecnologia, são estes os algarismos que usamos no dia a dia

Os números utilizados em contagens são chamados números concretos – cada número representa certa quantidade de “coisas” reais. O zero, que representa a ausência, o nada ou o vazio, não é um número concreto, mas um numeral de posição. Dependendo do local em que o zero é colocado, os numerais anteriores ou posteriores assumem diferentes valores. Por exemplo, no sistema decimal, que tem como base o 10, o numeral 1 representa uma unidade. Mas, seguido de um zero (10), são dez unidades; e 0,1 representa um décimo de uma unidade.

Conjuntos A teoria dos conjuntos é uma área da matemática que você não precisa conhecer com profundidade para o Enem. Mas seus conceitos são fundamentais para compreender enunciados e, assim, chegar

à resposta correta das questões. Conjunto, você sabe: é um grupo de elementos: • o conjunto formado pelos números nas faces de um dado é D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; • já o conjunto dos números pares de um dado é P = {2, 4, 6}; • e o conjunto dos ímpares é I = {1, 3, 5}.

Os conjuntos também podem ser representados pelo diagrama de Venn. Os diagramas para os conjuntos D, P e I, acima, são: D I

1

2

3

4

5

6

P

ALGARISMOS ROMANOS

Observe o diagrama e repare: • O número 6 pertence ( ∈ ) aos con juntos D e P. Então, 6 ∈ D e 6 ∈ P; • Mas o número 3 não pertence ( ∉ ) a P. Então, 3 ∉ P; • Todos os elementos de P e de I estão contidos ( ⊂ ) em D. Então, P ⊂ D e I ⊂ D. • No sentido inverso, D contém ( ⊃ ) P e I. Então, D ⊃ P e D ⊃ I. Podemos fazer diversas operações entre conjuntos: • A união ( ∪ ) é a combinação dos elementos dos conjuntos. No nosso exemplo, I ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = D.

• A intersecção ( ∩ ) é o conjunto formado por elementos comuns aos conjuntos. No caso do exemGE MATEMÁTICA ��

17

NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS

plo dos números pares e ímpares

de um dado, o conjunto da intersecção entre I e P é um conjunto vazio (nenhum número é ímpar e par ao mesmo tempo): I � P = Ø

Conjuntos numéricos Os números também podem ser agrupados em conjuntos: • O conjunto dos números naturais (N) é N = {0, 1, 2, 3...}. Repare que este conjunto é infinito.

ATENÇÃO O conjunto C resultante da união de A e B contém os elementos que se encontram em A ou em B. Já o conjunto D resultante da intersecção de A e B contém os elementos que se encontram ao mesmo tempo em A e em B.

NA PRÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Encontre os valores de x que tornam verdadeira a expressão 2x – 5 < 0. Expressões matemáticas como esta, em que em vez do sinal de igual (=) temos

sinais de maior (>), menor (<), menor-igual (≤) ou maior-igual ( ≥), são chamadas inequações. E são resolvidas como equações (veja no capítulo 3 ).

2x – 5 < 0 2x < 0 + 5 → x <

• O conjunto dos números inteiros (Z) reúne os números naturais e seus opostos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Este também é um conjunto infinito.

A resposta é o conjunto S = {x ∈ R | x <

}.

2. Quais os valores de x (x ∈ Z*) que

• O conjunto dos números racionais (Q) é a união dos números inteiros e as frações resultantes da divisão entre quaisquer deles: Q = { | a ∈ Z e b ∈ Z*}. Traduzindo: o conjunto Q é formado pelos números obtidos pela divisão de a por b, tal que ( � ) a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos inteiros com exceção do zero (Z*). O número b não pode assumir o valor zero porque a divisão por zero não é definida.

• O conjunto dos números irracionais (I) é o dos números que não podem ser obtidos da razão entre dois números inteiros. O

π é

atendem às duas condições abaixo?

(I) x – 3 ≤ 1 (II) – 1 < <3 Se x ∈ Z*, então x é um número inteiro, diferente de zero. Essa condição restringe os valores do conjuntos solução S I e SII.

TOME NOTA SÍMBOLOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO { } Conjunto

∈, ∉

Tal que

⊃

Contém

⊂

Está contido

�

Intersecção de conjuntos

∪

União de conjuntos

∅

Conjunto vazio

N

Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros

I

R

Q

A teoria dos conjuntos é frequentemente utilizada em álgebra, principalmente em inequações, e em probabilidade ( veja os capítulos 3 e 7 ). 18

–1<

∣

N Z


Q

R

Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Conjunto dos números reais

*

Exceto o zero

I

+ /–

• Para a condição II: tervalo {-1, 1, 2} Então,

um

Z

x – 3 ≤ 1 → x ≤ 1 + 3 → x ≤ 4 SI = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

Pertence, não pertence

número irracional. A raiz de alguns números também é um número irracional – por exemplo, √ 2 e √ 3.

A união entre todos os conjuntos de números acima forma o conjunto dos números reais (R). No diagrama de Venn, essa união é representada assim:

Resolvendo as inequações (I) e (II): • Para a condição I:

São válidos valores positivos e negativos

e

deve estar no in-

– 2 < x;

→

< 3 → x < 3 . 2 → x < 6.

SII = {-1, 1, 2, 3, 4, 5} O valor que atende a ambas as condições é a intersecção dos conjuntos SI e SII – ou seja, o conjunto cujos elementos pertencem aos dois conjuntos, ao mesmo tempo:

I � II = {-1, 1, 2, 3, 4} Pelo diagrama de Venn: I -3 -4 ...

-2 -1 1 2 3 4

II

I ∩ II

5 6

NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO

K C O T S i / R F �

Valores que conversam entre si A proporção entre grandezas é usada tanto na confecção de mapas quanto no cálculo da concentração de gases do efeito estufa na atmosfera

U

m dos principais domínios da matemática é usar a lógica para estabelecer relações entre valores e grandezas. Relações entre grandezas são aquelas em que o valor de uma grandeza varia, dependendo do valor de outra. Fazemos relações entre grandezas em diversas atividades do cotidiano, como a energia elétrica consumida a cada dia e a conta que chega no final do mês, ou a proporção entre os ingredientes de uma receita. A principal razão entre grandezas é aquela que envolve o conceito de proporção , quando uma grandeza cresce ou decresce proporcionalmente a outra: quanto mais tempo você passa no banho, maior é a quantidade de água gasta. E se uma barra de chocolate for dividida entre amigos, quanto maior o número de amigos, menor será o pedaço que caberá a cada um.

ORDEM NATURAL

Quando brota, um ramo de samambaia cresce numa curva que segue a chamada proporção divina


19


O Ã Ç U D O R P E R

Diretamente proporcionais Algumas grandezas mantêm uma relação diretamente proporcional. Isso ocorre quando uma grandeza cresce e a outra também cresce. No banho, o volume de água consumida cresce em proporção direta ao tempo em que o chuveiro permanece ligado. Veja: Um chuveiro libera 12 litros de água por minuto. Quantos litros uma pessoa gasta num

banho de 5 minutos? Podemos construir uma tabela com valores da quantidade de água gasta em função do tempo de duração de um banho: Tempo (min)

Volume de água (L)

1

2

3

4

5

12

24

36

48

60

Repare: quanto mais tempo se passa no banho, mais água se consome. E esse consumo aumenta de maneira proporcional: para 1 minuto, 12 L, para 2 minutos, 2 . 12 L = 24 L, e assim por diante. Em 5 minutos, o consumo é de 5 . 12 L = 60 L. Em resumo, se dobrarmos o tempo de banho, a quantidade de água consumida também do bra; se o tempo for triplicado, o gasto de água também é triplicado.

ARTE SOB MEDIDA

As figuras que Michelangelo desenhou e pintou na Criação de Adão , no teto da Capela Sistina, seguem um ideal de proporções do corpo humano

Inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce e a outra cai, sempre uma em proporção à outra. Veja o exemplo: Todas as provas em sua escola valem 100 pontos. Mas as provas podem ter diferentes números de questões. Assim, cada questão terá um valor

NA PRÁTICA

RORAIMA AMAPÁ

A PROPORÇÃO NAS ESCALAS Uma das principais aplicações práticas da noção de proporção é a confecção de mapas. Todo mapa representa uma realidade reduzida. E essa redução obedece à regra de proporção, nas medidas lineares (d istâncias). Veja o mapa ao lado: Repare na indicação da escala, no canto inferior direito. Cada trecho do tamanho do segmento ali representado vale 459 km. A proporção se mantém, também, na área, só que elevada ao quadrado. Um quadrado de 459 km de lado tem área de 459 . 459 = 210 681 km 2. Se dobrarmos o tamanho dos lados do quadrado para 918 km, teremos uma área quatro vezes maior: A = 918 . 918 = 842 724 km2.

AMAZONAS

PARÁ

CEARÁ RIO GRANDE DO NORTE PARAÍBA PERNAMBUCO ALAGOAS SERGIPE

MARANHÃO PIAUÍ

ACRE

TOCANTINS

RONDÔNIA

BAHIA

MATO GROSSO GOIÁS MINAS GERAIS

MATO GROSSO DO SUL SÃO PAULO

ESPÍRITO SANTO RIO DE JANEIRO

PARANÁ SANTA CATARINA RIO GRANDE DO SUL ESCALA �


�� KM

diferente, dependendo da prova. Quanto maior o número de questões, menor o valor de cada questão. Para 100 questões, o valor de cada uma é de 1 ponto. Já numa prova de 50 questões, cada uma deve valer 2 pontos, e assim por diante. Numa tabela, temos: Número de questões

Valor de cada questão

1

2

4

5

10

100

50

25

20

10

NA PRÁTICA REGRA DE TRÊS Seu chuveiro deixa cair 12 L de água por minuto. Quanto você economizará de água se reduzir em 30 segundos o tempo do banho? A regra de três:

1 min – 12 L 30 seg – x L

Repare que, à medida que a quantidade de questões aumenta, o valor de cada uma diminui de maneira proporcional. Quando uma das grandezas dobra, a outra cai pela metade; quando uma cai para 1/4, a outra é quadruplicada.

Antes de resolver a regra de três, vamos uniformizar as unidades minuto e segundo. Precisamos adotar uma única. Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos, então 30 segundos valem 0,5 minuto. Montando de novo a regrinha de três:

Regra de três

1 min – 12 L 0,5 min – x L

Qualquer relação de proporcionalidade direta entre grandezas pode ser encontrada pela regra de três. Para isso, basta conhecer um valor e a relação entre dois outros valores ( a e b ). Veja: a – b x – y Lemos: a está para b assim como x está para y. Para encontrar a proporção entre esses valores, multiplicamos em cruz: x.b=a.y Se você conhece a, b e x, descobre o valor de y:

Fazendo a multiplicação em cruz, obtemos:

1 min – 12 L 0,5 min – x L 1 . x = 0,5 . 12

Montando a regra de três: Para 100 questões  cada uma vale 1 ponto Para 40 questões  cada uma vale x pontos Assim, 1 . 100 = 40 . x x = 100 : 40 = 2,5 pontos

x =6 L

A cada 30 segundos de redução do tempo de banho, são economizados 6 L de água.

