FACULTAD DE FARMACIA Y BIOANÁLISIS
Matemática Bioanálisis Unidad II
Funciones
Profesor Yonel Peñaloza
El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por Gottfried Wilhelm Leibniz, es uno de los conceptos más básicos en Matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo. Aparece en casi toda las ramas del saber, es por ello que es uno de los temas más importares de las Matemáticas y de mayor generalidad. En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de una o más cantidades. Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el número de habitantes de una población depende del tiempo; el aprendizaje de un contenido depende del tiempo que se dedica para su estudio. A través de las funciones se puede estudiar toda una serie de hechos como la probabilidad de que un evento ocurra, el costo que tiene elaborar algún producto al igual que el ingreso y beneficio que generan tal producción, la rapidez con que cae un objeto a la tierra, la distancia recorrida o la aceleración que debe poseer una nave al despegar para poder salir a la estratosfera, las dimensiones que maximizan la capacidad de un tanque con la menor cantidad de material, la velocidad a la que aumenta la temperatura de una solución al agregar un reactivo, el material que posea mayor conductividad eléctrica para la elaboración de un chip, el crecimiento poblacional y el número de habitantes estimados para un año en particular. En fin, con las funciones se puede representar todo un mundo de sucesos, a nivel micro o macro, que han contribuido con el desarrollo de la ciencia, la tecnología y en consecuencia, de la humanidad. Definición: Una función es una relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos; un conjunto de partida (llamado Dominio) y un conjunto de llegada (llamado Codominio), la cual satisface la condición: Los elementos de conjunto de partida se relacionan con uno y sólo un elemento del conjunto de llegada Esta relación se define a través de una ley de correspondencia, que por lo general puede ser representada mediante una ecuación. Los elementos del codominio que están relacionados con algún elemento del dominio, se denominan imágenes y forman un conjunto llamado Rango, Imagen o Recorrido de la función. 1
Los elementos del dominio son representados, generalmente, por la letra x, la cual es considerada como la variable independiente, mientras que los elementos del rango se representan con la letra y, la cual es la variable dependiente y se escribe: y = f (x) lo cual se lee “y en función de x” Funciones Reales: Una función Real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales otro número real. f :A ⊂R→R x → f ( x) = y Existen distintos tipos de funciones reales, entre las cuales encontramos:
Cons tan te Polinómicas Afiín Cuadrática Potencial A lg ebraicas Racionales Funciones Radicales Exponenciales Transcendentes Logarítmicas Trigonométricas
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Funciones Algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que se realizan con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Veamos cada una de ellas Función Constante: Una función constante es de la forma y = k o equivalentemente f(x) = k
donde k es un número real.
Su representación gráfica, o curva de la función, es una recta paralela al eje de las abscisas, que pasa por el valor de k en el eje de las ordenadas. Por ejemplo, f(x) = 2
El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, mientras que el rango es el conjunto cuyo único elemento es el número 2. Simbólicamente escribimos: Dom f : R
Rg f : {2}
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Función Afín: Una función afín es de la forma
f :R→R x → y = mx + b Su representación gráfica, o curva de la función, es una recta, cuya pendiente es m, y ordenada en el origen es b, es decir corte con el eje y. Ejemplo. y = 2x + 3 Para realizar la representación gráfica de esta función, basta con representar dos pares ordenados y trazar la recta que los une. Para determinar pares ordenados, damos valores a la variable x y obtenemos sus respectivas imágenes, al sustituir en la función. Así: f (–1) = 2(–1) + 3 = 1, obteniéndose el par ordenado (–1 , 1) f (1) = 2(1) + 3 = 5, obteniéndose el par ordenado (1 , 5)
La Ordenada en el origen es 3 y la pendiente de la recta es 2. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función? 4
Pendiente de la Recta: La pendiente de una recta, se define como la razón de cambio de la variable y por cada unidad de x. Observando el ejemplo anterior se tiene que por cada unidad que aumente x, y aumentará 2 unidades, así mismo, por cada unidad que disminuya x, y disminuirá 2 unidades. Si se tienen dos puntos cuyas coordenadas son (x1 , y1) y (x2 , y2), la pendiente se determina a través de la ecuación:
m=
∆y ∆x
Donde el símbolo ∆ (delta) significa variación, así podemos escribir: m=
y 2 − y1 x 2 − x1
La pendiente de la recta, también se determina a través de la tangente del ángulo de inclinación, formado desde el eje x hasta donde se encuentra la recta.
