FundamentosMatematicos

GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO

MAURICIO HUMBERTO MONTOYA SÁNCHEZ FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES Colombia, 2008

COMITÉ DIRECTIVO Fray Marino Martínez Pérez Rector Hernán Ospina Atehortúa Vicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación José Jaime Díaz Osorio Vicerrector Académico Francisco Javier Acosta Gómez Secretario General

Fundamentos matemáticos Mauricio Humberto Montoya Sánchez Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y contables: María victoria Agudelo Vargas Corrección de estilo: SOMOS PROFESIONALES LTDA. Diseño: Colectivo Docente Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Impresión: Departamento de Publicaciones FUNLAM www.funlam.edu.co TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS Medellín – Colombia 2008

Fundamentos Matemáticos

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CONTENIDO PRIMERA PARTE:

PROTOCOLO ACADÉMICO

PRESENTACIÓN

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1. IDENTIFICACIÓN

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2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

9

2.1. Objetivo general................................................................................................9 2.2. Objetivos específicos.........................................................................................9

3. UNIDADES TEMÁTICAS

10

UNIDAD 1..............................................................................................................10 UNIDAD 2 .............................................................................................................10 UNIDAD 4..............................................................................................................10

4. METODOLOGÍA GENERAL

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5. EVALUACIÓN INTEGRAL

12

5.1. Sistema de evaluación.......................................................................................12 5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización.......................................13

INTRODUCCIÓN

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JUSTIFICACIÓN

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1.TEORÍA DE CONJUNTOS

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1.1. Definición de conjuntos....................................................................................21 Definiciones y conceptos.........................................................................................21 1.2. Clasificación de los conjuntos..........................................................................24

26 ..................................................................................................26 1.3. Propiedades de la inclusión..............................................................................26 1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones...............................................27 Operaciones entre conjuntos...................................................................................27

29 1.5. Conjuntos numéricos........................................................................................39 1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos..................................39 1.5.2. Propiedades de los números reales............................................................40 Fundamentos Matemáticos

3

1.5.3.Ley de signos para los números reales en el producto y la división...........42 1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos...........................................................43 ................................................................................................................................43 Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos..........................................43

2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

48

2.1.Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios).................................49 2.1.1. Operaciones algebraicas básicas...............................................................49 2.1.2. Términos semejantes - operaciones...........................................................52 2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios...............................................53 2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas..............................58 2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios...........................................58 2.2.2. Factorización de polinomios......................................................................59 2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas................................................67 2.3. Potencias y radicales.........................................................................................68 Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales.................................68

3. RELACIONES Y FUNCIONES

74

3.1. Concepto de relación y de función ..................................................................76 3.1.1. Definición de relación y de función...........................................................76 3.1.2. Tipos de funciones.....................................................................................81 3.2. Función lineal y ecuaciones lineales.................................................................81 Función lineal......................................................................................................81

Y = 2x-1 ^ Y = -2x+3

83

Yc=C(x)=mx+b

87

R(x)=P.x

89

3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.....................................102 Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica.............................102

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

109

OBJETIVOS..........................................................................................................109 Desigualdades........................................................................................................110

ESTUDIO DE CASO

117

ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO

119

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN

121

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL

133

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

134

GLOSARIO

135


4

RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES


137

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PRESENTACIÓN Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria Luis Amigó. Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y la tecnología con criterios éticos y de calidad. La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de formación que supere obstáculos representados en grandes distancias geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior. Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo, creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda nuestra sociedad. Fundamentos Matemáticos

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Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el módulo de aprendizaje.

La guía considera las orientaciones sobre el

desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria, proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante.

El

módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo. Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos en este nuevo ciclo de su formación profesional.


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1. IDENTIFICACIÓN CURSO

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

AUTOR

MAURICIO HUMBERTO MONTOYA SÁNCHEZ

INSTITUCIÓN UNIDAD ACADÉMICA

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES

PROGRAMA

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, ALGEBRA,

PALABRAS CLAVE

ECUACIÓN

ÁREA DE CONOCIMIENTO

BÁSICA

CRÉDITOS

3 (TRES)

CIUDAD

MEDELLÍN

FECHA

17 DE MAYO DE 2004

ACTUALIZACIÓN Fundamentos Matemáticos

ENERO DE 2008

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ADICIÓN DE TEMAS APROBADA POR

2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 2.1. Objetivo general Fundamentar al estudiante, en la aprehensión y comprensión de los conceptos básicos de las matemáticas operativas, propiciando un desarrollo de su capacidad analítica, con el fin de plantear, interpretar y resolver, en forma lógica, situaciones propias de su carrera.

2.2. Objetivos específicos  Manejar con propiedad la definición y la clasificación de los conjuntos, realizando operaciones entre ellos.  Considerar un conjunto especial, el conjunto de los números reales (conjuntos numéricos) y todas sus operaciones.  Conocer y manejar la definición de Función.  Resolver con claridad desigualdades lineales, cuadráticas, racionales y desigualdades con valor absoluto.  Aplicar las desigualdades y el valor absoluto a situaciones problema.


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3. UNIDADES TEMÁTICAS UNIDAD 1 Teoría de conjuntos

UNIDAD 2 Factorización, potenciación y radicación

UNIDAD 3 Relaciones y funciones

UNIDAD 4 Desigualdades y valor absoluto


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4. METODOLOGÍA GENERAL Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros. En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos que han presentado alguna dificultad en los estudiantes;

para ello se

utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicación de éstos al área administrativa. Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo independiente. El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos en el curso.


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5. EVALUACIÓN INTEGRAL 5.1. Sistema de evaluación La evaluación será un proceso permanente, pedagógico e integral, con participación activa de los estudiantes y que deberá cumplir con las políticas institucionales de evaluación, hasta consolidar una valoración definitiva. La evaluación será cualitativa y soportada en el artículo 80 del reglamento estudiantil, y deberá proporcionar la información necesaria y suficiente para que el estudiante adquiera capacidad crítica, asuma las competencias y sea idóneo en la toma de decisiones. La evaluación tendrá como elemento esencial el portafolio personal de desempeño, para el desarrollo integral del estudiante y el logro de la excelencia académica. La evaluación constará de pruebas escritas e individuales, talleres individuales o intergrupales y pruebas orales participativas, sustentadas durante los encuentros y, en lo posible, que apunten hacia las competencias. Se evalúa también el acompañamiento individual. Al finalizar el período académico, se hace la homologación de evaluación cualitativa a cuantitativa, tal y como lo contempla el artículo 80 del Reglamento Estudiantil de la Institución.


12

5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización Las actividades de reconocimiento y profundización se desarrollarán en cada unidad temática y en cada capítulo.


13


14

INTRODUCCIÓN El módulo que aquí se presenta tiene, como propósito general, la provisión de métodos, técnicas, herramientas de trabajo matemático y estudio independiente que requieren los estudiantes del programa de Administración de Empresas y que les permita, de forma efectiva el aprendizaje en todos los contextos de su carrera. Igualmente, afianzar el uso de métodos, técnicas y herramientas adecuadas para el trabajo académico y la producción de un aprendizaje con excelencia. Se

omiten

todas

las

demostraciones

de

fórmulas

y

definiciones,

asumiéndolas como correctas y aplicándolas a la solución de situaciones problema, de tipo empresarial o económico. Cada capítulo presenta varios ejemplos y deja otros para trabajo del estudiante, con vigilancia del asesor del curso. No se abordan pormenores matemáticos, pues, para el estudiante de este programa, la principal motivación es el uso de estas técnicas en la aplicación a situaciones problema en la carrera. El módulo de Desarrollo del pensamiento lógico se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan, Uribe Calad Julio Alberto y Haeussler y Paul.


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Para el logro de dicho propósito, el módulo consta de cuatro unidades didácticas: la primera tiene como objetivo ubicar al estudiante en el plano de los conjuntos en general y de uno muy específico: “los conjuntos numéricos”, con sus definiciones simbólicas y sus representaciones en diagramas, a la vez que se enfatiza en algunas aplicaciones relacionadas con la Administración y la Economía. La segunda unidad aborda los temas más importantes del álgebra, tales como las expresiones algebraicas (polinomios), con todas sus operaciones; además de temas como la factorización, las potencias y los radicales, algunas de sus propiedades y una buena gama de ejercicios prácticos de cada tema. La tercera unidad conduce a situaciones de mayor interés y aplicabilidad para la carrera de Administración de Empresas, entre ellas las funciones y, en especial, la función lineal, su ecuación gráfica y su interpretación estrictamente necesaria para los cursos posteriores. De la función lineal se acompañan las ecuaciones lineales, indispensables y necesarias en los demás cursos del programa y, no menos importantes, las funciones y ecuaciones cuadráticas, y las funciones exponenciales y logarítmicas, con sus respectivos gráficos. En la cuarta y última unidad, se aborda un tema muy importante: el de desigualdades y valor absoluto, de gran utilidad en el cálculo, la estadística, el álgebra lineal y la programación lineal.

Se espera que la lectura y el desarrollo de las actividades que acá se proponen le proporcionen al estudiante una buena información y lo motiven en la búsqueda de una mejor formación académica. Fundamentos Matemáticos

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Las críticas y sugerencias que de él se deriven, permitirán mejorar el módulo y hacerlo más productivo.


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JUSTIFICACIÓN En el plano de los continuos desafíos que plantean los desarrollos económicos, administrativos y sociales, no puede escaparse el uso de una herramienta que permita interpretar dichos desarrollos; es allí donde el desarrollo del pensamiento lógico cumple su papel. Este módulo ha escogido aquellas partes de las matemáticas básicas que son de interés para estudiantes que se especializan en Administración y Economía. El módulo se justifica porque lo expuesto en él dotará al estudiante de los elementos necesarios para abordar todos los cursos tanto del área básica como de la profesional, que deben desarrollarse durante su ciclo universitario. Las orientaciones en general, sobre aspectos pedagógicos y didácticos clarifican operativamente los procesos de desarrollo del programa. Todas las aplicaciones aquí presentadas y expuestas se integran por completo al módulo, encaminándolas al análisis de tipo empresarial. Siguiendo los lineamientos de los cursos de Matemáticas, programados por la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables de la FUNLAM, dictados con éxito durante muchos semestres, se ha realizado este módulo para así disponer de material propio que sea útil para muchos cursos del Programa, y que permita un mismo lenguaje entre los docentes que los sirven. El módulo pretende refrescar muchos conceptos que el estudiante ya cursó en su vida preuniversitaria y, ahora, adiciona muchos temas nuevos que se van a manejar a través de la secuencia de cursos que debe completar el estudiante universitario.


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1. TEORÍA DE CONJUNTOS Fundamentos Matemáticos

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OBJETIVOS OBJETIVOS

1. Manejar con propiedad la definición de conjuntos y su clasificación. 2.

Realizar

las

operaciones

básicas

de

conjuntos y aplicarlas a la solución de problemas propios de la administración. 3. Identificar cada uno de los conjuntos numéricos y su dominio. 4. Realizar las operaciones básicas (suma, resta,

multiplicación

y

división)

que

permita cada conjunto numérico.


