Matematica-bac
Matematica formule bac
1|Page
Matematica-bac
Formule de algebră Ecuaţia de gradul doi Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 .Se calculează ∆ = b 2 − 4 ac Dacă ∆ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite
• •
−b ± ∆ 2a Dacă ∆ = 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula b x1 = x2 = − 2a • Dacă ∆ < 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula date de formula x1 , x2 =
•
x1 , x2 =
−b ± i −∆ 2a
2 • ax + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ) 2 • Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax + bx + c = 0 : b S = x + x = − 1 2 a P = x1 ⋅ x2 = c a • Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: x12 + x22 = S 2 − 2P
x13 + x23 = S 3 − 3SP Funcţia de gradul doi f :R →R
f ( x ) = ax2 + bx + c ∆ b ,− 2a 4a
Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V −
. Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min = −
∆ 4a
2|Page
Matematica-bac Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este f max = −
∆ 4a
Progresii aritmetice • Formula termenului general: an = a1 + (n − 1)⋅ r • Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:
Sn =
n( a1 + an ) 2
• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
a+c =b 2
Progresii geometrice • Formula termenului general:
bn = b1 ⋅ q n −1
• Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
b1 (q n −1) Sn = q −1 • Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: b2 = a ⋅ c Numere complexe z = a + bi este forma algebrică a unui număr complex z = r ( cosθ + i sin θ ) este forma trigonometrică a unui număr complex unde: • •
r = a2 + b2 este modulul numărului complex θ ∈ [0,2π ) este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din b relaţia tgθ = a
i 2 = −1 a + bi = a 2 + b2 z = a − bi 3|Page
Matematica-bac Formula lui Moivre
( cosθ + i sin θ )
n
= ( cos nθ + i sin nθ )
Elemente de combinatorică
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ n Pn = n ! n! Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n ( n − kelemente. )! n! Cnk = k !(n − k )! Ank =
Binomul lui Newton:
( a + b) n = Cn0a n + Cn1a n−1b + Cn2a n− 2b 2 + ... + C nka n− kb k + ... + C nnb n k n− k k Formula termenului general din binomul lui Newton este Tk +1 = Cn a b
Formule cu logaritmi
loga 1 = 0 loga a = 1 ln1 = 0 ln e = 1 lg1 = 0 lg10 = 1 loga A + log a B = log a ( A ⋅B ) log a b există dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0 A loga A − log a B = log a B loga An = n ⋅ loga A loga b =
logc b logc a
loga b =
1 logb a
4|Page
Matematica-bac loga b = c ⇔ ac = b Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intro egalitate fără logaritm
Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula: P( E ) =
nr. cazuri favorabile nr. total cazuri posibile
Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *. • • • •
∀x, y , z∈ ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y∗ z ) Legea * este asociativă dacă M x ∗ y = y∗ x ∀x, y ∈ M Legea * este comutativă dacă x ∗e = e∗ x = x ∀x ∈ M Legea * are element neutru e dacă x ∈ Un element M se numeşte simetrizabil dacă ∃x′ ∈M astfel incât
x ∗ x′ = x ′ ∗ x = e
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă ax 3 + bx 2 + cx + d =0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem: b x1 + x2 + x3 = − a c x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a d x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − a
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem:
5|Page
Matematica-bac b x + x + x + x = − 1 2 3 4 a x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c 2 3 2 4 3 4 1 2 1 3 1 4 a d x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = − a e x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a
Formule de analiză matematică Asimptote • Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se
f (x ) . calculează xlim →+∞ Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:
f ( x) x →+∞ x n = lim [ f ( x ) − m ⋅ x ] m = lim x →+∞
Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale Se calculează
lim f ( x)
x → x0 x < x0
şi
lim f ( x )
x → x0 x > x0
.
