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FUNDAMENTOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR

Autores Santiago Esplugas Vidal Maria Esther Chamarro Aguilera

Departamento de Ingeniería Química Facultad de Química Universidad de Barcelona

PRÓLOGO

o g o l ró P

Estelatexto está concebido para su utilización la asignaturade de cuarto semestre de los estudios Transmisión de titulación de Ingeniería Química de laenUniversidad Barcelona. de La calor asignatura consta de 6 créditos que se desglosan en: 4,5 créditos dedicados a horas lectivas de teoría y de resolución de problemas; y en 1,5 créditos que el alumno dedica a resolver una serie de problemas propuestos que debe entregar durante el curso al profesor. Las prácticas de laboratorio correspondientes a la Transmisión de Calor se realizan dentro de la asignatura Experimentación en Ingeniería Química II. Para cursar esta asignatura experimental es necesario tener aprobadas las asignaturas Circulación de Fluidos y Transmisión de Calor. El objetivo principal de esta asignatura es el estudio específico de un fenómeno de transporte, el transporte de calor. Complementa, por lo tanto, el contenido de la asignatura de Fenómenos de Transporte en el que ya se han introducido los mecanismos de transmisión de calor, así como las relaciones entre las densidades de flujo de calor y las variaciones de la temperatura para cada uno de los tres mecanismos (conducción, convección y radiación). Para cada uno de los tres mecanismos implicados en la transmisión de calor se realiza una aplicación al diseño de operaciones unitarias en las que la transmisión de calor es el factor más importante de cara a efectuar un buen diseño del aparato. De esta manera se estudia el diseño de aislamiento de conducciones y depósitos, el diseño de intercambiadores de calor, evaporadores, hornos, etc. El programa se divide en cuatro partes: en la primera se introducen los mecanismos de transporte de calor y en las tres siguientes se estudia al detalle cada uno de ellos.

r lo a c d e n ió si m s n a rt e d s o t n e m a d n u F

3

ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

n ió c c u d ro t In

1.1 Conducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Convencción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Radiación.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Sistemas combinados de transmisión de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Conducción a través de varias superficies planas en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Convección y conducción en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Conducción a través de dos materiales en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Convección y radiación en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. CONDUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Transmisión de calor con fuentes de energía interna.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Transmisión de calor en sólido en estado estacionario. Aplicación al aislamiento de materiales . . . . . . 23 2.2.1 Capa plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1.1 Capa plana con generación de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Capa cilíndrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Capa esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Transmisión de calor en estado estacionario en dos direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.5 Transmisión de calor en estado estacionario en tres direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Transmisión de calor en estado no estacionario. Aplicación al calentamiento y enfriamiento de sólidos 48 2.3.1 Lámina infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Cilíndro infinito.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.3 Esfera... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Sólido semiinfinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.5 Cuerpos multidimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.6 Métodos numéricos y gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.7 Transmisión en dos direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3. CONVECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1 Coeficientes individuales de transmisión de calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Coeficientes globales de transmisión de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5


3.3 Convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 Convención forzada.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1 Flujo laminar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.2 Región de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.3 Flujo turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5 Transmisión de calor con cambio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5.1. Condensación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5.2. Ebullición.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6 Diseño de equipos de intercambio de calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.7 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4. RADIACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1 Leyes que gobiernan la absorción y emisión de la energía radiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1.1 Ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.2 Ley de Stefan-Boltzamann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2 Intercambio de energía radiante entre dos cuerpos separados por un medio no absorbente de la radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.1 Radiación entre cuerpos negros en el vacio. Factor geométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.1.1 Propiedades de los factores geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.2.2 Radiación entre cuerpos negros y refractarios en el vacío. Factor refractario. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2.3 Radiación entre cuerpos no negros en el vacío. Factor gris. Factor de absorción. . . . . . . . . . . . . . 128 4.3. Intercambio de radiación entre superficies.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4. Problemas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5. NOMENCLATURA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6. BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7. PROBLEMAS ADICIONALES.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8. ANEXOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6

1. INTRODUCCIÓN Cuando existe un gradiente de temperaturas en un sistema o cuando dos sistemas a diferente temperatura se ponen en contacto se transfiere energía. El proceso mediante el cual tiene lugar este transporte de energía se conoce como transmisión de calor. Lo que se transmite, calor, no puede ser medido ni es observable directamente; pero sus efectos, preferentemente variaciones de energía interna, permiten su medida. El flujo de calor, análogamente al caudal de trabajo o potencia, da lugar a cambios importantes en la energía interna de un sistema.


Puesto que la transmisión de calor es en realidad un transporte de energía, se sigue necesariamente la ley de conservación de la energía, por lo que, en un sistema cerrado, el calor emitido por la región de temperatura superior debe de ser exactamente igual al calor absorbido por la región de temperatura inferior. La transmisión de calor juega un papel muy importante en muchas de las operaciones que se realizan en la industria química: en el diseño de reactores, donde tienen lugar reacciones químicas con absorción o desprendimiento de calor; en el diseño de aparatos para intercambiar calor entre dos fluidos; en la transferencia o eliminación de calor a otro fluido con el fin de cambiarlo de fase (evaporación, condensación), etc. También resulta interesante la utilización de materiales sólidos para “almacenar” energía procedente de corrientes fluidas a temperatura elevada. El estudio de la transmisión de calor no es exclusivo de la ingeniería química; la física, la ingeniería mecánica, la ingeniería civil, la arquitectura, etc, también se hallan interesadas en su estudio. Abarca, por consiguiente, diferentes áreas de conocimiento y constituye uno de los tres fenómenos de transporte fundamentales. Para estimar el coste y la capacidad del equipo necesario para transferir una determinada cantidad de calor en un tiempo dado, es necesario realizar un análisis detallado de la transmisión de calor. Desde el punto de vista ingenieril, dicho análisis tiene como objetivos prioritarios la determinación de los perfiles de temperatura en el interior de los cuerpos materiales, y la predicción de la velocidad a la que tiene lugar la transferencia de calor a través de una superficie. En la transmisión de calor, como en otras disciplinas de la ingeniería, la solución de un problema determinado que se pueda plantear requiere la realización de hipótesis e idealizaciones. Es prácticamente imposible describir el fenómeno exactamente y, cuando se tiene que expresar el problema en forma de una ecuación matemática, es necesario realizar algunas seaproximaciones. Es importante presentes las aproximaciones, idealizaciones realizadas cuando interpreten los resultados finalestener obtenidos. Algunas aproximaciones hipótesis habitualese que se pueden citar son: - Algunas propiedades físicas como la conductividad térmica, la viscosidad, el calor específico o la densidad cambian con la temperatura, pero si seleccionan los valores medios adecuados los cálculos se pueden simplificar considerablemente sin que se produzca un error considerable en el resultado final. - Cuando se transmite calor de un fluido a una pared, pueden aparecer incrustaciones que reducen la velocidad de transmisión de calor. Para asegurar una correcta operación a lo largo de un largo periodo de tiempo se deberá aplicar un factor corrector de seguridad que tenga en cuenta esta contingencia. - Cuando se transmite calor por convección a través de una pared lo suficientemente grande, se puede considerar que su superficie es infinita con lo que se reducirán considerablemente los cálculos a la hora de resolver el problema de transmisión de calor. Los mecanismos a través de los cuales se transmite el calor son: conducción, convección y radiación. Tanto la conducción como la convección necesitan de un medio material para poder transferir esta energía, mientras que la radiación no lo necesita y, de hecho, está mas favorecida la transferencia en el vacío. A continuación se realiza una introducción de cada uno de los tres mecanismos de transmisión de calor y se presentarán las ecuaciones que los gobiernan. Posteriormente, en los temas 2, 3 y 4, se desarrollará en profundidad cada uno de ellos.

1.1 CONDUCCIÓN La conducción de calor es el mecanismo de transmisión en sólidos y exclusivo en los mismos, aunque también se puede suponer que es el único que tiene lugar en los fluidos en reposo. En los fluidos, aparece adicionalmente un movimiento convectivo debido a la variación de la densidad del fluido con la temperatura, o al movimiento del fluido debido a otras causas (bombas, compresores, acción de la gravedad, etc.) Cuando en un medio material existe un gradiente de temperatura el calor fluye en sentido contrario a este gradiente. La energía se transmite debido al movimiento de átomos, moléculas, iones y electrones, que constituyen la sustancia, sin movimiento aparente de la materia a nivel macroscópico.

7


De una forma análoga a las leyes de Fick para la transferencia de materia y de Newton para el transporte de cantidad de movimiento, la ley de Fourier relaciona este transporte de energía por conducción: �

(1.1)

q  � k T

es decir, la densidad de flujo de calor, q, es directamente proporcional al gradiente de temperatura T y de sentido contrario. En otras palabras: el calor fluye de una zona de temperatura alta a otra de temperatura baja. A la constante de proporcionalidad entre la densidad de flujo de calor y el gradiente de temperatura se le denomina conductividad térmica, k. Nótese que la temperatura es un escalar, y la operación resultante de realizar el gradiente de un escalar da lugar a un vector. Usando el sistema internacional de unidades la densidad de flujo de calor se mide en J/(s.m2) o W/m2, aunque a veces se utilizan kcal/(h.m2) y la temperatura se mide en grados centígrados o Kelvin; con ello en el S.I., las unidades de la conductividad son J/(s.m.K). Conviene recordar la equivalencia entre la caloría y el julio (1 cal = 4,183 J). El valor de la conductividad depende del material y de su estado físico. Respecto a la conductividad, los cuerpos se clasifican en: - ISÓTROPOS: cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas en la conducción del calor. En consecuencia, la conductividad no varía con la posición (k = 0). Son materiales isótropos, la mayoría de los gases, líquidos y los sólidos cristalinos del sistema regular.

- ANISÓTROPOS: cuerpos en los que la conductividad es función de la posición y aparecen entonces direcciones privilegiadas en la transmisión de calor (k � 0).Como ejemplos cabe citar a los sólidos no regulares (fibra de vidrio, amianto, madera, etc.).

En las Tablas 1.1, 1.2 y 1.3 se encuentran tabulados los valores de la conductividad térmica de algunos gases, líquidos y sólidos.

Temperatura (ºC) Aire Amoniaco

0

50

100

200

0,0244

0,0279

0,0326

0,0395

0,0209

Dióxidodecarbono

0,0140

0,0256 0,0186

0,0314 0,0233

Etano

0,0174

0,0233

0,0314

Etileno

0,0163

0,0209

0,0267

Hidrógeno

0,1628

0,1861

0,2210

Metano

0,0302

0,0361

0,0465

Monóxido de carbono Nitrógeno Oxígeno Vapordeagua

0,0221

0,0314

0,2559

0,0244

0,0233

0,0267

0,0314

0,0384

0,0244 0,0163

0,0291 0,0198

0,0326 0,0244

0,0407 0,0326

Tabla 1.1. Conductividad de algunos gases a presión atmosférica, W/(m-K).

8

Temperatura (ºC)

Conductividad

Agua

0 93

0,593 0,680

Benceno

30 60

0,159 0,151

diclorodifluorometano

-22

0,0709

n-hexano

30 60

0,138 0,135

Mercurio

28 60

8,30 9,69

Sodio

100 210

84,8 79,6


Tabla 1.2. Conductividad de algunos líquidos a presión atmosférica, W/(m·K)

Material

Conductividad

arena seca

0,349-0,814

amianto

0,151

corcho

0,047

esmalte

0,872-1,163

hielo

2,33

hormigón

1,28

lana de vidrio

0,035-0,070

madera de pino (paralelo a la fibra)

0,384

madera de pino (normal a la fibra)

0,140-0,174

ladrillo aislante

0,116-0,209

ladrillo

0,698-0,814

plástico vinílico

0,163

vidrio

0,698-0,814

acero

46,5

acero inoxidable

17,5

aluminio bronce

203,5 64,0

cobre

384

hierro de fundición

46,5-93,0

latón

93,0

plomo

34,9

Tabla 1.3. Conductividad térmica de algunos materiales sólidos, W/(m·K)

9


0,5 Agua 0,4 0,6

H2 )

) C ·º· s 0,4 m (/ J ( k

0,3

·ºC ·s m /( J ( 0,2 k

He

Glicerina

Benceno

0,2 0,1

Aceite ligero

O2 Aire

Freón 12

CO2

0

Figura 1.1. Variación de la conductividad térmica con la0 temperatura para gases (a) y líquidos (b). 0

100

200

300 T (ºC)

400

0

500

50

10

15 T (ºC)

(a)

20

25

(b)

Figura 1.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura para gases (a) y líquidos (b)

Para los gases se puede observar que la conductividad térmica, es del orden de 10 -2 W/(m.K) en casi todos los casos. También se observa que su valor aumenta con la temperatura, como queda claramente reflejado en la Figura 1.1.a. Para los líquidos es del orden de 10-1 W/(m.K) y varía poco con la temperatura. La conductividad térmica de los metales líquidos es muy superior a la de los líquidos orgánicos o a la del agua. En algunos casos la conductividad presenta un máximo como es el caso de la del agua (k máx a 115ºC), tal y como se puede ver en la Figura 1.1.b. Entre los líquidos no metales el agua es el mejor conductor del calor. En los sólidos el orden de magnitud de la conductividad térmica oscila entre 10 -1 W/(m.K), para los sólidos no metálicos (madera, ladrillo, etc), y 102 W/(m.K), para los metales muy conductores (cobre, aluminio, etc). Las impurezas presentes en los metales pueden provocar variaciones de conductividad de hasta el 50-75 %. Un ejemplo claro se tiene en el cobre (kCu = 384 W/(m.K)), que en presencia de trazas de arsénico reduce su conductividad en dos terceras partes (kCu-trazas As ≈ 125 W/(m.K)).

En la Figura 1.2 se puede apreciar que la tendencia en los metales sólidos es que la conductividad térmica disminuya al aumentar la temperatura, mientras que las aleaciones tienen el comportamiento contrario, es decir, la conductividad térmica de una aleación aumenta al hacerlo la temperatura. En la misma gráfica se observa también que la conductividad de una aleación no es un valor medio de la de los metales puros con que está formada, sino que siempre tiene un valor inferior a la de los metales que la conforman. Esto se puede ver también en el caso del latón. La conductividad térmica de un latón formado por un 10 % de cinc y un 90% de cobre es de 93 W/(m.K). Las conductividades de los dos metales puros son 112 y 384 W/(m.K) respectivamente, ambos valores superiores al que tiene la aleación.

10


500

� 

200



�







Cobre Oro  Aluminio  Hierro  Titanio

) 100 K . m (/ W (  k 50



 20

  

100

Inconel SS304 600 SS316  Incoloy 800  Haynes 230 

 200

400

600

800

1000

1200

Temperatura (ºC)

Figura 1.2. Variación de la conductividad térmica con la temperatura para metales y aleaciones

A partir de la teoría cinética de los gases (la misma teoría que explica la ecuación de los gases ideales), se puede deducir la ecuación de Fourier, obteniéndose una expresión en la que la conductividad térmica es función de diversos parámetros atómico-moleculares: k

�

R 3 .T

1 d

2

M.N 2A . 3

(1.2)

siendo d el diámetro de la molécula, R la constante de los gases, M el peso molecular, T la temperatura absoluta y N A el número de Avogadro. Para los líquidos, a partir de la teoría de Bridgman del transporte de energía en líquidos puros, se deduce un valor de la conductividad, k (erg/(cm.s.K)), de:

k

�

3.�N A .c 

2/3

.

R.v s NA

(1.3)

donde c es la concentración molar (mol/cm 3), R/NA es la constante de Boltzman (1,3805 10 -16 erg/(K.molécula)) y vs la velocidad del sonido en el líquido (cm/s). No existe ninguna teoría sencilla que relacione la conductividad térmica con las propiedades y la estructura de los sólidos. No obstante, para sólidos metálicos existe una relación entre la conductividad térmica de un sólido, su conductividad eléctrica, ke, y su temperatura absoluta, T: k k e .T

11

�

L

(1.4)


donde L es el número de Lorenz, un valor aproximadamente constante e igual a 25.10-9 V2/K2.

1.2 CONVECCIÓN La convección consiste en el transporte de energía debido al propio movimiento material en el interior de un sistema. La convección es el mecanismo de transmisión de calor más importante para los fluidos, lo cual no implica que sea el único mecanismo posible de transmisión de calor. Es muy difícil que en un fluido exista solamente conducción ya que, aunque se halle inicialmente un debidas gradiente devariaciones temperaturadesrcinará enalelcalentar interiorodel fluido la aparición de las fuerzasendereposo, flotación a las densidadunenmovimiento el fluido. Así, enfriar un por líquido en un recipiente cerrado, sólo cuando la conductividad térmica y la viscosidad del líquido sean grandes y el gradiente de densidad pequeño, se evitará el movimiento dentro del fluido y, por tanto, la convección. La convección puede ser natural o forzada según sea el srcen de las fuerzas que actúan sobre el fluido. En el primer caso actúan las fuerzas de flotación generadas únicamente por las diferencias de densidad que aparecen en el seno del fluido; provocadas a su vez por gradientes de temperatura. En el segundo caso, actúan dispositivos mecánicos (bombas, agitadores, etc.) que comunican energía al fluido poniéndolo en movimiento. En el diseño, lo más interesante en la convección de calor es la estimación de los coeficientes individuales de transmisión de calor (de interfase), h, que aparecen debido a la imposibilidad de resolver simultáneamente o sucesivamente los balances microscópicos de energía y de cantidad de movimiento. Para un fluido a temperatura Tf, en su seno, que está en contacto con un sólido a temperatura Ts mediante una superficie de contacto igual a A (Figura 1.3), a través de la que se transmite un caudal de calor Q, se define el coeficiente individual de transmisión de calor, h, como Q  h.A.�Ts

 Tf 

(1.5)

y teniendo en cuenta que q = Q/A:

q

 h. � Ts  Tf 

(1.5’)

fluido Tf

Q

sólido Ts A

Figura 1.3. Transmisión de calor sólido-fluido.

Si se pudieran resolver simultáneamente, o sucesivamente, los balances microscópicos de cantidad de movimiento, de energía, y de materia no sería necesaria la utilización de un coeficiente tan experimental como es h. Así, una de forma de expresión del balance microscópico de energía (en función de la temperatura) para un fluido resulta: T p C v  C v v.T  .q  T  .v   : v � g e (1.6) t   T  �

�  �

�

�

�

�

�

�

�

�



donde ρ y Cv son la densidad y calor específico a volumen constante, v el vector velocidad, p la presión y τ el tensor esfuerzo cortante (función de la viscosidad para fluidos newtonianos). El significado de la ecuación es el siguiente: la 12

acumulación de energía interna es igual a la entrada advectiva de energía interna (primer término), más la entrada neta de energía interna por flujo molecular (segundo término), más la generación (transformación a energía interna) debida a fuerzas de presión (tercer término) mas generación (transformación a energía interna) debida a la disipación viscosa. El término ge es la velocidad de transformación de otros tipos de energía no considerados (nuclear, eléctrica, reacciones químicas, ...) a energía interna. Las unidades de la ecuación son caudal de energía por unidad de volumen; es decir, J/(m3.s).


El balance microscópico de cantidad de movimiento para un fluido (ecuación de movimiento) es:

 �v  � . vv  .  p � g t �

�

�

� �

�

�

(1.7)

donde g es la gravedad, y cuyo significado es análogo al de energía. Así, el miembro de la izquierda es la acumulación de cantidad de movimiento, y el término de la derecha está formado por las contribuciones de entradas por flujo advectivo, por flujo molecular por fuerzas de superficie (presión) y por fuerzas de volumen (gravedad), respectivamente. Para fluidos newtonianos el tensor esfuerzo cortante depende de la viscosidad, µ, del fluido. Finalmente, el balance microscópico de materia (ecuación de continuidad) resulta:   �.v t �

�

(1.8)

es decir, acumulación de materia por unidad de volumen igual a entrada por flujo. Debido a que la resolución analítica, simultánea o sucesiva, de estas tres ecuaciones (1.6, 1.7, 1.8), con sus respectivas condiciones límite, es prácticamente imposible y la numérica presenta muchas dificultades, es preferible la definición de un coeficiente de transmisión de calor, h, que en lógica dependerá de parámetros que aparecen en las anteriores ecuaciones (densidad, viscosidad, calor específico, conductividad, perfil de velocidades, ...). La ecuación que proporciona h es muy simple y fácil de tratar en modelos matemáticos más o menos complejos. Lógicamente, h dependerá, no sólo del material y condiciones del fluido, sino también de las condiciones fluidodinámicas. De ahí que en las correlaciones experimentales de h aparezca el número adimensional de Reynolds (G.D/µ), donde G es la densidad de flujo másico (kg/(m 2.s)) -igual al producto de la densidad por la velocidad-, D es el diámetro (o una medida equivalente) de la conducción (m), y µ la viscosidad (daP). En la determinación del coeficiente individual de calor, h, aparecen otros números adimensionales interesantes como son el número de Nusselt (Nu = h.D/k) que relaciona el coeficiente h con la conductividad térmica, k, y el diámetro, D; el número de Prandlt (Pr = Cp.µ/k) y el número de Stanton (St=Nu/(Re·Pr) = h/(G.Cp)). Existen muchas ecuaciones para evaluar el coeficiente h; algunas de las cuales se describirán en el tema 3. Para convección natural, o libre, aparecen otros números adimensionales como el número de Grashof (Gr=D³.ρ².g.β(Ts-Tf)/µ²) y el número de Rayleigh (Ra=Gr.Pr), siendo β el coeficiente de expansión volumétrica, que para un gas ideal corresponde al inverso de la temperatura absoluta. La Tabla 1.4 muestra el orden de magnitud del coeficiente individual de transferencia de calor, h, para diferentes materiales. Se puede apreciar que los valores son mayores para la convección forzada que para la convección libre o natural, y que los gases presentan menores valores para el coeficiente h que las sustancias líquidas.

Convección natural

gas

Convección forzada

3-20

líquido ebullición agua

100-600 1000-20000

gas

10-100

líquido viscoso

50-500

agua condensación vapores

500-10000 1000-100000

Tabla 1.4. Valores típicos del coeficiente de transmisión de calor, h (kcal/(h.m2.ºC))

13


1.3 RADIACIÓN Los procesos de transmisión de calor por conducción y convección están generados por gradientes de temperatura, siendo de poca importancia el nivel de temperatura. Sin embargo, en la transmisión de calor por radiación tiene mucha importancia el nivel de temperatura y nula importancia el gradiente de la misma. En la radiación la transmisión de energía se efectúa mediante ondas electromagnéticas. Estas se “transmiten” mejor en el vacío que en un medio material, lo que diferencia claramente a la radiación de los otros dos mecanismos de transmisión de calor. Cuando la radiación electromagnética llega a una superficie de cuerpo material (Figura 1.4), esta radiación puede ser - absorbida, calentándose el cuerpo o provocando reacciones fotoquímicas (función clorofílica como almacenamiento de energía solar), - reflejada, devolviéndose al medio ambiente en la misma forma, - transmitida, atravesando el cuerpo sin alterarse. Sólo la fracción absorbida se transforma en energía interna, bien aumentando la temperatura o bien provocando reacciones fotoquímicas.

reflexión

absorción transmisión

Figura 1.4. Radiación, absorción, transmisión y reflexión de ondas Denotando a, r y t como las fracciones de radiación incidente absorbida, reflejada y transmitida respectivamente, se cumple: a � r � t 1 (1.9) Al cuerpo ideal que absorbe toda la radiación se le denomina cuerpo negro: a=1

r=0

t=0

otras combinaciones dan lugar al cuerpo transparente, que deja pasar toda la radiación: a=0

r=0

t=1

y al cuerpo especular, que refleja toda la radiación incidente: a=0

r=1

t=0

Cabe señalar que la absorbancia, a, de un cuerpo depende de su temperatura y también de la “temperatura” (tipo de radiación-longitudes de onda) de la radiación que absorbe. Esta peculiaridad es válida también para la transmitancia, t, y para la reflectividad, r. Por lo que respecta a la emisión de energía radiante, cabe señalar que todos los cuerpos que se hallan a temperatura superior a 0 K son emisores de energía radiante. Se puede demostrar que un absorbedor perfecto de la radiación (cuerpo negro) es, a su vez, un emisor perfecto. Así, el cuerpo negro, a una temperatura dada, emitirá mayor cantidad de energía que otro cuerpo cualquiera a la misma temperatura. La ley de Stefan-Boltzman relaciona la densidad de flujo de energía radiante emitida, q (W/m2), y la temperatura de un cuerpo negro emisor, T:

q

.T 4

 

14

(1.10)

donde σ es la constante de Boltzmann, e igual a 5,67 10-8 W/(m2·K4); un valor relativamente bajo, que pone de relieve la escasa importancia de la radiación a bajas temperaturas. Nótese que al ser la densidad de flujo de energía radiante proporcional a la temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia y el coeficiente de proporcionalidad un número bastante pequeño, sólo es importante la cantidad de energía emitida por radiación cuando las temperaturas son elevadas.


La densidad de flujo de energía emitida por radiación para los cuerpos no negros es:

q

�

e..T 4

(1.11)

siendo e un parámetro adimensional denominado emisividad, que depende de la temperatura del cuerpo. A los cuerpos tales que su absorbancia es igual a la emisividad se les denomina cuerpos grises. La consideración de cuerpo gris es interesante ya que simplifica la resolución de los modelos matemáticos en radiación. Sustancia

emisividad

agua

0,95

aluminio (pulido)

0,04

aluminio (pintura)

0,43

hormigón

0,88

ladrillo ordinario

0,93

papel

0,91

pintura blanca

0,88

pintura negra

0,90

yeso

0,91 Tabla 1.5. Emisividades de algunas sustancias a 20ºC

En la tabla 1.5 se muestran los valores de emisividad a 20ºC para algunas sustancias. Resulta interesante observar que: - los metales pulimentados tienen valores bajos de emisividad - la mayor parte de las sustancias no metálicas tiene emisividades elevadas - la emisividad de una superficie varía ampliamente con el estado de la superficie - la emisividad de la mayoría de las sustancias aumenta con la temperatura Para un sistema real formado por dos superficies a distinta temperatura, T1 y T2, el caudal neto de calor transferido por radiación se puede escribir como: 4

4

Q = A1. �12..(T1 -T2 )

(1.12)

donde 12 es un factor adimensional que tiene en cuenta las emisividades y las geometrías relativas de los cuerpos reales.

1.4. SISTEMAS COMBINADOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR En los apartados anteriores se han descrito los tres mecanismos básicos de la transmisión de calor por separado. En la práctica, el calor normalmente se transmite de forma que intervienen más de uno de los mecanismos simultáneamente. Por ejemplo, en invierno, el calor transmitido desde las paredes de una casa al ambiente tiene lugar mediante los 15


mecanismos de convección y de radiación simultáneamente, mientras que en la pared se transmite por conducción entre la superficie interior y la exterior. Una forma de tratar la combinación de los tres mecanismos es dividiendo el curso de la transmisión de calor en secciones que pueden ser conectadas en serie, como en un circuito eléctrico, de forma que en cada sección el calor se transmite por uno o varios mecanismos en paralelo. Así, el flujo de calor puede quedar expresado como el cociente entre una fuerza impulsora (la diferencia de temperaturas) y una resistencia total a dicho flujo de calor. › Para transmisión de calor por conducción en una dirección en estado estacionario:

T1

x

T2

Q



�

k.A.

dT

k.A 

dx

x

(T1

�

T2 )



T1

�

T2

Rk

Q Rk

k

x 

(1.13)

k.A

A T1 > T2

› Para convección desde una superficie a un fluido en movimiento:

T2

Q

T1 > T2

h

Q



Rc

A

h.A.�T1

�

T2 



T1

�

T2

Rc

1 

(1.14)

h.A

T1

› Para radiación de una superficie 1 a otra superficie 2:

A1

Q = A1.�12..(T14-T24)

Q1

T1



T1 > T2

T1



T2

Rr

Q Q2 Rr

T2



T1



T2

A1 .� 12 ..(T14



T24 )

(1.15)

En los tres ejemplos vistos anteriormente se puede ver que el caudal de calor transmitido es un cociente entre una fuerza impulsora (una diferencia de temperaturas) y una resistencia al paso de calor. 16

En un proceso en el que intervienen más de un mecanismo de transmisión de calor se puede recurrir a la analogía que existe con la teoría eléctrica, de forma que: - Para etapas de transmisión de calor en serie:

R global



R1

R2

�

�

... � R N


- Para etapas de transmisión de calor en paralelo: 1



R global

1

�

R1

1

�

R2

... �

1 RN

A continuación se verán algunas situaciones en las que el calor se transmite por más de un mecanismo y se encontrará la ecuación correspondiente a partir de la analogía termo eléctrica.

1.4.1. Conducción a través de varias superficies planas en serie SISTEMA: A

CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO: B

RA

C

kA

kB

kC

T1

Q

RB T2

T3

T1

xB

T2

xC

T3

T4

Q

Q xA

RC

Ri

T4



xi k i .A

i = A, B, C

Por lo tanto, en este caso el calor transmitido será:

Q



T R global



T1 RA

�

 T4 RB � RC



T1



TN

N

� Ri i



1

1

�

(1.16)


17

1.4.2. Convección y conducción en serie SISTEMA:

A hc

CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO:

B

Rc

C

kA

kB

kC

RA

Tc

hf

T1

RB

RC

T2

T3

Rf T4

Tf

Q Q

Q

o d i u l f

xA

Tc

T1

xB T2

o d i u l f

xC T3

T4

Tf

Ri



1 h i .A

i  c, f

Rj



xj k j .A

j  A, B, C

El calor transmitido se calculará como:

Q



T

R global



Tc Rc

� �R�A�



Tf

RB

RC

(1.17)

Rf

1.4.3. Conducción a través de dos materiales en paralelo SISTEMA:

CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO: RA T1

AA

T2

T1

T2

kA

RB

A Q

kB

A

Q

Q

B

Ri

x



x k i .A i

i = A, B

El calor transmitido se calculará como:

Q



T  R global

T1 2 T 1 2 T 12 T  � � RA  RB R A RA � RB 18

T B



R

T

QA QB

(1.18)

1.4.4. Convección y radiación en paralelo SISTEMA:

CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO: Rrad

T2

A2

aire a T2

T1

h Qconv

Qrad �12

T1



T2

Rconv Q

A1

Rc


1

Rr

h.A 1



T1



T2

A 1 .� 12 ..(T14



T24 )

el calor que se transmite es:

Q



T 

R global

T12  T  � Rc  Rr Rc

�

T12  T

T12  T

Rc

Rr



�

Q conv

Q rad

(1.19)

Rr

1.5. PROBLEMAS 1.1. Para determinar la conductividad térmica de cierto material plástico se le da una forma cilíndrica de 1 cm2 de sección y 10 cm de longitud, se aísla térmicamente su superficie lateral y se sitúa a las dos bases en sendos recipientes que se hallan a diferente temperatura (20ºC y 30ºC). Si la cantidad de calor que conduce el material (medida como la cantidad de energía necesaria para mantener los baños a temperatura constante) es de 0,50 vatios, calcular la conductividad térmica del material. NOTA. Suponer que se desarrollará un perfil lineal de temperatura en el eje axial de la probeta cilíndrica. Rta: 50 W/(m.K)

r lo a c

1.2. Sabiendo que la densidad del tetracloruro de carbono líquido a 1 atm y 20ºC es de 1,60 g/cm 3 y la velocidad del sonido en el mismo es de 8,4·104 cm/s estimar su conductividad calorífica.

d e n ió si m s n a rt e d s o t n e m a d n u F

Rta : 0,12 W/(m.K)

1.3. Calcular la densidad de flujo de radiación emitida por un cuerpo negro a 0ºC, a 100ºC ,a 1000ºC y a 10000ºC. Rta: q = 315 W/m2; 1097 W/m2; 149000 W/m2; 6,32 108 W/m2

1.4. Una tubería de 20 cm de diámetro exterior, por la que circula vapor de agua a presión, atraviesa el interior de un laboratorio que se encuentra a 20ºC. La pared de la tubería tiene una emisividad de 0,8 y su temperatura es de 150ºC. 19

Calcular las pérdidas de calor que se producen (convección más radiación) por metro lineal de tubería si el coeficiente de convección entre la pared exterior de la tubería y el aire es de 25 W/(m 2·K). (En este caso 12 = e). Rta: Q/L = 2744,5 W/m 1.5. Una pared que tiene un área de 15 m 2 (3 m de altura y 5 m de ancho), está formada por cuatro materiales distintos y dispuestos como se puede ver en la figura adjunta. Si la pared se encuentra aislada perfectamente por sus caras superior e inferior, calcular las temperaturas en los dos extremos de la pared (T 1 y T2 indicadas en la figura). Considérese conducción unidireccional. Datos: B

k = 50 W/(m·ºC); k = 40 W/(m·ºC) kC = 20W/(m·ºC) k D = 0,5 W/(m·ºC) A

B

Tfc = 100ºC T ff = 20ºC

C

Tfc

Tff

B

hc

hf

C

hc = 40 W/(m2·ºC) hf = 10 W/(m2·ºC)

A

altura de cada capa de material B : 20 cm;

B

D

C

T1

altura de cada capa de material C: 50 cm

T2

B

Rta: T1 = 90,5 ºC; T2 = 58,2 ºC

C B

4 cm

20

10 cm

4 cm

2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN Como ya se ha comentado en el capítulo anterior, la conducción de calor es el mecanismo de transmisión de calor que tiene lugar en los cuerpos sólidos, así como en hipotéticos fluidos en reposo en los que el vector velocidad es nulo. De acuerdo con lo anterior, la ecuación del balance microscópico de energía, es decir:

C v

T p  C v v.T  .q  T  �.v   � : v  � g e t  T   �

�

�

�

�

�

�

�

�

(1.6)

se transforma, al eliminar todos los términos de velocidad, en la siguiente expresión:

T C v  .q � g e t �

�

(2.1)

. n ó i c c u d n o c r o p r o l a c e d n ó si i m s n ra T

o lo que es lo mismo, acumulación de energía interna igual a entrada de energía interna por conducción más “generación” (transformación de otros tipos de energía) de energía interna. Las unidades, en el S.I. de los distintos términos de las ecuaciones 1.6 y 2.1 son W/m 3; es decir, velocidad de acumulación (o caudal) de energía por unidad de volumen. Como se verá más adelante, la existencia de solución analítica en la ecuación 2.1, dependerá en gran parte de las condiciones límite de tal ecuación en derivadas parciales. Adicionalmente, conviene mencionar que en la mayoría de los casos en que un ingeniero químico aplica la ecuación 2.1, el término ge es despreciable. No obstante, este término debe tenerse en cuenta cuando hay reacciones nucleares y cuando hay transformación de energía eléctrica en interna. Para el caso de circulación de corriente eléctrica con intensidad de corriente I (más exactamente densidad de flujo de electricidad [A/m 2]) por un sólido de conductividad eléctrica ke, el valor de la “generación de energía interna”, ge , es:

I2 g

e

 ke

(2.2)

Sólo para algunos casos especiales como en el estado estacionario del calentamiento eléctrico de un sólido (de conductividades eléctrica y térmica constantes) sometido a una diferencia de potencial constante existe solución analítica de las ecuaciones 2.1 y 2.2. En la mayoría de los casos, la resolución pasa por el cambio de las ecuaciones en derivadas parciales por ecuaciones en diferencias finitas que deben resolverse numéricamente.