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1.1. Definición de conjuntos Definiciones y conceptos A diario se trabaja con colecciones de distintos tipos de objetos; por ejemplo, al realizar una encuesta sobre empresas textiles, se puede considerar la colección de empresas textiles existentes en el departamento de Antioquia para el año 2004. También podría consultarse acerca de las universidades que, en Colombia, ofrecen el programa de Administración de Empresas. Podría tenerse, también, una colección de entidades bancarias que prestan dinero para vivienda de interés social. Dichas colecciones son ejemplos de conjuntos. En forma más específica, podría definirse un Conjunto como una colección bien definida de objetos llamados elementos. Así, al definir el conjunto, se puede nombrar un objeto, y debe ser posible determinar si éste pertenece o no a la colección. Los conjuntos se denotan mediante letras mayúsculas A, B, C..., y se pueden representar gráficamente por medio de una curva cerrada llamada diagrama, así:

a, i, e, o,


u,

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Elemento Es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. Se representan con letras minúsculas, números o símbolos que se pueden identificar. Los elementos se encierran entre llaves, { }, y se separan por comas. Ejemplo: El conjunto A, que tiene como elementos las vocales, se representa: A = {a, e, i, o, u}

ó

A a e o

i u

Otro tipo de notación para los conjuntos es la notación constructiva. Es una regla que describe la propiedad (o propiedades) distintiva que debe cumplir un objeto x para que pueda pertenecer al conjunto. Con esta notación, el conjunto A se escribe como: A = {x / x es una letra de las vocales} Que se lee: “A es el conjunto de todos los elementos x tales que x es una letra de las vocales”.


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Relación de pertenencia Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los signos Є y no ∉ respectivamente. Si u es un elemento de un conjunto A, se escribe u Є A, que se lee “u pertenece a A”, o “u es un elemento de A”. Ahora, si el elemento u no pertenece al conjunto A, se escribe u Є A, y se lee “u no pertenece al conjunto A”; por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 6, 7} entonces, 5 ∉ A pero 3 Є A. Determinación de los conjuntos Los conjuntos se pueden describir o determinar así: 1. Por comprensión: cuando se enuncia una característica del conjunto. Ejemplo: Sea B = {x / x es un divisor positivo de 12} 2. Por extensión: cuando se escriben todos los elementos del conjunto. Para el ejemplo del numeral 1, sería: B = {1, 2, 3, 4, 6,12} Otro ejemplo así: Sea C = {x / x <6, x Є N} comprensión N = número natural Fundamentos Matemáticos

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Ahora, C = {1, 2, 3, 4, 5} extensión

1.2. Clasificación de los conjuntos 1.2.1. Conjunto vacío Es un conjunto que no posee elementos y se denota con el símbolo Ø o con {} Ejemplo: Sea M = {x / x + 3= 0, x Є N} es un conjunto vacío, ya que la ecuación x + 3 = 0 no tiene solución en los números naturales. 1.2.2. Conjunto finito Es un conjunto en el que se puede determinar con exactitud el número de elementos; se conocen el primero y el último y, además, pueden contarse. Ejemplo: Sea P = {x / -2 < x <2; x є Z} P = {-2, -1, 0, 1}

1.2.3. Conjunto infinito Es un conjunto del que no se sabe el número de elementos, o sea, no pueden contarse sus elementos. Ejemplo: Fundamentos Matemáticos

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Sea D = {x / x Є N}

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

1.2.4. Conjunto universal o referencia Es un conjunto que puede ser finito o infinito, y se utiliza para realizar operaciones con conjuntos que tienen menos elementos que él, y los elementos de esos conjuntos pertenecen al Universal. Ejemplo: F = {x / x es una letra del abecedario} Universal 1.2.5. Subconjunto Sean A y B dos conjuntos diferentes; decimos que A es subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento de B, y se denota por A C B. En otras palabras: A C B equivale a: si x Є A entonces x Є B. Ejemplo: Consideremos los conjuntos B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y A ={2, 3, 6}; como se puede observar, todos los elementos de A están en B. Decimos que “A está incluido en B” o que “A es subconjunto de B”; es decir, A C B. Una representación visual de los conjuntos, que se obtiene mediante los diagramas de Venn, es de gran utilidad para comprender los conceptos ya expuestos, así como para resolver problemas que competen a los conjuntos. El conjunto universal U se representa mediante un rectángulo, y los subconjuntos de U, a través de círculos dentro de dicho rectángulo. Fundamentos Matemáticos

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Utilizar diagramas de Venn para representar las siguientes afirmaciones: a) El conjunto A es subconjunto del conjunto B. Ver figura 1 b) El conjunto A no es subconjunto del conjunto B. Ver figura 2 U

U B

A

ACB Figura 1

B

A

A¢B Figura 2

1.3. Propiedades de la inclusión P – 1

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto; si C es un

conjunto cualquiera, entonces, Ø C C P – 2

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, sea B un conjunto

cualquiera, entonces, B C B P – 3

Si A es un subconjunto de B y a su vez B es subconjunto de C,

entonces, A es subconjunto de C; así: si A C B Λ B C C, entonces, A C C.


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1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones Operaciones entre conjuntos Una vez presentado el concepto de conjunto, se verán ahora las operaciones que entre ellos se pueden realizar, observando las formas en que pueden combinarse los conjuntos para producir otros. Se supone que todos los conjuntos son subconjuntos de un conjunto U dado. Unión de conjuntos (U). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U. La unión de A y B, que se escribe A U B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos. Para denominar los elementos de A U B, se utiliza la disyunción inclusiva (v). A U B ={x / x Є A v x Є B} ó {x Є A U B o x Є A v x Є B} La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A U B.

U

A

B

AUB Propiedades de la unión


27

P–1

Conmutativa: A U B = B U A

P–2

Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

P–3

Identidad: A U Ø = A, A U U = U

P–4

Idempotencia: A U A = A

Ejemplo 1: Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7} El nuevo conjunto es A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ejemplo 2: Sea A = {a, e, i} Λ B = {c, d, f}, entonces, A U B = {a, c, d, e, f, i}

Intersección de conjuntos (∩). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U. La intersección de A y B es un nuevo conjunto formado por aquellos elementos que estén simultáneamente en A y en B, lo cual se escribe A ∩ B, y que toma los elementos que estén en A y que estén en B. Para denominar los elementos de A ∩ B, se utiliza la conjunción (Λ). A ∩ B = {x / x Є A Λ x Є B} La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A ∩ B. Fundamentos Matemáticos

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U A

B

A∩B Propiedades de la intersección P–1

Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A

P–2

Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

P–3

Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

P–4

Identidad: A ∩ Ø = Ø; A ∩ U = A

P–5

Idempotencia: A ∩ A = A

Ejemplo 1: Sea A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, entonces, A ∩ B = Ø Ejemplo 2: Sea

A = {x/ -1 < x < 5, x Є Z} B = {x/ -0 < x < 6, x es número par} A ∩ B = {0, 2, 4}

Ejemplo 3: Fundamentos Matemáticos

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Sea A = { a, b, c, d, e}

y

B = { a, e, i, o, u}

A ∩ B = {a, e} Diferencia de conjuntos (-). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U. La diferencia entre A y B, que se escribe A – B, es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenezcan a A, pero que no pertenezcan a B. A – B = {x / x Є A Λ x Є B} La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A – B

U B

A

A–B Propiedades de la diferencia P – 1: A – B ≠ B - A P – 2: A – B = A ∩ B’ P – 3: U – A = A’ P – 4: A – A = Ø


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Ejemplo 1: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7} Hallar: A – B Λ B – A A – B = {1, 2, 3}

Λ

B – A = {6, 7}

Ejemplo 2: Sea

A = {x / x es número primo par, mayor que cero} B = {x / 0 < x < 5}

A–B=Ø

Λ

B – A = {0, 1, 3, 4}

Complemento de un conjunto con respecto de un conjunto universal Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, entonces el conjunto de todos los elementos en U, que no están en A, o los elementos que le faltan a A, para ser igual al universal, son el complemento de A y se denota A’. A’ = {x / x Є U Λ x Є A} La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A’


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U A’ A A’

Ejemplo 1: Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {2, 4, 6, 8, 10} A’ = {1, 3, 5, 7, 9} Ejemplo 2: Sea U = {x / x es divisor de 18}

Λ

A = {x / x es divisor par de 18}

A’ = {1, 3, 9} Número de elementos en un conjunto finito Conteo de los elementos de un conjunto La solución a algunos problemas en Matemáticas requiere determinar el número de elementos de un conjunto. El número de elementos de un conjunto se obtiene contando dichos elementos y se denota por n(A); por ejemplo, si: A = {1, 2, 3,.., 10}, B = {h, i}, Fundamentos Matemáticos

C = {3} 32

Entonces:

n(A) = 10,

n(B) = 2

y

n(C) = 1

n (Ø) = 0 n (A U B) = n (A) + n (B) En general: n (A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) Ejemplo 1: En un estudio de consumidores realizado en un centro comercial, 80 consumidores indicaron que compran la marca A de cierto producto; 68 compran la marca B; y 42 adquieren ambas. Determine la cantidad de consumidores participantes en el estudio. Quienes compran: a. Al menos una de estas marcas b. Exactamente una de estas marcas c. Sólo la marca A d. Ninguna de estas marcas Solución: Datos: a. 120 consumidores b. 80 compran la marca A c. 68 compran la marca B Luego, se construye un diagrama de Venn que permite, a través de su arreglo, organizar los datos y poder concluir acerca de los interrogantes. El conjunto de los que sólo compran la marca A está dado por: 80 – 42 = 38; los que sólo compran la marca B está dado por: 68 – 42 = 26.


33

U B

A 38

42

26

a. Con base en la figura, aquellos que compran al menos una de las marcas, corresponde a la unión de A y B, o sea: 38 + 42 + 26 = 106 consumidores. b.

De la figura, los que compran exactamente una de las marcas, corresponde a la unión de los dos conjuntos, menos la intersección de los dos conjuntos, es decir, 38 + 26 = 64 consumidores.

c.

Para aquellos que sólo compran la marca A, se toma todo el conjunto A y se resta la intersección de los dos conjuntos, así: 80 – 42 = 38 consumidores.

d.

Los que no compran ninguna de las dos marcas son aquellos que pertenecen al Universal y no pertenecen a A ó a B, es decir, 14 consumidores.

Ejemplo 2: En un estudio de 100 locales comerciales se halló que 50 de ellos venden a crédito, 80 venden de contado y 60 lo hacen de contado y a crédito. ¿Cuántos locales venden a crédito o de contado? Fundamentos Matemáticos

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Sea U el conjunto de los 100 locales estudiados y sean: A = { x Є U / x vende a crédito} B = { x Є U / x vende de contado} Entonces, n (A)= 50, n (B)= 80 y n (A ∩ B)= 60 El conjunto de locales que vende a crédito o de contado está dado por A U B. Con la ecuación se halla la solución así: n (A U B)

= n (A) + n (B) – n (A ∩ B) =

50 + 80 - 60

=

70

De tal forma que 70 de los 100 locales venden a crédito o de contado. Ahora, una relación del número de elementos de tres conjuntos A, B y C está dada por: n(AUBUC) = n(A)+n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C) En la práctica, es más fácil enfrentar un problema directamente con la ayuda de diagramas de Venn, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplo 3: Un fabricante de cosméticos anuncia sus productos en tres revistas, así: Cosmopolitan, Vanidades y Avon. Un estudio realizado por el fabricante a 500 clientes revela la siguiente información: a. 180 se enteran de los productos por Cosmopolitan b. 200 se enteran de los productos por Vanidades Fundamentos Matemáticos

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c. 192 se enteran de los productos por Avon d. 84 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Vanidades e. 52 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Avon f. 64 se enteran de los productos por Vanidades y Avon g. 38 se enteraron de los productos por las tres revistas ¿Cuántos clientes vieron la publicidad del fabricante en: a. Al menos una revista b. Exactamente una revista Para la solución se apoya en un diagrama de Venn

U C

V 46

82

90

38

26

14 11 4

A

n (A ∩ V) = 64 – 38 = 26 personas que se informan a través de Vanidades y Avon. n (A ∩ C) = 52 – 38 = 14 personas que se informaron a través de Avon y Cosmopolitan. Fundamentos Matemáticos

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n (C ∩ V) = 84 – 38 = 46 personas que se informaron a través de Cosmpolitan y Vanidades. n (A) = 192 – 14 – 38 – 26= 114 personas que se informaron a través de Avon, solamente. Así mismo: n (V) = 200 – 46 – 38 –26 = 90 personas mediante Vanidades n (C) = 180 –14 – 38 – 46 = 82 sólo por Cosmopolitan 500 – (90 + 26 + 114 + 14 + 82 + 46 + 38) = 90 supieron por otros medios. Ejemplo 4: La siguiente encuesta muestra la preferencia que por algunas asignaturas tiene un grupo de estudiantes del primer semestre del programa de Administración de Empresas de la FUNLAM: A 36 les gusta Matemáticas A 32 les gusta Administración A 31 les gusta Economía A 16 les gusta Administración y Economía A 15 les gustan Matemáticas y Administración A 14 les gustan Matemáticas y Economía Y 6 tienen preferencia por las tres asignaturas. Encontrar: a. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? b. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente Matemáticas? c. ¿Cuántos no prefieren Economía? Fundamentos Matemáticos

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d. ¿Cuántos

prefieren

Matemáticas

y

Economía

pero

no

Administración? Solución: Se construye el diagrama de Venn que permite una mejor interpretación del problema. De su lectura se puede dar respuesta a los interrogantes.