6|Page
Matematica-bac Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie x = x0 . Derivata unei funcţii intr-un punct: f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0: f ′( x0 ) = lim
y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) Reguli de derivare:
( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f − g )′ = f ′ − g ′ ( c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ g = g2 Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale funcţiilor compuse
Tabel cu derivatele
7|Page
Matematica-bac
c′ = 0 x′ = 1
( ln x ) ′ =
1 x 1 x ⋅ ln a
( x 2 )′ = 2 x
( log a x ) ′ =
( x 3 )′ = 3x 2
( sin x ) ′ = cos x
( x 4 )′ = 4 x 3 ( x )′ = n ⋅ x n
n−1
1 1 ′ =− 2 x x 1 ′ x = 2 x
( )
( e )′ = e ( e ) ′ = −e ( a ) ′ = a ⋅ ln a x
x
−x
x
−x
x
( cos x ) ′ = − sin x 1 cos2 x 1 ( ctgx ) ′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x ) ′ = 1 − x2 1 ( arccos x ) ′ = − 1 − x2 1 ( arctgx ) ′ = 1 + x2 1 ( arcctgx ) ′ = − 1 + x2
( tgx ) ′ =
( ln u ) ′ =
( u 2 ) ′ = 2u ⋅ u ′
( loga u ) ′ =
(u 3 )′ = 3u 2 ⋅ u′ (u 4 )′ = 4u 3 ⋅ u′ ( u )′ = n ⋅ u n
n−1
⋅ u′
u′ 1 ′ =− 2 u u u′ ′ u = 2 u
( )
( e ) ′ = e ⋅ u′ ( e ) ′ = −e ⋅ u ′ ( a ) ′ = a ⋅ ln a ⋅ u ′ u
u
−u
u
−u
u
u′ u u′ u ⋅ ln a
( sin u ) ′ = cos u ⋅ u′ ( cos u ) ′ = − sin u ⋅ u′ u′ cos2 u u′ ( ctgu ) ′ = − 2 sin u u′ ( arcsin u ) ′ = 1 − u2 u′ ( arccos u ) ′ = − 1 − u2 u′ ( arctgu ) ′ = 1 + u2 u′ ( arcctgu ) ′ = − 1 + u2
( tgu ) ′ =
Tabel cu integrale nedefinite
8|Page
Matematica-bac
= u=( xx) ++ C C ∫ u′( x)dx∫ 1dx
x 2 u2 ( x) = = +C +C ( x )dx ∫ u( x ) ⋅∫u′xdx 2 2 x3 u3 ( x) 2 2 = = +C +C x )dx ∫ u ( x )∫⋅ ux′(dx 3 3 x 4 u4 ( x) 3 3 = = +C +C x )dx ∫ u ( x) ∫⋅ ux′(dx 4 4 x n +1 n ∫ x dx = n +u1n++1 (Cx ) n = +C ∫ u ( x) ⋅ u1′(dxx )dx n + 1 ∫ = ln x + C u′( x ) x ∫ u( x ) ∫dxe x=dxln=ue(xx+) C+ C
∫e ∫e
u( x)
u( x) x u ′( xe −)dx dx==e−e− x++CC
∫
sinuxdx ( x )=⋅ u−′ (cos x )dxx + =C − cos u ( x ) + C ∫sin cosuxdx + C= sin u ( x ) + C ′ ( x )xdx ( x )=⋅ usin ∫ cos u1′( x )dx = tgx + C dx = tgu( x) + C ∫ cos cos ux( x ) 22
u1′( x )dx = − ctgx + C ∫∫ sin sin22 ux( x ) dx = − ctgu( x) + C 1 1 x 1 ( x) = arctg +uC ∫∫ x22 u+′(ax2) dx2 dx +C a= arctg a u ( x) + a a a 1 1 x−a = ln 1 u( x+) −C a ∫ x 2 u−′(ax2) dx dx 2 a x + a = ln +C ∫ u2 ( x) − a 2 2a u( x ) + a 1 = ln x + x2 + a2 + C ∫ x 2u+′( xa)2 dx dx 2 2 ∫ u 2 ( x) + a 2 = ln u′( x) + u ( x) + a + C 1 2 2 ∫ x 2u−′( xa)2 dx = ln x + x − a 2 + C 2 ∫ u 2 ( x) − a 2 dx = ln u( x) + u ( x) − a + C 1 x dx = arcsin +C ∫ a 2u−′( xx)2 a u( x ) ∫ a 2 − u 2 ( x) dx = arcsin a + C
( (
)
)
u ′( xx)dx = a−ex − u ( x ) + C ∫ a dx = lnua( x )+ C a u( x) ∫ a u′( x )dx = ln a + C Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este: −u ( x )
