Función monótona En matemáticas matemáticas,, una función entre conjuntos ordenados se ordenados se dice monótona monótona (o (o isótona isótona)) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo cálculo,, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. orden . un!ue los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas "an desarrollado una terminología ligeramente diferente# mientras en cálculo se "abla de funciones monótonamente crecientes y crecientes y monótonamente decrecientes (o decrecientes (o simplemente crecientes crecientes y ydecrecientes decrecientes), ), en la teoría del orden se usan los t$rminos monótona monótona y y antítona antítona,, o se "abla de funciones !ue conservan conservan e e invierten invierten el el orden.
Definición general %ea
una función función entre entre dos conjuntos P y y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los parcial (los dos se denotarán por &). En cálculo se "abla de funciones entre subconjuntos de losreales los reales,, y el orden & no es otro !ue el orden usual de la recta real, aun!ue esto no es esencial para la definición. La función f es es monótona si y sólo si x si x & & y implica implica f ( x x ) & f (y ) (es decir, la función es creciente), o bien x bien x & & y implica implica f ( x x ) ' f (y ) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden. orden.
Monotonía en cálculo y análisis En cálculo no "ay usualmente necesidad de invocar los m$todos abstractos de la teoría del orden. omo ya se sealó, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) n*meros reales, ordenados de forma natural. +or la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman tambi$n monótonamente crecientes (o crecientes (o no decreciente), respectivamente.
Ejemplo gráfico continuación se muestran tres gráficas de funciones cuales!uiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la iz!uierda y por la derec"a, mientras !ue es constante constante en en el medio# por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de l a función. La segunda de ellas es escrictamente decreciente por la iz!uierda y por la derec"a, puesto !ue conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La *ltima de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente (presenta máimos máimos y y mínimos relativos). relativos ).
Función monótona creciente.
Función monótona decreciente.
Función no monótona.
Aplicaciones y resultados básicos -onotonía En matemáticas, cada una de las siguientes propiedades de una función f R / R implica la siguiente •
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f es monótona. f tiene un límite por la iz!uierda y por la derec"a en cual!uier punto de su dominio de definición.
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f sólo puede tener discontinuidades de salto.
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f sólo puede tener una cantidad enumerable de discontinuidades.
Estas propiedades son la razón por la !ue las funciones monótonas son *tiles e n el análisis matemático. 0os importantes "ec"os !ue se deducen de !ue una función sea monótona son •
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%i f es una función monótona definida en un intervalo I , entonces f es derivable casi siempre en I , es decir, el conjunto de puntos x en I en donde f no es diferenciable tienemedida de Lebesgue 1. %i f es una función monótona definida en un intervalo 2a, b3, entonces f es 4iemann5 integrable.
6na importante aplicación de las funciones monótonas es en probabilidad. %i X es una variable aleatoria, su función de distribución
es una función creciente.
Funciones booleana
Los retículos distributivos libres de funciones booleanas monótonas sobre 1, 7, 8 y 9 argumentos.
En el álgebra de :oole, una función monótona es una tal !ue para todo ai y bi en ;1,7< tales !ue a7 & b7, a8 &b8, ... , an & bn es cierto !ue se cumple f(a7, ... , an) & f(b7, ... , bn). Las funciones booleanas monótonas son precisamente a!uellas !ue pueden ser definidas como unacomposición de conjunciones y disyunciones, pero sin negaciones. El n*mero de estas funciones sobre n variables es conocido como el n*mero de 0ede=ind de n.