U M

A

9

13

6 8

7 10

7 E

Respuesta a. 60 b. 13 c. 29 d. 8


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1.5. Conjuntos numéricos 1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos Números naturales (N) N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Son los números que están en el intervalo de 1 a infinito. Cualquier número natural se podrá sumar o multiplicar, pero no todos admiten la diferencia y la división. Z = Número enteros Z = {--∞,..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Corresponden a los números naturales positivos y sus opuestos, unidos al cero. Pueden ejecutarse bajo cualquier operación, exceptuando la división. Q = Números racionales Son aquellos que tienen la forma: a b Q = {-∞,..., -7, -1, 2, 9} 4

3

Admiten cualquiera de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) entre ellos.


39

Q`= Números irracionales Corresponden a raíces inexactas, el número Πy el número e. Q' = {-∞, ……

− 2,1

, 1, Π,… + ∞}

Se puede operar en cualquiera de los casos.

R = Números reales Es el conjunto que reúne a todos los conjuntos anteriores; por ello, se pueden operar con suma, resta, multiplicación y división. R = {-∞,..., -3, 0, ½, 20,….+∞} 1.5.2. Propiedades de los números reales Las

propiedades

fundamentales,

llamadas

postulados

admitidos

sin

demostración, constituyen la teoría básica para los conjuntos numéricos, así: Para la suma P - 1 Si a y b son números reales entonces a + b es un número real, Propiedad Clausurativa. P - 2 a + b = b + a para toda pareja de números reales. Propiedad Conmutativa.


40

P - 3 a + (b + c) = (a + b) + c para cualquier terna de números reales. Propiedad asociativa. P - 4 a + 0 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa. P - 5 a + (-a) = 0 para todo número real a.

Propiedad inverso

aditivo.

Para el producto P - 1 Si a y b son números reales, entonces, a.b es un número Real. Propiedad clausurativa. P - 2 ab = ba para toda pareja de números reales a, b, Propiedad conmutativa. P - 3 a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c para toda terna de números reales a, b, c Propiedad asociativa. P - 4 a.1 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa. P - 5 a.a-1 = Si es diferente de cero.

Propiedad inverso

multiplicativo. Para producto y suma a (a + c) = ab + ac para toda terna de números Reales a, b, c. Propiedad distributiva.


41

Ejemplos: 1. 5 + 7= 7 + 5

2. 8. (-4) = (-4).8

12 = 12

-32 = -32 3. 10 + (8 + 9) = (10 + 8) + 9 10 + 17 = 18 + 9 27= 27

4. 9 + (-9) = 0

5. 15.1 = 15

6. 7 + 0 = 7

7. 14 x 8 = 8 x 14 112 = 112

1.5.3. Ley de signos para los números reales en el producto y la división (+) (+) = +

+ =+ +

(+) (-) = -

+/- = -

(-) (+) = -

-/+ = -

(-) (-) = +

-/- = +

Un conjunto numérico se asocia a una línea recta así:

-∞

-2


-1

0

1

2

∞ 42

1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos Operaciones de enteros a. -25 + 8 - 23 = -40 b. 28 - 40 = -12 c. -15 x (-3) = + 45 d. -32 = 8 -4 e. -25 = -5 5 Operaciones con racionales Fracciones homogéneas a. 5 + 9 - 3 = 5 + 9 - 3 = 11 4

7 7

7

7

b. 20 - 32 = 20 - 32 = -12 = -4 15 15

15


15

5

43

c. 1 + 5 - 15 + 17 + 1 =1+5-15+17+8=1+5-15+17+8=16=2 8

8

8

8

88 8

8 8

8

8

Fracciones heterogéneas Para resolverlas es necesario hallar un común denominador que se obtiene a través del M. C. M. a. 5 + 23 = 5 + 46 = 51 8

4

8

8

b. 7 + 9 – 5 + 1 = 5 12 4

3

84 + 45 – 75 + 20 = 74 = 37 60

60

30

5

12

4

3 2

5

6

2

3 2

5

3 1

3 3

5

1 1

1 5

1 M.C M = 2x2x3x5 = 60

c. 9 + 3 – 70 + 3 = 900 + 30 – 70 + 3.000 = 3.860 = 193 10 100

1.000

1.000

1.000

50

d. 5 x 9 = 45 4

7

28

e. (- 3 ) x (- 2 ) x ( - 1 ) = - 6 = - 3 5

7

4


140

70

44

f. 9 ÷ 8 = 9 x 4 = 36 = 3 3

4

8x3

24

2

g. 5 ÷ 1 ÷ 3 = 5 . 7 ÷ 4 = 140 = 36 8

7

4

8

1

3

24

5

Operaciones con irracionales a. 0.35 + 0.7 – 0.4 = 0.65 b. (0.28) (0.36) (-0.3) = 0.03024 c. 1.368 ÷ 2.45 = 5.58 d. 3√ 5 + 7√5 - 4√5 = 6 √5 e. 5 . 8 x 9 . 3 + √3 – 5 = 53.94 + 1.73 – 5 = 50.67 Solución de un polinomio numérico a. Halle la solución de un polinomio: 125 – {2 – 4 (8 + 7 – 4) – 3 (5 + 9 – 10) – (15 ÷ 3) + 10}= 125 – {2 – 4 x 11 – 3 x 4 –5 + 10}= 125 – {2 – 44 – 12 – 5 + 10}= 125 – 2 + 44 + 12 + 5 – 10 = 174

b. 3 . { 1 – [3 – 1 (1 x 3) – 2 (1 ÷ 3)] – (3 + 1)] Fundamentos Matemáticos

45

4

2

2

4 5

2

4

5

5 –

3

=

8

4

4

4

3 {1 – [3 – 3 - 2. (5) ] – 4} = 4 2

2

40

12

4

3 {1 – [3 – 3 - 10] – 1} = 4 2

2 40 12

3 {1 – 3 + 3 + 5 –1} = 4 2

2

40

6

3 - 9 + 9 + 15 8

8

- 6 8 9 160

60

24

9 +

5

160 1 8

-

-

3

8 -

3 4


=

4 =

9 – 20 – 120 160

= 131 160

46


47

2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

OBJETIVOS OBJETIVOS 1. Conocer con claridad el concepto de expresión algebraica (polinomios) y las operaciones entre ellos. 2. Factorizar totalmente cualquier polinomio. 3. Identificar el concepto de potencia, sus propiedades y operaciones. 4. Distinguir los radicales, sus propiedades y la forma de extraer cualquier raíz y su aporte en el álgebra.


48

2.1. Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios)

2.1.1. Operaciones algebraicas básicas Para el desarrollo de este tema se requiere de algunos conceptos básicos así:

Expresión algebraica Está formada por la combinación de números, letras (llamadas variables) y símbolos de operación. Ejemplos:

3 x2 – 5 xy + √2 y2

5 mnp + (3 m n )2 p–3

Éstas son expresiones algebraicas. Términos La parte de la expresión algebraica separada con un más (+) o un menos (-) se llama término. Dependiendo del número de términos se habla de Fundamentos Matemáticos

49

monomio, binomio, trinomio, según tenga uno, dos o tres términos y, más general, polinomio. Ejemplo: 3x2 + 5 x – 3

Trinomio

5a + (7b)2

Binomio

4 x3 – 5 x2 + 7x – 10

Polinomio

Factor Son términos formados por números y variables multiplicados entre sí:

2x,

9xyz Coeficiente Cuando uno de los factores de un término es un número, se denomina coeficiente. Ejemplo: Para los términos 5 x2y3, 9 √xy; los coeficientes son; 5 y 9 Términos semejantes Los términos que sólo difieren en sus coeficientes numéricos se denominan términos semejantes. Fundamentos Matemáticos

50

Ejemplos: a) 3 x2yz; 1 x2yz 4 b) 4 m2n2p; √5 m2n2p c) 3 (x + y); 17 (x + y) d) –8 (a + b)2; 7 (a + b)2 5 Son términos semejantes. Potencias Recordar que xn, con n Є N, indica un producto donde “x” aparece como factor “n” veces. A “x” se le llama base y “n” exponente de la potencia. Por lo tanto:

x1 = x x2 = x.x x3 = x.x.x xn = x.x.x.x.x….x “n” veces. Además, recordar las siguientes propiedades de la potencia: P – 1 xm . xn = xm+n P – 2 xm = xm-n

xn P – 3 (Xm)n = Xm.n Fundamentos Matemáticos

51

P – 4 (x . y)m = xm . ym Ejemplos: -

a3. a2 = a5

-

m6 = m4 m2

-

(m3)2 = m6

-

(a.b.c)3 = a3 b 3c 3

Valor numérico de una expresión En algún momento es necesario sustituir, en una expresión algebraica, un número por una letra para obtener un resultado numérico. Se escribe la expresión y se remplaza la letra por el número. Ejemplo: Si x = 2 y la expresión es 6x2 – 9x = 6 (2)2 -9 (2) = 6. (4) – 18 = 24 – 18 =6 2.1.2. Términos semejantes - operaciones Los términos semejantes se pueden sumar o restar, porque poseen las mismas variables elevadas al mismo exponente.


52

Ejemplos: a. 2x + x + x = 4x b. 4x2 + 5x2 – 3x2 = 6x2 c. 5a2b + 9a2b – 4a2b = 10a2b Sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes. 2/5 ma + 1/5 + 2ma = 3ma + 10ma 13ma = 5 5

3/5 ma + 2ma/1 =

2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios Se hallarán polinomios con una sola variable. Ejemplo: P(x) = x3 – 7x – 14x +8 Y polinomios con distintas variables. Ejemplo:

P(x, y) = 4x3y2 + 5xy3 – 3x2y2+9 5 Suma y resta de polinomios Los polinomios cumplen las mismas propiedades de los números reales. Para sumar dos polinomios o más se deben sumar términos semejantes entre sí hasta reducir a un solo polinomio, ordenado de mayor a menor. Fundamentos Matemáticos

53

Para restar, se cambian los signos del sustraendo y se procede, luego, igual que en la suma. Ejemplo 1: Efectúe la suma de los siguientes polinomios

( 4x ( 4x ( 4x

2 2

2

) ( ) ( ) − 5x + 7) + (3x + 6x − 3) + ( 2x − x + 4) = + 3x + 2 x ) + ( − 5x + 6 x − x ) + ( 27 − 3 + 4) =

− 5 x + 7 ; 3 x 2 + 6 x − 3 ; 2x 2 − x + 4 , entonces queda: 2

2

2

2

9x 2 + 8

Ejemplo 2: Efectúe la resta de los polinomios: 4 x 3 + 5x 2 + 3 con x 3 + 5 x 2 + 7 queda:

( 4x

3

) (

)

+ 5x 2 + 3 − x 3 + 5x 2 + 7 =

4 x 3 + 5x 2 + 3 - x 3 − 5 x 2 − 7 = 3x 3 − 4

Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica repetidamente la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del Fundamentos Matemáticos

54

segundo y, luego, se suma o resta. Además, se debe tener en cuenta el producto de potencias de igual base.