Da mesma forma, você pode descobrir pela regra de três quantos minutos dura um banho em que são consumidos 40 litros de água. Novamente multiplicando em cruz:

1 min – 12 L x min – 40 L 12 . x = 40 . 1

A regra de três também funciona para grandezas inversamente proporcionais. Com uma diferença importante: neste caso, não multiplicamos em cruz, mas linha a linha. No exemplo das provas acima, se para 100 questões cada uma vale 1 ponto, quanto valerá cada questão se a prova for composta por apenas 40 questões?

→

→

x=

→

x=

min

Transformando minuto em segundo, ficamos com

x=

. 60 seg

x = 200 seg

≅

x=



600 3

3 min 20 seg

Uma regra de três pode ser construída a partir de qualquer par de valores relacionados. No caso do chuveiro, chegaríamos ao mesmo tempo de 3 min 20 seg se partíssemos do consumo, por exemplo, em 2 minutos. Veja:

2 min – 24 L x min – 40 L x . 24 = 2 . 40 =

=

min ≅ 3 min 20 seg

Este é o valor de cada questão numa prova com 40 questões. GE MATEMÁTICA �� 21


Razão Em alguns casos, a proporção entre duas

NA PRÁTICA

grandezas é expressa como razão – a divisão de dois números, a por b. Nesse caso, a razão pode receber um nome especial. É o caso de porcentagem, densidade ou partes por milhão (abreviadamente, ppm).

DENSIDADE

Densidade

Densidade é uma grandeza física – o valor



obtido da divisão da massa pelo volume de um

material. A densidade de uma substância ou mistura é dada pela razão d = m/V, em que m é a massa e V , o volume. A unidade de medida

O QUE ISSO TEM A VER COM A FÍSICA A densidade de um material depende de seu estado físico, da temperatura e da pressão a que ele está submetido. Mas não depende da quantidade ou da massa. Ou seja, se 1 kg de determinada substância ocupa

para densidade pode ser g/cm 3, g/L ou kg/L. A densidade de qualquer substância é medida em laboratórios e utilizada como forma de avaliar o nível de pureza do material. Por

exemplo, quando técnicos da ANP (Agência

Nacional do Petróleo) fazem fiscalização nos distribuidores ou postos de combustível, eles medem a densidade de amostras da gasolina ou do etanol dos tanques e das bombas. Se tiver havido acréscimo de água ou outra substância qualquer, a densidade se altera – o que compromete a qualidade do combustível.

um volume de 2 L, então, no mesmo estado físico e nas mesmas condições de temperatura e pressão, 2 kg

Porcentagem A porcentagem também pode ser calculada por regra de três. Esse tipo de cálculo aparece quando se deseja comparar uma parte com o todo. É fácil entender. Veja: • Você tem um inteiro – digamos uma barra de chocolate.

quantidade de soluto e a quantidade total de solução, em massa (mg/kg) ou em volume (cm 3/m3 ou L/106L).

Quando a quantidade de soluto é muito menor que o volume total da solução, ou da mistura, em vez de porcentagem costuma-se usar a unidade partes por milhão (ppm). Nas questões relacionadas ao aquecimento global, a medida de concentração dos gases do efeito estufa na atmosfera é dada nessa unidade ( veja o Saiu na imprensa na pág. ao lado ). 22 GE MATEMÁTICA ��

Esta é uma relação diretamente proporcional. Multiplicando em cruz, temos: x . 1 = 0,8 . 200 000 → x = 200 000 . 0,8 → x = 160 000 g

Transformando g em kg e mL em L, novamente, temos que 200 L de etanol têm massa de 160 kg.

NA PRÁTICA

PORCENTAGEM Uma caixa d’água com capacidade 2 000 litros contém 260 litros de água. Qual a porcentagem do volume da caixa ocupado por essa água?

menores, a barra inteira representa todas as 100 partes – ou seja, a razão 100/100; • Uma única parte representa 1 parte sobre 100 – ou seja 1%; 2 partes, 2/100 = 2%. E assim por diante. Daí a palavra “por cento”.

deza química que mede a proporção entre a

A primeira coisa a fazer é uniformizar as unidades. Você sabe que 1 L = 1 000 ml. Então, temos: 0,8 g – 1 mL x g – 200 000 mL

ocuparão 4 L.

• Se dividimos essa barra em cem pedaços

Concentração A concentração de uma solução é uma gran-

Sabendo que a densidade do etanol é de 0,8 g/mL, qual a massa de 200 litros do combustível? A densidade – a razão entre a massa e o volume – permanece constante se a medida for feita à mesma pressão e temperatura, não importa se trabalhamos com 1 mL ou 1 000 L de etanol. Por outro lado, a relação entre volume e massa é diretamente proporcional. Então, podemos montar a regra de três: 0,8 g – 1 mL x g – 200 L

O “inteiro” (100%) é a capacidade total da caixa: 2 000 L. Queremos descobrir a quantos por cento correspondem os 260 L de água que ela contém. Pela regra de três, temos



O QUE ISSO TEM A VER COM A QUÍMICA A concentração é tema do estudo de misturas e soluções. A concentração pode ser dada em termos de massa, de volume e, também, mol (número de átomos, moléculas ou íons).

2 000 L – 100% 260 L – x% 2 000 . x = 260 . 100 → E se a caixa for reabastecida até ficar com 520 L de água?

De novo, a regra de três: 2 000 L – 100% 520 L – x% Fazendo as contas, chegamos ao resultado: 520 L de água correspondem a 26% da capacidade total da caixa.

Repare: 520 L são o dobro de 260 L . Do mesmo modo, 26% é o dobro de 13%. Essa relação de proporção é válida para qualquer valor dado em porcentagem.

NA PRÁTICA

SAIBA MAIS

CONCENTRAÇÃO

A PROPORÇÃO DIVINA

Estima-se que 0,00014% do ar, em volume, é composto de metano, um gás inflamável, resultante da digestão de matéria orgânica. Veja que esse valor em porcentagem é muito baixo. Este é um caso em que convém aumentar a base de cálculo de porcentagem para partes por milhão (ppm). Veja:

Por mais que pareça livre e desordenada, a natureza tem muitas formas que obedecem a regras rígidas de proporção. A espiral de uma folha de samambaia crescendo, como a da foto na pág. 19, por exemplo, segue uma curva que se abre unindo vértices opostos de quadrados cada vez maiores. As medidas dos lados desses quadrados seguem sempre a mesma sequência de proporção: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... O mesmo acontece com a concha dos caracóis.

0,00014% = Queremos saber quanto 0,00014/100 representa em 1 milhão. 1 milhão é um número grande, que pode ser escrito como uma potência: 10 6 (veja potências no capítulo 4).

Pela regra de três: 0,00014 – x 100 – 1 . 106

100 x = 0,00014 . 10 6 →

K C O T S i / O N E M I J N A D

x = 1,4

Portanto, 0,00014% equivalem a 1,4 partes por milhão. E em 106 L de ar existe 1,4 L de metano.

�

SAIU NA IMPRENSA

EL NIÑO ELEVOU CONCENTRAÇÃO DE GÁS DO EFEITO ESTUFA A NÍVEL RECORDE EM 2016 O fenômeno El Niño aumentou este ano a emissão de dióxido de carbono (CO 2 ) na atmosfera, de acordo com um estudo publicado esta semana na revista Nature ClimateChange. Por isso, 2016 terminará como o primeiro ano em que a concentração do gás será superior a 400 partes por milhão (ppm) (...) “A concentração de CO 2 devido à ação humana está aumentando a cada ano, mas desta vez o El Niño deu um empurrão. Os ecossistemas tropicais estão mais quentes e secos, reduzindo sua absorção de carbono e aumentando os incêndios florestais” – comenta Richard Betts, autor principal do estudo (...) A tendência de aumento das emissões de gás de efeito estufa em Mauna Loa começou a ser estudada desde 1958 (...) Suas primeiras medidas registraram em torno de 315 ppm de dióxido de carbono. Sessenta anos mais tarde, o índice tem aumentado, em média, a uma taxa anual de 2,1 ppm (...) Atualmente o CO2 em Mauna Loa está acima de 400 ppm (...)

�

� �

�

�

Esta é a sequência de Fibonacci. Nela, cada número é a soma dos dois termos que o antecedem: 2 é a soma 1 + 1; 3 é a soma de 2 + 1; 5 é a soma 3 + 2, e assim por diante. Além disso, a divisão de um termo por seu antecessor sempre dá um número próximo a 1,6. E quanto mais à frente da sequência estiverem os termos, mais a proporção se aproxima desse valor. Essa proporção, chamada proporção áurea ou divina, foi adotada por pintores e escultores, como o italiano Leonardo da Vinci, em seu quadro mais famoso, Mona Lisa.

O Globo, 13/6/2016 GE MATEMÁTICA ��

23

NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS

A G I E V O N U R B

O custo do dinheiro Juro é o valor que se paga a mais por um valor emprestado, ou que se recebe por um investimento

24


J

uro é um conceito do mundo financeiro que está presente no dia a dia de empresas, governos e cidadãos. Por exemplo, os governos pagam juros por empréstimos feitos no exterior (dívida externa); as indústrias pagam juros

quando financiam a compra de equipamentos; o consumidor paga juros aos bancos se entrar no cheque especial e os investidores recebem juros por aplicações financeiras, como depósitos na caderneta de poupança. Juro é o custo do dinheiro, uma porcentagem do valor original emprestado, que o devedor deve pagar depois de certo período. É como se o tomador do empréstimo pagasse um aluguel pelo dinheiro que lhe foi cedido. A quantia emprestada (ou investida), sobre a qual incidem os juros, é o capital. E o capital acrescido de todos os juros chama-se montante.

MAIS FÁCIL, MAS MAIS CARO Quando parcelam o preço de um produto, as lojas cobram uma quantia a mais, a cada mês – os juros

A taxa de juros é o valor, em porcentagem, a ser pago a cada dia, mês ou ano, até a quitação total da dívida – ou o valor, também em porcentagem, que o aplicador recebe por um investimento.