α
m = tg (α )
Para calcular el ángulo de inclinación de la recta, conociendo su pendiente, se utiliza la expresión α = arctg (m) Así la recta y = 2x + 3 forma un ángulo con el eje x igual a 5
α = arctg (2) = 63,4349º o equivalentemente α = 63º 26' 6' ' ¿Cómo determinar la ecuación de una recta? Para calcular la ecuación de una recta, es necesario conocer datos que permitan emplear alguno de estos procedimientos: •
Si conocemos la pendiente de la recta m y un punto por donde pasa (x0 , y0), utilizamos la ecuación punto pendiente: y − y 0 = m ( x − x0 )
•
Si conocemos dos puntos de la recta (x1 , y1) y (x2 , y2), utilizamos la ecuación x x1 x2
y 1 y1 1 = 0 y2 1
Otra manera, es calcular la pendiente y luego utilizar la ecuación punto pendiente, con las coordenadas de cualquiera de los dos puntos.
Ángulo formado por dos rectas Consideremos las rectas
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De la figura se deduce que θ = α 2 − α 1 De donde se obtiene tgθ = tg (α 2 − α 1 ) tgθ =
tgα 2 − tgα 1 1 + tgα 2 .tgα 1
Como tgα 1 = m1 y tgα 2 = m2 se tiene: tgθ =
m2 − m1 1 + m2 .m1
Rectas Paralelas Dos rectas son paralelas si forman entre sí un ángulo de 0º y
L1
L2
x
En este caso se tiene que tg 0º =
m2 − m1 1 + m2 .m1
Como tg 0º = 0 , entonces m2 − m1 = 0 De donde se deduce que m2 − m1 = 0 1 + m2 .m1
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Es decir m2 = m1 Así se puede concluir: Dos rectas son paralelas sí y sólo si sus pendientes son iguales. Simbólicamente: L1 // L2 ⇔ m1 = m2 Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si forman entre sí un ángulo de 90º y L2
L1
x
En este caso se tiene que tg 90º =
m2 − m1 1 + m2 .m1
Como tg 90º no existe m2 − m1 No existe. De donde se deduce que 1 + m2 .m1 = 0 1 + m2 .m1
De donde se obtiene que m2 .m1 = −1 Así se puede concluir: Dos rectas son perpendiculares sí y sólo si el producto de sus pendientes es igual a –1 . Simbólicamente: L1 ⊥ L2 ⇔ m1 .m2 = −1 8
Función Cuadrática: Una función cuadrática es de la forma f :R→B⊂ R x → y = ax 2 + bx + c Su representación gráfica, o curva de la función, es una parábola que abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. Su vértice tiene por coordenadas
Donde: v x =
(v x ; v y )
−b y v y = f (v x ) 2a
Ejemplo: f ( x) = x 2 − 3x − 4 Como a = 1 > 0 entonces la parábola abre hacia arriba.
vx =
− b − (−3) 3 = ⇒ vx = 2a 2(1) 2
v y = f (3 / 2) = (3 / 2) 2 − 3(3 / 2) − 4 ⇒ v y =
− 25 4
Así el vértice tiene por coordenadas V (3 / 2 , − 25 / 4) Cortes con los ejes: Eje y: Hacemos x = 0 f (0) = (0) 2 − 3(0) − 4 = −4 así se obtiene el par ordenado (0 ,−4) Eje x: Hacemos y = 0
x 2 − 3x − 4 = 0 9
Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos: x1= –1 y x2= 4 de donde se tienen los pares ordenados (−1,0) y (4 ,0) Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y trazamos la parábola.