2.1. TRANSMISIÓN DE CALOR CON FUENTES INTERNAS DE ENERGÍA Cuando en un sólido hay “generación de energía” debida al paso de la corriente eléctrica, en estado estacionario, la ecuación del balance de energía resulta: I2  .q �  0 (2.3) ke �

�

donde la densidad de flujo de calor viene dada por la ecuación de Fourier: q   k T �

Combinando las ecuaciones 2.3 y 1.1, para un medio isótropo, resulta: I2 k. 2 T � 0 ke

(1.1)

(2.4)

∆

donde aparece el operador Laplaciana, 2, aplicado a la temperatura. En el siguiente ejemplo se verá una solución analítica de la ecuación anterior. Ejemplo 2.1 . Se aplica una diferencia de potencial a una placa conductora de corriente eléctrica de espesor 2.e (m)

y con superficie de la base S (m 2) con lo que la densidad de flujo de energía eléctrica resulta ser de I (A/m 2). Si la 21


conductividad térmica de la placa, k (W/(m.K)), y la eléctrica, ke (1/(Ω.m)), pueden considerarse constantes, calcular el perfil de temperatura en el estado estacionario, siendo la temperatura exterior ambiente de T a (K) y h (W/(m 2.K)) el coeficiente de transmisión de calor entre la superficie del conductor y el ambiente. Solución: Se supondrá transmisión de calor en una sola dirección (eje x) con lo cual la ecuación 2.4 se puede escribir como:

k.

Ta

S

 2T I 2 � 0 x 2 k e

(E.1)

Ts x

Al ser la temperatura sólo función de la coordenada se podrá sustituir la derivada parcial por la derivadax total. Las condiciones límite de la ecuación diferencial serán:

e

Figura ejemplo 2.1. C.L.1: Por simetría, en el centro de la placa la temperatura es un máximo. Así, la derivada de la temperatura respecto a x será cero en el centro. Es decir:

 dT    0  dx  x 0

x=0

(E.2)

C.L.2: En la superficie exterior, S, de la placa, el calor que llega por conducción se elimina por convección:

 dT   k   h.�Ts  Ta   dx  x  e

x=e

Integrando la ecuación (E.1):

d 2T dx

2



(E.3)

I2 k.k e

se obtiene un perfil parabólico de temperatura:

T



Ta

I .e

�

�

h.k e

I 2.k.k e

�e

2

 x2 

(E.4)

La temperatura en la pared, Ts, y en el centro, T0, resultan ser: PARED:

x = e; T = Ts

Ts



Ta

�

I 2 .e

(E.5)

h.k e

CENTRO:

x = 0; T = T0

T0



Ta

�

I 2 .e h.k e

�

I 2 .e 2

(E.6)

2.k.k e

puede comprobarse que el máximo está en el centro y que el caudal de calor, Q (J/s), que sale por las superficie 2.S exterior es de:



 dT � �  2 .S .h. T  T  2.S I .e  k  dx   2

Q  �2 .S .  k 



s

s

a

(E.7)

e

y lógicamente, no es función ni del coeficiente de convección, h, ni de la conductividad térmica del sólido, k. Sólo es función del volumen del sólido, de la densidad de flujo de corriente y de la conductividad eléctrica del sólido.

22

2.2. TRANSMISIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS EN ESTADO ESTACIONARIO. APLICACIÓN AL AISLAMIENTO DE MATERIALES. En estado estacionario, la aplicación conjunta del balance microscópico de energía y de la ecuación de Fourier a un sólido isotrópico conduce a la sencilla expresión:

.C

T   .q � g t �

�

v

e

 2T  0 �

q

(2.5)

  k.T

desarrollandoseleccionadas: el operador laplaciana para las tres dimensiones se obtienen diferentes expresiones dependiendo de las coordenadas » coordenadas cartesianas (x,y,z)

 2T  2T  2T � � 0 x 2 y 2 z 2

(2.5.1)

  T  1  2 T  2 T � 2 0 r  � r r  r  r 2  2 z

(2.5.2)


» coordenadas cilíndricas (r,θ,z)

1

» coordenadas esféricas (r,θ,Φ)

1 2

r

  2 T  1  T  1  2T 0 r � 2  sen ()  � 2 2 2 r  r  r sen ()     r sen () 

(2.5.3)

La resolución de la ecuación 2.5, que pasa por la imposición de las correspondientes condiciones límite al problema, sólo puede efectuarse analíticamente en casos muy concretos tales como la conducción de calor a través de una lámina infinita de espesor finito (capa o lámina plana), de una envoltura cilíndrica de espesor finito y altura infinita (capa o lámina cilíndrica) y de una envoltura esférica de espesor finito (capa o lámina esférica). Para estas tres geometrías simples, en las que se puede suponer transmisión de calor en una sola dirección, hay solución analítica para el balance de energía en estado estacionario.

2.2.1. Capa plana La forma más usada para reducir las pérdidas de calor al exterior en una pared consiste en recubrirla con un material aislante; es decir, de baja conductividad térmica, k. Desde el punto de vista de modelización se supondrá que la superficie es infinita con un espesor de aislante e, y con unas temperaturas a ambos lados del aislante de T 0 y de T1 respectivamente. Se supondrá asimismo, que solo se produce flujo de calor en la dirección x (Figura 2.1), q x con lo que:

 q 0 x x Aplicando la ley de Fourier para este componente qx

 k

23

T x


y teniendo en cuenta que las derivadas parciales pueden considerarse como totales, al ser el flujo de calor y la temperatura sólo función de x, resulta: d 2T dx 2

0

T0 �

q

T T1 x

x

e

Figura 2.1. perfil de temperatura en una lámina infinita

Imponiendo las condiciones límite: C.L.1: para x = 0

T = T0

C.L.2

T = T1

para x = e

y operando, se obtiene un perfil lineal de temperatura: T



T0

�

T1



T0

e

x

(2.6)

Si A es la superficie lateral de la lámina, el flujo de calor, Q (W), viene dado por:

Q  qxA

 

kA

dT dx



T0



T1

(2.7)

e /( k.A )

ecuación similar a la conocida ley de Ohm de conducción de electricidad en la que la intensidad (de calor) es igual a una diferencia de potencial (térmica, o de temperaturas) dividido por una resistencia. Análogamente a los fenómenos eléctricos, la resistencia (denominador de la ecuación 2.7) es igual a la resistividad específica (inverso del coeficiente de conducción) multiplicada por la longitud (espesor) que atraviesa el flujo y dividida por el área de paso. La resistencia al paso de calor corresponde al término (e/(k.A)) con unidades en el S.I. de (K/W). Si, para unas condiciones dadas de temperatura, se desean reducir las pérdidas de calor habrá que disminuir el área de paso, disminuir la conductividad del material o bien aumentar el espesor. Puede demostrarse que la ecuación 2.7 es también válida cuando la conductividad del material varía linealmente con la temperatura. En este caso debe utilizarse el valor medio aritmético de la conductividad. Si k = a + b.T

�

se usará

km



a

�

b

T0 � T1 2

Lógicamente, en este caso el perfil de temperatura no será lineal, es decir no se cumplirá la ecuación 2.6. El aislamiento térmico de una superficie no siempre se lleva a cabo con un único material. Así, para el aislamiento térmico de un horno industrial se suelen emplear varias capas de diferentes materiales. 24

- la primera capa suele ser de ladrillo refractario, capaz de resistir las altas temperaturas del interior del horno, aunque no sea muy buen aislante - la segunda capa sería el aislante propiamente dicho (lana de vidrio, amianto, corcho, …), que no podría resistirlas elevadas temperaturas del horno - la tercera capa, y normalmente la última, suele ser una chapa metálica de protección mecánica del aislante (erosión por agentes externos)

RESISTENCIA DE CONTACTO Cuando se ponen en contacto diferentes superficies, aparece una resistencia térmica en la interfase de los sólidos, denominada frecuentemente térmica de contacto, se desarrolla cuandoenlosestos dos casos materiales no tienen un contacto perfecto y quedaresistencia una fina capa de fluido atrapadoque entre ellos. De hecho, solamente hay contacto en determinadas zonas (Figura 2.2).


T0 T1 T1* �

q

x

1

T2 e1

2

e2

Figura 2.2. Aislantes en serie. Resistencia de contacto. La resistencia de contacto es función principalmente de la rugosidad de la superficie, de la presión entre las superficies, del fluido que se encuentra atrapado en la interfase y de la temperatura de la interfase. En la interfase el mecanismo de transmisión de calor es complejo, ya que hay conducción en los puntos de contacto entre las dos superficies, mientras que el calor se transmite por convección y radiación a través del fluido interfacial. La resistencia de contacto viene definida por: Ri 

Ti  Ti*

(2.8)

q

Cuando dos superficies se encuentren en contacto perfecto, esta resistencia será cero y no habrá diferencia de temperatura en la interfase. Cuando la resistencia de contacto es elevada, se puede reducir su valor introduciendo un fluido con mayor conductividad térmica que la del aire entre las capas (Tabla 2.1). 2

Fluido interfacial

Resistencia, Ri (m .K/W) 2,75.10-4 -4 1,05.10 -4 0,720.10 -4 0,525.10 -4 0,265.10

aire helio hidrógeno silicona glicerina

Tabla 2.1. resistencia térmica de contacto para la interfase aluminio-aluminio (rugosidad 10µm, presión de contacto 105N/m2) 25


MÚLTIPLES CAPAS DE AISLANTE Para el caso de múltiples capas de aislantes (Figura 2.3), despreciando la resistencia de contacto y aplicando el balance microscopio de energía y la ley de Fourier a cada capa de espesor e i y de conductividad ki se obtiene un perfil lineal de temperatura en cada una de las capas: T  Ti 1 (2.9) T ( x i )  Ti 1 � i  xi ei Aplicando el balance de energía a los N espesores (ec. 2.7) y dado que el calor que atraviesa cada capa es el mismo, se llega a: T  T1 T1  T2 TN 1  TN Q 0 (2.10)  � e1 k 1 .A

e2 k 2 .A

eN k N .A

Sumando denominadores y numeradores se eliminan las temperaturas intermedias y se obtiene: T  TN T T Q N 0  0N N  e  Ri   i 1 i  1  k.A  i





(2.11)

T0 T1 T2 Q

x

Q

TN-1 e1

e2

eN

k1

k2

kN

TN

Figura 2.2. Aislantes en serie. Perfil de temperatura Esta ecuación es análoga a la aplicación de la ley de Ohm al cálculo de intensidad de corriente en resistencias en serie; por lo que el potencial térmico es proporcional a cada resistencia según la expresión. Ti 1  Ti T0  TN



(e / k ) i N



Ri N

� (e / k ) i

�Ri

i 1

i 1

(2.12)

2.2.1.1. CAPA PLANA CON GENERACIÓN DE CALOR (CAPA FUENTE) Sea una placa plana de espesor eF y con las demás dimensiones infinitas en la que se genera calor de forma uniforme, ge (Figura 2.4). En estado estacionario se cumple:

26

. n ó i c c u d n o c r o p r o l a c e d n ó si

e k F  T� g0 2

T0

kF ge

que en coordenadas cartesianas y una dirección se convierte en:

TF kF 

x T

d 2T dx 2

� ge  0

las condiciones límite son:

eF

x

CL1: x = 0 CL2: x = e

F

� �

i m s n ra T

T = T0 T = TF

Figura 2.4. Generación en placa plana Integrando una vez:

dT dx

 

ge kF

Integrando dos veces:

x � C1

ge

 T

2 ��

2k F

x

C1x C 2

Aplicando las condiciones límite se obtiene el perfil de temperaturas, que corresponde a la ecuación de una parábola invertida:

T  T�0

TF  T0 �

eF



x

g e x � eF  x)  kF

2

(2.13)

La densidad de flujo de calor en cada superficie de la placa se obtiene a partir de la ley de Fourier, q = -k.(dT/dx). - Para x = 0

- Para x = eF

q0



kF 

qF



kF 

T0  TF eF T0  TF eF



�

g e .e F 2 g e .e F 2

(2.14)

(2.15)

De lo que se deduce que la densidad de flujo de calor que sale por la cara L es igual a la que entra por la cara 0 más la generación multiplicada por el espesor de la capa:

qF



q 0 � g e .e F

(2.16)

A partir de las ecuaciones (2.14) y (2.15) se puede analizar el sentido que tendrán q0 y qF: En la ecuación (2.15) se puede ver que qF tiene siempre signo positivo, dado que los dos sumandos de la ecuación son positivos. En otras palabras, en las figuras 2.4 y 2.5 qF va de izquierda a derecha (de la zona de mayor temperatura, T0, a la de menor temperatura, TF). Para entender el sentido de q0 hay que observar la ecuación (2.14). Se pueden dar tres situaciones distintas:

27


Situación A: kF 

TT 0F



eF

Situación B:

ge  eF

kF 

2

TT 0F

q0 > 0

ge  eF



eF

Situación C: kF 

2

ge  eF 2

T0

TF

TF

ge

qF

ge

qF

SituaciónA



q0 < 0

T0

q0

F

eF

q0 = 0

T0 ge

TT 0 

q0

SituaciónB

TF

qF

SituaciónC

Figura 2.5. Sentido de q 0 y de qF

Para elyacaso de visto una pared formada por 2.6), capas planas con generación en una de ellas como se ha anteriormente, en múltiples las capas sin generación el flujo de calorde quecalor atraviesa cada capa (Figura se mantiene constante, mientras que en la capa fuente hay que tener en cuenta que se cumple la ecuación (2.14) en la pared más caliente (0 en la figura) y la (2.15) en la pared más fría (F en la figura). En la situación que se está estudiando ahora se tiene a un lado de la capa fuente Q0, que atraviesa las capas 1 y 2; y por el otro lado de la capa fuente se tiene QF, que atraviesa las capas 3 y 4. R0 T1

T1 > T4

RF

T2

T0

TF

T3

T4

e1

e2

eF

e3

e4

k1

k2

kF

k3

k4 QF

Q0 ge 1

2

0

F

3

RTOTAL Figura 2.6. Múltiples capas con generación A partir de la ecuación (2.16) se encuentra la relación que existe entre Q0 y QF: QF



Q 0 � g e .e F .A 28

4


Según la figura 2.6 y teniendo en cuenta la ecuación (2.14):

Q0

T

1  

T2

T2

T

0

0

TF

T

g .e .A

e F

e1

e2

eF

k1.A

k 2 .A

k F .A

TT Q FF  3 3 e3

2

4



T

k 3 .A



T

e4 k 4 .A

y combinando la ecuación anterior con la (2.16’) T

Q0

F  

T3

T3  T4 g e .e F .A

e3 k 3 .A

i m s n ra T

g e .e F .A

e4 k 4 .A

Operando: Q0

Q0

T

1 



T2

T2

T0



e1

e2

k1.A

k 2 .A

T1 T2

T2

�

 

RR1

�

�T0  TF  

g e .e F .A

eF

� TF  T3   ge .eF .A

2.k F .A 

eF k F .A

T0

R2

� T0

T F  g .ee .AF

�



�



R CF

Q0



T1



R CF 2

� TF 

T4  g e .e F .A

e3

e4 k 4 .A

g .ee .A.R �  F

T3

��



� T3

k 3 .A

R

T4

e3 k 3 .A

3

RF

g e .e F .A

TOTAL

��

3

T

T

3

e4 k 4 .A

g .e .A.R e F

4

4

4

(2.17)

TOTAL

R R donde RTOTAL es la resistencia total a la transmisión de calor y R F es la resistencia a la transmisión de calor de la pared medida desde el eje central de la capa fuente hasta el la pared exterior a menor temperatura. RF



1 2

RR CF �

3 �

R4

Análogamente, el flujo de calor que atraviesa las caras F, 3 y 4 es: QF



T1



T4

R TOTAL

�

g e .e F .A

R0 R TOTAL

(2.18)

donde R0 es la resistencia a la transmisión de calor de la pared medida desde la pared exterior a mayor temperatura hasta el eje central de la capa fuente. R0



R1 � R 2 �

1

R CF

2 Lógicamente, R0 + RF = RTOTAL

2.2.2. Capa cilíndrica La forma más utilizada para aislar térmicamente conducciones cilíndricas por las que circulan fluidos que deben mantener sus condiciones térmicas (vapor de agua, refrigerantes, etc.) consiste en rodear al tubo con un espesor uniforme de un material aislante. Resulta interesante evaluar lo que sucede en esta geometría con el perfil de temperatura y el flujo de calor. 29


T0

r0 r1

T1

e

.

Figura 2.7. Capa cilíndrica. Perfil de temperatura. Para un anillo cilíndrico de altura infinita, con radios r0 y r1, y temperaturas superficiales T0 y T1 respectivamente, el balance de energía, utilizando coordenadas cilíndricas, y teniendo en cuenta que sólo se produce transmisión de calor en sentido radial conduce a la siguiente ecuación: 1



r r

�rq r   0

donde qr es la componente radial de la densidad de flujo. qr sólo es función del radio, r, por lo que el producto del radio por la componente radial de la densidad de flujo de calor es constante:

r.qr = cte.

lógico, ya que el caudal o flujo de calor Q = 2.�.L.r.qr es independiente de r. Aplicando la ley de Fourier resulta: � rk

dT dr



cte.

suponiendo que la conductividad es constante, y aplicando las dos condiciones límite C.L.1

r = r0

→

T=T

0

C.L.2

r = r1

→

T=T

1

se obtiene un perfil logarítmico de la temperatura: T  T0 � (T0 � T1 ).

ln(r / r0 ) ln(r1 / r0 )

(2.19)

Teniendo en cuenta que el espesor de aislante, e, es igual a r0-r1, puede demostrarse que a medida que el radio r 1 tiende a r0, la ecuación 2.19 tiende a proporcionar un perfil lineal análogo al de la ecuación 2.6 para la capa plana. Si L es la longitud del cilindro, el caudal de calor resulta: Q  2 rLq r 

T0 � T1 T � T1  0 ln(r1 / r0 ) e 2kL

(2.20)

k.A ml

donde Aml es la media logarítmica de las dos superficies cilíndricas (interior y exterior). Análogamente a lo que pasa con el perfil de temperaturas a medida de que los radios se aproximan en su valor, la media logarítmica tiende a la media 30

aritmética, y en el límite se obtiene la misma ecuación que para la capa plana. Para combinaciones de espesores de diferentes materiales se puede obtener una expresión muy similar a la de la capa plana (2.10 y 2.11): Q

T0 � T1 T �T  �  N �1 N  �  e1 eN k 1 .A ml,1

k N .A ml, N

T0 � TN

 e     i  1  k.A ml  i N

(2.21)

en este caso también se cumple que el potencial térmico de cada capa es proporcional a su resistencia:

 e � k.A ml  i Ri    N N T0 � TN  e � k.A ml i  R i

Ti �1 � Ti

i 1

i 1


2.2.3. Capa Esférica Para el almacenamiento de líquidos a baja temperatura (gas natural licuado, nitrógeno, etc.) suelen usarse recipientes esféricos -debe tenerse en cuenta que un líquido ocupa menos espacio que un gas por lo que es interesante estudiar económicamente la posibilidad de almacenarlo como líquido a presión moderada en lugar de como gas a presión elevada-. La forma mas corriente de aislar térmicamente estos recipientes consiste en rodear la esfera con una capa de aislante de espesor uniforme. Para esta geometría se estudiará el perfil de temperatura y el flujo de calor. Se considerará una esfera de radio r 0 recubierta con un material de conductividad térmica k, hasta un espesor de radio r1, con unas temperaturas extremas de T 0 y T1, respectivamente.

T0 r0

T1

r1 e r lo a c

Figura 2.8. Capa esférica. Perfil de temperatura. Dada la simetría del sistema se usarán coordenadas esféricas en la expresión del balance microscópico de energía, el cual, suponiendo que sólo hay densidad de flujo de calor en la dirección radial, quedará en la forma: 1



�r q   0 2

r 2 r

r

con lo que se tendrá 2

r .qr = cte.

31


confirmando que el caudal o flujo de calor Q = 4�.� 2.qr es independiente de r. Por aplicación de la ley de Fourier se llega a �r

2

.k

dT



dr

cte.

Ahora, suponiendo que la conductividad térmica es constante, y por aplicación de las dos condiciones límite

C.L.1 C.L.2

r = r0 r = r1

→ →

T=T T=T

0 1

se obtiene el siguiente perfil de temperatura expresado como: T  T0

� (T0 � T1 )

1 / r � 1 / r0

(2.22)

1 / r1 � 1 / r0

y un valor del flujo o caudal de calor, Q, igual a: Q  4 r 2 q r



T0 (1 / r0

� T1 � 1 / r1 )

4k



T0

� T1

(2.23)

e k.A mg

donde e es el espesor del aislante y Amg es su área media geométrica. Esta ecuación es la misma que para la capa plana o la cilíndrica, con la diferencia de que el área se expresa como media geométrica. Cuando el espesor del aislante tiende a cero, la media geométrica tiende a la media aritmética. Cuando se dispone de una serie de N aislantes, la ecuación anterior se transforma en: Q

T0  T1 T T  �  N 1 N  �  e1 eN k 1 .A mg ,1

k N .A mg, N

T0  TN

 e    i  1  k.A mg N

   i

(2.24)

y además:

e � k.A mg   i  R i  N N T0  TN e � k.A mg    R i    i i 1 i 1

Ti 1  Ti

Ejemplo 2.2 Un recipiente esférico de 2 m de diámetro interior y 1 cm de espesor (acero inox. k = 17,5 J/(m.s.K)) contiene

un gas licuado a -22ºC. Si se le recubre de una capa aislante (k = 0,070 J/(m.s.K)) de 3 cm de espesor calcular el calor que se debe eliminar del recipiente para mantener el gas licuado. Suponer que la temperatura de la pared exterior es igual a la del ambiente (20ºC). Solución

En primer lugar se evaluará la “resistencia” del acero R1 = e1/(k.Amg)1 e=1 0,01 m

T

D =02 m

A

D=1 2,02 m

A

0

= -22ºC

0

= �.D02 = 4� m 2

1

= �.D12 = 4,08� m2

Amg,1 = 4,04� m 2

con lo que R 1 =4,50 10-5 K.s/J

32


Para el aislante R2 = e2/(k.Amg)2 e=2 0,03 m

T

2

= 20ºC

D=1 2,02 m

A

1

= �.D12 = 4,08 � m 2

D=2 2,08 m

A

2

= �.D22 = 4,33 �m2

Amg,2 = 4,20 � m2

con lo que R2 =0,03247 K.s/J La resistencia total es y el caudal de calor

R = R1 + R2 = 0,03251 K.s/J Q = (T

0

- T2)/(R1+R2 ) = (-22-20)/(0,03251) = - 1292 W

Valor que resulta negativo porque el calor entra al recipiente esférico.

i m s n ra T

La temperatura en la interfase, T1, puede estimarse a partir de la ecuación (2.18)

Q

T0  T1

T1  T2



R1

R2



T0  T2 R1 � R 2

dado que R2 es mucho mayor que R 1, T1 se hallará muy próximo al valor de T 0 (-22ºC). Operando, se obtiene T1 = -21,94 ºC.

2.2.4. Transmisión de calor es estado estacionario en dos direcciones Cuando la geometría del sistema donde se realiza el balance microscópico de energía es tal que no se puede reducir el problema de transmisión de calor a una sola coordenada, la determinación del perfil de temperaturas se debe realizar, por lo general, mediante métodos numéricos. El caso más sencillo corresponde a considerar dos direcciones en coordenadas cartesianas y conductividad térmica constante. El balance microscópico de energía se reduce a: 

2

T

x

2

�



2

T

y

2



0

(2.25)

Esta ecuación tiene solución analítica sólo en determinados casos, como un paralelepípedo rectangular, con una cara a temperatura T1, dos caras adyacentes sometidas a la misma temperatura T2 y la otra cara adiabática (Figura 2.9) En este caso las condiciones limite se pueden expresar como:

CL1:

x=0

0
T = T2

CL2:

x =A

0
T = T2

CL3: CL4:

y=0 y=B

0
∂T/∂y = 0 T = T1

r lo a c

Para encontrar la solución analítica a la ecuación (2.25), es necesario introducir como variable una temperatura adimensional definida como:

33


Y

T  T2



T1  T2

T1

Usando la temperatura adimensional la ecuación (2.25) se convierte en: 2

  x

T

2

2

�

  y

2



0

(2.26)

T 2

2

y las condiciones límite:

B X

adiabático

CL1:

x=0

0


=0

CL2:

x=A

0


=0

CL3:

y=0

0
/y

CL4:

y=B

0


=0

=1

A Figura 2.9. Transmisión de calor en dos direcciones

Se llega de esta manera un problema de resolución de una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales homogénea y con todas las condiciones de contorno, excepto una, también homogéneas, por lo que puede resolverse utilizando el método de separación de variables. Este método consiste en suponer que la función θ(x,y) puede sustituirse por el producto de una función exclusiva de x , R(x), por otra función exclusiva de y, P(y). Es decir: θ(x,y) = R(x).P(y) sustituyendo en la ecuación 2.26 resulta 2

1 d R R dx 2

2



1d P P dy 2

 a

2

Dado que R sólo es función de x y P sólo es función de y, ambos miembros de la ecuación deben de ser iguales a una constante, que se denominará - a2. Se tienen por consiguiente dos ecuaciones diferenciales: 2

d R dx 2

2

�

2

a R



d P

0

dx

2

a

2

P0

cuyas soluciones generales son suma de funciones geométricas: R = A1 sen(ax) + A2 cos(ax) P = B1 senh(ay) + B2 cosh(ay) donde senh(ay) = (exp(ay)-exp(-ay))/2. En consecuencia: θ = (A

1

sen(ax) + A2 cos(ax))(B1 senh(ay) + B2 cosh(ay))

ecuación en la que se deben determinar a, A1, A2, B1 y B2 a partir de las condiciones límite: De la CL1 se obtiene: 0 = A2 (B1 senh(ay) + B2 cosh(ay)) 34

con lo que A2 = 0 y se puede reescribir la función θ como θ = sen(ax)(C

1

senh(ay) cosh(ay)) + C2

donde C

i

= Ai.Bi

De la CL2 se obtiene: 0 = sen (aA)( C 1 senh(ay) + C2 cosh(ay)) con lo que la única solución posible es:

sen (aA) = 0

lo que corresponde a las infinitas soluciones es decir la constante de integración a es:

(i = 1....∞) a = i�/A

aA = i� (i = 1....∞)

y por consiguiente la función θ θ = sen(i�x/A)(C

1


senh(i�y/A) + C2 cosh(i�y/A))

Efectuando la derivada parcial respecto a y e igualando a cero (CL3) resulta: θ = sen(i�x/A)( i�A C

1

cosh(0) + i�/A C2 senh(0)) = sen(i�x/A)(i�/A C1)

con lo que C1 = 0 y la función θ queda como: θ = C2 sen(i�x/A) cosh(i�y/A) Falta aplicar el valor de la última condición de contorno (CL4). Como el valor de la constante C2 dependerá del valor de i ( i = 1,...∞) existirán infinitos valores de la constante C 2 con lo que la función θ deberá expresarse como un sumatorio de todas las soluciones posibles. Es decir: 

 �  C i sen(ix / A) cosh(iy / A) i �1

Aplicando la última condición límite (CL4) resulta 

1�

 C sen(ix / A) cosh(iB / A) i

i �1

el problema ahora es como elegir los infinitos C i de forma que la serie infinita sea igual a la unidad en el intervalo 0
 D sen(ix / A) i

i �1

en el caso especial de F(x) = 1. Por las propiedades de las series de Fourier, se tiene Di �

2 A

A

 F(x )sen(ix / A).dx 0

por tanto, como en este caso F(x) = 1, la integración de la expresión anterior conduce D i  C i cosh(iB / A) 

35

2 i

(1  cos(i))


es decir, Ci es igual a: Ci 

2(1  cos(i)) i cosh(iB / A)

Desglosando los valores de C i entre los de índice par (C 2i) y los de índice impar (C 2i-1), comprobarse que

C 2i 1 

C2i = 0 4 (2i  1) cosh((2i  1)B / A)

con lo que la distribución de temperaturas en el estado estacionario es: T  T2 4  cosh((2i  1)y / A )sen ((2i  1)x / A )



T1  T2







( 2i  1) cosh((2i  1) B / A )

i 1

(2.27)

donde cosh es la función coseno hiperbólico cosh (a) = (exp(a)+exp(-a))/2. Esta ecuación es de difícil aplicación. Por lo que en bastantes problemas de transmisión de calor conviene buscar otros métodos de resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

La ecuación del balance microscópico de energía puede resolverse de una forma numérica pasando las ecuaciones en derivadas parciales a ecuaciones en diferencias finitas. Para ello, en primer lugar, debe parcelarse el sistema donde se aplica el balance según un incremento de x, ∆x, y un incremento de y, ∆y. La figura 2.10 muestra lo que sería una cuarta parte de una chimenea rectangular parcelada según x e y.

En la parcelación se numeran los denominados nodos (m,n) a partir del valor (0,0), según los ejes x e y, de forma que el nodo (m,n) tiene una posición relativa (x,y) respecto a un sistema coordenadas de x = m.∆x y = n.∆y Aplicando la fórmula de Taylor hasta el tercer término al nodo (m,n) se obtiene: ► Dirección eje x: Tm �1, n  Tm , n � 

1   2T   T  2   x �  2   �x  2  x  m ,n  x  m ,n

(2.28)

1   2T   T  2 Tm 1, n  Tm , n   x   x � 2  x 2   �x    m,n   m,n

(2.29)

36


m-1,n+1

m,n+1

m+1,n+1

m-1,n

m,n

m+1,n

m-1,n-1

m,n-1

m+1,n-1

i m s n ra T

Figura 2.10. Resolución numérica de la ecuación de Laplace

► Dirección eje y:

 T   Tm ,n �1  Tm , n �  y  

 m ,n

 y �

1   2T 

   �y  2  y 2  m , n

2

 T  1   2T    y �  2   �y 2 Tm , n 1  Tm , n   2  y  m ,n  y  m ,n

(2.30)

(2.31)

Operando con las ecuaciones (2.28) a (2.31), las primeras y segundas derivadas parciales se pueden evaluar como (2.28) – (2.29):

Tm �1, n  Tm 1, n  T      x 2x   m ,n

(2.32)

(2.28) + (2.29):

T   2T   2Tm,n � Tm 1,n  2   m �1,n ( x ) 2  x  m , n

(2.33)

(2.30) – (2.31):

T  Tm ,n 1  T     m ,n �1  y 2  y   m ,n

(2.34)

(2.30) + (2.31):

T  2Tm,n � Tm ,n 1   2T   2   m,n �1 (y) 2  y  m,n

(2.35)

37


Sustituyendo las ecuaciones (2.33) y (2.35) en la ecuación diferencial (2.25) se obtiene: Tm �1,n  2Tm ,n � Tm 1, n ( x ) 2

�

Tm , n �1  2Tm , n � Tm ,n 1 ( y) 2

0

En el caso de que el enrejado sea cuadricular (∆x = ∆y), la ecuación anterior se simplifica a la siguiente expresión:

�T

m �1, n

� Tm1,n � Tm ,n �1 � Tm,n 1   4Tm ,n  0

(2.36)

Las condiciones límite también se deben poner en forma de ecuaciones algebraicas en las que aparezcan los nodos. ► La condición de que en la pared (eje X en la Figura 2.11) la temperatura sea T0 viene dada por las ecuaciones:

Tm,0  T0 m  0,1 , 2,. .., M

(2.37)

(-1,2)

(0,2)

(m,2)

(-1,1)

(0,1)

(m,1)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(m,0)

Figura 2.11. Condiciones límite ► La condición de que una pared (eje Y en la Figura 2.11) sea adiabática viene dada por:

 T    0  x  0,n

n  1, 2, ..., N

y aplicando la ecuación (2.32) se transforma en:

T1,n  T1,n

n  0,1, 2, ..., N

(2.38)

apareciendo una línea ficticia de nodos fuera del sistema. Si la pared adiabática no fuera paralela a uno de los dos ejes, las ecuaciones resultantes serían algo más complejas, debiéndose aplicar el balance en cada nodo de la pared. Las ecuaciones 2.38 son las mismas que para una condición de máximo, de mínimo o de simetría respecto a un plano paralelo al eje Y. ► Si en alguna pared se produce entrada o salida de energía por convección se deberá realizar un balance en cada nodo. A continuación se desarrollará para un nodo lateral y para un nodo punta.

38

Te


Te 1

0

2

1

0

y

y

3

3 x

2

i m s n ra T

x

Figura 2.12. Nodo lateral.

Figura 2.12. Nodo punta.

NODO LATERAL: Si h es el coeficiente de convección y z es el espesor del sistema (dirección eje z), el balance del nodo 0 será, de acuerdo con la Figura 2.12: → Flujo de calor que va de los nodos 1, 2 y 3 al nodo 0:

Q123



T1  T0 x

k

y

2

T2  T0

z �

x

k

y

2

z �

T3  T0 y

 k  x  z

→Flujo de calor del exterior al nodo 0:

Qe = h · (Te - T0) · Δx· z → En el estado estacionario:

Q123 + Qe = 0 Para un enrejado cuadrado (Δx = Δy):

T1

�

T2

�

2T3



4T0

�

2

h.x k



�Te  T0   0

Definiendo el número de Biot como:

Bi 

h.x

(2.39)

k se obtiene la siguiente expresión: T0



T1

�

T2

�

2T3

�

2.Bi.Te

2.Bi � 4

(2.40)

en el caso de que sea una pared adiabática se cumple que Bi = 0, por lo que la ecuación 2.40 quedará como: T0 

T1 � T2 � 2T3 4 39

(2.41)


NODO PUNTA: A partir del dibujo de la Figura 2.13: → Flujo de calor que va de los nodos 1 y 2 al nodo 0:

Q12 

T1  T0

x

k

y 2

z �

T2  T0

y

k

x 2

z

→ Flujo de calor del exterior al nodo 0:

 x y  Q e  h  �Te  T0    2 � 2   z → En el estado estacionario:

Q12 + Qe = 0 Para un enrejado cuadrado (∆x = ∆y):

T1 � T2  2T0 � 2 

T0 

h.x k

 �Te  T0   0

T1 � T2 � 2.Bi.Te

(2.42)

2.Bi � 2

en el caso de que sea una pared adiabática se cumple que Bi = 0, por lo que la ecuación (2.42) quedará como: T0  T1 � T2 2

(2.43)

Para un NODO INTERIOR se puede realizar también un tratamiento similar al efectuado para los nodos laterales y nodos punta:

m,n+1

m-1,n

m,n

y

m+1,n

m,n-1

x

El calor que llega al nodo (m,n) procedente de los nodos adyacentes será: Q

Tm , n �1  Tm , n y

 k.x.A �

Tm ,n 1  Tm ,n y

 k.x.A �

Tm �1, n

 Tm , n

x

 k.y.A �

Tm 1,n

 Tm , n

x

 k.y.A

En estado estacionario, y para un enrejado cuadrado:

Tm , n



Tm, n �1 � Tm ,n 1 � Tm�1, n 4

40

� Tm 1,n

(2.44)

La resolución de la ecuación en diferencias finitas del modelo de transmisión de calor en dos direcciones (2.30) junto con las adecuadas condiciones límite (ecuaciones 2.31 a 2.37) puede efectuarse de diversas formas. Los principales métodos son tres: - Método analítico - Método de Liebmann - Método de Relajación

A. MÉTODO ANALÍTICO Como puede apreciarse, tanto las ecuaciones del balance como las condiciones límite son ecuaciones algebraicas lineales. Estas ecuaciones conducirán a un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas con lo cual la solución será única. Además, si se utilizan pocos nodos (m,n) será fácil de resolver. A medida que se desea mayor precisión; es decir, si se disminuye el valor de ∆x = ∆y, aumenta el número de nodos y, por consiguiente, el número de ecuaciones a tratar y de incógnitas (T m,n) a evaluar. Conviene señalar que, a veces, por tener mayor precisión en las temperaturas de una dirección que en las de la otra, resulta conveniente parcelar de forma diferente los ejes x e y. En este caso, tanto la ecuación fundamental, 2.36, como las condiciones límite deben adaptarse a este nuevo enrejado.


