Fiziˇ cki cki principi princi pi strukture strukt ure zvezda Doma´ Dom a´ ci ci zadata zad atak k 1
1. Izvesti izraze za Fermi-Dirakovu ermi-Dirakovu i Boze-Ajnˇ Boze-Ajnˇstajnovu stajnovu raspodelu (statistiku) na osnovu principa maksimalne entropije, koji vaˇ zi zi za sisteme si steme u TDR, TD R, primenje p rimenjenog nog na opˇsti sti obrazac za entropiju ent ropiju neuravnoteˇzenih zenih Fermijevih i Bozeovih gasova. Poznat o je j e da se, jezikom statistiˇ statis tiˇcke cke fizike, fizi ke, entropija entr opija moˇze ze predstavit p redstavitii kao: Pods Po dse´ e´canj ca nje: e: Poznato S = k ln∆Γ,
gde je ∆Γ satistiˇ sa tistiˇcka cka teˇzina zina (bro ( brojj mikro mik ro stanja stan ja koja ko ja odgovaraju o dgovaraju makrostanju makrost anju odre o dredene energije). Pretpostavimo da se sistem nalazi u nepotpunoj nepotpuno j ravnoteˇzi zi i posmatrajmo ga u toku vremenskih intervala ∆t, koji su mali u odnosu o dnosu na vreme relaksacije relaksacije u TDR celog sistema. Razdelimo Razdelimo sistem sistem na podsisteme koji su toliko mali da su njihova sopstvena vremena relaksacija mala u odnosu na vremenske intervale ∆ t. Sada moˇzemo zemo da definiˇ defi niˇsemo semo statis sta tistiˇ tiˇcke cke teˇzine zin e raznih razn ih podsi po dsistem stema: a: ∆Γi pa je onda ∆Γ = i ∆Γi . U tom smislu je entropija data kao: S = = i S i . Posmatrajmo, Posmatrajmo, dakle, dakle, sistem od N identiˇ ident iˇcnih cni h ˇcestica cest ica - Fermijev i Bozeov Boze ov neuravnoteˇ neuravnot eˇ zeni zeni gas. ga s. Sa gi oznaˇcimo cimo bro j stanja koja odgovaraju odgovaraju proizvoljnoj energiji εi (energetskom nivou). Sa N i oznaˇ oz naˇcimo ci mo bro br o j ˇcesti ces tica ca koje ko je se mo mogu gu na´ci ci u g i stanja i sa ni = N ozn aˇcimo cim o srednje sred nje vredno vr ednosti sti g oznaˇ brojeva bro jeva popunje p opunjenosti. nosti. Statistiˇ Stati stiˇcka cka teˇzina zina raspodele rasp odele N i iden id enti tiˇˇcnih cn ih ˇcest ce stic icaa po p o g i stanja stan ja se razlikuje razliku je u sluˇcaju caj u Fermi-Dirakove ermi-Di rakove i Boze-Ajnˇ Bo ze-Ajnˇstajnove sta jnove raspodel rasp odele. e. U sluˇcaju caj u fermiona fer miona moramo voditi raˇcuna cuna o Paulijevom Pauli jevom principu. princip u. Broj Bro j mogu´cih cih naˇcina cina raspodele raspo dele N i (identiˇ (i dentiˇcnih) cnih) fermiona fermion a po gi stanja (ne viˇse se nego po jedna ˇcestica cestica u svakom svakom stanju) nije niˇsta sta drugo nego broj naˇ cina cina na koji moˇ zemo zemo izabrati, bez ponavljanja, caju caju (identiˇ cnih) cnih) N i elemenata od ukupno gi (broj kombinacija bez ponavljanja - vidi dodatak). U sluˇ bozona u svakom svakom stanju se moˇ ze ze nalaziti proizvoljni broj ˇcestica cestica pa je reˇ c o broju svih naˇ cina cina na koje se moˇ m oˇze ze rasp r aspode odelit litii N i ident id entiˇ iˇcnih cn ih ˇcest ce stic icaa u gi stanja (broj kombinacija sa ponavljanjem - vidi dodatak). Odrediti Odredit i statistiˇ st atistiˇcke cke teˇzine zine za fermione fe rmione (+) i bozone b ozone (-) i izraze izr aze za entropiju (koriste´ci ci Stirlingovu St irlingovu formulu - vidi dodatak: K2b):
i
i
S + =
[ ln + (1 − [(1 + ) ln(1 ln(1 +
−k
S − = k
gi ni
ni
ni )ln(1
i
gi
ni )
ni
i
− ni)]
− ni ln ni].
