FUNCIONES DE COSTOS EN LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA MODELO DE LINEA DE ESPERA INTRODUCCIÓN Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la dema demand nda a de un serv servic icio io supe supera ra la capa capaci cida dad d de prop propor orci cion onar ar dich dicho o servic servicio. io. Este Este sistem sistema a está está formad formado o por un conju conjunto nto de entida entidades des en paral aralel elo o que pro proporc porcio ion nan un serv ervicio icio a las las tra transac nsacccione ioness que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquin máquinas, as, semáfo semáforos ros,, grúas, grúas, etcéte etcétera, ra, mientr mientras as que las transa transacci ccion ones es pueden ser: clientes, pieas, autos, !arcos, etcétera. "anto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fen#menos que generalmente tienen asociadas fuentes de variaci#n que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utiliaci#n de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. $e han ela!orado modelos para a%udar a los administradores a entender % tomar tomar mejore mejoress decisi decisione oness so!re so!re la opera operaci# ci#n n de las líneas líneas de esper espera. a. &os &os mode modelo loss de líne línea a de espe espera ra cons consis iste ten n en f#rm f#rmul ulas as % relac relacio ione ness matemá matemátic ticas as que puede pueden n usarse usarse para para deter determin minar ar las carac caracter teríst ística icass operativas 'medidas de desempe(o) para una cola.
CARACTERÍSTICAS GENERALES SISTEMAS DE COLAS *arte de nuestra vida diaria es esperar algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, +hacemos cola para entrar a un espectáculo % nos +formamos para reci!ir un servicio. -acemos cola para esperar nuestro turno en !ancos, supermercados, estéticas, casetas de pago en autopistas, % restaurantes. "ener ner que que espe espera rarr en una una cola cola es una una epe eperi rien enci cia a coti cotidi dian ana a que que normalmente se considera desagrada!le. Esperar en un ascensor, esperar el pedido en un restaurante o en la cola de un !anco es una confrontaci#n con la pérdida de tiempo ./o es fácil
esperar pacientemente en la cola de un supermercado. $i la espera es demasiado larga, las personas se vuelven irrita!les e inquietas, llegando en varios casos a que los temperamentos se ofusquen. 0ún sea desagrada!le esperar, es fácil o!servar que el proporcionar suficiente capacidad de servicio para eliminar la espera sería costoso. *ensemos en 1cuántas cajeras se necesitaría en un !anco o en un supermercado para eliminar las colas2 'aún si esto fuera posi!le, todavía se tendría que esperar mientras se proporciona el servicio). Es claro que se necesita algún tipo de !alanceo o compromiso para que el tiempo de espera no sea mu% largo % el costo de servicio no sea mu% alto. El pro!lema del administrador es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el !alance adecuado. Este sería un pro!lema sencillo, si cada cliente llegara a una hora fija % el tiempo de servicio tam!ién fuera fijo. &os sistemas de líneas de espera son sistemas pro!a!ilísticas o aleatorios. 3on eperiencia % sentido común, muchos administradores encuentran un !alance apropiado entre los costos de espera % de servicio sin ela!orar ningún tipo de cálculo. *or ejemplo el administrador de un supermercado actúa intuitivamente para agregar personal en las cajas cuando las colas se hacen mu% largas. El administrador de un restaurante planea tener más meseros alrededor de las horas de las comidas, guiándose por la eperiencia. /o o!stante, en ocasiones en que la intuici#n necesita a%uda, como cuando va de por medio una inversi#n sustancial de capital o cuando el !alance apropiado no es evidente, el análisis cuantitativo es útil en estas situaciones. &os modelos sirven para encontrar el comportamiento del estado esta!le, como la longitud promedio de la línea % el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta informaci#n, junto con los costos pertinentes, se usa entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. 4 el fen#meno de la espera no es una eperiencia que se limite solo a los humanos. &os tra!ajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en círculo hasta que la torre de control les da permiso de aterriar % los autom#viles se detienen ante la lu roja de los semáforos. &a teoría de colas es el estudio de los procesos de línea de espera. 5irtualmente todos los resultados de la teoría de colas suponen que tanto los procesos de llegada como de servicio son aleatorios. Es la interacci#n entre estos dos procesos lo que hace a las colas un área interesante % desafiante. En la figura se muestra un sistema típico de colas.