Juros simples São lançados sobre a quantia original, numa taxa fixa a cada período. Não importa em quantos dias, meses ou anos o empréstimo será pago, a taxa de juros será sempre a mesma e será sempre calculada sobre o capital inicial. Veja o exemplo: Sua classe planeja uma viagem de formatura, por um pacote turístico que custará a cada aluno R$ 1 200,00. Alguns de seus colegas não dispõem dessa quantia. Então, a agência de viagens propõe que o valor seja dividido em seis parcelas – a 1ª delas, paga 30 dias depois da compra –, com juros de 5% ao mês. Ao dividir o pagamento, a agência está financiando a viagem – ou seja, emprestando dinheiro a quem não consegue pagar pelo pacote, à vista. Por esse empréstimo, a agência cobra juros. Se o valor do pacote (R$ 1 200,00) é dividido em seis vezes, a cada mês o viajante deve pagar R$ 200,00. Só que, por esse parcelamento, a agência cobra 5% a cada mês sobre o valor inicial da dívida, os R$ 1 200,00:

A cada mês, então, o viajante deverá pagar R$ 60,00 a mais, além dos R$ 200,00. Ao final dos seis meses, terá pago seis prestações de R$ 260,00. Isso significa que o pacote turístico terá saído não mais por R$ 1 200,00, mas por R$ 1 560,00. Ou seja, o pacote saiu 30% mais caro. Veja: 1 200 – 100% 1 560 – x% x = 130%

Desses 130%, 100% correspondem ao valor original do pacote de viagem e 30%, ao acréscimo de R$ 60,00 mensais durante seis meses. O total de juros simples é dado por: J = C . i . n , em que: • J são os juros; • C é o capital; • i é a taxa de juros; • n é o número de períodos (que podem ser dias, meses ou anos).

NA PRÁTICA JUROS SIMPLES

Um produto custa R$ 3 500, para pagamento em três prestações. Para pagamento à vista, a loja dá um desconto de 10%. Caso o comprador pague em uma única parcela 30 dias depois da compra, o preço sofrerá um acréscimo de 8%. Responda: a) Quanto o comprador deve desembolsar em cada uma dessas situações? b) A taxa de juros do cheque especial é de 12,5% ao mês. Vale a pena o comprador gastar R$ 1 500 do cheque especial para fazer a compra à vista, com desconto? a) À vista: com o desconto de 10%, o produto custa 90%

do preço de tabela. Pela regra de três, temos: 3 500 – 100% x – 90% 100 . x = 3 500 . 90 → x = 315 000 / 100 → x = R$ 3 150 Este é o preço do produto à vista. O comprador eco-

nomiza R$ 350. Para pagamento 30 dias após a compra: acréscimo de 8% sobre o valor original. De novo, pela regra de três, temos 3 500 – 100% x – 8% x = 3 500 . 8 / 100 → x = R$ 280 Somando essa diferença ao preço original, o comprador pagará R$ 280 a mais, ou seja, R$ 3 780. b) Supondo que o comprador reponha os R$ 1 500 do

cheque especial em um mês, o montante que ele pagará corresponde ao capital emprestado acrescido de 12,5% desse valor: 1 500 – 100% x – 12,5% x = 187,50 reais Somando esses R$ 187,50 ao valor do produto com desconto: 3 150 + 187,50 = R$ 3 337,50. Este é o montante.

Ainda com os juros altos do cheque especial, o valor de R$ 3 337,50 é menor do que o valor pago 30 dias depois da compra (R$ 3 780). Nesse caso, vale a pena avançar no negativo.

O montante (M) é dado por: M=C+J=C+C.i.n M = C . (1 + i . n) GE MATEMÁTICA ��

25

NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS

Juros compostos Juros simples, você viu, é uma taxa fixa por mês, sempre sobre o valor original do financiamento ou empréstimo (o capital). Já juros compostos são aqueles que incidem sobre o montante de cada mês –

ou seja, são juros

Ao final dos quatro meses de aplicação do

capital de R$ 800,00, seu colega terá juntado um montante de R$ 886,50. Abatendo essa quantia dos R$ 1 200,00 (valor do pacote), ele precisará financiar R$ 313,50. O rendimento da aplicação é mensal, então o período é 1 mês; o número de períodos é o número de meses em que o capital permaneceu aplicado: 4. Repare que o montante ao final de cada período se transforma no capital do mês seguinte. É sobre esse capital – agora engordado – que incidirá a taxa de juros de 2,6%.

TOME NOTA A taxa Selic subiu de 12,25% para 12,75% entre fevereiro e março de 2015. Isso não significa que a taxa tenha subido 0,50% nesses dois meses. A taxa teve uma alta de 0,5 ponto percentual .

calculados sobre valores que já têm juros em butidos. A taxa é sempre a mesma, mas o valor que ela representa varia. Voltando ao exemplo da viagem de formatura, que vimos há pouco: a fim de pagar pela viagem de formatura, um aluno preferiu fazer uma poupança e depositou, em julho, R$ 800,00 numa A fórmula para o cálculo do montante em aplicação financeira que rendia 2,6% ao mês. A juros compostos é: passagem será comprada em novembro. Veja na Mn = C (1 + i) n , em que: tabela abaixo quanto ele conseguirá acumular • M é o montante (valor final, depois de aplicanesses quatro meses. dos todos os juros); • C é o capital (o valor inicial sobre Saldo inicial Rendimento Saldo no fim o qual incidem os juros); Período no período no período do período • i é a taxa de juros; (capital)

(juros)

(montante )

Julho

800,00

800,00 . 2,6%

800,00 + 20,80 = 820,80

Agosto

820,80

820,80 . 2,6%

820,80 + 21,34 = 842,14

Setembro

842,14

842,14 . 2,6%

842,14 + 21,90 = 864,04

Outubro

864,04

864,04 . 2,6%

864,04 + 22,46 = 886,50

• n é o período em que os juros

incidem sobre o capital. Em juros compostos, n é expoente da taxa. Por isso se o capital aumenta, o novo montante também aumenta num ritmo cada vez mais rápido – mesmo com a taxa de juros igual.

SAIBA MAIS

26

TAXA DE JUROS NO BRASIL

EVOLUÇÃO DA TAXA DE JUROS

No Brasil, a taxa de juros cobrada pelos bancos é baseada na taxa Selic – uma taxa básica, estabelecida pelo Banco Central. Se a Selic sobe, os bancos também elevam a taxa cobrada em financiamentos, empréstimos e cheque especial. As autoridades monetárias usam dessa lógica para controlar a quantidade de dinheiro que circula pelo mercado, o nível de consumo e a inflação. Quando a ideia é incentivar o consumo, o Banco Central baixa a taxa Selic; se quer reduzir o consumo, aumenta a taxa. O aumento da taxa de juros tem dois efeitos: de um lado, as pessoas compram menos porque, para financiar a compra, pagarão juros mais altos. De outro lado, as indústrias também reduzem a compra de equipamentos, porque o financiamento custa caro. Com isso, as empresas deixam de crescer e de contratar mão de obra. No sentido inverso, quando a taxa cai, as indústrias investem e voltam a contratar, e o consumidor compra mais – a economia se aquece. Mas aí entra outro fator: o risco de elevar a inflação. Inflação é o aumento no preço de produtos e serviços, provocado pela queda no valor da moeda do país. Entenda: se no mês passado 1 quilo de laranjas saía por R$ 3,50 e este mês custa R$ 4,50, cada real que você tem na carteira passou a valer menos.

Taxa Selic, em % ao ano


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15

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12

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6

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GANGORRA FINANCEIRA O Banco Central manobra a taxa básica de juros tentando manter a economia

em movimento e a inflação sob controle. Elevar a taxa é um dos mecanismos para combater a inflação. Com taxas altas, as pessoas reduzem as compras a prazo. O consumo cai e, para vender, o comércio e a indústria seguram os preços – a inflação fica sob controle. Mas, produzindo e vendendo menos, as lojas e fábricas contratam menos. Se a economia desacelera muito, o Banco Central volta a baixar a taxa. Fonte: Banco Central do Brasil

NA PRÁTICA

SAIBA MAIS

JUROS COMPOSTOS

SPREAD BANCÁRIO

Uma aplicação financeira promete remunerar em 1,8% ao ano o capital investido. Se você aplicar R$ 2 000,00 quanto terá depois de dois anos?

Os juros que são pagos aos bancos são sempre maiores que as taxas da Selic. Isso porque as instituições financeiras incorporam o chamado spread bancário. O spread é a diferença entre o que um banco paga como rendimento de investimentos de seus correntistas e o que recolhe de juros para emprestar dinheiro. Nem todo o spread é lucro. Incluem-se ali, também, outros valores, como o risco estimado de inadimplência (falta de pagamento) dos tomadores de empréstimo e os custos administrativos da instituição ( veja o gráfico abaixo).

Este cálculo é de juros compostos porque no segundo ano os juros de 1,8% devem incidir sobre o capital inicial já acrescido dos juros do primeiro ano. Então Mn = C . (1 + i) n, em que:

C = R$ 2 000 i = 1,8% = n = 2 anos M = 2 000 . (1 + )2 M = 2 000 . 1,036324 M ≈ 2 072,65 Depois de dois anos de aplicação, a 1,8% ao ano, você terá R$ 2072,65 – ou seja, R$ 72,65 de juros.

O QUE COMPÕE O SPREAD BANCÁRIO*

8%

Resíduo (inclui o lucro do banco)

4%

Risco de inadimplência 14%

37%

37%

Custos administrativos Tributos e taxas pagos pelo banco Depósito compulsório (que os bancos são obrigados a fazer no BC)

NA PRÁTICA

* Valores arredondados

JUROS COMPOSTOS A fatura do cartão de crédito de João, em março, era de R$ 1 200,00. Desse total, João só pôde pagar R$ 800,00. Sabendo que os juros cobrados pelo cartão são de 15% ao mês, responda: a) Quanto João deve pagar, se quitar o restante da dívida no mês seguinte, abril? b) E se ele deixar para quitar o restante da dívida em maio? a) João pagou R$ 800,00 do total de R$ 1 200,00 que

devia. Ficou devendo R$ 400,00. Se pagar em abril, os 15% a mais representam juros simples sobre os R$ 400,00 devidos em março. Simples regra de três: 400 – 100% x – 15% x = 60 João pagará R$ 60,00 a mais se quitar a dívida em abril – ou seja, R$ 460,00. b) Se ele deixar para quitar os R$ 400,00 em maio, o cálculo é de juros compostos – a cada mês a taxa de 15% incide sobre o valor devido naquele mês. De março a maio são dois meses. Então: Mn = C . (1 + i) n C = 400; i = 15/100; n = 2 M = 400 . (1 + ) 2 → M = 400 . 1,3225 → M = 529

Se adiar a quitação da dívida para maio, a dívida original, de R$ 400,00, se transformará em R$ 529,00.