B. MÉTODO DE LIEBMANN La ecuación 2.44 indica que la temperatura en cualquier nodo del interior del sistema es la media aritmética de las cuatro temperaturas de los cuatro nodos adyacentes. El método de Liebmann (Figura 2.14) consiste en suponer el valor de la temperatura en la mitad de los nodos del enrejado de forma alternada (O). Con estos valores, y utilizando la ecuación (2.44), se calculan las temperaturas en los otros nodos (×). A partir de los valores obtenidos para los nodos (×) se recalculan los supuestos inicialmente (O). Si no coinciden, se sigue iterando.

Figura 2.14. Método de Liebmann

r lo a c

El método finaliza cuando dos resultados consecutivos difieran una cantidad previamente fijada (error) en TODOS los puntos del enrejado.

C. MÉTODO DE RELAJACIÓN El método de relajación consiste en suponer los valores de la temperatura en todos los nodos del enrejado y, a partir de estos valores, calcular los errores Em,n asociados al balance de energía en cada nodo (m,n) mediante la expresión:

E m ,n



�T

m , n �1 �

Tm, n

1 �



41

Tm

1, n �

�

Tm

1, n







4Tm, n

(2.45)


A continuación se corrigen estas temperaturas, inicialmente supuestas, para que estos errores, Em,n, tiendan a cero. Para esta corrección, la expresión más sencilla que se recomienda es la siguiente:

�T  �  T

E m,n

t (2.46) 4 siendo t el índice de la iteración. La ecuación (2.46) es una aproximación al método iterativo de Newton-Rapson para el caso de ser Em,n sólo función de Tm,n. m , n t �1 

m,n t �

Mediante este método a la temperatura inicialmente supuesta, (T m,n)0, se le suma la cuarta parte del error (E m,n)0, y se obtiene una primera aproximación de la temperatura (Tm,n)1. Con estos valores, se calculan los errores (Em,n)1 y, usando la ecuación anterior (2.46) se obtendrán unos valores más próximos a la solución (T m,n)2. Se opera así, sucesivamente hasta que los errores, (Em,n)t, en todos los puntos del enrejado sean menores que un valor previamente fijado. El método de relajación suele converger muy rápidamente hacia la solución en las primeras iteraciones, pero se vuelve lento a medida que se aproxima a ella. Ejemplo 2.3

Y Considérese el sistema de la figura 2.9, con temperaturas de: T1 = 0 ºC T2 = 100ºC y unas dimensiones de: A = 20 cm B = 30 cm usando un parcelado de 10 cm, evaluar la temperatura en los puntos (10 cm, 0 cm), (10 cm,10 cm) y (10cm, 20 cm).

T1

T2

T2 B

Suponer T(0 cm, 30 cm) = T(20 cm, 30 cm) = 100 ºC

X adiabático A Solución

Se usará una malla cuadrada, es decir ∆x = ∆y = 10 cm y la temperatura en un punto (x,y) se denotará como Tm,n = T(x,y) tal que x = m ∆x y = m ∆y En primer lugar conviene identificar las temperaturas conocidas. Así, la tabla siguiente muestra las temperaturas conocidas de acuerdo con los ejes de la figura del problema.

Tm,n y = 0 cm n=0 y = 10 cm n=1 y = 20 cm n=2 y = 30 cm n=3

x = 0 cm m= 0

x = 10 cm m=1

x = 20 cm m=2

100

100

100

100

100

100

100

0

42

100


Los nodos a buscar son T1,0 (10 cm, 0 cm), T 1,1 (10 cm, 10 cm) y T 1,2 (10 cm, 20 cm). El balance en el nodo (1,0) representa una condición adiabática (ecuación 2.41): (2×100+2×T1,1) - 4 T1,0 = 0 el balance en el nodo (1,1) es (ecuación 2.36): (T1,0+T1,2+100+100) - 4 T1,1 = 0 el balance en el nodo (1,2) es (ecuación 2.36):

i m s n ra T

(T1,1+100+100+0) - 4 T 1,2 = 0 De las ecuaciones anteriores resolviendo analíticamente se obtien e: T1,0 = 96,15ºC T1,1 = 92,31ºC T1,2 = 73,08ºC La tabla E.1 muestra las iteraciones realizadas en los tres nodos (1,0), (1,1) y (1,2), utilizando el método de Liebmann y suponiendo un valor inicial de 0ºC para los nodos (1,0) y (1,2).

Se puede apreciar la buena convergencia del método: los valores obtenidos en la iteración 4 ya son suficientemente buenos, aunque si se quiere mejorar el resultado se deberá proseguir con la iteración.

n=0 n=1 n=2 n=3 n=0 n=1 n=2 n=3 n=0 n=1 n=2 n=3 n=0 n=1 n=2 n=3

m=0 m=1 valor inicial 100 0 100 100 0 100 0 iteracion 1 100 100 50,00 100 100 0 iteración 2 100 75,00 100 100 62,50 100 0 iteración 3 100 100 84,38 100 100 0

m=2 100 100 100 100

n=0 n=1 n=2 n=3

100 100 100 100

n=0 n=1 n=2 n=3

100 100 100 100

n=0 n=1 n=2 n=3

100 100 100 100

n=0 n=1 n=2 n=3

m=0 m=1 iteración 4 100 92,19 100 100 71,09 100 0 iteración 5 100 100 90,82 100 100 0 iteración 6 100 95,41 100 100 72,70 100 0 iteración 7 100 100 92,03 100 100 0

Tabla E.1 resultados obtenidos por el método de Liebmann en el ejemplo 2.3.

43

m=2 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100


nodos (1,0) (1,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2)

Temp (ºC) valor inicial 100.00 100.00 100.00 iteración 1 100.00 100.00 75.00 iteración 2 100.00 93.75 75.00 iteración 3 96.88 93.75 73.44 iteración 4 96.88 92.58 73.44

Error (ºC)

nodos

0.00 0.00 -100.00

(1,0) (1,1) (1,2)

0.00 -25.00 0.00

(1,0) (1,1) (1,2)

-12.50 0.00 -6.25

(1,0) (1,1) (1,2)

0.00 -4.69 0.00

(1,0) (1,1) (1,2)

-2.34 0.00 -1.17

(1,0) (1,1) (1,2)

Temp (ºC) iteración 5 96.29 92.58 73.14 iteración 6 96.29 92.36 73.14 iteración 7 96.18 92.36 73.09 iteración 8 96.18 92.32 73.09 iteración 9 96.16 92.32 73.08

Error (ºC) 0.00 -0.88 0.00 -0.44 0.00 -0.22 0.00 -0.16 0.00 -0.08 0.00 -0.04 0.00 -0.03 0.00

Tabla E.2. resultados obtenidos por el método de relajación en el ejemplo 2.3. En la tabla E.2 se muestra el desarrollo del método de relajación. Nótese la muy buena convergencia para los valores en los nodos (1,0) (1,1) y (1,2), que han sido inicializados a temperatura de 100ºC para cada nodo. Para obtener una mayor precisión en las temperaturas sería conveniente aumentar el número de nodos o, lo que es lo mismo disminuir los valores de ∆x=∆y. De esta manera sería mucho más preciso el trazado de las isotermas y de las adiabáticas para poder evaluar el caudal de calor.

En el caso de la transmisión de calor con “generación de calor” en dos direcciones y utilizando coordenadas cartesianas, puede aplicarse el método de las diferencias finitas con resolución analítica del sistema de ecuaciones algebraicas o con métodos numéricos parecidos al de relajación. Cuando se utilizan coordenadas cilíndricas o esféricas los métodos numéricos se complican.

COORDENADAS CILÍNDRICAS Así como las tres coordenadas cartesianas son equivalentes, las cilíndricas no lo son. Para el caso de transmisión de calor por conducción en estado estacionario y sin generación de calor, el desarrollo en coordenadas cilíndricas lleva a la ecuación (2.5.2), en la que se puede ver claramente la no equivalencia de las mismas. 1   T  1  2 T  2 T � 2 0 r � r r  r  r 2  2 z

(2.5.2)

En este apartado se desarrollarán dos de los casos posibles para la transmisión de calor por conducción en dos direcciones en geometría cilíndrica: i) conducción en las direcciones r y z; ii) conducción en las direcciones r y θ. Tal y como se ha visto en coordenadas cartesianas, las ecuaciones en diferencias finitas se pueden obtener a partir del desarrollo de Taylor y de la aplicación del balance de calor a un volumen de control. Para la primera situación (direcciones r y z) se aplicará el desarrollo de Taylor, mientras que para la segunda (direcciones r y θ) se utilizará el volumen de control.

44


i) Conducción en las direcciones r y z: 1   T   T 0 r � r r  r  z 2 2

o, lo que es lo mismo:

 2 T 1 T  2 T � � 0 r 2 r r z 2 Empleando un enrejado en r y z tal que r = m.∆r

i m s n ra T

z = n.∆z se obtiene la siguiente ecuación: Tm �1,n  2Tm ,n � Tm 1,n



�r

2

�

1

Tm �1,n  Tm 1,n

m.r

2.r �

�

Tm ,n �1  2Tm ,n � Tm ,n 1

z

2

0

Utilizando un enrejado cuadrado ( ∆r =∆z), se obtiene:

2m � 1 2m

Tm �1, n �

2m  1 2m

Tm 1, n � Tm, n �1 � Tm, n 1  4Tm ,n  0

(2.48)

Como en el caso de las coordenadas cartesianas, el valor en el nodo central (m,n) es función de los valores en los cuatro nodos adyacentes, (m+1,n) (m-1,n) (m,n+1) (m,n 1), pero en este caso el valor m del número de nodo en la dirección r interviene en la ecuación con lo que ya no se puede usar el método de Liebmann para la resolución del sistema.

ii) Conducción en las direcciones r y θ: En la figura 2.15 se muestra la conducción de calor en las direcciones r y θ, según coordenadas cilíndricas.

(r+r/2).

m,n+1 r.

m,n r+r

r m+1,n

m-1,n

 r

(r-r/2).

m,n-1 r-r

Figura 2.15 Transmisión del calor en las direcciones r,θ. En esta geometría el volumen de control depende de la posición radial, cuanto más alejado del centro se encuentre, mayor será dicho volumen.

45


► Flujo de calor por unidad de longitud axial, Q r, que llega de (m,n-1) y (m,n+1):

 

Qr  k   r 

Tm , n 1  Tm , n T T r  r   � k   r �     z  m ,n �1 m ,n     z  r r 2  2  

► Flujo de calor de los nodos (m+1,n) y (m-1,n):

Q   k  r  z 

Tm 1,n  Tm ,n r.

� k  r  z 

Tm�1, n  Tm, n r.

► En estado estacionario, en cada nodo se cumple que Q r + Qθ = 0, por lo que la expresión que queda para cada nodo interior es:

r r.

�T

m 1, n

 2Tm ,n �T�m �1,n �

r.

r

Tm�, n 1  2T m ,n � Tm , n �1 �

 2

Tm, n �1  Tm, n 1  0 (2.49)

Una vez determinadas las temperaturas en todos los nodos conviene trazar las líneas isotermas (líneas de igual temperatura) y las líneas adiabáticas (líneas perpendiculares a las isotermas). Interesa que se formen los denominados cuadrados curvilíneos entre las isotermas y las adiabáticas (ver figura 2.16). Los cuadrados curvilíneos tienen apariencia de cuadrados deformados de medidas ∆I × ∆I.

T0 > T1 I I

i T

T1

i-1 Qi

T0 M canales adiabáticos

N canales isotermos

Figura 2.16. Construcción de la red de isotermas y adiabáticas. Si z es el espesor del sistema (dimensión eje z), el flujo de calor que pasa de T i-1 a T i entre dos líneas adiabáticas es de (para un cuadrado curvilíneo): Q k i 

� T  I z    i I

k z � T

i

�� 

T

i

Ti �1

Ti

independiente del ancho de la red, al ser el cuadrado curvilíneo. Si el número de isotermas trazadas es N+1, el número de canales isotérmicos es N, con lo que, si las isotermas están equiespaciadas, todos los valores de (∆T) i son iguales:

� T i



T0 � T1 N

46

De esta forma, si el número total de canales adiabáticos es M, el flujo de calor será M M i   Q   Q z� k �T0   T1� N i 1

� S k

T0

T1

(2.47)

Al término z·M/N se le denomina factor de forma, y puede encontrarse tabulado para diversas situaciones. A continuación se presentan valores de S para cuatro geometrías distintas. ► Conducción a través de un medio con conductividad térmica constante entre una superficie isoterma y una esfera de diámetro D enterrada a una distancia h debajo de la superficie (h>0):


T0 h

S

2D



1

T1

D 4h

�

D

► Conducción a través de un medio con conductividad térmica constante entre una superficie isoterma y un cilindro horizontal de longitud L y diámetro D, con su eje a una distancia h debajo de la superficie:

T0

S

2L



cosh

1

�

� 2h D 

h L D

h/L << 1 D/L << 1

T1

► Conducción a través de un medio con conductividad térmica constante entre una superficie isoterma y un disco horizontal de poco espesor de diámetro D, situado muy por debajo de la superficie:

T0 h

S

T1

4,45D



1

D

�

D � 5, 67h

 r lo a c

► Conducción a través de un medio con conductividad térmica constante entre una superficie isoterma y un rectángulo horizontal de poco espesor de lados mayor y menor D 1 y D2 enterrado muy por debajo de la superficie: S

T0 h



2D1 ln � 2hD

D1 >> D2 T1

h > 2D

D2 D1

47

2

2




2.2.5. Transmisión de calor en estado estacionario en tres direcciones En la transmisión de calor en tres direcciones, la metodología a usar para resolver numéricamente la ecuación de Laplace es similar a la desarrollada para dos direcciones. El enrejado se deberá hacer en las tres direcciones a considerar. Para el caso más sencillo de coordenadas cartesianas (Figura 2.17) el balance en el nodo (m,n,p), tal que x = m.∆x y = n.∆y z = p.∆z resulta la ecuación:

Tm �1,n , p

�

Tm 1, n ,p

�

Tm, n �1, p

�

Tm ,n 1,p

�

Tm, n , p�1

�

Tm, n , p 1



6Tm, n ,p



0

(2.50)

es decir, la temperatura en el nodo central es la sexta parte de las temperaturas de los nodos adyacentes. Se podrá aplicar por tanto el método numérico de Liebmann para la resolución de los nodos internos. m,n+1,p

m,n,p-1

m-1,n,p

m,n,p

m+1,n,p

z

m,n,p+1 y x

m,n-1,p

Figura 2.17. transmisión de calor en tres direcciones. Coordenadas cilíndricas. Para este caso se podrá utilizar el método de relajación, pero con un “factor de peso” 6 en lugar de 4 para el proceso iterativo de temperaturas. La matriz de errores estará formada por los elementos E m,n,p :

E m , n , p  Tm �1, n ,p � Tm 1, n , p � Tm , n �1,p � Tm, n 1, p � Tm ,n ,p �1 � Tm, n , p 1  6Tm, n , p (2.51) y como forma sencilla de corrección se puede utilizar la siguiente expresión:

�T  �  T m , n , p t �1

m ,n ,p t

�

E m ,n ,p

t

(2.52)

6

2.3 TRANSMISIÓN DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO. APLICACIÓN AL CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE SÓLIDOS. Los tratamientos térmicos realizados a diferentes materiales - templar un metal, congelar o descongelar un producto alimenticio, etc. - suelen ser bastante comunes. En estas operaciones resulta interesante conocer o estimar la evolución del campo de temperaturas en el material para, por ejemplo, calcular el tiempo necesario para tal operación, evitar temperaturas demasiado elevadas o valores altos de la densidad de flujo de calor en algunas zonas del material, etc. La 48

modelización de estas situaciones para cuerpos sólidos consiste en aplicar el balance de energía en condiciones no estacionarias; es decir, la ecuación (2.1)

C v

T t

� �

 .q � g e

(2.1)

que puede interpretarse como: velocidad de acumulación de energía interna igual a entrada de energía interna por flujo molecular (conducción) más velocidad de “transformación” de otros tipos de energía en energía interna. En ausencia de fuentes de energía interna (ge = 0), aplicando la ley de Fourier, para un medio de conductividad constante, se obtiene:

T   2 T t siendo α 

(2.53)

k


(2.54)

.C p

un parámetro denominado difusividad térmica, que depende de las propiedades del sólido (para un sólido C p y Cv son aproximadamente iguales). Las unidades de la difusividad térmica en el S.I. son m 2/s; es decir, las mismas que para otros coeficientes de transporte como la difusividad en la transferencia de materia y la viscosidad cinemática en el transporte de cantidad de movimiento. La resolución de la ecuación 2.53, con las adecuadas condiciones límite, dará información sobre la variación de la temperatura con la posición y el tiempo. Como en el caso de la transmisión de calor en estado estacionario, sólo para geometrías sencillas, conducción unidireccional del calor, y para ciertas condiciones límite, la ecuación 2.53 presenta solución analítica, siendo necesaria la resolución numérica en los demás casos. Para los cuerpos denominados lámina infinita de espesor 2e, lámina seminfinita, cilindro infinito de radio r0 y esfera de radio r0, con ciertas condiciones límite existe solución analítica.

2.3.1. Lámina infinita Sea una lámina infinita de espesor 2e (Figura 2.18), inicialmente a temperatura T0, que se sitúa en un medio a temperatura constante, Te, el cual intercambia calor con la lámina de acuerdo con un coeficiente de convección constante e igual a h.

Te Tw x

r lo a c

e

Figura 2.18. Lámina plana infinita. La ecuación 2.53, en coordenadas cartesianas y para transmisión de calor en la dirección x, se escribe como: T

�

t



2

T

x

y las condiciones límite para este caso serán: 49

2

(2.55)


CL1: En el instante inicial todos los puntos se hallan a la misma temperatura ►

t=0

0
T=T

0

CL2: En el centro de la lámina la temperatura presenta un máximo o un mínimo (existe simetría) ►

t>0

x=0

∂T/∂x = 0

CL3: En la pared de la lámina, el flujo de calor que llega por conducción sale por convección al exterior, o viceversa ►

t>0

x=e

h.(T

-Tw) = -k.(∂T/∂x)w

e

donde Tw es la temperatura en la pared de la lámina(x = e). La derivada se calcula en las condiciones de la pared. Esta condición límite incluye el caso de h → ∞, en el que Tw será constante e igual a Te.

CL3*: ►

t>0

x=e

h→∞

Tw = Te

La resolución analítica de la ecuación 2.55 pasa por la utilización de variables adimensionales: - temperatura adimensional, y:

y

Te � T

(2.56)

Te � T0

- distancia adimensional, n:

n

- tiempo adimensional, Fo:

Fo 

x



(2.57)

e .t

(2.58)

2

e

(número de Fourier)

Realizando los cambios de variable correspondientes la ecuación 2.55 se transforma en: y



 ( Fo)

2

y

n

2



(2.59)

Y las condiciones límite con las nuevas variables quedan como:

CL1:

Fo = 0

0
y=1

CL2:

Fo > 0

n=0

∂y/∂n = 0

CL3:

Fo > 0

n=1

1 y



y n



Bi

donde Bi es el número de Biot:

Bi 

h.e k

(2.60)

en el caso especial de h = ∞ la condición límite 3 resulta más sencilla:

CL3*:

Fo > 0

n=1

y=0

Análogamente al caso de conducción de calor en estado estacionario en dos direcciones, la solución de la ecuación 2.59 pasa por la suposición de que la función y(n,Fo) es el producto de una función exclusiva de la posición adimensional, R(n), por otra función exclusiva del tiempo adimensional, P(Fo), es decir: y(n,Fo) = R(n).P(Fo) 50

con lo que, de la ecuación 2.59, resulta: 1 d 2R R dn 2



1

dP

P d( Fo)

  2

como R y sus derivadas respecto a n son sólo funciones de n, y P y sus derivadas respecto a Fo son sólo funciones de Fo, el miembro de la izquierda será una constante que se denominará β2. Así, se obtienen dos ecuaciones diferenciales d 2R dn 2

dP

� 2R  0

d (Fo)

� 2 P  0


cuyas soluciones son, respectivamente, R = C1 sen(βn) + C2 cos(βn) P = C3 exp(-β2.Fo) con lo que y = C3 exp(-β2.Fo) (C1 sen(βn) + C2 cos(βn)) Si ahora se aplica la CL2 y  C 3 exp�  2 .Fo  �C1 .. cos�0  C 2 ..sen (0)   C1 ..C 3 . exp�  2 .Fo  0 n

y como β y C3 deben ser diferentes de cero resulta C 1 = 0. Por lo tanto, si se toma C = C2.C3 , se podrá expresar y como: y = C exp(β2 Fo) cos(βn) Aplicando la CL 3: n=1 n=1

y = C cos (β) exp(-β2 Fo) (∂y/∂n) = -

βC sen (β) exp(-β2 Fo)

con lo que resulta que el valor de ß cumple: tg() = Bi

Esta ecuación presenta infinitas soluciones, cada una de las cuales se denominará como βi. Para el caso concreto en que el coeficiente de convección es infinito (condición límite CL3*); es decir, Bi =∞, los valores ded βi resultan �/2, 3�/2, 5�/2, etc; es decir: i = (2i-1) /2

(i = 1,2,... )

Debido a los infinitos valores de β la solución general será la suma de todas las soluciones para cada βi, es decir: 

y   C i exp( i2 Fo) cos( i n ) i 1

Los infinitos valores de Ci se obtendrán por aplicación de la condición límite CL1 

1   C i cos( i n ) i 1

51


En la evaluación de los valores de C i se puede aprovechar el hecho de que las funciones cos(βin) son ortogonales, debido a la relación de βi, (ecuación 2.61), en el campo 0 < n < 1; es decir, se cumple que 1

 cos( n ). cos( n )dn  0 i

j

para i = j

0 1

 cos( n ). cos( n)dn  0 i

j

para i

j

0

Así, multiplicando los dos miembros de la ecuación obtenida al aplicar la condición límite CL1 por cos(β n) dn, e j integrando respecto a n entre 0 y 1, resultarán todos los términos de la derecha iguales a cero menos aquel en que i = j. Por tanto: 1

1

 cos( n ).dn  C  cos i

0

como

2

i

( i n ).dn

0

1

1

 cos( n).dn   i

0

1

 cos

2

( i n ).dn

1

1

2

4 i

 �

0

sen( i )

i

sen( 2 i )

resulta Ci

4

sen( i ) 2 i

� sen(2 i )

obteniéndose la ecuación para la variación del perfil de temperaturas adimensional, y(n,Fo), que es y4

sen � i 



 2 i 1

i

� sen �2 i 

 cos� i .n   exp�  i2 .Fo 

(2.62)

donde βi son las infinitas soluciones de la ecuación 2.61:

 i . tg� i   Bi

(2.61)

Para la mayoría de las situaciones, son suficientes unos cuantos términos del sumatorio para tener una buena precisión para la evaluación de y. Así para Fo > 0,25 con el primer término es suficiente, de aquí la forma gráfica (Figura 2.20) de la ecuación 2.62 en escala log-normal. Numéricamente pueden hallarse los infinitos valores de β i utilizando métodos iterativos (por ejemplo Newton-Rapson), existiendo un único valor para cada intervalo i� → (i+1) �. El método gráfico resulta interesante (figura 2.19) y además demostrativo de la existencia de un único valor de i en el intervalo i� → (i+1) � Así, la ecuación 2.61 puede resolverse como el corte de la curva

y1 = 1/tg(βi ) con la recta

y2 = βi /Bi

52


y2 = i/Bi

3 2 1 

i m s n ra T

2

0 < 1 < /2  < 2 < 3/2 2 < 3 < 5/2

y1 = 1/tg(i)

Figura 2.19. Resolución gráfica de la ecuación 2.61.

- Para números de Biot elevados:

βi → (2i-1)� /2

→ la pendiente de y 2 disminuye

- Para números de Biot pequeños:

βi → i.�

→ la pendiente de y 2 aumenta

Para números de Biot pequeños (Bi < 0,1) controla la transferencia de calor por convección con lo que puede suponerse en todo momento un perfil plano de temperatura; es decir, la temperatura sólo es función del tiempo. Para su cálculo mediante un balance de energía se obtiene: y  exp �� Bi.Fo  Cuando el número de Biot es igual a infinito la ecuación 2.62 se reduce a:   2i � 1  2  �� 1i 2i � 1 y4 �  cos     n   exp�      Fo �2i � 1   2  2    i 1  



(2.63)

que suele usarse, como muy buena aproximación, para Bi > 40. Para el caso en que la lámina plana se caliente solamente por una cara mientras que la otra está perfectamente aislada (Figura 2.20), se define el eje x de coordenadas sobre la superficie adiabática y se obtiene el mismo modelo matemático (ecuación 2.55) con las mismas ecuaciones matemáticas para las condiciones límite CL1, CL2 y CL3. Nótese que la condición CL2, de simetría, mantiene la misma ecuación matemática, pero ahora, como condición adiabática. Por tanto, para esta situación se podrá utilizar las ecuaciones 2.61 y 2.62, usando como referencia, para x, la superficie adiabática y como e el espesor de la lámina.

53


Te Tw

e x adiabático

Figura 2.20. Lámina infinita con pared adiabática.

De la ecuación 2.62 se puede calcular el caudal de calor para un tiempo t, Qw, (J/s), mediante la evaluación de Tw, o de la derivada parcial de la temperatura frente a la posición x en la pared. De manera que si A es el área superficial de una cara de la lámina, se tiene: Qw

T  h.A.�Te  Tw   k.A.   x  w

Operando resulta;

Qw



4.k.A. � T 0  Te e



�i sen i

   2 � sen(2 ) i 1

i

54

i

exp �

2 i

.Fo 

(2.64)


y

r lo a c

Fo

Figura 2.21. Soluciones de la ecuación 2.62 para la lámina plana.

55


La integración de la ecuación anterior entre los tiempos 0 y t proporcionará la cantidad de calor (Julios) que ha entrado a través de cada cara de la lámina. t

Q

w

.dt



4.e.k.A.�Te

 T0 



0

sen 2 � i 



 2 i �1

i

� sen(2 i )

 �1  exp�  i2 .Fo 

(2.65)

Como las ecuaciones obtenidas según el modelo matemático son muy complicadas, a pesar de que, generalmente, con pocos términos de la serie se obtienen buenos resultados, suelen encontrarse en la bibliografía representaciones gráficas de las ecuaciones anteriores. Así, la Figura 2.21 muestra la ecuación 2.62 en forma gráfica. Hay que tener cuidado en la zona no representada en la figura de bajos valores de Fo en la que todas las rectas se curvan asintóticamente al valor de y =1.

2.3.2. Cilindro infinito Como en el caso de la lámina infinita, existe solución analítica para la ecuación del balance microscópico de energía no estacionario con las mismas condiciones límite. En este caso se estudiará la inmersión de un cilindro de altura infinita y radio r0, que se halla a una temperatura T0, en un fluido a temperatura constante Te (Figura 2.22). El coeficiente de convección del fluido, h, y la conductividad térmica del sólido, k, se consideran constantes. Se deberá utilizar la ecuación del balance microscópico de energía (2.53) en estado no estacionario en coordenadas cilíndricas:

T    T    r  t r r  r 

r r0

Figura 2.22. Cilindro infinito

CL1:

t=0

0
CL2:

t>0

r=0

CL3:

t>0

r=r

T=T 0

0

0

∂T/∂r = 0 h(Te – Tw) = -k(∂T/∂r)

Al igual que en la lámina, la solución analítica es compleja. En este caso los números adimensionales serán: y

Te Te

n

T  T0 r r0

56

(2.56)

(2.66)

.t Fo  2 r0

(2.67)

En este caso la ecuación que proporciona la variación del perfil adimensional de temperatura es: 

y  2 i �1

J 1 � i  1   J 0 � i n   exp�  i2 Fo   i J 02 �i � �J 12  i

(2.68)

siendo βi las infinitas soluciones de la ecuación:

 i  J 1 � i   Bi J 0 � i 

(2.69)


donde Bi es el número de Biot para un cilindro infinito h.r0

Bi 

(2.70)

k

y J0 y J1 son las funciones de Bessel de primera especie y de orden cero y uno respectivamente, que se pueden encontrar en manuales de fórmulas y tablas matemáticas. Para este caso particular, corresponden a las series infinitas:

J 0 �x   1  J 1 �x  

x



2

x2 2

2

x3 2

2 4

�

x4 2

2 4

2



x5

�

2

2

2 4 6

x6

��

2 4262



2

x7 2

2

��

2

2 4 6 8

A medida que aumenta x se precisan más términos para mayor fiabilidad de estas funciones. La Tabla 2.2 y la Figura 2.23 muestra los valores de estas funciones, mientras que la función J0 (x)/J1(x), útil para la evaluación gráfica de βi , se muestra en la Figura 2.23.

1,0

J0(x)

0,6

J1(x) 0,2

-0,2

r lo a c 2

4

6

8

10

-0,6

Figura 2.23. Funciones de Bessel

57

12

14


x

J0(x)

J 1(x)

x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

1,0000 0,9975 0,9900 0,9776 0,9604 0,9385 0,9120

0,0000 0,0499 0,0995 0,1483 0,1960 0,2423 0,2867

4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1

J

-0,3205 -0,2961 -0,2693 -0,2404 -0,2097 -0,1776 -0,1443

0(x)

-0,2311 -0,2566 -0,2791 -0,2985 -0,3147 -0,3276 -0,3371

J

1(x)

9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6

x

-0,0903 -0,1142 -0,1367 -0,1577 -0,1768 -0,1939 -0,2090

J

0,2453 0,2324 0,2174 0,2004 0,1816 0,1613 0,1395

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2

0,8812 0,8463 0,8075 0,7652 0,7196 0,6711 0,6201 0,5669 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400 0,2818 0,2239 0,1666 0,1104

0,3290 0,3688 0,4059 0,4401 0,4709 0,4983 0,5220 0,5419 0,5579 0,5699 0,5778 0,5815 0,5812 0,5767 0,5683 0,5560

5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7

-0,1103 -0,0758 -0,0412 -0,0068 0,0270 0,0599 0,0917 0,1220 0,1506 0,1773 0,2017 0,2238 0,2433 0,2601 0,2740 0,2851

-0,3432 -0,3460 -0,3453 -0,3414 -0,3343 -0,3241 -0,3110 -0,2951 -0,2767 -0,2559 -0,2329 -0,2081 -0,1816 -0,1538 -0,1250 -0,0953

9,7 9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11 11,1 11,2

-0,2218 -0,2323 -0,2403 -0,2459 -0,2490 -0,2496 -0,2477 -0,2434 -0,2366 -0,2276 -0,2164 -0,2032 -0,1881 -0,1712 -0,1528 -0,1330

0,1166 0,0928 0,0684 0,0435 0,0184 -0,0066 -0,0313 -0,0555 -0,0789 -0,1012 -0,1224 -0,1422 -0,1603 -0,1768 -0,1913 -0,2039

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8

0,0555 0,0025 -0,0484 -0,0968 -0,1424 -0,1850 -0,2243 -0,2601 -0,2921 -0,3202 -0,3443 -0,3643 -0,3801 -0,3918 -0,3992 -0,4026

0,5399 0,5202 0,4971 0,4708 0,4416 0,4097 0,3754 0,3391 0,3009 0,2613 0,2207 0,1792 0,1374 0,0955 0,0538 0,0128

6,8 6,9 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8 8,1 8,2 8,3

0,2931 0,2981 0,3001 0,2991 0,2951 0,2882 0,2786 0,2663 0,2516 0,2346 0,2154 0,1944 0,1717 0,1475 0,1222 0,0960

-0,0652 -0,0349 -0,0047 0,0252 0,0543 0,0826 0,1096 0,1352 0,1592 0,1813 0,2014 0,2192 0,2346 0,2476 0,2580 0,2657

11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8

-0,1121 -0,0902 -0,0677 -0,0446 -0,0213 0,0020 0,0250 0,0477 0,0697 0,0908 0,1108 0,1296 0,1469 0,1626 0,1766 0,1887

-0,2143 -0,2225 -0,2284 -0,2320 -0,2333 -0,2323 -0,2290 -0,2234 -0,2157 -0,2060 -0,1943 -0,1807 -0,1655 -0,1487 -0,1307 -0,1114

3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4

-0,4018 -0,3971 -0,3887 -0,3766 -0,3610 -0,3423

-0,0272 -0,0660 -0,1033 -0,1386 -0,1719 -0,2028

8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9

0,0692 0,0419 0,0146 -0,0125 -0,0392 -0,0653

0,2708 0,2731 0,2728 0,2697 0,2641 0,2559

12,9 13 13,1 13,2 13,3 13,4

0,1988 0,2069 0,2129 0,2167 0,2183 0,2177

-0,0912 -0,0703 -0,0489 -0,0271 -0,0052 0,0166

Tabla 2.2. Valores de la función de Bessel 0J(x) y J1(x).

58

0(x)

J 1(x)

4


J 0 �x 

3

J 1 �x 

2 1 0

2

-1

4

6

8

10

12

14

i m s n ra T

16

-2 -3 -4

Figura 2.24. Función J0 (x)/J1(x) Los valores βi de las soluciones de la ecuación 2.69 están en los intervalos de las soluciones J0 (x) = 0:

0 < β1 < 2,405 < β2 < 5,520 < β3 < 8,654 < β4 < 11,792 < β5 < ...... pero, análogamente al caso de la lámina plana, para Fo > 0,25 es suficiente usar el primer término del sumatorio. Para el cilindro infinito, el flujo de calor para un tiempo t, Q w, (J/s), será:

J 12 � i 



Qw

 4kL�Te  T0  i �1

siendo L la longitud del cilindro.

J

2 1

�i � �J 02  i

 exp�  i2 Fo 

(2.71)

Integrando esta expresión entre 0 y t se tendrá la cantidad de calor que ha entrado o salido del cilindro, es decir

t

Q o

w

dt



4kr02 L�Te



 T0 



1

 i �1

i



J 12 � i  J

2 1

�i � �J 20  i

 �1  exp�  i2 Fo 

(2.72)

Al igual que para la lámina plana, la Figura 2.25 muestra la ecuación 2.68 en forma gráfica. Hay que tener cuidado en la zona no representada en la figura de bajos valores de Fo en la que todas las rectas se curvan asintóticamente al valor de y =1.

59


y

Fo Figura 2.25. Solución de la ecuación 2.60 para un cilindro infinito.

60

2.3.3. Esfera En este caso también existe solución analítica para la ecuación del balance de energía en estado no estacionario con las mismas condiciones límite correspondientes a sumergir una esfera de radio r0, que se halla a una temperatura inicial T0, en un fluido a temperatura constante, Te. El coeficiente de convección, h, y la conductividad térmica del sólido, k, se consideran constantes. En coordenadas esféricas el balance de energía se escribirá como:

T    2 T    r  t r 2 r  r  CL1:

t=0

0
CL2:

t>0

r=0

CL3:

t>0

r=r

i m s n ra T

T = T0

0


∂T/∂r = 0 h(Te – Tw) = -k(∂T/∂r)

0

Y los números adimensionales serán los mismos que para el cilindro: y

�T � T0

Te Te

n

r

Fo 

r0

.t r02

En este caso la ecuación que proporciona la variación del perfil de temperatura es: 

y4



sen �i 2 i

i �1

  i sen � i .n  �  i �cos   exp��  i2 Fo  � sen �2 i   i .n

(2.73)

donde βi son las infinitas soluciones de: 1�

i tg � i 

 Bi

(2.74)

0 < β1 < � < β2 < 2� < β3 < 3� < β4 < 4� < β5 < … También existe solución analítica para el caudal de calor que entra o sale de la esfera, Qw:

�sen �   i � � i cos  i 2  exp��  i2 Fo   i �2 i � sen�2 i  i 1 

Qw

 16kr0 �Te � T0 

(2.75)

�

y para la cantidad de calor que entra o sale en un tiempo, t: t

Q 0

w

dt



16kr03 �Te



� T0 



 �

i 1

�sen �   i � � i cos  i 2 3

 �1 � exp��  i2 Fo 

(2.76)

 i �2 i � sen �2 i 

Estas ecuaciones también se encuentran representadas gráficamente. La ecuación 2.73 se muestra en la Figura 2.26. También en este caso las rectas se curvan a medida que el número de Fourier tiende a cero y la temperatura adimensional a uno. En estos casos conviene usar la ecuación 2.73, donde sólo es necesario un término del sumatorio para Fo > 0,25.