Kao ˇsto sto je poznato, poznato, u stanju TDR entropija entropija mora imati maksimalnu maksimalnu vrednost. vrednost. Naˇ Naˇs zadatak zadatak je da izvedemo ravnoteˇ zne zne raspodele raspo dele odnosno o dnosno da iskoristimo maksimalnost entropije u TDR pri uslovima koji mora ju da vaˇ ze: ze: N =
i
N i =
gi ni , E =
i
N i εi =
i
gi ni εi , N , E = const.
i
odrˇzanje zanje ukupnog broja ˇcestica cestica i ukupne energije. Iz same postavke problema vidimo da nas zanima ju vrednosti ni pri uslovu maksimalnosti entropije: ∂S ± = 0, ∂n i
( )
∗
uz vaˇzenj ze nje: e: α
∂N ∂ E + β = 0, ∂n i ∂n i
( )
∗∗
gde su α i β konstante. Uz oˇcigledno cigledn o vaˇzenje: zenje: (*)=(**), (*)=( **), izvesti izraze za Fermi-Dirakovu (+) i Boze-Ajnˇ Boze -Ajnˇstajnovu sta jnovu (-) ( -) raspo r aspodelu: delu: ni =
1 e
εi kT
1
−η
±1
Sada je jasno da, za Bozeov ili Fermijev idealan gas, bro j ˇcestica, u sistemu u TDR ˇcije su energije u intervalu (ε, ε + dε), vaˇzi: dN =
dg e
ε kT
−η
± 1,
ˇsto je koriˇs´ceno na veˇzbama. Pri izvodenju voditi raˇcuna da parametri α i β mogu biti odredeni na osnovu pore denja (na odre deni naˇcin) transformisanog izraza (*)=(**) sa termodinamiˇckim identitetom (pri konstantnoj zapremini vidi npr. [1]): dE = T dS + µdN,
dok je: η =
µ kT .
ci Komentar: Pretpostavljaju´
velike kanonske ansamble idealnih gasova bozona (-) i fermiona (+) mogu se, na drugi naˇ cin, izvesti izrazi za srednje vrednosti brojeva popunjenosti u stanju TDR odnosno Fermi-Dirakova i Boze-Ajnˇstajnova raspodela (vidi zadatak 7.1. iz [1]). 2. Pokazati da u sluˇcaju kada se Fermi-Dirakova (+) i Boze-Ajnˇstajnova (-) statistika mogu aproksimirati Meksvel-Bolcmanovom statistikom vaˇ zi da je termalna talasna duˇzina ˇcestica mase m, koje ˇcine idealan gas, mnogo manja od srednjeg rastojanja me du ˇcesticama sistema: λT =
√
h
2πmkT
<<
V N
1/3
caju kada su Fermijev ili Bozeov idealan gas nedegenerisani vaˇzi Podse´canje: Pokazano je da u sluˇ Meksvel-Bolcmanova raspodela. U smislu srednje vrednosti brojeva popunjenosti u TDR to znaˇci da vaˇzi nf << 1. 3. Odrediti stepen jonizacije α za sluˇcaj ˇcisto vodoniˇcne plazme uzimaju´ci pri tome vrednosti koje vaˇ ze u centru Sunca: T c = 1, 5
7
× 10
K, n = 1026 cm−3
ze transformisati u: Podse´canje: Pokazano je da se Sahina ravnoteˇzna raspodela moˇ α2
1
−α
=
1 3
nλT
e−
I kT
e
za sluˇcaj ˇcisto vodoniˇcne plazme saˇcinjene od nedegenerisanih i nerelativistiˇckih ˇcestica (oznake kao na veˇzbama). Dobija se da je manje od 100% vodonika u centru Sunca jonizovano!!! Zaˇsto? Pri izvodenju formule je predpostavljena samo termalna jonizacija. Pored termalne postoji i jonizacija putem pritiska (velika gustina i pritisak u centru Sunca) pa ´ce se ipak dobiti 100% jonizovana sredina. Termalna jonizacija se razmatra u smislu sudara pojedinaˇ cnih ˇcestica koje jonizuju atome, dok se jonizacija pritiskom razmatra kao kontinualna reakcija: kontinuum ˇcestica deluje na atom i jonizuje ga - pritisak je usled velike gustine i temperature dovoljno veliki. Trebalo bi, dakle, imati na umu da potpuna jonizacija u centru Sunca ne potiˇce iskljuˇcivo od visoke temperature ve´c i od velike gustine! Komentar:
Detaljno obrazloˇ ziti postupak reˇ savanja zadataka
2
Korisna literatura:
[1] B. S. Mili´c, S. M. Miloˇsevi´c, Lj. S. Dobrosavljevi´c, Zbirka zadataka iz teorijske fizike, III deo: cna knjiga, Beograd, 1979 1 . Statistiˇ cka fizika , Nauˇ [2] L. Landau, L. Lifˇsic, Statistiˇcka fizika , Nauˇcna knjiga, Beograd, 1960 (prevod dr Dragiˇse M. Ivanovi´ca). .................................................................................................... Dodatak - Elementi kombinatorike.