Estes são os componentes do spread bancário – a diferença entre as taxas de juros que os bancos cobram de quem toma empréstimo ou financia a aquisição de bens e aquela que a instituição paga como retorno do dinheiro deixado nas aplicações financeiras. Repare que nem tudo é lucro, mas este representa uma boa fatia da pizza. A GORDA FATIA DO LUCRO

Fonte: BC/FSP

SAIU NA IMPRENSA

PARA COPOM, QUEDA DA INFLAÇÃO ESTÁ COM VELOCIDADE 'AQUÉM DA ALMEJADA' O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central, colegiado responsável por fixar os juros básicos da economia, avaliou, por meio da ata de sua última reunião, que o processo de queda da inflação no Brasil “tem procedido em velocidade aquém da almejada” e acrescentou que o “balanço de riscos” indica não haver espaço para corte de juros. Na semana passada, o Copom manteve a taxa básica de juros da economia estável em 14,25% ao ano, o maior patamar em dez anos (...) O Banco Central também avaliou, no documento, que “há riscos de curto prazo para a inflação no Brasil”. (...) A taxa de juros é o principal mecanismo usado pelo BC para controlar a inflação. Ao subir os juros ou mantê-los elevados, o BC encarece o crédito. O objetivo é reduzir o consumo no país para conter a inflação que tem mostrado resistência. Entretanto, os juros altos prejudicam a atividade econômica e, consequentemente, inibem a geração de empregos. Portal G1, 26/7/2016 GE MATEMÁTICA ��

27

COMO CAI NA PROVA

1. (IFPE 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa? a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45

de trabalho foi reduzida de 8 para 6 horas. Portanto, a produção também deve cair. E cai na mesma proporção de k = �� peças por funcionários . hora. 8 Temos, então: p = �� . 120 . 6 = 2 250 peças 8 Resposta: B

RESOLUÇÃO

3. (UEG 2016) Com a alta da inflação e para não repassar aos clientes o

Podemos representar a situação do enunciado por um diagrama de Venn. Veja:

aumento dos gastos na produção de suco de laranja, um empresário decidiu que no próximo mês 10% do volume desse suco será composto por água,

volume que atualmente é de apenas 4%. Se hoje são consumidos 10 000 litros de água no volume de suco de laranja produzido, mantendo-se a mesma 12 - 4 =

cana-de-açúcar

- 4 = 4

algodão

Repare: • Na parte central do diagrama estão os cooperad os que cultivam tanto algodão quanto cana-de-açúcar – ou seja, a intersecção dos dois conjuntos. • O texto diz que 125 cooperados cultivam cana-de-açúcar e outros 85 que cultivam algodão – ou seja, entre esses 125 e 85 estão, também, os cooperados que cultivam tanto cana quanto algodão. Por isso, tiramos 45 (intersecção) dos dois lados do diagrama. Somando as quantidades que restam, temos: 45 + 80 + 40 = 165 Resposta: C

2. (CFTMG 2016) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5 000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de a) 1 666 b) 2 250 c) 3 000 d) 3 750

RESOLUÇÃO: A produção diária é diretamente proporcional ao número de funcionários e à quantidade de horas que eles trabalham por dia. Um aumento ou uma redução em qualquer uma dessas variáveis produzem um aumento ou diminuição pro porcional na produção. Chamando de P a produção diária de peças, de F a quantidade de funcionários e de t a quantidade de horas trabalhadas, temos P = k . F . t , em quek é uma constante de proporcionalidade – ou seja, o valor que vai determinar a proporção entre o número de funcionários e o de peças produzidas. Pelo enunciado sabemos que 5 000 = k . 200 . 8 k = 5 000 → k = 5 000 200 . 8 1 600 Simplificando a fração, ficamos com k = �� peças por funcionários . hora 8 Se o ritmo de produção é o mesmo, o valor dek não muda. O número de empregados caiu de 200 para 120 (80 foram demitidos); e a jornada 28


quantidade produzida, no próximo mês a quantidade de água consumida no volume desse suco será de a) 10 000 litros b) 12 500 litros c) 16 000 litros d) 25 000 litros

RESOLUÇÃO Sabemos que, antes do período de inflação, 4% do volume de suco produzido representava 10 000 litros de água. Com isso, montamos a regra de três para descobrir o volume total de suco (incluindo a água) produzido em um mês: 10 000 → 4% → 100% x x = 250 000 L de suco puro produzido ao mês. A quantidade de água subiu para 10% do volume de suco – ou seja, 10% sobre o total da produção mensal, de 250 000. A água consumida no mês seguinte será de 25 000 litros. Resposta: D

4. (Uerj 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: • à vista, no valor de R$ 860,00; • em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10% b) 12% c) 15% d) 18%

RESOLUÇÃO Se o comprador optar por pagar em duas vezes, não incidirão juros sobre a primeira parcela. Pagando R$ 460,00 no ato da compra, restam como dívida R$ 860,00 – R$ 460,00 = R$ 400,00. Esse valor deve ser quitado na segunda parcela. Mas esta, por sua vez, se mantém no valor da primeira parcela (R$ 460,00). Ou seja, o comprador pagará R$ 60,00 acima do valor original da dívida. Esses R$ 60,00 são os juros cobrados sobre os R$ 400,00. Agora, simples regra de três 400 → 100% 60 → x% Multiplicando em cruz, temos 400 x = 60 . 100 x = 6 000 = 15% 400 Resposta: C

RESUMO

5. (Epcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parcela-

Números e operações

damente, dois eletrodomésticos. Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

PROPORÇÃO E RAZÃO Duas grandezas são diretamente proporcionais se uma cresce e a outra também, no mesmo ritmo; inversamente proporcionais são as grandezas que, quando uma cresce, outra diminui, sempre proporcionalmente. Algumas grandezas são expressas como razão de duas grandezas: densidade (massa/ volume) e concentração (% de soluto sobre total da solução).

RESOLUÇÃO Vamos chamar o valor pago pelo eletrodoméstico mai s caro de a e o valor do mais barato de b. Se após pagar 2/5 da compra restou uma dívida de R$ 600,00, então esse valor representa 3/5 da compra, ou seja, do valor de a + b . Sendo assim, � (a + b) = 600 5

Multiplicando em cruz, ficamos com a + b = �� . � 3

→

a + b = 1 000

O enunciado diz que o comerciante vendeu o produto de valor a com lucro de 20%. Pelo raciocínio de porcentagem, temos: 100% – 1 → 20% = 0,2 20% – x

Mas esses 20% (0,2) são de lucro e, portanto, devem ser somados aos 100% do preço de compra. Ficamos, então, com (1 + 0,2) . a = 1,2 . a O mesmo raciocínio para o valor b , de venda do segundo produto. Só que agora a venda foi com prejuízo de 10%. Então, 100% – 1 → 10% = 0,1 10% – x

JURO é o custo do dinheiro, cobrado em empréstimos e financiamentos, ou pago aos investidores. Capital é a quantia sobre a qual recaem os juros. Montante é a quantia total depois da incidência de juros sobre o capital. Juros simples são lançados sobre o capital, numa taxa fixa a cada período (dia, mês ou ano). A fórmula: J = C . i . n . Nos juros compostos, o montante de cada período transforma-se no capital do período seguinte. A fórmula: Mn = C . (1 + i)n. CONJUNTOS O conjunto C = A U B (união de A e B) contém os elementos que se encontram em A ou em B. O conjunto C = A ∩ B (intersecção de A e B) contém os elementos que se encontram em ambos os conjuntos, ao mesmo tempo. SÍMBOLO { } ∈, ∉

SIGNIFICADO Conjunto Pertence, não pertence

∣

Tal que

⊃

Contém

⊂

Está contido

Como esses 10% foram de prejuízo, esse valor deve ser subtraído do valor de compra: (1 – 0,1) . b = 0,9 b.

∩

Intersecção de conjuntos

∪

União de conjuntos

O enunciado informa que o resultado das duas vendas foi suficiente para pagar o restante da dívida (R$ 600) e ainda rendeu ao comerciante R$ 525.

∅

Conjunto vazio

N

Conjunto dos números naturais

Z

Conjunto dos números inteiros

Q

Conjunto dos números racionais

I

Conjunto dos números irracionais

R

Conjunto dos números reais

*

Exceto o zero

Você se lembra: para resolver duas equações com duas variáveis, montamos o sistema de equações: a + b = 1 000 (I) 1,2 a + 0,9 b = 1 125 (II) Definimos o valor de uma variável em função de outra. Assim, isolando a variável a da primeira equação, obtemos: a = 1 000 – b (III). Substituindo (III) na equação (II), temos: 1,2 (1 000 – b) + 0,9 b = 1 125 1 200 – 1,2 b + 0,9 b = 1 125 – 0,3 b = – 75 b = 75 /0,3 → b = 250

+/–

São válidos valores positivos e negativos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

N Z

Substituindo o valor de b em (III), temos que a = 1 000 – 250 = 750. Assim, a razão pedida é a = �� = 3 b 250

I

R

Q

Resposta: C GE MATEMÁTICA ��

29

2

GEOMETRIA CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO

 Ponto, reta

e plano ..........................................................................................  Plano cartesiano ..............................................................................................  Gráficos................................................................................................................  Polígonos ............................................................................................................  Cônicas ................................................................................................................  Sólidos .................................................................................................................  Como cai na prova + Resumo .......................................................................

��

Júpiter recebe um bisbilhoteiro A sonda Juno, da Nasa, chega à órbita do maior planeta do Sistema Solar, prometendo desvendar segredos da origem dos demais planetas

P

ara os norte-americanos, o dia 4 de julho é tradicionalmente coroado com chuvas de fogos de artifício, em comemoração à Independência dos Estados Unidos. Este ano, uma equipe de engenheiros da agência espacial norte-americana (Nasa) teve sua festa particular, sem fogos, mas com muitos gritos e aplausos. O motivo: a sonda Juno chegara a Júpiter. Depois de viajar por cinco anos, percorendo uma trajetória cheia de voltinhas, de quase 3 bilhões de quilômetros, a sonda passou 35 minutos fazendo uma série de manobras para entrar na órbita do planeta. Qualquer desvio, e a nave seria atraída e destruída pela incrível gravidade do gigante gasoso. Juno vai dar 37 voltas em torno de Júpiter, durante um ano, estudando sua atmosfera, seu campo magnético e gravitacional. Os pesquisadores esperam com isso des vendar detalhes da formação do Sistema Solar. E, de quebra, compreender a dinâmica de sistemas extrassolares – planetas em torno de estrelas distantes. De todos os corpos que giram ao redor do Sol, Júpiter é de longe o maior, tanto em tamanho quanto em massa. Seu diâmetro é dez vezes

maior que o da Terra, e sua massa, 318 vezes. Mas o mais interessante para a missão científica de Juno é que Júpiter é, provavelmente, o pri30


meiro a ter se formado, há cerca de 4,6 bilhões de anos, capturando poeira e gases resultantes da explosão de uma estrela que existia, no lugar onde hoje está o Sol. Os cientistas não sabem ainda o que se esconde debaixo dos milhares de quilômetros de nuvens, sequer se Júpiter tem um núcleo sólido, como a Terra. A resposta pode vir da missão Juno. Esta não é a primeira vez que uma sonda bisbilhota Júpiter. Em 1995, a sonda Galileu, também da Nasa, entrou, pela primeira vez, em órbita do planeta, e lançou uma sonda filha, que mergulhou durante quase uma hora em sua atmosfera. Dessa missão, os cientistas descobriram que mais de 90% da atmosfera joviana é composta de

hidrogênio. Antes de ser vaporizada, a sondinha registrou temperaturas de 300 graus Celsius e ventos de mais de 600 quilômetros por hora. Como os demais planetas do Sistema Solar, Júpiter descreve uma VISITANTE XERETA órbita elíptica em torno A sonda Juno chegou a do Sol. Elipse é um dos Júpiter em 2016 e vai passar temas deste capítulo.