Ejemplo: Realizar el producto de: a.

( 4x + 9) + ( 3x 2

)

− 7x + 5 =

12 x 3 − 28 x 2 + 20 x + 27 x 2 − 63x + 45 = 12 x 3 − x 2 − 43x + 45

b. 4 x ( 3x 2 − 8 x + 9 ) = 12 x 3 − 32 x 2 + 36 x

Efectúe la siguiente operación y simplifique:

( 3x + 1) ( 2x 2 − x + 2) − ( 6x 3 − x 2 + 2) = 6 x 3 − 3x 2 + 6 x + 2 x 2 − 2 x 2 − x + 2 − 6 x 3 + x 2 − 2 = 5 x

Cociente de polinomios o división de polinomios División de monomios Se dividen los coeficientes aplicando la ley de signos para la división y, a la parte literal, se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base, antes expuesta. Ejemplos: Fundamentos Matemáticos

55

Dividir a.

x5 = X3 2 x

− 24 x 4 y 3 z 4 = − 8 X 2Y 2 Z 2 b. 2 2 3 X YZ División de un polinomio por un monomio Se divide cada término del polinomio por el monomio. Ejemplos: Dividir 9a 3 − 24a 9a 3 24a = − = 3a 2 − 8 3a 3a 3a

18x 5 − 9 x 3 + 24 x 4 18x 5 9x 3 24 x 4 = − + − 3x 2 − 3x 2 − 3x 2 − 3x 2 = −6 x 3 + 3x − 8 x 2

División de un polinomio por otro polinomio Pasos a seguir:  Se ordenan los polinomios de manera decreciente.


56

 Se divide el primer término del dividendo por el primer término del

divisor, para obtener el primer término del cociente.  Se multiplica este primer término del cociente por cada uno de los

términos del divisor y el resultado se resta del dividendo; así se obtiene un dividendo parcial.  Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme se indicó en

los dos pasos anteriores, hasta obtener un residuo de menor exponente que el divisor.  Si el residuo es cero la división es EXACTA.

Ejemplo: Efectúe las siguientes divisiones: a.

(m

2

) (

)

− 1 − 4m + m 6 − 4m 4 + m 5 ÷ m 2 − 4m + m 3 − 1

m 6 + m 5 − 4m 4 + 0m 3 + m 2 − 4m − 1

m 3 − m 2 + 4m − 1 m3 + 1

− m6 − m5 + 4m4 + m3 m3 + m2 − 4m − 1 − m 3 − m 2 + 4m + 1 0

b. ( 3x 5 + 11x 4 − 15x 2 + 7 x + 9) ÷ ( x 2 + 2 x + 1)


57

3x 5 + 11x 4 + 0 x 3 − 15 x 2 + 7 x + 9

x 2 + 2x + 1 cociente 3x 3 + 5 x 2 − 13 x + 6

− 3x5 − 6x 4 − 3x3

+ 5 x 4 − 3 x 3 − 15 x 2 − 5 x 4 − 10 x 3 − 5 x 2

− 13 x 3 − 20 x 2 + 7 x + 13x 3 + 26 x 2 + 13x 6 x 2 + 20 x + 9 − 6 x 2 − 12 x − 6

− 8x + 3residuo

2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas 2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios Antes de abordar la factorización de polinomios consideremos los siguientes productos notables así: (a+b)2 = a2 +2ab+b2

binomio al cuadrado

(a-b)2 = a2 -2ab+b2 Ejemplos: Efectuar: a. (x+3)2 = x2 +6x+32 = x2+6x+9 (2a-3b)2 = (2a)2 – 2(2a)(3b)+(3b)2 Fundamentos Matemáticos

58

= 4a2 -12ab +9b2 b. (a+b) (a-b) = a2-b2 suma por diferencia Ejemplo: (x+7) (x-7) = x2 -72

= x2 – 49

2.2.2. Factorización de polinomios Al proceso de expresar un polinomio como un producto de otros polinomios se le da el nombre de factorización. Cuando un polinomio no puede factorizarse en un determinado conjunto numérico se dice que es primo en dicho conjunto numérico. Consideremos varios casos de factorización: Factor común El factor común de un polinomio es el máximo común divisor (M.C.D.) de los términos del polinomio. Para obtener el otro factor se divide el polinomio dado por el factor común. Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: a. 8b2m2 + 32b2m + 6bm2 = 2bm (4bm+16b + 3m) Fundamentos Matemáticos

59

b. 26a4 -39a3x +13a3 = 13a (2a-3x+1) c. 5y (3x+7) – 2m(3x+7) = (3x+7) (5y -2m)

Factor común por agrupación de términos Se aplica cuando no hay un factor común monomio y el número de términos sea cuatro o mayor que cuatro y se agrupan en parejas o tríos que tengan una característica común. Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: a. max +mby + mbx +may = (max +mbx) + (may + mby) = mx (a+b) + my (a+b) = (a+b) (mx+my) = (a+b) (mx+my) b. 36am -45an + 4m -5n = (36am +4m) – (45an + 5n) = 4m (9a + 1) – 5n (9a + 1) = (9a + 1) (4m – 5n) Trinomio cuadrado perfecto


60

Se reconoce porque tiene tres términos, donde el primero y el último son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, y el término de la mitad es el doble producto de las dos raíces. Ejemplo: Factorice los siguientes polinomios: a. x2 + 18x + 81 = (x+9)2

x

9 2 (x) (9)

b. 9x2 - 48xy + 64y2 = (3x-8y)2

3x

8y 2 (3x) (8y)

c. a2b2 - 20ab + 100 = (ab – 10)2

ab

10

2 (ab) (10) – 10 Diferencia de cuadrados


61

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas.

a2 – b2 = (a+b) (a-b) Ejemplo: Factorice los siguientes polinomios a. x2 – 81 = (x +9) (x-9) b. 16A2 – 25B2 = (4A + 5B) (4A- 5B)

c.

y 2  3x yb  3x yb  9X 2   − = + − a2 b 2  a  a 

d. x4 – 81 = (x2 +9) (x2 – 9)

= (x2 + 9) (x + 3) ( x-3) e. (2x – 5)2 – (3x – 5)2 = [(2x – 5) + (3x -5)] [(2x – 5) + (3x -5)] = [2x – 5 + 3x -5] [2x – 5 - 3x -5] = [5x – 10] [- x]

Trinomio de la forma x2 + bx +c Un trinomio de esta forma se resuelve con dos paréntesis, donde se coloca en ambos la raíz del término cuadrático, y hallando dos números, que multiplicados, den el valor de c y su suma o diferencia dé el valor de b. Fundamentos Matemáticos

62

Ejemplo: Factorice los siguientes polinomios: a. x2 – 5x - 66 = (x - 11) (x + 6) b. x2 - 29x + 204 = (x – 17) (x – 12) c. x2y2 – 3xyz – 10z2 = (xy – 5z) (xy + 27) d. a4 + 30ª + 81b2 = (a + 27b) (a + 3b) e. (x –1)2 + 3(x – 1) – 108 = [(x – 1) + 12] [(x – 1) - 9]

Trinomio de la forma ax2 + bx + c Se diferencia del caso anterior en el coeficiente del término cuadrático, o sea, el valor de “a” que es diferente de 1. Para su solución, se utiliza el método de tanteo, que consiste en descomponer el primer término y el último en dos factores, de tal forma que al hacer el producto en cruz y luego sumar o restar dé el término de la mitad; luego, se escribe la factorización con dos paréntesis.


63

Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: a. 5x2 – 17x + 6 = (5x – 2) (x – 3) 5x

-2 -15x – 2x = -17x

x

-3

b. 10x2 + 79x - 8 = (10x – 1) (x + 8) 10x

-1 80x – x = 79x

x

+8

c. 6x2 – 13xm – 15m2 = (6x + 5m) (x – 3m) 6x

+ 5m - 18xm + 5xm = -13xm

x

- 3m


64

d. 8q2 – 38q – 33 = (4q + 3) (2q – 11) 4q

+3 - 44q + 6q = -38q

q

-11

Suma o diferencia de cubos La suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio. El binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cúbicas de cada término. El trinomio consta de: el cuadrado de la primera raíz, el producto de las dos raíces y el cuadrado de la segunda raíz. Los signos del trinomio son: a. para la suma: (+), (-), (+) b. para la diferencia: (+), (+), (+)

a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)


65

Ejemplo: Factorice los siguientes polinomios a. 8x3 + 27y3 = (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y2)

b.

2 p3 q3 pq q 2   p q  p  − =  −  + + 64 125  4 5  16 20 25 

c.

( x − a ) 3 + b 3 = [ ( x − a ) + b]

d.

216 − 1000 Y 3 = (6 − 10 Y )(36 + 60 Y + 100 Y 2 )

[( x − a)

2

− b( x − a) + b 2

]

Véase ahora algunos ejercicios combinados: a.

4a 2 x 2 − 25 x 2 = x 2 (4a 2 − 25) = x 2 ( 2a + 5) ( 2a − 5 )

b. a 2 − x 2 + 6 x − 9 = a 2 − ( x 2 − 6 x + 9) = a 2 − ( x − 3) 2

= [ a + ( x − 3)][ a − ( x − 3]

c. x3 + x2 – 42x = x (x2 + x – 42) = x (x + 7) (x – 6)

d. 3c3 + c2 – 2c = c (3c2 + c – 2) = c (3c - 2) (c + 1) Fundamentos Matemáticos

66

2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más factor común que la unidad. Por lo anterior, se debe factorizar tanto numerador como denominador y, luego, se cancelan los factores comunes. Simplificar:

a.

8 x + 16 8( x + 2) = = x +2 8 8

x 2 − 25 4x +8 x 2 = 2 x + 7 x +10 x − 2 x −15

b. ( x + 5)( x − 5) 4( x + 2) 4 x = ( x + 5)( x + 2) ( x − 5)( x + 3) x +3

a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42 • ÷ 2 a 2 −11a + 30 a 2 −1 a − 4a − 5

c. (a − 7)(a −1) (a + 6)(a − 6) (a − 5)(a + 1) • • =1 (a − 6)(a − 5) (a + 1)(a −1) (a − 7)(a + 6)


67

x 3 −1 2x + 6 x −1 • 2 ÷ 2 x − 9 x + x +1 x − 3

d. ( x − 1)( x 2 + x + 1) 2( x + 3) x −3 x 2 x =2 ( x + 3)( x − 3) ( x + x + 1) x − 1

2.3. Potencias y radicales Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales Potencias Se tienen en cuenta las leyes de los exponentes así. si x, y son números reales y m, n, son números naturales, entonces:

1.

xm.xn = xm+n

2.

x m m− n = x , conx ≠ 0 ym〉 n xn

3.

(xm)n = xmn

4.

(xy)m = xmyn x

m

xm

5.   = n , cony ≠ 0 y y


68

−n 6. x =

7.