&os clientes llegan a una o más instalaciones de servicio. $i otras personas %a están esperando, según el tipo de servicio, los clientes que aca!an de llegar esperarían su turno para ser atendidos por el siguiente servidor disponi!le % saldrían del sistema cuando terminen sus operaciones. &os pro!lemas de colas son comunes en la administraci#n de las operaciones. En el conteto de las manufacturas, el am!iente de taller puede considerarse una compleja red interrelacionada de colas. 0 medida que los tra!ajos terminan de realiarse en un centro, éstos hacen cola para ser procesados en el centro siguiente. &os pro!lemas de colas se presentan con mucha frecuencia en los sistemas de servicios. 3ada uno de nosotros eperimenta colas en los sistemas de servicios todos los días. De hecho, según 6ichael 7ortino, de *riorit% 6anagement en *itts!urgh, la ma%oría de las personas pasan aproimadamente cinco a(os de su vida haciendo colas % seis meses esperando en los semáforos '3hicago "ri!une, 89 de junio, 9;;). &as características operativas de interés inclu%en las siguientes: < *ro!a!ilidad de que no ha%a unidades o clientes en el sistema < 3antidad promedio de unidades en la línea de espera < 3antidad promedio de unidades en el sistema 'la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo) < "iempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera < "iempo promedio que pasa una unidad en el sistema 'el tiempo de espera más el tiempo de servicio). < *ro!a!ilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio
OBJETIVO En las líneas de espera, eisten dos costos perfectamente identificados: El costo de las transacciones, que representa la cuantificaci#n monetaria de la pérdida de tiempo al esperar reci!ir un servicio o la pérdida de clientes por a!andono del sistema.
El costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que ha% que pagar por cuesti#n de sueldos % salarios, energía, mantenimiento % depreciaci#n del personal o equipo. De tal forma que en un estudio de líneas de espera el o!jetivo es determinar qué nivel de servicio, %a sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimiar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera.
¿POR QUE ESTUDIAR SISTEMAS DE COLAS? El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fen#meno de espera formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como a longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, % la utiliaci#n promedio de las instalaciones. El ejemplo que sigue demuestra c#mo se usan esas medidas para dise(ar una instalaci#n de servicio. 0 continuaci#n se muestra una gráfica de un modelo de decisi#n de dise(o de líneas de espera !asado en costos.
Figura: M!"#$ !" !"%i$i&' (ara #)'"a !" "$("ra *a$a! "' %$+, $e pueden analiar los resultados de colas en el conteto de un modelo de optimiaci#n de costos, en el que la suma de los costos de ofrecer el servicio % de esperar se reduca al mínimo.
&a figura representa un modelo característico de costo 'en = por unidad de tiempo), en el que el costo del servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. 0l mismo tiempo, el costo de esperar disminu%e al incrementar el nivel del servicio. El o!stáculo principal para implementar los modelos de costo es que se puede dificultar la o!tenci#n de un estimado fia!le del costo unitario de espera, en especial cuando el comportamiento humano influ%e so!re la funci#n del caso. Ejemplo: 6c>urger es un restaurante de comida rápida, con tres mostradores de servicio. El gerente ha encargado que se haga un estudio para investigar las quejas por lo lento del servicio. El estudio indica la siguiente relaci#n entre la cantidad de mostradores de servicio % el tiempo de espera de los clientes.
0l eaminar esos datos se ve que ha% un tiempo promedio de espera de siete minutos para el caso actual de tres mostradores. El gerente desea reducirlo a unos tres minutos resultado que solo se puede alcanar con ? 'o más) mostradores.