Aqui você vê, também, o cálculo de área e de volume das principais figuras geométricas.

um ano enviando dados sobre a composição e a dinâmica da atmosfera, a magnetosfera e o campo gravitacional do planeta

A S A N / H C E T L A C L P J �


31

2

GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Só duas dimensões Retas e ângulos são os elementos essenciais das figuras geométricas lineares

G

seja, qualquer reta tem comprimento infinito, mas não tem largura. Para de-

Plano, ponto e reta

dois pontos. Os geômetras adotam algumas con venções, que você deve conhecer: • pontos são normalmente batizados com letras maiúsculas: A, B, C, O...; • retas são geralmente indicadas por letras minúsculas: r, t, s...; • e planos costumam ser indicados por letras do alfabeto grego: α (alfa), β (beta) e γ (gama).

eometria é a área da matemática que estuda o espaço e as figuras que ocupam esse espaço – suas formas, suas dimensões e as relações que podem ser estabelecidas entre elas. O espaço estudado pela geometria pode ser plano ou tridimensional. Plano é

definido como um objeto geométrico que tem apenas duas dimensões: comprimento e largura. O elemento mais simples de um plano

finir uma reta precisamos de apenas

é o ponto, uma entidade que não tem r

dimensões. Bastam três pontos para

definir um plano. O segundo elemento mais simples é a reta – um conjunto de infinitos

P

α

ponto

pontos, enfileirados, sempre em uma mesma direção e nos dois sentidos. Ou reta 32


plano

K C O T S i / C I R V O L N E Z A R D

Uma reta pode ser paralela a um plano. Nesse caso, nenhum de seus pontos pertence ao plano: C

D

s

Lembrando que toda reta é infinita, se duas retas não forem paralelas, elas se cruzarão em algum lugar. Inversamente, se a intersecção do conjunto de pontos da reta r com o conjunto de pontos da reta s for um conjunto vazio, as retas são obrigatoriamente paralelas: r // s r ∩ s = ∅ O sinal indica que a recíproca é verdadeira. )

)

α

C e D ∈ s; C e D ∉ α  s ∉ α. Portanto, a reta s é paralela a α.

• Concorrentes: são retas que se cruzam e têm um único ponto em comum.

O REAL ACHATADO

O plano, como o do papel em que o desenho ao lado é feito, admite apenas figuras de duas dimensões

Uma reta pode, finalmente, cortar o plano em um ponto qualquer. s

α

B

r

Ângulos t ∩ α = P  t é secante ao plano

Posição relativa de retas Pensando na reta como um conjunto de pontos e usando a linguagem dos conjuntos, fazemos relações entre elas. Duas retas que ocupam um mesmo plano podem ser: • Paralelas: não têm ponto em comum.

Quando duas semirretas (trechos de uma reta) têm origem em um mesmo ponto e seguem direções diferentes, elas dividem o plano em duas regiões chamadas ângulos. O ponto de origem das semirretas é denominado vértice dos ângulos (O). Os ângulos, como os planos, também costumam ser representados por letras do alfabeto grego.

α

A

OA

ângulo β (não convexo)

r

A e B ∈ r; A e B ∈ α  r ∈ α Ou seja, a reta r está contida no plano α.

α

Duas retas quaisquer r e s são concorrentes quando a intersecção entre os conjuntos de pontos de cada uma delas resulta num conjunto de um único ponto: r ∩ s = {P}.

P

A

r

t

Posições da reta em relação ao plano Uma reta pertence a um plano se pelo menos dois de seus pontos pertencerem a esse plano. Se isso acontecer, então todos os outros pontos da reta também pertencerão ao plano. Veja:

P

s

ângulo α (convexo)

α

O

B

OB


33

2

GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Duas retas que se cruzam dividem o plano em quatro regiões distintas, ou seja, em quatro ângulos. Veja: r τ

Transversal e paralelas

Duas retas paralelas que são cortadas por uma terceira reta (transversal) formam oito ângulos que se relacionam de maneira bem específica. Acompanhe na figura as explicações no texto a seguir.

θ

• Ângulos alternos são pares de ângulos que estão em lados diferentes (alternados) da reta transversal. Dois ângulos alternos têm medidas iguais. Os alternos são internos quando ficam entre as retas paralelas. Na figura, são alternos internos os pares τ/ θ’ e λ’/ φ.

t s

O

φ

são sempre congruentes. No caso das duas paralelas cortadas por uma transversal, são opostos pelo vértice os pares λ/ φ, θ/ τ, λ’/ φ’ e θ’/ τ’.

λ

λ τ

Os ângulos λ e τ são opostos pelo vértice; θ e φ também são opostos pelo vértice. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).

Retas perpendiculares são retas concorrentes que se cruzam formando quatro ângulos congruentes, cada um deles medindo 90° (ângulo reto).

λ

θ

τ

φ

λ '

τ

'

θ

r

φ θ

'

Ângulos alternos externos são aqueles que estão na região externa das retas paralelas (acima ou abaixo delas). São alternos externos os ângulos λ/ φ’ e θ/ τ’.

s

'

φ

• Ângulos colaterais são aqueles que ocupam o mesmo lado da reta transversal. Eles também podem ser internos (entre as paralelas) ou externos. Na figura, são colaterais internos τ/ λ’ e φ/ θ’; são colaterais externos λ/ τ’e θ/ φ’.

• Ângulos adjacentes são ângulos que compartilham um mesmo lado: Entre as retas r e t, são adjacentes os pares λ/ θ, τ/ λ, τ/ φ e φ/ θ; Entre as retas s e t, são adjacentes os pares λ’/ θ’, τ’/ λ’, τ’/ φ’ e φ’/ θ’. Os ângulos adjacentes somam 180º – ou seja, formam um conjunto de ângulos suplementares.

• Ângulos correspondentes são

aqueles que se encontram do mesmo lado da reta transversal, um na região interna das retas paralelas e outro na

• Ângulos opostos pelo vértice , como já vimos, são ângulos que compartilham o vértice, mas não compartilham lados. Dois ângulos opostos pelo vértice

λ = θ = τ = φ = 90º

NA PRÁTICA

região externa. Ângulos correspondentes são congruentes. Na figura, são pares de ângulos correspondentes λ/ λ’, τ/ τ’, θ/ θ' e φ/ φ’.

Por partes: • Se você prolongar as retas dos segmentos BC, DE, AB e AC, vai reconhecer a situação como a de duas retas paralelas (DE e BC) cortadas por duas transversais (AB e AC). Veja:

PARALELAS E TRANSVERSAIS

Observe a figura abaixo. A

A

D

B

E

D

C

Repare que existem aqui dois triângulos (ABC e ADE). E que os lados DE e BC são paralelos. O que se pode dizer sobre os valores dos ângulos de vértices em B, C, D e E?

34


B

E

C

• Em relação à transversal AC, os ângulos com vértices em C e E são correspondentes e, portanto, congruentes. O mesmo ocorre com os ângulos D e B, em relação à transversal AB. Esta situação é muito importante para reconhecer a semelhança entre triângulos (veja o capítulo 5).

Mais importante que conhecer os

NA PRÁTICA

nomes desses pares de ângulos é saber reconhecer as relações entre eles. E, para isso, você só precisa treinar a observação – reparar as semelhanças e diferenças entre dois ângulos.

TEOREMA DE TALES Qual a medida do segmento DF, na figura abaixo? u

v

Teorema de Tales A

Retas transversais mantêm uma re-

lação de proporção bem definida. E o que define essa proporção é o teorema de Tales: qualquer conjunto de retas

B

D 2x + 1

5

r

E s

paralelas cortadas por segmentos transversais formam nessas transversais segmentos proporcionalmente correspondentes. Mais fácil acompa-

3x

7

F

C

t r//s//t

nhando na figura: Por Tales, sabemos que AB/DE = BC/EF. Então, u

5 7 = 2x + 1 3x

v

Multiplicando em cruz: A B

3

D 2

r

E s

9

x

C

F

5 . 3x = 7 . (2x + 1) 15x = 14x + 7 x=7 O segmento DE = 2 . x + 1 = 2 . 7 + 1 → DE = 15 O segmento EF = 3 . x = 3 . 7 → EF = 21 Por fim, o segmento DF é a soma de DE e EF: 21 + 15

→

DF = 36

t r//s//t

ATENÇÃO QUANDO TALES NÃO RESOLVE

Veja: • As retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas;

Para resolver um problema de retas paralelas e transversais, só podemos usar o teorema de Tales quando temos as medidas de todos os segmentos de uma das retas que não são paralelas. Caso contrário, não é possível aplicar o teorema de Tales. Veja a figura:

• As retas u e v (que não são paralelas, mas concorrentes) cortam o feixe r, s e t. Os pontos de intersecção das três retas definem os pontos A, B, C, D, E e F.

u

v

E

x A

Segundo Tales, os segmentos cor-

respondentes em cada uma das retas transversais são proporcionais. Na figura, as medidas de AB e DE guardam uma razão de 3/2. Então, os segmentos BC e EF têm a mesma relação de proporção. Ou seja, AB BC DE = EF

Com isso, é possível determinar o

valor de x (medida de EF): 3 9 2 = x 3 . x = 2 . 9  3 . x = 18  x = 6

B

r

4

x+1 C

D

s

10 r//s Não temos a medida de nenhum dos segmentos da reta u. Mas temos as medidas de dois lados de dois triângulos: • Do triângulo AEB, conhecemos os lados AB = 4 e AE = x; • Do triângulo CED, conhecemos os lados CD = 10 e CE = x + 1 + x ; • Esses dois triângulos compartilham o ângulo no vértice E. Os ângulos em A e C são congruentes. O mesmo ocorre entre os ângulos em B e D. Portanto os dois triângulos são semelhantes. Nesse caso, usamos semelhança de triângulos ( veja no capítulo 5 ). GE MATEMÁTICA ��

35

2

GEOMETRIA PLANO CARTESIANO

K C O T S I

JOGO ORDENADO Um tabuleiro de xadrez, com suas 64 casas, reproduz com bastante precisão um plano cartesiano: cada casa é identificada por um par ordenado

A lógica do quadriculado

O SISTEMA COORDENADO

Um esquema engenhoso que permite localizar qualquer ponto pelo cruzamento de retas perpendiculares

O endereço de qualquer ponto é um par ordenado (x,y). Para este ponto, o valor de x é –2 e o de y , 2. Então o par ordenado do ponto A é (–2,2)

F

oi o filósofo e matemático francês René Descartes quem imaginou pela primeira vez um sistema para localizar qualquer ponto em um plano, o chamado sistema coordenado. Com isso, Descartes criou uma área nova da matemática, a geometria analítica, que reúne conhecimentos de geometria e de álgebra. O plano de Descartes é engenhoso. Veja ao lado.