61


y

Fo

Figura 2.26. Soluciones de la ecuación 2.73 para la esfera

62

Ejemplo 2.4 Una naranja de diámetro 7,5 cm que se halla 20ºC se expone a una temperatura exterior de -4ºC. Si el coeficiente de convección exterior se estima en 20 kcal/(h.m2.ºC), calcular la temperatura en su superficie y en su centro al cabo de 30 minutos. Las propiedades de la naranja se pueden suponer homogéneas e iguales a: Cp = 0,950 kcal/(kg.ºC); k = 2,5 kcal/(h.m.ºC); ρ = 950 kg/m3 Solución

En primer lugar se evaluará el número de Biot, que resulta:

Bi = h.r

/k = 20 × 0,0375 / 2,5 = 0,30

0


y la difusividad térmica, α



k 2,5   0,00277 m2/h .C p 950  0,950

con lo que el Fourier es de :

Fo 

.t 0,00277  0,5   0,9849 r02 0,0375 2

La tabla E-2.4.1 muestra las tres primeras raíces de la ecuación 2.74

1�

i tg � i 

 Bi

junto con los términos yi de la ecuación 2.73 correspondientes a cada βi para la superficie de la naranja, n = 1. 

y  4 i �1

i 1 2 3

sen �i �  i �cos  i 2 i � sen �2 i 

yi i 0,92079 0,4081 4,56007 3,72.10-11 7,76407 1,64.10-28 Tabla E-2.4.1



sen � i .n 

 i .n

2 3

 exp��  i2 Fo 

i yi i 1 0,92079 0,4720 -10 4,56007 -1,71.10 -27 7,76407 1,28.10 Tabla E-2.4.2

Como puede apreciarse el primer término (i=1) ya da una buena aproximación. De la definición de y

y

T � Te T0 � Te



T � ( �4) 20 � ( �4)

 0,4081

se obtiene una temperatura en la superficie de la naranja igual a

T = 5,79ºC Para el centro de la naranja resulta n =0 y teniendo en cuenta que el límite de sen(x)/x para x tendiendo a cero es la unidad, resultan los valores de y i la tabla E 2.4.2.

y

T � Te T0 � Te



T � (�4) 20 � ( �4)

y la temperatura en el centro resulta igual a

T = 7,33ºC 63

 0,4720


2.3.4. Sólido semiinfinito Se denomina así aquella lámina plana en la cual el espesor tiende a infinito (Figura 2.27), lo que produce una superficie sólida con un área de contacto, A, con un fluido, a Te, que le transmite calor por convección.

Te Tw x

T0

Figura 2.27. Sólido seminfinito. Matemáticamente, corresponde a la aplicación del balance de energía en coordenadas cartesianas (ecuación 2.55).

T  2T  2 t x

(2.55)

con las siguientes condiciones límite:

CL1: En el instante inicial todos los puntos se hallan a la misma temperatura →

t=0

0
T=T

0

CL2: En los puntos alejados de la pared del sólido semiinfinito la temperatura es la inicial →

t>0

x=∞

T=T

0

CL3: En la pared del sólido, el flujo de calor que llega por conducción sale por convección al exterior, o viceversa →

t>0

x=0

h.(T

En el caso de h → ∞ T

-Tw) = -k.(∂T/∂x)w

e

= Te w

siendo Tw el valor de la temperatura en la pared exterior del sólido (x=0). Nótese que, para facilitar los cálculos, el srcen de x se toma en esta pared (ver Figura 2.27). La única diferencia en el modelo matemático del sólido semiinfinito con el de la lámina plana reside en la condición límite CL 2. La solución analítica de la ecuación 2.55 proporciona el perfil de temperaturas:

   1   � exp�Bi � Bi 2 Fo  1  fer � Bi Fo    2 Fo   2 Fo   

y  fer

1

(2.77)

y el valor del caudal de calor que entra en el instante t, Q w, es:

Qw

 k  h t  k exp � h 2 t / k 2    h 2 t     A (Te  T0 ) � h. exp  2   1  fer    (2.78)  h t  t  k    k    64

no existiendo solución analítica para el cálculo de la cantidad de calor que ha entrado o salido del sólido durante un tiempo t. Nótese que el tiempo está incluido en el número de Fourier (Fo = αt/x2), y la posición x está tanto en el número de Fourier como en el número de Biot (Bi = hx/k). Cuando el coeficiente de convección tiende a infinito, las ecuaciones anteriores se reducen a:  1   x    fer   y  fer  (2.79)  2 Fo   2 t 

h→∞

Qw



k.A.�Te

 T0 

(2.80)

i m s n ra T

t Siendo fer( ) la función error, definida como la integral de una distribución normal: 2


z

exp �  d 

fer �z  

2

0

Esta función se encuentra frecuentemente en estadística, en cuyos manuales se puede hallar tabulada (Tabla 2.3). z

fer(z)

z

fer(z)

z

fer(z)

z

fer(z)

z

fer(z)

0,00 0,01 0,02 0,03

0,000 0,011 0,023 0,034

0,30 0,35 0,40 0,45

0,329 0,379 0,428 0,475

0,80 0,85 0,90 0,95

0,742 0,771 0,797 0,821

1,30 1,35 1,40 1,45

0,934 0,944 0,952 0,960

1,80 1,85 1,90 2,00

0,989 0,991 0,993 0,995

0,04 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0,045 0,056 0,112 0,168 0,223 0,276

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75

0,520 0,563 0,604 0,642 0,678 0,711

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

0,843 0,862 0,880 0,896 0,910 0,923

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75

0,966 0,972 0,976 0,980 0,984 0,987

2,10 2,20 2,30 2,40 2,50

0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000



Tabla 2.3. Algunos valores de la función error, fer(z). Entre sus propiedades cabe mencionar:

fer(0) = 0 fer() = 1 fer �z  

2 

 z  �  � � �3  1! � 5  �2! 7  3!    z3

65

z5

z7


2.3.5. Cuerpos multidimensionales Para el caso de transmisión de calor en más de una dirección para geometrías simples tales como un cilindro finito, un paralelepípedo rectangular, un cilindro semiinfinito, etc, con condiciones límite análogas a las utilizadas en los modelos matemáticos anteriores, se puede aplicar la regla de Newman. Newman demostró que para un paralelepípedo rectangular (Figura 2.28) el valor de la temperatura adimensional, yP, en el punto (x1, x2, x3), es el que proporciona la resolución de las ecuaciones correspondiente a la lámina plana infinita para cada una de las tres dimensiones del espacio: como si el paralelepípedo rectangular fuera la intersección de las tres láminas planas infinitas. Es decir:

yp (x1, x2, x3) = yL (x1) · yL (x2) · · yL (x3)

(2.81)

evaluándose yL según las ecuaciones 2.62 de la lámina infinita.

eL1 x3

x2 x1

e L3

e L2

2 e L3 2 e L2 2 e L1

Figura 2.28. Paralelepípedo como intersección de tres láminas infinitas. Análogamente, un cilindro finito (Figura 2.29) se puede considerar como la intersección entre un cilindro infinito y una ámina infinita:

yCF (r,x) (x)= yC (r) · y L

(2.82)

evaluándose yC e yL mediante las ecuaciones del cilindro (2.68) y de la lámina plana (2.62), respectivamente. Cuando una de las dimensiones de un sólido finito es más de cinco veces la dimensión más pequeña del sólido, se puede considerar esa dimensión infinita respecto a las otras, ya que el valor de su temperatura adimensional, y, será prácticamente la unidad.

e = L/2

L r0

Figura 2.29. Cilindro finito. 66

Ejemplo 2.5 Para el sólido infinito (denominado cuartoinfinito) mostrado en la figura E2.5 calcular como varía la temperatura T con las posiciones x1 y x2, si inicialmente está a temperatura T y se coloca su superficie a la temperatura constante 0 2 de Tw. La difusividad térmica, α, es de 0,010 m /h, T0 es de 100ºC y Tw es de 0ºC, ¿cuál será la temperatura en el punto x1 = x2 = 20 cm al cabo de 1 hora?

Te Tw x1 x2 T0


Figura E2.5. Sólido cuartoinfinito Solución

De acuerdo con la regla de Newman, el sólido cuartoinfinito es la intersección de dos sólidos semiinfinitos, por lo que la temperatura adimensional se calculará como: y(x1,x2) = yS(x1) . yS(x2) donde yS es la función adimensional de temperatura para el sólido semiinfinito. En este caso, como la temperatura de pared se mantiene constante, la ecuación que se deberá utilizar para resolver cada sólido semiinfinito es la 2.79.

Por tanto,



1   x    fer    2 Fo   2 t 

y s  fer 

Para el caso en que x1 = x2 = x, resulta

r lo a c



x    2 t 

y  fer 2 

y operando se llega a

y = fer

(1) = (0,843)2 = 0,711 = (T-Te)/(T0-Te)

2

con lo que, como T0 = 100ºC y Te = Tw = 0ºC, se obtiene T = 71,1ºC

67


2.3.6. Métodos numéricos y gráficos Cuando no existe solución analítica para la ecuación de Laplace, o se prevé que, en caso de haberla, ésta sea muy compleja, conviene resolver numérica o gráficamente la ecuación de Laplace. Así, si a una lámina plana infinita se aplica la condición límite de que en cada cara la temperatura exterior, Te, del fluido que la rodea no es la misma, ya no es aplicable la ecuación 2.62. No obstante siguiendo la metodología aplicada en la resolución analítica del modelo matemático se podría encontrar una solución analítica al problema. Lo mismo pasa en otras situaciones tales como el calentamiento o enfriamiento de una lámina plana infinita en que la temperatura exterior, Te, varía con el tiempo, o la densidad de flujo de calor en la pared se mantiene constante, o se presenta “generación” de energía interna en la lámina. La resolución numérica es análoga a la de la transmisión de calor estacionaria multidimensional. Así, para el caso de una dirección en coordenadas cartesianas, es decir:

T  2T  2 t x

(2.55)

se realiza un enrejado en la posición y en el tiempo tal que T(x,t) es T m,s, con x = m.∆x t = s.∆t y, para evitar problemas de convergencia, en la resolución numérica se usan diferencias de primer orden para la derivada parcial de la temperatura con el tiempo y diferencias de segundo orden para la derivada parcial respecto a la posición:

Tm,s 1  Tm,s  T     t  t  m,s �

T   2T   2   m  x  m , s

1,s

�

 2Tm ,s � Tm

1,s



( x ) 2

así, la ecuación 2.55 queda de la siguiente forma:

Tm,S+1 = M(Tm+1,S + Tm-1,S) + (1-2M)Tm,s M

.t �x 2

(2.83) (2.84)

donde M es un número adimensional, relacionado con el número de Fourier, que depende de enrejado en (∆x, ∆t) realizado. La ecuación 2.83 es la base del método de Dusinberre, consistente en evaluar las condiciones al cabo de un incremento de tiempo ∆t (T m,s+1),yuna vez conocidastodos las condiciones en el t (Tm,s ). Para problemas alternativa de errores de convergencia, los coeficientes deinstante la ecuación 2.83 debenevitar ser positivos, condelopropagación que se debe cumplir que M ≤ 0,5.

68


t = t

t=0 Tw

Tw

T0

T0

t = 2. t

i m s n ra T

t = 3. t

Tw

Tw

T0

T0

Figura 2.30. Método de Schmidt-Binder. Perfil de temperatura.

M es un valor que depende del enrejado (∆x, ∆t) realizado y, por tanto, se fija a priori. Un caso interesante es aquel en el cual se escoge M = 0,5; es decir, se evalúa a intervalos de tiempo ∆t = ∆x 2/(2α). Para este caso la ecuación 2.83 se transforma en:

M = 0,5

Tm ,s

1

�



Tm

1,s

�

� Tm 1,s 

2

(2.85)

y la temperatura en un punto al cabo de ∆t = ∆x 2/(2α) es igual a la media aritmética de las temperaturas de los puntos adyacentes en el instante anterior. El método gráfico de Schmidt-Binder , que se ilustra en la Figura 2.30, se basa en esta situación; en la que un cuerpo a temperatura T0 se somete a una temperatura Tw en la pared. Cuando las condiciones límite en la pared no son un valor conocido de la temperatura, puede encontrarse la correspondiente ecuación en diferencias finitas de una forma análoga al caso de transmisión de calor en dos direcciones. Para encontrar la ecuación correspondiente, se tomará un plano de control (análogo al volumen de control de la transmisión de calor en estado estacionario en dos direcciones) y se realizará el balance de forma análoga. Para la situación mostrada en la Figura 2.31, donde el calor que llega a la pared por conducción sale por convección, si A es el área del plano de control, un balance en el nodo 0 llevará a: → Flujo de calor que, en el instante t, llega al nodo 0 del nodo 1:

Q1, 0

 kA

T1,s

 T0,s x

→ Flujo de calor que, en el instante t, llega al nodo 0 del exterior:

Q e,0

 h  A  �Te,s  T0,s 

69


x

x/2 0

1

2

Figura 2.31. Condición límite en la pared.

→ Si ρ y Cp son la densidad y el calor específico del sólido, la acumulación de energía para el volumen de sólido, A.∆x/2, vendrá dada por: T T  x A    C p   0,s �1 0,s  2 t   Igualando la entrada con la acumulación:

T0,s+1 = (1-2.M(1+Bi))T0,s +2.M.T1,s + 2.M.Bi.Te,s

(2.86)

siendo Bi un número de Biot. Puede apreciarse que la ecuación 2.86 es estable para M(1+Bi) ≤ 0,5. Para el caso adiabático (Bi = 0 ), la ecuación 2.86 se transforma en:

T0,s+1 = (1-2.M)· T0,s +2.M.T1,s

(2.87)

y escogiendo un valor de M = 0,5 resulta que la temperatura en la pared al cabo de un ∆t es igual a la temperatura en el nodo adyacente a tiempo t. Es decir:

M = 0,5

T

+1 = T1,s

0,s

(2.88)

Schmidt desarrolló una modificación al método gráfico de Schmidt-Binder, para la transmisión de calor en estado no estacionario en una dirección, que permite incorporar la condición límite de que el flujo de calor que llega al sólido por convección entra por conducción en el sólido; se conoce como el Método de Schmidt.

 T    x  w

h �Te  Tw    k 

El método consiste en efectuar un enrejado en ∆x, pero desplazado 0,5∆x desde la pared siguiendo con ∆x (Figura 2.32).

70


Te

x

x/2

-0,5

0

0,5

1,5

i m s n ra T

Figura 2.32. La ecuación anterior se puede escribir como:

 T    x  w

h �Te  Tw    k  es decir:

T0.5,s  T0,s �

Te,s  T0,s k h

 0,5.x

Esta ecuación equivale a trazar una recta desde el punto (-k/h,Te,s) a la pared (0,T0,s). El corte con el plano ficticio –∆x/2 proporcionará la temperatura T-0.5,s, necesario para evaluar las temperaturas en los planos interiores de acuerdo con el método de Schmidt-Binder usando un incremento de tiempo para M = 0,5, es decir, ∆t = ∆x 2/(2α). En la Figura 2.33 se puede ver el desarrollo de este método, en el que los valores de la temperatura para cada incremento de tiempo se calculan como:

T0.5,s �1 

T 0.5,s � T1.5,s 2

; T1.5,s �1 

T0.5,s � T2.5,s 2

; T2.5,s�1 

T1.5,s � T3.5,s 2

; �

el valor de T-0.5 (T* en la figura) se obtiene de la recta que une la temperatura Te con la temperatura en la en la pared en ese instante.


71

*

T

T*1 T*2

Intersección con los planos verticales de: T0 T1 T2 T3

Te k/h

Figura 2.33. Desarrollo del método de Schmidt.

2.3.7. Transmisión en dos direcciones Para los problemas de transmisión de calor en más de una dirección en estado no estacionario la metodología a usar es muy parecida a la anterior. Se convierten las ecuaciones del balance en ecuaciones en diferencias finitas mediante la realización de balances de energía en cada nodo. → Para un nodo central (Figura 2.34) con enrejado cuadrado, ∆x = ∆y, el balance de energía será:

Tm,n,s+1 = M· (Tm+1,n,s +Tm-1,n,s + Tm,n+1,s + Tm,n-1,s) + (1-4M) · Tm,n,s

(2.89)

ecuación que presenta estabilidad para M ≤ ¼.

m,n+1

1 m,n

0

2

m+1,n y y x

x

3

m,n-1

Figura2.34.Nodocentral.

Figura2.35.Nodolateral.

72

→ Análogo tratamiento se puede realizar para los nodos límite. Así, para la situación descrita en la Figura 2.35 (nodo lateral) mediante un balance en el nodo 0, la temperatura en el nodo 0 al cabo de un incremento de tiempo ∆t , T0,s+1, será:

T0,s+1 = M · (T1,s + T2,s +2·T3,s + 2· Bi · Te ) + (1 - 2M (2+ Bi)) · T0,s

(2.90)

ecuación que presenta estabilidad para M.(2+Bi) ≤ ½. Los casos no estacionarios en los que se use dos dimensiones en coordenadas curvilíneas o de tres dimensiones, se resuelven de manera similar a los anteriores; es decir, realizando balances en cada uno de los nodos a considerar.


2.4. PROBLEMAS 2.1. Un conductor eléctrico en forma de cilindro hueco, cuyos radios interno y externo son r0 = 0,5 cm y r1 = 1 cm, se encuentra perfectamente aislado en su cara exterior. Por el espacio interior circula un fluido refrigerante que mantiene la temperatura de la superficie interna, T 0, constante e igual a 25ºC. Determinar la distribución de temperatura y calcular la densidad de flujo de electricidad máxima, I, para que la temperatura en la cara exterior del conductor sea 40ºC. DATOS: k = 20 W/(m.K); ke = 40 Ω-1.m-1. Rta: I = 2,75.104 A/m2

2.2. Se recubre una pared de hormigón de 25 cm de espesor con una capa de fibra de vidrio de 1 cm de espesor. La temperatura en la pared exterior del hormigón es de 5ºC, mientras que la de la parte exterior de la de fibra de vidrio es de 23ºC. Calcular la densidad de flujo de calor que atraviesa la pared y la temperatura en el plano de separación de los dos materiales. Determinar el espesor que debería tener la capa de fibra de vidrio para que las pérdidas de calor fueran 2/3 del valor calculado anteriormente. DATOS: kHORMIGÓN = 1,25 W/(m.K); kFIBRA VIDRIO = 0,07 W/(m.K) Rta: q = 52,5 W/m2; T = 12,5ºC; e = 2,2 cm

2.3. Una tubería de acero de 5cm de diámetro, que se encuentra a una temperatura de 150ºC, se recubre con dos capas de aislante con el fin de disminuir las pérdidas de calor. El espesor de la primera capa es de 2 cm y el de la segunda es de 1 cm. Sus conductividades son 0,042 W/(m.K) y 0,025 W/(m.K) respectivamente. Calcular el calor que se pierde por cada metro lineal de tubería si la temperatura de la pared exterior del segundo aislante es de 30ºC. ¿Cuál será la temperatura entre los dos aislantes? Rta: Q = 34,24 W/m; T = 73,7ºC

r lo a c

2.4. Si se quiere aislar una pared plana, ¿en que proporción disminuirá la pérdida de calor al doblar el espesor del aislante?


Rta: Qnuevo = 0,5 Q anterior

2.5. En un experimento para determinar la conductividad térmica de un metal se ha utilizado una muestra cilíndrica de 3 cm de diámetro y 20 cm de longitud. Una de las bases del cilindro se mantiene a 100ºC y la otra a 0ºC, estando perfectamente aislada la superficie cilíndrica. El flujo de calor en estado estacionario resulta ser de 1,26 kcal/h. i. Calcular la conductividad térmica del metal. ii. ¿Cuál será la temperatura en el punto medio del cilindro (equidistante de las bases)? Rta: i) k = 4,15 J/(m.s.K); ii) T = 50ºC 73

2.6. A través de un tabique de fibra de vidrio (k = 0,050 J/(m.s.K)) de 5 cm de espesor y 2 m 2 de área se transmiten 100 vatios. Si, en la superficie caliente, la temperatura es de 70ºC, calcular la temperatura en la superficie fría. Rta: T = 20ºC

2.7. Para el aislamiento de las cabinas de aviones se ha propuesto un sistema consistente en tres láminas de aluminio de 1mm de espesor que dejan entre sí dos capas de aire de 2,5 mm. Si durante el vuelo la temperatura en la capa de aluminio del interior del avión es de 20 ºC y la correspondiente a la capa del exterior es de -50ºC, calcular la densidad de flujo de calor al exterior despreciando el término de radiación. DATOS:

kaluminio= 204 W/(m.K)

k

aire

= 0,024 W/(m.K)

2

Rta: q = 336 W/m

2.8. El calor fluye a través de una pared anular de radio interno r 0 y radio externo r1. Si la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura (k0 para T0, k1 para T1) evaluar el perfil radial de temperatura, así como el flujo de calor. Rta:

a(T-T0) +b/2(T2-T02) - km(T0-T1).( ln(r/r0) /ln(r0/r1)) = 0 Q = 2�k

m

L (T0-T1)/ln(r0/r1)

2.9. A una tubería horizontal de 50 mm de diámetro con una temperatura de pared de 200oC se le añade una capa de 5 mm de espesor de un material aislante capaz de resistir esta temperatura (kAISLANTE 1 = 0,08 W/(m.K)) y, sobre ésta, otra capa de 5 mm de otro aislante (kAISLANTE 2 = 0,03 W/(m.K)) ¿Qué flujo de calor saldrá de la conducción por metro lineal de tubería si la temperatura ambiente es de 25ºC? ¿Cuál será la temperatura entre los dos aislantes? ¿Y en la pared exterior? DATOS: haire – aislante = 20 W/(m2.ºC) Rta: Q/L = 99,4 J/(m.s); T 1 = 164ºC ; T2 = 83ºC

2.10. Calcular las pérdidas de calor (en estado estacionario) en el recipiente adjunto (un cilindro de 3 m de largo con dos bases semiesféricas de 90 cm de radio interior, con espesor de 10 cm y conductividad térmica k = 0,1 W/(m.ºC) en cuyo interior hay un gas licuado a una temperatura de –40ºC. La temperatura ambiente en el exterior es de 25ºC y el coeficiente de convección para el aire exterior que rodea al tanque se estima en 300 W/(m2.ºC). ¿Cuál será la temperatura en la pared exterior del recipiente? Rta: Q = 1892 W; Tw = 24,8ºC

5m

3m

2.11. Una pared de ladrillo de 20 cm de espesor tiene colocada por su lado interior una lámina de cobre de 3 mm de espesor y sobre ella hay una capa de yeso de 2 cm de espesor. La cara exterior del ladrillo está en contacto con el aire exterior a una la temperatura de 2ºC. Calcular la densidad de flujo de calor que atraviesa la pared y la temperatura a los dos lados de la misma si la temperatura del aire en el lado interior es de 22ºC. Calcular dichas temperaturas si la lámina de cobre actúa como fuente térmica, proporcionando 8000 W/m3. DATOS: kladrillo = 0,71 W/(m.K); kyeso = 0,43 W/(m.K); kCu = 398 W/(m.K); he = 25 kcal/(h.m2.ºC)), hi = 10 kcal/(h.m2.ºC)) Rta: q = 41,8 W/m2; Tlado interior = 17,8ºC; Tlado exterior = 4,1ºC ; T’ lado interior = 19,5ºC; T’lado exterior = 4,5ºC

74

2.12. Una barra muy larga, de sección cuadrada de 4 cm de lado, tiene sus superficies horizontales a 150ºC y 200ºC y las laterales a 100ºC cada una. Calcular, de forma analítica y mediante el método de Liebmann, la temperatura en el centro de la barra si se utiliza ∆x = ∆y = 1 cm. Rta: T = 137,5ºC

2.13. Para una chimenea rectangular (rectángulo exterior de 1,00 m × 0,80 m; rectángulo interior centrado 0,60 m × 0,30 m) calcular: i) El perfil de temperatura usando los métodos de relajación y de Liebmann (∆x = ∆y = 0,05 m). La temperatura en la pared interior es de 200 ºC y en la pared exterior es de 100ºC. ii) 200 El perfil deambiente temperatura usando el método de relajación (∆x = ∆y = 0,05 m). La temperatura de la pared interior es de ºC y el exterior se halla a 35ºC. DATOS: kchimenea = 2 W/(m.K); hchimenea-aire = 100 W/(m2.K).


Rta: i) T(x = 0,4, y = 0,2) = 133ºC; ii) T((x = 0,4, y = 0,2) = 97,4ºC

2.14. Cuando se aísla una conducción cilíndrica puede darse el caso de que, en condiciones de estado estacionario, aumente el caudal de calor que sale de la conducción al aumentar el espesor de aislante. Entonces este caudal de calor presenta un máximo para un radio exterior de aislante denominado radio crítico, rc. Hállese este valor suponiendo una conducción de radio r0, a temperatura T0, envuelta por una capa de aislante (de conductividad k) hasta un radio r donde la temperatura es T. Teniendo en cuenta que el calor se transmite en el aislante por conducción, y de la pared del aislante al exterior (temperatura Te) por convección (coeficiente de convección h) calcúlese el caudal de calor que sale de la conducción, Q (J/s) en función del radio exterior de la misma (r (m)) y de las temperaturas en los extremos (T0 y Te). Finalmente calcúlese para que valor del radio exterior r, manteniendo las mismas temperaturas T 0 y Te, el caudal de calor es máximo. Rta: rc = k/h

2.15. Para el nodo 0 de la figura adjunta, estimar la temperatura T0 en función de las temperaturas de los nodos 1, 2 y e (exterior). Denotar h como el coeficiente de convección y k como la conductividad térmica del material. Usar un enrejado tal que ∆x = ∆y. Rta: T0 = (T1+T2+1,4142 Bi Te)/ (2+1,4142 Bi)

Te 0

1

�y 2

�x

2.16. Una lámina de caucho de 1,5 cm de espesor que se halla a 25 ºC se sitúa entre dos placas de acero calentadas eléctricamente a 150ºC. La calefacción se interrumpe cuando en el plano central de la lámina la temperatura es de 140ºC. i) Calcular la duración de la calefacción. ii) Al final de la experiencia, ¿cuál será la temperatura de la lámina de caucho en un plano situado a 0,3 cm del plano central? iii) ¿Cuánto tiempo transcurrirá desde el inicio de la calefacción hasta alcanzar los 140ºC en el plano situado a 0,3 cm del centro? iv) Si la lámina de caucho se calentara sólo por un lado, estando el otro perfectamente aislado, ¿cuanto tardaría la temperatura del plano central de la lámina en ser de 140ºC. DATOS:

kcaucho = 0,137 kcal/(h.m.ºC); α = 0,00027 m2/h; hmetal-caucho = 5000 kcal/(h.m2.ºC)

Rta: i) 14 min ; ii) T =142.0ºC ; iii) 13 min ; iv) 49 min

75


2.17. Se desea unir entre sí dos láminas de un material sólido con un espesor de 7,7 mm para cada una de ellas. Para ello se utiliza una fina capa de material termoplástico que funde y da una buena unión a 160 oC. Las dos láminas se sitúan en una prensa con el material termoplástico en medio. La superficie exterior de cada lámina se mantiene a 220 oC. Si la temperatura inicial de las láminas es de 20 oC, ¿cuánto tiempo tendrán que permanecer las láminas en la prensa para obtener una buena soldadura? DATO: α = 4,2·10-7 m2/s. Rta: 83 s 2.18. Una varilla larga de madera (k = 0,173 W/(m.K), ρ = 800 kg/m 3, Cp = 2500 J/(kg.K)) de 2,5 cm de diámetro y a una temperatura de 38ºC se coloca en una corriente de aire a 600ºC. Si el coeficiente de transmisión de calor es de 30 W/(m 2.K)

y la temperatura de ignición de la madera es de 427ºC, determinar el tiempo que tardará la madera desde la exposición a la corriente hasta la ignición. Rta: 7,3 min

2.19. Una esfera de nylon de 10 cm de diámetro que se encuentra a 15ºC se pone en contacto con una corriente de aire a 60ºC. Calcular, de forma analítica, la temperatura en el centro de la esfera al cabo de una hora si el coeficiente de convección entre la esfera y el aire es de 20 W/(m2.K). ¿Cuál será la temperatura a 2,5 cm del centro? DATOS: ρ = 1165 kg/m3; Cp=1,65 kJ/(kg.K); k=0,245 W/(m.K) Rta: T= 34,9ºC; T=40,6ºC

2.20. Un lingote cilíndrico de acero de 30,5 cm de diámetro y 90 cm de longitud, que inicialmente está a 538oC se templa en aceite. La superficie del lingote está a 93,5 oC durante toda la operación de templado. Estímese la temperatura del punto más caliente del lingote al cabo de 5 minutos. DATOS: k = 43,2 W/(m.K); ρ = 7700 kg/m3; Cp= 501,6 J/(kg.K) Rta: T = 396,5ºC

2.21. La temperatura de un suelo es de 15,6 oC hasta una profundidad de varios metros. De repente la temperatura atmosférica desciende a -17,8oC. ¿Cuál será la temperatura del suelo al cabo de 5 horas? DATOS: k = 0,865 W/(m.K); α = 4,65•10-7 m2/s; h = 5 W/(m2.K) Rta: T = 2,3ºC

2.22. La tobera de salida de gases de un cohete espacial de gran diámetro tiene un espesor de pared de 0,85 cm. En una prueba estática, las paredes (k = 22,4 kcal/(h.m.ºC); Cp = 0,13 kcal/(kg.ºC); ρ = 8700 kg/m3), que inicialmente están a 27ºC, se someten a los gases de combustión que se hallan a 1760ºC. Si el coeficiente de transmisión de calor gases-pared es igual a 1800 kcal/(h.m2.ºC) y la máxima temperatura que puede tolerar la pared de la tobera es de 1100ºC, determinar el tiempo que puede estar el motor del cohete en funcionamiento si la superficie externa de la pared se supone perfectamente aislada. Rta: 18 s

2.23. Una placa de acero de gran superficie tiene un espesor de 30 cm y está inicialmente a 371ºC. Instantáneamente las dos caras se ponen y mantienen a 38ºC. Evaluar analíticamente y usando el método gráfico de diferencias finitas (∆x=5cm) la temperatura del plano medio al cabo de 14,85 minutos. DATOS ρacero = 7850 kg/m3 Cp,acero = 0,13 kcal/(kg.ºC) kacero = 37,2 kcal/(h.m.ºC) Rta: Tanalítica = 196ºC; Tgráfica = 178ºC

76

2.24. Una placa plana de vidrio de grandes dimensiones y espesor 15 cm (k = 0,94 kcal/(h.m.ºC); Cp = 0,3 kcal/(kg.ºC); ρ = 2200 kg/m3) se obtiene de un horno con una temperatura uniforme de 480ºC. Se desea enfriar la placa pasando una corriente de aire paralelamente a su superficie (dos caras). Con el fin de hacer mínimas las deformaciones térmicas, el gradiente de temperatura máximo permisible en la placa es de 11ºC/cm. La velocidad de aire es tal que puede suponerse constante el coeficiente de transmisión de calor e igual a 24,4 kcal/(h.m2.ºC). i) Para evitar deformaciones térmicas, ¿cuál es la temperatura que como mínimo puede tener el aire? ii) Usando aire a la temperatura anteriormente evaluada durante 3 horas, ¿cuál sería la nueva temperatura mínima de aire que podría utilizarse? Rta: i) T = 437,6ºC ; ii) T = 405,3ºC

2.25. Un trozo de pescado congelado de 10 cm x 10 cm x 20 cm, que se halla a una temperatura de -40ºC se sitúa en una habitación que se está a 2ºC. Si se estima el coeficiente de convección en 40 W/(m2.K), calcular el tiempo que tardará el trozo de pescado en empezar a descongelarse.


DATOS. Para el pescado k = 2 W/(m.K); α = 10-5 m2/s. Rta: 261 s

2.26. Mediante la realización de un balance global de energía, calcular, en el caso de que el número de Biot tienda a cero, la variación de la temperatura con el tiempo para un cilindro infinito y para una esfera. Rta: cilindro y = exp (-2.Bi.Fo); esfera y = exp (- 3.Bi.Fo)

2.27. A partir de la ecuación de variación con el tiempo del perfil de temperatura en un cilindro infinito, calcular, para el caso de que el número de Biot tienda a infinito, la variación de la temperatura con la posición y el tiempo.  J 0 ( i n ) 2 i Rta: y  2 siendo ); i 1  i J 1 ( i ) exp(� Fo

i las raíces de la función de Bessel 0J.

2.28. Una pieza maciza de gran longitud y sección como la que se muestra en la figura está a una temperatura uniforme de 20ºC. En un momento dado se pone en contacto en aire que se encuentra a 100ºC. Calcular la condición de estabilidad (valor límite de M) para el punto A mediante la realización de un balance al volumen de control marcado en el dibujo. Para ese valor de M, calcular la temperatura en A al cabo de un tiempo t = ∆t.

2 cm 1 4 cm

A 2

3 4

2 cm

4 cm

Datos: α = 8,47·10-7 m2/s; h = 30 W/(m2.K); k = 0,21 W/(m.K); ∆x = ∆y = 1 cm Rta: T = 45,8ºC

r lo a c

2.29. En una pared plana de 10 cm de espesor hay 100 W/m2 de pérdidas de calor. Si la temperatura que hay en la cara caliente es de T1 = 100 ºC, ¿cuál es la temperatura, T2, en la otra cara? Partiendo de la situación anterior se coloca, en un instante dado, la otra cara a 100ºC (T 1 = T2 = 100ºC). Estimar mediante el método de Schmidt (con ∆x = 2 cm) al cabo de una hora la temperatura en un punto situado a 2 cm de la cara 2. 2/h. DATOS. k = 0,1 W/(m.K), α = 0,001 m

Rta: 88,8ºC

77


3. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN Cuando la transferencia de calor involucra fluidos, la convección de calor es un mecanismo de transmisión muy importante. Aunque existe conducción, ésta queda “enmascarada” dentro de la convección o del desplazamiento del fluido, de una zona a otra, causado por agentes externos, como bombas y compresores, o por la presencia de gradientes de densidad que, a su vez, son provocados por diferencias de temperatura. En la mayoría de las aplicaciones industriales, se transfiere calor de un fluido a otro a través de una pared sólida. Tal como se ha indicado en el capítulo 1, en el diseño de equipos e instalaciones, la convección de calor presenta un aspecto muy importante: la estimación de los coeficientes individuales de transmisión de calor (de interfase), h.

