COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU www.pro!""orw#$%!r%#&!'.(#%.)r Polinômios e Operações – (CP2 – Campus Realengo II) - 2013 - GAARI!O 1. O resto da divisão de P(") # a" 3 – 2" $ 1 por 1 por %(") # " – 3 é 3 é &. Nessas condições, o valor de a é: a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 'oluço Pelo *eorema +o res*o, P(3) # & 'us*i*uin+o, *emos.
#"3) = a"3) − 2."3) +1 91 ⇒ 27a − ! + 1= ⇒ 27a = 9 ⇒ a = = 27 3 #"3) =
e) 7
3
2. $ divisão do polin%&io p(") # " / – 2"& – " $ m por m por (") # " – 1 é 1 é e'ata. O valor de m é: a) ( 2 b) ( 1 c) d) 1 e) 2 e) 2 'oluço Pelo *eorema +o res*o, P(1) # 0, pois a +iiso e"a*a 'us*i*uin+o, *emos.
#"1) = "1)* − 2."1) − "1) + & ⇒ 1− 2 − 1+ & = ⇒ −2 + & = ⇒ & = 2 #"1) =
3. +ea& P(") # 2" 3 – 2"2 – " $ 1 e 1 e %(") # " – a dois a dois polin%&ios co& valores de " e& -. & valor de a para 0e o polin%&io #"') sea divisvel por "') é: a) 1
b) ( 2
c) ( 1/2
'oluço a+o um polinômio #" ' )
=
an '
n
+
d) 2
a n 1'
n −1
−
+
e) 3
... + a , se a soma +os 4oe5i4ien*es 5or nula,
en*o P(1) rai6 e P(") +iis7el por (" – 1) as*a er ue #"1) = a n "1)
n
+
a n 1 "1)n −
1
−
+
... + a
=
an
+
an
1 +
−
... + a
'e P(1) # 0, en*o a soma +os 4oe5i4ien*es ser8 nula 9o 4aso +a ues*o, *emos.
#"1)
=
2."1) 3
−
2."1) 2
−
"1) + 1 = 2 − 2 − 1 + 1 = :ogo, um alor para a ser8 1
. +e o polin%&io "3 $ p"2 $ é é divisvel pelo polin%&io "2 – ;" $ /, /, então p $ vale: vale: a) ( 1 b) 3 c) * d) ( 'oluço 1 <5e*uan+o a +iiso e igualan+o o res*o = 6ero, *emos.
e) 1
*3 + p*, + * + *, – /* + 0 – *3 + /*, – 0* * + 1p + /2 , 1p + /2* – 0* + – 1p + /2*, + /1p + /2* – 01p + /2 1– 0 + /p + 3/2* + – 0p – 3 R!"%o.
Res*o # 0
i) − * + !p + 3! = ⇒ !p = −31 ⇒ p = − 31 ! 31 2* ! ⇒ p + 0 = − + = − = −1 ! ! ! i ) 0 − *p − 3 = ⇒ 0 = *. − 31 + 3 = − 1** + 14 = 2* ! ! !
'oluço 2 Osere ue " 2 – ;" $ / # (" – 1)(" – /) :ogo, " 3 $ p"2 $ +iis7el por " – 1 e " – / Pelo *eorema +o res*o, em. "1) 3
+
p"1) 2
+
0 = ⇒ 1+ p + 0 =
⇒
p + 0 = −1
*. & polin%&io é tal 0e P(1) # &. O 0ociente da divisão de P(") por (" – 1) é dividido por (" – 2) e obté&5se resto 3. al o resto da divisão de #"') por (" – 1)(" – 2)6 'oluço Consi+ere (") o uo4ien*e +e P(") por (" – 1) !emos. P(") # (" – 1)(") $ r Como P(1) # &, r # & 9a +iiso +e (") por (" – 2), *emos res*o 3 :ogo, (") # (" – 2)>(") $ 3 'us*i*uin+o em P("), em. P(") # (" – 1)? (" – 2)>(") $ 3@ $ & # (" – 1)(" – 2)>(") $ 3 (" – 1) $ & P(") # (" – 1) " – 2)>(") $ 3" – 3 $ & # P(") # (" – 1)(" – 2)>(") $ 3" $ 1 Res*o # 3" $ 1 !. al o valor de m para 0e o polin%&io "3 $ 2"2 – 3" $ m ao ser dividido por " $ 1, dei'e resto 36 'oluço 1 Pelo *eorema +o res*o, P(– 1) +ee ser igual a 3 'us*i*uin+o, *emos.