ELEMENTOS DE UN MODELO DE LINEA DE ESPERA -COLA. &os elementos principales de una línea de espera son el usuario 'cliente) % el servidor. &os usuarios se generan en una fuente. 0l llegar en un sistema de servicio pueden reci!ir servicio inmediato, o esperar en una línea de espera, si el servidor está ocupado. 3uando un servidor se termina un servicio, en forma automática se da servicio al siguiente usuario que espera, si lo ha%, de la línea de espera. $i la línea de espera está vacía, el servidor se vuelve inactivo hasta que llegue un usuario nuevo. Desde el punto de vista del análisis de las líneas de espera, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, % el servicio se descri!e con el tiempo de servicio por cada cliente. *or lo general, los tiempos entre llegadas % de servicio pueden ser
pro!a!ilísticos, como el funcionamiento de una oficina de correo, o determinísticos, como en la llegada de solicitantes de entrevistas de tra!ajo. &a disciplina de la línea, que representa el orden en el que se seleccionan a los usuarios de la línea de espera, es un factor en el análisis de líneas de espera. El comportamiento de los usuarios en espera juega un papel en el análisis de líneas de espera. &os usuarios se pueden saltar de una línea a otra línea, tratando de reducir la espera. "am!ién pueden rehusar totalmente a la línea de espera por ha!er esperado demasiado. El dise(o de un sistema de servicio puede comprender uno de los dos tipos de colocaci#n de los servidores: < &íneas de espera con servidores en serie: $e supone que cada cliente que llega de!e ser atendido por el servidor 9 % al terminar en esta pasa al servidor 8, por lo que se llama línea de espera secuencial. < &íneas de espera con servidores en paralelo: 0l llegar, un usuario en una fila si am!os servidores están ocupados, entra a servicio con el servidor 9 si ese servidor está desocupado, o !ien con el servidor 8 en caso contrario. 3uando el usuario conclu%e el servicio con un servidor 'sin importar cuál sea), sale del sistema % el usuario que ha estado formado más tiempo 'si ha% usuarios en la línea de espera) entra a servicio. $e puede decir que los usuarios no saldrán en el orden de llegada. *or lo tanto, para sa!er qué usuario deja el sistema a concluir su servicio, se necesita llevar un registro para ver qué usuarios están en el sistema.
AN/LISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA 0ntes de que pueda llevarse a ca!o un análisis econ#mico de una línea de espera, de!e ela!orarse un modelo de costo total, el cual inclu%e el costo de esperar % el costo de servicio.
COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS: Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de ma%or importancia, la cola % la instalaci#n de servicio.
&as llegadas son las unidades que entran al sistema para reci!ir el servicio, siempre se unen primero a la cola@ si no ha% línea se dice que la cola está vacía. De la cola las llegadas van a la instalaci#n de servicio de acuerdo con la disciplina de cola, es decir, de acuerdo con la regla para decir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, Una ve que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. 0m!os componentes del sistema tiene costos asociados que de!en considerarse.
COSTO DE ESPERA: Es el costo para el cliente a esperar, representa el costo de oportunidad del tiempo perdido. Un sistema con un !ajo costo de espera es una fuente importante de competitividad. Esperar es estar inútil. Es desperdicio. $ignifica que algún recurso está inactivo cuando podría usarse en forma más productiva 'o agrada!le) en otra parte. De hecho, representa un costo de oportunidad. 3uando los camiones esperan inútiles en una cola de un muelle de carga % descarga, se pierde su productividad, es dinero que se pierde % no puede recuperarse. 3uando los clientes esperan en la cola de un !anco, el costo de espera es indirecto. Es cierto que no se hace ningún pago cuando un cliente disgustado se va porque la cola es demasiado larga, pero el !anco paga esta espera de otra manera. &os clientes se quejan quitando tiempo a los empleados .Dejan de venir, causando que se pierdan oportunidades de ganancia. $i el pro!lema continua, podrían hacer que !anco quie!re. Este costo intangi!le es tan real como cualquier dinero que se saca del !olsillo. 3on frecuencia es difícil dar una cantidad en pesos para el costo de espera de los clientes que están en una línea.