1 xn

xº = 1

Ejemplo: Simplificar utilizando ley de exponentes: a. (6x3yz) (4x4y5) = 24x7y6z

(5 x 8 ) 2 52 x 16 25 x 16−12 25 4 = = = x b. 4 3 3 12 8 8 (2 x ) 2 x

c. 42 + 32 – 5º = 16 + 9- 1 = 24

2

2

 2 − 4 a −1b 2   4a 2 b 2 b   4ab 3   d.  1 − 2 −1  =  4  =  4− a b   2 a   16 

2

 ab 3 =   4

e.

2

 a 2b 6  = 16 

2 .2 3 n − 4 .4 n 2 .2 3 n − 2 . 2 n = (2.2 n ) 3 − 8.2 2n+1 2 3.2 3n − 2 3.2 2n.2

2.2 2n (2 n − 2) 2 1 1 = 3 = 2 = 3 2n n 4 2 .2 (2 − 2) 2 2


69

Radicales Se representan de la forma ….

n

xm = x m / n donde n =índice de la raíz = 2, 3, 4,

xm = número al cual se halla raíz. La raíz cuadrada de un número “x” es

otro número “a” que elevado al cuadrado dé el valor de “x”. Si

x =a

entonces x = a2

Si fuera raíz cúbica de un número “x” sería otro número “a” que elevado a la tres reproduce el número “x”. Cuando se requiere hallar la raíz de un número, se aconseja descomponerlo en sus factores primos y luego se convierte en potencia para que la solución sea xm/n. Cuando “n” es par y x es un número negativo no se obtendrán raíces reales, sino complejas. Cuando “n” es impar, entonces, sólo existe una raíz real, así x sea positiva o negativa. Evalúe las siguientes raíces: a. 1024 = 210 = 2 5 = 32 porque 32X32 = 1024

b.

3

− 125 = 3 − 5 3 = −5

c.

5

− 32 = −2


70

d.

4

2401 = 7

e.

−16 =no

existe

Conversión de un radical a potencia x = x 1/ 2

a.

b.

3

x2 = x2/3

c.

5

x −1 = x −1 / 5

Simplificación de radicales Suma y resta a.

3

45 − 20 + 7 5 =

3

9 x5 − 4 x5 + 7 5 =

9 5 −2 5 +7 5 =

14 7

b.

23 189 − 33 875 − 73 56 = 23 3 3 x 7 + 3 3 5 3 − 7 3 5 3 x 7 =

63 7 + 153 7 − 143 7 =

73 7


71

Producto a.

3

4 xy ⋅ 3 2 x 2 y 2 = 3 8 x 3 y 3 = 2 xy

b. 8 12.3 24 =24 12.24 = 24 2 2.2 2.3 2.2 = 288 2

c. 53 128 x23 432 = 103 2 3.2 3.2.2 3.2.3 3 = 6 = 10 x8 x33 4 = 2403 4

Cociente

a.

108 3

=

108 2 2 x3 2 x3 = =6 3 3

b.

3 3

108 24

=3

108 3 2 2.3 2.3 1 = =3 2 24 2 2 .2.3

Racionalización de radicales Racionalizar radicales significa eliminar las raíces del denominador de la fracción algebraica. Para hacerlo se multiplican numerador y denominador de la fracción; el denominador se convierte en una diferencia de cuadrados. La conjugada de

x +3

es

x −3

Racionalizar los denominadores:


72

a.

b.

5 5

=

1 1− 3

3

5 5

=

.

.

5 5

1

5 5

=

( 5)

.

2

=

1+ 3

1− 3 1+ 3

2− 5

2+ 5 2− 5

=

5 5 = 5 5

=

1+ 3 1 − ( 3)

3( 2 − 5 ) 4 −( 5)

2

=

2

=

1+ 3 1+ 3 = 1− 3 −2

3( 2 − 5 ) 4 −5

c. =

3( 2 − 5) = −3( 2 − 5 ) −1


73

3. RELACIONES Y FUNCIONES Fundamentos Matemáticos

74

OBJETIVOS OBJETIVOS

1. A través del concepto de relación, definir el concepto de

función, sus diferentes

tipos y sus gráficos. 2. Definir en todas sus formas el concepto de función lineal su ecuación y forma de graficar y su aplicación. 3. Aprender solución

los

diferentes

de

ecuaciones

métodos lineales

de y

aplicarlos a la solución de ejercicios. 4. Trabajar

los

conceptos

de

función

cuadrática, exponencial y logarítmica y su

aplicación

a

otras

áreas

de

la

administración y la economía.


75

3.1. Concepto de relación y de función 3.1.1. Definición de relación y de función Relación Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por parejas ordenadas así: Sea A = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)} Ejemplo: Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B  (se lee relación de B en A) definida por la función proporcional “x es menor o igual que y”.

BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)} Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función proposicional x menor o igual que y.

R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)} Gráficamente se tiene:


76

R B

0

A

3

1 9

5

De las parejas que se obtienen en la relación, a las primeras componentes de la relación se les llama Dominio de la relación (valores de “x” que pueden ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama rango o imágenes de la relación. Ejemplo: Hallar el dominio y el rango de la relación R ={(x,y) / 2xy – 3y + 5 =0} definida en los números reales. Solución: Dominio: se debe despejar “y” de la relación y analizar “x”. 2xy – 3y + 5 = 0 2xy – 3y = - 5 y (2x – 3 = - 5 Fundamentos Matemáticos

77

y

=

−5 2X − 3

2x – 3 ≠ 0 entonces x ≠ 3/2 Rango: Se despeja x, y se analiza y 2xy = -5 + 3y el rango es para x =

− 5 + 3y 2x = 0  x = 0 o sea reales. 2x

Función Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de Función. Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción; un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psicólogo quisiera conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras; y a un químico le interesa la relación entre la velocidad de una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma: ¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades se describe en Matemáticas como una Función.


78

Definición de función Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo un elemento de un conjunto B. Ejemplo:

f B

A

x1

a

x2

b

x3

c d

Al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Si x es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se lee “f de x”) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen. Se puede pensar una función f como una máquina donde el dominio es el conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la máquina (ver figura 3).


79

Entrada X

f

f (x) Salida

Figura 3

Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es única. Un ejemplo de función surge a partir de la relación entre el área de un círculo y su radio. Si x es el radio y y el área de un círculo se tiene que y = Πx2. Para calcular el área de un círculo cuyo radio es 5 cm. Se reemplaza x = 5 en la ecuación y se tiene: y = Π(5cm)2 = 25 Πcm2 En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x. Sea f la función definida por la regla f(x) = 2x2 – x + 1.


80

Calcular: a.

f(1)

b. f (-2)

c. f(h)

f (1) = 2(1)2 – 1 + 1 = 2 f (-2) = 2 (-2)2 – (-2) + 1 = 11 f(h)

= 2(h)2 – h + 1 = 2h2 – h + 1 3.1.2. Tipos de funciones

En el recorrido del módulo se tomarán las funciones de más frecuencia utilizadas en Administración. Estas funciones son: Función lineal, Función cuadrática, Función exponencial y Función logarítmica, con sus respectivas gráficas. Las anteriores funciones se tratarán más detalladamente en capítulos posteriores a esta unidad.

3.2. Función lineal y ecuaciones lineales Función lineal La función f definida por: y = f (x)= mx + b donde m y b son constantes, se denomina función lineal. Su nombre se debe al hecho de que su representación, en un sistema de coordenadas de dos dimensiones, es una línea recta.


81

El dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales. A m se le denomina pendiente o inclinación de la recta, y a b el intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano. La inclinación de la recta dependerá del signo de m y su gráfica:

y m>0 (0,b) x

y

(0,b) m≤ 0


82

Para graficar una función lineal se elabora una tabla de valores, dando a x valores arbitrarios, para obtener así los valores de y. Después de ubicar cada pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen éstos para así obtener su gráfica. Ejemplo 1: Graficar las funciones lineales cuyas ecuaciones son:

Y = 2x-1 x y

0 -1

1 1


2 3

^

Y = -2x+3 x y

0 3

1 1

2 -1

83

y 4 3

y = 2

x - 1

2 1 x -3

-2

-1

1

2

-1

3 y = -2 x + 3

-2 -3

y = 2

x - 1

La función lineal presenta otra ecuación muy importante, denominada ecuación punto-pendiente. Esta ecuación se obtiene luego de conocer las coordenadas de dos puntos de una misma línea recta o de los datos de un problema específico. La ecuación tendrá la siguiente forma así:

y - y1= m (x-x1) Fundamentos Matemáticos

ó

y - y2= m (x-x2) 84

Donde P1 (x1,y1) ^ P2 (x2,y2) son las coordenadas de los dos puntos pertenecientes a la misma línea recta; y la pendiente m se calcula así:

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

m=

y1 − y 2 x1 − x 2

Ejemplo 2: Encuentre la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos P1(-3, -2) y P2 (2, 3) y realice su gráfico.

m - y2 – y1 - 3 – (-2) - 3 + 2 - 5 - 1

x2 – x1

2 – (-3)

y – y1 = m (x – x1)

ó

2+3

5

y – y2 = m (x – x2)

y – (-2)= 1 (x – (-3))

y - 3 = 1 (x – 2)

y+2 = x+3

y–3= x-2

y=x+3–2

y = x–2+3

y=x+1

y = x+1

y

(0,1)

(-1,0) Fundamentos Matemáticos

x 85

Ejemplo 3: Se pide al estudiante calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(3, -1) y P2(4,5) y realizar su gráfico. Las funciones lineales desempeñan un papel muy importante en el análisis cuantitativo de los problemas comerciales y económicos. Muchos problemas son lineales por naturaleza y pueden formularse en términos de funciones lineales. Además, como es tan sencillo trabajar con funciones lineales, en muchos casos es posible obtener modelos matemáticos aceptables que aproximan las situaciones reales. Aplicaciones de las funciones lineales Las funciones lineales son de gran aplicación en todos los campos del saber; para nuestro interés, sólo abordaremos lo que se refiere a ellas, en problemas de Administración y Economía. La dirección de una empresa (ya sea de un dueño único o una gran corporación) debe mantener un registro constante de los costos de operación, de los ingresos resultantes de la venta o servicios y, tal vez, lo más importante, de las ganancias obtenidas. Tres funciones ofrecen a la dirección una medida de estas cantidades: la función de costos totales, la función de ingresos y la función de ganancias. Para la producción de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependen del nivel o cantidad de artículos producidos. Ejemplo de éstos son: las rentas, los intereses sobre préstamos y los salarios de administración. Fundamentos Matemáticos

86

Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir, de la cantidad de artículos producidos. Ejemplo de estos son los materiales y la mano de obra empleada en la producción. El modelo lineal para el costo es:

COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS

Se denota x como el número de unidades producidas o vendidas, m el costo variable por unidad y b como los costos fijos, entonces, la función de costos totales es:

Yc=C(x)=mx+b

Ejemplo 4: El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 ¢ y los costos fijos por día son de $300. a. Halle la ecuación de corte lineal y dibuje su gráfica. b. Determine el costo de procesar 1000 kg de café en un día. C(x) el costo de procesar x kilos de granos de café por día, donde b= $300 y m= $0.5, de acuerdo con el modelo lineal queda:

C(x)=0.5x+300 Fundamentos Matemáticos

87

Ahora, si x = 0, entonces, C(0)=0.5(0)+300 C(0)=300 Si x = 200, entonces, C(200)=0.5(200)+300 C(200)=100+300 C(200)=$400 Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400) se realiza la gráfica.

600

Dólares

500 400 300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

Kilos

Si x = 1.000 kg, entonces, C(1.000)=0.5 (1.000)+300 C(1.000)=500+300 C(1.000)=800 Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de café al día es de $800. Ejemplo 5: Fundamentos Matemáticos

88

Si cuesta $4.500 producir 75 unidades semanales de un producto y $5.200 producir 100 a la semana. ¿Cuáles son los costos fijos semanales y cuál el costo variable por unidad?

