Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas CILEU 2008 Teoría de Funciones Las funciones son objetos que ocupan un papel central en matemática. El sentido intuitivo indica que una función es una correspondencia (o relación) única entre los elementos de un conjunto A, y los elementos de otro conjunto B. Por ejemplo: Sea el conjunto A, el conjunto de las personas registradas en Argentina, y sea B el conjunto de los enteros. Definimos la siguiente correspondencia o regla de formación: ”el número del documento de identidad” Entonces la correspondencia es: a cada elemento de A, es decir, a cada persona registrada de Argentina, le corresponde un único número de documento que es un número entero que vive en B. Notemos que no existe ninguna persona registrada de Argentina que no tenga número de documento, es decir, todos los elementos del conjunto A, tienen un correspondiente en el conjunto B. Sin embargo, no todos los números enteros son números de documentos. Por lo tanto, pueden quedar elementos del conjunto B que no sean los correspondientes de algún elemento del conjunto A. Esto nos lleva a concluir que no todas las relaciones entre los elementos de dos conjuntos son funciones, solo lo son aquellas en las que se cumple la siguiente definición: Una relación entre dos conjuntos A y B es función, si y solo si, a cada elemento de A le corresponde uno y solo un elemento de B Se simboliza como: f : A −→ x −→
B y = f (x)
Se lee: ”La función f que va de A a B, y que a cada x ∈ A ( x pertenece a A), le asigna un y = f (x) ∈ B ( y = f (x) pertenece a B)”
Evidentemente, no toda relación es función. Por ejemplo: Si pensamos en que el conjunto A son los estudiantes de la U.N.Sa., y el conjunto B es el de los números enteros, si yo hago corresponder a cada alumno su número de libreta, esta relación no es función, pues habrá alumnos que posean más de un número de libreta si hacen más de una carrera. El conjunto A se conoce como Dominio de la función y se representa como Df ( por costumbre se llama x a los elementos del dominio), el conjunto de los elementos de B que son los correspondientes de algún elemento de A, se llama Imágen de la función y se representa como If (por costumbre se llama y a los elementos de la imágen). 1
En el ejemplo de los documentos, el dominio está formado por todas las personas registradas en la Argentina, mientras que la imágen por todos los números de documento. Note que la imágen en este caso no coincide con el conjunto B que se llama codominio de la función f (Codf ).(¿Por qué?) En general, una relación puede estar expresada de distintas formas: 1) Utilizando pares ordenados donde la primer componente es un elemento del dominio y la segunda su imágen. 2) Mediante una tabla de valores donde en una columna o fila se colocan elementos del dominio y en otra las correspondientes imágenes. 3) A través de su representación gráfica. 4) Conociendo la fórmula que expresa la regla de formación (es la más usada). Etc. Generalmente, es esta última forma la que más nos interesa, y cuando se dan las anteriores siempre se intenta llegar a ella, pues es a través de dicha fórmula que podemos operar matemáticamente para lograr mayor información del comportamiento de la función. Por ejemplo: La función cuya regla de formación responde a: f: R x
−→ −→
R 2x
Cuya fórmula sería f(x) = 2x, tiene por gráfica: 10
5
-4
-2
00
2
x
4
-5
-10
Note que los elementos del dominio se grafican sobre el eje x, mientras que los de la imágen sobre el eje y. En este caso es fácil ver que no sería posible enumerar todos los pares ordenados que conforman la función, pues son infinitos, pero podemos a modo de ejemplo, dar algunos: (1, 2), (−2, −4), (3, 6) ¿Podría dar algún otro par? Existen distintas formas de reconocer si una relación es o no función, dependiendo de cómo se encuentra la misma expresada: si lo está en forma de pares ordenados, para que sea función no deben existir dos o más pares con igual primera componente (¿por qué?), y además, todos los elementos del dominio deben estar en algún par ordenado (¿por qué?); el mismo tipo de análisis debe hacerse cuando 2
la función está dada a través de una tabla; en tanto que cuando una relación está expresada en forma gráfica, una manera de saber si es o no función es ver si la gráfica abarca todos los valores del dominio leídos sobre el eje x, y si trazando una recta paralela al eje y, cortamos a la gráfica en un solo punto (¿por qué?). Clasificación de funciones Las funciones se pueden clasificar en: ◮ Funciones inyectivas: Una función se dice inyectiva si no hay dos puntos distintos del dominio que tengan la misma imágen. Por ejemplo, la función cuya expresión es f: R x
