FRACCIONES
1.1
¿Qué son las fracciones?
Las fracciones son expresiones numéricas que constan de dos partes: Denominador: Expresa el número de partes ente las que divido la unidad. Numerador: Expresa el número de partes que cojo. Como expresiones numéricas las fracciones tienen un valor numérico que se halla dividiendo el numerador entre el denominador. 1.2
Tipos de fracciones:
Propia: El valor numérico es menor que 1. El numerador es menor que el denominador. Impropia: El valor numérico es mayor que 1. El numerador es mayor que el denominador. Fracción unidad: El valor numérico es igual a 1. El numerador es igual al denominador. Ejercicios: Calcula el valor numérico y di de que tipo son las siguientes fracciones: 3 5 7 8 1 2 4 4 9 11 15 12 3 3 10 9 5 5 3 2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
8
=
9 24 5 7 7 14
=
20 12 15 5
20 1
6 13 2
=
=
=
4 20
9 5
=
=
=
=
=
Fracciones 1
1.3
Las fracciones como operadores:
Las fracciones representan trozos de la unidad que me indica cada problema. La fracción unidad representa toda la unidad. Hay dos tipos de problemas: TIPO 1: Me dan el total y tengo que q ue hallar una parte: • Ejemplo:
3 4
de 28 = ( 28 : 4)·3 = ( 28·3) : 4 = 21
El total es 28. Siempre que aparece un “de” se traduce en una multiplicación.
Ejercicio 1: Calcula lo que representan las fracciones en cada caso: 5 4 3 8 2 3 7
3
de 32 =
5 4
de 40 =
7 1
de 60 =
10
5 7
de 20 =
•
8
de 35 = de 154 = de 60 = de 48 =
TIPO 2: Me dan una parte y tengo que hallar el total: Ejemplo:
3 4
son 28 = ( 28 : 3)·4 = (28·4) : 3 = 21
El total está siempre representado por la fracción unidad.
Ejercicio 2: Calcula el total en cada caso: 5 4 3 8 2 3 7
son 30 = son30 = son 60 =
10
son 21 =
3 5 4 7 1 5 7 8
son 33 = son 104 = son 60 = son 49 =
Ejercicio 3: Juan gasta 3/8 de su dinero en un regalo regalo para su hermana. ¿Cuánto dinero se gastó si tenía 39€?
Ejercicio 4: María se compró un abrigo que le costó 100€. En el abrigo se gastó 4/5 de su dinero. ¿Cuánto dinero tenía?
Fracciones 2
1.4
Fracciones equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si ambas tienen el mismo valor numérico. Ejemplo:
1 2
=
3
es equivalente a
0,5
6
=
0,5
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES: Si multiplico o divido numerador y denominador de una fracción por un mismo número se obtiene una fracción equivalente. Simplificar una fracción es hallar fracciones equivalentes a las dadas dividiendo ambos términos por un mismo número. Ejemplo:
180 240
=
18 24
=
9
3
=
12
4
Fracción irreducible.
Una fracción que no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE. Las fracciones irreducibles son aquellas en las que el máximo común divisor del numerador y denominador es 1. Ejercicio 1: Calcula el término que falta para obtener fracciones equivalentes. 2 3 3 4
=
x
6
9 12
x 33
x
24
=
=
15
9
10 11
6 x
x
5
=
=
=
x 16 15 25
Ejercicio 2: Halla tres fracciones equivalentes a las dadas. 20 15 8 12
21
=
14 18
=
27
=
=
Ejercicio 4: Di que fracciones son irreducibles. Agrupa las que son equivalentes. 1 2
,
4
,
5
,
4
6 10 14
,
3 9
,
2 7
,
2 3
,
6 21
,
7 9
,
4 3
,
Ejercicio 3: Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fracción irreducible. 84 156 255 825 240 340 126 270 12 42
=
=
=
=
=
Fracciones 3
1.5
Reducción a común denominador.