5

4


No eixo vertical ( y ), os valores crescem de baixo para cima. O eixo y é o das ordenadas

3

A (-2,2)

2 Os eixos se cruzam no ponto de coordenadas (0,0). Este ponto é chamado origem do sistema coordenado

1

O (0,0) -4

-3

-2

-1 -1

Os valores nos eixos x e y são números reais – podem ser positivos, negativos, inteiros racionais ou irracionais

x 1

-2

-3

36

y

2

3

4

Os valores no eixo horizontal ( x ) crescem da esquerda para a direita. Este é o eixo das abscissas

Unidades de medida O plano cartesiano aceita qualquer unidade de medida e qualquer inter valo entre valores. Com isso, ele é ideal para a construção de gráficos que representam a relação entre diferentes grandezas. Veja dois exemplos: m 3

DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO No projeto de um escritório de engenharia, o arquiteto estipulou as dimensões de três cômodos que serão construídos em sequência, em paralelo à fachada do prédio. Ele usou pontos que definem as arestas desses cômodos: • sala de reunião: R1(1,1), R2(1,3), R3(3,3), R4(4,1) • área de circulação: C1(4,1), C2(3,3), C3(6,3), C4(5,1) • sala da diretoria: D1(5,1); D2(6,3); D3(9,3); D4(9,1)

POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO

2

NA PRÁTICA

1 Veja a forma e a disposição dos cômodos no plano cartesiano:

s 1

2

3

4 9

No gráfico acima, no eixo x estão indicados os intervalos de tempo, em segundo (s). E o y traz as medidas de distância, em metro (m). As unidades poderiam ser outras, como quilômetro e hora. 35

8 7 6 5 4 3 2

ºC

y

R2

R3 C2

D3

R4 C1 C4 D1

R1

1

C3 D2

D4 x

30

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

25

1

min 10

20

30

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Repare: os valores nos eixos x e y podem equivaler a uma unidade qualquer. Se cada unidade fosse equivalente a 2 metros, por exemplo, a parede mais comprida da sala de reunião R1 a R4 mediria 6 m.

40

No gráfico de variação de temperatura, as unidades são graus Celsius ( oC) por

minuto (min). Mas poderia ser adotada outra unidade para a temperatura – Kelvin, por exemplo.

Quadrantes

SAIBA MAIS

Os eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes. Os qua-

AS COORDENADAS DO XADREZ

drantes são numerados no sentido antihorário, a partir do lado positivo do eixo x. Conhecendo o sinal das coordenadas

Um tabuleiro de xadrez, como o da foto na página ao lado, é composto de 64 casas distribuídas em oito colunas verticais e oito linhas horizontais. O tabuleiro funciona como um plano cartesiano, em que só se consideram valores inteiros e positivos. O eixo x é marcado com letras; o y, com números. E cada casa é identificada por um par ordenado, composto de uma letra e um número.

de um ponto, é possível saber em qual

quadrante ele se localiza. 3 Q II (-x,+y)

-3

-2 Q III (-x,-y)

y

QI (+x,+y)

2 1 0 -1

x

0 -1 -2

1

2 Q IV (+x,-y)

3

y

8

a8

b8

c8

d8

e8

f8

g8

h8

7

a7

b7

c7

d7

e7

f7

g7

h7

6

a6

b6

c6

d6

e6

f6

g6

h6

5

a5

b5

c5

d5

e5

f5

g5

h5

4

a4

b4

c4

d4

e4

f4

g4

h4

3

a3

b3

c3

d3

e3

f3

g3

h3

2

a2

b2

c2

d2

e2

f2

g2

h2

1

a1

b1

c1

d1

e1

f1

g1

h1

a

b

c

d

e

f

g

h


x

37

2

GEOMETRIA GRÁFICOS

O Ã Ç A G L U V I

D

Traços que valem por mil palavras O plano cartesiano é a base de gráficos de barras e de linhas. Mas existem gráficos que dispensam os pares ordenados

O

s gráficos são uma das maneiras mais fáceis de visualizar o comportamento de uma variável. Com eles, você percebe rapidamente a diferença entre quantidades, proporções entre valores e a evolução de uma variável ao longo do tempo. Por isso, muitos dados de pesquisas sobre economia, política, demografia e sociedade são apresentados na forma de gráficos. Existem diversas maneiras de representar

uma realidade em gráfico, dependendo do que se pretende mostrar. E um mesmo assunto pode render todos os tipos de gráficos. Por exemplo, em questões relativas a energia. Matriz energética é o conjunto de fontes de

energia de um país ou uma região, com a proporção entre a produção de diferentes fontes. A composição da matriz energética é importante para a discussão das questões relacionadas ao aquecimento global. Você sabe, a queima de combustíveis fósseis é uma das maiores causas do aumento na concentração de gases do efeito estufa. O Brasil tem uma das matrizes mais equi-

libradas do mundo, com as fontes renováveis respondendo por cerca de 40% de toda energia ofertada no país. É renovável, por exemplo, a energia hidráulica – das águas de um rio –, que gera eletricidade nas hidrelétricas. Acompanhe a seguir como o tema energia

pode render diferentes gráficos. 38


RENOVÁVEL

Das hidrelétricas saem quase 13% do total de energia ofertada no Brasil. Num gráfico, essa proporção fica bem clara

Gráfico de setores Lembra uma pizza fatiada. Mostra a proporção entre valores, que podem ser dados em número absoluto ou em porcentagem. O tamanho de cada fatia (setor) é proporcional ao valor por ela representado. E essa proporção é definida pelo ângulo. O gráfico ao lado mostra a participação de diferentes fontes de energia na matriz energética brasileira. A maior parte da energia ofertada no país vem do petróleo (39,5%). A energia de fonte hidráulica (das hidrelétricas) representa 12,5% do total das fontes. Então, no gráfico, essa fatia deve medir o equivalente a 12,5% da circunferência total. Veja como esse tamanho foi calculado: • Uma circunferência completa tem 360 o; • Para a fatia de 12,5%, simples regra de três: 360o – 100% x – 12,5% x = 360 . 12,5 / 100  x = 45o Gráfico de barras Ideal para comparar o comportamento de uma variável em diferentes situações. As barras, verticais ou horizontais, são desenhadas sobre valores de dois eixos, como o plano cartesiano. O gráfico ao lado mostra a participação de cada fonte de energia nos anos 1971, 2004 e 2030. No eixo x estão os anos; no y, os valores em toneladas

MATRIZ ENERGÉTICA BRASILEIRA (�� ) Oferta de energia, % de participação de cada fonte primária no total � ��

� � �

Energia não renovável Petróleo e derivados Gás natural

�

Carvão mineral Urânio (Nuclear)

��

Energia renovável

�� ,�

� ,�

Hidráulica Lenha e carvão vegetal

�� ,�

Biomassa de cana ��

� ,�

Outras*

� * Principalmente eólica, solar e geotérmica Fonte: Empresa de Pesquisa Energética (EPE)

�� ANOS DE ENERGIA

Evolução da matriz de energia primária no mundo, em bilhões de teps ��

Petróleo Carvão Gás natural Energia nuclear Hidráulica Biomassa Outros renováveis*

��

��

equivalentes de petróleo (teps). Cada cor nas

barras representa uma fonte da matriz de energia. Repare que o total de energia que se prevê seja consumida pelo mundo nos anos 2030 é praticamente três vezes maior do que em 1971. Note também que, apesar do aumento na oferta das fontes renováveis, a participação dos combustíveis fósseis triplica entre 1971 e 2030. Gráfico de linhas Outra maneira de mostrar a evolução de uma variável ao longo do tempo é por gráficos de linhas. Como exemplo, veja ao lado. O gráfico mostra a produção total de gás natural nos Estados Unidos (EUA) e a participação das principais fontes desse gás. Como o petróleo, o gás natural é um combustível fóssil. Recentemente, os EUA incrementaram a exploração do gás de xisto – uma rocha sedimentar formada da decomposição de matéria orgânica. A linha vermelha indica que a produção total de gás natural subiu 15% entre 2007 e 2011. Mas as demais linhas mostram que a produção de gás de todas as fontes caiu, ou permaneceu no mesmo patamar, entre os quatro anos. A exceção é a linha azul, de gás de xisto, que sobe em participação. Podemos concluir, então, que o aumento na produção de gás nos EUA se deveu à extração do xisto.

�

� ��

�� **

��

* Inclui eólica, geotérmica e solar ** Estimativa Fonte: Agência Internacional de Energia/World Energy Outlook 2004 e 2006

PRODUÇÃO DE GÁS NATURAL NOS ESTADOS UNIDOS �� Em bilhões de metros cúbicos Produção total de gás natural

de jazida natural

de petróleo

de gás de xisto

de carvão mineral

1000

800

��

��

��

�� *

��

600 ��

��

��

400

��

200 ��

��

��

��

��

��

0

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

* Os números de produção total não incluem gás queimado, reinjetado ou perdido Fonte: Agência de Energia dos EUA 2013 GE MATEMÁTICA ��

39

2

GEOMETRIA POLÍGONOS

K C O T S I

LÁBARO GEOMÉTRICO A bandeira brasileira é construída com a combinação de três figuras geométricas básicas: retângulo, losango e círculo

Desenhados com linhas retas

nos quais as extremidades dos segmentos se encontram, formando os vértices do polígono, e no qual os pontos em comum entre dois lados só podem ser os

B

A

C

A

o escolhermos dois pontos de

uma reta, A e B, delimitamos um segmento de reta AB, de comprimento limitado.