COSTO DE SERVICIO: Es el costo de operaci#n del servicio !rindado, es más fácil de estimar. 3osto del $ervicio es el análisis % la cuantificaci#n de todas las actividades % los costos de la cadena de a!astecimiento incurridos para cumplir con la demanda por productos del cliente. Determinar el costo de servicio es más sencillo, en concepto, que determinar el costo de espera. En la ma%oría de las aplicaciones se tratará de comparar varias instalaciones de servicio, dos cajeras en un !anco
contra tres, una !rigada de cuatro contra cinco, una caja de una tienda contra dos. En estos casos, s#lo se necesitan los costos comparativos o diferenciales. *or ejemplo, si se quiere sa!er cuántas cajas de auto!anco de!en tener personal, s#lo se necesitan los costos de personal. *or otra parte, si la pregunta es cuantas cajas se de!en instalar, entonces se necesitan los costos de instalaci#n % los de operaci#n de cada ventanilla. El o!jetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo
E0"1(#$ !" %#i"'+"$ < Un proveedor de !e!idas sin alcohol quiere segmentar sus clientes por renta!ilidad, de tal manera que pueda proporcionar servicios adicionales a aquellas compa(ías que lo requieran. El costo de servicio por cliente 'o costo de servir), es un concepto que contri!u%e a la !úsqueda de la renta!ilidad en las empresas. $u principio se !asa en que al proveer un !ien o servicio a un cliente, se consumen recursos de la empresa, esto puede variar de un cliente a otro, por lo tanto, no todos ellos proporcionan la misma renta!ilidad a una empresa. En ese sentido, el costo de servir 'con apo%o de la determinaci#n de costo de las actividades operativas, administrativas % comerciales) se enfoca a la segmentaci#n de clientes % su atenci#n especialiada. 0sí, los que demandan ma%or servicio como por ejemplo: las frecuencias de visitas, las ventanas de tiempo de atenci#n para la recepci#n de los !ienes % días crédito 'entre otros), es de esperarse que consuman ma%ores recursos a la empresa que otros. *or lo tanto, el volumen de ventas de!e justificar dichos niveles de atenci#n a fin de no incurrir en pérdidas.
COSTOS DE SERVICIO 2 COSTOS DE ESPERA 3 3 3
&os administradores reconocen el equili!rio que de!e ha!er entre el costo de proporcionar !uen $EA5B3BC % el costo del tiempo DE E$*EA0 del cliente o de la máquina que de!en ser atendidos. &os administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utiliar el servicio o lo usen pero no retornen más. $in em!argo los administradores contemplan tener una longitud de cola raona!le en espera, que sea !alanceada, para o!tener ahorros significativos en el costo del $EA5B3BC.
3C$"C$ DE $EA5B3BC 5$ /B5E& DE $EA5B3BC
3
&os costos DE $EA5B3BC se incrementan si se mejora el nivel DE $EA5B3BC. &os administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atenci#n cuando crecen ecesivamente los clientes. – En supermercados se ha!ilitan cajas adicionales cuando es
necesario.
– En !ancos % puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata
personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del a(o.
$B$"E60 DE 3C$"C 6/B6C. 0quí ha% que tomar en cuenta que para tasas !ajas de servicio, se eperimenta largas colas % costos de espera mu% altos. 3onforme aumenta el servicio disminu%en los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio % el costo total disminu%e, sin em!argo, finalmente se llega a un punto de disminuci#n en el rendimiento. Entonces el prop#sito es encontrar el !alance adecuado para que el costo total sea el mínimo.
*ara realiar un análisis econ#mico de una línea de espera de!emos o!tener estimaciones raona!les del costo de esperar % el costo de servicio. En el pro!lema de >urger Dome, el costo de esperar sería el costo por minuto para un cliente que espera por servicio. Este costo no es un costo directo para >urger Dome@ sin em!argo, si >urger Dome lo ignora % permite líneas de espera largas, los clientes comerán en otra parte. *or tanto >urger Dome eperimentará pérdida en ventas % en efecto, incurrirá en un costo. eneralmente es más fácil determinar el costo del servicio. Este es el costo relevante asociado con la operaci#n de cada canal de servicio@ en el pro!lema de >urger Dome, incluiría los salarios % prestaciones del empleado % cualquier otro costo directo asociado con la operaci#n del canal de servicio. En >urger Dome este costo se estima en =F por hora. $uponemos que >urger Dome está dispuesto a asignar un costo de =9G por hora para el tiempo de espera del cliente. Usamos la cantidad promedio en el sistema, &.