. n ó i c c e v n o c r o p r o l a c e d n ió s i sm n a r T

3.1 COEFICIENTES INDIVIDUALES DE TRANSMISIÓN DE CALOR Sea un fluido, con una temperatura Tf en su seno, en contacto con un sólido, a temperatura Ts, a través de una superficie de contacto A (Figura 1.1). Por esta superficie se transmite un caudal de calor de Q (J/s). Se define el coeficiente individual de transmisión de calor h, (J/(s.m2.K)), como Q  h.A.�Ts

 Tf 

(1.5)

fluido Tf

Q sólido

Ts A

Figura 1.1 Transmisión de calor sólido-fluido. Si se pudieran resolver simultánea o sucesivamente los balances microscópicos de cantidad de movimiento, energía y de materia no sería necesaria la utilización de un coeficiente tan experimental como h; la conductividad térmica, k, bastaría para definir y resolver el problema. Estos tres balances se expresan como: → Balance de energía:

.C v

T p   .C v .v.T  .q  T  �.v   � : .v  � g e t   T  �

�

�

�

�

�

�

�

�

(1.6)

→ Balance de cantidad de movimiento:

 �.v  �    .v.v      p � g t

(1.7)

  �    v t

(1.8)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

→ Balance de materia: �

�

Como ya se ha mencionado en el capítulo 1, la resolución analítica, ya sea de forma simultánea o sucesiva, de estas tres ecuaciones (1.6, 1.7, 1.8) junto con sus respectivas condiciones límite, solamente es posible en ciertos ejemplos 79

r o l a c l e d n ó is i m s n rta a l e d s o t n e m a d n u F

académicos, y la numérica presenta muchas dificultades. Por todo esto, se hace necesaria la definición de un coeficiente de transmisión de calor, h, que en lógica dependerá de los parámetros que aparecen en las anteriores ecuaciones (densidad, viscosidad, calor específico, conductividad, velocidad,...). Utilizando un flujo de calor diferencial que se transmite a través de un diferencial de área, dA, el coeficiente h está relacionado con los gradientes de temperatura en la pared por el lado del sólido y del fluido. dQ  h  dA  �Ts

dT dT � Tf   �dA   k   �dA   k   dx  sólido  dx  fluido

(3.1)

La ecuación 3.1, de definición de h, es muy simple y fácil de tratar en modelos matemáticos más o menos complejos. Lógicamente, dependerá no sólo del material y para condiciones del fluido también, de otros las condiciones fluidodinámicas. De ahí que, enhlas correlaciones experimentales la estimación de h,sino aparezca entre números adimensionales el número de Reynolds (G.D/µ); donde G es la densidad de flujo másico (kg/(m .s)) e igual al producto de la densidad por la velocidad; D es el diámetro (o una medida equivalente) de la conducción (m), y µ la viscosidad (Pa.s). El número de Reynolds interviene como una medida de la fluidodinámica que se tiene en la transmisión de calor.

3.2 COEFICIENTES GLOBALES DE TRANSMISIÓN DE CALOR Por lo general, cuando se transfiere calor entre dos fluidos separados por un medio sólido, la utilización de los coeficientes individuales relaciona los caudales de calor con temperaturas en el seno de los fluidos y en las paredes de separación (interfase sólido-fluido). Así, de acuerdo con la Figura 3.1, que representa una zona diferencial de un intercambiador de calor de doble tubo en la que el fluido caliente circula por el exterior, el diferencial de flujo de calor transmitido, dQ, será: T � Tw 1

dQ 



Tw

� tw e

h e .dA e

k.dA ml

tw



�t

(3.2)

1 h i .dA i

donde e es el espesor de la pared, T y t son las temperaturas en el seno de los fluidos caliente y frío, respectivamente, Tw y t w son las temperaturas en la pared sólida correspondiente a ambos fluidos, A i, Ae y Aml son las áreas interior, exterior y media logarítmica de la pared cilíndrica, he y hi son los coeficientes individuales de transmisión de calor para el fluido que circula por el exterior del tubo (en este caso el fluido caliente) y por el interior del tubo (en este caso el fluido frío). La ecuación 3.2 indica que el calor que sale del fluido caliente por convección es igual al que se transmite a través de la pared cilíndrica por conducción e igual al que llega al fluido frío por convección.

seno del fluido

seno del fluido

2

1

T Tw tw dQ

t dAe

fluido caliente

dAi

e pared

fluido frío

Figura 3.1. Perfil de temperatura. 80

Como la medida de las temperaturas en la pared, Tw y t w, es imposible conviene relacionar únicamente la temperatura en el seno de los fluidos, T y t. Por ello, resulta interesante definir un coeficiente global de convección de calor, U , que relacione T con t. Este coeficiente puede estar relacionado con el área exterior, Ae, o con el área interior, Ai. Por tanto, de acuerdo con 3.2 dQ 

T  Tw 1

Tw





tw

h e .dA e

tw



e k.dA ml



t

Tt 1



1 h i .dA i



U e .dA e

Tt 1 U i .dA i

■ El coeficiente global referido al área exterior se puede expresar como: 1 Ue

1



he

e D ml

�

k

�

hi

De

1 Di



(3.3)


De

■ Y el coeficiente global referido al área interior: 1 Ui



he

1 De



�

k

Di

e D ml

�

1

(3.3’)

hi

Di

siendo D el diámetro de la conducción. La ecuación 3.3 indica que la resistencia global a la transmisión de calor es igual a la resistencia a la convección de calor por la película del fluido caliente más la resistencia a la conducción a través de la pared más la resistencia a la convección de calor por la película del fluido frío.

Casos particulares: ■ Si el espesor de pared es muy pequeño → De = Dml = Di 1 U

1



he

�

e

�

k

1 hi

■ Si además el material de la pared tiene una conductividad elevada: h h 1 1 1  �  U i e (3.4) U he hi hi � he ■ Si existen incrustaciones sobre las superficies de la pared, éstas representan dos resistencias adicionales en serie, para espesores pequeños se tiene: 1 U

1



he

�

e inc,e k inc,e

�

e pared k pared

�

e inc,i k inc,i

�

1 hi

3.3 CONVECCIÓN NATURAL La convección natural se produce cuando una superficie sólida está en contacto con un fluido a distinta temperatura. Las diferencias de densidad provocadas por un gradiente de temperatura en el fluido proporcionan el movimiento (Figura 3.2). Así, para un gas, si una zona tiene una temperatura más elevada que los alrededores, su densidad será menor con lo que se desplazará (empuje de Arquímedes) hacia el seno del fluido, donde la densidad es mayor. Figura 3.2 81

pared caliente


El análisis de la convección natural requiere la resolución simultánea de las ecuaciones de los balances de energía (ecuación 1.6), cantidad de movimiento (ecuación 1.7) y materia (ecuación 1.8). Ya se ha mencionado anteriormente que sólo hay solución analítica o numérica de estas ecuaciones, con sus correspondientes condiciones límite, en algunos ejemplos académicos. Por consiguiente, se suele utilizar el coeficiente de transmisión de calor por convección natural, h, que en lógica dependerá de parámetros que aparecen en las anteriores ecuaciones. El tipo de ecuación que se obtiene es la denominada ecuación de Nusselt: Nu donde: Nu: número de Nusselt

Nu 



a  �Pr Gr 

m

(3.5)

Pr: número de Prandlt

hL

Pr 

k

Gr: número de Grashof

Cp  

Gr 

k

L3  2 g 

� Ts

Tf 

2

β: coef. expansión volumétrica

(para gas ideal

β = 1/T)

El producto del Pr y el Gr se denomina número de Rayleigh, Ra

Ra = Pr.Gr La Tabla 3.1 muestra valores experimentales de a y m para diversas situaciones Por lo general, las propiedades que pueden variar con la temperatura (viscosidad, calor específico, etc.) se evalúan a la temperatura media, es decir a (Ts+Tf)/2. Para el caso específico de cilindros y placas verticales Kato, Nishiwaki e Hirata recomiendan las siguientes ecuaciones, para 1 < Pr < 40. 

para Gr > 10

9



para Gr < 10

9

Nu  0,138  Gr 0,36  �Pr 0,175  0,55 Nu  0,683  Ra 0, 25 Pr �0,861 � Pr 

0 , 25

(3.6) (3.7)

Ejemplo 3.1

Una placa plana de 30 cm x 30 cm, a 90ºC, se enfría sumergiéndola verticalmente en agua en reposo a 15ºC. Evaluar el coeficiente de transmisión de calor utilizando los valores de las propiedades físicas a la temperatura media (52,5ºC). Solución

El número de Rayleigh será:

C p  L3  2  g  Ra  Gr.Pr 

��T

s

Tf



k

dónde L en este caso será la longitud de la placa (SUPERFICIE VERTICAL). L = 0,3 m Mediante interpolación cuadrática de los valores incluidos en el anexo se encuentran los valores necesarios para resolver la ecuación:

Cp = 4179 J/(kg.K) L = 0,3 m 3  = 987,0 kg/m g = 9,8 m/s2

-1 � = 4,8.10 4 K (Ts-Tf ) = 90 –15 = 75ºC -6  = 531,9·10 daP k = 0,650 J/(m.s.K)

82

Ra = 1,12.1011

Configuración

Número de Rayleigh, Ra

a

m

Superficies verticales L = dimensión vertical < 1m

Ra < 104 4 10 < Ra < 109 Ra >109

1,36 0,59 0,13

1/5 1/4 1/3

Cilindro horizontal L = diámetro < 0,2m

Ra < 10 -3 10 < Ra < 10 -3 10 < Ra < 1 1 < Ra < 104

0,49 0,71 1,09 1,09

0 1/25 1/10 1/5

104 < Ra <9109 Ra > 10

0,53 0,13

1/4 1/3

Plano horizontal cara arriba L = área/perímetro

105 < Ra < 2.107 2.197 < Ra < 3.1010

0,54 0,14

1/4 1/3

Plano horizontal cara abajo

3.105 < Ra < 3.1010

-5

-5

Espacios cerrados verticales  = espesor celda L = longitud celda Espacios cerrados horizontales

4

3

0,27 5


1/4

2.10 < Ra (/L) < 2.10 5 3 7 2.10 < Ra (/L) < 10

-5/36

0,2 (/L) -1/9 0,071 (/L)

1/4 1/3

104 < Ra (/L)3 < 3.105 3.105 < Ra (/L)3 < 107

0,21 (/L)-1/4 0,075

1/4 1/3

Tabla 3.1. Valores dea y m para la ecuación de Nusselt

De acuerdo con la tabla 3.1, los valores de a y m son: a =0,13; m= 1/3

Nu = 0,13.Ra1/3 = 626,9

Nu 

hL  h k

Nu  k L



1358 J /(m 2 ..s K )

un valor bastante elevado. Nótese que inicialmente se pierde calor a un caudal bastante elevado. Q = h.A.(Ts -Tf) =1080  0,09  75 = 9169 W = 2,19 kcal/s

3.4 CONVECCIÓN FORZADA En la mayoría de los procesos industriales, la forma de transferir calor a un fluido es por convección forzada. Los fluidos fríos y calientes bombean hacia lospropiedades equipos de transferencia calor para calor. velocidad de transferencia de calorseserá función de las físicas de losdefluidos y de intercambiar sus velocidades, asíLacomo de la geometría del sistema. Atendiendo al régimen de circulación, por lo general, éste es turbulento. Con respecto al análisis teórico de la convección forzada, se puede comentar lo mismo que en el caso de la convección natural o libre. Es decir, si se pudieran resolver las ecuaciones de los balances microscópicos de energía (1.6), de cantidad de movimiento (1.7) y de materia (1.8) no sería necesaria la utilización del coeficiente individual de transmisión de calor por convección forzada, h. Sólo en contados casos (geometrías sencillas y circulación del fluido en régimen laminar) existe solución analítica para estas tres ecuaciones junto con sus respectivas condiciones límite. Desde el punto de vista teórico, conviene señalar que al ser independientes el campo de velocidad del campo de temperatura, la resolución analítica o numérica de estas ecuaciones se simplifica. Desde un punto de vista práctico conviene diferenciar, dentro de la convección forzada, el caso de régimen de circulación laminar del caso de régimen turbulento. 83


Para las ecuaciones que se presentarán a continuación, en el caso de tuberías no cilíndricas se utilizará el diámetro equivalente, De, en lugar del diámetro. El diámetro equivalente se define como cuatro veces el radio hidráulico, que a su vez es la sección de paso dividida por el perímetro de mojado. → Para el caso concreto de circulación a través de una sección anular (Figura 3.3):

De



4.rh



4

sec ción de paso perímetro de mojado

2

De



D 0 � D1

De

D1

2

D 0  D1



D0



D 02

 D1

2

D0

� D1

 D1

D0 Figura 3.3

3.4.1. FLUJO LAMINAR El flujo laminar se produce cuando Re < 2100 (basándose en el diámetro equivalente D e = 4 (área de paso)/(perímetro)). Al igual que en la convección libre, también se usan números adimensionales, apareciendo correlaciones entre los números de Nusselt, de Prandlt, de Graetz, y ,en los casos en que la viscosidad del fluido varía bastante con la temperatura, aparece (µ/µw)0,14, un número adimensional que relaciona la viscosidad del fluido en la pared, µ w, con la del seno del fluido, µ. Nu: número de Nusselt

Nu



Pr: número de Prandlt

hD

Pr

k



Cp

Gz: número de Graetz



Gz 

k

Re Pr D L

A continuación se presenta una serie de ecuaciones generales para evaluar el número de Nusselt en unas configuraciones determinadas.

a. tubos circulares Para los tubos horizontales se pueden aplicar diversas relaciones, dependiendo del valor del número de Graetz. - Para Gz < 100 se recomienda la ecuación de Hausen:

Nu

 3,66 �

      2/3  1 � 0,047  Gz  w  0,085  Gz

0,14

(3.8)

- Para Gz > 100, la relación de Sieder-Tate es satisfactoria para diámetros y diferencias de temperatura pequeñas. Nu

    1,86  Gz1 / 3     w 

0 ,14

(3.9)

Para cubrir todos los diámetros y diferencias de temperaturas mayores se incluye un factor adicional de 0,87.(1+0,015.Gz1/3), con lo que la ecuación (3.9) queda de la siguiente forma: Nu

    1,62  �1 � 0,015  Gz1 / 3  Gz1 / 3     w  84

0 ,14

(3.10)

Un caso interesante es el de la circulación en régimen laminar cuando la temperatura de la pared se mantiene constante; situación que se presenta cuando tiene lugar un proceso con elevada h fuera de los tubos (ebullición, condensación, transferencia de calor en tubos con aletas). En este caso, un estudio teórico indica que en la región de perfiles de velocidad laminar y temperatura totalmente desarrollados se cumple:

Nu  3,66

(3.11)

Para el flujo laminar de tubos verticales se puede utilizar una serie de gráficas desarrolladas por Pigford ( Chem. Eng. Prog. Symp: Ser. 17.51,79 (1955)) con el fin de predecir los valores de h.

b. anillos Los anillos son cilindros tal como anillo indica circula la Figura 3.4.ambos. Un fluido circulalapor el tubo de exterior, otro por el tubo interior, ydeelbase que sección se puedeanular evaluar entre Mediante ecuación Chen, Hawkins y Solberg se pueden estimar coeficientes de transmisión de calor por convección forzada en régimen laminar en anillos.

tubo exterior

FLUIDO 1

anillo

FLUIDO 2

tubo interior

FLUIDO 3

anillo

FLUIDO 2


h2 : fluido 2 – pared 2

h1 : fluido 2 – pared 1 D1

D2

tubo exterior

FLUIDO 1

Figura 3.4. Convección forzada en un anillo h1 se determina mediante la ecuación de Chen, Hawkins y Solberg: Nu

D  � 1,02  Re 0, 45  Pr 0,5  Gz 0, 05   e   L 

0, 4

0 ,8

D       2      D1    w 

0 ,14

(3.12)

donde Nu, Re y Gz se calculan utilizando el diámetro equivalente hidráulico

De = D2 – D1 Para la determinación de h2 es preferible el uso de las ecuaciones para tubos circulares descritas anteriormente, utilizando el diámetro equivalente hidráulico.

c. placas paralelas y conductos rectangulares En general, se recomienda usar las ecuaciones 3.8 y 3.10 con el diámetro equivalente. Para el caso particular de temperatura constante en la pared y Gz > 70 se recomienda utilizar la ecuación de Norris y Streid:

Nu � 1,85  Gz1 / 3

85

(3.13)


donde Nu y Gz se calculan con el diámetro equivalente. Para grandes diferencias de temperatura, es aconsejable multiplicar por (µ/µw)0,14 Nu

   � 1,85  Gz1 / 3     w 

0 ,14

d. cuerpos sumergidos Cuando el flujo se produce sobre cuerpos sumergidos, de tal modo que la capa límite es totalmente laminar, se considera que existe un flujo laminar sobre el cuerpo, incluso cuando el flujo en la corriente principal es turbulento. Las condiciones que siguen son válidas para cuerpos simples sumergidos en un fluido infinito. En general, el coeficiente de transferencia se predice mediante la ecuación:

Nu  a  Re m  Pr 1 / 3

(3.14)

En la tabla 3.2 se proporcionan valores de a y m para algunos cuerpos sumergidos (Obsérvese que esta tabla es válida también para régimen no laminar).

Configuración

Longitud característica

Re

Placa plana paralela al flujo

Longitud placa

10 – 3·10

Cilindro circular eje normal al flujo

Diámetro

Esfera reemplazar Nu por (Nu-2,0)

Diámetro

Pr

3

5

> 0,6

a 0,648

m 0,50

1–4 > 0,6 0,989 0,330 4 – 40 > 0,6 0,911 0,385 40 – 4000 > 0,6 0,683 0,466 4·103 – 4·104 > 0,6 0,193 0,618 4 5 4·10 – 2,5·10 > 0,6 0,0266 0,805 4

1 – 7·10

0,6 - 400

0,6

0,50

Tabla 3.2. Valores de a y m para cuerpos sumergidos (ecuación 3.14)

3.4.2. REGIÓN DE TRANSICIÓN Las ecuaciones de flujo turbulento para predecir coeficientes de transferencia de calor suelen ser válidas para Re > 10000. Para la zona de transición (2100 < Re < 10000) no hay ecuaciones simples que describan el fenómeno. Quizá, la ecuación más recomendable en esta zona es la de Hausen, que se ajusta tanto al extremo laminar como al extremo completamente turbulento:

Nu

 D  0,116  �Re 2 / 3  125 Pr 1 / 3  1 �     L 

86

2/3

    0,14        w 

(3.15)

3.4.3. FLUJO TURBULENTO a. tubos circulares La ecuación más general es la de Sieder y Tate, útil para: 0,7 < Pr < 10

4

6000 < Re < 10

7

L/D > 60 0 ,8

Nu

1/ 3

 0,027  Re  Pr

   .  w 

0,14

(3.16)

Comúnmente, los efectos de entrada no suelen ser significativos si L/D > 60. Por debajo de este límite, Nusselt recomienda una ecuación más conservadora:

Nu  0,036  Re 0,8  Pr 1 / 3  �L / D �0,054


(3.17)

Otra ecuación ampliamente utilizada es la de Dittus-Boelter, válida para: 0,7 < Pr < 160

Nu  0,023  Re 0,8  Pr n

(3.18)

n = 0,3 para fluidos que se enfrían n = 0,4 para fluidos que se calientan

b. anillos Para relaciones de diámetros D1/D2 > 0,2 se recomienda la ecuación de Monrad y Pelton tanto para el tubo interno como para el externo:

Nu  0,020. Re 0 ,8  Pr 1 / 3  �D 2 D1 0, 53

(3.19)

donde el Nusselt y el Reynolds se calculan utilizando el diámetro equivalente.

c. camisas y serpentines en recipientes agitados La mayor parte de las correlaciones para la transferencia de calor desde un líquido agitado contenido en un recipiente hacia las paredes encamisadas de éste son del tipo: h  Di k

b

m  D2  N        a   p r   Pr 1 / 3      w   

(3.20)

donde h es el coeficiente de transmisión de calor para la pared interior; Di es el diámetro interior del recipiente de mezcla; el término D p2Nrρ/µ es el número de Reynolds para la mezcla del tanque, siendo Dp el diámetro de las palas abiertas y Nr la velocidad del agitador. En la Tabla 3.3 se dan algunos valores recomendados para las constantes a, b y m. Existe una gran variedad de configuraciones para serpentines en recipientes agitados. Para predecir coeficientes de transmisión de calor para flujo turbulento en el interior de serpentines se recomienda calcular el valor de Nu como si la tubería fuese recta (apartado a) y multiplicar el resultado por (1 + 3,5 D i/Ds), siendo Di el diámetro del tubo y D s el del serpentín. Nu serpentín

 D   1 � 3,5  i   Nu tubo recto D  s  87


Agitador Paletas Turbina de aspas separadas Disco turbina de aleta plana Hélice Ancla Ancla Banda helicoidal

a

b

m

Re

0,36 0,53 0,54 0,54 1,0 0,36 0,633

2/3 2/3 2/3 2/3 1/2 2/3 1/2

0,21 0,24 0,14 0,14 0,18 0,18 0,18

300 – 3.10 80 – 200 5 40 – 3.10 3 2.10 10 – 300 300 – 40000 8 - 105

5

Tabla 3.3. Valores de los coeficientes a, b y m para la transferencia de calor en recipientes agitados encamisados. Para predecir los coeficientes del lado del tanque agitado conviene señalar la gran variedad de configuraciones posibles para los serpentines. Para serpentines helicoidales la ecuación más representativa es similar a la 3.20: h  Di k

 D 2  N    0,87   p r     

0,62 1/ 3

Pr

      w

0,14

(3.21)

d. flujo cruzado sobre bancos de tubos Las ecuaciones para la determinación de valores medios de los coeficientes de convección de calor exterior a bancos de tubos varían según la disposición de los tubos, el espaciado longitudinal, e L, y el espaciado transversal, e T, de la disposición de tubos. Por lo general la disposición suele ser en línea o alternados (o al tresbolillo) tal como muestra la Figura 3.5. Existen diversas ecuaciones empíricas que se basan en utilizar en el Nusselt y en el Reynolds el diámetro de los tubos y un valor de la densidad de flujo de materia máxima, G max, evaluado como caudal másico dividido por el área mínima de paso: Re 

G max  D





G max



caudal másico área mín . de paso

→ Para disposición en línea, el área mínima por unidad de longitud de tubo es:

Amin = eT - D y la densidad de flujo máxima será: G max 

eT

G

e D T

G: densidad de flujo en la zona de la carcasa libre de tubos

88

eL


eL

eT

eT

en línea

alternados

Figura 3.5 Algunas disposiciones de bancos de tubos. → Para disposición alternada, el área mínima puede tener lugar entre tubos de la misma hilera, como en el caso anterior, o puede que el área mínima se de entre tubos que no sean de la misma hilera.

eL

Si se tiene una relación de eL/eT tan pequeña de forma que se cumpla (ver Figura 3.6):

�eT 2 2 � e 2L � D 

eT

1

2



eT  D 2 2

En este caso el área mínima vendrá determinada por el espacio en diagonal entre tubos opuestos:

1

Amin = �e T 22 � e 2L  D Figura 3.6 Para este caso la densidad de flujo másica será: eT 2 G max



�e T 2 2 � e 2L



D



G

• Si el fluido es aire sobre diez o más filas de tubos, Grimison recomienda utilizar la ecuación:

Nu  a  Re m

(3.22)

• si el fluido es un líquido sobre diez o más filas de tubos:

Nu  1,13  a  Re m  Pr 1 / 3

89

(3.23)


• si el número de filas o tubos es inferior a 10 se debe multiplicar el Nusselt obtenido por un factor que se indica en la tabla 3.4. Los valores de las constantes a y m de las ecuaciones anteriores dependen del espaciado longitudinal y transversal de los tubos, eL y eT, y del tipo de disposición de los mismos, tal y como se muestra en la tabla 3.5. número filas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

alternados

-

0,73

0,82

0,88

0,91

0,94

0,96

0,98

0,99

1

alineados

0,64

0,80

0,87

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

0,99

1

Tabla 3.4. Factor corrector de las ecuaciones 3.22 y 3.23 (número tubos inferior a 10)

eT/D

1,25

eL/D

1,50

2,00

3,00

a

m

a

m

a

m

a

m

1,500 2,000 3,000

0,518 0,451 0,404 0,310

0,556 0,568 0,572 0,592

0,497 0,505 0,460 0,416 0,356

0,558 0,554 0,562 0,568 0,580

0,446 0,478 0,519 0,452 0,482 0,440

0,571 0,565 0,556 0,568 0,556 0,562

0,213 0,401 0,516 0,522 0,488 0,449 0,421

0,636 0,581 0,568 0,562 0,568 0,570 0,574

alineados 1,250 1,500 2,000 3,000

0,348 0,367 0,418 0,290

0,592 0,586 0,570 0,601

0,275 0,250 0,299 0,357

0,608 0,620 0,602 0,584

0,100 0,101 0,229 0,374

0,704 0,702 0,632 0,581

0,063 0,068 0,198 0,286

0,752 0,744 0,648 0,608

alternados 0,800 0,900 1,000 1,125 1,250

Tabla 3.5. Valores de a y m para las ecuaciones 3.22 y 3.23.

e. metales líquidos Los metales líquidos srcinan números de Prandtl muy bajos (Pr < 0,01), con lo que la predicción de coeficientes de transmisión de calor mediante las anteriores ecuaciones no conduce a buenos resultados. Como ecuaciones más representativas para estos cálculos conviene mencionar los casos de: • flujo de calor constante:

Nu  5 � 0,025  �Re Pr 0,8

(3.24)

7 � 0,025  �Re Pr 0,8

(3.25)

• temperatura constante de la pared:

Nu



• flujo en anillos: se recomienda multiplicar las ecuaciones 3.24 y 3.25 por un factor de: 0,70 · (D2/D1)0,53

90

• flujo uniforme de calor para todos los metales líquidos excepto el mercurio: se recomienda la ecuación de Lubarsky y Kaufman:

Nu  0,625  �Re Pr 0, 4

(3.26)

• flujo uniforme de calor en placas paralelas y anillos con D 2/D1 < 1,4: se recomienda la ecuación de Seban:

Nu  5,8 � 0,020  �Re Pr 0,8

(3.27)

3.5 TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE En los procesos en los que hay un cambio de fase debe suministrarse ( ebullición) o retirarse (condensación) la energía asociada a este cambio de fase. Es un proceso de transferencia simultánea de calor y materia, aunque en la mayoría de ocasiones controla la transmisión de calor; la cual puede tener lugar mediante combinaciones de los tres mecanismos (conducción, convección y radiación, convección, etc.). En los procesos de condensación y ebullición de líquidos el mecanismo controlante suele ser la transmisión de calor por convección.


3.5.1 CONDENSACIÓN Se produce condensación cuando un vapor saturado entra en contacto con una superficie cuya temperatura se halla por debajo de la de saturación. Se pueden distinguir dos formas de condensación: - de tipo de película - por goteo La condensación de tipo de película es la más común. Se forma una película de condensado sobre la superficie y su espesor aumenta a medida que se extiende la condensación. También existe la condensación por goteo, que tiene lugar cuando la pared no se recubre uniformemente de condensado, por lo que aparece el condensado en forma de gotas pequeñas en diversos puntos de la superficie si llegar a formar una película continua. Normalmente la condensación por goteo se debe fomentar mediante la introducción de alguna impureza en la corriente de vapor. Los coeficientes para este tipo de condensación suelen ser más elevados que para el tipo de película (de 6 a 18 veces), pero no se dispone de métodos de diseño de condensadores de este tipo. Por consiguiente, el desarrollo de ecuaciones para condensación será solo para el tipo de película. El número de Reynolds de la película de condensado de define como 4Γ/µ, donde Γ es el caudal másico de condensado por unidad de perímetro de mojado (kg/(m.s)): Re �

4



y el espesor de la película de condensado para Re < 2100 es: 1/ 3

 3  2      g 

[m]

a. tubos y superficies verticales Cuando tiene lugar una condensación, el espesor de la película que se forma aumenta a medida que se extiende el cambio de estado. En el caso de que se produzca en una superficie vertical, la fuerza de la gravedad hace que la película adquiera una forma como la que se muestra en la Figura 3.7, en la que también se puede ver como son los perfiles de velocidad y de temperatura en la película de condensado en función de la distancia a la pared.

91


Para los tubos verticales el número de Reynolds (Re = 4Γ/µ) se calcula utilizando:

�

w

(3.28)

D

para valores de Re < 2100, se recomienda la modificación de la ecuación de Nusselt realizada por Kern: hL k

 L3   2  g     � 0,943    k    T 

1/ 4

 L3   2  g   � 0,925     

1/ 3

(3.29)

donde k, µ yρ, están referidas al líquido condensado; L es la longitud o altura de la superficie calentada; ∆T la diferencia entre la temperatura de saturación y la de la pared, y λ el calor latente de condensación.

Crecimiento de la película

Tcond

Superficie vertical Tw

Perfil de velocidad

Perfil de temperatura

Figura 3.7. Condensación en superficies verticales. El valor de la densidad de flujo máxima, G, es: G

�

 1/ 3  3     2    g 

(3.30)

b. tubos horizontales Para los tubos horizontales el número de Reynolds (Re = 4Γ/µ) se calcula utilizando:

�

w

(3.31)

2L

para valores de Re < 2100, la ecuación siguiente proporciona un buen ajuste: hD k

 D3  2  g     � 0,73    k    T 

1/ 4

92

 D3  2  g   � 0,76     

1/ 3

(3.32)

Si se dispone de un conjunto de tubos, la ecuación anterior se tiene que modificar introduciendo el número de tubos que se encuentran en la misma vertical, Nv: hD k

 D3  2  g     � 0,73    N v  k    T 

1/ 4

(3.33)

En la Figura 3.8 se ha representado de forma esquemática la película que se forma para la condensación sobre una esfera (a), un tubo horizontal (b) y sobre dos tubos horizontales que se encuentran en la misma vertical (c) y (d).

(a)

(b)

(c)


(d)

Figura 3.8. Condensación sobre una esfera y sobre cilindros horizontales.

3.5.2 EBULLICIÓN La vaporización de líquidos puede estar provocada por diversos mecanismos de transferencia de calor, individualmente o en combinación (convección natural y radiación, convección forzada, etc.). Cuando la superficie de calentamiento se halla completamente rodeada por un fluido que no fluye a velocidad apreciable y se halla agitado solamente por el movimiento de las burbujas y las corrientes generadas por convección natural, la ebullición se denomina ebullición en depósito. Esta ebullición permite diferenciar seis regímenes de transferencia de calor (Figura 3.9): - convección natural (1) - ebullición nucleada incipiente (2) - ebullición nucleada (3) r o l a c l e d n ó is i m s n rta a l e d s o t n e m a d n u F

- transición a la ebullición de película (4) - ebullición de película estable (5) - ebullición de película con radiación creciente

93

q (MW/m2)

1

2

3 4

5

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

1

10

100

1000

10000 �T

(K)

Figura 3.9. Curva de ebullición El signo de la derivada de la densidad del flujo de calor con respecto a la diferencia de temperatura, dq/d(∆T), es positivo en todos estos regímenes salvo en el de transición a ebullición de película en el que es negativo. Los regímenes de mayor interés son el de ebullición nucleada y el de ebullición de película estable. Para ebullición de película sobre tubos de diámetro D, se recomienda la expresión: hD kv

 g   v  � L �  V     D 3    0,62    V  k V  T  

1/ 4

(3.34)

Para la ebullición nucleada se pueden encontrar en la bibliografía ecuaciones dimensionales que permiten calcular el coeficiente de convección.

3.6. DISEÑO TÉRMICO DE EQUIPOS DE INTERCAMBIO DE CALOR En este apartado se abordará en primer lugar el diseño de un intercambiador de calor de doble tubo sin cambios de fase y se indicarán posteriormente las modificaciones a realizar en el caso de utilizar cambiadores de carcasa y tubos de diversos pasos, flujo cruzado, cambios de fase, etc. El intercambiador de calor de doble tubo se puede definir como un tubo cilíndrico por el que circula un fluido rodeado por otro tubo cilíndrico y concéntrico, tal que por el espacio anular circula el otro fluido. Se supondrá que el fluido caliente circula por el tubo interior y el frío circula por el espacio anular. Desde el punto de vista del sentido del flujo de los fluidos, conviene diferenciar la operación en equicorriente (también denominada en paralelo) de la operación en contracorriente (ver Figura 3.10), según ambos fluidos circulen en el mismo sentido o en sentido opuesto.

94

1

2

1

2

t

t

T

T

equicorriente

contracorriente

Figura 3.10. Formas de operación: equicorriente y contracorriente.


Para obtener ecuaciones independientes de la forma de operar es interesante definir las temperaturas por secciones en lugar de hacerlo por entrada o salida: - contracorriente

- equicorriente

Te = T1

te = t2

Ts = T2

ts = t1

Te = T1

te = t1

Ts = T2

ts = t2

El objetivo del diseño de intercambiadores de doble tubo suele ser el cálculo del área de transmisión de calor, A, necesaria para trasvasar, de un fluido a otro, un caudal determinado de calor, Q. Dado que se puede demostrar que es preferible una disposición en contracorriente, se efectuará el diseño para operación en contracorriente, indicándose posteriormente las diferencias respecto a un diseño en equicorriente. Si Q es el caudal de calor trasvasado entre ambos fluidos, el balance global de energía operando en contracorriente queda en la forma:

Q  w c  C c  �T1  T2



w� f  C f  t 1  t 2

(3.35)

siendo wc y wf los caudales de fluido caliente y frio, respectivamente, y Cc y Cf los calores específicos del fluido caliente y frio, respectivamente. En un área diferencial (Figura 3.11), dA, el balance de energía en estado estacionario será: - para el fluido caliente: - para el fluido frío: Con lo que operando:

w c  C c  T  dQ � w c  C c  �T � dT 

w f  C f  �t � dt  � dQ  w f  C f  t dQ  � w c  C c  dT

dQ  � w f  C f  dt es decir, ambas temperaturas, T y t, varían linealmente con el calor transferido. 95


Combinando estas expresiones con la de definición del coeficiente global de transmisión de calor, U:

dQ  U  �T � t   dA

t

t + dt

T

dQ

T + dT

dA

Figura 3.11. Balance diferencial de energía en un intercambiador de doble tubo en contracorriente. se pueden encontrar las ecuaciones diferenciales dT T�t dt T�t

� �

1 w c  Cc 1 w f  Cf

 U  dA  U  dA

cuya resolución simultánea proporciona los perfiles de temperatura; es decir, la variación de T y t con la posición (recuérdese que dA = �.D.dL). Restando ambas ecuaciones puede apreciarse que usando la variable

T = T-t

(3.36)

se obtiene la siguiente ecuación diferencial: dT

T

 1 1   �   U  dA w  C w c  Cc   f f

(3.37)

Suponiendo constantes los calores específicos y el coeficiente global de transmisión de calor, U, la ecuación anterior puede resolverse para obtener:

 T2   1 1     � UA  T1   w f  C f w c  C c 

ln

De las ecuaciones del balance global de energía (3.35) se obtiene: 1 w c  Cc



T1 � T2

1

Q

w f  Cf

96



t1 � t 2 Q

con lo que operando resulta

Q  U  A  Tml

(3.38)

donde ∆Tml la media logarítmica de la diferencia de temperaturas, es decir:

Tml 

T2 � T1 ln �T2 / T1 

(3.39)

Conviene recordar que la media logarítmica de dos números cualesquiera (a y b) tiende a la media aritmética ((a+b)/2) a medida que se igualan ambos números, por lo que en muchas ocasiones, para facilitar el cálculo, se sustituye la media logarítmica por la aritmética. El error que se comete no suele ser muy elevado; así, para un número doble del otro (a, 2a) se tiene: media aritmética (a, 2a) = 1,5 a media logarítmica (a, 2a) = a/(ln 2) = 1,443 a


con lo que resulta un error inferior al 4%. Como se ha visto anteriormente, el valor del coeficiente global de transmisión de calor, U, es función de los coeficientes individuales, h; que, a su vez, son función de las propiedades físicas y fluidodinámicas de los fluidos que intervienen en la transferencia de calor. Así pues, no siempre se podrá aplicar la hipótesis de que el valor de U es constante en todo el cambiador, lo que complicará la resolución de la ecuación 3.37 hasta requerir métodos numéricos. Para el caso simple de que U varía linealmente con la diferencia de temperaturas, es decir:

U  a � b  �T  se obtiene:

Q  A  �U  T mlc

(3.40)

siendo (U·∆T)mlc la media logarítmica cruzada del producto (U•∆T) definida como:

�U  T mlc 

U 1  T2  U 2  T1

 U 1  T2    U 2  T1 

(3.41)

ln

Cuando la operación se realiza en equicorriente se obtienen las mismas ecuaciones de diseño 3.39 y 3.40 si de definen las temperaturas por zonas tal como se ha indicado al inicio del apartado. Se puede demostrar que para un mismo caudal de calor trasvasado, la ∆T ml para una disposición en contracorriente es mayor que para una disposición en equicorriente, lo que conduce a una menor área de intercambio necesaria en la disposición en contracorriente (Figura 3.12). r o l a c l e d n ó is i m s n rta a l e d s o t n e m a d n u F

97

1

2

1

2

T

T �T

�T

t

t

Q

Q

EQUICORRIENTE

CONTRACORRIENTE

Figura 3.12. Distribución de temperaturas en equicorriente y en contracorriente. Si se realiza la representación de la variación de la temperatura frente a la longitud del intercambiador, la representación es similar a la de la Figura 3.12, pero las líneas que se obtienen no son rectas (Figura 3.13).