C B

C

G

E E

D G

D

F

Triângulo equilátero

Quadrado

Pentágono regular

Hexágono regular

Um polígono pode ser côncavo ou convexo. Se, ao unirmos dois pontos

quaisquer de um polígono por um segmento de reta e parte desse segmento

B

r

Interligando segmentos de retas não alinhados, de dois em dois, cercamos uma região de um plano, definindo um polígono, ou figura plana. Cada segmento de reta corresponde a um lado do polígono. Os lados são representados por letras minúsculas: a, b, c,... Existem diversas famílias de polígonos, mas vamos nos concentrar nos

polígonos fechados e simples – aqueles GE MATEMÁTICA ��

H

D A

A

B

F

E

40

polígono forem congruentes, isto é, se tiverem a mesma medida, então esse é um polígono regular. Por exemplo:

vértices do polígono. Veja os exemplos:

Polígonos são figuras geométricas que têm lados e vértices

A

Se todos os lados e ângulos de um

ficar para fora do polígono, então ele

é chamado côncavo. Caso não exista a possibilidade de traçar um segmento que fique para fora, o polígono é convexo.

CÔNCAVO

CONVEXO

Duas grandezas podem ser associadas às figuras planas: perímetro e área. O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Área é a medida da superfície fechada pelo polígono. Veja no quadro no alto da página ao lado a fórmula para o cálculo da área dos principais polígonos regulares.

RETÂNGULO

QUADRADO A = a . h

PARALELOGRAMO

A = a . a = a

h

h

a

a

a

a

LOSANGO

TRAPÉZIO

TRIÂNGULO

diagonalm aior . diagonalmenor 2

A =

A = a . h

2

A =

r o n e m l a n o g a i d

a.h 2

A =

(base maior + base menor). h 2

base menor

h

h

base maior

a

diagonal maior

NA PRÁTICA A BANDEIRA BRASILEIRA

As dimensões da bandeira brasileira seguem proporções rígidas, estabelecidas em lei federal: • Qualquer que seja o tamanho da bandeira, a altura deve ser dividida em 14 partes iguais (módulos). E o comprimento deve ter 20 desses módulos. • Os vértices do losango amarelo devem ficar a uma distância de 1,7 módulo da borda verde da bandeira. • E o raio do círculo azul é de 3,5 módulos. Considerando essas relações de proporção, calcule as áreas do retângulo verde, do losango e do círculo em uma bandeira com 7 metros de altura. Vamos chamar a altura de h, a largura de a e cada módulo de x . Acompanhe o raciocínio na figura abaixo.

Conhecemos a altura h. Então, descobrimos o valor do módulo x : 7 = 14 . x x = 0,5 m Agora encontramos as áreas de cada figura: • Para o retângulo verde: A = a . h Sabemos que o lado a deve corresponder a 20 módulos x . Então, a = 20 . x a = 20 . 0,5 a = 10 m A = 7 . 10 A = 70 m2

Diagonal maior = 10 – 2 . (1,7 . 0,5) Diagonal maior = 10 – 1,7 Diagonal maior = 8,3 m A diagonal menor é calculada em relação à altura h:

Diagonal menor = 7 – 2 . (1,7 . 0,5) Diagonal menor = 7 – 1,7 Diagonal menor = 5,3 m A área do losango amarelo: A=

• Para o losango, usamos a fórmula que relaciona as duas diagonais da figura: A=

diagonalmaior . diagonalmenor 2

1,7 x

diagonal menor

h = 14 . x 3,5 . x a = 20 . x

Cada diagonal termina 1,7 módulo antes da borda da bandeira. A diagonal maior é calculada em relação ao lado a do retângulo:

8,3.5,3 2

A ≈ 22 m2 • Para o círculo: A = π . r2 O raio mede 3,5 módulos: r = 3,5 . 0,5 r = 1,75 r2 ≈ 3 A = 3,14 . 3 A ≈ 9,4 m 2

diagonal maior GE MATEMÁTICA ��

41

2


ATENÇÃO

TOME NOTA

Não se esqueça: a unidade dos lados é linear – cm, m, km, por exemplo. Já para a área, a unidade é sempre elevada ao quadrado (cm2, m2). É fácil entender por quê: no cálculo da área, multiplicamos sempre duas medidas lineares (lado por lado, diagonal por diagonal etc.). Então, as unidades também devem ser multiplicadas: m . m = m2

BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO Questões que envolvem trapézios caem regularmente no Enem e nos vestibulares. Vale a pena você anotar:

a c

A

C

B b Num trapézio C, chama-se base média a reta paralela às bases que une os pontos médios dos lados. Você deve guardar: • A base média de um trapézio define dois novos trapézios (A e B). • A base média tem comprimento igual à média aritmética das duas bases do trapézio. Em linguagem matemática, c = (a + b)/2 . • As alturas dos trapézios A e B são congruentes e medem metade da altura do trapézio C.

NA PRÁTICA RELAÇÃO ENTRE ÁREAS Um modo simples e tradicional de calcular quantas pessoas existem numa multidão é fazer a relação entre áreas. Em uma manifestação popular, as pessoas ocupavam um trecho de 200 metros de uma avenida. A largura da avenida é de 9 metros. Sabendo que cada 2 metros quadrados eram ocupados por, em média, 6 pessoas,

quantas pessoas participaram da manifestação? A questão pede a relação entre áreas. Desenhando a situação, temos:

2 m2 9m 200 m

T

rês é o número mínimo de lados de um polígono. Então o triângulo é o polígono mais simples. Mas as relações entre seus lados, seus ângulos e com outros polígonos tor-

Agora, é só verificar a proporção entre a área ocupada por uma pessoa e a área total. Simples regra de três: 6 pessoas – 2 m2 x pessoas – 1 800 m2

ainda, um triângulo muito especial, o triângulo retângulo, que tem um ângulo de 90o. Um triângulo retângulo pode ser isósceles ou escaleno, jamais equilátero.

1800.6 2 x = 5400pessoas GE MATEMÁTICA ��

O triângulo é o polígono mais simples, mas o mais versátil para diversos cálculos

A área ocupada pela manifestação é um retângulo de 9 m de largura por 200 m de comprimento. Podemos considerar a largura como a altura do retângulo. A área de um retângulo é calculada por A = base . altura. Então, A = 9 . 200 A = 1 800 m2

x=

42

Poucos lados, muitos usos

nam essa figura plana importantíssima. Tanto é que a matemática reserva uma área especialmente dedicada a ela, a trigonometria ( veja o capítulo 5 ). Os triângulos são classificados em diferentes tipos, conforme o tamanho de seus lados ( veja na página ao lado ). Há,

TRIÂNGULOS JUNINOS As tradicionais bandeiras de quermesse são triângulos isósceles, com dois lados iguais

K C O T S I

Equilátero: os três lados iguais e os três ângulos iguais

sempre a metade da área do retângulo ou losango de medidas correspondentes. Veja ao lado. Área do triângulo retângulo: metade da área de um retângulo

Isósceles: dois lados iguais e dois ângulos iguais

Área do triângulo escaleno: metade da área de um losango

Escaleno: nenhum lado e nenhum ângulo igual

A fórmula geral para a área de um triângulo é: A = b . h , 2

em que b é o comprimento da base e h, a altura. Você não precisa decorar essa fór-

mula. É só perceber que um triângulo é exatamente a metade de um retângulo ou um losango. Portanto, sua área é

Área do triângulo isósceles: metade da



O QUE ISSO TEM A VER COM A FÍSICA A área dos triângulos pode ser útil na análise de gráficos de movimentos retilíneos uniformemente variados (MRVU), aqueles no qual a velocidade varia de maneira constante ao longo do tempo. O gráfico abaixo mostra a variação da velocidade de um móvel em função do tempo. A área do triângulo retângulo formado entre a reta e o eixo x é igual ao deslocamento entre os instantes ti e tf . Aceleração > 0 Vf

área de um losango

A exceção fica para o triângulo equilátero, que tem todos os lados iguais. Nesse caso, a fórmula da área é: a2 . 3 A= 4 ,

A = deslocamento Vi O ti

tf

em que a é o comprimento de qualquer um dos lados. GE MATEMÁTICA ��

43

2


Triângulo retângulo

NA PRÁTICA

Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais: • o lado maior é a hipotenusa;

ÁREA DE TRIÂNGULOS Uma piscina tem formato de um hexágono regular. A distância entre dois lados paralelos do hexágono é de 17 metros. Qual a área da piscina? (Considere 3 = 1, 7 )

Não é preciso conhecer a fórmula da área do hexágono. Basta raciocinar um pouco. Se traçarmos as diagonais do hexágono, unindo vértices opostos, encontramos seis triângulos equiláteros (três lados iguais). Veja:

• os dois lados menores são os catetos.

São os catetos que formam o ângulo de 90o (ou ângulo reto). Veja:

É fácil entender o que Pitágoras afirma. O quadrado de um número está diretamente relacionado à área do quadrado de lados com comprimento igual a esse número. Aplicando essa ideia, no desenho de um triângulo retângulo, temos: 1. O quadrado da

hipotenusa é igual à...

C

b (cateto)

C a (hipotenusa)

a

b A c

A h = 17 m

Se os triângulos são equiláteros, então a medida de seus lados é igual à medida de cada um dos lados do hexágono. Conhecemos a distância entre dois lados opostos do hexágono: 17 m. Então a altura de cada um desses triângulos é 17 = 8,5 m.

2

A fórmula que relaciona a altura à medida dos lados do triângulo equilátero é h =

a.

2. ... soma

do quadrado dos catetos

Este triângulo é retângulo em A – ou seja, o ângulo reto tem vértice em A. Então, chamamos a hipotenusa de a, e os catetos de b e c.

Teorema de Pitágoras

O filósofo e matemático grego Pitágoras desenvolveu um teorema que define a proporção entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Em linguagem matemática, o teorema de Pitágoras diz que

NA PRÁTICA

TEOREMA DE PITÁGORAS Um triângulo retângulo tem catetos medindo b = 3 e c = 4. Qual a medida da hipotenusa? Por Pitágoras, a2 = b2 + c2.

é igual à soma dos quadrados das

Então a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 a2 = 25 a=5

TOME NOTA

TOME NOTA

Traduzindo: num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa

Temos então: a.

B

a2 = b2 + c2

3 2

8, 5 =

c (cateto)

B

3 2



a =

8,5.2

medidas dos catetos.

3

O enunciado informa que

3 = 1, 7 .

Então, a =

17 1, 7

"

a = 10m

Esta é a medida de cada um dos lados. Aplicando a medida na fórmula da área do triângulo equilátero, temos: 2

A=

a . 3 4

A =

100.1,7 4

A = 42,5 m2 A piscina é formada por seis triângulos. Portanto, a área total da piscina é A = 6 . 42,5  A = 255 m2 44


RELAÇÃO ENTRE BASE E ALTURA ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO Repare que, para encontrar a área de um triângulo, precisamos conhecer a altura (h) e a medida dos lados. E nem sempre temos todas essas medidas. Nesse caso, a altura é estabelecida em função dos lados. No caso de um triângulo equilátero, a relação entre altura e lado é dada por a. 3 , h=

Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180o.

b

H

2

em que a é a medida de um lado.