∫ f ( x ) g ′( x )dx =
f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′( x ) g ( x ) dx
Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:
∫
b
a
b
f ( x ) g ′( x )dx = f ( x ) g ( x ) ba −∫ f ′( x ) g ( x )dx a
Aplicaţii ale integralei definite • Aria subgraficului unei funcţii Dacă f : [a, b] → ¡ este o funcţie continuă pozitivă atunci avem: b
A( Γ f ) = ∫ f ( x )dx a
9|Page
Matematica-bac Schimbarea de variabilă Fie I,J două intervale din R şi fie
şi f două funcţii
cu proprietăţile 1. este derivabilă pe I; 2. g admite primitive (fie G o primitivă a sa). Atunci funcţia admite primitive pe I, iar funcţia primitivă a lui , adică
este o
Aplicaţii ale integralelor în Geometrie Calculul ariei unor suprafeţe plane Dacă G este subgraficul funcţiei continue f:[a,b]->R+, atunci aria lui G este
Lungimea graficului unei funcţii
10 | P a g e
Matematica-bac Lungimea graficului funcţiei f:[a,b]>R derivabilă cu derivata continuă, este
Aria laterală a unui corp de rotaţie Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are aria laterală egală cu
Volumul unui corp de rotaţie Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are volum şi
Criterii de convergenta a unui sir : Teorema de convergenta cu astfel incat
:
11 | P a g e
Matematica-bac
Criteriul majorarii : Daca si
Criteriul clestelui : Fie conditiile:
ce indeplinesc
-
Atunci sirul
converge la limita
Criteriul lui Weirstrass: orice sir monoton si marginit este convergent.
Limita in cazul inegalitatilor : Fie convergente si
- siruri atunci :
12 | P a g e
Matematica-bac
Criteriul Cauchy-d’Alembert (criteriul raportului ):
Fie sirul
Sirul
are limita si
Convexitatea functiei : Fie interval
convexa pe interval
daca : ;
Concavitatea functiei : Fie interval daca :
concava pe interval ;
13 | P a g e
Matematica-bac Diferentiala unui functii : Fie functia derivabila
si Pentru
apropiat de
si
Notam
Se numeste diferentiala functiei
in
punctul
Functii continue :
Fie functiile continue in
:
, (daca
),
,
continue in Proprietatea lui Darboux : Fie continua : daca :
interval. Functia
are proprietatea lui Darboux pe interval 14 | P a g e
Matematica-bac
Pentru
situat intre
ecuatia
si
are cel putin o solutie
in
intervalul
Proprietati functii continue : Teorema Weierstrass : orice functie continua pe un interval inchis si marginit este marginita si isi atinge marginile. Lema Bolzano : pe
Daca
si
continua punctul
astfel incat Semnul functiei : daca o functie este continua pe un interval si nu se anuleaza pe acel interval,atunci pastreaza acelasi semn pe tot intervalul.