1

2

1

2

T

T �T

�T

t t

L

L

EQUICORRIENTE

CONTRACORRIENTE

Figura 3.13. Distribución de temperaturas en equicorriente y en contracorriente. Para los intercambiadores de calor con diversos pasos en los tubos y en la carcasa también existe solución analítica del modelo para el caso de U constante con la temperatura. En estos casos no se puede hablar de equicorriente y contracorriente: en un intercambiador 1-2 (Figura 3.14) existe una zona en la que la disposición es en contracorriente y otra en la que es en equicorriente. La notación 1-2 hace referencia al número de pasos de cada fluido por el intercambiador. El primer número se refiere al fluido que circula por la carcasa y el segundo al que lo hace por el interior de los tubos. Este tipo de intercambiadores se utiliza mucho por lo compacto que resulta. En poco espacio se tiene gran área de transmisión de calor.

98

t2


T1

t1

T2

Figura 3.14. Interior simplificado de un intercambiador de carcasa y tubos 1-2. Como las soluciones analíticas son tan complejas, es preferible utilizar la ecuación:

Q = F·U·A·Tml

(3.42)

en la que F es un factor corrector de la media logarítmica de temperaturas suponiendo que el intercambiador opera en contracorriente. El factor F es un valor analítico que es, a la vez, función de las cuatro temperaturas de entrada y salida de las dos corrientes. Por lo general, para la evaluación del factor F se usan las expresiones adimensionales de temperaturas P y

R: P



t2

�

t1

T1

�

t1

R



T1

� T2

t2

�

t1

donde R es también la relación entre los caudales de las dos corrientes por su calor específico.

T1

T1

t2

t2

t1 B

B

t1 B

B

T2

T2

Figura 3.15. Intercambiadores de calor 1-2 y 2-4.

B

B

99


Para un intercambiador 1-2 (Figura 3.15) la ecuación analítica que relaciona el factor F 12 con las cuatro temperaturas de los fluidos es:

 1 P   1 R  P 

R 2 � 1  ln  F12 

 2  P  ( R � 1  R 2 � 1)    2  P  ( R � 1 � R 2 � 1)   

�R  1  ln

Y para un intercambiador 2-4 (Figura 3.10) el factor F es igual a: 24

R 2 �1 F24 

2  (R  1)

 1 P   ln  1 R  P 

 2 / P  1  R � 2 / P  (1  P)  (1  R  P) � R 2 � 1    2 / P  1  R � 2 / P  (1  P )  (1  R  P )  R 2 � 1   

ln

En las Figuras 3.16 y 3.17 se encuentran representados los valores de corrección F12 y F24 respectivamente. Si el intercambiador es de flujo cruzado, el tratamiento que se hace es el mismo que el visto para los intercambiadores vistos anteriormente, debiéndose buscar el valor de F en la gráfica correspondiente. A modo de ejemplo, en la Figura 3.18 se muestra la gráfica de obtención de F para el caso de flujo cruzado con un paso por carcasa y un paso por los tubos en el que el fluido que va por carcasa está mezclado.

F12

Figura 3.16. Factor F de corrección para intercambiadores 1-2.

100


F24

Figura 3.12. Factor F de corrección para intercambiadores 2-4. Figura 3.17. Factor F de corrección para intercambiadores 2-4.

F

Figura 3.18. Factor F de corrección para intercambiadores de flujo cruzado, un fluido mezclado.

101


Ejemplo 3.2

Se desea calentar una corriente de 100 kg/h de agua, a 20ºC, hasta 60ºC, mediante otra corriente de 250 kg/h de un aceite de proceso (Cp = 3 kJ/(kg.K)) que está a 85ºC. Si se estima un valor del coeficiente global de transmisión de calor U igual a 1 kW/(m2.K), calcular el área de intercambio necesaria si se opera en contracorriente y si se opera en equicorriente. Solución

El caudal de calor a transferir será: Q = wf · Cf · (t2-t1) = 100 × 4185 × (60-20) / 3600 = 4650 J/s igual al que cede el aceite de proceso: Q = wc · Cc (Tentrada - Tsalida) = 250 × 3000 ×(85-Tsalida) / 3600 = 4650 J/s con lo que operando:

Tsalida =62,68ºC

independiente del modo de operación.

EQUICORRIENTE:

sección 1:

t=1 20ºC

T = 85ºC 1

∆T1 = 65ºC

t=2 60ºC

T

∆T2 = 2,68ºC

con lo que resulta:

∆T

= 62,68ºC 2

= 19,54ºC ml

Aequicorriente = Q/(U.∆Tml) = 4650 / (1000 × 19,54) = 0,238 m2

el área será:

CONTRACORRIENTE: sección 1:

t=1 20ºC

T =1 62,68ºC

∆T

t=2 60ºC

T =85ºC 2

∆T2 = 25ºC

con lo que resulta: el área será:

∆T

ml

1

= 42,68ºC

= 33,06ºC

Acontracorriente = Q/(U.∆Tml) = 4650 / (1000 × 33,06) = 0,141 m2

El área para contracorriente es mucho menor que para la operación en equicorriente. Si se desea obtener una temperatura del agua superior a los 63ºC la operación no podría efectuarse en equicorriente.

CAMBIO DE FASE En el caso de que en uno de los fluidos haya cambio de fase se modifican ligeramente las ecuaciones. Veamos que ocurre tanto en el caso de un condensador como en el de un evaporador. Condensadores:

Si w c es el caudal de condensado y λc es el calor latente de condensación, la ecuación 3.35 del balance global de calor queda modificada de la siguiente forma:

Q  w c   c  w f  C f  �t 1 � t 2  como la temperatura de condensación, T, permanece constante diferencia de temperatura será: t1 � t 2 Tml   T � t2 ln   T � t1 con lo que:

102

(3.43)

(Figura 3.14), el valor de la media logarítmica de la

  

t1 � t 2

Q  w c   c  w f  C f  �t 1 � t 2   U  A 

(3.44)

 T � t2    T � t1 

ln 

Evaporadores:

Si wf es el caudal de evaporado y λf es el calor latente de ebullición, la ecuación 3.35 del balance global de calor queda modificada de la siguiente forma:

Q  w f   f  w c  C c  �T1 � T2 

(3.45)

como la temperatura de ebullición, t, permanece constante (Figura 3.19), el valor de la media logarítmica de la diferencia de temperatura será: T1 � T2 Tml  T �t  ln 1  T2 � t 


con lo que: Q  w f   f  w c  C c  �T1 � T2   U  A 

T1 � T2

(3.46)

 T1 � t    T2 � t 

ln

1

2

1

2

T

T

T T t

t

Q

Q

CONDENSADOR

EVAPORADOR

Figura 3.19. Distribución de temperaturas en evaporador y condensador.

En el caso de evaporadores en los que se utiliza vapor de agua como fluido calefactor, el diseño es aún más simple, ya que tanto la temperatura en la cámara de ebullición, t, como la temperatura en la cámara de condensación, T, son constantes (Figura 3.20).

Q  w c   c  w f   f  U  A  �T  t 

(3.47)

En el caso de que el fluido a condensar no entre a la temperatura de condensación, como es el caso de cuando se utiliza un fluido frío para condensar un vapor sobrecalentado, se pueden llegar a tener tres zonas diferenciadas en el intercambiador (Figura 3.21): - zona 1: enfriamiento del vapor hasta su temperatura de condensación - zona 2: condensación del vapor 103

r lo a c e d n ó is i m s n a rt e d s o t n e m a d n u F

- zona 3: enfriamiento del líquido condensado. la ecuación del balance de calor en este caso será: Q  w c  C vapor .�T1 Tc

�

w c . c

�

w� c C líquido .�Tc

 T2 

w f  Cf



t1



t2

(3.48)

donde Tc es la temperatura de condensación del vapor. 1

2

1

2 vapor

T

T

Tc

T

líquido

vapor + líquido

t

t

1

Q

2

3

Q

Figura 3.20

Figura 3.21

3.7. PROBLEMAS 3.1. Estimar los valores del coeficiente de convección para cada cara de una placa rectangular de 40 cm x 20 cm de lado que se encuentra en posición horizontal, a temperatura de 50ºC, en el seno de aire a 1 atm y 30ºC. Rta: harriba = 5,6 J/(s.m2.K)

habajo = 2,8 J/(s.m2.K)

3.2. Un calentador eléctrico tiene 0,6 m de longitud y 2 cm de diámetro. Si la temperatura en la superficie no puede exceder de 90ºC, cuando la temperatura del agua es de 60ºC calcular la potencia del calentador. Rta: 1388 W.

3.3. Por una tubería de 1 cm de diámetro circula agua con velocidad de 0,10 m/s que se desea calentar desde 10ºC hasta 50ºC manteniendo las paredes de la tubería a temperatura constante de 80ºC. Hallar la longitud de tubería que debe mantenerse a temperatura constante. Rta: 3,9 m.

Se dispone una de corriente a 5ºC quedecircula porseel mantiene interior deconstante una tubería de 1 cm de diámetro y 2 m de 3.4. longitud con un de caudal 1 L/s. Sidelaagua temperatura la tubería en 80ºC, determinar la temperatura a la que saldrá el agua. Rta: 42ºC

3.5. Una esfera de 5 cm de diámetro, de acero inoxidable, que se halla a 100ºC, se sitúa en una corriente de aire a 1atm y 20ºC cuya velocidad es de 5 m/s. Suponiendo que la conductividad del acero es suficientemente elevada para que no exista un apreciable gradiente de temperaturas, calcular el tiempo que tardará la esfera metálica en adquirir una temperatura de 30ºC. DATOS. Para el acero: ρ = 7820 kg/m3; Cp = 460 J/ (kg.K) Rta: 29,4 min 104

3.6. Una corriente de agua a 25ºC circula a través de un banco de 7 filas de tubos de 3 cm de diámetro alineados y separados 6 cm tanto longitudinal como transversalmente. Los tubos se encuentran a una temperatura de 100ºC. Calcular el coeficiente de transmisión de calor entre la superficie de los tubos y el agua si la velocidad del agua antes de llegar a los tubos es de 25 cm/s. Rta: 5534 W/(m2.K)

3.7. Una corriente de aire a 20ºC y 1 atm circula con una velocidad de 10 m/s (velocidad medida antes de llegar a los tubos) a través de un banco de tubos de 2 cm de diámetro situados en disposición alternada y que se encuentran a 60ºC. El espaciado longitudinal es de 2,5 cm y el transversal es de 6 cm. El número de filas en la dirección del flujo es 8. Calcular el coeficiente de transmisión de calor entre la superficie de los tubos y el aire. Rta: 167 W/(m2.K)

3.8. Un tubo de cobre de 3 cm de diámetro y 0,5 m de longitud se usa para condensar etanol a presión atmosférica. El agua de refrigeración que circula por el interior del tubo mantiene una temperatura constante en la superficie de 30ºC. Calcular la cantidad de etanol que podrá condensar si: i) el tubo está vertical; ii) el tubo está horizontal.


DATOS. a 1 atm Tcond = 78,4ºC; λ= 840 kJ/kg para el etanol líquido a (60ºC): ρ = 780 kg/m3 ; k =0,17 J/(m.s.K); µ=0,65 cP Rta: i) 10,32 kg/h; ii) 15,87 kg/h

3.9. Se va a usar un condensador de tubos verticales (5 tubos de 1,5 m de largo y 10 cm de diámetro) para condensar clorobenceno (Tc = 130ºC; λ = 324 kJ/kg) usando agua a una temperatura media de 50ºC. El agua circulará a velocidad tal que se estima que el coeficiente de convección para el agua es 1000 J/(s.m2.ºC). Evaluar: i. La temperatura en la pared por el lado del vapor condensante ii. El coeficiente global de transmisión de calor, U. iii. El caudal de vapor que condensará NOTA: La conductividad del tubo puede suponerse muy elevada y el espesor del mismo despreciable. DATOS: Para el clorobenceno:

ρ = 1050 kg/m3 μ = 4·10 -4 kg/(m.s); k = 0,05 kcal/(h.m.ºC)

Rta: i) 70,8ºC; ii) 260,3 W/(m2.K); iii) 546 kg/h

3.10. Estimar el caudal de vapor de agua a 1 atm que se puede obtener en un evaporador formado por 20 tubos de 3 cm de diámetro y 2 m de longitud estando la superficie exterior de los tubos a 120ºC. DATOS: λ=2260 kJ/kg Rta: 29,2 kg/h

3.11. Para calentar 5000 kg/h de petróleo desde 20ºC hasta 80ºC se utiliza vapor de agua que condensa a 115ºC. Experimentosdelrealizados enlaelforma: laboratorio muestran que el coeficiente global de transmisión de calor U varía con la temperatura petróleo en t (ºC) 20 2 U (kcal/(h.m .ºC)) 130

40 230

60 300

80 400

Calcular la superficie necesaria del intercambiador. DATOS: Calor específico del petróleo C p = 0,47 kcal/(kg.ºC) Rta: 8,9 m2

3.12. Se desea enfriar una corriente de aceite mineral que circula con un caudal de 200 kg/h por el interior de un intercambiador de calor de doble tubo, de diámetro interior 2,5 cm. La temperatura del aceite, de calor específico 105


2 kJ/(kg.ºC), debe reducirse desde 150ºC hasta 50ºC usando un caudal de agua de 200 kg/h a 20ºC en contracorriente (Cp = 4185 J/(kg.K)). Si los coeficientes individuales de transmisión de calor para el aceite y el agua son 1400 W/(m2.ºC) y 3000 W/(m2.ºC) respectivamente, calcular la longitud de intercambiador necesaria. Rta: 2,86 m

3.13. ¿Qué caudal de agua está circulando por un intercambiador de calor de doble tubo, que funciona en contracorriente, si se utiliza vapor sobrecalentado que entra en el tubo interior a 300ºF y sale a 250ºF, y el agua entra en el tubo exterior a 60ºF y sale a 175ºF? El área de intercambio de calor es de 25 ft 2 y el coeficiente global de intercambio de calor es de 160 BTU/(h.ft2.ºF). NOTA: El enunciado de este problema está redactado en unidades inglesas con el fin de que el estudiante también sepa operar con ellas. Rta: 2449 kg/h

3.14. Un condensador consiste en 5 filas de tubos paralelos de 1 cm de diámetro con 10 tubos en cada fila de 2 m de longitud. El agua de refrigeración entra en los tubos a 20ºC y una velocidad de 0,8 m/s y por el exterior condensa vapor de agua a 100ºC. Si se estima un valor de U = 3,5 kW/(m2.K) calcular el caudal de condensado y la temperatura de salida del agua de refrigeración. DATO: λ = 2260 kJ/kg. Suponer despreciable la variación de las propiedades físicas del agua con la temperatura (ρ = 1000 kg/m3; Cp = 4185 J/(kg.K)) Rta 0,26 kg/s; 65,3ºC

3.15. Se ha de diseñar un intercambiador de calor para enfriar 4000 kg/h de agua desde 90ºC hasta 60ºC usando el mismo caudal de agua a la temperatura de 25ºC. Si el coeficiente global de transmisión de calor es de 2000 kcal/(h.m2.ºC), calcular la superficie de intercambio necesaria en los casos siguientes: i) operación en equicorriente; ii) operación en contracorriente; iii) utilizando un intercambiador de carcasa y tubos 1-2. NOTA: Suponer despreciable la variación del calor específico con la temperatura (Cp = 1 kcal/(kg.ºC)) Rta i) 2,6 m2 ii) 1,7 m 2 iii) 2 m 2

3.16. Un tanque agitado que contiene 800 kg de una disolución acuosa debe calentarse desde 20 a 80ºC. Como el tanque dispone de una camisa por la que puede circular un fluido calefactor se ha pensado en conectarla con vapor de agua a 1 atm (Tc = 100ºC, λ = 2260 kJ/kg). Si el área de intercambio es de 3 m2 y el coeficiente global se estima en 1000 W/(m2.K), calcular el tiempo necesario para calentar la disolución del tanque. DATO: Calor específico de la disolución = 4,2 kJ/(kg.ºC) Rta: 26 minutos

3.17. En un intercambiador de calor de doble tubo que opera en contracorriente se enfría un aceite térmico desde 80ºC hasta 50ºC mediante agua de refrigeración que entra a 20ºC y sale a 40ºC. Si se mantiene el mismo caudal de aceite y se dobla el valor del caudal de agua, ¿cuáles serían las temperaturas de salida del aceite y del agua en el nuevo estado estacionario, suponiendo que el coeficiente U no se modifica? NOTA. Aproximar la media logarítmica a la aritmética Rta: t1 = 30,9ºC; T2 = 47,3ºC

3.18. Se dispone de un intercambiador de doble tubo que opera en equicorriente tal que 100 kg/h de un aceite (Cp = 2,09 kJ/(kg.ºC)) se enfrían desde 90ºC hasta 50ºC mediante agua de refrigeración (C p = 4,18 kJ/(kg.ºC)) que entra a 25ºC y sale a 45ºC. Si se operara con el mismo intercambiador pero en contracorriente e idénticos caudales de aceite y agua manteniendo las mismas temperaturas de entrada de las corrientes, ¿cuáles serían las temperaturas de salida del aceite y del agua de refrigeración? NOTA. Suponer que el valor del coeficiente global de transmisión de calor U es constante y que no se modificará al operar en contracorriente. 106

Rta: t1 = 48,7ºC; T2 = 42,6ºC

3.19. En un intercambiador de calor de doble tubo que opera en contracorriente se calientan 200 kg/h de agua (Cp = 1 kcal/(kg.ºC)) desde 20ºC hasta 25ºC mediante una corriente de 10 kg/h de un vapor saturado orgánico que se halla a 80ºC (Teb = 80ºC; λ = 80 kcal/kg; Cp, líquido = 0,5 kcal/(kg.ºC)). Calcular: i. La temperatura de salida del compuesto orgánico ii. El área de intercambio si se supone un coeficiente global de transmisión de calor constante e igual a 50 kcal/(h.m2.ºC). Rta: 40ºC; 0,39 m2

3.20. Se utiliza un condensador que está formado por 36 tubos horizontales en disposición cuadrada para condensar vapor de agua a 100ºC mediante una corriente de 115 L/min de agua que entra a 20ºC y que circula por el interior de los tubos del intercambiador. Calcular el coeficiente global de transmisión de calor y la temperatura del agua a la salida.


DATOS: Tubos: Dinterior = 10 mm; D exterior = 12 mm; L = 2,5 m; k = 25 W/(m.K) Carcasa: D

interiror

= 20 cm

λ = 2273 kJ/kg Rta: 2320 W/(m2.K); 70ºC


107

4. TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN La radiación térmica consiste en energía electromagnética en transporte. Esta energía electromagnética es característica de los materiales: cualquier material, por el hecho de estar a temperatura superior a 0 K, emite energía radiante. Esta energía se transporta y, cuando llega a un material, es absorbida total o parcialmente. Ésta generalmente se transforma en energía interna (el material se calienta). Es interesante señalar que, contrariamente a la conducción y a la convección, la radiación se transmite mucho mejor en el vacío que en un medio material. La radiación difiere de la conducción y de la convección, no sólo en la estructura matemática de las ecuaciones de este fenómeno, sino también en el hecho de que es mucho más sensible a la temperatura. Tiene gran importancia en los hornos, debido a las elevadas temperaturas, y en el aislamiento criogénico, debido al vacío existente entre las partículas. Así, los gases a la temperatura de las cámaras de combustión, pierden más del 90% de su energía mediante la radiación de dióxido de carbono, vapor de agua y partículas materiales. Desde el punto de vista atómico-molecular, una molécula, además de energía de traslación, posee energía vibracional, de rotación y electrónica (para el estado sólido sólo es posible la energía de vibración y la electrónica) las cuales están cuantizadas. Para una molécula, el paso de un estado energético a otro se produce con absorción (paso a estado de mayor energía) o emisión (paso a estado de menor energía) de energía radiante en forma de fotones, que tienen el carácter onda-partícula.

. n ó i c a i d a r r o p r o l a c e d n ó sii m s n a r T

La emisión de esta energía radiante es función de la temperatura del cuerpo. Al aumentar la temperatura, se excitan primeramente los niveles de vibración y luego los electrónicos. Al aumentar la temperatura, el espectro de radiación emitido se desplaza hacia longitudes de onda, λ, más cortas y por tanto más energéticas, ya que la energía, E, de un fotón de longitud de onda λ es de:

E�

h c

(4.1)



donde h es la constante de Planck, igual a 6,6256.10-34 J.s, y c es el valor de la velocidad de propagación de la luz (ondas electromagnéticas), que es constante e igual a 2,9979.108 m/s. Los fenómenos de radiación se clasifican normalmente por su longitud de onda característica. El fenómeno electromagnético envuelve a varios tipos de radiación, desde los rayos gamma de baja longitud de onda hasta las ondas de radio de gran longitud de onda. La longitud de onda de la radiación depende de como se produce dicha radiación. La radiación térmica se define como la energía radiante emitida por un medio en virtud de su temperatura. La radiación térmica incluye longitudes de onda comprendidas entre 0,1 y 100 μm (10-7-10-4 m).

4.1. LEYES QUE GOBIERNAN LA ABSORCIÓN Y EMISIÓN DE LA ENERGÍA RADIANTE En primer lugar se discutirá la absorción de energía radiante y posteriormente la emisión de la misma. Tal como ya se ha comentado en el capítulo 1 de introducción a la transmisión de calor, una vez que la radiación electromagnética llega a un cuerpo material (Figura 1.4), esta radiación es en parte transmitida (saliendo del cuerpo), en parte reflejada y en parte absorbida. Sólo la parte absorbida se transforma en energía interna, bien aumentando la temperatura o bien provocando reacciones fotoquímicas (ejemplo de la función clorofílica como almacenamiento de energía solar). Para cada longitud de onda, λ, denotando aλ, rλ y tλ como la fracción de radiación incidente de longitud de onda λ que es absorbida, reflejada y transmitida respectivamente, se cumple:

a= 1 r� + t� � +

(4.2)

ecuación que se aplica para cada longitud de onda de la radiación electromagnética incidente. Estos tres parámetros fundamentales (a = absorbancia, absortancia o absortividad, r = reflectancia o reflectividad y t = transmitancia o transmisividad ) dependen de la longitud de onda y de la dirección de la radiación incidente, por lo que a veces se utiliza el subíndice w que indica la dirección de los fotones incidentes. Cuando se eliminan los subíndices se supone que se utiliza un valor global de los mismos. 109


reflexión

absorción transmisión

Figura 1.4. Radiación, absorción, transmisión y reflexión de ondas

• Al cuerpo ideal que, para todas las longitudes de onda y direcciones de incidencia de radiación, absorbe toda la radiación que le llega se le denomina cuerpo negro: a=1 r=0 t=0 • Al cuerpo ideal que, para todas las longitudes de onda y direcciones de incidencia de radiación, deja pasar toda la radiación que le llega se le denomina cuerpo transparente: a=0 r=0 t=1 • Al cuerpo ideal que, para todas las longitudes de onda y direcciones de incidencia de radiación, refleja toda la radiación que le llega se le denomina cuerpo especular: a=0 r=1 t=0 La Figura 4.1 muestra valores de la absortividad para superficies no metálicas y diferentes valores de la temperatura de la radiación incidente. Por lo que respecta a la emisión de energía radiante, si qE,N,λ,w es la densidad de energía radiante de longitud de onda λ emitida en la dirección w del hemisferio por el denominado cuerpo negro, y qE,S,λ,w es la densidad de energía radiante de longitud de onda λ en la dirección w del hemisferio emitida por una superficie S, se define la emisividad específica o emitancia específica eS,λ,w como la relación entre ambas densidades de flujo, es decir: q E ,S, , w e S,  , w � (4.3) q E , N , , w Lógicamente, en el denominado cuerpo negro se cumple e S,λ,w = eN,λ,w = 1 para todas las longitudes de onda; mientras que en los cuerpos reales no fluorescentes e S,λ,w < 1 para todas las longitudes de onda. Análogamente a la absorbancia, cuando el subíndice w se habla de emisividad monocromática hemisférica, cuando se suprime el hemisférica subíndice λ se hablasedesuprime emisividad total direccional y cuando se suprimen ambos subíndices se habla de emisividad total o simplemente emisividad. Para cualquier cuerpo real, la absortancia, a, será menor que la unidad y variará considerablemente con λ. El cuerpo, hipotético, para el que la absortancia es menor que la unidad y constante para cualquier longitud de onda y temperatura, se denomina cuerpo gris. De esta forma se puede considerar al cuerpo negro como un caso límite del cuerpo gris, en el cuál la absortividad es la unidad.

110

1 7 2

0,9 0,8 0,7

3

0,6

a1,2 0,5


0,4 0,3

6

0,2

5

0,1

4

0 500

2500

4500

6500

8500

T2 (K)

Figura 4.1.1: Absortancias de diversos materiales en función de la temperatura la radiación incidente. tejas de pizarra; 2: placas asbesto; a3:25ºC hormigón; 4: magnesita; 5: pinturadealuminio; 6: aluminio pulido; 7: grafito.

4.1.1 LEY DE KIRCHHOFF Un cuerpo negro, o radiador ideal, es aquél que emite y absorbe a cualquier temperatura la cantidad máxima posible de radiación a cualquier longitud de onda. El cuerpo negro es un concepto teórico que proporciona el límite superior de emisión de radiación y es una referencia para comparar con las características de radiación de los cuerpos reales.

Cuarta reflexión y absorción parcial

Cavidad isoterma

Tercera reflexión y absorción parcial

Primera reflexión y absorción parcial

Segunda reflexión y absorción parcial

Figura 4.2. Radiación de cavidad

111


Una forma sencilla de disponer de un cuerpo negro es construir una cavidad con un pequeño orificio, tal que prácticamente toda la radiación que entra dentro de la cavidad no puede salir por múltiples reflexiones con lo que es absorbida (Figura 4.2) Cualquier radiación que entre será parcialmente absorbida y parcialmente reflejada. La radiación reflejada volverá a chocar con la pared y será nuevamente absorbida en parte y reflejada y así sucesivamente. Cuando finalmente la radiación consiga salir por el orificio estará tan debilitada por las repetidas reflexiones y absorciones que la cantidad de energía que sale de la cavidad se puede considerar despreciable. La densidad de energía radiante en el interior de una cavidad, q E,CAV, no depende del tipo de material ni de su estado físico, sólo depende de su temperatura. Si en el interior de esta cavidad (Figura 4.3) se sitúa un cuerpo negro a la misma temperatura se cumplirá para T 1 = T2, qE,N = qE,CAV. A2

T2

Cavidad isoterma

A1

T1

Cuerpo negro Figura 4.3. Radiación entre un cuerpo y una cavidad. Si se repite la experiencia con un cuerpo no negro en lugar del cuerpo negro, cuando se llegue al equilibrio térmico, es decir T1 = T2, la energía que absorba este cuerpo será igual a la que emita. Por tanto, a éste cuerpo de área A1 llegará una densidad de radiación total de qE,CAV, y, si a es la absorbancia (o absortividad), absorberá una densidad de radiación igual a (a.qE,CAV). Si e es la emisividad, el cuerpo A1 emitirá una densidad de radiación (e.qE,N) y en el equilibrio térmico (T 1 = T2) ambas cantidades se igualarán. Como ya se ha visto: qE,N = qE,CAV, por lo que la absortividad es igual a la emisividad. a=e

(4.4)

Esta es la denominada ley de Kirchhoff: la emisividad y la absorbancia de un cuerpo que está en equilibrio térmico, son iguales. Esta ley es válida también para cada longitud de onda en particular. La emisividad de un cuerpo es función (generalmente, directa) de su temperatura mientras que la absortividad se puede poner en función de dos temperaturas: la del sumidero y la de la fuente. En el equilibrio térmico, por la ley de Kirchhoff, se tiene que a(T1, T1 ) = e(T1)

(4.5)

Si no hay equilibrio térmico, la ecuación anterior ya no se cumple (a(T 1, T 2) ≠ e(T1)). El significado de a(T 1, T 2) es la absortividad a la temperatura T1 para la radiación emitida por un cuerpo negro a T 2. No obstante, en algunos cuerpos, la dependencia de la absortividad con la temperatura del emisor no es suficientemente importante y entonces se considera a(T1, T2 ) = a(T1, T1 ) = e(T1) denominándose cuerpo gris a tales cuerpos.

112

(4.5)

4.1.2 LEY DE STEFAN-BOLTZMANN Stefan fue el primero que, empíricamente, a partir de experimentos realizados por Tyndall con platino, estableció la relación entre el poder emisor del cuerpo negro y su temperatura absoluta. Más tarde, Boltzmann comprobó teóricamente la ecuación de Stefan, basándose en la analogía entre la radiación del cuerpo negro y los gases ideales. La ley de Stefan-Boltzmann establece que: la densidad de flujo de energía radiante emitida por un cuerpo negro depende tan solo de su temperatura y es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.

qE,N = σ · T4

(4.6)

donde σ es la constante de Boltzmann, igual a 4,878.10-8 kcal/(h.m2.K4) o 5,67.10-8 W/(m2.K4). La ley de Stefan-Boltzmann se puede deducir a partir de la termodinámica o de la mecánica estadística.


i) deducción termodinámica

Para una cavidad (cuerpo negro) se puede demostrar que la densidad de energía radiante, U R (J/m3), es proporcional a la densidad de radiación emitida, qE,CAV, siendo 4/c el valor de la constante de proporcionalidad (c es la velocidad de la luz).

UR = (4 · qE,CAV) / c A la vez, la presión, p, que la radiación (nube de fotones) ejerce sobre la pared perfectamente reflectante de la cavidad es 1/3 de la densidad de energía radiante en el espacio en las proximidades de dicha superficie; esto es:

p = UR /3 Aplicando la relación de Maxwell a esta nube de fotones:

 U   p     T   � p  V  T  T  V resulta UR 

T dU R



3

�

dT

UR 3

integrando y sustituyendo UR = (4·qE,CAV) / c, se obtiene:

q E ,CAV

 constante T4 expresión que coincide con la ecuación 4.6, siendo la constante de integración, la constante de Boltzmann. ii) deducción mecánica estadística

La distribución espectral del flujo de energía desde un cuerpo negro se expresa mediante la ley de Planck:

E  d 

2hc 2 n 2 �5

 hc  �1  kT 

d

(4.7)

exp 

en donde Eλdλ es la densidad de flujo hemisférico de energía radiante que se encuentra en el intervalo de longitudes de onda de λ a λ+dλ (qE,N,λ), h es la constante de Planck (6,6256.10-34 J.s), c es la velocidad de la luz en el vacío (2,9979.108 m/s), k la constante de Boltzmann (1,3805.10-24 J/K), λ es la longitud de onda medida en el vacío, y n es el índice de refracción del emisor (λ = nλm, donde λm es la longitud de onda medida en el medio, además Eλdλ = Eλmdλm). 113


La ecuación 4.7 puede escribirse como: E n 2 .T 5



c1 .(T ) �5

 c2   �1  T 

(4.8)

exp 

donde c1 y c2 son la primera y segunda constantes de la ley de Planck, c 1 y c2, y valen: c1 = 3,740.10-16 J.m2/s y c2 = 1,4388.10-2 m.K El término Eλ/(n2T5), que claramente es sólo función del producto λT, se representa en la Figura 4.4. La longitud de onda de intensidad máxima se puede ver que es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. La relación se conoce como la ley de desplazamiento de Wien

λmax.T = 2,898.10-3 m.K

(4.9)

Para valores bajos del producto λT se puede despreciar el 1 frente al termino exponencial de la ecuación 4.7 de la ley de Planck, con lo que se obtiene la ecuación de Wien: para T  0

 hc   kT 

E   2hc 2 n 2 �5 exp �

(4.10)

por el otro lado, para valores elevados del producto λT recordando que para x → 0; exp (x) → 1+ x, resulta la ecuación de Rayleigh: para T  

E 

2cn 2 kT

4

(4.11)

Las ecuaciones de Wien (4.10) y de Rayleigh (4.11) se pueden usar para cálculos sencillos de distribución de radiación. Por integración de la ecuación de la ley de Planck en todo el intervalo de longitudes de onda (λ desde 0 a ∞) resulta la ecuación de Stefan-Boltzmann:

qE,N = σ · T4

(4.6)

siendo σ = 2�5k4/(15c2h3), la constante de Boltzmann.

Ejemplo 4.1

Para cálculos aproximados, se puede considerar al Sol como un cuerpo negro que se halla a 5800 K. A partir de estas consideraciones, evaluar la longitud de onda de máxima intensidad de radiación, la densidad de flujo de radiación que emite la superficie del Sol, y qué parte de la misma corresponde a la zona visible (400 - 800 nm) Solución

A partir de la ley de desplazamiento de Wien (4.9) λmax T = 2,898.10 -3 m.K λmax = 500 nm el máximo corresponde a 500 nm. Para el cálculo de la densidad de flujo de energía se aplica la ley de Stefan-Boltzmann (4.6). Por tanto, qE,N = σ T4 = (5,67.10-8)(5800)4 = 6,42.107W/m2

114


5

·K m · s· 2 m

J

5

�

E 7

·

T

0 1

5

K · m ·s · 2 m

J

5 �

E 7

· 0 1

2

·T (m·K)

·T n

·T (m·K) Figura 4.4. espectro de energía de emisión para un cuerpo negro. Para evaluar la fracción visible (400 - 800 nm) se usa la gráfica del espectro para un cuerpo negro (Figura 4.4) en función de λT. - para

λ = 400 nm

λT = 2320 µm.K

y, de la Figura 4.4, se obtiene que el tanto por uno de energía por debajo de 400 nm es de 0,12

- para

λ = 800 nm

λT = 4640 µm.K

y, de la Figura 4.4, se obtiene que el tanto por uno de energía por debajo de 800 nm es de 0,57

en consecuencia la cantidad de energía emitida entre 400 nm y 800 nm es de qE,N (400-800 nm) = (0,57-0,12) qE,N = (0,45)(6,42.107) = 2,89.107 W/m 2

115


4.2 INTERCAMBIO DE ENERGÍA RADIANTE ENTRE DOSCUERPOS SEPARADOS POR UN MEDIO NO ABSORBENTE DE LA RADIACIÓN En este apartado cabe distinguir entre si los cuerpos son negros o no, y si hay presencia de materiales refractarios; es decir, si además de la radiación directa aparece una radiación adicional debido a la presencia de superficies que reflejan la radiación.