#"−1) = "− )1 3 + 2."−1)2 − 3"−1) + & ⇒ −1 + 2 + 3 + & = 3 ⇒ + & = 3 ⇒ & = 3 − = −1 #"−1) = 3
'oluço 2 B*ili6an+o o +isposi*io +e rio*-Ru55ini, *emos.
– , –3 –4
( 4+(
Como o res*o +ee ser 3, *emos. & $ m # 3 # m # 3 – & # – 1 7. alclar a, e 4 para 0e os polin%&ios P(") # (a – 1)" 3 $ " $ 4 – 3 e %(") # "3 $ (2 – )" $ / sea& id8nticos. 'oluço Polinômios i+n*i4os so os polinômios on+e os 4oe5i4ien*es +os *ermos +e mesmo grau so iguais
a−1=1 a=1+1=2 #"') ≡ "')⇒ b = 2− ' ⇒ b = 2−b ⇒ 2b = 2 ⇒ b =1⇒ a = 29b =19c = 4 c−3 =* c−3 = *⇒ c =3+* =4
4. "#) stdar o ;ra do polin%&io #"') na indeter&inada " por: P(") # (2a 2 $ a – 3)"3 $ (a2 – 1)"2 $ (a $ 1)" – 3, "a ∈ -). 'oluço Analisan+o os 4aso, *emos. i) Para ue o grau +e P(") seDa 3, o 4oe5i4ien*e +o *ermo " 3 +eer8 ser +i5eren*e +e 6ero
a1 = 1 − 1 ± "1) − ."2)." −3) − 1 ± 1 + 2 − 1 ± * 2 2a + a − 3 = ⇒ a = = = ⇒ ! 3 2." 2) a 2 = − = − 2 2
:ogo, P(") +e grau 3, se a
≠
1e a
= −
3 2
ii) Para ue o grau +e P(") seDa 2, o 4oe5i4ien*e +o *ermo " 2 +eer8 ser +i5eren*e +e 6ero e o 4oe5i4ien*e +e " 3 +eer8 ser nulo. a 2
−
1 ≠ ⇒ "a + 1)."a − 1) ≠ ⇒ a
Como ne4ess8rio ue o 4oe5i4ien*e +e " 3 seDa nulo, se a
= −
≠
1e a
1
≠ −
2 , P(") ser8 +e grau 2 3
iii) Para ue o grau +e P(") seDa 1, o 4oe5i4ien*e +o *ermo " +eer8 ser +i5eren*e +e 6ero e os 4oe5i4ien*e +e " 2 e +e " 3 +eero ser nulos. a + 1 ≠ ⇒ a ≠ −1 :ogo a # 1, anula os *ermos +e 2E e 3E graus, 5i4an+o P(") 4om grau 1 9. "#) Os valores das constantes reais a e para os 0ais
1 '
2
− *' +
a !
=
'−2
b +
'−3
, ' < 2 e ' < 3,
são tais 0e o prodto a.b vale: a) ( 2
) ( 1
c)
d) 1
e) 2
'oluço Como "2 – /" $ ; # (" – 2)(" – 3), igualan+o os +enomina+ores, *emos.
1 ' − *' + !
=
a"' − 3) + b"' − 2)
1
=
a' − 3a + b' − 2b
⇒
' − *' + ! ' − *' + ! "a + b)' − 3a − 2b ' + 1 a + b = ⇒ a = −b ⇒ 2 = 2 ⇒ ⇒ −3"−b) − 2b = 1 ⇒ 3b − 2b = 1 ⇒ b = 1 ' − *' + ! ' − *' + ! − 3a − 2b = 1 2
' − *' + !
⇒
2
2
2
=o;o, a = −b = −a. #r odto "a.b) = "−1)."1) = −1 1. tili>ando o al;orit&o da divisão, e?ete: a) @A"') B ' * ( 2'3 C '2 C 2D E @d"') B 2' 3 C 1D
b) @A"') B 2' 3 ( 3'2 C 1D E @d"') B ' 2 ( ' C 2D
'oluço B*ili6an+o o m*o+o +a CFae, *emos. a) Comple*an+o 4om o 4oe5i4ien*e 6ero os *ermos ine"is*en*es, *emos.
4*0 + *4 – ,*3 + *, + * +, ,*3 + *, + * + – 4*0 – *4 – *3 – ,*, ,*, – – ,*3 – *, + * + , ,*3 + *, + * + – *, + * + 3 %(") # 2"2 – 1 Res*o # – "2 $ 3 ) Comple*an+o 4om o 4oe5i4ien*e 6ero os *ermos ine"is*en*es, *emos.