−→ R −→ x2
tiene por gráfica 25 20 15 10 5
-4
00
-2
2
x
4
Fíjese que por ejemplo, podemos dar los pares que pertenecen a esta función: (2, 4) y (−2, 4), es decir, tenemos dos elementos del dominio (2 y −2), a los cuales les corresponde la misma imágen: 4. Entonces, una forma de saber si una función es inyectiva usando la gráfica es trazar una recta horizontal paralela al eje x, y ver si siempre corta a la gráfica en un solo punto, si esto se cumple, la función es inyectiva. En nuestro ejemplo, vemos que cualquiera sea la recta horizontal que tracemos, siempre corta a la gráfica en dos puntos. Por lo tanto, la función y = x2 no es inyectiva. ◮ Funciones sobreyectivas: Una función se dice sobreyectiva si su imagen coincide con el codominio. De acuerdo a esta definición, la función dada en el ejemplo anterior no es sobreyectiva, pues su imágen es If = R0+ El símbolo R0+ se lee ”reales positivos unión el cero”, y se puede comprobar en la gráfica que ningún valor negativo de y, es el correspondiente de algún x del dominio. Sin embargo, la función f: R x
−→ R −→ x3 3
cuya gráfica es
100 50
-4
-2
00
2
x
4
-50 -100
tiene por imágen If = R Por lo tanto es sobreyectiva. (¿Es inyectiva?) ◮ Funciones biyectivas: Una función se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. ¿Alguna de las funciones vistas anteriormente es biyectiva? Funciones Reales En este apunte trabajaremos con dos de las funciones más simples, cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Por esta causa para definirlas, escribiremos solamente la fórmula que da la regla de formación. Algunas de esas funciones que se conocen como funciones reales de variable real, son: ⊠ Funciones lineales: son funciones de la forma y = f (x) = ax + b, con a, b ∈ R Esta clase de funciones tienen como dominio e imágen el conjunto de los números reales. Se puede probar que todas las funciones de este tipo tienen como representación gráfica una recta, por lo cual para graficarlas, basta conocer dos pares ordenados de la función, o hablando en sentido del gráfico, un par de puntos de la recta. Por ejemplo, una función lineal es f(x) = 2x + 1,cuya gráfica es
10 8 6 4 2 -4
-2
00 -2
2
x
4
-4 -6 -8
Para hacer la gráfica basta con dar dos valores a x, y obtener los correspondientes valores de y. Así obtenemos por ejemplo, los pares (0, 1) y (2, 5). Graficándolos (no olvide que la primer componente del par corresponde a valores de x, y 4
la segunda a valores de y), obtenemos dos puntos que al unirlos generan la recta que representa graficamente a la función dada. ⊠ Funciones cuadráticas: son funciones de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R y a = 0 Esta clase de funciones también tienen como dominio e imágen el conjunto de los números reales. Se puede probar que todas las funciones de este tipo tienen como representación gráfica una parábola. Para graficarla, se puede recurrir por ejemplo a una tabla de valores, pero una forma más rápida es la siguiente, que la desarrollaremos aplicada a un ejercicio particular: Por ejemplo: Sea la siguiente función cuadrática y = x2 + 3x − 4 1o ) Vamos a encontrar las intersecciones (cortes) con los ejes: ◮ Intersección con el eje y: hacemos x = 0, y nos queda y = −4, el punto de intersección es (0, −4) ◮ Intersección con el eje x: hacemos y = 0, y nos queda 0 = x2 + 3x − 4, que es una ecuación cuadrática. Encontramos las raíces utilizando la fórmula que conocemos x1,2 =
−3 ∓
√ 32 − 4.1.(−4) −3 + 5 −3 − 5 −3 ∓ 9 + 16 −3 ∓ 5 = = =⇒ x1 = = 1 y x2 = =− 2.1 2 2 2 2
Entonces los puntos de intersección son (1, 0) y (−4, 0). 2o ) Buscamos ahora el vértice que es el punto máximo o mínimo de la parábola según esta se abra hacia abajo (a < 0), o hacia arriba (a > 0) respectivamente. En nuestro caso a = 1 > 0 entonces el vértice será el punto mínimo de la parábola. Para hallarlo, podemos hacerlo de dos formas: b 3 2 xv = x1 +x = 1+(−4) = − 32 , o también xv = − 2a = − 2.1 = − 32 . 2 2 Una vez que tenemos la coordenada x del vértice (xv ), reemplazando en la expresión original hallamos la coordenada y del vértice: 2 yv = x2v + 3xv − 4 = − 32 + 3. − 32 − 4 = 94 − 92 − 4 = − 25 , 4 3 25 por lo tanto el vértice es el punto (− 2 , − 4 ) Volcamos estos puntos en el sistema de ejes, y uniéndolos obtenemos la siguiente gráfica:
30
20
10
-4
-2
00
2
x
4
5
Note que las escalas de ambos ejes no son iguales, cosa a la que se recurre cuando es necesario para que la gráfica no pierda claridad. A lo largo de las primeras materias relacionadas con matemática, se irán viendo funciones más complejas, y el análisis de las mismas.
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