$u!stitu%endo f#rmula $istema de un solo canal '&HI clientes) "3H 9G 'I) J F '9) H =IF.GG por hora $istema de dos canales '&HG.;F8F clientes) "3H 9G 'G.;F8F) J F '8)H =88.FI por hora *or tanto, con !ase en los datos de costo proporcionados por >urger Dome, el sistema de dos canales proporciona la operaci#n más econ#mica. &a forma general de las curvas de costo en el análisis econ#mico de las líneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales@ pero con más canales, el servicio es mejor. 3omo resultado, el tiempo de espera % el costo disminu%en conforme se aumenta la cantidad de canales. *uede encontrarse la cantidad de canales que proporcionará una !uena aproimaci#n al dise(o
de costo total mínimo evaluando el costo total para varias alternativas de dise(o.
0nálisis econ#mico de las líneas de espera &as medidas de desempe(o son usadas para determinar los costos mínimos del sistema de líneas de espera. *ara ello, se requiere estimar costos tales K 3osto por unidad de tiempo de tra!ajo por servidor. K 3osto de espera de la unidad por unidad de tiempo en la fila o en el sistema. 1Lué cantidad de servidores M para la atenci#n de las unidades de!en ser usadas con el fin de minimiar el costo total de operaci#n de un sistema de líneas de espera2 El costo total esperado de operaci#n de un sistema de servicio dado por: 3osto total esperado, 3" H 3osto total del servicio J 3osto total del tiempo de espera 3osto total de servicio. Es el costo operativo del sistema que depende por lo general del número de servidores M % del costo de operaci#n por tiempo % servidor.
3osto total de servicio, 3$ H 3osto por unidad de tiempo % servidor N /úmero de servidores. 3osto total del servicio, 3$ H 3s N M 3osto total de espera. 3osto por unidad de tiempo que depende del tiempo de espera de una unidad en el sistema % del número promedio de unidades en el sistema. 3osto total de espera, 3E H 3osto de espera por tiempo % unidad N /úmero promedio de unidades en el sistema 3osto total de espera, 3E H 3e N & &a relaci#n entre estos dos costos % el nivel de incremento del servicio se ilustra gráficamente, así:
De la figura vemos que el costo total esperado es mínimo al nivel de servicio #ptimo designado como MO. *or lo tanto en los modelos de líneas de espera el o!jetivo real es determinar el nivel específico de servicio que minimice el costo total de operaci#n del sistema.
ejemplos
RESUMEN &os modelos de líneas de espera permiten analiar sistemas en los que un conjunto de clientes llamados transacciones entran a reci!ir un servicio proporcionado por un conjunto de entidades en paralelo llamados servidores. 3on este análisis se o!tiene un conjunto de medidas de desempe(o del sistema como la utiliaci#n de los servidores, el tiempo de espera en la fila, la longitud promedio de transacciones en el sistema, que permitan determinar si el servicio que se está proporcionando es adecuado. 0ctualmente, este concepto se utilia ampliamente en el modelado de sistemas de manufactura, como una alternativa a los modelos de simulaci#n@ programas computacionales como el 60/U*&0/, permiten analiar cualquier sistema de manufactura mediante líneas de espera conectadas entre sí formando una red % o!teniendo valores estimados en un plao relativamente corto. Estos valores pueden emplearse como una primera aproimaci#n, antes de desarrollar formalmente un modelo para la simulaci#n del sistema. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos % costos ecesivos. *ero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas ecesivamente largas en ciertos momentos. 3uando los clientes tienen que esperar en una cola para reci!ir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que espera!an. &as líneas de espera largas tam!ién son costosas por tanto para la empresa %a que producen pérdida de prestigio % pérdida de clientes. &a teoría de las colas en si no resuelve directamente el pro!lema, pero contri!u%e con la informaci#n vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características so!re la línea de espera: pro!a!ilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio. &o sistemas de colas son una herramienta útil en diversas situaciones tanto en la parte la!oral como en a la vida cotidiana, este sistema nos permite de mejor manera optimiar nuestro tiempo de espera para un servicio determinado ejemplo '!ancos, supermercados, estaciones de servicios. Etc.) % de esta forma evitar aglomeraciones, pérdida de tiempo o caos entre otros usuarios o participantes de este . Estos sistemas son variados dependiendo el lugar o la ocasi#n donde se apliquen.