Functii derivabile : Fie functia si
punct de acumulare pentru
.
are derivata in
daca
si se noteaza cu
15 | P a g e
Matematica-bac
Derivata la stanga : Fie
,
pct de acumulare ptr
daca exista si e finita Derivata la dreapta : Fie
,
pct de acumulare ptr
daca exista si e finita Functii trigonometrice directe : Fie daca daca nu are limita
Fie daca
16 | P a g e
Matematica-bac
daca nu are limita
Fie
daca
daca Fie daca daca
Functii trigonometrice inverse :
17 | P a g e
Matematica-bac
Fie daca Fie daca
Fie daca
daca daca
Fie daca
18 | P a g e
Matematica-bac
daca
daca Interpretarea geometrica a derivatei : Fie si - daca functia este derivabila in tangenta in punctul de abscisa este
, graficul lui
admite
, panta tangentei
si
ecuatia tangentei la grafic in
este :
, - daca
sau punct de inflexiune al
graficului lui
19 | P a g e
Matematica-bac
; ;
20 | P a g e
Matematica-bac punct de intoarcere al graficului lui
.
; ;
punct unghiular al graficului lui
.
Limite de functii : Punct de acumulare : Fie Punctul
o submultime nevida a lui R.
= punct de acumulare pentru multimea
daca,
vecinatate a lui
contine cel putin un element din
. 21 | P a g e
Matematica-bac
Limita functiei intr-un punct :Fie functia punct de acumulare. Definitie Heine : ,daca sirul
=limita functiei
si
-
in punctul
sir al valorilor
Limite laterale : Limita la stanga : Fie
,
pentru multimea Pentru
-pct de acumulare
. sir
avem
22 | P a g e
Matematica-bac Limita la dreapta : Fie pentru multimea
,
-pct de acumulare
. Pentru
sir
avem
Limita functiei constante :
Fie
Limita functiei exponentiale : Fie
Daca :
23 | P a g e
Matematica-bac
Daca :
Limita functiei logaritm : Fie
Daca :
24 | P a g e
Matematica-bac Daca :
Limita functiei polinomiale :
Limita functiei radical : Fie
punct de acumulare
25 | P a g e
Matematica-bac Pentru
Fie
Pentru
Pentru
Operatii cu siruri ce au limita : Fie sirurile limita finita sau infinita. Adunarea : exceptat
cu
caz
26 | P a g e
Matematica-bac
Inmultirea :
caz
exceptat
Impartirea :
caz exceptat
Radicali :
pentru
Puteri :
caz
exceptat Logaritmi : Se adopta conventia : ;
Operatii cu siruri convergente: Fie sirurile
27 | P a g e
Matematica-bac
Adunarea :
Inmultirea :
Impartirea :
Inmultirea unui sir cu o constanta : Fie sirul
si
constanta
Sirul modulelor : Siruri cu limita limita
: Un sir rangul
are astfel incat
pentru 28 | P a g e
Matematica-bac , daca fiecare vecinatate a lui ,contine toti termenii sirului,cu exceptia unui numar finit dintre ei.
sau sau Siruri cu limita limita
: un sir
are
rangul
astfel incat
pentru , daca fiecare vecinatate a lui ,contine toti termenii sirului,cu exceptia unui numar finit dintre ei.
sau sau
Proprietatea lui Darboux : Fie continua : interval daca : Pentru ecuatia
un interval. Functia
are proprietatea lui Darboux pe
situat intre
si
are cel putin o solutie
in
intervalul 29 | P a g e
Matematica-bac
Reguli de derivare :
Regulile lui L’Hospital : Fie Daca :
derivabile pe intervalul
sau
30 | P a g e
Matematica-bac
exista
si
Caz
: Daca :
si
caz
sau
caz
Caz
: Se
calculeaza :
; ;
Caz egalitatii
: Se calculeaza conform ; 31 | P a g e
Matematica-bac
tip Teorema lui Fermat : Fie punct de extrem din interval. Daca
,
interval , este derivabila
in
zerourile functiei – puncte critice
32 | P a g e
Matematica-bac Puncte de extrem ale functiilor :
Fie
punct de maxim absolut al lui
daca : puncte de minim absolut al
lui
daca :
Teorema lui Lagrange ( a cresterilor finite) :Fie Daca : pe ; derivabila pe astfel incat :
continua
exista punctul
formula lui Lagrange
33 | P a g e
Matematica-bac
Consecinte ale teoremei lui Lagrange : I.