Dom f : R y Rg : [− 25 / 4 , + ∞ ) ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 5 es imagen? Función Racional: Una función racional es de la forma f :A⊂ R→B⊂ R x→ y=
p( x) q( x)
Donde p(x) y q(x) son polinomios y q ( x) ≠ 0 El dominio de una función racional, es el conjunto de los números reales, excepto los números que hacen que q ( x) = 0 . El rango se determina despejando x en función de y. Éste será e el conjunto de los números reales, excepto los números que hacen que el denominador sea cero. 10
La restricción del dominio se representa por medio de una recta llamada Asíntota Vertical, y la del rango, Asíntota Horizontal, a las cuales la curva de la función tiende a acercarse pero no toca. Ejemplo:
f ( x) =
5x 2x − 4
Si 2 x − 4 = 0 entonces x = 2 por lo que Don f : R − {2} La recta x = 2 es Asíntota Vertical. Despejando x en función de y, se tiene: y=
5x ⇒ y (2 x − 4) = 5 x ⇒ 2 yx − 4 y = 5 x 2x − 4
2 yx − 5 x = 4 y ⇒ x(2 y − 5) = 4 y ⇒ x =
4y 2y − 5
Si 2 y − 5 = 0 ⇒ y = 5 / 2 Así Rg f : R − {5 / 2} La recta y = 5/2 es Asíntota Horizontal. Cortes con los ejes: Eje y: Hacemos x = 0 f (0) =
5(0) = 0 Así se obtiene el par ordenado (0 , 0) 2(0) − 4
Eje x: Hacemos y = 0 f ( x) = 0 ⇒
5x = 0 ⇒ 5x = 0 2x − 4
x = 0 Así se obtiene el par ordenado (0 , 0)
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Al buscar pares ordenados tenemos: x
y
0
0
Se trazan las asíntotas y los pares ordenados, obteniéndose:
y = 5/2
x=2
Rgf = ?
¿Cuál es el valor de x para el cual y = 4 es imagen? ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 5 es imagen?
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Una de las aplicaciones de la función racional es el modelo que explica la relación entre la presión y el volumen, a través de la Ley de Boyle para gases ideales, la cual establece que, a temperatura constante, el volumen de un gas V en un recipiente cerrado, es inversamente proporcional a la presión P, lo cual se expresa: V =
k P
Donde k es una constante positiva. Observando la relación entre las variables podemos notar que a medida que la presión toma valores cercanos a cero, el volumen aumenta; mientras que al aumentar la presión el volumen disminuye, tal como se ilustra a continuación:
Ejercicio: Represente gráficamente y en un mismo plano, el volumen en función de la presión usando la Ley de Boyle para distintos valores de k.
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Función Radical: Una función radical es de la forma f : A ⊂ R → [0,+∞ ) x → y = g ( x) Donde g(x) es una función El dominio de esta función es el conjunto de los números reales tales que g ( x) ≥ 0 Ejemplo: Estudiar la función f ( x) = 4 x + 11
El dominio de la función es el conjunto de los números reales para los cuales 4 x + 11 ≥ 0 4 x ≥ −11
x ≥ −11 / 4 El conjunto formado por estos valores se representa de la siguiente manera +∞ –11/4
0
Domf : [− 11 / 4 , + ∞ )
Cortes con los ejes: Eje y: x = 0 (Siempre y cuando pertenezca al dominio) f (0) = 4(0) + 11 = 3,31 Se obtiene el par (0 ; 3,31)
Eje x: y = 0 Corresponde al valor extremo del dominio, así el corte es (–11/4 , 0) Al buscar pares ordenados debemos asignarle valores a x del dominio, de donde se tiene:
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x
y
–11/4
0
–2
1,73
0
3,31
2
4,35
5
5,56
Se trazan los pares ordenados, obteniéndose:
Rgf : [0 , + ∞ )
¿y =7 es imagen de que valor de x?
Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma
f : R → R+ x → y = b g ( x) Donde g(x) es una función 15
El dominio de esta función es el dominio de g(x) Ejemplo: 4 Estudiar la función f ( x) = 3
x −1
Domf : R Cortes con los ejes: Eje y: x = 0 4 f ( x) = 3
0 −1
3 = 4
Eje x: No existe (la función exponencial nunca se hace cero) Al buscar pares ordenados se tiene: x
y
–2 0
0,75
3 7 9 Se trazan los pares ordenados, obteniéndose:
Rgf : R +
¿y = 7 es imagen de que valor de x?
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Función Logarítmica: Una función logarítmica es de la forma
f :A⊂ R→R x → y = log b ( g ( x) ) Donde g(x) es una función El dominio de esta función es el conjunto de los números reales tales que g ( x) > 0 , mientras que el rango es el conjunto de todos los números reales
Ejemplo: Estudiar la función f ( x) = ln(4 x + 11) El dominio de la función es el conjunto de los números reales para los cuales 4 x + 11 > 0
4 x > −11 x > −11 / 4 El conjunto formado por estos valores se representa de la siguiente manera
+∞ –11/4
0
Domf : (− 11 / 4 , + ∞ )
El extremo del dominio constituye una asíntota vertical, por lo que: La recta x = –11/4 es una asíntota vertical
Cortes con los ejes: Eje y: x = 0 (Siempre y cuando pertenezca al dominio) f (0) = ln(4(0) + 11) = ln 11 Se obtiene el par (0 ; 2,39)
Eje x: y = 0
ln(4 x + 11) = 0 De donde se tiene que 4 x + 11 = 1 → x = −2,5
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Al buscar pares ordenados debemos asignarle valores a x del dominio de donde se tiene: x
y
–2,6 –1
1,94
0
2,39
3
3,13
7
Se trazan los pares ordenados, obteniéndose:
Rgf : R
¿y = 4 es imagen de que valor de x?
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Ejercicios
Determinar la ecuación de la recta que: a) Tiene ordenada en el origen en – 2/3 y es perpendicular a la recta Y = – 2/5X + 4 b) Pasa por el punto (-1 , 2) y por la intersección de las rectas X – Y = 0
y
2X +3Y – 5 = 0 c) Por el punto de intersección de 6x – 2y + 8 = 0 con 4x – 6y + 3 = 0, y es perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0. d) Pasa por el punto (-2 , 1) y forma un ángulo de 45° con el eje x e) Pasa por el punto (4 , -3 ) y forma un ángulo de 60º con el eje x f) Pasa por los puntos P1 (-3 , 5/3) y P2 (10/3 , 3) g) Pasa por el origen y es paralela a la recta 2 x − y − 6 = 0 h) Pasa por el punto medio del segmento determinado por los puntos A(-2 , 3 ) y B(7/2 , - 4) y es perpendicular a éste. i) Pasa por el punto medio del segmento determinado por los puntos A(3 , -2 ) y B(7 , - 4) y es paralela a la recta 2X – Y = – 1 .
Estudiar las siguientes funciones:
−x x2 − 4
a) f ( x) = −4
2 f) p ( x) = − x − x + 6
k) f ( x) =
b) y = − 52 x 2 + 2 x + 5
2 g) f ( x) = −6 x + 5 x
l) h( x) = 19 x 2 − 43 x + 4
c) f ( x) = 2 x 2 − 5 x − 3
2 h) y = 4 x + x + 1
m) f ( x) =
4x − 1 2x + 5
n) f ( x) =
−5 x
o) g ( x) =
3x x2 − 4
d) f ( x) =
4 x2
e) f ( x) = −
3 x 2
i) f ( x) =
− 2x x−2
j) f ( x) = 1 x 2 + 3 x + 9
4
Para cada función: ¿Cuál es el valor de x para el cual y = – 2 es imagen? ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 1 es imagen? 19
Estudiar las siguientes funciones exponenciales a)
3 f ( x) = 5
b)
g ( x) = (e )
x−2
c)
3 f ( x) = 4
− x−2
d)
π h( x ) = 2
− x +1
x +1
e)
f)
y = (3) x −1
1 f ( x) = 2
x+2
Para cada una de las funciones: ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 4 es imagen? ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 1 es imagen?