Reducir a común denominador es buscar fracciones equivalentes equ ivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador. ¿Cómo se hace? 1. Hago el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Este será el denominador común 2. Busco fracciones equivalentes con este denominador. Divido en mínimo común múltiplo entre el denominador y multiplico por el numerador. 1
Ejemplo:
5
4
. Calculo m.c.m. ( 6,14,21 )= 42 6 14 21 (42 : 6)·1 (42 : 14)·5 (42 : 21)·4 , , 42 42 42 7 15 8 , , . Tienen el mismo denominador. 42 42 42 ,
,
¿Para que sirve? 1. Para ordenar fracciones. 2. Para sumar y restar fracciones. Ejercicio 1: Reduce a común denominador y ordena los siguientes grupos de fracciones. 1 2
,
6 21
5
4 6
,
,
3
,
7 9
9
10 14
3
,
5
4
,
4
,
.
3
,
.
2 7
7
2 12 10
.
,
1 6
.
Fracciones 4
1.6
Suma y resta de fracciones:
Para sumar y restar fracciones hay 2 casos: CASO 1: Las fracciones tienen el mismo denominador. Se hace la operación correspondiente con los numeradores y se deja el mismo denominador. El resultado hay que simplificarlo. Ejemplo:
7 3
+
1 3
−
4 3
=
7 +1− 4 3
=
4 3
CASO 2: Las fracciones tienen distinto denominador. Se pone reducen a común denominador. denominador. Se hace la operación correspondiente y se deja el denominador nuevo. El resultado hay que simplificarlo. Ejemplo:
1 2
+
2 7
−
2 3
=
21 42
+
12 42
−
28 42
=
(21 + 12 − 28) 42
=
5 42
Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones con fracciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: 1 6 3 5 5
+
+
+
3 10 7 5 12 3 6 5 2 3 2 3 10 5 7 9 5 9 5 3 10
4
=
6 1
=
5 4
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
3 2
=
7 1
=
=
12 4 5 −
6 6
−
2 2 5 5 6 1 2 6 9 5 4
6 10 2
=
=
=
=
=
=
=
4 15
=
Fracciones 5
1.7
Producto y cociente de fracciones.
PRODUCTO: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre si y el resultado se pone de numerador, y se multiplican los denominadores denominadores y el resultado se pone de denominador. Ejemplo:
5 7 · 2 6
=
(5·7) ( 2·6)
=
35 12
.
COCIENTE: Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado se pone de numerador, y se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado se pone de denominador. Ejemplo:
3 7 · 2 5
=
(3·5) ( 2·7)
=
15 14
.
Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones con fracciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: 1 4 · = 6 5 3 1 : = 5 5 5 4 · = 3 3 10 2 : = 7 7 5 1 : = 12 12 3 4 5 · · = 6 6 6 5 6 10 · · = 2 2 2 3 2 : = 2 5 3 5 : = 10 6 5 1 · = 7 2 9 6 : = 5 9 9 5 · = 5 4 3 4 : = 10 15
Fracciones 6
1.8
Operaciones combinadas
Cuando se mezclan operaciones y paréntesis hay que recordad las reglas de prioridad de las operaciones: 1. Se realiza lo de dentro de los paréntesis y los corchetes, empezando siempre por el mas interno. 2. Se realizan los productos y los cocientes. 3. Se realizan las sumas y las restas. Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones con fracciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: 1 4 · 6 5
4 3 5 3
+
1
=
2
−
3 1 : 5 5
+
5 4 · 6 3
10 2 : 7 7
+
=
=
5
=
2
3 1 2 5 + − : = 12 4 12 3 3 4 5 5 · + · = 6 6 2 6 5 2 1 6 3
+
+
3 5 · = 2 2 3 2 : = 2 5 5 2
: − = 10 6 3 5 1 3 · + = 7 2 7
9 − 5 6 + 5 3 : 10
3 6 : 4 9
+
1
9 5 1 · : 5 4 5 4 15
+
=
3
3 2 · 5 3
+
−
7
=
2
1 8 : 9 5
=
Fracciones 7
1.9
Problemas