Daca
are derivata nula pe un interval
constanta pe acel interval. II. Daca au derivatele egale pe un interval difera printr-o constanta pe acel interval :
III.
Fie
Daca :
derivabila ;
ele
interval crescatoare pe
descrescatoare pe strict crescatoare pe 34 | P a g e
Matematica-bac strict descrescatoare pe Intervale de monotonie : se calculeaza rezolva care
, se determina intervalele in are semn
constant
se stabilesc intervalele de monotonie.
Punct de extrem local : Daca parte si alta a lui IV.
,se
punct de extrem local.
Fie
Daca :
are semne contrare de o
interval, continua in
;derivabila pe
;
are derivata in Daca
= derivabila in
si
si
Teorema lui Rolle : Fie functia
Daca intervalul
continua pe intervalul
, este derivabila pe
si are valori egale la capetele intervalului
Exista cel putin un punct
pentru care
. 35 | P a g e
Matematica-bac
Intre doua radacini ale functiei derivatei
se afla cel putin o radacina a
.
Formule de geometrie 1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:
cateta 2 + cateta 2 = ipotenuza 2 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
BC 2 = AB 2 + AC 2 −2 ⋅ AB ⋅ AC cos ⋅ A 3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este: Aria =
l2 3 4
4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele): AB ⋅ AC ⋅ sin A Aria = 2 5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): S = p( p − a)( p − b)( p −c) formula lui Heron 36 | P a g e
Matematica-bac unde p =
a+b+c este semiperimetrul. 2
6)Aria triunghiului dreptunghic este: cateta ⋅ cateta Aria = 2 7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
a b c = = = 2R sin A sin B sin C unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este: AB = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este x + x2 y1 + y2 M 1 , 2 2 10)Vectorul de poziţie uuu r al unui r punct: ur Dacă A(x,y) atunci OA = x ⋅ i + y ⋅ j uuu r
11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula: uuur r r AB = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j 12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula: x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 sau cu formula: x
y
1
x1
y1 1 = 0
x2
y2 1 37 | P a g e
Matematica-bac
13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m Este dată de formula: y − y0 = m( x − x0)
14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă x1
y1 1
x2 x3
y2 1 = 0 y3 1
15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula A∆ABC =
1 ⋅∆ 2
unde ∆ este următorul determinant x1
y1 1
∆ = x2
y2 1
x3
y3 1
16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax + by + c = 0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula: dist ( A, d ) =
ax0 + by0 + c a 2 + b2
17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:
m=
y2 − y1 x2 − x1
18)Condiţia de coliniaritate a doi vectori in plan: ur r r uu r r r Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a ur uu r vectorilor v1 şi v2 este: a1 b1 = a2 b2
19)Condiţia de perpendicularitate a doi vectori in plan: ur r r uu r r r Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Avem: ur uu r v1 ⊥ v2 ⇔ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅b2 =0 (produsul scalar este 0) 38 | P a g e