,*3 – 3*, + * + *, – * + , –,*3 + ,*, – 4* ,* – , – * – 4* + – *, – * + , – 0* + 3 %(") # 2" – 1 Res*o # – /" $ 3 11. (CESGRANRIO) O polin%&io "3 $ p" $ é divisvel por "2 $ 2" $ /. Os valores de p e são respectiva&ente: a) 2 e *
b) * e 2
c) 1 e *
+) 1 e 51
'oluço <5e*uan+o a +iiso e igualan+o o res*o = 6ero, *emos.
*3 + *, + p* +
*, + ,* + 0
e) 3 e !
– *3 – ,*, – 0* *–, , – ,* + 1p – 02* + ,*, + 4* + 1p – 0 + 42* + + R!"%o.
i) p − * + = ⇒ p − 1 = ⇒ p = 1 Res*o # 0 ii) 0 + 1 = ⇒ 0 = −1 12. Aeter&ine o polin%&io #"') 0e satis?a> F i;aldade (3" $ 2)P(") B 3"3 $ "2 - ;" - 2 $ P(") 'oluço Resolen+o, *emos. "3' + 2).#" ') ⇒
=
3'
3
+
'
2
−
#" ')."3' + 2 − 1) = 3' 3
!' − 2 + #" ') ⇒ "3' + 2).#" ') − #" ')
+
'2
−
!' − 2 ⇒ #" ')."3' + 1) = 3' 3
=
+
3'
'2
3
−
+
'
2
−
!' − 2 ⇒
!' − 2 ⇒ #" ') =
3' 3
'2
+
−
!' − 2
3' + 1
<5e*uan+o a +iiso, *emos.
3*3 + *, – /* – , 3* + – 3*3 – *, *, – , – /* – , /* + , R!"%o. O polinômio P(") # " 2 – 2 13. "#) O resto da divisão do polin%&io P(") # "& - 2"3 $ "2 - " $ 1 por " $ 1 é i;al a : a) 3 b) c) 7 d) * e) ! 'oluço B*ili6an+o o *eorema +o res*o, *emos. e sto
=
#" −1)
=
" −1)
−
2." −1) 3
+
" −1) 2
−
" −1) + 1 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = !
1. "-GH) O resto da divisão de & polin%&io #"') por (" – 2)2 é 3" $ H. $ssi&, o resto da divisão de #"') por " – 2 é i;al a: a) 22
b) 19
c) 1!
d) 1*
e) 13
'oluço <"pressan+o P("), *emos. P(") # (" – 2) 2(") $ 3" $ H # (" – 2)?(" – 2)(")@ $ 3" $ H Consi+eran+o >(") # ?(" – 2)(")@, *emos. P(") # (" – 2)>(") $ 3" $ H Pelo *eorema +o res*o, 4al4ulamos P(2) Res*o +a +iiso +e P(") por (" – 2) # P(2) # (2 – 2)>(2) $ 3(2) $ H # 0 $ ; $ H # 13 :ogo, res*o # 13 1*) & polin%&io #"') 0ando dividido por " $ 2 dei'a resto /, 0ando dividido por " - 2 dei'a resto 13 e 0ando dividido por "2 - & dei'a & resto "'). ncontre o valor de "') no ponto " # 1. 'oluço %uan+o +ii+imos P(") por " 2 – & (grau 2), o res*o po+er8 ser 4ons*an*e ou +e grau 1 :ogo, represen*amos o res*o 4omo R(") # a" $ !emos. i) 'e P(") +ei"ou res*o / na +iiso por (" $ 2), en*o P(– 2) # / ii) 'e P(") +ei"ou res*o 13 na +iiso por (" – 2), en*o P(2) # 13 <"pressan+o a +iiso +e P(") por " 2 – &, *emos.
#"') = ('2 − ).0"') + a' + b
#"−2) = ("−2)2 − ).0"−2) + a"−2) + b = −2a + b ⇒ − 2a + b = * − 2a + b = * #"−2) = * ⇒ ⇒ 2b = 14 ⇒ i) #"2) = (22 − ).0"2) + a"2) + b = 2a + b 2a + b = 13 ⇒ 2a + b = 13 #"2) = 13 14 ⇒ b = = 9. =o;o 2a + 9 = 13 ⇒ 2a = ⇒ a = 2 2 i)i "') = 2' + 9 ⇒ " )1 = 2" )1 + 9 = 2 + 9 = 11 R(") no pon*o " # 1 ale R(1) # 11