4.2.1 RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NEGROS EN EL VACÍO. FACTOR GEOMÉTRICO Considérense las dos superficies negras y diferenciales de la Figura 4.5, que intercambian radiación a través del vacío. La ley de Lambert indica que: “La energía radiante, dQ 1→2, emitida por el dA1, por unidad de tiempo y que llega a dA 2, es proporcional a la proyección de las áreas dA 1 y dA 2 sobre la normal a r12 e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia”.

dA2 

r12

�

dA1

Figura 4.5. Intercambio de energía radiante entre dos superficies diferenciales. Por tanto: dQ1 2



 I.dA 1 . cos� 1 .dA 2 .�cos

2

r122

(4.12)

siendo I una constante de proporcionalidad, que depende de la temperatura T 1. Así mismo, puede observarse que el valor de dA2.cos(θ2)/(r12)2 es el valor del diferencial de ángulo sólido  con que se ve desde dA 1 el área dA2; es decir: dQ12



I.dA 1 . cos�1 .d 

(4.13)

Cuando I no varía con  , se tiene la emisión denominada difusa, mientras que si el producto I.cos(θ1) se mantiene constante se tiene la emisión especular (Figura 4.6). Por lo general, para la emisión de los cuerpos se suele suponer emisión difusa (la emisión especular tiene lugar en las lámparas ultravioleta de vapor de mercurio). Por integración de la ecuación 4.13, si A2 es una semiesfera, se deberá obtener la energía total emitida por dA 1; es decir, σ.T14.dA1. De acuerdo con la Figura 4.7, el diferencial de área dA 2 es:

dA2 = (2 · � · r12 · sen(θ1)) · (r12 · dθ1) a su vez, θ2 será igual a cero (dirección de r 12) con lo que sustituyendo en la ecuación 4.12 se obtiene:

dQ1→2 = I·dA1 · cos(θ1)·2 · � · sen(θ1)· dθ1) 116

(4.14)

dA


dA

DIFUSA

ESPECULAR

Figura 4.6. Tipos de emisión de radiación difusa y especular. Integrando para toda el área de la semiesfera debe obtenerse la ley de Stefan Boltzmann. Luego: /2

dQ1 2 � 2..I.dA 1

 cos( ).sen ( ).d 1

1

1

� .I.dA1 � .T14 .dA1

(4.15)

0

con lo cual la constante I vale: I�

.T14 

Sustituyendo ahora en la ecuación 4.12: dQ1 2 �

.T14 dA1 . cos(1 ).dA 2 . cos( 2 )  r122

(4.16)

cuya integración, para A1 y A2, dará lugar al caudal de radiación: Q1

�2

�

.T 

4

1



cos(1 ). cos( 2 ) 2

r12

A 2 A1

dA 1 .dA 2

dA2

1

d1

r12

dA1 Figura 4.7. Espacio hemisférico sobre un área diferencial.

117


Definiendo un factor, F12, como la relación entre el flujo de calor que saliendo de A 1 llega a A 2 con respecto al que sale de la superficie A1 F12 

Q 12



Q1

1

.A1

cos(1 ). cos( 2 )



r122

A 2 A1

dA 1 .dA 2

(4.17)

resulta el denominado factor geométrico o de visión , función exclusiva de la forma y posición relativa de las superficies A1 y A2. Utilizando este factor resulta: 4

Q12  .A 1 .F12 .T1 Análogamente, la energía Q2→1 que, emitida por A 2, llega a A1 es:

(4.18)

Q 21  .A 2 .F21 .T24

(4.19)

con lo que el flujo neto de calor que sale de la superficie A1, en el equilibrio térmico, será:

� 

� 

Q 1, 2  Q1 2  Q 21  .A 1 .F12 . T14  T24  .A 2 .F21 . T24  T14

(4.20)

ya que de acuerdo con la definición del factor geométrico (ecuación 4.17) A 1 .F12  A 2 .F21 

1

 A A 2

cos(1 ). cos( 2 ) r122

1

dA 1 .dA 2

Los valores de F 12 se suelen hallar tabulados o en forma de gráficas para diversas configuraciones de superficies (Figuras 4.8 a 4.16).

F12 

1 



X

2  1 � X 2



tg 1 

Y

  �

2  1� X 

Y 1 � Y2



tg 1 

X

 

2  1 � Y 

Figura 4.8. Factores geométricos. Superficie diferencial paralela a un rectángulo. (X = a/c; Y = b/c).

118


F12 

2   (1 � X 2 )(1 � Y 2 )  ln   XY   1 � X 2 � Y 2 



1/ 2

 Y � Y 1 � X 2 tg 1  2  1� X �

  X  � X 1 � Y 2 tg 1  2   1� Y �

    Y tg 1 �Y   X tg � 1 X    �

�

Figura 4.9. Factores geométricos. Rectángulos paralelos e iguales (X = a/c, Y = b/c)

F12

1 

2

�

Z

�

Z

2

�

2

4X Y

2



Figura 4.10. Factores geométricos. Círculos paralelos. (X = a/c, Y = c/b, Z = 1+(1+X2)Y2)

119


F12 

1

Y

� 

 X  Y cos()  sen ( 2)   �  XYsen () �    (X 2 � Y 2 ) � Y 2 tg 1  4 2   Ysen () 

  (1 � X 2 )(1 � Y 2 )   Y 2 (1 � Z)   Y  X cos()  sen 2 ()  2   �   2  1 ln  � X 2 tg 1  � Y 2 ln    2 4 1� Z  Xsen()   sen ()     (1 � Y ) Z   X 2 (1 � X 2 )cos(2)   � Y tg 1  1  � X tg 1  1   Z tg 1  1  � � X 2 ln  cos( 2  )  Y X  Z  Z(1 � Z)      X cos() Y  X cos()  sen() sen(2) 1 1 2 2 X 1 � X sen ()  tg  tg 2 2 2 2 �  �   � 2   1 � X sen ()   1 � X sen ()    X   cos()     � tg 1   cos()  d  � cos()  1 �  2 sen 2 ()  tg 1  2 2 2 2    1 �  sen ()  0     1 �  sen ()  Y

Figura 4.11. Factores geométricos. Rectángulos iguales con un lado común. (X = a/b; Y = c/b; Z = X2 +Y2 -2XY cos(φ)).

120


F12

F11

 1



1 X

1 X





1  1  1  B  cos     X   A  2Y 

2

X

2  

tg 1 

X

( A � 2) 2

B   1  A    (2X) 2 cos 1   � Bsen 1       XA   X  2 

 4( X 2  1) � (Y 2 / X 2 )( X 2  2)   1  Y 4X 2 � Y 2 sen 1   2 2   2X � Y Y � 4( X  1)    2   4X 2 � Y 2  1  X  2   sen  2  � 1   Y  X  2  

2

Y

Figura 4.12. Factores geométricos. Cilindros concéntricos. 2

2

2

2

(X=b/a; Y=c/a; A=Y +X –1; B=Y - X +1)

F12

f () 

X X2

� 2



  X cos 1  B   1  A  2Z  (X 2 �  2 )    

A2

 � 4Z 2 cos 1  A 

B X

2



2 Y

Y/2

 f (  ) d 0

   � Bsen 1    �   2

X

Figura 4.13. Factores geométricos. Cilindro y rectángulo. (X = a/d; Y = b/d ; Z = c/d; A = Z2 + X2 + ξ2 - 1; B = Z 2 - X2 - ξ2 + 1)

121

 A     �   2 

1 2

2


F12 =

F12 entre la superficie rectangular 1 y la paralela equivalente a cada fila de tubos



factor de corrección

1: radiación directa a la primera fila (dos filas presentes); 2: radiación directa a la segunda fila (dos filas presentes); 3: radiación total (directa mas refractario) a una fila (una presente)*; 4: radiación total (directa mas refractario) a la primera fila (dos presentes)*; 5: radiación total (directa mas refractario) a la segunda fila (dos presentes)*; 6: radiación total (directa mas refractario a las dos filas (dos presentes) *. * corresponde a la corrección del factor refractario debido a la superficie 2

Figura 4.14. Factores geométricos. Corrección para hileras de tubos.

A2 D2

h A1 l L F12



1 L D2

�

 L / D2   � tg  h / D2 

1 tg  �

l

1

�

 l / D2     h / D2 

D2

Figura 4.15. Factor de visión ente un plano de anchura finita y gran extensión y un cilindro de gran longitud paralelo al mismo.

122

A1


A2

D

D L

F12 

1/ 2 2    2  L 1  L  1   1 �   1  1 �  � sen    D  D 1 � L / D       

Figura 4.16. Factor de visión entre dos cilindros de igual diámetro y gran longitud de ejes paralelos.

4.2.1.1. PROPIEDADES DE LOS FACTORES GEOMÉTRICOS Los factores geométricos presentan una serie de principios y propiedades, cuya aplicación permite el cálculo de factores de visión entre superficies. Las principales son: A. Principio de reciprocidad Ya se ha visto anteriormente que, de la definición de factor geométrico, para dos superficies A i y A j cualesquiera se cumple:

Ai · Fij = Aj · Fji

(4.21)

B. Principio de conservación En un sistema cerrado de N superficies, la radiación que sale de una superficie cualquiera, Ai, debe llegar a las otras (y una parte a ella misma si Ai es cóncava). Por consiguiente se cumple que: N

F

ij

1

(4.22)

j1

C. Principio de no visibilidad Para superficies que no pueden verse a sí mismas (planas o convexas) el factor de visión para ellas mismas es cero

=0

Fii

D. Principio de aditividad Si una superficie se puede descomponer en una suma de otras superficies

A(jkl) = Aj + Ak + Al se cumple

Ai · F(jkl) = Aj Fij+ Ai · Fik + Al · Fil

123

(4.23)


con lo que

Fi (jkl) = Fij + Fik + Fil

(4.24)

E. Principio de simetría En todo sistema, como el de la Figura 4.17, en el que existan parejas de superficies, A 1-A4 y A2-A3, tales que cada superficie tiene su simétrica en la otra (en este caso son simétricas A1 y A3 por un lado, y A2 y A4 por otro), se cumple la relación:

A1 · F14 = A2 · F23

(4.25)

A1

A2

A3

A4 A1·F14 = A2·F23

Figura 4.17 Principio de simetría. Para un sistema de N superficies negras el caudal de calor que emite (sale) de la superficie Ai, Qi→, es:

Qi→ = σ · Ti4 Ai

(4.26)

Qi→j = σ · Ti4 Ai · Fij

(4.27)

y, de éste, llega a Aj:

donde es totalmente absorbido, al ser A j negro. El caudal de calor neto intercambiado entre Ai y Aj es:

Qi,j = σ · Ai · Fij (Ti4 -Tj4)

(4.28)

y, efectuando el sumatorio para todo j, se tiene el caudal de calor neto que sale de A i. Al efectuar el sumatorio, se puede excluir el término en que i=j, ya que, aunque F sea distinto de cero, Q será cero. ii

i,i

Q i  Q i , neto  .A i

N

 F �T ij

4 i

� T j4 

(4.29)

j1

Si el sistema es cerrado (si no es cerrado, a veces, es conveniente suponer una superficie imaginaria negra a 0 K) resulta:



Q i  Q i , neto  .A i Ti4 �



N

 F .T ij

j1

4 j

  

Cuando para una superficie se obtiene Qi = 0, se la denomina superficie adiabática. 124

(4.30)

4.2.2.RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NEGROS Y REFRACTARIOS EN EL VACÍO. FACTOR REFRACTARIO El término refractario indica la no emisión y absorción de energía radiante. El único efecto de una superficie refractaria consiste en no dejar pasar la energía radiante. No debe confundirse un cuerpo refractario con un cuerpo especular a pesar de que ambos realizan la misma función de no dejar pasar la energía radiante. La diferencia básica consiste en que el cuerpo especular sigue las leyes de la reflexión de radiación, mientras que al refractario se le puede suponer una especie de radiación “reflejada difusa” análoga a la de emisión del cuerpo negro (ver Figura 4.6) Para un sistema de superficies negras Ai , Aj,.... y el resto considerado como una única superficie AR refractaria (Figura 4.18) (Aunque, en principio, se pueden considerar varias superficies refractarias, es preferible agruparlas en una única para simplificar de la resolución del modelo).

AR


Ak Aj

AR Ai Figura 4.18. Recinto con superficies negras y refractarias.

El caudal de radiación que emite la superficie Ai es

Qi→ = σ · Ti4 Ai

(4.26)

el que llega a Aj directamente es:

Qi→directo = σ · Ti4 Ai · Fij

(4.31)

y, al ser Aj negro, es totalmente absorbido. El que llega directamente al refractario es:

Qi→directo = σ · Ti4 Ai · FiR y no es absorbido. De este caudal de radiación, Qi→R,directo, una fracción va a A j:

Qi→R→j = σ · Ti4 Ai · FiR · FRj que será totalmente absorbida, y otra fracción al propio refractario:

Qi→R→R = σ · Ti4 Ai · FiR · FRR éste, a su vez, reemite la radiación a Aj:

Qi→R→R→j = σ · Ti4 Ai · FiR · FRR · FRj y al refractario:

Qi→R→R→R = σ · Ti4 Ai · FiR · FRR · FRR 125


y así sucesivamente

Qi→R→R→R→j = σ · Ti4 Ai · FiR · FRR· FRR · FRj Qi→R→R→R→R = σ · Ti4 Ai · FiR · FRR · FRR · FRR Por tanto el caudal de radiación, Q i→j,indirec, que, a través del refractario va de Ai a Aj, es:

Qi→j,indirecR = σ · Ai · Ti4 · FiR · FRj [1 + FRR + F2RR + ...] La progresión geométrica en FRR, al ser éste menor que la unidad, conduce a: Q i  j,indirecto  .A i .Ti4 .FiR .FRj

1 1  FRR

(4.32)

El total de energía radiante directa e indirecta entre las superficies Ai y A j se obtiene sumando las ecuaciones 4.31 y 4.32: FiR .FRj   (4.33) Q i  j, total  .A i .Ti4 Fij �  1  FRR   A este conjunto de factores geométricos se le denomina factor refractario, Fij  Fij �

FiR .FRj 1 F

(4.34)

RR

y suele encontrarse tabulado o en forma de gráficas para diversas configuraciones. Debe tenerse cuidado con este factor ya que no cumple todas las propiedades de los factores geométricos. Así, no cumple que, para un sistema cerrado de N-1 superficies y una superficie refractaria, el sumatorio sea igual a la unidad N

F

ij

 1�

j1

FiR 1  FRR

pero cumple la ley de reciprocidad: A i .Fij  A j .Fji A veces interesa evaluar la temperatura de refractario TR como si el refractario fuese un cuerpo negro a una temperatura TR, tal que la superficie refractaria actúa como si fuera adiabática; es decir, Q R = 0. Por consiguiente, para un sistema cerrado de N superficies (incluida la refractaria), la utilización de la ecuación 4.29 para evaluar el caudal de radiación neto que sale del refractario (cuerpo negro i =R) conduce a: Q R  .A R

N

 F �T Rj

j1

4 R

N 1    T j4   .A R �1  FRR .TR4   FRj .T j4   0 j  1  

por tanto N 1

F

Rj

T  4 R

.T j4

j1

1  FRR

es una media de las temperaturas del resto de los cuerpos negros. 126

(4.35)

Ejemplo 4.2 Un horno experimental tiene forma de un prisma de base cuadrada, de 2 m de lado por 1 metro de altura. La base inferior (A2) se puede considerar un cuerpo negro a 400 K y la superior (A 1) otro cuerpo negro a 1500 K, siendo superficies refractarias las caras laterales del prisma. Calcular: i) El factor geométrico F

12

y refractario F 12

ii) El caudal neto de calor entre las superficies 1 y 2. Solución

A1 = A2 = 4 m2

Los valores de las áreas son:

AR = 8 m 2


De la Figura 4.9 o de la ecuación indicada en la misma, se puede determinar el factor geométrico F12: a/c = 2/1 = 2

b/c = 2/1 = 2

con lo que F12 = 0,415 Para el cálculo del factor geométrico interesa calcular el resto de los ocho factores geométricos (F11, F1R, F21, F22, F2R, FR1, FR2, FRR): - del principio de reciprocidad:

A1 F12 = A2 F21

con lo que F21 = F12 = 0,415 - al ser las superficies A 1 y A2 planas: F11 = F22 = 0 - del principio de conservación para la superficie A1 y A2 F11 + F12 + F1R = 1 F21 + F22 + F2R = 1 con lo que F1R = F2R = 0,585 - del principio de reciprocidad

A1 F1R = AR FR1 A2 F2R = AR FR2

con lo que FR1 = FR2 = (0,585)/2 = 0,293 - aplicando el principio de conservación para la superficie AR FR1 + FR2 + FRR = 1 con lo que FRR = 1 – 0,585 = 0,415 Conocidos todos los factores geométricos se puede pasar a evaluar el factor refractario F12



F12

F1R .FR 2

�

1  FRR

= 0,415 �

0,585  0,293  0,708 1  0,415

De acuerdo con la ecuación 4.33 Q1



Q2

.A1 .T1 4.F12 = 8,13.10 5 J/s

2 , total  

.T24.A 2 .F 21

1, total  



.T24.A1 .F12 = 4,11.10 3 J/s

 

siendo el intercambio neto de 8,09.105 J/s.

127


4.2.3 RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NO NEGROS EN EL VACÍO. FACTOR GRIS. FACTOR DE ABSORCIÓN Cuando se presentan superficies que no se pueden considerar negras ni refractarias, el modelo se complica y solamente existen ecuaciones simples de diseño para algunos problemas muy específicos. Así, para una superficie no negra plana (F11 = 0), con un área A1, a temperatura T1, de emisividad e1, rodeada completamente por otra superficie negra A2 (por tanto F12 = 1), a temperatura T2, el caudal de radiación que va de 1 a 2 es:

Q1→2 = e1 · σ · Ai · Ti4 que al ser negra la superficie A2, será totalmente absorbida. El caudal de radiación que va de A2 a A1 y es absorbido por A 1 es:

Q2→1 = a1,2 · σ · A2· F21 · T24 Como A2.F21 = A1, resulta que el caudal neto de radiación que sale de A1 es:

Q1 = σ · A1 (e1 ·T14 - a1,2 ·T24) Si A1 corresponde a un cuerpo gris (e 1 = a1,2) resulta:

Q1 = e1 · σ · A1 (T14 - T24)

(4.36)

También puede demostrarse que para dos superficies grises planas paralelas e infinitas, que además son opacas; es decir, con poder transparente nulo (r = 1 - e) el caudal neto de radiación resulta: 4





4

Q1  Q 2  A.1 T11 T2 � 1 e1 e 2

�



(4.37)

conviene señalar, que a la mayoría de cuerpos grises se les puede considerar opacos. En general, para el intercambio de radiación entre dos superficies grises que están rodeadas por otras negras o refractarias, se utiliza la ecuación:

Q12, neto = σ · A1· 12 · (T14 - T24)

(4.38)

siendo 12, el denominado factor gris que dependerá, además de la geometría del sistema, de las emisividades de los cuerpos grises. Para algunas configuraciones específicas se puede hallar su valor mediante gráficas, tablas o ecuaciones. Es un factor difícil de utilizar ya que no cumple las propiedades de los factores geométricos y refractarios, y sólo se halla en la bibliografía para problemas muy específicos. Por lo general, en estas situaciones es preferible evaluar el intercambio de radiación por uno de los tres métodos fundamentales de cálculo: el método de reflexión, el método Network o el método de Gebhart, siendo el más generalista el método de Gebhart, o de los factores de absorción. A continuación se detallan las características de estos tres métodos.

A. método de reflexión Este método es una ampliación del utilizado para la evaluación del intercambio de energía radiante entre cuerpos negros en el vacío en presencia de superficies refractarias. Para la deducción de las ecuaciones del modelo se supondrá que todas las superficies son grises. No obstante, conviene recordar que una superficie negra es una gris con emisividad unidad, y una superficie refractaria se puede considerar como negra a una temperatura ,TR , tal que es adiabática (Q R = 0), o bien como una superficie gris con emisividad nula y reflectividad igual a la unidad. Para un recinto de N superficies grises de áreas A i (i = 1, ..., N) a temperaturas T i y con emisividad e i, el caudal neto de radiación, Qj, que sale de un área Aj es igual al caudal de radiación emitido por Aj menos la suma desde i = 1 hasta N de 128

los caudales de radiación que emitidos por la superficies Ai son absorbidos por Aj: N

Qj = radiación emitida por A-j

(absorbida por A j procedente de Ai ) i 1

La radiación emitida por A es

Qj→ = ej · σ · Tj4 · Aj El cálculo de la radiación absorbida por Aj procedente de A i es más complejo. El caudal de radiación directa que sale de un área A , llega a A y, además, es absorbida por esta superficie es: i

j

Qi→j,directa, absorbido = (ei · σ · Ti4 · Ai) Fij · ej


El cálculo de la radiación indirecta que llega a A j procedente de Ai es aún más complejo pues debe considerarse que la radiación procedente de A i puede llegar hasta A j después de múltiples reflexiones en las N superficies (incluida la propia Ai). En primer lugar, se evalúa la radiación que se absorbe por Aj indirectamente por una única reflexión. La radiación que se refleja en una superficie Aa cualquiera (reflectividad ra), llega a Aj y es absorbida por A j es de:

Qi→a→j, absorbido = (ei · σ · Ti4 · Ai) Fia · ra· Faj· ej y como hay N superficies, el caudal de radiación que indirectamente, después de una única reflexión en otra superficie a será: N

Q

N

i  a  j, absorbido

 e j .�e i ..Ti4 .A i   Fia .ra .Faj

a 1

a 1

Para el caso de reflexión en dos superficies, la radiación que se refleja en una superficie Aa, posteriormente en otra Ab, y finalmente llega y se absorbe en Aj es:

Qi→a→b→j, absorbido = (ei · σ · Ti4 · Ai) Fia · ra· Fab·rb· Faj· ej y considerando las N superficies, el total de esta radiación que llega indirectamente a A j después de pasar por dos reflexiones es: N

N

 Q

N

i a  j, absorbido

N

 e j .�e i ..Ti4 .A i   Fia .ra .Fab .rb .Fbj

a 1 b 1

a 1 b 1

y así, sucesivamente, para considerar hasta infinitas reflexiones entre las superficies Ai y Aj. Por consiguiente, el caudal neto, Qj, de radiación que sale de la superficie Aj es:



N 4

Q j  A j .e j ..T j  e j

4 i

 �e ..T i

i 1

.A i Fij � 



N

N

F

ia

a 1

.ra .Faj �



N

 F

ia

a 1 b 1

.ra .Fab .rb(4.39) .Fbj � ...



o, lo que es lo mismo Q j  A j .e j ..T j4  e j

N

 �e ..T i

i 1

4 i





.A i  Fij � 



N

F

ia

a 1



N



b 1



.ra  Faj � 



N



c 1

Fab .rb Fbj �



Fbc .rc �...  

   (4.40)

129


Sólo en algunos casos muy sencillos esta ecuación presenta solución analítica. Dado que cada término de los sumatorios de la ecuación 4.39 es cada vez más pequeño, se puede truncar la ecuación anterior para obtener una buena aproximación a la solución.

B. método de Network Este método sólo es aplicable cuando se puede considerar nulo el poder transmisor de las superficies. Wi se define como la radiación que emite Ai; es decir, como

Wi = Ai· ei · σ · Ti4

(4.41)

Si G i es la cantidad de radiación que, por unidad de tiempo y área A i, llega al área Ai procedente de todo el espacio, y Ji la radiosidad, definida como la radiación (directa más indirecta) que abandona la superficie A i por unidad de área y de tiempo, se tiene:

Ji = ri· Gi+ ei · σ · Ti4

(4.42)

y el caudal de radiación neto que sale de la superficie Ai es:

Qi = Ai (Ji- Gi )

(4.43)

si la superficie Ai no tiene poder transmisor, este valor coincidirá con el caudal neto de radiación que emite A i, que será su emisión Ai.Wi menos lo que absorbe del exterior Ai.ei.Gi. Por tanto:

Qi = Ai (Wi- ei · Gi ) = Ai ei (W ) i,N- Gi

(4.44)

donde Wi,N indica lo que emitiría Ai si fuera un cuerpo negro. Igualando las ecuaciones 4.43 y 4.44 y eliminando G i Qi 

Wi , N  G i Wi , N  J i Ji  Gi   1 1 1  ei Ai

A i .e i

(4.45)

A i .e i

es decir, una diferencia de potencial dividida por una resistencia. Para calcular el caudal de radiación neto que sale de una superficie Ai deben conocerse los valores de radiosidad, Ji, para cada superficie. De la definición de radiosidad, el caudal de calor Q i,j intercambiado por radiación entre dos superficies Ai y Aj será:

Qi-j = Ai · Ji· Fij - Aj · JJ· Fji y por las propiedades de los factores geométricos, Q i, j 

Ji  J j

(4.46)

1 A i .Fij

es decir, otra diferencia de potencial dividida por otra resistencia. Mediante las ecuaciones 4.45 y 4.46 y teniendo en cuenta que N

N

Q i   Q i, j   j1

j1

Ji  J j 1 A i .Fij

130

(4.47)

pueden evaluarse numéricamente, o analíticamente los valores de las radiosidades y, por tanto, de los caudales netos de radiación. Interesa señalar que existe una analogía con los circuitos eléctricos que puede usarse para la evaluación analógica de las radiosidades.

Ejemplo 4.3

Calcular el caudal neto de radiación entre dos superficies grises que forman un espacio cerrado por el método de Network.

Solución

En este caso solo hay dos superficies. Por tanto, los caudales netos de cada superficie son:

Q1 

W1, N  J 1 1  e1

 Q1, 2 

Q2 

 Q 2,1 

1 e2

A2

J1  J 2 1 A 1 .F12

A 1 .e1 W2, N  J 2


J 2  J1 J J  2 1 1 1 A 2 .F21

A 2 .e 2

A1

A 1 .F12

con lo que Q1 = - Q2. Eliminando J1 y J2 del sistema de ecuaciones resulta:

Q1 

W1, N  J 1 1  e1



A 1 .e1

A 1 ( W1, N  W2, N ) J 1  J 2 J 2  W2, N   1 1 e2 1  1   A2  1 A 1 .F12 A 2 .e 2  e1  1 �  e 2  1. A1  � F12

donde el denominador es el factor gris 12 a usar para esta situación. Esta ecuación coincide con la que se obtendría por analogía eléctrica con el siguiente circuito:

W2,N

W1,N R1,2

R1

J1

R2

J2

R1, R12, y R2 son las resistencias iguales a:

 R 1  1 e1 A 1 .e1

 R 12  1 A 1 .F12

R 2  1 e2 A 2 .e 2

mientras que W1,N, J1, J2 y W2,N son los potenciales de radiación. El paso de la radiación de 1 a 2 se realiza a través de tres resistencias en serie, siendo la resistencia equivalente igual a la suma de las tres resistencias.

131


C. método de Gebhart Es el método más utilizado, especialmente para situaciones complejas. Se basa en la utilización de los factores de absorción, Bij, análogos a los factores de visión. Se define el factor de absorción, Bij, como la fracción de radiación emitida por la superficie Ai que es absorbida por la superficie A j. Esta fracción incluye la radiación a través de todas las trayectorias posibles (reflexiones en una superficie, dos superficies, etc). De acuerdo con la definición de Bij, el caudal neto de pérdida de calor por radiación para una superficie Aj es de: N

Q j  A j .e j ..T j4   B ij .e i .A i ..Ti4

(4.48)

i 1

con lo que se tendrá un total de N ecuaciones. Los factores de absorción están relacionados con las emisividades, los factores geométricos y las reflectividades de los diferentes cuerpos del sistema. Así, de la definición del factor B ij, la fracción radiación directa que va de Ai a Aj y que es absorbida por ésta es Fij ej, y la que por reflexión a través de otra superficie, Ak, cualquiera llegará y será absorbida en Aj es Fik rk Bkj. Considerando las N superficies, resulta: N

B ij  Fij .e j �  Fik .rk .B kj

(4.49)

k 1

de modo que se dispondrá de un total de N ecuaciones de este tipo con N incógnitas. 2

2

Si se conocen todos los factores geométricos, así como las emisividades y reflectividades, resulta un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución conducirá a los N2 valores de Bij. Cuando existe en el sistema una superficie refractaria, ésta se puede considerar como un cuerpo negro a una temperatura TR, tal que la superficie es adiabática, o bien como una superficie de emisividad nula y reflectividad unidad. En este último caso, de la definición del factor de absorción, B jR será cero para cada j, mientras que el valor de B Rj está indeterminado y no es igual a cero. En este caso, BRj es la fracción de la radiación emitida por AR (como no emite radiación la fracción no tiene sentido) que es absorbida por A j. No es preciso utilizar las N 2 ecuaciones 4.48 pues existe una serie de propiedades sencillas que relacionan los factores de absorción. Así, para toda superficie A k, se cumple una ecuación análoga al principio de reciprocidad de los factores geométricos:

Ai · ei · Bij = Aj · ej · Bji

(4.50)

para poder transparente nulo, es decir rk = 1 - ek, y si además el espacio es cerrado: N

 B ij

1

(4.51)

j1

con lo que la ecuación 4.48 queda como:



Q j  A j .e j .  T j4 





N

B i 1

ji

.Ti4 



(4.52)

lo que srcina un total de N ecuaciones, una para cada caudal de radiación que abandona cada superficie.

Ejemplo 4.4 Calcular por el método de Gebhart el flujo neto de radiación que sale de una superficie gris y plana, A1, encerrada en otra superficie gris de área, A2, siendo nulo el poder transparente de ambas superficies.

132

Solución

En este caso N = 2 y se tendrá que el caudal neto de pérdida de calor por radiación para cada una de las superficies (ecuación 4.52) es :

Q1 = A1 · e1 · σ (T14 - B11 · T14 - B11 · T24) Q2 = A2 · e2 · σ (T24 - B21 · T24 - B22 · T24) Antes de calcular los cuatro factores de absorción conviene conocer los cuatro factores geométricos, que son:

F11 = 0 al ser plana A

1

F12 = 1 - F11 = 1

A2

al ser el sistema de superficies cerrado.


F21 = A1.F12 /A2 = A1/A2 por el principio de reciprocidad.

F22 = 1 - F21 = 1 - A1/A2

A1

al ser el sistema de superficies cerrado. De las propiedades de los factores de absorción:

B11 = 1 - B12 B22 = 1 - B21 A2 e2 B21 = A1 e1 B12 con lo que sólo es necesario usar una vez la ecuación 4.49 de definición de los factores de absorción. Por ejemplo, por definición B12 es:



B12  F12 .e2 � F11 .r1 .B12 � F12 .r2 .B22  e2 � r2 1 



A1 .e1 A 2 .e2



r2 .B12 



y si el poder transparente de ambos cuerpos es nulo (rk = 1 - ek), resulta:

1 B12  A1 e1 �1  e2  1� A2 e2 Como se tiene que (1-B11) = B12 ,el valor de Q 1 es:

�



Q1  A1 .e1 ..B12 . T1 4  T24 

�

A1 . T1 4  T24



   1 �  e1 A 2  e2  1

A1  1

pudiéndose comprobar que Q2 = - Q 1. Por analogía con los factores que aparecen en radiación; para esta situación, el factor gris, 12 , es igual al inverso del denominador de la expresión anterior. También se puede ver que para el caso particular de que A 2 >> A1 la ecuación se simplifica y queda:

�

Q1  A1 .e1 . T1 4  T24



133

B12  1


4.3 INTERCAMBIO DE RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES Y GASES El cálculo del intercambio de calor por radiación en un sistema cerrado y lleno con un gas absorbente y emisor es extraordinariamente complejo. Se debería plantear un balance de fotones para cada longitud de onda. Este balance sería muy parecido al balance microscópico de materia, con términos de desaparición de fotones por absorción y también de generación de éstos (procesos de fluorescencia y fosforescencia). Además, en ciertos problemas (presencia de partículas sólidas) se deberían considerar los efectos de dispersión de la radiación. En rigor debe hacerse un balance de fotones de cada longitud de onda, λ, teniendo en cuenta su dirección espacial ω. Todo ello da lugar a una ecuación integrodiferencial para cada λ y ω de muy dificil resolución numérica. dI  , ds

 �k  �   I  , �



�  I  ,* .p  *,  .d

4 4 



donde

Iλ,w = Intensidad de radiación: una magnitud escalar que indica el número de fotones de longitud de onda λ, por unidad de tiempo y superficie, con dirección de ángulo sólido ω. s = coordenada lineal en la dirección de ángulo sólido ω, m. kλ = coeficiente de absorción del medio, m-1. τλ = coeficiente de dispersión del medio, m -1. pλ (ω*,ω)= función de fase para la dispersión ω* → ω. Indica la probabilidad de que una radiación en la dirección de ángulo sólido ω*, tome después de ser dispersada, la dirección de ángulo sólido ω. Un caso sencillo e interesante consiste en la evaluación del caudal de calor entre un gas a temperatura T G y un cuerpo negro de área AS que lo rodea a temperatura TS. El caudal de calor entre el gas y la superficie envolvente es:

QG,S = σ · AS (eG · TG4 - aG · TG4)

(4.53)

donde eG es la emisividad del gas a la temperatura TG, y aG es la absortividad del gas a la temperatura Ts para la radiación a la temperatura TG. La evaluación de a G no es necesaria cuando la temperatura TS es menor que la mitad de T G; aG se puede suponer igual a eG. Una aproximación mejor consiste en evaluar a G como eG a la temperatura TS y unas condiciones de presión multiplicada por longitud característica como las usadas en la evaluación de eG. Para la evaluación de e G interviene la denominada longitud de radiación como una medida lineal del tamaño y forma de la nube de gas. La longitud media adimensional de radiación, L 0/D, corresponde, como su nombre indica, a la media de la longitud de los haces de radiación en el interior de la nube de gas radiante. La Tabla 4.1 muestra los valores de la longitud media del haz adimensional, L0/D, así como los valores recomendados de la longitud media adimensional del haz L/D para la evaluación de eG. Los gases normalmente presentes en los gases emisores de radiación suelen ser el CO2 y el H2O. Para este caso, el valor de eG se evalúa a partir de la ecuación:

 

eG  � eCO2 � eH2 O  1 

Cse 

100 

(4.54)

en la que e CO y e H O son las emisividades para el CO2 y para el H2O, respectivamente, que se calculan mediante las Figuras 4.20 y 4.21. Estas emisividades son función del producto de la presión parcial de gas por la longitud media de la radiación, L, existiendo un factor de corrección cuando la presión es diferente de la atmosférica. Cse es otro factor corrector de la emisividad de la nube de gas que es función de la fracción molar de CO 2 y de la suma (pCO2 · L + pH2O · L). Este factor aparece en la Figura 4.19. 2

2

134


8

Cse

1

2 = p CO 2 .L � p H 2O .L

0,75 6 0,50 4

0,25

0,1

2

0 1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

CO2 / (CO2 + H2O) Figura 4.19. Factor corrector para las emisividades de mezclas CO2 y H2O con gases no radiantes.