Resolverlo considerando:

x = número de unidades y = el precio y la ecuación y - y1= m(x-x1) La función de ingresos es: R(x)= Precio por unidad x cantidad de unidades vendidas del producto Si x = número de vendidas y P el precio de venta de cada unidad, entonces, la función de ingreso es:

R(x)=P.x

La función de ganancia es: G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricación y venta de x unidades del producto. La función de ganancia se define como: Ganancia = Ingresos – costos Fundamentos Matemáticos

89

G(x)= R(x) - C(x) Ejemplo 6: Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000; costos de producción de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de $30. Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha empresa. También la ganancia por la venta de 2.500 unidades. Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces: C(x)= 20x+20.000 R(x)= 30x G(x)= R(x) – C (x) = 30x – (20x+20.000) = 30x – 20x – 20.000 = 10x – 20.000 Si x = 25.000, entonces, G(2.500) = 10(2.500) – 20.000 =25.000-20.000 =$5.000 Otra aplicación importante de las funciones lineales es la que se denomina depreciación lineal. Cuando una empresa compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En años subsecuentes este valor debe disminuirse debido al lento desgaste del equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor de un activo se denomina depreciación. Fundamentos Matemáticos

90

Un método común de calcular el monto de la depreciación es reducir el valor, cada año, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del equipo. Esto se denomina depreciación lineal. Se tiene: Tasa de depreciación (anual) = (Valor inicial – valor de desecho) (tiempo de vida en años) Ejemplo 7: Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con un valor de desecho de cero. Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor depreciado después de x años. Solución: Depreciación por año =(Precio de adquisición inicial – Valor de desecho) (vida útil en años) = 150.000 – 0 12 = 12.500 dólares Valor después de x años = (Valor inicial) – (Depreciación por año) (número de años) Fundamentos Matemáticos

91

= (150.000) – (12.500) (x años) = 150.000 – 12.500 x dólares Resuelve el estudiante. Ejemplo 8: Una compañía está utilizando una depreciación lineal para calcular el valor de su planta, recientemente construida. Después de dos años está valorada en $8.8 millones, y después de 6 años, en $7.2 millones. ¿Cuál es el costo inicial y después de cuántos años el valor se deprecia a cero? Oferta y demanda Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo, que será adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté disponible. A esta relación se le denomina ley de la demanda. La ley más simple es una relación del tipo: P = mx + b. Donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda.

Es un hecho que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo; mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementará. Fundamentos Matemáticos

92

La pendiente de esta función es negativa y su gráfica se inclina hacia abajo y hacia la derecha. La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo.

Una

relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina ley de la oferta y su gráfica se le llama curva de oferta. En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden colocarle un precio alto. Ejemplo 9: Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 2.400 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal, y realice su gráfica. Solución: Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene: (2.000, 500) y (2.400, 450) m=

450 – 500__ = -50__ = -0.125 2.400 – 2.000

400

Utilizando la ecuación punto – pendiente: P – P1 = m (X-X1) queda Fundamentos Matemáticos

93

P – 500 = 0.125 (X – 2.000) P = -0.125X + 250 + 500 P = -0.125X + 750 Si x = 0, entonces, P = 750 Si x = 6,000, entonces, P = 0 Ejemplo 10: A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1.200 unidades de su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades. Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal. Solución: (1.200, 10) y (4.200, 15) m-

15 – 10

-

4.200 – 1.200

5 3.000

-

1 600

P – P1 = m (x –x1) P – 10 -

1

(x – 1.200)

600 P-

1 x – 2 + 10 600


94

P-

1 x+8 600

Si x = 0, entonces, P = 8 Si x = 6.000, entonces, P = 18 Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad, =. Una ecuación polinomial de grado 1, se denomina ecuación lineal. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

ax + b = 0

(a ‡ 0)

Donde a y b son constantes. Ejemplo 1: a.

x – 4 = 0 es una ecuación lineal. Se pasa 4 al lado derecho, cambiando de signo, se obtiene x = 4 esto equivale a sumar 4 a ambos lados. Única solución de la ecuación.

b. 2x + 3 = 0 ecuación lineal. Se pasa 3 al lado derecho, se obtiene: 2x = – 3 dividiendo entre 2 a ambos lados, resulta que: Fundamentos Matemáticos

95

x - -3_, así es la única solución de la ecuación. 2 c. En el caso general,

ax + b = 0 Se pasa b al lado derecho, lo que da:

ax = -b Dividiendo entre a, a los dos lados de la igualdad se tiene:

x = -b a Al resolver ecuaciones, se dejan los términos que incluyen a la variable al lado izquierdo de la ecuación, y se pasan las constantes al segundo miembro. Resolver las ecuaciones siguientes: 1. 5t – 3 = 18 + 3 (1 – t) 5t – 3 = 18 + 3 – 3t 5t + 3t= 18 + 3 + 3 8t = 24 t = 24 8 t= 3 2. 2x – 5 (1 – 3x) = 1 – 3 ( 1 – 2x) Fundamentos Matemáticos

96

2x – 5 +15x

= 1 – 3 + 6x

2x + 15x – 6x = 1 – 3 + 5 11x = 3 x = 3_ 11 3. La solución a la ecuación lineal

3z – 2 + 4 (1 – z) = 5 (1 –2z) – 12 es: a. 1 b. 2 c. –1 d. No tiene solución Resolver las ecuaciones: a.

179 – 18 (x-10) = 158 – 3 (x-17)

179 – 18x + 180 = 158 – 3x + 51 - 18x + 3x = 158 – 179 – 180 + 51 - 15x = - 150 x=

−150 −15

x = 10 b. x − 2 x +10 5 + = 2 9 9( x − 2) + 2( x +10) 90 = 18 18 9 x −18 + 2 x + 20 = 90

11X = 90 − 20 + 18 Fundamentos Matemáticos

97

88 11 x =8 x=

Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor de las variables desconocidas. Aunque se resuelve por varios métodos, en este tema sólo se verán tres de ellos, así: Método de igualación De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las ecuaciones resultantes. Hallada una de las variables, se sustituye ese valor en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable. Método de reducción o eliminación Se elige la variable que va a eliminarse, y se debe buscar que ésta quede con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario. Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la variable que queda y se halla su valor. Posteriormente, se reemplaza este valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.


98

Método por determinantes Se resuelve con el siguiente arreglo: Sean las ecuaciones: a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c 2

b1 b1 ∣b 2 ¿ } ∣b 2 ¿  } ∣c 1 ∣c 2 X= ¿ ∣a 1  ∣a 2 ¿

a1 c 1 y=

a2 c 2 a1 b1 a2 b2

Ejemplos: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 4y = 10

(1)

4x + y = 9

(2)


99

Método de igualación De (1) 3x = 10 – 4y x=

10 − 4 y (3) 3

De (2) 4x = 9 – y x=

9−y (4) 4

(3) = (4) 10 − 4 y 9 − y = 3 4

4(10 – 4y) = 3(9 –y) 40 – 16 y = 27 – 3y - 16y + 3y = 27 – 40 - 13y = -13 y=

−13 −13

y=1 x=

9 −1 4

x=

8 4

x=2


100

Método de reducción 3x + 4y = 10 (1) por 1 4x + y = 9 (2) por – 4 Queda: 3x + 4y = 10

- 16x - 4y = - 36 − 13x = − 26 x=

− 26 − 13

x=2 Método por determinantes

10 4 9 1 10 − 36 − 26 x= = = = 2 3 4 3 − 16 − 13 41 Fundamentos Matemáticos

101

3 10 4 9 27 − 40 − 13 y= = = = 1 3 4 3 − 16 − 13 41 3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica Función cuadrática La ecuación es y = f (x) = ax2 + bx +c su dominio es el conjunto de los números reales y su gráfica es una parábola, con dos formas, así:

y

y

a (+) x


a (-) x

102

Para tener una gráfica aproximada, basta con hallar el vértice, punto mínimo o máximo. Así:  −b  v , f ( x );  2 a  

x=

−b 2a

Ejemplo 1: Graficar la función y = 2x2 – 4x + 1

x=

− b − ( −4) 4 = = =1 2a 2( 2) 4

y 2

y = 2(1) - 4(1) + 1 y=2–4+1 y=-1 V(1, -1)

x (1,-1)

y Ejemplo 2:

8

y = - 2x2 + 8x


103 1 2

x

x=

−b −8 −8 = = =2 2a 2( −2) − 4

y = −2( 2) 2 + 8( 2) = −2( 4) +16 = −8 +16 =8

V (2,8)

Solución de una ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0 se resuelve por factorización, o con la fórmula x =

b ± b 2 − 4ac 2a

Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática: 2x2 + 5x – 12 = 0, por ambos métodos. a. Factorización: 2x2 + 5x – 12 = 0 2x

-3 8x – 3x = 5x

x

+

4

(2x – 3) (x + 4) = 0 2x – 3 = 0 Fundamentos Matemáticos

x+4=0 104

2x = 3

x=-4

x = 3/2

b. Por la fórmula: 2x2 + 5x – 12 = 0 a=2,

b = 5,

c = 12

x=

- 5 ± 5 2 - 4(2)(-12) − 5 ± 25 + 96 = 2 x2 4

x=

- 5 ± 121 − 5 ±11 = 4 4

− 5 ±11 4 6 x1 = 4 3 x1 = 2 x1 =

− 5 −11 4 −16 x2 = 4 x 2 = −4 x2 =

Función exponencial Tiene dos formas así: x

y = a  base “a” = un número x

y = e  base “e”

E = 2.7182, su gráfica es una curva por encima del eje x, debe pasar por el punto (0,1); su dominio son los números reales, y su imagen va de (0, ∞).


105

Ejemplo:

y = 2X X Y

-1

0 1

½

1 2

y = eX

y 2 4

x y

-1 037

0 1

1 2.7

Las gráficas son:

y ex 2x

(0,1)

x Es una función creciente cuando la base es “e” o un entero; y decreciente cuando la base es una fracción. Esta función es muy utilizada para predecir el crecimiento de población, el cálculo de interés compuesto y del valor futuro (en Matemáticas Financieras).

Función logarítmica Fundamentos Matemáticos

106

Considérese la forma más usada y = Lnx logaritmo natural de x, base e. Aunque también se tiene el logaritmo decimal logx. Ejemplo: Calcular los siguientes logaritmos: 4

 Log2 16 = 4 porque 2 = 16  Log1000 = 3  Ln1 = 0

El dominio de esta función es (0,) su imagen (-∞,∞) queda al lado derecho del eje y, pasa por el punto (1,0). Su gráfica es:

y

y = lnx (1,0)

x

Se utiliza siempre con la función exponencial y es muy útil en Finanzas e Ingeniería.