Estudiar las siguientes funciones logarítmicas a)
f ( x) = log11 x
p ( x) = log 2 (3 x + 7)
c)
f ( x) = log 5 x
d) g ( x) = ln(5 − 2 x )
3
3
b)
e) h( x) = log 2 ( 2 x − 1) 2 f) f ( x) = log 3 ( 3 x − 4)
Para cada una de las funciones: ¿Cuál es el valor de x para el cual y = – 2 es imagen? ¿Cuál es el valor de x para el cual y = 1 es imagen?
Resuelve los siguientes ejercicios: En cada ejercicio represente gráficamente e interprete.
a)
La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados. Determine: (a) La función lineal que describe el problema. (b) La cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 días. (c) El tiempo aproximado para obtener una evolución en el tejido de 100 milímetros cuadrados. 20
b) Un tanque tiene la capacidad de almacenar 3000 litros de agua. Se abre una llave que permite la entrada de 250 litros cada hora. Si inicialmente el tanque tiene 750 litros almacenados. Determine la ecuación que exprese el volumen del agua en el tanque en función del tiempo. Represente gráficamente. ¿Cuál será el volumen cuando han transcurrido 4 horas y media?. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando en el tanque hay 2150 litros? ¿En cuánto tiempo se llena el tanque?
c) Un analista determina la curva de calibración de una sustancia estudiando la relación lineal de los valores de absorbancia y los distintos niveles de concentración. Se determinó que para una concentración de 2 pg/ml, la absorbancia fue de 5.38, mientras que para una concentración de 7 pg/ml, fue de 15,03. Determine la ecuación que relaciona la absorbancia en función de la concentración. Determine la lectura del “blanco” (valor utilizado para calibrar la máquina (x = 0)). Represente gráficamente. ¿Cuál es el valor de la absorbancia para una concentración de 4,5? ¿Cuál es el valor de la concentración si la absorbancia es de 21,51?
d)
En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población de alcohólicos en una ciudad. En 1995 el porcentaje era de 10% y en el año 2007 se elevó a 14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años desde 1990, determine la expresión para la función p(t). De mantenerse este crecimiento, determine: ¿qué porcentaje de la población será alcohólica en el año 2015? ¿en qué año el 22% de la población será alcohólica?
e) La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de acuerdo a
T ( x) = −( x − 2) 2 + 1
donde x, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica. (a) Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva. (b) ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima? (c) Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema.
f) El efecto de la anestesia bucal en un paciente (en porcentaje), luego de t minutos de ser inyectado un fármaco es modelado por la función
25 2 A(t ) = − 16 t + 25t
¿En qué instante se produce el grado máximo de adormecimiento? ¿Después de cuánto tiempo no hay efecto de la anestesia?
g) El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a x kilómetros por hora, está dada por la función f ( x) = 3 x + 3 x + 10 , mientras que el consumo de oxígeno para una persona que corre a x kilómetros por hora, está dada por 5
2
5
g ( x) = 11x + 10
(a) Trace las gráficas de f y g (en un mismo plano cartesiano). (b) ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre? (c) ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte (b)? 21
h) Una bacteria en el oído medio se incrementa a razón del 2% cada hora. Suponga que al inicio de una infección bacteriana estaban presentes 120 bacterias. Determine el número de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están presentes en el organismo después de 2 horas? ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que haya 500 bacterias?
i)
Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10000 de ellas en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si se sabe que su número se incrementa a razón del 5% cada hora y que al inicio estaban presentes 400 bacterias, determine el número de bacterias N(t) presentes después de 15 horas. ¿De cuánto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?
j) El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función
f (t ) =
250 , t (semanas) 1 + e − 2t
¿Cuántas personas habrán sido contagiadas en tres semanas? ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que haya 200 personas contagiadas?
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