135


Dimensión Forma

característica

0

L /D

L/D

D

Esfera Cilindro de longitud infinita Cilindro de longitud semiinfinita

Diámetro Diámetro

0,67 1,0

0,63 0,94

radiando a: su base centro de toda su base Cilindro recto, altura = diámetro radiando a: centro de su base toda su superficie Cilindro recto, altura = (0,5)diámetro radiando a: base superficie lateral toda su superficie Cilindro recto, altura = (2)diámetro radiando a: base superficie lateral toda su superficie Medio cilindro de longitud infinita (sección transversal medio círculo) radiando a un punto en medio cara plana. Paralelepípedos rectangulares 1:1:1 (cubo) 1:1:4 radiando a cara 1x4 cara 1x1 toda su superficie 1:2:6 radiando a cara 2x6 cara 1x6 cara 1x2 toda su superficie Planos paralelos infinitos Espacio externo a un bloque de tubos centrados formando un triángulo equilátero. Diámetro tubos = distancia entre ellos Diámetro tubos = (0.5)distancia entre ellos Espacio externo a un bloque de tubos centrados

Diámetro Diámetro

1,0 0,81

0,90 065

Diámetro Diámetro

0,76 0,67

0,71 0,60

Diámetro Diámetro Diámetro

0,47 0,52 0,50

0,43 0,46 0,45

Diámetro Diámetro Diámetro

0,73 0,82 0,80

0,60 0,76 0,73

Radio

---

1,26

Lado

0,67

0,60

Lado mas corto Lado mas corto Lado mas corto

0,90 0,86 0,89

0,82 0,71 0,71

Lado mas corto Lado mas corto Lado mas corto Lado mas corto Distancia entre ellos

1,18 1,24 1,18 1,2 2,0

----1,76

Distancia entre ellos Distancia entre ellos

3,4 4,45

2,8 3,8

Distancia entre ellos

4,1

3,5

formando un cuadrado Diámetro tubos = distancia entre ellos

Tabla 4.1. Longitudes de radiación para volúmenes de radiación

136


e CO 2

T (K) a)

C CO 2

PT (atm) b)

Figura 4.20. Emisividades para mezclas de CO2 y gases no radiantes. a) presión 1 atm. b) factor corrector para otras presiones

137


e H 2O

T (K)

a)

C H2O

PH2 O b)

�

2

PT

(atm)

Figura 4.21. Emisividades para mezclas de H2O y gases no radiantes. a) presión 1 atm. b) factor corrector para otras presiones

138

4.4. PROBLEMAS 4.1. Sabiendo que el vidrio corriente sólo deja pasar la radiación de longitud de onda superior a 350 nm, calcular la fracción de la energía emitida por un cuerpo negro, a 10000 K, que dejará pasar el vidrio. Rta: 62%

4.2. Calcular el caudal de radiación entre dos superficies rectangulares, negras y paralelas de 100 cm x 100 cm, separadas una distancia de 50 cm, hallándose una superficie a 1000 K y la otra a 300 K. Rta:23 kW

4.3. Determinar el flujo neto de calor entre la pared de un horno (50 cm x 50 cm) y una pared (3 m x 2 m) tal como se muestra en la figura adjunta. La pared se halla a 20ºC y la pared del horno a 350ºC, pudiéndose considerar a ambos como cuerpos negros.


3m horno

pared

0,50 m

1m

2m

0,75 m

horno

pared NOTA. Puede suponerse que la superficie del horno es mucho menor (diferencial) que la de la pared. Rta: 690,5 W

4.4. En una noche clara, con una temperatura eficaz de cuerpo negro del espacio de -73 oC, el aire está a 15 oC y contiene vapor de agua con una presión parcial igual a la del hielo o agua líquida a 0 oC. Se coloca agua en una bandeja poco profunda, bien aislada térmicamente, resguardada del viento y completamente a la vista del cielo. Si el coeficiente de convección es de 3 W/(m 2 K), ¿congelará el agua?. Si así es, estimar el tiempo necesario para que el agua de una bandeja de 1mm de hondo y llena de agua empiece a congelar. Rta: Si; 4,5 min

4.5. La azotea plana y negra de un edificio tiene una emisividad de 0,9 y un coeficiente de absorción de 0,8 para la radiación solar. A mediodía la intensidad de los rayos solares es de 800 kcal/(h.m 2). Si la temperatura del aire ambiente es de 25ºC, la velocidad del viento despreciable, y no “penetra” el calor por la azotea, ¿cuál será la temperatura de equilibrio en la superficie de la azotea? Para la velocidad de transmisión de calor por conducción más convección del aire, usar la ecuación: Q/A = 2,15.(∆T)1,25 siendo Q el caudal de calor en kcal/h y ∆T la diferencia de temperaturas entre la azotea y el aire en ºC. Rta: 53,5ºC

4.6. En un horno se han practicado mirillas circulares de 0,15 m de diámetro. El espesor de la pared del horno es de 0,30 m. La superficie interna de la mirilla opera como un aislante perfecto (radiación incidente igual a radiación emitida). Si la temperatura interior es de 1140ºC y la exterior es de 10ºC, determínense las pérdidas por la mirilla. NOTA. Suponer que las mirillas circulares actúan como cuerpos negros. Rta: 2104 W

139


4.7.Calcular

mediante el método de reflexión, la pérdida de radiación que experimenta un cuerpo gris cóncavo (F11 ≠ 0 ) en el vacío.

Rta: Q1 = e1..A1.T1

1  F11

4

1  r1 .F11

4.8. Demostrar que para dos superficies grises planas, opacas e infinitas, de emisividades e1 y e2 que se hallan a temperaturas T1 y T2 , el caudal neto de radiación entre ambas es de A. T 4  T 4 1 2 1 1 � 1 e1 e 2 Si se colocara entre ambas otra superficie gris plana, opaca e infinita, de emisividad e3 (escudo de radiación), ¿cuál sería el nuevo caudal neto de radiación entre las superficies grises A1 y A2? Q1

 

Q2

Rta: Q1



 

Q2

�





A. T14  T24 1 2 1 �

e1

�

e3



e2

2

4.9. Calcular el caudal neto de radiación entre dos superficies grises en presencia de otra refractaria que se hallan en un espacio cerrado por el método de Network. Rta: Q1

 

Q2

.A 1 T14  T24 1  e1 1  e 2 A 1

 

1

�

�

12

F

e

1

e2

A2

4.10. En el interior de un horno cúbico de 1 m de lado se tiene un gas de combustión a 1 atm (30% de CO 2, 10% vapor de agua, 60% inerte) a 1500 K que se puede suponer uniformemente distribuido. Si la superficie interior del horno se puede suponer negra a 700 K calcular el caudal neto de energía por radiación intercambiado entre el gas y las paredes del horno. Rta: 269 kW

4.11. Relacionar todos los factores geométricos, refractarios para la configuración mostrada en la figura adjunta en función de las correspondientes áreas A 1, A2, AR (refractario) y del factor F 12 . ¿Cuál es el valor de F 12 en función de A 1, A2, AR? Rta: F12 =(A1 + A2 - AR)/(2.A1) A2 AR A1

4.12. Para la disposición de la figura adjunta, calcular el factor geométrico entre las superficies A1 y A2, F12, en función de los factores geométricos F14, F(13)(24), y F23.

Rta: F12



A (13) .F(13)( 24)



A 2 .F23



1

3

4

2

A 1 .F14

2.A 1

140

4.13. Calcular el flujo de calor por radiación que intercambian las dos superficies negras, rectangulares y paralelas, que están separadas 0,2 m y dispuestas según la figura adjunta. A1 (0,5 m x 0,5 m) T1 = 700ºC

1

3

4

2

A2 (0,5 m x 0,5 m) T2 = 50ºC Rta: 1,11 kW

4.14. Para un paralelepípedo, tal que las bases son cuerpos negros (A1 y A2) y la superficie lateral es un cuerpo refractario (AR), evaluar los factores de absorción en función de los factores geométricos Fij. Rta: B12



F12

�

F1R .FR 2 1  FRR

; B11




1  B12

4.15. Se tiene un cuerpo gris (e = 0,5; r = 0,3) con forma de cilindro de 2 m de diámetro por 5 m de altura que se halla a 2000K. El cuerpo se halla rodeado por superficies negras a 0K. Calcular: i. Los factores geométricos ii. Los factores de absorción A1

iii. El caudal de radiación que sale del cuerpo gris Rta: QG = 6658 kW;

Fij j=1 j=2 j=R i=1 0 0,0371 0,9629 i = 2 0, 0371 0 0,9629 i = R 0,0963 0,0963 0,8074

AG Bij j=1 j=2 j=R i = 1 0, 0367 0,0738 0,6354 i = 2 0, 0738 0,0367 0,6354 i = R 0,1271 0,1271 0,5328

A2


141

5. NOMENCLATURA A = área, m 2 Ae = área exterior, m 2 Ai = área interior, m 2 Ama = área media aritmética, m2 Amg = área media geométrica, m2 Aml = área media logarítmica, m2 a = absortividad, absorbancia o absortancia, adimensional Bi = número de Biot, adimensional Bij = factor de absorción, adimensional C = calor específico, J/(kg.K) Cc = calor específico del fluido caliente, J/(kg.K) Cf = calor específico del fluido frío, J/(kg.K) Cp = calor específico a presión constante, J/(kg.K) Cse = factor corrector de la emisividad, adimensional Cv = calor específico a volumen constante, J/(kg.K) c = velocidad de la luz, m/s D = diámetro, m De = diámetro exterior, m Deq = diámetro equivalente, m Di = diámetro interior, m D = diámetro medio logarítmico, m ml d = diámetro molecular, m E = energía, J Em,n,p = error de la temperatura asociado al nodo (m,n,p), K Eλ = densidad (respecto a la longitud de onda) de energía radiante, J/(s.m2.m) e = espesor, m e = emisividad, adimensional F = factor corrector de la media logarítmica de la diferencia de temperaturas, adimensional ij = factor geométrico, adimensional Fij = factor refractario, adimensional ij = factor gris, adimensional Fo = número de Fourier, adimensional fer = función error, adimensional G = densidad de flujo másico, kg/(m 2.s) Gi = cantidad de radiación que, por unidad de tiempo y área llega a Ai procedente de todo el espacio, J/(m2.s) Gr = número de Grashof, adimensional Gz = número de Graetz, adimensional g = aceleración de la gravedad, m 2/s ge = velocidad intensiva de transformación de energía (“generación” de energía interna), J/(m3.s) h = coeficiente individual de transmisión de calor, J/(m 2.s.K) he = coeficiente individual de transmisión de calor para el fluido que circula por el exterior, J/(m2.s.K) hi = coeficiente individual de transmisión de calor para el fluido que circula por el interior, J/(m2.s.K) h = constante de Planck, J.s I = intensidad de corriente eléctrica, A/m 2 143

ra u t a l c n e m o N


Iλ,w = intensidad de radiación: número de fotones de longitud de onda λ, por unidad de tiempo y superficie, con dirección de ángulo sólido ω, fotones/(m2.s.sr) Ji = radiosidad, J/(m2.s.K) J0 = función de Bessel de primera especie y orden cero, adimensional J1 = función de Bessel de primera especie y orden uno, adimensional k = conductividad térmica, J/(m.s.K) k = constante de Boltzmann, J/K ke = conductividad eléctrica, 1/(Ω.m) kv = conductividad térmica del vapor, J/(m.s.K) k = coeficiente de absorción del medio, m-1 λ L = longitud, m M = peso molecular, kg/kmol NA = número de Avogadro, moléculas/mol Nu = número de Nusselt, adimensional n = índice de refracción, adimensional Pr = número de Prandlt, adimensional p = presión, Pa pλ (ω*,ω) = función de fase para la dispersión ω*→ ω: probabilidad de que una radiación en la dirección de ángulo sólido ω* tome después de ser dispersada la dirección de ángulo sólido ω, adimensional Q = caudal de calor, J/s Qi = caudal neto (salida-entrada) de radiación que sale de la superficie Ai, J/s Qi→ = caudal de radiación que emite la superficie A i, J/s Qi→j = caudal de radiación que emite la superficie A i y llega a A j, J/s Q = caudal de calor neto intercambiado entre A y A , J/s ij i j q = densidad de flujo de calor, J/(m 2.s) R = constante de los gases, J/(mol.K) R = resistencia al paso de calor por conducción o convección (temas 2 y 3), s.K/J R = resistencia al paso de calor por radiación (tema 4), 1/m 2 Ra = número de Rayleigh, adimensional Re = número de Reynolds, adimensional r = coordenada radial, m r = reflectividad, adimensional S = área de la sección transversal, m 2 St = número de Stanton, adimensional s = coordenada lineal en la dirección del ángulo sólido ω, m T = temperatura, K Te = temperatura exterior, K Tf = temperatura en el seno del fluido, K Ti = temperatura interior, K Ts = temperatura del sólido, K Tw = temperatura del fluido caliente en la pared, K Tm,n,p = temperatura en el nodo (m,n,p), K T0 = temperatura inicial, K t = transmitancia, adimensional t = temperatura del fluido frío, K t = tiempo, s tw = temperatura del fluido frío en la pared, K 144

U = energía interna, J U = coeficiente global de transmisión de calor, J/(s.m 2.K) Ue = coeficiente global de transmisión de calor referido al área exterior, J/(s.m2.K) Ui = coeficiente global de transmisión de calor referido al área interior, J/(s.m2.K) UR = densidad de radiación, J/m 3 V = volumen, m 3 v = velocidad, m/s vs = velocidad del sonido, m/s Wi = radiación emitida por A i, J/s

ra u t a l c n e m o N

Wi,N = radiación emitida por A i si fuera cuerpo negro, J/s w = caudal másico, kg/s wc = caudal másico de fluido caliente, kg/s wf = caudal másico de fluido frío, kg/s x = coordenada cartesiana, m y = coordenada cartesiana, m y = temperatura adimensional z = coordenada axial, m

α = difusividad térmica, m 2/s β = coeficiente térmico de expansión volumétrica, 1/K φ = coordenada angular, m Γ = caudal másico por unidad de perímetro de mojado, kg/(m.s) λ = longitud de onda, m λ = calor latente de evaporación, J/kg λc = calor latente de condensación del fluido caliente, J/kg λf = calor latente de ebullición del fluido frío, J/kg µ = viscosidad, kg/(m.s) µv = viscosidad del vapor, kg/(m.s) µw = viscosidad del fluido en las condiciones de la pared, kg/(m.s) θ = coordenada angular, rad ρ = densidad, kg/m 3 ρL = densidad del líquido, kg/m 3


ρv = densidad del vapor, kg/m3 σ = constante de Boltzmann, J/(m 2.s.K4) τ = tensor esfuerzo cortante, Pa τλ = coeficiente de dispersión del medio, m-1 ω = ángulo sólido, sr

145

6. BIBLIOGRAFÍA - ARPACI, V.S.(1996), “Conduction Heat Transfer”, Addison-Wesley, Londres.

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148

7. PROBLEMAS ADICIONALES E.1. Una mezcla frigorífica circula por el interior de una tubería de acero comercial de 2 pulgadas de diámetro nominal. La tubería se halla recubierta de cierto material de 0,5 cm de espesor que mantiene las temperaturas interna y externa de las paredes a 30ºC y 25ºC respectivamente. Debido a un cambio de las condiciones atmosféricas, empieza a formarse una capa de hielo que recubre la tubería. ¿Cuál será el espesor de esta capa si el caudal de calor desde el exterior hacia el fluido frigorífico queda reducido al 99% del valor srcinal? DATOS:

s e l a n o i c i d a s a m e l b o r P

- Para el tubo de 2 pulgadas: D1 = 52,5 mm, D 2 = 60,3 mm - kacero = 40 kcal/(h.m.ºC); kmaterial = 9,34 kcal/(h.m.ºC); khielo = 1,90 kcal/(h.m.ºC). Rta: e = 7,4 mm

E.2. La pared de un horno está hecha de ladrillo refractario de 10 cm de espesor (kL = 0,22 W/(m.K)). En ella hay una serie de piezas de acero cuya área transversal total representa el 1% del área total de la pared interna del horno, y que tienen una conductividad kA = 45 W/(m.K). Calcular el caudal de calor por cada m 2 de pared de horno transmitido a través de la pared exterior por el ladrillo y por el acero. La pared interior se halla a 230ºC y la pared exterior a 25ºC. Rta: q = 1369 W/m 2

E.3. Una pared de hormigón (k = 1,28 W/(m.K)) de 20 cm de espesor se halla recubierta de una capa de fibra de vidrio de 2 cm de espesor (k = 0,07 W/(m.K)). La temperatura en la pared interior de hormigón es de 25ºC mientras que la temperatura exterior del ambiente (lado de la fibra de vidrio) es de 4ºC y el coeficiente de convección entre el aire y la fibra se estima en 10 W/(m2.K). Calcular la temperatura en la pared exterior de la capa de fibra de vidrio (lado ambiente). Rta: T = 7,9ºC

E.4. La figura adjunta muestra el perfil de una presa de hormigón (L = 10 m de largo (k = 1,28 W/(m.ºC)) y dimensiones A = 0,5 m, B = 1,5 m, C = 1 m) usada para retener aguas residuales tratadas térmicamente que deben enfriarse. Si se puede suponer que la temperatura en la pared C es de 50ºC y en la pared D es de 20ºC y que las superficies A y B son adiabáticas: i. Plantear el modelo matemático para evaluar el perfil de temperaturas en el hormigón, ¿qué forma tienen las isotermas y las adiabáticas? ii. Suponiendo que sólo hay densidad de flujo de calor en la dirección x, calcular el caudal de calor (J/s) que sale de la presa. Rta: Q = 422 W

A

C

D

y x

B

E.5. Se desea recubrir una barra cilíndrica de uranio agotado de 2 m de largo y 10 cm de diámetro con un aislante de espesor 1,5 cm con muy buena resistencia mecánica (k = 200 kcal/(h.m.ºC)) para evitar contaminación en la deposición del uranio agotado en una piscina de agua que se halla a 40ºC. El coeficiente de convección de la piscina se puede estimar en 250 kcal/(h.m2.ºC) y el uranio agotado aún desprende energía pos su superficie lateral con un flujo de 10000 kcal/h. i. Estimar la temperatura en la interfase uranio-aislante ii. Suponiendo que la disipación de energía del uranio por unidad de volumen es constante, ¿cuál será la temperatura 149

r o l a c e d n ó is i m s n rta a l e d s o t n e m a d n u F

en el centro de la barra? DATO: kuranio = 40 kcal/(h.m.ºC) Rta: T = 90ºC; Tcentro = 100ºC

E.6. Calcular la pérdida de calor de un recipiente esférico de 2 m de diámetro interno y 10 cm de espesor fabricado en un material de conductividad térmica k = 2 kcal(h.m.ºC) que contiene un líquido a 80ºC. La temperatura exterior ambiente es de 25ºC y el coeficiente individual de transmisión de calor del aire se estima en 50 kcal/(h.m 2.ºC). Si se desea reducir las pérdidas de calor hasta tener un valor de 1000 kcal/h, ¿qué espesor de aislante (k = 0,1 kcal/(h.m.ºC)) se debería utilizar para recubrir el recipiente?

Rta: Q = 11151 kcal/h; e = 8,2 cm

E.7. Uno de los métodos usados en traumatología para “restablecer” huesos rotos consiste en la implantación de un vendaje de yeso para inmovilizar la parte dañada. Durante la aplicación del yeso se produce una reacción química exotérmica: CaSO4 + 2H2O → CaSO4 · 2H2O que transcurre a velocidad no muy elevada y proporciona dureza al vendaje. Durante el periodo de endurecimiento del yeso puede suponerse que se libera una densidad de energía constante con el tiempo ge = 0,5 kcal/(h.cm3 de yeso). A partir de un cierto tiempo de aplicarse el vendaje se puede suponer un comportamiento “estacionario” (variación muy pequeña de temperatura con el tiempo, despreciable frente a la “generación de energía” y a su transmisión por conducción). A partir de estos datos evaluar la variación de temperatura del yeso con la posición radial. ¿Hay un máximo de temperatura con la posición radial? NOTA: Supóngase un vendaje cilíndrico entre radios r0 = 0,06 m y r 1 = 0,065 m. T0 = 37ºC y T1 = 25ºC. DATO: kyeso = 0,074 kcal/(h.m.ºC) Rta: T = -1689189 r2 + 13040 ln r + 42805; máximo para r = 6,21 cm (T = 52,5ºC)

E.8. Se dispone de una barra cilíndrica de un reactor nuclear de diámetro D = 20 cm en el que tiene lugar la transformación de energía nuclear en interna a una velocidad uniforme de ge = 6·105 J/(m3.s). La barra disipa energía a un “reactor de agua a presión” que se halla a temperatura uniforme de Te = 80ºC, siendo el coeficiente de convección de calor constante e igual a h = 3000 J/(s.m 2.ºC). La conductividad del material nuclear es de 50 J/(m.s.ºC) presentando una temperatura de fusión de 2500ºC. Evaluar: i. Para funcionamiento en estado estacionario el perfil radial de temperaturas. ii. Si se pudiera introducir más material radiactivo en la barra de forma que el valor de la transformación de energía nuclear en interna (g e) se aumentase, ¿cuál es el valor máximo de ge de operación que inicia la fusión de la barra? Rta: T = 90 + 3000(0,01 – r 2) ; gmax = 3,63.107 J/s

E.9. Un cilindro muy largo de 10 cm de diámetro fabricado con un material plástico de difusividad térmica 10 -6 m2/s y que se halla inicialmente a 20ºC se sitúa en un baño de agua a 70ºC muy bien agitado tal que el coeficiente de convección es muy elevado. Calcular el tiempo necesario para que la temperatura en el centro del mismo sea 40ºC. Rta: t = 7,1 min

E.10. Se desea determinar la conductividad de un material plástico, por lo que se le da forma de esfera de 40 cm de diámetro y se sumerge en un baño muy bien agitado a 50ºC. La temperatura inicial de la esfera es de 20ºC y al cabo de 10 minutos la temperatura en su centro es de 22,5ºC. ¿Cuál es la conductividad térmica del material? DATOS: Cp = 0,8 kcal/(kg.ºC); ρ = 1100 kg/m3 Rta: k = 13,23 kcal/(h.m.ºC)

E.11. Un trozo de carne de vacuno que se puede considerar como una capa plana de 1 cm de espesor y que se halla a 2ºC se coloca entre dos superficies que se hallan a 120ºC. Suponiendo buen contacto de la carne con las superficies metálicas, 150

evaluar la duración de este tratamiento térmico si se detiene cuando la temperatura en el centro es de 90ºC. Si se calentara por una sola cara estando la otra perfectamente aislada, ¿cuánto tiempo duraría el tratamiento? DATO: α = 4,2·10-7 m2/s Rta: t = 38,9 s; t = 122 s

E.12. Una lámina de 10 cm de espesor de cierto material plástico de difusividad térmica 10 -6 m2/s y que se halla inicialmente a 0ºC se trata térmicamente de la siguiente manera: a una de las caras se la sitúa a una temperatura de 100ºC mientras que a la otra se la mantiene a 0ºC, hasta que la temperatura a 1 cm de la pared de la lámina sea 68ºC.


Estimar el tiempo necesario para alcanzar esta temperatura. Rta: t = 250 s

E.13. La pared de un horno está formada por una capa de refractario de espesor e 1 y otra de aislante de espesor e2. Inicialmente la temperatura es de T 0 para los n nodos y en un instante inicial se sitúa la pared del refractario (nodo 1) a Tw manteniéndose la del exterior del aislante (nodo 8) en T 0. Utilizando los nodos de la figura adjunta, encontrar las ecuaciones de variación de Tn con el tiempo para todos los nodos (n = 1, 2, ..., 8). refractario: conductividad térmica, k1 calor específico, C densidad, ρ

aislante: conductividad térmica, k calor específico, C

1

densidad, ρ

1

2

x 1 2 3

x 4

5

6

7

REFRACTARIO

Rta: T1 = Tw

Tn ,s � 1

T8 = T0

T7 ,s �1

T6 ,s � 1

� T6 ,s

�x

2



Tn1�

2

2

8

AISLANTE

� Tn1 ,s

n  2,3,4,5 2 M A ��T�6 ,s T8 ,s  � 1 2M A  T7 ,s ,s

2 �t ��k  T  �T  k 2 � C1 1 � C2  2   1 5 ,s 6 ,s

T7 ,s T6 ,s



3, E.14. La pared de un horno está formada por una capa de 5 cm de ladrillo refractario (k = 0,2 W/(m.K), ρ = 1500 kg/m C = 1,2 kJ/(kg.ºC)) y otra en “serie” de 3 cm de aislante (k = 0,04 W/(m.K), ρ = 1500 kg/m3, C = 1,2 kJ/(kg.ºC)). Inicialmente se halla toda la pared a 25ºC. Si se sitúa la pared interior (lado refractario) a 525ºC manteniéndose en la otra cara de la pared la temperatura de 25ºC, calcular la temperatura en la interfase refractario-aislante al cabo de 1 h.

Rta: T = 74,2ºC

E.15. Se utiliza un intercambiador de calor de doble tubo para enfriar en contracorriente 1000 kg/h de un aceite desde 80ºC hasta 50ºC mediante agua de refrigeración que entra a 20ºC y sale a 40ºC. En estas condiciones los coeficientes individuales de transmisión de calor se estiman en h aceite = 800 kcal/(h.m2.ºC) y hagua = 2000 kcal/(h.m2.ºC). Calcular el área de intercambio. Una vez construido el intercambiador se dobla el valor del caudal del fluido frío, con lo que indirectamente se modifica el valor de hagua (función del Re0,8). Si se mantiene igual el caudal de aceite y las temperaturas de entrada del aceite y del agua, calcular el valor del nuevo caudal de calor transmitido. DATOS: Caceite = 0,6 kcal/(kg.ºC); C agua = 1 kcal/(kg.ºC) Rta: A = 0,906 m2; Q = 20923 kcal/h

151


E.16. Se utilizan 2000 kg/h de agua a 80ºC para calentar 6000 kg/h de petróleo (C f = 0,5 kcal/(kg.ºC)) desde 20ºC hasta 40ºC operando en contracorriente. De los experimentos realizados en el laboratorio se puede suponer que el coeficiente global de transmisión de calor, U, varía con la temperatura del petróleo, t, de acuerdo con la siguiente tabla:

t (ºC) U (kcal/(h.m2.ºC))

20 120

30 140

40 180

Suponiendo que en cada uno de los intervalos se puede suponer variación lineal de U dentro del mismo, evaluar el área de intercambio necesaria. Rta: A = 12,2 m2

a 20ºC y saldrá E.17. Se desean condensar 100 kg/h de un compuesto orgánico mediante agua de refrigeración que entrará a 40ºC. El coeficiente individual de transmisión de calor para el agua se estima en h = 1000 kcal/(h.m2.ºC), mientras que el del vapor condensante sigue la siguiente ecuación: horg (kcal/(h.m2.ºC)) = 70 (Tc –Tw)0,25 siendo Tc la temperatura de condensación del vapor orgánico y Tw la temperatura de la pared donde condensa. Calcular: i.

El valor del coeficiente global en los extremos del intercambiador

ii. Área de intercambio que como máximo se necesitaría iii. Caudal de refrigeración necesario DATOS: Para el compuesto orgánico: λ = 200 kcal/kg; Tc = 60ºC Rta:

U1 = 144,8 kcal(h.m2.ºC); U2 = 125,2 kcal(h.m 2.ºC); Amax = 5,5 m 2; wf = 1000 kg/h

E.18. Se dispone de un intercambiador de calor de doble tubo (en contracorriente) que se utiliza para calentar una corriente de agua desionizada (C Para = 4,2las kJ/(kg.ºC)) desde hasta el 80ºC mediante otra corriente aceite térmico A que entra a 120ºC y sale a 60ºC. condiciones de 20ºC operación valor del coeficiente globalde deun transmisión de calor resulta 500 W/(m2.ºC). Se desea cambiar el aceite térmico (manteniendo la misma temperatura de entrada y caudal) por otro B cuyo calor específico es 0,5 veces el del aceite A, previéndose un coeficiente global de transmisión de calor de 600 W/(m 2.ºC). Si se realiza el cambio de aceite y se mantienen las condiciones de entrada del agua desionizada (temperatura de entrada y caudal), ¿en qué porcentaje aumentará o disminuirá el caudal de calor transmitido? Rta: Q2 = 0,76 Q 1

E.19. Deben enfriarse 6000 kg/h de ácido sulfúrico concentrado (Cc = 0,36 kcal/(kg.ºC)) en un intercambiador de calor especial que funciona en contracorriente y que consta de dos etapas, tal como se muestra en la figura adjunta.

H2SO4

H2O TANQUE 1

TANQUE 2

El ácido a 174ºC se introduce en el primer tanque agitado dentro de un serpentín donde exteriormente circula agua (Cf = 1 kcal/(kg.ºC)) . El ácido abandona el primer tanque a 88ºC y pasa a un segundo tanque del que sale a 45ºC. El

agua de refrigeración entra a 20ºC en el segundo tanque, luego pasa al primero del que sale a 80ºC. Calcular el área total de superficie de refrigeración necesaria, considerando que los coeficientes globales de transmisión de calor son iguales a 900 kcal/(h.m2.ºC) para cada tanque. Rta: A = 11,34 m2

152

E.20. Se utiliza un intercambiador de calor de doble tubo para enfriar 100 kg/h de un aceite mineral desde 90ºC hasta 35ºC utilizando agua en contracorriente que entra a 25ºC y sale a 50ºC. En las condiciones de operación los coeficientes individuales de transmisión de calor del aceite y del agua son 175 y 700 kcal/(h.m 2.ºC), respectivamente. Se piensa en sustituir el agua por un refrigerante que entraría a 5ºC, que proporcionaría un coeficiente individual de transmisión de calor, hrefr, de 500 kcal/(h.m2.ºC) y que entraría con un caudal de 200 kg/h. Evaluar las temperaturas de salida del refrigerante y del aceite térmico. DATOS: Caceite = 0,4 kcal/(kg.ºC); C agua = 1 kcal/(kg.ºC); C refrigerante = 0,84 kcal/(kg.ºC) Rta: T2 =16,4ºC; t 1 = 23,4ºC E.21.


Se utiliza un intercambiador de calor de doble tubo para enfriar en contracorriente 1200 kg/h de un aceite

(C = 0,7 kcal/(kg.ºC))

desde 80ºC hasta 50ºC mediante agua de refrigeración que entra a 20ºC y sale a 40ºC. En estas condiciones el coeficiente global de transmisión de calor se estima igual a 800 kcal/(h.m 2.ºC). Calcular el área de intercambio. Una vez construido el intercambiador con este área, y para aumentar el caudal de calor transferido se utiliza un caudal de agua de refrigeración de 2000 kg/h. Si se mantienen las temperaturas de entrada del aceite y del agua, calcular el valor del nuevo caudal de calor transmitido. NOTA: Suponer que el valor del coeficiente global de transmisión de calor no se modifica. Rta: A = 0,906 m2; Q = 26627,5 kcal/h

E.22. Para calentar 500 kg/h de un aceite (Caceite = 2,4 kJ/(kg.ºC)) desde 25ºC hasta 85ºC se emplea un intercambiador de calor de doble tubo que opera en contracorriente. Por el espacio anular circula vapor de agua saturada que condensa a 105ºC. Debido a una avería en la caldera productora del vapor, el caudal desciende de forma que, manteniéndose constante la temperatura de condensación, el coeficiente global de transmisión de calor disminuye un 40% respecto del valor inicial. a) Calcular la nueva temperatura de salida del aceite b) ¿En qué porcentaje se reduce el calor intercambiado? c) En el caso de que el intercambiador operara en equicorriente, ¿qué área debería tener el intercambiador para que la temperatura de salida sea la misma que en la operación en contracorriente? DATOS: hlado aceite = 2500 kJ/(h.m2.ºC); hlado vapor = 3900 kJ/(h.m2.ºC) NOTA: considerar despreciable el espesor de la pared que separa ambos fluidos y la resistencia que la misma ofrece al paso de calor. Rta: 70ºC; 25%; 1,09 m2

E.23. Un horno tiene forma de cilindro de 50 cm de diámetro por 100 cm de altura. La base superior y parte de la superficie cilíndrica (altura 20 cm) constituye el emisor de radiación (A 1), un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 2000 K; mientras que la base inferior es el receptor de radiación (A2), un cuerpo negro que se halla a 350 K. El resto (superficie cilíndrica de altura 80 cm) es refractario (A R). Calcular: i. Todos los factores geométricos ii. El caudal de calor neto que sale del emisor de radiación (A1) iii. El caudal de calor neto que sale del receptor de radiación (A 2)

A1

Rta: Q1,NETO = -Q2,NETO = 96300 W AR

A2

153


E.24. Se dispone de un horno cilíndrico de 100 cm de diámetro por 40 cm de altura. La base superior (A1) se encuentra a una temperatura de 2000 K, mientras que la base inferior (A 2) está a 350 K. Calcular el caudal de calor neto que entra a la superficie inferior (A1) si las dos bases con cuerpos negros y la superficie cilíndrica (AL) es un cuerpo gris con poder reflector nulo y emisividad 0,7 y que se halla a 1000 K. Rta: Q1,NETO = 695,3 kW

E.25. Calcular la energía por radiación que sale de un cuerpo gris (área, A1; factor de visión, F 11; temperatura, T1; emisividad, e1; poder reflector, r 1) en el vacío. 

Rta: Q1  1A1 ·e1·� ·T 4  1 �

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A1

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E.26. Se dispone de un horno cilíndrico de 100 cm de diámetro por 100 cm de altura. La base superior A1 y la superficie lateral hasta una altura de 80 cm, A L, es la fuente de calor (A1+L), un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 1200 K. La base inferior (A2) es otro cuerpo negro que está a 600 K. La parte inferior (A G) de la superficie lateral (20 cm de altura) se comporta como un cuerpo gris (e = 0,8; r = 0,0) a 1000 K. Calcular el caudal de calor que entra en A2.

A1

Rta: Q = 68 kW

AL AG A2

E.27. Un horno tiene forma de cono truncado con bases de 50 cm y 100 cm de diámetro por 100 cm de altura. La base superior constituye el emisor de radiación (A2), un cuerpo negro que se encuentra a temperatura de 2000 K; mientras que la base inferior (A1) es el receptor de radiación, un cuerpo negro que se halla a 350 K. La superficie lateral (A 3), de 2,5 m2, actúa como un cuerpo negro a 1500 K. i. Calcular el caudal de calor neto que sale de cada superficie. ii. En el caso de ser A1 un cuerpo gris (e = 0,6; r = 0,3), calcular los nuevos valores de los caudales de calor neto que salen de cada superficie. Rta:

Q1 = -248,2 kW; Q 2 = 132,6 kW, Q 3 = 115,6 kW; ∑Qi = 0

A2

A1 gris: Q 1 = -148,9 kW; Q2 = 129 kW; Q 3 = -733,1 kW

A3 A1

E.28. Un horno tiene forma de cilindro de 1 m de diámetro por 0,5 m de altura. La base superior (A1) es un cuerpo negro a 2000 K y la inferior (A 2) un cuerpo gris (e 2 = 0,6; r2 = 0,2) a 500 K. La superficie lateral se comporta como un refractario. Calcular: i. Los factores geométricos ii. Los factores de absorción iii. Los caudales de radiación que salen de A1 y A2. NOTA: Considerar el refractario como un cuerpo negro a TR, tal que su superficie es adiabática. Rta: Q1 = 419 kW; Q 2 = -314 kW

154

j=1 j=2 j=R Fij i=1 0 0,3820 0,6180 i = 2 0,3820 0 0,6180 i = R 0,3090 0,3090 0,3820

j=1 j=2 j=R Bij i = 1 0,0292 0,2292 0,6652 i = 2 0,3820 0 0,6180 i = R 0,3326 0,1854 0,4202

E.29. Calcular el caudal de radiación que pierde cada una de las dos superficies rectangulares y paralelas de 100 cm × 100 cm, separadas una distancia de 50 cm, hallándose una superficie (A 1) a 1000 K y la otra (A2) a 300 K. La superficie A1 es negra y la superficie A2 es gris (e = 0,7; r = 0,3).


Rta: Q1 = 53,6 kW; Q2 = -16,2 kW

E.30. Se dispone de un horno de 4 m de longitud y de sección cuadrada de 2 m × 2 m, tal y como se indica en la figura. La base inferior del horno, A1, puede considerarse un cuerpo negro y se encuentra a una temperatura de 1800 K. El resto del horno está formado por superficies refractarias, excepto la mitad izquierda de la cara superior, A 2, que se puede considerar una superficie negra a una temperatura de 1000 K. Calcular: a) Los factores geométricos. 1m

b) El caudal neto de energía radiante que sale de todas las superficies. c) La temperatura en la superficie refractaria. Rta: Q1,NETO = -Q2,NETO = 1701,7 W; TR = 1666 K

A2

A2 j=1 j=2 j=R Fij i=1 0 0,143 0,857 i = 2 0,286 0 0,714 i = R 0,245 0,102 0,653

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A1

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155

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4

5

6

7

3

3

158

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0 5 6

0 0 7

0 5 7

0 0 8

0 5 8

159

s o x e n A


Fundam-de-trans-calor.pdf

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