Kao dodatak navodimo, kroz primere, osnovne pojmove kombinatorike . Uzmimo kao dat proizvoljan skup Ω. Postavimo prvo pitanje na koliko se naˇ cina mogu, linearno, jedan za drugim, razmestiti svi elementi tog skupa. Odgovor daju permutacije bez ponavljanja : P n = n !.
(K 1)
Npr., ako je: Ω = 1, 2, 3 , n = 3 imamo P 3 = 3! = 6 ( (123), (132), (213), (231), (312), (321) ). Ako je bro j elemenata skupa veliki moˇze se koristiti Stirlingova aproksimativna formula za faktorijel velikih brojeva:
{
}
{
n!
odnosno za veoma velike brojeve: n!
n
≈n
n
n
−
e
}
√
2πn,
(K 2a)
n
−
(K 2b) ⇒ ln n! ≈ n ln n − n. Ako u datom skupu Ω postoje elementi koji su jednaki, npr.: Ω = {1, 2, 2, 3}, n = 4 broj permutacija bez ponavljanja bi na gore postavljeno pitanje dao rezultat P = 4! = 24. Rezultat je zapravo: {(12 23), (12 32), (1232 ), (122 3), (132 2), (1322 ),···}. Ovde je, radi razlikovanja jednakih elemenata , jedna, proizvoljna dvojka,
≈n
e
∗
4
∗
∗
∗
∗
∗
obeleˇzena sa . Kako se npr. elementi (132 2) i (1322 ) u principu ne razlikuju potrebno je koristiti permutacije sa ponavljanjem : ∗
∗
α ,α2 ,...,αn
P n 1
=
∗
n! α1 !α2 !
···α
n
!
, α1 + α2 +
···+ α
n
= n,
(K 3)
gde α i predstavljaju bro j ponavljanja razliˇcitih elemenata skupa. Za gore definisan skup Ω imamo P 41,2,1 = 12. Navedimo joˇ s jedan primer. Ako je skup Ω definisan preko Ω = a,a,b,b , n = 4. Broj svih permutacija sa ponavljanjem je P 42,2 = 6 ( (aabb), (abab), (abba), (baab), (baba), (bbaa) ). Naravno, ako na neki naˇcin moˇ zemo razlikovati element e koji su jednaki moramo koristiti formulu (K1) za permutacije bez ponavljanja.
{
{
} }
Ako je dat skup Ω od n elemenata i pitamo se na koliko naˇcina se moˇ ze izabrati x elemenata iz tog skupa odgovor ´cemo dobiti nalaˇ zenjem broja kombinacija. Npr. ako bacamo n novˇci´ca i pitamo se na koliko naˇcina x novˇci´ca, od ukupno n, moˇze pasti sa okrenutom glavom . Odgovor daje broj kombinacija bez ponavljanja: k C n
=
n k
=
n! . k!(n k )!
(K 4)
−
Ukoliko se npr. baca n = 5 novˇci´ca i pitamo se na koliko naˇcina moˇze x = 3 novˇ ci´ca od njih 5 pasti sa okrenutom glavom imamo: C 53 = 1 0 ( (PPGGG), (PGPGG), (PGGPG), (PGGGP), (GGGPP), (GGPGP), (GPGPG), (GPPGG), (GGPPG), (GPGGP) ). Ukoliko bismo pak razlikovali glave onda bi reˇsenje dalo kombinacije sa ponavljanjem:
{
}
(n + k 1)! . k!(n 1)!
− (K 5) − U gore pomenutom primeru imali bismo n = 5, k = 3, C = 35 ( {(PPGGG ), ···}). Ukoliko se npr. pitamo koliko dvocifrenih bro jeva moˇze da se dobije iz skupa Ω = {1, 2, 3} odgovor nam daju C nk =
n+k k
−1
=
3 5
varijacije sa ponavljanjem : 1
Studentima se preporuˇcuje da proveˇ zbaju zadatke iz sedmog poglavlja.
3
∗
k
V nk = n ,
(K 6)
odnosno, V 32 = 9 ( (12), (13), (21), (31), (23), (32), (11), (22), (33) ). Ukoliko ˇzelimo da iskljuˇcimo ˇclanove sa ponovljenim elementima ((11), (22), (33)) koristimo varijacije bez ponavljanja :
{
}
n!
k
V n =
(n
− k)! .
(K 7)
Za gore definisan skup Ω imamo V 32 = 6 ( (12), (13), (21), (31), (23), (32) ). Korisno je spomenuti i vezu:
{
n
k
V k = C n P k .
}
(K 8)
....................................................................................................
4