1. Entre cuatro amigos hemos comprado una tarta por 6 €, hemos hecho 12 trozos aproximadamente iguales, dos han comido tres trozos cada uno, otro dos trozos y el último (el más goloso) 4, ¿Qué fracción de tarta ha comido cada uno? Haz una representación gráfica de la situación y escribe como se leen cada una de ellas. 2. De mi casa al instituto hay una distancia de 1200m. 5/6 del recorrido lo hago solo y el resto con Juan. ¿Cuántos metros camino con Juan? 3. Hoy he empezado a recoger las manzanas de un manzano. He recogido los 2/5 de las totales. ¿Cuántas manzanas hay en total si hoy he recogido 34? 4. Llevo recorridos los 3/8 de la distancia que separa el colegio de mi casa y aún me quedan 300m. para llegar ¿Qué distancia hay del colegio a mi casa? 5. De un depósito lleno de agua, un camión ha sacado 2/5 de su contenido y otro 3/8 ¿Qué parte del depósito han vaciado? ¿Qué parte queda en el depósito? 6. Dos personas realizan un trabajo, el primero hace 4/9 del trabajo y el segundo 5/12 ¿Qué parte del trabajo han hecho? ¿Qué parte les queda por realizar? 7. ¿Cuántos vasos de 1/5 de litro podremos llenar con 10 botellas de agua de litro y medio cada una? 8. En el desglose de una factura 3/5 corresponden a materiales y 2/7 a mano de obra, el resto, 25’72 €, es la suma de I.V.A. y otros gastos. ¿A cuánto asciende la factura y los distintos apartados? 9. La prueba combinada de deportes de montaña consta de tres pruebas : 3/5 en carrera a pie, 2/15 sobre bicicleta y el resto, 5’68 km., sobre esquíes de fondo. ¿Cuál es la distancia total recorrida? ¿Qué distancia se recorre en cada modalidad?
Fracciones 8
1.10 Potencias
Potencia de base “b” y exponente “a” es una expresión que se escribe b a y representa el producto de “b” por si mismo “a” veces. Ejemplo: 35 = 3·3·3·3·3 Propiedades de las potencias: 1. Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y se deja la misma base. x a · x b = x a b 2. Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes y se deja la misma base. x a : x b = x a b 3. Para elevar una potencia a un exponente se multiplican los exponentes y se b deja la misma base. ( x a ) = x a·b 4. Para multiplicar potencias con el mismo exponente se multiplican las bases y de deja ese exponente. x a · y a = ( x· y )a 5. Para dividir potencias con el mismo exponente se dividen las bases y de deja ese exponente. x a : y a = ( x : y )a 6. Toda potencia con exponente 0 vale 1. x 0 = 1 7. Una potencia con exponente negativo significa el inverso de la base. +
−
x
−
a
=
x y
1
x a
8. Signo de las potencias:
−
a
=
y a x a
Exponente Base positiva Base negativa
PAR IMPAR + + + -
Ejercicio 1: Escribe en forma de potencia si es posible y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: a) 5 5 5 5 = b) [(-6)2]3 = c)
(-2)3 : (-2)5 = 3
2 2 d) − ⋅ − 3 3 4
3 5 e) : 5 3 2
2
=
2
−
7
=
5 5 5 f) : · 7 7 7
5
=
g) (-7) (-7) (-7) = h) [(-5)3]3 = i) 114 : 11 =
Fracciones 9
2
1 1 j) − : − 5 5 2 k) 3
3
3 · 2
6
=
2
−
=
3 3 3 l) − : − 4 4 2
4
=
m) 3 3 3 3 = n) (- 7) (- 7) (- 7) (- 7) (- 7) = o) 1 2 3 = 1 1 1 1
p)
⋅
⋅
⋅
3 3 3 3
=
− 5 − 5 − 5 ⋅ ⋅ 7 7 7
q)
Ejercicio 2: Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado como potencia de exponente positivo: a) (-1)3 =
m) (-2)8 : (-2)3 =
3 b) − 4 = 5
n) (-1/3)2 : (-1/3)5 = o) 23 : 22 =
c) (-3)0 =
p) 59 : 53 =
2 d) 3 = 7
q) (2/5)4 : (2/5) = r) (-1)4 : (-1)7 =
e) (-7)3 =
s) [(-3)2]3 =
− 1 f) 2 0 = 5
t) [(5)-2]3 = u) [(3/5)-1]5 =
2
g) 5 5 = 3
v) (1/2)-4 =
6
h) (-8) (-8) = i)
2
w) (-2)3 : (-2)5 =
9
(-3/4) (-3/4) = 3
5
x) 4-7 42 =
2
j) 7 7 7 7 = 4
y) (3/2)-2 =
3
k) (1/2) (1/2) (1/2) = l)
5
z) (-4/3)-4
2
(-3) (-3) = Fracciones 10
Fracciones 11