107


108

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS OBJETIVOS

1. Interpretar el concepto de desigualdad, solucionar desigualdades

lineales y de

orden superior y dar su respuesta en intervalos. 2. Trabajar el concepto de valor absoluto y resolver

desigualdades

que

contengan

valor absoluto. Fundamentos Matemáticos

109

3. Aplicar desigualdades a la solución de problemas de tipo empresarial.

Desigualdades Las desigualdades se originan en las relaciones de orden y cuando se comparan números reales diferentes que, además, cumplan una y sólo una de las siguientes proposiciones:

ab Para resolverlas, se hace lo mismo que con las ecuaciones, pero utilizando los símbolos <, =, >. Antes de abordarlas, se requiere de la ayuda de los intervalos, útiles al dar la respuesta. Fundamentos Matemáticos

110

Intervalos finitos Abierto (a, b)

(xxxxxxxx) a

Cerrado [a, b]

b

[xxxxxxxx] a

b

Semiabierto (a, b]

(xxxxxxxx]

Semiabierto [a, b)

[xxxxxxxxx)

Intervalos infinitos (a, ∞)

(xxxxxxxxxxx a

[a, ∞)

[xxxxxxxxxxx a

(-∞, a) xxxxxxxxxxx) a

(- ∞, a] xxxxxxxxxxx] a Ejercicios sobre desigualdades (se omite la escritura de las propiedades pero se aplican). Resolver

3x – 2 < 7 3x – 2 + 2 < 7+ 2 3x < 9


111

3x 9 < 3 3 x <3

Solución (-∞, 3) 5x – 7 ≥ 2x – 3

Resolver

5x – 7 + 7 – 2 x ≥ 2x – 3 + 7 – 2 x 3x≥ 4 3X 4 ≥ 3 3 4 x≥ 3 4



Solución 3 , ∝   Resolver

4 ≤ 2 x + 2 < 12 4 – 2 ≤ 2 x + 2 – 2 < 12 – 2 2 ≤ 2 x < 10

2 2 x 10 〈〈 222 1 x〈≤ 5 Solución: [1,5) Desigualdad por factorización


112

Ejercicios: x2 – 5x + 6 > 0

Resolver

(x – 3) (x – 2) > 20 Se resuelven por el método de las cruces o cementerio así: ++++++++++

--------------

2

++++++++++ x 3

La solución es para los intervalos positivos porque la desigualdad dice > 0 Solución: (-∞, 2) ∪ (3, ∞) x2 + x – 2 ≤ 0

Resolver

(x + 2) (x – 1) ≤ 0 -----------------

++++++++

-2

--------------- x 1

Se toma el intervalo positivo Solución [-2,1]  Desigualdad que posee un cociente se resuelve igual que las del paso

anterior.

Resolver

x −2 ≥0 x +3

-----------------

+++++++++

-3

--------------- x 2

Solución ( - ∞, -3) ∪ [2, + ∞)


113

Aplicación El producto interno bruto (PIB) de un país está proyectado en t2 + 2t + 50 miles de millones de dólares, t se mide en años a partir del año en curso. Determine en qué instante el PIB del país será igual o mayor de $58 mil millones. Solución:

t2 + 2t + 50 ≥ 58 t2 + 2t + 50 – 58 ≥ 0 t2 + 2t – 8 ≥ 0 (t + 4) (t – 2) ≥ 0 ++++++++++

---------------

-4

++++++++++ x 2

La solución es (2, ∞) porque t tiene que ser positivo, o sea, dentro de dos años. Valor absoluto El valor absoluto de un número x se denota con /X/ y se define como: | x | = x si x ≥ 0 -x si x < 0 El valor absoluto de un número siempre es positivo. Así:


114

|7| = 7 |-5| = 5 Las desigualdades con valor absoluto son de tres formas así: a.

b.

|x –a | = b equivale a: x–a=b

ó x–a=-b

|x - a| ≥ b

equivale a:

x–a ≤ -b ó x–a ≥ b c.

|x - a| ≤ b equivale a: -b ≤ x–a ≤ b

Ejercicios:  Resolver las desigualdades:

a. |x - 3| = 5 x–3=5

ó

x–3=-5

x =5+3

x= -5+3

x=8

x=-2

Solución: {2,8} b. |2x - 5| = 1 2x – 5 = 1

ó

2x = 1 + 5 Fundamentos Matemáticos

2x – 5 = -1 2x = -1 + 5 115

x = 6/2

2x = 4

x=3

x = 4/2 x= 2

Solución: {2,3}  Resolver la desigualdad: |2x + 8| ≥ 4 2x + 8 ≤ - 4

ó

2x+8 ≥ 4

2x ≤ - 4- 8 x≤

2x ≥ 4 – 8

− 12 2

x≥

−4 2

x ≥ −2

x ≤ −6

Solución: (- ∞, - 6] ∪ [- 2, + ∞)  Resolver las desigualdades: |3x - 5| ≤ 2 ↔

- 2 ≤ 3x – 5 ≤ 2 -2+5 ≤ 3x ≤ 2+5 3 ≤ 3x ≤ 7 3 3x 7 ≤ ≤ 3 3 3 g 7 1≤ x ≤ 3

Solución: [1, 7/3] Aplicación


116

El diámetro (en pulgadas) de una pieza esférica, producido por una empresa de partes, satisface la desigualdad

|x – 0.1|

≤ 0.01. ¿Cuáles son los

diámetros mínimo y máximo que debe tener una de estas piezas? |x – 0.1| ≤ 0.01 ↔ -0.001 ≤ x – 0.1 ≤ 0.001 -0.01 + 0.1 ≤

x ≤ 0.01 + 0.1

0.09 ≤ x ≤ 0.11 Solución: [0.09,0.11] pulgadas

ESTUDIO DE CASO La función lineal cumple un papel muy importante, tanto en el análisis empresarial como económico. A continuación, se expone un caso en el que dicha función interviene y que, con mucha frecuencia, se presenta en las empresas. Una compañía tiene gastos fijos de US 40.000 y un costo de producción de US 16, por unidad fabricada. Cada unidad se vende a US 20. a.

¿Cuál es la función de costo?

b.

¿Cuál es la función de ingresos?

c.

¿Cuál es la función de ganancia?

d.

Calcule la ganancia (o pérdida) correspondiente a los niveles de producción de 5.000, 100.000 y 12.000 unidades.


117

Solución: Sea x el número de unidades producidas y vendidas, P = precio de venta por unidad; C(x), R(x) y G(x) las funciones lineales de costos, ingresos y ganancias. Entonces queda: a.

C(x) = 16x + 40.000

b.

R(x) = Px = 20x

c.

G(x) = R(x) – C(x) G(x) = 20x – (16x + 40.000) G(x) = 20x – 16x – 40.000 G (x) = 4x – 40.000

d.

Si x = 5.000, entonces: G(5.000) = 4(5.000) – 40.000 = 20.000 – 40.000 = US -20.000 pérdida

Si x = 10.000, entonces: G(10.000) = 4(10.000) – 40.000 = 40.000 – 40.000 = 0 ni pérdida ni ganancia Si x = 12.000, entonces: G(12.000) = 4(12.000) – 40.000 = 48.000 – 40.000 = US 8.000 ganancia Fundamentos Matemáticos

118

ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO UNIDAD 1. Teoría de conjuntos  Este capítulo requiere de la intuición que posea el estudiante sobre lo

que es un conjunto y cómo clasificarlo, y la idea que tenga sobre la forma de presentarlo en un diagrama.


119

 Conocer los conceptos de conjunto, además de otros conceptos sobre reunión de elementos de un conjunto y la relación de pertenencia entre ellos.  Desarrollar un buen manejo sobre conjuntos, manejar las operaciones básicas de la matemática (+, -, x, ÷) y el conocimiento general de un número.  Este capítulo requiere mucha claridad sobre conjuntos y sobre la diferencia entre los conjuntos numéricos y el alcance de los símbolos matemáticos. UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación  Al iniciar este capítulo el estudiante deberá recordar y afirmar sus conocimientos de las operaciones básicas, para convertirlas en expresiones algebraicas. Todos los símbolos que se utilicen para representar elementos denotarán números reales. Por tanto, el estudio de las operaciones se hará con base en las propiedades e igualdades de números reales tratadas en la unidad 1.  Para este capítulo es de vital importancia el manejo de multiplicación y división de potencias de igual base y la utilización con frecuencia de las propiedades distributivas y asociativas; además, se requiere del manejo de coeficientes enteros y racionales.  Para este capítulo se requiere un estudio más amplio de exponentes; se debe saber factorizar y simplificar fracciones algebraicas, producto y cociente de polinomios y operaciones con números reales.


120

UNIDAD 3. Relaciones y funciones  Para esta unidad el estudiante debe manejar muy bien la teoría de conjuntos, el concepto de número reales y el valor numérico, vistos en la unidad número dos. Además, los

conceptos de variable y

constante.



Para este capítulo se deben tener claros los conceptos de función, valor numérico y números reales, y saber tabular y ubicar puntos en el plano cartesiano. Además, asociar la función lineal con la gráfica de una línea recta.

 Un buen manejo de funciones requiere el dominio de tabulación y de ubicación de puntos en el plano cartesiano; también, aplicar los números reales y la factorización. UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto  Para este capítulo es necesario saber todo lo relacionado con ecuaciones lineales y cuadráticas; también, el tema de factorización y tener mucha claridad sobre números reales y conjuntos.

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN UNIDAD 1. Teoría de conjuntos 1. Responda en forma exacta: a. ¿Qué es un conjunto vacío? b. ¿Qué utilidad prestan los conjuntos? Fundamentos Matemáticos

121

c. ¿Cuántos conjuntos fundamentales existen? 2. Dados los conjuntos por comprensión, expréselos por extensión: A = {x / x es un número primo par} B = {x / -5 < x < 3} C = {x / x > 0, es un divisor de 14} D = {x / -2 < x < 2} E = {x / x2 - 1, x∈N dé como resultado un número par menor que 30} 3. Dados los conjuntos por extensión, expréselos como conjuntos por comprensión: A = {1, 2, 3, ...,} B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2} C = {1, 2, 3, 6} D = {4, 8, 12, 16, 20}

4. Responda con precisión: a. ¿Qué es la intersección entre dos o más conjuntos? b. En conjuntos (A - B) = (B - A) c. ¿La intersección entre un conjunto A y su Universal es? 5. Dados los siguientes conjuntos, realice las operaciones indicadas: U = {x / x es un número par menor o igual que 20} Fundamentos Matemáticos

122

A = {1, 4, 5, 8, 10} B = {x / x es un múltiplo de 3} 6. Calcular: a. A – B b. B - A c. A' d. B' e. A ∩B

7. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación: a. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad, al final de un día, indicó que 66 personas habían comprado crema; 21, loción, y 12, ambos productos. Se pide:

•

¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?

•

¿Cuántas personas compraron solamente loción?

•

¿Cuántas personas compraron solamente la crema?

b. Una mesera tomó una orden de 38 hamburguesas: 18, con cebolla; 23, con mostaza, y 29, con salsa de tomate. De éstas, 3 tenían sólo mostaza y 8 sólo salsa; 9 de las hamburguesas tenían sólo


123

mostaza y salsa; y 5, los tres ingredientes. Realice un diagrama de Venn y encuentre: •

¿Cuántas

hamburguesas

llevaban

cebolla

y

salsa

solamente? •

¿Cuántas sólo llevaban cebolla?

•

¿Cuántas hamburguesas sólo llevaban cebolla y mostaza?

c. En una encuesta a 75 personas se encontró que de los tres periódicos: El Colombiano, El Mundo y El Tiempo, 23 leían El Tiempo, 18 leían El Colombiano, 14 leían El Mundo; 10 leían El Tiempo y El Colombiano; 9 leían El Tiempo y El Mundo; 8 leían El Colombiano y El Mundo, y 5 leían los tres periódicos.



¿Cuántas no leen ninguno de los tres periódicos?



¿Cuántas leen sólo El Tiempo?



¿Cuántas leen sólo EL Colombiano?



¿Cuántas leen sólo El Mundo?



¿Cuántas no leen ni El Tiempo ni El Colombiano?



¿Cuántas leen El Tiempo o El Colombiano o ambos?

d. En una encuesta sobre hábitos bibliotecarios en la universidad, se obtienen

los

siguientes

resultados,

sobre

120

estudiantes

consultados:



A 57 les sirve el horario de 8 a.m. - 12 m.



A 63 les sirve el horario de 12 m. - 4 p.m.



A 45 les sirve el horario de 4 p.m. - 8 p.m.


124



A 11 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 12 m. – 4 p.m.



A 21 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 4 p.m. – 8 p.m.