Matematica-bac 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică: d1 Pd 2 ⇔ m d1 = m d 2
Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 a1
b1
atunci dreptele sunt paralele dacă a = b . 2 2 21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu −1 adică: d1 ⊥ d 2 ⇔ m d1⋅ m d2 = − 1
Formule de trigonometrie
39 | P a g e
Matematica-bac
sin 2 x + cos 2 x = 1 sin : ¡ → [ −1,1]
formula fundamental Formule ăa pentru transformarea sumelor in produse trigonometriei
sin( − x) = − sin x cos : ¡ → [ −1,1] cos( − x) = cos x
p+q p−q cos 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2sin cos 2 2 p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2sin sin 2 2
sină p + sin q = funcţia sin este impar
π sin − x = cos x 2 π cos − x = sin x 2 tg ( − x ) = −tgx ctg ( − x ) = −ctgx
2 sin
x x sin 2 x = 2sin x cos x ⇒ sin x = 2sinFormule cos pentru transformarea produselor in 2 2 sume 2 2 cos 2 x = cos x − sin x 1 + cos 2 x 2 x ⋅ cos y = sin( x + y ) + sin( x − y ) sin 2 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − 2sin 2 x ⇒ sin 2 x = 2 x ⋅ cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) cos 2 sin 3 x = sin x(3 − 4sin 2 x) cos( x − y ) − cos( x + y ) sin x ⋅ sin y = cos 3x = cos x(4cos 2 x − 3) 2 cos 2 x = 2cos 2 x − 1 ⇒ cos 2 x =
sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tga + tgb 1 − tga ⋅ tgb tga − tgb tg ( a − b ) = 1 + tga ⋅ tgb sin x tgx = cos x cos x ctgx = sin x tg ( a + b ) =
40 | P a g e
Matematica-bac 3tgx − tg 3 x tg 3x = 1 − 3tg 2 x ctg 3 x − 3ctgx ctg 3x = 3ctg 2 x − 1
2tgx sin 2 x = 1 + tg 2 x 1 − tg 2 x cos 2 x = 1 + tg 2 x tg 2 x = 2tgx 1 − tg 2 x 2 ctg 2 x = 1 − tg x 2tgx Ecuaţii trigonometrice fundamentale 2t sin x = 1 + t2 2 cos x = 1 − t x 1 + t2 unde t = tg 2 tgx = 2t 1 − t2 2 ctgx = 1 − t 2t
1)Ecuaţia sin x = a are soluţii dacă şi numai dacă a ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { (− 1) k arcsin a + k π / k ∈ ¢} .
2)Ecuaţia cos x = b are soluţii dacă şi numai dacă b ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { ± arccos b +2 kπ / k ∈¢} . 3)Ecuaţia tgx = c are soluţii ∀c ∈¡ . x ∈ { arc tgc + kπ / k ∈¢} . Soluţiile sunt 4)Ecuaţia ctgx = d are soluţii ∀d ∈¡ . x ∈ { arc ctgd + kπ / k ∈¢} . Soluţiile sunt sin(arcsin x) = x
sin(arccos x) = 1 − x 2 ∀x ∈ [ −1.1] cos(arccos x) = x 2 cos(arcsin x) = 1 − x
41 | P a g e
Matematica-bac Funcţia sinus
sin:R → [ −1;1]
900= 1200=
1 600=
3 22
1350=
450=
2 1 2
0
150 =
1800=
300=
00 3600=
0
2100=
0
225 = 2400=
1 − 2 2 − 23 − 2 270 = -1
3300=
3150=
3000=
0
Exemple:
42 | P a g e
Matematica-bac π 3 sin = 3 2 sin π = 0 sin 0 = 0 π sin = 1 2
3π 4 3π sin 2 sin 2π 7π sin 6 sin
=
2 2
= −1 =0 =−
1 2
Funcţia cosinus cos:R → [ −1;1] 900= 1200=
600=
1350=
450=
1500=
1800= -1
300=
3 2 −1 − − 2 2 2
1 2
0
2 2
3 2
2100=
00 0 1 360 =
3300=
3150=
0
225 = 2400=
3000= 2700=
43 | P a g e
Matematica-bac
π tg : ¡ \ + π k / k ∈ ¢ 2
¡→ 900=
1200=
1
600=
1350=
450=
1500=
3 3
300=
1800=
00
0
3600=
2100=
3300=
− 2250=
3150=
−1
3000=
0
240 =
3 3
2700=
E Exemple:
− 3
nu are sens n
44 | P a g e
Matematica-bac
Exemple: π 1 cos = 3 2 cos π = −1 cos0 = 1 π cos = 0 2
3π 2 =− 4 2 3π cos =0 2 cos 2π = 1 cos
cos
7π 3 =− 6 2
45 | P a g e