90º + b+ H = 180º

a = 90º

Pitágoras no plano cartesiano

TOME NOTA

NA PRÁTICA

distância entre dois pontos no plano cartesiano. Veja:

DISTÂNCIA ENTRE PONTOS

PITÁGORAS NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

Para encontrar a distância entre os pontos P(-2, -1) e Q(2, 2):

A figura abaixo representa a distância entre dois pontos quaisquer P 1(x1, y1) e P2(x2, y2), num plano cartesiano:

O teorema de Pitágoras fornece a

P2 (x2 , y2)

Localizando os pontos: 3 y

dvert = y2 - y1

Q

2

O teorema também é útil para encontrar a altura de um triângulo equilátero. Veja que, nesse tipo de triângulo, o segmento de reta que indica a altura (h) corta a base exatamente em seu ponto médio, fazendo com ele ângulos de 90º:

P1 (x1 , y1) dhoriz = x2 - x1

1 x

0 -3

-2

-1

0

1

-1

P

3

2

R

-2

Repare que, na vertical, a distância é dada pelos valores no eixo y , e, na horizontal, pelos valores no eixo x .

Conhecemos os pontos ordenados de P e Q. Assim, encontramos a distância entre R e cada um desses pontos, numa simples conta de subtração:

• Para P e R: 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 • Para Q e R: 2 – (–1) = 2 + 1 = 3 Sabendo a medida de dois catetos,

aplicamos Pitágoras:

h

Aplicando Pitágoras, temos:

2 2 Q x 2 - x 1V + Q y 2 - y 1V

d P1 P2 =

x/2

x/2

NA PRÁTICA

Repare que construímos dois triângulos retângulos, cujas bases medem x 2

PITÁGORAS NO QUADRADO

Aplicando o teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos, temos:

Você não precisa decorar a fórmula para a diagonal de um triângulo. Basta raciocinar sobre o teorema de Pitágoras. Acompanhe abaixo. Qual a medida dos lados de um quadrado cuja diagonal mede 49 cm?

PQ� = 3� + 4� PQ� = 9 + 16 = 25 PQ = 5

a2 = b2 + c2 Sabemos que a = x e b = x 2 x 2 Então, x 2 = h 2 + S 2 X x 2 2 h = x –S 2

2

X

2

49

x 2 2 h =x – 4 2

2

h =

Esta é a distância entre os pontos

P e Q.

a

Pitágoras no quadrado O teorema de Pitágoras nos dá, tam bém, a medida da diagonal de um quadrado. Veja:

d

x

d P 1 P22 = Q x 2 - x 1 V2 + Q y 2 - y 1 V2

Repare que temos um triângulo retângulo em R, ponto definido pelo par ordenado R (2,-1). A distância entre P e Q corresponde à hipotenusa.

a

x

d� = a� + a� d� = 2a� d=

2a 2

d=a 2

d� = a� + a� 49 = 2a� 7= 7=a a=

2a

2

2

3x 2 h = 4

2

2

h=

3x 4

h=

x 3 2

2

Esta é a fórmula que você viu na página ao lado.

7 2

Considerando a = 7 / 1,4 a = 5 cm

4x – x 4

2 ≈ 1,4, temos:

a


45

2

GEOMETRIA CÔNICAS

K C O T S I

RODOPIO ELÍPTICO No Sistema Solar, a órbita de todos os planetas em torno do Sol segue a forma de elipses, algumas mais, outras menos excêntricas

As figuras sem arestas Cônicas são curvas que nascem da intersecção de um plano com um cone

U

parábola

• Aumentando-se a inclinação, a elipse não mais se fecha, e a curva se transforma numa parábola. • Um plano perfeitamente na vertical cria uma hipérbole.

circunferência

Todas as cônicas podem ser representadas no plano cartesiano, por um par ordenado (x, y). A relação entre x e y é dada por uma equação. A forma mais comum é a equação reduzida, ou equação geral.

ma casquinha de sorvete é um cone, um sólido geométrico, ou seja, uma figura que tem três

dimensões – altura, largura e espessura ( veja mais a partir da página 52 ).

Qualquer corte que você faça com um plano nas paredes do cone resulta numa figura plana – uma curva plana chamada cônica. Daí vem a definição de cônicas: são curvas obtidas da intersecção de um plano com um cone. São cônicas a circunferência, a elipse,

elipse

hipérbole

Observe que a curva é alterada dependendo da inclinação do plano que corta o cone: • Um plano perfeitamente horizontal produz uma circunferência.

a parábola e a hipérbole – cada uma

delas com o formato definido pela inclinação em que o plano corta o cone ( veja no quadro ao lado ). 46


• Um plano ligeiramente inclinado deforma a circunferência e cria

uma elipse.

ATENÇÃO CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO A circunferência é uma curva. Não tem área. O que tem área é o círculo – a região no interior da circunferência. A área do círculo é dada por A = π . r�

Circunferência É a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de outro ponto – o centro da circunferência.

A letra grega é um número irracional, que não pode ser escrito na forma de fração com numerador e denominador inteiros. Para efeito de cálculos, costumamos arredondar o valor de para 3,14. π

π

centro um ponto qualquer C (a,b), e que passa pelo ponto Q (x,y). A equação reduzida para esse tipo de circunferência, cujo centro não coincide com a origem do sistema cartesiano, é

Equações da circunferência

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Considere uma circunferência com o centro no ponto (0, 0): C

Veja abaixo a figura:

y

r

y

Q (xQ, yQ)

yQ

Q

yQ r

x

d = 2r

O

xQ

• C é o ponto que marca o centro; • A distância de qualquer ponto da circunferência a C é o raio (r); • Diâmetro é o dobro do raio (2r);

• O comprimento (ou perímetro) da circunferência é dado pela expressão: P = 2 . π . r

C

b

0

A posição de qualquer ponto Q de uma circunferência é dada por

xQ

x

Repare que o cateto horizontal mede (xQ – a). E o cateto vertical, (y Q – b).

xQ2 + y Q2 = r2

Mas o centro da circunferência pode não coincidir com o ponto (0, 0). Considere uma circunferência que tem como

a

Desenvolvendo r2 = (x – a)2 + (y – b)2, a equação geral das circunferências

fica assim:

r2 = x2 + y 2 – 2ax – 2by + a 2 + b2

NA PRÁTICA

EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA Qual o raio da circunferência com centro no ponto C (0, –5) e que passa pelo ponto P (–2, –5)?

Simples aplicação da equação: r2 = (x – a)2 + (y – b) 2 r2 = [0 – (–2)] 2 + [(–5 – (–5)] 2 r2 = (0 + 2) 2 + (–5 +5) 2 r2 = 4 + 0 r= 4 r=2

Na equação geral: r2 = x2 + y2 – 2ax – 2by + a 2 + b2 4 = x2 + y2 – 2 . 0x – 2 . (–5 y) + 0 + (–5) 2 4 = x2 + y2 – 0x + 10y +25 x2 + y2 + 10y + 25 – 4 = 0 x2 + y2 + 10y + 21 = 0 Desenhe a circunferência no plano cartesiano. y

Defina as equações reduzida e geral dessa circunferência. Para encontrar as equações de uma circunferência, basta conhecer a medida do raio e as coordenadas do centro. Sabemos que o raio é 2 e que seu centro é C (0, -5). É só aplicar esses valores nas duas equações. Na reduzida: r2 = (x – a) 2 + (y – b) 2 4 = (x – 0) + (y – (–5)) �

x

P (–2,–5)

C (0,–5)

�


47

2

GEOMETRIA CÔNICAS

Inscrição e circunscrição Circunferências inscritas em polígonos são aquelas dentro de um polígono, tocando todos seus lados. Circunferências circunscritas são aquelas que estão do lado de fora do polígono, passando por todos os seus vértices. Todos os polígonos regulares (de lados congruentes) podem ter circunferências inscritas e circunscritas. Os raios das circunferências se relacionam com as medidas dos polígonos. Veja:

Quadrado

a

NA PRÁTICA

r

POLÍGONOS INSCRITOS r

Então: (2 . r c )2 = a2 + a2 4 . rc2 = 2 . a 2 rc2 =

2 . a2 4

"

2 . a2 4

rc =

2

"

rc = a 2

Triângulo equilátero

Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma circunferência. Calcule o comprimento dos lados do triângulo equilátero, sabendo que a área do quadrado é 100 cm �. Primeiro, preste atenção no enunciado, para não se confundir: se os polígonos estão inscritos, então a circunferência está do lado de fora, circunscrevendo os polígonos. A situação descrita é esta:

A circunferência inscrita toca os três lados do triângulo. A circunscrita toca seus três vértices.

V

l

rc ri

a

C

M

a

M

C

rc

M Circunferência I

ri

rc l

C

Circunferência II

Na figura acima: • O polígono regular é um quadrado; • O quadrado está inscrito em uma circunferência e circunscreve outra, de raios ri e rc diferentes; • O ponto C é o centro do quadrado e das duas circunferências; • O ponto M é o ponto médio do lado do quadrado. Para a circunferência inscrita: • Ela toca o lado do quadrado no ponto médio de cada um dos lados do quadrado; • O raio r é a distância do centro ao �

O enunciado informa que a área do quadrado é A = 100 cm 2.

O raio da circunferência inscrita (ri ) equivale à distância do centro C

ao ponto médio do lado do triângulo. Chegamos às medidas de r i e rc também por Pitágoras. Não é importante que você veja a demonstração. Pode apenas guardar as equações: ri =

formado por dois lados do quadrado e sua diagonal. E essa diagonal corresponde ao diâmetro da cir-

cunferência (2 . rc ). Veja a seguir: 48


6

e rc =

l

3 3

Hexágono regular M

(segmento de reta que une o centro a um dos lados de um polígono regular, sempre perpendicular a ele). O apótema sempre une o centro ao ponto médio do lado. Então, sabemos que r i = a2

• Encontramos rc aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo

3

Basta observar as duas equações para concluir que rc = 2 . ri

ponto médio do polígono (CM). Essa distância se chama apótema

Para a circunferência circunscrita: • Ela toca os vértices do quadrado;

l

O raio da circunferência que circunscreve um quadrado é dado por rc =

C

rc

ri =

a 3 2

Para a circunferência circunscrita, rc = a

10 2 = 5 2 cm 2

Esta circunferência circunscreve também o triângulo equilátero. A equação que relaciona o lado do triângulo com r c é: l

3 3

Temos, então, que

l

3 3

=5 2

Isolando l, obtemos: l

Também neste caso, você não precisa da demonstração. Pode apenas guardar as equações: Para a circunferência inscrita,

l 2 2

Então, r c =

rc =

ri

a

Como A = a 2 a = 100 a = 10 cm

=

15 2 3

=

15 6 = 5 6 cm 3

GE Matemática

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