A 32 les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y 4 p.m. – 8 p.m.



A 9 les sirven los tres horarios

8. Encontrar: a. ¿A cuántos les sirve solamente el horario de 12 m. - 4 p.m.? b. ¿A cuántas personas no les sirve ni el horario de 8 a.m. -12 m. ni el horario de 4 p.m. - 8 p.m.? c. ¿A cuántas personas les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y el horario de 4 p.m. – 8 p.m., pero no el horario de 8 a. m. – 12 m.? d. ¿A cuántas personas les sirve al menos un horario? e. ¿A cuántas personas no les sirven por lo menos dos horarios? f. En un examen de Estadística sobre 3 preguntas, al aplicarlo a 75 alumnos, se dieron los siguientes resultados:



30 alumnos acertaron las tres preguntas



45 alumnos acertaron la primera y segunda preguntas


125



35 alumnos acertaron la segunda y tercera preguntas



43 alumnos acertaron la primera y tercera preguntas



60 alumnos acertaron la primera pregunta



53 alumnos acertaron la segunda pregunta



49 alumnos acertaron la tercera pregunta

9. Hallar: a. ¿Cuántos estudiantes acertaron la segunda y la tercera, pero no la primera? b. ¿Cuántos no acertaron ni la primera ni la tercera? c. ¿Cuántos no acertaron al menos una pregunta? d. ¿Cuántos acertaron por lo menos dos preguntas? 10. En forma corta defina: a. Número entero b. Número real c. Propiedad conmutativa de la suma y del producto. d. ¿Para toda pareja de números reales se cumplirá la división? e. ¿Cuando se suma un número real a su inverso, el resultado será? f. Enumere tres propiedades importantes en el producto de números reales g. Conteste Falso ó Verdadero, según su criterio y argumente su respuesta


•

10 - 4 = 4 - 10

•

7 + (-7) = 0

•

5. (8 + 4) = 5 x 8 + 5 x 4

•

14 + 0 = 0

•

7x8=8x7 126

11. Resuelva las preguntas teóricas y solucione los ejercicios teniendo en cuenta toda la teoría de conjuntos numéricos. a. Diga con sus propias palabras cómo se suman y cómo se restan los números enteros. b. Diga con sus palabras cómo se realizan suma, resta, producto y cociente de números racionales. c. Propóngase algunos ejemplos de las operaciones con fracciones y resuélvalas. d. Resuelva los siguientes ejercicios: 1. 146 – 285 + 36 = 2. 200 – 5{13 - 2 [(8 – 7) – 5 (4 – 13 + 2)] + 8 (13 – 20 ) } 3. (-13) . (8). (-4) . (12) =  15 7   8 4  + ÷ − +3  3 5   10 3 

4. 

1 7  3 1  5 1  5. 17 −  − x +  −  ÷  + 8 4 5  8 8   4 3  

6. 5 x3 − 4[12 − 8( −13 − 2) + [ 2(15 − 7) − 3(0 − 7)] − 5] 7.

8 5 1 1  1 − − • ÷ 7 4  2 3  4

3  10 4 x −2− + 5 3 7

1 3 

UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación 1. Si de 5x2+4 se resta 5x2 se obtiene: Fundamentos Matemáticos

127

a. 10x2 +1 b. 7 c. -4 d. 10x2 +7 2. Efectuar la siguiente operación y simplificar:

(9x-5x2+2x2-1) (3x3+4x2-5x4) – 6x6-7x5-3x4 + 52x3-29x2-31x) 3. Efectuar la siguiente operación y simplificar:

(p-1) (p-2) (p-3) +6p2-11p 4. Efectuar la siguiente división y hallar el cociente y el residuo:

(64x6-16a3x3 +a6) ÷ (4x2-4ax +a2) 5. Efectuar la división y hallar el cociente y el residuo de:

(12a3 + 33ab2 – 35a2b – 10b3) ÷ (4a-5b) 6. Defina la palabra factorizar 7. Diga cómo se factoriza un trinomio de la forma x2+bx+c

8. Factorizar completamente en R a. 3p2 – 3p – 18 b. 9a3 – 132a2b + 4ab2 Fundamentos Matemáticos

128

c. 2x3 + 7x 2– 15x d. 16x4 – 81y4 9. Simplificar la fracción algebraica: x 2 − 5 x − 14 x 2 − 11X + 18 x 2 − 16 x + 63 • ÷ ( x + −2) 2 x2 − 4 ax 3 − 4ax 2 + 4ax

10. Conteste F ó V y justifique: a. Cuando se multiplican potencias de diferente base, se suman los exponentes. b. La raíz de índice par de un número es un número real c.

42 + 32 = 7

d. Defina con sus palabras ¿Qué es hallar la raíz de un número?

11. Resolver a.

75a 5 b 3 c 2 15a 3 b4c

b.

5a 2 b −1c     3b 


3

129

c.

3ab 16c 4 2c 9a 2 b 6

d.

3

e.

Racionalice

−27p 2 q 3 R 4

4 3+ 8

UNIDAD 3. Relaciones y funciones 1. Defina con claridad ¿Qué es: a. Una relación b. Una función 2. Diga qué son el dominio y el rango de una relación2. 3. Resuelva el siguiente ejercicio: dados los conjuntos C = { 0,1,2} y D = {1,2} construya una relación de C en D que cumpla: x + 1 = y a. Diga si la siguiente relación es una función y = ±

x

b. ¿Qué gráfica representa una función lineal?


130

c. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función lineal en la Administración y en la Economía? d. En una función lineal constante su gráfica es una línea __________________ e. Dados dos puntos P1 (-3,5) y P2 (1,-1), halle la ecuación de la línea recta y grafíquela. f. Dadas las funciones de oferta y de demanda de un producto, hallar el punto de equilibrio y su gráfica P = 26 + 5x P = 110 – x 4. Resolver la ecuación: 5x – (3x – 7) - [4 – 2x – (6x – )] = 10 5. Resolver el sistema de ecuaciones:

39x – 8y = 99 52x – 15y = 80

6. ¿Qué figura geométrica representa una función cuadrática? 7. ¿Qué utilidad presentan las funciones exponencial y logarítmica? Fundamentos Matemáticos

131

8. Hallar el vértice y la gráfica de las siguientes funciones: a. y = 4x2 – 2x +5 b. y = -3x2 + 6x – 5 9. Resuelva las ecuaciones cuadráticas por factorización: a. x2 – 4 = 0 b. 3 x2 – x – 4 = 0 c. 6x2 + 5x – 6 = 0 d. 8m2 + 64 m = 0 e. 13m = -5 – 6m2 10. Resuelva por la fórmula a. 6x2 – 7x – 3 = 0 b. 2x2 = 8x – 3 c. m2 = 4m – 1

11. Grafique la función y = 3X y la función y = (1/2)X 12. Grafique la función y = Ln (x + 2) UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto 1. Defina qué es una desigualdad 2. ¿Cómo se define el valor absoluto? 3. Resolver las siguientes desigualdades: Fundamentos Matemáticos

132

a. 7x + 9 – x ≥ 10 + 3x b. 3(x – 5) + 10 ≤ 4x - 2 c. x2 – 2x – 15 ≤ 0 d. 2x2 – 5x + 3 ≥ 0 e.

x −3 ≥0g x +1

4. Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto: a. |5x – 8| = 5 b. |9 – 3x| ≥ 3 c. |7x + 2| ≤ 1 d. |0.3x – 0.5| ≤ 2

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL ARUA Kagdosj C. y LARDNER, Robin W.

Matemáticas aplicadas a la

Administración y a la Economía. 3ra ed. México: Pearson Educación, 2002, 842p. HAEUSSLER,

Ernest, F.

PAUL, Jr. Richard S.

Matemáticas para la

Administración, la Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. 8ª ed. México: Pearson Prentice Hall. Fundamentos Matemáticos

133

TAN S.T.

Matemáticas para Administración y Economía. 2ª. ed. México:

Thomson Leaming, 2002. 992p.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA URIBE CALAD, Julio Alberto.

Matemáticas básicas y operativas. 2ª ed.

Medellín: Susaeta ediciones, 1986, 639p. DIEZ, Luis H.

Matemáticas operativas.

2ª ed. Medellín: Universidad de

Antioquia.


134

GLOSARIO Álgebra: Lenguaje matemático que usa letras y números. Las letras representan números desconocidos. 10x – 3 = 17. Análisis: Es la fundamentación de todos los procesos lógicos que intervienen en el cálculo. Base: Número que se usa como factor en una potencia. En 103, la base es 10, es decir, 103 = 10x10x10.


135

Conjunción: En Matemáticas representa la i. Conjunto: Colección bien definida de objetos llamados elementos. Disyunción: En Matemáticas representa la o. Ecuación: Enunciado matemático que contiene el signo de igualdad (=). Expresión que contiene variables que representan cantidades numéricas desconocidas y relacionadas por operaciones algebraicas, funcionales o las del cálculo. Eje horizontal o vertical: Son las rectas horizontal o vertical del plano cartesiano de coordenadas. Evaluar: Calcular el valor de una expresión sustituyendo las variables por números. Exponente: Número de veces que la base de una potencia se usa como factor: 53, exponente 3. Expresión algebraica: Combinación de variables, números y, al menos, una operación. Función: Correspondencia unívoca entre los elementos de dos conjuntos determinados y especificada por una regla operacional. Mínimo común múltiplo: El menor múltiplo común de dos o más números. El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.


136

Par ordenado: Par de números que se utiliza para ubicar un punto en el plano de coordenadas (x,y). Solución: Cualquier número que satisfaga una ecuación. La solución de 12 = x + 7 es igual a 5. Variable: Un símbolo, por lo general una letra, que se usa para representar números.

RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 1. ¿Para qué sirven los conjuntos? Para escribir o mostrar en forma visual muchos eventos que de otra forma presentarían dificultades; también, como ayuda en estudios estadísticos, como es el caso de las probabilidades. 2. ¿Cuál es el resultado de dividir un número por cero y dividir cero entre un número? Dividir un número por cero, da como resultado una indeterminación o un error y, en Matemáticas, se dice que la división por cero no está definida. En Fundamentos Matemáticos 137

cálculo de límites, el resultado sería infinito y la división de cero, entre un número, es igual cero, porque si se reparten manzanas entre x personas no les toca manzana alguna. 3. ¿Para qué se simplifica una expresión algebraica? Para expresar algo muy complejo en forma simple, que permite reemplazar valores numéricos y realizar sus operaciones más fácilmente. 4. ¿A qué conjunto pertenecen las raíces de índice par de números negativos? Pertenecen al conjunto de los números complejos, que es de más amplitud que el conjunto de los reales, pero que se aplica más frecuentemente en Ingeniería. 5. ¿Qué aplicaciones importantes tiene la función lineal? La función lineal tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo, la depreciación en línea recta para hallar las funciones de costos, ingresos y ganancias, y oferta y demanda de un producto, etc. 6. En Administración ¿dónde se utiliza la función exponencial? En Matemática Financiera, curso de la carrera, para calcular el valor futuro; igualmente, para el cálculo del interés compuesto (sistema de ahorro, o préstamo a interés). 7. ¿Dónde se utilizan las desigualdades?


138

En situaciones de la vida real donde se necesite expresar modelos que incluyen restricciones, un mínimo en la producción, el nivel mínimo de ganancia, o el máximo ingreso, en la representación de medidas de distancias y medidas de tiempo. 8. ¿Para qué sirve el valor absoluto? Para representar una magnitud que no se puede expresar con valores negativos, por ejemplo: no se puede considerar tiempos negativos ni distinciones negativas ni hablar de número de artículos negativos; sólo interesa su magnitud.


139

FundamentosMatematicos

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